دورة

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫صفحة ‪225‬‬ ‫مثال الكتاب ‪4‬‬ ‫جد قيمة كل مما ياتي ‪:‬‬ ‫‪5 )6‬ﻻ = ‪621= 6×2×3×4×5‬‬ ‫‪7 )2‬ﻻ= ‪5141=6×2×3×4×5×1×7‬‬ ‫‪2 )3‬ﻻ= ‪2 = 6×2‬‬ ‫‪4 )4‬ﻻ ‪3 +‬ﻻ = ‪31= 1+ 24= 6×2×3 + 6×2×3×4‬‬ ‫صفحة ‪221‬‬ ‫تدريب الكتاب ‪4‬‬ ‫بكم طريقة يمكن أن يجلس ‪ 1‬طلاب على ‪ 1‬مقاعد موضوعة بطريقة مستقيمة‬ ‫عدد طرائق جلوس الطالب الاول على ‪ 1‬مقاعد هو ‪1‬‬ ‫عدد طرائق جلوس الطالب الثاني على ‪ 5‬مقاعد هو ‪5‬‬ ‫عدد طرائق جلوس الطالب الثالث على ‪ 1‬مقاعد هو ‪1‬‬ ‫عدد طرائق جلوس الطالب الرابع على ‪ 3‬مقاعد هو ‪3‬‬ ‫عدد طرائق جلوس الطالب الخامس على ‪ 2‬مقعد هو ‪2‬‬ ‫عدد طرائق جلوس الطالب السادس على ‪ 1‬مقعد هو ‪1‬‬ ‫عدد طرائق جلوس الطلاب على المقاعد = ‪ 021 = 1×2×3×1×5×1‬طريقة‬ ‫صفحة ‪221‬‬ ‫مثال الكتاب ‪5‬‬ ‫حل كلا من المعادلات الآتية ‪:‬‬ ‫‪8 581‬‬ ‫‪ )6‬نﻻ = ‪ 721‬ومنه ‪1 = 6×2×3×4×5×1 = 721‬ﻻ‬ ‫‪3 361‬‬ ‫‪ ‬نﻻ = ‪1‬ﻻ ومنه ن = ‪1‬‬ ‫‪5 081‬‬ ‫‪0 31‬‬ ‫‪(2 + 4 )2‬نﻻ) = ‪ 52‬ومنه ‪(2‬نﻻ) =‪ 48 = 4 – 52‬نقسم الطرفين على ‪2‬‬ ‫‪66‬‬ ‫نﻻ = ‪ 24‬ولكن ‪4 = 6×2×3×4= 24‬ﻻ‬ ‫نﻻ = ‪4‬ﻻ ومنه ن = ‪4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪011‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫‪( + 1- )3‬ن‪)6+‬ﻻ = ‪1‬ﻻ ‪ 67 +‬ومنه (ن‪)6+‬ﻻ = ‪24 = 1 + 67 + 6‬‬ ‫(ن‪)6+‬ﻻ =‪ 24‬ومنه (ن ‪)6 +‬ﻻ = ‪4‬ﻻ ومنه ن‪ 4 = 6+‬ومنه ن = ‪3‬‬ ‫= ‪62‬‬ ‫ن(ن ‪()6 -‬ن ‪)2 -‬ﻻ‬ ‫= ‪ 62‬ومنه‬ ‫نﻻ‬ ‫‪)4‬‬ ‫(ن ‪) 2 -‬ﻻ‬ ‫(ن ‪) 2 -‬ﻻ‬ ‫ن(ن‪ 62 = )6-‬ومنه ن‪ – 2‬ن – ‪1= 62‬‬ ‫(ن – ‪ ()4‬ن ‪ 1 = ) 3+‬ومنه إما ن = ‪ 4‬أو ن = ‪ 3-‬مرفوض‬ ‫صفحة ‪220‬‬ ‫تدريب الكتاب ‪5‬‬ ‫حل كلا من المعادلات الآتية ‪:‬‬ ‫‪8 081‬‬ ‫‪( )6‬نﻻ) = ‪ 621‬ومنه ‪5 = 6×2×3×4×5 = 621‬ﻻ‬ ‫‪3 61‬‬ ‫نﻻ = ‪5‬ﻻ ومنه ن = ‪5‬‬ ‫‪5 81‬‬ ‫‪00‬‬ ‫‪(3 + 61 )2‬نﻻ) = ‪ 61‬ومنه ‪(3‬نﻻ) = ‪ 1‬نقسم الطرفين على ‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫نﻻ = ‪ 2‬ومنه نﻻ = ‪2‬ﻻ ومنه ن = ‪2‬‬ ‫‪2( )3‬ن ‪)6 +‬ﻻ = ‪ 621‬ومنه (‪2‬ن ‪) 6 +‬ﻻ = ‪5‬ﻻ‬ ‫‪2‬ثىن ‪ 5 = 6 +‬ومنه ‪2‬ن = ‪ 4‬ومنه ن = ‪2‬‬ ‫= ‪31‬‬ ‫(ن ‪()6 +‬ن)(ن ‪)6 -‬ﻻ‬ ‫= ‪ 31‬ومنه‬ ‫(ن ‪)6 +‬ﻻ‬ ‫‪)4‬‬ ‫(ن ‪) 6 -‬ﻻ‬ ‫(ن ‪) 6 -‬ﻻ‬ ‫ن(ن‪ 31 = )6+‬ومنه ن‪ + 2‬ن – ‪1 = 31‬‬ ‫(ن ‪()1+‬ن ‪ 1 = )5-‬ومنه إما ن= ‪ 1-‬مرفوض أو ن = ‪5‬‬ ‫سؤال إضافي إذا كان ‪ × 3‬نﻻ = ‪ 72‬أوجد قيمة ن ‪:‬‬ ‫نقسم الطرفين على ‪ 3‬فيكون نﻻ = ‪ 24‬ومنه نﻻ =‪4‬ﻻ ومنه ن = ‪4‬‬ ‫‪010‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫سؤال إضافي إذا كان ‪(3‬نﻻ) ‪ 3 +‬ﻻ = ‪ ، 311‬فجد قيمة ن‬ ‫‪(3‬نﻻ)‪ 311 = 6×2×3 +‬ومنه ‪(3‬نﻻ) ‪ 311 = 1 +‬ومنه ‪(3‬نﻻ) =‪ 311‬نقسم على ‪3‬‬ ‫نﻻ = ‪ 621‬ومنه نﻻ = ‪5‬ﻻ ومنه ن = ‪5‬‬ ‫سؤال إضافي جد قيمة ‪:‬‬ ‫(‪) 3 – 4‬ﻻ × ‪3‬ﻻ = ‪6‬ﻻ × ‪3‬ﻻ = ‪1 = 6×2×3× 6‬‬ ‫سؤال إضافي جد قيمة ‪:‬‬ ‫‪(5‬نﻻ) = ‪ 31‬نقسم الطرفين على ‪ 5‬فيكون‬ ‫نﻻ = ‪ 1‬ومنه نﻻ = ‪3‬ﻻ ومنه ن = ‪3‬‬ ‫سؤال إضافي جد قيمة ‪:‬‬ ‫نﻻ ‪4-‬ﻻ = ‪ 91‬ومنه نﻻ ‪ 91= 6×2×3×4 -‬ومنه نﻻ ‪ 91 = 24-‬ومنه‬ ‫نﻻ = ‪ 621‬ومنه نﻻ = ‪5‬ﻻ ومنه ن = ‪5‬‬ ‫سؤال إضافي جد قيمة ما يلي ‪:‬‬ ‫‪ 8‬ﻻ ‪1×7×8‬ﻻ‬ ‫= ‪51‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬ﻻ ‪1‬ﻻ‬ ‫‪018‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫صفحة ‪228‬‬ ‫حل الأسئلة‬ ‫‪)6‬تعمل ‪ 11‬حافلات لنقل الركاب بين مدينتي مأدبا وعمان ‪ ،‬وتعمل ‪ 31‬حافلة أخرى بين مدينتي عمان والزرقاء ‪ ،‬فإذا أراد‬ ‫راكب أن يسافر من مأدبا إلى الزرقاء مرورا بعمان ‪ ،‬ثم يعود سالكا الطريق نفسه ‪ ،‬فبكم طريقة يمكنه عمل ذلك شريطة ألا‬ ‫يركب الحافلة نفسها في أثناء رحلته ؟ عودة‬ ‫الزرقاء‬ ‫‪87‬حافلة‬ ‫مأدبا ‪ 9‬حافلات عمان‬ ‫الحل ‪ :‬أثناء الذهاب ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪31‬حافلة‬ ‫‪‬‬ ‫عدد طرائق ركوب الحافلة بين مأدبا وعمان ‪11‬‬ ‫‪‬‬ ‫عدد طرائق ركوب الحافلة بين عمان والزرقاء ‪31‬‬ ‫‪‬‬ ‫الزرقاء‬ ‫مأدبا ‪ 11‬حافلات عمان‬ ‫ذهاب‬ ‫عدد طرائق الذهاب = ‪311 = 31× 11‬‬ ‫أثناء العودة ‪:‬‬ ‫عدد طرائق ركوب الحافلة بين الزرقاء وعمان ‪29‬‬ ‫عدد طرائق ركوب الحافلة بين عمان ومادبا ‪9‬‬ ‫عدد طرائق العودة = ‪ 211 = 9 × 29‬ومنه عدد طرائق الذهاب والعودة = ‪08311 = 211 × 311‬‬ ‫‪ (2‬محل لبيع المجمدات الغذائية ‪ ،‬فيه ‪ 3‬أنواع مختلفة من الأسماك ‪ ،‬و‪ 1‬أنواع مختلفة من اللحوم الحمراء ‪ ،‬ونوعان‬ ‫مختلفان من الدجاج ‪ ،‬بكم طريقة يمكن لأحد الزبائن أن يشتري نوعا واحدا من كل الأسماك واللحوم الحمراء والدجاج ؟‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫عدد طرائق شراء نوع واحد من الأسماك ‪3 :‬‬ ‫عدد طرائق شراء نوع واحد من اللحوم الحمراء ‪1‬‬ ‫عدد طرائق شراء نوع واحد من الدجاج ‪2‬‬ ‫عدد طرائق شراء نوع واحد من الأسماك واللحوم الحمراء والدجاج = ‪ 21 =2×1×3‬طريقة‬ ‫‪ )3‬اتبعت دائرة السير في إحدى الدول نظاما لترقيم السيارات مستخدمة الأرقام ‪9y1‬بحيث تحتوي لوحة السيارة على ‪1‬‬ ‫أرقام ‪ ،‬وحرفين من أحرف الهجاء ‪ ،‬كم سيارة يمكن ترقيمها بهذه الطريقة ‪ ،‬علما بأن عدد أحرف الهجاء ‪ 28‬حرفا ‪،‬‬ ‫وتكرار الأرقام مسموح به ‪ ،‬خلافا لتكرار الأحرف ؟‬ ‫الحل ‪:‬بما أنه مسموح بتكرار الأرقام فإن ‪:‬‬ ‫الرقم الثاني الرقم الثالث الرقم الرابع عدد الطرائق = ‪1511 = 9×9×9×9‬‬ ‫الرقم الأول‬ ‫‪ 9‬طرائق‬ ‫‪ 9‬طرائق‬ ‫‪ 9‬طرائق‬ ‫‪ 9‬طرائق‬ ‫‪013‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫وبما أنه غير مسموح بتكرار أحرف الهجاء فإن ‪:‬‬ ‫عدد الطرائق = ‪051 = 20 × 28‬‬ ‫حرف الهجاء الثاني‬ ‫حرف الهجاء الأول‬ ‫‪ 20‬طريقة‬ ‫‪ 28‬طريقة‬ ‫عدد الطرائق الكلي = ‪1911111 = 051 × 1511‬‬ ‫‪ )1‬جد قيمة كل مما ياتي ‪:‬‬ ‫أ)‪1‬ﻻ = ‪721 = 6×2×3×4×5×1‬‬ ‫ب) ‪3‬ﻻ ‪5 +‬ﻻ ‪2 +‬ﻻ = ‪628 = 2 + 621 +1 = 6×2 + 6×2×3×4×5 + 6×2×3‬‬ ‫جـ ) ‪2‬ﻻ ‪1 +‬ﻻ = ‪3 = 6 + 6×2‬‬ ‫د) ‪3 × 42‬ﻻ = ‪252 = 6×2×3 × 42‬‬ ‫‪ )5‬حل كلا من المعادلات الآتية ‪:‬‬ ‫أ) ‪( ×2‬نﻻ) = ‪ 48‬نقسم على ‪ 2‬ومنه نﻻ =‪ 24‬ومنه نﻻ=‪ 1×2×3×4‬ومنه نﻻ=‪4‬ﻻ ومنه ن = ‪4‬‬ ‫ب) ‪(-611‬نﻻ)= ‪ 21-‬ومنه –(نﻻ)= ‪ 621-‬نضرب بـ ‪ 6-‬ومنه نﻻ =‪5 = 621‬ﻻ ومنه ن = ‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫ن‬ ‫ومنه‬ ‫ومنه ‪3‬ن ‪ 2 = 6 +‬ومنه ‪3‬ن = ‪6‬‬ ‫جـ) (‪3‬ن‪)6+‬ﻻ = ‪ 2‬ومنه (‪3‬ن‪)6+‬ﻻ=‪2‬ﻻ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪015‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫اختبر نفسك‬ ‫‪ )1‬بكم طريقة يمكن ترتيب ‪ 1‬كتب على رف المكتبة في صف واحد ؟‬ ‫‪ )2‬أراد أحد الطلبة شراء قلم ومسطرة ودفتر من إحدى المكتبات ‪ ،‬حيث وجد فيها ثلاثة أنواع مختلفة من الأقلام ‪،‬‬ ‫ونوعين من المساطر ‪ ،‬وأربع أنواع من الدفاتر ‪ ،‬فبكم طريقة يمكن للطالب شراء قلم ومسطرة ودفتر ؟‬ ‫‪ )3‬دخل أحمد مطعما لتناول وجبة الغداء ‪ ،‬فوجد أن قائمة الطعام لذلك اليوم تحتوي ثلاثة أنوع من الشوربة ‪ ،‬ونوعين‬ ‫من السمك فبكم طريقة يمكنه اختيار وجبة مكونة من نوع واحد من الشوربة ونوع واحد من السمك ؟‬ ‫‪ )1‬إذا كان عدد المعلمين في إحدى المدارس (‪ )21‬معلما ‪ ،‬بكم طريقة يمكن تكوين لجنة ثلاثية مؤلفة من رئيس‬ ‫وأمين سر وأمين صندوق ؟‬ ‫‪ )5‬يتكون مجلس إدارة إحدى الشركات من خمسة أعضاء ‪ ،‬كم طريقة يمكن بها رئيس ونائب الرئيس من بين أعضاء‬ ‫مجلس إدارة الشركة ؟‬ ‫‪ )1‬دخل أحد الزبائن محلا لبيع أجهزة الحاسوب ‪ ،‬فوجد أمامه (‪)3‬أنواع مختلفة لشاشات العرض ‪ ،‬و(‪ )1‬انواع مختلفة‬ ‫للوحات المفاتيح ‪ ،‬و(‪ )5‬أنواع لوحدات التشغيل (الصندوق) ‪ ،‬فبكم طريقة يمكنه اختيار جهاز مكون من شاشة‬ ‫العرض ولوحة المفاتيح ووحدة التشغيل ؟‬ ‫‪ )0‬جد قيمة مايلي ‪:‬‬ ‫‪1‬ﻻ‬ ‫‪7‬ﻻ‬ ‫ب)‬ ‫أ)‬ ‫‪2‬ﻻ × ‪4‬ﻻ‬ ‫( ‪)2- 7‬ﻻ‬ ‫د)(‪)2+3‬ﻻ‬ ‫(ن‪)3+‬ﻻ‬ ‫جـ) = ‪1‬‬ ‫(ن‪ )6+‬ﻻ‬ ‫‪010‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫التباديل‬ ‫ثانيًا ‪:‬‬ ‫شرح مبدأ التباديل من خلال مثال ‪:‬‬ ‫اعلنت إحدى الشركات عن توافر شاغرين لرئيس قسم وعضو فيها ‪ ،‬فإذا تقدم ثلاثة أشخاص لهاتين الوظيفتين ‪ ،‬هم أحمد ‪،‬‬ ‫وهديل ‪،‬وسامي ‪ ،‬فاكتب جميع الطرائق الممكنة لاختيار شخصين منهم ‪ ،‬على أن لا يشغل الشخص نفسه كلتا الوظيفتين‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫حسب مبدأ العد ‪ :‬رئيس قسم عضو‬ ‫‪ 2‬طريقة‬ ‫‪3‬طرائق‬ ‫عدد طرائق اختيار رئيس قسم وعضو = ‪1 = 2× 3‬‬ ‫والاختيارات هي ‪( :‬أحمد ‪ ،‬هديل) ‪( ،‬أحمد ‪ ،‬سامي) ‪( ،‬هديل ‪،‬أحمد)‪(،‬هديل ‪،‬سامي) ‪( ،‬سامي ‪ ،‬هديل ) ‪( ،‬سامي ‪ ،‬أحمد )‬ ‫نلاحظ أن الترتيب له أهمية كبيرة ويعطي معنى مختلفا ‪ ،‬فمثلا (احمد ‪ ،‬هديل) يعني أن أحمد هو رئيس القسم ‪ ،‬وهديل هي‬ ‫العضو‬ ‫بينما (هديل ‪ ،‬احمد ) يعني أن هديل هي رئيس القسم ‪ ،‬وأحمد هو العضو‬ ‫الازواج المرتبة سابقا تسمى تباديل المجموعة} أحمد ‪ ،‬هديل ‪ ،‬سامي{‬ ‫نرمز للتباديل بالرمز ‪ :‬ل (ن ‪ ،‬ر ) حيث(ن) عدد طبيعي ويعبر عن عدد عناصر المجموعة‬ ‫أما (ر) فهي عدد طبيعي يعبر عن عدد العناصر التي تم اختيارها‬ ‫نﻻ‬ ‫ويكون ل(ن ‪ ،‬ر ) =‬ ‫(ن‪-‬ر)ﻻ‬ ‫حيث ل(ن ‪ ،‬ر) = ن×(ن‪(×)6-‬ن‪(×)2-‬ن‪(×…)3-‬ن‪-‬ر‪)6+‬‬ ‫حل المثال السابق باستخدام التباديل ‪:‬‬ ‫ل(ن ‪ ،‬ر ) = ل (‪1 = 2 × 3 = ) 2 ، 3‬‬ ‫حيث (ن) هي عدد عناصر المجموعة ‪ ،‬و(ر) هي العناصر المأخوذة اثنين ‪ ،‬اثنين‬ ‫ملاحظة هامة ‪ :‬نستخدم التباديل عندما يكون الترتيب مهم مثل ‪ :‬تكوين عدد بعدة منازل أو تكوين لجنة فيها مناصب‬ ‫محددة أو توزيع أشياء على صف واحد أو تكوين كلمات من أحرف‬ ‫صفحة ‪231‬‬ ‫مثال الكتاب ‪1‬‬ ‫ما عدد تباديل مجموعة مكونة من (‪ )0‬عناصر مأخوذة (‪ )3‬في كل مرة ؟‬ ‫‪016‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫ل(‪261 = 5×1×7 = ) 3 ، 7‬‬ ‫‪7‬ﻻ ‪4×5×1×7‬ﻻ‬ ‫‪7‬ﻻ‬ ‫= ‪261 = 5×1×7‬‬ ‫==‬ ‫بطريقة ثانية ‪:‬‬ ‫(‪)3-7‬ﻻ ‪4‬ﻻ ‪4‬ﻻ‬ ‫صفحة ‪231‬‬ ‫تدريب الكتاب ‪1‬‬ ‫‪ )6‬كم عدد تباديل مجموعة مكونة من ‪ 5‬عناصر مأخوذة ‪ 2‬في كل مرة ؟‬ ‫‪)2‬جد قيمة ل(‪ + )4 ، 1‬ل (‪2 + )5 ، 7‬ﻻ‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪)6‬ل(‪21 = 4×5 = )2 ، 5‬‬ ‫‪5‬ﻻ ‪3×4×5‬ﻻ‬ ‫‪5‬ﻻ‬ ‫= ‪21 = 4×5‬‬ ‫==‬ ‫بطريقة ثانية ‪:‬‬ ‫(‪)2-5‬ﻻ ‪3‬ﻻ ‪3‬ﻻ‬ ‫‪ )2‬ل(‪ + )4 ، 1‬ل (‪2 + )5 ، 7‬ﻻ=‪2882 = 2 + 2521 + 311 = 6×2 + 3×4×5×1×7 + 3×4×5×6‬‬ ‫صفحة ‪231‬‬ ‫مثال الكتاب ‪2‬‬ ‫بكم طريقة يمكن اختيار رئيس منتدى ثقافي ‪ ،‬ومساعد له ‪ ،‬وامين سر ‪ ،‬وأمين صندوق مختلفين‬ ‫من بين ‪ 11‬أعضاء منتسبين إلى هذا النادي ؟‬ ‫بما أن الترتيب مهم نستخدم التباديل في حل المثال‬ ‫ل(‪ 5141 = 7×8×9×61 = )4 ، 61‬طريقة‬ ‫= ‪5141= 7×8×9×61‬‬ ‫‪61‬ﻻ ‪61‬ﻻ ‪1×7×8×9×61‬ﻻ‬ ‫طريقة ثاتية للحل ‪:‬‬ ‫==‬ ‫(‪)4-61‬ﻻ ‪1‬ﻻ ‪1‬ﻻ‬ ‫تدريب الكتاب ‪ 2‬صفحة ‪231‬‬ ‫ما عدد طرائق اختيار رئيس شركة ‪ ،‬ونائب له ‪ ،‬ومدير مالي من بين ‪ 21‬موظفا في الشركة ‪ ،‬علما بان الشخص الواحد لا يشغل‬ ‫أكثر من وظيفة واحدة في الشركة ؟‬ ‫الحل ‪ :‬بما أن الترتيب مهم نستخدم التباديل ‪:‬‬ ‫‪015‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫ل(‪1841 = 68 × 69 × 21 = )3 ، 21‬‬ ‫صفحة ‪231‬‬ ‫مثال الكتاب ‪3‬‬ ‫جد قيمة (ر) في كل معادلة مما يأتي ‪:‬‬ ‫‪0 61‬‬ ‫‪ )6‬ل(‪ ، 5‬ر)= ‪ 11‬ومنه ل(‪ ، 5‬ر) = ‪ 3×4×5‬ومنه‬ ‫‪5 08‬‬ ‫‪33‬‬ ‫ل(‪ ، 5‬ر ) = ل(‪ )3 ، 5‬ومنه ر = ‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2 + 3 )2‬ل(‪ ، 1‬ر ) = ‪4‬ﻻ ‪39 +‬‬ ‫‪2+3‬ل(‪ ، 1‬ر )= ‪39 + 6×2×3×4‬‬ ‫‪2+ 3‬ل(‪ ، 1‬ر)= ‪39 + 24‬‬ ‫‪2+3‬ل(‪ ، 1‬ر)= ‪ 13‬ومنه ‪2‬ل(‪ ، 1‬ر) = ‪ 11‬نقسم على ‪2‬‬ ‫ل(‪ ، 1‬ر) = ‪ 31‬ومنه ل(‪ ، 1‬ر) = ‪ 5×1‬ومنه ل(‪ ، 1‬ر) = ل(‪) 2 ، 1‬‬ ‫ومنه ر = ‪2‬‬ ‫صفحة ‪232‬‬ ‫تدريب الكتاب ‪3‬‬ ‫‪8 1181‬‬ ‫جد قيمة (ر) في كل من المعادلتين الآتيتين ‪:‬‬ ‫‪0 211‬‬ ‫‪1 31‬‬ ‫‪ )6‬ل(‪ ، 8‬ر) = ‪6181‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪3 – 81 )2‬ل(‪ ، 4‬ر ) = ‪1‬ﻻ ‪7 +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪ )6‬ل(‪ ، 8‬ر) = ‪5×1×7×8‬‬ ‫ل(‪ ، 8‬ر) = ل(‪ ) 4 ، 8‬ومنه ر= ‪4‬‬ ‫‪3 – 81 )2‬ل(‪ ، 4‬ر ) = ‪7 + 6‬‬ ‫‪3 - 81‬ل(‪ ، 4‬ر ) = ‪ 8‬ومنه ‪3-‬ل(‪ ، 4‬ر) = ‪ 72-‬نقسم على ‪3-‬‬ ‫ل(‪ ، 4‬ر ) = ‪ 24‬ومنه ل(‪ ، 4‬ر ) = ‪ 2 × 3 × 4‬ومنه ل(‪ ،4‬ر) = ل(‪)3 ، 4‬‬ ‫ومنه ر = ‪3‬‬ ‫‪012‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫نشاط ‪:‬‬ ‫‪ )1‬جد قيمة كل من ‪:‬‬ ‫‪4‬ﻻ ‪4‬ﻻ‬ ‫ل (‪= ) 1 ، 4‬‬ ‫= =‪6‬‬ ‫(‪)1-4‬ﻻ ‪4‬ﻻ‬ ‫‪3‬ﻻ ‪3‬ﻻ‬ ‫= =‪6‬‬ ‫ل (‪= ) 1 ، 3‬‬ ‫(‪)1-3‬ﻻ ‪3‬ﻻ‬ ‫‪5‬ﻻ ‪5‬ﻻ‬ ‫= =‪6‬‬ ‫ل (‪= ) 1 ، 5‬‬ ‫(‪)1-5‬ﻻ ‪5‬ﻻ‬ ‫جد قيمة كل من ‪:‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪4‬ﻻ ‪3×4‬ﻻ‬ ‫‪4‬ﻻ‬ ‫ل(‪= ) 6 ، 4‬‬ ‫= = =‪4‬‬ ‫(‪)6 - 4‬ﻻ ‪3‬ﻻ ‪3‬ﻻ‬ ‫‪3‬ﻻ ‪2×3‬ﻻ‬ ‫‪3‬ﻻ‬ ‫= = =‪3‬‬ ‫ل(‪= ) 6 ‘ 3‬‬ ‫(‪)6 - 3‬ﻻ ‪2‬ﻻ ‪2‬ﻻ‬ ‫‪5‬ﻻ ‪5‬ﻻ ‪4×5‬ﻻ‬ ‫ل(‪= ) 6 ، 5‬‬ ‫= = =‪5‬‬ ‫(‪)6-5‬ﻻ ‪4‬ﻻ ‪4‬ﻻ‬ ‫جد قيمة كل من ‪:‬‬ ‫‪)3‬‬ ‫‪4‬ﻻ ‪4‬ﻻ‬ ‫‪4‬ﻻ‬ ‫ل( ‪)4 - 4( = ) 4 ‘ 4‬ﻻ = ‪1‬ﻻ = ‪4 = 6‬ﻻ = ‪24 = 6×2×3×4‬‬ ‫‪3‬ﻻ ‪3‬ﻻ‬ ‫‪3‬ﻻ‬ ‫ل(‪)3 - 3( = ) 3 ، 3‬ﻻ = ‪1‬ﻻ = ‪3 = 6‬ﻻ = ‪1 =6×2×3‬‬ ‫= ‪5‬ﻻ = ‪621 = 6×2×3×4×5‬‬ ‫‪5‬ﻻ ‪5‬ﻻ‬ ‫‪5‬ﻻ‬ ‫= ‪1‬ﻻ = ‪6‬‬ ‫ل(‪=)5 ، 5‬‬ ‫(‪)5-5‬ﻻ‬ ‫‪017‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫سؤال إضافي‬ ‫جد قيمة (ن) التي تحقق المعادلة ل(ن ‪ 4 = )3 ،‬ل(ن ‪)2 ،‬‬ ‫ن×(ن‪(×)6-‬ن‪×4 = )2-‬ن×(ن‪ )6-‬نقسم على ن(ن‪)6-‬‬ ‫ن – ‪ 4 = 2‬ومنه ن = ‪1‬‬ ‫سؤال إضافي‬ ‫ماهوعدد التباديل الثلاثية المأخوذة من مجموعة سداسية ‪:‬‬ ‫الحل ‪ :‬ل(‪621 = 4×5×1 = ) 3 ، 1‬‬ ‫سؤال إضافي‬ ‫إذا كان ‪2‬ل(‪ ، 1‬ر ) = ‪ ، 11‬فجد قيمة ر‬ ‫نقسم على ‪ 2‬فيكون ل(‪ ، 1‬ر ) = ‪ 31‬ومنه ل(‪ ، 1‬ر ) = ‪5×1‬‬ ‫ل(‪ ، 1‬ر ) = ل( ‪ ) 2 ، 1‬ومنه ر = ‪2‬‬ ‫سؤال إضافي‬ ‫ما عدد تباديل مجموعة عدد عناصرها (‪ )5‬مأخوذة (‪ )3‬من العناصر في كل مرة ؟‬ ‫د) ‪3×5‬‬ ‫‪5‬ﻻ‬ ‫‪5‬ﻻ‬ ‫‪5‬ﻻ‬ ‫ج)‬ ‫ب)‬ ‫أ)‬ ‫‪3‬ﻻ‬ ‫‪3‬ﻻ‪2‬ﻻ‬ ‫‪2‬ﻻ‬ ‫‪51‬‬ ‫=‬ ‫‪1×7×8‬‬ ‫=‬ ‫جد قيمة مايلي ‪ :‬ل(‪)3 ، 8‬‬ ‫سؤال إضافي‬ ‫‪2×3‬‬ ‫‪3‬ﻻ‬ ‫سؤال إضافي جد قيمة مايلي ‪3 :‬ل(‪ ، 1‬ر ) = ‪ ، 91‬فما قيمة ر ؟‬ ‫نقسم الطرفين على ‪3‬‬ ‫ل(‪ ، 1‬ر ) = ‪ 31‬ومنه ل(‪ ، 1‬ر) = ‪5×1‬‬ ‫ل(‪ ، 1‬ر) = ل(‪ )2 ، 1‬ومنه ر = ‪2‬‬ ‫‪001‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫سؤال وزاري ‪ 8102‬منهاج جديد‬ ‫كم عدد مكون من منزلتين يمكن تكوينه من مجموعة الأرقام} ‪ {8 ، 0 ، 5‬إذا لم يسمح بتكرار الأرقام ؟‬ ‫د) ‪8×7×5‬‬ ‫ج) ( ‪)23‬‬ ‫ب) ل(‪)2 ، 3‬‬ ‫أ) ‪3×3‬‬ ‫سؤال وزاري ‪ 8102‬منهاج قديم‬ ‫بكم طريقة يمكن اختيار رئيس ونائب الرئيس من مجموعة تتكون من (‪ )5‬أفراد ؟‬ ‫د ) ‪5‬ﻻ × ‪4‬ﻻ‬ ‫ج) ل(‪)2 ، 5‬‬ ‫ب‪) 5( -‬‬ ‫أ) ‪5‬ﻻ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪000‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫صفحة ‪233‬‬ ‫حل الأسئلة‬ ‫‪ )1‬ما عدد تباديل مجموعة مكونة من ‪ 9‬عناصر مأخوذة ‪ 5‬في كل مرة ؟‬ ‫ل(‪65621 = 5×1×7×8×9 = ) 5 ، 9‬‬ ‫‪ )2‬بكم طريقة يمكن اختيار رئيس قسم ‪ ،‬ومساعد له ‪ ،‬وامين عهدة من بين ‪ 9‬أعضاء في القسم شريطة أن لا يشغل‬ ‫أحدهم وظيفتين معا ؟‬ ‫ل(‪514 = 7 × 8 × 9 = ) 3 ، 9‬‬ ‫‪ )3‬جد قيمة كل مما ياتي ‪:‬‬ ‫أ) ل( ‪331 = 1 × 7 × 8 = ) 3 ، 8‬‬ ‫‪63‬ﻻ ‪63‬ﻻ‬ ‫ب)ل( ‪ 4×5×1×7×8×9×61×66×62× 63 = ) 61 ، 63‬أو =‬ ‫(‪)61 - 63‬ﻻ ‪3‬ﻻ‬ ‫ج) ل(‪1841 = 68×69×21 = ) 3 ، 21‬‬ ‫د) ل( ‪6 = )1 ، 67‬‬ ‫‪ )1‬عبر عما ياتي باستخدام التباديل ‪:‬‬ ‫أ) ‪ = 63×64×65×61×67‬ل(‪)5 ، 67‬‬ ‫ب)ك × ( ك ‪(×)6-‬ك ‪ ،) 2-‬ك ‪3 ‬‬ ‫ك×(ك‪()6-‬ك‪ =)2-‬ل(ك ‪) 3 ،‬‬ ‫‪ )5‬جد قيمة كل من (ن) ‪ ،‬و (ر) في ما ياتي ‪:‬‬ ‫أ) ل(ن ‪721 = )3 ،‬‬ ‫ومنه ن = ‪61‬‬ ‫ن(ن‪()6-‬ن‪8×9×61 = )2-‬‬ ‫‪1 311‬‬ ‫ب)ل(‪ ، 1‬ر) = ‪311‬‬ ‫‪5 11‬‬ ‫‪1 12‬‬ ‫ل ( ‪ ، 1‬ر ) = ‪3×4×5×1‬‬ ‫‪33‬‬ ‫ل(‪ ، 1‬ر ) = ل ( ‪ ) 4 ، 1‬ومنه ر = ‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫جـ) ل(ن ‪ 9 = ) 3 ،‬ل( ن ‪)2 ،‬‬ ‫ن×(ن – ‪(×)6‬ن – ‪ ×9 = ) 2‬ن ×(ن – ‪ )6‬نقسم على ن(ن‪)6-‬‬ ‫ن – ‪ 9 = 2‬ومنه ن = ‪66‬‬ ‫‪ )1‬كم كلمة مكونة من ‪ 3‬أحرف مختلفة يمكن تكوينها من مجموعة الاحرف‬ ‫} أ ‪ ،‬ن ‪ ،‬ق ‪ ،‬غ ‪ ،‬م { ‪ ،‬علما بأنه ليس شرطا أن يكون للكلمة معنى ؟‬ ‫الحل‪ :‬ل( ‪11 = 3 × 4 × 5 = ) 3 ، 5‬‬ ‫‪008‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫اختبر نفسك‬ ‫‪ )1‬ما قيمة كل مما ياتي ‪:‬‬ ‫أ) ل(‪)6 ، 21‬‬ ‫ب) ل(‪) 8 ، 8‬‬ ‫ج) ل(‪)1 ، 9‬‬ ‫د)ل(‪)2 ، 1‬‬ ‫ب) ل(ن ‪ 9 = )3 ،‬ل(ن ‪)2 ،‬‬ ‫‪ )2‬جد قيمة (ن) التي تحقق كل مما يلي ‪:‬‬ ‫أ)ل(ن ‪72 = ) 2 ،‬‬ ‫‪ )3‬بكم طريقة يمكن اختيار مديرة ومساعدة مديرة وسكرتيرة ومحاسبة وقيمة مختبر من بين (‪ )11‬معلمات ؟‬ ‫‪ )1‬ما عدد تباديل مجموعة عدد عناصرها (‪ )9‬مأخوذة (‪ )3‬من العناصر في كل مرة ؟‬ ‫‪ )5‬بكم طريقة يمكن أن يجلس (‪ )5‬طلاب على (‪ )3‬مقاعد موضوعة في صف واحد ؟‬ ‫‪ )1‬بكم طريقة يمكن اختيار رئيس لجنة ونائب رئيس وأمين سر من مجموعة مكونة من ‪ 0‬طلاب ؟‬ ‫‪ )0‬بكم طريقة مختلفة يمكن اختيار لجنة مكونة من مدير ونائب له وأمين سر من بين (‪ )5‬مرشحين ؟‬ ‫د)‪121‬‬ ‫ج) ‪11‬‬ ‫ب) ‪11‬‬ ‫أ)‪1‬‬ ‫‪003‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫التوافيق‬ ‫ثالثاً ‪:‬‬ ‫شرح مبدأ التوافيق من خلال مثال ‪:‬‬ ‫ضمن تصفيات كرة القدم لأمم آسيا ‪ ،‬ضمت المجموعة الأولى فرق الدول الآتية ‪ :‬الأردن ‪ ،‬السعودية ‪ ،‬اليابان ‪ ،‬العراق ‪ ،‬بكم‬ ‫طريقة يمكن إجراء مباريات التصفية النهائية بين هذه الفرق ؟‬ ‫إن مباريات التصفية على الشكل التالي ‪:‬‬ ‫(الأردن ‪ ،‬السعودية ) ‪ ( ،‬الأردن ‪ ،‬اليابان) ‪ ( ،‬الأردن ‪ ،‬العراق ) ‪ ( ،‬السعودية ‪ ،‬اليابان) ‪( ،‬السعودية ‪ ،‬العراق ) ‪،‬‬ ‫( اليابان ‪ ،‬العراق ) ‪،‬‬ ‫نلاحظ أن عدد المباريات هو ‪ : 1‬وان الترتيب هنا غير مهم فمثلا مباراة ( الأردن ‪ ،‬السعودية) هي نفسها‬ ‫مباراة ( السعودية ‪ ،‬الأردن )‬ ‫لذلك نسمي اختيار مجموعة جزئية (مثل المباريات ) عدد عناصرها (ر) من مجموعة (مثل عدد الفرق ) عدد عناصرها (ن)‬ ‫توفيقا حيث يكون الترتيب غير مهم‬ ‫وتقرأ ‪ ( :‬ن فوق ر) حيث ‪:‬‬ ‫ن‬ ‫ونرمز للتوفيق بالرمز ‪:‬‬ ‫ر‬ ‫ن‬ ‫ر)‬ ‫ل(ن ‪،‬‬ ‫=‬ ‫نﻆ‬ ‫=‬ ‫ر‬ ‫رﻆ‬ ‫رﻆ(ن‪)6-‬ﻆ‬ ‫صفحة ‪231‬‬ ‫مثال الكتاب ‪1‬‬ ‫جد قيمة كل مما ياتي ‪:‬‬ ‫=‪1‬‬ ‫‪3×4‬‬ ‫=‬ ‫ل(‪)2 ، 4‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪)6‬‬ ‫‪6×2‬‬ ‫‪2‬ﻆ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪621‬‬ ‫=‬ ‫‪5×1×7×8×9‬‬ ‫=‬ ‫=ل(‪،59‬ﻆ ‪)5‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪6×2×3×4×5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪65‬‬ ‫=‬ ‫‪0×4×5×1‬‬ ‫=‬ ‫ل(‪)4 ، 1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪)3‬‬ ‫‪6×2×3×4‬‬ ‫‪4‬ﻆ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪005‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫صفحة ‪235‬‬ ‫تدريب الكتاب ‪1‬‬ ‫جد قيمة كل مما يأتي ‪:‬‬ ‫‪31‬‬ ‫=‬ ‫‪3×4×5×1×7×8×9‬‬ ‫=‬ ‫ل(‪)7 ، 9‬‬ ‫=‬ ‫‪9‬‬ ‫‪)6‬‬ ‫‪6×2×3×4 ×5×1×7‬‬ ‫‪7‬ﻆ‬ ‫‪7‬‬ ‫= ‪51‬‬ ‫‪4×5×1×7×8‬‬ ‫=‬ ‫ل(‪)5 ، 8‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪6×2×3×4×5‬‬ ‫‪5‬ﻆ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪61‬‬ ‫=‬ ‫‪4×5‬‬ ‫=‬ ‫ل(‪)2 ، 5‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪)3‬‬ ‫‪6×2‬‬ ‫‪2‬ﻆ‬ ‫‪82‬‬ ‫نشاط ‪:‬‬ ‫جد قيمة مايلي ‪:‬‬ ‫=‪6‬‬ ‫‪8‬ﻆ‬ ‫=‬ ‫ل(‪)8 ، 8‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫‪)6‬‬ ‫‪8‬ﻆ‬ ‫‪8‬ﻆ‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫ل(‪)6 ، 5‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪6‬ﻆ‬ ‫‪6‬ﻆ‬ ‫‪6‬‬ ‫=‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫ل(‪)1 ، 4‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪)3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬ﻆ‬ ‫‪1‬‬ ‫ملاحظة هامة جدًا ‪:‬‬ ‫نستخدم التوافيق عندما يكون الترتيب غير مهم مثل اختيار لجنة أو مجموعة او فريق دون تحديد مناصب معينة وكذلك عندما‬ ‫يطلب الإجابة على عدد من الأسئلة من مجموعة من الأسئلة وكذلك عند تحديد عدد مباريات التصفيات التي تجمع عدد من‬ ‫الفرق أو اللاعبين‬ ‫‪000‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫صفحة ‪235‬‬ ‫مثال الكتاب ‪2‬‬ ‫امتحان للغة العربية يتكون من ‪ 0‬أسئلة ‪ ،‬جد عدد طرائق اختيار ‪ 5‬أسئلة للإجابة عنها ؟‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫بما أن الترتيب غير مهم لذلك نستخدم التوافيق‬ ‫طريقة‬ ‫‪26‬‬ ‫=‬ ‫‪3×4×5×1×7‬‬ ‫=‬ ‫ل(‪)5 ، 7‬‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫عدد الطرائق=‬ ‫‪6×2×3×4×5‬‬ ‫‪5‬ﻆ‬ ‫‪5‬‬ ‫= ‪ 26‬طريقة‬ ‫‪5×1×7‬ﻆ‬ ‫=‬ ‫‪7‬ﻆ‬ ‫=‬ ‫طريقة ثانية ‪:‬‬ ‫‪5‬ﻆ×‪2‬ﻆ‬ ‫‪5‬ﻆ(‪)5-7‬ﻆ‬ ‫صفحة ‪231‬‬ ‫مثال الكتاب ‪3‬‬ ‫في إحدى مديريات التربية والتعليم يراد اختيار لجنة رباعية تتولى إعداد خطة استعدادا لبدء العام الدراسي ‪ ،‬من بين ‪ 0‬رؤساء‬ ‫أقسام ‪ ،‬و‪ 8‬أعضاء أقسام ‪ ،‬بكم طريقة يمكن تكوين اللجنة في الحالات الآتية ‪:‬‬ ‫‪ )1‬اللجنة تتكون من ‪ 3‬رؤساء أقسام وعضو واحد‬ ‫‪ )2‬اللجنة تتكون من عضوين اثنين على الأقل‬ ‫‪ )3‬رئيس اللجنة يجب أن يكون رئيس قسم ‪ ،‬والبقية من الأعضاء‬ ‫‪ )1‬لا تضم اللجنة أي عضو من أعضاء الأقسام‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪35‬‬ ‫=‬ ‫‪5×1×7‬‬ ‫=‬ ‫ل(‪)3 ، 7‬‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ 3‬رؤساء أقسام =‬ ‫اختيار‬ ‫طرائق‬ ‫عدد‬ ‫‪)6‬‬ ‫‪1×2×3‬‬ ‫‪3‬ﻆ‬ ‫‪3‬‬ ‫اختيار‬ ‫طرائق‬ ‫عدد‬ ‫‪8‬‬ ‫طرائق‬ ‫=‪8‬‬ ‫ل(‪)6 ، 8‬‬ ‫=‬ ‫عضو واحد ‪6‬‬ ‫‪6‬ﻆ‬ ‫عدد طرائق اختيار اللجنة = ‪ 281 = 8 × 35‬طريقة‬ ‫ملاحظة هامة ‪ :‬نستخدم إشارة (×) عند وجود حرف ( و) بين أعضاء اللجنة كأن يقال ‪ 3‬رؤساء أقسام(و) عضو واحد أما إذا‬ ‫ذكر ( أو ) فإننا نستخدم إشارة ( ‪) +‬‬ ‫‪ )2‬بما أن اللجنة تتكون من عضوين اثنين على الأقل فإن هناك عدة حالات للجنة ‪:‬‬ ‫اللجنة تتكون من عضوين اثنين(و) رئيسي قسمين (أو) من ثلاثة أعضاء (و)رئيس قسم واحد (أو) من أربعة‬ ‫أعضاء فقط ومن دون رؤساء أقسام‬ ‫‪006‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫‪7‬‬ ‫×‬ ‫‪8‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪7‬‬ ‫×‬ ‫‪8‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪7‬‬ ‫×‬ ‫‪8‬‬ ‫عدد طرائق اختيار اللجنة =‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪ 6151 = 6×71 × 7× 51 + 26× 28‬طريقة‬ ‫‪ )3‬عدد طرائق اختيار رئيس اللجنة = ‪ 0‬طرائق (حسب مبدأ العد) وباستخدام التوافيق يعطي نفس النتيجة‬ ‫‪8‬‬ ‫= ‪ 392 = 51 × 7‬طريقة‬ ‫‪3‬‬ ‫عدد طرائق اختيار اللجنة = ‪× 7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ )1‬تتألف اللجنة جميعها من رؤساء الأقسام ‪ ،‬فيكون عدد طرائق اختيار اللجنة ‪ 35 = 4 :‬طريقة‬ ‫صفحة ‪230‬‬ ‫تدريب الكتاب ‪2‬‬ ‫في أحد المستشفيات يراد اختيار فريق طبي خماسي لتمثيل المستشفى في مؤتمر صحي ‪ ،‬من بين ‪ 5‬أطباء ‪ ،‬و ‪ 1‬ممرضين ‪،‬‬ ‫بكم طريقة يمكن تكوين الفريق في الحالات الآتية ‪:‬‬ ‫‪ )1‬الفريق يتألف من طبيبين اثنين على الأكثر‬ ‫‪ )2‬رئيس الفريق ونائبه من الأطباء ‪ ،‬والبقية ممرضون‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪ )1‬بما أن الفريق يتألف من طبيبين على الأكثر فإننا نميز الحالات التالية ‪:‬‬ ‫اللجنة تتكون من طبيبين اثنين (و)ثلاثة ممرضين (أو) من طبيب واحد (و) أربعة ممرضين (أو) خمسة ممرضين‬ ‫(و)من دون أطباء‬ ‫‪1‬‬ ‫‪×5‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪×5‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫×‬ ‫‪5‬‬ ‫عدد طرائق اختيار اللجنة =‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪ 286=1+75+211 = 1×6+65×5+21×61‬طريقة‬ ‫‪ )2‬عدد طرائق اختيار رئيس الفريق ونائبه = ل(‪21 = 4 × 5 = ) 2 ، 5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪21‬‬ ‫‪3‬‬ ‫عدد طرائق اختيار ‪ 3‬ممرضين من ‪= 1‬‬ ‫عدد طرائق اختيار الفريق = ‪ 41 = 21 + 21‬طريقة‬ ‫‪ Y 1‬ر‪ Y‬ن‬ ‫حيث ن ‪ ،‬ر عددان طبيعيان‬ ‫ن‬ ‫=‬ ‫ن‬ ‫قاعدة للحفظ ‪:‬‬ ‫ن‪ -‬ر‬ ‫ر‬ ‫‪005‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫للتاكد من هذه القاعدة نحل هذا المثال ‪:‬‬ ‫= ‪51‬‬ ‫‪1×7×8‬‬ ‫=‬ ‫ل(‪)3 ، 8‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2×3‬‬ ‫‪3‬ﻆ‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪51‬‬ ‫‪4×5×1×7×8‬‬ ‫=‬ ‫‪)5‬‬ ‫ل(‪، 8‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6×2×3×4×5‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬ﻆ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3 -8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫نلاحظ من هذا‬ ‫المثال أن ‪3 :‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ن‬ ‫‪ ،‬ن =ن‬ ‫ن‬ ‫وكذلك ‪:‬‬ ‫‪ ،‬ن =‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6= 1‬‬ ‫صفحة ‪230‬‬ ‫مثال الكتاب ‪4‬‬ ‫ك‬ ‫=‬ ‫ك‬ ‫‪)2‬‬ ‫حل كلا من المعادلتين الآتيتين ‪:‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪74‬‬ ‫‪7 = 7 )6‬‬ ‫‪3‬ك‬ ‫فإن ‪ – 7‬ك = ‪ 3‬ومنه ك = ‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪ B‬ك =‪ ، 3‬ك =‪4‬‬ ‫‪ -7‬ك‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ )6‬ك = ‪3‬‬ ‫أو ‪ :‬حسب القاعدة‬ ‫فإن ك – ‪ 4 = 5‬ومنه ك = ‪9‬‬ ‫ك‬ ‫=‬ ‫ك‬ ‫‪ )2‬حسب القاعدة ‪:‬‬ ‫ك‪5-‬‬ ‫‪74‬‬ ‫تدريب كتاب ‪ 3‬صفحة ‪230‬‬ ‫حل كل معادلة مما يأتي ‪:‬‬ ‫ومنه س = ‪3‬‬ ‫س‪4 = 6+‬‬ ‫ومنه‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪)6‬‬ ‫س‪6+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫أو س‪ 4 – 1 = 6+‬ومنه س‪ 2 = 6+‬ومنه س =‪6 = 6-2‬‬ ‫‪002‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫ومنه س – ‪ 5 = 7‬ومنه‬ ‫س‬ ‫س=‬ ‫‪ )2‬س = س‬ ‫س = ‪62 = 7 + 5‬‬ ‫س‪7-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪75‬‬ ‫سؤال إضافي‬ ‫فإن قيمة (ن) تساوي ‪:‬‬ ‫ن‬ ‫=‬ ‫ن‬ ‫إذا كان‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫أ)‪ 3‬ب)‪ 5‬ج) ‪ 8‬د)‪65‬‬ ‫ن – ‪ 3 = 5‬ومنه ن = ‪8 = 5 + 3‬‬ ‫سؤال إضافي‬ ‫بكم طريقة يمكن اختيار (‪ )3‬معلمين وطالبين لتشكيل لجنة في إحدى المدارس من بين (‪ )5‬معلمين ‪ ،‬و(‪ )8‬طلاب ؟‬ ‫الحل ‪ :‬بما أنه لم تحدد مناصب معينة للمعلمين والطلاب نستخدم التوافيق‬ ‫= ‪ 38 = 28+61‬طريقة‬ ‫‪)2‬‬ ‫ل(‪، 8‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ل(‪)3 ، 5‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫‪×5‬‬ ‫طرائق اختيار اللجنة =‬ ‫‪2‬ﻆ‬ ‫‪3‬ﻆ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫سؤال إضافي ‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫جد قيمة (ن) إذا علمت أن ‪ :‬نﻆ = ل(‪+ )2 ، 5‬‬ ‫= ‪24 = 4 + 4×5‬‬ ‫ل(‪)6 ، 4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4×5‬‬ ‫=‬ ‫نﻆ‬ ‫‪6‬ﻆ‬ ‫نﻆ = ‪4 = 6×2×3×4‬ﻆ ومنه ن = ‪4‬‬ ‫سؤال إضافي‬ ‫بكم طريقة يمكن اختيار ثلاثة طلاب من بين (‪ )11‬طلاب لتشكيل لجنة للمشاركة في إحدى المؤتمرات ؟‬ ‫د)‪61‬ﻆ‬ ‫‪61‬‬ ‫ج)‬ ‫ب)‪3‬ﻆ‬ ‫أ)ل(‪) 3، 61‬‬ ‫‪3‬‬ ‫سؤال إضافي‬ ‫‪9‬‬ ‫=‬ ‫‪9‬‬ ‫حل المعادلة الآتية ‪:‬‬ ‫س‬ ‫‪2‬‬ ‫س = ‪ 2‬أو ‪ – 9‬س = ‪ 2‬ومنه ‪ + 2 = 9‬س ومنه س =‪7‬‬ ‫‪ B‬س =‪ ، 2‬س = ‪7‬‬ ‫‪007‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫تساوي ‪:‬‬ ‫جد قيمة ‪1‬‬ ‫سؤال إضافي‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬ﻆ‬ ‫‪1‬ﻆ‬ ‫‪2‬ﻆ‬ ‫د)‬ ‫ل(‪)2 ، 1‬‬ ‫ج)‬ ‫‪4‬ﻆ‬ ‫ب)‬ ‫ل(‪)2 ، 1‬‬ ‫أ)‬ ‫‪2‬ﻆ‬ ‫‪1‬ﻆ‬ ‫‪6×2×3‬‬ ‫×‬ ‫‪3×4×5×1×7‬‬ ‫× ‪3‬ﻆ =‬ ‫ل(‪)5 ، 7‬‬ ‫=‬ ‫ﻆ‬ ‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫‪7‬‬ ‫جد قيمة ‪:‬‬ ‫سؤال إضافي‬ ‫‪6×2×3×4×5‬‬ ‫‪5‬ﻆ‬ ‫‪5‬‬ ‫= ‪621 = 1 × 26‬‬ ‫سؤال إضافي بكم طريقة يمكن اختيار (‪)1‬طلاب و(‪)3‬طالبات لتشكيل لجنة في إحدى الكليات من بين‬ ‫(‪ )11‬طلاب و(‪ )5‬طالبات ؟‬ ‫د) ل(‪×)3،61‬ل(‪)4،5‬‬ ‫ج) ل(‪ ×)4،61‬ل(‪)3،5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ب) ‪61‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪61‬‬ ‫أ)‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫عدد توافيق (‪ )1‬عناصر مأخوذة (‪ )3‬عناصر في كل مرة تساوي ‪:‬‬ ‫سؤال إضافي‬ ‫‪1‬‬ ‫د)‬ ‫ج)‪3‬ﻆ×‪1‬ﻆ‬ ‫ب) ‪3×1‬‬ ‫أ) ل(‪)3 ،1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫سؤال إضافي‬ ‫بكم طريقة يمكن إجراء مباريات التصفية النهائية لكرة القدم بين أربعة فرق رياضية‬ ‫الحل ‪ :‬بما ان الترتيب غير مهم والتصفية النهائية تكون بين فريقين فإن ‪:‬‬ ‫طرائق‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪3×4‬‬ ‫=‬ ‫ل(‪)2 ، 4‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6×2‬‬ ‫‪2‬ﻆ‬ ‫‪2‬‬ ‫سؤال إضافي حل المعادلات الآتية ‪:‬‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬س‬ ‫‪2‬س = ‪ 1‬نقسم الطرفين على ‪ 2‬ومنه س = ‪3‬‬ ‫وكذلك ‪2 = 8‬س ‪ 1 +‬ومنه ‪2 = 2‬س ومنه س= ‪6‬‬ ‫‪ B‬س=‪ ، 3‬س=‪6‬‬ ‫سؤال وزاري ‪ 8102‬منهاج جديد‬ ‫حيث ن عدد صحيح موجب‬ ‫ن) (‬ ‫‪ )6‬حل المعادلة التالية ‪ :‬ل(ن ‪ 4 × 4 = )3 ،‬ﻻ‬ ‫× ‪4‬ﻻ‬ ‫ل(ن ‪)4 ،‬‬ ‫ل(ن ‪4 = )3 ،‬ﻆ‬ ‫ل(ن ‪ = ) 3 ،‬ل (ن ‪) 4 ،‬‬ ‫‪081‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫ن (ن‪()6-‬ن‪ = )2-‬ن(ن‪()6-‬ن‪()2-‬ن‪)3-‬‬ ‫‪ = 6‬ن – ‪ 3‬ومنه ن = ‪4‬‬ ‫‪ )2‬مجموعة مكونة من خمسة رجال وأربع نساء ‪ ،‬بكم طريقة يمكن تكوين لجنة رباعية منهم بحيث يكون فيها رجلان‬ ‫على الأقل ؟‬ ‫رجلان و واثنتان من النساء أو ثلاثة رجال وواحدة من النساء أو أربعة رجال ودون نساء‬ ‫)‪615 =5+41+11 = 6×5 + 4 ×61 + 1×61 = ( 41)( 45)+( 64)( 35)+ ( 42)( 52‬‬ ‫سؤال وزاري ‪ 8102‬منهاج قديم‬ ‫‪( )5‬‬ ‫‪ )6‬قيمة ‪ 3‬تساوي ‪:‬‬ ‫‪ )3‬ﻆ×‪0‬ﻆ‬ ‫أ)ل(‪3-5‬ﻆ‪ )3‬ﻆ‬ ‫ل(‪)3 ، 5‬‬ ‫د)‬ ‫ل(‪)3 ، 5‬‬ ‫ج)‬ ‫‪5‬ﻆ‬ ‫‪-‬‬ ‫ب) (‪5‬‬ ‫‪3‬ﻆ‬ ‫‪5‬ﻆ‬ ‫نقسم على ن(ن‪)6-‬‬ ‫‪ )2‬حل المعادلة الآتية ‪:‬‬ ‫ل(ن ‪ 5 = )3 ،‬ل(ن ‪( )4 × )2 ،‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ل(‪)3 ، 4‬ﻆ‬ ‫ن(ن‪()6-‬ن‪ 5 = )2-‬ن(ن‪3 × )6-‬ﻆ‬ ‫ومنه ن = ‪22 = 2 + 21‬‬ ‫‪21‬‬ ‫=‬ ‫‪2×3×4‬‬ ‫‪×5‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫ن‪-‬‬ ‫‪2×3‬‬ ‫‪ )3‬بكم طريقة يمكن اختيار (‪ )4‬معلمين وطالبين اثنين لتشكيل لجنة من بين (‪)1‬معلمين و(‪)9‬‬ ‫طلاب ؟‬ ‫= ‪541 = 31 × 65‬‬ ‫‪8×9‬‬ ‫×‬ ‫‪3×4×5×1‬‬ ‫=‬ ‫ل(‪)2 ، 9‬‬ ‫×‬ ‫ل(‪)4 ، 1‬‬ ‫=‬ ‫‪9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6×2‬‬ ‫‪6×2×3 ×4‬‬ ‫‪2‬ﻆ‬ ‫‪4‬ﻆ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪×4‬‬ ‫‪080‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫صفحة ‪238‬‬ ‫حل الأسئلة‬ ‫‪ )1‬جد قيمة كل مما يأتي ‪:‬‬ ‫‪616711‬‬ ‫=‬ ‫‪98×99×611‬‬ ‫=‬ ‫‪)3‬‬ ‫ل(‪، 611‬‬ ‫=‬ ‫‪611‬‬ ‫=‬ ‫‪611‬‬ ‫=‬ ‫‪611‬‬ ‫أ)‬ ‫‪6×2×3‬‬ ‫‪3‬ﻆ‬ ‫‪97-611‬‬ ‫‪97‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪616711‬‬ ‫=‬ ‫‪ 97 ×98×99×611‬ﻆ‬ ‫=‬ ‫‪ 611‬ﻆ‬ ‫=‬ ‫‪611‬‬ ‫طريقة ثانية ‪:‬‬ ‫‪ 97‬ﻆ×‪2×0‬‬ ‫‪97‬ﻆ×‪ 0‬ﻆ‬ ‫‪97‬‬ ‫لكن أنا أفضل الطريقة الأولى دائما بالحل لأنها أسهل‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬ﻆ‬ ‫=‬ ‫ل(‪)5،5‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫ب)‬ ‫‪5‬ﻆ‬ ‫‪5‬ﻆ‬ ‫‪5‬‬ ‫=‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫ل(‪)1 ، 4‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫جـ )‬ ‫‪1‬ﻆ‬ ‫‪1‬ﻆ‬ ‫‪1‬‬ ‫=‪4‬‬ ‫ل(‪)6 ، 4‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫د)‬ ‫‪6‬ﻆ‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ )2‬جد عدد طرائق اختيار قلمين من علبة تحوي ‪ 11‬أقلام ؟‬ ‫طريقة‬ ‫‪45‬‬ ‫=‬ ‫‪9 × 61‬‬ ‫=‬ ‫‪)2‬‬ ‫ل(‪، 61‬‬ ‫=‬ ‫‪61‬‬ ‫‪6×2‬‬ ‫‪2‬ﻆ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ )3‬عائلة تتألف من ‪ 5‬أولاد و ‪ 3‬بنات ‪ ،‬يراد تكليف ‪ 3‬منهم بتنظيف الحديقة ‪ ،‬فبكم طريقة يمكن اختيارهم ‪ ،‬بحيث ‪:‬‬ ‫أ) يوجد بنتان على الاقل ضمن الفريق‬ ‫ب)لا يوجد أي بنت في الفريق‬ ‫جـ) يكون رئيس الفريق من البنات‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫أ) في حال يوجد بنتان على الأقل نميز الحالات التالية ‪:‬‬ ‫بنتان (و) ولد ( أو) ثلاثة بنات (و) دون أولاد‬ ‫‪5‬‬ ‫×‬ ‫‪6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫×‬ ‫ل(‪)2 ، 3‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪×3+ 5‬‬ ‫‪×3‬‬ ‫طرائق اختيار الفريق =‬ ‫‪2‬ﻆ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪ 61 = 6 + 5×3‬طريقة‬ ‫‪088‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫ب) أي الفريق مكون من ثلاثة أولاد( و ) من دون بنات أي ‪:‬‬ ‫طرائق‬ ‫‪61‬‬ ‫=‬ ‫‪3×4×5‬‬ ‫‪=6‬‬ ‫×‬ ‫ل(‪)3 ، 5‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫‪5‬‬ ‫طرائق اختيار الفريق =‬ ‫‪6×2×3‬‬ ‫‪3‬ﻆ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫جـ) يكون رئيس الفريق من البنات ‪:‬‬ ‫= ‪26‬‬ ‫‪1×7‬‬ ‫=‬ ‫ل(‪)2 ، 7‬‬ ‫=‬ ‫طرائق اختيار رئيس الفريق من البنات = ‪3‬‬ ‫‪6×2‬‬ ‫‪2‬ﻆ‬ ‫‪7‬‬ ‫طرائق اختيار عضوين من ‪ ( 0‬بنتين و خمس أولاد ) =‬ ‫‪2‬‬ ‫عدد طرائق اختيار الفريق = ‪13 = 26 × 3‬‬ ‫‪ )1‬حل كل معادلة مما يأتي ‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫أ)‬ ‫‪2‬س = ‪ 6‬ومنه س = ‪2‬‬ ‫= ‪2‬س‬ ‫‪6‬‬ ‫وكذلك ‪2‬س =‪ 6-3‬ومنه ‪2‬س = ‪ 2‬نقسم على ‪ 2‬فيكون س = ‪6‬‬ ‫‪ ،‬س=‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫س‬ ‫‪B‬‬ ‫‪2‬‬ ‫س‬ ‫س‬ ‫ومنه‬ ‫‪26‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫ب)‬ ‫س ‪ 5 = 26-‬ومنه‬ ‫س = ‪21 = 5 + 26‬‬ ‫‪ B‬س = ‪21‬‬ ‫‪083‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫اختبر نفسك‬ ‫‪ )1‬مجموعة مكونة من (‪ )8‬معلمين و (‪ )1‬إداريين ‪ ،‬جد عدد الطرق التي يمكن بها تكوين‬ ‫لجنة ثلاثية بحيث تتكون من معلم واحد على الأقل ؟‬ ‫يساوي ‪:‬‬ ‫ن‬ ‫‪ )2‬إذا كان ل ( ن ‪ ، 11 = ) 3 ،‬فإن‬ ‫‪3‬‬ ‫د) ‪61‬‬ ‫ج) ‪21‬‬ ‫ب) ‪681‬‬ ‫أ) ‪311‬‬ ‫سس‬ ‫‪ )3‬قيمة س التي تحقق المعادلة ‪ 5 = 2‬هي ‪:‬‬ ‫ب)‪ 5‬ج) ‪ 8‬د) ‪3‬‬ ‫أ)‪2‬‬ ‫‪ )1‬بكم طريقة يمكن اختيار كتابين من بين سبعة كتب مختلفة ؟‬ ‫ج) ‪ 64‬د) ‪7‬‬ ‫ب) ‪26‬‬ ‫أ) ‪42‬‬ ‫هي ‪:‬‬ ‫‪62‬‬ ‫=‬ ‫‪62‬‬ ‫‪ )5‬مجموعة كل قيم س التي تحقق المعادلة‬ ‫‪8‬‬ ‫س‬ ‫د)}‪{62 ، 8 ، 4‬‬ ‫ج) } ‪{8 ، 4‬‬ ‫ب )}‪{8‬‬ ‫أ)}‪{4‬‬ ‫‪ ،‬فما قيمة ن ؟‬ ‫ل(ن ‪)2 ،‬‬ ‫=‬ ‫ن‬ ‫‪ )1‬إذا كان‬ ‫‪3‬ﻆ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ )0‬جد قيمة ن التي تحقق المعادلة ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫(ن‪)6-‬ﻆ = ل( ‪× ) 3 ، 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ )8‬جد قيمة (قيم س) في المعادلة ‪9 = 9‬‬ ‫‪3‬س ‪1‬‬ ‫‪ )9‬مجموعة من (‪ )1‬معلمين و(‪ )5‬إداريين ‪ ،‬جد عدد الطرق التي يمكن بها تكوين لجنة رباعية منهم‬ ‫بحيث يكون رئيس اللجنة إداريا ونائبه معلما ؟‬ ‫‪085‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫الفصل الثاني المتغير العشوائي المنفصل وتوزيع ذي الحدين‬ ‫المتغير العشوائي المنفصل وتوزيع ذي الحدين‬ ‫أولاً ‪:‬‬ ‫الفضاء العيني ‪ :‬هو جميع النتائج الممكنة للتجربة العشوائية ونرمز له بالرمز † (أوميغا)‬ ‫مثال ‪ :‬الفضاء العيني لتجربة رمي قطعة نقد معدنية مرة واحدة هو مجموعة كل النواتج الممكنة أي ‪:‬‬ ‫† = } صورة ‪ ،‬كتابة {‬ ‫) مرة واحدة هو مجموعة النواتج الممكنة أي ‪:‬‬ ‫مثال ‪ :‬الفضاء العيني في تجربة رمي حجر النرد(‬ ‫† = }‪{ 1 ،5 ،4 ،3 ، 2، 6‬‬ ‫المتغير العشوائي ‪ :‬هو اقتران معرف من الفضاء العيني † إلى مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية ح ‪ ،‬بحيث تستخدم‬ ‫الرموز س ‪ ،‬ص ‪ ،‬ع … للدلالة على المتغيرات العشوائية‬ ‫المتغير العشوائي المنفصل ‪ :‬هو المتغير العشوائي الذي يأخذ قيم تكون مجموعة معدودة مثال على المتغيرات العشوائية‬ ‫المنفصلة ‪ :‬عدد الاطفال في أسرة هي مجموعة معدودة‬ ‫وكذلك إلقاء قطعة نقد معدنية مرتين هي مجموعة معدودة وغيرها‬ ‫صفحة ‪211‬‬ ‫مثال الكتاب ‪1‬‬ ‫إذا دل المتغير العشوائي س على عدد الاطفال الذكور في تجربة اختيار عشوائي لعائلة لديها ‪ 3‬أطفال ‪ ،‬ودونت النتائج بحسب‬ ‫الجنس وتسلسل الولادة ‪ ،‬فجد القيم التي قد يأخذها المتغير العشوائي س‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫نوجد الفضاء العيني لهذه التجربة ‪ ،‬وعدد الاطفال من كل ناتج ‪:‬‬ ‫عدد الاطفال الذكور‬ ‫عناصر الفضاء العيني‬ ‫‪3‬‬ ‫(ووو)‬ ‫‪2‬‬ ‫(ووب)‬ ‫‪2‬‬ ‫(وبو)‬ ‫‪2‬‬ ‫(بوو)‬ ‫‪6‬‬ ‫(وبب)‬ ‫‪6‬‬ ‫(بوب)‬ ‫‪6‬‬ ‫(ببو)‬ ‫‪1‬‬ ‫(ببب)‬ ‫المتغير العشوائي س يأخذ القيم ‪ { 3 ، 2 ، 1 ، 1 }:‬وهي قيم معدودة ومنتهية لذا يسمى س متغيرا عشوائيا منفصلا‬ ‫‪080‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫حساب احتمال القيم (ل) التي يأخذها المتغير العشوائي (س) ‪ :‬من المثال السابق ‪:‬‬ ‫وتعني احتمال (ل) وجود ‪ 3‬أولاد (س=‪ )3‬هو(‪ )6‬من (‪)8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫و‬ ‫و‬ ‫ل(و‬ ‫=‬ ‫ل(س=‪)3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫(‪)8‬‬ ‫من‬ ‫(‪)3‬‬ ‫هو‬ ‫احتمال وجود ولدين‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫و)‬ ‫و‬ ‫و)‪(+‬ب‬ ‫ب‬ ‫ل(و‬ ‫‪+‬‬ ‫ب)‬ ‫و‬ ‫ل(و‬ ‫ل(س=‪=)2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫من‬ ‫ولد واحد هو(‪)6‬‬ ‫احتمال وجود‬ ‫‪3‬‬ ‫و)=‬ ‫ب‬ ‫ب)‪+‬ل(ب‬ ‫و‬ ‫ب)‪+‬ل(ب‬ ‫ب‬ ‫ل(و‬ ‫ل(س=‪=)6‬‬ ‫‪8‬‬ ‫احتمال عدم وجود ولد هو (‪ )6‬من ( ‪)8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫ب)‬ ‫ب‬ ‫ل(ب‬ ‫ل(س=‪=)1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫يمكن ترتيب هذه النتائج بطريقتين ‪:‬‬ ‫الطريقة الأولى ‪ :‬على شكل أزواج مرتبة تسمى التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي س ‪:‬‬ ‫){‬ ‫‪6‬‬ ‫‪،‬‬ ‫(‪3‬‬ ‫‪،‬‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‬ ‫‪،‬‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪6‬‬ ‫(‬ ‫‪،‬‬ ‫)‬ ‫‪6‬‬ ‫‪،‬‬ ‫}(‪1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫الطريقة الثانية ‪ :‬على شكل جدول نسميه جدول التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي س ‪:‬‬ ‫‪3 2 61‬‬ ‫س‬ ‫ل(سر) ‪6 3 3 6‬‬ ‫‪8 8 88‬‬ ‫نلاحظ من الجدول مايلي ‪:‬‬ ‫‪ -6‬ل(سر) ‪ X‬صفر ‪ ،‬ر=‪… 3 ، 2 ، 6 ، 1‬ن‬ ‫=‪6‬‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫‪68+‬‬ ‫‪83+‬‬ ‫‪83+‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪:‬‬ ‫حيث‬ ‫‪ z -2‬ل(سر) = ‪، 6‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫بوجود النتيجتين السابقتين نسمي ل اقتران احتمال للمتغير العشوائي س‬ ‫صفحة ‪211‬‬ ‫تدريب الكتاب ‪1‬‬ ‫في تجربة إلقاء قطعتي نقد مرة واحدة ‪ ،‬دل المتغير العشوائي ع على عدد مرات ظهور كتابة على الوجه الظاهر ‪:‬‬ ‫‪ -1‬جد القيم التي يمكن أن يأخذها المتغير العشوائي ع‬ ‫‪ -2‬اكتب جدول التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي ع‬ ‫‪ -3‬بين أن ل هو اقتران احتمال للمتغير العشوائي ع‬ ‫‪086‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫الحل ‪ - 1 :‬نرمز للصورة بالرمز (ص) وللكتابة بالرمز (ك)‬ ‫نكتب الفضاء العيني ‪(} = † :‬ص ‪ ،‬ص ) ‪( ،‬ص ‪ ،‬ك ) ‪ ( ،‬ك ‪ ،‬ص ) ‪ ( ،‬ك ‪ ،‬ك){‬ ‫‪{2 ، 6 ، 1 } = U‬‬ ‫‪ - 2‬لإيجاد جدول التوزيع الاحتمالي نحسب أولا احتمال القيم للمتغير العشوائي ع ‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ل(ع=‪ = )1‬ل(ص ‪ ،‬ص) =‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫ص‬ ‫‪،‬‬ ‫ك‬ ‫ل(‬ ‫‪+‬‬ ‫ك)‬ ‫‪،‬‬ ‫ل(ص‬ ‫=‬ ‫ل(ع=‪)6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫ك‬ ‫‪،‬‬ ‫ل(ك‬ ‫=‬ ‫‪)2‬‬ ‫=‬ ‫ل(ع‬ ‫‪4‬‬ ‫ع‪2 6 1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ل(ع ر )‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ -3‬بما أن ‪ :‬ل (ع ر ) ‪ X‬صفر وكذلك ‪ z‬ل(ع ر )= ‪ 6‬فإن ل هو اقتران احتمال للمتغير العشوائي ع‬ ‫صفحة ‪211‬‬ ‫مثال الكتاب ‪2‬‬ ‫إذا كان التوزيع الاحتمالي للمتغير س معطى كما في الجدول الآتي ‪ ،‬فما قيمة الثابت أ ؟‬ ‫‪2 61‬‬ ‫س‬ ‫‪ 1.6 1.3‬أ‬ ‫ل(سر)‬ ‫‪ z‬ل(سر) = ‪ + 1.6 + 1.3‬أ = ‪ 6‬ومنه ‪ + 1.4‬أ = ‪ 6‬ومنه أ = ‪1.1‬‬ ‫صفحة ‪212‬‬ ‫تدريب الكتاب ‪2‬‬ ‫إذا كان التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي س معطى في المجموعة ‪:‬‬ ‫}(‪3 ،3 ( ، )1.6 ، 2 ( ، )1.3 ، 6 ( ، )1.2 ، 1‬ب ){ ‪ ،‬فما قيمة الثابت ب ؟‬ ‫‪ z‬ل(سر) = ‪3 + 1.6 + 1.3 + 1.2‬ب = ‪ 6‬ومنه‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪1.4‬‬ ‫=‬ ‫ب‬ ‫ومنه‬ ‫‪1.4‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬ب‬ ‫ومنه‬ ‫‪3 + 1.1‬ب = ‪6‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪085‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫توزيع ذي الحدين ‪:‬‬ ‫تجربة ذات الحدين ‪:‬‬ ‫هي تجربة يتم تكرارها (ن) من المرات المستقلة حيث يطلق على كل مرة محاولة ‪ ،‬وكان احتمال النجاح ثابت في جميع‬ ‫المحاولات ‪ ،‬هذا النوع من التجارب يسمى توزيع ذات الحدين‬ ‫شروط تجربة ذات الحدين ‪:‬‬ ‫‪)1‬تجربة عشوائية تتكون من (ن) من المحاولات المتماثلة (مثل إطلاق صياد(‪ )5‬رصاصات باتجاه هدف )‬ ‫‪)2‬كل محاولة تصنف نتيجتها إلى نجاح أو فشل (إصابة الهدف نجاح وعدم إصابته فشل)‬ ‫‪)3‬جميع المحاولات مستقلة عن بعضها ( الفشل في إصابة الهدف في المرة الاولى لا يؤثر على احتمال النجاح في إصابة‬ ‫الهدف في المرة الثانية )‬ ‫‪ )1‬احتمال النجاح أي ظهور النتيجة المرغوب فيها ثابت في كل محاولة ( مثلا احتمال ظهور الصورة في تجربة إلقاء قطعة‬ ‫النقد مرة واحدة هو ‪ :‬أ = ‪) 105‬‬ ‫حيث ر ‪ … ، 2 ، 6 ، 1} J‬ن {‬ ‫قانون احتمال النجاح في (ر) من المحاولات ‪:‬‬ ‫ن‬ ‫ل(س= ر) = ر (أ)ر(‪ – 6‬أ)ن‪ -‬ر‬ ‫ن ‪ :‬عدد مرات إجراء التجربة ‪ ،‬أ ‪ :‬احتمال النجاح في المحاولة الواحدة‬ ‫س متغير عشواثي ذا حدين معاملاه ‪ :‬ن ‪ ،‬أ أي أن ‪:‬‬ ‫س ‪ :‬عدد مرات النجاح من ( ن) محاولة مستقلة ومتماثلة‬ ‫صفحة ‪212‬‬ ‫مثال الكتاب‬ ‫أطلق صياد (‪)5‬رصاصات نحو هدف ‪ ،‬فإذا كان احتمال اصابته الهدف في كل مرة ثابتا ‪ ،‬ويساوي ‪ ، 108‬فما احتمال أن‬ ‫يصيب الصياد الهدف ‪ 3‬مرات ؟‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫عدد مرات إجراء التجربة ‪ :‬ن = ‪5‬‬ ‫احتمال النجاح في كل محاولة ثابت ‪ :‬أ = ‪108‬‬ ‫‪082‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫احتمال نجاح الصياد في إصابة الهدف ‪ :‬ر= ‪3‬‬ ‫(‪1.21≈1.14×1.562×61 = 3-5)1.8 – 6(3)1.8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ل(س = ‪=)3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫صفحة ‪213‬‬ ‫مثال الكتاب ‪3‬‬ ‫إذا كان س متغيرا عشوائيا ذا حدين ‪ ،‬ومعاملاه ‪ :‬ن = ‪ ، 3‬أ = ‪ ، 101‬فجد كلا مما يأتي ‪:‬‬ ‫‪)3‬ل(س < ‪) 2‬‬ ‫‪)2‬ل(س‪)6X‬‬ ‫‪)6‬ل(س=‪)2‬‬ ‫‪1.288 = 1.1×1.61×3 = 2-3)1.4 – 6(2)1.4( 3‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ )6‬ل(س= ‪=)2‬‬ ‫‪ )2‬ل(س‪ = )6X‬ل(س=‪ + )6‬ل(س=‪ + )2‬ل(س=‪)3‬‬ ‫لكن ‪ z‬ل(سر) = ‪ 6‬أي أن‬ ‫ل(س=‪ + )1‬ل(س=‪ +)6‬ل(س=‪ + )2‬ل(س=‪ 6 = )3‬ومنه‬ ‫ل(س=‪ + )6‬ل(س=‪ + )2‬ل(س=‪ – 6 = )3‬ل(س=‪ ) 1‬نعوض في المعادلة السابقة‬ ‫‪1-3)1.4‬‬ ‫–‬ ‫(‪6(1)1.4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ل(س‪ – 6 = )6X‬ل(س=‪- 6 = )1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‪1.784 = ) 1.261×6×6( - 6‬‬ ‫‪ )3‬ل( س < ‪ = )2‬ل(س = ‪ + ) 6‬ل (س=‪)1‬‬ ‫(‪3)1.4- 6(1)1.4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪+ 2)1.4- 6(6)1.4( 3‬‬ ‫‪16‬‬ ‫= ‪1.148 = 1.261×6×6 + 1.31×1.4×3‬‬ ‫صفحة ‪213‬‬ ‫تدريب الكتاب ‪3‬‬ ‫إذا كان س متغيرا عشوائيا ذا حدين ‪ ،‬ومعاملاه ‪ :‬ن= ‪ ، 1‬أ = ‪ ، 100‬فجد كلا مما يأتي ‪:‬‬ ‫‪ )6‬ل ( س = ‪)5‬‬ ‫‪ )2‬ل( س ‪) 4 X‬‬ ‫‪ )3‬ل ( س ‪)2 Y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫= ‪1.31 ≈1.3×1.61817×1‬‬ ‫(‪5-1)1.7 – 6(5)1.7‬‬ ‫‪ -6‬ل(س= ‪= )5‬‬ ‫‪ -2‬ل( س ‪ = ) 4 X‬ل(س = ‪ + )4‬ل( س= ‪ + )5‬ل ( س = ‪)1‬‬ ‫‪087‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫(‪1-1)1.7 – 6(1)1.7‬‬ ‫‪1 + 5-1)1.7 – 6(5)1.7( 1 + 4-1)1.7 – 6(4)1.7( 1‬‬ ‫=‬ ‫‪1 54‬‬ ‫= ‪= 6×1.66714×6+1.3×1.61817×1 + 1.19×1.2416×65‬‬ ‫= ‪1.717 = 1.66714 +1.32521+1.3246‬‬ ‫‪ -3‬ل ( س ‪ = )2 Y‬ل(س = ‪ + )2‬ل( س= ‪ + ) 6‬ل(س =‪)1‬‬ ‫‪1-1)1.7 – 6(1)1.7( 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+ 6-1)1.7 – 6(6)1.7( 6‬‬ ‫‪+ 2-1)1.7 – 6(2)1.7( 2‬‬ ‫= ‪= 1.111729×6×6 +1.11243×1.7×1+1.1186×1.49×65‬‬ ‫= ‪1.17147 = 1.111729 +1.161211 + 1.159535‬‬ ‫صفحة ‪211‬‬ ‫مثال الكتاب ‪4‬‬ ‫إذا كان س متغيرا عشوائيا ذا حدين ‪ ،‬ومعاملاه ‪ :‬ن = ‪ ، 3‬أ = ‪ ، 103‬فجد كلا مما يأتي ‪:‬‬ ‫‪ )1‬قيم س‬ ‫‪ )2‬جدول التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪ )6‬قيم س = } ‪{ 3 ، 2 ، 6 ، 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ )2‬ل(س=‪1.343 = 1.343×6×6 = 1-3)1.3 – 6(1)1.3( 1 =)1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ل(س = ‪1.446 = 1.49×1.3×3 = 6-3)1.3 – 6(6)1.3( 6 = )6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ل(س = ‪1.689= 1.7×1.19×3 = 2-3)1.3 – 6(2)1.3( 2 = )2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ل(س = ‪1.127=6×1.127×6 = 3-3)1.3 – 6(3)1.3( 3 = )3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪1‬‬ ‫س‬ ‫‪1.127‬‬ ‫‪1.689 1.446‬‬ ‫‪1.343‬‬ ‫ل(سر)‬ ‫للتاكد من صحة الحل يجب ان يكون ‪ z‬ل(سر) = ‪6‬‬ ‫‪ z‬ل(سر) = ‪ 6 = 1.127 + 11.689 + 1.446 + 1.343‬فالحل صحيح‬ ‫‪031‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫صفحة ‪211‬‬ ‫تدريب الكتاب ‪4‬‬ ‫غرس مزارع ‪ 0‬شتلات ‪ ،‬وكانت نسبة احتمال نجاح غرس الشتلة الواحدة هي ‪ %11‬ما احتمال نجاح غرس ‪ 3‬شتلات على‬ ‫الأقل‬ ‫‪ ،‬ر= ‪ ، 3‬قيم س = }‪{ 7 ، 1 ، 5 ، 4 ، 3 ، 2 ، 6، 1‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫ن = ‪ ، 7‬أ = ‪1.11‬‬ ‫المطلوب ل( س‪)3 X‬‬ ‫ل( س‪ = )3 X‬ل(س=‪ + )3‬ل(س=‪ + )4‬ل(س=‪ + ) 5‬ل (س=‪ + )1‬ل(س=‪)7‬‬ ‫ولكن ‪ z‬ل(سر) = ‪6‬‬ ‫ل( س‪( – 6 = )3 X‬ل (س=‪ + )1‬ل(س=‪ + )6‬ل(س=‪)2‬‬ ‫(‪)1.1 – 6(2)1.1‬‬ ‫‪777‬‬ ‫(‪-1)1.1 – 6(6)1.1‬‬ ‫(‪-7)1.1 – 6(1)1.1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‪-6‬‬ ‫= ‪1.16124×1.31×26 -1.114191×1.1×7-1.1161384×6×6 – 6‬‬ ‫= ‪1.91 ≈1.177464 – 1.1672132 – 1.1161384 – 6‬‬ ‫سؤال إضافي‬ ‫إذا كان التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المنفصل (س) معطى بالجدول التالي ‪:‬‬ ‫فإن قيمة (جـ ) تساوي ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪61‬‬ ‫س‬ ‫د) ‪1.4‬‬ ‫‪1.6‬‬ ‫‪1.3‬‬ ‫‪ 1.2‬جـ‬ ‫ل(س)‬ ‫ج) ‪1.3‬‬ ‫فإن ‪:‬‬ ‫ب) ‪1.2‬‬ ‫أ) ‪1.6‬‬ ‫الحل‪ :‬بما أن ‪ z‬ل(س ر) = ‪6‬‬ ‫‪ + 1.2‬جـ ‪ 6 = 1.6 + 1.3 +‬ومنه ‪ + 1.1‬جـ = ‪ 6‬ومنه جـ = ‪1.4‬‬ ‫سؤال إضافي‬ ‫إذا كان (س) متغيرا عشوائيا ذو الحدين ‪ ،‬معاملاته ن = ‪ ، 1‬أ = ‪ 103‬أوجد كلا مما يلي ‪:‬‬ ‫‪ )6‬ل(س=‪)2‬‬ ‫‪ )2‬ل( س ‪)3 X‬‬ ‫ن‬ ‫الحل ‪ :‬ل( س = ر) = ر (أ)ر(‪ – 6‬أ )ن ‪ -‬ر‬ ‫‪030‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫×‪2)1.7(×1.19‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫ل(‪، 4‬‬ ‫(‪= 2-4)1.3 -6(2)1.3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ل( س = ‪= ) 2‬‬ ‫‪2‬ﻆ‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪1.2141 =1.49 × 1.19 × 1‬‬ ‫ل(س ‪ = ) 3 X‬ل ( س =‪ + )3‬ل(س =‪)4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪+ 3-4)1.3 -6(3)1.3( 4‬‬ ‫=‬ ‫‪4-4)1.3 -6(4)1.3( 4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1.1837=1.1186‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1.1689×4‬‬ ‫=‬ ‫‪6×1.1186×6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫×‪1.7×1.127‬‬ ‫‪)3‬‬ ‫ل(‪، 4‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬ﻆ‬ ‫نن‬ ‫ن‬ ‫‪ ،‬ن = ‪6= 1‬‬ ‫تذكرة ‪ = 6 :‬ن‬ ‫سؤال إضافي‬ ‫إذا كان احتمال نجاح زراعة التفاح في منطقة جرش (‪ ، )108‬زرع شخص (‪ )3‬شجرات تفاح في حديقة بيته ‪ ،‬ما احتمال‬ ‫نجاح زراعتها جميعا ؟‬ ‫د) ‪1.24‬‬ ‫ج)(‪3)1.8‬‬ ‫ب) (‪2)1.2‬‬ ‫أ ) ‪1.2‬‬ ‫ن‬ ‫الحل ‪ :‬ل( س = ر) = ر (أ)ر(‪ – 6‬أ )ن – ر‬ ‫(‪3)1.8( = 6 × 3)1.8( × 6 = 1)1.8 – 6(3)1.8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ل(س= ‪= )3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫سؤال إضافي‬ ‫أجريت ثلاث عمليات جراحية في أحد المستشفيات الأردنية وكان احتمال نجاح العملية الواحدة يساوي ‪%81‬‬ ‫‪ )6‬إذا دل المتغير العشوائي س على عدد العمليات الجراحية الناجحة فاكتب قيم س الممكنة‬ ‫‪ )2‬ما احتمال نجاح عملية جراحية واحدة فقط ؟‬ ‫الحل ‪ :‬ن = ‪ ، 3‬أ = ‪1.8‬‬ ‫‪ )6‬س = } ‪{ 3 ، 2 ، 6 ، 1‬‬ ‫ن‬ ‫‪ )2‬ل( س = ر) = ر (أ)ر(‪ – 6‬أ )ن – ر‬ ‫ل( س = ‪1.191 = 1.14× 1.8 × 3 = 2) 1.8 – 6(6)1.8( 3 = ) 6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪038‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫سؤال إضافي‬ ‫إذا كان (س) متغيرا عشوائيا يخضع لتوزيع ذي الحدين حيث ن = ‪، 3‬‬ ‫‪ ،‬فجد قيمة أ ‪ ،‬س = } ‪{ 3 ، 2 ، 6 ، 1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫=‬ ‫‪)6‬‬ ‫‪X‬‬ ‫س‬ ‫(‬ ‫ل‬ ‫‪8‬‬ ‫ولكن ‪ z‬ل(س ر) = ‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫=‬ ‫ل(س=‪)3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫س=‬ ‫ل(‬ ‫‪+‬‬ ‫‪)6‬‬ ‫=‬ ‫ل(س‬ ‫=‬ ‫‪)6‬‬ ‫‪X‬‬ ‫س‬ ‫(‬ ‫ل‬ ‫‪8‬‬ ‫ل(س =‪ + )1‬ل ( س ‪6 = )6 X‬‬ ‫حيث ل( س = ر) = ن (أ)ر(‪ – 6‬أ )ن – ر‬ ‫=‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ل(س=‪)1‬‬ ‫ر‬ ‫‪8‬‬ ‫=‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪+‬‬ ‫أ)‪1-3‬‬ ‫–‬ ‫(أ)‪6(1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫ومنه (‪ – 6‬أ)‪3‬‬ ‫=‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪+‬‬ ‫أ)‪3‬‬ ‫–‬ ‫(‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫×‬ ‫‪6‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫نأخذ الجذر التكعيبي للطرفين‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫أ)‬ ‫–‬ ‫‪6‬‬ ‫(‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫أ‬ ‫ومنه‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫أ‬ ‫–‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫سؤال إضافي‬ ‫في تجربة رمي قطعة نقد مرتين إذا دل المتغير العشوائي (س) على عدد مرات ظهور الصورة ‪:‬‬ ‫‪ )1‬اكتب الفضاء العيني لهذه التجربة‬ ‫‪ )2‬اكتب جدول التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي (س)‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪( } = † )6‬ص ‪ ،‬ص ) ‪ ( ،‬ص ‪ ،‬ك ) ‪ ( ،‬ك ‪ ،‬ص) ‪ (،‬ك ‪ ،‬ك ) {‬ ‫‪ )2‬س= } ‪{ 2 ، 6 ، 1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫ك‬ ‫‪،‬‬ ‫(ك‬ ‫ل(س=‪=)1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫ص‬ ‫‪،‬‬ ‫ك‬ ‫(‬ ‫‪،‬‬ ‫)‬ ‫ك‬ ‫‪،‬‬ ‫(ص‬ ‫=‬ ‫‪)6‬‬ ‫=‬ ‫ل(س‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫ص‬ ‫‪،‬‬ ‫(ص‬ ‫)=‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫ل(س‬ ‫‪4‬‬ ‫‪261‬‬ ‫س‬ ‫ل(س) ‪6 2 6‬‬ ‫‪444‬‬ ‫‪033‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫سؤال إضافي‬ ‫إذا كان (س) متغيرا عشوائيا ذا الحدين معاملاه ن= ‪ ، 3‬أ = ‪، 103‬‬ ‫فجد ل( س < ‪) 2‬‬ ‫ن (أ)ر(‪ – 6‬أ )ن – ر‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫ر‬ ‫ل( س = ر) =‬ ‫ل(س < ‪ = ) 2‬ل(س=‪ + )6‬ل( س=‪)1‬‬ ‫‪33‬‬ ‫= ‪3)1.3 – 6(1)1.3( 1 + 2)1.3 – 6(6)1.3( 6‬‬ ‫= ‪1.784 = 1.343 + 1.446 = 1.343× 6 × 6 + 1.49× 1.3×3‬‬ ‫سؤال إضافي‬ ‫إذا دل المتغير العشوائي (س) على عدد الأطفال الذكور في تجربة اختيار عشوائي لعائلة لديها (‪ )3‬أطفال وتسجيل‬ ‫النتائج حسب الجنس وتسلسل الولادة ‪ ،‬فإن القيم الممكنة للمتغير العشوائي (س) هي ‪:‬‬ ‫د) ‪2 ، 6 ، 1‬‬ ‫ج) ‪2 ، 6‬‬ ‫ب)‪3،2،6،1‬‬ ‫أ)‪3 ،2 ،6‬‬ ‫سؤال إضافي‬ ‫إذا كان احتمال أن يصيب شخص ما هدفا في كل طلقة يطلقها على الهدف يساوي (‪ )101‬فإذا أطلق ( ‪ ) 1‬طللقات على‬ ‫الهدف ‪ ،‬فما احتمال أن يصيب الهدف مرة واحدة على الأقل‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫ن = ‪ ، 4‬أ = ‪ ، 1.1‬س = } ‪{ 4 ، 3 ، 2 ، 6 ، 1‬‬ ‫ل( س ‪ = ) 6 X‬ل( س= ‪ + ) 6‬ل ( س= ‪ + ) 2‬ل (س = ‪ + ) 3‬ل ( س = ‪)4‬‬ ‫ولكن ‪ z‬ل( س ر) = ‪6‬‬ ‫ن (أ)ر(‪ – 6‬أ )ن – ر‬ ‫حيث ل( س = ر) =‬ ‫ل(س = ‪ + )1‬ل ( س ‪6 = ) 6 X‬‬ ‫ر‬ ‫ل ( س ‪ – 6 = ) 6 X‬ل (س =‪) 1‬‬ ‫(‪4) 1.1 – 6(1)1.1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‪- 6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪1.9744=1.1251×6×6 – 6‬‬ ‫‪035‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫سؤال وزاري ‪ 8102‬منهاج جديد‬ ‫‪)1‬إذا كان التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي ع معطى بالجدول المجاور ‪ ،‬فما قيمة الثابت جـ ؟‬ ‫‪32 6 1‬‬ ‫ج) ‪ 1.18‬د) ‪ 1.2‬س‬ ‫أ)‪ 1.8‬ب) ‪1.12‬‬ ‫ل(س) ‪ 1.4 1.3‬جـ ‪1.6‬‬ ‫‪ + 1.4+ 1.3‬جـ ‪ 6 = 1.6 +‬ومنه جـ = ‪1.2‬‬ ‫‪)2‬يحتوي صندوق على (‪ )5‬كرات حمراء و(‪)3‬كرات بيضاء ‪ ،‬سحبت من الصندوق كرتان على التوالي مع الإرجاع‬ ‫بطريقة عشوائية ‪ ،‬إذا دل المتغير العشوائي ع على عدد الكرات الحمراء المسحوبة ‪ ،‬فاكتب جدول التوزيع الاحتمالي‬ ‫للمتغير العشوائي ع‬ ‫حيث ل( س = ر) = ن (أ)ر(‪ – 6‬أ )ن – ر‬ ‫قيم س = } ‪{ 2 ، 6 ، 1‬‬ ‫ر‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫أ‬ ‫‪،‬‬ ‫ن=‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫=‬ ‫‪9‬‬ ‫×‬ ‫‪6‬‬ ‫×‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫–‬ ‫)‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫–‬ ‫)‪6(1‬‬ ‫(‪58‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ل(س = ‪= )1‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ل(س = ‪= )6‬‬ ‫‪31‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫‪5‬‬ ‫‪×2‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫–‬ ‫)‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫–‬ ‫)‪6(6‬‬ ‫(‪58‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪25‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫×‬ ‫‪25‬‬ ‫‪×6‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫–‬ ‫)‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫–‬ ‫)‪6(2‬‬ ‫(‪58‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ل(س = ‪= )2‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪261‬‬ ‫س‬ ‫ل(س) ‪25 31 9‬‬ ‫‪14 14 14‬‬ ‫سؤال وزاري ‪ 8102‬منهاج قديم‬ ‫إذا التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي (ع) معطى بالمجموعة الآتية ‪:‬‬ ‫} (‪ ، 2( ، )1.4 ، 6( ، )1.2 ، 1‬ب) { ‪ ،‬فما قيمة الثابت ب ؟‬ ‫د) ‪1.11‬‬ ‫ج) ‪1.1‬‬ ‫ب)‪1.4‬‬ ‫أ) ‪1.14‬‬ ‫سؤال وزاري ‪ 8102‬منهاج قديم‬ ‫إذا كان س متغيرا عشوائيا ذا الحدين ‪ ،‬معاملاه ن = ‪ ، 2‬أ = ‪ 109‬فاكتب جدول التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي س‬ ‫الحل ‪ :‬قيم س = } ‪{ 2 ، 6 ، 1‬‬ ‫‪030‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫‪2‬‬ ‫ل(س=‪1.16 = 1.16×6×6 = 1-2)1.9 – 6(1)1.9( 1 =)1‬‬ ‫ل(س = ‪1.68 = 1.6×1.9×2 = 6-2)1.9 – 6(6)1.9( 2 = )6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ل(س = ‪1.86= 6×1.86×6 = 2-2)1.9 – 6(2)1.9( = )2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪261‬‬ ‫س‬ ‫ل(س) ‪1.86 1.68 1.16‬‬ ‫‪036‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫صفحة ‪215‬‬ ‫حل الأسئلة‬ ‫‪ )1‬إذا دل المتغير س على مجموع العددين الظاهرين في تجربة إلقاء حجري نرد ‪ ،‬وملاحظة الرقمين على الوجهين‬ ‫الظاهرين ‪ ،‬فأجب عما يأتي ‪:‬‬ ‫أ) جد القيم التي يمكن أن يأخذها المتغير العشوائي س‬ ‫ب)اكتب جدول التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي س‬ ‫ج)بين أن ل هو اقتران احتمال‬ ‫مجموع الرقمين‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫الظاهرين( س)‬ ‫الفضاء العيني †‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(‪)6 ،6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫(‪)6 ،2( ،)2 ،6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫(‪)2،2( ، )6 ،3( ،)3 ،6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‪)6 ،4( ،)4 ،6( ،)2 ،3( ،)3 ،2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫(‪)6 ،5( ،)5 ،6(، )3 ،3( ،)2 ،4( ،)4 ،2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫(‪)2 ،5( ،)5 ،2( ،)3 ،4( ،)4 ،3( ، )6 ،1( ،)1 ،6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫(‪)4 ،4( ،)3 ،5( ،)5 ،3( ،)2 ،1( ،)1 ،2‬‬ ‫‪61‬‬ ‫(‪)4 ،5( ،)5 ،4( ،)3 ،1( ،)1 ،3‬‬ ‫‪66‬‬ ‫(‪)5 ،5( ،)4 ،1( ،)1 ،4‬‬ ‫(‪)5 ،1( ،)1 ،5‬‬ ‫(‪)1،1‬‬ ‫قيم س = } ‪{ 62 ، 66 ، 61، 9، 8، 7 ، 1، 5، 4، 3 ، 2‬‬ ‫عدد عناصر ن = ‪31‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪)6‬‬ ‫(‪،6‬‬ ‫ل(س=‪=)2‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪)6‬‬ ‫(‪،2‬‬ ‫‪،)2‬‬ ‫(‪،6‬‬ ‫(س=‪=)3‬‬ ‫ل‬ ‫‪31‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫(‪)2،2‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪)6‬‬ ‫(‪،3‬‬ ‫‪،)3‬‬ ‫(‪،6‬‬ ‫=‬ ‫س=‪)4‬‬ ‫ل(‬ ‫‪31‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪)6‬‬ ‫(‪،4‬‬ ‫‪،)4‬‬ ‫(‪،6‬‬ ‫‪،)2‬‬ ‫(‪،3‬‬ ‫‪،)3‬‬ ‫(‪،2‬‬ ‫=‬ ‫‪)5‬‬ ‫ل(س=‬ ‫‪31‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪)6‬‬ ‫(‪،5‬‬ ‫‪،)5‬‬ ‫‪،6(،‬‬ ‫‪)3‬‬ ‫(‪،3‬‬ ‫‪،)2‬‬ ‫(‪،4‬‬ ‫‪،)4‬‬ ‫(‪،2‬‬ ‫‪=)1‬‬ ‫=‬ ‫ل(س‬ ‫‪31‬‬ ‫‪035‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪)2‬‬ ‫(‪،5‬‬ ‫‪،)5‬‬ ‫(‪،2‬‬ ‫‪،)3‬‬ ‫(‪،4‬‬ ‫‪،)4‬‬ ‫(‪،3‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪)6‬‬ ‫(‪،1‬‬ ‫‪،)1‬‬ ‫(‪،6‬‬ ‫ل(س=‪=)7‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪)4‬‬ ‫(‪،4‬‬ ‫‪،)3‬‬ ‫(‪،5‬‬ ‫‪،)5‬‬ ‫(‪،3‬‬ ‫‪،)2‬‬ ‫(‪،1‬‬ ‫‪،)1‬‬ ‫(‪،2‬‬ ‫=‬ ‫ل(س=‪)8‬‬ ‫‪31‬‬ ‫ل(س=‪341= )4 ،5( ،)5 ،4( ،)3 ،1( ،)1 ،3( =)9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪=)5‬‬ ‫(‪،5‬‬ ‫‪،)4‬‬ ‫(‪،1‬‬ ‫‪،)1‬‬ ‫(‪،4‬‬ ‫ل(س=‪=)61‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪)5‬‬ ‫(‪،1‬‬ ‫‪،)1‬‬ ‫(‪،5‬‬ ‫ل(س=‪=)66‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫(‪)1،1‬‬ ‫=‬ ‫ل(س=‪)62‬‬ ‫‪31‬‬ ‫جدول التوزيع الاحتمالي ‪:‬‬ ‫س ‪62 66 61 9 8 7 1 5 4 3 2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ل(س ر)‬ ‫‪31‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪31‬‬ ‫بما أن ل(س ر) ‪ X‬صفر‬ ‫وأن ‪ z‬ل(س ر) = ‪ 6‬فإن ل هو اقتران احتمال للمتغير العشوائي س‬ ‫‪ )2‬إذا كان التوزيع الاحتمالي للمتغير س معطى بالجدول الآتي ‪ ،‬فما قيمة الثابت ؟‬ ‫‪261‬‬ ‫س‬ ‫‪ 1.6 1.5‬أ ‪6 +‬‬ ‫ل (س )‬ ‫بما أن ‪ z‬ل(س ر) = ‪6‬‬ ‫‪ + 1.6 + 1.5‬أ ‪ 6 = 6 +‬ومنه‬ ‫‪ + 6.1‬أ = ‪ 6‬ومنه‬ ‫أ = ‪1.1 - = 6.1 – 6‬‬ ‫‪-3‬إذا كان س متغيرا عشوائيا ذا حدين ‪ ،‬ومعاملاه ‪ :‬ن = ‪ ، 1‬أ = ‪ ، 101‬فجد كلا مما يأتي ‪:‬‬ ‫– أ )ن ‪ -‬ر‬ ‫(أ)ر(‪6‬‬ ‫ن‬ ‫ل( س = ر) =‬ ‫أ) ل(س = ‪) 2‬‬ ‫ر‬ ‫ب)ل(س ‪) 4 X‬‬ ‫ج)ل (س‪) 6 Y‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪032‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫– ‪1.3451 = 2-4)1.1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6(2)1.1( 2‬‬ ‫ل(س=‪= )2‬‬ ‫‪1.6291=6×1.6291‬‬ ‫×‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪4-4)1.1 – 6(4)1.1( 4‬‬ ‫ل(س‪= )4 X‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ل(س= ‪= )4‬‬ ‫ل(س‪ =)6 Y‬ل(س =‪ + )6‬ل( س = ‪)1‬‬ ‫‪44‬‬ ‫= ‪1-4)1.1 – 6(1)1.1( 1 + 6-4)1.1 – 6(6)1.1( 6‬‬ ‫= ‪1.6792=1.1251×6×6 + 1.114× 1.1×4‬‬ ‫‪)4‬صندوق يحوي ‪ 8‬كرات ‪ 3 ،‬منها حمراء ‪ ،‬والبقية زرقاء اللون ‪ ،‬إذا سحبت من الصندوق ‪ 1‬كرات على التوالي مع‬ ‫الإرجاع ‪ ،‬ودل المتغير العشوائي س على عدد الكرات الحمراء المسحوبة ‪ ،‬فأنشئ جدول التوزيع الاحتمالي للمتغير‬ ‫العشوائي س‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫س = }‪ { 4 ، 3 ، 2 ، 6 ، 1‬فكرة مع الإرجاع أنني أسحب الكرة الأولى ثم أرجعها ثم أسحب الكرة الثانية ثم أرجعها وهكذا‬ ‫‪ ،‬حيث ‪ :‬ل( س = ر) = ن (أ)ر(‪ – 6‬أ )ن – ر‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫أ‬ ‫‪،‬‬ ‫ن=‪4‬‬ ‫ر‬ ‫‪8‬‬ ‫‪125‬‬ ‫=‬ ‫)‪4‬‬ ‫(‪85‬‬ ‫×‪×6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫)‪1-4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪-6(1‬‬ ‫(‪38‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ل(س = ‪=) 1‬‬ ‫‪4191‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6511‬‬ ‫=‬ ‫×‪566225‬‬ ‫‪62‬‬ ‫=‬ ‫×(‪3) 85‬‬ ‫‪83×4‬‬ ‫=‬ ‫)‪6-4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪-6(6‬‬ ‫(‪83‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ل(س = ‪=) 6‬‬ ‫‪4191‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‪2‬‬ ‫)‪58(×2‬‬ ‫×(‪38‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫ل(‪، 4‬‬ ‫)‪=2-4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪-6(2‬‬ ‫(‪38‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ل(س = ‪=) 2‬‬ ‫‪2‬ﻆ‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6351‬‬ ‫=‬ ‫‪25‬‬ ‫×‬ ‫‪9‬‬ ‫×‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪4191‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪14‬‬ ‫)‪6‬‬ ‫)‪58(×3‬‬ ‫×(‪83‬‬ ‫‪)3‬‬ ‫ل(‪، 4‬‬ ‫=‬ ‫)‪3-4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪-6(3‬‬ ‫(‪38‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ل(س = ‪=)3‬‬ ‫‪3‬ﻆ‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‪4514911‬‬ ‫‪5‬‬ ‫×‬ ‫×‪52672‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫‪86‬‬ ‫=‬ ‫×‪6‬‬ ‫‪86‬‬ ‫×‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫)‪4-4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪-6(4‬‬ ‫(‪38‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ل(س = ‪=)4‬‬ ‫‪4191‬‬ ‫‪4191‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫س‬ ‫ل(س ر)‬ ‫‪86‬‬ ‫‪541‬‬ ‫‪6351‬‬ ‫‪6511‬‬ ‫‪125‬‬ ‫‪4191‬‬ ‫‪4191‬‬ ‫‪4191‬‬ ‫‪4191‬‬ ‫‪4191‬‬ ‫‪037‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫اختبر نفسك‬ ‫‪ )1‬إذا كان س متغيرا عشوائيا ذا الحدين معاملاه ن = ‪ ، 2‬أ = ‪ ، 101‬اكتب جدول التوزيع الاحتمالي‬ ‫للمتغير العشوائي س‬ ‫‪ )2‬إذا كان التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي س معطى بالمجموعة ‪:‬‬ ‫}(‪ ، 4( ، )1.4 ، 3( ، ) 1.6 ،2 ( ، )1.2 ، 6‬ك ) { فإن قيمة ك تساوي‬ ‫د) ‪1.7‬‬ ‫ج) ‪1.5‬‬ ‫ب) ‪1.3‬‬ ‫أ) ‪1.2‬‬ ‫‪ )3‬إذا كان س متغيرا عشوائيا ذا الحدين معاملاه ن = ‪ ، 3‬أ = ‪ ، 101‬فجد ل ( س ‪) 2 X‬‬ ‫‪ )1‬في تجربة رمي قطعة نقد (‪ )3‬مرات متتالية ‪ ،‬إذا دل المتغير العشوائي س على مرات ظهور الكتابة ‪ ،‬اكتب جدول‬ ‫التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي س‬ ‫‪ )5‬زرع شخص شجرتين في حديقة منزله ‪ ،‬إذا دل المتغير العشوائي (س) على عدد الأشجار الناجحة وكان احتمال‬ ‫نجاح زراعة الشجرة الواحدة (‪ ، )108‬فأجب عما يأتي‬ ‫‪ )1‬اكتب قيم س‬ ‫‪ )2‬اكتب جدول التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي س‬ ‫‪ )1‬زرع شخص شجرتين في حديقة منزله ‪ ،‬إذا دل المتغير العشوائي (س) على عدد الأشجار الناجحة وكان احتمال‬ ‫نجاح زراعة الشجرة الواحدة ( ‪ ، )108‬فأجب عما يأتي‬ ‫‪ )1‬اكتب قيمة س‬ ‫‪ )2‬اكتب جدول التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي س‬ ‫‪ )0‬إذا كان احتمال نجاح عملية جراحية ‪ ، %81‬فما احتمال نجاح عمليتين على الأقل ‪ ،‬إذا أجريت ثلاث عمليات ؟‬ ‫‪051‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫العامة المعيارية‬ ‫ثانياً ‪:‬‬ ‫عند إجراء عملية المقارنة بين علامتين لطالبين في نفس المادة ولكن بشعبتين مختلفتين يجب أولا أن نراعي ظروف‬ ‫تحصيل كل طالب من حيث مستوى الأسئلة ومستوى تحصيل الشعبة ‪ ،‬ثم نحكم بعد ذلك أي العلامتين أفضل ‪،‬‬ ‫وللوصول إلى تلك المقارنة نقوم أولا بحساب مايسمى العلامة المعيارية‬ ‫ما هي العلامة المعيارية( زس )‪ :‬تتعلق العلامة المعيارية بثلاثة عناصر أساسية هي ‪:‬‬ ‫س ‪ :‬وتسمى المشاهدة أو العلامة الأصلية أو العلامة الخام أو الكتلة او الطول وغيرها‬ ‫س―‪ :‬المتوسط الحسابي وهو مجموع قيم المشاهدة أو العلامات الأصلية على عددها‬ ‫حيث ع ≠ صفرا‬ ‫‪-‬س―‬ ‫س‬ ‫زس‬ ‫ع ‪ :‬وهو الانحراف المعياري‬ ‫=‬ ‫قانون العلامة المعيارية ( زس )هو‬ ‫ع‬ ‫صفحة ‪211‬‬ ‫مثال الكتاب ‪1‬‬ ‫إذا كان المتوسط الحسابي لعلامات طلاب صف ما في مادة الرياضيات ‪ ، 01‬والانحراف المعياري للعلامات ‪ ، 1‬فجد‬ ‫العلامة المعيارية لعلامة كل من الطالب محمد الذي نال علامة ‪ ، 82‬والطالب يوسف الذي نال علامة ‪11‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫من نص المسألة نلاحظ ما يلي ‪ :‬س― = ‪ ، 71‬ع = ‪ ، 4‬س = ‪11 ، 82‬‬ ‫=‪3‬‬ ‫‪71 - 82‬‬ ‫ز‪= 82‬‬ ‫ومنه العلامة المعياري للطالب محمد‬ ‫س―‬ ‫‪-‬‬ ‫س‬ ‫زس‬ ‫‪4‬‬ ‫ع‬ ‫=‬ ‫ملاحظة ‪ :‬النتيجة (إشارة ‪ 3‬موجبة ) تعني ان العلامة ‪ 82‬تنحرف ثلاثة انحرافات معيارية فوق المتوسط الحسابي‬ ‫= ‪6-‬‬ ‫‪71 - 11‬‬ ‫ز‪= 82‬‬ ‫العلامة المعيارية للطالب يوسف هي ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ملاحظة ‪ :‬النتيجة ( إشارة ‪ 1-‬سالبة ) تعني أن العلامة ‪ 11‬تنحرف انحرافا معياريا واحدا تحت المتوسط الحسابي‬ ‫‪050‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫صفحة ‪210‬‬ ‫تدريب الكتاب ‪1‬‬ ‫تخضع كتل طلبة الصف الخامس الأساسي في إحدى المدارس لمتوسط حسابي مقداره ‪ 11‬كغ ولانحراف معياري مقداره‬ ‫‪ ، 1‬فإذا كانت كتلة أحد طلبة الصف ‪ 38‬كغ ‪ ،‬فجد العلامة المعيارية لكتلة هذا الطالب‬ ‫‪ ،‬ز‪ = 38‬؟‬ ‫‪ ،‬س = ‪38‬‬ ‫‪،‬ع=‪4‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫من المسألة نلاحظ ‪:‬س― = ‪ 41‬كغ‬ ‫= ‪1.5-‬‬ ‫‪41‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪38‬‬ ‫=‬ ‫ز‪38‬‬ ‫ومنه‬ ‫‪ -‬س―‬ ‫س‬ ‫زس‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫ع‬ ‫ملاحظة ‪ :‬النتيجة (إشارة ‪ 105-‬سالبة ) تعني أن الكتلة ‪ 38‬تنحرف نصف انحراف معياري تحت المتوسط الحسابي‬ ‫صفحة ‪210‬‬ ‫مثال الكتاب ‪2‬‬ ‫إذا علمت ان المتوسط الحسابي لعلامات طلبة في امتحان الفيزياء هو ‪ ، 11‬والانحراف المعياري هو ‪ 1‬فجد ‪:‬‬ ‫‪ )1‬العلامة التي تنحرف فوق المتوسط أربعة انحرافات معيارية‬ ‫‪ )2‬العلامة التي تنحرف تحت المتوسط بمقدار ‪205‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪ )6‬معنى العلامة تنحرف فوق المتوسط ) س―) أربعة انحرافات معيارية أي زس = ‪4‬‬ ‫والمطلوب إيجاد العلامة أي س ‪ ،‬لدينا س―= ‪ ، 11‬ع = ‪ ، 1‬زس = ‪4‬‬ ‫ومنه بالضرب التبادلي س – ‪24 = 11‬‬ ‫س ‪11 -‬‬ ‫ومنه ‪= 4‬‬ ‫س―‬ ‫‪-‬‬ ‫س‬ ‫زس‬ ‫‪1‬‬ ‫ع‬ ‫=‬ ‫زس = ‪2.5 -‬‬ ‫بمقدار ‪ 2.5‬أي‬ ‫ومنه س = ‪84 = 11 + 24‬‬ ‫‪ )2‬معنى العلامة تنحرف تحت المتوسط) س― (‬ ‫ومنه بالضرب التبادلي س – ‪65 - = 11‬‬ ‫‪11 -‬‬ ‫س‬ ‫=‬ ‫‪2.5-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ومنه س = ‪45 = 11 + 65-‬‬ ‫‪058‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫صفحة ‪218‬‬ ‫تدريب الكتاب ‪2‬‬ ‫جد قيمة المتوسط الحسابي لعلامات طلبة في مادة اللغة الانجليزية ‪ ،‬علما بأن الانحراف المعياري للعلامات ‪ ، 1‬وعلامة‬ ‫‪ 4‬انحراف معياري‬ ‫‪6‬‬ ‫هديل (‪)85‬تنحرف فوق هذا المتوسط بمقدار‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ ،‬ع = ‪ ، 4‬س = ‪ 85‬ز‪4.25 =85‬‬ ‫الحل ‪ :‬س― = ؟‬ ‫س―‬ ‫ومنه س― = ‪18‬‬ ‫‪ - 85‬س―= ‪67‬‬ ‫ومنه‬ ‫‪-‬‬ ‫‪85‬‬ ‫=‬ ‫‪4.25‬‬ ‫ومنه‬ ‫‪ -‬س―‬ ‫س‬ ‫زس‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫ع‬ ‫صفحة ‪218‬‬ ‫مثال الكتاب ‪3‬‬ ‫اعتمادا على الجدول الآتي ‪ ،‬أجب عن السؤالين الآتيين ‪:‬‬ ‫‪ )1‬في أي المبحثين كان تحصيل صفاء أفضل ؟‬ ‫‪ )2‬في أي المبحثين كان تحصيل مريم أضعف ؟‬ ‫علامة مريم‬ ‫المتوسط الحسابي الانحراف المعياري علامة صفاء‬ ‫‪72 18 4 11‬‬ ‫التاريخ‬ ‫‪83 73 5 78‬‬ ‫الجغرافيا‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪ )1‬نحسب ( زس ) للطالبة صفاء في مبحثي التاريخ والجغرافيا‬ ‫س―‬ ‫‪-‬‬ ‫س‬ ‫زس‬ ‫ع‬ ‫=‬ ‫= ‪ 2‬أي علامة التاريخ تنحرف ‪ 3‬إنحرافات معيارية فوق المتوسط الحسابي‬ ‫‪11‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪18‬‬ ‫=‬ ‫ز‪18‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= ‪ 6-‬أي علامة الجغرافيا تنحرف علامة واحدة تحت المتوسط الحسابي‬ ‫‪78‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪73‬‬ ‫ز‪=73‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ B‬تحصيل صفاء في مبحث التاريخ أفضل‬ ‫‪ )2‬نحسب زس للطالبة مريم في مبحثي التاريخ والجغرافيا‬ ‫= ‪ 3‬أي علامة التاريخ تنحرف ‪ 3‬إنحرافات معيارية فوق المتوسط الحسابي‬ ‫‪11 -‬‬ ‫‪72‬‬ ‫=‬ ‫ز‪72‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= ‪ 6‬أي علامة الجغرافيا تنحرف علامة واحدة فوق المتوسط الحسابي‬ ‫‪78‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪83‬‬ ‫=‬ ‫ز‪83‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪053‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫‪ B‬تحصيل مريم في مبحث الجغرافيا أضعف‬ ‫صفحة ‪219‬‬ ‫مثال الكتاب ‪4‬‬ ‫إذا كانت العلامتان المعياريتان ‪ )1-( ، 2‬تقابلان العلامتين ‪ 15 ، 81‬على الترتيب ‪ ،‬فجد قيمة المتوسط الحسابي ‪،‬‬ ‫والانحراف المعياري للعلامات الخام‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪ -‬س―‬ ‫س‬ ‫زس‬ ‫=‬ ‫ع‬ ‫…… (‪)6‬‬ ‫ومنه ‪2‬ع = ‪ - 81‬س―‬ ‫س―‬ ‫‪-‬‬ ‫‪81‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫ومنه‬ ‫س―‬ ‫‪-‬‬ ‫‪81‬‬ ‫=‬ ‫ز‪81‬‬ ‫……(‪)2‬‬ ‫ومنه ‪6-‬ع = ‪ - 15‬س―‬ ‫ع‬ ‫ع‬ ‫س―‬ ‫‪-‬‬ ‫‪15‬‬ ‫=‬ ‫‪6-‬‬ ‫ومنه‬ ‫س―‬ ‫‪-‬‬ ‫‪15‬‬ ‫=‬ ‫ز‪15‬‬ ‫ع‬ ‫ع‬ ‫بطرح المعادلة (‪ )2‬من المعادلة (‪ )1‬ينتج ‪:‬‬ ‫‪3‬ع = ‪ 65‬ومنه ع = ‪ 5‬بتعويض قيمة ع في إحدى المعادلتين ولتكن المعادلة (‪ )1‬ينتج ‪:‬‬ ‫ومنه س― = ‪71‬‬ ‫‪ - 81 = 5×2‬س―‬ ‫صفحة ‪251‬‬ ‫تدريب الكتاب ‪3‬‬ ‫إذا كانت المشاهدتان ‪ 02 ، 81‬تقابلان العلامتين المعياريتين ‪ )2- ( ، 1‬على الترتيب ‪ ،‬فجد العلامة المعيارية للمشاهدة ‪91‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫س―‬ ‫‪-‬‬ ‫س‬ ‫زس‬ ‫ع‬ ‫=‬ ‫ومنه ع = ‪ - 84‬س― ……… (‪)6‬‬ ‫س―‬ ‫‪-‬‬ ‫‪84‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫ومنه‬ ‫‪ -‬س―‬ ‫‪84‬‬ ‫=‬ ‫ز‪84‬‬ ‫ومنه ‪2-‬ع =‪ - 72‬س― ……… (‪)2‬‬ ‫ع‬ ‫ع‬ ‫س―‬ ‫‪-‬‬ ‫‪72‬‬ ‫=‬ ‫‪2-‬‬ ‫ومنه‬ ‫س―‬ ‫‪-‬‬ ‫‪72‬‬ ‫=‬ ‫ز‪72‬‬ ‫ع‬ ‫ع‬ ‫بطرح المعادلة (‪ )2‬من المعادلة (‪ )1‬ينتج ‪:‬‬ ‫ع = ‪ 4‬بتعويض قيمة ع في إحدى المعادلتين ولتكن المعادلة (‪ )1‬ينتج ‪:‬‬ ‫‪3‬ع = ‪ 62‬ومنه‬ ‫ومنه س― = ‪81‬‬ ‫‪ - 84 = 4‬س―‬ ‫‪055‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫= ‪2.5‬‬ ‫‪81 -91‬‬ ‫=‬ ‫ز‪91‬‬ ‫ومنه‬ ‫‪4‬‬ ‫سؤال إضافي‬ ‫إذا كان الوسط الحسابي لمجموعة من القيم يساوي (‪ ،)11‬والانحراف المعياري لها يساوي (‪ ، )1‬فإن القيمة التي تنحرف‬ ‫انحرافين معياريين تحت الوسط الحسابي تساوي ‪:‬‬ ‫د) ‪58‬‬ ‫ج) ‪51‬‬ ‫ب)‪52‬‬ ‫أ) ‪51‬‬ ‫ومنه ‪ = 8-‬س ‪ 11-‬ومنه س =‪52‬‬ ‫‪11 -‬‬ ‫س‬ ‫=‬ ‫‪2-‬‬ ‫ومنه‬ ‫س―‬ ‫‪-‬‬ ‫س‬ ‫زس‬ ‫‪:‬‬ ‫الحل‬ ‫‪4‬‬ ‫ع‬ ‫=‬ ‫سؤال إضافي‬ ‫إذا كان الوسط الحسابي لعلامات اللغة العربية (‪ )11‬والانحراف المعياري لها (‪ ، )5‬فإن العلامة المعيارية‬ ‫للعلامة (‪)58‬تساوي ‪:‬‬ ‫د) ‪2-‬‬ ‫ج ) – ‪1.4‬‬ ‫ب)‪1.4‬‬ ‫أ) ‪2‬‬ ‫‪1.4‬‬ ‫‪-‬‬ ‫=‬ ‫‪11‬‬ ‫‪-58‬‬ ‫=‬ ‫ز‪58‬‬ ‫ومنه‬ ‫‪ -‬س―‬ ‫س‬ ‫زس‬ ‫‪:‬‬ ‫الحل‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫ع‬ ‫سؤال إضافي‬ ‫إذا كان الوسط الحسابي لعلامات صف ما في مادة الرياضيات (‪ )15‬والانحراف المعياري لها (‪ ، )1‬فجد العلامة التي‬ ‫تنحرف فوق الوسط انحرافين معياريين‬ ‫‪ ،‬معنى تنحرف فوق الوسط انحرافين معياريين زس = ‪2‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫س―= ‪ ، 15‬ع = ‪1‬‬ ‫ومنه ‪ = 62‬س – ‪15‬‬ ‫‪15 -‬‬ ‫س‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫ومنه‬ ‫‪ -‬س―‬ ‫س‬ ‫زس‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫ع‬ ‫ومنه س = ‪77‬‬ ‫سؤال إضافي‬ ‫إذا كان الوسط الحسابي لعلامات صف ما ‪ ،‬في مادة الرياضيات (‪ )11‬والانحراف المعياري لها (‪ )1‬وكانت العلامة‬ ‫المعيارية لعلامة الطالب أحمد تساوي (‪ ، )3-‬فجد علامته الفعلية التي حصل عليها‬ ‫‪050‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫ومنه ‪ = 62-‬س – ‪ 11‬ومنه س = ‪48‬‬ ‫‪11 -‬‬ ‫س‬ ‫=‬ ‫‪3-‬‬ ‫ومنه‬ ‫‪ -‬س―‬ ‫س‬ ‫زس‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫ع‬ ‫سؤال إضافي‬ ‫إذا كان الوسط الحسابي لأعمار مجموعة من الأشخاص ‪ 12‬سنة والانحراف المعياري لها (‪ ، )1‬فإن العمر الذي ينحرف‬ ‫انحرافين معياريين تحت الوسط الحسابي هو ‪:‬‬ ‫د) ‪38‬‬ ‫ج)‪41‬‬ ‫ب) ‪51‬‬ ‫أ) ‪34‬‬ ‫ومنه س = ‪34‬‬ ‫ومنه ‪ =8-‬س – ‪42‬‬ ‫‪42 -‬‬ ‫س‬ ‫=‬ ‫‪2-‬‬ ‫ومنه‬ ‫‪ -‬س―‬ ‫س‬ ‫زس‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫ع‬ ‫‪056‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫صفحة ‪251‬‬ ‫حل الأسئلة‬ ‫‪ )1‬إذا كان المتوسط الحسابي لعلامات طلاب صف ما في مادة الكيمياء ‪ ، 11‬والانحراف المعياري للعلامات ‪ ، 3‬فجد‬ ‫العلامة المعيارية لعلامة الطالب ساهر الذي نال علامة (‪ ، )02‬والعلامة المعيارية للطالب مهند الذي نال علامة ‪51‬‬ ‫ز‪ =54‬؟‬ ‫ز‪ = 72‬؟‬ ‫ع = ‪ ( ، 3‬س = ‪) 54 ، 72‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪:‬‬ ‫الس―حل=‬ ‫‪11‬‬ ‫‪ -‬س―‬ ‫س‬ ‫زس‬ ‫=‬ ‫ع‬ ‫=‪4‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪72‬‬ ‫=‬ ‫ز‪72‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪2-‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪54‬‬ ‫ز‪=54‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ )2‬إذا علمت أن المتوسط الحسابي لأطوال طالبات إحدى المدارس هو ‪ 111‬سم ‪ ،‬وأن الأنحراف المعياري لأطوالهن‬ ‫‪ ، 1‬فجد ‪:‬‬ ‫أ) الطول الذي ينحرف فوق المتوسط ثلاثة انحرافات معيارية‬ ‫ب)الطول الذي ينحرف تحت المتوسط انحرافين معياريين وربع انحراف معياري‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪ ،‬ع = ‪ ، 4‬زس= ‪3‬‬ ‫أ) س―= ‪611‬‬ ‫ومنه ‪ = 62‬س – ‪611‬‬ ‫‪611 -‬‬ ‫س‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫ومنه‬ ‫‪ -‬س―‬ ‫س‬ ‫زس‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫ع‬ ‫ومنه س = ‪672 = 611 + 62‬‬ ‫ب)زس = ‪2.25 -‬‬ ‫‪ = 9-‬س – ‪611‬‬ ‫ومنه‬ ‫‪611 -‬‬ ‫س‬ ‫=‬ ‫‪2.25-‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ومنه س = ‪656 = 9 – 611‬‬ ‫‪055‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫‪ )3‬إذا كانت المشاهدة ‪ 8‬تقابل العلامة المعيارية ‪ ، 2‬وكان الانحراف المعياري ‪ ، 2‬فجد المتوسط الحسابي‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫ومنه‬ ‫س―‬ ‫‪-‬‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫ومنه‬ ‫‪ -‬س―‬ ‫س‬ ‫زس‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫ع‬ ‫ومنه س― = ‪4 = 4 – 8‬‬ ‫‪ - 8 = 4‬س―‬ ‫‪ )1‬إذا كانت العلامتان ‪ 12 ، 32‬تقابلان العلامتين المعياريتين ‪ 3- ، 3‬على الترتيب فجد قيمة المتوسط الحسابي ‪،‬‬ ‫والانحراف المعياري‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪ -‬س―‬ ‫س‬ ‫زس‬ ‫=‬ ‫ع‬ ‫ومنه ‪3‬ع = ‪ - 32‬س― ……… (‪)6‬‬ ‫س―‬ ‫‪-‬‬ ‫‪32‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫ومنه ‪3-‬ع = ‪ - 62‬س― ……… (‪)2‬‬ ‫ع‬ ‫س―‬ ‫‪-‬‬ ‫‪62‬‬ ‫=‬ ‫‪3-‬‬ ‫ع‬ ‫بطرح المعادلة (‪ )2‬من المعادلة (‪: )6‬‬ ‫نعوض في المعادلة (‪: )6‬‬ ‫‪61‬‬ ‫=‬ ‫ع‬ ‫ومنه‬ ‫‪1‬ع = ‪ 21‬نقسم على ‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ومنه ‪ – 32 = 61‬س―‬ ‫س―‬ ‫‪-‬‬ ‫‪32‬‬ ‫=‬ ‫‪61‬‬ ‫‪×3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ومنه س― = ‪22 = 61 – 32‬‬ ‫‪052‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫اختبر نفسك‬ ‫‪ )1‬إذا كان الوسط الحسابي لعلامات طلبة في أحد الصفوف في مادة العلوم (‪ )11‬والانحراف المعياري لها (‪ ، )1‬أجب‬ ‫عما يأتي ‪:‬‬ ‫أ) جد العلامة التي تنحرف انحرافين معياريين فوق الوسط الحسابي‬ ‫ب)جد العلامة التي تنحرف انحرافا معياريا واحدا فوق الوسط الحسابي‬ ‫‪ )2‬إذا كان الوسط الحسابي لعلامات طالبات الصف الثاني عشر في العلوم الإسلامية (‪ )15‬والانحراف المعياري لها‬ ‫(‪ )5‬فجد العلامة المعيارية لعلامات حنان ‪ ،‬وآمنة إذا كانت علاماتهن في العلوم الإسلامية على الترتيب ‪15 ، 05 :‬‬ ‫‪ )3‬إذا كان الوسط الحسابي لمجموعة من القيم يساوي (‪ ، )15‬والانحراف المعياري لها (‪ ، )1‬فإن القيمة التي تنحرف‬ ‫ثلاثة انحرافات معيارية تحت الوسط الحسابي هي ‪:‬‬ ‫د) ‪12-‬‬ ‫ج) ‪12‬‬ ‫ب) ‪53‬‬ ‫أ) ‪00‬‬ ‫‪ )1‬إذا كانت علامتا طالبتين من الصف نفسه في الرياضيات ‪ ، 01 ، 85‬والعلامتان المعيارتان المقابلتان لهاتين العلامتين‬ ‫هما ‪ 2- ، 1‬على الترتيب ‪ ،‬فجد الانحراف المعياري لعلامات الرياضيات والوسط الحسابي‬ ‫‪ )5‬إذا كانت العلامة الخام (‪ )01‬تقابل العلامة المعيارية (‪ ، )3‬وكان الوسط الحسابي (‪ ، ) 58‬فإن الانحراف المعياري‬ ‫للعلامة الخام هو ‪:‬‬ ‫د) ‪1‬‬ ‫ب ) ‪ 12‬ج ) ‪8‬‬ ‫أ) ‪1‬‬ ‫‪ )1‬إذا كان الوسط الحسابي لعلامات اللغة العربية (‪ ، )11‬والانحراف المعياري (‪، )5‬‬ ‫فإن العلامة المعيارية للعلامة ( ‪ ) 58‬هي ‪:‬‬ ‫جـ )‪ 101‬د) ‪101-‬‬ ‫ب) ‪2-‬‬ ‫أ) ‪2‬‬ ‫‪ )0‬صف مكون من ‪ 21‬طالبة ‪ ،‬إذا كانت علامات الطالبات هديل ‪ ،‬وشروق ‪ ،‬وغدير ‪ ،‬هي‬ ‫‪ ، 81 ، 91‬س على الترتيب وعلاماتهن المعيارية ‪ 1- ، 2 ، 3‬فما علامة الطالبة غدير‬ ‫‪057‬‬