พื้นฐานทางเรขาคณิต

พื้นฐานทางเรขาคณิต ดร.สุภทั ร สายรตั นอินทร์ โปรแกรมวิชาวิทยาศาสตรท์ ว่ั ไปคณะศิลปศาสตร์และวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลยั ราชภัฏศรีสะเกษ 1

พื้นฐานทางเรขาคณติ สิ่งต่างๆ ที่อย่รู อบตัวเราไม่ว่าจะเป็นอาคาร บา้ นเรือนโรงเรียน ถนนหนทาง เครื่องมือเครื่องใช้ต่างๆ จะเกี่ยวข้องกบัรูปเรขาคณิตทงั้ สิน้ คาํ ทีใ่ ช้ที่เป็นพื้นฐาน โดย ไม่ให้นิยามหรือคาํ จํากัดความได้แก่ จุด เส้น เส้นตรง ระนาบ โดยใช้จุดสําหรับบอกตาํ แหนง่ไมม่ คี วามกวา้ งและความยาว เราจะใชค้ ําพื้นฐานเหล่านีม้ าให้คาํ จาํ กดั ความหรือบทนิยาม คาํ วา่ สว่ นของเสน้ ตรง รงั สีและมุม และจะใช้สญั ลักษณ์แทนจุด เส้นตรง ส่วนของเส้นตรง รังสีและมมุ 2

3

หวั ขอ้ ทสี่ าํ คญั1. จุด เสน้ ตรง2. สว่ นของเส้นตรง3. รงั สี4. มุม 4

1.1 จุด• จดุ ใช้บอกตาํ แหน่ง ไม่มีความกว้าง ความยาว นิยมใช้ อักษรภาษาอังกฤษตวั พิมพใ์ หญ่• เรียกชือ่ จดุ ที่กล่าวถึง เช่น จดุ A และ จุด B ใช้สญั ลักษณ์ ตอ่ ไปนี้แทน 5

1.2 เสน้ ตรง• เส้นตรง มีความยาวไม่จํากดั และไมม่ ีความกวา้ ง เช่น• เดส้ว้นยตรAHงJBทJGผี่ ดา่ งั นรจูปดุ A และจดุ B เรียกวา่ เสน้ ตรง AB เขียนแทน• สญั ลักษณ์ของเส้นตรง จะมีหวั ลูกศรท้ังสองขา้ ง แสดงว่า เส้นตรงมีความยาวไม่จํากดั เราสามารถต่อเส้นตรงออกไป ตามทิศทางของหวั ลกู ศรทง้ั สองขา้ งโดยไม่มีที่สิน้ สดุ 6

แบบฝกึ หดั ที่ 1• ให้นักศึกษาตอบคําถามตอ่ ไปนี้• ข้อ 1 ให้นกั เรยี นกาํ หนดจดุ 1 จดุ บนระนาบ แลว้ ทดลองลากเส้นตรงผา่ นจดุ นน้ั จะสามารถลากเสน้ ตรง ไดก้ ี่เส้น 7

แบบฝกึ หดั ที่ 1 (ต่อ)• ขอ้ 2. ให้นกั เรียนกาํ หนดจดุ 2 จุด บนระนาบ แล้ว ทดลองลากเส้นตรงใหผ้ ่านสองจุดนน้ั จะสามารถลาก เสน้ ตรงไดก้ ี่เส้น 8

แบบฝกึ หดั ที่ 1 (ต่อ)• ขอ้ 3. ให้นกั เรียนลากเส้นตรง 2 เสน้ ให้ตดั กนั เส้นทงั้ สองจะตดั กนั กี่จดุ 9

2 สว่ นของเสน้ ตรง• นิยาม ส่วนของเส้นตรง คือ ส่วนใดสว่ นหนงึ่ ของ• เสน้ ตรงทีม่ ีจดุ ปลายสองจดุ ดงั แสดงดว้ ยรปู ตอ่ ไปนี้ 10

2 ส่วนของเสน้ ตรง (ตอ่ )• สว่ นของเสน้ ตรงทีม่ ีจุดปลายทีจ่ ดุ A และจุด B เขียน แทนด้วย AABB• อา่ นวา่ ส่วนของเส้นตรง AB หรืออาจเรียกส่วนของเส้น ตรง BA เขียนแทนดว้ ย BA CD เป็นส่วนของเสน้ ตรง CD EF เป็นส่วนของเสน้ ตรง EF GH เป็นส่วนของเส้นตรง GH 11

ความยาวของสว่ นของเสน้ ตรง• ความยาวของส่วนของเสน้ ตรง AB จะแทนดว้ ย mAB หรือ AB มาจากคําวา่ measure of ซึ่งหมายถึง ความ ยาวของสว่ นของเส้นตรง AB เช่น AB ยาว 5 ซม. จะ เขียนแทนด้วย mmAB = 5 ซม. หรือ AABB= 5 ซม.• จะเหน็ ว่า ABไม่ใชจ่ าํ นวน ส่วน mAB เป็นจาํ นวนซึง่ สามารถนํามาบวก ลบ คูณและหารกันได้ ดังนั้น เมื่อนํา ความยาวของ AB และ CD มาบวกกัน จะเขียนแทน ดว้ ย mAB + mCD หรือ AB + CD แต่ไม่เขียนว่า AB + CD 12

แบบฝกึ หดั ที่ 2• ใหน้ กั เรียนตอบคาํ ถามต่อไปนี้• จากจุดเริม่ ตน้ จดุ ใดจดุ หนึง่ จงลากเสน้ ไปตามแนวสว่ น ของเสน้ ตรง เชื่อมจดุ ที่เหลือใหต้ ่อเนือ่ งกันไป โดยไมย่ ก ปากกาหรือดินสอ และจดุ สองจุดใดๆ ให้ลากผ่านได้ เพียงครง้ั เดยี วเทา่ นนั้ 13

แบบฝกึ หดั ที่ 2 (ต่อ) 14

แบบฝกึ หดั ที่ 2 (ต่อ) 15

แบบฝกึ หดั ที่ 2 (ต่อ) 16

3 รงั สี• นิยาม• รังสี คือ ส่วนหนึง่ ของเสน้ ตรงทีม่ ีจดุ ปลายเพียงจดุ เดียว เปน็ จุดเริม่ ต้นในการเขียนรงั สี 17

• รงั สีที่มีจุดปลายที่จดุ A และผา่ นจดุ B จะเขียนแทนด้วย AJAJBJBK หรือ BBHJAAJJ• JรJงัJGสีที่มีจุดHJปJJลายที่จดุ B และผ่านจุด B จะเขียนแทนดว้ ย BBAA หรือ AABB 18

4 มมุ• นิยาม• มมุ คือ รังสสี องเส้นทีม่ ีจดุ ปลายเปน็ จดุ เดียวกนั• เรียกรงั สีสองเสน้ นีว้ า่ แขนของมุม และเรียกจุดปลาย ทีอ่ ยใู่ นจุดเดียวกนั นัน้ ว่า จดุ ยอดมุม 19

DF(ก) C (ขE) (ค) 20

มมุ (ตอ่ )• ในทางปฏิบัติเราอาจจะใช้สว่ นของเส้นตรงเขียนแทนรังสี กไ็ ด้ ดงั รูป มุมABC และ มุมDEF แทน 21

มมุ (ตอ่ ) 22

ขนาดของมมุ• เรานิยมใชส้ ัญลักษณ์ m( )ABˆ C หรือ m(∠ABC) แทนขนาด ของมมุ ABC เชน่ มุม ABC กาง 30 องศา เราจะเขียน( )m ABˆ C = 30o D จะพบวา่ ถา้ เส้นตรง AB ตดั กบั เส้นตรง CDE ทจี่ ดุ E แลว้ m( )AEˆ D = m(CEˆ B) และ m(AEˆ C) = m( )DEˆ B เรียกAEˆ D เปน็ มมุ ตรงขา้ มกบั CEˆ B และ AEˆ C เปน็ มุมตรงข้ามกบั DEˆ B 23

ผลการเรียนรทู้ ีค่ าดหวงั1. สร้างรปู สามเหลี่ยม เมื่อกําหนดส่วนของเส้นตรงใหไ้ ด้2. สร้างรูปสีเ่ หลีย่ ม เมือ่ กาํ หนดส่วนของเสน้ ตรงใหไ้ ด้3. แบง่ ครึ่งสว่ นของเสน้ ตรงที่กําหนดให้ได้4. สร้างมุมให้เท่ากบั มมุ ทีก่ าํ หนดส่วนของเสน้ ตรงใหไ้ ด้5. แบง่ ครึ่งมมุ ที่กาํ หนดให้ได้ 24

ส่วนของเสน้ ตรงและความยาวของส่วนของเสน้ ตรง• เมื่อเรามีความจําเป็นต้องเขียนเส้น , มุม , รูปสามเหลีย่ ม , รูปสีเ่ หลีย่ ม และรูปเหลี่ยมอื่นๆ การเขียนรูปเหล่านี้ บางครั้ง เราตอ้ งการเขียนรูปใหเ้ หมือนกบั รูปในหนงั สืออื่นๆ ถ้า กระดาษบางพอ เราอาจใช้วิธีวางทาบบนแบบแลว้ ลอกตาม แบบ ถา้ จะเขียนรูปบนกระดาษหนาหรืออื่นๆ เราอาจเขียนรูป โดยไม่ใชก้ ารวัด แต่จะใชเ้ ฉพาะวงเวียน และวัสดุที่มีสันตรง เช่น ไมบ้ รรทัด เพือ่ เขียนสว่ นของเส้นตรงและรังสีส่วนวงเวียน น้ันใช้สาํ หรับกะระยะตา่ งๆ เรียกวิธีการสร้างรูปโดยอาศยั วง เวียนและวัสดุที่มีสันตรงว่า “ การสร้าง ” 25

การสร้าง• การสร้างส่วนของเสน้ ตรงให้ยาวเทา่ กับความยาวของ สว่ นของเสน้ ตรงที่กําหนดให้• ตวั อยา่ งที1่ กาํ หนด AB ใหด้ งั รูป จงสร้าง XY ให้ยาว เท่ากับ AB ABXY 26

AB X YZ• วิธีสร้าง 1) ลาก XZ ให้ยาวกวา่ AB 2) ให้ X เป็นจุดศนู ย์กลางรศั มีเท่ากับ AB เขียนส่วน โค้งตดั XZ ทีจ่ ดุ Y จะได้ XY ยาวเทา่ กบั AB 27

แบบฝกึ หดั ที่ 3• ใหน้ ักเรียนตอบคําถามต่อไปนี้• ขอ้ 1. กาํ หนด AB ให้ดงั รปู จงสรา้ ง CCDD ให้ CCDD ยาว เทา่ กับ AB 28

แบบฝกึ หดั ที่ 3 (ต่อ)• ข้อ 2. กําหนด a, b และ c แทนความยาวของส่วนของ เส้นตรง 3 เสน้ ดงั รูป จงสร้างรูปสามเหลี่ยม ABC ให้มี ด้านทั้งสามยาวเทา่ กับ a , b และ c ตามลาํ ดับ 29

แบบฝกึ หดั ที่ 3 (ต่อ)• ขอ้ 3. กาํ หนดให้ a, b, c และ d แทนความยาวสว่ นของ เสน้ ตรง 4 เส้น ดงั รูป จงสร้างรูปสีเ่ หลี่ยม ABCD ใหม้ ี ดา้ นท้งั สีย่ าวเท่ากับ a, b, c และ d ตามลําดับ ab c 30

การแบง่ ครึง่ สว่ นของเสน้ ตรง• การแบง่ ครึง่ สว่ นของเส้นตรงที่กําหนดให้ หรือการหาจดุ กึง่ กลางของสว่ นของเส้นตรงทีก่ ําหนดให้• ตวั อย่างที่ 2 กําหนดให้ AB ดังรปู จงแบ่งครึง่ AB 31

ab• วิธีสร้าง 1) ใช้ A และ B เปน็ จุดศูนย์กลางรัศมีเท่ากัน และยาวเกิน ครงึ่ ของ AB เลก็ นอ้ ย เขียนส่วนโคง้ ตดั กนั ที่จดุ M และ N 2) ลากMN ตดั AB ที่จุด O จะได้ O เป็นจุดแบง่ AB ออก เป็น 2 สว่ น เทา่ ๆ กนั คือ AO = OB AB หรือ จะได้วา่ O เปน็ จดุ กึ่งกลางของ AB ทําให้ AO = OB 32

แบบฝกึ หดั ที่ 4• ให้นกั เรียนตอบคําถามตอ่ ไปนี้• ขอ้ ที่ 1 จงแบ่ง MN ออกเปน็ 4 สว่ น เทา่ ๆ กนั โดยการสร้าง 33

แบบฝกึ หดั ที่ 4 (ต่อ)• ข้อที่ 2 จงแบ่ง GH ออกเป็น 8 สว่ น เท่าๆ กัน โดยการสร้าง 34

มมุ และการสร้างมมุ• การสร้างมุมใหม้ ีขนาดเทา่ กับขนาดของมุมทีก่ ําหนดให้ สามารถสร้างขึน้ มาได้ โดยการใชอ้ ปุ กรณ์เรขาคณิต อย่างง่ายๆ ได้แก่ วงเวียนและวัสดุทมี่ ีสันตรง 35

ตวั อยา่ งที่ 3• กาํ หนด XYlZจงสร้าง ABlC mให(A้ BlC) = m(XYlZ) ส่ิงที่ โจทย์กําหนดให้ XYlZ 36

ตวั อยา่ งที่ 3 (ตอ่ ) 37

ตวั อย่างที่ 3 (ตอ่ )• วิธีสร้าง 38

ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง• 1. สร้างมมุ ชนิดตา่ งๆ ที่กาํ หนดให้ได้• 2. เขียนวธิ กี ารสร้างมมุ ชนิดต่างๆ ทีก่ าํ หนดให้ได้ 39

การแบง่ ครึง่ มมุ• เมื่อมีมมุ มุมหนงึ่ ซึง่ ไมท่ ราบว่ากางกี่องศา เราต้องการ แบง่ ครึ่งมุมน้นั เราอาจจะใช้วงเวียนและวสั ดทุ มี่ ีสนั ตรง ทาํ การแบง่ ครึง่ มุมไดโ้ ดยวิธีงา่ ยๆ ดงั ตวั อยา่ ง 40

ตวั อยา่ งที่ 4 CAT 41

วิธีสร้าง 42

แบบฝกึ หดั ที่ 5• ใหน้ กั เรียนตอบคําถามตอ่ ไปนี้• ขอ้ ที่ 1 จงสร้างมมุ ABC ใหเ้ ทา่ กบั มุม XYZ ทีก่ าํ หนดให้ 43

แบบฝกึ หดั ที่ 5 (ต่อ)• ขอ้ ที่ 2 จงสร้างมุม ABC ใหเ้ ท่ากับมุม XYZ ทีก่ ําหนดให้ 44

แบบฝกึ หดั ที่ 5 (ต่อ)• ข้อที่ 3 จงแบ่งมมุ MNO ทีก่ ําหนดให้เปน็ 4 ส่วนเท่าๆ กัน 45

แบบฝกึ หดั ที่ 5 (ต่อ)• ข้อที่ 4 จงแบ่งมมุ ABC ทีก่ ําหนดใหเ้ ป็น 8 ส่วน เทา่ ๆ กัน 46

การสร้างมมุ ทีม่ ีขนาด 60 องศา• ตวั อย่างที่ 5 จงสรา้ งมุม JAN ทมี่ ีขนาดเท่ากับ 60 องศา 47

แบบฝกึ หดั ที่ 6• ใหน้ ักเรียนตอบคําถามตอ่ ไปนี้• ข้อที่ 1 ใหส้ รา้ งมมุ ขนาดเท่ากับ 30 องศา โดยใช้วงเวยี น 48

แบบฝกึ หดั ที่ 6 (ต่อ)• ขอ้ ที่ 2 ใหน้ ักเรียนสรา้ งมุมขนาดเท่ากับ 120 องศา โดย ใชว้ งเวียนและสนั ตรง 49

การสรา้ งมมุ ทีม่ ีขนาด 90 องศา• ตวั อยา่ ง จงสร้างมุม PQR = 90o หรือ จงสรา้ งมุมฉาก PQR 50