دورة

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫ت(ن) = ‪62-‬‬ ‫= ‪ 62-‬ومنه‬ ‫‪‬ع‬ ‫‪‬ن‬ ‫‪‬ع = ‪62-‬ن‬ ‫‪ ‬ع = ‪62- ‬ن‬ ‫ع = ‪62-‬ن ‪ +‬جـ‪ 6‬ولكن ع(‪5 = )1‬‬ ‫ع(‪ + )1( 62- = )1‬جـ‪6‬‬ ‫‪ = 5‬جـ‪ 6‬ومنه ع(ن) = ‪62-‬ن ‪5 +‬‬ ‫ع(‪ 43 - = 5 + 48- = 5 + )4(62- = )4‬م ‪/‬ث‬ ‫أي أن سرعة النقطة المادية بعد مرور ثانيتين من انطلاقها هي ‪ 43-‬م ‪/‬ث‬ ‫‪)2‬ع(ن) = ‪62-‬ن ‪5 +‬‬ ‫ومنه‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪62-‬ن‬ ‫=‬ ‫‪‬ف‬ ‫‪‬ن‬ ‫‪ ‬ف = ‪62- ( ‬ن ‪)5 +‬ن‬ ‫ف = ‪ 1-‬ن‪5 + 2‬ن ‪ +‬جـ‪ 2‬ولكن ف(‪3 = )1‬‬ ‫ف(‪ + )1(5 + 2)1( 1- = )1‬جـ‪2‬‬ ‫‪ = 3‬جـ‪2‬‬ ‫ف(ن) = ‪ 1-‬ن‪5 + 2‬ن ‪3 +‬‬ ‫ف ( ‪ 31- = 3 + 65+ 54- = 3 + )3(5 + 2)3( 1- = )3‬م‬ ‫أي أن موقع النقطة المادية بعد مرور ثلاث ثوان من انطلاقها هي ‪ 31-‬م ‪/‬ث‬ ‫‪01‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫صفحة ‪192‬‬ ‫حل الأسئلة‬ ‫‪ )1‬يتحرك جسيم على خط مستقيم بحيث أن سرعته بعد مرور ن ثانية من بدء حركته تعطى بالعلاقة ‪:‬‬ ‫ع(ن)= (‪ 62‬جتا(‪2‬ن – ‪ )) 6‬م ‪/‬ث ‪ ،‬جد القاعدة التي تمثل موقع الجسيم بعد مرور ن ثانية من بدء الحركة‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫ع(ن)= ‪ 62‬جتا(‪2‬ن – ‪) 6‬‬ ‫)‬ ‫‪6‬‬ ‫–‬ ‫جتا(‪2‬ن‬ ‫‪62‬‬ ‫=‬ ‫‪‬ف‬ ‫‪‬ن‬ ‫‪ ‬ف = ‪62‬جتا(‪2‬ن ‪)6 -‬ن‬ ‫ف(ن) = ‪ 62×62‬جا(‪2‬ن – ‪ + )6‬جـ = ‪1‬جا(‪2‬ن – ‪ + )6‬جـ‬ ‫‪ )2‬تتحرك نقطة مادية على خط مستقيم بحيث أن سرعتها بعد مرور ن ثانية من بدء حركتها تعطى بالعلاقة ‪:‬‬ ‫ع(ن) = (‪4‬ن ‪ )8 +‬م ‪/‬ث ‪ ،‬جد موقع النقطة المادية بعد مرور أربع ثوان من بدء حركتها ‪ ،‬علما بان‬ ‫موقعها الابتدائي ف (‪2 =)1‬م‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫ع(ن) = (‪4‬ن ‪)8 +‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4‬ن‬ ‫=‬ ‫‪‬ف‬ ‫‪‬ن‬ ‫‪ ‬ف = ‪4( ‬ن ‪)8 +‬ن‬ ‫ف = ‪2‬ن‪8 + 2‬ن ‪ +‬جـ ولكن ف(‪2 = )1‬‬ ‫ف(‪ + )1(8 + 2)1(2 = )1‬جـ‬ ‫‪ = 2‬جـ ومنه جـ = ‪2‬‬ ‫ف(ن) = ‪2‬ن‪8 + 2‬ن ‪ 2 +‬ومنه ف(‪11 = 2 + )4(8 + 2)4(2 = )4‬م‬ ‫‪)3‬إذا كان تسارع جسيم يسير على خط مستقيم بعد مرور ن ثانية من بدء الحركة يعطى بالعلاقة ‪:‬‬ ‫ت(ن) = ‪2 – 6( 48‬ن)‪ 3‬م ‪/‬ث‪ ، 2‬وكان موقعه الابتدائي ف(‪ 3 = )1‬م ‪،‬‬ ‫وسرعته الابتدائية ع(‪ 2 = )1‬م ‪/‬ث ‪ ،‬فجد ‪:‬‬ ‫‪00‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫‪)6‬سرعة الجسيم بعد مرور ثانية واحدة من بدء الحركة‬ ‫‪)2‬موقع الجسيم بعد مرور ثانيتين من بدء الحركة‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫ت(ن) = ‪2 – 6( 48‬ن)‪3‬‬ ‫‪2‬ن)‪3‬‬ ‫–‬ ‫(‪6‬‬ ‫‪48‬‬ ‫=‬ ‫‪‬ع‬ ‫‪‬ن‬ ‫‪ ‬ع = ‪2 – 6(48 ‬ن)‪3‬ن‬ ‫ولكن ع(‪2 = )1‬‬ ‫‪ +‬جـ‪6‬‬ ‫= ‪2 – 6( 1-‬ن)‪4‬‬ ‫جـ‪6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(‪2 – 6‬ن)‪4‬‬ ‫×‬ ‫‪48‬‬ ‫=‬ ‫ع‬ ‫‪2-×4‬‬ ‫ع(‪ + 4))1(2 – 6( 1- = )1‬جـ‪6‬‬ ‫‪ + 1- = 2‬جـ‪ 6‬ومنه جــ‪8 = 6‬‬ ‫ع(ن) = ‪2 – 6( 1-‬ن)‪8 + 4‬‬ ‫ع(‪ 2 = 8 + 1- = 8 + 4)6×2 – 6( 1- =)6‬م ‪/‬ث‬ ‫‪)2‬ع(ن) = ‪2 – 6( 1-‬ن)‪8 + 4‬‬ ‫‪8+‬‬ ‫‪2‬ن)‪4‬‬ ‫–‬ ‫(‪6‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫=‬ ‫‪‬ف‬ ‫‪‬ن‬ ‫‪ ‬ف = ‪2 – 6(1-( ‬ن)‪ ) 8 + 4‬ن‬ ‫ولكن ف(‪3 = )1‬‬ ‫جـ‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬ن)‪5‬‬ ‫–‬ ‫(‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫جـ‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫×(‪22-×–56‬ن)‪5‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫=‬ ‫ف‬ ‫‪5‬‬ ‫جـ‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5))1(2‬‬ ‫–‬ ‫(‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ف (‪= )1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫جـ‪2‬‬ ‫ومنه‬ ‫جـ‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬ن)‪5‬‬ ‫–‬ ‫(‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ف(ن)=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫م‬ ‫‪722‬‬ ‫‪-‬‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪729‬‬ ‫‪-‬‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5))2(2‬‬ ‫–‬ ‫(‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ف(‪= )2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪)4‬يتحرك جسيم على خط مستقيم بحيث إن سرعته بعد مرور ن ثانية من بدء الحركة تعطى‬ ‫بالقاعدة ‪ :‬ع(ن)= (‪3‬ن‪4()6-‬ن‪)6+‬م ‪/‬ث ‪ ،‬جد ‪:‬‬ ‫‪08‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫أ) القاعدة التي تمثل موقع الجسيم بعد مرور ن ثانية من بدء الحركة‬ ‫ب)موقع الجسيم بعد مرور ثانيتين من بدء الحركة ‪ ،‬علما بأن موقعه الابتدائي ف(‪7=)1‬م‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫أ)ع(ن)= (‪3‬ن‪4()6-‬ن‪62 = )6+‬ن‪3+ 2‬ن ‪4-‬ن ‪62 = 6-‬ن‪ – 2‬ن ‪6-‬‬ ‫‪6-‬‬ ‫ن‬ ‫–‬ ‫‪62‬ن‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪‬ف‬ ‫‪‬ن‬ ‫‪ ‬ف = ‪62( ‬ن‪ – 2‬ن ‪ )6-‬ن‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫ن‬ ‫–‬ ‫ن‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪4‬ن‪3‬‬ ‫=‬ ‫ف‬ ‫‪2‬‬ ‫ومنه جـ = ‪7‬‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫(‪)1‬‬ ‫–‬ ‫(‪2)1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3)1(4‬‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫ب)عندما ف(‪ 7 =)1‬فإن‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ن‬ ‫–‬ ‫ن‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪4‬ن‪3‬‬ ‫(ن)=‬ ‫ف‬ ‫‪:‬‬ ‫هي‬ ‫الاقتران‬ ‫قاعدة‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫–‬ ‫(‪2)2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3)2(4‬‬ ‫ف(‪= )2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ف(‪ 35 = 7 + 2- 2 – 32 = )2‬م‬ ‫سؤال وزاري ‪ : 8102‬منهاج جديد‬ ‫يتحرك جسيم على خط مستقيم بحيث أن سرعته بعد مرور ن ثانية من بدء الحركة تعطى بالعلاقة ‪:‬‬ ‫ع(ن)=(‪3‬ن ‪ )5 +‬م ‪/‬ث ‪ ،‬جد المسافة التي يقطعها الجسيم بعد مرور (‪ )4‬ثوان من بدء الحركة ‪،‬‬ ‫علما بأن موقعه الابتدائي ف(‪ 3 = )1‬م‬ ‫‪‬ف‬ ‫=‬ ‫ع(ن)‬ ‫ولكن‬ ‫ع(ن)=(‪3‬ن ‪)5 +‬‬ ‫‪‬ن‬ ‫ومنه ‪‬ف = (‪3‬ن ‪)5 +‬ن بإجراء التكامل للطرفين‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬ن‬ ‫=‬ ‫‪‬ف‬ ‫‪‬ن‬ ‫‪ ‬ف = ‪3( ‬ن ‪ )5 +‬ن‬ ‫ف = ‪‬ن‪5 + 2‬ن ‪ +‬جـ ولكن ف (‪3 = )1‬‬ ‫ف(‪ + )1(5 + 2)1( = )1‬جـ‬ ‫‪ + 1 = 3‬جـ ومنه جـ = ‪ 3‬نعوض‬ ‫‪03‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫ف(ن) = ‪‬ن‪5 + 2‬ن ‪ 3 +‬عندما ن = ‪ 4‬فإن‬ ‫ف(‪ 47 = 3 + 21 + 24 = 3 + )4(5 + 2)4( = )4‬م‬ ‫سؤال وزاري ‪ : 8102‬منهاج قديم‬ ‫تتحرك نقطة مادية في خط مستقيم بتسارع ثابت ت مقداره ت(ن) = ‪ 64‬م ‪/‬ث‪ ، 2‬جد سرعتها بعد مرور‬ ‫ثانيتين من بدء الحركة ‪ ،‬علما بأن سرعتها الابتدائية ع(‪ 5 = )1‬م ‪/‬ث‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫ت(ن) = ‪64‬‬ ‫نكامل الطرفين‬ ‫‪‬ع = ‪ 64‬ن‬ ‫ومنه‬ ‫‪64‬‬ ‫=‬ ‫‪‬ع‬ ‫‪‬ن‬ ‫‪ ‬ع = ‪ 64 ‬ن ومنه‬ ‫ع = ‪64‬ن ‪ +‬جـ ولكن ع(‪5 = )1‬‬ ‫ع(‪ + )1(64 = )1‬جـ‬ ‫‪ = 5‬جـ‬ ‫ع(ن) = ‪64‬ن ‪ 5 +‬ومنه ع(‪ 33 = 5 + 28 = 5 + )2(64 = )2‬م ‪/‬ث‬ ‫سؤال إضافي ‪:‬‬ ‫يتحرك جسيم على خط مستقيم بحيث ان سرعته بعد (ن) ثانية تعطى بالعلاقة ‪:‬‬ ‫ع(ن)= ‪3‬ن‪2 – 2‬ن ‪ ،‬جد المسافة التي يقطعها الجسيم بعد مرور (‪ )3‬ثواني علما بأن موقعه الابتدائي ف(‪ 5 = )1‬م‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫ع(ن)= ‪3‬ن‪2 – 2‬ن‬ ‫ومنه ‪ ‬ف = ‪3( ‬ن‪2-2‬ن) ‪‬ن‬ ‫‪2‬ن‬ ‫–‬ ‫=‪3‬ن‪2‬‬ ‫‪‬ف‬ ‫‪‬ن‬ ‫ف = ن‪ – 3‬ن‪ + 2‬جـ ولكن ف(‪5 = )1‬‬ ‫ف(‪ + 2)1( – 3)1( = )1‬جـ ومنه ‪ = 5‬جـ‬ ‫قاعدة الاقتران هي ‪ :‬ف (ن) = ن‪ – 3‬ن‪5 + 2‬‬ ‫ف(‪ 9 = 5 + 4 – 8 = 5 + 2)2( – 3)2( = )3‬م‬ ‫‪05‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫سؤال إضافي ‪:‬‬ ‫إذا كان تسارع جسيم ت بعد مرور ن من الثواني يعطى بالعلاقة ت(ن) = ‪ 8‬م ‪/‬ث‪ ، 2‬جد السرعة التي يقطعهاالجسيم بعد‬ ‫مرور ن ثانية من بدء الحركة ‪ ،‬علما بأن السرعة الابتدائية للجسيم‬ ‫ع(‪ 3 = )1‬م ‪/‬ث‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫ت(ن) = ‪8‬‬ ‫‪‬ن‬ ‫‪8‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪‬ع‬ ‫‪‬‬ ‫ومنه‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫‪‬ع‬ ‫‪‬ن‬ ‫ع = ‪8‬ن ‪ +‬جـ ولكن ع(‪ 3 = )1‬ومنه ع(‪ + )1(8 = )1‬جـ ومنه ‪ = 3‬جـ‬ ‫قاعدة الاقتران ‪ :‬ع(ن) = ‪8‬ن ‪ 3 +‬السرعة بعد مرور ن ثانية‬ ‫سؤال إضافي‬ ‫إذا كان تسارع جسيم بعد مرور (ن) من الثواني يعطى بالعلاقة ت(ن) = ‪ 1‬ن م ‪/‬ث‪ ، 2‬جد المسافة التي يقطعها الجسيم‬ ‫بعد مرور (ن) ثانية من بدء الحركة علما بأن السرعة الابتدائية للجسيم ع(‪ 2 = )1‬م ‪/‬ث وموقعه الابتدائي ف(‪= )1‬‬ ‫‪ 62‬م‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫ت(ن) = ‪ 1‬ن‬ ‫ع = ‪3‬ن‪ + 2‬جـ ولكن ع(‪2 = )1‬‬ ‫ومنه‬ ‫‪‬ن‬ ‫‪1‬ن‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪‬ع‬ ‫‪‬‬ ‫ومنه‬ ‫‪1‬ن‬ ‫=‬ ‫‪‬ع‬ ‫‪‬ن‬ ‫ع (‪ + 2)1(3 = )1‬جـ ومنه ‪ = 2‬جـ‬ ‫قاعدة الاقتران ‪ :‬ع (ن) = ‪3‬ن‪2 + 2‬‬ ‫‪ ‬ف = ‪3( ‬ن‪ )2 + 2‬ن‬ ‫= ‪3‬ن‪ 2 + 2‬ومنه‬ ‫‪‬ف‬ ‫‪‬ن‬ ‫ف = ن‪2 + 3‬ن ‪ +‬جـ ولكن ف(‪62 = )1‬‬ ‫ف(‪ + )1(2 + 3)1( = )1‬جـ ومنه ‪ = 62‬جـ‬ ‫قاعدة الاقتران ‪ :‬ف(ن) = ن‪2 + 3‬ن ‪62 +‬‬ ‫‪00‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫اختبر نفسك‬ ‫‪)6‬يتحرك جسيم في خط مستقيم بحيث تكون سرعته ع معطاة بالعلاقة ‪:‬‬ ‫ع(ن)= (‪4‬ن‪)1+‬م ‪/‬ث ‪ ،‬جد المسافة التي يقطعها الجسيم بعد مرور (‪ )3‬ثواني من بدء الحركة علما بأن‬ ‫الموقع الابتدائي للجسيم ف(‪ 61 = )1‬م‬ ‫‪)2‬يتحرك جسيم على خط مستقيم بحيث أن سرعته بعد (ن) ثانية تعطى بالعلاقة ‪:‬‬ ‫ع(ن) = ‪3‬ن‪2 – 2‬ن ‪ ،‬جد المسافة التي يقطعها الجسيم بعد مرور (‪ )3‬ثواني علما بأن موقعه الابتدائي‬ ‫ف(‪ 5 = )1‬م‬ ‫‪)3‬يتحرك جسيم على خط مستقيم بتسارع ثابت مقداره ت(ن)= ‪ 62‬م ‪/‬ث‪ ، 2‬جد سرعة الجسيم بعد‬ ‫مرور ثانية واحدة من بدء الحركة علما بأن السرعة الابتدائية للجسيم هي ع(‪ 7=)1‬م ‪/‬ث‬ ‫‪)4‬يتحرك جسيم في خط مستقيم بتسارع ثابت مقداره ت(ن) = ‪ 8‬م ‪/‬ث‪ ، 2‬جد المسافة التي يقطعها الجسيم‬ ‫بعد مرور ن ثانية من بدء الحركة علما بأن السرعة الابتدائية للجسيم ع(‪ 2=)1‬م ‪/‬ث ‪ ،‬وموضعه الابتدائي‬ ‫ف (‪ 61 = )1‬م‬ ‫‪)5‬يتحرك جسيم على خط مستقيم بحيث أن سرعته بعد (ن) ثانية تعطى بالعلاقة ع(ن) = ‪(3‬ن‪ 2)6+‬م ‪/‬ث ‪،‬‬ ‫جد المسافة التي يقطعها الجسيم بعد مرور ثانيتين من بدء الحركة علما أن موقعه الابتدائي ف(‪ 6 = )1‬م‬ ‫‪06‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫المساحة‬ ‫ستقتصر دراستنا في البحث على حساب مساحة المنطقة المغلقة المحصورة بين منحنى اقتران معين ومحور السينات ‪.‬‬ ‫مساحة المنطقة المغلقة المحصورة بين منحنى الاقتران ق(س) ومحور السينات على الفترة ] أ ‪ ،‬ب [ تعطى بالقاعدة ‪:‬‬ ‫ب‬ ‫المساحة = ‪│‬ق(س)│‪‬س‬ ‫أ‬ ‫ونميز أربع حالات ‪:‬‬ ‫الحالة الأولى ‪ :‬عندما تكون المنطقة المغلقة فوق محور السينات ( ق(س) ‪ ) 1 ‬في الفترة ] أ ‪ ،‬ب [‬ ‫بب‬ ‫المساحة المطلوبة =‪│‬ق(س)│‪‬س = ‪ ‬ق(س)‪ ‬س‬ ‫أأ‬ ‫صفحة ‪195‬‬ ‫مثال الكتاب ‪1‬‬ ‫خطوات الحل‪:‬‬ ‫جد مساحة المنطقة المغلقة بين منحنى الاقتران ق(س)= ‪2‬س ‪ ، 4 +‬ومحور السينات والمستقيمين ‪ :‬س = ‪ ، 6‬س‬ ‫=‪4‬‬ ‫الخطوة الأولى ‪ :‬نجعل ق(س) = صفر ونوجد نقاط تقاطع ق مع محور السينات (إن وجدت)‬ ‫‪2‬س ‪ 1= 4 +‬ومنه ‪2‬س = ‪ 4-‬ومنه س = ‪2-‬‬ ‫نلاحظ أن هذه القيمة لا تقع ضمن الفترة المطلوبة‬ ‫••‬ ‫•‬ ‫الخطوة الثانية ‪ :‬نوجد التكامل التالي ‪:‬‬ ‫‪8- 0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪2( ‬س ‪ )4 +‬س = (س‪4 + 2‬س )‬ ‫‪11‬‬ ‫= (‪ ( 27 = 5 – 32 = )4 + 6( – ) 61 + 61‬قيمة التكامل الموجبة تدل على أن المنحنى فوق محور السينات‬ ‫)‬ ‫الخطوة الثالثة ‪ :‬نوجد المساحة‬ ‫‪1‬‬ ‫م = ‪ ‬ق(س)‪ ‬س = ‪ 27‬وحدة مربعة‬ ‫‪1‬‬ ‫الحالة الثانية ‪ :‬عندما تكون المنطقة المغلقة تحت محور السينات ( ق(س) ‪ ) 1 ‬في الفترة ] أ ‪ ،‬ب [‬ ‫بب‬ ‫المساحة المطلوبة =‪│‬ق(س)│‪‬س = ‪ -‬ق(س)‪ ‬س‬ ‫أأ‬ ‫صفحة ‪195‬‬ ‫مثال الكتاب ‪2‬‬ ‫جد مساحة المنطقة المغلقة المحصورة بين منحنى الاقتران ص = ق(س) = ‪3‬س‪62 – 2‬‬ ‫‪05‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫ومحور السينات ‪ ،‬والمستقيمين ‪ :‬س = ‪ ، 6-‬س = ‪2‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪8•- 0•-‬‬ ‫•‬ ‫الخطوة الأولى ‪ :‬ق(س) = صفر ومنه ‪3‬س‪ = 62 – 2‬صفر ومنه‬ ‫‪8‬‬ ‫ومنه ‪3‬س‪ 62 = 2‬نقسم على ‪ 3‬ومنه س‪ 4 = 2‬ومنه س =‪ ، 2-‬س = ‪2‬‬ ‫وهي قيم س التي يتقاطع منحنى الاقتران ق عندها مع محور السينات نلاحظ أن هذه القيم لا تقع ضمن الفترة المطلوبة‬ ‫الخطوة الثانية ‪:‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪3( ‬س‪ )62 – 2‬س = (س‪62 –3‬س )‬ ‫‪1- 1-‬‬ ‫= (‪27- = 66- 24- 8 = ))6-(62 – 3)6-(( – )2(62 – 3)2‬‬ ‫الخطوة الثالثة ‪ :‬نلاحظ أن قيمة التكامل سالب مما يدل على أن المنطقة المغلقة تحت محور السينات لذلك عندما نحسب‬ ‫المساحة نضع التكامل داخل القيمة المطلقة ‪:‬‬ ‫‪22‬‬ ‫م = ‪│ ‬ق(س)│‪ ‬س = ‪  -‬ق(س)‪ ‬س = ‪ 27‬وحدة مربعة‬ ‫‪1- 1-‬‬ ‫الحالة الثالثة ‪ :‬جزء من المنطقة المغلقة تحت محور السينات ( ق(س) ‪ )1 ‬في الفترة ]أ ‪ ،‬جـ [ ‪ ،‬والجزء الآخر فوق‬ ‫محور السينات ( ق(س) ‪ ) 1 ‬في الفترة ]جـ ‪ ،‬ب [ فإن ‪:‬‬ ‫المساحة المطلوبة = المساحة م‪ + 1‬المساحة م‪2‬‬ ‫جـ ب‬ ‫جـ ب‬ ‫المساحة المطلوبة = ‪ - ‬ق(س)‪ ‬س ‪  +‬ق(س)‪ ‬س = ‪  -‬ق(س)‪ ‬س ‪  +‬ق(س)‪ ‬س‬ ‫أ جـ‬ ‫أ جـ‬ ‫صفحة ‪191‬‬ ‫مثال الكتاب ‪3‬‬ ‫جد مساحة المنطقة المغلقة المحصورة بين منحنى الاقتران ص = ق(س) = س‪2 – 2‬س‬ ‫ومحور السينات على الفترة ]‪[ 4 ، 6‬‬ ‫الحل‬ ‫ق(س) = صفر ومنه س‪2 – 2‬س = ‪ 1‬ومنه س(س – ‪ 1 = ) 2‬ومنه س= ‪ ، 1‬س = ‪2‬‬ ‫وهي قيم س التي يتقاطع منحنى الاقتران ق عندها مع محور السينات‬ ‫•‪1‬‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫نلاحظ أن س = ‪ 1‬لا تقع ضمن الفترة ]‪[ 4 ، 6‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫في حين أن س = ‪ 2‬تقع ضمن الفترة ]‪[ 4 ، 6‬‬ ‫‪02‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫لذلك يجب أولا أن نوجد التكامل المحدود للاقتران ق على الفترة ]‪ [ 2 ، 6‬ثم نوجد التكامل على الفترة ]‪[ 4 ، 2‬‬ ‫–(‪)2)6‬‬ ‫(‪3)6‬‬ ‫(‪63‬‬ ‫–‬ ‫–(‪)2)2‬‬ ‫(‪3)2‬‬ ‫(‪63‬‬ ‫‪2‬‬ ‫س‪) 2‬‬ ‫–‬ ‫س‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=(‬ ‫س‬ ‫‪2‬س)‪‬‬ ‫–‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪( ‬س‪2‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪2-‬‬ ‫=‬ ‫‪3-‬‬ ‫‪7‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪4‬‬ ‫–‬ ‫×‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= (‪)2)2(– 3)2( 63( – )2)4(– 3)4( 63‬‬ ‫‪1‬‬ ‫–‬ ‫س‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=(‬ ‫س‬ ‫‪2‬س)‪‬‬ ‫–‬ ‫(س‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫س‪)2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪21‬‬ ‫=‬ ‫‪4+‬‬ ‫×‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪61‬‬ ‫–‬ ‫×‪14‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪1‬‬ ‫المساحة المطلوبة =‪│ ‬ق(س)│‪ ‬س = ‪  -‬ق(س)‪ ‬س ‪  +‬ق(س)‪ ‬س‬ ‫‪21‬‬ ‫‪1‬‬ ‫وحدة مربعة‬ ‫‪22‬‬ ‫=‬ ‫‪21‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫الحالة الرابعة ‪ :‬جزء من المنطقة المغلقة فوق محور السينات ( ق(س) ‪ )1 ‬في الفترة ]أ ‪ ،‬جـ [ ‪ ،‬والجزء الآخر تحت‬ ‫محور السينات ( ق(س) ‪ ) 1 ‬في الفترة ]جـ ‪ ،‬ب [ فإن ‪:‬‬ ‫المساحة المطلوبة = المساحة م‪ + 1‬المساحة م‪2‬‬ ‫جـ ب‬ ‫جـ ب‬ ‫المساحة المطلوبة = ‪ ‬ق(س)‪ ‬س ‪ -  +‬ق(س)‪ ‬س =‪ ‬ق(س)‪ ‬س ‪  -‬ق(س)‪ ‬س‬ ‫أ جـ‬ ‫أ جـ‬ ‫تدريب الكتاب ‪ 1‬صفحة ‪198‬‬ ‫جد مساحة المنطقة المغلقة المحصورة بين منحنى الاقتران ص = ق(س) = ‪2-1‬س ‪ ،‬ومحور السينات على الفترة ]‪[ 1 ، 1‬‬ ‫ومنه س = ‪3‬‬ ‫ق(س) = ‪2 – 1‬س‬ ‫ق(س) = صفر ومنه ‪2 – 1‬س = ‪ 1‬ومنه ‪2‬س = ‪1‬‬ ‫نلاحظ أن س = ‪ 3‬تقع ضمن الفترة ]‪[ 4 ، 6‬‬ ‫•• •‬ ‫لذلك نوجد التكامل على الفترة ]‪[ 3 ، 6‬‬ ‫‪0 35‬‬ ‫ثم نوجدها على الفترة ]‪[ 4 ، 3‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪2 – 1( ‬س)‪ ‬س = (‪1‬س – س‪)2‬‬ ‫‪11‬‬ ‫= (‪4 = 6+ 1- 9 – 68 = )2)6( – )6(1(- )2)3( – )3(1‬‬ ‫‪07‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫‪11‬‬ ‫‪2 – 1( ‬س)‪ ‬س = (‪1‬س – س‪)2)3( – )3(1(- )2)4( – )4(1( = )2‬‬ ‫‪33‬‬ ‫= ‪6- = 9+ 68- 61 – 24‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪1‬‬ ‫المساحة المطلوبة = ‪│ ‬ق(س)│‪ ‬س = ‪ ‬ق(س)‪ ‬س ‪  -‬ق(س)‪ ‬س = ‪ 5 = 6 + 4‬وحدة مربعة‬ ‫‪31‬‬ ‫‪1‬‬ ‫صفحة ‪190‬‬ ‫مثال الكتاب ‪4‬‬ ‫جد مساحة المنطقة المغلقة المحصورة بين منحنى الاقتران ص = ق(س) = س‪3 + 2‬س ومحور السينات‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫ق(س) = صفر ومنه س‪3 + 2‬س = ‪ 1‬ومنه س(س‪1 = )3+‬‬ ‫إما س=‪ ، 1‬أو س= ‪ 3-‬وهي نقاط تقاطع منحنى الاقتران مع محور السينات‬ ‫وتكون المساحة المطلوبة محصورة بين منحنى الاقتران ومحور السينات على الفترة ]‪[1 ، 3-‬‬ ‫)‬ ‫(‪2)3-‬‬ ‫‪32+‬‬ ‫((‪3)33-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫)‬ ‫(‪2)1‬‬ ‫‪32+‬‬ ‫((‪3)31‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫س‪2‬‬ ‫‪32+‬‬ ‫(س‪33‬‬ ‫=‬ ‫س‬ ‫‪3‬س)‪‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(س‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪3- 3-‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪-‬‬ ‫=‬ ‫‪27‬‬ ‫=‪-9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫وحدة مربعة‬ ‫‪9‬‬ ‫=‬ ‫س‬ ‫│ق(س)│‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫المطلوبة‬ ‫المساحة‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3-‬‬ ‫صفحة ‪198‬‬ ‫تدريب الكتاب ‪1‬‬ ‫جد مساحة المنطقة المغلقة المحصورة بين منحنى الاقتران ص = ق(س) ‪ ،‬ومحور السينات‬ ‫على الفترة المحددة في كل مما يأتي ‪:‬‬ ‫‪)6‬ق(س) = ‪ 4 – 62‬س ‪ ،‬على الفترة ]‪[ 2 ، 6‬‬ ‫‪)2‬ق(س) =‪3‬س‪62 – 2‬س ‪ ،‬على الفترة ]‪[ 2 1‬‬ ‫•••‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪08 3‬‬ ‫‪ )6‬ق(س) = ‪ 4 – 62‬س‬ ‫ق(س) = ‪ 1‬ومنه ‪4- 62‬س = ‪ 1‬ومنه ‪4‬س = ‪ 62‬ومنه س = ‪3‬‬ ‫نلاحظ أن س= ‪ 3‬لا تقع ضمن الفترة ]‪[ 2 ، 6‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪4 –62( ‬س)‪ ‬س = (‪62‬س ‪2-‬س‪)2‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪61‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫= (‪1 = 2+ 62 – 8 – 24 = )2)6(2- )6(62( - )2)2(2- )2(62‬‬ ‫‪2‬‬ ‫المساحة المطلوبة = ‪ ‬ق(س)‪ ‬س = ‪ 1‬وحدة مربعة‬ ‫‪1‬‬ ‫‪)2‬ق(س) = ‪3‬س‪62 – 2‬س‬ ‫ق(س) = صفر ومنه ‪3‬س‪62 – 2‬س = ‪ 1‬ومنه ‪3‬س (س – ‪ 1 = )4‬ومنه‬ ‫إما س = ‪ 1‬أو س = ‪ 4‬وهي نقاط تقاطع المنحنى مع محور السينات‬ ‫نلاحظ أن س = ‪ 4‬لاتقع ضمن الفترة ]‪[2 ، 1‬‬ ‫‪•1‬‬ ‫••‬ ‫‪22‬‬ ‫‪85‬‬ ‫‪3( ‬س‪62 –2‬س)‪ ‬س = (س‪1 – 3‬س‪)2‬‬ ‫‪11‬‬ ‫= ((‪61- = 24 – 8 = )2)1(1 – 3)1(( - )2)2(1 – 3)2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪│ ‬ق(س)│‪ ‬س = ‪ 61‬وحدة مربعة‬ ‫‪1‬‬ ‫صفحة ‪198‬‬ ‫تدريب الكتاب ‪2‬‬ ‫جد مساحة المنطقة المغلقة المحصورة بين منحنى الاقتران ص = ق(س) = س‪2 – 2‬س ‪ 3-‬ومحور السينات‬ ‫ق(س) = صفر‬ ‫س‪2 – 2‬س ‪ 1 = 3-‬ومنه (س – ‪()3‬س ‪1 = )6+‬‬ ‫إما س = ‪ 3‬أو س = ‪ 6-‬هذه نقاط تقاطع منحنى الاقتران مع محور السينات‬ ‫وتكون المساحة المطلوبة محصورة بين منحنى الاقتران ومحور السينات على الفترة ]‪[3 ،6-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3-‬س‬ ‫س‪2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫(س‪33‬‬ ‫=‬ ‫س‬ ‫‪)3-‬‬ ‫‪2‬س‬ ‫–‬ ‫(س‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫= ((‪) )6-(3- 2)6-( - 3)63-(( - ) )3(3- 2)3( - 3)33‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪-‬‬ ‫=‬ ‫‪3-‬‬ ‫‪6+‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪9‬‬ ‫–‬ ‫‪9‬‬ ‫–‬ ‫‪9‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫وحدة مربعة‬ ‫‪32‬‬ ‫=‬ ‫س‬ ‫│ق(س)│‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫المطلوبة‬ ‫المساحة‬ ‫‪3‬‬ ‫‪60‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫صفحة ‪199‬‬ ‫تدريب الكتاب ‪3‬‬ ‫يمثل الشكل منحنى الاقتران ص = ق(س) فإذا كانت المساحة م‪ 8 = 6‬وحدات مربعة ‪ ،‬والمساحة م‪ 5 = 2‬وحدات‬ ‫مربعة ‪ ،‬فجد قيمة كل مما يأتي‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫ب‬ ‫‪  )6‬ق(س)‪ ‬س = ‪ 8 -‬لأن ق(س) ≤ ‪1‬‬ ‫أ‬ ‫جـ‬ ‫‪  )2‬ق(س)‪ ‬س = ‪ 5‬لان ق(س) ≥ ‪1‬‬ ‫ب‬ ‫جـ ب جـ‬ ‫‪  )3‬ق(س)‪ ‬س = ‪ ‬ق(س)‪ ‬س ‪  +‬ق(س)‪ ‬س = ‪3- = 5 + 8 -‬‬ ‫أأ ب‬ ‫‪ )4‬م = م‪ + 6‬م‪ 63 = 5 + 8 = 2‬وحدة مربعة‬ ‫حساب المساحة أو التكامل اعتمادا على الرسم ‪:‬‬ ‫في بعض المسائل يعطى رسم للمنطقة المغلقة ويطلب حساب المساحة ضمن فترة معينة وهنا يجب أن ننتبه إذا كان الطلب‬ ‫حساب المساحة فإن المساحة لا يمكن أن تكون سالبة لذلك نأخذ القيمة المطلقة للمساحة ‪،‬‬ ‫أما إذا كان الطلب حساب التكامل فإن التكامل يمكن أن يكون سالبا أو موجبا حسب وضعه بالنسبة لمحور السينات فإن كان‬ ‫فوق محور السينات فهو موجب وإن كان تحت محور السينات فهو سالب‬ ‫مثال ‪:‬‬ ‫يمثل الشكل المجاور المنطقة المغلقة المحصورة بين منحنى الاقتران ومحور السينات في الفترة ] أ ‪ ،‬ب [ فإذا علمت أن‬ ‫مساحة (م‪ )6‬تساوي ‪ 1‬وحدات مربعة ‪،‬‬ ‫ب‬ ‫ق(س)‬ ‫‪ ‬ق(س)‪ ‬س = ‪ ، 4-‬فجد مساحة (م‪)2‬‬ ‫م‪0‬‬ ‫جـ أ‬ ‫أ‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫م‪8‬‬ ‫ب‬ ‫جـ ب‬ ‫ب‬ ‫‪ ‬ق(س)‪ ‬س = ‪ ‬ق(س)‪ ‬س ‪  +‬ق(س)‪ ‬س‬ ‫أ ب أ جـ‬ ‫‪ + 1 = 4-‬ق(س)‪ ‬س‬ ‫ب جـ‬ ‫‪ ј‬ق(س)‪ ‬س = ‪ 61-‬نلا حظ ان التكامل سالب لأن المنطقة المغلقة تحت محور السينات‬ ‫جـ ب‬ ‫المساحة م‪│  = 2‬ق(س)│‪ ‬س = ‪  -‬ق(س)‪ ‬س = ‪ 61‬وحدة مربعة‬ ‫جـ‬ ‫‪68‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫صفحة ‪211‬‬ ‫حل الأسئلة‬ ‫‪)6‬جد مساحة المنطقة المغلقة المحصورة بين منحنى الاقتران ص = ق(س) ‪ ،‬ومحور السينات والمستقيمين المحددين‬ ‫في كل مما ياتي ‪:‬‬ ‫أ)ق(س) = ‪ ، 62‬س = ‪ ، 6-‬س = ‪2‬‬ ‫الحل ‪ :‬نلاحظ أن منحنى الاقتران لا يتقاطع مع محور السينات لذلك نوجد التكامل المحدد في الفترة ]‪[ 2 ، 6-‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪ 62 ‬س = ‪ 62‬س = ‪31 =62 + 24 = )6-( 62 - )2( 62‬‬ ‫‪1- 2‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫المساحة المطلوبة =‪ ‬ق(س)‪ ‬س = ‪ 31‬وحدة مربعة‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪ ،‬س= ‪ ، 2-‬س = ‪2‬‬ ‫ب)ق(س) = ‪2 – 5‬س‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫س‬ ‫ومنه‬ ‫ومنه ‪2‬س = ‪5‬‬ ‫ق(س) = صفر ومنه ‪2 – 5‬س = ‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8-• 8• •0‬‬ ‫نلاحظ ان س =‪ 52‬لا تقع ضمن الفترة ]‪[ 2 ، 2-‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪2 – 5( ‬س) ‪ ‬س = (‪5‬س – س‪)2‬‬ ‫‪2- 2-‬‬ ‫= (‪21 = 4 + 61+ 4 – 61 = )2)2-( – )2-(5( - )2)2-( – )2(5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫المساحة المطلوبة = ‪ ‬ق(س)‪ ‬س = ‪ 21‬وحدة مربعة‬ ‫‪2-‬‬ ‫جـ)ق(س) = ‪3‬س‪ ، 3 – 2‬س= ‪ ، 2-‬س = ‪4-‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫ق(س) = صفر ومنه ‪3‬س‪ 1 = 3- 2‬ومنه ‪3‬س‪ 3=2‬ومنه س‪ ، 6 = 2‬ومنه س= ‪ ، 6-‬س = ‪6‬‬ ‫‪5•-‬‬ ‫‪8•- 0•-‬‬ ‫‪•0‬‬ ‫نلاحظ أن س = ‪ ، 6-‬س = ‪ 6‬لا تقع ضمن الفترة ]‪[ 2- ، 4-‬‬ ‫نجري التكامل المحدد للاقتران في الفترة ]‪[ 2- ، 4-‬‬ ‫‪2- 2-‬‬ ‫‪3( ‬س‪  )3 – 2‬س = (س‪3 – 3‬س ) = ((‪) )4-(3 – 3)4-( ( - ) )2-(3 – 3)2-‬‬ ‫‪2- 1-‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫= ‪ ، 51 = 62- 14+ 1 + 8-‬المساحة المطلوبة = ‪ ‬ق(س)‪ ‬س = ‪ 51‬وحدة مربعة‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪63‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫‪)2‬جد مساحة المنطقة المغلقة بين منحنى الاقتران ص = ق(س) ‪ ،‬ومحور السينات على الفترة المحددة في كل مما يأتي‬ ‫أ)ق(س) = ‪1 – 1‬س‪ ، 2‬على الفترة ]‪[1 ، 2-‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫ق(س) = صفر ومنه ‪1 – 1‬س‪ 1 = 2‬ومنه ‪1‬س‪ 1 = 2‬ومنه س‪6 = 2‬‬ ‫‪8•- 0•- 1• •0‬‬ ‫ومنه س = ‪ ، 6-‬س = ‪6‬‬ ‫نلاحظ أن س = ‪ 6‬لا تقع ضمن الفترة ]‪[1 ، 2-‬‬ ‫وأن س = ‪ 6-‬تقع ضمن الفترة ]‪ [1 ، 2-‬لذلك نجري التكامل المحدد للاقتران في الفترة‬ ‫]‪ [6- ، 2-‬ثم نجري التكامل في الفترة ]‪[1 ، 6-‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪1- 1-‬‬ ‫‪1 – 1( ‬س‪)2‬س = (‪1‬س – ‪2‬س‪)3)2-(2 –)2-(1( - )3)6-(2 – )6-(1( = )3‬‬ ‫‪2- 2-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪8- =21- 22 + 2 +1-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 – 1( ‬س‪)2‬س = (‪1‬س – ‪2‬س‪)3)6-(2 –)6-(1( - )3)1(2 – )1(1(= )3‬‬ ‫‪1- 1-‬‬ ‫= ‪4 = 2- 1‬‬ ‫‪1 1-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫المساحة المطلوبة = ‪│ ‬ق(س)│‪ ‬س = ‪ -‬ق(س)‪ ‬س ‪  +‬ق(س)‪ ‬س‬ ‫‪1- 2-‬‬ ‫‪2-‬‬ ‫= ‪ 62 = 4 + 8‬وحدة مربعة‬ ‫‪ ،‬على الفترة ]‪[6 ، 6-‬‬ ‫ب)ق(س)= ‪4‬س‪3‬‬ ‫‪0•- 1 •0‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫ق(س) = صفر ومنه ‪4‬س‪ 1 = 3‬ومنه س = ‪1‬‬ ‫نلاحظ أن س = ‪ 1‬تقع ضمن الفترة ]‪[6 ، 6-‬‬ ‫لذلك نجري التكامل في الفترة ]‪ [1 ، 6-‬ثم نجري التكامل في الفترة ] ‪[6 ، 1‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪4 ‬س‪ 3‬س = س‪6- = 4)6-( - 4)1( = 4‬‬ ‫‪1- 1-‬‬ ‫‪65‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫‪11‬‬ ‫‪4 ‬س‪ 3‬س = س‪6 = 4)1( - 4)6( = 4‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪1‬‬ ‫المساحة المطلوبة = ‪│ ‬ق(س)│‪ ‬س = ‪  -‬ق(س)‪ ‬س ‪  +‬ق(س)‪ ‬س‬ ‫‪1 1-‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫= ‪ 2 = 6 + 6‬وحدة مربعة‬ ‫جـ)ق(س)= ‪3‬س‪ ، 48- 2‬على الفترة ] ‪[ 5 ، 3‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫ق(س) = صفر ‪3 ،‬س‪ 1 = 48 – 2‬ومنه ‪3‬س‪ 48 = 2‬ومنه س‪61 = 2‬‬ ‫‪5•-‬‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫‪••0‬‬ ‫أي ان س = ‪ ، 4-‬س = ‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫نلاحظ أن س = ‪ 4-‬لا تقع ضمن الفترة ] ‪[ 5 ، 3‬‬ ‫وان س = ‪ 4‬تقع ضمن الفترة ] ‪[ 5 ، 3‬‬ ‫لذلك نجري تكامل الاقتران في الفترة ] ‪ [4 ، 3‬ثم نجري التكامل في الفترة ] ‪[ 5 ، 4‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪3( ‬س‪ )48- 2‬س = (س‪ 48 – 3‬س ) = ((‪) )3( 48 – 3)3(( - ) )4( 48 – 3)4‬‬ ‫‪33‬‬ ‫= ‪66- = 644 + 27 – 692 - 14‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪3( ‬س‪ )48- 2‬س = (س‪ 48 – 3‬س ) = ((‪) )4( 48 –3)4(( - ) )5( 48 – 3)5‬‬ ‫‪11‬‬ ‫= ‪63 = 692 + 14– 241 – 625‬‬ ‫‪51‬‬ ‫‪3‬‬ ‫المساحة المطلوبة = ‪ ‬ق(س)‪ ‬س = ‪  -‬ق(س)‪ ‬س ‪  +‬ق(س)‪ ‬س‬ ‫‪13‬‬ ‫‪5‬‬ ‫= ‪ 24 =63 + 66‬وحدة مربعة‬ ‫د)ق(س) = ‪ -‬س‪ ، 4- 2‬على الفترة ] ‪[6 ، 6-‬‬ ‫ق(س) ≠ صفر أي لا توجد نقاط تقاطع مع محور السينات‬ ‫نجري تكامل الاقتران خلال الفترة ] ‪[6 ، 6-‬‬ ‫(‪3)6-‬‬ ‫(‪3)6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫س‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫‪)6-(4-‬‬ ‫‪-(-))6(4‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫(‬ ‫=‬ ‫‪4 -‬س )‬ ‫‪-‬‬ ‫(‬ ‫=‬ ‫‪‬س‬ ‫‪)4-‬‬ ‫س‪2‬‬ ‫(‪-‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1- 1-‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪-‬‬ ‫=‬ ‫‪4-‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪60‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫وحدة مربعه‬ ‫‪21‬‬ ‫=‬ ‫س‬ ‫ق(س)‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫=‬ ‫س‬ ‫│ق(س)│‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫المطلوبة‬ ‫المساحة‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1- 1-‬‬ ‫‪)3‬جد مساحة المنطقة المغلقة المحصورة بين منحنى الاقتران ص = ق(س) ‪ ،‬ومحور السينات في كل مما يأتي ‪:‬‬ ‫أ) ق(س) = ‪4‬س – س‪2‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫ق(س) = صفر ‪4 ،‬س – س‪ 1 = 2‬ومنه س(‪ – 4‬س)=‪1‬‬ ‫س = ‪ ، 1‬س = ‪ 4‬نوجد تكامل الاقتران على الفترة ‪4 ، 1‬‬ ‫)‬ ‫(‪3)1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2)1(2‬‬ ‫(‬ ‫‪-‬‬ ‫)‬ ‫(‪3)4‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2)4(2‬‬ ‫(‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫س‪3‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2‬س‪2‬‬ ‫(‬ ‫=‬ ‫‪‬س‬ ‫س‪)2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫(‪4‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪32‬‬ ‫=‬ ‫‪14‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪32‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫مربعة‬ ‫وحدة‬ ‫‪32‬‬ ‫=‬ ‫س‬ ‫ق(س)‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫المطلوبة‬ ‫المساحة‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ب)ق(س) = ‪4‬س‪62 – 3‬س‪2‬‬ ‫ق(س) = ‪ 1‬ومنه ‪4‬س‪62 – 3‬س‪ 1 = 2‬ومنه ‪4‬س‪(2‬س – ‪ 1 = ) 3‬ومنه‬ ‫نوجد تكامل الاقتران على الفترة ‪3 ، 1‬‬ ‫س = ‪ 1‬أو س = ‪3‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪4( ‬س‪62 – 3‬س‪ )2‬س = (س‪4 – 4‬س‪)3)1(4 – 4)1(( - )3)3(4 – 4)3(( = )3‬‬ ‫‪11‬‬ ‫= ‪27 - = 618 – 86‬‬ ‫‪33‬‬ ‫المساحة المطلوبة = ‪│ ‬ق(س)│‪ ‬س = ‪  -‬ق(س)‪ ‬س = ‪ 27‬وحدة مربعه‬ ‫‪11‬‬ ‫‪)4‬يمثل الشكل منحنى الاقتران ص = ق(س)‬ ‫فإذا كانت المساحة م‪ 63 = 6‬وحدة مربعة ‪ ،‬والمساحة م‪ 3 = 2‬وحدة مربعة‬ ‫‪3‬‬ ‫فجد قيمة ‪ ‬ق(س)‪ ‬س ‪ ،‬مبرر إجابتك‬ ‫‪5-‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ ‬ق(س)‪ ‬س = ‪ ‬ق(س)‪ ‬س ‪ +‬ق(س)‪ ‬س‬ ‫‪1 5- 5-‬‬ ‫‪66‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫‪1‬‬ ‫ولكن ‪ ‬ق(س)‪ ‬س = ‪ 63‬لان ق(س) ‪ ‬صفر‬ ‫‪3 5-‬‬ ‫وكذلك ‪ ‬ق(س)‪ ‬س = ‪ 3-‬لان ق(س) ≤ صفر‬ ‫‪13‬‬ ‫‪ ‬ق(س)‪ ‬س = ‪61 = 3 - 63‬‬ ‫‪5-‬‬ ‫‪)5‬يمثل الشكل نافذة على شكل مستطيل طول قاعدته ‪ 2‬م ‪ ،‬وارتفاعه ‪1‬م ‪ ،‬يعلوه منحنى يعطى بالقاعدة ‪:‬‬ ‫ص = ق(س) = ‪ – 2‬س‪2‬‬ ‫إذا أردنا وضع زجاج على النافذة ‪ ،‬وكانت تكلفة المتر المربع الواحد منه خمسة دنانير‬ ‫فما التكلفة الكلية لزجاج النافذة ‪:‬‬ ‫التكلفة الكلية = المساحة × ‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫المساحة = ‪ – 2( ‬س‪ ) 2‬س‬ ‫)‬ ‫(‪3)6-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫(‪)6-(2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫)‬ ‫(‪3)6‬‬ ‫‪-‬‬ ‫(‪)6(2‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫س‪3‬‬ ‫‪-‬‬ ‫(‪2‬س‬ ‫=‬ ‫س‬ ‫‪1-‬‬ ‫–‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫س‪) 2‬‬ ‫‪2( ‬‬ ‫‪1- 1-‬‬ ‫‪61‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2+‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫دينار‬ ‫= ‪—51‬‬ ‫‪5‬‬ ‫×‬ ‫‪61‬‬ ‫=‬ ‫التكلفة الكلية‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫سؤال وزاري ‪ : 8102‬منهاج جديد‬ ‫ب‬ ‫معتمدا الشكل المجاور الذي يمثل منحنى الاقتران ‪ :‬ص = ق(س) ‪ ،‬إذا علمت أن ‪ ‬ق(س)‪‬س = ‪1‬‬ ‫أ‬ ‫جـ جـ‬ ‫س جـ‬ ‫‪ ‬ق(س)‪‬س = ‪ ، 4-‬فجد ‪ ‬ق(س)‪‬س‬ ‫ص‬ ‫د) ‪8-‬‬ ‫بأ‬ ‫) ‪ 2-‬ب) ‪ 8‬ج) ‪2‬‬ ‫بأ‬ ‫ب جـ‬ ‫جـ‬ ‫‪ ‬ق(س)‪‬س = ‪ ‬ق(س)‪‬س ‪  +‬ق(س)‪‬س‬ ‫أب‬ ‫أ‬ ‫= ‪2 = 4- + 1‬‬ ‫سؤال وزاري ‪ : 8102‬منهاج جديد‬ ‫جد مساحة المنطقة المغلقة المحصورة بين منحنى الاقتران ص = ق(س)= ‪2‬س‪4 – 2‬س ومحور السينات‬ ‫‪2‬س(س‪ 1=)2-‬ومنه س =‪ ، 1‬س = ‪2‬‬ ‫‪65‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫‪22‬‬ ‫م = ‪2( ‬س‪4 – 2‬س)‪ ‬س = (‪ ‬س‪2- 3‬س‪)2)1(2- 3)1( ( - )2)2(2- 3)2( ( = )2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫|ق(س)|‪‬س‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫م‬ ‫ومنه‬ ‫‪8-‬‬ ‫=‬ ‫(‪)1‬‬ ‫–‬ ‫‪)8-‬‬ ‫‪61‬‬ ‫=(‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫سؤال وزاري ‪: 8102‬‬ ‫جـ‬ ‫ب جـ‬ ‫فما قيمة ‪ ‬ق(س)‪‬س‬ ‫‪  ،‬ق(س)‪‬س = ‪5-‬‬ ‫إذا كان ‪ ‬ق(س)‪‬س = ‪3‬‬ ‫‪‬ب‬ ‫‪‬ص‬ ‫د) ‪8-‬‬ ‫أ ) ‪ 2-‬ب) ‪ 8‬ج) ‪2‬‬ ‫جـ ب جـ‬ ‫‪ ‬ق(س)‪‬س = ‪ ‬ق(س)‪‬س ‪  +‬ق(س)‪‬س‬ ‫بأ‬ ‫س جـ‬ ‫‪ ‬جـ ‪ ‬ب‬ ‫‪ ‬ق(س)‪‬س = ‪2- = 5- 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫سؤال إضافي ‪ :‬جد مساحة المنطقة المغلقة المحصورة بين منحنى الاقتران ق(س) = س‪2 – 2‬س ومحور السينات‬ ‫الحل ‪ :‬س‪2 – 2‬س = ‪ 1‬ومنه س(س – ‪ 1 = )2‬ومنه س=‪ ، 1‬س = ‪2‬‬ ‫نجري تكامل الاقتران ق(س) خلال الفترة ] ‪[ 2 ، 1‬‬ ‫(‪)2)1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫((‪3)31‬‬ ‫‪-‬‬ ‫(‪)2)2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫((‪3)32‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫(س‪33‬‬ ‫=‬ ‫س‬ ‫‪2‬س)‪‬‬ ‫–‬ ‫(س‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫س‪)2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪11‬‬ ‫وحدة مربعة‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫س‬ ‫│ق(س)│‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫المساحة المطلوبة =‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫سؤال إضافي ‪:‬‬ ‫جد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران ق(س) = ‪2 – 1‬س ومحور السينات في الفترة ]‪[ 4 ، 1‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫ق(س) = ‪ 1‬ومنه ‪2 – 1‬س = ‪ 1‬ومنه ‪2 – 1‬س = ‪ 1‬ومنه س = ‪3‬‬ ‫•‪1‬‬ ‫•‬ ‫نلاحظ أن س = ‪ 3‬تقع ضمن الفترة ]‪[ 4 ، 1‬‬ ‫‪35‬‬ ‫نجري التكامل في الفترة ]‪ [ 3 ، 1‬ثم نجري التكامل في الفترة ]‪[ 4 ، 3‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪2 – 1( ‬س)‪ ‬س = ( ‪1‬س – س‪)2)1( – )1(1 ( - )2)3( – )3(1 ( = )2‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2 – 1( ‬س)‪ ‬س = ‪9 = 9 – 68‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪62‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫‪11‬‬ ‫‪2 – 1( ‬س)‪ ‬س = ( ‪1‬س – س‪)2)3( – )3(1 ( - )2)4( – )4(1 ( = )2‬‬ ‫‪33‬‬ ‫= ‪6- = 9 + 68- 61 – 24‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪1‬‬ ‫المساحة المطلوبة = ‪│ ‬ق(س)│‪ ‬س = ‪ ‬ق(س)‪ ‬س ‪  -‬ق(س)‪ ‬س‬ ‫‪11‬‬ ‫‪31‬‬ ‫= ‪ 61 = 6+ 9‬وحدة مربعة‬ ‫سؤال إضافي ‪:‬‬ ‫جد مساحة المنطقة المغلقة المحصورة بين منحنى الاقتران ق(س) = ‪ – 6‬س‪ 2‬ومحور السينات‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫ق(س) = صفر ومنه ‪ – 6‬س‪ 1 = 2‬ومنه س‪ 6 = 2‬ومنه س = ‪ ، 6-‬س = ‪6‬‬ ‫نوجد تكامل الاقتران ق في الفترة ]‪[ 6 ، 6-‬‬ ‫(‪3)6-‬‬ ‫(‪3)6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫س‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫‪-‬‬ ‫‪6-‬‬ ‫(‬ ‫‪-‬‬ ‫)‬ ‫‪-‬‬ ‫(‪6‬‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪-‬‬ ‫س‬ ‫(‬ ‫=‬ ‫س‬ ‫س‪)2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫(‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1- 1-‬‬ ‫وحدة مربعة‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫س‬ ‫ق(س)‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫المطلوبة‬ ‫المساحة‬ ‫‪،‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪6+‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫سؤال إضافي ‪:‬‬ ‫احسب مساحة المنطقة المغلقة المحصورة بين منحنى الاقتران ق(س) = ‪3‬س ‪ 1 +‬ومحور السينات‬ ‫في الفترة ] ‪[ 3 ، 1‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫ق(س) = صفر‬ ‫‪3‬س ‪ 1= 1 +‬ومنه ‪3‬س = ‪ 1-‬ومنه س = ‪ 2-‬لا تقع ضمن الفترة ] ‪[ 3 ، 1‬‬ ‫نوجد التكامل في الفترة ] ‪[ 3 ، 1‬‬ ‫‪))1(1 + 2)1( 32( -‬‬ ‫(‪))3(1 + 2)3( 32‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫س‪2‬‬ ‫(‪23‬‬ ‫=‬ ‫س‬ ‫‪)1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(‪3‬س‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬س)‬ ‫‪‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪13‬‬ ‫=‬ ‫‪68‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪27‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪67‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫وحدة مربعة‬ ‫‪13‬‬ ‫=‬ ‫س‬ ‫ق(س)‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫المساحة المطلوبة = ‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫سؤال إضافي ‪ :‬معتمدا الشكل المجاور والذي يمثل منحنى الاقتران ق المعرف في الفترة ] أ ‪ ،‬ب[ ‪ ،‬إذا علمت أن‬ ‫جـ‬ ‫مساحة المنطقة المغلقة المحصورة بين منحنى الاقتران ق ومحور السينات تساوي (‪ )64‬وحدة مربعة وكان ‪ ‬ق(س)‬ ‫‪‬س = ‪ 1‬ب أ‬ ‫فما قيمة ‪ ‬ق(س)‪ ‬س‬ ‫جـ‬ ‫جـ أ‬ ‫الحل ‪ :‬ب‬ ‫جـ ب‬ ‫ب‬ ‫م = ‪│ ‬ق(س)│‪ ‬س = ‪ ‬ق(س)‪ ‬س ‪  -‬ق(س)‪ ‬س‬ ‫أ جـ‬ ‫أ‬ ‫بب‬ ‫‪  - 1 = 64‬ق(س)‪ ‬س ومنه ‪ ‬ق(س)‪ ‬س = ‪8- = 64 – 1‬‬ ‫جـ جـ‬ ‫سؤال إضافي ‪:‬‬ ‫اعتمادا على الشكل المجاور الذي يمثل المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران ق(س) ومحور السينات في الفترة ]‪[ 5 ، 1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫علمت إذا أن مساحة المنطقة م‪ 6‬تساوي (‪ )4‬وحدة مربعة وان ‪ ‬ق(س)‪ ‬س = ‪ 8‬فجد مساحة م‪ 2‬ص‬ ‫ق(س)‬ ‫‪51‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫الحل ‪ :‬م = ‪│ ‬ق(س)│‪ ‬س = ‪  -‬ق(س)‪ ‬س ‪  +‬ق(س)‪ ‬س‬ ‫م‪8‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪1‬‬ ‫م‪1 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪5‬س‬ ‫‪5‬‬ ‫‪  + 4- = 8‬ق(س)‪ ‬س ومنه ‪ ‬ق(س)‪ ‬س = ‪62‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪51‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫اختبر نفسك‬ ‫‪)6‬جد مساحة المنطقة المغلقة المحصورة بين منحنى الاقتران ق(س) = ‪2‬س‪ 1+‬ومحور السينات والمستقيمين ‪:‬‬ ‫س = ‪ ، 1‬س= ‪2‬‬ ‫‪)2‬احسب مساحة المنطقة المغلقة المحصورة بين كمحنى الاقتران ق(س) = س‪4 – 2‬س ومحور السينات‬ ‫‪)3‬جد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران ق(س) = ‪3‬س‪1 – 2‬س ومحور‬ ‫السينات في الفترة ] ‪[ 6 ، 2-‬‬ ‫‪)5‬يبين الشكل المجاور المنطقة المغلقة المحصورة بين منحنى الاقتران ق(س) ومحور‬ ‫السينات في الفترة ]أ ‪ ،‬ب[ إذا علمت أن م‪ 9 = 6‬وحدات مربعة ‪ ،‬م‪ 4 = 2‬وحدات مربعة‬ ‫ب ق(س)‬ ‫فإن ‪ ‬ق(س)‪ ‬س =‬ ‫م‪0‬‬ ‫أ‬ ‫ب م‪ 8‬أ‬ ‫‪)1‬بالاعتماد على الشكل الآتي الذي يمثل منحنى ق(س) إذا كانت المساحة م‪ 1 = 6‬والمساحة م‪ 61 = 2‬فإن‬ ‫ب‬ ‫‪ ‬ق(س)‪ ‬س =‬ ‫أ ق(س)‬ ‫م‪0‬‬ ‫جـ م‪ 8‬ب أ‬ ‫‪50‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫الفصل الثالث‬ ‫وتطبيقاتهما‬ ‫اللوغاريتمي الطبيعي والأسي الطبيعي‬ ‫الاقترانان‬ ‫الاقتران اللوغاريتمي الطبيعي ‪ :‬يرمز له بالرمز ‪ ( :‬لــهوـس )‬ ‫مشتقة الاقتران اللوغاريتمي الطبيعي ‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫َق(س)‬ ‫فإن‬ ‫إذا كان ق(س) = لــوهـس‬ ‫س‬ ‫للاشتقاق‬ ‫قابل‬ ‫اقتران‬ ‫م(س)‬ ‫حيث‬ ‫مَ(س)‬ ‫قَ(س) =‬ ‫فإن‬ ‫وإذا كان ق(س) = لــوهـ م(س)‬ ‫م(س)‬ ‫صفحة ‪213‬‬ ‫مثال الكتاب ‪1‬‬ ‫‪‬ص‬ ‫جد ‪‬س عند النقطة المحددة في كل مما يأتي ‪:‬‬ ‫‪)6‬ص= لــوهـ ‪1‬س ‪ ،‬س>‪ 1‬عندما س = ‪6‬‬ ‫‪)2‬ص= لــوهـ(س‪ ) 61 + 2‬عندما س = ‪2-‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪)6‬ص = لــهوـ ‪1‬س‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫س‬ ‫‪1‬س‬ ‫‪‬س‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬سصس│=‪=6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪)2‬ص = لــهوـ(س‪) 61 + 2‬‬ ‫‪2‬س‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫س‪16 + 2‬‬ ‫‪‬س‬ ‫‪2-‬‬ ‫=‬ ‫‪4-‬‬ ‫=‬ ‫‪4-‬‬ ‫=‬ ‫‪16‬‬ ‫‪2-×2‬‬ ‫‪‬سصس│==‪2-‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪16 +4‬‬ ‫(‪+ 2)2-‬‬ ‫‪58‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫تدريب الكتاب ‪ 2‬صفحة ‪211‬‬ ‫جد قَ(س) في كل مما ياتي ‪:‬‬ ‫‪)6‬ق(س) = لــوهـ جتاس‬ ‫‪،‬س>‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪)2‬ق(س) = لــهـو‬ ‫س‬ ‫‪)3‬ق(س) = لــهوـ(س‪ ، )8 + 3‬س> ‪2-‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫ق(س) = لــهوـ جتاس‬ ‫= ‪ -‬ظاس‬ ‫‪ -‬جاس‬ ‫=‬ ‫قَ(س)‬ ‫جتاس‬ ‫‪2‬‬ ‫لــهـو‬ ‫‪)2‬ق(س)=‬ ‫س‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-‬‬ ‫=‬ ‫س‬ ‫×‬ ‫‪2-‬‬ ‫=‬ ‫‪2-‬‬ ‫س‬ ‫‪2‬‬ ‫س‪2‬‬ ‫قَ(س) = —‪2‬س‪—2‬‬ ‫س‬ ‫‪)3‬ق(س) = لــوهـ (س‪)8 + 3‬‬ ‫‪3‬س‪2‬‬ ‫َق(س) =‬ ‫س‪8 + 3‬‬ ‫صفحة ‪211‬‬ ‫تدريب الكتاب ‪3‬‬ ‫إذا كان ق(س) = لــهـو (أس ‪ ، ) 3 +‬حيث أ ثابت ‪ ،‬وكان قَ(‪ ، 6 =)2-‬فجد قيمة الثابت أ‬ ‫ولكن قَ(‪6 = )2-‬‬ ‫أ‬ ‫قَ(س) =‬ ‫أس‪3+‬‬ ‫ومنه أ = ‪2-‬أ ‪ 3 +‬ومنه ‪3‬أ = ‪ 3‬ومنه أ = ‪6‬‬ ‫أ‬ ‫‪=6‬‬ ‫أ×‪3 + 2-‬‬ ‫نظرية هامة ‪:‬‬ ‫‪ ،‬س≠‪1‬‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫│س│‬ ‫لــهوـ‬ ‫=‬ ‫س‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫س‬ ‫‪‬‬ ‫س‪6-‬‬ ‫‪‬‬ ‫س‬ ‫‪53‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫صفحة ‪215‬‬ ‫مثال الكتاب ‪2‬‬ ‫جد قيمة كل تكامل مما يأتي ‪:‬‬ ‫‪‬س‬ ‫‪7‬‬ ‫‪61‬س‬ ‫‪-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ )2‬‬ ‫س≠‪1‬‬ ‫‪،‬‬ ‫س‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ )6‬‬ ‫س‪+‬‬ ‫‪-‬‬ ‫س‪2‬‬ ‫س‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫= ‪ (2‬لــهـو│س│) ‪ +‬جـ‬ ‫س‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪)6‬‬ ‫س‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫‪)│7+‬‬ ‫س‬ ‫–‬ ‫(لــوهـ│س‪2‬‬ ‫‪5-‬‬ ‫=‬ ‫‪‬س‬ ‫‪2 - 6(5‬س)‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪‬س‬ ‫‪7‬‬ ‫‪61‬س‬ ‫‪-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫س‪ - 2‬س ‪7 +‬‬ ‫س‪+‬‬ ‫‪-‬‬ ‫س‪2‬‬ ‫تدريب الكتاب ‪ 5‬صفحة ‪215‬‬ ‫جد قيمة كل تكامل مما يأتي ‪:‬‬ ‫‪1( )2‬س‪()4- 2‬س‪2- 3‬س ‪ 6-) 6 +‬س‬ ‫‪،‬س≠‪1‬‬ ‫‪‬س‬ ‫‪3-‬‬ ‫‪)6‬‬ ‫س‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫‪‬س = ‪( 3-‬لــهـو│س│)‬ ‫‪3-‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪)6‬‬ ‫س‬ ‫‪‬س‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬س‪4- 2‬‬ ‫=‪‬‬ ‫‪1( ‬س‪()4- 2‬س‪2- 3‬س ‪ 6-) 6 +‬س‬ ‫‪)2‬‬ ‫س‪2 - 3‬س ‪+‬‬ ‫= ‪(2‬لــوهـ│ س‪2- 3‬س ‪ + │6 +‬جـ ويمكن حله بالتكامل بالتعويض‬ ‫الاقتران الأسي الطبيعي ‪:‬‬ ‫الاقتران الأسي الطبيعي يرمز له بالرمز ‪ :‬ص = هـس حيث هـ العدد النيبيري‬ ‫حيث ص= هـس تكافي لــهـوص = س‬ ‫المشتقة الأولى للاقتران الأسي الطبيعي ‪:‬‬ ‫إذا كان ق(س) = هـس فإن َق(س) = هـس حيث هـ العدد النيبيري ويساوي ‪ 2.7‬تقريبا‬ ‫إذا كان ق(س) = هـل(س) ‪ ،‬فإن َق(س) = َل(س) هـ ل(س) حيث ل(س) اقتران قابل للاشتقاق‬ ‫‪55‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫صفحة ‪211‬‬ ‫مثال الكتاب ‪3‬‬ ‫جد َق(س) في كل مما يأتي ‪:‬‬ ‫‪)2‬ق(س) = هـ ‪2‬س‪6+2‬‬ ‫‪ )6‬ق(س) = هـ ‪3‬س‬ ‫‪)4‬ق(س) = ‪2‬س‪2‬هـ‪5‬س‪ -‬لــوهـ(س‪)6 + 3‬‬ ‫‪ )2‬ق(س) = هـ جا‪3‬س‪2‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪ )6‬قَ(س) = ‪ 3‬هـ‪3‬س‬ ‫‪َ )2‬ق(س) = ‪4‬س هـ‪2‬س‪6+2‬‬ ‫‪َ )3‬ق(س) = ‪1‬س جتا‪3‬س‪ 2‬هـجا‪3‬س‪2‬‬ ‫‪3‬س‪2‬‬ ‫= ‪61‬س‪2‬هـ‪ 5‬س ‪4 +‬س هـ‪ 5‬س ‪-‬‬ ‫‪3‬س‪2‬‬ ‫×‪4‬س ‪-‬‬ ‫‪ )4‬قَ(س) = ‪2‬س‪5×2‬هـ‪ 5‬س ‪ +‬هـ‪ 5‬س‬ ‫س‪6 + 3‬‬ ‫س‪6 + 3‬‬ ‫تدريب الكتاب ‪ 7‬صفحة ‪210‬‬ ‫جد َص في كل مما يأتي ‪:‬‬ ‫‪)2‬ص= هــجتا‪2‬س‬ ‫‪)6‬ص = هــ‪ -3‬س‪2‬‬ ‫‪)3‬ص= (هــس )(لــوهـس )‬ ‫هــ‪ 3‬س‬ ‫‪)4‬ص=‬ ‫س‪6 + 2‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪َ )6‬ص = ‪2-‬س هـ‪ -3‬س‪2‬‬ ‫‪َ )2‬ص =‪2-‬جا‪2‬س هـجتا‪2‬س‬ ‫‪ +‬لــوهـس × هـس‬ ‫‪6‬‬ ‫×‬ ‫‪)3‬صَ= هـس‬ ‫س‬ ‫‪2‬س‬ ‫×‬ ‫‪ -‬هـ‪3‬س‬ ‫×‪3‬هـ‪3‬س‬ ‫(س‪)6+2‬‬ ‫=‬ ‫صَ‬ ‫‪)4‬‬ ‫‪2)6‬‬ ‫(س‪+ 2‬‬ ‫نظرية هامة في تكامل الاقتران الأسي ‪:‬‬ ‫‪ )6‬هـس ‪‬س = هـس ‪ +‬جـ حيث هـ العدد النيبيري‬ ‫‪ ،‬حيث أ ‪ ،‬ب عددان حقيقيان ‪ ،‬أ ≠ ‪1‬‬ ‫هـأس‪+‬ب‬ ‫=‬ ‫‪‬س‬ ‫ب‬ ‫‪+‬‬ ‫هـأس‬ ‫‪)2‬‬ ‫أ‬ ‫‪50‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫صفحة ‪210‬‬ ‫مثال الكتاب ‪4‬‬ ‫جد قيمة كل من التكاملات الآتية ‪:‬‬ ‫‪ )5 +‬س = ‪3‬هـس ‪ 1-‬لــهوـ│س│ ‪5 +‬س ‪ +‬جـ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3( )6‬هـس ‪-‬‬ ‫س‬ ‫‪ +‬جـ = ‪ 4-‬هــ‪2-4‬س ‪ +‬جـ‬ ‫‪ 8 )2‬هـ‪2-4‬س ‪ ‬س = ‪× 8‬هــ‪22--4‬س‬ ‫= ‪2‬س – ‪4‬‬ ‫‪‬ص‬ ‫ومنه‬ ‫س‪4-2‬س‪7+‬‬ ‫ص=‬ ‫نفرض‬ ‫‪ – 2( )3‬س)هـ س‪4-2‬س‪ 7+‬س‬ ‫‪‬س‬ ‫نعوض‬ ‫‪‬ص‬ ‫=‬ ‫‪‬س‬ ‫ومنه‬ ‫‪(2‬س‪)2-‬‬ ‫‪‬ص‬ ‫هـ‪w‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫هـ‪w‬‬ ‫‪‬ص‬ ‫(‪-2‬س)‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪‬س‬ ‫س)هـس‪4-2‬س‪7+‬‬ ‫–‬ ‫(‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(2‬س‪)2-‬‬ ‫هـ س‪4-2‬س‪ + 7+‬جـ‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-‬‬ ‫=‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫هـص‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫تدريب الكتاب ‪ 9‬صفحة ‪218‬‬ ‫جد قيمة كل من التكاملات الآتية ‪:‬‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫س‬ ‫هـ‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪‬س‬ ‫س‬ ‫هـ‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪)6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1-6‬س‬ ‫هـ‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-‬‬ ‫=‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫هــ ‪1-6‬س‬ ‫×‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪‬س‬ ‫‪1-6‬س‬ ‫هــ‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪68‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3+ 2(ј )3‬س‪ )2‬هـ س‪2+3‬س‪ 6-‬س = هـ س‪2+3‬س‪ + 6-‬جـ حسب النظرية قَ(س) = َل(س)هـل(س)‬ ‫أو نوجد الحل باستخدام التكامل بالتعويض نفرض ص = س‪2+3‬س‪6-‬‬ ‫نعوض‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬ص‬ ‫=‬ ‫‪‬س‬ ‫ومنه‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬س‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫ومنه‬ ‫‪3‬س‪+ 2‬‬ ‫‪‬س‬ ‫ص‬ ‫هـص‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫هـص‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬ص‬ ‫‪3+‬س‪×)2‬‬ ‫(‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪3+ 2( ‬س‪ )2‬هـ س‪2+3‬س‪6-‬‬ ‫‪3‬س‪+ 2‬‬ ‫= هـص‪ +‬جـ = هــس‪2+3‬س‪ + 6-‬جـ‬ ‫‪ +‬جـ = ‪ 3‬هـ‪2‬س‪ +6-‬جـ‬ ‫هـ‪2‬س‪6-‬‬ ‫=‪×1‬‬ ‫= ‪ 1 ‬هـ‪2‬س‪ 6-‬س‬ ‫‪1‬س‬ ‫‪)4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬هـ‪2-6‬س‬ ‫‪56‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫صفحة ‪219‬‬ ‫حل الأسئلة‬ ‫‪)6‬جد َق(س) في كل مما يأتي ‪:‬‬ ‫‪ ،‬س> ‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪7+‬هـ‪2‬س‪+‬‬ ‫لــوس‬ ‫‪+‬‬ ‫‪6‬‬ ‫أ)ق(س)=‬ ‫س‬ ‫هـ‬ ‫‪64‬هـ‪2‬س‬ ‫‪+‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-‬‬ ‫=‬ ‫قَ(س)‬ ‫س‬ ‫س‪2‬‬ ‫ب)ق(س)= ‪ 3‬لــهوـس – ‪ 2‬هــ‪2-3‬س ‪ -‬س‪ ، 2‬س‪1 ‬‬ ‫‪2-‬س‬ ‫‪4+‬هـ‪2-3‬س‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪2-‬س‬ ‫هـ‪2-3‬س‬ ‫‪2-×2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫قَ(س)‬ ‫س‬ ‫س‬ ‫جـ)ق(س)= هـجاس ‪ 2 -‬لــو(جتاس)‬ ‫هـ‬ ‫= جتاس هـجاس ‪ 2 +‬ظاس‬ ‫‪ -‬جاس‬ ‫‪×2‬‬ ‫–‬ ‫هـجاس‬ ‫جتاس‬ ‫=‬ ‫َق(س)‬ ‫جتاس‬ ‫‪)2‬جد قيمة كل من التكاملات الآتية ‪:‬‬ ‫‪3 +‬س‪) 2‬س = ‪2‬هـس‪ -‬لــهوـس ‪ +‬س‪ + 3‬جـ‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-‬‬ ‫(‪2‬هـس‬ ‫‪‬‬ ‫أ)‬ ‫س‬ ‫‪ +‬جـ = ‪ 62‬هـ‪2+6‬س ‪ +‬جـ‬ ‫هـ‪2 +6‬س‬ ‫×‬ ‫‪24‬‬ ‫=‬ ‫‪‬س‬ ‫ب)‪24 ‬هـ‪2 +6‬س‬ ‫‪2‬‬ ‫جـ)‪2 ‬س هـ‪ -6‬س‪ 2‬س = ‪  -‬هـ ‪ -6‬س‪ + 2‬جـ حسب النظرية َق(س) = َل(س)هـل(س)‬ ‫أو يمكن إيجاد التكامل بالتعويض‬ ‫نعوض‬ ‫‪‬ص‬ ‫=‬ ‫‪‬س‬ ‫ومنه‬ ‫‪2-‬س‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫فيكون‬ ‫س‪2‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫نفرض ص=‬ ‫‪2-‬س‬ ‫‪‬س‬ ‫حـ‬ ‫‪+‬‬ ‫هـص‬ ‫‪-‬‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫هـص‬ ‫‪‬‬ ‫‪-‬‬ ‫=‬ ‫×هـص‬ ‫‪‬ص‬ ‫×‬ ‫‪2‬س‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬س هـ‪ -6‬س‪ 2‬س =‬ ‫‪2-‬س‬ ‫‪2 ‬س هـ‪ -6‬س‪ 2‬س = ‪ -‬هـ‪ -6‬س‪ +2‬جـ‬ ‫‪4 -‬س ‪ +‬جـ‬ ‫‪3‬هـ‪3‬س‬ ‫لــهـو│س│‪-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫س‬ ‫)‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3‬هـ‪3‬س‬ ‫‪-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫(‬ ‫د)‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫س‬ ‫= ‪ 5‬لــو│س│‪ -‬هـ‪3‬س ‪4 -‬س ‪ +‬جـ‬ ‫هـ‬ ‫‪55‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫أو نحله بالتكامل بالتعويض‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫│‬ ‫‪4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫لــوهـ│س‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪‬س‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬س‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪‬س‬ ‫‪4‬‬ ‫س‬ ‫‪8‬‬ ‫هـ) ‪‬‬ ‫س‪+ 2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫س‪2‬‬ ‫‪)3‬إذا كان ميل المماس للاقتران ص = ق(س) عند النقطة (س ‪ ،‬ص ) يعطى بالقاعدة ‪:‬‬ ‫قَ(س) = ‪2‬هـس ‪2 +‬س ‪ ،‬فجد قاعدة الاقتران ق ‪ ،‬علما بأن منحناه يمر بالنقطة (‪) 4 ، 1‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫َق(س) = ‪2‬هـس ‪2 +‬س بإجراء التكامل بالنسبة إلى المتغير س لكل من الطرفين ينتج ‪:‬‬ ‫‪َ ‬ق(س) ‪‬س = ‪2( ‬هـس ‪2 +‬س) ‪‬س‬ ‫ق(س) = ‪2‬هـس ‪ +‬س‪ + 2‬جـ ولكن ق(‪4 = )1‬‬ ‫ق(‪ 2 = )1‬هـ‪ + 2)1( + 1‬جـ‬ ‫‪ + 2 = 4‬جـ ومنه جـ = ‪2‬‬ ‫قاعدة الاقتران هي ‪ :‬ق(س) = ‪2‬هـس ‪ +‬س‪2 + 2‬‬ ‫‪)4‬تتحرك نقطة مادية على خط مستقيم بحيث إن سرعتها بعد مرور ن ثانية من بدء حركتها تعطى بالعلاقة ‪:‬‬ ‫‪ ،‬وإن ن >‪ ، 1‬فجد الاقتران الذي يمثل موقع النقطة المادية بعد مرور ن ثانية من بدء حركتها‬ ‫‪8‬‬ ‫ع(ن) = هـن‪+ 6+‬‬ ‫ن‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪8‬‬ ‫هـ ن‪+6+‬‬ ‫=‬ ‫ع(ن)‬ ‫ن‬ ‫بإجراء التكامل ينتج‬ ‫)‪‬ن‬ ‫‪8‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(هـ ن‪6+‬‬ ‫=‬ ‫‪‬ف‬ ‫ومنه‬ ‫‪8‬‬ ‫ن‪+6+‬‬ ‫هـ‬ ‫=‬ ‫‪‬ف‬ ‫ن‬ ‫ن‬ ‫‪‬ن‬ ‫)‪‬ن‬ ‫‪8‬‬ ‫(هـ ن‪+6+‬‬ ‫‪ј‬‬ ‫=‬ ‫ف‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ن‬ ‫‪ 8 +‬لــوهـ ن ‪ +‬جـ = هـن‪ 8+6+‬لــوهـن ‪ +‬جـ‬ ‫هـن‪6+‬‬ ‫=‬ ‫(ن)‬ ‫ف‬ ‫‪6‬‬ ‫سؤال وزاري ‪ : 8102‬منهاج جديد‬ ‫جد قيمة التكامل الآتي ‪4(  :‬س‪ )6 + 3‬هـس‪ + 4‬س ‪‬س‬ ‫‪52‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫‪‬ص‬ ‫ومنه س =‬ ‫‪6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4‬س‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫ومنه‬ ‫س‬ ‫‪+‬‬ ‫س‪4‬‬ ‫ص=‬ ‫نفرض‬ ‫‪4‬س‪6 + 3‬‬ ‫‪‬س‬ ‫= ‪ ‬هـص ‪‬ص‬ ‫‪‬ص‬ ‫‪4( ‬س‪ )6 + 3‬هـس‪ + 4‬س ‪‬س = ‪4( ‬س‪)6 + 3‬هـص‬ ‫‪4‬س‪6 + 3‬‬ ‫= هـص ‪ +‬جـ = هـ س‪ + 4‬س ‪ +‬جـ‬ ‫سؤال وزاري ‪ : 8102‬منهاج جديد‬ ‫إذا كان ق(س) = لــهوـ(أس ‪ ، )4 +‬هـ العدد النيبيري ‪ ،‬وكان َق(‪ ،  = )6‬فجد قيمة الثابت أ‬ ‫ولكن قَ(‪ =)6‬‬ ‫‪)4‬‬ ‫أ‬ ‫(أس‬ ‫=‬ ‫َق(س)‬ ‫‪+‬‬ ‫‪)4‬‬ ‫أ‬ ‫(أ×‬ ‫قَ(‪=)6‬‬ ‫‪+6‬‬ ‫ومنه أ = ‪‬أ ‪ 2 +‬ومنه‬ ‫ومنه أ = ‪ (‬أ ‪)4 +‬‬ ‫أ‬ ‫‪=‬‬ ‫أ‪4+‬‬ ‫أ ‪ -‬أ = ‪ 2‬ومنه ‪‬أ = ‪ 2‬ومنه أ = ‪4‬‬ ‫سؤال وزاري ‪ : 8102‬منهاج قديم‬ ‫‪ +‬لــو│هـس│ ‪ +‬جـ‬ ‫‪1‬س‪4-‬‬ ‫–‬ ‫‪2‬هـس‬ ‫=‬ ‫‪‬س‬ ‫)‬ ‫‪6‬‬ ‫جد قيمة التكامل ‪2(  :‬هـس ‪1 +‬س‪+ 5-‬‬ ‫‪4-‬‬ ‫س‬ ‫سؤال إضافي ‪:‬‬ ‫جد قيمة ما يلي ‪(  :‬س‪)6+‬هـس‪2+2‬س ‪‬س = ‪‬هـ س‪2+2‬س ‪ +‬جـ حسب النظرية َق(س) = َل(س)هـل(س)‬ ‫أو نستخدم التكامل بالتعويض‬ ‫نعوض‬ ‫‪‬ص‬ ‫=‬ ‫‪‬س‬ ‫ومنه‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬س‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫ومنه‬ ‫نفرض ص= س‪2 + 2‬س‬ ‫‪(2‬س‪)6+‬‬ ‫‪‬س‬ ‫هـص ‪‬ص‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫×‬ ‫هـص‬ ‫×‬ ‫(س‪)6+‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪‬س‬ ‫‪( ‬س‪)6+‬هـ س‪2+2‬س‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(2‬س‪)6+‬‬ ‫هـ س‪2+2‬س ‪ +‬جـ‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫ص‬ ‫هـ‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪57‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫سؤال إضافي ‪ :‬جد قيمة مايلي ‪:‬‬ ‫‪1( ‬س‪3 + 2‬هـس‪ -‬جاس ) ‪‬س = ‪2‬س‪3 + 3‬هـس ‪ +‬جتاس ‪ +‬جـ‬ ‫سؤال إضافي ‪:‬‬ ‫فجد قاعدة الاقتران ق علما بأن النقطة (‪ )6 ، 1‬تقع على منحنى الاقتران‬ ‫هـ‬ ‫‪6‬‬ ‫س‬ ‫‪-‬‬ ‫هـ‪2‬س‬ ‫َق(س)=‪1‬‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ ‫‪+‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫بإجراء التكامل ينتج‬ ‫هـ‬ ‫‪6‬‬ ‫س‬ ‫‪-‬‬ ‫هـ‪2‬س‬ ‫قَ(س)=‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫س‬ ‫)‪‬‬ ‫هـ‬ ‫‪6‬‬ ‫س‬ ‫‪-‬‬ ‫هـ‪2‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫(‬ ‫=‪‬‬ ‫س‬ ‫َق(س)‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪+‬‬ ‫= ‪ 3‬هـ‪2‬س‪ -‬لــوهـ│س‪+‬هـ│ ‪ +‬جـ‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫│س‪+‬هـ│‬ ‫لــوهـ‬ ‫‪-‬‬ ‫هـ‪2‬س‬ ‫×‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫ق(س)‬ ‫‪2‬‬ ‫ولكن ق(‪6 = )1‬‬ ‫ق(‪ 3 = )1‬هـ‪ -1×2‬لــوهـ│‪ + 1‬هـ│ ‪ +‬جـ حيث لــــوهـهـ =‪6‬‬ ‫‪ + 6 – 3 = 6‬جـ ومنه جـ = ‪6-‬‬ ‫ق(س) = ‪ 3‬هـ‪2‬س ‪ -‬لــوهـ│س‪+‬هـ│ ‪6-‬‬ ‫‪21‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫اختبر نفسك‬ ‫‪ )1‬جد قيمة ما يلي ‪:‬‬ ‫‪ -‬جاس )‪ ‬س‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(‪3‬قا‪2‬س‬ ‫‪‬‬ ‫س‬ ‫)‪ ‬س‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2‬جتاس‬ ‫‪+‬‬ ‫(قا‪2‬س‬ ‫‪‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫س‬ ‫س ≠ ‪ -‬هـ‪ 2‬فجد قاعدة الاقترانق علما بأن‬ ‫‪،‬‬ ‫هـ‪2‬س‬ ‫‪8‬‬ ‫‪+‬‬ ‫هـ‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫س‬ ‫=‬ ‫َق(س)‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫‪)3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫منحنى الاقتران يمر بالنقطة (‪)5 ، 1‬‬ ‫‪ )4‬جد قيمة ‪( ‬هـس ‪ +‬قا‪4( 2‬س)) ‪‬س‬ ‫‪ )5‬جد ‪63( ‬س ‪ +‬هـ‪ -‬س – جتاس ظاس )‪ ‬س‬ ‫س‬ ‫)‪‬‬ ‫هـس‬ ‫–‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(  )1‬س‪+ 5-‬‬ ‫س‬ ‫‪6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫س‬ ‫س هـ‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫س‪2‬‬ ‫‪)7‬‬ ‫س‬ ‫س‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ )8‬إذا كان ميل المماس لمنحنى الاقتران ق(س) عند النقطة ( س ‪ ،‬ص) يساوي هـ‪3‬س‬ ‫فاكتب قاعدة الاقتران ق علما بأنه يمر بالنقطة (‪)6 ، 1‬‬ ‫‪20‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫النمو والاضممحال‬ ‫النمو والاضمحلال من التطبيقات العملية المهمة للاقترانين ‪ :‬اللوغاريتمي ‪ ،‬والأسي الطبيعي‬ ‫مفهوم النمو والاضمحلال ‪ :‬الكثير من الظواهر العلمية (تحلل مادة مشعة) والاجتماعية (زيادة عدد السكان ) والاقتصادية‬ ‫(تناقص سعر سيارة) والإنسانية وغيرها ترتبط بالزمن زيادة أو نقصان ًا ‪ ،‬فإذا زادت نسميها رياضيا ( نموا ) وإذا نقصت نسميها‬ ‫( اضمحلالا )‬ ‫ونعبر عن ذلك رياضيا كما يلي ‪:‬‬ ‫حيث ‪ :‬ع‪ = 1‬ع (‪ = )1‬القيمة الابتدائية‬ ‫ص = ع(ن) = ع‪ × 1‬هـأ ن ‪،‬‬ ‫هـ = العدد النيبيري ‪2.7 ‬‬ ‫ن = الزمن‬ ‫أ = ثابتا عدديا يمثل ثابت التناسب‬ ‫ملاحظات على المعادلة ‪:‬‬ ‫‪ – 6‬تكون المعادلة ص = ع(ن) معادلة النمو إذا كانت تزداد مع الزمن (ن) ويكون أ >‪ 1‬ويسمى معامل النمو‬ ‫‪-2‬تكون المعادلة ص = ع(ن) معادلة الاضمحلال إذا كانت تنقص مع الزمن (ن)ويكون أ <‪1‬‬ ‫ويسمى معامل الاضمحلال‬ ‫صفحة ‪211‬‬ ‫مثال الكتاب ‪1‬‬ ‫إذا كان عدد سكان بلدة ما يخضع لقانون النمو ‪ ،‬ويتزايد بانتظام واستمرار بمعدل ‪ %2‬سنويا وكان عدد سكانها ‪ 11‬ألف نسمة‬ ‫عام ‪1991‬م ‪ ،‬فكم سيبلغ عدد سكانها عام ‪ 2111‬م‬ ‫عدد السكان = ع(ن) = ع‪ × 1‬هـأن‬ ‫عندما نقول كان عدد سكانها يعني القيمة الابتدائية ع‪41111 = 1‬‬ ‫والمعدل السنوي ‪ %2‬يعني أ = ‪1.12‬‬ ‫والزمن ن هو ن = ‪ 51 = 6991 – 2141‬عاما‬ ‫ع(‪51×1.12)2.7(× 41111 = )51‬‬ ‫ع(‪ 618111 = 2.7×41111 = )51‬نسمة عدد سكان البلدة عام ‪2141‬‬ ‫‪28‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫تدريب الكتاب ‪ 1‬صفحة ‪212‬‬ ‫اقترض يمان مبلغ ‪ 11111‬دينار من مصرف يحسب ربحا مركبا منتظما وفق قانون النمو ‪ ،‬بنسبة ربح مقدارها ‪ %1‬سنويا‬ ‫جد جملة المبلغ الي سيسدده يمان للمصرف بعد مرور خمس وعشرين سنة‬ ‫‪ ،‬ن = ‪ 25‬سنة‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫ع‪ ، 61111 = 1‬أ = ‪1.14‬‬ ‫جملة المبلغ = ع(ن) = ع‪ × 1‬هـأن‬ ‫ع( ‪ 27111= 2.7×61111 = 25×1.14)2.7(×61111 = )25‬دينار‬ ‫صفحة ‪212‬‬ ‫مثال الكتاب ‪2‬‬ ‫تتحلل مادة مشعة بصورة مستمرة منتظمة وفق قانون الاضمحلال ‪ ،‬وبمعدل تناقص مقداره ‪ 101112‬سنويا ‪ ،‬جد كتلة المادة‬ ‫المشعة المتبقية بعد مرور‪ 5111‬سنة ‪ ،‬علما بأن كتلة المادة الأصلية هي ‪ 511‬غراما‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫كتلة المادة المتبقية = ع(ن)= ع‪ × 1‬هـأن‬ ‫حيث ع‪ ، 541 = 1‬أ = ‪ ، 1.1112 -‬ن = ‪5111‬‬ ‫= ‪ 211‬غرام‬ ‫‪541‬‬ ‫=‬ ‫(‪6-)2.7‬‬ ‫×‬ ‫‪541‬‬ ‫=‬ ‫‪5111×1.1112‬‬ ‫‪-)2.7(×541‬‬ ‫=‬ ‫ع(‪)5111‬‬ ‫‪2.7‬‬ ‫تدريب الكتاب ‪ 2‬صفحة ‪212‬‬ ‫يتناقص ثمن عقار بمرور الزمن ‪ ،‬وبصورة مستمرة منتظمة وفق قانون الاضمحلال بمعدل ‪ %5‬سنويا ‪ ،‬فإذا كان ثمنه الأصلي‬ ‫‪ 81111‬دينار ‪ ،‬فكم يصبح ثمنه بعد مرور ‪ 11‬سنة ؟‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫ثمن العقار = ع(ن) = ع‪ × 1‬هـأن‬ ‫‪ ،‬أ = ‪ ، 1.15 -‬ن = ‪41‬‬ ‫حيث ع‪81111 = 1‬‬ ‫‪81111‬‬ ‫ع(‪ 6197.3 = 2)2.7( = 2-)2.7( × 81111 = 41×1.15- )2.7(× 81111 = )41‬دينار‬ ‫صفحة ‪213‬‬ ‫مثال الكتاب ‪3‬‬ ‫يتزايد سعر قطعة أرض وفق قانون النمو بمرور الزمن ‪ ،‬وبصورة مستمرة منتظمة ‪ ،‬فإذا ازداد سعرها من ‪ 111‬ألف دينار‬ ‫إلى ‪ 811‬ألف دينار خلال ‪ 11‬سنوات ‪ ،‬فجد سعرها بعد مرور ‪ 31‬سنة‬ ‫‪23‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫سعر قطعة الأرض = ع(ن) = ع‪ × 1‬هـأن‬ ‫حيث ع‪ = 1‬ع(‪ 411111 =)1‬دينار‬ ‫ع(‪ 811111 = )61‬دينار‬ ‫ع(‪( × 411111 = )61‬هـ)أ ×‪61‬‬ ‫‪( × 411111 =811111‬هـ)‪61‬أ ومنه نقسم الطرفين على ‪ 411111‬فيكون‬ ‫‪( = 2‬هـ)‪61‬أ‬ ‫عندما ن = ‪ 31‬سنة فإن ‪ :‬ع(‪ 411111 = )31‬هـ ‪31‬أ = ‪(411111‬هـ ‪61‬أ)‪3‬‬ ‫= ‪ 3211111 = 8×411111 = 3)2(411111‬دينار يصبح ثمنها بعد ‪ 31‬سنة‬ ‫صفحة ‪211‬‬ ‫حل الأسئلة‬ ‫‪ )1‬تتكاثر البكتيريا بصورة مستمرة منتظمة وفق قانون النمو بنسبة ‪ %211‬في الساعة ‪ ،‬جد عددها بعد نصف ساعة ‪،‬‬ ‫علما بأن عددها الابتدائي (‪)511111‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫عدد البكتيريا = ع(ن)= ع‪ × 1‬هـأن‬ ‫ع‪ ، 511111 = 1‬أ = ‪ ، 2‬ن = ‪ 1.5‬ساعة‬ ‫ع(‪6351111 = 2.7 × 511111 = 1.5×2)2.7( ×511111 = )1.5‬‬ ‫‪ )2‬يتناقص ثمن سيارة بمرور الزمن ‪ ،‬وبصورة مستمرة منتظمة وفق قانون الاضمحلال وبمعدل ‪ %8‬سنويا فإذا كان ثمنها‬ ‫الأصلي ‪ 12581‬دينارا فجد ثمنها بعد مرور ‪ 25‬سنة‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫ثمن السيارة = ع(ن)= ع‪ × 1‬هـأن‬ ‫حيث ع‪ ، 62581 = 1‬أ = ‪ ، 1.18 -‬ن = ‪25‬‬ ‫‪62581‬‬ ‫ع(‪2)2.7( = 2-)2.7(×62581 = 25×1.18-)2.7( × 62581 = )25‬‬ ‫= ‪ 6725.1‬دينار ثمن السيارة بعد مرور ‪ 25‬سنة‬ ‫‪ )3‬يذوب ملح في الماء ‪ ،‬وتخضع كتلة الملح المتبقية من دون ذوبان في الماء لقانون الاضمحلال ‪ ،‬إذا وضعت ‪11‬‬ ‫كيلو غرامات من الملح في الماء ‪ ،‬فذاب نصف الكمية بعد مرور ربع ساعة فجد كتلة الملح المتبقية من دون ذوبان‬ ‫في الماء بعد ساعة وربع الساعة‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪25‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫كتلة الملح المتبقية = ع(ن)= ع‪ × 1‬هـأن‬ ‫ع‪ 61 =1‬كيلو غرام ‪ ،‬أ = ؟ ‪ ،‬ع(‪ 5 = )1.25‬كيلو غرام كمية الملح دون ذوبان بعد ربع ساعة‬ ‫ع(‪( × 61 = )1.25‬هـ)‪×1.25‬أ‬ ‫‪(× 61 = 5‬هـ)‪1.25‬أ ومنه هـ ‪1.25‬أ = ‪1.5‬‬ ‫ع(‪ × 61 = )6.25‬هـ‪6.25‬أ = ‪( 61‬هـ‪1.25‬أ)‪ 1.362 = 5)1.5( × 61 = 5‬كيلو غرام‬ ‫‪ )1‬يتزايد عدد سكان مدينة ما بصورة مستمرة منتظمة وفق قانون النمو ‪ ،‬بنسبة مقدارها ‪ %108‬سنويا ‪ ،‬فإذا بلغ عدد‬ ‫سكانها ‪ 111111‬نسمة عام ‪ 2111‬م ‪ ،‬فكم سيبلغ عدد سكانها عام ‪ 2135‬م‬ ‫‪ )5‬الحل ‪ :‬عدد سكان المدينة = ع(ن)= ع‪ × 1‬هـأن‬ ‫حيث ع‪ ، 111111=1‬أ = ‪ ، 1.118‬ن = ‪ 625 = 2161 – 2635‬سنة‬ ‫ع(‪ 6121111 = 2.7 × 111111 =625 × 1.118)2.7( × 111111=)625‬نسمة‬ ‫سؤال إضافي ‪:‬‬ ‫وضع مبلغ (‪ )2111‬دينار في بنك بحساب الربح المركب المستمر حيث يخضع حساب جملة المبلغ لقانون النمو‬ ‫وبنسبة فائدة منتظمة قدرها (‪ )%5‬سنويا ‪ ،‬أوجد مقدار الربح المتحقق بعد مرور(‪)21‬سنة‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫الربح المتحقق = ع(ن)= ع‪ × 1‬هـأن‬ ‫ع‪ 2111 = 1‬دينار ‪ ،‬أ = ‪ ، 1.15‬ن = ‪21‬‬ ‫ع(‪ 5411 = 2.7 ×2111 = 21×1.15 )2.7( 2111 = )21‬دينار‬ ‫سؤال إضافي ‪:‬‬ ‫يتناقص سعر سيارة بمعدل منتظم يبلغ ‪ %1‬سنويا ويخضع هذا التناقص لقانون الاضمحلال فإذا اشترى هاشم سيارة‬ ‫بمبلغ (‪ )8111‬دينار أوجد سعر السيارة بعد مرور (‪)25‬سنة‬ ‫سعر السيارة = ع(ن)= ع‪ × 1‬هـأن‬ ‫ع‪ 8111 = 1‬دينار ‪ ،‬أ = ‪ ، 1.14-‬ن = ‪ 25‬سنة‬ ‫= ‪ 2912.9‬دينار‬ ‫‪8111‬‬ ‫(‪=6-)2.7‬‬ ‫×‬ ‫‪8111‬‬ ‫=‬ ‫×‪25‬‬ ‫(‪1.14-)2.7‬‬ ‫×‬ ‫‪8111‬‬ ‫=‬ ‫ع(‪)25‬‬ ‫‪2.7‬‬ ‫‪20‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫سؤال إضافي ‪:‬‬ ‫يعطي بنك ربحا مستمرا للمستثمرين لديه ‪ ،‬بحيث تحسب جملة المبلغ الناتجة عن استثمار مبلغ معين حسب‬ ‫قانون النمو ‪ ،‬فإذا كانت نسبة الربح التي يقدمها البنك (‪ )%1‬سنويا ووضع مبلغ (‪)3111‬دينار في البنك جد‬ ‫جملة المبلغ بعد مرور (‪)25‬سنة‬ ‫جملة المبلغ = ع(ن)= ع‪ × 1‬هـأن حيث ع‪ 3111 = 1‬دينار ‪ ،‬أ = ‪ ، 1.14‬ن = ‪ 25‬سنة‬ ‫ع(‪ 8611 = 2.7 × 3111 = 25×1.14)2.7( 3111 = )25‬دينار‬ ‫سؤال وزاري ‪ : 8102‬منهاج جديد‬ ‫تتحلل مادة مشعة بصورة مستمرة منتظمة وفق قانون الاضمحلال ‪ ،‬وبمعدل تناقص مقداره ‪ 101111‬سنويا ‪،‬‬ ‫جد كتلة المادة المشعة المتبقية بعد مرور‪ 2511‬سنة ‪ ،‬علما بأن كتلة المادة الأصلية هي ‪ 811‬غراما‬ ‫كتلة المادة المتبقية = ع(ن)= ع‪ × 1‬هـأن‬ ‫حيث ع‪ ، 861 = 1‬أ = ‪ ، 1.1114 -‬ن = ‪2511‬‬ ‫= ‪ 311‬غرام‬ ‫‪861‬‬ ‫=‬ ‫(‪6-)2.7‬‬ ‫×‬ ‫‪861‬‬ ‫=‬ ‫‪2511×1.1114‬‬ ‫‪-)2.7(×861‬‬ ‫=‬ ‫ع(‪)2511‬‬ ‫‪2.7‬‬ ‫‪26‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫اختبر نفسك‬ ‫‪)1‬مادة مشعة كتلتها (‪)51‬غم تتحلل بشكل منتظم وفقا لقانون الاضمحلال ‪ ،‬إذا كان معدل التناقص للمادة‬ ‫يبلغ (‪ ،)10112‬فجد الكمية المتبقية من المادة المشعة بعد مرور (‪ )511‬سنة‬ ‫‪)2‬إذا كان النمو السكاني في منطقة ما‪ ،‬يخضع لقانون النمو والاضمحلال وكان عدد سكان هذه المنطقة‬ ‫عام ‪2111‬م قد بلغ (‪)20111‬نسمة ‪ ،‬إذا كان عدد السكان يزداد بشكل منتظم بمعدل ‪ %1‬سنويا ‪ ،‬فكم كان‬ ‫عدد سكان هذه المنطقة عام ‪ 1905‬م‬ ‫‪ ) 3‬تصب حنفية في خزان ماء ‪ ،‬وتزداد كمية الماء حسب قانون النمو ‪ ،‬فإذا زادت كمية الماء من ‪ 111‬ليتر‬ ‫إلى ‪ 1211‬ليتر خلال ساعتين ‪ ،‬جد كمية الماء بعد مرور ‪ 1‬ساعات على فتح الحنفية‬ ‫‪)1‬يزيد سعر الأرض بمرور الزمن ‪ ،‬وتخضع هذه الزيادة لقانون النمو ‪ ،‬فإذا اشترى فراس قطعة أرض‬ ‫بمبلغ ‪ 1111‬دينار ‪ ،‬وبعد ‪ 3‬سنوات أصبح سعرها ‪ 1811‬دينار ‪ ،‬فجد سعر الأرض بعد مرور (‪ )1‬سنوات‬ ‫‪)5‬يتناقص ثمن عقار بمرور الزمن وبشكل منتظم ‪ ،‬ويخضع هذا التناقص لقانون الاضمحلال ‪ ،‬فإذا كان‬ ‫ثمن العقار الأصلي ‪ 51111‬دينار ‪ ،‬وكان معدل التناقص يساوي ‪ %2‬سنويا ‪ ،‬فجد ثمن العقار بعد مرور‪ 51‬عاما‬ ‫‪25‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫صفحة ‪215‬‬ ‫حل أسئلة الوحدة‬ ‫‪:‬‬ ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫في‬ ‫‪‬ص‬ ‫‪)6‬جد‬ ‫‪‬س‬ ‫‪‬س‬ ‫‪4‬س ‪6 -‬‬ ‫أ)ص= ‪‬‬ ‫س‪5 + 2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪4‬س‬ ‫=‬ ‫‪‬س‬ ‫‪4‬س ‪6 -‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫س‪2‬‬ ‫س‪5 + 2‬‬ ‫‪‬س‬ ‫‪‬س‬ ‫‪3‬‬ ‫ب) ص= ‪3( ‬س)(‪4‬س – ‪)2‬س‬ ‫لأن التكامل المحدود قيمة ثابتة‬ ‫صفر‬ ‫=‬ ‫‪‬س‬ ‫‪)2‬‬ ‫–‬ ‫(‪3‬س)(‪4‬س‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪‬ص‬ ‫‪‬س‬ ‫‪‬س‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪1-‬‬ ‫جـ) ص= ‪ ‬ظا (‪ +4‬س) ‪‬س‬ ‫‪‬س = ظا( ‪ + 4‬س )‬ ‫ظا (‪ +4‬س)‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫‪‬س‬ ‫‪‬س‬ ‫صفر‬ ‫=‬ ‫‪‬س‬ ‫)‬ ‫هـ‪2‬س‬ ‫–‬ ‫(لــوهـس‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫ص‬ ‫)‬ ‫د‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫هـ ) ص = لــوهـ (س‪ – )1 + 2‬هـ‪2‬س‪ +6-‬س‪6 – 3‬‬ ‫‪ 2 -‬هـ‪2‬س‪3 + 6-‬س‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬س‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫س‪+ 2‬‬ ‫‪‬س‬ ‫و) ص = جاس لــوهـس‬ ‫‪ +‬لــهوـس × جتاس‬ ‫‪6‬‬ ‫×‬ ‫جاس‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫س‬ ‫‪‬س‬ ‫‪)2‬إذا كان ق(س) = هـ‪2‬س‪ ، 6-2‬فجد ًق (س)‬ ‫قَ(س) = ‪4‬س هـ‪2‬س‪ 6-2‬ومنه ًق (س) = ‪4‬س ×‪4‬س هـ‪2‬س‪4 + 6-2‬هـ‪2‬س‪61 = 6-2‬س‪ 2‬هـ‪2‬س‪4+ 6-2‬هـ‪2‬س‪6-2‬‬ ‫‪)3‬إذا كان ق(س) = ‪ ‬س(‪ – 2‬س‪ )2‬س فجد َق(‪)2‬‬ ‫بما أن ق(س) = ‪ ‬قَ(س)‪ ‬س فإن‬ ‫قَ(س) = س(‪ – 2‬س‪ )2‬ومنه َق(‪4- = 2- × 2 = )2)2(-2(2 = )2‬‬ ‫‪)1‬جد كلا من التكاملات الآتية ‪:‬‬ ‫= ‪( ‬س‪7- 2‬س)(س)‪  -‬س‬ ‫‪‬س‬ ‫س‪7 - 2‬س‬ ‫ص= ‪‬‬ ‫أ)‬ ‫‪3‬س‬ ‫ص= ‪( ‬س‪7 - ‬س‪)‬س = ‪‬س‪ ×7 - ‬س‪ + ‬جـ = ‪3‬س‪3 ×7- 8‬س‪ +5‬جـ‬ ‫‪22‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫س‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬س‪5‬س‬ ‫=‬ ‫‪‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫ب)‪‬‬ ‫س‪5-‬‬ ‫جـ) ‪( ‬س ‪()2-‬س‪ )2+‬س = ‪( ‬س‪ ) 4 – 2‬س‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4‬س‬ ‫–‬ ‫س‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3)2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(‪3‬س‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫س‬ ‫‪‬‬ ‫(‪3‬س ‪3)2 +‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪‬س‬ ‫‪2)2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(‪3‬س‬ ‫د)‪‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3×3‬‬ ‫هـ)‪2( ‬س ‪()6-‬س‪ -2‬س)‪ 5‬س‬ ‫‪‬ص‬ ‫‪‬س=‬ ‫= ‪2‬س – ‪ 6‬ومنه‬ ‫‪‬ص‬ ‫ومنه‬ ‫س‬ ‫س‪-2‬‬ ‫نفرض ص=‬ ‫‪2‬س ‪6-‬‬ ‫‪‬س‬ ‫‪‬ص‬ ‫×‬ ‫‪)6-‬ص‪5‬‬ ‫(‪2‬س‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪‬س‬ ‫س)‪5‬‬ ‫‪()6-‬س‪-2‬‬ ‫(‪2‬س‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬س ‪6-‬‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫س)‪1‬‬ ‫(س‪-2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫ص‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫= ‪ ‬ص‪ 5‬ص =‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬س ‪ ،‬س >‪6-‬‬ ‫س‪2‬‬ ‫و) ‪‬‬ ‫‪ ‬س‪6 + 3‬‬ ‫نفرض ص= س‪6+ 3‬‬ ‫‪‬س = س‪(2‬س‪-)6+ 3‬‬ ‫س‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬س‪6 + 3‬‬ ‫نعوض‬ ‫‪‬ص‬ ‫‪‬س=‬ ‫ومنه‬ ‫‪3‬س‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫ومنه‬ ‫‪3‬س‪2‬‬ ‫‪‬س‬ ‫‪‬ص‬ ‫ص‪-‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‪‬‬ ‫‪‬ص‬ ‫×‬ ‫س‪ 2‬ص‪-‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪‬س‬ ‫س‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬س‪2‬‬ ‫‪  ‬س‪6 + 3‬‬ ‫‪ +‬جـ‬ ‫‪6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫س‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫‪‬ص‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ +‬جـ =‬ ‫‪2‬ص‪‬‬ ‫×‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 +‬س ‪ +‬جـ‬ ‫هـس‬ ‫‪-‬‬ ‫لــو│هـس│‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪)3‬س‬ ‫‪+‬‬ ‫هـس‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‬ ‫‪‬‬ ‫ص=‬ ‫ز)‬ ‫س‬ ‫هي مشتقة لــو( هـس‪)3+4‬‬ ‫‪4‬س‪3‬‬ ‫‪‬س = ‪ 3‬لــو(هـس‪ + )3 + 4‬جـ‬ ‫‪62‬س‪3‬‬ ‫ح) ‪‬‬ ‫وذلك لأن س‪3 + 4‬‬ ‫س‪3 + 4‬‬ ‫ويمكن إيجاد التكامل بالتعويض كما يلي ‪:‬‬ ‫= ‪4‬س‪3‬‬ ‫‪‬ص‬ ‫ومنه‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫س‪4‬‬ ‫=‬ ‫ص‬ ‫نفرض‬ ‫‪62‬س‪(3‬س‪6-)3+4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬س‬ ‫‪27‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫نعوض‬ ‫‪‬ص‬ ‫ومنه ‪‬س=‬ ‫‪4‬س‪3‬‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫لــهوـ│ص│‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫ص‪×6-‬‬ ‫‪62‬س‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪‬س‬ ‫‪62‬س‪3‬‬ ‫ص‬ ‫‪4‬س‪3‬‬ ‫‪ ‬س‪3 + 4‬‬ ‫= ‪ 3‬لــهوـ│س‪ + │3 + 4‬جـ‬ ‫ط) ‪1‬س هـس‪ 5+2‬س = ‪3‬هـ س‪ + 5+2‬جـ وذلك لأن ‪2‬س هـ س‪ 5+2‬هي مشتقة هـ س‪5+2‬‬ ‫ويمكنإيجاد التكامل بالتعويض كما يلي ‪:‬‬ ‫‪‬ص‬ ‫‪‬س=‬ ‫ومنه‬ ‫‪2‬س‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫ومنه‬ ‫نفرض ص= س‪5+2‬‬ ‫‪2‬س‬ ‫‪‬س‬ ‫= ‪ 3‬هـص ‪‬ص = ‪ 3‬هـ س‪ + 5+2‬جـ‬ ‫‪‬ص‬ ‫‪1‬س هـس‪ 5+2‬س = ‪1‬س هـص‬ ‫‪2‬س‬ ‫‪‬س = ‪2( ‬س‪ )6+‬قا‪(2‬س‪ + 2‬س)‪ ‬س‬ ‫‪2‬س‪6+‬‬ ‫ي) ‪‬‬ ‫جتا‪(2‬س‪ + 2‬س)‬ ‫= ظا(س‪ + 2‬س) ‪ +‬جـ‬ ‫‪)5‬احسب قيمة كل من التكاملات الآتية ‪:‬‬ ‫‪8- 8-‬‬ ‫‪8-‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪8-‬‬ ‫‪3‬س‬ ‫‪‬س = ‪ ‬س‪ = -‬س‪3  = ‬س‪2 )6- (3  - 2) 8- (3  = 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫أ)‬ ‫‪1- 1-‬‬ ‫‪1- 1-‬‬ ‫= ‪ = 6× - 4×‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ب) ‪ ‬هـ ‪‬س ‪ ،‬حيث هـ العدد النيبيري‬ ‫‪1 11‬‬ ‫‪‬هـ ‪‬س = هـ س = هـ×‪ – 4‬هـ ×‪4 = 6‬هـ ‪ -‬هـ = ‪3‬هـ = ‪8.6 = 2.7 ×3‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(‪2‬س‪‬‬ ‫=‬ ‫‪‬س‬ ‫س‪)2-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪(1‬س‪-‬‬ ‫=‬ ‫‪‬س‬ ‫)‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫س‪2‬‬ ‫‪‬س‬ ‫س‪) 6-‬‬ ‫جـ) ‪(‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‬ ‫‪4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪42( -‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪62‬‬ ‫=‬ ‫س‬ ‫‪+‬‬ ‫= ‪2‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‪-‬‬ ‫‪6‬‬ ‫= ‪- 6-‬‬ ‫‪6‬‬ ‫= ‪- 4- 6 + 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪)3+‬س‬ ‫(س‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪‬س‬ ‫(س‪()3+‬س‪)4+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪‬س‬ ‫‪62‬‬ ‫‪+‬‬ ‫س‪7+2‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫د)‬ ‫س ‪4+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫س‪+‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1- 1- 1-‬‬ ‫‪71‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪) 6-×3 + 2)6-‬‬ ‫(‬ ‫‪-‬‬ ‫)‬ ‫‪6×3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(‪2)6‬‬ ‫(‬ ‫=‬ ‫س‪3 + 2‬س )‬ ‫(‬ ‫=‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪1=3+‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-3+‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬س ‪6 +‬‬ ‫‪‬س = لـوهـ(‪2‬س ‪ = )6 +‬لــوهـ(‪ – )6+1×2‬لــهوـ(‪)6+ 3×2‬‬ ‫هـ) ‪‬‬ ‫‪33‬‬ ‫= لــهوـ ‪ – 6‬لــوهـ‪ – 1 = 7‬لــوهـ‪ - = 7‬لــوهـ‪7‬‬ ‫‪2‬هـ(‪2 – 2 = 2)6‬هـ = ‪3.4- = 2.7 ×2 – 2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2‬هـ(‪2)1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫س‪2‬‬ ‫هـس‪2‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬هـ‬ ‫=‬ ‫‪4‬س‬ ‫و)‬ ‫‪11‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‪5‬س‪)1+‬‬ ‫‪×61‬‬ ‫=‬ ‫‪‬س‬ ‫)‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬س‬ ‫‪61‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪×5‬‬ ‫‪5‬س ‪1 +‬‬ ‫= ‪5(61‬س‬ ‫ز)‪‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪8= 4×4 – 1×4 = 1+)2(54 - 1+)1(54‬‬ ‫‪5‬س ‪1+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪×61‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-‬ب‪3+‬‬ ‫‪)1‬إذا كان ‪ ‬ق(س)‪ ‬س = صفرا ‪ ،‬فجد قيمة الثابت ب‬ ‫ب‪ +2‬ب‬ ‫بما أن التكامل يساوي صفر فهذا يعني أن ‪ - :‬ب ‪ = 3 +‬ب‪ + 2‬ب‬ ‫ب‪ + 2‬ب ‪ +‬ب – ‪ 1 = 3‬ومنه ب‪2 + 2‬ب – ‪ 1 = 3‬ومنه‬ ‫(ب ‪()3 +‬ب ‪ 1 = )6-‬إما ب = ‪ ، 3-‬أو ب = ‪6‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪)7‬إذا كان ‪ ‬ق(س)‪ ‬س =‪(  ، 4‬ق(س) ‪ )3 +‬س = ‪ ، 21‬فجد قيمة كل مما يأتي ‪:‬‬ ‫‪1- 1 1-‬‬ ‫أ) ‪ ‬ق(س)‪ ‬س‬ ‫‪55‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪( ‬ق(س) ‪ )3 +‬س = ‪ 21‬ومنه ‪‬ق(س)‪ ‬س ‪ 3+‬س = ‪21‬‬ ‫‪1- 51- 5‬‬ ‫‪51-‬‬ ‫‪ ‬ق(س)‪ ‬س ‪3 +‬س = ‪ 21‬ومنه ‪ ‬ق(س)‪ ‬س ‪21 = 6-×3 – 5×3 +‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1- 1-‬‬ ‫‪51-‬‬ ‫‪ ‬ق(س)‪ ‬س = ‪2 = 68 – 21‬‬ ‫‪ ‬ق(س)‪ ‬س ‪ 21 = 68 +‬ومنه‬ ‫‪1- 1- 1-‬‬ ‫‪  ‬ق(س)‪ ‬س = ‪2-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1- 5 1-‬‬ ‫ب)‪ ‬ق(س)‪ ‬س = ‪ ‬ق(س)‪ ‬س ‪  +‬ق(س)‪ ‬س = ‪2 = 2- 4‬‬ ‫‪51 1‬‬ ‫‪70‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫‪11‬‬ ‫‪1‬‬ ‫جـ)‪3( ‬ق(س)‪4 -‬س)‪ ‬س = ‪ 3‬ق(س)‪ ‬س ‪ 4 -‬س‪ ‬س‬ ‫‪5‬‬ ‫‪51‬‬ ‫‪5‬‬ ‫= ‪2 – 4-×3‬س‪)48-(-62- = )51- 2(-62-= )2)5(2 – 2)6(2(( – 62- = 2‬‬ ‫= ‪315 = 48 + 62-‬‬ ‫‪)8‬جد قيمة الثابت ب في كل مما يأتي ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫أ)‪2 ‬ب ‪ ‬س = ‪62‬‬ ‫‪3 1-‬‬ ‫‪2‬ب س = ‪ 62‬ومنه ‪2‬ب×‪2 – 3‬ب ×‪ 62 = 6-‬ومنه ‪1‬ب ‪2+‬ب = ‪62‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬ب = ‪ 62‬ومنه ‪2‬ب = ‪ 3‬ومنه ب =‬ ‫ب‬ ‫ب)‪2( ‬س – ‪ )6‬س = ‪ 1‬بما أن التكامل يساوي صفر وقاعدة الاقتران معلومة فإن ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫بب‬ ‫‪2(‬س – ‪ )6‬س = (س‪ - 2‬س) = ((ب)‪ - 2‬ب) ‪)4 - 2)4(( -‬‬ ‫‪11‬‬ ‫ب=‪3-‬‬ ‫‪ = 1‬ب‪ - 2‬ب ‪ 62-‬ومنه (ب‪()4-‬ب‪ 1 = )3+‬ومنه ب =‪، 4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫جـ)‪( ‬ب س‪  )2 + 2‬س = ‪26-‬‬ ‫‪31‬‬ ‫ب‬ ‫‪26-‬‬ ‫=‬ ‫س‪2 + 3‬س)‬ ‫‪3‬‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪26-‬‬ ‫(‪= )1×2 + 3)1‬‬ ‫ب‬ ‫(‬ ‫(‪- )3×2 + 3)3‬‬ ‫ب‬ ‫(‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬ب ‪ 26- = 1+‬ومنه ‪9‬ب =‪ 27-‬ومنه ب = ‪3-‬‬ ‫ب‬ ‫د)‪4 – 6( ‬س) ‪ ‬س = ‪5‬ب‬ ‫‪2‬ب‬ ‫(س – ‪2‬س‪5 = )2‬ب‬ ‫(ب – ‪2‬ب‪5 = ) 2)2(2 – 2( -2 )2‬ب‬ ‫ب – ‪2‬ب‪5 = 8 + 2- 2‬ب ومنه ‪5‬ب –ب ‪2+‬ب‪1 = 8- 2+ 2‬‬ ‫‪2‬ب‪4 + 2‬ب – ‪ 1 = 1‬نقسم على ‪ 2‬فيكون ب‪2 + 2‬ب – ‪1 = 3‬‬ ‫(ب ‪()3+‬ب‪ 1 = )6-‬ومنه إما ب = ‪ 3-‬أو ب = ‪6‬‬ ‫‪78‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫‪)9‬إذا كان ميل المماس لمنحنى الاقتران ص = ق(س) عند النقطة (س ‪ ،‬ص) يعطى بالقاعدة ‪:‬‬ ‫(‪ +6‬س)(‪3‬س ‪ ، )2 +‬فجد قاعدة الاقتران ق ‪ ،‬علما بأن منحناه يمر بالنقطة (‪)6- ، 2‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫َق (س) = (‪ +6‬س)(‪3‬س ‪ )2 +‬بإجراء التكامل للطرفين بالنسبة للمتغير س يكون ‪:‬‬ ‫‪َ ‬ق (س) ‪‬س = ‪ +6( ‬س)(‪3‬س ‪ )2 +‬س‬ ‫ق(س) = ‪3( ‬س ‪3 + 2 +‬س‪2 +2‬س ) ‪‬س = ‪3( ‬س‪5 + 2‬س ‪ ) 2 +‬س‬ ‫ولكن ق(‪6- = )2‬‬ ‫س‪2 + 2‬س ‪ +‬جـ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫س‪3‬‬ ‫ق(س)=‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪ + )2(2 + 2)2‬جـ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(‪3)2‬‬ ‫=‬ ‫ق(‪)2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ + 4+ 61+ 8 =6-‬جـ ومنه ‪ + 22 = 6-‬جـ ومنه جـ = ‪23-‬‬ ‫س‪2 + 2‬س ‪23-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫س‪3‬‬ ‫ق(س)=‬ ‫قاعدة الاقتران ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪)61‬جد مساحة المنطقة المغلقة المحصورة بين منحنى الاقتران ص = ق(س)= ‪3‬س‪27 - 2‬‬ ‫ومحور السينات في الفترة ]‪[1 ، 4-‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫ق(س) = صفر ومنه ‪3‬س‪ 1 = 27 - 2‬ومنه ‪3‬س‪ 27 = 2‬ومنه س‪9 = 2‬‬ ‫س = ‪ ، 3-‬س = ‪ 3‬نلاحظ أن س= ‪ 3-‬يقع ضمن الفترة ]‪[1 ، 4-‬‬ ‫أولا نوجد التكامل المحدود للاقتران ق على الفترة ]‪ [3- ، 1-‬ثم نوجد التكامل على الفترة ]‪[ 1 ، 3-‬‬ ‫‪3-‬‬ ‫‪3-‬‬ ‫‪3( ‬س‪ ) 27 - 2‬س = (س‪27 – 3‬س ) = ((‪) 4-×27 – 3)4-(( -) 3-×27 – 3)3-‬‬ ‫‪1- 1-‬‬ ‫=‪61 = 618 – 14 + 86 + 27-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3( ‬س‪ ) 27 - 2‬س = (س‪27 – 3‬س ) = ((‪) 3-×27 – 3)3-(( -)1×27 – 3)1‬‬ ‫‪3- 3-‬‬ ‫= ‪54- = 86 – 27‬‬ ‫‪73‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫‪1 3-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫المساحة الكلية = ‪│‬ق(س)│ ‪‬س = ‪ ‬ق(س) ‪‬س ‪  -‬ق(س) ‪‬س = ‪14 = 54 + 61‬‬ ‫‪3- 1-‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪)66‬تتحرك نقطة مادية على خط مستقيم ‪ ،‬بتسارع مقداره ت(ن)=‪62‬ن(‪-6‬ن) م ‪/‬ث‪ ، 2‬حيث ن الزمن بالثواني ‪،‬‬ ‫فإذا كانت سرعتها الابتدائية ع(‪3=)1‬م ‪/‬ث ‪ ،‬وموقعها الابتدائي ف(‪2=)1‬م ‪ ،‬فجد ‪:‬‬ ‫أ)سرعة النقطة المادية بعد مرور أربع ثوان من بدء الحركة‬ ‫ب)موقع النقطة المادية بعد مرور ثانيتين من بدء الحركة‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫أ)ت(ن)=‪62‬ن(‪-6‬ن)‬ ‫ومنه ‪ ‬ع =‪62( ‬ن – ‪62‬ن‪ ) 2‬ن‬ ‫‪62‬ن‪2‬‬ ‫–‬ ‫‪62‬ن‬ ‫=‬ ‫‪‬ع‬ ‫‪‬ن‬ ‫ع = ‪1‬ن‪4 – 2‬ن‪ + 3‬جـ ولكن ع(‪3 = )1‬‬ ‫ع(‪ + 3)1(4 – 2)1(1 = )1‬جـ‬ ‫‪ = 3‬جـ ‪ ‬ع(ن) = ‪1‬ن‪4 – 2‬ن‪3 + 3‬‬ ‫ع(‪ 657- = 3 + 251 – 91 = 3 + 3)4(4 – 2)4(1 = )4‬م ‪/‬ث‬ ‫ب)‪‬نف = ‪1‬ن‪4 – 2‬ن‪ 3 + 3‬ومنه ‪ ‬ف =‪1( ‬ن‪4 – 2‬ن‪ ) 3 + 3‬ن‬ ‫ف = ‪2‬ن‪ – 3‬ن‪3 + 4‬ن ‪ +‬جـ ولكن ف(‪2 = )1‬‬ ‫ف(‪(3 + 4)1( – 3)1(2 = )1‬ن)‪ +‬جـ‬ ‫‪ = 2‬جـ ‪ ‬ف(ن) = ‪2‬ن‪ – 3‬ن‪3 + 4‬ن ‪2 +‬‬ ‫ف(‪ 8 = 2 + 1+ 61 – 61 = 2 + )2(3 + 4)2( – 3)2(2 = )2‬م‬ ‫‪)62‬يتزايد ثمن تحفة بمرور الزمن ‪ ،‬وبصورة مستمرة منتظمة وفق قانون النمو ‪ ،‬بنسبة ‪ %205‬سنويا ‪ ،‬فإذا كان ثمنها الأصلي‬ ‫‪ 3111‬دينار ‪ ،‬فكم يصبح ثمنها بعد مرور ‪ 81‬عاما‬ ‫ثمن التحفة = ع(ن) = ع‪ 1‬هـ أن ومنه ع(‪ 26871 = 81×1.125)2.7( 3111 = )81‬دينار‬ ‫‪75‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫الوحدة الخامسة‬ ‫الإحصاء والاحتمالات‬ ‫‪70‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫طرائق العد‬ ‫الفصل الأول‬ ‫أولاً ‪:‬‬ ‫مبدأ العد‬ ‫شرح مبدأ العد ‪:‬‬ ‫لدى يوسف ثلاثة أنواع من القمصان ( أبيض ‪ ،‬أحمر ‪ ،‬أزرق )‬ ‫وثلاثة أنواع من من البناطيل ( جينز ‪ ،‬مخمل ‪ ،‬كتان )‬ ‫ونوعان من الأحذية ( رياضي ‪ ،‬رسمي )‬ ‫فبكم طريقة يمكن أن يلبس قميص وبنطلون وحذاء مختلفين‬ ‫حذاء رياضي‬ ‫بنطلون جينز‬ ‫قميص أبيض‬ ‫حذاء رسمي‬ ‫بنطلون مخمل‬ ‫حذاء رياضي‬ ‫حذاء رسمي‬ ‫بنطلون كتان‬ ‫حذاء رياضي‬ ‫حذاء رسمي‬ ‫حذاء رياضي‬ ‫بنطلون جينز‬ ‫قميص أحمر‬ ‫حذاء رسمي‬ ‫بنطلون مخمل‬ ‫حذاء رياضي‬ ‫بنطلون كتان‬ ‫حذاء رسمي‬ ‫حذاء رياضي‬ ‫حذاء رسمي‬ ‫حذاء رياضي‬ ‫بنطلون جينز‬ ‫قميص أزرق‬ ‫حذاء رسمي‬ ‫بنطلون مخمل‬ ‫حذاء رياضي‬ ‫بنطلون كتان‬ ‫حذاء رسمي‬ ‫حذاء رياضي‬ ‫حذاء رسمي‬ ‫من المثال السابق نلاحظ وجود ‪ 18‬طريقة لارتداء قميص مع بنطلون وحذاء مختلفين‬ ‫‪76‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫قميص أزرق‪ ،‬بنطلون جينز‪ ،‬حذاء رياضي‬ ‫طرائق الاختيار ‪ 18‬طريقة‬ ‫قميص أبيض‪ ،‬بنطلون جينز‪ ،‬حذاء رياضي‬ ‫قميص أزرق‪ ،‬بنطلون جينز‪ ،‬حذاء رسمي‬ ‫قميص أبيض‪ ،‬بنطلون جينز‪ ،‬حذاء رسمي‬ ‫قميص أزرق‪،‬بنطلون مخمل‪ ،‬حذاء رياضي‬ ‫قميص أحمر‪ ،‬بنطلون جينز‪ ،‬حذاء رياضي‬ ‫قميص أبيض‪،‬بنطلون مخمل‪ ،‬حذاء رياضي‬ ‫قميص أزرق‪،‬بنطلون مخمل‪ ،‬حذاء رسمي‬ ‫قميص أحمر‪ ،‬بنطلون جينز‪ ،‬حذاء رسمي‬ ‫قميص أبيض‪،‬بنطلون مخمل‪ ،‬حذاء رسمي‬ ‫قميص أزرق‪،‬بنطلون كتان‪ ،‬حذاء رياضي‬ ‫قميص احمر‪،‬بنطلون مخمل‪ ،‬حذاء رياضي‬ ‫قميص أبيض‪،‬بنطلون كتان‪ ،‬حذاء رياضي‬ ‫قميص أزرق‪،‬بنطلون كتان ‪،‬حذاء رسمي‬ ‫قميص أحمر‪،‬بنطلون مخمل‪ ،‬حذاء رسمي‬ ‫قميص أبيض‪،‬بنطلون كتان ‪،‬حذاء رسمي‬ ‫قميص أحمر‪،‬بنطلون كتان‪ ،‬حذاء رياضي‬ ‫قميص احمر‪،‬بنطلون كتان ‪،‬حذاء رسمي‬ ‫هناك طريقة أخرى أسهل بكثير من هذه الطريقة وتعطي نفس النتيجة وهي على الشكل التالي ‪:‬‬ ‫طرائق اختيار القميص هي ‪ 3‬طرق وهي بعدد القمصان‬ ‫طرائق اختيار البنطلون هي ‪ 3‬طرق وهي بعدد البناطيل‬ ‫طرائق اختيار الحذاء هي ‪ 2‬طريقة وهي بعدد الأحذية‬ ‫عدد الطرائق هو ‪ 18 = 2 × 3 × 3 :‬طريقة‬ ‫يتلخص مبدأ العد على النحو التالي ‪:‬‬ ‫إذا أمكن إجراء عملية ما ضمن مراحل متتابعة عددها (ك )بحيث أجريت المرحلة الأولى بطرائق عددها ن‪( 1‬مثل اختيار‬ ‫القمصان في المثال السابق) ‪ ،‬والمرحلة الثانية بطرائق عددها ن‪( 2‬مثل اختيار البناطيل في المثال السابق) ‪ ،‬وهكذا حتى‬ ‫المرحلة الاخيرة (ك) (مثل اختيار الأحذية في المثال السابق) والتي تجري بطرائق عددها نك‪ ،‬فإنه يمكن إتمام هذه العملية‬ ‫بطرائق عددها ن‪ ×1‬ن‪ × …… ×2‬نك‬ ‫صفحة ‪222‬‬ ‫مثال الكتاب ‪1‬‬ ‫في مكتبة فاطمة ‪ 1‬دوواين شعرية و‪ 3‬روايات ‪ ،‬إذا أرادت فاطمة قراء كتابين أحدهما يمثل ديوانا شعريا والآخر يمثل رواية‬ ‫أدبية ‪ ،‬فبكم طريقة يمكنها ذلك ؟‬ ‫عدد طرائق اختيار الرواية ‪1‬‬ ‫عدد طرائق اختيار الديوان الشعري ‪3‬‬ ‫عدد طرائق الاختيار هو ‪ 12 = 3 × 1 :‬طريقة‬ ‫صفحة ‪223‬‬ ‫تدريب الكتاب ‪1‬‬ ‫محل لبيع الخضراوات والفواكه يحتوي على أربعة أصناف من الفاكهة ‪ ،‬وصنفين من الخضراوات ‪ ،‬دخلت أم رامي المحل‬ ‫لشراء صنف واحد من الفواكه ‪ ،‬وصنف آخر من الخضراوات ‪ ،‬ما الخيارات المتوفرة‬ ‫عدد طرائق اختيار صنف واحد من الفاكهة ‪1‬‬ ‫عدد طرائق اختيار صنف واحد من الخضراوات ‪ 1‬عدد طرائق الاختيار هو ‪8 = 2 × 1 :‬‬ ‫‪75‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫صفحة ‪223‬‬ ‫مثال الكتاب ‪2‬‬ ‫أراد عمر شراء ثلاجة وغسالة وجهاز تكييف من أحد معارض الأجهزة الكهربائية ‪ ،‬بكم طريقة يمكنه شراء ذلك ‪ ،‬علما بأن‬ ‫المعرض يحتوي على ‪ 1‬أنواع مختلفة من الثلاجات ‪ ،‬و‪ 5‬أنواع من الغسالات ‪ ،‬و‪ 3‬أنواع من أجهزة التكييف ؟‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫عدد طرائق اختيار الثلاجة ‪1 :‬‬ ‫عدد طرائق اختيار الغسالة ‪5‬‬ ‫عدد طرائق اختيار جهاز التكييف ‪3‬‬ ‫عدد طرائق الاختيار هو ‪ 11 = 3 × 5 × 1 :‬طريقة‬ ‫تدريب الكتاب ‪ 2‬صفحة ‪221‬‬ ‫لدى محمد أربعة أنواع من القمصان ‪ ،‬وثلاثة أنواع من البناطيل ‪ ،‬ونوعان من الأحذية ‪ ،‬فهل يكفيه ذلك إذا أراد كل يوم ارتداء‬ ‫لباس مختلف عن اليوم الذي سبقه مدة شهر كامل‬ ‫الحل ‪ :‬عدد الطرائق هو ‪ 21 = 2 × 3 × 1‬نلاحظ أن ‪ 03 > 21‬نلاحظ أن عدد الطرائق لا تكفي شهر كامل‬ ‫صفحة ‪221‬‬ ‫مثال الكتاب ‪3‬‬ ‫من مجموعة الأرقام الآتية ‪ ، {1 ، 5 ، 3 ، 2 }:‬كم عددا يمكن تكوينه من منزلتين ‪:‬‬ ‫‪ )1‬إذا سمح بتكرار الأرقام ؟‬ ‫‪ )2‬إذا لم يسمح بتكرار الأرقام ؟‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪ )1‬بما أن التكرار مسموح به فإن ‪:‬‬ ‫عدد طرائق اختيار المنزلة الأولى ( آحاد) هي ‪1 :‬‬ ‫عدد طرائق اختيار المنزلة الثانية ( عشرات) هي ‪1 :‬‬ ‫عدد طرائق تكوين العدد = ‪ 11 = 1 × 1‬طريقة‬ ‫‪ )2‬بما أنه لا يسمح بالتكرار فإن ‪:‬‬ ‫عدد طرائق اختيار المنزلة الأولى ( آحاد) ‪1 :‬‬ ‫عدد طرائق اختيار المنزلة الثانية( عشرات) ‪ ( 3 :‬لأن عدد الاختيارات نقص واحد بسبب عدم التكرار )‬ ‫عدد طرائق تكوين العدد = ‪ 12 = 3 × 1‬طريقة‬ ‫‪72‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫صفحة ‪221‬‬ ‫تدريب الكتاب ‪3‬‬ ‫بكم طريقة يمكن تكوين عدد من ‪ 3‬منازل من مجموعة الاعداد الفردية التي هي أكبر من ‪ ، 1‬وأقل من أو تساوي ‪ 15‬في حال ‪:‬‬ ‫ب) لم يسمح بتكرار الارقام ؟‬ ‫أ)سمح بتكرار الأرقام ؟‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫مجموعة الاعداد الفردية أكبرمن ‪ 1‬وأقل أو تساوي ‪ 15‬هي } ‪{15 ، 13 ، 11 ، 9 ، 0 ، 5‬‬ ‫إذا سمح بالتكرار ‪:‬‬ ‫أ)‬ ‫عدد طرائق اختيار المنازل الثلاثة للعدد من } ‪ { 9 ، 0 ، 5‬هو ‪20 = 3×3×3‬‬ ‫ب)‬ ‫عدد طرائق اختيار المنزلة الأولى للعدد من}‪ { 9، 0 ، 5‬والمنزلتين الأخريين للعدد من } ‪ { 15 ، 13 ، 11‬هو ‪:‬‬ ‫‪9=3×3‬‬ ‫عدد طرائق اختيار المنزلتين الأوليين للعدد من}‪ { 15، 13 ، 11‬والمنزلة الثالثة للعدد من } ‪ {9 ، 0 ، 5‬هو ‪:‬‬ ‫‪9 = 3×3‬‬ ‫عدد طرائق الاختيار ‪15 = 9 + 9 + 20 :‬‬ ‫إذا لم يسمح بتكرار الأرقام ‪:‬‬ ‫عدد طرائق اختيار المنازل الثلاثة للعدد من } ‪ { 9 ، 0 ، 5‬هو ‪1 = 1 ×2 × 3‬‬ ‫نستثني العدد ‪ 11‬بسبب تكرار العدد ‪1‬‬ ‫الأعدد من ثلاثة منازل والمكونة من }‪ ) 9 ، 0، 5‬مع } ‪ { 15 ، 13‬عددها (‪ )5‬وهي ‪:‬‬ ‫}‪ { 159 ، 139 ، 150 ، 130 ، 155 ، 135‬العدد ‪ 155‬محذوف بسبب تكرار العدد ‪5‬‬ ‫الأعدد من ثلاثة منازل والمكونة من }‪ ) 15، 13‬مع } ‪ { 9 ، 0 ، 5‬عددها (‪ )5‬وهي ‪:‬‬ ‫} ‪ { 915 ، 015 ، 515 ، 913 ، 013 ،513‬العدد ‪515‬محذوف بسبب تكرار العدد ‪5‬‬ ‫عدد طرائق الاختيار ‪11 =5+5+1 :‬‬ ‫مضروب العدد الصحيح غير السالب ‪:‬‬ ‫مضروب أي عدد هو ضرب ذلك العدد بجميع الأعداد التي أقل منه حتى الانتهاء بالعدد واحد‬ ‫فإذا كان العدد هو )ن( فإن مضروب العدد ن يرمز له بالرمز نﻻ ويساوي ‪:‬‬ ‫نﻻ = ن×(ن‪(×)6-‬ن‪(×)2-‬ن‪6×2×3× … ×)3-‬‬ ‫قاعدة للحفظ ‪1 :‬ﻻ = ‪6‬‬ ‫‪77‬‬