Matematika Kelas X

Dari uraian di atas, tampak bahwa untuk memperoleh pecahan-pecahan yang senilai dapat dilakukan dengan mengalikan atau membagi pembilang dan penyebutnya dengan bilangan yang sama. Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut. Jika diketahui pecahan p dengan p, q z 0 maka berlaku q p p u a atau p p : b , di mana a, b konstanta positif bukan q qua q q:b nol. Tentukan dua pecahan Penyelesaian: yang senilai dengan pecah- an berikut. a. 2 2u2 4 3 3u2 6 a. 2 2 2 u 5 10 3 3 3u 5 15 Jadi, dua pecahan yang senilai dengan 2 adalah b. 28 3 42 4 dan 10 . 6 15 28 28 : 2 14 b. 42 42 : 2 21 28 28 :14 2 42 42 :14 3 Jadi, dua pecahan yang senilai dengan 28 adalah 42 14 dan 2 . 21 3 3. Menyederhanakan Pecahan Kalian telah mengetahui cara menentukan pecahan senilai, yaitu dengan mengalikan atau membagi pembilang dan penyebutnya dengan bilangan yang sama, kecuali nol (0). 42 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

Sekarang, perhatikan cara menemukan pecahan-pecahan senilai berikut. 24 24 : 2 12 24 24 : 6 4 (Berpikir kritis) 36 36 : 2 18 36 36 : 6 6 Temukan bentuk 24 24 : 3 8 24 24 :12 2 paling sederhana dari 36 36 : 3 12 36 36 :12 3 36 pecahan . 2 Pecahan pada pengerjaan di atas tidak dapat dibagi lagi 48 3 dengan bilangan lain selain nol. Dalam hal ini, pecahan 2 3 merupakan bentuk paling sederhana dari 24 . 36 24 Untuk memperoleh bentuk paling sederhana, pecahan 36 harus dibagi dengan bilangan 12. Coba cek apakah 12 adalah FPB dari bilangan 24 dan 36? Suatu pecahan p , q z 0 dapat disederhanakan dengan cara q membagi pembilang dan penyebut pecahan tersebut dengan FPB- nya. Hal ini dapat ditulis sebagai berikut. Dalam menyederhanakan sebarang pecahan p , q z 0, berlaku q p p : a , di mana a Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) q q:a dari p dan q. Nyatakan pecahan 18 Penyelesaian: 45 FPB dari 18 dan 45 adalah 9. dalam bentuk pecahan pa- 18 18 : 9 2 ling sederhana. 45 45 : 9 5 18 Jadi, bentuk pecahan paling sederhana dari adalah 45 2 . 5 Pecahan 43

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 1. Nyatakan bentuk pecahan yang ditun- 3 7 jukkan oleh daerah yang diarsir pada b. e. gambar berikut. 7 8 2 9 c. 9 f. 16 3. Sebutkan dua pecahan yang senilai a. c. dengan pecahan berikut. 3 4 a. 4 c. 9 b. d. b.  2 d.  5 5 8 4. Nyatakan pecahan-pecahan berikut da- lam bentuk yang paling sederhana. 2. Nyatakan pecahan berikut dalam bentuk a. 5 c. 28 30 49 gambar. 5 7 b.  48 75 a. d. 72 d. 6 12 145 4. Menyatakan Hubungan Antara Dua Pecahan Perhatikan Gambar 2.4 di samping. 1 Luas daerah arsiran pada Gambar 2.4 (a) menunjukkan 3 dari luas keseluruhan. Adapun luas daerah arsiran pada Gambar (a) 2.4 (b) menunjukkan 2 dari luas keseluruhan. Tampak bahwa 3 (b) Gambar 2.4 luas arsiran pada Gambar 2.4 (b) lebih besar dari luas arsiran pada Gambar 2.4 (a) atau dapat ditulis 2 ! 1 atau 1  2 . 33 33 Dari uraian di atas dapat dikatakan bahwa untuk menyatakan hubungan dua pecahan, bandingkan pembilangnya, jika penyebut kedua pecahan sama. Adapun jika penyebut kedua pecahan berbeda, untuk membandingkan pecahan tersebut, samakan terlebih dahulu penyebut kedua pecahan (dengan menentukan KPK dari penyebut kedua pecahan), kemudian bandingkan pembilangnya. 44 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

Berilah tanda > atau < un- Penyelesaian: tuk setiap pernyataan beri- kut sehingga menjadi per- a. 3 9½ nyataan yang benar. 4 °° 2 12 ¾ (KPK dari 4 dan 3 adalah 12) a. 3 ... 2 8 ° 43 3 12 ¿° b. 5 ... 7 9 12 Karena 9 ! 8 maka 3 ! 2 atau 2  3 . 12 12 4 3 34 b. 5 20 ½ 9 ¾°° 7 36 ° (KPK dari 9 dan 12 adalah 36) 21 12 36 °¿ Karena 20  21 maka 5  7 atau 7 ! 5 . 36 36 9 12 12 9 Coba cek penyelesaian pada contoh di atas dengan menggunakan gambar. Apakah hasilnya sama? 5. Menentukan Letak Pecahan pada Garis Bilangan (Berpikir kritis) Diskusikan dengan Pada bab sebelumnya kalian telah mempelajari letak bilangan teman sebangkumu. bulat pada garis bilangan. Coba kalian ingat kembali garis bilangan Manakah yang lebih pada bilangan bulat. besar, pecahan –3 –2 –1 0 1 2 3 31  atau  ? Gambar 2.5 44 Pada garis bilangan, bilangan pecahan terletak di antara dua bilangan bulat. Sebagai contoh, jika pada garis bilangan di atas, Mengapa? Jelaskan jarak antara dua bilangan bulat yang berdekatan kalian bagi dua jawabanmu dengan maka garis bilangannya menjadi menggunakan garis bilangan. –3 – 5 –2 – 3 –1 – 1 0 1 1 3 2 5 3 2 2 2 2 2 2 Gambar 2.6 Adapun untuk letak pecahan yang lain, dapat kalian tentukan dengan membagi jarak antara dua bilangan bulat menurut besarnya penyebut. Pada garis bilangan, pecahan yang lebih besar berada di sebelah kanan, sedangkan pecahan yang lebih kecil berada di sebelah kiri. Pecahan 45

Perhatikan Gambar 2.6. Pada garis bilangan di atas, tampak terdapat pecahan negatif. Pecahan negatif adalah pecahan yang nilainya lebih kecil daripada nol. Pecahan negatif menggunakan tanda negatif, misalnya  1 ,  1 ,  1 , dan  3 . Coba, letakkan pecahan  1 ,  1 ,  1 , 234 5 234 dan  3 pada garis bilangan. 5 1. Susunlah pecahan Penyelesaian: 1, 2 , dan 1 dalam Penyebut kedua pecahan belum sama, sehingga kita sama- 32 kan dulu penyebutnya. urutan naik, kemudian 1 6 ½ KPK dari 1, 2, dan 3 adalah 6. tentukan letaknya pa- 6 ° da garis bilangan. 2 ¾°° 3 4 ° 6 13 ° 2 6 ¿° Jadi, urutan naik pecahan 1, 2 , dan 1 adalah 1, 1 , 2 . 32 23 Letak pada garis bilangan sebagai berikut. –1 0 12 1 23 –6 6 34 66 Gambar 2.7 2. Buatlah garis bilangan Penyelesaian: pecahan. Kemudian, bandingkan pecahan a. 4 3 2 1 0 1 2 3 4 berikut dengan mem- 5 5 5 5 5 5 5 5 beri tanda < atau >. –1 – – – – 1 Gambar 2.8 a. 1 dan  2 Karena 1 terletak di sebelah kanan 2 , maka 1 !  2. 55 5 5 5 5 b. –2 –1 0 1 2 b.  1 dan 1 44 44 44 Gambar 2.9 Karena 1 terletak di sebelah kiri 1 , maka 1  1. 4 4 4 4 46 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

6. Menentukan Pecahan yang Nilainya di Antara Dua Pecahan Misalkan, kita mempunyai pecahan 1 dan 2 . Menurutmu, (Menumbuhkan krea- 66 tivitas) apakah ada bilangan pecahan yang terletak di antara pecahan Tentukan 4 buah pecahan yang terletak 1 dan 2 ? Untuk menjawabnya, perhatikan bahwa 1 = 2 66 6 12 23 di antara dan . dan 2 4 . Kita peroleh bahwa 2  3  4 . Jadi, pecahan 6 12 12 12 12 37 Kemudian, ujilah yang terletak di antara 1 dan 2 adalah 3 . jawabanmu dengan 66 12 meletakkan pecahan Coba cek hal ini dengan menggambarnya pada garis bilangan. 23 dan pada garis 37 bilangan. Di antara dua pecahan yang berbeda selalu dapat ditemukan pecahan yang nilainya di antara dua pecahan tersebut. Untuk menentukan pecahan yang nilainya di antara dua pecahan, langkah-langkahnya sebagai berikut. a. Samakan penyebut dari kedua pecahan. Kemudian, tentukan nilai pecahan yang terletak di antara kedua pecahan tersebut. b. Ubahlah lagi penyebutnya, jika belum diperoleh pecahan yang dimaksud. Begitu seterusnya. Tentukan sebuah pecahan Penyelesaian: 3 3 3u3 9 yang terletak di antara 5 5 5u 3 15 2 2 u 5 10 dan 2 . 3 3 3u 5 15 Karena belum diperoleh pecahan yang dimaksud maka ma- sing-masing penyebutnya diperbesar lagi sehingga diperoleh 9 9 u 2 18 15 15u 2 30 10 10 u 2 20 . 15 15u 2 30 Di antara pecahan 18 dan 20 terdapat pecahan 19 . 30 30 30 Jadi, pecahan yang terletak di antara 3 dan 2 adalah 19 . 53 30 Pecahan 47

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 1. Berilah tanda <, >, atau = sehingga b.  1 ,  2 ,  2 d.  7 ,  5 ,  2 pernyataan berikut menjadi benar. 4 5 11 893 a. 4 ... 5 c. 7 ... 3 5. Sisipkan tepat tiga pecahan di antara 78 12 8 pecahan berikut. b. 5 ... 7 d. 4 ... 3 a. 1 dan 3 c. 2 dan 3 69 95 38 55 2. Susunlah pecahan berikut dalam urutan b. 5 dan 3 d. 1 dan 2 turun, kemudian tentukan letaknya pa- 95 69 da garis bilangan. 6. Bandingkan pecahan-pecahan berikut a. 3 , 5 , 3 c. 1 , 5 , 4 dengan memberi tanda < atau >. 584 369 a.  2 ...  1 c.  2 ...  5 b. 3 , 2 , 3 , 5 d. 4 , 7 , 13 , 5 32 57 4358 5 10 15 6 b.  1 ...  3 d.  9 ...  4 45 11 5 3. Urutkan pecahan-pecahan berikut dari yang terkecil. 7. Tentukan sebuah pecahan yang terletak di antara kedua pecahan berikut. a. 5 , 1, 3 c. 3, 5, 1 754 8 64 a.  1 dan  2 c.  4 dan  5 33 77 b. 2, 2, 4 d. 3, 3, 5 635 11 12 13 1 1 5 6 4. Urutkan pecahan-pecahan berikut dari b. 2 dan  4 d. 8 dan 8 yang terbesar. a. 2,  5, 1 c. 1,  4, 1 78 3 2 5 6 B. PERBANDINGAN DAN BENTUK-BENTUK PECAHAN 1. Pecahan sebagai Perbandingan Bagian dari Keseluruhan Telah kalian ketahui bahwa pecahan merupakan bagian dari keseluruhan. Apabila terdapat dua besaran yang dibandingkan, pecahan dikatakan sebagai perbandingan bagian dari keseluruhan. Perhatikan contoh berikut. 48 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

Seorang anak memiliki 12 Penyelesaian: kelereng, yang terdiri atas 3 kelereng warna merah, a. Perbandingan kelereng warna merah terhadap hijau 4 kelereng warna hijau, dan 5 kelereng warna biru. adalah 3 : 4 atau 1 : 1 . 12 12 43 a. Tentukan perbanding- an kelereng warna b. Perbandingan kelereng warna merah terhadap biru merah terhadap hijau. adalah 3 : 5 . b. Tentukan perbanding- 12 12 an kelereng warna merah terhadap biru. c. Perbandingan kelereng warna hijau terhadap biru c. Tentukan perbanding- adalah 4 : 5 . an kelereng warna 12 12 hijau terhadap biru. 2. Menyatakan Bilangan Bulat dalam Bentuk Pecahan Perhatikan garis bilangan berikut. 012 34 01 23 45 67 8 22 22 22 22 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 33 33 333 33333 Gambar 2.10 Dari Gambar 2.10 tersebut diperoleh 00 0 36 9 23 23 12 3 4 8 12 23 23 246 23 Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut. Setiap bilangan bulat p, q dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan p , di mana p merupakan kelipatan dari q, q z 0. q Pecahan 49

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 1. Nyatakan perbandingan berikut ke ben- 3. Tulislah bilangan bulat dari pecahan- tuk paling sederhana. pecahan berikut. a. 24 : 66 c. 5 km : 6.000 m 96 224 a. c. b. 32 : 80 d. 1,5 kg : 25 kw 8 4 2. Uang saku Dono sebesar Rp5.000,00. 156 306 b. 3 d. 34 Sebanyak 3 bagian dari uang tersebut 5 dibelikan alat tulis. Berapa sisa uang saku Dono sekarang? Gambar 2.11 3. Mengubah Pecahan Biasa Menjadi Pecahan Campuran dan Sebaliknya Ibu memiliki 3 buah apel yang akan dibagikan kepada 2 orang anaknya dengan sama besar. Bagian apel yang akan diperoleh tiap anak adalah satu apel dan setengah apel. Hal ini dapat dinyatakan sebagai 3 : 2 atau 11 . Bentuk pecahan 11 merupakan 22 bentuk pecahan campuran. Pecahan campuran 11 terdiri atas 2 bilangan bulat 1 dan bilangan pecahan 1 . 2 1. Nyatakan pecahan be- Penyelesaian: Cara 2 rikut ke dalam pecahan campuran. a. Cara 1 35 32  3 8 4 44 a. 35 4 35 Ÿ 4 35 8 3 4 32 4 b. 75 6 3 83 Hasilnya, 35 : 4 = 8 sisa 3 4 35 8 3 44 50 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

b. Cara 1 Cara 2 75 Ÿ6 12 75 72  3 6 6 66 75 60 12  1 2 15 12 12 1 2 3 Hasilnya, 75 : 6 = 12 sisa 3 75 12 3 12 1 6 62 2. Ubahlah pecahan Penyelesaian: campuran berikut ke bentuk pecahan biasa. a. Cara 1 Cara 2 a. 2 5 25 2 5 25 2u95 9 99 99 18  5 18  5 b. 3 7 99 12 23 9 23 9 9 b. Cara 1 Cara 2 3 7 3  §  7 · 3 7  3u12  7 12 ¨© 12 ¸¹ 12 12  36  7  36  7 12 12 12  43  43 12 12 Dari contoh di atas dapat disimpulkan sebagai berikut. Bentuk pecahan campuran pq dengan r z 0 dapat dinyatakan r dalam bentuk pecahan biasa p u r  q . r Catatan: p q p  q p u r  q p u r  q r rrr r 4. Mengubah Bentuk Pecahan ke Bentuk Desimal dan Sebaliknya Coba kalian ingat kembali mengenai nilai tempat pada bilangan pecahan desimal. Perhatikan nilai tempat pada bilangan 235,674 berikut. Pecahan 51

2 3 5, 6 7 4 (Menumbuhkan krea- perseribuan, nilainya 4 atau 0,004 tivitas) 1.000 Carilah artikel menge- perseratusan, nilainya 7 atau 0,07 nai penggunaan bi- 100 langan desimal dalam kehidupan sehari-hari. persepuluhan, nilainya 6 atau 0,6 Bacalah koran, tabloid, 10 buku-buku iptek, atau carilah di internet. satuan, nilainya 5 Sajikan dalam sebuah laporan dan kumpul- puluhan, nilainya 30 kan pada gurumu. ratusan, nilainya 200 Jika ditulis dalam bentuk panjang, diperoleh 235,674 200  30  5  0,6  0,07  0,004 200  30  5  6  7  4 10 100 1.000 200  30  5  600  70  4 1.000 1.000 1.000 235  674 1.000 235 674 . 1.000 Apabila suatu pecahan biasa atau campuran akan diubah atau dinyatakan ke dalam bentuk pecahan desimal, maka dapat dilakukan dengan cara mengubah penyebutnya menjadi 10, 100, 1.000, 10.000, dan seterusnya. Dapat pula dengan cara membagi pembilang dengan penyebutnya. Sebaliknya, untuk mengubah pecahan desimal menjadi pecahan biasa/campuran dapat kalian lakukan dengan menguraikan bentuk panjangnya terlebih dahulu. 1. Ubahlah pecahan beri- Penyelesaian: Cara 2 kut ke dalam bentuk 0, 7 5 pecahan desimal. a. Cara 1 4 3, 0 0 a. 3 3 3u 25 0 4 4 4 u 25 30 b. 2 4 75 28 5 100 20 0, 75 20 Jadi, 3 0,75. 0 4 52 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

b. Cara 1 2,8 24 2u54 5 14 55 10 14 40 5 14 u 2 5u2 28 2,8 10 Cara 2 24 2u54 55 14 5 2,8 2. Nyatakan bilangan- Penyelesaian: bilangan berikut men- jadi pecahan biasa/ a. 5,82 5  8  2 campuran yang paling 10 100 sederhana. 5  80  2 a. 5,82 100 100 b. 0,16 5  82 100 Cara 2 5 82 5 41 100 50 0,16 16 100 b. Cara 1 16 : 4 0,16 0  1  6 100 : 4 10 100 4 10  6 25 100 100 16 4 100 25 Perhatikan bentuk desimal 2,333... Bentuk desimal seperti 2,333... disebut bentuk desimal berulang. Untuk mengubah bentuk desimal berulang seperti di atas ke bentuk pecahan biasa dapat dilakukan dengan cara berikut. Pecahan 53

Misalkan x = 2,333... maka 10x = 23,333... (Menumbuhkan ino- 10x = 23,333... vasi) x = 2,333... Diskusikan dengan 9x = 21 temanmu. Tuliskan 5 contoh ben- x= 21 tuk pecahan desimal 9 berulang. Lalu, ubah- lah ke bentuk pecahan x= 7 biasa. Jika perlu, gu- 3 nakan kalkulator untuk membantu pekerjaan- Jadi, 2,333... = 7. mu. 3 5. Mengubah Bentuk Pecahan ke Bentuk Persen dan Sebaliknya 23 Dapatkah kalian mengubah bentuk 5 dan 4 ke bentuk perseratus? 2 2 u 20 40 5 5u 20 100 3 3u 25 75 4 4 u 25 100 Bentuk pecahan perseratus seperti di atas disebut bentuk per- (Menumbuhkan krea- sen atau ditulis “%”, sehingga 2 40 40% dan 3 75 75%. tivitas) 5 100 4 100 Bacalah koran, tabloid, Dalam mengubah bentuk pecahan ke bentuk persen dapat internet, atau sumber dilakukan dengan cara mengubah pecahan semula menjadi pecahan lainnya. Temukan senilai dengan penyebut 100. Jika hal itu sulit dikerjakan maka penggunaan persen dapat dilakukan dengan cara mengalikan pecahan tersebut dengan dalam kehidupan 100%. Adapun untuk mengubah bentuk persen ke bentuk pecahan sehari-hari. Ceritakan biasa/campuran, ubahlah menjadi perseratus, kemudian sederha- temuanmu di depan nakanlah. kelas. 1. Nyatakan pecahan- Penyelesaian: b. 12 12 u 20 pecahan berikut dalam 5 bentuk persen. a. 7 7 u12,5 5u 20 8 8 u12,5 240 240% a. 7 b. 12 87,5 87,5% 100 85 100 54 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

2. Nyatakan bentuk per- Penyelesaian: b. 120% 120 sen berikut menjadi bentuk pecahan biasa/ a. 32% 32 100 campuran. 100 120 : 20 32 : 4 a. 32% 100 : 20 100 : 4 6 b. 120% 8 5 25 11 5 6. Mengubah Bentuk Pecahan ke Bentuk Permil dan Sebaliknya Pecahan dalam bentuk perseribu disebut permil atau ditulis (Menumbuhkan krea- tivitas) “‰”. Bentuk pecahan 275 dikatakan 275 permil dan ditulis Temukan penggunaan 1.000 permil dalam kehidup- an sehari-hari. Carilah 275‰. di koran, internet, atau buku referensi lainnya Dalam mengubah bentuk pecahan ke bentuk permil dapat untuk mendukung dilakukan dengan mengubah pecahan semula menjadi pecahan kegiatanmu. Hasilnya, senilai dengan penyebut 1.000. Jika hal ini sulit dikerjakan maka kemukakan secara dapat dilakukan dengan mengalikan pecahan semula dengan singkat di depan 1.000‰. kelas. 1. Nyatakan pecahan- Penyelesaian: pecahan berikut dalam 17 17 u 50 3 3u125 a. b. bentuk permil. 20 20 u 50 8 8 u125 a. 17 b. 3 850 375 20 8 1.000 1.000 850‰ 375‰ 2. Nyatakan bentuk per- Penyelesaian: b. 90‰ 90 mil berikut menjadi pe- cahan biasa/campur- a. 22,5‰ 22,5 1000 an. 1.000 90 : 10 22,5 u 2 a. 22,5‰ 1.000 u 2 1.000 : 10 45 9 b. 90‰ 2.000 100 9 400 Pecahan 55

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 1. Nyatakan pecahan-pecahan berikut ke 5. Tuliskan bentuk persen berikut ke dalam bentuk pecahan campuran. bentuk pecahan biasa/campuran yang paling sederhana. a. 8 c. 213 3 40 a. 25% c. 30% b. 17 d. 246 b. 24 1 % d. 33 1 % 4 21 4 3 2. Tuliskan pecahan campuran berikut ke 6. Nyatakan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk persen. bentuk pecahan biasa. a. 2 2 c. 6 2 a. 8 c. 48 3 7 25 125 b. 4 5 d. 8 1 b. 15 d. 0,36 9 5 8 3. Nyatakan bilangan-bilangan berikut 7. Ubahlah pecahan-pecahan berikut ke bentuk permil. dalam bentuk pecahan desimal dengan pendekatan sampai satu tempat desimal. 12 c. a. 4 d. 511 a. 0,08 5 12 25 9 e. 22 1 % b. 1,625 15 b. 2 d. 20 20 8. Bedu mempunyai uang sebesar Rp250.000,00. Jumlah uang Tika dan c. 3 1 f. 66 2 ‰ Adang 70% dari uang Bedu, sedangkan 4 3 4. Nyatakan pecahan-pecahan desimal 2 uang Tika diketahui dari uang Adang. berikut ke bentuk pecahan biasa. 3 a. 0,35 c. 3,666... Berapakah besarnya masing-masing uang Tika dan Adang? b. 4,2 d. 4,2323... C. OPERASI HITUNG PECAHAN 1. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan a. Penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan bilang- an bulat Dalam menentukan hasil penjumlahan atau pengurangan pecahan dengan bilangan bulat, ubahlah bilangan bulat itu ke dalam bentuk pecahan dengan penyebut sama dengan penyebut pecahan itu. Kemudian, jumlahkan atau kurangkan pembilangnya 56 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

sebagaimana pada bilangan bulat. Jika pecahan tersebut berbentuk pecahan campuran, jumlahkan atau kurangkan bilangan bulat dengan bagian bilangan bulat pada pecahan campuran. Tentukan hasil penjumlah- Penyelesaian: an dan pengurangan beri- kut. 1. 2  3 2  15 1. 2  3 5 55 2  15 5 2. 2 1  3 5 17 4 5 Diketahui jumlah dua 32 bilangan pecahan 5 4 adalah 2 . Tentukan 2. Cara 1 Cara 2 15 21 3 (2  3)  1 21 3 9 3 salah satu bilangan 4 4 4 4 tersebut. 9  12 Petunjuk: Soal di atas (1)  1 44 memiliki beberapa 4 3 alternatif jawaban. 41 4 44 3 4 b. Penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan pecahan Dalam menentukan hasil penjumlahan atau pengurangan dua pecahan, samakan penyebut kedua pecahan tersebut, yaitu dengan cara mencari KPK dari penyebut-penyebutnya. Kemudian, baru dijumlahkan atau dikurangkan pembilangnya. Tentukan hasilnya. Penyelesaian: 1. 3  4 1. KPK dari 5 dan 7 adalah 35, sehingga diperoleh 75 2. 2 1  3 3  4 15  28 7 5 35 35 24 43 35 18 35 Pecahan 57

2. Cara 1 Cara 2 21  3 24 2  § 1  3 · 21  3 53 ©¨ 2 4 ¹¸ 24 24 10  3 2  § 2  3 · 44 ¨© 4 4 ¹¸ 7 2  §  1 · 4 ¨© 4 ¹¸ 13 8  §  1 · 4 4 ¨© 4 ¹¸ 7 13 44 (Berpikir kritis) c. Sifat-sifat pada penjumlahan dan pengurangan pecahan Coba kalian ingat kembali sifat-sifat yang berlaku pada Diskusikan dengan temanmu. penjumlahan bilangan bulat. Pada pengurangan bilangan bulat, tidak Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c maka berlaku berlaku sifat komutatif 1) sifat tertutup: a + b = c; dan sifat asosiatif. 2) sifat komutatif: a + b = b + a; Coba cek apakah hal 3) sifat asosiatif: (a + b) + c = a + (b + c); ini juga berlaku pada 4) bilangan (0) adalah unsur identitas pada penjumlahan: pengurangan bilangan pecahan. Berikan a + 0 = 0 + a = a; contoh dan buatlah 5) invers dari a adalah –a dan invers dari –a adalah a, kesimpulannya. Kemukakan hasilnya sedemikian sehingga a + (–a) = (–a) + a = 0. di depan kelas. Sifat-sifat tersebut juga berlaku pada penjumlahan bilangan pecahan, artinya sifat-sifat tersebut berlaku jika a, b, dan c bilangan pecahan. Coba buktikan hal ini dengan mendiskusikan bersama temanmu. Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 1. Tentukan hasil penjumlahan pecahan c. 11 5 h. 2 31 berikut dalam bentuk paling sederhana. 2 76 a. 22 f. 53 d. 31 i. 12 23 3 64 54 58 b. 24 3 g. 122 e. 52 j. 33 52 5 53 85 74 58 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

2. Tentukan hasil pengurangan pecahan c. 72 h. 32 21 berikut dalam bentuk paling sederhana. 65 34 a. 5  2 f. 3 12 d. 34 i. 52 3 3 6 10 3 85 5 12 b. 1  (1) g. 7  5 e. 3 21 j. 4 2 21 3 12 4 72 11 2 2. Perkalian Pecahan a. Perkalian pecahan dengan pecahan Untuk mengetahui cara menentukan hasil perkalian pada pecahan, perhatikan Gambar 2.12 di samping. Pada Gambar 2.12 tampak bahwa luas daerah yang diarsir 3 1 3 menunjukkan pecahan bagian dari luas keseluruhan. 4 8 Gambar 2.12 Di lain pihak, daerah yang diarsir menunjukkan perkalian 2 1 u 3 3 . Jadi, dapat dikatakan bahwa luas daerah yang diarsir 24 8 sama dengan perkalian pecahan 1 u 3 . 24 Dari uraian tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut. pr Untuk mengalikan dua pecahan dan dilakukan dengan qs mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut atau dapat ditulis p u r p u r dengan q, s z 0. q s qus Tentukan hasil perkalian Penyelesaian: pecahan berikut dalam 1. 2 u 5 2 u 5 bentuk paling sederhana. 3 8 3u8 1. 2u5 10 38 24 2. 2 1 u1 3 10 : 2 5 2 10 12 24 : 2 Pecahan 59

2. 2 1 u1 3  5 u 13 2 10 2 10  5u13 2 u10  65 20  65 : 5 20 : 5  13 3 1 44 (Menumbuhkan ino- b. Sifat-sifat perkalian pada pecahan vasi) Ingat kembali sifat-sifat yang berlaku pada perkalian bilangan Diskusikan dengan bulat berikut. temanmu. Coba cek bahwa sifat- Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c berlaku sifat operasi hitung 1) sifat tertutup: a u b = c; perkalian bilangan 2) sifat komutatif: a u b = b u a; bulat di samping juga 3) sifat asosiatif: (a u b) u c = a u (b u c); berlaku pada 4) sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan: perkalian bilangan pecahan, dengan a u (b + c) = (a u b) + (a u c); 5) sifat distributif perkalian terhadap pengurangan: 1 memisalkan a = , a u (b – c) = (a u b) – (a u c); 6) a u 1 = 1 u a = a; bilangan 1 adalah unsur identitas pada 3 perkalian. 31 b = , dan c = . Sifat-sifat ini juga berlaku pada perkalian bilangan pecahan. 44 c. Invers pada perkalian Perhatikan perkalian bilangan berikut. 2u5 1 52  3 u §  8 · 1 8 ©¨ 3 ¹¸ Pada perkalian-perkalian bilangan di atas, 2 adalah invers 5 perkalian (kebalikan) dari 5 . Sebaliknya, 5 adalah invers perkalian 22 (kebalikan) dari 2 . 5 60 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

Dari uraian tersebut dapat dikatakan bahwa hasil kali suatu Bedakan pengertian bilangan dengan invers (kebalikan) bilangan itu sama dengan 1. lawan dan invers sua- Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut. tu bilangan pecahan. – Invers perkalian dari pecahan p adalah q atau invers – Lawan dari pecah- qp an p adalah p perkalian dari q adalah p . . pq qq – Suatu bilangan jika dikalikan dengan invers perkaliannya – Invers dari pecah- maka hasilnya sama dengan 1. pq an adalah . qp Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 1. Tentukan hasil perkalian bilangan-bi- g. 2 2 u 3 1 52 langan berikut dalam bentuk yang paling sederhana. h. 1 1 u § 4 6 · 4 ¨© 7 ¸¹ a. 2 u 7 58 i. 5 1 u 10 u 2 2 13 b. 3 u 5 46 j. 2 2 u § 3 3 · u 2 7 ©¨ 11 ¹¸ 3 c. 7u 2 9 21 2. Tentukan invers perkalian bilangan-bi- d. 4u21 langan berikut. 53 a. 3 d. 2 1 3 § 1 · 6 e. 7 u ©¨ 3 6 ¹¸ 3 § 2 · § 12 · b. –4 e. 2 ©¨ 9 ¹¸ ©¨ 15 ¹¸ f.  u  4 5 2 c. 9 13 f. 3. Pembagian Pecahan Kalian telah mempelajari bahwa operasi pembagian pada bilangan bulat merupakan invers (kebalikan) dari perkalian. Hal ini juga berlaku pada pembagian bilangan pecahan. Pecahan 61

Perhatikan uraian berikut. 3 3: 7 2 1: 4 1 2 12 7 5 4 (Berpikir kritis) 12 5 3 u 12 1u 5 Diskusikan dengan 27 temanmu. 36 4 Buktikan bahwa pada 5 11 operasi pembagian 14 44 pecahan tidak berlaku 18 2 4 sifat komutatif, asosia- 77 tif, dan distributif. Buktikan pula pada Dengan mengamati uraian di atas, secara umum dapat dinya- operasi pembagian pecahan berlaku sifat takan sebagai berikut. tertutup. Untuk sebarang pecahan p dan r dengan q z 0, r z 0, qs s z 0 berlaku p : r p u s di mana s merupakan kebalikan qs q r r (invers) dari r . s Tentukan hasil pembagian Penyelesaian: bilangan berikut ini. 1. 3 : 5 1 3 :11 2. 3 1 :17 13 :15 1. 3:51 82 82 48 48 82 3 1 82 84 2 13 15 2. 3 1 :17 u 11 41 u 48 3 26 111 15 15 44 4. Perpangkatan Pecahan a. Bilangan pecahan berpangkat bilangan bulat positif Pada pembahasan kali ini, kita hanya akan membahas perpangkatan pada pecahan dengan pangkat bilangan bulat positif. Di kelas IX nanti kalian akan mempelajari perpangkatan pada pecahan dengan pangkat bilangan bulat negatif dan nol. Pada bab sebelumnya, kalian telah mempelajari bahwa pada bilangan bulat berpangkat bilangan bulat positif berlaku an auau a u...u a , untuk setiap bilangan bulat a. n faktor 62 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

Dengan kata lain, perpangkatan merupakan perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Definisi tersebut juga berlaku pada bilangan pecahan berpangkat. Perhatikan uraian berikut. § 1 ·1 1 ©¨ 2 ¸¹ 2 § 1 ·2 ©¨ 2 ¸¹ 1u1 22 1 22 1 § 1 ·3 4 ©¨ 2 ¸¹ 1u1u1 222 1 23 1 8 \" § 1 ·n 1 u 1 u...u 1 ©¨ 2 ¸¹ 2 2  2 n faktor Dari uraian di atas, secara umum dapat dituliskan sebagai berikut. Untuk sebarang bilangan bulat p dan q dengan q z 0 dan m bilangan bulat positif berlaku § p ·m p u p u...u p ¨ ¸ q q  q © q ¹ m faktor p Dalam hal ini, bilangan pecahan disebut bilangan pokok. q Tentukan hasil operasi per- Penyelesaian: pangkatan pecahan beri- kut. a. §  2 ·2 §  2 · u §  2 · b. § 3 ·3 3u3u3 ©¨ 3 ¸¹ ¨© 3 ¹¸ ©¨ 3 ¹¸ ¨© 4 ¸¹ 444 ·2 § 3 ·3 3u 3u 3 27 a. §  2 ¹¸ b. ¨© 4 ¸¹ (2) u (2) 4 4 u 4 u 4 64 ©¨ 3 3u3 9 Pecahan 63

(Berpikir kritis) b. Sifat-sifat bilangan pecahan berpangkat Diskusikan dengan Coba kalian ingat kembali sifat-sifat pada bilangan bulat temanmu. berpangkat bilangan bulat positif. Sifat-sifat tersebut juga berlaku Dengan mengamati pada bilangan pecahan berpangkat sebagai berikut. pembuktian pada sifat-sifat bilangan Untuk sebarang bilangan bulat p, q dengan q z 0 dan m, n bulat berpangkat di halaman 28–29, bilangan bulat positif berlaku sifat-sifat berikut. tunjukkan berlakunya sifat-sifat § p ·m pm perpangkatan pada ¨ ¸ qm bilangan pecahan © q ¹ berpangkat bilangan bulat positif di § p ·m u § p ·n § p ·m  n samping. ¨ q ¸ ¨ q ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ © q ¹ § p ·m : § p ·n § p ·m  n ¨ q ¸ ¨ q ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ © q ¹ § § p ·m ·n § p ·m u n ¨ ¨ q ¸ ¸ ¨ ¸ ¨© © ¹ ¹¸ © q ¹ Tentukan nilai perpang- Penyelesaian: katan berikut. § 2 ·5 § 2 ·2 § 2 ·52 § 2 ·5 § 2 · 2 1. ¨© 3 ¹¸ : ©¨ 3 ¹¸ ¨© 3 ¸¹ ¨© 3 ¸¹ ¨© 3 ¸¹ 1. : § 2 ·3 ©¨ 3 ¸¹ § § 3 ·2 ·3 2. ¨©¨ ¨© 5 ¸¹ ¸¹¸ § 2 · u § 2 · u § 2 · 8 ©¨ 3 ¹¸ ©¨ 3 ¸¹ ©¨ 3 ¸¹ 27 2. § § 3 ·2 ·3 § 3 ·2u3 ¨¨© ©¨ 5 ¹¸ ¹¸¸ ©¨ 5 ¸¹ § 3 ·6 ¨© 5 ¹¸ 729 15.625 5. Operasi Hitung Campuran pada Bilangan Pecahan Coba ingat kembali aturan-aturan yang berlaku pada operasi hitung campuran bilangan bulat berikut. 64 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

Apabila dalam suatu operasi hitung campuran bilangan bulat tidak terdapat tanda kurung, pengerjaannya berdasarkan sifat-sifat operasi hitung berikut. a. Operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–) sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu. b. Operasi perkalian (u ) dan pembagian (:) sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu. c. Operasi perkalian ( u ) dan pembagian (:) lebih kuat daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–), artinya operasi perkalian (u ) dan pembagian (:) dikerjakan terlebih dahulu daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–). Aturan tersebut juga berlaku pada operasi hitung campuran pada bilangan pecahan. Sederhanakanlah bentuk- Penyelesaian: 1  § 5  2  1 · bentuk berikut. 1. 4 5 1 2  3 1 ©¨ 9 3 6 ¹¸ 1. 4 5 1 2  3 1 93 6 (4 3) 93 6 6  § 10  12  3 · 1 § 3 2 · ©¨ 18 18 18 ¹¸ 2 2 u ©¨ 5 5  1 7 ¹¸ 2. 6 1 18 61 18 2. 2 1 u § 5 3  1 2 · 5 u § 28  9 · 2 ¨© 5 7 ¹¸ 2 ¨© 5 7 ¹¸ 5 u § 196  45 · 2 ¨© 35 35 ¹¸ 5 u 241 2 35 1.205 70 17 15 70 17 3 14 Pecahan 65

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. § 4 ·3 § ·2 ·3 ¨© 5 ¸¹ ¨¨© ¹¸ ¸¸¹ 1. Tentukan hasil pembagian bilangan b. e. § 5 berikut. ©¨ 8 a. 3: 2 d. 3 : 5 c. § 3 ·3  § 2 ·2 f. § 2 ·3 u § 2 ·2 5 86 ¨© 4 ¸¹ ¨© 3 ¸¹ ¨© 3 ¸¹ ¨© 3 ¸¹ b. 5: 3 e. 1 : 2 4. Tentukan nilai p dan q dari persamaan- 4 67 persamaan berikut. c. 3: 2 f.  3 : 4 a. 8p = 64 9 79 b. 216 u 32 = 6p – 1 u 2q 2. Tentukan hasil pembagian bilangan c. 1.331 u 92 = 11p + 1 u 32q berikut. 24 u 32 u123 41:1 33 :2 2 d. 43 u 92 22 p u 3q 23 73 a. d. b. 2 2 : 1 e. 5 1 : 3 1 5. Diketahui a = 1 , b = 3 , dan c = 2 . 36 35 34 5 21:1 4 1 : 2 1 Tentukan nilai dari 42 42 c. f. a. b u c; d. (b – c) u a; 3. Tentukan hasil perpangkatan berikut. b. abc; e. 2 b  1 c ; c. ab – ac; 32 a. § 7 ·2 d. §  3 ·5 : §  3 ·2 ¨© 8 ¸¹ ©¨ 5 ¹¸ ©¨ 5 ¹¸ f. 2ab : c. 6. Operasi Hitung pada Pecahan Desimal a. Penjumlahan dan pengurangan pecahan desimal Penjumlahan dan pengurangan pecahan desimal dilakukan pada masing-masing nilai tempat dengan cara bersusun. Urutkan angka-angka ratusan, puluhan, satuan, persepuluhan, perseratusan, dan seterusnya dalam satu kolom. Hitunglah hasil operasi Penyelesaian: 2. 5 4 , 3 6 hitung berikut. 1. 2 8 , 6 2 36,68 1. 28,62 + 2,27 – 2. 54,36 – 36,68 + 8,21 2,27 17,68 + 8,21 + 30,89 25,89 66 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

b. Perkalian pecahan desimal Untuk menentukan hasil perkalian bilangan desimal, per- hatikan contoh berikut. Hitunglah hasil perkalian Penyelesaian: berikut. 1. Cara 1 1. 1,52 u 7,6 2. 0,752 u 4,32 1,52 u 7,6 152 u 76 152 u 76 11.552 11,552 100 10 1.000 1.000 Cara 2 1,5 2 (2 angka di belakang koma) 7,6 (1 angka di belakang koma) 91 2 + + 1064 + 11,552 (2 + 1 = 3 angka di belakang koma) 2. Cara 1 0,752 u 4,32 752 u 432 1.000 100 752 u 432 100.000 324.864 3,24864 100.000 Cara 2 0,752 (3 angka di belakang koma) 4,32 (2 angka di belakang koma) 1504 2256 3008 + 3,24864 (3 + 2 = 5 angka di belakang koma) Dari contoh di atas dapat disimpulkan sebagai berikut. Hasil perkalian bilang- an desimal dengan Hasil kali bilangan desimal dengan bilangan desimal diperoleh 10, 100, 1.000, dan dengan cara mengalikan bilangan tersebut seperti mengalikan seterusnya diperoleh bilangan bulat. dengan cara mengge- Banyak desimal hasil kali bilangan-bilangan desimal diperoleh ser tanda koma ke ka- dengan menjumlahkan banyak tempat desimal dari pengali- nan sebanyak angka pengalinya. nol bilangan pengali. Pecahan 67

c. Pembagian pecahan desimal Perhatikan contoh berikut. Hitunglah hasilnya. Penyelesaian: 1. 0,96 : 1,6 2. 4,32 : 1,8 1. Cara 1 Cara 2 0,96 :1, 6 Hasil pembagian bi- 0,96 :1,6 96 : 16 0, 96 langan desimal de- 100 10 Cara 2 1, 6 ngan 10, 100, 1.000, 96 u 10 4,32 :1,8 0,96 u100 dan seterusnya diper- 100 16 1,6 u100 oleh dengan cara 960 96 menggeser tanda ko- 160 ma ke kiri sebanyak 1.600 6 0,6 angka nol dari bilang- 0, 6 10 an pembagi. 2. Cara 1 432 : 18 4, 32 4,32 :1,8 100 10 1,8 432 u 10 4,32 u100 100 18 1, 8 u 100 4.320 2, 4 432 2, 4 1.800 180 Dari contoh di atas, diskusikan dengan temanmu cara menentukan hasil bagi dua bilangan desimal. Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 1. Selesaikanlah operasi hitung berikut. 4. Selesaikanlah operasi hitung berikut. a. 0,75 + 0,83 + 1,24 b. 32,5 – 5,44 + 3,62 a. § 1  1 · u 0, 25 c. 9,13 – 2,04 + 1,49 ©¨ 3 4 ¹¸ d. 12,3 + 6,45 – 2,87 b. § 3  1 · : 0, 05 2. Tentukan hasilnya. ¨© 2 5 ¸¹ a. 12,5 u 0,3 c. 5,36 u 1,44 b. 6,4 u 2,52 d. 0,45 u 0,73 c. § 2  0, 25 · u1, 4 ¨© 5 ¸¹ 3. Hitunglah hasilnya. a. 0,48 : 3,2 c. 1,086 : 0,3 d. 0,9 : § 1  0, 05 · b. 26,5 : 2,5 d. 7,44 : 2,4 ©¨ 8 ¹¸ 68 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

D. PEMBULATAN DAN BENTUK BAKU Diketahui harga bensin PECAHAN pada bulan Maret 2008 adalah Rp4.500,00/liter. 1. Pembulatan Pecahan Apabila seorang pe- Perhatikan aturan pembulatan pecahan desimal berikut ini. ngendara motor mem- a. Apabila angka yang akan dibulatkan lebih besar atau sama beli di sebuah pompa dengan 5, maka dibulatkan ke atas (angka di depannya bensin sebesar atau di sebelah kirinya ditambah dengan 1). Rp10.000,00, maka b. Apabila angka yang akan dibulatkan kurang dari 5, maka pada skala penunjuk angka tersebut dihilangkan dan angka di depannya (di satuan (liter) akan sebelah kirinya) tetap. menunjukkan angka berapa? Berapa hasil- nya jika angka tersebut dibulatkan sampai satuan liter terdekat? Bandingkan hasilnya dengan temanmu. Bulatkan pecahan desimal Penyelesaian: berikut sampai dua tempat desimal. a. 0,7921 = 0,79 (angka 2 < 5 dihilangkan) a. 0,7921 b. 6,326 = 6,33 (angka 6 > 5, maka angka 2 dibulatkan ke atas) b. 6,326 c. 1,739 = 1,74 (angka 9 > 5, maka angka 3 dibulatkan c. 1,739 ke atas) Untuk menghindari kesalahan dalam pembulatan, jangan Untuk membulatkan membulatkan bilangan dari hasil pembulatan sebelumnya. bilangan sampai satu Perhatikan contoh berikut. tempat desimal, per- 3,63471 = 3,635 (benar, pembulatan sampai 3 tempat desimal) hatikan angka desimal yang ke-2. Adapun = 3,64 (salah, seharusnya pembulatan dilakukan dari bi- untuk membulatkan langan semula) bilangan sampai dua tempat desimal, 3,63471 = 3,63 (pembulatan sampai 2 tempat desimal) perhatikan angka desimal yang ke-3, 2. Menaksir Hasil Operasi Hitung Pecahan begitu seterusnya. Pada Bab 1, kalian telah mempelajari cara menaksir hasil perkalian dan pembagian pada bilangan bulat. Hal tersebut juga berlaku untuk menaksir hasil perkalian dan pembagian pada bilangan desimal. Perhatikan contoh berikut. Pecahan 69

Taksirlah hasil operasi pada Penyelesaian: bilangan pecahan berikut. a. 3,23 u 2,61 | 3 u 3 = 9 a. 3,23 u 2,61 b. 15,20 u 3,14 | 15 u 3 = 45 b. 15,20 u 3,14 c. 83,76 : 12,33 | 84 : 12 = 7 c. 83,76 : 12,33 d. 311,95 : 26,41 | 312 : 26 = 12 d. 311,95 : 26,41 3. Bentuk Baku Pecahan Dalam bidang ilmu pengetahuan alam, sering kali kalian menemukan bilangan-bilangan yang bernilai sangat besar maupun sangat kecil. Hal ini terkadang membuat kalian mengalami kesulitan dalam membaca ataupun menulisnya. Misalnya sebagai berikut. a. Panjang jari-jari neutron kira-kira 0,000 000 000 000 00137 m. b. Jumlah molekul dalam 18 gram air adalah 602.000.000.000.000.000.000.000. (Menumbuhkan Untuk mengatasi kesulitan tersebut, ada cara yang lebih singkat kreativitas) dan lebih mudah, yaitu dengan menggunakan notasi ilmiah Diskusikan dengan yang sering disebut penulisan bentuk baku. Dalam penulisan temanmu. bentuk baku, digunakan aturan-aturan seperti pada perpang- Seperti kalian ketahui katan bilangan. Perhatikan perpangkatan pada bilangan pokok matematika selalu 10 berikut ini. berhubungan dengan ilmu atau bidang lain. 101 = 10 Misalnya dalam ilmu fisika atau biologi yang 102 = 10 u 10 = 100 mempelajari mengenai jarak antara 104 = 10 u 10 u 10 u 10 = 10.000 bumi dan matahari atau ukuran dari 106 = 10 u 10 u 10 u 10 u 10 u 10 = 1.000.000 sebuah sel. Carilah data-data yang 100 = 1 berkaitan dengan ilmu fisika atau biologi yang 10–1 = 1 = 1 penulisannya 101 10 menggunakan bentuk baku. Carilah di buku, 102 1 1 media massa, atau di internet untuk mendu- 102 100 kung kegiatanmu. 103 1 1 103 1.000 dan seterusnya. 70 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

Jika dituliskan dalam bentuk baku maka diperoleh a. panjang jari-jari neutron = 0,000 000 000 000 00137 m = 1,37 u 10–15 m; b. jumlah molekul dalam 18 gram air = 602.000.000.000.000.000.000.000 = 6,02 u 1023. Secara umum, ada dua aturan penulisan bentuk baku suatu bilangan, yaitu bilangan antara 0 sampai dengan 1 dan bilangan yang lebih dari 10 sebagai berikut. Bentuk baku bilangan lebih dari 10 dinyatakan dengan a u 10n dengan 1 d a < 10 dan n bilangan asli. Bentuk baku bilangan antara 0 sampai dengan 1 dinyatakan dengan a u 10–n dengan 1 d a < 10 dan n bilangan asli. 1. Nyatakan bilangan-bi- Penyelesaian: langan berikut dalam bentuk baku. a. 635.000 = 6,35 u 105 a. 635.000 b. 258.637.000 b. 258.637.000 = 2,58637 u 108 c. 0,0328 d. 0,00125 = 2,59 u 108 (pembulatan sampai 2 tempat desimal) 2. Nyatakan bilangan- bilangan berikut dalam c. 0,0328 328 bentuk desimal. 10.000 a. 3,475 u 105 3, 28 b. 5,61 u 103 100 3, 28 3, 28 u102 102 d. 0,00125 1, 25 1000 1, 25 103 1, 25 u103 Penyelesaian: a. 3,475 u 105 = 3,475 u 100.000 = 347.500 b. 5,61 u 103 = 5,61 u 1.000 = 5.610 Pecahan 71

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 1. Bulatkan bilangan berikut sampai satu 4. Taksirlah hasil operasi bilangan berikut tempat desimal. ini. a. 3,65 u 7,348 a. 2,58 c. 15,76 b. 34,28 u 2533,2 c. 89,631 : 14,875 b. 3,64 d. 55,22 d. 6143,86 : 256,34 2. Bulatkan bilangan berikut sampai dua 5. Nyatakan bilangan-bilangan berikut tempat desimal. dalam bentuk baku dengan pembulatan seperti tertulis dalam kurung. a. 0,356 c. 4,876 a. 456.000.000 (1 tempat desimal) b. 0,015 d. 12,264 b. 34.568.000 (2 tempat desimal) 3. Nyatakan pecahan berikut sebagai c. 0,00127 (1 tempat desimal) pecahan desimal, kemudian bulatkan sampai dua tempat desimal. d. 0,00003245 (2 tempat desimal) a. 4 d. 2 6. Nyatakan bilangan-bilangan berikut 7 17 dalam bentuk bilangan bulat atau desi- mal. 5 e. 3 a. 4,17 u 103 c. 3,386 u 10–2 b. 6 14 b. 9,263 u 105 d. 5,494 u 10–4 8 2 c. f. 13 9 E. MENYELESAIKAN MASALAH SEHARI- HARI YANG BERKAITAN DENGAN PECAHAN Pak Togar seorang karya- Penyelesaian: wan di sebuah perusahaan. Setiap bulan ia menerima a. Upah seluruhnya adalah 1 bagian, sehingga bagian yang gaji Rp840.000,00. Dari gaji ditabung ¨§©1  1  1  1 · bagian tersebut 1 bagian diguna- 3 5 4 ¹¸ 3 § 60  20  12  15 · bagian kan untuk kebutuhan ru- ¨© 60 60 60 60 ¹¸ mah tangga, 1 bagian § 60  20 12 15 · bagian 5 ¨© 60 ¸¹ untuk membayar pajak, 13 bagian dari gaji seluruhnya. 60 72 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

1 bagian untuk biaya pen- b. Bagian masing-masing kebutuhan sebagai berikut. 4 didikan anak, dan sisanya Kebutuhan rumah tangga 1 u Rp840.000,00 ditabung. 3 Rp280.000, 00 a. Berapa bagiankah uang Pak Togar yang Membayar pajak 1 u Rp840.000,00 ditabung? 5 Rp168.000, 00 b. Berapa rupiahkah ba- gian masing-masing Biaya pendidikan anak 1 u Rp840.000,00 kebutuhan? 4 Rp210.000, 00 Sisa uang yang ditabung 13 u Rp840.000,00 60 Rp182.000, 00 Suatu negara membuat sebuah kebijakan ekonomi yang berisi bahwa harga-harga yang naik sebesar 40% akan diturunkan sebe- 4 sar 28 % . Bagaimanakah kondisi harga barang mula-mula 7 dengan harga sekarang? Berikan pendapatmu dan buatlah suatu kesimpulan. Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 1. Pada penerimaan siswa baru di sebuah b. Berapa persen siswa baru yang SMP swasta terdapat 6.000 pendaftar diterima di SMP tersebut? dan hanya 75% yang memenuhi kriteria penerimaan. Dari calon siswa yang 2. Beti memiliki uang sebesar Rp300.000,00. Jumlah uang Toni dan memenuhi kriteria tersebut hanya 1 Intan 80% dari uang Beti, sedangkan 5 uang Toni diketahui 5 dari uang Intan. bagian yang diterima. 7 a. Berapa jumlah siswa baru yang me- Berapakah besar masing-masing uang menuhi kriteria penerimaan? Toni dan Intan? Pecahan 73

3. Ayah mempunyai uang Rp270.000,00. 4. Seorang pengusaha meminjam modal Rp1.000.000,00 di bank dengan bunga 8 tunggal sebesar 2%. Jika ia meminjam Kemudian dari uang tersebut diba- dalam jangka waktu 1 tahun, tentukan besarnya pinjaman yang harus dikembali- 9 kan tiap bulan. gikan kepada ketiga anaknya yang masing-masing memperoleh bagian 5 , 2 , dan 15 dari uang yang dibagi- 8 7 28 kan. Tentukan jumlah uang yang diteri- ma masing-masing anak. 1. Pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai p , q dengan p, q bilangan bulat dan q z 0. Bilangan p disebut pembilang dan q disebut penyebut. 2. Pecahan merupakan bilangan yang menggambarkan bagian dari keseluruhan. 3. Pecahan senilai adalah pecahan-pecahan yang bernilai sama. 4. Pecahan senilai diperoleh dengan cara mengalikan atau membagi pembilang dan penyebutnya dengan bilangan yang sama. 5. Suatu pecahan p , q z 0 dapat disederhanakan dengan cara q membagi pembilang dan penyebut pecahan tersebut dengan faktor persekutuan terbesarnya. 6. Jika penyebut kedua pecahan berbeda, untuk membandingkan pecahan tersebut, nyatakan menjadi pecahan yang senilai, kemudian bandingkan pembilangnya. 7. Pada garis bilangan, pecahan yang lebih besar berada di sebelah kanan, sedangkan pecahan yang lebih kecil berada di sebelah kiri. 8. Di antara dua pecahan yang berbeda selalu dapat ditemukan pecahan yang nilainya di antara dua pecahan tersebut. 9. Setiap bilangan bulat p, q dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan p , di mana p merupakan kelipatan dari q, q z 0. q 74 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

10. Bentuk pecahan campuran p q dengan r z 0 dapat dinyata- r kan dalam bentuk pecahan biasa p u r  q . r 11. Untuk mengubah bentuk pecahan ke bentuk persen dapat dilakukan dengan cara mengubah pecahan semula menjadi pecahan senilai dengan penyebut 100. Jika hal itu sulit dilakukan maka dapat dilakukan dengan cara mengalikan pecahan tersebut dengan 100%. 12. Untuk menentukan hasil penjumlahan atau pengurangan dua pecahan, samakan penyebut kedua pecahan tersebut, yaitu dengan cara mencari KPK dari penyebut-penyebutnya, kemudian baru dijumlahkan atau dikurangkan pembilangnya. 13. Untuk menentukan hasil perkalian dua pecahan dilakukan dengan cara mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut. 14. Invers perkalian dari pecahan p adalah q atau invers qp perkalian dari q adalah p . pq 15. Suatu bilangan jika dikalikan dengan invers perkaliannya hasilnya sama dengan 1. 16. Untuk sebarang pecahan p dan r dengan q z 0, r z 0, qs s z 0 berlaku p:r p u s. qs qr 17. Untuk sebarang bilangan bulat p dan p, q z 0 dan m bilangan bulat positif berlaku § p ·m p u p u...u p . ¨ q ¸ q q  q © ¹ m faktor p Bilangan pecahan disebut sebagai bilangan pokok. q 18. Untuk sebarang bilangan bulat p, q dengan q z 0 dan m, n bilangan bulat positif berlaku sifat-sifat berikut. a. § p ·m pm ¨ ¸ © q ¹ qm b. § p ·m u § p ·n § p ·mn ¨ q ¸ ¨ q ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ © q ¹ Pecahan 75

c. § p ·m § p ·n § p ·mn ¨ ¸ :¨ ¸ ¨ ¸ © q ¹ © q ¹ © q ¹ d. § § p ·m ·n § p ·mun ¨ ¨ q ¸ ¸ ¨ ¸ ¨© © ¹ ¸¹ © q ¹ 19. Penjumlahan dan pengurangan pecahan desimal dilakukan pada masing-masing nilai tempat dengan cara bersusun. Urutkan angka-angka ratusan, puluhan, satuan, persepuluhan, perseratusan dan seterusnya dalam satu kolom. 20. Hasil kali bilangan desimal dengan bilangan desimal diperoleh dengan cara mengalikan bilangan tersebut seperti mengalikan bilangan bulat. Banyak desimal hasil kali bilangan-bilangan desimal diperoleh dengan menjumlahkan banyak tempat desimal dari pengali-pengalinya. 21. Bentuk baku bilangan lebih dari 10 dinyatakan dengan a u 10n dengan 1 d a < 10 dan n bilangan asli. 22. Bentuk baku bilangan antara 0 sampai dengan 1 dinyatakan dengan a u 10–n dengan 1 d a < 10 dan n bilangan asli. Setelah mempelajari mengenai Pecahan, materi manakah yang menarik bagimu? Mengapa? Kemukakan pendapatmu di depan kelas. Kerjakan di buku tugasmu. 5 1 A. Pilihlah salah satu jawaban yang tepat. a. c. 1. 8 2 5 9 Daerah arsiran pada gambar di atas b. d. menunjukkan pecahan .... 4 5 76 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

2. Di antara pecahan berikut yang senilai c. invers dari 5 adalah 8 85 dengan pecahan 18 adalah .... 30 d. 2 2 50% 3 a. 9 c. 10 6. Hasil dari 11 1  2 1  3 1 adalah .... 15 6 2 34 b. 4 d. 4 a. 11 9 c. 10 7 10 6 12 12 3. Bentuk sederhana dari 86 adalah b. 11 5 d. 12 5 129 12 12 .... a. 1 c. 3 7. Hasil dari § 2 1 1 1 · : 3 1 adalah .... 24 ©¨ 4 3 ¹¸ 3 24 a. 11 c. 1 2 b. d. 40 40 35 4. Tiga buah pecahan yang terletak di antara 3 dan 1 adalah .... b. 1 1 d. 2 1 84 40 40 a. 5 , 6 , dan 7 8. Nilai dari 23,51 + 8,76 – 3,44 adalah 16 16 16 .... b. 9 , 10 , dan 11 a. 23,38 c. 28,38 b. 28,83 d. 82,83 32 32 32 c. 4 , 5 , dan 6 9. Hasil dari §  3 ·2 u §  3 ·3 = .... 16 16 16 ©¨ 4 ¹¸ ©¨ 4 ¹¸ d. 2 , 3 , dan 4 a.  27 c.  243 88 8 256 1.024 5. Pernyataan di bawah ini benar, 81 243 kecuali .... b. 1.024 d. 1.024 a. 3 0,375 10. Bentuk baku dari 0,000256 adalah .... 8 a. 2,56 u 10–4 c. 25,6 u 102 b. 2,56 u 10–3 d. 2,56 u 10–2 b. 2 2 66 % 33 Pecahan 77

B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan singkat dan tepat. 1. Tulislah pecahan yang sesuai dengan 3. Selesaikan operasi hitung berikut. daerah yang diarsir pada gambar ber- a. 0,37 + 4,45 – 0,26 ikut. Kemudian masing-masing nyata- b. 63,5 – 3,81 + 2,4 kan dalam bentuk desimal dan persen. c. 18,4 u 0,3 a. b. d. 92,6 : 0,4 4. Ubahlah pecahan berikut dalam ben- tuk desimal, kemudian bulatkan sam- pai tiga tempat desimal. 2. Selesaikan operasi hitung berikut. 2 9 a. 9 c. 17 a. § 3 2 :11 · u § 2 1 u11 · ¨© 3 2 ¸¹ ¨© 2 3 ¸¹ 11 5 b. d. 13 12 b. §  2  11 · u 21 5. Tulislah bilangan-bilangan berikut da- ©¨ 5 13 ¹¸ 2 lam bentuk baku dengan pembulatan sampai satu tempat desimal. c. §  1 · u § 6 : 1· a. 748.300.000 ©¨ 12 ¹¸ ©¨ 15 6 ¹¸ b. 0,00000124 d. 10 2  5 5  2 1 c. 9.346.000.000 364 d. 0,0000008476 78 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

3 OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR Pada arena balap mobil, sebuah mobil balap mampu melaju dengan kecepatan (3x + 10) km/jam selama 0,5 jam. Berapakah kecepatannya jika jarak yang ditempuh mobil ter- sebut 200 km? Sumber: Ensiklopedi Umum untuk Pelajaran, 2005 Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah: ™ dapat menjelaskan pengertian variabel, konstanta, faktor, suku, dan suku sejenis; ™ dapat melakukan operasi hitung tambah, kurang, kali, bagi, dan pangkat pada bentuk aljabar; ™ dapat menerapkan operasi hitung pada bentuk aljabar untuk menyelesaikan soal; Kata-Kata Kunci: ™ operasi hitung bentuk aljabar ™ pecahan bentuk aljabar ™ variabel dan konstanta ™ faktor dan suku

Sebelum kalian mempelajari materi pada bab ini, kalian harus menguasai konsep mengenai faktor sekutu, kelipatan persekutuan terkecil (KPK), dan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari dua bilangan atau lebih. Konsep mengenai bentuk aljabar dan operasi hitungnya selanjutnya akan sangat bermanfaat dalam mempelajari bab berikutnya. Perhatikan uraian berikut. A. BENTUK ALJABAR DAN UNSUR- UNSURNYA Al-Khwarizmi Perhatikan ilustrasi berikut. Sumber: Ensiklopedi Ma- Banyak boneka Rika 5 lebihnya dari boneka Desy. Jika banyak tematika dan boneka Desy dinyatakan dengan x maka banyak boneka Rika Peradaban Ma- dinyatakan dengan x + 5. Jika boneka Desy sebanyak 4 buah maka nusia, 2003 boneka Rika sebanyak 9 buah. Kata aljabar (aljabr) Bentuk seperti (x + 5) disebut bentuk aljabar. diambil dari judul buku Hisab al Jabr Wa’l Mu- Bentuk aljabar adalah suatu bentuk matematika yang dalam qabalah (Perhitungan penyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang dengan Restorasi dan belum diketahui. Reduksi), karya seorang ahli mate- Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan matika Arab, Muham- masalah dalam kehidupan sehari-hari. Hal-hal yang tidak diketahui mad Al-Khwarizmi seperti banyaknya bahan bakar minyak yang dibutuhkan sebuah (780–850 M). bis dalam tiap minggu, jarak yang ditempuh dalam waktu tertentu, Aljabar menjadi salah atau banyaknya makanan ternak yang dibutuhkan dalam 3 hari, satu cabang ilmu dapat dicari dengan menggunakan aljabar. matematika yang sangat bermanfaat Contoh bentuk aljabar yang lain seperti 2x, –3p, 4y + 5, 2x2 – 3x + dalam ilmu ekonomi 7, (x + 1)(x – 5), dan –5x(x – 1)(2x + 3). Huruf-huruf x, p, dan y dan ilmu sosial pada bentuk aljabar tersebut disebut variabel. lainnya. Nanti pada bab selanjutnya, kalian Selanjutnya, pada suatu bentuk aljabar terdapat unsur-unsur akan mempelajari aljabar, meliputi variabel, konstanta, faktor, suku sejenis, dan suku penerapan aljabar tak sejenis. dalam kegiatan ekonomi. Agar kalian lebih jelas mengenai unsur-unsur pada bentuk aljabar, pelajarilah uraian berikut. 1. Variabel, Konstanta, dan Faktor Perhatikan bentuk aljabar 5x + 3y + 8x – 6y + 9. Pada bentuk aljabar tersebut, huruf x dan y disebut variabel. Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Variabel disebut juga peubah. Variabel biasanya dilam- bangkan dengan huruf kecil a, b, c, ..., z. 80 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

Adapun bilangan 9 pada bentuk aljabar di atas disebut konstanta. Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel. Jika suatu bilangan a dapat diubah menjadi a = p u q dengan a, p, q bilangan bulat, maka p dan q disebut faktor-faktor dari a. Pada bentuk aljabar di atas, 5x dapat diuraikan sebagai 5x = 5 u x atau 5x = 1 u 5x. Jadi, faktor-faktor dari 5x adalah 1, 5, x, dan 5x. Adapun yang dimaksud koefisien adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar. Perhatikan koefisien masing-masing suku pada bentuk aljabar 5x + 3y + 8x – 6y + 9. Koefisien pada suku 5x adalah 5, pada suku 3y adalah 3, pada suku 8x adalah 8, dan pada suku –6y adalah –6. 2. Suku Sejenis dan Suku Tak Sejenis a) Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih. Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama. Contoh: 5x dan –2x, 3a2 dan a2, y dan 4y, ... Suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang tidak sama. Contoh: 2x dan –3x2, –y dan –x3, 5x dan –2y, ... b) Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh (Menumbuhkan krea- operasi jumlah atau selisih. tivitas) Contoh: 3x, 2a2, –4xy, ... Buatlah sebarang bentuk aljabar. c) Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu Mintalah temanmu operasi jumlah atau selisih. untuk menunjukkan unsur-unsur aljabar Contoh: 2x + 3, a2 – 4, 3x2 – 4x, ... dari bentuk aljabar tersebut. Lakukan hal d) Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua ini bergantian dengan operasi jumlah atau selisih. teman sebangkumu. Contoh: 2x2 – x + 1, 3x + y – xy, ... Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebut 81 suku banyak. Catatan: Bentuk aljabar suku dua disebut juga binom, bentuk aljabar suku tiga disebut trinom, sedangkan bentuk aljabar suku banyak disebut polinom. Di kelas IX nanti, kalian akan mempelajari pemfaktoran pada bentuk aljabar suku dua. Operasi Hitung Bentuk Aljabar

Tentukan koefisien dari x2 Penyelesaian: dan faktor dari masing-ma- a. 7x2 = 7 u x u x sing bentuk aljabar berikut. a. 7x2 Koefisien dari x2 adalah 7. Faktor dari 7x2 adalah 1, 7, x, x2, 7x, dan 7x2. b. 3x2 + 5 b. 3x2 + 5 = 3 u x u x + 5 u 1 c. 2x2 + 4x – 3 Koefisien dari x2 adalah 3. Faktor dari 3x2 adalah 1, 3, x, x2, 3x, dan 3x2. Faktor dari 5 adalah 1 dan 5. c. 2x2 + 4x – 3 = 2 u x u x + 4 u x – 3 u 1 Koefisien dari 2x2 adalah 2. Faktor dari 2x2 adalah 1, 2, x, x2, dan 2x. Koefisien dari 4x adalah 4. Faktor dari 4x adalah 1, 4, x, dan 4x. Faktor dari –3 adalah –3, –1, 1, dan 3. Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 1. Tulislah setiap kalimat berikut dengan 2. Tentukan koefisien x dari bentuk aljabar menggunakan variabel x dan y. berikut. a. 3 – 2x a. Suatu bilangan jika dikalikan 2, ke- b. x2 – 2xy + x2 + 3 mudian dikurangi 3 menghasilkan bi- c. 4x2 – 5x + 6 langan 5. d. 3 x2  1 x  5 b. Empat lebihnya dari keliling suatu 4 24 persegi adalah 16 cm2. e. x3 + 4x2 + x – 3 c. Selisih umur Bella dan Awang adalah 3. Tentukan konstanta dari bentuk aljabar 5 tahun, sedangkan jumlah umur mereka 15 tahun. berikut. a. 5x – 3 d. Kuadrat suatu bilangan jika ditambah b. 2y2 + y – 5 1 menghasilkan bilangan 50. c. (3x + 5)2 d. 3xy + 2x – y + 1 e. 4 – 3x + 5x2 82 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

4. Tentukan suku-suku yang sejenis dan 5. Termasuk suku berapakah bentuk alja- tidak sejenis pada bentuk aljabar berikut. a. 3m – 2n + 9m + 15n – 6 bar berikut? b. 9a2 – 3ab + 4a + 6ab – 18a c. 5x2 + 6xy – 8y2 – 2xy + 9y2 a. –2x d. a2 – 2ab + b2 d. 8p2q2 – p2q + 12pq + 5pq + 3p2q e. 5y2 – 3y + 4y2 + x2 – y2 + y – 1 b. 4x2 – 3 e. 3 x2  x  4 c. y2 – x2 2 Ingat bahwa untuk B . OPERASI HITUNG PADA BENTUK ALJABAR sebarang bilangan 1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar bulat a dan b, berlaku Pada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan pengurangan 1) a u b = ab hanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis. Jumlahkan 2) a u (–b) = –ab atau kurangkan koefisien pada suku-suku yang sejenis. 3) (–a) u b = –ab 4) (–a) u (–b) = ab Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar berikut. a. –4ax + 7ax b. (2x2 – 3x + 2) + (4x2 – 5x + 1) c. (3a2 + 5) – (4a2 – 3a + 2) Penyelesaian: a. –4ax + 7ax = (–4 + 7)ax = 3ax b. (2x2 – 3x + 2) + (4x2 – 5x + 1) = 2x2 – 3x + 2 + 4x2 – 5x + 1 = 2x2 + 4x2 – 3x – 5x + 2 + 1 = (2 + 4)x2 + (–3 – 5)x + (2 + 1) (kelompokkan suku- = 6x2 – 8x + 3 suku sejenis) c. (3a2 + 5) – (4a2 – 3a + 2) = 3a2 + 5 – 4a2 + 3a – 2 = 3a2 – 4a2 + 3a + 5 – 2 = (3 – 4)a2 + 3a + (5 – 2) = –a2 + 3a + 3 Operasi Hitung Bentuk Aljabar 83

Panjang sisi miring se- 2. Perkalian gitiga siku-siku adalah (2x + 1) cm, sedangkan Perlu kalian ingat kembali bahwa pada perkalian bilangan panjang sisi siku-siku- bulat berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu nya (3x – 2) cm dan a u (b + c) = (a u b) + (a u c) dan sifat distributif perkalian (4x – 5) cm. Tentukan terhadap pengurangan, yaitu a u (b – c) = (a u b) – (a u c), luas segitiga tersebut. untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c. Sifat ini juga berlaku pada perkalian bentuk aljabar. a. Perkalian antara konstanta dengan bentuk aljabar Perkalian suatu bilangan konstanta k dengan bentuk aljabar suku satu dan suku dua dinyatakan sebagai berikut. k(ax) = kax k(ax + b) = kax + kb Jabarkan bentuk aljabar Penyelesaian: berikut, kemudian sederha- a. 4(p + q) = 4p + 4q nakanlah. b. 5(ax + by) = 5ax + 5by a. 4(p + q) c. 3(x – 2) + 6(7x + 1) = 3x – 6 + 42x + 6 b. 5(ax + by) c. 3(x – 2) + 6(7x + 1) = (3 + 42)x – 6 + 6 d. –8(2x – y + 3z) = 45x d. –8(2x – y + 3z) = –16x + 8y – 24z (Berpikir kritis) b. Perkalian antara dua bentuk aljabar Sebagaimana perkalian suatu konstanta dengan bentuk Diskusikan dengan temanmu. aljabar, untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar kita Dengan memanfaat- dapat memanfaatkan sifat distributif perkalian terhadap kan sifat distributif penjumlahan dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan. perkalian terhadap penjumlahan dan sifat Selain dengan cara tersebut, untuk menentukan hasil kali antara distributif perkalian dua bentuk aljabar, dapat menggunakan cara sebagai berikut. terhadap pengurang- an, buktikan perkalian Perhatikan perkalian antara bentuk aljabar suku dua dengan bentuk aljabar berikut. suku dua berikut. (ax + b) (ax – b) = a2x2 – b2 (ax + b) (cx + d) = ax u cx + ax u d + b u cx + b u d = acx2 + (ad + bc)x + bd (ax + b)2 = a2x2 + 2abx + b2 (ax – b)2 = a2x2 – 2abx + b2 84 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

Selain dengan cara skema seperti di atas, untuk mengalikan (Berpikir kritis) bentuk aljabar suku dua dengan suku dua dapat digunakan sifat distributif seperti uraian berikut. Coba jabarkan perkalian bentuk ax +bcx  d  axcx  d   bcx  d  aljabar (ax + b)(cx2 + dx + e) ax u cx  ax u d  b u cx  b u d dengan menggunakan acx2  adx  bcx  bd sifat distributif. Bandingkan hasilnya acx2  ad  bc x  bd dengan uraian di samping. Adapun pada perkalian bentuk aljabar suku dua dengan suku tiga berlaku sebagai berikut. (ax + b) (cx2 + dx + e) = ax u cx2 + ax u dx + ax u e + b u cx2 + b u dx + b u e = acx3 + adx2 + aex + bcx2 + bdx + be = acx3 + (ad + bc)x2 + (ae + bd)x + be Tentukan hasil perkalian Penyelesaian: bentuk aljabar berikut da- 1. Cara (1) dengan sifat distributif. lam bentuk jumlah atau selisih. (2x + 3) (3x – 2) = 2x(3x – 2) + 3(3x – 2) = 6x2 – 4x + 9x – 6 1. (2x + 3) (3x – 2) = 6x2 + 5x – 6 2. (–4a + b) (4a + 2b) Cara (2) dengan skema. 3. (2x – 1) (x2 – 2x + 4) (2x + 3) (3x – 2) 4. (x + 2) (x – 2) = 2x u 3x + 2x u (–2) + 3 u 3x + 3 u (–2) = 6x2 – 4x + 9x – 6 = 6x2 + 5x – 6 2. Cara (1) dengan sifat distributif. (–4a + b) (4a + 2b) = –4a(4a + 2b) + b(4a + 2b) = –16a2 – 8ab + 4ab + 2b2 = –16a2 – 4ab + 2b2 Operasi Hitung Bentuk Aljabar 85

Cara (2) dengan skema. (–4a + b) (4a + 2b) = (–4a) u 4a + (–4a) u 2b + b u 4a + b u 2b = –16a2 – 8ab + 4ab + 2b2 = –16a2 – 4ab + 2b2 3. Cara (1) dengan sifat distributif. (2x – 1) (x2 – 2x + 4) = 2x(x2 – 2x + 4) – 1(x2 – 2x + 4) = 2x3 – 4x2 + 8x – x2 + 2x – 4 = 2x3 – 4x2 – x2 + 8x + 2x – 4 = 2x3 – 5x2 + 10x – 4 Cara (2) dengan skema. (2x – 1) (x2 – 2x + 4) = 2x u x2 + 2x u (–2x) + 2x u 4 + (–1) u x2 + (– 1) u (–2x) + (–1) . 4 = 2x3 – 4x2 + 8x – x2 + 2x – 4 = 2x3 – 4x2 – x2 + 8x + 2x – 4 = 2x3 – 5x2 + 10x – 4 4. Cara (1) dengan sifat distributif. (x + 2) (x – 2) = x(x – 2) + 2(x – 2) = x2 – 2x + 2x – 4 = x2 – 4 Cara (2) dengan skema. (x + 2) (x – 2) = x u x + x u (–2) + 2 u x + 2 u (–2) = x2 – 2x + 2x – 4 = x2 – 4 Menyatakan bentuk perkalian menjadi bentuk penjumlahan seperti tersebut di atas disebut menjabarkan atau menguraikan. 86 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

Amatilah contoh soal nomor 4 di atas. Apakah kalian sepakat bahwa secara umum bentuk perkalian (x + a) (x – a) = x2 –a2? Diskusikan hal ini dengan temanmu. Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 1. Sederhanakanlah bentuk-bentuk aljabar c. 1 2x  6 berikut. a. 8p – 3 + (–3p) + 8 2 b. 9m + 4mn + (–12m) – 7mn c. 2a2 + 3ab – 7 – 5a2 + 2ab – 4 d. 2(x + 3) d. 4x2 – 3xy + 7y – 5x2 + 2xy – 4y e. –3(2a + 5) e. –4p2 + 3pq – 2 – 6p2 + 8pq – 3 f. –p(p2 – 3) f. 12kl – 20mn –5kl – 3mn 4. Nyatakan bentuk aljabar berikut sebagai perkalian konstanta dengan bentuk 2. Sederhanakanlah bentuk-bentuk aljabar aljabar. berikut. a. 5x – 15y a. 4m – 5 – 6m + 8 b. –2p + q – 3r b. 9p2 – 4pq – q2 – 4p2 + 5pq – 3q2 c. 3x2 + 9xy – 18xy2 c. 2(–8a – 3b) –4a + 9b d. –4p + 8r2 d. 12x3 – 9x2 – 8 – 15x3 + 7x2 + 5 5. Tentukan hasil penjabaran bentuk aljabar e. –3(4k2l + 3kl2) + 2(–9k2l – 4kl2) berikut ini. f. 5(3m3 – 5m2 + m) – 2(m3 + 4m2 – a. (x + 2) (x – 3) 9m) b. (2x – 3) (x + 4) c. (4k + 1)2 3. Nyatakan hasil perkalian bentuk aljabar d. (3m + 2n) (3m – 2n) berikut sebagai jumlah atau selisih. e. (3 – a) (5 + a) a. –3(a – 2b + 5) f. (2 + a) (a2 – 2a + 1) b. xy(x2 – 4) 3. Perpangkatan Jumlah dua buah Coba kalian ingat kembali operasi perpangkatan pada bilangan bilangan adalah 35. Jika bilangan kedua bulat. Operasi perpangkatan diartikan sebagai perkalian berulang adalah lima lebihnya dengan bilangan yang sama. Jadi, untuk sebarang bilangan bulat a, dari bilangan pertama, berlaku tentukan hasil kali kedua bilangan itu. an auau a u...u a n faktor Hal ini juga berlaku pada perpangkatan bentuk aljabar. Operasi Hitung Bentuk Aljabar 87

Tentukan hasil perpang- Penyelesaian: katan bentuk aljabar beri- 1. (2p)2 = (2p) u (2p) kut. = 4p2 1. (2p)2 2. – (3x2yz3)3 = –27x6y3z9 2. – (3x2yz3)3 3. (–3p2q)2 = 9p4q2 3. (–3p2q)2 Pada perpangkatan bentuk aljabar suku dua, koefisien tiap suku ditentukan menurut segitiga Pascal. Misalkan kita akan menentukan pola koefisien pada penjabaran bentuk aljabar suku dua (a + b)n, dengan n bilangan asli. (Menumbuhkan ino- Perhatikan uraian berikut. vasi) Jabarkan bentuk (a + b)1 = a + b o koefisiennya 1 1 aljabar suku dua (a + b)n dengan (a + b)2 = (a + b) (a + b) 7 d n d 10. Tentukan pola koefisien yang = a2 + ab + ab+ b2 terbentuk. Kemudian, tuliskan pola koefisien = a2 + 2ab+ b2 o koefisiennya 1 2 1 tersebut dalam segitiga Pascal. (a + b)3 = (a + b) (a + b)2 Diskusikan hal ini dengan temanmu. = (a + b) (a2 + 2ab + b2) Ceritakan hasilnya secara singkat di = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 depan kelas. = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 o koefisiennya 1 3 3 1 (Berpikir kritis) Pada bentuk aljabar dan seterusnya berikut, tentukan koefisien dari Adapun pangkat dari a (unsur pertama) pada (a + b)n dimulai a. x2 pada (2x – 5)2; dari an kemudian berkurang satu demi satu dan terakhir a1 pada b. x5 pada (x – 3)5; c. x3y pada (3x + 2y)4; suku ke-n. Sebaliknya, pangkat dari b (unsur kedua) dimulai dengan d. x2y2 pada (x + 2y)4; b1 pada suku ke-2 lalu bertambah satu demi satu dan terakhir bn e. a3 pada (4 – 2a)4. pada suku ke-(n + 1). Perhatikan pola koefisien yang terbentuk dari penjabaran bentuk aljabar (a + b)n di atas. Pola koefisien tersebut ditentukan menurut segitiga Pascal berikut. (a + b)0 1 (a + b)1 11 121 (a + b)2 1331 (a + b)3 14641 (a + b)4 1 5 10 10 5 1 (a + b)5 1 6 15 20 15 6 1 (a + b)6 88 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

Pada segitiga Pascal tersebut, bilangan yang berada di bawahnya diperoleh dari penjumlahan bilangan yang berdekatan yang berada di atasnya. Jabarkan bentuk aljabar Penyelesaian: berikut. a. (3x + 5)2 = 1(3x)2 + 2 u 3x u 5 + 1 u 52 a. (3x + 5)2 b. (2x – 3y)2 = 9x2 + 30x + 25 c. (x + 3y)3 b. (2x – 3y)2 = 1(2x)2 + 2(2x) (–3y) + 1 u (–3y)2 d. (a – 4)4 = 4x2 – 12xy + 9y2 c. (x + 3y)3 = 1x3 + 3 u x2 u (3y)1 + 3 u x u (3y)2 + 1 u (3y)3 = x3 + 9x2y + 27xy2 + 27y3 d. (a – 4)4 = 1a4 + 4 u a3 u (–4)1 + 6 u a2 u (–4)2 + 4 u a u (–4)3 + 1 u (–4)4 = a4 – 16 u a3 + 6a2 u 16 + 4a u (–64) + 1 u 256 = a4 – 16a3 + 96a2 – 256a + 256 4. Pembagian Hasil bagi dua bentuk aljabar dapat kalian peroleh dengan menentukan terlebih dahulu faktor sekutu masing-masing bentuk aljabar tersebut, kemudian melakukan pembagian pada pembilang dan penyebutnya. Sederhanakanlah pemba- Penyelesaian: (faktor sekutu y) gian bentuk aljabar berikut. 1. 3x y 3 x 1. 3xy : 2y 6a3b2 2. 6a3b2 : 3a2b 2y 2 3a2b 3. x3y : (x2y2 : xy) 3 a2b u 2ab 4. (24p2q + 18pq2) : 3pq 2. 6a3b2 : 3a2b 3 a2b 2ab (faktor sekutu 3a2b) Operasi Hitung Bentuk Aljabar 89

3. x3 y : (x2 y2 : xy) x3 y § x2 y2 · :¨ xy ¸ © ¹ § xy u xy · x3 y : ¨¨© xy ¸¸¹ x3 y : xy x3 y xy u x2 x2 xy xy 4. (24 p2q 18 pq2 ) : 3 pq 24 p2q 18 pq2 3 pq 6 pq(4 p  3q) 3 pq 2(4 p  3q) Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 1. Tentukan hasil perpangkatan bentuk 3. Tentukan koefisien (a + b)n pada suku aljabar berikut. yang diberikan. a. Suku ke-2 pada (2a – 3)4. a. (2a)2 e. –3(x2y)3 b. Suku ke-3 pada (x + 2y)3. c. Suku ke-4 pada (a – 3b)4. b. (3xy)3 f. –(2pq)4 d. Suku ke-5 pada (2x + 3)5. c. (–2ab)4 g. 1 (2xy)2 4. Sederhanakan bentuk aljabar berikut. 2 a. 16p2 : 4p b. 6a6b2 : a3b d. (4a2b2)2 h. a(ab2)3 c. 3x2y5 : x2y2 : xy2 d. 15p4q5r3 : (6p2qr3 : 2pqr) 2. Jabarkan perpangkatan bentuk aljabar e. (2a2bc2 + 8a3b2c3) : 2abc berikut. f. (p3qr2 + p2q2r3 – p5q3r2) : p2qr2 a. (x + 2)2 e. (4x – 2y)3 b. 3(2x – 1)3 f. 5(3a + 2)4 c. 2(3p + q)4 g. (y + 1)5 d. –3(–x – y)3 h. (–2x – 3y)3 5. Substitusi pada Bentuk Aljabar Nilai suatu bentuk aljabar dapat ditentukan dengan cara menyubstitusikan sebarang bilangan pada variabel-variabel bentuk aljabar tersebut. 90 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

1. Jika m = 3, tentukan Penyelesaian: nilai dari 5 – 2m. Substitusi nilai m = 3 pada 5 – 2m, maka diperoleh 5 – 2m = 5 – 2(3) 2. Jika x = –4 dan y = 3, tentukan nilai dari =5–6 2x2 – xy + 3y2. = –1 Penyelesaian: Substitusi x = –4 dan y = 3, sehingga diperoleh 2x2 – xy + 3y2 = 2(–4)2 – (–4) (3) + 3(3)2 = 2(16) – (–12) + 3(9) = 32 + 12 + 27 = 71 6. Menentukan KPK dan FPB Bentuk Aljabar Coba kalian ingat kembali cara menentukan KPK dan FPB dari dua atau lebih bilangan bulat. Hal itu juga berlaku pada bentuk aljabar. Untuk menentukan KPK dan FPB dari bentuk aljabar dapat dilakukan dengan menyatakan bentuk-bentuk aljabar tersebut menjadi perkalian faktor-faktor primanya. Perhatikan contoh berikut. Tentukan KPK dan FPB Penyelesaian: dari bentuk aljabar berikut. a. 12pq = 22 u 3 u p u q a. 12pq dan 8pq2 b. 45x5y2 dan 50x4y3 8pq2 = 23 u p u q2 KPK = 23 u 3 u p u q2 91 = 24pq2 FPB = 22 u p u q = 4pq b. 45x5y2 = 32 u 5 u x5 u y2 50x4y3 = 2 u 52 u x4 u y3 KPK = 2 u 32 u 52 u x5 u y3 = 450x5y3 FPB = 5 u x4 u y2 = 5x4y2 Operasi Hitung Bentuk Aljabar