หนังสือเรียนวิชาคณิตศาสตร์ ระดับประถมศึกษา

45 1.4 การหาร ความหมายของการหาร การหารเปนการแบงของออกเปนกลมุ ยอ ยเทา ๆกนั หรือเปนการนบั ลดลงครง้ั ละเทา ๆ กัน และ สามารถแสดงไดโดยการหารของจํานวนเพียง 2 จาํ นวน จํานวนทไ่ี ดจ ากการหารกันของ 2 จาํ นวน เรยี กวา “ผลหาร” และใชเครื่องหมาย ÷ เปน สัญลักษณแ สดงการหาร เชน 8 ÷ 2 ตวั อยางท่ี 1 15 ถาลบออก ครงั้ ละ 3 จะตองลบกค่ี รงั้ จงึ จะหมด ครัง้ ท่ี 1 15 – 3 เหลอื 12 คร้ังท่ี 2 12 – 3 เหลอื 9 คร้ังท่ี 3 9 – 3 เหลอื 6 ครง้ั ที่ 4 6 – 3 เหลอื 3 คร้ังที่ 5 3 – 3 เหลอื 0 จะเหน็ วา 15 ลบออกครง้ั ละ 3 ได 5 คร้ัง จงึ จะหมด นน่ั คือ 15 ÷ 3 = 5 ตัวอยางที่ 2 มีขนม 10 ชน้ิ แบง ใสจ าน จานละ 4 ช้ิน จะไดก ่ีจาน มีขนม 10 – ช้นิ แบง ใสจ านแรก 4 ชิ้น เหลอื 6 – ชน้ิ แบงใสจานท่สี อง 4 ชิน้ เหลอื 2 ชิ้น ดงั นน้ั แบง ขนมใสจ านได 2 จาน และเหลอื เศษอกี 2 ช้นิ นั่นคือ 10 ÷ 4 = 2 เศษ 2 การลบออกคร้ังละเทา ๆ กัน จนครง้ั สดุ ทายไดผ ลลบเปน 0 ดังตวั อยา งที่ 1 เรยี กวา “การหารลงตวั ” แตถาลบออกจนครง้ั สุดทา ยไมเ ปน ศนู ย ดงั ตวั อยางที่ 2 เรยี กวา “การหารไมล งตวั ” และ จาํ นวนท่ีเหลอื จากการลบออกครัง้ สุดทาย เรียกวา “เศษ”

46 จากตัวอยางการลบขางตน จะเหน็ วา การหารเปน วิธลี ดั ของการลบ และประโยคทแี่ สดง การหาร เชน 15 ÷ 3 = 5 เรียกวา ประโยคสญั ลักษณแสดงการหาร อานวา 15 หารดว ย 3 เทากับ 5 15 เรยี กวา ตัวต้งั 3 เรียกวา ตวั หาร 5 เรียกวา ผลหาร ดงั นน้ั ตวั ตง้ั ÷ ตวั หาร = ผลหาร ความสัมพันธระหวางการคูณและการหาร มีมะนาว 3 กอง กองละ 4 ผล รวมมีมะนาวทั้งหมด 12 ผล ประโยคสัญลักษณ คอื 3 × 4 = 12 มีมะนาวทั้งหมด 12 ผล มีมะนาวทั้งหมด 12 ผล แบงเปน 3 กอง แบงกองละ 4 ผล ไดม ะนาวกองละ 4 ผล ไดม ะนาว 3 กอง ประโยคสัญลักษณคอื 12 ÷ 3 = 4 ประโยคสัญลกั ษณ คอื 12 ÷ 4 = 3 ตัวตง้ั ตัวคณู ผลคูณ ตัวตั้ง ตวั หาร ผลหาร 3 × 4 = 12 12 ÷ 3= 4 12 ÷ 4= 3 ตวั ตั้ง ตัวหาร ผลหาร

47 จากตวั อยา งขางตน จะเหน็ วา การคูณและการหารมคี วามสัมพันธก ัน กลาวคือ 1. การคูณเปลีย่ นเปนการหาร ไดดงั น้ี 1.1 การคณู เปล่ียนเปนการหาร เม่อื - ตวั ตง้ั ของการคูณ จะเปลยี่ นเปน ตัวหารหรือผลหาร - ตัวคูณของการคูณ จะเปลย่ี นเปน ผลหารหรอื ตวั หาร - ผลคณู ของการคูณจะเปลย่ี นเปน ตวั ตั้ง 1.2 ประโยคสัญลักษณแสดงการคณู เปลี่ยนเปน ประโยคสญั ลักษณแสดงการหารได 2. การหารเปลย่ี นกลับเปนการคูณได ดังน้ี ตวั ตั้ง ÷ ตวั หาร = ผลหาร ตวั หาร × ผลหาร = ตวั ตงั้ ประโยคความสัมพนั ธของการคูณและหาร 1. ใชตรวจสอบผลหารวา ถกู ตองหรือไม โดยใช ตวั หาร × ผลหาร = ตวั ตั้ง ตวั อยา ง 10 ÷ 2 = วธิ ีทํา 10 ÷ 2 = 5 ตอบ 5 ตรวจคําตอบ 5 × 2 = 10 ดงั นน้ั คําตอบถกู ตอ ง 2. ใหห าผลหารไดส ะดวกและรวดเรว็ ขน้ึ โดยใชต ารางการคูณ หรือการทองสตู รคูณ ตัวอยาง 15 ÷ 5 = วิธที าํ 15 ÷ 5 = 3 ตอบ 3 ตรวจคําตอบ 5 × 3 = 15 ดงั นนั้ คาํ ตอบถูกตอ ง วธิ ีคิด ตวั หาร × ผลหาร = ตัวต้งั จากตารางการคูณ 5 × 3 = 15 ดงั นน้ั 5 ไปหาร 15 ไดผ ลหารเปน 3 วิธใี ชตารางการคูณในการหาผลหาร ในตารางการคณู แถวนอนบนสุดซ่ึงเปนตัวตัง้ ใหเ ปลยี่ นเปนตวั หาร ในตารางการคณู แถวซายสุด ซ่ึงเปน ตวั คณู ใหเปลี่ยนเปน ตัวหาร ในตารางการคูณตัวเลขในตาราง ซ่งึ เปน ผลคูณใหเปลี่ยนเปน ตัวต้ัง ดงั น้ี

48 ตวั ต้ังของการคูณ ผลหาร × 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 ัตว ูคณ ัตวหาร 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 11 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132 12 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 ตวั อยา ง 15 ÷ 3 =  วธิ ีดู ขน้ั ท่ี 1 ดูจากตารางแถวตง้ั ซ่ึงอยซู ายสดุ ตรงเลข 3 ขนั้ ที่ 2 จากเลข 3 มองตามแนวนอนในบรรทัดเดียวกันจากซายไปขวา จนถึงเลข 15 ขั้นท่ี 3 จาก 15 มองตามแนวตั้งไลขึ้นจนถึงบรรทัดบนสุดจะพบเลข 5 ดังน้นั ผลหารของ 15 ÷ 3 = 5 ตวั อยาง 42 ÷ 7 =  วธิ ดี ู ขั้นท่ี 1 ดูจากตารางแถวต้งั ซึ่งอยซู า ยสุด ตรงเลข 7 ข้นั ท่ี 2 จากเลข 7 มองตามแนวนอนในบรรทัดเดียวกันจากซายไปขวา จนถึงเลข 42 ขน้ั ที่ 3 จาก 42 มองตามแนวตั้งไลขึ้นจนถึงบรรทัดบนสุดจะพบเลข 6 ดงั น้นั ผลหารของ 42 ÷ 7 = 6

49 ในทาํ นองเดยี วกนั ถา จะหาผลหารของจาํ นวนอน่ื ๆ 2 จํานวน กใ็ หใชวธิ ดี เู ชนเดยี วกับตัวอยา ง ขางบน รูปแบบของการหาร การหารตามแนวนอน การหารตามแนวตง้ั 1. 3. 96 ÷ 4 = 24 4 ) 96 24 2. 4. 946 = 24 24 4 ) 96 80 4 × 20 16 16 4 × 4 00 การหารเมอื่ ตัวหารเปนจาํ นวนทไ่ี มเกินสามหลักและผลหารไมมเี ศษ เมอ่ื ตัวหารเปน จาํ นวนเลขหลกั เดยี ว ตวั อยา ง 184 ÷ 8 มีคาเทาไร วิธที ่ี 1 โดยวธิ หี ารยาว (เครื่องหมายหารยาว คือ “ ) ”) ประโยคสญั ลักษณ คือ 184 ÷ 8 =  วธิ คี ิด วิธที ํา 1. 20 เปน จํานวนมากทส่ี ุดที่คูณกับ 8 แลว ได 23 ไมเ กิน 184 8)184 2. นําผลคณู 8 × 20 คือ 160 ไปลบออกจาก 1 6 0 8 × 20 184 เหลอื 24 24 3. 3 เปน จาํ นวนทค่ี ูณกับ 8 แลว ได 24 พอดี 2 4 8× 3 00 นาํ 24 ไปลบออกจาก 24 ซึ่งเปนตวั ตงั้ ได 0 ตอบ 23 ดงั นั้น ผลหารทัง้ หมด คือ 23 ตรวจคําตอบ 8 × 23 = 184 แสดงวาคําตอบถูกตอง

50 วิธีท่ี 2 โดยวธิ กี ารหารยาว (วิธีลัด) ประโยคสัญลักษณ คอื 184 ÷ 8 =  วิธีทํา วธิ คี ิด วธิ นี ี้ใชต ัวหารหารตวั ตัง้ ทีละหลกั 023 1. นาํ 8 ไปหาร 1 ซึ่งเปนเลขหลักสูงสดุ กอ น 8)184 16 – จะเหน็ วา 8 มากกวา 1 ฉะน้ัน ใหพ ิจารณา ไปรวมกับหลักถัดไป เปน 18 24 – 24 2. นาํ 8 ไปหาร 18 จากตารางการคูณ 8 × 2 = 16 ซงึ่ เปน คาท่ใี กลเ คียง 18 ตอบ 23 00 มากทสี่ ดุ และไมเ กิน 18 ดงั นั้น ผลหาร คือ 2 ใสไ วเ หนอื 8 ซง่ึ เปนหลักสบิ ของตัวต้ัง ตรวจคําตอบ 8 × 23 = 184 นาํ 16 ไปลบออกจาก 18 เหลอื เศษ 2 ชกั 4 ลงมาใหตรงหลัก เปน 24 แสดงวาคําตอบถูกตอง 3. นาํ 8 ไปหาร 24 จากตารางการคูณ 8 × 3 = 24 ดงั นน้ั ผลหารคือ 3 ใสไ วเ หนอื 4 ซ่งึ เปน ตวั ตัง้ แลว นาํ 24 ทไ่ี ดไ ปลบกับ 24 ได 0 ดังนน้ั ผลหารทั้งหมด คือ 23 วธิ ที ี่ 3 โดยวธิ หี ารสน้ั (เครื่องหมายหารสั้น คอื “ ) ”) ประโยคสัญลักษณ คอื 184 ÷ 8 =  วธิ ีทาํ 8 ) 1 8 4 วิธคี ดิ 0 2 3 มีวิธีคิดเหมือนวิธหี ารยาว ซึ่งจะคดิ ตามวธิ ีท่ี 1 ตอบ 23 หรอื 2 กไ็ ด แลวแตถนัด และถา ผูเรียนทอ งสูตร ตรวจคําตอบ 8 × 23 = 184 คณู แมน และเขาใจวิธีการหารยาวดี ก็สามารถ แสดงวาคําตอบถูกตอง คดิ ในใจ ไดแ ละจะหาผลหารไดร วดเร็วขน้ึ เมอื่ ตัวหารเปน จาํ นวนเลขสองหลัก วิธีท่เี หมาะสมมีดงั นี้

51 ตัวอยา ง ใหหาคาของ 7,936 ÷ 31 วิธที ่ี 1 โดยวธิ ีหารยาว วธิ ีที่ 2 โดยวธิ ีหารยาว (วธิ ลี ดั ) ประโยคสญั ลกั ษณ คอื 7,936 ÷ 31 =  ประโยคสัญลักษณ คอื 7,936 ÷ 31 =  วิธีทาํ วธิ ที าํ 256 256 31 ) 7 9 3 6 31) 7 9 3 6 6200 – 31 × 200 62 – 31 × 50 1736 – 31 × 6 173 – 1550 155 186 186 – 186 – 186 ตอบ 256 000 ตอบ 23 000 ตรวจคําตอบ 31 × 256 = 7,936 ตรวจคําตอบ 31 × 256 = 7,936 แสดงวาคําตอบถูกตอง แสดงวาคําตอบถูกตอง วิธีที่ 3 โดยวธิ ีหารส้นั (แยกตวั หารใหเ ปน ตวั ประกอบ) วธิ ีน้ีใชเ มอ่ื สามารถแยกตวั หารใหเ ปนตัวประกอบหลกั เดียวได แลว นําตวั ประกอบไปหารตัวตั้ง ทลี ะตวั จะชว ยใหห ารเลขไดงา ยและประหยดั เวลา ตัวอยาง 1,218 ÷ 21 =  วธิ คี ดิ วธิ ที ํา 21 = 3 × 7 3)1218 1. นาํ 3 ไปหาร 1,218 ได 406 7 )4 0 6 2. นาํ 7 ไปหาร 406 ได 58 ลงตัวพอดี ตอบ 58 5 8 ดงั นั้น ผลหาร คอื 58 ตรวจคําตอบ 58 × 7 × 3 = 1,218 แสดงวาคําตอบถูกตอง

52 เมื่อตัวหารเปนจํานวนเลขสามหลัก ตัวอยา ง ใหห าร 34,932 ดวย 246 วิธีท่ี 1 โดยวธิ ีหารยาว วธิ ีท่ี 2 โดยวธิ ีหารยาว (วิธีลดั ) ประโยคสัญลกั ษณ คอื 34,932 ÷ 246 =  ประโยคสัญลักษณ คือ 34,932 ÷ 246 =  วธิ ีทํา วิธที ํา 142 142 246) 3 4 9 3 2 246) 3 4 9 3 2– 24600 – 246 × 100 2 4 6 246 × 40 1 0 3 3 2 – 246 × 2 1033 – 9 8 4 0 984 4 9 2 4 9 2 – 492 – 492 ตอบ 142 000 ตอบ 142 000 ตรวจคําตอบ 246 × 142 = 34,932 ตรวจคําตอบ 2460 × 142 = 34,932 แสดงวาคําตอบถูกตอง แสดงวาคําตอบถูกตอง ที่ยกตัวอยางมาทั้งหมดนี้ จะเห็นวาเปนการหารตามแนวตั้งทั้งหมด สว นการหารตามแนวนอนนน้ั มี ใชอ ยบู า งในเรื่องของโจทยป ญหา ซงึ่ นิยมใชวิธีหารในรปู ของประโยคสญั ลักษณเทา น้ัน แบบฝก หดั ท่ี 20 ก. ใหหาคําตอบตอ ไปนี้ (1) เริ่มจาก 20 นบั ลดครั้งละ 4 กี่คร้งั จงึ จะหมดพอดี (2) เริ่มจาก 24 นบั ลดคร้งั ละ 6 ก่คี รงั้ จึงจะหมดพอดี (3) เรมิ่ จาก 35 นับลดคร้ังละ 7 กค่ี รง้ั จงึ จะหมดพอดี (4) มีฟตุ บอล 24 ลูก ใสตะกรา ใบละ 8 ลกู จะไดกีต่ ะกรา (5) มีเชือกยาว 54 เมตร ถาตัดเปนทอน ๆ ยาวทอนละ 6 เมตร จะตดั ไดกี่ทอ น ข. ใหเตมิ ประโยคตอไปนใี้ หถ ูกตอ ง (1) 6 ÷ 2 =  (2) 15 ÷ 5 =  (3) 48 ÷ 8 =  (4) 7 ÷  = 1

53 (5) 25 ÷  = 5 (6) 54 ÷  = 6 (7)  ÷ 2 = 4 (8)  ÷ 7 = 7 (9)  ÷ 8 = 10 ค. ใหห าผลหารตอไปน้ี โดยวธิ ีหารยาว (1) 84 ÷ 4 (2) 784 ÷ 7 (3) 2,600 ÷ 13 (4) 27,600 ÷ 24 (5) 985,472 ÷ 32 ง. ใหห าผลหารตอไปน้ี โดยวธิ ีหารสน้ั (1) 96 ÷ 6 (2) 99 ÷ 9 (3) 726 ÷ 6 (4) 968 ÷ 8 (5) 200 ÷ 25 เมอ่ื ตัวหารเปน จาํ นวนเลขหลกั เดยี ว ตัวอยา ง ใหหาคาของ 137 ÷ 5 วธิ ีท่ี 1 โดยวธิ ีหารยาว วธิ ที ่ี 2 โดยวธิ ีหารสั้น วิธที ํา วิธีทํา 27 5 )1 3 7 5) 1 3 7 2 7 เศษ 2 100 – 5 × 20 ตอบ 27 เศษ 2 37 35 – 5× 7 2 ผลหาร คือ 27 เศษ 2 ตอบ 27 เศษ 2 ตรวจคําตอบ (5 × 27) + 2 = 135 + 2 ตรวจคําตอบ (5 × 27) + 2 = 135 + 2 = 137 = 137 แสดงวาคําตอบถูกตอง แสดงวาคําตอบถูกตอง

54 เมื่อตัวหารเปนจํานวนเลขสองหลัก วธิ ีที่ 1 โดยวธิ ีหารยาว (วิธลี ัด) วิธที ี่ 2 โดยวธิ ีหารส้ัน วิธที าํ วิธีทํา 21 32 = 4 × 8 4 )6 9 2 32) 6 9 2 – 8 )1 7 3 64 2 1 เศษ 5 52 – 32 เศษท่แี ทจรงิ คอื 5 × 4 = 20 ผลหารคอื 21 เศษ 20 20 ตอบ 21 เศษ 20 ผลหาร คอื 21 เศษ 20 ตอบ 21 เศษ 20 ตรวจคําตอบ (32 × 21) + 20 ตรวจคําตอบ (21 × 8 + 5) × 4 = 672 + 20 = 692 = 173 × 4 = 692 แสดงวาคําตอบถูกตอง แสดงวาคําตอบถูกตอง วธิ ีคิดหาเศษที่แทจริงของการหารสั้น 5 ไมใชเศษท่แี ทจริง เพราะกอนทจ่ี ะนาํ 8 มาหารน้ัน มี 4 เปนตัวหารกอ นจงึ ทาํ ใหค าของ จาํ นวนเลขทเ่ี หลอื อยูน อยลงไป 4 เทา ดงั นนั้ ถา ตองการหาเศษทีแ่ ทจ ริง ตองนาํ 4 มาคูณกับ 5 เปน 20 จงึ จะ เปนเศษที่แทจรงิ แตถาเปนการหารที่มีเศษทั้ง 2 ครง้ั ใหน าํ เศษครัง้ แรกบวกดว ย ตวั อยาง 1,526 ÷ 28 =  วิธีคดิ หาเศษทแ่ี ทจ รงิ วิธที าํ 28 = 4 × 7 1. ตองหาเศษของตวั สุดทา ยกอ น คอื 4 × 3 = 12 2. นาํ 2 ซึ่งเปนเศษตัวแรกไปบวกคือ 12 + 2 4)1526 ได 14 จงึ เปน เศษท่แี ทจ ริง 7) 3 8 1 เศษ 2 ขั้นท่ี 2 ได (381 × 4) + 2 =1,526 5 4 เศษ 3 เศษทีแ่ ทจริง (3 × 4) + 2 = 14 ตอบ 54 เศษ 14 ตรวจคาํ ตอบ ขน้ั ท่ี 1 ได (54 × 7) + 3 = 381 แสดงวาคําตอบถูกตอง

55 เมื่อตัวหารเปนเลขสามหลัก วิธีที่งายคือการหารยาว ตวั อยาง 52,148 ÷ 462 =  วิธีทํา 1 1 2 462 ) 5 2 1 4 8 – 462 594 – 462 1328 – 924 404 ผลหาร คอื 112 เศษ 404 ตอบ 112 เศษ 404 ตรวจคําตอบ (462 × 112) + 404 = 51,744 + 404 = 52,148 แสดงวา คาํ ตอบถูกตอ ง แบบฝก หัดที่ 21 ก. จงหาคําตอบตอไปนี้ (1) 9 ÷ 2 =  เศษ  (2) 25 ÷ 5 =  เศษ  (3) 75 ÷ 7 =  เศษ  (4) 100 ÷ 9 =  เศษ  (5) มีเงาะอยู 50 กิโลกรัม แบงใสชะลอมละ 8 กโิ ลกรัม ทเ่ี หลอื ใหลกู รับประทาน ลูกจะไดรับประทานเงาะกกี่ โิ ลกรมั (6) เลี้ยงเปด 495 ตัว แบงขาย 7 ครัง้ ครัง้ ละเทา ๆ กนั ขายเปดไดค ร้ังละกตี่ วั และจะเหลือเปดก่ตี วั ข. จงหาผลหารแลว ตรวจคาํ ตอบ (1) 20 ÷ 3 (2) 35 ÷ 4 (3) 82 ÷ 2 (4) 150 ÷ 12 (5) 1,031 ÷ 51 (6) 28,023 ÷ 145

56 โจทยป ญหาการหาร โจทยปญ หานี้เปนปญ หาที่เกี่ยวขอ งกับชวี ิตประจาํ วัน ซ่ึงอาจมวี ธิ ที าํ ทั้งการบวก ลบ คูณ หาร ปนกนั อยูในขอ เดียว หรืออาจมีบางวิธกี ไ็ ด ตัวอยา ง คนงาน 7 คน รับจา งขดุ บอ แหง หนึ่งไดคา จา งทัง้ หมด 12,460 บาท ถาแบงเงินคาจาง เทา ๆ กัน จะไดค นละเทา ไร ประโยคสญั ลักษณ คือ 12,460 ÷ 7 =  วิธที าํ คนงานไดคาจางขุดบอทั้งหมด 12,460 บาท แบง เงนิ คา จา งเทา ๆ กนั 7 คน ดงั นนั้ จะไดค นละ 7 ) 12,460 บาท ตอบ 1,780 บาท 1,780 บาท ตวั อยาง มปี ากกา 8,460 ดา ม นาํ มาใสก ลอง กลองละ 250 ดา ม จะใสไดก ่กี ลอ ง ประโยคสัญลักษณ คอื 8,460 ÷ 250 =  วธิ ีทาํ มปี ากกา 8,460 ดาม นํามาใสกลอง กลองละ 250 ดาม ดงั น้นั จะใสไ ด 33 กลอ ง 250) 8460 750 – 960 750 – 210 ดังนนั้ จะใสได 33 กลอ ง และเหลอื เศษ 210 ดาม ตอบ 33 กลอ ง เหลอื 210 ดา ม ตวั อยาง สปั ดาหแรกขายของได 1,789 บาท สปั ดาหท ่ีสองขายได 1,826 บาท สัปดาหทสี่ าม ขายได 2,310 บาท เฉล่ียแลวขายของไดเ งินสัปดาหละเทา ไร ประโยคสัญลักษณ คือ (1,789 + 1,826 + 2,310) ÷ 3 =  วธิ ที าํ สปั ดาหแรกขายของได 1,789 บาท สปั ดาหทีส่ องขายได 1,826 บาท สัปดาหท่ีสามขายได 2,310 + บาท โจทดรยวงั ปมนสญ้ันาเหฉมลาสกี่ยปั าแดรลาบว หขวข กาายยลขขบอองคงไไณูดดเแงเ งินลนิ ะสหปั าดรา5ห,9ล2ะ5 5,925 ÷ 3 = บาท บาท ตอบ 1,975 บาท 1,975

57 โจทยป ญ หาซึง่ เปนเรอื่ งราวทีเ่ ก่ยี วของกับชวี ิตประจําวันนนั้ อาจมีการแกปญหาโดยวิธกี ารบวก ลบ คณู และหารปนกันอยู ดังตัวอยางตอไปน้ี ตัวอยา ง นายมิ่งขายโคเนื้อ 2 ตวั หนกั ตวั ละ 186 กิโลกรัม และ 174 กิโลกรัมตามลําดับ โดยขาย กิโลกรัมละ 38 บาท แลวซอื้ ตน กลามะมว งพันธดุ มี า 100 ตน ราคาตนละ 25 บาท จะเหลอื เงนิ เทา ไร ประโยคสญั ลกั ษณ คอื (186 + 174) ÷ 38 – (100 × 25) =  วธิ ีทํา โคเน้ือตัวแรกมีนาํ้ หนกั โคเน้ือตัวท่สี องมนี ํ้าหนัก 186 + กโิ ลกรมั 174 กโิ ลกรมั โคเน้ือ 2 ตัว มนี า้ํ หนกั รวม 360 × กโิ ลกรมั ขายกิโลกรัมละ 38 บาท 2880 + บาท 1080 บาท รวมเปนเงินที่ขายโคได 13680 บาท ตนกลามะมวงพันธดีราคาตนละ 25 × บาท ซ้อื ตน กลามะมว ง 100 ตน คดิ เปนเงนิ ท่ซี ้ือตน กลา มะมว ง 2500 บาท เงนิ ที่ขายโคได 13680 – บาท จายเงินคาตนกลามะมวง 2500 บาท ดงั นน้ั จะเหลอื เงิน 11180 บาท ตอบ 11,180 บาท แบบฝก หัดที่ 22 ใหเขียนประโยคสญั ลักษณแ ละแกป ญหาโจทยต อไปนี้ โดยแสดงวิธที ํา 1. นายสนิ ชยั รบั จางแกร ถจักรยานยนต มรี ายไดเฉลีย่ วนั ละ 3,670 บาท ส้นิ เดอื นหกั คา อุปกรณ และคาใชจ ายอนื่ ๆ 45,298 บาท จะเหลือเงินเทาไร 2. ศนู ยอ พยพแหงหนงึ่ มผี ูล้ภี ยั อาศัยอยู 3,144 คน ตองเสียคาใชจ า ยในการเลยี้ งดูผอู พยพวนั ละ 141,480 บาท อยากทราบวาศูนยตองเสียคาใชจายในการเลี้ยงดูผูอพยพคิดเปนรายหัวละเทาไร 3. ประชาชนในจงั หวดั แหง หนึ่ง มผี ูทไี่ ดรบั ความเดอื ดรอนจากภัยแลง ถึงขน้ั วกิ ฤตรนุ แรง 428 หมบู า น รุนแรงปานกลาง จาํ นวน 82 หมูบาน รัฐบาลไดใหความชวยเหลือในดานอาหารและ เมล็ดพนั ธุพืช สําหรบั หมูบา นท่ีเดือนรอ นขั้นรุนแรงเฉล่ียหมูบานละ 50,000 บาท สวนหมูบาน ที่เดือดรอนปานกลางเฉลี่ยหมูบานละ 37,000 บาท อยากทราบวา รัฐบาลตองเสียคาใชจา ยใน การชว ยเหลอื ครั้งน้ีเทาไร

58 4. สมใจจับปลาในบอแรกไปขายสงที่ตลาดไดเงิน 79,600 บาท บอที่สองไดเงิน 83,400 บาท แลว ซื้อเครื่องสูบนํา้ 1 เครื่อง ราคา 37,500 บาท และซ้ือลกู พันธปุ ลามาเล้ียงใหมอกี 5,000 ตวั ๆ ละ 7 บาท จะเหลือเงินอีกเทาไร 5. สหกรณเพอ่ื การเกษตรแหงหนึ่งมสี มาชิกรว มหุนทัง้ หมด 3,796 หุน ถงึ สิน้ ปมกี ําไรสทุ ธิ 318,864 บาท อยากทราบวา สมาชิกจะไดเงินปนผลหุนละกี่บาท เรือ่ งที่ 8 ตัวประกอบของจํานวนนบั และการหาตัวประกอบ ความหมายของตัวประกอบ พิจารณาขอความตอไปนี้ 30 หารดว ย 5 ลงตัว เรากลาววา 5 เปนตัวประกอบของ 30 24 หารดว ย 8 ลงตัว เรากลาววา 8 เปนตัวประกอบของ 24 19 หารดว ย 6 ไมล งตวั เรากลาววา 6 ไมเปนตัวประกอบของ19 ตวั ประกอบของจํานวนนับใดก็ตาม ก็คือ จํานวนนบั ท่หี ารจํานวนนน้ั ไดลงตวั แบบฝก หัดท่ี 23 จงตอบคําถามตอไปนี้ (1) 4 เปน ตวั ประกอบของ 20 หรือไม เพราะเหตุใด (2) 3 เปน ตวั ประกอบของ 18 หรือไม เพราะเหตุใด (3) 7 เปน ตวั ประกอบของ 37 หรือไม เพราะเหตใุ ด (4) 9 เปน ตวั ประกอบของ 45 หรือไม เพราะเหตุใด (5) จาํ นวนนบั ใดมี 2 เปน ตวั ประกอบ 2, 5, 8, 9, 12, 14 (6) จาํ นวนนบั ใดมี 3 เปน ตวั ประกอบ 2, 3, 6, 15, 20, 24 (7) จงยกตัวอยางจํานวนนับระหวาง 21 และ 39 ทม่ี ี 5 เปน ตวั ประกอบ (8) จงยกตวั อยา งจาํ นวนนบั ระหวา ง 15 และ 40 ทม่ี ี 6 เปน ตวั ประกอบ

59 พิจารณาจํานวนนบั ที่เปน ตัวประกอบของ 8 นาํ 1 ไปหาร 8 ไดล งตัว ดงั นน้ั 1 เปนตวั ประกอบของ 8 นาํ 2 ไปหาร 8 ไดล งตัว ดงั นน้ั 2 เปนตวั ประกอบของ 8 นาํ 4 ไปหาร 8 ไดล งตัว ดงั นน้ั 4 เปนตวั ประกอบของ 8 นาํ 8 ไปหาร 8 ไดล งตัว ดงั นน้ั 8 เปนตวั ประกอบของ 8 ไมม จี าํ นวนนบั อื่นที่นาํ ไปหาร 8 ไดล งตัวอกี ดงั น้นั 8 มีตัวประกอบ 4 ตัว คือ 1, 2, 4 และ8 พจิ ารณาจํานวนนบั ทเ่ี ปน ตัวประกอบของ 5 นาํ 1 ไปหาร 5 ไดล งตัว ดงั นน้ั 1 เปนตวั ประกอบของ 5 นาํ 5 ไปหาร 5 ไดล งตัว ดงั นน้ั 5 เปน ตวั ประกอบของ 5 ไมมีจํานวนนบั อ่นื ที่นําไปหาร 5 ไดล งตัวอีก ดังนนั้ 5 มีตัวประกอบ 2 ตวั คือ 1 และ 5 แบบฝก หดั ท่ี 24 ก. ตอบคําถามตอไปนี้ (1) มีจํานวนนับใดบางที่หาร 12 ลงตวั (2) มีจํานวนนับใดบางที่เปนตัวประกอบของ 12 (3) มีจํานวนนับใดบางที่หาร 18 ลงตวั (4) ตัวประกอบของ 18 มจี าํ นวนใดบา ง

60 ดอกไมป ระกอบ

61 เรือ่ งที่ 9 จาํ นวนเฉพาะและตวั ประกอบเฉพาะ 9.1 จาํ นวนเฉพาะ พิจารณาตัวประกอบของจาํ นวนตอ ไปน้ี 2 มตี ัวประกอบ 2 ตวั คอื 1 และ 2 3 มตี ัวประกอบ 2 ตวั คือ 1 และ 3 5 มีตวั ประกอบ 2 ตวั คอื 1 และ 5 11 มตี ัวประกอบ 2 ตวั คือ 1 และ 11 จํานวนนับขางตนแตละจํานวนมีตัวประกอบที่ตางกันเพียงสองตัว คือ 1 และตวั ของมนั เอง จาํ นวนนบั ทม่ี ีตัวประกอบท่ีตางกนั เพียงสองตวั คือ 1 กบั จาํ นวนนบั นน้ั เรียกวา จํานวนเฉพาะ 2 เปนจํานวนเฉพาะ เพราะ 2 มีตัวประกอบเพียง 2 ตัว คือ 1 และ 2 7 เปนจํานวนเฉพาะ เพราะ 7 มีตัวประกอบเพียง 2 ตัว คอื 1 และ 7 8 ไมเปนจํานวนเฉพาะ เพราะ 8 มีตัวประกอบมากกวา 2 ตัว คือ 1, 2, 4 และ 8 แบบฝกหดั ที่ 25 จงตอบคําถามตอไปนี้ (1) 13 เปนจํานวนเฉพาะหรือไม เพราะเหตุใด (2) 15 เปนจํานวนเฉพาะหรือไม เพราะเหตุใด (3) จาํ นวนตั้งแต 20 ถึง 30 มจี าํ นวนใดบา งเปนจาํ นวนเฉพาะ (4) จาํ นวนตัง้ แต 50 ถงึ 60 มจี าํ นวนใดบา งเปนจาํ นวนเฉพาะ (5) จํานวนตั้งแต 90 ถงึ 100 มจี าํ นวนใดบา งเปนจาํ นวนเฉพาะ 9.2 ตวั ประกอบเฉพาะ ตัวประกอบของ 12 มี 6 ตัว คือ 1, 2, 3, 4, 6 และ 12 แต 2 และ 3 เทานนั้ ทเ่ี ปนจํานวนเฉพาะ ดงั นน้ั 2 และ 3 เปน ตัวประกอบทีเ่ ปนจํานวนเฉพาะของ 12 ตวั ประกอบทเ่ี ปนจํานวนเฉพาะ เรยี กวา ตวั ประกอบเฉพาะ ตัวประกอบของ 8 มี 1, 2, 4 และ 8 ตัวประกอบเฉพาะของ 8 คือ 2 ตัวประกอบของ 30 มี 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 และ 30 ตัวประกอบเฉพาะของ 30 คือ 2, 3 และ 5

62 แบบฝก หัดที่ 26 จงตอบคําถามตอไปนี้ ตัวประกอบของจาํ นวนตอไปนม้ี ีจาํ นวนใดบา ง และตัวประกอบเฉพาะคอื จาํ นวนใด (1) ตัวประกอบของ 9 มี ___________________________________________________ ตัวประกอบเฉพาะของ 9 คือ_____________________________________________ (2) ตัวประกอบของ 22 มี ___________________________________________________ ตัวประกอบเฉพาะของ 22 คือ_____________________________________________ (3) ตัวประกอบของ 36 มี ___________________________________________________ ตัวประกอบเฉพาะของ 36 คือ_____________________________________________ (4) ตัวประกอบของ 50 มี ___________________________________________________ ตวั ประกอบเฉพาะของ 50 คือ______________________________________________ (5) ตัวประกอบเฉพาะของ 37 มีจาํ นวนใดบา ง __________________________________ 4. การแยกตัวประกอบ การเขยี นจาํ นวนในรปู ผลคูณของตวั ประกอบ ตัวประกอบของ 12 คือ 1, 2, 3, 4, 5, 6 และ 12 เราสามารถเขียนจํานวนในรูปผลคณู ของตัว ประกอบของแตล ะจาํ นวนน้ันได เชน 12 = 1 × 12 หรอื 12 = 2 × 6 หรอื 12 = 3 × 4 แบบฝก หดั ที่ 27 ก. จงเขียนจํานวนตอ ไปนใ้ี นรูปผลคณู ของตัวประกอบสองตัวทีไ่ มมตี วั ใดเปน 1 (1) 21 (2) 24 (3) 28 (4) 36 (5) 49 (6) 51 (7) 63 (8) 81 (9) 72 (10) 90 ข. เราสามารถเขียนจํานวนตอไปนี้ในรูปผลคูณของตัวประกอบสองตัวที่ไมมีตัวใดเปน 1 ไดห รือไม เพราะเหตใุ ด 11, 13, 17, 23, 29

63 เรอื่ งท่ี 10 การแยกตวั ประกอบ พิจารณาการเขียน 12 ในรปู ผลคูณของตวั ประกอบสองตวั ท่ไี มม ตี วั ใดเปน 1 12 = 2 × 6 หรือ 12 = 3 × 4 เนอ่ื งจาก 6 และ 4 ไมเปน ตัวประกอบเฉพาะ ดังนั้น เราสามารถเขียน 6 และ 4 ในรูปผลคณู ของตวั ประกอบ ตอไปไดอกี ดังนี้ 12 = 2 × 6 หรือ 12 = 3 × 4 = 2×2×3 = 3 ×2×2 เมอ่ื เราเขยี น 12 = 2 × 2 × 3 หรอื 12 = 3 × 2 × 2 จะเปนการเขียน 12 ในรปู ผลคณู ของตัวประกอบเฉพาะ เขยี นจํานวนในรูปผลคูณของตัวประกอบเฉพาะเรยี กวา การแยกตวั ประกอบ ตวั อยาง จงแยกตัวประกอบของ 20 วธิ ที าํ 20 = 4 × 5 = 2×2×5 แยกตัวประกอบของ 20 ไดเ ปน 2 × 2 × 5 ตอบ 20 = 2 × 2 × 5 ตวั อยาง จงแยกตัวประกอบของ 48 วิธที าํ 48 = 3 × 16 = 3×2×8 = 3×2×2×2×2 แยกตัวประกอบของ 48 ได 3 × 2 × 2 × 2 × 2 หรอื 3 × 24 ตอบ 48 = 3 × 2 × 2 × 2 × 2 หรอื 3 × 24 จํานวนทีค่ ูณกบั ตวั เองหลาย ๆ คร้งั เชน 2 × 2 × 2 × 2 สามารถเขียนในรูปเลขยกกําลัง ไดเ ปน 24 อานวา สองยกกาํ ลังสี่

64 แบบฝกหดั ท่ี 28 (3) 28 (10) 100 จงแยกตวั ประกอบของจาํ นวนตอ ไปน้ี (6) 52 (1) 6 (2) 14 (9) 72 (4) 35 (5) 36 (7) 45 (8) 60 การแยกตัวประกอบโดยวธิ ตี ั้งหาร ในการแยกตัวประกอบของ 20 เราอาจทําไดโดยนําจํานวนเฉพาะที่หาร 20 ไดลงตัวมาหาร 20 แลวพิจารณาผลหารไดลงตวั มาหารผลหารนนั้ ทําเชน นี้เร่ือยไปจนกระทง่ั ผลหารทไี่ ดเ ปนจาํ นวนเฉพาะ เราสามารถเขียน 20 ในรปู ผลคูณของตัวหารทุกตวั กับผลหารสดุ ทา ย ซงึ่ ทุกตวั เปนจํานวนเฉพาะ ตวั อยา ง จงแยกตัวประกอบของ 20 วธิ ที าํ 2 ) 20 2 ) 10 แจงบแบยฝกก ตหวั ัดปทระี่ 3ก0อบแขยอกงต5จัวาํ ปนรวะนกตออ บไขปอนง้ี 20 ได 2 × 2 × 5 แบบฝกหัดที่ 29 จงแยกตวั ประกอบของจาํ นวนตอ ไปน้ี (1) 27 (2) 39 (3) 42 (4) 56 (6) 68 (6) 96 (7) 250 (8) 216 การหาผลคูณโดยใชต ัวประกอบ การหาผลคูณระหวางจํานวนสองจํานวนอาจทาํ ไดโดยเขยี นจาํ นวนใดจาํ นวนหนง่ึ ในรูปผลคณู ของ ตัวประกอบ แลวใชคุณสมบัติการเปลี่ยนกลุมของการคูณ ตัวอยาง จงหาผลคณู 97 × 35 ตรวจคาํ ตอบโดยใชคูณในแนวตง้ั วิธที ํา 97 × 35 = 97 × (5 × 7) 97 × = (97 × 5) × 7 35 = 485 × 7 = 3,395 485 + ตอบ 3,395 2,910 3,395 ตอบ 3,395

65 แบบฝก หัดที่ 30 จงหาผลคณู โดยใชต วั ประกอบและตรวจคาํ ตอบดว ยวธิ อี นื่ (1) 46 × 36 (2) 92 × 48 (3) 126 × 45 (4) 218 × 28 (5) 118 × 25 (6) 256 × 32 เรื่องที่ 11 ห.ร.ม. และ ค.ร.น. 11.1 การหา ห.ร.ม. ตวั หารรว ม เราทราบมาแลววาตัวประกอบของจํานวนใด ๆ สามารถนําไปหารจํานวนนั้นไดลงตัว เชน ตัวประกอบของ 12 คือ 1, 2, 3, 4, 6 และ 12 ทุกตัวสามารถนําไปหาร 12 ไดล งตัว ดังนั้นเราอาจเรยี กตวั ประกอบของ 12 แตล ะตวั น้ีวา เปนตัวหาร ของ 12 ลองพิจารณาตัวหารของ 8 และ 12 ตวั หารของ 8 คือ 1, 2, 4, 8 ตวั หารของ 12 คือ 1, 2, 3, 4, 6, 12 ตวั หารของ 8 และ 12 ท่ีเหมือนกันคือ 1, 2 และ 4 เราเรียก 1, 2 และ 4 วา เปน ตวั หารรว มหรือ ตวั ประกอบรว ม ของ 8 และ 12 จาํ นวนนบั ทห่ี ารจํานวนต้งั แตสองจํานวนข้ึนไปลงตวั เรียกวา ตวั หารรว มของจาํ นวนเหลา นน้ั ตวั อยาง จงหาตัวหารรวมของ 9, 15 และ 21 วธิ ที ํา ตวั หารของ 9 คอื 1, 3, 9 ตวั หารของ 15 คอื 1, 3, 5, 15 ตวั หารของ 21 คอื 1, 3, 7, 21 ตวั หารรว มของ 9, 15 และ 21 คอื 1, 3 ตอบ 1 และ 3

66 แบบฝกหดั ท่ี 31 จงหาตัวหารรวมของจํานวนตอไปนี้ (1) 12, 18 (2) 16, 24 (3) 27, 36 (4) 10, 21 (5) 8, 14, 18 (6) 10, 20, 30 ตวั หารรวมมากท่สี ุด (ห.ร.ม.) คอื 1, 2, 4, 8, 16 ตวั หารของ 16 ตวั หารของ 20 คอื 1, 2, 4, 5, 10, 20 ตวั หารรว มของ 16 และ 20 คอื 1, 2, 4 ตวั หารรวมที่มีคา มากท่ีสดุ ของ 16 และ 20 คอื 4 เราเรียกตวั หารรว มทม่ี ีคา มากทสี่ ดุ วา ตวั หารรวมมากทีส่ ุด ใชตวั ยอ วา ห.ร.ม. ดงั นัน้ ตัวหารรวมมากท่ีมากทีส่ ุด หรือ ห.ร.ม. ของ 16 และ 20 คอื 4 ตัวอยาง จงหา ห.ร.ม. ของ 18 และ 27 วิธที าํ ตวั หารของ 18 คือ 1, 2, 3, 6, 9, 18 ตวั หารของ 27 คือ 1, 3, 9, 27 ตวั หารรว มมากทส่ี ดุ หรือ ห.ร.ม. ของ 18 และ 27 คอื 9 ตอบ 9 แบบฝก หัดที่ 32 จงหา ห.ร.ม. ของจาํ นวนตอ ไปน้ี (1) 10, 14 (2) 9, 12 (3) 14, 28 (6) 18, 24 (4) 8, 27 (5) 16, 28 (9) 18, 27, 63 (7) 6, 4, 22 (8) 10, 20, 30

67 การหา ห.ร.ม. โดยวธิ แี ยกตวั ประกอบ การหา ห.ร.ม. ของจาํ นวนตา ง ๆ เราอาจใชก ารแยกตวั ประกอบชวยหาได โดยนําตวั ประกอบท่ี เหมือนกนั มาคูณกัน ตัวอยา งเชน เราจะหา ห.ร.ม. ของ 18 และ 27 เมอ่ื แยกตวั ประกอบของ 18 และ 27 จะไดด งั น้ี 18 = 2 × 3 × 3 27 = 3 × 3 × 3 จํานวนทีม่ ีคามากที่สดุ ทห่ี าร 18 และ 27 ลงตวั คอื จํานวนที่อยูในรูป 3 × 3 นน่ั คือ ห.ร.ม. ของ 18 และ 27 คอื 3 × 3 = 9 ลองดูตัวอยางใหม เราจะหา ห.ร.ม. ของ 40 และ 30 40 = 2 × 2 × 2 × 5 30 = 2 × 3 × 5 จาํ นวนท่ีมีคามากที่สุดท่หี าร 40 และ 30 ลงตัว คือ จํานวนท่อี ยูในรปู 2 × 5 น่ันคือ ห.ร.ม. ของ 40 และ 30 คอื 2 × 5 = 10 ตัวอยาง จงหา ห.ร.ม. ของ 16, 24 และ 28 วิธีทํา 16 = 2 × 2 × 2 × 2 24 = 2 × 2 × 2 × 3 28 = 7 × 2 × 2 ห.ร.ม. ของ 16, 24 และ 28 คอื 2 × 2 = 4 ตอบ 4 แบบฝก หดั ที่ 33 จงหา ห.ร.ม. ของจาํ นวนตอ ไปน้ี (1) 16, 36 (2) 15, 25 (3) 26,34 (6) 42, 64 (4) 12, 27 (5) 35, 21 (9) 18, 27, 54 (7) 49, 56, 63 (8) 15, 30, 45

68 การหา ห.ร.ม. โดยวธิ กี ารต้ังหาร ในการหา ห.ร.ม. ของจํานวนหลาย ๆ จาํ นวน เราอาจใชว ธิ ีตง้ั หารทํานองเดียวกับการแยก ตัวประกอบ โดยวธิ ตี ้ังหารได ตวั อยางเชน เราจะหา ห.ร.ม. ของ 12, 18 และ 24 เราสามารถทําไดดังนี้ (1) หาจํานวนเฉพาะที่เปนตัวหารรวมของ 2 ) 12, 18, 24 12, 18 และ 24 เชน นาํ 2 ไปหาร 12, 18 และ 24 6, 9, 12 ไดผ ลหารเปน 6, 9 และ 12 ตามลําดับ (2) หาจํานวนเฉพาะที่เปนตัวหารรวมของ 2 ) 12, 18, 24 6, 9 และ12 ซ่งึ เปน ผลหารท่ไี ด คอื นํา 3 ไปหาร 3) 6, 9, 12 6, 9 และ 12 ไดผ ลหารเปน 2, 3, 4 ตามลําดับ 2, 3, 4 (3) หาจํานวนเฉพาะที่เปนตัวหารรวมของ 2 ) 12, 18, 24 2, 3 และ 4 ซ่งึ เปน ผลหารทีไ่ ด แตไ มมีจาํ นวนเฉพาะ 3) 6, 9, 12 ดงั กลา ว 2, 3, 4 ดังนั้น ตัวหารรวมมากที่สดุ หรือ ห.ร.ม. ห.ร.ม. ของ 12, 18 และ 24 ของ 12, 18 และ 24 คือ ผลคูณของตัวหารรว มทุกตัว คอื 2 × 3 = 6 ซ่งึ เทา กับ 2 × 3 = 6 ตอบ 6 ตัวอยา ง จงหา ห.ร.ม. ของ 15, 25 และ 35 วธิ ีทํา 5 ) 15, 25, 35 3, 5, 7 ห.ร.ม. ของ 15, 25 และ 35 คอื 5 ตอบ 5 ตวั อยา ง จงหา ห.ร.ม. ของ 24, 60, 36 วิธที ํา 2 ) 24, 60, 36 2 ) 12, 30, 18 3 ) 6, 15, 9 แบบฝกหดัหท.ร่ี 3.ม5. ของ 2, 5, 3 36 คอื 2 × 2 × 3 = 12 ตอบ 12 24, 60 และ

69 จงฝก ทกั ษะตอ ไปน้ี ก. จงหา ห.ร.ม. ของจาํ นวนทก่ี าํ หนดให (1) 21, 35, 42 (2) 27, 63, 81 (3) 10, 25, 30 (4) 24, 32, 64 (5) 16, 20, 36 (6) 20, 15, 45 และ 40 (7) 24, 12, 60 และ 48 (8) 28, 14, 70 และ 84 ข. ดอกไม ตวั ประกอบ

70 การหา ค.ร.น. ตัวคณู รว ม จํานวนที่มี 4 เปน ตัวประกอบ คือ 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...... จํานวนทม่ี ี 6 เปนตัวประกอบ คือ 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, ....... จาํ นวนทม่ี ที ง้ั 4 และ 6 เปนตัวประกอบ คือ 12, 24, 36,... เราเรียกจํานวนท่ีมที ง้ั 4 และ 6 เปน ตวั ประกอบวา ตัวคูณรวม ของ 4 และ 6 ตวั คณู รวมของจํานวนตงั้ แตสองจาํ นวนขึ้นไป หมายถงึ จํานวนนบั ทม่ี จี าํ นวนเหลา น้ัน เปนตวั ประกอบ ตวั อยาง จงหาตัวคูณรวมของ 3 และ 4 วธิ ีทํา จํานวนทม่ี ี 3 เปนตัวประกอบ คือ 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 36, ...... จํานวนที่มี 4 เปนตัวประกอบ คือ 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ....... ตัวคูณรวมของ 3 และ 4 คอื 12, 24, 36, ........ ตอบ 12, 24, 36 แบบฝก หัดที่ 34 จงหาตวั คูณรว มของจาํ นวนตอไปน้ี (1) 2, 3 (2) 4, 8 (3) 6, 9 (6) 10, 15, 20 (4) 10, 15 (5) 4, 6, 8 ตัวคูณรวมนอยที่สดุ (ค.ร.น.) จาํ นวนทีม่ ี 6 เปน ตัวประกอบ คอื 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, .... จํานวนท่มี ี 8 เปน ตัวประกอบ คอื 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, .... ตัวคูณรวมของ 6 และ 8 คอื 24, 48, ..... ตัวคณู รว มทม่ี คี า นอยท่ีสุดของ 6 และ 8 คือ 24 เราเรียกตัวคูณรวมที่มีคานอยที่สุดวา ตวั คณู รวมนอยท่ีสดุ ใชตัวยอวา ค.ร.น.

71 ดงั นัน้ ตัวคูณรวมนอยท่สี ุด หรือ ค.ร.น. ของ 6 และ 8 คอื 24 ตวั อยา ง จงหา ค.ร.น. ของ 4 และ 6 วิธีทํา จาํ นวนทีม่ ี 4 เปนตัวประกอบ คือ 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...... จาํ นวนท่มี ี 6 เปนตัวประกอบ คือ 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54,....... ตัวคูณรวมของ 4 และ 6 คอื 12, 24, 36, ........ ตวั คูณรวมนอยที่สุดหรือ ค.ร.น. ของ 4 และ 6 คอื 12 ตอบ 12 แบบฝก หัดท่ี 35 จงหา ค.ร.น. ของจาํ นวนตอ ไปน้ี (1) 5, 6 (2) 2, 4 (3) 6, 9 (6) 8, 10, 20 (4) 10, 15 (5) 4, 6, 8 การหา ค.ร.น. โดยวธิ ีแยกตัวประกอบ ในการหา ค.ร.น. ของจํานวนตาง ๆ เราอาจใชการแยกตัวประกอบชวยหาได เชน เราจะหา ค.ร.น. ของ 4 และ 6 เมื่อแยกตัวประกอบของ 4 และ 6 ไดดงั น้ี 4 = 2 ×2 6 = 2 ×3 จะเห็นวา จํานวนท่ีนอยทส่ี ุดท่ีมี 4 และ 6 เปนตวั ประกอบ คือ 12 ซ่ึง 12 = 2 × 2 × 3 เราได 2 × 2 × 3 จากวธิ กี ารดังน้ี 4 =2×2 6 =2×3 2 × 2 × 3 = 12 ดังนน้ั ค.ร.น. ของ 4 และ 6 คอื 12

72 ตวั อยา ง จงหา ค.ร.น ของ 15 และ 21 วิธที ํา 15 = 3 × 5 21 = 3 × 7 ค.ร.น. ของ 15 และ 21 คอื 3 × 5 × 7 = 105 ตอบ 105 ตวั อยาง จงหา ค.ร.น . ของ 18, 24 วธิ ที าํ 18 = 2 × 3 × 3 24 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 ค.ร.น. ของ 18 และ 24 คอื 2 × 3 × 3 × 2 × 2 = 72 ตอบ 72 ตวั อยาง จงหา ค.ร.น. ของ 8, 10, 12 วิธที ํา 8 = 2 × 2 × 2 10 = 2 × 5 12 = 2 × 2 × 3 ค.ร.น. ของ 8, 10, 12 คอื 2 × 2 × 2 × 5 × 3 = 120 ตอบ 120 แบบฝกหัดที่ 36 จงหา ค.ร.น. ของจาํ นวนตอ ไปน้ี (1) 6, 10 (2) 30, 50 (3) 6, 9, 15 (6) 15, 45 (4) 15, 20, 30 (5) 12, 20 (7) 8, 14, 16 (8) 12, 48, 60 การหา ค.ร.น. โดยวธิ ีตั้งหาร ในการหา ค.ร.น. ของจาํ นวนหลาย ๆ จํานวน เราอาจใชวิธีต้งั หาร ตัวอยางเชน เราจะหา ค.ร.น. ของ 8, 10, และ 12 เราสามารถทําไดดังนี้

73 (1) หาจํานวนเฉพาะที่เปนตัวหารรวมของ 2 ) 8, 10, 12 8, 10, และ 12 หรอื อยา งนอ ย 2 จาํ นวน เชน นาํ 2 ไปหาร 4, 5, 6 8, 10 และ 12 ผลหาร เปน 4, 5 และ 6 ตามลําดับ 2 ) 8, 10, 12 (2) หาจํานวนเฉพาะที่เปนตัวหารรวมของ 3) 4, 5, 6 4, 5 และ6 หรืออยางนอย 2 จํานวน เชน 2 เพราะนําไปหาร 4 และ 6 ไดล งตัว แตนาํ ไปหาร 5 ไมลงตวั เขยี น 5 ไวดงั เดมิ 2, 5, 3 2 ) 8, 10, 12 (3) หาจํานวนเฉพาะที่เปนตัวหารรวมของ 2) 4, 5, 6 2, 5 และ 3 หรอื อยางนอย 2 จํานวน แตจ าํ นวนเฉพาะนัน้ ไมมี 2, 5, 3 ดงั นน้ั จาํ นวนท่ีนอ ยที่สดุ มี 8, 10 และ 12 ค.ร.น. ของ 8, 10 และ 12 เปนตวั ประกอบคือ 2 × 2 × 2 × 5 × 3 = 120 คือ 2 × 2 × 2 × 5 × 3 = 120 ตอบ 120 ตวั อยาง จงหา ค.ร.น. ของ 12, 16, 18 วธิ ที ํา 2 ) 12, 16, 18 2 ) 6, 8, 9 3 ) 3, 4, 9 1, 4, 3 ค.ร.น. ของ 12, 16 และ 18 คอื 2 × 2 × 3 × 1 × 4 × 3 = 144 ตอบ 144 ตวั อยาง จงหา ค.ร.น. ของ 18, 24 วิธที าํ 2 ) 18, 24 3 ) 9, 12 3, 4 ค.ร.น. ของ 18, 24 คอื 2 × 3 × 3 × 4 = 72 ตอบ 72 แบบฝก หัดที่ 37 จงหา ค.ร.น. ของจาํ นวนตอ ไปน้ี (1) 16, 24 (2) 15, 45 (3) 9, 36, 24 (4) 4, 12, 24, 32 (7) 14, 28, 49 (8) 44, 66, 99 (5) 20, 28 (6) 16, 30, 48

บทที่ 2 เศษสว น สาระสําคญั การอานและเขียนเศษสวน การเปรียบเทียบเศษสวน การบวก ลบ คูณ หาร เศษสว น และ การแกโจทยปญหาตามสถานการณ ผลการเรยี นรทู ค่ี าดหวัง 1. บอกความหมาย ลกั ษณะและอา นเศษสว นได 2. เขยี นเศษสวนใหอยูในรปู เศษสว นอยางต่าํ จํานวนคละและเศษสวนเกินได 3. เปรยี บเทยี บและเรียงลาํ ดับเศษสว น ได 4. บวก ลบ เศษสว นและนําความรูเกี่ยวกับเศษสวนไปใชแกโจทยปญหาได 5. คูณเศษสวนและนําความรูเกี่ยวกับการคูณเศษสวนไปใชแกโ จทยปญหาได 6. หารเศษสวนและนําความรูเกี่ยวกับการหารเศษสว นไปใชแกโ จทยป ญ หาได 7. บวก ลบ คูณ หารเศษสวนและนาํ ความรูไปใชแกโ จทยป ญ หาได ขอบขา ยเน้ือหา เร่ืองที่ 1 ความหมาย ลักษณะของเศษสวนและการอา นเศษสว น เร่ืองที่ 2 เขียนเศษสวนใหอยูใ นรูปเศษสวนอยา งตํา่ จํานวนคละและเศษเกนิ เรื่องท่ี 3 การเปรยี บเทยี บเศษสว น เร่ืองท่ี 4 การบวก ลบ เศษสวนและโจทยป ญ หา เร่ืองท่ี 5 การคณู เศษสว นและโจทยปญหา เรื่องท่ี 6 การหารเศษสว นและโจทยปญหา เรื่องที่ 7 การบวก ลบ คูณ หารเศษสว นระคนและโจทยป ญ หา

75 เรอื่ งท่ี 1 ความหมาย ลกั ษณะของเศษสวนและการอานเศษสว น (1) เศษสว น หมายถึง สว นตาง ๆ ของจํานวนเต็มที่ถูกแบงออกเปนสวนละเทา ๆ กนั เชน รูปวงกลม 1 วง แบง ออกเปน 4 สว นเทา ๆ กัน สว นทแ่ี รเงาเปน 1 สว น ใน 4 สว น เขยี นแทนดวย อา นวา “เศษหนง่ึ สว นส่ี” รปู สีเ่ หลยี่ ม 1 รปู แบง ออกเปน 5 สวนเทา ๆ กัน สว นทแ่ี รเงาเปน 2 สว นใน 5 สว น เขยี นแทนดวย อา นวา “เศษสองสว นหา ”

76 ลกั ษณะของเศษสว น มี 3 ชนิดคอื 1. เศษสวนแท เปนเศษสว นทม่ี ีตัวเศษนอยกวา ตวั สว น เชน 1 , 3 , 2 , 11 4 5 7 15 2. เศษเกนิ เปน เศษสวนทมี่ ตี วั เศษมากกวา ตวั สว น เชน 7 ,12 , 35 3. จาํ นวนคละ เปน จาํ นวนทม่ี จี ํานวนเตม็ และเศษสว นแท เชน 3 1 , 5 4 , 11 5 2 7 12 แบบฝก หดั ท่ี 1 ก. จงเขยี นเศษสว นแสดงสว นทแ่ี รเงาตอ ไปน้ี (1) (2) (3) (4) (5) ข. จงเขียนคําอานของเศษสวน ตัวอยา ง อานวา เศษสองสวนสาม (1) 5 (2) 4 (3) 7 (4) 1 (5) 6 68 9 ค. จงเขียนใหอยูในรปู ของเศษสว น 7 7 (1) เศษหา สว นแปด = __________________________________ (2) เศษสองสวนสาม = __________________________________ (3) เศษเจด็ สว นเกา = __________________________________ (4) เศษหกสว นเจ็ด = __________________________________ (5) เศษสามสว นหา = __________________________________ (2) เศษสว น หมายถงึ สว นตาง ๆ ของกลุม ที่ถกู แบงออกเปน กลมุ ยอย ซง่ึ มสี มาชกิ เทา กนั เชน มไี ขไ ก 6 ฟอง ตองการแบงเปน 3 กองเทา ๆ กัน แตละกอง เปน ของไขไกทั้งหมด ไขไ กแตล ะกองเปน 1 ใน 3 ของไขไกทั้งหมด เขยี นแทนดว ย ของไขไกทั้งหมด เทากับ ของไขไก 6 ฟอง หรือเทา กับกองละ 2 ฟอง มีสม 6 ผล ตองการแบงเปน 2 กองเทา ๆ กนั แตล ะกองเปน 1 ของสมทั้งหมด 2 จะไดส ม ทง้ั หมด 2 กอง เขยี นแทนดว ย 1 ของสมทั้งหมด 6 ผล หรอื เทา กบั กองละ 3 ผล 2

77 การอานเศษสว น เศษสว นจาํ นวนคละ เศษเกนิ ภาพ เขยี นเปน เขยี นเปน จาํ นวนคละ อา นวา เศษสวน อา นวา 1. หนง่ึ เศษหนง่ึ เศษหา 2. สว นส่ี สว นส่ี สองเศษหนง่ึ เศษสบิ เจด็ สว นแปด สว นแปด 3. หนง่ึ เศษหา เศษสบิ เอด็ สว นหก สว นหก

78 เร่อื งที่ 2 การเขยี นเศษสว นใหอยูในรูปเศษสว นอยา งตํ่าจาํ นวนคละ และเศษเกนิ 2.1 การเขียนเศษสวนใหอยใู นรปู เศษสว นอยางต่าํ ใหผ ูเรียนศกึ ษาจากภาพตอ ไปน้ี 2= 1 42 4= 2 84 2= 1 63 2.2 จาํ นวนคละ ใหผูเ รียนศกึ ษาจากเศษสว นตอไปนี้ 3 1 , 5 3 , 4 10 , 7 21 , 10 101 2 7 13 35 135 2.3 เศษเกนิ ใหผูเรยี นศกึ ษาจากจํานวนคละใน ขอ 2.2 และเขียนใหเ ปน เศษเกนิ 3 1 = …………………… , 5 3 =…………………, 410 = ……………………. 2 7 13 7 21 = …………………… , 10 101 = …………………… 35 135

79 เร่อื งที่ 3 การเปรยี บเทยี บเศษสว น การเปรียบเทียบเศษสวน คือ การนําเอาเศษสวนมาเปรียบเทียบกัน โดยใชเครื่องหมายตาง ๆ ดังนี้ ถาเศษสวนมีคาเทากันใชเครื่องหมาย = ถาเศษสวนมีคาไมเทากันใชเครื่องหมายนอยกวา (<) หรือมากกวา (>) 3.1 การเปรยี บเทียบเศษสว นท่ีมีตวั สว นเทา กนั แตมีคาไมเทากันใชเครื่องหมาย < หรือ > < 13 44 3.2 เศษสว นทม่ี ีคา เทากัน = 12 24

80 แบบฝกหัดที่ 2 ใหผ ูเรียนใชเครื่องหมาย < (นอ ยกวา ), > (มากกวา) หรือ = (เทา กบั ) ลงใน  ท่กี ําหนดใหถกู ตอง (1)  (2)  (3)  (4)  (5)  (6)  (7)  (8)  (9)  (10)  (11)  (12)  (13)  (14)  (15)  (16)  (17)  (18)  (19)  (20) 

81 เรือ่ งที่ 4 การบวก ลบ เศษสว นและโจทยป ญ หา การบวกและการลบเศษสวน การบวกและการลบเศษสว นทีม่ ีตัวสวนเทากัน การบวกและการลบเศษสว นทีม่ ตี ัวสว นเทากันใหทาํ ดงั น้ี (1) นําเศษมาบวกลบกัน (2) ตวั ที่เปน สว นใชเ ลขจาํ นวนเดมิ ตัวอยาง การลบ การบวก 3 2 4 4 1111 4444 1111 4444 วธิ ที ํา 4 − 3 = 4 − 3 = 1 44 44 วิธีทํา 1 + 1 = 1 +1 = 2 44 4 4 แบบฝก หดั ท่ี 3 ใหผเู รยี นหาผลบวกและผลลบลงใน  ทก่ี าํ หนดไว (1) 2 + 3 =  (2) 4 + 5 =  77 55 (3) 4 + 3 =  (4) 7 - 2 =  88 77 (5) 6 - 5 =  (6) 8 - 2 =  10 10 97 (7) 2 + 3 + 2 =  (8) 1 −  2 + 2  =  999 4 4 (9)  2 + 4  - 3 =  (10)  3 + 2  −1 =  7 7 7 5 5 (11)  2 + 2  + 3 =  (12) 4 −  2 + 2  =  7 7 7 5 5 5

82 การทาํ เศษสว นใหม คี า เทากัน 1) การขยายสว น โดยหาจํานวนท่ีเทา กันมาคณู ท้งั ตวั เศษและตวั สว น เชน == == 2) การทอนเศษสว น โดยหาจาํ นวนทเ่ี ทา กนั มาหารทง้ั ตวั เศษและตวั สว น เชน == == การบวกและการลบเศษสวนท่ีมตี ัวสว นไมเทากัน การบวกและการลบเศษสวนที่ไมเทากันโดยวิธีขยายเศษสวน การบวกและลบเศษสว นทม่ี ีตัวสว นไมเทากนั ใชว ิธขี ยายเศษสว นใหเ ปนเศษสวนชนดิ เดยี วกนั โดยทําตวั สวนใหเ ทากนั แลวจึงนําเศษมาบวกลบกัน การขยายเศษสวน คือ การทําตัวเลขทั้งเศษและสวนใหมากขึ้น โดยที่คาของเศษสวนไมเปลี่ยนแปลง เชน ตัวอยาง จงหาผลลัพธของ 1 + 2 53 วธิ ีทํา 1 + 2 = 1× 3 + 2× 5 53 5×3 3×5 จะทํา 1 , 2 ใหมสี ว นเทากนั ไดอยา งไร 53 = 3 + 10 15 15 แนวคดิ ตวั สว นของเศษสว น คอื 5, 3 ซึ่งหารกนั ไม = 3 +10 15 ลงตวั ดังน้นั จึงนํา 3 ไปคณู 1 ท้ังเศษและสวน 5 = 13 15 และนาํ 5 ไปคูณ 2 ทงั้ เศษและสว น จะได 3 ตอบ 13 15 3 , 10 ซง่ึ มีสวนเทา กัน 15 15

83 ตัวอยาง จงหาผลลัพธของ 5 - 1 จะทาํ 5 , 1 ใหม สี วนเทา กนั ไดอยางไร 73 73 วธิ ีทํา 5 - 1 = 5×3 - 1×7 แนวคดิ 7 3 7×3 3×7 ตวั สว นของเศษสว น คอื 7, 3 ซ่ึงหารกันไม = 15 - 7 21 21 ลงตวั ดังน้นั จึงนํา 3 ไปคณู 5 ทง้ั เศษและสว น = 15 − 7 7 21 =8 และนาํ 7 ไปคณู 1 ท้ังเศษและสว น จะได 15 , 21 3 21 ตอบ 8 21 7 ซึง่ มีสวนเทา กนั แบบฝก หดั ท่ี 7 21 จงหาผลลพั ธ (2) 2 + 2 (1) 1 + 2 64 25 (4) 1 + 3 (3) 1 + 3 37 58 (6) 11 - 8 (5) 1 + 2 12 13 45

84 สมบตั กิ ารสลับทข่ี องการบวกเศษสว น ตวั อยาง จงเปรียบเทียบวา 2 + 1 และ 1 + 2 เทา กันหรอื ไม 55 55 วิธที าํ 2 + 1 = 2 +1 1 + 2 = 1+2 55 5 55 5 =3 = 3 55 ดงั น้ัน 2 + 1 = 1 + 2 5 555 ตวั อยาง จงเปรียบเทียบวา 1 + 3 และ 3 + 1 เทากันหรอื ไม 27 72 วิธที ํา 1 + 3 = 1×7 + 3× 2 3 + 1 = 3× 2 + 1×7 2 7 2×7 7×2 7 2 7×2 2×7 = 7+6 = 6+7 14 14 14 14 = 7+6 = 6+7 14 14 = 13 = 13 14 14 ดงั นน้ั 1 + 3 = 3 + 1 2772 แนวคดิ เศษสว น 2 จาํ นวนที่นํามาบวกกนั สามารถสลบั ทก่ี นั ได โดยทผี่ ลบวกยังคงเดิม แสดงวา การบวกเศษสวนมีสมบัติการสลับที่ แบบฝกหัดที่ 5 (2) 12 + 19 =  + 12 จงเขยี นเศษสว นลงใน  ใหถ ูกตอง 25 27 25 (1) 5 + 7 = 7 +  (4) 13 +  = 25 + 13 9 13 13 25 29 25 (3) 2 + 8 = 8 +  (6) 21 +  = 19 + 21 5 27 27 91 87 91 (5)  + 5 = 5 + 11 12 12 23

85 สมบตั กิ ารเปล่ยี นหมูข องการบวกเศษสวน ตัวอยา ง จงเปรียบเทียบวา  1 + 2  + 3 และ 1 +  2 + 3  เทากันหรือไม 5 7 7 5 7 7 วิธีทํา  1 + 2  + 3 = + 1× 7 + 2 × 5  3 1 +  2 + 3  = 1 + 5 5 7 7 5×7 7×5 7 5 7 7 5 7 = + 7 + 10  3 = 1×7 + 5×5  35 35  7 5×7 7×5 = 17 + 3 = 7 + 25 35 7 35 35 = 17 + 3×5 = 32 35 7 × 5 35 = 17 + 15 = 32 35 35 35  1 + 2  + 3 และ 1 +  2 + 3  5 7 7 5 7 7 แนวคดิ จงพิจารณาวาการหาคําตอบของทั้ง 2 วิธีนน้ั วธิ ีใดงา ยกวากนั จะเหน็ ไดวา การคดิ แบบ 1 +  2 + 3  งายกวา เพราะเราทราบวา 2 + 3 = 5 ซ่งึ เปนการบวกเศษสว นท่ีมตี ัว 5 7 7 77 7 สว นเทา กนั แลว นาํ 5 ไปบวกกับ 1 ทหี ลงั เปนการบวกเศษสว นทต่ี ัวสว นไมเทา กัน 75 จะเห็นไดวาเราสามารถนําสมบัติการเปลี่ยนหมูของการบวกเศษสวนชวยใหหา คาํ ตอบไดเรว็ ขนึ้ และสรปุ ไดดงั น้ี เศษสว นสามจาํ นวนนาํ มาบวกกนั จะบวกสองจํานวนแรกกอ น หรือสองจาํ นวน หลังกอน แลว จงึ นําไปบวกกับจาํ นวนที่เหลือ ผลลัพธจ ะเทากัน แสดงวา การบวกเศษสวนมี สมบัติการเปลี่ยนหมูของการบวก แบบฝก หัดที่ 6 จงเขยี นเศษสว นลงใน  ใหถูกตอ ง (1)  2 + 7  + 1 =  +  7 + 1  5 9 9 9 9 (2)  1 + 2  + 3 = 1 +  2 +  3 7 7 3 7  (3)  3 + 2  + 3 = 3 + + 3  4 9 9 4  9 (4) + 1  + 3 = 3 +  1 + 3   8 8 4 8 8

86 โจทยปญหาการบวก การลบเศษสว น การบวกเศษสวน ตัวอยา ง มาลยั ปลกู ผกั ได 5 ของแปลง มาลีปลูกผักได 2 ของแปลง สองคนปลูกผักรวมกันไดเทาใด 88 แนวคดิ โจทยก าํ หนดวา มาลยั ปลกู ผัก 5 ของแปลง มาลีปลูกผักได 2 ของแปลง จะเหน็ วา ตวั สว นของ 88 สองจาํ นวนมีคาเทากัน ดังนนั้ เมอ่ื เรานาํ เศษสว นของสองจาํ นวนมารวมกนั ใหน าํ ตวั เศษของสอง จาํ นวนมาบวกกนั แลว หารดวยตวั สว นคงเดมิ วธิ ที าํ เขยี นเปน ประโยคสัญลกั ษณ 5 + 2 =  88 มาลัยปลกู ผกั 5 ของแปลง 8 มาลปี ลูกผัก 2 ของแปลง 8 สองคนปลูกผกั รวมกนั 5 + 2 = 5+ 2 ของแปลง 8 88 = 7 ของแปลง 8 ตอบ 7 ของแปลง 8 แบบฝก หดั ท่ี 7 จงเขยี นเปนประโยคสัญลักษณแลว แสดงวิธีทํา (1) อุทยั มีปุย 4 ถงุ วินยั มปี ุย 3 ถุง สุภรณมีปุย 1 ถุง ทั้งสามคนมีปุยรวมกันเปนเศษสวนเทาใดของถุง 99 9 (2) ปรีชามีเมล็ดถ่วั เขยี ว 2 ลติ ร อนนั ตมีเมลด็ ถว่ั เขยี ว 3 ลิตร ทั้งสองคนมเี มลด็ ถ่ัวเขยี วรวมกันเทาไร 77 (3) ตวงแปงทําขนมถวยฟู 3 ถวยตวง นํา้ ตาล 2 ถว ยตวง รวมตวงแปงและน้ําตาลเทาไร 66 (4) กลั ยาปลกู ผักบงุ 2 ของแปลง ผักกาดขาว 1 ของแปลง ผักกาดหอม 1 ของแปลง 55 5 กัลยาปลกู ผกั รวมกนั เทาใด (5) มานะปลูกกุหลาบโดยเอาดินใสกระถาง 3 ของกระถาง ใสปยุ 1 ของกระถาง รวมดินและปุยที่ใสกระถาง 55 คิดเปนเศษสวนเทาไร

87 การลบเศษสวน ตัวอยาง มานะมีเชือกยาว 4 เมตร ตดั ไปผกู กลอ ง 3 เมตร เหลือเชือกอกี กเ่ี มตร 99 แนวคดิ การลบเศษสว นทม่ี ีตวั สว นเทา กนั ใหนาํ เศษของแตล ะจาํ นวนมาลบกนั ตวั สว นใชเ ลขจาํ นวนเดมิ วิธีทาํ เขยี นเปน ประโยคสัญลักษณ 4 − 3 =  99 มานะมีเชือกยาว 4 เมตร 9 ตดั ไปผกู กลอ ง 3 เมตร 9 เหลอื เชือก 4 − 3 = 4 − 3 เมตร 9 99 = 1 เมตร 9 ตอบ 1 เมตร 9 แบบฝกหดั ที่ 8 จงเขียนเปน ประโยคสัญลักษณ แลวแสดงวิธีทาํ (1) อรทัยมปี ุย 9 กระสอบ นําไปใสแ ปลงผัก 1 กระสอบ ใสโคนตนมะมวง 2 กระสอบ 13 13 13 เหลือปุยอกี เทาไร (2) สายใจปลกู ผกั ได 6 ของแปลง สุดาปลูกผักได 9 ของแปลง ใครปลูกผักไดมากกวากันและมากกวากัน 11 11 เทาไร (3) วนิ ยั มเี มล็ดพืช 11 ของกลอง เม่ือนาํ ไปปลูกเหลอื เมล็ดพืช 5 ของกลอง วินัยใชเมล็ดพืชไปเทาไร 12 12 (4) ซอมถนนสายหนึ่งเปนระยะทาง 8 กิโลเมตร ซอมไปแลวเปนระยะทาง 7 กโิ ลเมตร คงเหลือระยะทาง 15 15 เทาไรทีจ่ ะตองซอม (5) วิรัชเดินทางไปโรงเรยี น 4 กโิ ลเมตร วีณาเดนิ ไปโรงเรยี น 2 กิโลเมตร วิรัชเดินทางมากกวาวีณากี่ 77 กโิ ลเมตร

88 การบวก การลบเศษสวนชนิดตา ง ๆ การบวกลบเศษสวนท่ีไดศ กึ ษาจากทีเ่ รยี นไปแลว นั้น เปนการบวกลบเศษสว นในกรณีที่เปนเศษสว นแท ตอ ไปนี้จะไดศึกษาการบวกลบเศษสวนที่เปนเศษสวนจํานวนคละและเศษสวนเกินดังตัวอยางขางลาง ตัวอยาง จงหาผลบวกของ 2 7 + 3 1 แนวคดิ 88 1. ใหน าํ จาํ นวนเตม็ ของแตล ะจาํ นวนมา บวกกัน ในท่ีนค้ี อื 2 และ 3 แลว จงึ บวก วธิ ที าํ 2 7 + 3 1 = 2 + 3 + 7 + 1 ดว ยเศษสว นของแตล ะจาํ นวน 88 88 2. 8 ทําเปนเศษสวนอยางต่ํา =5+ 8 8 8 8 ÷ 8 =1 =5+1 88 =6 แนวคดิ ตอบ 6 1. 12 มาจาก 5 + 5 + 2 ตวั อยา ง จงหาผลบวกของ 12 + 11 5 555 5 10 11 มาจาก 10 + 1 วิธีทํา 12 + 11 =  5 + 5 + 2  + 10 + 1 5 10  5 5 5  10 10 10 10 10 =1+1+ 2+1+ 1 2. 5 ทําเปนเศษสวนอยางต่ํา 5 ÷ 5 = 1 5 10 10 10 5 2 =3+ 2×2 + 1 5 2 10 =3+ 4 + 1 10 10 =3+ 5 10 =3+ 1 2 = 31 2 ตอบ 3 1 2

89 ตวั อยา ง จงหาผลตางของ 8 3 และ 5 2 แนวคดิ 7 21 1. นําจํานวนเต็มของแตละจํานวนมาลบ กนั เศษสว นที่เหลือนาํ มาบวกลบกัน วิธีทาํ 8 3 − 5 2 = 8 – 5 + 3 − 2 ตามโจทยกําหนด 7 21 7 21 2. 7 ทําเปนเศษสวนอยางต่ํา =3+ 3− 2 21 7 21 7 ÷7 =1 = 3 +  3 × 3  − 2  7 3  21 21 7 3 =3+ 9 − 2 (2) 9 3 + 6 5 =  21 21 88 =3+ 7 (4) 12 3 − 5 1 =  21 7 14 =3+ 1 (6) 12 8 − 4 1 =  3 9 18 = 31 3 ตอบ 3 1 3 แบบฝก หัดท่ี 9 จงหาคําตอบ (1) 3 2 + 7 3 =  35 (3) 37 + 45 =  6 12 (5) 48 3 + 30 1 =  5 10

90 เรอื่ งท่ี 5 การคูณเศษสวนและโจทยปญหา การหาผลคูณระหวางเศษสวนกับเศษสวน การหาผลคูณระหวางเศษสว นกบั เศษสวน ใหน าํ เศษคณู กับเศษ และสว นคณู กับสว นแลวทาํ ให เปน เศษสวนอยา งตํ่า ตัวอยาง 1 ของ 1 =  25 วธิ ีทํา 1 ของ 1 = 1 × 1 2 5 25 = 1×1 2×5 =1 10 ตอบ 1 10 ตัวอยาง 4 × 5 =  แนวคดิ 56 เมือ่ นําเศษคูณกับเศษ และสวนคณู กับ วิธีทํา 4 × 5 = 4×5 สว นได 20 แลวทาํ ใหเปนเศษสวนอยา งต่าํ โดย 5 6 5×6 30 = 20 30 นาํ 10 ไปหารทั้งเศษและสว น จะไดผลลพั ธ 2 = 20 ÷10 3 30 ÷10 =2 3 ตอบ 2 3 แบบฝกหัดที่ 10 (2) 12 × 26 =  จงหาผลคณู แลวทาํ เปนเศษสวนอยางต่าํ 13 20 (1) 6 × 8 =  (4) 11 × 7 =  79 14 15 (3) 14 × 9 =  27 15 (5) 15 × 18 =  18 27

91 การคณู ระหวา งเศษสวนกับจาํ นวนเต็ม การคูณระหวางเศษสว นและจํานวนเต็ม คือ การนาํ เศษสวนที่มคี า เทากันบวกกันหลาย ๆ ครง้ั ตามจํานวน เตม็ ทน่ี าํ มาคูณ เชน แบบฝก หัดที่ 11 จงหาผลลพั ธต อ ไปน้ี (1) 7 ×6 =  (2) 9 ×5=  (3) 6 ×3 =  8 11 7 (4) 5 ×7 =  (5) 12 × 4 =  (6) 11 ×3 =  6 13 15 (7) 13 × 4 =  (8) 10 ×8 =  12 17 เศษสว นของจาํ นวนเตม็ เศษสว นของจาํ นวนเต็ม มคี วามหมาย และวธิ ีการเชนเดยี วกับการคูณเศษสวนดวยจาํ นวนเต็ม ดังตัวอยาง ตัวอยา ง 3 ของเงิน 50 บาท คิดเปนเงินเทาไร 5 วิธที ํา 3 ของเงิน 50 บาท = 3 × 50 บาท 55 = 3× 50 บาท 5 = 150 บาท 5 ตอบ 30 บาท = 30 บาท แบบฝก หดั ที่ 12 จงหาผลลพั ธตอไปน้ี (1) ปลูกสับปะรด 5 ของที่ดิน 400 ตารางวา ที่ดินที่ปลูกสับปะรด คิดเปนกี่ตารางวา 8 (2) โรงเรียนมัธยมศึกษาแหงหนึ่ง มีนักเรยี นทั้งหมด 1,200 คน เปน นกั เรยี นชาย 3 ของนักเรียนทั้งหมด 4 โรงเรยี นมธั ยมศึกษาแหง นม้ี นี กั เรยี นชายทัง้ หมดก่คี น (3) เชือกยาว 500 เมตร ตัดไปขาย 2 ของเชอื กทัง้ หมด ขายเชอื กไดก ีเ่ มตร 25 (4) เล้ยี งไก 200 ตัว เปนโรคระบาดตาย 1 ของไกท ัง้ หมด ไกต ายก่ตี ัว 20 (5) ปลูกมะมวง 75 ตน เปนมะมว งแกว 1 ของตนมะมวงทั้งหมด คิดเปนมะมวงแกวกี่ตน 3

92 เรื่องที่ 6 การหารเศษสว นและโจทยปญหา การหารจํานวนนับดวยเศษสวน 11 11 2 ÷ 1 = ÷ 2 × 2   1 × 2  22 22 2  1 2 1 มที ่ีดนิ 2ไร = 2 × 2  ÷ 1 แบง ออกเปน สว นละ 1 ไรเ ทา ๆ กัน  1 2 = 2× 2 1 ดงั นนั้ จะแบง ไดทง้ั หมด 4 สวน ดังนน้ั 2 ÷ 1 = 2 × 2 21 =4 การหารเศษสวนดว ยจาํ นวนนับ 1 1 ÷ 2 =  1 × 1  ÷  2 × 1  3 3 3 2  2 11 66 =  1 × 1  ÷ 1 3 2 มีทด่ี ิน 1 ไร 3 = 1×1 32 แบงเปน 2 สว นเทา ๆ กนั ดงั นน้ั จะไดส ว นละ 1 ไร ดงั นน้ั 1 ÷ 2 = 1 × 1 3 32 6 =1 6

93 การหารเศษสว นดว ยเศษสว น 4 5 4 ÷ 2 =  4 × 5  ÷  2 × 5  22 5 5 5 2 5 2 55 =  4 × 5  ÷ 1 มที ีด่ นิ 4 ไร 5 2 5 = 4×5 แบง ออกเปน สว นละ 2 ไรเ ทา ๆ กนั 52 5 ดงั นน้ั 4 ÷ 2 = 4 × 5 ดงั นน้ั จะแบง ไดท ง้ั หมด 2 สวน 55 52 =2 “การหารเศษสวน หมายถึง การแบง เศษสวนออกเปนสว นยอยเทา ๆ กัน” การหารเศษสว นมี 3 แบบคือ การหารจาํ นวนนบั ดว ยเศษสวน การหารเศษสว นดว ยจาํ นวนนบั และการหารเศษสว นดว ยเศษสว น ซง่ึ มหี ลกั การ ดงั น้ี การหารจํานวนนับดวยเศษสวน การหารจาํ นวนนบั ดว ยเศษสวน ทาํ ไดโ ดยการคณู จํานวนนบั กบั สว นกลบั ของเศษสวนนน้ั ตวั อยาง 6 ÷ 2 =  3 วธิ ีทํา 6 ÷ 2 = 6 × 3 3 12 = 6×3 2 = 18 2 =9 ตอบ 9 อธิบาย (1) สวนกลับของ 2 คอื 3 32 (2) นาํ 3 มาคูณกับ 6 โดยนําเศษคูณกับเศษ คือ 3× 6 ได 18 เพราะ 6 เปน จาํ นวนเต็ม ถือวา 2 6 เปน ตัวเศษ มสี ว นเปน 1 แลว ใสส ว นเปน 2 เทา เดมิ เพราะ 2×1 ได 2 เทา เดมิ (3) 18 เปนเศษเกนิ จึงให 2 หาร 18 ได 9 2

94 การหารเศษสว นดวยจาํ นวนนบั การหารเศษสว นดว ยจาํ นวนนบั ทาํ ไดโ ดยการคณู เศษสว นกบั สว นกลับของจํานวนนับนน้ั ตวั อยา ง 8 ÷ 4 =  9 วธิ ีทํา 8 ÷ 4 = 8 ÷ 4 9 91 = 8×1 94 = 8×1 9×4 =8 36 = 8÷4 36 ÷ 4 =2 9 ตอบ 2 9 อธิบาย (1) ทํา 4 ซงึ่ เปน จํานวนนบั ใหอ ยใู นรปู ของเศษสวน โดยมีสวนเปน 1 (2) สวนกลับของ 4 คอื 1 แลว คูณกับ 8 ได 8 14 9 36 (3) ทํา 8 ใหเปนเศษสว นอยางตํา่ โดยนํา 4 ซงึ่ เปน ห.ร.ม. ของตัวเศษและตวั สว นมาหารได 2 36 9 การหารเศษสว นดว ยเศษสว น การหารเศษสว นดว ยเศษสว น ทาํ ไดโ ดย การคณู เศษสว นท่ีเปน ตวั ตงั้ กับสวนกลับของเศษสวนท่ีเปน ตวั หาร ตวั อยา ง 2 ÷ 3 =  ตอบ 11 5 10 3 วิธีทาํ 2 ÷ 3 = 2 × 10 5 10 5 3 = 2 ×10 5×3 = 20 15 = 20 ÷ 5 15 ÷ 5 =4 3 = 11 3