main

เฉลยแบบฝกหัด 135 แบบฝกหดั 3.2 1. (σ(a))n = σ(a) · · · σ(a) = σ(an) เน่อื งจาก σ เปน หน่ึงตอ หน่งึ ดังนั้น σ(an) = e′ = σ(e) เปนจรงิ ก็ตอเมือ่ an = e 3. ถา G กอ กำเนดิ โดย a พิจารณา ϕ : G → Z4 กำหนดโดย ai → r(i) : เปน เศษเหลอื ของ i มอดุโล 4 5. พิจารณา ϕ : Dn → Z2 กำหนดโดย σi → 0, σiτ → 1 สำหรับทกุ i แบบฝก หดั 3.3 1. Aut(Z) ∼= Z2 3. Aut(K) ∼= S3 5. แสดงวาสาทิสสณั ฐานท่กี ำหนดเปน การสงทวั่ ถึง 7. กำหนดอาบีเลยี นกรปุ A ∼= Zn1 × Zn2 × K เมือ่ n1 | n2 และ K เปนบางอาบี เลยี นกรปุ ท่ีเปน ไปได ให Hom(A, A) แทนเซตของสาทสิ สัณฐานทั้งหมดของอาบีเลีย นกรปุ A เราสามารถแสดงไดโดยตรงวา ถา A ∼= Zn1 × Zn2 × K แลว เปน กรุปของ การบวก   ZZ ZZHom(A, A) ∼= HHoomm(( Z ZHom( n2, n1) ZHom(K, n1 , n1 ) Z ZHom( n2, n2) ZHom(K, n1 )) = M n1 , n2 ) ZHom( n2, K) n2 ZHom( n1, K) Hom(K, K)  กระทำบน A สมาชกิ เหลา นั้นอยใู นรปู aa21 , a1 ∈ Zn1, a2 ∈ Zn2, a3 ∈ K a3 ทำใหไ ด Aut(A) ∼= Aut(M) เลอื ก σ ∈ ZAut( n1), θ ∈ ZHom( n1, Zn2) สามารถ สรา งสองสมสัณฐาน α, β ∈ Aut(A) กำหนดโดย   α = σ0 θ 00 , β = 01 θ 00 1 1 001 001 โดยที่ αβ ̸= βα

136 เฉลยแบบฝก หดั เฉลยแบบฝกหัดบทที่ 4 แบบฝกหัด 4.1 1. 1.1) (f g)(x) = f (x)g(x) = g(x)f (x) = (gf )(x) =⇒ f g = gf (f 1)x = f (x)1 = f (x) =⇒ f 1 = f 1.2) ให  0 ;0 ≤ x ≤ 1 2 f (x) = x 1 1  − 2 ; 2 ≤ x ≤ 1 x − 1 ;0 ≤ x ≤ 1 0 2 2 g(x) = 1 ; 2 ≤ x ≤ 1 ดงั นั้น f, g ∈ S, f ̸= 0, g ̸= 0 แต fg = 0 1.3) ให f = f2 ∈ S และให a ∈ [0, 1] แลว f(a) = 0 หรอื ไมก็ f(a) = 1 { } สมมติ f ̸= 0 และ f ̸= 1 ให A = x ∈ [0, 1] f (x) = 0 และให B = { f (x) = } ดังนนั้ A∪ B = [0, 1], A ̸= ∅, B ≠ ∅, A ≠ [0, 1] x ∈ [0, 1] 1 และ B ≠ [0, 1] จากการวิเคราะหเชงิ จรงิ ไดวา A และ B ปดดงั น้ันท้งั สองเปน เซตท่ีมี ขอบเขต เพราะวา A ∩ B = ∅ สมมตวิ า l. u. b A ≠ 1 ให p = l. u. b A จะเห็นวา f ไมตอ เนือ่ งที่ p เปนขอขัดแยง น่นั คอื f = 0 หรือไมก ็ f = 1 1.4) ให f1, f2 ∈ T จะไดว า (f1 − f2)(a) = f1(a) − f2(a) = 0 ดงั นน้ั f1 − f2 ∈ T ในทำนองเดียวกันไดวา f1f2 ∈ T นน่ั คอื T เปน รงิ ยอย และ สำหรับ f ∈ T, g ∈ S จะได fg(a) = f(a)g(a) = 0 ดงั นั้น fg ∈ T ในทำนองเดียวกัน gf ∈ T 3. 3.1) (1) ให a + √ c + √ ∈ A จะไดวา b −1, d −1 √√ √ (a + b −1) − (c + d −1) = (a − c) + (b − d) −1 ∈ A และ √√ √ (a + b −1)(c + d −1) = (ac − bd) + (ad + bc) −1 ∈ A จึงสรปุ ไดวา A เปน ริงยอ ย (2) ให a + √ c + √ ∈ B จะไดว า b −3, d −3 √√ √ (a + b −3) − (c + d −3) = (a − c) + (b − d) −3

เฉลยแบบฝกหดั 137 กรณี I ถา a, b, c, d ∈ Z แลว (a − c), (b − d) ∈ Z กรณี II ถา a, b ∈ Z และ c, d เปน คร่ึงหนึง่ ของจำนวนค่ี ดงั น้ันท้ัง a − c และ b − d เปน ครงึ่ หนงึ่ ของจำนวนค่ี ดงั นัน้ จะได(a + √ − (c + √ ∈ B b −3) d −3) ตอไปพจิ ารณา (a + √ + √ = (ac − 3bd) + (ad + √ b −3)(c d −3) bc) −3 ถา a, b, c, d ∈ Z แลว (a + √ + √ ∈ B สมมติ a, b ∈ Z และ c, d b −3)(c d −3) เปน ครึ่งหนง่ึ ของจำนวนคี่ ดังนนั้ ac − 3bd, ad + bc ∈ Z ก็ตอเม่ือ a และ b ทั้งสอง เปน จำนวนคู หรอื ทงั้ สองเปน จำนวนค่ี และ ac − 3bd และ ad + bc เปน ครง่ึ หนง่ึ ของ จำนวนค่ี ก็ตอเม่ือ a เปนจำนวนค,่ี b เปน จำนวนคู หรอื สลับกนั ดงั นนั้ เราจะไดแตล ะ √ √ กรณี (a + b −3)(c + d −3) ∈ B ทำใหส รุปไดวา B เปน รงิ ยอ ยของ C 3.2) เพราะวา eae − ebe = e(a − b)e ∈ eRe และ (eae)(ebe) = e(aeb)e ∈ eRe ดังน้นั eRe เปน ริงยอ ย จะเห็นวา e เปน สมาชิกหนวยเนอ่ื งจาก e(eae) = (ee)ae = eae = ea(ee) = (eae)e 5. 5.1) (1) {0¯, ¯1} เปนสมาชิกนิจพล, {0¯, 2¯} เปนสมาชิกนิรพล และ {1¯, ¯3} เปน สมาชกิ ที่ หาตัวผกผันได (2) {0¯, 1¯, ¯5, ¯6} เปน สมาชิกนจิ พล, {0¯, 10} เปน สมาชกิ นิรพล และ {1¯, 3¯, ¯7, ¯9, 11, 13, 17, 19} เปน สมาชกิ ท่หี าตวั ผกผนั ได 5.2) ให a, b ∈ (U(R), ·) จะไดวา (ab)−1 = b−1a−1 ดังนน้ั ab ∈ U(R) เพราะวา (R, ·) เปน กง่ึ กรปุ ดังนัน้ (U(R), ·) จึงเปนกรปุ 5.3) x¯ ∈ Z/(n) หาตวั ผกผนั ได =⇒ ∃y¯ ∈ Z/(n) โดยที่ x¯y¯ = ¯1 =⇒ 1 − xy = nk สำหรบั บางจำนวนเตม็ k =⇒ 1 = xy + nk =⇒ (x, n) = 1 ในทางตรงขา ม Z(x, n) = 1 =⇒ ∃a, b ∈ โดยท่ี 1 = xa+nb =⇒ ¯1 = x¯a¯+n¯¯b = x¯a¯ =⇒ x¯ { } หาตัวผกผันได ให U (R) = x¯ ∈ Z/(n) (x, n) = 1 จะไดวา (U (R), ·) เปน กรุ ปของการคณู อันดบั ϕ(n) น่นั คอื x¯ϕ(n) = ¯1 นนั่ คอื xϕ(n) ≡ 1 (mod n) 7. ให am = 0, bn = 0 ให k = max(m, n) จะไดวา (a + b)2k ∑2k ( 2k ) bi a2k−i = i = 0 i=0 ถา R = F2 เปนรงิ เมทรกิ ซข นาด 2×2 บนฟลด F และถาให a = [] [] 0 1 ,b = 0 0 0 1 0 0 แลว a2 = 0 = b2 แต a + b ไมเปน สมาชิกนริ พล ซง่ึ a + b เปนสมาชิกท่ีมีตัวผกผัน

138 เฉลยแบบฝก หัด 9. ให R เปนอินทิกรลั โดเมนที่มีลักษณะเฉพาะ n ̸= 0 สมมติ n = pm; p, m < n จะมี a ∈ R โดยที่ pa ̸= 0 ให x ∈ R จะไดวา (pa)(mx) = (pm)(ax) = n(ax) = 0 จงึ สรปุ ไดวา mx = 0 สำหรบั ทกุ x ∈ R เกดิ ขอ ขัดแยงเพราะวา m < n จึงสรุปไดวา n ตองเปนจำนวนเฉพาะ 11. ให R = {0, a1, . . . , an} เปน อนิ ทิกรัลโดเมนและให ai ∈ R ดงั นนั้ aia1, ..., aian เปนสมาชิกที่แตกตางกนั และไมเปนศูนยทงั้ หมดของ R ดังนั้น ถา ให ak ∈ R จะมี aj ∈ R ที่ aiaj = ak นนั่ คอื สมการ ax = b มีคำตอบสำหรบั ทกุ สมาชิกที่ไมเปนศนู ย a, b ∈ R และถา b = 0 แลว จะเหน็ วา x = 0 เปนคำตอบ ทำให R เปน ริงผลหาร 13. ให aua = a และสมมติ ab = 1 จะได auab = ab =⇒ au = 1 แต u เปน สมาชิก หาตวั ผกผันได ดังน้นั ua = 1 จะได uab = b =⇒ u = b =⇒ ua = ba = 1 15. ให 0 ̸= a ∈ R และ b ∈ R ดังน้นั มี c ∈ R โดยท่ี ac = e ทำใหสรุปไดวา acb = eb = b นั่นคือ สมการ ax = b มคี ำตอบ ดงั น้นั ทำให R เปนรงิ ผลหาร แบบฝก หดั 4.2 1. ให 0 ≠ a ∈ R จะไดวา aR ไมเปนไอดีลศนู ย ดังนั้น aR = R ซง่ึ เปนการพสิ ูจนวา ab = 1 สำหรบั บาง b ∈ R 3. ให 0 ̸= a ∈ R จะไดวา aR เปนไอดีลขวาไมเปนศูนย ดงั นั้น aR = R นนั่ คอื ทกุ สมาชกิ ทีไ่ มเปนศนู ยมีตัวผกผนั ทางขวา ซึ่งเปน การพิสูจนว า R เปน ริงผลหาร 5. จากหมายเหตุถดั จากนยิ ามของ PID ทกุ ไอดลี ใน F [x] อยูใ นรูป (f(x)), f(x) ∈ F [x] 7. อนั ดับแรกจะแสดงวา สมาชิก f (x) = ∑∞ หาตัวผกผนั ไดใน f [[x]] ก็ตอ เมือ่ aixi i=0 a0 ≠ 0 ถา f(x) หาตวั ผกผันได คอื g(x) = ∑∞ bixi จะเหน็ วา a0b0 = 1 ดังน้ัน a0 ≠ 0 ใน i=0 ทางกลับ ถา a0 ≠ 0 เราจะแสดงวามี g(x) = ∑∞ bixi ซึ่งเปน ตวั ผกผนั ของ f(x) เรา i=0

เฉลยแบบฝกหดั 139 สมมตวิ า f(x)g(x) = 1 และไดร ะบบสมการขา งลางนี้ a0b0 = 1 a0b1 + a1b0 = 0 a0b2 + a1b1 + a2b0 = 0 ... a0bn + a1bn−1 + · · · + anb0 = 0 ··· เพราะวา a0 ≠ 0 ระบบสมการนี้ไดผลเฉลย b0, b1, b2, . . . เม่ือมี b0, b1, b2, . . . , bn−1 จะหา bn ไดจากสมการสุดทาย ดงั นน้ั โดยการอปุ นัยเชงิ คณิตศาสตรบน n แตละ bi หา คาได เปน การแสดงวา f(x) หาตวั ผกผนั ได คอื g(x) ให A เปนไอดลี ทไ่ี มใ ชศ นู ย และให { amxm + am+1xm+1 + · · · ∈ A และ am ̸= } S= m≥0 0 จะเหน็ วา S ̸= ∅ ให m เปนจำนวนเตม็ บวกนอยสดุ ใน S ดงั น้นั ถา xm(am+am+1x+ · · · ) ∈ A แลวจะได xm ∈ A นัน่ คือ A = (xm) 9. ไอดีลใน Z/(n) อยูในรปู (a) + (n)/(n), a ∈ Z เพราะวา (a) + (n) = (d) เมือ่ (a, n) = d จงึ ไดวาไอดลี ใน Z/(n) คอื (d)/(n) เมื่อ d | n 11. ให x, y ∈ r(S), r ∈ R จะไดว า S(x − y) = Sx − Sy = 0, S(xr) = (Sx)r = 0 น่ันคือ r(S) คอื ไอดลี ทางขวา ในทำนองเดียวกัน สามารถแสดงไดวา l(S) เปน ไอดลี ทางซาย 13. ให x, y ∈ A และให B เปน ไอดลี ทางขวาท่ีไมเปนศูนย จะไดวา r(x) ∩ r(y) ∩ B ≠ 0 ใหเปน 0 ̸= b ∈ B โดยท่ี xb = 0 = yb นัน่ คือ (x−y)b = 0 ดงั นั้น r(x−y)∩B ≠ 0 ดงั นัน้ ไดวา x − y ∈ A ตอ ไปให a ∈ A ถา aB = 0 แลว xaB = 0 จงึ สรปุ ไดวา r(xa) ∩ B ̸= 0 น่ันคือ xa ∈ A แตถา aB ≠ 0 แลว r(x) ∩ aB ≠ 0 ทำใหสรุปได วามี 0 ≠ b ∈ B โดยท่ี xab = 0 นน่ั คอื r(xa) ∩ B ≠ 0 ดังน้ัน ในกรณีใดๆ สำหรับ ทุก x ∈ A, a ∈ R ไดวา xa ∈ A ตอไปจะแสดงวา ax ∈ A จะเหน็ วา r(x) ⊂ r(ax) เพราะวา r(x) ∩ B ≠ 0 จงึ ไดวา r(ax) ∩ B ≠ 0 นั่นคอื ax ∈ A เปน การพิสจู นวา A เปน ไอดีลใน R 15. ให (x, 0), (y, 0) ∈ R1∗ และ (a, b) ∈ R จะไดวา (x, 0) − (y, 0) = (x − y, 0) ∈ R1∗, (x, 0)(a, b) = (xa, 0) ∈ R1∗ และ (a, b)(x, 0) = (ax, 0) ∈ R1∗ ทำใหไดวา

140 เฉลยแบบฝกหัด R1∗ เปน ไอดลี ใน R ในทำนองเดยี วกัน สามารถแสดงไดวา R2∗ เปน ไอดีล จะเหน็ วา x → (x, 0) เปนรงิ สมสณั ฐาน จาก R1 ทวั่ ถึง R1∗

Ω ดชั นี embeddable, 40 endomorphism, 40 PID, 111 epimorphism, 40 algebra, 101 equivalence class, 12 annihilator, 120 Euler function, 35 automorphism, 40 family, 20 bijection, 16 field, 93 block, 6 function, 14 cardinality, 2 Gaussian integers, 105 Cartesian product, 8, 19 generalized associative law, 24, 91 chain, 11 generated, 45 characteristic greatest lower bound, 11 group zero, 100 characteristic function, 19 abelian, 31 codomain, 14 commutative, 31 commutator, 71 complete, 84 complement, 3 cyclic, 45 composite, 15 definition, 30 congruence modulo, 10 derived, 71 coset dihedral, 65 finite, 32 left, 49 finitely generated, 47 right, 49 infinite, 32 cover, 10 Klein four, 38 cycle, 58 octic, 66 DeMorgan's rules, 4 order, 32 diagram permutation, 58 commutes, 15 quaternion, 38 diagrams quotient, 70 Venn, 3 simple, 81 difference, 2 symmetric, 58 direct product, 36 symmetries of square, 64 direct sum, 102 the general linear, 35 domain, 14

142 ดชั นี groupoid, 27 canonical, 19 homomorphic image, 40 graph, 14 homomorphism, 40 identity , 14 inclusion, 14 natural, 70 injective, 16 ideal, 107 insertion, 14 inverse, 17 finite generated, 110 natural, 19 generated by S, 110 one-to-one, 16 left, 107 onto, 16 principal, 111 surjective, 16 right, 107 meet, 11 trivial, 107 monoid, 29 two-sided, 107 monoomorphism, 40 idempotent, 38, 101 nilpotent, 100 identity, 29 normalizer, 71 left, 28 one-to-one correspondence, 16 right, 28 operation ring, 89 associative, 22 two sided, 29 binary, 22 image, 14 commutative, 22 injection, 16 left-distributive, 22 inner automorphism, 41, 84 pointwise, 36 integral domain, 93 right-distributive, 22 intersection, 2 unary, 22 inverse, 30 order, 47 left, 29 ordered pair, 8 right, 29 ordered set invertible, 30 length, 20 isoomorphism, 40 partition, 6 join, 11 permutation, 16 kernel, 41 poset, 10 lattice, 11 pre-image, 14 least upper bound, 11 principal ideal domain, 111 left inverse, 18 product left regular representation, 61 standard, 23 list, 20 projection, 19 lower bound, 11 range, 14 mapping, 14 relation, 8 bijective, 16

ดัชนี 143 antisymmetric, 9 semigroup, 27 equivalence, 9 sequence, 20 partial order, 9 set reflexive, 9 symmetric, 9 disjoint, 3 transitive, 9 empty, 2 residue class, 12 finite, 2 restriction, 18 index, 20 right inverse, 18 infinite, 2 rigid transformation, 63 null, 2 ring, 87 ordered, 20 Boolean, 98 pairwise disjoint, 6 canonical homomorphism, 115 partially ordered, 10 center, 99 power, 5 characteristic, 100 quotient, 12 commutative, 89 totally ordered, 11 component, 102 universal, 2 copy, 115 void, 2 definition, 87 split extension, 76 direct product, 102 subgroup, 43 division, 93 center, 45 embedding, 115 centralizer, 54 endomorphisms of an abelian group, cyclic, 44 generated by S, 47 96 index, 50 homomorphism, 115 maximal normal, 81 isomorphic, 115 normal, 69 kernel, 116 proper, 43 lower triangular matrices, 95 trivial, 43 matrices, 94 subring, 99 monomorphism, 115 generated by S, 100 natural homomorphism, 115 prime, 106 non-commutative, 89 subset, 2 polynomial, 95 proper, 2 principal ideal, 111 surjection, 16 quotient, 113 symmetric difference, 32 sub, 99 symmetry, 61 trivial, 88 theorem upper triangular matrices, 95 Cayley, 60 with unity, 89 correspondence, 79 scalar multiplication, 101 diamond isomorphism, 78 semidirect product, 76 Euler-Fermat, 51

144 ดชั นี first isomorphism, 77 กรุปพอยด, 27 Lagrange, 50 กรุปยอ ย, 43 Poincare's, 52 second isomorphism, 78 กอกำเนดิ โดย S , 47 The first ring isomorphism theorem, ชดั , 43 ดัชนี, 50 117 ตัวทำสลับที,่ 71 third isomorphism, 78 ตวั ศูนยก ลาง, 54 Wilson's, 54 ปรกติ, 69 union, 2 ปรกตใิ หญส ุด, 81 units matrix, 94 วัฏจักร, 44 unity ศนู ยกลาง, 45 ring, 89 แท, 43 upper bound, 11 การกำกดั , 18 zero divisor, 93 การดำเนินการ left, 93 การแจกแจงทางขวา, 22 right, 93 การแจกแจงทางซา ย, 22 กฎการเปลี่ยนหมูท ่ัวไป, 24 จุดตอ จุด, 36 กฎนยั ท่ัวไปของการเปลย่ี นกลุม, 91 ทวภิ าค, 22 กฏเดอมอรแ กน, 4 สลับที,่ 22 กรปุ เปล่ยี นหมู, 22 การสมมาตรของสเี่ หล่ยี มจตั ุรัส, 64 เอกภาค, 22 การหมนุ รูป, 65 การประกอบ, 15 การเรียงสับเปล่ยี น, 58 การสมนัยหนง่ึ ตอ หนงึ่ , 16 กอกำเนิดจำกัด, 47 การสมมาตร, 61 ควอเทอรเ นียน, 38 การสง , 14 จำกัด, 32 กราฟ, 14 นิยาม, 30 ทั่วถึง, 16 บรบิ รู ณ, 84 ผกผนั , 17 ผลหาร, 70 ภาพ, 14 วฏั จกั ร, 45 หน่งึ ตอ หนึ่ง, 16 สมมาตร, 58 หนึง่ ตอหนง่ึ ทั่วถงึ , 16 สลบั ท,่ี 31 เอกลักษณ, 14 ส่แี บบไคลน, 38 แบบบัญญตั ิ, 19 อนันต, 32 โดยเปน เซตยอย, 14 อนพุ ัทธ, 71 การเรยี งสบั เปล่ียน, 16 อันดับ, 32 การแปลงคงรูป, 63 อาบีเลียน, 31 ก่ึงกรปุ , 27 เชิงเดยี ว, 81 กอกำเนิด, 45 เชิงเสนท่ัวไป, 35 ขอบเขตบน, 11 แปด, 66 ขอบเขตบนนอ ยสดุ , 11 ขอบเขตลาง, 11 ขอบเขตลางมากสดุ , 11

ดชั นี 145 ความสมั พันธ, 8 มาตรฐาน, 23 ถายทอด, 9 ผลคณู ก่ึงตรง, 76 ปฏสิ มมาตร, 9 ผลคูณคารท เี ซยี น, 8, 19 สมมาตร, 9 ผลคณู ตรง, 36 สมมูล, 9 ผลคณู สเกลาร, 101 สะทอ น, 9 ผลตา ง, 2 อนั ดบั บางสว น, 9 ผลตางสมมาตร, 32 ผลบวกตรง, 102 คอู นั ดับ, 8 ผลแบงกัน้ , 6 จำนวนเชงิ การนบั , 2 ฝง ใน, 40 จำนวนเตม็ เกาส, 105 พีชคณิต, 101 ชั้นสมมูล, 12 ฟงกชนั , 14 ชน้ั สวนตกคาง, 12 ฟงกช นั ลักษณะเฉพาะ, 19 ตัวทำลาย, 120 ฟง กช ันออยเลอร, 35 ตัวทำสลับท่ี, 71 ฟลด, 93 ตัวผกผัน, 30 ภาคขยายแยก, 76 ภาพ, 14 ดานขวา, 29 ภาพฉาย, 19 ดา นซาย, 29 ภาพสาทิสสณั ฐาน, 40 ตวั ผกผนั ทางขวา, 18 ยเู นียน, 2 ตัวผกผันทางซา ย, 18 ริง, 87 ตวั หารศนู ย, 93 ทางขวา, 93 การฝง, 115 ทางซา ย, 93 การหาร, 93 ตวั แทนปรกตดิ า นซาย, 61 ชัด, 88 ทฤษฎีบท ตัวประกอบ, 102 การสมนัย, 79 นยิ าม, 87 ปวงกาเร, 52 บูลนี , 98 รงิ สมสัณฐานที่ 1, 117 ผลคณู ตรง, 102 ลากรานจ, 50 ผลหาร, 113 สมสัณฐานของผลหารซำ้ , 78 พหุนาม, 95 สมสณั ฐานที่ 1, 77 ภาพสาทิสสัณฐาน, 116 สมสณั ฐานท่ี 2, 78 มีสมาชกิ หนว ย, 89 สมสณั ฐานท่ี 3, 78 ยอย, 99 สมสณั ฐานไดมอนด, 78 ลกั ษณะเฉพาะ, 100 เคยเ ลย, 60 ศูนยก ลาง, 99 แฟรม า - ออยเลอร, 51 สมสัณฐานกนั , 115 นอรม ัลไลเซอร, 71 สลบั ท,่ี 89 นิจพล, 101 สาทสิ สัณฐาน, 115 นริ พล, 100 สาทสิ สัณฐานธรรมชาต,ิ 115 บลอ็ ก, 6 สาทสิ สัณฐานแบบบัญญัต,ิ 115 บพุ ภาพ, 14 สำเนา, 115 ปกคลุม, 10 อนั ตรสณั ฐานของอาบเี ลยี นกรุป, 96 ผลคณู

146 ดชั นี เคอรเ นล, 116 ดชั น,ี 20 เมทริกซ, 94 ผลหาร, 12 เมทรกิ ซสามเหลี่ยมบน, 95 วา ง, 2 เมทรกิ ซส ามเหลีย่ มลา ง, 95 อนันต, 2 โมโนมอรฟซ มึ , 115 อนั ดบั ทกุ สวน, 11 ไมส ลบั ที่, 89 อนั ดบั บางสวน, 10 ไอดลี มุขสำคัญ, 111 เอกภพสมั พัทธ, 2 รงิ ยอย, 99 ไมมีสวนรวม, 3 กอ กำเนดิ โดย S, 100 ไมมสี วนรว มทุกค,ู 6 เฉพาะ, 106 เซตยอย, 2 ลักษณะเฉพาะ แท, 2 ศนู ย, 100 เซตรวมเก่ียว ลำดบั , 20 ขวา, 49 ลสิ ต, 20 ซาย, 49 ลูกโซ, 11 เซตอนั ดบั , 20 วงศ, 20 ความยาว, 20 วัฏจกั ร, 58 เมทรกิ ซหนว ย, 94 สมภาคมอดโุ ล, 10 เรนจ, 14 สมสัณฐาน, 40 เอกลกั ษณ, 29 สมาชิก ดา นขวา, 28 นจิ พล, 38 ดานซาย, 28 สมาชกิ หนวย สองดา น, 29 รงิ , 89 เอกสณั ฐาน, 40 สมาชกิ เอกลกั ษณ แผนภาพ ริง, 89 สลบั , 15 สาทสิ สณั ฐาน, 40 เวนน, 3 ธรรมชาต,ิ 70 แลตทิซ, 11 สว นเติมเตม็ , 3 โดเมน, 14 หาตวั ผกผันได, 30 โดเมนรวมเกย่ี ว, 14 อตั สัณฐาน, 40 โดเมนไอดลี มขุ สำคญั , 111 อตั สัณฐานภายใน, 41, 84 โพเซต, 10 อันดับ, 47 โมนอยด, 29 อันตรสณั ฐาน, 40 ไอดีล, 107 อนิ ทกิ รลั โดเมน, 93 กอกำเนดิ จำกดั , 110 อนิ เตอรเซกชนั , 2 กอ กำเนิดโดย S, 110 อปุ ริสณั ฐาน, 40 ขวา, 107 เคอรเนล, 41 ชดั , 107 เซต ซาย, 107 กำลัง, 5 มุขสำคัญ, 111 จำกดั , 2 สองดา น, 107