รวมบทที่ 1

จำนวนจรงิ (Re 1.จำนวนอตรรกยะ . 121. 12 12 . = .. 2. 5 666 . 2.5. .= จำนวนท่ไี ม่สำมำรถเขยี นอยู่ในรปู / 25.004004 . . . Cgเศษส่วน a และ b เ น G เศษ นวน เ ม และ b =10J m° 125. 04 a yfy 1.IT [ 2. เ น ราก กอด า ไ ไ งง \" โ2 , โ3,3โ2 า 3. เ น ทศ ยมไ 1. 234567 . . . % ้ํซ่มิน็ป็ต็ต็ตู๋งุ่รุ่ร้ด่ม่ค่ีท็ปันำจิว็ตำจ็ตำจ้ํซินืร่ส็ป็ตำจ็ป

eal number) จำนวนท่เี ขียนแทน ได้ในรปู เศษสว่ น § a และb เ น นวน เ ม b # o 1.1ำ 2.จำนวนตรรกยะ . น yf ษ วน ห อทศ ยม า เ ม\" \" นวนเ ม mr 0 \" ya ; b =/ 0 b \" นวน บ \" uone โ เ ม ลบ เ ม บวก G G -2 -3-- ° % 3,4i 4- 1,2เ , ,. . .

Example ให้นกั เรยี นพจิ ารณาวา่ จานวน อตรรก ยะ อตรรก ยะ ตรรก ยะ ตรรก ยะ ตรรก ยะ ผู้

นทกี่ าหนดใหเ้ ปน็ จานวนตรรกยะหรอื จานวนอตรรกยะ วาง .. อตรรก ยะ 12.12 แกยะ 7= ตรรก ยะ ตรรก ยะ อตรรก ยะ

แผนภาพแ ดงค าม มั พันธข์ องจาน นจรงิ จาน น จาน นตรรกยะ nn จาน นเตม็ จาน นตรรกยะ ตน ที่ไมใ่ ชจ่ าน นเต จาน นเต็ม0ลบ 0ูนย์ จาน นเต็ม0บ ก -1, -2, -3, ... 0 1, 2, 3, ... ู้รํซิน้ด่ม่ค่ีท่ซ่มิน

นจรงิ 1T ทศ ยมไ ำ , โกง ไ ไราก ถอด า ่ จาน นอตรรกยะ 52,3Jz .. . nn \" 5 46 54 6 5 46 ะ ทศ ยม ำ → ~ ตม็ p § , h ¥% . . .

จาน นจรงิ จาน นตรรกยะ มายถึง จาน นที่เขยี นไ b ≠ 0 ามารถเขยี นจาน นตรรกยะในรปู ท นยิ มไดแ้ จาน นอตรรกยะ มายถงึ จาน นจริงท่ีไ -ท นิยมซา้ เ นทคนไ 1 1T ทศ ยมไ , ่ช้ด่ม่ค่ีท้ํซ่มิน้ํซ่ม่ม็ป

ไดใ้ นรูป afb 1=อ a b นเต็ม และ b โดยท่ี และ เป็นจาน และเปน็ ท นิยมซ้า ไม่ใช่จาน นตรรกยะ เขียนใ#นรูปท นิยมไดแ้ ต่ไมเ่ ป็น าไ เ น, ราก กอด าไ ไ การ.5,52 . . .

จาน นตรรกยะ 1. 29 mnn 3. 0.6 จาน นใดบา้ งทเ่ี ป็น จาน นตรรกยะ 5. 3.1 จาน -น2,เ7ต-3็ม., ล..6.บ .7 -1, - ม้ํซิน่ื

9 จาน นตรรกยะ 2. -3.52 - 167จ448าน27นู0น76ยเ์ ต48ม็ 7267จาน471,82น2เ,ต.73.,็ม.7.บ.. 7ก7ท8จี่ไมา.|นl_ใ่.→aช.จ่นทgาตศน468รเยร...นกอมเ������ยต������าbะ���������ม็���--1������0

ค รรู้กอ่ นเรยี น ค าม มั พนั ธข์ องเ ่ นกับท นยิ ม 1) การเขยี นเ ่ นใ อ้ ยใู่ นรปู ท นยิ ม [\" เ ่ น ารตั เ ด้ ยตั ่ น เช่น 15 เขียนใ อ้ ยใู่ นรูปท นิยมได้ โดยนา 4 ไป าร 15 ดงั น 4 ม \"3. 7 5 a→ วน 4 1 5.0 0 ำ2 8 15 ]→ - 12 = 3.75 30 ๆ ~ → 20 2 0 ดงั 0 สุ้ฐ่ส่

ผล ารจะอยใู่ นรปู ท นยิ ม nrm นี้ → เศษ → วน 5 งนั้น 15 เขียนใ อ้ ยูใ่ นรูปท นยิ มได้ 3.75 4

ตะ ว 25 150 → เศษ b) 150 6 → วน | 12t ไ ว หาร ้ 30 3 0 งน 150 = 25 T อง การ ทศ ยม 2 แห ง จะไ 25.00 # ้ด่นำติน้ต้ันัด้อัต่ส้กัต

ค รรูก้ อ่ นเรียน ค าม ัมพนั ธข์ องเ ่ นกับท นยิ ม 2) การเขยี นท นยิ มใ อ้ ยใู่ นรปู เ ่ น เลขโดดเดมิ ไมใ่ จ่ ดุ ท นยิ ม ������������0������ → |0 Oo ะเช่น 0.81 = 81 = 81 102 100 / 10 ✗10 ดังนั้น 0.81 เขียนใ อ้ ยใู่ นรูปเ หืห๋ืห๊ื

เมอื่ n คือ จาน นตาแ น่งของท นยิ มนัน้ 0 • 45 = = # ② 10 ✗ 10=100 ่ นได้ 81 100

ใ น้ กั เรยี นเขยี น 7 0 9 9 7. 6 ใ ้อยใู่ นรปู ท นยิ ม

0.7 7 7 ... จะได้ 7 = 0.777... 7. 0 0 0 9 63 เรียก 0.777... ่าท นยิ มซา้ 70 (repeating decimal) 63 70 63 7

→ง 0.777 ม 9) #¢ แ เ นทศ ยม หา ร 65 \"\" ๆo ำโดย การ ๆ 65 70 65 1ไ น ด) งน = 0.77777 . . . - 7า ° ด เจม ำ ] น= 0.7 [ ํซุจ์ยูศ้ํซุส้ันัดุส้ิส่ีทีม่มฺง่ซำ้ซิน็ป้ัตุ๋ง

การเขยี นเ ่ นในรปู ท นยิ มซา้ และการเขยี นท นยิ มซ 1. การเขยี นเ ่ นใ อ้ ยใู่ นรปู ท นยิ มซา้ เ ่ นทอี่ ยู่ในรปู a ที่ a และ b เป็นจาน นเต็ม โด b ท นิยมไดโ้ ดย นาตั ่ นไป ารตั เ ก ง เช่น 1 เขียนใ ้อยูใ่ นรูปท t 2 O0.5 0 หา ร 2 1.0 - - 10 0 ้ัต่มู่ย่ล

ซ้าในรปู เ ่ น ดยที่ b ≠ 0 ามารถเขียนใ อ้ ยใู่ นรปู /\" \" องหนอ ไ ปรากฏ นยิ มได้โดยนา 2 ไป าร 1 = 0.5 0.50000ก 00 . .. . นน่ั คอื 1 = 0.5 2

การเขียนเ ่ นในรปู ท นยิ มซา้ และการเขยี นท นยิ มซ 1. การเขยี นเ ่ นใ อ้ ยใู่ นรปู ท นยิ มซา้ เช่น ๐019 เขงียนใ ้อยใู่ นรูปท นิยมได้โดยนา 9 ไป าร 1 หาร 0 1 1 1 ... 9 1 00 _ 9 10 น่นั คอื 1 = 0.111. * 9 9 Mn 10 9• ° 1 0.1 ตฺม้ั

ซา้ ในรปู เ ่ น 1 จะเ ็น ่า ถา้ ารต่อไป เร่อื ย ๆ จะได้ 1 โดยไมม่ ี ท่ี ิ้น ุด 1... n

การเขียนเ ่ นในรปู ท นยิ มซา้ และการเขยี นท นยิ มซ 1. การเขียนเ ่ นใ อ้ ยใู่ นรปู ท นยิ มซ้า การเขยี นท นยิ มซา้ ามารถเขยี นโดยใช้ ัญลกั ณ์ . (จดุ ไข่ปลา) เขยี กรณที ่ี 1 ถา้ เปน็ ท นยิ มซ้า 1 ตาแ น่ง ใ ้เขียน . (จดุ ไขป่ ลา) ไ เ้ เช่น 0.77E7... 7 ำ เขียนแทนด้ ย ญั ลัก ณ์ 0.7 -0.3555... เขยี นแทนด้ ย ญั ลกั ณ์ ° .mu เขยี นแทนด้ ย ญั ลัก ณ์ -0.35 12.999... ° 12.9 7.65444... เขียนแทนด้ ย ญั ลัก ณ์ 7.65 m ำ้ซ่ีส่ีส้หุจ็จ้ํซ้กุจิส้ํซ้ห้หุจ์ยูศ้ํซ็จุจ์ยูศํซ

ซ้าในรปู เ ่ น ยนไ ้เ นือเลขโดดทซ่ี า้ ดังน้ี นอื เลขโดดทซ่ี ้าน้ัน 7 อา่ นน า่ ดเ ด า ° อา่ น ่า นลบ ด สาม า า 1 5 อา่ น ่า บสอง ด เ า า ° เ ด ดหก า 4 อา่ น ่า

การเขียนเ ่ นในรปู ท นยิ มซา้ และการเขยี นท นิยมซ 1. การเขยี นเ ่ นใ อ้ ยใู่ นรปู ท นยิ มซ้า การเขยี นท นยิ มซา้ ามารถเขยี นโดยใช้ ญั ลกั ณ์ . (จดุ ไข่ปลา) เขยี กรณีที่ 2 ถ้าเปน็ ท นิยมซ้าตัง้ แต่ 2 ตาแ น่งขน้ึ ไป ใ ้เขียน . (จดุ ไขป่ ลา) ไ เช่น 1.72t72t... เขียนแทนด้ ย ญั ลัก ณ์ 0.243243... เขียนแทนด้ ย ญั ลัก ณ์ m -0.42857142857142... เขยี นแทนด้ ย ัญลกั ณ์ อ่าน า่ t ์ซ่ีส่ีสุจ์ยูศำช็จ็จุจ่ึน๋ึว้ทิปัหิป

ซ้าในรปู เ ่ น ยนไ ้เ นอื เลขโดดทซี่ า้ ดงั นี้ ด ว ด าย ไ ้เ นือเลขโดดทซ่ี า้ ตั แรกและตั ุดทา้ ย 1. 2 อ่าน า่ ห ง ด เ ด สอง เ ดสอง อ่าน า่ •• น ด สอง สาม สอง สาม ำ 0.243 • ำ- 0.42857

การเขียนเ ่ นในรปู ท นยิ มซา้ และการเขยี นท นยิ มซ 2. การเขยี นท นิยมซา้ ใ อ้ ยใู่ นรปู เ ่ น แบ่งได้เป กรณที ี่ 1 ท นิยมซา้ นู ย์ 12.500000 การเขยี นท นิยมในรปู กกระาจบายซงึ่ เปน็ การแ ดงค่าของเลขโดด โดยใ ใน ลกั ต่าง ๆ ได้ดงั ตาราง 102100 = 10×10 = ค่าประจ จาน นเต็ม ... ลกั ร้อย ลัก บิ ลัก น่ ย ลกั ่ น ... 102 10 1 1 10 จากตาราง ามารถเขียน 153.125 ใ ้อย่ใู นรูปกระจายได้ ดังนี้ 153.125 = (1 × 102) + (5 × 10) + (3 × 1) + (1 × 1) + (2 × 1 102 10 ก๊

ซา้ ในรปู เ ่ น ป็น 2 กรณี ดงั น้ี 8 45 00 ออย • ใชค้ ่าประจา ลกั ซ่ึง ามารถแ ดงค่าประจา ลกั ของเลขโดด 2. 1 4 56 • จา ลกั 1 te 1 e lo Too %3 ท นิยม บิ ลัก ่ นร้อย ลกั ่ นพัน ลกั ่ น มื่น ... ... 11 1 102 103 104 2) + (5 × 1103)

บ วน เอ 153.12y 5=→ วน น %t น วน อย ห วย + (2 %) %)= (1×100)+(5×10) + C3 ✗1) +11 ✗ + (5×1) /000 ้ร่ส่นิรัพ่ส่สิส

การเขียนเ ่ นในรปู ท นยิ มซา้ และการเขยี นท นิยมซ 2. การเขยี นท นยิ มซ้าใ อ้ ยใู่ นรปู เ ่ น แ กรณที ี่ 1 ท นยิ มซา้ นู ย์ เลขไ ด ✗ าป ตั อยา่ งท่ี 1 จงเขียนจาน นในแตล่ ะขอ้ ต่อไปนีใ้ ้อยู่ในรปู เ ่ น %1) 0.7 ห ก วน 10 → 1 ~ 2) 10 วิธีท วิธที ำ 0.7 = 7 × 7 ✗1 2. =7 7 To → บ 10 ๆ เ 1° อง ดงั นน้ั 0.7 =7 10 เ อ ดงั น ืล้ดืค่ืล่ช้ัน่ท์ยูศีม่ีทัต้ด้ต่ืล่นำต่ีก่ืล๋ืฐ่สัล๊ืฐ⃝?ัลำจ่คุจีม่ม

ซา้ ในรปู เ ่ น แบ่งได้เป็น 2 กรณี ดงั น้ี ประ ห ก 2.75 } # ทำ 2.75 = มา' ' y 25 =.75 =4 # µ บน , อนไป แห=ง } 2.75 [ เ อน 2 ] = นหาร วย ว µ า น เ น เ =อน 1 275 อ หาร วย 10 / เ อน 2 = เออ ออ น้นั 2.75 =

2. การเขยี นท นยิ มซ้าใ ้อยใู่ นรปู เ ่ น กรณที ี่ 2 ท นิยมซา้ ทไ่ี มใ่ ชท่ นยิ มซา้ ูนย์ แปล เ ่ น = 9 ( ท นิยมซ เท่ากับจาน นตา 0. 8ሶ = # 02. 3ሶ 6ሶ 2 + f 2ว ัต๊ิหุ้ส๊หำจ่สํซิน

ลงทศ ยม ำ → เศษ วน ซา้ ท้งั มด !! าแ นง่ ของท นยิ มซ้า) 111 # 5. 1ሶ 23ሶ m 5 + 123 #/ า

จงเขยี น 0. 6ሶ 1ሶ ใ ้อยู่ในรปู เ ่น ทศ ยม ธิ ที า = # 9C เ า iiอ .. = Y 2ว จงเขียน 0. 5ሶ 78ሶ ใ อ้ ย่ใู นรปู เ ธิ ีทา ำ5อ.. = t 3ว ัต๋ํหฺญํอัตุ๊ฐ้ํซ่ีท่นำตัก่ท้ัทำ้ซิน

ม งหมด า) บ แห ง |่ น ④ ii 4+ #

2. การเขยี นท นิยมซา้ ใ อ้ ยู่ในรปู เ ่ น กรณที ี่ 3 การเขยี นท นยิ มทเ่ี ปน็ ท นยิ มซา้ และไมซ่ า้ \"ปนอยใู่ เ ่น = 9 (เทา่ กบั จาน นตาแ ท นิยมฑซ๊า้ ทัง้ ม นง่ ของท นิยมซ้า - - +ำ 0.23ሶ 3ำ 02.34ሶ5ሶ ④③ = 4 % ำ0.2 = 23-2 _ ๐ T 90 7 ¥ะ ¥= 2 + 3 # ู๋ญู้ฐู๋ญู๋ฐุฅํจุ๋ว๋ัฏ่ัฎุ๊ฑำย่ม่ซ่ส

ในงเทดคงนา่ นม → เศษ วน เ มด − ท นิยมตั ทO่ีไมซ่ ้า า) 0 (เท่ากบั จาน นตาแ นง่ ของท นิยมไม่ซ้า) a -5m 0_ c5.12.ሶ 8ሶ # 5.①[ = 5 + 1-218in T 990 ¥ะ 5T 1 1

2. การเขยี นท นิยมซา้ ใ อ้ ยู่ในรปู เ ่ น กรณที ี่ 3 การเขยี นท นยิ มทเี่ ปน็ ท นยิ มซา้ และไมซ่ า้ ปนอยใู่ เ ่ น = 9 (เท่ากบั จาน นตาแ ท นิยมฑซ็้าท้งั ม นง่ ของท นิยมซ้า 2.45ሶ 1 แห ง +→ 45 ④ ④ tl④2. = 2+ f-• qo = 2+ # 2 ู๊ญุวัต๋ัฎ๋ิฟำนุ่ณู๊ฐ่นำต

. ในไเนMfต่ นม t มด − ท นิยมตั ทีไ่ ม่ซ้า า) 0 (เทา่ กับจnานrนnตาแ นง่ ของท นิยมไม่ซา้ ) 10.81ሶ 2ሶ : ④[ = 10 + 2- 8 2ว 990 อ= 10+ # 2

จาน 0 ตรรกยะ (irrational Number) นตรรกยะ\\, จาน นอตรรกยะ คอื จาน นทไ่ี ม่ ามารถเขยี นแทนได 1. ������ . ญ2. รากทถ่ี อดคา่ ไมไ่ ด้ เช่น 2 , 3. ท นิยมไมซ่ า้ เช่น 1.23456987

ดด้ ้ ยเ ่ น ������ เมอื่ a , b เป็นจาน นเตม็ ท่ี b ≠ 0 ญ3 , 5 ,3 2 เป็นต้น������ - 75213...

มบตั ขิ องจาน นจรงิ มบตั ิ 1) มบัตขิ อง นง่ึ และ นู ย์ กา นดใ ้ a แทนจา มบตั กิ ารบ กด้ ย มบตั ิการคูณด้ ย 2) มบัตกิ าร ลบั ท่ี มบตั ิการ าร ูนย์ด มบัตกิ ารคูณด้ ย มบตั ิ มบตั ิการ ารด้ ย น atb = กา นดใ ้ a และ b แทนจาน นจริงใด ๆ 2+1 = มบัติการ ลบั ที่ า รับการบ ก : a + b3= b= + มบัตกิ าร ลบั ท่ี า รับการคณู : a × b = b × ดู

0+2 = 2 าน นจริงใด ๆ 1+0=1 ✓ 2+0 = q นู ย์ : a + 0 = 0 + a = a 0 = 0 = 0นู ย์ : a × อะไร ณ 0 = 0 เสมอ ×a ด้ ยจาน นจรงิ ใด ๆ : 0 ÷ a = 0 เม่อื a ≠ 0 ← น่ึง : a×1=1×a=a 0 = 0 1 สมอ z uto นึง่ : a ÷ 1 = a bta ax 1 = a 1 +2 5 × จะ 5 +3 ✓ a ÷ 1 = a. a tf2 ✗3=3×2 6 6= ×a

มบัตขิ องจาน นจรงิ มบตั ิ 3) มบตั กิ ารเปลยี่ น มู่ กา นดใ ้ a, b และ c แทน 4) มบัตกิ ารแจกแจง มบัตกิ ารเปลย่ี น มู่ า รับก มบัติการเปลยี่ น มู่ า รบั ก มบตั ิ กา นดใ ้ a, b และ c แทน a×( และ (b + c ๊ึย็ก่ก็ล้หำท้วำจ

ไ 1. 1. ใ วงเ บ อน เสมอ . นจาน นจรงิ ใด ๆ 6เ การบ ก การคณู 3T ✗ โ( 1 + ) +3 = 1+(2+3) : (a + b) + c = a + (b + c) : (a × b) × c = a × (b × c) (1 × 2) ✗ 3 = 1×(2×3) =% นจาน นจรงิ ใด ๆ (b + c) = (a × b)0+ (a × c) c) × a = (_b × a) + _(c × a)

รากที่ อง (Square Root) บทนิยาม ถา้ a เป็นจานวนจรงิ บวก รากท่ี องของ a คือจานวน จากบทนยิ าม จะไดว้ ่า ถา้ a เป็นจานวนจริงบวก รอื ศนู ย์ ( ������ ≥ ������ โดย ������ แทนรากท่ี องทเี่ ป็นบวกของ a และ − ������ แ ่ค่ค่ีทำค่ีท

yราก สองของ JJ , -Jy ราก สอง ของ b สอง J- b , กใด ๆ รือ ศูนย์ ( ������ ≥ ������ ) นจรงิ ท่ยี กกาลัง องแลว้ ได้ a า + และ า ลบ ������ ) รากที่ องของ ������ จpะมี 2 คาตอบ คือ ������ , − ������ TTEE T แทนรากท่ี องท่ีเปน็ ลบของ ������

รากท่ี องและการ ารากท่ี องของจานวนจรงิ จง ารากท่ี องของจานวนในแต่ละขอ้ ต่อไปนี้ 1) 4 ณ น 2 วธิ ที า รากท่ี องของ04 คือ จานวนจริงทo่ียกกfาลnัง อlงแล้วเทา่ ก จะได้ รากที่ องทีเ่ ปน็ บวกของ ......4............ คอื ....โ. และ รากท่ี องทเี่ ปน็ ลบของ .......4........... คอื ..-.. h ดงั นัน้ รากที่ องของ m คือ ......4...1...-...... 4 ......4............ tTา ราก 2 อ ง 2{) 6 วธิ ีทา า- บวก 4×54 = 4 ' 1 t.LI รากท 14 ④#% จะได 41 4= = และ ดังนัน้ ้ัป๋ํห่ํฟ้ข่คัลำกืค่ีท้ข้ขำค่ีทักูค