Айдос Ерқара және Балықбаев Тахир - Математика

. б1рмушелжтерд1косу жэне азайту уксас мушелерд1 келт1ру деп аталады. Мысалдар. 1) 22аЬс2(1Упен —а'Ьсх * б1рмушелжтерш кебейту керек. Uleiuyi: 22abc2d } -—(гЬсх' =Г22 •—J (a ■a2){b-b)(c2c)d, x} = 11a ,b2c}d i x>. 2) - 2 crb*с б1рм уш елтн тертшпп дэрежеге шыгару ке­ рек. Шешуг. (~ 2 а 2Ь 3с У = ( - 2)4( a 2) \\ b ' ) \\ 4 = \\6а*Ь'2с4. 3) 15а 2Ъ мен - le rb б1рмушелжтерш косу керек. Шешуг. 15сгЬ + (- 7a 2b) = (15 + (- l))c i2b = 8a 'b . 29. Кепмушелжтер. Оларды калыпты турге келт1ру Б 1рмушелжтердщ косындысын квпмушелш деп атайды. Егер копмушелжтщ барлык мушелерш калыпты турге келпрш, ук,сас мушелерш келт1рсе, онда копмушел1кпиц калыпты mypi алынады. Кез келген бутш орнект1 кепмушелжтщ калыпты турше келт1руге болады. Бутш орнекп тепе-тен, турлешпрудщ H eri3ri максаты да оларды кепмушелжтщ калыпты турше (немесе б1рмушелжке) келт1ру. Мысал. Келеа бутш ернектерд1 ыкшамдау керек (ягни, кепмушелжтщ немесе б1рмушелжтщ калыпты турше келт1ру керек): 1) (За +5b - с)+ (2а - 1Ь - Зс); 2) (5a2b + ab2)-{2 ,5 a2b - a b 2)\\ 3) 2х 4) (■я + Ь \\ а - Ь ); 5) (2.V2у + З х у 2) (2х + 3у + 1) 50

Uleuiyi. 1) Егер жакша алдында плюс тацбасы турса, онда жакша мшндеп косылгыштардыц тацбаларын сактап жакщаны алып тастауга болады: (3a+5b—c)+(2a—lb —3c) = 3a+5b—c+2a—lb —3c = = (За+2а)+(5Ь—1Ь)+{ —с—Зс) = 5а~2Ь~‘4с. 2) Егер ж а к д т алдында минус тацбасы турса, онда жакша imiimeri косылгыштардыц тацбаларын кдрама-кдрсы тацбаларга езгертш жакшаны алып тастауга болады: (5a 2b +ab: ) - (2,5с г Ь - ab2) = 5a 2b + ab2 - 2,5a 2b +ab2 = = (5а2b - 2,5а2b) + (ab2 + ab2) = 2,5crb + 2a h '. 3) Улест1р1мдшк зацга сэйкес б1рмушел1к пен копмушелктщ кобейтшд1а, осы б1рмушел1к иен кепмушелктщ opoip мушелершщ кебейтшдшершщ косындысына тец: 2.\\’ ^.\\— ^ л\" - 4j = 2.v2•л - 2.V2•j л-2- 2.у2■4 = 2г ' - .v4 - 8.v2. 4) EKi кепмуш елктщ кебейтшдю oipiniiii копмушел1ктщ op6ip мушесш eKium i копмушелштщ ap6ip мушесше кебейтш коскднга тец: {a +b)(a - b ) = а 2 - ab +a b - b 2 = а 2- Л 2; 5) (2хгу + 3ху2)(2л-+ Зу + 1) = 2.v2j ■2.v+ 2.v2•3 v + 2.v2■1+ + 3.YV2-2.v+ Злу2-Зу+Зху2-1 = 4 x V + 6.Y2г2+2хгу + +6л2у2+ 9л;г' + Злт2. Ецш алынган мушелердщ уксас мушелерш келт1рем1з: 4х* у + 12х2у 2 + 2X1у + 9лт3+ Зл т\". ТА П СЫ РМ А 1. Б1рмушел1ктерд1 кдлыпты турге келт1ру керек жэне оньщ коэффициент^ аныктау керек: 1) 6.VV1; 2) 3at(-1,5)j ’'; 2 3 ) —«л 2г 2 •6.5л '. 2. Копмушелжтердщ уксас мушелерщ келлру керек жэне копмушенщ мэн1н табу керек: 1) - а А+2а* - 4 я 4 + 2а2- З а 2, а = - 3;

б1рмушелжтерд1косу жэне азайту уксас мушелерд1 келт1ру деп аталады. Мысалдар. 1) 22abc2d y пен —а 2Ьсх3б1рмушелжтерш кебейту керек. Uleuiyi: 22abrdy ■—crbcx1=^22 -—J (a-a2)(b-b)(c2c)d3x} = 1kr’/rcV/’.r\\ 2) —2ci2b*c б1рмушелшн тертший дэрежеге шыгару ке­ рек. Uleuiyi: ( - 2:я263с) 4 = ( - 2)V ) > 3) V = 16а*Ь '2с \\ 3) 15a~b мен - icrb б1рмушелжтерш косу керек. Uleuiyi: 15а2b + (- l a 2b) = (l 5+ (- l ) ) a 2b = 8<r/2b . 29. Кепмушелжтер. Оларды калыпты турге Ke.nipy Б iрмушел iкте p/ii 11 косындысын квпмушелЫ деп атайды. Егер копмушелжтщ барлык мушелерш кэлыпты турге келлрт. уксас мушелерш келт1рсе, онда квпмушел 'ист'щ калыпты mypi алынады. Кез келген бутin ернекп кепмушелжтш калыпты T yp i не келт1руге болады. Бутш ернекп тепе-тен турленд1рудщ Heriзп максаты да оларды копмушелжтщ калыпты турше (немесе б!рмушелжке) келт1ру. Мысал. Келеа бутш орнектерд1 ыкшамдау керек (ягни, копмушелжтщ немесе б1рмушелжтщ калыпты турше келпру керек): 1) (:la + 5 b - c )+ (2 a - lb - 3 c ); 2) (5a2b + ab2)-(2,5a~b - ab2)', 3) 2х V i x * - 4 L 4) [a +b\\ci-b)\\ 5) {2х2у + Ъху2){2 х + Ъу + \\). 50

LUeiuyi. 1) Егер жакдпа алдында плюс тацбасы турса, онда ж акш а iuiittaeri косылгыштардыц тацбаларын сакпаи жакдланы алып тастауга болады: (3a+5b~ с)+(2а~ 1Ь~ Зс) = 3a+5b—c+2a—7b—3c = = (За+2а)+(5Ь~ 1Ь)+(—с—Зс) = 5а~2Ь—4с. 2) Егер ж акш а алдында минус тацбасы турса, онда ж акш а iuiinneri косылгыштардыц тацбаларын карама-карсы тацбаларга озгертш ж акш аны алып тастауга болады: (5cfb + ah' ) - (2,5crb - cib2) = 5a 2b +ab2 - 2,5( f b +ab2 = = (5a l b - 2,5a2b) + (ab2 + ab2) = 2,5a2b + 2a h '. 3) Улест1р1мдЫк зацга сэйкес шрмуше.нк пен кепмуш елжтщ кобейтшдю, осы oipMynie.iiK пен кепмушелжтщ updip мушелершщ кебей^щцлернпц косындысына тец: 2 ,г (л — .J .V2 - 4) = 2.v2 ■д - 2.v2 ■^ л-2 - 2а 2 •4 = 2а 3 - а 4 - 8а2. 4) E k i копм уш елж тщ кебейтш д ю 6ipinnii копм уш елж тщ ap6ip мушесш eKiumi копм уш елж тщ ep6ip MymeciHe кебейтш косканга тец: (а +b)(a - Ь ) - а 2 - ab + ab - /г - a 2 - h 2\\ 25) ( .x2у + Злу2)(2л'+ Зу+ 1) = 2л-2у-2х+ 2 л 2 ■З г + 2 л 2■1+ + 3.\\у2^.х+З.ху2-З.г + Злу2-1 = 4л-3г + 6л: .|’2+ 2л2у+ ' +6х2у 2+9ху’ +3ху2. Енд1 алынган мушелердщ ук,сас мушелерш келт1рем1з: 4 л-3;; + 12л-2;;2 + 2 а 2у + 9лт + З л т2. ТАПСЫ РМ А 1. Б1рмушелжтерд1 калыпты турге келт1ру ксрск жэне оныц коэффициента* аньжтау керек: 9 1) 6а х 3; 2) За;’(-1,5);’3; 3) - а х 2у 2 •6,5а3. 2. Копмушелжтердщ уксас мушелерш келлру керек жэне кепмушенщ мэнш табу керек: 1) - а 4 + 2 (f - 4я4 + 2 а ' - За2, а= - 3;

2) 2а3+ а 2- 17 —За2 +а 3—а +80, а = -3; 3) \\2a.x2 -х3-бах2 +3а2х-5ах2 +2х3, а = - 3, лг= —1; 4) 4а 2х - ах2 - За2х +ах2 - а х +6, а = - 3, .V= 2; 5г\\) 4/ х( 6у3 - Злх6 у 3 +. 2л х2 у2 - х6у3 - х 2 у2 , х= -3л, у - - 11; Жауаптары: 2. 1)-468; 2)-33; 3)-31; 4)30; 5)9. 3. Орнекп ыкшамдап, оньщ мэнш табу керек: 1) (а - 4)(а - 2) - (а - 1)(о - 3), а = 1,75; 2) (а - 5)(а - 1) - (а +2)(а - 3), а = -2,6; 3) (л-- 2 )(х - 3) +(л-+6)(.v—5) - 2(х2- 1х+ 13), х = 5,6. Жауаптары: 1) 1,5; 2) 24; 3) 6. 30. Ь^ыскдша кебейту формулалары Кейб1р жагдайларда бутш ернекп калыпты турге келт1ру кыскаша кебейту формулалары деп аталатын тепе-тен;иктер;и пайдаланумен кке асады. Осы тепе-тенджтерд1 келт1решк: ( a - b )(a +b) = а 2 - b2; (1) {а +Ь)~= а~ + 2аЬ +Ь 2\\ (2) { a - b ) 2 = а 2 - 2ab +b2', (3) (а + Ь)(сг - ab +b2) = а 3 + 6 3; (4) (а - b )(a 2 + ab +Ь 2) = а 3 - Ь у\\ (а +ЬУ = а г + За2Ь + ЗаЬ2 + Ь} - (6) (а - Ь)' = а 3- Зегб + Зяб2 - Ь у. (7) К,ыскцша кебейту формулаларына кц ты сты ескертулер: ( 1) тенщкп оннан солга карай жазсак сг -b2=(а-Ь)(а+ Ь) аламыз, ягни, ею мушенщ квадраттарыньщ айырымы осы eKi мушенщ айырымы мен косындысыньщ кебейтшд1сше тец. (2) тедщкп “ eKi мушенщ косындысыньщ квадраты” деп окиды. EKi мушенщ косындысыньщ квадраты — 6ipiнш i мушенщ квадраты плюс eKi еселенген 6ipiHuii мен екшпп мушелердщ кебейтшдю плюс екшпп мушенщ квадратына тен. (3): (а - Ь)~ = {а - Ь )(а - Ь ) - а 2 - 2ab + Ь 2. 52

EKi мушенщ айырымыныц квадраты — 6ipiHLui мушенщ квадраты, минус eKi еселенген 6ipiHiui мен екшип мушелердщ кобейтшд!а, плюс екшип мушенщ квадратына тец. (4): сУ +b} = {а +b)(cr - ab + / г ). Мундагы (a 2 -ab + b2) opueri — айырымныц толымсыз квадраты деп аталады. Ойткеш, мунда (З)-теп орнектщ 2ab мушесшщ орнында тек ab гана тур. Сонымен, eKi мушенщ куб- тарыньщ косындысы — осы eKi мушенщ косындысы мен олар­ дын айырымыньщ толымсыз квадратынын кобейтщдюше тен (5): сУ - b y - ( а - Ь ) ( с г + ab +/У ). EKi мушенщ кубтарыньщ айырымы осы eKi мушенщ айы- рымы мен олардын косындысыньщ толымсыз квадратынын кебейтшд1сше тен- Кдлган (6) мен (7) тепе-тещнктерщде окып айтуга бола­ ды. Оны жаттыгу ретшде окырманньщ озше тапсырамыз. Косымша айтарымыз, (6) мен (7)-Hi мына турде де еске уста- ган пайдалы: (а +Ь У = а 3 + Ь } + 3ab(a +/?). (6) (<а - Ь )} = сУ - Ь у - 3ab(a - Ь). {!') Мысалдар. Бершген ернектерд1 калыпты турге келт1ру ке­ рек: 1) (Зл*2- 4 у 3)(Зл:2 -I-4 v3). 2) (a+b+c)(a+b-c). 3) (3(У -5Ь у)~. 4) (.V - 2 ) - ,\\(.v + 3)-. 5) (За + \\)(9а2 - За + 1). Шешуг. 1) (Зл-2- 4 / ) ( з . г + 4 / ) = ( З .г ) : ~ ( 4/ ) 2 = 9л-4 - 1 6 / . 2) [(с/ +Л) +с\\(а +Ь)~с\\ =(а +Ь)2- с 2 = а 2+2ab +b2- с 2. 3) (З а 2-5Ь } ) 2 =(3а 2) ' - 2(3а2)(5Ь') +(5Ь' ) 2 = =9а4-ЗОа2Ь3+25Ь6. 4) (7) мен (2) тепе-тещнктерд! пайдаланамыз: (л* - 2У - х(х + З) 2 = .у3 - 3 •л-2 •2 + 3 ■л-■2 2 - 2 3 - 53

- л-(Л-2 + 2 •л-•3 + З2) = V3 - 6.Y2 + 12л-- 8 - л-'1- 6 х 2 - 9л = = - 12л-2 +3.V-8. 5) (За + 1)(9а 2 - 3а + 1) = (З а ) 3 + I 3 = 21а + 1. 31. Кепмушел1ктерд1 кебейткштерге ж кте у Кейде копмушеш б1рнеше кебейтюштердщ — копму- шeлiктep мен б1рмушелжтердщ кебейтшд1сше турленд1руге болады. Мундай турленд1руд1 — кепмушеш кебейткйнтерге жжтеу деп атайды. Кобейтюштерге ж1ктелген копмушелж осы кобейтюштердщ эрб1реуше болшедь Ещй копмушелжтерд1 кебейтюштерге жжтеудщ кейб1р тэсшдерш карастырамыз. А) Ортак, кебейтк1цт жакша сыртына шыгару. Мундай турлещйруде улеспр1мдшж заны оннан солга карай жазылып колданылады: ac+bc=c(a+b) . Мысал. Копм уш ет кобейтюштерге жжтеу керек: -4 .\\-4 +8л'1 -2л-2 +6.Y. Шешу!: Эдетте, ортак, кобейтк'пипи жакш а сыртына шы­ гару кез'шде, копмушенщ барлык мушелер/'не Kipemin opoip ай- нымалынын ен, Kiiui дэреже кврсетк 'ш т шыгарады (б/'здщ мы- салымызда — х). Егер квпмушешн мушелершщ коэффициепттер! 6ymin сандар болса, онда олардьщ ортак квбейтюш/ репинде барлык коэффициенттерд/н (модул'1 бойынша) ен улкен ортак бвлгншн ( E Y ОБ) алады (б/'здщ мысалда 2): - 4л-4 +8л- - 2л2+6л = -2 •2л- л' +2 •4 •л- л2- 2 •л •л +2 •3•л = = - 2 л (2л-3 - 4 л 2 + л - 3). Б ) К;>1скаша кобейту формулаларын пайдалану Мысал. Кебейтюштерге жжтеу керек: I) л6- I; 2) (л-+З)2- 16; 3) 4я V + 16а V + 16а~Ь5. Шешу'п 1) 31п. (1) тепе-тенджт! (айырымныц квадраттарын) паидалансак аламыз.Одан opi (4) пен (5) тепе-тенджтер1 бойынша ( х - 1)(Х~ + X + 1) •(х + 1)(л-2 - X + 1) 54

шыгады. Сонымен, _y 6 -1 = (.Y - l)(.v+ 1)(.Г - х+ 1)(л' + jc+ 1) . 2) (л'+З)2-16 =(л+3)2-42=(л-+3-4Хл-+3+4) =(л--1)(л-+7). 3) Алдымен ортак кобейтю пт жакша сыртына шыгарып, содан сон косындынын квадратын (2) пайдаланамыз: 4a4b} + 16а*Ь4 + \\6cfb’ = 4с/2 -а2-Ь} +4-4я2 а-Ь} -Ь + +4-4а2-Ьу Ь 2 = 4а2Ьъ(а 2 +4ab +4b2) ~ 4а2Ь ъ(а + 2Ь)2. В ) Топтау тэсш . Егер кепмушенщ мушелершде ортак кобейткш болмаса, онда кепмушеш топтау тэсиимен жжтеуге эрекеттену керек. Ол ушш ортак кебейтюпп бар мушелерд1 топтарга 6ipiKTipefli жэне ep6ip топтан жакша сыртына ортак кобейткш ш шыгарады. Егер сондай турлещпруден кешн алынган топтардьщ барлыгынын ортак кебейтюип бола кал- са, онда оны жакша сыртына шыгарады. Мысалдар. Копмушелерд1 кебейтюштерге жжтеу керек: 1) х ’ - 3,v2+ 5.v -15; 2) 20л'2 + 3yz - 15лу - 4.vz; 3) a ~ lc ib + \\2b2 \\ 4) х4+ 4у\\ LUeiuyi. 1) л-3- Зл-2 + 5х- 15 = (л-1- Зл-2) + (5.v- 15) = . = л-2( л - 3) + 5(л-- 3) = ( л - 3)( л-2 + 5); 2) 20л-2 + 3 vz - 15лт - 4,лг = ( 20л 2 - 15лт) + (3yz - 4xz) = = 5.\\t4.v - З у ) - z(4x - 3у) = (4.v- 3j’j(5.\\— г); 3) Мунда топтаудьщ ешкайсысы барлык косылгыштардьщ ортак кобейтюий болатын жагдайга келт1ришейдь Сондык- тан кепмушенщ кандайда 6ip мушесш косынды туршде жаз- ган утымды. Содан сон тагы да топтау тэсшш колданып коруге болады. Б 1здщ мысалымызда —lab -ны —ЪаЬ—4аЬ косындысы туршде жазу орынды: a 2- la b + \\2b2 = а 2- 3 a b - 4 ab + \\2b2 = = ( о 2 - ЗаЬ) - (4ab -12/;2) = = а {а - ЗЬ) - 4Ь(а - З Ь ) = (а - ЗЬ)(а - 41>). 4) 4.\\\"2; '2 б1рмушесш косамыз жэне аламыз: А-4 +4у 4 = (.V4 +4 л - у +4у 4) - 4л-2; ’2 = (.г + 2 г ) 2- (2 a j)2 = = (л-2 + 2у 2 - 2лу)(л-2 + 2 v2+ 2лт). 55

ТА П СЫ РМ А 1. Кебейткштерге жжтеу керек: 1) lax +lay, 2) -\\5ax-20ay, 3j За2х+ бах3; 4) а'1-2а2-я; 5) Зах+Зау- 12а; 6) х(а - с) +у(с - «); 7)я\"(л‘- l)-j(l-.\\); 8) 3(х+у) +(х+у) ; 9) (я +х)5-a{a +,v)‘ . 10) Safx+y) - x-y, 11) 4.\\frt - j>) —a + у 12) х(я + у) + «у + у2; 13).v -2х-\\у+2у, 14) 10ау-5су +2ах-сх, 15) бсу-15сх- 4ау+1Оса; 16) я.г -сх2 -сх+ах-а +с; 17) 5ах2- 10ях-ух+2у-х+2; 18) 12а2у2-6аус +3ас2-ва2ус-с +2ау, 19) 4х’ - 4 / ; 20) 2.г - 4х+2; 21) х2- у2- х- у, 22) .г -2ху +у2- с2; 23) (х-5)2-16; 24) 36- .г у 2; 25)ах2-а-х1+х 26) ах2+2а2-я'1-2.V2; 21)9-сг +а2 +6я; 28) х1+у’ +2xv(x+y); 29) х’ + / +2.г -2лу+2у2; 30) (х+у)(.г +у2)- х ’ - г ; 31) 36я2- (а2+9)2; 32) 8х’ -27у18. 2) Белш ектщ мэнш табу керек: и —382-----17-2- ■>)----8-5-6-: ---4-4-2--п----7-1-2---2--3-: -+-9-4---4-2 72- -16-’ 406 ’ ’ 62- - 322 632- 232 4) — ,------ . 71- -15- +86-24 3) Кдйсысы улкен: 194 немесе 16-18-20-22? 32. Bip айнымалды кепмушелт. Горнер схемасы. Безу теоремасы w-iui дэрежел1 кепмушелк (полином) деп, Рп(х) = а0х\" +а |х\" 1+ а2х\" ' н--- ¥ап_1х + а п, п = 0,1,2,3, ... туршдеп ернект1 айтады. Мунда а 0, а ,, а 2, ..., , ап кепмушелж коэффициенттер! накты сандар жэне <70* 0 бас коэффициент деп, ал а 0х!' бас муше деп аталады. BipiHLui дэрежел1 кепмушел1кп сызыкдык кепмушелж, екшпп дэрежел1 кепмушел1к п квадрат квпмушел'1к немесе квадрат ушмушелк, т.с.с. атайды.

Кез келген нолге тен емес накты сан нелшнл дэрежел1 копмушелк болады. Ал, нел саны дэрежеа аныкталмаган копмушелкке саналады. Кобшесе кепмушел^к курамындагы айнымалдьщ кему дэрежеа бойынша жазылады жэне бул жазуды 6ip айнымал- ды кепмушелжтщ кдлыпты Typi дейш. Кепмушелжтщ дэрежеа дегешм1з — бас мушедеп айнымалдьщ дэреже керсетюцп. Мысалы, 7л'5—2х3+ 3.V2 + 1 — бесшпп дэрежел! кепму- шелпс. Оньщ бас мушеа 7jc5, бос мушеа 1. 5.1-теорема. Крлыпты mypdeei eKi копм ушелin тепе-тен болуы уиин, олардыц дэрежелер'1 6ipdeu жэне тец дорежел/ айнымалдарыныц коэффициентmepi озара тец болуы к а ж е т mi жэне ж е тк ш кт'1. Егер P(x) = Q(x) ■S(x ) тенд!п орындалатындай 5(х) кепмушелт табылса, онда Р(х) квпмушелш Q(x) копмушел'шне болшед/ дейдк Р{х) - бвл'шг'ш, Q(x)-болгии, S(x)-6oAindi деп аталады. Мысалы, Р(х) = х} - Зх2+5 х - 15 кепмушелт Q( х) - х2+5 кепмушелтне болшед!, ойткеш д- -З.г +5.v-15 =(.r +5)(л-3). Егер Р(х) кепмушелт Q(x) кепмушелтне болшбесе, онда калдыкпен болуд1карастырады. 5.2-теорема. Кез келген Рп(х ) = апх\" + а }х\"~' + ... +ап жэне Q„(x) = (/0х?\"+q,x!\"~'+ ... +(/,„, п > т . копмушел1ктер1 УШШ P„(x) = Q Jx )- S (x )+ R (x ) (1) тепе-тендт орындалатындай тек 6ip гана жуп: 5(х) жэне R(x) кепмушел1ктер1 табылады. Мундагы, Р„(х) - болшпш, Qw(x) — болг1ш, 5(х) — белшд1, R(x) — калдык Кепмушел1ктерд1 болу ушш, сандарды болу ережес1ндей бурыштап болу ережес1колданылады. Белш дт'т бас мушесш табу уш 'т бвл'тг'иит'т бас мушесш болг'шт'т бас мушес'ше болед'1. Бол'шд'1н 'т табылган мушесш бвлг/'шке квбейтед'1 де шыккан квпмушел'1кпй бел'шг'штен шегеред'1. Алынган 6ipimui айырманыц бас мушесш болг'шт'т бас мушес'ше бвл'т, бвл'тд'1шц ек'тш'1 мушесш табады. Табылган ек'нии/ мушеш бвлг'!шке Ko6eumedi де шыккан копмушел'иит 6ip'miui айырымнан шегеред/'. Алынган ек/'нии айырымныц бас мушесш болг'шт'т бас мушес'ше бвлед'1 жэне т.с.с. 57

Бул процесте не Р(х) копмуш елт £)(х)-ке болшеди ягни R(x) = 0 немесе б1рнеше кадамнан сон дэрежеа белпштщ дэрежесшен Kimi айырым алынады. Онда бул айырым R(x) калдыгы болганы. М ы с а л ы , Р(х) = Зл-4 +2Л-'1+ 70х2+ Зх-4 к е п м у ш е л т н Q(x) = х2+5х+ 1кепмуш елтне белу керек. Белу жолы: _ Зл-4+2л'1+70.Г +Зл--4 х 2 +5.V+1 Зл4+15.V1+Зл2_______ Зл-2- 13л-+ 132 болшд1 6ipiHini айырым - 1Зх1+67л2+Зл--4 “ - 1Зл1- 65л-2- 1Зл екшип айырым 132л\" + 16л-- 4 132л-2+660л-+132 калдык -664.V-136 Сонымен, Зх4 + 2х3+ 70х2 + З х - 4 = = (х 2 + 5х+ 1)(3х2 - 13х+ 132) + (-644х- 136). Аныкталмаган коэффициенттер aflici. Копмушел1кт1 кепмушелжке болудi аныкталмаган коэффициенттер ddici не­ месе оньщ пкслей салдары болатын Горнер схемасы бойынша да орындауга болады. п-шi дэрежел1 P ii(x ) = аих\"+а 1х\"'' + ... + а п кепм уш елтн т-ш\\ дэрежел1 Qm(x)=b0x\"'+blx\", '+...+bm, п>т, кепмушелтне белгенде белшд1 S (х) =— х\"~т +с1х\"~\"'~1+... +С , ал кдлдык Ьа Rl(x)=df1x\"'-'+c/lx\"''2+...+d\"1' 1, 0 < I < т -l болсын. Енд1 c,,c2,...cnm жэне d0,dl,...,dm_l белпЫ з коэффициенттерд1 табу уш ш P,i(x)=QJx)-SiiJ x ) + R i(х ) тепе-тендтндеп Q Jx ) жэне SnJ x ) копмуше;пкгер1н кебейт1п уксас мушелерш келт1рсек, тенджтщ он жагында да п-mi дэрежел1 кепмушелж аламыз. Алынган осы кепмушелжпен Р ( х ) кепмуш елтндеп айнымал х-тщ бiрдей дэрежелершщ коэффициенттерш тедест1ре отырып тен­ деулер жуйесш аламыз. Осы жуйенщ memiMi жогарыдагы белпс1з коэффициенттерд1аныктайды. Мысал. 2.v4+.v1-5x2-д-+1 кепмуш елтн * 2- л- копмуше- л т н е болу керек. 58

2, Uleuiyi. Болшдн-и 54_,(.v) =S2(.v) =-.v +r,.v+г ,, ал калдыкты R t(x ) = d ()x + d x туршде алып, олар ушш ( Г ) тепе-тенднш жазайык. 2.v4+ л'1- 5.x2- х+ 1= (2.\\':+с| + с2)(.х2- х) + с/(,.х+ dt. Одан сон 2.у4+л —5.у\" —лг+1= 2.у4+(Г| —2).у +(—c't +с\\ )х~ +(<70—с-,)л'+ d^ те н д ш н е н к е л е а тендеулер ж уй е сш е келем1з -с, +с2 -2 =1, -с2+ d() = -5, = -1, d, = 1 - Жуйеш шешш с\\ = 3, с2 = -2, d0 = -3, <7,= 1 аламыз. Олай болса, 2.у4+ .у3- 5.у2- х+ 1= ( 2.у2+ За - 2)( .г - х) - З.у- 2 . Егер копмушел1ктерд1 болуде б1зге тек калдык кана ке­ рек болса, онда келеа мысалда корсетыгеидей эд1с колда- нуга болады. М ы сал . л'4-2а'3+3.у +4.У+1 к е п м у ш е л т н ,у2+.у-2 болгендеп кдлдык.ты табу керек. Шешу! Бул кепмушелжтер yiuin келеа тепе-теншкп жаза аламыз .у4 - 2.V1+ З.у2+ 4л'+ 1= (ах2 +Ьх+ с )(х 2 + .у- 2) + (dx+ г) > ал бул тещцктен .у4- 2а1+З.у: +4.у+1= (ах2+Ьх+с)(х+ 2)( .у-1) +(dx+г ) . Сонгы тенджтщ он жагындагы косылгыштын 6ip iH iu ic i нолге тен болатындай eT in х-ке -2 жэне 1 мэндерш берсек, [-2d +/•=37, онда ке л е а eKi тендеу ж уй е сш е келем1з \\ + Оньщ LueiuiMi d = —10, г =17. Олай болса кдлдык — 10х+17 тец. Горнер схемасы. Кдлыпты турде жазылган Р 1(х)=аах\"+ +«|д-\"'|+...+«; кепмуш елтн х-а еюмушелнше болуде Горнер схемасын пайдалана отырып, белш д 1 мен к,алдык,тын коэффициенттерш жылдамырак табуга болады. Булардыц

бсш ш и а S^Cx) = а0х\" 1+b{x!‘ 2+...+bn_{ туршдеп “ п - Г ’-iui дэрежелi кепмушелж, ал калдык кдндай да 6ip санга тен бо- латынын байкаймыз. Аныкталмаган коэффициенттер oflici бойынша Р11(х) = а0х\" +о,дс\"-' +а 2+...+а„_2х2+а11_1х+ ап = =(</„х \"'1+Ь[х\"~2+Ь2.v\" '3+...+bn_2x +Ь11_])(х - а ) + г ' немесе Р11(х) = а0х\" + а]х\"~' +а2+...+а„_2х2+а11_1х+ ап = =аах\" +6rv\"~' +b2x\"~2+...+bii_2x2+Ьи_1х - - а()ах\"~' - Ь1ах\"~2 - .... - bn_2ax -b n_xa + г аламыз. Бул тенд1ктеп х-тщ б!рдей дэрежелершщ коэффи- циенттерш тенеспре отырып келеа жуйеге келем1з а I =Ь, ~ а а 0, a 2 =b2- ab, , =*„-1 д„ = r- ab „_t . Жуйедеп br b2,...bnl мен г белпаздерш табу ушш келеа реккурентпк формуланы аламыз да Ь{ = а | + а а 0, b2 =а2+ab\\ , г = a.. + ab„ оны келеа схема туршде орналастырып жазамыз а„ аI ++ ++ + а ■а. а ■b, ab, ab,п-2 ab„ а Ь3 - ь„ Мысал. Горнер схемасын пайдаланып -x s +4.V3- 8.v2+32 кепмушелшн х + 2 еюмушелйше белу керек. 60

Uleiuyi. Бершген копмушелжтер уппн Горнер схемасын жазайык. -1 0 48 0 32 + + ++ + 2 -4 0 16 -32 -2 -1 2 0 8 16 0 Схемадан болшд1 Q4( x ) = —А'4 + 2 а 1 -- 8.Y+ I 6 ж Э Н ( 0, ягни -а '5+4а' 1 - 8 а 2 +32 ==(х+2) ( — А*4 + 2 а 1 ■ екенш корем13. К елеа теорема бойынша копмушел1кт1 еюмушелжке болгендеп калдыкты б1рден табуга болады. Р(х) копмушелт бершсш. Егер х айны малга сан мэнш берсе, онда Р(х) копмушелт де оган сойкес сан мэшн кабыл- дайды. Мысалы, Р (х )= х 2—Зх + 2 болса, онда х=2 уш ш Р{ 2) = 23—3 2+2=4 аламыз. Безу теоремасы. Рп(х) кепмуш елтн х-а болгендеп кдл- дык. Рп(х) копмуш елтнщ х=а сэйкес мэнше тек: г = Р„(а). Мысалы, jP(.v) = .v4 + л'1+ 3.Y2 + 2.Y+ 2 копмуш елтн х—\\ ею муш елтне болгендеп кдлдык, /•= Р4(1) = 1+1 +3 + 2 + 2 =9 тен. Егер х-тщ кандай да 6ip х = хи мэншде Р(х) кепмуш елт нелге айналса, ягни />(х()) = 0 болса, онда хп санын квпмуше- л/'ктщ my6ipi деп атайды. Мысалы, х=\\ саны Р(х)= х3-3;с+2 копмуш елтнщ Ty6ipi, ейткеш Рх=13- 3 1 + 2 = 0. Безу теоремасыньщ салдарлары: 1) а саны Рп(х) кепмуш елтнщ Ty6ipi болса жэне тек кана сонда гана кепмушелж х-а еюмушелтне болшедк Р„(х) = ( х - а ) y); 2) л\" - и\" копмуш елт х-а ею муш елтне кез келген на­ турал п ушш белшед1жэне келеа тещнк орындалады xJ‘ -а\" = л\" '1+х\"~2а + х\"-\\г +...+ .г а \"'3+ ayГ 2+а х-а 3) х2\" —а 2\" копм уш елт х+а ею муш елтне кез келген натурал п ушш белшед1жэне •уv“\" _ 1,1, ■»„—1 -а ■>»-! ■* ха ''и--''- а ■>»-!■ ---------- = А- - А- х +а + А- ■а - - . . . + 4) л-2\"+| +а 1\"*' кепм уш елт х+а екiмутел ii iне кез келген натурал п ушш белшед1жэне 61

2/1+1 , 2//+I -X----+--Cl--- = л' 2II-л* 2n-lл +,х 2н-2а 2- . . Л . х а2 2/1—2- х а 2//-I +. а 2/./ х+а Мысал. Кез келген натурал п ушш саны 42\"—з2\"+23\"—1 7-ге болшетшш дэлелдеу керек. llleuiyi. 4 2\" =16, 32\"= 9 \", 23\"= 8 \" тещ цктерш ecK epin 42\"-32\"+23\"-1 = 16''-9\"+8\"-1 аламыз. Ал 2-салдар бойынша кез келген натурал п уш ш 16\"—9\" мен 8\" —1 сандары сэйкес 19—9=7, 8—1=7 санына белшедк Олай болса, 16\"—9\" мен 8\"—1 сандарынын косындысы болатын 42\" - З 2'1+23\" - 1= = 16\"-9\"+8\"-1 саны 7-ге болшедг 34. Кепмушел1кт1 оныц туб!рлер1 аркылы кебейтк1штерге жктеу 5.3-теорема. Коэффициенттер1 бутш сандар болатын Р „ ( х ) = а 0х \" + а , х \" _1 + ... + а „ , а0 ФО копмуш елт 6epuiciH. Егер х = b бутш саны Р(х) копмушел1- riHin Ty6ipi болса, онда ол а„ бос мушесшщ белпнп болады. Мысал. Р(л) = л'3- Зл-2+5.x- 15 кепмушелшнщ жалгыз бут1н Ty6ipi бар екеш белгш. Осы туб1рд1 табу керек. llleuiyi. 5.3-теоремасы бойынша копмушелжтщ бос муше­ сшщ болпштер1 копмушелжтщ туб1рлер1 болуы мумкш. Бос мушенщ болпштерк ±1,±3,±5,±15. Олай болса бутш туб1рд1 осы сепз санныц imiHeH 1здеу керек: Д 1 )= - 1 2 * 0 ; Р (~ 1)=-24*0; Р( 3) = 0. Будан, х=3 саны Р(х) копмушелтнщ Ty6ipi екенш корем1з. 5.4-теорема, я-iin (п> 2) дэрежел! кез келген Р(х) копму- ш ел тн дэрежеа екщен аспайтын копмушелжтердщ кебейтш- д1сше жжтеуге болады. 5.5-теорема. Р(х) кепм уш елтнщ туб1ршщ 6ipi х, болсын. Онда бул копмушелжт1 келеа турде кебейтюштерге жжтеуге болады: Р(х) = (х-х,).5(х). (2) Мундагы, S(x) — дэрежеа Р(х) кепмуш елтнщ дэрежеа- нен 1-ге K im i болатын кандай да 6 ip кепмушелж. Бул теоремадан, егер х, копмушелжтщ T y 6 ip i болса, онда ол копмушелж х—х, еюмушелтне калдыксыз болшетшдтн керем1з. 62

Мысал. Р(х ) = х 3- Зх2 - Юл: + 24 кепмушелшн кебейт- K iLU T ep re жжтеу керек. Illeiuyi. Алдымен копмушелжтщ бутш тубiрiн табуга эре- кет етешк. 5.3 — теоремасы бойынша, ол туб1рд1 бос муше 24 санынын белпш терш щ : ±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±8; ± 12; ±24 ш ш ен 1здейм1з. Ол ушш Р (1), Р (-1), Р (2), Р (-2), ... кезекпен есептеп, Р (2)=0, ягни х=2 саны Р (х)-тщ T y 6ip i бо- латынын корем1з. Олай болса, 5.5-теоремасы бойынша кепмушелж “ х-2” еюмушелтне калдыксыз болшедк х3—3х2—10x4-24 х—2 х1—2х2 х2—х—12 _ —х2—Юх+24 —х2+2х _ -12x4-24 —12х+24 О ягни, д-’ - Зх2- 10х+ 24 = (х - 2)(.г - х - 12). Енд 1 л~ -х-1 2 квадрат уш м уш елтн кобейтюштерге жжтешк: х2- х - 12 = х2+ Зх - 4х - 12 = л<х + 3) - 4( х + 3) = ( л + 3)( х - 4). Сонымен, х } - Зх2 - 10х+ 24 = (х-2)(х4-3)(х-4). Ескерту. Егер х=х, саны я-дэрежел1 Рп(х) копмушелтнщ T y 6 ip i болса, онда 5.5-теорема бойынша Р„(х) копмушелт х—х, сызыктык. кепмушелшне белшед1, ягни (2) тендж орын­ далады. Алайда, н-un дорежелi Р (х) кепмуш елт д-дг, сызыктык к е п м у ш е л тн е гана емес, оньщ жогары дорежеа, ягни (л—л,)*, Д-6 N. I<>2 туршдеп кепмушелжке болinyi де мумюн. Егер /ьдэрежел1 Рп(х) к еп м уш ел т (v - д,) , к е N. к>2 кепмушелтне болппп, 6ipaK (х -х , )*+' кепмушелтне болш- бесе, онда х = х, санын кепмуш елтнщ к ecejii my6ipi деп атайды. Бул жагдайда е д = ( х - х , ) Аа - *(х ) (3) тендiii орындалады. Егер Р(х) кепмуш елт х —х, -ге белшш, 6ipaK ( х - х { )2-ка белшбесе, онда х=х, санын 1\\х) кепмуш елтнщ жай (есел! емес) myoipi деп атайды. 63

Салдар. Егер х, мен х, сандары ах2 +Ьх + с ушмушелш- Hin туб1рлер1болса, онда келеа тендж орындалады ах2 + Ьх + с ~ « (х - х ,)(х - х : ). (4) Мысалы, V|=--, .V, =- сандары 6х: - х - 2 = 0 тендеуь н1н туб1рлер1 Олай болса: 6х2 - х - 2 = ЖАТТЫЕУЛАР 1) Р(х) кепмуш елтн Q(x) кепмушелтне белш, белшд1 мен калдыкты табу керек: а) Р(х) =2.у4- х3+5, Q(х) = х3- 9 х ; б ) Р(х) = 2х3+2, Q(х) = х3 +2.v: +д- в) Р( х) = х6-1, О(х) = х4- 4,у: . 2) Аныкталмаган коэффициенттер эд1амен Р(х) копму- ш е л тн Q(x) кепмушелтне белш белшд1 мен калдыкты табу керек: a) РА( х) =2х4 - Зх3- х: + 5х- 4, Q, ( х) = х - 3; b) Р5(х) =Зх5- х4 - 2х3 + х: + 4х+ 4. Q: (x) = x2 - 2х. c) Р,( х) = 2х ’ - 7х: + х + 3. Q, ( х) = х - 4; (I) Р5(х) = х5- З х 3+ х: +2х-1, 0 : (х) = х: +х-1. 3) Горнер схемасы бойынша Р(х) кеп м уш ел тн Q(x) кепмуш елтне белш, белшд1мен калдыкты табу керек: a) Р,(х) = .у3 + З х ' - 18л - 40. Q , (х) = х + 2; b ) Р. (х) = х' - 5.v2 - 26 ,у+ 120, Q ,(х) = х + 2; c) Р4(л) = б.у4 - 5 .у3 - 53 .у\" + 45 .у- 9. Q,(x) = .у- 2: (I) P J х) = 30 .у4 - З1.у3 - 180 л’+ 7.У+ 6, Q, (х) = д+ 1. 4) Кебейтюштерге жжтеу керек: а) т ь - 1; б )9 а 2- ( Ь - с )~; в) 16х: +8х+ 1; г) а 1- 4а - 5; д) х ’ - 6х: + 11х- 6; ж ) « 4- 6а ' + 18сг +54с/ -81.

q) Py(x) = r 1+ * 2 - 4 a + 2; и')Py(x) = x3 - .v2 - л'+ 1; s )P 4(x ) = л-4 - 2Xs - x 2 + 2 x - 1; / ) P ( л-) = л-5 - 2 л-4 - 8x + 16 л-2 + 16 л-- 32; g )P 6(x) = a-6+ 27; h)Ps(.v) = a 5+ 32; 5) a'\" + 2a+ 2 квадрат ушмушелшнщ пакты Ty6ipi жок екенш дэлелдеу керек. 6) Кез келген натурал п саны ушш: A) 2/г1- З//2+п саны 6-га; Б) /г1+11// саны 6-га; B) /I4 +3//’ - /г - З/i саны 6-га; C) п4 + Ъг +3//2 +2// саны 8-ге; Д) /г - п саны 10-га белшетшш дэлелдеу керек. 7) Копмушелжтердщ туб1рлерш табу керек: a) Я, (л) = 8л-1+42л-2+ 31х - 12; b) P,(.v) = 5.V1+ 18.v2- lO.v - 8; c) Р4(х) = (хх4+1х- - 22.V2- 28.V- 8; d) РА{.г) = 3.v4+5л'1- 9.v2- 9.v- 8; e) 1\\(л) = 2л5- 9л-4+ 8.V3+ 15л2- 28л +12; О Р,(.Г) = Зл5- 19л-4+ 9.Г1+ 71л-2- 84л + 20. § 7. РАЦИО НАЛ АЛГЕБРАЛБ1К, Б О Л Ш Е К Т Е Р 35. Рационал алгебралык белшектср тусйпп Егер Рм ен Q 6ip немесе б1рнеше айнымалдардын кепму- шел1ктер1болса, онда ^р туршдеп ернек рационал алгебралык. бвлшек деп аталады. cr-b 2 a2+ab +b~ л +1 Мысалы, , — , —, - — рационал a~+b~-1 3 2 алгебралык белшектср. Р Рационал ~ алгебралык болшепнщ аныкталу аймагы — 5-99 65

х айнымалдьщ £>(*)* О шартын канагаттандыратын барлык. мэндер жиыны. Белш ектщ непзп кдсиетц Алгебралык, белшектщ алымы мен бел1мш нолге тен емес б1рдей санга, б1рмушел1кке, кепмушелжке кебейтуге немесе белуге болады Р Рк Q ~ Q k ' Q*0' к Мысалы, -Л-+1 12 - А - 2 - - Л - + 1 4.v2—6х + 12 3 Л 2 ’\" ‘ ~ U ~v 2 1т ') l2(i-v!+i t+i)\" 3xI+2-t + 6 ' a 2 - b 2 (a - b ){a + b) а _ ь а * -Ь. {сt+ b)2 (a + b )(a X b ) = a +b ' Алгебралык, орнектерд1 турленд1руде келеа тещнктер жш кездеседк Мысалы, р=- Z =z Jl =J 1 а-b 1 Q Q ~ -Q с -а Ь-а а -6 х-2v с- а = а - с- х-2 у =— — • 36. Алгебралык, ернектерге арифметикалык; амалдар крлдану Рационал алгебралык болщектерге колданылатын амалдар сандык болшектерге колданылатын амалдарга уксас. Бол- шектерд1косу, азайту, кобейту жене белу келеа ережелер бо­ йынша орындалады: а с _ас! +1)С b d ~~bd~~' ( 1) а с _ ad ~bc b d bd ’ ( 2) а с _ ас ~b d ~ bd ' (3) а с _ ad V l~ ~ b c ' (4) 66

Егер болшектердщ бол1мдер1 б1рдей болса, онда (1) мен (2) амалдар ыкшамдау орындалады: а с _ а +с а с а-с bb b ьь ь 1 .v-a + .v- я 2.v 1-мысал. -а х+а (.v-а)(.х+а) (х - а )(х +а ) ' 1 1 х2+а2- (х 2- а 2) 2а 2 2-мысал. .у2- а 2 х2+а 2 (д'~ - а 2)(х2+а2) х4- а4’ а*-Ь} сг-b2 (a-b)(a2+ab+b2)(a-b)(a +b) 3-мысал. (a +b)2 a2+ab +b2 (a +b)2(a2+ab +b1) Ja - b )2 a+b ' 4.-мысал. -a-a-+-b ;-a-+--b = — -(-a-+-b-)-b---= ---b- . a - b b (a - b)(a +b) a -li Bipiieuie белшектщ ортак, бел1м1 деп, op6ip белшектщ бол1мдер1белшетш бутш рационал орнасп айтады. Bipneine белшектерд1косу немесе азайту ymiH оларды ор­ так бол1мге келт1ред1 де ( 1) жоне ( 2) ережелерд1 колданады. Ал, болшектерд1 ортак бол1мге келлрущ былайша орындауга болады: 1) 8 p6ip болшектщ 6ojiiMin кебейткштерге жжтейдц 2) К,урамында осы алынган кебейтюштердщ барлыгы бар ортак бол1мд1алады; егер кандай да 6ip кобейткш жжтелудщ б1рнешеушде бар болса, онда олардьщ ш шдеп ец улкен дэ- реже корсетюип барын алады; 3) Ортак бол1мд! ap6ip белшектщ бол1мше болт толыкта- уыш кебейткштерд1табады; 4) Эр бip белшектщ алымы мен бел1мш сэйкес толыктауыш кобейтш терш е кебейтедь Мысалы, 3 2.V-1 2 3 2.V-I 2 2.V + 2.Y х~ -1 х 2.v(.v+l) (,v - l)(.v+ l) X _ 3(л - 1) + 2.\\t2.v- I) - 2 ■2(.v: - 1) _______А-+ 1 _ 1 2.y(.y+ 1)(.V —1) 2,y(.y- 1)(.y+ 1) 2.y(a--1) 67

Жогарыда карастырылган ережелерден келса тендктер шыгады: — = 0, а Ф 0. (5) а ± -11 (7) ab a b а 11 — = а •—= —-а. Ь Ъb Алгебралык белшектч бутш дэрежеге шыгару. ~ белшепн натурал п дэрежеге шыгару ушш, осы п дэрежесше болшектщ алымы мен бсшмЫ жеке-жеке шыгарады да 6ipiHiuicin алым, ал eKiHiuiciH бсипм етш жазады: п —ап , пе Nм. Ь\" Мысалы, 2.v’ г' V' (2.хУ)’ 8.V6/ [ з .5 j - ^ _5у 27-': Бвлшекпй б ут in mepic дэрежеге шыгару уiniн 'а '- \" ,\\П b Ф 0, а Ф 0, п е N. -, о тепе-тенд1гш паидаланады. Мысалы, -5 ( (о +2Ь)4 ) (а +2Ь):а (ci+bfia-b)'' ^ (a +by'Ui-b)'5 (a +b) (а —Ь)} \\ (а +2Ь)А У 37. Рационал орнектерд1 тепе-тец турленд1ру 0 рнектерд1 турленд1ру кезшде (ернектердщ ук,сас мушелерш 6ipiKripy, болшектер/п к,ыск,арту жэне тагы баска турленд1рулерде) онын аныкталу аймагы e3repyi мумкш. Мысалы, ^ .V\" + Зх —5 + л/х —л/х (1) орнепнщ уксас мушелерш 6ipiKTipceK х2+ Зх-5 (2) ернепн аламыз. Мунда (1) ернектщ аныкталу аймагы х>0 68

болса, ук,сас мушелерш 6 ip iK T ip y аркылы оныц аныкталу аймагын кенейтт, аныкталу аймагы барлык накты сандар жиыны болатын (2) ернекп алдык,. (1) мен (2) opHeicrepi тек [0; +оо ) сандар жиынында гана тепе-тен болады. .V - (.v-l)(.v+ 2) (3) орнепнщ аныкталу аймагы: х * 1, хф—2 шарттары орындалатын барлык. накты сандар жиыны. (З)-ернекп (jc-l)-re кыскартсак, аныкталу аймагы х ф ~ 2 болатын Л'2 +.Y+1 А-+2 (4) орнепн аламыз. (3) пен (4) орнектер1 ( - о о ; —2 )и (- 2 ;l)u (1; + сх.) жиынында гана тепе-тен. Сонымен, орнекп турленд1ру барысында алынган ернек пен бастапкы ернектщ тепе-тещцп кандай жиында орында- латыны есте болуы керек. Мысаддар. врнекп ыкшамдау керек: 2аb - 4сг 8сг 1) f(a ,b ) =—---- — + 2a+b 2a+b 2) g(a,b)= 2ab ( (2a - b\\2a +b) (2a+bf 3) <p{a,b) 2a 4a--lr b-2a' ,2 4) ц / ( а , Ь , с ) = (a - b \\ a - c ) (b - c \\ b - a ) (c-a\\c-b) Uleuiyi: lab —4a1+ 8 a 2 4a2 + lab la (la + b ) 1) J(a ,b ) = -------— —-------= - = - -- - - - = la. la +b la +b la +b Бул орнектер la + b Ф 0 ягни b Ф - la шартын канагаттан- дыратын а мен b-wьщ мэндер жиынында тепе-тен. 2) g(.a.,b.) =--2-a-b(2;-a----b )-l-a-+-b-)=-2-a-(-2-a-—-b-)=-4--ч-~-2-а-Ь (2a+b)~b 2а +Ь 2ч +Ь (/> Ф 0,Ь Ф -2а\\ 69

73 ) c p ( a , b ) = ------ --- -------г ----- — = ~ & i + h) (2a~b\\2a+b) 2a -b (2a-b\\2a +b) 4a2-b2 b Ф 2a, b Ф -2a\\ 4) белшекп ортак, бел1мге кел'прш у/[/a,b, ,с)ч a2(b-c)-b2(a-c)+ c2(a-b) аламыз. Одан сон, =---- — -гг--- у--- г---- \\a-b\\b-c\\a-c) Ь - с = ( а - с ) - { а - Ь ) те щ и п н ecKepin белш ектщ алы- мын турленд1рем1з: a 2(b - с )- Ь 2(а - с)+ с 2(а - b)= а 2(а - с )- a 2(a - b ) - - Ь 2(а - с)+ с 2(а - b) = = (а - c^ci2 - b 2)+ {а - b )(c2 - а 2)= (а - с \\ а - b \\ a + b ) + + (а - Ь \\с - а \\ с + а ) = = (а - с\\а ~ b%ci + b )- (с + «)] = (а - с\\а - b\\b - с ) Сонымен / , ^ (я - с)(а - b)(b - с) , Ц!\\а,Ь,с) = т--- —~г--- г-.---- г =1, а Ф Ь, а Ф с, b Ф с. (а - b)(b - с)(а - с) ЖАТТЫЕУЛАР 1. Болшектерд1 кыскарту керек: V' —16 а 2+ 10<7+ 25 а2-2а + \\ а) ------ ; б) ---- ------- ; в) ------ ------ а3- 1 З.у + 12 а - -25 . а +а +а2+1 ct4+ а - 2 а -а~-\\2 Г ег'+(Г+а+ 1 ’ а'+ 8 ’ Ж а +8а2+\\5 2. 0 рнект1ыкшамдау керек: а - Ь 8/?4 „ х2-4у 2 28л-2 ) 4л b1 '3 ' a 21- a hI '' 2~) 35л>> х2-4ху +4у2 70

3) (2 - С , ) 2 т 2 - 4 /?2 ( т + 2п)2 ab-2b' 4) 2л-2- ху 3п т 9пг 5) (2л - у). ( 2оа к\\ 5 х+у 6) v 4« у ( -Зл-7Л а - 2.Х 2а - я\" V) 8) 3-Ь ' 9 -Л 2 ’ r а2+ab^ Ь-а \\У 9) а 2 +2аЬ +Ь2 аЬ2- Ь г 3. 0 рнекп ыкшамдау керек: Р 5 2р 2) 1) р-2 2-р р-2' 1+л- 1-л-' .г■>+4лу 3 2л -1 2 3> ' - ^ 7 +2* 4 ) 2 л-2 + 2 л + л : - Г л -’ 2/; 5 462+9 6) —i 10 г 5) ---- +— -— -•— ; /1 + Л-2 - 2 5 5г2-лу л '+ 5 л / 2/7+3 3-26 46 -9 2а 4а } 8а ‘ 7) 1- а 1+ я 1+ д 2 1+ с/4 l + <vs ’ 2 4 8 16 8) - а 1+а■+ Т1+ а Т2 + Г1+ а 4Г + Т1+ a sГ + -1+ а 16’ +Ь Ь +с с +а 9) ■+ (b - с){с - а) (c - a ) ( a - b ) ( a - b ) { h - c ) ' а-с а -с с 1+ сЛ е( 1+ с) — 10) 1+ ci2 +ac + c2 a 2b - b c 2 а - с Ьс 71

ЖАУАПТАРЫ 16«15 а +с 8) 1----а \"9) 0; 10) § 8. И РРА Ц И О Н А Л 0 РН ЕК Т ЕР Д 1 ТУРЛ ЕН Д 1РУ Иррационал орнектерд1 турлещиру арифметикалык, амал- дардьщ жалпы зандарына жэне радикалдарга жасалатын ере- желерге сэйкес орындалады (21, 24 — пп. караныз). 38. Иррационал алгебралык белшектщ алымын (б0л1м1н) иррационалдыктан кугкдру f ( x ) пен g ( x ) алгебралык, орнектер1н1ц ец болмаганда 6ipeyi иррационал болса, онда тур1ндег1 алгебралык ернект1 бвлшек иррационал врнек деп атайды. S ( х ) — кандай да 6ip иррационал алгебралык орнек бол­ сын. Егер S(x) ■S(.v) кобейт1нд1с1 рационал алгебралык орнек болса, онда S(x) * 0 алгебралык орнепн S ( x ) алгебралык ор- HeriHin к,осымша немесе толыктауыш квбейтк1ип деп атайды. 72

Мысалы, }1~хХ ернепнщ косымша кобейтюип 44у , о й т к е ш , ^ r -^vr v =.\\j; 47i+4b о рн егп п н косы м ш а кобейтюпй 4а - J b, ойткеш, [4i +4b\\4i -4h) =a-b. 4a+4b мен 4a - 4b ернектер1н тушндес ернектер деп те атайды. Томенде Keii6ip алгебралык орнектердщ косымша кебейт- KiiuTepi келт1р!лген. 1- кесте S(.v,r) Six, у) S( v, v)S( .V, y) 'V-\\J,-ky\"-' xy ■4xky ' x-y 4x±4J’ 4 x +4~y 4 ? -4^’+47 X +у *Гх-& 4 7 +4 ^ '+ \\[4 x-y Егер S (x ) орнеп S (x ) орпегййц косымша кобейтюий болса, онда S (x ) орнеп S (x ) ернепнщ косымша кебейт^цй болатынын кору киын емес. / Айталык, —s белшепнщ алымыньщ косымша кобейткпш / , ал бшпмшщ косымша кобейтюий g болсын. Онда: ^ /_/■ / g ~ g-f (3) турленщруш болшектщ алымындагы, ал /_/•£' гурлещйруш болшектщ бел1мшдеп иррационалдыктан кутылу деп атайды Мысалдар. Алгебралык орнектщ бол1мшдеп иррационал- дыктан кутылу керек:

Illeiuyi: 1) -Ух- 6 орнепне к,осымша кобейтюш л/х+ 6 орнеп, сондыктан • _____л/х + 6 _ у/х +6 V x - 6 (у/х - 6) (V jc + 6) х —36 2) Кестеден у= 1деп алып, V ? + V x + 1 ернегшщ косым- ша кобейтк1ий yfx — 1 екенш кере\\ш. Олай болса, X= х(%/х - 1) _ х(у[х - 1) л / ? +-Ух + 1 (л/х5\" + у/х + 1)(у/х - 1) 3) yfx + yjy = t деп белплеп, t + yfz 1 t + yfz \\/a' + -/y + yfz V x + + yfz = ( f x + y T y ]'- z = x + y - z +2 ^ аламыз. Енд1бел1мнщ косымша кобейтюцп x+ y - z - 2 y fx y бол- гандыктан Г х +у[у +yfz ^ {yfx +у[у +yfz)(х+ у - z- 2-fxy) х + у - z + 2у[х)’ (х +у - z f - 4ху _ (yfx + -Jy + yfz\\x+ у - Z - 2y[xy) (.x + y - z f - 4 ху 39. Иррационал ернектерд! тепе-тец турленд1ру 1-мысал. брнекп турлещйру керек. А = (л/32 + л/45 - л/98)(л/72 - л/500 - л/8). llleuiyi: л/32 = л/Тб2 =4л/2, л/45 =л/5^9 =Зл/5, л/98 = л/49^2 =7л/2, л/72 =л/322 =6л/2, л/500 =л/100-5 = 10л/5, л/8 = л/4^2 =2л/2;

А =(4V2 +Зл/5- 7Л)(бТ2 - 10V5 - 2л/2) =(Зл/5 - ъ Щ Ш - 10S) = = 12л/То—30•5—12-2+ЗО-ЛО =42-Ло -174. 2-мысал. Орнеетч ыкшамдау керек: А = \\ lll - Юл/2. LUeiuyi: Егер тубip тадбасыньщ астында кандай да 6ip ею саннын. айырымыныд квадраты турса, онда туб1рден шыгара аламыз. Осы максатта 10V J санын квадраттарынын, косын- дысы 27-ге тен eKi санньщ ею еселенген кобейтшд1с1 eTin корсетем1з: 10ч/2 = 2V2 ■5. Сонда А =л/2-2л/2 -5+25 = -J(V2-5)' =|л/2-5|. болады да, V 2 -5<0 болгандыктан А = \\J2 - 5| = -(л/2 - 5) = 5 - л/2 аламыз. 3-мысал. TenaiKTi тексеру керек: л/ш-4л/б +Vl 5—бл/б = 1. LUeiuyi: л/ю - 4л/б + л/15—бл/б —V 4 —2 ■2л/б + 6 + л/9 - 2 •Зл/б + 6 = = д/(2 -л/б): +д/(3-л/б) 2 == |2 - л/б| +|3- л/б| = = |2 - л/б < 0, 3 - л/б > 0| = - (2 - л/б) + 3 - л/б = 1. Жалпы жагдайда, a 2 ±2b (1) opHeriii (■/vt./y)' (2) туршде жазуга болады: а 2 ± 2b = ( V x ± -/у) . Ол ушш х пен у ретшде |х+ у = а 2 (3) [\\у = Ь,2 тендеулер жуйесшщ (тендеулер жуйесш шешу эд1стер1 §15 карастырылады) 6ip шеиймш алса болганы. Мысалы, 30 —12л/б орнепн ею санньщ айырымыныд квад­ раты туршде жазу керек. llleuiyi: 30—12Уб орнегш с/2 —2Л T y p iне келт1решк: 30 —12л/б = (-ч/зо)2—2 -бл/б , будан, а = ^30, h = бл/б. Енд1 (З)-тендеулер жуйесш

.V+ у = ( Л о ) ху = (6V 6 )2 Немесе туршде жазуга болады. Бул жуйенш шеппмдершш 6ipi х= 12, >'=18 болгандыктан ( 2)-орнект1 (V T J - V 1T ) ' деп жазуга болады. Олай болса, 30- 12л/б =(VlT- VTsV. Бершген орнект! кандай да 6ip ернектщ квадратына келт1ру уцпн, кейде айнымал ауыстыруын жасайды. 4-мысал. 0рнекп ыкшамдау керек: А = V-v+ 2л/2д--4 - л/л- 2>/2л— 4. Uleuiyi: / = V 2.y- 4 ауыстыруын жасаймыз. Сонда, t2 =2лл*-4/I, ал /о-удан л = —/ -+—4 . аламыз. Олай болса, ■4 = л ~ ~ г ~ + 2 i - л t~ +4r +4 h - -4t +4 V- 2 i _ (t + 2): ( r - 2)2 _ k +2| 2 VI VI ' Ешй /+2 мен /-2 ернектершщ танбаларын аныктау ушш сан ocin уш аралыкка: ( —ооО]. (—2;2]. ( 2:+ °°) б е л т, алын- ган ернекп осы уш аралыктын эркайсысында ыкшамдаймыз. 1) / е (-со; - 2) , ягни —оо < t < —2 болса, онда t ±2 <0 болады. Сондыктан , -(/ + 2) - ( / - 2) - 4 4V I , ^ VI VI \" Л ~ ~ Л - Л ~ ~ - ^ ; 2) / е (—2; 2], ягни —2 </<2 болса, онда, /+2>0, /—2<0 бо­ лады. Сондыктан, , г+ 2 - ( / - 2) 2/ /- Л Л ~Л ; ( “ 2 < / - 2) 3) /е (2;+оо], ягни 2 <К+ оо болса, онда, / + 2 > 0, t —2 >0 болады да /+2 1-2 4 г аламыз. ! T ~ - J 2 =7 2 ‘ , , г 2 '- 76

Бастапкы айнымалга оралу yrniH /- v2 .y-4 ауыстыруын жогарыдагы уш аралыкка коя мыз да, тенс1зд1ктерд1шешем1з: 1) V2.Y- 4 < -2. Бул тещйзджтщ memiMi жок, ойткеш арифметикалык Ty6ip Tepic болмайды; 2) -2<v2.y-4<2 Бул тецазджтщ memiMi: 2<х<4 (ирра­ ционал тецазджтерд1шешу эд1стер1§ 22 кзрастырылады); 3) л/2х-4 > 2 . LLIeiniMi: х > 4. Жауабы: 2<х<4 болса, A - • Jl- Jlx - 4 = V4.y- 8; х > 4 болса, А = 2л/2. Иррационал ернекпй ыкщамдауды квбейптштерге ж 'т т е у аркылы да орындайды. 5-мысал. О р н е кп ыкдиамдау керек: А= а4а + b4b 24b 4иЬ (4й +4b)((i - b) 4а + 4h (1 ~b 3 3 ( 3 f I 1^ llleuiyi: a4a +b4b = a 2 + b 2 = a -~'>^ + )2 ( \\_ 1 V ^/ l У II a 2 + b 2 a - a 22 bU 22 +b = {4a +4b - \\[ab +b). Олай болса, (4a + 4b)(a —4ab +b) 2-JJ) 4ab (4a +4b){a-b) 4ci+4b a-b a-4ab+b■+ 24b 4ab a-b 4a +4b a-b ' - -Jab +b 2-Jb 4ah (4a -4b)(47<+4b) 4a +4t> (4a -4ь)(4а +4ь) a- 4cib +b+244b - 2b- 4ab a-b (4a - 4b)(4a + 4b) <-b 77

врнектерде KopccTKiurrepi эр lypii радикалдар болса, кейб|'р жагдайларда, барлык. радикалдарды бiрдей керсетюштерге келмру аркылы да ернект1 ыкшамдайды. 6-мысал. 0рнекп ыкшамдау керек: Д = б/л^7 + 4л/з)тД/Зх - 2Л . Шешуг. Екший туб1рдщ керсеткшш 6-га келт1ру ушш, тубip корсетюип мен Ty6ip астындагы врнек корсетюшш еюге кобейту керек. BipaK УЗх - 2-Ух = -УЗх - J~4x < 0 болгандык- тан, так керсетюиш T y 6 i p i T e p i c шама бола алатынын e c K e p i n , алдын ала: tjyfix - 2 Л - =*/- (24х -4ъх) = - V 2VX-- 4Ъх (*) турленшруж жасап аламыз. Ен/u, 2 - J x - J J x > 0 болгандыктан - Л Л - У з ! =- ф Л - Щ 2 тепе-тендйш аламыз. Сондыктан, В =- + 4 л / з ) ф Л - л/Зх)2 = = - у/.х2(49 - 48) = - VW = - Vx. Б 13 соцгы тенджте х>0 екенш_ескерд1к. Егер 6i3 (*) турлещйруш жасамасак: уГ^1 = yj(- I ) 2, ягни -1 = 1 сиякты магынасы жок тендж алар ед1к. ЖАТТЫГУЛАР 1. Бол1мд1 иррационалдыктан кугкару керек: 11 11 з^Г ТbГ'’ о) 2 V/75 - V 7 ’ в) 1+л/2 +-Укз*’ г)’ V 5 - V 2 ; 7VТ4Т+~ТVг6Г+~ТVг9^'' ж )j V 5 - V 2 ’ 2. 0рнекп ыкшамдау керек: Л й) V ? +4-УЗ; б) л/3—2л/2; в) — |д/5+2-Уб +V5 —2-Уб|; г) V4V2+2V6; д) Vl7 +V288; <?) V 28-16V3. 78

З.Тенджтерд1 тексеру керек: а) л/9-4л/5 +л/14-6ч/5 = 1; 6) V1\\-A4l = 1; в) л/19—8л/3 —л/7—4>/3 =2; г) л/18-8л/2-л/б-4>/2 =2; <)) V5n/2 +7->/Sv/2-7=2; ж) ^20+л/392 +^20-л/392 =4. 4.6рнек\"п ьжшамдау керек: .V- V A'- у у[х-у[)> л/а + У у 1) л/а + д/у у - а ’ л/а - д/у А -у А- у 2) л-' ^ 1 IV л/fl - л/л я 2 +/>2 / зГ л 5 -/>= л/я + л//? № + л/Л 3) я + /> 2/?л/я ч 2а yfb у (л/ ^ l ) + л/я —1 л/« - I 4) (л/я+ l)~‘ - (л/ r t - l) \" ' (« _ 0>/я+ 1- (« + 1)V« —1 5. Келесп орнектерд1 ьжшамдау керек: 1) =^6а ( 5 + 2 л/б\") •л/Зл/Та - 2 V J 7 ; 2 ) д/4 a ( i 1 + 4 л / б ) •^ 2 л / з 1 - 4 л/ У а ; 3) л/а2 - 4с/ + 4 + л/tf: + 6я + 9; а + Ь~ a+b- 4 ) J — — + 2л/я - 2л/я , я > О,Ь > О. 79

ЖАУАПТАРЫ 1) а) \\ ап 6) 2 Ч 5 - 7 н) ah ' 13 \\(2 5 + \\j I () + v 4 л) V3 - v 2 2> а) 2 + v 3 ; 6)72-1: в) 3; г) (>/3 + 1)</2 : Д) I 4 Л : с ) 3 —1. 4 ) 1) 2г: 2) 1; 3 ) 2 ah: 4) а(сН I ). -5> I) J6 x : 2а - \\, с г е р а < - 3 |2sfh, crop х, а > h. т>) - \\ е г е р - 3 < а < 2 4 ) I 2 sjab г, — 7— , сгер \\ a < h . [ 2(7 + 1, е г е р а >2 80

111 т a pа у. Ф У Н КЦ И Я Л А Р ЖОН E ОЛАРДЬЩ ГРАФИKTEPI § 9. Ф У Н К Ц И Я Л А Р Д Ы Н , КДСИЕТТЕР1 40. Функция TYciniri Егер X жиыпыпыц op6ip .v (тоуела'з айнылии) элементше кандай да 6ip /ережеа (зацы) бойынша жалгыз у (moye.idi айнымал) элемент! сойкес келсе, онда аныкталу аймагы X жиымы болатын у =fix) функциясы бериии немесе X жиы- нында у = fix) функциясы бериш дейдк Осымен 6ipre, бар­ лык у элементтершен куралган Y жиынын у = .fix) (}>упк- цпясыныц озгеру аймагы деп атайды (б1зде X пен Y — тек сандар жиыны болады). Егер осы аныктамадагы ереже формула аркылы корсетi.ice, онда функция анилитикилык тосимен 6epi.idi fldui. Мысалдар: 1. п кандай да 6ip натурал сан болсын. Онда op6ip .v па­ кты саныпа жалгыз х\" пакты санын сойкестен;пруге болады. Олай болса, аныкталу аймагы барлык пакты сандар жпыны болатын у=х\" (функциясы берьздц 2. г=\\-’ , 1< \\-< 3 фупкциясын карастырайык. Бул жазу |1; 3] KcciIi;ricihcii алынган op6ip х саныпа осы санныц квад­ раты сомкестеидipi-Tiегiн функция берьпгенш корсетедк /(1 )=12= 1,./(2) = У =4. /(2.3)-’ = 5,29 ... . Б1рак,/(4)-тщ магы- пасы жок, ойткеш 4 g[l;3], ягни 4 саны функцияныц анык­ талу аймагында жок; 3. Кез-келген .v пакты саны ушш: “ х рационал сан болса, онда у = 1; х иррационал сан болса, онда у = 0\" деген ере- жемен аныкгалган функцияны Jlupiixie функциясы деп атай­ ды. Оны кыскаша былай жазады 1, .х-рационал сап болса, х-иррационал сан болса. г= О, U 99 XI

4. Кез-келген .v пакты сан ушш: “ егер х оц сам болса, омла у = 1; смср V I epic сан болса. онда .у = — 1; егер х = 0 болса, онда у = 0” ,— деген ережемен аныкталган функцияны х-ппн тацбасы леи атайды да, y=signx деп белплейдг Оны к.ыска­ ша былай жазады ’ -1. х < О, 0, х = О, 1, х> 0 . (signx — „сигнум х \" деп окылады; дат, signurn-тсщба)', 5. Кез-келген х накгы саны ушш: егер п матурал, ал (I < а < 1 болатын сандар болып, у = п +а болса, онда у = //; егер т натурал, ал 0< [j <1болатын сандар болып ,\\=-т -/>’ болса, инда г = — ///; егер 0 < х< 1 болса, онла у = 0, — деген ережемен анык­ талган функция x-miu бутш do.niei деп аталады да кыскаша у = [х] аркылы белпленедг у =[х| функциясын былайша анык- га\\ла болады: [х| аркылы д-ген улкен емес ец улкен бутш сам белплене.н; 6) г = \\'1 - д’ (функциясыньщ аныкталу жоне озгеру аймак- гарып табу керек. llleuiyi: Квадрат ryoip аныктамасы бойынша 1—.V\" >()<=> х “ < 1<=>|х| <1 <=>—1< X < 1. Ml ни функция- ныц аныкталу аймагы Х=\\ - 1; 1]. Функцияныц озгеру аймагы. 1- д- айырмасыныц ец Kimi Moni мен ец улкен Monirie, ад оз кезепнде 1- х- айырмасыныц ец Kimi Moni мен ец улкен мош- азайткыш х-’-тыц ец улкен мош мен ец Kimi Moiiine пкелей байланысты. Аныкталу aiiMari.ni ескере отырып 0 < х~ < 1 кос гецсi здiri11 жаза аламыз. Будан ()< д : < 1 « - 1 < - л : <()<=>() < 1 - х : <1 <=>() < V l -.V2 < I. яш и функцияныц озгеру аймагы Y= |0; 1] шыгады; 7) г= I , (функциясыньщ аныкталу аймагын жоне 1-л ' озгеру аймагын табу керек. llleuiyi. Квадрат ry6ip аныктамасы бойынша 1-д: >(). Сопымен 6ipге болшектщ 6o.ii.Mi нодге ген емес бодуы керек: 82

1- д-: ф 0 • Бул СК1 шарттыц еке\\ i лс орындалуы уш ш 1—.V > 0 <=>.V < 1 |.\\j < 1<=>—1< .v < 1 op ы ил ал у ы кс ре к. ягни функцияныц аныкталу аймагы X — (—1;1). Функцияныц озгеру аймагы болшектщ болiмiнiц кабылдайтын мондерше тоуелдк Ал 1—.V2 айырымыныц ец улкен мс>нi азайткыш д°-тын ец кi11ц мошне х;=0 сойкее келетйпн кору киыи емес. Олай болса, болшектщ бо.iiмiнiц. ягни 1-.у-' айырымыныц ец улкен моиi 1-ге тец. Сондыктан болшектщ ец кiпji мои! г = | = 1 тец. Ал .у айнымал 1-ге умтылганда 1—д-' айырымы нолге умтылады да болшектщ 03i (1 —А\" > 0 болганлыктап) + оо - ка умтылады. Сонымен функцияныц озгеру аймагы Г = [ 1; + ° ° ) . 41. Жазыкгыкгагы пк бурышты коорлпнаталар жуйсса Кдрапайым жопе жшрек колданылатып пик буры ш ты координата.шр .vcyiieciii карастырамыз. Озара перпендикуляр cki тузу берьчсш. Тузудердщ киылысу 11укrcci11 сапах басы немесе координата.tap басы деп есептеймгз. Op6ip гузуге оц багыт беремгз (аныктаймыз) жоне координа- талар басынан бастап оц багытта осы тузулерге би'р.ик Kcciitdini саламыз. Бул тузулерд1 координата myiy.iepi пемесе координа­ т а ocmcpi леп атайды жоне олардыц 6ipeyin абсцисса oci, ал екiIпIйсi11 — ордината oci леп атау кабыдлангап. Коор- дпнаталар басын О. абснпссалар ocin ОХ, ал ординаталар ocin OKopiirrepi.MCH белплеймн. Ko6inece абснпссалар oci жатык (горизонталь) жоне оныц оц жарты oci оцга карай багытта- латыпдай erin орналасгырылалы (мундай коорлпнаталар жуйесш оц багытгалган дейдк 1-сурег). Жазыктыкгыц кез келген М нуктесмп алаиык. М nyKreci аркылы коорлпнаталар ос repine параллель тузулер журпземп. О У осiне параллель тузу абснпссалар ocin \\ нуктесйме. ал ОХ осiне параллель тузу ординаталар ocin /. пуктесшде кияды. /V нуктесййц абснпссалар осiii,ieri координатасы \" a\" , L нук- лесiнiц ордпнаталар ociii;ieri коорлпнатасы \" h\" болалы. Онда M нуктеспйц ОХУ коорлпнаталар жупссзилсп координапниа- ры деп, реттеиген кос (а,Ь) сандарын айтады. а саны М 11\\клес iIй1г бipi ншi координатасы немесе абсциссасы, Ь саны А/ нуктесшщ ек'шшi координатасы пемесе ординатасы 83

* Л' деп аталады да жоне Mia.h) L(O.b) М (а ,Ь ) деп жазылады (мунда алдымен абсцис­ са, содап соц ордината жазылатынына, ягни а мен b сандарыныц орна- (0 . 1) ласу peTine назар аудару керек). Л'илО) о ( 1.0 ) Коорди Iкаталык. тузу — барлык пакты сандар I cvper жпыиыныц геометрия­ л ы к моде.'п болатыны сиякты, барлык. кос пакты сандар жиыныныц геометриялык модел1 — коордИнаталар жазык,тыгы. 42. Функцияныц графин г —f(x) фупкцпясы 6epi.'icin. Егер абсцпссасы функцпя- ныц аныкталу аймагында жататын, ал ординатасы функция­ ныц сойкес мошне тец болатын барлык нуктелерд1 коорди- наталар жазык.тып>шда белплесек, онда (x;f(x)) нукrejiepi11iц жиыны функцияныц графигi болады. Мысал: функциясыньщ графипн салу керек. LUeiuyi: Ф ун кц ияны ц кейб1р мондершщ кестеан курамыз: 2, а-сурет 2, б - с у р е т 84

Табылган (0:0), (0,5; 0,25), (1; I), (2: 4), (2.5; 6,25). ( “ 0,5; 0,25). (—1; 1), (—2: 4). (—2,5; 6.25) нукюлерш коорди­ ната,™р жазыктыгына туслремн (2. а-сурет). Бул нуктслер;и тепе тутас сызыкден косым функциясыньщ i patjinriii (до.иреп, фафиктщ jC K iuiii (нобайын)) аламыз (2,6-сурет). Бул сызык- ты парабола леи атайды. 43. Ж уп жоне гак функпиялар Егер X жиыны 6epi;iin, кез келген к .V уппн -хеХ бол­ са. онда А'жиыны коорлинаталар басымен салыстырганда сим­ м етриялы (бепипеспе) ж и ы и деп аталады. Егер у = f(х) функциясыньщ аныкталу аймагы координа- талар басымен салыстырганда симметриялы болып жоне кез- келген у ех Y11j iн f(~x) = fix) ic i t i i i i орындалса. онда оны ж уп ф ун кц и я деп атайды. М ы салы , г = v-. у = 41-х1. у =.у4. г = ,у\". г = cos Аз жуп функпиялар. Аныкталу аймагы коорлинаталар басымен салыстырганда симметриялы болатын жоне кез-келген х & Х ушш / ( —,v)= —f(x ) rermiri орындалатын у = f (x ) (|)ункциясын так, функция деп атайды. Мысалы, у = ,v, у - ,v;, у = л\\ у = ,v (1 —л -1). y = sin.v так (функпиялар. Егер сн болмаганда бiр ,v пен —v кос монлсрi ymin j ( -,v) Ф / ( ,v) жоне / ( - .v) Ф - /’( ,v) болса, онда у =/(.v) жуй та , так га емес. Мысалы, у= ,v+], г = ,v жуп га, так та бол- майтын (|)ункпиялар (тексерппз). Егер функция жуп болса, онда оньщ графин орлинаталар оамен салыстырганда симметриялы болады. Ойткеш кез кел- ■ен х е Х n y K T e c i уппн жазыктыктыц (.v, fix)) пен ( —v ,/(—v)) nyKTe.iepi O Y ослмен салыстырганда симметриялы . Егер функция так болса, онда оныц графин координата- лар басымен салыстырганда симметриялы болады. ОйiKeni кез- келген х е А у[гйн жазыктыктыц (х, fix)) пен ( —.v, /(—.v)) нук- Tcaepi коорлинаталар басымен салыстырганда симметриялы. 1-мысал. у —|.vj функциясыньщ графипн салу керек. Llleiuyi: /( —.v)=|—,vj = |- l ■,v| = |-1 j |.v| = |.vj -/(.v) болатын- дыктан y = |.v| жуп функция. Олай болса. оныц графин орди­ ната oci.Meii салыстырганда симметриялы. Егер .v > 0 болса. онда j.v|=.v. ягни у=\\\\ ал. у=v функция- 85

сыцыц 1рафип Гири ни i координаталык буры ил ыц биссектрц- сасы. Бул биссектрисага ОКослмен салыстырганда симметри- ялы болатын функцияныц л' < 0, ягни (- °°,0 ) болншдеп графигт салу кнын емес (3-сурег). 2-мыеал: r=v|.v (|)ункцнясыныц графипн салу керек. Illeiuyi ./’( —.V) = —.V| —.V| = —.V|.v|= —/(.v) болгандыктан v=.v|.v| так функция. Олай болса, оныц графин координата- дар басымен 0(0,0) салыстырганда симметриялы. Егер ,v > 0 болса, онда у = х ■х =х2. Бул 44 н. 2,6-еуреттсп парабола! 1ыц оц тармагы. Осы тармакты жоне оныц 0(0,0) нуктесдмен салыстырганда симметриялы болатын бейнесш салсак, онда берiлген r =v|.v| ф ункциясыны ц rpa(j)иi'i11 (4-сурег) аламыз. 44. Периодгы фупкциялар Егер г =J(x) функциясыныц аныкталу аймагындагы кез- келген .v yiniii .v + Г мен .v — Г сандары да (функцияныц аныктаду аймагында жататын жоне аныктаду аймагынан алын- ган кез-келген .v yinin,/’(.v+ 7) = fix ) орындалатын J * 0 саны бар болса, онда у —fix) периоОты функция деп, ал / саны оныц периоды лен аталады. 1-теорема. Егер /'саны г =j{x) (функцияныц периоды бол­ са, онда т Г, /п е Z , ш ф 0 сандары да (функцияныц перио­ ды болады. Нгер Г саны функцияныц оц нериодтарыныц iiiiiimeri ец Kiiuici бодса, онда оны вас период ден атайды. 86

Мыса.г. 1) Y = sin.v, Y = cos.v ф у н к ц п я л а р ы н ы ц бас и ер и- одтары Т=2я. о й т к е ш , к е з-ке лге н .v уп п н д-+2я мен \\ - 2л сандары осы ф у н к ц и я л а р д ы ц а н ы к т а л у л ii ма к гл р ia11лл ж ата- ды жоне s in ( .V + 2тг) = sin.v. c o s ( . v + 27t) = cos.v (54 п. карацыз). 2 ) у = .\\— |л| ф у н к ц и я с ы н ь щ бас п ер и о д ы 7 = 1, о й а к е н i (функция кез -ке л ге н х у ш ш а н ы к т а л г а н жопе | д + 1| = [.v]+l бодгандыктан ./(.V+l )= .V + 1 - |.Y + 1 |= .V + 1 - |.V |- 1 = A -|.V |= ./(.V ). 3) г = sin .v ф у н к ц п я с ы нерподты емес. о й т к е ш , м ы с а ­ л ы д - 0 у п п н а —7' ( 7’> 0 ) с а н ы осы ф у ю ш я н ы ц а н ы к т а л у аймагында жатпайды. 45. Монотон на функпиялар X жпыпында аныкталган у = /(а ) функцияса.! 6epiacin. Егер /V ж и ы н ы н ы ц кез кед ген .v, мен а, сандары у п п н д ^ д, тецегз- д т п е н /(.v ,)< /(а ,) ( Д а |) > / ( a,)) тецегз.нп ш ы к са. онда у = / ( а) осы X ж п ы п ы н д а ocne.ii (келпме.п) функция деп аталады. Баскаша айткднда, егер X ж иыны нда жатагын apry.Menrrin кандай бодмасыи ею Monin адганда. ар гум енттщ улкен мош не (ф ункцияны ц улкен (к iin i) Moni coiiKec кедсе. онда (функция X ж иынында ocne.ii (ке,\\нме;п) болады. Егер ,\\ ж и ы н ы н а н адган кез-келген а мен .у сандары уп п н , а , < а \\ т е ц а з д н ш е н /'(д , ) < / ( д : ) ( / ( д ,) > / (д \\ )) те ц е гзд п т ш ы кса. онда г = /(х) осы X ж п ы п ы н д а келимейпнп(ocneuiiiiii) функция деп аталады. 5 а , 5 о , 5 6 , 5 в с у р с г г е р д е X = \\ а , 1>| к е с ш / п с ш д е с о й к е с o c n c jii, KCM i.M Cjii, к е м 1 м е й т ш ж о н е о с п е й т ш (ф у н к ц и я д а р л ы ц I р аф п ктер 1 K o p cei ia re n . 87

эо-сурет 5в-сурет Егер X жиыпымла осы торт жагдайдып тек 6ipeyi tana орындалса. онда функция X жиынында монотоиды деп а т а ­ лады, ал оныц игпндеп ocncai жоне ке\\пмел1 функцияларды к атац монотоиды фупкциялар дейдт Мысал: у = 2.V-+3 функциясын монотондыккд зерттсу ке- рск. UJeiuyi: л, <л\\ Гюлсын. Онда х < .v;. 2.y,‘ < 2.\\ч => ./'(л, ) = 2.V,' + 3 < 2\\< + 3 = / ( д\\ ) аламыз. Олай болса, функция бумл сан осшде оспелЕ 46. Шснслгсн фупкциялар X жиынында аныкталган у —fix) функциясы GepLiciii. Егер кез кед ген ,v е ,V нуктеа уппн А < f (х) ( f (л) < В) тецсггпп орындалагын А саны (В саны) бар болса, онда у = fix) осы .V жиынында томеннен (жогарыдан) шенелгсн функция дсп аталады. Егер кез келген х е Х нуктеа ушш |/(.\\‘)|— Л/тецаздт орындалатындай А/ > 0 саны бар болса, онда у = fix) осы Л'жиынында шенелгсн функция деп аталады. Мысалы: 1) г = ---- у (функциясы (- 00,00) сан осшде ж о­ гарыдан шенелгсн. СебебЕ кез келген yniin 1 .1 2 д-: “ 2' Бул (функция (-оо.со) сан ociiue томеннен де шенелгсн, ой гкегIi кез келген х ушш “ ~1<п 1 : тецаздтн 88

жаза аламыз. Олай болса бул функция (-00,00) сан осшде шенелгсн, омгке11i кез келген .v 11 ушш -,+ ; - i ■ 2) г = \\Ч —Л\" (функциясы |—1: 1| кесш/исшде шенел- ген, ой гKcni кез-келген ,v e [- l:l] yuiin: 0<%' 1 д-' < 1, 3) y=sin.v функциясы сандар осшде шенелгсн функция, оиткеш V .v g R . |sin.v|<l. 47. Функцияныц ец улкен жоне ец Kinii Maiuepi Л’жиынында аныкталган у =/(д) функциясы 6epi;iciH. Егер кез-келген .v е X упин J \\ x ) > /'(.v„) ( /’( л) < ,/ (л 0)) орын- далатын .у, е А' нуктесд бар болса, онда г =./i.v) (функциясы X жиынында у() = /(.v0) men ец Kiuti (ец улкен) монш ,v ~ дп нуктесмнде кабыддайды дейлт. Мысалы. а) у = а0 функциясы ( - °°Р°о) (аралыгында .v = О нуктесмнде ец Kiuii у= 0 MUiiiii кабыддайды. б) у = 1 -(.д -2): функциясы |1; 3| кесш.исшщ д = 2 нуктесмнде ец улкен у = 1 могйн кабыддайды да. д = 1 жоне д= 3 нуктелершде ец K i m i у = 0 моиi н кабыддайды. ЖАТТЫРУЛАР j ,v , .v> 1 /(—S), / ( —1,2), 1. ./(-v) =1j.1 , .V< 1 функциясы бершгеп. /(()), /(I). /(4) мондерш табу керек. 2. Функцияныц аныктаду аймагы мен озгеру аймагын табу керек: v: -4 3) 1 = 1 +д : 1) г = д - 1 ; 2) г = д, - . 4) г = .Д4 1 : э) v = .д - 1 • д-4 3. Функциялардыц графиктерш 6ip гана коорлпнаталар жуйесмнде салу керек: а) у = О.Зд + 3, v = —2д+5, г = 5.v. г 5, д = 3. и) у = х. г = х-, у = х\\ у = л4, у = -V' . 89

4. Функцияныц жуп немесе так болатынын корсету ке­ рек: 1) у= .V4: 2) у = х ' : 3) у= - 2 х :; 4) у = д -2а . 5) у= х- |.v|; 6 ) у = (л— 3 ) : - ( . v + 3 ) ' ; 7) ,-= у - . у ’ ; Vл .V - .V' л .V - 3 8) г = , ; 9) г = , ; v —4 ‘ | + д- 10) г =-- - . \\+ 1 5. Функция монотонлы ма (егер болмаса, онда функция- ныц монотонлы болатын аралыктарын табу керек) 1) г = а : 2) у = у : 1 4 )v= x - [a|; 3) У ~ г~г- |а | А+ 1 5) у = 5 - 4а- : 6) г= ; 7) г = у | - л- ? 6. \"Функция шенелмеген” леген угымлы кдлаи тусшссп? 1) г =а ; (ф ункциясы ньщ жогарылан шенелмегеш н; 2) у = х 2 (функциясыньщ шенелмегешн корсету керек. 7. г = { а ) ( а -т щ болшек болiri) функциясы периолты бола­ тынын долеллеу керек, оныц нериолын табу керек жоне графипн салу керек. 8. Периоды 7=2 болатын нериодты функция |~1:1| Keciiuiciiue былайша аныкталган: О. - 1 <д< 0 ■/(Д) “ ] .у. 0< д < 1. Оныц гра(фш in салу керек. § 10. IIP O I РЕ С С И Я Л А Р \"П рогрессия \" — ла т . “Progressio — ал га ж ы лж у \". 48. Сандар mocri. Сандар -пзбегшщ nieri Нгер op6ip натурал п санына аныкталган 6ip сосаны сой­ кес койылса, онда ,а ......<? ,... сандар ri j6eri 6epi.i;u децп. Сонымен. сандар пзбеп - натурал сандар жиынында аныкгалган (функция. , а я............. . . . . сандары ii ;бекпц мушелерк ал ап riзбекri11 //-mi мушесл немесе жалпы Myuieci лен аталады. Ti збек ri 11 о:лн (ап) аркылы белплеймгз. I i збек ri i<o6iнесе оныц /;-ин Mymecinin формуласымен (аналитикалык тосллмен) бередк ап = / (и ), /г= 1,2..... Булан 90

тпбекпц opGip мyniccii! оныц iioMipi бойынша табуга болаты- НЫМ КОрСМП. Мысалы. ,/ = -— жалпы мушесл аркылы ri !бекпц кез кел- н I _: ген мушесш таба аламыз: -<*. а: а. ---. ... жоне т.с.с. T iзбск кейде тпбекпц мушелерш алдыцгы белri.ii Myinenepi аркылы табуга мумкмсмк берепн рекуррснпик формуламен де 6epL'ie;ii. Бул жагдайда тпбекпц 6ipiinui муineci11 (немесе ал­ дыцгы бiр11е111е мушесш) жоне ол бойынша тпбекпц кез кел­ геп мушесш табуга мумкитцк берепн формуланы корсетедг Мысалы, с/, = 3, и2 = 5, Аналптикалык жоне рекуррентк тоаллермен беруге бол- майтын тпбектер бар. Мысалы. V2 санынын кечймен алын- ган жуык мопдерпйц пзбеп 1,4: 1,41; 1,414: 1,4142; ... немесе жай сандар riлбеri 2: 3; 5: 7: 11: 13:...... i.e.с. 49. Арифметикалык прогрессия жопе оныц Kacnerrepi L:кiн111i м\\шее iнен бастап opoip .мушесл алдыцгы мушеге гурак! ы <7сан ын косу аркылы алы па гын [чп) сан п ioci т ариф- метпкалык прогрессия дей;и. Мундагы <7 саны арифмегпка- лык ирогрсссияныц айырмасы деп aiалалы. Арифметикалык (fl„) прогресспяны келесл шарттармеи аныктауга болады: 1) а. = а, (а - сан) 2) Кез келген п > 1 yiuiii с/,,., = ап + d . Бул шарттап с/ > 0 болса прогрессия оспсл:. ал с/ < 0 болса прогрессия кемiмелi болатыпын коремп. Мысалы, 3,5,7,У...... Т пбеп ( 1 = 2 бола гын ocuejii, ал 4, 1, -2, - 5, -8. ... тпбеп с/ = — 3 болатын кемiме.лi арифме­ тика.! ык прогресспялар. Егер ( \" J арифметикалык, прогрессия болса, онда оны + а { . а , .....\"„•■■■ немесе + (а ) аркылы белплейдг Ilem ri кдеиеп. Арифметикалык ирогрсссияныц CKinmi мушесшен бастап кез келгеп \\iyineci 0111,111 алдыцгы жопе одан Keiiinri корим мушедернпц арифметикалык ортасы: 91

Бул касиетп Ke.ieci тенджтен а„>\\ -и ,, = (1„ = ( I . // = 2.3.... (2) тжелей шыгаруга болады. Непчп касиетке Kepi тужырым да дурыс: егер капдаи да dip пизбект'т ек/'/ша мушестен бастап кез келген мушес/ оныц алдындагы жоне одан кейиин Kopiui мушслерда'ц арифметика- лык ортаеы болса, онда ол арифметикалык прогрессия. Шынында да, егер (1) тендж орындалса, онда кез келген н > 2 noMipi yin in (2) тен/ик дурыс, демек аныкгама 6oii ынша (а„) арифметикалык, прогрессия. Арифметикалык, прогрессияныц н-mi мушесМц формуласы: а = и| + (/; - 1)d. (3) Арифметикалык прогрессияныц алгашк,ы п мушеспйц к,осындысыныц формуласы: С ('\\ +(,п (4) .. 2at +(/)-1)с/ S= , ---- //. (4') Жалны жагдайда (<\"/„) арифметикалык. прогресспясы yniiii келес-i тецпк орындалады ак + а„, = а +а к +т = р +q . (5) Назар аударьщыз. (2) тендж (5) тенджтщ к = т = /;, р= /;—1, с/=//+1 мондерше сойкес келелi11 дербес жагдайы (коз жегкiз!ni 0. 1-мысал. Арифметикалык прогрессияныц 9-шы мyincciiiin 2-ini Niyineciiie кдтынасы 5 гец. Прогрессияныц 13-nii мушесш оныц 6-шы мушесше болгенде бол н ш 2 жоне калдык 5 гец. Прогрессияныц oipinnii Niyuieci ,мен калдыгын табу керек. ;«/„ =а: Llleuiyi: Нсеп шартынан Ke.ieci жуйеш аламыз: Ь, -=-■>Х +>■ Мунда (3) (формуланы пайдалансак j(/i +Si/ = +</). 4с/, = Зс/, jc/, + 12x1 = 2(с/, +5d) +5. )</, - 2x1+ 5 = 0, а1= 3; d = 4 аламыз. 2-мысал. 1.1ияс бiрiн111i минугта 400 м., ал op6ip келеа минутта алдыцгыдагыдан 5 м. кем жупр/ц. Ол 1 сагатта кан­ ша кашыкгыкка жупр/п? 92

Illeiuyi: Есеп шартынан -5-400, 395, 390, ... туршдеп а, = 400, с! = -5 бодатын арифметикалык. прогрессия аламыз. Ал I саг.= 60 мин. шпнде жупрьлген кашыктык прогрессия- ныц алгашкы 60 мушесшщ косындысына ген. Сондыктан (4’) (формула бойынша ле,. = \"--2-\"--+-(/----9- бо = ------5-9-' 5- АбП() = 1, ?-11м-п). Жауабы: 15 км. 150 м. 50. Геометриялык, прогрессия жоне оныц Kacnerrepi Bipinuii Niyiueci под емсс (/;, Ф 0). ад екiiп11iсiиен бастап opoip мушеа оныц аддындагы муше мен туракты цф 0 саны- ныц Ko6eriTin;xiciне ген сандар тдзбеri геометриялык прогрес­ сия дсп аталады. Мундагы q саны геометриялык прогрессия- ныц ece.iiri деп аталады. (bn) тгзбеп геометриялык прогрессия cKenin корсету уш in оны -*-(Ьп) немесе -^br b,.....bn.... симноддары аркылы белплепдг Аныктама бойынша, _ h, _ _ b />. Л ~ /> ” /> . ” h ~ h ~ \" ■ { 1’ ягни прогресспянын кез келген мушесi мен оныц аддындагы мушешц катынасы туракты жоне од прогрессия ece.iiri q-re ген. Сонымен. геометриялык прогрессия кедеа шарттармен 6epi.ie;ii: 1) /), = /\\ : 2) />,,. I = />.. -с/, и > 1. с/ ф0 . Мысалы. 1 егер = 1, q = 2 болса, онда жалпы мушесл п„ = -- бо­ латын -н-1; 2; 4; 8; ... 2\"; .... туршдеп геометриялык прогрес­ сия: егер //■>=—1, а ——1 о-одса. онда Ь/ =-М—1Г о-олатын '1 ‘ 3 \" ?! 3J ■и- 1• 1 •1 — - - —I ......-•I\\I~-\\1]' •.••• туршдеп геометриялык 7 21 6 3 1 7 ( 31 прогрессия шыгалы. 93

Геометриялык прогрессияныц иег 'чгi кцсиепй: скim11iсiнсп бастан геометриялык. прогрессияныц кез келген мушеспйц квадраты оныц алдындагы жоне одан кешнп корпи муше- лершщ кобсiniH.riciне гец: /,: „.I /г - 1 (2) (2) тецпк (1) IeitriKTср.ген шыгады. Б ).1 каскетке Kepi тужырым да дурыс. егер кандай ла 6ip (Л „), Л, Ф 0, ч Ф 0 Tiзбеп ymiii (2) тецпк орынлалса, онла ол — геометриялык прогрессия. Myuie.'iepi оц геометриялык, прогрессия уппн Ke.ieci гец- л!к1ч жаза аламыз h„r 1 = л А Л , +; ( п > \\ ) , (3) ягни Niyuie.iepi оц геометриялык прогрессияныц екшпп мушеемнен бастап кез келген Myiueci осы мушенщ атлыплаты жоне олан кешнп корни мушелердщ геометриялык, ортасы. Геометриялык, прогрессияныц жадны мушеспйц (форму­ ласы: h = Ь г < Г '. (4) Геометриялык, прогрессияныц алгашкы п мушелерппц косындысын ыц (формуласы h а - h. ,/ 1 • (5> Егер (4) (формуланы ескерсек, онда (5) (формуланы ке.чесi турге келпре аламыз l\\Ul\" - О 1/1 л (2) tciuuk жалпы жагдайда k+m=p +l yiuin келеа гурде жазылады !\\ •/> = ■/>;. к + /;/ = р + I . (7) 1-мысал Е кiн111iсi 6ipii uni мушеден 35-ке кем, ал yiniinnici ropriiniii мушеден 560-ка артык, болатын геометриялык про- гресспяпыц торт алгашкы мушелерш табу керек. llleuiyi I:сеп шартынан Ke.ieci жуйеш аламыз )/>! -35 = Л,, [/>,, - 560 = Л4. Ьул жуйелен (4) (формуланы пайдалана отырып 94

J! /> -h,i/ = 35. —s J[Л, (1 - (/) = 35. /—S !/),(/ -/),</’ = 560. [/),(/ (!- (/) =560. /> ( I - (/) = 35. ' (I - </) = 35 </ =16. >/; -35 = 560. аламыз. Мундагы </, = 4. (/,=-4 мондерш жуйенщ oipinuii 35 = 7 шыгалы. тендеушс койсак. оларга сойкес А = — г-- Олай болса, геометриялык нрогресеияпыц алгашкы торт му11lec i l' ki гурле жазылады: 35 35 '4 35-16 35-64 жоне 7; -2S; 44S; —100S. 2-мысал. Bipiimii мушесл 3. /;-ий мушесм 96. алгашкы п мушелершщ косындыеы 189 тец геометриялык прогрессия- пыц сепзмшй мушеелн табу керек. Illeiuyi. (4) формуланы иайдалансак 96= Л/’ . ц ' =32. Жауабы. 3X4. 3-мысал. 1'eiuuKii лолеллеу керек: х — 1 — ( л 1)( д 1 + д ' + . . . + 1). п е V. UJemyi. Егер х=1 болса, онда 0=0 дурыс тецдш аламыз. Ен/и .v ф I бодсын. B i p i i i i n i м\\i n e c i . !\\ = 1. e c e . n r i q=x геи геометриялык, прогрессияны карастырамы !. Оныц алгашк1>1 п M y i n e c i i i i n косындысы (6) (формула бойынша S 1f ,v+ ,v +....+ .V\" ~ -) х\" 1) болады. Булан кез келген д жоне натурал // саны yin in \\‘ —I = ( л —1)( +х\" '+ ...+ 1) аламы 95

Дербес жагдайда, долелдснген тецдктен п = 2, болса •v: - 1 = ( .V- I )( V + 1), ал /;=3 болса л ' - 1 = ( .v - I )( ,v2 + .v + 1) кыскаша кобейту формулалары шыгады. 51. Сандар пзбегшщ uieri (•У,) = .v,. д\\...... у ,.... — сандар пзбеп 6epuicin. Кез келген оц г: > 0 санын алайык, (к — эпсилон, грек opni). Егер осы г саны бойынша, |V. - c/j < г. //> .V (1) тецсмзд1г1 немесе оган пара-пар а - ? < .у, <(7 +£, и >N (Г) кос гецстхшп орындалатындай N no.Mipi табылса, онда и саны (х„) сандар riзбеriнiц uieri деп аталады (1-сурет). ------------ О— ■■Ч ~: •— ^ -------- —— ► as а а+£ 1-сурет Ьул жойт lini \\/( = а немесе хп —>а, п —^оо епмволдары- мен белплене.п. Лербес жагдайда, егер а= 0, ягнп lim .у, =0 болса. онда (д ) — акырсыз аз шама деп аталады. Мысалы. кез келген j.\\j< 1 саны уппн lim .у = 0, |д-| <1. (*) Осы спякты, lim —5 =0. lim—I =0, lim-(--1-)-\" =(}, lim—-1-- =(). п2 /i • •■// t I t .c .c. орындалатынын корсетуге болады. lisocK тек repi yuiiii Kc.icci кденепер орындалалы Егер lim .у, = a , lim г. =/> u i e K T c p i бар болса. онда limi.v х у i. Iim(.vn■v/r), lim— ( lim v„ * 0) mcKTcpi де бар \" ' “ \" ” j V,, .....’ жоне Ke.ieci тещпктер орындалалы: 46

\\а lim(.v„ ± v „ ) = a ± b : lim(.v„ ■\\у) = ah: lim — = —. •- - ■ I’ Д е р б ес жагдайда, у „ = с бодса, онда c K iin iii те щ ц к т е н lim e ■.у = с lim .v алам ы з. 52. Акырсыз K C M i.M C .ii Геометриялык. прог рессия Егер геометриялык. upoi ресспяныц еселишщ моду;п 6ip;ien Kiuii \\q\\<1 болса. онда од акырсыз кемгме.п дон аталады. Мы- сады. /;-пй мушесл Л.. = формуласымен бериген геомет- рпялык прогрессия акырсыз k c m i m c .t i , ойткеш 1>, = болады да булан IV//II\\-- Ir 1 Л коремгг Акырсыз кем1ме.'й геометриялык прогрессняныц косын- дысы лен, оныц алгашкы п Myiiie.iepiiiin косындысыиыц и _> со умтылгандагы meriii айiа.ды: .V = lim .S', . Ендi (6) (формуланы келесл турге Ke.nipin алапык V =М ^ =М 1 -^ = . |(/|<| ч-I 1- (/ 1- ч 1- ч Сандар пзбепнщ к,асис11epiи жоне (*) iciiiirin пайдалан- сак Ih />. \\h h i\\ h 1- </ lim .S' = 11m l ----- — ч ! =- -- I m i !/ 1- •: 1- ./ 1- 4 1~ 4 J 1-</ l-< /\"\" Сонымен. акырсыз кемiмелi геометриялык ирогрсссияныц косындысы />, .S ' - '1 l-i/ тец. 1-мысал. Акырсыз кемiмелi ]■ -■ геометрия- :4 s лык прогрессняныц косындысын табу керек. -О1) 47