คณิตศาสตร์ ประถม พค11001

เอกสารสรปุ เนอื้ หาทต่ี องรู รายวิชาคณติ ศาสตร ระดับประถมศึกษา รหสั พค11001 หลักสตู รการศึกษานอกระบบระดับการศกึ ษาข้ันพืน้ ฐาน พทุ ธศกั ราช 2551 สาํ นกั งานสง เสริมการศกึ ษานอกระบบและการศกึ ษาตามอัธยาศยั สํานกั งานปลดั กระทรวงศกึ ษาธกิ าร กระทรวงศึกษาธิการ หามจาํ หนา ย หนังสือเรยี นน้จี ัดพมิ พดว ยเงินงบประมาณแผน ดินเพ่อื การศกึ ษาตลอดชวี ิตสําหรับประชาชน ลิขสทิ ธิ์เปน ของสํานกั งาน กศน.สาํ นกั งานปลดั กระทรวงศกึ ษาธิการ



สารบญั หนา 1 คาํ แนะนาํ การใชเอกสารสรปุ เนือ้ หาทต่ี องรู 2 โครงสรางรายวิชา 3 แบบทดสอบกอนเรยี น 6 บทที่ 1 จํานวนและการดาํ เนินการ 7 10 เรื่องที่ 1 ประมาณคาเปนจาํ นวนได 30 เรื่องท่ี 2 บวก ลบ คูณ หาร จาํ นวนนับและสามารถแกป ญ หาได 33 เรอ่ื งท่ี 3 การแยกตัวประกอบของจาํ นวนนบั 38 เรอ่ื งที่ 4 ห.ร.ม. และ ค.ร.น. 39 บทท่ี 2 เศษสวน 47 เรอ่ื งท่ี 1 บวก ลบ เศษสวนและโจทยปญ หา 53 เร่ืองท่ี 2 การคูณ หาร เศษสวนและโจทยป ญ หา 55 เรื่องท่ี 3 การบวก ลบ คูณ หาร เศษสว นระคน และโจทยปญ หา 56 บทที่ 3 ทศนยิ ม 61 เรื่องที่ 1 การเปรยี บเทียบและเรียงลําดับทศนยิ ม 63 เรื่องท่ี 2 การประมาณคาใกลเ คยี งทศนิยม 69 เรอ่ื งที่ 3 การบวก ลบ คูณ หาร ทศนยิ มและนําความรูไปใชแกโ จทยป ญ หาได 70 บทท่ี 4 รอ ยละ 72 เรือ่ งท่ี 1 ความสมั พนั ธระหวาง เศษสวน และรอยละ 75 เรื่องที่ 2 การแกโจทยป ญ หาเก่ียวกบั รอ ยละ 76 บทที่ 5 การวดั 78 เรื่องที่ 1 การวัดความยาวและระยะทาง 81 เรื่องที่ 2 การหาพืน้ ท่ี 83 เรอื่ งท่ี 3 ปรมิ าตรและความจุ 86 เรอ่ื งท่ี 4 ทิศ และแผนผงั 93 เรื่องที่ 5 เงิน เร่อื งท่ี 6 เวลา

สารบญั (ตอ) หนา 97 บทที่ 6 เรขาคณิต 98 เร่ืองที่ 1 รูปเรขาคณิตหนงึ่ มิติ 102 เรื่องท่ี 2 รปู เรขาคณติ สองมติ ิ 111 เรอ่ื งท่ี 3 รปู เรขาคณิตสามมิติ 114 เรื่องท่ี 4 การสรา งรูปเรขาคณิต 118 119 บทที่ 7 สถิติและความนาจะเปน เบ้ืองตน 124 เร่อื งท่ี 1 สถิติ 125 เรื่องที่ 2 ความนาจะเปนเบอ้ื งตน 128 129 แบบทดสอบกอ นเรยี น 130 ภาคผนวก เฉลยแบบทดสอบกอนเรียน – หลงั เรยี น คณะผูจ ัดทํา

1 คาํ แนะนาํ การใชเ อกสารสรปุ เนอ้ื หาทตี่ อ งรู เอกสารสรุปเน้ือหาท่ีตองรู รายวิชาคณิตศาสตร ระดับประถมศึกษา รหัส พค 11001 ใชสําหรับ นักศึกษาหลักสูตรการศกึ ษานอกระบบระดบั การศึกษาขนั้ พ้นื ฐาน พุทธศกั ราช 2551 แบงออกเปน 2 สวน คอื สวนที่ 1 โครงสรางรายวิชา แบบทดสอบกอนเรียน โครงสรางของแตละบท เน้ือหาสาระ และ แบบทดสอบหลังเรยี น สวนที่ 2 เฉลยแบบทดสอบกอ นเรยี นและหลงั เรยี น วธิ ีใชเ อกสารสรปุ เนอ้ื หาทตี่ องรู ใหนกั ศกึ ษาดาํ เนินการตามข้นั ตอน ดังนี้ 1. ศึกษารายละเอียดโครงสรา งรายวิชาโดยละเอยี ด เพือ่ ใหทราบวา นักศึกษาตอ งเรยี นรูเนื้อหาในเรอื่ ง ใดบา งในรายวิชาน้ี 2. วางแผนเพ่อื กาํ หนดระยะเวลาและจดั เวลาทนี่ ักศึกษามคี วามพรอ มท่จี ะศกึ ษาเอกสารสรุปเนอ้ื หาท่ี ตองรู เพือ่ ใหส ามารถศึกษารายละเอยี ดของเนอ้ื หาไดครบทุกบท 3. ทาํ แบบทดสอบกอ นเรียน เพื่อทราบพ้ืนฐานความรูเดิมของนักศึกษา โดยตรวจสอบคําตอบจาก เฉลยแบบทดสอบกอนเรียนทา ยเลม 4. ศึกษาเนอ้ื หาสาระในแตละบทอยางละเอยี ดใหเขาใจ 5. เม่อื ศกึ ษาเน้ือหาสาระครบทกุ บทแลว ใหนกั ศกึ ษาทาํ แบบทดสอบหลังเรยี นและตรวจคําตอบจาก เฉลยทายเลมวานกั ศกึ ษาสามารถทาํ แบบทดสอบไดถกู ตองทุกขอหรือไม หากขอใดยังไมถูกตอง ใหนักศึกษา กลับไปทบทวนเนื้อหาสาระในเรอื่ งน้ันใหเ ขาใจอกี ครงั้ หนึง่ นกั ศกึ ษาควรทําแบบทดสอบหลงั เรยี นใหไ ดคะแนน มากกวาแบบทดสอบกอนเรียน และควรไดคะแนนไมนอยกวารอยละ 60 ของแบบทดสอบท้ังหมด เพื่อให มน่ั ใจวาจะสามารถสอบปลายภาคผา น 6. หากนักศึกษาไดทําการศึกษาเนื้อหาสาระแลวยังไมเขาใจ นักศึกษาสามารถสอบถามและขอ คาํ แนะนําไดจากครูหรือแหลงคน ควา เพ่ิมเติมอน่ื ๆ 7. เอกสารสรุปเน้ือหาท่ตี องรูเลมนม้ี ี 7 บท คือ บทท่ี 1 จาํ นวนและการดําเนินการ บทที่ 2 เศษสว น บทที่ 3 ทศนยิ ม บทที่ 4 รอยละ บทที่ 5 การวดั บทท่ี 6 เรขาคณติ บทท่ี 7 สถิติและความนา จะเปนเบือ้ งตน หมายเหตุ : ใหค รนู าํ กจิ กรรมทายบทในแตล ะบท มาประเมนิ นักศกึ ษา โดยเลอื กเรอื่ งทม่ี คี วามจําเปน และสาํ คญั เพอ่ื เปนคะแนนระหวา งภาค

2 โครงสรา งรายวชิ าคณติ ศาสตร ระดบั ประถมศึกษา (พค 11001) สาระสาํ คญั มคี วามรูความเขา ใจเก่ยี วกับจํานวนและตัวเลข เศษสว น ทศนยิ มและรอยละ การวดั เราขาคณิต สถติ ิ และความนาจะเปน เบ้อื งตน ผลการเรียนรูท คี่ าดหวัง 1. ระบหุ รอื ยกตัวอยางเก่ียวกับจํานวนและตัวเลข เศษสวน ทศนิยมและรอยละ การวัด เรขาคณิต สถติ ิและความนา จะเปน เบื้องตน 2. สามารถคิดคํานวณและแกโจทยปญหาเก่ียวกับจํานวนนับเศษสวน ทศนิยม รอยละ การวัด เรขาคณิตได ขอบขายเนอ้ื หา บทที่ 1 จํานวนและการดําเนินการ บทท่ี 2 เศษสว น บทท่ี 3 ทศนิยม บทที่ 4 รอ ยละ บทท่ี 5 การวัด บทที่ 6 เรขาคณติ บทที่ 7 สถติ แิ ละความนาจะเปน เบ้อื งตน สอื่ การเรียนรู เอกสารสรปุ เน้อื หาทตี่ อ งรู

3 แบบทดสอบก่อนเรียน 1. เลข 3 ในขอ้ ใดมคี วามต่างจากพวก 6. อาสาสมคั ร 30 คน ช่วยกนั ขุดบ่อนาํ ก. 388 ข. 2,345 ในเวลา 5 วนั ขดุ ได้ 5 บ่อ ดงั นนั ค. 3,649 6 ง. 2,367 ถา้ ขดุ 1 วนั จะไดค้ ิดเป็นกีส่วนของบ่อ 2. 147 - 69 มีค่าเท่าไร ก. 22 ก. 1 ข. 78 6 ค. 88 5 ง. 216 ข. 6 3. 4 × 2 มีความหมายตรงกบั ขอ้ ใด ค. 5 ก. 2 + 2 + 2 + 2 ข. 4 + 4 ง. 6 ค. 4 × 4 × 4 × 4 ง. 2 × 2 × 2 × 2 7. 0.67 = + 0.07 ก. 0.677 4. 15 ÷ 3 = ข. 0.64 ก. 3 ค. 0.74 ข. 5 ง. 0.6 ค. 12 ง. 18 8. ถา้ หมูบ่ า้ นของท่านมปี ระชากรอยู่ 850 คน เป็นชาวนา 80% ของประชากรทงั หมู่บา้ น ในหมู่บา้ มนีชนาี วนาทงั หมดกคี น ก. 850 ข. 780 ค. 680 ง. 580 5. ห.ร.ม. ของ 4 , 6 และ 10 เท่ากบั เท่าใด 9. ถา้ คะแนนเตม็ ของวิชาภาษาองั กฤษ ก. 2 เป็น 200 คะแนน อรทยั สอบได้ 160 ข. 4 คะแนน อรทยั สอบไดก้ ีเปอร์เซน็ ต์ ค. 6 ก. 50% ง. 2,6 ข. 80% ค. 60% ง. 58%

10. ขอ้ ใดเป็นทิศทีตรงขา้ มกบั ทิศใต้ 4 ก. ทิศเหนือ ข. ทิศตะวนั ตก 15 มธี นบตั รใบละหา้ ร้อยบาท 3 ใบ ค. ทิศตะวนั ออก ใบละหนึงร้อยบาท 9 ใบ ใบละหา้ สิบบาท ง. ทิศตะวนั ตกเฉียงใต้ 5 ใบ ใบละยสี ิบบาท 10 ใบและใบละสิบบาท 20 ใบ รวมทงั หมดมีเงินกีบาท 11. มีนาํ มนั พืช 2 กิโลกรัม ใชไ้ ป 1 กิโลกรัม ก. 1,950 บาท 1 ขีด เหลืาอมนนั ํ พืชเท่าไร ข. 2,850 บาท ก. 900 กรัม ค. 3,000 บาท ข. 800 กรัม ง. 3,050 บาท ค. 700 กรัม ง. 600 กรัม 6.พบั ลูกบาศก์ แต่ละลูกมปี ริมาตร ลูกบาศก์เซนติเมตรตามรูป 12. ขอ้ ใดไม่ใช่หน่วยการวดั จะไดป้ ริมาตรเท่าไร ก. กรัม ข. เมตร ซม. ค. เซนติเมตร ง. กิโลเมตร ซม. 3 ซม. 13. กล่องนมกวา้ ง 3 นิว ยาว 5 นิว สูง ว6 นิ มีปริมาตรเท่าไร ก. 30 ลูกบาศก์เซนติเมตร ก. 15 ลูกบาศวก์นิ ข. 10 ลูกบาศก์เซนติเมตร ข. 90 ลูกบาศก์เมตร ค. 15 ลูกบาศก์เซนติเมตร ค. 90 ลูกบาศวก์นิ ง. 30 ตารางเซนติเมตร ง. 90 ตารางนิว 17. โอกาสหรือความน่าจะเป็นทีจะเกิดเหตกุ ารณ์ 14. กลางวนั : 12.00  กลางคืน : ขึนในการทอดลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกนั ลูกเต๋า ก. 19.00 น. แตม้ รวมกนั แลว้ ตาํ กว่า 5 แตม้ มีกีเหตุการณ์ ข. 22.00 น. ก. 5 เหตุการณ์ ค. 24.00 น. ข. 6 เหตุการณ์ ง. 02.00 น. ค. 7 เหตุการณ์ ง. 10 เหตุการณ์

5 ใหใ้ ชต้ วั เลือกต่อไตปอนบี คาํ ถามขอ้ – ขอ้ ก. 600 คน ข. 0 คน ค. 10 คน ง. 1 คน 18. ถา้ โรงเรียนนีมีครูและนกั เรียงนหทมั ด 1,200 คน จะเป็นนกั เรียนหญิงกีคน 19. ถา้ โรงเรียนนีมคี รูและนกั เรียงนหทมั ด 1,200 คน จะเป็นนกั เรียนชายกีคน 20. ถา้ มนี กั เรียนชาย คน จะมีครูกีคน

6 บทที จาํ นวนและการดําเนินการ สาระสําคญั 1. การอา่ นและเขียนตวั เลขแทนจาํ นวน การประมาณค่า และการบวก ลบ คูณ หาร การดาํ เนินการ เกียวกบั จาํ นวน การนาํ มาใชใ้ นชีวติ ประจาํ วนั และการบูรณาการกบั ศาสตร์อืนได้ 2. สมบตั ิของจาํ นวนนบั และศูนย์ สมบตั กิ ารสลบั ทีของการบวกและการคูณ สมบตั ิการเปลียนหมู่ การบวก การคูณ สมบตั ิการบวกดว้ ยศูนย์ สมบตั ิการคูณดว้ ยหนึง และสมบตั ิแยกตวั ประกอบ สามารถนาํ ไปใชป้ ระโยชน์ในการคิดคาํ นวณได้ ผลการเรียนรู้ทีคาดหวงั 1. ประมาณค่าเป็นจาํ นวนเตม็ ได้ 2. บวก ลบ คูณ และหาร จาํ นวนนบั ได้ 3. แยกตวั ประกอบของจาํ นวนนบั ได้ 4. หา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจาํ นวนนบั ทีกาํ หนดใหไ้ ด้ ขอบข่ายเนอื หา เรืองที การประมาณค่า เรืองที 2 การบวก ลบ คูณ และหาร จาํ นวนนบั และการแกป้ ัญหา เรืองที 3 การแยกตวั ประกอบ เรืองที 4 ห.ร.ม. และ ค.ร.น.

7 เรืองที ประมาณค่าเป็ นจาํ นวนได้ 1. อ่านและเขียนตวั เลขแทนจาํ นวนได้ จาํ นวน ใชใ้ นการบอกปริมาณของคน สตั ว์งขสอิ งต่าง ๆ วา่ มีมากหรือนอ้ ยเท่าไร ตวั เลข เป็นสญั ลกั ษณ์ทีใชแ้ ทนจาํ นวน ตวั เลขโดด เรานิยมใชต้ วั เลขแทนจาํ นวนต่าง ๆ ซึงประกอบดว้ ยตวั เลขโดดสิบตวั ไดแ้ ก่ , , , , , , , , , เช่น จาํ นวนทีเขียนแทนดว้ ยตวั เลขสามหลกั เช่น อยูใ่ นหลกั ร้อย อยูใ่ นหลกั สิบ อยูใ่ นหลกั หน่วย อ่านวา่ สองร้อยสามสิบแปด ตวั เลขหนา้ สุดหรือทางซา้ ยมือสุด คือ ตวั เลขหลกั ร้อย ตวั เลขถดั ตวั หนา้ มาทางขวามือ คือ ตวั เลขหลกั สิบ ตวั เลขสุดทา้ ยหรือขวามือสุด คือ ตวั เลขในหลกั หน่วย ตวั เลขเจด็ หลกั เช่น , , อยูใ่ นหลกั ลา้ น อยูใ่ นหลกั แสน 4 อยูใ่ นหลกั หมืน 5 อยูใ่ นหลกั พนั 6 อยูใ่ นหลกั ร้อย 1 อยูใ่ นหลกั สิบ อยูใ่ นหลกั หน่วย , , อา่ นวา่ สามลา้ นสองแสนสีหมืนหา้ พนั หกร้อยสิบแปด 2. ค่าประจาํ หลกั และค่าของตวั เลข 2. ค่าประจาํ หลกั ของตวั เลขทีอยูถ่ ดั ไปทางซา้ ยมือของตวั เลขแต่ละหลมกั ขจึนะเปพ็นิ สิบเท่าเสมอ และค่าของตวั เลขแต่ละหลกั จะมีค่าเท่ากบั ผลคูณของตวั เลนขนๆั กบั ค่าประจาํ หลกั ของตวั เลขนนั 2.2 การอา่ นตวั เลขแทนจาํ นวน จะอ่านแทนค่าประจาํ ตาํ แหน่ง เรียงตามลาํ ดบั จากค่าประจาํ หลกั ทีมี ค่ามากทีสุดไปจนถึงค่าประจาํ หลกั ทีมีค่านอ้ ยทีสุด เช่น

8 ตวั อย่าง จาํ นวน ,, ล้าน จาํ นวน ร้อย สิบ หน่วย แสน หมนื พนั ร้อย สิบ หน่วย ,, , , , , , 100 10 1 ค่าประจาํ , , ,, 6, , 3 , 5 , 4, 700 80 9 หลกั ตวั เลขใน แต่ละหลกั ค่าของ 2 , , ตวั เลขตาม ค่าประจาํ หลกั 216, , อา่ นวา่ สองร้อยสิบหกลา้ นสามแสนหา้ หมืนสีพนั เจ็ดร้อยแปดสิบเกา้ 3. การเขียนจาํ นวนในรูปกระจาย สามารถเขียนจาํ นวนในรูปของการบวกของค่าประจาํ หลกั ดงั นี ตวั อย่าง จงเขียน , , ในรูปของการกระจาย วธิ คี ดิ , , = (9x1,000,000) + (5x100,000) + (2x10,000) (1x1,000) + (3x100) + (6x10)+(4x1) นนั คอื , , = 9,000,000 + 500,000 + 20,000 + 1,000 + 300 + 60 +4 4. การเรียงลาํ ดบั จาํ นวน การเรียงลาํ ดบั จาํ นวน โดยการนาํ จาํ นวนหลาย ๆ จาํ นวนมาเปรียบเทียบกนั ทีละคู่ แลว้ เรียงลาํ ดบั จากจาํ นวนนอ้ ยไปหาจาํ นวนมาก หรือจากจาํ นวนมากไปหาจาํ นวนนอ้ ย วธิ ีการเปรียบเทียบ ใหด้ ูทีละหลกั วา่ ตวั เลขในหลกั เดียวกนั จาํ นวนใดมคี ่ามากกวา่ แต่ถา้ มี ค่าของหลกั เลขตวั แรกเท่ากนั กใ็ หด้ ูตวั เลขในหลกั ถดั ไป ทาํ เชไ่นปนจี นครบทกุ หลกั ตวั อย่าง จงเปรียบเทียบวา่ , กบั , จาํ นวนใดมคี ่ามากกวา่ แลว้ เรียงลาํ ดบั จากมากไปนอ้ ย วธิ คี ดิ จาํ นวนทงั สอง มีค่าตวั เลขในหลกั หมืน หลกั พนั และหลกั ร้อยเท่ากนั จึงใหพ้ ิจารณาตวั เลข ในหลกั ถดั ไป คือ หลกั สิบ จะเห็นว่า หลกั สิบของจาํ นวน , คือ มคี ่าเป็น แต่หลกั สิบของจาํ นวน , คือ มีค่าเป็น นดงั นั , มคี ่ามากกวา่ , จึงเขียนเรียงลาํ ดบั ไดด้ งั นี , ,

9 . การประมาณค่า การบอกขนาด ปริมาณ หรือจาํ นวงนขสอิ งต่าง ๆ ทีเกียวขอ้ งกบั ชีวิตประจาํ วนั บางครัง ไมต่ อ้ งการความละเอยี ดมาก จึงใชก้ ารประมาณค่าใกลเ้ คียงงนสนั ิ ๆ มากทีสุด เพือการจดจาํ ไดง้ ่าย 5. การประมาณค่าใกลเ้ คียงจาํ นวนเต็มสิบ 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 คือ อยูร่ ะหวา่ ง กบั แต่อยูใ่ กล้ มากกวา่ ดงั นนั ค่าประมาณใกลเ้ คียงจาํ นวนเต็มสิบของ คือ และ อยูก่ ึงกลางระหวา่ ง และ ค่าประมาณใกลเ้ คียงจาํ นวนเต็มสิบของ การประมาณค่าใกลเ้ คียงจาํ นวนเตม็ สิบของจาํ นวนใด ๆ ใหพ้ ิจารณาตวั เลขในหลกั หน่วยของ จาํ นวนนนั ถา้ หลกั หน่วยมคี ่าตาํ กว่า ใหป้ ระมาณเป็นจาํ นวนเตม็ สิบทีมีค่านอ้ ยกว่าและถา้ หลกั หน่วย มคี ่าเท5่า.กบั หรือหน่วยสูงกว่า ใหป้ ระมาณเป็นจาํ นวนเต็มสิบทีมีค่ามากกวา่ การประมาณค่าใกลเ้ คียงจาํ นวนเตม็ ร้อย พนั หมืน แสน การประมาณค่าใกลเ้ คียงจาํ นวนเต็มร้อย พนั หมืน แสน ก็ใชห้ ลกั การเดียวกนั ใคหื้พจิ อารณา ตวั เลขในหลกั ถัดไปทตี าํ กว่า

10 เรืองที 2 บวก ลบ คูณ หาร จาํ นวนนับและสามารถแก้ปัญหาได้ 1. สมบตั ขิ องจาํ นวนนบั และศูนย์ และการนําไปใช้ ในการแก้ปัญหา จาํ นวนนบั คือ จาํ นวนเต็มบวก ไดแ้ ก่ , , , , , ... ส่วน เป็นตวั เลข แต่ไมใ่ ช่จาํ นวนนบั 6.1 สมบตั ขิ องหนงึ ) การคูณจาํ นวนใด ๆ ดว้ ยหนึงหรือคูณหนึงดว้ ย จาํ นวนใด ๆ จะไดผ้ ลคูณเท่ากบั จาํ นวนนนั เช่น 1=4 หรือ 14 = 4 2) การหารจาํ นวนใด ๆ ดว้ ยหนึง จะไดผ้ ลหารเท่ากบั จาํ นวนนเชั น่ ÷1=3 หรือ 7 ÷ 1 = 7 6.2 สมบัตขิ องศูนย์ ) การบวกจาํ นวนใด ๆ ดว้ ยศูนย์หรือการบวกศูนย์ดว้ ยจาํ นวนใด ๆ จะไดผ้ ลบวกเท่ากบั จาํ นวนนนั เช่น + =2 หรือ 0 + 2 = 2 ) การคูณจาํ นวนใด ๆ ดว้ ยศูนย์ หรือการคูณศูนย์ดว้ ยจาํ นวนใด ๆ จะไดผ้ ลคูณ 2×0=0 หรือ 0 × 2 = ) การหารศูนย์ดว้ ยจาํ นวนใด ๆ ทีไมใ่ ช่ศูนย์ จะไดผ้ ลหารเท่ากบั ศูนย์ เช่น ÷6=0 หรือ 0 ÷ 8 = 0 หมายเหตุ ในทางคณิตศาสตร์ เราไม่ใช้ เป็นตวั หาร ดนงั นกัารหารจาํ นวนใด ๆ ดว้ ย ไมม่ ี ความหมายทางคณิตศาสตร์ เช่น ÷ 0 ไมม่ คี วามหมายทางคณิตศาสตร์ หรือ 36 ÷ 0 ไม่มีความหมายทางคณิตศาสตร์ หรือ ÷ 0 ไม่มคี วามหมายทางคณิตศาสตร์ ) ถา้ ผลคูณของ จาํ นวนใด ๆ เท่ากบั ศูนย์ จาํ นวนใดจาํ นวนหนึงอยา่ งนอ้ ยหนึงจาํ นวน ตอ้ งเป็นศูนย์ เช่น 4 × 0 = 0 หรือ 0 × 9 =

11 2. การบวก การลบ การคูณ การหาร จาํ นวนนับ และการแก้ปัญหา 2. การบวก ความหมายของการบวก การบวก คือ การนาํ จาํ นวงนแตั่ สองจาํ นวนขึนไปมารวมกนั จาํ นวนทีไดจ้ ากการรวมจาํ นวน ต่าง ๆ เขา้ ดว้ ยกนั เรียกวา่ “ผลรวม” หรืผอล“บวก” และใชเ้ ครืองหมาย + เป็นสญั ลกั ษณ์แสดงการบวก การบวกจาํ นวนสองจาํ นวนและสามจาํ นวนทีมกี ารทด มวี ธิ ีทาํ และวิธีคิดเช่นเดียวกบั การบวกทีไม่ มที ด แต่เมือผลบวกของตวั เลขในแต่ละหลกั ไงดแต้ ั่ ขึนไป จะตอ้ งทดเลขตวั หนา้ ขึนไปบวกกบั ตวั เลข ในหลกั ทีสูงกว่าถดั ไปขา้ งหนา้ ตวั อย่างที 1 + มคี ่าเท่าไร วธิ ที าํ + งตัวเลขแต่ละตวั ใหม้ ีหลกั ตรงกนั แลว้ บวกทีละหลกั 867 ตอบ ตวั อย่างที 2 จงหาผลบวกของ , , และ , วธิ ีทํา  ,5 6 2 8 7 ,1 4 9 + 6 0 ,9 7 5 1 7 9 ,6 8 6 ตอบ ,

12 โจทย์ปัญหาการบวก ตวั อย่าง สวนแรกเกบ็ มะพร้าวได้ , ผล สวนทีสองเก็บได้ , ผล สวนทีสามเกบ็ ได้ = , ผล รวมเกบ็ มะพร้าวไดก้ ีผล ประโยคสญั ลกั ษณ์ คือ , + , + ,  วธิ ที ํา สวนแรกเก็บมะพร้าวได้ , ผล สวนทีสองเก็บได้ , + ผล สวนทีสามเกบ็ ได้ , ผล รวมเก็บมะพร้าวได้ , ผล ตอบ , ผล สมบัตกิ ารสลบั ทขี องการบวก ตวั อยา่ งที += += ดงั นนั + = + ตวั อยา่ งที ++ 234 875 875 จาํ นวนสองจาํ นวนทีนาํ มาบวกกนั สามารถสลบั ทีกนั ได้ โดยทีผลบวกยงั คงเท่าเดิม ดงั เช่น +=+ เราเรียกคุณสมบตั ิขอ้ นีวา่ “สมบัตกิ ารสลบั ทขี องการบวก” สมบัตกิ ารเปลยี นหมู่ สมบัตกิ ารเปลยี นหม่ขู องการบวก + + = (3 + 5) + 2 3 + 5 + 2 = 3 + (5 + 2) = 8 +2 = 3+7 = 10 = 10 ดงั นนั ( + ) + = + ( + ) + + = (121 + 122) + 321 121 + 122 + 321 = 121 + (122+321) = 243 + 321 = 121 + 443 = 564 = 564 ดงั นนั ( + ) + = + ( + )

13 ในการบวกจาํ นวนสามจาํ นวน ตอ้ งบวกทีละสองจาํ นวนกอ่ น โดยจะบวกสองจาํ นวนใดก่อนกไ็ ด้ แลว้ จึงไปบวกกบั จาํ นวนทีเหลือ ผลบวกจะเท่ากนั เราเรียกสมบวตา่ั ิข“สอ้ มนบี ัตกิ ารเปลยี นหม่ขู องการบวก” และ นิยมใส่เครืองหมายวงเลบ็ (น)จคาํ ันวนสองจาํ นวนทีจะบวกก่อน เราสามารถแสดงคุณสมบตั ิการเปลยี นหมู่ของการบวกได้ ดงั นี ตวั อย่าง + + = ( + )+ วธิ ีที = 53 + 34 = 87 วธิ ีที + + = 41 + (12 + 34) = 41 + 46 = 87 โดยทวั ไปนิยมนาํ สมบตั กิ ารเปลยี นหมู่ของการบวก ไปใชบ้ วกจาํ นวนสองจาํ นวนทนี อ้ ย ก่อนแลว้ จึงไปบวกกบั จาํ นวนทีมาก เช่น วิธีที หรือถา้ มีสองจาํ นวนใดทีบวกกนั แลว้ ไดผ้ ลบวกลงทา้ ยดว้ ย ก็จะบวกสองจาํ นวนนนั ก่อน แลว้ จึงบวกดว้ ยจาํ นวนทีเหลือ จะช่วยใหค้ ิดเลนขง่ายขึ 2. การลบ ความหมายของการลบ การลบ คือ การนาํ จาํ นวนหนึงหกั ออกจากอีกจาํ นวนหนึง หรือเป็นการเปรียบเทียบจาํ นวนสองจาํ นวน ซึงจาํ นวนทีเหลือหรือจาํ นวนทีเป็นผลต่างของสอเรงียจกาํ วน่าว“นผนลี ลบ” และใช้ เครืองหมาย – เป็นสญั ลกั ษณ์แสดงการลบ การลบทมี กี ารกระจายข้ามหลกั การลบทีมกี ารกระจายขา้ มหลกั ใชเ้ มือตวั เลขในแต่ละหลกั ของตงวันตอ้ ั ยกว่าตวั ลบ ซึงอยูใ่ นหลกั เดียวกนั จึงตอ้ งมกี ารกระจายตงวัขตา้ มั หลกั โดยกระจายตวั ตงั ในหลกั ทีสูงกวา่ ซึงอยูถ่ ดั ไปขา้ งหนา้ หนึงหลกั ม รวมกบั ตวั ตงั ตวั ทีนอ้ ยกว่านี แลว้ จึงนาํ ตวั ลบมาหกั ออก ซึงเราสามารถแสดงวิธีการลบทีมีการกระจายหลกั ได้ ดงั นี

14 ตวั อย่างที 3 จงหาผลลบของ กบั - = วธิ ที ํา ประโยคสญั ลกั ษณ์ คือ – ตอบ ตวั อย่างที 4 จงหาผลลบของ , – , วธิ ที าํ 66 22 44 – 99 90 2 ตอบ ความสัมพนั ธ์ระหว่างการบวกและการลบ เนืองจากการลบ คือ การนาํ จาํ นวนหนึงออกจากอกี จาํ นวนหนึง จึงเป็นการกระทาํ ทีกลบั กนั กบั การบวก หรือตรงขา้ มกบั การบวก กล่าวคือ การบวกเป็นการนาํ จาํ นวนสองจาํ นวนมารวมกนั ผลบวกจะมคี ่า มากขึน แต่การลบเป็นการนาํ จาํ นวนสองจาํ นวนมาหกั ออกจากกนั ผลลบจะมีค่านอ้ ยลง ดงั ตวั อยา่ งขา้ งบน จะเห็นว่า การลบ การบวก ตวั ตงั – ตวั ลบ = ผลลบ ผลลบ + ตวั ลบ = ตวั ตงั 7– =5 += ตวั ตงั + ตวั ลบ = ผลลบ ในทางกลบั กนั ผลลบ – ตวั ลบ = ตวังตั ดงั นนั จากความสมั พนั ธ์ระหว่างการบวกและลบเรนาสี ามารถนาํ ไปใชต้ รวจสอบผลลบวา่ ถูกตอ้ ง หรือไมโ่ ดยวธิ ีการบวกดงั นี

15 ตวั อย่างที 5 จงหาผลลบแลว้ ตรวจคาํ ตอบ ตรวจคาํ ตอบ ตรวจคาํ ตอบ –+ –+ เป็นคาํ ตอบทีถูกตอ้ ง เป็นคาํ ตอบทีถูกตอ้ ง การบวกลบระคน นอกจากความสมั พนั ธ์ดงั กล่าวขา้ งตน้ แลว้ บางคโจรัทย์อาจกาํ หนดประโยค สญั ลกั ษณ์งกทารีมีทั บวกและลบจาํ นวนเลขต่าง ๆ ในขอ้ เดียวกนั มาใหท้ าํ ในวงเลบ็ ก่อน ตวั อย่างที 6 (, , +, ) – ,=  วธิ ีทํา , , + , 3 , 4 8 0, 0 5 2 – , ,, ตอบ , , โจทย์ปัญหาการลบ ตวั อย่างที 7 แม่คา้ ขายสม้ โอได้ ผล ขายมงั คดุ ได้ ผล แมค่ า้ ขายสม้ โอมากกวา่ มงั คดุ กีผล ประโยคสญั ลกั ษณ์ คือ – = วธิ ที าํ แมค่ า้ ขายสม้ โอได้ – ผล ขายมงั คุดได้ ผล แม่คา้ ขายสม้ โอมากกวา่ มงั คุด ผล ตอบ ผล

16 2. การคณู ความหมายของการคูณ การคณู คือ การบวกจาํ นวนทีเท่า ๆ กนั หรือเป็นกามรจนาํ บั นเวพนิ ครังละเท่า ๆ กนั และสามารถ แสดงไดโ้ ดยการคูณจาํ นวนเพยี ง จาํ นวน คือ จาํ นวนทีเท่ากนั กบั จาํ งนทวีบนวคกรกั นั จาํ นวนทีไดจ้ ากการ คูณ จาํ นวนเขา้ ดว้ ยกนั เรียกวผ่าล“คณู ” และใชเ้ ครืองหมาย × เป็นสญั ลกั ษณ์แสดงการคูณ ใชเ้ ขียนอยู่ ระหวา่ งตวั เลข จาํ นวนทีนาํ มาคูณกนั การคูณจึงเป็นวธิ ีลดั ของการบวก และประโยคทีแสดงการคูณทนางเขรีวยากมวืา่ ปรอะนโั ยค สญั ลกั ษณ์ของการคูณ ดงั นี ตวั ตงั × ตวั คู=ณผลคูณ ตวั อย่าง จงหาผลคูณของ × 36 แบบที แบบที วธิ ีทํา วธิ ที ํา 234 × 30 + 6 234 × 36 36 1404 + 234 × 6 1404 + 7020 234 × 30 702 8,4 2 4 8,4 2 4 ตอบ 8,424 ตอบ 8,424 วธิ ีคดิ วิธีนีใชค้ ่าประจาํ หลกั ของตวั คูณ วธิ คี ดิ วธิ ีนีเลขตวั หลงั ของผลคูณ แต่ละตวั แต่ละตวั คูณกบั ตงวั แตลั ว้ นาํ ผลคูณมาบวกกนั จะอยูต่ รงหลกั เดียวกนั กบั ตวั คูนณแตลวั ว้ นนั าํ ผลคูณแต่ละตวั มาบวกกนั วธิ ีที โดยการแยกเป็นตวั ประกอบของตวั คูณ ตวั ประกอบของตวั คูณ คือ การเปลยี นตวั คูณใหเ้ ป็นเลขหลกั เดียว โดยแยกตวั คูณใหเ้ ป็น ผลคูณของจาํ นวนเลขหลกั เดยี ว เช่น = 3 × 7 เราเรียก และ วา่ เป็นตวั ประกอบของ

17 วธิ ีนีตวั ตงั จะเป็นเลขกีหลกั กต็ าม ถา้ ตวั คูณเป็นเลขหลกั เดียวจะทาํ ไดส้ ะดวกและง่านยกขวึา่ ทีตวั คูณ เป็นเลขหลายหลกั เพราะไมต่ อ้ งนาํ ผลคูณมาบวกกนั อีก เพยี งแต่ใชต้ วั คูณคงูทีละณตตวั วจั ตนัหมด ตวั อย่าง จงหาผลคูณของ กบั การคูณตามแนวนอน การคณู ตามแนวตงั วธิ ที าํ 21 = 3 × 7 วธิ ีทาํ 21 = 3 × 7 274 × 21 = 274 × (3 × 7) 274 × 274 × = (274 × 3) × 7 21 3 = 822 × 7 822 × = 5,754 7 ตอบ , 5,754 ตอบ , วธิ คี ดิ 1. แยกตวั คูณ คือ ออกเป็น × 7 2. นาํ ซึงเป็นตวั คูณทีนอ้ ย คูณกบั ก่อน จะได้ (เหตทุ ีนาํ ตวั เลขนอ้ ยคูณก่อน เพือจะ ไดผ้ ลคูณเป็นจาํ นวนเลขนอ้ ย ๆ ง่ายแก่การคูณเลขตวั ต่อไป) 3. นาํ ไปคูณ นจดะงั ไนดั ผ้ ลคูณเป็น , วธิ ที ี โดยการแยกตวั คูณทีเป็นพหุคูณของ วธิ ีนีจะใชเ้ มือตวั คูณเป็นพหุคูณของ คือ ตวั คูนณเทอีลงงทา้ ยดว้ ย นั ตวั อย่างจงหาผลคูณของ กบั การคณู ตามแนวนอน การคูณตามแนวตงั วธิ ที าํ 30 = 3 × 10 วธิ ีทํา 30 = 3 × 10 324 × 30 = 324 × (3 × 10) 324 × = (324 × 3) × 10 3 = 972 × 10 972 × = 9,720 10 ตอบ , 9,720 ตอบ 9,720

18 วธิ ีที โดยวธิ ีการกระจายจาํ นวนตามค่าประจาํ หลกั วิธีนีช่วยใหก้ ารหาผลคูณง่านยขสึาํ หรับการคูณจาํ นวนทีมเี ลขหลาย ๆ หลกั ใหก้ ระจายจาํ นวนทีมี หลกั มากกว่า ไม่ว่าจาํ นวนนนั จะเป็นตวั ตงั หรือตวั คูณ แลว้ จึงคูณกบั อกี จาํ นนวจนึหนงึนาํ งผลจคากูนั ณแต่ ละตวั มาบวกกนั เหมือนวธิ ีที ของการคูณ โดยนวิธเอีลงดั นั ตวั อย่าง จงหาผลคูณของ กบั การคณู ตามแนวนอน การคณู ตามแนวตงั วธิ ีทํา วธิ ีทาํ 382 × 23 = (300 + 80 + 2) × 23 382 × 300 + 80 + 2 × = (300 × 23) + (80 × 23) + (2 × 23) 23 23 = 6,900 + 1,840 + 46 6,900 + 1,840 + 46 = 8,786 = 8,786 ตอบ ,786 ตอบ 8,786 แบบฝึ กหดั ก. ใหห้ าผลคูณต่อไปโดนยี วิธีลดั ( ) 36 × 17 ( ) 45 × 22 ( ) 55 × 40 ( ) 79 × 30 ( ) 3 × 21 ข. ใหห้ าผลคูณต่อไปโดนยี การแยกตวั ประกอบของตวั คูณ ( ) 54 × 20 ( ) 63 × 21 ( ) 154 × 24 ( ) 583 × 32 ค. ใหห้ าผลคูณต่อไปโดนยี วธิ ีกระจายจาํ นวนตามค่าประจาํ หลกั ตามแนวนอน ( ) 78 × 60 ( ) 98 × 72 ( ) 825 × 56 ( ) 999 × 80 เมือตวั คูณเป็นจาํ นวนเลข สามหลกั สาํ หรับตวั คูณทีเป็นจาํ นวนเลขสามหลกเั รนาสี ามารถหาผลคูณไดห้ ลายวิธี แต่วธิ ีทีเหมาะสมและ สะดวกคือ

19 วธิ ที ี โดยวธิ ีลดั วิธีนีนิยมใชค้ ูณจาํ นวนเลขตามแนงวแตลั ะมีวธิ ีคดิ เหมือนตวั คูณทีเป็นจาํ นวนเลขสองหลนกั ดงั นั จะใหต้ วั อยา่ งเฉพาะการคูณตามแนงวดตงั ั นี ตวั อย่าง × 125 แบบที แบบที วธิ ีทาํ วธิ ที าํ 267 × 267 × 125 125 1335 + 267 × 5 1335 + 5340 267 × 20 534 26700 267 × 100 2 67 3 3,3 7 5 3 3,3 7 5 ตอบ 33,375 ตอบ 33,375 วธิ ีที โดยการแยกตวั คูณทีเป็นพหุคูณของ วธิ ีนีจะใชเ้ มือตวั คูณเป็นพหุคูณของ เช่นเดียวกบั ตวั คูณทีเป็นเลขสองหลกั ดงั นี ตวั อย่างที จงหาผลคูณของ × การคณู ตามแนวนอน การคูณตามแนวตงั วธิ ที าํ วธิ ีทํา = 25 × 10 = 5 × 5 × 10 250 = 25 × 10 = 5 × 5 × 10 372 × 250 = 372 × (5 × 5 × 10) 372 × = (372 × 5) × 5 × 10 5 = (1,860 × 5) × 10 1,860 × = 9,300 × 10 5 = 93,000 9,300 × ตอบ , 10 93,000 ตอบ 93,000

20 ตวั อย่างที จงหาผลคูณของ กบั การคณู ตามแนวนอน การคณู ตามแนวตงั วธิ ที าํ = 10 × 10 วธิ ที ํา 0 = 10 × 10 362 × 100 = 362 × (10 × 10) 362 × = (362 × 10) × 10 10 = 3,620 × 10 3,620 × = 36,200 10 36,200 ตอบ , ตอบ 36,200 สาํ หรับตวั คูณทีเป็น ซึงเป็นพหุคูณของ เราจะสงั เกตเห็นวา่ ผลคูณของจาํ นวน เลขใด ๆ ทีคูณกบั จะมคี ่าเท่ากบั เลขจาํ นวนตน่อั ทา้ ยดว้ ย (ศูนย์ นตเอวั ง) นั จากตวั อยา่ งที เราสามารถหาผลคูณของ กบั ไดใ้ หมโ่ ดยวิธีลดั ซึงจะสะดวกกวา่ ดงั นี การคณู ตามแนวนอน การคณู ตามแนวตงั วธิ ีทํา 362 × 100 = 36,200 วธิ ีทํา 362 × ตอบ , 100 โจทย์ปัญหาการคณู 36,200 ตอบ 36,200 ตวั อย่างที กระเทียมแหง้ กิโลกรัมละ บาท ถา้ ขายได้ กิโลกรัม จะไดเ้ งินเท่าไร วธิ ที ํา ประโยคสญั ลกั ษณ์ คือ 18 ×9 = กระเทียมแหง้ กิโลกรัมละ บาท ขายได้ กิโลกรัม ดงั นนั จะไดเ้ งิน 18 × 9 = บาท ตอบ บาท

21 ตวั อย่างที ขา้ วสารถงั ละ บาท นาํ ปลาขวดละ บาท ถา้ ซือขา้ วสาร ถงั นาํ ปลา ขวด จะตอ้ งจ่ายเงินทงั หมดเท่าไร วธิ ีทาํ ประโยคสญั ลกั ษณ์ คือ (130 × 4) + (18 × 14) = ขา้ วสารถงั ละ บาท ซือ ถงั คิดเป็นเงิน 130 × 4 = 520 บาท นาํ ปลาขวดละ บาท ซือนาํ ปลา ขวด คิดเป็นเงิน × 14 = 252 บาท ดงั นนั จะตอ้ งจ่ายเงินทงั หมด + = 772 บาท ตอบ บาท สมบัตกิ ารสลบั ทขี องการคณู การคณู ตามแนวตงั การคูณตามแนวนอน 3×2 = 6 3× 2 2×3 = 2 3× ดงั นนั × 2 = 2 × 3 6= 6 10 × 9 = 90 10 × 9 × 9 × 10 = 9 10 ดงั นนั × 9 = 9 × 10 90 = 90 จาํ นวนสองจาํ นวนทีมาคูณกนั สามารถสลบั ทีกนั ได้ กล่าวคืงอแลตะวั ตตวั ั คูณสลบั ทีกนั ไดโ้ ดยทีผลคูณยงั คงเท่าเดิม ดงั เช่น × 2 = 2 × 3 หรือ × 9 = × 10 เราเรียกสมบตั ิขอ้ นีว่า “สมบัตกิ ารสลบั ทขี องการคณู ” สมบตั กิ ารเปลยี นหม่ขู องการคณู 3 × 5 × 6 = (3 × 5) × 6 3×5×6 = 3 × (5 × 6) = 3 × 30 = 15 × 6 = 90 = 90 ดงั นนั ( × 5) × 6 = 3 × (5 × 6) การนาํ จาํ นวนสามจาํ นวนมาคูณกนั จะคูณสองจาํ นวนใดกอ่ นแลว้ ไปคูณกบั จาํ นวนทีเหลือ ผลคูณจะเท่ากนั เสมอ เราเรียกสมบตั ิขวอ้ ่าน“ี สมบตั กิ ารเปลยี นหม่ขู องการคูณ”

22 ประโยชน์ขกอ้ ็เนพีือจะช่วยใหค้ ิดเลขง่านยขโดึยยึดหลกั ขอ้ ใดขอ้ หนึงดงั นี 1. คูณสองจาํ นวนทีนอ้ ยก่อน แลว้ จึงคูณกบั จาํ นวนทีเหลือ 2. คูณสองจาํ นวนทีไดผ้ ลคูณลงทา้ ยดว้ ย ก่อน แลว้ จึงคูณกบั จาํ นวนทีเหลือ 3. ถา้ มจี าํ นวนทีลงทา้ ยดว้ ย อยูห่ นึงจาํ นวนทีไมเ่ กิน หลกั ใหค้ ูณสองจาํ นวนทีไมล่ ง ทา้ ยดว้ ย ก่อน แลว้ จึงคูณจาํ นวนทีลงทา้ ยดว้ ย สมบัตกิ ารแจกแจงของการคณู (5 + 10) × 4 = 15 × 4 (5 + 10) × 4 = (5 × 4) + (10 × 4) = 60 = 20 + 40 = 60 ดงั นนั (5 + 10) × 4 = (5 × 4) + (10 × 4) การนาํ จาํ นวนใด ๆ ไปคูณกบั ผลบวกของจาํ นวนอกี สองจาํ นวน จะมผี ลคูณเท่ากบั การนาํ จาํ นวนนนั ไปคูณทีละจาํ นวน แลว้ บวกกนั เราเรียกสมบตั ิขวอ้ ่าน“ี สมบัตกิ ารแจกแจงของการคณู ” สมบตั ิการแจกแจงของการคูณนนิยมี นาํ ไปใชใ้ นการคูณจาํ นวน จาํ นวน ทีเป็นตวั เลข ตงั แต่ หลกั ขึนไป โดยวธิ ีกระจายจาํ นวนตามคาํ ประจาํ หลกั ตามแนวนอน แต่สาํ หรับในชนั นี นิยมใชก้ บั ตวั คูณทีเป็นเลขไม่เกนิ สองหลกั ซึงผูเ้ รียนไดเ้ รียนมาบา้ งแลว้ ในการคูณทีมตี วั คูณนเปเ็นองเลขหลกั เดียวนั 2. การหาร ความหมายของการหาร การหารเป็นการแบ่งของออกเป็นกลุ่มยอ่ ยเท่า ๆกนั หรือเป็นการนบั ลดลงคลระัเท่า ๆ กนั และ สามารถแสดงไดโ้ ดยการหารของจาํ นวนเพยี ง จาํ นวน จาํ นวนทีไดจ้ ากการหารกนั ของ จาํ นวน เรียกวา่ “ผลหาร” และใชเ้ ครืองหมาย ÷ เป็นสญั ลกั ษณ์แสดงการหาร เช่น ÷ 2 ตวั อย่างที ถา้ ลบออก ครังละ จะตอ้ งลบกีครัง จึงจะหมด ครังที – เหลือ ครังที – เหลือ ครังที – เหลือ ครังที – เหลือ ครังที – เหลือ จะเห็นว่า ลบออกครังละ ได้ ครัง จึงจะหมด นนั คือ÷ 3 = 5

23 การลบออกครังละเท่า ๆ กนั จนครังสุดทา้ ยไดผ้ ลลบเป็น ดงั ตวั อยา่ งที เรียกวา่ “การหารลงตวั ” แต่ถา้ ลบออกจนครังสุดทา้ ยไมเ่ ป็นศูนย์ ดงั ตวั อยา่ งที เ“รกียากรวห่าารไม่ลงตวั ” และ จาํ นวนทีเหลือจากการลบออกงคสรุดั ทา้ ย เรียกวา่ “เศษ” ประโยคสญั ลกั ษณ์แสดงการหาร มดี งั นี ตวั ตงั ÷ ตวั หาร = ผลหาร ความสมั พนั ธ์ระหว่างการคูณและการหาร มีมะนาว กอง กองละ 4 ผล รวมมีมะนาวทงั หมด ผล ประโยคสญั ลกั ษณ์ คือ × 4 = 12 มมี ะนาวทงั หมด ผล มมี ะนาวทงั หมด ผล แบ่งเป็ น กอง แบ่งกองละ ผล ไดม้ ะนาวกองละ ผล ไดม้ ะนาว กอง ประโยคสญั ลกั ษณ์คื÷อ3 = 4 ประโยคสญั ลกั ษณ์ คื÷ 4อ= 3 ตวั ตงั ตวั คูณ ผลคูณ ตวั ตงั ตวั หาร ผลหาร × 4 = 12 12 ÷ 3= 4 12 ÷ 4= 3 ตวั ตงั ตวั หาร ผลหาร

24 จากตวั อยา่ งขา้ งตน้ จะเห็นวา่ การคูณและการหารมีความสมั พนั ธ์กนั กลา่ วคือ 1. การคูณเปลยี นเป็นการหาร ไดด้ งั นี 1.1 การคูณเปลียนเป็นการหาร เมือ - ตวั ตงั ของการคูณ จะเปลยี นเป็นตวั หารหรือผลหาร - ตวั คูณของการคูณ จะเปลียนเป็นผลหารหรือตวั หาร - ผลคูณของการคูณจะเปลียนเปง็นตวั ตั 1.2 ประโยคสญั ลกั ษณ์แสดงการคูณ เปลียนเป็นประโยคสญั ลกั ษณ์แสดงการหารได้ 2. การหารเปลยี นกลบั เป็นการคูณได้ ดงั นี ตวั หาร × ผลหาร = ตวั ตงั ตวั ตงั ÷ ตวั หาร = ผลหาร ประโยคสญั ลกั ษณ์ คือ÷ 8 =  วธิ ที ํา วธิ คี ดิ วธิ ีนีใชต้ วั หารหารตวั ตงั ทีละหลกั 023 1. นาํ ไปหาร ซึงเป็นเลขหลกั สูงสุด ก่อน จะเห็นว่า มากกวา่ ฉะนนั ใหพ้ จิ ารณา 8)184 – ไปรวมกบั หลกั ถดั ไป เป็น 16 2. นาํ ไปหาร จากตารางการคูณ 24 – 8 × 2 = ซึงเป็นค่าทีใกลเ้ คียง 24 มากทีสุด และไม่เกิน ดงั นนั ผลหาร คือ ใส่ไวเ้ หนือ ซึงเป็นหลกั สิบขงองตวั ตั 00 นาํ ไปลบออกจาก เหลือเศษ ชกั ลงมาใหต้ รงหลกั เป็น ตอบ 3. นาํ ไปหาร จากตารางการคูณ ตรวจคาํ ตอบ × 23 = 8 × 3 = ดงั นนั ผลหารคือ ใส่ไวเ้ หนือ ซึงเป็นตงวั แตลั ว้ นาํ ทีไดไ้ ปลบกบั แสดงวา่ คาํ ตอบถูกตอ้ ง ได้ ดงั นนั ผลหารทงั หมด คือ

25 วธิ ีคดิ หาเศษทีแท้จริงของการหารสัน ไม่ใช่เศษทีแทจ้ ริง เพราะก่อนทีจะนาํ มาหารนนั มี เป็นตวั หารก่อนจึงทาํ ใหค้ ่าของ จาํ นวนเลขทีเหลืออยูน่ อ้ ยลงไป เทน่าถดา้ งัตนอ้ ังการหาเศษทีแทจ้ ริง ตอ้ งนาํ มาคูณกบั เป็น จึงจะ เป็นเศษทีแทจ้ ริง แต่ถา้ เป็นการหารทีมเี ศษทงั ครัง ใหน้ าํ เศษครังแรกบวกดว้ ย ตวั อย่าง 1,526 ÷ 28 =  วธิ คี ดิ หาเศษทีแท้จริง วธิ ีทาํ = 4 × 7 1. ตอ้ งหาเศษของตวั สุดทา้ ยก่อน คือ × 3 = 12 . นาํ ซึงเป็นเศษตวั แรกไปบวกคือ + 4)1526 ได้ จึงเป็นเศษทีแทจ้ ริง 7) 3 8 1 เศษ ขนั ที ได้ ( × 4) + 2 =1,526 5 4 เศษ เศษทีแทจ้ ริง ( × 4) + 2 = 14 ตอบ เศษ ตรวจคาํ ตอบ ขนั ที ได้ ( × 7) + 3 = 381 แสดงวา่ คาํ ตอบถูกตอ้ ง

26 เมือตวั หารเป็นเลขสามหลกั วธิ ีทีง่ายคือการหารยาว ตวั อยา่ ง , 8 ÷ 462 =  วิธีทาํ 112 ) – – – ผลหาร คือ เศษ ตอบ เศษ ตรวจคาํ ตอบ ( × 112) + 404 = 51,744 + 404 = 52,148 แสดงว่า คาํ ตอบถูกตอ้ ง แบบฝึ กหดั ก. จงหาคาํ ตอบต่อไปนี (1) 9 ÷ 2 =  เศษ  (2) 25 ÷ 5 =  เศษ  (3) 75 ÷ 7 =  เศษ  (4) 100 ÷ 9 =  เศษ  (5) มีเงาะอยู่ กิโลกรัม แบ่งใส่ชะลอมละ กิโลกรัม ทีเหลือใหล้ ูกรับประทาน ลูกจะไดร้ ับประทานเงาะกีกิโลกรัม (6) เลยี งเป็ด ตวั แบ่งขาย ง คครรังั ละเท่า ๆ กนั ขายเป็ดไดค้ รังละกีตวั และจะเหลือเป็ดกีตวั ข. จงหาผลหารแลว้ ตรวจคาํ ตอบ (1) 20 ÷ 3 (2) 35 ÷ 4 ( ) ÷2 (4) 150 ÷ 12 (5) 1,031 ÷ 51 (6) 28,023 ÷ 145

27 โจทย์ปัญหาการหาร ตวั อย่าง คนงาน คน รับจา้ งขดุ บ่อแห่งหนึงไดค้ ่างจหา้ มงดทั , บาท ถา้ แบ่งเงินค่าจา้ ง เท่า ๆ กนั จะไดค้ นละเท่าไร ประโยคสญั ลกั ษณ์ คือ ,  ÷ 7 = วธิ ที าํ คนงานไดค้ ่าจา้ งขุดบ่อทงั หมด , บาท แบ่งเงินค่าจา้ งเท่า ๆ กนั คน ดงั นนั จะไดค้ นละ ) , บาท , บาท ตอบ , บาท

28 ตวั อย่าง มปี ากกา , ดา้ ม นาํ มาใส่กล่อง กล่องละ ดา้ ม จะใส่ไดก้ ีกล่อง ประโยคสญั ลกั ษณ์ คือ , ÷ 250 = วธิ ที ํา มปี ากกา , ดา้ ม นาํ มาใส่กล่อง กลอ่ งละ ดา้ ม ดงั นนั จะใส่ได้ กลอ่ ง ) 750 960 750 – 210 ดงั นนั จะใส่ได้ กล่อง และเหลือเศษ ดา้ ม ตอบ กลอ่ ง เหลือ ดา้ ม ตวั อย่าง สปั ดาห์แรกขายของได้ , บาท สปั ดาห์ทีสองขายได้ , บาท สปั ดาห์ทีสาม ขายได้ , บาท เฉลยี แลว้ ขายของไดเ้ งินสปั ดาห์ละเท่าไร ประโยคสญั ลกั ษณ์ คือ ( , + , + , ) ÷ 3 = วธิ ที าํ สปั ดาห์แรกขายของได้ , บาท สปั ดาห์ทีสองขายได้ , บาท สปั ดาห์ทีสามขายได้ , บาท รวมสามสปั ดาห์ขายของไดเ้ งนิ , บาท ดงั นนั เฉลียแลว้ ขายของไดเ้ งินสปั ดาห์ละ , ÷ 3 = , บาท ตอบ , บาท

29 โจทย์ปัญหาการบวก ลบ คณู และหาร โจทย์ปัญหาซึงเป็นเรืองราวทีเกยี วขอ้ งกบั ชีวิตปนรอะาจจาํ มวกีนั านรัแกป้ ัญหาโดยวิธีการบวก ลบ คูณ และหารปนกนั อยู่ ดงั ตวั อยา่ งต่อไปนี ตวั อย่าง นายมงิ ขายโคเนือ ตวั หนกั ตวั ละ กิโลกรัม และ กิโลกรัมตามลาํ ดบั โดยขาย กิโลกรัมละ บาท แลว้ ซือตน้ กลา้ มะมว่ งพนั ธุ์ดีมา ตน้ ราคาตน้ ละ บาท จะเหลือเงินเท่าไร ประโยคสญั ลกั ษณ์ คือ ( + ) ÷ 38 –(100 × 25) = วธิ ีทาํ โคเนือตวั แรกมีนาํ หนกั กิโลกรัม โคเนือตวั ทีสองมีนาํ หนกั + กิโลกรัม โคเนือ ตวั มนี าํ หนกั รวม × กิโลกรัม ขายกิโลกรัมละ บาท – บาท – บาท รวมเป็ นเงินทีขายโคได้ บาท ตน้ กลา้ มะม่วงพนั ธ์ดีราคาตน้ ละ บาท ซือตน้ กลา้ มะมว่ ง × ตน้ คิดเป็นเงินทีซือตน้ กลา้ มะมว่ ง บาท เงินทีขายโคได้ – บาท จ่ายเงินค่าตน้ กลา้ มะมว่ ง บาท ดงั นนั จะเหลือเงิน บาท ตอบ , บาท

30 เรืองที 3 การแยกตวั ประกอบของจาํ นวนนับ 3.1 ตวั ประกอบของจาํ นวนนบั และการหาตวั ประกอบ ความหมายของตวั ประกอบ ตวั ประกอบของจาํ นวนนับใดๆ กค็ อื จาํ นวนนับทหี ารจาํ นวนนับได้ลงตวั วธิ ีการหาตวั ประกอบ นาํ ไปหาร ไดล้ งตวั ดงั นนั เป็นตวั ประกอบของ นาํ ไปหาร ไดล้ งตวั ดงั นนั เป็นตวั ประกอบของ ไม่มจี าํ นวนนบั อืนทีนาํ ไปหาร ไดล้ งตวั อกี ดนงั นัมีตวั ประกอบ ตวั คือ และ 3.2 จาํ นวนเฉพาะและตวั ประกอบเฉพาะ จาํ นวนนับทีมากกว่า และมีตวั ประกอบเพียง ตัว 3.2.1 จาํ นวนเฉพาะ คอื และ ตวั เอง เรียกว่าจํานวนเฉพาะ พจิ ารณาตวั ประกอบของจาํ นวนต่อไปนี มตี วั ประกอบ ตวั คือ และ มตี วั ประกอบ ตวั คือ และ มีตวั ประกอบ ตวั คือ และ จาํ นวนนบั ขา้ งตน้ แต่ละจาํ นวนมตี วั ประกอบทีต่างกนั เพยี งสองตวั คือ และตวั ของมนั เอง 3.2.2 ตวั ประกอบเฉพาะ ตวั ประกอบของ มี ตวั คือ , , , , และ แต่ และนทีเปท็น่านจาัํ นวนเฉพาะ ดงั นนั และ เป็นตวั ประกอบทีเป็นจาํ นวนเฉพาะของ เรียกตวั ประกอบทีเป็ นจํานวนเฉพาะว่า ตัวประกอบเฉพาะ ตวั ประกอบของ มี , , , , , , และ ตวั ประกอบเฉพาะของ คือ , และ

31 3.3 การแยกตวั ประกอบ การเขียนจาํ นวนในรูปผลคูณของตวั ประกอบ ตวั ประกอบของ คือ , , , , , และ เราสามารถเขียนจาํ นวนในรูปผลคูณของ ตวั ประกอบของแต่ละจาํ นวนนนั ได้ เช่น = 1 × 12 หรือ = 2 × 6 หรือ = 3 × 4 พิจารณาการเขียน ในรูปผลคูณของตวั ประกอบสองตวั ทีไม่มีตวั ใดเป็น 12 = 2 × 6 หรือ = 3 ×4 เนืองจาก และ ไม่เป็นตวั ประกอบเฉพาะนดเรงั านสั ามารถเขียน และ ในรูปผลคูณของตวั ประกอบ ต่อไปไดอ้ ีก ดงั นี 12 = 2 × 6 หรือ = 3 ×4 = 2×2×3 = 3 ×2×2 เมือเราเขียน 12 = 2 × 2 × 3 หรือ = 3 ×2×2 จะเป็นการเขียน ในรูผลปคูณของตวั ประกอบเฉพาะ การแยกตวั ประกอบของจาํ นวนนบั ใดๆ เป็นการเขียนจาํ นวนนบั นนั ในรูปการคูณ ของตวั ประกอบเฉพาะ ตวั อย่าง จงแยกตวั ประกอบของ วธิ ีทํา = 3 × 16 = 3×2×8 ตอบ = 3×2×2×2×2 แยกตวั ประกอบของ ได้ 3 × 2 × 2 × 2 × 2 หรือ × 2 = 3 × 2 × 2 × 2 × 2 หรือ × 2 จาํ นวนทคี ูณกบั ตวั เองหลาย ๆงคเชรั่น 2 × 2 × 2 × 2 สามารถเขียนในรูปเลขยกกาํ ลงั ไดเ้ ป็น อ่านว่า สองยกกาํ ลงั สี

32 3.3.1 การแยกตวั ประกอบโดยวธิ ตี งั หาร ในการแยกตวั ประกอบของ เราอาจทาํ ไดโ้ ดยนาํ จาํ นวนเฉพาะทีหาร ไดล้ งตวั มาหาร แลว้ พิจารณาผลหารไดล้ งตวั มาหารผลหารนนั ทาํ เช่นนีเรือยไปจนกรงะผทลัหารทีไดเ้ ป็นจาํ นวนเฉพาะ เราสามารถเขียน ในรูปผลคูณของตวั หารทุกตวั กบั ผลหารสุดทา้ ย ซึงทุกตวั เป็นจาํ นวนเฉพาะ ตวั อยา่ ง จงแยกตวั ประกอบของ วธิ ีทาํ ) ) แยกตวั ประกอบของ ได้ 2 × 2 × 5 3.3.2 การหาผลคณู โดยใช้ตวั ประกอบ การหาผลคูณระหวา่ งจาํ นวนสองจาํ นวนอาจทาํ ไดโ้ ดยเขียนจาํ นวนใดจาํ นวนหนึง ในรูปผลคูณของ ตวั ประกอบ แลว้ ใชค้ ุณสมบตั ิการเปลียนหมู่ของการคูณ ตวั อย่าง จงหาผลคูณ × 35 วธิ ีทํา 97 × 35 = 97 × (5 × 7) ตรวจคาํ ตอบโดยใชค้ ูณในแนงวตั = (97 × 5) × 7 97 × 35 = 485 × 7 = 3,395 485 + , ตอบ , , ตอบ ,

33 เรืองที 4 ห.ร.ม. และ ค.ร.น. 4. การหา ห.ร.ม. ตวั หารร่วม เราทราบมาแลว้ ว่าตวั ประกอบของจาํ นวนใด ๆ สามารถนาํ ไปหารจาํ นวนนนั ไดล้ งตวั เช่น ตวั ประกอบของ คือ , , , , และ ทุกตวั สามารถนาํ ไปหาร ไดล้ งตวนั เดรงัานอาั จเรียกตวั ประกอบของ แต่ละตวั นีว่า เป็ นตวั หาร ของ ลองพิจารณาตวั หารของ และ ตวั หารของ คือ , , , ตวั หารของ คือ , , , , , ตวั หารของ และ ทีเหมือนกนั คือ , และ เราเรียก , และ ตววั่าหเปา็รนร่วมหรือ ตวั ประกอบร่วม ของ และ จาํ นวนนบั ใดๆ ทีนาํ ไปหารจาํ นวนนบั ตงั แต่สองจาํ นวนขนึไปลงตวั ทุกจาํ นวน เรียกจาํ นวนนบั ใดๆ นนั ว่า “ตวั ประกอบ” หรือตวั หารร่วม ตวั อย่าง จงหาตวั หารร่วมของ , และ วธิ ีทํา ตวั หารของ คือ , , ตวั หารของ คือ , , , ตวั หารของ คือ , , , ตวั หารร่วมของ , และ คือ , ตอบ และ 4.1.1 ตวั หารร่วม (ห.ร.ม.) คือ , , , , ตวั หารของ คือ , , , , , ตวั หารของ ตวั หารร่วมของ และ คือ , , ตวั หารร่วมทีมคี ่ามากทีสุดของ และ คือ เราเรียกตวั หารร่วมทีมคี ่ามากทีสุดว่า ตวั หารร่วมมาก ใชต้ วั ยอ่ วา่ ห.ร.ม. ดงั นนั ตวั หารร่วมมาก หรือ ห.ร.ม. ของ และ คือ

34 ตวั อย่างจงหา ห.ร.ม. ของ และ คือ วธิ ีทํา ตวั หารของ คือ , , , , , ตวั หารของ คือ , , , ตวั หารร่วมมาก หรือ ห.ร.ม. ของ และ ตอบ 4.1.2 การหา ห.ร.ม. โดยวธิ ีแยกตวั ประกอบ การหา ห.ร.ม. ของจาํ นวนต่าง ๆ เราอาจใชก้ ารแยกตวั ประกอบช่วยหาได้ โดยนาํ ตวั ประกอบ ทีเหมือนกนั มาคูณกนั ตวั อยา่ งเช่น เราจะหา ห.ร.ม. ของ และ เมือแยกตวั ประกอบของ และ จะไดด้ งั นี 18  2  3  3 27  3  3  3 จาํ นวนทีมคี ่ามากทีสุดทีหาร และ ลงตวั คือจาํ นวนทีอยูใ่ นรนูคืป อ×ห3.รน.มั . ของ และ คือ × 3 = ลองดูตวั อยา่ งใหม่ เราจะหา ห.ร.ม. ของ และ = 2×2×2×5 = 2×3×5 จาํ นวนทีมคี ่ามากทีสุดทีหาร และ ลงตวั คือ จาํ นวนทีอยูใ่ นรูนปคื×อ5หน.ัร.ม. ของ และ คือ × 5 = 10

35 4.1.3 การหา ห.ร.ม. โดยวธิ กี ารตงั หาร ในการหา ห.ร.ม. ของจาํ นวนหลาย ๆ จาํ นวน เราอาจใชว้ ธิ ีตงั หารทาํ นองเดียวกบั การแยก ตวั ประกอบ โดยวิธีตงั หารได้ ตวั อยา่ งเช่น เราจะหา ห.ร.ม. ของ , และ เราสามารถทาํ ไดด้ งั นี ( ) หาจาํ นวนเฉพาะทีเป็นตวั หารร่วมของ 2) , , , และ เช่น นาํ ไปหาร , และ 6, 9, 12 ไดผ้ ลหารเป็น , และ ตามลาํ ดบั ( ) หาจาํ นวนเฉพาะทีเป็นตวั หารร่วมของ 2) , , , และ ซึงเป็นผลหารทีได้ เช่น นาํ ไปหาร ),, , และ ไดผ้ ลหารเป็น , , ตามลาํ ดบั 2, 3, 4 ( ) หาจาํ นวนเฉพาะทีเป็นตวั หารร่วมของ 2) , , , และ ซึงเป็นผลหารทีได้ แต่ไจมาํ ม่นี วนเฉพาะ ),, ดงั กลา่ ว 2, 3, 4 ดงั นนั ตวั หารร่วมมากทีสุด หรือ ห.ร.ม. ห.ร.ม. ของ , และ ของ , และ คือ ผลคูณของตวั หารร่วมทกุ ตวั คือ × 3 = 6 ซึงเท่ากบั × 3 = 6 ตอบ 4.2 การหา ค.ร.น. ตวั คณู ร่วม จาํ นวนทีมี เป็นตวั ประกอบ คือ ,, , , , , , , , ... , , , , , , , ... จาํ นวนทีมี เป็นตวั ประกอบ คือ ,, , ... เราเรียกจาํ นงวนแทลีมะที ั จาํ นวนทีมีทงั และ เป็นตวั ประกอบ คือ , , เป็นตวั ประกอบวา่ ตวั คูณร่วม ของ และ ตวั คูณร่วมของจาํ นวนตงั แต่สองจาํ นวนขึนไป หมายถงึ จาํ นวนนบั ทมี จี าํ นวนเหล่านัน เป็ นตวั ประกอบ ตวั อย่าง จงหาตวั คูณร่วมของ และ วธิ ที ํา จาํ นวนทีมี เป็นตวั ประกอบ คือ , , , , , , , , , ... จาํ นวนทีมี เป็นตวั ประกอบ คือ , ,, , , , , , , ... ตวั คูณร่วมของ และ คือ , , , ... ตอบ , ,

36 4.2.1 ตวั คณู ร่วมน้อย (ค.ร.น.) , , , , ... จาํ นวนทีมี เป็นตวั ประกอบ คือ , , , , , , , , ... จาํ นวนทีมี เป็นตวั ประกอบ คือ , , , , , , ตวั คูณร่วมของ และ คือ , , ... ตวั คูณร่วมทีมคี ่านอ้ ยทีสุดของ และ คือ เรียกตวั คูณร่วมทีมีค่านอ้ ยทีสุดว่า ตวั คูณร่วมนอ้ ย ใชต้ วั ยอ่ วา่ ค.ร.น. ดงั นนั ตวั คูณร่วมนอ้ ย หรือ ค.ร.น. ของ และ คือ ตวั อย่าง จงหา ค.ร.น. ของ และ วธิ ที าํ จาํ นวนทีมี เป็นตวั ประกอบ คือ , , , , , , , , ... จาํ นวนทีมี เป็นตวั ประกอบ คือ, , , , , , , , , ... ตวั คูณร่วมของ และ คือ , , , ... ตวั คูณร่วมนอ้ ย หรือ ค.ร.น. ของ และ คือ ตอบ 4.2.2 การหา ค.ร.น. โดยวธิ แี ยกตวั ประกอบ ในการหา ค.ร.น. ของจาํ นวนต่าง ๆ เราอาจใชก้ ารแยกตวั ประกอบช่วยหาได้ เช่น เราจะหา ค.ร.น. ของ และ เมือแยกตวั ประกอบของ และ ไดด้ งั นี = 2 ×2 6 = 2 ×3 จะเห็นว่า จาํ นวนทนี อ้ ยทีสุดทีมี และ เป็นตวั ประกอบ คือ ซึง = 2×2×3 เราได้ 2 × 2 × 3 จากวิธีการดงั นี =2×2 6 =2×3 2 × 2 × 3 = 12 ดงั นนั ค.ร.น. ของ และ คือ

37 ตวั อย่าง จงหา ค.ร.น ของ และ วธิ ที าํ ค.ร.น. ของ และ คือ × 5 × 7 = 105 ตอบ 4.2.3 การหา ค.ร.น. โดยวธิ ตี งั หาร ในการหา ค.ร.น. ของจาํ นวนหลาย ๆ จาํ นวน เราอาจใชว้ ธิ ตี งั หาร ตวั อยา่ ง จงหา ค.ร.น. ของ , , และ ( ) หาจาํ นวนเฉพาะทีเป็นตวั หารร่วมของ 2) , , 8, , และ หรืออยา่ งนอ้ ย จาํ นวน เช่นนาํ ไปหาร 4, 5, 6 8, และ ผลหาร เป็น , และ ตามลาํ ดบั ( ) หาจาํ นวนเฉพาะทีเป็นตวั หารร่วมของ 2) , , 4, และ หรืออยา่ งนอ้ ย จาํ นวน เช่น เพราะนาํ ไปหาร ) ,, และ ไดล้ งตวั แต่นาํ ไปหาร ไมล่ งตวั เขียน ไวด้ งั เดิม 2, 5, 3 ( ) หาจาํ นวนเฉพาะทีเป็นตวั หารร่วมของ 2) , , , และ หรืออยา่ งนอ้ ย จาํ นวน แต่จาํ นวนเฉพานะไนมั ่มี ) , , 2, 5, 3 ดงั นนั จาํ นวนทนี อ้ ยทีสุดมี , และ ค.ร.น. ของ , และ เป็นตวั ประกอบคือ × 2 × 2 × 5 × 3 = 120 คือ × 2 × 2 × 5 × 3 = 120 ตอบ ตวั อย่าง จงหา ค.ร.น. ของ , , วธิ ที าํ ) , , ) ,, ),, ,, ค.ร.น. ของ , และ คือ × 2 × 3 × 1 × 4 × 3 = 144 ตอบ

38 บทที เศษส่ วน สาระสําคญั การอ่านและเขียนเศษส่วน การเปรียบเทียบเศษส่วน การบวก ลบ คูณ หาร เศษส่วน และ การแกโ้ จทย์ปัญหาตามสถานการณ์ ผลการเรียนรู้ทีคาดหวงั 1. บวก ลบ เศษส่วนและนาํ ความรู้เกียวกบั เศษส่วนไปใชแ้ กโ้ จทย์ปัญหาได้ 2. คูณ หาร เศษส่วนและนาํ ความรู้เกียวกบั การคูณเศษส่วนไปใชแ้ กโ้ จทย์ปัญหาได้ 3. บวก ลบ คูณ หารเศษส่วนและนาํ ความรู้ไปใชแ้ กโ้ จทย์ปัญหาได้ ขอบข่ายเนอื หา เรืองที การบวก ลบ เศษส่วนและโจทย์ปัญหา เรืองที 2 การคูณ หาร เศษส่วนและโจทย์ปัญหา เรืองที 3 การบวก ลบ คูณ หารเศษส่วนระคนและโจทย์ปัญหา

39 เรืองที บวก ลบ เศษส่วนและโจทย์ปัญหา 1. ความหมาย ลกั ษณะและเศษส่วน . เศษส่วน หมายถึง ส่วนต่าง ๆ ของจาํ นวนเต็มทีถูกแบ่งออกเป็นส่วนละเท่า ๆ กนั เช่น รูปวงกลม วง แบ่งออกเป็น ส่วนเท่า ๆ กนั ส่วนทีแรเงาเป็น ส่วน ใน ส่วน เขียนแทนดว้ ย 1 อ่านวา่ “เศษหนึงส่วนสี” 4 รูปสีเหลยี ม รูป แบ่งออกเป็น ส่วนเท่า ๆ กนั ส่วนทีแรเงาเป็น ส่วนใน ส่วน เขียนแทนดว้ ย 2 อา่ นว่า “เศษสองส่วนหา้ ” 5 ลกั ษณะของเศษส่วน มี 3 ชนดิ คอื 1. เศษส่วนแท้ เป็นเศษส่วนทีมีตวั เศษนอ้ ยกว่าตวั ส่วน เช่น 1 , 3 , 2 , 11 4 5 7 15 7 12 2. เศษเกินเป็นเศษส่วนทีมตี วั เศษมากกว่าตวั ส่วน เช่น 3 , 5 3. จาํ นวนคละ เป็นจาํ นวนทีมจี าํ นวนเตม็ และเศษส่วนแท้ เช่น 3 1 , 5 4 , 11 5 2 7 12

40 2. การอ่านเศษส่วน เศษส่วนจาํ นวนคละ เศษเกนิ ภาพ เขียนเป็ น อ่านว่า เขียนเป็ น อ่านว่า 1. จาํ นวนคละ เศษส่ วน 2. หนึงเศษหนึง เศษหา้ 1 1 ส่วนสี 5 ส่วนสี 4 4 สองเศษหนึง เศษสิบเจด็ 2 1 ส่วนแปด 17 ส่วนแปด 8 8 3. การเขียนเศษส่วนให้อย่ใู นรูปเศษส่วนอย่างตาํ จาํ นวนคละ และเศษเกนิ 3.1 การเขียนเศษส่วนใหอ้ ยูใ่ นรูปเศษส่วนอยา่ งตาํ 4 = 2 8 4 2= 1 63

41 3.2 วิธีเขียนจาํ นวนคละใหอ้ ยูใ่ นรูปเศษเกิน ทาํ ไดโ้ ดยนาํ ตวั ส่วนไปคูณกบั จาํ นวนเตม็ แลว้ บวกกบั ตวั เศษ ตวั ส่วนคงเดิม ตวั อยา่ งเช่น จงทาํ ใหเ้ ป็นเศษเกิน 3 1 2 (3 x 2) 1 วธิ ีทาํ 3 1 = 2 2 = 61 2 7 = 2 ตอบ 7 2 4. การเปรียบเทยี บเศษส่วน การเปรียบเทียบเศษส่วน คือ การนาํ เอาเศษส่วนมาเปรียบเทียบกนั โดยใชเ้ ครืองหมายต่าง ๆ ดงั นี ถา้ เศษส่วนมีค่าเท่ากนั ใชเ้ ครืองหมาย = ถา้ เศษส่วนมีค่าไมเ่ ท่ากนั ใชเ้ ครืองหมายนอ้ ยกว่า (<) หรือมากกวา่ (>) วธิ กี ารเปรียบเทยี บเศษส่วน ตอ้ งทาํ ตวั ส่วนใหเ้ ท่ากนั ก่อนเปรียบเทียบ 4.1 การเปรียบเทียบเศษส่วนทีมตี วั ส่วนเท่ากนั แต่มีค่าไมเ่ ท่ากนั ใชเ้ ครืองหมาย < หรือ > < 1 3 4 4 4.2 เศษส่วนทีมคี ่าเท่ากนั = 2 1 4 2

42 5. การบวก ลบ เศษส่วนและโจทย์ปัญหา 5. การบวกและการลบเศษส่วน การบวกและการลบเศษส่วนทมี ตี วั ส่วนเท่ากนั การบวกและการลบเศษส่วนทีมตี วั ส่วนเท่ากนั ใหท้ าํ ดงั นี (1) นาํ ตวั เศษมาบวกลบกนั (2) ตวั ทีเป็นตวั ส่วนใชจ้ าํ นวนเดิม ตวั อย่าง การบวก การลบ 1111 1111 4444 4444 วธิ ที าํ = = วธิ ที าํ = = การทาํ เศษส่วนให้มคี ่าเท่ากนั 1) การขยายส่วน โดยหาจาํ นวนทีเท่ากนั มาคูงณตทวั ัเศษและตวั ส่วน เช่น 1 1 2 2 2  22  4 1  13  3 3 33 9 2) การทอนเศษส่วน โดยหาจาํ นวนทีเท่ากนั มาหารทงั ตวั เศษและตวั ส่วน เช่น 2 2 2 1 4  4  2  2  4  44  1 12 12  4 3

43 การบวกและการลบเศษส่วนทมี ตี วั ส่วนไม่เท่ากนั การบวกและการลบเศษส่วนทีมตี วั ส่วนไม่เท่ากนั โดยวธิ ีขยายเศษส่วน การบวกและลบเศษส่วนทีมตี วั ส่วนไม่เท่ากนั ใชว้ ธิ ีขยายเศษส่วนใหเ้ ป็นเศษส่วนชนิดเดียวกนั โดย ทาํ ตวั ส่วนใหเ้ ท่ากนั แลว้ จึงนาํ เศษมาบวกลบกนั การขยายเศษส่วน คือ การทาํ ตวั เลงขเศทษั และส่วนใหม้ ากขึน โดยทีค่าของเศษส่วนไม่ เปลยี นแปลง เช่น ตวั อย่าง จงหาผลลพั ธ์ขอ15ง+ 2 3 1 2 13 25 วธิ ที ํา 5 + 3 = 53 + 35 จะทาํ 1 , 2 ใหม้ ตี วั ส่วนเท่ากนั ไดอ้ ยา่ งไร 5 3 = 3 + 10 15 15 แนวคดิ 3  10 = 15 ตวั ส่วนของเศษส่วน คือ , ซึงหารกนั ไม่ = 13 ลงตวั ดงั นนั จึงนาํ ไปค15ูทงัณตวั เศษและ 15 13 ตวั ส่วนและนาํ ไปคู32ณทงั ตวั เศษและตวั ส่วน ตอบ 15 จะได้ 3 , 10 ซึงมีตวั ส่วนเท่ากนั 15 15 ตวั อย่าง จงหาผลลพั ธ์ขอ57ง–13 5 –13 53 17 วธิ ีทํา 7 = 73 - 37 จะทาํ 5 , 1 ใหม้ ตี วั ส่วนเท่ากนั ไดอ้ ยา่ งไร 7 3 = 15 –271 21 แนวคดิ 15  7 = 21 ตวั ส่วนของเศษส่วน คือ , ซึงหารกนั ไม่ ลงตวั ดงั นนั จึงนาํ ไปค75ูทณงั ตวั เศษและ = 8 ตวั ส่วน และนาํ ไปคู13 ทณงั ตวั เศษและตวั ส่วน 21 8 ตอบ 21 จะได้ 15 , 7 ซึงมีตวั ส่วนเท่ากนั 21 21

44 5. สมบัตกิ ารสลบั ทขี องการบวกเศษส่วน ตวั อย่าง จงเปรียบเทียบวา่ 1 + 3 และ 3 + 1 เท่ากนั หรือไม่ 27 72 วธิ ีทาํ 1 + 3 = 1 7 + 3 2 3 + 1 = 3 2 + 1 7 2 7 27 72 7 2 72 27 = 7+6 = 6+7 14 14 14 14 = 76 = 67 14 14 = 13 = 13 14 14 ดงั นนั 1 + 3 = 3 + 1 2772 แนวคดิ เศษส่วน จาํ นวนทีนาํ มาบวกกนั สามารถสลบั ทีกนั ได้ โดยทีผลบวกยงั คงเดิม แสดงว่า การบวกเศษส่วนมสี มบตั กิ ารสลบั ที 5. สมบตั กิ ารเปลยี นหม่ขู องการบวกเศษส่วน ตวั อย่าง จงเปรียบเทียบว่า  1  2  + 3 และ 1 +  2  3  เท่ากนั หรือไม่     5 7 7 5 7 7 วธิ ีทํา  1  2  + 3 =  1 7  2  5  + 3 +1  2  3  = 1 + 5 5 7 7 57 75 7 5 7 7 5 7 =  7  10  + 3 = 1 7 + 55  35 35  7 57 75 = 17 + 3 = 7 + 25 35 7 35 35 = 17 + 3 5 = 32 35 7  5 35 = 17 + 15 = 32 35 35 35 ดงั นนั  1  2  + 3 และ 1 +  2  3  เท่ากนั 5 7 7 5 7 7 แนวคดิ เศษส่วนสามจาํ นวนนาํ มาบวกกนั จะบวกสองจาํ นวนแรกก่อน หรือสองจาํ นวนหลงั ก่อน แลว้ จึงนาํ ไปบวกกบั จาํ นวนทีเหลือ ผลลพั ธ์จะเท่ากกนั ารแบสวดกงเวศ่าษส่วนมสี มบัติ การเปลยี นหม่ขู องการบวก

45 5. โจทย์ปัญหาการบวก การลบเศษส่วน การบวกเศษส่ วน ตวั อย่าง มาลยั ปลูกผกั ไ5ดข้ องแปลง มาลีปลูกผกั ไ2ด้ของแปลง สองคนปลูกผกั รวมกนั ไดเ้ ท่าใด 88 แนวคดิ โจทย์กาํ หนดว่า มาลยั ปลูก5ผกขั ไอดงแ้ ปลง มาลีปลูกผกั ไ2ด้ของแปลง จะเห็นว่า ตวั ส่วน 88 ของ สองจาํ นวนมีค่าเท่ากนั ดงั นนั เมือเรานาํ เศษส่วนของสองจาํ นวนมารวมกนั ใหน้ าํ ตวั เศษของสอง จาํ นวนมาบวกกนั แลว้ หารดว้ ยตวั ส่วนคงเดิม วธิ ีทาํ เขียนเป็นประโยคสญั ลกั ษณ์5 + 2 =  88 มาลยั ปลูกผกั 5 ของแปลง 8 มาลีปลูกผกั 2 ของแปลง 8 สองคนปลูกผกั รวมก5นั + 2 = 5  2 ของแปลง 88 8 = 7 ของแปลง 8 ตอบ 7 ของแปลง 8 การลบเศษส่ วน ตวั อย่าง มานะมเี ชือกย4าวเมตร ตดั ไปผูกกล่อ3งเมตร เหลือเชือกอีกกีเมตร 99 แนวคดิ การลบเศษส่วนทีมีตวั ส่วนเท่ากนั ใหน้ าํ ตวั เศษของแต่ละจาํ นวนมาลบกนั ตวั ส่วนใชจ้ าํ นวนเดิม วธิ ที าํ เขียนเป็นประโยคสญั ลกั ษณ์4  3 =  99 มานะมีเชือกยาว 4 เมตร 9 ตดั ไปผูกกลอ่ ง 3 เมตร 9 เหลือเชือก 4  3 = 43 เมตร 99 9 เมตร =1 9 ตอบ 1 เมตร 9