ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ I (Συναρτήσεις-Όρια-Συνέχεια)

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Παράδειγμα 20 (*) (Υπολογισμός τριγωνομετρικού ορίου με χρήση του κριτηρίου παρεμβολής) Δίνεται συνάρτηση f : R → R για την οποία ισχύει ότι 3x − 5x2  f (x)  x2 + 3x για κάθε x  R . Να υπολογίσετε το όριο lim f (x) x→0  x Λύση Ακολουθούμε τη γνωστή διαδικασία «χτισίματος» αλλά πρέπει να προσέξουμε το πρόσημο του  x όταν x → 0 . Πράγματι: Έχουμε 3x − 5x2  f (x)  x2 + 3x για κάθε x  R και  x  0 για κάθε x  (0,  ) , ενώ  x  0 για κάθε x  (−  , 0) , άρα: 22 • Για x  (0,  ) ισχύει ότι  x  0 επομένως : 2 3x − 5x2  f (x)  x2 + 3x  x  x  x Είναι lim 3x − 5x2 = lim x  (3 − 5x) = lim 1  (3 − 5x) = 3 και  x x→0+  x  x x→0+ x→0+ x lim x2 + 3x = lim x  (3 + x) = lim 1  (3 + x) = 3 .  x  x  x x→0+ x→0+ x→0+ x Επομένως λόγω του κριτηρίου παρεμβολής έχουμε ότι: lim f (x) = 3 x→0+  x • Για x  (−  , 0) ισχύει ότι  x  0 επομένως : 2 3x − 5x2  f (x)  x2 + 3x  x  x  x Είναι lim 3x − 5x2 = lim x  (3 − 5x) = lim 1  (3 − 5x) =3 και  x x→0−  x  x x→0− x→0− x lim x2 + 3x = lim x  (3 + x) = lim 1 (3 + x) = 3  x  x  x x→0− x→0− x→0− x Επομένως λόγω του κριτηρίου παρεμβολής έχουμε ότι: lim f (x) = 3 . x→0−  x Τελικά τα δύο πλευρικά όρια είναι ίσα επομένως: lim f (x) = 3 . x→0  x 101 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α9. ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Παράδειγμα 21 Να υπολογίσετε το όριο lim (x − 2) x2 − 4 x→2 Λύση Παρατηρούμε ότι έχουμε σύνθεση στο ημίτονο οπότε χρησιμοποιούμε διαδικασία αλλαγής μεταβλητής για τον υπολογισμό τέτοιων ορίων. Θέτουμε u = x − 2 (η νέα μεταβλητή) και (αν είναι εφικτό) λύνουμε ως προς x: x = u + 2 (η παλαιά μεταβλητή) Υπολογίζουμε το όριο του u, όταν x → 2 , για να δούμε που θα τείνει η νέα μας μεταβλητή: lim u = lim(x − 2) = 0 , επομένως θα έχουμε u → 0 . x→2 x→2 Οπότε: lim (x − 2) = lim u = lim u = u  1 = 1 1 = 1 + 2)2 lim u + 4 4 x→2 x2 − 4 u→0 (u −4 u→0 u2 + 4u u→0 u 4 Παράδειγμα 22 (*) Να υπολογίσετε το όριο lim x − 2 + 3 x − 2 − 2 x→3 3 x − 2 − 6 x − 2 Λύση Παρατηρούμε ότι έχουμε όριο της μορφής 0 με ρίζες διαφορετικής τάξης αλλά με 0 το ίδιο υπόριζο. Σε αυτή τη περίπτωση κάνουμε αλλαγή μεταβλητής θέτοντας ως νέα μεταβλητή τη ρίζα, η οποία έχει τάξη το ΕΚΠ των τάξεων και υπόριζο το κοινό υπόριζο όλων των ριζών, που υπάρχουν στη συνάρτηση. Οπότε θέτουμε u = 6 x − 2 και έχουμε u2 = 3 x − 2 , u3 = x − 2 και limu = lim 6 x − 2 = 1 άρα u →1 . x→3 x→3 x−2 + 3 x−2 − 2 u = 6x − 2 u 3 + u2 −2 (u −1) (u2 + 2u + 2) Επομένως: lim = lim = lim = 5. x→3 3 x − 2 − 6 x − 2 u→1 u2 − u u →1 u (u −1) Παράδειγμα 23 Δίνεται η συνάρτηση f : R → R , για την οποία γνωρίζουμε ότι lim f (x) = 2 (1). x→1 x −1 Να υπολογίσετε τα όρια: α) lim f (x +1) , β) lim f ( x) , γ) lim f (1+ 3x) x  2x x2 − x x→0 x→0 x→0 Λύση α) Έστω lim f (x +1) = l x→0 x Θέτουμε u = x +1  x = u −1 με limu = lim( x +1) = 1, άρα u →1 . x→0 x→0 Επομένως l = lim f (u) = 2 . u→1 u −1 102 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ β) Έστω lim f ( x) = l x→0  2 x Θέτουμε u =  x  u2 =  2x  u2 = 1−2x  2x = 1− u2 , με limu = lim x = 1, άρα u →1. x→0 x→0 Επομένως l = lim f (u) = lim f (u) = lim− 1  f (u) (1) 1  2 = −1. u→1 1− u2 u u→1 1+ u 2 u →1 (1 − ) (1 + u ) u −1 =− γ) Έστω lim f (1+ 3x) =l x2 − x x→0 Θέτουμε u = 1+ 3x  3x = 1− u  x = 1− u , 3 με limu = lim(1+ 3x) = 1, άρα u →1. x→0 x→0 Επομένως l = lim f (u) = lim f (u) = lim 9  f (u) (1) 9  2 = −18 . u →1 u →1 u→1 u − 2 (1− u)2 − 1− u (1− u)(1− u − 3) u −1 =− 93 9 Α10. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ Παράδειγμα 24 Δίνεται συνάρτηση f : R → R για την οποία ισχύει ότι xf (x) − f (x)  x2 + 2x − 3 για κάθε x  R . Αν γνωρίζετε ότι το όριο lim f (x) υπάρχει στο R , να το υπολογίσετε. x→1 Λύση Αφού το όριο lim f (x) υπάρχει στο R ισχύει ότι lim f (x) = lim f (x) = lim f (x) =  x→1 x→1 x→1− x→1+ με   R . Έχουμε ότι: xf (x) − f (x)  x2 + 2x − 3 για κάθε x  R ή f (x)(x −1)  x2 + 2x − 3 για κάθε x  R Πρόκειται να διαιρέσουμε με το x −1 και αφού δε γνωρίζουμε πρόσημο διακρίνουμε περιπτώσεις. • Αν x  1 τότε f (x)  x2 + 2x − 3 (1) x −1 Είναι lim f (x) =  και lim x2 + 2x − 3 = lim (x −1) (x + 3) = 4 , άρα, αφού τα x→1+ x→1+ x −1 x→1+ x −1 όρια υπάρχουν, βάζοντας όρια και στα δυο μέλη της ανισότητας (1) έχουμε: lim f (x)  lim x2 + 2x − 3 άρα   4 (2) x→1+ x→1+ x −1 103 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ • Αν x 1 τότε f (x)  x2 + 2x − 3 (3) x −1 Είναι lim f (x) =  και lim x2 + 2x − 3 = lim (x −1) (x + 3) = 4 , άρα, αφού τα x→1− x→1− x −1 x→1− x −1 όρια υπάρχουν, βάζοντας όρια και στα δυο μέλη της ανισότητας (3) έχουμε: lim f (x)  lim x2 + 2x − 3 άρα   4 (4) x→1− x→1− x −1 Από τις σχέσεις (2) και (4) προκύπτει ότι  = 4 . Παράδειγμα 25 (*) Δίνεται συνάρτηση f : R → R για την οποία ισχύει ότι f 2 (2x) + xx  4xf (x) για κάθε x  R . Αν γνωρίζετε ότι lim f (x) = l , να δείξετε ότι l = 1 . x→0 x 2 Λύση Είναι f 2 (2x) + xx  4xf (x) για κάθε x  R ή f 2 (2x) − 4xf (x)  −xx για κάθε x  R Διαιρούμε και τα δύο μέλη με 4x2  0 για κάθε x  0 και έχουμε f 2 (2x) − 4xf (x)  −xx για κάθε x  0 4x2 4x2 4x2 f 2 (2x) − f (x)  − 1 x για κάθε x  0 (1) 4x2 x 4 x Είναι lim f 2 (2x) u=2x lim f 2 (u) = lim  f (u) 2 = l2 4x2 u2  u  x→0 = u→0 u→0 lim f (x) = l άρα x→0 x lim  f 2 (2x) − f (x)  = l 2 −l  4x2 x  x→0   Τέλος είναι lim(− 1  x) = − 1 1 = − 1 , άρα, αφού τα όρια υπάρχουν, βάζοντας x→0 4 x 4 4 όρια και στα δυο μέλη της ανισότητας (1) έχουμε: lim  f 2 (2x) − f (x)   lim  − 1   x  άρα  4x2 x   4 x  x→0   x→0 l2 − l  − 1  4l2 − 4l +1  0  (2l −1)2  0  2l −1 = 0  l = 1 42 104 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Β. ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ x0 Β1. Η ΜΟΡΦΗ  ΜΕ   0 0 Για τον υπολογισμό του ορίου (αν υπάρχει) lim f (x) , όπου lim f (x) =   0 και x→x0 g(x) x→x0 lim g(x) = 0 , δηλαδή όριο της μορφής  με   0 , ακολουθούμε την εξής x→x0 0 διαδικασία: 1. Γράφουμε το όριο lim f (x) = lim[ f (x) 1 ] x→x0 g(x) x→x0 g(x) 2. Ελέγχουμε το πρόσημο της συνάρτησης g(x) όταν x → x0 , και έχουμε: α. Αν η g(x) διατηρεί σταθερό πρόσημο όταν x → x0 , τότε • Αν g(x)  0 όταν x → x0 , είναι lim 1 = + . g(x) x→x0 Άρα lim f (x) = lim[ f (x) 1] =  (+) = +,   0 g(x) g(x) −,   0 x → x0 x → x0 • Αν g(x)  0 όταν x→ x0 , είναι lim 1 = − . g(x) x→x0 Άρα lim f (x) = lim[ f (x) 1] =  (−) = −,   0 g(x) g(x) +,   0 x → x0 x → x0 β. Αν η g(x) αλλάζει πρόσημο όταν x → x0 , τότε, τα πλευρικά όρια lim 1 και g(x) x→ x0− lim 1 είναι + ή − , αλλά διαφορετικά μεταξύ τους. x→x0+ g ( x) Άρα τα lim f (x) και lim f (x) (αν εργαστούμε όπως στο α) είναι + ή − , αλλά x→x0+ g(x) x→x0+ g(x) διαφορετικά μεταξύ τους, οπότε το ζητούμενο όριο δεν υπάρχει. Παράδειγμα 26 (Ο παρονομαστής διατηρεί σταθερό πρόσημο όταν x → x0 ) Να υπολογισθούν τα παρακάτω όρια : α) lim x+2 , β) lim x − 4 , γ) lim x − 3 x→2 x − 2 x→2+ 2 − x x→1 ( x −1)2 δ) lim x + 2 ε) lim x +2 στ) lim  2 − x +2  x→0  x −1  2 x−  −1)2 +  x→0 x2 x→1  (x x2 2 x − 3  Λύση 3 α) Έχουμε lim x+2 0 1 ]. Είναι: x→1 ( x − 1)2 = lim[(x + 2) ( x −1)2 x→1 lim(x + 2) = 3 και x→1 105 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ lim 1 = + , αφού ( x −1)2  0 όταν x →1 (δηλαδή ( x −1)2  0 για κάθε x→1 ( x − 1)2 x  (−,1)  (1, +) ). Άρα lim x+2 = lim[( x + 2) 1 ] = 3  (+) = + . x→1 ( x − 1)2 x→1 ( x −1)2 Τα παραπάνω μπορούν να γραφούν πιο σύντομα ως εξής 3 lim ( x +2 0 lim[( x + 2) ( 1 ] = 3(+) = + , αφού ( x −1)2  0 όταν x →1. x x→1 −1)2 = x→1 −1)2 x −2 β) Έχουμε lim x−4 0 1 ] . Είναι: = lim[(x − 4) x→2 x − 2 x→2 x−2 lim(x − 4) = −2 και x→2 lim 1 = + , αφού x − 2  0 όταν x → 2 . x→2 | x − 2 | Άρα lim x − 4 = lim(x − 4) 1 = −2 (+) = − . x→2 x − 2 x→2 x−2 Τα παραπάνω μπορούν να γραφούν πιο σύντομα ως εξής −2 lim x−4 0 1 = −2 (+) = − , αφού x − 2  0 όταν x → 2 . = lim(x − 4) x→2 x − 2 x→2 x−2 −1 γ) Έχουμε lim x−3 0 lim  ( x − 3) 2 1 x  . Είναι: 2−x  −  x→2+ = x→2+ lim (x − 3) = −1 και x→2+ lim 1 = − , αφού όταν x → 2+  x  2  2 − x  0 . x→2+ 2 − x Άρα lim x−3 = lim  ( x − 3) 2 1  = −1(−) = + . 2−x  − x  x→2+ x→2+ Τα παραπάνω μπορούν να γραφούν πιο σύντομα ως εξής −1 lim x−3 0 lim  ( x − 3) 1 x  = −1 ( − ) = + , αφού 2− x 0 όταν x → 2+ . 2−x  2−  x→2+ = x→2+ 2 δ) Έχουμε lim x+2 0 lim[( x + 2 ) 1 ] . Είναι: =  x −1 x→0  x −1 x→0 lim(x + 2) = 2 και x→0 lim 1 −1) = − , αφού  x 1   x −1 0 όταν x→0, (είναι x→0 ( x −1  x 1 για κάθε x  R ). Άρα lim x + 2 = lim[( x + 2) 1 ] = 2 (−) = − . x→0  x −1 x→0  x −1 106 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Τα παραπάνω μπορούν να γραφούν πιο σύντομα ως εξής 2 lim x+2 0 lim[( x + 2 ) 1 ] = 2 (−) = − , αφού  x 1   x −1 0 =  x −1 x→0  x −1 x→0 όταν x → 0 . 2 ε) Έχουμε lim x+2 0 lim[( x + 2 ) 1 ]. Είναι: x− x→0  2 x − x2 = x→0  2 x2 lim(x + 2) = 2 και x→0 lim 1 = − , αφού |x || x ||x |2 | x |2  2x  x2  2x − x2  0 x→0  2 x − x2 για κάθε x  R και η ισότητα ισχύει μόνο όταν x = 0 , άρα όταν x → 0 , είναι 2x − x2  0 . Άρα lim x + 2 = lim[( x + 2) 1 ] = 2 (−) = − . x→0  x −1 x→0  x −1 Τα παραπάνω μπορούν να γραφούν πιο σύντομα ως εξής 2 lim x+2 0 lim[( x + 2 ) 1 ] = 2 (−) = − , αφού  x 1   x −1 0 = x→0  x −1 x→0  x −1 στ) Παρατηρούμε πολύ εύκολα ότι, σύμφωνα με την παραπάνω μεθοδολογία, lim 2 = + και το όριο x+2 δεν υπάρχει (αυτό θα το δούμε x→1 (x −1)2 lim x→1 x2 + 2x − 3 αναλυτικότερα στο επόμενο λυμένο παράδειγμα), αυτό όμως δεν οδηγεί στο συμπέρασμα ότι το όριο δεν υπάρχει. Οπότε κάνουμε τα δύο κλάσματα ομώνυμα, ώστε να γίνουν ένα κλάσμα: lim  2 − x+2  = lim  2 − x+2  = lim 2(x + 3) − (x + 2)(x −1) = −1)2 −1)2 −1)(x + 3)  x→1  (x x2 + 2x − 3  x→1  (x (x  x→1 (x −1)2(x + 3)    8 lim −x2 + x +8 0 lim[ − x 2 + x+ 8 1 ] . Είναι: x −1)2 (x + 3) x+3 −1) x→1 ( = x→1 ( x 2 −x2 + x+8 =2 και lim x→1 x + 3 1 = + , αφού (x −1)2 0 όταν x →1. lim x→1 (x −1)2 Άρα lim −x2 + x + 8 = lim[−x2 + x + 8 1 ]= 2(+) = + x→1 (x −1)2 (x + 3) x→1 x + 3 (x −1)2 Τα παραπάνω μπορούν να γραφούν πιο σύντομα ως εξής 8 lim −x2 + x +8 0 lim[ − x2 + x + 8 1 ] = 2(+) = + , αφού (x −1)2  0 όταν x −1)2 (x + 3) x+3 −1)2 x→1 ( = x→1 ( x x →1. 107 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Παράδειγμα 27 (Ο παρονομαστής δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο όταν x → x0 ) Να υπολογισθούν τα παρακάτω όρια : α) lim x2 x+2 , β) lim x+2 γ) lim x − 2 δ) lim x2 + 5 −3 + 2x −3 2x − x2 x→0+ x − x x2 − 4x + 4 x→1 x→2 x→2 Λύση 3 α) Έχουμε lim x+2 0 x+2 = lim[ x + 2  1 ] = lim x→1 x2 + 2x − 3 x→1 (x + 3)(x −1) x→1 x + 3 x −1 (Είναι x −1  0 για x 1 και x −1  0 για x  1, οπότε «παίρνουμε» πλευρικά όρια) lim[ x + 2  1 ] = 3  (−) = − , αφού x −1  0 όταν x → 1− και x→1− x + 3 x −1 4 lim[ x + 2  1 ] = 3  (+) = + , αφού x −1  0 όταν x → 1+ . x→1+ x + 3 x −1 4 Άρα το όριο που αναζητούμε δεν υπάρχει. 4 β) Έχουμε lim x+2 0 x+2 = x+ 2  1 ] 2x − x2 x(2 − x) lim[ 2− x x→2 = lim x→2 x x→2 (Είναι 2 − x  0 για x  2 και 2 − x  0 για x  2 , οπότε «παίρνουμε» πλευρικά όρια) lim[ x + 2  1 ] = 2  (+) = + , αφού 2 − x  0 όταν x → 2− και x→2− x 2 − x lim[ x + 2  1 ] = 2  (−) = − , αφού 2 − x  0 όταν x → 2+ . x→2+ x 2 − x Άρα το όριο που αναζητούμε δεν υπάρχει. −2 γ) Έχουμε lim x−2 0 lim[( x − 2 )  1 ] = x→0 x − x x→0 x − x (Είναι | x || x | για κάθε x  R και η ισότητα ισχύει μόνο για x = 0 , άρα για x  0 ισχύει | x | −x  x   x  −x  x − x  0 και για x  0 ισχύει | x | x  −x   x  x  x − x  0 , οπότε «παίρνουμε» πλευρικά όρια) lim[( x − 2)  1 ] = (−2) (−) = + , αφού x − x  0 όταν x → 0− και x→0− x − x lim[( x − 2) 1 ] = (−2)  (+) = − , αφού x − x  0 όταν x → 0+ . x→0+ x − x Άρα το όριο που αναζητούμε δεν υπάρχει. δ) Έχουμε ( )( )lim 0 x2 + 5 −3 x2 + 5 + 3 x2 + 5 − 3 0 lim = lim x2 − 4 = = ( ) ( )x→2 x2 − 4x + 4 x→2 ( x − 2)2 x2 + 5 + 3 x→2 ( x − 2)2 x2 + 5 + 3 108 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ( ) ( )(x − 2)(x + 2) 4 lim 0 x+2  x2 + 5 +  x→2 ( x − 2)2 x2 + 5 + 3  = lim x+2 = lim   x 1 2 x2 + 5 + 3  − x→2 ( x − 2) x→2 3 (Είναι x − 2  0 για x  2 και x − 2  0 για x  2 , οπότε «παίρνουμε» πλευρικά όρια) lim  x+2  1  = 2  (−) = − , αφού x−20 όταν x → 2− και  x2 + 5 + −  3 x→2−  3 x 2  lim  x+2  1 = 2  (+) = + , αφού x−20 όταν x → 2+ .  x2 + 5 + 3  3 x→2+  x − 2  Άρα το όριο που αναζητούμε δεν υπάρχει. Β2. ΜΕ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Παράδειγμα 28 ( )Δίνεται συνάρτηση f : R → R για την οποία ισχύει ότι lim x2 f (x) = 3. x→0 Να υπολογίσετε τα όρια α) lim f (x) και β) lim x − 2 x→0 x→0 f (x) Λύση α) Για x  0 θέτουμε g(x) = x2 f (x) με lim g(x) = 3 και έχουμε: x→0 g(x) = x2 f (x)  f (x) = g(x) (1). x2 3 Οπότε: lim f (1) g(x) 0 lim  g(x) 1  = 3  ( + ) = + x2  x2  x→0 (x) = lim = x→0 x→0 β) Θα χρησιμοποιήσουμε τη βοηθητική συνάρτηση από τη σχέση (1): lim x − 2 (1) x − 2 = lim x2 (x − 2) = 0 = 0 = lim x→0 f (x) x→0 g(x) x→0 g(x) 3 x2 Β3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ Παράδειγμα 29 (Μη πεπερασμένο όριο - συνάρτηση με απόλυτες τιμές της f (x) ) Δίνεται συνάρτηση f : R → R για την οποία ισχύει ότι lim f (x) = + . x→2 Να υπολογίσετε το όριο lim x−2 x→2 3 − xf (x) − 2 f (x) − 3 Λύση Είναι γνωστό ότι: • Αν lim f (x) = l  0 , τότε f (x)  0 όταν x → x0 οπότε και x→x0 Αν lim f (x) = + , τότε f (x)  0 όταν x → x0 . x→x0 • Αν lim f (x) = l  0 , τότε f (x)  0 όταν x → x0 οπότε και x→x0 Αν lim f (x) = − , τότε f (x)  0 όταν x → x0 . x→x0 109 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Παρατηρούμε ότι lim(3 − xf (x)) = − επομένως 3 − xf (x)  0 όταν x → 2 και x→2 lim(2 f (x) − 3) = + επομένως 2 f (x) − 3  0 όταν x → 2 . x→2 Επομένως το αρχικό όριο γίνεται: lim x − 2 = lim x − 2 = lim x − 2 = x→2 3 − xf (x) − 2 f (x) − 3 x→2 −(3 − xf (x)) − (2 f (x) − 3) x→2 −3 + xf (x) − 2 f (x) + 3 lim x − 2 = lim 1 = 0 αφού lim f (x) = + . x→2 f (x) (x − 2) x→2 f (x) x→2 Β4. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ Παράδειγμα 30 Δίνεται συνάρτηση f : R → R για την οποία ισχύει ότι f (x)  x2 + 3x για κάθε x  R . Να υπολογίσετε τo όριο lim f (x) x→0−  x − x Λύση Θα διαιρέσουμε και τα δύο μέλη της δεδομένης ανισότητας με x − x , αλλά πρέπει να προσέξουμε το πρόσημο του όταν x → 0− . Πράγματι:  x  x για κάθε x  R και η ισότητα ισχύει μόνο για x = 0 , οπότε όταν x → 0− , δηλαδή x  0 , έχουμε:  x  −x  x   x  −x   x − x  0 . Επομένως: f (x)  x2 + 3x  x − x  x − x 0 x2 + 3x 3 xx Είναι: lim x2 + 3x 0  x − x = lim x + 3 0 lim ( x + 3) 1 = 3  (−) = − ,  x − x = lim x→0− = x→0−  x→0−  x − x x→0− 1 − 1 xx x x αφού όταν x → 0− , έχουμε  x − x  0 x0  x −1 0.  x Άρα από θεωρία είναι και lim f (x) = − x→0−  x − x Παρατήρηση Χρησιμοποιήσαμε την γνωστή από θεωρία πρόταση: Έστω ότι f (x)  g(x) για κάθε x (, x0 )  ( x0, ) : • Αν lim f (x) = + , τότε έχουμε και lim g(x) = + x → x0 x→x0 • Αν lim g(x) = − , τότε έχουμε και lim f (x) = − x→x0 x → x0 110 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Γ. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ x0 Γ1. ΕΥΡΕΣΗ ΤΙΜΗΣ Ζητείται η εύρεση της τιμής της ή των παραμέτρων, ώστε το όριο μιας συνάρτησης, η οποία στον τύπο της περιέχει παραμέτρους, να ισούται με  (  R −, + ). Παράδειγμα 31 (Πραγματικό όριο της μορφής 0 ) 0 Αν γνωρίζετε ότι lim x2 − 4 x + 3 2 = 2 +1, με  0, να βρείτε την τιμή του x2 − 2 x→ πραγματικού αριθμού  . Λύση 0 lim x2 − 4 x + 3 2 0 lim ( x −  )( x − 3 ) = lim x − 3 = −2  0 x2 − 2 x + 2 x→ = x→ (x −  )(x +  ) x→ = −1 Άρα πρέπει 2 +1 = −1   = −1 Τέλος επαληθεύουμε ότι για  = −1 όντως ισχύει ότι lim x2 + 4x + 3 = −1. x→−1 x2 −1 Πράγματι lim x2 + 4x + 3 = lim (x +1)(x + 3) = lim x + 3 = −1. x→−1 x2 −1 x→−1 (x −1)(x +1) x→−1 x −1 Παράδειγμα 32 (Πραγματικό όριο με μία μεταβλητή) Αν γνωρίζετε ότι lim x−  R να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού  . x2 −1 x→1 Λύση Θέτουμε f (x) = x− με x (−, −1)  (−1,1)  (1, +) και lim f (x) = l  R x2 −1 x→1 Πολλαπλασιάζοντας «χιαστί» έχουμε f (x)(x2 −1) = x −  Βάζουμε όρια και στα δυο μέλη στην τελευταία σχέση: lim[ f (x)(x2 −1)] = lim(x − )  l 0 =1−    =1 . x→1 x→1 Τέλος επαληθεύουμε ότι για  = 1 όντως ισχύει ότι lim f (x)  R : x→1 0 Πράγματι έχουμε lim x −1 0 lim (x x −1 = lim 1 = 1R . x2 −1 −1)(x +1) x +1 2 x→1 = x→1 x→1 Παράδειγμα 33 (Πραγματικό όριο με μία μεταβλητή) Αν γνωρίζετε ότι lim x2 − 2x + 5 =3 να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού  . x2 − x + 3 x→1 Λύση Θέτουμε f (x) = x2 − 2x + 5 με lim f (x) = 3 x2 − x + 3 x→1 ( )Πολλαπλασιάζοντας «χιαστί» έχουμε f (x)  x2 − x + 3 = x2 − 2x + 5 111 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Βάζουμε όρια και στα δυο μέλη στην τελευταία σχέση: ( )lim f (x)  x2 − x + 3 = lim( x2 − 2x + 5)  3(4 −  ) = 6 − 2   = 6 x→1 x→1 Τέλος επαληθεύουμε ότι για λ=6 η τιμή του αρχικού ορίου είναι 3. Παράδειγμα 34 (Πραγματικό όριο με δύο μεταβλητές) Αν γνωρίζετε ότι x2 + x +  =5 να βρείτε τις τιμές των  και . lim x→−1 x2 + 3x + 2 Λύση Θέτουμε f (x) = x2 + x +  με lim f (x) = 5 . x2 + 3x + 2 x→−1 ( )Πολλαπλασιάζοντας «χιαστί» έχουμε f (x)  x2 + 3x + 2 = x2 + x +  Βάζουμε όρια και στα δυο μέλη στην τελευταία σχέση: ( )lim( f (x)  x2 + 3x + 2 ) = lim(x2 + x + ) άρα  −  +1 = 0 . x→−1 x→−1 Επομένως  =  −1 (1). (λύσαμε τη σχέση ως προς την μια παράμετρο) Ξαναγράφουμε το αρχικό όριο, αντικαθιστώντας από τη σχέση (1) τη μια παράμετρο και έχουμε ότι: lim x2 +  x +  −1 = 5 x2 + 3x + 2 x→−1 Παρατηρούμε (αντικαθιστώντας όπου x = −1 ) ότι το όριο είναι της μορφής 0 , 0 οπότε: lim (x −1)(x +1) + (x +1) = 5  lim x −1+  = 5  −2 +  = 5   = 7 και x→−1 (x +1)(x + 2) x→−1 x + 2 1 επομένως από τη σχέση (1)  = 6 . Τέλος επαληθεύουμε ότι για  = 7 και  = 6 το αρχικό όριο πράγματι ισούται με 5. Παράδειγμα 35 (Μη πεπερασμένο όριο με μία μεταβλητή) Αν γνωρίζετε ότι lim x2 + x−5 + 3 = − να βρείτε την τιμή του πραγματικού x −  x→3 αριθμού λ Λύση Θέτουμε f (x) = x − 5 για την οποία ισχύει ότι lim f (x) = − . x2 + x −  + 3 x→3 Κάνοντας «ανταλλαγή» έχουμε: x2 + x −  + 3 = x − 5 f (x) Βάζουμε όρια και στα δυο μέλη στην τελευταία σχέση: lim(x2 + x −  + 3) = lim x − 5  12 + 2 = 0   = −6 x→3 x→3 f (x) διότι lim(x − 5) = −2 και lim f (x) = − . x→3 x→3 112 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Τέλος επαληθεύουμε ότι για  = −6 όντως ισχύει ότι lim f (x) = − : x→3 Πράγματι έχουμε lim f (x) = lim x2 x−5 = lim ( x−5 = lim( x − 5) ( 1 = −3(+) = − , αφού x→3 −6x +9 x→3 x→3 x − 3)2 x→3 x − 3)2 ( x − 3)2  0 όταν x → 3. Παράδειγμα 36 (Μη πεπερασμένο όριο με μία μεταβλητή) Αν γνωρίζετε ότι lim x2 x2 + = + να βρείτε την τιμή του  R. − 4x +2 x→ Λύση Θέτουμε f (x) = x2 x2 + με lim f (x) = + − 4x +2 x→a Κάνοντας «ανταλλαγή» έχουμε: x2 − 4x +  2 = x2 +  f (x) Βάζουμε όρια και στα δυο μέλη στην τελευταία σχέση: lim(x2 − 4x +  2 ) = lim x2 +   2 2 − 4 = 0   = 0 ή a = 2 . x→a x→a f (x) Τέλος επαληθεύουμε: Για α=0: lim x2 x2 + = lim x2 = lim x = 0 άτοπο. − 4x +2 x2 − 4x x→0 x−4 x→ x→0 Για α=2: x2 + 2 − 4x + ( )x2 + lim x2 − 4x + 2 = lim x2 4 = lim x2 + 2 = lim x2 + 2 1 = 6(+) = + , (x − 2)2 x→2 x→ x→2 x→2 ( x − 2)2 αφού ( x − 2)2  0 όταν x → 2 . Άρα η τιμή που αποτελεί λύση είναι η α=2. Γ2. ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ Ζητείται να βρεθεί ένα όριο για τις διάφορες πραγματικές τιμές της παραμέτρου Παράδειγμα 37 (Παραμετρικό όριο με μία μεταβλητή στον αριθμητή) Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού  να υπολογίσετε το lim x2 −  . x→1 x −1 Λύση Υπολογίζουμε το όριο του αριθμητή και διακρίνουμε τις περιπτώσεις να μηδενίζεται ή όχι. lim(x2 − ) = 1−  . x→1 Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: 1η Περίπτωση: Αν λ=1 τότε έχουμε : lim x2 −  = lim x2 −1 = lim (x −1)(x +1) = 2 x→1 x −1 x→1 x −1 x→1 x −1 2η Περίπτωση: Αν   1τότε έχουμε 113 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ x2 −     0) 1 ( = lim 0 ( )• lim x2 −  x→1 x −1 x→1 x −1 • x −1  0 για x  (1, +) και x −1  0 για x  (−,1) οπότε ( )lim 1 = (1− )(+) = +,   1 x −1 −,   1 x→1+ x2 −  και ( )lim 1= −,   1. x −1 +,   1 x→1− x2 −  (1− )(−) = Επομένως το όριο δεν υπάρχει σε καμία περίπτωση. Άρα τελικά έχουμε: lim x2 −  = 2,  ά,   =1 x −1    1 x→1 Παράδειγμα 38 (Παραμετρικό όριο με μία μεταβλητή στον παρονομαστή) Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού  να υπολογίσετε το x2 −1 . lim x→1 x −  Λύση Υπολογίζουμε το όριο του παρονομαστή και διακρίνουμε τις περιπτώσεις να μηδενίζεται ή όχι. (δε μας επηρεάζει η τιμή του ορίου του αριθμητή) lim(x − ) = 1−  x→1 Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: 0 1η Περίπτωση: Αν λ=1 τότε lim x2 −1 = lim x2 −1 0 lim ( x − 1)( x + 1) = 2 = x→1 x −  x→1 x −1 x→1 x −1 2η Περίπτωση: Αν   1 τότε lim x2 −1 = 0 = 0 x→1 x −  1−  Άρα τελικά έχουμε: lim x2 −1 = 2,   =1 x− 0,   1 x→1 Παράδειγμα 39 (Παραμετρικό όριο με μία μεταβλητή και στους δύο όρους του κλάσματος) Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού  να υπολογίσετε το lim x + 2 . x2 −  x→1 Λύση Υπολογίζουμε το όριο του παρονομαστή και διακρίνουμε τις περιπτώσεις να μηδενίζεται ή όχι (δε μας επηρεάζει αν το όριο του αριθμητή μηδενίζεται για άλλες τιμές και δεν χρειάζεται να διακρίνουμε παραπάνω περιπτώσεις). lim(x2 − ) = 1−  x→1 Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: 1η Περίπτωση: Αν λ=1, lim x + 2 = lim x + 2 x→1 x2 −  x→1 x2 −1 114 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 • lim x+2 0 lim (x x+2 = lim( x+2  1) x2 −1 −1)(x +1) x +1 x −1 x→1 = x→1 x→1 • x −1  0 για x  (1, +) και x −1  0 για x  (−1,1) οπότε lim( x + 2  1 ) = 3 (−) = − και x→1− x +1 x −1 2 lim( x + 2  1 ) = 3 (+) = + . x→1+ x +1 x −1 2 Επομένως το όριο δεν υπάρχει σε καμία περίπτωση. 2η Περίπτωση: Αν  1: lim x + 2 = 1+ 2 x2 −  1−  x→1 x + 2   ά,   =1 x2 −    1 Άρα τελικά έχουμε: lim = 1+ 2 ,  1−  x→1 115 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Δ. ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ Δ1. ΟΡΙΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗΣ & ΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ( )β) lim x3 − 3x + 2 x→− Παράδειγμα 40 Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια ( )α) lim −x3 + 2x2 − 23 x→+ γ) lim 2x +1 δ) lim 2x2 +1 x→+ 4x2 − 2x + 2 x→+ 3x2 − 2x + 2 ε) lim 2x3 −1 στ) lim  x3 − 2 − x2 + 3  x→− 4x2 − 2x + 2  x +1  x→+  x −1  Λύση ( ) ( ) −(+)3 α) lim −x3 + 2x2 − 23 = lim −x3 = −  x→+ x→+ ( ) (−)3 β) lim x3 − 3x + 2 = lim x3 = −  x→− x→− γ) lim 2x +1 2 = lim 2x = lim 2 = 0 4x2 − 2x + 4x 2 x→+ 4x x→+ x→+ δ) lim 2x2 +1 2 = lim 2 x2 =2 3x2 − 2x + 3 x2 3 x→+ x→+ ε) lim 2x3 −1 = lim 2x3 = lim 1 x = − x→− 4x2 − 2x + 2 x→− 4x2 2x→− στ) Παρατηρούμε ότι: lim x3 − 2 = lim x3 = lim x2 = + και lim x2 + 3 = lim x2 = lim x = + , άρα x→+ x +1 xx→+ x→+ x→+ x −1 xx→+ x→+ έχουμε απροσδιοριστία της μορφής (+) − (+) , επομένως θα κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα. Πράγματι: lim  x3 −2 − x2 +3  =  x +1 x −1  x→+   lim (x3 − 2)(x −1) − (x2 + 3)(x +1) = x→+ (x +1)(x −1) lim x4 − 2x3 − x2 − 5x −1 = x2 −1 x→+ lim x4 = lim x2 = + . xx→+ 2 x→+ 116 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Δ2. ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ Παράδειγμα 41 x4 − x + 2 − 2x + 3 Να υπολογίσετε το όριο lim x→− x2011 + 4x + 1 − x3 Λύση ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Είναι γνωστό ότι: • Αν lim f (x) = + είναι f (x)  0 όταν x → + x→+ • Αν lim f (x) = − είναι f (x)  0 όταν x → + x→+ • Αν lim f (x) = + είναι f (x)  0 όταν x → − x→− • Αν lim f (x) = − είναι f (x)  0 όταν x → − x→− Επομένως για να βγάλουμε το απόλυτο, υπολογίζουμε το όριο της περιεχόμενης του απολύτου συνάρτησης και αν αυτό ισούται με + τότε το απόλυτο βγαίνει χωρίς αλλαγή προσήμων για τη συνάρτηση που περιέχει, ενώ στην αντίθετη περίπτωση αλλάζουμε τα πρόσημα. Πράγματι: ( )lim x4 − x + 2 = lim x4 = + , επομένως x4 − x + 2  0 όταν x → − . x→− x→− ( )lim x2011 + 4x +1 = lim x2011 = − , επομένως x2011 + 4x +1  0 όταν x → − . x→− x→− Άρα το όριο γίνεται: lim x4 − x + 2 − 2x + 3 = lim x4 − x + 2 − 2x + 3 = lim x4 = lim − 1 =0. x2011 + 4x +1 − x3 −x2011 − 4x −1− x3 − x2011 x 2007 x→− x→− x→− x→− Δ3. ΟΡΙΟ ΑΡΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Παράδειγμα 42 Να υπολογίσετε τα όρια ( )α) lim x2 + x + x , ( )β) lim x2 + x − 2x , ( )γ) lim x2 + x +1 − x , x→+ x→− x→+ δ) lim x2 +1 − x , ε) lim 4x2 +1 + 2x x→+ x2 + 3 + x x→− 9x2 + 3 + 3x Λύση ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Για να υπολογίσουμε το όριο μιας ρίζας στο άπειρο πρέπει να βγάλουμε κοινό παράγοντα το μεγιστοβάθμιο όρο εντός της ρίζας και στη συνέχεια να τον βγάλουμε εκτός ρίζας (προσοχή στο πρόσημο αναλόγως του απείρου στο οποίο τείνει το x). Με αυτή τη διαδικασία το όριο της ρίζας που απομένει θα είναι πάντα μονάδα (1). Σε περίπτωση που εκτός της ρίζας υπάρχει και άλλη παράσταση πρέπει πρώτα να προσέξουμε αν τυχόν ο συντελεστής που θα προκύψει μπροστά από τη ρίζα είναι αντίθετος με τον μεγιστοβάθμιο όρο της άλλης παράστασης. Σε αυτή τη περίπτωση πρώτα πολλαπλασιάζουμε με τη συζυγή παράσταση (σε αριθμητή και παρονομαστή) και στη συνέχεια ακολουθούμε τη παραπάνω διαδικασία. 117 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ( )α) lim  x2 1   1  x0 x→+ x   x x  x2 + x + x = lim  (1 + ) + x = lim | x | 1+ + = x→+ x→+ lim  x 1+ 1 +  = lim  1+ 1  = +  (2) = + .  x x  x  x + 1 x→+ x→+ ( )β) lim  x2 1   1  x−1 x→− x   x 2x  = x2 + x − 2x = lim  (1 + ) − 2x = lim | x | 1+ − x→− x→− lim  − x 1+ 1 −  = lim  1+ 1 −  = −  (−3) = + .  x 2x  x  − x 2  x→− x→− γ) Παρατηρούμε ότι ακολουθώντας την παραπάνω διαδικασία, μπροστά στη ρίζα θα έχουμε x και ο μεγιστοβάθμιος όρος εκτός ρίζας είναι –x, δηλαδή αντίθετοι, άρα ξεκινάμε πολλαπλασιάζοντας αριθμητή και παρονομαστή με τη συζυγή παράσταση. ( ) ( )( )lim x2 + x +1 − x = lim x2 + x +1 − x x2 + x +1 + x x2 + x − x2 = lim x→+ x→+ x2 + x +1 + x x→+ x2 + x +1 + x = …= lim x = 1 x→+  2 x 1+ 1 + 1 +1  x x2  δ) Nα προσέξουμε ιδιαίτερα το ότι ενώ στον αριθμητή έχουμε θέμα απροσδιοριστίας στον παρονομαστή δε συμβαίνει το ίδιο, επομένως θα χρειαστεί να πολλαπλασιάσουμε μόνο με τη συζυγή του αριθμητή. lim x2 +1 − x = lim ( x2 +1 − x)( x2 +1 + x) = ... = x→+ x2 + 3 + x (x→+ x2 + 3 + x)( x2 +1 + x) lim x2 +1− x2 = x→+    x 1+ 3 +1 x 1+ 1 +1  x2 x2    lim 1 = 0 . x→+    x 1+ 3 +1 x 1+ 1 +1  x2 x2    ε) Θα χρειαστούμε τη συζυγή παράσταση και για τους δύο όρους lim 4x2 +1 + 2x = lim ( 4x2 +1 + 2x)( 4x2 +1 − 2x)( 9x2 + 3 − 3x) = x→− 9x2 + 3 + 3x (x→− 9x2 + 3 + 3x)( 9x2 + 3 − 3x)( 4x2 +1 − 2x) lim (4x2 +1− 4x2 )( 9x2 + 3 − 3x) = ... = lim  1 + 1  −3x  3x2 +1 =1   x→− (9x2 + 3 − 9x2 )( 4x2 +1 − 2x) x→− ( )  1  2  4x2 +1 3 −2 x 1+   118 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Να σημειωθεί ότι σε όλα τα παραδείγματα που χρειάζονται τελικά τη χρήση της συζυγούς παράστασης μόλις γίνει ο πολλαπλασιασμός και προκύψει η διαφορά τετραγώνων οι μεγιστοβάθμιοι όροι που προκύπτουν πάντα απλοποιούνται. Παράδειγμα 43 (Με πολλά ριζικά) ( )β) lim x2 + 2x −1 + 9x2 +1 − 16x2 +1 x→+ Να υπολογίσετε τα όρια ( )α) lim x2 + x + x2 −1 − 2x , x→+ Λύση Η διαδικασία παραμένει ουσιαστικά η ίδια απλά τώρα ελέγχουμε όλα τα εξαγόμενα των ριζών σε σχέση με τους μεγιστοβάθμιους εκτός των ριζών αν έχουν άθροισμα 0, για να χρησιμοποιήσουμε συζυγείς παραστάσεις. α) Από τις δύο ρίζες προκύπτουν συντελεστές x και x αντίστοιχα που με τον −2x εκτός ρίζας έχουν άθροισμα 0 επομένως θα γράψουμε το −2x = −x − x και θα δημιουργήσουμε 2 επιμέρους απροσδιοριστίες για να κάνουμε 2 συζυγείς παραστάσεις. ( ) ( )lim x2 + x + x2 −1 − 2x = lim x2 + x − x + x2 −1 − x = x→+ x→+ lim  ( x2 + x − x)( x2 + x + x) + ( x2 −1 − x)( x2 −1 + x)  =  x2 + x + x x2 −1 +x  x→+        x2 +x − x2 x2 −1− x2   x+ −1  lim   1+ 1  +   = lim  =   x         x→+   +1  1 +1  x→+   1 +1 x 1 1    x2   x x2  x x 1− x 1+   1− +     1+ −1  1 +0 = 1 lim   = 2 2       x→+  1 +1 x 1 1  x x2 1+   1− +  β) Η διαφορά σε αυτή τη περίπτωση είναι ότι δεν έχουμε όρο εκτός των ριζών, ώστε να προκύψουν επιμέρους απροσδιοριστίες, οπότε θα προσθαφαιρέσουμε εμείς κάποιους όρους (τους κατάλληλους), ώστε να δημιουργηθούν οι απροσδιοριστίες αυτές. ( )lim x2 + 2x −1 + 9x2 +1 − 16x2 +1 = x→+ ( )lim x2 + 2x −1 − x + 9x2 +1 − 3x − 16x2 +1 + 4x = x→+ ( )lim ( x2 + 2x −1 − x) + ( 9x2 +1 − 3x) − ( 16x2 +1 − 4x) = x→+ 119 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ lim ( x2 + 2x −1 − x)( x2 + 2x −1 + x) + ( 9x2 +1 − 3x)( 9x2 +1 + 3x) x→+ ( x2 + 2x −1 + x) ( 9x2 +1 + 3x) − ( 16x2 +1 + 4x)( 16x2 +1 − 4x) = ( 16x2 +1 + 4x) lim [ x2 + 2x −1− x2 + 9x2 +1− 9x2 − 16x2 +1−16x2 ] = x→+      x 1+ 2− 1 +1 3x  1 + 1 +1 4x 1 + 1 +1  x x2 9x2 16 x 2      lim [ 2x −1 + 1 − 1 ] = x→+      x 1+ 2 − 1 +1 3x  1+ 1 +1 4x 1 + 1 +1  x x2 9x2 16x2      2− 1 + 1 − 1 ] =1+ 0 = 0 =1 lim [ x x→+       1+ 2 − 1 +1 3x  1+ 1 +1 4x 1 + 1 2 +1  x x2 9x2 16x      Δ4. ΤΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ Παράδειγμα 44 Δίνεται συνάρτηση f : R → R για την οποία ισχύει ότι ( )x3 −1  x3 −12x +1 f (x)  x3 + 2x − 2 για κάθε x  R . Να υπολογίσετε το όριο lim f (x) x→+ Λύση Για να χρησιμοποιήσουμε το κριτήριο παρεμβολής, πρέπει να διαιρέσουμε όλα τα μέλη της ανισο-ισότητας με το πολυώνυμο x3 −12x +1 , οπότε θα πρέπει να εξετάσουμε το πρόσημο του x3 −12x +1 όταν το x → + . Πράγματι: ( )lim x3 −12x +1 = lim x3 = + , επομένως έχουμε x3 −12x +1  0 , όταν x → + . x→+ x→+ Άρα όταν x → + έχουμε x3 −1  f (x)  x3 + 2x − 2 x3 −12x +1 x3 −12x +1 Είναι lim x3 x3 −1 1 = lim x3 =1 και lim x3 + 2x − 2 = lim x3 =1. −12x + x3 x3 −12x +1 x3 x→+ x→+ x→+ x→+ Άρα με χρήση του κριτηρίου παρεμβολής lim f (x) = 1. x→+ Παράδειγμα 45 Να υπολογίσετε τα όρια α) lim  x β) lim  x γ) lim x x δ) lim 3x −2x xx→+ xx→− x2 + x x→+ 2x − 3x x→+ Λύση α) Για κάθε x  R ισχύει ότι 120 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ  x  1 x→+ 1 επομένως = xx x − 1   x  1 και έχουμε ότι xxx lim  − 1  = lim 1 = 0.  x  x x→+ x→+ Επομένως από κριτήριο παρεμβολής έχουμε ότι lim  x = 0 xx→+ β) Για κάθε x  R ισχύει ότι  x  1 x→− 1 επομένως xx =− x 1   x  − 1 και έχουμε ότι xx x lim 1 = lim  − 1  = 0 . x  x  x→− x→− Επομένως από κριτήριο παρεμβολής έχουμε ότι lim  x = 0 xx→− Παρατήρηση Παρόμοια με τα α) και β) δείχνουμε ότι lim ( x) = 0 και lim  ( x) = 0 x→  x x→  x γ) Για κάθε x  R ισχύει ότι x x  x επομένως x2 + x x2 + x − x  x x  x και έχουμε ότι x2 + x x2 + x x2 + x lim  − x  = lim x = 0 διότι lim x = lim x = lim 1 =0  x2 + x  x2 + x x2 + x x2 xx→+ x→+ x→+ x→+ x→+ Επομένως από κριτήριο παρεμβολής έχουμε ότι lim x x = 0 x→+ x2 + x δ) lim 3x −2x = lim 3x − 2x = lim 3 − 2x = 3 , αφού: 2x − 3x x x x 2 x→+ x→+ 2x x→+ x −  3x 2 −  3x x x • lim 2x = 0 , σύμφωνα με την παραπάνω Παρατήρηση xx→+ • lim  3x = 0 , εντελώς όμοια. xx→+ 121 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Δ5. ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Παράδειγμα 46 Να υπολογίσετε τα όρια α) lim (3x5 − x +1)5 − 3x5 + x β) lim x2 + x − x2 + x +1 γ) lim  x 1 (3x5 − x + 1)3 x→+ x2 + x + x2 + x +1  x  x→− x→+ Λύση α) Είναι lim (3x4 − x +1)5 − 3x4 + x = (3x4 − x +1)5 − (3x4 − x +1) +1 =l lim (3x4 − x +1)3 x→− (3x4 − x +1)3 x→− Θέτουμε u = 3x4 − x +1 με lim u = lim (3x4 − x +1) = lim (3x4) = + , άρα u → + . x→− x→− x→− Οπότε l = lim u5 −u +1 = lim u5 −u + 1 = lim u5 = lim u2 = + u→+ u3 u3 u3 u→+ u→+ u→+ ( )β) Είναι lim x2 + x − x2 + x +1 x2 + x +1 = lim x2 + x +1 −1− =l ( )x→+ x2 + x + x2 + x +1 x→+ x2 + x +1 −1+ x2 + x +1 Θέτουμε u = x2 + x +1 με lim u = lim x2 + x + 1 = lim  x 1+ 1 + 1  = + , άρα  x x2  x→+ x→+ x→+ u → + . Οπότε l = lim u 2 −1− u = lim u 2 =1 u 2 −1+ u u 2 u→+ u→+ γ) Είναι lim  x 1 =l  x  x→+ Θέτουμε u = 1 με lim u = lim 1 = 0 , άρα u → + . x xx→+ x→+ Οπότε l = lim 1 u = limu = 1 u→0 u u→0 u Παράδειγμα 47 Δίνεται συνάρτηση f :R→R για την οποία ισχύει ότι lim f (x) − 2x2 = 3. Να x2 +1 x→+ υπολογίσετε τα όρια α) lim f (x) β) lim 5 f 3(x) − 3 f 2(x) + f (x) −1 γ) lim  f (x) 1 x2 − f 2(x) − 2 f (x) +1   x→+ x→+ x→+  f (x)  Λύση α) Για κάθε x  R , θέτουμε g(x) = f (x) − 2x2 με lim g(x) = 3 . x2 +1 x→+ ( )Λύνουμε ως προς f (x) και έχουμε: f (x) = g(x) x2 +1 + 2x2 (1) για κάθε x  R . Οπότε: ( ( ) )lim f (x) = lim g(x) x2 +1 + 2x2 = 3(+) +  = + x→+ x→+ 122 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ( )limf (x) (1) g(x) x2 +1 + 2x2 + x2[g(x) 1+ 1  + 2] x2 x2 + x2 x2  x→+ = lim = lim = x→+ x→+ lim  g(x) 1+ 1  +  = 5 .  x2  2  x→+ β) 1ος τρόπος: Είναι lim 5 f 3(x) − 3 f 2 (x) + f (x) −1 = l x→+ − f 2 (x) − 2 f (x) +1 Θέτουμε u = f (x) με lim u = lim f (x) = + , άρα u → + . x→+ x→+ 5u5 − 3u2 + u −1 5u5 −u2 − 2u +1 −u2 ( )Οπότε l = lim = lim = lim −5u3 = − u→+ u→+ u→+ 2ος τρόπος: f 3 ( x)   5 − 3 + 1 − 1  3 ( x) 4( f 5 (x)  = lim 5 f 3(x) − 3 f 2 (x) + f (x) −1 = lim  f f x) x→+ − f 2 (x) − 2 f (x) +1 x→+ 2   −1 − 2+ 1  f (x) f ( x) f 2 (x)     5− 3 + 1 − 1  3( 4 ( x)  f x) f f 5 (x)  lim  f 3(x) 2+ 1 = (+)3 (−5) = − x→+ f (x) f 2(x)  −1 −   γ) Είναι lim  f (x) 1  = l  (x)  x→+  f  Θέτουμε u = 1 με lim u = lim 1 = 0 , άρα u → + . f (x) x→+ x→+ f (x) Οπότε l = lim 1u = limu = 1 u→0 u u→0 u 123 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ε. ΟΡΙΟ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ – ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ε1. ΟΡΙΟ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Τα βασικά όρια είναι: lim  x =  x0 , x0  R  x → x0  • Αν 0 1, τότε:  lim x = +  x →−  lim  x = 0 x→+ lim  x =  x0 , x0  R  x → x0  • Αν  1, τότε:  lim  x = 0  x →−  x = +  lim x→+ Παράδειγμα 48 Να υπολογίσετε τα όρια α) lim  1 x , β) lim 2 ,x2 −2x+1 1  2  x→+ x→+ γ) lim 43−x x→3+ Λύση  1  x 1  2  2 α) lim = 0 , αφού 1. x→+ β) Έχουμε σύνθεση (στον εκθέτη) επομένως κάνουμε αλλαγή μεταβλητής: Θέτουμε u = x2 − 2x +1 με lim u = lim (x2 − 2x +1) = lim x2 = + , άρα u → + . x→+ x→+ x→+ Οπότε lim 2x2 −2x+1 = lim 2u = + . x→+ u → + γ) Έχουμε σύνθεση (στον εκθέτη) επομένως κάνουμε αλλαγή μεταβλητής: Θέτουμε u = 1 με lim u = lim 1 = − , αφού 3 − x  0 όταν x → 3+ , άρα 3− x x→3+ x→3+ 3 − x u → − . 1 Οπότε lim 43−x = lim 4u = 0 , αφού 4  1. x→3+ u →− Παράδειγμα 49 (*) (Πολλά εκθετικά με απροσδιόριστη μορφή) Να υπολογίσετε τα όρια α) lim 3x − 2x , β) lim 3x − 2x , γ) lim 3x − 2x +1 x→+ 4x + ex x→− 4x + ex x→− 4x + ex − 2 Λύση ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Ο γενικός κανόνας είναι: Να βγάλουμε κοινό παράγοντα, από αριθμητή και παρονομαστή, το εκθετικό με τη μεγαλύτερη βάση αν το x → + , ή το εκθετικό με τη μικρότερη βάση αν το x → − . 124 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3x − 2x lim (3x −2x )=+− 3x  3x − 2x   3 x 1 −  2  x = 01−0 4x + ex  3x 3x   4  1 +  3  x 1+ 0 α) lim x→+ lim   = lim  e  =0  4  x→+ = x→+  4x ex  x→+  4x 4x  4x  +  3x − 2x 0−0 = 0 2x  3x − 2x   2  x  3 x −1 = (+) 0 −1 = − 4x + ex 0+0 0  2x + 2x   e   2  0 +1 β) lim lim   = lim  4 x = ex   e  +1 x→− x→−  4x ex  x→− ex  ex   γ) lim 3x − 2x +1 = −1 . 4x + ex − 2 2 x→− Ε2. ΟΡΙΟ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ  lim ln x = ln x0 , x0  (0, +)  ln x = − Τα βασικά όρια είναι:  x → x0  lim x→0+  lim ln x = + x→+ Παράδειγμα 50 Να υπολογίσετε τα όρια α) lim  ln 1  , ( )( )β) lim ln x2 − 2x − ln x , ( )( )γ) lim ln 3x +1 − x  x  x→+ x→+ x→+ Λύση α) lim  ln 1  = lim (− ln x) = − lim ln x = − (+) = −  x  x→+ x→+ x→+ ( ( ) )β) lim   x2 − 2x   x→+   x   ln x2 − 2x − ln x = lim  ln    = l . x→+ Θέτουμε u = x2 − 2x με lim u = lim x2 − 2x = lim x2 = lim x = + , άρα u → + . x x xx→+ x→+ x→+ x→+ Οπότε l = lim ln u = + . u →+ ( ( ) ) ( ( ) )γ) lim ln   3x +1   x→+   ex   3x +1 − x = lim ln 3x +1 − ln ex = lim  ln    = l . x→+ x→+ u = 3x +1 3x +1 3x 1+ 1   3  x 1+ 1  ex ex ex 3x   e  3x  Θέτουμε με lim = lim = lim = (+) , άρα x→+ x→+ x→+ u → + . Οπότε l = lim ln u = + u →+ 125 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤ. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΣΤ1. ΟΡΙΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗΣ – ΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Παράδειγμα 45 Για τις διάφορες τιμές των πραγματικών αριθμών  και  να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: ( )β) lim x→+ ( )α) lim x2 − ( +1)x +1 ,  2 −1 x3 − 2x +  , γ) lim  x2 −1 +  x +   x→+ x+2  x2 + 2 x→+    Λύση ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διακρίνουμε απευθείας περιπτώσεις για τις τιμές της παραμέτρου που μηδενίζουν τους μεγιστοβάθμιους όρους και μόνο αυτούς. α) Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: 1η Περίπτωση: ( )Αν  = 0 τότε έχουμε lim x2 − ( +1)x +1 = lim (−x +1) = lim (−x) = − x→+ x→+ x→+ 2η Περίπτωση: ( )Αν   0 τότε έχουμε lim x2 − ( +1)x +1 = lim x2 =  (+) και διακρίνουμε x→+ x→+ επιμέρους υποπεριπτώσεις για να βρούμε το ακριβές πρόσημο του απείρου. • Αν λ>0 το όριο ισούται με + ενώ • Αν λ<0 το όριο ισούται με − ( )Άρα τελικά έχουμε: −,  0 lim x2 − ( +1)x +1 = +,   0 x→+ β) Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: 1η Περίπτωση: ( )Αν  =1 τότε  2 −1 x3 − 2x +  = lim −2x +1 = −2x = −2 = lim x2 + 2 x2 + 2 lim x2 lim x 0 x→+ x→+ x→+ x→+ 2η Περίπτωση: ( )Αν  = −1 τότε  2 −1 x3 − 2x + = lim −2x −1 = lim −2x = lim 2 = 0 lim x2 + 2 −x2 + 2 −x2 x x→+ x→+ x→+ x→+ 3η Περίπτωση: Αν  = 0 τότε lim −x3 − 2x = lim −x3 = − x→+ 2 2x→+ 4η Περίπτωση: Αν   0 και   −1και   1 τότε ( ) ( ) ( )lim x→+  2 −1 x3 − 2x +  = lim  2 −1 x3 = lim  2 −1 x = 2 −1(+) x→+ x→+  x2 + 2 x2  και διακρίνουμε επιμέρους υποπεριπτώσεις για να βρούμε το ακριβές πρόσημο του απείρου: • Αν   (−, −1)  (0,1) τότε  2 −1  0 επομένως το όριο ισούται με −  126 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ • Αν   (−1, 0)  (1, +) τότε  2 −1  0 επομένως το όριο ισούται με +  ( )Άρα τελικά έχουμε: lim −,    (−, −1) [0,1) x→+ 0,   = 1 ή  = −1  2 −1 x3 − 2x +  = +,    (−1, 0)  (1, +) x2 + 2 γ) lim  x2 −1 +  x +   = lim x2 −1+ (x + 2)( x + ) =  x+2  x+2 x→+   x→+ lim ( +1)x2 + (2 + )x + 2 −1 x→+ x+2 Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: 1η Περίπτωση: Αν  = −1 τότε lim ( +1)x2 + (2 + )x + 2 −1 = lim ( − 2)x + 2 −1 x→+ x+2 x→+ x+2 • Αν  = 2 τότε lim ( − 2)x + 2 −1 = lim 3 = 0 x→+ x+2 x→+ x + 2 • Αν   2 lim ( − 2)x + 2 −1 = lim (−2 + )x =  − 2 x→+ x+2 x→+ x 2η Περίπτωση: Αν   −1 τότε lim ( +1)x2 + (2 + )x + 2 −1 = lim ( +1)x2 = ( +1)(+) και x→+ x+2 x→+ x διακρίνουμε επιμέρους υποπεριπτώσεις για να βρούμε το ακριβές πρόσημο του απείρου: • Αν λ>-1 τότε το όριο ισούται με + • Αν λ<-1 τότε το όριο ισούται με − −,    −1 &   R 0, Άρα τελικά έχουμε: lim  x2 −1 +  x +   =  − 2,   = −1 & =2  x+2    = −1 & 2 x→+   +,    −1 &   R ΣΤ2. ΟΡΙΟ ΑΡΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Παράδειγμα 46 Για τις διάφορες τιμές των πραγματικών αριθμών λ και μ να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια ( )α) lim x2 −1 − x , ( )β) lim x2 + 2 + x +  x→+ x→+ Λύση ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διακρίνουμε περιπτώσεις ανάλογα με τις τιμές των παραμέτρων για τις οποίες έχουμε απροσδιοριστία και άρα θα χρειαστούμε συζυγή. 127 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ( )α) lim  1  x→+ x2 −   x2 −1 − x = lim x  1− (η απροσδιοριστία προκύπτει για λ=1). x→+ Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: 1η Περίπτωση: Αν  = 1 τότε ( ) ( )lim x2 −1 − x = lim x2 −1 − x = lim ( )x2 −1 − x ( x2 −1 + x) = x→+ x→+ x→+ x2 −1 + x lim x2 −1− x2 = lim −1 = 0 x→+  x→+  x 1− 1 +1 x 1− 1 +1  x2  x2   2η Περίπτωση: ( )Αν   1 τότε lim  1  = (+)(1− ) x→+ x2 −   x2 −1 − x = lim x  1− x→+ και διακρίνουμε επιμέρους υποπεριπτώσεις για να βρούμε το ακριβές πρόσημο του απείρου: • αν λ>1 τότε το όριο ισούται με − • αν λ<1 τότε το όριο ισούται με + +,    1 ( )Άρα τελικά έχουμε: lim x2 −1 −  x = 0,   = 1 x→+ −,    1 ( )β) lim  2  x→+ x2 x  x2 + 2 + x +  = lim x  1+ ++ (η απροσδιοριστία προκύπτει x→+ για  = −1). Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: 1η Περίπτωση: Αν  = −1 τότε ( ) ( )lim x2 + 2 + x +  = lim x2 + 2 − x +  = x→+ x→+ ( )( )x2 + 2 − x +  x2 + 2 + x −  lim = x→+ x2 + 2 + x −  lim x2 + 2 − ( x −  )2 = lim x2 + 2 − x2 + 2 x − 2 = x→+   x→+    x 2 x2  x 2 x2   1+ x2 +1−  1+ x2 +1−   2x − 2 + 2 x(2 − 2 + 2) xx= lim  = lim x→+   x→+ 2  x 1+ 2 +1− x2  1+ x2 +1− x2 )  x2 x( 128 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ lim (2 − 2 + 2) = 2 =  xx x→+ 1+ 2 +1−  2 x2 x2 ) ( 2η Περίπτωση: ( )Αν   −1 τότε lim  2   (+)(1+  ) x→+ x2 x  x2 + 2 + x +  = lim x  1+ + + = x→+ και διακρίνουμε επιμέρους υποπεριπτώσεις για να βρούμε το ακριβές πρόσημο του απείρου: • αν   −1 τότε το όριο ισούται με + • αν   −1 τότε το όριο ισούται με − −,    −1 &   R ( )Άρα τελικά έχουμε: lim x2 + 2 +  x +  = ,   = −1 &   R x→+ +,    −1 &   R (*) ΣΤ3. ΟΡΙΟ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Παράδειγμα 47 Για τις διάφορες τιμές των θετικών πραγματικών αριθμών α και β να υπολογίσετε: α) lim  x −1 β) lim  x − 22x x→+  x + 2 x→−  x + 2x γ) lim x −x δ)  x + 2x lim x→+  x + 2 x x→−  x + 4 Λύση ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διακρίνουμε περιπτώσεις διάταξης μεταξύ των διαφορετικών θετικών εκθετικών βάσεων. Προσοχή πρέπει όλοι οι όροι σε αριθμητή και παρονομαστή να εκφραστούν ως εκθετικές δυνάμεις. α) Είναι lim x −1 = lim  x −1x ax +2 ax + 2 1x x→+ x→+ Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: 1η Περίπτωση: Αν α=1 τότε lim x −1 = lim 1−1 =0 ax +2 1+ 2 x→+ x→+ 2η Περίπτωση: Αν α>1 τότε lim  x −1 = lim ax (1− ( 1 )x ) =1 a x→+ ax + 2 x→+ ax (1+ 2( 1 )x ) a 3η Περίπτωση: Αν 0  a  1 τότε lim x −1 = − 1 αφού lim ax =0. ax +2 2 x→+ x→+ 129 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 0−,12, 0  1 =1 Άρα τελικά έχουμε: lim  x −1 = x→+ ax + 2 1,    1  β) Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: 1η Περίπτωση: Αν α=2 τότε lim  x − 2 2x = lim 2x − 2 2x = lim −2x = − 1 x→−  x + 2x x→− 2x + 2x x→− 2  2x 2 2η Περίπτωση: lim  x − 2  2x 2x (( )x − 2) 0−2 x→−  x + 2x 2 0 +1 Αν α>2 τότε = lim 2x (( = = −2 x→− )x + 1) 2 3η Περίπτωση: Αν 0  2 τότε lim  x − 2  2x =  x (1− 2( 2 )x ) = 1−20 =1 x→−  x + 2x lim  1+ 0 x→−  x (1+ ( 2 )x )  1,  0    2 − Άρα τελικά έχουμε: lim ax − 22x =  1 ,   =2 2 x→− ax + 2x −2,    2 γ) Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: 1η Περίπτωση: Αν α=β τότε lim ax −  x = lim ax − ax =0 ax + 2ax x→+ ax + 2 x x→+ 2η Περίπτωση: ax −  x ax    x  1 −  a   Αν α>β>0 τότε lim = lim = 1−0 =1 ax + 2 x x→+   x  1+ 20 x→+ 1 +  a    ax 2 3η Περίπτωση:  x   a x      −1 Αν β>α>0 τότε ax −  x = = 0 −1 =−1 lim ax + 2 x lim  x  0+2 2 x→+   2  x→+  a    x + 130 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ − 1 ,  0   2  ax −  x  = Άρα τελικά έχουμε: lim = 0, 0  ax + 2 x x→+ 1,   δ) (Πρόκειται για πολύ ιδιαίτερη περίπτωση τριών διαφορετικών εκθετικών βάσεων, η οποία ξεφεύγει αρκετά από το επίπεδο των απαιτήσεων των Πανελλαδικών εξετάσεων). Είναι lim ax + 2x = lim ax + 2x x→+ ax + 4 x→+ ax + 4 1x Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: 1η Περίπτωση: Αν  = 1 τότε lim ax + 2x = 1+ 2x = 1+ = + . lim 5 x→+ ax + 4 1x x→+ 1+ 4 2η Περίπτωση: Αν  = 2 τότε lim ax + 2x = lim 2x + 2x = lim 2x  2 =2 =2. x→+ ax + 4 1x x→+ 2x + 4 x→+ 2x (1+ 4( 1 )x ) 1+ 40 2 3η Περίπτωση: Αν 0  a 1 τότε lim ax + 2x = 2x (( )x +1) = (+)(0 +1) = + . x→+ ax + 4 1x lim 2 0+4 x→+ ax + 4 1x 4η Περίπτωση: Αν 1 a  2 τότε lim ax + 2x = 2x (( )x +1) = lim ( 2 )x ( )x +1 = (+) 0 +1 = + . lim 2 2 1+ 40 x→+ x→+ ax (1+ 4  ( 1 )x ) ax + 4 1x x→+ 1 + 4  ( 1 )x  5η Περίπτωση: Αν   2 τότε lim ax + 2x =  x (1+ ( 2 )x ) = 1+0 =1. x→+ a x + 4 1x lim  1+ 40 x→+ ax (1+ 4  ( 1 )x )  ax + 2x +,  0    2 ax + 4 = 2, Άρα τελικά έχουμε: lim 1,   = 2    2 x→+ 131 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ



ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες 1. Μια συνάρτηση f έχει όριο στο σημείο x0 , έναν πραγματικό αριθμό l . Αναγκαστικά το x0 ανήκει στο πεδίο ορισμού της. 2. Τα πλευρικά όρια μιας συνάρτησης f , όταν το x παίρνει τιμές κοντά στο x0 , συμπίπτουν πάντοτε. 3. Το όριο μιας συνάρτησης f στο x0 εξαρτάται από την τιμή της συνάρτησης στο σημείο αυτό. 4. Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα διάστημα που περιέχει το 0. Τότε ισχύει πάντοτε lim f (x) = f (0) . x→0 5. Αν μια συνάρτηση f έχει όριο στο σημείο x0 , τότε αυτό είναι μοναδικό. 6. Αν lim( f (x) + g(x)) = l , τότε οι συναρτήσεις f,g έχουν πάντοτε όριο στο x0 . x→x0 7. Ισχύει ότι lim f (x) = l , αν και μόνο αν lim f (x) = lim f (x) = l . x→x0 x→x0+ x→x0− 8. Αν υπάρχουν στο R τα όρια των συναρτήσεων f και g όταν x → x0 , τότε ισχύει lim f (x) = lim f (x) . x → x0 x→x0 g(x) lim g(x) x → x0 9. Ισχύει ότι lim  x −1 = 1 x→0 x 10. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ’ ένα σύνολο της μορφής (a, x0 )  (x0,  ) και l ένας πραγματικός αριθμός. Τότε ισχύει η ισοδυναμία: lim f (x) = l  lim ( f (x) − l ) = 0 x→x0 x→x0 11. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής (a, x0 )  (x0,  ) τότε: lim f (x) = l , αν και μόνο αν lim f (x) = lim f (x) = l x→x0 x→x0− x→x0+ 12. Αν υπάρχει το lim f (x)  0 , τότε f (x)  0 κοντά στο x0 . x → x0 13.Αν lim f (x) = 0 και f (x)  0 κοντά στο x0 τότε lim 1 = + f (x) x→x0 x→ x0 14. Αν lim f (x) =  , lim g(x) =  και f (x)   κοντά στο α, τότε lim g( f (x)) =  . x→ x→ x→ 15. Αν lim f (x) = l , τότε lim f (3x) = 3l . x→0 x x→0 x 16. Αν lim f (x) = l  0 , τότε lim 1 = 1 . x→x0 x→x0 f (x) l 17. Αν   1, τότε lim ax = 0 x→+ 18. Αν 0  f (x)  1 + e−x , για κάθε x  R , τότε το lim f (x) = 0 . x x→+ 19. Ισχύει ότι lim xv = + x→+ 133 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 20. Αν lim f (x) = + και g(x)  0 κοντά στο x0 , τότε πάντα ισχύει x→x0 lim( f (x)g(x)) = − . x→x0 21. Αν η συνάρτηση f :[0, +) → R είναι γνησίως αύξουσα, τότε πάντοτε ισχύει lim f (x) = + . x→+ 22. Αν lim f (x) = + τότε f (x)  0 κοντά στο x0 . x → x0 23. Αν lim f (x) = + ή − , τότε lim 1 = 0 . x→x0 x→x0 f (x) 24. Αν x  0 , τότε ισχύει lim 1 = − x2 x→0 25. Αν lim f (x) = l  R και lim g(x) = 0 , τότε lim f (x) = 0 . x→x0 g(x) x→x0 x → x0 26. Αν lim f (x) = 0 τότε lim f (x) = 0 . x→x0 x → x0 27. Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f  g στο σημείο x0  R , τότε θα υπάρχουν και τα όρια των συναρτήσεων f και g στο σημείο x0  R . 28. Αν lim g(x) = − και lim g(x) = + , τότε το lim 1 δεν υπάρχει. x→x0− x→x0+ x→x0 g(x) 29. Αν lim g(x) = a  R* τότε lim g(x) = a ή lim g(x) = −a . x→x0 x→x0 x→x0 30. Ισχύει ότι lim  x  1 x  = lim x  lim 1 x = 0  lim 1 x = 0.   x2 +  x→0 x2 + x→0 x2 + x→0 x→0 31. Ισχύει ότι lim x  1 = 1 x→0 x 32. Ισχύει ότι lim  x = 1 . xx→+ 33. Ισχύει ότι | x || x | για κάθε x  R . 34. Για κάθε x  0 ισχύει  x | x | . 35. Ισχύει ότι για 0    1: lim  x = 0 . x→− 36. Ισχύει ότι lim ln x = 0 . x→− 37. Ισχύει ότι lim ln x = + x→+ 134 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ x0 Α1. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ y 76. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Να βρεθούν τα 4 3 παρακάτω όρια: 2 i) lim f (x) ii) lim f (x) 1 1 23 x x→2+ x→1− -2 -1 iii) lim f (x) iv) lim f (x) x→1+ x→−1− v) lim f (x) vi) lim f (x) x→−1+ x→−2+ vii) lim f (x) -2 x→3− 77. Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο (, x0 )  (x0,  ) και lim f (x) = 33 − 2 − 3 + 2 , lim f (x) =  με   R , να βρείτε τις τιμές του   R , x → x0− x→x0+ ώστε να υπάρχει το lim f (x) . x → x0 78. Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη «κοντά» στο 2 και lim f (x) = e , x→2− lim f (x) = − +1 με   R , να βρείτε την τιμή του   R , ώστε να υπάρχει το x→2+ lim f (x) . x → x0 79. Αν lim f (x) = 4 , lim g(x) = −6 και lim h(x) = 10 , να βρείτε τα όρια: x→x0 x→x0 x→x0 i) lim f (x) − g(x) ii) 3 f (x) − 4g2(x) x→x0 h2 (x) lim x→x0 h(x) + 2 f (x) A2. ΕΥΡΕΣΗ ΟΡΙΟΥ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ 0 ΜΕ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ 0 80. Να βρείτε τα όρια: i) lim x3 − 27 ii) lim (x +1)2 − 4 x→3 x2 − 4x + 3 x→1 1− x2 iii) lim x4 x3 − x2 − x +1 iv) lim x4 x3 − 2x2 + x3 − x2 − 2x −1 − 3x3 + 2x2 x→−1 x→2 1− 1 x3 + 2x2 − x − 2 x2 x3 + 2x2 − 3x − 6 v) lim vi) lim 1 1 x→−1 x + x2 x→−2 vii) lim( 2x −11 + x + 2 ) viii) lim( x2 x+2 + x−4 x→1 2x2 + 2x − 4 x2 −1 −5x + 4 3(x2 − 3x + 2)) x→1 135 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 81.Δίνεται η συνάρτηση f (x) = x2 − 2x . Να υπολογίσετε τα όρια: i) lim f (x) − f (−1) ii) lim f (h − 2) − f (−2) iii) (*) lim f (x + h) − f (x − h) x→−1 x +1 h→0 h h→0 2h 82. Έστω η συνάρτηση f με f (x) = 2x −1 . 3x i) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να ορίσετε την f −1. f −1 ( x) − 2 − x 3x − 2 . ii) Να βρείτε το όριο lim x→3 x − 3 83. Δίνεται η συνάρτηση f με f (x) =  x3 +  x2 +  ,  ,  ,  R *. Να βρείτε το x−2 lim f (x) , συναρτήσει των α,β, αν γνωρίζετε ότι 8 + 4 +  = 0 . x→2 Α3. ΕΥΡΕΣΗ ΟΡΙΟΥ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ 0 ΜΕ ΣΥΖΥΓΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ 0 84. Να βρείτε τα όρια: i) lim x +1−2 ii) lim x2 − 3x iii) lim x2 − 2x − 3 x2 − x − 6 x→3 2x − 3 x +1 x→3 x −1− x +1 x→3 85. Να βρείτε τα όρια: iii) lim x2 + 3x − x −1 i) lim x2 +16 − 5 ii) lim 3x − x3 + 8 x→1 x + 3 − 3x +1 x→3 x2 + x + 4 − 4 x→1 10x − x2 + 5x + 4 86. Να βρείτε τα όρια: i) lim 3 3x + 5 − 2 ii) lim x2 − x iii) lim 3 2x2 −1 + x x→1 x −1 x→0 3 x2 + x + 8 − 2 x→−1 2 − 3 x3 − 9x 87. Να βρείτε τα όρια: ii) (*) lim x3 +15 + x3 + 3x − 6 i) lim 3 x −1 − 4 3 − x + 3 x→1 x2 + 8 − x − 2 x→2 x − 2 88. Δίνονται οι συναρτήσεις f (x) = x2 −10x +14 και g(x) = x−5. i) Να ορίσετε τη συνάρτηση gof ii) Nα βρείτε το όριο lim (gof )(x) − 3 . x→10 x −10 136 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α4. ΕΥΡΕΣΗ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ 89. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = 2x3 − 8x, x2  x2  x2 − 2x, Να βρείτε τα όρια: i) lim f (x) ii) lim f (x) iii) lim f (x) − f (1) iv) lim f (x) − f (2) x→1 x→2 x→1 x −1 x→2 x − 2 90.Δίνεται η συνάρτηση f (x) =  x3 + 5, |x | 2  − 7, |x | 2  x2 Να βρείτε τα όρια: i) lim f (x) ii) lim f (x) iii) lim f (x) − f (−2) iv) lim f (x) − f (2) x→−2 x→2 x→−2 x+2 x→2 x − 2 91.Να βρεθεί το όριο της f στο x0 (αν υπάρχει) όταν:  x, x0  x2 + x + 9 −3 , στο x0 = −2 και στο x0 = 0 i) f ( x) =  2 x0  6 x + 6 x  x ,  x3 + 3 − 2 x 1  , ii) f (x) = −4, x −1  x = 1 , στο x0 = 2 και στο x0 = 1  x3 − 4x + 3 , x 1  x2 −1  x2 − 3x + 2 , x2  x −2 92. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) =  1, x = 2 Να βρείτε τα όρια: i) lim f (x) ii) lim f (x) iii) lim f (x) − f (1) iv) lim f (x) − f (2) x→1 x→2 x→1 x −1 x→2 x − 2 93.Να βρεθεί αν υπάρχει το όριο της f στο x0 όταν:  x2 − 6x + 5 , x  5 , στο x0 = 1 και στο x0 = 5  x −5 i) f (x) =  4, x = 5  x2 + x + 2 − 2  , x  1 , στο x0 = −2 και στο x0 = 1 ii) f ( x) =  x −1 3, x = 1 137 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ  x2 +  x +  , x  −2 f (x) =  x +  +  , |x | 2 . Να βρείτε τα ,  ,  R 94. Έστω ώστε να  x +, x2 υπάρχουν τα lim f (x) , lim f (x) και η γραφική παράσταση της συνάρτησης να x→2 x→−2 περνάει από το σημείο Α(1,6). Α5. ΕΥΡΕΣΗ ΟΡΙΟΥ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ 0 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ 0 95. Να βρείτε τα όρια: i) lim | x2 − 3 | − | −x3 + 3 | ii) lim | x + 2 | − | x2 − 4 | iii) lim | x | − | x2 − 3x | x→1 x2 − 3x + 2 x→1 | x | −1 x→4 x2 − 3x − 4 96. i) lim | x2 −1| ii) lim x2 − 2x +1 iii) lim | x −2| +| x2 − 4 | +x − 2 x2 + 2x −3 | x2 − x | x2 + x−6 x→1 x→1 x→2 97. (*) Δίνεται συνάρτηση f (x) , της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο (1,3) και ισχύει ότι lim f (x) = 3. x→1 i) Να βρείτε το όριο lim x2 f (x) − 2 − x2 − f (x) + x − 2 x→1 x2 − 3x + 2 ii) Αν η συνάρτηση f (x) είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση, τότε (αν υπάρχει) να f (x) − 3 βρείτε το lim x→1 f (x) − 3 − 2 1− f (x) + 4 Α6. ΜΕ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 98. Δίνεται συνάρτηση f : R → R για την οποία ισχύει ότι lim f (x) + 3 = 4 . x→1 x −1 Να υπολογίσετε τα όρια i) lim f (x) ii) lim f (x) + 4x −1 x→1 x→1 x2 −1 99. Δίνεται συνάρτηση f : R → R για την οποία ισχύει ότι lim xf (x) − 4 = 3 x→2 x − 2 Να υπολογίσετε τα όρια i) lim f (x) ii) lim 2 f (x) − x2 x→2 x→2 x3 − 4 − 2 138 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 100. (*) Δίνεται η συνάρτηση f : R → R για την οποία γνωρίζουμε ότι ii) lim f 2 (x) + f (x) − 6 lim f (x) − 2x2 = −1. Να βρείτε τα όρια: x→1 x −1 x3 −1 x→1 i) lim 2 f 2 (x) − 3 f (x) − 2 x→1 f 2 (x) + 5 − 3 Α7. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ 101. Να βρείτε τα όρια: i)  2 x ii) lim  x −1 lim x→0 x x→0 x2 + 2x  x + x2 1 iv) lim 3 2x x x→0 x2 + 4 − 2 iii) lim x→0 2x v) lim 8 +  x − 3 vi) lim 3x2 − 2x x→0 x +1 −1 x2 + x3 1 x→0 x  x2 −1+  x , x  0  x  0  x +1− x 2 + 1  5 x + 9 , 102. Δίνεται f (x) =  3 x + 4 x , να βρείτε (αν υπάρχει) το lim f (x) . x x→0 103. Αν lim xf (x) − x2 = 1 να βρεθεί το lim f (x) . x→0 x + x x→0 104. (*) Αν lim f (x) = 2 και g ( x) = 3 , να βρείτε το όριο lim  f ( x) g ( x) . x→0 x lim x→0 x→0  1 x 105.Να βρεθεί η τιμή του   R ώστε να υπάρχει το lim f (x) όταν x→0 f (x) =  x2 − x3 1 , x0  x   x2 + 2 x  − x 1 , x0  x 139 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α8. ΤΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ 106. Δίνεται η συνάρτηση f : R → R με την ιδιότητα | f (x) − 2020 || x | , για κάθε x  R . Nα βρεθεί το lim f (x) x→0 107. Δίνεται η συνάρτηση f : R → R με την ιδιότητα x − x2  f (x)  x2 + x , για κάθε x  R . Nα βρεθεί το lim f (x) . x→0 x 108. Δίνεται η συνάρτηση f :R→R με την ιδιότητα 4x x2 + 3  f (x) + 8x  5x2 + 3 , για κάθε x  R . Nα βρεθεί το lim f (x) x→1 x −1 109. Δίνεται η συνάρτηση f : (−1,1) → R , η οποία για κάθε x  (−1,1) ικανοποιεί τη σχέση | x | −x2  f (x)  x2 + | x | . Να βρείτε τα: i) lim x2 f (x) − 2x ii) lim f (x) iii)  x −1 x→0 x2 + 4 − 2 x→0  x lim x→0 f (x) 110. Να βρείτε τα όρια: i) lim( x3 1 ) , ii) lim( x5 1 ) x5 x2 x→0 x→0 iii) lim((x − 2) x ) iv) lim( x2 +1 −1 2) x→2 x − 2 x→0 x x 111. (*) Αν για τις συναρτήσεις f , g με Π.Ο. το R είναι lim g(x) x − xf (x) = 3 και x→0 2x lim g(x)x + xf (x) = 1, να βρείτε τα όρια lim f (x) και lim g(x) . x→0  x −1 x→0 x→0 Α9. ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 112. Να βρείτε τα όρια: i) lim (x −1) ii) lim  (2 − x) −1 iii)  ( x 2 −1) lim x→1 x2 −1 x→2 x2 − 4 x→1 x −1 113. (*) i) lim 3 x +1 + 23 x +1 − 5 ii) lim 4 x2 − 8 − 3 x2 − 8 x→0 23 x +1 − 36 x +1 +1 x→3 x2 − 8 + 2 6 x2 − 8 − 3 140 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 114. Δίνεται η συνάρτηση f : R → R , για την οποία γνωρίζουμε ότι lim f (x) −1 = −1. x→−2 x + 2 Να υπολογίσετε τα όρια: i) lim f (x − 2) −1 ii) lim f ( x − 3) −1 iii) lim f (3x − 5) −1 x→0 x  2x x2 − x x→0 x→1 115. Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού  = (0,1)  (1, +) για την οποία f (x) +  (x −1) −1  2 ισχύει lim = . Να υπολογίσετε τα όρια: x→1 x −1 2 i) lim f (x) ii) lim f (x) −1 x→1 x→1 x −1 116. (*) Αν η f είναι περιττή και ισχύει lim[−2 f (x) + x −1] = 4 , να βρείτε το x→3 lim f (x) . x→−3 Α10. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ 117. Δίνεται συνάρτηση f : R → R για την οποία ισχύει ότι x2 f (x)  x2 + 4 f (x) − 2x για κάθε x  R Αν γνωρίζετε ότι το όριο lim f (x) υπάρχει στο R , να το υπολογίσετε. x→2 118. (*) Δίνεται συνάρτηση f : R → R για την οποία ισχύει ότι f 2 (x) + (x −1)3 1 + 9(x −1)2  6(x −1) f (x) για κάθε x  R . x −1 Αν γνωρίζετε ότι lim f (x) = m , να δείξετε ότι m = 3 . x→1 x −1 141 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Β. ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ x0 Β1. Η ΜΟΡΦΗ  ΜΕ   0 0 119.Να βρείτε τα όρια (αν υπάρχουν): i) lim 2 − 3x ii) lim x x→−1 x + 1 x→−2 ( x + 2)2 iv) lim 3 − 2x iii) lim x − 3 x→−1− 2x +1 x→2 2 − x 2 v) lim 2x −1 x→1+ 1 − x vi) lim 2 x −1 x→ −  x 120. Να βρείτε τα όρια (αν υπάρχουν): ii) lim x − 2 i) lim 2 x −1 x→0 | x | − | x | x→  x +1 iii) lim  ( x 1 + x iv) lim  2 x − 3   + 1)2 x +1  − x2  x→−1 x→1 1 (1− x)2  121. Να βρείτε τα όρια (αν υπάρχουν): i) lim 2x +1 ii) lim x2 + 5x + 2 x→1 1− x x→−1 4x2 + 3x −1 iii) lim  2 2 −3  iv) lim 2 x −1 1 −x 1− x3  x→0  x x→1 v) lim x − 2 vi) lim  x x→0  x + x x→ 2 122. Να βρείτε τα όρια (αν υπάρχουν): i) lim x2 − 3x + 2 ii) lim x2 + 7 − 4 iii) lim x2 + 4x +1 −1 x→2 x3 − 4x2 + 4x x2 − 6x + 9 x→0− x x − x2 x→3 Β2. ΜΕ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ii) lim f (x) = − 123. Να βρείτε το lim f (x) όταν: x→1 x +1 x→1 iv) lim[ f (x)(x − 3)] = + x→1 i) lim x − 2 = + x→1 f (x) iii) lim[ f (x)(x −1)2] = 3 x→1 124. Να βρείτε το lim f (x) όταν lim 2x − 2 − x +1 = − . x→3 x→3 (x − 3) f (x) 142 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Β3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ 125. Δίνεται συνάρτηση f : R → R για την οποία ισχύει ότι lim f (x) = − . x→3 Να υπολογίσετε το όριο lim(| 2 − f (x) | + | xf (x) −1|) x→3 126. Δίνεται συνάρτηση f : R → R για την οποία ισχύει ότι lim f (x) = − . x→1 Να υπολογίσετε το όριο lim x −1 x→1 xf (x) −1 − 1− x2 f (x) B4. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ 127. Να βρείτε το lim f (x) όταν κοντά στο π, ισχύει 1  f (x) x→  x +1 128. Να βρείτε το lim f (x) όταν για x  0 , ισχύει x2 + x  f (x) x→0+ x − x 143 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Γ. ΟΡΙΟ ΜΕ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟ ΣΤΟ x0 Γ1. ΕΥΡΕΣΗ ΤΙΜΗΣ 129.Να βρεθεί ο R ώστε  2 x2 + 8 − 2(x2 + 22 ) = 52 − 6 +1 . lim x→2 x − 2 130. Να βρεθεί ο R ώστε lim x3 − 3 = 3. x2 − 2 x→ 131.Να βρεθεί ο   R ώστε το lim x3 − 3x +  R . x→1 x2 −1 132. Δίνεται η συνάρτηση f (x) =  2x2 − 2( + 3) x +12 . Να βρείτε τον   R ώστε x−2 το lim f (x) = −4 x→2 133. Αν γνωρίζετε ότι lim x2 − 22x +12 = −2 , να βρείτε την τιμή του πραγματικού x→2 x2 − x αριθμού  . 134. Να βρεθούν οι  ,   R ώστε το lim x2 + 5 + ax +  = 5 . x→2 x − 2 3 135. Να βρεθούν οι , R ώστε το  x2 + ( − 2) x + 3  R . lim (x −1)2 x→1 136. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί ,  ώστε η συνάρτηση f ( x) =  x +1 , x  −1 να έχει όριο πραγματικό αριθμό στο x0 = −1. x −1 2 ln(x +  ), x  −1 137. Να βρεθεί ο R ώστε lim x3 x −1 = + . + 2 x2 +  x x→−1 138. Να βρεθεί ο   R ώστε lim x2 + = + . x→ x2 − 4x +  2 139. Έστω f : R → R γνήσια μονότονη συνάρτηση για την οποία γνωρίζουμε ότι lim f (1)x2 − f (2)x +1 = 2 . Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα x→1 x2 −1 144 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Γ2. ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ 140. Για τις διάφορες τιμές του R να βρείτε το lim x2 −5x +  −1 x2 − 4x + 3 x→1 141. Για τις διάφορες τιμές του   R να βρείτε το lim x2 − 2x + 2 −1 x→3 x2 − 3x 142. Για τις διάφορες τιμές του R να βρείτε το lim x2 x−3 +x +1 x→1 143. Για τις διάφορες τιμές του   R να βρείτε το lim x2 −  2x + 3 x→1 2x −  145 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Δ. ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ Δ1. ΟΡΙΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗΣ & ΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ii) lim (−2x5 − 5x + 2) 144. Να βρείτε τα όρια: x→− i) lim (3x2 − 5x + 2) x→+ 145. i) lim x2 + x +1 ii) lim 3 x3 + 2x − 5 iii) lim x5 + x3 − 5 x3 − x 2x3 −16 2x2 +1 x→+ x→− x→− 146. i) lim ( x3 + x) ii) lim ( x2 + x3 + 2) x2 −1 x+3 x→− x +1 x −1 x→+ Δ2. ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ii) lim | x +1| − | 2x5 + 5 | 147. i) lim (x2 − | x11 − x9 − 2020 | +1) | x2020 − 3x + 2 | x→− x→− Δ3. ΟΡΙΟ ΑΡΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ii) lim x2 − 3x + 2 148. Να βρείτε τα όρια: x→− i) lim x2 − 3x + 2 iv) lim ( x2 + 2 − x) x→+ x→− iii) lim ( 4x2 − 5x +1 − 3x) vi) lim x2 +1 − x + 2 x→+ x→− x +1 v) lim 2x2 − 5x + 3 viii) lim x2 − 2x + 4x2 + 4x +1 x→− 2x +1 x→+ x2 + 5x + 2 vii) lim x − x2 −1 x→− x − x2 +1 149. Να βρείτε τα όρια: ii) lim ( x2 +1 + x) i) lim ( x2 + 2 − x) x→− x→+ iv) lim 4x2 − 5x + 3 + 2x x→− 2x +1 iii) lim ( 4x2 − 5x +1 − 2x) x→+ vi) lim x + x2 −1 x→− x + x2 +1 v) lim x − x2 −1 x→+ x − x2 +1 150. Να βρείτε τα όρια: i) lim ( x2 +1 + x2 −1 − 2x) x→+ ii) lim ( x2 + x + 3 − 4x2 + 2x + 5 + x2 + 3x + 7) x→+ iii) lim ( 9x2 + x +1 + 4x2 − x + 2 − 25x2 − 3x + 4) x→− 146 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Δ4. ΤΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ 151. Για μια συνάρτηση f με Π.Ο. το R ισχύει x3 + x2 +1  f (x)  x3 + 2x2 +1 για x2 + 4 x2 +1 κάθε x  0 . Να βρείτε τα όρια: i) lim f (x) ii) lim f (x) x→+ xx→+ 152.Να βρείτε τα όρια: i) lim (x2 −1)3x ii) lim x 2x x3 +1 3x2 +1 x→− x→− iii) lim (x2 − 3x +1− 2x) iv) lim 4x + 2 x − 3 x x→+ x2 −1 x→+ Δ5. ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 153. Να υπολογίσετε τα όρια i) lim (x3 + 2x − 3)3 + x3 + 2x ii) lim x2 − 3x + 5 − x2 + 3x x→+ (x3 + 2x − 3)3 − x3 − 2x + 6 x→− x2 − 3x + 5 + x2 + 3x −1 iii) lim  x    1 −1  iv) lim  x2    1 −1    x   x  x→− x→− 154. Δίνεται συνάρτηση f : R → R για την οποία ισχύει ότι lim f (x) − x3 = 3 . Να x→− x3 + x2 −1 υπολογίσετε τα όρια i) lim f (x) ii) lim f 5(x) + 2 f 3(x) − f (x) + 3 iii)  f (x)  1 −1  x3 − f 4(x) + f 2(x) −1 lim   (x)   x→− x→− x→+ f  147 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ε. ΟΡΙΟ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ – ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ε1. ΟΡΙΟ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 155.Να βρείτε τα όρια ( αν υπάρχουν): i) lim ex2 −1 ii) lim ex3 −3x iii) lim ex3−3x iv) lim x x→1 x→+ x→− x→+ e−x x3 ( 2 ) 1 vi) lim( 1 ) 1 x viii) lim (4x ( 1 )) x2 3x v) lim 2 x−1 vii) lim e x2 +1 x→+ x→1 x→0 3 x→− 156. (*) Να βρείτε τα όρια: i) lim 2x + 3x + 5 ii) lim 7x + 3x +1 iii) lim ex+2 + ex − 2 x→− 8x + 5x +1 x→+ 3x + 2x+1 + 2 x→+ ex + ex+1 +1 iv) lim ex − e−x v) lim 7x + 3x + e−x x→+ e x x→− 8x + 5x Ε2. ΟΡΙΟ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 157. Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ln x2 +  2 ,  0 . x i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f . ii) Να βρείτε τα όρια lim f (x) , lim f (x) . x→0 x→+ iii) Να δείξετε ότι η f (x) − ln x  0 και να βρείτε το όριο lim ( f (x) − ln x) . x→+ 158. Αν f (x) = ln x − 3 , να βρείτε: 2x i) Το πεδίο ορισμού της f ii) Τα όρια lim f (x) , lim f (x) , lim f (x) , lim f (x) . x→+ x→− x→3 x→0 159. Να βρείτε τα όρια ( αν υπάρχουν): i) lim ln(ln x) ii) lim ln( 1 ) iii) lim ( 2 − ln(1 + e 2 )) x→1 x xx→0 2 xx→0+ iv) lim (ln(1+ 2x ) − ln(1+ 3x )) v) lim (x − ln(1+ ex )) x→+ x→+ 148 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤ. ΟΡΙΟ ΜΕ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΣΤ1. ΟΡΙΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗΣ – ΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 160. Για τις διάφορες τιμές του   R να βρείτε το όριο ( )i) lim ( − 3)x2 − x + 3 ( )ii) lim (2 −1)x2 − 3x −  x→+ x→− iii) lim ( −1)x3 + 4x −1 iv) lim ( − 2) x3 + ( + 1) x + 1 . x2 + x+2  x2 +1 x→+ x→+ 161. Να βρεθούν τα  ,   R ώστε lim (2x3 + x −1 + x +  ) = 0 . x→+ x2 − 2 ΣΤ2. ΟΡΙΟ ΑΡΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 162. Για τις διάφορες τιμές του   R να βρείτε τα όρια: i) lim ( 4x2 + 3x − x) ii) lim ( x2 + x +1 +  x) x→− x→+ 163. Να βρεθούν τα  ,   R ώστε : ii) lim (  x2 + x − x2 +  x ) = 1 i) lim ( 4x2 − 3x + 2 +  x +  ) = 0 x→+ x→− ΣΤ3. ΟΡΙΟ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 164. (*) Να βρείτε τα παρακάτω όρια για τις διάφορες τιμές των παραμέτρων: i) lim  x ,   0 ii) lim ex+1 −  x ,  0 iii) lim  x+1 −  −x , 0 x ex +  x+1 x→+ + 1 x→− x→− x + −x 165. (*) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2x+1 +  x ,   0. Να υπολογίσετε τα όρια: 2x +  x+1 lim f (x) και lim f (x) για τις διάφορες τιμές του α. x→+ x→− 149 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ