ตรรกศาสตร์และการให้เหตุผล

5. รปู แบบของประพจน์ที่ สมมูลกัน 4. กฎเดอมอรก์ อง 5. กฎการนเิ สธสองชนั้ 6. กฎการมเี งื่อนไข (Law of (Law of Double (De Morgan’s Law) Negation) Implication) ~ (p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q p → q ≡ ~p ∨ q ~ (p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q ~(~p) ≡ p ~p → q ≡ p ∨ qp 7. กฎการสมมลู 8. กฎการแย้งสลบั ท่ี (Law of Contrapositive) (Law of equivalence) p → q ≡ ~q → ~p p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

5. รูปแบบของประพจน์ที่ ตัวอย่างที่ 11 ให้พิจารณารูปแบบของประพจน์ สมมูลกัน ~p → [q → ( r ∨ p)] สมมูลกบั รปู แบบของ ประพจน์ (p ∨ ~q) ∨ r หรือไม่ วิธที า จาก ~p → [q → ( r ∨ p)] ≡ ~(~p) ∨ [q → ( r ∨ p)] ≡ p ∨ [~q ∨ ( r ∨ p)] ≡ p ∨ ~q ∨ r ∨ p ≡ p ∨ ~q ∨ r ≡ (p ∨ ~q) ∨ r ดงั นั้น ~p → [q → ( r ∨ p)] สมมูลกับ (p ∨ ~q) ∨ r มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

5. รูปแบบของประพจนท์ ี่ ตวั อยา่ งท่ี 12 ใหพ้ ิจารณารปู แบบของประพจน์ สมมลู กนั (~p ∧ ~q) → (p ∧ q) สมมลู กับรูปแบบของ ประพจน์ (~p ∧ ~q) → (p ∨ q) หรอื ไม่ วธิ ีทา จาก (~p ∧ ~q) → (p ∧ q) ≡ ~ (~p ∧ ~q) ∨ (p ∧ q) ≡ (p ∨ q) ∨ (p ∧ q) และจาก (~p ∧ ~q) → (p ∨ q) ≡ ~ (~p ∧ ~q) ∨ (p ∨ q) ≡ (p ∨ q) ∨ (p ∨q) ≡p∨q ดงั น้ัน (~p ∧ ~q) → (p ∧ q) ไมส่ มมูลกับ (~p ∧ ~q) → (p ∨ q) มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

5. รปู แบบของประพจนท์ ่ี ตวั อย่างที่ 13 ข้อความ A และ B สมมลู กนั หรือไม่ สมมูลกนั A : ถา้ แดงไปโรงเรียน แล้วดาจะไปด้วย B : ถ้าดาไมไ่ ปโรงเรียน แล้วแดงกไ็ มไ่ ปด้วย วธิ ที า ให้ p แทน แดงไปโรงเรยี น ใชก้ ฎการแย้งสลบั ท่ี p→q ≡ ~q→ ~p q แทน ดาไปโรงเรยี น จะได้ ขอ้ ความ A เขยี นแทนดว้ ย p → q ดังนน้ั p→q ≡ ~q→ ~p ข้อความ B เขียนแทนดว้ ย จงึ สรปุ ไดว้ ่า ข้อความ A สมมูลกับขอ้ ความ B ~q → ~p มหาวิทยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

5. รปู แบบของประพจนท์ ี่ ตัวอยา่ งท่ี 14 ข้อความ A และ B สมมลู กนั หรอื ไม่ สมมลู กัน A : ถ้าสุภาพกินสม้ ตา แล้วเขาปวดท้องหรอื ทอ้ งเสยี B : ถา้ สภุ าพท้องเสยี และปวดท้อง แล้วสภุ าพกนิ ส้มตา วิธีทา ให้ p แทน สภุ าพกนิ ส้มตา จาก p → (r ∨ q) ≡ ~p ∨ (r ∨ q) และจาก(r ∧ q) → p ≡ ~(r ∧ q) ∨ p q แทน สุภาพท้องเสยี ดงั น้ัน ข้อความ A ไมส่ มมูลกับขอ้ ความ B r แทน สภุ าพปวดทอ้ ง จะได้ ข้อความ A เขียนแทนด้วย p → (r ∨ q) ขอ้ ความ B เขยี นแทนด้วย (r ∧ q) → p มหาวิทยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

6. สจั นิรนั ดร์ รปู แบบของประพจนท์ มี่ ีคา่ ความเป็นจริงทกุ กรณี ไม่ว่าประพจน์ ยอ่ ยตา่ งๆ จะมีคา่ ความจริงเปน็ จรงิ หรือเปน็ เท็จกต็ าม เรียกรูปแบบของประพจนว์ า่ “สจั นิรนั ดร”์ ใหพ้ ิจารณาค่าความจริงของ p q r ~q p → q p → r (p → q) ∧ ~q [(p → q) ∧ ~q] → (p → r) รูปแบบของประพจน์ TTT F T T F T [(p → q) ∧ ~q] → (p → r) TTF F T F F T TFT T F T F T จากตารางค่าความจริงทก่ี าหนด TFF T F F F T FTT F T T F T FTF F T T F T FFT T T T T T FFF T T T T T มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

6. สจั นิรนั ดร์ p q r ~q p → q p → r (p → q) ∧ ~q [(p → q) ∧ ~q] → (p → r) จากตาราง จะเห็นวา่ คา่ ความจรงิ ของรูปแบบ TTT F T T F T ของประพจน์ [(p → q) ∧ ~q] → (p → r) TTF F T F F T TFT T F T F T TFF T F F F T FTT F T T F T FTF F T T F T FFT T T T T T FFF T T T T T มคี า่ ความจรงิ เปน็ จรงิ ทกุ กรณี เรยี กรูปแบบของ ประพจน์ [(p → q) ∧ ~q] → (p → r) ว่า สจั นิรันดร์ บทนิยามที่ 2 รปู แบบของประพจนท์ ่ีมคี า่ ความจริงเปน็ จริงทกุ กรณี เรียกว่า สจั นริ ันดร์ มหาวิทยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

6. สัจนิรันดร์ การตรวจสอบว่า รูปแบบของประพจน์ใดเป็น สจั นริ ันดร์ สามารถตรวจได้ 3 วิธี ดังนี้ 6.1 การสรา้ งตารางคา่ ความจริง ถา้ …แล้ว… 6.2 วธิ กี ารหาขอ้ ขดั แยง้ หรือ กต็ อ่ เมือ่ 6.3 ใชร้ ูปแบบของประพจน์ที่สมมลู กนั มหาวิทยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

6. สัจนิรนั ดร์ 6.1 การสร้างตารางคา่ ความจรงิ โดยการพจิ ารณาคา่ ความจริงของรูปแบบของประพจน์ ถา้ คา่ ความ จริงเปน็ จรงิ ทกุ กรณแี สดงว่ารปู แบบของประพจน์น้นั เป็น สจั นิรันดร์ ตัวอย่างที่ 18 กาหนด p และ q เปน็ ประพจน์ ใหต้ รวจสอบว่ารปู แบบของประพจน์ [(p → q) ∧ p] → q เป็นสัจนิรนั ดรห์ รอื ไม่ วิธที า สรา้ งตารางคา่ ความจริงของ [(p → q) ∧ p] → q ดงั น้ี p q p → q (p → q) ∧ p [(p → q) ∧ p] → q TT T T T TF F F T FT T F T FF T F T มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

6. สัจนิรันดร์ p q p → q (p → q) ∧ p [(p → q) ∧ p] → q TT T T T TF F F T FT T F T FF T F T จะเหน็ วา่ รปู แบบของประพจน์ [(p→q) ∧ p]→q มคี า่ ความจรงิ เปน็ จรงิ ทกุ กรณี ดงั นั้น รูปแบบของประพจน์ [(p→q) ∧ p]→q เป็นสจั นริ ันดร์ มหาวิทยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

6. สัจนิรนั ดร์ ตวั อยา่ งที่ 15 กาหนด p และ q เป็นประพจน์ ให้ตรวจสอบวา่ รปู แบบ ของประพจน์ [(p → q) ∧ ~q] → p เป็นสจั นริ ันดรห์ รือไม่ วธิ ที า สร้างตารางคา่ ความจริงของ [(p → q) ∧ ~q] → p ดงั นี้ p q ~q p → q (p → q) ∧ ~q [(p → q) ∧ ~q] → p TT F T F T TF F F F T FT T T F T FF T T T F จะเหน็ ว่า กรณีท่ี p และ q มคี า่ ความจรงิ เปน็ เทจ็ รปู แบบของประพจน์ [(p → q) ∧ ~q] → p มีค่าความจริงเป็นเทจ็ ดงั นนั้ รูปแบบของประพจน์ [(p → q) ∧ ~q] → p ไม่เป็นสจั นริ ันดร์ มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

6. สจั นิรนั ดร์ 6.2 วิธกี ารหาขอ้ ขัดแยง้ การตรวจสอบสัจนริ นั ดร์ โดยวธิ กี ารหาข้อขดั แย้ง นิยมใช้กบั รปู แบบของประพจน์ที่เชือ่ มด้วย (1) “ถ้า…แลว้ …” สมมตใิ หร้ ปู แบบของประพจน์ที่กาหนดให้เปน็ เท็จ ซึง่ สามารถ เกิดขึน้ ได้เพียงกรณเี ดียว คอื ถา้ เหตุเปน็ จรงิ แลว้ ผลเป็นเท็จ จากนัน้ หาค่าความ จรงิ ของประพจนย์ อ่ ย หากมีข้อขดั แยง้ กบั ที่สมมติไว้ แสดงว่ารูปแบบของ ประพจนเ์ ปน็ สจั นริ ันดร์ แตถ่ ้าไม่มีขอ้ ขัดแยง้ กับทสี่ มมตไิ ว้ แสดงวา่ รปู แบบของ ประพจนไ์ มเ่ ปน็ สจั นิรันดร์ มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

6. สจั นิรนั ดร์ ตวั อยา่ งที่ 16 กาหนด p และ q เปน็ ประพจน์ ให้ตรวจสอบวา่ รปู แบบ ของประพจน์ [(p → ~q) ∧ p] → (~p ∨ ~q) เป็นสัจนริ นั ดรห์ รือไม่ วธิ ีทา สมมติวา่ [(p → ~q) ∧ p] → (~p ∨ ~q) มคี ่าความจริงเป็นเท็จ จะได้ [(p → ~q) ∧ p] → (~p ∨ ~q) [(p → ~ q) ∧ p] → (~ p ∨ ~ q) พบว่าคา่ ความจรงิ ของ ประพจน์ย่อย q มขี ้อ T F F TT FT ขัดแยง้ กนั T TF FT ขดั แย้งกัน มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

6. สจั นิรนั ดร์ [(p → ~ q) ∧ p] → (~ p ∨ ~ q) F TF T T FT FT T TF ขดั แยง้ กนั แสดงวา่ คา่ ความจรงิ ของรูปแบบของประพจนเ์ ป็นเทจ็ ไม่ได้ ดังน้นั รปู แบบของประพจน์ [(p → ~q) ∧ p] → (~p ∨ ~q) เปน็ สัจนิรนั ดร์ มหาวิทยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

6. สัจนิรันดร์ ตัวอย่างท่ี 17 กาหนด p และ q เป็นประพจน์ ใหต้ รวจสอบวา่ รูปแบบ ของประพจน์ (~p → q) → (p ∨ ~q) เป็นสจั นิรนั ดรห์ รือไม่ วธิ ที า สมมติวา่ (~p → q) → (p ∨ ~q) มีค่าความจริงเป็นเทจ็ จะได้ (~p → q) → (p ∨ ~q) จากแผนภาพ จะพบวา่ ค่าความจรงิ ( p → q) → (p ∨ ( q) ของประพจน์ยอ่ ยไมม่ ีขอ้ ขัดแย้งกัน F แสดงวา่ ค่าความจรงิ ของรปู แบบของ T F ประพจนเ์ ปน็ เทจ็ ได้ TF T F FT ดังนัน้ รปู แบบของประพจน์ (~p→q) →(p ∨ ~q) ไม่เปน็ สัจนิรนั ดร์ มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

6. สัจนิรันดร์ (2) “หรือ” สมมติใหร้ ปู แบบของประพจนท์ ก่ี าหนดใหเ้ ป็นเทจ็ ซง่ึ สามารถ เกดิ ข้ึนได้เพียงกรณีเดียว คือ เม่ือประพจน์ย่อยทุกประพจน์มีคา่ ความจรงิ เป็น เทจ็ หากมขี ้อขดั แยง้ กับท่ีสมมติไว้ แสดงวา่ รูปแบบของประพจนเ์ ป็นสจั นริ ันดร์ แตถ่ า้ ไม่มีขอ้ ขดั แยง้ กบั ท่ีสมมติไว้ แสดงวา่ รปู แบบของประพจนไ์ ม่เป็น สัจนริ นั ดร์ มหาวิทยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

6. สจั นิรันดร์ ตัวอยา่ งที่ 18 กาหนด p และ q เป็นประพจน์ ใหต้ รวจสอบว่า รปู แบบของประพจน์ (p ∧ q) ∨ (q → p) เปน็ สจั นิรนั ดรห์ รอื ไม่ วิธที า สมมตวิ ่า (p ∧ q) ∨ (q → p) มีค่าความจริงเป็นเท็จ จะได้ (p ∧ q) ∨ (q → p) จากแผนภาพ เม่ือกาหนดให้รปู แบบ F ของประพจน์ (p ∧ q) ∨ (q →p) มี FF คา่ ความจรงิ เปน็ เทจ็ FT T F แสดงวา่ คา่ ความจริงของรูปแบบของ จะพบวา่ คา่ ความจรงิ ของประพจน์ ประพจนเ์ ปน็ เท็จได้ ยอ่ ยไมม่ ีขอ้ ขดั แย้งกนั ดงั นัน้ รปู แบบของประพจน์ (p ∧ q) ∨ (q →p) ไม่เป็นสัจนริ ันดร์ มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

6. สัจนิรันดร์ (3) “กต็ ่อเมอ่ื ” เน่ืองจากประพจน์ p ↔ q สมมลู กับ (p → q) ∧ (q → p) ใหพ้ ิจารณาประพจน์ p → q และ q → p แบบแยก กรณี โดยสมมติใหร้ ูปแบบของประพจนท์ งั้ สองเป็นเทจ็ จากนน้ั หาคา่ ความจริง ของประพจนย์ อ่ ย ซ่ึงหากท้งั สองกรณีมีข้อขดั แยง้ กับทีส่ มมตไิ ว้ แสดงว่ารูปแบบ ของประพจน์เป็นสจั นิรันดร์ แตถ่ า้ ไม่มขี อ้ ขัดแยง้ กับท่สี มมตไิ วแ้ สดงว่ารปู แบบ ของประพจนไ์ ม่เปน็ สัจนริ นั ดร์ มหาวิทยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

6. สัจนิรันดร์ ตัวอย่างที่ 19 กาหนด p, qและ r เปน็ ประพจน์ ใหต้ รวจสอบว่า รปู แบบของประพจน์ [(p ∧ q) → r] ↔ [p → (q → r)] เป็น สจั นิรนั ดรห์ รอื ไม่ วธิ ีทา จาก [(p ∧ q) → r ] ↔ [p → (q → r)] สมมูลกบั {[(p ∧ q) → r ] → [p → (q → r)]} ∧ {[p → (q → r)] → [(p ∧ q) → r ]} กรณี 1 พจิ ารณา [(p ∧ q) → r] → [p → (q → r)] สมมติวา่ [(p ∧ q) → r] → [p → (q → r)] มีคา่ ความจริงเป็นเทจ็ จะได้ มหาวิทยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

6. สจั นิรันดร์ [p ∧ q) → r ] → [p → (q → r)] F TF F FT F TF ขัดแย้งกัน T F จากแผนภาพ จะพบว่าค่าความจริงของประพจนย์ ่อย q มีข้อขัดแย้งกัน แสดงว่า คา่ ความจรงิ ของรูปแบบของประพจน์เป็นเทจ็ ไม่ได้ มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

6. สัจนิรันดร์ กรณี 2 พจิ ารณา [p → (q → r)] → [(p ∧ q) → r] สมมติว่า [p → (q → r)] → [(p ∧ q) → r] มคี า่ ความจริงเป็นเทจ็ [p → (q → r)] → [(p ∧ q) → r] จากแผนภาพ จะพบว่า F T ค่าความจริงของประพจน์ย่อย F TT r มขี ้อขัดแยง้ กัน TF TT TT แสดงว่า ค่าความ จรงิ ของรปู แบบขอประพจน์ ขัดแยง้ กัน เป็นเท็จไมไ่ ด้ ดงั น้ัน จากกรณี 1 และ กรณี 2 [(p ∧ q) →r ] ↔ [p→ (q → r)] เปน็ สจั นริ นั ดร์ มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

6. สจั นิรันดร์ 6.3 ใช้รูปแบบของประพจนท์ สี่ มมลู กนั ถ้าแสดงได้ว่า p สมมูล q จะไดว้ า่ p และ q มคี า่ ความจรงิ เหมอื นกนั จงึ ทาให้ p ↔ q เป็นสัจนิรันดร์ เมอ่ื เชื่อมดว้ ย “↔” จะมคี ่าความจรงิ เปน็ จริงเสมอ มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

6. สจั นิรันดร์ ตัวอย่างท่ี 20 กาหนด p และ q เปน็ ประพจน์ ใหต้ รวจสอบว่ารูปแบบ ของประพจน์ ~(p → q) ↔ (p ∧ ~q) เป็นสจั นิรนั ดรห์ รอื ไม่ วธิ ที า จากรูปแบบของประพจน์ ~(p → q) ↔ (p ∧ ~q) ถ้าตรวจสอบไดว้ า่ ~(p → q) กับ (p ∧ ~q) สมมลู กนั จะได้ข้อสรปุ ว่า ~(p → q) ↔ (p ∧ ~q) เปน็ สจั นริ นั ดร์ จาก ~(p → q) ≡ ~(~p ∨ q) ≡ p ∧ ~q ดงั นนั้ รปู แบบของประพจน์ ~(p → q) ↔ (p ∧ ~q) เป็นสัจนริ นั ดร์ มหาวิทยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

6. สจั นิรันดร์ ตวั อย่างท่ี 21 กาหนด p และ q เป็นประพจน์ ให้ตรวจสอบว่า รปู แบบของประพจน์ ~(p → ~q) ↔ (p ∧ q) เป็นสัจนิรันดร์ หรือไม่ วธิ ีทา จากรูปแบบของประพจน์ ~(p → ~q) ↔ (p ∧ q) ถ้าตรวจสอบไดว้ ่า ~(p → ~q) กบั (p ∧ q) สมมลู กัน จะไดข้ อ้ สรุปวา่ ~(p → ~q) ↔ (p ∧ q) เป็นสจั นริ นั ดร์ จาก ~(p → ~q) ≡ ~(~p ∨ ~q) ≡ p∧q ดังนั้น รปู แบบของประพจน์ ~(p → ~q) ↔ (p ∧ q) เป็นสจั นริ ันดร์ มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

7. การอา้ งเหตุผล การอ้างเหตุผล คือ การอา้ งว่า เมอื่ มปี ระพจน์ P1, P2, …, Pn ชดุ หน่ึง แลว้ สามารถสรุปประพจน์ C ประพจน์ หน่งึ ได้ การอ้างเหตุผลประกอบดว้ ยสว่ นสาคัญสองส่วนคือ เหตุ หรือสิง่ ทกี่ าหนดให้ ได้แก่ ประพจน์ P1, P2, …, Pn และ ผลหรือขอ้ สรุป คือ ประพจน์ C โดยใช้ตวั เชือ่ ม ∧ เช่ือมเหตุ ทั้งหมดเข้าด้วยกนั และใชต้ วั เช่ือม → เชือ่ มส่วนทเ่ี ป็นเหตกุ บั ผล ดังนี้ (P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn) → C มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

7. การอา้ งเหตผุ ล จะกลา่ ววา่ การอา้ งเหตผุ ลน้ี สมเหตุสมผล (valid) ถ้ารูปแบบของประพจน์ (P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn) → C เป็น สจั นิรันดร์ และจะกล่าวว่า การอา้ งเหตผุ ล ไม่สมเหตสุ มผล (invalid) ถา้ รูปแบบของประพจน์ (P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn) → C ไม่เปน็ สัจนิรันดร์ ดงั น้ัน ในการตรวจสอบความสมเหตุสมผลจะใช้วธิ ีเดยี วกัน กบั การตรวจสอบสัจนริ ันดร์ มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

7. การอ้างเหตุผล ตัวอย่าง 22 กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงพิจารณา ว่าการอา้ งเหตุผลตอ่ ไปน้ีสมเหตุสมผลหรือไม่ เหตุ 1. p → q 2. p ผล q วธิ ที า ข้ันที่ 1 ใช้ ∧ เช่ือมเหตุเข้าด้วยกัน และใช้ → เชอ่ื มส่วนท่เี ป็นเหตุกับผล จะไดร้ ูปแบบของประพจน์คอื [(p → q) ∧ p ] → q ตรวจสอบรูปแบบของประพจนท์ ่ไี ด้ว่าเป็นสจั นริ ันดรห์ รือไม่ ขั้นท่ี 2 สมมติให้ [(p → q) ∧ p ] → q เปน็ เทจ็ มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

7. การอ้างเหตผุ ล [(p → q) ∧ p ] → q สมมตใิ ห้ F [(p → q) ∧ p ] → q เปน็ เทจ็ TF TT TT ขดั แยง้ กัน จากแผนภาพ แสดงว่า รปู แบบของประพจน์ [(p → q) ∧ p ] → q เป็นสัจนนิ ันดร์ ดังนนั้ การอา้ งเหตผุ ลนสี้ มเหตุสมผล มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

7. การอา้ งเหตุผล ตัวอยา่ งที่ 23 จงพจิ ารณาว่าการอา้ งเหตผุ ลต่อไปนี้ สมเหตุสมผลหรือไม่ เหตุ 1. ถ้าเกง่ ไปทางาน แล้วกอ้ งอยูบ่ ้าน 2. ถ้าก้องไมอ่ ย่บู า้ น แลว้ กล้าเป็นคนดแู ลบา้ น 3. กลา้ ไม่ได้เปน็ คนดแู ลบ้าน ผล เก่งไม่ไปทางาน วธิ ที า ให้ p แทนประพจน์ เกง่ ไปทางาน เหตุ 1. p → q q แทนประพจน์ ก้องอย่บู า้ น 2. q → r r แทนประพจน์ กล้าเป็นคนดแู ลบา้ น 3. r เขยี นแทนข้อความขา้ งต้นในรูปสัญลักษณ์ไดด้ ังน้ี ผล p มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

7. การอา้ งเหตผุ ล ดังนั้น รูปแบบของประพจนใ์ นการอ้างเหตุผลนี้ คอื [(p → q) ∧ (q → r) ∧ r] → p เหตุ 1. p → q ตรวจสอบรปู แบบของประพจนท์ ไ่ี ด้ว่าเป็นสจั นิรนั ดรห์ รอื ไม่ 2. q → r สมมติให้ [(p → q) ∧ (q → r) ∧ r] → p เป็นเทจ็ 3. r [(p → q) ∧ ( q → r) ∧  r] →  p ผล p F T T T F FT T T FT F จากแผนภาพ แสดงวา่ รูปแบบของประพจน์ [(p → q) ∧ (q → r) ∧ r] → p ไมเ่ ป็นสจั นริ นั ดร์ ดงั น้นั การอ้างเหตุผลนไี้ มส่ มเหตสุ มผล มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

7. การอ้างเหตุผล พจิ ารณาประพจน์เง่อื นไข p → q ในหัวขอ้ การเชอ่ื มกนั ของประพจน์ซง่ึ p เรียกวา่ เหตุของประพจน์เงือ่ นไข และเรยี ก q ว่าผลสรุปของประพจนเ์ งื่อนไข ถ้ากาหนดให้ประพจนเ์ งือ่ นไข p → q เป็นจรงิ และกาหนดใหป้ ระพจนเ์ หตุ p เป็นจรงิ จะไดว้ า่ ประพจนผ์ ลสรปุ q ต้องเป็นจรงิ ดว้ ย ซึ่งสามารถใชใ้ นตรวจสอบว่า การใหเ้ หตุผลสมเหตสุ มผลหรือไม่ เมือ่ เหตุหรือสิง่ ทีก่ าหนดให้ ได้แก่ ประพจน์ P1, P2, …, Pn และ ผลหรอื ขอ้ สรปุ คือ ประพจน์ C โดยที่ ประพจน์ P1, P2, …, Pn และ ประพจน์ C ตอ้ งเปน็ จริง ดังตวั อยา่ งตอ่ ไปนี้ มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

7. การอ้างเหตุผล ตวั อยา่ งที่ 24 จงแสดงว่าการอ้างเหตผุ ลตอ่ ไปนี้สมเหตุสมผล เหตุ 1. p → q 2. p → r 3. q ผล r วธิ ที า พิจารณา เหตุ 1. ให้ เหตุ 1. เปน็ จรงิ พจิ ารณา เหตุ 2. ให้ เหตุ 2. เปน็ จริง จะไดว้ ่า p → q ≡ T พิจารณา เหตุ 3. ให้ เหตุ 3. เป็นจริง เนอ่ื งจาก q ≡ F จะได้ว่า p → r ≡ T ดังนน้ั p ≡ F จะไดว้ ่า q ≡T เน่อื งจาก p ≡ F ดังนน้ั q ≡F แสดงว่า p ≡ T จะได้วา่ r ≡T ดงั นัน้ ผล : r มคี ่าความจริงเป็นจริง สรปุ ได้ว่า การอ้างเหตุผลน้สี มเหตุสมผล มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

7. การอ้างเหตุผล ตัวอย่างที่ 25 จงพิจารณาว่าการอ้างเหตุผลต่อไปน้ี สมเหตุสมผลหรือไม่ เหตุ 1. p → q 2. q → (r ∨ s) 3. p → t 4. t 5. r ผล s มหาวิทยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

7. การอ้างเหตุผล เหตุ 1. p → q 2. q → (r ∨ s) 3. p → t 4. t 5. r ผล s วธิ ีทา พจิ ารณา เหตุ 4. ให้ เหตุ 4. พิจารณา เหตุ 5. ให้ เหตุ 5. พจิ ารณา เหตุ 3. ให้ เหตุ 3. เป็นจริง จะไดว้ า่ p → t ≡ T เปน็ จริง เป็นจริง เนื่องจาก t ≡ F ดงั นั้น r ≡ T ดงั นัน้ p≡ F จะได้ว่า t ≡ T ดังนน้ั t ≡F เพราะว่า r ≡ T ทาให้ s พจิ ารณา เหตุ 2. ให้ เหตุ 2. เป็นจริง พจิ ารณา เหตุ 1. ให้ เหตุ 1. เป็นจริง มคี า่ ความจรงิ เปน็ ไปไดท้ ง้ั จรงิ และ จะไดว้ า่ p → q ≡ T เท็จ จะได้ว่า q → (r ∨ s) ≡ T เนอื่ งจาก p ≡ F แสดงว่า p ≡ T ดังน้ัน ผล : s มคี ่า เน่ืองจาก q ≡T ดังน้นั q ≡ T ความจรงิ เป็นไปไดท้ ้งั จริงและเท็จ แสดงวา่ (r ∨ s) ≡ T มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี สรปุ ไดว้ ่า การอ้าง เหตุผลนไี้ มส่ มเหตุสมผล

8. ประโยคเปดิ บทนิยามที่ 3 ประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธท่ี มีตัวแปรและไม่เปน็ ประพจน์ แต่เมื่อแทนค่าตัวแปรด้วย สมาชกิ ในเอกภพสมั พทั ธ์แล้วจะกลายเปน็ ประพจน์ มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

8. ประโยคเปดิ ตัวอย่างท่ี 26 กาหนดให้ ������ = {0, 1, 2, 3, 4, 5} และ P(x) : 2x – 1 = 5 ให้ตรวจสอบวา่ P(x) : 2x – 1 = 5 เป็นประโยคเปิดหรือไม่ วิธที า จาก P(x) แทน 2x – 1 = 5 แทน x ด้วย 3 แทน x ด้วย 5 จะได้ P(3) : 2(3) – 1 = 5 จะได้ P(5) : 2(5) – 1 = 5 เปน็ ประพจน์ทีม่ ีค่าความจริงเปน็ จริง เปน็ ประพจน์ท่มี ีคา่ ความจริงเป็นเท็จ ดงั นนั้ P(x) : 2x – 1 = 5 เป็นประโยคเปดิ มหาวทิ ยาลัยราชภฏั ราไพพรรณี

9. ตวั บง่ ปรมิ าณ ในวชิ าคณิตศาสตรจ์ ะพบวา่ มีการใช้ข้อความ ตวั บ่งปรมิ าณ สาหรับทุกตัว ∀x (for all) สาหรับบางตวั ∃x (for some) มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏราไพพรรณี

9. ตัวบง่ ปรมิ าณ โดยใชส้ ญั ลกั ษณ์ ∀x แทน สาหรบั x ทกุ ตวั ∃x แทน สาหรับ x บางตัว ������ แทน เอกภพสัมพัทธ์ ℝ แทน เซตของจานวนจรงิ ℚ แทน เซตของจานวนตรรกยะ ℤ แทน เซตของจานวนเตม็ ℕ แทน เซตของจานวนนับ มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

9. ตวั บง่ ปรมิ าณ ตัวอยา่ งท่ี 27 ใหเ้ ขียนขอ้ ความตอ่ ไปนอี้ ย่ใู นรปู สญั ลกั ษณ์ เมอื่ เอกภพสัมพัทธเ์ ป็นเซตของจานวนจริง 1) สาหรับ x ทกุ จานวน x + 0 = x ตอบ ∀x[x + 0 = x] , ������ = ℝ 2) สาหรบั จานวนจริง xบางจานวน x + 3 = 2x ตอบ ∃x[x + 3 = 2x] , ������ = ℝ 3) มีจานวนจรงิ x อย่างนอ้ ยหนงึ่ จานวนที่ |x| < 3 ตอบ ∃x[|x| < 3] , ������ = ℝ มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏราไพพรรณี

9. ตวั บง่ ปรมิ าณ ตัวอย่างท่ี 27 ให้เขียนข้อความตอ่ ไปน้ีอยู่ในรปู สัญลกั ษณ์ เม่ือเอกภพสัมพทั ธเ์ ป็นเซตของจานวนจรงิ 4) สาหรบั x ทุกจานวน ถา้ x เปน็ จานวนตรรกยะ แล้ว x เปน็ จานวนจรงิ ตอบ ∀x[x  ℚ → x  R] , ������ = ℝ 5) จานวนนับทกุ จานวนเปน็ จานวนจริง ตอบ ∀x[x  ℕ] , ������ = ℝ มหาวิทยาลัยราชภัฏราไพพรรณี

10. ค่าความจรงิ ของประโยคทมี่ ี ตวั บง่ ปริมาณตวั เดยี ว คา่ ความจริงของประโยคทีม่ ตี ัวบง่ ปริมาณ สามารถแบง่ ออกเป็น 3 สว่ น ∀x[P(x)] , ������ = ℝ สว่ นท่ี 1 ตวั บ่งปรมิ าณ สว่ นที่ 3 เอกภพสัมพทั ธ์ ส่วนท่ี 2 ประโยคเปดิ มหาวิทยาลัยราชภฏั ราไพพรรณี

10. คา่ ความจรงิ ของประโยคทม่ี ตี ัวบง่ ปรมิ าณตวั เดียว ∀x[P(x)] มีคา่ ความจริงเปน็ จรงิ ก็ตอ่ เมอื่ แทนตัวแปร x ใน P(x) ดว้ ย สมาชิกแตล่ ะตวั ในเอกภพสมั พัทธ์ แลว้ ได้ประพจนท์ ่ีมีค่าความจรงิ เปน็ จรงิ ทงั้ หมด ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเปน็ เทจ็ ก็ตอ่ เมอ่ื แทนตัวแปร x ใน P(x) ดว้ ย สมาชกิ อยา่ งน้อยหนึ่งตัวในเอกภพสัมพทั ธ์ แลว้ ไดป้ ระพจนท์ ม่ี ีค่าความจรงิ เปน็ เทจ็ บท นยิ าม ∃x[P(x)] มคี า่ ความจริงเปน็ จริง ก็ต่อเมอื่ แทนตวั แปร x ใน P(x) ด้วย ที่ 4 สมาชกิ อย่างนอ้ ยหนึง่ ตัวในเอกภพสมั พัทธ์ แล้วไดป้ ระพจน์ท่ีมคี ่าความจรงิ ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเปน็ เทจ็ ก็ตอ่ เมื่อ แทนตวั แปร x ใน P(x) ดว้ ย สมาชกิ แตล่ ะตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แลว้ ไดป้ ระพจน์ท่มี ีค่าความจริงเปน็ เท็จทงั้ หมด

10. ค่าความจรงิ ของประโยคทมี่ ี ตวั บง่ ปริมาณตวั เดยี ว ตวั อย่างท่ี 28 จงหาค่าความจริงของประโยค ทม่ี ตี ัวบง่ ปรมิ าณต่อไปนี้ 1) ∀x[x < 5] เมื่อ ������ = ℤ 2) ∃x[x < 5] เม่อื ������ = ℤ มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏราไพพรรณี

10. คา่ ความจรงิ ของประโยคทม่ี ี 1) ∀x[x < 5] เมื่อ ������ = ℤ ตัวบง่ ปริมาณตวั เดียว วิธีทา 1) ให้ P(x) แทน x < 5 จะเห็นวา่ 6 ∈ ℤ และ P(6) แทน 6 < 5 เป็นเท็จ น่นั คอื มสี มาชกิ ใน ℤ อยา่ งนอ้ ยหนึ่งตัวคือ 6 ที่เม่อื นาไปแทน x ในP(x) แลว้ ได้ ประพจนท์ ่เี ปน็ เทจ็ ดังนนั้ ∀x[x < 5] เป็นเทจ็ เมื่อ ������ = ℤ มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

10. ค่าความจริงของประโยคทม่ี ี 2) ∃x[x < 5] เมอ่ื ������ = ℤ ตวั บง่ ปริมาณตวั เดยี ว วิธีทา 2) ให้ P(x) แทน x < 5 เนอื่ งจาก มสี มาชกิ ใน ℤ บางตวั ท่ีเมือ่ นาไปแทน x ใน P(x) แล้วได้ประพจน์ทเ่ี ปน็ จรงิ เช่น เม่ือแทน x ดว้ ย 1 ใน x < 5 จะได้ 1 < 5 เป็นจรงิ ดังนั้น ∃x[x < 5] เป็นจรงิ เม่อื ������ = ℤ มหาวทิ ยาลัยราชภัฏราไพพรรณี

10. คา่ ความจรงิ ของประโยคทม่ี ี ตวั บ่งปรมิ าณตวั เดยี ว ตวั อยา่ งที่ 29 จงหาค่าความจรงิ ของประโยค ที่มีตัวบง่ ปริมาณต่อไปนี้ เมื่อ ������ = {-1, 0, 1} 1) ∀x[(x < 0) → (x2 > 0)] 2) ∃x[(x < 0) ∧ (x - 1 = 0)] มหาวิทยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

10. ค่าความจรงิ ของประโยคทม่ี ตี ัวบ่งปรมิ าณตัวเดยี ว 1) ∀x[(x < 0) → (x2 > 0)] เม่อื ������ = {-1, 0, 1} วิธีทา พิจารณาประโยคเปิด x < 0 และ x2 > 0 แทน x ดว้ ย -1 จะได้ -1 < 0 เปน็ จริง และ (−1)2 > 0 เป็นจรงิ ดงั นน้ั -1 < 0 → (−1)2 > 0 เป็นจริง แทน x ด้วย 0 จะได้ 0 < 0 เป็นเท็จ และ 02 > 0 เปน็ เทจ็ ดังนัน้ 0 < 0 → 02 > 0 เปน็ จรงิ แทน x ด้วย 1 จะได้ 1 < 0 เป็นเท็จ และ 12 > 0 เปน็ จรงิ ดังน้ัน 1 < 0 → 12 > 0 เป็นจรงิ สรปุ ไดว้ ่า ∀x[(x < 0) → (x2 > 0)] เปน็ จรงิ มหาวิทยาลัยราชภฏั ราไพพรรณี

10. คา่ ความจรงิ ของประโยคทม่ี ตี วั บง่ ปรมิ าณตัวเดยี ว 2) ∃x[(x < 0) ∧ (x - 1 = 0)] วธิ ที า พิจารณาประโยคเปดิ (x < 0) ∧ (x - 1 = 0) เมื่อ ������ = {-1, 0, 1} แทน x ด้วยสมาชกิ แตล่ ะตวั ของ ������ จะได้ (-1 < 0) ∧ (-1 - 1 = 0) เปน็ เทจ็ (0 < 0) ∧ (0 - 1 = 0) เปน็ เท็จ (1 < 0) ∧ (1 - 1 = 0) เป็นเทจ็ ดงั นัน้ ∃x[(x < 0) ∧ (x - 1 = 0)] เป็นเทจ็ มหาวิทยาลยั ราชภัฏราไพพรรณี

10. ค่าความจริงของประโยคทม่ี ี ตัวบ่งปริมาณตวั เดียว ตวั อย่างท่ี 30 (Ent’ 45) จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ ∀x − 1 2 1 x−1 2>1 2 4 x < หรอื เมอื่ ������ = (0, 1) ∪ (2, ∞) มหาวิทยาลัยราชภฏั ราไพพรรณี

10. ค่าความจริงของประโยคทมี่ ี ∀x x− 1 2 1 x−1 2>1 ตวั บง่ ปริมาณตวั เดียว 2 4 < หรอื เมอ่ื ������ = (0, 1) ∪ (2, ∞) วธิ ีทา ถ้านาคา่ จาก ������ ไปแทนคา่ ในประพจน์ จะยากมากในการหาคาตอบ แตถ่ ้าแกอ้ สมการโดย การหาคาตอบของอสมการแล้วนาค่าท่ไี ด้ไป พจิ ารณารว่ มกบั ������ จะทาให้ทราบค่าความจรงิ ของประพจนไ์ ด้ง่ายขึน้ ดังน้ี 2 − 1 1 ∪ x−1 2>1 x 2 <4 x− 1 2 − 12 ∪ x − 1 2 − 12 > 0 2 2< 0 x − 1 − 1 x − 1 + 1 < 0 ∪ x−1−1 x−1+1 >0 2 2 2 2 x−1 x < 0 ∪ x−2 x >0 เซตคาตอบ คอื (-∞, 0) ∪ (0, 1) ∪ (2, ∞) 01 2