lession2 basic calculas

 แคลคูลสั เบอื้ งต้น 2.1 ลมิ ติ ของฟังก์ชัน 2.1.1 ลมิ ติ ด้านเดียว พิจารณากราฟของฟังกช์ นั f ซ่ึงนิยามดงั น้ี f (x )  x 1 ; x 1 x 2; x 1 Y X 1) เมื่อ x  1 และ x มีค่าเขา้ ใกล้ 1 แลว้ ค่าของ f (x ) จะมีค่าเขา้ ใกลจ้ านวนจริง…………. 2) เม่ือ x  1 และ x มีค่าเขา้ ใกล้ 1 แลว้ ค่าของ f (x ) จะมีค่าเขา้ ใกลจ้ านวนจริง…………. บทนิยาม กาหนดฟังกช์ นั และ เป็นจานวนจริง จะกล่าววา่ 1. ลิมิตของ ในขณะที่ เขา้ ใกล้ ทางซ้ายมือ หาค่าได้ ก็ต่อเม่ือมีจานวน จริง ที่ทาใหค้ า่ ของ เขา้ ใกล้ ในขณะที่ เขา้ ใกล้ ทางซา้ ยมอื ซ่ึง เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ 2. ลิมิตของ ในขณะที่ เขา้ ใกล้ ทางขวามือ หาคา่ ได้ ก็ต่อเม่ือมีจานวน จริง ที่ทาใหค้ า่ ของ เขา้ ใกล้ ในขณะท่ี เขา้ ใกล้ ทางขวามือ ซ่ึง เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์

Basic Calculus 44 ตวั อยา่ งท่ี1 กาหนดฟังกช์ นั g (x ) ซ่ึงมีกราฟดงั รูป จงหา 1) lim g(x) =…………………. 2) lim g (x ) =……………………… x2 x 2  3) lim g (x ) =…………………… 4) lim g (x ) =……………………….. x 2  x 2  Y -2 -1 0 1 2 X -1  ตวั อยา่ งท่ี2 กาหนดฟังกช์ นั f ซ่ึงนิยามวา่ f (x )  x 2 จงหา x 1) lim f (x ) 2) lim f (x ) x 0  x 0  Y X ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………

Basic Calculus 45 2.1.2 ลมิ ิตสองด้าน บทนิยาม ถา้ กาหนดฟังกช์ นั f และ a เป็นจานวนจริง แลว้ ลิมิตของ f (x) ในขณะที่ x เขา้ ใกล้ a มีคา่ เท่ากบั L กต็ ่อเม่ือ ค่าของ f (x) มีค่า เขา้ ใกล้ L ในขณะท่ี x เขา้ ใกล้ a ทางซา้ ยมือ และทางขวามือของ a ลิมิตของ f (x) ในขณะที่ x เขา้ ใกล้ a มีค่าเท่ากบั L เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ lim f (x)  L xa นน่ั คือ lim f (x)  L กต็ อ่ เมื่อ lim f (x)  L และ lim f (x)  L xa xa xa   x 1 ตวั อยา่ งที่3 กาหนดฟังกช์ นั ซ่ึงนิยามวา่  ;x 1 จงหา f f (x )   x 1 0 ; x  1 1) lim f (x ) 2) lim f (x ) 3) lim f (x ) x 1 x 1 x 1 Y 0X ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………….

Basic Calculus 46 ตวั อยา่ งที่4 กาหนดฟังกช์ นั f ซ่ึงนิยามวา่ f (x )  x 2  9 จงเขียนกราฟของ f พร้อมท้งั หา 1) lim f (x ) 2) lim f (x ) 3) lim f (x ) x 3 x 3 x 0 Y 0X ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… แบบฝึ กทักษะที่ 2.1 1. จากกราฟของฟังกช์ นั f ท่ีกาหนดให้ จงหา 1.1 lim f (x ) =…....…. Y x 1 1.2 lim f (x) =……..…. x1 1.3 lim f (x) =……..…… x1 -1 0 1 1 X 1.4 lim f (x) =…………. 2 x1   1.5 lim f (x) =………… x1  -1  1.6 lim f (x) =………….. x1 3  2 

Basic Calculus 47 2. จงหาคา่ ลิมิต (ถา้ มี) ในขอ้ ต่อไปน้ี โดยอาศยั กราฟ 2.3 lim 3x  2 x 0 2.1 lim (2  x) Y x5 Y XX 2.2 lim 1 x 2.4 lim x 2  4 x2 Y x 2 x  2 Y X X 3. กาหนดฟังกช์ นั g ซ่ึงนิยามวา่ Y X  1  x; x  1  2  g(x)  (1 ) x ;1  x  1 2 x  1 ; x  1 2 จงเขียนกราฟของ g พร้อมท้งั หา 3.2 lim g(x) =……….. 3.3 lim g(x) =…………… x1 x1 3.1 lim g(x)=……… x1 3.5 lim g(x) =……….. 3.6 lim g(x) =…………… x0 x0 3.4 lim g(x) =………. x0 3.8 lim g(x) =………… 3.9 lim g(x) =……………. x1 x1 3.7 lim g(x) =………. x1

Basic Calculus 48 2.2 ทฤษฎบี ทเกยี่ วกบั ลมิ ติ กาหนด a ,c เป็นจานวนจริง m ,n เป็นจานวนเตม็ บวก f , g เป็ นฟังกช์ นั ที่มีโดเมนและเรนจเ์ ป็ น สบั เซตของเซตของจานวนจริง 1. lim c  c xa 2. lim x  a x a 3. lim xn  an xa 4. lim cf(x)  c lim f (x) xa xa 5. lim cxn  can xa 6. lim [f (x)  g(x)] lim f (x)  lim g(x) xa xa xa 7. lim [f (x)  g(x)] lim f(x)  lim g(x) xa xa xa n cn1x n1 cnan c n1a n1 8. lim (c n x   ...  c1x  c0 )    ...  c1a  c0 xa 9. lim [f (x)g(x)] lim f (x) lim g(x) xa xa xa lim f (x) 10. lim [ f(x) ]  เมื่อ lim g (x )  0 g(x) xa x a xa lim g(x) xa 11. lim [f (x)]n [ lim f (x)]n xa xa 12. lim n f (x)  n lim f (x) xa xa mm 13. lim [f (x)] n  [ lim f (x)] n xa xa 14. lim f (g(x))  f ( lim g(x)) xa xa 15. lim log c [g(x)]  log c [ lim g(x)] xa lim g(x) xa 16. lim cg(x)  cxa xa 17. lim f (x)  lim f (x) xa xa 18. ถา้ f(x) sin x หรือ cosx หรือ tanx หรือ cosecxหรือ secx หรือ cot x แลว้ lim f (g(x))  f ( lim g(x)) xa xa

Basic Calculus 49 ข้อสังเกต ระวงั สบั สนคาวา่ ไม่มีลิมิต กบั หาคา่ ไมไ่ ด้ ไมม่ ีลิมิต (หรือลิมิตไมม่ ีค่า) แปลวา่ ไมไ่ ดเ้ ขา้ ใกลค้ า่ ใดเป็นพเิ ศษ เช่น ลิมิตซา้ ยกบั ลิมิตขวา ไมเ่ ทา่ กนั แต่ หาคา่ ไมไ่ ด้ แปลวา่ มีลิมิตเป็นอนนั ต์ ลิมิตในรูปแบบยงั ไม่กำหนด จากตวั อยา่ ง limf (x) เมือ่ f (x)  x2  9 x3 x  3 0 ในตวั อยา่ งน้ ี จะพบวา่ ไมส่ ามารถหาลิมิตดว้ ยทฤษฎีบทไดใ้ นทนั ที เพราะจะทาใหผ้ ลเป็ น ซ่ึงเรียกวา่ 0 รปู แบบยงั ไมก่ าหนด (indeterminate form) คือยงั สรุปไมไ่ ดว้ า่ ค่าลิมติ เป็ นเท่าใด วธิ ีคิด lim x2  9  lim x  3x  3  lim(x  3)  6 x3 x  3 x3 x 3 x3 สาเหตุท่ีเรากาจดั x 3 ออกไปไดเ้ พราะการหาลิมติ น้ันไมไ่ ดค้ านึงถึงตาแหน่งที่ x  3 อยแู่ ลว้ จะเห็น วา่ ตวั อยา่ งน้ ีแม้ f (3) จะหาคา่ ไมไ่ ด้ แต่ lim ก็ยงั หาค่าไดเ้ ท่ากบั 6 (ดจู ากกราฟ) x3 สรุป ถา้ lim f ( x )  0 และ lim g( x )  0 แลว้ lim  f( x )  จะอยใู่ นรปู 0 ดงั น้ันการหาลิมิต  g( x )  0 xa xa xa   0 ของฟังกช์ นั ประเภทน้ ีตอ้ งจดั รปู ฟังกช์ นั ไมใ่ หอ้ ยใู่ นรปู แบบ โดยใชเ้ ทคนิคต่อไปน้ ี 0 1. แยกตวั ประกอบ 2. คณู ดว้ ยเทอมท่ีเป็ นสงั ยุค นอกจากน้ ียงั สามารถใช้ กฎของโลปิตาล ในการหาลิมิตของฟังกช์ นั ประเภทน้ ี

Basic Calculus 50 ตวั อยา่ งที่5 จงหาค่าของ 1) lim(5x 2  2x  1) 2) lim (x 3  2x  5)( x 2  3x ) x 3 x 1 3) lim x 2  4 4) lim 3 x 2  2x  8 x 2 x 2 x 2 x 2  x  6 5) lim (4x 2  4x 2 6) lim x  16  4 x 1  9) 3 x 0 x 2 7) lim log( x 2  3x ) 8) lim ( 1 ) x 2 3x 5 x 4 2x 1 9) lim log( x 2  3x ) x 4 10) lim sin 2x   11) lim cos ec (x   ) x  4 x  12) lim tan 4x   x  3    2x 2 13) lim  x2 4  14) lim  x2  2x  3   x2  x6   x2  x2   x 1   4x  3  ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………….……… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

Basic Calculus 51 แบบฝึ กทกั ษะที่ 2.2 1. จงใชค้ ุณสมบตั ิของลิมิตของฟังกช์ นั หาค่าลิมิตของฟังกช์ นั ในขอ้ ต่อไปน้ี 1.1 lim(3x2  7x 12) 1.7 lim x2  x  2 x0 x1 x 2  4x  3 …………………………………………. ……………………………………………… …………………………………………. ……………………………………………… 1.2 lim (x 1)7 1 1 x3 (2x  5)4 1.8 lim 2  x 2 …………………………………………. x0 x …………………………………………. ……………………………………………… ……………………………………………… 1.3 lim x  8 1.9 xlim2 x2  x x 2  x2  x4 25  x 2 ……………………………………………… …………………………………………. …………………………………………. ……………………………………………… 1.4 lim 3 3x3  4x  5 1.10 lim sinx x2 x1 2 …………………………………………. …………………………………………. ……………………………………………… ……………………………………………… 1.5 lim x 1 1.11 lim sin(cos x) x1 x 2  x  2 x 2 …………………………………………. ……………………………………………… …………………………………………. ……………………………………………… 1.6 x2 9 1.12 lim sin 2 x lim x3 x  3 x0 1  cos x …………………………………………. ……………………………………………… …………………………………………. ………………………………………………

Basic Calculus 52 1.13 lim ( x 2 3 1.17 lim tan2 x x3 1) 2 x 1  sec x …………………………………………. ……………………………………………… …………………………………………. ……………………………………………… 2 1.18 lim 52xx5 x1 1.14 lim x 3 ……………………………………………… x8 x  2x ……………………………………………… …………………………………………. …………………………………………. 1.15 lim x  4  2 1.19 lim log 2x2  3x  8 x2 x0 x ……………………………………………… …………………………………………. ……………………………………………… …………………………………………. 1.16 lim 3  x 1.20 lim ln 2x  e x9 9  x xe 3 …………………………………………. ……………………………………………… …………………………………………. ……………………………………………… 2. จงหา lim f (x) เม่ือกาหนดให้ f (x )   1  4x ; x  2 x2  9; x  2 ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. 3. จงหา lim f (x) เมื่อกาหนดให้ f (x)  x3; x 2  2x; x x2 4   2 ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………….

Basic Calculus 53 4. จงหาคา่ lim f (x), lim f (x) และ limf (x) เม่ือ f (x)  x  22 x2 x2 x2 x2 ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………….  x2, x 1 f (x 1)  f (x)  x 1,  x  2  5. 0  x 1 จงหาค่า lim f (x2 )  lim x0 x0 x 1   0, ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………….

Basic Calculus 54  x 1  , 6. จงหาค่า lim f (x)  lim f (x) เม่ือ f (x)   1 x x 1 x 1 x1 x 1  1 x 1  x , ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. 7. จงหาคา่ ของ 7.1)  x3 1 7.2)  3 x 11 x2 x  2  lim  1  lim    x 1 x2 7.3) lim  1 x 3 7.4) lim  4 x 1  2  3 x   3 x  1  x 8 x 1 ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………….

Basic Calculus 55 2.3 ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 2.3.1 ฟังก์ชันต่อเน่ือง พิจารณากราฟของฟังกช์ นั f (x )  1 x Y X 1) f (0) หาค่าไดห้ รือไม่………………………………………. 2) lim f (x ) หาค่าไดห้ รือไม่………………………………….. x 0 3) f (0) และ lim f (x ) เท่ากนั หรือไม่…………………………. x 0 4) f (1) หาคา่ ไดห้ รือไม่……………………………………….. 5) limf (x ) หาค่าไดห้ รือไม่…………………………………… x 1 6) f (1) และ limf (x ) เทา่ กนั หรือไม่…………………………… x 1 บทนิยาม กาหนด f เป็ นฟังก์ชันทม่ี ีโดเมนและเรนจ์เป็ นสับเซตของจานวนจริง และ a R จะกล่าวว่า f เป็ นฟังก์ชันต่อเน่ืองท่ี x  a (หรือf ต่อเนื่องท่ี x  a ) กต็ ่อเมื่อ 1) f (a ) หาค่าได้ 2) lim f (x ) หาค่าได้ x a 3) f (a ) = lim f (x ) x a

Basic Calculus 56 x 2 1 ;x 1  ตวั อยา่ งท่ี6 กาหนดฟังกช์ นั   x 3 1 จงพจิ ารณาวา่ f เป็นฟังกช์ นั ต่อเน่ืองท่ี f (x ) 3 2 ;x 1 x  1 หรือไม่ ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………….…… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ตวั อยา่ งท่ี7 กาหนดฟังกช์ นั f (x )  2x 2  x 1 จงแสดงวา่ f เป็ นฟังกช์ นั ต่อเนื่องท่ี x  c เมื่อ c เป็นจานวนจริงใด ๆ ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………….……………………………… 1 ;x 0 ตวั อยา่ งที่8 กาหนดฟังกช์ นั  จงแสดงวา่ g (x )  x 0 ; x  0 1) g ไมต่ อ่ เน่ืองที่ x  0 2) g ต่อเนื่องที่ x  c เมื่อc R และc  0 ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………….…… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………….…… ……………………………………………………………………………………………………………

Basic Calculus 57 ตวั อยา่ งที่9 กาหนดฟังกช์ นั f (x )  x 2  3x  2 จงหาจานวนจริง a ท่ีทาให้ f เป็ นฟังกช์ นั x 2  5x  6 ต่อเนื่องท่ี x  a ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………….………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………….……………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบี ท 1. ฟังกช์ นั พหุนาม f (x )  an x n  an 1x n 1  ...  a1x  a0 เป็ นฟังกช์ นั ต่อเนื่องที่ x  c เมื่อ c เป็นจานวนจริงใด ๆ 2. ฟังกช์ นั ตรรกยะ (retional function) r (x )  p (x ) เป็ นฟังกช์ นั ตอ่ เน่ืองที่ x  a เมื่อ a เป็ นจานวน q (x ) จริงที่ทาให้ q (x )  0 3. ถา้ f , g เป็ นฟังกช์ นั ตอ่ เน่ืองท่ี x  a และ c เป็นจานวนจริงใด ๆ แลว้ 3.1 f  g เป็ นฟังกช์ นั ต่อเนื่องท่ี x  a 3.2 f  g เป็ นฟังกช์ นั ต่อเน่ืองท่ี x  a 3.3 f เป็ นฟังกช์ นั ต่อเนื่องท่ี x  a เม่ือ g (a)  0 g 3.4 cf เป็ นฟังกช์ นั ต่อเน่ืองที่ x  a 4. (ความต่อเน่ืองของฟังกช์ นั ประกอบ) ถา้ f เป็นฟังกช์ นั ตอ่ เนื่องที่ x  a และ g เป็นฟังกช์ นั ต่อเนื่องท่ี x  f (a) แลว้ g  f จะเป็ นฟังกช์ นั ต่อเน่ืองที่ x  a

Basic Calculus 58 2.3.2 ฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง 1) ฟังกช์ นั f เป็ นฟังกช์ นั ต่อเน่ืองบนช่วง (a ,b ) ก็ต่อเมื่อ f ตอ่ เนื่องท่ีทุก ๆ จุดในช่วง (a ,b ) 2) ฟังกช์ นั f เป็ นฟังกช์ นั ต่อเน่ืองบนช่วง [a,b]กต็ ่อเม่ือ 2.1) f เป็ นฟังกช์ นั ตอ่ เน่ืองท่ีทุก ๆ จุดในช่วง (a ,b ) และ 2.2) lim f (x)  f (a) และ lim f (x)  f (b) xa xb 3) ฟังกช์ นั f เป็ นฟังกช์ นั ต่อเน่ืองบนช่วง (a,b]ก็ตอ่ เม่ือ 3.1) f เป็ นฟังกช์ นั ตอ่ เน่ืองที่ทุก ๆ จุดในช่วง (a ,b ) และ 3.2) lim f (x)  f (b) xb 4) ฟังกช์ นั f เป็ นฟังกช์ นั ต่อเน่ืองบนช่วง [a,b) กต็ อ่ เมื่อ 4.1) f เป็ นฟังกช์ นั ตอ่ เน่ืองที่ทุก ๆ จุดในช่วง (a ,b ) และ 4.2) lim f (x)  f (a) xa ตวั อยา่ งที่10 กาหนดฟังกช์ นั f (x )  x 2  25 ;5  x  8 จงแสดงวา่ f เป็ นฟังกช์ นั ต่อเน่ือง x 5 10 ; x  5 บนช่วง [5,8] ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………….…………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………….…………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………….………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………….…………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………….……………………

Basic Calculus 59 แบบฝึ กทักษะที่ 2.3 1. จงใชบ้ ทนิยามแสดงความต่อเน่ืองของฟังกช์ นั ในขอ้ ต่อไปน้ี 1.1 f (x)  x2  1 ตอ่ เน่ืองท่ี x  2 x ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………….…………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………….…………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… 1.2 f (x)  x ตอ่ เนื่องที่ x  1 4 x2 ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………….…………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………….…………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… 1.3 f ( x)  x  1; x 1 ต่อเน่ืองที่ x  1 3  x; x 1 ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………….…………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………….…………………………… ………………………………………………………………………………………………………………

Basic Calculus 60 1.4 f (x)   x; x  0 ตอ่ เนื่องที่ x  0  x 2 ; x  0 ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………….…………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………….…………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… 2. กาหนดฟังกช์ นั  1; x  1  f (x)  1; x  1   x ; x  1, x  1 x2 1 จงพจิ ารณาวา่ 1) f ตอ่ เน่ืองท่ี x  1 หรือไม่ 2) f ตอ่ เนื่องท่ี x  1 หรือไม่ 3) f ตอ่ เนื่องท่ี x  0 หรือไม่ ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………….…………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………….…………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………….…………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………….…………………………… ………………………………………………………………………………………………………………

Basic Calculus 61    3 / 2, x  1 3. กาหนดให้ f (x)   2x2  x 1 , 1  x 1 แลว้ จงตรวจสอบวา่  2(x 1)    1 x, x 1  1 x ก. f ต่อเน่ืองท่ี x  1 หรือไม่ ข. f ตอ่ เนื่องท่ี x 1หรือไม่ ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………….…………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………….…………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………….…………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………….…………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………….…………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………….…………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………….…………………………… ………………………………………………………………………………….…………………………… ………………………………………………………………………………….…………………………… 4. ในโจทยข์ อ้ ตอ่ ไปน้ี กาหนดฟังกช์ นั f จงหาจานวนจริง a ที่ทาให้ f ไมต่ อ่ เน่ืองท่ี x  a นอกจากน้นั ในแต่ละจานวนจริง a ดงั กล่าวจงหาค่า f (a) ซ่ึงทาให้ f เป็ นฟังกช์ นั ต่อเนื่องท่ี x  a x2 4.1 f (x)  x2 x6 ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………….…………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………

Basic Calculus 62 4.2 f (x)  x2 5x 6 x3 ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………….…………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… 4.3 f (x)  1 1 x ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… 5. จงหาคา่ k ที่ทาใหฟ้ ังกช์ นั 7x  2; x  1 เป็ นฟังกช์ นั ตอ่ เน่ืองบนช่วง (,) f (x)  kx2 ; x  1 ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… x  22  , x2  4 x2 6. จงหาค่า h, k เมื่อกาหนดฟังกช์ นั f (x)   h,  x  2 มีความตอ่ เนื่องบนช่วง [1,3]  2x  k, x2   ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………

Basic Calculus 63 ตวั อย่างข้อสอบ Entrance 1. กาหนดให้ f (x )  x 2  2x 2  x  2 ถา้ ตอ้ งการให้ f เป็ นฟังกช์ นั ต่อเนื่องบนเซตของจานวน x 2 1 จริง แลว้ จะตอ้ งนิยามเพิม่ ตามขอ้ ใด (37) 1) f (1)  1 และ f (1)  1 2) f (1)  3 และ f (1)  1 3) f (1)  1 และ f (1)  3 4) f (1)  3 และ f (1)  3 2. คา่ ของ lim (x  2)2 เทา่ กบั ขอ้ ใด (39) x 2 x  2 1) -1 2) 0 3) 1 4) หาค่าไมไ่ ด้ 3. กาหนดให้ f (x)   4 x 2 เมือ่ x 0 ขอ้ ใดเป็นจริง (40) 1 x เมือ่ x 0 1) lim f (x )  1 2) lim f (x) และ lim f (x) หาคา่ ไม่ได้ x0 x0 x 0 4 4) lim f (x) และ lim f (x) หาคา่ ไดแ้ ต่ไม่เทา่ กนั x0 x0 3) lim f (x )  1 x 0 4. กาหนดให้ f (x)  13x;1x1;10  x  1 พิจารณาขอ้ ความต่อไปน้ี  2  5x ; x 1   x  1 ก. lim f (x )  lim f (x ) ข. f เป็ นฟังกช์ นั ต่อเน่ืองท่ี x  1 x 1 x 1 ขอ้ ใดต่อไปน้ีถูกตอ้ ง (1/41) 1) ก ถูก และ ข ถูก 2) ก ถูก และ ข ผดิ 3) ก ผดิ และ ข ถูก 4) ก ผดิ และ ข ผดิ 5. กาหนดให้ f (x)  2x322 ; x  1 1  x  1 พิจารณาขอ้ ความต่อไปน้ี   x  1  ; 2(x  1) 11 x ; x 1 x ก. f ต่อเนื่องที่จุด x  1 ข. f ต่อเน่ืองท่ีจุด x  1 ขอ้ ใดต่อไปน้ีเป็ นจริง (2/42) 1) ขอ้ ก ถูก และ ขอ้ ข ถูก 2) ขอ้ ก ถูก และ ขอ้ ข ผดิ 3) ขอ้ ก ผดิ และ ขอ้ ข ถูก 4) ขอ้ ก ผดิ และ ขอ้ ข ผิด

Basic Calculus 64 6. กาหนดให้ f เป็ นฟังกช์ นั ต่อเน่ือง โดยที่ f (x )  x 3  x 2  4x  4 เมื่อ x  2 และ 4 x 2 f (2)  a,f (2)  b แลว้ a, b เป็ นจริงตามขอ้ ใด (2/42) 1) a  1, b  3 2) a  1, b  3 3) a  1, b  3 4) a  1, b  3 x2 ; x  1 f (x)  x  1 ; 0  x  1 f (x  1)  เทา่ กบั ขอ้ ใด (1/43) 7. ถา้ 0 ; x  0 แลว้ lim f (x 2)  lim  x  2  x 0  x 1 1)  4 2) -1 3) 0 4) 1 3 3 8. lim x 2  3  2 มีค่าเทา่ ใด (1/44) x 1 x  1 9. กาหนดให้ f (x)   x 1 1 ; x1 และ g (x )  x 3 x 2 ถา้ h(x )  f (x )g(x ) แลว้   2 ; x  1 ขอ้ ใดต่อไปน้ีถูก (2/44) 1) h ตอ่ เนื่องที่จุด x  1 และ lim h (x )  0 x 1 2) h ต่อเนื่องที่จุด x  1 และ lim h (x )  4 x 1 3) h ไม่ต่อเนื่องท่ีจุด x  1 และ lim h (x )  0 x 1 4) h ไม่ต่อเน่ืองท่ีจุด x  1 และ lim h (x )  4 x 1 (x  4)( x  2)a ; x4  10. ให้ 1 x  2 4 f (x)  ;x   2 6 ;x  4 x  โดยท่ี a,b R ถา้ f ตอ่ เนื่องท่ีจุด x  4 แลว้ f (a  b ) เท่ากบั ขอ้ ใด (1/45) 16 1) -16 2) -14 3) 14 4) 16

Basic Calculus 65 2.4 ความชันของเส้นโค้ง Y Y=f(x) Q(x+h,f(x+h)) P(x,f(x)) X บทนิยาม ถา้ เป็นสมการเส้นโคง้ เส้นสมั ผสั เส้นโคง้ ท่ีจุด P(x,y) ใด ๆ จะเป็นเส้นตรงที่ผา่ นจุด P และมีความชนั (m) เท่ากบั (ถา้ ลิมิตหาคา่ ได)้ ความชนั ของเส้นสัมผสั เส้นโคง้ ณ จุด P(x,y) ใด ๆ บน เส้นโคง้ หมายถึง ความชนั ของเส้นสมั ผสั เส้นโคง้ ณ จุด P ตวั อยา่ งท่ี11 ถา้ สมการเส้นโคง้ คือ y  5  3x 2 จงหา 1) ความชนั ของเส้นโคง้ ที่จุด (x,y) ใด ๆ 3) ความชนั ของเส้นโคง้ ที่จุด (-1,3) 2) ความชนั ของเส้นโคง้ ท่ีจุด (1,4) 4) สมการของเส้นสัมผสั เส้นโคง้ ท่ีจุด (1,4) ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………

Basic Calculus 66 ตวั อยา่ งที่12 จงหาสมการเส้นตรงที่ผา่ นจุด (1,-2) และขนานกบั เส้นสัมผสั เส้นโคง้ y  3x 2  5x  1 ท่ีจุด (3,0) ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ตวั อยา่ งที่13 ถา้ เส้นตรง y  ax ขนานกบั เส้นสัมผสั เส้นโคง้ y  3x 2  8 ที่จุด (1,11) จงหาคา่ a ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

Basic Calculus 67 แบบฝึ กทกั ษะท่ี 2.4 1. จงหาความชนั ของเส้นโคง้ ณ จุดที่กาหนดให้ พร้อมท้งั หาสมการของเส้นสัมผสั โคง้ ณ จุดน้นั 1.1 y  x 2  3 เมื่อจุดสมั ผสั คือ (-1,4) .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 1.2 y  x  2 เม่ือ x  3 x 3 .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................................

Basic Calculus 68 2. จงหาจุดสมั ผสั โคง้ y  x 2  3x  2 ท่ีทาใหเ้ ส้นโคง้ มีความชนั เท่ากบั 1 .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 3. จงหาสมการเส้นสมั ผสั โคง้ y  x 2  3x ที่ขนานกบั เส้นตรง x  y  4  0 .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 4. ถา้ เส้นตรง y  ax  b ขนานกบั เส้นสมั ผสั โคง้ y  3x 2  8 ที่จุด (0,8) จงหาa .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... ****************************** **************************

Basic Calculus 69 2.5 อตั ราการเปลยี่ นแปลงและอตั ราการเปลยี่ นแปลงเฉลยี่ ใหน้ กั เรียนพิจารณาและหาอตั ราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของฟังกช์ นั ตา่ ง ๆ ต่อไปน้ี ขอ้ ท่ี ฟังกช์ นั x x h h อตั ราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย f (x  h)  f (x ) h 1 f (x )  x  3 45 2 f (x )  x  2 36 3 f (x )  x 2 21 จากตารางขา้ งตน้ ฟังกช์ นั ตา่ ง ๆ มีการเปลี่ยนแปลงจาก x ไปเป็น x  h คา่ ของ h เป็นค่าที่ เปล่ียนแปลงไปจากเดิมของ ซ่ึงจะมีค่าเป็นบวก (เพ่ิมข้ึน) หรือเป็นลบ (ลดลง) กไ็ ด้ และเรียก f (x  h )  f (x ) วา่ อตั ราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกบั x ในช่วง x ถึง x  h h กาหนด f (x )  x 2 จงหาอตั ราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกบั x ในช่วง x ถึง x  h ขอ้ ที่ x x  h h อตั ราการเปล่ียนแปลงเฉล่ีย 1 3 3.2 f (x  h)  f (x ) h 2 3 3.1

Basic Calculus 70 ขอ้ ท่ี x x  h h 1 3 3.01 อตั ราการเปลี่ยนแปลงเฉล่ีย 2 3 3.001 f (x  h)  f (x ) h พบวา่ เมื่อh มีคา่ นอ้ ยลง ค่าอตั ราการเปล่ียนแปลงเฉล่ียก็นอ้ ยลงเช่นกนั บทนิยาม ถา้ เป็นฟังกช์ นั ใด ๆ เมื่อคา่ ของ เปล่ียนเป็น โดยที่ คา่ ของ เปล่ียนจาก เป็น แลว้ อตั ราการเปลย่ี น แปลงเฉลยี่ ของ เทยี บกบั ในช่วง ถงึ คือ อตั ราการเปลี่ยนแปลงของ เทยี บกบั ขณะ มคี ่าใด ๆ คือ ตวั อยา่ งที่14 กาหนด f (x )  x 2  3 จงหา 1) อตั ราการเปล่ียนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกบั x เมื่อ x เปล่ียนจาก 4 เป็น 4.2 2) อตั ราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกบั x เมื่อ x เปล่ียนจาก 4 เป็น 4.1 3) อตั ราการเปลี่ยนแปลงเฉล่ียของ y เทียบกบั x เม่ือ x เปล่ียนจาก 4 เป็น 4.01 4) อตั ราการเปลี่ยนแปลงเฉล่ียของ y เทียบกบั x เม่ือ x เปล่ียนจาก 4 เป็น 4.001 5) อตั ราการเปล่ียนแปลงของ y เทียบกบั x ในขณะ x  4 ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………

Basic Calculus 71 ตวั อยา่ งท่ี15 กาหนด y  f (x )  2x 2  3 จงหา 1) อตั ราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกบั x เมื่อ x เปลี่ยนจาก 2 เป็น 4 2) อตั ราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกบั x ในขณะ x  5 ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ตวั อยา่ งที่16 จงหาอตั ราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพ้ืนที่รูปส่ีเหลี่ยมจตั ุรัสเทียบกบั ความยาวของดา้ นเม่ือ ความยาวของดา้ นเปลี่ยนจาก 7 นิ้ว เป็น 9 นิ้ว และจงหาอตั ราการเปล่ียนแปลงของพ้นื ท่ีรูปส่ีเหล่ียม จตั ุรัสเทียบกบั ความยาวของดา้ น ขณะท่ีดา้ นมีความยาว 7 นิ้ว ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………

Basic Calculus 72 ตวั อยา่ งที่17 จงหาอตั ราการเปลี่ยนแปลงเฉล่ียของปริมาตรรูปทรงกระบอก ท่ีมีพ้ืนท่ีฐานเทา่ กบั 10 ตารางนิ้ว เมื่อเทียบกบั ความสูง เม่ือเปลี่ยนความสูงจาก 1 นิ้วไปเป็น 3 นิ้ว ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ************************************************************* แบบฝึ กทกั ษะที่ 2.5 1. ให้ f (x )  3x 2 จงหา 1.1 อตั ราการเปล่ียนแปลงเฉล่ียของ y เทียบกบั x เม่ือ x เปลี่ยนจาก 5 เป็น 6 1.2 อตั ราการเปลี่ยนแปลงเฉล่ียของ y เทียบกบั x เม่ือ x เปล่ียนจาก 5 เป็น 5.1 1.3 อตั ราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกบั x เมื่อ x เปล่ียนจาก 5 เป็น 5.01 1.4 อตั ราการเปล่ียนแปลงเฉล่ียของ y เทียบกบั x เมื่อ x เปล่ียนจาก 5 เป็น 5.001 1.5 อตั ราการเปล่ียนแปลงของ y เทียบกบั x ในขณะ x  5 ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

Basic Calculus 73 2. จงหาอตั ราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพ้นื ท่ีของวงกลมเทียบกบั ความยาวรัศมีของวงกลม เมื่อความยาว ของรัศมีเปล่ียนจาก 2 ฟุตไปเป็น 4 ฟุต และจงหาอตั ราการเปล่ียนแปลงของพ้ืนท่ี ของวงกลมเทียบกบั ความยาวรัศมีของวงกลม ขณะรัศมียาว 2 ฟุต ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… 3. ถา้ ปริมาตรของลูกบอลคือ V  4 r 3 โดยที่ V คือ ปริมาตรของลูกบอล มีหน่วยเป็ นลูกบาศก์ 3 เซนติเมตร r คือความยาวรัศมี มีหน่วยเป็นเซนติเมตร จงหา 3.1 อตั ราการเปล่ียนแปลงเฉลี่ยของปริมาตรเทียบกบั ความยาวรัศมี เมื่อความยาวเปล่ียนจาก 5 เซนติเมตร เป็น 7 เซนติเมตร 3.2 อตั ราการเปล่ียนแปลงของปริมาตรเทียบกบั ความยาวรัศมี ขณะท่ีรัศมียาว 5 เซนติเมตร ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ************************************ **********************************

Basic Calculus 74 2.6 อนุพนั ธ์ของฟังก์ชัน 2.6.1 การหาอนุพนั ธ์ของฟังก์ชันโดยใช้นิยาม บทนิยาม ถา้ เป็นฟังกช์ นั ที่มีโดเมนและเรนจเ์ ป็นสบั เซตของเซตของ จานวนจริง และ หาคา่ ได้ เรียกคา่ ลิมิตท่ีไดน้ ้ี วา่ “อนุพนั ธ์ของฟังก์ชัน ท่ี ” เขียนแทนดว้ ย จากบทนิยาม จะเห็นวา่ อนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั f ท่ี x กค็ ือ อตั ราการเปล่ียนแปลงของ y เทียบกบั x ในขณะ x ใด ๆ นนั่ เอง นอกจากสัญลกั ษณ์ f (x ) แลว้ ยงั มีสญั ลกั ษณ์อื่น ๆ อีก เช่น y  , dy (อ่านวา่ ดีวายบายดีเอกซ์) dx d f (x ) เป็ นตน้ dx นนั่ คือ f (x ) = y  = dy = d f (x ) = lim f (x  h )  f (x ) dx dx h 0 h หมายเหตุ dy  y dx x ตวั อยา่ งที่18 กาหนด f (x )  x 2  4 จงหา 1) f (x ) 2) f (5) ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………

Basic Calculus 75 ตวั อยา่ งที่19 ให้ f (x )  5x 2  3x  2 จงหา 2) อนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั f ที่ x  0 1) อนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั f ท่ี x ใด ๆ ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ตวั อยา่ งที่20 ให้ f (x )  1 จงหา dy และ f (2) x 3 dx ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………

Basic Calculus 76 ตวั อยา่ งท่ี21 ให้ f (x )  x  2 จงหา f (6) ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………. แบบฝึ กทักษะท่ี 2.6 ก 1. ให้ f (x )  4  6x 2 จงหา dy dx ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

Basic Calculus 77 2. ให้ f (x )  3x 2  2 จงหา f (4) ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… 3. ให้ f (x )  x 2  4x  1 จงหาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั f ท่ี x ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… 4. ให้ f (x )  20 จงหา f (x ) ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………

Basic Calculus 78 5. ให้ f (x )  1 จงหา f (2) x 5 ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… 6. ให้ f (x )  2x  1 จงหา f (x ) ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… **************** ****************** ******************* ***************

Basic Calculus 79 2.6.2 การหาอนุพนั ธ์ของฟังก์ชันโดยใช้สูตร 1) กาหนด y  c เม่ือ c เป็นค่าคงท่ีใด ๆ ใหน้ กั เรียนหาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั โดยใชน้ ิยาม ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………. พบวา่ y   …………………….. 2) กาหนด y  x ใหน้ กั เรียนหาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั โดยใชน้ ิยาม ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………. พบวา่ y   …………………….. สูตรการหาอนุพนั ธ์ 1. ถา้ y  c เม่ือ c เป็ นค่าคงท่ีใด ๆ แลว้ y   0 เช่น y  0.5 จะได้ y   ……………. y   5 จะได้ y   ……………. y 1 จะได้ y   ……………. 3 2. ถา้ y  x แลว้ y   1 3. ถา้ y  x n เม่ือ n เป็ นจานวนจริง แลว้ y   nx n 1 เช่น y  x 5 จะได้ y   ……………. 1 จะได้ y   ……………. y x2 3 จะได้ y   ……………. y x 4

Basic Calculus 80 4. ถา้ y  f (x )  g (x ) แลว้ y   f (x )  g (x ) เช่น y  x 3  10 จะได้ y   ………………………………………………….……. y  x 1 x  0.2 จะได้ y  ……………………………………….…………. 3 5. ถา้ y  f (x )  g (x ) แลว้ y   f (x )  g (x ) เช่น y  x 12  x 4  x จะได้ y   …………………………..………………….. y x 5 x  จะได้ y   ………………………………….……………….. 2 6. ถา้ y  cf (x ) แลว้ y   cf (x ) เช่น y  3x 15 จะได้ y   ……………………………………..………………. y  1 x 12  6x 4 จะได้ y   …………………………………………….. 2 7. ถา้ y  f (x )  g (x ) แลว้ y   f (x )  g (x )  g (x )  f (x ) เช่น y  (2x  5)(3x 2  x ) จะได้ y   ………………………………..………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… 8. ถา้ y  f (x ) โดยท่ี g(x ) 0 แลว้ y g (x )f (x )  f (x )g (x ) g (x ) [g (x )] 2 เช่น y  (2x  5) จะได้ y   ……………………………………………………..….. (3x 2  x ) ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………

Basic Calculus 81 สูตรการหาอนุพนั ธ์ของฟังก์ชันคอมโพสิท การหาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั คอมโพสิท จะหาไดก้ ็ต่อเมื่อสามารถหาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั ท่ี นามาประกอบกนั ได้ สูตรในการหาอนุพนั ธ์น้ีเรียกกวา่ กฎลูกโซ่ (Chain Rule) ถา้ y  (gof )( x )  g (f (x )) แลว้ dy  d g (f (x ))  d f (x ) dx df (x ) dx จากสูตรท่ี 9 ถา้ ให้ u  f (x ) จะได้ y  g (u ) ดงั น้นั dy  d g (u )  du  dy  du dx du dx du dx จากกฎลูกโซ่ ถา้ y  [f (x )]n เมื่อn เป็ นจานวนจริง ถา้ ให้ u  f (x ) ดงั น้นั y  u n จาก dy  dy  du dx du dx  d (u n )  du du dx  nu n 1  d (f (x )) dx  n [f (x )] n 1  f (x ) นนั่ คือ ถา้ y  [f (x )]n เม่ือn เป็ นจานวนจริงและ f (x ) หาค่าได้ แลว้ dy  n [f (x )] n 1  f (x ) dx เช่น กาหนด f (x )  (3x  2)4 จะไดว้ า่ f (x ) = ……………………………………………………………….……………… ………………………………………………….…………………………….. ……………………………………………………………………….………..

Basic Calculus 82 แบบฝึ กทักษะท่ี 2.6 ข 1. จงหาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั ต่อไปน้ี 1.6 y  (2  3x 2 )3 1.1 y  x ……………………………………………. ……………………………………………. 4 ……………………………………………. ……………………………………………. 1.7 y  9  4x 2 ……………………………………………. ……………………………………………. ……………………………………………. ……………………………………………. 1.2 y  2  5 ……………………………………………. ……………………………………………. x3 1.8 y  x 5  3x ……………………………………………. ……………………………………………. ……………………………………………. ……………………………………………. ……………………………………………. ……………………………………………. ……………………………………………. ……………………………………………. 1.3 y  1 1.9 y  5  2x x 2x  1 ……………………………………………. ……………………………………………. ……………………………………………. ……………………………………………. ……………………………………………. ……………………………………………. ……………………………………………. ……………………………………………. 1.10 y  3 x 2  5 1.4 y  x 3  2x 2  5x  4 10  x 2 ……………………………………………. ……………………………………………. ……………………………………………. ……………………………………………. ……………………………………………. ……………………………………………. ……………………………………………. ……………………………………………. ……………………………………………. 1.5 y 3 1  2x 4  4x 4 ……………………………………………. ……………………………………………. ……………………………………………. ……………………………………………. …………………………………………….

Basic Calculus 83 2. จงหาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั ต่อไปน้ีท่ีจุดที่กาหนดให้ 2.1 f (x )  3x 3  2x 2  5x  4 ที่ x  0 ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… 2.2 f (x )  (2x 2  3x  1)( x  x 2 ) ที่ x  1 ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… 2.3 f (x )  x ที่ x  2 2x 1 ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ******************* *********** *********** *************************

Basic Calculus 84 2.6.3 การหาอนุพนั ธ์ของฟังก์ชันแฝง (Implicit differentiation) โดยทว่ั ไปถา้ r เป็นความสมั พนั ธ์ จะสามารถหาสับเซตของ r ท่ีเป็นฟังกช์ นั ไดเ้ สมอ เช่น x 2  y 2  9 เป็ นความสมั พนั ธ์ จะไดว้ า่ y  9  x 2 และ y   9  x 2 เป็ นสับเซตท่ีเป็ น ฟังกช์ นั ดงั น้นั สมการ f (x , y )  0 อาจกาหนดเป็ นฟังกช์ นั ไดม้ ากกวา่ 1 ฟังกช์ นั เรียกฟังกช์ นั ท่ีกาหนด โดยf (x , y )  0 วา่ อมิ พลสิ ิตฟังก์ชัน การหาอนุพนั ธ์ของอมิ พลสิ ิตฟังก์ชัน ทาไดโ้ ดยหาอนุพนั ธ์ของทุก ๆ พจน์ท้งั สองขา้ งของสมการ แลว้ จึงแกส้ มการหา dy โดยในการหาอนุพนั ธ์ใหถ้ ือวา่ y  f (x ) dx ตวั อยา่ งที่22 กาหนด x 2  y 2  9 จงหา dy dx ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ตวั อยา่ งที่23 กาหนด x 2  2xy  y 2  4 จงหา dy dx ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ตวั อยา่ งท่ี24 กาหนด x 3  y 3  2xy จงหาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั ที่จุด (1,1) ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………..

Basic Calculus 85 แบบฝึ กทักษะที่ 2.6 ค 1. จงหา อนุพนั ธ์อิมพลิสิตฟังกช์ นั ในโจทยต์ ่อไปน้ี 2.3 x 2  y 2  r 2 1.1 xy  x 2  8y  0 ………………………………………………. ……………………………………….………. ………………………………………………. …………………………………………….…. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………………….. 1.2 x 2  (y  4) 2  1 2.4 x 4  3xy 2  y 3  27  0 ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. …………………………………………….…. ………………………………………………. …………………………………………….…. ………………………………………………. …………………………………………….…. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. 2. กาหนด 2x 3  x 3y  y 2  4 จงหาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั ที่จุด (0,2) ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ********************************** *************************************

Basic Calculus 86 2.7 อนุพนั ธ์อนั ดบั สูง บทนิยาม ให้ เป็นฟังกช์ นั ท่ีสามารถหาอนุพนั ธ์ได้ และ เป็นอนุพนั ธ์ของ ฟังกช์ นั ท่ี ซ่ึงสามารถหาอนุพนั ธ์ไดแ้ ลว้ จะเรียกอนุพนั ธ์ของ อนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั ท่ี หรือ อนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั ท่ี วา่ อนุพนั ธ์อนั ดบั ท่ี 2 ของ ที่ และเขียนแทนดว้ ย หมายเหตุ 1. อาจแทนดว้ ย d 2y หรือ d 2 f (x ) หรือ y  dx 2 dx 2 2. เราสามารถหาอนุพนั ธ์ที่มีอนั ดบั สูงกวา่ อนุพนั ธ์อนั ดบั 2 ของ f (x ) ได้ f (x ) หรือ d 3y หรือ y  แทนอนุพนั ธ์อนั ดบั ที่ 3 ของ f (x ) dx 3 f 4 (x ) หรือ d 4y หรือ y 4 แทนอนุพนั ธ์อนั ดบั ที่ 4 ของ f (x ) dx 4  f n (x ) หรือ d n y หรือ y n แทนอนุพนั ธ์อนั ดบั ท่ี n ของ f (x ) dx n ตวั อยา่ งที่25 จงหาค่าของอนุพนั ธ์อนั ดบั สูงของฟังกช์ นั ต่อไปน้ี ขอ้ f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) f 4 (x ) f 5 (x ) 1 x 3  2x  9 2 x 5 x 4 3 x 1  x 2 ตวั อยา่ งที่26 กาหนดให้ f (x )  x 6  2x 4  3x  4 จงหาอนุพนั ธ์อนั ดบั ที่ 6 ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………

Basic Calculus 87 ตวั อยา่ งท่ี27 กาหนดให้ (2x  5)3 จงหา f (3) ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… แบบฝึ กทกั ษะท่ี 2.7 1. ในโจทยข์ อ้ ตอ่ ไปน้ี จงหาอนุพนั ธ์อนั ดบั ท่ีกาหนดใหต้ ่อไปน้ี 1.1 y  x5  2x3  3x2  4 d3y 1.3 x 2  y 2  r 2 d 2y ; ; dx 3 dx 2 ……………………………………….………. ………………………………………………. …………………………………………….…. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. 1.2 y  2x  x2 d3y 1.4 y  x 6  3x 5  6x 2  8 d 4y ; ; dx 3 dx 4 ……………………………………….………. ………………………………………………. …………………………………………….…. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………………….. ……………………………………………….

Basic Calculus 88 2. กาหนดให้ f (x )  8  2x จงหา f (1) ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… 3. กาหนด ให้ f (x )  1  x จงหา f (0) 3x ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… 4. กาหนดให้ f (x )  ax 2  bx  c เม่ือ f (1)  0 และ f (0)  4 จงหา f (1) ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ************ ******************** ********************** *****************

Basic Calculus 89 2.8 การหาลมิ ติ ของฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบ 0 0 ในการหา lim f (x ) ถา้ แทนค่า x ดว้ ย a แลว้ อยใู่ นรูป 0 การหาลิมิตของฟังกช์ นั ใน x a 0 รูปแบบน้ี นอกจากจะจะพยายามกาจดั 0 ทิง้ โดยการแยกตวั ประกอบของพหุนามในฟังกช์ นั และโดยการ 0 คูณเทอมท่ีเป็นสังยคุ แลว้ ยงั สามารถหาคา่ ลิมิตได้ โดยใชก้ ฎของโลปิ ตลั (L’Hoˆ pital’s Rule) ดงั น้ี ถา้ a เป็ นจานวนจริง f (x ) และ g (x ) เป็ นฟังกช์ นั ท่ีหาอนุพนั ธ์ได้ และ g (x )  0 ถา้ lim f (x )  0 และ lim g (x )  0 แลว้ x a x a lim f (x )  lim f (x ) x a g (x ) x a g (x ) ตวั อยา่ งท่ี28 จงหาคา่ ของ 1) lim x 2  25 3) lim x2  4x  4 x 5 x  5 x2 x2  x  6 2) x 2 x 2 4) lim 1  x lim x 1 x  1 x 1 1  x ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………

Basic Calculus 90 แบบฝึ กทักษะท่ี 2.8 จงหาค่าของ 1. x 2  6x  5 5. lim y 2  4 lim xx 1 2  3x  4 y2 y 2  3y  2 ……………………………………….………. ………………………………………………. ………………………………………………. …………………………………………….…. ………………………………………………. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………………….. 6. lim x  4  2 ……………………………………………….. x 0 x 2. lim x 4  1 ………………………………………………. ………………………………………………. x 1 x  1 ………………………………………………. ………………………………………………. ……………………………………….………. ………………………………………………. …………………………………………….…. 7. lim x  1 ……………………………………………….. x 1 x 2  3  2 ……………………………………………….. ………………………………………………. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ………………………………………………. 3. lim 16  y 2 ………………………………………………. y4 2  y 8. lim 4  x 2 ……………………………………….………. x 2 3  x 2  5 …………………………………………….…. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ……………………………………………….. ………………………………………………. ………………………………………………. 4. lim x 3  8 ………………………………………………. x 2 x 2  4 ********************** ******************* ……………………………………….………. …………………………………………….…. ……………………………………………….. ……………………………………………….. ……………………………………………….. ******************** ***********************

Basic Calculus 91 2.9 ความเร็ว ความเร็วเฉลยี่ และความเร่ง ประโยชน์อยา่ งหน่ึงของการหาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั คือ การหาความเร็วและความเร่งของ การเคล่ือนท่ีของวตั ถุ 2.9.1 ความเร็วเฉลย่ี และอตั ราเร็วเฉลย่ี ความเร็วเฉลยี่ ของการเคลอื่ นทขี่ องวตั ถุในช่วงเวลาใด คือ ระยะทางท่ีวตั ถุน้นั เคลื่อนที่ไป ไดใ้ นช่วงเวลาน้นั ต่อหน่ึงหน่วยเวลาท่ีใชไ้ ปในการเคล่ือนท่ีในช่วงเวลาน้นั เม่ือกาหนด S  f (t ) เป็นสมการของการเคลื่อนที่ของวตั ถุ ความเร็วเฉลี่ยของวตั ถุในช่วงเวลา t ถึง t  h  f (t  h )  f (t ) หน่วยระยะทางตอ่ หน่วยเวลา h อตั ราเร็วเฉลยี่ ของวตั ถุในช่วงเวลาใด คือ คา่ สมั บรู ณ์ของความเร็วเฉลี่ยของวตั ถุในช่วงเวลาน้นั อตั ราเร็วเฉล่ียของวตั ถุในช่วงเวลาt ถึง t  h = f (t  h )  f (t ) หน่วยระยะทางตอ่ หน่วยเวลา h เช่น วตั ถุเคล่ือนที่ไปไดร้ ะยะทาง 30 กิโลเมตร เมื่อวนิ าทีที่ 3 และเคลื่อนที่ไปไดร้ ะยะทาง 45 กิโลเมตร เมื่อวนิ าทีที่ 6 ดงั น้นั ความเร็วเฉลี่ยของวตั ถุในช่วงวนิ าทีท่ี 3 ถึงวนิ าทีท่ี 6 = 45  30  5 กิโลเมตร/วนิ าที 6 3 และ อตั ราเร็วเฉลี่ยของวตั ถุในช่วงวนิ าทีที่ 3 ถึงวนิ าทีท่ี 6 =…………………………………… กิโลเมตร/วนิ าที ตวั อยา่ งที่29 กาหนด S  f (t )  t 2  2t  8 เป็ นสมการการเคล่ือนท่ีของวตั ถุ เมื่อ s แทนระยะ ทางมีหน่วยเป็นเมตร และ t เป็ นเวลามีหน่วยเป็นวนิ าที จงหาความเร็วเฉล่ียในช่วงเวลา t  2 วนิ าที ถึง t  5 วนิ าที ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………

Basic Calculus 92 2.9.2 ความเร็วขณะเวลา t ใด ๆ กาหนด S  f (t ) เป็นสมการของการเคล่ือนท่ีของวตั ถุ เมื่อ s แทนระยะทาง และ t แทนเวลา ความเร็วขณะเวลา t ใด ๆ คือ อตั ราการเปลี่ยนแปลงของ s เทียบกบั t ขณะ t ใด ๆ คือ lim f (t  h )  f (t )  ds h 0 h dt เขียนแทนความเร็วขณะเวลาt ใด ๆ ดว้ ย v (t ) หรือ v นนั่ คือ v (t )  ds หรือ v  ds dt dt ตวั อยา่ งที่30 กาหนด S  f (t )  t 2  2t  8 เป็ นสมการของการเคลื่อนที่ของวตั ถุ เมื่อ s แทน ระยะทางมีหน่วยเป็นเมตร และ t เป็นเวลามีหน่วยเป็ นวนิ าที จงหาความเร็วขณะเวลา t  5 วนิ าที ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ตวั อยา่ งที่31 ลูกบอลถูกโยนข้ึนไปในอากาศในลกั ษณะแนวดิ่ง โดยสมการการเคล่ือนที่ของลูกบอล คือ s  96t  16t 2 เม่ือระยะทางมีหน่วยเป็ นเมตร และเวลามีหน่วยเป็ นวนิ าที จงหา 1. ระยะทางท่ีลูกบอลข้ึนไปไดส้ ูงสุด 2. เวลาท่ีลูกบอลใชใ้ นการเคลื่อนที่ไปไดท้ าง 128 เมตร ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………