lession2 basic calculas

Basic Calculus 93 2.9.3 ความเร่งขณะเวลา t ใด ๆ ความเร่งขณะเวลา t ใด ๆ คือ อตั ราการเปล่ียนแปลงของความเร็ว ขณะเวลา t ใด ๆ เท่ากบั dv เขียนแทนความเร่ง ขณะเวลา t ใด ๆ ดว้ ย a (t ) หรือ a dt นน่ั คือ a (t ) = dv =f (t ) dt ตวั อยา่ งท่ี32 กาหนด s  f (t )  2t 3  2t 2  3t  10 เป็ นสมการการเคลื่อนที่ของวตั ถุ เม่ือ s แทนระยะทางหน่วยเป็ นฟุต และ t แทนเวลาหน่วยเป็ นวนิ าที จงหา 1. ความเร็วขณะเวลา t ใด ๆ 2. ความเร่งขณะเวลา t ใด ๆ 3. ความเร่งขณะเวลา t  3 วนิ าที ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………. ตวั อยา่ งที่33 ปล่อยวตั ถุจากที่สูงลงสู่พ้ืนดิน วตั ถุเคลื่อนที่ไดร้ ะยะทาง s  16t 2 เมตร ในเวลา t วนิ าที จงหา 1. ระยะทางท่ีวตั ถุเคลื่อนที่ไดห้ ลงั จากปล่อยวตั ถุไป 3 วนิ าที 2. ความเร็วขณะเวลา t  2 วนิ าที 3. ความเร่งขณะเวลา t ใด ๆ 4. ความเร่งขณะเวลา t  5 วนิ าที ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………

Basic Calculus 94 ตวั อยา่ งที่34 ยงิ ปื นข้ึนไปในแนวด่ิงจากพ้ืนราบไดส้ มการของการเคล่ือนท่ีของลูกปื นเป็น s  128t  16t 2 โดยที่ t แทนเวลาหน่วยเป็ นวินาที และเมื่อ s แทนความสูงของลูก ปื นมีหน่วยเป็ นเมตร จงหา 1. ลูกปื นอยสู่ ูงจากพ้นื ราบเป็นระยะทาง 156 เมตร เม่ือเวลาใด 2. ระยะทางที่ลูกปื นข้ึนไปไดส้ ูงสุดเป็นเท่าใด 3. เมื่อเวลาผา่ นไป 4วนิ าที ลูกปื นอยสู่ ูงจากพ้นื ราบเท่าใด 4. เมื่อเวลาผา่ นไป 6 วนิ าที ลูกปื นจะเดินทางไปไดเ้ ป็นระยะทางท้งั หมดเท่าใด ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ********************* ************************

Basic Calculus 95 แบบฝึ กทักษะที่ 2.9 1. ถา้ สมการการเคลื่อนท่ีของวตั ถุ คือ s  t 3  5t  2 เมื่อระยะทางมีหน่วยเป็ นเมตร เวลามีหน่วยเป็ น วนิ าที จงหา 1.1 ความเร็วขณะ t  4 วนิ าที 1.3 ความเร็วเฉล่ีย จาก t  2 ถึง t  5 วนิ าที 1.2 ความเร่งขณะ t  7 วนิ าที 1.4 อตั ราเร็วเฉล่ีย จาก t  1 ถึง t  4 วนิ าที ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… 2. ลูกหินถูกโยนข้ึนไปในอากาศในลกั ษณะแนวด่ิง โดยมีสมการการเคล่ือนท่ี คือ s  25t  8t 2 เมื่อ ระยะทางมีหน่วยเป็นเมตร เวลามีหน่วยเป็นวนิ าที จงหา 2.1 ความเร็วของลูกหิน ณ วนิ าทีที่ 4 2.2 ความเร่งของลูกหิน ณ วนิ าทีที่ 6 ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………

Basic Calculus 96 3. ยงิ ปื นจากจุด ๆ หน่ึงบนพ้ืนดินข้ึนไปตามแนวดิ่ง สอดคลอ้ งกบั สมการ s  400t 16t 2 โดย s เป็ น ระยะทางท่ีลูกปื นอยหู่ ่างจากพ้ืนดินมีหน่วยเป็นเมตร และ t เป็นเวลามีหน่วยเป็นวนิ าที จงหา 3.1 เวลาท่ีลูกปื นตกถึงพ้นื ดิน 3.3 เวลาท่ีลูกปื นข้ึนไปไดส้ ูงสุด 3.2 ความเร็วของลูกปื นในขณะท่ีลูกปื นกระทบพ้ืนดิน 3.4 ระยะทางสูงสุดที่ลูกปื นข้ึนไปได้ ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… 4. อนุภาคหน่ึงเคลื่อนท่ีเป็ นสมการ S  t 2  4t เมื่อ s เป็ นระยะทางมีหน่วยเป็ นเมตร 2 t 1 และ t เป็นเวลามีหน่วยเป็นวนิ าที จงหาความเร็วของอนุภาคขณะท่ีอนุภาคมีความเร่งเป็ นศนู ย์ ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ******* ************************** ********************* **********

Basic Calculus 97 2.10 ค่าสูงสุดสัมพทั ธ์และค่าตา่ สุดสัมพทั ธ์ Y C ฟังกช์ นั ลด A y  f (x ) ฟังกช์ นั เพ่มิ ฟังกช์ นั ลด ฟังกช์ นั พ่ิม B a x1 b x2 c x3 d X บทนิยาม 1.6 ให้ เป็นฟังกช์ นั จากสับเซตของ ไป และ เป็นฟังกช์ นั เพ่ิม (increasing function)ใน กต็ ่อเม่ือ สาหรับสมาชิก x1 และ x2 ใด ๆ ใน ถา้ แลว้ เป็นฟังกช์ นั ลด (decreasing function)ใน กต็ ่อเมื่อ สาหรับสมาชิก x1 และ x2 ใด ๆ ใน ถา้ แลว้ Y Y f (x )  0 f (x )  0 f (x )  0 f (x )  0 X f (x )  0 รูป ก X f (x )  0 รูป ข จากรูป ก และรูป ข จะเห็นวา่ ความชนั ของเส้นโคง้ ณ จุดสูงสุดและต่าสุดของฟังกช์ นั f มีค่า เท่ากบั 0 จากรูป ก ฟังกช์ นั f ใหค้ ่าสูงสุดท่ี x  t เม่ือ x  t ค่าของความชนั เส้นโคง้ มีคา่ เป็นบวก และ เม่ือ x  t คา่ ของความชนั เส้นโคง้ มีคา่ เป็ นลบ และจากรูป ข ฟังกช์ นั f ใหค้ ่าต่าสุดท่ี x  t เมื่อ x  t ความชนั ของเส้นโคง้ มีคา่ เป็ นลบ และเมื่อ x  t คา่ ของความชนั เส้นโคง้ มีค่าเป็นบวก

Basic Calculus 98 ทฤษฎบี ท เมื่อ เป็นฟังกช์ นั ต่อเน่ืองบนช่วง ใด ๆ 1. ถา้ สาหรับทุก ในช่วง แลว้ เป็นฟังกช์ นั ลดบนช่วง 2. ถา้ สาหรับทุก ในช่วง แลว้ เป็นฟังกช์ นั เพิ่มบนช่วง ตวั อยา่ งท่ี35 กาหนดให้ f(x) = 2x3 - 3x2- 12x + 4 จงตรวจสอบวา่ f เป็ นฟังกช์ นั เพมิ่ บนช่วงใด และเป็น ฟังกช์ นั ลดบนช่วงใด ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… พิจารณากราฟของฟังกช์ นั y  f (x ) ตอ่ ไปน้ี E Y A C D B 0X จากกราฟพบวา่ จุด A เป็นจุดบนกราฟท่ีมีคา่ สูงสุดเมื่อเทียบกบั จุดอื่น ๆ บนกราฟในบริเวณ ใกลเ้ คียง และในทานองเดียวกนั จุด C และจุดE กม็ ีลกั ษณะเดียวกบั จุด A ในลกั ษณะเช่นน้ีเรียกจุด A C และ E วา่ เป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์

Basic Calculus 99 และจากกราฟ พบวา่ จุด B เป็นจุดบนกราฟที่มีค่าต่าสุดเมื่อเทียบกบั จุดอ่ืน ๆ บนกราฟในบริเวณ ใกลเ้ คียง และในทานองเดียวกนั จุด D ก็มีลกั ษณะเดียวกบั จุด B ในลกั ษณะเช่นน้ีเรียกจุด B และ D วา่ เป็นจุดตา่ สุดสัมพทั ธ์ ถา้ A(x 1 , y 1) เป็ นจุดสูงสุดสมั พทั ธ์ เรียก y 1 วา่ เป็ น ค่าสูงสุดสัมพทั ธ์ ถา้ B (x 2 , y 2 ) เป็ นจุดต่าสุดสมั พทั ธ์ เรียก y 2 วา่ เป็ น ค่าตา่ สุดสัมพทั ธ์ บทนิยาม ฟังกช์ นั f มีคา่ สูงสุดสมั พทั ธ์ท่ี ถา้ มีช่วง และ โดยท่ี สาหรับทุก ในช่วง และ ฟังกช์ นั f มีค่าต่าสุดสัมพทั ธ์ที่ ท่ี โดยที่ สาหรับทุก ถา้ มีช่วง ที่ ในช่วง จานวนจริงที่ทาให้ f (x) เปลี่ยนจากบวกเป็นลบ หรือเปลี่ยนจากลบเป็นบวกน้ีเรียกวา่ ค่าวกิ ฤต ของฟังก์ชัน และจุดสูงสุดสมั พทั ธ์หรือจุดต่าสุดสัมพทั ธ์น้ีเรียกวา่ จุดวกิ ฤตของฟังก์ชัน นอกจากน้ี ยงั เรียก จานวนจริงที่ทาให้ f (x) หาคา่ ไม่ไดว้ า่ ค่าวกิ ฤตดว้ ย หมายเหตุ 1) เส้นสัมผสั ณ จุดสูงสุดสัมพทั ธ์หรือจุดต่าสุดสมั พทั ธ์มีความชนั เท่ากบั ศนู ย์ เสมอ 2) กราฟของฟังกช์ นั f อาจจะมีหรือไม่มีจุดสูงสุดสมั พทั ธ์หรือจุดต่าสุดสัมพทั ธ์กไ็ ด้ หรือ ถา้ มีอาจมีหลายจุดกไ็ ด้ วธิ ีการหาค่าสูงสุดสัมพทั ธ์และค่าต่าสุดสัมพทั ธ์ วธิ ีท่ี 1 ใชอ้ นุพนั ธ์อนั ดบั 1 ตวั อยา่ งที่36 จงหาค่าสูงสุดสัมพทั ธ์หรือค่าต่าสุดสัมพทั ธ์ของฟังกช์ นั f เมื่อกาหนด f (x)  x2  x  6 ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………

Basic Calculus 100 ตวั อยา่ งท่ี37 จงหาค่าสูงสุดสัมพทั ธ์หรือค่าต่าสุดสัมพทั ธ์ของฟังกช์ นั f เมื่อกาหนด 1) f (x)  x3 9x2 15x 5 2) f (x)  x3 6x2 9x 8 ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………..……… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………

Basic Calculus 101 แบบฝึ กทกั ษะท่ี 2.10 ก จงหาคา่ สูงสุดสัมพทั ธ์หรือค่าต่าสุดสมั พทั ธ์ของฟังกช์ นั f เม่ือกาหนดให้ 1. f (x)  3x2  4x  2 4. f (x)  x3  x2 8x 6 ……………………………………….………. ………………………………………………. …………………………………………….…. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. 2. f (x)  7  4x  x2 5. f (x)  3x4  4x3 12x2 ……………………………………….………. ………………………………………………. …………………………………………….…. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. 3. f (x)  4x3 3x2 6. f (x)  3x5 5x3 ……………………………………….………. ………………………………………………. …………………………………………….…. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ************** ***************** ********************** **************

Basic Calculus 102 วธิ ีท่ี 2 ใชอ้ นุพนั ธ์อนั ดบั 2 ทฤษฎบี ท กาหนดให้ เป็นฟังกช์ นั ต่อเนื่องบนช่วง ใด ๆ และ เป็นค่าวกิ ฤตของ ซ่ึง 1) ถา้ แลว้ เป็นค่าต่าสุดสัมพทั ธ์ 2) ถา้ แลว้ เป็นคา่ สูงสุดสมั พทั ธ์ ตวั อยา่ งที่ 38 จงหาคา่ สูงสุดสมั พทั ธ์หรือค่าต่าสุดสมั พทั ธ์ของฟังกช์ นั f เมื่อกาหนด 1) f (x)  8 12x  3x2  2x3 2) f (x)  x3 ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………….…………….. ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………….…………….. ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………

Basic Calculus 103 แบบฝึ กทกั ษะท่ี 2.10 ข จงหาค่าสูงสุดสมั พทั ธ์หรือค่าต่าสุดสมั พทั ธ์ของฟังกช์ นั f เม่ือกาหนดให้ 1) f (x)  x3 27x 1 3) f (x)  1 x  2x2  x3 ……………………………………….………. ………………………………………………. …………………………………………….…. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………….………. ………………………………………………. …………………………………………….…. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. 2) f (x)  2x3 3x2 12x 12 4) f (x)  x3  3x2 ………………………………………………. ……………………………………….………. ………………………………………………. …………………………………………….…. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………………….. ************* ****************** ******************* ****************

Basic Calculus 104 2.11 ค่าสูงสุดสัมบูรณ์และค่าตา่ สุดสัมบูรณ์ F พิจารณากราฟตอ่ ไปน้ี YB D C A X a x = x1 x = x2 x = x3 b จากกราฟ จุด A และจุด C เป็นจุดต่าสุดสัมพทั ธ์ ซ่ึง จุด A เป็นจุดท่ีต่าท่ีสุดในช่วง [a,b] เรียก จุด A วา่ จุดตา่ สุดสัมบูรณ์ และ จากกราฟ จุด B เป็นจุดสูงสุดสัมพทั ธ์ แต่ไม่ไดเ้ ป็นจุดท่ีสูงที่สุดในช่วง [a,b] จุดที่ สูงที่สุดคือจุด F เรียกจุด F วา่ จุดสูงสุดสัมบูรณ์ บทนิยาม ฟังกช์ นั มีคา่ สูงสุดสมั บูรณ์ที่ ถา้ สาหรับทุก ท่ี ฟังกช์ นั มีคา่ ต่าสุดสมั บูรณ์ที่ ถา้ สาหรับทุก ท่ี ข้นั ตอนการหาค่าสูงสุดสัมบูรณ์และค่าต่าสุดสัมบูรณ์ 1) หาค่าวกิ ฤตท้งั หมดในช่วงปิ ด [a,b] 2) หาคา่ ของฟังกช์ นั ณ คา่ วกิ ฤตท่ีไดจ้ ากขอ้ 1 3) หาคา่ f(a) และ f(b) 4) เปรียบเทียบคา่ ที่ไดจ้ ากขอ้ 2) และ ขอ้ 3) ซ่ึงจะไดข้ อ้ สรุปวา่ - ค่ามากที่สุดจากขอ้ 2) และ ขอ้ 3) เป็ นคา่ คา่ สูงสุดสัมบรู ณ์ของฟังกช์ นั f - ค่านอ้ ยที่สุดจากขอ้ 2) และ ขอ้ 3) เป็ นคา่ คา่ ต่าสุดสัมบรู ณ์ของฟังกช์ นั f

Basic Calculus 105 ตวั อยา่ งท่ี39 กาหนดให้ f (x)  x2 2x 4 เป็นฟังกช์ นั ต่อเน่ืองบนช่วงปิ ด [3,3] จงหาคา่ สูงสุด สัมบูรณ์และคา่ ต่าสุดสมั บรู ณ์ ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ตวั อยา่ งที่40 กาหนดให้ f (x)  x3  x2 8x 1 เป็นฟังกช์ นั ต่อเน่ืองบนช่วงปิ ด [4,2]จงหา ค่าสูงสุดสมั บูรณ์และคา่ ต่าสุดสัมบรู ณ์ ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………

Basic Calculus 106 แบบฝึ กทักษะท่ี 2.11 จงหาค่าสูงสุดสมั พทั ธ์ ค่าต่าสุดสัมพทั ธ์ คา่ สูงสุดสัมบูรณ์ และคา่ ต่าสุดสมั บูรณ์ของฟังกช์ นั บนช่วงปิ ดที่ กาหนดใหต้ ่อไปน้ี 1. f (x)  x2 4x 5 ;[1,3] ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… 2. f (x)  x3 3x2 9x 4 ; [5,6] ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………

Basic Calculus 107 3. f (x)  x3 3x ; [2,2] ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… *************** ***************** ******************** *************** 2.12 การนาอนุพนั ธ์มาประยกุ ต์แก้โจทย์ปัญหาค่าสูงสุดและค่าตา่ สุด ตวั อยา่ งท่ี41 จานวนจริงสองจานวนบวกกนั ได้ 24 ถา้ ผลคูณของสองจานวนน้ีมีค่าสูงสุด จงหาจานวน จริงท้งั สองจานวนน้ี ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………

Basic Calculus 108 ตวั อยา่ งที่42 นายอรุณตอ้ งการตดั มุมท้งั ส่ีของกระดาษรูปส่ีเหล่ียมจตั ุรัส ซ่ึงยาวดา้ นละ 1 ฟุต ออกเป็น รูปสี่เหลี่ยมจตั ุรัสยาวดา้ นละ x นิ้ว แลว้ พบั ตามรอยประเพือ่ ทาเป็นกล่องฝาเปิ ด (ดงั รูป) จงหาวา่ เขาจะตอ้ งคานวณให้ x มีค่าเป็นเท่าไรจึงจะไดก้ ล่องที่มีปริมาตรมากที่สุด และปริมาตรมาก ท่ีสุดเป็นเทา่ ไร 12 นิ้ว 12-2x 12-2x 12 ิ้นว ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ตวั อยา่ งท่ี43 พอ่ คา้ คนหน่ึงทราบวา่ ถา้ ต้งั ราคาสินคา้ อยา่ งหน่ึงชิ้นละ 20 บาท ใน 1 สัปดาห์ เขาจะขาย สินคา้ ได้ 1,000 ชิ้น ถา้ ลดราคาชิ้นละ 1 บาท เขาจะขายสินคา้ ไดเ้ พม่ิ อีก 100 ชิ้น เป็น 1,100 ชิ้น ถา้ ลด ราคาชิ้นละ 2 บาท เขาจะขายสินคา้ ไดเ้ พิม่ อีก 200 ชิ้น เป็น 1,200 ชิ้น ถา้ เป็นเช่นน้ีเร่ือย ๆ ไป เขา ควรจะต้งั ราคาสินคา้ เทา่ ไรจึงจะไดเ้ งินจากการขายมากที่สุด ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

Basic Calculus 109 ตวั อยา่ งที่44 สี่เหล่ียมผนื ผา้ รูปหน่ึงบรรจุในคร่ึงวงกลม รัศมี r หน่วย ถา้ รูปสี่เหล่ียมผนื ผา้ มีพ้นื ท่ีมากท่ี สุดจะมีดา้ นยาวยาวก่ีหน่วย ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ตวั อยา่ งท่ี45 สามเหลี่ยมมุมฉากยาวดา้ นละ 90, 120, 150 หน่วย ใหห้ าวา่ จะบรรจุส่ีเหล่ียมมุมฉากลงไป ภายในสามเหล่ียมน้ี (ใหม้ ีมุมฉากร่วมกนั ดงั ภาพ) ไดพ้ ้นื ท่ีมากที่สุดเทา่ ใด ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

Basic Calculus 110 แบบฝึ กทกั ษะที่ 2.12 1. จงหาความยาวเส้นรอบรูปที่มีคา่ นอ้ ยที่สุดของรูปส่ีเหล่ียมผนื ผา้ ที่มีพ้ืนที่ 25 ตารางหน่วย ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ชายคนหน่ึงมีไมร้ ะแนงสาหรับทาร้ัวไดย้ าว 80 เมตร เขาตอ้ งการลอ้ มบริเวณรูปส่ีเหลี่ยมผนื ผา้ พร้อมท้งั ก้นั เป็นส่ีช่องเท่าๆ กนั ดงั รูป พ้ืนที่มากท่ีสุดที่เขาจะลอ้ มไดเ้ ป็นเท่าไร ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… 2. จงหาจานวนจริงบวกสองจานวนท่ีรวมกนั เทา่ กบั 120 โดยที่ผลคูณของจานวนแรกกบั กาลงั สองของ จานวนที่สองมีคา่ มากที่สุด ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

Basic Calculus 111 3. บริษทั แห่งหน่ึงไดผ้ ลิตผลไมก้ ระป๋ องชนิดหน่ึงขายราคาลงั ละ 300 บาท ถา้ ทุนที่ใชใ้ นการผลิต x ลงั คือ k  250250x 0.01x2 บาท จงหาจานวนท่ีบริษทั น้ีควรผลิตจึงจะไดก้ าไรมากท่ีสุด ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… 4. ผผู้ ลิตวทิ ยขุ ายวทิ ยไุ ด้ x เคร่ืองตอ่ สัปดาห์ ถา้ ขายวทิ ยเุ คร่ืองละ P บาท และกาหนดให้ 5x 3753P 1 ถา้ ทุนในการผลิตคือ 500 13x  5 x 2 บาท จงหาวา่ ผผู้ ลิตควรจะผลิตวทิ ยสุ ัปดาห์ละกี่เครื่องจึงจะได้ กาไรมากท่ีสุด ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… *********************************** *********************************

Basic Calculus 112 2.13 ปฏยิ านุพนั ธ์ ตวั อยา่ งท่ี46 กาหนดให้ f (x)  0 จงหา f (x) ………………………………………………………………………………………………………….. ตวั อยา่ งท่ี47 กาหนดให้ f (x)  3 จงหา f (x) ………………………………………………………………………………………………………… ตวั อยา่ งท่ี48 กาหนดให้ f (x)  3x จงหา f (x) ………………………………………………………………………………………………………… บทนิยาม กาหนดฟังกช์ นั จะเรียกฟังกช์ นั วา่ เป็นปฏิยานุพนั ธ์ (antiderivative) หน่ึง ของ เม่ือ สาหรับทุกคา่ ของ x ที่อยใู่ นโดเมนของ f ตวั อยา่ งท่ี49 กาหนดให้ f (x)  x 2 จงหาปฏิยานุพนั ธ์ของ f …………………………………………………………………………………………………………. ตวั อยา่ งที่50 กาหนดให้ f (x)  x3 จงหาปฏิยานุพนั ธ์ของ f ………………………………………………………………………………………………………… ปฏิยานุพนั ธ์ของ เมื่อ คือ = ตวั อยา่ งท่ี51 กาหนดให้ f (x)  x2 x จงหาปฏิยานุพนั ธ์ของ f ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ตวั อยา่ งท่ี52 กาหนดให้ f (x)  x 5 จงหาปฏิยานุพนั ธ์ของ f ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………

Basic Calculus 113 ตวั อยา่ งท่ี53 กาหนดให้ f (x)  2x3 จงหาปฏิยานุพนั ธ์ของ f ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ปฏิยานุพนั ธ์ของ เมื่อ คือ = ตวั อยา่ งท่ี54 กาหนดให้ f (x)  6x 1 จงหาปฏิยานุพนั ธ์ของ f 3 …………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………. ตวั อยา่ งท่ี55 กาหนดให้ f (x)   x 2 3 x จงหาปฏิยานุพนั ธ์ของ f ………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………... แบบฝึ กทักษะท่ี 2.13 1. จงหาปฏิยานุพนั ธ์ของฟังกช์ นั f ตอ่ ไปน้ี 1.3 f ( x )  1 1.1 f (x) 100 3 x 4 ……………………………………….………. …………………………………………….…. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. 1.2 f (x)  x ………………………………………………. ……………………………………….………. …………………………………………….…. 1.4 f (x)  x 6 x ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ………………………………………………. ……………………………………………….

Basic Calculus 114 1.5 f (x)  3 x 1.7 f ( x )   3 x2 x ……………………………………….………. ………………………………………………. …………………………………………….…. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ………………………………………………. 1.6 f (x)  10x4 1.8 f (x )  10 4 x x ……………………………………….………. ………………………………………………. …………………………………………….…. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ………………………………………………. 2. จงแสดงวา่ F(x)  2x 1 เป็นปฏิยานุพนั ธ์ของf (x)  1 2x 1 ………………………………………………………………………………………………………….…… …………………………………………………………………………………………………….………… ……………………………………………………………………………………………….……………… ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. 3. จงแสดงวา่ F(x)  3 (x 2  3) 4 C เป็นปฏิยานุพนั ธ์ของ f (x)  x(x2  3) 1 เม่ือ C เป็นคา่ คงตวั 8 3 3 ใด ๆ ………………………………………………………………………………………………………….…… …………………………………………………………………………………………………….………… ………………………………………………………………………………………………………………... ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. **************** **************** ******************* *******************

Basic Calculus 115 2.14 ปริพนั ธ์ไม่จากดั เขต บทนิยาม กาหนดให้ เป็นฟังกช์ นั ท่ีมีโดเมนและเรนจเ์ ป็นสบั เซตของเซตของจานวนจริง และ เป็นฟังกช์ นั ซ่ึง สาหรับทุก ในโดเมนของ ปริพนั ธ์(อินทกิ รัล)ไม่จากดั เขตของ เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ เมื่อ เป็นคา่ คงตวั ใด ๆ  เรียกวา่ เคร่ืองหมาย “ปริพนั ธ์” (อินทิกรัล) (integral) f (x) เรียกวา่ “ปริพทั ธ์” (ตวั ถูกอินทิกรัล) (integrand) dx เป็นตวั ท่ีบอกใหท้ ราบวา่ เป็ นการหาปริพนั ธ์(อินทิเกรต) เทียบกบั ตวั แปร x ตวั อยา่ งที่56 จงหา 2)  3xdx 3)  1 dx x 1)  5dx ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… สูตรการหาอินทกิ รัลไม่จากดั เขต 1.  kdx  kx C เม่ือ k และ C เป็นคา่ คงตวั ใด ๆ x n1 2.  x ndx  n  C เมื่อ n  1และ C เป็นคา่ คงตวั ใด ๆ 1 3. kf (x)dx  kf (x)dx C เมื่อ C เป็นคา่ คงตวั ใด ๆ และ f(x) มีปริพทั ธ์ 4. [f (x)g(x)]dx  f (x)dx  g(x)dx เม่ือ f(x) และg(x) มีปริพทั ธ์ 5. [f (x)g(x)]dx  f (x)dx g(x)dx เมื่อ f(x) และg(x) มีปริพทั ธ์

Basic Calculus 116 ตวั อยา่ งที่57 จงหา 1)  x 9dx 2)  32dx 3)  x xdx dx 5)  20x5dx 6) (12x2 3x2 )dx 4)  x x 2 7) (4x2 5x 15)dx 8) (3x2 4x 13)dx 9) (23x)2 dx 2x 3 4x 2 (1 x)2 10) x2 1dx 11) (6x 3)(2x 5)dx 12) x dx   ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………

Basic Calculus 117 แบบฝึ กทกั ษะที่ 2.14 จงหาปริพนั ธ์ไม่จากดั เขตในขอ้ ต่อไปน้ี 1.  5x 4dx 5.  3x 2 (x 2 4)2 dx 2.  3x 2dx 6. ( x  2 1 x )dx 7. (x a)3 dx เม่ือ a เป็นค่าคงตวั 3. (8x2 6x 7)dx x 1 8. (a  x)3 dx เม่ือ a เป็นค่าคงตวั 4.  x3 dx ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ********************************* ***********************************

Basic Calculus 118 2.15 การประยุกต์ของปริพนั ธ์ไม่จากดั เขต 2.15.1 การประยกุ ต์ในเรื่องเรขาคณติ ตวั อยา่ งท่ี58 จงหาสมการของระบบของเส้นโคง้ ที่มีความชนั ณ จุด (x,y) ใด ๆ เทา่ กบั 2 ………………………………………………………………………………………………………….…… …………………………………………………………………………………………………….………… ……………………………………………………………………………………………….……………… ………………………………………………………………………………………………………………. ตวั อยา่ งที่59 จงหาสมการของระบบเส้นโคง้ ซ่ึงมีความชนั ณ จุด (x,y) ใด ๆ เทา่ กบั 2x พร้อมท้งั หา สมการของเส้นโคง้ ในระบบน้ี เมื่อกาหนดใหเ้ ส้นโคง้ น้ีผา่ นจุด (-1,2) …………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………………..……… ………………………………………………………………………………………………………..……… ตวั อยา่ งท่ี60 ถา้ เส้นโคง้ หน่ึงมีสมการเป็น y  f (x) มีอตั ราการเปลี่ยนแปลงของความชนั ของเส้นโคง้ ท่ีจุดใด ๆ เท่ากบั 2 และความชนั ของเส้นโคง้ น้ีท่ีจุด (1,4) มีค่าเทา่ กบั 4 จงหา 1) ความชนั ของเส้นโคง้ น้ีท่ีจุดที่เส้นโคง้ ตดั กบั เส้นตรง x  1 2) สมการของเส้นโคง้ น้ี …………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..……………… …………………………………………………………………………………………..…………………… ……………………………………………………………………………………..………………………… ………………………………………………………………………………..……………………………… …………………………………………………………………………..…………………………………… ……………………………………………………………………..………………………………………… ………………………………………………………………..……………………………………………… …………………………………………………………..…………………………………………………… ……………………………………………………..………………………………………………………

Basic Calculus 119 ตวั อยา่ งท่ี61 จงหาสมการของระบบเส้นโคง้ ซ่ึงมีความชนั ณ จุด (x,y) ใด ๆ บนเส้นโคง้ เท่ากบั 5x y 3 พร้อมท้งั หาสมการของเส้นโคง้ ในระบบน้ีผา่ นจุด (2,-1) …………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..……………… …………………………………………………………………………………………..…………………… ……………………………………………………………………………………..………………………… ………………………………………………………………………………………………………………. 2.15.2 การประยุกต์ในเร่ืองของการเคลอื่ นทข่ี องวตั ถุ การอนุพนั ธ์ การอนิ ทเิ กรต ความเร่ง สมการการเคลื่อนที่ ความเร็ว ความเร็ว ความเร่ง สมการการเคล่ือนท่ี ตวั อยา่ งที่62 วตั ถุชิ้นหน่ึงเคล่ือนที่ตามแนวตรงจากจุดหยดุ น่ิงดว้ ยความเร่ง 4t  2 เมตร/วนิ าที2 จงหา 1) ความเร็วของวตั ถุเม่ือ t  2 วนิ าที 2) ระยะทางที่วตั ถุเคล่ือนที่ไดเ้ ม่ือ t  9 …………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..……………… …………………………………………………………………………………………..…………………… ……………………………………………………………………………………..………………………… ………………………………………………………………………………..……………………………… …………………………………………………………………………..…………………………………… ……………………………………………………………………..………………………………………… ………………………………………………………………..……………………………………………… …………………………………………………………..……………………………………………….

Basic Calculus 120 ตวั อยา่ งท่ี63 วตั ถุชิ้นหน่ึงเคล่ือนท่ีตามแนวเส้นตรง โดยมีความเร่งในขณะเวลา t วนิ าที เทา่ กบั a(t) 120t 12t 2;t [0,10] และ ขณะเริ่มตน้ จบั เวลา วตั ถุเคลื่อนท่ีดว้ ยความเร็ว 0 เมตร/วนิ าทีและไดร้ ะยะทาง 4 เมตร จงหา 1) ความเร็วของวตั ถุ เมื่อ t 10 วนิ าที 2) ระยะทางเมื่อt  5 วนิ าที …………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..……………… …………………………………………………………………………………………..…………………… ……………………………………………………………………………………..………………………… ………………………………………………………………………………..……………………………… …………………………………………………………………………..…………………………………… ……………………………………………………………………..………………………………………… ………………………………………………………………..……………………………………………… ตวั อยา่ งที่64 ถา้ ปล่อยวตั ถุชิ้นหน่ึงใหต้ กลงมาในแนวด่ิงจากยอดตึกซ่ึงสูง 100 เมตร เหนือพ้ืนดิน และให้ s(t) แทนระยะทางท่ีวตั ถุอยหู่ ่างจากยอดตึกในขณะเวลา t และ v(t) แทนความเร็วของ วตั ถุในขณะเวลา t จงหา 1) v(t) 2) s(t) 3) ความเร็วของวตั ถุในขณะตกกระทบพ้นื ดิน …………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..……………… …………………………………………………………………………………………..…………………… …………………………………………………………………………………..…………………………… ………………………………………………………………….……………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..………… …………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..………… …………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..………

Basic Calculus 121 ตวั อยา่ งที่65 ถา้ ขวา้ งวตั ถุชิ้นหน่ึงลงมาตามแนวด่ิงจากลูกบอลซ่ึงอยสู่ ูงจากพ้ืนดิน 117.6 เมตร ดว้ ย ความเร็วตน้ 49 เมตร/วนิ าที จงหา 1) ความเร็วของวตั ถุในขณะเวลา t 3) ความเร็วของวตั ถุในขณะกระทบพ้ืนดิน 2) ระยะทางที่วตั ถุอยหู่ ่างจากพ้ืนดินขณะเวลา t …………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..……………… …………………………………………………………………………………………..…………………… ……………………………………………………………………………………..………………………… ………………………………………………………………………………..……………………………… …………………………………………………………………………..…………………………………… ……………………………………………………………………..………………………………………… ………………………………………………………………..……………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………. ตวั อยา่ งท่ี66 ถา้ โยนวตั ถุข้ึนไปในอากาศในแนวด่ิงดว้ ยความเร็วตน้ 98 เมตร/วนิ าที จงหา 1) สมการการเคล่ือนที่ของวตั ถุ 3) ระยะทางสูงสุดที่วตั ถุข้ึนไปได้ 2) วตั ถุข้ึนไปไดส้ ูงสุดเม่ือเวลาเท่าใด 4) เมื่อใดวตั ถุอยสู่ ูง 249.9 เมตรจากจุดเริ่มตน้ …………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..……………… …………………………………………………………………………………………..…………………… ……………………………………………………………………………………..………………………… ………………………………………………………………………………..……………………………… ………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..………… …………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..…………

Basic Calculus 122 แบบฝึ กทกั ษะที่ 2.15 1. จงหาสมการของระบบของเส้นโคง้ ที่มีความชนั ของเส้นโคง้ ณ จุด (x,y) ใด ๆ บนเส้นโคง้ เท่ากบั m พร้อมท้งั หาสมการของเส้นโคง้ ในระบบน้ีที่ผา่ นจุด P ท่ีกาหนดให้ 2x 1 1.1 m  3x2  2x ; P(1,3) 1.2 m  34y ; P(2,3) ……………………………………………………………………………………………………..………… …………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..………… …………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..………… …………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..………… …………………………………………………………………………………………………………..…… 2. ถา้ เส้นโคง้ y  f (x) มีอนุพนั ธ์อนั ดบั ที่สองเท่ากบั 6x 10 จงหาสมการเส้นโคง้ น้ีเมื่อความชนั ของ เส้นโคง้ น้ีที่จุด (1,1) มีคา่ เท่ากบั –1 ……………………………………………………………………………………………………..………… …………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..………… …………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..………… …………………………………………………………………………………………………………..…… 3. เส้นโคง้ หน่ึงมีความชนั ณ จุดใด ๆ บนเส้นโคง้ เท่ากบั 2x2 3x 1 ถา้ เส้นโคง้ น้ีตดั แกน x ท่ีจุด (-1,0) จงหาวา่ เส้นโคง้ น้ีจะตดั กบั เส้นตรง x 1 0 ที่จุดใด ๆ ……………………………………………………………………………………………………..………… …………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..………… …………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..………… …………………………………………………………………………………………………………..……

Basic Calculus 123 4. ถา้ กาหนดเส้นโคง้ y  f (x) ซ่ึงมีอตั ราการเปลี่ยนแปลงของ f ที่จุดใด ๆ บนเส้นโคง้ เท่ากบั 1 3x 2  x2 ถา้ เส้นโคง้ น้ีผา่ นจุด (2,-1) จงหา 4.1 อตั ราการเปล่ียนแปลงของความชนั ของเส้นโคง้ เม่ือ x 1 4.2 4.2 จุดท่ีเส้นโคง้ น้ีตดั กบั เส้นตรง x 1 ……………………………………………………………………………………………………..………… …………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..………… …………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..………… …………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..………… 5. ถา้ กลิ้งลูกบอลลูกหน่ึงบนสนามหญา้ ดว้ ยความเร็วตน้ 8 เมตร/วนิ าที ถา้ ลูกบอลเคลื่อนท่ีดว้ ยความเร็ว ลดลง 2 เมตร/วนิ าที2 จงหาวา่ ลูกบอลเคล่ือนท่ีไปไดไ้ กลเท่าใดจึงจะหยดุ น่ิง ……………………………………………………………………………………………………..………… …………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..………… …………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..………… …………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..………… 6. ขวา้ งกอ้ นหินกอ้ นหน่ึงลงมาตามแนวด่ิง จากบอลลูนซ่ึงลอยสูงจากพ้นื ดิน 3,000 เมตร ดว้ ยความเร็วตน้ 15 เมตร/ วนิ าที จงหา 6.1 ความเร็วของกอ้ นหินในขณะเลา t ใด ๆ 6.3 ความเร็วของกอ้ นหินเม่ือเวลาผา่ นไป 20 วนิ าที 6.2 สมการการเคล่ือนที่ของวตั ถุ ……………………………………………………………………………………………………..………… …………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..………… …………………………………………………………………………………………………………..…… …………………………………………………………………………………………………………..……

Basic Calculus 124 7. วตั ถุชิ้นหน่ึงเคล่ือนที่ตามแนวตรงจากจุดหยดุ นิ่งดว้ ยความเร่ง 4t 2 เมตร/วนิ าที2 จงหา 7.1 ความเร็วของวตั ถุเมื่อ t  2วนิ าที 7.2 ระยะทางท่ีวตั ถุเคล่ือนท่ีไดเ้ ม่ือ t  9 วนิ าที …………………………………………………………………………………………………………..…… …………………………………………………………………………………………………………..…… …………………………………………………………………………………………………………..…… …………………………………………………………………………………………………………..…… …………………………………………………………………………………………………………..…… …………………………………………………………………………………………………………..…… …………………………………………………………………………………………………………..…… …………………………………………………………………………………………………………..…… …………………………………………………………………………………………………………..…… …………………………………………………………………………………………………………..…… ************* ************* *************** ************** 2.16 ปริพนั ธ์จากดั เขต ถา้ กาหนดฟังกช์ นั y  f (x) ซ่ึงเป็นฟังกช์ นั ต่อเน่ืองบนช่วงปิ ด [a,b] ปริพนั ธ์(อนิ ทกิ รัล) จากดั เขต b ของ f บนช่วง[a,b] เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ f (x)dx อา่ นวา่ ปริพนั ธ์(หรืออินทิกรัล)จากดั เขตของ f a จาก x a ถึง x  b ฟังกช์ นั f (x)เรียกวา่ ตัวถูกอนิ ทเิ กรต (Integrand) จานวนจริง a เรียกวา่ ลมิ ติ ล่าง (Lower limit) จานวนจริง b เรียกวา่ ลมิ ิตบน (Upper limit) กาหนดให้ ทฤษฎบี ทมูลหลกั ของอนิ ทกิ รัลแคลคูลสั แลว้ เป็นฟังกช์ นั ต่อเน่ืองบนช่วง และ เป็นปฏิยานุพนั ธ์ของ นน่ั คือ

Basic Calculus 125 ตวั อยา่ งที่67 จงหาค่าของปริพนั ธ์จากดั เขตต่อไปน้ี 31 1 1 1)  2x 3dx 2) (8x3 6x 2 1)dx 3) (3x  4)3 dx 4)  x(1 x) 2dx 10 2 0 …………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..……………… …………………………………………………………………………………………..…………………… ……………………………………………………………………………………..………………………… ………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..………… …………………………………………………………………………………………………………..…… ตวั อยา่ งท่ี68 จงหาค่าของปริพนั ธ์จากดั เขตต่อไปน้ี 3 3 1 23 1)  5xdx 2)  5x 4dx 3)  5x 4dx 4)  5x 4dx   5x 4dx 31 3 12 …………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..……………… …………………………………………………………………………………………..…………………… ……………………………………………………………………………………..………………………… ………………………………………………………………………………..……………………………… …………………………………………………………………………..…………………………………… ……………………………………………………………………..………………………………………… ………………………………………………………………..……………………………………………… …………………………………………………………..…………………………………………………… ……………………………………………………..………………………………………………………… ………………………………………………..……………………………………………………………… …………………………………………..…………………………………………………………………… ……………………………………..…………………………………………………………………………

Basic Calculus 126 สมบตั บิ างประการของปริพนั ธ์(อนิ ทกิ รัล)จากดั เขต b 1. ถา้ f เป็นฟังกช์ นั ตอ่ เนื่องบนช่วง [a,b] แลว้ f (x)dx หาค่าไดเ้ สมอ a 2. ถา้ f เป็นฟังกช์ นั ตอ่ เนื่องบนช่วง [a,b] และ f (x)  0สาหรับทุกคา่ x ที่อยใู่ นช่วง [a,b] แลว้ b f (x)dx  0 a 3. ถา้ f เป็นฟังกช์ นั ต่อเน่ืองบนช่วง [a,b] และ f (x)  0สาหรับทุกค่า x ท่ีอยใู่ นช่วง [a,b] แลว้ b f (x)dx  0 a ba 4. ถา้ f เป็นฟังกช์ นั ต่อเนื่องบนช่วง [a,b] แลว้ f (x)dx  f (x)dx ab bb 5.  kf (x)dx  k f (x)dx เม่ือ k เป็นค่าคงตวั aa a 6. f (x)dx  0 a bcb 7. f (x)dx  f (x)dx  f (x)dx เม่ือ c[a,b] aac 345 ตวั อยา่ งท่ี69 กาหนดให้ f (x)dx  8 , f (x)dx  5 , f (x)dx  2 จงหา 00 4 55 0 1) f (x)dx 3) f (x)dx 3 5) f (x)dx 0 0 4 4 3 4) f (x)dx 2) f (x)dx 6) f (x)dx 33 5 …………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..……………… …………………………………………………………………………………………..…………………… ……………………………………………………………………………………..………………………… ………………………………………………………………………………..………………………………

Basic Calculus 127 ตวั อยา่ งท่ี70 จงหาค่าของปริพนั ธ์(อินทิกรัล)จากดั เขตตอ่ ไปน้ี 1) 3 f (x )dx เม่ือ f ( x )  2x ; 1 x 2 3 ; 2x3  2)  x dx 2 1 …………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..……………… …………………………………………………………………………………………..…………………… ……………………………………………………………………………………..………………………… ………………………………………………………………………………..……………………………… …………………………………………………………………………..…………………………………… ……………………………………………………………………..………………………………………… ………………………………………………………………..……………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………. *********************** ********************** ***************** แบบฝึ กทกั ษะที่ 2.16 1. จงหาค่าของปริพนั ธ์(อินทิกรัล)จากดั เขตต่อไปน้ี 1.2 1 (x 2  1 )dx x2 1  1.1 (x 4  2x 2 3)dx 1 0 2 ………………………………………………. ……………………………………….………. …………………………………………….…. ………………………………………………. ……………………………………………….. ……………………………………….………. ………………………………………………. …………………………………………….…. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………….………. …………………………………………….…. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ………………………………………………. ………………………………………………. ……………………………………………….

Basic Calculus 128 1 4 1.3 (x3 2)2 dx 1.4 (3 x 1)( x 2)dx 1 1 ……………………………………….………. ………………………………………………. …………………………………………….…. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………….………. ………………………………………………. …………………………………………….…. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………….………. ………………………………………………. …………………………………………….…. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………….………. ………………………………………………. …………………………………………….…. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. 2. จงหาค่า 1 (x)dx เมื่อกาหนดให้ f (x)  x ; x0 x 2 x0 f ; 1 …………………………………………………………………………………………..…………………… ……………………………………………………………………………………..………………………… …………………………………………………………………………………………..…………………… ……………………………………………………………………………………..………………………… 2 3. จงหาค่าของ f (x)dx เมื่อกาหนดให้ f (x)  x 1 เม่ือ xR 2 …………………………………………………………………………………………..…………………… ……………………………………………………………………………………..………………………… …………………………………………………………………………………………..…………………… ……………………………………………………………………………………..………………………… ************ *************** ************* ***************

Basic Calculus 129 2.17 พนื้ ทปี่ ิ ดล้อมด้วยเส้นโค้ง บทนิยาม กาหนดฟังกช์ นั ซ่ึงเป็นฟังกช์ นั ตอ่ เน่ืองบนช่วง [a,b] บริเวณทปี่ ิ ดล้อมด้วยเส้นโค้งของ จาก x = a ถงึ x = b หมายถึง บริเวณท่ี ลอ้ มดว้ ยกราฟของ แกน x เส้นตรง x = a และ เส้นตรง x = b YY y f(x) y f(x) 0 ab X0 X รูป ก รูป ข Y Y y f(x) 0a y f(x) a b X b X0 รูป ค รูป ง ทฤษฎบี ท กาหนดให้ เป็นฟังกช์ นั ต่อเนื่องบนช่วง [a,b] A แทนพ้นื ท่ีของบริเวณที่ปิ ดลอ้ มดว้ ยเส้นโคง้ ของ จาก ถึง 1) ถา้ สาหรับทุก แลว้ 2) ถา้ สาหรับทุก แลว้

Basic Calculus 130 คา่ ของปริพนั ธ์(อินทิกรัล) จากดั เขตที่คานวณได้ ก็คือพ้ืนท่ีระหวา่ งโคง้ f (x) กบั แกน x ต้งั แต่ x  a จนถึง b โดยหากส่วนใดของโค้งน้ันอย่ใู ต้แกนกจ็ ะได้ผลเป็ นค่าตดิ ลบ หากเราตอ้ งการหาพ้ืนท่ีระหวา่ งโคง้ f (x) กบั แกน x ที่แทจ้ ริง จะตอ้ งตรวจสอบวา่ มีช่วงใดของโคง้ ท่ีอยใู่ ต้ แกน x ก่อน เพ่ือแยกชิ้นส่วนในการคานวณ ไม่ใหพ้ ้ืนท่ีบริเวณใดมีคา่ ติดลบ 34 จากกราฟที่สมมติข้ึนน้ี จะคานวณไดค้ า่  f (x)dx  5 และ  f (x)dx  2 และหากคานวณ 13 4 พร้อมกนั จะได้ f (x)dx  3 ซ่ึงถา้ ตอ้ งการหาพ้นื ที่ท่ีแรเงาที่แทจ้ ริงจะตอ้ งคิดจาก 5  2  7 ตาราง 1 หน่วย (คืออินทิเกรตทีละชิ้นส่วน ซ่ึงจะมีบางส่วนท่ีไดค้ ่าติดลบ แต่ใหค้ ิดขนาดพ้ืนท่ีเป็นคา่ บวกเสมอ) ตวั อยา่ งท่ี71 จงหาพ้ืนที่ปิ ดลอ้ มดว้ ยเส้นโคง้ ตอ่ ไปน้ีและแกน X 1) y  f ( x )  1 x 2 จาก x  1 และ x  2 2 ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………

Basic Calculus 131 2) y  f ( x )  x 3  6x 2  8x จาก x  0 และ x  4 ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ตวั อยา่ งที่72 จงหาพ้นื ที่ปิ ดลอ้ มดว้ ยโคง้ y  x2  3x  2 จาก x  0 ถึง x  2 เฉพาะส่วนที่อยู่ เหนือแกน x ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………

Basic Calculus 132 บทนิยาม กาหนด และ เป็นฟังกช์ นั ต่อเน่ืองบนช่วง บริเวณที่ปิ ดลอ้ มดว้ ยเส้นโคง้ และ จาก และ หมายถึง บริเวณท่ีปิ ดลอ้ มดว้ ยเส้นโคง้ ของ เส้นโคง้ ของ เส้นตรง และเส้นตรง Y y f(x) y  g( x ) 0a b X รูป จ ทฤษฎบี ท กาหนด และ เป็นฟังกช์ นั ต่อเน่ืองบนช่วง และ สาหรับทุก ถา้ แทนพ้ืนท่ีของบริเวณที่ ปิ ดลอ้ มดว้ ยเส้นโคง้ และ จาก ถึง แลว้ ตวั อยา่ งที่73 จงหาพ้นื ท่ีของบริเวณท่ีปิ ดลอ้ มดว้ ยเส้นโคง้ y  x 2 และ y  x ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

Basic Calculus 133 ตวั อยา่ งท่ี74 จงหาพ้นื ท่ีของรูปสามเหล่ียมที่มีดา้ นท้งั สามอยบู่ นเส้นตรงที่มีสมการ x  y  6  0 2x  y  2  0 และ 3x  y  4  0 ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………

Basic Calculus 134 แบบฝึ กทกั ษะที่ 2.17 1. จงหาพ้นื ท่ีปิ ดลอ้ มดว้ ยเส้นโคง้ f จาก x  a ถึง x  b เมื่อกาหนด f , a และ b ดงั น้ี 1.1 f ( x )  x 2  2x ; a  2, b  1 ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… 1.2 f ( x )  4x  x 2 ; a  0, b  4 ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… 2. จงหาพ้นื ที่ของบริเวณที่ปิ ดลอ้ มดว้ ยเส้นโคง้ f และ แกน x ในขอ้ ต่อไปน้ี 2.1 f ( x )  6x  x 2 ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………

Basic Calculus 135 2.2 f ( x )  x 3  5x 2  4x ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… 3. จงหาพ้นื ที่ของบริเวณที่ปิ ดลอ้ มดว้ ยเส้นโคง้ ท่ีกาหนดให้ 3.1 y  x 2  1 และ y  5 ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… 3.2 y  x 2  x  4 และ y  x  1 ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………

Basic Calculus 136 4. จงหาพ้ืนท่ีของรูปสามเหล่ียมซ่ึงมีดา้ นท้งั สามอยบู่ นเส้นตรง x  y  1  0 , x  2y  1  0 และ 2x  y  4  0 ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………

Basic Calculus 137 ตวั อย่างข้อสอบ Entrance 1. จุดบนเส้นโคง้ y  x 2  3x  4 ที่มีความชนั ของเส้นสมั ผสั เทา่ กบั 1 คือ (' 21) ก. ( 3 ,0) ข. (2,0) ค. ( 3 , 25 ) ง. (2,6) จ. ไม่มีคาตอบ 2 24 1 2. ลิมิตของอนั ดบั an  (1  n 1 )( 3  n n n 3) คือ (' 22) 2 5n3 n4 ก. 1 ข. 3 ค.  1 ง. 0 จ. หาไม่ได้ 55 3. อนุภาคชิ้นหน่ึงเคล่ือนท่ีจากจุด ๆ หน่ึง เมื่อเวลาผา่ นไป t วนิ าที อนุภาคมีความเร็ว v  4t 3  2t  1 เมตรตอ่ วนิ าที ขณะท่ีเริ่มตน้ จบั เวลา อนุภาคเคล่ือนที่ไดร้ ะยะทาง 4 เมตร จงหา ระยะทางท่ีอนุภาคเคลื่อนที่ในวนิ าทีท่ี 3 (' 23) ก. 8.3 เมตร ข. 87 เมตร ค. 91 เมตร ง. 97 เมตร จ. ไม่มีคาตอบ 4. ถา้ T เป็ นจุดอยบู่ นเส้นโคง้ y  2x 2  1 และเส้นสัมผสั ท่ีจุด T ขนานกบั เส้นตรง y  4x  0 จงหาสมการเส้นตรงซ่ึงผา่ นจุด T และต้งั ฉากกบั เส้นสมั ผสั (' 23) ก. 4y  x  11 ข. 4y  x  13 ค. y  4x  7 ง. y  4x  1 จ. ไม่มีคาตอบ 5. ให้ ln x 0 จงหาคา่ ของ lim xn 0 เมื่อ n เป็ นคา่ คงท่ี (' 24) lim x  x x  e x ก. 1 ข. n ค. 0 ง. 1 จ. ไมม่ ีลิมิต n 6. จงหาอนุพนั ธ์ของ ln x 3e x 2 ถา้ ใหอ้ นุพนั ธ์ของ ln x เป็ น 1 (' 24) x ก. 3  x ข. 1  x ค. 1 ง. 3x ln x  3x จ. 3  x 2 2x 3 x 3e x 2 2 2x 2x 2e 2 7. กาหนด f (x )  2x 3  2x 3  3x 2  1 จงหาความชนั ของเส้นสมั ผสั เส้นโคง้ ท่ีจุด (1,2) และ x2 สมการของเส้นตรงที่ต้งั ฉากกบั เส้นสมั ผสั น้นั ที่จุด (1,2) (' 25) ก. ความชนั 1 ,สมการเป็ น y  x  3 ข. ความชนั -1 , สมการเป็ น y  x  1 ค. ความชนั -5 , สมการเป็ น y  1 x  9 ง. ความชนั -1 , สมการเป็ น y  x  1 55 จ. ไมม่ ีขอ้ ใดถูก

Basic Calculus 138 8. ให้ f (x ) เป็ นอนุพนั ธ์ของ f (x ) ,f (1) ในขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีต่างจาก f (1) ในขอ้ อื่น f (0)  0 (' 27) ก. f (x )  (4x 2  1)( x  1) ข. f (x )  4  5 ค. f (x )  4 3 x x ง. f (x )  4x (x 2  1) 9. กาหนดฟังกช์ นั f (x )  x  1 ขอ้ ความใดเป็ นจริง (' 28) x 1) f (x ) มีค่าสูงสุด 2) f (x ) มีคา่ ต่าสุด 3) f (x ) มีท้งั คา่ สูงสุดและต่าสุด 4) f (x ) ไม่มีคา่ สูงสุดและไม่มีคา่ ต่าสุด 10. ในการโยนลูกบอลตรงข้ึนไปในอากาศจากยอดตึกสูง 34.3 เมตร มีสมการของการเคล่ือนท่ีของลูก บอลเป็ น S  29.4t  4.9t 2 เม่ือ S เป็ นระยะทางมีหน่วยเป็ นเมตร และ t เป็ นเวลามีหน่วย เป็นวนิ าที ขอ้ ใดไมจ่ ริง (' 28) 1) อตั ราการเปลี่ยนแปลงเฉล่ียของ S เทียบกบั t ในช่วงเวลา t  2 ถึง t  3 มีคา่ นอ้ ยกวา่ อตั ราการเปลี่ยนแปลงของ S เทียบกบั t ที่ขณะเวลา t  2 2) ลูกบอลข้ึนไปไดส้ ูงสุด 44.1 เมตรจากพ้นื ดิน 3) ลูกบอลจะตกถึงยอดตึกในเวลา 6 วนิ าที 4) ขณะท่ีตกถึงยอดตึก ลูกบอลมีอตั ราเร็ว 29.4 เมตรต่อวนิ าที 11. ความชนั ของเส้นสัมผสั กบั เส้นโคง้ y  f (x ) ณ จุดใด ๆ เท่ากบั 3x 2  2x ถา้ เส้นโคง้ น้ีผา่ นจุด (0,2) แลว้ ขอ้ ใดต่อไปน้ีผิด (' 29) 1) ขอ้ มลู ที่โจทยก์ าหนดใหไ้ ม่เพยี งพอที่จะหาสมการของเส้นโคง้ ได้ 2) คา่ สูงสุดของ f (x )  2 3) ค่าต่าสุดของ f (x )  0 4) คา่ ต่าสุดของ f (x ) นอ้ ยกวา่ ค่าสูงสุดของ f (x ) 12. การผลิตสินคา้ ชนิดหน่ึงของบริษทั แห่งหน่ึงเสียคา่ ใชจ้ ่ายหน่วยละ 0.2x  4  400 บาท รัฐบาล x เกบ็ ภาษีอีกหน่วยละ 22 บาท บริษทั ขายหน่วยละ 400  2x บาท โดยท่ี x หมายถึงจานวนหน่วย ที่ผลิตตอ่ เดือน ถา้ จะใหไ้ ดก้ าไรตอ่ เดือนมากท่ีสุดบริษทั จะตอ้ งผลิตสินคา้ น้ีเป็นจานวนเท่าใด (' 29) 1) 85 หน่วย / เดือน 2) 90 หน่วย / เดือน 3) 95 หน่วย / เดือน 4) 100 หน่วย / เดือน 13. กาหนดให้ v (t )  t 2  4t  10 เป็ นความเร็วของการเคลื่อนที่ของวตั ถุ ณ เวลา t และมีหน่วย เป็นเมตร / วนิ าที ขณะที่ t  0 วตั ถุเคลื่อนที่ไดร้ ะยะทาง 4 เมตร เม่ือความเร็วของวตั ถุเท่ากบั 0 3 เมตร / วนิ าที 2 ความเร็วและระยะทางมีค่าเท่ากบั (' 29) 1) 6 เมตร / วนิ าที , 16 เมตร 2) 6 เมตร / วนิ าที , 8 เมตร 3) 16 เมตร / วนิ าที , 6 เมตร 4) 6 เมตร / วนิ าที , 44 เมตร 3

Basic Calculus 139 14. ให้ m 1 และ m 2 เป็ นความชนั ของเส้นสัมผสั ของกราฟ y  2x 2  8x  5 ณ จุดที่กราฟน้ีตดั กบั เส้นตรง y  9x  6 m 1 และ m 2 จะเทา่ กบั ขอ้ ใด (' 30) 1) -12 ,-6 2) -10 , -4 3) -10 , -7 4) -9 , -6 15. กาหนดให้ f (x )  (3x  2)2  4 แลว้ f (x 2 )  f (1) มีคา่ เท่ากบั ขอ้ ใด (' 31) x 1) 6x 2  2  4 2) 6x 2  4  2 x3 x3 3) 18x 2  14  4 4) 18x 2  16  4 x3 x3 16. กาหนดให้ f (x )   1 อตั ราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ f ในช่วง x ถึง x  h มีค่า เทา่ กบั ขอ้ x ใดต่อไปน้ี (' 31) 1)  2x  h 2) 1 3) 2x  h 4) 1 hx (x  h ) x (h  x ) hx (x  h ) x2 17. กาหนดให้ 4 1 ขอ้ ใดต่อไปน้ีเป็ นจริง (' 32) f (x )  6x 3  3x 3 1) f มีคา่ ต่าสุดสมั พทั ธ์เทา่ กบั 0 เม่ือ x  0 2) f มีค่าสูงสุดสมั พทั ธ์เท่ากบั 0 เม่ือ x  0 3) f มีคา่ ต่าสุดสมั พทั ธ์เท่ากบั  9 เม่ือ x   1 88 4) f มีคา่ สูงสุดสัมพทั ธ์เท่ากบั  9 เมื่อ x   1 88 18. กาหนดให้ a , n เป็ นค่าคงตวั โดยที่ a  0 และ n เป็ นจานวนเตม็ บวกคู่ ถา้ f (x )  ax n และ f (x ) เป็ นคาตอบของสมการเชิงอนุพนั ธ์ f (x )  f (x ) แลว้ f (4) มีค่าเทา่ ใด (' 32) 1) 1 2) 2 3) 4 4) 8 19. ถา้ f : R  R เป็ นฟังกช์ นั ท่ี f (x )  3  2x สาหรับทุกจานวนจริง x และมีคา่ สูงสุดของ f เทา่ กบั 3 ท่ีจุด x  1 แลว้ f (1) คือขอ้ ใด (' 33) 1) 23 2) 23 3) 0 4)  3 36 20. บริษทั หน่ึงขายสินคา้ ได้ 100 ชิ้น ไดก้ าไร 6,800 บาท โดยมีอตั ราการเปล่ียนแปลงของกาไรเทียบกบั จานวนสินคา้ ท่ีขายไดข้ องบริษทั คือ 78  0.08x เม่ือ x คือจานวนสินคา้ ที่ขายได้ ในการผลิตสินคา้ น้ีบริษทั จะมีโอกาสทากาไรมากที่สุดเท่ากบั ขอ้ ใด (' 33) 1) 17,421 บาท 2) 27,522 บาท 3) 37,425 บาท 4) 47,427 บาท

Basic Calculus 140 21. ถา้ อตั ราการเปล่ียนแปลงของความชนั ของเส้นโคง้ y  f (x ) ณ จุดใด ๆ มีค่าเป็ น x  1 และเส้น โคง้ น้ีมีความชนั เป็น 1 ณ จุด (1,0) แลว้ สมการของเส้นโคง้ น้ีคือขอ้ ใด (' 34) 1) y  x 2  x  1 2) y  x 2  x  3 22 22 3) y  x 3  x 2  x  1 4) y  x 3  x 2  3x  13 6 2 26 2 26 22. กาหนดให้ y  f (x ) ถา้ อตั ราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกบั x เท่ากบั kx 3  10x  6 เม่ือ x มีคา่ ใด ๆ และ k เป็ นคา่ คงตวั และ f (0)  1, f (1)  0 แลว้ f (1) มีคา่ เท่ากบั ขอ้ ใด (' 35) 1) 6 2) -9 3) 10 4) -13 23. ให้ f (x )  x  x แลว้ เซตของจานวนจริง x ซ่ึงสอดคลอ้ งกบั f (x )  3 คือเซตในขอ้ ใด (' 36) 1) (0, 1 ] 2) [0, 1 ] 3) (0, 1 ] 4) [0, 1 ] 6 6 4 4 24. กาหนดให้ f (x )  x 3  2x 2  x  2 ถา้ ตอ้ งการให้ f เป็ นฟังกช์ นั ต่อเนื่องบนเซตของจานวน x 2 1 จริง แลว้ จะตอ้ งนิยามเพมิ่ ตามขอ้ ใด (' 37) 1) f (1)  1 , f (1)  1 2) f (1)  3 , f (1)  1 3) f (1)  1 , f (1)  3 4) f (1)  3, f (1)  3 25. ให้ f มีกราฟเป็นรูปพาราโบลาท่ีมีจุดยอดท่ีจุด (0,1) และเส้นตรง y  5 เป็นเส้นไดเรกตริกซ์ 4 พ้ืนท่ีท่ีปิ ดลอ้ มดว้ ยเส้นโคง้ y  f (x ) จาก x  1 ถึง x  1 คือขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี (' 37) 1) 4 2) 8 3) 2 4) 4 33 26. ถา้ ความชนั ของเส้นโคง้ ที่จุด (x , y ) ใด ๆ เป็น 2  2x และพ้ืนท่ีที่ปิ ดลอ้ มดว้ ยเส้นโคง้ น้ี จากจุด x  0 ถึง x  3 เทา่ กบั 9 แลว้ เส้นโคง้ ผา่ นจุดในขอ้ ใดต่อไปน้ี (' 37) 1) (3,0) 2) (1,0) 3) (0,3) 4) (0,1) 27. กาหนดให้ f (x )  3x  1 และ g (x )  3x 2  1 อนุพนั ธ์ของ [f (x )  g (x )] ท่ี 2x 1 x  1 เทา่ กบั ขอ้ ใด (' 38) 1)  7 2)  19 3) 13 4) 21 2 4 2 4 3 28. สินคา้ ชนิดหน่ึงขายในราคาชิ้นละ 24 บาท ตน้ ทุนในการผลิต x ชิ้นเท่ากบั 16  6x  0.2x 2 บาท ถา้ N เป็นจานวนชิ้นของสินคา้ ท่ีผลิตเพื่อใหไ้ ดก้ าไรสูงสุดแลว้ ขอ้ ใดต่อไปน้ีเป็ นจริง (' 38) 1) 1  N  2000 2) 2000  N  4000 3) 4000  N  6000 4) 6000  N  8000

Basic Calculus 141 29. ค่าของ lim (x  2)2 เท่ากบั ขอ้ ใด (' 39) 3) 1 4) หาคา่ ไมไ่ ด้ x 2 x  2 1) -1 2) 0 30. ถา้ lim f (x  h )  f (x )  3x  2 ทุก x  R และ f (0)   1 แลว้ จุดในขอ้ ใดต่อไปน้ีอยู่ h 0 h 2 บนกราฟของ f (' 39) 1) (1,0) 2) (1,0) 3) ( 2  7 ,0) 4) ( 2  7 ,0) 3 3 31. กาหนดให้ f (x )  x 2 (x 2  16) และ A  x  R f (x )  0 ดงั น้นั A คือเซตในขอ้ ใด (' 39) 3 1) (,2)  (0,2) 2) (2,0)  (2, ) 3) (,2) 4) (2, ) 32. กาหนดฟังกช์ นั y  f (x ) มีกราฟเป็ นเส้นตรงตดั แกน x ที่จุด (1,0) และผา่ นจุด (3,6) คา่ ของ 3 เท่ากบั ขอ้ ใด (' 40)  f (x )dx 1 2) 12 3) 15 4) 18 1) 9  4x 2; x0 33. กาหนดให้  x ขอ้ ใดเป็นจริง (' 40) f (x)   1 ; x  0 1) lim f (x )  1 2) lim f (x )  1 x 0 4 x 0 3) lim f (x) และ lim f (x) หาค่าไมไ่ ด้ 4) lim f (x) และ lim f (x) หาค่า แต่ไมเ่ ทา่ กนั x0 x0 x0 x0 34. กาหนด f (x )  ax 3  bx 2  cx  d โดยมี x  1 เป็ นตวั ประกอบหน่ึง และ f (0)  0, f (0)  2, f (0)  f (0)  1 ดงั น้นั f (2) มีคา่ เท่ากบั ขอ้ ใด (' 40) 1) -1 2) 0 3) 1 4) 2 35. ถา้ เส้นโคง้ y  f (x ) มีอตั ราการเปลี่ยนแปลงของความชนั ที่จุด (x , y ) ใด ๆ บนเส้นโคง้ เป็น 2x  1 และเส้นสมั ผสั เส้นโคง้ ที่จุด (1,2) ต้งั ฉากกบั เส้นตรง x  2y  1  0 แลว้ ความชนั ของ เส้นโคง้ น้ีที่จุด x  0 เท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี (' 40) 1) -2 2) 0 3) 1 4) 2 36. ค่าของ 2 x  1 1 2 เท่ากบั ขอ้ ใด (' 40) dx 1 x2   (4  x ) dx 0 1) 10 2) 14 3) 20 4) 24

Basic Calculus 142 1 ;0 x 1 37. กาหนดให้ f (x)  13x 1 ; x  1 พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี  2  5 x ; x 1  1  x ก. lim f (x )  lim f (x ) ข. f เป็ นฟังกช์ นั ต่อเนื่องที่ x  1 x 1 x x  ขอ้ ใดต่อไปน้ีถูก (1/41) 1) ก ถูก และ ข ผดิ 2) ก ถูก และ ข ผดิ 3) ก ผดิ และ ข ถูก 4) ก ผดิ และ ข ผดิ 38. พ้นื ที่ปิ ดลอ้ มดว้ ยเส้นโคง้ y  x 2  3x  2 จาก x  0 ถึง x  2 เฉพาะส่วนท่ีอยเู่ หนือแกน x เท่ากบั ขอ้ ใด (1/41) 1) 3 ตารางหน่วย 2) 1 ตารางหน่วย 3) 2 ตารางหน่วย 4) 5 ตารางหน่วย 2 636 39. กาหนดให้ f เป็ นฟังกช์ นั ซ่ึง f (2)  1, f (1)  3 และ f (x )  3 ทุกคา่ x แลว้ f (0) มี ค่าเท่ากบั ขอ้ ใด (1/41) 1) 5 2) 6 3) 12 4) 15 40. ให้ f เป็ นฟังกช์ นั ที่หาอนุพนั ธ์ได้ และ f (3)  2, f (3)  5 ถา้ g (x )  f (x ) และ x 2 1 g (3) มีคา่ เท่าใด (1/42)  3 ; x  1  2  2x2 41. กาหนดให้ f (x)    x 1 ; 1 x 1 พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี  1  x  1 x ; x 1 ก. f ตอ่ เน่ืองท่ีจุด x  1 ข. f ต่อเน่ืองที่จุด x  1 ขอ้ ใดต่อไปน้ีเป็ นจริง (2/42) 1) ขอ้ ก. ถูก และขอ้ ข. ถูก 2) ขอ้ ก. ถูก และขอ้ ข. ผดิ 2) ขอ้ ก. ผดิ และขอ้ ข. ถกู 4) ขอ้ ก. ผดิ และขอ้ ข. ผดิ 42. กาหนดให้ a , b , c , d เป็ นจานวนจริง และ f (x )  ax 3  bx 2  cx  d โดยท่ี f มีคา่ สูงสุด สัมพทั ธ์เป็ น 2 ที่ x  1 และ f (1)  4 ถา้ f (0)  1 แลว้ f มีคา่ ต่าสุดสัมพทั ธ์ที่จุดในขอ้ ใด ต่อไปน้ี (1/42) 1) x  3 2) x   1 3) x  1 4) x  3 3 3