main

2.1 ก่งึ กรปุ และกรุป 35 ขอสงั เกต สมาชิกในแตละแถว หรือ หลกั ของตารางการดำเนนิ การจะแตกตา งกัน ตัวอยาง 2.1.17 กรปุ จำนวนเต็มมอดโุ ล n ภายใตการคณู (Zn, ·) พิจารณาเซต Zn นยิ ามการคณู โดย x y = xy เชน เดยี วกบั การพสิ จู นสำหรบั การบวกในตัวอยา ง 2.1.16 พิสจู นไดวา นยิ ามการคูณ เปน นยิ ามแจมชัด ดังนนั้ (Zn, ·) เปน กงึ่ กรุปที่มเี อกลักษณ ตารางการดำเนนิ การของกึ่งกรปุ (Z4, ·) แสดงไดดังตอ ไปนี้ ตารางท่ี 2.4: ตารางการดำเนนิ การ · บนเซต Z4 · 0123 0 0000 1 0123 2 0202 3 0321 เซตซงึ่ ประกอบดว ยสมาชิกที่มีตัวผกผนั ใน (Zn, ·) เปนกรุปสำหรบั การคณู ที่มีอนั ดบั ϕ(n) เม่อื ϕ เปน ฟงกชนั ออยเลอร (Euler function) ดังน้นั ใน (Z4, ·) จะได ({1, 3}, ·) เปน กรปุ หมายเหตุ ฟง กช นั ออยเลอร ϕ (Euler phi function) หมายถึง ฟงกชนั ϕ ซ่งึ มีโดเมนเปน เซตจำนวน- เต็มบวก และเรนจเ ปนเซตยอ ยของเซตจำนวนเต็มบวก กำหนดโดย ϕ(n) เทากับจำนวนของจำนวนเตม็ บวกทีน่ อ ยกวาหรือเทากบั n โดยที่จำนวนเต็มบวกเหลา นเ้ี ปน จำนวนเฉพาะสัมพัทธก บั n ตวั อยาง 2.1.18 กรปุ เชิงเสน (GL(n, F ), ·) ให GL(n, F ) เปนเซตของเมทรกิ ซมิติ n × n บนฟลด F ซึง่ หาตวั ผกผนั ได แลว จะ ไดวา GL(n, F ) เปน กรุปภายใตการคูณเมทรกิ ซ เรียกวา กรุปเชงิ เสน ทัว่ ไป ( general linear group) มติ ิ n พิจารณาเซตยอย SL(n, F ) ของเซต GL(n, F ) ซ่ึงประกอบดวยเมทรกิ ซท่ีมีดีเทอรมิ แนนต เทากบั 1 ให A, B ∈ SL(n, F ) จะไดวา det(AB) = (det A)(det B) = 1 ดงั น้ัน AB ∈ SL(n, F ) เหน็ ชัดวา In ∈ SL(n, F ) ซ่ึงจะได det(A−1)(det A) = det(In) = 1 นั่น คอื det(A−1) = 1 ดงั นัน้ A−1 ∈ SL(n, F ) เพราะฉะนนั้ SL(n, F ) เปนกรปุ ภายใตก ารคูณ

36 บทท่ี 2 กรปุ ตัวอยา ง 2.1.19 ผลคณู ตรงของกรปุ ∏n Gi ให G1, G2, . . . , Gn เปนกรปุi=1จะไดว า ผลคณู คารทีเซียน G1 × G2 × . . . × Gn เปน กรุปภายใตการดำเนินการทวภิ าคแบบจุดตอจดุ (pointwise) กลาวคอื (g1, g2, . . . , gn)(g1′ , g2′ , . . . , gn′ ) = (g1g1′ , g2g2′ , . . . , gngn′ ) โดยท่ี gi, gi′ ∈ Gi, 1 ≤ i ≤ n เหน็ ชัดวา ถา ei เปน เอกลกั ษณของ Gi แลว จะได (e1, e2, . . . , en) เปน เอกลักษณของ G1×G2×. . .×Gn และ (g1−1, g2−1, . . . , gn−1) เปน ตวั ผกผันของ (g1, g2, . . . , gn) สำหรบั สมบัติการเปล่ยี นหมูของ G1 × G2 × . . . × Gn เปนผลโดยตรงจากที่การดำเนินการ ทวิภาคในแตล ะ Gi มีสมบตั ิเปลี่ยนหมู กรุป G1 × G2 × . . . × Gn เรียกวา ผลคูณตรง (direct product) ของกรปุ Gi, 1 ≤ i ≤ n และเขยี นแทนดว ย ∏n Gi i=1 ตวั อยา ง 2.1.20 กรุปเมทริกซ M(2, F ) ให (F, +, ×) เปนระบบคณิตศาสตร ท่ีสมาชิกใน F บวก ลบ คณู หารกนั ได เม แทถรกิวซแลขะนา2ดห2ลกั×ต2ัวอบยนางFเชคน อื แAถว=ล[ำacดบั dbข]อโงดสยมทาี่ ชaิก, bข,อcง, dF∈ทF่ีจัดถเารียBงใ=นร[ูปxzสเี่ wหy]ลี่ยเปมนจเตั มรุ ทสั รมกิ ี ซ2 ขนาด 2 × 2 บน F นยิ าม A = B ก็ตอเมื่อ a = x, b = y, c = z และ d = w ผลบวก (sum) A + B ของ A และ B : [ ][ ] [ a+x ] a b x y c+z b+y A+B = c d + z w = d+w และผลคูณ (product) : [ ][ ] [ ax + bz ] a b x y cx + dz ay + bw AB = c d z w = cy + dw ให M(2, F ) แทนเซตของเมทรกิ ซขนาด 2×2 บน F จุดสนใจของเราในตอนน้อี ยูท ่ี F เปน เซต ของจำนวน Z, Q หรอื R ถา A ∈ M(2, R) ตวั กำหนด หรือ ดีเทอรมแิ นนท (determinant) ของ A คือ จำนวนจริง det(A) : [] a b det(A) = det c d = ad − bc ถา m ∈ Z แลว [ ][ ] mA = m a b = ma mb c d mc md

2.1 กึง่ กรปุ และกรุป 37 ดังน้นั จะไดว า ระบบ (M(2, R), +) เปนอาบเี ลยี นกรุป สมบตั ิปด สมบตั เิ ปลย่ี นหมู และสมบตั ิ สลับที่ไดจากสมบตั ขิ อง R สมาชกิ เอกลักษณใ นที่น้ี คอื [] 00 00 และตัวผกผัน (หรือนิเสธ) ของ A คอื −A = (−1)A [] [ −a −b ] a b −c −d − c d = สำหรบั M(2, R) กบั การคณู เมทริกซโดยท่วั ไปไมเปนกรุป เน่อื งจากเมทรกิ ซท่ีมีดี เทอรมิแนนตเปน ศูนยไมม ีตัวผกผันการคณู นอกจากนี้การคณู ใน M(2, R) ไมมีสมบตั ิสลบั ที่ พจิ ารณาตัวอยางเชน [ ][ ] [ ] 1 0 01 0 1 0 0 00 = 0 0 และ [ ][ ] [ ] 0 1 10 0 0 0 0 00 = 0 0 การคูณใน M(2, R) ไมเหมอื นกับใน R ซง่ึ มีขอ สงั เกตท่ีสำคญั อยา งหน่งึ คอื ผลคณู ของเม ทริกซท่ีไมใชเ มทรกิ ซศ ูนยอ าจไดเ มทริกซศ นู ย ตอไปเปนตวั อยางการพิสจู นส มบตั ิบางประการของกรุปที่นาสนใจ ตวั อยา ง 2.1.21 ถา G เปน กรุปท่ีมีสมบตั ิ (ab)n = anbn สำหรับจำนวนเต็มสามจำนวนถัดกนั แลว จะไดวา ab = ba การพิสูจน จากสมมติฐานจะไดว า (1) (ab)n = anbn (2) (ab)n+1 = an+1 bn+1 (3) (ab)n+2 = an+2bn+2 จาก (1) และ (2) ไดวา (ab)n(ab) = (ab)n+1 = an+1bn+1 โดยกฎการตดั ออก ทำใหไดวา bna = abn ในทำนองเดยี วกัน จาก (2) และ (3) จะได bn+1a = abn+1 แต bn+1a = b(bna) = b(abn) ดังน้นั abn+1 = babn ทำใหไ ดวา ab = ba ตัวอยาง 2.1.22 ให G เปน กรปุ ทมี่ ีสมบตั ิ (ab)2 = (ba)2 สำหรบั ทกุ a, b ∈ G และ ถา x ∈ G มีสมบตั ิ x2 = e แลว x = e ดงั นน้ั จะไดวา G เปนอาบีเลยี นกรปุ

38 บทที่ 2 กรปุ การพสิ ูจน ให a, b ∈ G โดยสมมติฐานจะได (ab−1b)2 = (bab−1)2 น่นั คอื a2 = ba2b−1 หรอื a2b = ba2 ดงั น้ัน จะไดวา สมาชิกกำลังสองใน G สลับที่กบั ทุกสมาชิกของ G ได กำหนด c = aba−1b−1 พจิ ารณา c2 = ab(a−1b−1a)(ba−1b−1) = ab(aa−2b−1a)(ba−1b−1) = ab(ab−1a−2a)(ba−1b−1) = ab(ab−1a−1)(ba−1b−1) = ab(abb−2a−1)(ba−1b−1) = (ab)(aba−1b−2)(ba−1b−1) = (ab)(aba−1)(b−1a−1b−1) = (ab)2(a−1b−1)2 = (ba)2(a−1b−1)2 ดงั น้ัน โดยสมมติฐานจะได c = e นั่นคือ ab = ba แบบฝก หัด 2.1 1. ให A เปนเซตของการสงจาก R ไปยงั R จงแสดงวา (A, +) เปน กรุปภายใตการบวกปกติของ การสง 2. ให H เปน เซตยอ ยของ C ซ่ึงประกอบดวยรากท่ี n ของสมาชิกหนวย จงพิสูจนวา H เปนกรุป ภายใตก ารคูณ 3. ให (G, ·) เปนกรปุ และ a, b ∈ G จงแสดงวา (a · b)−1 = b−1 · a−1 4. ให G เปน กรปุ ที่ a2 = e สำหรับทกุ a ∈ G จงแสดงวา G เปนอาบีเลียนกรปุ 5. ใจหงพ Gิสจู เนปวน ากเรมปุ ททร่ีิก(ซab[)12 สำ]หร[บั ทกุ G[−0จ1งแ−ส01ด]งวเปา นGกรเปุปภน าอยาใบตเี กลาียรนคกณู รุป 6. 0 =]a[2b2 0 −1 a], b∈ 0 1 −1 0 1 , 0 , 0 และ 1 [ เรียกวา กรุปสแ่ี บบไคลน (Klein four-group) ] 7. จงพสิ จู นว า เมทรกิ ซตอไปน้เี ปน กรุปไมส ลบั ทอี่ นั ดบั 8 ภายใตการคูณเมทริกซ [ ] [√ −1 √0 ][ ][ √] 1 0 0 − −1 01 √0 −1 , 0 1 , , −1 0 , −1 0 [ ] [√ ][ ][ √] −1 0 − −1 √0 0 −1 √0 − −1 0 −1 , 0 −1 , 10 , − −1 0 และจงแสดงวา ถา [ 0 ] [√ −1 √0 ][ √0 √] แลว 1 1 0 − −1 −1 −1 e = 0 ,a = ,b = a4 = e, b2 = a2 0 และ b−1ab = a3 [ เรียกวา กรปุ ควอเทอรเนียน (quaternion group)] 8. สมมติ G เปนก่งึ กรุปที่มีสมบตั ิวา สำหรบั ทุก a ∈ G มีสมาชิก a∗ ∈ G เพียงสมาชกิ เดยี วที่ aa∗a = a จงพิสจู นวา 8.1) ถา ee = e ใน G แลว e∗ = e 8.2) ถา a∗x = a∗, x, a ∈ G แลว x = aa∗ 8.3) สำหรบั ทุกสมาชิก a ∈ G , a∗aa∗ = a∗ และ a∗∗ = a 8.4) สำหรบั ทกุ สมาชิก a, b ∈ G แลว x = (ba∗)∗ เปน คำตอบของ xb = a 8.5) G เปน กรปุ

2.1 กึ่งกรุป และกรุป 39 9. ให G เปน กงึ่ กรุปจำกัด จงพิสจู นวา มี e ∈ G ท่ี e = e2 10. จงแสดงวา กรุปซ่งึ สมาชิกยกกำลัง m ทง้ั หมดสลับที่กนั ได และสมาชิกยกกำลงั n ทง้ั หมดสลับ ทไ่ี ด โดยที่ m, nเปน จำนวนเฉพาะสัมพทั ธ เปนอาบเี ลยี นกรปุ

40 บทท่ี 2 กรุป 2.2 || สาทิสสณั ฐาน สาทสิ สัณฐาน (homomorphism) เปน การสง ระหวางโครงสรา งทางพชี คณติ ท่คี งสภาพการ ดำเนินการ บทนยิ าม 2.2.1 ให G, H เปน กรปุ การสง ϕ : G → H เรียกวา สาทิสสัณฐาน (homomorphism) ก็ตอเม่ือ ทุกสมาชกิ x, y ∈ G มสี มบตั ิ ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) ถาสาทสิ สัณฐาน ϕ เปนฟง กชันหน่งึ ตอ หน่งึ (injective) แลว ϕ เรียกวา เอกสณั ฐาน (monomorphism) ถาสาทิสสณั ฐาน ϕ เปน ฟงกชนั ท่ัวถึง (surjective) แลว ϕ เรียกวา อุปริสัณฐาน (epimorphism) ถาสาทิสสณั ฐาน ϕ เปน ฟง กช ันหนงึ่ ตอหน่ึงทั่วถึง (bijective function) แลว ϕ เรยี ก วา สมสัณฐาน (isomorphism) ของ G ท่วั ถงึ H เขียนแทนดว ย G ∼= H ถา ϕ เปนสาทสิ สณั ฐานจาก G ไปยัง G เรยี กวา อนั ตรสณั ฐาน (endomorphism) และ ถา อันตรสณั ฐานเปน แบบหนึง่ ตอหนึ่ง และทั่วถงึ เรียกวา อัตสัณฐาน (automorphism) ถา ϕ : G → H เปนสาทิสสณั ฐานแบบท่วั ถงึ แลว H เรียกวา ภาพสาทิสสัณฐาน (homomorphic image) ของ G ถา ϕ : G → H เปน สาทสิ สัณฐานแบบหนงึ่ ตอหน่งึ แลว กลาววา G ฝง ใน H (embeddable) เขียนแทนดวย G → H หมายเหตุ ในบทนยิ ามของสาทิสสณั ฐานของกรุปแทนการดำเนนิ การดว ยการคณู ทง้ั ใน G และ H ซงึ่ การดำเนนิ การทวภิ าคในท้ังสองกรปุ อาจแตกตา งกัน ตวั อยา ง 2.2.1 กำหนดให G และ H เปน กรปุ ให e′ เปน เอกลกั ษณของ H การสง θ : G → H กำหนดโดย θ(x) = e′ สำหรบั ทุก x ∈ G จะไดวา θ เปน สาทิสสณั ฐาน เนอ่ื งจาก θ(xy) = e′ = e′e′ = θ(x)θ(y) ตวั อยา ง 2.2.2 กำหนดให G เปนกรุปใด ๆ จะไดวา การสงเอกลกั ษณ i : G → G เปน อัต สณั ฐานของ G เนือ่ งจาก i(x) = x, ∀x ∈ G เหน็ ชัดวา i เปน ฟงกช นั หน่งึ ตอ หนึง่ และท่วั ถึงบน G และไดว า i(xy) = xy = i(x)i(y)

2.2 สาทิสสณั ฐาน 41 ตวั อยาง 2.2.3 กำหนดให R( +, ·) และให (R, +) ซึง่ มีสมบตั ิเปน กรุป แลวจะไดวาการสง ϕ : R+ → R กำหนดโดย ϕ(x) = log x เปน สมสณั ฐาน พจิ ารณา ϕ(xy) = log xy เนอ่ื งจาก log xy = log x + log y ดงั น้ัน ϕ(xy) = ϕ(x) + ϕ(y) และโดยสมบตั ิของฟง กชันลอการิทึมเปนฟง กชันหน่งึ ตอ หนึ่งและท่ัวถึงจาก R+ ไป ยงั R ดังนน้ั ϕ เปนสมสัณฐาน ตวั อยาง 2.2.4 ให G เปนกรุป สำหรบั แตละ a ∈ G พิจารณาการสง Ia : G → G กำหนดโดย Ia(x) = axa−1 สำหรับทกุ x ∈ G แลว จะไดวา Ia เปนอตั สัณฐาน เนอ่ื งจาก Ia(xy) = axya−1 = (axa−1)(aya−1) = Ia(x)Ia(y) นน่ั คอื Ia เปน สาทิสสัณฐาน โดยกฎการตัดออก เนอ่ื งจาก axa−1 = aya−1 จะได x = y ดังนน้ั Ia เปน ฟง กชัน 1-1 สำหรบั แตละ x ∈ G จะไดวา x = a(a−1xa)a−1 = Ia(a−1xa) ดงั น้นั Ia เปนฟง กชนั ท่วั ถงึ สรปุ วา Ia เปนอตั สณั ฐานของ G เรยี กวา อัตสณั ฐานภายใน (inner automorphism) ของ G กำหนดโดย a จากการคงสภาพการดำเนนิ การของสาทิสสัณฐานระหวา ง 2 กรุปใด ๆ ทำใหสามารถพิสจู น สมบตั ิที่สำคญั อีกสองประการของสมสัณฐาน คอื การคงสภาพเอกลักษณ และการคงสภาพสมาชกิ ผกผนั ดังทฤษฎบี ทตอ ไปนี้ ทฤษฎีบท 2.2.1 ให G และ H เปน กรปุ มีเอกลักษณเ ปน e และ e′ ตามลำดบั และให ϕ : G → H เปนสาทิสสัณฐานแลว (1) ϕ(e) = e′ (2) ϕ(x−1) = (ϕ(x))−1 สำหรับทุก x ∈ G การพิสูจน (1) เนื่องจาก ϕ(e)ϕ(e) = ϕ(ee) = ϕ(e) = e′ϕ(e) ดังน้นั โดยกฎการตดั ออกจะ ได ϕ(e) = e′ (2) เน่อื งจาก ϕ(x)ϕ(x−1) = ϕ(xx−1) = ϕ(e) = e′ เพราะฉะนน้ั ϕ(x−1) = (ϕ(x))−1 บทนิยาม 2.2.2 ให G และ H เปนกรุป และให ϕ : G → {H เปน สาทสิ สณั ฐาน เคอรเนล (kernel) ของ ϕ เขยี นแทนดวย Ker ϕ หมายถึงเซต Ker ϕ = x } เมอื่ ∈G ϕ(x) = e′ e′ เปน เอกลักษณใน H จากทฤษฎีบท 2.2.1 กำหนดให ϕ : G → H เน่ืองจาก ϕ(e) = e′ จึงไดว า Ker ϕ ̸= ∅

42 บทที่ 2 กรุป ทฤษฎบี ท 2.2.2 สาทิสสณั ฐาน ϕ : G → H เปน ฟงกชนั หนงึ่ ตอหนึง่ กต็ อเมอ่ื Ker ϕ = {e} การพิสูจน สมมติ ϕ เปนฟงกชันหนึ่งตอหน่งึ และให x ∈ Ker ϕ ดงั นัน้ ϕ(x) = e′ = ϕ(e) เม่อื e, e′ เปนเอกลักษณใ น G และ H ตามลำดับ จะได x = e เพราะฉะนัน้ Ker ϕ = {e} บทกลับ สมมติ Ker ϕ = {e} จะไดวา ถา ϕ(x) = ϕ(y) แลว จะได ϕ(xy−1) = ϕ(x)ϕ(y)−1 = e′ น่นั คือ xy−1 ∈ Ker ϕ ทำให xy−1 = e และจะได x = y ดังน้นั ϕ เปน ฟง กชนั หนง่ึ ตอหน่งึ สามารถพสิ จู นไดวา ถา f : G → H และ g : H → K เปน สาทสิ สณั ฐาน (สมสณั ฐาน) ของ กรปุ แลว การประกอบของการสง g ◦ f : G → K เปน สาทิสสณั ฐาน (สมสัณฐาน) ของกรุป และ ไดวา ถา f : G → H เปนสมสณั ฐานของ G ไปยัง H แลว การสงผกผนั f−1 : H → G เปน สม สณั ฐานเชนกนั เนอ่ื งจากทุกกรุปสมสณั ฐานกับตัวมันเอง นั่นคอื สมสัณฐานของกรุปเปน ความสมั พนั ธ สมมูล แบบฝก หดั 2.2 1. ให G เปน กรุปการคูณของรากท่ี n ทงั้ หมดของสมาชกิ หนวย จงพิสจู นวา G ∼= (Z/(n), +) 2. จงพิสจู นวา กรปุ G เปนอาบีเลยี นกรุป ก็ตอเมื่อ การสง f : G → G กำหนดโดย f(x) = x−1 เปนสาทสิ สณั ฐาน 3. จงแสดงวา กรุป G เปน อาบีเลยี นกรปุ ก็ตอ เมื่อ การสง f : G → G กำหนดโดย f(x) = x2 เปนสาทิสสัณฐาน 4. จงหาเคอรเ นลของสาทิสสัณฐานตอ ไปนี้ 4.1) f : Z → Zn กำหนดโดย f(x) = x¯ 4.2) f : G → Z2 เมื่อ G เปนกรุปควอเทอรเ นียน และ f(a) = 0¯, f(b) = 1¯ 5. จงแสดงวาไมมีสาทสิ สัณฐานท่ีไมเ ปน ศนู ยจ ากกรปุ D3 (หรอื S3) ไปยังกรปุ Z3 6. ให F เปน ฟลดท่ีมี 2 สมาชิก จงแสดงวา GL(2, F ) ∼= S3

2.3 กรปุ ยอ ย และเซตรว มเก่ียว 43 2.3 || กรปุ ยอ ย และเซตรวมเกี่ยว เนื่องจากมีเซตยอ ยของกรุปที่มีสมบตั ิเปน กรุปภายใตการดำเนนิ การเดยี วกันกับกรุป จึงเรียก วา กรุปยอ ย บทนิยาม 2.3.1 ให (G, ·) เปนกรุป และ H เปนเซตยอ ยของ G เซต H เรียกวา กรุปยอ ย (subgroup) ของ G กต็ อเมื่อ H เปน กรปุ กบั การดำเนินการทวภิ าคเดยี วกับใน G เขยี นแทนดว ย H <G ขอ สังเกตุ สำหรบั กรุป G ใดๆ เซต {e} และ G ตา งก็เปน กรุปยอ ยของ G เรียกวา กรุปยอ ยชดั (trivial subgroup) กรุปยอย H ของ G เรยี กวา กรุปยอยแท (proper subgroup) ก็ตอ เมื่อ H ̸= {e} และ H ̸= G และแสดงไดว าเอกลักษณของกรปุ ยอ ยเปน ตัวเดยี วกันกบั เอกลกั ษณข องกรปุ ตัวอยา ง 2.3.1 พิจารณากรุป (Z6,+) ถา H = {0, 2, 4} จะไดวา (H, +) เปนกรุปยอ ยของ (Z6, +) ซ่ึงมีตารางการดำเนนิ การดังนี้ ตารางท่ี 2.5: ตารางการดำเนินการบวกมอดโุ ล 6 ของกรปุ ยอย H < Z6 + 024 0 024 2 240 4 402 ตัวอยาง 2.3.2 ตัวอยางของกรุปยอ ยจากระบบจำนวนไดแก (Q, +) เปน กรปุ ยอ ยของ (R, +) ({1, −1}, ·) เปนกรุปยอ ยของ (Q∗, ·) เมื่อ Q∗ = Q − 0 (Ze, +) เปน กรปุ ยอ ยของ (Z, +) เม่อื Ze แทนเซตของจำนวนเตม็ คู ทฤษฎีบท 2.3.1 ให G เปนกรุป เซตยอย H ≠ ∅ ของ G เปน กรุปยอยของ G ก็ตอเม่ือ ขอใด ขอหนงึ่ ตอ ไปน้ีจรงิ

44 บทท่ี 2 กรุป (1) สำหรับทกุ a, b ∈ H, ab ∈ H และ a−1 ∈ H (2) สำหรับทกุ a, b ∈ H, ab−1 ∈ H การพิสจู น ถา H เปนกรุปยอ ยของ G แลว เหน็ ชัดวา (1) และ (2) เปนจรงิ บทกลบั สมมติ H สอดคลองกบั ขอ (1) จะไดวาสำหรบั แตล ะ a ∈ H จะมี a−1 ∈ H ดงั นน้ั e = aa−1 ∈ H เพราะฉะนั้น H เปน กรปุ ยอ ยของ G ตอ ไปสมมติ H สอดคลองกับขอ (2) ให a, b ∈ H แลว จะไดวา e = bb−1 ∈ H ดังนน้ั b−1 = eb−1 ∈ H เพราะฉะนนั้ ab = a(b−1)−1 ∈ H นั่นคือ H เปนกรปุ ยอยของ G กรณีทเี่ ปน เซตจำกดั การเปนกรุปยอยจะมีกฎเกณฑท ่ีงายขนึ้ ทฤษฎบี ท 2.3.2 ให (G, ·) เปนกรุป เซตยอย H ≠ ∅ และเปน เซตยอ ยจำกดั ของ G จะไดวา H เปน กรปุ ยอ ยของ G ก็ตอ เม่อื ทกุ สมาชกิ a, b ∈ H จะได ab ∈ H การพิสจู น สมมตุ ิ H ̸= ∅ เปนเซตยอ ยจำกัดของ G ท่ี มีสมบตั ิปด ภายใตการดำเนินการ · ดัง นั้น (H, ·) เปนก่ึงกรุปจำกดั เนื่องจากกฎการตัดออกเปนจรงิ สำหรับทกุ สมาชกิ ใน G ดงั น้นั จึงเปน จริงสำหรบั ทกุ สมาชิกใน H ดวย เพราะฉะนนั้ โดยทฤษฎบี ท 2.1.2 จะไดวา H เปน กรุป และ ดัง นั้น H เปน กรุปยอ ยของ G สำหรับบทกลบั เปนจริงอยางเห็นไดชดั ตวั อยา ง 2.3.3 nZ เปน กรุปยอ ยของกรุป Z กบั การบวก พจิ ารณา nZ เซตของผลคูณของจำนวนเตม็ ทงั้ หมดกับจำนวนเตม็ n nZ { k ∈ Z} ดังนนั้ สำหรบั ทุกสมาชกิ k, k′ ∈ Z จะได นั่นคือ = nk nk − nk′ = n(k − k′) ∈ nZ ดังนัน้ nZ เปน กรุปยอ ยของกรปุ Z กบั การบวก ตวั อยา ง 2.3.4 ถาให (G, ·) เปนกรุปใด ๆ และ a ∈ G ให H เปน เซตของสมาชิกยกกำลงั ของ { k ∈ Z} แลวจะไดวา (H, ·) เปนกรปุ ยอ ยของ G แสดงไดดังนี้ a ท้ังหมด นั่นคือ H = ak เนอื่ งจาก ak(ak′)−1 = ak−k′ ∈ H สำหรับทกุ k, k′ ∈ Z ดังน้นั H เปนกรุปยอ ยของ G

2.3 กรุปยอย และเซตรวมเกีย่ ว 45 หมายเหตุ จากตัวอยา ง 2.3.4 กรุปยอ ย H = ak|k ∈ Z ของ G เรยี กวากรุปยอยวัฏจักร (cyclic subgroup) ของ G ที่ กอ กำเนดิ (generated) โดย a เขยี นแทนดวย H = [a] และ a เรยี กวา ตัวกอ กำเนดิ (generator) ของ H ถา G เปนกรุปกับการบวกแลว [a] = { k ∈ Z} เซตพหคุ ูณของ a ดังน้นั กรุป ka ยอ ย nZ ในตัวอยา ง 2.3.3 เปนกรุปยอยวฏั จักรของ Z ที่กอ กำเนิดโดย n กรปุ G เรียกวา กรปุ วฏั จกั ร (cyclic) ถา G = [a] สำหรบั บาง a ∈ G ทฤษฎบี ทตอไปนีเ้ ปนตวั อยา งของกรุปยอยทนี่ าสนใจ ทฤษฎบี ท 2.3.3 ให ϕ : G → H เปนสาทิสสณั ฐานของกรุป แลว จะไดวา Ker ϕ เปนกรุปยอ ย ของ G และ Im ϕ เปน กรปุ ยอยของ H การพิสูจน เนื่องจาก Ker ϕ และ Im ϕ ไมเปนเซตวาง สมมุติให a, b ∈ Ker ϕ แลว จะได ϕ(ab−1) = ϕ(a)ϕ(b)−1 = e′e′ = e′ เมอ่ื e′ แทนเอกลกั ษณของ H ดงั นน้ั ab−1 ∈ Ker ϕ นั่น คอื Ker ϕ เปนกรปุ ยอยของ G ตอ ไปสมมตุ ิให α, β ∈ Im ϕ ดงั นน้ั α = ϕ(x), β = ϕ(y) สำหรับบาง x, y ∈ G จะ ได αβ−1 = ϕ(x)ϕ(y)−1 = ϕ(xy−1) ∈ Im ϕ นั่นคือ Im ϕ เปนกรปุ ยอ ยของ H บทนิยาม 2.3.2 ศนู ยก ลาง (center) ของกรปุ G เขยี นแทนดว ย Z (xGa)สคำอืหรเซบั ตทขกุ อxงส∈มาGชกิ}ของ G ทสี่ ลับทไ่ี ดก บั ทุกสมาชิกใน G นนั่ คอื Z(G) = = { a ∈ G ax ทฤษฎบี ท 2.3.4 ศนู ยกลางของกรุป G เปน กรปุ ยอยของ G การพิสูจน เนอื่ งจาก ex = x = xe สำหรับทุก x ∈ G ดังน้ัน e ∈ Z(G) และสำหรบั ทกุ สมาชิก x ∈ G จะได ab−1x = ab−1xe = ab−1xbb−1 = ab−1bxb−1 = aexb−1 = axb−1 = xab−1 ดงั น้ัน ab−1 ∈ Z(G) เพราะฉะนนั้ Z(G) เปน กรุปยอ ยของ G

46 บทท่ี 2 กรปุ ตอ ไปจะพิจารณา การสรางกรุปยอยจากกรปุ ทกี่ ำหนดให ให H และ K เปนกรุปยอยของ G จะไดวา e ∈ H และ e ∈ K ดงั นนั้ H ∩ K ไมเปน เซตวา ง ถา a, b ∈ H ∩ K แลว จะได ab−1 ∈ H, ab−1 ∈ K ดงั น้นั ab−1 ∈ H ∩ K เพราะฉะนัน้ H ∩ K เปน กรุปยอยของ G นอกจากนั้นโดยขอกำหนดเดียวกนั น้ีแสดงไดวาอินเตอรเซกชนั ใด ๆ ของกรุปยอ ยของ G เปนกรุปยอยของ G แตยเู นยี นของกรุปยอ ย H และ K เปน กรุปยอ ยของ G ก็ตอเมื่อ H ⊂ K หรอื K ⊂H เนื่องจากถา สมมติ H ∪ K เปนกรุปยอ ยของ G แต H ̸⊂ K และ K ⊄ H ดังน้นั จะมี สมาชกิ a ∈ H − K และ b ∈ K − H แต a, b ∈ H ∪ K ดังน้นั ab ∈ H ∪ K ถา ab ∈ H แลว จะได b = a−1ab ∈ H เกดิ ขอ ขัดแยง และ ถา ab ∈ K แลวจะไดว า a = abb−1 ∈ K เกิดขอ ขัดแยง น่ันคอื H ∪ K ไมเ ปนกรปุ ยอยของ G { } xy x ∈ A, y ∈ B สำหรับเซตยอย A, B ใด ๆ ของกรุป G จะนิยาม AB = ∈ G และกรุปการบวก G ใด ๆ นิยาม A + B = { + y } x x ∈ A, y ∈ B ทฤษฎบี ท 2.3.5 ให H และ K เปนกรปุ ยอ ยของกรุป (G, ·) แลว HK เปนกรปุ ยอ ยของ G ก็ ตอเมือ่ HK = KH การพิสูจน ให HK = KH เนื่องจาก e = ee ∈ HK ดังนนั้ HK ไมเปน เซตวา ง ให a, b ∈ HK ดงั นั้น a = h1k1, b = h2k2 สำหรบั บาง h1, h2 ∈ H และ k1, k2 ∈ K ทำใหได ab−1 = h1k1k2−1h2−1 = h1k3h2−1 เมื่อ k3 = k1k2−1 ∈ K จะไดวา k3h−2 1 ∈ KH = HK ดงั น้นั k3h−2 1 = h3k4 สำหรบั บาง h3 ∈ H, k4 ∈ K เพราะฉะน้ัน ab−1 = h1h3k4 = h4k4 เมอื่ h4 = h1h3 ∈ H ดงั น้ัน ab−1 ∈ HK นนั่ คอื HKเปนกรุปยอ ยของ G บทกลบั สมมติ HK เปนกรุปยอยของ G ให a ∈ KH ดังน้นั a = kh สำหรบั บาง h ∈ H, k ∈ K จะได a−1 = h−1k−1 ∈ HK ดังนน้ั a ∈ HK เพราะฉะนัน้ KH ⊂ HK ตอ ไปให b ∈ HK จะได b−1 ∈ HK ดังน้ัน b−1 = h′k′ สำหรบั บาง h′ ∈ H, k′ ∈ K เพราะ ฉะนนั้ b = k′−1h′−1 ∈ KH ดงั นั้น HK ⊂ KH น่นั คือ HK = KH จากทฤษฎบี ท 2.3.5 จะไดว า ถา G เปนอาบเี ลียนกรุปแลว HK เปนกรปุ ยอ ยของ G สำหรับ ทกุ กรปุ ยอ ย H, K ของ G กรุปยอ ยของกรปุ G เปน อนั ดบั บางสวนโดยความสมั พันธก ารเปนเซตยอ ย ให H และ K เปน กรุปยอ ยของ G จะได H ∩ K เปนกรุปยอ ยที่ใหญทส่ี ุดของ G ท่ีบรรจุ ใน H และ K นน่ั คือ ถา L เปน กรปุ ยอยใด ๆ ที่บรรจุใน H และ K แลว L ⊂ H ∩ K

2.3 กรุปยอ ย และเซตรว มเกยี่ ว 47 ถา HK = KH แลว HK เปนกรุปยอ ยที่เลก็ ทสี่ ดุ ท่ีบรรจุ H และ K นน่ั คอื ถา M เปน กรุปยอยใด ๆ ท่บี รรจุ H และ K แลว hk ∈ M สำหรบั ทกุ h ∈ H, k ∈ K แตถ า HK ≠ KH ยงั คงหากรปุ ยอยเล็กสดุ ทีบ่ รรจุ H และ Kได { ให S เปนกรุปยอ ยของ G พิจารณาวงศ C ของกรปุ ยอ ยทัง้ หมดของ G ที่บรรจุ S นัน่ คือ C= A } A เปนกรปุ ยอยของ G และ S ⊂ A เนื่องจาก G เปนสมาชิกของ C ดังนัน้ C ไมเปน เซตวาง ให M เปน อนิ เตอรเซกชนั ของกรปุ ยอ ยทั้งหมดใน C ดงั นัน้ M เปนกรุปยอยของ G และ S ⊂ M ถา M′ เปน กรุปยอ ย และ S ⊂ M′ แลว M′ ∈ C ดังนนั้ M ⊂ M′ เพราะฉะน้นั M เปน กรปุ ยอยเลก็ สดุ ที่บรรจุ S เรียกวา กรุปยอยกอ กำเนิดโดย S และเขียนแทน M ดว ย [S] ถา G = [S] สำหรับบางเซตยอ ย S ของ G แลว S เรียกวา เซตของตัวกอ กำเนิดของ G เหน็ ชดั วาเซต G เปนเซตของตัวกอ กำเนดิ ของกรปุ G ถา S เปนเซตวา งแลว ไดวา [S] คือกรุปยอยชัด {e} ถา S เปน เซตจำกัด และ G = [S] แลวกลาววา G เปน กรุปกอกำเนิดจำกัด (finitely generated group) พิจารณากรุปยอ ย H และ K พบวา กรุปยอ ยเล็กสดุ ที่บรรจุ H และ K คือ กรุปยอ ยท่ีกอ กำเนดิ โดย H ∪ K ซง่ึ เขียนแทนดวย H ∨ K ทฤษฎบี ท 2.3.6 ให S ≠ ∅ เปน เซตยอยของกรุป G แลว กรุปยอยกอ กำเนดิ โดย S คอื เซต M ซึง่ เปนเซตของผลคณู จำกดั x1x2 . . . xn โดยที่ xi ∈ S หรอื xi−1 ∈ S ทกุ i การพสิ จู น จะไดวา S ⊂ M สำหรับสมาชิก a = x1 . . . xm และ b = y1 . . . yn ใน M จะได ab−1 = x1 . . . xmyn−1 . . . y1−1 ∈ M ดังนน้ั M เปนกรุปยอยของ G ให M′ เปน กรุปยอ ยใด ๆ ของ G ที่บรรจุ S แตละ x ∈ S จะได x ∈ M′ ดงั น้นั x−1 ∈ M′ เพราะฉะนั้น M′ บรรจผุ ลคณู จำกัด x1 . . . xn ทั้งหมดซ่งึ xi ∈ S หรือ x−i 1 ∈ S, i = 1, . . . , n ดงั นั้น M ⊂ M′ นัน่ คอื M เปน กรปุ ยอยเล็กสุดที่บรรจุ S เพราะฉะนั้น M เปน กรุปยอ ยที่กอกำเนดิ โดย S ถา S เปน เซตโทน {a} กรปุ ยอ ยกอกำเนดิ โดย S คอื กรุปยอ ยวฏั จกั ร [a] = { i ∈ Z} ai ดงั ทไ่ี ดแสดงไวต อนตน บทนยิ าม 2.3.3 ให G เปน กรุป และ a ∈ G ถามีจำนวนเตม็ บวกนอ ยสุด m ที่ซ่งึ am = e แลว m เรียกวา อันดบั (order) ของ a เขียนแทนดวย o(a) ถา ไมมีจำนวนเต็มบวกที่สอดคลอ ง ดงั กลาว เรียกวา a มีอันดับอนันต

48 บทท่ี 2 กรปุ ตัวอยา ง 2.3.5 (1) กรุปการบวก Z4 จะได o(¯2) = 2 เพราะวา ¯2 + ¯2 = ¯0 และไดวา o(3¯) = 4 (2) กรุปการคูณ G = { ∈ C x3 } สมาชิก ω = −1 √ มอี ันดบั เทากบั 3 อนั ดบั ของ i x =1 + −3 C x4 = { } 2 x 1 ใน G = ∈ คือ 4 (3) สมาชิกใด ๆ ของกรุปจำกัด G มีอันดับจำกดั เนือ่ งจาก ถา a ∈ G แลวสมาชิก a, a2, a3, . . . ของ G จะไมแตกตางกนั ทง้ั หมด ดงั นั้น มีจำนวนเตม็ บวก i, j ท่ตี างกันซ่ึง ai = aj จะได ai−j = e ดังน้นั o(a) จำกัด (4) สมาชกิ ไมเปนศูนยใด ๆ ของกรปุ (Z, +) มีอนั ดับอนันต ทฤษฎบี ท 2.3.7 ให G เปนกรปุ และ a ∈ G (1) ถา an = e สำหรับบางจำนวนเตม็ n ̸= 0 แลว o(a) | n (2) ถา o(a) = m แลว ทกุ จำนวนเต็ม i จะได ai = ar(i) เม่อื r(i) คอื เศษเหลอื ของ i มอดโุ ล m (3) กรุปวฏั จักร [a] มีอันดับ m กต็ อเมอ่ื o(a) = m การพสิ จู น (1) ให an = e สำหรับบาง n ∈ Z ที่ n ≠ 0 จะได a−n = e ดวย ดังนัน้ มี i > 0 ที่ ai = e เพราะฉะน้ัน โดยสมบัติการจัดอนั ดับดีของ N มีจำนวนเตม็ บวกนอยสุด m = o(a) ซ่ึงทำให am = e และโดยขน้ั ตอนวธิ ีการหาร จะได n = mq + r, 0 ≤ r < m ดงั นน้ั e = an = (am)qar = ar เพราะฉะน้นั r = 0 นั่นคือ m | n (2) โดยขนั้ ตอนวธิ ีการหาร สำหรบั แตล ะ i ∈ Z, i = mq + r, 0 ≤ r < m ดังนนั้ ai = ar เมอื่ r = r(i) เปน เศษเหลือของ i มอดโุ ล m (3) ให o(a) = m ดังนั้น e, a, . . . , am−1 แตกตางกัน มิฉะน้ันถา ai = aj สำหรับบาง i, j, 0 ≤ i < j ≤ m − 1 จะได aj−i = e เกิดขอ ขัดแยง ให H = [a] เปนกรุปยอยวัฏจักรกอกำเนดิ โดย a ดงั นั้น แตละ i ∈ Z จะได ai = ar(i) เมอ่ื r(i) คือ เศษเหลือของ i มอดโุ ล m น่นั คือ 0 ≤ r(i) < m ซ่ึงทำใหไ ดวา H มสี มาชิก m สมาชิกเทานั้น คือ e, a, . . . , am−1 บทกลบั สมมติ H มอี ันดับจำกดั ดงั น้ัน ai ไมแตกตางกันทุก i ∈ Z ดังนนั้ ให ai = aj สำหรบั บาง i, j ∈ Z, i < j ดงั น้ัน aj−i = e นั่นคอื a มีอนั ดับจำกดั แต H มี m สมาชกิ เทาน้นั ดังน้ัน o(a) = m

2.3 กรุปยอ ย และเซตรว มเกย่ี ว 49 บทแทรก 2.3.1 ถา G เปน กรปุ จำกัด แลว มจี ำนวนเต็มบวก k ซึ่ง xk = e สำหรบั ทกุ x ∈ G การพิสูจน เน่ืองจาก G เปนกรุปจำกัด ดังนนั้ กรปุ ยอยวฏั จกั ร [a] ของ G เปนกรุปจำกัดดว ย ดังน้ัน o(a) จำกัด แทนดว ย n(a) เลอื ก k = ∏ n(a) a∈G ดงั น้นั xk = e สำหรบั ทุก x ∈ G บทนยิ าม 2.3.4 ให H เปน กรุปยอยของ G กำหนด a ∈ G เซต aH = { h ∈ H}เรียก ah วา เซตรว มเกี่ยวซา ย (left coset) ของ H กำหนดโดย a เซตยอ ย C ของ G เรียกวา เซตรว ม เก่ยี วซา ยของ H ใน G กต็ อ เมื่อ C = aH สำหรับบาง a ∈ G เซตของเซตรวมเกย่ี วซายท้งั หมดของ H ใน G เขียนแทนดว ย G/H การนิยามเซตรว มเกี่ยวขวา (right coset) Ha ทำไดในทำนองเดียวกนั และเซตของเซตรว มเก่ียว ขวาทั้งหมดของ H ใน G เขยี นแทนดวย H\\G ตอ ไปพจิ ารณาเซตรวมเก่ียวซาย aH ของ H ใน G สำหรับสมาชิก a ∈ G ใด ๆ นยิ ามการสง f : H → aH โดย f(h) = ah เห็นชดั วาเปนการสงหน่งึ ตอ หน่งึ ท่ัวถงึ ดงั น้ัน ทกุ เซตรวมเก่ยี วซายของ H มีจำนวนเชงิ การนบั เหมอื นกนั และเทา กับจำนวนเชงิ การ นบั ของ H หมายเหตุ เน่ืองจาก eH = H ดังนั้น H เปน เซตรวมเกีย่ วซา ยของ H พิจารณาความสมั พันธ ∼ บน G กำหนดโดย a ∼ b ก็ตอเมื่อ a−1b ∈ H สำหรบั ทุก a, b, c ∈ G จะได a−1a = e ∈ H และถา a−1b ∈ H แลว จะได b−1a = (a−1b)−1 ∈ H และ ถา a−1b, b−1c ∈ H แลว จะไดวา a−1c = (a−1b)(b−1c) ∈ H ดงั น้ัน ความสัมพันธ ∼ เปนความสมั พันธสมมลู บน G สามารถพสิ จู นไดวา ช้นั สมมูล ของความสัมพันธ ∼ คอื เซตรว มเก่ียวซา ยของ H ใน G เพราะฉะน้นั เซต G/H ของเซตรว มเก่ียว ซา ยของ H ใน G เปนผลแบงกนั้ ของ G นน่ั คือ เซตรวมเก่ียวซา ยของ H ท่ีแตกตางกนั เปนเซต ไมม ีสว นรวมทุกคู และ ยูเนียนกนั ทัง้ หมดเทา กบั G พิจารณาเซตรวมเกยี่ วขวาของ H ใน G โดยขอ กำหนดทำนองเดียวกันกบั ขางตน สา- มารถพสิ จู นว า เซตรวมเกีย่ วขวา 2 เซตใด ๆ ของ H มจี ำนวนเชิงการนับเหมอื นกัน และเซต H\\G ของเซตรวมเกี่ยวขวาทัง้ หมด ของ H เปนผลแบงกั้นของ G สมาชกิ a, b ใน G เปน สมาชิกของ เซตรวมเกยี่ วขวาเดียวกัน กต็ อ เมอื่ ab−1 ∈ H

50 บทที่ 2 กรปุ พจิ ารณาการสง ψ : G/H → H\\G กำหนดโดย aH → Ha−1 นิยามแจมชดั เพราะ aH = bH ⇒ a−1b ∈ H ⇒ a−1(b−1)−1 ∈ H ⇒ Ha−1 = Hb−1 ในทำนองเดียวกนั จะไดวา ถา Ha−1 = Hb−1 แลว aH = bH ดังน้ัน ψ เปน ฟง กชนั หนง่ึ ตอหน่ึง และ เหน็ ชดั วา ψ เปน ฟง กชันทวั่ ถงึ เพราะฉะน้นั ψ เปนฟง กช นั หนงึ่ ตอ หนึ่งท่ัวถงึ ดงั นั้น G/H และ H\\G มจี ำนวนเชงิ การนับเหมอื นกัน บทนิยาม 2.3.5 ให H เปนกรุปยอ ยของ G จำนวนเชงิ การนบั ของเซตรวมเกีย่ วซา ย หรือเซต รวมเกย่ี วขวา ของ H ใน G เรียกวา ดชั นี ( index) ของ H ใน G เขยี นแทนดว ย [G : H] ถา H เปน กรุปยอ ยชัด {e} จะไดวา แตล ะเซตรวมเกย่ี วซา ย หรอื เซตรว มเก่ียวขวาของ H ใน G เปน เซตโทน ดงั นนั้ ดัชนีของ H เทากับอนั ดบั ของ G เม่ือเขยี น 1 แทนกรุปยอยชดั {e} จะได |G| = [G : 1] สำหรับแตละกรุปยอ ย K ≠ ∅ ของกรุปการบวก Z จะได [Z : K] จำกดั จึงสามารถตรวจ สอบไดโ ดยงา ยวา K = nZ, n ̸= 0 และจะได Z/nZ = Zn ตวั อยา ง 2.1.16 ของกรปุ ตอไปเปน ทฤษฎบี ทสำคัญในทฤษฎขี องกรุปจำกดั ทฤษฎีบท 2.3.8 ทฤษฎีบทลากรานจ (Lagrange Theorem) ให G เปนกรุปจำกัด แลว อันดับ ของกรุปยอ ยของ G หารอนั ดบั ของ G ลงตวั การพสิ ูจน ให G เปน กรปุ จำกัด และ H เปนกรุปยอยใด ๆ ของ G กำหนดให |G| = n, |H| = m ดังน้ัน ทกุ เซตรว มเกี่ยวซา ยของ H มี m สมาชกิ เนื่องจากเซตรว มเก่ยี วซา ยที่แตกตา งกนั ของ H เปน เซตไมม ีสวนรวมทกุ คู และยูเนยี นทง้ั หมดเทา กบั G จงึ ได n = km เมอื่ k คอื จำนวนเซต รว มเก่ยี วซา ยของ H ใน G นน่ั คอื [G : 1] = [G : H] [H : 1] ดงั นั้น |G| = k|H| เพราะฉะนน้ั |H|||G| ตอไปเปน ผลสำคัญที่ไดจากทฤษฎบี ทลากรานจ

2.3 กรุปยอย และเซตรว มเก่ียว 51 บทแทรก 2.3.2 ให G เปน กรุปจำกดั อนั ดับ n แลว สำหรับทุก a ∈ G, o(a) | n และ an = e และไดวา ทุกกรปุ จำกดั อันดบั เฉพาะ เปน กรปุ วัฏจักร และเปน อาบีเลียนกรุป การพิสจู น ให a ∈ G โดยทฤษฎีบทลากรานจ จะไดวา อันดบั ของกรปุ ยอ ยวฏั จกั ร [a] หาร n ลงตวั ดังนนั้ o(a) | n น่ันคอื n = mk เมื่อ o(a) = m ดงั นั้น an = akm = (am)k = e ถา n เปน จำนวนเฉพาะ และ a ≠ e จะไดวา อันดบั ของ [a] เทา กบั n ดังน้นั [a] = G และไดวา G เปน กรุปวฏั จกั ร ตอไปจะแสดงตัวอยา งการพสิ ูจนส มบตั ติ าง ๆ ทเี่ กีย่ วขอ งกบั อันดบั ของกรปุ ตัวอยาง 2.3.6 กรุปอนั ดบั นอ ยกวา 6 เปน อาบเี ลยี นกรปุ จากบทแทรก 2.3.2 กรปุ อนั ดบั 2, 3 หรือ 5 เปนกรุปวัฏจกั ร พิจารณากรุป G ซงึ่ มีอนั ดับ 4 ถามี a ∈ G ซึง่ มีอนั ดับ 4 จะได [a] = G ดังนั้น G เปนกรุปวฏั จักร ตอไปสมมติทุกสมาชิกที่ไมใช e มีอันดับเปน 2 นั่นคือ G = {e, a, b, c} และ a2 = b2 = c2 = e พิจารณาผลคูณ ab ถา ab = e แลว ab = aa ซง่ึ ทำใหไดวา b = a เกิดขอ ขดั แยง ดงั นั้น ab ̸= e ในทำนองเดียวกัน ab ≠ a, ab ≠ b ดงั น้ัน ab = c ดวยเหตุผลเดยี วกนั นี้ จะได ba = c, bc = a = cb และ ca = b = ac ดงั น้นั G เปนอาบีเลียนกรุป ซึง่ กรุป G หรอื กรุปท่ีสมสณั ฐานกบั กรุป G นี้ เรยี กวา กรุปส่ีแบบไคลน ดังนัน้ กรุปทง้ั หลายท่ีมีอันดบั นอยกวา 6 เปน อาบเี ลียนกรุป ตวั อยา ง 2.3.7 ทฤษฎีบท แฟรมา - ออยเลอร (Euler-Fermat theorem) ถา a เปน จำนวนเตม็ บวกทีเ่ ปน จำนวนเฉพาะสัมพัทธกับจำนวนเตม็ บวก m แลว aϕ(m) ≡ 1(mod m) โดยท่ี ϕ เปน ฟง กช นั ออยเลอร การพิสจู น เน่ืองจากสมาชิก x¯ ∈ Zm หาตัวผกผนั ได ก็ตอ เม่อื (x, m) = 1 และอนั ดบั ของ กรุปการคณู Z( m)∗ ของสมาชกิ ทหี่ าตัวผกผันไดใ น Zm คอื ϕ(m) เนื่องจาก (a, m) = 1 ดงั นั้น a¯ ∈ Z( m)∗ และจะได a¯ϕ(m) = 1 น่ันคอื aϕ(m) ≡ 1(mod m)

52 บทที่ 2 กรุป ตวั อยา ง 2.3.8 ทฤษฎบี ทปวงกาเร (Poincare's theorem) อนิ เตอรเ ซกชันของ 2 กรปุ ยอยดัชนี จำกดั มดี ชั นีจำกดั ให H, K < G โดยที่ H, K มีดชั นีจำกดั ให a ∈ G เหน็ ชดั วา (H ∩ K)a = Ha ∩ Ka ดังนั้น เซตรว มเกีย่ วขวาใด ๆ ของ H ∩ K เปน อนิ เตอรเซกชันของเซตรว มเก่ยี ว ขวาของ H และ เซตรว มเก่ยี วขวาของ K และจำนวนของแตละอนิ เตอรเซกชนั จำกัด ดังนน้ั จำนวนเซตรวมเก่ยี วขวาของ H ∩ K จำกัด ตวั อยาง 2.3.9 ให G เปนกรุป และ a, b ∈ G ซึ่ง ab = ba ถา o(a) = m, o(b) = n และ (m, n) = 1 แลว o(ab) = mn การพิสจู น สมมตุ ิให o(ab) = k ดงั นั้น (ab)k = e พิจารณา (ab)mn = amnbmn = e ซึง่ จะไดวา k | mn โดยทฤษฎบี ท 2.3.7 และไดวา (ab)k = e น่นั คอื akbk = e และจะ ได ak = b−k เนอื่ งจาก o(b) = o(b−1) ดังนั้น o(ak) = o(b−k) = o(bk) แตเน่ืองจาก am = e จะได (ak)m = e ดังนั้น o(ak) | m โดยทฤษฎีบท 2.3.7 ในทำนองเดียวกนั o(ak) | n เพราะฉะนน้ั o(ak) หาร (m, n) ไดลงตวั แต (m, n) = 1 ดังนนั้ o(ak) = 1 จะได ak = e น่ันคือ m | k ทำนองเดยี วกันจะได n | k ดัง นน้ั mn | k เน่ืองจาก k | mn จงึ ไดวา k = mn ตัวอยาง 2.3.10 ให G เปน กรุปจำกัด และ S, T < G แลว |ST | = |S| |T | |S ∩ T |

2.3 กรปุ ยอ ย และเซตรว มเก่ยี ว 53 การพิสจู น พจิ ารณา S × T และ นยิ ามความสมั พนั ธ ∼ ใน S × T โดย (s, t) ∼ (s′, t′) กต็ อ เม่ือ s′ = sa และ t′ = a−1t สำหรับบาง a ∈ S ∩ T ดังน้นั ∼ เปนความสัมพนั ธสมมลู ให (s, t) แทน ชัน้ สมมลู ของ (s, t) ∈ S × T และให S × T / ∼ เปน เซตของช้ันสมมลู { a ∈ S ∩ T } ดังน้ัน จากบทนยิ ามของ ความสมั พนั ธสมมลู จะไดวา (s, t) = (sa, a−1t) (s, t) = |S ∩ T | และ ถาให S × T = ∪k (si, ti) เปน ยเู นียนแบบไมมีสว นรวม ของช้นั i=1 สมมูล นนั่ คอื จำนวนสมาชิกในเซตของช้ันสมมูลเทากับ |S × T / ∼| = k จะได |S × T | = k |S ∩ T | (2.1) ตอ ไปนิยามการสง f : S × T / ∼→ ST โดย f(si, ti) = siti จะได f นิยามแจมชดั และ เปนฟง กชันหน่ึงตอหนง่ึ เพราะวา (si, ti) = (sj, tj) ก็ตอ เม่ือ sj = sia, tj = a−1ti สำหรบั บาง a ∈ S ∩ T ก็ตอเม่ือ sjtj = siti และ เหน็ ชัดวา f เปน ฟงกช ันทว่ั ถึง ดังนนั้ |S × T / ∼| = |ST | เพราะฉะน้ัน k = |ST | ดังนนั้ จาก (2.1) จะได |S × T | = |ST | |S ∩ T | นัน่ คอื |S| |T | = |ST | |S ∩ T | หรอื |ST | = |S| |T | |S ∩ T | แบบฝกหัด 2.3 1. ให H < G จงพสิ ูจนวา Ha = H ก็ตอ เมอื่ a ∈ H และ จงแสดงวา HH = H นอกจากน้ี ถา A ̸= ∅ เปน เซตยอยของ G แลวจงแสดงวา AH = H ก็ตอ เมื่อ A ⊂ H 2. ให G เปน กรปุ และ H < G สมมติ |G/H| = 2 จงพิสจู นว า aH = Ha สำหรับทุก a ∈ G 3. ให G เปน กรุป และ H < G จงแสดงวา สำหรับทกุ x ∈ G, x−1Hx เปนกรุปยอยของ G ท่ีมี จำนวนเชิงการนับเทากันกบั H 4. จงหากรปุ ยอ ยของกรปุ ที่กำหนดใหในแบบฝก หดั ขอ 5 และ 6 ของแบบฝกหัด 2.1 5. ให G เปนกรุป และ H < G สมมติวาแตละ x ∈ G มี y ∈ G โดยท่ี xH ⊆ Hy จงแสดงวา xHx−1 ⊆ H 6. ให V เปน กรุปของเวกเตอรในระนาบกบั การดำเนินการทวภิ าคการบวกเวกเตอร จงแสดงวา เซตของเวกเตอรท่ีมีจดุ เริ่มตน จากจดุ กำเนิด O และมีจดุ สดุ ทา ยบนสนตรงท่ีผา นจดุ กำเนดิ O ประกอบเปนกรุปยอ ย และจงหาความสมั พันธเ ซตรว มเก่ียวของกรปุ ยอยน้ี 7. 7.1) ถา H และ K เปน กรปุ ยอ ยท่ีมอี นั ดับเปนจำนวนเฉพาะสัมพทั ธกนั แลว จงพสิ จู นวา H ∩ K = {e} 7.2) ถา H และ K เปนกรปุ ยอ ยทีม่ ีอันดับ p และ n ตามลำดับ เม่อื p เปนจำนวนเฉพาะ แลว H ∩ K = {e} หรอื ไมก ็ H < K อยางใดอยางหนึง่ 8. จงแสดงวากรปุ ยอ ย A ของกรปุ G ไมเ ปน เซตรว มเกย่ี วซา ยของ 2 กรปุ ยอ ยทีแ่ ตกตา งกนั ของ G ถา A เปน เซตรว มเก่ียวซายของกรุปยอยของ G แลว จงพสิ จู นวา A เปนเซตรวมเกี่ยวขวาของ บางกรปุ ยอยของ G

54 บทท่ี 2 กรปุ 9. จงแสดงวา o(a) = o(a−1) สำหรับทกุ สมาชิก a ∈ G 10. จงแสดงวาสมาชิกท่มี ีอนั ดับจำกดั ของอาบีเลยี นกรปุ ใด ๆ ประกอบเปนกรุปยอย 11. ให G เปน กรปุ และ a, b ∈ G จงแสดงวา o(a) = o(b−1ab) 12. ถา a, b เปน สมาชิกใด ๆ ในกรปุ G จงแสดงวา ab และba มอี ันดับเทากัน 13. ถา G เปนกรุปมสี มาชิก a เพยี งสมาชกิ เดียวซง่ึ มอี ันดบั เทากับ n แลว a ∈ Z(G) และ n = 2 14. ให G เปนกรปุ และ a, b ∈ G ซง่ึ ab = ba ให o(a) = m และ o(b) = n จงแสดงวา มีสมาชกิ c ∈ G ที่ o(c) เปน ตวั คูณรว มนอยของ m และ n 15. จงพิสูจน Wilson's theorem : สำหรับจำนวนเฉพาะ p ใด ๆ (p − 1)! ≡ −1(modp) 16. จงแสดงวา ถา G เปนกรุปทีม่ อี นั ดบั เปน จำนวนคู แลว มีสมาชิกเปน จำนวนคท่ี อ่ี ันดบั เทากับ 2 17. ให a เปน สมาชิกของกรปุ G ซึง่ o(a) = r ให m เปนจำนวนเต็มบวกท่ี (m, r) = 1 จงพสิ ูจนวา o(am) = r 18. ให a เปน สมาชิกของกรปุ G ซงึ่ o(a) = r ให m ∈ Z+ จงพิสจู นว า o(am) = r/(m, r) 19. ให g : G → G′ เปนกรุปสาทิสสัณฐาน และ ให a ∈ G จงพสิ ูจนวา o(g(a)) | o(a) และถา g เปนฟง กช ันหน่ึงตอ หนึง่ แลว o(g(a)) = o(a) 20. ให G เปนกรุปจำกัด และ S, T เปนเซตยอยไมว างของ G ท่ี G ̸= ST จงพสิ ูจนวา |G| ≥ |S| + |T | 21. ให S เปนเซตยอยไมวา งของกรปุ G และให C (S ) = { ∈ G xs = sx, สำหรบั ทุก s } x ∈S จงแสดงวา C(S) < G และหาเซต C(G) [C(S) เรยี กวา ตวั ศนู ยก ลาง (centralizer) ของ S ใน G] 22. จงหาตวั ศนู ยกลางของเซตยอยของ S3 ตอ ไปนี้ {(1 2 3)}, {(1 2)} และ {(1 2 3), (1 2)}

2.4 กรุปวฏั จักร 55 2.4 || กรุปวฏั จักร กรุป G เปนกรุปวฏั จักร ก็ตอเมอ่ื G = [a] = { i ∈ Z} สำหรบั บาง a ∈ G ai ตวั อยา งท่ีสำคญั ของกรุปวัฏจกั ร ไดแ ก กรุปการบวกของจำนวนเตม็ Z และ กรุปการบวกของจำนวน- เต็มมอดโุ ล n, Zn สมบตั ิท่สี ำคัญของกรุปวัฏจกั รทัง้ สอง แสดงดังทฤษฎบี ทตอ ไปน้ี ทฤษฎบี ท 2.4.1 ทุกกรปุ วฏั จักรสมสัณฐานกับ Z หรอื Zn สำหรบั บาง n ∈ N การพิสจู น สมมุติให G = [a] เปน กรุปวัฏจักรอนันต พจิ ารณาการสง ψ : Z → G นิยามโดย ψ(i) = ai เห็นชดั วา ψ เปนสาทสิ สณั ฐานแบบทวั่ ถงึ และ จะไดวา ถา i ≠ j แลว ai ̸= aj มฉิ ะนั้น a จะมอี ันดับจำกัดซ่งึ ขัดแยงกับสมมตฐิ าน ดงั นนั้ ψ เปนฟงกชนั หน่งึ ตอ หนง่ึ เพราะฉะนน้ั ψ เปนสมสณั ฐาน ตอ ไปสมมติ G = [a] เปน กรุปวฏั จกั รจำกัดมีอนั ดบั n ดังนัน้ G = {e, a, . . . , an−1} และ o(a) = n พจิ ารณาการสง ψ : Zn → G กำหนดโดย ψ(¯i) = ai จะไดวา ψ นิยาม แจม ชดั และเปนฟงกช ันหนึ่งตอหนึง่ เน่อื งจากถา ให ¯i, ¯j ∈ Zn แลว จะได ¯i = ¯j ก็ตอเมือ่ n|(i − j) ก็ตอเม่ือ ai−j = e ก็ตอ เมื่อ ai = aj เหน็ ชัดวา ψ เปนฟง กชันท่วั ถงึ และจะไดอกี วา ψ(¯i + ¯j) = ψ(i + j) = ai+j = aiaj ดังนั้น ψ เปน สมสัณฐาน ทฤษฎีบทตอ ไปนี้เปน ผลจากทฤษฎบี ท 2.4.1 ทฤษฎบี ท 2.4.2 กรุปวฏั จักรสองกรุปใด ๆ ท่ีมอี ันดบั เทากนั (จำกัดหรอื อนนั ต) จะเปนกรุปที่ สมสณั ฐานกัน ทฤษฎีบท 2.4.3 ทุกกรปุ ยอยของกรปุ วฏั จักรเปน กรุปวฏั จักร การพสิ ูจน สมมตุ ใิ ห G = [a] เปนกรปุ วฏั จกั ร และ H เปน กรุปยอยของ G ถา H เปน กรุปยอย ชัด แลวเหน็ ชัดวา เปน จรงิ ตามทฤษฎบี ท ตอไป สมมตุ ิให H เปน กรุปยอยแทของ G ถา ai ∈ H แลว a−i ∈ H ดงั นน้ั มี จำนวนเต็มบวกนอ ยสดุ m ท่ี b = am ∈ H ตอไปจะแสดงวา H = [b] ให ai ∈ H โดยขน้ั ตอน วิธีการหารจะได i = mq + r, เมอ่ื 0 ≤ r < m ดังน้นั ar = ai−mq = aib−q ∈ H นน่ั คือ r = 0 เพราะฉะนั้น ai = bq ซง่ึ สรุปไดวา H = [b]

56 บทที่ 2 กรปุ กรุปวัฏจกั ร และกรุปยอ ยวฏั จกั รของกรปุ อาจมตี ัวกอกำเนดิ มากกวาหนงึ่ ตัวอยางเชน (Z4, +) ซ่งึ จากตารางการดำเนนิ การขางตนจะไดวา Z4 = [1] = [3] และ [2] = {0, 2} เปนกรุปยอ ยของ Z4 ถา G เปน กรุปจำกดั จะไดว า กรุปยอ ยวฏั จกั ร [g] เปน กรุปจำกัด สำหรับทกุ สมาชกิ g ∈ G ถา G เปน กรุปอนันต กรุปยอ ยวัฏจกั รอาจเปนกรุปจำกดั หรือกรุปอนันตกไ็ ด เชน ในกรุ ป (P(U ), ∆) โดยท่ี ∆ คือ ผลตา งสมมาตร ทุกกรุปยอ ยวัฏจักรท่ีไมใ ช [e] จะมีอนั ดบั 2 เพราะวา A∆A = ∅ ดงั นน้ั [A] = {∅, A} แตใน (R+, ·) ทุกกรปุ ยอยวัฏจกั รเปน กรุปอนันต ยกเวน [1] เพราะ [1] = {1} โดยท่วั ไปบทกลับของทฤษฎบี ทของลากรานจไมจรงิ แตทฤษฎีบทตอ ไปน้ีแสดงใหเห็นวา บท กลับของทฤษฎบี ทของลากรานจเ ปนจริงสำหรบั กรุปวัฏจกั ร ทฤษฎีบท 2.4.4 ให G เปนกรุปวัฏจักรจำกดั อนั ดับ n และให d เปน ตวั หารที่เปนบวกของ n แลว G มกี รปุ ยอยอันดบั d เพียงกรุปเดยี ว การพิสจู น ถา d = 1 หรือ n เหน็ ชัดวา ทฤษฎีบทเปน จรงิ สมมุตใิ ห 1 < d < n และ n = m d ให G = [a] และ b = am มีอนั ดบั d ดงั น้ัน [b] เปน กรุปยอยวฏั จักรอนั ดบั d เพ่อื พิสูจนความเปน ไปไดอยา งเดยี ว ให H เปนกรุปยอ ยอนั ดับ d ใด ๆ ของ G โดย ทฤษฎีบท 2.4.3 จะไดวา H กอกำเนิดโดย c = as และได asd = cd = e ดังนัน้ n | sd นั่นคือ md | sd และ ดังน้ัน m | s ให mλ = s ทำใหไดวา [as] ⊂ [am] = [b] แตเน่อื งจากแตละกรุป ยอ ย [as] และ [am] มอี นั ดบั d ดงั นนั้ [as] = [am] นั่นคือ H = [b] ตัวอยา ง 2.4.1 ให H = [a] และ K = [b] เปนกรุปวฏั จักรอันดบั m และ n ตามลำดับซึ่ง (m, n) = 1 แลว H × K เปนกรปุ วฏั จักรอนั ดบั mn การพิสูจน ให o(a, b) = d เน่ืองจาก (a, b)mn = (amn, bmn) = (e, e) ทำใหไดวา d | mn และ จะได (e, e) = (a, b)d = (ad, bd) ซึง่ ทำใหได ad = e = bd ดังนัน้ m | d และ n | d เพราะฉะนัน้ mn | d ดงั น้นั mn = d เนื่องจาก |H × K| = mn ไดวา (a, b) เปน ตัวกอกำเนิด กรุป H × K

2.4 กรุปวัฏจกั ร 57 แบบฝกหดั 2.4 1. จงพสิ ูจนว า กรุปการคูณของรากท่ี n ท้งั หมดของสมาชกิ หนว ยเปนกรปุ วฏั จักรอันดบั n 2. จงหาเซตทเ่ี ปน ไปไดทั้งหมดของตวั กอกำเนดิ ของกรปุ ยอยอันดบั 3, 4 และ 12 ของ Z12 3. จงพสิ จู นว ามสี มาชิกทเี่ ปน ตัวกอ กำเนดิ ของกรปุ วัฏจกั รอนันตเ พียง 2 ตวั 4. จงพิสจู นว า มีสมาชิกท่ีเปนตัวกอ กำเนิดของกรปุ วฏั จกั รอันดบั n เพยี ง ϕ(n) ตัว [แนะ: ถา a¯ เปนตัวกอกำเนิดของ Z( n, +) แลว ¯1 = ma¯ สำหรบั บาง m ∈ Z ดังนัน้ ma ≡ 1(mod n) ซ่ึงทำใหได (a, n) = 1] 5. จงแสดงวากรุป G ไมม ีกรุปยอยแท ก็ตอ เมอ่ื G เปนกรปุ วฏั จกั รอนั ดบั เฉพาะ 6. จงแสดงวาทุกกรปุ ยอ ยท่ีมีตวั กอกำเนดิ จำกัดของ (Q, +) เปนกรุปวฏั จกั ร และจงแสดงวา (Q, +) ≄ (Q+, ·) เม่ือ Q+ แทนจำนวนตรรกยะบวก 7. จงหาสาทสิ สณั ฐานจาก S3 ไปทัว่ ถงึ กรปุ วฏั จักรไมชัด (nontrivial cyclic group) 8. จงแสดงวา Z × Z ไมเ ปนกรุปวัฏจกั ร 9. จงแสดงวา Z2 × Z2 เปน กรุปวัฏจักรหรอื ไม 10. จงยกตวั อยางของกรุปไมส ลบั ที่ ซง่ึ แตละกรปุ ยอ ยแทเปน กรุปวัฏจกั ร

58 บทท่ี 2 กรปุ 2.5 || กรปุ การเรียงสับเปลี่ยน บทนยิ าม 2.5.1 ให X ≠ ∅ กรปุ ของการเรยี งสบั เปลี่ยนท้งั หมดของเซต X ภายใตก ารประกอบ ของการสง เรียกวา กรุปสมมาตร (symmetric group) บน X เขยี นแทนดว ย SX กรุปยอ ยของ SX เรียกวา กรุปการเรยี งสบั เปลีย่ น (permutation group) บน X ฟงกช ันหน่งึ ตอ หนึง่ ทั่วถึงระหวา ง X กบั Y หรอื X ∼= Y กอ ใหเกิดสมสัณฐานระหวา ง SX กับ SY หรอื SX ∼= SY และถา |X| = n แลวจะเขียนแทน SX ดว ย Sn เรยี กวา กรปุ สมมาตรระดบั ข้ัน n (symmetric group of degree n) เปนกรุปที่มีอันดับ n! การเรยี งสบั เปลย่ี น σ ∈ Sn เขยี นในรูปแบบ 2 แถวไดดงั นี้ () 1 2 ··· n σ(1) σ(2) · · · σ(n) ประกอบดว ยจำนวนเตม็ สองแถว แถวบนมีจำนวนเตม็ 1, . . . , n และ แถวลา งประกอบดวย σ(i) , i = 1, . . . , n ซึง่ เรยี กวา สญั กรณ 2 แถว (two-row notation) สำหรบั การเรยี งสบั เปล่ียน การเรยี งสบั เปลย่ี นบางแบบสามารถเขยี นใหง ายขึ้นโดยใช สัญกรณ 1 แถว เรียกวา วัฏจักร (cycle) บทนิยาม 2.5.2 ให σ ∈ Sn ถามีลิสต n ของจำนวนเตม็ ที่แตกตา งกนั คือ x1, . . . , xr ∈ n โดยท่ี σ(xi) = xi+1, i = 1, . . . , r − 1, σ(xr) = x1, σ(x) = x ถา x ∈/ {x1, . . . , xr} แลว เรยี ก σ วา วฏั จกั รความยาว r และเขยี นแทนดวย (x1 x2 . . . xr) สำหรับวัฏจักรความ ยาว 2 เรยี กวา คูส ลับ (transposition) อาจกลาววา วฏั จักร (x1 x2 . . . xr) เปนการเปลี่ยนตำแหนง จำนวนเต็ม x1, x2, . . . , xr โดยการหมนุ รอบวงกลมไปหนึง่ ตำแหนง ดังแสดงในแผนภาพดังรปู ที่ 2.1 ( r = 5 ) และ จำนวนอืน่ ๆ ทเ่ี หลือใน n ไมเ ปลย่ี นตำแหนง นั่นคอื ถา σ(x) = x จะกลา ววา σ ไมเปล่ียนตำแหนง ของ x

2.5 กรปุ การเรยี งสับเปลย่ี น 59 x2 x1 x3 x5 x4 รปู ที่ 2.1: แผนภาพแสดงวฏั จกั ร เห็นชัดวา วฏั จักรความยาว 1 คือ การสง เอกลกั ษณ e ขอ สังเกต สัญกรณ 1 แถว ของวฏั จักรไมไดแสดงวามรี ะดับขัน้ n จึงตอ งพิจารณาโดเมนของการสง นั้น จากขอความทก่ี ำหนด การเรยี งสบั เปลย่ี น σ, τ ∈ Sn เรยี กวา ไมม ีสวนรวม (disjoint) ถา ทง้ั สองสมาชกิ ไมสามารถ เปลย่ี นตำแหนงของจำนวนเต็มเดยี วกัน นั่นคือ สำหรับทุก x ∈ n, σ(x) = x หรอื τ(x) = x แสดงตวั อยา งดังกลาวโดยพจิ ารณากรุปการสมมาตร S3 มีการเรยี งสบั เปลย่ี น 6 แบบของเซต {1, 2, 3} คอื () () () () () () e= 1 2 3 , σ1 = 1 2 3 , σ2 = 1 2 3 , τ1 = 1 2 3 , τ2 = 1 2 3 , τ3 = 123 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 3 2 3 2 1 213 เม่อื ตรวจสอบจะพบวาการเรยี งสบั เปลย่ี นท้ังหมดเปนวฏั จักร นัน่ คอื e = (1) , σ1 = (1 2 3) , σ2 = (1 3 2) τ1 = (2 3) , τ2 = (3 1) , τ3 = (1 2) ผลคณู ของการเรยี งสบั เปลยี่ น หาไดจากการประกอบของการสง ดงั นั้น () τ1σ1 = 123 = τ2 321 หมายเหตุ การคณู στ จะเริม่ ท่ี τ กอนแลวตามดวย σ สามารถหารูปแบบท่ีงา ยขึน้ ของผลคูณสมาชิกใน S3 โดยแทนดว ยผลคูณของ 2 สมาชิก σ และ τ ดงั น้ี เขียนแทน σ1 = (1 2 3) ดว ย σ และ แทน τ1 = (2 3) ดวย τ ทำใหไดผ ลคณู ดงั น้ี σ2 = σ2, σ3 = e, τ 2 = e, στ = τ3, σ2τ = τ2 = τ σ ดงั นั้นจะไดวา S3 = {e, σ, σ2, τ, στ, σ2τ}

60 บทที่ 2 กรปุ ผลคณู ของสองสมาชิกใด ๆ ใน S3 สามารถคำนวณโดยใชความสัมพันธ σ3 = e = τ2, τσ = σ2τ (2.2) และสมบตั ิการเปลี่ยนหมูการคณู ดังน้นั จากความสมั พนั ธตามสมการ (2.2) สามารถกำหนดตารางการ คูณของกรุปไดด ังนี้ ตารางที่ 2.6: ตารางการดำเนินการ ◦ บนเซต S3 ◦ e σ σ2 τ στ σ2τ e e σ σ2 τ στ σ2τ σ σ σ2 e στ σ2τ τ σ2 σ2 e σ σ2τ τ στ τ τ σ2τ στ e σ2 σ στ στ τ σ2τ σ e σ2 σ2τ σ2τ στ τ σ2 σ e กรุปยอยของกรุปการสมมาตร SX เรียกวา กรุปการเรยี งสบั เปลี่ยน หรอื กลา ววา กรุปการ เรยี งสบั เปลี่ยนหมายถึง กรปุ (G, ·) ท่ีสมาชิกของ G เปน การเรียงสับเปลี่ยนของเซต X ใด ๆ และการ คณู · หมายถึงการประกอบของการสง ทฤษฎีบทตอไปนแ้ี สดงสมบัตสิ ำคัญของกรุปการเรยี งสับเปลยี่ น ทฤษฎบี ท 2.5.1 ทฤษฎบี ทเคยเ ลย (Cayley Theorem) กรุปทกุ กรปุ สมสณั ฐานกับกรุปการเรียงสับเปลย่ี น การพสิ ูจน ให G เปน กรุป สำหรับสมาชิก a ∈ G ใด ๆ กำหนดการสง fa : G → G โดย fa(x) = ax สำหรบั ทกุ x ∈ G จะได fa เปน ฟง กชันหนึง่ ตอหนึ่งทัว่ ถงึ เพราะวา ถา ax = ax′ แลว x = x′ และ y = fa(a−1y) สำหรับทุก x, x′, y ∈ G พิจารณาการสง ϕ : G → SG กำหนดโดย ϕ(a) = fa สำหรับทุก a ∈ G เน่ืองจาก SG เปน กรุปสมมาตรบนเซต G ดังน้นั สำหรบั ทุก a, b, x ∈ G จะได fab(x) = abx = fa(bx) = fa(fb(x)) = (fafb)(x) ดงั น้ัน ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) เพราะฉะนั้น ϕ เปนสาทิสสณั ฐาน จะได Im(ϕ) เปนกรปุ ยอยของ SG และ ถา ϕ(a) = ϕ(b) แลว ax = bx สำหรบั ทกุ x ∈ G ดงั น้ัน a = b นั่นคอื ϕ เปนสาทสิ สัณฐานหนึง่ ตอ หนง่ึ ทว่ั ถึง Im(ϕ) เพราะฉะนนั้ G สมสัณฐาน กับกรุปยอ ยของ SG

2.5 กรปุ การเรียงสับเปลีย่ น 61 สมสณั ฐานดงั ทฤษฎีบท 2.5.1 นเ้ี รยี กวา ตัวแทนปรกติดา นซา ย (left regular representation) ของ G ซง่ึ ไดจาก fa(x) = ax ในทำนองเดยี วกันเราสามารถหาตัวแทนปรกติดา นขวาของ G จาก fa(x) = xa ตอ ไปจะกลาวถึงคลาสของกรุปการเรียงสบั เปลี่ยนที่สำคญั คลาสหนงึ่ ซ่ึงเปน ท่ีรูจักกนั วา กรุปการสมมาตรเชิงเรขาคณติ ให X เปนเซตของจุดในปรภิ ูมิ และ แทนระยะทางระหวางจดุ x, y คือ d(x, y) สำหรบั ทุก x, y ∈ X การเรียงสับเปล่ยี น σ ของ X เรียกวา การสมมาตร (symmetry) ของ X ก็ตอเมอ่ื d(σ(x), σ(y)) = d(x, y) สำหรับทกุ x, y ∈ X หรือกลาววา การสมมาตร หมายถึง การเรียงสับ เปล่ียนท่ีคงสภาพระยะทางระหวางจดุ 2 จดุ ใด ๆ ให TX แทนเซตของการสมมาตรของ X ทัง้ หมด แลว สำหรับทุก σ, τ ∈ TX และ x, y ∈ X จะได d(τ σ−1(x), τ σ−1(y)) = d(σ−1(x), σ−1(y)) = d(σσ−1(x), σσ−1(y)) = d(x, y) ดงั นัน้ τσ−1 ∈ TX ซ่ึงเปนการพสิ จู นวา TX เปนกรุปยอ ยของ SX เพราะฉะนนั้ TXเปนกรุปภายใต การประกอบของการสง ซง่ึ เรียกวา กรปุ ของการสมมาตรของ X ตัวอยา ง 2.5.1 กรุปการสมมาตรเชงิ เรขาคณติ พจิ ารณากรณีท่ี X เปนเซตของจุดยอดมุมของ สามเหล่ยี มดานเทา 1 23 รูปท่ี 2.2: รูปสามเหล่ยี มดา นเทาท่ีมี 1, 2 และ 3 เปน จุดยอด เม่อื หมนุ รูปทวนเข็มนาิกาโดยทำมมุ 0, 2π/3 และ 4π/3 เรเดียน การสมมาตรทัง้ 3 แบบ เปนการเคลือ่ นจดุ ยอดของสามเหลี่ยมตามรูปแบบดังน้ี 1→1 1→2 1→3 2→2 2→3 2→1 3→3 3→1 3→2 ตามลำดบั และนยิ มเขยี นแทนดวยสญั กรณ 2 แถวดงั น้ี () () () 1 23 1 23 123 e= 1 23 a= 2 31 a2 = 312

62 บทที่ 2 กรุป หมายเหตุ การหมนุ โดยทำมุม 4π/3 เรเดยี น จะสมมูลหรือไดผลลพั ธเดยี วกนั กบั การหมุนโดยทำ มมุ 2π/3 เรเดยี นสองครงั้ ตดิ ตอกนั น่นั คอื ถา a แทนการหมนุ โดยทำมมุ 2π/3 เรเดียนจะไดวา a2 แทนการหมนุ โดยทำมุม 4π/3 เรเดยี น แสดงการสมมาตรท้งั 3 แบบ ดงั รูป 111 23 2π/3 4π/3 (1) 23 23 (2) (3) รูปที่ 2.3: หมนุ รูปสามเหลี่ยมดา นเทา ทวนเข็มนากิ าทำมมุ 0, 2π/3, 4π/3 เรเดยี น สำหรับ การสมมาตรอีก 3 แบบ คอื การสะทอนผา นเสน สว นสูงของสามเหลีย่ มดา นเทา ทลี่ ากผา นแตล ะจุดยอดดังน้ี 1→1 2→2 3→3 2→3 3→1 1→2 3→2 1→3 2→1 นยิ มเขยี นแทนดวย () () () 123 123 123 b= 132 ab = 321 a2b = 213 โดยทก่ี ารคูณหมายถงึ การประกอบของการสง แสดงการสมมาตรทง้ั 3 แบบ ดังรปู 1 1 1 ab a2b 2 b3 23 23 (1) (2) (3) รปู ที่ 2.4: การสะทอ นผา นเสนสว นสงู ของรปู สามเหลีย่ มดานเทาทลี่ ากผา นจุดยอด 1,2,3 เน่อื งจากการสมมาตรใด ๆ ของสามเหล่ยี มดานเทาหาไดจากจุดยอดทั้งสามจดุ ดงั นนั้ เซตของการสมมาตรจงึ มี 6 สมาชิก เขียนแทนกรุป S ดวย D3 เรียกวา กรปุ การหมุนรปู (Dihedral group) ระดับขั้น 3 เนอื่ งจาก D3 เปนเซตยอ ยของ S3 และมี 6 สมาชิกเหมือนกนั ดังน้นั D3 = S3 จะไดตารางการคูณสำหรบั กรปุ D3 กรุปการสมมาตรของสามเหล่ียมดานเทา ดังนี้

2.5 กรปุ การเรียงสบั เปลยี่ น 63 ตารางท่ี 2.7: ตารางการดำเนนิ การ ◦ บนเซต D3 ◦ e a a2 b ab a2b e e a a2 b ab a2b a a a2 e ab a2b b a2 a2 e a a2b b ab b b a2b ab e a2 a ab ab b a2b a e a2 a2b a2b ab b a2 a e ตวั อยาง 2.5.2 การแปลงคงรูป (rigid transformation) ของสเี่ หลย่ี มจัตุรสั หมายถึง การสม- มาตรของรปู ส่ีเหลยี่ มจตั รุ ัสนน่ั เอง ประกอบดว ย R0 อยูก บั ที่ หรอื หมนุ ตามเข็มนากิ าเปน มุม 0 องศา R90 หมุนตามเข็มนาิกาเปนมมุ 90 องศา R180 หมุนตามเขม็ นากิ าเปน มมุ 180 องศา R270 หมนุ ตามเข็มนากิ าเปน มมุ 270 องศา H พลิกตามแนวแกนนอน V พลกิ ตามแนวแกนต้งั D1 พลกิ ตามแนวเสนทแยงมมุ หลกั D2 พลกิ ตามแนวเสนทแยงมุมรอง ดงั แสดงในรูปตอ ไปนี้ D1 V 1 2 H 4 3 D2 รปู ท่ี 2.5: การแปลงคงรูป ให G = {R0, R90, R180, R270, H, V, D1, D2} กำหนดการดำเนินการ “◦” ใหห มาย ถงึ ตามดว ย หรอื การประกอบของการสง จะไดต ารางการดำเนินการดังนี้

64 บทท่ี 2 กรปุ ตารางท่ี 2.8: ตารางการดำเนนิ การ ◦ บนเซต G = D4 ◦ R0 R90 R180 R270 H V D1 D2 R0 R0 R90 R180 R270 H V D1 D2 R90 R90 R180 R270 R0 D2 D1 H V R180 R180 R270 R0 R90 V H D2 D1 R270 R270 R0 R90 R180 D1 D2 V H H H D1 D2 R0 R180 R90 R270 V V D2 V D1 R180 R0 R270 R90 D1 D1 H H R270 R90 R0 R180 D2 D2 V D2 V R90 R270 R180 R0 H D1 กรปุ (G, ◦) เรยี กวา กรุปการสมมาตรของสีเ่ หล่ยี มจตั ุรัส (group of symmetries of square) กรปุ นีไ้ มเ ปน อาบีเลียนกรปุ เน่ืองจาก H ◦ R90 = D1 แต R90 ◦ H = D2 แสดงวา ◦ ไมมีสมบัติ สลบั ท่ี ตัวอยาง 2.5.3 ให (G, ◦) เปน กรุปการสมมาตรของสเ่ี หล่ยี มจัตรุ สั ในท่นี ี้ G = {R0, R90, R180, R270, H, V, D1, D2} และการดำเนนิ การ ◦ หมายถงึ ตามดวย กรุปน้ีมีกรุปยอ ยท้งั หมด 10 กรุปยอย มีกรุปยอ ย แทอยู 8 กรุปยอย ไดแ ก ,{R0, R90, R180, R270} {R0, R180, H, V }, ,{R0, R180, D1, D2} {R0, ,R180} {R0, D1}, {R0, D2}, {R0, H}, {R0, V } ขอ สงั เกตุ (1) กรุปของการหมุนรปู สเี่ หลี่ยมจัตุรัส D4 ไมเทากับการเรยี งสับเปลยี่ นของเซต X = {1, 2, 3, 4} ซง่ึ SX เปนกรุปทมี่ อี ันดบั เทากับ 4! = 24 แต D4 เปน กรุปทมี่ อี ันดับ 8 (2) จากกรปุ การสมมาตรของส่เี หล่ยี มจัตุรัสท่เี ปนการแปลงคงรูปซงึ่ ประกอบดว ย R0, R90, R180, R270 เปน กรปุ ยอ ยวฏั จกั รของกรุปการสมมาตรส่ีเหลย่ี มจัตรุ สั กับการดำเนนิ การ ◦ ซึ่งมี R90 เปนตวั กอ กำเนิด น่ันคือ ({R0, R90, R180, R270}, ◦) เปนกรุปยอยวฏั จกั รของ (G, ◦) ในทำนองเดียวกนั น้ีสามารถขยายไปสูกรุปการสมมาตรเชงิ เรขาคณิตของรปู n เหล่ียมดา น เทา หรอื เรยี กวา n เหล่ยี มปรกติ พิจารณากรณีเมือ่ X เปน เซตของจดุ ยอดทป่ี ระกอบเปนรูป n เหล่ยี มดานเทา ในระนาบ เม่อื พิจารณาสมบัติทางเรขาคณติ จัไดวา การสมมาตรของ X ท่ีเกิดกับจุดยอดของรปู n เหลย่ี มดา นเทา มีเพยี งแบบเดียว เพราะฉะนน้ั จงึ พิจารณาเฉพาะการสมมาตรของเซตของจดุ ยอด ซง่ึ เขยี นแทนดวย 1, 2, . . . , n ทำใหไดวา กรปุ ของการสมมาตรของรปู n เหลีย่ มดา นเทา เปน กรุปยอยของ Sn

2.5 กรปุ การเรียงสับเปลี่ยน 65 บทนยิ าม 2.5.3 กรุปของการสมมาตรของรูป n เหลี่ยมดา นเทา Pn เรยี กวา กรุปการหมนุ รปู (dihedral group) ระดับข้นั n และเขยี นแทนดวย Dn กรณี n = 3 พิจารณากรุปการหมนุ รปู D3 ไดจ ากตัวอยาง 2.5.1 พิจารณากรณที ั่วไปของรูปหลาย n เหลี่ยมดานเทา Pn เพอื่ หากรปุ การหมุนรปู Dn ab รูปที่ 2.6: รูป Pn แสดงสมาชกิ ของ Dn พบวา การเรยี งสับเปล่ียน σ ∈ Sn เปนการสมมาตรของ Pn ก็ตอ เมอ่ื σ สง จดุ ยอด 2 จดุ ท่ีเปน จดุ ประชดิ กนั ของ Pn ไปยังจดุ ยอดท่ีประชดิ กนั นน่ั คอื σ(1), σ(2), . . . , σ(n) จะอยูในอันดบั วฏั จักร 1, 2, ..., n หรือไมก ็อยูใ นอนั ดบั วัฏจกั รผันกลบั n, n − 1, . . . , 2, 1 ดังนน้ั การสมมาตรของ Pn สามารถจำแนกเปน 2 ชนดิ ชนิดแรกเปน การคงสภาพอนั ดับวฏั จกั ร 1, 2, . . . , n และ ชนดิ ท่ีสองเปนการคงสภาพอนั ดับ วัฏจักรผันกลับ n, n − 1, . . . , 2, 1 ตอ ไปให σ เปนการสมมาตรที่คงสภาพอันดับวัฏจกั ร ดังน้ัน σ(1) จะเปนคา ใดคาหน่ึงของ 1, . . . , n และกำหนดคา ให σ(1) จะได σ(2), . . . , σ(n) มีเพยี งแบบเดยี วซึ่งเปนไปตามอนั ดบั วัฏจักร เพราะฉะน้นั จึงสามารถหาการสมมาตรได n การสมมาตรที่คงสภาพอนั ดบั วฏั จักรของจดุ ยอด ใหเปน σ1, σ2, . . . , σn โดยที่ σi เปน การสมมาตรที่สง 1 ไปยงั i ในทำนองเดียวกันนี้จะมีการสมมาตรของ อันดับวัฏจกั รผันกลับ n การสมมาตร ใหเปน τ1, τ2, . . . , τn โดยท่ี τi เปน การสมมาตรที่สง 1 ไปยงั i ซง่ึ เปนการแสดงใหเหน็ วา กรปุ การหมุนรปู Dn มี 2n สมาชิก คอื σi, τi เมื่อ i = 1, . . . , n ตอไปจะแสดงสมาชิกของ Dn ทท่ี ำใหหาผลคูณไดง า ยขนึ้ ดงั นี้ กำหนดให σ1 คือ การเรียงสบั เปลยี่ นเอกลกั ษณ e และ σ2 คือ วัฏจกั ร (1 2 . . . n) เขยี นแทน σ2 ดว ย σ ดงั นนั้ จะไดวา σi สง 1 ไป ยัง i + 1 เมือ่ i = 1, 2, . . . , n − 1 และ σn สง 1 ไปยัง 1 เน่อื งจาก σi เมอื่ i > 1 คงสภาพอนั ดบั วัฏจกั ร ทำใหไ ดวา σi = σi+1, i = 1, . . . , n − 1, σn = e

66 บทที่ 2 กรปุ ดงั นัน้ n การสมมาตรที่คงสภาพอันดบั วัฏจกั รของจดุ ยอด คอื σi, เมอื่ i = 0, 1, . . . , n − 1 และ σ เปนวัฏจกั ร (1 2 . . . n) () ตอ ไปเม่อื ให τ แทน τ1 = 1 2 ... n พบวา σiτ เปน อนั ดับวัฏจักรผนั กลบั และสง 1 n ... 2 1 ไปยงั i + 1 ดงั น้นั σiτ = τi+1, เมอื่ i = 0, 1, . . . , n − 1 ยงิ่ กวา นั้น ยงั ไดวา τ2 สง 1 ไปยงั 1 และ คงสภาพอนั ดบั ดังนัน้ τ2 = e พิจารณาผลคณู τσ เนื่องจาก τσ เปน อนั ดับวัฏจกั รผันกลบั และτσ(1) = τ(2) = n จงึ สรุปไดว า τσ = σn−1τ สรปุ สาระดังกลาวเปน ทฤษฎีบทดังตอไปนี้ ทฤษฎีบท 2.5.2 กรปุ การหมนุ รปู Dn เปน กรปุ อันดับ 2n กอกำเนิดโดยสมาชิก σ, τ ที่ () 1 2 ... n σ = (1 2 . . . n) , τ= 1 n ... 2 และสอดคลอ งกับ σn = e = τ2 และ τσ = σn−1τ โดยสมบัติทางเรขาคณติ จะไดวา σ คอื การหมุนรปู n เหลยี่ มดา นเทา Pn ทำมมุ 2π/n เรเดียนบน ระนาบ และ τ คอื การสะทอน หรือการพลิกรูป ผา นเสน ผา นศนู ยก ลางทลี่ ากผานจุดยอด 1 บทนยิ าม 2.5.4 กรปุ การหมนุ รปู D4 เรยี กวา กรปุ แปด (octic group) สำหรับตัวอยา งของกรปุ ของการสมมาตรของรูป n เหล่ยี มดา นไมเ ทา (non-regular polygon) พจิ ารณาการสมมาตรของรปู สี่เหลย่ี มผืนผาดงั ตอ ไปน้ี ตัวอยาง 2.5.4 การสมมาตรของรูปสีเ่ หลี่ยมผืนผา ( )( ) 1234 1234 e= 1234 , a= 3412 ( )( ) 1234 1234 b= 2143 , c= 4321 b 43 ac 12 รปู ที่ 2.7: การสมมาตรของรปู สีเ่ หล่ียมผนื ผา

2.5 กรุปการเรียงสบั เปลย่ี น 67 โดยสมบัติทางเรขาคณติ a คอื การหมุนซง่ึ ทำมุม π เรเดียน และ b และ c คือ การ สะทอ นผา นแกนท่ีขนานกบั ดา นของรูปส่เี หลยี่ ม จะไดวา a2 = b2 = c2 = e, ab = c, bc = a, ca = b ดังนัน้ กรุปของการสมมาตรของรูปสี่เหล่ียมผืนผา คือ กรุปส่ีแบบไคลน ดังแสดงใน ตารางที่ 2.9 ตารางที่ 2.9: ตารางกรปุ สมมาตรของส่เี หลย่ี มผืนผา ◦ eabc e eabc a aecb b bcea c cbae แบบฝก หัด 2.5 1. จงหากรปุ ยอ ยทงั้ หมดของ S3 และ S4 2. ถา n ≥ 3 จงพสิ ูจนว า Z(Sn) = {e} [ แนะ : ให e ≠ σ ∈ Sn สมมติ σ(i) = j, i ≠ j ให k ≠ i, j เลอื ก τ ∈ Sn ซงึ่ τ(i) = i, τ(j) = k, τ(k) = j ดังนน้ั στ (i) ̸= τσ(i) ดังน้ัน στ ≠ τσ ] 3. จงแสดงวา |Z(Dn)| = 1 หรอื 2 ข้นึ อยกู บั วา n เปน จำนวนคู หรือจำนวนคี่ 4. ให a และ b เปนสมาชกิ อนั ดบั 2 ในกรุป G สมมติ o(ab) = 4 จงแสดงวา กรุปยอ ยท่ีกอ กำเนดิ โดย a และ b คือ D4

68 บทที่ 2 กรปุ

3บทที่ กรุปยอยปรกติ (Normal Subgroups) 3.1 || กรุปยอ ยปรกติ และกรุปผลหาร การคูณในกรุป G ทำใหเ กิด ผลคณู (product) ของสองเซตยอ ย A และ B ใด ๆ ของ G ซึง่ { } นิยามโดย AB = xy x ∈ A, y ∈ B ถา A หรอื B เปน เซตโทน ผลคูณ {a}B เขยี นแทนดว ย aB และผลคณู A{b} เขียนแทนดวย Ab เน่อื งจากการคณู ใน G มีสมบตั ิเปลยี่ นหมู ทำใหการคูณของ เซตยอยของ G มีสมบัติเปลีย่ นหมูดวย บทนิยาม 3.1.1 ให G เปนกรุป แลวกรปุ ยอย N ของ G เรยี กวา กรุปยอยปรกติ (normal subgroup) ของ G กต็ อเม่อื xNx−1 ⊂ N สำหรับทุก x ∈ G ใชส ญั ลกั ษณ N ▹ G เหน็ ชดั วากรุปยอยชัด {e} และ G เปนกรุปยอ ยปรกติของ G ถา G เปนอาบีเลยี นกรปุ แลวทุกกรุปยอยของ G เปนกรุปยอยปรกติ แตบทกลับไมจริง น่ันคอื กรุปที่ทกุ ๆ กรุปยอยเปน กรุป ยอยปรกติไมจำเปนตองเปน อาบีเลยี นกรปุ แสดงดัง ตวั อยาง 3.1.5 ตวั อยางของกรุปยอ ยปรกติ เชน ศนู ยก ลางของกรปุ G เปนกรุปยอยปรกตขิ องกรุป G และ ถา ϕ : G → H เปน สาทิสสัณฐานของกรปุ แลว Ker ϕ ▹ G ทฤษฎีบทตอ ไปน้ี บอกลกั ษณะของกรุปยอยปรกติ ทฤษฎีบท 3.1.1 ให N เปน กรปุ ยอ ยของกรปุ G แลว ขอความตอไปนีส้ มมูลกัน (1) N ▹ G (2) xNx−1 = N สำหรบั ทุก x ∈ G (3) xN = Nx สำหรับทกุ x ∈ G (4) (xN)(yN) = xyN สำหรบั ทุก x, y ∈ G

70 บทที่ 3 กรุปยอยปรกติ การพิสจู น (1) ⇒ (2) สมมตุ ิ N ▹ G ให x ∈ G แลวโดยบทนิยามไดวา xNx−1 ⊂ N และเนอื่ งจาก x−1 ∈ G ดังนน้ั x−1Nx ⊂ N เพราะฉะน้นั N = x(x−1Nx)x−1 ⊂ xNx−1 นน่ั คือ xNx−1 = N (2) ⇒ (3) N x = (xN x−1)x = xN x−1x = xN e = xN (3) ⇒ (4) (xN)(yN) = x(Ny)N = x(yN)N = xy(NN) เพราะวา N มีสมบัตปิ ด ภายใตก ารคณู จงึ ไดวา NN ⊂ N ในทางกลบั N = eN ⊂ NN ดังนน้ั NN = N เพราะฉะนน้ั (xN)(yN) = (xy)N (4) ⇒ (1) xNx−1 = xNx−1e ⊂ xNx−1N = xx−1N = eN = N ดังน้ัน N ▹ G ให N เปน กรุปยอ ยปรกติของ G จากทฤษฎบี ท 3.1.1 ไดวา เซตรว มเกย่ี วซายใด ๆ ของ N ใน G เปนเซตรว มเกี่ยวขวา และบทกลับเปนจรงิ ดังน้ัน จงึ ไมจำเปน ตองแบงแยกระหวางเซตรวมเกี่ยว ซายกบั เซตรวมเกยี่ วขวา ตอไปจะเขยี นเซตรวมเกีย่ วทง้ั หมดของ N แทนดวย เซตรว มเกี่ยวซา ย และ แทน เซตของเซตรวมเก่ียวทง้ั หมดของ N ใน G ดว ย G/N ทฤษฎีบท 3.1.2 ให N เปนกรุปยอยปรกติของกรุป G แลว G/N เปน กรุปภายใตการคณู และ การสง ϕ : G → G/N นยิ ามโดย x → xN เปนสาทสิ สณั ฐานท่วั ถงึ และ Ker ϕ = N การพิสูจน โดยทฤษฎบี ท 3.1.1 (xN)(yN) = (xy)N สำหรบั ทกุ x, y ∈ G ดงั นน้ั G/N มีสมบตั ิปด ภายใตการคูณ เนื่องจากการคูณมีสมบตั ิเปล่ียนหมูใน G ดงั นน้ั การคณู จึงมีสมบตั ิเปลย่ี นหมูใน G/N ดว ย มีเซตรว มเกีย่ ว eN = N เปน เอกลักษณการคูณใน G/N และสำหรับทกุ สมาชิก x ∈ G ไดว า (xN)(x−1N) = (xx−1)N = eN ดงั นั้น G/N เปน กรปุ เหน็ ชดั วา การสง ϕ เปน ฟงกช ันทั่วถงึ และสำหรบั ทุก x, y ∈ G จะไดวา ϕ(xy) = (xy)N = (xN)(yN) = ϕ(x)ϕ(y) นัน่ คอื ϕ เปนสาทสิ สณั ฐาน และ จาก xN = eN ก็ตอ { } เมอื่ x ∈ N ดงั นั้น Ker ϕ = x ∈ G ϕ(x) = eN = {x ∈ G xN = eN } = N บทนยิ าม 3.1.2 ให N เปนกรุปยอ ยปรกติของ G กรปุ G/N เรยี กวา กรุปผลหาร (quotient group) ของ G โดย N และสาทสิ สณั ฐาน G → G/N กำหนดโดย x → xN เรียกวา สาทิสสณั ฐานธรรมชาติ (natural or canonical homomorphism) ของ G ท่ัวถงึ G/N

3.1 กรปุ ยอยปรกติ และกรุปผลหาร 71 บทนยิ าม 3.1.3 เใซหต GNเ(ปSน)ก=รุป{แxละ∈ใหG S ≠ xS∅xเ−ป1น =เซตSย}อ นยขออรมงัลGไลนเซออรมรขลั อไลงเเซซตอโรท (นno{ram}aเขliียzนer) ของ S ใน G คือ แทนดวย N(a) ทฤษฎบี ท 3.1.3 ให G เปน กรุป สำหรับเซตยอ ย S ̸= ∅ ใด ๆ ของ G จะได N(S) เปน กรุป ยอยของ G นอกจากนสี้ ำหรบั กรุปยอ ย H ใด ๆ ของ G จะไดว า (1) N(H) เปน กรปุ ยอยใหญส ดุ ของ G ซงึ่ มี H เปนกรปุ ยอ ยปรกติ (2) ถา K เปนกรปุ ยอยของ N(H) แลว H เปน กรปุ ยอ ยปรกติของ KH การพิสูจน เห็นชัดวา e ∈ N(S) และ ถา x, y ∈ N(S) แลวจะได (x−1y)S(x−1y)−1 = x−1(ySy−1)x = x−1Sx = x−1(xSx−1)x = S ดังน้นั x−1y ∈ N(S) เพราะฉะน้นั N(S) เปน กรุปยอยของ G (1) ให H เปน กรุปยอยของ G จะได hHh−1 = H สำหรบั ทกุ h ∈ H เพราะฉะนนั้ H เปนเซตยอ ย และเปนกรุปยอ ยของ N(H) ดงั น้นั โดยบทนิยามไดวา xHx−1 = H สำหรับทุก x ∈ N(H) น่นั คือ H ▹ N(H) สมมตุ ิให K เปน กรุปยอยใด ๆ ของ G ที่ H ▹ K ดงั นัน้ kHk−1 = H สำหรบั ทกุ k ∈ K ดังนน้ั K ⊂ N(H) น่ันคอื N(H) เปน กรุปยอยใหญสดุ ของ G ทม่ี ี H เปนกรุปยอยปรกติ (2) ให K เปนกรปุ ยอยของ N(H) แลว สำหรบั ทุก k ∈ K จะได kHk−1 = H ดังนนั้ kH = Hk เพราะฉะนน้ั KH = HK ดังน้ันโดยทฤษฎบี ท 2.3.3 ของบทท่ี 2 จะได KH เปนกรุปยอ ยของ N(H) และ H ⊂ KH ดังนนั้ H ▹ KH บทนยิ าม 3.1.4 ให G เปน กรุป สำหรบั สมาชกิ a, b ∈ G แลว aba−1b−1 เรียกวา ตวั ทำสลับ ที่ (commutator) ใน G และกรุปยอ ยของ G ท่ีกอกำเนดิ โดยเซตของตัวทำสลบั ที่ทัง้ หมดใน G เรยี กวา กรุปยอยตัวทำสลับที่ของ G หรอื กรุปอนุพทั ธ (derived group) ของ G เขยี นแทนดว ย G′

72 บทท่ี 3 กรปุ ยอ ยปรกติ ทฤษฎบี ท 3.1.4 ให G เปน กรปุ และให G′ เปน กรุปอนพุ ัทธข อง G แลว จะได (1) G′ ▹ G (2) G/G′ เปน อาบีเลียนกรปุ (3) ถา H ▹ G แลว G/H เปน อาบีเลยี นกรุป กต็ อเม่อื G′ ⊂ H การพสิ ูจน (1) ให x = aba−1b−1 เปน ตวั ทำสลับทีใ่ ด ๆ ใน G จะได x−1 = bab−1a−1 เปน ตวั ทำสลับที่ดวย ดงั น้นั สำหรับ g ใด ๆ ใน G จะได gxg−1 = g(aba−1b−1)g−1 = (gag−1)(gbg−1)(ga−1g−1)(gb−1g−1) = (gag−1)(gbg−1)(gag−1)−1(gbg−1)−1 ∈ G′ เน่ืองจากสมาชกิ y ใด ๆ ใน G′ เปนผลคณู ของตัวทำสลับทเ่ี ปน จำนวนจำกดั ดงั นน้ั y = x1x2 . . . xn โดยที่ x1, x2, . . . , xn เปน ตัวทำสลับที่ จะไดวา สำหรบั แตละ g ∈ G gyg−1 = g(x1x2...xn)g−1 = (gx1g−1)(gx2g−1) . . . (gxng−1) ∈ G′ ดงั นนั้ G′ เปนกรปุ ยอ ยปรกตขิ อง G (2) สำหรับสมาชิก a, b ∈ G ใด ๆ จะได (aG′)(bG′)(aG′)−1(bG′)−1 = (aba−1b−1)G′ = G′ ดงั นนั้ (aG′)(bG′) = (bG′)(aG′) เพราะฉะนน้ั G/G′ เปน อาบเี ลยี นกรุป (3) สมมติ G/H เปน อาบเี ลียนกรุป ดงั นั้นสำหรับทุก a, b ∈ G (aba−1b−1)H = (aH)(bH)(aH)−1(bH)−1 = (aH)(aH)−1(bH)(bH)−1 = H ดังนนั้ aba−1b−1 ∈ H นัน่ คือ G′ ⊂ H บทกลับสามารถพิสูจนไดใ นทำนองเดยี วกัน

3.1 กรปุ ยอยปรกติ และกรุปผลหาร 73 ตัวอยา ง 3.1.1 ถา A < G และ B ▹ G แลว A ∩ B ▹ A และ AB < G วธิ ีทำ เห็นชดั วา A ∩ B < A ตอไปพิสจู นความเปนปรกติ ให a ∈ A, x ∈ A ∩ B จะได axa−1 ∈ B เพราะวา B▹G และเน่อื งจาก axa−1 ∈ A ดงั น้ัน ∀a ∈ A, ∀x ∈ A∩B, axa−1 ∈ A ∩ B นน่ั คอื A ∩ B ▹ A ตอไปจะพสิ จู นวา AB < G ให a, a1 ∈ A, b, b1 ∈ B จะได ab(a1b1)−1 = abb1−1a−1 1 ∈ AB เพราะวา (bb−1 1)a−1 1 = a1−1b2 สำหรับบาง b2 ∈ B ดงั น้ัน AB < G ตวั อยา ง 3.1.2 ถา Hi ▹ G, i = 1, 2, . . . , k แลว H1H2 . . . Hk < G วิธที ำ การพสิ จู นโดยการอุปนยั บน k ตวั อยา ง 3.1.3 ถา G เปนกรุป และ H เปนกรุปยอ ยดชั นี 2 ของ G แลว H เปนกรุปยอยปรกติ ของ G วธิ ีทำ ถา a ∈/ H แลว โดยสมมตฐิ าน จะไดวา G = H ∪ aH และ aH ∩ H = ∅ ดงั น้นั aH = Ha, a ∈/ H แตเ นอื่ งจาก gH = Hg, ∀g ∈ H ดวย ดังนัน้ ∀g ∈ G, gH = Hg น่ันคือ H เปนกรุปยอ ยปรกตขิ อง G ตัวอยา ง 3.1.4 ถา N และ M เปน กรุปยอยปรกติของ G ซงึ่ N ∩ M = {e} แลว nm = mn, ∀n ∈ N, ∀m ∈ M วิธีทำ ถา n ∈ N, m ∈ M แลว n−1m−1nm = (n−1m−1n)m ∈ MM = M และ n−1m−1nm = n−1(m−1nm) ∈ N N = N ดังน้ัน n−1m−1nm ∈ N ∩ M = {e} นน่ั คือ nm = mn

74 บทท่ี 3 กรุปยอยปรกติ ตวั อยาง 3.1.5 ตวั อยา งของกรปุ ไมสลบั ทซ่ี ่ึงแตละกรุปยอ ยเปนกรุปปรกติ วธิ ที ำ ให  [ ] [√ ][ ][ √ ]  1 0 −1 √0 0 1 √0 −1 , 0 1 , 0 − −1 , −1 0 , −1 0 G = [−1 ] [√ ][ ][ −√−1] 0 − −1 √0 0 −1 √0 0 −1 , 0 −1 , 1 0 , − −1 0 เปน กรุปควอเทอรเนยี น มีกรุปยอ ยอนั ดับ 2 คอื {[ ] [ −1 ]} 1 0 0 0 0 1 , −1 ซงึ่ เหน็ ชดั วา เปนกรุปยอยปรกติ และกรุปยอ ยอนั ดบั 4 ทัง้ หมดมีดชั นีเทา กบั 2 ดังน้นั โดยตวั อยาง 3.1.3 จะเปน กรปุ ยอ ยปรกติ ดังน้นั G เปนกรปุ ไมสลับท่ีซ่ึงทกุ กรปุ ยอยเปนกรปุ ปรกติ ตัวอยาง 3.1.6 ตวั อยางของกรปุ G ทม่ี ีกรุปยอ ย K และ T ซ่ึง K ▹ T ▹ G แต K ไมเ ปน กรปุ ยอยปรกติของ G วิธที ำ ให G เปน กรุปการหมุนรปู สามเหลย่ี มดา นเทา ในบทที่ 2 ตัวอยา ง 2.5.2 กรปุ การสมมาตร ของรูปเรขาคณิต เลอื ก T = {e, a2, b, a2b} และ K = {e, b} จะได T และ K เปนกรุปยอย ของกรุปการหมุนรูป เนอ่ื งจากดัชนีของ T เทากับ 2 ดงั นน้ั โดยตัวอยาง 3.1.3 จะไดวา T ◃ G และ K เปนกรุปยอ ยของ T ซ่ึงมีดัชนีเทา กับ 2 ดงั นน้ั K ▹ T แตพ บวา K ไมเ ปน กรุปยอ ยปรกติ ของ G เพราะวา ถาเลอื ก a ∈ G และ b ∈ K แลวจะได a−1ba ∈/ K ตัวอยาง 3.1.7 ให G เปน กรุปจำกัดที่มีกรุปยอ ยปรกติคอื N ซึ่ง ห.ร.ม. (|N|, |G/N|) = 1 แลว N เปน กรปุ ยอยของ G เพยี งกรุปเดียวท่ีมีอันดับเทา กบั |N| วธิ ีทำ ให K < G ซึง่ |K| = |N| ดงั นนั้ จะได KN/N < G/N และ KN = |KN | = N |N | |K | โดยทฤษฎบี ทลากรานจจะได |K | หาร |G/N | ไดลงตัว แตเนื่องจาก |K | = |N | |K ∩ N | |K ∩ N |

3.1 กรุปยอ ยปรกติ และกรปุ ผลหาร 75 และ (|N|, |G/N|) = 1 จึงไดวา |K|/|K ∩ N| = 1 ดังนนั้ K = K ∩ N นัน่ คือ K = N ตัวอยาง 3.1.8 ถา G เปน กรุปและศูนยก ลางของ G คอื Z(G) ถา G/Z(G) เปนกรุปวัฏจักร แลว G เปน อาบีเลยี นกรปุ วิธที ำ ให G/Z(G) กอกำเนิดโดย xZ(G), x ∈ G ให a, b ∈ G แลว จะได aZ(G) เปน สมาชิกของ G/Z(G) ซ่ึงตอ งอยูในรูปของ xmZ(G) สำหรับบางจำนวนเต็ม m นน่ั คือ aZ(G) = xmZ(G) ดังนัน้ a = xmy สำหรบั บาง y ∈ Z(G) ในทำนองเดยี วกัน b = xnz สำหรับบาง z ∈ Z(G) และบางจำนวนเต็ม n ดังนนั้ ab = (xmy)(xnz) = xmyxnz = xmxnyz = xm+nyz เน่อื งจาก y ∈ Z(G) และ ba = (xnz)(xmy) = xnzxmy = xn+mzy และ z ∈ Z(G) ดังน้ัน ab = ba , ∀a, b ∈ G แบบฝก หัด 3.1 1. จงพสิ จู นวา ศูนยกลาง Z(G) ของกรุป G เปน กรปุ ยอ ยปรกติ 2. ถา N เปนกรุปยอ ยปรกติของกรปุ G และ H เปนกรุปยอ ยใด ๆ ของ G จงพสิ จู นวา NH เปน กรปุ ยอยของ G 3. ถา N และ M เปน กรปุ ยอยปรกติของ G จงพิสูจนว า NM เปนกรปุ ยอ ยปรกตขิ อง G ดว ย 4. ถามีกรปุ ยอ ย H ท่มี ีอนั ดบั 10 ( หรือ 20 ) ของกรุป G เพยี งกรุปเดยี ว จงแสดงวา H ▹ G กรณี ทัว่ ไป ผลที่ไดนสี้ ามารถขยายไปยงั กรุปยอยอนั ดบั อนื่ ๆ ( แนะ : ดู แบบฝกหดั ขอ 3 ของหวั ขอ ท่ี 3 ) ( ) 5. จงแสดงวากรปุ ยอ ยวฏั จกั รของ S3 กอกำเนดิ โดย 1 2 3 ไมเ ปน กรุปปรกติใน S3 2 1 3 6. ถา N เปน กรุปยอ ยปรกติของ G ซึง่ N ∩ G′ = {e} จงแสดงวา N ⊂ Z(G) 7. ให H เปนกรุปยอ ยของกรุป G ซงึ่ x2 ∈ H สำหรับทกุ x ∈ G จงพสิ ูจนว า H ▹ G และ G/H เปน อาบเี ลียนกรปุ 8. จงหากรุปยอยN อนั ดบั 12 ของกรุปสมมาตร S4 และหาสมาชกิ ของ S4/N พรอมกับแสดงวา เปน กรปุ 9. จงพิสูจนวาเซตยอย N = {e, (1 2 3), (1 3 2)} ของ S3 เปน กรุปยอ ยปรกติ และหาสมาชกิ ของ S3/N 10. ให H เปนกรุปยอยของ G จงพิสจู นวา H ▹ G ก็ตอเมอื่ ผลคณู ของสองเซตรวมเก่ยี วซายของ H ใน G ยงั คงเปน เซตรวมเกี่ยวซา ย 11. จงแสดงวา เซต SL(n, R) ของเมทริกซท ่ีหาตวั ผกผันไดมิติ n × n บน R และมีดีเทอรม แิ นนต เทากบั 1 เปน กรปุ ยอยปรกติของกรุปเชงิ เสน GL(n, R)

76 บทท่ี 3 กรปุ ยอ ยปรกติ 12. ให G/N เปน กรุปผลหารของ G สมมติ ◦(gN) จำกัด จงแสดงวา ◦(gN) | ◦(g) และจงแสดง วา gm ∈ N ก็ตอเม่อื ◦(gN) | m 13. จงแสดงวา อนั ดบั ของสมาชิกของกรุปผลหาร Q/Z จำกัด 14. ให G เ=ปน{กaรmุปซ่ึงaมีจ∈ำนGว}นเจตงม็ แสmดง>วา 1Gทmี่ท▹ำใGห (ab)m = am · bm สำหรับทุก a, b ∈ G และ ให Gm และอันดับของแตละสมาชกิ G/Gm จำกดั 15. จงแสดงวาไมมกี รุป G ซงึ่ |G/Z(G)| = 37 16. ให G = S3 จงหา กรปุ อนุพทั ธอันดับ 1 และอันดับ 2 ซง่ึ G(1) = G′ และ G(2) = (G′)′ 17. ถา A, B เปนกรุปยอยของกรปุ G ซ่งึ B ▹ G, A ∩ B = {e}, G = AB แลวเรียก G วา ผล คณู ก่ึงตรง (semidirect product) หรือ ภาคขยายแยก (split extension) ของ A และ B จง แสดงวา กรุปการหมนุ รูป Dn สามารถทำใหอยูในรูปของ ภาคขยายแยกของ 2 กรุปยอ ยแทท่ี เหมาะสม 18. จงแสดงวา กรุปควอเทอรเนียน (ดแู บบฝก หัดขอ 4 ในหวั ขอ ท่ี 1 บทที่ 4) ไมส ามารถทำใหอยูใ น รปู ของภาคขยายแยกของ 2 กรุปยอยไมชัด 19. ให L(G) เปนเซตของกรปุ ยอยปรกติของกรปุ G จงแสดงวา L(G) เปนมอดุลารแลตทิซ และ ทุกแลตทิซของกรุปยอ ยทัง้ หมดไมจำเปน ตอ งเปน มอดุลาร [แลตทซิ L เรยี กวา มอดุลาร ถา ทกุ สมาชิกa, b, c ∈ L ซ่งึ a ≤ c, a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c]

3.2 ทฤษฎีบทสมสณั ฐาน 77 3.2 || ทฤษฎีบทสมสัณฐาน ในหวั ขอนจี้ ะพิสจู นท ฤษฎบี ทสำคัญเก่ียวกับกรุปสาทิสสัณฐานท่รี ูจกั กนั วา ทฤษฎีบทสมสณั ฐาน จากทฤษฎบี ท 3.1.2 พบวา ทุกกรุปผลหาร G/N ของกรุป G เปน ภาพสาทิสสัณฐานของ G สำหรบั ทฤษฎบี ทสมสณั ฐานที่ 1 หรือเรียกวา ทฤษฎบี ทหลักมูลของสาทสิ สณั ฐาน ไดพิสูจนบทกลบั ของทฤษ- ฎีบท 3.1.2 คือ ทุกภาพสาทสิ สัณฐานของ G สมสัณฐานกับกรปุ ผลหารของ G ทฤษฎีบท 3.2.1 ทฤษฎีบทสมสณั ฐานที่ 1 ( The first isomorphism theorem) ให ϕ : G → G′ เปน กรุปสาทิสสัณฐานแลว G/ Ker ϕ ∼= Im ϕ และถา ϕ เปน ฟงกช ันทว่ั ถึงแลว G/ Ker ϕ ∼= G′ การพิสจู น ใหฟ ง กชนั ψ : G/K → Im ϕ กำหนดโดย xK → ϕ(x) เมอื่ K = Ker ϕ สำหรับ ทกุ x, y ∈ G จะได xK = yK ⇔ y−1x ∈ K ⇔ ϕ(y−1x) = e′ ⇔ ϕ(x) = ϕ(y) ดังนั้น ψ เปนฟงกชันแจมชัด และหนึ่งตอหนึง่ และไดว า ψ((xK)(yK)) = ψ(xyK) = ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) ดังน้ัน ψ เปน สาทสิ สัณฐาน เน่อื งจากเห็นชดั วา ψ เปน ฟง กชนั ทัว่ ถึงจงึ สรปุ ไดวา ψ เปนกรุปสม สัณฐาน บทแทรก 3.2.1 สาทสิ สณั ฐานของกรุป ϕ : G → G′ ใด ๆ สามารถแยกตัวประกอบไดเปน ϕ = j · ψ · η เม่ือ η : G → G/ Ker ϕ เปนสาทสิ สัณฐานธรรมชาติ ψ : G/ Ker ϕ → Im ϕ เปน สมสณั ฐานโดยทฤษฎีบท 3.2.1 และ เปนการสงทม่ี ภี าพเปนเซตยอ ยของ G′ G ϕ G′ ηj G/ Ker ϕ ψ Im ϕ รูปที่ 3.1: แผนภาพสลับของสาทสิ สัณฐาน การพสิ ูจน เห็นชัด

78 บทท่ี 3 กรปุ ยอยปรกติ ทฤษฎบี ท 3.2.2 ทฤษฎบี ทสมสัณฐานที่ 2 (The second isomorphism theorem) ให H และ N เปน กรุปยอ ยของ G และ N ▹ G แลว H/(H ∩ N) ∼= HN/N แผนภาพแสดงการเปน เซตยอ ยตอ ไปนี้จะชว ยใหเขาใจทฤษฎบี ทไดดีขน้ึ และทฤษฎีบทนี้เปนที่รจู กั กนั วา ทฤษฎบี ทสมสณั ฐานไดมอนด (diamond isomorphism theorem) G HN HN H ∩N รูปท่ี 3.2: แผนภาพของทฤษฎบี ทสมสัณฐานไดมอนด การพิสจู น เนอ่ื งจาก N ▹ G ดังน้ัน HN = NH เปนกรุปยอ ยของ G และ N ▹ HN พิจารณาการสง ϕ : H → HN/N กำหนดโดย h → hn สำหรบั ทกุ h ∈ H เนื่องจาก ϕ เปน ฟง กชันกำกดั ของสาทสิ สณั ฐานธรรมชาติ p : G → G/N ของ H ดังนัน้ Ker ϕ = H ∩ N และเห็นชดั วา ϕ เปน ฟง กชันทวั่ ถึง ดังนน้ั โดยทฤษฎีบทสมสัณฐานที่ 1 จะได H/H ∩ N ∼= HN/N ทฤษฎบี ท 3.2.3 ทฤษฎบี ทสมสณั ฐานท่ี 3 (The third isomorphism theorem) ให H และ K เปน กรปุ ยอ ยปรกติของ G และ K ⊂ H แลว (G/K)/(H/K) ∼= G/H ทฤษฎีบทนเี้ ปนท่รี จู กั วา ทฤษฎบี ทสมสัณฐานของผลหารซำ้ การพสิ ูจน พิจารณาการสง ϕ : G/K → G/H กำหนดโดย xK → xH นิยามแจม ชดั เพราะ วา xK = yK ⇒ x−1y ∈ K ⇒ x−1y ∈ H ⇒ xH = yH สำหรบั ทุก x, y ∈ G จะไดวา ϕ((xK)(yK)) = ϕ(xyK) = xyH = (xH)(yH) ดงั นัน้ ϕ เปน สาทสิ สณั ฐาน เห็นชัดวา ϕ เปน ฟง กชันทั่วถงึ และ { }{ } Ker ϕ = xK xH = H = xK x ∈ H = H/K

3.2 ทฤษฎบี ทสมสัณฐาน 79 ดังน้ัน โดยทฤษฎีบทสมสัณฐานท่ี 1 จะได (G/K)/(H/K) ∼= G/H ทฤษฎบี ทตอไปน้เี ปนการแสดงวา ผลคณู ของกรุปผลหาร ยงั คงเปนกรปุ ผลหาร ทฤษฎบี ท 3.2.4 ให G1 และ G2 เปนกรุป และ N1 ▹ G1, N2 ▹ G2 แลว จะได (G1 × G2)/(N1 × N2) ∼= (G1/N1) × (G2/N2) การพสิ จู น พจิ ารณา ϕ : G1 × G2 → (G1/N1) × (G2/N2) กำหนดโดย (x1, x2) → (x1N1, x2N2) สำหรบั ทกุ (x1, x2) ∈ G1 × G2 จะไดวา ϕ เปน สาทิสสณั ฐานแบบทั่วถึง และ Ker ϕ = N1 × N2 ดังนน้ั โดยทฤษฎีบทสมสัณฐานที่ 1 จะไดวาทฤษฎบี ทเปนจริงตามตอง- การ ทบทวน ถา σ : S → T เปนการสง จากเซต S ไปยงั เซต T และถา X ⊂ T แลว σ−1(X) แทนเซต { σ(s) ∈ X} ซงึ่ σ−1(X) เปนภาพผกผันของ X ภายใต σ อาจจะกลา ววา σ−1 เปน การสง s∈S ทีไ่ มใ ชแคจ าก T ไปยัง S แตถาจะพดู ใหถูกตอ งเปนการสงจากเซตกำลงั P(T ) ไปยัง P(S) แตอ ยางไร กต็ ามถา σ เปน ฟงกชันหนงึ่ ตอ หน่งึ ทัว่ ถึง แลว σ−1 ถึงจะนยิ ามดังกลา วได ทฤษฎบี ท 3.2.5 ทฤษฎบี ทการสมนยั (correspondence theorem) ให ϕ : G → G′ เปน สาทสิ สณั ฐานทวั่ ถึงจากกรุป G ไปยังกรปุ G′ แลว ขอ ความตอ ไปนีเ้ ปน จรงิ (1) H < G ⇒ ϕ(H) < G′ (2) H′ < G′ ⇒ ϕ−1(H′) < G (3) H ▹ G ⇒ ϕ(H) ▹ G′ (4) H′ ▹ G′ ⇒ ϕ−1(H′) ▹ G (5) H < G และ H ⊃ Ker ϕ ⇒ H = ϕ−1(ϕ(H)) (6) การสง H → ϕ(H) เปนฟงกช นั หนง่ึ ตอหนึง่ ทวั่ ถึงระหวางวงศของกรุปยอยของ G ที่ บรรจุ Ker ϕ และวงศของกรปุ ยอ ยของ G′ นอกจากน้ียังไดวา กรุปยอ ยปรกติของ G สมนยั กับกรุปยอ ยปรกติของ G′

80 บทท่ี 3 กรุปยอ ยปรกติ การพิสจู น (1) ให a, b ∈ H ดงั น้นั ϕ(a), ϕ(b) ∈ ϕ(H) จะไดว า ϕ(a)(ϕ(b))−1 = ϕ(a)ϕ(b−1) = ϕ(ab−1) ∈ ϕ(H) เพราะวา ab−1 ∈ H ดังน้ัน ϕ(H) < G′ (2) ให a, b ∈ ϕ−1(H′) ดงั นัน้ ϕ(a), ϕ(b) ∈ H′ จะได ϕ(ab−1) = ϕ(a)(ϕ(b))−1 ∈ H′ ดังนั้น ab−1 ∈ ϕ−1(H′) จะได ϕ−1(H′) < G (3) ให ϕ(h) ∈ ϕ(H) และ g′ ∈ G′ ดังนั้น g′ = ϕ(g) สำหรับบาง g ∈ G เนื่องจาก H ▹ G ดังนน้ั g′−1(ϕ(h))g′ = (ϕ(g))−1 · ϕ(h) · ϕ(g) = ϕ(g−1hg) ∈ ϕ(H) เพราะฉะนั้น ϕ(H) ▹ G′ (4) ให h ∈ ϕ−1(H′), g ∈ G ดงั น้นั ϕ(h) ∈ H′ และ จะได ϕ(g−1hg) = (ϕ(g))−1 · ϕ(h) · ϕ(g) ∈ H′ เพราะวา H′ ▹ G′ เพราะฉะน้ัน g−1hg ∈ ϕ−1(H′) ดังนนั้ ϕ−1(H′) ▹ G (5) เหน็ ชัดวา H ⊂ ϕ−1(ϕ(H)) ให x ∈ ϕ−1(ϕ(H)) ดงั นนั้ ϕ(x) ∈ ϕ(H) ⇒ ϕ(x) = ϕ(h) สำหรับบางh ∈ H ⇒ ϕ(xh−1) = ϕ(e) ⇒ xh−1 ∈ Ker ϕ เนือ่ งจาก H ⊃ Ker ϕ ⇒ xh−1 ∈ H ⇒x∈H ดังนนั้ H = ϕ−1(ϕ(H)) (6) ให H′ < G′ ดังนั้นโดย (2) , ϕ−1(H′) เปน กรุปยอ ยของ G ที่บรรจุ Ker ϕ ดังน้นั โดย (5), ϕ(ϕ−1(H′)) = H′ จะไดการสง H → ϕ(H) เปนฟง กชนั ทว่ั ถงึ เพื่อท่ีจะแสดงวา การ สงเปน ฟงกชนั หน่งึ ตอหน่งึ ให ϕ(H1) = ϕ(H2) เม่อื H1, H2 เปนกรุปยอยของ G ที่บรรจุ Ker ϕ ดงั นนั้ ϕ−1(ϕ(H1)) = ϕ−1(ϕ(H2)) โดย (5) จะได H1 = H2 สำหรับสมบตั ิท่ีเหลือของขอ (6) ไดจากขอ (3) หมายเหตุ ถา ϕ : G → G′ เปน สาทสิ สณั ฐานใด ๆ แลวทฤษฎบี ท 3.2.5 ยังคงเปนจริงเม่อื แทน G′ ดวย Im ϕ บทแทรก 3.2.2 ให N เปน กรุปยอ ยปรกติของ G ให H′ เปน กรุปยอ ยใด ๆ ของ G/N แลว จะมีกรุปยอย H ของ G เพยี งกรุปเดยี วท่ี H′ = H/N ย่ิงไปกวา นนั้ จะได H ▹ G ก็ตอ เม่อื H/N ▹ G/N

3.2 ทฤษฎีบทสมสัณฐาน 81 การพสิ ูจน พิจารณาสาทิสสณั ฐานธรรมชาติ ϕ : G → G/N ซึง่ กำหนดโดย x → xN จากทฤษฎบี ท 3.2.5 มีกรุปยอย H ของ G เพียงกรุปเดยี วเทานั้นท่ีบรรจุ N ซงึ่ H′ = ϕ(H) = H /N บทนยิ าม 3.2.1 ให G เปน กรุป กรุปยอยปรกติ N ของ G เรียกวา กรุปยอยปรกติใหญสุด (maximal normal subgroup) ก็ตอ เมอื่ (1) N ≠ G (2) H ▹ G และ H ⊃ N ⇒ H = N หรือ H = G บทนยิ าม 3.2.2 กรปุ G เรยี กวา กรุปเชงิ เดียว (simple group) ก็ตอ เมื่อ G ไมมกี รปุ ยอ ยปรกติ แท น่ันคือ G ไมมีกรุปยอยปรกตอิ ่นื นอกจาก {e} และ G บทแทรกตอ ไปน้ีเปนผลจากบทแทรก 3.2.2 บทแทรก 3.2.3 ให N กรุปยอยปรกติแทของ G แลว N เปนกรุปยอ ยปรกติใหญสดุ ของ G ก็ ตอเมื่อ G/N เปนกรุปเชงิ เดยี ว บทแทรก 3.2.4 ให H และ K เปนกรุปยอ ยปรกติใหญสุดของ G แลว H ∩ K เปน กรุปยอย ปรกติใหญสุดของ H และ K การพิสูจน โดยทฤษฎบี ทสมสณั ฐานไดมอนดจ ะได H/H ∩ K ∼= HK/K ทำใหไดว า K ▹ HK ▹ G ดงั นัน้ HK = K หรือ HK = G เพราะวา K เปน กรปุ ยอ ยใหญส ดุ แตถา HK = K ⇒ H ⊂ K เกดิ ขอขดั แยง เพราะวา H และ K เปนกรุปใหญสุดทีแ่ ตกตา งกนั ดังน้นั HK = G เพราะฉะน้นั H/H ∩ K ∼= G/K ดังนน้ั โดยบทแทรก 3.2.3, H ∩ K เปนกรุปยอยใหญสุดของ H ในทำนองเดียวกนั เปน กรุปยอ ยใหญส ุดของ K ดวย

82 บทที่ 3 กรุปยอยปรกติ ตัวอยา ง 3.2.1 ให Gaเnปน=กeร}ปุ ซแึง่ ลมะีจำGนnวน=เต็ม{ann > 1 ที่ G(a}b)แnล=วจaะnไbดn สำหรบั ทกุ a, b ∈ G { a G ให Gn = a ∈ G ∈ Gn ▹ G, Gn ▹ และ G/Gn ∼= Gn วธิ ที ำ ให a, b ∈ Gn และ x ∈ G ดงั นั้น (ab−1)n = an(bn)−1 = e จะได ab−1 ∈ Gn และ (xax−1)n = xanx−1 = e ซง่ึ ทำให xax−1 ∈ Gn ดังนนั้ Gn ▹ G และจาก xanx−1 = xax−1xax−1xa...x−1xax−1 = (xax−1)n ดงั นัน้ xanx−1 ∈ Gn นัน่ คอื Gn ◃ G ตอไปนยิ าม ฟง กชนั f : G → Gn โดย f(a) = an เหน็ ชดั วา f เปน ฟงกช นั ทวั่ ถึง และสำหรบั ทุก a, b ∈ G จะได f(ab) = (ab)n = anbn ดงั น้นั f เปนสาทิสสัณฐาน จะได { } Ker f = a an = e = Gn เพราะฉะน้นั โดยทฤษฎบี ทสมสัณฐานที่ 1, G/Gn ∼= Gn ตวั อยา ง 3.2.2 ให G เปน กรุปจำกัด และให T เปนอัตสณั ฐานของ G ที่มีสมบตั ิ T (x) = x ก็ ตอเม่ือ x = e แลว สำหรับทกุ g ∈ G มี x ∈ G ทที่ ำให g = x−1T (x) วธิ ที ำ คาดวา x−1T (x) = y−1T (y) กต็ อ เมอื่ x = y พจิ ารณา x−1T (x) = y−1T (y) ⇔ (yx−1) = T (y)(T (x))−1 ⇔ yx−1 = T (yx−1) ⇔ yx−1 = e ⇔y = x โดยสมมตฐิ าน เพราะฉะนัน้ G = {x−1T (x) } x∈G ตัวอยาง 3.2.3 ถาในตัวอยาง 3.2.2 มีเงื่อนไข T 2 = I ดว ย แลว G เปนอาบเี ลยี นกรุป วธิ ีทำ ให x ∈ G จะได x−1(T (x)) = T 2(x−1(T (x))) = T (T (x−1)T 2(x)) = T (T (x−1)x) = T ((x−1T (x))−1) เพราะฉะน้นั สำหรบั ทุก g ∈ G จะได T (g−1) = g ดงั นน้ั ถา a, b ∈ G แลว T ((ab)−1) = ab และ T ((ab)−1) = T (b−1a−1) = T (b−1)T (a−1) = ba เพราะฉะนนั้ ab = ba

3.2 ทฤษฎีบทสมสณั ฐาน 83 ตัวอยา ง 3.2.4 กรุปไมส ลับทีอ่ นั ดับ 6 สมสณั ฐานกับ S3 วิธีทำ กำหนดให G เปน กรปุ ไมส ลบั ท่ีอันดับ 6 ถา ทกุ สมาชกิ ของกรุป G มีอันดบั 2 แลว G เปน อาบีเลยี นกรุป ดงั นั้น สมมตุ ิมีสมาชิก a ทมี่ ีอนั ดับ 3 ให b ∈ G ซ่ึง b ∈/ {e, a, a2} ดังน้นั จะไดว า e, a, a2, b, ab, a2b เปนสมาชิกทต่ี างกนั ดังน้ัน เปนสมาชิกทัง้ หมดของกรปุ G จะได b2 ̸= a หรอื a2 เพราะเม่ือให b2 = a จะได b6 = e ทำใหไดอันดบั ของ b = 2, 3, 6 แตเมือ่ อันดบั ของ b = 2 ทำใหไดว า a = e เกดิ ขอขัดแยง ถา อนั ดับของ b = 3 ทำใหไดวา b2 = a แลว ab = e เกดิ ขอ ขัด แยง และถา อนั ดับของ b = 6 จะไดว า G เปน กรปุ วฏั จักร ซง่ึ ขัดแยง กับท่ี Gไมเปน กรุปอาบเี ลียน ดงั นั้น b2 ̸= a ในทำนองเดยี วกนั b2 ̸= a2 และถา b2 = b หรอื ab หรอื a2b ทำใหไดวา b = e หรอื a หรอื a2 ตามลำดับ ซึง่ เปนไปไดกรณีเดียวเทานัน้ ท่ี b2 ∈ G คอื b2 = e ยงิ่ ไปกวาน้นั กรุปยอ ย [a] = {e, a, a2} ซ่ึงกอกำเนดิ โดย a มีดชั นี 2 ดงั น้ัน เปน กรุป ยอ ยปรกติ เพราะฉะนั้น bab−1 = e, a หรือ a2 แต bab−1 = e ทำใหได a = e ซ่ึงขดั แยง และ ถา bab−1 = a ไดวา G เปนอาบเี ลยี นกรปุ ซงึ่ ขัดแยงเชนกัน ดังนั้น bab−1 = a2 น่นั คอื G กอกำเนดิ โดย a, b ซ่งึ นยิ ามความสมั พนั ธโดย a3 = e = b2 , bab−1 = a2 อีกทางหนึ่ง S3 กอกำเนดิ โดย a′ และ b′ ซึ่ง a′3 = e′ = b′2 , b′a′b′−1 = a′2 แลว การสงตอ ไปนี้ e → e′, a → a′, a2 → a′2, b → b′, ab → a′b′, a2b → a′2b′ เปนสมสณั ฐานของกรุป G ทั่วถึง S3 แบบฝก หดั 3.2 1. ถา σ เปน สมสณั ฐานของกรุป G ไปยงั กรุป H จงพสิ จู นว า (σ(a))n = e′ กต็ อ เมอื่ an = e และ ยกตัวอยา งทีแ่ สดงวาขอ ความนีไ้ มจ ริงเมื่อ σ ไมเปนสมสณั ฐาน 2. ถา กรุป G กอกำเนิดโดยเซตยอ ย S จงพิสูจนว า σ(S) เปนตัวกอ กำเนดิ ของ G เมอื่ σ เปน อัตสณั ฐานของ G 3. จงแสดงวากรุปวฏั จกั รอนั ดบั 8 สมสณั ฐานกับกรปุ วัฏจกั รอันดับ 4 4. จงเขียนภาพสาทสิ สณั ฐานของขอตอไปน้ี (1) กรปุ ส่แี บบไคลน (2) กรปุ แปด 5. จงแสดงวา กรปุ การหมุนรูปเปนสาทสิ สัณฐานกบั กรุปอันดับ 2 6. ให [a] เปน กรปุ วฏั จกั รอันดบั m และ [b] เปนกรุปวัฏจกั รอันดับ n จงแสดงวา มีสาทสิ สัณฐาน σ ของ [a] ไปยัง [b] ท่ี σ(a) = bk ก็ตอเมอื่ mk เปน พหคุ ณู ของ n นอกจากน้ี ถา mk = qn จง แสดงวา σ เปน สาทิสสัณฐานกต็ อเมื่อ (m, q) = 1

84 บทท่ี 3 กรุปยอ ยปรกติ 3.3 || อตั สัณฐาน ทบทวน อัตสัณฐานของกรุป G คือ สมสัณฐานจาก G ไปท่วั ถงึ G เซตของอตั สัณฐานทัง้ หมดของ G เขยี นแทนดว ย Aut(G) จากตัวอยา ง 2.2.4 พบวา ทุกสมาชกิ g ∈ G จะไดอตั สณั ฐาน Ig ของ G และ เรียก Ig วา อตั สัณฐานภายใน (inner automorphism) กำหนดโดย Ig(x) = gxg−1 เซตของอัต สณั ฐานภายในทั้งหมดของ G แทนดวย In(G) ทฤษฎบี ท 3.3.1 เซตของอตั สัณฐานของกรุป G เปน กรุปภายใตการประกอบของการสง และ In(G) ▹ Aut(G) และ G/Z(G) ∼= In(G) การพิสูจน เห็นชดั วา Aut(G) ไมเปน เซตวา ง ให σ, τ ∈ Aut(G) แลว สำหรับทกุ x, y ∈ G จะได στ (xy) = σ(τ (x)τ (y)) = (στ (x))(στ (y)) ดังนั้น στ ∈ Aut(G) นอกจากน้ีจะได σ(σ−1(x)σ−1(y)) = σσ−1(x)σσ−1(y) ดังนั้น σ−1(x)σ−1(y) = σ−1(xy) เพราะฉะน้นั σ−1 ∈ Aut(G) น่นั คือ Aut(G) เปน กรุปยอยของกรุปสมมาตร SG ดงั น้นั Aut(G) เปน กรุป พจิ ารณาการสง ϕ : G → Aut(G) กำหนดโดย a → Ia สำหรับทุก a, b ∈ G จะได Iab(x) = abx(ab)−1 = a(bxb−1)a−1 = IaIb(x) สำหรบั ทุก x ∈ G ดงั นั้น ϕ(G) เปน กรุปยอ ยของ Aut(G) และยงั ไดวา Ia เปนอัตสัณฐานเอกลักษณ ก็ตอเมอ่ื axa−1 = x สำหรับทุก x ∈ G ดงั นน้ั Ker ϕ = Z(G) และโดยทฤษฎีบทสมสัณฐานท่ี 1 จะได G/Z(G) ∼= In(G) ตอไปพจิ ารณาแตล ะ σ ∈ Aut(G) จะได (σIaσ−1)(x) = σ(aσ−1(x)a−1) = σ(a)xσ(a)−1 = Iσ(a)(x) ดงั นน้ั σIaσ−1 = Iσ(a) ∈ In(G) เพราะฉะนัน้ In(G) ▹ Aut(G) จากทฤษฎีบท 3.3.1 จะไดวา ถาศนู ยก ลางของกรปุ G เปนกรุปชดั แจงแลว G ∼= In(G) และเรยี กกรุป G วา กรุปบริบรู ณ (complete group) ถา Z(G) = {e} และ ทกุ อตั สณั ฐานของ G เปน อตั สณั ฐานภายใน นน่ั คอื G ∼= In(G) = Aut(G) เมอื่ เราตองการพจิ ารณาความเปน ไปไดท้งั หมดของการเปน อตั สณั ฐาน σ ของกรปุ G ส่ิงที่ เปน ประโยชนตอการพิจารณามากคอื สำหรับทุก x ∈ G จะได x และ σ(x) ตองมีอนั ดบั เดยี วกนั (ดู แบบฝกหดั 19 หวั ขอ ท่ี 3 ในบทที่ 2)