Calculus-1

ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນໍາ້ ທາ ເອກະສານປະກອບການຮຽນ - ການສອນ ວຊິ າ: ແຄນຄລູ ດັ ສ໌ 1 ຂຽນໂດຍ: ປອ ຈບັ ວງົ ທະວີ ຫວຼ ງນໍາ້ ທາ - 2019

ຄວາມເຫນັ ຂອງຜູຂ້ ຽນ: ການທ່ ຈີ ະນໍາພານກັ ສກຶ ສາສາຍຄູຄະນດິ ສາດກາ້ ວສ່ ູສູນແຫ່ ງຄວາມເປັນເລດີ ນນັ້ ບ່ ໍແມ່ ນເລ່ ອື ງງ່າຍ ສ່ ງິ ທ່ ທີ າ້ ທາ້ ຍກ່ ຄໍ ກື ານສາ້ ງນກັ ສກຶ ສາສາຍຄູຄະນດິ ສາດ ໃຫສ້ າມາດສອນໄດແ້ ຕ່ ມ1 - ມ7 ແລະ ສາມາດສາ້ ງສນັ ຄວາມຮູ ້ ກບັ ພາກພນຶ້ ແລະ ສາກນົ ໄດ.້ ເພ່ ອື ພດັ ທະນານກັ ສກຶ ສາສາຍຄູຄະນດິ ສາດ ໃຫເ້ ປັນຄນົ ທ່ ມີ ຄີ ຸນພາບ, ຂາ້ ພະເຈາົ້ ຈ່ ງິ ໄດພ້ ະຍາຍາມຮຽບ ຮຽງເອກະສານສະບບັ ນຂີ້ ນຶ້ ມາ ເຊ່ ງິ ມເີ ນອື້ ໃນ: ຫວ່ າງກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາ, ຊອກຫາ y = f (x) ຢ່ ູເມດັ x = x0 , ຂອບເຂດຂອງຕໍາລາ, ຜນົ ຕໍາລາ, ການນໍາໃຊຫ້ ຼກັ ເກນໂລປີຕານໃນການຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດ, ເຄາົ້ ຕໍາລາ ແຕ່ ລະເນອື້ ໃນ ປະກອບມີ ທດິ ສະດີ, ຕວົ ຢ່ າງ, ບດົ ເຝິກຫດັ ເຊ່ ງິ ມຈີ ດຸ ປະສງົ : - ເພ່ ອື ສ່ ງົ ເສມີ ແລະ ສາ້ ງສນັ ການຮູຂ້ ອງນກັ ສກຶ ສາ ໃຫມ້ ຄີ ຸນນະພາບ; - ເພ່ ອື ໃຫນ້ ກັ ສກຶ ສາ ໄດມ້ ເີ ອກະສານ ສໍາລບັ ການຄນົ້ ຄວາ້ ຮຽນຮູດ້ ວ້ ຍຕນົ ເອງ; - ເພ່ ອື ໃຫນ້ ກັ ສກຶ ສາ ໄດນ້ ໍາໄປເປັນແນວທາງ ໃນການຈດັ ການຮຽນ-ການສອນ. ດ່ ງັ ນນັ້ , ບນັ ດາຄູອາຈານ ແລະ ນກັ ສກຶ ສາ ທ່ໄີ ດນ້ ໍາໃຊເ້ ອກະສານສະບບັ ນີ້ ຫາກໄດພ້ ບົ ພຂໍ ້ ໍຂ້ າດຕກົ ບກົ ຜ່ ອງ ທາງດາ້ ນເນອື້ ໃນ ແລະ ທາງດາ້ ນສໍານວນຄໍາເວາົ້ ຈ່ ງົ ກະລຸນາສ່ ງົ ຄໍາຄດິ ເຫນັ ອນັ ຈງິ ໃຈ ຂອງພວກທ່ ານມາຍງັ ຂາ້ ພະ ເຈາົ້ ເພ່ ອື ຈະໄດປ້ ັບປຸງໃຫສ້ ມົ ບຸນດຂີ ນຶ້ . ດວ້ ຍຄວາມຮກັ ແພງ ແລະ ນບັ ຖື ຈບັ ວງົ ທະວີ

ສາລະບານ ໜາ້ ເນອື້ ໃນ 1 ບດົ ທີ 1 - ຫວ່ າງກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາ 1 1.1. ຫວ່ າງກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາປົກກະຕິ ແລະ ອະປົກກະຕິ 6 1.2. ຫວ່ າງກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາໂລກາລດິ ແລະ ໃຈກາໍ ລງັ 10 13 ບດົ ທີ 2 - ຊອກຫາ y = f (x) ຢ່ ູເມດັ x = x0 17 17 ບດົ ທີ 3 - ຂອບເຂດຂອງຕໍາລາ ທ່ ສີ າມາດກາໍ ນດົ ຄ່ າໄດ ້ ບດົ ທີ 4 - ຂອບເຂດຂອງຕໍາລາ ທ່ ບີ ່ ໍສາມາດກາໍ ນດົ ຄ່ າໄດ ້ 19 4.1. ຂອບເຂດຂອງຕໍາລາ ທ່ ມີ ຮີ ູບລກັ ສະນະ ∞ 21 ∞ 26 4.2. ຂອບເຂດຂອງຕໍາລາ ທ່ ມີ ຮີ ູບລກັ ສະນະ lim sin x = 1 27 27 x→0 x 31 45 4.3. ຂອບເຂດຂອງຕໍາລາ ທ່ ມີ ຮີ ູບລກັ ສະນະ ∞ − ∞ 45 4.4. ຂອບເຂດຂອງຕໍາລາ ທ່ ມີ ຮີ ູບລກັ ສະນະ (1)∞ 49 53 ບດົ ທີ 5 - ຜນົ ຕໍາລາ 57 5.1. ນໍາໃຊນ້ ຍິ າມຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາ 57 5.2. ນໍາໃຊສ້ ູດຄດິ ໄລ່ ຜນົ ຕໍາລາ 58 ບດົ ທີ 6 - ຫກຼັ ເກນໂລປີຕານ (L’HOSPITAL) 64 6.1. ນໍາໃຊ້ L’HOSPITAL ໃນການຊອກຫາຂອບເຂດ ທ່ ມີ ຮີ ູບລກັ ສະນະ 0 0 6.2. ນໍາໃຊ້ L’HOSPITAL ໃນການຊອກຫາຂອບເຂດ ທ່ ມີ ຮີ ູບລກັ ສະນະ 0.∞ 6.3. ນໍາໃຊ້ L’HOSPITAL ໃນການຊອກຫາຂອບເຂດ ທ່ ມີ ຮີ ູບລກັ ສະນະ 0.∞ 6.4. ນໍາໃຊ້ L’HOSPITAL ໃນການຊອກຫາຂອບເຂດ ທ່ ມີ ຮີ ູບລກັ ສະນະ 00 6.5. ນໍາໃຊ້ L’HOSPITAL ໃນການຊອກຫາຂອບເຂດ ທ່ ມີ ຮີ ູບລກັ ສະນະ ∞0 6.6. ນໍາໃຊ້ L’HOSPITAL ໃນການຊອກຫາຂອບເຂດ ທ່ ມີ ຮີ ູບລກັ ສະນະ 1∞ ບດົ ທີ 7 - ເຄາົ້ ຕໍາລາ

ບດົ ທີ 1 ຫວ່ າງກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາ (ເຂດກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາ) 1.1. ຫວ່ າງກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາປົກກະຕ,ິ ອະປົກກະຕິ (1) ຕໍາລາ y= f (x) ເງ່ອື ນໄຂ: g ( x) ≠ 0 g ( x) (2) ຕໍາລາ y = f ( x) ເງ່ອື ນໄຂ: f ( x) ≥ 0 (3) ຕໍາລາ y = g ( x) ເງ່ອື ນໄຂ: f ( x) > 0 f (x) ບນັ ດາຕວົ ຢ່ າງ: ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຊອກຫາຫວ່ າງກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາ y= −3x x+2 ແກ:້ ເງ່ອື ນ: x + 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ −2 ດ່ ງັ ນນັ້ , ເຂດກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາ y ແມ່ ນ Dy = ℝ \\ {−2}. ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຊອກຫາຫວ່ າງກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາ y = −2x − 3 ແກ:້ ເງ່ອື ນ: −2x − 3 ≥ 0 ⇔ x ≤ 3 2 ດ່ ງັ ນນັ້ , ເຂດກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາ y ແມ່ ນ Dy = [5, + ∞[. ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຊອກຫາຫວ່ າງກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາ y= 3− x x−4 ແກ:້ ເງ່ອື ນ: x − 4 > 0 ⇔ x > 4 ດ່ ງັ ນນັ້ , ເຂດກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາ y ແມ່ ນ Dy = ]4, + ∞[. 1

ຕວົ ຢ່ າງ 4: ຊອກຫາຫວ່ າງກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາ f ( x) = x − 5 + 3 + x ແກ:້ ເງ່ອື ນ:  x − 5 ≥ 0 ⇔  x − 5 ≥ 0 ⇔  x ≥ 5 ⇔ x ≥ 5  + x ≥ 0  + x ≥ 0 x ≥ −3 3 3 ດ່ ງັ ນນັ້ , ເຂດກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາ f ແມ່ ນ Df = [5, + ∞[. ຕວົ ຢ່ າງ 5: ຊອກຫາຫວ່ າງກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາ f ( x) = x2 − x − 2 ແກ:້ ເງ່ອື ນ: x2 − x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≤ −1∪ x ≥ 2 ດ່ ງັ ນນັ້ , ເຂດກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາ f ແມ່ ນ Df = ]−∞; −1] ∪[2; + ∞[. ຕວົ ຢ່ າງ 7: ຊອກຫາຫວ່ າງກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາ f ( x) = 2x +1 + 4 − 3x ແກ:້ ເງ່ອື ນ: 2x +1≥ 0 2x ≥ −1  x ≥ −1 −1 4 −3x ≥ −4  ≤ 2 2 3  − 3x ≥ 0 ⇔ ⇔  4 ⇔ ≤ x ≤ 4  3 x ດ່ ງັ ນນັ້ , ເຂດກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາ f ແມ່ ນ Df =  −1 ; 4  .  2 3  ຕວົ ຢ່ າງ 8: ຊອກຫາຫວ່ າງກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາ f ( x) = 2x −5 − x (3− x) 5 ແກ:້ ເງ່ອື ນ: 3 − x ≠ 0 ⇔  x ≠ 3 5 − x > 0 x < 5 ດ່ ງັ ນນັ້ , ເຂດກາໍ ນດົ ຂອງຕາໍ ລາ f ແມ່ ນ Df = ]−∞;5[ \\ {3}. ບດົ ເຝິກຫດັ : ກ. ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຂດກາໍ ນດົ ຂອງບນັ ດາຕໍາລາລ່ ຸມນີ້ 1. y = −3x 13. y= 2x +1 x+2 3x + 2 2. y = x−3 14. y= x 5− 2x x2 − 3x + 2 2

3. y = x 4 4 15. y= x −1 + 2x2 −5x + 2 4. y = x2 3x 16. y= x −1 + x +1 x3 +1 = 2x +1 y= 1 x4 + 2x2 + 3 2) x2 − 4x ( )5.y ( x − + 3 17. 6. f (x) = x +1 18. f ( x) = 2 3 x2 − 4 4x − 7. f ( x) = 9 1 19. f (x) = x2 x −1 − x2 − 5x + 6 8. f (x) = x2 2x 20. f (x) = x2 5 −12 +x−2 +x 9. f (x) = x −1 21. f (x) = x x2 + 4x x2 +1 10. f (x) = x2 1 22. f ( x) = 1 + 2 + 6x + 9 x +1 x−3 11. f (x) = x +1 23. f (x) = x2 − 7 + 12 x3 − 4x 7x 12. f ( x) = 6x2 x+5 − 5 24. f (x) = 2x . −13x x2 + 3x ຂ. ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຂດກາໍ ນດົ ຂອງບນັ ດາຕໍາລາລ່ ຸມນີ້ 1. y = 2x +1 + 4 − 3x 29. y = 2x +1 + 4 − 3x 2. y = 2x − 3 30. y = 2x − 3 3. y = 4 − x + x +1 31. y = 2x −1 + 1 3− x 4. y= x −1 + x 1 3 32. y = 2x +1 + x − 3 − x 5. y= x + 3 + 1 4 33. y = 2x −5 x2 − x −3 6. y= 2x −5 +3 34. y = −x + 4 x2 − 4x − 5 x2 − x 7. y = 3 x − 2 + x2 −1 35. y = 1+ − x x2 x 8. y = 3 x +3 + 1 36. y = 2−x + 3+ x 3− 2x x −1 3

9. y= x −1 − 3− 2x 37. y = 2x + 6 x −2 x2 + x + 2 10. f ( x) = x2 +1 + x 2 5 38. f ( x ) = 2 1 5 + 5 + 3x − x+ 11. f ( x) = 3x −1 39. f ( x) = 5 − 2x 12. f ( x) = 2x −1 40. f ( x) = x+3 7−x 13. f ( x) = x2 + 3 41. f ( x) = x2 − 2 14. f ( x) = x2 − 3x + 7 15. f ( x) = 6x −1 + x + 3 42. f ( x) = 2x2 − 5x + 3 16. f ( x) = 3 − x 43. f ( x) = 2x2 − 5x + 3 44. f ( x) = x x 17. f (x) = x2 − 4 5− 2x 45. f ( x) = 4 − x 3− x(x + 2) 18. f ( x) = x −1 46. f ( x) = x2 − 5x + 6 19. f ( x) = x2 + x −12 47. f ( x) = x − 4 − 3x 20. f ( x) = x +1 − 3x 48. f ( x) = 2x +8 − 1 x−5 21. f ( x) = x −1 + 2 3 − x 49. f ( x) = 2 − x + 1+ x 22. f ( x) = 3x − 4x2 50. f ( x) = 3x2 − 4x + 5 2x2 − x −8 23. f ( x) = 6x − x2 −5 51. f ( x) = 1− x + 16 − x2 5x−2 −1 24. f ( x) = x − x2 52. f ( x) = 6 x + x2 − 2x3 25. f ( x) = x − x2 53. f ( x) = 6 x + x2 − 2x3 26. f (x) = 3− 2x + x 54. f ( x) = 3x + 2 − x +1 3x − 5 (5x + 3)5 27. f (x) = 1 − 2−x 55. f ( x) = x2 − x − 2 x −1 x2 − 5x 28. f ( x) = x2 −1 + 16 − x2 56. f ( x) = x2 − 4 − 9 − x2 4

ຄ. ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຂດກາໍ ນດົ ຂອງບນັ ດາຕໍາລາລ່ ຸມນີ້ 1. y= 2x −3 + 1 8. y = 1 2+ x 7x −14 2. y= 3− x 9. y = 1 7x + 2 2x − x2 3. y = 1 10. y = 1+ 3x x−3 5− x x2 −5x + 3 4. y= 3− x 11. y = ( x + 1 x −1 x−4 2) 5. y = ( x − 5− 2x 1 12. y = x 2 + −x2 5x2 − 5 x− x− + 6x 2) 6. y= 2x + 3x 13. y = 1− 2x − 1 x +1 x2 +1 x2 − 4 7. y = x + 1 14. y = 2x −3 + x − 1 . x2 − 5x + 6 x x−2 2x 5

1.2. ຫວ່ າງກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາໂລກາລດິ ແລະ ໃຈກາໍ ລງັ a > 0 a ≠ 1 (1) ຕໍາລາ y = loga f (x) ເງ່ອື ນໄຂ:  f ( x) > 0 ϕ ( x) > 0 ϕ ( x) ≠ 1 (2) ຕໍາລາ y = logϕ(x) f (x) ເງ່ອື ນໄຂ:   f ( x) > 0 (3) ຕໍາລາ y = ( f ( ))x g(x) ເງ່ອື ນໄຂ: f ( x) > 0 ບນັ ດາຕວົ ຢ່ າງ: ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຊອກຫາຫວ່ າງກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາ f (x) = log2  1− 5x  2−x ແກ:້ ເງ່ອື ນ: 1− 5x > 0 ⇔ (1− 5x)(2 − x) > 0 ⇔ x < 1 ∪ x > 2 2−x 5 ດ່ ງັ ນນັ້ , ເຂດກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາ f ແມ່ ນ Df =  −∞ ; 1  ∪ ]2; + ∞[ . 5  ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຊອກຫາຫວ່ າງກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາ f ( x) = 5x − 2x2 − 2 + ln 1 x2 −1 ແກ:້ ເງ່ອື ນ: 5x1− 2 x2 − 2 ≥ 0 2x2x2−−1 5x + 2 ≤ 0  1 ≤ x ≤ 2  x2 − 1 > 0 >0 2 ⇔ ⇔ x < −1∪ x > 1 ⇔1< x≤ 2 ດ່ ງັ ນນັ້ , ເຂດກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາ f ແມ່ ນ Df = ]1; 2]. ( )ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຊອກຫາຫວ່ າງກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາ f ( x) = x2 − 4x + 3 log2 25 − 4x2 ແກ:້ ເງ່ອື ນ:  x 2 − 4x +3 ≥ 0⇔  x−5≥ 3 ∪x ≤1 −5 < x≤ 2 25 − 4x 2> 0  2 < x< 5⇔ 2 2 ດ່ ງັ ນນັ້ , ເຂດກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາ f ແມ່ ນ Df =  − 5 ; 2 . 2 6

ຕວົ ຢ່ າງ 4: ຊອກຫາຫວ່ າງກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາ f ( x) = lg ( x − 2) ແກ:້ ເງ່ອື ນ: x − 2 > 0 ⇔ x > 2 ⇔ x < −2 ∪ x > 2 ດ່ ງັ ນນັ້ , ເຂດກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາ f ແມ່ ນ Df = ]−∞; − 2[ ∪ ]2; + ∞[. ຕວົ ຢ່ າງ 5: ຊອກຫາຫວ່ າງກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາ f ( x) = ln (1− x ) ແກ:້ ເງ່ອື ນ: 1− x > 0 ⇔ x < 1 ⇔ −1 < x < 1 ດ່ ງັ ນນັ້ , ເຂດກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາ f ແມ່ ນ Df = ]−1;1[. ຕວົ ຢ່ າງ 6: ຊອກຫາຫວ່ າງກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາ f ( x) = log2 (2 − x) ແກ:້ ເງ່ອື ນ: 2 − x > 0 ⇔ x < 2 ດ່ ງັ ນນັ້ , ເຂດກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາ f ແມ່ ນ Df = ]−∞; 2[. ຕວົ ຢ່ າງ 7: ຊອກຫາຫວ່ າງກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາ f ( x) = logx−1 ( x + 3) ແກ:້ ເງ່ອື ນ: x −1> 0 ⇔ x >1 ⇔ x >1 x −1 ≠ 1 x ≠2 x ≠2 x + 3 > 0 x > −3 ດ່ ງັ ນນັ້ , ເຂດກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາ f ແມ່ ນ Df = ]1 ; + ∞[ \\ {2}. ຕວົ ຢ່ າງ 8: ຊອກຫາຫວ່ າງກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາ f ( x) = (3x + )5 2x−7 ແກ:້ ເງ່ອື ນ: 3x + 5 > 0 ⇔ 3x > −5 ⇔ x > −5 3 ດ່ ງັ ນນັ້ , ເຂດກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາ f ແມ່ ນ Df =  − 5 ; + ∞  . 3 7

ບດົ ເຝິກຫດັ : ກ. ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຂດກາໍ ນດົ ຂອງບນັ ດາຕໍາລາລ່ ຸມນີ້ ( )1. y = 4x − x2 + lg x2 −1 8. y = lg ( x −1) + 4− x x+2 2. y = log0,3 x −1 ( )8. y = log0,4 x − x2 x+5 ( )3. +1 ( )8. y = log0,5 x2 − 9 + 4 y = log0,5 −x2 + x + 6 x2 + x 4. y = log0,4 x −1 × x2 1 ( )8. y = log0,3 x2 − 5x + 7 x +5 − 36 ( )5. y = 16x − x5 + log1 x2 − 4 3x2 +18x+29 2 8. y = 4 x+3 − 26x+17 3x2 +18x+29 8. y = log 1 x x2 −1 6. y = 4 x+3 − 26x+17 2 ( )7. y = log0,5 (3x − 8) − log0,5 x2 + 4 ( )8. y = 4x − x3 + lg x2 −1 ( )8. y = log4 x − log8 x2 − 4x + 3 8. y = −x2 + 2x + 3 + log3 ( x −1) 9. y = lg x x 2 − x−3 8. y = x2 − 2x − log5 ( x −1) ( )10. y = log2x−5 x2 − 3x −10 8. y = 4x + 2 ( x−2) − 52 − 22( x−1) 83 11. y = x − 4 − x x 5 + lg (39 − x ) ( )8. y = lg x2 − 5x +16 + x2 − 9 − 12. y = log2 3x −1 + 1 ( )8. y = logx−2 x2 − 8x +15 3x + 2 x −1 ( )13. y = lg 8 − 4−2+lg x 3 2−lg x 8. y = log1 x −1 + x2 5 − 2 3x + 5 −x 2 14. y = lg x ( )8. y = lg 3x2 − 4x + 5 x2 − 2x − 63 ( )15. y = lg 5x2 − 8x + 4 + x ( )8. y = lg x2 − 5x + 6 + x2 − x 2x − 4 8

ຂ. ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຂດກາໍ ນດົ ຂອງບນັ ດາຕໍາລາລ່ ຸມນີ້  2 − x  x+1 ( )3. y = x2 − x − 2 x−5  3 + x  1. y = ( )2. y = x + 2 −1 x2 −4 =  ( x − 1) ( 2 − x )  1  x  x2 +3  3+  4. y 9

ບດົ ທີ 2 ຊອກຫາ y = f ( x) ຢ່ ູເມດັ x = x0 ນຍິ າມ: ບນັ ດາຕວົ ຢ່ າງ: ຕວົ ຢ່ າງ 1: ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = x2 − 7x + 5 . ຊອກຫາ f (0), f (−1), f (1) ແກ:້ f (0)= 5 f (−1) = (−1)2 − 7 (−1) + 5 = 1+ 7 + 5 = 13 f (1) =(1)2 − 7(1) + 5 =1− 7 + 5 = −1 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ໃຫຕ້ ໍາລາ f (2x − 3) = 4x + 5 . ຊອກຫາ f ( x) ແກ:້ ວາງ t = 2x − 3 ⇒ x = t + 3 2 f (t)= 4  t +3  + 5 = 2t + 6 + 5 = 2t + 11 2 ດ່ ງັ ນນັ້ : f ( x) = 2x +11. 10

ຕວົ ຢ່ າງ 3: ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x − 2) = x + 3. ຊອກຫາ f  1  , f  2  5 3 ແກ:້ ວາງ x − 2 = t ⇒ x = t + 2 f (t)= t + 2+3 = t +5 ສະນນັ້ : f  1  = 1 +5 = 26 . 5 5 5 f  2  = 2 +5 = 17 .  3  3 3 ບດົ ເຝິກຫດັ : 1. f ( x) =3x2 + 5x − 21 . ຊອກຫາ f (0), f (−2), f (1) 2. h (t ) =(2t +1)2 . ຊອກຫາ h (−1), h (0), h (1) 3. g ( x) = x − 1 . ຊອກຫາ g (−1), g (1), g (2) x 4. f (x)= x x 1 . ຊອກຫາ f (2), f (0), f (−1) 2+ 5. h (t ) = t2 + 2t + 4 . ຊອກຫາ h (2), h (0), h (−4) 3 6. g (u) = (u +1)2 . ຊອກຫາ g (0), g (−1), g (8) 7. f (t) =(2t )−1 −3 . ຊອກຫາ f (1), f (5), f (10) 2 8. g ( x) = 4 + x . ຊອກຫາ g (−2), g (0), g (2) 9. f ( x) = x − x − 2 . ຊອກຫາ f (1), f (2), f (3) 10. f ( x) = x3 − 3x2 + 2x + 5 . ຊອກຫາ f (−1), f (0), f (1) 11. g ( x) = x −1 . ຊອກຫາ g (2), g (3), g (4) x2 +1 12. h ( x) = log3 (3x) . ຊອກຫາ h (3) , h  1  , h  1   3   9  13. f (t ) = t2 + 9 . ຊອກຫາ f (0), f (4) 11

14. f ( x) = 2x2 − x − 6 . ຊອກຫາ f (2t −1), f (t + 3) 15. g (t ) = 5t2 − 6 . ຊອກຫາ f ( x + 2), f ( x − 2) 16. f ( x −1) = x −1 . ຊອກຫາ f (0), f  − 1  , f  1  x+2 2 2 17. f (2x −1) = 2 − 3x . ຊອກຫາ f (−1), f (−2), f  1  3 18. f (1− x) = x2 − 2x + 3. ຊອກຫາ f (−1), f (0), f  − 1   2  19. f (t − 2t ) = t − 2 . ຊອກຫາ f  − 1  , f  1  , f (0)  3   3  20. g (3x) = ( x + 2)2 . ຊອກຫາ g (0), g (−1), g (1) 21. f (2x +1) = 3x2 + x + 5 . ຊອກຫາ f (1), f (−2), f (3) 22. f ( x +1) = 2x −3 . ຊອກຫາ f (2), f (3), f (−5) 1− x 23. f (2 − x) = 5x + 2 . ຊອກຫາ f  1  , f  1  , f ( −2 )  3   2  24. f (2x) = x +1 . ຊອກຫາ f (1) , f (5), f (3), f  1  2x −3  5  ( )25. (1) ,  1   1  f ( x) = log3 3x . ຊອກຫາ f f  3  , f  9  , f 3 26. f ( x) = 1− cos 2x . ຊອກຫາ f (0), f (π ), f  π  , f π   6   4  27. f ( x) = sin x − cos x . ຊອກຫາ f (0), f  π  , f  π .  3   6 12

ບດົ ທີ 3 ຂອບເຂດຂອງຕໍາລາ ທ່ ສີ າມາດກາໍ ນດົ ຄ່ າໄດ ້ ຫກຼັ ການ: (1) lim f (x) = f ( x0 ) = m x → x0 (2) lim  f ( x) + g ( x) = lim f ( x) ± lim g(x) = f ( x0 ) ± g ( x0 ) = m ± n x→ x0 x→ x0 x→ x0 (3) lim  f ( x)× g ( x) = lim f ( x)× lim g ( x) = f ( x0 )× g ( x0 ) = m.n x→ x0 x → x0 x→ x0 (4) lim  f (x) = lim f (x) = f ( x0 ) = m  g ( x)  g ( x) g ( x0 ) n x→ x0 x→ x0 lim x→ x0  g(x)   lim g( x) x0  g(x0 ) = mn  x→x0  ( ) ( ) ( )(5)  lim f x = lim f x =  f x → x0 x → x0 ບາງບນັ ຫາທ່ ເີ ຄຍີ ພບົ : (−∞)k = +∞ ( k = 2n , n = 1; 2;3;...) (−∞)2 = +∞ (−∞)k = −∞ ( k = 2n +1, n = 0,1, 2, ...) (−∞)3 = − ∞ +∞ × a = +∞ (a > 0) +∞ × a = −∞ (a < 0) +∞ ×5 = +∞ −∞ × a = −∞ (a > 0) −∞ × a = +∞ (a < 0) +∞× (−5) = −∞ −∞ × 2 = −∞ −∞ ×(−3) = +∞ a = +∞ (a > 0) 2 = +∞ 0 0 − 2 = −∞ 0 a = −∞ (a < 0) 0 ບນັ ດາຕວົ ຢ່ າງ: ( )(1) lim 5x3 + 4x2 − 3 = 5(1)3 + 4(1)2 − 3 = 5 + 4 − 3 = 5 +1 = 6 x→1 (2) lim 2x3 + 3 = 2(−1)3 + 3 = 2(−1) + 3 = −2 + 3 = 1 x+2 x→−1 −1+ 2 1 13

( )(3) lim x3 − x2 − 5 = (−2)3 − (−2)2 − 5 = − 8 − 4 − 5 = −17 x→−2 ( )(4) lim x2 + 4x − 5 = (−1)2 + 4(−1) − 5 = 1− 4 − 5 = −8 x→−1 ( )(5) = 2  1 2 −  1  +1= 1 5 = −4 lim 2x2 − 5x +1 3  5  3  2× 9 − 3 +1 9 x→1 3 2−x 2 −  − 1  2+ 1 5 5 4x +5 2 2 6 (6) lim = = = 2 =  1  −2 + 5 3 x→− 1 4 − 2 + 5 2 (7) lim 3x − 2 = 3× 3 − 2 9 −2 = 5 = −5 1−5 x 2 =2 13 x→3 2 2 1−5× 3 1− 15 − 13 2 22 (8) lim x+8 = x+8 = −1 x+8 x→−8 − −(x + 8) (9) lim x+8 = + x+8 = 1 x+8 x→−8 + (x +8) (10) lim x + 6 = x+6 =1 x + 6 x→ − 6+ +(x + 6) (11) lim x+6 = − x+6 = −1 x+6 x→ − 6− (x + 6) ບດົ ເຝິກຫດັ : ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາຂອບເຂດລ່ ຸມນ:ີ້ 1. lim x2 −1 39. lim x3 −7 ( )79. lim x4 − x2 +1 x→1 x x2 −4 x→1 x→3 ( )2. lim 3x3 + x2 +1 40. lim x2 −1 80. lim x3 −7 x→0 x→1 x x2 −4 x→3 2 x− 24x 2 x3 − x2 +1 x3 − 7x2 +16x −12 6x −1 x2 −2 x2 −8x −1 3. lim 41. lim 81. lim x→1 x→1 x→2 4. lim  x3  42. 1 − 3  82. lim x−2   lim  − x3  x2 + x x→1 2 x2 −1 1 − x 1 x→0 x→0 5. lim x3 + 7 43. lim x2 −5x + 6 83. lim  3x 2 − 2x + 4 − 3x + 2x2 − x +1  x  x→0 x2 2 x→0 x→2 6. lim  2(x + 1) − x  44. lim 1+ x + x2 84. lim x +1  −  x3 + 3x2 + x x −1 x→−3 x 4 x→0 x→1 14

7. lim 14 5 − 7x x 2 45. lim 6+ x +7 85. lim 3 x + 7 −1 + 3x − 2 x→3 x+4 x→1 3x +1 + 2 x→−2 8. lim x2 − 9 3 2x + 2 + 3 3x +1 x→3 x + 6 −1 5− x 2 −5x 46. lim 86. lim x→5 x→ 1 2 ( )9. lim x2 − 7x + 5 47. lim x −1 87. lim 5x − 7 x→− 1 2x −3 1− 3x 2 x→2 x→1 3 3 ( )10. lim 5x5 − 3x3 +10x −15 x→1 48. lim x+7 +3 88. lim  2x −1 + x 1  x→2 3x + 5 x−2 −1 11. lim x + 2 x→−2 x→3 2x − 5 + 7 ( )49. lim 3x3 + x2 +1 ( )89. lim 5x2 − 4x + 3 x→0 x→1 12. lim x3 − 7 50. lim x2 −1 ( )90. lim x4 − x2 +1 x2 − 4 x→1 x x→1 x→3 13. 2x − 24x2 51. lim  x3 − x2  91. x3 − x2 +1 lim  x2 − x+  lim x2 − 2 6x −1 x→1 2 1 2 1 x→1 x→1 14. lim x3 − 7x2 +16x −12 52. lim 1 − 3  92. lim  3x 2 − 2x + 4  x2 −8x −1  − x3 x x→1 x→0 1 − x 1 x→2 15. lim 2 ( x + 1) − x x 4  53. lim x2 −5x + 6 ( )93. lim x2 + 2x +1 −  2x2 − x +1 x→−1 x→−3 x→0 ( )16. lim x + 2 x +1 54. lim (3 − 4x)4 94. lim x +1 x→1 x→3 2x +1 x→1 17. lim x2 + x +1 lim 4x +7 x − x3 56. x+2 ( )95.lim x→−1 2x5 + 3 x→0 ( − 1) x4 −3 x→1 2 x 18. lim x2 − 4 57. lim x4 + 3x +1 1− 1 x→ 3 x→1 2x2 −1 96. lim x x→2 1+ 1 x 19. lim sin 5x 58. lim 5 − x 97. lim 5 − x x→0 1 x →5− x →5+ + 4x 20. lim 8 − x3 59. lim 8 − x3 98. lim 5 − x x→2− x→2+ x→5 21. lim 8 − x3 60. lim 3 x3 −1 99. lim 3 x3 −1 x→2 x →1− x →1+ 22. lim 3 x3 −1 2 2 x→1 61. lim x3 100. lim x3 2 x → −8− x → −8+ 23. lim x 3 62. lim x−4 101. lim x−4 x→−8 x→4− x−4 x→4+ x−4 15

24. lim x+5 63. lim x+5 ( )102. lim 4 + x x+5 x+5 x→0+ x→−5+ x → −5− 25. lim 3 − x + 3  ( )64. lim x + 6 + x ( )103. lim 5 − 2x − x2−  4x 2  x → −6+  x→0+    5 x → 2 ( )26. lim x2 − 25 + 3 65. lim 9 − x2 104. lim 4 − x2 x→5+ x →3− 2−x x → 2+ 27. lim 2x2 + 5x −12 66. lim ( x − 3)2 x +10 x →3+ 105. lim x→−4+ x2 + 3x − 4 x−3 ( )x→−10− x + 10 2 28. lim 1+ 2x −10 67. lim 4 x2 −16 106. lim x+7 x→4+ x→5+ x+3 x+4 x → −7+ x+7 29. lim π −x 1 107. lim 1 68. lim x→π − x −π x →8− x−8 xx→0+ 30. lim x −1 108. lim 1 x→1− ( )70. lim 5 − x + 2x x→5− x →3− x−3 31. lim 1 71. lim x + 2 x 4 − x2 x→0− x − x 109. lim x→3+ x−3 x→2− 2 − x 32. lim x2 − 7x +12 4 − x2 x2 + 3x + 2 x→3− 9 − x2 72. lim 110. lim x→2− 2 − x x→−1+ x5 + x4 33. 4 − x2 73. lim 3x + 6 111. lim 3x + 6 lim x → −2+ x → −2− x→2− 2 − x x+2 x+2 34. lim x2 + 3x + 2 74. lim x2 + 3x + 2 112. lim sin x +1 x +1 x +1 2 cos x + 3 x→−1− x → −1+ x→π 2 35. lim 2sin x − cos x + 5 75. lim 2sin x − 1 113. lim tan x + 4 sin2 x + 3cos x + 4 1− 3cos x 1− 2 cot x x→π x→π x→π 2 2 3 36. lim 1− 5sin x 76. lim 2sin x − 1 114. lim tan x + 2 cos x + 2 1− 3cos x 3 − 2 cot x x→π x→π x→π 2 2 4 37. lim 5 − 2 cot x 77. lim sin x + cos x −1 115. lim 7 − cos x x→π 2 cos x x→π 1 − 3 tan x x→π 1 + 2 sin x 4 3 3 38. lim sin x − cos x + 2 1 78. lim tan x + sin 2x 116. lim 2 + 3sin x 5cos x + 2sin x + 1+ 3cos 4x 1− cos x x→π x→π x→π 4 2 16

4.2. ຂອບເຂດຂອງຕໍາລາ ທ່ ມີ ຮີ ູບລກັ ສະນະ lim sin x = 1 lim x = 1 x→0 x x→0 sin x lim sin (mx) = 1 lim mx =1 x→0 mx x→0 sin (mx) lim tan x = 1 lim x = 1 x→0 x x→0 tan x lim tanα x =1 lim αx x =1 αx tan α x→0 x→0 lim arc sin x = 1 lim x = 1 x→0 x x→0 arc sin x lim arc sinα x =1 lim αx =1 αx arc sinα x x→0 x→0 lim sin ( x −1) = 1 sin 1 ( x −1) lim x = 1 x→1 x→∞ 1 x 1− cos x = 2sin2 x 1 − cos ( mx ) = 2 sin 2  mx  2  2  ບນັ ດາຕວົ ຢ່ າງ: (1) lim sin 3x = lim 3sin 3x = 3× lim sin 3x = 3×1 = 3 . x→0 x x→0 3x x→0 3x (2) lim sin 2x + sin 5x = lim  sin 2x + sin 5x  = lim  2 sin 2x + 5 sin 5x  = 2 + 5 = 7. x→0 x  x x   2x 5x  x→0 x→0 sin 4x 4sin 4x (3) lim sin 4x = lim x = lim 4x = 4. x→0 sin 3x x→0 sin 3x x→0 3sin 3x 3 x 3x sin10x 10 sin 10 x (4) lim sin10x = lim x = lim 10x = 10 = 2. x→0 sin 5x x→0 sin 5x x→0 5sin 5x 5 x 5x (5) lim 1− cos x = lim 2 sin2 x =  2 sin x × sin x  = lim  sin x × sin x  = 1× 0 = 0. x→0 x x 2  x 2 2   x 2 2  x→0 lim   x→0   x→0       2  19

ບດົ ເຝິກຫດັ : ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາຂອບເຂດລ່ ຸມນ:ີ້ 1. lim sin x cos x 13. lim sin 7x 25. lim sin 5x x→0 x x→0 sin 8x x→0 x sin 3x sin 3x 26. lim tan (mx) 2. lim 2 14. lim x→0 sin 4x x→0 tan (nx) x→0 7x 5 3. lim sin 2x tan 2x tan 2x x→0 x 15. lim 27. lim x→0 3x x→0 sin 5x 4. lim 1− cos 5x 16. lim 1− cos ax 28. lim 1− cos2 2x x→0 x sin x x→0 x2 x→0 x2 1− cos2 2x 17. lim sin ax 29. lim tan3 (2x) − sin3 (3x) 5. lim x→0 cos bx x→0 x3 x→0 x sin x 6. lim 1− cos t 18. lim sin3 t 30. lim sin ax x→0 tan bx t→0 sin2 t t→0 (2t )3 sin2 x 19. lim 1− cos 3t 31. lim 1 sin t t 7. lim 2 t→0 t − cos t→0 x→0 sin x 8. lim cos t x cos x − x2 32. lim 4t2 + 3t sin t 20. lim t→0 t→0 1 − sin t t2 x→0 2x 9. lim sin2 2t 33. lim 1− cos at sin (−3x) t→0 bt t→0 t2 21. lim x→0 4x 10. lim tan x 22. lim arc sin 5x 34. lim arc sin 4x x→0 sin 3x x→0 arc sin 7 x x→0 3x 1− cos 5x 1 − cos x 1 − cos 7 x 4 3x2 11. lim x2 23. lim x2 35. lim x→0 x→0 x→0 12. lim sin ax 24. lim tan bx 36. lim sin 3x x→0 sin bx x→0 tan ax x→0 tan 2x 20

4.3. ຂອບເຂດຂອງຕໍາລາ ທ່ ມີ ຮີ ູບລກັ ສະນະ ∞ − ∞ ບດັ ດາຕວົ ຢ່ າງ: ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຊອກຂອບເຂດ lim  1 − 2 2   − −x  x→1 1 x 1 ແກ:້  1 − 3  =  1 − 2  =  1.(1+ x) − 2  lim  − 1− x2  lim  1−  lim  (1− x)(1+ x)  1 x x (1 − x ) (1 + x) (1− x ) (1 + x) x→1 x→1 x→1 = lim (1+ x) − 2 = lim (1 − x −1 x) = lim −(1− x) = lim −1 = −1 (1− x)(1+ x) (1− x)(1+ x) . x→1 x→1 x ) (1 + x→1 x→1 (1+ x) 2 ( )ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຂອກຂອບເຂດ lim x2 − x +1 − x x→+∞ ແກ:້ ( )( ) ( )x2 − x +1 − x x2 − x +1 + x 2 ( )lim x2 − x +1 − x = lim = lim x2 − x +1 − x2 ( )x→+∞ x→+∞ x2 − x +1 + x x→+∞ x2 − x +1 + x = lim x2 − x +1− x2 = lim −x +1 = lim −x +1 x→+∞ x2 − x +1 + x x→+∞ x2 1 − 1 + 1  + x x→+∞ 1− 1 + 1 + x x x2 x x2 x x  −1 + 1  −1+ 1 −1 x x . = lim = lim = x→+∞  x→+∞ 1− 1 + 1 +1 2 x 1− 1 + 1 + 1 x x2  x x2  ( )ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຊອກຫາຂອບເຂດ lim x + x − x x→+∞ ແກ:້ ( ) ( )( ) ( )lim x + x − x = lim ( )2 2 x+ x − x x+ x + x = lim x+ x − x x→+∞ x→+∞ x+ x + x x→+∞ x+ x + x = lim x + x − x = lim x = lim x x→+∞ x + x + x x→+∞ x + x + x x→+∞ x 1 + 1 + x x 21

= lim  x = lim 1 = 1. x→+∞ x  x→+∞ 1+ 1 +1 2 1+ 1 + 1 x  x ຕວົ ຢ່ າງ 4: ຊອກຫາ lim 1 − tan   x  x→π cos x 2 ແກ:້ lim  1 − tan x  = lim  1 − sin x  = lim 1− sin x = lim (1− sin x)(1+ sin x)  cos   cos cos x  cos x cos x (1+ sin x) x→π x x→π x x→π x→π 22 22 π 1− sin2 x cos = lim x) = lim cos cos2 x x) = lim cos x = = 0. cos x (1+ sin sin 1+ sin x 2 x→π x→π x (1+ x→π 1+ sin π 2 2 2 2 ຕວົ ຢ່ າງ 5: ຊອກຫາຂອບເຂດ lim x + x + x x→+∞ x +1 ແກ:້ x2  1 + x   x2  x+ x x  x + x + x = lim x 1+ x = lim 1+ x lim x +1 x→+∞ x→+∞ x 1+ 1 x→+∞ 1+ 1 xx x 1+ 1 1+ 1 + 1 1+ x 3 x2 x 3 = lim x = lim x2 = 1. x→+∞ x→+∞ 1+ 1 1+ 1 x x ຕວົ ຢ່ າງ 6. ຊອກຫາຂອບເຂດ lim 3 −2   1− 3  x→1 1 − x x ແກ:້ ວາງ x = y6 ເມ່ ອື x → 1 ⇒ y → 1 lim 3 −2  = lim  3 − 2   1− 3   − y3 −y  x→1 1 − x x y →1 1 1 2 = lim ( )(1 − y) 3 y+ y2 − (1 − y 2 + y )   1+  y→1 ) (1  22

( ) ( ( ) )=   lim  (1 − 3 (1 + y) + y2 − (1− 2 1+ y + y2 + y2  y)(1+ y) 1+ y y→1 1+ y y )(1+ y) (( )) ( )= 3 (1 + y) lim (1− y) (1 − 2 1+ y + y2 2 = lim 3+3y −2− 2y − 2y2 2 + y 1+ y + y y →1 ) 1+ y + y y →1 (1− y)(1+ y) −2 y2 + y +1 ( y −1)(−2 y −1) 1+ y )(1+ y) 1+ y + )(1+ y) y ( ) ( )=lim (1 − + y2 = lim (1 − y2 y →1 y y →1 (1 − y )(2y + 1) = 2y +1 = 3 = 1 y ) (1 + y) 1 + . y+ ) 1+ y ( ) ( )=lim (1 − y 2 lim (1 + y + y2 62 y →1 y →1 ( )ຕວົ ຢ່ າງ 7. ຊອກຫາຂອບເຂດ lim x − 3 x3 − 3x2 + 4 x→+∞ ແກ:້ ( ) ( )lim  2 ( ) ( )x→+∞   x − 3 x3 − 3x2 + 4 x2 + x x3 − 3x2 + 4 + x3 − 3x2 + 4 x − 3 x3 − 3x2 + 4 = lim  2 x→+∞   2 + x3 − 3x2 + 4 + x3 − 3x2 + 4 x x = lim ( )3 x3 − 3 x3 − 3x2 + 4 x→+∞    2  +     x2 + x3 x3 1 − 3 + 4  3 x3 1 − 3 + 4    x x ( )= lim x3 − x3 − 3x2 + 4 1− 3 + x→+∞  4   2  x x3     x 2 + x2 3 + x 2 3 1 − 3 + 4    x x3  = lim 3x2 −4 +4 x→+∞  3  3 4 2  1 + x x3  x x3   x2  3 1− + 3 1− +    x2  3 − 4  x2 = lim   2  x→+∞ 1 + 3 4  3 4    x x3 x x3   x2 3 1− + + 3 1 − +  = lim 3− 4 = 3 = 3 = 1. x2 1+1+1 3 x→+∞  3 4  3 4 2  1 + 3 1− x + x3 +  3 1− x + x3       23

ຕວົ ຢ່ າງ 8. ຊອກຂຫາຂອບເຂດ lim  x+ x+ x−   x  x→+∞ ແກ:້  x+ x+ x −  x+ x+ x+   x   x  lim  x+ x+ x−  = lim  x  x  x→+∞ x→+∞   x+ x+ x + ( ) x+ x+ x 2 − 2 x+ x+ x −x  = lim  x  = lim  x→+∞   x→+∞ x  x+ x+ x+ x   x+ x+ x+ = lim x+ x = lim x 1+ x x x→+∞  x+ x+ x+  x→+∞  x+ x+   x   x   x 1+ x    x 1+ x 1+ x x = lim x = lim x→+∞  x+  x→+∞     x x +1     x  1+  x2 1 + x      x2 +1  1+ x  x   1+ 1 1+ 1 x = 1. = lim x = lim x→+∞  x→+∞ 2 x 1+ 1   1+ 1 + 1  x 3   1+  1+ +1 x 3 x2 x2  x   ບດົ ເຝິກຫດັ : ກ. ຈ່ ງົ ຄດິ ຊອກຫາບນັ ດາຂອບເຂດລ່ ຸມນີ້ 1. lim  1 − 3  2. lim  1 − 3   1− 1− x3   + + x3  x→1 x x→−1 1 x 1 24

ຂ. ຈ່ ງົ ຄດິ ຊອກຫາບນັ ດາຂອບເຂດລ່ ຸມນີ້ ( )10. lim 1+ x − x x→+∞ ( )1. lim x2 + x − x2 −1 x→+∞ ( )11. lim x2 + x − x2 − x x→+∞ ( )2. lim x2 + 8x + 3 − x2 + 4x + 3 x→+∞ ( )12. lim x +1 − x x→+∞ ( )3. lim x2 + 8x + 3 − x2 + 4x + 3 x→−∞ ( )13. lim 3x2 + x +1 − 3 x x→+∞ ( )4. lim x2 + x +1 − x x→+∞ ( )14. lim x2 +1 + x −1 x→−∞ ( )5. lim x2 + x − x2 + 4 x→+∞ ( )15. lim x2 − x + 3 + x x→−∞ ( )6. lim x2 + 2x + 4 − x2 − 2x + 4 x→+∞ ( )16. lim x2 + x + 2 − x x→+∞ ( )7. lim 2x − 5 − 4x2 − 4x −1 x→−∞ ( )17. lim 2x2 +1 + x x→−∞ ( )8. lim x2 + 8x + 4 − x2 + 7x + 4 x→+∞ ( )18. lim x2 − x + 3 − 2x x→−∞ ( )9. lim 3x2 + x +1 + x 3 x→−∞ 25

4.4. ຂອບເຂດຂອງຕໍາລາ ທ່ ມີ ຮີ ູບລກັ ສະນະ (1)∞ ສູດ 1: lim 1 + 1 x = e x  x→∞ ວາງ u = 1 ⇒ x = 1 xu ເມ່ ອື x → ∞ ⇒ u → 0 ດ່ ງັ ນນັ້ : lim (1 + u ) 1 = e u u→0 ສູດ 2: ເພ່ ອື ຊອກຫາ lim f ( x )g(x) x→a ຖາ້ ວ່ າຕອບສະໜອງເງ່ອື ນໄຂ: lxi→ma f ( x ) = 1 lxi→ma g ( x ) = ∞ ( )ດ່ ງັ ນນັ້ : f x  = eg(x) lim f ( x )−1g( x ) lim x→a x→a ຕວົ ຢ່ າງ: ຊອກຂອບເຂດ  x2 −1x2 lim  +1  x2 x→+∞ ວທິ ແີ ກ ້ 1: −1 x2  x2   x−22+1 −2 x2  +1    x2 +1  lim 1+ lim 1+ lim  x2 = lim 1 + −2 x2 = x→+∞  x 1 1  = x→+∞  x 1 1   x2 x2 +1  2+  2+  x→+∞ x→+∞ −2  −2  −2 x 2 x2 +1 lim −2 x2 x2 +1   x2 +1 x2 +1 x→+∞ 1  −2     −2      = lim + x 1 1   =  lim 1 + x 1 1   = e−2. 2+     2+   x →+∞ −2    x → +∞ −2   26

ວທິ ແີ ກ ້ 2: x2  x 2 −+11−1  x 2 −1− x 2 −1  xl→im+∞ −2  −2 x2 xl→im+∞ x 2  x2 +1  x2 +1 x2 +1 lim  xx +−11  = e = e = e = e = e .x→+∞2 x2 lim x 2 x2 lim 2 x→+∞ x→+∞ −2 ບດົ ເຝິກຫດັ : ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາຂອບເຂດລ່ ຸມນ:ີ້  x2 −1x2  2x2 + 3 8x2 + 3  x + 5  x + 3  x + 2  1. lim  x2 +1  6. lim  2x 2 + 5  11. lim   x→+∞ x→∞ x→∞  x x+2  1− 2x 3x    5x + 7  4 2. lim x +3  7. lim   12. lim   x −1 5x + 3 7 − 2x x→∞ x→∞ x→∞ x 3  x2 + 5x −1 x2 −x +2  3x +14 7 3. lim   8. lim  x +10  4−x2 13. lim       x→∞ 3x − 2 x→2 5x + 2 x→∞ x 2 + 2x + 3 ( )1  2x + 3  1  x2 + x +1 2x2 +3x−7  x+3  4. lim 5x2 +1 x2 9. lim x 14. lim   x→0 x→0 x→∞ x2 +5  x   1  x −5 x     5. x +1 10. x+3 x −1 15. x −3 3x +1 lim lim lim  x + 2  x→∞ x →1 x→∞ 27

ບດົ ທີ 4 ຂອບເຂດຂອງຕໍາລາ ທ່ ບີ ່ ໍສາມາດກາໍ ນດົ ຄ່ າໄດ້ 4.1. ຂອບເຂດຂອງຕໍາລາ ທ່ ມີ ຮີ ູບລກັ ສະນະ ∞ ∞ ນຍິ າມ: ເມ່ ອື x→∞⇒ 1 , 1 , 15 5 → 0 x x2 x3 , x +1, 2x2 + 3 ບນັ ດາຕວົ ຢ່ າງ: ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຊອກຫາ lim 8x3 +12x2 + x + 4 6x3 + 2x2 − 7x − 2 x→∞ ວທິ ແີ ກ ້ 1: ທາງເທງິ ແລະ ລ່ ຸມ ຫານໃຫ ້ x ກາໍ ລງັ ໃຫຍ່ ສຸດ ( x3 ): 8x3 + 12x 2+x + 4 8x3 +12x2 + x + 4 8 + 12 + 1 + 4 8 4. 6x3 + 2x2 − 7x − 2 x3 x x2 x3 6 3 lim = lim = lim = = x→∞ 6x3 + 2x2 − 7x − 2 x→+∞ 2 7 2 x→∞ x3 6+ x − x2 − x3 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ແຍກ x ກາໍ ລງັ ໃຫຍ່ ສຸດ ( x3 ) ອອກເປັນສ່ ວນຄູນ: 8x3 + 12x2 + x + 4 x3  8 + 12 + 1 + 4  8 + 12 + 1 + 4 =8=4 6x3 + 2x2 − 7x − 2  x x2 − x3  x − x2 − x3 63 lim = lim  = lim 7 2  2 7 2  6+ 2 x2 x3 x→∞ x→∞ x3  + x − x2 x3 x→∞ x 6 ວທິ ແີ ກ ້ 3: ເລອື ກພດົ ທ່ ມີ ກີ າໍ ລງັ x ໃຫຍ່ ສຸດ (8 x3 ) ຢ່ ູທາງຫານກບັ ພດົ ກາໍ ລງັ x ໃຫຍ່ ສຸດ (6 x3 ) ຢ່ ູທາງລ່ ຸມ: lim 8x3 +12x2 + x + 4 = lim 8x3 = 8 = 4 . 6x3 + 2x2 − 7x − 2 6x3 6 3 x→∞ x→∞ ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຊອກຫາ lim x2 −12x +1 x3 −12x + 5 x→∞ lim x2 −12x +1 = lim x2 = lim 1 = 0. x3 −12x + 5 x→∞ x3 x x→∞ x→∞ 17

ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຊອກຫາ lim x3 +1 2x2 +1 x→∞ lim x3 +1 = lim x3 = lim x3 = lim x = ∞. 2x2 +1 2x2 x→∞ 2 x→∞ x→∞ x→∞ 2x2 ຕວົ ຢ່ າງ 4: ຊອກຫາ lim 2x +1 x→−∞ x2 −1 − x lim 2x +1 = lim 2x +1 = lim 2x +1 = lim 2x +1 x→−∞ x2 −1 − x x→−∞ 1 − 1  − x→−∞ 1− 1 −x x→−∞ 1− 1 −x x2  x2 x2 x2 x x −x x  2 + 1  2+ 1  x  x = lim = lim = 2 = −1.   −2 x→−∞ x − 1− 1 −1 x→−∞ − 1− 1 − x2 x2   1 ບດົ ເຝິກຫດັ : ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາຂອບເຂດລ່ ຸມນີ້ 1. lim 4x3 − x + 5 9. lim x2 −12x +1 17. lim x3 +1 x→+∞ 2x3 + x +1 x→+∞ x3 − 2x +15 x→+∞ 2x2 +1 2. lim 6x2 −8x + 5 10. lim 2x − x3 + 5 18. lim 5 − x3 + 2x2 x→+∞ x→+∞ 7x2 − x − 3 x→+∞ 5 − 7 x + x3 x4 −1 3. lim 4x2 − 3x +1 11. lim 2x2 − x +1 19. lim x3 − 3 x→+∞ x→+∞ 3x3 + 2 x−4 x→+∞ 2x2 −x+9 4. lim 4x2 − x −1 12. lim  x2 − 2  20. lim 4x2 − 3x + 4 + 3x  +  x→−∞ x2 + x + 1 − x x→+∞ 3+ 2x2 x→+∞ x 1 5. lim 6x2 −8x + 5 13. lim 2 x − x3 + 5 21. lim 4x2 − 3x + 4 + 3x 7x2 − x −3 5 − 7 x + x3 x→+∞ x2 + x +1 − x x→∞ x→∞ 4x2 − 3x + 1 5 − x3 +2 x 2 2x2 − x +1 2x3 +2 x4 −1 x−4 6. lim 14. lim 22. lim x→∞ x→∞ x→∞ 7. lim x3 − 3 9 15. lim 2 + x − 2x3 23. lim 2x3 − x + 5 4x2 − x + 2x4 + 5 3x2 − 2x +1 x→∞ x→∞ x→∞ 8. lim 4x2 + 3x +1 16. lim 4x2 + 3x +1 x +1 x→+∞ x→−∞ 24. lim 2x +3 2x +3 x→∞ 3x2 − 2x +1 + 3x 18

6.2. ນາໍ ໃຊສ້ ູດຄດິ ໄລ່ ຜນົ ຕາໍ ລາ 6.2.1. ສູດພນຶ້ ຖານ ( )(1) xn ′ = nxn−1 ( )(2) axn ′ = anxn−1 (3) ( x)′ = 1 (4) (ax)′ = a (5) (a)′ = 0 ສ່ ງິ ທ່ ຄີ ວນເອາົ ໃຈໃສ່ : (1)  f ( x) + g ( x)′ = f ′( x) + g′( x) (2)  f ( x) − g ( x)′ = f ′( x) − g′( x) (3) af ( x)′ = af ′( x) ບນັ ດາຕວົ ຢ່ າງ: ( )(1) x200 ′ = 200x200−1 = 200x199 ( )(2) 3x100 ′ = 3.100x100−1 = 300x99 ( )(3) x−10 ′ = 10x−10−1 = −10x−11 (4)  3 ′ = 3 3 −1 = 3 3−4 = 3 −1   x4 x4 x4 x4 4 4 4  ′ x−15 ′ = −15x−15−1 = −15x−16 ( )(5) 1  = x15 ( )(6) 3 x2 ′ =  2 ′ =  2 ′ = 2 2 −1 = 2 2−3 = 2 −1     x3 x3 x3 x3 x3    3 3 3 ( )(7) ( x )′ = x1 ′ = 1.x1−1 = 1.x0 = 1.1 = 1 ( )(8) (7)′ = 7 x0 ′ = 7.0x0−1 = 0 ( ) ( ) ( )(9) 2x3 + x2 − 5 ′ = 2x3 ′ + x2 ′ − (5)′ = 6x2 + 2x 31

ບດົ ເຝິກຫດັ : ( )1. x3 + 2x + 5 ′ = 2.  1 ′ =  x −12  2.  −1 ′ = 21.  1 ′ =    x  x3  3.  1 x 27 ′ = 22.  1 ′ =  3   x  4.  −3 ′ = 23.  1 ′ = 5x 2   5x   5. 1 x4 + 2 x3 − 3 x2 − 1′ = ( )24. x3 ′ =  2 3 4 ( )6. 5a t3 − 3a2 t2 + 4a3 t − 5a4 ′ = ( )25. 3 x + 2 x −10 ′ = 7.  1 x3 − 2x2 − x + 3′ = ( )26. 2t 4 − 3t 2 + 5t + 1 ′ =  3 ( )27. 2t 4 − 3t 2 + 5t + 1 ′ = ( )8. x2 + 2x + 3 ′ = 9. f ( x) =8 x + 3x . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f ′(4) ແລະ f ′(9) 10. ໃຫຕ້ ໍາລາ y = 7+ x− x2 . ຊອກຫາ y′(0), y′  1  , y′ (1) , y′ ( −10 ) 2 11. ໃຫຕ້ ໍາລາ y = 1 x3 + 1 x2 − 2x . ສໍາລບັ ໃດຂອງ x ສະຕອບສະໜອງ: 32 y′( x) = 0 y′(x) = −2 y′( x) = 10 12. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = x x + x. ຊອກຫາຄ່ າ f ′(1) , f ′  1  , f ′(49) 4  13. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = x + x. ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າ f ′(1), f ′(4), f ′(16), f ′  1  64 14. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = x3 − 4 x . ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າ f ′(1), f ′(9), f ′(49) 15. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = 1 − 5 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າ f ′(1), f ′(4), f ′(9) xx 16. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x)= 3 x − 1 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າ f ′(1), f ′(8), f ′(27) x2 17. ໃຫຕ້ ໍາລາ 1 − 1. ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າ f ′(1), f ′(4), f ′(16) x f (x)= x2 18. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x)=2 x + 1. ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າ f ′(1), f ′(4), f ′(25) x2 19. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = 3 3 x + 5x . ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າ f ′(1), f ′(8), f ′(75) 32

20. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x)= 1 + 1 − 1 . ຈ່ ງົ ຊອກ f ′  1  , f ′ (1) , f ′( 2) x x2 x3 2 6.2.2. ສູດຄດິ ໄລ່ ຜນົ ຕໍາລາຂອງຜນົ ຫານ  u ( x) ′ = u′( x)v( x) − v′( x)u ( x)  v ( x)  v2 (x)    v a ) ′ = −a.v′( x)   v2 (x) (x u ( x)′ = u′ ( x )    a  a ບນັ ດາຕວົ ຢ່ າງ: (1)  7 − x ′ = (7 − x)′ (7 + x) − (7 + x)′ (7 − x) = −(7 + x) − (7 − x) = −7 − x − 7 + x = −14  7 + x  (7 + x)2 (7 + x)2   (7 + x)2 (7 + x)2 ( ( ) ) ( )(2)2 ′ ′  x2 + 5  −2 x2 + 5 −4x  = x2 + 5 2 = x2 + 5 2 . x3 +1 ′ = 3x2 . ( )(3) x3 + 1 ′ =   2 2 2 ບດົ ເຝິກຫດັ : 1.  1− x3 ′ = 20.  2x2 ′ = 27.  1 + x− x2 ′ =  1+ x3   1 + x   1 − x+ x2  2.  x3 − x2 − x +1 ′ = 21.  x2 ′ = 28.  x3 −1 ′ =  2x   x+   2x +1  2 3.  x2 + 2x ′ = 22. 1− x ′ = 29.  2x ′ =  x2 +1   1+ x   1− 2x  4.  2x − 5 ′ = 23.  x x ′ = 30.  x2 −1 ′ =  x2 − 3   + 1   1+ x  5.  −5 ′ = 24.  12 ′ = 31.  −5 ′ =  1− x   2x + 3   2 − 3x  33

6.  6 ′ = 25.  3 ′ = 32. 2 ′ =  1− 2x   x3 +1   1− 2x3  7.  x3 − 2 x2 − 3x + 2 ′ = 26.  x2 − 3x − 2 ′ = 33.  x4 − x3 + 3x − 1 ′ =  12   11   12  8. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x) = 3x −1 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f ′(−1), f ′(1) x2 9. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x) = x−5 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f ′(1), f ′(2) 2x + 3 10. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x) = x2 1 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f ′  1  , f ′(2) x+ 2  11. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x) = 6x +5 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f ′ (1) , f ′  1  1− 3x 2  12. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x) = 5x2 − 2x . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f ′(0), f ′(1) 2x +5 13. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x) = 3x . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f ′ − 1  , f ′  1  x −1 2   2  14. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = x + 6 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f ′(2), f ′(3) x 15. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x) = x +3 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f ′(−1), f ′(1) x −1 16. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x) = x 8 3 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f ′(0), f ′(1) 2− 17. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x) = 6 2 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f ′ (1) , f ′  1  4x − 3 18. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x) = x2 + 2x −1 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f ′  − 1  , f ′  5  2 3  4  19. ໃຫຕ້ າໍ ລາ f ( x) = x3 + 2x2 − x +1 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f ′ − 1  , f ′  3 . 2 2 4 34

6.2.3. ສູດຄດິ ໄລ່ ຜນົ ຕໍາລາຂອງຜນົ ຄນູ u ( x).v ( x)′ = u′( x).v ( x) + u ( x).v′( x) ຕວົ ຢ່ າງ: (2x +1)(1− 3x)′ =(2x +1)′ (1− 3x) + (1− 3x)′ (2x +1) = 2(1− 3x) − 3(2x +1) = 2 − 6x − 6x − 3 = −12x −1 = − (12x +1). ບດົ ເຝິກຫດັ : ( )1.  x2 − 3x (1− 2x)′ = ( )9.  1+ 2x − 4x2 (3x +1)′ = 2. (2x3 − 5)(4x + 3)′ = ( )10.  x2 − 6x + 3 (2x −1)′ = 3. (5x − 8)(2x + 3)′ = 11. ( x4 −1)(1− x2 )′ = 4. ໃຫຕ້ າໍ ລາ f ( x) = ( x + 6)(3x − 2) . ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າ f ′(3), f ′(5) 5. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) =(2x − 3)(1− 2x) . ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າ f ′(−2), f ′(4) ( )6. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = 4x2 x2 − 5 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າ f ′(0), f ′(1) ( )7. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = 3x2 − 2x (5x + 4) . ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າ f ′(−1), f ′(1) 8. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = 2x − 2   1 + 1  . ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າ f ′(1), f ′(2). x2 x x2 6.2.4. ສູດຄດິ ໄລ່ ຜນົ ຕໍາລາຂອງຕໍາລາຊອ້ ນໃນ un ( x)′ = n. u ( x)′ .un−1 ( x) a.un ( x)′ = a.n. u ( x)′ .un−1 ( x) ບນັ ດາຕວົ ຢ່ າງ: 1. (1 + x)5 ′ = 5(1+ x)′ (1+ )x 5 −1 = 5(1+ x)4 . 1 ′ x2 + 3x −1 ′ ( ) ( ) ( ) ( )2. 4  1 x2 + 3x −1 4 = 4 .4 x2 + 3x −1 4−1 = (2x + 3) x2 + 3x −1 3 35

ບດົ ເຝິກຫດັ : 1. (4x − 1)6 ′ = ( )4. 7 ′ (1 ) − 3 ′  3 − 5x2  = 7. − 4 x 2  = ( )2. 3x2 +1 5 ′ = 5. 1 (2x − 1)8 ′ = ( )8.2 3x2 +2 3 ′ =  3   4   3   3. (7x − )2 −2 ′ = (1 1 ′  1 2 − 2 ′ 4  3x  3  1   6. − 3x ) = 9. +  = x5  6.2.5. ສູດຄດິ ໄລ່ ຜນົ ຕໍາລາຂອງຕໍາລາອະປົກກະຕິ ( )x ′ = 1 2x  u ( x ) ′ = u ( x)′   2 u(x)  n u ( x) ′ = u ( x)′ n.n u ( x)n−1 ບນັ ດາຕວົ ຢ່ າງ: x2 + 3 ′ = ( ) ( )1. x2 + 3 ′ = 2x = x 2 x2 + 3 2 x2 + 3 x2 + 3 ( ) ( )2. 5 x2 − 3x ′ = x2 − 3x ′ = 2(2x − 3) 5 5 (x2 − 3x)5−1 55 (x2 − 3x)4 ບດົ ເຝິກຫດັ : 1.  3x + 2 + 1− x ′ = ( )5. 4x − x2 − 2 1− x3 ′ = 2.  2x − x2 + 1− x ′ = 6.  4 2x − x2 +1 ′ =   ( )7. 2x + 1− 3x ′ = 3. 12 6 x + 1− 8x ′ =   ( )8. x2 + 3x + 1− 2x2 ′ = 4.  5 x2 +3 x +3 2− x +1 ′ =   36

6.2.6. ຜນົ ຕໍາລາຂອງຕໍາລາໃຈກາໍ ລງັ ( )ax ′ = ax ln a ( )Example : 3x ′ = 3x ln 3 au(x) ′ = u ( x)′ au(x) ln a ( ) ( )Example : 4x2 +5 ′ = x2 + 5 ′ .4x2 +5.ln 4 = 2x.4x2+5.ln 4 ( )ex ′ = ex eu(x) ′ = u ( x)′ eu(x) ( ) ( ) ( )Example : e5x − x2 ′ = 5x − x2 ′ e5x − x2 = 5 − 2x e5x − x2 ບດົ ເຝິກຫດັ : ( )7. 6x + 3x+2 ′ =  2x−1 ′ ( )8. 4x3 +5x2 +1 + 2 x ′ = 13.  53x+5  = ( )1. 2x + 4x ′ = ( )14. 71 − x + 32 + 4 + x2 ′ = ( )2. 2(2x+3)(5−4x) ′ = ( )3. 73x−5 − 92 − x ′ =  1− x2 ′ ( )15. 2 1−3x − 5x2 + 1+ x2 ′ = ( )4. x3 − 5ex ′ =  81+ x2  = ( )16. e 1 − 5x2 ′ = 9.   ( )10. ex + e5x − 2 ′ = ( )5. e3 x2 +1 ′ = 11.  1+ x ′ = ( )17. e(1−x)(1+2x) ′ =  e1−x  ( )18. e x+1 ′ = ( )6. e 2x+1 ′ =   1− x ′ 12.  e2x+5  = 37

6.2.7. ຜນົ ຕໍາລາຂອງຕໍາໂລກາລດິ (ln x)′ = 1 x ( )lnn x ′ = n.(ln x)′ .lnn−1 x ( )Example : ln12 x ′ = 12(ln x)′ ln12−1 x = 12. 1 .ln11 x = 12 .ln11 x xx ln u ( x )  ′ = u ( x)′ u(x) Example : ln (2x + 5)′ = (2x + 5)′ = 2 2 5 . x+ 2x +5 lnn u ( x)′ = n. ln u ( x)′ .lnn−1 u ( x) Example : ln5 (2x)′ = 5. ln ( 2 x )′ . ln 5−1 ( 2 x ) = 5. ( 2 x )′ . ln 4 ( 2 x ) = 5 .ln4 (2x). 2x x (loga x)′ = 1 x.ln a ( )logna x ′ = n.(loga )x ′ . log n−1 x a ( )Example : ′ = 10 ( log 2 )x ′ log10−12 x= 1 log9 = 10 log102 x 10. ln . x x ln . log9 x. x 2 2 2 2 loga u ( x)′ = u ( x)′ u ( x).ln a 5x2 + 3 ′ = 5x2 + 3 ln 7 ( ) ( ( ) ) ( )Example :log7 5x2 + 3 ′ = 10x . 5x2 + 3 ln 7 logna u ( x ) ′ = n. log a u ( x )  ′ .l ogn −1 u ( x ) a Example :log112 (1+ 2x)′ =11. log2 (1+ 2x)′ .log11−12 (1+ 2x) = 11. (1+ 2x)′ 2 . log10 2 (1+ 2x) = (1+ 22 ln 2 . log10 2 (1+ 2x). (1+ 2x) ln 2x) 38

ບດົ ເຝິກຫດັ : ( )1. 3− 2ln x ′ = 8.  2 + ln x ′ = ( )14. 5 1 + 2ln x ′ = ( )2. ln 2x −1 ′ =  ln x  ( )( )3. ln6 x2 + 2x ′ = ( )15. ln15 x − ln4 x ′ = 9.  ln 5x + 1 ′ =  2x  ( )( )16. ln3 2x2 − ln2 (7x) ′ = ( )( )7. 3ln24 x2 − 2x ′ = ( )4. − 15 ′ =  log3 x + 1 ′ = ((5 + log4 x)(2 − 3log9 x))′ = log125 x log 2 x 10.  1 − log2 x  17.    log3 x + ′ log12 x3 +1 ′ =  1 − log2  ( )5. 32 x + 23 x ′ = ( ( ))11. 1  = log 3 log 5 x 18. ( ) ( ( ))6. log3 (4x + 3) ′ = 12. log518 2 − 3x2 ′ = ( )19. 1+ log7 (5x + 8) ′ = ( )7. log5 e1−x2 ′ = 13.  log185 2x −3 ′ = ( )20. log1715 1− 2x ′ =  x +1  6.2.8. ຜນົ ຕໍາລາຂອງຕໍາລາໄຕມມູ ມຕິ ິ ຜນົ ຕໍາລາຂອງຕໍາລາຊນິ : (sin x)′ = cos x ( )Example : ′ (1− 2sin x)′ = −2 cos x = −sin x 1− 2sin x = 1− 2sin x 1− 2sin . 2 1− 2sin x 2 x ( )sinn x ′ = n.(sin x)′ .sinn−1 x ( )Example : sin12 x ′ = 12(sin )x ′ sin12−1 x =12.cos x.sin11 x. sin u ( x)′ = u ( x)′ .cos u ( x) ( ) ( ) ( ) ( )Example : sin x2 +1 ′ = x2 +1 ′ .cos x2 +1 = 2x.cos x2 +1 . sinn u ( x)′ = n. sin u ( x)′ .sinn−1 u ( x) ( )Example : sin9 2x ′ = 9(sin 2x)′ sin9−1 2x = 9(2x)′ cos 2xsin8 2x =18cos 2xsin8 2x 39

ບດົ ເຝິກຫດັ : 1.  3 + sin x ′ = 5. (2sin x + 5)(1− 2sin x)′  1− 2x  ( )6. 4sin6 x + 7 sin2 x ′ = ( )2. sin5 x + 2sin3 x ′ = 3.  1+ sin 7x ′ = 7. (1− 2sin 5x)(sin 8x − 3)′ =  3 − sin 4x  ( )4. ′ sin 45 ′  3x − 1 sin12 1− x2  = 8. (1 − 2x) + 1 x4  = 2 4 ຜນົ ຕໍາລາຂອງຕໍາລາກດົ : (cos x)′ = − sin x ( ) ( )Example : e1+cos x ′ = 1+ cos x ′ e1+cos x = − sin xe1+cos x. ( )cosn x ′ = n.(cos x)′ .cosn−1 x ( )Example : cos4 x ′ = 4(cos x)′ cos4−1 x = 4(− sin x) cos3 x = −4sin x cos3 x. cos u ( x)′ = − u ( x)′ .sin u ( x) Example : cos (5x +1)′ = − (5x +1)′ sin (5x +1) = −5sin (5x +1). cosn u ( x)′ = n.cos u ( x)′ .cosn−1 u ( x) ( )Example : cos3 2x ′ = 3(cos 2x)′ cos3−1 2x = −3(2x)′ sin 2x cos2 2x = −6sin 2x.cos2 2x. ບດົ ເຝິກຫດັ : 1. (1− cos x)(2 + cos x)′ = 5.  1+ cos x ′ =  cos x  ( )2. cos2 x − cos3 x ′ = ( )6. 2 cos3 x − x ′ = 3.  1 x6 − 5 cos (1+ 8x) ′ = 7. (cos 3x − 2 cos (1− 5x))′ =  3  ( )( )4. cos15 x2 − x +1 ′ = ( )8.  1 −5x2 ′ =  2 cos4 x2 + 2x  40

ຜນົ ຕໍາລາຂອງຕໍາລາຕງັ : ( tan x)′ = 1 cos2 x ( )tann x ′ = n[tan x]′ tann−1 x ( )Example : ′ = 10 ( tan x )′ tan10−1 =10. 1 . tan9 = 10 . tan 9 tan10 x x cos2 x x cos2 x x. tan u ( x ) ′ = u ( x)′ cos2 u ( x) Example : tan (1− 2x)′ = (1− 2x)′ = −2 cos2 (1− 2x) cos2 (1− 2x) . tann u ( x)′ = n tan u ( x)′ tann−1 u ( x) Example : tan5 (2x)′ = 5  tan ( 2 x ) ′ tan 5 −1 ( 2 x ) = 5. (2x )′ tan4 (2x) = 10 tan4 (2x). cos2 2x cos2 2x ບດົ ເຝິກຫດັ : 1.  1− tan x ′ = 9. (1− tan x)(2 + tan x)′ = 1+ 2 tan x ( )2. tan4 x − 2 tan10 x ′ = ( )10. tan 4x2 + 3 + tan 5x′ = 3. tan (7x +1) − tan (1 − x)′ = ( )11. tan 4x2 + 3 + tan 5x′ = ( )4. tan2009 x + tan2010 x ′ = 12.  1 tan 6 x + 1 tan2 x ′ = 3 2 ( )5. tan3 2x3 + 7x + 4 ′ = 13. tan14  1 x2 − 3x + 5 ′ =  2  6. tan (4x) −3 tan (5x)′ = 14. 5 tan (2x −7) − 1 tan (4x)′ = 2 ( )7. tan2 x3 − 3x + 5 ′ = ( )15. 12 tan9 x2 − 2x + 3 ′ = 8.  5 tan3 x + 1 tan 4 x ′ = 16.  tan 56 x + 1 x 4 ′ =  2   2  41

ຜນົ ຕໍາລາຂອງຕໍາລາໂກຕງັ : ( cot x )′ = − 1 x sin 2 ( )cotn x ′ = n (cot x)′ cotn−1 x ( )Example : ′ = 10 ( cot x )′ cot10−1 = − 1 cot9 = −10 cot 9 cot10 x x 10. sin 2 x sin2 x x. x cot u ( x ) ′ = − u ( x)′ sin 2 u ( x) Example : cot (1− 2x)′ = − (1− 2x)′ = − −2 = sin 2 2 2x ) . sin2 (1− 2x) sin2 (1− 2x) (1− cotn u ( x)′ = n cot u ( x)′ cotn−1 u ( x) Example : cot5 (2x)′ = 5 cot ( 2 x ) ′ cot 5−1 ( 2 x ) = 5  (2 x )′ )  cot 4 ( 2 x ) = −10 ) cot 4 ( 2 x ) . − (2x  sin2  sin2 (2 x ບດົ ເຝິກຫດັ : 1.  1+ cot x ′ = ( )6. e1+cot x ′ = 1− cot x ( )2. cot14 x ′ = 7.  1 x ′ =   cot 5  ( )3. cot 2x3 +1 ′ = ( )8.  1 ′ =  2 cot 1− 4x2  4. cot3 (5x)′ = 5. cot15 (2x + 5)′ = 9.  1 cot ( 4x + 1) ′ =  4 10.  1 cot14 ( x + 1)′ =  7 42

ຜນົ ຕໍາລາອາກຊນິ , ອາກໂກຊນິ , ອາກຕງັ , ອາກໂກຕງັ : (arcsin x)′ = 1 1− x2 1 arcsin x ′ = (arcsin x)′ = 1− x2 = 1 . 2 arcsin x 2 arcsin x 2 arcsin x 1− x2 ( ) ( )Example : (arccos x)′ = −1 1− x2 ( ) ( )Example : 5arccosx ′ = arccos x ′ .5arccos x.ln 5 = −1 .5arccos x.ln 5. 1− x2 (arcsin u )′ = u′ 1−u2 ( ) ( )Example : arcsin 1+ x2 ′ = 1+ x2 ′ = 2x 1− (1+ x)2 1− (1+ x)2 (arccos u)′ = −u′ 1−u2 ( ) ( )Example : arccos 1+ x2 ′ = − 1+ x2 ′ = −2x 1− (1+ x)2 1− (1+ x)2 ( arctan x )′ = 1 1+ x2 ( ) ( )Example : ′= ′ earctan x =1 earctan x . earctan x arctan x 1+ x2 (arc cot x )′ = −1 1+ x2 ( ) ( )Example : ′= ′ earccot x = −1 earcco t x arc cot x 1 + x2 earccot x . ( arctan u )′ = u′ 1+ u2 1+ x2 ′ 1+ 1+ x2 ( ) ( ( ) ) ( )Example : ′ 2x arctan 1+ x2 = 2 = 1+ x2 2. 1+ 43

(arc cot u )′ = −u′ 1+ u2 ( ) (( )) ( )Example : ′ − 1+ x2 ′ −2x arc cot 1+ x2 = 1+ 1+ x2 = 1+ x2 2. 2 1+ ບດົ ເຝິກຫດັ : ( )1. earcsin x ′ = ( )5. 3arccosx ′ = ( )2. arctan x ′ = ( )6. 5 arc cot x ′ = ( )3. arcsin 1− x2 ′ = 7. arccos (1+ 5x)′ = ( )4. arctan x2 − 3x +1 ′ = ( )8. ′ arc cot x3 − 2x2 + x −5  = 44

ບດົ ທີ 5 - ຜນົ ຕໍາລາ 6.1. ນາໍ ໃຊນ້ ຍິ າມຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາ ນຍິ າມ: ຜນົ ຕາໍ ລາຂອງຕໍາລາ y = f ( x) ຜນົ ໄດສ້ ນັ ຍາລກັ ແມ່ ນ f ′( x) ເຊ່ ງິ ວ່ າ f ′(x) = lim f ( x + ∆x) − f (x) ∆x→0 ∆x ບນັ ດາຕວົ ຢ່ າງ: ຕວົ ຢ່ າງ 1: ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = x2 . ນາໍ ໃຊນ້ ຍິ າມຊອກຫາ f ′( x) ເຮາົ ມີ f ′(x) = lim f ( x + ∆x) − f (x) ∆x→0 ∆x = lim ( x + ∆x )2 − x2 ∆x→0 ∆x = lim ( x + ∆x − x)( x + ∆x + x) ∆x →0 ∆x 2 x∆x + ∆x 2 ∆x = lim ∆x →0 = lim ∆x ( 2x + ∆x ) ∆x ∆x →0 = lim (2x + ∆x) = 2x ∆x→0 ດ່ ງັ ນນັ້ : f ( x) = x2 ⇒ f ′( x) = 2x. ຕວົ ຢ່ າງ 2: ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = x . ນາໍ ໃຊນ້ ຍິ າມຊອກຫາ f ′( x) ເຮາົ ມີ f ′(x) = lim f ( x + ∆x) − f (x) ∆x→0 ∆x = lim x + ∆x − x ເປັນຂອບເຂດທ່ ມີ ຮີ ູບລກັ ສະນະ 0 ∆x →0 ∆x 0 = lim ( x + ∆x − x )( x + ∆x + x ) ∆x →0 ( )∆x x + ∆x + x ( ) ( )x + ∆x 2 − 2 x ( )= lim ∆x→0 ∆x x + ∆x + x 27

( )= lim x + ∆x − x ∆x→0 ∆x x + ∆x + x ∆x ( )= lim ∆x→0 ∆x x + ∆x + x = lim 1 = 1 ∆x→0 x + ∆x + x 2 x ດ່ ງັ ນນັ້ : f ( x) = x ⇒ f ′( x) = 1 2x ຕວົ ຢ່ າງ 3: ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = sin x . ນາໍ ໃຊນ້ ຍິ າມຊອກຫາ f ′( x) ບດົ ແກ:້ ເຮາົ ມີ f ′( x) = lim f ( x + ∆x) − f ( x) ∆x→0 ∆x ′ ( ) = sin ( x + ∆x ) − sin x ∆x f x lim ∆x→0 ອງີ ຕາມສູດ sin a − sin b = 2 cos  a +b sin  a −b  2 2 2 cos  x + ∆x + x sin  x + ∆x − x  2 ∆x 2 f ′ ( x ) = lim ∆x→0 2 cos  2x + ∆x  sin  ∆x  2 2 f ′ ( x ) = lim ∆x ∆x→0 cos  2x + ∆x  sin  ∆x  2 ∆x 2 f ′( x) = lim = cos x. ∆x→0 2 ຕວົ ຢ່ າງ 4: ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = x2 + 2x −1 . ນາໍ ໃຊນ້ ຍິ າມຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຢ່ ູເມດັ x = 1 ບດົ ແກ:້ ເຮາົ ມີ f ′(x) = lim f (∆x + x) − f (x) ∆x→0 ∆x f ′(1) = lim f (∆x +1) − f (1) ∆x→0 ∆x 28

′ (1) ( ∆x + 1)2 + 2 ( ∆x +1) −1 − (1)2 + 2 (1) − 1 f = lim ∆x ∆x→0 ( )f ′(1) = lim ∆x→0 ∆x2 + 2∆x +1+ 2∆x + 2 −1 −2 ∆x f ′ (1) = lim ∆x2 + 4∆x + 2 − 2 ∆x ∆x →0 f ′ (1) = lim ∆x2 + 4∆x ∆x ∆x→0 ′ (1) = ∆x ( ∆x + 4 ) ∆x f lim ∆x→0 f ′(1) = lim (∆x + 4) = 4 ∆x→0 ບດົ ເຝິກຫດັ : 1. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = 2x2 . ນໍາໃຊຊ້ ອກຫາ f ′( x) 2. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = x3 . ນໍາໃຊຊ້ ອກຫາ f ′( x) 3. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = 3x3 . ນໍາໃຊຊ້ ອກຫາ f ′( x) 4. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = x4 . ນໍາໃຊຊ້ ອກຫາ f ′( x) 5. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = 5x4 . ນໍາໃຊຊ້ ອກຫາ f ′( x) 6. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = x5 . ນໍາໃຊຊ້ ອກຫາ f ′( x) 7. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = 7x5 . ນໍາໃຊຊ້ ອກຫາ f ′( x) 8. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = x6 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາ f ′( x) 9. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = x7 . ນໍາໃຊຊ້ ອກຫາ f ′( x) 10. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = x9 . ນໍາໃຊຊ້ ອກຫາ f ′( x) 11. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = x10 . ນໍາໃຊຊ້ ອກຫາ f ′( x) 12. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = x50 . ນໍາໃຊຊ້ ອກຫາ f ′( x) 13. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = x100 . ນໍາໃຊຊ້ ອກຫາ f ′( x) 14. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = xn . ນໍາໃຊຊ້ ອກຫາ f ′( x) 15. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = 3 x . ນໍາໃຊຊ້ ອກຫາ f ′( x) 29

16.ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = x + 5 . ນໍາໃຊຊ້ ອກຫາ f ′( x) 17.ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = 2 − x . ນໍາໃຊຊ້ ອກຫາ f ′( x) 18.ໃຫຕ້ າໍ ລາ f ( x) = 2x + 3 . ນໍາໃຊຊ້ ອກຫາ f ′( x) 19.ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = 3 x . ນໍາໃຊຊ້ ອກຫາ f ′( x) 20. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = 3 x + 2 . ນໍາໃຊຊ້ ອກຫາ f ′( x) 21. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = 3 3 − 2x . ນໍາໃຊຊ້ ອກຫາ f ′( x). 22. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = 3sin x . ນໍາໃຊຊ້ ອກຫາ f ′( x) 23. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = sin 2x . ນໍາໃຊຊ້ ອກຫາ f ′( x) 24. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = cos x . ນໍາໃຊຊ້ ອກຫາ f ′( x) 25. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = 4 cos x . ນໍາໃຊຊ້ ອກຫາ f ′( x) 26. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = cos 3x . ນໍາໃຊຊ້ ອກຫາ f ′( x) 27. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = ex . ນໍາໃຊຊ້ ອກຫາ f ′( x) 28. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = ln x . ນໍາໃຊຊ້ ອກຫາ f ′( x) 29. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = 2x3 +1 . ນໍາໃຊນ້ ຍິ າມຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຢ່ ູເມດັ x = 0 30. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x) = x +1 . ນໍາໃຊນ້ ຍິ າມຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຢ່ ູເມດັ x=2 x −1 31. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = 3 − 2x . ນໍາໃຊນ້ ຍິ າມຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຢ່ ູເມດັ x = 1 32. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = 2x2 − x − 2 . ນໍາໃຊນ້ ຍິ າມຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຢ່ ູເມດັ x = 2 33. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = x3 − 2 . ນໍາໃຊນ້ ຍິ າມຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຢ່ ູເມດັ x = 3 34. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = x7 . ນໍາໃຊນ້ ຍິ າມຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຢ່ ູເມດັ x = 1 35. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = sin x . ນໍາໃຊນ້ ຍິ າມຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຢ່ ູເມດັ f ′  π  4 36. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = cos x . ນໍາໃຊນ້ ຍິ າມຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຢ່ ູເມດັ f ′  π   2  37. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = 2x + 2 . ນໍາໃຊນ້ ຍິ າມຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຢ່ ູເມດັ f ′(3) 38. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = 3 x +1 . ນໍາໃຊນ້ ຍິ າມຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຢ່ ູເມດັ f ′(1). 30

6.2. ນາໍ ໃຊ້ L’HOSPITAL ໃນການຊອກຫາຂອບເຂດ ທ່ ມີ ຮີ ູບລກັ ສະນະ 0.∞ ບນັ ດາຕວົ ຢ່ າງ: 1. lim x5 ln x 6. lim x cot (2x) 11. lim x ln3 x x→0 x→0 x→0 ( )2.  πx  1 (1 + ) 12. lim (π − x) tan x lim 4 − x2 tan 4 7. lim x log a x x→π 2 x→2 x→0 13. lim ( x −1) cotπ ( x −1) 3. xli→mπ  π −  tan x 8. lim ( x cot 3x) x→1  2 x  x→0 14. lim x sin 2 2 x→∞ x 4. lim ( x + 2) x −1 9. lim sin ( x −1) tan π x 15. lim ln x ln ( x −1) x3 + x x→1 x→−∞ x→1 2 5. lim(1− x) tan  πx  10. lim  1 −   2  x 1 x→1 x→∞ ex   ບນັ ດາບດົ ແກ:້ 1. lim x5 ln x ເປັນຮູບລກັ ສະນະ 0.∞ x→0 ແກ:້ (ln x)′ 1 = lim −x5 x→0 5 lim x5 ln x = lim ln x = lim  1 ′ = lim x = 0. 1 −5x4 x→0 x→0 x→0 x→0 x5  x5  x10 ( )2.  πx  0.∞ lim 4 − x2 tan  4  ເປັນຮູບລກັ ສະນະ x→2 ແກ:້ ( ) ( )lim  πx  4 − x2 4 − x2 ′ −2x  4  x→2 = = 4 − x2 tan = lim  πx  lim ′ lim −π 4  x→2 cot x→2   πx  x→2  4 cot 4 sin 2  πx  4 2 x sin 2  πx  4 sin 2  π  π 4 2 = lim = = 4 = 16 . π π π x→2 4 44 49

3. xli→mπ  π − x  tan x ເປັນຮູບລກັ ສະນະ 0.∞  2  2 ແກ:້  π  tan x 1  π − x 2  2  1 2  xli→mπ − x tan x = lxi→mπ =(L) lxi→mπ cos2 x = xli→mπ 1 cos2 x 2 2 π −x 2  π 2 2 2 2 x  − −2  π − x  2  π − x  −2 −2 2 2 2 cosπ =(L) lim = lim sin (2x) =(L) lim 2cos (2x) = = 1. −2sin x cos x x→π x→π x→π 2 22 4. lim ( x + 2) x −1 ເປັນຮູບລກັ ສະນະ 0.∞ x3 + x x→−∞ ແກ:້ lim ( x + 2) x −1 = lim ( x + 2) x −1 = lim x+2 x −1 = −1. x3 + x −x x+ 1 x→−∞ x→−∞ x2  x + 1  x→−∞ x x 5. lim(1 − x) tan  πx  ເປັນຮູບລກັ ສະນະ 0.∞  2  x→1 ແກ:້ π   πx  ′ 2 πx π ′  2  2 2  πx  tan cos2    (1 − x )2  2  lim (1 − x ) tan = lim ′ = lim 1 = lim ′  x→1 x→1  1 x→1 x→1   πx  −  2 1 x (1− x)2 cos2 = lim −π (1− x) = lim (1− x)′ = lim −1 = 2 . π x→1 − π  πx   πx  x→1  1 (π ) ′ x→1 1π cos (π x) 2 2 2 2 2 2 sin cos sin x 6. lim x cot 2x ເປັນຮູບລກັ ສະນະ 0.∞ x→0 ແກ:້ lim x cot 2x = lim x = lim  1 × 2 x x  = 1. tan 2x  2 tan 2  2 x→0 x→0 x→0 50