Matematika Kelas X

c. Harga pembelian Rp240.000,00 per Rp60.000.000,00. Dengan harga ini lusin, harga penjualan Rp22.500,00 diperoleh keuntungan sebesar 20%. per buah. Tentukan harga pembelian mobil itu. d. Harga pembelian Rp4.800,00, per kg, 4. Seekor kambing dibeli dengan harga harga penjualan Rp600,00 per ons. Rp600.000,00. Berapa rupiah kambing itu harus dijual agar diperoleh keuntungan 2. Pak Togar mendapat untung 8% dari har- 8%? ga pembelian seekor sapi. Jika Pak To- gar memperoleh untung Rp680.000,00, 5. Risma menjual sepedanya dengan harga tentukan harga penjualan sapi itu. Rp275.000,00 dan mendapat untung 5%. Berapakah harga pembeliannya? 3. Dengan ongkos perbaikan Rp50.000,00, sebuah mobil laku dijual seharga (Menumbuhkan krea- B . RABAT (DISKON), BRUTO, TARA, DAN tivitas) NETO Datanglah ke super- 1. Rabat (Diskon) market atau swalayan terdekat. Amati ba- Rabat artinya potongan harga atau lebih dikenal dengan istilah rang-barang yang diskon. Pernahkah kalian pergi ke swalayan menjelang hari raya didiskon. Tulislah 5 je- atau tahun baru? Biasanya menjelang hari raya atau tahun baru, nis barang beserta toko-toko, supermarket atau swalayan memberikan potongan harga harga jual dan diskon- untuk menarik para pembeli yang akan berbelanja. Potongan harga nya. Lalu, hitunglah inilah yang disebut rabat (diskon). Biasanya diskon (rabat) ini harga barang tersebut diperhitungkan dengan persen. setelah dipotong diskon. Susunlah Dalam pemakaiannya, terdapat perbedaan istilah antara rabat dalam bentuk tabel, dan diskon. Istilah rabat digunakan oleh produsen kepada grosir, hasilnya kumpulkan agen, atau pengecer, sedangkan istilah diskon digunakan oleh grosir, kepada gurumu. agen, atau pengecer kepada konsumen. Seseorang membeli baju di Penyelesaian: Toko Anugerah seharga Harga pembelian = Rp85.000,00 Rp85.000,00. Toko terse- Diskon 20% = 20 × Rp85.000, 00 but memberikan diskon 20% untuk setiap pembe- 100 lian. Berapakah uang yang = Rp17.000,00 harus ia bayar? Uang yang harus dibayar = Rp85.000,00 – Rp17.000,00 = Rp68.000,00 Jadi, uang yang harus ia bayarkan sebesar Rp68.000,00. 142 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut. Harga bersih = harga kotor – rabat (diskon) dimana: harga kotor adalah harga barang sebelum dipotong ra- bat (diskon). harga bersih adalah harga barang sesudah dipotong ra- bat (diskon). 2. Bruto, Tara, dan Neto Gambar 5.2 Coba perhatikan pada saat kalian membeli makanan kecil atau saat ibu membeli gula pasir. Berat barang yang kalian beli merupakan berat kotor, artinya berat makanan kecil ditambah berat kemasannya. Berat kemasan barang seperti plastik, karung, kertas disebut tara. Berat barang beserta kemasannya disebut berat kotor atau bruto, sedangkan berat barangnya saja disebut berat bersih atau neto. Dengan demikian dapat disimpulkan sebagai berikut. Bruto = neto + tara (Menumbuhkan krea- Neto = bruto – tara tivitas) Tara = bruto – neto Amatilah bekas kema- Jika diketahui persen tara dan bruto, kalian dapat mencari san barang-barang tara dengan rumus berikut. yang ada di rumahmu. Perhatikan berat neto Tara = persen tara u bruto yang tercantum di se- tiap kemasan barang Untuk menentukan harga bersih setelah memperoleh tersebut. Timbanglah potongan berat (tara) dapat dirumuskan sebagai berikut. berat kemasannya untuk memperoleh Harga bersih = neto u harga/satuan berat tara. Lakukan hal itu pada 5 buah barang yang berbeda. Hitunglah berat bruto dari tiap barang. Susunlah dalam sebuah tabel, hasilnya serahkan kepada gurumu. Ibu membeli 5 kaleng susu. Penyelesaian: Di setiap kaleng itu tertulis Bruto setiap kaleng = 6 kg : 5 = 1,2 kg neto 1 kg. Setelah ditim- Tara setiap kaleng = 1,2 kg – 1 kg = 0,2 kg bang ternyata berat seluruh kaleng susu tersebut 6 kg. Berapakah bruto dan tara setiap kaleng? Perbandingan dan Aritmetika Sosial 143

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 1. Salin dan lengkapilah tabel berikut. 5. Seorang pedagang membeli 1 peti buah anggur dengan berat bruto 50 kg dan tara Harga Mula- Diskon Harga yang 4%. Buah anggur tersebut dijual di mana No. mula Dibayar 30 kg dijual dengan harga Rp15.000,00 10% per kg dan 12 kg dijual dengan harga a. Rp45.000,00 20% .... Rp13.000,00 per kg, sedangkan sisanya b. .... ...% Rp64.000,00 dijual dengan harga Rp12.000,00 per kg. c. Rp60.000,00 25% Rp52.500,00 Jika dari penjualan tersebut pedagang itu d. .... 30% Rp93.750,00 memperoleh laba 25%, tentukan harga e. Rp95.000,00 .... pembelian buah anggur tersebut. 2. Salin dan lengkapilah tabel berikut. 6. Seorang pedagang membeli 6 karung kedelai dengan bruto masing-masing 80 No. Bruto Tara Neto kg dan tara 3%. Jika harga pembelian kedelai tiap kg Rp4.000,00, tentukan a. 5,5 kg 0,3 kg .... a. besarnya tara; b. 8,8 kg ... kg 8,65 kg b. jumlah uang yang harus dibayarkan; c. ... kg 550 g 349,45 kg c. besar keuntungan yang diperoleh d. ... kg 450 g 4,55 kg apabila dijual dengan harga e. 500 g 2% Rp4.300,00 per kg. ... kg 7. Sebuah sekolah membeli 120 buku 3. Setiap pembelian sebuah buku matemati- matematika dengan harga Rp4.250,00 ka di Toko Arum diberikan rabat 5% dari per buah. Sales buku matematika harga patokan penerbit. Jika besarnya memberikan rabat 20% kepada sekolah rabat yang diterima Rp1.750,00, tentukan tersebut. Tentukan harga pembelian yang a. harga patokan penerbit untuk sebuah harus dibayar sekolah tersebut. buku matematika; b. jumlah uang yang harus dibayar jika 8. Koperasi “Usaha Tani” membeli pupuk membeli 60 buku matematika. sebanyak 10 karung dengan bruto 7 kuintal. Setiap karung pupuk mempunyai 4. Seorang pedagang membeli 8 karung be- berat yang sama. Jika taranya 3%, ras dengan bruto masing-masing 75 kg tentukan neto setiap karung pupuk. dan tara 2%. Berapakah pedagang itu harus membayar jika harga tiap kg beras Rp2.500,00? 144 (Menumbuhkan inovasi) Bentuklah kelompok terdiri atas 2 siswa, 1 laki-laki dan 1 perem- puan. Datanglah ke koperasi tani di daerahmu. Tanyakan berat bruto dan tara dari tiap karung pupuk yang ada (minimal 4 jenis pupuk). Tanyakan pula harga penjualan dari pupuk tersebut. Hitunglah neto dari tiap karung pupuk. Hitung pula jumlah uang yang harus dibayarkan jika membeli 5 karung pupuk (untuk tiap jenis pupuk). Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

C. BUNGA TABUNGAN DAN PAJAK 1. Bunga Tabungan Iwan menabung di se- buah bank tanggal 15 Apabila kita menyimpan uang di bank, maka kita akan Desember 2007 sebe- mendapatkan tambahan uang yang disebut bunga. Bunga tabungan sar Rp2.000.000,00. dihitung berdasarkan persen nilai. Bunga tabungan dihitung secara Bank tersebut memberi periodik, misalnya sebulan sekali atau setahun sekali. Ada dua jenis bunga sebesar 12% bunga tabungan, yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk. Bunga setahun. Pada tanggal tunggal adalah bunga yang dihitung hanya berdasarkan besarnya 1 April 2008 tabungan- modal saja, sedangkan bunga majemuk adalah bunga yang dihitung nya diambil. Tentukan berdasarkan besarnya modal dan bunga. Pada pembahasan ini besar bunga yang kita hanya akan mempelajari mengenai bunga tunggal. diterima Iwan. Vega menyimpan uang di Penyelesaian: bank sebesar Modal = Rp2.000.000,00; bunga = 18% setahun. Rp2.000.000,00 dengan a. Bunga akhir bulan pertama suku bunga 18% setahun dengan bunga tunggal. = 1 × 18 × Rp2.000.000, 00 Tentukan 12 100 a. besarnya bunga pada = Rp30.000,00 akhir bulan pertama; b. Bunga akhir bulan keenam b. besarnya bunga pada = 6 × 18 × Rp2.000.000, 00 akhir bulan keenam; 12 100 = Rp180.000,00 c. besarnya uang setelah 2 tahun. c. Bunga 2 tahun = 2× 18 × Rp2.000.000,00 100 = Rp720.000,00 Jumlah uang seluruhnya = Rp2.000.000,00 + Rp720.000,00 = Rp2.720.000,00 Jadi, jumlah uang setelah 2 tahun adalah Rp2.720.000,00. 2. Pajak Perhatikan setiap ibu kalian membayar pajak listrik. Pajak tersebut biasanya dibayarkan setiap bulan. Perhatikan pula saat kalian membeli barang, di setiap kemasannya biasanya tertera Perbandingan dan Aritmetika Sosial 145

(Menumbuhkan krea- tulisan harga ini sudah termasuk pajak. Jadi, menurut kalian, tivitas) apa sebenarnya pajak itu? Mintalah struk pajak Pajak adalah suatu kewajiban yang dibebankan kepada listrik rumahmu bulan masyarakat untuk menyerahkan sebagian kekayaan kepada negara lalu kepada ibumu. menurut peraturan-peraturan yang telah ditetapkan pemerintah. Tanyakan hal-hal yang Jadi, pajak bersifat mengikat dan memaksa. berkaitan dengan struk pajak tersebut Banyak sekali jenis-jenis pajak, antara lain Pajak Bumi dan kepada ibumu/kepada Bangunan (PBB), Pajak Pertambahan Nilai (PPN), dan Pajak orang yang lebih tahu. Penghasilan (PPh). Perhitungan nilai pajak akan kalian pelajari Ceritakan pada bagian ini. pengalamanmu di depan kelas. (Menumbuhkan inovasi) Bentuklah kelompok yang terdiri atas 4 siswa, 2 laki-laki dan 2 pe- rempuan. Bacalah materi mengenai pajak. Kamu dapat memper- olehnya di buku-buku referensi, media cetak, internet, atau media lainnya. Tulislah uraian mengenai jenis pajak tertentu. Berilah contoh masalah dan cara menghitungnya. Diskusikan hal ini dengan kelompokmu. Hasilnya, laporkan kepada gurumu. Pak Putu memperoleh gaji Penyelesaian: Rp950.000,00 sebulan Besar gaji = Rp950.000,00; dengan penghasilan tidak Penghasilan tidak kena pajak = Rp380.000,00 kena pajak Rp380.000,00. PPh = 10% Jika pajak penghasilan Besar penghasilan kena pajak (PPh) diketahui 10%, = Rp950.000,00 – Rp380.000,00 berapakah besar gaji yang = Rp570.000,00 diterima Pak Putu per Besar pajak penghasilan = 10% u penghasilan kena pajak bulan? 10 u Rp570.000,00 100 Rp57.000,00 Gaji yang diterima = Rp950.000,00 – Rp57.000,00 = Rp893.000,00 Jadi, besar gaji yang diterima Pak Putu per bulan adalah Rp893.000,00. 146 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 1. Uang sebesar Rp250.000,00 ditabung di membayar dengan tunai. Berapakah bank dengan bunga tunggal 16% per ta- uang yang harus dibayar oleh Pak Nyo- hun. Tentukan man? a. besar bunga selama 1 tahun; 4. Hanik menabung pada sebuah bank se- besar Rp6.000.000,00 dan mendapat b. besar bunga selama 9 bulan; bunga sebesar 12% per tahun. Jika besar bunga yang diterima Hanik c. setelah berapa lama uang tersebut Rp540.000,00, tentukan lama Hanik menjadi Rp340.000,00. menabung. 2. Ibu membeli 3 liter minyak goreng dengan 5. Agam menyimpan uang di bank sebesar harga Rp7.500,00 per liter dan 4 kg sabun Rp800.000,00. Setelah 6 bulan ia mene- detergen dengan harga Rp8.500,00 per rima bunga sebesar Rp48.000,00. Tentu- kg. Jika besarnya pajak penjualan 10%, kan besar suku bunga di bank tersebut. berapa rupiah ibu harus membayar? Petunjuk: 3. Pak Nyoman membeli sebuah mesin cuci Gunakan kalkulator untuk mempermudah dengan harga Rp1.750.000,00 dan dike- perhitungan soal di atas. nakan pajak pertambahan nilai sebesar 12%, tetapi mendapat diskon 5% karena D. PERBANDINGAN 1. Pengertian Perbandingan (Berpikir kritis) Untuk memudahkan kalian memahami mengenai perban- Ibu memberi uang dingan, perhatikan uraian berikut. saku sebesar Rp5.000,00. Sebanyak Berat badan Riam 24 kg, sedangkan berat badan Yoga 30 kg. Perbandingan berat badan Riam dan Yoga dapat dinyatakan dengan 2 dua cara berikut. bagian dari uang a. Berat badan Riam kurang dari berat badan Yoga. Dalam hal 5 ini, yang dibandingkan adalah selisih berat badan. saku itu dibelikan alat b. Berat badan Riam : berat badan Yoga = 24 : 30 = 4 : 5. Dalam tulis. Berapa sisa uang saku tersebut? hal ini, yang dibandingkan adalah hasil bagi berat badan Riam dan berat badan Yoga. Berdasarkan uraian tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut. Ada dua cara dalam membandingkan dua besaran sebagai berikut. a. Dengan mencari selisih. b. Dengan mencari hasil bagi. Perbandingan dan Aritmetika Sosial 147

(Menumbuhkan krea- 2. Menyederhanakan Perbandingan Dua Besaran Sejenis tivitas) Agar kalian dapat membandingkan dan menyederhanakan Carilah resep mem- dua besaran sejenis, perhatikan uraian berikut. buat kue di koran, tabloid, majalah, atau Sebuah meja berukuran 150 cm dan lebar 100 cm. Perban- media lainnya. dingan panjang dan lebar meja dapat dilakukan dengan dua cara, Salinlah resep yaitu dengan mencari selisihnya, 150 cm – 100 cm = 50 cm atau tersebut. Kemudian, dapat pula dengan mencari hasil baginya, yaitu 150 : 100 = 3 : 2. tuliskan perbandingan bahan-bahan untuk Panjang dan lebar meja adalah dua besaran sejenis, karena membuat kue terse- mempunyai satuan yang sama, yaitu cm. Namun, panjang meja but. Hasilnya, cerita- dan luas meja adalah dua besaran tidak sejenis, karena mempunyai kan secara singkat di satuan yang berbeda sehingga tidak dapat dibandingkan. depan kelas. Dalam pembahasan ini, kita akan membandingkan dua besaran sejenis dengan cara mencari hasil bagi. 1. Nyatakan perbanding- Penyelesaian: an berikut dalam ben- tuk yang paling seder- a. 2 1 :11 5 : 5 hana. 2 4 24 a. 2 1 :11 24 § 5 u 4 · : § 5 u 4 · b. 400 cm3 : 1 l ©¨ 2 ¹¸ ©¨ 4 ¹¸ 2. Harga telur 10 : 5 2 :1 Rp10.000,00 per kg. Saat ini harga telur naik b. 400 cm3 : 1 l = 400 cm3 : (1 u 1.000) cm3 6 : 5 dari harga semula. = 400 : 1.000 Berapakah harga telur = 4 : 10 = 2 : 5 per kg sekarang? Penyelesaian: Harga telur setelah naik : harga telur semula = 6 : 5. Harga telur setelah naik 6 u Rp10.000,00 5 = Rp12.000,00. 148 (Berpikir kritis) Pada suatu kelas terdapat 25 siswa laki-laki dan 20 siswa perempuan. a. Berapakah perbandingan antara jumlah siswa laki-laki terhadap jumlah seluruh siswa? b. Berapakah perbandingan antara jumlah siswa perempuan terhadap jumlah seluruh siswa? Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 1. Nyatakan perbandingan berikut dalam b. perbandingan panjang terhadap keli- bentuk yang paling sederhana. ling dalam bentuk paling sederhana; a. 75 cm : 90 cm b. 200 g : 7 kg c. perbandingan lebar terhadap keliling c. 5 l : 20 ml dalam bentuk paling sederhana. d. 2 kodi : 30 biji e. 60 buah : 1 lusin 3. Harga beras Rp4.800,00 per kg. Saat ini, f. 3 lusin : 1 gros harga tersebut naik dengan perbandingan 4 : 3. Berapakah harga beras itu seka- g. 11 jam : 35 menit rang? 4 4. Perbandingan panjang sisi dua kubus h. 3,4 ha : 170 are adalah 2 : 5. Jika volume kubus kecil 2. Sebuah persegi panjang berukuran pan- 216 cm3, tentukan jang 12 cm dan lebar 8 cm. Tentukan a. volume kubus besar; a. perbandingan panjang terhadap lebar b. panjang masing-masing sisi dari ke- dalam bentuk paling sederhana; dua kubus tersebut. E. GAMBAR BERSKALA 1. Pengertian Skala Skala 1 : 100 Pernahkah kalian menggambar sebuah rumah? Bandingkan Sumber: Ensiklopedi Mate- ukuran rumah pada gambar kalian dengan ukuran rumah matika dan Per- sesungguhnya, tentu lebih kecil, bukan? Ukuran rumah pada gambar kalian adalah salah satu contoh gambar berskala. Pada adaban Manusia, gambar berskala digunakan perbandingan. Perbandingan antara 2003 ukuran rumah pada gambar dengan ukuran rumah sebenarnya dinamakan skala. Perhatikan Gambar 5.3. Gambar 5.3 Gambar tersebut menunjukkan sebuah rumah dengan skala 1 : 100. Skala 1 : 100, artinya setiap jarak 1 cm pada gambar (model) mewakili 100 cm jarak sebenarnya. Jika lebar rumah pada gambar 7 cm maka lebar rumah sesungguhnya adalah 7 u 100 cm = 700 cm = 7 m. Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut. Skala adalah perbandingan antara jarak pada gambar (model) dengan jarak sebenarnya. Perbandingan dan Aritmetika Sosial 149

Skala jarak pada gambar (model) jarak sebenarnya Secara umum, skala 1 : p artinya setiap jarak 1 cm pada gambar (model) mewakili p cm jarak sebenarnya. Catatan Skala biasanya dituliskan pada bagian bawah peta, denah, model gedung, dan gambar berskala lainnya. Penulisan skala yang baik adalah dalam bentuk perbandingan pa- ling sederhana. Diketahui skala suatu peta Penyelesaian: 1 : 1.500.000. Jika jarak Skala = 1 : 1.500.000 Kota A ke Kota B pada pe- Jarak pada peta = 6 cm. ta tersebut 6 cm, tentukan jarak sebenarnya Kota A Skala jarak pada gambar (model) ke Kota B. jarak sebenarnya 1 6 cm 1.500.000 jarak sebenarnya Jarak sebenarnya = 6 u 1.500.000 cm = 9.000.000 cm = 90 km Jadi, jarak sebenarnya Kota A ke Kota B adalah 90 km. Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 1. Salin dan lengkapilah tabel berikut. menggunakan skala 1 : 1.000.000, bera- pakah jarak sebenarnya kedua kota itu? No. Skala Ukuran Ukuran pada Peta Sebenarnya 3. Jarak antara dua kota pada peta adalah a. .... 8 cm, sedangkan jarak sebenarnya b. 1 : 650.000 5 cm 25 km adalah 40 km. Berapakah skala pada peta c. .... 6,5 cm .... itu? d. 1 : 1.050.000 2 cm 16 km 4. Jarak antara Kota A dan Kota B adalah .... 31,5 km 350 km. Tentukan jarak kedua kota ter- sebut pada peta dengan skala 1 : 650.000. 2. Jarak antara dua kota kabupaten pada peta adalah 6 cm. Jika peta tersebut 150 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

5. Jarak dua sungai pada peta adalah 2 cm. a. besar skalanya; Hitunglah jarak sebenarnya jika digu- b. jarak sebenarnya, jika jarak pada nakan skala 1 : 1.500.000. peta 12 km; 6. Sebuah peta dibuat sehingga jarak 4 cm c. jarak pada peta, jika jarak sebenar- mewakili 60 km. Tentukan nya 645 km. 2. Faktor Skala pada Gambar Berskala (Menumbuhkan inovasi) Skala pada peta yang sering kalian jumpai menunjukkan skala pengecilan. Artinya, ukuran pada peta lebih kecil dari ukuran Bacalah buku, majalah, sebenarnya. Hal ini disebut faktor skala. Faktor skala dapat berupa media massa, atau perbesaran dan pengecilan. Contohnya, foto benda. Pada foto internet yang berkaitan tampak kesamaan bentuk antara foto dan benda sebenarnya. Foto dengan tata ruang dapat diperbesar atau diperkecil. (desain) rumah. Carilah gambar berskala yang Pada gambar berskala selalu berlaku hal berikut. ada (minimal 5 a. Mengubah ukuran tetapi tidak mengubah bentuk. gambar). Tentukan b. Ukuran dapat diperbesar atau diperkecil. skala dan faktor skala pada tiap gambar tersebut. Ceritakan pengalamanmu secara singkat di depan kelas. Sebuah foto berukuran le- Penyelesaian: bar 8 cm dan tinggi 12 cm akan dibuat bingkai dengan Faktor skala = 8 cm : 16 cm = 1 : 2. lebar 16 cm. Tentukan Ukuran-ukuran pada foto bersesuaian dengan ukuran pada faktor skala dan tinggi bingkainya, sehingga dapat ditulis perbandingan berikut. bingkai foto tersebut. lebar foto tinggi foto lebar bingkai tinggi bingkai œ8 12 16 x œx 16 u12 œx 8 24 cm Jadi, tinggi bingkai = 24 cm. Skala 1 : 2 pada contoh tersebut menunjukkan faktor skala perbesaran. (Menumbuhkan kreativitas) 151 Ambillah atlas. Bukalah peta provinsi tempat tinggalmu. Lihatlah skala pada peta tersebut. Tentukan jarak sebenarnya kota tempat tinggalmu dengan kota-kota lain di provinsimu (minimal 5 kota). Perbandingan dan Aritmetika Sosial

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 1. Diketahui skala suatu peta 1 : 2.000.000. Tentukan Tentukan jarak pada peta, jika jarak a. besar skalanya; sebenarnya b. perbandingan luas tanah pada gam- a. 60 km; c. 90 km; bar dengan luas sebenarnya. b. 75 km; d. 250 km. 4. Sebuah pesawat terbang, panjang badan dan lebar sayapnya berturut-turut 90 m 2. Diketahui jarak sebenarnya Kota P ke dan 40 m. Jika akan dibuat model pesa- Kota Q adalah 12 km. Tentukan skalanya wat dengan panjang badan 54 cm, jika jarak pada peta sebagai berikut. tentukan lebar sayap pada model. a. 12 cm c. 30 cm 5. Panjang sebenarnya badan sebuah mobil adalah 5,6 m. Jika dibuat model mobil b. 24 cm d. 80 cm dengan panjang 3,2 cm, berapakah skala yang digunakan dalam pembuatan mobil 3. Sebidang tanah berbentuk persegi ber- itu? ukuran (64 m u 64 m). Tanah itu di- gambar dengan ukuran (16 cm u 16 cm). F. BENTUK-BENTUK PERBANDINGAN (Menumbuhkan krea- Pada bab terdahulu kalian telah mempelajari bahwa pecahan tivitas) dapat dinyatakan sebagai perbandingan dua buah bilangan. Bentuklah kelompok Secara umum ada dua macam perbandingan, yaitu perban- yang terdiri atas 4 sis- dingan senilai dan perbandingan berbalik nilai. wa, 2 laki-laki dan 2 pe- rempuan. 1. Perbandingan Senilai (Seharga) Amatilah kejadian di Pernahkah kalian membeli buku di toko buku? lingkungan sekitarmu. Kalian dapat membeli sejumlah buku sesuai dengan jumlah Banyak sekali kejadian uang yang kalian punya. Jika harga 1 buah buku Rp2.500,00 maka dalam kehidupan se- harga 5 buah buku = 5 u Rp2.500,00 hari-hari yang merupa- kan perbandingan = Rp12.500,00. senilai. Tulislah 10 hal Makin banyak buku yang dibeli, makin banyak pula harga yang termasuk per- yang harus dibayar. Perbandingan seperti ini disebut perbandingan bandingan senilai. senilai. Kamu dapat juga membaca buku-buku Pada perbandingan senilai, nilai suatu barang akan naik/turun referensi atau media sejalan dengan nilai barang yang dibandingkan. cetak untuk membantu pekerjaanmu. Ceritakan pengalaman- mu secara singkat di depan kelas. 152 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

Sebuah mobil memerlukan Penyelesaian: 3 liter bensin untuk me- nempuh jarak 24 km. Cara 1 Berapa jarak yang ditem- 3 liter bensin menempuh jarak 24 km, sehingga 1 liter bensin puh mobil itu jika meng- habiskan 45 liter bensin? menempuh jarak = 24 km = 8 km. 3 Jarak yang dapat ditempuh dengan 45 liter bensin = 45 u 8 km = 360 km. Cara 2 Banyak Bensin Jarak yang Ditempuh 3 liter 24 km 45 liter x x = 45 u 24 km = 360 km 3 Jadi, jarak yang dapat ditempuh dengan 45 liter bensin adalah 360 km. Dari contoh di atas, jika banyaknya bensin bertambah maka jarak yang ditempuh juga bertambah. Penyelesaian seperti cara 1 pada contoh di atas disebut perhitungan perbandingan senilai melalui perhitungan nilai satuan. Adapun penyelesaian seperti cara 2 pada contoh di atas disebut perhitungan perbandingan senilai melalui perbandingan. Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 1. Harga 2 buah sabun mandi Rp3.500,00. 4. Sebuah mobil membutuhkan 9 liter Berapakah harga 3,5 lusin sabun mandi bensin untuk menempuh jarak 108 km. yang sama? Tentukan jarak yang ditempuh apabila mobil tersebut telah menghabiskan 12,5 2. Harga 3 liter bensin Rp13.500,00. Jika liter bensin. seseorang membeli dengan uang Rp27.000,00, berapa liter bensin yang 5. Sebuah tumpukan yang terdiri atas 72 diperolehnya? buah buku beratnya 9 kg dan tiap buku sama berat. Tentukan banyaknya buku 3. Setiap 10 gram kuning telur ayam me- apabila tumpukan tersebut beratnya 6 kg. ngandung kolesterol 2.000 mg. Bera- pa kolesterol yang terkandung dalam 150 gram kuning telur ayam? Perbandingan dan Aritmetika Sosial 153

6. Dalam 1 minggu, sebuah toko membeli 7. Uang sebesar Rp24.000,00 dapat dibe- 15 botol kecap dengan harga likan 3 kg apel. Berapa kg apel yang Rp127.500,00. Jika pada minggu beri- dapat dibeli dengan uang Rp40.000,00? kutnya memesan 2 lusin botol kecap, tentukan uang yang harus dibayar oleh 8. Perbandingan panjang sisi-sisi segitiga toko itu. adalah 3 : 4 : 5. Jika kelilingnya 48 cm, tentukan panjang masing-masing sisi segitiga. 2. Perbandingan Berbalik Nilai (Berbalik Harga) Kalian telah mempelajari bahwa pada perbandingan senilai, nilai suatu barang akan naik/turun sejalan dengan nilai barang yang dibandingkan. Pada perbandingan berbalik nilai, hal ini berlaku sebaliknya. Seorang peternak mempu- Penyelesaian: nyai persediaan makanan untuk 30 ekor kambing se- Cara 1 lama 15 hari. Jika peternak 30 ekor kambing selama 15 hari dan (30 – 5) = 25 ekor itu menjual 5 ekor kambing, kambing selama x hari. Hal ini dapat dituliskan sebagai berapa hari persediaan berikut. makanan itu akan habis? 30 u15 25u x 450 25x x 450 18 25 Jadi, untuk 25 ekor kambing, persediaan makanan akan (Menumbuhkan habis selama 18 hari. kreativitas) Cara 2 Bentuklah kelompok Banyak Kambing (Ekor) Banyak Hari terdiri atas 4 siswa, 2 laki dan 2 perempuan. 30 15 Amatilah kejadian di 25 x lingkungan sekitarmu. Tulislah 5 hal yang x 30 u15 18 termasuk perbanding- 25 an berbalik nilai. Ka- mu dapat juga mem- Jadi, untuk 25 ekor kambing, persediaan makanan akan baca buku-buku refe- rensi atau media cetak habis selama 18 hari. untuk membantu pe- kerjaanmu. Ceritakan Berdasarkan contoh di atas, makin sedikit jumlah kambing, pengalamanmu makin lama persediaan makanan akan habis. Perbandingan antara secara singkat di banyak kambing dengan lama hari persediaan makanan habis depan kelas. adalah salah satu contoh perbandingan berbalik nilai. 154 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

Jadi, pada perbandingan berbalik nilai berlaku hal berikut. Jika nilai suatu barang naik maka nilai barang yang dibandingkan akan turun. Sebaliknya, jika nilai suatu barang turun, nilai barang yang dibandingkan akan naik. Seorang pemborong memperkirakan dapat menyelesaikan suatu bangunan selama 45 hari dengan banyak pekerja 20 orang. Setelah 15 hari, pekerjaan terhenti selama 6 hari karena bahan bangunan habis. Tentukan banyaknya pekerja yang harus ditambah agar pekerjaan selesai tepat waktu. Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 1. Tentukan perbandingan berikut termasuk 3. Sekeranjang jeruk dibagikan kepada 36 perbandingan senilai atau berbalik nilai. orang anak, masing-masing mendapat- a. Kecepatan dengan waktu yang kan 6 buah jeruk. Jika jeruk tersebut ditempuh. dibagikan kepada 24 anak, tentukan b. Banyak pensil dengan harga pensil. bagian masing-masing anak. c. Lama hari dengan biaya menginap. d. Waktu yang diperlukan dengan jarak 4. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan oleh yang ditempuh. 25 orang dalam waktu 60 hari. Jika ba- e. Lama hari dengan banyak pekerja. nyaknya pekerja ditambah 5 orang, tentukan waktu yang diperlukan untuk 2. Sebuah kereta api berjalan selama 5 jam menyelesaikan pekerjaan tersebut. dengan kecepatan rata-rata 56 km/jam. Jika kereta api yang lain dapat menem- 5. Seorang pedagang dapat membeli 35 puh jarak tersebut dalam waktu 4 jam, buah buku tulis dengan harga tentukan kecepatan rata-ratanya. Rp1.350,00 per buah. Jika dengan jumlah uang yang sama ia menghendaki membeli 45 buah buku tulis, berapakah harga tiap-tiap buku? 3. Menggambar Grafik Perbandingan 155 Pada perbandingan senilai dan perbandingan berbalik nilai, dapat dibuat grafik perbandingannya. Menurutmu, berupa apakah grafik perbandingan senilai dan berbalik nilai? Untuk dapat menjawabnya, perhatikan uraian berikut. a. Grafik perbandingan senilai Tabel berikut menunjukkan hubungan antara jarak yang dapat ditempuh dan waktu yang diperlukan oleh seorang siswa yang mengendarai sepeda. Perbandingan dan Aritmetika Sosial

Jarak (km) 123456 Waktu (menit) 18 Waktu (menit) 3 6 9 12 15 18 15 12 Gambar di samping menunjukkan grafik dari tabel di atas. 9 Tampak bahwa grafik perbandingan senilai berupa garis 6 lurus. Jika jarak bertambah (makin jauh), waktu yang dibutuhkan 3 bertambah (makin lama). 0 123456 Jarak (km) b. Grafik perbandingan berbalik nilai Gambar 5.4 Agar kalian mudah dalam membuat grafik perbandingan, buatlah tabel atau daftar terlebih dahulu. Jarak antara dua kota da- Penyelesaian: pat ditempuh dengan mobil selama 1 jam dengan kece- Waktu (jam) 0,75 1 1,5 2 2,5 3 4 patan rata-rata 90 km/jam. Buatlah tabel dari data ter- Kecepatan (km/jam) 120 90 60 45 36 30 22,5 sebut, kemudian gambar- lah grafiknya. Grafik dari tabel di atas sebagai berikut. 120 Kecepatan (km/jam) 90 60 45 36 30 20 0 0,75 1 1,5 2 2,5 3 4 Waktu (menit) Gambar 5.5 Dari grafik di atas, dapat disimpulkan bahwa grafik perbandingan berbalik nilai berupa kurva mulus. Jika waktu bertambah (makin lama), kecepatan berkurang (makin turun). Sebaliknya, jika waktu berkurang (makin cepat), kecepatan bertambah (makin naik). 156 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 1. Sebuah sepeda motor memerlukan ben- b. Tentukan banyaknya pekerja, jika sin 1 liter untuk menempuh jarak 20 km. pekerjaan tersebut selesai dalam waktu 8 hari. a. Banyak bensin (l) 1 2 3 4 5 6 3. Harga 3 kg beras Rp18.600,00. Jarak (km) 20 ... ... ... ... ... a. Buatlah grafik dari keterangan di atas. b. Berapakah harga 18 kg beras? Salin dan lengkapilah tabel di atas, kemudian gambarlah grafiknya. 4. Sekotak permen dibagikan kepada 12 Kesimpulan apa yang dapat kalian anak. Ternyata setiap anak menerima ambil dari grafik tersebut? 8 buah. a. Buatlah grafik dari keterangan ter- b. Dengan 2,5 liter bensin, tentukan ja- sebut, dengan membuat tabel terlebih rak yang dapat ditempuh sepeda mo- dahulu. tor tersebut. b. Jika permen dibagikan kepada 24 anak, berapakah bagian permen 2. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan oleh yang diterima setiap anak? 2 orang dalam waktu 24 hari. a. Buatlah grafik dari keterangan di atas. G. MEMECAHKAN MASALAH SEHARI-HARI YANG MELIBATKAN KONSEP PERBANDINGAN Jika kalian amati masalah dalam kehidupan sehari-hari, banyak di antaranya dapat diselesaikan dengan konsep per- bandingan. Untuk menyelesaikannya, tentukan terlebih dahulu apakah perbandingan tersebut merupakan perbandingan senilai atau berbalik nilai. Kemudian, selesaikan perhitungan sesuai dengan jenis perbandingannya. Seorang pedagang mem- Penyelesaian: beli 24 kg mangga seharga Rp42.000,00. Pada hari Soal di samping termasuk perbandingan senilai, karena berikutnya, ia membeli 60 makin banyak mangga yang dibeli, harga yang harus kg mangga dengan kualitas dibayar juga makin bertambah. yang sama. Tentukan be- sarnya uang yang harus dibayar oleh pedagang itu. Perbandingan dan Aritmetika Sosial 157

Cara 1 Harga 24 kg mangga = Rp42.000,00 Harga 1 kg mangga = Rp42.000,00 24 = Rp1.750,00 Harga 60 kg mangga = 60 u Rp1.750,00 = Rp105.000,00 Jadi, pedagang tersebut harus membayar Rp105.000,00. Cara 2 Banyak Mangga Harga yang Harus (kg) Dibayar (Rp) 24 42.000 60 x x 60 u 42.000 105.000 24 Jadi, pedagang tersebut harus membayar Rp105.000,00. (Menumbuhkan kreativitas) Amatilah kejadian (peristiwa) di lingkungan sekitarmu. Tuliskan masalah dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan konsep perbandingan. Selesaikanlah dan ceritakan hasilnya secara singkat di depan kelas. Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 1. Untuk menempuh jarak dua kota dengan 3. Seorang perantara menerima komisi kecepatan rata-rata 48 km/jam diperlu- sebesar Rp35.000,00 atas penjualan kan waktu 12 jam. Tentukan lama barang seharga Rp1.400.000,00. Tentu- perjalanan jika kecepatannya 60 km/jam. kan harga barang yang berhasil dijual, jika ia mendapat komisi Rp24.000,00. 2. Sebuah keluarga mempunyai persediaan beras yang cukup untuk 4 orang selama 4. Suatu perusahaan obat-obatan herbisida 24 hari. Jika dalam keluarga itu bertam- membuat aturan setiap 1 kg obat digu- bah 2 orang saudaranya, berapa hari nakan untuk 50 m2 tanah. Tentukan luas persediaan beras tersebut akan habis? tanah yang dapat disemprot dengan 4,5 kg obat tersebut. 158 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

5. Seorang pemborong memperkirakan pekerjaan terhenti selama 9 hari karena sebuah jembatan akan selesai dibangun sesuatu hal. Tentukan banyak pekerja dalam waktu 108 hari jika dikerjakan oleh yang harus ditambah agar jembatan 42 pekerja. Setelah berjalan 45 hari, tersebut selesai tepat waktu. 1. Harga pembelian, harga penjualan, untung, dan rugi. – Harga pembelian adalah harga barang dari pabrik, grosir, atau tempat lainnya. – Harga penjualan adalah harga barang yang ditetapkan oleh pedagang kepada pembeli. – Untung atau laba adalah selisih antara harga penjualan dengan harga pembelian jika harga penjualan lebih dari harga pembelian. Untung = harga penjualan – harga pembelian. – Rugi adalah selisih antara harga penjualan dengan harga pembelian jika harga penjualan kurang dari harga pem- belian. Rugi = harga pembelian – harga penjualan. 2. Menentukan persentase untung atau rugi. – Persentase untung untung u100% harga pembelian – Persentase rugi rugi u100% harga pembelian 3. Menentukan harga pembelian dan harga penjualan jika persentase untung atau rugi diketahui. – Jika untung maka berlaku harga penjualan = harga pembelian + untung harga pembelian = harga penjualan – untung – Jika rugi maka berlaku harga penjualan = harga pembelian – rugi harga pembelian = harga penjualan + rugi 4. Bruto, tara, dan neto Bruto = neto + tara Neto = bruto – tara Tara = bruto – neto Perbandingan dan Aritmetika Sosial 159

5. Persen tara dan harga bersih Tara = persen tara u bruto Harga bersih = neto u harga/satuan berat 6. Ada dua jenis bunga tabungan, yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk. Bunga tunggal adalah bunga yang dihitung berdasarkan besarnya modal saja, sedangkan bunga majemuk adalah bunga yang dihitung berdasarkan besarnya modal dan bunga. 7. Pajak adalah suatu kewajiban yang dibebankan kepada masyarakat untuk menyerahkan sebagian kekayaan kepada negara menurut peraturan-peraturan yang telah ditetapkan pemerintah. 8. Ada dua cara dalam membandingkan dua besaran sebagai berikut. a. Dengan mencari selisih. b. Dengan mencari hasil bagi. 9. Menyederhanakan perbandingan hanya dapat dilakukan pada dua besaran yang sejenis. 10. Skala adalah perbandingan antara jarak pada gambar dengan jarak sebenarnya. 11. Pada gambar berskala selalu berlaku hal berikut. a. Mengubah ukuran tetapi tidak mengubah bentuk. b. Ukuran dapat diperbesar atau diperkecil. 12. Pada perbandingan senilai, nilai suatu barang akan naik/turun sejalan dengan nilai barang yang dibandingkan. Grafik perbandingan senilai berupa garis lurus. 13. Pada perbandingan berbalik nilai, jika nilai sebuah barang naik maka nilai barang yang dibandingkan akan turun atau sebaliknya. Grafik perbandingan berbalik nilai berupa kurva mulus. 14. Perbandingan antara dua besaran dapat dinyatakan dengan tabel seperti berikut. Variabel Pertama Variabel Kedua ap bq (i.) Pada perbandingan senilai berlaku a p . q. bq p (ii.) Pada perbandingan berbalik nilai berlaku a b 160 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

Setelah mempelajari mengenai Perbandingan dan Aritmetika Sosial, coba carilah contoh masalah dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan materi tersebut, masing-masing 3 buah. Buatlah dalam sebuah laporan lengkap beserta penyele- saiannya. Hasilnya, serahkan kepada gurumu. Kerjakan di buku tugasmu. A. Pilihlah salah satu jawaban yang tepat. 1. Jika harga 1 kuintal beras 5. Diketahui berat bruto 3 karung gabah Rp600.000,00, dijual mengalami keru- gian Rp15.000,00 maka harga jual tiap 300 kg. Jika tara 1,5%, netonya adalah kilogram beras tersebut adalah .... a. Rp5.775,00 c. Rp5.850,00 .... b. Rp5.800,00 d. Rp5.900,00 a. 290,5 kg c. 29,5 kg b. 295,5 kg d. 297,5 kg 2. Pak Edi membuat 8 rak buku dengan 6. Seorang karyawan memperoleh gaji sebulan Rp1.400.000,00 dengan peng- biaya Rp40.000,00/buah. Ketika dijual, hasilan tidak kena pajak Rp480.000,00. Jika besar pajak penghasilan 10%, dua buah di antaranya laku besar gaji yang diterima karyawan itu adalah .... Rp85.000,00 per buah dan sisanya a. Rp920.000,00 b. Rp1.260.000,00 laku Rp65.000,00 per buah. Keuntung- c. Rp1.308.000,00 d. Rp1.352.000,00 an yang diperoleh Pak Edi adalah .... a. 2,5% c. 50% b. 5% d. 75% 3. Harga suatu barang dengan diskon 7. Bentuk paling sederhana dari perban- 10% diketahui Rp18.000,00. Harga barang sebelum didiskon adalah .... dingan 4 1 : 3 3 adalah .... a. Rp20.000,00 c. Rp21.000,00 24 b. Rp19.800,00 d. Rp22.000,00 a. 4 : 3 c. 5 : 6 4. Tina menyimpan uang di bank sebesar b. 6 : 5 d. 4 : 5 Rp1.200.000,00 dengan suku bunga tunggal 12% setahun. Bunga yang 8. Diketahui suatu peta berskala diterima Tina pada akhir bulan kese- belas adalah .... 1 : 40.000.000. Jika jarak kedua Kota a. Rp144.000,00 b. Rp132.000,00 A dan B pada peta tersebut 5 cm, c. Rp160.000,00 d. Rp156.000,00 jarak sebenarnya dari Kota A dan B adalah .... a. 200 km c. 20.000 km b. 2.000 km d. 200.000 km Perbandingan dan Aritmetika Sosial 161

9. Suatu mobil memerlukan bensin 50 li- 10. Seorang pemborong akan mem- ter untuk menempuh jarak 450 km. bangun rumah dalam waktu 48 hari Jika mobil tersebut menghabiskan jika dikerjakan oleh 18 pekerja. Jika bensin 5 liter, jarak yang dapat ditem- ia menghendaki selesai dalam waktu puh adalah .... 32 hari, banyaknya tambahan pekerja a. 42 km c. 44 km yang diperlukan adalah .... b. 43 km d. 45 km a. 4 pekerja c. 12 pekerja b. 9 pekerja d. 24 pekerja B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan singkat dan tepat. 1. Setiap sak semen dengan berat bruto c. 1,5 kg : 375 gram 40 kg dibeli dengan harga Rp24.000,00. Semen ini dijual eceran d. 6 1 mm : 1 dm dengan harga Rp800,00 tiap kilogram- 4 nya, dan tiap sak pembungkusnya dijual laku Rp500,00. Tentukan keun- 4. Skala denah suatu gedung diketahui tungan pengecer tersebut, apabila se- 1 : 600. Denah tersebut berbentuk men yang terjual 5 sak dan diketahui persegi panjang dengan ukuran 5,5 cm u 4,5 cm. tara 1 1 % tiap sak. a. Berapakah ukuran sesungguhnya 4 gedung tersebut? b. Berapakah luas tanah yang diperlu- 2. Seorang pedagang berhasil menjual kan untuk membangun gedung ter- 200 buah mainan anak-anak dengan sebut? memperoleh uang Rp623.000,00. c. Berapakah harga tanah seluruhnya, Setelah dihitung, ternyata ia meng- jika harga 1 m2 tanah tersebut alami rugi sebesar 11%. Tentukan Rp350.000,00? harga pembelian sebuah mainan anak- anak tersebut. 5. Untuk memperbaiki jalan, diperlukan waktu 37 hari dengan jumlah pekerja 3. Sederhanakan perbandingan-perban- 16 orang. Setelah berjalan 7 hari, dingan berikut. pekerjaan terhenti selama 6 hari. Tentukan tambahan pekerja yang di- a. 3 1 : 6 3 perlukan untuk menyelesaikan peker- 34 jaan itu tepat waktu. b. 25 cm : 1,5 km 162 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

6 HIMPUNAN Seringkah kalian berbelanja di swalayan atau di warung dekat rumahmu? Cobalah kalian memer- hatikan barang-barang yang dijual. Barang-barang yang dijual biasanya dihimpun sesuai jenisnya. Penghim- punan jenis barang dapat memudah- kan pembeli memilih barang. Jadi, tahukah kalian apa kegunaan him- punan? Untuk memahami tentang himpunan pelajari bab ini dengan saksama. Sumber: Dok. Penerbit Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah: ™ dapat menyatakan masalah sehari-hari dalam bentuk himpunan dan mendata anggotanya; ™ dapat menyebutkan anggota dan bukan anggota himpunan; ™ dapat menyatakan notasi himpunan; ™ dapat mengenal himpunan kosong dan notasinya; ™ dapat menentukan himpunan bagian dari suatu himpunan; ™ dapat menentukan banyak himpunan bagian suatu himpunan; ™ dapat mengenal pengertian himpunan semesta, serta dapat menyebutkan anggotanya; ™ dapat menjelaskan pengertian irisan dan gabungan dua himpunan; ™ dapat menjelaskan kurang (difference) suatu himpunan dari himpunan lainnya; ™ dapat menjelaskan komplemen dari suatu himpunan; ™ dapat menyajikan gabungan atau irisan dua himpunan dengan diagram Venn; ™ dapat menyajikan kurang (difference) suatu himpunan dari himpunan lainnya dengan diagram Venn; ™ dapat menyajikan komplemen suatu himpunan dengan diagram Venn; ™ dapat menyelesaikan masalah dengan menggunakan diagram Venn dan konsep himpunan. Kata-Kata Kunci: ™ himpunan semesta ™ diagram Venn ™ anggota himpunan ™ operasi himpunan ™ notasi himpunan ™ himpunan kosong ™ himpunan bagian

(Berpikir kritis) Agar kalian dapat memahami materi pada bab ini dengan baik, coba kalian ingat kembali mengenai jenis bilangan. Tuliskan bilangan yang termasuk dalam A. HIMPUNAN a. bilangan asli; b. bilangan cacah; 1. Pengertian Himpunan c. bilangan bulat. Perhatikan lingkungan sekitar kalian. Pasti dengan mudah kalian dapat menemukan kumpulan atau kelompok berikut ini. a. Kumpulan hewan berkaki dua. b. Kumpulan warna lampu lalu lintas. c. Kelompok tanaman hias. (Menumbuhkan krea- Sumber: Ensiklopedi Indonesia Seri Fauna, tivitas) 1992 Amati lingkungan Gambar 6.1 sekitar kalian. Carilah contoh kumpulan yang Kumpulan hewan berkaki dua antara lain ayam, itik, dan merupakan himpunan burung. Kumpulan hewan berkaki dua adalah suatu himpunan, dan bukan himpunan karena setiap disebut hewan berkaki dua, maka hewan tersebut masing-masing 5 pasti termasuk dalam kumpulan tersebut. buah. Ceritakan pengalamanmu di Kumpulan warna lampu lalu lintas adalah merah, kuning, dan depan kelas. hijau. Kumpulan warna lampu lalu lintas adalah suatu himpunan, karena dengan jelas dapat ditentukan anggotanya. Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut. Sekarang, perhatikan kumpulan berikut ini. a. Kumpulan lukisan indah. b. Kumpulan wanita cantik di Indonesia. Kumpulan lukisan indah tidak dapat disebut himpunan, karena lukisan indah menurut seseorang belum tentu indah menurut orang lain. Dengan kata lain, kumpulan lukisan indah tidak dapat didefinisikan dengan jelas. Demikian halnya dengan kumpulan wanita cantik di Indone- sia. Wanita cantik menurut seseorang belum tentu cantik menurut orang lain. Jadi, kumpulan wanita cantik bukan termasuk himpunan. 164 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

2. Notasi dan Anggota Himpunan Suatu himpunan biasanya diberi nama atau dilambangkan dengan huruf besar (kapital) A, B, C, ..., Z. Adapun benda atau objek yang termasuk dalam himpunan tersebut ditulis dengan menggunakan pasangan kurung kurawal {...}. Nyatakan himpunan beri- Penyelesaian: kut dengan menggunakan tanda kurung kurawal. a. A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 6. Anggota himpunan bilangan cacah kurang dari 6 adalah a. A adalah himpunan 0, 1, 2, 3, 4, 5. bilangan cacah kurang Jadi, A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. dari 6. b. P adalah himpunan huruf-huruf vokal. b. P adalah himpunan Anggota himpunan huruf-huruf vokal adalah a, e, i, o, huruf-huruf vokal. dan u, sehingga ditulis P = {a, e, i, o, u}. c. Q adalah himpunan c. Q adalah himpunan tiga binatang buas. tiga binatang buas. Anggota himpunan binatang buas antara lain harimau, singa, dan serigala. Jadi, Q = {harimau, singa, serigala}. Setiap benda atau objek yang berada dalam suatu himpunan (Menumbuhkan krea- disebut anggota atau elemen dari himpunan itu dan dinotasikan tivitas) dengan . Adapun benda atau objek yang tidak termasuk dalam suatu himpunan dikatakan bukan anggota himpunan dan Perhatikan angka- dinotasikan dengan . angka dan simbol- simbol yang terdapat Berdasarkan contoh di atas, A adalah himpunan bilangan pada kalkulator. cacah kurang dari 6, sehingga A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Bilangan 0, 1, Apakah angka-angka 2, 3, 4, dan 5 adalah anggota atau elemen dari himpunan A, ditulis dan simbol-simbol 0  A, 1  A, 2  A, 3  A, 4  A, dan 5  A. Karena 6, 7, dan tersebut dapat 8 bukan anggota A, maka ditulis 6  A, 7  A, dan 8  A. mewakili suatu himpunan tertentu? Banyak anggota suatu himpunan dinyatakan dengan n. Jika Berikan pendapatmu. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} maka n(A) = banyak anggota himpunan A = 6. Banyaknya anggota himpunan A dinyatakan dengan n(A). Himpunan 165

(Menumbuhkan inovasi) Perhatikan lingkungan sekolahmu. Tuliskan 5 buah kumpulan yang merupakan himpunan. Kemudian, tentukan banyaknya anggota tiap himpunan tersebut. Ceritakan hasilnya secara singkat di depan kelas. Dalam matematika, beberapa huruf besar digunakan sebagai lambang himpunan bilangan tertentu, di antaranya sebagai berikut. Huruf A : lambang himpunan bilangan asli. A = {1, 2, 3, 4, ... } Huruf B : lambang himpunan bilangan bulat. B = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} Huruf C : lambang himpunan bilangan cacah. C = {0, 1, 2, 3, ... } Huruf L : lambang himpunan bilangan ganjil. Huruf N : lambang himpunan bilangan genap. Huruf P : lambang himpunan bilangan prima. Huru Q : lambang himpunan bilangan rasional. Q= ¯­® a / a  B dan b  A¾½¿ , dibaca himpunan a dimana a b b anggota himpunan bilangan bulat dan b anggota himpunan bilangan asli. Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 1. Di antara kelompok atau kumpulan beri- 2. Nyatakan himpunan berikut dengan kut, tentukan yang termasuk himpunan menggunakan tanda kurung kurawal. dan bukan himpunan, berikan alasan yang a. A adalah himpunan nama-nama hari mendukung. dalam seminggu. b. M adalah himpunan binatang pema- a. Kumpulan kendaraan bermotor. kan rumput. c. N adalah himpunan bilangan ganjil b. Kelompok negara-negara di Asia kurang dari 15. Tenggara. d. B adalah himpunan planet-planet da- lam tata surya. c. Kelompok binatang serangga. d. Kumpulan orang-orang pendek. e. Kelompok bilangan kecil. 166 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

3. Sebutkan anggota dan bukan anggota 5. Nyatakan benar atau salah setiap kali- himpunan berikut, tuliskan dengan notasi mat berikut ini. keanggotaan. a. 2  {0, 1, 2, 3, 4} b. 4  {1, 4, 9, 16} a. Himpunan nama-nama bunga. c. 8  {bilangan genap} d. km  {satuan panjang} b. Himpunan satuan berat. e. 2  {252} c. Himpunan warna pelangi. 6. Tentukan banyaknya anggota setiap himpunan berikut dengan menggunakan d. Himpunan ibu kota provinsi di Indo- notasi. nesia. a. A = {warna bendera Indonesia} b. B = {provinsi di Indonesia} 4. Diketahui A = {1, 2, 3, 4, 5}; c. C = {nama hari dalam seminggu} B = {4, 8, 12, ..., 96}; d. D = {bilangan ganjil kurang dari 15} P = {s, a, k, i, t}; dan e. E = {huruf pembentuk kata MA- Q = {k, u, c, i, n, g}. TEMATIKA} f. F = {bilangan asli yang merupakan Salin dan isilah dengan lambang  atau faktor dari 18}  pada titik-titik berikut sehingga men- jadi kalimat yang benar. a. 3 ... A e. a ... P b. 0 ... A f. u ... Q c. 72 ... B g. t ... Q d. 54 ... B h. n ... P 3. Menyatakan Suatu Himpunan Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara sebagai berikut. a. Dengan kata-kata. Dengan cara menyebutkan semua syarat/sifat keanggotaannya. Contoh: P adalah himpunan bilangan prima antara 10 dan 40, ditulis P = {bilangan prima antara 10 dan 40}. b. Dengan notasi pembentuk himpunan. Sama seperti menyatakan himpunan dengan kata-kata, pada cara ini disebutkan semua syarat/sifat keanggotannya. Namun, anggota himpunan dinyatakan dengan suatu peubah. Peubah yang biasa digunakan adalah x atau y. Contoh: P : {bilangan prima antara 10 dan 40}. Dengan notasi pembentuk himpunan, ditulis P = {10 < x < 40, x  bilangan prima}. c. Dengan mendaftar anggota-anggotanya. Dengan cara menyebutkan anggota-anggotanya, menulis- kannya dengan menggunakan kurung kurawal, dan anggota- anggotanya dipisahkan dengan tanda koma. Contoh: P = {11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37} A = {1, 2, 3, 4, 5} Himpunan 167

Z adalah himpunan bilang- Penyelesaian: an ganjil antara 20 dan 46. Nyatakan himpunan Z de- Z adalah himpunan bilangan ganjil antara 20 dan 46. ngan kata-kata, dengan notasi pembentuk himpun- a. Dinyatakan dengan kata-kata. an, dan dengan mendaftar Z = {bilangan ganjil antara 20 dan 46} anggota-anggotanya. b. Dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan. Z = {20 < x < 46, x  bilangan ganjil} c. Dinyatakan dengan mendaftar anggota-anggotanya. Z = {21, 23, 25, ..., 43, 45}. Diketahui A = {0, 1, 2, 3, 4. Himpunan Berhingga dan Himpunan Tak Berhingga ..., 10}. Bentuklah him- punan-himpunan be- Pada bagian depan telah kalian ketahui bahwa banyaknya rikut dengan mendaftar anggota himpunan A dinyatakan dengan n(A). anggota-anggotanya. a. Himpunan B yang Jika suatu himpunan dinyatakan dengan mendaftar anggota- anggotanya maka kalian dapat menentukan banyaknya anggota anggota-anggotanya himpunan tersebut. Jika A adalah himpunan bilangan prima kurang adalah anggota A di- dari 13 maka A = {2, 3, 5, 7, 11} dengan n(A) = 5. Himpunan A tambah 2. disebut himpunan berhingga, artinya banyaknya anggota A b. Himpunan C yang berhingga. anggota-anggotanya adalah anggota A Jika B = {bilangan asli yang habis dibagi 2} maka B = {2, 4, yang merupakan 6, ...}, dengan n(B) = tidak berhingga. Himpunan B disebut bilangan asli. himpunan tak berhingga, karena banyaknya anggota B tak c. Himpunan D yang berhingga. anggota-anggotanya adalah anggota A Himpunan yang memiliki banyak anggota berhingga disebut himpunan berhingga. Himpunan yang memiliki banyak anggota dikalikan 1. tak berhingga disebut himpunan tak berhingga. 2 Tentukan banyak anggota Penyelesaian: dari himpunan-himpunan a. Banyak anggota P adalah 6, ditulis n(P) = 6. berikut. b. Banyak anggota Q adalah 11, ditulis n(Q) = 11. a. P = {1, 3, 5, 7, 9, 11} c. Banyak anggota R adalah tidak berhingga atau b. Q = {0, 1, 2, 3, ..., 10} c. R = {..., –2, –1, 0, 1, n(R) = tidak berhingga. 2, ...} 168 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 1. Nyatakan himpunan-himpunan berikut b. C adalah himpunan bilangan cacah dengan kata-kata, dengan notasi pem- kurang dari 1.001. bentuk himpunan, dan dengan mendaf- tar anggota-anggotanya. c. M adalah himpunan bilangan bulat kurang dari –4. a. P adalah himpunan huruf pembentuk kata SUKARELAWAN. d. K adalah himpunan bangun ruang dalam matematika. b. Q adalah himpunan nama bulan dalam satu tahun yang berumur 3. Salin dan isilah titik-titik pada kalimat 30 hari. berikut sehingga menjadi kalimat yang benar. c. R adalah himpunan bilangan genap kurang dari 10. a. A = {bilangan prima kurang dari 25} maka n(A) = ... d. S adalah himpunan lima huruf ter- akhir dalam abjad. b. B = {huruf pembentuk kata SURA- BAYA} maka n(B) = .... 2. Selidikilah himpunan-himpunan berikut berhingga atau tak berhingga, berilah c. C = {faktor dari 20} maka alasannya. n(C) = .... a. B adalah himpunan bilangan asli d. D = {faktor persekutuan dari 15 dan yang habis dibagi 3. 45} maka n(D) = .... B. HIMPUNAN KOSONG DAN HIMPUNAN SEMESTA 1. Himpunan Kosong dan Himpunan Nol (Menumbuhkan krea- tivitas) Di bagian depan kalian telah mempelajari mengenai banyaknya anggota suatu himpunan dan notasinya. Apakah setiap Amatilah kejadian himpunan pasti mempunyai anggota? sehari-hari di lingkungan sekitarmu. Jika P adalah himpunan persegi yang mempunyai tiga buah Berikan contoh sisi maka anggota P tidak ada atau kosong. Himpunan P disebut himpunan kosong himpunan kosong (tidak mempunyai anggota), karena jumlah sisi sebanyak 5 buah. persegi adalah empat. Ceritakan pengalamanmu Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai secara singkat di anggota, dan dinotasikan dengan { } atau I . depan kelas. Jika R = {x | x < 1, x  C} maka R = {0} atau n(R) = 1. Himpunan R disebut himpunan nol. Anggota himpunan R adalah 0. Jadi, himpunan R bukan merupakan himpunan kosong. Himpunan 169

Himpunan nol adalah himpunan yang hanya mempunyai 1 anggota, yaitu nol (0). N adalah himpunan nama- Penyelesaian: nama bulan dalam setahun Nama-nama bulan dalam setahun adalah Januari, Februari, yang diawali dengan huruf Maret, April, Mei, Juni, Juli, Agustus, September, Oktober, C. Nyatakan N dalam no- November, dan Desember. Karena tidak ada nama bulan tasi himpunan. yang diawali dengan huruf C, maka N adalah himpunan kosong ditulis N = I atau N = { }. 2. Himpunan Semesta Perhatikan Gambar 6.2. Gambar tersebut menunjukkan kelompok buah-buahan yang terdiri atas pisang, jeruk, apel, dan anggur. Sumber: Dok. Penerbit Jika P = {pisang, jeruk, apel, anggur} maka semesta Gambar 6.2 pembicaraan dari himpunan P adalah himpunan S = {buah-buahan}. Dengan kata lain, S adalah himpunan semesta dari P. Himpunan S memuat semua anggota himpunan P. Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua anggota atau objek himpunan yang dibica- rakan. Himpunan semesta (semesta pembicaraan) biasanya dilambangkan dengan S. Tentukan tiga himpunan Penyelesaian: semesta yang mungkin dari himpunan berikut. a. Misalkan A = {2, 3, 5, 7}, maka himpunan semesta a. {2, 3, 5, 7} yang mungkin dari himpunan A adalah b. {kerbau, sapi, kam- S = {bilangan prima} atau S = {bilangan asli} atau bing} S = {bilangan cacah}. b. Himpunan semesta yang mungkin dari {kerbau, sapi, kambing} adalah {binatang}, {binatang berkaki empat}, atau {binatang memamah biak}. 170 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 1. Di antara himpunan-himpunan berikut, 2. Tentukan sebuah himpunan semesta tentukan manakah yang merupakan yang mungkin untuk himpunan-himpunan himpunan kosong. berikut. a. Himpunan anak kelas VII SMP yang a. A = {1, 4, 9, 16, 25} berumur kurang dari 8 tahun. b. B = {1, 3, 5, 7, ... } b. Himpunan kuda yang berkaki dua. c. E = {m, dm, cm, mm} c. Himpunan kubus yang mempunyai d. F = {kerucut, tabung, bola} 12 sisi. 3. Sebutkan paling sedikit dua buah himpun- d. Himpunan bilangan prima yang habis an semesta yang mungkin dari tiap him- dibagi 2. punan berikut. a. G = {x | x = 2n, n  bilangan ca- e. Himpunan bilangan asli antara 8 dan cah} 9. b. H = {x | x = 2n – 1, n  bilangan cacah} f. Himpunan nama bulan dalam seta- c. P = {honda, yamaha, suzuki} hun yang berumur kurang dari 30 hari. d. Q = {merpati, dara, puyuh} h. Himpunan penyelesaian untuk 2x = 3, x bilangan cacah. i. N = {x | x + 4 = 0, x  bilangan asli} (Menumbuhkan inovasi) Bentuklah kelompok yang terdiri atas 4 siswa, 2 laki-laki dan 2 pe- rempuan. Setiap kelompok menamakan diri dengan himpunan tertentu, misalnya himpunan buah-buahan, himpunan bangun datar, dan lain-lain. Setiap dua kelompok menyebutkan anggota-anggota himpunan dan semesta pembicaraan kelompok lain di depan kelas. Lakukan hal ini secara bergantian dengan kelompok yang lain. Hasilnya, buatlah dalam sebuah laporan dan kumpulkan kepada gurumu. C. HIMPUNAN BAGIAN 1. Pengertian Himpunan Bagian Agar kalian dapat memahami mengenai himpunan bagian, perhatikan himpunan-himpunan berikut. Himpunan 171

Perhatikan perbedaan A = {1, 2, 3} B = {4, 5, 6} pernyataan berikut. C = {1, 2, 3, 4, 6} Diketahui Berdasarkan ketiga himpunan di atas, tampak bahwa setiap anggota himpunan A, yaitu 1, 2, 3 juga menjadi anggota himpunan S = {1, 2, 3, ..., 10} C. Dalam hal ini dikatakan bahwa himpunan A merupakan himpunan bagian dari C, ditulis A  C atau C Š A. A = {1, 3, 5, 7, 9} Himpunan A merupakan himpunan bagian B, jika setiap anggota 3  A (benar) A juga menjadi anggota B dan dinotasikan A  B atau B Š A. {3}  A (salah) {1, 3, 5, 7, 9} = A  S Sekarang perhatikan himpunan B dan himpunan C. B = {4, 5, 6} (benar) C = {1, 2, 3, 4, 5} {1, 3, 5, 7, 9} = A  S Tampak bahwa tidak setiap anggota B menjadi anggota C, karena 6  C. Dikatakan bahwa B bukan merupakan himpunan (salah) bagian dari C, ditulis B Œ C. (B Œ C dibaca: B bukan himpunan bagian dari C). Himpunan A bukan merupakan himpunan bagian B, jika terdapat anggota A yang bukan anggota B, dan dinotasikan A Œ B. Diketahui K = {p, q, r, s}. Penyelesaian: Tentukan himpunan bagian Dalam menentukan himpunan bagian dari K = {p, q, r, s} dari K yang mempunyai yang mempunyai lebih dari satu anggota dapat digunakan a. satu anggota; diagram pohon seperti berikut. b. dua anggota; c. tiga anggota; anggota pertama anggota kedua anggota ketiga d. empat anggota. r qs prs s rs qs rs a. Himpunan bagian K yang mempunyai satu anggota ada- lah {p}  K; {q}  K; dan {r}  K; dan {s}  K. b. Himpunan bagian K yang mempunyai dua anggota adalah {p, q}  K; {p, r}  K; {p, s}  K; {q, r}  K; {q, s}  K; {r, s}  K. 172 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

c. Himpunan bagian K yang mempunyai tiga anggota adalah {p, q, r}  K; {p, q, s}  K; {p, r, s}  K; dan {q, r, s}  K. d. Himpunan bagian K yang mempunyai empat anggota adalah {p, q, r, s} = K. Pada contoh di atas, tampak bahwa himpunan bagian K yang mempunyai 4 anggota adalah {p, q, r, s}. Jadi, {p, q, r, s} = K  K. Secara umum, dapat dikatakan sebagai berikut. Setiap himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan (Berpikir kritis) A sendiri, ditulis A  A. Diskusikan dengan 2. Menentukan Banyaknya Himpunan Bagian dari Suatu temanmu. Himpunan Kalian telah mempelajari cara menentukan himpunan bagian Buktikan bahwa untuk sebarang himpunan A suatu himpunan yang memiliki satu anggota, dua anggota, tiga anggota, dan n anggota. Untuk mengetahui banyaknya himpunan berlaku { }  A atau bagian suatu himpunan, pelajari tabel berikut. ‡  A. Tabel 6.1 Himpunan Banyaknya Himpunan Bagian Banyaknya Anggota Himpunan Bagian {a} 1 { } 2 = 21 {a} {a, b} 2 {} {a}, {b} 4 = 22 {a, b} {a, b, c} 3 {} {a}, {b}, {c} 8 = 23 {a, b}, {a, c}, {b, c} {a, b, c} {a, b, c, d} 4 {} {a}, {b}, {c}, {d} 16 = 24 {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, { b, d}, {c, d} {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d} {a, b, c, d} {a, b, c, d, ...} n {} {a}, {b}, ... 2n Himpunan 173

(Berpikir kritis) Berdasarkan tabel di atas, tampak bahwa terdapat hubungan antara banyaknya anggota suatu himpunan dengan banyaknya Perhatikan kembali himpunan bagian himpunan tersebut. Tabel 6.1. Banyaknya himpunan Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut. bagian yang dinyata- kan dengan 2n masih Banyaknya semua himpunan bagian dari suatu himpunan adalah harus dibuktikan lagi. 2n, dengan n banyaknya anggota himpunan tersebut. Cobalah untuk n = 5, 6, 7, 8, 9, dan 10. Adapun untuk menentukan banyaknya himpunan bagian dari Apakah banyaknya suatu himpunan yang mempunyai n anggota, dapat digunakan pola himpunan bagian bilangan segitiga Pascal berikut. tetap dirumuskan 2n? Diskusikan dengan 1 untuk { } temanmu. Bukti matematis 11 untuk {a} mengenai hal tersebut akan kalian pelajari di 121 untuk {a, b} tingkat yang lebih tinggi. 1331 untuk {a, b, c} (Berpikir kritis) 14641 untuk {a, b, c, d} Mintalah teman 0 ang1goatnag2goatnag3goatnag4goatnaggota sebangkumu menyebutkan Pada pola bilangan segitiga Pascal, angka tengah yang berada sebarang himpunan. di bawahnya merupakan jumlah dari angka di atasnya. Tuliskan himpunan bagian dari himpunan Himpunan bagian dari {a, b, c, d} yang mempunyai tersebut. Lakukan hal 0 anggota ada 1, yaitu { }; ini secara bergantian. 1 anggota ada 4, yaitu {a}, {b}, {c}, {d}; Ceritakan hasilnya di 2 anggota ada 6, yaitu {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d}; depan kelas. 3 anggota ada 4, yaitu {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}; 4 anggota ada 1, yaitu {a, b, c, d}; Cobalah hal ini untuk P = {a, e, i, o, u}. Kemudian, cek apakah banyak semua himpunan bagian P adalah 2n? Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. D = {huruf vokal} E = {a, u} 1. Tentukan hubungan himpunan bagian an- F = {bilangan prima genap} tara himpunan-himpunan berikut. G = {3, 5} A = {2, 3, 4, 5} B = {bilangan asli kurang dari 7} C = {a, i, u, e} 174 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

2. Tentukan himpunan bagian dari P = {bi- 4. Tentukan banyaknya himpunan bagian langan prima antara 2 dan 20} berikut dari himpunan berikut. ini dengan mendaftar anggota-anggota- a. Himpunan bilangan asli kurang dari nya. 6. a. Himpunan bilangan ganjil anggota P. b. Himpunan bilangan prima antara 4 b. Himpunan bilangan genap anggota P. dan 20. c. Himpunan anggota P yang kurang c. P = {huruf-huruf pembentuk kata dari 10. “stabilitas”} d. Himpunan anggota P yang lebih dari d. Q = {nama-nama hari dalam seming- 7. gu} 3. Diketahui K = {2, 3, 5, 7, 11}. 5. Tentukan banyaknya himpunan bagian dari Q jika diketahui Tentukan a. himpunan bagian K yang mempunyai a. Q = I; dua anggota; b. n(Q) = 4; b. himpunan bagian K yang mempunyai c. Q = {1}; d. Q = {p, q, r, s, t, u}. tiga anggota; c. himpunan bagian K yang mempunyai empat anggota. D. HUBUNGAN ANTARHIMPUNAN Setelah kalian mempelajari mengenai himpunan dan cara menyatakannya, pada bagian ini kalian akan mempelajari hubungan antarhimpunan. Diketahui A = {burung, ayam, bebek} dan B = {kucing, anjing, ikan}. Perhatikan bahwa tidak ada satupun anggota himpunan A yang menjadi anggota himpunan B. Demikian pula sebaliknya, tidak ada satu pun anggota himpunan B yang menjadi anggota himpunan A. Dalam hal ini dikatakan bahwa tidak ada anggota persekutuan antara himpunan A dan B. Hubungan antara himpunan A dan B seperti ini disebut himpunan saling lepas atau saling asing. Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas atau saling asing jika kedua himpunan tersebut tidak mempunyai anggota persekutuan. Selanjutnya, perhatikan kedua himpunan berikut. K = {1, 2, 3, 4, 5} L = {2, 3, 5, 7, 11} Himpunan 175

(Berpikir kritis) Perhatikan bahwa terdapat anggota himpunan K yang juga menjadi anggota himpunan L, yaitu {2, 3, 5}. Dalam hal ini dikatakan Berikan contoh bahwa {2, 3, 5} adalah anggota persekutuan dari himpunan K dan himpunan yang saling L. Perhatikan juga bahwa terdapat anggota himpunan K yang tidak lepas, tidak saling menjadi anggota himpunan L, demikian pula sebaliknya. Keadaan lepas (berpotongan), dua himpunan seperti ini disebut himpunan tidak saling lepas himpunan sama, dan (berpotongan). himpunan ekuivalen. Diskusikan hal ini Dua himpunan A dan B dikatakan tidak saling lepas (berpotongan) dengan teman jika A dan B mempunyai anggota persekutuan, tetapi masih ada sebangkumu. anggota A yang bukan anggota B dan ada anggota B yang bukan anggota A. Sekarang, perhatikan himpunan A = {t, i, k, a} dan himpunan B = {a, t, i, k}. Ternyata, setiap anggota A termuat dalam B, demikian juga sebaliknya. Dalam hal ini, himpunan A dan B disebut dua himpunan sama, ditulis A = B. Dua himpunan dikatakan sama, apabila kedua himpunan mempu- nyai anggota yang tepat sama. Jika banyaknya anggota himpunan P = banyaknya anggota himpunan Q, atau n(P) = n(Q) maka P dan Q dikatakan ekuivalen. Dua himpunan A dan B dikatakan ekuivalen jika n(A) = n(B). Tulislah anggota dari ma- Penyelesaian: sing-masing himpunan be- Dengan mendaftar masing-masing anggotanya, diperoleh rikut. Kemudian tentukan sebagai berikut. hubungan antarhimpunan tersebut. P = {1, 2, 3, 4, 5, 6} P = {x | x < 7, x  A} Q = {2, 3, 5, 7} R = {a, b, c, d} Q = {bilangan prima ku- rang dari 10} S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} R = {empat huruf perta- – Perhatikan himpunan P dan Q. ma dalam abjad} Anggota persekutuan dari himpunan P dan Q adalah {2, 3, 5}. Namun masih terdapat anggota himpunan P S = {x | 1 d x d 6, yang tidak menjadi anggota himpunan Q, yaitu x  C} {1, 4, 6}. Demikian pula, terdapat anggota himpunan Q yang tidak menjadi anggota himpunan P, yaitu {7}. Dengan demikian, himpunan P dan Q dikatakan tidak saling lepas (berpotongan). 176 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

– Perhatikan himpunan Q dan R. Karena tidak ada anggota persekutuan antara him- punan Q dan R, maka dikatakan himpunan Q dan R saling lepas atau saling asing. Namun, perhatikan bahwa Q = {2, 3, 5, 7}, n(Q) = 4 dan R = {a, b, c, d}, n(R) = 4. Dengan demikian, dikatakan bahwa himpunan Q dan R ekuivalen, karena n(Q) = n(R). – Sekarang, perhatikan himpunan P dan S. Kedua himpunan mempunyai anggota yang tepat sama. Jadi, himpunan P dan S dikatakan dua himpunan sama. Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. Dengan mendaftar anggota-anggotanya, ten- E = {nama bulan dalam setahun yang di- tukan hubungan yang mungkin antarhim- mulai dengan huruf J} punan berikut ini. A = {x | x vokal} F = {2, 1, 3} B = {x | x konsonan} G = {x | 10 < x < 20, x  bilangan prima} C = {nama bulan yang berumur 30 hari} H = {bilangan cacah} D = {1, 2, 3} I = {bilangan ganjil} J = {x | x < 9, x  bilangan ganjil} E. OPERASI HIMPUNAN 1. Irisan Dua Himpunan a. Pengertian irisan dua himpunan Cobalah kalian ingat kembali tentang anggota persekutuan dari dua himpunan. Misalkan A = {1, 3, 5, 7 , 9} B = {2, 3, 5, 7 } Anggota himpunan A dan B adalah anggota himpunan A dan sekaligus menjadi anggota himpunan B = {3, 5, 7}. Anggota himpunan A yang sekaligus menjadi anggota himpunan B disebut anggota persekutuan dari A dan B. Selanjutnya, anggota persekutuan dua himpunan disebut irisan dua himpunan, dinotasikan dengan ˆ ( ˆ dibaca: irisan atau interseksi). Jadi, A ˆ B = {3, 5, 7}. Himpunan 177

(Berpikir kritis) Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut. Tuliskan dua buah Irisan (interseksi) dua himpunan adalah suatu himpunan yang himpunan. Tentukan anggotanya merupakan anggota persekutuan dari dua himpunan irisan dari dua tersebut. himpunan tersebut. Ceritakan hasilnya Irisan himpunan A dan B dinotasikan sebagai berikut. secara singkat di A ˆ B = {x | x  A dan x  B} depan kelas. b. Menentukan irisan dua himpunan 1) Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian yang lain Misalkan A = {1, 3, 5} dan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Irisan dari himpunan A dan B adalah A ˆ B = {1, 3, 5} = A. Tampak bahwa A = {1, 3, 5}  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Jika A  B, semua anggota A menjadi anggota B. Oleh karena itu, anggota persekutuan dari A dan B adalah semua anggota dari A. Jika A  B maka A ˆ B = A. Diketahui Penyelesaian: A = {2, 3, 5} A = {2, 3, 5} dan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A ˆ B = {2, 3, 5} = A. B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Tentukan A ˆ B. (Berpikir kritis) 2) Kedua himpunan sama Diskusikan dengan Di depan telah kalian pelajari bahwa dua himpunan A temanmu. dan B dikatakan sama apabila semua anggota A juga menjadi Diketahui dua buah anggota B dan sebaliknya semua anggota B juga menjadi himpunan A dan B, anggota A. Oleh karena itu anggota sekutu dari A dan B adalah semua anggota A atau semua anggota B. dimana A ˆ B = A. Jika A = B maka A ˆ B = A atau A ˆ B = B. Apakah A = B? Berikan contoh untuk mendu- kung jawabanmu. 178 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

Misalkan A = {bilangan Penyelesaian: asli kurang dari 6} dan A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {1, 2, 3, 4, 5}. Tentukan B = {1, 2, 3 , 4, 5} anggota A ˆ B. Karena A = B maka A ˆ B = {1, 2, 3, 4, 5} = A = B. 3) Kedua himpunan tidak saling lepas (berpotongan) Himpunan A dan B dikatakan tidak saling lepas (berpotongan) jika A dan B mempunyai sekutu, tetapi masih ada anggota A yang bukan anggota B dan ada anggota B yang bukan anggota A. Misalkan P = {bilangan asli Penyelesaian: kurang dari 11} dan P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Q = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, Q = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} 16}. Tentukan anggota P ˆ Q = {2, 4, 6, 8, 10} P ˆ Q. (Berpikir kritis) Diskusikan dengan temanmu. Himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika A dan B tidak mempunyai anggota sekutu. Carilah contoh dua himpunan yang saling lepas. Tunjukkan bahwa A ˆ B = I . 2. Gabungan Dua Himpunan a. Pengertian gabungan dua himpunan Ibu membeli buah-buahan di pasar. Sesampai di rumah, ibu membagi buah-buahan tersebut ke dalam dua buah piring, piring A dan piring B. Piring A berisi buah jeruk, salak, dan apel. Piring B berisi buah pir, apel, dan anggur. Jika isi piring A dan piring B digabungkan, isinya adalah buah jeruk, salak, apel, pir, dan anggur. Himpunan 179

(Berpikir kritis) Dari uraian tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut. Tuliskan dua buah himpunan. Tentukan Jika A dan B adalah dua buah himpunan, gabungan himpunan gabungan dari A dan B adalah himpunan yang anggotanya terdiri atas himpunan tersebut. anggota-anggota A atau anggota-anggota B. Ceritakan hasilnya secara singkat di Dengan notasi pembentuk himpunan, gabungan A dan B depan kelas. dituliskan sebagai berikut. (Berpikir kritis) A ‰ B = {x | x  A atau x  B} Diskusikan dengan temanmu. Catatan: A ‰ B dibaca A gabungan B atau A union B. Diketahui A sebarang himpunan. Tentukan b. Menentukan gabungan dua himpunan 1) Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian dari yang hasil dari A ‰ I . lain. Misalkan A = {3, 5} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}. Perhatikan bahwa A = {3, 5}  B = {1, 2, 3, 4, 5}, sehingga A ‰ B = {1, 2, 3, 4, 5} = B. Jika A  B maka A ‰ B = B. 2) Kedua himpunan sama Misalkan P = {2, 3, 5, 7, 11} dan Q = {bilangan prima yang kurang dari 12}. Dengan mendaftar anggotanya, diperoleh P = {2, 3, 5, 7, 11} Q = {2, 3, 5, 7, 11} P ‰ Q = {2, 3, 5, 7, 11} = P = Q Jika A = B maka A ‰ B = A = B. 3) Kedua himpunan tidak saling lepas (berpotongan) Misalkan A = {1, 3, 5, 7, 9} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}, maka A ‰ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9} c. Menentukan banyaknya anggota dari gabungan dua himpunan Banyaknya anggota dari gabungan dua himpunan dirumuskan sebagai berikut. n(A ‰ B) = n(A) + n(B) – n(A ˆ B) Rumus di atas dapat digunakan untuk menentukan banyak anggota dari gabungan dua himpunan. Perhatikan contoh berikut. 180 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

Diketahui Penyelesaian: K = {faktor dari 6} dan K = {faktor dari 6} = {1, 2, 3, 6}, n(K) = 4 L = {bilangan cacah ku- rang dari 6}. L = {bilangan cacah kurang dari 6} = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, n(L) = 6 Dengan mendaftar anggo- tanya, tentukan a. K ˆ L = {1, 2, 3} a. anggota K ˆ L; b. K ‰ L = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} b. anggota K ‰ L; c. n(K ‰ L) = 7. c. n(K ‰ L). n(K ‰ L) juga dapat diperoleh dengan rumus berikut. n(K ‰ L) = n(K) + n(L) – n(K ˆ L) =4+6–3 =7 3. Selisih (Difference) Dua Himpunan Selisih (difference) himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota dari A tetapi bukan anggota dari B. Selisih himpunan A dan B dinotasikan dengan A – B atau A\\B. Catatan: A – B = A\\B dibaca: selisih A dan B. Dengan notasi pembentuk himpunan dituliskan sebagai berikut. A – B = {x | x  A, x  B} B – A = {x | x  B, x  A} Diketahui A = {a, b, c, d} dan B = {a, c, f, g}. Selisih A dan B adalah A – B = {a, b, c, d} – {a, c, f, g} = {b, d}, sedangkan selisih B dan A adalah B – A = {a, c, f, g} – {a, b, c, d} = {f, g}. Diketahui S = {1, 2, 3, ..., Penyelesaian: 10} adalah himpunan se- a. S – P = {1, 2, 3, ..., 10} – {2, 3, 5, 7} mesta. Jika P = {2, 3, 5, 7} dan Q = {1, 3, 5, 7, 9}, = {1, 4, 6, 8, 9, 10} tentukan Himpunan 181

a. anggota S – P; b. P – Q = {2, 3, 5, 7} – {1, 3, 5, 7, 9} b. anggota P – Q; = {2} c. anggota Q – P. c. Q – P = {1, 3, 5, 7, 9} – {2, 3, 5, 7} = {1, 9}. (Berpikir kritis) 4. Komplemen Suatu Himpunan Amati lingkungan Agar kalian dapat memahami mengenai komplemen suatu sekitarmu. Tuliskan himpunan, coba ingat kembali pengertian himpunan semesta atau kumpulan yang semesta pembicaraan. merupakan himpunan. Tentukan komplemen Komplemen himpunan A adalah suatu himpunan yang anggota- dari himpunan anggotanya merupakan anggota S tetapi bukan anggota A. tersebut. Ceritakan pengalamanmu di Dengan notasi pembentuk himpunan dituliskan sebagai berikut. depan kelas. AC = {x | x  S dan x  A} Diketahui S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} adalah himpunan semesta dan A = {3, 4, 5}. Komplemen himpunan A adalah AC = {1, 2, 6, 7}. Komplemen A dinotasikan dengan AC atau Ac (AC atau Ac dibaca: komplemen A). Diketahui S = {1, 2, 3, ..., Penyelesaian: 10} adalah himpunan se- mesta. Jika A = {1, 2, 3, 4} Diketahui dan B = {2, 3, 5, 7}, tentukan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 10} a. anggota AC; A = {1, 2, 3, 4} b. anggota BC; B = {2, 3, 5, 7} a. AC = {5, 6, 7, 8, 9, 10} c. anggota (A ˆ B)C. b. BC = {1, 4, 6, 8, 9, 10} c. Untuk menentukan anggota (A ˆ B)C, tentukan terlebih dahulu anggota dari A ˆ B. A ˆ B = {2, 3} (A ˆ B)C = {1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 182 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 1. Tentukan P ˆ Q dengan menyebutkan C = {x | x d 11, x  bilangan prima} anggota-anggotanya, kemudian tentukan Dengan menyebutkan anggota-anggota- n(P ˆ Q) untuk himpunan P dan Q di nya, tentukan masing-masing anggota bawah ini. himpunan berikut ini. a. P = {x | 0 < x d 5, x  A} a. A, B, dan C Q = {x | –4 d x < 1, x  B} b. A ‰ B c. B ‰ C b. P = {x | x < 9, x  bilangan ganjil} d. A ‰ (B ‰ C) Q = {x | x < 9, x  bilangan prima} e. A ‰ ( B ˆ C) f. B ‰ ( A ˆ C) c. P = {huruf pembentuk kata bunda} g. C ‰ (A ˆ B) Q = {huruf pembentuk kata ibu} h. (A ˆ B) ‰ (B ‰ C) 2. Diketahui himpunan-himpunan berikut. K = {x | –3 < x < 3, x  bilangan bulat} L = {lima bilangan cacah yang pertama} 4. Diketahui M = {x | x < 5, x  bilangan asli} S = {bilangan cacah kurang dari 15}; A = {x | x < 8, x  S}; dan Dengan menyebutkan anggota-anggo- B = {x | x t 5, x  S}. tanya, tentukan masing-masing anggota himpunan berikut. Nyatakan himpunan-himpunan berikut dengan mendaftar anggota-anggotanya. a. K ‰ L c. L ‰ M b. K ‰ M d. K ‰ L ‰ M a. AC e. A ˆ BC 3. Diketahui himpunan-himpunan berikut. b. BC f. A\\B A = {x | x < 5, x  bilangan cacah} c. (A ˆ B)C g. B\\A B = {empat bilangan ganjil yang per- d. (A ‰ B)C h. S\\A tama} 5. Sifat-Sifat Operasi Himpunan a. Sifat-sifat irisan dan gabungan himpunan Kalian telah mempelajari bahwa anggota irisan dua himpunan adalah anggota persekutuan himpunan tersebut. Jika A = {1, 2, 3, 4} B = {3, 4, 5} C = {4, 5, 6} maka A ˆ B = {3, 4} dan B ˆ A = {3, 4}. Tampak bahwa A ˆ B = B ˆ A. Sifat ini disebut sifat komutatif irisan. Himpunan 183

Untuk setiap himpunan A dan B berlaku sifat komutatif irisan A ˆ B = B ˆ A. (Berpikir kritis) Berdasarkan himpunan A, B, dan C di atas dapat diketahui bahwa A ˆ B = {3, 4} dan B ˆ C = {4, 5}, sehingga Diskusikan dengan (A ˆ B) ˆ C = {3, 4} ˆ {4, 5, 6} temanmu. Dengan cara yang sa- = {4} ma seperti pada sifat- sifat irisan himpunan, A ˆ (B ˆ C) = {1, 2, 3, 4} ˆ {4, 5} tunjukkan berlakunya = {4} sifat-sifat gabungan himpunan berikut. Tampak bahwa (A ˆ B) ˆ C = A ˆ (B ˆ C). a) Sifat komutatif Sifat ini disebut sifat asosiatif irisan. gabungan: A ‰ B = B ‰ A. Jika A = {1, 2, 3, 4} maka A ˆ A = {1, 2, 3, 4} ˆ {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4} b) Sifat asosiatif ga- bungan: =A (A ‰ B) ‰ C = Jadi, A ˆ A = A. A ‰ (B ‰ C). Sifat ini dikenal dengan sifat idempotent irisan. c) Sifat idempotent gabungan: Untuk setiap himpunan A dengan semesta pembicaraan S, berlaku A ‰ A = A. a. sifat identitas irisan d) Sifat identitas ga- A ˆ S = A (himpunan S disebut elemen identitas pada irisan) bungan: A ‰ ‡ = b. sifat komplemen irisan A ˆ AC = ‡ . A. ‡ disebut Coba buktikan sifat-sifat di atas dengan berdiskusi bersama elemen identitas temanmu. pada gabungan himpunan. e) Sifat komplemen gabungan: A ‰ AC = S. Selain sifat-sifat di atas, terdapat hubungan antara irisan dan gabungan dua himpunan. Jika himpunan A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5, 6}, dan C = {3, 6, 7}, diperoleh B ‰ C = {3, 4, 5, 6, 7}, A ˆ B = {3}, dan A ˆ C = {3}. Dengan demikian diperoleh A ˆ (B ‰ C) = {1, 2, 3} ˆ {3, 4, 5, 6, 7} = {3} Untuk setiap himpunan (A ˆ B) ‰ (A ˆ C) = {3} ‰ {3} A, B, dan C, tunjukkan = {3} berlakunya sifat distri- butif gabungan terha- Tampak bahwa A ˆ (B ‰ C) = (A ˆ B) ‰ (A ˆ C). dap irisan: A ‰ (B ˆ C) Secara umum berlaku sebagai berikut. = (A ‰ B) ˆ (A ‰ C). Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlaku A ˆ (B ‰ C) = (A ˆ B) ‰ (A ˆ C) Sifat ini disebut sifat distributif irisan terhadap gabungan. 184 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

b. Sifat-sifat selisih himpunan Di depan kalian telah mengetahui bahwa selisih himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota dari A tetapi bukan anggota dari B. Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} B = {1, 2, 3, 6} C = {1, 2, 4, 8} maka A – A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} – {1, 2, 3, 4, 6, 12} =‡ A – ‡ = {1, 2, 3, 4, 6, 12} – ‡ = {1, 2, 3, 4, 6, 12} = A. Tampak bahwa A – A = ‡ dan A – ‡ = A. Karena A – ‡ = A, maka ‡ adalah identitas pada selisih himpunan. Sekarang, perhatikan bahwa B ˆ C = {1, 2}, A – B = {4, 12}, dan A – C = {3, 6, 12}, sehingga diperoleh A – (B ˆ C} = {1, 2, 3, 4, 6, 12} – {1, 2} = {3, 4, 6, 12} (A – B) ‰ (A – C) = {4, 12} ‰ {3, 6, 12} = {3, 4, 6, 12} Tampak bahwa A – (B ˆ C) = (A – B) ‰ (A – C). Secara umum berlaku sebagai berikut. Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlaku A – (B ˆ C) = (A – B) ‰ (A – C) Sifat ini disebut sifat distributif selisih terhadap irisan. Dengan cara yang sama seperti di atas, buktikan bahwa pada selisih dua himpunan berlaku sifat distributif selisih terhadap gabungan. Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlaku A – (B ‰ C) = (A – B) ˆ (A – C) Diskusikan hal ini dengan temanmu. Himpunan 185

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. Diketahui c. anggota P ‰ Q; d. anggota Q ‰ P; P = {huruf pembentuk kata PERIANG} e. anggota P ˆ (Q ‰ R); f. anggota P ‰ (Q ˆ R); Q = {huruf pembentuk kata GEMBIRA} g. anggota (P ˆ Q) ‰ (P ˆ R); R = {huruf pembentuk kata CERIA} h. anggota (P ‰ Q) ˆ (P ‰ R). Dengan mendaftar anggota-anggotanya, Ujilah jawabanmu dengan sifat-sifat operasi tentukan himpunan yang telah kalian pelajari sebe- a. anggota P ˆ Q; lumnya. b. anggota Q ˆ P; F. DIAGRAM VENN John Venn 1. Pengertian Diagram Venn Sumber: Ensiklopedi Mate- Di bagian depan kalian telah mempelajari cara menyatakan matika dan Peradaban suatu himpunan, menentukan himpunan semesta, menentukan Manusia, 2003 himpunan bagian dari suatu himpunan, dan operasi pada himpunan. Untuk menyatakan suatu himpunan secara visual (gambar), kalian Gambar 6.3 dapat menunjukkan dalam suatu diagram Venn. Diagram Venn pertama kali diketemukan oleh John Venn, seorang ahli matematika dari Inggris yang hidup pada tahun 1834– 1923. Dalam diagram Venn, himpunan semesta dinyatakan dengan daerah persegi panjang, sedangkan himpunan lain dalam semesta pembicaraan dinyatakan dengan kurva mulus tertutup sederhana dan noktah-noktah untuk menyatakan anggotanya. Agar kalian dapat memahami cara menyajikan himpunan dalam diagram Venn, pelajari uraian berikut. Diketahui S = {0, 1, 2, 3, 4, ..., 9}; P = {0, 1, 2, 3, 4}; dan Q = {5, 6, 7} Himpunan S = {0, 1, 2, 3, 4, ..., 9} adalah himpunan semesta (semesta pembicaraan). Dalam diagram Venn, himpunan semesta dinotasikan dengan S berada di pojok kiri. Perhatikan himpunan P dan Q. Karena tidak ada anggota persekutuan antara P dan Q, maka P ˆ Q = { }. Jadi, dapat dikatakan bahwa kedua himpunan saling lepas. Dalam hal ini, 186 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

kurva yang dibatasi oleh himpunan P dan Q saling terpisah. S Q Selanjutnya, anggota-anggota himpunan P diletakkan pada kurva P P, sedangkan anggota-anggota himpunan Q diletakkan pada kurva Q. 0 5 21 6 Anggota himpunan S yang tidak menjadi anggota himpunan P dan Q diletakkan di luar kurva P dan Q. 34 7 Diagram Venn-nya seperti Gambar 6.4 di samping. 98 Gambar 6.4 Diketahui S = {1, 2, 3, ..., Penyelesaian: 10} adalah himpunan se- Diketahui S = {1, 2, 3, ..., 10} mesta (semesta pembica- raan), A = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {bilangan genap B = {2, 4, 6, 8, 10} kurang dari 12}. Gambar- Berdasarkan himpunan A dan B, dapat diketahui bahwa lah dalam diagram Venn A ˆ B = {2, 4}. Perhatikan bahwa himpunan A dan B ketiga himpunan tersebut. saling berpotongan. (Mengapa?) Dalam diagram Venn, irisan dua himpunan harus dinyatakan dalam satu kurva (himpunan A dan B dibuat berpotongan). Adapun bilangan yang lain diletakkan pada kurva masing- masing. Diagram Venn-nya sebagai berikut. SA B 1 26 3 8 4 5 7 10 9 Gambar 6.5 2. Membaca Diagram Venn Dalam membaca diagram Venn, perhatikan himpunan semes- ta dan himpunan-himpunan lain yang berada pada diagram Venn tersebut. Anggota-anggota himpunan tertentu berada pada kurva yang dibatasi oleh himpunan tersebut. Agar kalian lebih memahami cara membaca diagram Venn, perhatikan contoh berikut. Himpunan 187

S PQ Penyelesaian: 1 3 4 19 a. Himpunan S adalah himpunan semesta atau se- 15 57 20 mesta pembicaraan. Himpunan S memuat se- 6 mua anggota atau objek himpunan yang dibicara- 12 9 8 2 kan, sehingga S = {1, 2, 3, 4, ..., 20}. 17 18 b. Himpunan P adalah semua anggota himpunan S yang menjadi anggota himpunan P. Dalam dia- 16 14 13 11 10 gram Venn, anggota himpunan P berada pada kurva yang dibatasi oleh P. Jadi, P = {1, 3, 6, 9, Gambar 6.6 12, 15, 18} Berdasarkan diagram Venn di c. Himpunan Q adalah semua anggota himpunan atas, nyatakan himpunan-him- S yang menjadi anggota himpunan Q. Dalam punan berikut dengan mendaftar diagram Venn, anggota himpunan Q berada pada anggota-anggotanya. kurva yang dibatasi oleh Q. Jadi, Q = {3, 4, 5, 6, a. Himpunan S. 7, 8, 9}. b. Himpunan P. c. Himpunan Q. d. Anggota himpunan P ˆ Q adalah anggota him- d. Anggota himpunan P ˆ Q. punan P dan sekaligus menjadi anggota him- e. Anggota himpunan P ‰ Q. punan Q = {3, 6, 9}. f. Anggota himpunan P\\Q. g. Anggota himpunan PC. e. Anggota himpunan P ‰ Q adalah semua ang- gota himpunan P maupun himpunan Q = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 18}. f. Anggota himpunan P\\Q adalah semua anggota P tetapi bukan anggota Q, sehingga P\\Q = {1, 12, 15, 18}. g. Anggota himpunan PC adalah semua anggota S tetapi bukan anggota P, sehingga PC = {2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20}. SP Q 3. Menyajikan Operasi Himpunan dalam Diagram Venn 13 2 4 Kalian telah mempelajari cara membaca diagram Venn. 5 8 Sekarang, kalian akan mempelajari cara menyajikan suatu himpunan ke dalam diagram Venn. 97 Misalkan S = {1, 2, 3, ..., 10}, P = {1, 3, 5, 7, 9}, dan Q = {2, 10 6 3, 5, 7}. Himpunan P ˆ Q = {3, 5, 7}, sehingga dapat dikatakan Gambar 6.7 bahwa himpunan P dan Q saling berpotongan. Diagram Venn yang menyatakan hubungan himpunan S, P, dan Q, seperti Gambar 6.7. Daerah yang diarsir pada diagram Venn di samping menun- jukkan daerah P ˆ Q. 188 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

Adapun daerah arsiran pada Gambar 6.8 di samping me- SP Q nunjukkan daerah P ‰ Q. 13 2 4 Berdasarkan diagram Venn di samping, tampak bahwa 5 8 P ‰ Q = {1, 2, 3, 5, 7, 9}. Coba, tunjukkan dengan diagram Venn, daerah arsiran yang menyatakan himpunan PC dan Q\\P dari 97 himpunan-himpunan di atas. 10 6 Diskusikan hal ini dengan temanmu. Gambar 6.8 (Berpikir kritis) Buatlah dua buah himpunan dimana himpunan yang satu merupakan bagian dari himpunan yang lain. Tunjukkan dengan diagram Venn, daerah yang menunjukkan irisan dan gabungan dua buah himpunan tersebut. Lakukan hal ini pada dua buah himpunan yang sama. Kemudian, buatlah kesimpulannya. Diskusikan dengan temanmu. Agar kalian lebih memahami cara menyajikan himpunan dalam diagram Venn, perhatikan contoh berikut. Diketahui S = {0, 1, 2, ..., Penyelesaian: 15}; P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; Diketahui: S = {0, 1, 2, 3, ..., 15} Q = {1, 2, 5, 10, 11}; dan R = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}. P = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Gambarlah himpunan- Q = {1, 2, 5, 10, 11}; dan himpunan tersebut dalam R = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}. diagram Venn. Tunjukkan Berdasarkan himpunan-himpunan tersebut, dapat diketahui dengan arsiran daerah- bahwa P ˆ Q ˆ R = {2} daerah himpunan berikut. P ˆ Q = {1, 2, 5} Q ˆ R = {2, 10} a. P ˆ Q ˆ R P ˆ R = 2, 4, 6} b. P ˆ Q Diagram Venn-nya sebagai berikut. c. Q ‰ R d. P ‰ (Q ˆ R) SP Q 15 e. QC 1 f. P – R 3 5 11 42 7 6 10 R 8 14 12 9 13 Gambar 6.9 Himpunan 189

a. Daerah arsiran pada diagram Venn di atas menun- jukkan himpunan P ˆ Q ˆ R. b. Daerah arsiran di samping SP Q 15 menunjukkan himpunan P ˆ Q. 1 11 35 Tampak bahwa P ˆ Q = {1, 2, 5}. 42 7 6 10 R 8 14 12 9 13 Gambar 6.10 c. Daerah yang diarsir pada SP Q 15 diagram Venn di samping menunjukkan himpunan 1 11 Q ‰ R. Dari gambar dapat 35 diketahui bahwa Q ‰ R = {1, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 42 7 12, 14}. 6 10 R 8 14 12 9 13 Gambar 6.11 d. Dari soal dapat diketahui S P Q 15 bahwa Q ˆ R = {2, 10}, 1 sehingga P ‰ (Q ˆ R) = 3 5 11 {1, 2, 3, ..., 6} ‰ {2, 10} 42 7 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10}. 6 10 Daerah arsiran pada dia- R 8 14 12 9 gram Venn di samping me- 13 nunjukkan daerah Gambar 6.12 P ‰ (Q ˆ R). e. Diketahui S = {1, 2, ..., 15} S P Q 15 dan Q = {1, 2, 5, 10, 11}, 1 sehingga QC = {3, 4, 6, 7, 8, 3 5 11 9, 12, 13, 14, 15}. Daerah 42 7 arsiran pada diagram Venn 6 10 di samping menunjukkan himpunan QC. R 8 14 12 9 13 Gambar 6.13 190 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

f. Diketahui P = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan R = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}, sehingga P – R = {1, 2, 3, 4, 5, 6} – {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} = {1, 3, 5} Diagram Venn-nya sebagai berikut. SP Q 15 1 3 5 11 42 7 6 10 R 8 14 12 9 13 Gambar 6.14 Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 1. Diketahui himpunan-himpunan berikut. 2. Perhatikan diagram Venn berikut. S = {bilangan cacah kurang dari 15} A = {lima bilangan ganjil yang perta- SP Q ma} B = {lima bilangan genap yang perta- ab d i ma} g h C = {faktor dari 8} ec D = {tiga bilangan kuadrat yang per- p j tama} m f ol a. Nyatakan himpunan-himpunan di r atas dengan mendaftar anggotanya. kn qs b. Buatlah diagram Venn untuk ma- sing-masing himpunan berikut, S = {siswa yang gemar olahraga} dengan S sebagai himpunan P = {siswa yang gemar bola voli} semestanya. Q = {siswa yang gemar bola basket} a. Himpunan S, A, dan B. Setiap anggota himpunan ditunjukkan b. Himpunan S, A, dan C dengan noktah. Dari diagram Venn c. Himpunan S, B, dan D tersebut, sebutkan anggota himpunan d. Himpunan S, A, C, dan D berikut. e. Himpunan S, B, C, dan D a. Himpunan siswa yang gemar olah- raga. b. Himpunan siswa yang gemar bola voli. c. Himpunan siswa yang gemar bola basket. d. Himpunan siswa yang gemar bola voli dan basket. Himpunan 191