วัไจ1

1

ຄາໍ ນາໍ ເຮົາຮແູ້ ລວູ້ ວາ່ ການຮຽນຮເູ້ ກດີ ຈາກການປະຕບິ ດັ ແລະ ການຄດິ ຂອງນກັ ຮຽນ ເທ່ ົານນັູ້ (ການການຮຽນຮເູ້ ປັນຜນົ ຂອງການປະຕບິ ດັ ແລະ ການຄດິ ຂອງນກັ ຮຽນເທ່ ົາ ນນັູ້ ). ສະນນັູ້ ຈະເຮັດແນວໃດໃຫນູ້ ກັ ຮຽນໄດເູ້ ກດີ ການຮຽນຮສູ້ ່ ງິ ສາໍ ຄນັ ທ່ ີສດຸ ກຄໍ ກື ານ ເລອື ກເຟັູ້ນເນອູື້ ໃນທ່ ີຈາໍ ເປັນຂອງບດົ ຮຽນ ແລະ ສາູ້ ງເປັນຄາໍ ຖາມ(ກດິ ຈະກາໍ ) ໃຫນູ້ ກັ ຮຽນໄດປູ້ ະຕບິ ດັ ແລະ ຄດິ ເພ່ ືອການຮຽນຮ.ູ້ ເພ່ ືອໃຫນູ້ ກັ ຮຽນໄດປູ້ ະຕບິ ດັ ແລະ ຄດິ ໃນການຮຽນຮມູ້ ວີ ທິ ີການ ດງ່ ັ ນ:ີູ້ ບາດກາູ້ ວ 1: ຄກະກຽມເອກະສານປະກອບການຮຽນ-ການສອນ ເຊ່ ງິ ແຕລ່ ະບດົ ໃຫປູ້ ະກອບມຢີ າ່ ງໜອູ້ ຍ 2-3 ຕວົ ຢາ່ ງ ແລະ ບດົ ເຝິກຫດັ . ບາດກາູ້ ວ 2: ຄແຈກຢາຍເອກະສານໃຫນູ້ ກັ ສກຶ ສາແຕລ່ ະຄນົ . ບາດກາູ້ ວ3. ນກັ ຮຽນຄນູ້ົ ຄວາູ້ ວທິ ີແກໃູ້ ນບດົ ຕວົ ຢາ່ ງ ແລະ ນາໍ ໄປແກບູ້ ດົ ເຝິກຫດັ . ບາດກາູ້ ວ 3: ນກັ ຮຽນນາໍ ສະເໜີຜນົ ຂອງການແກບູ້ ດົ ເຝກິ ຫດັ ຢາ່ ງສາູ້ ງສນັ . ບາດກາູ້ ວ 4: ຄປະເມນີ . ເອກະສານສະບບັ ນູີ້ ປະກອບມີ 25 ບດົ ແຕລ່ ະບດົ ປະກອບມີ 2-3 ຕວົ ຢາ່ ງ ພອູ້ ມດວູ້ ຍບດົ ເຝກິ ຫດັ . ວທິ ີສອນຮຽນຮດູ້ ວູ້ ຍຕນົ ເອງໄດທູ້ ດົ ລອງກບັ ນກັ ສກຶ ສາສາຍຄຄະນດິ ສາດລະລະບ ົ ບ 11+3+2 ໃນສກົ ຮຽນ 2019- 2020 ວທິ ະຍາໄລຄຫຼວງນາໍູ້ ທາ. ດງ່ ັ ນນັູ້ , ບນັ ດາອາຈານ ແລະ ນກັ ສກຶ ສາ ທ່ ີໄດນູ້ າໍ ໃຊເູ້ ອກະສານສະບບັ ນ້ີູ ຫາກ ຫາກໄດພູ້ ບົ ພໍູ້ຂໍຂູ້ າດຕກົ ບກົ ພອ່ ງທາງດາູ້ ນເນອືູ້ ໃນ ກຄໍ ທື າງດາູ້ ນສາໍ ນວນຄາໍ ເວູ້ົາ ຈງ່ ົ ໄດູ້ ສ່ງົ ຄາໍ ຄດິ ເຫັນ ອນັ ຈງິ ໃຈຂອງພວກທາ່ ນໄປຍງັ ຂາູ້ ພະເຈາົູ້ ເພ່ ືອວາ່ ຂາູ້ ພະເຈາົູ້ ຈະໄດູ້ ເກບັ ກາໍ ແລວູ້ ນາໍ ໃຊເູ້ ຂູ້ົາການປບັ ປງຸ ໃຫສູ້ ມົ ບນ ແລະ ດຂີ ນ້ຶູ . 2

ສາລະບານ ລ/ດ ເນອືູ້ ໃນ ໜາູ້ 5 1 ບດົ ທີ 1: ການຊອກຄາ່ ຂອງຕາໍ ລາ y  f  x ຢເ່ ມດັ x  x0 8 2 ບດົ ທີ 2: ຫວາ່ ງກາໍ ນດົ ຂອງຕາໍ ລາປກົ ກະຕິ y  f x 10 g x 14 3 ບດົ ທີ 3: ຫວາ່ ງກາໍ ນດົ ຂອງຕາໍ ລາອະປກົ ກະຕິ y  f  x 18 20 4 ບດົ ທີ 4: ຫວາ່ ງກາໍ ນດົ ຂອງຕາໍ ລາໂລກາລດິ y  loga f  x 27 5 ບດົ ທີ 5: ຫວາ່ ງກາໍ ນດົ ຂອງຕາໍ ລາໃຈກາໍ ລງັ y   f  xgx 6 ບດົ ທີ 6: ຂອບເຂດ lim f  x  f a   40 xa 43 7 ບດົ ທີ 7: ຂອບເຂດທ່ ີມຮີ ບລກັ ສະນະ 0 48 0 51 55 8 ບດົ ທີ 8: ຂອບເຂດມຮີ ບລກັ ສະນະ  73  75 78 9 ບດົ ທີ 9: ຂອບເຂດຂອງ lim sin x  1 84 xx0 87 90 10 ບດົ ທີ 10: ຂອບເຂດມຮີ ບລກັ ສະນະ    10 ບດົ ທີ 11: ຂອບເຂດທ່ ີມຮີ ບລກັ ສະນະ 1 12 ບດົ ທີ 12: ຜນົ ຕາໍ ລາຂອງຕາໍ ລາ f  x ຢເ່ ມດັ x0 13 ບດົ ທີ 13: ສດຄດິ ໄລຜ່ ນົ ຕາໍ ລາຂອງຕາໍ ລາພ້ືູນຖານ 14 ບດົ ທີ 14: ຜນົ ເນ່ອື ງ  f  x  g x  f  x  g x 15 ບດົ ທີ 15: ສດຄດິ ໄລຜ່ ນົ ຕາໍ ລາຂອງຜນົ ຫານ 16 ບດົ ທີ 16: ສດຄດິ ໄລຜ່ ນົ ຕາໍ ລາຂອງການຄນ 17 ບດົ ທີ 17: ສດຄດິ ໄລຜ່ ນົ ຕາໍ ລາຂອງຕາໍ ລາຊອູ້ ນໃນ 18 ບດົ ທີ 18: ສດຄດິ ໄລຜ່ ນົ ຕາໍ ລາຂອງຕາໍ ລາອະປກົ ກະຕິ 3

19 ບດົ ທີ 19: ສດຄດິ ໄລຜ່ ນົ ຕາໍ ລາຂອງຕາໍ ລາໃຈກາໍ ລງັ 94 20 ບດົ ທີ 20: ສດຄດິ ໄລຜ່ ນົ ຕາໍ ລາຂອງຕາໍ ລາໂລກາລດິ ພູຶ້ນເອີ 97 21 ບດົ ທີ 21: ສດຄດິ ໄລຜ່ ນົ ຕາໍ ລາຂອງຕາໍ ລາໂລກາລິ 103 22 ບດົ ທີ 22: ສດຄດິ ໄລຜ່ ນົ ຕາໍ ລາຂອງຕາໍ ລາຊນິ 107 23 ບດົ ທີ 23: ບນັ ດາສດຄດິ ໄລຜ່ ນົ ຕາໍ ລາຂອງຕາໍ ລາໂກຊນິ 111 24 ບດົ ທີ 24: ສດຄດິ ໄລຜ່ ນົ ຕາໍ ລາຂອງຕາໍ ລາຕງັ 114 25 ບດົ ທີ 25: ສດຄດິ ໄລຜ່ ນົ ຕາໍ ລາຂອງຕາໍ ລາໂກຕງັ 118 26 ຕລີ າຄາຄວາມເປັນໄປໄດູ້ ແລະ ຄວາມມປີ ະສດິ ທິພາບ, ປະສດິ ທິ 122 ຜນົ ປະສດິ ທິຜນົ ຂອງວທິ ີການສ່ງົ ເສມີ ການຮຽນຮດູ້ ວູ້ ຍຕນົ ເອງ. 147 27 ເອກະສານອາູ້ ງອງີ 4

ບດົ ທີ 1 ການຊອກຄາ່ ຕາໍ ລາ y  f  x ຢເ່ ມດັ x  x0 ຕວົ ຢາ່ ງ 1: ຕວົ ຢາ່ ງ 2: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f  x x2 7x 5. ຊອກ f 0, f 1, f 1, f  1   2   f 002 7.0 5 5.  f 112 715 1 7  5  13 .  f 112  71  5 1 7  5  1.  f  1    1 2  7 1   5  2   2  2  1  7 5 42  1  7.2  5.4 4 2.2 4  1  14  20 44 4 5

114  20 4 7. 4 ບດົ ເຝກິ ຫດັ 1. f  x3x2  5x  21. ຈງ່ ົ ຊອກຄາ່ f 0, f 2, f 1 2. ht 2t 12 . ຈງ່ ົ ຊອກຄາ່ h1, h0, h1 3. g  x x  1 . ຈງ່ ົ ຊອກຄາ່ g 1, g 1, g 2 x 4. f x x . ຈງ່ ົ ຊອກຄາ່ f 2, f 0, f 1 x2 1 5. ht  t2  2t  4 . ຈງ່ ົ ຊອກຄາ່ h2, h0, h4 3 6. g uu 12 . ຈງ່ ົ ຊອກຄາ່ g 0, g 1, g 8 7. f  t    2t  1 3 . ຈງ່ ົ ຊອກຄາ່ f 1, f 5, f 13 2 8. g  x4  x . ຈງ່ ົ ຊອກຄາ່ g 2, g 0, g 2 9. f  x x  x  2 . ຈງ່ ົ ຊອກຄາ່ f 1, f 2, f 3 10. f  x  x3  3x2  2x  5. ຈງ່ ົ ຊອກຄາ່ f 1, f 0, f 1 11. g  x  x 1 . ຈງ່ ົ ຊອກຄາ່ g 2, g 3, g 4 x2 1 12. h x  log1 x . ຈງ່ ົ ຊອກຄາ່ h3, h  1 , h  1  3  9  9 13. f t   t2  9 . ຈງ່ ົ ຊອກຄາ່ f 0, f 4 14. f  x  2x2  x  6 . ຈງ່ ົ ຊອກຄາ່ f 2t 1, f t  3 6

15. g t   5t2  6. ຈງ່ ົ ຊອກຄາ່ f  x  2, f  x  2 16. f  x 1  x 1 . ຈງ່ ົ ຊອກຄາ່ f 0, f   1 , f  1   2  2  x2 17. f 2x 1  2  3x . ຈງ່ ົ ຊອກຄາ່ f 1, f 2, f  1   3  18. f 1 x  x2  2x  3 . ຈງ່ ົ ຊອກຄາ່ f 1, f 0, f   1   2  19. f t  2t t  2. ຈງ່ ົ ຊອກຄາ່ f   1 , f  1 , f  0  3  3 20. g 3x x  22 . ຈງ່ ົ ຊອກຄາ່ g 0, g 1, g 1 21. f 2x 1  3x2  x  5 . ຈງ່ ົ ຊອກຄາ່ f 1, f 2, f 3 22. f  x 1  2x  3 . ຈງ່ ົ ຊອກຄາ່ f 2, f 3, f 5 1 x 23. f 2  x  5x  2 . ຈງ່ ົ ຊອກຄາ່ f  1  , f  1  , f 2  3   2  24. f 2x  x 1 . ຈງ່ ົ ຊອກຄາ່ f 1, f 5, f 3, f 1  5  2x 3  25. f  x  log1 x . ຈງ່ ົ ຊອກຄາ່ f 1, f  1  , f  1 , f 3  3   9 3 26. f  x 1 cos2x . ຈງ່ ົ ຊອກຄາ່ f 0, f  , f   , f    6   4  27. f  x 1 sin 2x . ຈງ່ ົ ຊອກຄາ່ f 0, f 2 , f   , f    3  6  28. f  x  sin x  cos x . ຈງ່ ົ ຊອກຄາ່ f 0, f  , f    3  6  29. f  x  tan x  cot x . ຈງ່ ົ ຊອກຄາ່ f  , f    , f    4   6  7

ບດົ ທີ 2 ການຊອກຫວາ່ ງກາໍ ນດົ ຂອງຕາໍ ລາປກົ ກະຕິ y  f x gx ເພ່ ືອໃຫຕູ້ າໍ ລາ y ມຄີ ວາມໝາຍ ມເີ ງ່ອື ນໄຂດງ່ ັ ນ:ູີ້ g  x  0. ຕວົ ຢາ່ ງ: ຊອກຫວາ່ ງກາໍ ນດົ ຂອງຕາໍ ລາ f  x  3x x2 ເງ່ອື ນໄຂ: x  2  0  x  2 ດງ່ ັ ນນັູ້ , ຫວາ່ ງກາໍ ນດົ ຂອງຕາໍ ລາ f : Df  \\ 2 or Df  ;  \\ 2 or Df  ;  \\ 2. ບດົ ເຝກິ ຫດັ ຈງ່ ົ ຊອກຫວາ່ ງກາໍ ນດົ ຂອງບນັ ດາຕາໍ ລາລມຸ່ ນ:ູ້ີ 1. y  2x 1 2. y  x  3 3x  2 5  2x 3. y  x 4. y  x 1 x2  3x  2 2x2  5x  2 5. y  3x 6. y  x 1 x2  x 1 x3 1 7. y  2x 1 8. y  1  x  2 x2  4 x  3 x4  3x2  2 9. f  x  x 1 10. f  x  2 x2  4 4x 3 11. f  x  1 12. f  x  x 1 9  x2 x2  5x  6 8

13. f  x  2x 14. f  x  5 x2  x  2 x2  x 12 15. f  x  x 1 16. f  x  x x2  4x x2 1 17. f  x  1 18. f  x  x 1 x2  6x  9 x3  4x 19. f  x  7 20. f  x  1  2 x2  7x 12 x 1 x 3 21. f  x  x  5 22. f  x  x 1 . 6x2 13x  5 x2  4x 9

ບດົ ທີ 3 ການຊອກຫວາ່ ງກາໍ ນດົ ຂອງຕາໍ ລາອະປກົ ກະຕິ y  f  x ເພ່ ືອເຮັດໃຫຕູ້ າໍ ລາ y ມຄີ ວາມໝາຍ, ມເີ ງ່ອື ນໄຂດງ່ ັ ນ:ີູ້ f  x  0 . ຕວົ ຢາ່ ງ 1: ຊອກຫວາ່ ງກາໍ ນດົ ຂອງຕາໍ ລາຕ່ ໍໄປນີູ້ y  2x  3 ເງ່ອື ນໄຂ: 2x  3  0  2x  3  x  3 2 ດງ່ ັ ນນັູ້ , ຫວາ່ ງກາໍ ນດົ ຂອງຕາໍ ລາ y : Dy   ; 3 or Dy  ; 3 .  2  2  ຕວົ ຢາ່ ງ 2: ຊອກຫວາ່ ງກາໍ ນດົ ຂອງຕາໍ ລາຕ່ ໍໄປນີູ້ y  3  x x4 ເງ່ອື ນໄຂ: x  4  0  x  4 ດງ່ ັ ນນັູ້ , ຫວາ່ ງກາໍ ນດົ ຂອງຕາໍ ລາ y : Dy  4 ;  or Dy  4 ; . ຕວົ ຢາ່ ງ 3: ຊອກຫວາ່ ງກາໍ ນດົ ຂອງຕາໍ ລາຕ່ ໍໄປນູ້ີ y  3 2x  5  x 5  x ເງ່ອື ນໄຂ: 3  x  0  x  3  x  5 \\ 3 5  x  0 x  5 ດງ່ ັ ນນັູ້ , ຫວາ່ ງກາໍ ນດົ ຂອງຕາໍ ລາ y : Dy  ;5 \\ 3 or D  ;5 \\ 3. 10

ຕວົ ຢາ່ ງ 4: ຊອກຫວາ່ ງກາໍ ນດົ ຂອງຕາໍ ລາຕ່ ໍໄປນີູ້ y  2x 1  4  3x ເງ່ອື ນໄຂ: 2 x 1  0  2x  1   x  1  1  x  4 4  3x  0 3x  4  x  2 2 3  4  3  ດງ່ ັ ນນັູ້ , ຫວາ່ ງກາໍ ນດົ ຂອງຕາໍ ລາ y : Dy   1; 4 .  2 3  ບດົ ເຝກິ ຫດັ ສາໍ ລບັ ຄາ່ ໃດຂອງ x ໝວດຄາໍ ນວນລມຸ່ ນີູ້ ຈ່ງິ ມຄີ ວາມໝາຍ: 1. 3x 1 2. 5  2x 3. 1 4. 2x 1 7x 14 6. x  3 5. 3  x 7x 7x  2 8. x2  3 10. x2  3x  7 7. 1 2x  x2 9. x2  2 11. 1 12. 2x2  5x  3 x2  5x  3 14. 6x 1  x  3. 13. 1  3x x3 5x ຈງ່ ົ ຊອກເຂດກາໍ ນດົ ຂອງບນັ ດາຕາໍ ລາລມຸ່ ນ:ູ້ີ 1. y  2x  3 2. y  2x  3 11

3. y  x 1  1 4. y  4  x  x 1 x3 5. y   x  1 x 1 6. y  x  3  2 x  2 2 7. y   x  5 2x 1 8. y  2x 1  1 x 3 x 2 9. y  2x  5 10. y  x  3  1 x 3 x2  4 11. y  2x  3x 12. y  x  5x2 x 1 x2 1 x  2 x2  6x  5 13. y  2x  5  3 14. y  2x 1  x  3 x2  4x  5 x 15. y  x  4 16. y  x5 x2  x x2  x  2  x 1 17. y  2  x  2  x 18. y  3 x  2  x2 1 x 1 19. y  x 1  3  2x 20. y  1 x x 1 x2  x 21. y  x2  4 5  2x 22. y  3 x  2  1 3  3 2x x x  2 24. y  x 23. y  2x  3 x x2  x  2 26. f  x  2  x 25. f  x  3  x 28. f  x  x 1 30. f  x  x2  5x  6 27. f  x  4  x 32. f  x  x 1  3x 29. f  x  x2  x 12 31. f  x  x  4  3x 12

33. f  x  1  5  3x 34. f  x  2x  8  1 2x  5 x5 35. f  x  x  5  3  x 36. f  x  x2 1  16  x2 37. f  x  x2 1 2 38. f  x  3  2x  x x5 3x  5 39. f  x  1  2  x 40. f x  3x  2  x 1 x 1 5x  35 41. f  x  x2  x  2 42. y  x 1  2 3  x x2  5x 43. y  3x  4x2 44. y  2  x  1 x 46. y  6x  x2  5 2x2  x 8 5x2 1 45. y  3x2  4x  5 48. y  x  x2 50. y  6 x  x2  2x3 47. y  1 x  16  x2 52. f  x  1 2x  1 . 49. f  x  2x  3  1 x2  4 2 x 51. y  x x2  5x  6 13

ບດົ ທີ 4 ການຊອກຫວາ່ ງກາໍ ນດົ ຂອງຕາໍ ລາໂລກາລດິ y  loga f  x a  0 ເພ່ ືອໃຫຕູ້ າໍ ລາ y ມຄີ ວາມໝາຍ ມເີ ງ່ອື ນໄຂດງ່ ັ ນ:ີູ້ a  1   f  x  0 ຕວົ ຢາ່ ງ 1: ຊອກຫາຫວາ່ ງກາໍ ນດົ ຂອງຕາໍ ລາຕ່ ໍໄປນູ້ີ f  x  log2  1 5x   2x  ເງ່ອື ນໄຂ: 1 5x  0  1 5x2  x  0  x  1  x  2 2x 5 ດງ່ ັ ນນັູ້ , ຫວາ່ ງກາໍ ນດົ ຂອງຕາໍ ລາ f : Df   ; 1   2;   or Df  ; 1   2;  .  5  5  ຕວົ ຢາ່ ງ 2: ຊອກຫາຫວາ່ ງກາໍ ນດົ ຂອງຕາໍ ລາຕ່ ໍໄປນູ້ີ f  x  5x  2x2  2  ln 1 x2 1 5x  2x2  2  0  1  x2   2  1 x ເງ່ອື ນໄຂ:  1   x  1  x  2  2  0 x 1  1 ດງ່ ັ ນນັູ້ , ຫວາ່ ງກາໍ ນດົ ຂອງຕາໍ ລາ f : Df  1;2 or Df  1;2 . ຕວົ ຢາ່ ງ 3: ຊອກຫາຫວາ່ ງກາໍ ນດົ ຂອງຕາໍ ລາຕ່ ໍໄປນູ້ີ f  x  x2  4x  3 log2 25  4x2  x2  4x  3 0  x 3 x  1 5   4x2  0  5  x 5 2 ເງ່ອື ນໄຂ: 25   2 2    x  2 14

ດງ່ ັ ນນັູ້ , ຫວາ່ ງກາໍ ນດົ ຂອງຕາໍ ລາ f : Df    5 ; 2 or Df   5 ; 2 .  2 2 ຕວົ ຢາ່ ງ 4: ຊອກຫາຫວາ່ ງກາໍ ນດົ ຂອງຕາໍ ລາຕ່ ໍໄປນູ້ີ f  x  lg x  2 ເງ່ອື ນໄຂ: x  2  0  x  2  x  2  x  2 ດງ່ ັ ນນັູ້ , ຫວາ່ ງກາໍ ນດົ ຂອງຕາໍ ລາ f : Df  ; 2  2;  or Df  ; 2  2; . ຕວົ ຢາ່ ງ 5: ຊອກຫາຫວາ່ ງກາໍ ນດົ ຂອງຕາໍ ລາຕ່ ໍໄປນີູ້ f  x  ln1 x  ເງ່ອື ນໄຂ: 1 x  0  x 1  1 x 1 ດງ່ ັ ນນັູ້ , ຫວາ່ ງກາໍ ນດົ ຂອງຕາໍ ລາ f : Df  1;1 or Df  1;1. ຕວົ ຢາ່ ງ 6: ຊອກຫາຫວາ່ ງກາໍ ນດົ ຂອງຕາໍ ລາຕ່ ໍໄປນ້ີູ f  x  log2 2  x ເງ່ອື ນໄຂ: 2  x  0  x  2 ດງ່ ັ ນນັູ້ , ຫວາ່ ງກາໍ ນດົ ຂອງຕາໍ ລາ f : Df  ;2 or Df  ;2. ຕວົ ຢາ່ ງ 7: ຊອກຫາຫວາ່ ງກາໍ ນດົ ຂອງຕາໍ ລາຕ່ ໍໄປນີູ້ f  x  logx1  x  3 x 1 0 x 1  x  1    x  2 ເງ່ອື ນໄຂ:  x 11   x  2    x 30  x  3 ດງ່ ັ ນນັູ້ , ຫວາ່ ງກາໍ ນດົ ຂອງຕາໍ ລາ f : Df  1 ;   \\ 2 or Df  1 ;   \\ 2. 15

ບດົ ເຝກິ ຫດັ ຈງ່ ົ ຊອກຫວາ່ ງກາໍ ນດົ ຂອງບນັ ດາຕາໍ ລາລມຸ່ ນ:ູ້ີ 1. y  4x  x2  lg x2 1 2. y  1 lg x 1  4  x x2 3. y x 1  4. y  log0,4 x  x2 log0,3 x  5  5. y  log0,5 x2  9  4  6. 1 y log0,5 x2  x  6 x2  x  7. y  log0,3 x2  5x  7 8. y x 1 1 log0,4 x  5 . x2  36 3x2 18 x29 10. y  16x  x5  log1 x2  4 9. y  4 x3  26x17 2 11. y log 1 x  12. y  log0,5 3x  8  log0,5 x2  4 2 x2 1 3x2 18 x29 14. y 1 log4 16  log8  x2  4x  3 2 13. y  4 x3  26x17 15. y  x2  2x 16. y  x2  2x  3  log3  x 1 log5  x 1  17. y  log2x5 x2  3x 10 18. y  x  4  x  lg39  x x5 19. y  lg x  x  3 20. y  4x  x3  lg x2 1 x2 21. y log 1 x 1 22. y 4x  2 x2  52  22 x1 2 3x  5 83 23. y  lg3x2  4x  5 24. y  lg 1 lg x2  5x 16  25.  3x  1  y  log0,5   log2 3x  2  26. y  logx2 x2  8x 15 16

27. y  lg x  28. y  lg 8  42lgx 3 2lgx x2  2x  63 30. y  lglg2 x  5lg x  6. 29. y  lg5x2  8x  4 17

ບດົ ທີ 5 ການຊອກຫວາ່ ງກາໍ ນດົ ຂອງຕາໍ ລາໃຈກາໍ ລງັ y   f  x gx ເພ່ ືອໃຫຕູ້ າໍ ລາ y ມຄີ ວາມໝາຍ ມເີ ງ່ອື ນໄຂດງ່ ັ ນ:ູີ້ f  x  0 ຕວົ ຢາ່ ງ: ຊອກເຂດກາໍ ນດົ ຂອງຕາໍ ລາຕ່ ໍໄປນີູ້ f  x  3x  5 2x7 ເງ່ອື ນໄຂ: 3x  5  0  3x  5  x  5 3 ດງ່ ັ ນນັູ້ , ເຂດກາໍ ນດົ ຂອງຕາໍ ລາ f : Df    5 ;    or Df   5 ;   .  3  3 ບດົ ເຝກິ ຫດັ ຈງ່ ົ ຊອກເຂດກາໍ ນດົ ຂອງຕາໍ ລາລມຸ່ ນ:ູ້ີ  2  x x1  3  x  1. y   2. y  x2  x  2 x5 ເພ່ ືອແກບູ້ ດົ ເຝິກຫດັ ຂາູ້ ງເທິງ ໃຫອູ້ ງີ ໃສສ່ ດລມຸ່ ນເູີ້ ປັນບອ່ ນອງີ : ອະສມົ ຜນົ ໃຈກາໍ ລງັ ແລະ ໂລກາລດິ : ກລໍ ະນ:ີ a 1 a f x  agx  f x  g x a f x  agx  f x  g x loga f  x  loga g  x  f  x  g  x loga f  x  loga g  x  f  x  g  x ກລໍ ະນ:ີ 0  a 1 a f x  agx  f x  g x 18

a f x  agx  f x  g x loga f  x  loga g  x  f  x  g  x loga f  x  loga g  x  f  x  g  x ອະສມົ ຜນົ ອະປກົ ກະຕ:ິ f x  g  x   f  x  0  x  f  x  g   f x  0  f  x  g  x   g  x   0  f  x  g 2  x  f  x  g  x   f x  0  g x  0 2  x.  x  0  x  g g  f 19

ບດົ ທີ 6 ຂອບເຂດ lim f  x  f a   xa ຄນຸ ລກັ ສະນະ: 1. lim  f  x  g  x  lim f  x  lim g x  f a  ga mn xa xa xa 2. lim  f  x g  x  lim f  x lim g x  f a ga  mn xa xa xa 3.  f x  lim f  x  f a  m lim   ga n xa g  x  xa lim g  x xa x gx  lxima f lim g x a ga  mn.  xa      4. lim  f x   f xx0 ບາງບນັ ຫາທ່ ີເຄຍີ ພບົ : 1) k    k  2n; n 1, 2, 3,... 2) k    k  2n 1; n  0,1,2, ... 3)   a   a  0 4)   a   a  0 5)   a   a  0 6)   a   a  0 7) a   a  0 0 8) a   a  0 0 ຕວົ ຢາ່ ງ 1. ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດຕ່ ໍໄປນູ້ີ lim5x3  4x2  3 x1 lim5x3  4x2  3 513  412  3  5  4  3  5 1  6. x1 ຕວົ ຢາ່ ງ 2. ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດຕ່ ໍໄປນູ້ີ lim 2x3  3 x1 x  2 20

lim 2x3  3  213  3  21  3  2  3  1. x1 x  2 1 2 1 ຕວົ ຢາ່ ງ 3. ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດຕ່ ໍໄປນູີ້ limx3  x2  5 x2 lim x3  x2  5  23  22  5  8  4  5 17. x2 ຕວົ ຢາ່ ງ 4. ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດຕ່ ໍໄປນູ້ີ lim x2  4x  5 x1 lim x2  4x  5  12  41  5 1 4  5  8. x1 ຕວົ ຢາ່ ງ 5. ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດຕ່ ໍໄປນ້ີູ lim2x2  5x 1 x1 3 lim  2 x 2  5x  1  2 1 2  5 1   1  2. 1  5  1  4 . 3  3  9 3 9 x1 3 ຕວົ ຢາ່ ງ 6. ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດຕ່ ໍໄປນີູ້ lim 2  x x1 4x  5 2 2x 2    1  2 1 5  2  2  2  5. lim   x1 4x  5  1  2  5 3 6 2 4   2   5 ຕວົ ຢາ່ ງ 7. ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດຕ່ ໍໄປນີູ້ lim 3x  2 x3 1 5x 2 lim 3x 2 3 3   2 9 2 5   5.2   5 . 2  2 2    x3 1 5x 5 3  1 15 13 13.2 13 2 1  2  2 2 ຕວົ ຢາ່ ງ 8. ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດຕ່ ໍໄປນີູ້ lim x8 x8 x8  lim x8  x  8  1. x8 x  8 x8  21

ຕວົ ຢາ່ ງ 9. ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດຕ່ ໍໄປນີູ້ lim x6 x6 x 6 lim x6   x  6 1. x6  x  6 x 6 ບດົ ເຝກິ ຫດັ ຈງ່ ົ ຄດິ ໄລບ່ ນັ ດາຂອບເຂດລມຸ່ ນ:ູ້ີ 1. lim x4  x2 1 2. lim3x3  x2 1 x1 x0 3. lim x2 1 4. x3 7 xx1 lim 4 xx3 2 5. 2x  24x2 6. x3  x2 1 lim lim 2 x1 6x 1 xx1 2 7. x3 8. lim x3  7x2 16x 12 lim x2  8x 1 x1 2x2  1 x2 9. lim  1 1 x 3  10. lim(3x2  2x  4)   1 x3  xx2 x0 11. x3  7 12. lim x3  7x2 16x 12 lim x2  8x 1 x0 x2  3x  2 x2 13. lim x2  5x  6 14. lim  2 x  1  x 2x2  x 1  x  4  x0 x3 15. lim 1 x  x2 16. lim x2 x0 x3  3x2  x x2  x x0 17. lim x 1 18. 5  7x x 1 lim x1 x214  3x  2x2 19. lim 6 x7 20. lim 3 x  7 1 x3 x4 3x 1  2 x1 22

3 2x  2  3 x2  9 5 x x  6 1 21. lim 22. lim x3 x5  23. 3x 1 lim x2  7x  5 24. lim x1 2  5x x 1 2 2 25. lim x 1 26. lim  2x 1  1 x2 2x  3  x2 x 1 x2 3 27. lim 5x  7 28. lim5x5  3x3 10x 15 x1 1 3x x1 3 29. lim x 7 3 30. lim x  2 x2 3x  5 x3 2x  5  7 31. lim x 7 3 32. lim x2 x2 3x  5 x3 2x 5 7 33. lim x4  x2 1 34. lim5x2  4x  3 x1 x1 35. lim x2 1 6. lim3x3  x2 1 xx1 x0 37. 2x  24x2 38. x3 7 lim lim 4 x1 6x 1 xx3 2 39. lim x3  7x2 16x 12 40. lim x3  x2  1 x2  8x 1 x1 x2  2 x1 41. lim  3x 2  2x  4 42. lim  x3  x2   x   x2  2x 1 x2 x1 2 1 43. lim  2  x  1  x 44. lim x2  5x  6  x  4  x0 2x2  x  1 x3 45. lim x2  2x 1  46. lim x  2 x 1 x1 x1 47. lim3  4x4 48. x 1 x3 lim x1 2x  1 49. x2  x 1 50. 4x  7 lim lim x1 2x5  3 x0 x  2 23

51. lim x2  4 52. x  x3 x 3 lim  2 x  1 x4  3 x1 1 1 x4  3x 1 x 2x2 1 53. lim 1 54. lim x2 1  x1 x 55. sin 5x 56. 2sin x  3cos x lim lim 1x0  4x x 5cot x  tan x 3 57. lim sin x 1 58. lim tan x  4 x 2cos x  3 x 1  2cot x 2 3 59. lim sin x 1 60. tan x  4 x 2cos x  3 lim 2 x 1 2 cot x3 61. 2sin x 1 62. 2sin x  cos x  5 lim lim x 1  3cos x x sin2 x  3cos x  4 2 2 63. lim1 5sin x 64. lim 2sin x 1 x cos x  2 x 1  3cos x 2 2 65. lim tan x  2 66. lim 5  2cot x x 3  2cot x x 1  3tan x 4 4 67. sin x  cos x 1 68. 7  cos x lim lim x 2cos x x 1  2sin x 3 3 69. tan x  sin 2x 70. lim sin x  cos x  2 lim x 5cos x  2sin x 1 x 1  3cos 4x 4 ຈງ່ ົ ຄດິ ໄລບ່ ນັ ດາຂອບເຂດລມຸ່ ນ:ີູ້ 1. lim 5 x 2. lim 5 x x5 x5 3. lim 5  x 4. lim 8  x3 x5 x2 5. lim 8  x3 6. lim 8  x3 x2 x2 7. lim 3 x3 1 8. lim 3 x3 1 x1 x1 24

2 9. lim 3 x3 1 10. lim x3 x1 x8 2 2 11. lim x3 12. lim x3 x8 x8 13. lim x4 14. lim x4 x4 x4 x4 x4 15. lim x5 16. lim x5 x5 x5 x5 x5  17. 4 18. lim  4 x 3  x  3 lim x  2 x0 x0  19.  20. lim lim x6x  5  2x  x2  x6 x 5 2  21. 9  x2 lim x2  25  3 22. lim x5 x3  23. 9  x2 lim x2  25  3 24. lim x5 x3 25. 4  x2 26. 2x2  5x 12 lim lim x2 2  x x4 x2  3x  4 27. lim  x  32 28. lim x 10 x3 x3 x10  x 102 4 x2 16 1 2x 10 x4 lim x3 29. lim 30. x5 x4 31. lim x7 32. lim  x x7 x  x7 x  33. 1 34. 1 lim lim xx0 x8 x  8 35. x 1  36. lim lim 5  x  2x x1 x5 37. 1 38. 1 lim lim x3 x  3 x3 x  3 25

39. x2 x 40. lim 4  x2 lim x 2x x x0 x2 41. lim x2  3x  2 42. lim 3x  6 x5  x4 x2 x  1 x  2  43. lim 3x  6 44. lim x2  3x  2 x2 x 1 x  2  x  1 45. lim x2  3x  2 46. lim x2  3x  2. x 1 x 1 x  1 x  1 26

ບດົ ທີ 7 ຂອບເຂດທ່ ີມຮີ ບລກັ ສະນະ 0 0 ຕວົ ຢາ່ ງ 1. ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດຕ່ ໍໄປນີູ້ lim x 1 x1 x2  1 lim x 1  lim  x x 1  1  lim  x  x 1  lim x 1  1. x2 1 1  x 1 1 2 x1 x1 1 x x1 x1 ຕວົ ຢາ່ ງ 2. ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດຕ່ ໍໄປນູີ້ 4x lim x4 x2  16 lim 4  x lim   x  4 lim 1  1. x4 x2 16 x4  x  4  x  4 x4 x  4 8 ຕວົ ຢາ່ ງ 3. ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດຕ່ ໍໄປນູ້ີ lim x  9  3 x0 2x   lim x  9  3 lim x  9  3 x  9  3  x0 2x x0 2x x  9  3  x  9 2  32   lim x0 2x x  9  3   lim x  9  9 x0 2x x  9  3 x  lim x0 2 x x  9  3 1  lim 2x0 x  9  3  1. 12 27

ຕວົ ຢາ່ ງ 4. ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດຕ່ ໍໄປນ້ີູ lim x 1 x1 3 5x  3  2  1  2  4 lim x 1 x  3 5x  3 x1 3 5x  3  2 2 3 5x  3  lim 2    x1   4 3 5x  3  2  3 5x  3 2 3 5x  3    x 1  2  4  lim 3 5x  3 2 3 5x  3 3 5x  3 3  23  x1    1  2  4 x  3 5x  3 2 3 5x  3 lim x1 5x  3  8    1  2  4 x  3 5x  3 2 3 5x  3 lim x1 5x 5   lim 1  2  4 x  3 5x  3 2 3 5x  3 x1 5  x 1  2 3 5x  3 2 3 5x  3  4  lim 5x1  12 . 5 ຕວົ ຢາ່ ງ 5. ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດຕ່ ໍໄປນ້ີູ x2  2x  3 lim x1 x 1 lim x2  2x  3  lim  x 1  x  3  lim x  3  2. x1 x 1 x1  x  1 x1 ຕວົ ຢາ່ ງ 6. ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດຕ່ ໍໄປນູີ້ lim x3  8 x2 x  2 lim x3  8  lim x3  23  lim  x  2  x2  2x  4  lim x2  2x  4  12. x2 x  2 x2 x  2 x2 x  2 x2 28

ຕວົ ຢາ່ ງ 7. ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດຕ່ ໍໄປນ້ີູ x2 lim x2 x3  8 x  2  lim x  2  lim x  2  lim  lim 1  1 .  x2 x3  8 x2 x3  23 x2 x  2 x2  2x  4 x2 x2  2x  4 12 ຕວົ ຢາ່ ງ 8. ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດຕ່ ໍໄປນີູ້ x2  4 lim x2 x  2 lim x2  4  lim  x  2  x  2  lim x  2  4.  x2 x  2 x2 x2 x2 ຕວົ ຢາ່ ງ 9. ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດຕ່ ໍໄປນີູ້ x 1 lim x1 x2  2x  1 lim x 1  lim  x 1  lim 1  1  .  x1 x2  2x  1 x1 x 1 2 x1 x 1 0 ຕວົ ຢາ່ ງ 10. ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດຕ່ ໍໄປນູ້ີ x2  2x 1 lim x1 x  1 lim x2  2x 1  lim  x 12  lim x 1  0. x1 x  1  x1 x  1 x1 ຕວົ ຢາ່ ງ 11. ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດຕ່ ໍໄປນ້ີູ x3  27 lim x3 x2  x  6  lim x  3 x2  3x  9 x x3 3 x  2 x3  27  lim x x3  33 2  lim  27 . x2  x  6 5 x3  3 x  x3 ຕວົ ຢາ່ ງ 12. ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດຕ່ ໍໄປນ້ີູ x2 1 lim x1 x  1 lim x2 1  lim  x 1  x 1  lim x 1  2.  x1 x 1 x1 x 1 x1 29

ຕວົ ຢາ່ ງ 13. ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດຕ່ ໍໄປນູ້ີ 1 x lim x1 2  2x2  lim 1 x  lim 1 x  lim 2 1 1  x x  lim 1 x  1 .  x 1  4 x1 2  2x2 x1 2 1  x2 x1 x1 2 1  ຕວົ ຢາ່ ງ 14. ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດຕ່ ໍໄປນູີ້ 2x2  3x lim x0 5x2 lim 2x2  3x  lim x 2x  3  lim 2x  3  3   . 5xx0 2 5 xx0 2 x0 5x 0 ຕວົ ຢາ່ ງ 15. ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດຕ່ ໍໄປນີູ້ x3 lim x3 x2  9 lim x  3  lim  x  3  lim 1  1 .    x3 x2  9 x3 x  3 x  3 x3 x  3 6 ຕວົ ຢາ່ ງ 16. ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດຕ່ ໍໄປນີູ້ 4a2  x2 lim x2a x  2a lim 4a2  x2  lim 2a  x 2a  x  lim 2a  x  4a.  x2a x  2a x2a  2a  x x2a 1 ຕວົ ຢາ່ ງ 17. ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດຕ່ ໍໄປນູ້ີ x2  5x  6 lim x2 x  2 lim x2  5x  6  lim  x  2  x  3  lim x  3  1. x2 x  2 x2  x  2 x2 ຕວົ ຢາ່ ງ 18. ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດຕ່ ໍໄປນີູ້ lim x x0 1  1  x  lim x  lim x 1 1 x   x0 1 1 x x0 1 1 x 1 1 x x1 1 x    lim 1 x0 2 2 1 x 30

 lim x1 1 x  x0 1 1 x x1 1 x   lim x0 1  1  x  lim x 1 1 x  2 xx0   lim 1 1 x  2. x0 ຕວົ ຢາ່ ງ 19. ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດຕ່ ໍໄປນີູ້ lim x  2 x2 x2  2  2  lim x  2  lim   x2 x2  2  2 x2 x  2 x2  2  2 x2  2  2 x2  2  2   x  2 x2  2  2     lim x2 22 x2  2  2   x  2 x2  2  2  lim x2 x2  2  2   x  2 x2  2  2  lim x2 x2  4  lim   x  2 x2  2  2 x2 x2  22   x  2 x2  2  2  lim x2  x  2  x  2   lim x2  2  2 2.  x2 x  2 2 31

ຕວົ ຢາ່ ງ 20. ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດຕ່ ໍໄປນູ້ີ lim x  3 x3 x  1  2  lim x  3  lim  x  3 x 1  2   x3 x 1  2 x3 x 1  2 x 1  2   x  3 x 1  2   lim x3 2 x 1  22   x  3 x 1  2  lim x3 x  1  4   x  3 x 1  2  lim x3  x  3   lim x 1  2  4. x3 ຕວົ ຢາ່ ງ 21. ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດຕ່ ໍໄປນ້ີູ lim x 1 1 xx0   lim x 1 1  lim x 1 1 x 1 1  xx0 x0 x x  1  1  2 x  1 12   lim xx0 x  1  1   lim x 11 xx0 x  1  1 x   lim xx0 x  1  1  lim 1  1 . x0 x 1  1 2 32

ຕວົ ຢາ່ ງ 22. ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດຕ່ ໍໄປນູ້ີ lim 1 x  1 x x0 4x   lim 1 x  1 x  lim 1 x  1 x 1 x  1 x  x0 4x x0 4x 1 x  1 x    2 2 1 x  1 x   lim x0 4x 1 x  1 x   lim 1 x  1 x x0 4x 1 x  1 x   lim 1  x  1  x x0 4x 1 x  1 x 2x   lim x0 4x 1 x  1 x   lim 1  1. 2x0 1  x  1  x 4 ຕວົ ຢາ່ ງ 23. ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດຕ່ ໍໄປນີູ້ lim a  a  x xx0   lim a  a  x  lim a  a  x a  a  x  xx0 x0 x a  a  x  a 2   2 ax   lim xx0 a  a  x   lim a  a  x xx0 a  a  x   lim a  a  x xx0 a  a  x 33

x   lim xx0 a  a  x  lim 1  1  a . x0 a  a  x 2 a 2a ຕວົ ຢາ່ ງ 24. ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດຕ່ ໍໄປນູ້ີ lim a  x  a  x xx0   lim a  x  a  x  lim a  x  a  x a  x  a  x  xx0 x0 x a  x  a  x    2 2 ax  ax   lim xx0 a  x  a  x   lim a  x  a  x xx0 a  x  a  x   lim a  x  a  x xx0 a  x  a  x 2x   lim xx0 a  x  a  x  lim 2  2  1  a . x0 a  x  a  x 2 a a a ຕວົ ຢາ່ ງ 25. ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດຕ່ ໍໄປນີູ້ 3 x72 lim x1 x 1    lim 3 x  7  2  lim  2  2 3 x  7  4 3 x72  3 x7 x1 x 1  x1   1  2 x  7  4 x  3 x7  23  lim  3 3 x  7  23  x1  1  2 x  7  4 x  3 x7  23 34

 lim x78  x1  1  2 x  7  4 x  3 x7  23  lim  x 1 .  x1  1  2 x  7  4 x  3 x7  23   lim 2 1  1. x1  23 12 3 x7 x  7  4 ຕວົ ຢາ່ ງ 26. ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດຕ່ ໍໄປນູ້ີ lim 3 1  x2 1 xx0 2    lim 3 1 x2 1  lim x2  2  3 1  x2  1 3 1 1  3 1 x2 xx0 2  x0 2  2  3 1  x2  1  3 1 x2 x  lim  3 3 1  x2 13  x0 2  2  3 1  x2  1 x  3 1 x2  1 x2 1  x2 2  3 1  x2  1  3 1 x2  lim x2  x0  2  3 1  x2  1 x2  3 1 x2   lim 2 1  1. x0  3 3 1 x2 3 1 x2 1 ຕວົ ຢາ່ ງ 27. ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດຕ່ ໍໄປນ້ີູ 3 1 x  3 1 x lim xx0 2 2   3 1 x2      lim 3 1 x  3 1 x  lim  3 1 x  3 1 x  3 1 x  3 1 x 2 2  3 1 x  3 1 x2  xx0    x0  x  3 1 x 35

 lim    3 3 3 1 x  3 1 x 2 2  3 1 x  3 1 x2     x0 x  3 1 x  lim 1 x  1 x 2 2  3 1 x  3 1 x2     x0 x  3 1 x  lim 2x 2 2  3 1 x  3 1 x2     x0 x  3 1 x 2  2. 3 2 3 1 x  3 1 x2      lim 2 x0 3 1 x ບດົ ເຝິກຫດັ ຈງ່ ົ ຄດິ ໄລບ່ ນັ ດາຂອບເຂດລມຸ່ ນ:ູີ້ 1. lim x  3 2. x2 16 x3 x2  9 lim x4 x  4 3. x2  25 4. x2  x lim lim x5 x  5 x1 x  1 5. lim 1 x 6. lim x2  49 x1 2  2x2 x7 7  x 7. 4  x2 8. lim x2  64 lim x8 8  x x2 x  2 9. 2x2  3x 10. x3  27 lim lim x0 5x2 x2 x  2 11. lim x3  64 12. lim x2  2x 1 x4 x  4 x1 x 1 13. lim x3 8 14. lim x  3 x2 2x  4 x3 x2  6x  9 36

15. x2  5x  6 16. x2  2x  8 lim lim x2 x  2 x2 x3  8 17. lim x2  7x 18 18. lim 9  5x  4x2  3 x2 x  2 xx0 19. lim x2  7  3 20. lim x  1 x4 x  4 x1 x  1 21. lim x  1 22. lim 1 x  1 x1 x2 1 xx0 23. lim 2  x 24. lim x 15  4 x2 x  2  2 x1 2  2x 25. lim x 3 26. lim1  1 x x3 x  1  2 xx0 27. lim x  3 28. lim x  3x  4 x3 x  6  3 x4 16  x2 29. lim 5  x  2 30. lim x 1 x1 2  x  1 x1 6x2  3  3x 31. lim 5  x  2 32. lim x 1 x1 2  x  1 x1 6x2  3  3x 33. lim x  3  2 34. lim x 1 1 x1 2x  1  x  2 x0 2x 1  3x 1 35. 3 1 x 1 36. 3 1 x  1 lim lim xx0 xx0 37. lim 3 3x 1  1 38. lim 3 1 x  3 1 x x0 3x xx0 39. 3 1 x2  1 40. lim 2 x 1 lim xx0 2 x1 3 26  x  3 37

41. lim 3 x 1  2 42. 3 1 x  3 1 x x9 x 9 lim x0 5x 43. x3  x2  x  3 44. x4  x3  2x  2 lim lim x1 x 1 x1 x  1 45. 2x3  3x2  x  6 46. x2 1 lim lim x1 x 1 x1 x  1 47. lim x  3 48. lim x  3 x3 x2  2x 15 x3 x2  2x 15 49. lim x4 1 50. lim x2  3x  2 x1 x2  2x  3 x2  x  22 51. lim x2  x 52.  x  23  8 x1 x  1 lim xx0 53. 2 x  h3  2x3 54. lim x 2  3x  2 lim x2  x  22 hh0 55. lim 2x2  3x 1 56. x3  x2  2x  8 x1 x3  x2  x  1 lim x2 x2  3x  2 57. x3  4x2  4x  3 58. lim x2  3x  2 lim x3 x2  3x x2  x  22 59. lim 8x3 1 60. x3  8 x1 6x2  5x 1 lim x2 x2  4 2 61. x2  5x  6 62. 2x4  5x3  3x2  x 1 lim lim x3 x2  8x  15 x1 3x4  8x3  6x2 1 63. x2  5x  6 64. 1 x1 2x1 3x 1 lim x3 x2  8x  15 lim xx0 65. lim x3  3x  2 66. lim x20 1 x1 x4  4x  3 x0 x25  1 67. lim xm 1 68. xn 1 h1 xn  1 lim h1 x  1 38

69. lim 3 4x  2 70. lim 3 1 x 1 x1 x  2 xx1 71. lim 3 2x 1 1 72. lim 3 x 1 x1 x 1 x1 3 x  2  1 73. lim 3 2x 1  3 x 74. lim 3 x 1  3 x 1 x1 x 1 x1 2x  1  x  1 75. lim 2 1 x  3 8  x 76. lim 2x  2  3 7x 1 xx0 x1 x 1 77. lim 1 2x  3 1 3x 78. lim 5  x3  3 x2  7 xx0 2 x1 x2  1 79. 3 3x  2  x2 80. lim 4x  5  3x 1  5 lim x1 x 1 x2 x2  x  2 82. lim 1 2x  3 81. lim x 1 x4 x  2 x0 3 x 1 84. lim 1 x  x2  1 x  x2 83. lim x2 1 x0 x2  x x1 x2  4x  3 86. lim x  3  2x . 85. 3x2  8x 16 x1 x2  x lim x4 2x2  9x  4 39

ບດົ ທີ 8 ຂອບເຂດມຮີ ບລກັ ສະນະ   ນຍິ າມ: ເມ່ອື x ເຮົາຈະໄດູ້ f a  0. x ຕວົ ຢາ່ ງ 1: ຊອກຂອບເຂດຕ່ ໍໄປນ້ີູ lim 8x3 12x2  x  4 x 6x3  2x2  7x  2 ວທິ ີແກູ້ 1: ຫານທງັ ແລະ ລມຸ່ ໃຫູ້ x3 : 8x3 12x2  x  4 lim 8x3 12x2  x  4  lim 6x3  x3 7x  2 6x3  2x2  7x  2 2x2  x x x3 8x3  12x2  x  4 x3 x3 x3 x3  lim 6x3 2x2 7x 2 x    x3 x3 x3 x3 8  12  1  4 4. lim x x2 x3   x 6  2  7  2 3 x x2 x3 ວທິ ີແກູ້ 2: ແຍກ x3 ອອກເປັນສວ່ ນຄນ: lim 8x3 12x2  x  4 x3  8  12  1  4  x x2 x3   lim x 6x3  2x2  7x  2 x  2 7 2  x3   x  x2  x3  6 8  12  1 4 4. x x2 3  lim 2 7 x3  2 x 6  x x2 x3 40

ວທິ ີແກູ້ 3: ເອົາໝວດຄາໍ ນວນທ່ ີມີ x ກາໍ ລງັ ໃຫຍທ່ ງັ ເທິງຫານໃຫໝູ້ ວດຄາໍ ນວນທ່ ີມີ x ກາໍ ລງັ ໃຫຍສ່ ດຸ ທງັ ລມຸ່ : lim 8x3  12 x2  x4  8x3  4. lim x 6x3  2x2  7x  2 6 xx 3 3 ຕວົ ຢາ່ ງ 2: ຊອກຂອບເຂດຕ່ ໍໄປນູ້ີ 4x3  x2  2x  5 lim x 2x4  x3  3x2 1 ວທິ ີແກູ້ 1: ຫານທງັ ແລະ ລມຸ່ ໃຫູ້ x4 : 4x3  x2  2x  5 lim 4x3  x2  2x 5  lim 2x4  x4 3x2 1 2x4  x3  3x2 1 x3  x x x4 4x3  x2  2x  5 x4 x4 x4 x4  lim 2x4 x3 3x2 1 x   x4 x4 x4 x4  lim 4 1  2  5  0  0. x x x2 x3 x4 2 21 3  1 x x2 x4 ວທິ ີແກູ້ 2: ແຍກ x4 ອອກເປັນສວ່ ນຄນ: lim 4x3  x2  2x  5  lim x4  4  1  2  5  4 1  2  5 0  0. x 2x4  x3  3x2  1 x  x x2 x3 x4  x x2 x3 x4 2  lim 21 3  1   1 3 1  x x4   x  x2  x4  x x2 x4 2 ວທິ ີແກູ້ 3: ເອົາໝວດຄາໍ ນວນທ່ ີມີ x ກາໍ ລງັ ໃຫຍທ່ ງັ ເທິງຫານໃຫໝູ້ ວດຄາໍ ນວນທ່ ີມີ x ກາໍ ລງັ ໃຫຍສ່ ດຸ ທງັ ລມຸ່ : lim 4x3  x2  2x  5  lim 4x3  lim 2  0. x 2x4  x3  3x2 1 2 xx 4 xx 41

ບດົ ເຝຶກຫດັ ຈງ່ ົ ຊອກບນັ ດາຂອບເຂດລມຸ່ ນ:້ີູ 1. 4x3  x  5 2. x2 12x 1 lim lim x 2x3  x  1 x x3  2x  15 3. x3 1 4. 6x2 8x  5 lim lim x 2x2  1 x 7x2  x  3 5. lim 2x  x3  5 6. lim 5  x3  2x2 x 5  7x  x3 x x4  1 7. 4x2  3x 1 8. 2x2  x 1 lim lim x 3x3  2 x x  4 9. x3  3 10. 4x2  x 1 lim lim x 2x2  x  9 x 3  2x2 11. lim  x2  x 2 12. lim 4x2  3x  4  3x   1  x x2  x  1  x x 42

ບດົ ທີ 9 ຂອບເຂດຂອງ lim sin x  1 xx0 ພິສດ: lim sin x  1 xx0 ເຮົາແຕມູ້ ວງົ ມນົ ໜ່ ຶງທ່ ີມຈີ ດຸ ໃຈກາງ O ແລະ ລດັ ສະໝີ r, ມມໃຈກາງ AOM  x ວດັ ແທກດວູ້ ຍລາດຽງ, ເສັູ້ນຕດິ A ຕດັ ພາກສວ່ ນຕ່ ໍຍາວຂອງ OM ຢ່ T. ຈາກຮບ: S  S  S AOM Vee OAT r2 sin x  r2x  r2 tan x 222 sin x  x  tan x 1 x  1 sin x cos x cos x  sin x 1 x limcos x  lim sin x  lim1 xx0 x0 x0 1  lim sin x 1 xx0 lim sin x  1. xx0 ຂະຫຍາຍສດ lim sin x  1: xx0 43

1. lim sin x  1 2. lim x  1 xx0 x0 sin x 3. lim sin x  1 4. lim  x  1 x0  x x0 sin x 5. lim tan x  1 6. lim x  1 xx0 x0 tan x 7. lim tan x 1 8. lim  x 1 x0  x x0 tan x 9. lim arcsin x 1 10. lim x 1 xx0 x0 arcsin x 11. lim arcsin x 1 12. lim  x 1 x0  x x0 arcsin x 13. lim sin  x 1 1 14. lim x 1  1 x1 x 1 x1 sin  x 1 sin 1 16. lim sin x  x xx 15. lim 1 1 x x ຕວົ ຢາ່ ງ 1: ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດ lim sin 3x xx0 lim sin 3x  lim 3sin 3x  3.lim sin 3x  3.1  3. xx0 x0 3x x0 3x ຕວົ ຢາ່ ງ 2: ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດ lim1 cos x xx0 2 sin 2 x  2sin x   sin x  x 2  x 2   2  lim 1  cos x  lim  lim  .sin x   lim  .sin x   1.0  0. x  2   x 2  x0 x0 x0 x0   2  ຕວົ ຢາ່ ງ 3: ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດ lim sin 2x  sin 5x xx0 44

lim sin 2x  sin 5x  lim  sin 2x  sin 5x   lim  2sin 2x  5sin 5x   2  5  7. x  x x   2x 5x  x0 x0 x0 ຕວົ ຢາ່ ງ 4: ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດ lim sin 4x x0 sin 3x  sin 4x   4sin 4x      lim sin 4x  lim  x   lim  4x   4. sin 3x  sin 3x   3sin 3x  3 x0 x0 x0  x   3x  ຕວົ ຢາ່ ງ 5: ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດ lim sin10x x0 sin 5x sin10x 10sin10x lim sin10x  lim x  lim 10x  10  2. x0 sin 5x x0 sin 5x x0 5sin 5x 5 x 5x ບດົ ເຝຶກຫດັ ຈງ່ ົ ຄດິ ໄລບ່ ນັ ດາຂອບເຂດລມຸ່ ນ:້ີູ xx sin cos 1. lim sin x cos x 22 xx0 2. lim x x0 3. lim sin 3x x0 sin 4x 2 4. lim tan  mx  x0 tan  nx  5. lim sin 5x sin x xx0 6. lim 2 7. lim sin 2x xx0 xx0 8. lim tan 2x 9. lim tan 2x x0 3x x0 sin 5x 10. lim1 cos5x xx0 2 45

11. lim1 cos ax 12. lim1 cos xcos 2xcos3x xx0 2 xx0 2 13. lim1 cos2 2x 14. sin2 2x  sin xsin 4x x0 x sin x lim xx0 2 15. tan x  sin3 x 16. lim1 sin x  cos x lim x0 1  sin x  cos x xx0 3 18. lim1 cos ax 17. lim sin ax x0 1  cosbx x0 cosbx 19. sin xm 20. 1 cos3 x lim lim x0 sinn x x0 x sin 2x 21. lim1 cos 4x 22. lim 1 cos x2 x0 x sin x x0 tan3 x  sin3 x 23. lim sin 3x 24. lim 2  1 cos x x 1  2cos x x0 sin2 x 3 26. lim 1 x2  cos x xx0 2 25. lim sin ax x0 tan bx 28. lim1 cost t0 sin t 27. lim sin x xx0 3 30. lim sin 3t 29. lim 3  sin t0  2t 3  0 31. lim csc 2x 32. lim 2cos  2 x0 cot x  0 3 sin2 x 34. lim1 cos3t 33. lim 2 tt 0 x0 sin x 36. lim 1 cost 35. lim sin t t0 1  cost x0 2 x3 37. x cos x  x2 38. lim cost lim t0 1  sin t x0 2x 46

39. sin2 2t 40. 4t2  3t sin t lim lim tt0 2 tt0 2 41. lim sin 5x sin 3x xx0 42. lim 2 43. lim sin 4x xx0 x0 3x 44. lim sin 7x x0 x 2 sin 2 x x 45. lim 3 sin 46. lim 2 x0 4x x0 9x 47. lim sin 7x sin 1 x x0 sin 8x 48. lim 3 1x0 x 2 sin x .cos x 50. lim sin x.cos x 49. lim 2 2 xx0 xx0 2 51. lim tan x 52. lim sin 3x x0 sin x x0 tan 2x 53. lim sin ax 54. lim tan bx x0 sin bx x0 tan ax 55. lim1cos5x 56. lim tan x xx0 2 x0 sin 3x 57. lim1cos7x 58. lim tan 2x 3xx0 2 x0 sin 5x 59. lim tan 5x 60. lim1 cos x x0 3x xx0 2 1 cos x 62. lim tan x 4 x0 sin 3x 61. lim xx0 2 63. lim tan x 64. lim sin 2 x  sin 3x . x0 sin 2x 1x x0 2 65. lim1 cos at 66. sin  3x  t0 bt lim . x0 4x 47

ບດົ ທີ 10 ຂອບເຂດມຮີ ບລກັ ສະນະ    ຕວົ ຢາ່ ງ 1: ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດ lim  1 x  tan x   cos  x 2 lim  1  tan x   lim  1  sin x   lim1  sin x  lim 1  sin x1 sin x  cos   cos cos x  cos x cos x1 sin x x x x x x x 22 22  cos  lim 1  sin2 x x  lim cos cos2 x x  lim cos x x  2  0  0. 1x  sin 2 x cos x1 sin x x 1 sin 1  sin  22 2 2 ຕວົ ຢາ່ ງ 2: ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດ lim  1 1 x  1 3     x3  x1  1 3   1  3    1 x3  1  lim lim   x1 x1 1 x 1  x 1  x x  x2  lim  1  1 x  x2 x2   1  x  3 x  x2    x  x1 x  1  1   lim 1  x2  x 2 x2   lim  x 1 x  2  x  x1 x1 x1 1 x1 x  x2  1 x  x  2 x  2   lim  lim  1.  x1 1  x 1  x  x2 x1 1  x  x2  ຕວົ ຢາ່ ງ 3: ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດ lim x  x  x x x x  x x x  x     lim x  x  x  lim x x x  x  x    2 2 x  lim x  x  x  lim x  x  x  lim x x  x  x x x  x  x x x  x  x 48

 lim  x  lim 1  1 . x x  x 1  1  1 2 1  1 x  1 x  ຕວົ ຢາ່ ງ 4: ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດ lim  1 3 x 2 x    1 3  x1 ວາງ x  y6 ເມ່ອື x 1 y 1 lim  1 3 x 2 x   lim  1 3 3 2    1 3   y 1 y2  x1 y1    lim  3  2    y1 1  y  1  y  y2  1  y 1  y  lim  31 y  21 y  y2    y1 y1  y1 1  y1 y1 y  y2  1  y  y2   lim 31 y  21 y  y2   lim 1  y 1 y  2y2 y  y2  1 y1 y1 y  y2  y1 y1 1 y1  lim 1   y 12y 1 y2   lim 1  1 y 2y 1 y2   1. 2 y1 y1 y1 y  y1 y 1 y1 y  ບດົ ເຝກິ ຫດັ ຈງ່ ົ ຄດິ ໄລບ່ ນັ ດາຂອບເຂດລມຸ່ ນ:ູ້ີ  (1) lim x2  8x  3  x2  4x  3 x (2) lim  x x x x    x (3) lim x  x  x x x  1 49

 (4) lim 3 x3  x2  x2  x x  (5) lim x  3 x3  3x2  4 x  (6) lim x 1  x x  (7) lim x2  x 1  x x  (8) lim 3x2  x 1  x 3 x  (9) lim 3x2  x 1  x 3 x  (10) lim x2 1  x 1 x  (11) lim 2x2 1  x x  (12) lim x2  x  x2  4 x  (13) lim x2  x  3  x x  (14) lim x2  2x  4  x2  2x  4 x  (15) lim x2  x  2  x x  (16) lim x2  8x  4  x2  7x  4 x  (17) lim 4x2  x 1  2x x  (18) lim x2  x  3  x x  (19) lim 3 x3  3x  3 x3  2x x  (20) lim 2x  5  4x2  4x 1 x  (21) lim n2  n  n2 1 . n 50