ตรรกศาสตร์และการให้เหตุผล

13. การให้เหตผุ ล อุปนัย 1) คูณจานวนนบั ทเ่ี ลือกไว้ดว้ ย 4 2) บวกผลลัพธใ์ นข้อ 1) ด้วย 6 ยกตวั อยา่ ง 3) หารผลบวกในข้อ 2) ดว้ ย 2 4) ลบผลหารในขอ้ 3) ด้วย 3 5เช่น ถา้ เลอื กจานวน 1) คูณจานวนนับที่เลอื กไวด้ ว้ ย 4 จะได้ 5 × 4 = 20 2) บวกผลลพั ธ์ในขอ้ 1) ดว้ ย 6 3) หารผลบวกในข้อ 2) ดว้ ย 2 จะได้ 20 + 6 = 26 4) ลบผลหารในขอ้ 3) ดว้ ย 3 จะได้ 26 ÷ 2 = 13 จะได้ 13 – 3 = 10 10จะพบว่า จากจานวนที่เลอื กคือ 5 จะไดค้ าตอบสุดท้ายเป็น มหาวทิ ยาลัยราชภฏั ราไพพรรณี

13. การให้เหตผุ ล อุปนัย 1) คูณจานวนนบั ท่ีเลอื กไว้ดว้ ย 4 2) บวกผลลัพธ์ในข้อ 1) ด้วย 6 3) หารผลบวกในขอ้ 2) ด้วย 2 4) ลบผลหารในขอ้ 3) ด้วย 3 ลองเลอื กจานวน 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 และ 9 แลว้ ทาตามวธิ ที กี่ าหนดไวข้ ้างตน้ มีขอ้ สรปุ อย่างไรเมอ่ื ใชว้ ธิ ีการให้เหตุผลแบบอปุ นยั มหาวิทยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

13. การให้เหตผุ ล อุปนยั 1) คูณจานวนนับทเ่ี ลอื กไว้ดว้ ย 4 2) บวกผลลัพธ์ในขอ้ 1) ด้วย 6 3) หารผลบวกในข้อ 2) ดว้ ย 2 4) ลบผลหารในข้อ 3) ดว้ ย 3 วิธีทา เลือกจานวน 9 1) คณู จานวนนับทเี่ ลอื กไวด้ ้วย 4 จะได้ 9 x 4 = 36 = 42 2) บวกผลลพั ธใ์ นข้อ 1) ด้วย 6 จะได้ 36 + 6 = 21 = 18 3) หารผลบวกในข้อ 2) ด้วย 2 จะได้ 42 ÷ 2 4) ลบผลหารในขอ้ 3) ดว้ ย 3 จะได้ 21 – 3 จะพบวา่ จากจานวนทเ่ี ลือกคอื 9 จะไดค้ าตอบสดุ ท้ายเป็น 18 มหาวิทยาลยั ราชภัฏราไพพรรณี

13. การให้เหตผุ ล อปุ นยั 1) คูณจานวนนบั ที่เลือกไว้ด้วย 4 2) บวกผลลัพธ์ในขอ้ 1) ดว้ ย 6 3) หารผลบวกในขอ้ 2) ดว้ ย 2 4) ลบผลหารในข้อ 3) ด้วย 3 วิธีทา จากการหาคาตอบโดยใช้วธิ กี ารท่ีกาหนดให้ขา้ งตน้ มขี อ้ สังเกตวา่ คาตอบสดุ ท้ายจะเท่ากบั สองเท่าของจานวนทีเ่ ลอื กไว้คร้งั แรกเสมอ สรปุ ว่า เมื่อใชก้ ารให้เหตผุ ลแบบอุปนยั คาตอบสดุ ทา้ ยจะเท่ากบั สองเท่าของจานวนท่ีเลอื กไวค้ รัง้ แรก มหาวิทยาลัยราชภัฏราไพพรรณี

13. การใหเ้ หตผุ ล อุปนยั การสังเกตผลบวกของจานวนค่ี 1 = 1 = 12 1 + 3 = 4 = 22 1 + 3 + 5 = 9 = 32 ⋮⋮⋮ จะได้รปู ท่วั ไปวา่ 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2 เรียกรปู แบบนว้ี ่า ขอ้ ความคาดการณ์ มหาวิทยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

13. การให้เหตผุ ล อุปนัย ขอ้ ความคาดการณ์ ซงึ่ ไมท่ ราบวา่ เปน็ จริงหรือเทจ็ แทนจานวนนบั เข้าไปท้งั หมด อปุ นัยเชิงคณิตศาสตร์ เสียเวลา ตรวจสอบ ในการแทนคา่ ความสมเหตุสมผลของข้อความ หากรณี มหาวทิ ยาลัยราชภัฏราไพพรรณี ทเี่ ป็นเทจ็

13. การใหเ้ หตผุ ล อุปนยั หลกั อปุ นัยเชงิ คณติ ศาสตร์ เปน็ การพิสูจน์ขอ้ ความทีอ่ ยูใ่ นรูป ∀n ∈ ℕ[P(n)] เม่ือ ℕ เป็นเซตของจานวนนับ โดยมหี ลักการท่วี า่ “ถา้ S เป็นเซตยอ่ ยใด ๆ ของเซตของจานวนนบั ” ซงึ่ มีสมบตั ิว่า มหาวิทยาลัยราชภฏั ราไพพรรณี

13. การให้เหตผุ ล อุปนยั ซึ่งมสี มบัติวา่ ถา้ S เป็นเซตย่อยของ ℕ (S ⊆ ℕ) 1. 1 ∈ S 2. ∀k ∈ S[k ∈ S → k + 1 ∈ S] แล้ว จะได้ว่า S = ℕ ในการพิสูจน์โดยวธิ นี ี้จะต้องแสดงวา่ 1. P(1) เปน็ จริง 2. ให้ P(k) เปน็ จรงิ แลว้ แสดงว่า P(k + 1) เปน็ จรงิ สาหรบั k ∈ ℕ สรปุ ไดว้ า่ P(n) เป็นจริง สาหรับทุก ๆ n ที่เปน็ จานวนนบั หรอื ∀n[n ∈ ℕ → P(n)] เปน็ จรงิ มหาวิทยาลัยราชภัฏราไพพรรณี

13. การให้เหตผุ ล อปุ นัย ตวั อยา่ งท่ี 44 สาหรับจานวนนับ n ทกุ ตัว n(n + 1) จงพิสจู น์ว่า 1 + 2 + 3 + … + n = 2 มหาวิทยาลยั ราชภัฏราไพพรรณี

13. การใหเ้ หตผุ ล อุปนยั n(n + 1) จงหาพสิ จู น์วา่ 1 + 2 + 3 + … + n = 2 วธิ ีทา สมมติ S ⊆ ℕ โดยท่ี 1 ∈ S และ ∀k ∈ S[k ∈ S → k + 1 ∈ S] สาหรบั k ∈ ℕ n(n + 1) ให้ P(n) แทน 1 + 2 + 3 + … + n = 2 1(1 + 1) 1) P(1) : 1 = 2 จะไดว้ ่า 1=1 ดังนนั้ P(1) เปน็ จริง มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

13. การใหเ้ หตผุ ล อปุ นัย n(n + 1) จงหาพสิ ูจนว์ ่า 1 + 2 + 3 + … + n = 2 k(k + 1) วธิ ีทา 2) ให้ P(k) : 1 + 2 + 3 + … + k = 2 เปน็ จริง จะแสดงว่า P(k + 1) เป็นจริง ดงั นั้น 1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) k(k + 1) = 2 + (k + 1) k(k + 1) 2(k + 1) =2+2 k2 + k + 2k + 2 =2 k2 + 3k + 2 =2 (k + 1)(k + 2) =2 (k + 1)((k + 1) + 1) =2 แสดงวา่ P(k + 1) เปน็ จรงิ

13. การใหเ้ หตผุ ล อุปนยั n(n + 1) จงหาพิสจู น์วา่ 1 + 2 + 3 + … + n = 2 n(n + 1) จาก ให้ P(n) แทน 1 + 2 + 3 + … + n = 2 1) P(1) เปน็ จริง 2) P(k) → P(k + 1) เปน็ จริง สาหรับ k ∈ ℕ จาก 1) และ 2) สรุปไดว้ า่ P(n) เป็นจริง

13. การให้เหตผุ ล อปุ นัย ตวั อยา่ งท่ี 45 สาหรับจานวนนบั n ทกุ ตัว จงพิสจู น์ว่า 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2 มหาวิทยาลัยราชภัฏราไพพรรณี

13. การให้เหตผุ ล อปุ นยั จงหาพสิ ูจนว์ า่ 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2 วิธีทา สมมติ S ⊆ ℕ โดยท่ี 1 ∈ S และ ∀k ∈ S[k ∈ S → k + 1 ∈ S] สาหรับ k ∈ ℕ ให้ P(n) แทน 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2 1) P(1) : 1 = 12 จะไดว้ า่ 1=1 ดังน้ัน P(1) เปน็ จริง มหาวทิ ยาลัยราชภฏั ราไพพรรณี

13. การใหเ้ หตผุ ล อุปนัย จงหาพิสจู น์ว่า 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2 วิธีทา 2) ให้ P(k) : 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = k2 เป็นจรงิ จะแสดงวา่ P(k + 1) เป็นจรงิ = k2 + (2(k + 1) – 1) = k2 + (2k + 1) ดังนนั้ 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2(k + 1) – 1) = k2 + (2)(1)k + 12 = (k + 1)2 แสดงว่า P(k + 1) เป็นจรงิ จาก 1) และ 2) สรปุ ได้วา่ P(n) เป็นจริง

13. การให้เหตผุ ล อุปนัย ตัวอยา่ งที่ 46 สาหรับจานวนนบั n ทุกตวั จงพิสูจน์วา่ 2n < 2n + 1 มหาวทิ ยาลัยราชภฏั ราไพพรรณี

13. การใหเ้ หตผุ ล อปุ นยั จงหาพสิ จู นว์ ่า 2n < 2n + 1 วิธีทา สมมติ S ⊆ ℕ โดยที่ 1 ∈ S และ 2) ให้ P(k) : 2k < 2k + 1 เป็นจริง ∀k ∈ S[k ∈ S → k + 1 ∈ S] สาหรบั k ∈ ℕ จะแสดงว่า P(k + 1) เป็นจริง ให้ P(n) แทน 2n < 2n + 1 ดงั นัน้ 2k ⋅ 2 < (2k + 1 )(2) 1) P(1) : 21 < 21 + 1 2k + 1 < 2k + 2 2 < 22 2k + 1 < 2(k + 1) + 1 2<4 แสดงว่า P(k + 1) เปน็ จริง ดังน้นั P(1) เป็นจริง จาก 1) และ 2) สรปุ ไดว้ า่ P(n) เป็นจรงิ มหาวิทยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

13. การให้เหตผุ ล อุปนยั ตวั อย่างท่ี 47 ถ้า z = r(cosθ + isinθ) และ n เปน็ จานวนเตม็ บวก จะได้ zn = rn(cosnθ + isinnθ) มหาวทิ ยาลัยราชภัฏราไพพรรณี

13. การใหเ้ หตผุ ล อปุ นยั ถา้ z = r(cosθ + isinθ) และ n เปน็ จานวนเต็มบวก จะได้ zn = rn(cosnθ + isinnθ) วิธีทา สมมติ S ⊆ ℕ โดยท่ี 1 ∈ S และ ∀k ∈ S[k ∈ S → k + 1 ∈ S] สาหรับ k ∈ ℕ ให้ P(n) แทนขอ้ ความ “ถา้ z = r(cosθ + isinθ) แลว้ zn = rn(cosnθ + isinnθ)” ดงั น้ัน P(1) เป็นจริง เพราะถา้ z = r(cosθ + isinθ) แลว้ z1 = r1(cosθ + isinθ) มหาวิทยาลัยราชภฏั ราไพพรรณี

13. การใหเ้ หตผุ ล อุปนยั ถ้า z = r(cosθ + isinθ) และ n เปน็ จานวนเต็มบวก จะได้ zn = rn(cos nθ + isin nθ) วิธที า ให้ P(k) เปน็ จริง นั่นคือ ถ้า z = r(cosθ + isinθ) แล้ว zk= rk(coskθ + isin kθ) สาหรบั ทุก k ∈ I+ ต้องแสดงวา่ P(k+1) เปน็ จรงิ พิจารณา zk+1 = zk ⋅ z = [rk(coskθ + isinkθ)][r(cosθ + isinθ)] = (rk ⋅ r)[ cos(kθ + θ) + i sin(kθ + θ)] = rk + 1[cos(k + 1)θ + i sin(k + 1)θ] ดงั นน้ั P(k+1) เปน็ จริง โดยวธิ อี ุปนยั เชงิ คณติ ศาสตร์ จะได้ P(n) เป็นจริง สาหรับทกุ คา่ ของ n ทีเ่ ปน็ จานวนเตม็ บวก น่นั คือ ถ้า z = r(cosθ + isinθ) แลว้ zn= rn(cos nθ + isinnθ) โดยที่ n ∈ I+

13. การใหเ้ หตผุ ล อปุ นยั ถ้า z = r(cosθ + isinθ) และ n เป็นจานวนเตม็ บวก จะได้ zn = rn(cosnθ + isinnθ) จาก ให้ P(n) แทน ถา้ z = r(cosθ + isinθ) แลว้ zn = rn(cosnθ + isinnθ) 1) P(1) เปน็ จรงิ 2) P(k) → P(k + 1) เป็นจรงิ สาหรบั k ∈ ℕ จาก 1) และ 2) สรุปไดว้ า่ P(n) เปน็ จริง

13. การให้เหตผุ ล นิรนัย การให้เหตผุ ลแบบนริ นยั การใหเ้ หตุผลแบบนิรนัยเป็นการใหเ้ หตุผล โดยยึด ความจริงจากส่วนรวม ไปสู่ ความจรงิ ทเ่ี ปน็ ส่วนย่อย นิรนยั “ถ้ามีเหตุเปน็ ขอ้ ความชุดหนึ่ง (ซึง่ เปน็ จริง) แล้ว จะสามารถสรปุ เป็นข้อความอันหนง่ึ ได้เสมอ” การอา้ งเหตผุ ล มหาวทิ ยาลัยราชภฏั ราไพพรรณี

13. การให้เหตผุ ล นริ นัย 1) เหตุ (1) นกั เรียนทกุ คนตอ้ งทาการบา้ น (2) สดุ าเปน็ เด็กนักเรียน ตัวอย่างที่ 48 แตล่ ะข้อต่อไปนี้เปน็ ตัวอยา่ ง ผล สุดาตอ้ งทาการบา้ น การให้เหตผุ ลแบบนิรนยั 2) เหตุ (1) นกเทา่ นัน้ ท่บี ินได้ (2) คนบนิ ไม่ได้ ผล คนไม่ใชน่ ก 3) เหตุ (1) สตั วป์ กี ทุกชนดิ บินได้ (2) แมวบางตวั เป็นสัตว์ปกี ผล แมวบางตัวบินได้ มหาวิทยาลัยราชภัฏราไพพรรณี

13. การใหเ้ หตผุ ล นิรนัย ข้อควรระวัง บางครงั้ เม่ือเราใช้ความร้สู ึกเพียงผิวเผินตัดสิน อาจจะคดิ ไปวา่ เหตุและผลมีความสอดรบั กนั ดี ทาใหก้ ารอา้ งเหตุผลนนั้ สมเหตุสมผล ทง้ั ทจ่ี ริงๆแล้วไม่ใช่อย่างนนั้ มหาวิทยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

13. การใหเ้ หตผุ ล นริ นัย 1) เหตุ (1) นกทุกตัวบินได้ (2) ยุงบินได้ ยกตัวอยา่ งเชน่ ผล ยุงเป็นนก ไม่สมเหตสุ มผล เพราะอาจจะมสี ่งิ อน่ื ทไี่ มใ่ ช่นก แตบ่ ินได้ 2) เหตุ (1) นกทุกตวั บนิ ได้ (2) คนไมใ่ ชน่ ก ผล คนบนิ ไมไ่ ด้ ไมส่ มเหตุสมผล เพราะอาจจะมีสิ่งอ่ืนท่ีไมใ่ ช่นก แต่บินได้ 3) เหตุ (1) นักเรยี นบางคนเปน็ นักกีฬา (2) นกั กีฬาบางคนแขง็ แรง ผล นักเรยี นบางคนแขง็ แรง ไมส่ มเหตสุ มผล เพราะนักกฬี าคนที่แข็งแรงอาจไมใ่ ช่นักเรียนกไ็ ด้

13. การให้เหตผุ ล การตรวจสอบความ สมเหตุสมผลแบบนริ นยั พจิ ารณา อยา่ งรอบคอบ แผนภาพเวนน-์ ออยเลอร์ ทุกกรณแี สดงผลสรุปตามท่กี าหนด สมเหตุสมผล วาดแผนภาพ มบี างกรณีทแ่ี ผนภาพ ไม่สมเหตสุ มผล ไมส่ อดคล้องกบั ผลสรปุ แล้ว ตามเหตผุ ลทกุ กรณีท่ีเป็นไปได้ มหาวิทยาลยั ราชภัฏราไพพรรณี

13. การให้เหตผุ ล นิรนยั ตัวอย่าง ข้อความและแผนภาพ ที่แสดงความหมายของข้อความท่ใี ช้ในการอ้างเหตุผล มหาวทิ ยาลัยราชภัฏราไพพรรณี

13. การให้เหตผุ ล นริ นัย แผนภาพ ข้อความ AB 1) สมาชกิ ของเซต A ทุกตวั เป็นสมาชกิ ของเซต B นก ตัวอยา่ ง นกทุกตัวบนิ ได้ สง่ิ ทบ่ี นิ ได้

13. การให้เหตผุ ล นริ นยั แผนภาพ ขอ้ ความ AB 2) สมาชกิ ของเซต A บางตวั เป็นสมาชกิ ของเซต B หรือ สมาชกิ ของเซต A บางตัวไม่เปน็ สมาชิกของเซต B ตัวอยา่ ง นกบางตวั บินได้ นก ส่ิงทีบ่ นิ ได้ หรอื นกบางตัวบนิ ไมไ่ ด้

13. การใหเ้ หตผุ ล นริ นยั แผนภาพ ขอ้ ความ AB 3) ไม่มีสมาชกิ ของเซต A ตัวใดเปน็ สมาชิกของเซต B ส่งิ ที่บนิ ได้ นก ตวั อยา่ ง ไม่มนี กตัวใดบินได้

13. การให้เหตผุ ล นริ นยั แผนภาพ ข้อความ สิ่งท่บี นิ ได้ ทรายทอง หากในขอ้ ความมีการระบถุ งึ สมาชิกของเซต จดุจะเขยี นเปน็ อยภู่ ายในบริเวณเซตน้ัน ตวั อยา่ ง ทรายทองบนิ ได้ อยากกินหมูกระทะ

13. การให้เหตผุ ล นิรนัย ตัวอยา่ งท่ี 49 ให้ใชแ้ ผนภาพเวนน-์ ออยเลอร์ ชว่ ยในการพจิ ารณาวา่ การให้เหตุผลแบบนริ นัย ในแต่ละข้อตอ่ ไปน้วี า่ สมเหตสุ มผลหรอื ไม่ มหาวิทยาลัยราชภัฏราไพพรรณี

13. การให้เหตผุ ล นิรนยั ใชแ้ ผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ในการพิจารณาวา่ การใหเ้ หตุผลแบบนริ นัย 1) เหตุ 1. นักเรยี นชายทกุ คนลงแขง่ กีฬา 2. สมหมายเปน็ นกั เรยี นชาย ผล สมหมายลงแข่งกีฬา วธิ ที า พจิ ารณาแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ดังน้ี ผู้ลงแขง่ กีฬา นร.ชาย สมหมาย ดงั น้นั สมเหตสุ มผล (เขยี นแผนภาพแลว้ พบวา่ ผลเป็นจรงิ เสมอ)

13. การให้เหตผุ ล นริ นัย ใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ในการพจิ ารณาว่าการใหเ้ หตผุ ลแบบนริ นัย 2) เหตุ 1. นักเรยี นชายทุกคนลงแขง่ กฬี า 2. สมศรีไม่ไดเ้ ปน็ นักเรยี นชาย ผล สมศรไี ม่ได้ลงแขง่ กฬี า วธิ ีทา พจิ ารณาแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ดังน้ี ผู้ลงแข่งกีฬา นร.ชาย สมศรี สมศรี ดงั น้ัน ไม่สมเหตุสมผล (พบวา่ ผลอาจไมเ่ ปน็ จริงได้ด้วย)

13. การให้เหตผุ ล นิรนัย ตัวอยา่ งที่ 50 การใหเ้ หตุผลแบบนิรนัยตอ่ ไปนี้สมเหตสุ มผลหรือไม่ เหตุ 1. ตน้ ไม้ทุกชนิดมสี เี ขียว 2. ต้นไผ่บางชนดิ ไมม่ ีสเี ขียว 3. ไผต่ งเปน็ ต้นไผช่ นดิ หนงึ่ ผล ไผ่ตงไม่ใช่ต้นไม้ มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏราไพพรรณี

13. การให้เหตผุ ล นิรนยั เหตุ 1. ต้นไม้ทกุ ชนิดมสี เี ขยี ว 2. ตน้ ไผ่บางชนิดไม่มสี ีเขยี ว วธิ ที า พิจารณาแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ดังน้ี 3. ไผ่ตงเปน็ ต้นไผช่ นิดหน่งึ สเี ขยี ว ผล ไผต่ งไมใ่ ช่ตน้ ไม้ ตน้ ไม้ ต้นไผ่ ไผต่ ง ดงั น้นั ไม่สมเหตุสมผล (พบวา่ ผลอาจไมเ่ ป็นจริงไดด้ ว้ ย)