Elementary Geometry

ສາທາລະນະລດັ ປະຊາທປິ ະໄຕ ປະຊາຊນົ ລາວ ສນັ ຕພິ າບ ເອກະລາດ ປະຊາທປິ ະໄຕ ເອກະພາບ ວດັ ທະນາຖາວອນ ............. ............ ກະຊວງສກຶ ສາທກິ ານ ແລະ ກລິ າ ກມົ ສາ້ ງຄູ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ ເອກະສານປະກອບການສອນ ວຊິ າ: ເລຂາຊນັ້ ຕນົ້ ສາຍ: ຄູຄະນດິ ສາດ ລະບບົ 12+4 ປີ 4 ປະລນິ ຍາ ຮຽງຮຽງ ແລະ ຈດັ ພມີ ໂດຍ: ອຈ ປຕ ສອນພນັ ລວນັ ນາ ສກົ ຮຽນ 2017 - 2018

ຄານາ ເອກະສານປະກອບການສອນວຊິ າເລຂາຄະນດິ ເຫຼມັ້ ນີ້ ມຈີ ດຸ ປະສງົ ເພື່ ອຮບັ ໃຊກ້ ານຮຽນ-ການ ສອນ ໃນສາຍຄູຄະນດິ ສາດລະບບົ ປະລນິ ຍາຕີ 12+4 ປີ4 ເພື່ ອເປັນການປັບປຸ ງຄຸນນະພາບ ແລະ ປະສດິ ທພິ າບຂອງການສາ້ ງຄູໃຫດ້ ຂີ ນ້ ເທ່ື ອລະກາ້ ວ. ໃນເອກະສານປະກອບການສອນຫຼກັ ສູດເຫຼມັ້ ນີ້ ຜູຮ້ ຽນຈະໄດຮ້ ຽນຮູ,້ ມຄີ ວາມເຂາົ້ ໃຈ, ເກດີ ທກັ ສະຫຼາຍຢື່ າງ ເປັນພນ້ ຖານອນັ ສາຄນັ ໃຫແ້ ກື່ ນກັ ຮຽນຄູ ແລະ ນາໃຊເ້ ຂາົ້ ໃນການດາລງົ ຊວີ ດິ ເຊ່ື ງິ ປ້ມ ເຫຼມັ້ ນປີ້ ະກອບມີ 12 ບດົ . ເມື່ ອເຫນັ ຄວາມສາຄນັ ແລະ ຄວາມຮຽກຮອ້ ງຕອ້ ງການຄດ່ື ງັ ທ່ື ກີ ື່ າວມາຂາ້ ງເທງິ ນນັ້ ຂາ້ ພະເຈາົ້ ຈ່ື ງຶ ໄດມ້ ີການຮຽບຮຽງ ແລະ ຈດັ ພີມ ເອກະສານປະກອບການສອນນຂີ້ ນ້ ມາເພ່ື ອຮບັ ໃຊເ້ ຂາົ້ ໃນ ຂະບວນການຮຽນ - ການສອນ ໃນສາຍຄດູ ່ື ງັ ກື່ າວ. ເຖງິ ຢ່ື າງໃດກຕາມການການຮຽບຮຽງ ແລະ ການຈດັ ພມີ ເອກະສານປະກອນການສອນໃນຄງັ້ ນີ້ ອາດບື່ ປາສະຈາກ ແລະ ຫຼກີ ລຽ້ ງບ່ືໄດຂ້ ຂ້ າດຕກົ ບກົ ພື່ ອງທາງດາ້ ນເນອ້ ໃນ, ຫຼກັ ໄວຍາກອນ, ການພມີ ແລະ ການຈດັ ວາງຮູບພາບອື່ ນໆ. ຫວງັ ຢື່ າງຍື່ ງິ ວ່ື າ ບນັ ດາຜູອ້ ື່ ານ ແລະ ຊມົ ໃຊປ້ ມ້ ຫຼນີ້ ນເີ້ ມື່ ອພບົ ເຫນັ ຂຂ້ າດຕກົ ບກົ ພື່ ອງບ່ື ສອດຄ່ື ອງ ຂໃຫທ້ ື່ ານສື່ ງົ ຄາຕານຕິ ຊິ ມົ ມາຫາຜູຮ້ ຽງຮຽງ ຂາ້ ພະເຈາົ້ ຈະຖວື່ າທຸກຄາຄດິ ເຫນັ ຂອງທື່ ານເປັນຂມ້ ູນທ່ື ມີ ີ ຄຸນຄ່ື າ ແລະ ເປັນການຊ່ື ວຍປັບປື່ ຸງຄຸນນະພາບການສກຶ ສາໃຫສ້ ູງຂນຶ້ .

ເອກະສານປະກອບການສອນ ວຊິ າ: ເລຂາຊນັ້ ຕນົ້ ສາຍ ຄຄູ ະນດິ ສາດ ລະບບົ 12+4 ປີ 4 ຮຽບຮຽງ ແລະ ຈດັ ພມີ ໂດຍ: ປຕ ສອນພນັ ລວນັ ນາ ກວດແກໂ້ ດຍ: ອາຈານ ປທ ຈນັ ທອນ ແກວ້ ມະນໄີ ຊ ປທ ເມງິ ຄາ ແກວ້ ພູວງົ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ສກົ ຮຽນ 2017-2018

ບດົ ທີ 1 ສາລະບານ ມະໂນພາບພນ້ ຖານຂອງເລຂາຄະນດິ 1. ເມດັ , ເສນັ້ ຊ່ື , ທອນຊື່ , ໜາ້ ພຽງ, ເສນັ້ ທບົ ຫກັ , ເສນັ້ ຊ່ື ຕດັ ກນັ ແລະ ມູມ 1.1. ເມດັ ..........................................................................................................1 1.2. ເສນັ້ ຊື່ ........................................................................................................1 1.3. ທື່ ອນຊ່ື ......................................................................................................2 1.4. ເສນັ້ ທບົ ຫກັ .................................................................................................2 1.5. ເສນັ້ ຊື່ ຕດັ ກນັ ...............................................................................................3 1.6. ໜາ້ ພຽງ......................................................................................................3 1.7. ມຸມ..........................................................................................................4 2. ການຄານວນກື່ ຽວກບັ ທ່ື ອນຊື່ ....................................................................................4 2.1. ໄລຍະຫ່ື າງລະຫວື່ າງສອງເມດັ ໃນແກ່ື ນຈານວນຈງິ ……………………………………..4 2.2. ເມດັ ເຄື່ ງິ ກາງຂອງສອງເມດັ ...............................................................................5 2.3. ເມດັ ແບື່ ງທ່ື ອນຊ່ື ໃນແກນຈານວນຈງິ ...................................................................5 3. ການຄານວນກື່ ຽວກບັ ມມູ ........................................................................................7 ບດົ ທ2ີ 3.1. ມຸມພເິ ສດ...................................................................................................7 3.2. ມຸມເທ່ື າົ ກນັ .................................................................................................7 ການຄດິ ໄລ່ື ເນອ້ ທ່ື ີ ແລະ ລວງຮອບຂອງຮູບເລຂາຄະນດິ ໜາ້ ພຽງ 1. ຮູບສາມແຈ........................................................................................................ 14 1.1. ນຍິ າມ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະ..............................................................................14 1.2. ຫກຼັ ເກນ ແລະ ຜນົ ເນ່ື ອງ.................................................................................14 1.3. ເນອ້ ທ່ື ີ ແລະ ລວງຮອບ..................................................................................14 2. ຮູບຈະຕຸລດັ 2.1. ນຍິ າມ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະ..............................................................................16 2.2. ຫກຼັ ເກນ ແລະ ຜນົ ເນື່ ອງ................................................................................16 1.3. ເນອ້ ທື່ ີ ແລະ ລວງຮອບ..................................................................................16

ບດົ ທ3ີ 3. ຮູບສື່ ແີ ຈສາກ.....................................................................................................16 3.1. ນຍິ າມ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະ..............................................................................17 3.2. ຫກຼັ ເກນ ແລະ ຜນົ ເນ່ື ອງ................................................................................17 3.3. ເນອ້ ທື່ ີ ແລະ ລວງຮອບ.................................................................................17 4. ຮູບສື່ ແີ ຈຂາ້ ງຂະໜານ.............................................................................................19 4.1. ນຍິ າມ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະ..............................................................................19 4.2. ຫກຼັ ເກນ ແລະ ຜນົ ເນື່ ອງ................................................................................19 4.3. ເນອ້ ທ່ື ີ ແລະ ລວງຮອບ.................................................................................19 5. ຮູບດອກຈນັ .....................................................................................................20 5.1. ນຍິ າມ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະ.............................................................................20 5.2. ຫຼກັ ເກນ ແລະ ຜນົ ເນື່ ອງ...............................................................................20 5.3. ເນອ້ ທື່ ີ ແລະ ລວງຮອບ.................................................................................20 6. ຮູບຄາງໝ.ູ ........................................................................................................21 6.1. ນຍິ າມ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະ..............................................................................21 6.2. ຫຼກັ ເກນ ແລະ ຜນົ ເນ່ື ອງ................................................................................21 6.3. ເນອ້ ທື່ ີ ແລະ ລວງຮອບ.................................................................................21 7. ຮູບວງົ ມນົ ........................................................................................................22 7.1. ນຍິ າມ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະ.............................................................................22 7.2. ຫຼກັ ເກນ ແລະ ຜນົ ເນ່ື ອງ...............................................................................22 7.3. ເນອ້ ທື່ ີ ແລະ ລວງຮອບ.................................................................................22 ຮູບຫຼາຍແຈສະເໝີ ແລະ ຮູບວງົ ມນົ 1. ຮູບຫາຼ ຍແຈສະເໝ.ີ ..............................................................................................28 1.1. ນຍິ າມ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະ..............................................................................28 1.2. ຫກຼັ ເກນ ແລະ ຜນົ ເນື່ ອງ................................................................................28 2. ຮູບວງົ ມນົ ........................................................................................................29

2.1. ນຍິ າມ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະ.............................................................................29 2.2. ມຸມແນບໃນວງົ ມນົ ......................................................................................29 ບດົ ທີ 4 ບດົ ເລກພສິ ູດ ແລະ ບດົ ເລກຄານວນເລຂາຄະນດິ 1. ຈດຸ ພເິ ສດຕື່ າງຂອງບດົ ເລກເລຂາຄະນດິ .......................................................................32 2. ບາດກາ້ ວພນ້ ຖານໃນການແກ ້ ເລຂາຄະນດິ ………………………………….……………32 3 . ບົ ດ ເ ລ ກ ພິ ສູ ດ ແ ລ ະ ບົ ດ ເ ລ ກ ຄ າ ນ ວ ນ ເລຂາຄະນດິ ………………….………………………32 ບດົ ທີ 5 ຮູບຄາ້ ຍຄ ແລະ ຮູບຄາ້ ຍຄຂະໜານ 1. ຮູບຄາ້ ຍຄກນັ .....................................................................................................34 1.1. ນຍິ າມ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະ..............................................................................34 1.2. ຫຼກັ ເກນ ແລະ ຜນົ ເນື່ ອງ.................................................................................34 1.3. ຮູບສາມແຈຄາ້ ຍຄ......................................................................................... 34 2. ຮູບຄາ້ ຍຄຂະໜານ..............................................................................................36 2.1. ນຍິ າມ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະ.............................................................................36 2.2. ຮູບຫາຼ ຍແຈຄາ້ ຍຄຂະໜານ............................................................................36 2.3. ຮູບຄາ້ ຍຄຂະໜານ......................................................................................37 ບດົ ທີ 6 ການຜນັ ປ່ື ຽນຮູບ 1. ການຍາ້ ນຂະໜານ...............................................................................................42 2. ການເຄື່ ງິ ຄ.......................................................................................................43 2.1. ການເຄ່ື ງິ ຄທຽບໃສ່ື ເມດັ .................................................................................43 2.2. ການເຄື່ ງິ ຄທຽບໃສ່ື ແກນ................................................................................43 3. ການໝນູ .........................................................................................................44 ບດົ ທີ 7 4. ໂອໂມເຕຊ.ີ .......................................................................................................45 ການພວົ ພນັ ໄຕມຸມມຕິ ໃິ ນຮູບສາມແຈ, ຮູບສື່ ແີ ຈ ແລະ ຮູບວງົ ມນົ

1. ການພວົ ພນັ ໄຕມຸມມຕິ ໃິ ນຮູບສາມແຈ........................................................................49 1.1. ການພວົ ພນັ ໄຕມຸມມຕິ ໃິ ນຮູບສາມແຈສາກ............................................................49 1.2. ການພວົ ພນັ ໄຕມຸມມຕິ ໃິ ນຮູບສາມແຈທື່ ວົ ໄປ..........................................................51 1.2.1. ຫກຼັ ເກນຕາລາຊນິ ..................................................................................51 1.2.2. ຫຼກັ ເກນຕາລາໂກຊນິ .............................................................................53 2. ການພວົ ພນັ ໄຕມຸມຢື່ ູໃນຮູບສື່ ແີ ຈ............................................................................54 ບດົ ທີ 8 3. ການພວົ ພນັ ໄຕມຸມມຕິ ໃິ ນຮູບສາມແຈ.......................................................................55 ເນອ້ ທື່ ີ ແລະ ບລມິ າດຂອງຮູບເລຂາຄະນດິ ໃນກາງຫາວ 1. ຮູບກອ້ ນສາກ.....................................................................................................59 1.1. ນຍິ າມ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະ..............................................................................59 1.2. ຫຼກັ ເກນ………………………………………………...………………………59 1.3. ເນອ້ ທ່ື ີ ແລະ ບລມິ າດ……………………………………………………..………59 2. ຮູບກບັ ສາກ......................................................................................................60 2.1. ນຍິ າມ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະ..............................................................................60 2.2. ຫກຼັ ເກນ……………………………………………......…………………...…60 2.3. ເນອ້ ທື່ ີ ແລະ ບລມິ າດ………………………………..…………………..………60 3. ຮູບທື່ ..............................................................................................................62 3.1. ຮູບທື່ ກມົ ...................................................................................................62 3.1.1 ນຍິ າມ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະ......................................................................62 3. 1. 2 . ຫຼັ ກ ເກນ……………….………………...………….....……………...…62 3.1.3. ເນອ້ ທື່ ີ ແລະ ບລມິ າດ………………..………..………………….…..…...62 3.2. ຮູບທື່ ລຽມ 3.2.1 ນຍິ າມ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະ...................................................................... 64

3.2.2. ຫກຼັ ເກນ……………….…..…………...………….....……………...…64 3.2.3. ເນອ້ ທື່ ີ ແລະ ບລມິ າດ………………..…..…..…………………..…..…...65 4. ຮູບຈວຍ.......................................................................................................... 65 4.1. ນຍິ າມ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະ..............................................................................65 4.2. ຫຼກັ ເກນ……………………………………………......…………………...…65 4.3. ເນອ້ ທື່ ີ ແລະ ບລມິ າດ………………………………..…………………..………65 5. ຮູບທາດລ່ື ຽມ....................................................................................................66 5.1. ນຍິ າມ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະ..............................................................................66 5.2. ຫກຼັ ເກນ……………………………………………......…………………...…66 5.3. ເນອ້ ທື່ ີ ແລະ ບລມິ າດ………………………………..…………………..………66 6. ຮູບໜ່ື ວຍມນົ ....................................................................................................66 6.1. ນຍິ າມ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະ..............................................................................66 6.2. ຫກຼັ ເກນ……………………………………………......…………………...…67 6.3. ເນອ້ ທ່ື ີ ແລະ ບລມິ າດ………………………………..…………………..………67 ບດົ ທີ 9 ເລຂາສະຖານ 1. ມະໂນພາບກື່ ຽວກບັ ເລຂາສະຖານ.............................................................................69 2. ການນາໃຊເລຂາສະຖານເຂາົ້ ໃນການສາ້ ງແຕມ້ ຮູບ..........................................................72 ບດົ ທີ 10 3. ບດົ ເລກສາ້ ງແຕມ້ ຮູບ ແລະ ການຄດິ ໄລ່ື ເລຂາສະຖານ.....................................................73 ຄວາມຮູເ້ ບອ້ ງຕນົ້ ກື່ ຽວກບັ ເວກັ ເຕີ 1. ຄວາມສານກຶ ກື່ ຽວກບັ ເວກັ ເຕ.ີ ................................................................................80 2. ນຍິ າມເວກັ ເຕ…ີ ……………………………………………………………………..80 3. ການບວກ ແລະ ການລບົ ເວກັ ເຕ.ີ ............................................................................82 3.1. ການບວກເວກັ ເຕ.ີ .......................................................................................82 3.2. ການລບົ ເວກັ ເຕ.ີ .........................................................................................83 4. ການຄູນຈານວນຈງິ ກບັ ເວກັ ເຕ.ີ ...............................................................................84

5. ຜນົ ຄນູ ສະກາແລຂອງເວກັ ເຕ.ີ .................................................................................86 ບດົ ທ1ີ 1 ເລຂາຄະນດິ ໜາ້ ພຽງທ່ື ສີ ະເໜດີ ວ້ ຍຮູບເລຂາຄະນດິ ເວກັ ເຕີ 1. ນຍິ າມຂອງເວກັ ເຕ.ີ ..............................................................................................90 2. ຄຸນລກັ ສະນະຂອງຮູບເລຂາໜາ້ ພຽງທື່ ສີ ະເໜແີ ບບເວກັ ເຕ.ີ ................................................91 3. ຂະໜານຂອງເວກັ ເຕ.ີ ...........................................................................................93 4. ຜນົ ຄນູ ສະກາແລ................................................................................................95 ບດົ ທີ 12 ການພວົ ພນັ ລະຫວື່ າງເລຂາຄະນດິ ໜາ້ ພຽງກບັ ເລຂາຄະນດິ ແບບເວກັ ເຕີ 1. ໄລຍະຫື່ າງລະຫວ່ື າງສອງເມດັ .................................................................................100 2. ໄລຍະຫື່ າງລະຫວ່ື າງເມດັ ໜື່ ງຶ ຫາເສນັ້ ຊ......................................................................100 3. ໄລຍະຫື່ າງລະຫວ່ື າງສອງເສນັ້ ຊ່ື ຂະໜານກນັ ...............................................................102 4. ການພວົ ພນັ ລະຫວ່ື າງເສນັ້ ຊ່ື ແລະ ວງົ ມນົ ..................................................................103

ວຊິ າ ເລຂາຄະນດິ ຊນັ້ ຕນົ້ ບດົ ທີ 1 ມະໂນພາບພນ້ ຖານຂອງເລຂາຄະນດິ 1. ເມດັ , ເສນັ້ ຊື່ , ທ່ື ອນຊື່ , ໜາ້ ພຽງ, ເສນັ້ ທບົ ຫກັ , ເສນັ້ ຊ່ື ຕດັ ກນັ ແລະ ມມູ 1.1. ເມດັ ໃນຊວີ ດິ ປະຈາວນັ ເຮາົ ເຄຍີ ພນົ ເຫນັ ວດັ ຖຸທື່ ເີ ປັນລກັ ສະນະເມດັ ຢ່ື າງຫຼວງຫາຼ ຍເຊື່ ນັ : ເມດັ ຜກັ , ເມດັ ເຂາົ້ ປູກ, ແກ່ື ນໝາກແຕ່ື ງ, ແກ່ື ນໝາກຖື່ ວົ ... ນຍິ າມ: ເມດັ ແມ່ື ນເມດັ ທ່ື ບີ ່ື ມຂີ ະໜານ ຫຼ ເມດັ ແມື່ ນຈດຸ ທ່ື ຕີ ດັ ກນັ ລະຫວື່ າງສອງເສນັ້ ຊ່ື ຕາມໃຈ ຕວົ ຢື່ າງ: - ເມດັ ທ່ື ບີ ື່ ມຂີ ະໜາດ - A ແມື່ ນເມດັ ຕດັ ກນັ ຂອງສອງເສນັ້ ຊ່ື d ແລະ l 1.2. ເສນັ້ ຊື່ ໃນຊວີ ດິ ປະຈາວນັ ເຮາົ ເຄຍີ ພນົ ເຫນັ ວດັ ຖຸທ່ື ເີ ປັນລກັ ສະນະເສນ້ ຊ່ື ຢ່ື າງຫຼວງຫາຼ ຍເຊ່ື ນັ : ເສນັ້ ຂອບໂຕາະເກດີ ຈາກ ການຕດັ ກນັ ຂອງໜາ້ ໂຕະ ແລະ ຝາດາ້ ນຂາ້ ງຂອງໂຕະ, ຕນີ ຝາຫອ້ ງຮຽນແມ່ື ນເສນັ້ ຕດັ ກນັ ຂອງຝາຫອ້ ງຮຽນ ແລະ ພນ້ ຫອ້ ງຮຽນ... ນຍິ າມ: ເສນັ້ ຊ່ື ແມ່ື ນຮອຍຕດັ ກນັ ລະຫວື່ າງສອງແຜື່ ນພຽງທ່ື ບີ ື່ ມຂີ ອບເຂດ ຫຼ ເສນັ້ ຊ່ື ແມ່ື ນກື່ ຸມຂອງບນັ ດາເມດັ ທ່ື ລີ ຽນຕດິ ຕື່ ກນັ ຕາມແຖວຊື່ ບື່ ສນິ້ ສຸດ ຕວົ ຢື່ າງ: ເພ່ື ນິ ເຄຍີ ສນັ ຍາລກັ ເສນັ້ ຊື່ ດວ້ ຍສອງວທິ ຄີ : - ວທິ ີ 1 ໃຊຕ້ ວົ ອກັ ສອນຕວົ ດຽວ ເພື່ ອຊບີ້ ອກເສນັ້ ຊ່ື ເຊ່ື ນັ : d , l ,  , ... 1

- ວທິ ີ 2 ໃຊຕ້ ວົ ອກັ ສອນສອງຕວົ ເພື່ ອຊບີ້ ອກວ່ື າ ເສນັ້ ຊື່ ນນັ້ ຜ່ື ານສອງເມດັ ດ່ື ງັ ກື່ າວເຊື່ ນັ :  AB ,  NM , CD , ... 1.3. ທ່ື ອນຊື່ ໃນຊວີ ດິ ປະຈາວນັ ເຮາົ ເຄຍີ ພນົ ເຫນັ ວດັ ຖຸທື່ ເີ ປັນລກັ ສະນະທ່ື ອນຊື່ ຢ່ື າງຫຼວງຫາຼ ຍເຊ່ື ນັ : ຂາໂຕະ, ຕື່ ງັ ນ່ື ງັ ຂອງ ນກັ ຮຽນ, ບກິ ຂຽນ, ... ນຍິ າມ: ແມ່ື ນພາກສ່ື ວນຂອງເສນັ້ ຊ່ື ທື່ ຂີ ດີ ຕື່ ລະຫວື່ າງສອງເມດັ , ຊ່ື ງຶ ສອງເມດັ ກື່ ງັ ກື່ າວເອນີ້ ວ່ື າສນົ້ ຂອງທື່ ອນຊື່ ນນັ້ ສນັ ຍາ ລກັ  AB, OM ,PS , ... ພາກສື່ ວນຂອງເສນັ້ ຊື່ ໜ່ື ງຶ , ຊ່ື ງຶ ຮູແ້ ຕື່ ສນົ້ ດຽວຂອງມນັ , ເອນ້ ວື່ າເຄ່ື ງິ ທື່ ອນຊ່ື ສນັ ຍາລກັ ດວ້ ຍ NM  ,JI  , FH  , ... ຕວົ ຢ່ື າງ :  ຈື່ ງົ ແຕມ້ ທື່ ອນຊ່ື ຕາມໃຈ  AB, OM   ຈ່ື ງົ ແຕມ້ ເຄ່ື ງິ ທື່ ອນຊ່ື NM  ,FH  1.4 ເສນັ້ ທບົ ຫກັ ໃນຊວີ ດິ ປະຈາວນັ ເຮາົ ເຄຍີ ພນົ ເຫນັ ວດັ ຖຸທ່ື ເີ ປັນລກັ ສະນະເສນັ້ ທບົ ຫກັ ຢື່ າງຫວຼ ງຫາຼ ຍເຊ່ື ນັ : ເສນັ້ ຕດັ ກນັ ລະຫວ່ື າງສອງຝາຂອງຝາຫອ້ ງຮຽນ ແລະ ພນ້ ຫອ້ ງຮຽນ, ເສນັ້ ຂອບຂອງໜາ້ ໂຕະ, ... ນຍິ າມ: ສອງເສນັ້ ເຄ່ື ງິ ທື່ ອນຊ່ື ທ່ື ມີ ສີ ນົ້ ດຽວຂອງພວກມນັ ຮື່ ວມເມດັ ດຽວກນັ ແລະ ບ່ື ຂະໜານກນັ ເອນີ້ ວື່ າເສນັ້ ທບົ ຫກັ . ຕວົ ຢື່ າງ: ຈ່ື ງົ ແຕມ້  AB , BC ຮູວ້ ່ື າ  AB ບ່ື ຂະໜານ BC 2

1.5. ເສນັ້ ຊ່ື ຕດັ ກນັ ໃນຊວີ ດິ ປະຈາວນັ ເຮາົ ເຄຍີ ພນົ ເຫນັ ວດັ ຖຸທ່ື ເີ ປັນລກັ ສະນະເສນ້ ຊື່ ຢ່ື າງຫຼວງຫຼາຍເຊື່ ນັ : ສາຍໄຟສອງເສນັ້ ຕດັ ກນັ , ເສນັ້ ທາງຊື່ ສື່ ແີ ຍກ,ຂອບຂອງເພດານຕດັ ກນັ , ... ນຍິ າມ: ເສນັ້ ຊຕ້ ດັ ກນັ ແມື່ ນສອງເສນັ້ ຊ່ື ທື່ ບີ ື່ ຂະໜານກນັ ກນັ ຕວົ ຢ່ື າງ: ຈ່ື ງົ ແຕມ້ l ບື່ ຂະໜານ d ຫຼ 1.6 ໜາ້ ພຽງ ໃນຊວີ ດິ ປະຈາວນັ ເຮາົ ເຄຍີ ພນົ ເຫນັ ວດັ ຖຸທື່ ເີ ປັນລກັ ສະນະແຜ່ື ນພຽງຢ່ື າງຫວຼ ງຫຼາຍເຊື່ ນັ : ໜາ້ ໂຕະ, ໜາ້ ກະດານ , ເພດານຫອ້ ງຮຽນ, ໜາ້ ດນິ ຮາບພຽງ, ໜາ້ ນາ້ ນອງເວລາລຽບ, ... ນຍິ າມ: ແຜ່ື ນພຽງແມື່ ນພນ້ ລຽບທ່ື ກີ ວ້ ງຂວາງຢ່ື າງບ່ື ມຂີ ອບເຂດ ເພ່ື ນິ ເຄຍສນັ ຍາລກັ ແຜື່ ນພຽງດວ້ ຍ P , ສ່ື ວນຫາຼ ຍ ເວລາແຕມ້ ແຜື່ ນພຽງເຄຍີ ແຕມ້ ເປັນຮູບສ່ື ລີ ່ື ຽມຂາ້ ງຂະໜານ ຕວົ ຢື່ າງ: ແຕມ້ ແຜ່ື ນພຽງ P 1.7 ມມູ ໃນຊວີ ດິ ປະຈາວນັ ເຮາົ ເຄຍີ ພນົ ເຫນັ ວດັ ຖຸທື່ ເີ ປັນລກັ ສະນະມມູ ຢື່ າງຫວຼ ງຫາຼ ຍເຊື່ ນັ : ກະດານມມີ ູມສາກ, ມູມ ຂອງປະຕູເລວາເປິດ, ມມູ ຂອງແຈໂຕະ, ... 3

ນຍິ າມ: ສອງເສນັ້ ຊື່ l ແລະ d ຕດັ ກນັ ຢ່ື ູເມດັ O , ພາກສື່ ວນຂອງແຜ່ື ນພຽງ ທື່ ຢີ ື່ ູລະຫວື່ າງເຄ່ື ງິ ເສນັ້ ຊື່ l ແລະ d ຊ່ື ງຶ ເລື່ ມີ ຕນົ້ ຈາກ O ເອນີ້ ວ່ື າມູມ ສນັ ຍາລກັ ອກັ ກສອນ ແລະ ເຄື່ ອງໝາຍເຊື່ ນັ : Aˆ , Bˆ , AOˆB , PNˆS , ... ຕວົ ຢື່ າງ: ຈື່ ງົ ແຕມ້ ມມູ Aˆ ແລະ AOˆB ແລະ 2. ການຄານວນກ່ື ຽວກບັ ທ່ື ອນຊື່ 2.1 ໄລຍະຫື່ າງລະຫວ່ື າງສອງເມດັ ໃນແກື່ ນຈານວນຈງິ ໃຫ້ A x1 ແລະ Bx2  ໃນແກ່ື ນຈານວນຈງິ ຈະໄດ້ AB  d  A, B  AB  x1  x2  x2  x1  x2  x1 ຕວົ ຢື່ າງ ຈື່ ງົ ຊອກໄລຍະຫ່ື າງລະຫວ່ື າງສອງເມດັ ລື່ ຸມນີ້ a. ໃຫ້ A2 ແລະ B9 b . M  48 ແລະ N  147 ແກ:້ a . ອງິ ຕາມ AB  xB  xA  2  9  2  9 ດື່ ງັ ນນັ້ AB  7 b.  ອງິ ຕາມ MN  xM  xN  48   147  163  493  4 3  7 3  11 3 ດ່ື ງັ ນນັ້ MN 11 3 4

2.2 ເມດັ ເຄ່ື ງິ ກາງຂອງສອງເມດັ ໃຫ້ A xA  ແລະ A xB  , C  xC  ເປັນເມດັ ເຄື່ ງິ ກາງ AB ເຮາົ ມ:ີ AC  CB xC  xA  xB  xC 2xc  xA  xB  xc  xA  xB 2 ຕວົ ຢ່ື າງ ໃຫ ້ A(1 1 ) ແລະ B( 4) ຈ່ື ງົ ຊອກເມດັ I ເປັນເຄງິ ກາງຂອງ AB 23 ອງິ ຕາມ: xI  xA  xB 11  4  34  98  17 2 2 3 23 12 6 2 2 2 ດ່ື ງັ ນນັ້ I  17   12  2.3 ເມດັ ແບ່ື ງທ່ື ອນຊ່ື ໃນແກນຈານວນຈງິ ກ. ອດັ ຕາສ່ື ວນທ່ື ອນຊື່ ອດັ ຕາສ່ື ວນທື່ ອນຊ່ື ແມື່ ນອດັ ຕາສ່ື ວນລະຫວ່ື າງຫວົ ໜື່ ວຍອນັ ດຽວກນັ ຕວົ ຢື່ າງ: 1. ໃຫ ້ AB  1 CD 3 2. ໃຫ ້ NM  3 SP 2 ຂ. ໃຫ ້ AxA  ແລະ B xB  ທຸກໆເມດັ C  x C  ຕາມໃຈຈະແບ່ື ງທື່ ອນຊ່ື  ABອອກເປັນອດັ ຕາສື່ ວນ AC CB 5

ຕວົ ຢ່ື າງ 1. AC  2 ຈື່ ງົ ແຕມ້ ທ່ື ອນຊ່ື ຕາມອດັ ຕາສ່ື ວນນີ້ ໂດຍວື່ າ A, B,C ຢ່ື ູເສນັ້ ຊ່ື ດຽວກນັ CB 5 ຫຼ ຕວົ ຢື່ າງ 2. ໃຫ້ A1 , B3 ແລະ C 6 ຈ່ື ງົ ຊອກອດັ ຕາສື່ ວນ AC CB ແກ ້ : AC  xC  xA  61  5 CB xC  xb 63 3 ດື່ ງັ ນນັ້ AC  5 CB 3 ກດິ ຈະກາ 1. ໃຫ້ N 4 , M 8 ແລະ I 1 ຈື່ ງົ ຊອກອດັ ຕາສ່ື ວນ MI IN 2. ໃຫ້ A3 , B4 ແລະ C 5 ຈ່ື ງົ ຊອກອດັ ຕາສື່ ວນ AC CB ຕວົ ຢື່ າງ 3. ຈື່ ງົ ຊອກຕວົ ປະສານຂອງເມດັ C ທື່ ຢີ ່ື ູຫວ່ື າງ A2 ແລະ B14 ຮູວ້ ່ື າ AC  1 CB 3 ຈາກ AC  1  3AC  CB CB 3  3AC  CB 3 xC  xA   xB  xC 3xC  3xA  xB  xC 4xC  3xA  xB 4xC  32 14 4xC  20  xC  5 6

ດ່ື ງັ ນນັ້ xC  5 ກດິ ຈະກາ 1. ຈ່ື ງົ ຊອກຕວົ ປະສານຂອງເມດັ I ທ່ື ຢີ ່ື ູນອກທ່ື ອນຊ່ື MN , M 4 , N 2 ຮູວ້ ື່ າ MI  4IN 2. ຈື່ ງົ ຊອກຕວົ ປະສານຂອງເມດັ K ທ່ື ຢີ ື່ ູນອກທ່ື ອນຊື່ PS , P 3 , N 7 ຮູວ້ ່ື າ PK  2 KS 5 3. ການຄານວນກ່ື ຽວກບັ ມມູ 3.1 ມມູ ພເິ ສດ - ມມູ ສູນ   0 - ມມູ ແຫມຼ 0    90 - ມຸມສາກ   90 - ມູມຫວາ 90    180 - ມມູ ພຽງ   180 - ມມູ ສວດ 180    270 - ມມູ ຫງວ້ ມ 270    360 - ມມູ ເຕມັ 360 3.2 ມມູ ເທື່ າົ ກນັ - ມມູ ຂາ້ ມຈອມ ເຮາົ ໄດ້ 1ˆ  3ˆ ແລະ 2ˆ  4ˆ - ມູມສະຫຼບັ ນອກ 7

ເຮາົ ໄດ້ 1ˆ  3ˆ ແລະ 2ˆ  4ˆ - ມມູ ສະຫຼບັ ໃນ ເຮາົ ໄດ້ 1ˆ  3ˆ ແລະ 2ˆ  4ˆ - ມູມຊອ້ ນຂະໜານ ເຮາົ ໄດ້ 1ˆ  4ˆ ແລະ 2ˆ  3ˆ ຕວົ ຢື່ າງ 1. ຈ່ື ງົ ຊອກຄ່ື າຂອງ x ຕາມຮູບແຕມ້ ລ່ື ຸມນີ້ 1ˆ  40  180 ເຊື່ ງິ ວ່ື າ 1ˆ  x x  40  180 x  180  40 ດ່ື ງັ ນນັ້ x  140 ກດິ ຈະກາ 1. ຈື່ ງົ ຊອກຫາ ADˆ C ຕາມຮູບລື່ ຸມນີ້ 8

2. ໃຫ ້ BO ເປັນເສນັ້ ແບ່ື ງເຄ່ື ງິ ມູມ ABˆC ແລະ CO ເປັນເສນັ້ ແບື່ ງເຄື່ ງິ ມູມ ACˆB ຈ່ື ງົ ຊອກຫາມູມສວດ BOˆC ຮູວ້ ່ື າ Aˆ 100 ຕວົ ຢ່ື າງ 2. ຈື່ ງົ ຊອກຜນົ ບວກມມູ ໃນ ແລະ ມມູ ນອກຂອງຮູບສາມແຈ  ຜນົ ບວກມູມໃນຂອງຮູບສາມແຈ ຈະໄດ້ Aˆ  Bˆ  Cˆ  Aˆ  Aˆ1  Aˆ2 ເພາະວ່ື າ Bˆ  Aˆ1 , Bˆ  Aˆ2 Aˆ  Bˆ  Cˆ 180 ເຊ່ື ງິ ວ່ື າ Aˆ  Aˆ1  Aˆ2 ປະກອບເປັນມມູ ພຽງ ດື່ ງັ ນນັ້ Aˆ  Bˆ  Cˆ 180  ຜນົ ບວກມູມນອກຂອງຮູບສາມແຈ ເຮາົ ມ:ີ Aˆ  Aˆ1  Bˆ  Bˆ1  Cˆ  Cˆ1 180 Aˆ  Aˆ1  Bˆ  Bˆ1  Cˆ  Cˆ1  3180  Aˆ1  Bˆ1  Cˆ1  3180  Aˆ  Bˆ  Cˆ Aˆ1  Bˆ1  Cˆ1  540 180 Aˆ1  Bˆ1  Cˆ1  360 ກດິ ຈະກາ 1: 1. ຈື່ ງົ ຊອກຜນົ ບວກມມູ ໃນ ແລະ ມມູ ນອກຂອງຮູບສ່ື ແີ ຈ 2. ຈື່ ງົ ຊອກຜນົ ບວກມມູ ໃນ ແລະ ມມູ ນອກຂອງຮູບຫາ້ ແຈ 9

3. ຈື່ ງົ ຊອກຜນົ ບວກມູມໃນ ແລະ ມມູ ນອກຂອງຮູບຫກົ ແຈ 4. ຈ່ື ງົ ຊອກຜນົ ບວກມູມໃນ ແລະ ມູມນອກຂອງຮູບ n ແຈ ກດິ ຈະກາ 2: 1. ຈື່ ງົ ຊອກເສນັ້ ເນື່ ງັ ຈອມຂອງຮູບ 4 ແຈມຈີ ກັ ເສນັ້ 2. ຈື່ ງົ ຊອກເສນັ້ ເນ່ື ງັ ຈອມຂອງຮູບ 5 ແຈມຈີ ກັ ເສນັ້ 3. ຈື່ ງົ ຊອກເສນັ້ ເນື່ ງັ ຈອມຂອງຮູບ 6 ແຈມຈີ ກັ ເສນັ້ 4. ຈ່ື ງົ ຊອກເສນັ້ ເນື່ ງັ ຈອມຂອງຮູບ 7 ແຈມຈີ ກັ ເສນັ້ 5. ຈ່ື ງົ ຊອກເສນັ້ ເນ່ື ງັ ຈອມຂອງຮູບ n ແຈມຈີ ກັ ເສນັ້ 1. ຈ່ື ງົ ຊອກລວງຍາວຂອງທ່ື ອນຊ່ື ລ່ື ຸມນີ້ ບດົ ເຝິກຫດັ a. A2 ແລະ B4 d . M log3 243 ແລະ N log4 1024 b . P  2  ແລະ S  32  e. I 1 1  ແລະ O  3  8   4  C . F 125 ແລະ E 625 F . k  192 ແລະ R 243 2. 3 ເມດັ ບ່ື ລຽນຊ່ື ກນັ ,ຖາມວ່ື າມຈີ ກັ ເສນັ້ ຊ່ື ? 3. 4 ເມດັ ບື່ ລຽນຊ່ື ກນັ ມຈີ ກັ ເສນັ້ ຊ່ື ? 4. 5 ເມດັ ບື່ ລຽນຊື່ ກນັ ມຈີ ກັ ເສນັ້ ຊື່ ? 5. 6 ເມດັ ບື່ ລຽນຊື່ ກນັ ຈະໄດຈ້ ກັ ເສນັ້ ຊື່ ? 6. ຈ່ື ງົ ຊອກລວງຍາວຂອງທື່ ອນຊ່ື ລື່ ຸມນີ້ 7. ໃຫ້ A2 , B8 ແລະ C 6 ຈ່ື ງົ ຊອກຫາອດັ ຕາສື່ ວນ AC CB 8. ໃຫ້ M 6 , N 2 ແລະ I 4 ຈື່ ງົ ຊອກຫາອດັ ຕາສື່ ວນ MI IN 9. ຈ່ື ງົ ຊອກຕວົ ປະສານຂອງເມດັ C ທ່ື ຢີ ່ື ູລະຫວື່ າງ A4 ແລະ B8 ຮູວ້ ່ື າ CB  2AC 10. ຈື່ ງົ ຊອກຕວົ ປະສານຂອງເມດັ I ທື່ ຢີ ່ື ູນອກ M 1 ແລະ N 9 ຮູວ້ ່ື າ IM  1 NI 5 10

11. ຈື່ ງົ ຊອກຕວົ ປະສານຂອງເມດັ I ທ່ື ຢີ ື່ ູນອກທ່ື ອນຊື່  AB, A3 , B6 ຮູວ້ ່ື າ AI  2 IB 5      12. ໃຫ້ A 8 , B 18 ແລະ C 2 ຈື່ ງົ ຊອກຫາອດັ ຕາສື່ ວນ AC CB 13. ໃຫ້ A3 , B1 ແລະ C 3 ຈ່ື ງົ ຊອກຫາອດັ ຕາສື່ ວນ AC CB 14. ຈ່ື ງົ ຊອກຕວົ ປະສານຂອງເມດັ C ທ່ື ຢີ ່ື ູລະຫວື່ າງ A2 ແລະ B 4 ຮູວ້ ່ື າ CB  2 AC 3 15. ຈ່ື ງົ ຊອກຕວົ ປະສານຂອງເມດັ I ທື່ ຢີ ່ື ູນອກ M 3 ແລະ N 6 ຮູວ້ ື່ າ IB  1 AI 3 16. ຈ່ື ງົ ຊອກຕວົ ປະສານຂອງເມດັ C ທ່ື ຢີ ື່ ູລະຫວ່ື າງ A2 ແລະ B 6 ຮູວ້ ື່ າ CB  1 AC 4 17. ຈື່ ງົ ຊອກຕວົ ປະສານຂອງເມດັ I ທື່ ຢີ ່ື ູນອກ M 0 ແລະ N 7 ຮູວ້ ່ື າ IB  4 AI 3    18. ຈື່ ງົ ຊອກຕວົ ປະສານຂອງເມດັ C ທື່ ຢີ ື່ ູລະຫວື່ າງ A  2 ແລະ B 32 ຮູວ້ ື່ າ CB  5 AC 3    19. ຈ່ື ງົ ຊອກຕວົ ປະສານຂອງເມດັ I ທ່ື ຢີ ່ື ູນອກ M 3 ແລະ N 27 ຮູວ້ ່ື າ IB  2 AI 5 20. ໃຫ້  AB 12cm ແລະ ເມດັ C ແມ່ື ນເມດັ ໜ່ື ງຶ ທື່ ຢີ ື່ ູໃນເສນັ້ ຊື່ AB ເຊື່ ງິ ຖກຕອ້ ງກບັ ເງ່ືນຶ ໄຂ AC  5 ຈ່ື ງົ BC 7 ຊອກຫາບນັ ດາທ່ື ອນຊ່ື CO , CB , AC , CB ແລະ OB ເຊ່ື ງິ ວ່ື າ O ແມື່ ນເມດັ ໃຈກາງຂອງ AB 21. ໃຫ ້ AO ເປັນເສນັ້ ແບ່ື ງເຄ່ື ງິ ມມູ BAˆC ແລະ CO ເປັນເສນັ້ ແບ່ື ງເຄ່ື ງິ ມມູ ACˆB ຈື່ ງົ ຊອກຫາມູມຫວາ AOˆC ຮູວ້ ື່ າ Bˆ  80 22. ໃຫຮ້ ູບສາມແຈ ABC ເຊ່ື ງິ ວ່ື າ AB  AC ຮູວ້ ່ື າມມູ Aˆ  70 ຈ່ື ງົ ຊອກມູມ Bˆ ແລະ ມູມນອກຂອງມຸມ Cˆ 23. ໃຫ ້ AO ເປັນເສນັ້ ແບ່ື ງເຄ່ື ງິ ມມູ BAˆC ແລະ CO ເປັນເສນັ້ ແບ່ື ງເຄື່ ງິ ມມູ ACˆB ຈ່ື ງົ ຊອກຫາມມູ ສວດ AOˆC ຮູວ້ ື່ າ Bˆ  80  24. ໃຫຮ້ ູບສາມແຈ ABC ເຊື່ ງິ ວ່ື າ BAˆ C  30 , ABˆC  25 ແລະ AC  AD , D  AB ຈ່ື ງົ ຊອກຫາ BCˆD 25. ໃຫຮ້ ູບສາມແຈ ABC ເຊ່ື ງິ ວື່ າ AB  BC ຮູວ້ ່ື າມູມ Bˆ  70 ຈື່ ງົ ຊອກມມູ Cˆ ແລະ ມູມນອກຂອງມຸມ Aˆ 26. ໃຫ ້ AO ເປັນເສນັ້ ແບື່ ງເຄ່ື ງິ ມູມ BAˆC ແລະ CO ເປັນເສນັ້ ແບື່ ງເຄື່ ງິ ມູມ ACˆB ຈື່ ງົ ຊອກຫາມມູ ສວດ 11

AOˆC ຮູວ້ ່ື າ Bˆ 120 27. ໃຫຮ້ ູບສາມແຈ ABC ເຊື່ ງິ ວື່ າ AB  BC ຮູວ້ ື່ າມມູ Bˆ 110 ຈື່ ງົ ຊອກມູມ Cˆ ແລະ ມູມນອກຂອງມຸມ Aˆ 28. ໃຫຮ້ ູບສາມແຈ ABC ເຊ່ື ງິ ວ່ື າ AB  BC ຮູວ້ ່ື າມູມ Bˆ  75 ຈ່ື ງົ ຊອກມມູ Cˆ ແລະ ມູມນອກຂອງມຸມ Aˆ 29. ໃຫ ້ AO ເປັນເສນັ້ ແບ່ື ງເຄື່ ງິ ມມູ BAˆC ແລະ CO ເປັນເສນັ້ ແບື່ ງເຄ່ື ງິ ມູມ ACˆB ຈື່ ງົ ຊອກຫາມມູ ຫວາ AOˆC ຮູວ້ ື່ າ Bˆ 110 30. ຈ່ື ງົ ຊອກ ACˆD ? ຕາມຮູບແຕມ້ ລ່ື ຸມນີ້ 31. ຈື່ ງົ ຊອກມູມ C C 30 32. ຈ່ື ງົ ຊອກມຸມ C 66 B B 10 10 103, 6 33. ຈື່ ງົ ຊອກມຸມນອກ ACD? A 75 61 C B D 12

34. ໃຫຮ້ ູບສາມແຈ ABC ເປັນມູມສາກ ແລະ AD  BD  CDຈື່ ງົ ຊອກຫາມຸມ ADB? A 40 BC 1. ໃຫ້ BAC  30,CBA  25 ແລະ ຂາ້ ງ AC  AD , ຈື່ ງົ ຊອກຫາຂະໜາດຂອງມຸມ BCD? B 25 30 C A 36. ໃຫ ້ ( AB) // (DE) . (FG) ເປັນເສນັ້ ແບື່ ງເຄື່ ງີ ມຸມ CFE ແລະ (CG) ເປັນເສນັ້ ແບ່ື ງເຄື່ ງີ ມຸມ FCB . ຈື່ ງົ ຊອກມຸມ FGC ? 37. ໃຫຮ້ ູບສາມແຈ ABC ເຊື່ ງິ ວື່ າ AB  BC ຮູວ້ ່ື າມູມ Bˆ  80 ຈື່ ງົ ຊອກມມູ Cˆ ແລະ ມມູ ນອກຂອງມຸມ Aˆ 38. ໃຫຮ້ ູບສາມແຈ ABC ເຊ່ື ງິ ວ່ື າ AB  BC ຮູວ້ ື່ າມູມ Bˆ 120 ຈື່ ງົ ຊອກມູມ Cˆ ແລະ ມູມນອກຂອງມຸມ Aˆ 39. ໃຫຮ້ ູບສາມແຈ ABC ເຊື່ ງິ ວື່ າ AB  BC ຮູວ້ ື່ າມູມ Bˆ 140 ຈື່ ງົ ຊອກມມູ Cˆ ແລະ ມມູ ນອກຂອງມຸມ Aˆ 40. ໃຫພ້ ສິ ູດວື່ າ: 1ˆ  2ˆ  3ˆ  4ˆ 4 2 1 3 13

ບດົ ທີ 2 ການຄດິ ໄລື່ ເນອ້ ທ່ື ີ ແລະ ລວງຮອບຂອງຮູບເລຂາຄະນດິ ໜາ້ ພຽງ 1. ຮູບສາມແຈ 1.1 . ນຍິ າມ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະ ຮູບສາມແຈແມ່ື ນຮູບທ່ື ມີ ຜີ ນົ ບວກສາມມູມໃນເທື່ າົ ກບັ 180 1.2. ຫກຼັ ເກນ ແລະ ຜນົ ເນື່ ອງ ເນອ້ ທ່ື ຂີ ອງຮູບສາມແຈເທ່ື າົ ເຄ່ື ງິ ໜ່ື ງຶ ຂອງຜນົ ຄູນລະຫວ່ື າງພນ້ ກບັ ລວສງສູງ 1.3 ເນອ້ ທື່ ີ ແລະ ລວງຮອບ ກລະນີ 1 ສູດການນາໃຊ:້ s  BC  h 2 P  AB  BC  AC h ແມື່ ນ ລວງສູງ BC ແມ່ື ນ ຂາ້ ງພນ້ ຫຼ S  PP  aP  bP  C ເຊື່ ງິ ວ່ື າ P  a  b  c 2 ຕວົ ຢ່ື າງ1: ໃຫຮ້ ູບສາມແຈ ABC ທື່ ມີ ເີ ນອ້ ທ່ື ແີ ມ່ື ນ 60 cm2 , BC= 15 cm. ຈື່ ງົ ຊອກຫາ: - ລວງສູງ AH ຂອງຮູບສາມແຈດື່ ງັ ກ່ື າວ. - ເນອ້ ທ່ື ຂີ ອງ MBC ,ຮູວ້ ື່ າ M ເປັນເມດັ ເຄື່ ງີ ກາງຂອງ AH. ວທິ ແີ ກ:້ A M ເຮາົ ມ:ີ S  60cm2 BC= 15 cm AM = MH BC - ຊອກຫາ H AH =? ຈາກສູດເນອ້ ທື່ ີ s  BC  AH ລວງສູງ 2 60  15  AH  120  15  AH  AH  120  8cm 2 15 14

ເຮາົ ໄດ້ ລວງສູງຂອງຮູບ ABC ແມື່ ນ AH  8cm . - ຊອກເນອ້ ທ່ື ີ ຮູບ MBC ຈາກຮູບສາມແຈ MBC ຈະໄດ້ S  BC  MH ( 1 ). 2 - ຊອກ MH = ? ຈະໄດ້ AH  AM  MH ເຊ່ື ງິ ວ່ື າ: AM  MH AH  2MH  MH  AH  8  4 cm 22 ເຮາົ ໄດ້ MH  4 cm . ແທນໃສ່ື (1 ) ຈະໄດ ້ S  BC  MH  15  4  30 cm2 22 ດ່ື ງັ ນນັ້ , ເນອ້ ທ່ື ຂີ ອງຮູບ MBC ແມ່ື ນ 30 cm2 . ຕວົ ຢື່ າງ2: ໃຫຮ້ ູບສາມແຈສະເໝີ ທື່ ມີ ຂີ າ້ ງເທື່ າົ 5 cm ,ລວງສູງເທ່ື າົ 4 cm. ຈື່ ງົ ຊອກຫາເນອ້ ທື່ ີ ແລະ ລວງຮອບຂອງຮູ ບສາມແຈດື່ ງັ ກ່ື າວ. ວທິ ແີ ກ:້ a h ຮູວ້ ່ື າ: h= 4 cm , a= 5 cm - ຊອກຫາເນອ້ ທ່ື ີ s = ? ສູດ s  BC  AB 2 ຈະໄດ ້ s  5  4  20  10 cm2 22 s 10cm2 - ຊອກຫາລວງຮອບ p= .? ຈະໄດ້ p  a  a  a  5  5  5  15cm p  15 cm ກລະນີ 2 ການພວົ ພນັ ໄຕມມູ ມຕິ ໃິ ນຮູບສາມແຈສາກ 15

ຕວົ ຢ່ື າງ3: ໃຫຮ້ ູບສາມແຈສາກ ABC ສາກຢ່ື ູມຸມ A , ຮູວ້ ື່ າຂາ້ ງ AB= 4 cm ແລະ ມຸມ   45 .ຈື່ ງົ ຄດິ ໄລື່ ຂາ້ ງ AC , BC. ວທິ ແີ ກ:້ B ເຮາົ ມ:ີ AB= 4 cm   45 ຊອກຫາ ຂາ້ ງ BC=? ຈາກ sin   AB BC AC sin   AB  BC  AB  4  4 8 8 2 4 2 cm BC sin  sin 45 2 22 2 ດື່ ງັ ນນັ້ , ຂາ້ ງ BC= 4 2 cm . - ຊອກຂາ້ ງ AC=? ຈາກ cos  AC  AC  cos  BC  cos 45  4 2  2  4 2  2 4  4 cm BC 2 ດື່ ງັ ນນັ້ , ຂາ້ ງ AC= 4 cm. 2. ຮູບຈະຕຸລດັ 2.1 . ນຍິ າມ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະ ຮູບຈະຕຸລດັ ແມື່ ນຮູບທື່ ມີ ທີ ຸກໆມຸມເທື່ າົ ກນັ ເປັນມຸມ 90 , ຂາ້ ງເຊ່ື ງິ ໜາ້ ຂະໜານກນັ ແລະ ທຸກໆຂາ້ ງເທ່ື າົ ກນັ . 2.2. ຫກຼັ ເກນ ແລະ ຜນົ ເນ່ື ອງ ເນອ້ ທື່ ຂີ ອງຮູບຈະຕຸລດັ ເທື່ າົ ຜນົ ຄນູ ລະຫວື່ າງຂາ້ ງກບັ ຂາ້ ງ 2.3 ເນອ້ ທ່ື ີ ແລະ ລວງຮອບ ສູດການນາໃຊ:້ s  a  a  a2 AB p  a  a  a  a  4a a S ແມ່ື ນ ເນອ້ ທ່ື ີ P ແມື່ ນ ລວງຮອບ DC a ແມື່ ນ ຂາ້ ງ a 16

ຕວົ ຢື່ າງ1: ຮູບຈະຕຸລດັ ໜື່ ງຶ ທື່ ມີ ຂີ າ້ ງ 5 cm ຈື່ ງົ ຊອກຫາ ເນອ້ ທີ ແລະ ລວງຮອບຂອງຮູບຈະຕຸລດັ ດື່ ງັ ກື່ າວ.? ວທິ ແີ ກ:້ ສູດເນອ້ ທ່ື ີ s  a  a  a2 ເຮາົ ມ:ີ a= 5 cm s  5  5  25cm2 5 cm s  25cm2 ສູດລວງຮອບ: p  a  a  a  a  4a ຈະໄດ ້ p  4  4  4  4  20cm ຫຼ p  4  5  20 cm ດື່ ງັ ນນັ້ s  25cm2 ແລະ p  20 cm ຕວົ ຢື່ າງ2: ໃຫຮ້ ູບຈະຕຸລດັ ໜື່ ງຶ ທ່ື ມີ ີ ເນອ້ ທື່ ີ ເທ່ື າົ ກບັ 49 cm2 . ຈື່ ງົ ຄດິ ໄລ່ື ຂາ້ ງ ແລະ ເສນັ້ ເນນັ້ ຈອ້ ມ. ວທິ ແີ ກ:້ ເຮາົ ມ:ີ s  49cm2 d ສູດເນອ້ ທື່ :ີ s  a 2 ຈະໄດ້ 49  a2  a2  49  a2  49  7cm a a  7 cm ເຮາົ ສາມາດຊອກເສນັ້ ເນນັ້ ຈອ້ ມໄດດ້ ື່ ງັ ນ:ີ້ ເຮາົ ມ:ີ d 2  a2  a2  2a2  d 2  272  d 2  2.72 d  7 2 cm ດື່ ງັ ນນັ້ , ເຮາົ ໄດ້ a  7 cm ແລະ d  7 2 cm 3. ຮູບສ່ື ແີ ຈສາກ 3.1 . ນຍິ າມ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະ ຮູບສ່ື ແີ ຈສາກແມ່ື ນຮູບທື່ ມີ ີ 4 ມຸມສາກ, ຂາ້ ງເຊ່ື ງິ ໜາ້ ຂະໜານກນັ ແລະ ເທ່ື າົ ກນັ ຕາມແຕື່ ລະຄື່ ູ, ເສນັ້ ເນ່ື ງັ ຈອມມລີ ວງຍາວເທື່ າົ ກນັ ແລະ ຕດັ ກນັ ຢ່ື ູເມດັ ເຄ່ື ງິ ກາງຂອງພວກມນັ . 3.2. ຫກຼັ ເກນ ແລະ ຜນົ ເນື່ ອງ ເນອ້ ທື່ ຂີ ອງຮູບສແີ ຈສາກເທື່ າົ ຜນົ ຄູນລະຫວ່ື າງລວງຍາວກບັ ລວງກວາ້ ງ 3.3 ເນອ້ ທື່ ີ ແລະ ລວງຮອບ ສູດການນາໃຊ:້ s  a  b 17

p  2a  b A B S ແມ່ື ນ ເນອ້ ທື່ ີ d P ແມ່ື ນ ລວງຮອບ a a ແມ່ື ນ ລວງກວາ້ ງ ແລະ b ແມື່ ນລວງຍາວ Db C ຕວົ ຢ່ື າງ1: ສື່ ວນຕອນໜ່ື ງຶ ເປັນຮູຍສ່ື ແີ ຈສາກ ລວງຍາວແທກໄດ້ 50 m ແລະ ລວງກວາ້ ງແທກໄດ້ 30 m ຈ່ື ງົ ຊອກຫາເນອ້ ທຂີ ອງສື່ ວນຕອນດື່ ງັ ກ່ື າວ.? ແກ:້ ສງັ ເກດຈາກຮູບຂາ້ ງເທງິ ເຮາົ ສາມາດຄດິ ໄລື່ ເນອ້ ທ່ື ດີ ື່ ງັ ລ່ື ຸມນີ້ ເຮາົ ມ:ີ a  30 m ແມື່ ນ ລວງກວາ້ ງ b  50 m ແມື່ ນ ລວງຍາວ ຈາກສູດ s  a  b ຈະໄດ້ S  30m50m ດື່ ງັ ນນັ້ , ເນອ້ ທ່ື ີ s 1500 m2 ຕວົ ຢື່ າງ2: ໃຫຮ້ ູບສື່ ແີ ຈສາກທື່ ມີ ີ ລວງຮອບເທ່ື າົ 40 cm. ຈ່ື ງົ ຊອກຫາ ລວງຍາວ ແລະ ລວງກວາ້ ງ ດ່ື ງັ ລ່ື ຸມນ:ີ້ ວທິ ແີ ກ:້ ເຮາົ ມີ p  40 cm a  x2 b x8 ຈາກສູດ p  2a  b ຈະໄດ້ 40  2x  8 x  2 40  2x  10  2x  20 10  x  10  5 cm 22 x  5cm ເຮາົ ຈະໄດ ້ a  5  2  7 cm  a  7 cm ແລະ b  13  8  13  b  13cm ດງັ້ ນນັ້ , ລວງຍາວເທື່ າົ 13cm ແລະ ລວງກວາ້ ງເທ່ື າົ 7 cm . 18

4. ຮູບສື່ ຂີ າ້ ງຂະໜານ 4.1 . ນຍິ າມ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະ ຮູບສື່ ແີ ຈຂາ້ ງຂະໜານແມື່ ນຮູບທື່ ມີ ຂີ າ້ ງເຊື່ ງິ ໜາ້ ຂະໜານກນັ ແລະ ເທື່ າົ ກນັ ຕາມແຕ່ື ລະຄ່ື ູ, ມູມເຊ່ື ງິ ໜາ້ ກນັ ເທ່ື າົ ກນັ , ສອງມຸມໃນຖັດກນັ ເປັນມຸມຄບົ ພຽງ, ເສນັ້ ເນ່ື ງັ ຈອມມລີ ວງຍາວບື່ ເທ່ື ົາກນັ ແລະ ຕັດກນັ ຢື່ ູເມດັ ເຄ່ື ງິ ກາງຂອງແຕື່ ລະເສນັ້ . 4.2. ຫກຼັ ເກນ ແລະ ຜນົ ເນ່ື ອງ ເນອ້ ທ່ື ຂີ ອງຮູບສ່ື ແີ ຈຂາ້ ງຂະໜານເທ່ື າົ ຜນົ ຄນູ ລະຫວ່ື າງລວງຍາວພນ້ ກບັ ລວງສູງ 4.3. ເນອ້ ທ່ື ີ ແລະ ລວງຮອບ AB ສູດການນາໃຊ:້ s  a  h hb b p  2a  b S ແມ່ື ນ ເນອ້ ທື່ ີ D C P ແມື່ ນ ລວງຮອບ a aແມ່ື ນ ຂາ້ ງພນ້ ລວງຍາວ b ແມານ ລວງກວາ້ ງ ຕວົ ຢ່ື າງ1: ໃນຮູບສື່ ແີ ຈຂາ້ ງຂະໜານ ABCD ເຊ່ື ງິ AB= 20 cm , AD= 10 cm ແລະ AH= 5 cm. ຈື່ ງົ ຊອກຫາເນອ້ ທື່ ີ ແລະ ລວງຮອບຂອງຮູບສ່ື ແີ ຈຂາ້ ງຂະໜານດ່ື ງັ ກື່ າວ. ວທິ ແີ ກ:້ A B DH C ເຮາົ ມ:ີ AB= 20 cm , AD= 10 cm ແລະ AH= 5 cm. ຈາກສູດ: s  a  h ຈະໄດເ້ ນອ້ ທື່ ີ s  20500cm2  s  100cm2 ຊອກຫາລວງຮອບ: P  2a  b  220cm 10cm  60cm ດ່ື ງັ ນນັ້ , ເນອ້ ທື່ ຂີ ອງຮູບສ່ື ແີ ຈຂາ້ ງຂະໜານແມ່ື ນ: 100m2 ແລະ ລວງຮອບແມື່ ນ 60cm . 19

ຕວົ ຢ່ື າງ2: ໃຫຮ້ ູບສື່ ແີ ຈຂາ້ ງຂະໜານໜື່ ງຶ ທ່ື ມີ ີ ເນອ້ ທື່ ເີ ທ່ື າົ 50 cm2 ,ຮູວ້ ື່ າລວງສູງເທື່ າົ 5cm . ຈື່ ງົ ຊອກຫາລວງຍາວ. ວທິ ແີ ກ:້ h = 5 cm s 50cm2 ຈາກສູດເນອ້ ທ່ື ີ s  a  h - ຊອກຫາລວງຍາວ a=? ຈະໄດ ້ 50  a  5  a  50  10 cm  a 10 cm 5 ດື່ ງັ ນນັ້ , ລວງຍາວແມື່ ນ: 10 cm . 5. ຮູບດອກຈນັ 5.1 . ນຍິ າມ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະ ຮູບດອກຈນັ ແມື່ ນຮູບທື່ ມີ ີ 4 ຂາ້ ງເທ່ື າົ ກນັ , ຂາ້ ງເຊື່ ງິ ໜາ້ ຂະໜານກນັ ແລະ ເທ່ື າົ ກນັ ຕາມແຕື່ ລະຄ່ື ູ, ເສນັ້ ເນື່ ງັ ຈອມເປັນເສນັ້ ແບ່ື ງເຄ່ື ງິ ມຸມ, ເສນັ້ ເນື່ ງັ ຈອມຕງັ້ ສາກກນັ ແລະ ຕດັ ກນັ ຢ່ື ູເມດັ ເຄ່ື ງິ ກາງຂອງແຕ່ື ລະເສນັ້ . 5.2. ຫກຼັ ເກນ ແລະ ຜນົ ເນ່ື ອງ ເນອ້ ທື່ ຂີ ອງຮູບດອກຈນັ ເທ່ື າົ ຜນົ ຄູນລະຫວື່ າງສອງເສນັ້ ເນື່ ງັ ຈອມ. 5.3 . ເນອ້ ທື່ ີ ແລະ ລວງຮອບ ສູດການນາໃຊ:້ s  AC  BD A 2 P  AB  BC  CD  AD AC ແມ່ື ນ ເສນັ້ ເນນັ້ ຈອມ D B BD ແມ່ື ນ ເສນັ້ ເນນັ້ ຈອມ S ແມື່ ນ ເນອ້ ທ່ື ີ P ແມ່ື ນ ລວງຮອບ C ຕວົ ຢື່ າງ7: ໃຫຮ້ ູບດອກຈນັ ABCD ,ຮູວ້ ່ື າ ເສນັ້ ເນນັ້ ຈອມ AC= 20 cm ແລະ BD= 12 cm. ຈື່ ງົ ຊອກຫານອ້ ທື່ ຂີ ອງຮູບດອກຈນັ ດ່ື ງັ ກື່ າວ. ວທິ ແີ ກ:້ AC= 20 cm ແລະ BD= 12 cm. ຈາກສູດ s  AC  BD 2 ຈະໄດ ້ s  AC  BD  20 12  120 cm2 22 20

ດື່ ງັ ນນັ້ ,ເນອ້ ທ່ື ຂີ ອງຮູບດອກຈນັ ແມ່ື ນ: 120 cm2 6. ຮູ ບຄາງໝູ 6.1 . ນຍິ າມ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະ ຮູບຄາງໝແູ ມ່ື ນຮູບສ່ື ແີ ຈທື່ ມີ ສີ ອງຂາ້ ງຂະໜານກນັ ສອງຂາ້ ງດ່ື ງັ ກື່ າວເອນີ້ ວ່ື າພນ້ . 6.2. ຫກຼັ ເກນ ແລະ ຜນົ ເນື່ ອງ ເນອ້ ທື່ ຂີ ອງຄາງໝເູ ທື່ າົ ເຄ່ື ງິ ໜື່ ງຶ ຜນົ ຄູນລະຫວື່ າງພນ້ ໃຫຍື່ ບວກພນ້ ນອ້ ຍ ກບັ ລວງສູງ 6.3. ເນອ້ ທ່ື ີ ແລະ ລວງຮອບ b s  b  B h A ສູ ດກBານນາໃຊ້ : 2 p  AB  BC  CD  AD h B ແມ່ ນພ້ ນໃຫຍ່ bແມ່ ນພ້ ນນ້ ອຍ D C ຕວົ ຢື່ າງ1: ໃຫຮ້ ູບຄາງໝBູສາກ ດື່ ງັ ຮູບລ່ື ຸມນ:ີ້ A 180ccmm B 4 cm C D 15 cm H ຈ່ື ງົ ຊອກຫາ ຂາ້ ງ HC ແລະ ເນອ້ ທື່ ຂີ ອງຮູບຄາງໝູ ABCD. ວທິ ແີ ກ:້ ເຮາົ ມີ AB = 10 cm / AB=DH AD = BH = 4 cm CD = 15 cm - ຊອກຫາ BH=? ຈະໄດ້ CD=DH+HC 15 = 10+HC ເຮາົ ໄດ້ ຂາ້ ງ HC= 5 cm 21

- ຊອກເນອ້ ທື່ ີ s  b  B h ຈະໄດ້ s  10  15 4  25  2  50 cm2 22 ເຮາົ ໄດ້ ເນອ້ ທ່ື ຂີ ອງຮູບຄາງໝູແມ່ື ນ: 50 cm2 ຕວົ ຢື່ າງ2: ໃຫຮ້ ູບຄາງໝໜູ ື່ ງຶ ທື່ ມີ ພີ ນ້ ໃຫຍື່ ເທື່ າົ 2ເທື່ ອຂອງພນ້ ນອ້ ຍ,ຮູວ້ ່ື າພນ້ ນອ້ ຍເທື່ າົ 8 cm. ແລະ ມລີ ວງສູງເທ່ື າົ 6 cm. ຈື່ ງົ ຊອກຫາເນອ້ ທ່ື ີ ຂອງຮູບດື່ ງັ ກ່ື າວ ວທິ ແີ ກ:້ b ຮູວ້ ່ື າ: b= 8 cm h h= 7 cm B B=2b ( ພນ້ ໃຫຍື່ ເທື່ າົ 2ເທື່ ອຂອງພນ້ ນອ້ ຍ ) ຈະໄດພ້ ນ້ ໃຫຍື່ B=2 x 8 =16 cm ຈາກສູດ: s  b  B h 2 - ຊອກຫາເນອ້ ທື່ ີ s = ? ຈະໄດ້ s  8  16 6  24 3  72 cm2 2 ດື່ ງັ ນນັ້ s  72cm2 . 7. ຮູ ບວົ ງມົ ນ 7.1 . ນຍິ າມ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະ ວງົ ມນົ ໝາຍເຖງິ ມເີ ມດັ ໜື່ ງຶ ທ່ື ປີ ່ື ິນອອ້ ມ ອກີ ເມດັ ໜ່ື ງຶ ທື່ ໃີ ຫມ້ າກ່ື ອນເຊ່ື ງິ ຮກັ ສາໄລຍະຫື່ າງສະເໝີ ເມດັ ດ່ື ງັ ກື່ າວ ເອນີ້ ວື່ າເມດັ ໃຈກາງ ຂອງວງົ ມນົ , ຈດຸ ເຄື່ ອນຕາມເສນັ້ ຮອບໃດໜ່ື ງຶ ເສນັ້ ຮອບດື່ ງັ ກື່ າວເອນີ້ ວື່ າວງົ ມນົ ແລະ ສ່ື ວນໄລຍະ ຫ່ື າງດື່ ງັ ກື່ າວນນັ້ ເອນີ້ ວື່ າລດັ ສະໝຂີ ອງວງົ ມນົ . 7.2. ຫກຼັ ເກນ ແລະ ຜນົ ເນື່ ອງ ເນອ້ ທ່ື ຂີ ອງຮູບວງົ ມນົ ເທື່ າົ ຜນົ ຄູນລະຫວ່ື າງເຄ່ື ງິ ລວງຮອບວງົ ມນົ ກບັ ລດັ ສະໝ.ີ 7.3. ເນອ້ ທ່ື ີ ແລະ ລວງຮອບ ສູດການນາໃຊ:້ s .R2 ເຊ່ື ງິ ວ່ື າ:   3.14 R ລວງຮອບ: p  2 .R d  2R R ແມື່ ນລດັ ສະໝີ 22

d ແມື່ ນເສນັ້ ພາໃຈກາງ ຕວົ ຢື່ າງ1: ຈ່ື ງົ ຄດິ ໄລື່ ລວງຮອບ ແລະ ເນອ້ ທື່ ຂີ ອງຮູບວງົ ມນົ ໜ່ື ງຶ ທ່ື ມີ ເີ ສນັ້ ພາໃຈກາງເທ່ື າົ 12 cm. ວທິ ແີ ກ:້ ຊອກຫາລວງຮອບ p= ? ອງີ ຕາມສູດ p  2 .R p  2 .R  p  .d  12  3.14  37.68 cm p  37.68 cm R - ຊອກຫາເນອ້ ທ່ື ີ s = ? ອງີ ຕາມສູດ s .R2 s  .R2  3,14 62  3,14 6 6  113, 04 cm2 s 113,04cm2 ດ່ື ງັ ນນັ້ , ເນອ້ ທ່ື ຂີ ອງຮູບວງົ ມນົ ແມື່ ນ 113,04 cm2 ລວງຮອບຂອງຮູບວງົ ມນົ ແມ່ື ນ 37,68 cm ຕວົ ຢື່ າງ2: ອື່ າງນາ້ ພຸແຫື່ ງໜ່ື ງຶ ເປັນຮູບວງົ ມນົ ມເີ ນອ້ ທື່ ີ 78,5 m. ຈື່ ງົ ຊອກຫາລດັ ສະໝຂີ ອງອ່ື າງ ດື່ ງັ ກື່ າວແມ່ື ນເທ່ື າົ ໃດ.? ວທິ ແີ ກ:້ ເຮາົ ມ:ີ s .R2 ຊອກຫາ R=? ອງີ ຕາມສູດ s .R2 78,5 3,14.R2  R2  78,5  25 3,14 R2  25  R  25  5 m R  5 m ລດັ ສະໝຂີ ອງອ່ື າງແມ່ື ນ 5 m. ບດົ ເຝິກຫດັ 1. ລວງຮອບຂອງສ່ື ວນເຍາົ ຍະຊນົ ແຫື່ ງໜື່ ງຶ ເປັນຮູບວງົ ມນົ ແທກໄດ້ 314 m. ຈື່ ງົ ຊອກຫາລດັ ສະໝຂີ ອງສ່ື ວນດື່ ງັ ກື່ າວ ແມ່ື ນເທ່ື າົ ໃດ.? ( ຕອບ: 100 m.) 2. ໃຫຮ້ ູບສາມແຈສາກ ABC ຕດິ ໃນວງົ ມນົ ເຊື່ ງິ AB= 3 cm , AC= 4 cm.ຈ່ື ງົ ຊອກຫາເນອ້ ທື່ ຂີ ອງຮູບສາມແຈ 23

ສາກ ແລະ ເນອທື່ ຂີ ອງຮູບວງົ ມນົ .? ( ຕອບ: ເນອ້ ທ່ື ຂີ ອງຮູບສາມແຈສາກແມ່ື ນ 6 cm2 ແລະ ເນອທ່ື ຂີ ອງຮູບວງົ ມນົ ແມ່ື ນ 19,62 cm2. ) 3. ໄມອ້ ດັ ແຜ່ື ນໜື່ ງຶ ເປັນຮູບຈະຕຸລດັ ທື່ ມີ ຂີ າ້ ງເທື່ າົ 30 cm. ໃນນນັ້ ເພ່ື ນິ ໄດນ້ າເອາົ ໄມອ້ ດັ ແຜ່ື ນດ່ື ງັ ກ່ື າວມາຜະລດິ ອຸປະກອນສື່ ການສອນ ເຊື່ ງິ ເພ່ື ມິ ໄດເ້ ຈາະຮູ ທ່ື ເີ ຄ່ື ງິ ກາງຂອງໄມອ້ ດັ ເປັນຮູບວງົ ມນົ ທື່ ມີ ລີ ດັ ສະໝເີ ທື່ າົ 8 cm. ກ. ຈ່ື ງົ ຊອກຫາເນອ້ ທ່ື ຂີ ອງໄມອ້ ດັ ຍງັ ເຫອຼ ເທື່ າົ ໃດ.? ພາຍຫຼງັ ທ່ື ເີ ພ່ື ນິ ໄດເ້ ຈາະຮູແລວ້ . ຂ. ລວງຮອບຂອງໄມອ້ ດັ ທື່ ຕີ ດັ ອອກ ( ເຈາະອອກ ) ແມື່ ນເທ່ື າົ ໃດ.? 4. ທ່ື ງົ ນາໜື່ ງິ ເປັນຮູບສື່ ແີ ຈສາກ ເຊ່ື ງິ ເພື່ ນິ ໄດຕ້ ດັ ເສນັ້ ທາງຜື່ ານທ່ື ງົ ນາດື່ ງັ ກື່ າວ, ດ່ື ງັ ນນັ້ ຈ່ື ງຶ ເຮດັ ໃຫເ້ ນອ້ ທ່ື ີ ຂອງນາເສຍໄປ. ( ລາຍລະອຽດດື່ ງັ ຮູບ ). ຈື່ ງົ ຊອກຫາເນອ້ ທື່ ຂີ ອງເສນັ້ ທາງທ່ື ຜີ ື່ ານທື່ ງົ ນາດ່ື ງັ ກ່ື າວ ແລະ ເນອ້ ທ່ື ນີ າທ່ື ຍີ ງັ ເຫຼອຈາກການຕດັ ທາງໃໝື່ . 10m 100 m 150 m 5. ເດນີ ໂຮງຮຽນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ມລີ ວງຍາວແທກໄດ້ 1,5 Km ແລະ ລວງກວາ້ ງແທກໄດ້ 500 m. ຈື່ ງົ ຊອກ ຫາເນອ້ ທື່ ຂີ ອງໂຮງຮຽນດ່ື ງັ ກ່ື າວ. 6. ລວງກວາ້ ງຂອງຮູບສື່ ແີ ຈຂາ້ ງຂະໜານເທື່ າົ 3 ຂອງລວງຍາວ, ຮູວ້ ື່ າລວງຮອບຂອງຮູບດື່ ງັ ກ່ື າວເທື່ າົ 12 cm. ຈື່ ງົ 4 ຊອກຫາຂາ້ ງຂອງຮູບດ່ື ງັ ກ່ື າວ.? 7. ລວງຍາວຂາ້ ງທື່ ສີ ອງຂອງຮູບສາມແຈເທ່ື າົ 3 ຂອງຂາ້ ງທື່ ໜີ ື່ ງຶ . ຂາ້ ງທື່ ສີ າມຍາວກວື່ າເຄ່ື ງິ ໜ່ື ງຶ ຂອງຂາ້ ງທື່ ສີ ອງ 2 2 cm. ຈ່ື ງົ ຊອກຫາລວງຍາວແຕ່ື ລະຂາ້ ງ.ເຊື່ ງິ ລວງຮອບຂອງຮູບສາມແຈເທ່ື າົ 50cm. 8. ຢື່ ູໃນວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ ເພື່ ນິ ໄດສ້ າ້ ງອ່ື າງນາ້ ພຸ ເປັນຮູບວງົ ມນົ ທ່ື ມີ ລີ ດັ ສະໝເີ ທື່ າົ 3 m. ກ. ຈື່ ງົ ຊອກເນອ້ ທື່ ຂີ ອງອ່ື າງນາ້ ພຸມເີ ທື່ າົ ໃດ.? ຂ. ຫື່ າງຈາກແຄມອ່ື າງ 50 cm ເພື່ ນິ ໄດປ້ ູກດອກໄມປ້ ະດບັ ເປັນວງົ ຮອບອື່ າງ. ຈ່ື ງົ ຊອກຫາລວງຍາວຂອງສ່ື ວນ ດອກໄມ ້ ອອ້ ມຮອບ່ື າງດ່ື ງັ ກື່ າວ.? 9. ລວງຮອບຂອງຮູບສ່ື ແີ ຈສາກເທື່ າົ 30 cm.ຈື່ ງົ ຊອກຫາເນອ້ ທື່ ີ ແລະ ລວງກວາ້ ງຂອງຮູບດ່ື ງັ ກ່ື າວ. ເມ່ື ອຮູວ້ ່ື າ ລວງ ຍາວເທື່ າົ 9 cm.? 10. ໃຫຮ້ ູບວງົ ມນົ ຕດິ ໃນຮູບຈະຕຸລດັ ເຊື່ ງິ ເສນັ້ ພາໃຈກາງເທື່ າົ 4 cm. ຈ່ື ງົ ຊອກຫາ: 24

ກ. ລວງຮອບຂອງຮູບວງົ ມນົ ຂ. ເນອ້ ທ່ື ຂີ ອງຮູບຈະຕຸລດັ ພາກສ່ື ວນທ່ື ຍີ ງັ ເຫອຼ 11. ໃຫຂ້ ະໜາດ ແລະ ຮູບຮື່ າງຂອງຮູບດ່ື ງັ ລື່ ຸມນີ້ ກ. ຈື່ ງົ ຄດິ ໄລື່ ເນອ້ ທທີ ື່ ທີ ື່ າສຫີ າຼ ຍ. ຂ. ຈ່ື ງົ ຄດິ ໄລື່ ລວງລດັ ສະໝຂີ ອງຮູບວງົ ມນົ ຄ.ຈ່ື ງົ ຄດິ ໄລື່ ລວງຮອບຂອງຮູບສ່ື ແີ ຈສາກ 12. ວງົ ກບົ ປະຕູຖ້ ກແບື່ ງເປັນສອງສ່ື ວນດ່ື ງັ ຮູບລື່ ຸນ.ີ້ ກ. ຈື່ ງົ ຊອກຫາເນອ້ ທື່ ທີ ງັ ໝດົ ຂອງວງົ ກບົ ປະຕູ ້ ຂ. ຈ່ື ງົ ຊອກຫາລວງຮອບທງັ ໝດົ ວງົ ກບົ ປະຕູ ້ 2m 13. ໄມອ້ ດັ ແຜ່ື ນໜ່ື ງຶ1ເ.ປ6ັນmຮູບຈະຕຸລດັ ທ່ື ມີ ຂີ າ້ ງເທື່ າົ 40 cm. ໃນນນັ້ ເພ່ື ນິ ໄດນ້ າເອາົ ໄມອ້ ດັ ແຜ່ື ນດ່ື ງັ ກື່ າວມາຜະລດິ ອຸປະກອນສື່ ການສອນ ເຊ່ື ງິ ເພື່ ມິ ໄດເ້ ຈາະຮູ ທື່ ເີ ຄ່ື ງິ ກາງຂອງໄມອ້ ດັ ເປັນຮູບວງົ ມນົ ທ່ື ມີ ລີ ດັ ສະໝເີ ທື່ າົ 10 cm. ກ. ຈ່ື ງົ ຊອກຫາເນອ້ ທື່ ຂີ ອງໄມອ້ ດັ ຍງັ ເຫອຼ ເທື່ າົ ໃດ.? ພາຍຫງຼັ ທ່ື ເີ ພ່ື ນິ ໄດເ້ ຈາະຮູແລວ້ . ຂ. ລວງຮອບຂອງໄມອ້ ດັ ທື່ ຕີ ດັ ອອກ ( ເຈາະອອກ ) ແມື່ ນເທື່ າົ ໃດ.? 25

13. ຈ່ື ງົ ຄດິ ໄລື່ ເນອ້ ທ່ື ທີ ງັ ໝດົ ຂອງຮູບເຮອນດ່ື ງັ ຮູບລື່ ຸມນ.ີ້ 1.5m A B D EF C 3m R GH 9m 3m 14. ສງັ ເກດຮູບຟາເຮອນລື່ ຸມ ຈ່ື ງົ ຄດິ ໄລ່ື ດນິ ຈທີ ່ື ບີ ນັ ຈເຸ ຂາົ້ ໃນຟາເຮອນດື່ ງັ ກ່ື າວຈກັ ກອ້ ນຈ່ື ງຶ ພດ.ີ 15. ໃຫຂ້ ະໜາດ ແລະ ຮູບຮ່ື າງຂອງຮູບດ່ື ງັ ລື່ ຸມນ:ີ້ ກ. ຈື່ ງົ ຄດິ ໄລື່ ເນອ້ ທທີ ື່ ທີ ື່ າສຫີ ຼາຍ. 26

ຂ. ຈ່ື ງົ ຄດິ ໄລ່ື ລວງຮອບຂອງຮູບວງົ ມນົ 16.ຈ່ື ງົ ຄດິ ໄລ່ື ເນອ້ ທື່ ຂີ ອງຮູບຄາງໝູ ABCD ເມື່ ອຮູວ້ ື່ າເນອ້ ທ່ື ຂີ ອງຮູບສາມແຈສາກ HCB=828 cm2. ດື່ ງັ ຮູບນ:ີ້ A 23 cm B C DH 31 cm 27

ບດົ ທີ 3 ຮູບຫຼາຍແຈສະເໝີ ແລະ ຮູບວງົ ມນົ 1. ຮູບຫຼາຍແຈສະເໝີ 1.1. ນຍິ າມ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະ ຮູບຫຼາຍແຈສະເໝແີ ມ່ື ນຮູບທ່ື ມີ ລີ ວງຍາວຂອງແຕ່ື ລະຂາ້ ງເທ່ື າົ ກນັ ແລະ ແຕື່ ລະມູມເທ່ື າົ ກນັ . ກດິ ຈະກາ: ຈ່ື ງົ ສາ້ ງຮູບ 5 ແຈສະເໝີ ແລະ 6 ແຈສະເໝີ 1.2. ຫກຼັ ເກນ ແລະ ຜນົ ເນ່ື ອງ - ຜນົ ບວກມູມນອກຂອງຮູບຫາຼ ຍແຈສະເໝເີ ທື່ າົ 360 - ຜນົ ບວກມມູ ໃນຂອງຮູບ n ແຈສະເໝເີ ທ່ື າົ n  2180 ຕວົ ຢື່ າງ : 1. ໃຫຊ້ ອກຄ່ື າວດັ ແທກມມູ ໃນໜ່ື ງຂອງຮູບ 16 ແຈສະເໝີ 2. ໃຫຊ້ ອກຈານວນຂາ້ ງຂອງຮູບຫຼາຍແຈສະເໝຮີ ູວ້ ື່ າຄື່ າວດັ ແທກມູມໃນໜື່ ງເທື່ າົ 160 ວທິ ແີ ກ:້ 1. ຈາກສູດ : ຜນົ ບວກມູມໃນຂອງຮູບ n ແຈແມ່ື ນ n(n  2).180 ເຮາົ ໄດ້ : ມມູ ໃນໜ່ື ງຶ ຂອງຮູບ 16 ແຈແມ່ື ນ : 1 .(16  2).180  14.180  1 .2520  157,5 16 16 ດ່ື ງັ ນນັ້ , ຜນົ ບວກຂອງຮູບ 16 ແຈສະເໝແີ ມ່ື ນ 157, 5 . 2. ເຮາົ ມສີ ູດ : ຜນົ ບວກມມູ ໃນຂອງຮູບ n ແຈແມ່ື ນ n(n  2).180 ເຮາົ ຈະໄດ:້ ຈານວນຂາ້ ງຂອງຮູບ n ແຈສະເໝແີ ມ່ື ນ : 28

(n  2).180  160 n  (n  2).180  160 n  (n  2).180  160n  180n  360  160n  20n  360  n  360  18 20 ດື່ ງັ ນນັ້ , ຈານວນຂາ້ ງຂອງຮູບ 18 ແຈສະເໝແີ ມື່ ນ 18 ຂາ້ ງ. ກດິ ຈະກາ 1 : 1. ໃຫຊ້ ອກຈານວນຂາ້ ງຂອງຮູບຫາຼ ຍແຈສະເໝີ ຮູວ້ ່ື າຜນົ ບວກມູມໃນເທ່ື າົ 1260 2. ຈ່ື ງົ ຊອກຜນົ ບວກມູມໃນຂອງຮູບ 12 ແຈສະເໝີ 3. ໃຫຊ້ ອກຄື່ າວດັ ແທກມມູ ນອກໜ່ື ງຶ ຂອງຮູບ 15 ແຈສະເໝີ 2. ຮູບວງົ ມນົ 2.1. ນຍິ າມ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະ ວງົ ມນົ ໝາຍເຖງິ ມເີ ມດັ ໜື່ ງຶ ທື່ ປີ ື່ ິນອອ້ ມອກີ ເມດັ ໜ່ື ງຶ ທ່ື ໃີ ຫມ້ າກື່ ອນເຊື່ ງິ ຮກັ ສາໄລຍະຫື່ າງສະເໝີ ເມດັ ດື່ ງັ ກື່ າວເອນີ້ ວ່ື າເມດັ ໃຈກາງ ຂອງວງົ ມນົ , ຈດຸ ເຄ່ື ອນຕາມເສນັ້ ຮອບໃດໜ່ື ງຶ ເສນັ້ ຮອບດື່ ງັ ກ່ື າວເອນີ້ ວ່ື າວງົ ມນົ ແລະ ສື່ ວນໄລຍະຫ່ື າງ ດື່ ງັ ກື່ າວນນັ້ ເອນີ້ ວື່ າລດັ ສະໝຂີ ອງວງົ ມນົ . 2.2. ມູມແນບໃນວງົ ມນົ ຫຼກັ ເກນ ແລະ ຜນົ ເນ່ື ອງ 1: ມູມໃຈກາງເທື່ າົ ສອງເທື່ ອມມູ ແນບວງົ ມນົ ທ່ື ຮີ ່ື ວມທື່ ອນກງົ ດຽວກນັ ຫກຼັ ເກນ ແລະ ຜນົ ເນື່ ອງ 2: ມູມແນບເຄ່ື ງິ ວງົ ມນົ ແມື່ ນມມູ ສາກ ຫຼກັ ເກນ ແລະ ຜນົ ເນ່ື ງ 3: ສອງມູມແນບທື່ ຮີ ່ື ວມທ່ື ອນກງົ ດຽວກນັ ເທ່ື າົ ກນັ  ພສິ ູດຫຼກັ ເກນ 1 N ພສິ ູດ ABˆC  1 AOˆC 2 29

ອງິ ຕາມ Bˆ1  Cˆ  NOˆC  2Bˆ1  NOˆC Bˆ1  1 NOˆ C 1 2 ອງິ ຕາມ Bˆ2  Aˆ  NOˆA  2Bˆ2  NOˆA Bˆ2  1 NOˆ A 2 2 ເອາົ 1  2ຈະໄດ:້ Bˆ1  Bˆ2  1 NOˆC  1 NOˆA 22 Bˆ  1 (NOˆC  NOˆA) 2 ABˆ C  1 AOˆC 2 ດ່ື ງັ ນນັ້ ABˆC  1 AOˆC 2 ຕວົ ຢື່ າງ: ຈື່ ງົ ຊອກຫາມມູ ສວດ BOˆC ຕາມຮູບແຕມ້ ລື່ ຸມນີ້  ເຮາົ ມີ ABˆC  1 AOˆC  2ABˆC  AOˆC  2 30  AOˆC  AOˆC  60 2 ຈະໄດ:້ BOˆ1C  306  AOˆ2C  BOˆ1C  360  60  300 ດື່ ງັ ນນັ້ BOˆC  300 ກດິ ຈະກາ 2: ຈ່ື ງົ ພສິ ູດວ່ື າມມູ ເສນັ້ ຕດິ ເທື່ າົ ກບັ ເຄື່ ງິ ໜື່ ງຶ ມູມໃຈກາງ ບດົ ເຝິກຫດັ 1. ໃຫຊ້ ອກຄື່ າວດັ ແທກມມູ ໃນໜ່ື ງຂອງຮູບ 20 ແຈສະເໝີ 2. ໃຫຊ້ ອກຈານວນຂາ້ ງຂອງຮູບຫາຼ ຍແຈສະເໝຮີ ູວ້ ່ື າຄ່ື າວດັ ແທກມມູ ໃນໜື່ ງເທື່ າົ 140 3. ໃຫຊ້ ອກຈານວນຂາ້ ງຂອງຮູບຫາຼ ຍແຈສະເໝີ ຮູວ້ ່ື າຜນົ ບວກມູມໃນເທ່ື າົ 1260 4. ຈ່ື ງົ ຊອກຜນົ ບວກມູມໃນຂອງຮູບ 10 ແຈສະເໝີ ແລະ ຮູບ 17 ແຈສະເໝີ 5. ໃຫຊ້ ອກຄ່ື າວດັ ແທກມມູ ນອກຂອງຮູບ 15 ແຈສະເໝີ 6.ໃຫຊ້ ອກຄ່ື າວດັ ແທກມູມໃນໜື່ ງຂອງຮູບ14 ແຈສະເໝີ 7. ຈື່ ງົ ສາ້ ງຮູບ 7 ແຈສະເໝີ 8. ຈ່ື ງົ ສາ້ ງຮູບ 8 ແຈສະເໝີ ດງັ ນນັ້ , BOˆC 140 . 30

9. ໃຫ້ AB ເປັນເສນັ້ ຜື່ ານໃຈກາງຂອງຮູບວງົ ມນົ ໂດຍມີ O ເປັນຈດຸ ໃຈກາງ, C ເປັນເສນັ້ ຮອບວງົ ຂອງຮູບວງົ ມນົ ດ່ື ງັ ກື່ າວໂດຍມມີ ຸມ CAˆB  26 ຈື່ ງົ ຊອກຂະໜາດຂອງມຸມ CBˆA? 10. ໃຫ້ AB ເປັນເສນັ້ ຜ່ື ານໃຈກາງຂອງຮູບວງົ ມນົ ໂດຍມີ O ເປັນຈດຸ ໃຈກາງ, C ເປັນເສນັ້ ຮອບວງົ ຂອງຮູບວງົ ມນົ ດ່ື ງັ ກື່ າວໂດຍມມີ ຸມ CAˆB  2CBˆA ຈື່ ງົ ຊອກຂະໜາດຂອງມຸມ CBˆA? 11. ໃຫ້ L, M ແລະ N ເປັນຈດຸ ຢ່ື ູເສນັ້ ຮອບວງົ ມນົ ທື່ ມີ ີ O ເປັນຈດຸ ໃຈກາງຮູວ້ ່ື າມຸມ MON  98 ຈ່ື ງົ ຊອກຫາກ ມຸມ MLN ? 12.ໃຫ ້ L, M ແລະ N ເປັນຈດຸ ຢ່ື ູເສນັ້ ຮອບວງົ ມນົ ທື່ ມີ ີ O ເປັນຈດຸ ໃຈກາງຮູວ້ ່ື າມຸມ MLˆN  42 ຈື່ ງົ ຊອກຫາກ ມຸມ MOˆN ? 13. ໃຫຮ້ ູບ A, B,C ແລະ D ເປັນຮູບແນບໃນວງົ ມນົ ທື່ ມີ ີ O ເປັນຈດຸ ໃຈກາງ, AB ແລະ CD ຕດັ ກນັ ທື່ ຈີ ດຸ X ຮູວ້ ່ື າມຸມ AXˆD  92 ແລະ CBˆA  57 ຈື່ ງົ ຊອກຫາມຸມ DAˆ X ? 14. ໃຫ ້ ABCD ເປັນຮູບສ່ື ແີ ຈແນບໃນວງົ ມນົ ,ທ່ື ມີ ີ O ເປັນຈດຸ ໃຈກາງ, ຮູວ້ ື່ າມຸມ ABˆC 108 ຈ່ື ງົ ຊອກຫາມຸມ ADˆ C ? 15. ໃຫ້ WXYZ ເປັນຮູບສື່ ແີ ຈແນບໃນວງົ ມນົ , ທື່ ມີ ີ O ເປັນຈດຸ ໃຈກາງ ແລະ V ເປັນເສນັ້ ທ່ື ສີ າຍອອກຈາກເສນັ້ XW ຮູວ້ ື່ າມຸມ XYˆZ  80 . ຈ່ື ງົ ຊອກຫາມຸມ VWˆZ ? 16. ໃຫ້ RS ແລະ RT ທ່ື ມີ ີ O ເປັນຈດຸ ໃຈກາງ. ຮູວ້ ່ື າມຸມ SRT  40 ຈ່ື ງົ ຊອກຫາມຸມ SUT ? 40 31

ບດົ ທີ 4 ບດົ ເລກພສິ ູດ ແລະ ບດົ ເລກຄານວນເລຂາຄະນດິ 1. ຈດຸ ພເິ ສດຕ່ື າງຂອງບດົ ເລກເລຂາຄະນດິ ບດົ ເລກເລຂາຄະນດິ ແມ່ື ນການປະສມົ ປະສານລະຫື່ ວາງລກັ ສະນະຮູບປະທາ ແລະ ລກັ ສະນະນາມມະທາຢ່ື ູນາ ກນັ . ລກັ ສະນະຮູບປະທາໝາຍເຖງິ ມະໂນພາບໃດກຕາມມນັ ຈະບນັ ຈຮຸ ູບປະທາຢ່ື ູນາມະໂນພາບດ່ື ງັ ກ່ື າວ. ລກັ ສະນະ ນາມມະທາໝາຍເຖງິ ມະໂນພາບທື່ ຍີ ງັ ບ່ື ທນັ ຫນັ ເປັນສນັ ຍາລກັ ທາງຄະນດິ ສາດເທື່ ອ. ຕວົ ຢ່ື າງ: ຫຼກັ ເກນ “ມຸມນອກຂອງ ຮູບສາມແຈໜື່ ງຶ ເທ່ື າົ ຜົນບວກຂອງສອງມຸມໃນທື່ ບີ ື່ ແປະກບັ ມນັ ”. ລກັ ສະນະຮູບປະທາຂອງມະໂນພາບນແີ້ ມ່ື ນ: ການ ພວົ ພນັ ລະຫ່ື ວາງສອງມຸມໃນ ແລະ ມຸມນອກໃດໜື່ ງຶ ຂອງຮູບສາມແຈຕາມໃຈໃດໆ. ລກັ ສະນະນາມມະທາຂອງມນັ ແມື່ ນ: ຮູບສາມແຈທື່ ວົ ໄປທື່ ຍີ ງັ ບ່ື ທນັ ໄດສ້ ນັ ຍາລກັ ທາງຄະນດິ ສາດ. ດ່ື ງັ ນນັ້ , ມນັ ສາມາດເປັນມຸມນອກໃດກໄດ.້ ຕວົ ຢື່ າງ ທື່ ສີ ະເໜມີ ານສີ້ ະແດງໃຫເ້ ຫນັ ຈດຸ ພເິ ສດພນ້ ຖານຂອງບດົ ເລກເລຂາຄະນດິ . 2. ບາດກາ້ ວພນ້ ຖານໃນການແກເ້ ລຂາຄະນດິ - ທາຄວວາມເຂາົ້ ໃຈຂອງບດົ ເລກໃຫເ້ ລກິ ເຊ່ື ງິ , ເຂາົ້ ໃຈບນັ ດາເງື່ອນໄຂທ່ື ຮີ ູແ້ ລວ້ ແລະ ເງື່ອນໄຂທ່ື ບີ ່ື ທນັ ຮູຂ້ ອງບດົ ເລກ - ໄຈແຍກສາຍພວົ ພນັ ລະຫື່ ວາງບນັ ດາເງ່ືອນໄຂທື່ ຮີ ູແ້ ລວ້ ແລະ ເງື່ອນໄຂທ່ື ບີ ່ື ທນັ ຮູ ້ - ບດົ ເລກຄດິ ໄລື່ ເລຂາຄະນດິ ຕອ້ ງມຮີ ູບແຕມ້ ປະກອບ, ມຂີ ສ້ ມົ ມຸດ ແລະ ຂສ້ ະຫຸຼບທື່ ຂີ ຽນໄດກ້ ງົ ຕາມສນັ ຍາລກັ ຂອງຮູບ-ເງອນໄຂທ່ື ໃີ ຫມ້ າ. - ວາງແຜນແກ້ ບົ ດເລກໝາຍເຖິ ງການປະສົ ມປະສານລະຫວ່ າງບັ ນດາຄວາມຮູ້ ເກົ່ າ່ທໄດ້ ຮຽນມາກ່ ອນແລ້ ວ ກັ ບບົ ດເລກ່ທກາລັ ງພິ ຈາລະນາຢູ່ . ເ່ຊັ ນ: ຫັ ກເົຄ້ າ, ນິ ຍາມ, ຫັ ກເກນ, ຄຸ ນລັ ກສະນະ, ບົ ດເຝິ ກຫັ ດຄ້ າຍຄ ຫ ບົ ດເລກຕົ ວຢ່ າງຕ່ າງໆ ເພ່ ອຈະສົ ມທຽບວ່ າອັ ນໃດ່ທສອດຄ່ ອງກັ ບບົ ດເລກ. - ປະຕິ ບັ ດການແກ້ ບົ ດເລກຕາມແຜນ່ທວາງໄວ້ - ບາດກ້ າວກວດຄນຜົ ນໄດ້ ຮັ ບ 3. ບດົ ເລກພສິ ູດ ແລະ ບດົ ເລກຄານວນເລຂາຄະນດິ ຕວົ ຢ່ື າງ: ຈ່ື ງົ ພສິ ູດ ມຸມນອກຂອງຮູບສາມແຈໜື່ ງຶ ເທ່ື າົ ຜນົ ບວກຂອງສອງມຸມໃນທ່ື ບີ ່ື ແປະກບັ ມນັ ພສິ ູດ Aˆ  Bˆ  Cˆ2 32

ອງິ ຕາມ Aˆ  Bˆ  Cˆ 180 ເຊ່ື ງິ ວ່ື າ Cˆ 180  Cˆ2 Aˆ  Bˆ 180  Cˆ2 180 Aˆ  Bˆ  Cˆ2  0 ດື່ ງັ ນນັ້ Aˆ  Bˆ  Cˆ2 ກດິ ຈະກາ 1 : ຈ່ື ງົ ພສິ ູດຫກຼັ ເກນປີຕາກ a2  b2  c2 1. ນາໃຊວ້ ທິ ແີ ບື່ ງສ່ື ວນໃນຮູບຈະຕຸລດັ 2. ນາໃຊວ້ ທິ ກີ ານຄານວນແບບເວກັ ເຕີ 3. ນາໃຊວ້ ທິ ກີ ານຄານວນໄຕມມູ ມຕິ ິ ກດິ ຈະກາ 2: ໃຫຮ້ ູບສື່ ແີ ຈ ABCD ,ເມດັ I ແລະ J ໂດຍວື່ າ: BI  1 AB ແລະ IJ  3AD .ຈື່ ງົ ພສິ ູດວ່ື າເມດັ C, I 2 ແລະ J ຮື່ ວມເສນັ້ ຊ່ື ດຽວກນັ . ຂແ້ ນະນາ: ຈື່ ງົ ຂຽນ IJ ແລະ IJ ຕາມ AB ແລະ AD . ບດົ ເຝິກຫດັ 1. ຈ່ື ງົ ພສິ ູດຜນົ ບວກມມູ ໃນຂອງຮູບສາມແຈເທື່ າົ 180 2. ຈື່ ງົ ພສິ ູດຜນົ ບວກມມູ ນອກຂອງຮູບສາມແຈເທື່ າົ 360 3. ຈ່ື ງົ ພສິ ູດຜນົ ບວກມມູ ໃນຂອງຮູບສື່ ແີ ຈເທ່ື າົ 360 4. ຈື່ ງົ ພສິ ູດຜນົ ບວກມູມນອກຂອງຮູບສື່ ແີ ຈເທື່ າົ 360 5. ຈ່ື ງົ ພສິ ູດຜນົ ບວກມູມໃນຂອງຮູບຫຼາ້ ແຈເທື່ າົ 540 6. ຈ່ື ງົ ພສິ ູດຜນົ ບວກມມູ ນອກຂອງຮູບຫາ້ ແຈເທື່ າົ 360 7. ຈ່ື ງົ ພສິ ູດວື່ າມມູ ແນບວງົ ມນົ ເທ່ື າົ ເຄື່ ງິ ໜື່ ງຶ ຂອງມມູ ໃຈກາງ 8. ຈື່ ງົ ພສິ ູດວ່ື າມູມເສນັ້ ຕດິ ເທື່ າົ ກບັ ເຄື່ ງິ ໜື່ ງຶ ມູມໃຈກາງ 9. ຈ່ື ງົ ພສິ ູດຜນົ ບວກມູມໃນຂອງຮູບ n ແຈເທ່ື າົ n  2180 10. ຈ່ື ງົ ພສິ ູດຜນົ ບວກມູມນອກຂອງຮູບ n ແຈເທ່ື າົ 360 11. ຈ່ື ງົ ພສິ ູດ tg  sin  cos 12. ຈ່ື ງົ ພສິ ູດ cotg  cos sin  13. ຈ່ື ງົ ພສິ ູດ sin  c ເຊ່ື ງິ ວ່ື າ c ແມື່ ນຂາ້ ງເຊ່ື ງິ ໜາ້ ແລະ a ແມ່ື ນຂາ້ ງກງົ ສາກ a 14. ຈ່ື ງົ ພສິ ູດ cos  b ເຊ່ື ງິ ວ່ື າ b ແມື່ ນຂາ້ ງຕດິ ແປະ ແລະ a ແມ່ື ນຂາ້ ງກງົ ສາກ a 33

15. ຈ່ື ງົ ພສິ ູດ tg  c ເຊ່ື ງິ ວື່ າ c ແມ່ື ນຂາ້ ງເຊື່ ງິ ໜາ້ ແລະ b ແມື່ ນຂາ້ ງຕດິ ແປະ b 16. ຈື່ ງົ ພສິ ູດ tg  b ເຊ່ື ງິ ວື່ າ c ແມ່ື ນຂາ້ ງເຊື່ ງິ ໜາ້ ແລະ b ແມື່ ນຂາ້ ງຕດິ ແປະ c ບດົ ທີ 5 ຮູບຄາ້ ຍຄ ແລະ ຮູບຄາ້ ຍຄຂະໜານ 1. ຮູບຄາ້ ຍຄກນັ 1.1. ນຍິ າມ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະ ສອງຮູບຕາມໃຈເອນີ້ ວ່ື າ ຮູບຄກນັ , ຖາ້ ວື່ າໜ່ື ງຶ ໃນສອງຮູບດື່ ງັ ກື່ າວແມື່ ນຜນົ ການຫຍຮ້ ູບ (ຂະຫຍາຍຮູບ) ຕາມ ຫຼກັ ການປ່ື ຽນຄາ້ ຍຄຂະໜານ. ສນັ ຍາລກັ ເພ່ື ອໝາຍເຖງິ ການຄາ້ ຍຄກນັ ແມື່ ນ 1.2. ຫກຼັ ເກນ ແລະ ຜນົ ເນ່ື ອງ ໃນຮູບຄາ້ ຍຄກນັ , ບນັ ດາຂາ້ ງທື່ ກີ ງົ ກນັ ແຕື່ ລະຄເູ ປັນອດັ ຕາສ່ື ວນພວົ ພນັ ກນັ ແລະ ບນັ ດາມູມທື່ ກີ ງົ ກນັ ແຕື່ ລະຄ່ື ູ ເທ່ື າົ ກນັ . 1.3. ຮູບສາມແຈຄາ້ ຍຄ 1.3.1 ກລະນຄີ າ້ ຍຄກນັ ທໜີ ່ື ງຶ ຫກຼັ ເກນ: ຖາ້ ສອງຮູບສາມແຈມມີ ູມໜ່ື ງຶ ເທ່ື າົ ກນັ ແລະ ຂາ້ ງຂອງມມູ ນນັ້ ເປັນອດັ ຕາສື່ ວນພວົ ພນັ ກນັ ແຕ່ື ລະຄ່ື ູ, ແມ່ື ນ ສອງຮູບສາມແຈນນັ້ ຄາ້ ຍຄກນັ . ໃຫສ້ ອງຮູບສາມແຈ ABC ແລະ ABC , ໃນນນັ້ Aˆ  Aˆ ແລະ AB  AC AB AC 1.3.2 ກລະນຄີ າ້ ຍຄກນັ ທສີ ອງ 34

ຫກຼັ ເກນ: ຖາ້ ສອງຮູບສາມແຈມສີ ອງມຸມກງົ ກນັ ແຕ່ື ລະຄ່ື ເູ ທ່ື າົ ກນັ , ແມ່ື ນສອງຮູບສາມແຈນນັ້ ຄາ້ ຍຄກນັ . ໃຫສ້ ອງຮູບສາມແຈ ABC ແລະ ABC , ໃນນນັ້ A  Aˆ ແລະ Bˆ  Bˆ 1.3.3 ກລະນຄີ າ້ ຍຄກນັ ທສີ າມ ຫກຼັ ເກນ: ຖາ້ ສອງຮູບສາມແຈມຂີ າ້ ງກງົ ກນັ ແຕ່ື ລະຄ່ື ູເປັນອດັ ຕາສ່ື ວນພວົ ພນັ ກນັ ແມື່ ນຮູບສາມແຈນນັ້ ຄາ້ ຍຄກນັ . ໃຫສ້ ອງຮູບສາມແຈ ABC ແລະ ABC , ໃນນນັ້ AB  BC  AC AB BC AC 1.3.4. ການພວົ ພນັ ລະຫວ່ື າງກລະນເີ ທ່ື ກົ ນັ ແລະ ກລະນຄີ າ້ ຍຄກນັ ຂອງຮູບສາມແຈ ເພື່ ອໃຫຈ້ ່ື ງາຍ, ພວກເຮາົ ເອນີ້ ຂາ້ ງຂອງຮູບສາມແຈ ABC ແລະ ABC ວ່ື າ a,b, c ແລະ a,b, c ສມົ ທຽບກລະນເີ ທື່ າົ ກນັ ແລະ ກລະນຄີ າ້ ຍຄກນັ ຂອງສອງຮູບສາມແຈ ສະຫຸຼບໄດວ້ ື່ າ: ກລະນເີ ທ່ື າົ ກນັ ກລະນຄີ າ້ ຍຄກນັ 1. Aˆ  Aˆ ; b  b ; c  c 1. Aˆ  Aˆ ; b  c bc 2. Aˆ  Aˆ ; Bˆ  Bˆ ; c  c 2. Aˆ  Aˆ ; Bˆ  Bˆ 3. a  a ; b  b ; c  c 3. a  b  c abc 35

ຕວົ ຢ່ື າງ: ຈື່ ງົ ຊອກຫາ BE , ID ເມ່ື ອຮູວ້ ່ື າ CI  3cm , CE 10cm, IB  8cmແລະ DC  6cmຕາມ ຮູບແຕມ້ ລື່ ຸມນີ້ ຂສ້ ມົ ມຸດ ໃຫຮ້ ູບແຕມ້ ມາ ຮູວ້ ່ື າ CI  3cm , CE 10cm, IB  8cmແລະ DC  6cm ຂສ້ ະຫຸຼບ ຈ່ື ງົ ຊອກຫາ BE  ? ແລະ ID  ? ຈາກຮູບແຕມ້ ເຫນັ ວ່ື າ IDC IEB ເຮາົ ມ:ີ CI  ID  ID  CI  IB ເຊ່ື ງິ ວ່ື າ IE  CE CI  9cm 3Cm  6cm IE IB IE ID  8cm  3cmm 6cm ID  24cm2  8cm 6cm ດື່ ງັ ນນັ້ ID  8cm ຈາກຮູບແຕມ້ ເຫນັ ວື່ າ IDC IEB ເຮາົ ມ:ີ BE  IB  BE  CD  IB CD ID ID BE  6cm 8cm 8cm BE  6cm ດື່ ງັ ນນັ້ BE  6cm 36

ກດິ ຈະກາ 1 ໃຫຮ້ ູບສາມແຈ ABC ສາກຢ່ື ູ C ລວງສູງຂດີ ຈາກ C ຕດັ AB ຢື່ ູ D ຮູວ້ ່ື າ AC  3cm , BC  4cm ແລະ AB  5cm ຈື່ ງົ ຊອກຫາ AD ແລະ BD 2. ຮູບຄາ້ ຍຄຂະໜານ 2.1. ນຍິ າມ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະ ສອງຮູບຕາມໃຈເອນີ້ ວ່ື າ ຮູບຄາ້ ຍຄກນັ ຂະໜານ, ຖາ້ ວ່ື າໜື່ ງຶ ໃນສອງຮູບດ່ື ງັ ກື່ າວແມື່ ນໄດຈ້ າກຜນົ ການຫຍຮ້ ູບ ຫຼ ຂະຫຍາຍຮູບ ແບບຄາ້ ຍຄຂະໜານຂອງຮູບທສີ ອງ ຫຼ ທໜີ ື່ ງຶ ໃນສອງຮູບດ່ື ງັ ກ່ື າວເທ່ື າົ ກບັ ຮູບຄາ້ ຍຄຂະໜານ ຂອງຮູບທີ ສອງ 2.2. ຮູບຫາຼ ຍແຈຄາ້ ຍຄຂະໜານ ຫກຼັ ເກນ ແລະ ຜນົ ເນື່ ອງ - ໃນຮູບຫາຼ ຍແຈຄາ້ ຍຄກນັ , ອດັ ຕາສ່ື ວນຂອງສອງເສນັ້ ເນ່ື ງັ ຈອມທ່ື ກີ ງົ ກນັ ເທື່ າົ ກບັ ອດັ ຕາສ່ື ວນຂອງຂາ້ ງກງົ ກນັ ແຕື່ ລະຄື່ ູ AC  AD  AB  BC  CD  DE  AE AC AD AB BC CD DE AE - ອດັ ຕາສື່ ວນລະຫວ່ື າງລວງຮອບຂອງສອງຮູບຫາຼ ຍແຈຄາ້ ຍຄເທື່ າົ ກບັ ອດັ ຕາສ່ື ວນຂອງຂາ້ ງກງົ ກນັ ແຕື່ ລະຄື່ ູ AB  BC  CD  DE  AE  AB BC CD DE AE AB BC CD DE AE AB  BC  CD  DE  AE ກດິ ຈະກາ2 : ໃຫ້ AB  4cm , AB  6cm, AC  5cm , BC  4,3cm , CD  3cm , AD  8cm , DE  3cm ແລະ AE  4,5cm ຈ່ື ງົ ຊອກຫາ AC , BC , CD , AD , ED ແລະ AE ຕາມຮູບແຕມ້ ລື່ ຸມ ນ:ີ້ 37

2.3. ຮູບຄາ້ ຍຄຂະໜານ ຫກຼັ ເກນ ແລະ ຜນົ ເນ່ື ອງ - ໃນຮູບຄາ້ ຍຄຂະໜານ ບນັ ດາລ່ື ຽມຂາ້ ງທື່ ກີ ງົ ກນັ ແຕ່ື ລະຄູເປັນອດັ ຕາສ່ື ວນພວົ ພນັ ກນັ . OA  OB  OC OA OB OC - ໃນຮູບຄາ້ ຍຄຂະໜານ, ບນັ ດາຂາ້ ງທ່ື ກີ ງົ ກນັ ແຕ່ື ລະຄູເປັນອດັ ຕາສ່ື ວນພວົ ພນັ ກນັ ແລະ ບນັ ດາມມູ ທື່ ກີ ງົ ກນັ ແຕ່ື ລະຄ່ື ູ ເທ່ື າົ ກນັ . AB  BC  AC AB BC AC ຕວົ ຢ່ື າງ1: ໃຫ້ OC  3cm , OB  3, 4cm , OB  5cm ແລະ OA  6cm ຈ່ື ງົ ຊອກຫາ OC ແລະ OA ຕາມຮູບແຕມ້ ລ່ື ຸມນີ້ 38

ອງີ ຕາມສູດ OA  OB  OC OA OB OC ຈະໄດ້ OA  OB OA OB  OA  OB  OA OB OA  3, 4cm 6cm  20, 4cm2  4, 08cm 5cm 5cm ດ່ື ງັ ນນັ້ OA  4, 08cm ຈະໄດ້ OB  OC OB OC  OC  OB  OC OB OC  5cm3cm  15cm2  4, 41cm 3, 4cm 3, 4cm ດ່ື ງັ ນນັ້ OC  4, 41cm ກດິ ຈະກາ 3: ໃຫ້ AC  7cm , AB  5cm , AC  3cm ແລະ BC  1,5cm ຈື່ ງົ ຊອກຫາ AB  ? , BC  ? ຕາມຮູບແຕມ້ ລ່ື ຸມນີ້ 39

ບດົ ເຝິກຫດັ 1. ໃຫຮ້ ູບສາມແຈ ABC ,ໃຫເ້ ສນັ້ ຊ່ື ໜງຶ DE // AB ຕດັ AB ຢ່ື ູ D , AC ຕດັ ຢ່ື ູ E, ຮູ ້ ວື່ າ: AC  5cm, AE  3cm, BC  6cm ຈື່ ງົ ຊອກ DE  ? 2. ໃຫຮ້ ູບສາມແຈ ABC ,ໃຫເ້ ສນັ້ ຊື່ ໜງຶ DE // AB ຕດັ AB ຢື່ ູ D , AC ຕດັ ຢ່ື ູ E, ຮູວ້ ື່ າ: AB  5cm, BD  3cm, BC  6cm ຈື່ ງົ ຊອກ DE  ? 3. ໃຫສ້ ອງພນ້ ຂອງຮູບຄາງໝໜູ ື່ ງຶ ເທ່ື າົ ກບັ 1,8cm ແລະ 1, 2cm ສອງຂາ້ ງມນັ ເທ່ື າົ 1.5cm ແລະ 1, 2cm . ຖາ້ ຂດິ ຕ່ື ສອງຂາ້ ງຂອງຮູບຄາງໝດູ ່ື ງັ ກ່ື າວຈນົ ໃຫມ້ ນັ ຕດັ ກນັ ແມ່ື ນຈະຂດີ ຕື່ ມເທື່ າົ ໃດ? 4. ແບື່ ງຂາ້ ງໜື່ ງຶ ຂອງຮູບສາມແຈອອກເປັນສາມສ່ື ວນເທື່ າົ ກນັ ແລວ້ ຜ່ື ານບນັ ດາເມດັ ດື່ ງັ ກື່ າວແຕມ້ ເສນັ້ ຊື່ ຂະໜານກບັ ພນ້ .ຮູ ້ ວື່ າພນ້ ຍາວ12cmຈ່ື ງົ ຊອກຫາລວງຍາວຂອງທື່ ອນຊ່ື ຂະໜານທື່ ຖີ ກຕດັ ດວ້ ຍສອງຂາ້ ງຂອງຮູບສາມແຈດ່ື ງັ ກື່ າວ? 5. ໃຫຮ້ ູບສາມແຈ ABC, AB  15cm, AC  20cm.ຢ່ື ູຂາ້ ງ AB ວາງທື່ ອນຊື່ AD 10cm ແລະ ຂາ້ ງ AC ວາງທື່ ອນ ຊ່ື AE 12cm.ຖາມວ່ື າຮູບສາມແຈ ABC ADE ? ກລະນບີ ື່ ຄາ້ ຍຄກນັ ,ຖາ້ ຢາກໃຫພ້ ວກມນັ ຄາ້ ຍຄກນັ ແຕ່ື ວື່ າ AE 12cm ຄເກ່ື າົ . ຖາມວື່ າ: AD  ? 6. ໃນຮູບສາມແຈ ABC, AC  12cm, BC  16cm. ທ່ື ອນຊ່ື AD ໜື່ ງຶ ປະກອບກບັ ຂາ້ ງມ BC ເປັນມຸມ ADC  BAC .ຈ່ື ງົ ຄດິ ໄລື່ ລວງຍາວຂອງທ່ື ອນຊື່ DC ? 7. ເງາົ ຂອງຫຼກັ ທຸງໜື່ ງຶ ແທກໄດ້24,8m ໃນເວລາດຽວກນັ ນນັ້ ມຄີ ນົ ຜູໜ້ ່ື ງຶ ມລີ ວງສູງ1,62m ແລະ ເງາົ ຂອງລາວແທກໄດ້ 1, 44m .ຈື່ ງົ ຊອກລວງສູງຂອງຫກຼັ ທຸງມເີ ທື່ າົ ໃດ? 8. ໃຫຮ້ ູບສາມແຈສາກ ABC ສາກຢ່ື ູ A .ລວງສູງຂດີ ຈາກ A ຕດັ CB ຢື່ ູ F , AC  10cm, BA  6cm ແລະ AB  5cm ຈ່ື ງົ ຊອກ BF ແລະ FC 9. ເທງິ ໜອງແຫ່ື ງໜື່ ງຶ ດອກບວົ ພນົ້ ຂນ້ ຈາກໜາ້ ນາ້ , 1 ຄບເມ່ື ອລມົ ພດັ ເຮດັ ໃຫດ້ ອກບວົ ຍາ້ ຍໄປ2ຄບ ແລະ ພດຕີ ດິ ແປະ 2 ກບັ ໜາ້ ນາ້ ພດ.ີ ຖາມວ່ື າໜອງນາ້ ເລກີ ເທາົ້ ໃດ? 10. ໄມໄ້ ຜື່ ລາໜ່ື ງຶ ຕງັ້ ຊ່ື ແລະ ສູງ. 10cmມນັ ຫກັ ລງົ ແລະ ປາຍຂອງມນັ ພດຈີ ກຸ ບັ ພນ້ ດນີ ແລະ ຫື່ າງຈາກໜາ້ ດນີ 3cm ຖາມວ່ື າ ແຕື່ ຕນີ ຂອງຕາົ້ ໄມຮ້ ອດບື່ ອນຫກັ ແມື່ ນເທ່ື າົ ໃດ? 11. ຮູບສາມແຈສາກຮູບໜ່ື ງຶ ມຂີ າ້ ງເທ່ື າົ ກບັ a, ຂາ້ ງມຸສາກເທື່ າົ ກບັ b, c ແລະ ເສນັ້ ຈອມສາກທ່ື ກີ ງົ ກບັ ຂາ້ ງກງົ ສາກ h .ຈື່ ງົ ພສິ ູດວ່ື າ: ກ. bc  ah ຂ. 1  1 1 h2 b2 c2 12. ຈື່ ງົ ຊອກຫາ IE , CD ເມ່ື ອຮູວ້ ື່ າ CI  2cm , DI  4cm, DB 10cm ແລະ EB  7cm ຕາມຮູບແຕມ້ ລ່ື ຸມ ນີ້ 40

13. ໃຫ້ AE  5cm , EE 1cm , ED  2cm , DD  1,5cm , CD  2,5cm , AC  6cm , BC  3cm ແລະ AB  3cm ຈື່ ງົ ຊອກຫາ ED , AD , CD , CC , BC ແລະ AB ຕາມຮູບແຕມ້ ລ່ື ຸມນີ້ 14. ໃຫ ້ BC  5cm , AB  6cm , AC  4cm ແລະ BC  2cm ແລະ OC  8cm , OC  5cm , OB  4,5cm ແລະ OA  9cm ຈ່ື ງົ ຊອກຫາ OB , OA , AB ແລະ AC ຕາມຮູບແຕມ້ ລ່ື ຸມນີ້ 41