Physics 2-CH-01-ไฟฟ้าสถิต

1K.Umma P h y s i c s 2 for Engineers Page 1 ไฟฟ้ าสถิต ELECTROSTATICS PHYSICS 2 FOR ENGINEERS

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 2 ประจไุ ฟฟ้าและสนามไฟฟ้า 1.1 ประจไุ ฟฟ้า 1.2 แรงไฟฟ้าระหว่างประจุ 1.3 สนามไฟฟ้า 1.4 กฎของเกาส์ 1.5 ศกั ยไ์ ฟฟ้า 1.6 ความจไุ ฟฟ้าและไดอิเลก็ ตริก

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 3 1.1 ประจไุ ฟฟ้า ทาลสิ ( Thales) นกั ปราชญช์ าวกรกี นําแทง่ อาพันมาถูกกับผ้าขนสัตว์ แท่งอาพัน “หวผี มแลว้ นําหวไี ปเขา้ ใกล้ สามารถดูดวตั ถุเบาๆได้ เช่น ขนนก อํานาจ เศษกระดาษบางเล็กๆ หวี ทเีW กดิ ขน=ึ น=ีไดถ้ กู เรยี กวา่ อาํ นาจไฟฟ้า นั=น จ ะ ดู ด เ ศ ษ ก ร ะ ด า ษ ขน=ึ มา” Child with van der graaf generator

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 4 ประจไุ ฟฟ้า (Electric Charges) ประจไุ ฟฟ้า คอื การทาํ ใหว้ ตั ถุทเ2ี ป็นกลางทางไฟฟ้าแสดง (a) แทง่ ยางมปี ระจลุ บ ถกู ดดู ดว้ ยแทง่ แกว้ ทม2ี ปี ระจบุ วก อาํ นาจไฟฟ้าใหเ้ หน็ ซง2ึ เราสามารถจาํ แนกประจไุ ฟฟ้า (b) แทง่ ยางทงัN สองผลกั กนั ออกเป็น 2 ชนิด คอื ประจไุ ฟฟ้าบวก ( + ) : เกดิ จากการทว2ี ตั ถุมสี ภาวะเดน่ หน่วยของประจุ คอื คลู อมบ์ (C): 1 C คอื ประจขุ อง บวก หรอื มปี ระจบุ วกเกนิ มา หรอื มปี ระจลุ บขาดหายไป อเิ ลก็ ตรอนหรอื โปรตอนจาํ นวน 6.25x1018 อนุภาค ประจไุ ฟฟ้าลบ ( - ) : เกดิ จากการทว2ี ตั ถุมสี ภาวะเดน่ ลบ หรอื ประจขุ องกระแสไฟฟ้า 1 A ทไ2ี หลผา่ นภายใน 1 s หรอื มปี ระจลุ บเกนิ มา หรอื มปี ระจบุ วกขาดหายไป “ถา้ เป็นประจไุ ฟฟ้าชนิดเดยี วกนั จะเกดิ แรงผลกั ซงึW กนั และ กนั แต่ประจตุ ่างชนิดกนั จะเกดิ แรงดงึ ดดู ซงึW กนั และกนั ”

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 5 ตวั นํา ฉนวนและสารกYึงตวั นํา ตวั นํา (Conductor) คอื วสั ดทุ ป2ี ระกอบดว้ ย อเิ ลก็ ตรอนอสิ ระจาํ นวนมาก อเิ ลก็ ตรอนไมถ่ กู จาํ กดั ใหอ้ ยใู่ นอะตอมแต่สามารถเคลอ2ื นทไ2ี ปไดอ้ ยา่ งอสิ ระ ในวตั ถุ เชน่ ในทองแดงและ อะลมู เิ นียม เมอ2ื อดั ประจใุ หก้ บั ตวั นํา ณ บรเิ วณหน2ึง ประจจุ ะกระจายไปทวั2 ทงัN กอ้ น ฉนวน (Insulator) คอื วสั ดทุ ม2ี อี เิ ลก็ ตรอนทงัN หมดอยู่ ในอะตอม อเิ ลก็ ตรอนไมส่ ามารถเคลอ2ื นทไ2ี ดอ้ ยา่ งอสิ ระเชน่ ในแกว้ และไม้ เมอ2ื ทาํ การอดั ประจใุ หก้ บั ฉนวน ณ บรเิ วณหน2ึงประจไุ มส่ ามารถกระจายไป ยงั บรเิ วณอน2ื สารกง2ึ ตวั นํา (Semiconductor) คอื วสั ดทุ ม2ี คี ณุ สมบตั ิ ทางไฟฟ้าอยรู่ ะหวา่ งตวั นําและฉนวน เชน่ ซลิ คิ อน และเยอรม์ าเนียม

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 6 ประจไุ ฟฟ้าอิสระ q = Ne — เมืYอ. คา่ ประจพุ นNื ฐาน q คือ ประจไุ ฟฟ้า N คือ เลขจาํ นวนเตม็ e คือ ค่าประจขุ องอิเลก็ ตรอน มีค่าเท่ากบั 1.60219x10-19 C ประจใุ ดๆ จะมคี า่ คงทเ2ี สมอและประจจุ ะมคี า่ เป็นจาํ นวนเตม็ เทา่ ของคา่ ประจพุ นNื ฐาน

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 7 การทาํ ให้วตั ถเุ กิดประจไุ ฟฟ้าอิสระ 1 การขดั สีกนั 2 การสมั ผสั กนั 3 การเหนีYยวนํา นําเอาวตั ถุมาทําการขดั นําวัตถุท2ีมีอํานาจทางไฟฟ้ ามา นําวตั ถุซง2ึ มปี ระจไุ ฟฟ้าเขา้ ไปใกลๆ้ วตั ถุทเ2ี ป็น สีกัน จ ะ ทํ า ใ ห้ มี ก า ร สมั ผสั กับวตั ถุท2ีเป็นกลางทําให้มี กลาง (แต่ไม่แตะ) ประจุไฟฟ้าท2อี ยู่ในวตั ถุท2ี ถ่ายเทประจุไฟฟ้ า (e-) การถ่ายเท e- จนศกั ยไ์ ฟฟ้าเทา่ กนั เป็นกลางจะเกดิ การเหน2ียวนํา จดั เรยี งตวั ใหม่ ไดเ้ ป็น - เสยี เป็น + โดย จงึ หยุดถ่ายเท ประจุไฟฟ้าจะเป็น เน2ืองจากแรงทางไฟฟ้าเป็นผลทําให้วตั ถุท2ี ทป2ี ระจเุ ทา่ กนั ชนิดเดยี วกนั ขนาดเทา่ กนั เป็นกลางจะมปี ระจไุ ฟฟ้าเกดิ ขนNึ

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 8 ความหนาแน่นประจุ (Charge density) • ความหนาแน่นประจเุ ชงิ ปรมิ าตร (volume charge density, ρ) r = q เมอ2ื ρ มหี น่วยเป็น C/m3 V • ความหนาแน่นประจเุ ชงิ พนNื ท2ี (surface charge density, σ) s = q เมอ2ื σ มหี น่วยเป็น C/m2 A • ความหนาแน่นประจเุ ชงิ เสน้ (linear charge density, λ) l = q เมอ2ื λ มหี น่วยเป็น C/m !

K.Umma P h y s i c s 2 f fo or r E En ng gi in ne ee er rs s Page 9 1.2 แรงไฟฟ้าระหว่างประจุ “Intellectual men who quickly wolf down whatever nourishment is necessary for their bodies with a kind of disdain, may be very rational and have a noble intelligence, but they are not men of taste.” — Charles-Augustin de Coulomb

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 10 แรงไฟฟ้าและกฎของคลู อมบ์ • Charles Augustus Coulomb ไดท้ าํ การทดลองตงัN แต่ ค.ศ.1785 (ก่อนจะรจู้ กั อะตอม, อเิ ลก็ ตรอน) พบวา่ “เมอ2ื ประจไุ ฟฟ้า 2 ตวั อยหู่ า่ งกนั ขนาดหน2ึง จะมแี รงกระทาํ ซง2ึ กนั และกนั เสมอ หากเป็นประจชุ นิดเดยี วกนั จะมแี รงผลกั กนั หากเป็นประจตุ ่างชนิดกนั จะมแี รงดงึ ดดู กนั ” • จะเขยี นเป็นความสมั พนั ธท์ างคณติ ศาสตรไ์ ดด้ งั นNี Fe µ q1 q2 ดงั นนัN Fe =k q1 q2 r2 r2

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 11 กฎของคลู อมบ์ (Coulomb’s law) Fe =k q1 q2 เมอ2ื k = 1 เป็นคา่ Coulomb constant r2 4pe 0 ������\" คอื คา่ สภาพยอมของสญุ ญากาศ (permittivity of free space) มคี า่ 8.854x10-12 C2/N.m2 หรอื (F/m) จะได้ Fe = 1 q1 q2 ® F = (9´109 ) q1 q2 r2 r2 4pe 0 ในหน่วย SI กาํ หนดหน่วยของแรงดว้ ย N และกาํ หนดคา่ k= 9 x 109 N.m2/C2

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 12 กฎของคลู อมบก์ บั ประจไุ ฟฟ้าใดๆ • คา่ แรงเป็นคา่ เวกเตอร์ ดงั นนัN แรงระหวา่ งประจใุ ดกต็ อ้ งพจิ ารณาเป็น แบบเวกเตอรเ์ สมอ F!12 = k q1q2 rˆ12 r2 • จแะรเงปบ็นนไปปรตะาจมสุ กอฎงปขรอ้ ะทจ2ีทุ 3ก2ี ขรอะงทนาํ ิวตต่อนักนั F!21 = -F!12 • ถา้ q1 และ q2 เป็นประจบุ วกเหมอื นกนั แรงบน q2จะมที ศิ เดยี วกนั กบั ทศิ เวกเตอร์ rˆ12 • ถา้ ประจตุ ่างกนั ทศิ ทางของแรงเป็นดงั รปู (b)

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 13 แรงไฟฟ้าระหวา่ งประจุ • ในกรณมี ปี ระจไุ ฟฟ้ามากกวา่ 2 ประจใุ นบรเิ วณทพ2ี จิ ารณา จะหาแรง ลพั ธ์ ในรปู เวกเตอร์ F!1 = F!21 + F!31 + F!41 + ... (แรงประจุ q1 ต่อประอน2ื ๆ) • เปรยี บเทยี บกบั กฎแหง่ การโน้มถ่วง F!12 q1q2 F = G m1m2 , r2 r2 = k rˆ12 G = 6.7 ´10-11 N × m2 / kg 2 กฎของคลู อมบ์ กฎแหง่ การโน้มถ่วง ศกึ ษาแรงดงึ ดดู และแรงผลกั ศกึ ษาเฉพาะแรงดงึ ดดู

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 14 จตงยห.1า.ข1นปารดะขจอไุ งฟแฟร้างลดพั งั ธรท์ปู เ2ี กq1ดิ ข=นNึ +บ1น.5ปxร1ะ0จ-3ไุ ฟCฟ, q้า2q=3 -0.5x10-3 C และ q3 = +0.2x10-3 C เมอ2ื AC = 1.2 m และ BC = 0.5 m Sol n 1. วาดรปู แสดงทศิ ทางของแรงระหวา่ งประจุ B 2. หาขนาดของแรงทเ2ี กดิ จากประจุ q1 กบั q3 และ q2 กบั q3 -q2 F1 = q1q3 = (9 ´109 ) æ (+1.5´10-3)(+0.2 ´10-3) ö r2 F ç (1.2)2 ÷ F2 F1 4pe 0 r12 è ø = +1.9´103 N A C+q1 r1 +q3 F2 = q2q3 = (9 ´109 ) æ (-0.5´10-3)(+0.2 ´10-3) ö ç (0.5)2 ÷ 4pe 0 r12 è ø = -3.6´103 N

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 15 จตงยห.1า.ข1นปารดะขจอไุ งฟแฟร้างลดพั งั ธรท์ปู เ2ี กq1ดิ ข=นNึ +บ1น.5ปxร1ะ0จ-3ไุ ฟCฟ, q้า2q=3 -0.5x10-3 C และ q3 = +0.2x10-3 C เมอ2ื AC = 1.2 m และ BC = 0.5 m Sol n ขนาดของแรงลพั ธท์ เ2ี กดิ ขนNึ บนประจุ q3 คอื B !\" F= F12 + F22 -q2 !F\" = (1.9´103)2 + (-3.6´103)2 = +4.1´103 N r2 F F2 F1 A C+q1 r1 +q3

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 16 ตย.1.2 จากรปู ประจจุ ดุ บวกขนาดเทา่ กนั สองประจุ q1 = q2 = 2.0 µC มอี นั ตรกริ ยิ ากบั ประจุ จดุ ทส2ี าม q3 = 4.0 µC จงหาขนาดและทศิ ทางของแรงสทุ ธทิ ท2ี าํ ต่อ q3 Sol n 1. วาดรปู แสดงทศิ ทางของแรงระหวา่ งประจุ +q1 2. หาขนาดของแรงทก2ี ระทาํ กบั q3 0.3 m 0.5 m F23y F23 FF2133xx F1 = k q1q3 0.4 m +q3 α F13 r123 0.3 m F13y = (9 ´109 ) æ (2 ´10-6 )(4 ´10-6 ) ö +q2 ç (0.5)2 ÷ è ø = 0.29N

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 17 ตย.1.2 จากรปู ประจจุ ดุ บวกขนาดเทา่ กนั สองประจุ q1 = q2 = 2.0 µC มอี นั ตรกริ ยิ ากบั ประจุ จดุ ทส2ี าม q3 = 4.0 µC จงหาขนาดและทศิ ทางของแรงสทุ ธทิ ท2ี าํ ต่อ q3 Sol n แรงในแนวแกน x และ y คอื 0.4 +q1 0.5 m F23y F23 0.5 FF2133xx F1x = F1 cosa = (0.29) æ ö = 0.23N 0.3 m F13 èç ø÷ 0.4 m +q3 α F1y = -F1 sin a = -(0.29) æ 0.3 ö = -0.17 N 0.3 m èç 0.5 ø÷ F13y +q2 ในทาํ นองเดยี วกนั กบั q2 ทาํ ต่อ q3 คอื F2 Fx = 0.23 + 0.23 = 0.46N จะมคี า่ เทา่ กบั F1 โดยพจิ ารณาจากรปู ทาํ ใหไ้ ดแ้ รงสทุ ธิ Fy = -0.17 + 0.17 = 0N ทท2ี าํ ต่อ q3 มเี ฉพาะในแนวแกน x ทศิ ตามแกน x

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 18 ตย.1.3 จงเปรยี บเทยี บแรงไฟฟ้ากบั แรงดงึ ดดู ระหวา่ งมวลของอเิ ลก็ ตรอนกบั โปรตอนใน อะตอม H ซง2ึ หา่ งกนั 5.3x10-11 m Sol n จาก Fe = k qe q p = (9 ´109 ) æ (-1.6 ´10-19 )(+1.6 ´10-19 ) ö Note: อนุภาคมลู ฐาน re2p ç (5.3 ´10-11 ) 2 ÷ è ø ประจุ e-, p+= 1.6x10-19 C มวล e = 9.11x10-31 kg, = -8.2´10-8 N กรณแี รงดงึ ดดู ระหวา่ งมวลแรงจะมที ศิ ตรงขา้ มกบั เวกเตอรห์ น2ึงหน่วย มวล p = 1.67x10-27 kg Fg = -G me m p = -(6.67 ´10-11 ) æ (9.11´10-31)(1.67 ´10-27 ) ö re2p ç (5.3 ´10-11 ) 2 ÷ è ø = -3.6 ´10-47 N เปรยี บเทยี บ | Fe | = kqe q p = 2.3´1039 เทา่ | Fg | Gmemp

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 19 1.3 สนามไฟฟ้า “An external electric field, meeting it and passing through it, affects the negative as much as the positive quanta of the atom, and pushes the former to one side, and the latter in the other direction.” — Johannes Stark

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 20 สนามไฟฟ้า • Michael Faraday เป็นผเู้ สนอแนวความคดิ ของสนามไฟฟ้าโดยกลา่ ววา่ จะเกดิ สนามไฟฟ้า ขนNึ รอบๆ วตั ถุซง2ึ เรยี กวา่ ประจตุ น้ กาํ เนิด (source charge) • ถา้ นําประจทุ ดสอบ (test charge: q0) เขา้ มาในบรเิ วณทม2ี สี นามไฟฟ้าจะเกดิ แรงกระทาํ ต่อ ประจทุ ดสอบ • ขนาดของสนามไฟฟ้าจะมคี า่ เทา่ กบั + - + - อตั ราสว่ นของแรงทส2ี นามนนัN กระทาํ กบั - + ⇀������ = ������\" ⇀������ - + - ประจทุ ดสอบต่อหน2ึงหน่วยประจทุ ดสอบ + - + ������\" - E! F! F! = q0E! + - = q0 or +

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 21 สนามไฟฟ้า • จจะาเกขกยี ฎนขสอมงกคาลู รอขมอบงส์ นาFม!ไ=ฟkฟ้าqrq2ไ0ดrˆเ้ ป็น E! F! k qq0 rˆ • q0 = = r2 q0 E! q = k r2 rˆ • ถา้ มปี ระจตุ น้ กาํ เนิดมากกวา่ 1 ประจุ + - + - - ประจสุ นามไฟฟ้ารวม + ⇀������ = ������\" ⇀������ - + - åE! = k qi + - ri2 + ������\" - rˆ + - i +

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 22 ตย.1.4 จงหาสนามไฟฟ้าทจ2ี ดุ P เน2ืองจากสองประจวุ างอยทู่ ต2ี าํ แหน่ง ดงั รปู กาํ หนดให้ q1 = 7.0 µC และ q2 = -5.0 µC Sol n 1. วาดรปู แสดงทศิ ทางของสนามไฟฟ้า y 2. หาขนาดของสนามไฟฟ้าทก2ี ระทาํ กบั q3 E1 E E1 = k | q1 | = (9 ´109 ) æ 7.0 ´10-6 ö P ф r12 ç (0.4)2 ÷ θ è ø E2 0.5 m = 3.9´105 N / C 0.4 m E2 = k | q2 | = (9 ´109 ) æ 5.0 ´10-6 ö r22 ç (0.5)2 ÷ è ø θ = 1.8´105 N / C +q1 0.3 m -q2 x

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 23 ตย.1.4 จงหาสนามไฟฟ้าทจ2ี ดุ P เน2ืองจากสองประจวุ างอยทู่ ต2ี าํ แหน่ง ดงั รปู กาํ หนดให้ q1 = 7.0 µC และ q2 = -5.0 µC Sol n 3. รวมสนามไฟฟ้าลพั ธแ์ บบเวกเตอร์ y Ex = E1x + E2x = 0 + E2 cosq E1 E Ex = E531Ex 2+=E12x.1=´100+5 N /C P ф Ex = E2 cos θ q Ey = E1y - E2 y = E1 - E2 sinq E2 0.5 m Ey = E1 - 4 E2 = (3.9´105 ) - (1.4´105 ) 0.4 m 5 Ey = 2.5´105 N / C +q1 θ x -q2 0.3 m

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 24 ตย.1.4 จงหาสนามไฟฟ้าทจ2ี ดุ P เน2ืองจากสองประจวุ างอยทู่ ต2ี าํ แหน่ง ดงั รปู กาํ หนดให้ q1 = 7.0 µC และ q2 = -5.0 µC Sol n หาสนามไฟฟ้าลพั ธ์ y \\E = Ex2 + E 2 = (1.1´105 )2 + (2.5´105 )2 E1 E y ф E = 2.7 ´105 N / C P θ tan f = Ey E2 0.5 m Ex 0.4 m 2.5 ´105 = 1.1´105 = 2.27 θ -q2 \\f = tan-1(2.27) = 66° Ans. E! = 2.7 ´105 N / C, 66° +q1 0.3 m x

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 25 เวกเตอรข์ องแรงและสนามไฟฟ้า • 1) เวกเตอรข์ องแรงระหวา่ งประจชุ นิดเดยี วกนั จะมที ศิ ออกจากกนั • 2) เวกเตอรข์ องแรงระหวา่ งประจตุ ่างชนิดกนั จะมที ศิ เขา้ หากนั • แรงระหวา่ งประจจุ ะเป็นไปตามกฎขอ้ ท2ี 3 ของนิวตนั F!21 = -F!12 F สนามไฟฟ้า แรงเน2ืองจากประจลุ บ เน2ืองจากประจบุ วก แรงเน2ืองจากประจบุ วก q0 P E q0 P P r r P rF rE -q สนามไฟฟ้า +q +q -q เน2ืองจากประจลุ บ

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 26 สนามไฟฟ้าของประจทุ ก2ี ระจายอยา่ งต่อเน2ือง • สนามไฟฟ้าทจ2ี ดุ P เน2ืองจากประจบุ นชนNิ สว่ นเลก็ ๆ DE! Dq = k r2 rˆ åE! » k Dqi i ri2 • พจิ ารณาเมอ2ื สว่ นเลก็ มขี นาดน้อยมากๆ (Dq ® 0) P åE! = k lim Dqi ΔE Dq®0 i ri2 E! = k ò drq2 rˆ

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 27 ตย.1.5 ลวดตรงยาว 2a มปี ระจไุ ฟฟ้าบวกกระจายสม2าํ เสมอต่อเน2ืองซง2ึ วางอยใู่ นแนวแกน y ระหวา่ ง y= -a และ y= +a ดงั รปู จงหาสนามไฟฟ้าตรงจดุ P บนแกน x ทอ2ี ยหู่ า่ งจากจดุ กาํ เนิดเป็นระยะ x กาํ หนดใหล้ วดมปี ระจตุ ่อหน่วยความยาวเทา่ กบั +λ C/m Soln 1. พจิ ารณาประจกุ ระจายต่อเน2ืองบนความยาว q +a y จะได้ dq = ldy, l = 2a + (สนามไฟฟ้าสว่ นเลก็ ๆ) dE! ldy + r2 y+ r = k rˆ + xθ P dEx + θ ระยะ r หา่ งจากจดุ P เป็นระยะ x2+y2 + x จะได้ dE! = kl dy rˆ + dEy dE 2 + y2 (x ) + แลว้ พจิ ารญารวมแบบเวกเตอร์ โดยแยก dE เขา้ แกน x และแกน y -a +

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 28 ตย.1.5 ลวดตรงยาว 2a มปี ระจไุ ฟฟ้าบวกกระจายสม2าํ เสมอต่อเน2ืองซง2ึ วางอยใู่ นแนวแกน y ระหวา่ ง y= -a และ y= +a ดงั รปู จงหาสนามไฟฟ้าตรงจดุ P บนแกน x ทอ2ี ยหู่ า่ งจากจดุ กาํ เนิดเป็นระยะ x กาํ หนดใหล้ วดมปี ระจตุ ่อหน่วยความยาวเทา่ กบั +λ C/m Sol n 2. พจิ ารณา dE ในแนวแกน x จะได้ +a y cosθ = x (x2 y2 )1/ 2 òdE! x dy qˆi + + 2 + y2 E! x = kl cos + = kλ y+ r (x ) x x+ P dEx dy r θ θ x + y2 cosθˆi + (x 2 ) + + dEy dEdE! òE!x= a xdy iˆ **จาก Integrated + = kλdy ) rˆ = + y2 (x2 + y2 E!x kλ (x2 )3 / 2 -a + -a ù+a dy = 1 × (x2 + y ú + y2 x2 y2 kλx é 1 y û-a òiˆ (x2 )3/ 2 )1/ 2 ê x2 + y2 ë (x2 )1/ 2

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 29 ตย.1.5 ลวดตรงยาว 2a มปี ระจไุ ฟฟ้าบวกกระจายสม2าํ เสมอต่อเน2ืองซง2ึ วางอยใู่ นแนวแกน y ระหวา่ ง y= -a และ y= +a ดงั รปู จงหาสนามไฟฟ้าตรงจดุ P บนแกน x ทอ2ี ยหู่ า่ งจากจดุ กาํ เนิดเป็นระยะ x กาํ หนดใหล้ วดมปี ระจตุ ่อหน่วยความยาวเทา่ กบั +λ C/m Sol n E!x = kλx é 1 y ù+a iˆ +a y ê x2 (x2 + y2 )1/ 2 ú ë û -a + E!x = kλ é (+a) )1/ 2 - (x2 (-a) )1/ 2 ù iˆ + r P dEx x x êë(x2 +(+a)2 +(-a)2 úû xθ θ y+ + + + E!x 2kλ é a ù + dEy dE x + a2 ú = ê (x2 )1/ 2 û iˆ + ë -a + ดงั นนัN Ex = 2kλ é 1 ù iˆ x ê a2 +1)1/ 2 ú ëêê( x2 ú úû

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 30 ตย.1.5 ลวดตรงยาว 2a มปี ระจไุ ฟฟ้าบวกกระจายสม2าํ เสมอต่อเน2ืองซง2ึ วางอยใู่ นแนวแกน y ระหวา่ ง y= -a และ y= +a ดงั รปู จงหาสนามไฟฟ้าตรงจดุ P บนแกน x ทอ2ี ยหู่ า่ งจากจดุ กาํ เนิดเป็นระยะ x กาํ หนดใหล้ วดมปี ระจตุ ่อหน่วยความยาวเทา่ กบั +λ C/m Soln 3. พจิ ารณา dE ในแนวแกน y จะได้ +a y ** sinθ = (x2 + y 2 )1/ 2 dy y dE y = -kl (x2 + y2) sin qˆi + + r y+ xθ ในกรณนี Nีจะเหน็ วา่ ผลรวมของเวกเตอรส์ นามไฟฟ้า + P dEx x + θ + ในแนวแกน y เป็นศนู ย์ เน2ืองจากความสมมาตร + dEy dE \\ Ey = 0ˆj (**ลองไปทาํ ดเู อง) + -a + สนามไฟฟ้าลพั ธห์ าไดจ้ าก E = Ex2 + Ey2 **ถา้ ลวดยาวมากๆ (a >> x) จะได้ Ex = 2kλ é 1 ù iˆ จะได้ ( x 2 ) = 0 \\ E = 2kl iˆ x ê a2 +1)1/ ú a 2 x ëêê( x2 2 ú úû

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 31 ตย.1.6 วงแหวนแบน (Circular ring) รศั มี a อยใู่ นระนาบ yz ดงั รปู มปี ระจไุ ฟฟ้า q กระจาย ต่อเน2ืองสม2าํ เสมอ จงหาสนามไฟฟ้า ณ ตาํ แหน่งบนแกนทผ2ี า่ น ศ.ก. และตงัN ฉากกบั ระนาบ ของวงแหวนเป็นระยะ x เมตร Sol n dE = dEy + dEx = dEy + dE cosqiˆ y วงแหวนสมมาตรทาํ ให้ dEy = 0 dq+ + dEx = dE cosq = æ k dq ö x +a + r èç r2 ø÷ r kx + + P dEx x x2 + a2 + E=0 + θ ( )dEx = 3/2 dq x θ dEx = kx dq kx dq ++ dEy dE + a2)32 + a2)32 ++ ò ò òE = Ex = = (x2 (x2 \\E = (x2 kx ×q + a2)32

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 32 ตย.1.6 วงแหวนแบน (Circular ring) รศั มี a อยใู่ นระนาบ yz ดงั รปู มปี ระจไุ ฟฟ้า q กระจาย ต่อเน2ืองสม2าํ เสมอ จงหาสนามไฟฟ้า ณ ตาํ แหน่งบนแกนทผ2ี า่ น ศ.ก. และตงัN ฉากกบั ระนาบ ของวงแหวนเป็นระยะ x เมตร Sol n E kx ×q y + a2)32 = (x2 ทจ2ี ดุ ศ.ก. ของวงแหวน (x = 0) dq+ + จะได้ E = 0 เมอ2ื x มคี า่ มากกวา่ a มากๆ +a + r + + x θ P dEx x + E=0 + θ E » kq ++ dEy dE x2 ++

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 33 เสน้ สนามไฟฟ้า (Electric field line) • จะแสดงใหเ้ หน็ ภาพของสนามไฟฟ้าโดยเวกเตอรข์ องสนามไฟฟ้าจะ เป็นเสน้ สมั ผสั กบั เสน้ สนามไฟฟ้าในแต่ละจดุ • จาํ นวนของเสน้ สนามไฟฟ้าซง2ึ ผา่ นผวิ ทต2ี งัN ฉากกบั เสน้ สนามไฟฟ้าจะ เป็นปฏภิ าคกบั ขนาดของสนามไฟฟ้า • (เสน้ มาก, สนามไฟฟ้าใหญ่) จากรปู ขนาดของสนามไฟฟ้าในระนาบ A จะสงู กวา่ ในระนาบ B

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 34 เสน้ สนามไฟฟ้าในประจุ • เสน้ สนามไฟฟ้าจะออกจากประจบุ วกและเขา้ ประจลุ บ ประจบุ วก ประจลุ บ

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 35 เสน้ สนามไฟฟ้าในประจุ • สาํ หรบั ขวัN คไู่ ฟฟ้าจาํ นวนเสน้ สนามไฟฟ้าทอ2ี อกจากประจบุ วกจะเทา่ กบั ทเ2ี ขา้ สปู่ ระจลุ บ • สาํ หรบั ประจบุ วก 2 ประจทุ ม2ี ขี นาดเทา่ กนั จาํ นวนเสน้ สนามไฟฟ้าทอ2ี อกจากแต่ละประจุ เทา่ กนั คขู่ วัN ไฟฟ้า ประจบุ วก 2 ประจุ

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 36 การเคลอ2ื นทข2ี องประจใุ นสนามไฟฟ้า • เมอ2ื วางประจใุ นบรเิ วณทม2ี สี นามไฟฟ้าจะเกดิ แรงกระทาํ ต่อประจุ แลว้ ทาํ ให้ ประจเุ คลอ2ื นทต2ี ามกฎขอ้ ท2ี 2 ของนิวตนั Fe = qE = ma • ถา้ สนามไฟฟ้ามขี นาดสม2าํ เสมอประจจุ ะเคลอ2ื นทด2ี ว้ ยความเรง่ คงตวั มคี า่ เป็น qE a = m ทศิ ทางของการเคลอ2ื นทข2ี องประจบุ วกจะมที ศิ เชน่ เดยี วกบั ทศิ ของสนามไฟฟ้า แต่สาํ หรบั ประจลุ บจะมที ศิ ตรงกนั ขา้ ม

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 37 1.4 กฎของเกาส์ You know that I write slowly. This is chiefly because I am never satisfied until I have said as much as possible in a few words, and writing briefly takes far more time than writing at length. — Carl Friedrich Gauss

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 38 ฟลกั ซไ์ ฟฟ้า (Electric flux) • หมายถงึ จาํ นวนเสน้ สนามไฟฟ้าทผ2ี า่ นพนNื ทผ2ี วิ ซง2ึ อาจจะเป็นผวิ ปิดหรอื เปิดใดๆ กไ็ ด้ ฟลกั ซไ์ ฟฟ้าเป็นปฏภิ าคกบั เสน้ สนามไฟฟ้า ทผ2ี า่ นพนNื ผวิ E! × A! หน่วย N.m2/C FE = • ถา้ เสน้ สนามไฟฟ้าทาํ มมุ θ ดงั รปู กบั เสน้ ตงัN ฉากกบั พนNื ผวิ จะได้ FE = EAcosq ΦE จะมคี า่ สงู สดุ เมอ2ื A! \" E!, FE = 0 ถา้ A! ^ E!

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 39 ฟลกั ซไ์ ฟฟ้ากบั ระนาบ • คา่ ของฟลกั ซไ์ ฟฟ้าขนNึ กบั มมุ ระหวา่ ง E กบั A ดว้ ย q q qq A\" ^ E\", A\" # E\", FE = EAcosq FE = EAcos90! 0 FE = EAcos 0! 1 FE = 0 FE = EA

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 40 ฟลกั ซไ์ ฟฟ้าในพนNื ทส2ี ว่ นเลก็ ๆ • ในกรณที วั2 ไป สนามไฟฟ้าจะมคี า่ เปลย2ี นแปลง ไปทวั2 พนNื ผวิ ดงั นนัN ฟลกั ซไ์ ฟฟ้าสามารถจะ พจิ ารณาพนNื ทเ2ี ลก็ ๆ นนั2 คอื DFE = EiDAi cosq = E!iDA!i • ฟลกั ซไ์ ฟฟ้าทงัN หมดทผ2ี า่ นพนNื ทผ2ี วิ คอื การรวมฟลกั ซข์ องแต่ละสว่ นพนNื ผวิ เลก็ ๆ E!i dA!i \"im SEi DAi surface DAi ®0 òDF E= =

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 41 การหาฟลกั ซท์ ผ2ี า่ นพนNื ผวิ ทม2ี รี ปู รา่ ง • ฟลกั ซส์ ทุ ธิ จะเป็นสดั สว่ นโดยตรงกบั จาํ นวนเสน้ สนามไฟฟ้าสทุ ธทิ พ2ี งุ่ ออกจาก พนNื ผวิ ฟลกั ซส์ ทุ ธขิ องพนNื ผวิ ปิดใดๆ หาไดจ้ าก DFE = ò E × dA! = ò En × dA • เมอ2ื En คอื องคป์ ระกอบของสนามไฟฟ้า ทต2ี งัN ฉากกบั พนNื ผวิ

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 42 ตย.1.7 จงหาฟลกั ซไ์ ฟฟ้าสทุ ธทิ ผ2ี า่ นกลอ่ งลกู บาศก์ ดงั รปู 2 Sol n พจิ ารณาฟลกั ซท์ ผ2ี า่ นแต่ละดา้ น rแลว้ มารวมกนั จาก FE = ò E! × dA! ดา้ นท2ี 1; FE1 = ò E\" × dA\" = ò E(cos180!)dA 1 ดา้ นท2ี 2; òFE1 = -E dA = -EA = -E#2 1 F E2 = ò E\" × dA\" ò E (cos 0! )dA = 2 òFE2 = E dA = EA = E#2 2 ดา้ นท2ี 3 ถงึ 90o กบั พนNื ท2ี ; FE3 = FE4 = FE5 = FE6 = 0 6 ทาํ มมุ \\FE = (-E!2 ) + (E!2 ) + 0 + 0 + 0 + 0 = 0 N×m2 C

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 43 กฎของเกาส์ (Gauss’s law) • เป็นกฎทก2ี ลา่ วถงึ ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งฟลกั ซไ์ ฟฟ้าสทุ ธบิ นผวิ ปิดใดๆ กบั ประจสุ ทุ ธทิ อ2ี ยใู่ นผวิ ปิดนนัN • พนNื ผวิ ดงั กลา่ ว เรยี กวา่ ผวิ เกาสเ์ ซยี น • ถา้ มปี ระจุ q ณ จดุ ศ.ก.ของทรงกลมรศั มี r สนามไฟฟ้า ณ ทกุ จดุ บนผวิ ทรงกลม จะมคี า่ เป็น E = kq r2 • จาํ นวนเสน้ สนามไฟฟ้า E จะมที ศิ ชอNี อกและตงัN ฉากกบั ผวิ ทรงกลม ณ ทกุ ๆจดุ และมคี า่ เป็น FE = ò E! × dA!

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 44 กฎของเกาส์ (Gauss’s law) • กฎของเกาส์ คอื òFE = E! × dA! = qin e0 qin คอื จดุ ประจสุ ทุ ธภิ ายในผวิ ปิด และ E คอื สนามไฟฟ้า ณ จดุ ต่างๆบนผวิ ปิด E! × dA! = EdA = qin ò òFE = e0 òE dA = qin e0 E(4p r2 ) = q \\E q = kq e0 r2 = 4pe0r2

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 45 หลกั การใชก้ ฎของเกาส์ (Gauss’s law) • 1. พจิ ารณาใชล้ กั ษณะสมมาตรของประจหุ รอื ระบบประจใุ หเ้ ป็นประโยชน์ในการหารปู แบบของ เสน้ สนามไฟฟ้า • 2. เลอื กผวิ ปิดเกาสเ์ ซยี นให้ E มที ศิ ขนานหรอื ตงัN ฉากกบั qin = Q • 3. ผลจากขอ้ 2 ถา้ E ! nˆdA และขนาดของ E มคี า่ คงตวั ทผ2ี วิ นนัN จะได้ ò EnˆdA = E ò dA จะเหน็ วา่ ทาํ ใหง้ า่ ยในการคาํ นวณ

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 46 1. สนามไฟฟ้าของประจทุ ก2ี ระจายบนทรงกลมกลวง รศั มี R • ตาํ แหน่งทอ2ี ยนู่ อกทรงกลม (r>R) E! × dA! = EdA = qin ò òFE = e0 R Q 1 Q kQ E(4p r2 ) = Þ E = × r2 = r2 e0 4pe 0 • ตาํ แหน่งทอ2ี ยใู่ นทรงกลม (r<R) สนามไฟฟ้าบนทรงกลมกลวง ò E! × dA! = E(4p r2 ) = 0 Þ E = 0 e0

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 47 2. ประจุ Q กระจายอยา่ งสม2าํ เสมอในทรงกลมตนั รศั มี R • สาํ หรบั r>R เขยี นผวิ เกาสเ์ ซยี นใหม้ รี ศั มี r ดงั รปู จาก E! × dA! = EdA = qin ò òFE = e0 เน2ืองจากทกุ จดุ บนผวิ เกาสเ์ ซยี น R สนามไฟฟ้ามคี า่ คงตวั สนามไฟฟ้าบนทรงกลมตนั r>R ò EdA = qin e0 E(4p r2 ) = Q \\E = 1 Q = kQ e0 × r2 r2 4pe 0

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 48 2. ประจุ Q กระจายอยา่ งสม2าํ เสมอในทรงกลมตนั รศั มี R • สาํ หรบั r<R เขยี นผวิ ปิดเกาสเ์ ซยี นรศั มี r ภายในทรงกลม qin =Q และหาคา่ ไดจ้ ากสมการความหนาแน่น ρ r = Q = qin \\ qin = Qr 3 R R3 R (43)p R3 (43)p r3 • จากกฎของเกาส์ E! × dA! = EdA = qin ò òFE = e0 • จะได้ æ Qr3 ö æ Qr3 ö R ç ÷ ç ÷ R3 ø Þ E = è R3 ø = k Qr สนามไฟฟ้าบนทรRงกลมตนั r<R E(4p r2 ) = è R3 e0 4pe 0 r 2

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 49 3. สนามไฟฟ้าของเสน้ ประจยุ าวอนนั ต์ • มคี วามหนาแน่นประจเุ ชงิ เสน้ l = Q รอบๆเสน้ ประจุ ดงั รปู ผวิ บนและลา่ ง E! ^ A! ! ผวิ ดา้ นFขEา้ ง=ทòรงE\"ก×รdะAบ\" อ=กEAE!c\"osA!90จ! า=กqeกi0nฎ=ขอ0งเกาส์ E! × dA! = EdA = qin ò òFE = e0 E(2p r\") = l\" e0 E = l = 2kl 2p re0 r

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 50 4. สนามไฟฟ้าเน2ืองจากแผน่ ประจขุ นาดอนนั ต์ • มคี วามหนาแน่นเชงิ พนNื ท2ี s = Q ดงั รปู A • E ตงัN ฉากแผน่ ประจุ ดงั นนัN ฟลกั ซไ์ ฟฟ้าบนผวิ ดา้ นขา้ งของผวิ เกาสเ์ ซยี นจะเป็นศนู ย,์ ฟลกั ซไ์ ฟฟ้าบนผวิ หวั -ทา้ ยของผวิ เกาสเ์ ซยี นจะมคี า่ เป็น 2EA จากกฎของเกาสจ์ ะได้ E! × dA! = EdA = qin ò òFE = e0 E1 A1 + E2 A2 = qin e0 EA + EA = sA Þ\\ E = s e0 2e 0