แผนการจัดการเรียนรู้ เรื่อง เมทริกซ์

แผนการจัดการเรยี นรู้ วชิ า คณิตศาสตร์เพ่ิมเติม 3 (ค32201) ภาคเรียนท่ี 1 ปีการศกึ ษา 2563 หนว่ ยการเรยี นรูท้ ี่ 2 เรอ่ื ง เมทรกิ ซ์ นายคเณศ สมตระกลู ตาแหน่ง ครู คศ.1 กลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ โรงเรยี นมัธยมวัดเบญจมบพิตร สานักงานเขตพ้นื ทก่ี ารศกึ ษามธั ยมศึกษาเขต 1 สานักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขั้นพน้ื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร

แผนการจัดกจิ กรรมการเรยี นรู กลมุ สาระการเรยี นรูคณติ ศาสตร คณิตศาสตรเ พิม่ เติม 3 ชว งชนั้ ที่ 3 มธั ยมศึกษาปท่ี 5 รหัสวิชา ค 32201 ภาคเรียนท่ี 1 ปการศึกษา 2563 เวลา 1 ช่ัวโมง หนว ยการเรยี นรูท่ี 2 เรื่อง เมทริกซ โรงเรียนมัธยมวัดเบญจมบพิตร ชอ่ื ครผู ูสอน นายคเณศ สมตระกลู แผนการจัดการเรียนรูที่ 1 เรือ่ ง ทดสอบกอนเรียน เรื่อง เมทรกิ ซ 1. ผลการเรียนรู/มาตรฐานการเรียนรู 1) เขาใจความหมาย หาผลลพั ธข องการบวกเมทรกิ ซ การคูณเมทรกิ ซกับจำนวนจริง การคูณ ระหวางเมทริกซ และการหาเมทรกิ ซส ลบั เปลีย่ น หาดเี ทอรมิแนนซของเมทรกิ ซ n x n เมื่อ n เปนจำนวนนับ ที่ไมเกินสาม 2) หาเมทรกิ ซผ กผันของเมทริกซ 2 x 2 3) แกระบบสมการเชิงเสนโดยใชเมทรกิ ซผ กผันและการดำเนินการตามแถว 2. สาระสำคญั การแกโจทยปญหา เรอื่ ง เมทรกิ ซ 3. ผลการการเรียนรูทค่ี าดหวัง 1) ดา นความรู (K) : นกั เรียนสามารถ - แกโจทยป ญ หาท่ีกำหนดใหได 2) ดา นทกั ษะ / กระบวนการ (P) : นักเรยี นสามารถ - แกโจทยปญหาเรื่อง เมทริกซ ได - ใชเหตุผลในการแกโจทยป ญหา - เชอ่ื มโยงความรูตางๆ ของคณิตศาสตรได 3) ดานคณุ ลกั ษณะอันพึงประสงค (A) : นักเรยี น - มคี วามซ่ือสตั ย สุจริต - มีระเบียบวินัย - มคี วามรบั ผดิ ชอบ 4. ดา นคุณลักษณะของผเู รยี นตามหลกั สตู รมาตรฐานสากล 1) เปน เลศิ วิชาการ 2) ส่ือสองภาษา 3) ลำ้ หนา ทางความคดิ 4) ผลิตงานอยางสรางสรรค

5. บรู ณาการตามหลักของปรัชญาเศรษฐกจิ พอเพียง 1) หลักความมีเหตผุ ล ปฏิบัติงานโดยใชค วามคดิ แกปญหาโดยใชป ญญา 2) เงอื่ นไขความรู 3) เง่ือนไขคุณธรรม ปฏิบัติงานตามความสามารถทีท่ ำได อยางพอเหมาะพอควร 6. สมรรถนะสำคญั ของผูเรียน 1) ความสามารถในการคดิ 2) ความสามารถในการแกป ญ หา 7. ชน้ิ งาน / ภาระงาน 1) แบบทดสอบกอนเรียน เรือ่ ง เมทรกิ ซ จำนวน 20 ขอ 8. การวดั และประเมนิ ผล ผลการเรียนรู วิธกี ารวดั ผล เคร่ืองมือวดั ผล เกณฑก ารประเมิน ดานความรู (K) พิจารณาจากความ แบบทดสอบกอ นเรยี น นักเรยี นทำแบบฝกหัด 1. แกโจทยปญ หาที่ ถกู ตองของแบบทดสอบ ถกู ตองรอ ยละ 60 กำหนดใหได กอนเรยี น ขนึ้ ไป ถือวา ผานเกณฑ ท่กี ำหนด ดานทกั ษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมนิ ผลดาน 1) แกโจทยป ญหาเรื่อง การสังเกต ทักษะ/กระบวนการ นักเรยี นไดคะแนนระดบั เมทริกซ ได คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน ขึน้ ไป ถือวา ผาน 2) ใชเหตผุ ลในการ การสงั เกต แบบประเมนิ ผลดา น นักเรียนไดคะแนนระดบั แกโจทยปญหา ทกั ษะ/กระบวนการ คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน ขึ้นไป ถือวาผา น 3) เช่ือมโยงความรูตา งๆ การสงั เกต แบบประเมินผลดาน นักเรยี นไดคะแนนระดับ ของคณิตศาสตรได ทกั ษะ/กระบวนการ คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน ข้ึนไป ถือวา ผา น

ผลการเรียนรู วธิ ีการวดั ผล เครือ่ งมอื วดั ผล เกณฑการประเมิน ดานคุณลกั ษณะอันพึงประสงค (A) แบบประเมนิ นกั เรยี นไดคะแนนระดบั 1) ทำงานอยางเปน การสงั เกต คุณลักษณะอนั พงึ คณุ ภาพต้ังแต 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค ขนึ้ ไป ถือวา ผา น 2) มรี ะเบียบวนิ ยั การสังเกต แบบประเมิน นกั เรียนไดคะแนนระดับ คณุ ลักษณะอนั พึง คณุ ภาพตั้งแต 2 คะแนน 3) มคี วามรบั ผดิ ชอบ การสังเกต ประสงค ข้นึ ไป ถือวา ผาน 4) มคี วามซ่ือสตั ย สจุ ริต การสังเกต แบบประเมนิ นกั เรียนไดคะแนนระดบั คุณลกั ษณะอันพึง คณุ ภาพตั้งแต 2 คะแนน ประสงค ขน้ึ ไป ถือวา ผาน แบบประเมนิ นักเรียนไดคะแนนระดบั คุณลกั ษณะอันพงึ คุณภาพต้ังแต 2 คะแนน ประสงค ข้นึ ไป ถือวาผา น 9. กจิ กรรมการเรียนรู 1) ครูสนทนาทักทายกับนกั เรียน แจง วัตถุประสงคกบั เนื้อหาหลักสตู รทจ่ี ะเรียน พรอ มแจง ระยะเวลาเรียนและชแี้ จงวธิ กี ารเรยี นและวธิ กี ารประเมินผลการเรียน 2) ใหน กั เรียนทำแบบทดสอบกอนเรียนเรื่อง เมทริกซ เพื่อวัดความรูพื้นฐานของนักเรยี นเปนเวลา 45 นาที 3) ครูเฉลยคำตอบของงแบบทดสอบกอนเรยี นเรื่อง เมทริกซ นักเรียนรวมคะแนน และครเู ชค็ คะแนนที่นกั เรียนทำได เพอ่ื นำขอ มูลท่ไี ดไปใชใ นการจัดการเรยี นการสอนในคร้ังตอ ไป 10. ส่ือ อุปกรณ และแหลง เรียนรู 1) แบบทดสอบกอ นเรียน เร่ือง เมทริกซ จำนวน 20 ขอ

แผนการจัดกจิ กรรมการเรียนรู กลมุ สาระการเรียนรูคณติ ศาสตร คณติ ศาสตรเ พิม่ เติม 3 ชวงชนั้ ท่ี 3 มัธยมศึกษาปที่ 5 รหัสวิชา ค 32201 ภาคเรยี นที่ 1 ปการศึกษา 2563 เวลา 1 ช่ัวโมง หนว ยการเรียนรูที่ 2 เรอ่ื ง เมทริกซ โรงเรยี นมัธยมวัดเบญจมบพิตร ชอ่ื ครผู สู อน นายคเณศ สมตระกลู แผนการจดั การเรยี นรูท ี่ 2 เรอื่ ง เมทรกิ ซ 1. ผลการเรียนร/ู มาตรฐานการเรียนรู 1) เขาใจความหมายของเมทริกซ 2. สาระสำคญั กำหนด m และ n เปนจำนวนเต็มบวก ชุดของจำนวนจริง mn จำนวน บทนยิ าม ซง่ึ เขียนเรยี งกันในรปู  a11 a12  a1n  บทนยิ าม บทนยิ าม  a21 a22  a2n        am1  am2  amn  เรียกวา เมทริกซ (matrix) ชุดของสมาชิกท่เี ขียนในแนวนอนเรยี กวา แถว (row) ของเมทรกิ ซซึ่งมีทั้งหมด m แถว ชุดของสมาชิกทเี่ ขยี นในแนวตงั้ เรยี กวา หลกั (column) ของเมทริกซซ ่ึงมีทั้งหมด n หลกั เรยี ก aij วาเปน สมาชกิ (entry) ในแถวที่ i และหลักท่ี j ของเมทรกิ ซ ถาเมทริกซม ี m แถว n หลัก จะเรยี ก m x n วา ขนาด (size) หรือ มติ ิ (dimension) ของเมทรกิ ซ การเทากันของของเมทริกซ กำหนด A = aij mxn และ B = bij mxn A เทากับ B ก็ตอ เมอ่ื m = p, n = q และ aij = bij สำหรับทุก i∈{1, 2, 3, ..., m} และ j∈{1, 2, 3, ..., n} เขียนแทน A เทากบั B ดวย A = B กำหนด A = aij mxn และ B = bij mxn เปนเมทรกิ ซที่มขี นาดเทากัน ผลบวกของเมทรกิ ซ A กับเมทริกซ B คือ เมทริกซ C = cij mxn เมื่อ cij = aij + bij สำหรบั ทุก i∈{1, 2, 3, ..., m} และ j∈{1, 2, 3, ..., n} เขยี นแทน A บวก B ดว ย A + B นน่ั คอื aij mxn + bij mxn = aij + bij mxn

บทนิยาม กำหนด A และ B เปนเมทริกซท ีม่ ีขนาดเทากันเมทริกซ A ลบดวยเมทรกิ ซ B คือ บทนิยาม ผลบวกเมทริกซ A กบั เมทริกซ -B เขียนแทนดว ย A - B น่ันคือ A - B = A + (-B) บทนยิ าม กำหนด A = aij mxn และ c เปนจำนวนจริง ผลคูณของ c กับเมทริกซ A คือ เมทรกิ ซ bij mxn เมอ่ื bij = caij บทนิยาม สำหรบั ทกุ i∈{1, 2, 3, ..., m} และ j∈{1, 2, 3, ..., n} ทฤษฎบี ท เขียนแทนผลคูณของ c กับเมทรกิ ซ A ดวย cA นนั่ คือ c aij mxn = caij mxn บทนิยาม ทฤษฎบี ท กำหนด A = aij mxn และ B = bij pxq ผลคณู ของเมทริกซ A และ B เขยี นแทนดว ย AB จะนยิ ามได กต็ อเม่อื n = p และเมทริกซผ ลคณู AB จะมีขนาด m x q ซง่ึ มีสมาชกิ ในแถวที่ i และหลักที่ j คอื ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + … + ainbnj สำหรบั ทุก i∈{1, 2, 3, ..., m} และ j∈{1, 2, 3, ..., q} เมทริกซทม่ี ีชนาด m x n และสมาชิกทกุ ตำแหนง เปน 0 เรียกวา เมทรกิ ซศูนย (zero matrix) เขยี นแทนดว ย 0mxn หรือ 0 กำหนด A, B, C และ 0 เปน เมทริกซท่ีมขี นาด m x n และ c, d เปน จำนวนจริง ใดๆ จะไดว า 1) A + B = B + A 2) A + (B + C) = (A + B) + C 3) A + 0 = 0 + A = A 4) A + (-A) = (-A) + A = 0 5) C(A + B) = cA + cB 6) (c + d)A = cA + dA 7) (cd)A = c(dA) 8) 1A = A 9) 0A = 0 สำหรบั จำนวนเตม็ บวก n ใดๆ ให In เปน เมตริกซขนาด n x n ซง่ึ มีสมาชิกในแถวท่ี I และหลกั ที่ i เปน 1 สำหรับทุก i∈{1, 2, 3, ..., n} และสมาชกิ ในแถวที่ i และ หลักท่ี j เปน 0 เมอ่ื i ≠ j เรยี ก In วา เมทรกิ ซเ อกลักษณ (identity matrix) ขนาด n x n กำหนด A = aij mxn , B = bij nxp และ C = cij pxq จะไดวา 1) A(BC) = (AB)C 2) 0rxmA = 0rxn และ A0nxr = 0mxr 3) ImA = A และ AIn = A 4)(cA)B = A(cB) = c(AB) เม่ือ c คอื จำนวนจรงิ 5) A(B + D) = AB + AD เม่ือ D เปน เมทริกซขนาด n x p 6) (A + E)B = AB + EB เม่ือ E เปนเมทริกซขนาด m x n

บทนยิ าม เมทรกิ ซจ ตั รุ ัส หมายถึง เมทริกซท ี่มจี ำนวนแถวเทา กับจำนวนหลกั ทฤษฎบี ท กำหนดเมทริกซ A และ B เปนเมทริกซจ ัตรุ ัสขนาด n x n แลว 1) (A + B)2 = A2 + BA + AB + B2 เมอ่ื A ≠ B บทนิยาม 2) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 เมอื่ A = B ทฤษฎีบท กำหนด A = aij mxn ถา B = bij nxm โดยที่ bij = aij สำหรับ i∈{1, 2, 3, ..., n} และ j∈{1, 2, 3, ..., m} จะเรยี ก B วา เมทรกิ ซส ลับเปลยี่ น (transpose of a matrix) ของ A เขยี นแทนดวย At สมบตั ิของเมทริกซส ลับเปลีย่ น 1) (A + B)t = At + Bt เมือ่ A และ B เปนเมทริกซขนาด m x n 2) (AB)t = BtAt เมื่อ A เปนเมทริกซข นาด m x n และ B เปน เมทริกซข นาด n x p 3) (At)t = A 4) (cA)t = cAt เม่อื c เปนจำนวนจรงิ 3. ผลการการเรยี นรทู ี่คาดหวงั 1) ดานความรู (K) : นักเรียนสามารถ - เขา ใจความหมายของเมทริกซ 2) ดา นทกั ษะ / กระบวนการ (P) : นกั เรียนสามารถ - แกโจทยปญ หาเร่ือง เมทริกซ ได - ใชเ หตผุ ลในการแกป ญหาเมทริกซ ได - เชอื่ มโยงความรตู างๆ ของคณิตศาสตรได - ส่อื สาร สือ่ ความหมายทางคณติ ศาสตร และนำเสนอขอมูล 3) ดานคณุ ลกั ษณะอันพึงประสงค (A) : นักเรียน - ทำงานเปน ระบบ รอบคอบ - มรี ะเบียบวนิ ยั - มีความรบั ผิดชอบ 4. ดา นคณุ ลักษณะของผูเรยี นตามหลกั สูตรมาตรฐานสากล 1) เปน เลิศวชิ าการ 2) สือ่ สองภาษา 3) ล้ำหนา ทางความคดิ 4) ผลิตงานอยา งสรางสรรค 5. บรู ณาการตามหลกั ของปรัชญาเศรษฐกจิ พอเพียง 1) หลกั ความมีเหตุผล ปฏิบัตงิ านโดยใชค วามคิด แกปญหาโดยใชปญญา 2) เงื่อนไขความรู

6. สมรรถนะสำคัญของผูเรียน 1) ความสามารถในการคดิ 2) ความสามารถในการแกป ญหา 7. ช้ินงาน / ภาระงาน 1) แบบฝก หัด ที่ 1 เรือ่ ง การเทา กนั ของเมทริกซ การบวกเมทรกิ ซ การคูณเมทริกซ และเมทริกซ สลบั เปลี่ยน ขอที่ 1 - 3 8. การวัดและประเมนิ ผล ผลการเรยี นรู วธิ ีการวดั ผล เคร่ืองมอื วดั ผล เกณฑก ารประเมนิ ดา นความรู (K) แบบฝก หดั ที่ 1 นักเรยี นทำแบบฝกหัด ขอ 1 -3 ถกู ตองรอ ยละ 60 1. เขา ใจความหมายของ พิจารณาจากความ ขน้ึ ไป ถือวา ผา นเกณฑ ทก่ี ำหนด เมทรกิ ซ ถูกตองของแบบฝกหัด นกั เรยี นไดคะแนนระดับ ดา นทกั ษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมินผลดาน คุณภาพตั้งแต 3 คะแนน 1) แกโ จทยปญ หาเร่ือง การสงั เกต ทกั ษะ/กระบวนการ ขน้ึ ไป ถือวาผา น เมทรกิ ซ ได นักเรยี นไดคะแนนระดับ แบบประเมินผลดา น คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน 2) ใชเ หตุผลในการ การสังเกต ทักษะ/กระบวนการ ขึน้ ไป ถือวา ผาน แกปญ หาเมทรกิ ซ ได นกั เรยี นไดคะแนนระดบั แบบประเมินผลดา น คุณภาพต้ังแต 3 คะแนน 3) เช่ือมโยงความรูตางๆ การสงั เกต ทกั ษะ/กระบวนการ ขึ้นไป ถือวาผาน ของคณติ ศาสตรไ ด นกั เรยี นไดคะแนนระดบั แบบประเมนิ ผลดาน คุณภาพต้ังแต 3 คะแนน 4) ส่อื สาร สอ่ื การสังเกต ทกั ษะ/กระบวนการ ขน้ึ ไป ถือวาผา น ความหมายทาง แบบประเมิน นักเรียนไดคะแนนระดบั คุณลักษณะอนั พึง คณุ ภาพต้ังแต 2 คะแนน คณติ ศาสตร และ ประสงค ขึ้นไป ถือวา ผาน นำเสนอขอมลู ดานคณุ ลกั ษณะอนั พงึ ประสงค (A) 1) ทำงานอยา งเปน การสงั เกต ระบบรอบคอบ

ผลการเรยี นรู วธิ ีการวดั ผล เคร่อื งมอื วัดผล เกณฑก ารประเมิน 2) มรี ะเบยี บวินัย การสังเกต แบบประเมิน นักเรยี นไดคะแนนระดับ คุณลกั ษณะอนั พงึ คุณภาพตั้งแต 2 คะแนน 3) มีความรับผิดชอบ การสังเกต ประสงค ขึ้นไป ถือวาผาน แบบประเมนิ นักเรยี นไดคะแนนระดับ คณุ ลกั ษณะอนั พงึ คุณภาพต้ังแต 2 คะแนน ประสงค ข้ึนไป ถือวาผา น 9. กิจกรรมการเรียนรู ข้นั นำ 1) ครูสนธนาทักทายนักเรียน พดู คุยถึงหัวขอ ท่ีจะเรียน 2) ครูตัง้ คำถามใหนักเรียนวา เมทริกซมีลกั ษณะอยางไร และมีความหมายอยา งไร 3) ครูเปดโอกาสใหน ักเรียนคดิ พิจารณา และเสนอความคิด ข้ันสอน 1) ครูบรรยายเกยี่ วกับ เรือ่ ง เมทรกิ ซ พรอมตัวอยางดังน้ี เมทรกิ ซ บทนิยาม 1 กำหนด m และ n เปนจำนวนเตม็ บวก ชุดของจำนวนจริง mn จำนวน ซง่ึ เขยี นเรียงกนั ในรูป  a11 a12  a1n     a21 a22  a2n      am1  am2  amn  เรียกวา เมทรกิ ซ (matrix) ชดุ ของสมาชกิ ที่เขียนในแนวนอนเรียกวา แถว (row) ของเมทรกิ ซ ซึง่ มีทัง้ หมด m แถว ชุดของสมาชิกทีเ่ ขียนในแนวต้งั เรยี กวา หลกั (column) ของเมทริกซ ซ่ึงมีทัง้ หมด n หลกั เรียก aij วาเปน สมาชกิ (entry) ในแถวท่ี i และหลักที่ j ของเมทริกซ ถา เมทริกซมี m แถว n หลกั จะเรยี ก m x n วา ขนาด (size) หรอื มติ ิ (dimension) ของ เมทรกิ ซ 1 5 เชน A = 6 4 มมี ิติ 3 x 2 หรือเปน เมทริกซขนาด 3 x 2 7 2

-1 5 9 2  4 จงหา ตวั อยา งท่ี 1 กำหนด A =  2 0 1  4 3 -5 9 1) มติ ิของ A 2) a12 4) 2a24 + 3a22 3) a32 5) a41a34 วธิ ีทำ 1) มิติของ A คือ มิติ 3 x 4 2) a12 = 5 3) a32 = 3 4) 2a24 + 3a22 = 2(4) + 3(0) = 8 5) a41a34 = (4)(9) = 9 1 -2 10 9 40  , 1 6 7  3 ,  5 1 2 5 8 จงหา ตวั อยา งที่ 2 กำหนด A =  2 7  B = C = 3 4 9 -6 1) มติ ขิ อง A 2) มิตขิ อง B 3) มติ ขิ อง C 4) a12b21 5) a32b23 + a12b21 + a11b22 6) a32b23c11 + a12b21 c22 + a11b22 c33 วิธีทำ 1) มติ ขิ อง A คือ มิติ 3 x 2 2) มิติของ B คือ มิติ 2 x 3 3) มิติของ C คอื มติ ิ 3 x 3 4) a12b21 = (-2)(5) = -10 5) a32b23 + a13b21 + a11b22 = (7)(4) + (-2)(5) + (1)(1) = 28 - 10 + 1 = 19 6) a32b23c11 + a12b21 c22 + a11b22 c33 = (7)(4)(1) + (-2)(5)(5) + (1)(1)(9) = - 13 การเทา กนั ของของเมทริกซ บทนิยาม 2 กำหนด A = aij mxn และ B = bij mxn A เทากับ B กต็ อ เมอ่ื m = p, n = q และ aij = bij สำหรบั ทุก i∈{1, 2, 3, ..., m} และ j∈{1, 2, 3, ..., n} เขียนแทน A เทา กับ B ดวย A = B

2 16   4 (-2)2   2 16  ตัวอยางท่ี 3 กำหนด A = -1  , B =  -1  และ C=  log10 1   30   3 -1 16  จงตรวจสอบวา เมทรกิ ซใดเปนเมทริกซท่เี ทา กัน log10 วธิ ที ำ เนอื่ งจาก ตำแหนง แถวที่ 1 หลักท่ี 1 คือ 2 = 4 ตำแหนง แถวท่ี 1 หลกั ที่ 2 คือ 16 = (-2)2 ตำแหนง แถวท่ี 2 หลักที่ 3 คือ -1 = 3 -1 ตำแหนง แถวท่ี 2 หลักท่ี 4 คือ 1 = 30 = log10 2 16  4 (-2)2   2 ดงั นนั้ A = -1  , B =   และ C=  1   -1 30   3 -1 เปน เมทรกิ ซทีเ่ ทากัน ตวั อยา งท่ี 4 จงหาคา a และ b ท่ีกำหนด a + b a - b = 16 4 วธิ ีทำ จากบทนยิ ามท่ี 7 การเทา กนั ของเมทริกซ จะได a + b = 16 …………………………….(1) a-b = 4 …………………………….(2) (1) + (2) ; 2a = 20 a = 10 นำ a = 10 แทนในสมการ (1) จะได 10 + b = 16 b =6 ดังนนั้ ถา a + b a - b = 16 4 แลว a = 10 และ b = 6 การบวกเมทริกซ บทนยิ าม 3 กำหนด A = aij mxn และ B = bij mxn เปน เมทริกซที่มีขนาดเทากนั ผลบวกของเมทรกิ ซ A กับเมทรกิ ซ B คือ เมทริกซ C = cij mxn เม่อื cij = aij + bij สำหรับทุก i∈{1, 2, 3, ..., m} และ j∈{1, 2, 3, ..., n} เขยี นแทน A บวก B ดวย A + B นั่นคอื aij mxn + bij mxn = aij + bij mxn

ตวั อยางท่ี 5 กำหนด A = 1 3 0 , B = 2 -3 1 และ C = 1 -5 9 -1 -4 2 0 5 1 4 2 -5 จงหา (A + B) + C วิธที ำ (A + B) + C = 1 3 0 + 2 -3 1  + 1 -5 9  -1 -4 2 0 5 1  4 2 -5   = 1 + 2 3-3 0 + 1  + 1 -5 9  -1 -4 + 5   4 2 -5  + 0 2 - 1  = 3 0 1 + 1 -5 9 -1 1 1 4 2 -5 =  3 + 1 0 - 5 1 + 9 -1 + 4 1 + 2 1 - 5  = 4 -5 10 3 3 -4 ดังนนั้ (A + B) + C = 4 -5 10 3 3 -4  การลบเมทรกิ ซ บทนิยาม 4 กำหนด A และ B เปน เมทริกซที่มขี นาดเทา กนั เมทรกิ ซ A ลบดวยเมทริกซ B คอื ผลบวกของเมทริกซ A กับเมทรกิ ซ -B เขยี นแทนดว ย A - B นน่ั คือ A - B = A + (-B) -1 0 1 1 1 4  1 , B = 2 -1 และ C = -5  ตวั อยา งที่ 6 กำหนด A =  2 3 0 2   9 2  จงหา (A - B) - C  3 -5  -1 0 1 1  1 4   1 - 2 -1  -5  วิธที ำ (A - B) - C =   2  - 2    3 3 0 2    9 -5  

-1 - 1 0 + 1   1 4   1 - (-1) - -5  =  2 - 2 2   3 - 0 3 - 2   9 -5 -2 1  1 4   2 - -5  =  0 2   3 1  9 -5  -2 - 1 1 - 4  0 - (-5)  = 2 - 2   3 - 9 1 - (-5) -3 -3   =  5 0  -6 6  -3 -3   ดังนนั้ (A - B) - C =  5 0  -6 6  การคูณเมทรกิ ซดวยจำนวนจรงิ บทนิยาม 5 กำหนด A = aij mxn และ c เปนจำนวนจริง ผลคูณของ c กบั เมทรกิ ซ A คอื เมทริกซ bij mxn เม่ือ bij = caij สำหรับทกุ i∈{1, 2, 3, ..., m} และ j∈{1, 2, 3, ..., n} เขียนแทนผลคูณของ c กบั เมทรกิ ซ A ดวย cA น่ันคือ c aij mxn = caij mxn ตวั อยางท่ี 7 กำหนด A = -1 -3 7 , B = -2 -4 19  , C = -2 -4 9 จงหา  2 4 5  0 -8  0 -8 1 1) 4C 2) 2A + 3B วธิ ที ำ 1) 4C = 4 -2 -4 9  0 -8 1

= -8 -16 36  0 -32 4  ดงั น้ัน 4C = -8 -16 36  0 -32 4  2) 2A + 3B = 2 -1 -3 7 + 3 -2 -4 9  2 4 5  0 -8 1 = -2 -6 14 + -6 -12 27  4 8 10  0 -24 3  = -2 - 6 -6 - 12 14 + 27 4 + 0 8 - 24 10 + 3  = -8 -18 41  4 -16 13 ดังน้ัน 2A + 3B = -8 -18 41  4 -16 13 การคูณเมทริกซดว ยเมทริกซ บทนิยาม 6 กำหนด A = aij mxn และ B = bij pxq ผลคูณของเมทริกซ A และ B เขียนแทนดวย AB จะนิยามได กต็ อ เมอื่ n = p และเมทริกซผ ลคูณ AB จะมขี นาด m x q ซง่ึ มีสมาชกิ ในแถวที่ i และหลกั ท่ี j คอื ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + … + ainbnj สำหรบั ทกุ i∈{1, 2, 3, ..., m} และ j∈{1, 2, 3, ..., q} -1 -3 7 -1 0  2 4 5   ตัวอยา งท่ี 8 กำหนด A = และ B =  2 1  จงหา AB และ BA  3 4 -1 -3 7 -1 0  2 4 5  1 วธิ ีทำ AB =  2 4  3

= (-1)(-1) + (-3)(2) + (7)(3) (-1)(0) + (-3)(1) + (7)(4) =  (2)(-1) + (4)(1) + (5)(3) (2)(0) + (4)(1) + (5)(4)  BA = 16 25 17 24 = -1 0 -1 -3 7 =  1  2 4 5  2 4  3 (-1)(-1) + (0)(2) (-1)(-3) + (0)(4) (-1)(7) + (0)(5)  (2)(-3) + (1)(4)   (2)(-1) + (1)(2) (3)(-3) + (4)(4) (2)(7) + (1)(5)   (3)(-1) + (4)(2) (3)(7) + (4)(5)  1 3 -7 0 -2 19 5 7 41 ตัวอยา งที่ 9 บริษทั ผลิตสีทาบานมีสตู รในการผสมสีขาว สแี ดง สีเหลอื ง และสีน้ำเงิน ใหเปน สีเขยี วกะหล่ำปลี สีมวงเปลือกมังคดุ และสเี หลอื งกลว ยหอม ดงั ตารางแสดงรอ ยละของสว นผสมตอไปน้ี รอยละสวนผสม สีท่ไี ด สีเขยี วกะหลำ่ ปลี สมี ว งเปลือกมังคดุ สเี หลอื งกลวยหอม สีขาว 80 72 86 สแี ดง 0 14 0 สีเหลือง 10 0 14 สนี ้ำเงิน 10 14 0 ถา บรษิ ัทตองการผลติ สีเขียวกะหล่ำปลี 160 ลิตร สีมว งเปลอื กมังคุด 200 ลติ ร และสีเหลือง กลว ยหอม 100 ลิตร จะตองใชสีขาว สีแดง สเี หลือง และสนี ้ำเงนิ อยางละเทาใด 0.8 0.72 0.86 1) กำหนด A = 00.1 0.014 แสดงขอมลู จากตารางแสดงรอ ยละของสว นผสม วิธที ำ 0.14 0 0.1 0.14  0 

160  กำหนด B = 200 เปนเมทริกซแ สดงปริมาณของสีทาบานแตล ะสที ่ีตองการผลิต 100  0.8 0.72 0.86 160  00.1 0.14 0.014 200 ดังนน้ั AB = 0.1 0 100  0.14 0   (0.8)(160) + (0.72)(200) + (0.86)(100) 358     =  (0)(160) + (0.14)(200) + (0)(100)  =  28   (0.1)(160) + (0)(200) + (0.14)(100)   30     (0.1)(160) + (0.14)(200) + (0)(100)   44    น่ันคอื ถา บริษทั ตองการผลติ สเี ขียวกะหล่ำปลี 160 ลติ ร สีมวงเปลอื กมังคดุ 200 ลิตร และ สีเหลืองกลว ยหอม 100 ลิตร จะตอ งใชส ีขาว 358 ลติ ร สีแดง 28 ลติ ร สีเหลือง 30 ลิตร และสีนำ้ เงิน 44 ลิตร เมทริกซศนู ย (Zero matrix) บทนิยาม 7 เมทริกซท่มี ีชนาด m x n และสมาชกิ ทกุ ตำแหนงเปน 0 เรยี กวา เมทรกิ ซศ นู ย (zero matrix) เขยี นแทนดว ย 0mxn หรือ 0 ทฤษฎบี ท 1 กำหนด A, B, C และ 0 เปนเมทริกซท ี่มขี นาด m x n และ c, d เปน จำนวนจริงใดๆ จะไดวา 1. A + B = B + A 2. A + (B + C) = (A + B) + C 3. A + 0 = 0 + A = A 4. A + (-A) = (-A) + A = 0 5. C(A + B) = cA + cB 6. (c + d)A = cA + dA 7. (cd)A = c(dA) 8. 1A = A 9. 0A = 0 เมทริกซเ อกลักษณ (Identity matrix)

บทนยิ าม 8 สำหรบั จำนวนเต็มบวก n ใดๆ ให In เปนเมตรกิ ซข นาด n x n ซึ่งมสี มาชกิ ในแถวท่ี i และ หลักที่ i เปน 1 สำหรับทกุ i∈{1, 2, 3, ..., n} และสมาชิกในแถวท่ี i และหลักท่ี j เปน 0 เมือ่ i ≠ j เรียก In วา เมทริกซเ อกลกั ษณ (identity matrix) ขนาด n x n ทฤษฎีบท 2 กำหนด A = aij mxn , B = bij nxp และ C = cij pxq จะไดว า 1. A(BC) = (AB)C 2. 0rxmA = 0rxn และ A0nxr = 0mxr 3. ImA = A และ AIn = A 4. (cA)B = A(cB) = c(AB) เมอ่ื c เปนจำนวนจรงิ 5. A(B + D) = AB + AD เม่อื D เปนเมทรกิ ซขนาด n x p 6. (A + E)B = AB + EB เมือ่ E เปนเมทริกซขนาด m x n เมทริกซจ ตั รุ ัส (Square matrix) บทนยิ าม 9 เมทริกซจ ัตรุ สั หมายถงึ เมทริกซท ม่ี ีจำนวนแถวเทากับจำนวนหลัก ทฤษฎีบท 3 กำหนดเมทริกซ A และ B เปนเมทรกิ ซจ ตั ุรัสขนาด n x n แลว 1. (A + B)2 = A2 + BA + AB + B2 เม่ือ A ≠ B 2. (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 เมอ่ื A = B เมทรกิ ซส ลับเปลี่ยน (Transpose of a matrix) บทนิยาม 10 กำหนด A = aij mxn ถา B = bij nxm โดยท่ี bij = aij สำหรับ i∈{1, 2, 3, ..., n} และ j∈{1, 2, 3, ..., m} จะเรียก B วา เมทรกิ ซส ลับเปลย่ี น (transpose of a matrix) ของ A เขยี นแทนดว ย At ทฤษฎีบท 4 สมบัติของเมทริกซสลับเปล่ียน 1. (A + B)t = At + Bt เมอ่ื A และ B เปนเมทริกซขนาด m x n 2. (AB)t = BtAt เมือ่ A เปน เมทริกซขนาด m x n และ B เปน เมทริกซขนาด n x p 3. (At)t = A 4 (cA)t = cAt เม่ือ c เปน จำนวนจรงิ

ตัวอยางท่ี 10 กำหนด A = -1 1 และ B = 2 1 -1 จงหา (AB)t วธิ ีทำ  0 2 0 -2 3  AB = -1 1 2 1 -1  0 2 0 -2 3  AB = -2 + 0 -1 - 2 1 + 3  0 + 0 0 - 4 0 + 6 AB = -2 -3 4  0 -4 6 -2 0  -3  ดงั นนั้ (AB)t = -4   4 6  ขน้ั สรุป 1) นกั เรียนและครรู วมกันสรปุ ความรูเรื่อง เมทริกซ ที่ไดจากการเรยี น และเปด โอกาสใหนักเรยี น ซกั ถามปญหาหรอื ขอ สงสยั 2) ครใู หนกั เรยี นทำแบบฝก หดั ท่ี 1 เรอื่ ง การเทากนั ของเมทริกซ การบวกเมทริกซ การคูณเมทรกิ ซ และเมทริกซสลับเปลย่ี น ขอ ท่ี 1 - 3 ใหเสร็จในชว งโมง แตหากนกั เรยี นทำไมเสรจ็ ในช่ัวโมง ใหน กั เรียนนำ กลับไปทำเปน การบานแลวรวมเฉลยในชัว่ โมงถดั ไป 3) ครแู นะนำใหน ักเรียนคนควา หาโจทยเ พ่ิมเติมจากแหลง เรียนรตู างๆ 10. ส่ือ อุปกรณ และแหลง เรยี นรู 1) หนังสอื เรยี นรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร เลม 1 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรยี น เร่ือง เมทริกซ

แผนการจดั กจิ กรรมการเรยี นรู กลมุ สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร คณิตศาสตรเ พ่ิมเติม 3 ชวงชน้ั ท่ี 3 มัธยมศกึ ษาปที่ 5 รหัสวชิ า ค 32201 ภาคเรียนท่ี 1 ปก ารศึกษา 2563 เวลา 1 ช่ัวโมง หนว ยการเรียนรทู ี่ 2 เรอ่ื ง เมทรกิ ซ โรงเรยี นมัธยมวัดเบญจมบพิตร ช่อื ครูผสู อน นายคเณศ สมตระกูล แผนการจดั การเรียนรูท ่ี 3 เร่อื ง เมทรกิ ซ 1. ผลการเรยี นร/ู มาตรฐานการเรยี นรู 1) หาผลลพั ธของการบวกเมทริกซ การคณู เมทริกซด วยจำนวนจริง 2) หาเมทรกิ ซส ลับเปลย่ี น 2. สาระสำคญั กำหนด m และ n เปน จำนวนเต็มบวก ชดุ ของจำนวนจริง mn จำนวน บทนิยาม ซ่ึงเขยี นเรียงกนั ในรูป  a11 a12  a1n  บทนิยาม  a21 a22  a2n        am1  am2  amn  เรียกวา เมทริกซ (matrix) ชุดของสมาชิกทีเ่ ขยี นในแนวนอนเรียกวา แถว (row) ของเมทรกิ ซซ ึง่ มีทง้ั หมด m แถว ชุดของสมาชิกทเี่ ขียนในแนวต้งั เรยี กวา หลัก (column) ของเมทริกซซ่ึงมที ้ังหมด n หลัก เรียก aij วาเปน สมาชกิ (entry) ในแถวที่ i และหลักที่ j ของเมทริกซ ถาเมทริกซมี m แถว n หลัก จะเรยี ก m x n วา ขนาด (size) หรอื มติ ิ (dimension) ของเมทริกซ การเทา กันของของเมทรกิ ซ กำหนด A = aij mxn และ B = bij mxn A เทา กบั B ก็ตอ เมอ่ื m = p, n = q และ aij = bij สำหรับทุก i∈{1, 2, 3, ..., m} และ j∈{1, 2, 3, ..., n} เขียนแทน A เทากับ B ดว ย A = B

บทนิยาม กำหนด A = aij mxn และ B = bij mxn เปน เมทริกซที่มีขนาดเทากนั ผลบวกของเมทริกซ A กับเมทรกิ ซ B คือ เมทริกซ C = cij mxn บทนยิ าม เมือ่ cij = aij + bij สำหรบั ทุก i∈{1, 2, 3, ..., m} และ j∈{1, 2, 3, ..., n} บทนิยาม บทนยิ าม เขยี นแทน A บวก B ดวย A + B นัน่ คือ aij mxn + bij mxn = aij + bij mxn บทนิยาม กำหนด A และ B เปน เมทริกซท่มี ีขนาดเทา กันเมทริกซ A ลบดวยเมทรกิ ซ B คือ ทฤษฎบี ท ผลบวกเมทรกิ ซ A กบั เมทริกซ -B เขยี นแทนดวย A - B น่ันคอื A - B = A + (-B) บทนยิ าม กำหนด A = aij mxn และ c เปน จำนวนจริง ผลคณู ของ c กับเมทริกซ A คือ เมทริกซ bij mxn เมือ่ bij = caij สำหรบั ทกุ i∈{1, 2, 3, ..., m} และ j∈{1, 2, 3, ..., n} เขียนแทนผลคูณของ c กับเมทรกิ ซ A ดว ย cA นนั่ คือ c aij mxn = caij mxn กำหนด A = aij mxn และ B = bij pxq ผลคูณของเมทริกซ A และ B เขยี นแทนดว ย AB จะนิยามได กต็ อ เมอ่ื n = p และเมทริกซผลคณู AB จะมขี นาด m x q ซ่ึงมีสมาชกิ ในแถวท่ี i และหลักท่ี j คอื ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + … + ainbnj สำหรับทุก i∈{1, 2, 3, ..., m} และ j∈{1, 2, 3, ..., q} เมทรกิ ซทม่ี ีชนาด m x n และสมาชิกทกุ ตำแหนงเปน 0 เรียกวา เมทริกซศนู ย (zero matrix) เขยี นแทนดวย 0mxn หรือ 0 กำหนด A, B, C และ 0 เปนเมทรกิ ซท่ีมขี นาด m x n และ c, d เปนจำนวนจริง ใดๆ จะไดว า 1) A + B = B + A 2) A + (B + C) = (A + B) + C 3) A + 0 = 0 + A = A 4) A + (-A) = (-A) + A = 0 5) C(A + B) = cA + cB 6) (c + d)A = cA + dA 7) (cd)A = c(dA) 8) 1A = A 9) 0A = 0 สำหรับจำนวนเต็มบวก n ใดๆ ให In เปน เมตรกิ ซข นาด n x n ซงึ่ มสี มาชกิ ในแถวท่ี I และหลกั ที่ i เปน 1 สำหรบั ทุก i∈{1, 2, 3, ..., n} และสมาชกิ ในแถวที่ i และ หลกั ที่ j เปน 0 เมือ่ i ≠ j เรยี ก In วา เมทรกิ ซเอกลักษณ (identity matrix)

ขนาด n x n ทฤษฎีบท กำหนด A = aij mxn , B = bij nxp และ C = cij pxq จะไดวา 1) A(BC) = (AB)C 2) 0rxmA = 0rxn และ A0nxr = 0mxr 3) ImA = A และ AIn = A 4)(cA)B = A(cB) = c(AB) เมื่อ c คอื จำนวนจรงิ 5) A(B + D) = AB + AD เมื่อ D เปน เมทริกซขนาด n x p 6) (A + E)B = AB + EB เม่ือ E เปนเมทริกซขนาด m x n บทนยิ าม เมทริกซจ ตั ุรสั หมายถึง เมทรกิ ซท ่ีมจี ำนวนแถวเทา กับจำนวนหลกั ทฤษฎบี ท กำหนดเมทริกซ A และ B เปนเมทรกิ ซจ ตั ุรัสขนาด n x n แลว 1) (A + B)2 = A2 + BA + AB + B2 เม่ือ A ≠ B บทนยิ าม 2) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 เมือ่ A = B ทฤษฎบี ท กำหนด A = aij mxn ถา B = bij nxm โดยที่ bij = aij สำหรับ i∈{1, 2, 3, ..., n} และ j∈{1, 2, 3, ..., m} จะเรยี ก B วา เมทริกซสลับเปลย่ี น (transpose of a matrix) ของ A เขียนแทนดว ย At สมบตั ขิ องเมทริกซส ลับเปลย่ี น 1) (A + B)t = At + Bt เมื่อ A และ B เปน เมทริกซขนาด m x n 2) (AB)t = BtAt เมื่อ A เปนเมทริกซขนาด m x n และ B เปนเมทริกซข นาด n x p 3) (At)t = A 4) (cA)t = cAt เมื่อ c เปน จำนวนจริง 3. ผลการการเรยี นรทู ี่คาดหวงั 1) ดานความรู (K) : นักเรยี นสามารถ - หาผลลัพธของการบวกเมทริกซ การคูณเมทรกิ ซด ว ยจำนวนจริง - หาเมทริกซสลบั เปลย่ี น 2) ดา นทักษะ / กระบวนการ (P) : นกั เรยี นสามารถ - แกโ จทยปญ หาเรื่อง การบวกเมทริกซ และการคณู เมทรกิ ซดวยจำนวนจรงิ ได - ใชเหตุผลในการแกป ญหาการบวกเมทรกิ ซ และการคณู เมทรกิ ซด วยจำนวนจรงิ ได - เช่อื มโยงความรตู า งๆ ของคณิตศาสตรไ ด - สื่อสาร สอื่ ความหมายทางคณติ ศาสตร และนำเสนอขอมูล 3) ดานคุณลักษณะอนั พึงประสงค (A) : นักเรยี น - ทำงานเปนระบบ รอบคอบ

- มรี ะเบยี บวินัย - มีความรบั ผดิ ชอบ 4. ดา นคุณลักษณะของผูเรียนตามหลักสูตรมาตรฐานสากล 1) เปนเลิศวิชาการ 2) ส่ือสองภาษา 3) ลำ้ หนาทางความคดิ 4) ผลติ งานอยางสรางสรรค 5. บูรณาการตามหลักของปรชั ญาเศรษฐกจิ พอเพียง 1) หลกั ความมเี หตผุ ล ปฏบิ ัติงานโดยใชความคดิ แกป ญหาโดยใชปญ ญา 2) เง่ือนไขความรู 6. สมรรถนะสำคัญของผเู รยี น 1) ความสามารถในการคิด 2) ความสามารถในการแกป ญ หา 7. ช้นิ งาน / ภาระงาน 1) แบบฝก หัด ท่ี 1 เร่อื ง การเทา กนั ของเมทริกซ การบวกเมทรกิ ซ การคูณเมทริกซ และเมทรกิ ซ สลับเปลย่ี น ขอท่ี 4 - 6 8. การวัดและประเมินผล ผลการเรยี นรู วธิ ีการวัดผล เคร่ืองมือวัดผล เกณฑก ารประเมนิ แบบฝกหดั ท่ี 1 ดา นความรู (K) ขอ 4 - 6 นักเรยี นทำแบบฝกหัด 1) หาผลลัพธของการ พิจารณาจากความ ถูกตองรอยละ 60 บวกเมทรกิ ซ การคูณ ถูกตองของแบบฝกหัด แบบประเมนิ ผลดาน ขน้ึ ไป ถือวาผานเกณฑ เมทริกซดว ยจำนวนจรงิ ทักษะ/กระบวนการ ทก่ี ำหนด 2) หาเมทริกซส ลับ เปลยี่ น นกั เรยี นไดคะแนนระดบั คุณภาพต้ังแต 3 คะแนน ดา นทกั ษะ / กระบวนการ (P) ขึ้นไป ถือวา ผาน 1) แกโ จทยปญหาเรื่อง การสงั เกต การบวกเมทริกซ และ การคูณเมทริกซดว ย จำนวนจริง ได

ผลการเรียนรู วธิ กี ารวัดผล เครือ่ งมอื วัดผล เกณฑการประเมิน 2) ใชเ หตุผลในการ การสังเกต แบบประเมินผลดาน นกั เรยี นไดคะแนนระดบั แกปญหาการบวก ทักษะ/กระบวนการ คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน เมทรกิ ซ และการคูณ ขน้ึ ไป ถือวา ผาน เมทรกิ ซดวยจำนวนจริง ได แบบประเมนิ ผลดา น นกั เรยี นไดคะแนนระดบั ทักษะ/กระบวนการ คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน 3) เช่ือมโยงความรูตา งๆ การสังเกต ขนึ้ ไป ถือวาผา น ของคณิตศาสตรไ ด แบบประเมนิ ผลดา น ทกั ษะ/กระบวนการ นักเรยี นไดคะแนนระดบั 4) ส่อื สาร สอื่ การสงั เกต คณุ ภาพตั้งแต 3 คะแนน ขนึ้ ไป ถือวา ผาน ความหมายทาง คณิตศาสตร และ นำเสนอขอมลู ดานคุณลักษณะอนั พงึ ประสงค (A) 1) ทำงานอยางเปน การสังเกต แบบประเมนิ นักเรียนไดคะแนนระดบั คณุ ลักษณะอนั พงึ คณุ ภาพต้ังแต 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค ขึ้นไป ถือวาผาน 2) มีระเบียบวินยั การสังเกต แบบประเมิน นกั เรยี นไดคะแนนระดับ คุณลักษณะอนั พึง คุณภาพตั้งแต 2 คะแนน 3) มคี วามรบั ผิดชอบ การสังเกต ประสงค ขนึ้ ไป ถือวาผาน แบบประเมิน นักเรียนไดคะแนนระดบั คณุ ลกั ษณะอนั พึง คณุ ภาพต้ังแต 2 คะแนน ประสงค ขึน้ ไป ถือวาผาน

9. กจิ กรรมการเรยี นรู ข้นั นำ 1) ครสู นธนาทกั ทายนกั เรยี น และทบทวนเร่ือง เมทริกซ ตามตัวอยางดงั นี้ ตัวอยางที่ 4 จงหาคา a และ b ที่กำหนด a + b a - b = 16 4 วธิ ที ำ จะได a + b = 16 …………………………….(1) a-b = 4 …………………………….(2) (1) + (2) ; 2a = 20 a = 10 นำ a = 10 แทนในสมการ (1) จะได 10 + b = 16 b =6 ดังน้นั ถา a + b a - b = 16 4 แลว a = 10 และ b = 6 ตวั อยา งที่ 5 กำหนด A = 1 3 0 , B = 2 -3 1 และ C = 1 -5 9 -1 -4 2 0 5 1 4 2 -5 จงหา (A + B) + C วิธที ำ (A + B) + C = 1 3 0 + 2 -3 1  + 1 -5 9  -1 -4 2 0 5 1  4 2 -5   = 1 + 2 3-3 0 + 1  + 1 -5 9  -1 -4 + 5 2 - 1  4 2 -5  + 0  = 3 0 1 + 1 -5 9 -1 1 1 4 2 -5 =  3 + 1 0 - 5 1 + 9 -1 + 4 1 + 2 1 - 5  = 4 -5 10 3 3 -4

-1 0 1 1 1 4  1 , B = 2 -1 และ C = -5  ตัวอยางที่ 6 กำหนด A =  2 3 0 2   9 2  จงหา (A - B) - C  3 -5  -1 0 1 1  1 4   1 - 2 -1  -5  วธิ ีทำ (A - B) - C =   2  - 2    3 3 0 2    9 -5   -1 - 1 0 + 1   1 4   1 - (-1) - -5  =  2 - 2 2   3 - 0 3 - 2   9 -5 -3 -3   =  5 0  -6 6  ตัวอยา งที่ 7 กำหนด A = -1 -3 75  , B = -2 -4 9 , C = -2 -4 9 จงหา  2 4  0 -8 1  0 -8 1 1) 4C 2) 2A + 3B วิธีทำ 1) 4C = 4 -2 -4 9  0 -8 1 = -8 -16 36  0 -32 4  2) 2A + 3B = 2 -1 -3 7 + 3 -2 -4 9  2 4 5  0 -8 1 = -2 -6 14 + -6 -12 27  4 8 10  0 -24 3  = -2 - 6 -6 - 12 14 + 27 4 + 0 8 - 24 10 + 3  = -8 -18 41  4 -16 13

ตวั อยางท่ี 10 กำหนด A = -1 1 และ B = 2 1 -1 จงหา (AB)t วิธีทำ  0 2 0 -2 3  AB = -1 1 2 1 -1  0 2 0 -2 3  AB = -2 + 0 -1 - 2 1 + 3  0 + 0 0 - 4 0 + 6 AB = -2 -3 4  0 -4 6 -2 0  -3  (AB)t = -4   4 6  ขัน้ สอน 1) ครใู หนกั เรียนชวยกันทำแบบฝกหดั ท่ี 1 เรื่อง การเทา กันของเมทริกซ การบวกเมทริกซ การคูณ เมทรกิ ซ และเมทรกิ ซสลบั เปล่ยี น ขอท่ี 4 - 6 2) ในระหวางท่นี ักเรยี นชวยกันทำแบบฝกหัด ครูจะคอยใหคำแนะนำและเปดโอกาสใหน ักเรยี นได ถามขอสงสัย และเฉลยคำตอบในขอ ท่นี ักเรียนทำเสร็จแลว เพื่อใหนักเรยี นตรวจสอบความถกู ตองของคำตอบ และเพื่อครจู ะสามารถตรวจสอบความเขา ใจของนักเรยี นในระหวางเรยี นได ขน้ั สรปุ 1) นกั เรยี นและครรู วมกนั สรุปความรู เรอื่ ง การเทากนั ของเมทรกิ ซ การบวกเมทริกซ การคูณ เมทริกซ และเมทรกิ ซส ลบั เปลีย่ น ทีไ่ ดจ ากการเรียน และครูเปด โอกาสใหน กั เรียนถามปญหาขอ สงสัยตางๆ 2) ครใู หนกั เรียนทำแบบฝกหัดที่ 1 ขอที่ 4 - 6 หากนักเรียนทำไมเ สรจ็ ในช่วั โมง จะใหน ักเรียนนำ กลับไปทำเปน การบาน แลว ครแู ละนักเรยี นจะรว มกันเฉลยในชวงโมงถัดไป 3) ครแู นะนำใหน กั เรียนคนควา หาโจทยเ พ่ิมเติมจากแหลงเรยี นรูตางๆ 10. ส่ือ อุปกรณ และแหลงเรียนรู 1) หนงั สอื เรยี นรายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร เลม 1 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรยี น เรื่อง เมทริกซ

แผนการจดั กิจกรรมการเรยี นรู กลมุ สาระการเรียนรูคณติ ศาสตร คณติ ศาสตรเ พม่ิ เตมิ 3 ชว งชนั้ ท่ี 3 มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 รหัสวิชา ค 32201 ภาคเรียนที่ 1 ปการศึกษา 2563 เวลา 1 ช่ัวโมง หนว ยการเรียนรทู ่ี 2 เรื่อง เมทรกิ ซ โรงเรียนมัธยมวัดเบญจมบพิตร ช่อื ครูผสู อน นายคเณศ สมตระกลู แผนการจดั การเรยี นรทู ่ี 4 เร่อื ง เมทริกซ 1. ผลการเรียนรู/ มาตรฐานการเรยี นรู 1) หาผลลพั ธก ารคณู ระหวางเมทริกซ 2) หาเมทริกซส ลบั เปล่ยี น 2. สาระสำคญั กำหนด m และ n เปนจำนวนเตม็ บวก ชดุ ของจำนวนจริง mn จำนวน บทนยิ าม ซง่ึ เขยี นเรียงกนั ในรูป  a11 a12  a1n  บทนยิ าม  a21 a22  a2n        am1  am2  amn  เรียกวา เมทริกซ (matrix) ชุดของสมาชิกทเ่ี ขยี นในแนวนอนเรียกวา แถว (row) ของเมทรกิ ซซ ่ึงมีทั้งหมด m แถว ชดุ ของสมาชกิ ท่เี ขียนในแนวตัง้ เรยี กวา หลัก (column) ของเมทริกซซึ่งมีท้ังหมด n หลกั เรียก aij วา เปน สมาชิก (entry) ในแถวที่ i และหลักท่ี j ของเมทริกซ ถาเมทริกซมี m แถว n หลัก จะเรยี ก m x n วา ขนาด (size) หรอื มิติ (dimension) ของเมทรกิ ซ การเทากนั ของของเมทรกิ ซ กำหนด A = aij mxn และ B = bij mxn A เทากับ B ก็ตอเมอื่ m = p, n = q และ aij = bij สำหรับทุก i∈{1, 2, 3, ..., m} และ j∈{1, 2, 3, ..., n} เขยี นแทน A เทากับ B ดว ย A = B

บทนิยาม กำหนด A = aij mxn และ B = bij mxn เปน เมทริกซท่ีมขี นาดเทากนั ผลบวกของเมทรกิ ซ A กบั เมทริกซ B คือ เมทริกซ C = cij mxn บทนิยาม เมอ่ื cij = aij + bij สำหรับทกุ i∈{1, 2, 3, ..., m} และ j∈{1, 2, 3, ..., n} บทนิยาม บทนิยาม เขียนแทน A บวก B ดว ย A + B นัน่ คอื aij mxn + bij mxn = aij + bij mxn บทนยิ าม กำหนด A และ B เปน เมทริกซท ม่ี ีขนาดเทากันเมทริกซ A ลบดว ยเมทริกซ B คือ ทฤษฎบี ท ผลบวกเมทริกซ A กับเมทริกซ -B เขียนแทนดวย A - B นั่นคือ A - B = A + (-B) บทนยิ าม กำหนด A = aij mxn และ c เปนจำนวนจริง ผลคูณของ c กบั เมทรกิ ซ A คอื เมทริกซ bij mxn เมอื่ bij = caij สำหรบั ทุก i∈{1, 2, 3, ..., m} และ j∈{1, 2, 3, ..., n} เขียนแทนผลคูณของ c กับเมทริกซ A ดว ย cA นั่นคือ c aij mxn = caij mxn กำหนด A = aij mxn และ B = bij pxq ผลคูณของเมทริกซ A และ B เขยี นแทนดว ย AB จะนิยามได กต็ อ เม่ือ n = p และเมทริกซผลคูณ AB จะมีขนาด m x q ซึ่งมสี มาชิกในแถวท่ี i และหลักที่ j คือ ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + … + ainbnj สำหรับทกุ i∈{1, 2, 3, ..., m} และ j∈{1, 2, 3, ..., q} เมทริกซทม่ี ชี นาด m x n และสมาชิกทุกตำแหนงเปน 0 เรียกวา เมทริกซศนู ย (zero matrix) เขยี นแทนดวย 0mxn หรือ 0 กำหนด A, B, C และ 0 เปน เมทรกิ ซท ี่มีขนาด m x n และ c, d เปนจำนวนจริง ใดๆ จะไดว า 1) A + B = B + A 2) A + (B + C) = (A + B) + C 3) A + 0 = 0 + A = A 4) A + (-A) = (-A) + A = 0 5) C(A + B) = cA + cB 6) (c + d)A = cA + dA 7) (cd)A = c(dA) 8) 1A = A 9) 0A = 0 สำหรบั จำนวนเตม็ บวก n ใดๆ ให In เปนเมตรกิ ซข นาด n x n ซงึ่ มีสมาชิกในแถวที่ I และหลกั ท่ี i เปน 1 สำหรับทุก i∈{1, 2, 3, ..., n} และสมาชิกในแถวท่ี i และ หลกั ท่ี j เปน 0 เมอื่ i ≠ j เรียก In วา เมทรกิ ซเอกลักษณ (identity matrix) ขนาด n x n

ทฤษฎีบท กำหนด A = aij mxn , B = bij nxp และ C = cij pxq จะไดว า 1) A(BC) = (AB)C 2) 0rxmA = 0rxn และ A0nxr = 0mxr 3) ImA = A และ AIn = A 4)(cA)B = A(cB) = c(AB) เมื่อ c คอื จำนวนจรงิ 5) A(B + D) = AB + AD เมื่อ D เปนเมทริกซขนาด n x p 6) (A + E)B = AB + EB เม่ือ E เปน เมทรกิ ซขนาด m x n บทนิยาม เมทรกิ ซจัตรุ สั หมายถงึ เมทรกิ ซท่มี ีจำนวนแถวเทากับจำนวนหลกั ทฤษฎบี ท กำหนดเมทริกซ A และ B เปนเมทรกิ ซจตั ุรัสขนาด n x n แลว 1) (A + B)2 = A2 + BA + AB + B2 เมื่อ A ≠ B บทนิยาม 2) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 เม่ือ A = B ทฤษฎบี ท กำหนด A = aij mxn ถา B = bij nxm โดยท่ี bij = aij สำหรบั i∈{1, 2, 3, ..., n} และ j∈{1, 2, 3, ..., m} จะเรียก B วา เมทรกิ ซส ลับเปลี่ยน (transpose of a matrix) ของ A เขยี นแทนดว ย At สมบัติของเมทริกซสลับเปลยี่ น 1) (A + B)t = At + Bt เม่อื A และ B เปน เมทริกซข นาด m x n 2) (AB)t = BtAt เมอื่ A เปนเมทริกซข นาด m x n และ B เปน เมทริกซขนาด n x p 3) (At)t = A 4) (cA)t = cAt เม่ือ c เปนจำนวนจริง 3. ผลการการเรียนรูท ่คี าดหวงั 1) ดา นความรู (K) : นักเรียนสามารถ - หาผลลัพธการคณู ระหวา งเมทริกซ - หาเมทริกซสลับเปลยี่ น 2) ดานทักษะ / กระบวนการ (P) : นกั เรียนสามารถ - แกโ จทยป ญ หาเร่ือง การคูณระหวา งเมทริกซก ับเมทริกซ ได - ใชเหตุผลในการแกปญหาการคูณระหวางเมทรกิ ซก บั เมทรกิ ซได - เช่อื มโยงความรตู า งๆ ของคณิตศาสตรได - สือ่ สาร สือ่ ความหมายทางคณติ ศาสตร และนำเสนอขอมูล 3) ดานคณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค (A) : นักเรียน - ทำงานเปนระบบ รอบคอบ - มรี ะเบยี บวนิ ยั - มีความรับผิดชอบ

4. ดานคุณลักษณะของผูเ รยี นตามหลกั สตู รมาตรฐานสากล 1) เปน เลศิ วิชาการ 2) ส่ือสองภาษา 3) ลำ้ หนาทางความคิด 4) ผลติ งานอยางสรางสรรค 5. บูรณาการตามหลกั ของปรชั ญาเศรษฐกิจพอเพยี ง 1) หลกั ความมีเหตผุ ล ปฏบิ ัตงิ านโดยใชค วามคดิ แกป ญหาโดยใชป ญญา 2) เงื่อนไขความรู 6. สมรรถนะสำคัญของผูเรียน 1) ความสามารถในการคดิ 2) ความสามารถในการแกปญ หา 7. ชนิ้ งาน / ภาระงาน 1) แบบฝกหดั ท่ี 1 เร่อื ง การเทา กนั ของเมทริกซ การบวกเมทรกิ ซ การคูณเมทริกซ และเมทรกิ ซ สลบั เปล่ียน ขอ ที่ 7 - 8 8. การวัดและประเมนิ ผล ผลการเรยี นรู วธิ กี ารวดั ผล เครื่องมอื วดั ผล เกณฑการประเมิน ดานความรู (K) แบบฝกหัดท่ี 1 นกั เรยี นทำแบบฝกหดั ขอ 7 - 8 ถกู ตองรอยละ 60 1. หาผลลพั ธการคูณ พจิ ารณาจากความ ขนึ้ ไป ถือวา ผา นเกณฑ แบบประเมนิ ผลดา น ทก่ี ำหนด ระหวา งเมทริกซ ถกู ตองของแบบฝกหัด ทกั ษะ/กระบวนการ แบบประเมินผลดา น นกั เรียนไดคะแนนระดับ 2. หาเมทรกิ ซสลับ ทักษะ/กระบวนการ คุณภาพต้ังแต 3 คะแนน ข้ึนไป ถือวา ผาน เปลีย่ น แบบประเมนิ ผลดา น นักเรียนไดคะแนนระดับ ทักษะ/กระบวนการ คุณภาพต้ังแต 3 คะแนน ดานทกั ษะ / กระบวนการ (P) ขน้ึ ไป ถือวา ผาน 1) แกโจทยปญ หาเร่ือง การสังเกต นักเรยี นไดคะแนนระดับ คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน การคูณระหวางเมทริกซ ข้ึนไป ถือวา ผา น กับเมทริกซ ได 2) ใชเ หตผุ ลในการ การสังเกต แกป ญ หาการคณู ระหวางเมทริกซก บั เมทริกซได 3) เช่ือมโยงความรูตางๆ การสังเกต ของคณติ ศาสตรได

ผลการเรยี นรู วิธกี ารวดั ผล เครอ่ื งมือวดั ผล เกณฑก ารประเมนิ 4) ส่ือสาร สื่อ การสงั เกต แบบประเมนิ ผลดา น นักเรยี นไดคะแนนระดบั ทกั ษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตั้งแต 3 คะแนน ความหมายทาง ขน้ึ ไป ถือวาผา น คณติ ศาสตร และ นำเสนอขอมูล ดานคณุ ลกั ษณะอนั พงึ ประสงค (A) 1) ทำงานอยางเปน การสงั เกต แบบประเมิน นกั เรียนไดคะแนนระดบั คุณลักษณะอนั พงึ คุณภาพต้ังแต 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค ขึน้ ไป ถือวาผาน 2) มีระเบยี บวนิ ยั การสงั เกต แบบประเมนิ นกั เรียนไดคะแนนระดับ คณุ ลักษณะอนั พงึ คุณภาพต้ังแต 2 คะแนน 3) มีความรับผิดชอบ การสังเกต ประสงค ข้นึ ไป ถือวาผา น แบบประเมิน นกั เรียนไดคะแนนระดบั คณุ ลกั ษณะอันพึง คุณภาพต้ังแต 2 คะแนน ประสงค ขน้ึ ไป ถือวาผา น 9. กจิ กรรมการเรยี นรู ข้ันนำ 1) ครสู นธนาทกั ทายนกั เรียน และทบทวนเร่ือง เมทริกซ ตามตวั อยาง ดงั น้ี -1 -3 7 -1 0  2 4 5  1 จงหา AB และ BA ตวั อยา งที่ 8 กำหนด A = และ B =  2 4  3 -1 -3 7 -1 0  2 4 5   วธิ ที ำ AB =  2 1   3 4 = (-1)(-1) + (-3)(2) + (7)(3) (-1)(0) + (-3)(1) + (7)(4) =  (2)(-1) + (4)(1) + (5)(3) (2)(0) + (4)(1) + (5)(4)  16 25 17 24

-1 0 -1 -3 7  1  2 4 5 BA =  2 4 = =  3 (-1)(-1) + (0)(2) (-1)(-3) + (0)(4) (-1)(7) + (0)(5)  (2)(-3) + (1)(4)   (2)(-1) + (1)(2) (3)(-3) + (4)(4) (2)(7) + (1)(5)   (3)(-1) + (4)(2) (3)(7) + (4)(5)  1 3 -7 0 -2 19 5 7 41 ตัวอยา งท่ี 10 กำหนด A = -1 1 และ B = 2 1 -1 จงหา (AB)t วธิ ที ำ  0 2 0 -2 3  AB = -1 1 2 1 -1  0 2 0 -2 3  AB = -2 + 0 -1 - 2 1 + 3  0 + 0 0 - 4 0 + 6 AB = -2 -3 4  0 -4 6 (AB)t = -2 0  -3 -4  4 6  ข้ันสอน 1) ครใู หนกั เรยี นชว ยกนั ทำแบบฝกหดั ที่ 1 เร่อื ง การเทา กันของเมทรกิ ซ การบวกเมทริกซ การคูณ เมทริกซ และเมทริกซส ลบั เปลย่ี น ขอ ที่ 7 - 8 2) ในระหวา งทนี่ ักเรยี นชว ยกนั ทำแบบฝก หัด ครูจะคอยใหคำแนะนำและเปดโอกาสใหนักเรยี นได ถามขอสงสัย และเฉลยคำตอบในขอทนี่ กั เรียนทำเสร็จแลว เพ่อื ใหนักเรียนตรวจสอบความถูกตองของคำตอบ และเพ่ือครูจะสามารถตรวจสอบความเขา ใจของนักเรียนในระหวา งเรียนได

ขั้นสรปุ 1) นักเรยี นและครูรวมกันสรุปความรู เรอ่ื ง การเทากันของเมทริกซ การบวกเมทริกซ การคูณ เมทริกซ และเมทรกิ ซสลับเปลย่ี น ทไี่ ดจากการเรยี น และครูเปด โอกาสใหน ักเรยี นถามปญหาขอสงสัยตางๆ 2) ครูใหนกั เรยี นทำแบบฝกหดั ท่ี 1 ขอ ท่ี 7 - 8 หากนักเรยี นทำไมเ สร็จในชั่วโมง จะใหนักเรียนนำ กลับไปทำเปน การบา น แลวครูและนักเรียนจะรว มกันเฉลยในชวงโมงถัดไป 3) ครแู นะนำใหนักเรยี นคน ควาหาโจทยเ พม่ิ เตมิ จากแหลงเรียนรตู า งๆ 10. สื่อ อุปกรณ และแหลง เรียนรู 1) หนังสอื เรียนรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร เลม 1 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง เมทริกซ

แผนการจัดกิจกรรมการเรียนรู กลมุ สาระการเรียนรูคณติ ศาสตร คณิตศาสตรเ พิ่มเติม 3 ชว งชน้ั ท่ี 3 มัธยมศึกษาปท่ี 5 รหัสวิชา ค 32201 ภาคเรียนท่ี 1 ปก ารศึกษา 2563 เวลา 1 ชั่วโมง หนวยการเรยี นรทู ่ี 2 เรอ่ื ง เมทริกซ โรงเรียนมัธยมวัดเบญจมบพิตร ช่อื ครูผูสอน นายคเณศ สมตระกูล แผนการจดั การเรยี นรทู ี่ 5 เร่ือง เมทริกซ 1. ผลการเรยี นรู/มาตรฐานการเรียนรู 1) เขา ใจความหมายของเมทริกซ 2) หาผลลพั ธของการบวกเมทริกซ การคณู เมทริกซด ว ยจำนวนจรงิ 3) หาเมทริกซส ลบั เปลี่ยน 4) หาผลลพั ธการคูณระหวา งเมทริกซ 2. สาระสำคญั กำหนด m และ n เปน จำนวนเตม็ บวก ชุดของจำนวนจรงิ mn จำนวน บทนิยาม ซ่งึ เขียนเรียงกันในรปู  a11 a12  a1n  บทนิยาม  a21 a22  a2n        am1  am2  amn  เรยี กวา เมทริกซ (matrix) ชุดของสมาชกิ ทีเ่ ขยี นในแนวนอนเรยี กวา แถว (row) ของเมทรกิ ซซ ึง่ มีท้ังหมด m แถว ชุดของสมาชกิ ทเ่ี ขยี นในแนวตั้งเรยี กวา หลกั (column) ของเมทริกซซ ่ึงมีทั้งหมด n หลัก เรยี ก aij วาเปน สมาชิก (entry) ในแถวท่ี i และหลักที่ j ของเมทริกซ ถาเมทริกซมี m แถว n หลกั จะเรยี ก m x n วา ขนาด (size) หรอื มิติ (dimension) ของเมทริกซ การเทา กันของของเมทรกิ ซ กำหนด A = aij mxn และ B = bij mxn A เทากบั B กต็ อ เม่อื m = p, n = q และ aij = bij สำหรบั ทกุ i∈{1, 2, 3, ..., m} และ j∈{1, 2, 3, ..., n} เขียนแทน A เทากับ B ดวย A = B

บทนิยาม กำหนด A = aij mxn และ B = bij mxn เปน เมทริกซท่ีมขี นาดเทากนั ผลบวกของเมทรกิ ซ A กบั เมทริกซ B คือ เมทริกซ C = cij mxn บทนิยาม เมอ่ื cij = aij + bij สำหรับทกุ i∈{1, 2, 3, ..., m} และ j∈{1, 2, 3, ..., n} บทนิยาม บทนิยาม เขียนแทน A บวก B ดว ย A + B นัน่ คอื aij mxn + bij mxn = aij + bij mxn บทนยิ าม กำหนด A และ B เปน เมทริกซท ม่ี ีขนาดเทากันเมทริกซ A ลบดว ยเมทริกซ B คือ ทฤษฎบี ท ผลบวกเมทริกซ A กับเมทริกซ -B เขียนแทนดวย A - B นั่นคือ A - B = A + (-B) บทนยิ าม กำหนด A = aij mxn และ c เปนจำนวนจริง ผลคูณของ c กบั เมทรกิ ซ A คอื เมทริกซ bij mxn เมอื่ bij = caij สำหรบั ทุก i∈{1, 2, 3, ..., m} และ j∈{1, 2, 3, ..., n} เขียนแทนผลคูณของ c กับเมทริกซ A ดว ย cA นั่นคือ c aij mxn = caij mxn กำหนด A = aij mxn และ B = bij pxq ผลคูณของเมทริกซ A และ B เขยี นแทนดว ย AB จะนิยามได กต็ อ เม่ือ n = p และเมทริกซผลคูณ AB จะมีขนาด m x q ซึ่งมสี มาชิกในแถวท่ี i และหลักที่ j คือ ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + … + ainbnj สำหรับทกุ i∈{1, 2, 3, ..., m} และ j∈{1, 2, 3, ..., q} เมทริกซทม่ี ชี นาด m x n และสมาชิกทุกตำแหนงเปน 0 เรียกวา เมทริกซศนู ย (zero matrix) เขยี นแทนดวย 0mxn หรือ 0 กำหนด A, B, C และ 0 เปน เมทรกิ ซท ี่มีขนาด m x n และ c, d เปนจำนวนจริง ใดๆ จะไดว า 1) A + B = B + A 2) A + (B + C) = (A + B) + C 3) A + 0 = 0 + A = A 4) A + (-A) = (-A) + A = 0 5) C(A + B) = cA + cB 6) (c + d)A = cA + dA 7) (cd)A = c(dA) 8) 1A = A 9) 0A = 0 สำหรบั จำนวนเตม็ บวก n ใดๆ ให In เปนเมตรกิ ซข นาด n x n ซงึ่ มีสมาชิกในแถวที่ I และหลกั ท่ี i เปน 1 สำหรับทุก i∈{1, 2, 3, ..., n} และสมาชิกในแถวท่ี i และ หลกั ท่ี j เปน 0 เมอื่ i ≠ j เรียก In วา เมทรกิ ซเอกลักษณ (identity matrix) ขนาด n x n

ทฤษฎบี ท กำหนด A = aij mxn , B = bij nxp และ C = cij pxq จะไดวา 1) A(BC) = (AB)C 2) 0rxmA = 0rxn และ A0nxr = 0mxr 3) ImA = A และ AIn = A 4)(cA)B = A(cB) = c(AB) เม่ือ c คือจำนวนจรงิ 5) A(B + D) = AB + AD เมื่อ D เปน เมทริกซขนาด n x p 6) (A + E)B = AB + EB เม่ือ E เปนเมทรกิ ซข นาด m x n บทนิยาม เมทริกซจ ตั รุ สั หมายถึง เมทรกิ ซท่มี ีจำนวนแถวเทากับจำนวนหลกั ทฤษฎีบท กำหนดเมทริกซ A และ B เปนเมทริกซจัตุรัสขนาด n x n แลว 1) (A + B)2 = A2 + BA + AB + B2 เม่อื A ≠ B บทนยิ าม 2) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 เมอื่ A = B ทฤษฎบี ท กำหนด A = aij mxn ถา B = bij nxm โดยที่ bij = aij สำหรับ i∈{1, 2, 3, ..., n} และ j∈{1, 2, 3, ..., m} จะเรยี ก B วา เมทริกซสลับเปลย่ี น (transpose of a matrix) ของ A เขยี นแทนดวย At สมบตั ขิ องเมทริกซส ลับเปลีย่ น 1) (A + B)t = At + Bt เมือ่ A และ B เปน เมทริกซข นาด m x n 2) (AB)t = BtAt เมอ่ื A เปน เมทริกซขนาด m x n และ B เปนเมทริกซข นาด n x p 3) (At)t = A 4) (cA)t = cAt เมื่อ c เปนจำนวนจรงิ 3. ผลการการเรียนรทู ีค่ าดหวงั 1) ดา นความรู (K) : นกั เรียนสามารถ - เขาใจความหมายของเมทรกิ ซ - หาผลลัพธข องการบวกเมทริกซ การคณู เมทรกิ ซดว ยจำนวนจริง - หาเมทรกิ ซสลบั เปลี่ยน - หาผลลัพธการคูณระหวางเมทริกซ 2) ดา นทักษะ / กระบวนการ (P) : นักเรียนสามารถ - แกโจทยป ญหาเร่ืองเมทริกซได - ใชเ หตุผลในการแกป ญหาเมทรกิ ซได - เช่อื มโยงความรตู างๆ ของคณิตศาสตรได - สื่อสาร ส่ือความหมายทางคณิตศาสตร และนำเสนอขอมูล

3) ดานคณุ ลักษณะอันพึงประสงค (A) : นักเรยี น - ทำงานเปนระบบ รอบคอบ - มีระเบยี บวนิ ยั - มคี วามรับผดิ ชอบ 4. ดานคณุ ลักษณะของผูเรยี นตามหลกั สูตรมาตรฐานสากล 1) เปนเลิศวชิ าการ 2) สื่อสองภาษา 3) ล้ำหนาทางความคิด 4) ผลิตงานอยา งสรางสรรค 5. บรู ณาการตามหลักของปรชั ญาเศรษฐกิจพอเพียง 1) หลักความมเี หตผุ ล ปฏบิ ัติงานโดยใชค วามคดิ แกป ญหาโดยใชป ญ ญา 2) เงือ่ นไขความรู 6. สมรรถนะสำคญั ของผเู รียน 1) ความสามารถในการคิด 2) ความสามารถในการแกป ญหา 7. ชนิ้ งาน / ภาระงาน 1) แบบฝกหัด ที่ 1 เรอ่ื ง การเทากนั ของเมทริกซ การบวกเมทริกซ การคูณเมทริกซ และเมทรกิ ซ สลบั เปล่ียน ขอ ที่ 9 - 11 8. การวดั และประเมินผล ผลการเรียนรู วิธกี ารวัดผล เครอ่ื งมอื วัดผล เกณฑการประเมนิ ดานความรู (K) พิจารณาจากความ แบบฝกหดั ท่ี 1 นกั เรียนทำแบบฝกหัด 1) เขา ใจความหมาย ถกู ตองของแบบฝกหดั ขอ 9 - 11 ถกู ตองรอ ยละ 60 ของเมทรกิ ซ ขน้ึ ไป ถือวา ผา นเกณฑ 2) หาผลลพั ธของการ ท่ีกำหนด บวกเมทรกิ ซ การคูณ เมทริกซดวยจำนวนจรงิ 3) หาเมทรกิ ซส ลบั เปลย่ี น 4) หาผลลพั ธการคูณ ระหวา งเมทริกซ

ผลการเรยี นรู วธิ กี ารวดั ผล เครอ่ื งมือวัดผล เกณฑก ารประเมนิ ดานทักษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมนิ ผลดา น นกั เรยี นไดคะแนนระดบั 1) แกโ จทยปญ หาเร่ือง การสังเกต ทกั ษะ/กระบวนการ คุณภาพตั้งแต 3 คะแนน เมทรกิ ซได ขึ้นไป ถือวาผาน แบบประเมนิ ผลดา น 2) ใชเ หตุผลในการ การสังเกต ทักษะ/กระบวนการ นักเรียนไดคะแนนระดบั แกป ญ หาเมทริกซได คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน แบบประเมินผลดาน ขึ้นไป ถือวาผาน 3) เช่ือมโยงความรูตา งๆ การสงั เกต ทกั ษะ/กระบวนการ ของคณิตศาสตรไ ด นักเรียนไดคะแนนระดับ แบบประเมนิ ผลดา น คุณภาพตั้งแต 3 คะแนน 4) สอ่ื สาร ส่ือ การสงั เกต ทักษะ/กระบวนการ ขึ้นไป ถือวา ผาน ความหมายทาง นักเรยี นไดคะแนนระดบั คุณภาพต้ังแต 3 คะแนน คณติ ศาสตร และ ขึน้ ไป ถือวาผา น นำเสนอขอมูล ดา นคุณลกั ษณะอันพึงประสงค (A) 1) ทำงานอยางเปน การสงั เกต แบบประเมนิ นักเรียนไดคะแนนระดับ คุณลักษณะอนั พงึ คุณภาพต้ังแต 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค ข้ึนไป ถือวา ผา น 2) มีระเบียบวินยั การสงั เกต แบบประเมนิ นักเรียนไดคะแนนระดบั คุณลกั ษณะอนั พึง คณุ ภาพตั้งแต 2 คะแนน 3) มคี วามรับผดิ ชอบ การสังเกต ประสงค ขน้ึ ไป ถือวาผาน แบบประเมิน นักเรียนไดคะแนนระดับ คณุ ลกั ษณะอันพึง คุณภาพตั้งแต 2 คะแนน ประสงค ขึ้นไป ถือวา ผา น

9. กิจกรรมการเรยี นรู ขนั้ นำ 1) ครสู นธนาทักทายนกั เรียน และทบทวนเร่ือง เมทริกซ ดังน้ี บทนิยาม กำหนด m และ n เปนจำนวนเต็มบวก ชุดของจำนวนจริง mn จำนวน ซึ่งเขยี นเรียงกันในรูป  a11 a12  a1n     a21 a22  a2n      am1  am2  amn  เรยี กวา เมทรกิ ซ (matrix) ชุดของสมาชิกท่ีเขียนในแนวนอนเรยี กวา แถว (row) ของเมทริกซซ่งึ มีทงั้ หมด m แถว ชดุ ของสมาชกิ ท่เี ขยี นในแนวต้ังเรยี กวา หลกั (column) ของเมทรกิ ซซ ่ึงมี ทงั้ หมด n หลกั เรยี ก aij วา เปน สมาชกิ (entry) ในแถวท่ี i และหลกั ท่ี j ของเมทริกซ ถา เมทริกซมี m แถว n หลกั จะเรยี ก m x n วาขนาด (size) หรือ มติ ิ (dimension) ของเมทรกิ ซ บทนยิ าม การเทา กันของของเมทริกซ กำหนด A = aij mxn และ B = bij mxn A เทา กบั B ก็ตอเม่อื m = p, n = q และ aij = bij สำหรบั ทุก i∈{1, 2, 3, ..., m} และ j∈{1, 2, 3, ..., n} เขยี นแทน A เทา กับ B ดว ย A = B บทนิยาม กำหนด A = aij mxn และ B = bij mxn เปนเมทริกซที่มขี นาดเทากัน บทนยิ าม ผลบวกของเมทริกซ A กบั เมทริกซ B คือ เมทริกซ C = cij mxn เม่อื cij = aij + bij สำหรบั ทกุ i∈{1, 2, 3, ..., m} และ j∈{1, 2, 3, ..., n} เขียนแทน A บวก B ดวย A + B น่ันคือ aij mxn + bij mxn = aij + bij mxn กำหนด A และ B เปน เมทริกซทม่ี ขี นาดเทากนั เมทริกซ A ลบดวยเมทรกิ ซ B คือ ผลบวก เมทรกิ ซ A กบั เมทริกซ -B เขียนแทนดว ย A - B นั่นคือ A - B = A + (-B) บทนยิ าม กำหนด A = aij mxn และ c เปน จำนวนจริง ผลคูณของ c กบั เมทริกซ A คอื เมทริกซ bij mxn เมอื่ bij = caij สำหรับทุก i∈{1, 2, 3, ..., m} และ j∈{1, 2, 3, ..., n} เขยี นแทนผลคูณของ c กบั เมทริกซ A ดว ย cA นั่นคือ c aij mxn = caij mxn

บทนิยาม กำหนด A = aij mxn และ B = bij pxq ผลคณู ของเมทริกซ A และ B เขียนแทนดวย AB จะนิยามได กต็ อ เมอ่ื n = p และเมทริกซผลคณู AB จะมีขนาด m x q ซ่งึ มีสมาชิกในแถวท่ี i และหลกั ที่ j คอื ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + … + ainbnj สำหรบั ทุก i∈{1, 2, 3, ..., m} และ j∈{1, 2, 3, ..., q} บทนยิ าม เมทรกิ ซทม่ี ีชนาด m x n และสมาชิกทกุ ตำแหนง เปน 0 เรยี กวา เมทริกซศนู ย (zero matrix) ทฤษฎีบท เขยี นแทนดวย 0mxn หรอื 0 กำหนด A, B, C และ 0 เปน เมทรกิ ซท ่ีมขี นาด m x n และ c, d เปน จำนวนจรงิ ใดๆ จะไดวา 1) A + B = B + A 2) A + (B + C) = (A + B) + C 3) A + 0 = 0 + A = A 4) A + (-A) = (-A) + A = 0 5) C(A + B) = cA + cB 6) (c + d)A = cA + dA 7) (cd)A = c(dA) 8) 1A = A 9) 0A = 0 บทนยิ าม สำหรับจำนวนเตม็ บวก n ใดๆ ให In เปนเมตรกิ ซข นาด n x n ซ่งึ มสี มาชกิ ในแถวท่ี i และ หลกั ที่ i เปน 1 สำหรบั ทุก i∈{1, 2, 3, ..., n} และสมาชกิ ในแถวท่ี i และหลกั ท่ี j เปน 0 เมื่อ i ≠ j เรียก In วา เมทรกิ ซเ อกลักษณ (identity matrix) ขนาด n x n ทฤษฎบี ท กำหนด A = aij mxn , B = bij nxp และ C = cij pxq จะไดวา 1) A(BC) = (AB)C 2) 0rxmA = 0rxn และ A0nxr = 0mxr 3) ImA = A และ AIn = A 4)(cA)B = A(cB) = c(AB) เมื่อ c คือจำนวนจริง 5) A(B + D) = AB + AD เม่ือ D เปนเมทรกิ ซขนาด n x p 6) (A + E)B = AB + EB เม่ือ E เปน เมทริกซขนาด m x n บทนยิ าม เมทรกิ ซจ ตั รุ ัส หมายถงึ เมทริกซทม่ี ีจำนวนแถวเทากับจำนวนหลัก ทฤษฎบี ท กำหนดเมทริกซ A และ B เปนเมทรกิ ซจ ัตุรสั ขนาด n x n แลว 1) (A + B)2 = A2 + BA + AB + B2 เม่ือ A ≠ B 2) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 เม่อื A = B บทนยิ าม กำหนด A = aij mxn ถา B = bij nxm โดยท่ี bij = aij สำหรับ i∈{1, 2, 3, ..., n} และ j∈{1, 2, 3, ..., m} จะเรียก B วา เมทริกซส ลับเปล่ียน (transpose of a matrix) ของ A เขยี นแทนดว ย At

ทฤษฎีบท สมบตั ิของเมทริกซส ลบั เปลย่ี น 1) (A + B)t = At + Bt เมอ่ื A และ B เปนเมทริกซขนาด m x n 2) (AB)t = BtAt เมอื่ A เปน เมทรกิ ซขนาด m x n และ B เปนเมทรกิ ซขนาด n x p 3) (At)t = A 4) (cA)t = cAt เมือ่ c เปน จำนวนจริง ขัน้ สอน 1) ครใู หนกั เรยี นชวยกนั ทำแบบฝกหดั ที่ 1 เรื่อง การเทา กันของเมทรกิ ซ การบวกเมทริกซ การคูณ เมทรกิ ซ และเมทริกซส ลับเปล่ยี น ขอท่ี 9 - 11 2) ในระหวา งที่นักเรียนชว ยกันทำแบบฝกหดั ครจู ะคอยใหค ำแนะนำและเปดโอกาสใหน กั เรียนได ถามขอสงสยั และเฉลยคำตอบในขอ ที่นักเรยี นทำเสรจ็ แลว เพอื่ ใหน ักเรยี นตรวจสอบความถกู ตองของคำตอบ และเพ่ือครูจะสามารถตรวจสอบความเขา ใจของนักเรยี นในระหวา งเรียนได ขัน้ สรุป 1) นักเรยี นและครูรวมกันสรปุ ความรู เรือ่ ง การเทากนั ของเมทริกซ การบวกเมทริกซ การคูณ เมทรกิ ซ และเมทรกิ ซสลบั เปล่ยี น ทไ่ี ดจากการเรยี น และครูเปดโอกาสใหนกั เรยี นถามปญหาขอ สงสัยตางๆ 2) ครใู หน ักเรยี นทำแบบฝก หดั ที่ 1 ขอ ท่ี 9 - 11 หากนักเรยี นทำไมเ สร็จในชัว่ โมง จะใหนักเรียนนำ กลับไปทำเปน การบาน แลวครูและนักเรยี นจะรว มกนั เฉลยในชวงโมงถดั ไป 3) ครแู นะนำใหน กั เรยี นคนควา หาโจทยเ พ่มิ เติมจากแหลง เรียนรตู า งๆ 10. สื่อ อุปกรณ และแหลงเรียนรู 1) หนงั สอื เรียนรายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร เลม 1 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรยี น เรื่อง เมทริกซ

แผนการจดั กิจกรรมการเรยี นรู กลุม สาระการเรียนรูคณิตศาสตร คณิตศาสตรเ พมิ่ เติม 3 ชว งชนั้ ท่ี 3 มัธยมศกึ ษาปที่ 5 รหสั วชิ า ค 32201 ภาคเรียนที่ 1 ปการศึกษา 2563 หนวยการเรยี นรูท ี่ 2 เรือ่ ง เมทรกิ ซ เวลา 1 ช่ัวโมง ชอื่ ครผู ูสอน นายคเณศ สมตระกลู โรงเรยี นมัธยมวัดเบญจมบพิตร แผนการจดั การเรยี นรทู ี่ 6 เรอ่ื ง ดเี ทอรม แิ นนซข องเมทริกซข นาน 2 x 2 และ 3 x 3 1. ผลการเรียนรู/มาตรฐานการเรยี นรู 1) หาดีเทอรมแิ นนตของเมทริกซ n x n เมื่อ n เปนจำนวนนบั ไมเ กนิ สาม 2. สาระสำคญั กำหนด A เปนเมทรกิ ซจตั รุ ัสขนาด 2 x 2 ใดๆ บทนยิ าม เขียนแทนดเี ทอรมแิ นนตข อง A ดวย det(A) หรอื A หรือ a b บทนิยาม c d ถา det(A) = a b เม่ือ a, b, c, d∈ แลว det(A) = ad - bc c d กำหนด A เปน เมทริกซจัตรุ ัสขนาด 3 x 3 ใดๆ abc เขยี นแทนดีเทอรมแิ นนตข อง A ดว ย det(A) หรอื A หรอื d e f ghi abc ถา det(A) = d e f เมือ่ a, b, c, d, e, f, g, h, i∈ แลว ghi abcab det(A) = d e f d e = aei + bfg + cdh - gec - hfa - idb gh i gh

บทนยิ าม กำหนด A = aij nxn เมอ่ื n ≥ 2 บทนยิ าม ดเี ทอรมิแนนตของเมทริกซทไี่ ดจ ากการตัดแถวท่ี i และหลกั ท่ี j ของ A บทนิยาม เรยี กวา ไมเนอร (Minor) เขยี นแทนไมเนอรของ aij ดว ย Mij(A) กำหนด A = aij nxn เม่ือ n ≥ 2 ผลคณู ของ (-1)i+j และ Mij(A) เรยี กวา ตัวประกอบรว มเกีย่ ว (Cofactor) เขียนแทนตัวประกอบรวมเกย่ี วของ aij ดวย Cij(A) ใชสญั ลกั ษณแ ทนโคแฟคเตอรเมทริกซของเมทริกซ A ดวย cof(A) กำหนด A = aij nxn เมือ่ n ≥ 2 ดเี ทอรม ิแนนตข อง A คือ a11C11(A) + a12C12(A) + ... + a1nC1n(A) a11 a12 … a1n a2n เขียนแทนดีเทอรมิแนนซของ A ดว ย det(A) หรอื a21 a22 …  an1 an2 … ann 3. ผลการการเรียนรทู ีค่ าดหวงั 1) ดา นความรู (K) : นักเรยี นสามารถ - หาดเี ทอรมิแนนตข องเมทรกิ ซ n x n เม่ือ n เปน จำนวนนับไมเกนิ สาม 2) ดานทักษะ / กระบวนการ (P) : นกั เรยี นสามารถ - แกโ จทยป ญหาเรื่อง ดีเทอรมิแนนตข องเมทริกซขนาด 2 x 2 และ 3 x 3 ได - ใชเ หตุผลในการแกป ญหาดีเทอรม แิ นนตของเมทริกซข นาด 2 x 2 และ 3 x 3 ได - เช่อื มโยงความรตู างๆ ของคณิตศาสตรได - สื่อสาร ส่อื ความหมายทางคณิตศาสตร และนำเสนอขอมูล 3) ดานคณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค (A) : นักเรียน - ทำงานเปนระบบ รอบคอบ - มีระเบียบวนิ ัย - มคี วามรับผดิ ชอบ 4. ดา นคณุ ลกั ษณะของผูเรยี นตามหลกั สตู รมาตรฐานสากล 1) เปน เลศิ วชิ าการ 2) สื่อสองภาษา 3) ล้ำหนา ทางความคิด 4) ผลิตงานอยา งสรางสรรค

5. บูรณาการตามหลกั ของปรชั ญาเศรษฐกจิ พอเพียง 1) หลกั ความมีเหตผุ ล ปฏิบัติงานโดยใชความคิด แกปญหาโดยใชป ญญา 2) เงือ่ นไขความรู 6. สมรรถนะสำคญั ของผเู รยี น 1) ความสามารถในการคิด 2) ความสามารถในการแกป ญหา 7. ชน้ิ งาน / ภาระงาน 1) แบบฝก หัด ที่ 2 เรอื่ ง ดเี ทอรมแิ นนต ขอท่ี 1 8. การวดั และประเมนิ ผล ผลการเรยี นรู วธิ กี ารวดั ผล เครื่องมือวดั ผล เกณฑก ารประเมิน แบบฝกหัดที่ 2 ขอท่ี 1 ดานความรู (K) นกั เรียนทำแบบฝกหัด 1. หาดีเทอรม ิแนนตของ พิจารณาจากความ แบบประเมินผลดาน ถกู ตองรอ ยละ 60 เมทริกซ n x n เม่ือ n ถกู ตองของแบบฝกหดั ทกั ษะ/กระบวนการ ขึน้ ไป ถือวา ผานเกณฑ เปน จำนวนนบั ไมเ กิน ทก่ี ำหนด สาม แบบประเมินผลดาน ทักษะ/กระบวนการ นักเรยี นไดคะแนนระดบั ดานทกั ษะ / กระบวนการ (P) คุณภาพต้ังแต 3 คะแนน 1) แกโ จทยป ญ หาเรื่อง การสงั เกต แบบประเมินผลดา น ขนึ้ ไป ถือวา ผา น ดีเทอรมิแนนตข อง ทกั ษะ/กระบวนการ เมทริกซขนาด 2 x 2 แบบประเมินผลดาน นักเรยี นไดคะแนนระดบั และ 3 x 3 ได ทักษะ/กระบวนการ คุณภาพตั้งแต 3 คะแนน ข้ึนไป ถือวา ผาน 2) ใชเหตผุ ลในการแก การสังเกต ปญหาดีเทอรมแิ นนต นักเรยี นไดคะแนนระดับ ของเมทริกซข นาด คุณภาพต้ังแต 3 คะแนน 2 x 2 และ 3 x 3 ได ขึ้นไป ถือวา ผา น นักเรยี นไดคะแนนระดบั 3) เชอ่ื มโยงความรูตางๆ การสงั เกต คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน ของคณิตศาสตรไ ด ขึน้ ไป ถือวาผา น 4) สอ่ื สาร สอ่ื การสังเกต ความหมายทาง คณิตศาสตร และ นำเสนอขอมลู

ผลการเรียนรู วิธกี ารวดั ผล เคร่ืองมือวดั ผล เกณฑการประเมนิ ดานคณุ ลักษณะอนั พงึ ประสงค (A) แบบประเมิน นกั เรียนไดคะแนนระดับ 1) ทำงานอยา งเปน การสังเกต คณุ ลกั ษณะอนั พึง คณุ ภาพต้ังแต 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค ขึ้นไป ถือวา ผา น 2) มรี ะเบียบวนิ ัย การสังเกต แบบประเมนิ นกั เรียนไดคะแนนระดับ คณุ ลกั ษณะอนั พงึ คณุ ภาพตั้งแต 2 คะแนน 3) มคี วามรับผดิ ชอบ การสังเกต ประสงค ขึ้นไป ถือวา ผา น แบบประเมนิ นกั เรียนไดคะแนนระดบั คุณลกั ษณะอันพึง คุณภาพต้ังแต 2 คะแนน ประสงค ข้ึนไป ถือวาผา น 9. กิจกรรมการเรยี นรู ข้ันนำ 1) ครสู นธนาทกั ทายนกั เรียน พูดคุยถงึ หัวขอท่ีจะเรียน 2) ครตู งั้ คำถามใหน กั เรียนวา ดเี ทอรมิแนนตค ืออะไร และมีวิธกี ารหาอยา งไร 3) ครูเปดโอกาสใหน ักเรยี นคิดพิจารณา และเสนอความคิด ข้นั สอน 1) ครบู รรยายเก่ียวกับ เรอื่ ง ดเี ทอรม ิแนนต พรอมตัวอยาง ดงั นี้ ดีเทอรม ิแนนต (Determinant) ของเมทรกิ ซข นาด 2 x 2 และ 3 x 3 บทนยิ าม 11 กำหนด A เปนเมทริกซจัตุรสั ขนาด 2 x 2 ใดๆ เขยี นแทนดเี ทอรมิแนนตของ A ดว ย det(A) หรอื A หรือ a b c d ถา det(A) = a b เมือ่ a, b, c, d∈ แลว det(A) = ad - bc c d

ตัวอยางท่ี 11 จงหาดีเทอรมแิ นนตของเมทริกซตอไปนี้ วิธีทำ 1) 1 0 2) -2 1 0 1  4 2 1) 10 = 1(1) - 0(0) 01 =0 2) -2 1 = (-2)(2) - (4)(1) 42 = -8 บทนยิ าม 12 กำหนด A เปนเมทรกิ ซจัตรุ ัสขนาด 3 x 3 ใดๆ abc เขยี นแทนดเี ทอรมแิ นนตของ A ดว ย det(A) หรือ A หรือ d e f ghi abc ถา det(A) = d e f เมอื่ a, b, c, d, e, f, g, h, i∈ ghi abcab แลว det(A) = d e f d e = aei + bfg + cdh - gec - hfa - idb gh i gh ตวั อยางที่ 12 จงหาดเี ทอรมแิ นนตข องเมทริกซตอไปนี้ 1 2 3 1 2 3 1) 0 2 6 2) 4 5 6 0 0 5 7 8 9 วิธที ำ 1) จากบทนยิ ามท่ี 12 การหาดิเทอรม แิ นนตของเมทรกิ ซขนาด 3 x 3 1 2 3 0 2 6 = 1(2)(5) + 2(6)(6) + 3(0)(0) - 0(2)(3) - 0(6)(1) - 5(0)(2) 0 0 5

= 10 2) จากบทนิยามที่ 12 การหาดเิ ทอรมแิ นนตของเมทริกซขนาด 3 x 3 1 2 3 4 5 6 = 1(5)(9) + 2(6)(7) + 3(4)(8) - 7(5)(3) - 8(6)(1) - 9(4)(2) 7 8 9 = 45 + 84 + 96 - 105 - 48 -72 =0 ดีเทอรม แิ นนต (Determinant) ของเมทริกซข นาด n x n บทนยิ าม 13 กำหนด A = aij nxn เมอื่ n ≥ 2 ดเี ทอรมิแนนตข องเมทริกซที่ไดจ ากการตัดแถวท่ี i และหลกั ท่ี j ของ A เรยี กวา ไมเนอร (Minor) เขียนแทนไมเนอรของ aij ดว ย Mij(A) บทนยิ าม 14 กำหนด A = aij nxn เม่อื n ≥ 2 ผลคณู ของ (-1)i+j และ Mij(A) เรียกวา ตัวประกอบรว มเก่ยี ว (Cofactor) เขยี นแทนตวั ประกอบรว มเกี่ยวของ aij ดวย Cij(A) ใชส ัญลักษณแ ทนโคแฟคเตอรเมทริกซของเมทริกซ A ดว ย cof(A) บทนยิ าม 15 กำหนด A = aij nxn เมอ่ื n ≥ 2 ดีเทอรมิแนนตข อง A คือ a11C11(A) + a12C12(A) + ... + a1nC1n(A) a11 a12 … a1n a2n เขยี นแทนดเี ทอรมิแนนซข อง A ดวย det(A) หรือ a21 a22 … ann  an1 an2 …

ตัวอยา งท่ี 13 1 4 2  วธิ ีทำ จงหาดเี ทอรมแิ นนซของเมทริกซ A = 2 -2 -1 3 -3 5  จากบทนยิ าม 15 กระจายโคแฟกเตอรในแถวที่ 1 จะได M11 = -2 -1 = (-2)(5) - (-3)(-1) = -13 -3 5 M12 = -2 -1 = (-2)(5) - (3)(-1) = -7 35 M13 = 2 -2 = (2)(-5) - (3)(-2) = -4 3 -3 C11 = (-1) M(1+1) = (-1)2 (-13) = -13 11 C12 = (-1) M(1+2) = (-1)3 (-7) =7 12 C13 = (-1) M(1+3) = (-1)4 (-4) = -4 14 จากคาของ C11 , C12 และ C13 จะหา det(A) ไดด ังนี้ det(A) = a11C11(A) + a12C12(A) + a13C13(A) = (1)(-13) + (4)(7) + (2)(-4) =7 1 4 2  ดังนั้น ดเี ทอรมิแนนซข องเมทริกซ A = 2 -2 -1 หรอื det(A) คือ 7 3 -3 5  ขน้ั สรปุ 1) นกั เรยี นและครรู วมกันสรปุ ความรูเรอื่ ง ดีเทอรม แิ นนต ทไี่ ดจ ากการเรียน และเปดโอกาสให นักเรยี นซักถามปญ หาหรือขอสงสยั 2) ครูใหน ักเรยี นทำแบบฝกหัดท่ี 2 เรือ่ ง ดีเทอรมแิ นนต ขอ ที่ 1 ใหเ สรจ็ ในชว งโมง แตหากนักเรยี น ทำไมเสร็จในช่ัวโมง ใหนักเรียนนำกลบั ไปทำเปนการบานแลว รวมเฉลยในช่วั โมงถัดไป 3) ครูแนะนำใหน กั เรยี นคนควา หาโจทยเ พ่มิ เตมิ จากแหลงเรยี นรูตา งๆ 10. สื่อ อุปกรณ และแหลงเรียนรู 1) หนงั สอื เรียนรายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร เลม 1 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรียน เร่ือง เมทริกซ

แผนการจดั กิจกรรมการเรยี นรู กลุม สาระการเรียนรูคณิตศาสตร คณิตศาสตรเ พมิ่ เติม 3 ชว งชนั้ ท่ี 3 มัธยมศกึ ษาปที่ 5 รหสั วชิ า ค 32201 ภาคเรียนที่ 1 ปการศึกษา 2563 หนวยการเรยี นรูท ี่ 2 เรือ่ ง เมทรกิ ซ เวลา 1 ช่ัวโมง ชอื่ ครผู ูสอน นายคเณศ สมตระกลู โรงเรยี นมัธยมวัดเบญจมบพิตร แผนการจดั การเรยี นรทู ี่ 7 เรอ่ื ง ดเี ทอรม แิ นนซข องเมทริกซข นาน 2 x 2 และ 3 x 3 1. ผลการเรียนรู/มาตรฐานการเรยี นรู 1) หาดีเทอรมแิ นนตของเมทริกซ n x n เมื่อ n เปนจำนวนนบั ไมเ กนิ สาม 2. สาระสำคญั กำหนด A เปนเมทรกิ ซจตั รุ ัสขนาด 2 x 2 ใดๆ บทนยิ าม เขียนแทนดเี ทอรมแิ นนตข อง A ดวย det(A) หรอื A หรือ a b บทนิยาม c d ถา det(A) = a b เม่ือ a, b, c, d∈ แลว det(A) = ad - bc c d กำหนด A เปน เมทริกซจัตรุ ัสขนาด 3 x 3 ใดๆ abc เขยี นแทนดีเทอรมแิ นนตข อง A ดว ย det(A) หรอื A หรอื d e f ghi abc ถา det(A) = d e f เมือ่ a, b, c, d, e, f, g, h, i∈ แลว ghi abcab det(A) = d e f d e = aei + bfg + cdh - gec - hfa - idb gh i gh

บทนิยาม กำหนด A = aij nxn เม่อื n ≥ 2 บทนยิ าม ดเี ทอรม ิแนนตข องเมทรกิ ซทไี่ ดจ ากการตัดแถวที่ i และหลกั ท่ี j ของ A บทนยิ าม เรียกวา ไมเนอร (Minor) เขียนแทนไมเนอรข อง aij ดวย Mij(A) กำหนด A = aij nxn เม่ือ n ≥ 2 ผลคณู ของ (-1)i+j และ Mij(A) เรียกวา ตวั ประกอบรว มเกี่ยว (Cofactor) เขยี นแทนตวั ประกอบรวมเกย่ี วของ aij ดว ย Cij(A) ใชส ญั ลักษณแ ทนโคแฟคเตอรเมทริกซของเมทริกซ A ดวย cof(A) กำหนด A = aij nxn เมื่อ n ≥ 2 ดีเทอรมิแนนตข อง A คือ a11C11(A) + a12C12(A) + ... + a1nC1n(A) a11 a12 … a1n a2n เขยี นแทนดีเทอรมแิ นนซข อง A ดวย det(A) หรอื a21 a22 …  an1 an2 … ann 3. ผลการการเรยี นรทู ่ีคาดหวัง 1) ดา นความรู (K) : นกั เรยี นสามารถ - หาดีเทอรมิแนนตของเมทรกิ ซ n x n เมือ่ n เปน จำนวนนับไมเกนิ สาม 2) ดา นทักษะ / กระบวนการ (P) : นักเรยี นสามารถ - แกโ จทยป ญหาเร่ือง ดเี ทอรมิแนนตข องเมทริกซขนาด 2 x 2 และ 3 x 3 ได - ใชเหตผุ ลในการแกป ญหาดเี ทอรมแิ นนตของเมทริกซขนาด 2 x 2 และ 3 x 3 ได - เชือ่ มโยงความรตู างๆ ของคณิตศาสตรได - สอื่ สาร ส่อื ความหมายทางคณติ ศาสตร และนำเสนอขอมูล 3) ดา นคุณลกั ษณะอันพึงประสงค (A) : นักเรยี น - ทำงานเปนระบบ รอบคอบ - มรี ะเบยี บวินัย - มคี วามรบั ผดิ ชอบ 4. ดานคุณลักษณะของผูเรียนตามหลักสูตรมาตรฐานสากล 1) เปน เลิศวิชาการ 2) สอื่ สองภาษา 3) ล้ำหนาทางความคดิ 4) ผลติ งานอยางสรา งสรรค