Айдос Ерқара және Балықбаев Тахир - Математика

Ille iu y i. « =arccos-I-, f„i =arccos!f - -Пj , у = arccosj[ - —13)j деп I „1 13 алайык, Оида булардан, сэикес cosa =-, cosp = cosy = , ягни, а =—71 , -71 <рn <тс; -71 <у <тс шыгатынын коремп• . ЬС п д • 1 мундагы екншй кос теценд ж тщ орбiр болйш е « =- -п Л коссак, сила а+р = ~ +/J бурыш ы екпш й нсмесе уш нш н я Зл ширекге жататыпын байкауга болады: - < а +р< . Олан I л Зя j болса мына I — J аралыкта монотоиды болатын, мысалы. с и н у с ф у н к ц и и е ы н алы п sin ('a + р ) = siny тендтнш дурыстыгын тексерем1з. s in fa + /:}) = sinacos/? + cosasin/3 = = sin — •cosarccos - - + cos —sinarccos - - 3 \\ 7J 3 I. 7 j [ - ' и 1 - 1- cos:arccosf - ' ] 1 7) 2 \\1 ( 1) ^ 1 / , _ f _ I | = _ V 3 l /48 _ уз | 4^3 _ з У з . 14 + 2 ' \\! [ 7 j 14 + 2 V 49 14 + 14 14 sm 7 = sinarccos = 1- cos'arccos 13 \\ _ j 169 Зч/З 14J \" V 196 14 ' Сонымен, sin(rt + /3) = s i n / дурыс тендж екен. Будан баска а + Р мен У eKeyi де синустыц монотонды аралыгында жатыр. Олан болса тепе-тендж долелдендг 148

ГА Н С Ы PMAJ1AP Нсептеу керек: 1) zs arcsm' --v-'3+]arctg(-,l) ,+. arccos—=1+arccos -_ I+ -I •arccos(-l) v2 v2 - f3 1 '3 — 2) щ 5arcta----- arcsin— I. 3) sinI 3aretev'3 + 2arccos 34 2j ( 2 , . v'3 /’ 4) cos 3arcsin i + arccos 1! ’ л .I . / S) arccos cos — 6) arcsin j -sm —n 4 I .5 N) tg - a r c s in 7) sin 2v'2 arcsi n - I3 13 9 ) cos 'arcta —+arccos- \"4 5 10) sm I 2j arcsin-v-r^i--arccos я I3 Ke.ieci тен;иктер.и тсксеру керек: 1 - .1 17 . 1 11) arccos— = 2 arcsm —- . P ) arccos— = Jarcsin —. 1 IS 4 IS 6 7 .1 2 1 л- 13) arccos- = 2 a r c s m 1 4 ) arctg— + a r e t e - = —. 1 4 3л I 1 5я I s ) arctg- r arctg- = — . 16) arctg - -t 2arctg - = — . 9 ^4 / 34 4 21 17 \\ arcsin — arccos—7= = arctg-. Я \"2 1/1 5 .7] 7 18) arcsin --- i— arccos — arccos -. 25 2l ;5 5 Яv 2 v 2 19) arete — + arcsin-— = arete 3 - 2v\"2 |. ^2 2 149

?m 1 + агсШ 1 a retи —2 = л arctg- —+ —. ' \"3 \"4 94 4 . 5 .1 6 л J 1) arcsm —+ arcsm — + arcsin — = —. ' 5 13 65 2 Тепе-тенд1ктерд1 долелдеу керек: 2Т2-1)V arctiLv = arcsin -.=-=V ■arccos v 1- .y : . 0 < .Y < 1, 23) arcsniY = - 1< .y < 0. -arccos v i - .Y\", a resin VI - .y' , 0 < .Y < 1, 24) arccos.y = ; л - arcsinVl - л*2, -1 < л' < 0 25) 2Tarccos I -1-+---Y = arccos.y. 26) - arccos (2.y : - 1) = arccos.v, .y > 0. ЖЛУЛПТАРЫ 1 )2 » . 2,-1. 3 ,- ^ . 4 ,;. .Л 5) 4 ‘\" Г 7, - f - ‘’ V 10) N v ^. XI

5-тар а у. Т ЕН Д ЕУ Л ЕР М ЕН ТЕЦС13Д1КТЕР § 15. Т Е Н Д Е У Л Е Р М Е Н ТЕЦС13Д1КТЕР ТУ РАЛ Ы НЕГ13Г1 T YC IH 1KTEP 69. Тсндеулер мен тецазд1ктердщ uiemi>uepi Айны.ма.1 шамасы бар (1) JU )= g U ) туршдеп тенд1К 6ip айнымалды тендеу дсп аталады. Бершген (1) теидсудi шешу дегешмгз Aa)=g(a) (2) сандык leiwiri дурыс болатын барлык а сандарын табу немесе мундай сандардын болмайтынын долелдсу деген соз. а са н ы (1) тендеудщ my6ipi немесе luemi.Mi деп аталады. Мысалы, З+.v =7 тендеушщ жалгыз ry6ipi бар, ол 4 саны; (л— 1)(.v—2)=0 тендеушщ туб!рлер1 1 жоне 2; д--+1=0 тендеушщ пакты т\\бiрлерi жок. бул тецдеудщ eki жорамал ry6ipi (х, = /, х2 = -/) бар. Б п томенде тендеулердщ тек пакты T\\6ip.iepi туралы соз степи боламыз. Бергчген J(x)>g(x) (3) icnci3,iirni шешу дегешмп J\\a)>g(a) сандык. reucruiri дурыс болатын барлык а сандарын табу немесе мундай сандардын болмайтынын долелдеу деген соз. а саны (3) тецаздж тщ uieuiiMi деп аталады. Сонымен, тендеу;и (т е ц а з д т т ) шешу — оныц барлык, шепнмдерш табу немесе онын inеiпiм;терiн iн ж ок екешн долелдеу. /(.v) = х(х) те н д е у ш щ (/(.v) > g(x) гсц сiздi r i н i н ) аныкпииу аймагы (Т А А ) деп, f(x) жоне g(x) орнектерпнн CKeyi де магыналы болатындай хайнымалдын барлык мондер жиынын, баскаша айткднда /(х) жоне £(.v) функцняларынын аныкталу аймактарыныц киылысуын айтады. 151

70. Мондес (парапар) тендеулер. Тендеулер жуйесл жопе жиынтыгы Егер ./,(.V) = £,(.'v) жоне / : (.v ) = g : ( л ) (1) тендеулерппц шепммдер жпындары беттессе. одарды мондес nwnOey.icp деп л гаиды да. ./;<д-> = g,(.v) » / л * ) = хл.х) деп жазады. Егер еKi тендеудщ де шеггймдер1 ж ок болса, онда олар мондес деп есептеле/п. М ы с а .ш : 1) л —1 жоне va=1 тендеулер! мондес, ойткегп 1саны opoip тецдеудщ ry6ipi. сонымен oipre бул тецдеулердщ баска Ty6ip.iepi жок; 2) д-: + 9 = 0, 0 ■а = 1 тсцдеулер1 мондес, о п ткеш олардыц cKeyinin де пакты ry6ip:iepi жок. Егер (1) тецдеулердщ 6ipinuiicinin. op6ip ry6ipi CKiniuiciнiн де ryoipi болып табы лса, онда CKinini тецдеу;и dipiniui тецдеудщ аидары деп атайды жоне оны келесл гурде жазады ./,(х)=,ц,(х) =--> / А х ) = я : (.\\). Тенлеуден оныц салдарына откенде салдар тецдеудсп шеипмдер жнынында, бастапкы тецдеудщ Ty6ip;iepinen баска да ry6ip.iep naii;ui болуы мум Kin (бул туб1рлер;п богде myoip.wp дсп атайды). Сондыктан шешу nponeci аяклалган сои табылган сандар жиынын sepmmen (мысалы, текссру жасап), олардыц ппшен бастапкы тендеудщ ineum uepi болатынын гана адалы. Мысалы. V -V - I = \\1.Х 1 - 1 => А 2 - 1 = .V 1 - I . Екпш п ген,теу;п iueuiin a, = -1, х2 = 0, а, = 1 табамыз. BipaK 0 саны бiрiн111i тецдеудщ i11e111iмi емес. ! ендеу.п luciiiy nponeci — renaeyai oiprin/ien кдрапайымлау тецдеуге. гецдеулер (тецелзджтер) ж иы н ты гы н а нсмесе жуйелерше ay ысты рулам ту рады. Teudeyiepdiн Mondecmiei тура,им кейб/р тужырымдар: Томендс колданылган А жиыны f(x)= g(x) теидеушш аныкладу айчагында жатады (онымен беттес\\л де мумкш). 1) f i x ) = glx) <=> /'(а-)-^(л-) = 0. 21 / ( .V) g( x ) <=> /(.v) + a = g ( x ) + a, a - c a n . 3) /(.v) = g ( x ) » a / ( a ) = a g(x), а ф 0 152

4) а 11''= а х'л>, а>\\),с1 Ф 1 <=> f ( x ) =g(x). 5) f ( x ) > 0 , g ( х ) > 0, л' е А , f(.x)=x(x) f \" ( x ) =g\"(x) , пе /V, .vt /1. (i) f ( x ) > 0, g ( x ) > 0, .v e A, \\ o g J'(x ) = log.^fxA a > 0, а Ф 1 <=> f ( x ) =g (x ), x e A. 7) (p( x ) ф 0, x e A, f ( -VJ = £( A <=> f ( X )(p( x ) - x )<p( x ), x t /1. Tendeyriin ca.iOap.iapbi ту/ниы Keiioip туж ы ры м дар S) f ( x ) =x(x) > f :\"(x ) =g :\"(x), n- V 9) lo gjy.vj = fl>(), £/5^1 ./V'av Hi) ~ ~ ~ =&f-V^ => f (.x ) = g(x)<p(x;. V(x) 11i f ( x ) +h( x ) = g( x ) ‘ h( x ) /7 .vу ” /.V /. 12, j ( x ) v i x ) = 0 => Г/V-V>=о, | f' Г . / Y - v ; = o . си м во лы Tvpajibi хак,ырыпхыц соцында апхылады]. 1-мыса.1. Долелдеу керек: .V + 1, + --К-)--= За - х~ + ---Ю-- => А\", +•,I = 3, v - а\". 2а-- 1 2а - I J(aie.u)eyi: ^ мен 1 сандары v- + i = ^v v ’ тендеушщ ryGip.'iepi. Ал, ^ Gipiiuni гецдеудщ Go где ryGipi, oiixKeni * бул гецдеудщ аныкдалу a11мaiлинa K ip \\ieiu i. Bipiinni тецдеудщ жадгыз xyGipi - 1. 2-мыса.!. Келесл еьа хендеу lg(.v - 4) - 1у(4д'-7) жоне л\" - 4 = 4а' - 7 мондес пе? Illeuiyi: EKiiimi хендеудщ бар;н>1к хубфлер жпыны 3 нен 1 еапдары. BipaK, 1 саны Gipiinui гецдеудщ xyGipi емес, сондыкхан хецдеулер мондес емес. 153

heкерту: Л — (2‘ +оо ) ж пы ны ныц кез келген х нуктесшде X 2 - 4 > 0 жопе 4х - 7 > О болатындыктан 6 туж ы ры м бойынша А = (2; +со ) жиынында бул ею тендеу мондес. Келесм тендеулерд1 кдрастырамыз: ./, (-v) = g, (.v ) , (.v) = g , ( a ) ...... / „ (a ) = g m(a ) . (2) Бул тецдеулердщ оркайсысыньщ аныкталу аймагы, сойкес А\\, Аг ... Ат болеын. А г А,. ... Ат — жиындарынын. киылысуын А аркылы бедri.ieiiiK. ягни т А=П А /=1 Егер (2) тецдеулердщ op6ipeyniin ry6ipi бодатыи барлык а е А сапдарын табу керек болса, онда тендеулер .vcytieei oepi.idi деп айтады да былайша белплещи J \\( А ) = g(x), (3) f 2(x) = £ ,(а ), f j x ) = gjx). А жпыныи (3) тендеулер жуйесш'щ аныкщалу аймагы дейдп Егер opGipeyi (2) тецдеулердщ ец болмагаида 6ipeyinin ryoipi болатын барлык саидарды табу керек болса, опда (2) тендiKTepiii тендеулер ж иы нты гы uepuidi дейд1 жоне оны былайша бед! i;ieii;ii ./; ( а-) = g, ( а ), / 1V) = g 2( А ), (4) /Л-'\") = g j x ) . 71. Мэндес (парапар) генслхпктер. Гецсд гпктер жуйес1 жэне жиынтыгы Егер берипен f \\( а ) < g |( -V) жоне / , ( А) < g , ( А ) (I) тен,сiздiк reрiнiн барлык шеипмдер жиыидары озара тец болса, 154

оларды мондес (парапар) ineHciidiianep леи атайлы жоне / ( А ) < £; ( а ) <» / I \\ ) < \" ( А ) лсп жазады. Егер ек! meucisdiKtnin де uiciuiMdepi Смимиса, о.шр мондес дсп сшш.шды. 1 М ы сал ы , х2>1 мен 1+-л----1- > 0 reiici s/uKrepi мондес, ойткеш бул тенслз.пктердщ оркайсысынi>iи шеипмдер жиыны ( - - 1 ) j ( 1 ; ' ). Е м тецслз;пк карастырылып отырган жиында мондес болмауы мум Kin, 6ipaK олар осы ж пы нны н кандай да dip iiuKi жиынында мондес болуы мум Kin. М ысалы. \\; >1 мен а >1 генеi3;iiк I epi он сандар жиынында мондес. б1раколар барлык пакты сандар жиынында мондес емес. Егер (1)-деп 6ipinuji тецегздшпц ке з кед ген ineiiii.Mi cKiniui TCHcixiiKTin де inemiwi болса, онда ек'шшi menchdiKmi Cnpimui mencisdii<inin салдары деп атайды да, / ( А ) < £, ( -V) => / А х ) < я А А) деп жазады. Тецсгз/нктен оныц салдарына откенде богде шеипмдер пайда болуы мумкш, ягни берпген тецсп.икпц салдарыныц шеппмдер ж иы н ы нд а бастапкы ле iгс iд,дi клi канагаттан- дырмайтын мондер жиыны болуы мумкш. Сопдыктан, егер шешу барысыпда тенсмз;иктсп оныц салдарына оту керек болса, онда шеш у проиесппц соцында алынган сандар ж иы ны иаи бастапкы тецслз;иктщ пiепiiм iн repin алуга мумкпкпк берепн зерттеу ж \\р ;. д кажет. Мысалы, А'2 < А + 1 => А < \\[х + 1 Мунда бастапкы, а 2 < А + 1 тепелздптнщ шеппмдер ж и ы н ы /1=1f —I --—S , —\\+-—S 1 арал ы гы н д агы санд ар, ал I2 2 а < \\lx ‘ 1 renci u irin in шеппмдер жиыны В -1; 1 аральп 1>1пдагы сандар. Мунда А с В cKcnin кору киын емес. Ш ынында да. == '- о 155

Осы мысалдан турлен;дру нэтижесшде бастапкы тсцаздктщ аныктаду аймагы тарылатын жагдайда да, богде шепимдер пайда болуы мумкш OKcniu коремгз! Б!з;ип мысалымызда — бастапкы тецаз.иктщ аныктаду аймагы барлык пакты сандар жныны бодса, екшпп те ц сгзд ттц аныктаду аймагы — (-1; + °о ) аралыгындагы сандар жиыны гана. Дегснмен, тецаздп<п баска тецазд1кпен ауыстырганда богде шегшмдер кобшесе бастапкы тецс1з;нктщ аныктаду аймагынын кецекм есебшен пайда болады. Тецс1зд'.ктерд'щ м эн д естш т у рилы кейб/р тужырымдар'. 1) / ( .V ) < g ( x ) <=> \" ( . V ) > f i x ) . 2) f ( А ) < g ( A') » ./'(.v)- g ( A ) < 0. 3) Егер <p( а ) функциясы f(x)<g(x) т е ц а з д т н щ аныктаду аймагында (T A A ) 6epi.ice, онда f i x ) < g i A ) <=* / ( a ) + (p (x) < g ( A ) + <p( A ) . 4): a ) f { x ) < g(x) <=> f ( x ) <P (x) < gix) (P (x), (Л ( a ) > 0, A e TAA: a ' ) f i x ) < g { x ) w и ■f i x ) < a ■gix) , a > 0; b) f ( x ) < g { x ) <--=> f { x ) (p(x) > g(x) <pix), (p{a ) < 0, A t TAA; //) . / ( a ) < £ ( a ) « (/ ■ / ' ( a ) > a •^ ( a ) , « < ( ) . 5 ) — > () <■_> / ( a ) ■£ ( х ) > 0 , A G 7/1/1. J?U) 6) (/ > 1 J\\ x ) > g{x). 7) <v-/(A> > f/-41A*, 0 < с/< 1 <=> /(.v) < £(.Y). 8) /'(a ) > 0, x( v) > 0. .ve/1 : ./■(A) > ^(.v) <=> [/ ( v ) f > [g(A-)]\" , n e A ', A e /I. 9) f i x ) > g ( x ) <=> 2nii l f ( x ) > 2\" ^ g ( x ) , HE N. U)) f - ' ' ( X ) < g-\"<\\\\, H E V «• |/ (a )| < (a )j. ! 1) / ( v ) > 0 , x ( a ) > 0 , a eA: a) log f i x ) > logng ( A ) , £/>1 <=> J ( x ) > g i a ); h) log / ( a ) > log g ( v ) , 0 < a < 1 <=> /( a ) < gi x) . 156

12) / ( x ) + (p( x ) < g( x ) + <p{x ) => / ( x ) < g (x). 13) V/< a ) < :v^'1-v ) • 11e v => f <-v >< X <-v)■ 14) a) log, / (a ) < logj, r(A). «> 1 => / (a ) < £(а). b) log / ( a ) < log„g(A),() < a < 1 => / (A ) > g(x). 15)— - > 0 . </>(a ) > 0 => / ( a ) > 0. (piA) ke.ieci rcHcixiiKiepji кдрастырамыз: /; ( A ) < g, ( A ) , /, ( A) < ( A) . ••• . f ( X ) < g„. ( A ). ( 2) Бул тенсгзджтердщ аркайсысыныц аныкталу аймагы, сойкес ( ? i. Qi • • (?„, болсын, ал олардыц киылысуын Q аркылы белплешк: = /П=I<?/ Егер (2) тецсп.икпц opoipeyiuin шеийлп болатын барлык а. е R сандарын габу керек болса. онда т тецсгз;йктер жуйесл 6epL'ui дей.п де томендегйпе жа зады ./:(а ) > я , ( а ). ( 3) /Д А ) > g ( А ). ■....................... а) > g jx ). т Q = П о, жнынын (3) meiiciiflihim'p жуйес'ннн аныкталу аймагы лен атайды. Егер opoipeyi (2) тецсгз;цктердщ ец болмаганда oipeyium iuemi.Nii болатын барлык а сандарды табу керек болса. онда т тенспд1ктер ж иынтыгы бергий дей;н жоне томендепше бел гллeiLii Г / (А ) > £,(А). f -ЛА) > g A x ) . .................................... (4) / „(А ) > К (А). 157

§ 16. С Ы ЗЫ К Д Ы К , Т Е Н Д Е У Л Е Р Ж О Н Е Т Е Н Д Е У Л Е Р Ж У Й ЕЛ ЕРЕ С Ы ЗЫ К ,Т Ы К ТЕЦС13Д1КТЕР 72. Сызыктык тендеулер Ыр айнымсиды сы зы кты к тендеу деп, ах=Ь турш деп тендеу.п айтады. Мундагы а мен b нак.ты сандар; а — айны- маддыц (немесе бел: iсiз;ин) коэффициент!, b — бос муше деп аталады. ax=b Teicieyi уийн уш жагдай кездесуа мумкш: 1) чф 0: бул жагдайда тендеудщ Ty6ipi b/а теп; 2) а= 0, /;= 0; бул жагдайда тендеу Ох = 0 rypine келе/п, ал бул x-rin кез келгеп моншде дурыс болатын тен;йк, ягни тендеудщ ry6ipi кез келгеп сан. 3) а= 0 , Ь ф 0: бул жагдайда тендеу Ох = Ь туршде болады да, о н ы н Ty6ipi жок, екенд ю коршедг Гендеулердщ копнйлйз турлешйру аркылы сы зы кты к тец- деуге келеуй. 1■-мысал. ,I ендеу/п ineiuv керек: т1х +—2 = п0 . зЬ Lllemyi: 67п. 1 жоне 3 тужырымдар бойыпша 12 12 2 12 - х t — = 0 о - л = --- <=> х = -----: - = — э Еч 3 15 15 5 2 а.тамыз. - - саны гецдеудщ ryC>ipi. 2, -мысал. ..1.ендеуд! шешу керек: 1- Зх = 2- 2х - 1 7 - 2х - 73 Ш еш у! Ьо.пмнен кутылу уппн тендеудщ екi жагын да 21 -те (7 мен 3 болшдершщ Е К О Е ) кобейтемгз: ( 7 j ’ Г 321-1 71--~2).хv -- L-— — ) = 21, -f 2- _2_л___1 <> 147 - 42л- - 3(1 - Зх) = 42 - 7(2х - 1) Одан opi, 147 - 42х - 3 + 9.v = 42 - 14х + 7 <=» 144 - ЗЗх = 4 9 - 1 4х <=> -33.V + 14.V = 49-144 <=> - 19х = -95, х =5 ала мыз. 158

73. Сызыктык; тендеулер KYP.V™ келмрепи есеитер П р акти кал ы к есептерхи шешу барысында кобж есе сызыкгык. тендеулер алынады. \\-мысал. М ы сты н калайымен корытпасынын массаеы 12 кг, мундагы мыстын курамы 45%. Ж ана корытпадагы мыстын курамы 40% болуы yiniii. бастапкы корытпата канша газа каламы косу керек? Ш еш у/. Бастапкы корытпата косылагын газа калайыныц массасы .v кг болсын. Сонда курамында 40% мыс болатын жаца корытпанын массасы (12+л) кг болады. Олай болса жаца 40 корытпадагы мыс у ^ (1 2 + .v) = 0,4(12 + .v) кг. Массасы 12 кг 45 <1,45-12 кг мыс бастапкы корытпада 45% мыс. ягни бар е;п. М ы сты н массасы басганкы жоне жаца корытпаларда б1рдей болгандыктан мына :ен,:е\\.п аламыз: 0,(12 + х) = 0,45-12. Бул тендеу;и шешсек .v = 1,5 аламыз. Сонымен, бастапкы корыпки а 1,5 кг таза калайы косу керек. 2-мысал. 0Keci 50, ал баласы 20 жасга. Канша жыл бурын OKeci баласынан 3 есе улкен болтан? UJeuiyi. х жыл бурын OKeci баласынан 3 есе улкен болтан деп алайык. Сонда OKeci 50-.V, ал бапасы 20-.V жасга е;п. Ол кезде OKeci баласынан 3 есе улкен болгандыктан келеа сызыкты ген,те\\;н аламыз: 50 - .v = 3 (20 — ,v). Бул теидеу;п шешсек .v = 5 аламыз. Демек бес жыл бурын O K e c i баласынан уш есе улкен болтан екен. ЖАТГЫ КУЛАР с) - 5 v + 1= -5х + 1; Тендеулер.п шешу керек: 1. a) 3.Y = 0; b) 2.v + 3 = 2х t 4; д-- 1 9 .v+S 9 с) д - 2.v - 5 6 159 5 15 5

3. Б ipiи111i резервуарда 114 л. ал екйпшсшде 60л су бар елi. Кун сапын oipinuii резериуардан 12 л. ал екппшсшен 6 л су алынады. Нсш с куннен кейiи екппш резернуардагы с\\ 6ipimiiicin;ieri суда Караганда 1.5 есе кем болады'.’ 4. 1теигеni барлык саны 26 болатын 2 жоне 5 тиындыктарга усактау керек. 2 тпындыктардыц саны канша болуы керек? 5. Могорлы кайык озен агысымен 3 сагат, ал сол жолды K e p i багытта 5 сагат журдк Озен агысыныц жылдамдыгы 5 км/саг. Могорлы кайыкгын агынсыз судагы жылда.мдыгын табу керек. 74. Eki белriciii бар eKi сызыкдык тендеулер жуйесш uieiuy o.iierepi Гецдеулер ж уйесш шешудщ уш o/ucin карастырамыз: ауыстыру odici; косу odici жоне ж а ц а айнымалылар снг 'пу odici. Ауыстыру о iici Бул о.нс былайша жасалады: ж й е н i ы тецдеулерппн oipi. курамындагы айнымалдард[,щ oipine катысты шеинлген турге келпршедк мысалы. y-ri л аркыд!>1 орнектей.п; содан сои алынган орнекri екпшп тецдеудеп г орнына кояды. Нотижесшде 6ip 6e;irici3i бар тендеу алынады. Осы тецдеудщ -ryoipiн габады да. y-rin ,v аркылы орнепн паидаланын у-пц сойкес монш табады. Iд - 5г = 10. 1-чысал. Тендеулер жуйесш шешу керек: ->v - i llleuiyi. bipnuni тендеуден .v = Зу + 10 аламыз. Екпнш тендеудеп л-пц орнына Зу + К) орнепн койып мына тендех.ц адамы з: 3 {Зу + 10) - 2у = 2. Будан, у = —4. Ал. л-пц сойкес монш л-= Зу 1 10 тендеушен аламыз: v = 3( -4) г 10 = -2. Тендеулер жуйеснпн IиеIпiмi: (-2: —4). Косу o iici Бул o.iicri кейде коjt/x/iuuucimiDtepdi menecinipv odici деп те а гай.лi.i. Бул o.ncri мысалмен ту с 11i;i ipe niк . Z7-мысал. T1еаче\\дер жуйесш- ineiiiv керек: 1V ' 3V ' 7- .1.V у 16. ILIeuiyi. E K i ний тендеудщ e K i болi i i н де 3-ке кобейземп: 2.v • Зу = 7, 9л Зу = 4S. 16(1

Ал ын ган жуйенщ CKi тендеуш мушелеп коса мыз: |2.v + Зу = 7, j 3(9.v - у) + (2.v + З у ) = 4 ,S + L 12.v + Зу = 7, Булан j 1j v _ 55 аламыз. Мундагы екйпш тендеуден X = 5, ал бул санды 6 ipiniiii тендеудеп х-Tin орнына койып, алынган тендеу/ц шешсек у = - \\ аламыз. Ж ауабы: (5; —1). Жаца айнымалдар снизу a,iici. Бул o.iicxi де мысал аркылы кдрастырайык.. 3-мысал Тендеулер жуйесш шешу керек: I 1 — (- 1 = 1 X + Г .V - у 34 А+ У X- \\ Шешу!. — — = и, — *— = v деп алапык. Сопла бери ген .V + г .V - v j// + v = 2, жуйе келесл турге ие болады: ! ^ ^ у Бул жуйеш шеипп //=1, v=l аламыз. х пен у айнымалдарына оралсак, 1 .V + I' Л-+ V = 1, 1| немесе j v _ | аламыз. j .V - V Соцгы жуйенщ meiinMi: (1; 0). 75. Сызыкдык, тендеулер жуйесше кс.itipi it iin ееептер Коптеген есептердщ nieiiiiMi ек: белrici3i бар cki сызыктык, тендеулер жуйесш шешуге келедг Мысалдар келпрегпк. 1-мысал. Егер еKi тацбалы санга осы санныц цифрларын Kepi ретпен жазу аркылы алынган санды косса 110 шыгады. Егер бурынгы екi тацбалы санды оныц пифрларыныц I I - Ч9 161

айырымына белее, онда бо;пнд1 18, ал калдык 1 болады. Ондык цифры бiрлiк цифрдан улкен болса. бастапкы еы тацбалы сан кандай болтаны? Illeiuyi 1зделшетш санныц ондык, цифры х, ал бiрлiк цифры у болсын. Сонда 1зделшген сан 10х+у туршде жазылады да, оныц цифрларынан Kepi ретте жазудан шыккан сан 10у + х болады. Есептщ шартынан ( 10х + у) + ( 10у + х) = 110 аламыз. Одан opi, есептщ шартынан 10х + у = (х ~ у) -18 + 1 аламыз. Сонымен, есеп келеа тендеулер жуйесш шешуге экелдк |(10д- + у) +(10у + д) = 110, j 10х + у = (х - у) •18 + L Бул жуйенщ жалгыз ш е п т п (7; 3). Жауабы: 73. 2-мысал. Элмира Аканга: \"С ен маган 6ip компактдисюнд1 берсец, менщ компактдиск1лер1.мнщ саны сешкш ен ею есе коп болар едщ,— дейдг Ал Акдн Элмирага: \"Егер сен маган 6ip компактдиекпци берсец, еке ум ш ш компактдискьтер1мгздщ саны б1рдей болар е д Г ,— деп жауап кайтарады. Элмира мен Аканныц — каншадан компактдпскЬер1 бар'.’ Illeiuyi. Эл мирада .V, ал Лкднда у комнактдиск бар де.пк. Егер Акан Элмирага 6ip комнактдиск берсе, онда Аканда у —1 компактдиск кал ады да, Эл.мирада х+1 компактдиск болады. Сонда есептщ шарты бойынша мына тендеуш аламыз: х + 1=2 (у —1). Ат егер Элмира Аканга 6ip компактдиск берсе, онда Элмирада л— 1, ал Аканда у+ 1 компактдиск болар едг Есен и н шарты бойынша олар теп болуы тше: д— 1=у+1. Сонымен. есеп Kcvieci тецдеулер жуйесш шешуге окелдк |х * 1= 2(у - 1), I х - 1 = у + \\. Бул тендеулер жуйесш щ ш е и т п х = 7, у =5. Жауабы: Элмирада 7, Аканда 5 компактдиск бар. Ж А Т Т Ы F Y J1АР Тендеулер жуйесш шешу керек: Зх + у = 2, 162

2) Б1рдей матанык CKi кесеi i 11iн куны $91. Бастаикыда екпиш кесекте канша болса, 6ipinuii кесектен сомша сатылды да, ал бастапкыда 6ipinuji кесекте канша болса, екшгш кесектен соншанын. жартысы сатылды. Сопла 6ipinmi кесекте калганы екппшде калганыны Караганда артык болды. Егер 1м. мата $1,40 турса, онда орбiр кесекте канша метрден мата болды? 3) Аракашыктыгы 30км болатын А мен 15 пункттершен 6ip-6ipine карама-карсы ек1 жаяу шыкты да, олар 3 саг 45 мин откен сои кездестт Егер 6ipinuiici екiнш iсiнс Караганда 2 саг бурын шыккан болса, онда олар екпш па шыккан сон 2,5 саг. откенде кездесер едп EKi жаяудыц жылдамдыктарын табу керек. 76. Bip oc.irici3i бар сызыкдык; тецс1зд1ктсрд1 шешу ах+Ь>0 ( немесе ах+Ь<0, ах+Ь> 0, ах+Ь< 0) туршдеп тецазд1кп сызыкгпык,тецазд'нс дейдк Мупдагы а мен Ь пакты сандар жопе о ф 0. Егер а >0 болса, онда (68 п. 4с/ тужырымын карацыз) ск> -Ь <=> .V>— \\ а ( -Ь +с° аралыгы ягни тенсгз;иктщ шеппмдер жиыны болады. Егер с/<0 болса, онда (68п. 4// карацыз): ах > —b <=> л* < — (I ягни тецсгз/пктщ шеппмдер жиыны [ ' аралыгы бо.чады. Егер а—0 болса, онда тецстз;пк 0-.v >~h турше келед1 де. —/;>0 болса meruiMi жок, ал < 0 болса шеипмдер жиыны (—° ° ; + 00 ) аралыгы болады. Коптеген тецазд1ктер турлен/пру барысында сы зы кты к тецсгзд1кке келедк 1-мысал. Тецс1зд1кт1 шешу керек: 2(.\\—3) t 5( 1—.v) >3(2д-5). llleuiyi: Жакшаларды ашып уксас мушелерш oi pi к ripe мi3: 2х~6 + 5 —5х> 6х ~ 15, —3.V— 1> 6д — 15. 163

Одан opi (68 п. 2-тужырым) —Зл— 6.v> —15+1 н е м е с е —9х> —14 <=> х< 14/9 Ж ауабы : 14 2-мысал. TencixuiKii шешу керек: т , - .V - 2 , , . , , 2х + 3 х 12х - — + 2 (х + 1) > э(3х - 1) - — -- . (1) Illeiu yi. (1) <=> 6 12х - + 2(х + 1) >6 5(3х -1) - 2х + 3 х <=> 23 <=> 72х - 2(х - 2) + 12(х + 1) > 30(3х - 1) - 3(2х + 3) - 2х « <=> 72х - 2х + 4 + 12х + 12 > 90х - 30 - 6х - 9 - 2х <=> «=> 82х + 16 > 82х - 39 <=* 82х - 82х > -39 - 1 6 » « 0-х >-55. Соцгы тене1зд1к х-тщ кез келген мэншде дурыс. Ж ауабы : ( —° ° ; + °°). 77. Bip oe.iriciii бар сызыктык; тецсп;иктер жуйееi С ы зы к ты к тецсмз/иктер ж уйесш шешу уш ш , орбiр тецсчз/йкп ineuiin алып, алынган шеипмдердщ жадны болirin (шеппмдер жиындарыныц киылысуын) табады. 1-мысал. Тецсппктер жуйесш шешу керек: j 5х + 2 > Зх - 1, (Зх + 1> 7х-4. 3 Ille iu y i. B ip in iu i тецсгзд1к т щ merniMi х > - - , ал х >— , 2 х < -5 4 164

Координата осше 3 31 + 00 4 аралыктарын са.тып, олардьщ жалпы болш н (cKi жиынныц киылыеуын) табамыз. 5 о 4 Жауабы. 3. 5 2’ 4 2-мысал. Тещпзджтер жуйесш шешу керек: Ъ(х +\\)- -V- 2 . , Д-+ 3 < 5д- - 7 ----- 4 | 2 х - | + 6 < 4л--3. л < 56 Uleuiyi. 8p6ip icuei j;uKTi турлещире отырып л> 27 аламыз. Координата ecine —оо — 56 ‘ 27 аралыкта- 5 ■-}-оо рын салып, олардьщ жалпы болшн табамыз: \\\\W W \\v 56 27 57 Бул ек1 шеппмдер ж иы ны ньщ киылысуы бос жиын (ею аралыктьщ жалпы болiri жок). Олап болеа, бершген жуйенщ 1ljеш iмi жок. 3-мысал. Тецазджтер жпынтыгын шешу керек: 2д-3 > Зл-2 ----- ----- 5 2 . д За- — +1 > — . 32 165

.v < Uleuiyi. 3p6ip тецсгз;икп турленд1ре отырып Л' < аламыз. Сан тузуше J4 | —<50 —6' 1аралыктарын са- 7) IT лып, олардыц 6ipiryin аламыз (68 п.(4)). Ж ауабы : 7, Ескерту. Тецазджтер жуйесл мен жиынтыктарын шешу туралы 83п. жалгастырылады. ЖАТТЫНУЛАР IcHei i iiKiep.ii шешу керек: 1. a) 3.V+1 > Зл— 5; Ь) За— 5> За— с) —7.x < 0. с) 7\\~3<7.х +2. 2. а) —а'+3<2а +2—а; Ь) 2д—7>5а—4; 3. TeHci i/iiKiep жуйес1и шешу керек: [ 2.V + 5 > 0, , I -За - 1 > 0, [2а -1 > 0 , а) \\ Ь) \\ с) \\ (- а + 3 > 0; 12а - 4 > 0; -За <-6; -5---А---.-V---1> --А--+-I- 1 d) 4 3 4 4л- , 2л - I 7 ----- I ------- < А + -- 53 15 4. TeHci i iikiep жиынтыгын шешу керек: 2л - 3 5л +3 >(I. , . 5 < а -2, а) \\i 2л - 1>И,- 5а - 7 < л - 6 166

§ 17. КВАДРАТ Т Е Н Д Е У Л Е Р Ж О Н Е ОЛАРКА КЕЛТ1Р1ЛЕТ1Н ТЕН Д ЕУ Л ЕР 78. Квадрат тендеулер ах2 + Ьх + с = 0 турш деп тецдеуд1 квадрат тендеу деп атайды, мундагы а, Ь мен с пакты сандар жоне о ф 0. ал X — айнымал шама. Егер а =1 болса, онда квадрат тендеу келт1р1лген деп аталады. Егер b мен с коэффициенттершщ 6ipi нолге тен болса, онда квадрат тендеу толымсыз деп аталады. Толымсыз квадрат тендеулерди тендеудщ сол жак бол1пн сы зы кты к кобейтмштерге ж1ктеу аркылы да шешуге болады; егер мундай ж1ктеу мумкш емес болса, онда тендеудщ lueumii болмайды. 1-мысал. Тендеу;п шешу керек: 2х: - 5 а = 0. Ш ешу!. Бул — толымсыз квадрат тендеу, мунда с — 0. Тендеудщ сол жак, б о л т н ко б е й т к ш л е р ге ж1ктейм1з: х ( 2 х ~ 5)= 0. Кобейтшд1 нолге тец болгандыктан не 6ipinmi, не C K i n i u i ко бейтк1ш нолге т е к . я г н п , а = 0 нем есе 2а— 5= 0 <=> -v=~. Демек, квадрат тендеудщ ск i ry6ipi бар: 5 0 жоне 2' 2-мыеал. Тендеуд1 шешу керек: х 2 - 7 = 0. Illeiuyi. Мунда Ь=0, ягнп квадрат тендеу толымсыз. А\" - ( Л [ = 0 <=> (.Y - ч/7)(а- +л/7) = 0 <=> А- = J l . л\", = ->/7. Ен;п толык квадрат тендеу/и карастырайык: и х 2 + Ьх + с = 0, а Ф 0. b ф 0, с’ ф 0 . ( 1) Квадрат ах2 + Ьх + с у ш м у ш е л т н е н то л ы к квадрат бол in, оны а х +- Ь2 - 4ас Typine келпремгз. Сонда 2а 4сг (1) тендеу былайша жазылады ( 1) <=> 11 А +— Ь2 - 4ас (2) 2а = 0. 4а 2 167

(2) ге иле уд in eKi ж а к. бол i п н аФ 0 саны на бол in жоне D = /г - 4ас деп алы п (D — квадрат тецдеудщ дискриминанты деп аталады) мына тендеуд1 аламыз ( 3) 1) П = /г - 4 ас < 0 болсын. Онда л-тщ кез кедген моги yuiin (3)-тin сод жак б о л т он болгандыктан бул тендеудщ ш е п тп жок. 2) D = Ь - 4ас = 0 болсын. Онда (3) тендеу мына турге ( ьу келед! ( х+ — | - U. Бул тендеудщ озара ген eKi Ty6ipi бар: ь 3) D = l r - 4 a c > ( ) болсын. Онда (2) <=^ ,v+- Ьуган а~ - Ь~ - [а - Ь) ( а + Ь) формуласын колдансак немссе О аламыз. Bipinuri жоне C K i n n i i тендеулерд1 шеше.мi з .V = b + yJP 2а Сонымен квадрат тендеудщ тушрлершщ формуласы келеа турге не болады: (5) (5) формуланы D - 0 болса да колдануга болады. Оиткеш .. _ h и = О болса (э)-тен -V= - — аламыз. 2а Егер b = 2k (к е Z. А ^ О ) жуп сан болса. онда (5) формуланы 168

_b \\{bX_ h f[) 2 Vi 2 I _ 21 V4 (6) 1.2 — a ~a туршде колданган ыцгайлы. Егер а =1 болса, онда келприген квадрат тен,чеу;и коб1несе .V2 + рх + q = О туршде жазады жоне бул жагдайда (5) формула гурше не болады. - -к? 3-мысал. Тендеуд! шешу керек: 2х2 - 5.v +2 = 0. LUeiuyi: М ун д а а= 2, /;=—5, е=2. Д и с к р и м и н а н т D = Ь2 - 4ас = (-5)\" —4 ■2 ■2 = 9 > 0 . Олай болса, тендеудщ екi T \\ 6 ip i бар. (5) — формула бойынша. -Ь + \\[Ъ 5 ± %/9 5 +3 2а 2 ■2 аламыз. С,,онымен, л\", = —5 +3 = 2, х, = —5 —3 = I. 4-мысал. Тендеуд1 шешу керек: 2х2 + 8х +19 = 0. Ille iu y i. М у н д а а= 2, Ь= 8, с = 19. 8 — ж уп сан , I) — табайык,: - = [ - ) - «с =Г- ) -2 19 = -22 <0. 2j !2. O.'iaii болса тендеудщ накты xy6ipi жок. 5-мысал. Тендеу;ц шешу керек: х 2 - 6х + 5 = 0. Illeiuyi. Бул — ке.тпрь'пеп квадрат тендеу (/; = —6, ц—5). —D = —Р 2 - q - —( -—6-)-“ - 3 = 4 олап оолса, гецдеудщ ортурл1 ек1 р , Гр2 -6 ' xy6ipi бар. (7) (формула бойынша, -Vu = - - ± — -q =- — ± ’4 V у ±х/г9 ^ 5 = 3 ± 2, немесе, д, =3 + 2 = 5, л; = 3-2 = 1. 169

6-мысал. Тендеуд1 шешу керек: л-2_ 4Х + 4 _ q Llleuiyi: Мунда D = 0, сондыктан (7) формула бойынша л-,.2 = 2 ± V0 = 2 , ягни тендеудщ ею озара тен Ty6ipin ала­ мыз. 79. Виет теоремасы В и е т теоремасы. Егер ах2 + Ьх +с = 0 квадрат TenfleyiniH пакты тубiрлерi бар болса, онда олардыц косындысы: Ьс х. + х, = — ал кобейтшд1а : х.х, = — тен. а 'а Бул теореманы D> О ескер 'т , 76п. (5) формулалар аркылы долелдеуге болады (тексер/'щ'з ). Салдар. Егер х: +рх +с/= 0 келтфгпген квадрат тендеуinin х, жэне .v, пакты туб1рлер1бар болса, онда .v, + х2 = -р, a,x, = q (1) ( 1) формулалардан мына катыетарды алуFa болады. ( 2) x;+ x; = p: -2q х, + х\\ = ~ р ( р 2 -3q) (3) Шынында да, л',2+х; = ( хI +2х,а2 +х22) - 2х,х2 = (х, +х2)\" - 2х,х, = р2- 2q Х| + Л, —(Л + Л2)(х,- —Л(Л2 + Ат j —(Х| + х2)[(х, + A, j —A|A, J = = -Р[Р~ ~ 2</ ~ q) =~Р(Р2- 3q). Виет теоремасына Kepi теорема да орын алады. Теорема. Егер х, + а , = х,х2 = q болса, онда х, мен а , сандары а 2 + рх + q = 0 тендеушщ туб1рлерт 1 -мыеа.т Тендеу/и шешу керек: х 2 - 9а + 14 = 0 . llle u iy i. Соцгы теореманы пайдаланайык. Ол ymin А, + X, = 9 v v _ 14 TeiwiKTcpi орындгшатындай х, жэне а, сандарын табу керек. Ондай сандар 2 мен 7 болатынын ангаруга болады. Сонымен, а = 2, а , = 7. 2-мысал. 2 а 2 - 5 а + 1= 0 т е н д е у ш щ т\\ б iрлерi я i н квадраттарынык косындысын жоне кубтарыньщ косындысын табу керек. 170

UJeuiyi. (2) жоне (3) формулаларды иапдаланамыз 51 Ч =-; х ; +х\\ = г - 2д = \\-^\\ - 2 4 = 2' -р( /г -3 ц) =^ -2VJ -з -' -— 2 ' S• Ескерту. Ж алпы жагдайда, егер //-mi дореже:м а \" + я,д-\"\"1+ я ,а \" ■' + ■■• + я„_,а + с/,, - О тендеушщ туб1рлер1 х, болса, онда Вне i формулалары Ke;ieci турде жазылады: - (а , + А, + •••+ А„ ) = Я, , + (а, -а, +а- -А, +--- + А,, , ■А„) = и: , - (а, •А,А, + А, ■А, •А4 + •••+ Х„_,Х„ ,А„ ) = (/,, (-1)\"' -А, -А, ••\\ = С/,,. Дербес жагдайда //=2 болса, онда бул формулалардан (1) тецд1ктерд1 аламыз. Бул формулаларды алгашкы рет француз галымы Франсуа Виет алган. 80. Квадрат ymviyuie iiK T i кебейтыштергс ж1ктеу ах2+ Ьх + с квадрат у ш м у ш е л т берьчсш, ал .v( мен д; ах2 + Ьх + с = 0 тенд еуш щ туб iрлерi болсыи. Онда Виет фор мул ас ы бо йы нша, / , Ь С\\ г II - ( • V, + А\\ ) -V + А, х- + - 1 и + и1 = а [ ( а 2 - АА, ) - (XV, - А,А,)] = а [ а (а - А, ) - А, (А - А, )] = = я(л--л-,)(д-д,) алам ы з. С о н ы м е н , х, мен а, сандары их~+ Ьх + с - 0 тендеушщ ry 6 ip:iepi болса, онда их2 + Ьх + с = а (а - а, ) (а - х ; ). (1) (1) тепе-тецикм квадрат ушмуше.мкп K o o e i i iK i in герге яиктеу формуласы деп атайды. 171

1-мысал. Кобейтюштерге жжтеу керек: 2х2 -5 х + 2 llleuiyi. 2л - 5х + 2=0 тецдеушен -V, =2, х, табамыз. Олай болса (1) бойынша 2х2 - 5х + 2 = 2(х - 2)[ х j= = ( х - 2) ( 2х - 1) аламыз. 2-мысал. Кобейтк1штерге жжтеу керек: Зх2 + Зх + 8 . Ш ешу '!. Зх2 + Зх + 8 = 0 тендеушщ туб!рлер1жок, ойткеж, D = 3' - 4 •3 ■8 < 0. Олай болса, Зх2 + Зх + 8 уш м уш ел т сызыклык, кобеГп кi111терге жжтелмейдк 81. YuiMymeji тендеулер ах2\" +Ьх\" + с = 0 , а * 0, п > 2. н е V ( 1) туршдеп тендеуд1 ушмушем тендеу деп атайды. Егер п= 2 болса, онда оны биквадрат тендеу деп атайды. Егер у = х\" деп алсак., онда ( 1) тендеу келеи турге келед1 a y2 + by + с = 0 (2) Егер бул тендеудщ туб1рлер1 у, жэне г, болса, онда (1) тендеу келеа тендеулер жиынтыгына мондес болады -V\" = У , , = У, Егер (2) тецдеудщ iljеiuiмi болмаса, онда (1) тендеудщ де uieiiiiMi болмайды. Мыса.:. Тендеуд1 шешу керек: Xs -17х4 + 16 = 0 llleu iyi: х4 = у деп белплеп у 2 —17у +16 = 0 тецдеуш аламыз. Будан у, = 1 жоне у, = 16. Сонымен: х4 = 1, X s - 17х4 + 16 = 0 <=> ^х4 = 16. Мунда гы гендеулерд1 шешешк: а ' = 1 <=> д'4 - 1=0 <=> (д-2 - l)(-v2 + 1) = 0 «=> <=> (-V - 1 ) ( Х + 1 ) = 0 , А, = 1, A i = - I . а 4 = 16 «=> а * — 16 = 0 <=> ( а 2 - 4 ) ( а ; + 4 ) = 0 <=} <=> ( а - 2 ) ( а + 2 ) = 0 , а , = 2 , а 4 = -2. Ж ауабы : 1; —1; 2; —2. 172

82. Сызыктык,, квадрат жэне биквадрат гендеулерге келприетш тендеулер ах ' + Ьх 2+ Ьх + а = 0, а ф О (1) туршдеп тендсуд1 ушпшл дэреже.и симметриялы тендеу деп атайды. ах ' -г b:v + Ьх + а = а ( х ' + 1j + Ьх (,v + 1) = = (.v + l)U / (x ; - .v + l) + Ьх J = (.v + 1)J ax2+ (b - a )x + a болгандыктан, ( 1) тендеу келеа тендеулер жиынтыгына мондес: [ ,v+ 1 = 0. (1 > ~ [ a x ' - + ( b - c , ) x + a = (). {2) ke.ieci ах' + Ьх' + сх2 + Ьх + а = О, (3) ахА +Ьх' + сх2 - Ьх + а = 0, а ф 0 (4) туршдеп тендеулерд1iopiinnii дэрежел1симметриялы тендеулер деп атайды. (3) тендеудщ eKi жагын х2-к.а болiп (х = 0 тендеудщ Ty6ipi емес, ойткен! а ф 0 ) оган мондес тендеу аламыз: 1 = 0. (3') а х +- + /; -v + хх Осы сиякты амалдар жасан (4) тендеуте мондес тендеу аламыз: (4') (3') пен (4') тендеулерш шешу ушш 1 жоне х +— = у 1 -V-- = z деп белплеп алайык.. Онда х X -г ■v: ---- 2 жоне V- -1 оол1андыктан. х л (3\") аламыз. а ( г - 2) + by + с = I), (4\") а ( z2 +-2) +/;/. + с = 0, 173

Сонымен, егер у,, у 2 сандары (3') тендеушщ. ал z], /,, сандары (4\") тендеушщ ryoip.iepi болса, онда бастапкы (3) пен (4) тендеулер сойкес келесл тендеулер жиынына мондес болады -V + - = у , , 1 А А- - - = Z, (3) <=> 1 жоне (4) <=> а -- = -Vл = >\\ , А 1-мысал. Тендеуд1 шешу керек: а 4 - 2 а ’ - а 2 - 2 а + 1 = 0. llleuiyi. а = 0 тендеудщ ш е ч т п болмайтындыкган, тендеудщ eKi жагын а2- ка бол in а 2 - 2 а- - 1- 2 ■—+Д- = 0 А А\" аламыз. Будан А+ А +■ шыгады. Ен;н .v +- = у деп белплеп y 2 - 2 v - 3 = 0 аламьп. Будан у, =3 жоне у, =-1. CoiiTin бастапкы тендеу мына тендеулер жиынтыгына мондес болып шыкты ГА + —1 = 3,, А А +- = -I. Bipimni тендеу/н шешш А; = —3 -— +жVо5не а, =----3 - V 5 аламьп. Екш пп тендеудщ meiuiMi жок. 2-мысал. Тецдеу;и шешу керек: ( а 2 + а - 2 ) ( а 2 + а - 3 ) = 12. llleuiyi: а 2 + а = у деп белплеп (у - 2 )(у - 3 ) = 12 немесе. у 2 - 5 у - 6 = 0 аламыз. Будан у, = 6, у, = -1. Сонымен ( а 2 4 а - 2 ) ( а 2 + а - 3 ) = 12 А'2 + V = 6, А'2 + А = - 1 B ip iu m i тенд еуд щ туб1рлерк а , = 2, а , = - 3 . E K i н ш i тендеудщ iy6ipi жок. 174

3-мысал. Тендеуд1 шешу керек: ( 2л': - 3.v + 1)(2л ’ + 5.v + 1) = 9а . llleuiyi: х = 0 тендеудщ i \\6ipi емес, сондыктан онын. eKi жагып л-’-ка б о л т | 2д-- 3 +—j [ 2.v +5 +—] =9 аламыз. Мунда 2д-+-^ = г деп белплесек (у - 3 )(у + 5) = 9 тендеут аламыз. Бул тендеудщ туб1рлер1 у, = -6 жоне у, = 4. Олай болса берыген тендеу мына тендеулер жиынтыгына мондес ! 2.v +- = -6. 2.V t - = 4. L л- Мупдагы тендеулер;п liieuiin -3 - n/7 -3 +V7 2 - V2 2 t V2 2 2 ’ A’ ~ 2 ' A' ~ 2 ' A аламыз. (,v-«)4+{x-bf =A rypin.ieii тендеу.и симметриялау oaici.vicii, япш, у =-.v---c-i-+-x----b= v ---a-+-bаинымал ам.кгыруы аркылы 2 2 шсшуге болады. 4-мысал. Тендеуд1 шешу керек: (6 - д) + (8 - х ) = 16. 6 - А +8 - -V ;4 llleu iyi: у =-------- - 1 - х деп алсак (у+1) +(у-1) =16 нсмесе у 4 + 6у 1 - 7 = 0 тендеуше ке.тем1з. Ллынган биквадрат тендеудщ TyOip.'iepi: у, = 1, у, =-1. Сонымен, (6 - .V)J +(8 - А')* = 16 <=> 1 Л > ' 7 - .V = -1 Л N Ескер ту. Keii6ip жогары дореже.н тендеулерд1 шешу одic repi алдымыздагы такырыпта карастырылады. ЖД'Г’ГЫ РУЛ АР 1. Тендеулер/и шешу керек: Ь) / ’ + 14с +50 = 0; а) З.г +7а +4 = 0; б) 16а- - 8а +1 = 0; е) I00.v: - 1 = 0; г) З а ’ - 7а + 5 = 0; Д) 12д: + 7а = 0; ж) З а 2 +2 = 0. 175

2. к-нын кдндай мэндершде тендеудщ жалгыз T y 6 i p i бар? a) 16.V2 + кх -г 9 = 0; Ь) кх- _ ю 0л-+ ;■ = () 3. Тендеу.и шешпей турып онын туб1рдершщ косындысы мен кобейтшд1сш табу керек: а) 2х2 - 9х -10 = 0; Ь) 4 л : - 19 = 0; с) л : - 310 = 0. 4. Ьер1лген тубф.тер бойынша квадрат тендеу курау керек жэне оны lueinin дурыстыгын гексеру керек: а) 3; 10. <7)2-/3; 2 + J T ; *) S '- 10; -2. ()) (): -7. 5. Уш м уш ед ж п кобейткшггерге ж1ктеу керек: а) 2х2 - 5х - 3; б) -25х: + 10.v - 1; в) - х 2 - х + 2; <’) 4л' + 9Ьх т 5Ь.: 6. Тендеуд1 шешу керек: I) л 4 - 17.v1+ 16 -- 0; 2) л': 4л' -1 = 0; 3) (х 2 + 5х): - 2 ( х 2 + 5л-)- 24 = 0; 4) - v -г \\ - 11\\ • л • 2 О; 5) V - 7л ! + 14л - 7л-+ 1 = 0; б) (л-’ + л-+ 1)(л \" + л + 2) = 12; 7) (д- + З)4 + (л + 5)’ = 16; Ж ауап тар ы : 2. а) +24; Ь) ±50; 3. а) 9 19 -.V Ь) 0; 6. I) {- 2; - 1; 1; 2}; 3) {-6; -4; -1; 1}; 4) J - W 5 . I. 2 2 ' 2‘ 5) f - Л ! . Д - 'у-'-: Л-V5;; ( „ { - 2 : I f ; 7 ,( - 3 ; - Ц ,

§ 18. НАЦИОНАЛ Т Е Н Д Е У Л Е Р 83. Рационал гендеулерл! шешу Егер Р (.v) пен Q (л) ( Q (х )* 0 ) копмуше.пктер болса, онда Р ( . V) Q ( -V ( 1) туршдеп тендеу,ал рационал тендеу деп атайды. (1)тендеуд1 шешу Р(х) = 0 тендеушщ 0 ( х ) * 0 шартын канатаггандыратын ryGip.icpin табуга алып келе.п Р(х) \\Р(х) = 0. (9) ----- = ()<=> ! Q { х) 1Q (х) -t о. u' 1-мысал Тендеуд1 шешу керек: l v \" 3 = ио. [ _3 U le u iy i: l x _^ <=> •{ 2.v - 3 =0, <=> -1 A-v ---- =0 3.v +5 iЗх +5 * 0 I!X * з Ж ауабы: х = —. 2-мыеал. Зх - Ь Тендеуд1 шешу керек: , х -л-2 Illeiuyi Зу-6 =0 « [Зх -6 = 0. л -л-2 !.г - .v - 2 -л0. За — 6 = 0 тендеушен х = 2 табамыз. х = 2 ушш л-2 _ х - 2 * 0 шартын тексеремгз: 21 - 2 - 2 * 0 , <=> 0 * 0. Бул, эрине, к.арама-к.айшылык. Демек х = 2 Moni жуйенщ eKinmi шартын канагаттандырмппды деген соз. Олай болса, тендеудщ T \\ 6 i p i жок,. 2 14 3-мысал. 1ендеуд! шешу керек. ----» - = — ---- :■ 2 - х 2 л (2 - а ) Illeiuyi: Тендеуд1 (1) турге келпрешк: у2\\ |(л(2 V) дС = 0 <=> 2 -л- 2 .v (2 - А-) л (2 - .у)- 8 . (1 2.v (2 - .v ) 2а ( 2 - х ) -'М 177

Бул тецдеу'И с н м е н м энд ес (2 ) тур д еп ж у ii смен алмастырамыч: -Л\" + 6.v - 8 = О, 1-Y(2 - Л') ф 0. К в а д р а т те ц д еуд щ ry6 ip ;iep i .y, = 2 ж он е л\\ = 4. EKiumi шаргты .у, = 2 саны канагаттандырмайды, оптке11i. 2(2—2 ) 'ф 0 0^0. Лд л\\ =4. саны оны канагатгандырады: 4(2—4) ф 0 « —Nф 0. Жауабы: х = 4. Национал (жэне баска да) тсцдеулерл! шешудщ непчп o/iiciepi: 1) кобейтк 'тчперге Ж1ктеу\\ 2) ж ац а айнымалдар епг'гзу. Ен;и осы о/истерге токталайык- 84. /(л) = 0 тендеуin кебейткнитерге жктеу oaici.Men шешу Кобе 1i I к iIп герте ж1ктеу одici мынаган непчделген: егер ](х) (])\\’нк1тнясы / (х ) = /’ (.V) /\\(х) ■■■f , ( x ) rypiIuieri кобейтпим болса, онда Я Y) = 0 ( 1) тендеушщ кеч кед ген uiemi.Mi r / ; u ) = о, /Лх) - 0, ( 2) / (А. = 0 тендеулер жнынтыгыныц да nieuiiMi болады. Kepi туж ы ры м , жалпы жагдайда дурыс емес, я т и , (2) тендеулер жиынтыгыныц шеип'мдер/'ш'ц opoipeyi (1) тецдеу'ш'щ шеш1\\й болмауы мумкш. Мысалы, Г .Y' — 3.Y + 2 = о, А' А-+ 2 2 =0 ( 3) L А- ~ 1 тендеулер жиынтыгыныц ineiniM;iepi д-, = 1, Д\\ =о. 1 BipaK -V = 1 мен а = 0 мондер1 178

-V2 -3.V + 2 I -V+2 (4) л- [ л - I тендеушщ xyGipi бола алмапды (тсксерпиз). ( 1) гендеу.м кебейгкшперге жктеу o.iici\\ieii шешкенде (2) тендеулер жиынтыгынан табылган lyoip.iepiin тек ( 1) i ендеудщ аныктаду аймагында жататынлары гама ( I ) гецдеудщ де ryoip.iepi болады. 1-мысал. Тендеу/u шешу керек: а ' + 2а : +За +6 = 0. Ш еш у/. Т ендеудщ сол жагын кобептьлштерге жктепмгз. Г а-+ 2 = 0 , х ( х +2) +3(а + 2) = 0 <=> (а + 2)(л + 3) = 0 <> [А +3 = 0. Bipiiiini тендеудщ rybipi а = -2. Екш пп гецдеудщ T\\6ipi жок.. Жауабы: 2. 2-мысал. Тендеу;й шешу керек: а ’ + 4а 24 = 0. ILIeuiyi: Мунда 4 x ’ = -2 а2 + 6 а ’ леи алып гецдеудщ сол жагын кобейткйптерге жштеуге болар е.лi. Б п тендеудщ буллii I у б ipin табуга ком ек беретш т nut) ау (ipiKmey) odiciit корсетемгз. Бутш тубмрдщ бар болуыпыц к а ж е т шартын (3411. 5.3-теореманы карацыз) найдаланып. бос муш енщ бо.тпштерш жазып шыгамыз к = т\\; ±2; ±3; + 4; :: 6; ±8; =12; г 24. Енд1 ipiктеу;и бастаймыз. Бергтген тенде\\ icii v-т in орнына </. = 1 коямыз: Г + 4 •1\" - 2 4 * 0 . Деме к. л = 1 тендеудщ т\\6ipi емес. Ijiiктеу;и жалгастырамыз: и =-1, (-1)' + 4 ( - ! ) '- 24 * 0 ; а. =2. 2 +4-2 - 24 = 0 • Булан а, = 2 тендеудщ iy6ipi болатынын коремгз. Ен;и а' +4а\" -24 Kt)i Iмушс. iir ini 11 2\"-ге каллыксы i бо.лiiic rii i;uri 11 пандалапамыз: .v' + 4a - 24 a- 2 “ A - 2A A + 6A f 12 6A 6A\" - 12A 12.v -24 12a— 24 0 179

Сонымен, л'3 + 4х2 - 24 = (х - 2 )(х 2 + 6х + 12) олай болса бастапкы тендеу мына турге не болады: (х - 2)(.\\'2 + 6.Y + 12) = 0. (Э) Одан эрк \" .у - 2 = 0, (л-- 2 ) (.V2 +6.v+12) = О <=> л + 6л- + 12 = 0. Е к iн liti тендеудщ Ty6ipi ж ок (D < 0), ал б1ршшщен х = 2 силамыз. Ж ауабы : л = 2. 1 -ескерту. Копмуше.'пкп (габылган бутш т\\6ip ece6inen) кобейтюштерге ж жтеудщ бурыштап болуден баска onicin корсетешк: Р ( х ) = х 3 + 4.V2 -24 /J (2) = 2' + 4- 22-24 Р ( х ) ~ /-*(2) = ( х ; - 21) + 4 (.y2- 22) Одан opi, Р ( х ) - Р { 2) = (д- - 2)(.v2 + 2х +4) +4 (х - 2 )(х +2) = = (.v - 2 )(.г■+ 2.v + 4 + 4.v + 8) = (х - 2 )(х 2 + 6х + 12). Р { 2)=0 болгандыктан Р ( х ) = (х - 2 )(х 2+6х + 12). 2-ескерту. Копмуш е.нктщ бас коэффициентшщ 1-ге тен болуы, оныц бутш ТубфШЩ бар болуыныц КиЖСI I i шартынын oipi. 3-мысал. Тендеуд1 шешу керек: 21х3 + х 2 - 5х -1 = 0. Ш еш у!: Тендеудщ сол жагы бос мушеп 1 немесе -1 болатын бy riи коэффициентт1 копмуш елж болса, оны келпртпен тендеуге турлеп;пру киын емес. Ол уш ш тендсуд1 х-т1н жогаргы дэрежесше б о л т (х = 0 мэш тендеудщ г\\6ipi 1 15 1 емес) — -Т1 v-ке ауыстырса болтаны: 21 + ----- ---- - = 0. X' X X- V Муидагы - = у деп алып, 21 + у - 5 у2 - у 1 = 0 немесе у ' + 5 у2 - у - 21 = 0 тендеуше келем13. Енд1 1- мысалдагыдай iрiктеу эд1сш колданып тендеудщ бутш ry6ipiH = -3 тауып алып, содан сон у 3 + 5 у2 - у - 21 к о г т м у ш е л т н „г - 3 \" -ке болсек у 2+ 2 у - 7 квадрат 180

ушмушелплн аламыз. Сонымен. у 2 + 2у - 7 =0 тендеушщ туб1рлepi: v\\, = -1 ± 2л[2. . -У = 1 1± 272 • V, , = ------ . Жауаоы: ^' 7 4-мысал. Тендеуд1 шешу керек: 4 л-; _ |()л-: + 14х - 5 = 0 • llleu iyi: Мунда 6i3 коп.муше.пктен келт'цплген копмуше.ик алуга болатын турлегшрудщ тагы б iр o;ucin колданамыз. Тендеудщ eKi жагын а-’-тыц коэффициент! кандай да 6ip сан н ы ц кубы болатындай санга ко б еiiт е м i з . Бгздпг жагдайымызда мундай сан „ 2 ” . Тендеудщ екi жагын 2-ге кобейтем1з: 8д\"’ - 20а - + 28а -10 = 0. Ен:й у = 2х деп алсак., онда ке.-трпген тендеу аламыз у 2' - 5 v -г 14 v - 10 = 0. Одан сон алдыцгы мысалдардагыдай, бул келлрьлген тендеудщ т\\6ipin табамыз. Мунда тек 6ip 6ip гама пакты тубiр: V = 1 бар. v = у- болгандыктан, а = —1 . , 22 Жауабы: А - — . 85. Тендеулер.н жаца айнымал енпзу o.iiciмен шешу Бул o;j.icri алдыцгы 79-80 пп. карастыргандыкдан, 6i3 мунда 6ip гана мысалды кдрастырумен шектелем1з. Мысал. Тендеуд1 шешу керек: За4 -2 а ’ +4а 2- 4 а + 12 =0. llle u iyi: Бул тецдеудщ 6ip ере к ui ел iгi — оныц 6ipi нш i коэф ф ициентпин бос мушеге каты насы , ек iнш i ко эф ф и ц и е н т н соцгыныц алдындагы коэф ф иц иента 3 -2 : к а т ы н а с ы н ы ц к в а д р а ты н а те н : — = ! —^ • М ун д ай е р е к ш е л т бар тецдеулер;и к,айтымлы деп атайды. С и м м е тр и ял ы тендеулер (81 п. кар ац ы з) кайты м ды тецдеулердщ дербес rypi. Кдйтымды тецдеулер;н шешу o;jici симметриялы тендеулер/н шешу од1Сшдей. Тецдеулердщ еKi жагын А;-ка болемгз ( а = 0 тендеудщ ryoipi емес): За: - 2а +4 - —+ = 0 <=> з ( а '+ Д - | - 2 а +— |+4=0. (6) А А\" 1 .V J I А 181

t„ n :u. .v i -7 = г леи алсак. д-' ь—4 = г -4 болалы. Буларлы (6) .V ' — тендеуге коямыч: 3 ( г - 4 )- 2 у +4 = 0 немесе З г -2 у- 8 = 0. Бул тендеудщ туСирлерк у, =2 жоне у, = 4 Сонымен 3 берьтген тендеу келесл тендеулер жпынтыгына мондес екен: 9 А-+—= V, .v +—2 = — 4 .V 3 Бул тендеулердщ нак,ты туб1рлер1 жок. Жауабы: 0 . ЖДТТЫ РУЛАР l eH,ie>.ie|) ii шешу керек: ,, 6 —---2- , .V+4 ; _ 3 2л--1 2л +1 1. а) - =2---- б ) ----------=-------- ; -У - 1 -V- 1 ,v+1 х +2 ,v + 1 д- +3.V+2 2 , д-4 1 6-д д + 3 д- +5 и ) —д —- 4 у г 2т-д---Д\"^- 2гд-; г) 1I----ут - -.у----уТ = -у-+--д 7 . 2. а ) д-’ + д - 2 = 0 / 6 ) д- - 4 д : + д + 6 = 0 ; н) д Ч 9д-’+23д + 15 = 0. -1 ;>>х4 +5л ’ 4 4д - 24.v - 24 =0 ; г>) л ' - 4л 4 + 4л - у + 4л - 4 = 0. 4- а) Ш д ’ - Зд-'-J.v + 1 = 0- б) 4д-'-Зд- - 1 = |): и) 38л 4 + 7д: - S.y - 1 = (); г) 4л ■ \\ •4д + 1=0- 5. a) 16.Y-28.r'+4x +3 =0; б) 100л’ - 120л; +47д -6 = 0: и) 6.\\\"' - 1Зл~+9д - 2 = 0 : г) 4д'+6д~ +5д + 69 = 0. 6. а) Д1——У —-У —2л +1=(); б) д4+д ;+4.у-+5д + 25 = 0; и) л’ +2.у’ - 7д: -4.у+4 =0 : г) 16д4+8л' - 7х: +2х -*■1= О. ЖАУАПТАРЫ 1. а) 2; о) 1; в) 3; г) 2: 4. 2. а) 1; -1; 2; 3: в) -1; -3; -5; 3. и) - 1; 2: о) 1; 2.

4. а) - о) - «) г) ■ 19 2’ в) .>: ,^; 1: г) - 3. 5. ч) 1 13 б) 0.3: 0.4: 0.5: <■) -1: 4 ' 2' 2' Ь. а) Л ■' б) ; «) - 1: 2: § 19. М О Д У Л Ь Б Е Л П С Ш Щ АСТЫНДЛ Л Й Н Ы М А Л Ш А М А БО Л АТЫ Н I I Ц Н А Л ! 1> Модуль белпсш щ астымда айнымал шама болатын дендеулерд! шешу ojiicrepi: 1) модульдщ геометриялык магынасын пайдалану; 2) аныкгама бойынша модулей ашу: 3) тендеудщ ею жакболидн дорежелеу: 4) аралыкдарга болу. 1-мыса.I Те Itie удi шешу керек: I 2.V-3 | = 5. (1 ) llleuiyi: 1-ini Toci.'i. \\ а ~ в\\ модулннн геометриялык мап>шас1.1 — дузудеп а мен « ilyKTC-'iepiiiiu аракашыкгьп ы е к е т ос п i.::. Олай болса, жалиы жаглайла |.v — и\\ = г iypiii iei i тецлеуд1 шешу yniin тузудеп а мук годен г ка ш ы к гы кта ормадаскам екj нуктеш танса болтаны! Г) IV бойыпда 3 нуктесшен 2 нуктесше .чейinri каш ыкты к 5-ке ген болатын ею нукге бар: S: -2. Олай болса. 2.x = X жоне 2.v = — 2 тендеулершен аламыз. Жауабы: 4: -1. 2-mi I оедл. Аныктама бойынша i j / l - v ) , ./ (-v) > О, -./■(.V), /(Д')<0 Г ' 2,v - 3 -0. бодадындыктан, |2.v —3| = 5 <=> 2.v- а \\ 2.v - 3 < О, I - ( 2.v 31 = 5. Bipiiinii жуйеден л, =4. ад екпшп жуйеден л\\ =-1 табамыз. 3 -ini io ci.1. (1) тецдеудщ eKi ж а к бодпд Сирдей дац- бады о р н е кге р б о л г а н д ы к т а н (1) <^> (I2.V-3I) =5'. 183

А л , [/(.v)| = \\f ( л\") болаты ны н ескерсек. онда (1) <=> (2х-3) =25 аламыз. Алынган тендеудщ тубiрлерi: х = 4, л 1. Ескерту. Баска 4-iui (аралы ктарга болу) macudi тома/бег/ 3-мыса./дан караныз. 2-мысад. Тендеу;н шешу керек: \\2х - 3j = х + 1 . (2) Ш еш у!: Бул тецдеу,!п шешуге З-mi тэсш колайлы. (2) тендеудщ ек1 ж а к болпш квадрат дэрежеге шыгару уипн, олардьщ тацбалары б1рдей болатынына коз ж еп ш ш алу керек. 2.v - 3j > 0 болганды ктан ,v + 1< 0 бола алм айты нды гы гусiнiKTi. Сондыктан ,v +1 >0 деп аламыз. v-rl >0, 2л'-3): =(.v +l): . ~> Ь к 1нпп тендеудi lueuiin .v, = 4 жоне х, = - аламыз. М унын eKeyi де ,v + 1>0 шартын капагаттандырады: .V, = 4. 4 + 1 > 0 — дурыс; х = j ; ^ + 1> 0 — дурыс. 2 Жауабы: х{ = 4; X = . 3-мысал. Тендеуд1 шешу керек: [2л-: 3[ = |л-+ 7[ О) Illeiuyi: Мунда да квадратка шыгару Tocui ьщгайлы: (3) w (2 .v-3)\" = (.¥ + 7)\" <=> д-, = 10, .v, = - ^ . 4-мысал. Тендеуд1 шешу керек: |3 - х\\ - \\х + 2| - 5. Illeuiyi: Бул жагдайда аралыкка болу oflicin (4-одк) колданган жон. Сандар тузуше 3~.v = 0 жоне х+ 2 = 0 болатын .v-Tin мондерш саламыз. Онда сандар туз>з уш болшке болшедк ( - °°; - 2 ) и [-2; 3 ]и (3; + ° ° ) . Бершген тендеу/п осы уш аралы кты н оркайсысында шешемгз: 184

><.v <-2, 2 < л-< 3, P13- Л.vI1 - IIля- :1'--2l! =“ J5 <=> l3-.v +.v+2 =5 u 3 .v - .V■-2I = 5 u 13 < .v < “ , f.v < -2, -2<,v< 3, Lv > 3, u j -3 +.V- л-- 2 = 5 .'1= 3 u 1. u Bipimiii жуйегйц ineniiмi (- “ ,'-2), eKiinni жуйеден x = ~2 аламыз, ал yuiinini ж уй е н щ i i j euiiм i жок. Yin ж уй ен щ шсппмлсрш OipiKTipceK -2 [ аламыз. Жауабы: ( - 2 . 5-мысал. Тспдсуд1 liicliiv керек: Lv - |2.v + 3|| = Зх - 1. llle m y i: Аныктаманы пайдаланып (l-cuic) алдымен ‘ЧшкГ молульд! ашамыз: L v - i 2 . v + 3 = 3.y - 1 2.v +3 > О, |2а + 3 < О, и I <=> ] .v —( 2.v + 3)| = 3.v - !|х + (2а + 3) За + 1 |,> Л А < ---Т <=> \\ 2 и За + 3| = За - 1 (4) l- .v - 3! = З а -1 Аныкгама бойынша модуль;и ашып oipiiuni жуйеш 111с111с мiз: 3 А > -■>, 3 .V > - -2 , и А- - 3 < 0 , -а - 3 > 0. .V > -- (- а - 3( = За + 1 -а - 3 = За + 1 | - ( - a - 3 ) = 3a -1. B ip im iii жуйенщ ш е и т й жок, a;i C K in iiiic iiiin 11ienи м i a Eh;u (4) Ж М Ы Н Т Ы К.Т Ы Ц с к imиi жуйесш шеше.\\йз. л-< - — тецсчздтнен За<-( l/2)< 1 немесе За— 1<0 шыгады. Ал За + 3 = За - 1 тендпл За - 1> 0 болса гана магыналы. 185

3 O.'iaii болса тендеудщ -V < - - т е ц с п д т н канагаттандыратын r y 6ipi жок. Ж ауабы: х = 2. ЖАТТЫ РУЛАР Тендеуд1шешу керек: 1) |.v - 4' = 3; 2) J.v + 4! = 3; 3) |2.v - 5| = 1; 4) |2.v +■5| = 1. Ж ауап тар ы : 1)1; 7. 2) —7; —1. 3) 2; 3. 4) -3; -2. Тепдеу.п шешу керек: (7) j.vj - 2 . v ; = 0. 1. a ) j.vj - л ' = 0 2. а) (д-+ 1)(|д-|- 1) = -0.5 ; Г,) (2.v - 1)[\\х\\ + 1) = 3 . 3. а) 7 - 4.v = |4.v - 7 j tl) 3.v - 5 = |3.v - 5|. 4. а ) |.V-71= |A- +9 ; ,7) J.v+3| =|2.v-l| . 3. (!) |.V| + |A + 1| = I ; n) J.v + lj + j.V f-2| = 2 6. а) |(3 - 2.v| - 1 = 2 L v ! 6) l.v + 4j - 2.v| = 3.v - 1. ЖАУАПТАРЫ 1. a ) 0 : - 1 ; V2 6)0; ; - - ; , v'6 v'2 -1 + \\/33 2.</) y ; 0) ; 3. a) 7 -V , ! 2 6) Д • +co ! 4. a) -1: 6) - - ; 4: 5. a) |-1; 0 ]; 6) - 1 : - l : 6. a) - : 6) j . 186

§ 20. РАЦИОНАЛ ТЕЦС13Д1КТЕР Ж О Н Е ОЛАРДЫН, Ж У Й ЕЛ Е Р 1 М ЕН Ж П Ы Н Т Ы КД А РЫ 86. Пнтервалдар o / iic i туралы iy c i n i K Бул такырып келеа тецсгз.пктер.й шешуге арпалады: (а - с/, )'•\" (А-~а: ...(а -а, )■' >0 (немесе < 0). (1) ( А ( х - ь , ) ...(A h )/ '< -v > = ----------------- ---------------------------- — --------------------------------- >0 (немесе < 0). (2) ( x - b ) \" ' > ( x - b : )\"'... (а■-/) )\"\" а = £/,(/= I, 2..... А) нуктелершде f ( x ) (|)уикцнясы нолге тец (бул нуктелер функцияныц no.iaepi деп аталады): а = /> (/ = 1. 2...... /) функцияныц yii.iic iiyKie.iepi деп аталады. (д-3)’ (.у+2) Мысал: а) /\\х) =--- -— L— — >0. Мунда f(x) (функцияныц А<.V- 1) HO.ijiepi .v = 3, а ,= “ 2, ал узййс i i y K i e . i e p i л\\= 0. .v,= 1. (А-- 1)' ( .V+ 1)-( V+4) функцияныц полк ал ,v,= l. ,v,=—1. ,v.=- 4 <|)\\нкниянын Y'Ji.iic 11\\ к rejiepi болады. Егер сандар тузуше функцияныц барлык к no.'ucpi мен барлык. / узипс нуктелерш бслплссек, онда сан гузуi А+/+1 аралыкка болшедк Осы аралыктыц op6ipevnnn пшнде f(x ) ф у н к н и я с ы у зi.1iс с i з ж оне гуракты тацба с а к т а и т ы н м матсмати калы к, анализ курсында корсепледг Функцияны ц осы каеиеп — тенсн/икл аралык о.цепен шешудщ нег'и/ бюлып пшбылады. (1) турдеп reH,ciз.iiKiep.ii пнтервалдар o.iici\\ien шешу схемасы: 1. Can mysyine J (x) фупкциясыныи барлык no.idepi мен yii.iic ii} к me. tepiii бон. 1маган донгелекше. гермен 6e. u'i. ici/di. 2. а) функииянын барлык ж у п дореже.п ко б е й тки и те р т а л ь т т а е т а н д ы (oimu<eni мундай KOoeinnKiiumepdin функция тан басы на oeepi ж о к ): б) ф ун кц и ян ы ц та к дореже.п к о б е й т к н т epi б iрiн ш i дореже.п кобейткпптерге ауыстырылады (<|)ункпия танбасы 187

оплаты так дорежел1 ко бейткш тщ дореже корсеткшйн кез келген так, сан га ауыстыргамнан озгерш кетпей;й); в) болшектщ алымы мен бел1мшде б1рдей кобейткпптер калса оларды шыгарып тастайды. 3. Сонгы menciidiKmeei функцияпыц no.idepi мен узи1с нуктелер'ш'т ен улкен'т'т он жагынан, сан ocinin уст'шдегi кез келген иуктеден шыгатын, / (л) функциясыньщ нолдер/ мен узи/с нуктелер/ аркылы отет'ш толкын сызык жургЫлед 4. Егер тецсчзд/'к / ( а ) > 0 тур'шде бершсе, онда осы толкын сызык успн'нде ж а т а т ы н , ал / (х) < 0 тур'шде берисе, онда толкы н сызык астында ж а т а т ы н аралыктар бер/лген (1) турдег! тецс'мд'жт'щ шеи/i'm/. (2) гурдеri тецаз/йктер;п интерваддар эдюмен шешу ymin жогарыда айтылган схеманы колданады. Bipax, бул жагдайда т е ц а з д 1к т щ ж ауабы ретж д е алы нтан интервалдардыц 6ipiryine / (х) функциясыньщ нолдер1 косылып жазылады. Сондыктан, сан ocine f (х) функциясыньщ нелдерш боялтан доцгелекшелермен белплейдь Бул схема келесм пункттеп 6-мысалда толы к. колданылады. 87. Рациона.! тецсмз;нктер;н шешу мысалдары Kcjieci тецсн;иктер/й шешу керек: 1) а - - 1 < 0 ; 2) За 2 - 7а + 2 > 0; 4) а 2- 2а + 2 > 0 ; 3) д- - 2.V+2 <0 ; U leiuyi: 1) а 2- 1 = ( х - 1) (х + 1) болгандыктан: А2- 1< 0 « (Х -1 )(А + 1)<0. М ундагы ф у н кц и ян ы ц нелдер1 .4',= -1, х = 1 у з iл iс нуктелер1 жок.. Сан осше х, = —1 мен х, = 1 мэндерш боялган доцгелекшелермен белплейм1з де жогарыдаты схеманьщ Зп. бойынша толкын ropiздi сы зы к журпзем1з: 188

+ Бул суреттен тецазд ж тщ 111еiиiмi -1 < .v <1 CKenin коре Mi 3. Жауабы: [-1; + 1J Ескерту. x2— 1 < 0 тецегздтн келеа o.iicneii шешуге де болады: х 2- 1< 0 <=> х 2 < 1 <=> j.vj <1 => - 1< х < 1. 2) Зх2 - 7x + 2 > 0 т е ц е г з д т н ш е ш у у ш ш квадрат ушмушелжзт кобейткнптерге жжтейм1з 1 За\" - 7х + 2 = 0 <=> х ,= 2 . л, = - . Олай болса (77 п. (1) караныз): ^ Зх: - 7х + 2 > 0 <=> 3( а-- 2)( л - - >0. Одан opi а) мысалындагыдай сан ociiie х = 2 мен х = - нуктелер1н сала отырып тецсчзд1кт1ц iueiiймiн аламыз: 3) х2— 2х + 2 < 0 re11Ciздiri 11 шешеГнк. Мунда квадрат р~ (_ 2)\" у ш м у ш ел i кт i ц д искр и м и н ан гы : I) = ——- ц = — -— - 2 = 44 = 1—2= —К О . С онд ы клан ол сы зы к 'гы к кобейтк1штерге ж1ктелмейд1 жоне x-Tiu кез келген моншде оныц тацбасы озгермей;й. Квадрат ушмуше.'пктщ танбасын 6i:iy упйн х-ке, мысалы. 0 монш береГнк. Онда, 0: — 2 •0 + 2 = 2 > 0, олай болса х-тщ кез келген моншде х2— 2х + 2 > 0 болады да бериген теiгсiздiкдлн шепймi жок. Ескерту. Егер ах2 + Ьх + с уш мушелпшщ дискриминанты repic болса (D < 0), онда бул уш.мушелжтш тацбасы х2-гыц 189

ко эф ф и ц и е и т ш щ танбасындай болалы, ягни егер а>() бо лса, о ила ах2+Ьх +с> О (D < 0), ал а<() бо л са. онда ах2 + Ь.х + с < 0 ( D < 0). 4) х~ - л '+ 1 > 0 тецсчздтн шешу керек. Мунда D < 0, олай болса жогарыдагы ескертуден, а = 1 > 0 бол ганды клан .y-тщ кез келген монш де .v’ - x + l> 0 тенсчздпч дурыс болатыны шыгады. Ж ауабы : -оо<д-<+оо. х 2' -21 5) Tenci3:uKTi ш еш у керек: — ---- < 0. Б о л ш е к тщ х’ +8 алы.мы мен бо.пмш a +b' =(a +b)(a2±ab +b2) формулаларын пайдаланып кобейткнптерге ж к т е й м 1з: .V‘ -27 .v' - 3’ (,v-3)(.v: +3.V+9) <()<=> , , = <0 -v + 8 . v ' + 2 ' (,v+ 2 )(.y: +2.V + 4) М у н д а . у + 3.Y + 9 ж о н е .y 2 + 2.Y + 4 квад р ат уш м уш е л ж те р д щ д и скрим ппанттары те pic (те кс ер iцi л) - сонымен oipre оныц екеуi11iн де 6ipinш i колффпцпен rrepi а = 1 > 0. Олай болса кез келген .y уггйн д-: + 3.Y + 9 > 0 жоне Д + 2.Y + 4 > 0 болады да 68п. тужырымдардыц 4. а) касиеп бо й ы н ш а соцгы гецс1з;ик м ына тенслз;икке мондес болады: -•V--3- < 0,. д +2 Одан opi, д ^ З . х =—2 пуктелерш сан ocine сала отырып табамыз: 6) Те Ireiз/1iк ri шешу керек: ^ (д +-^ (д__^ (■v__ Ц > д‘‘(д- 5) ’(д: - 7.v + 12) Квадрат д-- - 7.y + 12 у ш м у ш е л тн кобейткштгерге жжтеп .V - 7.y + 12 = (д- - 3 ) ( . y - 4) берьтгенге монд ес м ы н ад ай renciз,чiк аламыз: ( л - 1)'(.v+ 2 ) ' ( \\— 3)'(.v - 4) > а\"( а - 51'I .V—3K.Y- 4) 190

Бугаи пнтервалдар эдкпшц схемасын паплалапамыч. 1) Ф у н к ц и я ноллер! х = —2, л\\=1 сан oeine боялып белплене;й ле. функцияныц узийе иуктслер1 д\\= 0, .v4= 3, л\\= 4, .у = 5 боялмай белпленедц 2) а) Фуикцпялагы жуп дореже.’й кобейт K i ni i i (.у + 2 )1 алый гае raii.Mы j (.у - 1)' ( л - 3) ( л-- 4) > п: л '( л — 5)\" (л — 3)(л 4 1 б) та к л;>режел1 (х — 1)’, (.у - 3) . л\" жопе (х 5У кобе i i r Kim re p i n сойкес (x - 1), (.v - 3). .v жоне (.v — 5) сызыктык. к о б е й тш т е р ш е ауыстыра.мы s: ( л- - I )( л- - 3 )( V - 4 ) \\ ( \\ - 5 К у - 3 )( у — И и) болшектщ алымы мен бо.пмшлеп (х — 3) жоне (.у —4) кобейткпптерш алып таетаймьп: 3) Мунлагы функцияныц iiecuepi мен yii.iic нуктелерш осу реп.мен жа!еа. О, 1. 5 болалы. Жогарылагы суреттеп 5 саныныц оц жагынан жоне еан oeinin \\ с riпен бастап, ,v = 0 мен .v = 1 iiy K ie .ie p i лркылы orerin толкын еы !ык журпземгз. 4) Bepi.ii ен генелч;цк ./'(.у ) > 0 ropi i.ii болганлыктан (0 :1) жоне (5; I «>) аралыктарын аламыч жоне буларга (функцияныц полдерш: .у = — 2. .у, = 1 косамыч. Ж ауабы . 2} о 1( 0:1) ^ и (5;+ °°), немосс, .V 2. О < .V< 1. л* >5 . < СЦСПД1КТ1

a -3 .y +2 л— 3 .v+2 - .г + I -----;------- 1 < 0 <=>----- — ------- < 0 <=> л- - 1 Л- - 1 с=> д-: - а - 6 - а \" + 1 < 0 ^ - л' - 5 (/-.V----1\\K7.V+ Т1) < 0 . А-: - 1 73. п. 4 б ; - т уж ы р ы м ы бо й ы н ш а соцгы т е н е п .и к п (-1) санына кобейтш оган мондес тецаздж .V +5 > 0 аламыз. (А-- 1)(Л +1) Енд! аралык. од1сш колданамыз: -1 — 1 Жауабы: (-5;-1) u (1 ;+«> ). 88. Рационал тецсгшктер жуйелер1 мен жиынтыктарын шешу мысалдары 87 пунктте еызыкты тецслзд1ктер жуйелер1 мен жиын- тыктарын шешуге мысалдар кдрастырдык,. Б 13 мунда сол такырыпты жалгастырамыз. 87 п. аитылгаидай, m end\\к)1ктер жуйес'т шешкенде, opoip mencij’diKmi жеке-жеке lueutin алып, содан сои алынган шеиимдер жиындарынын киьиысуын табады. 1-мысал. Теназ/нктер жуйесш шешу керек: .V\" + А - < А\" < 64. LUeutyi: Тецаз;иктер;н жеке-жеке шешемп: -V--+-А----1< 1 <=>-\\--+--А----1- 1<о <=> W 192

Сп онымен, -Л-\"-+--Л-' ---1< 1 тенс1з;пктщ ineiiii.Mi: .V (- и (0:1). Екнш й тецсгзджп шешемi з: л\" <64 <t=> .y: -64< 0 <=> (.V -S)(.v +8) < 0. Будан л':< 64 теназд ктщ iuenii.Mi (-8: 8) болатыны кершедь Ек1 тецаздж тщ шеипмдерш сан ociniu сойкес устше жоне астына штрихтап корсетсек, тецслзджтердщ шегшмдершщ киыдысуын коруге болады: наш -S -1 II I S Ж ауабы : (-8:-1) и (0:1): 2-мысал. Ф ун кц и ян ы н аныкталу аймагын табу керек: За - 6 ./ ( V) = llleu iyi: Еееп келесл теназджтер жуйесш шешуге окелс;й: З.у -6 —,v +-2V - ()- (д-4 -5.V5+6.v: )(l- .v : ) > 0. Bipiinui тенслзд1ктщ ею жагын 3-ке болсек келесл теназджт! ал ам ы з:-л'---2-> 0А. Ьсул тецаздиспц шешуш мына суретке каpan .V + 2 жазуга болады: Сонымен, 6ipiniiii тещпз/иктщ шешiмi (- оо‘—2) и 12\\ 00 ] • Е к iI!liii тецсгзджп шешейж. (v 1 - 5.v ' + 6 v 2)(l - V 2 ) > 0 <=> ,v 2 (v ‘ - 5л + б ) ( ,v _— 1) < 0 <=> v 2 (.V - 2 )(.v - 3 ){.v - 1) ( v + I )< 0 . 13 -44 193

Соцгы тецспзджтен жуп дэрежел1х- кобейтюшш шыгарып тастасак (6iз алдын ала тецсгзджтщ ineuiiMiniH, 6ipi болатын .v = 0 нуктсспI сан ocinc боялган нукте аркылы белилен шдык): ( .у - 2 ) ( .V- 3 )(.у - 1)(.V + 1) < О (О тенелздтне келе.чпз. Мундагы ф ункцияныц нолдершщ ец улкегп .Y = 3 саныньщ оц жагында, сан осш щ уетшде болатын нуктелерден бастап х = 3, х = 2, х = I, х = ~\\ аркылы отетш толкын сызык журпзеиш. Соцгы (*) тецаздплнщ uieiuiMi: | - l; l]u [2 ;3 ] болады. Ал ж уй ен щ е кiн iui тец еп д пп пц ш еш i м in iн, 6ipi ,v = 0 осы аралыктарда жаткандыктан [-1; 1] u |2;3| 6ipiryi осы екппш тенепджтщ де iiiciniMi болады. Енд! тецсгзд1ктер жуйесш щ ш еитпн табайык: €im 11Ш11\"И -2-1 1 23 Жауабы: |2;3|. Тенсгздщтер ж п ы п ты гы н ьщ шеипмш табу уш ш opoip тецсгз:иктщ 111е 111iмi н жеке-жеке тауып алып, содан соц табылган шеппмдер жпыпдарыныц 6ipiгуin алатыны 6iзгс белп.’п (68 п. (4) жоне 74 п. 3-мысалды карацыз). 3-мысал. 1ецс1з;пктер жиынтыгын шешу керек: ‘ .у5 > 1OO.v’ , (.y + 9)(5.v - . y : - 1 8 ) ---- ------------ - > 0 . А- - 18-V+ 45 Illeiuyi: Б iрiнпii reiicii.uKTi шешекпз: v > 1OO.v’ «• д' - 100A\"1 > 0 « <=> a ( A ’ —100) > 0 <=> ,v(.v - 10)(.v + 10) > 0. 194

Будан Gipiiiini тецс1зджпц шспiiмi11 аламыз: [-10; 0| u 110: + ° ° ) . EKim 11i тецсп.ик'п шешешк: (.y + 9 )(5 .y - . y2 - 1 8 ) >0 <=} .y+9)(.y: -5л-+18) .v - 18.\\+ 45 < 0. (.v- З)(~л\"-Тз) А'2 -5 л'-1 8 квадрат уш муш елнтш ц дискриминанты repic ( D < 0) жоне оныц oipinrni коэффициент и = 1 > 0. Олай болса, кез келген .v ymin .v - 5 .y- 18 > 0 болганлыктан. соцгы Tenci3;iiк rin eKi жагын .v2 - 5х - 18 ушмушелнше боле отырып, .v + 9 оган мондес мына тешпзджке келелйз: --- -г.--- — г < 0. (.V-3K.Y- 15) Интервалдар o;uci бойынша соцгы тец сп ;н кп ц inеш iмiи аламыз: (- °°; -9| и (3; 15). Ен;и еKi тецсгз/йктщ шеинмдер жиындарын 6i pi к ripe мi'j: (-«>; -9| и (3:15) и [-10: 0| и |10; +“ =) - (-c^; 0| и (3: + °°). Ж ауабы: ( -:: 0] и (3;■+ °°). 4-мысал. «-ныц кандай Nion;repiii;ie (о —2)х~ - 2ах+ а + 3 квадрат уш муш елйййн т\\Gipiiйц C K e y i де он болады? llleuiyi: Шарг бойынша уш муш елжпц eKi пакты ry6ipi бар болгандыктан / )> ( ) , ягни 4с/~ - 4(с/ - 2){а + 3) > 0. Виет теоремасы бойынша (.у, л\\-берпген квадрат ушмуше.'йктщ Ty6ipjiepi) и +3 -Y, -V, .Y + Л\\ = (/ - Ш арг бойынша eKi т\\6ip де он, олай болса: Л ',Л 'т > 0 , Л'[ + .Y , > 0 . Нотижеде бiз келеа тецсмзджтер жуйесше келемгз 195

4с/2 - 4{а - 2){а + 3) > О, ! ^ > 0. \\а-2 2(1 > 0. а- 2 0p6ip т е п с ij ;i iк ri ш еш с оты ры п, оган мондес мына !а < 6, тецспджтер жуйесш L < -3, и > 2, аламыз: а < 0, а > 2. Бул шеипмдер жнындарынын клылыеуын мына суреттен оцай коруге болады: ххшшюР 6 .V Ж ауабы: а <—3, 2<а<Ь. Ж АТТЫ FYJIAP: Tenci3,uKTep.ui шешу керек: 1. а (а - 1Г =0; 2. (2 - л'КЗл- + 1){2х- 3) > 0. 3. (З.у- 2)(.v-3)''(л-+ 1) (.v +2)4 <0; ^ д3 -64л>0 5. ,\\2 + Ю < 7 х ; 6. л \" 7.v- 3. 1. - х -16 +8л->0; 8 л.2 +5д.+8 >0 9. л4 +8л“ + 12v2 >0; J(). (л-_ 1)(л-1_ Зл-+8) < 0 Н- (л- 1)(л'; - l)( \\\" - l)(.vJ - l) < 0. 12. — ~ 1)(^Л~ 2- > о. 5- 2.v (,у+ l)(.v+ 2)(.у + 3) (2 л — 1)(.у + 4 )(3 - .у) > 14. (16—л “ )(.у2 +4)(.у: + ,у+ 1)(л~ - л - 3) < 0. I 5. ( . у - 4 ) ( . v - 4 .у + 4 )(.v 2 - 6.у + 8 )(.v 2 + 4 у + 4 ) < 0. 16- (2 л 2 - .у - 5 ) ( .у2 - 9 ) ( у 2 - З л ) < 0.

.v - 5 v + 6 >0 . is. <0. V + Л \" + .V . И . - — -> (). л - I2.V+ 35 9 -\\ J 9 v - 25 л4+,v: < 0. 21,--- - ——— <0. 22.-- 2.Г -8 <0. 20. .V+8 л- - 4 л-- 5 24. 20. —2л-г-+-1-8-.-V--4>: 2 7 . -,v-+--1+--\\-+--3> v •2 ,\\- +9.V+8 л+ 1 29. — --------> 3. л\" —I л + 1 2S. > 3 _ 3 <25.V-47___ 3 1__ : ~\\ 4 3\\' ' '6.V-.V-12 lO.v-15 3.V+4' 30, 3 v- 2 - д- V 1 1- 2л- л\"' + д- .v’ -Зл- .v+ 1 .V - л + 1 .y ’ + 1 34 ln (-S -.v) 11 6 - . v ^ 5 ( 6-. v) ' ,'(л -4) 3 д - 4 д-2 Тецсп;иктер жуйелер1н шешу керек: -3-.V--+--5+ --1-0-—--З-д- > ---2-.-V-+--7---1-4-8. 73 3 21 /д- (д+1) 3.V-I 13- л -----> ------ ------ . 3 - 7 д д+1 7-3.V 3 ------ + ---- > 4 ------ . 36. 10 2 2 7(3л —6) + 4(17 - л) > 11—5( л —3). 19 - 2л- J -\\-: -4 л + 3< 0. -< 2 V. 38. 37. 2.v+ 15 >л 2л- - 4 < 0. -------------------- > - (л- - 1 + -. 9 5 2л- +2 <.i.v л- <9. 40. 39. л\" > 7. л - > V.