Persamaan Trigonometri Sederhana Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati
RUMUS sin f(x) = sin ������ 1) f(x1) = ������ + k.360° ⇒ f(x1) = ������ + k.2������ 2) f(x2) = (180° – ������) + k.360° ⇒ f(x2) = (������– ������) + k.2������ cos f(x) = cos ������ 1) f(x1) = ������ + k.360° ⇒ f(x1) = ������ + k.2������ 2) f(x2) = – ������ + k.360° ⇒ f(x2) = – ������ + k.2������ tan f(x) = tan ������ 1) f(x) = ������ + k.180° ⇒ f(x) = ������ + k.������ dengan x ∈ R dan k ∈ bilangan bulat
CONTOH SOAL 1 Himpunan penyelesaian Sin x = Sin 500 ; ������ ≤ ������ ≤ ������������������������ sin x sin 500 maka = 500 x1 + k. 360 x2 (180 ) + k.360 x1 500 + k. 360 x2 (180 500) + k.360 x2 1300 + k. 360 k = 1 maka x1 = 3100 (TM) k = 1 maka x1 = 2300 (TM) k = 0 maka x1 = 500 (M) k = 0 maka x1 = 1300 (M) k = 1 maka x1 = 4100 (TM) k = 1 maka x1 = 4900 (TM) Jadi, untuk 0° ≤ x ≤ 360°, HP = {500 , 1300} Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati CONTOH SOAL 2 Himpunan penyelesaian sin xo + 1 2 = 0 untuk ������ ≤ ������ ≤ ������������ 2 a = 45o sin xo = 1 2 (sin berharga negatif 2 x1 + k. 360 x1 2250 + k. 360 terletak di kuadran III dan IV) Ambil yang di kuadran terkecil, k = 1 maka x1 = 1350 (TM) yaitu III maka : sin (180 + a) k = 0 maka x1 = 2250 (M) k = 1 maka x1 = 5850 (TM) sin x0 = sin (180 + 45)0 x2 (180 ) + k.360 sin x0 = sin 2250 maka = 2250 x2 (180 2250) + k.360 x2 450 + k. 360 Jadi, untuk 0° ≤ x ≤ 360°, HP = {2250, 3150} dalam derajad k = 1 maka x1 = 4050 (TM) untuk 0° ≤ x ≤ 2π, k = 0 maka x1 = 450 (TM) HP = ������������������������ ������, ������������������������ ������ ������������������������ ������������������������ = ������ ������, ������ ������ dalam radian k = 1 maka x1 = 3150 (M) ������ ������
CONTOH SOAL 3 Himpunan penyelesaian ������. ������������������ ������ = ������ , dengan 00 ≤ x ≤ 1800 2 sin x = 3 (bagi dengan 2) x1 + k. 360 x1 600 + k. 360 sin x = ������ k = 1 maka x1 = 3000 (TM) ������ k = 0 maka x1 = 600 (M) sin x = sin 600 maka = 600 k = 1 maka x1 = 4200 (TM) Jadi, untuk 0° ≤ x ≤ 180°, x2 (180 ) + k.360 HP = {600, 1200} x2 (180 600) + k.360 x2 1200 + k. 360 k = 1 maka x1 = 2400 (TM) k = 0 maka x1 = 1200 (M) k = 1 maka x1 = 4800 (TM) Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati CONTOH SOAL 4 Himpunan penyelesaian cos xo = cos 75o, untuk 0 ≤ x ≤ 2π cos xo = cos 75o maka = 75o x1 + k. 360 x1 750 + k. 360 Jadi, untuk 0° ≤ x ≤ 360°, k = 1 maka x1 = 2850 (TM) HP = {750, 2850} dalam derajad k = 0 maka x1 = 750 (M) k = 1 maka x1 = 4350 (TM) untuk 0° ≤ x ≤ 2π, x2 + k.360 HP = ������������������ ������, ������������������������ ������ x2 750 + k.360 ������������������������ ������������������������ k = 1 maka x1 = 4350 (TM) k = 0 maka x1 = 750 (TM) = ������ ������, ������������ ������ dalam radian k = 1 maka x1 = 2850 (M) ������������ ������������
CONTOH SOAL 5 Himpunan penyelesaian cos x = − 4 , untuk 0o x 360o 5 a = 37o cos x = − 4 (cos berharga negatif x1 + k. 360 x1 1430 + k. 360 5 terletak di kuadran II dan III) Ambil yang di kuadran terkecil, k = 1 maka x1 = 2170 (TM) yaitu II maka : cos (180 a) k = 0 maka x1 = 1430 (M) k = 1 maka x1 = 5030 (TM) cos x = cos (180 37)0 x2 + k.360 cos x = cos 1430 maka = 1430 x2 1430 + k.360 Jadi, untuk 0° ≤ x ≤ 360°, k = 1 maka x1 = 5030 (TM) HP = {1430, 2170} k = 0 maka x1 = 1430 (TM) k = 1 maka x1 = 2170 (M) Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati
CONTOH SOAL 6 Himpunan Penyelesaian dari tan x = tan 50o untuk 0o x 300o tan x = tan 50o maka = 50o x + k. 180 x 500 + k. 180 k = 1 maka x1 = 1300 (TM) k = 0 maka x1 = 500 (M) k = 1 maka x1 = 2300 (M) k = 2 maka x1 = 4100 (TM) Jadi, untuk 0° ≤ x ≤ 300°, HP = {500, 2300} Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati
CONTOH SOAL 7 Himpunan Penyelesaian tan x = ������ untuk 0o x 360o ������ tan x = ������ ������ tan x = tan 370 maka = 370 x + k. 180 x 370 + k. 180 k = 1 maka x1 = 1430 (TM) k = 0 maka x1 = 370 (M) k = 1 maka x1 = 2170 (M) k = 2 maka x1 = 3870 (TM) Jadi, untuk 0o x 360o, HP = {370, 2170} Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati CONTOH SOAL 8 Himpunan Penyelesaian 3 tan x= – 3 untuk 0 x 2 3 tan x = – 3 (bagi dengan 3) a = 30o tan x = – ������ (tan berharga negatif terletak di kuadran II dan IV) ������ Ambil yang di kuadran terkecil, yaitu II maka : tan (180 a) tan x = tan (180 30)0 x + k. 180 tan x = tan 1500 maka = 1500 x 1500 + k. 180 Jadi, untuk 0° ≤ x ≤ 360°, k = 1 maka x1 = 300 (TM) k = 0 maka x1 = 1500 (M) HP = {1500, 3300} dalam derajad k = 1 maka x1 = 3300 (M) k = 2 maka x1 = 5100 (TM) untuk 0° ≤ x ≤ 2π, HP = ������������������������ ������, ������������������������ ������ ������������������������ ������������������������ = ������ ������, ������������ ������ dalam radian ������ ������
Persamaan Trigonometri sin px = a Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati
CONTOH SOAL 1 2x1 + k. 360 2x1 2100 + k.360 (bagi dengan 2) HP sin 2x = –0,5 x1 1050 + k. 180 untuk –60o x 360o k = 1 maka x1 = 750 (TM) k = 0 maka x1 = 1050 (M) a = 30o k = 1 maka x1 = 2850 (M) sin 2x = –0,5 2x2 (180 ) + k.360 (sin berharga negatif 2x2 (180 2100) + k.360 2x2 300 + k. 360 (bagi dengan 2) terletak di kuadran III dan IV) x2 150 + k. 180 Ambil yang di kuadran k = 1 maka x2 = 1950 (TM) terkecil, yaitu III maka : k = 0 maka x2 = 150 (M) sin (180 + a) k = 1 maka x2 = 1650 (M) sin 2x sin (180 + 30)0 k = 2 maka x2 = 3450 (M) sin 2x sin 2100 maka = 2100 Jadi, untuk –60° ≤ x ≤ 360°, HP = {150, 1050, 1650, 2850, 3450} Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati
CONTOH SOAL 2 –2x1 + k. 360 – 2x1 20o + k. 360 (Bagi dengan –2) HP sin (–2x) = sin 20o, x1 –10o – k. 180 untuk 0o x 300o k = 1 maka x1 = 1700 (M) sin (–2x) = sin 20o maka = 20o k = 2 maka x1 = 3500 (TM) Jadi, untuk 0o x 300o, k = 0 maka x1 = –100 (TM) HP = {1000, 1700} k = 1 maka x1 = –1900 (TM) Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati – 2x2 (180 ) + k.360 – 2x2 (180 20o) + k.360 –2x2 160o + k. 360 (bagi dengan –2) x2 –80o – k. 180 k = 1 maka x2 = 1000 (M) k = 0 maka x2 = 800 (TM) k = 1 maka x2 = 2600 (TM)
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati 3x1 + k. 360 3x1 2400 + k. 360 (Bagi dengan 3) CONTOH SOAL 3 x1 800 + k. 120 HP : 2 sin 3x + 3 = 0 k = 1 maka x1 = 400 (TM) untuk 0o x 360o k = 0 maka x1 = 800 (M) 2 sin 3x + ������ = 0 k = 1 maka x1 = 2000 (M) 2 sin 3x = ������ (bagi dengan 2) k = 2 maka x1 = 3200 (M) sin 3x = ������ a = 60o ������ (sin berharga negatif 3x2 (180 ) + k.360 terletak di kuadran III dan IV) 3x2 600 + k. 360 (bagi dengan 3) x2 200 + k. 120 Ambil yang di kuadran terkecil, yaitu III maka : sin (180 + a) k = 1 maka x2 = 1400 (TM) Sin 3x = sin 2400 maka = 2400 k = 0 maka x2 = 200 (TM) Jadi, untuk 0° ≤ x ≤ 360°, k = 1 maka x2 = 1000 (M) HP = {800, 1000, 2000, 2200, k = 2 maka x2 = 2200 (M) 3200, 3400} k = 3 maka x2 = 3400 (M)
CONTOH SOAL 4 Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati Himpunan Penyelesaian : sin(3x – 30) = − 1 3, jika 00 ≤ x ≤ 3600 2 Sin (3x – 30) = − 1 3 a = 60o (sin berharga negatif terletak 2 di kuadran III dan IV) Ambil yang di kuadran terkecil, yaitu III maka : sin (180 + a) sin(3x – 30) = sin 2400 maka = 2400 3x1 – 30 + k. 360 3x2 – 30 (180 ) + k.360 3x1 2400 + 300 + k. 360 3x2 = 600 + 30 + k.360 3x1 2700 + k. 360 (Bagi dengan 3) 3x2 300 + k. 360 (Bagi dengan 3) x1 900 + k. 120 x2 100 + k. 120 k = 1 maka x1 = 300 (TM) k = 1 maka x2 = 1300 (TM) k = 0 maka x1 = 900 (M) k = 0 maka x2 = 100 (TM) k = 1 maka x1 = 2100 (M) k = 1 maka x2 = 1100 (M) k = 2 maka x1 = 3300 (M) k = 2 maka x2 = 2300 (M) Jadi, untuk 0° ≤ x ≤ 360°, k = 3 maka x2 = 3500 (M) HP = {900, 1100, 2100, 2300, 3300, 3500}
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati CONTOH SOAL 5 Himpunan penyelesaian sin ������ ������ − ������ = 1 untuk ������ ≤ ������ ≤ ������������ ������ ������ sin ������ ������ − ������ =1 ������ x1 − ������ + k. 2π ������ ������ ������ ������ sin ������ ������ − ������ = sin ������ maka = ������ 1 x1 ������ + ������ + k. 2π ������ 2 ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������������ ������ ������ x1 + k. 2π (kali dengan 2) 1 x2 − ������ (π ) + k. 2π x1 ������������ + k. 4 π 2 x2 4 + k. 2π ������ ������ ������������) ������ sama ������ (π + 4 k = 1 ������������ maka x1 = ������ (TM) ������ ������������ ������ x2 ������ + k. 2 π (kali dengan 2) k=0 ������������ ������ x2 ������������ + k. 4 π maka x1 = (M) ������ k=1 maka x1 = ������������������ (TM) ������ Jadi, untuk 0° ≤ x ≤ 2 π, Himpunan Penyelesaian = ������ ������ ������
Persamaan Trigonometri cos px = a Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati
CONTOH SOAL 1 Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati Himpunan penyelesaian cos 4x + ������ = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 300° ������ a = 30o ������ (cos berharga negatif cos 4x + ������ = 0 ������ kuadran II dan III) terletak di cos 4x = − ������ Ambil yang di kuadran terbesar, yaitu III maka : cos (180 + a) cos 4x = cos 2100 maka = 2100 4x2 = − + k. 360 4x1 = + k. 360 4x2 = −2100 + k. 360 (bagi dengan 4) 4x1 = 2100 + k. 360 (bagi dengan 4) x2 = − 52,50 + k. 90 x1 = 52,50 + k. 90 k = 1 maka x2 = 142,50 (TM) k = 1 maka x1 = 37,50 (TM) k = 0 maka x2 = 52,50 (TM) k = 0 maka x1 = 52,50 (M) k = 1 maka x2 = 37,50 (M) k = 1 maka x1 = 142,50 (M) k = 2 maka x2 = 127,50 (M) k = 2 maka x1 = 232,50 (M) k = 3 maka x2 = 217,50 (M) Jadi, untuk 0° ≤ x ≤ 300°, HP = {37,50 ; 52,50 ; 127,50 ; 142,50 ; 217,50 , 232,50}
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati CONTOH SOAL 2 x1 300 = + k. 360 x1 = 1500 + 300 + k. 360 Himpunan penyelesaian x1 = 1800 + k. 360 cos (x – 30) = − ������ ������ untuk k = 1 maka x1 = 1800 (TM) ������ k = 0 maka x1 = 1800 (M) 0 ≤ x ≤ 3600 a = 30o cos (x – 30) = − ������ ������ k = 1 maka x1 = 5400 (TM) ������ (cos berharga negatif x2 300 = + k. 360 terletak di kuadran II dan III) x2 1500 + 300 + k. 360 x2 = 1200 + k. 360 Ambil yang di kuadran terkecil, yaitu II maka : cos (180 a) k = 1 maka x2 = 4800 (TM) cos (x – 30) = cos (180 30)0 k=0 maka x2 = 1200 (TM) cos (x – 30) = cos 1500 k=1 maka x2 = 2400 (M) k=2 maka x2 = 6000 (TM) maka = 1500 Jadi, untuk 0° ≤ x ≤ 360°, HP = {1800, 2400}
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati CONTOH SOAL 3 Himpunan penyelesaian sec 3x = 2 , untuk 00 ≤ x ≤ 3600 sec 3x = ������ sec 3x = sec 450 maka = 450 3x1 = + k. 360 3x2 = − + k. 360 3x1 = 450 + k. 360 (bagi dengan 3) 3x2 = 450 + k. 360 (bagi dengan 3) x1 = 150 + k. 120 x2 = 150 + k. 120 k = 1 maka x1 = 1050 (TM) k = 1 maka x2 = 1350 (TM) k = 0 maka x1 = 150 (M) k = 0 maka x2 = 150 (TM) k = 1 maka x1 = 1350 (M) k = 1 maka x2 = 1050 (M) k = 2 maka x1 = 2550 (M) k = 2 maka x2 = 2250 (M) k = 3 maka x1 = 3750 (TM) k = 3 maka x2 = 3450 (M) Jadi, untuk 0° ≤ x ≤ 360°, HP = {150, 1050, 1350, 2250, 2550, 3450}
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati 2x1 + ������ = + k. 2 → 2x1 = ������������ − ������ + k. 2 3 ������ CONTOH SOAL 4 ������ ������ Himpunan penyelesaian 2x1 = ������ + k. 2 (bagi dengan 2) ������������������ ������������ + ������ + ������ ������ = ������ , untuk x1 = ������ + k. ������ ������ ������ ������ k = 1 maka x1 = ������������ (TM) 0 ≤ x ≤ 2π ������ Sec 2������ + ������ = − 2 3 a = ������ k=0 maka x1 = ������ (M) ������ 33 (sec berharga negatif k=1 maka x1 = ������������ (M) ������ terletak di kuadran II dan III) Ambil yang di kuadran 2x2 ������ = + k. 2 → 2x2 = ������������ − ������ + k. 2 + 3 ������ 3 terkecil, yaitu II maka : 2x2 = ������������ + k. 2 (bagi dengan 2) ������ cos (π a) ������������ x2 = + k. ������������ ������������ 2������ + ������ Sec = sec ������ k = 1 maka x1 = ������������������ (TM) 3 ������������ maka = ������������ k=0 maka x1 = ������������ (TM) ������������ ������ Jadi, untuk 0 ≤ x ≤ 2π, k=1 maka x1 = ������������ (M) k=2 ������������ HP = ������ ������, ������ ������, ������ ������, ������������ ������ ������ ������ ������������ ������������ maka x1 = ������������������ (M) ������������
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati 3x1 – 60 = + k. 360 3x1 = 300o + 600 + k.360 CONTOH SOAL 5 3x1 = 360o + k.360 (bagi dengan 3) x1 = 120 + k. 120 Himpunan penyelesaian k = 1 maka x1 = 00 (M) cos (3x – 60)o = cos (–300)o, k = 0 maka x1 = 1200 (M) untuk 0 ≤ x ≤ ������ k = 1 maka x1 = 2400 (TM) rumus sudut negative : cos (–α) = cos α 3x2 – 60 = + k. 360 cos (3x – 60)o = cos 300o 3x2 –300o + 600 + k.360 maka = 300o 3x2 = – 240o + k.360 (bagi dengan 3) x2 –80o + k. 120 Jadi, untuk 0° ≤ x ≤ 180°, HP = {00, 400, 1200, 1600} k = 1 maka x2 = 2000 (TM) dalam derajad k = 0 maka x2 = 800 (TM) untuk 0° ≤ x ≤ π, k = 1 maka x2 = 400 (M) HP = 00, ������������������ ������, ������������������������ ������, ������������������������ ������ k = 2 maka x2 = 1600 (M) ������������������������ ������������������������ ������������������������ = 0, ������ ������, ������ ������, ������ ������ dalam radian ������ ������ ������
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati CONTOH SOAL 6 Himpunan penyelesaian 2 cos ������������ + ������ − ������ = 0, dengan −������ ≤ ������ ≤ ������ ������ ������ 2 cos ������������ + ������ = ������ (bagi dengan 2) → cos ������������ + ������ = ������ ������ ������ cos ������������ + ������ = cos ������ maka = ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ 2 ������ 2 x22xx1 11==+���2���������������������=������ + k. 2 → 2x1 = ������ ������ + k. 2 2x2 + = + k. 2 → 2x1 = + k. 2 ������ 2 2x2 = ������������ + k. 2 (bagi dengan 2) + k. 2 (bagi dengan 2) ������ ������������ + k. x2 = ������ + k. k = 1 maka x1 = ������������ (TM) k = 1 maka x1 = ������������������ (TM) ������ ������ k=0 maka x1 = ������ (M) k=0 maka x1 = ������������ (M) ������ ������ k=1 maka x1 = ������������ (M) k=1 maka x1 = ������������ (M) ������ ������ k=2 maka x1 = ������������������ (TM) k=2 maka x1 = ������������������ (TM) ������ ������ Jadi, untuk − π ≤ x ≤ π, HP = ������ ������, ������ ������, ������ ������, ������ ������ ������ ������ ������ ������
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati CONTOH SOAL 7 Himpunan penyelesaian cos ������ ������ + ������ = ������ ������ untuk 0 < x < 2π ������ ������ ������ cos ������ ������ + ������ = cos ������ maka = ������ ������ ������ ������ ������ ������ x1 + ������ = + k. 2 → ������ x1 = ������ ������ + k. 2 ������ x2 + ������ = + k. 2 → ������ x2 = ������ ������ + k. 2 ������ 5 ������ ������ 5 ������ 5 ������ ������ 5 ������ ������������ ������ x1 = ������ + k. 2 (kali dengan 3) ������ x2 = + k. 2 (kali dengan 3) ������ ������������ ������������ x1 = ������������ + k. 6 x2 = ������������������ + k. 6 ������������ ������������ k = 1 maka x1 = ������������������������ (TM) k = 1 maka x2 = ������������������������ (TM) ������ ������������ k=0 maka x1 = ������������ (M) k=0 maka x2 = ������������������ (TM) ������������ ������������ k=1 maka x1 = ������������������������ (TM) k=1 maka x2 = ������������������ (TM) ������������ ������������ Jadi, untuk 0 < x < 2π , HP = ������ ������ ������������
Persamaan Trigonometri tan px = a Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati
CONTOH SOAL 1 2x = + k. 180 2x 600 + k. 180 (bagi dengan 2) Tentukan HP dari tan 2x = ������, x = 300 + k. 90 untuk 00 ≤ x ≤ 3600 tan 2x = ������ k = 1 maka x = 600 (TM) tan 2x = tan 600 maka = 600 k = 0 maka x = 300 (M) k = 1 maka x = 1200 (M) k = 2 maka x = 2100 (M) k = 3 maka x = 3000 (M) k = 4 maka x = 3900 (TM) Jadi, untuk 0° ≤ x ≤ 360°, HP = {300, 1200, 2100, 3000} Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati
CONTOH SOAL 2 Himpunan penyelesaian 0.5x = + k. 180 tan 0,5x = 1 untuk 0.5x 450 + k. 180 (kali dengan 2) 50o x 500o x = 900 + k. 360 tan 0,5x = 1 k = 1 maka x = 2700 (TM) tan 0,5x = tan 450 k = 0 maka x = 900 (M) maka = 450 k = 1 maka x = 4500 (M) k = 2 maka x = 8100 (TM) Jadi, untuk 50° ≤ x ≤ 500°, HP = {900, 4500} Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati
CONTOH SOAL 3 ������ = + k. Himpunan penyelesaian ������ tan ������ = tan − ������ , 0 x 2 ������ = ������������ + k. (kali dengan 2) 2 ������ ������ ������ x = ������������ + k. 2 ������ rumus sudut negative k = 1 maka x = ������ (TM) ������ tan (–α) = – tan α a = ������ k = 0 maka x = ������������ (M) ������ tan ������ = – tan ������ ������ ������ ������ k = 1 maka x = ������������������ (TM) (tan berharga negatif ������ terletak di kuadran II dan IV) Ambil yang di kuadran Jadi, untuk 0 ≤ x ≤ 2π, HP = ������ ������ terkecil, yaitu II maka : ������ tan (π a) tan ������ = tan (π ������ ) ������ ������ tan ������ = tan ������������ maka = ������������ ������ ������ ������ Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati tan 3x = tan 1350 maka α = 1350 CONTOH SOAL 4 3x = + k. 180 3x 1350 + k. 180 (bagi dengan 3) Himpunan penyelesaian x = 450 + k. 60 k = 1 maka x = 150 (TM) 3 tan 3x + 3 = 0 untuk k = 0 maka x = 450 (M) ������ ) k = 1 maka x = 1050 (M) 0° ≤ x ≤ 360° k = 2 maka x = 1650 (M) k = 3 maka x = 2250 (M) ������ tan 3x + ������ = 0 k = 4 maka x = 2850 (M) k = 5 maka x = 3450 (M) 3 tan 3x = ������ (bagi dengan k = 6 maka x = 4050 (TM) tan 3x = 1 a = 450 Jadi, untuk 0° ≤ x ≤ 360° , HP = {450, 1050, 1650, 2250, 2850, 3450} (tan berharga negatif terletak di kuadran II dan IV) Ambil yang di kuadran terkecil, yaitu II maka : tan (180 a) tan 3x = tan (180 450)
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati CONTOH SOAL 5 x + 600 = + k. 180 x = 1500 600+ k. 180 Himpunan penyelesaian x = 900 + k. 180 tan (x + 600) + ������ ������ = ������, dengan k = 1 maka x = 900 (TM) k = 0 maka x = 900 (M) ������ k = 1 maka x = 2700 (M) k = 2 maka x = 4500 (TM) ������������������ ≤ ������ ≤ ������������������������ Jadi, untuk ������������������ ≤ ������ ≤ ������������������������, tan (x + 600) + 1 3=0 HP = {900, 2700} 3 tan (x + 600) = 1 3 a = 300 3 (tan berharga negatif terletak di kuadran II dan IV) Ambil yang di kuadran terkecil, yaitu II maka : tan (180 a) tan (x + 600) = tan (180 300) tan (x + 600) = tan 1500 maka α = 1500
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati 2x + 15 + k. 180 2x 450 150 + k. 180 CONTOH SOAL 6 2x 300 + k. 180 (bagi dengan 2) x 150 + k. 90 Himpunan penyelesaian k = 1 maka x = 750 (TM) tan (2x + 15) = 1 untuk k = 0 maka x = 150 (M) 0° ≤ x ≤ 360° k = 1 maka x = 1050 (M) tan (2x + 15) = 1 k = 2 maka x = 1950 (M) tan (2x + 15) = tan 450 k = 3 maka x = 2850 (M) maka α = 450 k = 4 maka x = 3750 (TM) Jadi, untuk 0° ≤ x ≤ 360° , HP = {150, 1050, 1950, 2850}
Persamaan Trigonometri Melibatkan Jumlah dan Selisih Sinus Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati
Rumus Pendukung : Sin a + sin b = 2 sin 1 (a + b) cos1 (a – b) 22 Sin a – sin b = 2 cos1 (a + b) sin 1 (a – b) 22 CONTOH SOAL 1 Himpunan penyelesaian Sin 4x + sin 2x = 0 untuk interval 0 ≤ x ≤ 1800 Sin 4x + sin 2x = 0 ↔ 2 sin 1 (4x + 2x) cos 1 (4x – 2x) = 0 22 2 sin 3x cos x = 0 ↔ 2 sin 3x = 0 atau cos x = 0 Persamaan trigonometri kesatu : 2 sin 3x = 0 (bagi dengan 2) sin 3x = 0 ↔ sin 3x = sin 00 maka = 00 Persamaan trigonometri kedua : cos x = 0 cos x = cos 900 maka = 900
Persamaan trigonometri I : Persamaan trigonometri II : 3x1 + k. 360 x1 + k. 360 3x1 00 + k. 360 (bagi dengan 3) x1 900 + k. 360 x1 k. 1200 k = 1 maka x1 = 2700 (TM) k = 1 maka x1 = 1200 (TM) k = 0 maka x1 = 900 (M) k = 0 maka x1 = 00 (M) k = 1 maka x1 = 4500 (TM) k = 1 maka x1 = 1200 (M) x2 + k.360 k = 2 maka x1 = 2400 (TM) x2 900 + k.360 3x2 (180 ) + k.360 k = 1 maka x2 = 4500 (TM) 3x2 (180 00) + k.360 (bagi dengan 3) x2 600 + k.120 k = 0 maka x2 = 900 (TM) k = 1 maka x2 = 2700 (TM) k = 1 maka x2 = 600 (TM) k = 0 maka x2 = 600 (M) Jadi, untuk 0° ≤ x ≤ 180°, k = 1 maka x2 = 1800 (M) HP = {00, 600 , 900 , 1200 , 1800} k = 2 maka x2 = 3000 (TM) Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati
CONTOH SOAL 2 Himpunan penyelesaian sin 5x – sin 3x = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 1800 Sin 5x – sin 3x = 0 ↔ (2 cos 1 (5x + 3x) sin 1 (5x – 3x) = 0 2 2 ↔ 2 cos 4x sin x = 0 ↔ 2cos 4x = 0 atau sin x = 0 Persamaan trigonometri kesatu: sin x = 0 sin x = sin 00 maka = 00 Persamaan trigonometri kedua : 2 Cos 4x = 0 (bagi dengan 2) ↔ cos 4x = 0 Cos 4x = cos 900 maka = 900 Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati
Persamaan trigonometri I : Persamaan trigonometri II : x1 + k. 360 4x1 + k. 360 x1 00 + k. 360 4x1 900 + k. 360 (bagi dengan 4) x1 22,5 + k. 900 k = 1 maka x1 = 3600 (TM) k = 0 maka x1 = 00 (M) k = 1 maka x1 = 67,50 (TM) k = 1 maka x1 = 3600 (TM) k = 0 maka x1 = 22,50 (M) k = 1 maka x1 = 112,50 (M) x2 (180 ) + k.360 k = 2 maka x1 = 202,50 (TM) x2 (180 00) + k.360 x2 1800 + k.360 4x2 + k.360 4x2 900 + k.360 (bagi dengan 4) k = 1 maka x2 = 1800 (TM) x2 22,5 + k. 900 k = 0 maka x2 = 1800 (M) k = 1 maka x2 = 5400 (TM) k = 1 maka x2 = 112,50 (TM) Jadi, untuk 0° ≤ x ≤ 180°, k = 0 maka x2 = 22,50 (TM) HP = {00 ; 22,50 ; 67,50 ; 112,50 ; k = 1 maka x2 = 67,50 (M) k = 2 maka x2 = 157,50 (M) 157,50; 1800} Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati CONTOH SOAL 3 Himpunan penyelesaian Sin 6x + sin 2x – sin 4x = 0 , 0 ≤ x ≤ 1800 Sin 6x + sin 2x – sin 4x = 0 (Sin 6x + sin 2x) – sin 4x = 0 ↔ (2 sin 1 (6x + 2x) cos 1 (6x – 2x)) – sin 4x = 0 2 2 ↔ 2 sin 4x cos 2x – sin 4x = 0 ↔ sin 4x (2 cos 2x – 1) = 0 ↔ sin 4x = 0 atau 2 cos 2x – 1 = 0 Persamaan trigonometri kesatu: sin 4x = 0 ↔ sin 4x = sin 00 maka = 00 Persamaan trigonometri kedua 2 cos 2x – 1 = 0 ↔ 2 cos 2x = 1 (bagi dengan 2) Cos 2x = ������ ↔ cos 2x = cos 600 maka = 600 ������
Persamaan trigonometri I : Persamaan trigonometri II : 4x1 + k. 360 2x1 + k. 360 4x1 00 + k. 360 (bagi dengan 4) 2x1 600 + k. 360 (bagi dengan 2) x1 k. 900 x1 300 + k. 180 k = 1 maka x1 = 900 (TM) k = 1 maka x1 = 1500 (TM) k = 0 maka x1 = 00 (M) k = 0 maka x1 = 300 (M) k = 1 maka x1 = 900 (M) k = 1 maka x1 = 2100 (TM) k = 2 maka x1 = 1800 (M) 2x2 + k.360 4x2 (180 ) + k.360 2x2 600 + k.360 (bagi dengan 2) 4x2 (180 00) + k.360 (bagi dengan 4) x2 300 + k.180 x2 450 + k.90 k = 1 maka x2 = 2100 (TM) k = 1 maka x2 = 450 (TM) k = 0 maka x2 = 450 (M) k = 0 maka x2 = 300 (TM) k = 1 maka x2 = 1350 (M) k = 2 maka x2 = 2250 (TM) k = 1 maka x2 = 1500 (M) Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati Jadi, untuk 0° ≤ x ≤ 180°, HP = {00, 300 ,450, 900 , 1350 , 1500 ,1800}
CONTOH SOAL 4 Himpunan penyelesaian Sin 5x – sin x – cos 3x = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 1800 Sin 5x – sin x – cos 3x = 0 ↔ (Sin 5x – sin x) – cos 3x = 0 ↔ (2 cos ������ (5x + x) sin ������ (5x – x) – cos 3x = 0 ������ ������ ↔ 2 cos 3x sin 2x – cos 3x = 0 ↔ cos 3x (2 sin 2x – 1) = 0 ↔ cos 3x = 0 atau 2 sin 2x – 1 = 0 Persamaan trigonometri kesatu: ������ ������ 2 sin 2x – 1 = 0↔ 2 sin 2x = 1 (bagi dengan 2) ↔ Sin 2x = sin 2x = sin 300 maka = 300 Persamaan trigonometri kedua Cos 3x = 0 ↔ Cos 3x = cos 900 maka = 900 Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati
Persamaan trigonometri I : Persamaan trigonometri II : 2x1 + k. 360 3x1 + k. 360 2x1 300 + k. 360 (bagi dengan 2) 3x1 900 + k. 360 (bagi dengan 3) x1 150 + k. 180 x1 30 + k. 1200 k = 1 maka x1 = 1650 (TM) k = 1 maka x1 = 900 (TM) k = 0 maka x1 = 150 (M) k = 0 maka x1 = 300 (M) k = 1 maka x1 = 1950 (TM) k = 1 maka x1 = 1500 (M) k = 2 maka x1 = 2700 (TM) 2x2 (180 ) + k.360 3x2 + k.360 2x2 (180 300) + k.360 (bagi dengan 2) 3x2 900 + k.360 (bagi dengan 3) x2 30 + k. 1200 x2 750 + k.180 k = 1 maka x2 = 1500 (TM) k = 1 maka x2 = 1050 (TM) k = 0 maka x2 = 750 (M) k = 0 maka x2 = 300 (TM) k = 1 maka x2 = 2550 (TM) k = 1 maka x2 = 900 (M) k = 2 maka x2 = 2100 (TM) Jadi, untuk 0° ≤ x ≤ 180°, HP = {150, 300 , 750 , 900 , 1500} Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati
CONTOH SOAL 5 Himpunan penyelesaian Sin 4x + sin 2x = 2 sin 3x untuk 0 ≤ x ≤ π Sin 4x + sin 2x = 2 sin 3x (Sin 4x + sin 2x) – 2 sin 3x = 0 ↔ (2 sin ������ (4x + 2x) cos ������ (4x – 2x)) – 2 sin 3x = 0 ������ ������ ↔ 2 sin 3x cos x – 2 sin 3x = 0 ↔ 2 sin 3x ( cos x – 1) = 0 ↔ 2 sin 3x = 0 atau ( cos x – 1) = 0 Persamaan trigonometri kesatu: 2 sin 3x = 0 (bagi dengan 2) ↔ Sin 3x = 0 sin 3x = sin 00 maka = 00 Persamaan trigonometri kedua cos x – 1 = 0 ↔ cos x = 1 ↔ cos x = cos 00 maka = 00 Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati
Persamaan trigonometri I : Persamaan trigonometri II : 3x1 + k. 360 x1 + k. 360 3x1 00 + k. 360 (bagi dengan 3) x1 00 + k. 360 x1 k. 1200 k = 1 maka x1 = 3600 (TM) k = 1 maka x1 = 1200 (TM) k = 0 maka x1 = 00 (M) k = 0 maka x1 = 00 (M) k = 1 maka x1 = 3600 (TM) k = 1 maka x1 = 1200 (M) k = 2 maka x1 = 2400 (TM) x2 + k.360 x2 00 + k.360 3x2 (180 ) + k.360 Sama dengan persamaan cos yang 3x2 (180 00) + k.360 (bagi dengan 3) pertama x2 600 + k.120 Jadi, untuk 0° ≤ x ≤ 180°, k = 1 maka x2 = 600 (TM) HP = {00, 600, 1200, 1800} k = 0 maka x2 = 600 (M) k = 1 maka x2 = 1800 (M) untuk 0° ≤ x ≤ π, k = 2 maka x2 = 3000 (TM) HP = ������������ ������, ������������������ ������, ������������������������ ������, ������������������������ ������ Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ = 0, ������ ������, ������ ������, ������ dalam radian ������ ������
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati CONTOH SOAL 6 Himpunan penyelesaian Sin 4x – sin 2x = ������ sin x untuk 0 < x < π Sin 4x – sin 2x = ������ sin x (Sin 4x – sin 2x) – ������ sin x = 0 ↔ (2 cos ������ (4x + 2x) sin ������ (4x – 2x) – ������ sin x = 0 ������ ������ ↔ 2 cos 3x sin x – ������ sin x = 0 ↔ sin x (2 cos 3x – ������) = 0 ↔ sin x = 0 atau 2 cos 3x – ������ = 0 Persamaan trigonometri kesatu: sin x = 0 ↔ sin x = sin 00 maka = 00 Persamaan trigonometri kedua ������ 2 cos 3x – ������ = 0 ↔ 2 cos 3x = ������ (bagi dengan 2) ↔ Cos 3x = ������ Cos 3x = cos 300 maka = 300
Persamaan trigonometri I : Persamaan trigonometri II : x1 + k. 360 3x1 + k. 360 x1 00 + k. 360 3x1 300 + k. 360 (bagi dengan 3) x1 10 + k. 1200 k = 1 maka x1 = 3600 (TM) k = 1 maka x1 = 1100 (TM) k = 0 maka x1 = 00 (TM) k = 0 maka x1 = 100 (M) k = 1 maka x1 = 1300 (M) k = 1 maka x1 = 3600 (TM) k = 2 maka x1 = 2300 (TM) x2 (180 ) + k.360 x2 (180 00) + k.360 3x2 + k.360 x2 1800 + k.360 3x2 300 + k.360 (bagi dengan 3) x2 10 + k. 1200 k = 1 maka x2 = 1800 (TM) k = 0 maka x2 = 1800 (TM) k = 1 maka x2 = 1300 (TM) k = 1 maka x2 = 5400 (TM) k = 0 maka x2 = 100 (TM) Jadi, untuk 0° < x < 180°, k = 1 maka x2 = 1100 (M) HP = {100 , 1100 , 1300} k = 2 maka x2 = 2300 (TM) untuk 0° < x < π, dalam radian HP = ������������������ ������, ������������������������ ������, ������������������������ ������ = ������ , ������������������ , ������������������ Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������ ������������ ������������
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati x1 + 250 + k. 360 x1 450 250 + k. 360 CONTOH SOAL 7 x1 200 + k. 360 HP : sin(x – 200) + sin(x + 700) = 1 k = 1 maka x1 = 3400 (TM) untuk 00 ≤ x ≤ 3600 k = 0 maka x1 = 200 (M) k = 1 maka x1 = 3800 (TM) Sin(x – 200) + sin(x + 700) = 1 x2 + 250 (180 ) + k.360 2 sin 12(x–20 + x+70) cos 21(x–20 – (x+70)) = 1 x2 (180 450) 250 + k.360 2 sin 1(2x + 500) cos 1(x – 200 – x – 700) = 1 x2 1100 + k.360 22 k = 1 maka x2 = 2500 (TM) k = 0 maka x2 = 1100 (M) 2 sin 1 (2x + 500) cos 1 ( – 900) = 1 k = 1 maka x2 = 4700 (TM) 22 Jadi, untuk 0° ≤ x ≤ 360°, HP = {200, 1100} 2 sin(x + 250) cos( – 450) = 1 Ingat rumus cos(–α) = cos α 2 sin(x + 250) cos 450 = 1 2 sin(x + 250) ������ ������ = 1 ������ ������ sin(x + 250) = 1 (bagi dengan ������ ) sin(x + 250) = ������ ↔ sin(x + 250) = sin 450 ������ maka = 450
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati x1 + 200 + k. 360 x1 600 200 + k. 360 CONTOH SOAL 8 x1 400 + k. 360 HP : sin(x + 500) – sin(x – 100) = ������ k = 1 maka x1 = 3200 (TM) ������ k = 0 maka x1 = 400 (M) untuk 00 ≤ x ≤ 3600 k = 1 maka x1 = 4000 (TM) Sin(x + 500) – sin(x – 100) = 1 x2 + 20 + k.360 x2 600 200 + k.360 2 x2 800 + k.360 2 cos ������(x+50 + x–10) sin 1(x+50 – (x–10)) = ������ k = 1 maka x2 = 4400 (TM) k = 0 maka x2 = 800 (TM) ������ 2 ������ k = 1 maka x2 = 2800 (M) k = 2 maka x2 = 6400 (TM) 2 cos ������(2x + 400) sin 1(x + 500 – x + 100) = ������ ������ Jadi, untuk 0° ≤ x ≤ 360°, ������ 2 HP = {400, 2800} 2 cos ������(2x + 400) sin 1(600) = ������ ������ 2 ������ 2 cos(x + 200) sin 300 = ������ ������ 2 cos(x + 200) (������������) = ������ ������ cos(x + 200) = ������ ������ cos(x + 200) = cos 600 maka = 600
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati CONTOH SOAL 9 2x1 + 400 + k. 360 2x1 300 400 + k. 360 HP : sin(2x + 70) + sin(2x + 10) = ������ ������ 2x1 100 + k. 360 (bagi dengan 2) x1 50 + k. 180 ������ untuk 00 ≤ x ≤ 1800 sin(2x + 70) + sin(2x + 10) = ������ ������ k = 1 maka x1 = 1850 (TM) ������ k=0 maka x1 = 50 (TM) k=1 maka x1 = 1750 (M) 2sin ������������(2x+70 + 2x+10)cos ������������(2x+70 – (2x+10))= ������ ������ ������ 2 sin ������(4x + 80) cos ������(2x + 70 – 2x – 10) = ������ ������ ������ ������ ������ 2x2 + 400 (180 ) + k.360 ������ 2x2 (180 300) 400 + k.360 2 sin ������(4x + 800) cos ������(600) = ������ 2x2 1100 + k.360 (bagi dengan 2) x2 550 + k.180 ������ ������ ������ 2 sin(2x + 400) cos 300 = ������ ������ ������ 2 sin(2x + 400) ������ ������ = ������ ������ k = 1 maka x2 = 1250 (TM) k=0 maka x2 = 550 (M) ������ ������ k=1 maka x2 = 2350 (TM) 2 sin(2x + 400) = 1 (bagi dengan 2) sin(2x + 400) = ������ ������ Jadi, untuk 0° ≤ x ≤ 180°, sin(2x + 400) = sin 300 HP = {550, 1750} maka = 300
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati CONTOH SOAL 10 3x1 + 600 + k. 360 3x1 600 600 + k. 360 HP : sin(3x + 105) – sin(3x + 15) = 1 2 3x1 k. 360 (bagi dengan 3) 2 x1 k. 120 untuk 00 < x < 1800 Sin(3x + 105) – sin(3x + 15) = ������ ������ k = 1 maka x1 = 1200 (TM) ������ ������ k=0 maka x1 = 00 (TM) 2cos ������(3x+105 + 3x+15) sin ������ (3x+105 – (3x+15))= ������ ������ ������ ������ k=1 maka x1 = 1200 (M) 2cos ������(6x+120) sin ������ (3x+105 – 3x – 15) = ������ ������ ������ ������ ������ 3x2 + 600 + k.360 2 cos ������(6x + 120) sin ������ (900) = ������ ������ 3x2 600 600 + k.360 ������ ������ ������ 3x2 1200 + k.360 (bagi dengan 3) x2 400 + k.120 2 cos(3x + 60) sin (450) = ������ ������ ������ 2 cos(3x + 60) (������������ ������) = ������ ������ k = 1 maka x2 = 1600 (TM) ������ k = 0 maka x2 = 400 (TM) 2 cos(3x + 60) = 1 (bagi dengan 2) cos(3x + 60) = ������ k = 1 maka x2 = 800 (M) ������ Jadi, untuk 0° < x <180°, cos(3x + 60) = cos 600 maka = 600 HP = {800, 1200}
Search
Read the Text Version
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- 120
- 121
- 122
- 123
- 124
- 125
- 126
- 127
- 128
- 129
- 130
- 131
- 132
- 133
- 134
- 135
- 136
- 137
- 138
- 139
- 140
- 141