LANJUTAN CONTOH SOAL 3 Nilai minimumnya = − ������ ������������ mak Titik balik maksimum jika +++++ +++++ (+) lalu (–) maka x = 1 01 ������ f(x) = (x – 2)(x – 1)2 f(1) = (1 – 2)(1 – 1)2 = 0 ������ min Cek tanda . Ambil x = 0 Nilai maksimumnya = 0 Substitusi ke ������ ′(x) positif ������′ ������ = (x – 1)(3x – 5) = 0 CONTOH SOAL 4 ������′ ������ = ((0) – 1)(3(0) – 5) = 5 Nilai ektrim dari fungsi Titik balik minimum jika (–) f(x) = ������ ������ adalah …. ������ ������������ + lalu (+) maka x = ������ u(x) = 3 maka ������′ ������ = 0 f(x) = (x – 2)(x – 1)2 v(x) = x2 + 1 maka f(������) = (������ – 2)(������ – 1)2 ������′(x) = (1)(2) x2 – 1 + 0 = 2x ������ ������ ������ ������′ ������ . ������ ������ − ������ ������ . ������′ ������ f(������������) = (− ������������)(������������)2 = (− ������)(������) = − ������ ������′ ������ = ������ ������ ������ ������ ������ ������������ Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
LANJUTAN CONTOH SOAL 4 –3(x2 – 4) = 0 a2 – b2 = (a + b)(a – b) ������′ ������ 0. x2 + 1 − 3 . 2x –3(x + 2)(–x + 2) = 0 = x2 + 1 ������ Titik-titik ekstrimnya : – 2 dan 2 0= − 6x Ujung-ujung interval : – 1 dan 3 x2 + 1 x2 + 1 f(x) = –x3 + 12x + 3 Titik-titik ekstrimnya adalah : – 6x = 0 maka x = 0 f(– 2) = –(– 2)3 + 12(– 2) + 3 f(– 2) = 8 – 24 + 3 = –13 ….. (1) Nilai ekstrimnya : f(– 1) = –(– 1)3 + 12(– 1) + 3 f(x) = ������ ������ f(0) = ������ =3 f(– 1) = 1 – 12 + 3 = –8 …….(2) ������������ + (0)������ + ������ f(2) = –(2)3 + 12(2) + 3 f(2) = –8 + 24 + 3 = 19 ….... (3) CONTOH SOAL 5 f(3) = –(3)3 + 12(3) + 3 Nilai minimum fungsi f(x) = –x3 + 12x + 3 pada interval f(3) = –27 + 36 + 3 = 12 ... (4) –1 ≤ x ≤ 3 adalah … ������′ ������ = (–1)(3) x3 – 1 + 12(1) + 0 Jadi, nilai minimumnya = –13 ������′ ������ = –3x2 + 12 Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
CONTOH SOAL 6 f(x) = (x3 – 1)² f(– 1) = ((–1)3 – 1)² Fungsi f(x) yang ditentukan oleh f(x) = (x3 – 1)² dalam interval f(– 1) = (–1 – 1)² = 4…….….(1) f(0) = (03 – 1)² –1 < x < 1 mempunyai nilai f(0) = (– 1)² = 1……............... (2) minimum dan maksimum f(1) = (13 – 1)² berturut-turut adalah . . . . f(1) = (1 – 1)² = 0 ………..... (3) k = 1 n = 2 f(x) = x3 – 1 ������′(������) = 3x2 Jadi, nilai minimumnya = 0 Jadi, nilai maksimumnya = 4 ������′ ������ = ������. ������ ������(������) ������−������ ∙ ������′(x) ������′ ������ = (������). (������) ������������ – 1 ������ −������ ∙ ������������������ CONTOH SOAL 7 (6x2)(x3 – 1) = 0 Nilai maksimum dari y = ������������������ − ������������ pada interval –6 ≤ x ≤ 8 adalah …. 6x2 = 0 x=0 x=1 x3 – 1 = 0 Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati x3 = 1 Titik-titik ekstrimnya : 0 dan 1 Ujung-ujung interval : – 1 dan 1
LANJUTAN CONTOH SOAL 7 Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati ������ f(0) = ������������������ − (0)������ y = ������������������ − ������������ ������ f(0) = ������������������ = 10……............. (2) k=1 n = ������ f(x) = 100 – x2 ������′(������) = –2x f(8) = ������������������ − (8)������ ������ f(8) = ������������������ − ������������ = 6 ………..... (3) ������′ ������ = ������. ������ ������(������) ������−������ ∙ ������′(x) ������′ ������ ������ ������������������ − ������������ ������ − ������ ∙ –2x Jadi, nilai maksimumnya = 10 = (������). (������) ������ CONTOH SOAL 8 ������′ ������ = –x ������������������ − ������������ −������������ = ������ Diketahui f(x) = ������ ������������ + ������������������ − ������������ + ������. ������ ������ 0 = ������ x=0 ������������������ − ������������ ������ Fungsi f(x) mempunyai nilai ������������������ − ������������ Titik-titik ekstrimnya : 0 stasioner pada x = –2 untuk Ujung-ujung interval : – 6 dan 8 nilai a = f(x) = ������������������ − ������������ ������′ ������ = (������)(3) x3 – 1 + (a)(2) x2 – 1– 2(1) + 0 ������ x2 + 2ax – 2 = 0 f(– 6) = ������������������ − (–6)������ (–2)2 + 2a(–2) – 2 = 0 a = ������ = ������ f(– 6) = ������������������ − ������������ = 8…….….(1) ������ ������ 4 – 4a – 2 = 0 4a = 2
CONTOH SOAL 9 ������ f(x) = p – 2x Nilai stasioner dari : ������ ������ = ������ + ������ − ������������ ������ ������′(������) = –2 f(x) x3 – px2 – px – 1 terjadi untuk x p , maka nilai p ... k = 1 n = ������ ������′ ������ = (1)(3) x3 – 1 – (p)(2) x2 – 1 – p(1) – 0 ������ ������′ ������ = 1 + ������. ������ ������(������) ������−������ ∙ ������′(x) ������ ������′ ������ = 1 + ������ ������ – ������������ ������ − ������ ∙ –������ (������). (������) 3x2 – 2px – p = 0 ������ ������ 3(p)2 – 2p(p) – p = 0 p2 – p = 0 ������ = 1 – ������ ������ – ������������ = 1 ������ – ������������ ������ p(p – 1) = 0 maka 1 = ������ − ������������ 12 = p – 2x p = 0 atau p = 1 2x = p – 1 ………………………….(1) CONTOH SOAL 10 Substitusi (1) ke f(x) Fungsi f ditentukan oleh ������ ������ = ������ + ������ − ������������ ������ = ������ ������ = ������ + ������ − ������������. Jika fungsi f y = ������ + ������ − (p – 1) y = ������ + ������ mempunyai nilai maksimum 4, y=x+1 4=x+1 x=3 maka nilai p sama dengan … Substitusi x = 3 ke pers. (1) Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati 2x = p – 1 2(3) = p – 1 p=6+1=7
Menggambar Kurva Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
LANGKAH MENGGAMBAR 4) Tentukan nilai-nilai fungsi pada GRAFIK FUNGSI ALJABAR ujung-ujung interval. Jika kurva itu akan digambarkan untuk 1) Menentukan koordinat titik-titik semua bilangan real, maka perlu potong kurva dengan sumbu-sumbu ditentukan nilai-nilai y untuk x kordinat, jika koordinat itu mudah yang besar positif dan untuk x ditentukan yang besar negatif a) titik potong dengan sumbu X 5) Tentukan beberapa titik-titik diperoleh dengan mengambil bantu (tertentu) sebarang untuk syarat y = 0 memperhalus sketsa kurva b) titik potong dengan sumbu Y 6) Sketsalah kurva sesuai dengan diperoleh dengan mengambil hasil yang diperoleh pada langkah syarat x = 0 1-5 2) Tentukan interval ketika fungsi itu Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati naik dan ketika fungsi itu turun 3) Tentukan titik-titik stasioner dan jenisnya (titik balik maksimum, titik balik minimum, atau titik belok horizontal)
CONTOH SOAL 1 x = 3 atau x = 1 Gambarlah sketsa kurva berikut. mak y = ������x3 – 2x2 + 3x + 4 +++++ +++++ ������ 01 3 min titik potong dng sumbu Y maka x = 0 y = ������x3 – 2x2 + 3x + 4 ������ y = ������(0)3 – 2(0)2 + 3(0) + 4 = 4 Cek tanda . Ambil x = 0 positif Substitusi ke ������ ′(x) ������ ������′ ������ = x2 – 4x + 3 A (0,4) Interval naik/turun dan titik stasioner ������′ ������ = (0)2 – 4(0) + 3 = 3 y = ������x3 – 2x2 + 3x + 4 Fungsi naik : x < 1 atau x > 3 Fungsi turun : 1 < x < 3 ������ ������′ = (������������)(3) x3 – 1 – (2)(2) x2 – 1 + 3(1)+ 0 ������′ = x2 – 4x + 3 x2 – 4x + 3 = 0 (x – 3)(x – 1) = 0 Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
Mencari koordinat titik ekstrim y = ������x3 – 2x2 + 3x + 4 ������ maksimum di x = 1 maka : y = ������������(1)3 – 2(1)2 + 3(1) + 4 = 5������������ maksimum di x = 3 maka : y = ������(3)3 – 2(3)2 + 3(3) + 4 = 4 ������ B (3,4) dan C (1,5������) ������ Kesimpulan : A (0,4) Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati B (3,4) C (1,5������) ������ Fungsi naik : x < 1 atau x > 3 Fungsi turun : 1 < x < 3
CONTOH SOAL 1 4 – 3x2 = 0 3x2 = 4 x2 = 1,33 x = ± 1,33 = ± 1,2 Gambarlah sketsa kurva berikut. y = 4x – x3 mak titik potong dng sumbu Y maka x = 0 +++++ y = 4(0) – (0)3 = 0 A (0,0) min – 1,2 0 1,2 titik potong dng sumbu X maka y = 0 Cek tanda . Ambil x = 0 0 = 4x – x3 0 = x(4 – x2) Substitusi ke ������ ′(x) 0 = x(2 + x)(2 – x) ������′ ������ = 4 – 3x2 positif x = 0 atau x = – 2 atau x = 2 ������′ ������ = 4 – 3(0)2 = 4 B (– 2,0) dan C (2,0) Fungsi naik : –1,2 < x < 1,2 Interval naik/turun dan titik stasioner Fungsi turun : x < –1,2 atau x > 1,2 y = 4x – x3 Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati ������′ = (4)(1) – (1)(3) x3 – 1 ������′ = 4 – 3x2
Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati Titik-titik bantu y = 4x – x3 x=1 y = 4(1) – (1)3 = 3 D (1,3) x = –1 y = 4(–1) – (–1)3 = – 3 E (–1, –3) Kesimpulan : A (– 2,0) B (2,0) E (0,0) C (–1, –3) D (1,3) xmak = 1,2 xmin = –1,2 Fungsi naik : –1,2 < x < 1,2 Fungsi turun : x < –1,2 atau x > 1,2
Penerapan Turunan Fungsi Aljabar dalam Kehidupan Sehari-hari Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
CONTOH SOAL 1 (FISIKA) 3t – 12 = 0 t+1=0 Jarak yang ditempuh sebuah mobil 3t = 12 atau t = – 1 dalam waktu t diberikan fungsi Tidak S(t) = ������ t4 – ������ t3 – 6t2 + 5t . t = ������������ = 4 mungkin ������ ������ ������ Jadi, waktu maksimumnya = 4 Kecepatan maksimum mobil tercapai pada saat t = … detik ������′ ������ = (������������)(4) x4 – 1 – (������)(3) x3 – 1 – (6)(2) x2 – 1 + 5(1) ������ v ������ = x3 – ������ x2 – 12x + 5 ������′ ������ ������ (������)(2) = (1)(3) x3 – 1 – x2 – 1 – 12(1) + 0 ������ a ������ = 3x2 – 9x – 12 = 0 CONTOH SOAL 2 (MATEMATIKA) Kecepatan maksimum tercapai Suatu persegi panjang dengan ketika a(t) = 0 panjang (2x + 4) cm dan lebar 3x2 – 9x – 12 = 0 faktorkan (4 – x) cm. Agar luas persegi (3t – 12)(t + 1) = 0 panjang maksimum, ukuran panjang adalah … Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
LANJUTAN CONTOH SOAL 2 CONTOH SOAL 3 Misal luas persegi panjang adalah Sebidang tanah berbentuk L, maka : persegi panjang dengan keliling 64 m , luas tanah maksimum = … L = p x l = (2x + 4)(4 – x) K = 2(p + l) 64 = 2(p + l) L = 8x – 2x2 + 16 – 4x 32 = p + l p = 32 – l …......(1) L = – 2x2 + 4x + 16 L = p x l = (32 – l ) l = 32l – l 2 ������′ = (–2)(2) x2 – 1 + 4(1) + 0 ������′ = 32(1) – (1)(2) l 2 – 1 = 32 – 2l ������′ = –4x + 4 L akan mencapai maksimum L akan mencapai maksimum saat ������′ = 0, maka: saat ������′ = 0, maka: –2l + 32 = 0 ������������ –4x + 4 = 0 4x = 4 x = 1 2l = 32 l = ������ l = 16 Ukuran panjang p pada saat Substitusi l = 16 ke pers. (1) x=1 p = 32 – l = 32 – 16 = 16 p = 2x + 4 = 2(1) + 4 p = 6 cm Luas maksimum : L = p x l L = 16 x 16 = 256 m2 Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
CONTOH SOAL 4 y = – ������ + ������ = ������ . Koordinat T = ������ ������ ������ ������ ������ , ������ Luas daerah yang diarsir mencapai ������ maksimum, jika koordinat T adalah CONTOH SOAL 5 (0,3) m = y2 – y1 = 3– 0 = – 3 Selembar karton berbentuk persegi x2 –x1 0– 5 5 panjang dengan lebar 5 dm dan panjang 8 dm akan dibuat kotak Persamaan y – y1 = m(x – x1) tanpa tutup. Pada keempat pojok karton dipotong persegi yang (5,0) …yy =–...0–...=53...x–...5+3..(.3.x...–.(51)) sisinya x dm. ukuran kotak tersebut (panjang, lebar, tinggi) agar volum L = xy = x(– 3 x + 3) = – 53x2+ 3x maksimum berturut–turut adalah 5 ������′ = (– 53)(2)x2 – 1 + 3(1) = – 56x + 3 p = 8 – 2x L akan mencapai maksimum l = 5 – 2x 56x saat ������′ = 0, maka: – x + 3= 0 5 – 2x t=x 56x = 3 6x = 15 = ������������ = ������ 5 V=pxlxt ������ ������ 8 – 2x Substitusi x = ������ ke pers. (1) ������ 3 3 (������������) y = – 5 x + 3 y = – 5 + 3 8 Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati LANJUTAN CONTOH SOAL 5 V(������������������) = 4(������������������)³ – 26(������������������)² + 40(������������������) V = (8 – 2x) . (5 – 2x) . (x) V(������������) = ������������������������ − ������������������������ + ������������������ V = (8 – 2x) . (5x – 2x2) V = 40x – 16x2 – 10x2 + 4x3 ������ ������������ ������ ������ V = 4x³ – 26x² + 40x V(������������) = ������������������������ − ������������������������ + ������������������������ = − ������������������ ������������ ������ ������������ ������������ ������������ ������′ = (4)(3) x3 – 1 – (26)(2) x2 – 1 + 40(1) Jadi, volume maksimum = − ������������������ ������′ = 12x2 – 52x + 40 ������������ CONTOH SOAL 6 V akan mencapai maksimum Sebuah bak air saat ������′ = 0, maka: tanpa tutup 12x2 – 52x + 40 = 0 berbentuk bagi 4 tabung. Jumlah L = 2πrt L = πr2 3x2 – 13x + 10 = 0 luas selimut dan (3x – 10)(x – 1) = 0 alas bak air V = πr2t x = ������������ atau x = 1 adalah 28m2. ������ Volum akan V(1) = 4(1)³ – 26(1)² + 40(1) maksimum, jika jari–jari alas V(1) = 4 – 26 + 40 = 18 sama dengan
LANJUTAN CONTOH SOAL 6 CONTOH SOAL 7 Luas selimut + luas alas = 28 Santo ingin membuat sebuah tabung tertutup dari selembar 2πrt + πr2 = 28 2πrt = 28 – πr2 karton dengan volum 16 dm3. t = ������������ − ������������������ Agar luas permukaan tabung V = πr2t ������������������ minimal, maka jari–jari lingkaran alasnya adalah … V = πr2 ������������ − ������������������ = 14r – ������ ������������������ ������������������ ������ ������′ = 14(1) – (21)(3)������r3 – 1= 14 – 3 ������r2 2 V akan mencapai maksimum L = πr2 3 saat ������′ = 0, maka: 14 – 2 ������r2 = 0 3 ������r2 = 14 r2 = 14 : 3 ������ = 14 x 2 L = 2πrt 2 2 3������ L = πr2 r2 = 28 r= 28 = 2 ������ . ������������ V = πr2t 3������ 3������ ������������ ������������ r = ������ ������������������ ������������ Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
LANJUTAN CONTOH SOAL 7 CONTOH SOAL 8 V = πr2t = 16 t = ������������ Suatu fungsi hubungan antara ������������������ banyaknya pekerja dengan keuntungan perusahaan dinyatakan L = 2πrt + 2πr2 = 2πr ������������ + 2πr2 oleh f(x) = –2x2 + 240x + 900 ������������������ dengan x banyaknya pekerja dan ������������ f(x) keuntungan perusahaan dalam L = ������ + 2πr2 = 32r –1 + 2πr2 satuan jutaan rupiah. Keuntungan maksimum perusahaan tercapai ������′ = (32)(–1) r – 1 – 1 + (2π)(2) r 2 – 1 ketika banyaknya pekerja … orang ������′ = –32r – 2 + 4πr = – ������������ + 4πr ������′ = (–2)(2) x2 – 1 + 240(1) + 0 ������������ ������′ = – 4x + 240 L akan mencapai maksimum V akan mencapai maksimum saat ������′ = 0, maka: – 4x + 240 = 0 saat ������′ = 0, maka: – ������������ + 4πr = 0 ������������ ������������ ������������ – ������������ + 4πr = 0 4πr = ������������ r3 = ������ 4πr3 = 32 r = ������ ������ ������ ������ r = ������ ������������ r = ������ 4x = 240 x = ������������������ = 60 ������ ������ ������ ������ ������ Jadi, banyak pekerja = 60 Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
CONTOH SOAL 9 mak Untuk memproduksi x unit barang +++++ +++++ per hari diperlukan biaya (x3 – 450x2 + 37.500x) rupiah. 0 50 250 Biaya produksi akan menjadi minimal jika perhari produksi …. min ������′ = (1)(3)x3 – 1 – (450)(2)x2 – 1 + 37.500(1) ������′ = 3x2 – 900x + 37.500 Cek tanda . Ambil x = 0 B akan mencapai maksimum Substitusi ke ������ ′(x) positif saat ������′ = 0, maka: 3x2 – 900x + 37.500 = 0 bagi 3 ������′ ������ = x2 – 300x + 12.500 x2 – 300x + 12.500 = 0 ������′ ������ = (0)2 – 300(0) + 12.500 (x – 50)(x – 250) = 0 = 12.500 Titik-titik ekstrimnya adalah : 50 dan 250 Jadi, biaya minimum saat x = 250 Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati CONTOH SOAL 10 Suatu proyek dapat dikerjakan selama p hari dengan biaya setiap harinya ������������ + ������������������ − ������������ juta rupiah. Agar biaya ������ proyek minimum maka proyek tersebut harus diselesekan dalam waktu ….
LANJUTAN CONTOH SOAL 10 f(x) = pendapatan – biaya produksi B(x) = ������������ + ������������������ − ������������ p f(x) = 60x – (x2 – 30x + 125) ������ f(x) = 60x – x2 + 30x – 125 B(x) = 4p2 + 100 – 40p f(x) = – x2 + 90x – 125 ������′ = (4)(2)p2 – 1 + 0 – 40(1) = 8p – 40 ������′ = (–1)(2)x2 – 1 + 90(1) + 0 = –2x + 40 B akan mencapai maksimum f akan mencapai maksimum saat ������′ = 0, maka: – 2x + 40 = 0 saat ������′ = 0, maka: 8p – 40 = 0 8p = 40 x = ������������ = 5 2x = 90 x = ������������ = 45 ������ ������ Jadi, waktu minimum = 5 f(45) = –(45)2 + 90(45) – 125 CONTOH SOAL 11 f(45) = –2025 + 4050 – 125 f(45) = 1900 Sebuah home industry memproduksi x Satuan dalam ribuan rupiah, unit barang dengan biaya yang sehingga keuntungan dinyatakan (x2 – 30x + 125) ribu rupiah, maksimum adalah: dan pendapatan setelah barang tersebut 1900 ×Rp1.000,00 = 1.900.000 habis terjual adalah (60x) ribu rupiah. Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati Keuntungan maksimal home industry tersebut adalah
CONTOH SOAL 4 U = –4x³ + 8x² + 16x Perusahaan memproduksi x unit ������′ = (–4)(3)x3 – 1 + (8)(2)x2 – 1 + 16(1) ������′ = –12x2 + 16x + 16 barang, dengan biaya (4x2 – 8x + 24) dalam ribu rupiah untuk tiap unit. U akan mencapai maksimum Jika barang tersebut terjual habis saat ������′ = 0, maka: dengan harga Rp40.000,00 tiap unit, maka keuntungan maksimum yang –12x2 + 16x + 16 = 0 bagi –4 diperoleh perusahaan tersebut 3x2 – 4x – 4 = 0 adalah … (x – 2)(3x + 2) = 0 Biaya untuk memproduksi x unit Karena jumlah produksi tidak mungkin bernilai negatif, maka B(x) = x(4x² – 8x + 24) dalam ribu rupiah titik-titik ekstrimnya adalah : 2 U(2) = –4(2)³ + 8(2)² + 16(2) B(x) = (4x³ – 8x² + 24x) f(45) = –32 + 32 + 32 = 32 Harga jual per unit = Rp40.000,00 Satuan dalam ribuan rupiah, = 40 ribu rupiah = 40 x sehingga : U(x) = 32 × Rp1.000,00 U = harga jual – biaya produsi U(2) = 32.000 U = 40x – (4x³ – 8x² + 24x) U = 40x – 4x³ + 8x² – 24x Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
Integral Tak Tentu Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
Integral merupakan operasi RUMUS PENDUKUNG invers dari turunan o ������ = a –n o ������ ������������ = ������ Jika turunan dari F(x) adalah ������������ ������������ ������′ (x) = f(x), maka F(x) = f(x) dx o ������������ = am – n o (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 ∫ adalah lambang untuk notasi ������������ o (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 integral, dx adalah menyatakan fungsi bekerja dalam x. o am . an = am + n RUMUS DASAR CONTOH SOAL 1 a) ������ ������������ = ax + C 2 dx = 2x + C b) ������������ ������������ = ������ xn + 1 + C ; n ≠ –1 CONTOH SOAL 2 ������+������ x dx = ������ x1 +1 + C = ������ x2 + C ������ c) ������������������ ������������ = ������ xn + 1 + C ; n ≠ –1 ������+������ ������+������ CONTOH SOAL 3 dan a = konstanta ������������������ dx = ������ x4 + 1 + C = ������ x5 + C +������ d) ������ ������ ± ������ ������ ������������ ������ ������ = ������ ������ ������������ ± ������ ������ ������������ CONTOH SOAL 4 Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati ������ ������������ dx = ������ x3 + 1 + C = ������ x4 + C ������ ������ ������ +������ ������������
CONTOH SOAL 5 = − ������������ 7 ������5 + C ������ ������ x –4 + 1 + C ������ ������������ dx = ������������−������ dx = −������ +������ CONTOH SOAL 8 = ������ x –3+ C = − ������ + C ������ ������ dx = ������ ������������+ ������ dx ������������ ������ −������ ������ ∙ ������������ dx = CONTOH SOAL 6 ������ = ������ ������ +������ + C + ������ ������ ������ ������ dx ������ x������ ������ ������ ������ ������������ dx = ������ ������ x������ +������ + C + ������ ������������������ dx = ������ ������ x������ + ������ = ������ ∙ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ = ������ ������ + C x������ + C = x������ ������ ������ ������ ∙ ������ ������ + ������ ������ + ������ +C = x������ + C ������ ������ + ������ ������ x������ + ������ C= ������ x������ ������ C ������ ������ = ������ ������ ������ + ������ ∙ x������+ = 5 5 ������9 + C = ������ x������ ������ + C CONTOH SOAL 7 ������ − ������ 2 dx = −������������−������������ dx = −������ x−������������ +������ + C CONTOH SOAL 9 ������������ −������������ + ������ ������ ������������������ + ������ dx = +������ x3 + 1 + 4x + C −������ x−������������ + ������ C= (−������) ∙ ������ ������ ������ ������ ������ = −������������ ������ + x������ + C = x4 + 4x + C + ������ Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
CONTOH SOAL 10 = ������ ������ + ������ + ������x3 + C ������ ������ ������ ������ ������ x������ ������ ������������������ − ������������ ������ +������ ������ +������ ������ + ������ dx = x3 + 1− x1 + 1 + C = ������������x4 − x2 + C = ������ ∙ ������ ������ + ������x3+ C ������ x������ ������ CONTOH SOAL 11 = ������ x������ + ������ + ������x3+ C = ������ ������ ������x3+ C ������ ������ ������ ������ ������ x������ ∙ x������ + ������ ������ − ������������ 2 dx = ������ − ������������������ + ������������������ dx = ������ x������ ������ + ������������x3 + C = 4x – ������������ x1 + 1 + ������ x2 + 1 ������ ������ +������ ������ +������ CONTOH SOAL 13 = 4x – 6x2 + 3x3 + C ������������ + ������������ dx = ������������ + ������������ dx = ������ + ������ dx CONTOH SOAL 12 ������ ������ ������ ������������ ������ + ������ dx = ������������ ������ + ������������������dx = ������ x1 + 1 + 2x + C ������+������ = ������ ������������+ ������ + ������������������dx = ������ x2 + 2x + C ������ ������ ������������ ∙ ������������ + ������������������dx = = ������ ������ + ������������������dx CONTOH SOAL 14 ������ ������ ������ +������ ������ 2+1 ������ − ������ ������ dx = ������������ − ������������ + ������ dx = ������������ − ������������ + ������ dx + ������ ������ ������ +������ MARIA MALANG ������ ������ ������ = x + x + C������Wajib ������������+ ������ SANTA ������ ∙ ������������ ������ Matemat���ik���a Kelas XI - SMAK - Iin Setyawati
LANJUTAN CONTOH SOAL 14 = ������ x∙ ������ ������ – ������ + C ������ x������ – 8x������ ������ = =������������ − ������������ + ������ ������������ − ������������ + ������ x������ dx dx ������ + C ������������+ ������ ������ = ������ ������ ������ –8 ������ – ������ ������ ������������ ������ = ������������ − ������������ + ������ dx CONTOH SOAL 15 ������ ������ ������ ������������ ������������ ������������ = ������ ������ − ������ −4������������ − ������ + 4������−������������ dx Diketahui ������′ ������ = 5x – 3 dan f(2) = 18. ������ ������ Tentukan f(x) ! ������ ������ ������ ������ 4������−������������ = ������ ������ − ������ − − ������ + dx f(x) = ������������ − ������ dx = ������ x1 + 1 – 3x + C 4������������ ������ +������ ������ 4������− ������ 4������−������������ f(x) = ������ x2 – 3x + C = − ������ + dx ������������ ������ = ������ ������ +������ – ������ x−������������ +������ + ������ x−������������ +������ f(2) = ������ (2)2 – 3(2) + C + ������ −������������ + ������ −������������ + ������ ������ x������ ������ ������ ������ ������ −������������ +������������ −������������ +������������ = x������ ������ + ������ – x������ + x������ 18 = ������ (4) – 6 + C ������ + ������ −������������ +������������ −������������ +������������ ������ ������ ������ x−������������ = ������ ∙ ������ ������ – ������ ∙ ������ ������ ������ ∙ − ������ C = 18 – 10 + 6 = 14 ������ x������ ������ x������ + ������ = ������ ������ ������ – 8x−������������ = ������ x������ + ������ ������ ������ f(x) = ������ x2 – 3x + 14 ������ ������ ������ x������ – 8x������ – 8x������ – ������ ������ ������ x������ Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
CONTOH SOAL 16 CONTOH SOAL 17 Jika gradient garis singgung di titik Diketahui ������′ ������ = x4 dan f(2) = 11. (x,y) pada sebuah kurva yang Tentukan f(x) ! melalui titik (3,4) ditentukan f(x) = ������������ dx = ������ x4 + 1 + C ������������ = 3x2 – 8x + 5, maka tentukan ������ +������ ������������ f(2) = ������ (2)5 + C persamaan kurva tersebut ! ������ f(x) = ������������������ − ������������ + ������ dx 11 = ������������ + C ������ f(x) = ������ x2 + 1 – ������ x1 + 1 + 5x + C ������������ C = ������������ – ������������ = ������ ������ +������ ������ +������ ������ ������ f(x) = x3– 4x2 + 5x + C f(x) = ������ x5 + ������������ ������ ������ f(3) = (3)3 – 4(3)2+ 5(3) + C 4 = 27 – 36 + 15 + C 4 = 6 + C C = –2 f(x) = x3 – 4x2 + 5x – 2 Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
Integral Tak Tentu Dengan Substitusi Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
CONTOH SOAL 1 uMisal : = x3 + 4 Carilah hasil integral dari du = (1)(3)x3 – 1 + 0 dx 1 3x2 ������������ − ������ (������������ − ������������ + ������������)������ dx = …. du = 3x2 dx dx = du uMisal : = x2 – 5x + 14 ������������ + ������ ∙ ������������ dx du = (1)(2)x2 – 1 – 5(1) + 0 dx = ������ ∙ ������������ ∙ ������ dx = ������ ������ dx du = 2x – 5 dx ������������������ dx 1 du ������ ������������ = 2x – 5 = ������ ������ +������ + C = ������ ������ + ������ + C ������ ������������ − ������ (������������ − ������������ + ������������)������ dx ������ ������������ ������ ������ ������������ ������ ������ + ������ ������ ������ + ������ ������������ − ������ (������)������ ������ du = (������)������ du = ������ ������ +C = ������ ������ + ������ +C ������������ − ������ ������ ������ ������������ ������ ������������ = ������ u6 + 1 + C = ������ u7 + C ������ ������ = ������ ������ ∙ ������ + ������ ������ = ������ ������ ∙ ������������ +C ������ ������ + C = ������ (x2 – 5x + 14)7 + C ������ ������ = ������ (x3 + 4) ∙ x3 + 4 + C CONTOH SOAL 2 ������ ������������ + ������ ∙ ������������ dx Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
CONTOH SOAL 3 uMisal : = x3 – 4x Carilah hasil integral dari du = (1)(3)x3 – 1 – 4(1) dx 1 ������������(������ − ������)������ dx = …. du = 3x2 – 4 dx dx = 3x2 – 4 du Misal : u = 1 – x maka x = 1 – u ������������������ − ������ dx = ������������������ − ������ ∙ ������ du ������ ������������ −������������ ������ ������ ������ ������ ������������������ − du = 0 – 1 dx maka du = – dx ������ dx = – du = ������ du = ������−������������ du ������������(������ − ������)������ dx = ������ ������ − ������ ������ ������ – du ������ ������������ u−������������ + ������ u−������������ ������ ������ = –������ ������������ − ������������ du = –������������������ + ������������������ du = ������ + C = ������ + + C −������������ +������ = –������ u6 + 1 + ������ u7 + 1 −������������ + ������ ������ +������ ������ ������ +������ –������ = ������ ������ + C = ������ ������ ������ + C –������ ������ = (1 – x)7 + ������ (1 – x)8 ������ ������ ������ ������ u������ ������ = u7 + u8 ������ CONTOH SOAL 4 = ������ ������ x3 – 4x + C ������������������ − ������ dx = …. ������ ������������ −������������ ������
Integral Tak Tentu ln Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
Rumus = ������ ������ − ������������−������ − ������������−������dx ������ ������ ������ dx = ln x +C = 4 ln x – ������ x –2 + 1 – ������ x –7 + 1 + C –������ + ������ –������ + ������ CONTOH SOAL 1 = 4 ln x – (−������) x –1 – ������ x –6 + 1 + C (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 –������ ������ − ������ ������ x + ������������ − ������ dx = 4 ln x + ������ + ������ + C ������ ������������������ ������ dx = ������ = x + ������������ ������ − ������ dx CONTOH SOAL 3 ������ ������������ −������������ + ������ = ������ x1 + 1 + 16 ln x – 8x + C ������������ − ������ dx = ������ − ������ ������ −������ dx ������ + ������ ������ ������ − ������ = ������ x2+ 16 ln x – 8x + C = ������ −������ dx = ������ − ������ dx = ������ − ������ ������ dx ������ ������ ������ ������ ������ CONTOH SOAL 2 = x – 3 ln x + C ������������������ − ������������������ − ������ dx = ������������������ − ������������������ − ������ dx CONTOH SOAL 4 ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ − ������ dx = = ������ − ������ − ������ dx ������ ������������ ������������ ������ − ������ Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
LANJUTAN CONTOH SOAL 4 Dengan rumus integral : Pembagian Berekor = (x + 2) dx = ������ x1 + 1 + 2x + C ������ + ������ ������ + ������ ������������ − ������ = ������ x2 + 2x + C ������ ������������ − ������ = ������ −������ ������������ − ������������ – Dengan subtitusi : ������ − ������ ������������ − ������ Misalkan : u = x – 2 ������������ − ������ – du = 1 – 0 dx du = dx ������ ������ dx = ������ du = ������ ������ du ������������ − ������ ������ ������ ������ − ������ = (x + 2) + ������ −������ ������ −������ ������ = 3 ln u + C = 3 ln x – 2 + C ������������ − ������ dx = (x + 2) + ������ dx Hasil akhir ������ − ������ ������ −������ = (x + 2) dx + ������ dx (x + 2) dx + ������ dx = ������ −������ ������ −������ dengan rumus integral dengan substitusi = ������ x2 + 2x + 3 ln x – 2 + C ������ Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
CONTOH SOAL 5 ������ − ������ = ������ + ������ ������ ������ = −������ + ������ ������ ������ ������ (������ + ������) ������ + ������ + ������ − ������ dengan rumus integral ������������ + ������ dx = ������ − ������ −������ + ������ dx Kita gunakan konsep integral pecahan ������������ + ������ dx = ������ ������ + ������ ������ − ������ ������ − ������ Dengan rumus integral : dengan substitusi ������������ + ������ ������ (������+������) = −������ dx = −������ ������ dx = –2 ln x + C ������ ������ ������ − ������ = ������ + ������ = ������ ������ + ������ + ������ ∙������ Dengan subtitusi : ������ (������ + ������) ������ + ������ (������ + ������) ������ ������ Misalkan : u = x + 1 x – 2 = A(x + 1) + B .x du = 1 – 0 dx du = dx x – 2 = Ax + A + B .x ������ ������ ������ ������ du x – 2 = (A + B)x + A ������ + ������ dx = ������ du = ������ Diperoleh persamaan linear : = 3 ln u + C = 3 ln x + 1 + C A + B = 1 dan A = –2 Hasil akhir Mencari B : A + B = 1 –2 + B = 1 B = 3 ������ − ������ dx ������������ + ������ Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati = –2 ln x + 3 ln x + 1 + C
Search
Read the Text Version
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- 120
- 121
- 122
- 123
- 124
- 125
- 126
- 127
- 128
- 129
- 130
- 131
- 132
- 133
- 134
- 135