دليل إرشادي لمعلمي الرياضيات 2013 Final

‫المملكة الأردنية الهاشمية‬ ‫المركز الوطني لتنمية الموارد البشرية‬ ‫‪National Center for Human Resources Development‬‬ ‫دليل إرشادي لمعلمي الرياضيات‬ ‫)‪(PISA‬‬ ‫إعداد‬ ‫فاضل شطناوي‬ ‫د‪ .‬عماد عبابنة‬ ‫إشـراف‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬عبد الله عبابنة‬ ‫د‪ .‬أحمد الطويسي‬ ‫د‪ .‬خطاب أبو لبدة‬ ‫د‪ .‬شيرين حامد‬ ‫بدعم من منظمة الأمم المتحدة للتربية والثقافة والعلوم (اليونسكو)‬ ‫‪2013‬‬

‫فهرس المحتويات‬ ‫المـقـدمـة ‪ ......................................................................................... :‬أ‬ ‫‪1........................................................................‬‬ ‫خزانات ماء ‪2....................................................................................................................‬‬ ‫سباق الدراجات ‪6................................................................................................................‬‬ ‫خلية النحل ‪13...................................................................................................................‬‬ ‫الأقراص المدمجة ‪17............................................................................................................‬‬ ‫مـقـهـى ‪21.......................................................................................................................‬‬ ‫لوحة الأعمدة ‪26.................................................................................................................‬‬ ‫حملة الشهادات الجامعية ‪30.....................................................................................................‬‬ ‫الـكـمـيــات ‪33......................................................................................‬‬ ‫السباحة ‪34.......................................................................................................................‬‬ ‫بيع الصحف ‪36..................................................................................................................‬‬ ‫دفع أثمان المشتريات ‪41........................................................................................................‬‬ ‫الإحـصــاء والاحتـمـالات ‪48......................................................................‬‬ ‫شراء منزل ‪49...................................................................................................................‬‬ ‫القرص الدوار ‪53................................................................................................................‬‬ ‫شقة للإيجار ‪56..................................................................................................................‬‬ ‫مكونات البيض ‪60...............................................................................................................‬‬ ‫الأوزان ومعامل اللياقة ‪73......................................................................................................‬‬ ‫‪79...............................................................‬‬ ‫النقوش ‪80.......................................................................................................................‬‬ ‫الكهرباء ‪84......................................................................................................................‬‬ ‫الحظيرة ‪88......................................................................................................................‬‬ ‫المـرابــط ‪91.....................................................................................................................‬‬ ‫جسر معلق ‪96...................................................................................................................‬‬ ‫تقسيم قرص دائري ‪105 ........................................................................................................‬‬ ‫حجارة البناء ‪109 ...............................................................................................................‬‬ ‫أطوال أضلاع المثلث ‪114 ......................................................................................................‬‬ ‫ملعب كرة القدم ‪117 ............................................................................................................‬‬ ‫الأشكال المتماثلة ‪124 ...........................................................................................................‬‬ ‫تبليط عامود ‪133 ................................................................................................................‬‬ ‫المـرآب ‪135 .....................................................................................................................‬‬

‫دليل إرشادي لمعلمي الرياضيات‬ ‫لمعالجة أخطاء التعلم عند الطلبة في ضوء نتائجهم على أسئلة‬ ‫البرنامج الدولي لتقييم الطلبة (‪)PISA‬‬ ‫المـقـدمـة ‪:‬‬ ‫يشااالأر ن لأي لااا نايلنألاااق نايأايااط اة ياايم ين نا ااط اا ااام ‪ ،1991‬حيااع ةلاا اا‬ ‫نايلنألااق ا لاا يص ناا ا نا النألنأق ألنألا ا ناليالااق ناةلأأياط لاا ناايأل نا شاالألط ا ةحيياي‬ ‫اييلأ ح ي يط أأنق يط ين ظ ها ناةلأأياط أناةاا ة يا هم لاا لنأق اط أة يايم أاحااق أ اقااق‬ ‫ة ار ناا ظم‪ ،‬أ ا ة ار نايلنألااق يلنألاط نا لأ اا م ناايأاا اة يايم نا اط ‪ ،)PISA‬اي ق شاالألط‬ ‫ن لأي ن أاااا لاااا نا لأاااا م ناااايأاا اة يااايم نا اااط ناااا ث ي ااا لااال ااا ع لااا أنق لاااا يألأص‬ ‫‪ PISA 2006‬شاالألط ‪ )57‬يأااط ا يأل نا ااام حياع أاا ةلأةي ا( لاا نا اأم ‪ )45‬ةألا‬ ‫‪ ،)422‬ألااا نالأيا ااياق ‪ )51‬ةألاا ‪ ،)384‬ألااا نا لنأ(يااط ‪ )46‬ةألاا ‪ ،)401‬لي ااا‬ ‫شااالألق ‪ )65‬يأاااط لااا يألأص ‪ PISA2009‬ااا ليهااا ن لأي ‪ ،‬ألألاازق اا نااايألأص اا قيااا‬ ‫ةحنيل نا ط لاا نا لنأ(ياط‪ ،‬أأاا ةلأةيار ن لأي لاا ا ناايألأص لاا أاال نا اأم ‪ )51‬ةألا‬ ‫‪ )415‬ألااا نالأيا ااياق ‪ )56‬ةألاا ‪ )387‬ألااا نا لنأ(يااط ‪ )55‬ةألاا ‪ .)405‬أشااالأر‬ ‫ن لأي لاا يألأص ‪ PISA 2012‬ناةاا لألازق ا قياا ةحنايل نا اط لاا نالأيا اياق‪ ،‬شاالأر‬ ‫لا نايألأص ‪ )66‬يأاط‪ ،‬حيع شلأق ةا(م ناايألأص لألا يام ا ق ال ظ اط ناة ياط أناة ااأ‬ ‫نلاقةنايث ‪ )OECD‬ناأهط نا شلألط نايلنألط لا لا أ أل ‪.2013‬‬ ‫ي اي نا لألاز نااأ ا اة ياط نا اأنلأي نا شالأيط نا للاط ناأ ياط ناةاا ةشالأا ا نايلنألاط أة ا ا‬ ‫ااة لايم ا ناأهااق نايأاياط نا شالألط يهاا أنا للااق ناةلأأياط ناأ ياط نا ة اط أناةاا ةة ال‬ ‫‌أ‬

‫اأ نزلأص ناةلأياط أناة ايم أنا الاط نا لاللأيط أألاااط ناااأع أنا اينلأ نا اناط‪ ،‬ي اأم نا لألاز ة يا‬ ‫نلا ة النأق‪ ،‬أننينلأ ناة الأيلأ‪ ،‬أي م نايلنألاق ناةلأأيط نا لة ييص ةا(م نايلنألاق‪.‬‬ ‫أيأ ال ن لأي ا ا ل شاالألة( لاا ا نايلنألاط ة اأيلأ شالنأق أ ياط ا اي أاا نا ظاام‬ ‫ناةلأأث لا يني أةهي(اط نا اط ا ار يألأ اا ل اأن ي لاا أة ااةهم أةحيياي اي نلةلاار‬ ‫نا ط ا الأا أنا هالنأق لا أالاق نا لنأ(يط أنالأيا ياق أنا أم ا لاا يص نا ظاام ناةلأاأث ا‬ ‫ةش يص ا قأة( أ ( اةحلي لأأاق ناة يم‪.‬‬ ‫ا اي لشا ق نايلنألاط ا قناألأ لاا أا ااق نا اط لاا أاالاق نالأيا اياق‪ ،‬أنا اأم‪ ،‬أنا لنأ(ياط‪.‬‬ ‫ألاا نا أاالاق نا لأ ياط الال حاع‪ ،‬أةشايلأ ةاا(م نايلنألاط اا أأاأي اا لار ااياط لاا‬ ‫اا نا هاالنأق أنا االأا أناةاا قاي ةلاأ اةأا( ا اا ا ي ياط حاي ق ااي نا اط اا‬ ‫ياط ناااة م‪ ،‬ن االأ نااا ث حااي اااا لألز اةلا ي نا ااأ اا نين نا ااط أ ةااا(أهم لااا اا‬ ‫نايلنألاط ا لاةأ نا الأص نلا ة الأياط االأا لاايص نا اي هاا ا ا ل ناينلأ ا ن ناايايل‬ ‫نلإلأشايث نا ث ي يم ن ط أنلةلنأةيأياق ةيلأي ا ااأط ا نا ط نا ا ي يط‪.‬‬ ‫أقي لأ نا ل لا يني ن نايايل اا لنأحل نلآةيط‪:‬‬ ‫المرحلة الاولى‪ :‬ةح يل ا نا ط أةحييي أالاةها أنألأ ا‬ ‫المرحلة الثانية‪ :‬يني نايايل نا ث ة ا ي ا‪:‬‬ ‫‪ -‬ة لأيا اا أ‬ ‫‪ -‬نقةلنأ أ أ ط ن ل( ط أنا ه اق ي لأز ليها نا أ ناأظي ط ناةش ينيط)‬ ‫‌ب‬

‫‪ -‬نقةاالنأ نلالااةلنأةيأياق ناة ي يااط نا الاا ط ناةااا ةلااا ي نا اام اا ناة ا اال اا نا ااأ‬ ‫أةأاأز نا ط ا( ناأظي ط نا أيط)‪.‬‬ ‫المرحلة الثالثة‪ :‬اقشط نايايل أ أ ط أث نلا ةناص أنا شلألي ناةلأاأيي أنا اي‬ ‫ا ةح م ال ة( ا اايط ناةا أ أ ها‪.‬‬ ‫أ يلنمأ‪ ،‬أ ل ز ( ا نا شلألي ناةلأاأيي أنا اي نلالاة ايص ا ا ن ناايايل لاا ناة الأا اا‬ ‫اا م ا اا نا اط لاا نالأيا اياق‪ ،‬أة يام نلاةلنأةيأياق ناةايلأي نا ةلأحاط ليا( ا ةا ار‬ ‫اا ااا(هم نا ة ااط هاايا نلالأة ااا لااةأ ين ااط ن لأي لااا يألنأق نايلنألااط نا اي ااط‬ ‫أ نأنام يألأص نايلنألط ناةا لةألأث لا ام ‪.2015‬‬ ‫وصف اختبار الرياضيات في د ارسة البرنامج الدولي لتقييم الطلبة لدورة ‪)PISA2012( 2012‬‬ ‫لاااا أاااال نالأيا اااياق نا أاااال ناااالأ(ي لاااا ناااايألأص نا ا ياااط ا لأاااا م ناااايأاا اة يااايم نا اااط‬ ‫‪ ،PISA 2003‬أةام نا اأيص اها ن نا أاال ل أاال لأ(اي لاا ناايألأص نا ا لاط ‪ ،PISA 2012‬حياع‬ ‫ة ار اار لنأأ اط لا اط لإ االأ ناة يايم أن يأنق ناةاا ة ا(‪ .‬أة الأا نا لألاط نالأيا ايط ألام‬ ‫نا لأا م نايأاا اة يايم نا اط ا هاا اي قايلأص نا الأي ا نايا ط‪ ،‬أةأظياا‪ ،‬أة لايلأ نالأيا اياق‬ ‫لا أ اع ة ط‪ ،‬ةة قيلأص نا لأي ناة ليلأ نالأيا ا أنلة ينم نا ا يم‪ ،‬أنلإأالنأ نق‪،‬‬ ‫أناح ا(م أن يأنق نالأيا يط اأنا ناظأن لأ أناة ها‪.‬‬ ‫ا اي شا ل ن ة االأ نالأيا اياق لاا يألأص اام ‪ 2012‬نا حةأيااق نا لأ ياط نلآةياط‪ :‬نال يااق‪ ،‬أناةايالأ‬ ‫أنا قاق‪ ،‬أن شلال أنا لنأ اق‪ ،‬أنلإحنا أنلاحة الاق‪ .‬ةأز ق ل لنأق نلا ة الأ نا ااغ يي ا‬ ‫‪ )110‬ل لأص نا حأ نا ي لا ناأيأل لأقم ‪:)1‬‬ ‫‌ج‬

‫جدول رقم (‪ :)1‬توزيع فق ارت اختبار الرياضيات بحسب المحتوى‬ ‫عدد الفق ارت‬ ‫المحتوى‬ ‫‪29‬‬ ‫كميات‬ ‫‪29‬‬ ‫تغير وعلاقات‬ ‫‪27‬‬ ‫الأشكال والف ارغات‬ ‫‪25‬‬ ‫الإحصاء والاحتمالات‬ ‫‪110‬‬ ‫المجموع‬ ‫ا اي لا نا لأ اا م ناايأاا اة يايم نا اط لاا يألأص اام ‪ 2012‬قياا قايلأص نا اط ا ةأظياا‬ ‫أنايا ط أة لايلأ نا شال ق الاة ينم نالأيا اياق‪ ،‬ةأز اق ل النأق نلا ة االأ ألام نا لاةأياق‬ ‫نا لأليط نا حأ نا ي لا ناأيأل لأقم ‪:)2‬‬ ‫جدول رقم (‪ :)2‬توزيع فق ارت اختبار الرياضيات بحسب المستوى المعرفي‬ ‫عدد الفق ارت‬ ‫المستوى المعرفي‬ ‫‪51‬‬ ‫صياغة‬ ‫‪32‬‬ ‫توظيف‬ ‫‪27‬‬ ‫تفسير‬ ‫‪110‬‬ ‫المجموع‬ ‫‌د‬

‫التـغـيـر‬ ‫والعـلاقـات‬ ‫‪1‬‬

‫خزانات ماء‬ ‫ترى هنا ثلاثة أنواع من خزانات المياه‪ُ .‬تملأ هذه الخزانات بالماء بمعدل ثابت‪.‬‬ ‫خزان منشوري‬ ‫خزان كروي‬ ‫خزان مخروطي‬ ‫وتجد هنا عدة رسومات بيانية تبين كيف يزيد ارتفاع الماء في ستة أوعية مختلفة أثناء عملية‬ ‫التعبئة‪.‬‬ ‫أي رسم يناسب كل واحد من الخزانات؟‬ ‫الخزان المخروطي‪_____________________ :‬‬ ‫الخزان الكروي‪_______________________ :‬‬ ‫الخزان المنشوري‪_____________________ :‬‬ ‫‪2‬‬

‫سؤال مشابه‪ :‬ترى هنا ثلاثة أنواع من الأوعية‪ُ .‬تملأ هذه الأوعية بالماء بمعدل ثابت‪.‬‬ ‫الأول الثاني الثالث‬ ‫وتجد هنا عدة رسومات بيانية تبين كيف يزيد مستوى الماء (ارتفاع الماء) في ستة أوعية‬ ‫مختلفة أثناء عملية التعبئة‪.‬‬ ‫أي رسم يناسب كل واحد من الأوعية؟‬ ‫الأول‪_____________________________ :‬‬ ‫الثاني‪_____________________________ :‬‬ ‫الثالث‪_____________________________ :‬‬ ‫‪3‬‬

‫الــعــلاج‪ :‬يعتمد التفكير لحل مثل هذا السؤال على إدراك العلاقات بين المتغيرات وأنواعها‪:‬‬ ‫متزايدة‪ ،‬متناقصة‪ ،‬طردية‪ ،‬عكسية‪... ،‬‬ ‫فبالنسبة للخزان المخروطي‪ :‬بما أن الخزان ُيملأ بمعدل ثابت‪ ،‬وسعة الجزء العلوي من‬ ‫المخروط تنقص كلما ارتفع سطح الماء فإن سطح الماء يرتفع بسرعة أكبر مع مرور الزمن إلى‬ ‫أن يمتلأ الجزء المخروط ويبدأ الجزء الأسطواني عندها يبدأ سطح الماء بالارتفاع بسرعة ثابتة‬ ‫مع مرور الزمن‪.‬‬ ‫إذن فالشكل د يمثل العلاقة بين ارتفاع الماء في هذا الخزان والزمن‪.‬‬ ‫وبالنسبة للخزان الكروي‪ :‬سعة الجزء السفلي من الخزان صغيرة وتزداد السعة كلما اقترب‬ ‫سطح الماء من وسط الخزان ثم تعود السعة بالنقصان كلما ارتفع سطح الماء وابتعد عن وسط‬ ‫الخزان‪ .‬لذلك‪ ،‬يبدأ سطح الماء بالارتفاع السريع ويتباطأ كلما اقترب سطح الماء من وسط‬ ‫الخزان وفي تلك اللحظة تكون سرعة ارتفاع سطح الماء أقل ما يمكن‪ .‬وبعدها تبدأ سرعة‬ ‫ارتفاع سطح الماء بالتزايد وتصل ذروتها عند لحظة امتلاء الخزان‪.‬‬ ‫إذن فالشكل (هـ) يمثل العلاقة بين ارتفاع الماء في هذا الخزان والزمن‪.‬‬ ‫أما بالنسبة للخزان المنشوري (متزازي مستطيلات)‪ :‬فإن سرعة ارتفاع سطح الماء ستكون‬ ‫ثابتة‪ .‬أي أن ارتفاع الماء في الخزان يزداد بانتظام‪ .‬لذلك فالشكل (ب) يمثل العلاقة بين ارتفاع‬ ‫الماء في هذا الخزان والزمن‪.‬‬ ‫ويمكن أن يطلب من الطلبة ذوي المستوى المرتفع (يتعرف الطلبة على مفهوم المشتقة في‬ ‫الصف الثاني عشر) أن يبحثوا العلاقة بين ع ‪ ،‬ن رياضياً كما يلي‪:‬‬ ‫حجم الماء في المخروط ح = ‪ π‬نق‪ 2‬ع‪ π – 0‬س‪( 2‬ع‪ – 0‬ع)‪)1(...‬‬ ‫‪33‬‬ ‫لكن س = نق ومنها س = نق (ع‪ – 0‬ع) وبالتعويض في (‪)1‬‬ ‫ع‪-0‬ع ع‪ 0‬ع‪0‬‬ ‫ح = ‪ π‬نق‪ 2‬ع‪ X π – 0‬نق‪( 2‬ع‪– 0‬ع)‪3‬‬ ‫‪ 3‬ع‪20‬‬ ‫‪3‬‬ ‫دح = صفر ‪ π +‬نق‪( 3 X 2‬ع‪ – 0‬ع)‪ 2‬دع‬ ‫‪3‬ع‪20‬‬ ‫دن‬ ‫دن‬ ‫وبما أن حجم الماء يزداد بمقدار ثابت فإن دح = ث‪0‬‬ ‫دن‬ ‫إذن دع = ث < صفر‬ ‫دن (ع‪-0‬ع)‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫نلاحظ من هذه العلاقة أنه كلما زاد الزمن ن يزداد ارتفاع الماء ع ويقل الفرق ع‪ – 0‬ع‬ ‫ويزداد تبعاً لذلك المقدار ث‬ ‫(ع‪-0‬ع)‪2‬‬ ‫أي أن سرعة ارتفاع الماء دع في الجزء المخروطي تزداد كلما زاد الزمن ن‬ ‫دن‬ ‫وهذه العلاقة يمثلها الجزء الأول من المنحنى (د)‬ ‫وعندما يصل سطح الماء إلى الجزء الأسطواني فإن‪:‬‬ ‫حجم الماء ح = ح‪ π + 0‬نق‪ 2‬ع‬ ‫ث ن = ح‪ π + 0‬نق‪ 2‬ع‬ ‫وهذه علاقة خطية متزايدة بين ن ‪ ،‬ع‬ ‫ويمثلها الجزء الثاني من المنحنى (د)‬ ‫وبالمثل يتم تناول العلاقة بين ن ‪ ،‬ع للخزانين الكروي والمنشوري‪.‬‬ ‫‪5‬‬

‫سباق الدراجات‬ ‫يشترك سامر في سباق للدراجات‬ ‫سؤال‪ :‬يتدرب سامر لخوض سباق للدراجات لمسافة ‪ 3‬كيلومترات‪ .‬يستعمل سامر دراجة قطر‬ ‫عجلاتها ‪ 63‬سنتمتراً‪.‬‬ ‫كم دورة تقريباً تدور عجلات دراجة سامر عند قطعه لمسافة السباق‪.‬‬ ‫النتيجة‪ :‬كانت النسبة المئوية للطلبة الأردنيين الذين أجابوا عن هذا السؤال إجابة صحيحة‬ ‫‪ ٪3.96‬ونسبة طلبة الدول المشاركة ‪ ٪14‬والنسبتان منخفضتان جداً‪.‬‬ ‫أسئلة مشابهة‪:‬‬ ‫(‪ُ )1‬دحرجت كرة طول قطرها ‪ 75‬سم على أرض أفقية‪ ،‬واستقرت على مسافة ‪56.5‬‬ ‫متراً من نقطة البداية‪.‬‬ ‫كم مرة تقريباً دارت الكرة؟‬ ‫(‪ُ )2‬دحرجت كرة طول نصف قطرها ‪ 15‬سم على منحدر ثلجي وكان الثلج يتراكم على‬ ‫سطحها بمعدل ‪ 1.5‬سم في كل دورة‪.‬‬ ‫كم يصبح حجمها بعد ‪ 10‬دورات؟‬ ‫الـعـلاج‪ :‬يعتمد حل مثل هذا السؤال على إدراك الطالب بأن المسافة التي يقطعها سامر عندما‬ ‫تدور عجلة دراجته دورة واحدة تساوي محيط تلك العجلة‪.‬‬ ‫وهنا يأتي دور التذكر لقانون محيط الدائرة‪:‬‬ ‫محيط الدائرة = ‪ π 2‬نق‬ ‫= ‪ × π‬طول قطر الدائرة‬ ‫‪6‬‬

‫= ‪63 × 22‬‬ ‫إذن محيط عجلة دراجة سامر‬ ‫‪7‬‬ ‫= ‪ 198‬سم‬ ‫= ‪ 1.98‬متراً‬ ‫ولذلك مع كل دورة تدورها عجلتا دراجة سامر يكون قد قطع مسافة ‪ 1.98‬متراً‪.‬‬ ‫ولقطع مسافة السباق وهي ‪ 3‬كيلومترات نقسم هذه المسافة على ‪ 1.98‬متراً‪.‬‬ ‫إذن عدد الدورات التي تدورها عجلتا دراجة سامر لقطع مسافة السباق =‬ ‫‪ 3‬كيلومترات ÷ ‪ 1.98‬متراً‬ ‫وهنا تظهر نقطتين هامتين يجب أن لا يغفلهما الطالب وهما‪:‬‬ ‫‪ )1‬عند قسمة كمية على أخرى يجب أن تكون الكميتان مقاستين بالوحدة نفسها‪.‬‬ ‫‪ )2‬العلاقة بين الكيلومتر والمتر‪:‬‬ ‫الكيلومتر = ‪ 1000‬متر‪.‬‬ ‫إذن عدد الدورات = ‪ 3000‬متر ÷ ‪ 1.98‬متر‬ ‫= ‪ 1515‬دورة‬ ‫سؤال مشابه‪ :‬الدراج أحمد‬ ‫اشترى أحمد دراجة جديدة مثبت على مقودها مقياس سرعة يبين لراكبها المسافة التي قطعها‬ ‫ومعدل السرعة التي قاد بها الدراجة‪.‬‬ ‫سؤال (‪ :)1‬في إحدى الرحلات قطع أحمد مسافة ‪ 4‬كيلومترات في أول ‪ 10‬دقائق‪ ،‬ثم قطع‬ ‫كيلومترين في الخمسة دقائق التالية‪.‬‬ ‫أي عبارة من العبارات الآتية صحيحة؟‬ ‫‪7‬‬

‫(‪ )1‬كان معدل السرعة في أول عشر دقائق أكبر منه في الدقائق الخمس التالية‪.‬‬ ‫(‪ )2‬كان معدل السرعة في المرحلتين هو نفسه‪.‬‬ ‫(‪ )3‬كان معدل السرعة في أول عشر دقائق أقل منه في الدقائق الخمس التالية‪.‬‬ ‫(‪ )4‬لا يمكن معرفة أي شيء حول معدل السرعة التي قاد بها أحمد دراجته من المعلومات‬ ‫المعطاة‪.‬‬ ‫سؤال (‪ :)2‬ذهب أحمد لزيارة عمته التي يبعد بيتها ‪ 6‬كيلومترات عن بيت احمد‪ .‬أشار مقياس‬ ‫السرعة إلى أن معدل السرعة التي قاد بها أحمد دراجته إلى بيت عمته ‪ 18‬كم‪/‬ساعة‪.‬‬ ‫أي عبارة من العبارات الآتية صحيحة؟‬ ‫(‪)1‬احتاج أحمد إلى ‪ 20‬دقيقة للوصول إلى بيت عمته‪.‬‬ ‫(‪)2‬احتاج أحمد إلى ‪ 30‬دقيقة للوصول إلى بيت عمته‬ ‫(‪)3‬احتاج أحمد إلى ‪ 3‬ساعات للوصول إلى عمته‪.‬‬ ‫(‪)4‬لا يمكن معرفة الزمن الذي احتاجه أحمد للوصول إلى بيت عمته‪.‬‬ ‫سؤال (‪ :)3‬قاد أحمد دراجته إلى حديقة الملاهي التي تبعد عن بيته ‪ 4‬كيلومترات‪ .‬استغرقت‬ ‫المسافة لقطعها ‪ 9‬دقائق‪ .‬وسلك أحمد طريقاً مختصرة عند العودة طولها ‪ 3‬كيلومترات‬ ‫واستغرقت عند عودته ‪ 6‬دقائق‪.‬‬ ‫ما معدل سرعة أحمد للرحلة كلها (ذهاباًو إياباً) بالكيلومترات‪ /‬ساعة؟‬ ‫معدل السرعة‪____________ :‬كم‪ /‬ساعة‬ ‫الـعـلاج‪ :‬يتناول هذا السؤال ثلاثة أفكار حول العلاقة بين المسافة ومعدل السرعة والزمن‪:‬‬ ‫‪ )1‬المقارنة بين معدلين للسرعة لقطع مسافتين في زمنين‪.‬‬ ‫‪ )2‬حساب الزمن لقطع مسافة بمعدل سرعة معلوم‪.‬‬ ‫‪ )3‬حساب معدل السرعة في قطع مسافتين بزمنين معلومين‪.‬‬ ‫وهناك فكرة رابعة وهي تحويل الوحدات من صورة لأخرى‪ ،‬مثل كم‪/‬دقيقة إلى كم‪/‬ساعة ‪...‬‬ ‫‪8‬‬

‫ولمعالجة مثل هذا الموقف يجب التأكيد على العلاقة بين المسافة ومعدل السرعة والزمن‪.‬‬ ‫المسافة المقطوعة = معدل السرعة × الزمن‬ ‫مع توضيح مفهوم السرعة ومعدل السرعة‪ .‬ففي لحظة ما إذا أشار مقياس السرعة لسيارة إلى‬ ‫‪ 80‬فإن هذا يعني أن السيارة في تلك اللحظة تسير بسرعة ‪ 80‬كيلومتراً في الساعة‪ .‬ولو‬ ‫حافظت السيارة على هذه السرعة ثابتة لمدة ساعة فإنها ستقطع ‪ 80‬كيلومتراً‪ .‬غير أننا لو تابعنا‬ ‫مقياس السرعة لفترة زمنية سنجد أن سرعة السيارة تختلف من لحظة لأخرى‪ ،‬فقد تزيد أحياناً‬ ‫وتنقص أحياناً أخرى‪ .‬وإذا قسمنا المسافة التي قطعتها السيارة عند نهاية الرحلة على الزمن‬ ‫الذي استغرقته في قطع هذه المسافة فإننا نحصل على ما يسمى معدل السرعة‪ .‬فإذا كان معدل‬ ‫سرعة سيارة في قطع مسافة ما يساوي ‪ 90‬كيلومتراً‪ /‬ساعة فإن هذا لا يعني أن السيارة كانت‬ ‫تسير بسرعة منتظمة وثابتة وهي ‪ 90‬كم‪ /‬ساعة‪ ،‬بل كانت تسير بسرعات مختلفة أثناء الرحلة‪.‬‬ ‫والمعدل ‪ 90‬كم‪ /‬ساعة يصبح معناه أننا لو افترضنا سيارة تسير بسرعة ثابتة وهي ‪90‬‬ ‫كم‪/‬ساعة فإنها ستقطع المسافة نفسها وفي الزمن نفسه‪.‬‬ ‫وبالعودة إلى السؤال (‪:)1‬‬ ‫معدل سرعة أحمد في أول عشر دقائق = ‪ 4‬كيلومترات = ‪ 0.4‬كم‪/‬دقيقة‬ ‫‪ 10‬دقائق‬ ‫أي أنه كان يقطع في المتوسط ‪ 0.4‬كيلومتر كل دقيقة‪.‬‬ ‫ومعدل سرعته في الدقائق الخمس التالية = ‪ 2‬كيلومتر = ‪ 0.4‬كم‪/‬دقيقة‬ ‫‪ 5‬دقائق‬ ‫وبمقارنة المعدلين نجد أنهما متساويان‪.‬‬ ‫إذن‪ ،‬فالعبارة الثانية هي الصحيحة‪.‬‬ ‫وفي السؤال (‪:)2‬‬ ‫بالتعويض في العلاقة‪ :‬المسافة = معدل السرعة × الزمن‬ ‫نجد أن ‪ 6‬كم = ‪ 18‬كم‪ /‬ساعة × الزمن بالساعات‬ ‫‪9‬‬

‫إذن الزمن الذي احتاجه أحمد للوصول إلى بيت عمته = ‪ 6‬كم = ‪ 1‬ساعة‬ ‫‪18‬كم‪/‬ساعة ‪3‬‬ ‫= ‪ 60 × 1‬دقيقة‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪ 20‬دقيقة‬ ‫إذن فالعبارة الأولى هي الصحيحة‪.‬‬ ‫وبالنسبة إلى السؤال (‪:)3‬‬ ‫المسافة المقطوعة كلها (ذهاباً وإياباً) = ‪3 + 4‬‬ ‫= ‪ 7‬كيلومترات‬ ‫والزمن الذي استغرقه أحمد (ذهاباً وإياباً)= ‪6 + 9‬‬ ‫= ‪ 15‬دقيقة‬ ‫= المسافة‬ ‫إذن معدل سرعة أحمد في الرحلة كلها‬ ‫الزمن‬ ‫= ‪ 7‬كيلومترات‬ ‫‪ 15‬دقيقة‬ ‫= ‪ 7‬كيلومترات‬ ‫‪ 15‬ساعة‬ ‫‪60‬‬ ‫= ‪ 60 × 7‬كيلومتر‪ /‬ساعة‬ ‫‪15‬‬ ‫= ‪ 28‬كيلومتر‪ /‬ساعة‬ ‫‪10‬‬

‫سؤال مشابه‪ :‬زيارة محمية طبيعية‬ ‫تفتح محمية طبيعية أبوابها للجمهور خمسة أيام في الأسبوع من الأحد إلى الخميس‪ ،‬وتغلق‬ ‫أبوابها يومي الجمعة والسبت‪.‬‬ ‫سؤال (‪ :)1‬زار المحمية في أربعة أسابيع ‪ 864800‬شخصاً‪ .‬ما المتوسط التقريبي لعدد‬ ‫الأشخاص الذين زاروا المحمية في اليوم الواحد؟‬ ‫أ‪4324 -‬‬ ‫ب‪2893 -‬‬ ‫ج‪43240 -‬‬ ‫د‪28930 -‬‬ ‫ه‪216200 -‬‬ ‫سؤال (‪ :)2‬تبعد المحمية عن بيت سعيد ‪ 10.5‬كيلومتر؛ وتغلق أبوابها عند الساعة الثالثة‬ ‫مسا ًء‪.‬‬ ‫يقدر سعيد أنه يستطيع الذهاب إلى المحمية سيراً على الأقدام بسرعة متوسطة قدرها ‪3.5‬‬ ‫كيلومتر في الساعة‪ ،‬ويقضي في المحمية ‪ 3‬ساعات ثم يعود مع صاحبه على دراجته بسرعة‬ ‫متوسطة قدرها ‪7‬كم‪ /‬ساعة‪.‬‬ ‫‪11‬‬

‫باستعمال هذه التقديرات للسرعات‪:‬‬ ‫أ) ما آخر وقت يمكن أن يبدأ منه سعيد رحلته حتى يتمكن من العودة إلى بيته عند الساعة‬ ‫الرابعة مسا ًء؟‬ ‫________________________________________________‬ ‫________________________________________________‬ ‫________________________________________________‬ ‫ب) ما آخر وقت يمكن أن يبدأ منه سعيد وصاحبه رحلة العودة؟‬ ‫________________________________________________‬ ‫________________________________________________‬ ‫ج) حمل سعيد معه عداد ال ُخطى ليعرف عدد خطواته من بيته حتى المحمية‪ .‬أظهر عداد‬ ‫ال ُخطى أن سعيد قد سار ‪ 26250‬خطوة في رحلة الذهاب إلى المحمية‪ .‬قدر متوسط‬ ‫طول خطوة سعيد أثناء ذهابه إلى المحمية بالسنتمترات‪.‬‬ ‫________________________________________________‬ ‫________________________________________________‬ ‫‪12‬‬

‫خلية النحل‬ ‫سؤال‪ :‬خلية النحل‬ ‫إذا نظرت لقرص الشمع في خلية نحل ترى نمطاً من الأشكال السداسية المنتظمة‪ .‬في مركزه‬ ‫شكل سداسي منتظم‪ ،‬تحيط به ‪ 6‬أشكال سداسية‪ .‬ويحيط بهاتين الحلقتين حلقة ثالثة تتألف من‬ ‫‪ 12‬شكلاً سداسياً‪.‬‬ ‫وإذا رمزنا لعدد الأشكال السداسية في أول س من الحلقات بالرمز ع (س) فإن‪:‬‬ ‫ع (س) = ‪ 3‬س‪ 3 – 2‬س ‪1 +‬‬ ‫‪ )1‬ما عدد الأشكال السداسية في أول ‪ 10‬حلقات؟‬ ‫‪ )2‬ما عدد الأشكال السداسية في أول ‪ 9‬حلقات؟‬ ‫‪ )3‬ما عدد الأشكال السداسية في الحلقة العاشرة؟‬ ‫‪ )4‬جد علاقة تحدد عدد الأشكال السداسية في الحلقة ن؟‬ ‫‪13‬‬

‫الـعـلاج‪ :‬يمكن أن يعالج مثل هذا السؤال بطريقتين‪:‬‬ ‫الطريقة الأولى‪ :‬نجد أولاً إجابة الفرع (‪ )1‬بالتعويض المباشر‪.‬‬ ‫ع (‪1 + 10 × 3 – 210 × 3 = )10‬‬ ‫= ‪1 + 30 – 300‬‬ ‫= ‪ 271‬شكلاً سداسياً في أول ‪ 10‬حلقات‬ ‫ثم نجد إجابة الفرع (‪ )2‬بالتعويض المباشر‬ ‫ع (‪1 + 9 × 3 – 29 × 3 = )9‬‬ ‫= ‪1 + 27 – 243‬‬ ‫= ‪ 217‬شكلاً سداسياً في أول ‪ 9‬حلقات‬ ‫ومن هاتين النتيجتين نجد إجابة الفرع (‪)3‬‬ ‫عدد الأشكال السداسية في الحلقة العاشرة = ع (‪ – )10‬ع (‪)9‬‬ ‫= ‪217 – 271‬‬ ‫= ‪ 54‬شكلاً سداسياً‬ ‫وبتعميم الطريقة التي اتبعت في إجابة الفرع (‪ )3‬نجيب على الفرع (‪)4‬‬ ‫عدد الأشكال السداسية في الحلقة ن = ع (ن) – ع (ن – ‪ )1‬حيث ن >‪1‬‬ ‫= (‪ 3‬ن‪ 3 – 2‬ن ‪( 3( – )1 +‬ن – ‪( 3 – 2)1‬ن – ‪)1 + )1‬‬ ‫= (‪ 3‬ن‪ 3 – 2‬ن ‪ 3( – )1 +‬ن‪ 6 – 2‬ن ‪ 3 – 3 +‬ن ‪)1 + 3 +‬‬ ‫= ‪ 3‬ن‪ 3 – 2‬ن ‪ 3 - 1 +‬ن‪ 6 + 2‬ن – ‪ 3 + 3‬ن – ‪1 – 3‬‬ ‫=‪6‬ن–‪6‬‬ ‫= ‪( 6‬ن – ‪)1‬‬ ‫‪14‬‬

‫الطريقة الثانية‪ :‬تنظم المعلومات المستخلصة من الشكل في جدول كالتالي لاستنتاج قاعدة لعدد‬ ‫الأشكال السداسية في الحلقات وتعميمها لإجابة الفرع (‪ )4‬ومنها نجيب الفرع (‪.)3‬‬ ‫عدد الأشكال في الحلقة س‬ ‫عدد الأشكال في أول س من‬ ‫رقم الحلقة‬ ‫الحلقات = ‪3‬س‪3-2‬س‪1+‬‬ ‫س‬ ‫‪1‬‬ ‫‪)1-2(6=1×6=6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪)1-3(6=2×6=12‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪)1-4(6=3×6=18‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪)1-5(6=4×6=24‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪61‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪(6‬ن‪)1-‬‬ ‫‪ 3‬ن‪3-2‬ن‪1+‬‬ ‫ن‬ ‫فإذا رمزنا لعدد الأشكال السداسية في الحلقة ن بالرمز ل (ن) فإن‪:‬‬ ‫ل (ن) = ‪( 6‬ن ‪ )1 -‬حيث ن > ‪1‬‬ ‫ومن هذه القاعدة نجيب عن الفرع (‪:)3‬‬ ‫ل (‪)1 - 10(6 = )10‬‬ ‫= ‪ 54‬شكلاً سداسياً في الحلقة العاشرة‪.‬‬ ‫تهدف مناقشة مثل هذا السؤال إلى تنمية قدرة الطالب للاستنتاج والتعميم وتشكيل الأنماط‬ ‫واستنتاج قاعدتها‪.‬‬ ‫‪15‬‬

‫سؤال مشابه ‪ -‬مدرج روماني‬ ‫يبين الرسم أدناه رسماً توضيحياً لمدرج روماني‪.‬‬ ‫الصف رقم ‪ 1‬هو الأقرب إلى المنصة‪ .‬والصف رقم ‪ 10‬هو الأبعد عن المنصة‪ .‬وكلما كان‬ ‫الصف أبعد كان عدد مقاعده أكبر‪.‬‬ ‫يمكن حساب عدد المقاعد في أي صف باستعمال الصيغة الآتية‪:‬‬ ‫حيث ع عدد المقاعد في الصف ن‬ ‫ع = ‪ 6‬ن ‪24 +‬‬ ‫سؤال (‪ :)1‬مدرج روماني‪.‬‬ ‫ما عدد المقاعد في الصف ‪6‬؟‬ ‫عدد المقاعد‪____________________ :‬‬ ‫سؤال (‪ :)2‬مدرج روماني‪.‬‬ ‫ُيضاف مقعدان في كل ممر لكل صف عند الحاجة‪ .‬أكتب الصيغة الجديدة التي ُتحدد‬ ‫عدد المقاعد في كل صف‪.‬‬ ‫____________________________‬ ‫سؤال (‪ :)3‬مدرج روماني‪.‬‬ ‫جد صيغة لعدد المقاعد في أول ن من الصفوف‪.‬‬ ‫___________________________‬ ‫‪16‬‬

‫الأقراص المدمجة‬ ‫يعمل جمال في شركة لتأجير الأقراص المدمجة ‪ DVDs‬وألعاب الكمبيوتر‪.‬‬ ‫الاشتراك السنوي في هذه الشركة ‪ 10‬دنانير‪.‬‬ ‫أجرة تأجير القرص للأعضاء أقل من أجرة تأجيره لغير الأعضاء كما هو موضح في الجدول‬ ‫التالي‪:‬‬ ‫أجرة تأجير القرص الواحد‬ ‫أجرة تأجير القرص الواحد‬ ‫للأعضاء‬ ‫لغير الأعضاء‬ ‫‪ 2.5‬دينار‬ ‫‪ 3.2‬دينار‬ ‫سؤال (‪ :)1‬كان توفيق مشتركاً في هذه الشركة في السنة الماضية‪.‬‬ ‫دفع توفيق في تلك السنة ‪ 52.5‬ديناراً شاملة رسم الاشتراك‪.‬‬ ‫كم كان سيدفع توفيق لو لم يكن عضواً مشتركاً واستأجر العدد نفسه من الأقراص؟‬ ‫_____________________________________________________‬ ‫_____________________________________________________‬ ‫_____________________________________________________‬ ‫المبلغ الذي سيدفعه توفيق‪____________________________ :‬‬ ‫سؤال (‪ :)2‬ما أقل عدد من الأقراص يحتاج العضو المشترك لاستئجارها ليغطي رسم‬ ‫الاشتراك؟ وضح خطوات عملك‪.‬‬ ‫_____________________________________________________‬ ‫_____________________________________________________‬ ‫_____________________________________________________‬ ‫_____________________________________________________‬ ‫‪17‬‬

‫الـعـلاج‪ :‬يتضمن هذا السؤال حساب أعداد في مواقف من واقع الحياة والمقارنة بينها‪ .‬أي أنه‬ ‫يحتاج لحله توظيف بعض المعارف الحسابية أو إيجاد نموذج جبري يعبر عن الموقف وحله‪.‬‬ ‫السؤال الأول‪ :‬يمكن أن يحل حسابياً ويمكن أن يحل جبرياً‪.‬‬ ‫حل حسابي‪ :‬أجرة استئجار الأقراص = ‪10 – 52.50‬‬ ‫= ‪ 42.50‬دينار‬ ‫وبما أن أجرة استئجار القرص الواحد للمشترك = ‪ 2.50‬دينار‬ ‫فإن عدد الأقراص التي استأجرها توفيق = ‪2.50 ÷ 42.50‬‬ ‫= ‪ 17‬قرصاً‬ ‫ولو كان توفيق غير مشترك في الشركة فإنه سيدفع أجرة لهذا العدد من الأقراص مبلغاً يساوي‬ ‫‪ 54.40 = 3.20 × 17‬ديناراً‬ ‫حل جبري‪ :‬نفرض أن عدد الأقراص المستأجرة ن قرصاً فيكون‬ ‫المبلغ الذي سيدفعه العضو المشترك م = ‪ 2.5 + 10‬ن ‪)I( ...‬‬ ‫المبلغ الذي سيدفعه غير المشترك َم = ‪ 3.20‬ن ‪)II( ...‬‬ ‫وفي حالة توفيق كعضو مشترك‪ 2.5 + 10 = 52.50 :‬ن‬ ‫‪ 2.5 = 42.50‬ن‬ ‫إذن ن = ‪ 17‬قرصاً استأجرها توفيق في السنة الماضية‬ ‫ولوكان توفيق غير مشترك فإنه سيدفع مبلغاً = ‪17 × 3.20‬‬ ‫= ‪ 54.40‬ديناراً‬ ‫ومناقشة حل هذا السؤال ومثيلاته بطرق متنوعة ينمي لدى الطالب القدرة على توظيف المعرفة‬ ‫الرياضية لمعاجة مواقف من واقع الحياة‪ .‬كما يعزز لدى الطالب تكامل المعرفة الرياضية‪.‬‬ ‫‪18‬‬

‫ويمكن أن توجه الأسئلة التالية للوصول إلى الحل الأول‪:‬‬ ‫كم ديناراً دفع توفيق أجر ًة لاستئجار الأقراص؟‬ ‫الجواب‪ 42.50 = 10 – 52.50 :‬ديناراً‬ ‫ما أجرة استئجار القرص الواحد للمشترك؟‬ ‫الجواب‪ 2.50 :‬ديناراً‬ ‫ما عدد الأقراص التي استأجرها توفيق؟‬ ‫الجواب‪ 17 = 2.50 ÷ 42.50 :‬قرصاً‬ ‫إذا لم يكن توفيق عضواً مشتركاً‪ ،‬فكم ديناراً كان سيدفع لقاء استئجار هذا العدد من الأقراص؟‬ ‫الجواب‪ 54.40 = 3.20 × 17 :‬ديناراً‬ ‫كما يمكن حله هندسياً برسم بياني العلاقتين (‪ )II( ، )I‬وتوظيفهما في الإجابة عن السؤال‪.‬‬ ‫‪19‬‬

‫ولمعرفة عدد الأقراص التي استأجرها توفيق نرسم من التدريج ‪ 52.50‬على محور المبالغ (م)‬ ‫خطاً يوازي محور (ن) ليقطع بيان العضو المشترك في نقطة‪ .‬ننزل منها عموداً على محور ن‬ ‫فيقطعه عند التدريج ‪ 17‬وهو عدد الأقراص التي استأجرها توفيق‪.‬‬ ‫ولمعرفة المبلغ الذي سيدفعه توفيق لو لم يكن عضواً مشتركاً‪ .‬نجد قيمة (م) المقابلة عندما‬ ‫ن = ‪ 17‬فنجدها ‪ 54.40‬ديناراً‬ ‫السؤال الثاني‪ :‬أيضاً يمكن حله بطرق عدة‪.‬‬ ‫حل حسابي‪ :‬يوفر العضو المشترك في كل قرص يستأجره مبلغاً = ‪2.50 – 3.20‬‬ ‫= ‪ 0.70‬ديناراً‬ ‫وحتى يوفر رسم الاشتراك عليه أن يستأجر عدداً من الأقراص يساوي‬ ‫‪0.70 ÷ 10‬‬ ‫= ‪ 15 = 14 2‬قرصاً‬ ‫‪7‬‬ ‫أي أن أقل عدد من الأقراص يحتاج العضو المشترك لاستئجارها ليغطي رسم الاشتراك هو ‪15‬‬ ‫قرصاً‪.‬‬ ‫حل جبري‪ :‬نضع م = َم ونحل المعادلة‬ ‫‪ 2.5 + 10‬ن = ‪ 3.2‬ن‬ ‫‪ 0.70 = 10‬ن‬ ‫ن = ‪ 15 = 14 2‬قرصاً‬ ‫ومنها‬ ‫‪7‬‬ ‫حل هندسي‪ :‬الحل المطلوب هو قيمة ن المقابلة لنقطة تقاطع الخطين البيانيين‪.‬‬ ‫‪20‬‬

‫مـقـهـى‬ ‫الرسم أدناه مخطط أرضي لأحد المقاهي‪ .‬يريد صاحبه أسعد أن يجدد فيه‪.‬‬ ‫صالة الخدمة محاطة بكاونتر الخدمة‪.‬‬ ‫ملاحظة‪ :‬كل مربع على الشبكة يمثل ‪ 0.5‬متر × ‪ 0.5‬متر‬ ‫سؤال (‪ :)1‬يريد أسعد أن يضع حاجزاً جديداً على امتداد الحافة الخارجية لطاولة الخدمة‪ .‬ما‬ ‫طول هذا الحاجز؟ وضع خطوات عملك‪.‬‬ ‫_____________________________________________________‬ ‫_____________________________________________________‬ ‫_____________________________________________________‬ ‫_____________________________________________________‬ ‫_____________________________________________________‬ ‫‪21‬‬

‫سؤال (‪ :)2‬يريد أسعد أيضاً أن يغطي أرضية المقهى بالموكيت باستثناء منطقة الخدمة وطاولة‬ ‫الخدمة‪ .‬ما مساحة المنطقة التي ستغطى بالموكيت؟ وضح خطوات عملك؟‬ ‫_____________________________________________________‬ ‫_____________________________________________________‬ ‫_____________________________________________________‬ ‫_____________________________________________________‬ ‫_____________________________________________________‬ ‫سؤال (‪:)3‬‬ ‫يريد أسعد أن يضع طاولات مع كل منها أربعة كراسي كما في الشكل أعلاه‪ .‬تمثل الدائرة‬ ‫المنقطة المنطقة اللازمة للطاولة والكراسي‪ .‬ومن أجل أن يجد الزبائن مساحة كافية عندما‬ ‫يجلسون‪ ،‬ستوضع كل طاولة وكراسيها (كما هو واضح في الدائرة) وفقاً للمحددات التالية‪:‬‬ ‫‪ ‬كل طاولة يجب أن توضع على مسافة ‪ 0.5‬متر على الأقل من الجدران‬ ‫‪ ‬كل طاولة يجب أن توضع على مسافة ‪ 0.5‬متر على الأقل من الطاولات الأخرى‪.‬‬ ‫‪22‬‬

‫ما أكبر عدد من الطاولات يمكن وضعها في منطقة الجلوس المظللة؟‬ ‫_____________________________________________________‬ ‫_____________________________________________________‬ ‫_____________________________________________________‬ ‫_____________________________________________________‬ ‫عدد الطاولات‪______________________ :‬‬ ‫الـعـلاج‪ :‬أسئلة هذا القسم تتضمن فكرتين أساسيتين‪:‬‬ ‫‪ ‬مقياس الرسم‬ ‫‪ ‬علاقات رياضية‪ :‬نظرية فيثاغورس‪ ،‬مساحات مناطق مضلعة‪ ،‬مساحة المنطقة الدائرية‬ ‫وتوظيفهما لإيجاد عدد الدوائر التي تتوافق مع منطقة مضلعة‪.‬‬ ‫السؤال الأول‪ :‬الحافة الخارجية لطاولة الخدمة مكونة من ثلاثة أجزاء‪:‬‬ ‫أ ب ‪ ،‬ب جـ ‪ ،‬جـ د‬ ‫وطول الحافة الخارجية يساوي مجموع أطوال هذه الأجزاء‪.‬‬ ‫أ ب = ‪ 1 = 0.5 × 2‬متر‬ ‫جـ د = ‪ 1 = 0.5 × 2‬متر‬ ‫ولحساب ب جـ ننظر للمثلث القائم الزاوية ب هـ جـ فيه‪:‬‬ ‫ب هـ = ‪ 1.5 = 0.5 × 3‬متر‬ ‫هـ جـ = ‪ 2 = 0.5 × 4‬متر‬ ‫إذن ب جـ‪( = 2‬ب هـ)‪( + 2‬هـ جـ)‪2‬‬ ‫= ‪4 + 2.25‬‬ ‫‪23‬‬

‫= ‪6.25‬‬ ‫= ‪ 2.5‬متر‬ ‫إذن طول الحاجز = أ ب ‪ +‬ب جـ ‪ +‬جـ د‬ ‫= ‪1 + 2.5 + 1‬‬ ‫= ‪ 4.5‬متر‬ ‫والسؤال الثاني‪ :‬يتطلب حساب مساحة منطقة مضلعة‪ .‬فالمنطقة التي ستغطى بالموكيت تشمل‬ ‫منطقة الجلوس ومنطقة الدخول‪.‬‬ ‫وسنجزؤها إلى ‪ :‬المنطقة أ و ز ح ‪ ،‬والمنطقة ح هـ د ط ‪ ،‬والمنطقة ب هـ جـ‬ ‫المنطقة أ و ز ح مستطيلة طولها = ‪ 5 = 0.5× 10‬أمتار‬ ‫وعرضها = ‪ 4.5 = 0.5 × 9‬أمتار‬ ‫فتكون مساحتها = ‪ 22.5 = 4.5 × 5‬متراً مربعاً‬ ‫والمنطقة ح هـ د ط مستطيلة طولها = ‪ 3 = 0.5 × 6‬أمتار‬ ‫وعرضها = ‪ 2.5 = 0.5 × 5‬متر‬ ‫فتكون مساحتها = ‪ 7.5 = 2.5 × 3‬متراً مربعاً‬ ‫والمنطقة ب هـ جـ مثلثة يحدها مثلث قائم الزاوية في هـ‬ ‫فتكون مساحتها = ‪ 1‬ب هـ × هـ جـ‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪ 1.5 = 2 × 1.5 × 1‬متراً مربعاً‬ ‫‪2‬‬ ‫إذن فمساحة المنطقة التي ستغطى بالموكيت = ‪1.5 + 7.5 + 22.5‬‬ ‫= ‪ 31.5‬متراً مربعاً‬ ‫‪24‬‬

‫وبعد مناقشة الحل مع الطلبة يطرح السؤال التالي‪:‬‬ ‫هل يمكن تجزئة المنطقة التي ستغطى بالموكيت بطريقة أخرى؟‬ ‫يستمع المعلم إلى مقترحات الطلبة ويسجلها‪ .‬ويمكن أن يطلب إلى الطلبة فرادى أو في‬ ‫مجموعات تنفيذ هذه المقترحات للتأكد على أن المساحة النهائية لا تتغير بتغير طريقة التجزئ‪.‬‬ ‫السؤال الثالث‪:‬‬ ‫عرضياً‪ :‬كل صف يتسع لطاولتين فقط لأن المسافة العرضية المتاحة لوضع الطاولات ‪ 3.5‬م‪.‬‬ ‫وعرض منطقتي الطاولتين مع المسافة بينهما = ‪1.5 + 0.5 + 1.5‬‬ ‫= ‪ 3.5‬م‬ ‫طولياً‪ :‬كل صف يتسع لطاولتين أيضاً لأن المسافة الطولية المتاحة لوضع الطاولات ‪4‬م‪.‬‬ ‫وعرض منطقتي الطاولتين مع المسافة بينهما = ‪3.5‬م‬ ‫والمسافة الباقية لا تتسع لطاولة ثالثة‪.‬‬ ‫وهنا يجب تدريب الطلبة على الاستعانة بالرسم لتوضيح المسألة ومن ثم يساعد على الوصول‬ ‫لطريقة الحل‪.‬‬ ‫‪25‬‬

‫لوحة الأعمدة‬ ‫في كانون الثاني حصلت الشركتان عالم الفن وصوت العندليب على تصريح لإنتاج أقراص‬ ‫مدمجة ‪ CDs‬للموسيقى والأغاني وبيعها‪ .‬وفي شهر شباط من العام نفسه تبعتهما الشركتان عالم‬ ‫الموسيقى والفن الراقي‪.‬‬ ‫تبين لوحة الأعمدة التالية مبيعات الشركات الأربع من الأقراص من شهر كانون الثاني إلى شهر‬ ‫حزيران‪.‬‬ ‫‪26‬‬

‫سؤال (‪ :)1‬ما عدد الأقراص التي باعتها شركة الفن الراقي في شهر نيسان؟‬ ‫‌أ) ‪250‬‬ ‫‌ب) ‪500‬‬ ‫‌ج) ‪1000‬‬ ‫‌د) ‪1270‬‬ ‫سؤال (‪ :)2‬في أي شهر فاقت مبيعات شركة عالم الموسيقى مبيعات شركة العندليب لأول مرة؟‬ ‫‌أ) لم يحصل ذلك‬ ‫‌ب) آذار‬ ‫‌ج) نيسان‬ ‫‌د) أيار‬ ‫سؤال (‪ :)3‬انزعج مدير شركة العندليب من انخفاض مبيعات الشركة من الأقراص من شهر‬ ‫شباط إلى شهر حزيران‪.‬‬ ‫ما تقديرك لحجم مبيعات الشركة في شهر تموز إذا استمر انخفاض المبيعات بالاتجاه نفسه؟‬ ‫‌أ) ‪ 70‬قرصاً‬ ‫‌ب) ‪ 370‬قرصاً‬ ‫‌ج) ‪ 670‬قرصأً‬ ‫‌د) ‪ 1340‬قرصاً‬ ‫الـعـلاج‪ :‬تتناول هذه الأسئلة الأفكار التالية‪:‬‬ ‫‪ ‬قراءة لوحة أعمدة تمثل بيانات في فترات زمنية‪.‬‬ ‫‪ ‬المقارنة بين قيمتين من قيم البيانات في فترتين زمنيتين‪.‬‬ ‫‪ ‬تفسير لوحة أعمدة وتقدير عدد الأقراص التي ستباع مستقبلاً بافتراض استمرارية‬ ‫الاتجاه الخطي للأعداد المباعة‪.‬‬ ‫ومن أجل اكتساب الطلبة مهارة في قراءة الرسومات البيانية لمجموعة من البيانات ُيدرب الطلبة‬ ‫على ذلك وبصورة مستمرة‪ ،‬وعرض لوحة بيانية على الطلبة وطرح أسئلة حولها‪.‬‬ ‫‪27‬‬

‫ومن المفيد أخذ رسومات بيانية مختلفة من الصحف اليومية والمحلات المتخصصة وعرضها‬ ‫على الطلبة وإجراء مناقشة حولها والإجابة عن أسئلة متنوعة حولها حتى ترتبط الأفكار‬ ‫الرياضية بالمواقف الحياتية‪ ،‬مثل؛ تطور الأسعار وإعداد السكان ودرجات الحرارة ‪ ...‬إلخ‪.‬‬ ‫وفي هذا الموقف‪ ،‬تبين لوحة الأعمدة العلاقة بين فترات زمنية (الأشهر الستة) وعدد الأقراص‬ ‫المدمجة المباعة‪.‬‬ ‫ففي السؤال الأول ُيراد معرفة عدد الأقراص التي باعتها شركة الفن الراقي في شهر نيسان‬ ‫وبالنظر إلى شهر نيسان نحدد العمود الذي يمثل ما باعته هذه الشركة ونقرأ ارتفاعه على‬ ‫المحور الرأسي الذي يمثل عدد الأقراص المباعة فنجده ‪ 500‬قرص‪.‬‬ ‫وبالنسبة للسؤال الثاني المطلوب معرفة الشهر الذي فاقت فيه مبيعات شركة عالم الموسيقى‬ ‫على مبيعات شركة العندليب‪ .‬ومن أجل ذلك نتتبع مبيعات الشركتين عبر الأشهر بدءاً من شهر‬ ‫كانون ثاني فنجد‪:‬‬ ‫‪ ‬في شهر كانون ثاني لا وجود لشركة عالم الموسيقى‬ ‫‪ ‬وفي شهر شباط مبيعات شركة العندليب (حوالي ‪ 1825‬قرصاً) أكثر من مبيعات شركة‬ ‫عالم الموسيقى (حوالي ‪ 240‬قرصاً)‪.‬‬ ‫وهنا يمكن أن ُتطرح أسئلة على الطلبة حول هذه المعلومات مثل‪:‬‬ ‫‪ ‬ما عدد الأقراص التي باعتها شركة العندليب في شهر شباط؟‬ ‫‪ ‬وما عدد الأقراص التي باعتها شركة عالم الموسيقى في شهر شباط؟‬ ‫‪ ‬أيهما أكثر مبيعات شركة العندليب أم مبيعات شركة عالم الموسيقى؟‬ ‫وفي شهر آذار ُتطرح الأسئلة نفسها بالإضافة إلى‪:‬‬ ‫‪ ‬هل زادت مبيعات شركة العندليب في شهر آذار عما كانت عليه في شهر شباط أم‬ ‫نقصت؟‬ ‫‪ ‬وهل زادت مبيعات شركة عالم الموسيقى في شهر آذار عما كانت عليه في شهر شباط‬ ‫أم نقصت؟‬ ‫‪28‬‬

‫وفي شهر نيسان يتم الوصول إلى أن‪:‬‬ ‫مبيعات شركة عالم الموسيقى (حوالي ‪ 1600‬قرصاً) فاقت ولأول مرة مبيعات شركة العندليب‬ ‫(حوالي ‪ 1260‬قرصاً)‪.‬‬ ‫أما السؤال الثالث فإجابته تحتاج إلى إمعان في مبيعات الشركة من الأقراص في الأشهر من‬ ‫شباط إلى حزيران وملاحظة معدل الانخفاض الشهري في المبيعات‪:‬‬ ‫الانخفاض‬ ‫المبيعات‬ ‫الشهر‬ ‫______‬ ‫‪1875‬‬ ‫شباط‬ ‫‪1575‬‬ ‫آذار‬ ‫‪300‬‬ ‫‪1275‬‬ ‫نيسان‬ ‫‪300‬‬ ‫‪975‬‬ ‫أيار‬ ‫‪300‬‬ ‫‪675‬‬ ‫حزيران‬ ‫‪300‬‬ ‫وإذا استمر انخفاض المبيعات بالاتجاه الخطي نفسه فإن مبيعات الشركة في شهر تموز ستكون‬ ‫‪ 375‬قرصاً‪.‬‬ ‫‪29‬‬

‫حملة الشهادات الجامعية‬ ‫يبين الجدول أدناه حملة الشهادات الجامعية في ‪ 5‬مدن في دولة ما‪.‬‬ ‫حملة الشهادات الجامعية‬ ‫عدد غير العاملين‬ ‫عدد العاملين‬ ‫عدد السكان‬ ‫المدينة ‌ كانون أول كانون أول كانون أول كانون الأول كانون الأول كانون الأول‬ ‫‪2010 2009 2010 2009 2010 2009‬‬ ‫أ ‌ ‪295 220 7164 7113 30916 30811‬‬ ‫ب ‌ ‪764 541 11028 10554 47795 45901‬‬ ‫جـ ‌ ‪582 410 7779 7798 35858 33082‬‬ ‫د ‌ ‪223 177 4035 3938 16592 15429‬‬ ‫هـ ‌ ‪90 67 1464 1445 5563 5508‬‬ ‫سؤال (‪ :)1‬في أي المدن كان عدد حملة الشهادات الجامعية غير العاملين أكبر في كانون أول‬ ‫لعام ‪2010‬؟‬ ‫المدينة‪______________________ :‬‬ ‫النتيجة‪ :‬رغم بساطة السؤال كانت نسبة الطلبة الأردنيين الذين أجابوا عن السؤال إجابة‬ ‫صحيحة ‪ ٪66.7‬وهي نسبة منخفضة خاصة إذا ما قورنت بنسبة طلبة الدول المشاركة والبالغة‬ ‫‪٪86.56‬‬ ‫سؤال (‪ :)2‬كم كان عدد حملة الشهادات الجامعية في المدينة ب في كانون أول عام ‪2009‬؟‬ ‫عدد حملة الشهادات الجامعية في ‪_____________________ :2009‬‬ ‫النتيجة‪ :‬بلغت نسبة الطلبة الأردنيين الذين أجابوا عن السؤال إجابة صحيحة ‪ ، ٪12.36‬في‬ ‫حين بلغت نسبة طلبة الدول المشاركة ‪٪30.33‬‬ ‫‪30‬‬

‫سؤال (‪ :)3‬هل العبارات الآتية صحيحة بنا ًء على هذه البيانات؟‬ ‫ضع دائرة حول \"نعم\" أو \"لا\" في كل حالة‪.‬‬ ‫هل هذه العبارة صحيحة؟‬ ‫العبارة‬ ‫نعم ‪ /‬لا‬ ‫لقد زاد عدد العاملين من حملة الشهادات الجامعية في‬ ‫نعم ‪ /‬لا‬ ‫جميع المدن بين كانون أول ‪ 2009‬وكانون أول ‪2010‬‬ ‫في كانون أول ‪ 2010‬كان عدد حملة الشهادات الجامعية‬ ‫في المدينة هو أكثر من ربع عدد السكان‬ ‫النتيجة‪ :‬كانت النسبة المئوية للطلبة الأردنيين الذين أجابوا فقرة واحدة إجابة صحيحة‬ ‫‪ ٪51.25‬في حين كانت نسبة طلبة الدول المشاركة ‪ . ٪30.84‬أما نسبة الطلبة الأردنيين‬ ‫الذين أجابوا الفقرتين إجابة صحيحة فقد بلغت ‪ ٪41.84‬مقارنة بنسبة طلبة الدول المشاركة‬ ‫والتي بلغت ‪٪64.22‬‬ ‫سؤال (‪ :)4‬استعمل الجدول أعلاه للإجابة على السؤال الآتي‪:‬‬ ‫في أي مدينة من المدن أ أو ب أو د أو هـ كانت نسبة حملة الشهادات الجامعية الأقل في‬ ‫كانون أول عام ‪2010‬؟‬ ‫(أ) المدينة أ‬ ‫(ب) المدينة ب‬ ‫(جـ) المدينة د‬ ‫(د) المدينة هـ‬ ‫النتيجة‪ :‬كانت نسبة الطلبة الأردنيين الذين أجابوا السؤال إجابة صحيحة ‪ ٪22.56‬وهي نسبة‬ ‫منخفضة مقارنة بنسبة طلبة الدول المشاركة والتي بلغت ‪٪47.31‬‬ ‫الـعـلاج‪:‬تتناول هذه الأسئلة الأفكار التالية‪:‬‬ ‫‪ ‬قراءة جدول بيانات واستخلاص المعلومات المطلوبة‪.‬‬ ‫‪ ‬إيجاد قيمة الصواب لعبارة اعتماداً على البيانات الواردة في الجدول‪.‬‬ ‫‪ ‬إيجاد النسبة المئوية (أو النسبة) لمجموعة جزئية من المجتمع‪.‬‬ ‫‪31‬‬

‫ففي السؤال الأول‪ ،‬يبدأ المعلم بتوجيه أسئلة حول ما تمثله الأعمدة المختلفة إلى أن يصل إلى‬ ‫عمود حملة الشهادات الجامعية غير العاملين لعام ‪ 2010‬ويربط ذلك بالسؤال ليبدأ الطلبة في‬ ‫إيجاد أكبر عدد في ذلك العمود‪.‬‬ ‫وفي السؤال الثاني‪ ،‬يوجه المعلم سؤالاً حول المطلوب من السؤال؛ هل هو عدد حملة الشهادات‬ ‫الجامعية العاملون أو غير العاملين أو كلاهما‪ .‬وبعد أن يستمع لإجابات الطلبة وتبريراتهم يطلب‬ ‫منهم إيجاد عدد حملة الشهادات الجامعية العاملين وغير العاملين في المدينة ب لعام ‪.2009‬‬ ‫وفي السؤال الثالث‪ ،‬تتناول العبارة الأولى المقارنة بين عدد العاملين من حملة الشهادات‬ ‫الجامعية في جميع المدن بين عامي ‪ 2009‬و ‪ .2010‬وربط ذلك بمفهوم المسورة كلياً ومتى‬ ‫تكون خطأ‪ .‬ليتوصل إلى خطأ العبارة لأن عدد العاملين من حملة الشهادات الجامعية في المدينة‬ ‫جـ قد نقص من عام ‪ 2009‬لعام ‪.2010‬‬ ‫أما العبارة الثانية فتتطلب إيجاد نسبة عدد حملة الشهادات الجامعية العاملين وغير العاملين في‬ ‫المدينة هـ وهل تزيد أم تقل عن الربع‪.‬‬ ‫فعدد حملة الشهادات الجامعية = ‪90 + 1464‬‬ ‫= ‪1554‬‬ ‫= ‪1554‬‬ ‫ونسبتهم في تلك المدينة‬ ‫‪5563‬‬ ‫إذن فالعبارة صحيحة‪.‬‬ ‫وفكرة السؤال الرابع هي فكرة السؤال الثالث ولكن لجميع المدن ثم المقارنة بين هذه النسب‬ ‫وتحديد النسبة الأصغر‪.‬‬ ‫‪32‬‬

‫الـكـمـيــات‬ ‫‪33‬‬

‫السباحة‬ ‫سؤال‪ :‬زمن السباحة‬ ‫تنافس ثمانية سباحين لمسافة ‪ 50‬متراً‪ ،‬وسجلت للسباحين الأزمان التالية بالثواني‪:‬‬ ‫‪35.08 36.02 37.09 35.45 37.2 36 36.07 35.3‬‬ ‫ما زمن خامس أسرع سباح؟ ضع دائرة حول الجواب الصحيح‪.‬‬ ‫النتيجة‪ :‬كانت النسبة المئوية للطلبة الأردنيين الذين أجابوا إجابة صحيحة عن سؤال مشابه‬ ‫‪ ٪40.81‬وهي نسبة منخفضة مقارنة بنسبة الطلبة في الدول المشاركة والتي بلغت ‪٪72.24‬‬ ‫سؤال مشابه‪ :‬رتب الأعداد التالية ترتيباً تنازلياً‪.‬‬ ‫‪15.289 16.12 15.38 17.2 16 16.08 17.19 15.4‬‬ ‫الـعـلاج‪ :‬يعتمد حل هذا السؤال وأمثاله على فهم الطالب للقيم المنزلية في النظام العشري‪.‬‬ ‫وأن الأصفار على يمين الجزء العشري تغير المعنى ولكنها لا تغير القيمة‪.‬‬ ‫فمثلاً؛ ال ُعشر ورمزه ‪ 0.10 = 0.1‬أي عشرة أجزاء من مائة‪.‬‬ ‫= ‪ 0.100‬أي مائة جزء من ألف ‪ ...‬وهكذا‬ ‫ولمعرفة زمن خامس أسرع سباح‪ ،‬نرتب أزمان السباحين ترتيباً تصاعدياً‪ .‬ونتبع الخطوات‬ ‫التالية‪:‬‬ ‫‪ .1‬نبدأ بمقارنة الأجزاء الصحيحة أولاً ونبدأ بالزمن الأقل وهي‪:‬‬ ‫‪35.08 35.45 35.3‬‬ ‫ونوحد عدد المنازل العشرية بإضافة أصفار إلى يمين الأجزاء الكسرية‪:‬‬ ‫‪35.08 35.45 35.30‬‬ ‫‪34‬‬

‫وبالنظر إلى الأجزاء العشرية نجد أن الزمن الأصغر هو ‪ 35.08‬ثم ‪ 35.30‬ثم‬ ‫‪35.45‬‬ ‫فالترتيب التصاعدي لهذه الأزمان هو‪:‬‬ ‫‪35.45 35.30 35.08‬‬ ‫‪ .2‬يأتي بعد ذلك الأزمان التي جزؤها الصحيح ‪ 36‬وهي‪:‬‬ ‫‪36.02 36 36.07‬‬ ‫ونوحد عدد المنازل العشرية‪:‬‬ ‫‪36.02 36.00 36.07‬‬ ‫وترتيبها التصاعدي هو‪:‬‬ ‫‪36.07 36.02 36.00‬‬ ‫‪ .3‬والأزمان التي جزؤها الصحيح ‪ 37‬هي‪:‬‬ ‫‪37.09 37.2‬‬ ‫نوحد عدد المنازل العشرية‪:‬‬ ‫‪37.09 37.20‬‬ ‫وترتيبها التصاعدي هو‪:‬‬ ‫‪37.20 37.09‬‬ ‫إذن‪ ،‬فالترتيب التصاعدي لأزمان السباحين الثمانية هو‪:‬‬ ‫‪37.2 37.09 36.07 36.02 36 35.45 35.3 35.08‬‬ ‫وزمن خامس أسرع سباح هو ‪ 36.02‬ثانية‪.‬‬ ‫‪35‬‬

‫بيع الصحف‬ ‫يوجد في مدينة ما صحيفتان يوميتان تحاولان توظيف بائعين‪ :‬يبين الملصقان الإعلانيان أدناه‬ ‫كيف يدفعان للبائعين‪.‬‬ ‫جريدة الصباح‬ ‫جريدة النجمة‬ ‫تحتاج لنقود أكثر؟‬ ‫أترغب بعمل مدفوع الأجر‬ ‫قم ببيع جريدتنا‬ ‫ويحتاج منك لوقت قليل؟‬ ‫س ُيدفع لك‪:‬‬ ‫قم ببيع جريدة الصباح لقاء ‪60‬‬ ‫‪ 0.20‬دينار عن كل نسخة‬ ‫دينار كل أسبوع بالإضافة إلى‬ ‫لأول ‪ 240‬نسخة تبيعها في‬ ‫‪ 0.50‬دينار عن كل نسخة‬ ‫الأسبوع‪ ،‬إضافة إلى ‪0.40‬‬ ‫دينار عن كل نسخة إضافية‬ ‫تبيعها‬ ‫تبيعها‪.‬‬ ‫سؤال (‪ :)1‬يبيع فؤاد في المتوسط ‪ 350‬نسخة من جريدة النجمة كل أسبوع‪.‬‬ ‫كم ديناراً يكسب كل أسبوع في المتوسط؟‬ ‫_____________________________________________________‬ ‫_____________________________________________________‬ ‫يكسب فؤاد في المتوسط كل أسبوع‪ _____________ :‬ديناراً‬ ‫سؤال (‪ :)2‬يبيع كريم جريدة الصباح‪ ،‬كسب في أحد الأسابيع ‪ 74‬ديناراً‪.‬‬ ‫كم نسخة باع في ذلك الأسبوع؟‬ ‫_____________________________________________________‬ ‫_____________________________________________________‬ ‫عدد النسخ التي باعها كريم في ذلك الأسبوع‪ _____________ :‬نسخة‬ ‫‪36‬‬

‫سؤال (‪ :)3‬قرر جميل أن يقدم طلباً للعمل كبائع صحف‪ .‬وعليه أن يختار التقدم لجريدة النجمة‬ ‫أم لجريدة الصباح‪.‬‬ ‫أي رسم بياني من الرسومات الآتية يمثل ما تدفعه الصحيفتان للبائعين؟ ضع دائرة حول أ أو‬ ‫ب أو جـ أو د‪.‬‬ ‫‪37‬‬

‫الـعــلاج‪ :‬يدور السؤال الأول حول قدرة الطالب على تعيين نموذج رياضي ُيعبر عن موقف‬ ‫من واقع الحياة لحساب عدد ما‪.‬‬ ‫فعدد النسخ التي يبيعها فؤاد = ‪ 350‬نسخة‬ ‫منها ‪ 240‬نسخة مقابل ‪ 0.20‬دينار عن كل نسخة‬ ‫والباقي ‪ 110‬نسخ مقابل ‪ 0.40‬دينار عن كل نسخة‬ ‫= ‪0.40 × 110 + 0،20 × 240‬‬ ‫إذن فمقدار ما يكسبه فؤاد في المتوسط كل أسبوع‬ ‫= ‪44 + 48‬‬ ‫= ‪ 92‬ديناراً‬ ‫ويمكن توظيف مثل هذا السؤال لتدريب الطلبة وإكسابهم مهارة في إيجاد صيغة جبرية تعبر عن‬ ‫علاقة بين متغيرين‪.‬‬ ‫فإذا رمزنا لعدد النسخ التي يبيعها فؤاد في الأسبوع بالرمز س ولمقدار ما يكسبه في الأسبوع‬ ‫بالرمز م‬ ‫‪ ،‬إذا كانت س ≤ ‪240‬‬ ‫فإن م = ‪ 0،2‬س‬ ‫‪( 0.4 + 240 × 0.2‬س – ‪ ، )240‬إذا كانت س < ‪240‬‬ ‫‪ ،‬إذا كانت س ≤ ‪)I( _ _ _ _ _ 240‬‬ ‫= ‪ 0.2‬س‬ ‫‪ ،‬إذا كانت س < ‪240‬‬ ‫‪ 0.4‬س – ‪48‬‬ ‫ثم توظف هذه العلاقة لإجابة السؤال‬ ‫م س=‪48 – 350 × 0.4 = 350‬‬ ‫= ‪48 – 140‬‬ ‫= ‪ 92‬ديناراً‬ ‫‪38‬‬

‫وبالنسبة للسؤال الثاني‪،‬‬ ‫إذا رمزنا لعدد النسخ التي يبيعها كريم في الأسبوع بالرمز س ولمقدار ما يكسبه في الأسبوع‬ ‫بالرمز م‬ ‫فإن‬ ‫م = ‪ 0.05 + 60‬س _ _ _ _ _ _ (‪)II‬‬ ‫وبما أن كريم كسب في ذلك الأسبوع مبلغ ‪ 74‬ديناراً فإن‬ ‫‪ 0.05 + 60 = 74‬س‬ ‫‪ 0.05‬س = ‪14‬‬ ‫س = ‪14‬‬ ‫‪0.05‬‬ ‫= ‪ 280‬نسخة باعها كريم في ذلك الأسبوع‬ ‫ويقيس السؤال الثالث قدرة الطالب على تعيين النموذج الرياضي الصحيح عندما تمثل علاقتان‬ ‫خطيتان بيانياً‪.‬‬ ‫فبالنسبة للعلاقة (‪ )I‬سيكون بيانها مكوناً من قسمين‪:‬‬ ‫الأول على الفترة [‪ ]240 ، 0‬حيث م = ‪ 0.2‬س وهو بيا ٌن خطي ميله ‪0.4‬‬ ‫والثاني على الفترة (‪ )∞ ، 240‬حيث م = ‪ 0.4‬س – ‪ 48‬وهو بيان خطي ميله ‪ 0.4‬وهو أشد‬ ‫صعوداً من القسم الأول‪.‬‬ ‫ومن الممكن دراسة اتصال العلاقة عند س = ‪240‬‬ ‫ولذلك فإن منحنى هذه العلاقة ممثل في الرسمين جـ ‪ ،‬د‬ ‫‪39‬‬

‫وعلى هذين الرسمين ندرس بيان العلاقة (‪ )II‬حيث‪:‬‬ ‫م = ‪ 0.05 + 60‬س‬ ‫وهي علاقة خطية بيانها خط مستقيم ميله ‪ 0.05‬وهو متوفر في الرسم جـ‪.‬‬ ‫إذن‪ ،‬فالرسم البياني جـ يمثل ما تدفعه الصحيفتان للبائعين‪.‬‬ ‫لاحظ أن طريقة الاستبعاد قد وظفت في هذا السؤال‪ ،‬حيث تم استبعاد الرسمين أ ‪ ،‬ب عند‬ ‫دراسة العلاقة (‪.)I‬‬ ‫وعند دراسة العلاقة (‪ )II‬تم استبعاد الرسم د‪.‬‬ ‫وبذلك لم يب َق إلا الرسم (جـ)‬ ‫‪40‬‬

‫دفع أثمان المشتريات‬ ‫خرج خالد من بيته إلى السوق يحمل نوعين من الأوراق النقدية؛ أوراق نقد فئة ‪ 20‬ديناراً‪.‬‬ ‫وأوراق نقد فئة ‪ 50‬ديناراً‪.‬‬ ‫الجدول الآتي يبين الأشياء التي اشتراها خالد وأثمانها‪.‬‬ ‫الثمن‬ ‫السلعة‬ ‫‪ 30‬ديناراً‬ ‫مستلزمات مدرسية‬ ‫‪ 130‬ديناراً‬ ‫‪ 240‬ديناراً‬ ‫دراجة هوائية‬ ‫‪ 1310‬دنانير‬ ‫هاتف خلوي‬ ‫ثلاجة‬ ‫سؤال (‪ :)1‬هل يستطيع خالد أن يدفع كلاً من المبالغ المذكورة أعلاه باستعمال ما لديه من‬ ‫أوراق نقد فقط‪ ،‬ودون حاجة لاسترداد باق من الباعة؟‬ ‫ضع دائرة حول كلمة \"نعم\" أو \"لا\" مقابل كا واحد من المبالغ المبينة في الجدول أدناه‪.‬‬ ‫هل يمكن لخالد دفع هذا المبلغ باستعمال‬ ‫المبلغ‬ ‫الأوراق النقدية لديه؟‬ ‫نعم ‪ /‬لا‬ ‫‪ 30‬ديناراً‬ ‫نعم ‪ /‬لا‬ ‫‪ 130‬ديناراً‬ ‫نعم ‪ /‬لا‬ ‫‪ 240‬ديناراً‬ ‫نعم ‪ /‬لا‬ ‫‪ 1310‬دنانير‬ ‫‪41‬‬

‫النتيجة‪ :‬كانت النسب المئوية للطلبة الأردنيين الذين أجابوا إجابات صحيحة عن أجزاء سؤال‬ ‫مشابه مقارنة بالنسب المئوية لطلبة الدول المشاركة كما يلي‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫عدد الإجابات الصحيحة على الفقرات‬ ‫صفر‬ ‫الطلبة المشاركين‬ ‫‪321‬‬ ‫الأردن‬ ‫‪٪21.08‬‬ ‫‪٪12.18‬‬ ‫‪٪17.62 ٪16.05 ٪29.29‬‬ ‫الدول المشاركة ‪٪50.49 ٪18.04 ٪13.34 ٪14.81 ٪1.58‬‬ ‫يلاحظ أن النسبة المئوية للطلبة الأردنيين الذين أجابوا الفقرات الأربعة إجابة صحيحة‬ ‫‪ ٪21.08‬وهي نسبة منخفضة مقارنة بالنسبة المئوية لطلبة الدول المشاركة والتي بلغت‬ ‫‪ .٪50.49‬كما نلاحظ ارتفاع نسبة الطلبة الأردنيين الذين لم يجيبوا على أي فقرة إجابة‬ ‫صحيحة والتي بلغت ‪ ٪12.18‬مقارنة بنسبة طلبة الدول المشاركة والبالغة ‪.٪1.58‬‬ ‫سؤال (‪ :)2‬إذا كان مع خالد كماً أكبر من الأوراق النقدية فئة الـ ‪ 50‬ديناراً‪ ،‬وكان يرغب بدفع‬ ‫المبلغ مستعملاً أكبر عدد ممكن من الأوراق النقدية فئة ‪ 50‬ديناراً‪ .‬كم ورقة من فئة ‪ 50‬ديناراً‪،‬‬ ‫وكم ورقة من فئة ‪ 20‬ديناراً سيدفعها خالد إذا اشترى سلعاً بمبلغ ‪ 930‬ديناراً‪.‬‬ ‫النتيجة‪ :‬كانت النسبة المئوية للطلبة الأردنيين على هذا السؤال مقارنة بالنسبة المئوية لطلبة‬ ‫الدول المشاركة كما يلي‪:‬‬ ‫‪ ٪27.26‬من الطلبة الأردنيين أجابوا إجابة صحيحة عن هذا السؤال في حين بلغت النسبة‬ ‫المئوية لطلبة الدول المشاركة ‪ ،٪65.46‬ويلاحظ تدني نسبة الطلبة الأردنيين‪.‬‬ ‫أسئلة مشابهة‪:‬‬ ‫‪ )1‬إذا كان ع = ‪10‬س ‪25 +‬ص حيث س‪ ،‬ص‪ ،‬ع أعداد طبيعية‪ .‬فهل يمكن للمتغير ع‬ ‫أن يأخذ القيم المبينة في الجدول أدناه؟‬ ‫‪42‬‬

‫ضع دائرة حول كلمة \"نعم\" أو \"لا\" في الجدول أدناه‪.‬‬ ‫هل يمكن للمتغير ع أن يأخذ هذه القيمة؟‬ ‫قيم ع‬ ‫نعم ‪ /‬لا‬ ‫‪40‬‬ ‫نعم ‪ /‬لا‬ ‫‪65‬‬ ‫نعم ‪ /‬لا‬ ‫‪170‬‬ ‫نعم ‪ /‬لا‬ ‫‪345‬‬ ‫‪ )2‬ذهب قصي إلى سوق الطيور ليشتري عدداً من الدجاج والكتاكيت‪ .‬ووجد أن كل ‪3‬‬ ‫كتاكيت بدينار‪ ،‬وكل دجاجة بدينارين‪.‬‬ ‫هل يمكن أن يشتري قصي ‪ 25‬طيراً بـ ‪ 25‬ديناراً؟‬ ‫وما عدد كل من الكتاكيت والدجاجات التي اشتراها قصي إن كان ذلك ممكناً؟‬ ‫الـعــلاج‪ :‬تقوم فكرة هذا السؤال على إيجاد حل لمعادلة من الدرجة الأولى في متغيرين في‬ ‫المجموعة ط ‪ X‬ط‪ .‬ففي السؤال (‪:)1‬‬ ‫إذا رمزنا للمبلغ الذي سيدفعه خالد بالرمز م‬ ‫ولعدد قطع الأوراق النقدية من فئة ‪ 20‬ديناراً بالرمز ن‬ ‫ولعدد قطع الأوراق النقدية من فئة ‪ 50‬ديناراً بالرمز ك‬ ‫فإن‪:‬‬ ‫م = ‪ 20‬ن ‪ 50 +‬ك ‪ )1( ...‬ويكون حلها على الصورة (ن ‪ ،‬ك)‬ ‫ومنها ك = م – ‪ 20‬ن ويكون هذا عدداً طبيعياً إذا كان م – ‪ 20‬ن يقسم على ‪50‬‬ ‫(أي مضاعف للعدد ‪)5‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪43‬‬

‫وعندما م = ‪ 30‬فإنه لا يوجد عدد طبيعي ن يجعل ‪ 20 – 30‬ن عدداً طبيعياً يقسم‬ ‫على ‪ 50‬أي أن خالد لا يستطيع دفع ‪ 30‬ديناراً باستعمال أوراق النقود التي معه‪.‬‬ ‫وعندما م = ‪ 130‬فإن ن = ‪ 4‬تجعل ك = ‪ 1 = 50 = 4 X 20 – 130‬وهو عدد طبيعي‬ ‫‪50 50‬‬ ‫أي أن خالد يستطيع دفع مبلغ ‪ 130‬ديناراً‪ .‬على شكل‪:‬‬ ‫‪ 4‬قطع من فئة ‪ 20‬ديناراً وقطعة واحدة من فئة ‪ 50‬ديناراً‬ ‫وعندما م = ‪ 240‬فإن ن = ‪ 2‬تجعل ك = ‪ 4 = 200 = 2 X 20 – 240‬وهو عدد طبيعي‬ ‫‪50 50‬‬ ‫أي أن خالد يستطيع دفع ‪ 240‬ديناراً على شكل قطعتان من فئة ‪ 20‬ديناراً وأربع قطع‬ ‫من فئة ‪ 50‬ديناراً‬ ‫وبالمثل؛ ‪25 × 50 + 3 × 20 = 1310‬‬ ‫أي أن خالد يستطيع دفع ‪ 1310‬دنانير على شكل ‪ 3‬قطع من فئة ‪ 20‬ديناراً‬ ‫و‪ 25‬قطعة من فئة ‪ 50‬ديناراً‬ ‫ويمكن إيجاد أكثر من حل للحالات السابقة‪.‬‬ ‫فالمعادلة م = ‪ 20‬ن ‪ 50 +‬ك حيث ‪ ≤ 0‬ن > ‪ ≤ 0 ، 65‬ك > ‪26‬‬ ‫تعني أن م هو مجموع مضاعف للعدد ‪ 20‬ومضاعف للعدد ‪50‬‬ ‫فعندما م = ‪ 30‬فإن ‪ 20 = 30‬ن ‪ 50 +‬ك ليس لها حل في ط × ط‬ ‫وعندما م = ‪ 130‬فإن ‪ 1 × 50 + 4 × 20 = 130‬وهو حل وحيد (‪)1 ، 4‬‬ ‫وعندما م = ‪ 240‬فإن ‪4 × 50 + 2 × 20 = 240‬‬ ‫= ‪2 × 50 + 7 × 20‬‬ ‫‪44‬‬