ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ I (Συναρτήσεις-Όρια-Συνέχεια)

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ i) Να αποδείξετε ότι f (x)  0 για κάθε x [1,9] ii) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 [1,9] τέτοιο ώστε f (x0 ) = 3 Ε. ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f οποία ισχύει 214. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : R → R για την xf (x) + 2 = f (x) + x2 + 3 για κάθε x  R . Να βρείτε τον τύπο της f . 215. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : R → R για την οποία ισχύει f (x) x2 +1 = 22x + f (x) για κάθε x  R . Να βρείτε τον τύπο της f . 216. Δίνεται η η συνεχής συνάρτηση f : R → R για την οποία ισχύει f 2 (x) − ex = 2 για κάθε x  R . i) Να δείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R . ii) Να βρείτε τον τύπο της f αν f (0) = −3 217. Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο [−2, 2] και για κάθε x [−2, 2] ισχύει 9x2 + 4 f 2 (x) = 36 i) Να δείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (−2, 2) . ii) Να βρείτε τον τύπο της f αν f (0) = 3 218. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : R → R , με την ιδιότητα f 2 (x) −1 = 2xf (x) για κάθε x  R . i) Να δείξετε ότι συνάρτηση g(x) = f (x) − x διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R . ii) Αν f (0) = 1, να βρείτε τον τύπο της f και να υπολογίσετε το lim xf (x) . x→− 219. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : (0, +) → R * για την οποία ισχύει ότι f 2 (x) − 6 f (x) + 5 = x4 + 4x2 για κάθε x  R . i) Να δείξετε ότι f (1) = 6 ii) Να βρείτε τον τύπο της f και να υπολογίσετε το όριο lim  x . x→+ f (x) 220. (*) Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : R → R για την οποία ισχύει ότι f 2 (x) − 4 f (x) = e2x − 2ex − 3 για κάθε x  R . Να βρείτε τον τύπο της f αν γνωρίζετε ότι f (−1) = 3 − 1 , f (1) = e +1. e ΣΤ. ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 221. Δίνεται η συνάρτηση f (x) = x − 2 − 6 − x . i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f . ii) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της. iii) Να εξετάσετε την f ως προς τη συνέχεια. 201 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ iv) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f . v) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό x0 έτσι ώστε f (x0 ) = 3 . 2 222. (*) Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [ ,  ] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [ ,  ]. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό   ( ,  ) τέτοιο ώστε f ( ) + f ( +  ) + f ( ) 2. f ( ) = 3 223. Έστω f συνάρτηση συνεχής και γνησίως μονότονη στο [0,5] με f (0) = 7 και f (5) = 1. Να αποδείξετε ότι: i) Η εξίσωση f (x) = 6 έχει μοναδική λύση. (*) ii) Υπάρχει μοναδικό x0  (0,5) τέτοιο ώστε f (x0 ) = f (1) + 2 f (2) + 3 f (3) + 4 f (4) 10 224. (*) Δίνεται η συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f : (0, 4) → R . Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας ακριβώς αριθμός   (0, 4) τέτοιος ώστε f ( ) = 3 f (1) + 5 f (2) + f (3) 9 225. Έστω η συνάρτηση f (x) = x5 + x +1, x [−1, 0] . i) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f . ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x) = 0 έχει ακριβώς μια λύση στο (−1, 0) . 226. Δίνεται η συνάρτηση f (x) = x + ex , x 0. e−x − ln(x +1), x 0 i) Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής. ii) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. iii) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f έχει ακριβώς δύο ρίζες ετερόσημες. iv) Να βρείτε το πλήθος λύσεων της εξίσωσης f (x) =  , για τις διάφορες τιμές του R. 227. Δίνεται η συνεχής στο (3,12] συνάρτηση f , η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο (3,5] και στο [8,12] και γνησίως φθίνουσα στο (5,8) . Αν γνωρίζετε ότι lim f (x) = −2 , x→3+ f (5) = 5 , f (8) = 0 , f (12) = 4 , να βρείτε το ακριβές πλήθος λύσεων των εξισώσεων i) f (x) = 1 ii) f (x) = 0 iii) f (x) = −1 228. Δίνεται μια συνεχής συνάρτηση f στο διάστημα [0,8] για την οποία ισχύουν ότι f (0) = 1, f (2) = −2 , f (4) = 2 , f (6) = −4 και f (8) = 1 . i) Να βρείτε πόσες φορές τουλάχιστον, η γραφική παράσταση της f θα τέμνει τον άξονα x΄x στο (0,8). 202 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ii) Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα [0,2] και [4,6] και γνησίως αύξουσα στα διαστήματα [2,4] και [6,8], τότε να βρείτε πόσες ρίζες θα έχει η εξίσωση f (x) = 0 . 229. Δίνεται η συνεχής και γνησίως μονότονη συνάρτηση f :[0, 4] → R της οποίας η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα y΄y στο σημείο με τεταγμένη 5 και ισχύει: lim (x2 − 4x) f (x) +(x − 4) = 18 x→4 x − 3 −1 i) Να βρείτε το f (4) . ii) Να βρείτε το σύνολο τιμών της iii) Να αποδείξετε ότι η ευθεία y=4 τέμνει την γραφική της παράσταση σε ένα ακριβώς σημείο iv) Να αποδείξετε ότι υπάρχει x0  (0, 4) τέτοιο ώστε 3 f (x0 ) = f (1) + f (2) + f (3) . 230. (*) Δίνεται η συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f : R → R της οποίας το σύνολο τιμών είναι f () = (−,1) . Να βρείτε τα όρια: i) lim x2 + f (x) ii) lim xf (x) − x2 x→− x + 2 x→+ x −1 231. (*) Δίνεται η συνάρτηση f : (0, +) → R με f (x) = x2 − 1 +1. x i) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f . ii) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f −1. iii) Αν η f −1 είναι συνεχής, να βρείτε τα όρια: α) lim f −1(x) − x β) lim f −1(x) − x x + f −1(x) x + f −1(x) x→− x→+ (*) Ζ. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ (Θ.Ε.Τ.) ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ (Θ.Μ.Ε.Τ.) 232. (*) Έστω η συνάρτηση f συνεχής στο [1, 3] με f (1)  f (2)  f (3) . Να δείξετε ότι υπάρχουν 1 (1, 2) και 2  (2,3) , τέτοια ώστε f (1 ) = 3f (1) + f (2) και 4 f (2 ) = f (2) + 3 f (3) . 4 233. (*) Έστω η συνάρτηση f συνεχής και γνησίως μονότονη στο [1, 3] για την οποία ισχύει ότι f (3) − f (1) = 2 . i) Να δείξετε ότι f (1)  f (1) + f (2)  f (2) και f (2)  f (2) + f (3)  f (3) 22 ii) Με την βοήθεια του ΘΕΤ να δ.ο. υπάρχουν x1, x2 (1,3) τέτοια ώστε f (x2 ) − f (x1) = 1 203 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 234. (*) Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [1,3]. Να αποδείξετε ότι υπάρχει  [1,3] τέτοιο ώστε f ( ) = 3 f (1) + 2 f (2) + f (3) . 6 235. (*) Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο (0,4). Να αποδείξετε ότι υπάρχει   (0, 4) τέτοιο ώστε f ( ) = 2 f (1) + 3 f (2) + 4 f (3) . 9 Η. ΡΙΖΕΣ – ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 236. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : R → R , για την οποία ισχύει f (x)  0 για κάθε x  R και f (−2) = 3. Να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της f . 237. Να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της συνάρτησης f (x) = 2x − 3 στο διάστημα [0, ]. 238. Δίνεται η συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f : R → R . Να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της f , σε καθεμιά από τις περιπτώσεις, αν είναι γνωστό ότι: i) lim f (x) = −2 x→− ii) lim f (x) = 0 x→− iii) lim f (x) = 2 x→+ iv) lim f (x) = 0 x→+ v) lim f (x) = 2 και lim f (x) = −2 x→− x→+ vi) f (−5) = 3 και f (3) = −1 239. (*) Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : R → R , η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο (−, 0] και γνησίως αύξουσα στο [0, +) . Να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της f , σε καθεμιά από τις περιπτώσεις, αν είναι γνωστό ότι: i) f (0) = 2 ii) f (0) = 0 iii) f (0) = −2 , lim f (x) = 0 και lim f (x) = + x→− x→+ iv) f (0) = −2 , lim f (x) = + και lim f (x) = 0 x→− x→+ v) f (0) = −2 , lim f (x) = + και lim f (x) = + x→− x→+ vi) f (0) = −2 , f (−5) = 3 και f (3) = 1 240. Δίνεται η συνεχής στο (−3,11] συνάρτηση f , η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο (−3, 3] και στο [9,11] και γνησίως φθίνουσα στο [3,9] . Αν γνωρίζετε ότι lim f (x) = −5 , x→−3+ f (3) = 12 και f (9) = 0 , να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της f . 204 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ



ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α. ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ – ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1.i)  = (−1,1)  (1, 2], ii)  = (2,3)  (3, 4] , iii)  = (−, 2)  (2, 4)  (4, +) , iv)  = (−, 0]  (1, 2)  (2,3)  (3, 4)  (4, +) , v)  = (−3, −2)  (1,3) , vi)  = (0, e] . 2. i)  = (−, −2)  (−2, 2)  (2, +) , ii)  = [0, 2] iii)  = [2,3) , iv)  = (−, 2)  (2, +) , v)  = (0,3] , vi)  = [−3, 2) . 3. 4. i)   (−, −3)  (0, +) , ii)  [3, +) 5. i)  = [−4, 4) , ii)  = −3 ή  = 2 , iii) f (−2) = 5 , f (2) =14 , f (1) = −4 , f ( f (1)) = 61, f ( f (2) −14) δεν ορίζεται. 6.i)  = [−8, 0)  (0,10] , ii)  = −11, iii) f (−2) = −7 , f (−5) = −38 , f ( f (−8) + 77)  ί , f ( f (− f (1)) +10) =12. 7. Α. i) 1,90m, ii) 1,72m, B. 4 εκατοστά 8. iii) x = 5 9. (*) i) f (x) = −x2 + 10 x − 22 33 10. (*) Β. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 11. 12. i)  = −3 ή  = 3 , ii)  = −1 ή  = 2 . 13.  = 5,  = −4 . 14. i) Με τον άξονα x΄x στα Α(2,0), Β(-2,0) και δεν τέμνει τον άξονα y΄y. ii) Με τον άξονα x΄x στα Α(1,0), Β( 3 ,0) και με τον άξονα y΄y στο Γ(0,-1). 2 iii) Με τον άξονα x΄x στα A( −2 ,0), Β( 1 ,0) και Β( e2 ,0) και με τον άξονα y΄y στο e Δ(0, 1 − 1 ). e2 15. i) A(2,1), ii) A(-1,-1), B(0,0) και Γ(1,1), iii) (1 , −1) και (e3, 7) , iv) (0, 0) και e (2, 2e2 − 2) . 16. α=1 και κοινό σημείο το Α(-2,7). 17. i) x  (−1,1) , ii) x  (−, −1)  (1, +) 18. i) x  (−1,3) , ii) x  (4, +) , iii) x  (0, 1)  (e, +) , iv) x  (0,3) . e 19. i)  = (−5,10] , ii) f (10) =1, f ( f (−1)) = −1, f ( f (2)) = 3 , iii) x = −2, x = 2, x = 8 , iv) x = −4, x = 5 , v) x  (−5, −3)  (2,8) , vi) x  (−4, −2] [0,10] , vii) 20. i) A=[-2,6] 207 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ. ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ – ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ – ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ – ΑΡΤΙΑ & ΠΕΡΙΤΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 21. i) f = g , ii) f = g στο  = [0,1)  (1, +) , iii) f = g στο  = [1, +) , iv) f = g στο  = [1, +) . 22.i) 1 = (−, −1) [1, +) , 2 = [1, +) , 3 = (−, −1) [1, +) , 4 = (−, −1)  (1, +) , 5 = (−, −1)  (1, +) , 6 = (1, +) 23. i)  f +g =  f −g =  f g =  f = (−,1)  (1, +) g ii)  f +g =  f −g =  f g = {−1}[0, +) και  f = (0, +) . g 24. i)  fg = [ 2 ,1] και ( f  g)(x) = 3x +1 , η g f δεν ορίζεται. 3 3x −1 ii)  fg = (−,10)  (10 , 5)  (5 , +) και ( f  g)(x) = x+5 . 7 72 2 7x −10 g f = (−, −4)  (−4, −2)  (−2, +) και (g f )(x) = 3x − 3 2x −7 25. i)  fg = (0, e] και ( f  g)(x) = 1− ln x , g f = (−,1) και (g f )(x) = ln 1− x ii)  fg = [−3, −2][2,3] και ( f  g)(x) = −x4 +13x2 − 36 ,  fg = [−1, 4] και (g f )(x) = −x2 + 3x −1 . 3x2 + 7x + 2, x  −1 3x + 3, x−2  0<x  2 ,  3 26. (*) ( f  g )( x) = 9 x 2 − 69x − 24, (g f )(x) = 9x −1, x2  - 1 <x  2 6x2 − 36x − 96, 6x −12, 3 x2  27. g(x) = ln(6 − 2x) και  fg = (−,3) , f (g(x)) = 6 − 2x − e 28.i) f (x) = f2 ( f1(x)) , ii) f (x) = f3( f4 ( f1(x))) , iii) f (x) = f2 ( f1( f6 ( f5(x)))) , iv) f (x) = f6 ( f1( f4 (x))) , v) f (x) = f4 ( f2 ( f4 ( f1( f4 (x))))) . 29. i) f (x) = 2x2 − x + 2 , ii) f (x) = ex (ex +1) − 6 , iii) f (x) = 4x2 +16x + 52 , iv) f (x) = x2 − 2 . 9 30. F (x) = 4x + 4 και G(x) = 4x + 7 . 31. f (x) = x2 + 2x +13 και f (| x |) = x2 + 2 | x | +13 . 44 32. i) f (x) = 2x + 5 , ii)  = 5 − 5 . 33. i) h = [4,5] , ii) g = [−1,1], iii) l = [ 3, 2] . 34. i) περιττή, ii) ούτε άρτια, ούτε περιττή. 35. (*) i) f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 8 , ii) f (x) = x3 208 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Δ. ΜΕΛΕΤΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ 36. i) f γνησίως φθίνουσα στο (−3,1] , ii) f γνησίως αύξουσα στο (0, 1) , iii) f 2 γνησίως φθίνουσα στο R , iv) f γνησίως φθίνουσα στο R , v) f γνησίως αύξουσα στο (0, +) , vi) f γνησίως φθίνουσα στο (0, +) , 37. (*) i) f γνησίως αύξουσα στο [3, +) , ii) f γνησίως φθίνουσα στο R , iii) f γνησίως αύξουσα στο R , iv) f γνησίως φθίνουσα στο R . 38. 39. 40. Ε. ΡΙΖΕΣ – ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 41. Μοναδική ρίζα η x = −1 , f (x)  0 για x  (−1, +) , f (x)  0 για x  (−, −1) . 42. i) Μοναδική ρίζα η x = −2 , f (x)  0 για x  (−2, 0] , f (x)  0 για x  (−, −2) , ii) Μοναδική ρίζα η x = 3, f (x)  0 για x [0,3) , f (x)  0 για x  (3, +) . 43. Μοναδική ρίζα η x = 3, f (x)  0 για x  (3, +) , f (x)  0 για x  (−,3) . 44. Μοναδική ρίζα η x = 2 , f (x)  0 για x  (−, 2) , f (x)  0 για x  (2, +) . 45. Μοναδική ρίζα η x = 1, f (x)  0 για x  (1, +) , f (x)  0 για x  (−,1) . ΣΤ. ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ – ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ 46. Μοναδική ρίζα η x = 1. 47. i) f γνησίως αύξουσα στο R, ii) x = 0 , iii) x = 1, iv) x = −1 . 48. x  0 . 49. i) f γνησίως φθίνουσα στο R, ii) για x  (0, +) είναι f (x)  0 , για x  (−, 0) είναι f (x)  0 , iii) x  −1, iv) x [4,5] . 50.i) f γνησίως αύξουσα στο [0, +) . 51. f γνησίως φθίνουσα, μοναδική ρίζα η x = 3, για x  (3, +) είναι f (x)  0 , για x  (−,3) είναι f (x)  0 , x 1. 52. x 1. 53. ii) x  (0,1) . 54. (*) ii) x  (−, 0)  (0, +) 55. (*) ii) x  1 Ζ. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1 56. 57. (*) 58. f (0) = −1 59. 60. 209 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Η. ΡΙΖΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1-1 – ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 61. x = 0 62. (0,1) . 63. ii) x = 1, ii) x = 1. 64. ii) f (0) = 1, x = 1. 65. i) x = 1, iv) x = 1. Θ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 66.i) f −1(x) = x + 3 με  f −1 = (−, − 1)  (− 1 , +) , 4x + 2 2 2 ii) f −1(x) = 6 − (4 − x2 )2 με  f −1 = [0, 2] . iii) f −1(x) = ex + 1 + 1 με  f −1 = [ln 2, ln12] . 42 iv) f −1(x) = ln x + 4 με  f −1 =[ 1 , +) . e4 67. i) f −1(x) = 2 − x +1 με  f −1 = [−1, +) , ii) f −1 ( x) =  3 x − 4 − 1, x4 με  f −1 = R .  −1− 3 4 − x, x  4 68.i) f −1(x) = ln 1− x με  f −1 = (−1,1) , ii) (gof −1 )( x) = 2x με gof −1 = (−1,1) . 1+ x 1+ x 69. i) x = 1 ή x = −2 , ii) x  (−1,9) . 70. i) η f −1 είναι γνησίως φθίνουσα, ii) (1,1) , iii) f −1(3) = 0 , x  −1, iv) x = −2 . 71. i) f (0) = 0 , ii) f −1(x) = −x3 − 3x, x  R , iii) η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R , iv) x  (0, +) , v) x  (−3,3) . 72. i) f −1(3) = 0 , ii) (−1, −1) , iii) x  −1 , iv) x  (−, −2)  (2, +) . 73. (*) i) x  (−1, +) , ii) x = 2 ή x = 0 . 74. (*) ii) (0, 0) , iii) x [− 1 , 0)  (0, 1] 24 75. ii) (1, 2) , iii) x 1. 210 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α. ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ x0 Α1. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ vii) 4 76.i) 2 ii) 3 iii) 1 iv) 0 v) 2 vi) -2 77.  = 1 ή  = −1− 7 ή  = −1+ 7 33 78.  = 0 79.i) 1 ii) − 22 10 3 A2. ΕΥΡΕΣΗ ΟΡΙΟΥ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ 0 ΜΕ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ 0 80. i) 27 ii) -2 iii) -4 iv) 1 v) -2 vi) 3 vii) 7 viii) 0 2 12 81. i) -4, ii) -6, iii) 2x-2 82. i) f −1(x) = − 1 , x  2 , ii) 1 3x − 2 3 7 83. lim f (x) = 12 + 4 x→2 Α3. ΕΥΡΕΣΗ ΟΡΙΟΥ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ 0 ΜΕ ΣΥΖΥΓΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ 0 84.i) 1 ii) 12 iii) 16 20 5 3 85. i) 24 ii) 2 10 iii) − 1 35 3 11 86.i) 1 , ii) -12, iii) -2 4 87. i) 5 , ii) (*) − 45 64 88. i) Ag f = (−,1][9, +) , ii) 5 3 Α4. ΕΥΡΕΣΗ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ 89. i) -1, ii) 0, iii) 0, iv) δεν υπάρχει 90. i) -3, ii) δεν υπάρχει, iii) δεν υπάρχει, iv) δεν υπάρχει 91. i) -6, 6 ii) 1, δεν υπάρχει 92. i) 1, ii) 1, iii) 1, iv) 1 93. i) 0, 4 ii) 0, 3 4 94. a = 1,  = 2, = 3 211 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Α5. ΕΥΡΕΣΗ ΟΡΙΟΥ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ 0 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ 0 95. i) -1, ii) 3, iii) − 4 5 96. i) δεν υπάρχει ii) 0 iii) δεν υπάρχει 97. (*) i) -7 ii) δεν υπάρχει Α6. ΕΥΡΕΣΗ ΟΡΙΟΥ ΜΕ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 98. i) -3 ii) 4 99. i) 2, ii) -1 100. (*) i) 15 ii) 5 2 Α7. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ 101.i) 0 ii) 0 iii) 1 iv) 12 v) 0 vi) 2 2 102. Δεν υπάρχει 103. 2 104. (*) 0 105.  = 1 2 Α8. ΤΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ 106. 2020 107. 1 108. 2 109. i)-4, ii) 1, iii) 0 110. όλα 0 111. (*) lim f (x) = 3 και lim g(x) = 3 x→0 x→0 Α9. ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 112. i) 1 ii) 0 iii) 1 22 113. (*) i) 13, ii) − 1 10 114. i) -1, ii) 1 , iii) -3 2 115. i) 1, ii) 2 , 116. (*) lim f (x) = 1 x→−3 Α10. ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ 117. 1 2 118. (*) 212 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Β. ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ x0 Β1. Η ΜΟΡΦΗ  ΜΕ   0 0 119.i) + ii) − iii) − iv) − v) − vi) − 120. i) + ii) − iii) + iv) − . 121. i) δεν υπάρχει ii) δεν υπάρχει iii) − 1 ( είναι ήδη πλευρικό) iv) δεν υπάρχει 2 v) δεν υπάρχει vi) δεν υπάρχει 122. i) δεν υπάρχει ii) δεν υπάρχει iii) δεν υπάρχει Β2. ΜΕ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 123. i) 0, ii) − , iii) + , iv) − 124. 0. Β3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ 125. + 126. 0 B4. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ 127. + 128. + Γ. ΟΡΙΑ ΜΕ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟ ΣΤΟ x0 Γ1. ΕΥΡΕΣΗ ΤΙΜΗΣ 129. λ=3 130. λ=2 131. α=2 132. α=1 133. λ=2 134. α=1 και β=-5 135. α=3 και β=-4 136.  =1 και  −1 +1 =e 2 137.α=1 138. α=2 139. Γ2. ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ 140. 141. 142. 143. 213 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Δ. ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ Δ1. ΟΡΙΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗΣ & ΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 144. i) + ii) + 145. + i) + ii) + 146. i) + ii) + Δ2. ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ 147.i) − ii) 0 Δ3. ΟΡΙΟ ΑΡΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 148. i) + , ii) + , iii) − , iv) + , v) 2 , vi) 2 , vii) 1, viii) 3 2 149. i) 0 ii) 0 iii) − 5 , iv) 0 v) −1 vi) −1 4 150. i) 0 ii) 3 iii) 1 2 20 Δ4. ΤΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ 151.i) 1 ii) 0 152. i) 0 ii) 0 iii) + , iv) 0 Δ5. ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 153. i) 1 ii) −1 iii) 0 , iv) − 1 2 154. i) 4 ii) + iii) 0 Ε. ΟΡΙΟ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ – ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ε1. ΟΡΙΟ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 155.i) 1, ii) + , iii) 0, iv) + , v) δεν υπάρχει, vi) 0 , vii) 1, viii) + 156. i) 1, ii) 1, iii) e2 +1 , iv) 1, v) + 1+ e Ε2. ΟΡΙΟ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 157.i) Af = (0, +) ii) lim f (x) = lim f (x) = + και lim f (x) = + x→0 x→0+ x→+ iii) lim ( f (x) − ln x) = 0 x→+ 158. i) Af = (−, 0)  (3, +) ii) lim f (x) = − ln 2 και lim f (x) = − ln 2 x→+ x→− lim f (x) = lim f (x) = − και lim f (x) = lim f (x) = + x→3 x→3+ x→0 x→0− 159. i) − , ii) + , iii) 0, iv) − , v) 0. 214 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤ. ΟΡΙΑ ΜΕ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΣΤ1. ΟΡΙΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗΣ – ΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 160. 161. = −2 και  = 0 ΣΤ2. ΟΡΙΟ ΑΡΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 162. 163. i)  = 2 και  = − 3 ii)  = 1 και  = −1 4 (*) ΣΤ3. ΟΡΙΟ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 164. i) Αν  =1 τότε lim x = 1 2 x→+  x +1 Αν  1 τότε lim x =1 x→+  x +1 Αν 0 1 τότε lim  x 1 = 0 x x→+ + ii) Αν  = e τότε lim ex+1 −  x = e −1 1+ e x→− ex +  x+1 Αν  e τότε lim ex+1 −  x =e x→− ex +  x+1 Αν 0 e τότε lim ex+1 −  x = −1  x→− ex +  x+1 iii) Αν  =1 τότε lim  x+1 −  − x =0 x→− x + −x Αν  1 τότε lim  x+1 −  −x = −1 x→− x + −x Αν 0 1 τότε lim  x+1 − −x =a x→− x + −x 165. i) Για το lim f (x) έχουμε τις περιπτώσεις: x→+ • Αν  = 2 τότε lim f (x) = 1 x→+ • Αν   2 τότε lim f (x) = 1 x→+ a • Αν 0    2 τότε lim f (x) = 2 x→+ ii) Για το lim f (x) έχουμε τις περιπτώσεις: x→− • Αν  = 2 τότε lim f (x) = 1 x→− • Αν   2 τότε lim f (x) = 2 x→− • Αν 0    2 τότε lim f (x) = 1 . x→− a 215 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ & ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Α. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 166. i) lim f (x) = 9 και lim f (x) = 1 , άρα ασυνεχής στο 2, x→2+ x→2− ii) lim f (x) = 0 και lim f (x) = − , άρα ασυνεχής στο 0, x→0+ x→0− iii) lim f (x) = 7 και f (2) = 7 , άρα συνεχής στο 2 x→2 iv) lim f (x) = 2 και lim f (x) = 2 και f (1) = 2 , άρα συνεχής στο 1 x→1+ x→1− v) lim f (x) = −1 και f (0) = 0 , άρα ασυνεχής στο 0 x→0 vi) lim f (x) = 0 και f (0) = 0 , άρα συνεχής στο 0 x→0 167.i) συνεχής στο 0 ii) ασυνεχής στο 9 168.i) συνεχής στο R ii) ασυνεχής στο 0 169. 170. ασυνεχής στο 6 171. 172. 173. (*) 174. (*) 175. (*) Β. ΔΕΔΟΜΕΝΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ – ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ 176.i)  = − 3 ii)  = − 9 84 177.i)  = 1 και  = −1 ii)  = 5 2 + 3 και  = −5 2 − 6 2 42 178.  = −2 και  = 1 και  = 0 179. i) lim f (x) = 3 και lim f (x) = 3 και lim f (x) = 1 και lim f (x) = 2 x→+ 2 x→− 2 x→0+ x→0− 180. f (0) = 3 2 181. f (1) = 1 4 182. f (0) = 0 183. f (1) = 2 −  184. 64 185. iii) λ=8 Γ. ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 186. 187. 188. 189. 190. 191. 216

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 192. 193. 194. 195. 196. 197. 198. 199. 200. 201. 202.Υπόδειξη: από την απαλοιφή προκύπτουν και τα άκρα των διαστημάτων. 203. ii) lim f (x) = lim f (x) = + . x→+ x→− 204. 205. 206. 207. 208. 209. i) λ=1 και μ=6 ii) lim f (x) = − x→3+ Δ. ΣΤΑΘΕΡΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 210. 211. 212. ii) lim f (0)x3 + 2x −1 = + x→− f (1)x + 4 213. i) Υπόδειξη: παρατηρήστε ότι έχουμε γινόμενο τριών παραγόντων και είναι θετικό. Ε. ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f  x2 + 3 − 2 , x 1  x −1 x =1 214. f (x) =  x0 x=0 1 ,  2  2 2 x  , 215. f (x) =  x2 +1 −1 4, 216. ii) f (x) = − ex + 2 217. ii) f (x) = 3 4 - x2 , x [-2, 2] 2 218. ii) f (x) = x2 +1 + x και lim xf (x) = − 1 x→− 2 217 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 219. lim  x = 0 x→+ f ( x) 220. (*) f (x) = ex +1, x  0  x  0 3 − e x , ΣΤ. ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 221. i)  = [2, 6] iv) f () = [−2, 2]. 222. (*) 223. 224. (*) 225. i) f () = [−1,1] 226. ii) η f  για x  0 και f  για x  0 iv) για α>1 καμία λύση, για α=1 ακριβώς μία λύση την x=0 και για α<1 ακριβώς δύο λύσεις. 227. i) 3 ακριβώς, ii) 2 ακριβώς, iii) 1 ακριβώς. 228. i)4 ii) ακριβώς 4. 229. i) f (4) = 2 , ii) f () = [2,5]. 230. (*) i) − , ii) − . 231. (*) iii) α) −1, β) −1. (*) Ζ. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ (Θ.Ε.Τ.) ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ (Θ.Μ.Ε.Τ.) 232. (*) 233. (*) 234. (*) 235. (*) Η. ΡΙΖΕΣ – ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 236. Δεν έχει ρίζες και f (x)  0 για κάθε x  R . 237. Δύο ακριβώς ρίζες τις x =  ή x = 2 , f (x)  0 για κάθε x [0,  )  ( 2 , ] 33 33 και f (x)  0 για κάθε x  ( , 2 ) . 33 238. i) Δεν έχει ρίζες και f (x)  0 για κάθε x  R . ii) Δεν έχει ρίζες και f (x)  0 για κάθε x  R . iii) Δεν έχει ρίζες και f (x)  0 για κάθε x  R . iv) Δεν έχει ρίζες και f (x)  0 για κάθε x  R . v) Έχει μοναδική ρίζα x =  και f (x)  0 για κάθε x  (−, ) , f (x)  0 για κάθε x  (, +) . vi) Έχει μοναδική ρίζα x =   (−5,3) και f (x)  0 για κάθε x  (−, ) , f (x)  0 για κάθε x  (, +) . 239. (*) i) Δεν έχει ρίζες και f (x)  0 για κάθε x  R . ii) Έχει μοναδική ρίζα x = 0 και f (x)  0 για κάθε x  (−, 0)  (0, +) . 218 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ iii) Έχει μοναδική ρίζα x =   (0, +) και f (x)  0 για κάθε x  (−, ) , f (x)  0 για κάθε x  (, +) . iv) Έχει μοναδική ρίζα x =   (−, 0) και f (x)  0 για κάθε x  (−, ) , f (x)  0 για κάθε x  (, +) . v) Έχει δύο ακριβώς ρίζες 1 (−,0) , 2 (0, +) και f (x)  0 για κάθε x  (−, 1)  (2, +) , f (x)  0 για κάθε x (1, 2 ) . vi) Έχει δύο ακριβώς ρίζες 1 (−5, 0) , 2  (0,3) και f (x)  0 για κάθε x  (−, 1)  (2, +) , f (x)  0 για κάθε x (1, 2 ) . 240. Έχει δύο ακριβώς ρίζες 1 (−3,3) , 2 = 9 και f (x)  0 για κάθε x (1, 2 )  (2,11] , f (x)  0 για κάθε x (−3, 1) . 219 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ