บทที่ 3 การแจกแจงความน่าจะเป็น

บทที่ 3 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่ม จากที่ไดก้ ล่าวไวใ้ นบทท่ี 1 วา่ การทดลองสุ่ม คือการทดลองใด ๆ ซ่ึงไม่สามารถทราบได้ว่าผลลพั ธ์จะปรากฏเป็ นอย่างใดจนกวา่ จะเสร็จสิ้นการทดลองเราจึงจะทราบผลลพั ธ์ที่แน่นอนเช่นในการโยนเหรียญ 1 เหรียญ 3 คร้ัง ผลลพั ธ์ท้งั หมดที่เป็ นไปไดข้ องการทดลอง หรือปริภูมิตวั อยา่ ง S ของการทดลองน้ีคือ S = { HHH , HHT , HTH , HTT , THH , THT , TTH , TTT }แต่ถา้ ในการทดลองสุ่มน้ีสนใจจานวนเหรียญท่ีข้ึนหวั ดงั น้นั ผลลพั ธ์ที่สนใจก็จะเปล่ียนเป็ นตวัเลขท่ีแสดงจานวนเหรียญท่ีข้ึนหัว คือ 0 , 1 , 2 , 3 เรียกตวั เลขหรือค่าท่ีเป็ นผลลพั ธ์ของการทดลองสุ่มน้ีวา่ ตวั แปรสุ่ม3.1 ตัวแปรสุ่ม บทนิยาม 3.1.1 ตวั แปรสุ่ม (random variable) หมายถึงฟังกช์ นั ท่ีมีค่าเป็นจานวนจริง ซ่ึงไดจ้ ากผลลพั ธ์ของการทดลองสุ่ม โดยฟังกช์ นั น้ีมีโดเมน (domain) เป็นปริภมู ิตวั อยา่ ง S และมีเรนจ์ (range) เป็นเซตยอ่ ยของจานวนจริง โดยปกตินิยมใชอ้ กั ษรตวั พมิ พใ์ หญ่เป็นสัญลกั ษณ์แทนตวั แปรสุ่มและ ใชอ้ กั ษรตวั พิมพเ์ ล็กแทนค่าของตวั แปรสุ่มตัวอย่าง 3.1 ในการโยนเหรียญ 1 เหรียญ 3 คร้ัง TTT จะได้ S = { HHH , HHT , HTH , HTT , THH , THT , TTH , TTT } 0 ถา้ สิ่งท่ีสนใจคือจานวนเหรียญที่ข้ึนหวั จากการโยนเหรียญดงั กล่าวโดยกาหนดให้ X แทนจานวนเหรียญที่ข้ึนหวั จะได้ X จากผลการโยนเหรียญดงั น้ี ผลการโยนเหรียญ HHH HHT HTH THH HTT THT TTH X 3222111หรืออาจเขียนไดว้ า่ X(HHH) = 3 X(HHT) = 2 X(HTH) = 2

100 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ X(THH) = 2 X(HTT) = 1 X(THT) = 1 X(TTH) = 1 X(TTT) = 0 เม่ือ X แทนตวั แปรสุ่ม ที่มีโดเมนของ X หรือ DX = S และเรนจข์ อง X หรือRX = { 0 , 1 , 2 , 3 } หรือเมื่อแทนดว้ ยแผนภาพ ดงั น้ี SX HHH 3 HHT HTH 2 HHT HTT THT 1 TTH TTT 0 รูปที่ 3.1 แสดง f : S X เน่ืองจาก S คือปริภมู ิตวั อยา่ งของการโยนเหรียญ 1 เหรียญ 3 คร้ัง และ X = { 0 , 1 , 2 , 3 }ซ่ึงเป็นเซตยอ่ ยของจานวนจริง ดงั น้นั X จึงเป็นตวั แปรสุ่มตามบทนิยาม 3.1.1

บทที่ 3 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่ม 101ตวั อย่างที่ 3.2 ในการโยนลูกเต๋า 1 ลูก 2 คร้ัง ถา้ Y แทนผลรวมของแตม้ ที่ข้ึนจากการโยนท้งั 2 คร้ัง จะไดว้ า่ Y (1 , 1) = 2 Y (1 , 2) = Y (2 , 1) = 3 Y (1 , 3) = Y (2 , 2) = Y (3 , 1) = 4 Y (1 , 4) = Y (4 , 1) = Y (2 , 3) = Y (3 , 2) = 5 Y (1 , 5) = Y (5 , 1) = Y (2 , 4) = Y (4 , 2) = Y (3 , 3) = 6 Y (1 , 6) = Y (6 , 1) = Y (2 , 5) = Y (5 , 2) = Y (3 , 4) = Y (4 , 3) = 7 Y (2 , 6) = Y (6 , 2) = Y (3 , 5) = Y (5 , 3) = Y (4 , 4) = 8 Y (3 , 6) = Y (6 , 3) = Y (4 , 5) = Y (5 , 4) = 9 Y (4 , 6) = Y (6 , 4) = Y (5 , 5) = 10 Y (5 , 6) = Y (6 , 5) = 11 Y (6 , 6) = 12 นนั่ คือ Y เป็นตวั แปรสุ่มที่มีคา่ 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12หรือ RY = { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 }3.2 ชนิดของตัวแปรสุ่ม ตวั แปรสุ่มคือฟังกช์ นั ท่ีมีค่าเป็ นจานวนจริง แบ่งออกเป็ น 2 ชนิดตามลกั ษณะของฟังกช์ นัโดยอาศยั บทนิยามดงั น้ี บทนิยาม 3.2.1 ตวั แปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง (discrete random variable) หมายถึงตวั แปรสุ่ม ที่มีค่าเป็นจานวนในเซตนบั ได้ กล่าวคือเป็นเซตท่ีสมาชิกทุกตวั สามารถ เขียนไดใ้ นรูป x1, x2,..., xn,... ซ่ึงอาจเป็ นเซตจากดั หรือเซตอนนั ตก์ ็ได้ตวั อย่าง 3.3 พิจารณาลกั ษณะของตวั แปรสุ่มชนิดไม่ต่อเน่ือง1. ในการสุ่มหยบิ ลูกบอล 4 ลูก ออกจากกล่องซ่ึงบรรจุลูกบอลสีแดง 5 ลูก สีขาว 7 ลูก ถา้ X แทนจานวนลูกบอลสีแดงที่หยบิ ได้ จะไดว้ า่ X มีคา่ เป็น 0 , 1 , 2 , 3 , 4ดงั น้นั X เป็นตวั แปรสุ่มชนิดไม่ต่อเน่ืองที่มีคา่ จากดั2. ให้ Y แทนจานวนเมด็ เลือดแดงในเลือด 1 ลิตร จะไดว้ า่ Y มีค่าเป็น 0 , 1 , 2 , 3 , …ดงั น้นั Y เป็นตวั แปรสุ่มชนิดไมต่ ่อเนื่องท่ีมีคา่ อนนั ต์

102 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ บทนิยาม 3.2.2 ตวั แปรสุ่มชนิดต่อเน่ือง (continuous random variable) หมายถึง ตวั แปรสุ่มที่มีคา่ ของ X เป็นจานวนจริงที่ตอ่ เน่ืองกนั ในช่วงหน่ึงตวั อย่าง 3.4 ถา้ ให้ X เป็นอายขุ ยั ของชายไทย Y เป็นอายกุ ารใชง้ านของแบตเตอรี่โทรศพั ทม์ ือถือ Z เป็นความสูงของตน้ มะพร้าว จะไดว้ า่ ค่าของตวั แปรสุ่ม X , Y และ Z เป็นจานวนจริง ดงั น้นั X , Y และ Z จึงเป็นตวั แปรสุ่มชนิดต่อเน่ืองตัวอย่าง 3.5 จงระบุวา่ ตวั แปรสุ่มต่อไปน้ีเป็นตวั แปรสุ่มชนิดต่อเน่ืองหรือชนิดไมต่ ่อเน่ือง 1. จานวนนกั ศึกษาที่จบการศึกษาดว้ ยเกรดเฉล่ียสะสมต้งั แต่ 3.00 ข้ึนไป 2. เกรดเฉลี่ยสะสมของนกั ศึกษามหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ลาปางท่ีจบการศึกษาในปี การศึกษา 2554 3. ระยะเวลาท่ีผโู้ ดยสารใชใ้ นการรอรถประจาทาง 4. ปริมาณการขายเคร่ืองคอมพิวเตอร์ในหน่ึงเดือนของร้านซีพีคอมพิวเตอร์ 5. ยอดขายต่อเดือนของร้านซีพคี อมพิวเตอร์ 6. ปริมาณน้าฝนท่ีตกในพ้ืนที่อาเภอเมือง จงั หวดั ลาปาง ในช่วง 1 อาทิตยท์ ี่ผา่ นมา 7. น้าหนกั ของเดก็ แรกเกิด 8. จานวนผปู้ ระสบภยั ทางรถในวนั ท่ี 31 ธนั วาคม 2554 ในพ้นื ท่ีของจงั หวดั เชียงใหม่วธิ ีทา 1. ตวั แปรสุ่มชนิดไมต่ ่อเนื่อง 2. ตวั แปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง 3. ตวั แปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง 4. ตวั แปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง 5. ตวั แปรสุ่มชนิดต่อเน่ือง 6. ตวั แปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง 7. ตวั แปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง 8. ตวั แปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง

บทที่ 3 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่ม 1033.3 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่ม นอกจากค่าท่ีเป็ นไปได้ของตวั แปรสุ่มแล้ว ค่าที่เราสนใจอีกค่าก็คือความน่าจะเป็ นของตัวแปรสุ่ มทุ กตัวซ่ึ งเรี ย ก ค่าน้ี ว่า การแจกแจงความน่ าจะ เป็ นของตัวแปรสุ่ ม(probability distribution of random variable) ซ่ึงการแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่มน้ีอาจแสดงในรูปตาราง สมการ หรือกราฟก็ได้ เราแบ่งการแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่มเป็น 2 ชนิด ตามชนิดของตวั แปรสุ่ม ดงั น้ี 3.3.1 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง การหาคา่ ความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่องแต่ละค่าวา่ มีความน่าจะเป็ นเท่าใดน้นัเขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ P(X = xi ) หรือ f (xi ) และเรียก f (xi ) วา่ เป็ นฟังกช์ นั ความน่าจะเป็ น(probability function) หรือการแจกแจงความน่าจะเป็ น (probability distribution) ของตวั แปรสุ่ม Xตามบทนิยามตอ่ ไปน้ีบทนิยาม 3.3.1 ให้ X เป็นตวั แปรสุ่มชนิดไม่ต่อเน่ือง ฟังกช์ นั ความน่าจะเป็น หรือการแจกแจงความน่าจะเป็นของ X คือฟังกช์ นั f ท่ีมีสมบตั ิต่อไปน้ี 1. f (xi )  0 ทุกคา่ ของ xi  X 2.  f ( xi ) = 1  i1 3. P(X  xi )  f (xi ) , i = 1 , 2 , 3 ,..., n,… สามารถแสดงค่าของ X และ f (xi ) หรือ P(X  xi) โดยใชต้ าราง และเรียกตารางน้ีวา่ตารางการแจกแจงความน่าจะเป็นของ Xตัวอย่าง 3.6 ในการโยนลูกเต๋า 2 ลูก หน่ึงคร้ัง จงแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่ม Xเม่ือ X แทนผลรวมของแตม้ ลูกเต๋าท้งั สองลูกในรูปตาราง และสมการแสดงฟังกช์ นั การแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่มวธิ ีทา ในการโยนลูกเต๋า 2 ลูก 1 คร้ัง จะไดว้ า่ ตวั แปรสุ่ม X มีคา่ เป็น 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ,10 , 11 , 12 เน่ืองจาก P(X = xi) = f (xi) จะไดค้ ่าความน่าจะเป็ นดงั น้ี

104 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้ P(X = 2) = f (2) = 1 11 36  f (xi ) P(X = 3) = f (3) = 2 i1 36 1 P(X = 4) = f (4) = 3 36 P(X = 5) = f (5) = 4 36 P(X = 6) = f (6) = 5 36 P(X = 7) = f (7) = 6 36 P(X = 8) = f (8) = 5 36 P(X = 9) = f (9) = 4 36 P(X = 10) = f (10) = 3 36 P(X = 11) = f (11) = 2 36 P(X = 12) = f (12) = 1 36 สามารถสร้างตารางแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่ม X ไดด้ งั น้ีX 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12f (xi ) 12345654321 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36และเขียนสมการแสดงฟังกช์ นั ความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่ม X ไดด้ งั น้ี 1 เมื่อ xi = 2 , 12 36 2 เมื่อ xi = 3 , 11 36 3 เมื่อ xi = 4 , 10 36 f (xi ) = 4 เม่ือ xi = 5 , 9 36 5 เมื่อ xi = 6 , 8 36 6 เม่ือ xi = 7 36 0 เม่ือ xi เป็ นค่าอื่นๆ



บทท่ี 3 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่ม 105 จากตวั อยา่ ง 3.6 จะเห็นวา่ f (x) เป็นฟังกช์ นั ความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่มชนิดไม่ต่อเน่ืองโดย f (xi )  0 ทุกคา่ ของ i และ  f (xi ) = 1 xiSตวั อย่าง 3.7 ในการโยนเหรียญ 1 เหรียญ 3 คร้ัง ใหต้ วั แปรสุ่ม X แทนจานวนเหรียญท่ีข้ึนหวัจงหา 1. P(X = 2) 2. P(X  2)วธิ ีทา ให้ X แทนจานวนเหรียญที่ข้ึนหวั จากการโยนเหรียญ 1 เหรียญ 3 คร้ัง จะไดว้ า่ X เป็นตวั แปรสุ่มชนิดไมต่ ่อเน่ืองท่ีมีคา่ 0 , 1 , 2 , 3 และ P(X  xi) = f (xi ) สร้างตารางแจกแจงความน่าจะเป็ นของ X ไดด้ งั น้ีX 0 1 2 3 4 f (xi ) i1f (xi ) 1 3 3 1 1 8 8 8 8จากตารางแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่ม X P(X = 2) = 3 8 P(X  2) = P(X = 2) + P(X = 1) + P(X = 0) = 3  3  1  7 888 8ตัวอย่าง 3.8 จากตารางแจกแจงความน่าจะเป็ นจากตวั อยา่ ง 3.6 จงหาคา่ ต่อไปน้ี 1. P(X 10) 2. P(X  5) 3. P(4  X  7)วธิ ีทา จากตารางแจกแจงความน่าจะเป็นจากตวั อยา่ ง 3.6 1. P(X 10)  3 36 2. P(X  5)  P(6)  P(7)  P(8)  P(9)  P(10)  P(11)  P(12) 5654321 36 36 36 36 36 36 36  26 36 3. P(4  X  7)  P(4)  P(5)  P(6) 345 36 36 36  12 36 1 3

106 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ตัวอย่าง 3.9 จากขอ้ มลู การรับจองของบา้ นจดั สรรโครงการหน่ึง พบวา่ แต่ละวนั จะมีลูกคา้ มาจองบา้ นไมเ่ กิน 3 หลงั ตอ่ วนั และขอ้ มูลการจองบา้ นในรอบเดือนที่ผา่ นมาเป็ นดงั น้ี จานวนบา้ นที่มีลูกคา้ จองต่อวนั 0 1 2 3 ความถี่ (วนั ) 5 10 7 8จงหา1. ความน่าจะเป็นที่ในหน่ึงวนั จะไม่มีลูกคา้ มาจองบา้ นของโครงการเลย2. ความน่าจะเป็นที่ในหน่ึงวนั จะมีลูกคา้ จองบา้ นมากกวา่ 1 หลงัวิธีทา จากขอ้ มูลการจองบ้านในรอบ 1 เดือนท่ีผ่านมาของโครงการแห่งน้ีนามาสร้างตารางแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่ม X เมื่อ X แทนจานวนบา้ นที่ลูกคา้ จอง ไดด้ งั น้ี X 0 1 2 3 รวมP(X  xi ) 5 1 10  1 7 84 1 30 6 30 3 30 30 15ดงั น้นั 1. P(X  0)  1 6 ความน่าจะเป็นที่ในหน่ึงวนั จะไม่มีลูกคา้ มาจองบา้ นของโครงการเลยเป็น 1 6 2. P(X 1)  P(X  2)  P(X  3) 78 30 30 1 2 ความน่าจะเป็นที่ในหน่ึงวนั จะมีลูกคา้ จองบา้ นมากกวา่ 1 หลงั เป็น 1 2ตัวอย่าง 3.10 คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภฏั ลาปาง ต้องการรับสมคั รนักวิชาการ2 ตาแหน่ง ปรากฏว่ามีผูส้ มคั รท้งั หมด 7 คน เป็ นหญิง 4 คน ถ้าผูส้ มคั รทุกคนมีคุณสมบตั ิเหมือนกันและการคัดเลือกเป็ นไปอย่างสุ่ม จงหาการแจกแจงความน่าจะเป็ นของจานวนนกั วชิ าการหญิงท่ีไดร้ ับการคดั เลือกวธิ ีทา ให้ Y แทนจานวนนกั วชิ าการหญิงที่ไดร้ ับการคดั เลือก ดงั น้นั Y = 0 , 1 , 2จานวนวธิ ีในการคดั เลือกนกั วชิ าการ 2 คนจากผสู้ มคั รท้งั หมด 7 คนเป็ น 7C2  21 วธิ ี

บทท่ี 3 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่ม 107P(Y  0)  4C0 3C2  3 1 7C2 21 7P(Y  1)  4C1 3C1  12  4 7C2 21 7 P(Y  2)  4C2 3C0  6  2 7C2 21 7สร้างตารางแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่ม Y ไดด้ งั น้ีY 0 1 2 รวม 1P(Y  yi ) 1 4 2 7 7 7หรือสามารถเขียนสมการของฟังกช์ นั การแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่ม Y ไดด้ งั น้ี 1 เมื่อ yi = 0 10 f ( yi ) = 4 เม่ือ yi = 1 7 2 เมื่อ yi = 2 7 0 เมื่อ yi เป็ นค่าอ่ืนๆ 3.3.2 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่มชนิดต่อเน่ือง ในหัวข้อน้ีจะกล่าวถึงการแจกแจงของตวั แปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง ซ่ึงเป็ นตวั แปรสุ่มอีกชนิดหน่ึงท่ีมีจุดตวั อย่างมากมายนับไม่ถ้วน เช่น ราคาสินคา้ ปริมาณน้าฝน เวลา น้าหนักโดยเรียกการแจกแจงของตวั แปรสุ่มน้ีวา่ การแจกแจงของตวั แปรสุ่มชนิดต่อเน่ืองบทนิยาม 3.3.2 ให้ X เป็นตวั แปรสุ่มชนิดต่อเน่ือง จะเรียก ฟังกช์ นั f (x) หรือการแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง X วา่ ฟังกช์ นั ความน่าจะเป็นชนิดต่อเน่ืองหรือฟังกช์ นั ความหนาแน่น ของความน่าจะเป็น (probability density function) หรือเขียนแทนดว้ ย p.d.f ของ X กต็ อ่ เม่ือ f (x) มีสมบตั ิ 3 ขอ้ ดงั ต่อไปน้ี 1. f (x)  0 ทุกค่าของ x 2.   f (x)dx 1  3. P(a  X  b)  b f (x)dx เม่ือ a,bR และ   a  b    a

108 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้ จากบทนิยามจะไดว้ า่ ความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่ม X คือพ้ืนท่ีใตโ้ คง้ f (x) โดยมีพ้ืนท่ีท้งั หมดภายใตโ้ ค้งเป็ นหน่ึงหน่วย เน่ืองจากความน่าจะเป็ นจะมีค่าเป็ นบวกเสมอ ดงั น้ันพ้ืนท่ีใตโ้ คง้ f (x) ตอ้ งอยเู่ หนือแกน X เสมอ ถา้ ตอ้ งการหาคา่ ความน่าจะเป็นท่ีจุดใดจุดหน่ึง เช่นท่ีจุด X  c จะหาไดจ้ าก P(X  c)  P(c  X  c) c  f (x)dx c 0 จะไดว้ า่ P(X  c)  0ทุกคา่ ของ c นนั่ คือความน่าจะเป็ นท่ี X เท่ากบั ค่าใดๆ ก็จะเป็ น 0 เสมอดงั น้นั P(a  X  b)  P(a  X  b) เนื่องจากที่ X  a และ X  b มีความน่าจะเป็ นคือ 0 ถา้ X มีคา่ อยใู่ นช่วง a,b แลว้ ความน่าจะเป็ นท่ี P(a  X  b) กค็ ือพ้ืนที่ใตโ้ คง้ในช่วงที่ X  a ถึง X  b ดงั รูปที่ 3.2 Y f (x) P(a  X b) X X=a X=b รูปท่ี 3.2 กราฟแสดงค่าความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่ม X ท่ีอยรู่ ะหวา่ ง a กบั b หรือพ้ืนท่ีใตโ้ คง้ ในช่วงที่ X = a ถึง X = bตวั อย่าง 3.11 กาหนดให้ตวั แปรสุ่ม X มี p.d.f เป็น f (x)  x ; 0  x  4 จงหา P(2  X  3) 8วธิ ีทา P(2  X  3)  P(2  X  3) 3  f (x)dx 2  3 x dx 8 2

บทที่ 3 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่ม 109 P(2  X  3)  x2 3 16 2 94 16 16 5 16ดงั น้นั P(2  X  3)  5 16ตวั อย่าง 3.12 จงแสดงวา่ f (x) เป็นฟังกช์ นั ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น หรือ p.d.fเมื่อกาหนดให้ f (x) = 1010 เม่ือ 0  x 10 เม่ือ x เป็นคา่ อนื่วธิ ีทา f (x) จะเป็น p.d.f เม่ือ 1. f (x)  0 ทกุ คา่ ของ x 2.   f (x)dx 1  1010จาก f (x) = เมื่อ 0  x 10 เม่ือ x เป็นคา่ อนื่ดงั น้นั f (x)  0 ทกุ คา่ ของ xหาคา่ ของ  0 10     f (x)dx  f (x)dx  f (x)dx  f (x)dx   0 10 10 1 dx  0 0 10 0  x 10 10 0  10  0 10 10 =1ดงั น้นั f (x) เป็ น p.d.f

110 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้3.4 การแจกแจงความน่าจะเป็ นสะสมบทนิยาม 3.4.1 ฟังกช์ นั การแจกแจงความน่าจะเป็นสะสม (cumulative probability distributionfunction : c.d.f) ของตวั แปรสุ่ม X คือ ฟังกช์ นั ท่ีแสดงคา่ ความน่าจะเป็นสะสมเมื่อค่า X มีคา่ นอ้ ยกวา่ หรือเทา่ กบั คา่ ใดคา่ หน่ึง เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ F(x)นน่ั คือ c.d.f ของ X  F(x)  P(X  x) โดยที่ กรณีท่ี X เป็นตวั แปรสุ่มชนิดไม่ตอ่ เนื่อง F(x)  P(X  x)  f (t) tx tXกรณีที่ X เป็นตวั แปรสุ่มชนิดตอ่ เน่ือง x f (t)dt สาหรับทุก xRF(x)  P(X  x)  เมื่อ f (t) เป็ นคา่ อนุพนั ธ์ของความน่าจะเป็ นสะสมของ x ที่ tตวั อย่าง 3.12 ในการโยนเหรียญเท่ียงตรง 1 เหรียญ 3 คร้ัง ถา้ ให้ X แทนจานวนเหรียญท่ีข้ึนกอ้ ยจงหาฟังกช์ นั การแจกแจงความน่าจะเป็นสะสมของตวั แปรสุ่มวธิ ีทา ให้ X แทนจานวนเหรียญท่ีข้ึนหวั ดงั น้นั X เป็ นตวั แปรสุ่มชนิดไม่ต่อเน่ืองท่ีมีค่าเป็ น 0 ถึง 3 ซ่ึงสามารถหาฟังก์ชนัการแจกแจงความน่าจะเป็น และฟังกช์ นั การแจกแจงความน่าจะเป็นสะสมไดด้ งั น้ี ท่ี X  0 f (0)  1 8 F(0)  f (0)  1 8 ท่ี X 1 f (1)  3 8 F(1)  f (0)  f (1) 13 88 4 8

บทที่ 3 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่ม 111ท่ี X  2f (2)  3 8 F(2)  f (0)  f (1)  f (2) 133 7 888 8ที่ X  3f (3)  1 8 F(3)  f (0)  f (1)  f (2)  f (4) 1331=1 8888นาคา่ X , f (x) และ F(x) มาสร้างตารางไดด้ งั น้ี X0 1 2 3f (x) 1 3 3 1 8 8 8 8 4 7 8 8 1F(x) 1 8ตัวอย่าง 3.13 ในการโยนลูกเต๋า 1 ลูก 2 คร้ัง ถา้ ให้ X แทนผลต่างของแตม้ ลูกเต๋า จะไดว้ ่า Xเป็ นตวั แปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง สามารถสร้างตารางแสดงฟังก์ชนั แจกแจงความน่าจะเป็ น f (x)และฟังกช์ นั แจกแจงความน่าจะเป็นสะสม F(x) ไดด้ งั น้ีX 0 1 2 3 4 5 รวมf (xi ) = P(X  xi ) 6 10 8 6 4 2 1 36 36 36 36 36 36F(xi )  P(X  xi ) 6 16 24 30 34 1 36 36 36 36 36ตัวอย่าง 3.14 จากตวั อยา่ ง 3.13 จงหา 1. P(1 X  3) 2. P(1 X  3) 3. P(1 X  3) 4. F(2) 5. F(4)

112 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้วธิ ีทา 1. P(1 X  3) ถา้ พจิ ารณาจาก f (x) P(1 X  3)  f (1)  f (2)  10  8 36 36 1 2 หรืออาจทาไดอ้ ีกแบบดงั น้ี P(1 X  3)  F(3)  F(1)  f (1)  f (3)  30  16  10  6 36 36 36 36  18 36 1 2 2. P(1 X  3) ถา้ พิจารณาจาก f (x) P(1 X  3)  f (2)  f (3) 86 36 36 7 18 หรืออาจทาไดอ้ ีกแบบดงั น้ี P(1 X  3)  F(3)  F(1)  30  16 36 36  14 36 7 18

บทท่ี 3 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่ม 1133. P(1 X  3) ถา้ พจิ ารณาจาก f (x)P(1 X  3)  f (2) 8 36 2 9หรืออาจทาไดอ้ ีกแบบดงั น้ีP(1 X  3)  F(3)  F(1)  f (3)  30  16  6 36 36 36 2 94. F(2) F(2)  F(X  2) f (0)  f (1)  f (2) 6  10  8 36 36 36 24 362 35. F(4) F(4)  F(X  4)  f (0)  f (1)  f (2)  f (3)  f (4)  6  10  8  6  4 36 36 36 36 36  34 36  17 18หรือทาไดอ้ ีกแบบดงั น้ีเนื่องจาก x = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 และ n f (x) = 1 = F(5)  i1

114 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้ ดงั น้นั F(4) = F(5)  f (5) 1 2 36  34 36  17 18ตัวอย่าง 3.15 จงหา c.d.f เม่ือกาหนด p.d.f ดงั น้ี f (x) =  1 x เม่ือ 0  x  2  2 เมื่อ x เป็นคา่ อนื่  0วธิ ีทา จากบทนิยาม 3.4.1 F(x)  x f (t)dt การหาค่า F ( x) จะแยกพจิ ารณา 3 ช่วงดงั น้ี   ช่วงท่ี 1 x  0 0 F(x)  f (t)dt  0   0dt  =0 ช่วงท่ี 2 0  x  2 0x  F(x)  f (t)dt  f (t)dt  0  0  x (1 t )dt 2 0 = (t  t2 ) x 40   x2  x 4 ช่วงท่ี 3 x  2 0 2   F(x)  f (t)dt  f (t)dt  f (t)dt  0 2  0  2 (1 t )dt  0 2 0 = (t  t2 ) 2 40 =2  1 =1

บทที่ 3 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่ม 115 0 เมื่อ x  0ดงั น้นั F(x) =  x2  x เมื่อ 0  x  2  เม่ือ x  2  4  1ตัวอย่าง 3.16 จงหา F(x) และ P(2  x  3) ถา้ ตวั แปรสุ่ม X มี p.d.f เป็ น f (x) =  1 (1  2x) เม่ือ 1 x  4  18 เม่ือ x เป็นคา่ อนื่  0วธิ ีทา จาก F(x)  t f (t)dt จะไดว้ า่  ท่ีช่วง x 1 F(x)  1 0dt =0  ที่ช่วง 1 x  4 1 x 1   F(x)  0dt 18 (1 2t)dt  1  0  1 (t  t2 ) x 18 1  1 (x2  x  2) 18ท่ีช่วง x  4 1 4 1  0dt + (1 2t)dt  0dt   F(x)   1 18 4  0  1 (t  t2 ) 4 +0 18 1 =1 0 เมื่อ x 1ดงั น้นั F(x) =  1 ( x 2  x  2) เมื่อ 1  x  4 18 1 เม่ือ x  4

116 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้และหาค่าของ P(2  x  3) ไดด้ งั น้ีP(2  x  3)  F(3)  F(2)  f (2)  f (3)ดงั น้นั F(3)  1 (32  3  2)  10 18 18 F(2)  1 (22  2  2)  4 18 18 f (2)  1 (1 2(2))  5 18 18 f (3)  1 (1 2(3))  7 18 18 P(2  x  3)  F(3)  F(2)  f (2)  f (3)  10  4  5  7 18 18 18 18 4 18 จากตวั อยา่ ง 3.12 ถึง 3.16 พอสรุปไดว้ า่ ฟังกช์ นั การแจกแจงความน่าจะเป็ นสะสมมีสมบตั ิดงั น้ี 1. 0  F(x) 1 2. F()  0 , F() 1 3. F(x) เป็นฟังกช์ นั ที่คา่ ไมล่ ดลง นนั่ คือ ถา้ a, b เป็ นค่าคงท่ี และ a  b แลว้ F(a)  F(b) 4. ถา้ X เป็นตวั แปรสุ่มชนิดไม่ต่อเน่ือง และ a  b จะไดว้ า่ P(X  a)  P(X  a)  P(X  a) P(a  X  b)  F(b)  F(a)  f (a) P(a  X  b)  F(b)  F(a) P(a  X  b)  F(b)  F(a)  f (a)  f (b) P(a  X  b)  F(b)  F(a)  f (b) ถา้ X เป็นตวั แปรสุ่มชนิดต่อเนื่องจะไดว้ า่ P(X  a)  f (a)  0 P(a  X  b)  P(a  X  b)  P(a  X  b)  P(a  X  b)  F(b)  F(a)5. ความสัมพนั ธ์ระหวา่ ง f (x) และ F(x) เม่ือ X เป็นตวั แปรสุ่มชนิดต่อเน่ือง คือ x และ f (x)  d F(x) F(x)  f (x)dx dx 

บทที่ 3 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่ม 1173.5 การแจกแจงความน่าจะเป็ นร่วม ในหัวขอ้ ที่ผ่านมาไดก้ ล่าวถึงการแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่มเพียงตวั เดียวแต่ในบางคร้ังอาจเกิดตวั แปรสุ่มหลายตวั จากการทดลองสุ่มคร้ังเดียวกนั ถ้าให้ X และ Yเป็ นตวั แปรสุ่ม การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่ม X และ Y ท่ีมีค่า X เป็ น xและ Y เป็ น y เรียกว่า การแจกแจงความน่าจะเป็ นร่วมของ X และ Y ซ่ึงในหวั ขอ้ น้ีจะกล่าวถึงการแจกแจงความน่าจะเป็นร่วม แยกตามชนิดของตวั แปรสุ่มดงั น้ี 3.5.1 กรณที ตี่ วั แปรสุ่มท้งั 2 ตัวเป็ นตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่องบทนิยาม 3.5.1 ให้ X และ Y เป็นตวั แปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง การแจกแจงความน่าจะเป็นร่วม (joint probability distribution) ของตวั แปรสุ่ม X และ Y คือ P(x, y)  P(X  x,Y  y) ซ่ึงมีสมบตั ิดงั น้ี 1. P(x, y)  0 ทุกค่าของ (X ,Y) 2.   P(x, y) 1 all X all Y 3. P(A)   P(x, y) เม่ือ A  (X ,Y) (x, y) Aบทนิยาม 3.5.2 เมื่อ X และ Y เป็นตวั แปรสุ่มชนิดไม่ต่อเน่ืองจะเรียก F(a , b) วา่ การแจกความน่าจะเป็นสะสมของตวั แปรสุ่ม X และ Y โดยที่ F(a,b)  P(X  a,Y  b) ab    P(X  a,Y  b) x y

118 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ตัวอย่าง 3.16 ในการโยนลูกเต๋า 2 ลูก 1 คร้ัง จงหาการแจกแจงความน่าจะเป็ นร่วมของผลต่างของแตม้ ลูกเต๋าและจานวนลูกเต๋าท่ีข้ึนแตม้ คูใ่ นการโยนแต่ละคร้ังวธิ ีทา กาหนดใหผ้ ลลพั ธ์ในการโยนลูกเต๋าแต่ละคร้ังคือ (a,b) ให้ a แทนแตม้ ของลูกเต๋าลูกท่ี 1 และ b แทนแตม้ ของลูกเต๋าลูกที่ 2 สามารถสร้างตารางแสดง (a,b) ไดด้ งั น้ีb 1 2 a 5 6 341 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) ถา้ ให้ X แทนผลตา่ งของแตม้ ลูกเต๋าท้งั สองลูกในการโยนแต่ละคร้ัง Y แทนจานวนลูกเต๋าที่ข้ึนแตม้ คู่ในการโยนแต่ละคร้ังจะไดว้ า่ X  0,1,2,3,4,5 และY  0,1,2และ X  0 เม่ือ (a,b)  (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6) X 1 เม่ือ (a,b)  (1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,5) X  2 เมื่อ (a,b)  (1,3),(2,4),(3,5),(4,6),(3,1),(4,2),(5,3),(6,4) X  3 เม่ือ (a,b)  (1,4),(2,5),(3,6),(4,1),(5,2),(6,3) X  4 เม่ือ (a,b)  (1,5),(2,6),(5,1),(6,2) X  5 เมื่อ (a,b)  (1,6),(6,1)ส่วน Y  0 เมื่อ a และ b เป็นแตม้ คี่ท้งั 2 ตวั Y 1 เม่ือ a เป็นแตม้ คู่ b เป็นแตม้ คี่ หรือ a เป็นแตม้ ค่ี ส่วน b เป็นแตม้ คู่ Y  2 เม่ือ a และ b ต่างกเ็ ป็ นแตม้ คู่ การแจกแจงความน่าจะเป็ นร่วมของตวั แปร X และ Y แทนดว้ ยP(x, y)  P(X  x,Y  y) แสดงไดด้ งั ตาราง

บทท่ี 3 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่ม 119 XY0123450 304020 36 36 361 0 10 0 6 0 2 36 36 362 304020 36 36 36ตวั อย่าง 3.17 จากตวั อยา่ ง 3.16 จงหา 1. P(4,2) 2. P(0,1) 3. P(3,1) 4. F(4,1) 5. F(2,2)วธิ ีทา จากตารางการแจงแจงความน่าจะเป็นร่วมของตวั แปรสุ่ม X และตวั แปรสุ่ม Y จะไดว้ า่ 1. P(4,2) ท่ี X = 4 และ Y = 2 จะได้ P(4,2) = 2 36 2. P(0,1) ท่ี X = 0 และ Y = 1 จะได้ P(0,1) = 0 3. P(3,1) ที่ X = 3 และ Y = 1 จะได้ P(3,1) = 6 = 1 36 6 4. F(4,1)จะได้ F(4,1)  P(X  4,Y 1) 41    P(x, y) x0 y0 F(4,1)  P(0,0)  P(1,0)  P(2,0)  P(3,0)  P(4,0)  P(1,0)  P(1,1) P(2,1)  P(3,1)  P(4,1)  3  0  4  0  2  0  10  0  6  0 36 36 36 36 36  25 36ดงั น้นั F(4,1)  25 36

120 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้5. F(2,2)จะได้ F(2,2)  P(X  2,Y  2) 22    P(x, y) x0 y0 F(2,2)  P(0,0)  P(0,1)  P(0,2)  P(1,0)  P(1,1)  P(1,2)  P(2,0) P(2,1)  P(2,2)  3  0  4  0  10  0  3  0  4 36 36 36 36 36  24 36 2 3ดงั น้นั F(4,1)  2 3บทนิยาม 3.5.3 ให้ X และ Y เป็นตวั แปรสุ่มชนิดไมต่ ่อเนื่องท่ีมี P เป็นฟังกช์ นั ความน่าเป็นร่วม ความน่าจะเป็นเดี่ยว (marginal probability function) ของ X แทนดว้ ย สญั ลกั ษณ์ PX คือฟังกช์ นั ท่ีกาหนดโดย PX (x)  P(x, y) all Y และความน่าจะเป็นเด่ียวของ Y แทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ PY คือฟังกช์ นั ที่กาหนดโดย PY ( y)  P(x, y) all Xจากบทนิยามเราจะไดส้ มบตั ิ  PX (x) 1 และ  PY (y) 1 (ใหน้ กั ศึกษาแสดงเป็ น all X all yแบบฝึกหดั )จากบทนิยาม 3.5.3 เมื่อพจิ ารณาค่า P(x, y) จากตวั อยา่ ง 3.16 แลว้ หาผลรวมในแนวต้งัและแนวนอน ดงั น้ี

บทท่ี 3 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่ม 121Y 0 1 X 4 5 PY ( y) 230 304020 9 36 36 36 361 0 10 0 6 0 2 18 36 36 36 362 304020 9 36 36 36 36PX (x) 6 10 8 6 4 2 1 36 36 36 36 36 36 จะเห็นวา่ ผลรวมในแนวต้งั ก็คือค่าของ PX (0) , PX (1) , PX (2) , PX (3) , PX (4) , PX (5)คือความน่าจะเป็ นเด่ียวของตวั แปรสุ่ม X เม่ือ X = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ถา้ ตอ้ งการหาความน่าจะเป็ นเด่ียวของ X เมื่อ X = 0 หรือ PX (0) จะหาไดจ้ าก 2 PX (0)  P(0, y) y0  P(0,0)  P(0,1)  P(0, 2)  3 0 3 36 36 6 36 ส่วนผลรวมในแนวนอนได้แก่ PY (0)  PY (1)  PY (2) ก็คือค่าความน่าจะเป็ นเดี่ยวของตวั แปรสุ่ม Y เมื่อ Y = 0 , 1 , 2 ถา้ ตอ้ งการหาค่าความน่าจะเป็ นเด่ียวของ Y เมื่อ Y = 2 หรือPY (2) จะหาไดจ้ าก 5 PY (2)  P(x,2) x0  P(0, 2)  P(1, 2)  P(2, 2)  P(3, 2)  P(4, 2)  P(5, 2)  3 0 4 0 2 0 36 36 36 9 36

122 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้บทนิยาม 3.5.4 ให้ X และ Y เป็นตวั แปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่องฟั ง ก์ ชัน ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น ข อ ง X เ ม่ื อ ก า ห น ด เ งื่ อ น ไ ข Y  y(the conditional probability function for X given Y = y) เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ P(x y) คือฟังกช์ นั ที่กาหนดโดยP(x y)  P(x, y) ; PY ( y)  0 PY ( y)และฟังกช์ นั ความน่าจะเป็ นของ Y เม่ือกาหนดเงื่อนไข X = x เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ P(y x) คือฟังกช์ นั ท่ีกาหนดโดยP( y x)  P(x, y) ; PX (x)  0 PX (x) จากบทนิยาม จะไดว้ า่ ความน่าจะเป็นของ X เมื่อกาหนดเงื่อนไข Y  y อาจเขียนแทนไดด้ ว้ ย P(x y)  P(X  x,Y  y) P(Y  y) และในทานองเดียวกนั จะไดว้ า่ ความน่าจะเป็ นของ Y เมื่อกาหนดเงื่อนไข X  xอาจเขียนแทนไดด้ ว้ ย P( y x)  P(X  x,Y  y) P(X  x)ตัวอย่าง 3.18 จากตวั อยา่ ง 3.16 1. ถา้ ทราบวา่ ผลตา่ งของแตม้ ลูกเต๋าเป็น 5 จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าจะข้ึนแตม้ ค่ี 1 ลูก 2. ถา้ ทราบวา่ ลูกเต๋าข้ึนแตม้ คู่ 1 ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่ผลต่างของแตม้ ลูกเต๋าเป็น 2 3. ถา้ ทราบวา่ ผลต่างของแตม้ เป็น 3 จงหาความน่าจะเป็ นที่ลูกเต๋าจะข้ึนแตม้ คู่ 1 ลูก 4. ถา้ ทราบวา่ ลูกเต๋าไม่ข้ึนแตม้ คู่เลย จงหาความน่าจะเป็ นที่ผลต่างของแตม้ จะเป็ น 0วธิ ีทา จากตวั อยา่ ง 3.16 ให้ X แทนผลต่างของแตม้ ลูกเต๋า 2 ลูก จากการโยนลูกเต๋า 2 ลูก 1 คร้ัง ให้ Y แทนจานวนลูกเต๋าท่ีข้ึนแตม้ คู่จากการโยนลูกเต๋า 2 ลูก 1 คร้ัง

บทท่ี 3 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่ม 1231. ถา้ ทราบวา่ ผลต่างของแตม้ ลูกเต๋าเป็น 5 จงหาความน่าจะเป็นท่ีลูกเต๋าจะข้ึนแตม้ 1 ลูก P(Y  1 X  5)  P(5,1) PX (5) 2  36 2 36 =1ความน่าจะเป็นท่ีลูกเต๋าจะข้ึนแตม้ คี่ 1 ลูก ถา้ ทราบวา่ ผลต่างของแตม้ ลูกเต๋าเป็น 5 เทา่ กบั 12. ถา้ ทราบวา่ ลูกเต๋าข้ึนแตม้ คู่ 1 ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่ผลต่างของแตม้ ลูกเต๋าเป็ น 2P(X  2 Y 1)  P(2,1) PY (1) 0 18 36=0ความน่าจะเป็นที่ผลตา่ งของแตม้ ลูกเต๋าเป็ น 2 ถา้ ทราบวา่ ลูกเต๋าข้ึนแตม้ คู่ 1 ลูก เทา่ กบั 03. ถา้ ทราบวา่ ผลตา่ งของแตม้ เป็น 3 จงหาความน่าจะเป็ นที่ลูกเต๋าจะข้ึนแตม้ คู่ 1 ลูก P(Y  1 X  3)  P(3,1) PX (3) 6  36 6 36 =1ความน่าจะเป็นท่ีลูกเต๋าจะข้ึนแตม้ คู่ 1 ลูก ถา้ ทราบวา่ ผลต่างของแตม้ เป็น 3 เทา่ กบั 14. ถา้ ทราบวา่ ลูกเต๋าไมข่ ้ึนแตม้ คู่เลย จงหาความน่าจะเป็นท่ีผลต่างของแตม้ จะเป็น 0 P(X  0 Y  0)  P(0,0) PY (0) 3  36 9 36 1 3ความน่าจะเป็นท่ีผลต่างของแตม้ จะเป็ น 0 ถา้ ทราบวา่ ลูกเต๋าไมข่ ้ึนแตม้ คู่เลย เท่ากบั 1 3

124 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้3.5.2 กรณีทต่ี วั แปรสุ่มท้งั 2 ตัว เป็ นตัวแปรสุ่มชนิดต่อเน่ืองบทนิยาม 3.5.5 ให้ X และ Y เป็ นตวั แปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง ฟังก์ชนั f (x, y) จะเรียกว่าฟังก์ชนัความหนาแน่นของความน่าจะเป็ นร่วม ( joint probability function ) ของตวั แปรสุ่ม X และ Y กต็ ่อเมื่อ f (x, y) มีสมบตั ิดงั น้ี 1. f (x, y)  0 ทุกคา่ ของ x, y ที่เป็นจานวนจริง  2.  f (x, y)dxdy  1   bd เม่ือ a,b,c,d R P(a  x  b,c  y  d )  f (x, y)dxdy  3. ac โดยท่ี    a  b   และ    c  d  บทนิยาม 3.5.6 ให้ X และ Y เป็ นตวั แปรสุ่มชนิดต่อเน่ืองท่ีมี f (x, y) เป็นฟังกช์ นั ความหนาแน่น ของความน่าจะเป็นร่วมของ X และ Y ฟังกช์ นั ความน่าจะเป็นสะสมของ Xและ Y คือ F(a,b)  b a f (x, y)dxdy    บทนิยาม 3.5.7 ให้ X และ Y เป็นตวั แปรสุ่มชนิดต่อเนื่องท่ีมีฟังกช์ นั ความหนาแน่นของความน่าจะเป็ นร่วมของของ X และ Y คือ f (x, y)แลว้ จะเรียก fX (x) วา่ ความน่าจะเป็ นเดี่ยวของ X โดยที่ fX (x)   f (x, y)dy  และเรียก fY (y) วา่ ความน่าจะเป็ นเด่ียวของ Y โดยท่ี fY ( y)   f (x, y)dx  

บทท่ี 3 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่ม 125บทนิยาม 3.5.8 เมื่อ X และ Y เป็นตวั แปรสุ่มชนิดต่อเน่ือง ฟังกช์ นั ความหนาแน่นน่าจะเป็น ของ X เม่ือกาหนดเงื่อนไข Y คือ f (x y) โดยที่ f (x y)  f (x, y) ; fY ( y)  0 fY ( y) ฟังกช์ นั ความหนาแน่นน่าจะเป็ นของ Y เมื่อกาหนดเงื่อนไข X คือ f (y x) โดยท่ี f (y x)  f (x, y) ; fX (x)  0 fX (x) และความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่มชนิดต่อเนื่องท่ี X มีคา่ ต้งั แต่ a ถึง b เม่ือกาหนดให้ Y  y หาไดจ้ าก b P(a  X  b Y  y)  f (x y)dx aตัวอย่าง 3.19 ถ้า X และ Y เป็ นตัวแปรสุ่มชนิดต่อเน่ืองที่มีฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็ นร่วมคือ f (x,y) = k(2x  y) ; 0x2, 0 y2  เมื่อ (x, y) เป็นคา่ อื่น  0จงหาคา่ kวธิ ีทา เนื่องจาก f (x, y) เป็นฟังกช์ นั ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นร่วม ของ X และ Yดงั น้นั นนั่ คือ   f (x, y)dxdy 1    22    f (x, y)dxdy  k(2x  y)dxdy   00 2 x2 1  k (x2  xy) dy x0 0 2  k(4  2y)dy 0  k (4y  y2) y2 y0  k(8  4)  12kดงั น้นั k  1 12

126 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ตัวอย่าง 3.20 กาหนดให้ f (x, y) = 1102 (2x  y) ; 0x2, 0 y2จงหาฟังกช์ นั ความน่าจะเป็นเดี่ยวของ X และ Y เม่ือ (x, y) เป็นคา่ อนื่วธิ ีทา ให้ fX (x) แทนฟังกช์ นั ความน่าจะเป็ นเด่ียวของ X และ fY (y) แทนฟังกช์ นั ความน่าจะเป็ นเดี่ยวของ Y  fX (x)  f (x, y)dy   2 1 (2x  y)dy 12 0  1 (2xy  y2 y2 ) 12 2 y0  1 (4x  2  0) 12  1 (2x 1) ; 0  x  2 6  fY ( y)  f (x, y)dx และ   2 1 (2x  y)dx 12 0  1 (x2  xy) x2 12 x0  1 (4  2 y  0) 12  1 ( y  2) ; 0  y  2 6ดงั น้นั ฟังกช์ นั ความน่าจะเป็นเด่ียวของ X คือ fX (x)  1 (2x 1) ; 0  x  2 6 ฟังกช์ นั ความน่าจะเป็นเดี่ยวของ Y คือ fY ( y)  1 ( y  2) ; 0  y  2 6

บทท่ี 3 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่ม 127 3.5.3 กรณที ตี่ วั แปรสุ่มท้งั 2 ตัวเป็ นอสิ ระกนั บทนิยาม 3.5.9 ตวั แปรสุ่ม X และ Y จะเป็นอิสระกนั กต็ อ่ เม่ือ 1. P(x, y)  PX (x) PY (y) ทุกๆ (x, y)(X ,Y) สาหรับตวั แปรสุ่มชนิดไม่ตอ่ เนื่อง 2. f (x, y)  fX (x) fY (y) ทุกๆ (x, y)(X ,Y) สาหรับตวั แปรสุ่มชนิดตอ่ เน่ืองตัวอย่าง 3.21 จากตวั อยา่ ง 3.20 ตวั แปรสุ่ม X และ Y เป็นอิสระกนั หรือไม่วธิ ีทา จากตวั อยา่ ง 3.20 f (x, y)  1 (2x  y) ; 0  x  2 , 0  y  2 12โดยมี fX (x)  1 (2x 1) ; 0  x  2 6และ fY ( y)  1 ( y  2) ; 0  y  2 6 fX (x) fY ( y)  1 (2x  1) 1 ( y  2) 6 6  1 (2xy  4x  y  2) 36  f (x, y)ดงั น้นั X และ Y เป็นตวั แปรสุ่มที่ไมอ่ ิสระกนั3.6 ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม ในการโยนลูกเต๋ า 2 ลูก 1 คร้ัง ถ้าสนใจผลรวมของแต้มลูกเต๋ า การจะหาค่าเฉล่ียของผลรวมของแตม้ ลูกเต๋าน้ัน จะตอ้ งนาผลรวมจากผลลพั ธ์ในการโยนแต่ละคร้ังมาหารด้วยจ า น ว น ค ร้ั ง ข อ ง ก า ร โ ย น ซ่ึ ง ถ้า จ ะ ใ ห้ ไ ด้ค่ า เ ฉ ลี่ ย ที่ ใ ก ล้ เ คี ย ง กับ ค ว า ม เ ป็ น จ ริ งจาเป็ นต้องทาการทดลองซ้ าหลาย ๆ คร้ัง ทาให้ยุ่งยากเสี ยเวลามาก แต่ถ้าใช้บทนิยามและทฤษฎีบทเก่ียวกับความน่าจะเป็ นมาช่วยจะทาให้การคานวณหาค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มหรือเรียกอีกอยา่ งวา่ คา่ คาดหมายของตวั แปรสุ่มทาไดง้ ่ายข้ึน

128 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้3.6.1 ค่าคาดหมายของตวั แปรสุ่มชนิดไม่ต่อเน่ืองบทนิยาม 3.6.1 ให้ X เป็นตวั แปรสุ่มชนิดไมต่ อ่ เน่ืองที่มีฟังกช์ นั ความน่าจะเป็น คือ f (x) หรือ P(X  x) คา่ คาดหมาย (expected values) ของ X แทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ E(X ) โดยท่ี  E(X )  x f (x) = x P(X  x) XXตัวอย่าง 3.22 ในการโยนเหรียญ 2 เหรียญ 1 คร้ัง ถา้ เหรียญข้ึนหัวท้งั คู่จะได้เงิน 5 บาทถา้ ข้ึนหวั เพียง 1 เหรียญ จะไดเ้ งิน 1 บาท แต่ถา้ ไม่ข้ึนหวั เลยตอ้ งเสียเงิน 6 บาท จงหาค่าคาดหมายจากการเล่นเกมน้ี และพิจารณาวา่ เราสมควรเล่นเกมน้ีหรือไม่วธิ ีทา ให้ X แทนจานวนเงินท่ีไดร้ ับจากการเล่นเกมโยนเหรียญ 2 เหรียญ 1 คร้ังจะไดว้ า่ X = 5 , 1 , 6และ f (5)  1 4 f (1)  2 4 f (6)  1 4จากบทนิยาม 3.15 E(X )   x f (x) Xจะไดว้ า่ E(X )  5 f (5) 1f (1)  (6) f (6) 5( 1 ) 1( 2)  (6)( 1 ) 44 476 441 4 นนั่ คือคา่ คาดหมายของการไดร้ ับเงินจากการเล่นเกมดงั กล่าวเป็น 1 บาท หรือ 25 สตางค์ 4ต่อการเล่น 1 คร้ัง ดงั น้นั สมควรเล่นเกมน้ีตัวอย่าง 3.23 ในการซ้ือสลากกินแบ่งรัฐบาล โดยสนใจรางวลั เลขทา้ ย 2 ตวั ชนิดฉบบั ละ 80 บาทซ่ึงใน 100 เลขหมาย จะมีเพียงเลขหมายเดียวท่ีไดร้ ับรางวลั 2,000 บาท จงหาวา่ ค่าคาดหมายของการซ้ือสลากเลขทา้ ย 2 ตวั จะมีคา่ เท่าใด

บทที่ 3 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่ม 129วธิ ีทา ให้ X แทนเงินรางวลั ท่ีจะไดร้ ับจากการซ้ือสลากเลขทา้ ย 2 ตวั ซ่ึงคิดแยกเป็น 2 กรณีคือ กรณีท่ี 1 ถา้ ไดร้ ับรางวลั จะตอ้ งเสียเงินซ้ือสลาก 80 บาท และไดร้ ับเงินรางวลั2,000 บาท ดงั น้นั ถือวา่ ไดร้ ับเงิน 1,920 บาท โดยมีความน่าจะเป็ นท่ีจะถูกรางวลั เป็ น 1 100 กรณีท่ี 2 ถา้ ไมไ่ ดร้ ับรางวลั เราตอ้ งเสียเงินซ้ือสลาก 80 บาท โดยมีความน่าจะเป็ น 99 100จะไดว้ า่ E(X ) 1,920( 1 )  (80)( 99 ) 100 100  (1,920)  (7,920) 100 100 = 60ดงั น้นั คา่ คาดหมายของการไดร้ ับเงินจากการถูกรางวลั เลข 2 ตวั ของสลากกินแบง่ รัฐบาลคือ 60 บาทตวั อย่าง 3.24 โรงงานแห่งหน่ึงตอ้ งการให้รางวลั แก่คนงาน 5 คน ทางโรงงานไดจ้ ดั ทาสลากข้ึน10 ใบ เป็นสลากท่ีมีรางวลั 4 ใบ ไม่มีรางวลั 6 ใบ แลว้ ใหค้ นงานท้งั 5 คนหยิบสลากคนละ 1 ใบจงหาคา่ คาดหวงั ของจานวนคนงานท่ีจบั สลากไดใ้ บท่ีมีรางวลัวธิ ีทา ให้ X แทนจานวนคนงานท่ีจบั สลากไดใ้ บที่มีรางวลั นน่ั คือ X = 0 , 1 , 2 , 3 , 4โดย f (0)  4C0 6C5  6 10C5 252 f (1)  4C1 6C4  60 10C5 252 f (2)  4C2 6C3  120 10C5 252 f (3)  4C3 6C2  60 10C5 252 f (4)  4C4 6C1  6 10C5 252 นามาสร้างตารางแสดงค่า X, f (x) และ xf (x) ไดด้ งั น้ีX 0 1 2 3 4 รวม 6 60 120 60 6 1f (x) 252 252 252 252 252xf (x) 0 60 240 180 24 504 252 252 252 252 252

130 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้นน่ั คือ E(X )  x f (x) X  504 252 =2ดงั น้นั ค่าคาดหมายของจานวนผทู้ ี่จะไดร้ ับรางวลั คือ 2 คนบทนิยาม 3.6.2 ให้ f (x, y) เป็ นฟังกช์ นั ความน่าจะเป็ นร่วมของตวั แปรสุ่มชนิดไมต่ อ่ เนื่อง X และ Y คา่ คาดหมายของฟังกช์ นั u(x, y) แทนดว้ ย E(u(x, y)) โดยที่ E(u(x, y))  u(x, y) f (x, y) XYตัวอย่าง 3.25 ให้ X และ Y เป็ นตวั แปรสุ่มที่มีฟังก์ชนั ความน่าจะเป็ นร่วมจากการหยบิ ลูกบอล2 ลูก จากกล่องซ่ึงมีลูกบอลสีขาว 3 ลูก สีแดง 2 ลูก สีดา 3 ลูก ถา้ X แทนจานวนลูกบอลสีขาวที่หยิบได้ และ Y แทนจานวนลูกบอลสีแดงท่ีหยิบได้ จงหาค่าคาดหมายของ u(x, y)ถา้ กาหนด u(x, y)  xyวธิ ีทา กล่องบรรจุลูกบอลสีขาว 3 ลูก สีแดง 2 ลูก และสีดา 3 ลูก สุ่มหยบิ ลูกบอลออกมา 2 ลูกให้ X แทนจานวนลูกบอลสีขาวท่ีหยบิ ได้ ดงั น้นั x = 0 , 1 , 2และ Y แทนจานวนลูกบอลสีแดงท่ีหยบิ ได้ ดงั น้นั y = 0 , 1 , 2ถา้ หยบิ ไดบ้ อลสีขาว x ลูก หยบิ ไดบ้ อลสีแดง y ลูกดงั น้นั จานวนบอลสีดาที่หยบิ ไดจ้ ะเป็ น 2  x  y ลูกจานวนวธิ ีที่จะหยบิ ไดบ้ อล 2 ลูก จากท้งั หมด 8 ลูก ได้ 8C2 วธิ ี 3Cx วธิ ีจานวนวธิ ีที่จะหยบิ ไดบ้ อลสีขาว x ลูก ได้จานวนวธิ ีที่จะหยบิ ไดบ้ อลสีแดง y ลูก ได้ 2C y วธิ ีจานวนวธิ ีที่จะหยบิ ไดบ้ อลสีดา 2  x  y ลูก ได้ 3C2xy วธิ ีจะไดฟ้ ังกช์ นั ความน่าจะเป็ นร่วมของ X ,Y คอื f (x, y) โดยท่ี f (x, y)  3Cx 2Cy 3C2x y 8C2เม่ือ x = 0 , 1 , 2 ; y = 0 , 1 , 2 และ 0  x  y  2ซ่ึงแสดงคา่ f (x, y) ไดด้ งั ตาราง

บทท่ี 3 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่ม 131 Y0 X 2 1 03 93 28 28 28 16 60 28 28 21 00 28โจทยก์ าหนดให้ u(x, y)  xyจาก E(u(x, y))  u(x, y) f (x, y) XY  (x.y) f (x, y) XY E(u(x, y))  (0)(0)( 3 )  (0)(1)( 6 )  (0)(2)( 1 )  (1)(0)( 9 ) 28 28 28 28 (1)(1)( 6 )  (1)(2)(0)  (2)(0)( 3 )  (2)(1)(0)  (2)(2)(0) 28 28 6 28 3 14นน่ั คือ E(u(x, y))  3 14บทนิยาม 3.6.3 ให้ X และ Y เป็นตวั แปรสุ่มชนิดไมต่ ่อเน่ือง ค่าคาดหมายแบบมีเง่ือนไขของตวั แปรสุ่ม X เม่ือกาหนดคา่ Y = y เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ E(X Y  y) โดยที่ E(X Y  y)  x f (x y) X เมื่อ f (x y) เป็ นฟังกช์ นั ความน่าจะเป็ นแบบมีเงื่อนไขของ X เม่ือกาหนดคา่ Y และค่าคาดหมายแบบมีเง่ือนไขของตวั แปรสุ่ม Y เม่ือกาหนดค่า X = x เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ E(Y X  x) โดยที่ E(Y X  x)  y f (y x) Y เมื่อ f (y x) เป็ นฟังกช์ นั ความน่าจะเป็นแบบมีเง่ือนไขของ Y เม่ือกาหนดค่า X

132 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้ ทฤษฎีบทท่ีเก่ียวขอ้ งกบั ค่าคาดหมายของตวั แปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง จะช่วยให้การหาค่าคาดหมายของตวั แปรสุ่มทาไดง้ ่ายข้ึน ดงั น้ีทฤษฎบี ท 3.6.1 ถา้ X เป็นตวั แปรสุ่ม และ a , b เป็นค่าคงที่ใดๆ แลว้ E(aX  b)  aE(X )  bพสิ ูจน์ เนื่องจาก E(aX  b)  (aX  b) f (x) (โดยบทนิยาม 3.6.1) X (เน่ืองจาก  f (x) 1)   a xf (x)  b f (x) X XX  aE(X )  bบทแทรก 3.6.1 เมื่อ a  0 จะได้ E(b)  bพสิ ูจน์ เนื่องจาก E(aX  b)  aE(X )  b (โดยทฤษฎีบท 3.6.1)เม่ือ a  0 จะได้ E(0  b)  0E(X )  bดงั น้นั E(b)  bบทแทรก 3.6.2 เม่ือ b  0 จะได้ E(aX )  aE(X )พสิ ูจน์ เนื่องจาก E(aX  b)  aE(X )  b (โดยทฤษฎีบท 3.6.1)เมื่อ b  0 จะได้ E(aX  0)  aE(X )  0ดงั น้นั E(aX )  aE(X )

บทที่ 3 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่ม 133ทฤษฎบี ท 3.6.2 ถา้ u(x) และ v(x) ตา่ งกเ็ ป็ นฟังกช์ นั ของตวั แปรสุ่ม X แลว้ Eu(x)  v(x)  E(u(x))  E(v(x))พสิ ูจน์ n Eu(x)  v(x)  u(xi )  v(xi ) f (xi ) i1  u(x1)  v(x1) f (x1)  u(x2)  v(x2) f (x2)  ...  u(xn)  v(xn) f (xn)  u(x1) f (x1)  u(x2 ) f (x2 )  ...  u(xn ) f (xn )  v(x1) f (x1)  v(x2 ) f (x2 )  ...  v(xn ) f (xn ) nn   u(xi ) f (xi )  v(xi ) f (xi ) i1 i1 จากบทนิยาม 3.6.1 จะไดว้ า่ E(u(x))  u(x) f (x) ดงั น้นั X Eu(x)  v(x)  E(u(x))  E(v(x))ทฤษฎบี ท 3.6.3 ถา้ u(x, y) และ v(x, y) เป็ นฟังกช์ นั ความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่ม X และ Y แลว้ Eu(x, y)  v(x, y)  E(u(x, y))  E(v(x, y))พสิ ูจน์ ถา้ f (x, y) เป็ นฟังกช์ นั ความน่าจะเป็ นร่วมของตวั แปรสุ่ม X และ Y ท่ีมี u(x, y) และ v(x, y) เป็ นฟังกช์ นั ความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่ม X และ Y จากบทนิยาม 3.6.1 จะไดว้ า่ Eu(x, y)  v(x, y)  u(x, y)  v(x, y) f (x, y) XY  u(x, y) f (x, y)  v(x, y) f (x, y) XY XY ดงั น้นั Eu(x)  v(x)  E(u(x))  E(v(x))บทแทรก 3.6.3 ถา้ u(x, y)  X และ v(x, y)  Y แลว้ E(X Y)  E(X )  E(Y)พสิ ูจน์ พิสูจนไ์ ดโ้ ดยทฤษฎีบท 3.6.3

134 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้ทฤษฎบี ท 3.6.4 ถา้ X และ Y เป็ นตวั แปรสุ่มท่ีอิสระกนั แลว้ E(XY)  E(X )E(Y)พสิ ูจน์ เนื่องจาก E(XY )  xi yi f (xi , yi ) XY จากบทนิยาม 3.5.9 ถา้ X และ Y เป็ นอิสระกนั แลว้ จะไดว้ า่ f (x, y)  fX (x) fY (y) ดงั น้นั E(XY)  xi yi f X (xi ) fY ( yi ) XY   xi f X (xi ) yi fY ( yi ) XY  E(X )E(Y )ตัวอย่าง 3.26 ถา้ X เป็ นตวั แปรสุ่มท่ีมี E(X )  3 , E(X 2) 16 จงหา 1. E(3X 1) 2. E(3X 2  3X  2)วธิ ีทา X เป็ นตวั แปรสุ่มที่มี E(X )  3 , E(X 2) 16 1. E(3X 1)  3E(X )  E(1) (โดยทฤษฎีบท 3.6.1) = 3(3) 1 =8 2. E(X 2  3X  2)  E(X 2)  3E(X )  E(2) 3  16  3(3)  2 2 9 10ตัวอย่าง 3.27 ถา้ กาหนดตารางแสดงค่าฟังกช์ นั ของตวั แปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง ดงั น้ี X012 f (x) 3 1 4 10 10 10จงหา 1. E(X ) 2. E(X 2) 3. E(3X 2  4X )

บทที่ 3 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่ม 135วธิ ีทา 1. E(X ) E(X )  x f (x) X  0( 3 ) 1( 1 )  2( 4 )  3( 2 ) 10 10 10 10  15 10 3 2 11 2 2. E(X 2) E(X 2 )  x2 f (x) X  02 ( 3 )  12 ( 1 )  22 ( 4 )  32 ( 2 ) 10 10 10 10  0  1  16  18 10 10 10  35 10 7 2 31 2 3. E(3X 2  4X ) E(3X 2  4X )  3E(X 2)  4E(X ) E(3X 2  4X )  3(7)  4( 3) 22  2112 2 9 2 41 2

136 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้3.6.2 ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่องบทนิยาม 3.6.4 ให้ X เป็นตวั แปรสุ่มชนิดตอ่ เน่ืองที่มีฟังกช์ นั ความหนาแน่น ของความน่าจะเป็นคือ f (x) ค่าคาดหมายของ X แทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ E(X ) โดยท่ี E(X )   xf (x)dx  ตัวอย่าง 3.28 ให้ f (x)  2 (x 1) ; 1 x  4 จงหา E(X ) 21 วธิ ีทา E(X )  xf (x)dx  4 2 (x 1)dx x 21 1 4 2 (x2  x)dx 21 1 2 x3  x2 4 ( ) 21 3 2 1 2 (176  5) 21 6 6 2  171 21 6 19 725 7บทนิยาม 3.6.5 ให้ X เป็นตวั แปรสุ่มชนิดต่อเน่ืองท่ีมีฟังกช์ นั ความหนาแน่นของความน่าจะเป็ น คือ f (x) ค่าคาดหมายของฟังกช์ นั u(x) แทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ E(u(x)) โดยท่ี E(u(x))   u(x) f (x)dx  

บทท่ี 3 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่ม 137ตวั อย่าง 3.29 ถา้ X เป็นตวั แปรสุ่มชนิดตอ่ เน่ืองที่มี p.d.f คือ f (x) ซ่ึงกาหนดดงั น้ี f (x) = 1 x ;0<x<2 2 เมื่อ x เป็นค่าอื่นๆ 0 จงหา 1. E(X ) 2. E(3X  2)วธิ ีทา 1. E(X )จากบทนิยาม 3.6.4 จะได้  E(X )  x f (x)dx   2 x (1 x )dx 2 0  ( x2  x3 ) 2 26 0 48 26 2 3ดงั น้นั E(X )  2 32. E(3X  2)  จากบทนิยาม 3.19 จะได้ E(3X  2)  (3x  2) f (x)dx ดงั น้นั E(3X  2) = 0   2 ( 3 x2  4x  2)dx 2 0  ( x3  2x2  2x) 2 2 0 0บทนิยาม 3.6.6 ให้ f (x, y) เป็ นฟังก์ชนั ความหนาแน่นของความน่าจะเป็ นร่วมของตวั แปรสุ่ม ชนิดตอ่ เนื่อง X และ Y คา่ คาดหมายของฟังกช์ นั u(x, y) เขียนแทนดว้ ย สญั ลกั ษณ์ E(u(x, y)) โดยท่ี E(u(x, y))      u(x, y) f (x, y)dxdy  

138 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้บทนิยาม 3.6.7 ให้ X และ Y เป็นตวั แปรสุ่มชนิดต่อเน่ือง ค่าคาดหมายแบบมีเงื่อนไข ของตวั แปรสุ่ม X เม่ือกาหนดเงื่อนไข Y  y เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ E(X Y  y) โดยที่  E(X Y  y)  x f (x y)dx  เมื่อ f (x y) เป็ นฟังกช์ นั ความน่าจะเป็ นแบบมีเงื่อนไขของ X เม่ือกาหนด เง่ือนไข Y  y และค่าคาดหมายแบบมีเง่ือนไขของตวั แปรสุ่ม Y เม่ือกาหนดเงื่อนไข X  x เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ E(Y X  x) โดยท่ี  E(Y X  x)  y f ( y x)dy  เม่ือ f (y x) เป็ นฟังกช์ นั ความน่าจะเป็ นแบบมีเงื่อนไขของ Y เม่ือกาหนด เง่ือนไข X  xบทนิยาม 3.6.8 ให้ X และ Y เป็ นตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่องท่ีมีฟังก์ชันความหนาแน่นของ ความน่าจะเป็ นร่วมคือ f (x, y) มีฟังก์ชนั ความหนาแน่นของความน่าจะเป็ น เด่ียว ของ X คือ fX (x) และมีฟังกช์ นั ความหนาแน่นของความน่าจะเป็ นเดี่ยว ของ Y คือ fY (y) แลว้  E(X )  x f X (x)dx   E(Y )  y fY ( y)dy และ ตวั อย่าง 3.30 กาหนด X และ Y เป็นตวั แปรสุ่มชนิดต่อเน่ืองท่ีมี f (x,y) = 1 (2x  y) ;0<x<2,0<y<2 2 เม่ือ x , y เป็นคา่ อ่ืนๆ 0จงหา 1. E(XY) 2. E(X )3. E(Y ) 4. E(X Y 1)

บทที่ 3 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่ม 139วธิ ีทา 1. E(XY)   E(XY )  x y f (x, y)dxdy     2 2 x y 1 (2x  y)dxdy 12 00   2 2 1 (2x2 y  xy2 )dxdy 12 00  1 2 (16 y  4 y2 )dy 12 3 2 0 4 3 11 3 ดงั น้นั E(XY ) 11 3 2. E(X ) โดยท่ี  E(X )  x f X (x)dx   fX (x)  f (x, y)dy   2 1 (2x  y)dy 12 0  1 (x2  xy) y2 12 y0  1 (2x 1) ; 0  x  2 6 จาก E(X )  2 x (1 (2x 1))dx 6 0  1 2 (2x2  x)dx 6 0  1 ( 2x3  x2 ) x2 63 2 x0  11 9 ดงั น้นั E(X )  11 12 99

140 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ 3. E(Y )  E(Y )  y fY ( y)dy  เน่ืองจาก  fY ( y)  f (x, y)dx   2 1 (2x  y)dx 12 0  1 ( y  2) ; 0  y  2 6 จาก E(Y )  2 y (1 ( y  2))dy 6 0  1 2 ( y2  2 y)dy 6 0  1 ( y3  y2) y2 63 y0  10 9 11 9 ดงั น้นั E(X ) 11 9 4. E(X Y 1)  E(X Y 1)  x f (x y)dx  เนื่องจาก f (x y)  f (x, y) fY ( y) 1 (2x  y)  12 1 ( y  2) 6  (2x  y) 2( y  2) ดงั น้นั E(X Y  1)  2 x (2x  y) dx 2( y  2) 0  1 2 (2x2  yx) dx 2 ( y  2) 0

บทท่ี 3 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่ม 141 1 2E(X Y 1)  2( y  2) (2x2  yx)dx 0  1 2) 16  2 y  2( y   3เม่ือ Y 1 จะได้ E(X Y 1)  11 9 12 9ดงั น้นั E(X Y 1) 1 2 9 สมบัติของค่าคาดหมายของตวั แปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง สมบตั ิของค่าคาดหมายของตวั แปรสุ่มชนิดไม่ต่อเน่ืองยงั เป็นจริงสาหรับตวั แปรสุ่มชนิดตอ่ เนื่องเช่นกนั นน่ั คือ 1. E(aX  b)  aE(X )  b) 2. ท่ี a = 0 จะไดว้ า่ E(b)  b 3. ท่ี b = 0 จะไดว้ า่ E(aX )  aE(X ) 4. Eu(x)  v(x)  E(u(x))  E(v(x)) เมื่อ u(x),v(x) เป็ นฟังกช์ นั ของตวั แปรสุ่ม X 5. Eu(x, y)  v(x, y)  E(u(x, y))  E(v(x, y)) เมื่อ u(x, y),v(x, y) เป็ นฟังกช์ นั ของตวั แปรสุ่ม X และ Y 6. เมื่อ X  u(x, y),Y  v(x, y) E  X  Y   E(X )  E(Y) 7. เม่ือ X และ Y เป็ นตวั แปรสุ่มท่ีอิสระกนั E(X Y)  E(X )E(Y)3.7 ความแปรปรวนของตวั แปรสุ่ม ในทางสถิติน้นั จะไม่ใชค้ ่ากลางของขอ้ มูลเพียงค่าเดียวในการบ่งบอกลกั ษณะของขอ้ มูลแตล่ ะชุด แต่จะบอกค่าที่ใชว้ ดั การกระจายของขอ้ มูลควบคู่กบั ค่ากลางของขอ้ มูลเสมอ ตวั แปรสุ่มก็เช่นเดียวกัน เราไม่สามารถบอกลกั ษณะของตวั แปรสุ่มโดยอาศยั เพียงค่าคาดหมายซ่ึงเป็ นค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มเพียงค่าเดียว จึงต้องวัดการกระจายของตัวแปรสุ่มด้วย ค่าที่ใช้วดั การกระจายของตวั แปรสุ่มกค็ ือ คา่ ความแปรปรวนของตวั แปรสุ่มนน่ั เอง

142 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้บทนิยาม 3.7.1 ความแปรปรวน (variance) ของตวั แปรสุ่ม X เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ V(X ) หรือ 2X คือค่าคาดหมายของ (X  )2 นน่ั คือ V (X )  E((X  )2) และเรียกคา่ รากท่ีสองท่ีเป็นบวกของ V(X ) วา่ ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน (standard deviation) ของ X เขียนแทนดว้ ย X นน่ั คือ X  V (X )  E((X  )2) หรือ X  V (X )  E(X )  E(X )2 เมื่อ   E(X )ทฤษฎบี ท 3.7.1 ถา้ X เป็ นตวั แปรสุ่ม และ E(X )   แลว้ จะไดว้ า่ V (X )  E(X 2)  E(X )2  E(X 2)  2พสิ ูจน์ จากบทนิยาม 3.7.1 V (X )  E((X  )2) และ E(X )   จะไดว้ า่V (X )  E((X  )2) E((X  E(X ))2) E  X 2  2 XE( X )  (E( X ))2    E( X 2 )  E(2XE( X ))  E (E( X ))2  E( X 2 )  2E( X )E( X )  (E( X ))2  E( X 2 )  (E( X ))2แตเ่ น่ืองจาก E(X )  ดงั น้นั V (X )  E(X 2)  2ตวั อย่าง 3.31 กาหนดให้ X แทนจานวนเหรียญท่ีข้ึนหวั จากการโยนเหรียญ 3 อนั 1 คร้ังจงหาคา่ ความแปรปรวนของตวั แปรสุ่ม Xวธิ ีทา ตวั แปรสุ่ม X แทนจานวนเหรียญที่ข้ึนหวั จากการโยนเหรียญ 3 อนั 1 คร้ัง X = 0 , 1 , 2 , 3หา  หรือ E(X ) ไดจ้ าก 3   E(X )  xi f (xi ) i0  0(1) 1(3)  2(3)  3(1) 88 8 8 3 2

บทท่ี 3 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่ม 143 E(X 2 )  02 (1) 12 (3)  22 (3)  32 (1) 88 8 8 =3 จากทฤษฎีบท 3.7.1 V (X )  E(X 2)  2  3   3 2  2  3 4ดงั น้นั ความแปรปรวนของตวั แปรสุ่ม X มีคา่ 3 4ตวั อย่าง 3.32 จงหาความแปรปรวนของตวั แปรสุ่ม X เมื่อตวั แปรสุ่ม X มี p.d.f  f (x) โดย f (x,y) = 1 (x 1) ;0<x<2 4 เมื่อ x เป็นคา่ อ่ืนๆ 0วธิ ีทา E(X )  2 x 1 (x 1)dx 4 0  1 2 (x2  x)dx 4 0  1 ( x3  x2 ) 2 43 2 0 7 6 E(X 2 )  2 x2 1 (x 1)dx 4 0  1 2 (x3  x2 )dx 4 0  1 ( x4  x3 ) 2 44 3 0 5 3

144 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้ V (X )  E(X 2)  E(X )2  5  (7)2 36  11 36 ดงั น้นั ความแปรปรวนของตวั แปรสุ่ม X มีค่า 11 36 บทนิยาม 3.7.2 ความแปรปรวนร่วม (covariance) ของตวั แปรสุ่ม X และ Y เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ Cov(X,Y) หรือ 2XY โดยที่ Cov(X ,Y)  2XY  E(X  X )(Y  Y ) ถา้ X และ Y เป็ นอิสระกนั Cov(X,Y)  0 แตถ่ า้ X และ Y ไมเ่ ป็ นอิสระกนั Cov(X,Y)  0ทฤษฎบี ท 3.7.2 Cov(X ,Y)  E(X ,Y)  E(X )E(Y)พสิ ูจน์ จากบทนิยาม 3.7.2Cov(X ,Y )  2XY  E(X  X )(Y  Y )  E  XY  X Y  X Y  X Y )  E( XY )  X E(Y )  E( X )Y  E(X Y )  E( XY )  X Y   X Y   X Y  E( XY )  X Yแต่เนื่องจาก X  E(X ) และ Y  E(Y)ดงั น้นั Cov(X ,Y)  E(X ,Y)  E(X )E(Y)ทฤษฎบี ท 3.7.3 ถา้ X เป็ นตวั แปรสุ่ม และ a เป็ นคา่ คงที่แลว้ V(X  a) V(X )พสิ ูจน์ จากบทนิยาม 3.7.1 เมื่อ E(X )   จะไดว้ า่ V (X )  E  (X  E(X ))2 

บทที่ 3 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่ม 145 ดงั น้นั V (X  a)  E ((X  a)  E(X  a))2   E ( X  a  E(X )  a)2   E ( X  E( X ))2  V(X) นน่ั คือ V (X  a) V (X )ทฤษฎบี ท 3.7.4 ถา้ X เป็ นตวั แปรสุ่ม และ a เป็ นคา่ คงที่แลว้ V(aX )  a2V(X )พสิ ูจน์ จากบทนิยาม 3.7.1 V (aX )  E ((aX )  E(aX ))2   E ((aX )  aE( X ))2   E (a( X  E( X ))2   E a2 ( X  E(X ))2    a2E ( X  E( X ))2   a2E[( X  )2 ]  a2V ( X ) ดงั น้นั V (aX )  a2V (X )ทฤษฎบี ท 3.7.5 ถา้ X และ Y เป็นตวั แปรสุ่มใดๆ แลว้ จะไดว้ า่ 1. V (aX  bY )  a2V (X )  b2V (Y )  2Cov(X ,Y ) 2. V (aX  bY )  a2V (X )  b2V (Y )  2Cov(X ,Y )พสิ ูจน์ จากบทนิยาม 3.7.11. V (aX  bY )  E  (aX  bY )  E(aX  bY )2     E  aX  bY  aE ( X )  bE(Y )2     E  a(X  E(X )  b(Y  E(Y )2     E  a( X  E(X )2  2a( X  E(X )b(Y  E(Y )  b(Y  E(Y )2     E a2 (X  E(X )2  2ab( X  E(X )(Y  E(Y )  b2 (Y  E(Y )2  

146 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ V (aX  bY )  a2E (X  E(X ))2   2abE(X  E(X )(Y  E(Y )  b2E (Y  E(Y ))2  จากทฤษฎี 3.7.2 Cov(X ,Y)  E(X ,Y)  E(X )E(Y) จะได้ V (aX  bY )  a2V (X )  2abCov(X ,Y)  b2V (Y) ดงั น้นั V (aX  bY )  a2V (X )  b2V (Y )  2Cov(X ,Y)2. การพสิ ูจนว์ า่ V (aX  bY)  a2V (X )  b2V (Y)  2Cov(X ,Y) ทาไดเ้ ช่นเดียวกนั กบั ขอ้ 1.ทฤษฎบี ท 3.7.6 ถา้ X และ Y เป็ นตวั แปรสุ่มที่อิสระกนั แลว้ V(X Y) V(X ) V(Y)พสิ ูจน์ จากทฤษฎีบท 3.7.1 V (X )  E(X 2)  (E(X ))2 จะไดว้ า่V (X  Y )  E((X  Y )2)  E(X  Y )2  E( X 2  2XY  Y 2 )  E(X )  E(Y )2 E( X 2 )  2E(X )E(Y )  E(Y 2 )  (E( X ))2  2E(X )E(Y )  (E(Y ))2      E(X 2 )  E(X 2 ) 2  E(Y 2 )  E(Y 2) 2  V ( X )  V (Y )ดงั น้นั V (X Y) V (X ) V (Y)ทฤษฎบี ท 3.7.7 E(X  a)2 จะมีค่านอ้ ยท่ีสุดเมื่อ a    E(X )พสิ ูจน์ ให้ E(X  a)2  E(X      a)2  E(X  )  (  a)2  E  X  2  2( X  )(  a)  (  a)2    E  X  2  2E(X  )(  a)  E(  a)2เนื่องจาก E(X )  0 จะไดว้ า่E(X  a)2  E(  a)2  E (  a)2    E (  a)2   E (  a)2   (  a)2ดงั น้นั E(X  a)2 จะมีค่านอ้ ยที่สุดเม่ือ (  a)2  0นนั่ คือเม่ือ a    E(X ) นนั่ เอง

บทท่ี 3 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่ม 147ตัวอย่าง 3.33 ในการสอบวิชาความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองต้นของนักศึกษา 2 กลุ่มเรียนพบว่าคะแนนเฉลี่ยของนกั ศึกษากลุ่มที่ 1 คือ 52 คะแนน มีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 12 คะแนนส่ วนนักศึกษากลุ่มท่ี 2 มีคะแนนเฉลี่ย 48 คะแนน ส่ วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 8 คะแนนถ้าสุ่มนักศึกษามากลุ่มละ 1 คน จงหาค่าคาดหมายและส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของผลต่างของคะแนนสอบของนกั ศึกษาท้งั 2 คนน้ีวธิ ีทา ให้ X แทนคะแนนสอบของนกั ศึกษาท่ีสุ่มมาจากกลุ่มเรียนท่ี 1 Y แทนคะแนนสอบของนกั ศึกษาที่สุ่มมาจากกลุ่มเรียนท่ี 2 จากโจทย์ E(X )  52 , V (X ) 12 และ E(Y)  48 , V (Y)  8 เนื่องจากตวั แปรสุ่มท้งั สองตวั เป็นอิสระกนั ดงั น้นั E(X Y )  E(X )  E(Y )  52  48 4 ดังน้ันค่าคาดหมายของผลต่างของคะแนนสอบของนักศึกษากลุ่มท่ี 1 และกลุ่มที่ 2 ท่ีสุ่มมาคือ 4 คะแนน V (X Y ) V (X ) V (Y )  144  64  80 V (X  Y )  8.94 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลต่างของคะแนนสอบของนกั ศึกษากลุ่มที่ 1 และกลุ่มที่ 2 ที่สุ่มมาไดค้ ือ 8.94 คะแนนตัวอย่าง 3.34 พนกั งานขายตรงคนหน่ึงมีรายไดจ้ ากเงินเดือนเดือนละ 8,000 บาท และจะไดส้ ่วนแบง่ จากการขายสินคา้ อีก 15% ของยอดขายสินคา้ ที่ตนเองทาไดใ้ นแต่ละเดือน จากขอ้ มูลท่ีผา่ นมาพบว่ายอดขายสินคา้ ต่อเดือนเฉลี่ยของพนักงานคนน้ีคือ 75,000 บาท และมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของยอดขายเป็น 7,000 บาท จงหาค่าคาดหมายและส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของรายได้ตอ่ เดือนที่พนกั งานคนน้ีจะไดร้ ับวธิ ีทา ให้ X แทนรายไดต้ ่อเดือนท่ีพนกั งานคนน้ีจะไดร้ ับY แทนยอดขายสินคา้ ตอ่ เดือนของพนกั งานคนน้ีจะไดว้ า่ X  8,000  0.15Yจากโจทย์ E(Y )  75,000