ตรรกศาสตร์และการให้เหตุผล

10. ค่าความจริงของประโยคทมี่ ี เซตคาตอบ คือ (-∞, 0) ∪ (0, 1) ∪ (2, ∞) ตัวบง่ ปริมาณตวั เดยี ว จากประพจน์ ∀x − 1 2 1 x − 1 2 > 1 จะมคี า่ ความจริงเป็นเทจ็ 2 4 x < หรือ เม่ือ แทนคา่ x ใน ������ อยา่ งนอ้ ย 1 คา่ แล้วทาใหอ้ สมการ x− 1 2 1 x−1 2>1 2 4 < กับ มีคา่ ความจริงเปน็ เทจ็ ทั้งคู่ คาตอบของประพจน์ แตจ่ ากคาตอบของประพจน์ กับ ������ 01 2 01 2 ������ มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

10. คา่ ความจรงิ ของประโยคทม่ี ี ตวั บ่งปริมาณตวั เดยี ว แตจ่ ากคาตอบของประพจน์ กับ ������ จะเห็นไดว้ ่าคาตอบของประพจน์ กับคา่ ของเอกภพสมั พทั ธ์ คาตอบของประพจน์ เมอื่ นาไปแทนคา่ ในประพจน์แลว้ ไม่มโี อกาสทาให้ประพจนน์ ี้เป็นเทจ็ เลย 01 2 ดังนน้ั ประพจนน์ ี้มีค่าความจรงิ เปน็ จรงิ ������ 01 2 มหาวิทยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

10. คา่ ความจริงของประโยคทม่ี ี หรอื อาจกลา่ วไดว้ า่ ������ = (0, 1) ∪ (2, ∞) ตวั บ่งปรมิ าณตวั เดียว แตจ่ ากคาตอบของประพจน์ กับ ������ ถ้าแทนคา่ x จากช่วง (0, 1) จะทาให้อสมการ x− 1 2 1 2 4 คาตอบของประพจน์ < เป็นจรงิ 01 2 และถ้าแทนคา่ x จากชว่ ง (2, ∞) จะทาใหอ้ สมการ x − 1 2 > 1 เปน็ จรงิ ด้วย ������ ดงั นนั้ จึงไม่มีโอกาสทจ่ี ะทาให้อสมการ 01 2 − 1 2 1 x−1 2>1 2 4 x < กับ เปน็ เทจ็ พร้อมกัน สรปุ ได้ว่า ∀x − 1 2 1 x−1 2>1 2 < 4 หรอื x มคี ่าความจรงิ เป็นจริง

11. สมมูลและนิเสธของ ประโยคทมี่ ตี ัวบ่งปริมาณ 1) การสมมลู กันของประโยคเปดิ ทม่ี ีตวั บ่งปริมาณ 2) นเิ สธของประโยคเปดิ ที่มตี วั บง่ ปริมาณ มหาวิทยาลัยราชภฏั ราไพพรรณี

11. สมมูลและนเิ สธของ ประโยคทม่ี ตี ัวบ่งปริมาณ 1) การสมมลู กนั ของประโยคเปดิ ทีม่ ีตัวบ่งปริมาณ กาหนดให้ P(x), Q(x) และ R(x) เปน็ ประโยคเปิดใดๆ การสมมลู กันของประโยคเปิดจะใช้รูปแบบเดียวกนั กบั รปู แบบของประพจนท์ สี่ มมลู กัน ดงั น้ี ประพจน์ ประโยคเปิ ด 1. p ∧ q ≡ q ∧ p P(x) ∧ Q(x) ≡ Q(x) ∧ P(x) 2. p ∨ q ≡ q ∨ p P(x) ∨ Q(x) ≡ Q(x) ∨ P(x) 3. p → q ≡∼q → ∼p ≡∼p ∨ q P(x) → Q(x) ≡ ∼Q(x) → ∼P(x) ≡ ∼P(x) ∨ Q(x) 4. p ↔ q ≡ q ↔ p ≡ (p → q) ∧ (q → P(x) ↔ Q(x) ≡ Q(x) ↔ P(x) ≡ (P(x) → Q(x)) p) ∧ (Q(x) → P(x)) 5. ∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q ∼(P(x) ∧ Q(x)) ≡ ∼P(x) ∨ ∼Q(x) 6. ∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q ∼(P(x) ∨ Q(x)) ≡ ∼P(x) ∧ ∼Q(x) 7. ∼(p → q) ≡ p ∧ ∼q ∼(P(x) → Q(x)) ≡ P(x) ∧ ∼Q(x) 8. p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) P(x) ∧ (Q(x) ∨ R(x)) ≡ (P(x) ∧ Q(x)) ∨ 9. p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) (P(x) ∧ R(x)) P(x) ∨ (Q(x) ∧ R(x)) ≡ (P(x) ∨ Q(x)) ∧ มหาวิทยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี (P(x) ∨ R(x))

ประพจน์ ประโยคเปดิ 1. p ∧ q ≡ q ∧ p P(x) ∧ Q(x) ≡ Q(x) ∧ P(x) 2. p ∨ q ≡ q ∨ p P(x) ∨ Q(x) ≡ Q(x) ∨ P(x) 3. p → q ≡∼q → ∼p P(x) → Q(x) ≡ ∼Q(x) → ∼P(x) ≡∼p ∨ q ≡ ∼P(x) ∨ Q(x) 4. p ↔ q ≡ q ↔ p P(x) ↔ Q(x) ≡ Q(x) ↔ P(x) ≡ (p → q) ∧ (q → p) ≡ (P(x) → Q(x)) ∧ (Q(x) → P(x)) 5. ∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q ∼(P(x) ∧ Q(x)) ≡ ∼P(x) ∨ ∼Q(x) 6. ∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q ∼(P(x) ∨ Q(x)) ≡ ∼P(x) ∧ ∼Q(x) 7. ∼(p → q) ≡ p ∧ ∼q ∼(P(x) → Q(x)) ≡ P(x) ∧ ∼Q(x) 8. p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) 9. p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) P(x) ∧ (Q(x) ∨ R(x)) ≡ (P(x) ∧ Q(x)) ∨ (P(x) ∧ R(x)) P(x) ∨ (Q(x) ∧ R(x))≡(P(x) ∨ Q(x)) ∧ (P(x) ∨ R(x))

11. สมมูลและนิเสธของ ประโยคทม่ี ตี วั บง่ ปริมาณ ตัวอย่างท่ี 31 จงพจิ ารณาวา่ ประโยคในข้อใดต่อไปนี้สมมูลกนั 1) ∃x[(P(x) → Q(x)) → R(x)] กับ ∃x[P(x) ∨ Q(x) ∨ R(x)] 2) ∀x[∼(P(x)] ∨ ∀x[Q(x)] กบั ∀x[Q(x)] ∨ ∀x[∼(P(x)] มหาวิทยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

11. สมมลู และนเิ สธของ ประโยคทมี่ ตี ัวบง่ ปรมิ าณ 1) ∃x[(P(x) → Q(x)) → R(x)] กบั ∃x[P(x) ∨ Q(x) ∨ R(x)] วธิ ีทา 1) จาก (P(x) → Q(x)) → R(x) ≡ (∼P(x) ∨ Q(x)) → R(x) ≡ ∼(∼P(x) ∨ Q(x)) ∨ R(x) ≡ (P(x) ∧ Q(x)) ∨ R(x) ดังนั้น ∃x[(P(x) → Q(x)) → R(x)] กับ ∃x[P(x) ∨ Q(x) ∨ R(x)] ไม่สมมูลกัน มหาวิทยาลัยราชภัฏราไพพรรณี

11. สมมูลและนิเสธของ ประโยคทม่ี ตี วั บ่งปริมาณ 2) ∀x[∼(P(x)] ∨ ∀x[Q(x)] กับ ∀x[Q(x)] ∨ ∀x[∼(P(x)] วิธีทา 2) จาก ∼P(x) ∨ Q(x) ≡ Q(x) ∨ ∼P(x) ดังน้นั ∀x[∼(P(x)] ∨ ∀x[Q(x)] กับ ∀x[Q(x)] ∨ ∀x[∼(P(x)] สมมลู กัน มหาวิทยาลัยราชภัฏราไพพรรณี

11. สมมูลและนิเสธของ 2) นเิ สธของประโยคเปดิ ท่มี ตี วั บ่งปริมาณ ประโยคทม่ี ตี วั บง่ ปรมิ าณ คา่ ความจริงของประพจน์ พจิ ารณา แทนค่าของตวั แปรในเอกภพสมั พทั ธ์ มสี มาชกิ ที่มตี วั บง่ ปรมิ าณ สอดคล้องหรอื ไม่สอดคล้องกบั ตัวบ่งปริมาณ นิเสธของประพจนท์ ี่มตี วั บง่ ปริมาณต้องมีค่า พิจารณา ความจริงตรงขา้ มกบั ประพจน์นนั้ ดงั นน้ั การหานิเสธของประพจนท์ ม่ี ตี วั บ่งปริมาณ จึงต้อง ใชน้ เิ สธของตัวบ่งปริมาณและตัวเชอื่ มของประพจนด์ ้วย มหาวิทยาลยั ราชภัฏราไพพรรณี

11. สมมลู และนเิ สธของ กาหนด ������ = {1, 2, 3, 4, 5} ประโยคทมี่ ตี วั บ่งปริมาณ พิจารณาคา่ ความจริงของประโยคต่อไปน้ี พจิ ารณาเปรียบเทยี บค่าความจริง (1) ∀x[(x + 2 > 3] ของประพจน์ (1) กับ (2) (2) ∃x[(x + 2 ≤ 3] ประพจน์ (1) แทน x ดว้ ย 1 จะได้ 1 + 2 > 3 มคี า่ ความจรงิ เปน็ เท็จ ประพจน์ (2) แทน x ด้วย 1 จะได้ 1 + 2 ≤ 3 มคี า่ ความจรงิ เปน็ จรงิ จะเหน็ วา่ ประพจน์ ∀x[(x + 2 > 3] มีคา่ ความจรงิ ตรงข้ามกบั ประพจน์ ∃x[(x + 2 ≤ 3] มหาวิทยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

11. สมมูลและนิเสธของ สรุป ประโยคทมี่ ตี วั บง่ ปรมิ าณ จากความหมายของประพจน์ทเ่ี ป็นนิเสธกัน “ประพจนท์ เี่ ปน็ นิเสธกนั จะตอ้ ง มคี ่าความจริงตรงขา้ มกนั ทกุ กรณี” นัน่ คอื นิเสธของ ∀x[(x + 2 > 3] คือ ∼ ∀x[(x + 2 > 3] จาก ∀x[(x + 2 > 3] และ ∃x[(x + 2 ≤ 3] เป็นนิเสธกนั ดงั น้นั ∼ ∀x[(x + 2 > 3] สมมูลกับ ∃x[(x + 2 ≤ 3] มหาวทิ ยาลัยราชภฏั ราไพพรรณี

11. สมมูลและนิเสธของประโยคทมี่ ตี วั บ่งปรมิ าณ บทนยิ ามที่ 5 ให้ ������ = {a1, a2, a3, …, an} ∀x[P(x)] ≡ P(a1) ∧ P(a2) ∧ … ∧ P(an) ∃x[P(x)] ≡ P(a1) ∨ P(a2) ∨ … ∨ P(an) ∼ ∀x[P(x)] ≡ ∼P(a1) ∨ ∼P(a2) ∨ … ∨∼P(an) ≡ ∃x[∼P(x)] ∼ ∃x[P(x)] ≡ ∼P(a1) ∧ ∼P(a2) ∧ … ∧ ∼P(an) ≡ ∀x[∼P(x)] มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏราไพพรรณี

11. สมมลู และนเิ สธของ ประโยคทมี่ ตี ัวบง่ ปรมิ าณ ตัวอยา่ งท่ี 32 จงหานเิ สธของข้อความตอ่ ไปนี้ 1) ∀x[x + 4 > 0] 2) มจี านวนจริง x บางจานวนที่ไมเ่ ปน็ จานวนอตรรกยะ มหาวิทยาลัยราชภัฏราไพพรรณี

11. สมมลู และนเิ สธของ ตัวอย่างท่ี 32 จงหานเิ สธของข้อความตอ่ ไปน้ี ประโยคทม่ี ตี ัวบง่ ปริมาณ 1) ∀x[x + 4 > 0] 2) มีจานวนจริง x บางจานวนที่ไม่เปน็ จานวนอตรรกยะ วิธที า 1) นเิ สธของขอ้ ความ ∀x[x + 4 > 0] คอื ∼ ∀x[x + 4 > 0] ซ่งึ สมมูลกับ ∃x[x + 4 ≤ 0] ดงั นั้น นเิ สธของข้อความ ∀x[x + 4 > 0] คือ ∃x[x + 4 ≤ 0] 2) นิเสธของข้อความ “มจี านวนจรงิ x บางจานวนทไี่ ม่เป็นจานวนอตรรกยะ” คือ “จานวนจริง x ทกุ จานวนเป็นจานวนอตรรกยะ” มหาวทิ ยาลัยราชภัฏราไพพรรณี

11. สมมลู และนิเสธของประโยคทม่ี ตี วั บ่งปรมิ าณ นิเสธของประโยคเปิดหรอื ประโยคทม่ี ตี วั บง่ ปริมาณ สามารถเทยี บกบั นเิ สธของประพจน์ได้ เช่นเดียวกนั กับการสมมูลกันของประโยคที่มีตัวบง่ ปริมาณ ก : นเิ สธของ p∧q ≡ ∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q ข : นิเสธของ P(x) ∧ Q(x) ≡ ค : นเิ สธของ ∃x[P(x)] ∧ ∃x[Q(x)] ∼(P(x) ∧ Q(x)) ≡ ∼P(x) ∨ ∼Q(x) ≡ ∼(∃x[P(x)] ∧ ∃x[Q(x)]) ≡ ∼ ∃x[P(x)] ∨ ∼ ∃x[Q(x)] ≡ ∀x[∼P(x)] ∨ ∀x[∼Q(x)] มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏราไพพรรณี

11. สมมลู และนิเสธของ ประโยคทม่ี ตี วั บ่งปรมิ าณ ตัวอยา่ งที่ 33 จงพจิ ารณาวา่ ประโยคตอ่ ไปนเ้ี ป็นนิเสธตอ่ กันหรอื ไม่ 1) ∃x[P(x) → (Q(x) ∨ R(x))] กับ ∼ ∃x[(∼R(x) ∧ P(x)) → Q(x)] 2) ∀x[∼P(x) → (R(x) ∧ ∼R(x))] กับ ∼ ∀x[P(x)] มหาวิทยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

11. สมมูลและนเิ สธของ 1) ∃x[P(x) → (Q(x) ∨ R(x))] กบั ประโยคทมี่ ตี ัวบ่งปรมิ าณ ∼ ∃x[(∼R(x) ∧ P(x)) → Q(x)] วธิ ที า (1) 1) จาก P(x) → (Q(x) ∨ R(x)) ≡ ∼P(x) ∨ (Q(x) ∨ R(x)) ดงั นนั้ นเิ สธของ ∃x[P(x) → (Q(x) ∨ R(x))] คือ ∼ ∃x[P(x) → (Q(x) ∨ R(x))] ≡ ∼ ∃x[∼P(x) ∨ (Q(x) ∨ R(x))] และจาก ∼ ∃x[(∼R(x) ∧ P(x)) → Q(x)] (2) ≡ ∼ ∃x[∼ (∼R(x) ∧ P(x)) ∨ Q(x)] ≡ ∼ ∃xR(x) ∨ ∼P(x) ∨ Q(x)] จาก (1) และ (2) แสดงวา่ ประโยคทัง้ สองเป็นนิเสธต่อกัน

11. สมมลู และนเิ สธของ 2) ∀x[∼P(x) → (R(x) ∧ ∼R(x))] กับ ∼ ∀x[P(x)] ประโยคทมี่ ตี ัวบ่งปริมาณ วิธีทา 2) จาก ∼P(x) → (R(x) ∧ ∼R(x)) ≡ P(x) ∨ (R(x) ∧ ∼R(x)) (1) ≡ P(x) ∨ F (2) ≡ P(x) ดงั นนั้ นิเสธของ ∀x[∼P(x) → (R(x) ∧ ∼R(x))] คอื ∼ ∀x[P(x)] และจาก ∼ ∀x[P(x)] จาก (1) และ (2) แสดงวา่ ประโยคทั้งสองเปน็ นเิ สธตอ่ กนั มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏราไพพรรณี

12. ค่าความจรงิ ของประโยคเปดิ ∀x∃y[P(x, y)] ∃x∀y[P(x, y)] ท่ีมตี ัวบ่งปรมิ าณสองตวั ∀x∀y[P(x, y)] ∃x∃y[P(x, y)] ประโยคทม่ี ตี ัวบ่งปริมาณสองตวั ∀y∀x[P(x, y)] ∃y∃x[P(x, y)] ∀y∃x[P(x, y)] ∃y∀x[P(x, y)] ซ่ึงจะหาค่าความจริงของประโยคเหลา่ นไ้ี ดจ้ ากแตล่ ะกรณี ต่อไปนี้

12. ค่าความจรงิ ของประโยคเปดิ กรณีท่ี 1 ท่มี ตี ัวบ่งปรมิ าณสองตวั แทนค่า x และ y ทกุ ๆ คา่ จาก ������ ∀x∀y[P(x, y)] มคี า่ ความจริงเปน็ จริง ในประโยคเปดิ P(x, y) แลว้ ทาใหป้ ระโยค P(x, y) เป็นจรงิ ∀x∀y[P(x, y)] มคี ่าความจรงิ เปน็ เทจ็ แทนค่า x และ y อยา่ งน้อย 1 คจู่ าก ������ ในประโยคเปิด P(x, y) แลว้ ทาให้ ประโยค P(x, y) เป็นเท็จ มหาวิทยาลยั ราชภัฏราไพพรรณี

12. คา่ ความจรงิ ของประโยคเปดิ ที่มตี ัวบ่งปริมาณสองตวั ตัวอย่างท่ี 35 กาหนดให้ ������ = {-1 , 0 ,1} จงหาค่าความจริงของ 1) ∀x∀y[xy < 2] 2) ∀x∀y[x + y < 2] มหาวิทยาลัยราชภัฏราไพพรรณี

12. คา่ ความจริงของประโยคเปดิ หาคา่ ความจริงของ ทีม่ ีตวั บ่งปริมาณสองตวั 1) ∀x∀y[xy < 2] เมื่อ ������ = {-1 , 0 ,1} วธิ ีทา 1) ให้ P(x, y) แทน xy < 2 เนื่องจากเอกภพสมั พัทธม์ สี มาชิก 3 ตวั ดงั นน้ั มีกรณีต้องตรวจสอบ 9 กรณี ซ่ึงจะได้ว่า P(-1, -1), P(-1, 0), P(-1, 1), P(0, -1), P(0, 0), P(0, 1), P(1, -1), P(1, 0) และ P(1, 1) เป็นจรงิ ท้ังหมด ดังนัน้ ประโยค ∀x∀yP[(x, y)] มีคา่ ความจริงเป็นจรงิ มหาวิทยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

12. คา่ ความจรงิ ของประโยคเปดิ หาคา่ ความจรงิ ของ ที่มีตัวบ่งปริมาณสองตวั 2) ∀x∀y[x + y < 2] เมอื่ ������ = {-1 , 0 ,1} วธิ ีทา 2) ให้ P(x, y) แทน x + y < 2 จะเห็นว่าเม่ือเลือกแทน x และ y ด้วย 1 จะได้วา่ P(1, 1) คือ 1 + 1 < 2 ซง่ึ เป็นเท็จ ดังนน้ั ประโยค ∀x∀y[x + y < 2] มีค่าความจรงิ เป็นเทจ็ มหาวิทยาลัยราชภฏั ราไพพรรณี

12. ค่าความจริงของประโยคเปดิ ที่มีตวั บ่งปริมาณสองตวั ตวั อยา่ งที่ 36 จงหาคา่ ความจรงิ ของประโยค “สาหรบั จานวนจรงิ x และ y ทุกตัว x + y = y + x” มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

12. ค่าความจริงของประโยคเปดิ หาค่าความจรงิ ของ ท่ีมตี วั บ่งปรมิ าณสองตวั “สาหรับจานวนจริง x และ y ทุกตัว x + y = y + x” วิธที า ประโยคน้สี ามารถเขยี นโดยใช้สญั ลักษณท์ างคณติ ศาสตร์ จะไดว้ า่ ∀x∀y[x + y = y + x] เมือ่ ������ ∈ ℝ โดยอาศยั ความรูท้ ีเ่ คยศกึ ษามาแล้ววา่ ℝ มสี มบัติการสลบั ท่ีสาหรบั การบวก นัน่ คอื ไมว่ า่ จะแทนคา่ x และ y ด้วยจานวนจรงิ ใด ๆ กต็ าม จะได้ x + y = y + x เสมอ ดังนั้น ประโยค ∀x∀y[x + y = y + x] มคี ่าความจรงิ เป็นจรงิ มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

12. คา่ ความจริงของประโยคเปดิ กรณที ี่ 2 ทีม่ ตี ัวบ่งปริมาณสองตวั แทนค่า x และ y อยา่ งนอ้ ย 1 คู่ ∃x∃y[P(x, y)] มคี ่าความจริงเปน็ จรงิ จาก ������ ในประโยคเปิด P(x, y) แลว้ ทาให้ประโยค P(x, y) เป็นจรงิ ∃x∃y[P(x, y)] มีค่าความจรงิ เปน็ เทจ็ แทนค่า x และ y ทกุ ๆ ค่าจาก ������ ในประโยคเปดิ P(x, y) แล้วทา ให้ประโยค P(x, y) เปน็ เทจ็ มหาวทิ ยาลัยราชภัฏราไพพรรณี

12. ค่าความจริงของประโยคเปดิ ท่ีมตี ัวบ่งปรมิ าณสองตวั ตัวอย่างท่ี 37 กาหนดให้ ������ = {-1 , 0 ,1} จงหาคา่ ความจรงิ ของ 1) ∃x∃y[2x + y = 2] 2) ∃x∃y[x + y > 2] มหาวทิ ยาลัยราชภฏั ราไพพรรณี

12. ค่าความจรงิ ของประโยคเปดิ หาค่าความจริงของ ทมี่ ตี ัวบ่งปริมาณสองตวั 1) ∃x∃y[2x + y = 2] เมอื่ ������ = {-1 , 0 ,1} วธิ ที า 1) ให้ P(x, y) แทน 2x + y = 2 เม่อื แทน x ด้วย 1 และแทน y ดว้ ย 0 จะไดว้ า่ P(1, 0) คอื 2(1) + 0 = 2 ซ่ึงเป็นจรงิ ดงั นั้น ประโยค ∃x∃y[2x + y = 2] มคี ่าความจรงิ เป็นจรงิ มหาวิทยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

12. คา่ ความจรงิ ของประโยคเปดิ หาคา่ ความจริงของ ท่มี ีตัวบง่ ปรมิ าณสองตวั 2) หาคา่ ความจริงของ ∃x∃y[x + y > 2] วธิ ีทา 2) ให้ P(x, y) แทน x + y > 2 เมอ่ื ������ = {-1 , 0 ,1} เม่ือแทน x ดว้ ย 1 และ แทน y ด้วย 1 จะเหน็ วา่ P(1, 1) เปน็ เทจ็ ดงั น้ัน ประโยค ∃x∃y[x + y > 2] มคี ่าความจริงเป็นเท็จ มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

12. ค่าความจริงของประโยคเปดิ กรณีท่ี 3 ที่มตี ัวบง่ ปรมิ าณสองตวั ทุกคา่ ของ x ใน ������ จะต้องมี y ∀x∃y[P(x, y)] มีค่าความจริงเปน็ จรงิ อย่างน้อย 1 คา่ ใน ������ ท่ีทาให้ P(x, y) เปน็ จรงิ ∀x∃y[P(x, y)] มีคา่ ความจรงิ เปน็ เทจ็ มี x อย่างนอ้ ย 1 ค่าใน ������ ซึ่งทาให้ P(x, y) เป็นเทจ็ สาหรับทุก ๆ ค่า ของ y ใน ������ มหาวิทยาลยั ราชภัฏราไพพรรณี

12. คา่ ความจรงิ ของประโยคเปดิ ท่มี ตี วั บง่ ปรมิ าณสองตวั ตัวอยา่ งที่ 38 กาหนดให้ ������ = {2, 3} จงหาคา่ ความจรงิ ของ 1) ∀x∃y[x + y ≤ 5] 2) ∀x∃y[x + y < 4] มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

12. คา่ ความจรงิ ของประโยคเปดิ หาคา่ ความจรงิ ของ 1) ∀x∃y[x + y ≤ 5] ท่ีมตี วั บ่งปริมาณสองตวั เมอ่ื ������ = {2, 3} วธิ ีทา 1) ให้ P(x, y) แทน x + y ≤ 5 เม่อื แทนคา่ x ทกุ คา่ จาก ������ และคา่ y อย่างน้อย 1 คา่ จาก ������ ใน P(x, y) เชน่ x = 2 กบั y = 2 และ x = 3 กบั y = 2 ถ้าแทน x = 2 กับ y = 2 จะได้อสมการ x + y ≤ 5 เป็นจรงิ ถ้าแทน x = 3 กบั y = 2 จะไดอ้ สมการ x + y ≤ 5 เป็นจรงิ ดังน้ัน ประโยค ∀x∃y[x + y ≤ 5] มคี า่ ความจรงิ เปน็ จริง

12. คา่ ความจรงิ ของประโยคเปดิ หาคา่ ความจรงิ ของ ท่ีมีตวั บง่ ปรมิ าณสองตวั 2) ∀x∃y[x + y < 4] วธิ ีทา 2) ให้ P(x, y) แทน x + y < 4 เม่อื ������ = {2, 3} เมื่อแทนคา่ x อยา่ งน้อย 1 ค่าจาก ������ สาหรับทกุ ๆ คา่ ของ y ใน ������ เชน่ y=2 x=2 y=3 ถา้ แทน x = 2 กบั y = 2 จะไดอ้ สมการ x + y < 4 เปน็ เท็จ ถา้ แทน x = 2 กบั y = 3 จะไดอ้ สมการ x + y < 4 เปน็ เท็จ ดงั น้นั ประโยค ∀x∃y[x + y < 4] มคี า่ ความจริงเปน็ เทจ็ มหาวิทยาลัยราชภฏั ราไพพรรณี

12. ค่าความจรงิ ของประโยคเปดิ กรณที ่ี 4 ทมี่ ีตวั บ่งปริมาณสองตวั จะตอ้ งมี x อยา่ งนอ้ ย 1 คา่ ใน ������ ∃x∀y[P(x, y)] มีค่าความจรงิ เปน็ จรงิ ที่ทาให้ P(x, y) เป็นจริง สาหรับทกุ ๆ ค่าของ y ใน ������ ∃x∀y[P(x, y)] มีคา่ ความจริงเปน็ เทจ็ ไมม่ ี x ใน ������ แม้แตค่ า่ เดียว ทท่ี าให้ P(x, y) เปน็ จริง สาหรบั ทุก ๆ คา่ ของ y ใน ������ มหาวทิ ยาลัยราชภฏั ราไพพรรณี

12. ค่าความจรงิ ของประโยคเปดิ ทม่ี ตี วั บ่งปรมิ าณสองตวั ตัวอย่างที่ 39 จงหาค่าความจริงของประโยค ท่ีมีตัวบง่ ปริมาณต่อไปน้ี 1) ∃x∀y[x ≤ y] เมือ่ ������ = {-1, 0, 1} 2) ∃x∀y[x + y > 4] เมือ่ ������ = {0, 1, 2} มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

12. คา่ ความจรงิ ของประโยคเปดิ หาคา่ ความจรงิ ของ ที่มตี ัวบ่งปรมิ าณสองตวั 1) ∃x∀y[x ≤ y] เมือ่ ������ = {-1, 0, 1} วธิ ที า 1) ให้ P(x, y) แทน x ≤ y เม่ือ ������ = {-1, 0, 1} จะเห็นว่าประโยคนมี้ คี ่าความจรงิ เปน็ จรงิ เพราะเมอ่ื แทน x ดว้ ย -1 ซึ่งนอ้ ยกวา่ หรอื เทา่ กบั ทกุ คา่ ของ y ใน ������ เสมอ ดงั น้นั ประโยค ∃x∀y[x ≤ y] เมอ่ื ������ = {-1, 0, 1} มีค่าความจรงิ เป็นจริง มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

12. ค่าความจริงของประโยคเปดิ หาคา่ ความจรงิ ของ ทีม่ ีตวั บ่งปรมิ าณสองตวั 2) ∃x∀y[x + y > 4] เม่อื ������ = {0, 1, 2} วธิ ีทา 2) ให้ P(x, y) แทน x + y > 4 เม่ือ ������ = {0, 1, 2} จะเห็นว่าประโยคนม้ี คี ่าความจรงิ เป็นเทจ็ เช่น ถา้ แทนค่า y = 2 และไมว่ า่ จะแทนค่า x เปน็ อะไรจาก ������ ลงใน P(x, y) แลว้ ทาให้ x + y > 4 เป็นเทจ็ เสมอ ดงั นี้ x=0 y=2 x=1 x=2 ดงั นน้ั ประโยค ∃x∀y[x + y > 4] เม่ือ ������ = {0, 1, 2} มคี ่าความจริงเป็นเท็จ มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏราไพพรรณี

12. ค่าความจรงิ ของประโยคเปดิ ทม่ี ตี ัวบง่ ปริมาณสองตวั สาหรับค่าความจริงของประโยค ∀y∀x[P(x, y)] ∃y∃x[P(x, y)] ∀y∃x[P(x, y)] ∃y∀x[P(x, y)] สามารถหาได้ในทานองเดยี วกนั กับรปู แบบข้างต้น ∀x∀y[P(x, y)] และ ∀y∀x[P(x, y)] ∃x∃y[P(x, y)] และ ∃y∃x[P(x, y)] มคี า่ ความจริงตรงกนั เสมอ มหาวทิ ยาลัยราชภฏั ราไพพรรณี

13. การใหเ้ หตผุ ล การให้เหตุผล ทางคณติ ศาสตร์ อปุ นัย นริ นัย มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

13. การให้เหตผุ ล อปุ นยั การให้เหตผุ ลแบบอุปนัย การให้เหตผุ ลแบบอปุ นยั เป็นการใหเ้ หตผุ ล โดยยึด ความจรงิ จากสว่ นย่อย ไปสู่ ความจริงที่เป็นสว่ นรวม อุปนัย การให้เหตผุ ลแบบอุปนยั จากการสังเกต หลักอุปนยั เชิงคณติ ศาสตร์ มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

13. การใหเ้ หตผุ ล อุปนัย การให้เหตผุ ลแบบอุปนยั จากการสังเกต หมายถงึ วิธีการสรุปผลในการค้นหาความจริง จากการสงั เกต หรอื การทดลองหลายคร้งั จากกรณี ยอ่ ยๆ แลว้ นามาสรุปเปน็ ความรู้แบบทั่วไป มหาวิทยาลัยราชภัฏราไพพรรณี

13. การใหเ้ หตผุ ล อุปนยั ตวั อยา่ งที่ 40 จงใช้การให้เหตุผลแบบอุปนัย เพื่อหาคาตอบจากแบบรูปท่กี าหนดให้ต่อไปนี้ 1) (1 × 9) + 2 = 11 2) 11 × 11 = 121 (12 × 9) + 2 = 111 111 × 111 = 12,321 (123 × 9) + 2 = 1,111 1,111 × 1,111 = 1,234,321 (1234 × 9) + 2 = …………. 11,111 × 11,111 = ……………... ตอบ 11,111 ตอบ 123,454,321 มหาวิทยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

13. การให้เหตผุ ล อปุ นัย ตัวอย่างท่ี 41 จงหาวา่ ผลคูณของจานวนนับสองจานวน ที่เป็นจานวนคี่ จะเป็นจานวนค่หู รอื จานวนค่ี โดยใช้การใหเ้ หตุผลแบบอุปนยั มหาวิทยาลัยราชภฏั ราไพพรรณี

13. การใหเ้ หตผุ ล อปุ นัย จงหาว่า ผลคูณของจานวนนบั สองจานวนที่เปน็ จานวนค่ี จะเป็นจานวนคหู่ รอื จานวนคี่ โดยใชก้ ารใหเ้ หตผุ ลแบบ อุปนัย วธิ ีทา ในการหาคาตอบโดยใชก้ ารให้เหตผุ ลแบบอุปนยั ทาได้โดยการพิจารณาผลคูณของจานวนนับทีเ่ ปน็ จานวนค่หี ลายๆจานวน ดงั นี้ 1×3=3 3×5=15 5×7=35 7×9=61 1×5=5 3×7=21 5×9=45 7×11=77 1×7=7 3×9=27 5×11=55 7×13=91 1×9=9 3×11=33 5×13=65 7×15=105

1×3=3 3×5=15 5×7=35 7×9=61 1×5=5 3×7=21 5×9=45 7×11=77 1×7=7 3×9=27 5×11=55 7×13=91 1×9=9 3×11=33 5×13=65 7×15=105 จากการหาผลคูณของจานวนนับทเี่ ป็นจานวนคข่ี ้างต้น และใช้วธิ ีการสงั เกต จะพบว่า ผลคณู ทไ่ี ดจ้ ะเป็นจานวนคี่ สรปุ วา่ ผลคูณของจานวนนบั สองจานวนทีเ่ ป็นจานวนคี่จะเป็นจานวนคี่ โดยใชก้ ารใหเ้ หตผุ ล แบบอปุ นัย

13. การใหเ้ หตผุ ล อุปนยั ตวั อยา่ งที่ 42 ถา้ ผลบวกของเลขโดดในแตล่ ะหลกั ของจานวนนบั ท่มี สี ามหลกั หารดว้ ย 3 ลงตัวแลว้ มี ขอ้ สรปุ เก่ยี วกบั จานวนนบั ดงั กลา่ วอย่างไร มหาวิทยาลัยราชภฏั ราไพพรรณี

13. การใหเ้ หตผุ ล อปุ นยั ถ้าผลบวกของเลขโดดในแตล่ ะหลักของจานวนนบั ท่ีมสี ามหลักหารดว้ ย 3 ลงตวั วิธที า แลว้ มขี อ้ สรปุ เก่ยี วกบั จานวนนับดังกล่าวอยา่ งไร พจิ ารณาจานวนนบั ทีม่ ีผลบวกของเลขโดดในแตล่ ะหลักหารดว้ ย 3 ลงตัว จานวนนบั ผลบวกของเลขโดดในแต่ละหลัก ผลลัพธเ์ มื่อหารจานวนนบั ด้วย 3 111 1+1+1 = 3 123 1+2+3 = 6 111 ÷ 3 = 37 171 1+7+1 = 9 123 ÷ 3 = 41 225 2+2+5 = 9 171 ÷ 3 = 57 543 5 + 4 + 3 = 12 225 ÷ 3 = 75 945 9 + 4 +5 = 18 543 ÷ 3 = 181 945 ÷ 3 = 315

จานวนนบั ผลบวกของเลขโดดในแต่ละหลกั ผลลัพธ์เมื่อหารจานวนนับด้วย 3 111 1+1+1 = 3 123 1+2+3 = 6 111 ÷ 3 = 37 171 1+7+1 = 9 123 ÷ 3 = 41 225 2+2+5 = 9 171 ÷ 3 = 57 543 5 + 4 + 3 = 12 225 ÷ 3 = 75 945 9 + 4 +5 = 18 543 ÷ 3 = 181 945 ÷ 3 = 315 จากตัวอย่างของจานวนนับขา้ งต้น มีข้อสงั เกตว่า เมอ่ื ผลบวกของเลขโดดใน แตล่ ะหลักหารด้วย 3 ลงตวั จานวนดงั กลา่ วจะหารด้วย 3 ลงตัวเช่นกัน โดยใช้วธิ ีการใหเ้ หตุผลแบบอุปนยั สรปุ ได้วา่ จานวนนับทม่ี สี ามหลกั และมผี ลบวกของเลขโดดในแต่ละหลกั หารดว้ ย 3 ลงตัว จานวนนับดงั กล่าวจะหารด้วย 3 ลงตัวเชน่ กนั

13. การใหเ้ หตผุ ล อุปนยั ตวั อย่างที่ 43 ให้เลอื กจานวนนบั มา 1 จานวน และปฏบิ ัติตามข้นั ตอนตอ่ ไปน้ี 1) คณู จานวนนับท่ีเลอื กไวด้ ว้ ย 4 2) บวกผลลพั ธ์ในข้อ 1) ดว้ ย 6 3) หารผลบวกในข้อ 2) ดว้ ย 2 4) ลบผลหารในข้อ 3) ดว้ ย 3 มหาวิทยาลยั ราชภัฏราไพพรรณี