คณิตศาสตร์ ม.ปลายma31001

151 บทท่ี 8 ความนา จะเปน สาระสําคญั 1. การนับจํานวนผลลัพธทัง้ หมดทีเ่ กิดจากการกระทํา หรือการทดลองใดๆ ตองอาศัยกฎเกณฑการ นับจึงจะทําใหงายและสะดวก รวดเรว็ 2. ความนาจะเปน คือ จํานวนที่แสดงใหทราบวาเหตุการณใดเหตุการณหนึ่ง มีโอกาสเกิดขึน้ มาก หรือนอยเพียงใด สิ่งที่จําเปนตองทราบทําความเขาใจ คือ - การทดลองสุม (Random Experiment) - แซมเปลสเปซ (Sample Space) - เหตกุ ารณ (Event) 3. ความนาจะเปนของเหตุการณใดๆ เปนการเปรียบเทียบจํานวนสมาชิกของเหตุการณนัน้ ๆ กับ จํานวนสมาชิกของแซมเปลสเปซ ซึ่งเปนคาที่จะชวยในการพยากรณหรือการตัดสินใจได ผลการเรยี นรูท่ีคาดหวงั 1. หาจํานวนผลลัพธทีอ่ าจเกิดขึ้นของเหตุการณ โดยใชกฎเกณฑเบือ้ งตนเกีย่ วกับการนับและ แผนภาพตนไมอยา งงา ยได 2. อธิบายการทดลองสุม เหตุการณ ความนาจะเปนของเหตุการณและหาความนาจะเปนของ เหตกุ ารณท่ีกาํ หนดใหได 3. นําความรูเกี่ยวกับความนาจะเปนไปใชในการคาดการณและชวยในการตัดสินใจ ขอบขา ยเน้ือหา เรื่องที่ 1 กฎเบ้อื งตนเก่ยี วกบั การนับและแผนภาพตน ไม เร่ืองที่ 2 ความนาจะเปนของเหตุการณ เร่ืองท่ี 3 การนําความนาจะเปนไปใช

152 1. กฎเบือ้ งตน เกย่ี วกับการนับและแผนภาพตน ไม ในชีวิตประจําวันของคนเรามีการกระทําหรือการทดลองหลายอยางที่สามารถมีวิธีการที่จะเกิด ผลลัพธไ ดห ลายวธิ ี การหาจํานวนรูปแบบหรือจาํ นวนวธิ ีทอี่ าจเกิดขึ้นไดจ ากการนบั ท้ังหมด โดยมกี ฎ เบื้องตนเกี่ยวกับการนับจากการทํางานดังนี้ 1. 1. การทํางานทมี่ ี 2 อยา งหรือสองขน้ั ตอน ถางานอยางแรกมีวธิ ที าํ ได n1 วิธี และในแตล ะวธิ ีทาํ งานอยา งแรกมีวธิ ีท่จี ะทาํ งานอยางท่สี องได n2 วิธี แลวจาํ นวนวธิ ที ท่ี าํ งานท้งั สองอยางเทา กบั n1 n2 วธิ ี สามารถเขียนแผนผังการทํางานไดดังนี้ งานอยางที่ 1 งานอยางที่ 2 นบั ได n1 วธิ ี × n2 วธิ ี จํานวนวิธีทํางานทั้งสองอยาง = n1 × n2 วธิ ี เพื่อความเขาใจใหงายขึ้นสามารถแจกแจงผลการนบั แตละวิธีไดโดยใช แผนภาพตนไม ดังตัวอยา ง ตอ ไปน้ี ตวั อยางท่ี 1 โยนเหรยี ญ 2 อันพรอ มกัน 1 คร้งั เกิดผลลัพธไ ดท ้ังหมดกวี่ ธิ ี วิธที ํา โยนเหรยี ญ 2 อันพรอมกัน 1 ครั้ง เปนการทํางาน 2 อยา ง เหรียญท่ี 1 เหรียญท่ี 2 จัดได 2 × 2 งานอยา งแรก การเกดิ ของเหรียญที่ 1 เกดิ ได 2 วิธี คืออาจเกดิ หัว (H ) หรอื อาจเกดิ กอ ย (T ) กไ็ ด และในแตล ะวิธีท่เี กิดเหรยี ญท่ี 1 ยงั มีวธิ ีเกิดเหรียญที่ 2 ไดอ ีก งานอยางที่ 2 การเกดิ ของเหรยี ญท่ี 2 เกิดได 2 วธิ ี คอื อาจเกดิ หวั (H) หรอื อาจเกดิ กอ ย (T ) ดงั น้นั การโยนเหรยี ญ 2 อนั พรอมกัน 1 ครัง้ เกดิ ได = 2 ×2 = 4 วิธี

153 การโยนเหรยี ญ 2 อันพรอมกัน เปนการทํางานที่มี 2 อยา งหรอื 2 ขั้นตอน สามารถแสดง เหตุการณท ่ีเกดิ โดยใชแ ผนภาพตนไมไ ดด งั นี้ เหรยี ญที่ 1 เหรียญที่ 2 เหตุการณท ่ีเกิดข้นึ นนั่ คือ โยนเหรยี ญ 2 เหรยี ญพรอมกนั 1 คร้ัง เกดิ ได 4 วิธี คือ HH, HT, TH, TT ตอบ ตวั อยา งที 2 ชายคนหน่งึ มเี ส้อื เชต้ิ ตา งกนั 5 ตวั และกางเกงขายาวตา งกนั 3 ตัว วธิ ที ํา เราสามารถใชแ ผนภาพตนไมชว ยในการหาวิธีทั้งหมดที่เปน ไปไดแ สดงไดด งั แผนภาพ ขา งลา งน้ี จากแผนภาพตน ไมจ ะพบวา การแตง กายของชายคนนท้ี แ่ี ตกตา งกนั นบั ไดท ง้ั หมด 15 วธิ ี

154 ตวั อยางที่ 3 โยนลูกเตา 2 ลกู พรอมกนั 1 คร้ัง เกดิ ไดทงั้ หมดกีว่ ธิ ี วิธีทํา โยนลกู เตา 2 ลูกพรอ มกนั 1 ครั้ง เปนการทํางาน 2 อยา ง ลกู ท่ี 1 ลกู ท่ี 2 จดั ได 6 × 6 งานอยา งแรก การเกิดของลกู เตา ลูกท่ี 1 ซึง่ มี 6 หนา เกิดได 6 วธิ ี คอื อาจหงายหนา 1 , 2, 3 …., หรือ 6 ) ∴ โยนลกู เตา 2 ลูกพรอมกัน 1 ครง้ั เกิดได = 6 ×6 = 36 วธิ ี สามารถแจกแจงผลลัพธ ไดด งั นี้ ( 1 , 1) ( 1 , 2 ) (1 , 3 ) ( 1 , 4) ( 1 , 5) ( 1 , 6) ( 2 , 1) ( 2 , 2 ) (2 , 3 ) ( 2 , 4) ( 2 , 5) ( 2 , 6) ( 3 , 1) ( 3 , 2 ) (3 , 3 ) ( 3 , 4) ( 3 , 5) ( 3 , 6) ( 4 , 1) ( 4 , 2 ) (4 , 3 ) ( 4 , 4) ( 4 , 5) ( 4 , 6) ( 5 , 1) ( 5 , 2 ) (5 , 3 ) ( 5 , 4) ( 5 , 5) ( 5 , 6) ( 6 , 1) ( 6 , 2 ) (6 , 3 ) ( 6 , 4) ( 6 , 5) ( 6 , 6) ตอบ 36 วธิ ี 1. 2. การทาํ งานทม่ี ี 3 อยา งหรือสามข้ันตอน การนบั จะมแี นวคิดในทํานองเดียวกัน แตจํานวนขน้ั ตอนในการเขียนแผนภาพตนไม หรอื การหาผลคูณคารท ีเซียน จะมี 3 งานหรือ 3 ขัน้ ตอนท่ีตองทาํ ตอ เนื่องกัน ดงั ตวั อยา งตอไปน้ี ตัวอยางท่ี 4 บรษิ ทั รถยนตแหงหนึง่ ผลติ ตวั ถงั รถยนตออกมา 2 แบบ มเี ครือ่ งยนต 2 ขนาด และสี ตา ง ๆ กัน 3 สี ถาตอ งการแสดงรถยนตใหค รบทุกแบบ ทกุ ขนาด และทุกสี จะตองใชร ถยนตอ ยา ง นอยทส่ี ุดก่คี นั

วธิ ที ่ี 1 โดยใชแ ผนภาพตนไม (Tree Diagram ) จะไดผ ลดงั น้ี 155 การทํางานมี 3 ขน้ั คือ ผลงาน ข้ันที่ 1 ขนั้ ที่ 2 ขัน้ ท่ี 3 สี ตวั ถัง เคร่ือง ดังนนั้ จะตอ งมีรถยนตแ สดงอยางนอ ย 12 คัน จึงจะครบทุกแบบทุกสีทุกขนาด วธิ ีท่ี 2 โดยใชผลคูณคารท เี ซียน ให A เปน เซตของตัวถงั รถยนต A = { ถ1 , ถ2 } B เปน เซตของเครอ่ื งยนต B = { ค1 , ค2 } C เปนเซตของสตี าง ๆ B = { ส1 , ส2 , ส3 } นําตัวถงั และเคร่ืองยนตมาประกอบกันไดด ังน้ี A × B = { (ถ1 , ค1) , (ถ1 , ค2) , (ถ2,ค4) , (ถ2 , ค2)} n(AxB) = n(A) x n(B) = 4 แบบ นาํ ตัวถึงกบั เครื่องทปี่ ระกอบแลว มาทาสีตา ง ๆ ( A × B ) × C = { (ถ1 , ค1, ส1 ), (ถ1 , ค1, ส2 ), (ถ1 , ค1, ส3 ), (ถ1 , ค2, ส1 ), (ถ1 , ค2, ส2 ), (ถ1 , ค2, ส3 ), (ถ2 , ค1, ส1 ), (ถ2 , ค1, ส2 ), (ถ2 , ค1, ส3 ), (ถ2 , ค2, ส1 ), (ถ2 , ค2, ส2 ), (ถ2 , ค2, ส3 )} N ( A ×B× C ) = n(AxB) x n(C) = n(A) x n(B) x n(C) = 2 x 2 x 3 = 12 ดงั น้ัน ตองใชร ถยนตแสดงอยา งนอย 12 คัน

156 เม่อื พิจารณาแผนภาพตนไมแ ละวิธกี ารของผลคณู คารท ีเซียนแลว พบวา สามารถหาจํานวนวธิ ี หรือจํานวนรูปแบบในการทํางานไดเชนเดียวกัน จากหลักการของทั้งสองวิธี จึงสามารถนํามาสรางเปน กฎเบื้องตนเกี่ยวกับการหาจํานวนวิธีในการทํางานอยางใดอยางหนึ่งได โดยสรุปเปนกฎไดด งั น้ี สรปุ ข้นั ตอนในการใชกฎการนับแกโ จทยปญหา 1. พจิ ารณาวางานหรือเหตกุ ารณท่โี จทยก ําหนดมานั้นคอื อะไร จดั แบง ออกเปน กี่ข้ันตอนท่ีตอ เน่ืองกนั 2. พิจารณาเงื่อนไขตาง ๆ ท่กี าํ หนดมาในแตล ะขัน้ ตอน บนั ทึกไว 3. หาจํานวนวิธีที่สามารเลือกทํางานไดในแตละขั้น โดยตองเร่มิ จากขั้นท่ีมเี งื่อนไขมากทส่ี ุดกอนแลว จึง พิจารณาขนั้ อ่ืน ๆ ทีม่ เี ง่ือนไขรองลงมา ตามความสาํ คญั 4. นําจาํ นวนวิธที ีไ่ ดในแตละข้ันตอนคณู กัน จะไดจาํ นวนรูปแบบหรือจํานวนวธิ ที ี่อาจเกิดขนึ้ ไดท งั้ หมด ตัวอยางท่ี 4 ในการเลอื กต้ังกรรมการชุดหน่ึงจะประกอบไปดว ย ประธาน รองประธาน เหรัญญิก และ เลขา โดยกรรมการแตละคนจะดาํ รงตําแหนงไดเพียงตาํ แหนง เดยี วเทาน้ัน ถามผี สู มคั รทงั้ หมด 6 คน เปนชาย 2 คน เปนหญิง 4 คน ผลการเลือกตั้งกรรมการชดุ นจี้ ะมีไดท ้งั หมดกี่แบบตางกนั โดยท่ี 1. ไมมีเง่ือนไขเพ่มิ เตมิ 2. กําหนดใหประธานเปนชาย และเลขาตองเปนหญิง 3. กรรมการตองเปนหญิงลวน ๆ วธิ ีทํา มผี ูสมัคร 6 คน เปนชาย 2 คน เปนหญงิ 4 คน ใหเ ลอื กกรรมการ 4 ตาํ แหนง ประธาน รอง ประธาน เหรญั ญิก เลขา 1) ไมม เี ง่ือนไขเพิ่มเตมิ แตละคนเปน ไดต ําแหนงเดยี ว ตําแหนง ประธาน เลอื กได 6 วธิ ี ตาํ แหนง รองประธาน เลือกได 5 วธิ ี ตําแหนง เหรญั ญิก เลอื กได 4 วธิ ี ตําแหนงเลขา เลือกได 3 วธิ ี ดังนั้น จํานวนวธิ ีในการเลอื กกรรมการมี = 6 × 5 × 4 × 3 = 360 วธิ ี 2) กาํ หนดประธานเปน ชาย และเลขาตอ งเปนหญงิ ตาํ แหนง ประธานเปนชาย เลอื กได 2 วธิ ี ตาํ แหนง เลขาทีเ่ ปน หญิง เลือกได 4 วธิ ี ตาํ แหนง เหรญั ญกิ (คนท่ีเหลือ) เลอื กได 4 วธิ ี ตาํ แหนง รองประธาน เลอื กได 3 วธิ ี (คนท่ีเหลอื สุดทา ย ) ดังนั้น จาํ นวนวธิ ใี นการเลือกกรรมการมี = 2 × 4 × 3 × 4 = 96 วธิ ี

157 3) กรรมการตองเปน ผหู ญงิ ลว น ๆ ตาํ แหนง ประธานเปนชาย เลอื กได 2 วธิ ี ตาํ แหนง เลขาเปน หญงิ เลือกได 4 วธิ ี ตําแหนง รองประธาน เลือกได 4 วธิ ี ( เฉพาะหญงิ ท่ีเหลอื ) ตาํ แหนง เหรัญญกิ เลอื กได 3 วธิ ี ( เฉพาะหญงิ ท่ีเหลอื ) ดงั น้ัน จํานวนวิธใี นการเลือกกรรมการมี = 2 × 4 × 3 × 4 = 96 วธิ ี0020 ตัวอยา งที่ 5 จากอกั ษรในคาํ วา “ PHYSIC” นํามาสรางคําใหมประกอบดวย 3 อกั ษร ตางกนั ( ไมสนใจความหมายของคําเหลานั้น) โดยที่ 1. ไมมีเงื่อนไขเพ่ิมเติม 2. ตองเปนพยัญชนะทั้งหมด วธิ ที าํ อกั ษรในคําวา PHYSIC เปน สระ 1 ตวั และพยญั ชนะ 5 ตวั รวมทั้งหมด 6 ตวั อักษร อักษรตัวที่ 1 2 3 1. สรางคําประกอบดวย 3 ตวั อักษร สรางได = 6 × 5 × 4 = 120 วธิ ี 2. มเี งื่อนไขวาตอ งเปนพยญั ชนะทัง้ หมด สรางได = 5 × 4 × 3 = 60 วธิ ี ตัวอยางท่ี 6 หองประชุมแหง หนง่ึ มี 3 ประตู จงหาวธิ ใี นการเดนิ เขา - ออกหองประชุม โดยมีเงื่อนไขตางกัน ดงั น้ี 1. จาํ นวนวธิ ใี นการเดินเขา 2. จาํ นวนวธิ ใี นการเดินเขา - ออก 3. จาํ นวนวธิ ใี นการเดินเขา - ออก โดยไมซา้ํ ประตกู ัน 4. จาํ นวนวธิ ใี นการเดินเขา - ออก โดยใชประตูเดมิ วธิ ที ํา ประตูหองประชุมมี 3 ประตู หมายเลข 1 2 และ 3 การเดนิ เขา ออก 1. จาํ นวนวธิ เี ดนิ เขา หอ งประชุม = 3 วธิ ี 2. จาํ นวนวธิ กี ารเดิน เขา - ออก = 3 × 3 = 9 วธิ ี ( ใชประตซู ้ําได) 3. จาํ นวนวธิ กี ารเดินเขา - ออก โดยไมซ ํา้ ประตูกัน = 3 × 2 = 6 วธิ ี

158 4. จาํ นวนวธิ กี ารเดินเขา - ออก โดยใชป ระตูเดมิ = 3 × 1 = 3 วธิ ี ตัวอยางท่ี 7 ครมู ีหนงั สอื 5 เลม แตกตา งกนั ตองการแจกใหนกั เรียน 4 คน จงหาจาํ นวนวีธแี จกหนงั สอื โดยท่ี 1. ไมมีเงื่อนไขเพ่มิ เติม 2. ไมมใี ครไดห นงั สือเกิน 1 เลม วิธที ํา การแจกหนงั สือตอ งพจิ ารณาการแจกทลี ะเลม หนงั สอื เลมท่ี 1 2 3 4 1. ไมมีเงอื่ นไข (แจกซ้ําได ) ดงั นน้ั แจกได = 5 × 5 × 5 × 5 = 625 วธิ ี 2. ไมม ใี ครไดเ กิน 1 เลม แปลวา ไมมใี ครไดซ ้ํา ไดแลวจะไมแ จกใหอ กี ดงั นน้ั จะมีวธิ ีแจกหนังสอื = 5 × 4 × 3 ×2 = 120 วธิ ี

159 แบบฝกหัดที่ 1 1. โยนเหรยี ญ 1 เหรยี ญ 3 ครั้ง จงหาจํานวนที่เหรยี ญจะขน้ึ หนาตางๆ โดยวธิ ีเขียนแผนภูมิตนไม 2. ในการทดสอบวชิ าคณิตศาสตร ประกอบดวย โจทยแ บบปรนัย 4 ตัวเลือก จาํ นวน 5 ขอ โจทยแ ตล ะขอ มีคําตอบทถี่ กู ตองเพียงหน่ึงตวั เลอื กเทาน้นั แลวจาํ นวนวิธีการตอบคาํ ถามท่ีเปน ไปได ทง้ั หมดมีก่วี ธิ ี 3. มนี ักเรียน 5 คน ยืนเขา แถวเพ่ือซอ้ื อาหารกลางวันของรานหน่ึง จงหาวา จาํ นวนวิธที ยี่ ืนเขา แถวท่ี แตกตา งกนั มที ง้ั หมดกีว่ ิธี 4. มีชาย 6 คน หญิง 5 คน ตองการจดั คแู ขงขนั ระหวางชาย 1 คน หญงิ 1 คนในการแขงขันกีฬา เทนนสิ มีจาํ นวนทั้งหมดก่วี ิธี 5. เพอ่ื น 3 คน นกั กันไปรับประทานอาหารเย็นทภี่ ัตตาคารและ ซือ้ ของท่หี า งสรรพสินคา โดยเลือกที่ จะไปรับประทานอาหารและซื้อของ ซึ่งมีภัตตาคาร 5 แหง และมหี า งสรรพสนิ คา 4 แหง ทง้ั สาม คนน้จี ะมวี ิธเี ลอื กกระทําดังกลา วไดท้ังหมดกวี่ ธิ ี 6. บริษัทแหงหนึ่งเปดรับสมัครพนักงานเขาทํางาน โดยพิจารณาจากเงื่อนไขคือ เพศชาย หญิงระดับอายุ มี 6 ระดับ และมีสาขาวิชาชีพ 10 ประเภท แลว บริษทั นจี้ ะมวี ิธีการจําแนกผสู มัครไดท ั้งหมดกีว่ ิธี 7. จากการสัมภาษณรับคนเขาทํางานจํานวน 8 คน จะมวี ิธจี ะคัดเลือกไดพ นักงานหนึ่งคนจากผูเขา สัมภาษณท ัง้ หมด 8. จงเขยี นแผนภาพตนไมเ พื่อแสดงผลที่เกดิ ข้ึนจากการโยนเหรียญ 1 เหรยี ญ 4 คร้ัง จงหาจํานวนวธิ ที ่ี แตกตา งกนั ในการโยนเหรยี ญครง้ั น้ี โดยที่ 1. ไมม หี นา หวั เลย 2. มหี นาหัวเพยี ง 1 ครง้ั 3. มีหนาท้งั 2 ครง้ั 4. มีหนา หัวเพยี ง 3 คร้ัง 5. มหี นา หวั 4 ครัง้

160 2. ความนาจะเปนของเหตกุ ารณ ในชีวิตประจําวันมักพบกับการคาดคะเน หรือการประมาณเหตุการณ หรือโอกาส เพือ่ ใชในการ ตัดสินใจ โอกาสที่เหตุการณนัน้ จะเกิดไดมีมากนอยเพียงใด ขึ้นอยูกับอัตราสวนระหวางจํานวนสมาชิก ของเหตกุ ารณน้ัน กับจํานวนครงั้ ของการทํางานผูเรยี นจึงตองทราบ และทําความเขาใจ กับคําเหลานี้ 1. การทดลองสุม (Random Experiment) คือ การทดลองทีไ่ มสามารถระบุผลลัพธไดอยางแนนอน แต บอกไดวา ผลลัพธข องการทดลองนัน้ มีโอกาสเกดิ อะไรขึน้ ไดบาง ตัวอยางที่ 1 การทดลองโยนลูกเตา 1 ลูก 1 ครั้ง แตมทีจ่ ะเกิดขึน้ ได คือ แตม 1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6 ซึ่งไมสามารถบอกไดวาจะเปนแตมอะไรใน 6 แตม น้ี ดังน้ันผลลพั ธท ้งั หมดทีจ่ ะเกิดขึน้ คือแตม 1, 2, 3, 4, 5, 6 ตวั อยา งท่ี 2 การหยิบลูกปงปอง 1 ลกู จากกลอง ซ่งึ มี 5 ลกู 5 สี ลกู ปง ปองที่หยิบไดอ าจจะเปน ลกู ปงปอง สีขาว ฟา แดง เขยี ว หรอื สม ดังนน้ั ผลลพั ธทงั้ หมดทจ่ี ะเกิดขน้ึ คือ ลูกปงปองสขี าว ฟา แดง เขยี ว หรอื สม ตวั อยา งที่ 3 จงเขียนผลท่อี าจจะเกิดข้นึ ไดท ้ังหมดในการโยนเหรียญบาท 1 เหรียญ และเหรยี ญหาสบิ สตางค 1 เหรยี ญ วิธีทาํ ในการโยนเหรยี ญบาท 1 เหรยี ญ ผลที่อาจเกิดขึน้ คือหวั หรอื กอย ถาให H แทน หวั และ ให T แทน กอ ย ในการหาผลที่อาจเกิดขึ้นไดทั้งหมดจากการโยนเหรียญบาทและเหรียญหาสิบสตางคอยางละ 1 เหรยี ญ อาจใชแผนภาพชวยไดด ังนี้

161 ฉะนนั้ ถาเราใชคูอ นั ดับเขียนผลท้งั หมดทีอ่ าจเกดิ ข้ึนไดโดยใหส มาชิกตวั หนง่ึ ของคอู ันดบั แทนผล ที่อาจเกิดขึ้นจากเหรียญบาท สมาชกิ ตัวท่สี องของคูอันดับแทนผลที่อาจเกิดข้นึ จากเหรียญหาสิบ สตางค จะได ผลทง้ั หมดท่อี าจจะเกดิ ขนึ้ ได คอื (H, H), (H, T), (T, H) และ (T, T) 2. แซมเปลสเปซ (Sample Space ) เปนเซตที่มีสมาชิกประกอบดวยสิ่งที่ตองการ ทั้งหมด จากการ ทดลองอยางใดอยางหนึ่ง ( บางครั้งเรียกวา Universal Set ) เขยี นแทนดว ย S เชน ตวั อยางที่ 4 ในการโยนลูกเตาถาตอ งการดวู าหนาอะไรจะขนึ้ มาจะได ผลลพั ธทีอ่ าจจะเกิดข้นึ ไดค ือ ลูกเตาขึ้นแตม 1 หรือ 2 หรือ 3 หรอื 4 หรอื 5 หรือ 6 ดังนัน้ แซมเปล สเปซทไ่ี ด คือ S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } ตวั อยางท่ี 5 จากการทดลองสุมโดยการทดลองทอดลูกเตา 2 ลูก 1. จงหาแซมเปลสเปซของแตมของลูกเตาที่หงายขึ้น วธิ ที ํา 1. เนื่องจากโจทยสนใจแตมของลูกเตาที่หงายขึ้น ดังนั้นเราตองเขียนแตมของลูกเตาที่มีโอกาส ที่จะหงายขึ้นมาทั้งหมด และเพื่อความสะดวกให (a , b) แทนผลลัพธท ีอ่ าจจะเกิดขนึ้ โดยท่ี a แทนแตม ทหี่ งายข้ึนของลกู เตาลูกแรก b แทนแตม ท่ีหงายข้นึ ของลูกเตาลกู ท่ีสอง ดังนั้นแซมเปลสเปซของการทดลองสุมคือ S = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

162 3. เหตุการณ (event) คือ เซตทเี่ ปน สบั เซตของ Sample Space หรือเหตกุ ารณที่เราสนใจ จากการทดลองสมุ ตวั อยางท่ี 7 ในการโยนลูกเตา 1 ลูก 1 ครงั้ ถา ผลลพั ธท ่ีสนใจคอื จาํ นวนแตม ท่ีได จะได S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ถา ให E1 เปน เหตกุ ารณท ไี่ ดแ ตม ซงึ่ หารดว ย 3 ลงตวั จะได E1 = {3, 6} E2 เปนเหตุการณทไ่ี ดแตมมากกวา 2 จะได E2 = {3, 4, 5, 6} ตัวอยา งท่ี 8 ถุงใบหนึ่งมีลูกบอลสีขาว 3 ลกู สแี ดง 2 ลูก หยิบลูกบอลออกจากถุง 2 ลูก จงหา 1. แซมเปลสเปซของสีของลูกบอล และเหตุการณท่จี ะไดลกู บอลสขี าว 2. แซมเปลสเปซของลูกบอลที่หยิบมาได และเหตกุ ารณที่จะไดลูกบอลเปนสขี าว 1 ลกู สแี ดง 1 ลูก วิธีทํา 1. เน่ืองจากเราสนใจเกยี่ วกบั สีของลกู บอล และลูกบอลมอี ยูสองสีคือสีขาวและสีแดง ดงั นน้ั แซมเปลสเปซ S = {ขาว, แดง} สมมตใิ ห B เปน เหตุการณที่จะไดล กู บอลสขี าว ดังน้นั B = {ขาว} 2. เนื่องจากเราสนใจแซมเปล สเปซของลูกบอลแตละลูกท่ีถูกหยบิ ขน้ึ มา ดงั นน้ั แซมเปล สเปซ S คือ S = {ข1ข2,ข1ข3,ข1ด1,ข1ด2,ข2ด3,ข2ด1,ข2ด2,ข3ด1,ข3ด2,ด1ด2} ให C เปนเหตกุ ารณท ี่ผลลัพธเปน ลกู บอลสีขาว 1 ลกู และ สแี ดง 1 ลูก ดงั นั้น เหตกุ ารณ C คอื C = {ข1ด1,ข1ด2,ข2ด1,ข2ด2,ข3ด1,ข3ด2} หมายเหตุ ข แทน ขาว และ ด แทน แดง ตัวอยา งท่ี 10 โยนเหรียญบาท 1 เหรยี ญ 2 คร้ัง จงหาผลลัพธของเหตุการณที่จะออกหัวอยางนอ ย 1 ครั้ง การหาผลลัพธทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการโยนเหรียญบาท 1 เหรยี ญ 2 ครัง้ โดยใชแผนภาพตนไม ดงั นี้

163 ผลลพั ธท ัง้ หมดทอ่ี าจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุม มี 4 แบบ คือ HH, HT, TH และ TT นนั่ คอื ผลลัพธของ เหตุการณท่ีจะออกหวั อยา งนอย 1 ครงั้ มี 3 แบบ คือ HH, HT และ TH 4. ความนาจะเปน ของเหตุการณ ความนาจะเปน ของเหตุการณ คือ จาํ นวนทแี่ สดงใหท ราบวาเหตกุ ารณใดเหตุการณห นึ่งมีโอกาส เกดิ ขนึ้ มากหรอื นอยเพยี งใด ความนาจะเปน ของเหตกุ ารณใด ๆ เทา กับอตั ราสวนของจาํ นวนเหตกุ ารณทเี่ ราสนใจ (จะใหเ กดิ ข้นึ หรือไมเกดิ ขึน้ ก็ได) ตอจํานวนผลลัพธท ้งั หมดทอี่ าจจะเกิดขนึ้ ได ซึง่ มสี ูตรในการคดิ คํานวณดงั นี้ จํานวนผลลพั ธข องเหตุการณท ีเ่ ราสนใจ ความนา จะเปน ของเหตกุ ารณ = จํานวนผลลพั ธท ัง้ หมดท ี่อาจจะเกดิ ข้นึ ได เม่ือผลทงั้ หมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุมแตละตัวมีโอกาสเกดิ ข้ึนไดเ ทา ๆ กนั กาํ หนดให E แทน เหตุการณท ี่เราสนใจ P(E) แทน ความนาจะเปนของเหตุการณ n(E) แทน จํานวนสมาชิกของเหตุการณ n(S) แทน จํานวนสมาชกิ ของผลลพั ธทง้ั หมดท่ีอาจจะเกิดขึน้ ได ดังน้ัน P( E ) = n(E) n(S ) ตัวอยา งท่ี 1 มีลูกปงปอง 4 ลูก เขียนหมายเลขกํากับไวดังนี้คือ 0, 1, 2, 3 ถา สมุ หยบิ มา 2 ลกู จงหาความ นาจะเปนที่จะไดผลรวมของตัวเลขมากกวา 3 วธิ ที าํ ให S เปน แซมเปล สเปซ S = {(0, 1),(0, 2),(0, 3),(1, 2),(1, 3),(2, 3) } จะได n(S) = 6 E เปน เหตุการณห รือสงิ่ ทโ่ี จทยอ ยากทราบ E = {(1, 3),(2, 3)} จะได n (E) = 2 n(E) n(S ) นน่ั คอื จากสูตรขางบนคือ p(E ) = แทนคา ได P(E) = 2 = 1 63 ความนาจะเปนที่จะไดผลรวมของตัวเลขมากกวา 3 เทา กับ 1 3

164 ขอสงั เกต 1. สมาชกิ ทกุ ตัวในเหตกุ ารณ E ตองเปนสมาชิกในอยูในแซมเปลสเปซ S ดังนน้ั 0 ≤ n(E)≤n(S) 2. ถา E เปนเหตกุ ารณใด ๆ ในแซมเปล สเปซ S จะไดว า 2.1 0≤P(E)≤1 2.2 ถา P(E)=1 หมายถงึ เหตกุ ารณนั้นตอ งเกดิ ขึ้นแนนอน ถา P(E)=0 หมายถึงเหตกุ ารณน้นั ตองไมเ กดิ 2.3 ถา S เปน แซมเปล สเปซ จะไดว า P(S)=1

165 แบบฝกหดั ที่ 2 1. จากการทดลองสุมตอไปนี้ จงเขียนแซมเปลสเปซและเหตุการณที่สนใจในการทดลองนั้นๆ (1) ไดห วั สองเหรยี ญจากการโยนเหรียญสองอนั หน่งึ ครั้ง (2) ไดผลรวมของแตมบนหนาลูกเตาทั้งสองเปน 2 หรือ 6 จากการโยนลูกเตา สองลูกหนงึ่ ครงั้ (3) หยบิ ไดส ลากหมายเลข 5 หรอื 6 หรือ 7 หรอื 8 จากสลาก 10 ใบซึ่งเขียนหมายเลข 1 ถงึ 10 กาํ กบั ไว (4) ไดนักเรยี นทถ่ี นัดมือซายในหอ งเรียนทท่ี า นเรยี นอยู (5) ไดสลากที่มีรางวัลจากการจับสลากที่ประกอบดวยสลากที่มีรางวัล 3 ใบ และไมมี รางวัล 7 ใบ (6) ไดคําตอบจากครอบครัว 3 ครอบครวั วามีจักรเย็บผาใชทั้งสามครอบครัว (7) ไดลกู บอลสีขาว 2 ลูก สีดาํ 1 ลกู ในการหยบิ ลูกบอล 3 ลกู จากกลองซึ่งบรรจุลกู บอลสี ขาว 3 ลกู และสดี าํ 2 ลูก (8) ไดแ ตม ทเ่ี หมอื นกันหรือไดแ ตม 2 จากลูกเตาลกู ใดลูกหนึ่งในการทอดลกู เตา พรอมกัน สองลูก (9) ไดห วั และแตม ทม่ี ากกวา 4 จากการโยนเหรยี ญหนงึ่ เหรียญและทอดลูกเตาหน่ึงลกู หนง่ึ คร้ัง (10) ไดสีที่ชอบคือ สีฟาหรือสีชมพูจากการสอบถามนางสาวสุชาดาถึงสีของกระดาษ เช็ดหนาที่ชอบสองสีจากสีทั้งหมด 5 สี คอื ขาว ฟา ชมพู เขียว และเหลอื ง 1. ถา S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } Ε1 = { 0, 2, 4, 6, 8 } Ε2 = {1, 3 ,5 ,7 ,9 } Ε3 ={ 2, 3, 4, 5 } และ Ε4 = { 1, 6, 7 } จงหาสมาชิกของ S ทีอ่ ยูในเหตกุ ารณต อไปน้ี (1) Ε1  Ε3 (2) Ε1  Ε2 (3) Ε′3 (4) (Ε′3  Ε4)  Ε2 (5) (S  Ε3 )′ (6) (Ε′1 Ε′2)  Ε′3

166 2. จากเหตกุ ารณ Ε1 , Ε2 , Ε3 ในขอ 2 จงเขียนแผนภาพของเวนน – ออยเลอรแสดงเหตุการณตอ ไปน้ี (1) Ε1  Ε′2 (3) (Ε1 Ε3)  Ε2 (2) (Ε1 Ε2)′ (4) (Ε′1 Ε′2)  Ε′3 3. ในการสาํ รวจอายุของผูปวยแผนกเด็ก (อายไุ มเ กนิ 15 ป ) ของโรงพยาบาลแหงหนึ่ง ถา Ε1 เปน เหตุการณท ผี่ ูปวยมอี ายตุ ง้ั แต 1 ถงึ 9 ป Ε2 เปนเหตุการณท ผ่ี ูป วยมีอายุนอยกวา 5 ป และ Ε3 เปนเหตกุ ารณท ี่ผปู วยมอี ายมุ ากกวา 9 ป จงหา (1) Ε1  Ε2 (3) (Ε1 Ε3 ) Ε2 (2) Ε1  Ε2 (4) Ε2  Ε3 4 ในการจับสลาก 1 ใบ จากสลาก 10 ใบ ซึง่ มเี ลข 0 ถงึ 9 กํากับอยู ถาสนใจเลขทีเ่ ขียนกาํ กบั ไวใ นสลากใบ ท่จี บั ได โดยให Ε1 เปน เหตุการณท ี่เลขทเ่ี ขียนกาํ กบั ไวเ ปนจํานวนคู Ε2 เปน เหตุการณท่เี ลขที่เขยี นกํากบั ไวเ ปน จาํ นวนค่ี Ε3 เปนเหตกุ ารณที่เลขท่ีเขียนกํากับไวเ ปนจํานวนเฉพาะ Ε4 เปนเหตกุ ารณทเ่ี ลขที่เขียนกาํ กับไวเปน จํานวนทห่ี ารดว ย 3 ลงตวั จงเขยี นเหตกุ ารณตอไปนี้ในรปู Ε1 , Ε2 , Ε3 หรอื Ε4 พรอมทั้งแจกแจงสมาชิกเมื่อ (1) เลขท่ีเขียนกาํ กับไวเปน จํานวนคหู รือคหี่ รือจํานวนเฉพาะ (2) เลขทเ่ี ขียนกาํ กบั ไวเปนจํานวนเฉพาะท่ีหารดวย 3 ลงตวั (3) เลขท่เี ขยี นกาํ กับไวไมเปน จาํ นวนค่ี และไมเ ปนจํานวนที่หารดว ย 3 ลงตวั (4) เลขท่ีเขยี นกาํ กบั ไวเ ปนจาํ นวนคูท ่ีเปน จาํ นวนเฉพาะ

167 4. การนําความนาจะเปนไปใช การนําความนาจะเปนไปใช ตองการใหผูที่ศึกษาทราบวาเหตุการณตางๆนั้นมีโอกาสจะเกิดขึ้น มาก หรือนอยเพยี งใด เพ่ือชวยในการประกอบการตดั สนิ ใจ เชน ตวั อยา งที่ 1 ไพสาํ รบั หนงึ่ มี 52 ใบ แบงเปน 2 สี 4 ชนดิ คือ สีแดง ไดแ กโ พแดงกบั ขา วหลามตดั สีดํา ไดแ ก โพดํากบั ดอกจิก แตล ะชนดิ มี 13 ใบ จงหาความนาจะเปนที่หยิบมา 1 ใบแลว ไดโ พดาํ หรือสี แดง วิธที าํ S = ไพทั้งหมดมี 52 ใบ หยิบมาทีละ 1 ใบจะได 52 วธิ ี ดงั นัน้ n(S) = 52 E = ไพโพดํามี 13 ใบ และไพส แี ดงมี 26 ใบ ดงั น้ัน n(E) = 13 + 26 = 39 n(E) จากสตู ร p(E) = n(S ) แทนคา ได P(E) = 39 = 3 52 4 ความนาจะเปนที่หยิบไพ 1 ใบแลว ไดโ พดาํ หรอื สีแดง เทากบั 3 4 สรุปไดว า ไพ 1 ใบ แลวไดไ พโพดํา หรือโพแดงมีโอกาสเกดิ ขึน้ 75 % ถือวามโี อกาสเปน ไปไดสูง ตัวอยางท่ี 2 ในการหยิบสลาก 1 ใบจากสลาก 10 ใบ ซึง่ มีเลข 0 - 9 กาํ กบั อยู จงหาความนาจะเปนที่จะ หยบิ ไดเ ปน จาํ นวนเฉพาะสลากมีเลข 2 เลข 3 เลข 5 เลข 7 วิธีทํา S = สลากมี 10 ใบ หยิบมาทีละ 1 ใบ จงึ หยิบได 10 วธิ ี S = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,} n(S)=10 E = สลากที่เปนจํานวนเฉพาะ E ={2,3,5,7,} n(E)=4 n(E) n(S ) จากสตู ร p(E) = แทนคา ได P(E) = 4 = 2 10 5 ความนาจะเปน ที่จะหยบิ ไดเ ปนจํานวนจําเพาะ เทากบั 2 5 สรุปไดว า ความนาจะเปนที่จะหยิบไดเปนจํานวนจําเพาะ มโี อกาสเกดิ ข้ึน 40 % ถือวามโี อกาส เกดิ ขน้ึ นอย

168 ตวั อยา งที่ 3 ในการทอดลูกเตา 2 ลูก พรอมกัน 1 ครงั้ จงหาโอกาสที่ผลรวมของแตมเปน 13 วธิ ที ํา ลูกเตา 2 ลูกจะมีผลรวมสงู สุดคือ 6 + 6 = 12 โจทยตองการทราบผลรวมของแตมที่จะเปน 13 จงึ เปนเหตุการณท ี่เปนไปไมได โอกาสที่ผลรวมของแตมเปน 13 เทากับ 0 สรุปไดวา โอกาสที่จะทอดลูกเตา 2 ลกู แลว ผลรวมของแตมเปน 13 น้ัน ไมม ีโอกาสเกดิ ขนึ้ เลย

169 แบบฝกหดั ที่ 3 1. ในการโยนลกู เตา 1 ลูก 1 ครั้ง จงหาความนา จะเปนของเหตกุ ารณ และสรุปถึงโอกาสท่ีจะเกิดข้ึนวา มีมากหรือนอ ยเพียงใด 1) ไดแ ตม 4 2) ไดแ ตม คู 3) ไดแตมมากกวา 4 4) ไดแตม นอยกวา 7 5) ไดแ ตม มากกวา 0 6) ไดแตม มากกวา 6 หรือเปนแตม ค่ี 7) ไดแตมมากกวา 3 และเปนแตม ค่ี ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 2. ทอดลูกเตา 2 ลูกสองครั้ง ความนาจะเปนที่จะไดแตมรวมเปน 7 ในครง้ั แรกและไดแ ตม รวมเปน 10 ในครั้งที่ 2 เทากับเทาใด ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 3. ชา งกอสรา งกลุมหนึง่ มี 10 คน ประกอบดวย ชา งปนู 6 คน และชางไม 4 คน ถาตอ งการเลือกชาง 7 คน จากกลุมน้ี ความนา จะเปนทีจ่ ะไดช า งปนู 4 คน และชางไม 3 คน เทากับเทาใด ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 4. กลอ งใบหนง่ึ บรรจหุ ลอดไฟสแี ดง 6 หลอดซง่ึ เปน หลอดดี 4 หลอดและหลอดไฟสนี าํ้ เงนิ 4 หลอด ซงึ่ เปน หลอดดี 2 หลอด ในการสมุ หยิบหลอดไฟครั้งละ 1 หลอด 2 ครง้ั แบบไมใสค ืน ความนา จะ เปน ทีจ่ ะไดห ลอดไฟสเี ดยี วกัน และเปน หลอดดีท้งั สองครั้ง มีคา เทา กับเทา ใด ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 5. กลองใบหนง่ึ มีลกู บอลสีแดง 3 ลูก และสขี าวจํานวนหนึง่ โดยทจี่ าํ นวนวธิ กี ารหยิบลกู บอล 2 ลกู เปน ลกู บอลสเี หมอื นกนั เทา กบั 9 ถา สุมหยบิ ลูกบอลพรอ มพัน 2 ลูก แลว ความนาจะเปนท่ีจะไดลูก บอลสีขาวทั้ง 2 ลูกเทากับเทาใด ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

170 บทที่ 9 การใชท กั ษะกระบวนการทางคณติ ศาสตรใ นงานอาชพี สาระสําคัญ การประกอบอาชีพในสังคมและในกลมุ ประชาคมอาเซียนนั้น มีหลากหลายสาขาอาชีพทั้งในดาน อุตสาหกรรม เกษตรกรรม พณิชยกรรม ความคิดสรางสรรค และการบริหารจัดการ อาชีพในวงการ ดงั กลา วลว นมีการใชทกั ษะกระบวนการทางคณิตศาสตรเ ขาไปเกยี่ วขอ งเกือบทกุ กลุม อาชพี ซึ่งผเู รยี น สามารถนําความรูและทักษะที่ไดเรียนคณิตศาสตรในระดับมัธยมศึกษาตอนปลายมาประยุกตใช ผลการเรยี นรูท คี่ าดหวงั 1. สามารถวิเคราะหงานอาชีพในสังคมและกลมุ ประชาคมอาเซียนทใี่ ชทักษะทางคณิตศาสตร 2. มีความสามารถในการเชื่อมโยงความรูตาง ๆ ทางคณิตศาสตรกับงานอาชีพได ขอบขา ยเน้ือหา ลักษณะ ประเภทของงานอาชีพที่ใชทักษะทางคณิตศาสตร เรื่องท่ี 1 การนําความรูทางคณิตศาสตรไปเชื่อมโยงกับงานอาชีพในสังคมและ เร่ืองที่ 2 ประชาคมอาเซียน

171 เร่อื งท่ี 1 ลักษณะ ประเภทของงานอาชพี ที่ใชทักษะทางคณิตศาสตร 1.1 กลมุ อาชพี เกษตรกรรม ไดแ ก อาชีพ การทํานา ทําไร การปลกู ผัก การเลยี้ งสตั ว ประมง ฯลฯ (1) ลกั ษณะงานเบ้อื งตนที่ใชทกั ษะทางคณติ ศาสตร 1. การสํารวจของตลาดที่จะปลูกพืชเกษตรกรรม 2. การเตรียมพน้ื ท่ดี ิน ซง่ึ ขึน้ อยูกบั ความกวา ง ความยาวของพื้นท่วี า ผูประกอบการใชพ ื้นทก่ี ี่ไร กง่ี าน กี่ตารางวา ในการทําแปลง ขุดรอง เพือ่ ใชเปน พ้ืนทนี่ า 1 สวน พื้นที่ปลกู ผกั 1 สว น บอนาํ้ 1 สว น การเลยี้ งสัตว 1 สว น พืน้ ท่ีอยอู าศัย 1 สว น เปนตน 3. การเตรยี มเมลด็ พันธุขา ว ผัก และพืชพันธอุ นื่ ๆ 4. การเตรยี มปุย วาใชข นาดก่ีกโิ ลกรัมตอไร 5. การรดนํ้า พรวนดนิ ซึ่งตองกําหนดวา รดนาํ้ วนั ละ 2 ครั้ง ในปริมาณมากนอย เทาไร 6. การฉีดยาฆาแมลงโดยใชสารกําจัดศัตรูพืชทางชีวภาพ เชน สะเดา และ สมนุ ไพรอืน่ ๆ เปนตน ใชความรูเร่ืองอตั ราสวน สดั สวน เพือ่ ผสมยากาํ จดั ศตั รูพชื กบั น้ํากอนฉดี พน 7. การเก็บเกีย่ วผลผลติ ซ่งึ ตองใชทักษะการคํานวณระยะเวลาตง้ั แตก ารปลูก จนถึงระยะการเก็บเกี่ยวผลผลิต - การตรวจสอบความช้ืนของวัสดแุ ละสถานทเี่ ก็บผลผลิต - การคํานวณพื้นทีใ่ นการเก็บรกั ษาผลผลิต 8. การจําหนา ยผลผลติ ซ่งึ ตองใชท กั ษะการจดั ทาํ บญั ชีรับ – จา ย การจดบนั ทกึ จํานวนผลผลติ ทไี่ ด 9. การคํานวณภาษีเงินไดบุคคลธรรมดา

172 (2) เคร่ืองมือและเทคโนโลยที ี่ใช 1. เคร่ืองคดิ เลข 2. สมดุ บันทึกรายรบั รายจา ยหรอื คอมพวิ เตอรโนตบุค 3. สมุดจดบันทึกระยะเวลาการเจริญเตบิ โตตง้ั แตการปลกู จนถงึ การเกบ็ เกย่ี วผลผลิต (3) ความรูทางคณติ ศาสตรท ใ่ี ช 1. การวัดความยาว การหาพื้นที่ 2. อัตราสวนในการผสมปุยตอความกวางความยาวของพน้ื ทด่ี ิน 3. การช่งั ผลผลิตท่ไี ด 4. การกําหนดราคาขายตอกิโลกรัม 5. การบวก ลบ คูณ หาร เร่ือง คา จางแรงงานและอน่ื ๆ 6. การทําบัญชีรายรับ รายจายประจําวัน 7. การคํานวณภาษีเงินไดบุคคลธรรมดา 1.2 กลุมอาชีพอุตสาหกรรม ไดแ ก อาชีพพนกั งานในโรงงานอตุ สาหกรรมตางๆ ไดแ ก อุตสาหกรรม หองเย็น ถว ยชามอปุ กรณเซรามคิ ผาขนหนู กระดาษและสงิ่ พิมพ สแตนเลส เหล็ก พลาสตกิ ปูนซีเมนต ฯลฯ (1) ลกั ษณะงานเบอื้ งตน ที่ใชท กั ษะคณติ ศาสตร 1. การคํานวณเงินรายไดประจําวัน 2. การคํานวณเงินคาทํางานลวงเวลา 3. การคาํ นวณเงนิ กแู ละดอกเบย้ี คงท่ีหรือดอกเบี้ยทบตน 4. การทําบัญชีรายรับ – รายจายประจําวัน 5. การจดั ทําบัญชีพัสดุ (การจัดซือ้ การเบิกจายพสั ดุ)

173 6. การสํารวจและวิจัยการตลาด 7. การคํานวณภาษีเงินไดบุคคลธรรมดา (2) เครอ่ื งมือและเทคโนโลยที ่ใี ช 1. เคร่ืองคดิ เลข 2. เคร่ืองคอมพวิ เตอร 3. เคร่ืองจกั รอตุ สาหกรรมในแตละสาขาอุตสาหกรรม 4. เครื่องบรรจุภัณฑล งกลองหรอื แพค็ เปน พลาสติกหอหมุ (3) ความรแู ละทักษะทางคณิตศาสตรทใ่ี ช 1. การคาํ นวณเงนิ รายไดป ระจาํ สปั ดาห ประจาํ เดือนโดยหักวนั ลาหยดุ 2. การคํานวณเงินคาทํางานลวงเวลาเปนจํานวนชั่วโมงตอคาจางรายชัว่ โมง 3. การคํานวณเงินกแู ละดอกเบี้ย (ดอกเบี้ยคงที่, ดอกเบี้ยทบตน) 4. การทําบัญชีรับ – จา ยประจาํ วนั 5. การคํานวณภาษีเงินไดบุคคลธรรมดา 1.3 กลมุ อาชีพพาณชิ ยกรรม ไดแก อาชีพคาขาย ผปู ระกอบการรา นอาหารและเครอื่ งดม่ื ผูประกอบการขายปลีกและขายสง ธุรกิจการซื้อขายอสังหาริมทรัพย ธรุ กจิ การซอ้ื ขายหุนในตลาด หลักทรพั ย อาชีพการทําบญั ชี การตลาด เปนตน (1) ลักษณะงานเบอ้ื งตนทใี่ ชทักษะคณติ ศาสตร 1. การจดั เตรียมสถานท่ี การคาํ นวณการจัดวางโตะ เกาอ้ี หรอื วัสดุอปุ กรณใ น การขาย 2. การจัดซอื้ วัตถุดิบในการคาขายปลกี หรือขายสง

174 3. การจาํ หนายสินคา การคาํ นวณราคาสินคาตอหนวย การทอนเงนิ 4. การจัดทาํ บัญชีพัสดุ (การจัดซือ้ การเบิกจายพสั ด)ุ 5. การจัดทําบัญชีรับ – จายประจําวนั 6. การฝากเงิน การถอนเงิน การออมเงิน 7. การประชาสัมพันธในงานธุรกิจคาขายหรือพาณิชยกรรม ซึ่งตองใชทักษะใน การคาํ นวณขนาดของปา ยโฆษณา ขนาดตวั อกั ษร ขนาดและจาํ นวนแผน พบั หรอื ใบปลิวโฆษณา 8. การคํานวณภาษีเงินไดบุคคลธรรมดา (2) เครอ่ื งมอื และเทคโนโลยีทใี่ ช 1. เคร่ืองคดิ เลข 2. เคร่ืองเกบ็ เงิน – ทอนเงนิ 3. เคร่ืองคอมพวิ เตอร 4. เคร่ืองไมโครเวฟ 5. เครื่องปน นา้ํ ผลไม (3) ความรูและทักษะทางคณติ ศาสตรที่ใช 1. การคาํ นวณขนาดของพ้ืนที่ใชสอยเพ่อื จดั วาง โตะ เกาอห้ี รอื วสั ดุ อปุ กรณใ นการขาย 2. การคํานวณปริมาณการจดั ซ้อื วัตถุดิบในแตล ะวัน 3. การคาํ นวณในการจดั ซ้ือพัสดุ 4. การจัดทําบัญชีรับ – จา ยประจําวนั 5. การคํานวณขนาดของปายโฆษณา ประชาสัมพันธหรอื แผนพับ แผน ปลวิ โฆษณา 6. การคํานวณภาษีเงินไดบุคคลธรรมดา 1.4 กลมุ อาชีพดานความคิดสรา งสรรค ไดแก ธุรกิจโฆษณา ธุรกิจการออกแบบตกแตง ท่อี ยอู าศัย สาํ นักงานและสวนหยอ ม การจดั ดอกไมแ ละแจกันประดับ ธุรกจิ การทาํ พวงหรดี การจดั กระเชา ของขวญั เปนตน

175 (1) ลกั ษณะงานเบ้ืองตนทใี่ ชท ักษะคณิตศาสตร 1. การจัดเตรียมขนาด ปริมาตร รูปทรงของพื้นที่หรือชิ้นงานในการจัดทําธรุ กิจ ซึ่งตองใชการวัดความกวาง ความยาว ความสูงของพื้นที่หรือชิ้นงาน การออกแบบรูปทรงโดยใชรูปเรขาคณิตสามมิติ 2. การคาํ นวณปริมาณของวัสดอุ ุปกรณใ นการใชป ระดิษฐสรางสรรคชิ้นงาน หรอื การจดั ตกแตง สวนหยอ ม 3. การคํานวณเพื่อกําหนดราคาขายสินคา 4. การจัดทําบัญชพี ัสดุ (การจัดซ้อื การเบิกจายพสั ด)ุ 5. การจัดทําบัญชีรับ – จา ย ประจาํ วัน 6. การประชาสัมพันธในอาชีพธุรกิจทุกประเภท ซึ่งตองใชทักษะในการคํานวณ เปน พ้ืนฐานในการจัดทาํ แผนปายประชาสัมพนั ธหรอื แผนพับ แผนปลิว 7. การคํานวณภาษีเงินไดบุคคลธรรมดา (2) เครอ่ื งมอื และเทคโนโลยีท่ีใช 1. เคร่ืองคดิ เลข 2. เคร่ืองคอมพวิ เตอร 3. โปรแกรมสําเร็จรูปในการออกแบบสินคา (3) ความรูและทักษะทางคณติ ศาสตรท ใ่ี ช 1. การคาํ นวณพ้ืนที่ผิว ปริมาตรของพ้นื ที่หรอื ออกแบบรูปทรงท่ใี ชใน การทํางานอาชีพ 2. การคํานวณปริมาณของวัสดุ อุปกรณท ี่ใชประดิษฐ สรา งสรรค ช้นิ งาน 3. การคํานวณตนทุนและกําไร เพื่อกําหนดราคาขายสินคา 4. การจัดทําบัญชีพัสดุ (การจัดซือ้ การเบกิ จายพสั ดุ) 5. การจัดทําบัญชีรับ – จายประจําวัน 6. การคํานวณภาษีเงินไดบุคคลธรรมดา

176 1.5 กลมุ อาชีพบริหารจดั การและการบริการ ไดแก อาชีพกลุมงานบริการและการทองเที่ยว งานบริการรักษาความปลอดภัย บริการดูแลทารกและเด็ก บริการดูแลผูสูงอายุ บริการสันทนาการและ การกฬี า เปน ตน (1) ลักษณะงานเบอื้ งตน ทใี่ ชทักษะคณิตศาสตร 1. การสาํ รวจพ้ืนท่ใี นการใหบรกิ าร การคํานวณระยะทางในการใหบริการ 2. การจัดซื้อวัสดุ อุปกรณในการใหบรกิ าร 3. การรับสมัครและกําหนดเงินเดือนตามตําแหนงงานของเจาหนาที่ใน การใหบ รกิ าร 4. การจัดทําตารางเวลา การอยูเวร - ยามของเจาหนาที่ประจําสํานักงาน 5. การจัดทํากําหนดการทองเที่ยวและการใหบริการ รวมทั้งกําหนดราคาขาย บริการในแตละพืน้ ท่ี 6. การคํานวณการใชน้ํามันเชื้อเพลิงของยานพาหนะที่ใหบริการ 7. การจัดทาํ บัญชพี สั ดุ และการเบิกจา ยพสั ดุ 8. การจัดทําบัญชีรับ – จายประจาํ วนั 9. การจัดทําแผนปายโฆษณา ประชาสัมพันธการใหบริการ 10. การจัดทําสรุปรายงานและการนําเสนอขอมูล 11. การคํานวณภาษีเงินไดบุคคลธรรมดา (2) เครือ่ งมือและเทคโนโลยีที่ใช 1. เคร่ืองคดิ เลข 2. เคร่ืองคอมพวิ เตอร 3. เครื่องออกกําลังกาย 4. อุปกรณในการเตรียมอาหาร น้าํ ดื่ม นมแกทารกเดก็ และผสู งู อายุ 5. ยานพาหนะในการใหบ รกิ าร 6. แผนทีข่ องสถานทห่ี รอื จดุ ท่ีใหบ รกิ าร

177 (3) ความรแู ละทักษะทางคณติ ศาสตรทใ่ี ช 1. การคาํ นวณพนื้ ท่ีและการวัดระยะทาง 2. การคํานวณปริมาณของวสั ดุ อปุ กรณท ี่จําเปนตองจดั ซื้อ จดั หาเพ่ือใหบ ริการ 3. การคํานวณเงนิ เดอื นและกาํ หนดตาํ แหนง งานของเจา หนา ท่ี 4. การจัดทําตารางการปฏิบัติงาน 5. การคํานวณการใชเชื้อเพลิงรถยนตตอระยะทางที่ใหบริการ 6. การจัดทําบัญชีเบื้องตน 7. การใชสถิติในการจัดทําสรุปรายงานหรือนําเสนอขอมูล 8. การคํานวณภาษีเงินไดบุคคลธรรมดา เรือ่ งที่ 2 การนาํ ความรูทางคณติ ศาสตรไปเช่ือมโยงกับงานอาชีพในสงั คมและประชาคมอาเซียน ในการนําความรูคณิตศาสตรไปเชื่อมโยงกับงานอาชีพทั้ง 5 กลุมงานอาชีพทั้งกลุมงานอาชีพ เกษตรกรรม กลุมงานอาชีพอุตสาหกรรม กลุมงานอาชีพพาณิชยกรรม กลุมงานอาชีพความคิดสรางสรรค และกลุมงานอาชีพดานบริหารจัดการและบริการที่ตองนําทักษะความรูทางคณิตศาสตรมาใชทุกกลุม อาชีพ เชน การจดั ทาํ บัญชีรายรบั – รายจา ยประจาํ วัน ประจําเดือน การคํานวณเงินคาจาง การคํานวณ ภาษีเงินไดบุคคลธรรมดา เปนตน กลุมอาชีพทุกกลุมอาชีพอาจจะใชทักษะความรูคณิตศาสตรตางกัน ออกไป ดังนั้น ในบทนี้จะนาํ เสนอตัวอยางท่ีเปนทักษะทางคณิตศาสตรท่ีใชกันมากเทา นนั้ 2.1 ทกั ษะการจัดทาํ บัญชีรับ - จายประจาํ วัน ตวั อยางท่ี 1 การจัดทําบัญชีรายรับ – รายจายประจําวันของเกษตรกรปลูกผัก วันท่ี 10 ตุลาคม 2554 จายคาเมล็ดพนั ธุแ ละปยุ 2,000 บาท คาน้ํา คาไฟ 480 บาท จายคาอาหาร 200 บาท ไดรับเงินจากการขายผัก 1,500 บาท วนั ท่ี 12 ตุลาคม 2554 จายคาอาหาร 280 บาท จายคาโทรศัพท 590 บาท จายคา นํา้ มันรถยนต 1,100 บาท ไดรับเงินจากการขายผัก 3,600 บาท วันที่ 15 ตุลาคม 2554 จายคาหนังสือ 300 บาท จายคาอาหาร 500 บาท จา ยคาน้ําดม่ื 250 บาท จายคาเสื้อผา 1,800 บาท ไดรับเงินจากการขายผัก 2,200 บาท วนั ที่ 16 ตุลาคม 2554 จายคาอาหาร 300 บาท จายคาบัตรชมภาพยนตร 400 บาท จายคาถุงพลาติก 480 บาท ไดรับเงินจากการขายผัก 3,000 บาท

178 วนั เดือน ป รายการรบั จาํ นวนเงนิ วนั เดือน ป รายการจาย จาํ นวนเงนิ 10 ต.ค. 54 รับเงินจากการขายผัก บาท สต. 12 ต.ค. 54 รับเงินจากการขายผัก บาท สต. 15 ต.ค. 54 รับเงินจากการขายผัก 1,500 - 10 ต.ค. 54 คา เมล็ดพนั ธแุ ละปุย 2,000 - คา น้ํา คา ไฟฟา 480 - 16 ต.ค. 54 รับเงินจากการขายผัก 200 - รวม คาอาหาร 280 - 590 - 3,600 - 12 ต.ค. 54 คาอาหาร 1,100 - คาโทรศัพท 300 - 500 - คานาํ้ มันรถยนต 250 - 1,800 - 2,200 - 15 ต.ค. 54 คา หนงั สอื 300 - 400 - คาอาหาร 480 - คานํา้ ดืม่ 8,680 - คาเสือ้ ผา 1,620 - 3,000 - 16 ต.ค. 54 คาอาหาร คาบัตรชมภาพยนตร คาถุงพลาสติก 10,300 - รวม ยอดคงเหลือยกไป 2.2 ทักษะการคํานวณเงนิ คาจา ง ตัวอยางท่ี 2 พเยาวเปนพนักงานทําความสะอาดของบริษัทแหง หนง่ึ ซ่ึงกาํ หนดเวลาทาํ งานวนั จันทร ถงึ วนั เสารไดรบั คา จางเปนรายวัน ๆ ละ 320 บาท พเยาวมีสทิ ธิไดรบั คาจา งในวันหยุด ตามประเพณีและวันหยุดพกั ผอ นประจําปโ ดยไมต อ งทาํ งาน ในเดือนตุลาคม พเยาวม า ทํางานทุกวันในวันทํางานตามเวลาทํางานปกติ และวันที่ 1 ตุลาคมตรงกับวันจนั ทรใ น เดือนน้มี วี ันหยุดตามประเพณี 1 วัน คอื วันที่ 23 ตุลาคม อยากทราบวาในเดือนนี้พเยาว ไดรับคาจางเทาไร

179 วิธีทาํ เดือนตลุ าคม อาทติ ย จนั ทร องั คาร พุธ พฤหสั ศกุ ร เสาร 123456 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 เดือนตุลาคม พเยาวไดรับคาจางในวันทํางาน 26 วัน และมีสทิ ธิไดร ับคาจางในวันหยุดตาม ประเพณี 1 วนั และไดร บั คา จางวนั ละ 320 บาท ดงั นนั้ พเยาวไ ดรบั คาจา งในเดอื นตุลาคม = (26 + 1) × 320 = 8,640 บาท 2.3 ทกั ษะการคํานวณเงินคานายหนา และเงินปนผล ตวั อยางท่ี 3 นายสัญชัยเปนตัวแทนขายเครื่องไฟฟา ซึ่งมีราคา 4,500 บาทใหกบั บริษทั แหง หนึ่ง วธิ ที ํา บริษัทคิดคานายหนา 10% อยากทราบวา สัญชัยตองสงเงินใหบริษัทเทาไร บาํ เหนจ็ ตวั แทนในการขาย = 10 × 4,500 = 450 บาท 100 ดงั นน้ั สัญชยั ตองสงเงินใหบริษัท = 4,500 – 450 = 4,050 บาท ตวั อยา งท่ี 4 ภทั รามหี ุน ปุรมิ สิทธิของบรษิ ัทจําหนา ยเครือ่ งใชไ ฟฟาแหงหนงึ่ จํานวน 150 หุน มูลคา วธิ ีทาํ หนุ ละ 100 บาท อัตราเงินปนผล 10% สิน้ ปเขาจะไดร บั เงินปนผลท้งั ส้ินเทาไร เงินปนผลตอหนุ ของหุนปุรมิ สิทธิ = อัตราเงินปนผล × มูลคาหนุ ปุริมสิทธิ = 10% × 100 = 10 × 100 100 = 10 บาท ภัทรามีหุน ปุรมิ สทิ ธิจํานวน 150 หนุ ดังนัน้ ภทั ราจะไดรบั เงินปนผลทง้ั ส้ิน = 150 × 10 = 1,500 บาท

180 2.4 ทกั ษะการใชส ถิติในการสรปุ รายงานหรอื นาํ เสนอขอมูล ตวั อยางที่ 4 การสรุปรายงานการดําเนินงานโครงการอบรมคอมพิวเตอรสําหรับพนักงาน ผลการดาํ เนินงาน บรษิ ัทนํา้ มันแหงหนึ่งไดจัดทําโครงการอบรมคอมพิวเตอรสําหรับพนักงาน โดยดําเนินการเปน 3 รนุ ดงั นี้ รนุ ที่ โปรแกรมอบรม วนั ท่ีอบรม จํานวนผูเขา อบรม 1 การใชโปรแกรมไมโครซอฟท Excel 5 – 9 ก.ย. 54 10 2 การใชโ ปรแกรม PhotoShop 12 – 16 ก.ย. 54 10 3 การใชโปรแกรมไมโครซอฟท Access 19 – 23 ก.ย. 54 10 เมอ่ื ดาํ เนนิ การอบรมและมกี ารประเมินผลการอบรมโดยผูจดั การอบรมไดดาํ เนินการทดสอบ ความรู ความเขาใจแกพนักงาน โดยใชแบบทดสอบกอนและหลังการอบรม เพ่ือตรวจสอบความกา วหนา วา ภายหลงั การอบรมพนักงานไดร ับความรเู พม่ิ ขึ้นจากชวงกอนเขารบั การอบรมมากนอยเพียงใด โดย พจิ ารณาจากคะแนนเฉล่ียของผเู ขารบั การอบรมในแตละรุน ซงึ่ สรปุ ขั้นตอนการคาํ นวณและผลการ ดาํ เนนิ การไดด งั น้ี 1. นําแบบทดสอบวัดความรู ความเขาใจในเนื้อหาการอบรมใหผูเขาอบรมทุกคนทั้ง 10 คน ตรวจใหค ะแนนของผูเขา อบรมแตล ะคนวา ไดค นละก่ีคะแนน ซง่ึ แตล ะรนุ แบบทดสอบจะมคี ะแนนเตม็ 20 คะแนน เทา กนั ท้งั 3 รนุ แลว นาํ มากรอกคะแนนเปน รายบคุ คลต้งั แตคนท่ี 1 – 10 ลงในแบบบันทึก คะแนน เพ่ือคาํ นวณคา เฉลย่ี ของคะแนน ( x ) ในแตล ะรนุ ดงั นี้ คะแนนกอนการอบรม คะแนนหลังการอบรม (คะแนนเตม็ 20 คะแนน) (คะแนนเตม็ 20 คะแนน) คนท่ี โปรแกรมรนุ โปรแกรมรนุ โปรแกรมรนุ โปรแกรมรนุ โปรแกรมรนุ โปรแกรมรนุ ที่ 1 ที่ 2 ท่ี 3 ท่ี 1 ที่ 2 ท่ี 3 1 8 9 7 15 14 14 2 7 6 8 14 13 13 3 9 5 9 17 12 15 4 10 7 8 16 15 12 5 7 5 7 15 11 16 6 8 8 6 14 13 14 7 6 7 10 16 12 13

181 8 11 10 9 18 14 15 9 9 6 8 13 12 13 10 10 5 7 14 13 12 คะแนนรวม 85 68 79 152 129 137 ของทงั้ 10 คน คาํ นวณคะแนน ( x ) = 85 ÷ 10 ( x ) = 68 ÷ 10 ( x ) = 79 ÷ 10 ( x ) = 152 ÷ 10 ( x ) = 129 ÷ 10 ( x ) = 137 ÷ 10 เฉลีย่ โดยนาํ = 8.5 = 6.8 = 7.9 = 15.2 = 12.9 = 13.7 คะแนนรวม ∴ คะแนน ∴ คะแนน ∴ คะแนน ∴ คะแนน ∴ คะแนน ∴ คะแนน หารดว ยจํานวน เฉลย่ี = เฉลย่ี = เฉลย่ี = เฉลย่ี = เฉลย่ี = เฉลย่ี = คนทงั้ หมด คอื 8.5 คะแนน 6.8 คะแนน 7.9 คะแนน 15.2 คะแนน 12.9 คะแนน 13.7 คะแนน 10 คน 8.5×100 6.8×100 7.9×100 15.2×100 12.9×100 13.7×100 คาํ นวณรอ ยละ = 20 = 20 = 20 = 20 = 20 = 20 ของคะแนน เตม็ 20 คะแนน = 42.50 % = 34.00 % = 39.50 % = 76.00 % = 64.50 % = 68.5 % 2. นาํ คะแนนเฉลย่ี ทค่ี าํ นวณไดแ ละผลการคํานวณวา คะแนนเฉลี่ยนั้นคิดเปนรอยละเทาไรของคะแนนเต็ม จากขอ 1 มากรอกลงในตารางสรุปรายงาน ดังนี้ คะแนนเฉลย่ี ( x ) คะแนนเฉลย่ี ( x ) จากคะแนนเตม็ 20 คะแนน จากคะแนนเตม็ 20 คะแนน โปรแกรมการอบรม คดิ เปนรอ ยละ คดิ เปนรอ ยละ ของคะแนนเตม็ ของคะแนนเตม็ กอ นการอบรม หลังการอบรม รุนที่ 1 การใชโ ปรแกรม 8.50 42.50 15.20 76.00 ไมโครซอฟท Excel รุนที่ 2 การใชโ ปรแกรม 6.80 34.00 12.90 64.50 PhotoShop รุนที่ 3 การใชโ ปรแกรม 7.90 39.50 13.70 68.50 ไมโครซอฟท Access จากตาราง พบวา เมือ่ พจิ ารณาจากคะแนนเฉลีย่ ของผูเ ขา รับการอบรมหลงั การอบรมท้ัง 3 รนุ จะเหน็ ไดวา มคี ะแนนเฉล่ียเพิ่มขนึ้ จากคะแนนเฉลย่ี กอ นการอบรมทกุ รุน กลา วคอื แสดงวา ผเู ขารบั การ อบรมสวนใหญไดร ับความรู ความเขา ใจเพ่มิ มากข้ึนในเน้ือหาทีบ่ ริษทั ไดจ ัดอบรมใหพนักงาน และพบวา รุนที่ 1 ไดคะแนนเฉลี่ยมากท่ีสุด คือ ไดคะแนนเฉล่ยี 15.20 คะแนน คดิ เปน รอ ยละ 76.00 ของคะแนนเตม็ รองลงมา คือ รนุ ท่ี 3 ไดค ะแนนเฉลยี่ 13.70 คะแนน คิดเปนรอ ยละ 68.50 ของคะแนนเตม็ สวนรุนท่ี 2 นน้ั ไดค ะแนนเฉล่ียนอยทสี่ ุด คอื ไดค ะแนนเฉล่ีย 12.90 คะแนน คดิ เปน รอ ยละ 64.50 ของคะแนนเตม็

182 2.5 ทักษะการคํานวณภาษีเงินไดบุคคลธรรมดา ตวั อยา ง นายโชคไดรับเงินเดอื น ๆ ละ 28,000 บาท ส้นิ ปสามารถหกั คาใชจ ายไดร อ ยละ 40 ของเงินได พงึ ประเมิน แตไ มเกนิ 60,000 บาท หกั คาลดหยอนผมู เี งินได 30,000 บาท หกั คา เบ้ยี ประกันชีวติ 25,000 บาท หกั ดอกเบี้ยเงนิ กยู มื เพอื่ ซือ้ บา น 36,450 บาท สน้ิ ปน ายโชคยน่ื แบบแสดงรายการ ภาษเี งนิ ไดบคุ คลธรรมตองชาํ ระภาษหี รือไม ถา ชาํ ระตอ งชาํ ระภาษีเปน เงินเทาไร วิธีทํา เงนิ ไดพ งึ ประเมนิ ของนายโชค = 28,000 × 12 = 336,000 บาท หัก คา ใชจาย รอยละ 40 ของเงนิ ไดพึงประเมิน แตไ มเกิน 60,000 บาท 40 คา ใชจา ย 100 × 336,000 = 134,400 บาท แตค า ใชจายของนายโชคคาํ นวณได 134,400 บาท แตส ามารถหกั ไดแ ค 60,000 บาทเทา นน้ั หกั คา ลดหยอ นผมู ีเงนิ ได 30,000 บาท คาเบีย้ ประกันชีวติ 25,000 บาท ดอกเบย้ี เงนิ กูยมื เพือ่ ซอ้ื บา น 36,450 บาท รวมหกั คา ลดหยอนได = 30,000 + 25,000 + 36,450 = 91,450 บาท เงนิ ไดส ทุ ธขิ องนายโชค = เงนิ ไดพ งึ ประเมนิ – (คา ใชจ า ย + หกั คาลดหยอน) = 336,000 – (60,000 + 91,450) = 184,550 บาท ตามตารางอตั ราการเสยี ภาษีเงินไดบ คุ คลธรรมดา เงนิ ไดสุทธิ 0 – 150,000 บาท ไมต องเสยี ภาษี สวนทเี่ กนิ 150,000 – 500,000 บาท เสยี ภาษี 10% นายโชคมีเงนิ ไดส ุทธทิ ่ตี อ งเสยี ภาษี = 184,550 – 150,000 =34,550 บาท 10 = 34,550 × 100 = 3,455 บาท ∴ นายโชคเสยี ภาษี 3,455 บาท ตารางอตั ราภาษเี งนิ ไดบ คุ คลธรรมดา เงินไดสทุ ธิ ขน้ั เงนิ ไดสุทธิตั้งแต จํานวนสูงสดุ เงนิ ไดสุทธิ อตั ราภาษี ภาษีเงนิ ได ภาษใี นแตล ะ ภาษสี ะสม แตล ะข้ัน รอ ยละ ข้นั เงนิ ได สงู สดุ ของขน้ั ของขน้ั 0 0 ถงึ 100,000 100,000 .......... .... 5 .............. .... ยกเวน 0 เกนิ 100,000 ถงึ 150,000 50,000 .......... .... 10 .............. .... ยกเวน 35,000 เกนิ 150,000 ถงึ 500,000 350,000 .......... .... 10 .............. .... 35,000 135,000 เกนิ 500,000 ถงึ 1,000,000 500,000 .......... … 20 .............. … 100,000 1,035,000 เกนิ 1,000,000 ถงึ 4,000,000 3,000,000 .......... … 30 .............. … 900,000 เกนิ 4,000,000 บาทขน้ึ ไป .......... … 37 .............. … รวม →

183 2.6 การคํานวณในการจัดทําแผน ปายโฆษณาเพ่ือประชาสมั พันธก ารใหบ รกิ าร ตวั อยา ง ทาํ แผน โฆษณาเชิญชวนการทองเทยี่ วในจงั หวัด โดยมีขนาดแผนโฆษณาทีท่ าํ ดวยแผนไวนลิ มขี นาดกวาง 1.2 เมตร ยาว 1.5 เมตร ทางรานคิดคาออกแบบ 400 บาท คาจัดทําตารางเมตรละ 250 บาท จะตองจายเงินทั้งหมดเทาไร วธิ ที าํ พน้ื ทแ่ี ผนไวนิลทีใ่ ชโฆษณา = กวาง × ยาว = 1.2 × 1.5 = 1.8 ตารางเมตร คาจดั ทาํ = 1.8 × 250 = 450 บาท ∴ จะตองจายเงนิ ท้งั หมด = คาจัดทํา + คาออกแบบ = 450 + 400 = 850 บาท

184 แบบฝกหดั ที่ 1 1. ศุภางคเปนพนักงานของโรงงานเย็บเสื้อผาสําเร็จรูปแหงหนึ่ง ซึ่งกําหนดเวลาทํางานตามปกติวันละ 8 ชั่วโมง ไดรบั เงินเดือน ๆ ละ 9,000 บาท จงหาวา ศุภางคมีรายไดวันละเทาไร และศุภางคมีรายได ชั่วโมงละเทาไร ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 2. สุภาพเปนพนกั งานของโรงงานผลิตเครื่องปรับอากาศแหงหนึง่ ซ่งึ กาํ หนดเวลาทาํ งานวนั จันทรถึง วนั ศุกรไดรับคา จา งเปน รายวนั ๆ ละ 370 บาท สุภาพมสี ิทธิไดรับคาจางในวันหยุดตามประเพณีและ วันหยุดพักผอนประจําปโดยไมตองทํางานในเดือนธันวาคม สุภาพมาทํางานทุกวันในวันทํางานตาม เวลาทํางานปกติและวันที่ 1 ธนั วาคม ตรงกบั วันอาทิตยใ นเดอื นนม้ี วี ันหยดุ ตามประเพณี 3 วัน คือ วนั ที่ 5, 10 และ 31 จงหาวาในเดือนธันวาคมนี้ สุภาพไดรับคาจางเทาไร ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________

185 3. ธิดาเปนพนักงานของบริษัทแหงหนึ่ง ซึ่งกําหนดเวลาทํางานวันจันทรถึงวันศุกร เวลาทํางานปกติตั้งแต เวลา 08.00 – 17.00 น. หยุดพกั ระหวา งเวลา 12.00 – 13.00 น. ธดิ ามรี ายไดเ ดอื นละ 12,000 บาท ในเดอื นสงิ หาคม วนั ท่ี 1 ตรงกบั วนั จนั ทรแ ละในเดือนนม้ี วี นั หยดุ ตามประเพณี 1 วัน คอื วันที่ 12 สิงหาคม ธิดามีสิทธิไดรับคาจางในวันหยุดทุกประเภทโดยไมตองทํางาน ในเดือนนี้ธิดามาทํางาน ทุกวัน ทํางานตามเวลาทํางานปกติ ถานายจางใหธิดามาทํางานในวันหยุดตามประเพณี 1 วนั ไดรบั คาจางอีก 1 เทา และทาํ งานในวนั เสารไ ดร บั คา จางเพมิ่ เปน 2 เทาของคาจางปกติอกี 4 วนั ระหวา ง เวลา 09.00 – 12.00 น. จงหาคา ทาํ งานในวนั หยดุ ทง้ั หมดและรายไดท ง้ั หมดของธดิ าในเดอื นสงิ หาคมน้ี ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 4. จงทําบัญชีรายรับ – จายของตัวเองใน 1 สปั ดาห บัญชีรายรับ – จายของ ................................................... วนั เดือน ป รายการรบั จาํ นวนเงนิ วนั เดือน ป รายการจาย จาํ นวนเงนิ บาท สต. บาท สต.

186 5. นางอัญชลีเปนตัวแทนขายเครื่องครัวที่มีราคา 45,000 บาท ใหกับบริษัทแหง หน่ึง บริษัทคิดคานายหนา 30% อยากทราบวานางอัญชลีไดเงินคานายหนาเทาไร ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 6. พจมานถือหุนปุรมิ สิทธขิ องบริษทั ผลติ กระเบื้องแหงหน่งึ จาํ นวน 1,500 หนุ มูลคา หุนละ 160 บาท อัตราเงินปนผล 5% เมื่อสิ้นปพจมานจะไดเงินปนผลทั้งหมดเทาไร ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________

187 7. สุภัทราเปนพนักงานบริษัทผลิตแชมพูสระผมแหงหนึ่งไดรับมอบหมายจากบริษัทใหทําการสํารวจ ความนิยมของสขี วดทใ่ี ชบรรจุแชมพูสาํ หรับกลมุ เปาหมายวยั รุน จํานวน 50 คน สภุ ัทราจะดาํ เนนิ การ อยางไรต้ังแตการสํารวจจนถงึ การนําเสนอขอมูล ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 8. ศักดิม์ รี ายไดเ ดือนละ 25,000 บาท สิ้นปสามารถหักคาใชจายไดรอยละ 40 ของเงินไดพึงประเมิน แต ไมเ กิน 60,000 บาท สามารถหักคาลดหยอนผูมีเงินได 30,000 บาท หักคา เบย้ี ประกนั ชวี ิต 50,000 บาท หักคา เบีย้ ประกนั สุขภาพของมารดาของนายศักดิ์ 20,000 บาท สิ้นปนายศักดิ์ยื่นแบบแสดงรายการ ภาษีเงนิ ไดบ คุ คลธรรมดาตอ งชาํ ระภาษหี รือไม ถาชําระภาษเี ปน เงนิ เทา ไร ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________

188 9. แผน ไวนิลโฆษณาเชิญชวนการบริจาคชวยเหลือผูประสบภัย มีขนาดกวาง 0.90 เมตร ยาว 1.8 เมตร ทางรานคิดคาออกแบบ 500 บาท คาจัดทําตารางเมตรละ 250 บาท จะตองจายเงินทั้งหมดเทาไร ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________

189 เฉลยแบบฝกหัด

190 เฉลย บทท่ี 1 ระบบจํานวนจริง แบบฝกหัดท่ี 1 1.จาํ นวนทก่ี าํ หนดใหต อไปนจ้ี าํ นวนใดเปน จาํ นวนนบั จํานวนเตม็ จาํ นวนตรรกยะ หรือจาํ นวนอตรรก ยะ ขอ จาํ นวนจรงิ จาํ นวนนบั จาํ นวนเตม็ จาํ นวนตรรกยะ จาํ นวนอตรรกยะ 1 − 9,− 7 ,5 2 , 2,0,1 1 0, 1, -9 -9, − 7 , 5 2 ,0 ,1 2 23 3, 12 23 2 3 , 12 -13 2 5,−7 7 ,3,12, 5 − 7 7 ,3 ,12 , 5 34 34 3 2.01,0.666...,-13 , 2.01, 0.666, …,-13 4 2.3030030003..., 2.3030030003... 5 − π ,− 1 , 6 , 2 ,−7.5 6 , -7, 5 −1, 6 , -7.5 −π, 2 33 2 3 33 2 25, -17, 3, 25, -17, −12 , 6 25,−17,− 12 , 9,3,12, 1 π 25, 3 , 12 1π 52 12, 9 5 2 9 , 3, 12 2. จงพจิ ารณาวา ขอ ความตอไปน้เี ปนจริงหรอื เทจ็ 1) จรงิ 2) จรงิ 3) เทจ็ 4) จรงิ 5) จรงิ 6) เทจ็

191 แบบฝกหัดที่ 2 1. ใหผเู รยี นเติมชองวา งโดยใชส มบัตกิ ารเทา กัน 9. ถา a = b แลว a +5 = b + 5 10. ถา a = b แลว -3a = -3b 11. ถา a + 4 = b + 4 แลว a = b 12. ถา a +1 = b +2 และ b + 2 = c - 5 แลว a +1 = c + 5 13. ถา x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 แลว (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 14. ถา x = 3 y แลว 2x = 3y 2 15. ถา x2 + 1 = 2x แลว (x −1)2 = x2 − 2x + 1 16. ถา ab = a + b แลว 1 (ab) = 1 (a + b) 22 2. กาํ หนดให a , b และ c เปนจํานวนจริงใดๆ จงบอกวาขอความในแตละขอตอไปนี้เปนจริงตามสมบัติใด 1) 3 + 5 = 5 + 3 สมบัติการสลับที่ของการบวก 2) (1+2)+3 = 1+(2+3) สมบัติการเปลี่ยนกลุมของการบวก 3) (-9)+5 = 5 +(-9) สมบัติการสลับที่ของการบวก 4) (8 × 9) เปน จาํ นวนจรงิ สมบัติปดของการคูณ 5) 5 × 3 = 15 = 3 × 5 สมบัติการสลับที่ของการคูณ 6) 2(a+b) = 2a +2b การแจกแจง 7) (a + b) + c = a+( b + c) สมบัติการเปลี่ยนกลุมของการบวก 8) 9a +2a = 11 a = 2a + 9a สมบัติการสลับที่ของการบวก 9) 4 × (5 + 6) = (4 × 5) + (4 × 6) การแจกแจง 10) c(a +b) = ac +bc การแจกแจง 3 . เซตทีก่ าํ หนดใหใ นแตล ะขอ ตอไปน้ี มีหรือไมมีสมบัติปดของการบวกหรือสมบัติปดของการคูณ 1) { 1 , 3 , 5 } มีสมบัติปดการบวก, การคูณ 2) { 0 } มีสมบัติปดการบวก 3) เซตของจาํ นวนจรงิ มี 4) เซตของจาํ นวนตรรกยะ มี 5) เซตของจํานวนที่หารดว ย 3 ลงตวั มี

192 4. จงหาอินเวอรส การบวกของจาํ นวนในแตล ะขอ 1) อินเวอรสการบวกของ 8 คือ -8 2) อนิ เวอรส การบวกของ - 5 คอื 5 3) อนิ เวอรส การบวกของ - 0.567 คอื 0.567 4) อนิ เวอรส การคณู ของ 3 − 2 คอื 1 3− 2 5) อนิ เวอรส การคูณของ 1 คือ 5 − 3 5− 3

193 แบบฝกหัดที่ 3 1. ใหผ เู รียนบอกสมบตั ิการไมเ ทากัน (เม่ือตวั แปรเปน จาํ นวนจรงิ ใดๆ) 9. ถา x < 3 แลว 2x <6 สมบัติการคูณดว ยจํานวนเทากับที่ไมเทากับศูนย 10. ถา y>7 แลว -2y -14 สมบัตกิ ารคูณดว ยจํานวนเทากบั ท่ีไมเทากับศูนย 11. ถา x+1 > 6 แลว x+2 > 7 สมบัตกิ ารบวกดวยจํานวนท่ีเทา กัน 12. ถา y+3 < 5 แลว y< 2 สมบัติการตัดออกสําหรับการบวก 13. ถา x< 7 และ 7< y แลว x<y สมบัติการถายทอด 14. ถา a > 0 แลว a+1 > 0 +1 สมบตั ิการบวกดว ยจํานวนที่เทา กัน 15. ถา b< 0 แลว b + (-2) < 0+(-2) สมบัติการบวกดว ยจาํ นวนทเี่ ทากัน 16. ถา c> -2 แลว (-1)c < (-1)(-2) สมบตั ิการคูณดวยจํานวนเทา กนั ทไี่ มเทากับศูนย 2. จงใชเ สน จาํ นวนแสดงลกั ษณะของชว งของจาํ นวนจริงตอ ไปน้ี 1) (2,7) 2) [3,6] 3) [-1,5) 4) (-1,4] 5) (2, ∞ )

194 6) (- ∞ ,4) 7) (0,8) 8) [-5,4)

195 แบบฝก หัดท่ี 4 เซตคําตอบคําตอบของอสมการ คือ { x | x ≤ -2 หรอื x ≥ 2} -3 < x < 3 เซตคําตอบคําตอบของอสมการ คือ { x | -3 < x <3} เซตคําตอบคําตอบของอสมการ คือ { x |1< x <7} − X ≤ −5 หรือ − X ≥ 1 X ≥ 5 หรือ X ≤ −1 เซตคําตอบคําตอบของอสมการ คือ {x|x ≥ 5 หรอื x ≤ -1} 5 – x < 0 หรอื 5 – x > 0 0 ≤ 5–x ≤ 0 -5 ≤ -x ≤ -5 -x < -5 -x > -5 5≥x≥5 x>5 x<5 -8 < 3x – 4 < 8 -1 ≤ 2x – 9 ≤ 1 - 8 +4 < 3x < 8 +4 -1 + 9 ≤ 2x ≤ 1 + 9 -4 < 3x < 12 8 ≤ 2x ≤ 10 −4 < x<4 3 4 ≤x ≤5 |2 – 4x < 0 หรอื 12 – 4x > 0 0 ≤ 6 – 3x ≤ 0 -4x < -12 หรอื – 4x > -12 -6 ≤ -3x ≤ -6 x > 3 หรอื x < 3 2 ≥x ≥ 0

196 แบบฝกหดั ท่ี 1 เฉลย บทที่ 2 เลขยกกาํ ลัง 1. จงบอกฐานและเลขชก้ี าํ ลงั ของเลขยกกาํ ลงั ตอ ไปน้ี 1) ฐานคือ 6 เลขชีก้ ําลงั คือ 3 2) ฐานคือ 1.2 เลขชีก้ ําลังคือ -5 3) ฐานคือ -5 เลขชี้กาํ ลังคือ 0 4) ฐานคือ 1 เลขชี้กําลังคอื 3 2 2. จงหาคาของเลขยกกาํ ลังตอ ไปน้ี 1) - 1,024 2) 1 625 3) 1.728 4) 27 3. จงทําใหอ ยูในรปู อยางงายและเลขช้ีกําลังเปนจํานวนเตม็ 1. a8 2. 12 = 56 = 15,625 5 3.  2 20 3 4. (1.1)15 5. x10

197 แบบฝก หัดท่ี 2 1. จงหาคาของรากที่ n ของจํานวนจริงตอไปนี้ 1) 5 2) 8 3) -3 4) -5 5) 2 3 6) 2 7) 5 8) − 64 ≠ 8 ไมเ ปนจาํ นวนจรงิ 9) -2 10) 4 −16 ≠ 2 ไมเ ปน จาํ นวนจรงิ 2. จงเขยี นจํานวนตอไปนใี้ หอยูในรูปอยางา ย โดยใชส มบตั ิของ รากที่ n 1) 52 = 5 2) 3 23 = 2 3) 3 (−2)3 = (-2) 4) 5 (−2)5 = (-2) 5) (−3)2 = (-3) 5) 4 (−2)4 = (-2) 6) 200 = 10 2 7) 75 = 5 3 8) 3 240 = 23 30 9) 45 = 3 5 10) 5 15 = 75 = 5 3 11) 3 81 ⋅ 3 32 = 63 12 12) 4 = 4 = 2 13) 5 = 35 9 93 3 82

198 แบบฝก หดั ที่ 3 3 50 + (6)(5) 1. จงทําจํานวนตอไปนใ้ี หอ ยูในรูปอยางงา ย 15 2 + 30 1) 2x 2 2) 4 3) 2 y 2 4) (-2) 5) 6 2 − 2 + 4 2 = 9 2 6) (3 5)( 10)+ (3 5)(2 5) = = 7) 3 8a3 = 2a 8) 33 2 × 3 4 = 33 8 = 6 แบบฝกหดั ท่ี 4 1. จงทําจํานวนตอไปนี้ใหอยูในรูปอยางงาย 1) 8x2 วิธีทํา 8x2 = 2×2×2×x×x = 2x 2 2) 3 = 3 3 − 27 3 (− 3)(− 3)(− 3) วิธีทํา 3 3 − 27 = 3 = -1 (− 3) 3) ( 2 + 8 + 18 + 32)2 วธิ ีทํา ( 2 + 8 + 18 + 32)2 ( )= 2 2+2 2 +3 2+4 2 = (10 )2 2 = (100)(2) = 200

199 4) 5 −32 + 26 3 27 3 (64) 2 5 −32 26 (− 2) + 64 วิธีทํา 3 27 + ( )= 3 3 3 82 2 (64) 2 = (− 2) + 64 3 (8)3 = (− 2) + 1 38 = −16 + 3 = −13 24 24 24 21 ( )2 5) 8 3 ⋅ 18 2 = 23 3 × 18 4 144 6 4 144 6 21 = 4×3 วธิ ที าํ 83 ⋅ 182 24 9 4 144 6 = 23 49 1 6) 3 −125 + 32 3 (−8)2 −1 (27) 2 1 วธิ ีทํา 3 −125 + 32 = (− 5) − 1 3 (−8)2 −1 49 (27) 2 = − 45 − 4 = − 49 = −113 − 36 36 36

200 เฉลย แบบฝก หดั บทที่ 3 เซต แบบฝกหดั ที่ 1 1. จงเขียนเซตตอไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก 1) { สมุทรสาคร,สมุทรสงคราม,สพุ รรณบุรี,สรุ นิ ทร,สุราษฏรธานี,สมุทรปราการ,สงขลา,สระแกว, สระบรุ ี,สิงหบรุ ี} 2) { a,e,i,o,u } 3) { 100,101,…,999} 4) {2,4,6,8,10,12,14,16,18} 5) { -121,-122,-123,….} 6) { 6,7,8,9,10,11,12,13,14} 7) { φ } 2. จงบอกจํานวนสมาชิกของเซตตอไปนี้ 1) 1 2) 6 3) 24 4) 8 3. จงเขียนเซตตอไปนี้แบบบอกเง่ือนไข 1) { x | x เปน จาํ นวนเตม็ คูและ 2 ≤ x ≤ 8 } 2) { x | x เปน จาํ นวนเตม็ บวก } 3) { x | x = x2 เปน จาํ นวนเตม็ ซงึ่ x = 1,2,3,… } 4. จงพิจารณาเซตตอไปนี้ เปนเซตวา งเรอื เซตจาํ กัดหรือเซตอนันต 1) เซตจาํ กดั 2) เซตจาํ กดั 3) เซตอนนั ต 4) เซตวา ง 5) เซตวา ง 6) เซตวา ง 7) เซตจาํ กดั