2 1 LECTURE FUNSC101 BY KITTISAK PHYSICS 1 UMMA FOR ENGINEERS The study of mechanics of particles and rigid body, properties of matter, fluid mechanics, heat, vibrations and waves. Teaching focuses on the main principles of physics including with skills of analytic and calculation for solving engineering problems.
2 CHAPTER 2 VECTORS Rectangular Components of Vector, Vector addition and subtraction, and Vector multiplication K. UMMA PHYSICS 1 FOR ENGINEERS
3 เวกเตอร์ 2.1 ระบบพิกดั (vectors) 2.2 ปริมาณสเกลาร์และปริมาณเวกเตอร์ 2.3 คณุ สมบตั ขิ องปริมาณเวกเตอร์ 2.4 องค์ประกอบของเวกเตอร์และเวกเตอร์หนงBึ หนว่ ย 2.5 ผลคณู ของเวกเตอร์ PHYSICS 1 FOR ENGINEERS K.UMMA
2.1 ระบบพกิ ดั 4 (coordinate systems) ระบบพิกดั มีไว้เพื1อใช้เป็นกรอบอ้างอิง ใช้อธิบายตําแหนง่ จดุ ในที1วา่ ง ระบบพิกดั ประกอบด้วย PHYSICS 1 FOR ENGINEERS จดุ อ้างอิงคงที1ที1เรียกวา่ จดุ กําเนิด แกนที1มีสเกลและช1ือ วิธีการระบตุ ําแหนง่ เม1ือเทียบกบั จดุ กําเนิดและแกน โดยท&วั ไประบบพกิ ัดแบ่งออกเป็ น ระบบพิกดั ทรงกลม (Spherical coordinate) ระบบพกิ ัดคาร์ทเี ซียน ระบบพิกดั ทรงกระบอก (Cartesian coordinate) (Cylindrical coordinate) ระบบพกิ ัดเชงิ ขัวL K.UMMA (Plane Polar coordinate)
5 ระบบพกิ ดั ระบบพิกดั คาร์ทิเซียน หรือ ระบบพิกดั ฉาก (rectangular coordinate system) ประกอบไปด้วยแกน x และ แกน y (coordinate systems) พิกดั ของจดุ จะบอกด้วย (x, y) PHYSICS 1 FOR ENGINEERS ระบบพิกดั เชิงขวั] ต้องมีการกําหนดจดุ กําเนิด (origin) และเส้นเทียบ (reference line) ตําแหนง่ ใดๆ บง่ ด้วย ระยะทาง r จากจดุ กําเนิด และทํามมุ ⍬ กบั เส้นเทียบในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา จดุ ในระบบพิกดั บอกด้วย (r, ⍬) K.UMMA
ตรโี กณมติ ิ 6 PHYSICS 1 FOR ENGINEERS K.UMMA
7 การแปลงระบบ r = x2 + y2 พกิ ดั tan q = y ,\\q = tan -1 æ y ö คารท์ เิ ซยี น & เชงิ ขวั0 x èç x ø÷ x = r cosq (r,q ) = æ x2 + y2 , tan -1 æ y ö ö y = r sinq çè èç x ø÷ ø÷ K.UMMA ( x, y) = (r cosq , r sinq ) PHYSICS 1 FOR ENGINEERS
2.2 ปรมิ าณ 8 สเกลารแ์ ละ ปรมิ าณเวกเตอร์ ปริมาณทางฟิสกิ ส์แบง่ ออกได้เป็น 2 ชนิด คือ ปริมาณสเกลาร์ เป็นปริมาณที1สามารถอธิบายได้โดยการบอกขนาด เพียงอยา่ งเดียว อยา่ งเชน่ มวล 2 kg พลงั งาน 100 J ปริมาณเวกเตอร์ เป็นปริมาณท1ีประกอบด้วยขนาดและทิศทาง อยา่ งเชน่ ระยะกระจดั ความเร็ว ความเร่ง แรง โมเมนตมั เดนิ ทางจาก A ไป B ตวั อยา่ งปริมาณเวกเตอร์ “รถยนต์วิ*งดว้ ยความเร็ว เดนิ ทางจาก A ไป B ไปทางทิศ 45 กิโลเมตรต่อชวั* โมง ใน ตะวนั ออกเฉียงเหนือ ทิศตะวนั ออกเฉียงเหนือ” PHYSICS 1 FOR ENGINEERS K.UMMA
9 ปรมิ าณ แบบที1 1 : มีระยะทาง 36.6 กิโลเมตร ใช้เวลาประมาณ 50 นาที สเกลารแ์ ละ ปรมิ าณเวกเตอร์ แบบที1 2 : มีระยะทาง 31.6 กิโลเมตร ใช้เวลาประมาณ 52 นาที การเดนิ ทางจาก มทร.ล้านนา (เจ็ดลนิ ) ไป มทร.ล้านนา (ดอยสะเก็ด) PHYSICS 1 FOR ENGINEERS K.UMMA
สญั ลกั ษณ์ 10 ของเวกเตอร์ K.UMMA PHYSICS 1 FOR ENGINEERS
เวกเตอรล์ พั ธใ์ น 11 ระบบพกิ ดั ฉาก เวกเตอร์ลพั ธ์ เป็นเวกเตอร์ชนิดเดียวกนั หลายเวกเตอร์ (เชน่ เวกเตอร์ แรงหลายแรง) คือ เวกเตอร์เด1ียวที1ให้ผลเชน่ เดียวกบั ผลท1ีเกิดจาก เวกเตอร์เดมิ ทงั] หมดรวมกนั PHYSICS 1 FOR ENGINEERS K.UMMA
12 **ถ้าเป็นพิกดั เชิงขวั] จะได้ เวกเตอรล์ พั ธใ์ น ระบบพกิ ดั เชงิ ขวั7 !\" r = A = 52 + 32 = 5.83 θ= tan−1 ⎛ 3⎞ = 51! = 0.54 rad !\" ⎜⎝ 5⎠⎟ A = 5.83rˆ + 0.54θˆ PHYSICS 1 FOR ENGINEERS K.UMMA
2.3 คณุ สมบตั ิ 1. การเทา่ กนั ของเวกเตอร์ y 13 ของปรมิ าณ เวกเตอร์ เวกเตอร์สองคา่ จะเท่ากนั ได้ก็ต่อเมWือมี A⃑ D⃑ ข น า ด เ ท่า กัน แ ล ะ มี ทิ ศ ท า ง เ ดี ย ว กัน B⃑ C⃑ เวกเตอร์ A⃑ จะเทา่ กนั กบั เวกเตอร์ B⃑ ก็ ต่อเมWือขนาดของเวกเตอร์ทังZ สองเท่ากัน x A⃑ = B⃑ หากวาดแผนภาพแสดงทิศทาง หัวลูกศรแสดงทิศทางจะต้ องไปทาง K.UMMA เดียวกัน และมีแนวของเส้ นขนานกัน ดงั รูป เวกเตอร์ A⃑ และเวกเตอร์ B⃑ คือ เวกเตอร์ทีWเทา่ กนั PHYSICS 1 FOR ENGINEERS
2. การบวก 14 เวกเตอร์ การบวกเวกเตอร์สามารถทําได้หลายวิธี ในท1ีนีจ] ะกลา่ วถงึ 3 วิธี คือ PHYSICS 1 FOR ENGINEERS u. วิธีวาดรูป - หางตอ่ หวั x. วิธีวาดรูป - สเี1 หลยี1 มด้านขนาน y. วิธีการรวมสว่ นประกอบเวกเตอร์ (แตกเวกเตอร์) y y B! A! +B! (A! +B! = A+Bcosθ )ˆi+(Bsinθ )ˆj Bsin q B! A! x q A! x Bcos q K.UMMA
วธิ หี างตอ่ หวั 15 อตั ราสว่ นวาด : อตั ราสว่ น 1. กําหนดอตั ราสว่ น โดยเลือกสเกลท1ีเหมาะสม จริง 2. วาดเวกเตอร์ หางตอ่ หวั เชน่ 3. เวกเตอร์ลพั ธ์ คือ เวกเตอร์ที1วาดจากจดุ เร1ิมต้นของเวกเตอร์แรกไป 1 cm : 1 km ถงึ ปลายของเวกเตอร์สดุ ท้าย PHYSICS 1 FOR ENGINEERS 4. วดั ความยาวและมมุ ของ เวกเตอร์ลพั ธ์ เทียบกบั สเกล ที1กําหนด K.UMMA
การรวมเวกเตอรแ์ บบหางต่อหวั 16 A⃑ R⃑1 = A⃑ + B⃑ B⃑ 21o D⃑ B⃑ 63o A⃑ 45oD⃑ C⃑ C⃑ R⃑2 = A⃑ + B⃑ + C⃑ + D⃑ 108o B⃑ อัตราสว' น 1 ชอ' ง : 1 หน'วย 143o A⃑ K.UMMA PHYSICS 1 FOR ENGINEERS
17 วธิ สี เ@ี หลย@ี มดา้ น 1. วาดเวกเตอร์ท1ีจดุ กําเนิดเดียวกนั ขนาน 2. วาดเวกเตอร์ขนานกบั เวกเตอร์เริ1มต้น 3. ได้เวกเตอร์ลพั ธ์คือเส้นทแยงมมุ ของสเี1 หลย1ี มด้านขนาน PHYSICS 1 FOR ENGINEERS K.UMMA
การรวมสอง การรวมเวกเตอร์โดยวิธีคํานวณทําได้ทีละ x เวกเตอร์ 18 เวกเตอร์ หาขนาดของเวกเตอร์ลพั ธ์โดย กฎของโคไซน์ (law of cosine) K.UMMA ถ้ามี 2 เวกเตอร์สามารถ R! = A2 +B2 +2ABcosθ รวมเวกเตอร์โดยวธิ ีทาง พชี คณิตได้ หาทิศทางจาก **กฎนีใH ชไ้ ดเ้ ฉพาะ 2 เวกเตอร์ R! A! B! sinθ = sin β = sinα กฎของไซน์ (law of sines) PHYSICS 1 FOR ENGINEERS
3. การลบ A! +(−A! ) = 0 19 เวกเตอร์ K.UMMA การลบเวกเตอร์ สามารถหาเวกเตอร์ลพั ธ์ได้เชน่ เดียวกบั การ บวกเวกเตอร์ แตใ่ ห้กลบั ทิศทางของเวกเตอร์ตวั ลบ A! − B! = A! +(−B! ) PHYSICS 1 FOR ENGINEERS
เวกเตอรล์ พั ธข์ องเวกเตอร์ A⃑ - B⃑ 20 A⃑ A⃑ 63o K.UMMA 33.7o -B⃑ B⃑ 63o R⃑ = A⃑ − B⃑ 63o−B⃑ อัตราส'วน 1 ช'อง : 1 หน'วย PHYSICS 1 FOR ENGINEERS
คณุ สมบตั ิ 21 พนEื ฐานของ เวกเตอร์ ถ้า A⃑ และ B⃑ เป็นปริมาณเวกเตอร์ และ m, n เป็นปริมาณสเกลาร์ 1. A⃑ + B⃑ = B⃑ + A⃑ กฎข้อนีค] ือการสลบั ที1ของการบวก แตถ่ ้าเป็น A⃑ − B⃑ ≠ B⃑ − A⃑ การลบไมส่ ามารถสลบั ท1ีได้ 2. (A⃑ + B⃑) + C = A⃑ + (B⃑ + C) การบวกเวกเตอร์สามารถเปลย1ี นกลมุ่ ได้ 3. mA⃑ = A⃑m คือ เวกเตอร์ท1ีมีขนาดเป็น m เทา่ ของ A⃑ แตท่ ิศทางขนึ ] อยกู่ บั เครื1องหมายของ m 4. m(A⃑ + B⃑) = mA⃑ + mB⃑ 5. (m + n) = mA⃑ + mB⃑ PHYSICS 1 FOR ENGINEERS K.UMMA
22 ตย. 2.1 จงหาขนาดและทิศทางของเวกเตอร์ลพั ธ์ดงั ตอ่ ไปนี < ก) A⃑ + B⃑ − C ข) B⃑ − C − A⃑ 37o B⃑ = 3.6 หนว' ย C⃑ = 4 หน'วย A⃑ = 5 หนว' ย 56.3o K.UMMA PHYSICS 1 FOR ENGINEERS
23 ก) A⃑ + B⃑ − C กําหนดอตั ราสว่ นในการวาดรูป 1 หนว่ ย : 1 cm, ใช้วิธีวาดรูปแบบหางตอ่ หวั R⃑ = 7.2 cm หนว8 ย - C⃑ = 4 cm หน8วย 33.3o A⃑ = 5 cm หนว8 ย B⃑ = 3.6 cm หน8วย ดงั นนัR เวกเตอร์ลพั ธ์มีขนาด 7.2 หนว่ ย, ทิศทางทํามมุ 33.3o กบั แกน +x PHYSICS 1 FOR ENGINEERS K.UMMA
ข) B⃑ − C − A⃑ 24 PHYSICS 1 FOR ENGINEERS K.UMMA
25 2.4 องคป์ ระกอบ องค์ประกอบของเวกเตอร์ (Vector Component) คือ ขนาดของ เวกเตอร์นนั] ท1ีเทียบกบั แกนหลกั ในระบบพิกดั ท1ีใช้ ของเวกเตอรแ์ ละ เวกเตอรห์ น@ึงหน่วย ขนา!ด\"ของเวกเตอร์2 2 A= A x +A y !\" (Acosθ )2 +(Asinθ )2 ( ) ( )!\" A= A=A ทศิ ทาง ⎛ A ⎞ !\"x#i+A y #j ⎝⎜ A ⎠⎟ !i+ θ =tan-1 y A= Acosθ Asinθ !j x PHYSICS 1 FOR ENGINEERS K.UMMA
26 เวกเตอรห์ น@ึง •เวกเตอร์หน<ึงหน่วย (unit vector) หมายถงึ เวกเตอร์ที1มีขนาดหนง1ึ หน่วย (unit vector) หนว่ ยในทิศทางใด ๆ และไมม่ ีหนว่ ย เวกเตอร์นีม] ีหน้าที1ชีท] ิศเทา่ นนั] เชน่ เวกเตอร์ A⃑ สามารถเขียนได้ด้วยขนาดของ A⃑ คณู กบั เวกเตอร์หนง1ึ หนว่ ย PHYSICS 1 FOR ENGINEERS e⃑A ซงึ1 มีทิศทางเดียวกบั A⃑ คือ A⃑ = Ae⃑A ทหิศรือทางเดียe⃑วAกนั=กบัAAA⃑โดยทีW e⃑A คือ เวกเตอร์หนงึW หนว่ ยมีขนาดหนงWึ หนว่ ยและ เวกเตอร์หนง1ึ หนว่ ยในแนวแกน x, y,และ z แทนด้วยสญั ลกั ษณ์ î , ĵ , k̂ Ax Ay Az î= Ax , ĵ= Ay , k̂ = Az เวกเตอร์ทงั] สามมีทิศตงั] ฉากกนั K.UMMA
เวกเตอรห์ น@ึง ˆi, ˆj, kˆ 27 หน่วย (unit vector) 3ˆi K.UMMA PHYSICS 1 FOR ENGINEERS -5kˆ R! = R xˆi + R yˆj + Rzkˆ ˆi, ˆj, kˆ
การเขยี น เวกเตอรท์ ส1ี มบรู ณ์แสดงไดด้ งั น;ี 28 เวกเตอรใ์ นรปู เวกเตอรห์ น@ึง K.UMMA หน่วย PHYSICS 1 FOR ENGINEERS
การเขยี น ใช้ และ 29 เวกเตอรใ์ นรปู จาก และ เวกเตอรห์ น@ึง K.UMMA หน่วย ดงั นนั; PHYSICS 1 FOR ENGINEERS
30 องคป์ ระกอบ ในกรณีทBีแตกเวกเตอร์บนระนาบ 2 มิติ จะได้ กอบของ เวกเตอร์ y ( ) ( )R!=R xiˆ + R y ˆj ˆj = Rcosθ iˆ + **แตกเขา้ หามมุ เป็น cos R! R! แตกหนีมมุ เป็น sin Rsinθ PHYSICS 1 FOR ENGINEERS Ry R! = R 2 +R 2 x y ( ) ( )q Rx x R! = Rcosθ 2 + Rsinθ 2 θ = tan-1 ⎛ R y ⎞ ⎜⎝ R x ⎟⎠ K.UMMA
การเขยี น 31 เวกเตอรใ์ นรปู เวกเตอรห์ น@ึง K.UMMA หน่วย รูปแบบ 3 มิติ PHYSICS 1 FOR ENGINEERS
32 แตกองค์ประกอบของเวกเตอร์ในระบบพิกดั ฉาก (x,y,z) จะได้ องคป์ ระกอบ y R! = Rxˆi + Ryˆj + Rzkˆ กเวอกบเตขออรง์ 3 มติ ิ Ry R! R x = Rsinθcosφ R y = Rsinθsinφ ˆj θ rˆiˆ Rx Rz = Rcosφ kˆ φ x R! = Rz R 2 +R 2 + R 2 x y z z rˆ = (sinθcosφ)iˆ+(sinθsinφ) ˆj +(cosφ)kˆ PHYSICS 1 FOR ENGINEERS K.UMMA
33 การรวมเวกเตอร์ y R! 1 RRR!!! 132 = R1xiˆ + R1y ˆj ˆj หลายเวกเตอร์ = − R 2xiˆ + R 2y ˆj R! 2 = − R3xiˆ − R3y 3 step q x ดงั นนั ] เวกเตอร์ลพั ธ์ 1. แตกเวกเตอร์เข้าแกน xและ ของสามเวกเตอร์ คือ แกน y ( ) ( )R! ˆj 2. รวมเวกเตอร์แกน x และ R! แกน y R! 3 = R1x − R 2x − R 3x iˆ + R1y + R 2y − R3y 3. หาเวกเตอร์ลพั ธ์ R = R xiˆ + R y ˆj PHYSICS 1 FOR ENGINEERS R! = R 2 +R 2 θ = tan-1 ⎛ R y ⎞ x y ⎝⎜ R x ⎠⎟ K.UMMA
ตย. 2.2 34 กําหนดให้ A⃑ = 2 î + 3 ĵ , B⃑ = 5 î - 4 ĵ และ C = 4 î + 3 ĵ - 2 k̂ จงหาขนาดและทิศทางเทียบกบั แกน +x ของเวกเตอร์ตอ่ ไปนี < ก) A⃑ วธิ ีทาํ ขนาด A⃑ = A2x + A2y = 22 + 32 = 3.61 หนว่ ย ทิศทาง θ = tan-1 ( 3 ) = 56.3o 2 PHYSICS 1 FOR ENGINEERS K.UMMA
35 ข) A⃑ + B⃑ วธิ ีทาํ A⃑ + B⃑ = (Ax + Bx) î + (Ay + By) ĵ = (2 + 5) î + (3 - 4) ĵ = 7 î - ĵ ขนาด R⃑ = R2x + R2y = 72 + 12 = 7.07 หนว่ ย ทิศทาง θ = tan-1 ( 1 ) = 8.1o 7 ค) A⃑ - B⃑ PHYSICS 1 FOR ENGINEERS K.UMMA
ง) A⃑ + B⃑ - C 36 PHYSICS 1 FOR ENGINEERS K.UMMA
ตย. 2.3 37 PHYSICS 1 FOR ENGINEERS แรงสองแรงอยใู่ นระนาบ xy โดยทีBแรง F1 ขนาด 23 นิวตนั ทํา มมุ 30o กบั แนวแกน +x และ F2 มีขนาด 35 นิวตนั ทํามมุ 60o กบั แนวแกน +x จงหาขนาดและทิศทางของผลรวมสองแรงนี R y ΣF⃑ F⃑2 60o θ F⃑1 30o x K.UMMA
38 ตย. 2.3 แรงสองแรงอยใู่ นระนาบ xy โดยท9ีแรง F1 ขนาด 23 นิวตนั ทํามมุ 30o กบั แนวแกน +x และ F2 มีขนาด 35 นิวตนั ทํามมุ 60o กบั แนวแกน +x จงหาขนาดและทิศทางของผลรวมสองแรงนี N วธิ ีทาํ F⃑1 = F1x î + F1y ĵ ΣF⃑ = F⃑1 + F⃑2 = F1 cos30o î + F1 sin30o ĵ = (19.9 î + 11.5 j)̂ + (17.5 î + 30.3 j)̂ = 23 (0.866) î + 23 (0.5) ĵ = 37.4 î + 47.8 ĵ F⃑1 = 19.9 î + 11.5 ĵ หาขนาด F⃑2 = F2x î + F2y ĵ | ΣF⃑ | = Fx2 + Fy2 = (37.4)2 + (47.8)2 = 60.7 นิวตนั = F2 cos60o î + F2 sin60o ĵ = 35 (0.5) î + 35 (0.866) ĵ ทิศทาง θ = tan-1 ( 47.8 ) = 52o 37.4 F⃑1 = 17.5 î + 30.3 ĵ ดงั นนัZ ผลรวมของสองแรงมีขนาดเทา่ กบั 60.7 นิวตนั ทิศทางทํา มมุ 52o กบั แนวแกน +x PHYSICS 1 FOR ENGINEERS K.UMMA
39 กําหนดการกระจดั สองการกระจดั m และ m จงหาขนาดของการกระจดั ตย. เสริม วิธีทํา การใช้เวกเตอร์ 1 หนว่ ย ดงั นนั] K.UMMA PHYSICS 1 FOR ENGINEERS
ลองคดิ ดู 40 1. นกั ผจญภยั คนหนงึ1 เริ1มออกเดนิ ทางไปทางทิศตะวนั ออกเฉียงใต้ ได้ การกระจดั 25.0 km หา่ งจากรถของเขา (จดุ เร1ิมต้น) จากนนั] เขาหยดุ และตงั] เตน็ ท์นอนหนงึ1 คืน ในวนั ถดั มาเขาเดนิ ทางได้การกระจดั 40.0 km ไปทางทิศทํามมุ 60o ทางทิศตะวนั ออกเฉียงเหนือ ก) จงประมาณองค์ประกอบยอ่ ยของการกระจดั ของนกั ผจญ ภยั คนนีใ] นแตล่ ะวนั (Ax= 17.7 km, Ay= -17.7 km) ,(Bx= 20 km, By= 34.6 km) ข) จงประมาณองค์ประกอบยอ่ ยของการกระจดั ลพั ธ์ ของนกั ผจญภยั คนนี ]และให้หาสมการของ ในรูปของเวกเตอร์หนว่ ย (Rx=37.9 km, Ry=16.9 km)(37.7ı̂ + 16.9ȷ̂ km) PHYSICS 1 FOR ENGINEERS K.UMMA
ลองคดิ ดู 41 2. เครBืองบนิ โดยสารลาํ หนงBึ มีเส้นทางการบนิ แสดงดงั รูป เครBืองบนิ ลาํ นีจR ะบนิ ออกจากจดุ เรBิมต้นไปยงั เมือง A ซงึB อยหู่ า่ ง ออกไป 175 km ในทิศทํามมุ 30o ทางทิศตะวนั ออกเฉียงเหนือ จากนนัR บนิ ไปยงั เมือง B ซงBึ อยหู่ า่ งออกไปอีกเป็นระยะ 153 km ทํามมุ 20o ทางทิศตะวนั ตกเฉียงเหนือ และสดุ ท้ายบนิ ไปยงั เมือง C ซงึB อยหู่ า่ งออกไป 195 km ทางทิศตะวนั ตก จงหา ตําแหนง่ ของเมือง C เทียบกบั จดุ เรBิมต้น (251 km,112.3o) PHYSICS 1 FOR ENGINEERS K.UMMA
2.5 การคณู 42 เวกเตอร์ การคูณหรือการหารเวกเตอร์ ด้ วยสเกลาร์ 1. ผลลพั ธ์เป็นเวกเตอร์ 2. ขนาดของเวกเตอร์ถกู คณู หรือหารด้วยสเกลาร์ 3. ถ้าสเกลาร์เป็นบวก ทิศทางเวกเตอร์ลพั ธ์เหมือนกบั เวกเตอร์เดมิ 4. ถ้าสเกลาร์เป็นลบ ทิศทางเวกเตอร์ลพั ธ์ตรงกนั ข้ามเวกเตอร์เดมิ (1) ถา้ a=0 จะมขี นาดเทา่ กบั aA และมที ศิ ทางเดยี วกบั (2) ถา้ a>0 จะมขี นาดเทา่ กบั aA แต่มที ศิ ทางตรงกนั ขา้ มกบั (3) ถา้ a<0 PHYSICS 1 FOR ENGINEERS K.UMMA
43 ผลคณู สเกลารแ์ ละ เวกเตอร์สองตวั สามารถคณู กนั ได้สองวิธี คือ ผลคณู เวกเตอร์ 1. ผลคูณสเกลาร์ (ผลคูณแบบดอท) ได้ปริมาณสเกลาร์ การคณู เวกเตอร์มี 2 แบบ โดยที1 แบบหนง9ึ ได้ผลออกมาเป็นปริมาณส เกลาร์ เรียกวา่ dot product หรือ 2. ผลคูณเวกเตอร์ (ผลคูณแบบครอส) ได้ปริมาณเวกเตอร์ มีขนาด scalar product อีกแบบหนงึ9 ได้ผล ดงั นี ] ออกมาเป็นปริมาณเวกเตอร์ เรียกวา่ cross product หรือ vector K.UMMA product PHYSICS 1 FOR ENGINEERS
44 1. ผลคณู สเกลาร์ 00 (ผลคณู แบบดอท) 00 00 PHYSICS 1 FOR ENGINEERS K.UMMA
สมบตั ขิ องผล 45 คณู สเกลาร์ ถ้า A⃑, B⃑, C เป็นเวกเตอร์ใด ๆ และ î , ĵ , k̂ เป็นเวกเตอร์หนงึ1 หนว่ ยใน แนวแกน x , y , z จะได้ 1. A⃑ · A⃑ = A2 2. A⃑ · B⃑ = B⃑ · A⃑ 3. A⃑ · B⃑ = 0 ถ้า A⃑ ≠ 0 และ B⃑ ≠ 0 แสดงวา่ A⃑ ⊥ B⃑ 4. A⃑ · (B⃑ + C) = (A⃑ · B⃑) + (A⃑ · C) 5. a(A⃑ · B⃑) = (aA⃑) · B⃑ = A⃑ · (aB⃑) โดยที1 a เป็นปริมาณสเกลาร์ PHYSICS 1 FOR ENGINEERS K.UMMA
46 ตย. 2.4 จงหาผลคณู เชิงสเกลาร์ ก) ĵ · î วธิ ีทาํ ĵ · î = (1)(1) cos90o = 0 เชน่ เดียวกบั k̂ · ĵ = î · k̂ = (1)(1) cos90o = 0 ข) (2 î - j)̂ · ( 3 î + j)̂ PHYSICS 1 FOR ENGINEERS K.UMMA
47 ตย. 2.4 ค) จงหามมุ ระหวา่ งเวกเตอร์ทงัR สองดงั นี R A⃑ = 2 î + 3 ĵ + 4 k̂ และ B⃑ = î - 2 ĵ + 3 k̂ วธิ ีทาํ จาก A⃑ · B⃑ = A⃑ B⃑ cos θ A⃑ · B⃑ = (2 î + 3 ĵ + 4 k̂ ) · (î - 2 ĵ + 3 k̂ ) = 2 – 6 + 12 = 16 หนว่ ย ขนาดของ A⃑ = 22 + 32+ 42 = 29 หนว่ ย ขนาดของ B⃑ = 12 + (−2)2+ 32 = 14 หนว่ ย จะได้ cos θ = A·B = 16 = 0.0394 ∴ θ = cos-1 (0.0394) = 87.7o AB (29)(14) PHYSICS 1 FOR ENGINEERS K.UMMA
48 2. ผลคณู เวกเตอร์ 0 (ผลคณู แบบครอส) 0 0 PHYSICS 1 FOR ENGINEERS K.UMMA
CROSS VECTOR 49 ผลคณู เวกเตอร์ K.UMMA (ผลคณู แบบครอส) PHYSICS 1 FOR ENGINEERS
สมบตั ขิ องผล 50 คณู เวกเตอร์ คณุ สมบตั ขิ องผลคณู แบบเชิงเวกเตอร์ A⃑ × B⃑ 1. A⃑ × A⃑ = 0 2. A⃑ × B⃑ = - B⃑ × A⃑ B⃑ B⃑ 3. A⃑ × B⃑ = 0 ถ้า A⃑ ≠ 0 และ B⃑ ≠ 0 แสดงวา่ A⃑ ∥ B⃑ 4. A⃑ × (B⃑ + C) = (A⃑ × B⃑) + (A⃑ × C) ������ ������ 5. a(A⃑ × B⃑) = (aA⃑) × B⃑ = A⃑ × (aB⃑) A⃑ A⃑ โดยทีB a เป็นปริมาณสเกลาร์ a) A⃑ × B⃑ B⃑ × A⃑ ทิศทางของเวกเตอร์ลพั ธ์ของผลคณู เชิงเวกเตอร์ตามกฎมือขวา b) B⃑ × A⃑ K.UMMA PHYSICS 1 FOR ENGINEERS
Search
