LANJUTAN CONTOH SOAL 11 Luas bujursangkar 1 a = 4 dan r = ������ ������ L1 = a = AB × AD ������∞ = ������ − ������ L1 = 10 × 10 = 100 ������ ������∞ = ������ = ������ = ������ =8 Luas bujursangkar 2 ������ − ������ ������ − ������ ������ L2 = PQ × PS ������ ������ L2 = 5 2 × 5 2 = 50 CONTOH SOAL 12 rasio = ������������ = ������������ ������ ������������ ������������������ ������ Diketahui sebuah bujursangkar = dengan sisi 10 cm. Titik tengah keempat sisinya dihubungkan ������∞ = ������ = ������������������ = ������������������ sehingga terbentuk bujursangkar ������ − ������ kedua. Titik tengah keempat sisi ������ − ������ ������ bujursangkar kedua dihubungkan ������ ������ lagi sehingga terbentuk bujursangkar ketiga, demikian ������∞ = 200 seterusnya. Hitunglah jumlah luas semua bujursangkar itu ! Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
Limit dengan Substitusi Limit dengan Penfaktoran Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
LIMIT FUNGSI ALJABAR Penting : Persoalan limit adalah Definisi mengubah bentuk tak tentuk menjadi bentuk tertentu limit atau sering disebut nilai Langkah-langkah mengerjakan batas adalah pendekatan terhadap limit fungsi : Subtitusi langsung suatu nilai atau harga tertentu. 1) Bentuk tentu (selesai) Harga batas (limit) bukanlah harga 2) Bentuk tak tentu maka : yang sebenarnya melainkan harga a) Faktorisasi. yang mendekati. b) Mengalikan dengan Bentuk umum lim f(x ) bilangan sekawan. x→ Beberapa teorema limit : a Bentuk limit, yaitu : 1) Bentuk tentu, yaitu : ������ , ������ , ������ Bila ������������������ ������ ������ = A dan lim g x = B maka ������ ������ ������ ������→������ x→a ������ 1) ������������������ ������[������ ������ ] = k ������������������ ������ ������ = kA ������→������ ������→������ 2) Bentuk tak tentu, yaitu : ������ 2) ������������������ ������ ������ ± ������(������) = ������������������ ������ ������ ± ������������������ ������ ������ = A ± B ������→������ ������→������ ������→������ Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
3) ������������������ ������ ������ × ������(������) = ������������������ ������ ������ × ������������������ ������ ������ = AB CONTOH SOAL 1 ������→������ ������→������ ������→������ Nilai dari ������������������ ������������ adalah …. 4) ������������������ ������ ������ ������������������ ������ ������ =A ������→������ ������→������ ������ ������ = ������→������ ������������������ ������������ = ������������������ ������ ������ = 6 ������������������ ������ ������ B ������→������ ������→������ ������→������ 5) ������������������ ������ ������ ������ = ������������������ ������ ������ ������ ������→������ ������→������ = An 6) ������������������ ������ ������ ������ = ������ ������������������ ������ ������ = ������ ������ CONTOH SOAL 2 ������→������ ������→������ Nilai dari ������������������ ������������ + ������ adalah …. Rumus Penfaktoran ������→������ 1) a2 – b2 = (a + b)(a – b) ������������������ ������������ + ������ = ������������������ ������ ������ + ������ 2) a3 – b3 =(a – b)(a2 + ab + b2) ������→������ ������→������ ������������������ ������ + ������ = 8 ������→������ 3) a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) CONTOH SOAL 3 4) Faktorisasi Nilai dari ������������������ ������������ + ������������ adalah …. 5) Rumus ABC : ������������,������ = −������ ± ������������ − ������������������ ������→������ ������������ ������������������ ������������ + ������������ = ������������������ ������ ������ + ������ ������ ������→������ ������→������ Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati ������������������ ������ + ������ = 15 ������→������
CONTOH SOAL 4 ������������������ ������������ − ������ = ������������������ ������ ������ − ������ = ������������������ −������ = −∞ ������������ + ������ ������ ������ + ������ ������ Nilai dari ������������������ ������������ + ������ ������������ − ������ ������→������ ������→������ ������→������ ������→������ CONTOH SOAL 7 adalah …. ������������������ ������ ������ + ������ ������ ������ − ������ Nilai dari ������������������ ������������ − ������ adalah …. ������→������ ������→������ ������������ −������ = ������������������ ������ + ������ ������ − ������ = ������������������ ������ ������ = 25 ������������ − ������ ������ ������ − ������ ������������������ ������ ������→������ ������→������ ������������������ ������������ −������ = ������������������ ������ ������ − ������ = −������ =0 ������→������ CONTOH SOAL 5 ������→������ ������→������ Nilai dari ������������������ ������������ + ������ adalah …. CONTOH SOAL 8 ������→������ ������������ + ������ Nilai dari ������������������ ������������������ − ������������������ −������ adalah ������������������ + ������������ −������������ ������������������ ������������ + ������ = ������������������ ������ ������ +������ = ������������������ ������ +������ = ������ ������→−������ ������������ + ������ ������ ������ + ������ ������������+ ������ ������������ ������→������ ������→������ ������→������ ������������������ ������������������ − ������������������ −������ ������������������ ������ −������ ������ − ������������ −������ −������ ������������������ + ������������ −������������ = ������ −������ ������ + ������ −������ − ������������ ������→−������ ������→−������ CONTOH SOAL 6 ������������ +������������ −������ ������������ Nilai dari ������������������ ������������ − ������ adalah …. ������������������ ������������ − ������������ − ������������ = ������������������ ������ =∞ ������������ + ������ ������→������ ������→−������ ������→−������ Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
CONTOH SOAL 9 ������������������ ������ + ������ = ������������������ ������ + ������ = ������ ������ + ������ ������→������ ������→������ ������ + ������ ������ Nilai dari ������������������ ������������ − ������ adalah …. CONTOH SOAL 11 ������������ + ������������ ������→������ ������������������ ������ ������ − ������ = ������ (TT) Faktorisasi Nilai dari ������������������ ������������ + ������������ −������������ adalah ������ ������ + ������ ������ ������→������ ������ ������→������ ������ −������ ������������ − ������ ������������������ ������ ������ −������ = ������������������ ������ −������ ������������������ ������ ������ + ������ ������ −������������ ������ (TT) Faktorisasi ������������ + ������������ ������ ������ + ������ ������ + ������ ������ −������ ������ ������������������ = ������→������ ������→������ ������→������ = ������→������ ������������ + ������������ −������������ ������ −������ ������ + ������������ ������ −������ ������ −������ ������������������ ������ −������ = − ������ ������������������ = ������������������ ������ + ������ ������ ������→������ ������→������ ������→������ CONTOH SOAL 10 ������������������ ������ + ������������ = ������������������ ������ + ������������ = 11 ������→������ ������→������ Nilai dari ������������������ ������������ −������ adalah …. CONTOH SOAL 12 ������������ + ������ − ������ ������→������ ������������− ������������ ������������− ������ ������������������ ������ ������ − ������ = ������ (TT) Faktorisasi Nilai dari ������������������ adalah ������ + ������ − ������ ������→������ ������ ������ ������→������ a2 – b2 = (a + b)(a – b) ������������������ ������ ������ −������������ = ������ (TT) Faktorisasi ������ ������ −������ ������ ������������������ ������������ − ������ = ������������������ ������ + ������ ������ − ������ ������→������ ������������ + ������ − ������ ������ + ������ ������ − ������ ������→������ ������→������ Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
LANJUTAN CONTOH SOAL 12 ������������������ ������ = ������������������ ������ ������ ������ = ������ ������������ − ������ − ������ a3 – b3 =(a – b)(a2 + ab + b2) ������→������ ������ ������→������ ������������������ ������������ − ������������ = ������������������ ������ −������ ������������+������������ + ������ CONTOH SOAL 14 ������������ − ������ ������ − ������ ������ + ������ ������→������ ������→������ ������ ������ Nilai ������������������ ������������ − − ������������ a2 – b2 = (a + b)(a – b) ������ ������������ + − ������ ������→������ ������������+������������ + ������ ������ ������+������ ������ + ������ ������������������ ������ + ������ = ������������������ ������ + ������ ������������������ ������ − ������ ������→������ ������ + ������ ������ − ������ ������ + ������ ������ −������ ������→������ ������→������ ������������������ ������ + ������ + ������ = ������������ = ������ ������������������ ������ ������ + ������ − ������ ������ + ������ ������ + ������ ������ ������ ������ + ������ ������ − ������ ������ + ������ ������→������ ������→������ CONTOH SOAL 13 ������������������ ������������ + ������ − ������������ − ������ Nilai ������������������ ������ ������ − ������ = ������→������ ������ + ������ ������ − ������ ������ + ������ ������ − ������ + − ������→������ ������ ������ ������ ������ ������������������ − ������ + ������ ������ + ������ ������ − ������ ������ + ������ ������������������ ������ ������ ������ −������ − ������ + ������ ������→������ ������→������ ������ − ������ ������ + ������ ������ −������ ������������������ − ������ −������ ������ + ������ ������ − ������ ������ + ������ ������������������ ������ ������������ −������ −������ −������ = ������������������ ������ ������ − ������ ������→������ ������������ −������ ������������ −������ ������→������ ������ − ������ ������→������ ������ − ������ ������������������ − ������ = ������������������ − ������ = − ������ ������ + ������ ������ + ������ ������������ ������→������ ������ + ������ ������ + ������ ������→������ Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
Limit dengan Perkalian Sekawan Limit dengan Permisalan Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
LIMIT FUNGSI ALJABAR ������������������ ������ − ������������ + ������ = ������ (TT) Perkalian ������ −������ ������ sekawan Metode perkalian sekawan ������→������ digunakan jika hasil dari substitusi menunjukkan nilai = ������������������ ������ − ������������ + ������ × ������ + ������������ + ������ yang tak tentu ������ . −������ ������ + ������������ + ������ ������→������ ������ ������ = ������������������ ������ ������ − ������������ + ������ ������ a2 – b2 = (a + b)(a – b) Jika pembilang atau penyebut ������→������ ������ −������ ������ + ������������ + ������ memuat bentuk akar, maka = ������������������ ������ − ������������ + ������ sebelum difaktorkan dikalikan ������ −������ ������ + ������������ + ������ ������→������ dulu dengan bentuk sekawannya f(x) = ������������������ ������ − ������������ − ������ ������ −������ ������ + ������������ + ������ Rumus : ������→������ a2 – b2 = (a + b)(a – b) = ������������������ ������ − ������������ ������→������ ������ −������ ������ + ������������ + ������ CONTOH SOAL 1 = ������������������ −������ ������ −������ = ������������������ −������ ������ −������ ������ + ������������ + ������ ������ + ������������ + ������ ������→������ ������→������ Nilai dari ������������������ ������ − ������������ + ������ adalah …. = −������ = −������ = − ������ = − ������ ������ −������ ������ ������ + ������ ������ + ������ ������ ������→������ ������ + ������ Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
CONTOH SOAL 2 CONTOH SOAL 3 Nilai dari ������������������ ������ − ������ adalah …. Nilai dari ������������������ ������ + ������ − ������������ adalah …. ������ − ������ ������→ ������ ������→������ ������ −������ ������������������ ������ − ������ = ������ (TT) Perkalian ������������������ ������ + ������ − ������������ = ������ (TT) Perkalian ������ − ������ ������ sekawan ������ −������ ������ sekawan ������→ ������ ������→������ = ������������������ ������ − ������ × ������ +������ = ������������������ ������ + ������ − ������������ × ������ + ������ + ������������ ������ +������ ������ + ������ + ������������ ������→������ ������ − ������ ������→������ ������ −������ = ������������������ ������ −������ ������ +������ a2 – b2 = (a + b)(a – b) = ������������������ ������ + ������ ������ − ������������ ������ a2 – b2 = (a + b)(a – b) ������ ������ − ������ ������ ������→������ ������→������ ������ −������ ������ + ������ + ������������ = ������������������ ������ −������ ������ +������ = ������������������ ������ + ������ − ������������ ������→������ ������ − ������ ������→������ ������ −������ ������ + ������ + ������������ = ������������������ ������ + ������ = ������������������ ������ −������ −������ + ������ ������������ ������→������ ������→������ ������ + ������ + = ������ + ������ = ������������������ − ������ −������ = ������������������ −������ =6 ������→������ ������ −������ ������ + ������ + ������������ ������→������ ������ + ������ + ������������ = −������ = − ������ Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati ������ + ������ + ������ .������ ������
CONTOH SOAL 4 CONTOH SOAL 5 Nilai dari ������������������ ������������ − ������������ adalah …. Nilai ������������������ ������������ + ������ − ������������ − ������ adalah … ������������ − ������ ������→������ ������������ − ������ − ������ ������→������ ������������������ ������������ − ������������ ������ (TT) Perkalian ������������������ ������������ + ������ − ������������ − ������ = ������ (TT) Perkalian = sekawan ������������ − ������ sekawan ������→������ ������ ������→������ ������ ������������ − ������ − ������ = ������������������ ������������ − ������������ × ������������ − ������ + ������ = ������������������ ������������ + ������ − ������������ − ������ × ������������ + ������ + ������������ − ������ ������→������ ������������ − ������ − ������ ������������ − ������ + ������ ������������ −������ ������������ + ������ + ������������ − ������ ������→������ ������ ������������ − ������������ ������������ − ������ + ������ = ������������������ ������������ − ������ ������ a2 – b2 ������������ +������ − = (a + b)(a – b) = ������������������ ������������ − ������ ������ ������ ������ a2 – b2 = (a + b)(a – b) ������→������ ������ −������ ������ + ������ ������������ + ������ + ������������ − ������ ������→������ − ������������ + ������ − ������������ − ������ ������������ − ������������ ������������ − ������ + ������ = ������������������ ������→������ ������ −������ ������ + ������ ������������ + ������ + ������������ − ������ = ������������������ ������������ − ������ −������������ = ������������������ ������������ −������������ + ������ ������→������ ������������ − ������������ ������������ − ������ + ������ = ������������������ ������→������ ������ −������ ������ + ������ ������������ + ������ + ������������ − ������ ������→������ ������������ −������������ = ������������������ ������ −������ ������ −������ = ������������������ ������������ − ������ + ������ = ������ ������ − ������ + ������ ������→������ ������ −������ ������ + ������ ������������ + ������ + ������������ − ������ ������→������ = ������ − ������ = −������ = − ������ ������ ������ + ������ + ������ ������ − ������ ������ +������ = ������������ + ������ = 8 ������ + ������ ������ ������ Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati CONTOH SOAL 6 −������ ������ ������ + ������ + ������ + ������ = −������ ������������ + ������������ ������ + ������ + ������ ������ + ������ ������ ������ + ������ Nilai dari ������������������ ������ + ������ − ������������ + ������ adalah …. = ������������+������ − ������ + ������ ������→ ������ ������ ������������������ ������ + ������ − ������������ + ������ ������ (TT) Perkalian = −������ ������ ������������ = − ������������ ∙ ������ = − ������������ ������������+������ − ������ + ������ = sekawan ������→������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������������ ������ CONTOH SOAL 7 ������ + ������ − ������������ + ������ × ������ + ������ + ������������ + ������ × ������������ + ������ + ������ + ������ = ������������������ ������������ + ������ − ������ adalah …. ������������ + ������ − ������ + ������ ������ + ������ + ������������ + ������ ������������ + ������+ ������ + ������ Nilai ������������������ ������������ −������ ������ −������ ������→������ Perkalian ������ ������ a2 – b2 = (a + b)(a – b) ������→������ sekawan = ������������������ ������ + ������ − ������������ + ������ ������������ + ������ + ������ + ������ ������������������ ������������ + ������ − ������ ������ (TT) ������→������ ������������ + ������ ������ − ������ +������ ������ ������ + ������ + ������������ + ������ ������������ −������ ������ −������ = ������ ������→������ = ������������������ ������ + ������ − ������������ + ������ ������������ + ������ + ������ + ������ = ������������������ ������������ + ������ − ������ × ������������ + ������ + ������ ������������ −������ ������������ + ������ + ������ ������→������ ������������ +������ − ������ +������ ������ + ������ + ������������ + ������ ������→������ ������ −������ = ������������������ −������ + ������ ������������ + ������ + ������ + ������ = ������������������ ������������ + ������ ������ ������ ������ a2 – b2 = (a + b)(a – b) ������→������ ������������ − ������ ������ + ������ + ������������ + ������ − ������→������ ������ ������ − ������ − ������ ������������ + ������ + ������ = ������������������ − ������ − ������ ������������ + ������ + ������ + ������ = ������������������ ������������ + ������ − ������������ ������ ������ −������ ������ + ������ + ������������ + ������ ������→������ ������→������ ������ ������ −������ ������ + ������ ������������ + ������ + ������ = ������������������ −������ ������������ + ������ + ������ + ������ = ������������������ ������ − ������ ������ ������ + ������ + ������������ + ������ ������→������ ������→������ ������ ������ −������ ������ + ������ ������������ + ������ + ������
LANJUTAN CONTOH SOAL 7 = ������������������ ������ − ������ ������ −������ ������������ + ������������ + ������ = ������������������ ������ ������ →������ ������ ������→������ ������ ������ + ������ ������������ + ������ + ������ = ������������������ ������������ + ������������ + ������ ������ ������ →������ = ������������ + ������ + ������ = ������ ������ ������ + ������ = ������ ������ ������ + ������ ������ + ������ = ������ ������������ = ������ ������ + ������ + ������ ������ ������ ������ + ������ CONTOH SOAL 8 ������ ������������ Nilai dari ������������������ ������ ������ − ������ adalah …. = ������→������������ ������ − ������������ Misal : y = 3 ������ y3 = x y = 3 27 = 3 sehingga ������ → ������������ maka ������ → ������ Semua variable x harus diubah menjadi variabel y ������������������ ������ ������ − ������ = ������������������ ������ − ������ a3 – b3 =(a – b)(a2 + ab + b2) ������ − ������������ ������������− ������������ ������→������������ ������ →������ Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
Teorema Dasar Turunan Pertama Teorema Penjumlahan dan Pengurangan pada Turunan Pertama Teorema Dalil Rantai Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
A. Notasi Teorema IV (Aturan Jumlah dan Selisih Dua Fungsi) ������′ = ������′ = ������������ = ������������(������) = ������ ������ ������ ������������ ������������ ������������ Jika u dan v adalah fungsi- fungsi dari x yang dapat B. Teorema diturunkan dan : y = f(x) = u(x) ± v(x) maka Teorema I (Aturan Fungsi Konstanta) ������′ = ������′ ������ = ������′ ������ ± ������′ ������ atau ������ ������ ± ������ = ������′ ± ������′ Jika f(x) = k dengan k adalah ������������ suatu konstanta untuk sembarang x, ������′(x)= 0. Teorema V : Dalil Rantai Teorema II (Aturan Fungsi Jika y = f(g(x)) fungsi dari x Identitas) yang dapat diturunkan maka : ������′ = ������ ������ ������ ������ = ������′ ������ ������ . ������′ ������ Jika f(x) = x, maka ������′(x) = 1 Teorema III (Aturan Pangkat) ������������ Jika f(x) = kxn, dengan n atau ������������ = ������������ . ������������ atau bilangan-bilangan bulat positif, ������������ ������������ ������������ maka ������′(x) = k.nxn-1 ������ = ������. (������(������))������ maka Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati ������′ = ������. ������ ������(������) ������−������ ∙ ������′(x)
CONTOH SOAL 1 ������′(x) = (1)(3)x3 – 1 + (1)(–2)x – 2 – 1 + 0 Nilai turunan pertama dari : ������′(x) = 3x2 – 2x – 3 f(x) = 2x3 + 12x2 – 8x + 4 adalah ������′(x) = 3x2 – ������ ������′(x) = (2)(3)x3 – 1 + (12)(2)x2 – 1 – 8(1) + 0 ������������ ������′(x) = 6x2 + 24x – 8 CONTOH SOAL 4 CONTOH SOAL 2 Jika f(x) = ������ ������ + ������������ ������ + ������ maka Turunan pertama dari ������′(x) = ….. ������ ������ f(x) = ������ ������������ + ������������ ������������ + ������������������ − ������ adalah f(x) = ������ ∙ ������ ������ + ������ ∙ ������ ������ + ������ ������ ������ ������ f(x) = ������ ������ + ������ ������ ������ + ������ + ������ (������)(3)x3 ������ + ������ ������ ������′(x) = ������ –1 + (������������)(2)x2 – 1 + 15(1) – 0 f(x) = ������ ������ + ������ ������ + ������ ������ ������′(x) = 2x2 + 13x + 15 ������′(x) = (1)(������������) ������ −������ + (1)(������������) ������ −������ +1 ������������ ������������ CONTOH SOAL 3 ������′(x) = ������ ������ ������ ������������������ ������ Jika g(x) = ������������ + ������ + ������ maka ������′(x)= ������ ������������ + +1 ������������ ������′(x) = ������ ������ + ������������ ������ + 1 g(x) = ������������ + ������−������ + ������ ������ ������ Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
CONTOH SOAL 5 6x – 4 = 4 6x = 8 Diketahui f(x) = 5x2 + 3x + 7. x = ������ = ������ Nilai ������′(–2) adalah …. ������ ������′(x) = (5)(2) x2 – 1 + 3(1)+ 0 ������ ������′(x) = 10x + 3 CONTOH SOAL 7 ������′(–2) = 10(–2) + 3 ������′(–2) = –20 + 3 Tentukan turunan fungsi dari ������′(–2)= –17 y = (4x2 – 5x + 3)6 CONTOH SOAL 6 misal : f(x) = 4x2 – 5x + 3 Diketahui f(x) = 3x2 – 4x + 6. Jika ������′(������) = (4)(2)x2 – 1 – 5(1) + 0 ������′(x) = 4 maka nilai x yang mungkin adalah ... ������′(������) = 8x – 5 ������′(x) = (3)(2) x2 – 1 – 4(1) + 0 y = (4x2 – 5x + 3)6 f(x) = 4x2 – 5x + 3 ������′(x) = 6x – 4 k=1 n = 6 ������′(������) = 8x – 5 Jika ������′(x) = 4 maka ������′ = ������. ������ ������(������) ������−������ ∙ ������′(x) ������′ = (������). (������) 4x2 – 5x + 3 ������ −������ ∙ 8x – 5 ������′ = 48x – 30 4x2 – 5x + 3 ������ ∙ Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
CONTOH SOAL 8 CONTOH SOAL 9 Carilah turunan pertama fungsi Diketahui h(x) = ������������������ + ������ , maka nilai ������′(2) = ������ g(������) = ������ ������ ! h(x) = ������������������ + ������ ������ misal : ������ − ������������ g(x) = 5 ������ − ������������ −������ misal : f(x) = 4 – 3x f(x) = ������������������ + ������ f(2) = ������(������)������+������ = 25 ������′(������) = 0 – 3(1) ������′(������) = (4)(2)x2 – 1 + 0 ������′(������) = – 3 ������′(������) = 8x ������′(������) = 8(2) = 16 g(x) = 5 ������ − ������������ −������ f(x) = 4 – 3x ������ f(2) = 25 k=5 n = – 3 ������′(������) = – 3 h(x) = ������������������ + ������ ������ k=1 n = ������ ������′(������) = 16 ������′(������) = ������. ������ ������(������) ������−������ ∙ ������′(x) ������′(������) = ������. ������ ������(������) ������−������ ∙ ������������′(x) ������′(������) = (������). (−������) 4 – 3x −������ −������ ∙ – 3 ������′(������) = (������). ������ 25 ������ − ������ ∙ 16 ������′(������) = ������������ 4 – 3x −������ (������) ������ ������′(������) = ������������ ������′(������) = 8 25 −������������ = 8 ������ = 8 4 – 3x ������ 25 ������ 25 ������ ������ ������′(������) = Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
Teorema Perkalian Teorema Pembagian Teorema Dalil Rantai Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
CONTOH SOAL 1 A. Teorema VI Tentukan turunan pertama dari Teorema Perkalian f(x) = (4x2 – 1)(7x3 + x) Jika y = f(x) = u(x) .v(x) u(x) = 4x2 – 1 maka ������′ ������ = (4)(2) x2 – 1 – 0 = 8x maka ������′ = ������′ ������ = ������′ ������ . ������ ������ + ������ ������ . ������′ ������ v(x) = 7x3 + x maka B. Teorema VII ������′ ������ = (7)(3) x3 – 1 + 1 = 21x2 + 1 Teorema Pembagian ������′ ������ = ������′ ������ . ������ ������ + ������ ������ . ������′ ������ Jika y = f(x) = u(x) , v(x) ≠ 0. ������′ ������ = (8x) . (7x3 + x)+ (4x2 – 1) (21x2 + 1) v(x) ������′ ������ = 56x4+ 8x2 + 84x4 + 4x2 – 21x2 – 1 maka ������′ ������ . ������ ������ − ������ ������ . ������′ ������ ������′ ������ = 140x4 – 9x2 – 1 ������′ = ������′ ������ = ������ ������ ������ Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
CONTOH SOAL 2 Tentukan turunan pertama dari : h(x) = (2x + 3)4 (4x – 1)5 CONTOH SOAL 3 u(x) = (2x + 3)4 maka Turunan pertama fungsi k = 1 n = 4 f(x) = 2x + 3 ������′(������) = 2 g(x) = (6x – 3)³ (2x – 1) adalah ������′ ������ . Nilai dari ������′ ������ = …. ������′ = ������. ������ ������(������) ������−������ ∙ ������′(x) u(x) = (6x – 3)3 maka ������′ = (������). (������) 2x + 3 ������ −������ ∙ 2 = 8(2x + 3)3 v(x) = (4x – 1)5 maka u(1) = (6(1) – 3)3 = 27 k = 1 n = 5 f(x) = 4x – 1 ������′(������) = 4 k = 1 n = 3 f(x) = 6x – 3 ������′(������) = 6 ������′ = ������. ������ ������(������) ������−������ ∙ ������′(x) ������′ = ������. ������ ������(������) ������−������ ∙ ������′(x) ������′ = (������). (������) 4x – 1 ������ −������ ∙ 4 = 20(4x – 1)4 ������′ ������ = ������′ ������ . ������ ������ + ������ ������ . ������′ ������ ������′ = (������). (������) 6x – 3 ������ −������ ∙ 6 = 18(6x – 3)2 ������′ ������ = 8(2x + 3)3 .(4x – 1)5 + (2x + 3)4 . 20(4x – 1)4 maka ������′ ������ = (2x + 3)3 (4x – 1)4 [8(4x – 1) + 20(2x + 3) ������′ ������ = 18(6(1) – 3)2 ������′ ������ = (2x + 3)3 (4x – 1)4 [32x – 8 + 40x + 60] ������′ ������ = 162 ������′ ������ = (2x + 3)3 (4x – 1)4(72x + 52) Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
LANJUTAN CONTOH SOAL 3 v(x) = ������������ + ������ maka v(x) = 2x – 1 maka v(–1) = (–1)������+������ = 2 v(1) = 2(1) – 1 = 1 ������′ = 2(1) – 0 = 2 ������ ������′ ������ = ������′ ������ . ������ ������ + ������ ������ . ������′ ������ ������′ ������ = (162.)(1)+ (27) . (2) v(x) = ������������ + ������ ������ maka ������′ ������ = ������������������ k=1 n = 1 f(x) = ������������ + ������ ������′(������) = 4x3 CONTOH SOAL 4 2 Turunan pertama untuk ������′ = ������. ������ ������(������) ������−������ ∙ ������′(x) g(x) = (x2 – 4x) ������������ + ������ di x = –1 ! u(x) = x2 – 4x maka ������′ ������ = (������). ������ ������������ + ������ ������ − ������ ∙ (4x3) u(–1) = (–1)2 – 4(–1) = 5 ������ ������′ ������ = (1)(2) x2 – 1 – 4(1) = 2x – 4 maka ������′ –1 = 2(–1) – 4 = – 6 ������ ������′ ������ = 2x3 ������������ + ������ −������������ = 2x3 ������ ������′ ������ = 2x3 maka ������������+������ ������ ������������+������ ������′ –1 = 2(–1)3 = −������ = –1 (–1)4+ 3 ������ ������′ ������ = ������′ ������ . ������ ������ + ������ ������ . ������′ ������ ������′ –������ = (– 6) . (2) + (5) . (–1) = – 17 Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
CONTOH SOAL 5 CONTOH SOAL 6 Diketahui f(x) = (x2 + 2x)(1 – x ) Turunan pertama dari f(x) = x–1 2x + 3 dan ������′ ������ turunan pertama dari u(x) = x – 1 maka f(x). Jika ������′ ������ = –3, maka nilai x = ������′(x) = 1 – 0 = 1 u(x) = x2 + 2x maka v(x) = 2x + 3 maka ������′ ������ = (1)(2) x2 – 1 + 2(1) = 2x + 2 ������′(x) = 2(1)+ 0 = 2 v(x) = 1 – x ������′ ������ = 0 – 1 = – 1 ������′ ������ ������′ ������ . ������ ������ − ������ ������ . ������′ ������ = ������ ������ ������ ������′ ������ = ������′ ������ . ������ ������ + ������ ������ . ������′ ������ ������′ ������ = 2x + 2 . 1 – x + x2 + 2x . (–1) ������′ ������ 1. 2x + 3 − x – 1 .2 = 2x + 3 ������ ������′ ������ = 2x – 2x2 + 2 – 2x – x2 – 2x ������′ ������ = –3x2 – 2x + 2 2x + 3 − ������x + 2 = 2x + 3 ������ ������′ ������ = –3 maka –3x2 – 2x + 2 = –3 ������′ ������ 3x2 + 2x – 5 = 0 difaktorkan 5 2x + 3 (x – 1)(3x + 5) = 0 x – 1 = 0 maka ������′ ������ = 2 = ������ ������������������ + ������������������ + ������ x = − ������ x=1 3x + 5 = 0 maka ������ Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
CONTOH SOAL 7 CONTOH SOAL 8 Turunan fungsi f(x) = ������������������ − ������ adalah Diketahui f(x) = ������������ + ������. Nilai ������′ ������ = ������������ − ������ ������+ ������ u(x) = 2x2 – 5 maka u(x) = 2x + 4 u(4) = 2(4) + 4 = 12 ������′ ������ = 2(1) + 0 = 2 ������′ ������ = (2)(2) x2 – 1 – 0 = 4x v(x) = 4x – 7 ������′ ������ = 4(1) – 0 = 4 v(x) = 1 + ������ v(4) = 1 + ������ = 3 ������′ ������ ������′ ������ . ������ ������ − ������ ������ . ������′ ������ ������ ������′ ������ = 0+ ������ ������ −������ = ������ ������ ������ ������ v(x) = 1 + ������ ������ ������ ������ ������′ ������ = 4x . 4x – 7 − 2x2 – 5 .4 ������′ ������ = ������ ������ −������������ = ������ = ������ ������ 4x – 7 ������ ������ ������ ������ ������ ������������ ������ ������ 16x2 − 28������ − 8x2 + 20 ������′ ������ =������ = ������ = 4x – 7 ������ ������′ ������ ������ 8x2 − 28x+ 20 ������′ ������ ������′ ������ . ������ ������ − ������ ������ . ������′ ������ = 4x – 7 ������ = ������ ������ ������ ������′ ������ ������ 8x������ − 28x+ 20 2. 3 − 12 . ������ = ������ − ������ = ������ = ������ = 16x������ − 56x + 49 ������′ ������ = ������′ ������ 3 ������ ������ ������ ������ Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
CONTOH SOAL 9 ������′ ������ = (������). (������) x – 3 ������ −������ ∙ 1 Carilah turunan pertama fungsi ������′ –1 = 3((–1) – 3)2 = 3(16) = 48 h(������) = ������������ + ������ ������ untuk x = –1 ! ������′ ������ ������′ ������ . ������ ������ − ������ ������ . ������′ ������ ������ − ������ ������ = ������ ������ ������ u(x) = (3x + 1)2 maka ������′ ������ = –12 . 64 − 4 . 48 64 ������ u(–1 ) = (3(–1 ) + 1)2 = 4 ������′ ������ = −������������������ −������������������ = −������������������ = – ������������ k = 1 n = 2 f(x) = 3x + 1 ������′(������) = 3 ������������������������ ������������������������ ������������ ������′ ������ = ������. ������ ������(������) ������−������ ∙ ������′(x) CONTOH SOAL 10 ������′ ������ = (������). (������) 3x + 1 ������ −������ ∙ 3 Tentukan ������′ ������ dari g(������) = ������������������ + ������������ ������′ –1 = 6(3(–1)+ 1) = 6(–2)= –12 ������ − ������������������ v(x) = (x – 3)3 maka ������ g ������ = ������������������ + ������������ ������ misal : ������ − ������������������ v(–1) = ((–1) – 3)3 = 64 ������(������)������ + ������(������) k = 1 n = 3 f(x) = x – 3 ������′(������) = 1 f(x) = ������������������ + ������������ f(1) = ������ − ������(������)������ ������ − ������������������ ������′ ������ = ������. ������ ������(������) ������−������ ∙ ������′(x) ������ f(1) = ������ = 1 Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
LANJUTAN CONTOH SOAL 10 ������′ ������ = ������������ +������������ = ������ f(x) = ������������������ + ������������ ������������ ������ ������ − ������������������ ������ u(x) = 4x2 + 2x maka g ������ = ������������������ + ������������ ������ ������ − ������������������ u(1 ) = 4(1)2 + 2(1) = 6 k=1 n = ������ f(1) = 1 ������′(������) 7 ������ 3 ������′(������) = (4)(2)x2 – 1 + 2(1) = 8x + 2 ������′(x) = ������′(������) = 8(1) + 2 = 10 ������′ ������ = ������. ������ ������(������) ������−������ ∙ v(x) = 8 – 2x2 maka ������′ ������ = (������). ������ 1 ������ − ������ ∙ ������ v(1) = 8 – 2(1)2 = 8 – 2 = 6 ������ ������ ������ ������′ ������ = 0 – (2)(2) x2 – 1 = – 4x ������′ 1 = – 4(1) = – 4 ������′ ������ ������ ������ = ������ ∙ ������ ∙ ������ ������′ ������ ������′ ������ . ������ ������ − ������ ������ . ������′ ������ ������′ ������ ������ = ������ ������ ������ = ������ ������′ ������ = 10 . 6 −6 . −������ 6 ������ Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
Persamaan Garis Singgung Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
LANGKAH MENCARI CONTOH SOAL 1 PERSAMAAN GARIS SINGGUNG Persamaan garis singgung pada 1) Menentukan gradien garis kurva y = 3x2 – 8x + 1 di titik singgung di titik P(x,y) (1, –4) adalah…. x1 = 1 dan y1 = –4 m = ������′(x) a) Jika garis saling tegak ������′ = (3)(2) x2 – 1 – 8(1) + 0 lurus maka m1 . m2 = – 1 m = ������′ = 6x – 8 b) Jika garisnya sejajar maka m1 = m2 m = 6(1) – 8 = – 2 2) Persamaan garis singgung di y – y1 = m(x – x1) titik P(x,y) dengan y – (–4) = – 2(x – 1) gradiennya m adalah : y – y1 = m(x – x1) y + 4 = –2x + 2 y + 2x + 4 – 2 = 0 2x + y + 2 = 0 Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
CONTOH SOAL 2 y – (–3) = 7 (x – 1) y + 3 = 7x – 7 Persamaan garis singgung pada y = 7x – 10 memotong garis x = 3 maka kurva y = ������������ + ������ di titik (1, –3) akan y = 7(3) – 10 = 11 ������ − ������������ memotong garis x = 3 di titik … x1 = 1 dan y1 = –3 Titik = (3 , 11) u(x) = 2x + 1 u(1) = 2(1) + 1 = 3 ������′ ������ = 2(1) + 0 = 2 CONTOH SOAL 3 v(x) = 2 – 3x v(1) = 2 – 3(1) = –1 Persamaan garis singgung pada ������′ ������ = 0 – 3(1) = –3 kurva y = x + ������ di titik yang m = ������′ ������ = ������′ ������ .������ ������ − ������ ������ .������′ ������ ������ ������ ������ ������ absisnya 1 adalah …. x1 = 1 2 . –1 − 3 . –3 = −������ + ������ = 7 y = x + ������ y1 = 1 + ������ = 4 –1 ������ ������ ������ ������ = ������ y = x + 3x–1 y – y1 = m(x – x1) m = ������′ = 1 + (3)(–1)x–1 – 1 ������ Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati m = 1 – 3x–2 = 1 – ������������
LANJUTAN CONTOH SOAL 3 m= ������ ������ = ������ ������ = ������ ������ ������ m = 1 – ������ =–2 ������ x + 5 ������ ������ ������ (������)������ ������ 3 + 5 ������ ������������ ������ y – y1 = m(x – x1) m = ������ y – y1 = m(x – x1) y – 4 = – 2 (x – 1) ������������ ������ y – 2 = ������������ (x – 3) y – 4 = – 2x + 2 2x + y – 6 = 0 y – 2 = ������ x – ������ ������������ CONTOH SOAL 4 ������������ kali 12 Persamaan garis singgung 12y – 24 = x – 3 kurva y = ������ ������ + ������ di titik x – 12y + 21 = 0 dengan absis 3 adalah… x1 = 3 CONTOH SOAL 5 y = ������ ������ + ������ y1 = ������ ������ + ������ = 2 Garis l menyinggung kurva ������ y = 3 ������ di titik yang berabsis 4. k=1 n = ������ y = ������ + ������ ������ ������ titik potong garis l dengan f(x) = x + 5 ������′(������) = 1 sumbu X adalah … x1 = 4 m = ������′ = ������. ������ ������(������) ������−������ ∙ ������′(x) x + 5 −������������ m = (������). (������) x+5 ������ − ������ ∙ 1 = ������ ������ ������ ������ Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
LANJUTAN CONTOH SOAL 5 CONTOH SOAL 6 y = 3 ������ y1 = 3 ������ = 6 Garis singgung kurva y = (x2 + 2)2 melalui titik (1, 9) memotong ������ m = ������′ = (3)(������)������ ������ −������ sumbu Y di titik … x1 = 1 dan y1 = 9 ������ y = 3������ ������ ������ m = ������ ������ −������������ = ������ = ������ = ������ = ������ k = 1 n = 2 f(x) = x2 + 2 ������′(������) = 2x ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ m = ������′ = ������. ������ ������(������) ������−������ ∙ ������′(x) ������������ ������ y – y1 = m(x – x1) m = (������). (������) x2 + 2 ������ − ������ ∙ 2x = 4x(x2 + 2) ������ m = 4(1)((1)2 + 2) = 12 y – 6 = ������ (x – 4) y – 6 = ������ x – 3 kali 4 y – y1 = m(x – x1) y – 9 = 12 (x – 1) ������ y – 9 = 12x – 12 4y – 24 = 3x – 12 y = 12x – 3 3x – 4y + 12 = 0 memotong sumbu Ymaka x = 0 y = 12(0) – 3 = – 3 Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati Titik = (0 , – 3)
CONTOH SOAL 7 persamaan garis kesatu : x1 = 2 dan y1 = 6 dan m = 9 Salah satu persamaan garis yang y – y1 = m(x – x1) menyinggung kurva y = x3 – 3x + 4 y – 6 = 9 (x – 2) yang sejajar garis 9x – y = 7 y – 6 = 9x – 18 adalah ... y = 9x – 12 persamaan garis kedua : 9x – y = 7 y = 9x – 7 m1 = 9 x1 = – 2 dan y1 = 2 dan m = 9 y – y1 = m(x – x1) garis sejajar maka m1 = m2 = 9 y – 2 = 9 (x – (–2)) y – 2 = 9x + 18 m = ������′ = (1)(3)x3 – 1 – 3(1) + 0 y = 9x + 20 m = 3x2 – 3 9 = 3x2 – 3 Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati 3x2 – 12 = 0 a2 – b2 = (a – b)(a + b) 3(x2 – 4) = 0 3(x – 2)(x + 2) = 0 x – 2 = 0,x1 = 2 x + 2 = 0, x1 = – 2 y = x3 – 3x + 4 x1 = 2 y1 = (2)3 – 3(2) + 4 = 6 x1 = –2 y1 = (–2)3 – 3(–2) + 4 = 2
CONTOH SOAL 8 x1 = –1 y1 = (–1)3 + 5 = 4 persamaan garis kesatu : Persamaan garis singgung pada x1 = 1 dan y1 = 6 dan m = 3 kurva y x3 + 5 yang tegak lurus y – y1 = m(x – x1) garis x + 3y 2 adalah..... y – 6 = 3 (x – 1) y – 6 = 3x – 3 x + 3y 2 3y – x + 2 (bagi 3) y = 3x + 3 y – ������ x + ������ m1 = – ������ persamaan garis kedua : ������ x1 = – 1 dan y1 = 4 dan m = 3 ������ ������ y – y1 = m(x – x1) y – 4 = 3 (x – (–1)) garis tegak lurus maka m1 . m2 = – 1 y – 4 = 3x + 3 y = 3x + 7 – ������ . m2 = – 1 m2 = (–3)(–1) = 3 ������ Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati m = ������′ = (1)(3)x3 – 1+ 0 = 3x2 a2 – b2 = (a – b)(a + b) 3 = 3x2 3x2 – 3 = 0 3(x2 – 1) = 0 3(x – 1)(x + 1) = 0 x – 1 = 0,x1 = 1 x + 1 = 0, x1 = – 1 y = x3 + 5 x1 = 1 y1 = (1)3 + 5 = 6
CONTOH SOAL 9 y = –9x – 2 m = –9 Persamaan garis singgung kurva m = ������′ = (1)(3)x3 – 1 + (2a)(2)x2 – 1 + 0 y x3 di titik Q yang mempunyai –9 = 3x2 + 4ax –9 = 3(1)2 + 4a(1) ordinat 8 adalah... y1 = 8 y x3 8 x3 23 x3 x1 = 2 –9 – 3 = 4a 4a = – 12 y x3 (1)(3)x3 = 3x2 y1 = –9(1) – 2 = –11 m = ������′ = – 1 a= −������������ = – 3 ������ m = 3(2)2 = 12 y – y1 = m(x – x1) y = –9x – 2 y – 8 = 12(x – 2) y = x3 + 2ax2 + b –11 = (1)3 + 2(– 3)(1)2 + b y – 8 = 12x – 24 y = 12x – 16 –11 = 1 – 6 + b –11 = – 5 + b CONTOH SOAL 10 –11 + 5 = b b = –6 Diketahui kurva dengan persamaan a + b = – 3 + (–6) = – 9 y = x3 + 2ax2 + b. Garis y = –9x – 2 menyinggung kurva di titik dengan absis 1. Nilai a + b = … x1 = 1 Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
Fungsi Naik dan Fungsi Turun Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati A. Garis Normal Garis yang tegak lurus dengan garis singgung B. Dalil dari Fungsi Naik dan Fungsi Turun a) ������ ′(x) > 0 untuk setiap x dalam (a,b), maka f adalah fungsi naik pada (a,b) b) ������ ′(x) < 0 untuk setiap x dalam (a,b), maka f adalah fungsi turun pada (a,b) c) ������ ′(x) = 0 untuk setiap x dalam (a,b), maka f adalah fungsi konstan pada (a,b) d) ������ ′(x) ≥ 0 untuk setiap x dalam (a,b), maka f adalah fungsi tidak pernah turun/selalu naik pada (a,b) e) ������ ′(x) ≤ 0 untuk setiap x dalam (a,b), maka f adalah fungsi tidak pernah naik/selalu turun pada (a,b)
Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati Lingkaran penuh Bilangan masuk ke dalam interval (≤ atau ≥) Lingkaran kosong Bilangan tidak masuk ke dalam interval (< atau >) Tanda ≤ atau < maka arsiran ke arah negatif Tanda ≥ atau > maka arsiran ke arah positif No Pertidaksamaan Daerah Penyelesaian Notasi Himpunan Penyelesaian HP ada di tepi maka menggunakan kata a ≤ atau < hubung atau HP : • {x\\x ≤ x1 atau x > x2} b ≥ atau > HP ada di tengah maka HP = {x\\ x1< x ≤ x2} atau
CONTOH SOAL 1 y – y1 = m(x – x1) Persamaan garis normal di titik y – 6 = – ������ (x – 1) (1,6) pada kurva y = 3x2 – 2x + 5 ������ adalah …. x1 = 1 dan y1 = 6 y – 6 = – ������x + ������ ������′ = (3)(2) x2 – 1 – 2(1) + 0 ������ m = ������′ = 6x – 2 ������ kali 4 m = 6(1) – 2 = 4 4y – 24 = – x + 1 Persamaan x + 4y – 25 = 0 garis normal y – y1 = m(x – x1) y = 4x – 4 + 6 CONTOH SOAL 2 y – 6 = 4 (x – 1) Grafik fungsi f(x) = –x2 + 2x + 3 y = 4x + 2 Persamaan garis singgung m1 = 4 merupakan fungsi naik untuk garis normal tegak lurus dengan interval ….. ������ ′(x) > 0 garis singgung maka m1 . m2 = – 1 (– 1)(2) x2 – 1 + 2(1) + 0 > 0 4 . m2 = – 1 m2 = – ������ – 2x + 2 > 0 – 2x > –2 ������ ������ bagi – 2 y1 = 6 dan m2 = – ������ x1 = 1 dan x<1 Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
CONTOH SOAL 3 ++++ ++++ Grafik f(x) = x3 + 6x2 – 36x + 20 –6 0 2 turun pada interval … ������ ′(x) < 0 (1)(3) x3 – 1 + (6)(2) x2 – 1 – 36(1) + 0 < 0 Cek tanda .Ambil x = 0 3x2 + 12x – 36 < 0 Substitusi ke ������ ′(x) negatif ������ ′(x) = x2 + 4x – 12 bagi 3 ������ ′(0) = (0)2 + 4(0) – 12 = –12 x2 + 4x – 12 < 0 (x + 6)(x – 2) < 0 ujung interval x = {–6, 2} Karena yang diarsir terletak di tengah dan lingkarannya kosong maka : HP = {x\\ –6 < x < 2, x ������ R} CONTOH SOAL 4 Fungsi yang didefinisikan oleh f(x) = ������ ������������ + ������ ������������ − ������������ selalu naik pada ������ ������ interval …. ������ ′(x) ≥ 0 ujung interval x2 + x – 6 ≥ 0 x = {–3, 2} (������������)(3) x3 – 1 + (������)(2) x2 – 1 – 6(1) ≥ 0 (x + 3)(x – 2) ≥ 0 ������ Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
LANJUTAN CONTOH SOAL 4 CONTOH SOAL 5 (x + 3)(x – 2) ≥ 0 Fungsi ������ ������ = ������������ + ������ selalu turun ������ − ������ ++++ ++++ ������ ′(x) ≤ 0 pada interval …. –3 0 2 u(x) = x2 + 3 maka Cek tanda . Ambil x = 0 ������′ ������ = (1)(2) x2 – 1 + 0 = 2x Substitusi ke ������ ′(x) v(x) = x – 1 ������′ ������ = 1 – 0 = 4 ������ ′(x) = x2 + x – 6 negatif ������′ ������ ������′ ������ . ������ ������ − ������ ������ . ������′ ������ = ������ ������ ������ ������ ′(0) = (0)2 + 4(0) – 6 = –6 2x . x – 1 − x2 + 3 .1 ≤0 x – 1 ������ Karena yang diarsir terletak di tepi dan lingkarannya penuh maka : 2x2 − 2x − x2 − 3 ≤ 0 HP = {x\\ x ≤ –3 atau x ≥ 2, x ������ R} x– 1 x– 1 x2 −2x – 3 ≤0 ujung interval x– 1 x– 1 x = {–1, 1, 3} x– 3 x + 1 ≤0 x– 1 x– 1 Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
LANJUTAN CONTOH SOAL 5 CONTOH SOAL 6 x– 3 x + 1 ≤0 Fungsi f(x) = (x – 1)⁴ (2x + 3) x– 1 x– 1 naik pada interval …. ������ ′(x) > 0 +++ + +++ u(x) = (x – 1)4 maka –1 0 1 3 k = 1 n = 4 f(x) = x – 1 ������′(������) = 1 Cek tanda . Ambil x = 0 ������′ = ������. ������ ������(������) ������−������ ∙ ������′(x) ������′ = (������). (������) x – 1 ������ −������ ∙ 1 = 4(x – 1)3 Substitusi ke ������ ′(x) v(x) = 2x + 3 maka ������ ′(x) = x– 3 x + 1 negatif x– 1 x– 1 ������′ = 2(1) + 0 = 2 ������′ ������ = ������′ ������ . ������ ������ + ������ ������ . ������′ ������ ������ ′(0) = 0–3 0+1 = –3 4(x – 1)3 . (2x + 3) + (x – 1)4 . 2 > 0 0–1 0–1 2(x – 1)³ {2(2x + 3) + (x – 1)} > 0 HP = {x\\ – 1 ≤ x < 1 atau 1 < x ≤ 3, x ������ R} 2(x – 1)³ ( 4x + 6 + x – 1) > 0 HP = {x\\ – 1 ≤ x ≤ 3 , x ≠ 1, x ������ R} 2(x – 1) (x – 1) (x – 1)(5x + 5) > 0 Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati ujung interval x = {–1, 1}
LANJUTAN CONTOH SOAL 6 2(x – 1) (x – 1) (x – 1)(5x + 5) > 0 ������ ′(x) = (1)(3) x3 – 1 – (2)(2)x2 – 1 + 0 ������ ′(x) = 3x2 – 4x ++++ + ++++ x(3x – 4) = 0 –1 0 1 ++++ ++++ Cek tanda . Ambil x = 0 01 ������ 2 Substitusi ke ������ ′(x) negatif ������ ������ ′(x) = 2(x – 1) (x – 1) (x – 1)(5x + 5) Cek tanda . Ambil x = 1 ������ ′(0) = 2(0 – 1) (0 – 1) (x – 1)(5(0) + 5) = –10 Substitusi ke ������ ′(x) negatif Karena lingkarannya kosong maka : ������ ′(1) = 3(1)2 – 4(1) = –1 HP = {x\\ x < –1 atau x > 1 , x ������ R} Pada daerah asal 0 ≤ x ≤ 2 kurva f(x) turun kemudian CONTOH SOAL 7 Pada daerah asal 0 ≤ x ≤ 2, kurva naik f(x) = x3 – 2x2 + 1 …….. Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
CONTOH SOAL 8 Eliminasi persamaan (1) dan (2) Grafik f(x) = x³ + ax² + bx +c 2a – b = 3 hanya turun pada interval –1 < x < 5. Nilai a + b = 10a + b = –75 + Pembuat nol : –1 < x < 5 12a = –72 f(x) = x³ + ax² + bx + c a = −������������ = –6 ������ ′(x) = (1)(3) x3 – 1 + (a)(2) x2 – 1 + b(1) + 0 ������������ ������ ′(x) = 3x2 + 2ax + b Substitusi a = – 6 ke pers. (1) ������ ′(–1) = 3(–1)2 + 2a(–1) + b 2a – b = 3 3 – 2a + b = 0 2(– 6) – b = 3 2a – b = 3 ………………… (1) – 12 – b = 3 b = – 3 – 12 = – 15 ������ ′(5) = 3(5)2 + 2a(5) + b a + b = – 6 + (–15) = –21 75 + 10a + b = 0 10a + b = –75 ………….… (2) Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
Titik Ekstrim atau Titik Stasioner Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
Titik Ekstrim adalah titik maksimum atau titik minimum Titik Stasioner adalah adalah titik yang berlaku ������′ ������ = 0 MENENTUKAN JENIS-JENIS TITIK STASIONER A. Uji ka)irjiikka –alnalua–nattauit+iklalus+tmaaskiao(xn1,ey1r) titik belok jika (–) lalu (–) atau (+) lalu Nilai stasioner di titik B dan D.Fungsi ini mxe<mdpudnipyearion(lei+lha)if’stm(axs)ioa>nk0erabelo���k���t���u���,ru������n������f(b)tpiatdiakx =bbedlaon ktitik (b,f( jika (+Pa)dala: lu xx(<=–)bb ddmiippeearrooklleehhaff’’((xx���))���P=<���a���,d00���a���:������ x = d di–peroleh0f’ (x) = d – titik balik mxa>kb sdipiemroluehmf’(x) < 0 x > d diperolehbf’ (x) > d +0+ ksimum d +0 – a B. Dengan menggunakan turunan kedua jika (–) lalu (+) maka ������������, ������������ o jika ������″ ������ > 0 maka ������������, ������������ minimum titik balik minimum titik balik minimum –0+ o jika ������″ ������ < 0 maka ������������, ������������ e titik balik maksimum Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati o jika ������″ ������ = 0 maka ������������, ������������ titik belok
CONTOH SOAL 1 CONTOH SOAL 2 Koordinat titik stasioner dari Koordinat titik maksimum dan f(x) = –2x2 – 2x + 13 adalah … minimum dari y = x3 + 3x2 + 4 ������′ ������ = (–2)(2) x2 – 1 – 2(1) + 0 berturut–turut adalah … ������′ ������ = –4x – 2 – 4x – 2 = 0 ������′ ������ = (1)(3) x3 – 1 + (3)(2) x2 – 1 + 0 – 4x = 2 x = ������ = − ������ ������′ ������ = 3x2 + 6x 3x(x + 2) = 0 Nilai f(x) −������ ������ ������ Titik-titik ekstrimnya adalah : pada saat x = − ������ 0 dan – 2 f(x) = –2x2 – 2x + 13 mak f(x) = –2(− ������)2 – 2(− ������) + 13 +++++ +++++ ������ ������ 1 f(x) = –2(������) + 1 + 13 –2 0 ������ min f(x) = − ������ + 14 = 13������ Cek tanda . Ambil x = 1 ������ ������ Substitusi ke ������ ′(x) Koordinat ������ ������ positif titik stasioner = − ������ , 13 ������ ������′ ������ = 3(1)2 + 6(1) = 9 Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati
LANJUTAN CONTOH SOAL 2 CONTOH SOAL 3 Titik balik minimum jika (–) Nilai ekstrim fungsi lalu (+) maka x = 0 f(x) = x3 + 3x2 + 4 f(x) = (x – 2)(x – 1)2 adalah … f(0) = (0)3 + 3(0)2 + 4 = 4 Koordinat titik balik minimum u(x) = x – 2 maka ������′ ������ = 1 adalah : (0 , 4) v(x) = (x – 1)2maka Titik balik maksimum jika (+) lalu (–) maka x = –2 k = 1 n = 2 f(x) = x – 1 ������′(������) = 1 f(x) = x3 + 3x2 + 4 f(–2) = (–2)3 + 3(–2)2 + 4 = 4 ������′ = ������. ������ ������(������) ������−������ ∙ ������′(x) Koordinat titik balik maksimumnya adalah : (– 2 , 8) ������′ = (������). (������) x – 1 ������ −������ ∙ 1 = 2x – 2 ������′ ������ = ������′ ������ . ������ ������ + ������ ������ . ������′ ������ Matematika Wajib Kelas XI-SMAK SANTA MARIA MALANG-Iin Setyawati ������′ ������ = ������. (x – 1)2 + (x – 2). (2x – 2) ������′ ������ = x2 – 2x + 1 + 2x2 – 2x – 4x + 4 3x2 – 8x + 5 = 0 (x – 1)(3x – 5) = 0 Titik-titik ekstrimnya adalah : 1 dan ������ ������
Search
Read the Text Version
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- 120
- 121
- 122
- 123
- 124
- 125
- 126
- 127
- 128
- 129
- 130
- 131
- 132
- 133
- 134
- 135