แผนการจัดการเรียนรู้ เรื่อง จำนวนเชิงซ้อน

แผนการจดั การเรยี นรู้ วิชา คณิตศาสตร์เพ่ิมเติม 4 (ค32202) ภาคเรยี นที่ 2 ปีการศึกษา 2563 หน่วยการเรยี นร้ทู ี่ 1 เรอ่ื ง จานวนเชงิ ซ้อน นายคเณศ สมตระกลู ตาแหน่ง ครู คศ.1 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนมัธยมวดั เบญจมบพติ ร สานักงานเขตพ้ืนท่กี ารศึกษามธั ยมศกึ ษาเขต 1 สานกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาข้นั พ้นื ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ

แผนการจัดกจิ กรรมการเรียนรู้ กลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ คณติ ศาสตร์เพิ่มเตมิ 4 ชว่ งชน้ั ท่ี 3 มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 5 ปกี ารศกึ ษา 2563 รหัสวิชา ค 32202 ภาคเรียนที่ 2 เวลา 1 ช่ัวโมง หนว่ ยการเรียนร้ทู ่ี 1 เร่อื ง จานวนเชงิ ซ้อน โรงเรียนมัธยมวัดเบญจมบพติ ร ชอ่ื ครผู ้สู อน นายคเณศ สมตระกูล แผนการจดั การเรียนรทู้ ี่ 1 เรื่อง ทดสอบกอ่ นเรยี น เรื่อง จานวนเชงิ ซอ้ น 1. ผลการเรียนร้/ู มาตรฐานการเรียนรู้ 1) เขา้ ใจจานวนเชงิ ซอ้ นและใชส้ มบัตขิ องจานวนเชงิ ซ้อนในการแกป้ ญั หา 2) หารากท่ี n ของจานวนเชงิ ซอ้ น เม่ือ n เปน็ จานวนนบั ที่มากกว่า 1 3) แกส้ มการพหุนามตวั แปรเดียวดีกรไี มเ่ กินส่ี ทม่ี ีสัมประสิทธิ์เป็นจานวนเตม็ และนาไปใช้ในการ แก้ปญั หา 2. สาระสาคัญ การแกโ้ จทยป์ ญั หา เรื่อง จานวนเชิงซ้อน 3. ผลการการเรยี นรู้ที่คาดหวงั 1) ดา้ นความรู้ (K) : นกั เรียนสามารถ - แกโ้ จทย์ปญั หาที่กาหนดให้ได้ 2) ดา้ นทักษะ / กระบวนการ (P) : นกั เรียนสามารถ - แกโ้ จทย์ปัญหาเรอื่ ง จานวนเชงิ ซ้อน ได้ - ใช้เหตุผลในการแกโ้ จทยป์ ญั หา - เชื่อมโยงความรตู้ ่างๆ ของคณิตศาสตร์ได้ 3) ด้านคุณลกั ษณะอันพงึ ประสงค์ (A) : นกั เรยี น - มคี วามซือ่ สัตย์ สจุ ริต - มีระเบียบวนิ ยั - มคี วามรับผดิ ชอบ 4. ด้านคณุ ลักษณะของผเู้ รียนตามหลกั สูตรมาตรฐานสากล 1) เปน็ เลิศวิชาการ 2) สื่อสองภาษา 3) ลาหนา้ ทางความคดิ 4) ผลิตงานอยา่ งสร้างสรรค์

5. บูรณาการตามหลกั ของปรัชญาเศรษฐกิจพอเพยี ง 1) หลักความมีเหตุผล ปฏบิ ัติงานโดยใช้ความคิด แก้ปัญหาโดยใชป้ ัญญา 2) เงื่อนไขความรู้ 3) เงอ่ื นไขคุณธรรม ปฏบิ ัติงานตามความสามารถที่ทาได้ อย่างพอเหมาะพอควร 6. สมรรถนะสาคัญของผู้เรียน 1) ความสามารถในการคดิ 2) ความสามารถในการแก้ปญั หา 7. ชิน้ งาน / ภาระงาน 1) แบบทดสอบก่อนเรียน เร่อื ง จานวนเชิงซ้อน จานวน 20 ขอ้ 8. การวดั และประเมนิ ผล ผลการเรยี นรู้ วิธกี ารวัดผล เครือ่ งมอื วัดผล เกณฑ์การประเมนิ ดา้ นความรู้ (K) พจิ ารณาจากความ แบบทดสอบก่อนเรียน นกั เรยี นทาแบบฝึกหดั 1. แก้โจทยป์ ญั หาที่ ถกู ต้องของแบบทดสอบ ถกู ตอ้ งร้อยละ 60 กาหนดใหไ้ ด้ ก่อนเรียน ขนึ ไป ถือว่าผา่ นเกณฑ์ ทก่ี าหนด ด้านทักษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมนิ ผลด้าน 1) แก้โจทยป์ ญั หาเรือ่ ง การสงั เกต ทักษะ/กระบวนการ นักเรียนไดค้ ะแนนระดับ จานวนเชงิ ซอ้ น ได้ คุณภาพตงั แต่ 3 คะแนน ขึนไป ถอื วา่ ผา่ น 2) ใช้เหตผุ ลในการ การสังเกต แบบประเมนิ ผลด้าน นกั เรยี นไดค้ ะแนนระดับ แกโ้ จทย์ปญั หา ทกั ษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตังแต่ 3 คะแนน ขนึ ไป ถือวา่ ผา่ น 3) เช่ือมโยงความรูต้ ่างๆ การสงั เกต แบบประเมนิ ผลด้าน นกั เรยี นไดค้ ะแนนระดบั ของคณิตศาสตรไ์ ด้ ทักษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตงั แต่ 3 คะแนน ขึนไป ถอื ว่าผ่าน

ผลการเรียนรู้ วธิ ีการวัดผล เครอ่ื งมือวดั ผล เกณฑก์ ารประเมนิ ดา้ นคณุ ลักษณะอนั พงึ ประสงค์ (A) แบบประเมนิ นกั เรยี นไดค้ ะแนนระดับ 1) ทางานอยา่ งเปน็ การสังเกต คณุ ลักษณะอันพึง คุณภาพตังแต่ 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค์ ขนึ ไป ถอื ว่าผ่าน แบบประเมนิ นกั เรยี นไดค้ ะแนนระดับ 2) มรี ะเบยี บวินัย การสังเกต คณุ ลักษณะอนั พงึ คุณภาพตัง้ แต่ 2 คะแนน ประสงค์ ข้นึ ไป ถอื วา่ ผา่ น 3) มีความรับผิดชอบ การสังเกต แบบประเมนิ นักเรียนไดค้ ะแนนระดบั คณุ ลักษณะอันพึง คุณภาพต้ังแต่ 2 คะแนน 4) มคี วามซื่อสัตย์ สุจริต การสงั เกต ประสงค์ ขึน้ ไป ถอื ว่าผา่ น แบบประเมนิ นกั เรยี นไดค้ ะแนนระดับ คุณลกั ษณะอนั พึง คณุ ภาพตงั้ แต่ 2 คะแนน ประสงค์ ขน้ึ ไป ถือว่าผ่าน 9. กจิ กรรมการเรียนรู้ 1) ครสู นทนาทักทายกบั นักเรยี น แจง้ วตั ถุประสงคก์ ับเนือหาหลกั สตู รที่จะเรียน พร้อมแจ้ง ระยะเวลาเรยี นและชแี จงวธิ ีการเรียนและวธิ กี ารประเมนิ ผลการเรียน 2) ใหน้ กั เรียนทาแบบทดสอบกอ่ นเรียนเรื่อง จานวนเชงิ ซ้อน เพอ่ื วดั ความรูพ้ ืนฐานของนักเรียนเปน็ เวลา 45 นาที 3) ครูเฉลยคาตอบของงแบบทดสอบก่อนเรียนเรื่อง จานวนเชงิ ซ้อน นักเรียนรวมคะแนน และ ครูเชค็ คะแนนท่ีนกั เรียนทาได้ เพือ่ นาข้อมูลทไี่ ด้ไปใชใ้ นการจัดการเรยี นการสอนในครังต่อไป 10. สอ่ื อปุ กรณ์ และแหล่งเรียนรู้ 1) แบบทดสอบกอ่ นเรยี น เรอื่ ง จานวนเชิงซอ้ น จานวน 20 ขอ้

แผนการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ คณติ ศาสตร์เพ่ิมเติม 4 ชว่ งชน้ั ที่ 3 มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 5 ปกี ารศกึ ษา 2563 รหัสวชิ า ค 32202 ภาคเรยี นท่ี 2 เวลา 1 ชัว่ โมง หน่วยการเรยี นรทู้ ่ี 1 เร่อื ง จานวนเชงิ ซอ้ น โรงเรียนมธั ยมวัดเบญจมบพติ ร ชือ่ ครผู ู้สอน นายคเณศ สมตระกูล แผนการจดั การเรยี นรทู้ ี่ 2 เรอื่ ง จานวนเชิงซ้อน 1. ผลการเรยี นร/ู้ มาตรฐานการเรยี นรู้ 1) เข้าใจจานวนเชงิ ซอ้ น 2. สาระสาคัญ จานวนเชงิ ซอ้ น หมายถงึ จานวนซึง่ เขยี นในรูปของคอู่ นั ดับ (a, b) เมอื่ a และ b บทนิยาม เป็นจานวนจริงใดๆ มกี ารเทา่ กนั การบวก และการคณู ของจานวนเชิงซ้อนเปน็ ดงั นี กาหนด (a, b) และ (c, d) เปน็ จานวนเชิงซอ้ น บทนิยาม 1) การเท่ากนั ของจานวนเชงิ ซอ้ น (a, b) = (c, d) ก็ต่อเมือ่ a = c และ b = d 2) การบวกจานวนเชิงซ้อน (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) 3) การคูณจานวนเชิงซ้อน (a, b)(c, d) = (ac - bd, ad + bd) กาหนด x, y เป็นจานวนจรงิ และ z = (x, y) เปน็ จานวนจรงิ ซอ้ น 1) ถ้า y = 0 แล้ว (x, 0) คอื จานวนจริง x 2) ถา้ y  0 แล้ว เรียก จานวนเชิงซ้อน (x, y) และ y  0 ว่า จานวนจินตภาพ 3) ถ้า y  0 และ x = 0 แลว้ เรยี ก จานวนเชิงซอ้ น (0, y) วา่ จานวนจนิ ตภาพแท้ 4) เรียก x วา่ สว่ นจรงิ (real part) ของ z เขยี นแทนด้วย Re(z) เรยี ก y ว่า สว่ นจนิ ตภาพ (imaginary part) ของ z เขียนแทนด้วย Im(z) 3. ผลการการเรยี นรทู้ ค่ี าดหวงั 1) ด้านความรู้ (K) : นักเรยี นสามารถ - เข้าใจจานวนเชิงซ้อน 2) ดา้ นทกั ษะ / กระบวนการ (P) : นักเรยี นสามารถ - แกโ้ จทย์ปัญหาเรอื่ ง จานวนเชงิ ซอ้ น ได้ - ใชเ้ หตุผลในการแกป้ ญั หาจานวนเชิงซอ้ น ได้ - เชอื่ มโยงความรูต้ ่างๆ ของคณิตศาสตร์ได้ - สอ่ื สาร ส่อื ความหมายทางคณิตศาสตร์ และนาเสนอข้อมูล

3) ดา้ นคณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค์ (A) : นกั เรยี น - ทางานเป็นระบบ รอบคอบ - มรี ะเบียบวนิ ยั - มคี วามรบั ผิดชอบ 4. ดา้ นคณุ ลักษณะของผู้เรยี นตามหลักสูตรมาตรฐานสากล 1) เป็นเลศิ วชิ าการ 2) สอ่ื สองภาษา 3) ลาหนา้ ทางความคดิ 4) ผลิตงานอย่างสร้างสรรค์ 5. บูรณาการตามหลักของปรัชญาเศรษฐกจิ พอเพยี ง 1) หลักความมีเหตุผล ปฏิบัติงานโดยใช้ความคิด แก้ปัญหาโดยใช้ปญั ญา 2) เงอ่ื นไขความรู้ 6. สมรรถนะสาคัญของผเู้ รียน 1) ความสามารถในการคิด 2) ความสามารถในการแกป้ ัญหา 7. ชิ้นงาน / ภาระงาน 1) แบบฝกึ หดั ท่ี 1 เรือ่ ง จานวนเชิงซ้อน 8. การวดั และประเมินผล ผลการเรยี นรู้ วธิ กี ารวดั ผล เครอ่ื งมือวดั ผล เกณฑก์ ารประเมนิ แบบฝกึ หดั ท่ี 1 ดา้ นความรู้ (K) นักเรียนทาแบบฝกึ หัด 1. เขา้ ใจจานวนเชิงซ้อน พจิ ารณาจากความ ถูกต้องร้อยละ 60 ขึนไป ถือว่าผา่ นเกณฑ์ ถกู ต้องของแบบฝึกหดั ท่ีกาหนด ด้านทักษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมินผลด้าน นกั เรียนไดค้ ะแนนระดบั 1) แกโ้ จทย์ปญั หาเรอื่ ง การสังเกต ทกั ษะ/กระบวนการ คุณภาพตงั แต่ 3 คะแนน จานวนเชิงซอ้ น ได้ ขึนไป ถอื ว่าผา่ น แบบประเมนิ ผลด้าน นักเรยี นไดค้ ะแนนระดับ 2) ใช้เหตผุ ลในการ การสังเกต ทักษะ/กระบวนการ คุณภาพตังแต่ 3 คะแนน แก้ปัญหาจานวน ขนึ ไป ถือว่าผา่ น เชิงซ้อน ได้

ผลการเรียนรู้ วธิ กี ารวดั ผล เครื่องมือวัดผล เกณฑ์การประเมนิ 3) เช่ือมโยงความรู้ต่างๆ การสงั เกต แบบประเมนิ ผลด้าน นกั เรียนไดค้ ะแนนระดบั ของคณิตศาสตร์ได้ ทักษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตังแต่ 3 คะแนน ขนึ ไป ถือวา่ ผ่าน 4) สอ่ื สาร สอื่ การสงั เกต แบบประเมนิ ผลด้าน นกั เรยี นได้คะแนนระดับ ทักษะ/กระบวนการ คุณภาพตงั แต่ 3 คะแนน ความหมายทาง ขนึ ไป ถือวา่ ผา่ น คณิตศาสตร์ และ นาเสนอขอ้ มูล ด้านคณุ ลกั ษณะอันพึงประสงค์ (A) 1) ทางานอยา่ งเปน็ การสงั เกต แบบประเมนิ นักเรยี นได้คะแนนระดับ คณุ ลักษณะอันพงึ คุณภาพตงั แต่ 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค์ ขึนไป ถือวา่ ผ่าน แบบประเมิน นักเรียนไดค้ ะแนนระดบั 2) มีระเบียบวนิ ยั การสงั เกต คุณลกั ษณะอันพึง คณุ ภาพตง้ั แต่ 2 คะแนน ประสงค์ ขึ้นไป ถอื วา่ ผา่ น 3) มคี วามรบั ผิดชอบ การสังเกต แบบประเมนิ นกั เรยี นไดค้ ะแนนระดับ คุณลักษณะอันพึง คุณภาพต้งั แต่ 2 คะแนน ประสงค์ ข้ึนไป ถือว่าผา่ น 9. กจิ กรรมการเรียนรู้ ขั้นนา 1) ครูสนธนาทกั ทายนักเรียน พดู คยุ ถงึ หัวข้อทีจ่ ะเรยี น 2) ครูตังคาถามให้นกั เรียนว่า จานวนเชงิ ซอ้ นมีลักษณะอย่างไร แล้วมคี วามแตกต่างจากจานวนจริง อย่างไร 3) ครเู ปดิ โอกาสให้นักเรียนคดิ พิจารณา และเสนอความคิด ข้ันสอน 1) ครูบรรยายเกย่ี วกับ เรอ่ื ง จานวนเชิงซ้อน พร้อมยกตัวอยา่ ง ดงั นี

จานวนเชงิ ซ้อน บทนิยาม 1 จานวนเชงิ ซอ้ น หมายถงึ จานวนซ่ึงเขียนในรปู ของคู่อนั ดบั (a, b) เมือ่ a และ b เปน็ จานวนจรงิ ใดๆ มีการเท่ากัน การบวก และการคูณ ของจานวนเชิงซอ้ นเป็นดังนี กาหนด (a, b) และ (c, d) เป็นจานวนเชงิ ซอ้ น 1. การเท่ากันของจานวนเชิงซ้อน (a, b) = (c, d) กต็ ่อเม่ือ a = c และ b = d 2. การบวกจานวนเชงิ ซ้อน (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) 3. การคูณจานวนเชิงซ้อน (a, b)(c, d) = (ac - bd, ad + bd) ตัวอย่างที่ 1 จานวนใดต่อไปนีเปน็ จานวนเชงิ ซอ้ น (2, 1), (1, 2 ), ( 3 + 2, 1), (3, 0), (0, -5), ( -2, -9 ), (1, - -3 ) และ ( - 2, -3i ) วิธีทา จากบทนยิ ามจานวนเชิงซอ้ นเขียนในรปู คอู่ ันดับ (a, b) เมอื่ a, b ดังนนั (2, 1), (1, 2 ), ( 3 + 2, 1), (3, 0), (0, -5) เป็นจานวนเชิงซอ้ น และ ( -2, -9 ), (1, - -3 ), ( - 2, -3i ) ไมเ่ ปน็ จานวนเชงิ ซ้อน ตัวอยา่ งท่ี 2 จงทาเป็นผลสาเรจ็ = 2) (2, 3)(-1, 5) 1) (2, 3) + (-1, 5) = (a + c, b + d) วธิ ที า 1) (2, 3) + (-1, 5) = (2 + (-1), 3 + 5) = (1, 8) จาก (a, b) + (c, d) = ดงั นนั (2, 3) + (-1 + 5) (ac - bd, ad + bd) ((2)(-1) - (3)(5), (2)(5) + (3)(-1)) 2) (2, 3)(-1, 5) จาก (a, b)(c, d) ดังนัน (2, 3)(-1, 5) บทนิยาม 2 กาหนด x, y เปน็ จานวนจริง และ z = (x, y) เป็นจานวนจรงิ ซอ้ น 1. ถา้ y = 0 แลว้ (x, 0) คอื จานวนจริง x 2. ถ้า y  0 แลว้ (x, y) เรียก จานวนเชงิ ซ้อน (x, y) และ y  0 วา่ จานวนจินตภาพ 3. ถา้ y  0 และ x = 0 จะได้ (0, y) เรยี ง จานวนเชิงซ้อน (0, y) วา่ จานวนจินตภาพแท้ 4. เรียก x วา่ ส่วนจรงิ (real part) ของ z เขียนแทนด้วย Re(z) เรยี ก y วา่ ส่วนจินตภาพ (imaginary part) ของ z เขยี นแทนด้วย Im(z)

ตวั อย่างที่ 3 จงหาส่วนจรงิ และสว่ นจนิ ตภาพ ของจานวนเชงิ ซ้อนตอ่ ไปนี 1) (2, 3)2 + (1, 4) 2) ( 2 + 2, 3)(2 - 2, 1) + (4, 2)2 วิธีทา 1) (2, 3)2 + (1, 4) จาก (2, 3)2 + (1, 4) = (2, -3)(2, -3) + (1, 4) = (4 – 9, -6 - 6) + (1, 4) = (-5 + 1, -12 + 4) = (-4, -8) ดังนันสว่ นจริง คือ -4 และ ส่วนจินตภาพ คอื -8 2) ( 2 + 2, 3)( 2 - 2, 1) + (4, 2)2 จาก ( 2 + 2, 3)( 2 - 2, 1) + (4, 2)2 = ((4 - 2) - 3, ( 2 + 2 - 3(2 - 2) ) ) + (16 - 4, 8 + 8) = (2 - 3, -2 2 - 4) + (12, 16) = (11, -2 2 + 12) ดังนนั สว่ นจรงิ คือ 11 และ สว่ นจินตภาพ คอื -2 2 + 12 ตวั อย่างที่ 4 จงหาจานวนจริง x, y เมื่อ (x + y, x - y) = (4, x - y) วิธที า จากการเทา่ กนั ของจานวนเชงิ ซอ้ น จะได้ x+y = 4 …………………………(1) x-y = 2 …………………………(2) (1) + (2) ; 2x = 6 x= 3 ดังนัน y = 1 ขนั้ สรุป 1) นกั เรียนและครรู ว่ มกนั สรุปความรู้เร่ือง จานวนเชงิ ซ้อน ทีไ่ ดจ้ ากการเรียน และเปิดโอกาสให้ นกั เรียนซกั ถามปัญหาหรอื ข้อสงสัย 2) ครใู หน้ ักเรยี นทาแบบฝึกหัดที่ 1 เรอื่ ง จานวนเชิงซอ้ น ใหเ้ สรจ็ ในชั่วโมง แตห่ ากนกั เรียนทาไม่ เสร็จในชว่ั โมง ให้นักเรยี นนากลับไปทาเป็นการบา้ นแลว้ ร่วมเฉลยในช่วั โมงถัดไป 3) ครูแนะนาใหน้ ักเรียนค้นคว้าหาโจทยเ์ พมิ่ เตมิ จากแหล่งเรยี นรู้ต่างๆ 10. สื่อ อุปกรณ์ และแหลง่ เรียนรู้ 1) หนงั สอื เรยี นรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ เลม่ 2 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง จานวนเชงิ ซ้อน

แผนการจัดกิจกรรมการเรยี นรู้ กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ 4 ช่วงชน้ั ท่ี 3 มัธยมศึกษาปีท่ี 5 ปีการศึกษา 2563 รหัสวชิ า ค 32202 ภาคเรยี นท่ี 2 เวลา 1 ช่วั โมง หนว่ ยการเรยี นรูท้ ่ี 1 เรอื่ ง จานวนเชงิ ซอ้ น โรงเรยี นมธั ยมวดั เบญจมบพติ ร ชือ่ ครูผสู้ อน นายคเณศ สมตระกลู แผนการจดั การเรียนรทู้ ่ี 3 เร่อื ง จานวนเชิงซ้อน 1. ผลการเรียนร้/ู มาตรฐานการเรยี นรู้ 1) เข้าใจจานวนเชงิ ซ้อน 2. สาระสาคญั กาหนด a, b เปน็ จานวนจรงิ a + bi และ c + di เปน็ จานวนเชงิ ซ้อน บทนิยาม 1) จานวนเชิงซ้อน (0, 1) เขยี นแทนด้วย i เรยี ก i ว่าสว่ นจินตภาพ 2) จานวนเชิงซอ้ น (0, b) เขียนแทนด้วย bi 3) จานวนเชงิ ซ้อน (a, b) เขยี นแทนด้วย a + bi 4) (a + bi) = (c + di) ก็ตอ่ เม่อื a = c และ b = d 5) (a + bi) + (c + di) = (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) = (a + c) + (b + d)i 6) (a + bi)(c + di) = (ac - bd, ad + bc) = (ac - bd) + (ad + bc)i 3. ผลการการเรยี นรทู้ ่คี าดหวัง 1) ดา้ นความรู้ (K) : นักเรียนสามารถ - เข้าใจจานวนเชิงซ้อน 2) ดา้ นทกั ษะ / กระบวนการ (P) : นักเรยี นสามารถ - แก้โจทยป์ ัญหาเร่อื ง จานวนเชงิ ซอ้ น ได้ - ใชเ้ หตุผลในการแกป้ ญั หาจานวนเชิงซ้อน ได้ - เชอื่ มโยงความรูต้ ่างๆ ของคณิตศาสตร์ได้ - สื่อสาร สื่อความหมายทางคณิตศาสตร์ และนาเสนอขอ้ มูล 3) ดา้ นคุณลกั ษณะอนั พึงประสงค์ (A) : นักเรียน - ทางานเป็นระบบ รอบคอบ - มีระเบยี บวนิ ยั - มคี วามรับผิดชอบ

4. ดา้ นคุณลักษณะของผเู้ รียนตามหลกั สูตรมาตรฐานสากล 1) เป็นเลิศวชิ าการ 2) สอ่ื สองภาษา 3) ลาหนา้ ทางความคดิ 4) ผลิตงานอย่างสร้างสรรค์ 5. บรู ณาการตามหลกั ของปรชั ญาเศรษฐกิจพอเพียง 1) หลกั ความมีเหตผุ ล ปฏิบัติงานโดยใช้ความคิด แก้ปญั หาโดยใช้ปัญญา 2) เง่อื นไขความรู้ 6. สมรรถนะสาคญั ของผู้เรียน 1) ความสามารถในการคิด 2) ความสามารถในการแก้ปญั หา 7. ช้นิ งาน / ภาระงาน 1) แบบฝึกหดั ท่ี 2 เร่ือง จานวนเชิงซ้อน 8. การวดั และประเมินผล ผลการเรียนรู้ วธิ ีการวัดผล เคร่ืองมอื วดั ผล เกณฑก์ ารประเมนิ แบบฝกึ หดั ที่ 2 ดา้ นความรู้ (K) นักเรียนทาแบบฝกึ หัด 1. เข้าใจจานวนเชงิ ซ้อน พจิ ารณาจากความ ถกู ต้องร้อยละ 60 ขนึ ไป ถือว่าผา่ นเกณฑ์ ถูกต้องของแบบฝึกหดั ท่กี าหนด ด้านทักษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมนิ ผลด้าน นกั เรยี นได้คะแนนระดบั 1) แกโ้ จทย์ปัญหาเร่อื ง การสังเกต ทักษะ/กระบวนการ คุณภาพตังแต่ 3 คะแนน จานวนเชิงซอ้ น ได้ ขนึ ไป ถือวา่ ผา่ น แบบประเมนิ ผลด้าน นักเรยี นได้คะแนนระดับ 2) ใชเ้ หตุผลในการ การสังเกต ทกั ษะ/กระบวนการ คุณภาพตงั แต่ 3 คะแนน แกป้ ัญหาจานวน การสงั เกต ขึนไป ถือวา่ ผา่ น เชิงซ้อน ได้ แบบประเมนิ ผลด้าน นกั เรยี นได้คะแนนระดับ 3) เช่ือมโยงความร้ตู า่ งๆ ทักษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตงั แต่ 3 คะแนน ของคณติ ศาสตร์ได้ ขึนไป ถอื ว่าผา่ น

ผลการเรียนรู้ วธิ กี ารวดั ผล เครือ่ งมือวัดผล เกณฑ์การประเมิน 4) สอ่ื สาร สือ่ การสังเกต แบบประเมินผลด้าน นกั เรยี นได้คะแนนระดบั ทกั ษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตังแต่ 3 คะแนน ความหมายทาง ขนึ ไป ถอื วา่ ผ่าน คณิตศาสตร์ และ นาเสนอขอ้ มูล ด้านคุณลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์ (A) 1) ทางานอยา่ งเป็น การสังเกต แบบประเมนิ นกั เรยี นได้คะแนนระดบั คณุ ลกั ษณะอันพงึ คุณภาพตงั แต่ 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค์ ขึนไป ถอื ว่าผา่ น แบบประเมิน นกั เรยี นได้คะแนนระดับ 2) มรี ะเบียบวินยั การสงั เกต คณุ ลักษณะอันพึง คณุ ภาพตง้ั แต่ 2 คะแนน ประสงค์ ขึ้นไป ถอื วา่ ผา่ น 3) มคี วามรับผิดชอบ การสังเกต แบบประเมนิ นักเรียนได้คะแนนระดับ คุณลกั ษณะอันพงึ คณุ ภาพตง้ั แต่ 2 คะแนน ประสงค์ ข้นึ ไป ถอื ว่าผา่ น 9. กิจกรรมการเรยี นรู้ ข้ันนา 1) ครูสนธนาทกั ทายนกั เรียน และทบทวนความรู้เรือ่ ง จานวนเชิงซ้อน ดังนี บทนิยาม 1 จานวนเชิงซ้อน หมายถงึ จานวนซึ่งเขยี นในรปู ของค่อู ันดบั (a, b) เม่อื a และ b เปน็ บทนยิ าม 2 จานวนจรงิ ใดๆ มีการเทา่ กัน การบวก และการคูณ ของจานวนเชงิ ซอ้ นเปน็ ดังนี กาหนด (a, b) และ (c, d) เปน็ จานวนเชิงซ้อน 1. การเท่ากันของจานวนเชงิ ซ้อน (a, b) = (c, d) กต็ อ่ เมื่อ a = c และ b = d 2. การบวกจานวนเชงิ ซ้อน (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) 3. การคูณจานวนเชงิ ซ้อน (a, b)(c, d) = (ac - bd, ad + bd) กาหนด x, y เป็นจานวนจรงิ และ z = (x, y) เปน็ จานวนจริงซอ้ น 1. ถ้า y = 0 แล้ว (x, 0) คือ จานวนจริง x 2. ถ้า y  0 แลว้ (x, y) เรยี ก จานวนเชงิ ซอ้ น (x, y) และ y  0 วา่ จานวนจินตภาพ 3. ถา้ y  0 และ x = 0 จะได้ (0, y) เรยี ง จานวนเชิงซอ้ น (0, y) วา่ จานวนจินตภาพแท้ 4. เรยี ก x ว่า สว่ นจริง (real part) ของ z เขยี นแทนดว้ ย Re(z) เรยี ก y ว่า ส่วนจนิ ตภาพ (imaginary part) ของ z เขียนแทนดว้ ย Im(z)

ขน้ั สอน 1) ครูบรรยายเกี่ยวกบั เรอ่ื ง จานวนเชงิ ซอ้ น พร้อมยกตวั อยา่ ง ดังนี บทนิยาม 3 กาหนด a, b เป็นจานวนจรงิ และ z = a + bi เป็นจานวนเชิงซอ้ น 1. จานวนเชิงซ้อน (0, 1) เขียนแทนด้วย i เรียก i วา่ ส่วนจนิ ตภาพ 2. จานวนเชิงซอ้ น (0, b) เขยี นแทนดว้ ย bi 3. จานวนเชิงซ้อน (a, b) เขียนแทนด้วย a + bi 4. จานวนเชงิ ซ้อน a + bi และ c + di 1) (a + bi) = (c + di) ก็ตอ่ เมอ่ื a = c และ b = d 2) (a + bi) + (c + di) = (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) = (a + c) + (b + d)i 3) (a + bi)(c + di) = (a, b)(c, d) = (ac - bd, ad + bc) = (ac - bd) + (ad + bc)i ตวั อย่างที่ 5 จงหาค่าจานวนเชงิ ซ้อนตอ่ ไปนีในรปู a + bi 1) (0, 1)(0, 1) 2) (5, 0) + (0, 4) 3) (1 + i)(3 - i) วิธที า 1) จาก บทนยิ าม 1 การคูณจานวนเชิงซอ้ น และบทนยิ าม 3 กาหนด (0, 1) เขยี นแทนด้วย i จะได้ (0, 1)(0, 1) = -1 ดงั นนั i2 = -1 นั่นคอื (0, 1)(0, 1) = -1 + 0i 2) จากบทนยิ าม 1 การบวกจานวนเชงิ ซ้อน จะได้ (5, 0) + (0, 4) = (5, 4) นน่ั คือ (5, 0) + (0, 4) = (5, 4) = 5 + 4i 3) จากบทนิยาม 3 (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i จะได้ (1 + i)(3 - i) = 3 + 3i - i + i2 = 3 + 3i - i + 1 = 4 + 2i นน่ั คอื (1 + i)(3 - i) = 4 + 2i ตัวอย่างที่ 6 จงหาคา่ a, b จาก 8 - 9bi = 4a – 2i วธิ ที า จากบทนยิ าม 3 (a + bi) = (c + di) กต็ อ่ เม่อื a = c และ b = d จะได้ 4a = 8 และ 9b = 2 a =2 และ b = 2 9 2 ดังนนั a = 2 และ b = 9

หน่วยจินตภาพ กาหนดจานวนเชิงซ้อน (0, a) = ai เป็นจานวนจินตภาพแท้ เรยี ก i วา่ ส่วนจนิ ตภาพและ i2 = -1 และพจิ ารณาค่าของ in เมื่อ n เป็นจานวนเตม็ บวก ดังนี i = i , i5 = i , i9 = i , i13 = i , i17 = i , i21 = i , i25 = i i2 = -1 , i6 = -1 , i10 = -1 , i14 = -1 , i18 = -1 , i22 = -1 , i26 = -1 i3 = -i , i7 = -i , i11 = -i , i15 = -i , i19 = -i , i23 = -i , i27 = -i i4= 1 , i8 = 1 , i12 = 1 , i16 = 1 , i20 = 1 , i24 = 1 , i28 = 1 จะเห็นไดว้ า่ คา่ ของ in เมอ่ื n เป็นจานวนเตม็ บวก จะมคี ่าเพยี ง 4 ค่า คอื i, -1, -i และ 1 ซง่ึ ขึนกบั คา่ ของ n ถ้าหาร n ด้วย 4 ได้ผลลพั ธ์ k และเศษ r น่ันคือ n = 4k + r จะได้ in = i4k + r in = i4k  ir in = 1 ir ดังนนั ถ้า r = 1 แล้ว in = ir = i ถา้ r = 2 แลว้ in = i2 = -1 ถ้า r = 3 แล้ว in = i3 = -i ถา้ r = 4 แล้ว in = i4 = 1 ตัวอยา่ งที่ 7 จงหาคา่ ของ (3 - 3i)2 2) (1 + i)20 1) (3 - 3i)2 = 9 - 18i + 9i2 = 9 - 18i - 9 วิธที า 1) = -18i 2) (1 + i)20 = ((1 + i)2 )10 = (1 + 2i + i2)20 = (1 + 2i - 1)20 = (2i)10 = (1024)i10 = -1024

ขัน้ สรปุ 1) นักเรยี นและครูร่วมกันสรปุ ความรู้เร่ือง จานวนเชงิ ซ้อน ท่ีไดจ้ ากการเรยี น และเปิดโอกาสให้ นกั เรยี นซักถามปัญหาหรือขอ้ สงสัย 2) ครใู หน้ กั เรยี นทาแบบฝึกหัดท่ี 2 เรอ่ื ง จานวนเชงิ ซ้อน ใหเ้ สรจ็ ในชั่วโมง แตห่ ากนักเรยี นทาไม่ เสรจ็ ในชวั่ โมง ให้นกั เรียนนากลับไปทาเป็นการบ้านแลว้ ร่วมเฉลยในช่ัวโมงถัดไป 3) ครแู นะนาให้นกั เรยี นคน้ ควา้ หาโจทย์เพมิ่ เตมิ จากแหล่งเรยี นรูต้ า่ งๆ 10. ส่อื อุปกรณ์ และแหล่งเรียนรู้ 1) หนังสอื เรียนรายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร์ เลม่ 2 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรยี น เร่ือง จานวนเชิงซ้อน

แผนการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ คณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ 4 ช่วงชน้ั ที่ 3 มัธยมศึกษาปีที่ 5 ปีการศกึ ษา 2563 รหสั วิชา ค 32202 ภาคเรียนท่ี 2 เวลา 1 ชวั่ โมง หน่วยการเรยี นรู้ที่ 1 เรื่อง จานวนเชิงซ้อน โรงเรียนมธั ยมวัดเบญจมบพิตร ชอ่ื ครผู ้สู อน นายคเณศ สมตระกลู แผนการจัดการเรยี นร้ทู ่ี 4 เร่อื ง สมบัติของจานวนเชิงซ้อน 1. ผลการเรียนร/ู้ มาตรฐานการเรียนรู้ 1) ใช้สมบตั ขิ องจานวนเชิงซอ้ นในการแกป้ ญั หา 2. สาระสาคัญ กาหนด a, b เป็นจานวนจรงิ และ z = (a, b) เป็นจานวนเชิงซอ้ น บทนยิ าม 1) เอกลกั ษณก์ ารบวกของ z คอื (0, 0) หรอื 0 บทนิยาม 2) เอกลักษณก์ ารคูณของ z คอื (1, 0) หรอื 1 3) อินเวอรส์ การบวกของ z คือ (-a, -b) หรอื -a - bi 4) อนิ เวอรส์ การคณู ของ z คือ  a2 a b2 - b  หรอื  a - bi  + a2 + b2 a2 + b2 กาหนด (a, b), (c, d) เปน็ จานวนเชงิ ซ้อน แลว้ (a, b) - (c, d) = (a, b) + (-c, -d) 3. ผลการการเรยี นร้ทู ค่ี าดหวัง 1) ด้านความรู้ (K) : นักเรยี นสามารถ - ใช้สมบัตขิ องจานวนเชิงซอ้ นในการแกป้ ัญหา 2) ด้านทักษะ / กระบวนการ (P) : นกั เรียนสามารถ - แก้โจทย์ปญั หาเรอ่ื งสมบัติของจานวนเชิงซ้อน ได้ - ใช้เหตุผลในการแกป้ ัญหาสมบัติของจานวนเชงิ ซอ้ น ได้ - เช่ือมโยงความรู้ต่างๆ ของคณิตศาสตร์ได้ - สื่อสาร สอื่ ความหมายทางคณติ ศาสตร์ และนาเสนอขอ้ มูล 3) ดา้ นคุณลักษณะอนั พึงประสงค์ (A) : นกั เรียน - ทางานเป็นระบบ รอบคอบ - มรี ะเบียบวินยั - มคี วามรบั ผดิ ชอบ

4. ดา้ นคณุ ลักษณะของผเู้ รยี นตามหลกั สูตรมาตรฐานสากล 1) เป็นเลิศวชิ าการ 2) ส่อื สองภาษา 3) ลาหน้าทางความคดิ 4) ผลิตงานอย่างสร้างสรรค์ 5. บรู ณาการตามหลักของปรชั ญาเศรษฐกจิ พอเพียง 1) หลักความมเี หตุผล ปฏิบัตงิ านโดยใช้ความคดิ แก้ปัญหาโดยใช้ปัญญา 2) เงื่อนไขความรู้ 6. สมรรถนะสาคญั ของผู้เรยี น 1) ความสามารถในการคิด 2) ความสามารถในการแกป้ ญั หา 7. ชนิ้ งาน / ภาระงาน 1) แบบฝึกหัด ที่ 3 เรอื่ ง อินเวอรส์ การบวก อินเวอรส์ การคูณ และการลบจานวนเชิงซอ้ น 8. การวัดและประเมินผล ผลการเรียนรู้ วธิ กี ารวดั ผล เคร่ืองมือวดั ผล เกณฑก์ ารประเมนิ แบบฝึกหดั ที่ 3 ดา้ นความรู้ (K) นักเรยี นทาแบบฝึกหัด 1. ใชส้ มบัติของจานวน พจิ ารณาจากความ ถกู ตอ้ งร้อยละ 60 เชงิ ซอ้ นในการแกป้ ญั หา ถกู ตอ้ งของแบบฝึกหัด ขนึ ไป ถือวา่ ผา่ นเกณฑ์ ดา้ นทักษะ / กระบวนการ (P) นกั เรียนได้คะแนนระดบั คณุ ภาพตงั แต่ 3 คะแนน 1) แกโ้ จทย์ปญั หาเร่อื ง การสังเกต แบบประเมินผลด้าน ขนึ ไป ถอื วา่ ผ่าน ทักษะ/กระบวนการ นกั เรียนได้คะแนนระดับ สมบตั ขิ องจานวน คณุ ภาพตงั แต่ 3 คะแนน แบบประเมนิ ผลด้าน ขึนไป ถือวา่ ผ่าน เชงิ ซ้อน ได้ ทกั ษะ/กระบวนการ นักเรยี นไดค้ ะแนนระดับ คุณภาพตังแต่ 3 คะแนน 2) ใชเ้ หตุผลในการ การสังเกต แบบประเมินผลด้าน นกั เรยี นได้คะแนนระดบั ทกั ษะ/กระบวนการ คุณภาพตังแต่ 3 คะแนน แก้ปัญหาสมบัติของ แบบประเมนิ ผลด้าน ขึนไป ถอื ว่าผา่ น ทักษะ/กระบวนการ จานวนเชงิ ซอ้ น ได้ 3) เชื่อมโยงความรู้ต่างๆ การสงั เกต ของคณติ ศาสตรไ์ ด้ 4) ส่อื สาร ส่ือ การสังเกต ความหมายทาง คณติ ศาสตร์ และ นาเสนอข้อมลู

ด้านคณุ ลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์ (A) แบบประเมิน นักเรียนไดค้ ะแนนระดบั 1) ทางานอยา่ งเปน็ การสงั เกต คณุ ลักษณะอันพึง คุณภาพตงั แต่ 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค์ ขนึ ไป ถือวา่ ผ่าน แบบประเมิน นักเรยี นได้คะแนนระดับ 2) มีระเบียบวินัย การสังเกต คุณลักษณะอันพงึ คุณภาพต้งั แต่ 2 คะแนน ประสงค์ ข้ึนไป ถือว่าผ่าน 3) มคี วามรบั ผิดชอบ การสงั เกต แบบประเมนิ นักเรียนไดค้ ะแนนระดับ คุณลกั ษณะอนั พงึ คุณภาพตัง้ แต่ 2 คะแนน ประสงค์ ขนึ้ ไป ถอื ว่าผ่าน 9. กจิ กรรมการเรยี นรู้ ขน้ั นา 1) ครสู นธนาทักทายนักเรยี น และทบทวนความรู้เรื่อง จานวนเชงิ ซ้อน ดังนี บทนิยาม 3 กาหนด a, b เป็นจานวนจริง และ z = a + bi เปน็ จานวนเชงิ ซ้อน 1. จานวนเชิงซอ้ น (0, 1) เขียนแทนด้วย i เรียก i วา่ ส่วนจนิ ตภาพ 2. จานวนเชงิ ซ้อน (0, b) เขียนแทนดว้ ย bi 3. จานวนเชงิ ซอ้ น (a, b) เขียนแทนดว้ ย a + bi 4. จานวนเชงิ ซ้อน a + bi และ c + di 1) (a + bi) = (c + di) ก็ต่อเมือ่ a = c และ b = d 2) (a + bi) + (c + di) = (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) = (a + c) + (b + d)i 3) (a + bi)(c + di) = (a, b)(c, d) = (ac - bd, ad + bc) = (ac - bd) + (ad + bc)i ขน้ั สอน 1) ครบู รรยายเกยี่ วกับ เรื่อง สมบัติของจานวนเชงิ ซ้อน พรอ้ มยกตวั อย่าง ดังนี บทนยิ าม 4 กาหนด a, b เป็นจานวนจริง และ z = (a, b) เป็นจานวนเชงิ ซ้อน 1) เอกลักษณ์การบวกของ z คือ (0, 0) หรอื 0 2) เอกลักษณก์ ารคูณของ z คอื (1, 0) หรือ 1 3) อนิ เวอรส์ การบวกของ z คือ (-a, -b) หรอื -a - bi 4) อินเวอร์สการคณู ของ z คือ  a2 a b2 - a2 b  หรือ  a- bi  + + b2 a2 + b2

ตวั อย่างท่ี 8 จงหาอินเวอรส์ การบวกของ (3 - 2i)2 วธิ ีทา (3 - 2i)2 = 9 - 12i + 4i2 = 9 - 12i - 4 = 5 - 12i จาก บทนยิ าม 4 อนิ เวอรส์ การบวกของ z คอื (-a, -b) หรอื -a - bi ดังนนั อินเวอร์สการบวกของ (3 - 2i)2 คือ -5 + 12i ตัวอย่างท่ี 9 จงหาส่วนจริงและสว่ นจนิ ตภาพของ อนิ เวอรส์ การบวกของ (3 + 2i)(i + 2)i + (1 + i)2 วิธที า (3 + 2i)(i + 2)i + (1 + i)2 = (7i + 4)i + (1 + 2i - 1) = (-7 + 4i) + 2i = -7 + 6i จากบทนิยาม 4 อนิ เวอรส์ การบวกของ z คือ (-a, -b) หรือ -a - bi จะได้ อินเวอรส์ การบวกของ (3 + 2i)(i + 2)i + (1 + i)2 คือ 7 - 6i ดังนนั สว่ นจรงิ และส่วนจินตภาพของอนิ เวอร์สการบวกของ (3 + 2i)(i + 2)i + (1 + i)2 คอื 7 และ -6 ตามลาดับ ตัวอย่างที่ 10 จงหาอนิ เวอร์สการคูณต่อไปนี วธิ ีทา 1) 3 - i 2) 3 + 2i + (1 - i)(2i - 3) 1) 3 – i อนิ เวอร์สการคูณของ (a + bi) คอื  a- bi  a2 + b2 ดังนัน อนิ เวอร์สการคูณของ 3 - i คอื  3+i  = 3+ i  32 + (-1)2  10 2) 3 + 2i + (1 - i)(2i - 3) ผลสาเรจ็ ของ 3 + 2i + (1 - i)(2i - 3) = 3 + 2i + 5i - 1 = 2 + 7i อินเวอร์สการคณู ของ (a + bi) คอื  a- bi  a2 + b2 ดงั นัน อินเวอร์สการคณู ของ 3 + 2i + (1 - i)(2i - 3) คือ  2 + 7i  = 2 + 7i 22 + 72 53

การลบจานวนเชงิ ซอ้ น บทนิยาม 5 กาหนด (a, b) และ (c, d) เป็นจานวนเชิงซอ้ น แล้ว (a, b) - (c, d) = (a, b) + (-c, -d) ตวั อย่างที่ 11 จงหาค่าของ = 2) (2 + 3i) - (i - 2) 1) (3, 2) - (1, 4) = (3, 2) + (-1, -4) = (3 - 1, 2 - 4) วธิ ีทา 1) (3, 2) - (1, 4) = (2, -2) = 2 + 3i - i + 2 2) (2 + 3i) - (i - 2) 4 + 2i ข้นั สรุป 1) นกั เรียนและครรู ว่ มกนั สรปุ ความรู้เรอ่ื ง สมบตั ขิ องจานวนเชิงซ้อน ทไ่ี ด้จากการเรยี น และเปิด โอกาสให้นกั เรยี นซักถามปญั หาหรือข้อสงสัย 2) ครูใหน้ กั เรยี นทาแบบฝกึ หดั ท่ี 3 เรอ่ื ง อนิ เวอรส์ การบวก อินเวอร์สการคูณ และการลบจานวน เชงิ ซอ้ น ใหเ้ สร็จในช่ัวโมง แต่หากนกั เรยี นทาไมเ่ สรจ็ ในชว่ั โมง ให้นักเรียนนากลบั ไปทาเปน็ การบา้ นแลว้ รว่ ม เฉลยในช่วั โมงถัดไป 3) ครูแนะนาใหน้ กั เรียนค้นคว้าหาโจทยเ์ พิ่มเติมจากแหลง่ เรยี นรตู้ า่ งๆ 10. สอ่ื อุปกรณ์ และแหล่งเรยี นรู้ 1) หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ เล่ม 2 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื ง จานวนเชงิ ซ้อน

แผนการจัดกจิ กรรมการเรียนรู้ กลุม่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์เพม่ิ เติม 4 ชว่ งชน้ั ที่ 3 มธั ยมศึกษาปีท่ี 5 ปกี ารศึกษา 2563 รหัสวิชา ค 32202 ภาคเรยี นที่ 2 เวลา 1 ชว่ั โมง หนว่ ยการเรยี นรู้ท่ี 1 เรอื่ ง จานวนเชิงซอ้ น โรงเรียนมัธยมวดั เบญจมบพิตร ชื่อครูผู้สอน นายคเณศ สมตระกลู แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 5 เรอื่ ง สมบัติของจานวนเชิงซอ้ น 1. ผลการเรยี นร/ู้ มาตรฐานการเรยี นรู้ 1) ใช้สมบตั ขิ องจานวนเชงิ ซ้อนในการแก้ปัญหา 2. สาระสาคัญ การหารจานวนเชงิ ซอ้ นด้วยจานวนเชิงซ้อน คอื การคูณจานวนเชิงซอ้ นทเี่ ปน็ ตวั ตงั บทนยิ าม ดว้ ยอินเวอรส์ การคณู ของตวั หาร ถ้า z1, z2 เปน็ จานวนเชงิ ซอ้ น แลว้ z1 = z1z2-1 บทนยิ าม z2 ทฤษฎีบท เมอ่ื z2  0 กาหนด a, b เปน็ จานวนจริงและ z = (a, b) = a + bi เปน็ จานวนเชงิ ซอ้ น จะมี (a, -b) เพียงจานวนเดยี วเป็นสังยคุ ของ z ถ้า z = (a, b) = a + bi แล้ว z = (a, -b) = a - bi กาหนด z, z1 และ z2 เป็นจานวนเชิงซ้อน จะไดว้ า่ 1) Re(z) = 1 (z + z) 2) Im(z) = 1 (z - z) 2 2i 3) z = z 4) 1 =  1  เมอ่ื z0 z z 5) z1+ z2 = z1+ z2 6) z1 - z2 = z1 - z2 7) z1  z2 = z1  z2 8)  z1  = z1 เม่ือ z2  0  z2  z2  

3. ผลการการเรยี นรู้ท่ีคาดหวัง 1) ดา้ นความรู้ (K) : นกั เรยี นสามารถ - ใช้สมบัตขิ องจานวนเชิงซอ้ นในการแก้ปัญหา 2) ดา้ นทกั ษะ / กระบวนการ (P) : นกั เรียนสามารถ - แกโ้ จทยป์ ญั หาเรอ่ื งสมบตั ิของจานวนเชิงซ้อน ได้ - ใชเ้ หตุผลในการแก้ปัญหาสมบัตขิ องจานวนเชิงซอ้ น ได้ - เช่อื มโยงความรู้ตา่ งๆ ของคณิตศาสตร์ได้ - สื่อสาร สอื่ ความหมายทางคณิตศาสตร์ และนาเสนอข้อมูล 3) ดา้ นคณุ ลักษณะอนั พึงประสงค์ (A) : นักเรียน - ทางานเป็นระบบ รอบคอบ - มีระเบยี บวินัย - มีความรับผิดชอบ 4. ด้านคุณลักษณะของผู้เรยี นตามหลักสูตรมาตรฐานสากล 1) เป็นเลิศวชิ าการ 2) สอ่ื สองภาษา 3) ลาหน้าทางความคดิ 4) ผลิตงานอยา่ งสรา้ งสรรค์ 5. บูรณาการตามหลกั ของปรชั ญาเศรษฐกิจพอเพียง 1) หลกั ความมเี หตุผล ปฏบิ ัติงานโดยใช้ความคิด แก้ปัญหาโดยใช้ปญั ญา 2) เงอื่ นไขความรู้ 6. สมรรถนะสาคญั ของผเู้ รียน 1) ความสามารถในการคดิ 2) ความสามารถในการแกป้ ัญหา 7. ชิ้นงาน / ภาระงาน 1) แบบฝึกหดั ท่ี 4 ข้อท่ี 1 เรอ่ื ง การหาร และสังยคุ ของจานวนเชงิ ซอ้ น 8. การวัดและประเมินผล ผลการเรียนรู้ วธิ กี ารวัดผล เครื่องมอื วัดผล เกณฑ์การประเมนิ แบบฝกึ หดั ท่ี 4 ข้อท่ี 1 ด้านความรู้ (K) นกั เรียนทาแบบฝกึ หัด 1. ใช้สมบัตขิ องจานวน พจิ ารณาจากความ ถกู ตอ้ งรอ้ ยละ 60 เชิงซ้อนในการแก้ปญั หา ถกู ต้องของแบบฝกึ หดั ขนึ ไป ถือวา่ ผ่านเกณฑ์

ด้านทักษะ / กระบวนการ (P) 1) แก้โจทย์ปญั หาเร่อื ง การสงั เกต แบบประเมนิ ผลด้าน นกั เรียนได้คะแนนระดับ ทกั ษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตังแต่ 3 คะแนน สมบัติของจานวน ขึนไป ถอื ว่าผ่าน แบบประเมนิ ผลด้าน นักเรยี นได้คะแนนระดบั เชิงซ้อน ได้ ทกั ษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตงั แต่ 3 คะแนน ขนึ ไป ถอื วา่ ผ่าน 2) ใช้เหตผุ ลในการ การสงั เกต แบบประเมนิ ผลด้าน นกั เรยี นไดค้ ะแนนระดับ ทักษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตังแต่ 3 คะแนน แกป้ ัญหาสมบัตขิ อง แบบประเมินผลด้าน นักเรียนไดค้ ะแนนระดบั ทกั ษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตงั แต่ 3 คะแนน จานวนเชงิ ซอ้ น ได้ ขนึ ไป ถอื ว่าผ่าน 3) เชือ่ มโยงความรู้ต่างๆ การสังเกต ของคณิตศาสตรไ์ ด้ 4) ส่อื สาร สื่อ การสังเกต ความหมายทาง คณิตศาสตร์ และ นาเสนอขอ้ มลู ดา้ นคณุ ลกั ษณะอันพงึ ประสงค์ (A) 1) ทางานอยา่ งเปน็ การสงั เกต แบบประเมนิ นกั เรียนไดค้ ะแนนระดบั คุณลักษณะอนั พงึ คุณภาพตังแต่ 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค์ ขึนไป ถือว่าผ่าน แบบประเมนิ นักเรยี นไดค้ ะแนนระดบั 2) มีระเบยี บวนิ ยั การสังเกต คุณลักษณะอันพึง คุณภาพตั้งแต่ 2 คะแนน ประสงค์ ขน้ึ ไป ถือว่าผ่าน 3) มคี วามรับผิดชอบ การสังเกต แบบประเมิน นักเรียนไดค้ ะแนนระดบั คุณลกั ษณะอนั พึง คณุ ภาพตั้งแต่ 2 คะแนน ประสงค์ ขึ้นไป ถือว่าผ่าน 9. กจิ กรรมการเรียนรู้ ข้นั นา 1) ครสู นธนาทกั ทายนกั เรียน และทบทวนความรเู้ ร่ือง สมบตั ิของจานวนเชงิ ซอ้ น ดังนี บทนยิ าม 4 กาหนด a, b เปน็ จานวนจรงิ และ z = (a, b) เปน็ จานวนเชิงซอ้ น 1) เอกลกั ษณก์ ารบวกของ z คอื (0, 0) หรอื 0 2) เอกลักษณ์การคูณของ z คือ (1, 0) หรอื 1 3) อนิ เวอรส์ การบวกของ z คอื (-a, -b) หรอื -a - bi 4) อนิ เวอรส์ การคณู ของ z คอื  a2 a b2 - a2 b  หรือ  a- bi  + + b2 a2 + b2

บทนิยาม 5 กาหนด (a, b) และ (c, d) เป็นจานวนเชิงซอ้ น แลว้ (a, b) - (c, d) = (a, b) + (-c, -d) ข้นั สอน 1) ครูบรรยายเก่ยี วกบั เร่ือง สมบัตขิ องจานวนเชงิ ซอ้ น พรอ้ มยกตัวอย่าง ดังนี การหารของจานวนเชิงซ้อน บทนิยาม 6 การหารจานวนเชงิ ซ้อนดว้ ยจานวนเชงิ ซอ้ น คือการคูณจานวนเชงิ ซอ้ นทีเ่ ปน็ ตวั ตงั ดว้ ย อนิ เวอรส์ การคณู ของตัวหาร ถา้ z1, z2 เปน็ จานวนเชงิ ซ้อน แลว้ z1 = z1z2-1 เมอื่ z2  0 z2 ตวั อย่างท่ี 12 จงทาเป็นผลสาเร็จ 5 + 3i วิธที า 2 + 3i 2 3i เนื่องจาก อนิ เวอรส์ การคณู ของ 2 + 3i คอื 13 - 13 จากบทนิยาม 6 ถ้า z1, z2 เปน็ จานวนเชิงซอ้ น แล้ว z1 = z1z2-1 เมื่อ z2  0 z2 5 + 3i 2 3 จะได้ 2 + 3i = (5 + 3i )( 13 - 13 i ) = 10 + 6 i - 15 i + 9 13 13 13 13 19 9 = 13 - 13 i ตัวอยา่ งท่ี 13 จงทาใหเ้ ป็นผลสาเร็จ 2+ 3i - 5i + 1 วธิ ที า (2i - 3) - (4 + i) 3 - 2i จะได้ 2 + 3i - 5i + 1 = i-7 (2i - 3) - (4 + i) 7 i เนื่องจาก อนิ เวอรส์ การคูณของ i - 7 คือ - 50 - 50 จากบทนิยาม 6 ถา้ z1, z2 เปน็ จานวนเชิงซ้อน แลว้ z1 = z1z2-1 เมื่อ z2  0 z2 3 - 2i -7 i จะได้ i-7 = (3 - 2i )( 50 - 50 ) = - 23 + 11 i 50 50

สงั ยุคของจานวนเชงิ ซ้อน บทนิยาม 7 กาหนด a, b เป็นจานวนจริง และ z = (a, b) = a + bi เป็นจานวนเชงิ ซ้อน จะมี (a, -b) เพียงจานวนเดียวเปน็ สงั ยคุ ของ z ถา้ z = (a, b) = a + bi แลว้ z = (a, -b) = a - bi ตวั อย่างที่ 14 จงทาให้เปน็ ผลสาเร็จ 3 + 2 5i 2i150 + i179 วิธีทา จากโจทย์ทาใหอ้ ยู่ในรปู อยา่ งง่ายก่อน และจากการท่ีนาสังยคุ มาคูณกันไดผ้ ลลพั ธ์เปน็ จานวน จรงิ จงึ นาสังยุคของสว่ นมาคูณทังเศษและส่วน วิธีท่ี 1 3 + 2 5i = 3 + 2 5i 2i150 + i179 -2 - i = 3 + 2 5i -2 + i -2 - i  -2 + i = -6 - 4 5i + 3i - 2 5 (-2)2 - i2 = -6 - 2 5 + (3 - 4 5)i 5 วธิ ีท่ี 2 3 + 2 5i = (3, 2 5) 2i150 + i179 (-2, -i) = (3, 2 5) (-2, i) (-2, -i)  (-2, i) =  -6 - 2 5, 3-4 5  5 5  ทฤษฎบี ท 1 กาหนด z, z1 และ z2 เป็นจานวนเชงิ ซ้อน จะไดว้ า่ 1) Re(z) = 1 (z + z) 2) Im(z) = 1 (z - z) 2 2i 3) z = z 4) 1 =  1  เมอื่ z0 z z 5) z1+ z2 = z1+ z2 6) z1 - z2 = z1 - z2 7) z1  z2 = z1  z2 8)  z1  = z1 เมือ่ z2  0  z2  z2  

ข้นั สรุป 1) นักเรียนและครูร่วมกันสรปุ ความรู้เร่ือง สมบตั ิของจานวนเชงิ ซ้อน ท่ไี ด้จากการเรียน และเปดิ โอกาสใหน้ ักเรยี นซักถามปัญหาหรอื ข้อสงสยั 2) ครูให้นกั เรียนทาแบบฝกึ หัดที่ 4 ข้อที่ 1 เรือ่ ง การหาร และสังยุคของจานวนเชิงซอ้ น ใหเ้ สร็จใน ชัว่ โมง แตห่ ากนกั เรียนทาไมเ่ สรจ็ ในชว่ั โมง ใหน้ กั เรยี นนากลับไปทาเป็นการบา้ นแล้วร่วมเฉลยในชวั่ โมงถดั ไป 3) ครูแนะนาใหน้ กั เรยี นค้นคว้าหาโจทยเ์ พ่มิ เตมิ จากแหลง่ เรียนรตู้ า่ งๆ 10. สื่อ อปุ กรณ์ และแหลง่ เรียนรู้ 1) หนังสอื เรยี นรายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร์ เลม่ 2 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง จานวนเชงิ ซอ้ น

แผนการจัดกจิ กรรมการเรียนรู้ กลุม่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์เพม่ิ เติม 4 ชว่ งชน้ั ที่ 3 มธั ยมศึกษาปีท่ี 5 ปกี ารศึกษา 2563 รหัสวิชา ค 32202 ภาคเรยี นที่ 2 เวลา 1 ชว่ั โมง หนว่ ยการเรยี นรู้ท่ี 1 เรอื่ ง จานวนเชิงซอ้ น โรงเรียนมัธยมวดั เบญจมบพิตร ชื่อครูผู้สอน นายคเณศ สมตระกลู แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 6 เรือ่ ง สมบัติของจานวนเชิงซอ้ น 1. ผลการเรยี นร/ู้ มาตรฐานการเรยี นรู้ 1) ใช้สมบตั ขิ องจานวนเชงิ ซ้อนในการแก้ปัญหา 2. สาระสาคัญ การหารจานวนเชงิ ซอ้ นด้วยจานวนเชิงซ้อน คอื การคูณจานวนเชิงซอ้ นทเี่ ปน็ ตวั ตงั บทนยิ าม ดว้ ยอินเวอรส์ การคณู ของตวั หาร ถ้า z1, z2 เปน็ จานวนเชงิ ซอ้ น แลว้ z1 = z1z2-1 บทนยิ าม z2 ทฤษฎีบท เม่อื z2  0 กาหนด a, b เปน็ จานวนจริงและ z = (a, b) = a + bi เปน็ จานวนเชงิ ซอ้ น จะมี (a, -b) เพียงจานวนเดยี วเป็นสังยคุ ของ z ถ้า z = (a, b) = a + bi แล้ว z = (a, -b) = a - bi กาหนด z, z1 และ z2 เป็นจานวนเชิงซ้อน จะไดว้ า่ 1) Re(z) = 1 (z + z) 2) Im(z) = 1 (z - z) 2 2i 3) z = z 4) 1 =  1  เมอ่ื z0 z z 5) z1+ z2 = z1+ z2 6) z1 - z2 = z1 - z2 7) z1  z2 = z1  z2 8)  z1  = z1 เม่ือ z2  0  z2  z2  

3. ผลการการเรียนรู้ทค่ี าดหวงั 1) ด้านความรู้ (K) : นกั เรียนสามารถ - ใช้สมบัติของจานวนเชิงซอ้ นในการแก้ปญั หา 2) ด้านทกั ษะ / กระบวนการ (P) : นักเรยี นสามารถ - แก้โจทยป์ ัญหาเรื่องสมบตั ิของจานวนเชงิ ซ้อน ได้ - ใช้เหตุผลในการแก้ปญั หาสมบัติของจานวนเชิงซ้อน ได้ - เชอื่ มโยงความรตู้ า่ งๆ ของคณิตศาสตรไ์ ด้ - ส่อื สาร ส่ือความหมายทางคณิตศาสตร์ และนาเสนอข้อมูล 3) ด้านคุณลกั ษณะอนั พึงประสงค์ (A) : นกั เรียน - ทางานเป็นระบบ รอบคอบ - มีระเบียบวนิ ัย - มีความรบั ผดิ ชอบ 4. ด้านคณุ ลกั ษณะของผ้เู รียนตามหลักสูตรมาตรฐานสากล 1) เป็นเลศิ วชิ าการ 2) ส่อื สองภาษา 3) ลาหน้าทางความคิด 4) ผลิตงานอย่างสรา้ งสรรค์ 5. บูรณาการตามหลักของปรัชญาเศรษฐกจิ พอเพียง 1) หลกั ความมเี หตผุ ล ปฏบิ ัตงิ านโดยใช้ความคดิ แก้ปญั หาโดยใช้ปัญญา 2) เงอ่ื นไขความรู้ 6. สมรรถนะสาคญั ของผู้เรยี น 1) ความสามารถในการคดิ 2) ความสามารถในการแก้ปัญหา 7. ชน้ิ งาน / ภาระงาน 1) แบบฝึกหัด ท่ี 4 ข้อท่ี 2 - 7 เรื่อง การหาร และสงั ยุคของจานวนเชิงซอ้ น 8. การวัดและประเมนิ ผล ผลการเรียนรู้ วิธีการวัดผล เครอ่ื งมือวดั ผล เกณฑ์การประเมนิ ดา้ นความรู้ (K) แบบฝึกหดั ที่ 4 นักเรยี นทาแบบฝึกหัด 1. ใช้สมบัตขิ องจานวน พิจารณาจากความ ข้อที่ 2 - 7 ถูกตอ้ งร้อยละ 60 เชงิ ซอ้ นในการแกป้ ัญหา ถกู ตอ้ งของแบบฝึกหดั ขึนไป ถอื ว่าผ่านเกณฑ์

ผลการเรยี นรู้ วิธกี ารวดั ผล เคร่ืองมอื วัดผล เกณฑก์ ารประเมิน ดา้ นทักษะ / กระบวนการ (P) 1) แกโ้ จทยป์ ัญหาเรอ่ื ง การสังเกต แบบประเมินผลด้าน นกั เรียนไดค้ ะแนนระดบั ทกั ษะ/กระบวนการ คุณภาพตงั แต่ 3 คะแนน สมบัติของจานวน ขนึ ไป ถือวา่ ผา่ น แบบประเมนิ ผลด้าน นักเรียนไดค้ ะแนนระดบั เชิงซอ้ น ได้ ทกั ษะ/กระบวนการ คุณภาพตังแต่ 3 คะแนน ขึนไป ถอื วา่ ผ่าน 2) ใช้เหตุผลในการ การสังเกต แบบประเมนิ ผลด้าน นกั เรยี นไดค้ ะแนนระดับ ทักษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตงั แต่ 3 คะแนน แกป้ ญั หาสมบัติของ แบบประเมนิ ผลด้าน นกั เรยี นไดค้ ะแนนระดับ ทักษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตังแต่ 3 คะแนน จานวนเชงิ ซอ้ น ได้ ขนึ ไป ถอื วา่ ผ่าน 3) เช่ือมโยงความรตู้ า่ งๆ การสังเกต ของคณิตศาสตร์ได้ 4) ส่อื สาร สอื่ การสงั เกต ความหมายทาง คณิตศาสตร์ และ นาเสนอข้อมูล ด้านคณุ ลกั ษณะอันพึงประสงค์ (A) 1) ทางานอยา่ งเป็น การสงั เกต แบบประเมิน นักเรียนได้คะแนนระดบั คณุ ลกั ษณะอนั พงึ คณุ ภาพตงั แต่ 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค์ ขึนไป ถอื ว่าผา่ น แบบประเมนิ นักเรียนไดค้ ะแนนระดับ 2) มีระเบียบวนิ ัย การสงั เกต คณุ ลักษณะอนั พงึ คณุ ภาพตง้ั แต่ 2 คะแนน ประสงค์ ขน้ึ ไป ถือวา่ ผ่าน 3) มีความรบั ผิดชอบ การสังเกต แบบประเมนิ นักเรยี นได้คะแนนระดับ คณุ ลักษณะอันพงึ คุณภาพตั้งแต่ 2 คะแนน ประสงค์ ขน้ึ ไป ถอื วา่ ผา่ น

9. กจิ กรรมการเรยี นรู้ ขน้ั นา 1) ครสู นธนาทกั ทายนักเรียน และทบทวนความรู้เรอื่ ง สมบตั ิของจานวนเชิงซอ้ น ดงั นี ตวั อย่างที่ 13 จงทาให้เปน็ ผลสาเร็จ 2+ 3i - 5i + 1 วิธที า (2i - 3) - (4 + i) 3 - 2i จะได้ 2 + 3i - 5i + 1 = i-7 (2i - 3) - (4 + i) 7 i เนื่องจาก อนิ เวอร์สการคูณของ i - 7 คือ - 50 - 50 จากบทนยิ าม 6 ถ้า z1, z2 เปน็ จานวนเชิงซ้อน แลว้ z1 = z1z2-1 เมื่อ z2  0 z2 3 - 2i 7 i จะได้ i-7 = (3 - 2i )( - 50 - 50 ) = - 21 - 3 i + 14 i - 2 50 50 50 50 23 11 = - 50 + 50 i ตัวอยา่ งท่ี 14 จงทาให้เป็นผลสาเรจ็ 3 + 2 5i วธิ ที า 2i150 + i179 3 + 2 5i = 3 + 2 5i 2i150 + i179 -2 - i = 3 + 2 5i -2 + i = -2 - i  -2 + i -6 - 4 5i + 3i - 2 5 = (-2)2 - i2 -6 - 2 5 + (3 - 4 5)i 5 ขั้นสอน 1) ครูใหน้ ักเรยี นช่วยกนั ทาแบบฝกึ หัดท่ี 4 เรื่อง การหาร และสังยุคของจานวนเชงิ ซอ้ น ขอ้ ท่ี 2 - 7 2) ในระหว่างทีน่ กั เรยี นช่วยกนั ทาแบบฝึกหัด ครจู ะคอยให้คาแนะนาและเปิดโอกาสใหน้ กั เรียนได้ ถามข้อสงสยั และเฉลยคาตอบในขอ้ ท่นี ักเรยี นทาเสร็จแล้ว เพ่อื ใหน้ ักเรยี นตรวจสอบความถกู ต้องของคาตอบ และเพ่ือครูจะสามารถตรวจสอบความเข้าใจของนกั เรียนในระหวา่ งเรียนได้

ข้นั สรปุ 1) นักเรยี นและครรู ว่ มกันสรุปความรู้ เร่ือง การหาร และสังยคุ ของจานวนเชงิ ซอ้ น ทไี่ ดจ้ ากการ เรยี น และครูเปิดโอกาสใหน้ ักเรียนถามปญั หาขอ้ สงสยั ต่างๆ 2) ครูใหน้ ักเรียนทาแบบฝึกหดั ท่ี 4 ขอ้ ที่ 2 - 7 หากนกั เรียนทาไม่เสรจ็ ในช่วั โมง จะใหน้ ักเรียนนา กลับไปทาเป็นการบ้าน แลว้ ครูและนกั เรยี นจะรว่ มกนั เฉลยในช่วงโมงถดั ไป 3) ครูแนะนาให้นกั เรียนคน้ ควา้ หาโจทยเ์ พ่มิ เตมิ จากแหล่งเรยี นรู้ตา่ งๆ 10. ส่ือ อปุ กรณ์ และแหล่งเรียนรู้ 1) หนงั สือเรียนรายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร์ เลม่ 2 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง จานวนเชงิ ซ้อน

แผนการจดั กจิ กรรมการเรยี นรู้ กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์เพิม่ เติม 4 ช่วงชน้ั ที่ 3 มธั ยมศึกษาปีท่ี 5 รหสั วิชา ค 32202 ภาคเรยี นท่ี 2 ปกี ารศึกษา 2563 หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 เรอ่ื ง จานวนเชงิ ซ้อน เวลา 1 ช่ัวโมง ชอื่ ครูผูส้ อน นายคเณศ สมตระกลู โรงเรียนมัธยมวดั เบญจมบพิตร แผนการจัดการเรยี นร้ทู ี่ 7 เรอ่ื ง กราฟและคา่ สัมบรู ณข์ องจานวนเชงิ ซอ้ น 1. ผลการเรยี นรู้/มาตรฐานการเรียนรู้ 1) เข้าใจจานวนเชงิ ซ้อนและใช้สมบตั ิของจานวนเชิงซ้อนในการแก้ปัญหา 2. สาระสาคญั จานวนเชิงซอ้ นเขยี นอยู่ในรูปของค่อู นั ดับ (a, b) หรือในรปู a + bi โดยที่ a เป็นสว่ นจรงิ และ b เป็นสว่ นจินตภาพ ดังนัน อาจแทนจานวนเชิงซอ้ น (a, b) ใดๆ ด้วยจดุ ในระนาบได้เช่นเดยี วกบั การแทนคู่ อันดับในความสัมพันธใ์ ดๆ ด้วยจุดในระนาบในระบบพิกดั แก และเรยี กแกน X ว่า แกนจริง (real axis) เรยี ก แกน Y วา่ แกนจินตภาพ (imaginary axis) และเรยี กระนาบนวี ่า ระนาบเชงิ ซอ้ น (complex number) กราฟของจานวนเชงิ ซอ้ นมี 2 แบบ คือ 1) แทนดว้ ยจดุ ในระนาบเชิงซอ้ น 2) แทนด้วยเวกเตอร์ทมี่ ีจุดเร่มิ ต้นท่ี (0, 0) และมีจุดสินสุดท่ี (a, b) บทนยิ าม ค่าสัมบูรณ์ (absolute value หรอื modulus) ของจานวนเชงิ ซ้อน (a, b) เขยี นแทนด้วย a + bi โดยท่ี a + bi = a2 + b2 ทฤษฎีบท กาหนด z, z1 และ z2 เปน็ จานวนเชิงซอ้ น จะได้วา่ 1) z = z z 2) z = -z = z 3) z1  z2 = z1  z2 4) z1 = z1 , z2  0 z2 z2 5) z-1 = z -1 6) z1 + z2  z1 + z2 7) z1 - z2  z1 - z2 8) zn = z n 9) z1 + z2 2 = z1 2 + 2Re(z1 z2 ) + z2 2 10) z1 - z2 2 = z1 2 - 2Re(z1 z2 ) + z2 2

3. ผลการการเรียนรทู้ คี่ าดหวัง 1) ด้านความรู้ (K) : นักเรียนสามารถ - เขา้ ใจจานวนเชงิ ซอ้ นและใช้สมบัตขิ องจานวนเชิงซ้อนในการแก้ปัญหา 2) ดา้ นทกั ษะ / กระบวนการ (P) : นักเรียนสามารถ - แกโ้ จทยป์ ญั หาเรื่องกราฟและค่าสัมบูรณ์ของจานวนเชงิ ซ้อน ได้ - ใช้เหตุผลในการแกป้ ญั หากราฟและคา่ สมั บูรณ์ของจานวนเชงิ ซ้อน ได้ - เชือ่ มโยงความรู้ต่างๆ ของคณิตศาสตร์ได้ - สอ่ื สาร ส่อื ความหมายทางคณิตศาสตร์ และนาเสนอข้อมลู 3) ดา้ นคุณลักษณะอนั พงึ ประสงค์ (A) : นักเรยี น - ทางานเปน็ ระบบ รอบคอบ - มีระเบยี บวนิ ัย - มีความรบั ผิดชอบ 4. ด้านคณุ ลกั ษณะของผู้เรยี นตามหลกั สูตรมาตรฐานสากล 1) เป็นเลิศวิชาการ 2) ส่ือสองภาษา 3) ลาหนา้ ทางความคิด 4) ผลิตงานอยา่ งสร้างสรรค์ 5. บรู ณาการตามหลักของปรัชญาเศรษฐกจิ พอเพยี ง 1) หลกั ความมเี หตผุ ล ปฏิบัตงิ านโดยใช้ความคดิ แก้ปญั หาโดยใชป้ ญั ญา 2) เง่อื นไขความรู้ 6. สมรรถนะสาคญั ของผู้เรยี น 1) ความสามารถในการคิด 2) ความสามารถในการแกป้ ญั หา 7. ชนิ้ งาน / ภาระงาน 1) แบบฝึกหัด ที่ 5 ขอ้ ท่ี 1 - 3 เรือ่ ง กราฟและคา่ สัมบูรณ์ของจานวนเชงิ ซอ้ น

8. การวัดและประเมินผล ผลการเรยี นรู้ วิธกี ารวดั ผล เคร่ืองมือวัดผล เกณฑก์ ารประเมนิ ด้านความรู้ (K) แบบฝึกหัดที่ 5 นักเรยี นทาแบบฝึกหดั 1. เข้าใจจานวนเชิงซ้อน พิจารณาจากความ ข้อท่ี 1 - 3 ถกู ต้องร้อยละ 60 และใชส้ มบัตขิ องจานวน ถกู ต้องของแบบฝกึ หดั ขนึ ไป ถือวา่ ผา่ นเกณฑ์ เชิงซ้อนในการแก้ปญั หา ที่กาหนด ดา้ นทกั ษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมินผลด้าน นักเรียนได้คะแนนระดบั 1) แก้โจทย์ปัญหาเร่อื ง การสงั เกต ทักษะ/กระบวนการ คุณภาพตังแต่ 3 คะแนน กราฟและคา่ สมั บูรณ์ ขึนไป ถือวา่ ผ่าน ของจานวนเชงิ ซ้อน ได้ แบบประเมนิ ผลด้าน นักเรยี นได้คะแนนระดับ 2) ใชเ้ หตผุ ลในการ การสงั เกต ทักษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตงั แต่ 3 คะแนน แก้ปญั หากราฟและ ขึนไป ถือวา่ ผา่ น ค่าสัมบูรณข์ องจานวน แบบประเมินผลด้าน เชงิ ซอ้ น ได้ ทักษะ/กระบวนการ นักเรียนได้คะแนนระดบั 3) เชอ่ื มโยงความรู้ตา่ งๆ การสังเกต คณุ ภาพตงั แต่ 3 คะแนน ของคณิตศาสตร์ได้ ขึนไป ถือวา่ ผา่ น นักเรียนได้คะแนนระดับ 4) ส่อื สาร ส่ือ การสังเกต แบบประเมนิ ผลด้าน คุณภาพตงั แต่ 3 คะแนน ทกั ษะ/กระบวนการ ขนึ ไป ถือวา่ ผา่ น ความหมายทาง แบบประเมนิ นักเรียนไดค้ ะแนนระดบั คณติ ศาสตร์ และ คุณลักษณะอันพงึ คุณภาพตงั แต่ 2 คะแนน ประสงค์ ขนึ ไป ถือวา่ ผา่ น นาเสนอข้อมูล แบบประเมิน นักเรยี นไดค้ ะแนนระดับ คณุ ลกั ษณะอนั พงึ คณุ ภาพต้ังแต่ 2 คะแนน ดา้ นคณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค์ (A) ประสงค์ ขน้ึ ไป ถอื ว่าผ่าน แบบประเมนิ นักเรยี นได้คะแนนระดับ 1) ทางานอยา่ งเป็น การสังเกต คุณลักษณะอนั พึง คุณภาพต้งั แต่ 2 คะแนน ประสงค์ ขึ้นไป ถอื วา่ ผ่าน ระบบรอบคอบ 2) มรี ะเบียบวินยั การสังเกต 3) มีความรบั ผิดชอบ การสงั เกต

9. กิจกรรมการเรียนรู้ ขั้นนา 1) ครสู นธนาทกั ทายนกั เรียน และทบทวนความรูเ้ รือ่ ง จานวนเชงิ ซ้อน ตามตวั อยา่ งดังนี ตวั อยา่ งที่ 6 จงหาคา่ a, b จาก 8 - 9bi = 4a – 2i วิธที า จากบทนยิ าม 3 (a + bi) = (c + di) ก็ตอ่ เมือ่ a = c และ b = d ตัวอย่างท่ี 8 วธิ ที า จะได้ 4a = 8 และ 9b = 2 และ a =2 b = 2 9 2 ดังนนั a = 2 และ b = 9 จงหาอนิ เวอร์สการบวกของ (3 - 2i)2 (3 - 2i)2 = 9 - 12i + 4i2 = 9 - 12i - 4 = 5 - 12i ดงั นัน อินเวอรส์ การบวกของ (3 - 2i)2 คือ -5 + 12i ตัวอย่างที่ 12 จงทาเป็นผลสาเร็จ 5 + 3i วธิ ที า 2 + 3i 2 3i เนอื่ งจาก อินเวอรส์ การคูณของ 2 + 3i คือ 13 - 13 จากบทนยิ าม 6 ถา้ z1, z2 เปน็ จานวนเชิงซอ้ น แล้ว z1 = z1z2-1 เม่ือ z2  0 z2 5 + 3i 2 3 จะได้ 2 + 3i = (5 + 3i )( 13 - 13 i ) = 10 + 6 i - 15 i + 9 13 13 13 13 19 9 = 13 - 13 i

ขั้นสอน 1) ครูบรรยายเกย่ี วกบั เรื่อง กราฟและคา่ สมั บรู ณ์ของจานวนเชงิ ซ้อน พร้อมยกตัวอย่าง ดังนี กราฟของจานวนเชิงซอ้ น เนื่องจากจานวนเชิงซ้อนเขียนอยู่ในรูปของคู่อันดับ (a, b) หรือในรูป a + bi โดยท่ี a เป็นส่วน จรงิ และ b เปน็ สว่ นจินตภาพ ดงั นนั อาจแทนจานวนเชงิ ซอ้ น (a, b) ใดๆ ดว้ ยจุดในระนาบได้เชน่ เดียวกับการ แทนคู่อันดับในความสัมพันธ์ใดๆ ด้วยจุดในระนาบในระบบพิกัดแก และเรียกแกน X ว่า แกนจริง (real axis) เรียกแกน Y ว่า แกนจินตภาพ (imaginary axis) และเรียกระนาบนีว่า ระนาบเชิงซ้อน (complex number) กราฟของจานวนเชิงซอ้ นมี 2 แบบ คอื 1. แทนด้วยจุดในระนาบเชิงซอ้ น 2. แทนด้วยเวกเตอร์ทม่ี จี ดุ เรม่ิ ตน้ ที่ (0, 0) และมีจุดสินสุดที่ (a, b) ตัวอย่างท่ี 15 จงเขยี นกราฟของจานวนเชิงซอ้ น -3, 2i, 4 + 3i, 4 - i, -2 + 3i และ -1 - 3i วธิ ีทา Y (-2, 3.) . (4, 3) (0, 2) (-3, 0) . X (4, -1) (-1, -3) . รูปที่ 1 กราฟของจานวนเชิงซอ้ นแทนด้วยจุดในระนาบเชิงซอ้ น Y (-2, 3.) . (4, 3) (-3, 0) .X (-1, -3) . (4, -1) รูปท่ี 2 กราฟของเวกเตอรท์ ี่มจี ดุ เริ่มตน้ ที่ (0, 0) และมจี ุดสิ้นสดุ ท่ี (a, b)

ตัวอยา่ งท่ี 16 จงเขยี นกราฟแสดงจานวนเชงิ ซ้อน z ทงั หมดในระนาบเชงิ ซ้อนซงึ่ สอดคล้องกับสมการ วิธีทา ตอ่ ไปนี 1) z - i = z - 1 2) z - 2  1 1) กาหนดจานวนเชิงซ้อน z แทนด้วย (a, b) = a + bi จาก z - i = z - 1 a + bi - i = a + bi - 1 a + (b - 1)i = (a - 1) + bi a2 + (b - 1)2 = (a - 1)2 + b2 a2 + b2 - 2b + 1 = a2 - 2a + 1 + b2 -2a = -2b a=b เนอื่ งจากสมการ a = b เป็นสมการเสน้ ตรง ดงั นนั เขียนกราฟของจุดทังหมดในระนาบเชิงซอ้ นท่ี a = b ไดด้ งั รูปท่ี 3 2) กาหนดจานวนเชิงซอ้ น z แทนด้วย (a, b) = a + bi จาก z - 2  1 a + bi - 2  1 (a - 2) + bi  1 (a - 2)2 + b2  1 (a - 2)2 + b2  1 เน่ืองจากอสมการ (a - 2)2 + b2  1 เปน็ อสมการของกราฟวงกลม ดังนนั เขียนกราฟของจุดทังหมดในระนาบเชงิ ซ้อนที่ (a - 2)2 + b2  1 ได้ดังรปู ที่ 4 Y Y 3 3 -3 3 X 12 X -3 รปู ท่ี 3 รปู ท่ี 4

ค่าสัมบูรณ์ของจานวนเชงิ ซอ้ น บทนิยาม 8 คา่ สัมบรู ณ์ (absolute value หรือ modulus) ของจานวนเชงิ ซ้อน (a, b) เขียนแทนดว้ ย a + bi โดยท่ี a + bi = a2 + b2 ตัวอยา่ งท่ี 17 กาหนด z1 = 2 - i และ z2 = 3 + i จงหา วธิ ที า 1) z12 2) z1 2 3) z2 4) -z2 1) z12 = 4 - 4i + i2 = 3 - 4i = 32 + (-4)2 =5 ( )2) z1 2 = 22 + (-1)2 2 = ( 5 )2 =5 3) z2 = 3 + i = (3)2 + (1)2 = 10 4) -z2 = -(3 + i) = -3 - i = (-3)2 + (-1)2 = 10

ทฤษฎบี ท 2 กาหนด z, z1 และ z2 เป็นจานวนเชงิ ซอ้ น จะไดว้ า่ 1. z = z z 2. z = -z = z 3. z1  z2 = z1  z2 4. z1 = z1 , z2  0 z2 z2 5. z-1 = z -1 6. z1 + z2  z1 + z2 7. z1 - z2  z1 - z2 8. zn = z n 9. z1 + z2 2 = z1 2 + 2Re(z1 z2 ) + z2 2 10. z1 - z2 2 = z1 2 - 2Re(z1 z2 ) + z2 2 ตัวอย่างท่ี 18 จงหาค่าสมั บรู ณ์ของ z เมื่อกาหนด z ดงั นี วิธที า 1) (1 + 2i)4i(5 - i) 2) 2 + 3i 1 + 2i 2+i 3) 1 + 1 + 3i 1) (1 + 2i)4i(5 -i) = (1 + 2i)4 i (5 -i) = 1 + 2i 4 5 -i = ( 5)4 26 2) 2 + 3i = 2 + 3i 1 + 2i 1 + 2i = 13 5 3) 1 + 2+i = 1 + 3i + 2 + i 1 + 3i 1 + 3i 3 + 4i = 1 + 3i ดงั นนั 1 + 2+i = 3 + 4i 1 + 3i 1 + 3i = 25 10 = 5 10

ข้นั สรปุ 1) นักเรยี นและครูร่วมกนั สรุปความรู้เรื่อง กราฟและค่าสมั บรู ณข์ องจานวนเชิงซ้อน ที่ไดจ้ าก การเรียน และเปิดโอกาสใหน้ กั เรยี นซกั ถามปัญหาหรอื ข้อสงสัย 2) ครใู หน้ กั เรียนทาแบบฝึกหัดท่ี 5 ข้อที่ 1 - 3 เรอ่ื ง กราฟและคา่ สัมบูรณ์ของจานวนเชิงซ้อน ให้ เสร็จในช่ัวโมง แต่หากนักเรยี นทาไม่เสร็จในชั่วโมง ใหน้ ักเรียนนากลบั ไปทาเปน็ การบ้านแล้วรว่ มเฉลยในชวั่ โมง ถัดไป 3) ครูแนะนาใหน้ กั เรียนค้นคว้าหาโจทยเ์ พิม่ เติมจากแหลง่ เรยี นรตู้ ่างๆ 10. ส่ือ อปุ กรณ์ และแหล่งเรยี นรู้ 1) หนังสือเรยี นรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร์ เล่ม 2 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรยี น เร่ือง จานวนเชงิ ซ้อน

แผนการจดั กจิ กรรมการเรยี นรู้ กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์เพิม่ เติม 4 ช่วงชน้ั ที่ 3 มธั ยมศึกษาปีท่ี 5 รหสั วิชา ค 32202 ภาคเรยี นท่ี 2 ปกี ารศึกษา 2563 หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 เรอ่ื ง จานวนเชงิ ซ้อน เวลา 1 ช่ัวโมง ชอื่ ครูผูส้ อน นายคเณศ สมตระกลู โรงเรียนมัธยมวดั เบญจมบพิตร แผนการจัดการเรยี นร้ทู ี่ 8 เรอ่ื ง กราฟและคา่ สัมบรู ณข์ องจานวนเชงิ ซอ้ น 1. ผลการเรยี นรู้/มาตรฐานการเรียนรู้ 1) เข้าใจจานวนเชงิ ซ้อนและใช้สมบตั ิของจานวนเชิงซ้อนในการแก้ปัญหา 2. สาระสาคญั จานวนเชิงซอ้ นเขยี นอยู่ในรูปของค่อู นั ดับ (a, b) หรือในรปู a + bi โดยที่ a เป็นสว่ นจรงิ และ b เป็นสว่ นจินตภาพ ดังนัน อาจแทนจานวนเชิงซอ้ น (a, b) ใดๆ ด้วยจดุ ในระนาบได้เช่นเดยี วกบั การแทนคู่ อันดับในความสัมพันธใ์ ดๆ ด้วยจุดในระนาบในระบบพิกดั แก และเรยี กแกน X ว่า แกนจริง (real axis) เรยี ก แกน Y วา่ แกนจินตภาพ (imaginary axis) และเรยี กระนาบนวี ่า ระนาบเชงิ ซอ้ น (complex number) กราฟของจานวนเชงิ ซอ้ นมี 2 แบบ คือ 1) แทนดว้ ยจดุ ในระนาบเชิงซอ้ น 2) แทนด้วยเวกเตอร์ทมี่ ีจุดเร่มิ ต้นท่ี (0, 0) และมีจุดสินสุดท่ี (a, b) บทนยิ าม ค่าสัมบูรณ์ (absolute value หรอื modulus) ของจานวนเชงิ ซ้อน (a, b) เขยี นแทนด้วย a + bi โดยท่ี a + bi = a2 + b2 ทฤษฎีบท กาหนด z, z1 และ z2 เปน็ จานวนเชิงซอ้ น จะได้วา่ 1) z = z z 2) z = -z = z 3) z1  z2 = z1  z2 4) z1 = z1 , z2  0 z2 z2 5) z-1 = z -1 6) z1 + z2  z1 + z2 7) z1 - z2  z1 - z2 8) zn = z n 9) z1 + z2 2 = z1 2 + 2Re(z1 z2 ) + z2 2 10) z1 - z2 2 = z1 2 - 2Re(z1 z2 ) + z2 2

3. ผลการการเรียนรทู้ คี่ าดหวัง 1) ด้านความรู้ (K) : นักเรียนสามารถ - เขา้ ใจจานวนเชงิ ซอ้ นและใช้สมบัตขิ องจานวนเชิงซ้อนในการแก้ปัญหา 2) ดา้ นทกั ษะ / กระบวนการ (P) : นักเรียนสามารถ - แกโ้ จทยป์ ญั หาเรื่องกราฟและค่าสัมบูรณ์ของจานวนเชงิ ซ้อน ได้ - ใช้เหตุผลในการแกป้ ญั หากราฟและคา่ สมั บูรณ์ของจานวนเชงิ ซ้อน ได้ - เชือ่ มโยงความรู้ตา่ งๆ ของคณิตศาสตร์ได้ - สอ่ื สาร ส่อื ความหมายทางคณิตศาสตร์ และนาเสนอข้อมลู 3) ดา้ นคุณลักษณะอนั พงึ ประสงค์ (A) : นักเรยี น - ทางานเปน็ ระบบ รอบคอบ - มีระเบยี บวนิ ัย - มีความรบั ผิดชอบ 4. ด้านคณุ ลกั ษณะของผู้เรยี นตามหลกั สูตรมาตรฐานสากล 1) เป็นเลิศวิชาการ 2) ส่ือสองภาษา 3) ลาหนา้ ทางความคิด 4) ผลิตงานอยา่ งสร้างสรรค์ 5. บรู ณาการตามหลักของปรัชญาเศรษฐกจิ พอเพยี ง 1) หลกั ความมเี หตผุ ล ปฏิบัตงิ านโดยใช้ความคดิ แก้ปญั หาโดยใชป้ ญั ญา 2) เง่อื นไขความรู้ 6. สมรรถนะสาคญั ของผู้เรยี น 1) ความสามารถในการคิด 2) ความสามารถในการแกป้ ญั หา 7. ชนิ้ งาน / ภาระงาน 1) แบบฝึกหัด ที่ 5 ขอ้ ที่ 4 - 6 เรือ่ ง กราฟและคา่ สัมบูรณ์ของจานวนเชงิ ซอ้ น

8. การวัดและประเมินผล ผลการเรียนรู้ วิธกี ารวดั ผล เครื่องมือวัดผล เกณฑก์ ารประเมนิ ด้านความรู้ (K) แบบฝกึ หัดที่ 5 นกั เรยี นทาแบบฝกึ หัด 1. เข้าใจจานวนเชิงซ้อน พิจารณาจากความ ข้อท่ี 4 - 6 ถูกตอ้ งรอ้ ยละ 60 และใชส้ มบัตขิ องจานวน ถกู ต้องของแบบฝึกหัด ขึนไป ถอื ว่าผ่านเกณฑ์ เชิงซ้อนในการแก้ปญั หา ที่กาหนด ดา้ นทกั ษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมนิ ผลด้าน นักเรียนไดค้ ะแนนระดบั 1) แก้โจทย์ปญั หาเร่อื ง การสงั เกต ทักษะ/กระบวนการ คุณภาพตังแต่ 3 คะแนน กราฟและคา่ สัมบูรณ์ ขนึ ไป ถือว่าผ่าน ของจานวนเชงิ ซอ้ น ได้ แบบประเมนิ ผลด้าน นกั เรียนได้คะแนนระดบั 2) ใชเ้ หตุผลในการ การสงั เกต ทักษะ/กระบวนการ คุณภาพตังแต่ 3 คะแนน แก้ปัญหากราฟและ ขนึ ไป ถือวา่ ผา่ น ค่าสัมบูรณข์ องจานวน แบบประเมนิ ผลด้าน เชงิ ซ้อน ได้ ทกั ษะ/กระบวนการ นักเรียนได้คะแนนระดบั 3) เช่อื มโยงความรู้ตา่ งๆ การสังเกต คุณภาพตังแต่ 3 คะแนน ของคณิตศาสตรไ์ ด้ ขึนไป ถอื ว่าผ่าน นักเรียนได้คะแนนระดบั 4) สื่อสาร สอ่ื การสังเกต แบบประเมินผลด้าน คุณภาพตังแต่ 3 คะแนน ทักษะ/กระบวนการ ขนึ ไป ถอื วา่ ผ่าน ความหมายทาง แบบประเมนิ นกั เรยี นได้คะแนนระดับ คณติ ศาสตร์ และ คณุ ลักษณะอันพึง คณุ ภาพตงั แต่ 2 คะแนน ประสงค์ ขึนไป ถอื ว่าผา่ น นาเสนอขอ้ มูล แบบประเมิน นักเรียนได้คะแนนระดับ คุณลกั ษณะอันพึง คุณภาพตัง้ แต่ 2 คะแนน ดา้ นคณุ ลักษณะอนั พึงประสงค์ (A) ประสงค์ ขน้ึ ไป ถอื วา่ ผา่ น แบบประเมิน นกั เรียนได้คะแนนระดบั 1) ทางานอยา่ งเป็น การสังเกต คณุ ลกั ษณะอนั พงึ คณุ ภาพตงั้ แต่ 2 คะแนน ประสงค์ ขึ้นไป ถอื ว่าผ่าน ระบบรอบคอบ 2) มีระเบียบวินัย การสังเกต 3) มีความรับผิดชอบ การสงั เกต

9. กจิ กรรมการเรียนรู้ ขน้ั นา 1) ครสู นธนาทักทายนักเรียน และทบทวนความรเู้ รื่อง กราฟและคา่ สัมบรู ณข์ องจานวนเชงิ ซอ้ น ตามตัวอย่างดงั นี ตัวอย่างที่ 15 จงเขยี นกราฟของจานวนเชิงซอ้ น -3, 2i, 4 + 3i, 4 - i, -2 + 3i และ -1 - 3i วิธที า Y (-2, 3.) . (4, 3) (0, 2) (-3, 0) .X (-1, -3) . (4, -1) รปู ที่ 1 กราฟของจานวนเชิงซ้อนแทนด้วยจดุ ในระนาบเชงิ ซ้อน Y (-2, 3.) . (4, 3) (-3, 0) .X (-1, -3) . (4, -1) รูปที่ 2 กราฟของเวกเตอรท์ ี่มจี ดุ เร่ิมตน้ ท่ี (0, 0) และมีจดุ สน้ิ สุดที่ (a, b) ตวั อย่างท่ี 17 กาหนด z1 = 2 - i และ z2 = 3 + i จงหา 1) z12 2) z1 2 3) z2 4) -z2

วธิ ีทา 1) z12 = 4 - 4i + i2 = 3 - 4i = 32 + (-4)2 =5 ( )2) z1 2 = 22 + (-1)2 2 = ( 5 )2 =5 3) z2 = 3 + i = (3)2 + (1)2 = 10 4) -z2 = -(3 + i) = -3 - i = (-3)2 + (-1)2 = 10 ขนั้ สอน 1) ครูใหน้ ักเรียนทาแบบฝกึ หดั ท่ี 5 เร่อื ง กราฟและค่าสมั บรู ณ์ของจานวนเชิงซ้อน ขอ้ ที่ 4 - 6 2) ในระหวา่ งท่นี กั เรียนชว่ ยกนั ทาแบบฝึกหัด ครจู ะคอยให้คาแนะนาและเปิดโอกาสใหน้ กั เรยี นได้ ถามข้อสงสยั และเฉลยคาตอบในข้อทนี่ ักเรียนทาเสร็จแล้ว เพ่ือใหน้ ักเรยี นตรวจสอบความถกู ตอ้ งของคาตอบ และเพ่ือครูจะสามารถตรวจสอบความเขา้ ใจของนักเรียนในระหวา่ งเรยี นได้ ขั้นสรุป 1) นกั เรยี นและครูร่วมกนั สรุปความรู้เรอื่ ง กราฟและคา่ สมั บรู ณข์ องจานวนเชงิ ซ้อน ทไ่ี ดจ้ าก การเรียน และครูเปิดโอกาสให้นักเรยี นถามปญั หาข้อสงสยั ตา่ งๆ 2) ครูให้นักเรียนทาแบบฝกึ หดั ที่ 5 ขอ้ ที่ 4 - 6 หากนักเรยี นทาไม่เสร็จในชว่ั โมง จะใหน้ ักเรยี นนา กลับไปทาเปน็ การบ้าน แล้วครแู ละนกั เรียนจะร่วมกันเฉลยในชว่ งโมงถัดไป 3) ครูแนะนาให้นกั เรียนคน้ คว้าหาโจทยเ์ พิ่มเติมจากแหลง่ เรียนรู้ต่างๆ 10. สือ่ อปุ กรณ์ และแหล่งเรยี นรู้ 1) หนังสอื เรียนรายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร์ เล่ม 2 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรยี น เร่ือง จานวนเชิงซอ้ น

แผนการจัดกจิ กรรมการเรยี นรู้ กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์เพมิ่ เติม 4 ช่วงชน้ั ที่ 3 มธั ยมศึกษาปีท่ี 5 รหสั วิชา ค 32202 ภาคเรยี นท่ี 2 ปกี ารศึกษา 2563 หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 เรือ่ ง จานวนเชงิ ซ้อน เวลา 1 ช่ัวโมง ชอื่ ครูผูส้ อน นายคเณศ สมตระกลู โรงเรียนมัธยมวดั เบญจมบพิตร แผนการจัดการเรยี นร้ทู ี่ 9 เรอ่ื ง กราฟและคา่ สัมบูรณข์ องจานวนเชงิ ซอ้ น 1. ผลการเรยี นรู้/มาตรฐานการเรียนรู้ 1) เข้าใจจานวนเชงิ ซ้อนและใชส้ มบตั ขิ องจานวนเชิงซ้อนในการแก้ปัญหา 2. สาระสาคญั จานวนเชิงซอ้ นเขยี นอยู่ในรปู ของคู่อันดบั (a, b) หรือในรปู a + bi โดยที่ a เป็นสว่ นจรงิ และ b เป็นสว่ นจินตภาพ ดังนัน อาจแทนจานวนเชงิ ซ้อน (a, b) ใดๆ ด้วยจดุ ในระนาบได้เช่นเดยี วกบั การแทนคู่ อันดับในความสัมพันธใ์ ดๆ ด้วยจุดในระนาบในระบบพิกดั แก และเรยี กแกน X ว่า แกนจริง (real axis) เรยี ก แกน Y วา่ แกนจินตภาพ (imaginary axis) และเรยี กระนาบนวี ่า ระนาบเชงิ ซอ้ น (complex number) กราฟของจานวนเชงิ ซอ้ นมี 2 แบบ คือ 1) แทนดว้ ยจดุ ในระนาบเชิงซ้อน 2) แทนด้วยเวกเตอร์ทมี่ ีจุดเร่ิมตน้ ที่ (0, 0) และมีจุดสินสุดท่ี (a, b) บทนยิ าม ค่าสัมบูรณ์ (absolute value หรอื modulus) ของจานวนเชงิ ซ้อน (a, b) เขยี นแทนดว้ ย a + bi โดยท่ี a + bi = a2 + b2 ทฤษฎีบท กาหนด z, z1 และ z2 เปน็ จานวนเชิงซอ้ น จะได้วา่ 1) z = z z 2) z = -z = z 3) z1  z2 = z1  z2 4) z1 = z1 , z2  0 z2 z2 5) z-1 = z -1 6) z1 + z2  z1 + z2 7) z1 - z2  z1 - z2 8) zn = z n 9) z1 + z2 2 = z1 2 + 2Re(z1 z2 ) + z2 2 10) z1 - z2 2 = z1 2 - 2Re(z1 z2 ) + z2 2

3. ผลการการเรียนรทู้ คี่ าดหวัง 1) ด้านความรู้ (K) : นักเรียนสามารถ - เขา้ ใจจานวนเชงิ ซอ้ นและใชส้ มบัติของจานวนเชงิ ซ้อนในการแก้ปัญหา 2) ดา้ นทกั ษะ / กระบวนการ (P) : นกั เรียนสามารถ - แกโ้ จทยป์ ญั หาเรื่องกราฟและคา่ สมั บรู ณข์ องจานวนเชงิ ซ้อน ได้ - ใช้เหตุผลในการแกป้ ญั หากราฟและค่าสัมบรู ณข์ องจานวนเชงิ ซ้อน ได้ - เชือ่ มโยงความรู้ตา่ งๆ ของคณิตศาสตรไ์ ด้ - สอ่ื สาร ส่อื ความหมายทางคณติ ศาสตร์ และนาเสนอข้อมลู 3) ดา้ นคุณลักษณะอนั พงึ ประสงค์ (A) : นกั เรยี น - ทางานเปน็ ระบบ รอบคอบ - มีระเบยี บวนิ ัย - มีความรบั ผิดชอบ 4. ด้านคณุ ลกั ษณะของผู้เรยี นตามหลกั สูตรมาตรฐานสากล 1) เป็นเลิศวิชาการ 2) ส่อื สองภาษา 3) ลาหนา้ ทางความคิด 4) ผลิตงานอย่างสร้างสรรค์ 5. บรู ณาการตามหลักของปรัชญาเศรษฐกิจพอเพียง 1) หลกั ความมเี หตผุ ล ปฏิบัตงิ านโดยใช้ความคดิ แก้ปญั หาโดยใชป้ ญั ญา 2) เง่อื นไขความรู้ 6. สมรรถนะสาคญั ของผู้เรยี น 1) ความสามารถในการคิด 2) ความสามารถในการแกป้ ญั หา 7. ชนิ้ งาน / ภาระงาน 1) แบบฝึกหัด ที่ 5 ขอ้ ที่ 7 - 12 เร่อื ง กราฟและคา่ สัมบรู ณ์ของจานวนเชงิ ซ้อน

8. การวัดและประเมนิ ผล ผลการเรยี นรู้ วธิ กี ารวัดผล เคร่อื งมอื วดั ผล เกณฑก์ ารประเมิน ด้านความรู้ (K) แบบฝกึ หดั ที่ 5 นกั เรียนทาแบบฝกึ หดั 1. เขา้ ใจจานวนเชงิ ซ้อน พจิ ารณาจากความ ข้อที่ 7 - 12 ถกู ต้องรอ้ ยละ 60 และใชส้ มบัตขิ องจานวน ถูกต้องของแบบฝึกหดั ขนึ ไป ถอื ว่าผา่ นเกณฑ์ เชิงซอ้ นในการแก้ปญั หา ท่กี าหนด ด้านทักษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมนิ ผลด้าน นักเรยี นได้คะแนนระดบั 1) แกโ้ จทย์ปญั หาเรอื่ ง การสังเกต ทักษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตังแต่ 3 คะแนน กราฟและคา่ สัมบูรณ์ ขนึ ไป ถือวา่ ผา่ น ของจานวนเชงิ ซ้อน ได้ แบบประเมินผลด้าน นักเรยี นได้คะแนนระดับ 2) ใช้เหตผุ ลในการ การสงั เกต ทกั ษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตังแต่ 3 คะแนน แกป้ ญั หากราฟและ ขึนไป ถอื ว่าผ่าน คา่ สมั บูรณข์ องจานวน แบบประเมินผลด้าน เชงิ ซ้อน ได้ ทกั ษะ/กระบวนการ นักเรียนได้คะแนนระดบั 3) เชอ่ื มโยงความรู้ต่างๆ การสังเกต คณุ ภาพตังแต่ 3 คะแนน ของคณิตศาสตรไ์ ด้ ขึนไป ถือว่าผ่าน นักเรยี นไดค้ ะแนนระดับ 4) สื่อสาร สื่อ การสังเกต แบบประเมนิ ผลด้าน คุณภาพตังแต่ 3 คะแนน ทักษะ/กระบวนการ ขึนไป ถือว่าผ่าน ความหมายทาง แบบประเมนิ นักเรียนไดค้ ะแนนระดับ คณิตศาสตร์ และ คุณลักษณะอันพงึ คุณภาพตงั แต่ 2 คะแนน ประสงค์ ขนึ ไป ถือวา่ ผ่าน นาเสนอขอ้ มูล แบบประเมนิ นกั เรยี นไดค้ ะแนนระดับ คณุ ลักษณะอนั พงึ คุณภาพตั้งแต่ 2 คะแนน ด้านคุณลักษณะอันพึงประสงค์ (A) ประสงค์ ขน้ึ ไป ถอื ว่าผา่ น แบบประเมนิ นักเรียนได้คะแนนระดบั 1) ทางานอยา่ งเป็น การสงั เกต คณุ ลักษณะอันพงึ คุณภาพตัง้ แต่ 2 คะแนน ประสงค์ ข้นึ ไป ถือว่าผ่าน ระบบรอบคอบ 2) มีระเบียบวนิ ยั การสังเกต 3) มคี วามรับผิดชอบ การสงั เกต

9. กิจกรรมการเรยี นรู้ ขน้ั นา 1) ครูสนธนาทกั ทายนกั เรียน และทบทวนความรูเ้ รือ่ ง กราฟและค่าสมั บูรณข์ องจานวนเชงิ ซอ้ น ตามตวั อยา่ งดังนี ตัวอย่างที่ 16 จงเขียนกราฟแสดงจานวนเชงิ ซ้อน z ทังหมดในระนาบเชิงซ้อนซงึ่ สอดคลอ้ งกับสมการ วิธีทา 1) z - i = z - 1 2) z - 2  1 1) กาหนดจานวนเชิงซอ้ น z แทนดว้ ย (a, b) = a + bi จาก z - i = z - 1 a + bi - i = a + bi - 1 a + (b - 1)i = (a - 1) + bi a2 + (b - 1)2 = (a - 1)2 + b2 a2 + b2 - 2b + 1 = a2 - 2a + 1 + b2 -2a = -2b a=b ดงั นัน เขยี นกราฟของจดุ ทังหมดในระนาบเชงิ ซ้อนท่ี a = b ได้ดังรปู ท่ี 3 2) กาหนดจานวนเชิงซอ้ น z แทนด้วย (a, b) = a + bi จาก z - 2  1 a + bi - 2  1 (a - 2) + bi  1 (a - 2)2 + b2  1 (a - 2)2 + b2  1 ดังนนั เขยี นกราฟของจดุ ทงั หมดในระนาบเชงิ ซ้อนที่ (a - 2)2 + b2  1 ไดด้ ังรูปที่ 4 YY 3 -3 3 X 1 2 3X -3 รปู ที่ 3 รูปที่ 4

ตวั อยา่ งท่ี 18 จงหาคา่ สัมบรู ณข์ อง z เมื่อกาหนด z ดังนี วิธีทา 1) (1 + 2i)4i(5 - i) 2) 2 + 3i 1 + 2i 2+i 3) 1 + 1 + 3i 1) (1 + 2i)4i(5 -i) = (1 + 2i)4 i (5 -i) = 1 + 2i 4 5 -i = ( 5)4 26 2) 2 + 3i = 2 + 3i 1 + 2i 1 + 2i = 13 5 3) 1 + 2+i = 1 + 3i + 2 + i 1 + 3i 1 + 3i 3 + 4i = 1 + 3i ดังนนั 1 + 2+i = 3 + 4i 1 + 3i 1 + 3i = 25 10 =5 10 ข้นั สอน 1) ครูให้นักเรียนแบง่ กลมุ่ ช่วยกันทาแบบฝกึ หัดท่ี 5 ขอ้ ท่ี 7 - 12 เรือ่ ง กราฟและค่าสมั บรู ณข์ อง จานวนเชิงซ้อน และนาเสนอหน้าชันเรียน 2) ในระหวา่ งทนี่ ักเรยี นช่วยกนั ทาแบบฝกึ หัด ครูจะคอยให้คาแนะนาและเปดิ โอกาสให้นกั เรียนได้ ถามข้อสงสัย เพ่ือครูจะสามารถตรวจสอบความเข้าใจของนักเรยี นในระหวา่ งเรียนได้