main

3.3 อัตสัณฐาน 85 ตัวอยาง 3.3.1 ถากรปุ สมมาตร S3 มศี ูนยกลางคอื {e} แลว In(S3) ∼= S3 วธิ ที ำ พิจารณาอตั สณั ฐานทงั้ หมดของ S3 เนือ่ งจาก S3 = {e, a, a2, b, ab, a2b} โดยท่ี a3 = e = b2, ba = a2b ซึง่ สมาชิก a และ a2 มีอนั ดบั เปน 3 และ b, ab และ a2b มีอันดับ เปน 2 ดังนัน้ สำหรบั σ ∈ Aut(S3), σ(a) = a หรอื a2, σ(b) = b, ab หรอื a2b นอกจากน้จี ะไดว า เม่ือกำหนด σ(a) และ σ(b) สามารถหา σ(x) ไดทุก x ∈ S ดงั นน้ั จะได σ บรบิ รู ณ นน่ั คือ ไมส ามารถหาอตั สณั ฐานของ S3ไดมากกวา 6 ดังนนั้ Aut(S3) = In(S3) ∼= S3 เพราะฉะนน้ั S3 เปน กรุปบรบิ รู ณ ตัวอยาง 3.3.2 ให G เปนอาบีเลยี นกรุปจำกัดอนั ดบั n และให m เปนจำนวนเฉพาะบวกกบั n แลวการสง σ : x → xm เปนอัตสัณฐานของ G วิธีทำ เน่อื งจาก (m, n) = 1 ดงั นนั้ มีจำนวนเตม็ u และ v ท่ี mu + nv = 1 แลว ทุก x ∈ G จะได x = xmu+vn = xmuxvn = xum เพราะวา o(G) = n จากทุก x ∈ G, x = (xu)m จะได σ เปน การสงแบบทั่วถึง และถาให xm = e แลวจะได xmu = e ดงั น้นั x = e ซงึ่ แสดงวา σ เปน การสง แบบหน่งึ ตอ หนง่ึ เนอื่ งจาก G เปนอาบีเลยี นกรุปทำให σ เปน สาทสิ สณั ฐาน ดงั น้นั σ เปนอัตสัณฐานของ G ตวั อยา ง 3.3.3 ให G เปนกรุปจำกดั ที่มสี มาชกิ มากกวา 2 สมาชิก และมี x ∈ G ที่ x2 ≠ e แลว G มอี ตั สัณฐานไมชัด วิธที ำ เมอ่ื G เปน อาบเี ลยี นกรปุ แลวจะได σ : x → x−1 เปนอตั สัณฐาน และเห็นชัดวา σ ไมเปนอตั สัณฐานเอกลักษณ เมื่อ G ไมเ ปนอาบเี ลียนกรุป จะไดวา มอี ตั สัณฐานภายในไมช ัด

86 บทที่ 3 กรุปยอยปรกติ ตวั อยาง 3.3.4 ให G = [a] เปน อาบีเลียนกรุปจำกดั อันดบั n แลว การสง σ : a → am เปน อตั สณั ฐานของ G กต็ อ เม่อื (m, n) = 1 วิธที ำ ถา (m, n) = 1 แลวจากตัวอยา ง 3.3.2 จะได σ เปนอัตสัณฐาน ตอไปสมมติให σ เปน อัตสณั ฐาน แลว อนั ดบั ของ σ(a) = am เหมือนอันดับของ a ซึ่ง เทา กบั n นอกจากนี้ ถา (m, n) = d แลว จะได (am)n/d = (an)m/d = e ดังน้ัน อนั ดับของ am หาร n/d ลงตัว นน่ั คือ n | n/d ดงั นนั้ d = 1 ตัวอยาง 3.3.5 ถา G เปนกรุปวฏั จกั รจำกัดอันดบั n แลว อนั ดบั ของ Aut(G) กรุปอัตสณั ฐาน ของ G คือ ϕ(n) เม่ือ ϕ คอื ฟง กช นั ออยเลอร วธิ ีทำ ให G = [a] และ σ ∈ Aut(G) เน่ืองจาก σ(ai) = (σ(a))i ทกุ จำนวนเตม็ i ถา รูวา σ(a) คอื อะไรก็จะหา σ ได ให σ(a) = am เม่อื m ≤ n ดังน้ัน จากตวั อยาง 3.3.4 ไดวา (m, n) = 1 นนั่ คอื แตล ะ σ หาจำนวนเต็ม m ที่นอ ยกวา และเปนจำนวนเฉพาะกบั n ไดเพยี ง จำนวนเดยี ว แบบฝกหดั 3.3 1. จงหากรปุ อัตสัณฐานของ (Z, +) 2. จงหากรุปอัตสัณฐานของ (Zn, +) 3. จงหา Aut(K) เม่อื K เปนกรปุ สี่แบบไคลน และ อธิบายเก่ียวกับ ZAut( 2 × Z2) 4. จงแสดงวา กรุปอัตสัณฐานของ D4 มอี ันดับ 8 5. จงแสดงวา ZAut( 2 × Z4) ประกอบดวย 8 สมาชิกซึง่ สง (0, 1)ไปยัง (1, 0) หรือ (1, 2) และสง (0, 1) ไปยัง (0, 1), (0, 3), (1, 1) หรอื (1, 3) 6. จงแสดงวา ZAut( 2 × Z3) ∼= ZAut( 2) × ZAut( 3) 7. ให A เปนอาบเี ลยี นกรปุ จำกัดท่ไี มเปน กรปุ วัฏจักร จงพสิ ูจนวา Aut(A) ไมเปนอาบีเลียน 8. ให G เปน กรุปจำกดั โดยที่ |Aut(G)| = p จงพิสจู นว า |G| ≤ 3 (แนะ : สงั เกตวา G เปน อาบีเลียน)

4บทที่ ริง (Rings) 4.1 || บทนยิ าม และตัวอยาง ริงเปน โครงสรา งพีชคณติ ที่ประกอบดว ยเซตไมวางกบั การดำเนนิ การสองแบบ สจั พจนซง่ึ แสดงความสัมพันธระหวา งการดำเนินการสองแบบของริงเรยี กวาสมบัตกิ ารแจกแจง (distributive property) บทนยิ าม 4.1.1 รงิ (ring) หมายถงึ เซต R ̸= ∅ กับการดำเนนิ การทวภิ าค การบวก และการ คูณ เขียนแทนดว ย + และ · ตามลำดบั และมสี มบตั ิดงั น้ี (1) (R, +) เปนอาบีเลยี นกรุปการบวก (2) (R, ·) เปน ก่ึงกรุปการคณู (3) การคูณมสี มบตั แิ จกแจงบนการบวก นน่ั คือ สำหรับทุกสมาชิก a, b, c ∈ R a · (b + c) = a · b + a · c เรยี กวา การแจกแจงดา นซาย และ (a + b) · c = a · c + b · c เรยี กวา การแจกแจงดานขวา ใชสัญลกั ษณ (R, +, ·) แทน R เปน ริงกับการดำเนนิ การ + และ · ตอ ไปจะเขียน ab แทน a · b เอกลักษณของการบวกในกรุปสลับที่เรียกวา สมาชิกศนู ยของ ริง R ซ่ึงมีเพียงตัวเดียว แทนสมาชิกศูนยของริงดวย 0 สำหรับสมาชิกผกผันการบวกของ a ของอาบี เลียนกรุป (R, +) เหมอื นสมาชกิ ผกผันการบวกทวั่ ไป ซง่ึ เขยี นแทนดว ย −a ดังนน้ั ในริง R จะไดวา a + (−a) = 0 ทุกสมาชิก a ∈ R และ ถา a, b ∈ R เขียนแทน a + (−b) ดว ย a − b

88 บทที่ 4 รงิ ตวั อยาง 4.1.1 เมือ่ กำหนดการดำเนนิ การบวก และคณู ปกติ เซตตอไปนเ้ี ปน ริง Z : รงิ ของจำนวนเต็ม R : ริงของจำนวนจรงิ Q : รงิ ของจำนวนตรรกยะ C : ริงของจำนวนเชิงซอ น ตวั อยาง 4.1.2 (P(U ), ∆, ∩) เปน ริง เน่ืองจาก (P(U ), ∆)เปนอาบีเลียนกรปุ เม่อื ∆ คอื การดำเนินการผลตา งสมมาตร และ (P(U ), ∩) เปน กงึ่ กรุปสลบั ท่ี และจะได ∩ มสี มบัติแจกแจง ซา ยบน ∆ เพราะวา ถา ให A, B และ C เปน เซตยอยของ U แลว A ∩ (B∆C) = A ∩ [(B − C) ∪ (C − B)] = [A ∩ (B − C)] ∪ [A ∩ (C − B)] = [(A ∩ B) − (A ∩ C)] ∪ [(A ∩ C) − (A ∩ B)] = (A ∩ B)∆(A ∩ C) ดงั นนั้ ∩ มีสมบัติแจกแจงซายบน ∆ ตัวอยา ง 4.1.3 อาบีเลียนกรปุ A กับการบวก ซ่งึ นิยามการคณู ดงั นี้ ab = 0 สำหรบั ทกุ สมาชกิ a, b ∈ A เปน ริง และริง A ทน่ี ิยามนเ้ี รียกวา รงิ ชัด (trivial ring) ดงั นั้น นิยามรงิ ชัด คอื รงิ ซงึ่ ผลคูณของสอง สมาชกิ ใด ๆ เปน 0 ตวั อยา ง 4.1.4 ริงจำกัด คือ ริงที่มีจำนวนสมาชกิ จำกดั ตัวอยางท่ีสำคญั คือ Zn หรือ Z/(n) Zรงิ nขอ=งจ{ำ0น,ว1น,เ.ต.็ม. ,ม(อnด−โุ ล1n)}สมกาาชรบิกวขกอแงลZะnกาเรรคียณูกวในา ช้ันสวนตกคา ง (residue classes) นนั่ คอื Zn นิยามดังนี้ x + y = x + y , x · y = xy (อาจเขียน ·n, +n แทนการคูณ และการบวกมอดุโล n ตามลำดับ) ตรวจสอบสมบัตกิ ารแจกแจงซายของ · บน + มอดุโล n ไดดังน้ี

4.1 บทนิยาม และตวั อยาง 89 ให a¯, ¯b, c¯ ∈ Zn จะได a¯ ·n (¯b +n c¯) = a¯ ·n b + c = a · (b + c) =a·b+a·c = a · b +n a · c = (a¯ ·n ¯b) +n (a¯ ·n c¯) แสดงตัวอยางการบวก และการคณู ของ Z4 ดงั ตารางตอไปนี้ + 0123 · 0123 0 0000 0 0123 1 0123 1 1230 2 0202 2 2301 3 0321 3 3012 บทนยิ าม 4.1.2 ริงสลับท่ี (commutative ring) หมายถงึ รงิ R ที่การคูณมสี มบตั ิสลับที่ นัน่ คอื ab = ba สำหรบั ทุกสมาชิก a, b ∈ R ถาริงไมม สี มบัติสลับที่เรยี กวารงิ ไมสลบั ท่ี (non-commutative ring) ริงมีสมาชิกหนว ย (ring with unity) หมายถึง รงิ R ที่กง่ึ กรุปกบั การคูณ (R, ·) มี สมาชกิ เอกลกั ษณ นนั่ คอื มี e ∈ R ท่ี ae = a = ea สำหรับทกุ a ∈ R เรียกสมาชิก e วา สมาชิกหนวย (unity) หรอื สมาชิกเอกลักษณ (identity) ของ R โดยทว่ั ไป สมาชิกหนว ย หรือ สมาชกิ เอกลักษณเขยี นแทนดวย 1 ตวั อยาง 4.1.5 ให C[0, 1] คอื เซตของฟง กช นั ตอ เน่ืองทัง้ หมดจากชว งปด [0, 1] ไปยงั R นั่นคอื R{ f เปนฟงกช ันตอเนื่อง} C[0, 1] = f : [0, 1] → และ RX คือ เซตของฟงกชนั ท้งั หมดจากเซต X ̸= ∅ ไปยงั จำนวนจริง R น่ันคือ R RX = { : X → } f X ≠ ∅ นิยามการบวกในเซตท้ังสองนี้ คอื การบวกปกตขิ องการสง นนั่ คือ (f + g)(x) = f (x) + g(x)

90 บทที่ 4 รงิ และนยิ ามการคูณ คอื (f g)(x) = f (x)g(x) จะไดวา (C[0, 1], +, ·), (RX, +, ·) เปน รงิ สลับที่มีเอกลักษณ เอกลกั ษณในที่นี้คือ ฟงกช ันคงตัว Rf (x) = 1, ∀ x ∈ ตวั อยา ง 4.1.6 พจิ ารณาเซต R = { + √ a, b ∈ Z} และการดำเนินการคอื การบวกและ a b3 คูณมาตรฐานบนเซต R มีสมบัตปิ ด เพราะวา √√ √ (a + b 3) + (c + d 3) = (a + c) + (b + d) 3 ∈ R √√ √ (a + b 3) · (c + d 3) = (ac + 3bd) + (ad + bc) 3 ∈ R สามารถพิสจู นไดโดยงายวา (R, +, ·) เปนริงสลบั ทม่ี ีเอกลกั ษณคอื 1 = 1 + √ 03 ตัวอยาง 4.1.7 ให ZM2( ) แทนเซตของเมทรกิ ซข นาด 2 × 2 บน Z โดยนยิ ามของการบวกและ การคณู เมทริกซ จะไดวา Z(M2( ), +, ·) เปน ริง และไมเปน ริงสลับท่ีเนอื่ งจากกการคณู เมทริกซ ไมมสี มบตั ิสลบั ที่

4.2 สมบัตมิ ูลฐานของริง 91 4.2 || สมบตั มิ ูลฐานของริง ทฤษฎบี ท 4.2.1 ให R เปน รงิ แลว สำหรับทกุ สมาชกิ a, b, c ∈ R จะได (1) a0 = 0 = 0a (2) a(−b) = −(ab) = (−a)b (3) a(b − c) = ab − ac , (a − b)c = ac − bc การพิสูจน (1) เนื่องจาก a0 = a(0 + 0) = a0 + a0 ดงั นั้น a0 + (−(a0)) = a0 น่ันคือ 0 = a0 ในทำนองเดยี วกนั จะไดว า 0 = 0a (2) เนอื่ งจาก 0 = a0 = a(b + (−b)) = ab + a(−b) ดงั นนั้ −(ab) = a(−b) ในทำนองเดียวกันจะได −(ab) = (−a)b (3) จะได a(b − c) = a(b + (−c)) = ab + a(−c) = ab − ac ในทำนองเดียวกันจะได (a − b)c = ac − bc ให a1, a2, . . . , an เปน ลำดบั ของสมาชิกของรงิ R นิยามผลคูณแบบอปุ นยั ดงั น้ี ∏1 ai = a1, i=1 ( ) ∏n n∏−1 ai = ai an , n > 1 i=1 i=1 ทำใหเ ราสามารถพิสูจนทฤษฎบี ทตอไปนโ้ี ดยการอุปนัยบน m และ n ( )( ∏n ) = m∏+n ai สำหรบั ทกุ สมาชกิ a1, a2, . . . , am+n ใน ∏m ทฤษฎีบท 4.2.2 am+j ai รงิ R i=1 j=1 i=1 เรียกสมบัตนิ ้ีวา กฎนัยทัว่ ไปของการเปล่ียนกลมุ (generalized associative law) สำหรบั การคณู เปน การยืนยนั วาเราสามารถใชวงเล็บรูปแบบใดก็ไดในการคณู ไมทำใหคา เปลี่ยนไป กำหนด คาที่มีเพียงคา เดยี วของผลคณู ของลำดบั a1, a2, . . . , an ดวย a1a2 . . . an ในทำนองเดียวกันน้ีเรา สามารถนยิ ามผลบวกท่มี เี พยี งคาเดียวของลำดบั a1, a2, . . . , an และเขยี นแทนดวย a1+a2+· · ·+an ดงั นนั้ โดยการอปุ นัยบน m และ n สามารถพิสูจนก ฎนยั ทวั่ ไปของการเปลี่ยนกลุมตอไปน้ี

92 บทที่ 4 ริง ทฤษฎบี ท 4.2.3 (a1 + a2 + · · · + am)(b1 + b2 + · · · + bm) = a1b1 + a1b2 + · · · + a1bn + a2b1 + · · · + a2bn + · · · + amb1 + amb2 + · · · + ambn สำหรบั ทกุ สมาชกิ a1, a2, . . . , am และ b1, b2, . . . , bn ในริง R ถา a ∈ R และ m เปน จำนวนเต็มบวกแลวจะเขียนแทน m ครัง้ m ครง้ั am = a · a · · · · · a และ ma = a + a + · · · + a m คร้ัง ถา m เปน จำนวนเตม็ ลบ แลว จะเขยี นแทน ma ดวย (−a) + (−a) + · · · + (−a) ถา a มีตัวผกผนั a−1 ∈ R แลว เขยี นแทน a−m ดวย (a−1)m ถา 1 ∈ R แลว นยิ าม a0 = 1 และนิยาม 0a เปนสมาชิกศูนยของริง ทฤษฎีบท 4.2.4 สำหรับทุกจำนวนเตม็ บวก m และ n และทกุ สมาชิก a, b ในริง R ขอความตอ ไปน้เี ปน จรงิ (1) aman = am+n (2) (am)n = amn (3) ma + na = (m + n)a (4) m(na) = (mn)a (5) (ma)(nb) = (mn)(ab) = (na)(mb) การพสิ จู นทฤษฎีบท 4.2.4 ทำโดยการอปุ นยั บน m และ n ใหเปน แบบฝก หัดสำหรบั ผูอา น

4.3 ชนดิ ของริง 93 4.3 || ชนดิ ของริง บทนยิ าม 4.3.1 ริง R ท่ีมีสมาชกิ ท่ีไมเปนศนู ยประกอบกันเปนกรุปภายใตการคณู เรียกวา ริง การหาร (division ring) และถา R มีสมบตั ิการสลบั ทด่ี ว ย เรยี ก R วา ฟลด (field) ตวั อยางของฟลดไ ดแก จำนวนตรรกยะ Q, จำนวนจริง R, และ จำนวนเชงิ ซอน C ตวั อยา งของรงิ การหารทไ่ี มเปนฟล ด ไดแก ริงควอเทอรเ นียนของจำนวนจริง ตัวอยา ง 4.3.1 ให H เปน เซตของเมทริกซ 2 × 2 ท่ีอยูในรูป [ ] โดยที่ a, b เปน จำนวน- a b −b a เชงิ ซอ น และ สaำ,หbรแับทเมนทจำรนิกวซน Aเชงิ=ซอ [น−a[สbงั ยabุค]ข]ซอง่ึ งเปaน,เbมทตรากิมซลทำด่ีไมับเปแนลศวจนู ะยไ ดแวลาวจHะมเีดปีเนทรอิงรกมาิแรนหนาตร ไมสลับท่ี δ = aa + bb ̸= 0 และไดวา A−1 = a −b δ δ ba δδ บทนยิ าม 4.3.2 ริง R เรยี กวา อินทกิ รลั โดเมน (integral domain) ก็ตอเม่ือ สำหรับทุกสมาชกิ x, y ∈ R ถา xy = 0 แลว x = 0 หรือ y = 0 ริงของจำนวนเต็ม Z เปน อนิ ทิกรัลโดเมน ทุกฟลด และริงการหารเปนอินทิกรัลโดเมน กลา ว คอื เมือ่ ให F เปนฟลด และให xy = 0 ทุก x, y ∈ F ถา x ≠ 0 แลว x−1 หาคาได ดังนั้น x−1(xy) = 0 จะได y = 0 แตอนิ ทิกรลั โดเมนไมจำเปน ตอ งเปน ริงการหาร หรอื ฟลด ตวั อยางเชน ริง ของจำนวนเตม็ Z ไมเ ปน ทงั้ รงิ การหารและฟลด บทนิยาม 4.3.3 สมาชิก x ซ่งึ ไมเปนศูนยของริง R เรียกวา ตวั หารศนู ยทางขวา (right zero divisor) ถา มสี มาชกิ ทไี่ มเปน ศนู ย y ∈ R ซงึ่ yx = 0 เราสามารถนยิ ามตัวหารศนู ยทางซาย (left zero divisor)ไดในทำนองเดียวกัน ถา สมาชิก ของรงิ เปน ทัง้ ตวั หารศนู ยท างขวา และทางซายจะเรียกวา เปน ตัวหารศนู ย (zero divisor) ขอ สงั เกต ริง R เปนอนิ ทิกรลั โดเมน ก็ตอเมอ่ื ไมม ตี ัวหารศูนยท างขวา (หรอื ทางซาย) ยกเวน 0 ตัวอยา ง 4.3.2 พจิ ารณาเซต R = R × R ของคูอันดับจำนวนจริง นิยามการบวกและการคูณ ใน R ดังนี้ (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) และ (a, b) · (c, d) = (ac, bd)

94 บทที่ 4 ริง จะพบวา (R, +, ·) เปน ริงสลบั ที่ซ่ึงมี (1, 1) เปนเอกลักษณ ในท่นี ส้ี มาชิกศูนยค อื (0, 0) สงั เกตวา (1, 0) · (0, 1) = (0, 0) จะเห็นวา ผลคณู เปน ศนู ยโดยทงั้ (1, 0) และ (0, 1) ไมเปนสมาชิกศูนยข องรงิ ดงั น้ัน (1, 0) เปนตวั หารศนู ยทางซา ยของ (0, 1) ตัวอยาง 4.3.3 พจิ ารณารงิ (Z4, +4, ·4) การบวกและการคูณแสดงดังตารางตอ ไปน้ี +4 ¯0 ¯1 2¯ 3¯ ·4 ¯0 ¯1 ¯2 ¯3 ¯0 ¯0 ¯1 2¯ 3¯ ¯0 ¯0 ¯0 0¯ 0¯ 1¯ ¯1 ¯2 ¯3 ¯0 1¯ ¯0 ¯1 2¯ 3¯ ¯2 ¯2 3¯ 0¯ ¯1 2¯ 0¯ ¯2 ¯0 2¯ 3¯ 3¯ ¯0 ¯1 ¯2 ¯3 0¯ ¯3 ¯2 ¯1 จะได 2¯ ·4 ¯2 = 0¯ ผลคูณของสมาชกิ สองตวั ท่ีไมเปน ศนู ยไดเทากบั ศูนย น่ันคือ Z4 ไม เปนอนิ ทิกรัลโดเมน และอีกขอ สังเกต ¯2 ·4 1¯ = 2¯ ·4 ¯3 แต 1¯ ̸= ¯3 ดังนั้น กฎการตดั ออกสำหรับการ คณู ของ Z4 ไมเ ปนจริง ตวั อยา ง 4.3.4 รงิ เมทริกซ (The ring of matrices) ให R เปน ริง และให Rn เปนเซต ของเมทริกซ มิติ n × n บน R แลว Rn กบั การบวก และการคูณของเมทริกซเปนรงิ เรยี กวา ริงเมทรกิ ซ มติ ิ n × n บน R ถา n > 1 และ R ไมเ ปน ริงชัด แลว Rn ไมเปนรงิ สลบั ที่ เชน [] [] x 0 0 y a= 0 0 ,b = 0 0 , xy ≠ 0 ⇒ ab ≠ ba และไดวา ถา n > 1 แลว Rn มีตวั หารศูนย เชน [] [] แต 1 0 0 0 a= 0 0 ,b = 1 0 , ab = 0 a ̸= 0, b ̸= 0 นน่ั คือ Rn ไมเปน อนิ ทิกรัลโดเมน สมมติ R มีสมาชิกหนวยคือ 1 เขียน eij แทนเมทริกซใน Rn ทส่ี มาชกิ ในตำแหนง (i, j) เปน 1 และสมาชิกในตำแหนงอนื่ เปนศนู ยหมด เรียก eij, 1 ≤ i, j ≤ n วา เมทรกิ ซหนวย (units matrix) ตัวอยางเชน [ ] เปน เมทริกซหนว ยใน e11 = 1 0 R2 0 0 จากนยิ ามการคูณเมทริกซไดวา eijekl = 0 ถา j ̸= k และ eijejk = eik นัน่ คอื

4.3 ชนิดของรงิ 95  1, eij ekl = δj k eil เมื่อ δjk = 0, j = k เรยี กวา เดลตาโครเนคเกอร และยงั ไดวา ถา A = j ≠ k (aij) ∈ Rn แลว A สามารถเขียนในรปู ผลรวมเชงิ เสน ของ eij บน R ไดเพียงแบบเดียวเทา นั้น น่นั คือ ∑ A= aijeij , aij ∈ R 1≤i,j≤n ซงึ่ การแทนเมทริกซในรปู ผลรวมเชงิ เสนของเมทรกิ ซหนว ยเปน เครอื่ งมือท่ีใหความสะดวกในการ ดำเนนิ การทางพีชคณิต ให S เปน เซตของเมทรกิ ซ n × n ซ่งึ สมาชกิ ท่ีอยูใตเสนทแยงมุมหลักท้ังหมดเปน ศนู ย นั่นคอื S ประกอบดว ยเมทริกซดังน้ี a11 a12 . . . a1n  0... a2... 2 .. . . a2...n , aij ∈ R . . 0 0 . . . ann แลว S เปน ริงกบั การบวกและการคูณของเมทรกิ ซเรียกวา ริงเมทรกิ ซสามเหล่ียมบน (upper triangular matrices) ในทำนองเดยี วกันเราสามารถนยิ าม รงิ เมทรกิ ซสามเหล่ยี มลาง (lower triangular matrices) ตัวอยาง 4.3.5 รงิ พหนุ าม (The ring of polynomials) ให R เปนรงิ และพหนุ ามทม่ี สี มั ประสิทธ์ใิ น R มรี ูปแบบของสมาชกิ คือ a0 + a1x + a2x2 + · · · + amxm , ai ∈ R พหุนาม a0 + a1x + a2x2 + · · · + amxm และ b0 + b1x + b2x2 + · · · + bnxn เปน พหนุ ามท่ีเทา กนั ก็ตอเม่ือ m = n และ ai = bi สำหรับทุก i การบวกและการคูณพหุนามนยิ ามดงั น้ี ให f (x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + amxm , g(x) = b0 + b1x + b2x2 + · · · + bnxn จะได f (x) + g(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x2 + . . . f (x)g(x) = c0 + c1x + c2x2 + · · · + cm+nxm+n , เมื่อ ci = ∑ ajbk, 0 ≤ i ≤ m + n j+k=i อีกวิธหี นง่ึ อาจจะพจิ ารณา a0 + a1x + a2x2 + · · · + amxm, ai ∈ R ในรูปของลำดบั (a0, a1, . . . , am, 0, 0, . . . ), ai ∈ R นน่ั คอื ฟงกชัน f : R∞ → R โดยที่ f(i) = ai−1, 1 ≤ i ≤ m + 1 และ f (i) = 0, i > m + 1 ให b0 + b1x + b2x2 + · · · + bnxn, bi ∈ R เปน อีกพหุนามหนงึ่ และให g : R∞ → R เฟปงนกฟช นังกfช นั แทล่ี ะg(gi)น=ยิ ามbiเ−ป1น ,ก1าร≤บวiก≤ขอnงฟ+ง ก1ช นั แปลกะตgิ ก(iล)า=วคือ0,(if>+ ผลบวก ของ n+1 f +g หรือ g)(i) = f (i) + g(i)

96 บทที่ 4 รงิ สมมลู กับ (a0+a1x+a2x2+· · ·+amxm)+(b0+b1x+b2x2+· · ·+bnxn) = (a0+b0)+(a1+b1)x+(a2+b2)x2+. . . ผลคณู ของฟงกชนั f และ g นยิ ามเปนฟงกช ัน h คอื h(i) = ∑ f(j)g(k), i ∈ N หรือ สมมูลกับ j+k=i+1 (a0 + a1x + a2x2 + · · · + amxm)(b0 + b1x + a2x2 + · · · + bnxn) = c0 + c1x + · · · + cm+nxm+n โดยที่ ci = ∑ ajbk j+k=i ตอไปจะแสดงวา เซตของพหุนาม (หรือ ลำดบั ท่ีมีสมาชกิ ไมเปนศูนยเปน จำนวนจำกดั ) มีสมบัติ เปน รงิ เรียกวา ริงพหุนาม (polynomial ring) บน R เขียนแทนดว ย R[x] และการสง a → (a, 0, 0, . . . ) ของริง R ไปยงั รงิ R[x] คงสภาพการดำเนนิ การทวภิ าค น่นั คือ ถา b → (b, 0, 0, . . . ) แลวจะได a + b → (a + b, 0, 0, . . . ) = (a, 0, 0, . . . ) + (b, 0, 0, . . . ) ab → (ab, 0, 0 . . . ) = (a, 0, 0, . . . )(b, 0, 0, . . . ) และไดวาการสงเปนแบบ 1 − 1 ดงั นั้น สมาชกิ a ∈ R สมนัยกับลำดบั (a, 0, 0, . . . ) ∈ R[x] จงึ ไดว า R เปน ริงยอ ยของ R[x] ถา สมมติ 1 ∈ R และเขียน x แทนลำดบั (0, 1, 0, 0, . . . ), x2 = (0, 0, 1, 0, . . . ),x3 = (0, 0, 0, 1, 0, . . . ) และตอ ไปเร่อื ย ๆ พิจารณาลำดับ (a0, a1, . . . , an, 0, . . . ) ซึง่ มีสมาชกิ ท่ไี มเปน ศนู ยจำนวนจำกดั พบวา (a0, a1, . . . , an, 0, . . . ) = (a0, 0, . . . ) + (0, a1, 0, . . . ) + · · · + (0, . . . , 0, an, 0, . . . ) = a0 + a1x + · · · + anxn ไดผลลพั ทเหมือนกบั พหุนามของ x เรียก x วา เปน ตัวยงั ไมกำหนด (indeterminate) และเปน พหนุ ามใน R[x] ซ่ึงเปน พหนุ ามในตวั ยังไมกำหนด x บน R ซงึ่ มักจะเรียกวาพหุนามในตวั แปร x ตวั อยาง 4.3.6 รงิ อันตรสณั ฐานของอาบเี ลียนกรปุ (Rings of endomorphisms of an abelian group) ให M เปนอาบีเลยี นกรุปกับการบวก ให End(M) หรอื Hom(M, M) แทนเซตของ อันตรสัณฐานของกรุป M ไปยงั ตวั เอง นิยามการบวก และการคณู ใน End(M) ดังตอ ไปนี้ (1) (f + g)(x) = f (x) + g(x) (2) (fg)(x) = f (g(x)) สำหรบั ทกุ สมาชิก f, g ∈ End(M) และ x ∈ M แสดงไดวา เซต End(M) กับการ ดำเนนิ การทวภิ าคของการบวก และการคูณเปนริง

4.3 ชนดิ ของรงิ 97 อันดบั แรกแสดงวา ถา สมาชิก f, g ∈ End(M) แลวจะไดว า f + g ∈ End(M) และ f g ∈ End(M ) ให x, y ∈ M ดังนั้น (f + g)(x + y) = f (x + y) + g(x + y) โดย (1) = [f(x) + f(y)] + [g(x) + g(y)] เพราะวา f และ g เปนสาทสิ สณั ฐาน = [f(x) + g(x)] + [f(y) + g(y)] เพราะวา M เปน อาบเี ลียนกรุป = (f + g)(x) + (f + g)(y) โดย (1) นัน่ คอื f + g ∈ End(M) และไดวา (f g)(x + y) = f (g(x + y)) โดย (2) = f [g(x) + g(y)] เพราะวา g เปนสาทิสสัณฐาน = f (g(x)) + f (g(y)) เพราะวา f เปนสาทิสสณั ฐาน = (f g)(x) + (f g)(y) โดย (2) ซึง่ แสดงวา fg ∈ End(M) และสามารถแสดงไดวา การสง 0 และการสง 1 ที่นิยามดงั ตอ ไปน้ีอยู ในอันตรสัณฐานของ M 0 : x → 0, ∀x ∈ M เรียกวา อนั ตรสัณฐานศนู ยของ M และ 1 : x → x, ∀x ∈ M เรียกวา อันตรสัณฐานเอกลักษณข อง M ถา f ∈ End(M) นิยาม −f เปน การสง ท่ีกำหนดโดย (−f)(x) = −f(x) สำหรบั ทุกสาชิก x ∈ M ดังนนั้ −f ∈ End(M) เพราะวาสำหรับแตละ x, y ∈ M จะได (−f )(x + y) = −[f (x + y)] = −[f (x) + f (y)] = −f (x) − f (y) = (−f )(x) + (−f )(y) เหน็ ชดั วา f + 0 = f และ f + (−f) = 0 สำหรบั ทกุ สมาชกิ f ∈ End(M) นอกจากน้ี โดยการดำเนนิ การแบบเดียวกันน้ีจะไดวา สำหรับทุก f, g, h ∈ End(M) (f + g) + h = f + (g + h) f +g=g+f (f g)(h) = f (gh) (f + g)h = f h + gh f (g + h) = f g + f h ดงั น้นั (End(M), +, ·) เปนริง

98 บทท่ี 4 รงิ ตัวอยา ง 4.3.7 ริงบูลนี (Boolean ring) ให A ≠ ∅ และ B = P(A) ถา a, b ∈ B นิยาม a + b = (a ∪ b) − (a ∩ b) และ ab = a ∩ b ดงั น้ัน (B, +, ·) เปน รงิ สลบั ที่มีเอกลกั ษณ ซึ่งเอกลกั ษณคือ เซต A นน่ั เอง สมาชิกศูนยของริง B คอื เซตวาง สมบัตทิ ่สี ำคัญบางประการของรงิ B คอื (1) a2 = a (2) 2a = 0 สำหรับทกุ a ∈ B ริง R เรยี กวา ริงบูลีน ก็ตอ เมือ่ x2 = x สำหรับทกุ x ∈ R และสามารถแสดงไดวา ถา x2 = x สำหรับทุก x ∈ R แลว 2x = 0

4.4 ริงยอย และ ลักษณะเฉพาะของรงิ 99 4.4 || ริงยอ ย และ ลกั ษณะเฉพาะของรงิ บทนยิ าม 4.4.1 ให (R, +, ·) เปน ริง และ ให S ̸= ∅ เปน เซตยอยของ R แลว S เรียกวา รงิ ยอ ย (subring) ก็ตอ เม่อื (S, +, ·) เปน รงิ ขอสงั เกต การบวกและการคณู ของสมาชกิ ใน S เหมือนกนั กบั การบวกและการคูณของสมาชิกในริง R สำหรบั รงิ ยอ ยของริงการหาร และฟลดยอ ย สามารถนิยามไดใ นทำนองเดยี วกนั น้ี ทุกริงมรี ิงยอยชดั คอื 0 และ R ให R เปนริง แลว รงิ ยอ ยของ R อาจจะมสี มาชกิ หนว ยทต่ี าง จากสมาชิกหนว ยของ R ทฤษฎีบทตอ ไปน้ใี ชท ดสอบการเปน รงิ ยอย ทฤษฎบี ท 4.4.1 เซตยอ ย S ≠ ∅ ของรงิ R เปน รงิ ยอย ก็ตอ เม่อื สำหรบั ทกุ สมาชิก a, b ∈ S จะไดว า a − b ∈ S และ ab ∈ S การพสิ จู น เง่อื นไข a − b ∈ S สำหรับทุกสมาชกิ a, b ∈ S ทำใหไดวา (S, +) เปนกรปุ ยอ ยกบั การบวกของกรุป (R, +) เงอ่ื นไข ab ∈ S สำหรบั ทกุ สมาชิก a, b ∈ S ทำใหไดวา (S, ·) เปนกึง่ กรุป เพราะวา กฎการแจกแจงเปน จริงใน R ดงั นั้นจงึ เปนจริงใน S ดวย นั่นคอื (S, +, ·) เปนริง ยอยของ (R, +, ·) สำหรบั บทกลับเปนจรงิ โดยนิยามของริงยอย บทนยิ าม 4.4.2 ให R เปนริง แลวจะไดวาเซต Z(R) { ∈ R xa = ax สำหรบั ทุก x ∈ } =a R เรยี กวา ศูนยกลาง (center) ของริง R ทฤษฎีบท 4.4.2 ศูนยกลางของรงิ เปนริงยอย การพสิ ูจน ให R เปน รงิ เขียนแทน Z(R) = S เน่ืองจาก 0 ∈ S ดังนนั้ S ̸= ∅ ให a, b ∈ S และ x ∈ R จะไดว า (a − b)x = ax − bx = xa − xb = x(a − b) ดงั นั้น a − b ∈ S และจะไดวา (ab)x = a(bx) = a(xb) = (ax)b = (xa)b = x(ab) ดังนน้ั ab ∈ S เพราะฉะนัน้ โดยทฤษฎบี ท 4.4.1 จะได S เปนรงิ ยอ ยของ R

100 บทท่ี 4 ริง บทนยิ าม 4.4.3 ให S เปน เซตยอ ยของริง R แลว ริงยอ ยท่ีเล็กสดุ ของ R ทบ่ี รรจุ S เรยี กวา ริง ยอยกอ กำเนดิ โดย S (the subring generated by S) เนอื่ งจากอนิ เตอรเซกชันของวงศของรงิ ยอ ยเปนริงยอ ย ดงั น้ัน จงึ ไดวา รงิ ยอ ยที่กอ กำเนิด โดยเซตยอย S ของ R คอื อนิ เตอรเ ซกชันของริงยอยท้งั หมดของ R ที่บรรจุ S เหน็ ชัดวา รงิ ยอ ยที่กอกำเนดิ โดยเซตวาง คอื (0) และริงยอ ยท่ีกอ กำเนิดโดยสมาชกิ a ใน R ประกอบดว ยสมาชกิ ทีอ่ ยใู นรปู n1a + n2a2 + · · · + nkak, ni ∈ Z และ k เปนจำนวนเต็มบวก ตอไปจะนิยามลักษณะเฉพาะของริง บทนิยาม 4.4.4 ถามีจำนวนเต็มบวก n ซ่ึง na = 0 สำหรบั ทุกสมาชกิ a ของริง R แลว จำนวนเตม็ บวกที่นอยทส่ี ดุ ท่ีมีสมบัติดงั กลาว เรียกวาลักษณะเฉพาะ (characteristic) ของ R ถาไมม ีจำนวนเต็มบวกดงั กลา ว เรยี กวา R มีลกั ษณะเฉพาะเปน ศนู ย (zero) ลกั ษณะเฉพาะของ R เขยี นแทนดวย char R ตวั อยางเชน รงิ ของจำนวนเตม็ มีลกั ษณะเฉพาะเปนศนู ย ริง Z/(n) ของจำนวนเตม็ มอดโุ ล n มลี ักษณะเฉพาะเปน n ทฤษฎีบท 4.4.3 ให F เปนฟลด แลวลักษณะเฉพาะของ F เปน 0 หรือจำนวนเฉพาะ p การพสิ จู น ให n ̸= 0 เปน ลกั ษณะเฉพาะของ F ถา e เปน เอกลกั ษณข อง F แลว ne = 0 ถา ให n = n1n2 โดยท่ี n1 < n, n2 < n ดังนัน้ (n1n2)e = 0 ทำใหได (n1e)(n2e) = 0 แต เน่อื งจาก F เปนฟลด ดังนัน้ n1e = 0 หรอื ไมก็ n2e = 0 นน่ั คอื n1ea = 0 ซ่ึงก็คือ n1a = 0 หรอื ไมก็ n2ea = 0 นน่ั คือ n2a = 0 สำหรบั ทกุ สมาชกิ a ∈ F ดังนน้ั ลกั ษณะเฉพาะของ F คือ คาท่ีนอ ยกวาหรอื เทา กบั max(n1, n2) ซึ่งมีคานอ ยกวา n เกิดขอ ขัดแยงกบั การเปน ลักษณะ เฉพาะ น่ันคอื n เปน จำนวนเฉพาะ บทนิยาม 4.4.5 สมาชิก a ในรงิ R เรียกวา นิรพล (nilpotent) เมือ่ มีจำนวนเตม็ บวก n ที่ an = 0 [] 0 เปนนริ พลเสมอ สมาชิก 0 1 ในริงเมทรกิ ซ เปน นริ พล เพราะวา 00 [ ]2 [] 01 = 00 00 00

4.4 ริงยอ ย และ ลักษณะเฉพาะของรงิ 101 ถา R เปนอนิ ทิกรลั โดเมน แลว R ไมม สี มาชิกที่ไมเปนศนู ยเปนสมาชิกนริ พล เพราะวา ถา 0 ̸= a ∈ R จะไดวาถา an = 0 แลว a · an−1 = 0 ดังนนั้ an−1 = 0 โดยการทำซ้ำ จะได a = 0 เกิดขอ ขัดแยง บทนิยาม 4.4.6 สมาชิก e ในรงิ R เรยี กวาเปนนจิ พล (idempotent) ก็ตอเมอื่ e = e2 เห็นชัดวา 0 เปน สมาชกิ นิจพลของริง R และ ถา R มสี มาชกิ หนว ย 1 ก็จะเปนสมาชิกนิจพล หมายเหตุ ในบทความวิจัย \"On weak δ−rigid rings.\" Sarapee Chairat and Putinun Rattakam [22] ไดใหนยิ าม δ-ริจิดริงออน (weak δ-rigid ring) ดว ยเซตของสมาชกิ นิรพลทั้งหมดของริง R แทนดว ย nil(R) และมี δ เปนอนุพนั ธ (derivation) ของรงิ R ดงั นี้ ริง R เรยี กวา δ-ริจิดรงิ ออน เมื่อ aδ(a) ∈ nil(R) ⇐⇒ a ∈ nil(R) จากการใหนยิ ามนี้ ทำใหไดสมบตั ิตา ง ๆ ของเซต nil(R) ตวั อยางเชน ถา S เปน รงิ ยอ ยแลวจะไดวา nil(S) = nil(R) ∩ S ซงึ่ ไดพสิ จู นไวใน บทความวิจยั ดงั กลาว บทนยิ าม 4.4.7 ให A เปน ริงใด ๆ และให F เปน ฟล ด แลวกลา ววา A เปน พีชคณติ (algebra) บน F เม่ือมีการสง (α, x) → αx ของ F × A ไปยัง A ทีม่ ีสมบตั ิดังน้ี (1) (α + β)x = αx + βx, α, β ∈ F, x ∈ A (2) α(x + y) = αx + αy, α ∈ F, x, y ∈ A (3) (αβ)x = α(βx), α, β ∈ F, x ∈ A (4) 1x = x, 1 ∈ F, x ∈ A (5) α(xy) = (αx)y = x(αy), α ∈ F, x, y ∈ A สมาชกิ αx เรียกวา ผลคณู สเกลาร (scalar multiplication) ของ α และ x ฟล ด F ใด ๆ เปน พีชคณติ บนตัวเองโดยนยิ ามผลคณู สเกลารเปน ผลคูณของสมาชกิ ใน F ฟลดของจำนวนจริง R เปนพชี คณิตบนฟลดของจำนวนตรรกยะ Q และรงิ พหุนาม R[x] เปน พชี คณิตบนฟล ด R ตอ ไปจะศึกษาแนวคดิ ของผลคณู ตรง และผลบวกตรงของวงศของริง และนำเสนอตัวอยา งท่ี นาสนใจ ซึ่งมนี ยิ ามดังตอ ไปน้ี ให Ri, i = 1, 2, . . . เปน วงศข องรงิ สรา งริงใหมจากวงศน้ดี ังตอ ไปน้ี

102 บทท่ี 4 รงิ พิจารณาเซต R = { a2, . . . ) ai ∈ } ของลำดับ (a1, a2, . . . ) ซึ่งเขยี นแทนดว ย (ai) นยิ าม (a1, Ri การดำเนินการทวิภาคบน R ดงั ตอ ไปน้ี (a1, a2, . . . ) + (b1, b2, . . . ) = (a1 + b1, a2 + b2, . . . ) (a1, a2, . . . )(b1, b2, . . . ) = (a1b1, a2b2, . . . ) แสดงไดว า R เปนริง รงิ R เรยี กวา ผลคณู ตรง (direct product) ของรงิ Ri, i = 1, 2, . . . และเขยี นแทน ดวย ∏ โดยแตละริง Ri เรยี กวา ริงตวั ประกอบ (component rings) ของผลคณู ตรง และถา Ri i (a1, a2, . . . , ai, . . . ) ∈ R เรียก ai วาตวั ประกอบที่ i ของสมาชกิ การบวกและการคูณใน R ใชวิธี บวกและคณู ของรงิ ตวั ประกอบ สมาชิกศนู ยของ R คอื สมาชกิ ซงึ่ ตัวประกอบท่ี i เปน ศูนยของ Ri สำหรบั ทุก i = 1, 2, . . . และ R จะมีสมาชิกหนว ย ถาทกุ Ri มสี มาชกิ หนวย เซต Ri∗ ของสมาชกิ ทีอ่ ยใู นรูป (0, 0, . . . , 0, a, 0, . . . ) ของ R เปนรงิ ยอ ยของ R พจิ ารณาเซตยอ ย S ของ R ซึ่งถา (ai) ∈ S ซ่ึงมีสมาชิกเปนจำนวนจำกัดของตัวประกอบ ของ (ai) ท่ีไมเ ปนศนู ย แลว จะแสดงไดว า S เปนริงยอยของ R เรียกริง S วา ผลบวกตรง (direct sum) ของวงศ Ri, i = 1, 2, . . . เขยี นแทนดว ย ∑ ถา มีวงศของริง Ri เปนอนันต แลว ∑ จะ ⊕ Ri ⊕ Ri ไมมสี มาชิกหนวยถงึ แมแ ตล ะ Ri จะมสี มาชิกหนi วย i ขอสงั เกต ถามวี งศของริง Ri จำกดั แลว ผลคูณตรง และผลบวกตรงจะเหมอื นกนั ตัวอยาง 4.4.1 ให R เปนริง และให x ∈ R ถามีสมาชิก a ∈ R เพียงตวั เดยี วท่ี xa = x แลว ax = x และถามสี มาชกิ หนวยทางขวา e เพียงตัวเดยี ว แลวจะไดวา e เปนสมาชิกหนว ยของ R วธิ ที ำ เห็นชัดวา x(a + ax − x) = x ดังน้นั a + ax − x = a นั่นคือ ax = x ตวั อยาง 4.4.2 ให x เปนสมาชิกที่ไมเปนศูนยของรงิ R ท่ีมีสมาชกิ หนว ย 1 ถามี y ∈ R เพียง ตัวเดียวท่ี xyx = x แลว จะได xy = 1 = yx นัน่ คือ x หาตวั ผกผนั ไดใ น R

4.4 ริงยอ ย และ ลักษณะเฉพาะของรงิ 103 วิธีทำ ให xr = 0, r ∈ R จะไดวา x(y + r)x = x ดงั นัน้ y + r = y ทำใหได r = 0 น่นั คือ ถา xr = 0 แลว ไดวา r = 0 ดังน้นั จาก xyx = x แลวจะไดวา x(yx − 1) = 0 ดงั นน้ั yx − 1 = 0 ในทำนองเดยี วกันจะได xy − 1 = 0 ตวั อยา ง 4.4.3 ให R เปนริงท่ีมีสมาชิกมากกวา หนึ่งสมาชกิ ถา ax = b มีคำตอบสำหรับทุก สมาชิกท่ไี มเ ปนศูนย a ∈ R และ b ∈ R แลว จะไดว า R เปน รงิ การหาร วิธีทำ อันดบั แรกจะแสดงวา R เปน อนิ ทิกรลั โดเมน สมมติให a ≠ 0, b ≠ 0 แต ab = 0 แลว จะได abx = 0 สำหรับทุก x ∈ R โดยสมมตฐิ าน สำหรับทกุ c ∈ R, bx = c มีคำตอบ น่นั คือ ac = 0 สำหรบั ทุก c ∈ R เพราะวา มีบางสมาชกิ c ∈ R ที่ ac = a จะไดวา a = 0 เกิดขอ ขดั แยง ดงั นนั้ R เปน อนิ ทกิ รัลโดเมน ตอไปให x = e ∈ R เปนคำตอบของ ax = a, a ̸= 0 ดงั นนั้ e ≠ 0 และ a(e−e2) = 0 ซ่ึงทำใหไ ดว า e − e2 = 0 ดังนน้ั e เปน นิจพลทีไ่ มเ ปน ศนู ย ขอ คาดการณ e เปนสมาชกิ เอกลักษณใ น R สำหรบั ทกุ x ∈ R จะไดวา (xe − x)e = xe2 − xe = 0 ดงั น้ัน xe − x = 0 นั่น คอื xe = x ในทำนองเดยี วกันจาก e(ex − x) = 0 ทำใหไ ดว า ex = x ซงึ่ เปน การพิสจู นขอ คาด การณ ดงั นัน้ ถา 0 ̸= a ∈ R แลวจะมี b ∈ R ท่ี ab = e และไดวา (ba − e)b = bab − b = 0 ดังน้ัน ba = e เปน การพิสจู นว า สมาชิกท่ีไมเปนศนู ย a ∈ R มีตวั ผกผนั ตัวอยา ง 4.4.4 ให R เปน รงิ ที่ x3 = x สำหรับทุก x ∈ R แลว R มีสมบัตสิ ลับที่ วิธีทำ จากสมมตฐิ าน x3 = x สำหรบั ทุก x ∈ R ทำใหไดวา (x + x)3 = (x + x) สำหรับทกุ พxจิ ∈ารRณาดงัSนน้ั=6{x3x= 0xส∈ำหRรบั }ทตกุ รxวจ∈สอRบไแดลวะา (x2 − x)3 = x2 − x ทำใหไ ด 3x2 = 3x S เปนรงิ ยอยของ R และสำหรบั y ∈S ไดวา y2 = (3x)2 = 9x2 = 6x2 + 3x2 = 3x2 = 3x = y ดงั นั้น y2 = y สำหรบั ทกุ y ∈ S นัน่ คือ S มีสมบตั ิสลบั ที่ ดงั นน้ั (3x)(3y) = (3y)(3x) น่นั คอื 9xy = 9yx ซึง่ ทำใหได 3xy = 3yx และจาก (x + y)3 = x + y จะได xy2 + x2y + xyx + yx2 + yxy + y2x = 0 (4.1)

104 บทท่ี 4 รงิ และจาก (x − y)3 = x − y จะได (4.2) xy2 − x2y − xyx − yx2 + yxy + y2x = 0 (4.3) (4.4) โดยการบวก (4.1) กับ (4.2) จะได 2xy2 + 2yxy + 2y2x = 0 คณู สมการสดุ ทา ยนี้ดวย y ทง้ั ดานขวา และดา นซา ย จะได 2xy + 2yxy2 + 2y2xy = 0 2yxy2 + 2y2xy + 2yx = 0 ลบสมการ (4.3) กบั (4.4) จะได 2xy = 2yx เพราะวา 3xy = 3yx เราจะไดว า xy = yx สำหรับทกุ x, y ∈ R ดงั น้ัน R มสี มบัติสลับที่ ขอสังเกต จากบทนยิ าม 4.4.7 พชี คณติ ของรงิ A บนฟลด F เมื่อแทนริง A ดวยอาบีเลียนกรปุ M และแทนนฟล ด F ดวยริง R จะไดโ ครงสรา งพีชคณติ ทีเ่ รยี กวา R−มอดูลซา ย (left R−module) น่นั คอื M เปน มอดูลซายบนรงิ R เมอื่ มกี ารสง จาก R × M ไปยงั M ทีม่ ีสมบตั ิดังนี้ (1) (α + β)x = αx + βx, α, β ∈ R, x ∈ M (2) α(x + y) = αx + αy, α ∈ R, x, y ∈ M (3) (αβ)x = α(βx), α, β ∈ R, x ∈ M (4) 1x = x, 1 ∈ R, x ∈ M (5) α(xy) = (αx)y = x(αy), α ∈ R, x, y ∈ M และสามารถนิยาม R−มอดูลขวา (right R−module) ไดในทำนองเดยี วกัน ถา M เปน ทง้ั R−มอ ดลู ซาย และR−มอดลู ขวา จะเรยี ก M วา มอดลู (module) จากโครงสรา งของมอดูลดงั กลา ว ไดมีการศกึ ษาและวจิ ยั อยางกวา งขวาง ซงึ่ ผูเขยี นไดศึกษา และวจิ ยั เก่ียวกับโครงสรางของมอดลู ดังบทความวจิ ัย [5], [7], [8], [15], [17] แบบฝกหดั 4.1 1. ให S = C[0, 1] เปน เซตของฟง กช นั คาจรงิ ตอเนือ่ งนยิ ามบนชวงปด [0, 1] ซึ่งนิยาม f + g และ f g โดย (f + g)(x) = f (x) + g(x) และ (f g)(x) = f (x)g(x) ให 0 และ 1 เปน ฟงกช ันคงท่ี 0 และ 1 ตามลำดบั จงแสดงวา

4.4 ริงยอย และ ลกั ษณะเฉพาะของริง 105 1.1) (S, +, ·) เปน รงิ สลับท่มี ีสมาชกิ หนว ย 1.2) S มีตัวหารของศูนยทไ่ี มเปนศูนย 1.3) S ไมม ีนจิ พลที่ไมเ ทากับ 0 และ 1 { } f f (a) = 0 1.4) ให a ∈ [0, 1] แลวจะไดวา T = ∈S เปนรงิ ยอยท่ี fg, gf ∈ T สำหรบั ทกุ f ∈ T และ g ∈ S 2. ให R เปน อินทกิ รัลโดเมน และ a, b ∈ R ถา am = bm, an = bn และ (m, n) = 1 จงแสดงวา a=b 3. 3.1) จงแสดงวา ขอ ตอไปน้เี ปนริงยอ ยของ C {√ Z} (1) A = {a + b −1 a, b ∈ Z หรอื (2) √ a, b ∈ เปนครึง่ หน่ึงของจำนวนเตม็ ค่ี} B = a + b −3 a และ b เรียกเซต A วาจำนวนเตม็ เกาส (Gaussian integers) { } 3.2) ให e เปนนิจพลในรงิ R จงแสดงวาเซต eRe = eae a ∈ R เปนริงยอ ยของ R ท่มี ีสมาชกิ หนว ย e 4. จงแสดงวา อินทกิ รัลโดเมนไมม สี มาชกิ นจิ พลยกเวน 0 และ 1 ( ถามี 1 ) 5. 5.1) จงหาสมาชกิ นิจพล นริ พล และ ตวั ผกผัน ของรงิ ตอ ไปน้ี (1) Z/(4) (2) Z/(20) 5.2) จงแสดงวาเซตของสมาชกิ หนว ย U(R) ของรงิ R ซึ่งเปนริงมีสมาชกิ หนว ย เปนกรุปกบั การคณู 5.3) จงพสิ ูจนวา สมาชกิ x ∈ Z/(n) หาตัวผกผนั ได ก็ตอ เม่ือ (x, n) = 1 และจงแสดงวา ถา (x, n) = 1 แลว xϕ(n) ≡ 1บ(นmZodซn่งึ อ)ยเมใู นือ่ รูปϕ([na) เbป]น จฟงงแกสช ดันงวอาอยเลอร 6. ให S เปน เซตของเมทรกิ ซ 2 × 2 0 c 6.1) S เปนริง ] [ b]k [ ⋆ 6.2) a c = ak ck เมอื่ ⋆ แทนจำนวนเตม็ 0 0 และจงหา สมาชิกนจิ พล และ นริ พล ของ S และแสดงวา เซตของสมาชิกนริ พลเปนริงยอ ย 7. ถา a และ b เปนสมาชิกนิรพล ของรงิ สลับท่ี จงแสดงวา a + b เปน นิรพล และยกตัวอยางเพื่อที่ จะแสดงวา อาจจะไมจ ริงถา รงิ ไมม ีสมบัตสิ ลบั ที่

106 บทที่ 4 ริง 8. ให R เปนริง จงแสดงวาขอ ความตอ ไปนีส้ มมูลกัน 8.1) R ไมม ีสมาชิกนิรพลทไ่ี มเ ปนศนู ย 8.2) ถา a ∈ R ซง่ึ a2 = 0 แลว a = 0 นอกจากนีจ้ งแสดงวา ภายใตเ งอื่ นไข (8.1) หรือ (8.2) สมาชิกนจิ พลเปนศูนยกลาง 9. จงแสดงวา ลักษณะเฉพาะของอินทกิ รัลโดเมนเปน 0 หรือ เปนจำนวนเฉพาะ 10. 10.1) ถา ริง R ท่ีมี 1 มีลกั ษณะเฉพาะเปน 0 จงแสดงวา R บรรจุริงยอยที่สมนัยแบบ 1 − 1 และทัว่ ถงึ กับ R [ เรียกรงิ ยอ ยนวี้ า รงิ ยอยเฉพาะ (prime subring) ของ R] { } 10.2) ให S = 0, 2, 4, 6, 8 จงแสดงวา S เปน รงิ ยอยของ Z10 ท่ีมีสมาชกิ หนวยแตกตางจาก สมาชิกหนว ยของ Z10 11. จงแสดงวา อินทิกรัลโดเมนจำกัดเปนรงิ การหาร 12. ถา x4 = x สำหรับทุกสมาชิก x ในริง R จงแสดงวา R เปน ริงสลับที่ 13. ให a เปน สมาชกิ ในรงิ R ท่ีมีสมาชิกหนว ย ถามีสมาชิกผกผนั u ∈ R ท่ี aua = a จงแสดงวา ab = 1 สำหรับบางสมาชิก b ∈ R ทำใหไ ดวา ba = 1 14. ให R เปน รงิ ท่มี ีสมาชิกหนว ยซงึ่ สำหรับทุก a ∈ R มี x ∈ R ที่ a2x = a จงพิสูจนข อความตอ ไปนี้ 14.1) R ไมม ีสมาชกิ นริ พลที่ไมใชศูนย 14.2) axa − a เปนนริ พล และ ดังนนั้ axa = a 14.3) ax = xa 14.4) ax และ xa เปน นิจพลในศูนยกลางของ R 14.5) มี y ∈ R ที่ a2y = a, y2a = y และ ay = ya 14.6) aua = a เมอ่ื u = 1 + y − ay หาตวั ผกผันได และ y ∈ R มีสมบตั ิเหมอื นขอ กอ นหนา น้ี 15. ให R เปนริงทีม่ ีเอกลักษณดานซา ย e สมมตวิ าสำหรับแตละสมาชกิ ท่ีไมเปนศูนย a ∈ R แลวมี สมาชกิ b ∈ R ท่ี ab = e จงพิสูจนวา R เปนริงการหาร

4.5 ไอดีล และสาทสิ สณั ฐาน 107 4.5 || ไอดลี และสาทิสสณั ฐาน แนวคดิ ของโครงสราง ไอดลี ในรงิ คลายกับ กรุปยอ ยปรกติ ในกรุป ริงมอดุโลไอดีลเปน โครงสรา งท่ีมีรปู แบบบัญญตั เิ หมอื นกรุปมอดโุ ลกรปุ ยอยปรกติ และสมบัติของไอดลี ใน สาทสิ สัณฐานระ หวางริง คลา ยกับสมบตั ิของกรปุ ยอ ยปรกติใน สาทสิ สัณฐานระหวา งกรปุ ดังนั้น การพิสจู นทฤษฎีบท เกีย่ วกับผลบวกตรงของไอดีลในรงิ และเกย่ี วกบั สาทสิ สณั ฐานระหวางรงิ ในบทนี้จงึ คลา ยกับการพสิ จู น ทฤษฎบี ทการสมนยั สำหรับกรปุ ทพี่ สิ จู นใ นบทที่ 2 และ บทที่ 3 บทนยิ าม 4.5.1 เซตยอ ย S ̸= ∅ ของริง R เรียกวา ไอดีล (ideal) ของ R ก็ตอ เมื่อ (1) ถา a, b ∈ S แลว a − b ∈ S (2) ถา a ∈ S และ r ∈ R แลว ar ∈ S และ ra ∈ S บทนิยาม 4.5.2 เซตยอย S ≠ ∅ ของริง R เรียกวาไอดลี ขวา (right ideal) (ไอดีลซา ย (left ideal)) ของ R ก็ตอเมอื่ (1) ถา a, b ∈ S แลว a − b ∈ S (2) ar ∈ S (ra ∈ S) สำหรบั ทุก a ∈ S และ r ∈ R ตามลำดบั เห็นชดั วา ไอดลี ขวาหรือไอดลี ซายเปน ริงยอยของ R และทุกไอดีลท่ีเปนทงั้ ขวาและซายซ่ึง เรียกวา ไอดีล สองดา น (two-sided ideal) ก็เชน กัน ในริงสลับท่ีทกุ ไอดีลขวาหรือไอดลี ซา ยเปนไอดีล สองดานในรงิ R ใด ๆ {0} และ R เรยี กวา ไอดลี ชดั (trivial ideals) ตัวอยา ง 4.5.1 ในรงิ จำนวนเต็ม Z ทกุ ริงยอ ยเปน ไอดลี วิธีทำ ตรวจสอบโดย ให I เปน ริงยอ ยของ Z และ a ∈ I, r ∈ Z แลวไดวา  a r ครงั้ + a +·· · + a, ถา r > 0 ar = −0 a ถา r = 0 ถา r < 0 − −r ครง้ั · · − a a−· ดงั นั้น ทุกรณีจะได ar ∈ I นัน่ คือ I เปน ไอดีลของ Z

108 บทท่ี 4 รงิ ตวั อยาง 4.5.2 ไอดลี ขวา หรือไอดลี ซายของรงิ การหาร เปน ไอดีลชัดเทา นน้ั วธิ ีทำ เม่อื I เปน ไอดลี ขวาหรอื ซายของรงิ R ซ่ึงบรรจุสมาชกิ หนว ยแลว I ก็คือ ริง R เพราะวา ถา สมาชกิ หนว ย u ∈ I จะได uu−1 ∈ I นัน่ คอื 1 ∈ I ดังนั้น สำหรับทุก r ∈ R จะได r = r1 ∈ I ดงั นนั้ I = R ตัวอยา ง 4.5{.3 ใหx R∈เRปน}รเงิ ปแน ลไอะดaีลซ∈ายRขอดงังนRนั้ ถaา RR=เป{น aรxงิ สลxับท∈่แี Rลว}aเRปน เไปอนดไีลอขดวีลาขขอองงRR และ Ra = xa ขอ สังเกต a ไมจำเปนตอ งเปน สมาชิกของ aR เงื่อนไขท่ีเพยี งพอที่ทำให a เปน สมาชิกของ aR คอื 1 ∈ R ซ่ึงกรณนี ี้ทำให aR เปนไอดลี ขวาเล็กสดุ ท่บี รรจุ a ตวั อยาง 4.5.4 ให R เปนเมทรกิ ซร ิงขนาด n × n บนฟล ด F สำหรับ 1 ≤ i ≤ n ให Ai (หรอื Bi) เปนเซตของเมทริกซใน R ทม่ี ีแถว (หรือหลกั ) ทั้งหมดเปนศนู ย ยกเวน แถว (หรือ หลัก) ท่ี i แลว จะได Ai เปน ไอดลี ขวา และ Bi เปนไอดีลซายใน R ซง่ึ จะแสดงไดว า R ไมมีไอดีล ไมช ดั ตวั อยาง 4.5.5 {ใ[ห Ra0]เปนaริง∈ขอFง}เมทเปรนกิ ซไอส ดาีลมใเนหลRยี่ มบนมิติ 2 × 2 บนฟล ด F แลว จะไดเซตยอย 0 I= 0 ตัวอยา ง 4.5.6 ให ∈RRเปนfร(ิงcข)อ=งฟ0ง}กชแันลจว าIกชเปวงนปไอดด[ีล0ข,อ1ง] ไปยังฟลดของจำนวนจรงิ ให c ∈ [0, 1] และ I = { R f ถตใหาัว อSIย=า=ง[[400F0.5F.07FF]]แใเลหปวนRเIซ=ตเปขนFอไง2อเมรดงิทลี ขรขอิกองซงเมส SทามรแเิกตหซลIม ี่ยิตไมิมบ2เปน×น บ2ทนั้งบฟไอนลดฟดลี ล Fขดว Fาแลแว ละSซเาปยนขรอิงงยRอยของ R ตอ ไปเปนการพสิ ูจนผลท่ีสำคญั ของไอดีลในเมทริกซรงิ Rn ถา A เปน ไอดีลในรงิ R แลว แสดงไดวาริง An ของเมทรกิ ซ n × n ท่ีสมาชิกอยูใน A เปนไอดีลใน Rn ทฤษฎบี ทตอไปนี้แสดงให เห็นวา บทกลบั เปน จรงิ สำหรบั รงิ ทีม่ ีสมาชกิ หนว ย

4.5 ไอดลี และสาทสิ สณั ฐาน 109 ทฤษฎีบท 4.5.1 ถา R เปนริงมีสมาชิกหนว ย แลว ทกุ ไอดีล I ในเมทรกิ ซรงิ Rn คือ An เม่ือ A เปนไอดีลของ R การพสิ จู น ให (e{ij), i, j = 1∑, 2,a.i.j.e,ijn∈แทIน}เมแทลรวิกคซาหดนวว ายAในเเมปทนรไกิอซดรลี งิในRRn กำหนดเซต ∈R A = a11 เมื่อให a11, b11 ∈ A แลว จะไดวามีเมทริกซ α = ∑ aijeij และ β = ∑ bijeij ใน I เพราะวา ∑Iเปaน iไjอeดijลี ∈ดIงั นดน้ั งั นα้ัน−(∑β ∈aiIjeจijะ)ได(rวeา11a)11=−∑b11ai∈1rAei1ต∈อไIปใแหล ะrจ∈ะไดRว า แaล1ะ1จrาก∈ a11 ∈ A ซ่งึ A ในทำนอง เดียวกันไดตวาอไrปaจ1ะ1 แ∈สดAงวนา่ันIคือ=AAเnปน ใหไอ xดีล=ขอ∑ง Raijeij ∈ I และ ให r และ s เปน จำนวนเตม็ ที่อยูระหวาง 1 และ n จะแสดงวา สามารถคูณ x ท้ังทางซา ย และขวา แลวยังคงเปนสมาชกิ ใน I เทห่ีท็นำชใดัหวสา มาeช1rิก(ใน∑ตำaแiหjeนiงj)(1es,11)=คaือrsaer1s1 ซ่งึ หมายความวาทกุ สมาชกิ aij ∈ A ดงั น้ัน x ∈ An นน่ั คอื ars ∈ A ตามตอ งการ ดังน้นั I ⊆ An ในทาง aกiลjับ∈ใหA xดงั=นนั้∑จะaมijีเมeiทj ร∈กิ ซA ∑n จbะrแseสrดsงว∈าแIตทล่ีะbพ11จน= aaijijeiแj ลขวอจงะxไดเวปานeสiม1 า(ช∑กิ ขbอrงs I เ)พราะวา ers e1j = b11eij ∈ I สำหรับแตล ะ i, j = 1, 2, . . . , n ดังนน้ั x ∈ I นัน่ คือ An ⊆ I มีผลสรปุ สำคญั ที่ไดต ามมาดังบทแทรกตอ ไปนี้ บทแทรก 4.5.1 ถา D เปนริงการหารแลว R = Dn ไมมไี อดีลไมชดั การพสิ จู น ให I เปนไอดีลท่ีไมเปน ศูนยใน Dn แลว จะไดวา I = An เมือ่ A เปน ไอดีลท่ีไมเปน ศูนยใน D แตเน่ืองจากไอดีลในริงการหาร D มเี พียง (0) และ D ดงั น้ัน A = D น่นั คอื I = Dn ซึ่งเปน การพิสูจนวาในริง Dn มไี อดลี เพียง (0) และ D ตวั อยาง 4.5.8 ให (R, +) เปน กรุปการบวกอันดบั p เม่ือ p เปน จำนวนเฉพาะ นิยามการคูณโดย ab = 0 สำหรับทกุ a, b ∈ R แลวจะไดวา R เปน รงิ ทีไ่ มมสี มาชิกหนวย ถา X เปนกรปุ ยอ ยของ (R, +) แลว จะไดวา X เปน ไอดีลดวย เพราะวา ทุกสมาชกิ x ∈ X และ r ∈ R จะได xr = 0 ∈ X และ rx = 0 ∈ X ซ่งึ ทำใหไดวา เซตยอย X ≠ ∅ ของ R เปน ไอ ดลี ของ R ก็ตอ เมื่อ (X, +) เปน กรุปยอ ยของ (R, +) แตเนื่องจาก (R, +) ไมมีกรุปยอ ยแท ดัง

110 บทที่ 4 ริง น้ัน ไอดีลของ R จึงมีเพยี ง {0} และ R เทา นน้ั จึงทำให 1 ∈/ R เพราะถา 1 ∈ R จะทำให ถา 0 ̸= a ∈ R แลวจะได a = a1 = 0 เกิดขอ ขดั แยง ขอสงั เกต พิจารณา I = {[ ] } b a 0 a, b ∈ R ซึ่งแสดงไดโ ดยงายวาเปน ไอดีลของ R2 0 สมมติ I = A2 สำหรับบางไอดลี A ใน R ซึง่ ทำใหไดวา I = {0} หรือ R2 เน่อื งจาก R มเี พยี งไอดีล {0} หรือ R เทา นัน้ แตจ ะเห็นวา I ≠ {0} และ I R2 ดงั นน้ั ทฤษฎีบท 4.5.1 ไมเ ปน จรงิ โดยทว่ั ไป เชน สำหรบั เมทริกซริงบนริงท่ีไมม สี มาชิกหนวย ทฤษฎีบท 4.5.2 ให (Ai)i∈Λ เปน วงศของไอดลี ขวา ในรงิ R แลว ∩ Ai เปน ไอดลี ขวา i∈Λ การพิสจู น ให a, b ∈ ∩ Ai, r ∈ R ดังน้ันสำหรบั ทุกสมาชิก i ∈ Λ จะไดวา a − b ∈ Ai และ i∈Λ ∩ Ai และ ar ∈ ∩ Ai นั่นคือ ∩ Ai เปนไอดลี เพราะวา Ai เปน ไอดลี ขวา ดงั น้ัน a − b ∈ ขวา i∈Λ i∈Λ i∈Λ หมายเหตุ ถา (Ai)i∈Λ เปนวงศข องไอดลี ซาย ในรงิ R แลว ∩ Ai เปนไอดีลซาย สามารถพสิ จู น ไดในทำนองเดียวกบั ทฤษฎบี ท 4.5.2 i∈Λ ตอ ไปให S เปน เซตยอ ยของริง R ให A = { A เปน ไอดีลขวาของ R ทีบ่ รรจุ } A S ดังน้นั A ≠ ∅ เพราะวา R ∈ A ให I = ∩ A แลว I เปนไอดลี ขวาเลก็ สุดของ R ที่บรรจุ S A∈A และเขียนแทนดว ย (S)r ไอดลี ขวาเล็กสุดของ R ที่บรรจุเซตยอ ย S เรียกวา ไอดีลขวากอ กำเนิดโดย S (right ideal generated by S) ถา S = {a1, . . . , am} เปน เซตจำกัดแลวเขยี นแทน (S)r ดวย (a1, . . . , am)r ในทำนองเดยี วกนั สามารถนิยาม ไอดีลซายกอกำเนิดโดย S และไอดีลกอ กำเนิดโดย S เขยี นแทนดวย (S)l และ (S) ตามลำดับ บทนิยาม 4.5.3 ไอดลี ขวา I ของรงิ R เรียกวา กอกำเนดิ จำกดั (finitely generated) เม่ือ I = (a1, . . . , am)r สำหรับบาง ai ∈ R และ 1 ≤ i ≤ m

4.5 ไอดลี และสาทิสสณั ฐาน 111 บทนิยาม 4.5.4 ไอดีลขวา I ของริง R เรียกวา ไอดลี มขุ สำคญั (principal ideal) เมื่อ I = (a) สำหรับบาง a ∈ R โดยวิธีการทำนองเดียวกันเรานยิ าม ไอดีลซา ยกอกำเนดิ จำกดั ไอดีลกอ กำเนดิ จำกดั ไอดลี มขุ สำคญั ซาย และไอดลี มขุ สำคญั เพื่อจะพิสจู นข อความตอ ไปน้ี    ∑  (a) = ผลบวiกจำกัด riasi + ra + as + na Zr, s, ri, si ∈ R, n ∈  , Z{ } (a)r = ar + na r ∈ R, n ∈ Z{ } (a)l = ra + na r ∈ R, n ∈ ถา 1 ∈ R ไอดลี เหลาน้สี ามารถเขยี นในรปู อยางงาย ดังนี้ { } ri, si ∈ R , (a) = ∑ riasi ผลบวกจำกัด {} (a)r = ar r ∈ R , {} (a)l = ra r ∈ R ในกรณีน้อี าจใชส ญั ลักษณ RaR, aRและ Ra แทน (a) , (a)r และ (a)l ตามลำดบั บทนิยาม 4.5.5 รงิ ซึ่งแตล ะไอดีลเปน ไอดีลมุขสำคญั เรียกวา รงิ ไอดีลมขุ สำคัญ (principal ideal ring) หรอื เขียนแทนดว ย PIR สามารถนยิ ามริงไอดลี มขุ สำคัญขวา หรือซาย ไดใ นทำนองเดยี วกนั สำหรบั อนิ ทิกรัลโดเมนสลบั ที่มี เอกลกั ษณทเ่ี ปน ริงไอดีลมุขสำคญั เรยี กวา โดเมนไอดลี มุขสำคญั (principal ideal domain) เขยี นแทน ดว ย PID ขอสงั เกต ไอดีลในรงิ จำนวนเตม็ Z และรงิ พหนุ าม F [x] บนฟลด F เปนไอดีลมุขสำคัญ แสดงไดด งั น้ี ให I เปน ไอดีลทไี่ มเ ปน ศนู ยใน Z และ ให n เปนจำนวนเต็มบวกนอยสดุ ใน I ดังน้นั แตล ะสมาชกิ m ∈ I จะไดวา m = qn + r, เมอื่ 0 ≤ r < n ดังนัน้ r = m − qn ∈ I เพราะวา n เปน จำนวนเต็มบวกนอ ยสดุ ใน I ทำใหไ ดวา r ตอ งเปน ศนู ย นนั่ คอื m = qn ดงั น้นั I = (n) ในทำนองเดยี วกนั โดยขั้นตอนวธิ ีการหารกับ F [x] แสดงไดวา ทุกไอดีลใน F [x] เปนไอดลี มขุ สำคญั ดังนั้น Z และ F [x] เปน ริงไอดีลมขุ สำคัญ

112 บทท่ี 4 รงิ ตอไปจะพิจารณาการนิยามรงิ เศษสวนของริง R ให I เปน ไอดีลในรงิ R สำหรบั สมาชกิ a, b ∈ R นยิ าม a ≡ b (mod I) ก็ตอ เมือ่ a − b ∈ I จะไดวา ความสมั พันธ ≡ เปน ความสัมพนั ธ สมมูลใน R ให R/I แทนเซตของช้นั สมมูล และ ให a¯ ∈ R/I เปนชั้นสมมลู ท่บี รรจุ a ตรวจสอบไดว า ชัน้ สมมลู a¯ ประกอบดวยสมาชิกท่ีอยใู นรูป a + x, x ∈ I ดงั นน้ั จึงสามารถเขยี นแทนช้นั สมมลู a¯ ดว ย a + I ทฤษฎบี ท 4.5.3 ให I เปน ไอดลี ของริง R แลว R/I เปน รงิ ภายใตการบวกและการคณู นยิ าม โดย a¯ + ¯b = a + b, a¯¯b = ab สำหรบั ทุก a¯, ¯b ∈ R/I การพิสูจน พิจารณา R/I เมือ่ นิยามการบวกและการคณู โดย a¯ + ¯b = a + b , a¯¯b = ab จะแสดงวา การดำเนินการทวภิ าคทัง้ สองนยิ ามแจม ชัด ให a¯ = c¯ และ ¯b = d¯ ดังนัน้ a − c ∈ I และ b − d ∈ I จะไดวา (a − c) + (b − d) = (a + b) − (c + d) ∈ I ดังน้ัน a + b = c + d ตอ ไปพิจารณา ab − cd = a(b − d) + (a − c)d เพราะวา a − c, b − d ∈ I ซ่งึ เปนไอดีล จะไดว า ab − cd ∈ I ดงั น้นั ab = cd ซง่ึ แสดงวา การบวกและการคูณนิยามแจมชดั ตอ ไปจะแสดงวา (R/I, +, .) เปน รงิ อันดับแรก จะแสดงวา (R/I, +) เปนอาบีเลียนกรุปการบวก a¯ + (¯b + c¯) = a¯ + (b + c) = (a + (b + c)) ¯b) ( = (a + b) + c = a + b + c¯ = a¯ + + c (4.5) (4.6) a¯ + 0¯ = a + 0 = a¯ (4.7) (4.8) a¯ + (−a) = (a + (−a)) = ¯0 a¯ + ¯b = a + b = b + a = ¯b + a¯ ตอไป จะแสดงวา (R/I, ·) เปนกงึ่ กรุป a¯(¯bc¯) = a¯(bc) = a(bc) = (ab)c = (ab)c¯ = (a¯¯b)c¯ (4.9) และสุดทาย จะแสดงวา กฎการแจกแจงเปนจริง a¯(¯b + c¯) = a¯(b + c) = a(b + c) = ab + ac = ab + ac = a¯ ¯b + a¯ c¯ (4.10) (¯b + c¯)a¯ = ¯b a¯ + c¯ a¯ (4.11) 4.10 แสดงไดในทำนองเดียวกบั 4.11 นอกจากนี้ ถา 1 ∈ R แลว 1¯ เปนสมาชิกหนวยของ R/I และ ถา R เปนรงิ สลับที่ แลว R/I เปนรงิ สลับที่ดว ย

4.5 ไอดีล และสาทสิ สัณฐาน 113 บทนยิ าม 4.5.6 ให I เปนไอดีลในรงิ R แลว เรียกรงิ (R/I, +, · ) วา ริงผลหาร (quotient ring) ของ R มอดุโล I บางครัง้ จะแทนรงิ R/I ดว ย R¯ ถา แนใจวา ไมท ำใหค วามหมายของ I ผิดไป ถา I = R แลว R/I คอื ริงศูนย ถา I = (0) แลว R/I เปรียบเสมือนริง R โดยแทน a + (0), a ∈ R ดวย a ตัวอยา ง 4.5.9 ให (n) = { a ∈ Z} เปน ไอดีลใน Z ถา n ≠ 0 แลวริงผลหาร Z/(n) คอื na Zn รงิ ของจำนวนเตม็ มอดุโล n ถา n = 0 แลว Z/(n) คือ Z ให R เปน ริงมีเอกลกั ษณ และให R[x] เคปอื น รRงิ พ[xห]/ุนIาม=บน{a¯R ให I เปน ไอดลี ใน ซึ่งประกอบดว ยพหคุ ูณของ x แลวรงิ ผลหาร =}(x) R[x] a∈ R วธิ ีทำ ให x ∈ I แลว x¯ = 0¯ เพราะฉะนั้น ถา a + bx + cx2 + · · · ∈ R[x]/I แลว a + bx + cx2 + · · · = a¯ + ¯b x¯ + c¯ x2 + · · · = a¯ นน่ั คอื R[x]/I = { } a¯ a∈R ตัวอยาง 4.5.10 พจิ ารณารงิ ผลหาร R[x]/(x2 + 1) จะได x2 + 1 ∈ (x2 + 1) ทำใหได x2 + 1 = ¯0 นนั่ คือ x2 + ¯1 = ¯0 ดังนน้ั x2 = −¯1 ซึง่ ทำให x3 = −x¯, x4 = ¯1 และ ทำตอไปเรื่อย ๆ จะได xn = ±¯1 ถา n เปน จำนวนคูและ xn = ±x¯ ถา n เปนจำนวนคี่ Rให a + bx + cx2 + . . . ∈ [x]/(x2 + 1) แลว จะไดวา a + bx + cx2 + · · · = a¯ + ¯b x¯ + c¯ x2 + · · · = α¯ + β¯ x¯ สำหรับบาง α, β ∈ R { R} ดงั นัน้ R[x]/(x2 + 1) = α¯ + β¯ x¯|α, β ∈ เมอื่ x2 = −¯1 เนปัน่ นคอื√−R1[x]/(x2 + 1) เปน ฟลดของจำนวนเชงิ ซอน เมื่อ α¯, α ∈ R เปน ตัวเดยี วกนั และให x¯

114 บทที่ 4 ริง ตัวอยาง 4.5.11 ให R = [Z Q] และ ให A = [ Q] เปน ไอดีลใน R แลว จะได R/A = 0 {[ ] } 0 0 0 0 n0 n∈Z 00 วิธที ำ ให [ x ][ 0 Q] แลว จะได [ x ] 0 0 0 0 0 ∈ = ¯0 0 00 [ ] [ ][ ][ ][ ] ถา n จะได n Zเพราะฉะน้ัน x ∈ R/A 0 x = n 0 + 0 x = n 0 ∈ R/A {[0 0 n∈ } 0 0 0 0 0 0 0 ดงั นั้น R/A ] n 0 = 0 0 น่ันคอื R/A เปนรงิ ของจำนวนเตม็ เมือ่ พิจารณา [ ] เปน n n 0 0 0 ตวั อยา ง 4.5.12 ให รงิ R = [Z Q] จงหา 0 0 (1) ไอดลี ขวาไมช ัด และ (2) ไอดลี ไมชดั ของริง R วิธีทำ =(1{) nให∈ AZเปน [ไn0อดa0ลี ]ข∈วาAที่ไ,ม∃เ ปaน∈ศูนQย}ข อเงหR็นชแัดลวะา X เปนกรปุ ยอ ยกบั การบวกของ Z ให X ดงั นั้น X = n0Z สำหรบั บาง n0 ∈ Z กรณี 1 X ̸= (0) นนั่ คอื n0 ̸= 0 จะแสดงวา A = [n0Z Q] ใเดพหังรนaานั้ ะ∈ฉ[ะnQน00Zนั้ ซAงึ่Q0 ][=n0⊂0[nAa000]Zแ∈ลQะ0A]เหใตหน็ าชมzดัตวอ∈างกZAารแ⊂ละ[nq00Z∈ Q 00 [ q ][ n0 ][ q/n0 ] n0z 0 0 az 0 จะได = 00 ∈A Q] 0 0 และเปนการแสดงดวยวา A เปนไอดีลมขุ สำคัญขวาของ R { [] } 0 q กรณี 2 X = (0) ให K = q ∈ Q 0 0 ∈A เหน็ ชดั วา K เปนกรุปยอ ยการบวกของ อQยูใแนลระปู แ[ส00ดงKไ0ด]โดเมยอื่งาKยวา เป[น00กรK0ปุ ]ยเอ ปยนกไาอรดบลี วขกวขาอขงองQR เพราะฉะนน้ั ในกรณีนไ้ี อดีลขวาของ R

4.5 ไอดีล และสาทิสสณั ฐาน 115 Z[n0Z 0 (2) สามารถแสดงไดวา ไอดีลขวาไมช ัด A = Q0 ], 0 ≠ n0 ∈ ของ R และ ไอดีลขวาไมช ัด A [ ] 0 K โดยท่ี เปน กรุปยอ ยการบวกของ Q ของ เปนไอดลี ซาย = 0 0 K R เพราะฉะนั้น มรี งิ ไมสลับท่ีซึ่งแตละไอดลี ขวาเปน ไอดลี และมขี อ สงั เกตทนี่ า ส{น[ใจวา แmต0ลa]ะไอmดีลซ∈า ยZข}อง R ไมเปน ไอดีล โดยพจิ ารณา A = n0m เม่ือ n0 และ a เปน สมาชิกคงท่ีใน Z และ Q 0 ตามลำดับ ตอ ไปให R เปนรงิ และ I เปนไอดีลใน R ให R/I เปน ริงผลหารของ R มอดุโล I แลว มี การสง ธรรมชาติ η : R → R/I ซึง่ สง a ∈ R ไปยัง a¯ ∈ R/I ทค่ี งสภาพการดำเนินการทวภิ าคดังน้ี η(a + b) = η(a) + η(b) η(ab) = η(a)η(b) เม่อื a, b ∈ R การสง ท่ีมีสมบตั ิดังกลา วนี้เรยี กวา สาทิสสัณฐาน ของ R ไปยงั R/I และการสง η เรยี กวา สาทิส- สณั ฐานธรรมชาติ หรือ สาทิสสัณฐานแบบบัญญัติ (natural or canonical homomorphism) บทนิยาม 4.5.7 ให f เปนการสง จากริง R ไปยงั ริง S โดยที่ (1) f (a + b) = f (a) + f (b), a, b ∈ R (2) f (ab) = f (a)f (b), a, b ∈ R แลว f เรียกวา สาทสิ สัณฐาน (homomorphism) ของ R ไปยงั S จากบทนิยาม 4.5.7 ถา f เปน การสง หนึง่ ตอ หนง่ึ ดวยแลว f เรยี กวา เอกสณั ฐาน (monomorphism) ของ R ไปยัง S และ f เรยี กวาเปน การฝง (embedding) ของริง R ในรงิ S หรอื R ฝง ได (embeddable) ใน S และกลา ววา S บรรจุสำเนา (copy) ของ R จะพจิ ารณา R เปน ริงยอยของ S ใชสญั ลักษณ R → S แทน R ฝง ใน S ถา สาทิสสัณฐาน f จากรงิ R ไปยังรงิ S เปน การสง ทั้งหนึง่ ตอหนงึ่ และทวั่ ถึง แลว สาทสิ - สณั ฐาน g จากรงิ S ไปยังรงิ R เปน หนึ่งตอหน่งึ และทว่ั ถงึ ดวย ในกรณีนี้จะกลาววาริง R และ S สมสัณฐานกนั (isomorphic) กลา ววา รงิ ทงั้ สองเปน ริงเดยี วกนั เขยี นแทนดว ย R ∼= S เม่อื มีสาทิสสัณฐานแบบหนง่ึ ตอหน่งึ จาก R ไปทั่วถึง S ดังกลา วจะไดวา ถา R ∼= S แลว S ∼= R สำหรบั รงิ R ใด ๆ การสง เอกลักษณทำให R ∼= R และไดวา ถา f : R → S และ g : S → T เปน สมสณั ฐานของ R ทั่วถึง S และ S ทว่ั ถึง T ตามลำดบั แลว gf เปน สมสณั ฐานของ R ทว่ั ถึง T ดวย ดังนนั้ ถา R ∼= S และ S ∼= T แลว R ∼= T นน่ั คอื สมสัณฐานเปนความสมั พันธสมมลู ในคลาสของริง

116 บทที่ 4 ริง ตอไปจะแสดงสมบัติอยา งงาย ซึง่ เปนหลักเบอ้ื งตน ของสาทสิ สัณฐาน ทฤษฎีบท 4.5.4 ให f : R → S เปน สาทสิ สญั ฐานของรงิ R ไปยังริง S แลว จะไดว า (1) ถา 0 เปนศูนยของ R แลว f(0) เปน ศูนยข อง S (2) ถา a ∈ R แลว f(−a) = −f(a) (3) เซต { (a) a ∈ } เปนริงยอ ยของ S และเรยี กวา f R ภาพสาทสิ สัณฐานของ R โดยการสง f เขียนแทนดว ย Im f หรอื f(R) (4) เซต { ∈ R f (a) = } เปน ไอดลี ใน R และเรยี กวา a 0 เคอรเนลของ f เขยี นแทนดว ย Ker f หรอื f−1(0) (5) ถา 1 ∈ R แลว f(1)เปน เอกลกั ษณของริงยอ ย f(R) (6) ถา R มสี มบตั สิ ลบั ท่ี แลว f(R) มีสมบตั สิ ลบั ที่ การพิสจู น (1) ให a ∈ R แลว f(a) = f(a + 0) = f(a) + f(0) ดังน้ัน f(0) เปน ศูนยข อง S เพ่อื ความสะดวกจะเขยี นแทน f(0) ดวย 0 (2) เพราะวา f(0) = f(a + (−a)) = f(a) + f(−a) เพราะฉะน้ัน f(−a) = −f(a) (3) ให f(a), f(b) ∈ f(R) แลวจะได f(a) − f(b) = f(a) + f(−b) = f(a − b) ∈ f(R) และ f(a)f(b) = f(ab) ∈ f(R) ดงั นน้ั f(R) เปน รงิ ยอยของ S (4) ให a, b ∈ f−1(0) = Ker f เมือ่ r ∈ R จะได f(a − b) = f(a) − f(b) = 0 − 0 = 0 เพราะฉะนั้น a − b ∈ f−1(0) และ f(ar) = f(a)f(r) = 0f(r) = 0 ดงั นั้น ar ∈ f−1(0) ในทำนองเดียวจะได ra ∈ f−1(0) ดังนน้ั f−1(0) เปนไอดีลใน R (5) ถา a ∈ R แลว f(a)f(1) = f(a1) = f(a) ในทำนองเดียวกันได f(1)f(a) = f(a) ดังนน้ั f(1) เปน เอกลักษณข อง f(R) (6) ถา a, b ∈ R แลวจะได f(a)f(b) = f(ab) = f(ba) = f(b)f(a) ดงั นน้ั f(R) มีสมบัติ สลับที่

4.5 ไอดีล และสาทสิ สณั ฐาน 117 เหน็ ชดั วาถา f เปนฟงกช นั หน่ึงตอ หนง่ึ แลว Ker f = {0} บทกลับ ถาเคอรเ นลของสาทสิ - สัณฐาน f : R → S คือ {0} แลว f จะตอ งเปน ฟงกช นั หนงึ่ ตอ หนึ่ง เพราะวา ถา f(a) = f(b) จะ ได f(a − b) = 0 ดงั นนั้ a − b ∈ Ker f = {0} น่นั คือ a = b ดังน้นั f เปน ฟงกช ันหนงึ่ ตอ หนง่ึ ซ่งึ เขียนเปน ทฤษฎีบทดังน้ี ทฤษฎบี ท 4.5.5 ให f : R → S เปนสาทิสสัณฐานของริง R ไปยงั รงิ S แลว Ker f = {0} ก็ ตอเม่อื f เปนฟงกช ันหน่งึ ตอ หน่ึง ให N เปน ไอดีลในริง R สรางริงผลหาร R/N ของ R มอดโุ ล N ซึง่ นิยามการสง ดงั น้ี η : R → R/N เห็นชัดวา โดยการนิยาม η(a) = a + N = a¯ จะได η เปนสาทสิ สณั ฐานของ R ไปท่วั ถึง R/N เพราะ วา η(a + b) = a + b = a¯ + ¯b = η(a) + η(b), η(ab) = ab = a¯¯b = η(a)η(b) และ ถา x¯ ∈ R/N จะมี x ∈ R ซึ่ง η(x) = x¯ ดังนั้น η เปน สาทสิ สณั ฐานของ R ไปท่ัวถงึ R/N เพราะฉะน้นั R/N เปนภาพสาทิสสัณฐานของ R สมบัติทสี่ ำคญั ประการหนึ่ง คือ ทุกภาพสาทิส-สัณฐานของรงิ R จะมรี ูปแบบท่ีเปนรงิ ผลหาร ของ R มอดุโลไอดลี ใด ๆ ของ R ซึ่งจะเขียนเปนทฤษฎีบทดงั ตอ ไปนี้ ทฤษฎีบท 4.5.6 ทฤษฎีบทรงิ สมสัณฐานที่ 1 (The first ring isomorphism theorem) ให f เปน สาทิสสัณฐานของริง R ไปยังริง S โดยมีเคอรเ นลคอื N แลว R/N ∼= Im f การพสิ ูจน ให g(a + N) = f(a) แลว จะได g เปนการสง ของ R/N ไปยัง Im f เน่อื งจาก ถา a+N = b+N แลวจะได a−b ∈ N หรือ f(a−b) = 0 ดังนั้น f(a)−f(b) = 0 น่ันคือ g นิยามแจม ชดั ตอไปจะแสดงวา g เปน สาทิสสัณฐาน เขียน a¯ แทน a + N จะได g(a¯ + ¯b) = g(a + b) = f (a + b) = f (a) + f (b) = g(a¯) + g(¯b) และในทำนองเดียวกันจะได g(a¯ ¯b) = g(a¯)g(¯b) เห็นชัดวา g เปนการสงแบบท่วั ถงึ และจะแสดงวา g เปน การสง 1−1 ให f(a) = f(b) แลว จะได f(a−b) = 0 ดังน้ัน a−b ∈ N และไดวา a¯ = ¯b ซึ่งแสดงวา g เปน การสง 1 − 1 ดงั นนั้ R/N ∼= Im f

118 บทท่ี 4 ริง ดงั น้ัน รงิ สมสณั ฐานเปรียบเสมือนเปนรงิ ท่ีมีระบบพชี คณติ เดยี วกัน น่นั คือ ทฤษฎบี ท 4.5.6 กลา ววา ภาพสาทสิ สณั ฐานของรงิ R มีเพียงริงผลหารของ R ดังน้ัน ถา รูวา ไอดลี N ทง้ั หมดใน R เปน อยางไรแลวกจ็ ะรภู าพสาทสิ สณั ฐานท้งั หมดของ R ทฤษฎบี ทหลักมลู ของสาทิสสณั ฐานระหวางรงิ อาจกลา วไวดงั ตอ ไปน้ีอกี แบบหนึ่งดว ย ทฤษฎีบท 4.5.7 กำหนดให ริงสาทสิ สัณฐาน f : R → S แลว จะมีสาทสิ สัณฐานหน่งึ ตอหนึง่ g : R/ Ker f → S เพียงแบบเดยี วทท่ี ำใหแ ผนภาพสลับเปลย่ี น (diagram commute) นั่นคอื f = gη เมื่อ η เปนสาทิสสณั ฐานแบบธรรมชาติ Rf S ηg R/ Ker f รปู ท่ี 4.1: แผนภาพสลบั เปลีย่ นของ f = gη การพิสจู น เหน็ ชัดวา g นยิ ามโดย g(a + N) = f(a) เปน การสง หนึ่งตอหน่ึง และไดวา f = gη ดงั ท่ีไดพิสจู นในทฤษฎบี ท 4.2.4 ตอไปจะแสดงวา g มีเพยี งแบบเดียวโดยให f = hη เม่อื h : R/ Ker f → S เปน สาทิสสัณฐานแลว จะได gη(a) = hη(a) ทุกสมาชิก a ∈ R ดงั นนั้ g(a + N) = h(a + N) นนั่ คือ g = h ตอ ไปให f เปน การสง ของรงิ R ไปยังรงิ S และให A เปน เซตยอ ยของ S เซตสมาชกิ ของ R ที่ภาพภายใตก ารสง f อยูใน A เขยี นแทนดวย f−1(A) นั่นคือ f −1(A) = { ∈ R } r f (r) ∈ A ขอสงั เกต f−1 เปนการสง เซตยอยของ S ไปยังเซตยอ ยของ R ถา f เปน การสงหน่งึ ตอหนง่ึ ของ R ไปท่ัวถึง S แลว f−1 จะแทนการสงของ S ไปท่ัวถงึ R นิยามโดย f−1(s) = r เม่อื r เปนสมาชิกของ R เพียงตวั เดยี วที่ f(r) = s ตวั อยา ง 4.5.13 ให (R1, +, ·) และ (R2, ∗, ◦) เปนริงใด ๆ นิยาม f : R1 → R2 ดังนี้ f (x) = 0¯ , ∀x ∈ R1

4.5 ไอดีล และสาทิสสัณฐาน 119 โดยท่ี 0¯ คอื สมาชิกศูนยของริง (R2, ∗, ◦) แลว ฟงกช ัน f เปนสาทิสสัณฐาน เพราะวา f (a + b) = ¯0 = 0¯ ∗ ¯0 = f (a) ∗ f (b) f (a · b) = ¯0 = 0¯ ◦ 0¯ = f (a) ◦ f (b) ตัวอยา ง 4.5.14 พิจารณาริง (Z, +, ·) และรงิ Z( n, +n, ·n) นิยามฟงกชัน f : Z → Zn ดงั น้ี f(a) = a¯ นัน่ คือ ภาพของจำนวนเตม็ a คอื ชน้ั สมมูล a¯ จะไดวา f (a + b) = a + b = a¯ +n ¯b = f (a) +n f (b) f (a · b) = a · b = a¯ ·n ¯b = f (a) ·n f (b) ดังน้นั f เปน สาทิสสณั ฐาน ตัวอยาง 4.5.15 ฟงกช นั f : Z → Ze นิยามโดย f(a) = 2a ไมเ ปนสาทสิ สัณฐานจาก (Z, +, ·) ไปยงั (Ze, +, ·) เพราะแมจะคงสภาพการบวก แตไมคงสภาพการคูณ f(a + b) = 2(a + b) = 2a + 2b = f (a) + f (b) แต f (a · b) = 2(a · b) ≠ (2a) · (2b) = f (a) · f (b) ตวั อยาง 4.5.16 เน่อื งจากระบบ (R × R, +, ·) เปนริง ถาการบวกและการคูณนิยามโดยสตู ร (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) , (a, b) · (c, d) = (ac, bd) ผูเรียนสามารถตรวจสอบไดวา ถา ให S = { a ∈ R} แลว (S, +, ·) เปนริงยอยของ (a, a) (R × R, +, ·) รงิ ยอยน้ีสมสณั ฐานกับ (R, +, ·) ภายใตฟง กชัน f : S → R นิยามโดย f (a, a) = a หมายเหตุ ริงการหารไมสลับที่มีช่ือเรียกอกี อยางวา สกวิ ฟลด (skew field) และไดมีการนิยาม สกิวรงิ พหุนาม (skew polynomial ring) ดังนี้ ให R เปน สกิวฟลด และ σ เปนอัตสณั ฐานของ ริง R แลว สกวิ รงิ พหุนาม R[x; σ] ประกอบดว ยพหุนาม ∑ rixi เมือ่ ri ∈ R เปนสมั ประสทิ ธิ์ i ท่ีไมเปน 0 เปน จำนวนมากแตจำกัด โดยที่ R[x; σ] เปน ริงกบั การดำเนินการบวกปกติ และการ คณู นิยามโดย axi · bxj = abσ−ixi+j สำหรบั ทุก a, b ∈ R และจำนวนเตม็ i, j ≥ 0 ซงึ่ ผูเขียน ไดศกึ ษาและวิจัยเกยี่ วกับ สกวิ รงิ พหุนาม ดงั บทความวิจยั Skew polynomial rings over weak σ−rigid rings and σ(*)−rings. [14]

120 บทท่ี 4 รงิ แบบฝก หัด 4.2 1. ให R เปนรงิ สลับทม่ี เี อกลักษณ สมมติ R ไมม ีไอดีลไมช ดั จงพิสูจนว า R เปน ฟลด 2. จงพิสูจนบทกลับของขอ 1. 3. จงพิสจู นก รณีทวั่ ไปของขอ 1. คอื ขอ 1. เปน จริงกบั รงิ ไมสลบั ทีม่ ีเอกลกั ษณซ ึง่ ไมมีไอดลี ไมช ัด 4. จงหาไอดีลท้ังหมดใน Z และ ใน Z/(10) 5. จงหาไอดลี ทง้ั หมดในริงพหนุ าม F [x] บนฟลด 6. จงหาไอดลี ขวา ไอดลี ซา ย และไอดีล ของริง R F [Q Q] = 0 0 7. จงแสดงวา ทกุ ไอดีลไมเ ปน ศนู ยในรงิ ของอนกุ รมกำลงั รูปนยั F [[x]] ในตัวยงั ไมก ำหนด x บนฟล ด F อยูใ นรูป (xm) สำหรับบางจำนวนเต็มไมเ ปน ลบ m 8. ให L เปน เซตของไอดลี ขวา ในรงิ R จงแสดงวา L เปน มอดุลารแลตทิซ และยกตวั อยา งเพอ่ื แสดงวา แลตทซิ L ไมจ ำปน ตอ งมสี มบัตกิ ารแจกแจง 9. จงหาไอดลี ของริง Z/(n) 10. จงแสดงวา มีรงิ สาทิสสณั ฐาน f ใ:หZ r/((Sm) )=→{xZ∈/(nR) โดSยxสง=¯10ไ}ปแ1¯ละก็ตl(อSเม) ื่อ=n{|xm∈ 11. ให S ≠ ∅ เปน เซตยอยของ R R } xS = 0 จงแสดงวา r(S) และ l(S) เปนไอดลี ขวาและไอดลี ซา ยของ R ตามลำดบั [เรียก r(S) และ l(S) วา ตัวทำลาย (annihilator) ซาย และขวาของ S ตามลำดบั ] 12. จในงแรงิสดRงวใดา สๆาจทงสิ แสสัณดฐงาวนาทเซีไ่ ตมใAชศ=ูนย{จ xาก∈ฟลRด F ไปยงั รงิ R เปน หนง่ึ ตอ หน่ึง 13. r(x) ∩ B ≠ (0) ทุกไอดลี ขวา B ̸= 0 ของ } R เปน ไอดีลของ R 14. ถา A, B และ C เปน ไอดีลขวา (หรอื ซา ย) ของรงิ R ท่ี A ⊆ B ∪ C จงแสดงวา A ⊆ B หรือ A⊆C 15. ให R1 วแา ละRR1∗ 2=เป{น(รxงิ ,แ0ล)ะ R = R1}× R2 ผลคRณู 2∗ ต=รงข{อ(ง0,Ry1) และR2 } เปน ไอดลี ใน จงแสดง x ∈ R1 , y ∈ R2 R และแสดงวา R1∗ ∼= R1, R2∗ ∼= R2 16. จงแสดงวา (R/A)n ∼= Rn/An เมือ่ A เปนไอดีลในรงิ R

Ω บรรณานกุ รม [1] สมใจ จติ พิทักษ. (2547). พชี คณติ นามธรรมเบ้ืองตน. พิมพค รงั้ ท่ี 1. สงขลา, มหาวิทยาลัยทกั ษณิ . [2] Artin M. (1991). Algebra. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J. [3] Bhattacharya P. B., Jain S. K., and Nagpaul S. R. (1994). Basic Abstract Algebra. 2nd ed. Cambridge University Press 1986. [4] Bourbaki N. (1970). Algebra. vol. 1, Hermann, Paris. [5] Chairat S., Huynh D. V., and Somsup C. (2013). On rings over which the injective hull of each cyclic module is Σ−extending. Journal of Algebra and Its Applications. Vol. 12, No.1, 1250127. [6] Chairat S., Somsup C., Shum K. P., and Sanh N. V. (2005). A Generalization of Azumaya’s Theorem on M−Injective Modules. Southeast Asian Bulletin of Mathematics. Vol. 29, No. 2, 1-5. [7] Cohn P. M. (1977). Algebra. vols. I and 2, John Wiley, New York 1974. [8] Thuat D. V., Hai H. D., Nghiem N. D. H., and Chairat S., (2016). On the endomorphism rings of maxCS and minCS modules. AIP Conference Proceedings 1775, 030066. https://doi.org/10.1063/1.4965186 [9] Gilbert W. J. and Nicholson K. W. (2004). Modern Algebra with Applications. John Willey&Sons, New Jersey, McCoy. [10] Halmos P. R. (1960). Naive Set Theory. Van Nostrand, New York. [11] Hardy G. H. and Wright E. M. (1945). An Introduction to the Theory of Numbers. Clarendon Press, Oxford.

122 บรรณานุกรม [12] lsaacs I. M. (1994). Algebra. Brooks/Cole Publishing Co., a Division of Wardsworth Inc., Pacific Grove. [13] Jacobson N. (1980). Basic Algebra. I,II, W. H. Freeman, San Francisco 1974. [14] Khamsong J. and Chairat S. (2013). Skew polynomial rings over weak σ−rigid rings and σ(∗)−rings. Proceeding of Annual Pure and Applied Mathematics conference 2013. Department of Mathematics, Faculty of Science, Chulalongkorn University, 83 – 87. [15] Saeho K. and Chairat S., (2012). On Faithful Multiplication Modules. วารสาร มหาวิท- ยาลยั ทักษณิ , 1-8. [16] Janusz N. H. and Janusz G. J. (1987). Introduction to Modern Algebra. 4th ed., Boston, Allyn and Bacon. [17] Rayalong H. and Chairat S. (2018). On the Direct sum of MinC11 and MaxC11 Modules. AIP Conference Proceedings 2013, 020047. https:// doi.org/ 10.1063/1.5054246 [18] Kaplansky I. (1969). Fields and Rings. University Press, Chicago. [19] Lang S. (1965). Algebra. Addison-Wesley, Reading, Mass. [20] McCoy N. H. (1964). Theory of Rings. Macmillan, New York. [21] Rotman J. J. (1965). An Introduction to the Theory of Groups. Allyn and Bacon, Boston. [22] Chairat S. and Rattakam P. (2013) On weak δ−rigid rings. Proceeding of Annual Pure and Applied Mathematics conference 2013. Department of Mathematics, Faculty of Science, Chulalongkorn University, 73 – 78. [23] Zariski O. and Samuel P. (1960). Commutative Algebra I. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg.

ภาคผนวก

124 บรรณานกุ รม

Ω เฉลยแบบฝก หัด เฉลยแบบฝกหดั บทท่ี 1 แบบฝกหัด 1.1 1. (1) x ∈ A ∪ A ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ A ⇔x∈A (p ∨ p ≡ p) ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ A (p ≡ p ∧ p) ⇔x∈A∩A (3)x ∈ (A ∪ B) ∪ C ⇔ x ∈ (A ∪ B) ∨ x ∈ C ⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∨ x ∈ C () ⇔ x ∈ A ∨ (x ∈ B ∨ x ∈ C) (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) ⇔x∈A ∨ x∈B∪C ⇔ x ∈ A ∪ (B ∪ C) (5) จะแสดงวา A = A∪(A∩B)โดยแสดงวา A ⊆ A∪(A∩B) และ A ⊇ A∪(A∩B) ◃ A ⊆ A ∪ (A ∩ B) เพราะวา ถา x ∈ A แลว x ∈ A หรอื x ∈ A ∩ B ดังนั้น ถา x ∈ A แลว x ∈ A ∪ (A ∩ B) ◃ A ⊇ A∪(A∩B) เพราะวา ถา x ∈ A∪(A∩B) แลว x ∈ A หรือ x ∈ A∩B กรณี x ∈ A ไดผลตามตองการ สว นกรณี x ∈ A∩B จะไดวา x ∈ A ∧ x ∈ B ซึ่งไดว า x ∈ A เชนกัน 3. จากกฏการเพิม่ เขา-ลบออก จะไดวา n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) = m+n−k

126 เฉลยแบบฝกหดั 5. กำหนดให A : เซตของหลอดภาพท่ีมขี อบกพรอง B : เซตของระบบเสียงท่ีมขี อบกพรอง C : เซตของรีโมทคอนโทรลท่ีมีขอ บกพรอ ง จากโจทยกำหนดสามารถเขยี นแผนภาพเวนนไ ดด ังน้ี แบบฝกหดั 1.2 AB 55 25 35 1. 5 15 10 y 50 5 805 C y 1 3 0 1 x 0 3 5x A×B B×A จากกราฟของ A × B และ B × A จะไดวา A × B ≠ B × A 3. สมมติ X ⊂ A และ Y ⊂ B; (x, y) ∈ X × Y ⇒ x ∈ X ∧ y ∈ Y ⇒ x∈A ∧ y∈B (∵ X ⊂ A, Y ⊂ B) ⇒ (x, y) ∈ A × B ถขดัา แXยง ×วาY∼⊂((AX×⊂BAจ)ะแ∧สด(Yงวา⊂XB⊂))Aดังแนลั้นะมYี a⊂∈ B โดยการขดั แยง สมมติเพอ่ื การ A, a ∈/ X หรือมี b ∈ B, b ∈/ Y จงึ ไดวา (a, b) ∈/ X × Y ซึ่งขัดแยง กบั สมมตฐิ านวา X × Y ⊂ A × B สามารถสรุปไดวา X × Y ⊂ A × B =⇒ X ⊂ A และ Y ⊂ B

เฉลยแบบฝก หัด 127 5. นิยาม x ≡ y หมายถึง x ≡ y(mod 4) สำหรับทกุ x, y ∈ Z 7. จาก 7.1 แสดงวา R เปนความสมั พันธส ะทอน การแสดงวา R เปนความสัมพันธสมมูลเหลอื เพยี งการแสดงวา R เปนความสัมพนั ธสมมาตรและถายทอด ◃ R เปน ความสมั พนั ธส มมาตร เพราะวา ถา xRy และ yRy โดย 7.2 จะไดว า yRx ◃ R เปนความสมั พนั ธถา ยทอด เพราะวา ถา xRy และ yRz โดย 7.2 จะไดวา zRx จากขอท่ีผานมาจะไดวา xRz ดังนั้นสรุปไดว า R เปน ความสมั พนั ธส มมลู บน S การพสิ จู นว า ทกุ ความสัมพนั ธสมมูลสอดคลองกบั 7.1 และ 7.2 สมมติ R เปน ความสัมพนั ธสมมลู บน S ดังน้นั R เปนความสัมพันธสะทอนทำใหสอดคลอ ง กบั 7.1 และเนอ่ื งจาก R เปนความสมั พนั ธส มมาตรและถายทอดทำใหสอดคลอ งกบั 7.2 9. ความสมั พันธ ∼ ในเซตของจำนวนเต็ม Z เปน ความสมั พันธสะทอ นเพราะวา ผลบวกของ จำนวนคูและผลบวกของจำนวนค่ีเปนจำนวนคู และจาก a + b = b + a จงึ ทำให ∼ เปน ความสัมพนั ธสมมาตร สุดทายสมมติ a + b = 2n1, b + c = 2n2; ∃n1 ∈ Z, ∃n2 ∈ Z จะ ไดว า () a+c = (a+c+2b)−2b = (a+b)+(b+c) −2b = 2n1+2n2−2b = 2(n1+n2−b) เมอ่ื n1 + n2 − b ∈ Z ดังนัน้ a + c เปนจำนวนคู จึงไดวา ∼ เปนความสัมพันธถายทอด จากทกี่ ลาวมาสามารถสรปุ ไดวา ∼ เปนความสัมพนั ธส มมูล และ Z/ ∼= {. . . , −3, −1, 1, 3, . . . } ∪ {. . . , −4, −2, 0, 2, 4, . . . } แบบฝกหัด 1.3 1. จากนยิ ามของการสง 3. (1) (⇒) สมมติ f เปน การสง หนึ่งตอหนึ่ง และ A ไมเปน เซตวาง เน่อื งจาก f เปนหนึง่ ตอ หนง่ึ ดังน้ันทุก b ∈ Im f มีบพุ ภาพเพยี งหนึ่งสมาชิกใหเปน a ∈ A โดยท่ี f(a) = b นิยาม ฟงกช ัน g : B → A เนอื่ งจาก Im f ⊆ B ให C = Im f ดังน้ัน |C| ≤ |B| สำหรบั แตละ a ∈ A เราให a = g(b) สำหรับบาง b ∈ Im f นัน่ คือ g(b) = g(f(a)) = a = iA(a) เนื่องจาก C ⊆ B สำหรับสมาชกิ k ∈ B\\C ดงั น้นั เราสามารถกำหนดสมาชกิ a0 ∈ A โดยที่ g(k) = a0 (เพราะวา k ไมส ง โดย f)

128 เฉลยแบบฝกหดั (⇐) สมมติมีการสง g : B → A โดยท่ี gf = iA ให a1, a2 ∈ A โดยที่ a1 ̸= a2 ดังนน้ั ได วา g(f(a1)) = a1 และ g(f(a2)) = a2 นั่นคอื g(f(a1)) ̸= g(f(a2)) จึงไดวา gf เปน หน่งึ ตอหนง่ึ ให x1, x2 ∈ A จะไดวา g(f(x1)) = g(f(x2)) =⇒ x1 = x2 โดยนยิ าม ของการสง หน่ึงตอหน่ึงจึงไดวา f(x1) = f(x2) สรุปไดวา f เปน หนง่ึ ตอ หน่งึ 5. เนื่องจาก f มีตวั ผกผันทางซาย โดยทฤษฎีบท 1.3.5 (1) จึงไดวา f เปน การสงหนึง่ ตอ หนงึ่ และเนือ่ งจาก g มีตัวผกผันทางขวา โดยทฤษฎบี ท 1.3.5 (2) จึงไดวา g เปน การสงทว่ั ถงึ จึง สามารถสรปุ ไดว า f และ g เปน การสงหน่ึงตอหนงึ่ ทั่วถึง จะแสดงวา fg = iB ให a ∈ A เนื่องจาก g ทัว่ ถึงดังนัน้ มี b ∈ B โดยที่ g(b) = a และ เนอ่ื งจาก f ทวั่ ถึงดงั นั้นมี a′ ∈ A โดยที่ f(a′) = b จากสมบัติของการสง gf จะไดวา a = g(b) = g(f(a′)) = a′ น่นั คอื f g(b) = f (g(b)) = f (a) = f (a′) = b = iB(b) สำหรับทุก b ∈ B จึงสามารถสรปุ ไดว า fg = iB 7. 7.1) n! 7.2) n! 7.3) โดยหลกั รงั นกพริ าบจะไมม ีการสงหนง่ึ ตอ หน่ึง (n − m)! 9. จำนวนของการสง ท้ังหมดคือ nn ในจำนวนนี้เปนหนึง่ ตอหนึง่ ทัว่ ถึง n! ฟงกชัน แบบฝกหัด 1.4 1. (1) x ◦ y = x2y ◃ ไมม สี มบตั เิ ปล่ยี นหมู เชน (2◦1)◦1 = (22×1)◦1 = 42 = 16 แต 2◦(1◦1) = 2 ◦ (12 × 1) = 22 = 4 ◃ ไมม สี มบัติสลบั ที่ เชน 2 ◦ 1 = 22 × 1 = 4 แต 1 ◦ 2 = 12 × 2 = 2 (2) x ◦ y = min(x, y) ◃ มีสมบตั ิเปลี่ยนหมู เพราะวา สำหรบั ทกุ x, y, z ∈ R\\{0} ไดวา (x◦y)◦z = ( min(x, ) = min(x, y, z) และ x ◦ (y ◦ z ) = min(x, y, z) y) ◦z ◃ มีสมบตั ิสลบั ท่ี เพราะวา สำหรบั ทกุ x, y, z ∈ R\\{0} ไดวา x ◦ y = min(x, y) = min(y, x) = y ◦ x

เฉลยแบบฝกหัด 129 (3) x ◦ y = xy + yx ◃ ไมม ีสมบัติเปลยี่ นหมู เชน (2 ◦ 1) ◦ 1 = (21 + 12) ◦ 1 = 31 + 13 = 4 แต 2 ◦ (1 ◦ 1) = 2 ◦ (11 + 11) = 22 + 22 = 8 ◃ จะแสดงวา ◦ มีสมบตั ิสลับท่ี ให a, b ∈ R\\{0} จะไดว า a ◦ b = ab + ba = ba + ab = b ◦ a (4) มีท้งั สมบตั ิเปลยี่ นหมูและสมบตั สิ ลับท่ี เพราะวา สำหรบั ทกุ x, y, z ∈ R\\{0} ไดวา (x ◦ y) ◦ z = 1 = x ◦ (y ◦ z) และ x ◦ y = 1 = y ◦ x 3. ให x, y, z ∈ S จงแสดงวา ◦ มสี มบัติการเปลี่ยนหมู (x ◦ y) ◦ z = (x • a • y) ◦ z (สมบัตเิ ปล่ยี นหมูของ •) = (x • a • y) • a • z = x • a • (y • a • z) = x • a • (y ◦ z) = x ◦ (y ◦ z) ให x, y ∈ S จงแสดงวา ◦ มีสมบตั สิ ลบั ท่ี x◦y = x•a•y (สมบัตสิ ลบั ท่ขี อง •) =y•a•x =y◦x 5. จะไดว า (a ∗ b) ∗ (c ∗ d) = (c ∗ d) ∗ (a ∗ b) = (d ∗ c) ∗ (a ∗ b) = [(d ∗ c) ∗ a] ∗ b โดย ใชส มบัตสิ ลับท่ใี นสองขั้นตอนแรกและขน้ั ตอนสดุ ทายใชสมบตั ิเปล่ยี นหมู 7. ไมเ ปนจริง เชน ให ∗ เปนการบวก และ ∗′ เปน การคณู บนจำนวนเต็ม S = Z จะไดว า 2 + (3 × 5) = 17 แต (2 + 3) × (2 + 5) = 35 เฉลยแบบฝก หดั บทท่ี 2

130 เฉลยแบบฝกหดั แบบฝกหัด 2.1 1. พิจารณา A เปนเซตของการสง f : R → R กบั การบวกปกติของการสง จะเห็นวา การ บวกปกตขิ องการสง มสี มบัตเิ ปลย่ี นหมู กลา วคอื () () f (x) + g(x) + h(x) = f (x) + g(x) + h(x) สำหรบั ทกุ x ∈ R และทุกการสง f, g, h ∈ A การสง x → 0; ∀x ∈ R เปนเอกลักษณใ น A และ f− เปนตวั ผกผนั ของ f เมื่อ f−(x) = −f(x); ∀x ∈ R 3. เนอ่ื งจาก (a·b)·(b−1 ·a−1) = a·(b·b−1)·a−1 = a·a−1 = e และ (b−1 ·a−1)·(a·b) = b−1 · (a−1 · a) · b = b−1 · b = e ดังน้ัน (a · b)−1 = b−1 · a−1 5. จาก abab = aabb และโดยกฏการตดั ออกของกรปุ จะไดวา ba = ab สำหรบั ทกุ a, b ∈ G จึงสรุปไดวา G เปน อาบเี ลียนกรปุ [] 7. เราทราบกนั วา การคณู ของเมทริกซมีสมบตั ิเปล่ียนหมู และเมทรกิ ซเอกลักษณ 1 0 เปน 01 เอกลักษณและ [√ √0 ]−1 [√ √0 ][ ]−1 [ ] −1 − −1 −1 = ,0 1 =0 0 − −1 0 −1 −1 0 10 [ √ ]−1 [ √ ][ ]−1 [ ] √0 −1 = √0 − −1 , −1 0 = −1 0 −1 0 − −1 0 0 −1 0 −1 สามารถคำนวณไดโ ดยตรงวา a4 = e, b2 = a2 และ b−1ab = a3 9. ให a ∈ G เน่อื งจาก G เปน เซตจำกัดดังน้ัน ai = aj สำหรับบาง i ̸= j สมมติ i < j เลือก p ที่ i < p(j − i) และ ap(j−i) = e โดยท่ี eai = ai จะไดวา e2 = eaiap(j−i)−i = aiap(j−i)−i = e สำหรับทุก j ≥ 0 แบบฝก หดั 2.2 1. ให G = { k = 0, 1, . . . , n − } นยิ าม ϕ : Z/(n) → G โดย ϕ(k¯) = e2kπi/n 1 Ze2kπi/n; k = 0, 1, . . . , n − 1 จะเหน็ วา แตละ e2kπi/n ∈ G มี k¯ ∈ /(n) ที่ ϕ(k¯) = e2kπi/n ดงั นัน้ ϕ ทัว่ ถงึ ตอ ไปสมมติ ϕ(e2k1πi/n) = ϕ(e2k2πi/n) จะไดวา k¯1 = k¯2 ดัง นั้น ϕ หนึ่งตอหน่ึง สดุ ทาย ϕ(k¯1 + k¯2) = ϕ(k1 + k2) = ϕ(e2k1πi/n)ϕ(e2k2πi/n) ดงั น้ัน ϕ เปนสาทสิ สัณฐาน จงึ สรปุ ไดวา ϕ เปนสมสณั ฐาน น่ันคอื G ∼= Z/(n)

เฉลยแบบฝกหัด 131 3. (⇒) สมมติกรุป G เปนอาบเี ลยี น จากทกี่ ำหนด f(x) = x2 ดงั นน้ั f(xy) = (xy)2 = xyxy = xxyy = x2y2 = f(x)f(y) นั่นคือ f เปน สาทสิ สัณฐาน (⇐) สมมติ f เปนสาทสิ สัณฐาน ดงั นนั้ f(xy) = f(x)f(y) เมอ่ื x, y ∈ G สังเกตวา f (xy) = (xy)2 = xyxy f (x)f (y) = x2y2 = xxyy ดังนนั้ xyxy = xxyy โดยสมบตั ิตดั ออกทางซา ยและทางขวาของกรปุ จะไดวา yx = xy จงึ สรุปไดวา G เปน อาบเี ลยี น 5. เน่ืองจากการดำเนนิ การในกรปุ D3 ไมมีสมบตั ิสลบั ทแ่ี ตก รปุ Z3 เปนอาบเี ลียน แบบฝก หดั 2.3 1. Ha = H =⇒ a = ea ∈ Ha =⇒ a ∈ H ในทางตรงขา ม ถา a ∈ H แลวสำหรบั ทกุ h ∈ H, ha ∈ H ดงั น้ัน Ha ⊆ H และ h = ha−1a ∈ Ha ดงั น้ัน Ha = H โดยสมบัตกิ ารเปนกรปุ ยอ ยจะไดวา HH = H และจาก aH = H กต็ อเมื่อ a ∈ H ดังนนั้ AH = H กต็ อ เมอ่ื A ⊂ H 3. ถา a, b ∈ x−1Hx แลว a = x−1h1x, b = x−1h2x โดยที่ x1, x2 ∈ H จะไดว า ab = (x−1h1x)(x−1h2x) = x−1(h1h2)x ∈ x−1Hx ถา h ∈ H ดังน้ัน h−1 ∈ H จึงไดวา x−1h−1x ∈ x−1Hx แต (x−1h−1x)(x−1hx) = e หรือ (x−1h−1x)b = e ดงั นนั้ b−1 = x−1h−1x ∈ x−1Hx สำหรับการแสดงวามีจำนวนเชงิ การนับเทา กัน ให x ∈ G เราสามารถนิยามฟงกชนั หนึ่ง ตอหนง่ึ ทัว่ ถึง α : H → x−1Hx โดย α(h) = x−1hx สำหรบั ทกุ h ∈ H 5. ถา xH ⊆ Hy ดงั นัน้ x ∈ Hy ทำให Hx ∩ Hy ≠ ∅ ดงั นั้น โดยสมบัติของชัน้ สมมูล Hx = Hy จะได xH ⊆ Hx นนั่ คือ xHx−1 ⊆ H 7. 7.1) ให o(H) = n และ o(K) = m เนื่องจาก (H ∩ K) < H และ (H ∩ K) < K ดงั นั้น o(H ∩ K) | n และ o(H ∩ K) | m แต (m, n) = 1 ดงั นนั้ o(H ∩ K) = 1 นน่ั คอื H ∩ K = {e} 7.2) กำหนด o(H) = p และ o(K) = n จะไดว า o(H ∩ K) | p และ o(H ∩ K) | n แต p เปน จำนวนเฉพาะ ดงั นัน้ ถา (p, n) = 1 จะได o(H ∩ K) = 1 ทำใหได H ∩ K = {e} และถา (p, n) ≠ 1 จะไดว า p | n นนั่ คือ H < K

132 เฉลยแบบฝกหดั 9. สมมติให o(a) = n และ o(a−1) = m ดงั นน้ั an = e โดยการคณู a−1 ทางซา ย n คร้ัง จะไดวา (a−1)n · an = (a−1)n · e โดยสมบัติการเปลีย่ นหมูจะได a−1 · a = (a−1)n ดังนน้ั (a−1)n = e ทำใหได m|n ในทำนองเดียวกัน จาก (a−1)m = e จะได (a−1)mam = eam ดังนนั้ am = e ทำใหได n|m นัน่ คือ n = m 11. สมมตใิ ห o(a) = n และ o(b−1ab) = m ดังนัน้ an = e จะไดว า (b−1ab)n = (b−1ab)(b−1ab) . . . (b−1ab) = b−1anb = b−1b = e ซ่ึงจะไดว า m|n ตอไป จากท่ี (b−1ab)m = e แลว จะได e = (b−1ab)m = (b−1ab)(b−1ab) . . . (b−1ab) = am ซ่ึงจะไดว า n|m นัน่ คอื n = m 13. สงั เกตวา xax−1 ≠ e เพราะถา xax−1 = e จะทำใหสรปุ ไดวา xa = x และ a = e พจิ ารณา (xax−1)n = (xax−1)(xax−1)...(xax−1) = xanx−1 = e แตมีเพยี ง a เทาน้ันท่ีมีอันดับเปน n ดงั น้ัน xax−1 = a นำ x คณู ทง้ั สองขางจะไดวา xa = ax สำหรบั ทกุ x ∈ G ทำใหไดว า a ∈ Z(G) สมมติถา n > 2 จะมจี ำนวนเตม็ บวก m > 1 ท่ีเปนจำนวนเฉพาะสัมพทั ธกับ n ทำให o(am) = o(a) ซ่ึงขัดแยง กบั สมมติฐานท่ีวา a เปนเพียงสมาชกิ ตัวเดียวท่ีมอี นั ดับ n 15. ให a เปน จำนวนเตม็ ที่ 1 ≤ a ≤ p − 1 จะไดวา a เปน จำนวนเฉพาะสัมพทั ธกบั p ดัง นัน้ จะมี b ในจำนวนเหลา นี้เพยี งตัวเดยี วท่ี ab ≡ 1 (mod p) และจาก p เปนจำนวน เฉพาะ จะไดวา a ≡ b (mod p) ก็ตอ เม่ือ a = 1 หรือ a = p − 1 ตอ ไป ถาตัด 1 และ p − 1 ออกแลว จะได 2, 3, ..., p − 2 สามารถจัดในรปู ผลคณู เปน 2 · 3 · ... · (p − 2) ≡ 1 (mod p) หรือ (p − 2)! ≡ 1 (mod p) เม่อื คูณดวย (p − 1) จะไดผลลพั ธตามตอ งการ 17. สมมติให o(am) = k ดงั นนั้ amk = e ทำให r | mk แต (r, m) = 1 ดังนัน้ r | k ใน ทางตรงขา มจะได (am)r = (ar)m = e ดงั นนั้ k | r 19. ให o(a) = m และ o(g(a)) = k จะไดวา (g(a))m = g(a) · · · g(a) = g(am) = g(e) = e′

เฉลยแบบฝกหัด 133 ทำให k | m และ ถา g เปนฟงกชันหน่งึ ตอหนึง่ แลว g(ak) = (g(a))k = e′ ทำใหได วา ak = e นนั่ คือ m | k 21. เหน็ ชัดวา e ∈ C(S) ถา x, y ∈ C(S) แลว xy−1s = xy−1syy−1 = xy−1ysy−1 = xsy−1 = sxy−1 สำหรบั ทุก s ∈ S ดังนั้น xy−1 ∈ C(S) จงึ สรปุ ไดวา C(S) < G และ C(G) คอื ศนู ยกลางของ G แบบฝกหัด 2.4 1. รากของ xn = 1 คือ cos 2kπ + i sin 2kπ เมื่อ k = 0, 1, . . . , n − 1 รากเหลา น้ีเปน n n กรุปที่กอกำเนดิ โดย ω = cos 2π + i sin 2π nn 3. ให G = (Z, +) ถา a ∈ Z กอ กำเนดิ (Z, +) แลว 1 = ma สำหรับบาง m ∈ Z ดงั นัน้ a = ±1 5. (⇒) เห็นไดชัด (⇐) ให a ∈ G, a ≠ e จะไดวา G = [a] โดยทฤษฎบี ท 2.4.4 กรปุ G มีเพียงกรปุ ยอยเดียวคือตัวเอง ดังนัน้ จึงไมม ีกรุปยอ ยแท 7. เนอื่ งจาก S3 ไมเปนอาบีเลยี น ดังนน้ั ไมม ีสาทิสสณั ฐานที่ไมเปนศูนยจาก S3 ทวั่ ถึงกรุ ปวัฏจักรอนั ดับ 6 และกรุปวฏั จักรอันดับ 3 มีเพียงสาทสิ สัณฐานเดยี วที่ไมเปน ศูนยจาก S3 = {e, a, a2, b, ab, a2b} ท่ัวถึง Z2 กำหนดโดย a → 0 และ b → 1 9. Z2 × Z2 สมสณั ฐานกับกรปุ ส่ีแบบไคลนซึ่งไมเ ปนกรุปวัฏจักร แบบฝก หดั 2.5 1. มีเพยี งกรุปยอ ยแทของ S3 ท่ีเปน กรุปวฏั จักรกอกำเนิดโดย σ = (1 2 3), τ1 = (2 3), τ2 = (1 3) และ τ3 = (1 2) 3. จากการเรยี งสับเปลีย่ นในตำรานี้เราไดวา σiτ = τ1+i และ τσi = τn+i−1 ดงั นน้ั σi, τ สามารถสลับท่ีกนั ได ก็ตอ เมอื่ i = 0 หรือ 2i = n ถา n เปนจำนวนคู แลว Z{ } = e, σn/2 เฉลยแบบฝกหดั บทที่ 3

134 เฉลยแบบฝก หดั แบบฝก หดั 3.1 1. สำหรับทุก a ∈ Z(G), x ∈ G จะไดวา Zxax−1 = axx−1 = a ∈ (G) 3. สำหรบั ทุก n ∈ N, m ∈ M, x ∈ G จะไดว า x(nm)x−1 = (xnx−1)(xmx−1) ∈ N M () 5. กรุปยอ ยวฏั จกั ร [b] กอกำเนดิ โดย b = 1 2 3 มีอันดบั 2 และ a−1ba ∈/ [b] เมอื่ 213 () a= 1 2 3 231 7. สำหรับทกุ h ∈ H, x ∈ G จะไดว า xhx−1 = (xh)2h−1(x−1)2 ∈ H ทำให H ▹ G และ ทกุ เซตรว มเก่ียว xH ∈ G/H ไดวา (xH)(xH) = x2H = H จึง สรุปไดว า G/H เปน อาบเี ลยี น 9. N เปน กรุปยอ ยของดัชนี 2 ใน S3 ดงั น้ัน N เปนกรุปยอ ยปรกต,ิ S3/N = {N, τN} เมือ่ τ N = {(2 3), (3 1), (1 2)} 11. det(B) = 1 =⇒ det(A−1BA) = det(A−1) det(B) det(A) = det(I) = 1 13. จะเห็นวา o(a/b + Z) หารดวย b ลงตวั 15. G/Z(G) เปน กรุปวฏั จักรดงั นั้น G เปน อาบีเลยี น (ดูตวั อยางในบทท่ี 1) ซึ่งขดั แยง กับ |G/Z(G)| = 37 17. ในสญั ลกั ษณของทฤษฎบี ท ในบทท่ี 2 เลอื ก A = [σ] , B = [τ ] 19. เซตของกรุปยอยปรกติทั้งหมดของ G เปน แลตทิซภายใตอันดบั บางสวนโดยการเปนเซต ยอย เม่อื H ∨ K คือกรุปยอ ยท่ีกอกำเนดิ โดย H และ K = HK และ H ∧ K = H ∩ K เนอื่ งจาก H, K เปน กรุปยอยปรกติดงั นั้น HK เปนกรุปยอ ยปรกติ ยง่ิ ไปกวา น้ัน ถา H ⊆ L แลว H(K ∩ L) = HK ∩ L แตแ ลตทซิ ของทกุ กรปุ ยอยของ G โดย ทว่ั ไปจะไมเปน มอดุลาร เชน เมื่อให G = D4 = {e, a, a2, a3, b, ab, a2b, a3b} เปน ก รปุ การหมุนรูป, L = [a], H = [a2] และ K = [b] จะไดวา H(K ∩ L) ̸= HK ∩ L