دورة

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫التوزيع الطبيعي‬ ‫ثالثاً ‪:‬‬ ‫المتوسط‬ ‫خصائص منحنى التوزيع الطبيعي (أو المنحنى التكراري ) ‪:‬‬ ‫‪ ) 1‬التوزيع الطبيعي متماثل حول العمود المقام في الوسط ( ‪) µ‬‬ ‫‪)2‬للتوزيع الطبيعي قمة واحدة وشكله يشبه الجرس‬ ‫‪)3‬طرفي منحنى التوزيع الطبيعي تقترب من الصفر‬ ‫‪ )5‬المساحة تحت منحنى التوزيع الطبيعي تساوي واحد‬ ‫‪ )1‬المساحة على يمين المتوسط تساوي المساحة على يسار المتوسط ومقدارها ( ‪)105‬‬ ‫ملاحظة ‪ :‬عندما يكون المتوسط الحسابي ورمزه ( ‪ ، µ‬ولفظه ميو ) يساوي صفرا ‪ ،‬والانحراف المعياري (ع ) يساوي (‪ )1‬فإن‬ ‫التوزيع الطبيعي يسمى التوزيع الطبيعي المعياري‬ ‫ما يهمنا معرفته مما سبق ‪:‬‬ ‫أ) أن قيمة المساحة تحت المنحنى تساوي الواحد‬ ‫ب)المنحنى متماثل حول المتوسط أي مساحته عن يمين المتوسط = مساحته عن يساره = ‪105‬‬ ‫حل المسائل يعتمد على فهم الحالات التالية ‪:‬‬ ‫إيجاد احتمال وقوع المتغير ( ز) تحت قيمة ما (ل(ز‪ Y‬أ ))أو فوقها ( ل (ز‪ X‬أ)) أو إذا‬ ‫كان محصورا بين قيمتين (ل(ب ‪ Y‬ز‪ Y‬أ ) وذلك على النحو التالي ‪:‬‬ ‫أ●‬ ‫‪1‬‬ ‫نفس المساحة‬ ‫‪1‬‬ ‫أ●‬ ‫‪-‬أ‬ ‫أ‬ ‫نوجد القيمة من الجداول مباشرة‬ ‫ل(ز‪1-X‬أ)= ل(ز ‪ Y‬أ )‬ ‫‪1‬‬ ‫أ‬ ‫ل(ز‪Y‬‬ ‫)‬ ‫‪001‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫مساحة المنحنى كامل = ‪6‬‬ ‫نفس المساحة‬ ‫●‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫●‬ ‫‪-‬أ‬ ‫أ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ل(ز‪– Y‬أ) = ل(ز‪X‬أ) = ‪ – 6‬ل(ز‪Y‬أ)‬ ‫ل(ز‪ X‬أ ) = ا – (ل(ز‪Y‬أ)‬ ‫ما نقوم به عند حل المسائل ‪:‬‬ ‫الحالة الاولى ل(ز ‪ Y‬أ ) في هذه الحالة نوجد القيمة من الجداول مباشرة‬ ‫●‬ ‫أ‬ ‫في كتاب الرياضيات الجداول في نهاية الكتاب وفي الدوسية في آخر الدوسية‬ ‫مساحة المنحنى كامل = ‪6‬‬ ‫في الامتحان تعطى الجداول في نص المسألة‬ ‫الحالة الثانية ل(ز‪ X‬أ ) =‪ – 6‬ل (ز‪ Y‬أ)‬ ‫ل(ز‪ Y‬أ)‬ ‫●‬ ‫ل(ز‪ X‬أ) أ‬ ‫من الجداول‬ ‫●●‬ ‫‪-‬أ أ‬ ‫ل(ز‪ -Y‬أ = ل(ز‪ X‬أ) = ‪ – 6‬ل(ز‪Y‬أ)‬ ‫الحالة الثالثة‬ ‫من الجداول‬ ‫)‬ ‫●‬ ‫الحالة الرابعة‬ ‫أ‬ ‫ل(ز‪ Y‬أ )‬ ‫ل(ز‪- X‬أ) =‬ ‫●‬ ‫أ‬ ‫من الجداول‬ ‫وسنتعرف على طريقة استخدام هذه الحالات من خلال الأمثلة‬ ‫‪000‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫صفحة ‪251‬‬ ‫مثال الكتاب ‪1‬‬ ‫إذا كان (ز) متغيرا عشوائيا طبيعيا معياريا ‪ ،‬فجد قيمة كل مما يأتي باستخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري ‪:‬‬ ‫‪ )6‬ل (ز ‪)6.8 Y‬‬ ‫‪ )2‬ل (ز ‪)2.37 Y‬‬ ‫‪ )3‬ل(ز ‪)6.45- X‬‬ ‫‪ )4‬ل(ز‪) 2.25-Y‬‬ ‫‪ )5‬ل(‪ Y6.65-‬ز‪)6.87 Y‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪ )6‬ل (ز ‪1.9146 = )6.8 Y‬‬ ‫( من الجدول مباشرة حسب الحالة الأولى ))‬ ‫‪ )2‬ل (ز ‪ 1.9966 = )2.37 Y‬من الجدول‬ ‫‪ )3‬ل(ز ‪ = )6.45- X‬ل(ز ‪ 1.9215 = ) 6.45 Y‬من الجدول‬ ‫عند وجود السالب تقلب المعادلة رأسا على عقب‬ ‫حسب الحالة الرابعة‬ ‫‪ )4‬ل( ‪ Y6.65-‬ز‪ =) 6.87Y‬ل(ز‪ – )6.87Y‬ل(ز‪)6.65-Y‬‬ ‫ح‬ ‫= ل(ز‪ – )6.87Y‬ل(ز‪)6.65 X‬‬ ‫= ‪ – 6( - 1.9193‬ل(ز‪)6.65 Y‬‬ ‫= ‪)1.8749 – 6 ( - 1.9193‬‬ ‫= ‪1.8442 = 1.6256 - 1.9193‬‬ ‫صفحة ‪255‬‬ ‫حعقب‬ ‫تدريب الكتاب ‪1‬‬ ‫إذا كان (ز) متغيرا عشوائيا طبيعيا معياريا ‪ ،‬فجد قيمة كل مما يأتي باستخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري ‪:‬‬ ‫‪ )6‬ل(ز ‪)2.4 Y‬‬ ‫‪ )2‬ل(ز ‪)2.85 – X‬‬ ‫‪ )3‬ل(ز‪)6.64- Y‬‬ ‫‪ Y6.33-( )4‬ز‪)6.58Y‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪008‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫(حسب الحالة الأولى )‬ ‫‪ )6‬ل(ز ‪ 1.9968 = )2.4 Y‬من الجداول‬ ‫‪ )2‬ل(ز‪ = ) 2.85 – X‬ل (ز‪ 1.9978 =)2.85Y‬من الجداول ( حسب الحالة الرابعة )‬ ‫‪ )3‬ل(ز‪ = )6.64- Y‬ل(ز‪ – 6 = )6.64X‬ل(ز‪ ( )6.64Y‬حسب الحالة الثالثة )‬ ‫= ‪1.6276 = 1.8729 - 6‬‬ ‫‪ Y6.33-( )4‬ز‪ = )6.58Y‬ل(ز‪ – )6.58Y‬ل(ز‪)6.33- Y‬‬ ‫= ل(ز‪ – )6.58Y‬ل(ز‪)6.33 X‬‬ ‫= ‪ – 6( – 1.9429‬ل(‪)6.33Y‬‬ ‫= ‪)1.9182 – 6 ( – 1.9429‬‬ ‫= ‪1.8566 = 1.1968 – 1.9429‬‬ ‫ملاحظة هامة ‪ :‬يمكن إيجاد الاحتمال للمتغير العشوائي (س) الذي يتبع أي توزيع طبيعي عن طريق تحويله إلى توزيع‬ ‫طبيعي معياري وبفرض أن المتوسط الحسابي هو (‪ µ‬ميو) وأن الانحراف المعياري هو (‪ σ‬سيجما ) فإن ‪:‬‬ ‫العلامة المعيارية (ز) هي ‪:‬‬ ‫‪µ‬‬ ‫‪-‬‬ ‫س‬ ‫=‬ ‫ز‬ ‫‪σ‬‬ ‫صفحة ‪251‬‬ ‫مثال الكتاب ‪2‬‬ ‫إذا كان (س) متغيرا عشوائيا يتبع التوزيع الطبيعي الذي متوسطه الحسابي ‪ ، 11‬وانحرافه المعياري ‪ ، 1‬فجد ‪:‬‬ ‫‪ )6‬ل(س ‪) 17 Y‬‬ ‫‪ )2‬ل(س ‪) 58 X‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪4=σ ،‬‬ ‫‪11 = µ‬‬ ‫)‬ ‫‪03 -‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫ل(ز‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪17‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫ل(س‬ ‫‪)6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫من الجداول‬ ‫= ل( ز‪1.9595 = )6.75 Y‬‬ ‫)‬ ‫‪03 -‬‬ ‫‪58‬‬ ‫‪X‬‬ ‫ز‬ ‫(‬ ‫ل‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪58‬‬ ‫‪X‬‬ ‫ل(س‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= ل( ز ‪)1.5- X‬‬ ‫= ل( ز ‪1.1965 = )1.5 Y‬‬ ‫‪003‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫صفحة ‪251‬‬ ‫تدريب الكتاب ‪2‬‬ ‫إذا كان (س) متغيرا عشوائيا يتبع التوزيع الطبيعي الذي متوسطه الحسابي ‪ ، 25‬وانحرافه المعياري ‪ ، 5‬فجد ‪:‬‬ ‫‪ )6‬ل( س ‪) 33 Y‬‬ ‫‪ )2‬ل(‪Y22‬س‪)31 Y‬‬ ‫‪µ-‬‬ ‫س‬ ‫=‬ ‫ز‬ ‫‪، 5=σ ،‬‬ ‫الحل ‪25 = µ :‬‬ ‫‪σ‬‬ ‫)‬ ‫‪22 -‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫ز‬ ‫ل(‬ ‫=‬ ‫‪)00 Y‬‬ ‫ل(س‬ ‫‪)6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫= ل ( ز ‪ 1.9452 = ) 6.1 Y‬من الجداول‬ ‫)‬ ‫‪22 -‬‬ ‫‪22Y‬‬ ‫ز‬ ‫(‬ ‫ل‬ ‫‪-‬‬ ‫)‬ ‫‪22 -‬‬ ‫‪31‬‬ ‫ز‪Y‬‬ ‫ل(‬ ‫=‬ ‫‪)31‬‬ ‫ل(‪Y22‬س‪Y‬‬ ‫‪)3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫= ل ( ز‪ – )6Y‬ل (ز ‪)1.1- Y‬‬ ‫= ل( ز ‪ -)6 Y‬ل ( ز ‪) 1.1 X‬‬ ‫= ‪ – 6 ( - 1.8463‬ل( ز ‪)1.1 Y‬‬ ‫= ‪) 1.7257 – 6 ( – 1.8463‬‬ ‫=‪1.5171 = 1.2743 – 1.8463‬‬ ‫صفحة ‪250‬‬ ‫مثال الكتاب ‪3‬‬ ‫إذا كان متوسط أطوال ‪ 511‬شجرة حرجية في إحدى غابات عجلون هو ‪ 8‬أمتار ‪ ،‬والانحراف المعياري ‪ ، 105‬وكانت‬ ‫الأطوال تتوزع توزيعا طبيعيا ‪ ،‬واختيرت إحدى الأشجار عشوائيا ‪ ،‬فجد ‪:‬‬ ‫‪ )1‬احتمال ان لا يزيد طول الشجرة على ‪ 11‬مترا‬ ‫‪ )2‬احتمال أن يكون طول الشجرة أكبر من أو يساوي ‪ 105‬أمتار‬ ‫‪ )3‬احتمال أن يكون طول الشجرة محصورا بين ‪ 1‬أمتار و ‪ 9‬أمتار‬ ‫‪ )1‬عدد الأشجار التي طولها ‪ 5‬أمتار على الأقل‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫طول الشجرة س = ؟ ‪ ،‬متوسط الأطوال ‪ ، 8 = µ‬الانحراف المعياري ‪6.5 = σ‬‬ ‫‪ )6‬ل ( س ‪ = ) 66 Y‬ل ( ز ‪) 86-.566Y‬‬ ‫= ل(ز ‪ 1.9772 = )2 Y‬من الجداول‬ ‫‪005‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫‪ )2‬ل ( س ‪ = ) 1.5 X‬ل ( ز ‪) 8 6-.51.5X‬‬ ‫= ل ( ز ‪( = )1-X‬ل(ز‪) 6Y‬‬ ‫= ‪ 1.8463‬من الجداول‬ ‫)‬ ‫‪8-9‬‬ ‫ز<‬ ‫<‬ ‫‪8-1‬‬ ‫‪ )3‬ل(‪<1‬س< ‪ = )9‬ل(‬ ‫‪6.5‬‬ ‫‪6.5‬‬ ‫= ل ( ‪ < 6.33-‬ز<‪)3600‬‬ ‫= ل ( ز < ‪ – )3600‬ل ( ز<‪)1600-‬‬ ‫= ‪ – 1.7481‬ل ( ز ‪) 6.33 ‬‬ ‫= ‪ – 6 ( - 1.7481‬ل ‪) 6.33 ‬‬ ‫= ‪)1.9182 – 6 ( – 1.7481‬‬ ‫= ‪1.8775 = 1.1968 – 1.7481‬‬ ‫)‬ ‫‪8-5‬‬ ‫‪X‬‬ ‫ز‬ ‫(‬ ‫ل‬ ‫=‬ ‫‪)2X‬‬ ‫س‬ ‫(‬ ‫ل‬ ‫‪)4‬‬ ‫‪6.5‬‬ ‫= ل ( ز ‪ = ) 2- X‬ل ( ز ‪ 1.9772 = ) 2 Y‬من الجداول‬ ‫‪ B‬عدد الأشجار التي طولها ‪ 5‬أمتار على الأقل يساوي‬ ‫‪ 688 ≈68860 =233 ×367002‬شجرة‬ ‫صفحة ‪258‬‬ ‫تدريب الكتاب ‪3‬‬ ‫إذا كانت علامات ‪ 11111‬طالب في جامعة ما تتبع التوزيع الطبيعي بمتوسط حسابي مقداره ‪ ، 15‬وانحراف معياري‬ ‫مقداره ‪ ، 5‬فكم يبلغ عدد الطلبة الناجحين ‪ ،‬علما بأن علامة النجاح ‪، 11‬‬ ‫الحل ‪ ، 5 = σ ، 15 = µ :‬س = ‪11‬‬ ‫‪) 6-‬‬ ‫‪X‬‬ ‫ز‬ ‫(‬ ‫ل‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪02 -‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪X‬‬ ‫ز‬ ‫(‬ ‫ل‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪11‬‬ ‫‪X‬‬ ‫س‬ ‫(‬ ‫ل‬ ‫‪5‬‬ ‫= ل ( ز ‪ 1.8463 = ) 6 Y‬من الجداول‬ ‫عدد الطلبة الناجحين هو ‪ 8463 = 61111 × 1.8463 :‬طالب‬ ‫سؤال إضافي‬ ‫إذا كانت أوزان طلبة إحدى المدارس تتبع توزيعا طبيعيا وسطه الحسابي يساوي (‪)15‬كغم وانحرافه المعياري (‪)1‬كغم ‪،‬‬ ‫اختير أحد الطلبة عشوائيا ‪ ،‬ما احتمال أن يكون من الطلبة الذين تنحصر أوزانهم بين (‪ )13‬كغم ‪ )19( ،‬كغم‬ ‫‪000‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫ملاحظة ‪ :‬يمكنك الاستفادة من الجدول الآتي والذي يمثل جزءا من جدول التوزيع الطبيعي المعياري‬ ‫‪2‬‬ ‫ز صفر ‪6.5 6 1.5‬‬ ‫‪1.9772‬‬ ‫ل(ز) ‪1.9332 1.8463 1.1965 1.5111‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪µ‬‬ ‫‪-‬‬ ‫س‬ ‫=‬ ‫ز‬ ‫‪،‬‬ ‫‪4 = σ ، 45 = µ‬‬ ‫‪σ‬‬ ‫)‬ ‫‪62 -‬‬ ‫‪49‬‬ ‫ز‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪62‬‬ ‫‪-‬‬ ‫(‪43‬‬ ‫ل‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪49‬‬ ‫ز‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪43‬‬ ‫ل‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= ل ( ‪  1.5-‬ز‪ = ) 6 ‬ل ( ز ‪ – ) 6 ‬ل ( ز ‪) 1.5- ‬‬ ‫= ل ( ز ‪ – ) 6 ‬ل ( ز ‪) 1.5‬‬ ‫= ل ( ز ‪ - 6( – ) 6 ‬ل ( ز ‪) 1.5‬‬ ‫= ‪1.3185 – 1.8463 = ) 1.1965 – 6 ( – 1.8463‬‬ ‫= ‪1.5328‬‬ ‫سؤال إضافي‬ ‫تقدم ( ‪)5111‬طالب لامتحان ما ‪ :‬وكان توزيع نتائجهم يتخذ شكل التوزيع الطبيعي المعياري بوسط حسابي (‪ )01‬وانحراف‬ ‫معياري (‪ ، )5‬وكانت علامة النجاح (‪ ، )11‬اختير أحد الطلبة عشوائيا ‪:‬‬ ‫‪ )1‬ما احتمال أن يكون الطالب من بين الناجحين ؟‬ ‫‪ )2‬ما عدد الطلبة الناجحين في هذا الامتحان ؟‬ ‫ملاحظة ‪ :‬يمكنك الاستفادة من الجدول الآتي والذي يمثل جزءا من جدول التوزيع الطبيعي المعياري‬ ‫‪2.5‬‬ ‫‪2 6.5‬‬ ‫ز صفر ‪6 1.5‬‬ ‫‪1.9938‬‬ ‫ل(ز) ‪1.9772 1.9332 1.8463 1.1965 1.5111‬‬ ‫‪µ-‬‬ ‫س‬ ‫=‬ ‫ز‬ ‫الحل ‪ ، 5 = σ ، 71 = µ :‬س = ‪، 11‬‬ ‫‪σ‬‬ ‫)‬ ‫‪03 -‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪X‬‬ ‫ز‬ ‫(‬ ‫ل‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪11‬‬ ‫‪X‬‬ ‫س‬ ‫ل(‬ ‫‪)6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫= ل ( ز ‪ = ) 2- X‬ل ( ز ‪ 1.9772 = ) 2 Y‬من الجدول‬ ‫‪ )2‬عدد الطلبة الناجحين في هذا الامتحان هو ‪:‬‬ ‫‪ 4881 = 5111 × 1.9772‬طالب‬ ‫‪006‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫سؤال إضافي‬ ‫إذا كانت أوزان الأطفال عند الولادة تتبع توزيعا طبيعيا وسطه الحسابي (‪)302‬كغم وانحرافه المعياري (‪)101‬كغم ‪ ،‬اختير‬ ‫أحد الاطفال عشوائيا عند الولادة ما احتمال ان يكون وزنه أكثر من ( ‪ )1‬كغم ؟‬ ‫ملاحظة ‪ :‬يمكنك الاستفادة من الجدول الآتي والذي يمثل جزءا من جدول التوزيع الطبيعي المعياري‬ ‫‪2.5 2‬‬ ‫‪6.5 6 1.5‬‬ ‫ز صفر‬ ‫‪1.9938 1.9772‬‬ ‫ل(ز) ‪1.5111‬‬ ‫‪1.9332 1.8463 1.1965‬‬ ‫الحل ‪3.2 = µ :‬‬ ‫‪µ-‬‬ ‫س‬ ‫=‬ ‫ز‬ ‫‪،‬‬ ‫‪1.4 = σ‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪σ‬‬ ‫)‬ ‫‪062 -‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪X‬‬ ‫ز‬ ‫(‬ ‫ل‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪4‬‬ ‫‪X‬‬ ‫س‬ ‫ل(‬ ‫‪4‬‬ ‫=ل(ز‪–6(=)2X‬ل(ز‪)2Y‬‬ ‫= ‪1.1228 = 1.9772 – 6‬‬ ‫سؤال إضافي‬ ‫تتخذ أعمار ‪ 11111‬شخص شكل التوزيع الطبيعي بوسط حسابي (‪ )52‬سنة وانحراف معياري (‪ )8‬سنوات ‪ ،‬ما عدد‬ ‫الأشخاص الذين تزيد أعمارهم عن ‪ 11‬سنة ؟‬ ‫ملاحظة ‪ :‬يمكنك الاستفادة من الجدول الآتي والذي يمثل جزءا من جدول التوزيع الطبيعي المعياري‬ ‫‪6.3 6.2‬‬ ‫ز ‪6.6 6.1 1.9 1.8‬‬ ‫‪1.9132 1.8849‬‬ ‫ل(ز) ‪1.8143 1.8463 1.8659 1.7886‬‬ ‫‪µ-‬‬ ‫س‬ ‫=‬ ‫ز‬ ‫‪، 8=σ‬‬ ‫‪،‬‬ ‫الحل ‪52 = µ :‬‬ ‫‪σ‬‬ ‫)‬ ‫‪22 -‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪X‬‬ ‫ل(س‪ = )11 X‬ل ( ز‬ ‫‪8‬‬ ‫= ل( ز‪ – 6 ( = ) 6 X‬ل (ز‪1.6587 = )1.8463 – 6 ( = ) 6 Y‬‬ ‫عدد الأشخاص = ‪ 6587 = 61111 × 1.6587‬شخص‬ ‫سؤال وزاري ‪ 8102‬منهاج جديد‬ ‫إذا كانت أطوال طلبة في إحدى المدارس تتبع توزيعا طبيعيا متوسطه الحسابي (‪ )155‬سم ‪ ،‬وانحرافه المعياري (‪ ، )11‬اختير‬ ‫طالب عشوائيا ‪ ،‬ما احتمال أن يكون طوله (‪)151‬سم على الأقل ؟‬ ‫‪005‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫ملاحظة ‪ :‬يمكنك الاستفادة من الجدول الآتي والذي يمثل جزءا من جدول التوزيع الطبيعي المعياري‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪1.2 1.15‬‬ ‫‪1.12 1.16‬‬ ‫ز‬ ‫‪1.1965‬‬ ‫‪1.5793 1.5699‬‬ ‫ل(‪ Y‬أ) ‪1.5181 1.5141‬‬ ‫‪µ-‬‬ ‫س‬ ‫=‬ ‫ز‬ ‫الحل ‪، 61 = σ ، 655 = µ :‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪σ‬‬ ‫)‬ ‫‪122 -‬‬ ‫‪651‬‬ ‫ز‪X‬‬ ‫ل(‬ ‫=‬ ‫‪)651‬‬ ‫‪X‬‬ ‫ل(س‬ ‫‪61‬‬ ‫= ل ( ز ‪ = ) 1.5- X‬ل( ز ‪1.1965 = )1.5 Y‬‬ ‫سؤال وزاري ‪ 8102‬منهاج قديم‬ ‫إذا كانت أوزان ‪ 11111‬طالب تتخذ شكل التوزيع الطبيعي بوسط حسابي (‪ )51‬كغ ‪ ،‬وانحراف معياري (‪ ، )1‬فما عدد الطلبة‬ ‫الذين تنحصر أوزانهم بين (‪)10‬كغ و (‪)51‬كغ ؟‬ ‫ملاحظة ‪ :‬يمكنك الاستفادة من الجدول الآتي والذي يمثل جزءا من جدول التوزيع الطبيعي المعياري‬ ‫‪6.22‬‬ ‫‪6.5‬‬ ‫‪6 1.5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ز‬ ‫‪1.9772‬‬ ‫ل(ز‪Y‬أ ) ‪1.9332 1.8463 1.1965 1.5111‬‬ ‫‪µ-‬‬ ‫س‬ ‫=‬ ‫ز‬ ‫‪،1=σ‬‬ ‫‪،‬‬ ‫الحل ‪51 = µ :‬‬ ‫‪σ‬‬ ‫) = ل ( ‪ Y 1.5-‬ز ‪)6 Y‬‬ ‫‪23 -‬‬ ‫‪51‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫ز‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪-‬‬ ‫(‪47‬‬ ‫ل‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪51‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫ز‬ ‫‪Y‬‬ ‫ل(‪47‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ل(ز‪ – )6Y‬ل(ز‪ = ) 1.5- Y‬ل(ز‪ – )6Y‬ل(ز‪) 1.5X‬‬ ‫= ل(ز‪ – 6 ( – )6 Y‬ل(ز‪)1.1965 – 6 ( – 1.8463 = )1.5 Y‬‬ ‫= ‪1.5328 = 1.3185 – 1.8463‬‬ ‫‪002‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫صفحة ‪259‬‬ ‫حل الأسئلة‬ ‫‪ )1‬إذا كان (ز) متغيرا عشوائيا طبيعيا معياريا ‪ ،‬فجد قيمة كل مما يأتي باستخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري ‪:‬‬ ‫من الجداول مباشرة‬ ‫أ) ل( ز ‪1.8849 = ) 6.2 Y‬‬ ‫من الجداول مباشرة‬ ‫ب)ل( ز ‪1.9912 = ) 2.17 Y‬‬ ‫جـ)ل( ز ‪ = ) 6.27- X‬ل( ز ‪1.8981 = ) 6.27 Y‬‬ ‫د) ل(ز ‪ = )2.64- Y‬ل ( ز‪ – 6 = ) 2.64 X‬ل ( ز ‪) 2.64 Y‬‬ ‫= ‪1.1612 =1.9838 – 6‬‬ ‫هـ) ل( ‪ Y 6.66-‬ز ‪ = ) 6.65 Y‬ل ( ز‪ – )6.65 Y‬ل( ز ‪)6.66- Y‬‬ ‫= ل ( ز‪ – )6.65 Y‬ل( ز ‪)6.66 X‬‬ ‫= ل ( ز‪ - 6 (– )6.65 Y‬ل( ز ‪)6.66 Y‬‬ ‫= ‪)1.8115 -6( – 1.8749‬‬ ‫= ‪1.7464 = 1.6335 – 1.8749‬‬ ‫‪)2‬إذا كان (س) متغيرا عشوائيا يتبع التوزيع الطبيعي الذي متوسطه الحسابي ‪ ، 81‬وانحرافه المعياري ‪ ، 5‬فجد ‪:‬‬ ‫أ) ل ( س ‪) 71 Y‬‬ ‫ب)ل(س ‪) 88 X‬‬ ‫‪µ-‬‬ ‫س‬ ‫=‬ ‫ز‬ ‫‪،‬‬ ‫‪5=σ،‬‬ ‫الحل ‪81 = µ :‬‬ ‫‪σ‬‬ ‫) = ل( ز ‪)1.8 – Y‬‬ ‫‪83 -‬‬ ‫‪71‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫ز‬ ‫ل(‬ ‫=‬ ‫‪)71‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫ل(س‬ ‫أ)‬ ‫‪5‬‬ ‫= ل ( ز‪ – 6 = )368 X‬ل ( ز ‪) 1.8 Y‬‬ ‫= ‪1.2669 = 1.7886 – 6‬‬ ‫) = ل ( ز ‪) 6.1 X‬‬ ‫‪83 -‬‬ ‫‪88‬‬ ‫‪X‬‬ ‫ز‬ ‫(‬ ‫ل‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪88‬‬ ‫‪X‬‬ ‫ب)ل(س‬ ‫‪5‬‬ ‫= ‪ – 6‬ل ( ز ‪1.1548 = 1.9452 – 6 = )6.1 Y‬‬ ‫‪)3‬إذا كان متوسط كتل ‪ 1111‬طالبة في إحدى مدارس عمان هو ‪ 55‬كيلو غراما ‪ ،‬والانحراف المعياري ‪ ، 2‬وكانت الكتل‬ ‫تتوزع توزيعا طبيعيا ‪ ،‬واختيرت إحدى الطالبات عشوائيا ‪ ،‬فجد ‪:‬‬ ‫أ) احتمال أن لا تزيد كتلة الطالبة على ‪ 52‬كيلو غراما‬ ‫ب)احتمال أن تكون كتلة الطالبة محصورة بين ‪ 51‬كيلو غراما و‪ 11‬كيلو غراما‬ ‫جـ)عدد الطالبات اللواتي تزيد كتلهن على ‪ 51‬كيلو غراما‬ ‫‪007‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫‪µ-‬‬ ‫س‬ ‫=‬ ‫ز‬ ‫‪،‬‬ ‫‪2=σ،‬‬ ‫‪55 = µ‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪σ‬‬ ‫)‬ ‫‪6.5-‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫ز‬ ‫(‬ ‫ل‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪22‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫ز‬ ‫(‬ ‫ل‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪52‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫س‬ ‫ل(‬ ‫أ)‬ ‫‪2‬‬ ‫= ل ( ز ‪ – 6 = ) 6.5 X‬ل ( ز‪) 6.5 Y‬‬ ‫= ‪1.1118 =1.9332 – 6‬‬ ‫)‬ ‫‪22‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ز ‪11 Y‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪-‬‬ ‫(‪51‬‬ ‫ل‬ ‫=‬ ‫ز‪) 03Y‬‬ ‫‪Y51‬‬ ‫ل(‬ ‫ب)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ل ( ‪ Y 2.5-‬ز‪) 262Y‬‬ ‫= ل ( ز ‪ – ) 2.5 Y‬ل ( ز ‪) 2.5- Y‬‬ ‫= ل ( ز ‪ – ) 2.5 Y‬ل ( ز ‪) 2.5 X‬‬ ‫= ل ( ز ‪ -6( – ) 2.5 Y‬ل ( ز ‪)) 2.5 Y‬‬ ‫= ‪1.9871 = 1.9938 + 6- 1.9938‬‬ ‫) = ل ( ز ‪) 1.5 X‬‬ ‫‪22 -‬‬ ‫‪51‬‬ ‫‪X‬‬ ‫ز‬ ‫(‬ ‫ل‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪51‬‬ ‫‪X‬‬ ‫س‬ ‫(‬ ‫جـ)ل‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪ – 6‬ل ( ز ‪1.3185 = 1.1965 – 6 = ) 1.5 Y‬‬ ‫عدد الطالبات اللواتي تزيد كتلهن على ‪ 51‬كيلو غراما هو ‪:‬‬ ‫‪ 319 ≈ 318.5 = 6111 × 1.3185‬طالبات‬ ‫‪)4‬إذا كانت علامات امتحان عام تتبع توزيعا طبيعيا متوسطه الحسابي ‪ ، 01‬وانحرافه المعياري ‪ ، 11‬فما نسبة العلامات التي‬ ‫تقل عن ‪ 15‬؟‬ ‫) = ل ( ز ‪) 1.5- Y‬‬ ‫‪71 -‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫ز‬ ‫ل(‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪15‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫س‬ ‫(‬ ‫ل‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪61‬‬ ‫= ل ( ز ‪ – 6 = ) 1.5 X‬ل ( ز ‪) 1.5 Y‬‬ ‫= ‪1.3185 = 1.1965 – 6‬‬ ‫‪061‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫ل(ز ‪– X‬أ ) تساوي ‪:‬‬ ‫اختبر نفسك‬ ‫‪)6‬إذا كان (ز) متغيرا عشوائيا طبيعيا معياريا وكان ل( ز ‪ Y‬أ)= ‪ ، 1.1‬فإن قيمة‬ ‫د) ‪1.1‬‬ ‫ج) ‪1.4-‬‬ ‫ب) ‪1.4‬‬ ‫أ) ‪1.1-‬‬ ‫‪ )2‬إذا كانت أوزان ‪ 11111‬طالب تتبع التوزيع الطبيعي بوسط حسابي (‪ )15‬كغ وانحراف معياري (‪ )1‬كغ ‪ ،‬ما عدد الطلبة‬ ‫الذين تزيد أوزانهم عن ( ‪ ) 51‬كغ‬ ‫ملاحظة ‪ :‬يمكنك الاستفادة من الجدول الآتي والذي يمثل جزءا من جدول التوزيع الطبيعي المعياري‬ ‫ز ‪1.8 6.52 6.25 6.2 2.5 1.25‬‬ ‫ل(ز) ‪1.7886 1.9357 1.8944 1.8849 1.9938 1.5987‬‬ ‫‪)3‬إذا كانت رواتب (‪ )11111‬موظف تتخذ شكل التوزيع الطبيعي ‪ ،‬وكان الوسط الحسابي لرواتبهم (‪ )351‬ينارا ‪،‬‬ ‫والانحراف المعياري لها (‪ )25‬دينارا ‪ ،‬فما عدد الموظفين الذين تنحصر رواتبهم بين (‪ )325‬دينارا و ( ‪ )111‬دينارا ؟‬ ‫ملاحظة ‪ :‬يمكنك الاستفادة من الجدول الآتي والذي يمثل جزءا من جدول التوزيع الطبيعي المعياري‬ ‫ز ‪2.5 2 6.5 6 1.5 1‬‬ ‫ل(ز‪Y‬أ) ‪1.9938 1.9772 1.9332 1.8463 1.1965 1.5111‬‬ ‫‪ )3‬ليكن ( ز) متغيرا عشوائيا طبيعيا معياريا ‪ ،‬استعمل جدول التوزيع الطبيعي المعياري لإيجاد كل مما يأتي ‪:‬‬ ‫ب) ل(ز ‪) 6 X‬‬ ‫أ) ل(ز‪) 2.45 Y‬‬ ‫د) ل( ز ‪) 1.15 – X‬‬ ‫ج) ل ( ز‪) 2.15- Y‬‬ ‫و) ل ( ‪ Y 2-‬ز ‪) 6- Y‬‬ ‫هـ ) ل (‪ Y6.18‬ز ‪) 2.5 Y‬‬ ‫ح) ل ( ‪ Y 6.1-‬ز ‪ Y‬صفر )‬ ‫ز) ل( ‪ Y 3-‬ز ‪) 2 Y‬‬ ‫‪060‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫الارتباط والانحدار‬ ‫الفصل الثالث‬ ‫أولًا ‪:‬‬ ‫الارتباط‬ ‫مفهوم الارتباط ‪ :‬هو العلاقة بين متغيرين حيث نرمز للمتغير الأول بالرمز س والمتغير الثاني بالرمز ص حيث يمكن كتابة‬ ‫البيانات المتعلقة بهذين المتغيرين على شكل أزواج كما يلي ‪:‬‬ ‫(س‪ ، 6‬ص‪ ( ، )6‬س‪ ، 2‬ص‪ ( ، ) 2‬س‪ ، 3‬ص‪ ( ……… ) 3‬س ن ‪ ،‬ص ن ) ثم تعيين هذه الأزواج في المستوى‬ ‫الإحداثي ويسمى الشكل الناتج ( شكل الانتشار)‬ ‫تحديد أنواع الارتباط من شكل الانتشار ‪:‬‬ ‫‪ )1‬العلاقة طردية ( موجبة ) ‪:‬‬ ‫طردية تعني كلما زادت قيمة (س) ازدادت قيمة (ص)‬ ‫مثل علاقة ساعات العمل بالأجرة اليومية ‪ ،‬كلما‬ ‫ازدادت ساعات العمل ازدادت الأجرة‬ ‫‪ )2‬العلاقة طردية تامة ( موجبة )‪ :‬وذلك عندما تقع النقط‬ ‫جميعا على الخط المستقيم‬ ‫‪ )3‬العلاقة عكسية ( سالبة )‬ ‫عكسية تعني كلما زادت قيمة (س) قلت قيمة (ص)‬ ‫مثل علاقة سرعة سيارة بزمن الوصول ‪ ،‬كلما زادت سرعة‬ ‫السيارة قل زمن الوصول‬ ‫‪068‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫‪ )1‬العلاقة عكسية تامة (سالبة )‬ ‫وذلك إذا وقعت النقط جميعا على الخط المستقيم‬ ‫‪ )5‬لا توجد علاقة ارتباط خطي بين س ‪ ،‬ص‬ ‫مثل علاقة التحصيل للطلبة بلون عيونهم‬ ‫ويكون شكل الانتشار في تجمع النقاط على صورة دائرة‬ ‫صفحة ‪212‬‬ ‫مثال الكتاب ‪1‬‬ ‫يبين الجدول الآتي علامات ‪ 5‬طلاب في امتحان الرياضيات والتاريخ ‪:‬‬ ‫‪4432‬‬ ‫‪6‬‬ ‫رقم الطالب‬ ‫‪8753‬‬ ‫‪2‬‬ ‫علامة الرياضيات س‬ ‫‪5947‬‬ ‫‪5‬‬ ‫علامة التاريخ ص‬ ‫ارسم شكل الانتشار بين المتغيرين س ‪ ،‬ص محددا نوع العلاقة التي تربط بينهما‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫نمثل الازواج المرتبة ‪ ) 5 ، 8 ( ، ) 9 ، 7( ، ) 4 ، 5 ( ، ) 7 ، 3 ( ، ) 5 ، 2( :‬في المستوى الإحداثي ‪:‬‬ ‫ص‬ ‫• •‪9‬‬ ‫من الشكل نلاحظ أن العلاقة بين المتغيرين س ‪ ،‬ص‬ ‫هي علاقة طردية ( موجبة )‬ ‫•‪8‬‬ ‫•‪7‬‬ ‫•‬ ‫•‪1‬‬ ‫•‪5‬‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‪4‬‬ ‫•‪3‬‬ ‫•‪2‬‬ ‫•‪6‬‬ ‫•‪6• 2• •3 •4 •5 1• 7• •8 9‬‬ ‫س‬ ‫‪063‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫ص‬ ‫صفحة ‪213‬‬ ‫تدريب الكتاب ‪1‬‬ ‫•‪9‬‬ ‫• •‪8‬‬ ‫النقط ‪)2 . 8 ( ، ) 7 . 4 ( ، ) 5 . 5 ( ، ) 1 . 3 (، ) 8 . 2 ( :‬‬ ‫• •‪7‬‬ ‫• •‪1‬‬ ‫•‪5‬‬ ‫( ‪ ) 4 . 7 ( ، )4 . 1‬تمثل القيم المتناظرة لمتغيرين ‪ :‬س ‪ ،‬ص‬ ‫•‬ ‫محدد ًا نوع العلاقة التي تربط بينهما‬ ‫•‪4‬‬ ‫••‬ ‫•‪3‬‬ ‫•‪2‬‬ ‫•‬ ‫•‪6‬‬ ‫من الشكل نلاحظ أن العلاقة بين المتغيرين ‪ :‬س ‪ ،‬ص‬ ‫•‪6• 2• •3 •4 •5 1• 7• •8 9‬‬ ‫س‬ ‫هي علاقة عكسية ( سالبة )‬ ‫معامل ارتباط بيرسون ‪:‬‬ ‫إذا كانت لدينا الأزواج المرتبة التالية للمتغيرين س ‪ ،‬ص ‪:‬‬ ‫(س‪ ، 6‬ص‪ ( ، )6‬س‪ ،2‬ص‪ ( ، ) 2‬س‪ ، 3‬ص‪ ( ……… ) 3‬س ن ‪ ،‬ص ن )‬ ‫فإن معامل ارتباط بيرسون الخطي ورمزه (ر) هو ‪:‬‬ ‫ن‬ ‫ر = —ك—ن=‪(—(6‬س—سكك—‪——--‬سس――))—‪—(2‬ص—(ك—‪-‬ص—ك—―ص‪—―)—-‬ص)—‪z zz2‬‬ ‫ك =‪6‬‬ ‫ك =‪6‬‬ ‫وترمز سك إلى قيم المتغير س ‪ ،‬وترمز صك إلى قيم المتغير ص ‪ ،‬حيث ك = ‪ ……… ، 3 ، 2 ، 1‬ن‬ ‫إعادة الحل على معامل ارتباط بيرسون ‪:‬‬ ‫صفحة ‪212‬‬ ‫مثال الكتاب ‪1‬‬ ‫‪ )6‬ايجاد المتوسط الحسابي لعلامات مبحث الرياضيات ‪:‬‬ ‫=‪5‬‬ ‫‪25‬‬ ‫=‬ ‫(‪)8+7+5+3+2‬‬ ‫=‬ ‫س―‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ )2‬ايجاد المتوسط الحسابي لعلامات مبحث التاريخ ‪:‬‬ ‫=‪1‬‬ ‫‪31‬‬ ‫=‬ ‫(‪)5+9+4+7+5‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪065‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫(صك‪ -‬ص― ) ‪2‬‬ ‫(سك‪ -‬س―)‪2‬‬ ‫‪ )3‬إنشاء الجدول الآتي ‪:‬‬ ‫س ك ص ك س ك ‪ -‬س― ص ك ‪ -‬ص― (س ك ‪ -‬س― )(صك‪ -‬ص―)‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3 6- 3- 5 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2- 6 2- 7 3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪1 2- 1 4 5‬‬ ‫‪61‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪1 3 2 97‬‬ ‫‪3- 6- 3 5 8‬‬ ‫المجموع ‪4 1 1‬‬ ‫دائما المجموع هنا يساوي الصفر‬ ‫هذه الاعمدة التي تهمنا في معامل الارتباط‬ ‫ن‬ ‫ر = —— ك—=—‪—(6‬س ك— ‪——-‬س―—)(——ص ك— ‪―——-‬ص—)—‪z‬‬ ‫ن‬ ‫―ص‬ ‫ن‬ ‫س―)‪( 2‬ص‬ ‫(س‬ ‫ك =‪6‬‬ ‫‪z z2‬‬‫)‬ ‫‪-‬‬ ‫ك‬ ‫‪-‬‬ ‫ك‬ ‫=‪6‬‬ ‫ك‬ ‫ر = ————‪1.21 ≈ ——4—— = ——4‬‬ ‫‪21.4 61 × 21 ‬‬ ‫‪ B‬توجد علاقة طردية ضعيفة بين علامات هؤلاء الطلبة في هذين المبحثين‬ ‫ملاحظة هامة ‪ :‬قيمة معامل الارتباط محصورة بين (‪ )6‬و ( ‪) 6-‬‬ ‫ضمن هذا المجال‬ ‫ضمن هذا المجال‬ ‫مخطط توضيحي‬ ‫الارتباط عكسي ( سالب)‬ ‫الارتباط طردي (موجب)‬ ‫لمعامل الارتباط‬ ‫●‬ ‫●‬ ‫●‬ ‫عندما ر = ‪6‬‬ ‫‪ 1.81-‬ع‪-‬ند‪6‬ما ر = ‪6-‬‬ ‫‪1.21- 1 1.21‬‬ ‫‪1.81 6‬‬ ‫ارتباط عكسي تام‬ ‫عندما ر = ‪1‬‬ ‫ارتباط طردي تام‬ ‫لا يوجد ارتباط‬ ‫عندما ر = ‪1081-‬‬ ‫عندما ر = ‪1021-‬‬ ‫عندما ر=‪1021‬‬ ‫عندما ر = ‪1081‬‬ ‫نقول ارتباط عكسي قوي‬ ‫نقول ارتباط طردي ضعيف‬ ‫نقول ارتباط طردي قوي‬ ‫نقول ارتباط عكسي‬ ‫لأنه قريب من (‪)1 -‬‬ ‫ضعيف لأنه قريب من‬ ‫لأنه قريب من)‪( 1‬‬ ‫لأنه قريب من ( ‪)1‬‬ ‫‪060‬‬ ‫الصفر‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫صفحة ‪215‬‬ ‫تدريب الكتاب ‪2‬‬ ‫احسب معامل ارتباط بيرسون بين المتغيرين ‪ :‬س ‪ ،‬ص كما في الجدول الآتي ‪:‬‬ ‫‪66 61 9 8 1 3 2‬‬ ‫س‬ ‫‪7 2 4 8 5 61 1‬‬ ‫ص‬ ‫=‪7‬‬ ‫(‪)66+61+9+8+1+3+2‬‬ ‫=‬ ‫س―‬ ‫‪7‬‬ ‫=‪1‬‬ ‫(‪)7+2+4+8+5+61+1‬‬ ‫=‬ ‫―ص‬ ‫‪7‬‬ ‫نقوم بإنشاء الجدول الآتي ‪:‬‬ ‫(صك‪― -‬ص ) ‪2‬‬ ‫(سك‪ -‬س―)‪2‬‬ ‫(سك ‪ -‬س― )(صك‪― -‬ص )‬ ‫س ك ‪ -‬س― صك‪ -‬ص―‬ ‫سك ص ك‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 5-‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪4 4-‬‬ ‫‪61‬‬ ‫‪61‬‬ ‫‪61-‬‬ ‫‪61 3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6- 6-‬‬ ‫‪51‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪88‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4-‬‬ ‫‪2- 2‬‬ ‫‪2 61‬‬ ‫‪61‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪62-‬‬ ‫‪4- 3‬‬ ‫‪7 66‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪61‬‬ ‫المجموع‬ ‫‪72‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪25-‬‬ ‫‪11‬‬ ‫ن‬ ‫ر= ك— =—‪—(6‬س ك— ‪——-‬س―—)(——ص ك— ‪―——-‬ص—)———‪z‬‬ ‫ن (س ك ‪ -‬س―)‪ 2‬ن (ص ك ‪― -‬ص ) ‪z z2‬‬ ‫ك =‪6‬‬ ‫ك =‪6‬‬ ‫‪25-‬‬ ‫=‬ ‫‪25-‬‬ ‫ر=‬ ‫‪3124 ‬‬ ‫‪42 ×72‬‬ ‫‪ B‬توجد علاقة عكسية قوية بين المتغيرين س ‪ ،‬ص‬ ‫صفحة ‪211‬‬ ‫مثال الكتاب ‪2‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪25‬‬ ‫=‬ ‫)‪2‬‬ ‫‪-‬س―‬ ‫ك‬ ‫‪(z5 ،‬س‬ ‫(‪)5‬‬ ‫منهما‬ ‫كل‬ ‫قيم‬ ‫وعدد‬ ‫‪،‬‬ ‫متغيرين‬ ‫ص‬ ‫‪،‬‬ ‫س‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫ك=‪6‬‬ ‫‪066‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫ك=‪(6z5‬صك ‪― -‬ص) ‪ ، 61 = 2‬ك=‪6(z5‬سك ‪ -‬س― )(ص ك ‪― -‬ص ) = ‪65-‬‬ ‫فاحسب معامل ارتباط بيرسون بين هذين المتغيرين ‪ ،‬محددا نوع العلاقة بينهما‬ ‫ن‬ ‫الحل‬ ‫‪ ——:‬ك—=—‪—(6‬س ك— ‪——-‬س―—)(——ص ك— ‪―——-‬ص—)—‪z‬‬ ‫ر=‬ ‫―ص‬ ‫س―)‪ 2‬ن (ص‬ ‫ن‬ ‫ك =‪6‬‬ ‫(س‬ ‫‪z z2‬‬‫)‬ ‫‪-‬‬ ‫ك‬ ‫‪-‬‬ ‫ك‬ ‫=‪6‬‬ ‫ك‬ ‫‪1.75-‬‬ ‫=‬ ‫‪65-‬‬ ‫=‬ ‫‪65-‬‬ ‫ر=‬ ‫‪21‬‬ ‫‪61 ×25‬‬ ‫‪ B‬توجد علاقة عكسية قوية بين هذين المتغيرين‬ ‫صفحة ‪211‬‬ ‫تدريب الكتاب ‪3‬‬ ‫إذا كان س ‪ ،‬ص متغيرين ‪ ،‬وعدد قيم كل منهما (‪، )0‬ك‪(6z=7‬سك ‪-‬س― )‪، 4 = 2‬‬ ‫‪ ،‬ك=‪6(z7‬سك ‪ -‬س―)(صك ‪― -‬ص ) = ‪، 2‬‬ ‫‪( z7‬ص ك ‪ -‬ص― ) ‪9 = 2‬‬ ‫ك=‪6‬‬ ‫فاحسب معامل ارتباط بيرسون بين هذين المتغيرين ‪ ،‬محددا نوع العلاقة بينهما‬ ‫ر = — ك—ن=—‪—(6‬س ك—‪—-‬س―—)(——صك—‪—-‬ص―—)————‪z‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫ن (س ك ‪ -‬س―)‪ 2‬ن (صك ‪― -‬ص) ‪z z2‬‬ ‫ك =‪6‬‬ ‫ك =‪6‬‬ ‫موجبة‬ ‫العلاقة طردية‬ ‫=‪1.33‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ر=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3×2‬‬ ‫‪× 4‬‬ ‫أثر التعديلات الخطية في قيمة معامل ارتباط بيرسون ‪:‬‬ ‫إذا عدلت قيم المتغيرين س ‪ ،‬ص حسب العلاقة ‪:‬‬ ‫‪ ،‬ص* = جـ ص ‪ +‬د حيث ‪ :‬أ ‪ ،‬ب ‪ ،‬جـ أعداد حقيقية‬ ‫س* = أس ‪ +‬ب‬ ‫فإن معامل الارتباط ( ر ) بين ‪ :‬س* ‪ ،‬ص* يساوي ‪:‬‬ ‫‪065‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫‪ )6‬معامل الارتباط = ر إذا كانت إشارتا أ ‪ ،‬جـ متشابهتين‬ ‫‪ )2‬معامل الارتباط = ‪ -‬ر إذا كانت إشارتا أ ‪ ،‬جـ مختلفتين‬ ‫صفحة ‪218‬‬ ‫مثال الكتاب ‪3‬‬ ‫إذا كان معامل ارتباط بيرسون بين المتغيرين ‪ :‬س ‪ ،‬ص هو ‪ ، 108-‬فجد معامل الارتباط بين س* ‪ ،‬ص* اللذين يمثلان‬ ‫المشاهدات بعد التعديل في كل مما يأتي ‪:‬‬ ‫ص* = ص – ‪5‬‬ ‫‪ )6‬س* = ‪2‬س ‪، 5 +‬‬ ‫ص* = ‪1‬ص – ‪5‬‬ ‫‪ )2‬س* = ‪4-‬س ‪، 5 +‬‬ ‫ص* = ‪ -‬ص – ‪5‬‬ ‫‪ )3‬س* = ‪8 – 5‬س ‪،‬‬ ‫‪ ،‬ص* = ص – ‪5‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪ )6‬س* = ‪2‬س ‪5 +‬‬ ‫نلاحظ ان معامل س هو (‪ )2‬موجب ‪ ،‬ومعامل ص هو ( ‪ )6‬موجب‬ ‫‪ B‬المعاملان لهما نفس الإشارة ‪ ،‬لذا فإن ر = ‪1.8 -‬‬ ‫‪ )2‬س* = ‪4-‬س ‪ ، 5 +‬ص* = ‪1‬ص – ‪5‬‬ ‫نلاحظ أن معامل س هو (‪ )4-‬سالب ‪ ،‬ومعامل ص هو (‪ )1‬موجب‬ ‫‪ B‬المعاملان ليس لهما نفس الإشارة ‪ ،‬لذا فإن ر = ‪1.8‬‬ ‫‪ )3‬س* = ‪8 – 5‬س ‪ ،‬ص* = ‪ -‬ص – ‪5‬‬ ‫نلاحظ أن معامل س هو (‪ )8-‬سالب ‪ ،‬ومعامل ص هو (‪ )1-‬سالب‬ ‫‪ B‬المعاملان لهما نفس الإشارة ‪ ،‬لذا فإن ر = ‪108 -‬‬ ‫تدريب الكتاب ‪ 4‬صفحة ‪218‬‬ ‫إذا كان معامل ارتباط بيرسون بين المتغيرين ‪ :‬س ‪ ،‬ص هو ‪ ، 1015‬فجد معامل الارتباط بين‬ ‫س* ‪ ،‬ص* اللذين يمثلان المشاهدات بعد التعديل في كل مما يأتي ‪:‬‬ ‫‪062‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫ص* = ‪ - 8‬ص‬ ‫‪ )6‬س* = ‪8-‬س ‪، 5 +‬‬ ‫ص* = ‪1‬ص – ‪5‬‬ ‫‪ )2‬س* = س ‪، 5 +‬‬ ‫ص* = ص – ‪5‬‬ ‫‪ )3‬س* = ‪7 – 21‬س ‪،‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫س* = ‪8-‬س ‪ ، 5 +‬ص* = ‪ - 8‬ص‬ ‫‪)6‬‬ ‫نلاحظ أن معامل س هو (‪ )8-‬سالب ‪ ،‬ومعامل ص هو (‪ )1-‬سالب‬ ‫‪ B‬المعاملان لهما نفس الإشارة ‪ ،‬لذا فإن ر = ‪1015‬‬ ‫‪ )2‬س* = س ‪ ، 5 +‬ص* = ‪1‬ص – ‪5‬‬ ‫نلاحظ ان معامل س هو (‪ )1‬موجب ‪ ،‬ومعامل ص هو ( ‪ )1‬موجب‬ ‫‪ B‬المعاملان لهما نفس الإشارة ‪ ،‬لذا فإن ر = ‪1015‬‬ ‫‪ )3‬س* = ‪7 – 21‬س ‪ ،‬ص* = ص – ‪5‬‬ ‫نلاحظ أن معامل س هو (‪ )0-‬سالب ‪ ،‬ومعامل ص هو (‪ )1‬موجب‬ ‫‪ B‬المعاملان ليس لهما نفس الإشارة ‪ ،‬لذا فإن ر = ‪1015-‬‬ ‫سؤال إضافي‬ ‫‪،‬‬ ‫‪،‬ك=‪(6z8‬سر‪-‬س― )‪211 = 2‬‬ ‫منهما ( ‪)8‬‬ ‫كل‬ ‫قيم‬ ‫‪ ،‬وعدد‬ ‫إذا كان س ‪ ،‬ص متغيرين‬ ‫=‬ ‫ر ‪ -‬س―)(صر ‪ -‬ص― )‬ ‫‪،‬‬ ‫‪628‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪621‬‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫)‪2‬‬ ‫ص―‬ ‫‪-‬‬ ‫(صر‬ ‫‪8‬‬ ‫‪(z‬س‬ ‫‪z‬‬ ‫ك=‪6‬‬ ‫ك=‪6‬‬ ‫فاحسب معامل ارتباط بيرسون بين هذين المتغيرين ‪ ،‬محددا نوع العلاقة بينهما‬ ‫ن‬ ‫ر = —ك—=‪—(6‬س—ك—‪—-‬س―— )—(—ص—ك—‪―—-‬ص——)——‪z‬‬ ‫ن (س ك ‪ -‬س―)‪ 2‬ن (ص ك ‪― -‬ص) ‪z z2‬‬ ‫ك =‪6‬‬ ‫ك =‪6‬‬ ‫العلاقة طردية قوية‬ ‫= ‪1.75‬‬ ‫‪621‬‬ ‫=‬ ‫‪621‬‬ ‫ر=‬ ‫‪611‬‬ ‫‪628×211‬‬ ‫‪067‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫سؤال إضافي‬ ‫إذا كان معامل ارتباط بيرسون بين المتغيرين س ‪ ،‬ص يساوي ‪ ، 108‬عدلت قيم كل من المتغيرين س ‪ ،‬ص حسب العلاقة‬ ‫س* = ‪2‬س ‪ ، 6-‬ص* = ‪4 – 6‬ص ‪ ،‬فإن معامل ارتباط بيرسون بين س* ‪ ،‬ص* يساوي ‪:‬‬ ‫د) ‪1.8-‬‬ ‫ج) ‪1.8‬‬ ‫ب) ‪1.2‬‬ ‫أ) ‪1.2-‬‬ ‫الحل ‪ :‬نلاحظ أن معامل س هو (‪ )2‬موجب ‪ ،‬ومعامل ص هو (‪ )1-‬سالب‬ ‫‪ B‬المعاملان ليس لهما نفس الإشارة ‪ ،‬لذا فإن ر = ‪108-‬‬ ‫سؤال إضافي‬ ‫يمثل الشكل المجاور شكل الانتشار بين المتغيرين س ‪ ،‬ص فإنه يمكن الحكم على نوع العلاقة بين المتغيرين س ‪ ،‬ص‬ ‫على أنها ‪:‬‬ ‫ب) طردية‬ ‫أ) تامة‬ ‫د) لا توجد علاقة‬ ‫ج) عكسية‬ ‫سؤال إضافي‬ ‫احسب معامل ارتباط بيرسون الخطي بين المتغيرين س ‪ ،‬ص في الجدول الآتي ‪:‬‬ ‫‪8 65 63 9 61‬‬ ‫س‬ ‫‪62 7 5 66 61‬‬ ‫ص‬ ‫ر = ك—ن=ن—‪—((6‬سسك—ك‪―—-—-‬سس―—))‪—(2‬نص— ك(— ‪—-‬ص ك—―ص‪―—)—-‬ص—) ‪z zz—2‬‬ ‫علما بأن ‪:‬‬ ‫ك =‪6‬‬ ‫ك =‪6‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫= ‪66‬‬ ‫‪)8‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪65+‬‬ ‫‪63+‬‬ ‫‪9+‬‬ ‫(‪61‬‬ ‫=‬ ‫س―‬ ‫‪5‬‬ ‫=‪9‬‬ ‫‪)62‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪7+ 5+66+‬‬ ‫(‪61‬‬ ‫=‬ ‫―ص‬ ‫‪5‬‬ ‫‪051‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫(صك‪― -‬ص) ‪2‬‬ ‫(سك‪―-‬س)‪2‬‬ ‫(سك ‪ -‬س― )(صك‪― -‬ص )‬ ‫سك ‪ -‬س― صك ‪― -‬ص‬ ‫سك ص ك‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6-‬‬ ‫‪6 6-‬‬ ‫‪61 61‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4-‬‬ ‫‪2 2-‬‬ ‫‪66 9‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8-‬‬ ‫‪5 63‬‬ ‫‪61‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8-‬‬ ‫‪4- 2‬‬ ‫‪7 65‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪61‬‬ ‫‪9-‬‬ ‫‪2- 4‬‬ ‫‪62 8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫المجموع‬ ‫‪34‬‬ ‫‪31-‬‬ ‫‪3 3-‬‬ ‫‪34‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪1.88-‬‬ ‫=‬ ‫‪31-‬‬ ‫=‬ ‫‪31-‬‬ ‫ر=‬ ‫‪34‬‬ ‫‪34×34‬‬ ‫سؤال إضافي‬ ‫إذا كان معامل الارتباط بين س ‪ ،‬ص يساوي ‪ ، 101‬فجد قيمة معامل الارتباط بين س* ‪ ،‬ص*‬ ‫حيث س* = ‪ + 5‬س ‪ ،‬ص*= ‪2-‬ص‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫نلاحظ أن معامل س هو (‪ )1‬موجب ‪ ،‬ومعامل ص هو (‪ )2-‬سالب‬ ‫‪ B‬المعاملان ليس لهما نفس الإشارة ‪ ،‬لذا فإن ر = ‪101-‬‬ ‫سؤال إضافي‬ ‫إذا مثلت العلاقة بين المتغيرين س ‪ ،‬ص في شكل الانتشار المجاور‬ ‫حيث وقعت النقاط جميعها على خط مستقيم ‪ ،‬اكتب نوع علاقة الارتباط‬ ‫الحل ‪ :‬العلاقة طردية تامة وتساوي ( ‪) 1‬‬ ‫سؤال وزاري ‪ 8102‬منهاج جديد‬ ‫ما نوع العلاقة التي تربط بين المتغيرين س ‪ ،‬ص في شكل الانتشار المجاور ؟‬ ‫ب) طردية تامة‬ ‫أ) طردية (موجبة)‬ ‫د) عكسية (سالبة )‬ ‫ج) عكسية تامة‬ ‫‪050‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫‪،‬‬ ‫‪86‬‬ ‫=‬ ‫)‪2‬‬ ‫‪ -‬س―‬ ‫ك‬ ‫‪9‬‬ ‫سؤال وزاري ‪ 8102‬منهاج جديد‬ ‫‪(z‬س‬ ‫إذا كان س ‪ ،‬ص متغيرين ‪ ،‬وعدد قيم كل منهما (‪ ، )9‬وكان ‪:‬‬ ‫ك=‪6‬‬ ‫ك=‪(6z9‬صك ‪― -‬ص) ‪ ، 411 = 2‬ك=‪(6z9‬سك ‪ -‬س― )(ص ك ‪― -‬ص ) = ‪611‬‬ ‫فاحسب معامل ارتباط بيرسون بين هذين المتغيرين س ‪ ،‬ص‬ ‫‪ ——:‬ك—ن=—‪—(6‬س ك— ‪——-‬س―—)(——ص ك— ‪―——-‬ص—)—‪z‬‬ ‫الحل‬ ‫―ص‬ ‫س―)‪ 2‬ن (ص‬ ‫ن‬ ‫ر=‬ ‫ك =‪6‬‬ ‫(س‬ ‫)‬‫‪z z2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ك‬ ‫‪-‬‬ ‫ك‬ ‫=‪6‬‬ ‫ك‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫‪611‬‬ ‫=‬ ‫‪611‬‬ ‫ر=‬ ‫‪9‬‬ ‫‪21×9‬‬ ‫‪411×86‬‬ ‫سؤال وزاري ‪ 8102‬منهاج قديم‬ ‫‪ )1‬معتمدا شكل الانتشار المجاور الذي يبين العلاقة بين المتغيرين س ‪ ،‬ص ‪ ،‬ما قيمة معامل الارتباط (ر)‬ ‫بين المتغيرين س ‪ ،‬ص ؟‬ ‫د) ‪101‬‬ ‫ج) ‪101-‬‬ ‫ب) ‪1-‬‬ ‫أ) ‪1‬‬ ‫‪ )2‬إذا كان س ‪ ،‬ص متغيرين عدد قيم كل منهما (‪ ، )1‬وكان ‪(z1 ،‬س ك ‪ -‬س― )(صك ‪― -‬ص ) = ‪62‬‬ ‫ك=‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫فاحسب معامل ارتباط بيرسون الخطي (ر)‬ ‫‪61‬‬ ‫=‬ ‫―ص )‪2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫(صر‬ ‫‪،‬‬ ‫‪9‬‬ ‫=‬ ‫س―)‪2‬‬ ‫‪z‬‬ ‫ك=‪(6z‬سك‪-‬‬ ‫ك=‪6‬‬ ‫= ك—ن=ن—‪—((6‬سسك—ك‪―—-—-‬سس―—))‪—(2‬نص— ك(— ‪—-‬ص ك—―ص‪―—)—-‬ص—) ‪z zz—2‬‬ ‫ر‬ ‫بين المتغيرين س ‪ ،‬ص‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫ك =‪6‬‬ ‫ك =‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪62‬‬ ‫=‬ ‫‪61‬‬ ‫‪62‬‬ ‫=‬ ‫ر‬ ‫‪4×3‬‬ ‫‪×9‬‬ ‫‪058‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫صفحة ‪219‬‬ ‫حل الأسئلة‬ ‫‪ )6‬النقط (‪ )3 ،11(،)1 ،1(،)1 ،9(،)8 ،5(،)5 ،1(،)1، 8( ، )0 ، 0‬تمثل القيم المتناظرة لمتغيرين ‪ ،‬ارسم شكل‬ ‫الانتشار بين المتغيرين ‪ :‬س ‪ ،‬ص محدد ًا نوع العلاقة التي تربط بينهما ص‬ ‫•‪9‬‬ ‫• •‪8‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫• •‪7‬‬ ‫العلاقة هي عكسية ( سالبة )‬ ‫• •‪1‬‬ ‫• •‪5‬‬ ‫•‪4‬‬ ‫•‪3‬‬ ‫••‬ ‫•‬ ‫•‪2‬‬ ‫•‪6‬‬ ‫•‪6• 2• •3 •4 •5 1• 7• •8 9‬‬ ‫س‬ ‫‪ )2‬الجدول الآتي يبين بعد مؤسسة استهلاكية عن مركز المدينة بالكيلومتر (س) ‪ ،‬وحجم مبيعات المؤسسة بالألف‬ ‫دينار شهريا (ص) لخمس مؤسسات ‪ ،‬احسب معامل الارتباط بين المتغيرين س ‪ ،‬ص‬ ‫‪62 3 2 1 7‬‬ ‫س‬ ‫‪1 8 1 9 66‬‬ ‫ص‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪)62‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3+ 2+‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫(‪7‬‬ ‫س―=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫‪)1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪8+‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫‪9+‬‬ ‫(‪66‬‬ ‫=‬ ‫―ص‬ ‫‪5‬‬ ‫(صك‪― -‬ص ) ‪2‬‬ ‫(سك‪ -‬س―)‪2‬‬ ‫س ك ص ك س ك ‪ -‬س― صك‪― -‬ص (سك ‪ -‬س― )(صك‪― -‬ص )‬ ‫‪9‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3 3 6 66 7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪61‬‬ ‫‪1 6 1 91‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪8 2- 4- 1 2‬‬ ‫‪68‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪1 1 3- 8 3‬‬ ‫‪62- 2- 1 1 62‬‬ ‫المجموع ‪6- 1 1‬‬ ‫ن‬ ‫ر = —ك =—‪—(6‬س—ك—‪—-‬س―—)—(—ص—ك—‪―—-‬ص— )———‪z‬‬ ‫ن (س ك ‪ -‬س―)‪ 2‬ن (ص ك ‪― -‬ص ) ‪z z2‬‬ ‫ك =‪6‬‬ ‫ك =‪6‬‬ ‫‪053‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫‪6-‬‬ ‫=‬ ‫‪6-‬‬ ‫ر=‬ ‫‪6661‬‬ ‫‪68×12‬‬ ‫‪ )3‬احسب معامل الارتباط بين المتغيرين ‪ :‬س ‪ ،‬ص للقيم المبينة في الجدول الآتي ‪:‬‬ ‫‪95 75 71 11‬‬ ‫س‬ ‫‪51 91 611 81‬‬ ‫ص‬ ‫= ‪75‬‬ ‫‪)95+‬‬ ‫‪75+71+‬‬ ‫(‪11‬‬ ‫س―=‬ ‫‪4‬‬ ‫= ‪81‬‬ ‫‪)51+‬‬ ‫‪91+611+‬‬ ‫(‪81‬‬ ‫=‬ ‫―ص‬ ‫‪4‬‬ ‫(صك‪― -‬ص ) ‪2‬‬ ‫(سك‪―-‬س)‪2‬‬ ‫س ك ص ك س ك ‪ -‬س― صك‪― -‬ص (سك‪ -‬س― )(صك‪― -‬ص )‬ ‫‪1‬‬ ‫‪225‬‬ ‫‪1 1 65- 81 11‬‬ ‫‪411‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪611‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪611-‬‬ ‫‪21 5- 611 71‬‬ ‫‪911‬‬ ‫‪6411‬‬ ‫‪411‬‬ ‫‪1 61 1 91 75‬‬ ‫‪151‬‬ ‫‪111- 31- 21 51 95‬‬ ‫‪711-‬‬ ‫المجموع ‪1 1‬‬ ‫ن‬ ‫ر = —ك—=‪—(6‬س— ك—‪—-‬س—― )—(—ص—ك—‪―——-‬ص—)——‪z‬‬ ‫ن‬ ‫ن‬ ‫(س ك ‪ -‬س―)‪2‬‬ ‫(ص ك ‪― -‬ص ) ‪z z2‬‬ ‫ك =‪6‬‬ ‫ك =‪6‬‬ ‫‪711-‬‬ ‫=‬ ‫‪711-‬‬ ‫ر=‬ ‫‪961111‬‬ ‫‪6411×151‬‬ ‫= ‪21‬‬ ‫)‪2‬‬ ‫―س‬ ‫‪-‬‬ ‫‪7‬‬ ‫كان س ‪،‬‬ ‫‪ )4‬إذا‬ ‫=ص‪1‬مت‪1‬غ‪5‬ير‪،‬ين‪(7،z‬وسعدكد‪-‬قيمس―كل)(منهصمكا‪―)7(-‬ص‪،‬ك)=‪- (=6z‬س‪8‬ك‬ ‫‪― -‬ص) ‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ك=‪6‬‬ ‫ك‪(6=z‬صك‬ ‫أ)اوجد معامل ارتباط بيرسون بين المتغيرين ‪ :‬س ‪ ،‬ص ‪ ،‬ب) حدد نوع العلاقة بينهما‬ ‫ر = —كنن=—‪—((6‬سس—كك—‪—--‬س――س—))‪—(2‬ن—ص(—كص‪ —-‬ك—‪―-‬ص— )—―ص )— ‪z zz—2‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫ك =‪6‬‬ ‫ك =‪86-‬‬ ‫ر=‬ ‫‪511×21‬‬ ‫= ‪1.18 -‬‬ ‫ب) العلاقة عكسية ضعيفة ( سالبة )‬ ‫‪055‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫‪ )5‬أي معاملات الارتباط الآتية أقوى ‪:‬‬ ‫د) ‪1.8-‬‬ ‫جـ ) ‪1.8‬‬ ‫ب) ‪1.9-‬‬ ‫أ) ‪1.7‬‬ ‫وذلك لأنها أقرب إلى ‪1-‬‬ ‫‪ )1‬إذا كان معامل ارتباط بيرسون بين المتغيرين ‪ :‬س ‪ ،‬ص هو ‪ ، 1085‬فجد معامل الارتباط بين س* ‪ ،‬ص* في كل‬ ‫ص* = ‪2 – 8‬ص‬ ‫‪،‬‬ ‫مما يأتي ‪:‬‬ ‫ص*= ص – ‪5‬‬ ‫‪،‬‬ ‫أ) س*= ‪9-‬س ‪65 +‬‬ ‫ص* =‪5‬ص ‪3 -‬‬ ‫‪،‬‬ ‫ب)س*=‪4‬س ‪52+‬‬ ‫‪ ،‬ص* = ‪2 – 8‬ص‬ ‫ج)س* = ‪7 – 67‬س‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫أ) س*= ‪9-‬س ‪65 +‬‬ ‫نلاحط أن معامل س هو (‪ )9-‬سالب ‪ ،‬ومعامل ص هو (‪ )2-‬سالب‬ ‫‪ B‬المعاملان لهما نفس الإشارة ‪ ،‬لذا فإن ر = ‪1085‬‬ ‫‪ ،‬ص*= ص – ‪5‬‬ ‫ب)س*=‪4‬س ‪52+‬‬ ‫نلاحط أن معامل س هو (‪ )1‬موجب ‪ ،‬ومعامل ص هو (‪ )1‬موجب‬ ‫‪ B‬المعاملان لهما نفس الإشارة ‪ ،‬لذا فإن ر = ‪1085‬‬ ‫ج)س* = ‪7 – 67‬س ‪ ،‬ص* =‪5‬ص ‪3 -‬‬ ‫نلاحط أن معامل س هو (‪ )0-‬سالب ‪ ،‬ومعامل ص هو (‪ )5‬موجب‬ ‫‪ B‬المعاملان ليس لهما نفس الإشارة ‪ ،‬لذا فإن ر = ‪1085-‬‬ ‫‪050‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫اختبر نفسك‬ ‫‪ )1‬إذا كان معامل الارتباط بين المتغيرين س ‪ ،‬ص يساوي (‪ )109‬فإن الارتباط بين س ‪ ،‬ص ‪:‬‬ ‫أ)طردي قوي ب)عكسي قوي ج)طردي تام د) عكسي تام‬ ‫‪ )2‬إذا كان معامل الارتباط بين س ‪ ،‬ص هو (‪ ،)101‬فإن قيمة معامل الارتباط بين س* ‪،‬‬ ‫ص* ‪ ،‬حيث س* = ‪ – 5‬س ‪ ،‬ص* = ص ‪ 8 +‬يساوي ‪:‬‬ ‫د) ‪1.4-‬‬ ‫ج) ‪1.4‬‬ ‫ب) ‪1.1‬‬ ‫أ) ‪1.1-‬‬ ‫‪ )3‬جد معامل ارتباط بيرسون (ر) بين المتغيرين س ‪ ،‬ص في الجدول الآتي ‪:‬‬ ‫‪8 61 9 1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫س‬ ‫‪62 8 61 7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ص‬ ‫)‪2‬‬ ‫‪-‬س―‬ ‫‪61‬‬ ‫‪)4‬‬ ‫‪،‬‬ ‫= ‪31‬‬ ‫وكان ‪(z‬س‬ ‫)‬ ‫(‪11‬‬ ‫منهما‬ ‫كل‬ ‫قيم‬ ‫عدد‬ ‫متغيرين‬ ‫ص‬ ‫‪،‬‬ ‫س‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫ك‬ ‫ك=‪6‬‬ ‫س―)(ص ك ‪― -‬ص ) = ‪، 681‬‬ ‫‪61‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪6111‬‬ ‫=‬ ‫ص― ) ‪2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ك‬ ‫(ص‬ ‫‪61‬‬ ‫‪،‬ك=‪(6z‬س ك ‪-‬‬ ‫‪z‬‬ ‫ك=‪6‬‬ ‫فاحسب معامل ارتباط بيرسون الخطي بين المتغيرين س ‪ ،‬ص‬ ‫‪ )5‬احسب معامل ارتباط بيرسون بين المتغيرين س ‪ ،‬ص في الجدول الآتي ‪:‬‬ ‫‪8 64 62 61‬‬ ‫س ‪66‬‬ ‫‪66 9 1 61‬‬ ‫ص ‪64‬‬ ‫‪056‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫خط الانحدار‬ ‫ثانياً ‪:‬‬ ‫معادلة خط الانحدار ‪ :‬هي المعادلة الخطية التي يمكن من خلالها التنبؤ بقيمة أحد المتغيرين إذا علمت قيمة المتغير الآخر‬ ‫وهي على الشكل التالي ‪:‬‬ ‫ص^ = أ س ‪ +‬ب حيث ص^ هي القيمة المتنبأ بها (وتقرأ صاد هات ) حيث معنى هات باللغة الانكليزية قبعة‬ ‫ن‬ ‫ب‪:‬‬ ‫إيجاد قيمة أ ‪،‬‬ ‫ك—=—(‪6‬س—نك—(‪—-‬س ك—س―‪—(—)-‬س―)ص—‪2‬ك—‪―——-‬ص‬ ‫س―‬ ‫ب = ―ص ‪-‬‬ ‫ك =‪6‬‬ ‫)‪z z‬‬ ‫=‬ ‫أ‬ ‫الخطأ في التنبؤ ‪ :‬عند تمثيل خط الانحدار على شكل خط مستقيم نلاحظ أن بعض النقط التي تمثل العلاقة بين س ‪ ،‬ص لا‬ ‫تقع على الخط المستقيم ولذلك تسبب خطأ في التنبؤ يعبر عنه بالصورة الآتية ‪:‬‬ ‫الخطأ في التنبؤ = صر – ^صر حيث صر هي القيمة الحقيقية‬ ‫صفحة ‪201‬‬ ‫مثال الكتاب‬ ‫لاحظ صاحب محل لبيع الأجهزة الكهربائية وجود علاقة بين عدد ساعات العمل وعدد الاجهزة المبيعة كالآتي ‪:‬‬ ‫عدد ساعات العمل ‪8 5 4 2 6‬‬ ‫عدد الأجهزة المبيعة ‪62 8 7 5 3‬‬ ‫تنبأ بعدد الأجهزة المبيعة إذا عمل صاحب المحل مدة ‪ 11‬ساعات‬ ‫الحل ‪ :‬خطوات الحل ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪21‬‬ ‫=‬ ‫‪)8+5+4+2+‬‬ ‫(‪6‬‬ ‫=‬ ‫س―‬ ‫‪)6‬نوجد الوسط الحسابي لقيم (س) ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫=‬ ‫‪35‬‬ ‫=‬ ‫‪)62+8+ 7+5+‬‬ ‫(‪3‬‬ ‫=‬ ‫―ص‬ ‫‪)2‬نوجد الوسط الحسابي لقيم (ص) ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪055‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫(سك‪ -‬س―)‪2‬‬ ‫س ك ‪ -‬س― ص ك‪― -‬ص (س ك ‪ -‬س― )(صك‪― -‬ص)‬ ‫‪)3‬ثم نقوم بإنشاء جدول ‪:‬‬ ‫‪62 4- 3-‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪4 2- 2-‬‬ ‫سك ص ك‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1 1 164‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6 61‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪21 5‬‬ ‫‪74‬‬ ‫‪61‬‬ ‫‪37 1 1‬‬ ‫‪85‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪62 8‬‬ ‫المجموع‬ ‫ن‬ ‫‪ )4‬أ = ك—=—‪(6‬ن—س(ك—س‪—-‬ك—س‪)—―-‬س―(—)‪—2‬ص ك— ‪―——-‬ص )‪z z‬‬ ‫ك =‪6‬‬ ‫‪37‬‬ ‫=‬ ‫أ‬ ‫= ‪6.2‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪)5‬إيجاد قيمة ب = ―ص ‪ -‬أ س―‬ ‫= ‪2.2 = 4 × 6.2 – 7‬‬ ‫‪)1‬معادلة خط الانحدار ‪ :‬ص^ = أ س ‪ +‬ب‬ ‫ص^ = ‪6.2‬س ‪2.2 +‬‬ ‫والآن إذا عمل صاحب المحل مدة ‪ 11‬ساعات فإن س = ‪: 11‬‬ ‫ص = ‪ 64 ≈ 64.2 = 2.2 + 61×61.2‬جهاز‬ ‫‪ B‬يمكن ان يبيع صاحب المحل ‪ 11‬جهاز إذا عمل مدة ‪ 11‬ساعات‬ ‫صفحة ‪202‬‬ ‫مثال الكتاب ‪1‬‬ ‫الجدول الآتي يبين علامات خمسة طلاب في امتحان لمبحثي الجغرافيا والتاريخ ‪ ،‬علامته القصوى ‪: 11‬‬ ‫‪54326‬‬ ‫رقم الطالب‬ ‫‪61 8 1 5 6‬‬ ‫علامة الجغرافيا (س)‬ ‫‪61 9 8 7 1‬‬ ‫علامة التاريخ (ص)‬ ‫‪ )1‬جد معادلة خط الانحدار للتنبؤ بعلامة مبحث التاريخ إذا علمت علامة مبحث الجغرافيا‬ ‫‪ )2‬قدر علامة طالب في مبحث التاريخ إذا كانت علامته في مبحث الجغرافيا ‪0‬‬ ‫‪052‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫‪ )3‬جد الخطأ في التنبؤ بعلامة طالب في مبحث التاريخ إذا كانت علامته في الجغرافيا ‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪31‬‬ ‫=‬ ‫‪)61+8+1+5+‬‬ ‫(‪6‬‬ ‫=‬ ‫―س‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ )6‬نوجد الوسط الحسابي لقيم (س) ‪:‬‬ ‫نوجد الوسط الحسابي لقيم (ص) ‪:‬‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫‪41‬‬ ‫=‬ ‫‪)61+9+8+7+‬‬ ‫(‪1‬‬ ‫=‬ ‫―ص‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫(سك‪ -‬س―)‪2‬‬ ‫س ك ‪ -‬س― ص ك‪― -‬ص (س ك ‪ -‬س― )(صك‪― -‬ص)‬ ‫ننشئ الجدول ‪:‬‬ ‫‪61 2- 5-‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪6 6- 6-‬‬ ‫سك ص ك‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1 11‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 62‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8 24‬‬ ‫‪81‬‬ ‫‪26 1 1‬‬ ‫‪98‬‬ ‫‪61‬‬ ‫‪41‬‬ ‫‪61 61‬‬ ‫المجموع‬ ‫ن‬ ‫أ = ك—=‪ (—6‬ن—س ك(—‪-‬س—كس―—)‪―—(-‬س—ص)‪2‬ك—‪―——-‬ص )—‪z z‬‬ ‫ك=‪6‬‬ ‫‪1.41‬‬ ‫=‬ ‫‪26‬‬ ‫=‬ ‫أ‬ ‫‪41‬‬ ‫نوجد قيمة ‪ :‬ب = ―ص ‪ -‬أ س―‬ ‫= ‪5.2 = 1 × 1.41 – 8‬‬ ‫‪ B‬معادلة خط الانحدار ‪ :‬ص^ = أ س ‪ +‬ب هي ‪ :‬ص^ = ‪ 1.41‬س ‪5.2 +‬‬ ‫‪ )2‬إذا كانت علامة الطالب في مبحث الحغرافيا ‪ ، 0‬فإن س = ‪0‬‬ ‫‪ B‬ص = ‪8 ≈ 8.42 = 5.2 + 7 × 1.41‬‬ ‫‪ )3‬الطالب الذي حصل على علامة ‪ 5‬في مبحث الجغرافيا كانت علامته الحقيقية في مبحث التاريخ ‪ 0‬كما في الجدول ‪:‬‬ ‫العلامة المتنبأ بها في مبحث التاريخ هي ‪ :‬ص^ = ‪7.5 = 5.2 + 5 × 1.41‬‬ ‫‪ B‬الخطأ في التنبؤ = القيمة الحقيقية – القيمة المتنبأ بها ‪= :‬صر – ^صر = ‪1.5- = 7.5 – 7‬‬ ‫‪057‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫صفحة ‪203‬‬ ‫تدريب الكتاب ‪1‬‬ ‫الجدول الآتي يبين معدل أربعة طلاب في امتحانات الثانوية العامة والجامعة ‪:‬‬ ‫‪4 326‬‬ ‫رقم الطالب‬ ‫‪85 81 71 15‬‬ ‫معدل الثانوية العامة (س)‬ ‫‪91 71 11 11‬‬ ‫معدل الجامعة (ص)‬ ‫اجب عما يلي ‪:‬‬ ‫‪ )1‬جد معادلة خط الانحدار للتنبؤ بمعدل الجامعة إذا علم معدله في الثانوية العامة‬ ‫‪ )2‬تنبأ بمعدل طالب في الجامعة إذا كان معدله في الثانوية العامة ‪88‬‬ ‫‪ )3‬جد الخطأ في التنبؤ بمعدل طالب في الجامعة إذا كان معدله في الثانوية العامة ‪01‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪75‬‬ ‫=‬ ‫‪311‬‬ ‫=‬ ‫‪)85+81+71+‬‬ ‫(‪15‬‬ ‫س―=‬ ‫‪)6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪71‬‬ ‫=‬ ‫‪812‬‬ ‫=‬ ‫‪)91+71+11+‬‬ ‫(‪11‬‬ ‫=‬ ‫―ص‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫(س ك‪ -‬س―)‪2‬‬ ‫س ك ‪ -‬س― ص ك‪― -‬ص (س ك‪ -‬س―)(ص ك‪― -‬ص )‬ ‫ننشئ الجدول ‪:‬‬ ‫‪611 61- 61-‬‬ ‫‪611‬‬ ‫‪51 61- 5-‬‬ ‫سك ص ك‬ ‫‪25‬‬ ‫‪1 15‬‬ ‫‪11 15‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪211 21 61‬‬ ‫‪11 71‬‬ ‫‪351 1 1‬‬ ‫‪71 81‬‬ ‫‪611‬‬ ‫‪91 85‬‬ ‫‪251‬‬ ‫المجموع‬ ‫ن‬ ‫أ = ك—=‪—(6‬س—نك—(‪-‬س— ك―س—)‪―(—-‬س—ص)—‪2‬ك—‪―—-‬ص—)=‬ ‫= ‪z z6.4‬‬‫‪351‬‬ ‫‪251‬‬ ‫ك=‪6‬‬ ‫ب = ―ص ‪ -‬أ س― = ‪35- = 75 × 6.4 – 71‬‬ ‫‪ B‬معادلة خط الانحدار ‪ :‬ص^ = أ س‪ +‬ب هي ‪ :‬ص^ = ‪6.4‬س ‪35-‬‬ ‫‪)2‬إذا كان معدل الطالب في الثانوية العامة هو ‪ 88‬فإن س = ‪: 88‬‬ ‫‪021‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫ص = ‪88.2 = 35 – 88× 6.4‬‬ ‫‪)3‬الطالب الذي كان معدله في الثانوية العامة ‪ 01‬كان معدله الحقيقي في الجامعة ‪11‬‬ ‫الخطأ المتنبأ به بمعدل الطالب في الجامعة هو ‪ :‬ص^ = ‪13 = 35 – 71 × 6.4‬‬ ‫الخطأ في التنبؤ = =صر – ^صر = ‪3- = 13 – 11‬‬ ‫صفحة ‪201‬‬ ‫مثال الكتاب ‪2‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪65‬‬ ‫=‬ ‫)‪2‬‬ ‫‪-‬س―‬ ‫ك‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫منهما‬ ‫كل‬ ‫قيم‬ ‫وعدد‬ ‫‪،‬‬ ‫متغيرين‬ ‫ص‬ ‫‪،‬‬ ‫س‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫‪(z ،‬س‬ ‫ك=‪6‬‬ ‫س― = ‪― ، 62‬ص = ‪ ، 51‬فجد معادلة خط الانحدار للتنبؤ بقيم ص‬ ‫‪،‬‬ ‫‪11‬‬ ‫=‬ ‫―ص )‬ ‫‪-‬‬ ‫ك‬ ‫س― )(ص‬ ‫‪-‬‬ ‫ك‬ ‫‪(z8‬س‬ ‫ك=‪6‬‬ ‫إذا علمت قيم س‬ ‫ن‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫جد قيمة أ =‬ ‫ك—=—‪—(6‬نس(ك—س‪—-‬ك—―س‪)—-‬س(―—)‪—2‬ص ك— ‪―——-‬ص‬ ‫=‬‫‪z z4‬‬‫‪11‬‬ ‫)‬ ‫‪61‬‬ ‫=‬ ‫ك=‪6‬‬ ‫جد قيمة ب = ―ص ‪ -‬أ س― = ‪2 = 62×4 – 51‬‬ ‫‪ B‬معادلة خط الانحدار ‪ :‬ص^ = أ س ‪ +‬ب هي ص^ = ‪ 4‬س ‪2 +‬‬ ‫صفحة ‪201‬‬ ‫تدريب الكتاب ‪2‬‬ ‫إذا علمت أن معادلة خط الانحدار للعلاقة بين عدد ساعات العمل اليومي (س) وعدد الاخطاء‬ ‫التي يرتكبها الموظف في هذا اليوم (ص) هي ‪ :‬ص^ = ‪ 1.1‬س ‪ ، 6 +‬فأجب عما يأتي ‪:‬‬ ‫‪ )1‬تنبأ بعدد الاخطاء التي سيرتكبها موظف يعمل مدة ‪ 11‬ساعات يوميا‬ ‫‪ )2‬إذا كان عدد الاخطاء التي يرتكبها موظف يعمل ‪ 15‬ساعة يوميا هي ‪ 1‬أخطاء ‪ ،‬فجد الخطأ في التنبؤ‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪ )1‬إذا كان الموظف يعمل مدة ‪ 11‬ساعات يوميا فإن س = ‪ 11‬ومنه ‪:‬‬ ‫ص^ = ‪7 = 6 + 61 × 1.1‬‬ ‫‪ )2‬س= ‪ ، 65‬ص ر = ‪ 1‬ومنه ‪:‬‬ ‫ص^ = ‪61 = 6 + 65 × 1.1‬‬ ‫‪020‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫الخطأ في التنبؤ = صر – ^صر = ‪4- =61 – 1‬‬ ‫سؤال إضافي‬ ‫إذا كانت معادلة الانحدار الخطي للعلاقة بين عدد ساعات الدراسة اليومية ( س ) والمعدل التحصيلي (ص) هي ‪:‬‬ ‫ص^ = ‪5‬س ‪ ، 57 +‬فأجب عن كل مما يأتي ‪:‬‬ ‫‪ )1‬قدر معدل طالب يدرس (‪ )1‬ساعات يوميا‬ ‫‪ )2‬إذا كان معدل طالب درس (‪)3‬ساعات يوميا ( ‪ ) 01‬فجد الخطأ في التنبؤ للمعدل الذي حصل عليه‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪ )6‬عندما س = ‪ 1‬فإن ص^ = ‪87 = 57 + 31 = 57 + 1 × 5‬‬ ‫‪ )2‬عندما س =‪ ، 3‬صر = ‪ 71‬فإن ‪:‬‬ ‫^صر = ‪72 = 57 + 65 = 57 + 3×5‬‬ ‫الخطأ في التنبؤ = صر – ^صر = ‪2- = 72 – 71‬‬ ‫سؤال إضافي‬ ‫إذا كان (س) يمثل عدد ساعات العمل اليومي في مصنع ما ‪( ،‬ص) كمية الاستهلاك اليومي من الكهرباء في المصنع نفسه‬ ‫‪611‬‬ ‫=‬ ‫)‪2‬‬ ‫‪-‬س―‬ ‫ك‬ ‫‪8‬‬ ‫‪411‬‬ ‫=‬ ‫س― = ‪― ، 8‬ص‬ ‫بالكيلو واط ‪/‬ساعة ‪ ،‬جمعت البيانات الآتية لستة مصانع ‪:‬‬ ‫‪(z ،‬س‬ ‫―ص ) = ‪ 211‬فجد ما يلي ‪:‬‬ ‫س―)(ص ك ‪-‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ك=‪6‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ك‬ ‫‪(z‬س‬ ‫ك=‪6‬‬ ‫‪ )1‬معادلة خط الانحدار الخطي للتنبؤ بقيم ص إذا علمت قيم س‬ ‫‪ )2‬الخطأ في التنبؤ لكمية استهلاك الكهرباء لمصنع عمل ‪ 9‬ساعات في أحد الأيام وكان استهلاكه الحقيقي من الكهرباء‬ ‫في ذلك اليوم ‪ 111‬كيلو واط ‪/‬ساعة‬ ‫ن‬ ‫‪:‬‬ ‫الحل‬ ‫أ‬ ‫‪)6‬‬ ‫ك—=‪ (—6‬ن—س ك(—س‪—-‬ك—س―‪(—)-‬س―—)ص‪—2‬ك—‪―—-‬ص— ) =‬ ‫=‬‫‪z z2‬‬‫‪211‬‬ ‫=‬ ‫‪611‬‬ ‫ك=‪6‬‬ ‫ب = ―ص ‪ -‬أ س―= ‪384 = 61 – 411 = 8×2 – 411‬‬ ‫‪028‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫معادلة خط الانحدار ص^ = أ س ‪ +‬ب هي ‪ :‬ص^ = ‪2‬س ‪384 +‬‬ ‫‪)2‬س =‪ ، 9‬صر = ‪461‬‬ ‫ص^ = ‪412 = 384 + 9 × 2‬‬ ‫الخطأ في التنبؤ = صر ‪^ -‬صر = ‪8 = 412 – 461‬‬ ‫سؤال وزاري ‪ 8102‬منهاج جديد‬ ‫إذا علمت أن معادلة خط الانحدار للعلاقة بين عدد ساعات العمل اليومي (س) وعدد الاخطاء التي يرتكبها الموظف‬ ‫في هذا اليوم (ص) هي ‪ :‬ص^ = ‪ 1.5‬س ‪ ، 6 +‬فأجب عما يأتي ‪:‬‬ ‫‪ )1‬تنبأ بعدد الاخطاء التي سيرتكبها موظف يعمل مدة ‪ 8‬ساعات يوميا‬ ‫‪ )2‬إذا كان عدد الاخطاء التي يرتكبها موظف يعمل ‪ 11‬ساعة يوميا هي ‪ 1‬أخطاء ‪ ،‬فجد الخطأ في التنبؤ‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪ )3‬إذا كان الموظف يعمل مدة ‪ 8‬ساعات يوميا فإن س = ‪ 8‬ومنه ‪:‬‬ ‫ص^ = ‪5 = 6 + 8 × 1.5‬‬ ‫‪ )4‬س= ‪ ، 61‬ص ر = ‪ 4‬ومنه ‪:‬‬ ‫ص^ = ‪1 = 6 + 61 × 1.5‬‬ ‫الخطأ في التنبؤ = صر – ^صر = ‪2- =1 – 4‬‬ ‫سؤال وزاري ‪ 8102‬منهاج قديم‬ ‫إذا كانت معادلة الانحدار الخطي البسيط للعلاقة بين معامل الذكاء (س) ومعدل التحصيل (ص) هي ‪:‬‬ ‫ص^ = ‪ 6.4‬س – ‪ ، 86‬فتنبأ بالمعدل التحصيلي لطالب معامل ذكائه ‪111‬‬ ‫الحل ‪ :‬عندما س = ‪ 661‬فإن ص^ = ‪73 = 86 – 654 = 86 – 661× 6.4‬‬ ‫‪023‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫صفحة ‪205‬‬ ‫حل الاسئلة‬ ‫‪)6‬الجدول الآتي يبين معدل خمسة طلاب في الصفين ‪ :‬التاسع والعاشر‬ ‫‪54326‬‬ ‫رقم الطالب‬ ‫‪91 85 71 55 51‬‬ ‫التاسع (س)‬ ‫‪81 71 11 71 11‬‬ ‫العاشر (ص)‬ ‫أ) جد معادلة خط الانحدار للتنبؤ بمعدل الطالب في الصف العاشر إذا علم معدله في الصف التاسع‬ ‫ب)تنبأ بمعدل طالب في الصف العاشر إذا كان معدله في الصف التاسع ‪88‬‬ ‫ج)جد الخطأ في التنبؤ بمعدل طالب في الصف العاشر إذا كان معدله في الصف التاسع ‪91‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫أ)‬ ‫‪71‬‬ ‫=‬ ‫‪351‬‬ ‫=‬ ‫‪)91+85+71+55+‬‬ ‫(‪51‬‬ ‫=‬ ‫س―‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪18‬‬ ‫=‬ ‫‪341‬‬ ‫=‬ ‫‪)81+71+11+71+‬‬ ‫(‪11‬‬ ‫=‬ ‫―ص‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ننشئ الجدول‬ ‫(س ك‪ -‬س―)‪2‬‬ ‫س ك ص ك س ك ‪ -‬س― ص ك‪― -‬ص (س ك‪ -‬س― )(صك‪― -‬ص)‬ ‫‪611 8- 21- 11 51‬‬ ‫‪411‬‬ ‫‪225‬‬ ‫‪31- 2 65- 71 55‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 8- 1 11 71‬‬ ‫‪225‬‬ ‫‪411‬‬ ‫‪31 2 65 71 85‬‬ ‫‪6251‬‬ ‫‪241 62 21 81 91‬‬ ‫المجموع ‪411 1 1‬‬ ‫ن‬ ‫أ = ك—=‪ (—6‬ن—س ك(—‪-‬س—ك―—س‪(—)-‬س―—)ص‪—2‬ك‪―——-‬ص—)=‪z z‬‬ ‫‪1.32‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫‪411‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪2516‬‬ ‫ب = ―صك‪6=-‬أ س―= ‪45.1 = 71×1.32 – 18‬‬ ‫معادلة خط الانحدار ص^ = أس ‪ +‬ب هي ص^ = ‪ 1.32‬س ‪45.1 +‬‬ ‫‪025‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫ب)عندما س = ‪ 91‬تكون ص = ‪81‬‬ ‫القيمة المتنبأ بها ص^ = ‪74.4 = 45.1 + 91×1.32‬‬ ‫الخطأ في التنبؤ = صر – ^صر = ‪5.1 = 74.4 – 81‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪21‬‬ ‫=‬ ‫)‪2‬‬ ‫‪-‬س―‬ ‫ك‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫منهما‬ ‫كل‬ ‫قيم‬ ‫وعدد‬ ‫‪،‬‬ ‫متغيرين‬ ‫ص‬ ‫‪،‬‬ ‫س‬ ‫كان‬ ‫‪)2‬إذا‬ ‫‪(z ،‬س‬ ‫ك=‪6‬‬ ‫س―=‬ ‫―ص=‬ ‫―ص‬ ‫س―)(ص‬ ‫‪(z8‬س‬ ‫الانحدار‬ ‫خط‬ ‫معادلة‬ ‫فجد‬ ‫‪45‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪65‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪41‬‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪-‬‬ ‫ك‬ ‫‪-‬‬ ‫ك‬ ‫ك=‪6‬‬ ‫للتنبؤ بقيم ص إذا علمت قيم س‬ ‫ك—ن=‪(—6‬ك—ن=س‪6‬ك(—س‪—-‬ك—―س‪(—)-‬س―—)ص‪—2‬ك—‪―—-‬ص—)‪z z‬‬ ‫‪:‬‬ ‫الحل‬ ‫أ‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪41‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪21‬‬ ‫ب = ―ص ‪ -‬أ س―= ‪65 = 65 × 2 – 45‬‬ ‫معادلة خط الانحدار ص^ = أس ‪ +‬ب هي ‪ :‬ص^ = ‪ 2‬س ‪65 +‬‬ ‫‪)3‬إذا علمت أن معادلة خط الانحدار للعلاقة بين قيمة رأس المال(س) والأرباح السنوية لشركة بالألف دينار (ص) هي ‪:‬‬ ‫ص^= ‪ 1.3‬س ‪ ، 61 +‬فجد الخطأ في التنبؤ بأرباح شركة رأس مالها ‪ 11‬ألف دينار ‪ ،‬وأرباحها السنوية ‪ 2001‬ألف دينار‬ ‫‪ ،‬صر = ‪27.4‬‬ ‫الحل ‪ :‬س = ‪11‬‬ ‫ص^ = ‪28 = 61 + 68 = 61 + 11 × 1.3‬‬ ‫الخطأ في التنبؤ = صر ‪ -‬ص^ = ‪1.1- = 28 – 27.4‬‬ ‫‪020‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫اختبر نفسك‬ ‫‪)6‬معتمدا الجدول التالي حيث(س) عدد ساعات الدراسة اليومية لخمسة طلاب ‪( ،‬ص) علامة كل منهم في امتحان ما ‪،‬‬ ‫‪5 4 32 6‬‬ ‫رقم الطالب‬ ‫‪6 5 74 3‬‬ ‫عدد ساعات الدراسة (س)‬ ‫‪9 66 21 61 64‬‬ ‫العلامة (ص)‬ ‫اكتب معادلة خط الانحدار للتنبؤ بقيم (ص) إذا علمت قيم (س)‬ ‫‪)2‬إذا كان س ‪ ،‬ص يمثلان متغيرين عدد قيم كل منهما(‪ )5‬وكان ‪:‬‬ ‫‪― ،‬ص = ‪ ، 75‬أ = ‪3‬‬ ‫س―= ‪5‬‬ ‫أ)جد معادلة خط الانحدار للتنبؤ بقيم ص إذا علمت س‬ ‫ب)جد الخطأ في التنبؤ إذا كانت س = ‪ ، 8‬وقيمة ص الحقيقية المقابلة لها (‪)82‬‬ ‫‪)3‬إذا علمت أن معادلة خط الانحدار للعلاقة بين عدد ساعات الدراسة (س) والمعدل في الثانوية العامة (ص) هي ‪:‬‬ ‫ص^ = ‪3‬س ‪15 +‬‬ ‫ا)ماقيمة كل من أ ‪ ،‬ب‬ ‫ب) درست طالبة (‪ )8‬ساعات يوميا وحصلت على معدل (‪ )81‬احسب الخطأ في التنبؤ للمعدل الذي حصلت عليه الطالبة‬ ‫‪،‬‬ ‫‪41‬‬ ‫=‬ ‫)‪2‬‬ ‫‪ -‬س―‬ ‫ك‬ ‫‪(z5 ،‬س‬ ‫وكان‬ ‫‪،‬‬ ‫(‪)5‬‬ ‫منهما‬ ‫كل‬ ‫قيم‬ ‫عدد‬ ‫متغيرين‬ ‫ص‬ ‫‪،‬‬ ‫س‬ ‫كان‬ ‫‪)4‬إذا‬ ‫ك=‪6‬‬ ‫―ص = ‪ ، 63‬فجد معادلة خط‬ ‫‪― ،‬س = ‪، 1‬‬ ‫―ص ) = ‪81‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ك‬ ‫س― )(ص‬ ‫‪-‬‬ ‫ك‬ ‫‪(z5‬س‬ ‫ك=‪6‬‬ ‫الانحدار للتنبؤ بقيم ص إذا علمت قيم س‬ ‫‪026‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫صفحة ‪200‬‬ ‫حل أسئلة الوحدة‬ ‫‪)6‬بكم طريقة يمكن اختيار ‪ 1‬مهندسين ‪ ،‬و‪ 3‬فنيين لتكوين لجنة من ‪ 5‬مهندسين و ‪ 11‬فنيين؟‬ ‫‪)3‬‬ ‫ل(‪، 61‬‬ ‫×‬ ‫ل(‪)4 ، 5‬‬ ‫=‬ ‫‪61‬‬ ‫×‬ ‫‪5‬‬ ‫‪:‬‬ ‫طرائق اختيار اللجنة‬ ‫‪3‬ﻆ‬ ‫‪4‬ﻆ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‪111‬‬ ‫×‪621‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪8×9×61‬‬ ‫×‬ ‫‪2×3×4×5‬‬ ‫=‬ ‫‪6×2×3‬‬ ‫‪6×2×3×4‬‬ ‫‪1 121‬‬ ‫‪)2‬جد قيمة (ر) التي تحقق المعادلة ‪3 :‬ل(‪ ، 1‬ر) = ‪ 311‬نقسم الطرفين على ‪3‬‬ ‫‪5 21‬‬ ‫ل ( ‪ ، 1‬ر) = ‪ 621‬ومنه ل ( ‪ ، 1‬ر) = ‪4×5×1‬‬ ‫‪11‬‬ ‫ل( ‪ ، 1‬ر ) = ل(‪ )3 ، 1‬ومنه ر = ‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪)3‬إذا كان (س) متغيرا عشوائيا ذا حدين ‪ ،‬ومعاملاه ‪ :‬ن = ‪ ، 2‬أ = ‪ 1.4‬فجد ‪:‬‬ ‫أ)قيم (س)‬ ‫ب)التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي (س)‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫أ)قيم س = { ‪} 2 ، 6 ، 1‬‬ ‫ن‬ ‫(أ)ر(‪ – 6‬أ)ن‪ -‬ر‬ ‫ب) حسب معادلة التوزيع دي الحدين ‪ :‬ل (س = ر) = ر‬ ‫‪2‬‬ ‫ل(س=‪1.31 = 1.31 × 6 × 6 = 1 -2)1.4 – 6(1)1.4( 1 =)1‬‬ ‫(‪1.48 = 1.1×1.4×2 = 6 -2)1.4 – 6(6)1.4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ل(س=‪= )6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ل(س=‪1.61 = 6× 1.61× 6 = 2 -2)1.4 – 6(2)1.4( 2 =)2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫س ‪2 61‬‬ ‫ل(س) ‪1.61 1.48 1.31‬‬ ‫‪)4‬إذا كان الوسط الحسابي لأعمار مجموعة من الأشخاص هو ‪ 12‬سنة ‪ ،‬والانحراف المعياري لها ‪ ، 1‬فجد العمر الذي‬ ‫ينحرف انحرافين معيارين تحت الوسط الحسابي‬ ‫‪025‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫زس = ‪2-‬‬ ‫الحل ‪ :‬س―= ‪ 42‬سنة ‪ ،‬ع = ‪، 4‬‬ ‫فإن‬ ‫‪-‬س―‬ ‫س‬ ‫=‬ ‫زس‬ ‫‪:‬‬ ‫المعيارية‬ ‫العلامة‬ ‫معادلة‬ ‫حسب‬ ‫ع‬ ‫ومنه ‪ = 8-‬س – ‪ 42‬ومنه س = ‪ 42 + 8-‬ومنه س = ‪34‬‬ ‫‪42 -‬‬ ‫س‬ ‫=‬ ‫‪2-‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪)5‬إذا كان التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي (س) معطى بالمجموعة ‪:‬‬ ‫{(‪ ، 3( ، )1.5 ، 2( ، )1.4 ، 6‬ب)} ‪ ،‬فجد قيمة (ب)‬ ‫الحل ‪ :‬بما أن ‪ z‬ل(س ر) = ‪6‬‬ ‫‪ + 1.5 + 1.4‬ب = ‪ 6‬ومنه ‪ + 1.9‬ب = ‪ 6‬ومنه ب = ‪1.6 = 1.9 – 6‬‬ ‫‪ )1‬إذا كان معامل ارتباط بيرسون بين المتغيرين ‪ :‬س ‪ ،‬ص هو (‪ ، )1.8-‬فجد معامل الارتباط بين س* ‪ ،‬ص* في كل‬ ‫مما يأتي ‪:‬‬ ‫‪ ،‬ص*=‪ – 8‬ص‬ ‫أ)س*=‪61-‬س‬ ‫‪ ،‬ص*= ص – ‪5‬‬ ‫ب)س*=‪4‬س‪8+‬‬ ‫‪ ،‬ص*=‪ – 8‬ص‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫أ) س*=‪61-‬س‬ ‫نلاحظ أن معامل س هو (‪ )11-‬سالب ‪ ،‬وأن معامل ص هو (‪ )1-‬سالب‬ ‫المعاملان لهما نفس الإشارة ‪ ،‬لذا فإن ر= ‪108-‬‬ ‫ب) س*=‪4‬س‪ ، 8+‬ص*= ص – ‪5‬‬ ‫نلاحظ أن معامل س هو (‪ )1‬سالب ‪ ،‬وان معامل ص هو (‪ )1‬موجب‬ ‫المعاملان ليس لهما نفس الإشارة ‪ ،‬لذا فإن ر= ‪1.8-‬‬ ‫‪)7‬الجدول الآتي يبين القيم المتناظرة للمتغيرين ‪ :‬س ‪ ،‬ص ‪:‬‬ ‫س‪5 4 2 6‬‬ ‫ص ‪61 7 1 5‬‬ ‫أ)جد معادلة خط الانحدار للتنبؤ بقيمة ص إذا علمت قيمة س‬ ‫ب) تنبأ بقيمة ص إذا كان س = ‪11‬‬ ‫‪022‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫ج) جد الخطأ في التنبؤ بقيمة ص إذا كان س = ‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪62‬‬ ‫=‬ ‫‪)5+4+2+‬‬ ‫(‪6‬‬ ‫=‬ ‫س―‬ ‫الحل ‪ :‬أ)‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫=‬ ‫‪28‬‬ ‫=‬ ‫‪)61+7+1+‬‬ ‫(‪5‬‬ ‫=‬ ‫―ص‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ننشئ الجدول ‪:‬‬ ‫(س ك‪―-‬س)‪2‬‬ ‫س ك ‪ -‬س― ص ك‪― -‬ص (س ك ‪ -‬س― )(ص ك‪― -‬ص)‬ ‫سك ص ك‬ ‫‪4 2- 2-‬‬ ‫‪56‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6 6- 6-‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1 16‬‬ ‫‪74‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1 32‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪61 5‬‬ ‫‪61‬‬ ‫‪66 1 1‬‬ ‫المجموع‬ ‫‪6.6‬‬ ‫=‬ ‫‪66‬‬ ‫=‬ ‫أ = ك—ن=‪ (—6‬ن—س ك(—س‪—-‬ك―—س‪(—)-‬س―—)ص‪—2‬ك‪―——-‬ص)—‪z z‬‬ ‫‪61‬‬ ‫ب = ―ص ك‪=-‬أ‪6‬س― = ‪3.7 = 3× 6.6 – 7‬‬ ‫معادلة خط الانحدار ص^= أس ‪ +‬ب هي ‪ :‬ص^ = ‪6.6‬س ‪3.7 +‬‬ ‫ب)عندما س = ‪64‬‬ ‫ص^ = ‪69.6 = 3.7 + 64 × 6.6‬‬ ‫جـ)عندما س = ‪ 4‬فإن ص = ‪: 7‬‬ ‫ص^ = ‪8.6 = 3.7 + 4 × 6.6‬‬ ‫الخطأ في التنبؤ = القيمة الحقيقية – القيمة المتنبأ بها‬ ‫= ص ر – ^ص = ‪6.6- = 8.6 – 7‬‬ ‫‪)8‬إذا كان (ز) متغيرا عشوائيا طبيعيا معياريا ‪ ،‬فجد قيمة كل مما يأتي باستخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري ‪:‬‬ ‫أ)ل(ز‪ 1.9554 = ) 6.7 Y‬من الجداول مباشرة‬ ‫‪027‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫ب) ل(ز‪ 1.9842 = ) 2.65 Y‬من الجداول‬ ‫جـ) ل(ز ‪ = ) 6.64 – X‬ل( ز ‪ 1.8729 = )6.64 Y‬من الجداول‬ ‫د)ل( ز ‪ = ) 2.5- Y‬ل ( ز ‪ – 6 = ) 2.5 X‬ل (ز ‪) 2.5 Y‬‬ ‫= ‪1.1112 = 1.9938 – 6‬‬ ‫هـ) ل( ‪ Y 6.32-‬ز ‪ = )6.6 Y‬ل(ز‪ – )6.6Y‬ل( ز ‪)6.32-Y‬‬ ‫= ل(ز‪ – )6.6Y‬ل( ز ‪ = )6.32X‬ل(ز‪ - 6(– )6.6Y‬ل( ز ‪))6.32Y‬‬ ‫= ‪1.7719 = )1.9111 – 6( – 1.8143‬‬ ‫‪)9‬إذا كان (س) متغيرا عشوائيا يتبع التوزيع الطبيعي الذي وسطه الحسابي ‪ ، 91‬وانحرافه‬ ‫المعياري (‪ ، )5‬فجد ‪:‬‬ ‫ب) ل (س ‪)93 X‬‬ ‫أ)ل(س ‪)85 Y‬‬ ‫س‪µ -‬‬ ‫=‬ ‫ز‬ ‫‪،‬‬ ‫‪5=σ‬‬ ‫‪،‬‬ ‫الحل ‪91 = µ :‬‬ ‫‪σ‬‬ ‫)‬ ‫‪73-‬‬ ‫‪82‬‬ ‫ز‪Y‬‬ ‫(‬ ‫ل‬ ‫)=‬ ‫‪85‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫ل(س‬ ‫‪5‬‬ ‫= ل( ز ‪ = ) 6- Y‬ل(ز‪ – 6 = )6 X‬ل(ز‪)6Y‬‬ ‫= ‪1.6587 = 1.8463 – 6‬‬ ‫)‬ ‫‪73-‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪X‬‬ ‫ز‬ ‫ل(‬ ‫=‬ ‫‪)93‬‬ ‫‪X‬‬ ‫ب)ل(س‬ ‫‪5‬‬ ‫= ل ( ز ‪ – 6 = )1.1 X‬ل( ز‪)1.1 Y‬‬ ‫= ‪1.2743 = 1.7257 – 6‬‬ ‫‪)61‬إذا كان متوسط معدل ‪ 1111‬طالبة في إحدى مدارس عمان ‪ ،81‬والانحراف المعياري ‪، 5‬‬ ‫وكانت المعدلات تتوزع توزيعا طبيعيا ‪ ،‬واختيرت إحدى الطالبات عشوائيا ‪ ،‬فجد ‪:‬‬ ‫أ) احتمال أن لا يزيد معدل الطالبة على ‪05‬‬ ‫ب)احتمال أن يكون معدل الطالبة محصورا بين ‪ 01‬و ‪91‬‬ ‫جـ ) عدد الطالبات اللواتي يزيد معدل كل منهن على ‪01‬‬ ‫‪071‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫س‪µ -‬‬ ‫ز=‬ ‫‪،‬‬ ‫‪5=σ‬‬ ‫‪،‬‬ ‫الحل ‪81 = µ :‬‬ ‫‪σ‬‬ ‫)‬ ‫‪83 -02‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫ز‬ ‫ل(‬ ‫=‬ ‫‪)75‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫ل(س‬ ‫أ)‬ ‫‪5‬‬ ‫= ل ( ز ‪ = )6- Y‬ل (ز ‪ – 6 = )6 X‬ل(ز ‪)6 Y‬‬ ‫= ‪1.6587 = 1.8463 – 6‬‬ ‫ب)ل(‪ Y71‬س ‪ Y 835-03( = )91 Y‬ز ‪) 835-73Y‬‬ ‫= (‪ Y2-‬ز ‪ = )2 Y‬ل( ز‪ – )2 Y‬ل ( ز ‪) 2- Y‬‬ ‫= ل( ز‪ – )2 Y‬ل ( ز ‪) 2 X‬‬ ‫= ل( ز‪ - 6( – )2 Y‬ل ( ز ‪) 2 Y‬‬ ‫= ‪1.9544 = )1.9772 – 6( – 1.9772‬‬ ‫)‬ ‫‪83 -03‬‬ ‫‪X‬‬ ‫ز‬ ‫ل(‬ ‫=‬ ‫‪)71‬‬ ‫‪X‬‬ ‫س‬ ‫(‬ ‫ج)ل‬ ‫‪5‬‬ ‫= ل ( ز ‪ = )2- X‬ل( ز‪) 2 Y‬‬ ‫= ‪1.9772‬‬ ‫عدد الطالبات اللواتي يزيد معدل كل منهن على ‪ 01‬هو ‪:‬‬ ‫‪ 977 ≈ 977.2 = 6111 × 1.9772‬طالبة‬ ‫‪070‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫‪078‬‬