ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ I (Συναρτήσεις-Όρια-Συνέχεια)

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η. ΡΙΖΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1-1 – ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Παράδειγμα 34 Να λυθεί η εξίσωση ln(x −1) = 2 − x Λύση ln(x −1) − 2 + x = 0 (1) Έχουμε ln(x −1) = 2 − x  η συνάρτηση που προκύπτει απο την εξίσωση Θεωρούμε τη συνάρτηση f (x) = ln(x −1) − 2 + x Το πεδίο ορισμού της f είναι:  = (1,+) . Έστω οποιαδήποτε x1, x2 (1, +) με 1  x1  x2 . είναι γνησίως αύξουσα g ( x)=ln x Είναι 1 x1  x2  x1 −1 x2 −1  ln(x1 −1)  ln(x2 −1) (1) 1  x1  x2  −2 + x1  −2 + x2 (2) Από (1)+(2) έχουμε: ln(x1 −1) − 2 + x1  ln(x1 −1) − 2 + x1  f (x1)  f (x2 ) , άρα η f στο (1,+) , άρα είναι 1-1. Η (1) γράφεται f (x) = 0 , άρα αναζητούμε τις ρίζες της f . Έχουμε ότι f (2) = 0 , οπότε f (2)=0 f 1-1 f (x) = 0  f (x) = f (2)  x = 2 . Παράδειγμα 35 Δίνεται η συνάρτηση f : R → R με σύνολο τιμών f () = R για την οποία ισχύει: f (x) + 3e f (x)−2 = 8 − 3ex−2 για κάθε x  R (*) και f (2) = 2 α) Να δείξετε ότι η f είναι 1-1. β) Να λύσετε την εξίσωση f ( f (| x | −3) + ex −1) − f (ex +1) = 0 Λύση α) Το πεδίο ορισμού της f είναι:  = R . Έστω οποιαδήποτε x1, x2  R με f (x1) = f (x2 ) (1). Είναι f (x1) = f (x2 )  f (x1) − 2 = f (x2 ) − 2  e f (x1)−2 = e f (x2 )−2  3e f (x1)−2 = 3e f (x2 )−2 (2) Από (1)+(2) έχουμε ότι (*) f (x1) + 3e f (x1)−2 = f (x2 ) + 3e f (x2 )−2 8 − 3ex1−2 = 8 − 3ex2 −2  3ex1−2 = 3ex2 −2  ex 1−1 ex1−2 = ex2 −2  x1 − 2 = x2 − 2  x1 = x2 , άρα η f είναι 1-1. β) Αφού το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f είναι το R, δεν υπάρχουν περιορισμοί για την εξίσωση. Είναι f ( f (| x | −3) + ex −1) − f (ex +1) = 0  f 1-1 f ( f (| x | −3) + ex −1) = f (ex +1)  f (| x | −3) + ex −1 = ex +1  f (2)=2 f (| x | −3) = 2  f 1-1 f (| x | −3) = f (2)  | x | −3 = 2 | x |= 5  x = 5 ή x = −5 51 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Θ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Παράδειγμα 36 (Εύρεση αντίστροφης από τον τύπο της) Για τις παρακάτω συναρτήσεις δείξετε ότι αντιστρέφονται και να ορίσετε την αντίστροφη συνάρτηση. α) f (x) = 4 − x − 3 β) f (x) = x2 − 2x , με x 1 γ) f (x) = x3 − 6x2 +12x − 3 Λύση α) Το πεδίο ορισμού της f είναι:  = (−,4]. Έστω οποιαδήποτε x1, x2  (−, 4] με f (x1) = f (x2 ) . Είναι f (x1) = f (x2 )  4 − x1 − 3 = 4 − x2 − 3  4 − x1 = 4 − x2  4 − x1 = 4 − x2  x1 = x2 . Άρα η f είναι 1-1, άρα αντιστρέφεται. Για x (−,4] θέτουμε y = f (x)  y = 4 − x − 3  y + 3 = 4 − x . Για y + 3  0  y  −3 έχουμε ( y + 3)2 = 4 − x  x = 4 − ( y + 3)2 (1) Άρα από την (1) έχουμε: f −1(x) = 4 − (x + 3)2 με πεδίο ορισμού Df −1 = f () = [−3,+) . β) Για κάθε x 1 είναι f (x) = x2 − 2x  f (x) = x2 − 2x +1−1  f (x) = (x −1)2 −1, οπότε θα έχουμε: Το πεδίο ορισμού της f είναι:  = (−,1]. Έστω οποιαδήποτε x1, x2 (−,1] με f (x1) = f (x2 ) . Είναι f (x1) = f (x2 )  ( x1 −1)2 −1 = ( x2 −1)2 −1  ( x1 −1)2 = ( x2 −1)2  ( ) ( )x1 −1 2 = 2 x1 −1 = x1 1 & x2 1  −x1 = −x2  x1 = x2 . x2 −1  x2 −1  1 − x1 = 1− x2 Άρα η f είναι 1-1, άρα αντιστρέφεται. Για x(−,1] θέτουμε y = f (x)  y = ( x −1)2 −1  ( x −1)2 = y + 1. Για y +1 0  y  −1 έχουμε y +1 = ( x −1)2  x1 y +1 =1− x  x =1− y +1 (1) y +1 = x −1  Άρα από την (1) έχουμε: f −1(x) =1− x +1 με πεδίο ορισμού Df −1 = f () = [−1,+) . γ) Για κάθε x  R είναι f (x) = x3 − 6x2 +12x − 3  f (x) = x3 − 6x2 +12x − 8 + 5  f (x) = ( x − 2)3 + 5 Το πεδίο ορισμού της f είναι:  = R . Έστω οποιαδήποτε x1, x2  R με f (x1) = f (x2 ) . Είναι f (x1) = f (x2 )  ( x1 − 2)3 + 5 = ( x2 − 2)3 + 5  ( x1 − 2)3 = ( x2 − 2)3  x1 − 2 = x2 − 2  x1 = x2 . Άρα η f είναι 1-1, άρα αντιστρέφεται. Για x  R θέτουμε y = f (x)  y = ( x − 2)2 + 5  ( x − 2)3 = y − 5 . 52 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ • Για y − 5  0  y  5 έχουμε x − 2 = 3 y − 5  x = 3 y − 5 + 2 (1) Πρέπει x  R  3 y − 5 + 2 R  y  5 που ισχύει. • Για y − 5  0  y  5 έχουμε x − 2 = −3 5 − y  x = 2 − 3 5 − y (2) Άρα από την (1) & (2) έχουμε: f −1 ( x) =  3 x −5 + 2, x5 με πεδίο ορισμού Df −1 = f () = R .  x5 2 − 3 5 − x, Παράδειγμα 37 (Εύρεση αντίστροφης από συναρτησιακή σχέση) Δίνεται η συνάρτηση f : R → R με σύνολο τιμών f () = R , για την οποία ισχύει: f 3(x) + f (x) = x για κάθε x  R (1) α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται. β) Να ορίσετε την f −1 Λύση α) Το πεδίο ορισμού της f είναι:  = R . Έστω οποιαδήποτε x1, x2  R με f (x1) = f (x2 ) (2). Είναι f (x1) = f (x2 )  f 3 (x1) = f 3 (x2 ) (3) Από (2)+(3) έχουμε f 3 (x1) + f (x1) = f 3(x2 ) + f (x2 ) οπότε από (1) έχουμε x1 = x2 . Άρα η f είναι 1-1, άρα αντιστρέφεται. β) Είναι Df −1 = f () = R . Για x  R θέτουμε στην (1) y = f (x) και έχουμε: y3 + y = x  x = y3 + y (4) Πρέπει x  R , άρα πρέπει y3 + y  R , που ισχύει για κάθε y  R . Άρα από την (4) έχουμε: f −1(x) = x3 + x . Παράδειγμα 38 (Επίλυση εξισώσεων) Δίνεται η συνάρτηση f : R → R με σύνολο τιμών f () = R , για την οποία ισχύει: f ( f (x)) = 3x − 5 για κάθε x  R (*) και f (2) =10 α) Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη. β) Να βρείτε το f −1(2) . γ) Να λύσετε την εξίσωση f ( f −1(| x | −2) + 3) = 2 Λύση α) Το πεδίο ορισμού της f είναι:  = R . Έστω οποιαδήποτε x1, x2  R με f (x1) = f (x2 ) . (*) Έχουμε f (x1) = f (x2 ) άρα f ( f (x1)) = f ( f (x2 )) 3x1 − 5 = 3x2 − 5  x1 = x2 , άρα η f είναι 1-1, άρα είναι αντιστρέψιμη, δηλαδή ορίζεται η f −1 με πεδίο ορισμού Df −1 = f () = R . β) Έστω f −1(2) =  . Τότε f () = 2 . Η (*) για x=ω δίνει f ( f ()) = 3 − 5  f (2) = 3 − 5 10 = 3 − 5   = 5 . Άρα f −1(2) = 5 . 53 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ γ) Αφού το πεδίο ορισμού της f και το πεδίο ορισμού της f −1 είναι το R, δεν υπάρχουν περιορισμοί για την εξίσωση. Έχουμε f −1 (2)=5 f (5)=2 f ( f −1(| x | −2) + 3) = 2  f 1−1 f ( f −1(| x | −2) + 3) = f (5)  f −1(| x | −2) + 3 = 5  f 1-1 f −1(| x | −2) = 2  f ( f −1(| x | −2)) = f (2)  | x | −2 =10  | x |=12  x =12 ή x = −12 Παράδειγμα 39 (Επίλυση εξισώσεων – ανισώσεων) Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : R → R με σύνολο τιμών f () = R , της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(2,6) και Β(4,3). α) Να βρείτε το είδος μονοτονίας της f και να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη. β) Να λύσετε την εξίσωση f ( f −1(x2 − 5x) + 2) = 3 . γ) Να λύσετε την ανίσωση f −1( f (x2 − x) − 3)  4 Λύση α) Αφού η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία Α(2,6) και Β(4,3), έχουμε f (2) = 6 και f (4) = 3. 2  4  Οπότε είναι:  f (2)  f (4) άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα.  f  ί  ό Η f είναι γνησίως φθίνουσα, άρα 1-1, άρα αντιστρέφεται, δηλαδή ορίζεται η f −1 με πεδίο ορισμού Df −1 = f () = R . β) Αφού το πεδίο ορισμού της f και το πεδίο ορισμού της f −1 είναι το R, δεν υπάρχουν περιορισμοί για την εξίσωση. Έχουμε f (4)=3 f ( f −1(x2 − 5x) + 2) = 3  f 1-1 f ( f −1(x2 − 5x) + 2) = f (4)  f −1(x2 − 5x) + 2 = 4  f 1-1 f −1(x2 − 5x) = 2  f (2)=6 f ( f −1(x2 − 5x)) = f (2)  x2 − 5x = 6  x2 − 5x − 6 = 0  x = −1 ή x = 6 γ) Αφού το πεδίο ορισμού της f και το πεδίο ορισμού της f −1 είναι το R, δεν υπάρχουν περιορισμοί για την ανίσωση. 54 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έχουμε f f −1( f (x2 − x) − 3)  4  f (4)=3 f ( f −1( f (x2 − x) − 3))  f (4)  f (x2 − x) − 3  3  f (2)=6 f (x2 − x)  6  f f (x2 − x)  f (2)  x2 − x  2  x2 − x − 2  0  x (−2,1) (*) Παράδειγμα 40 (Επίλυση εξισώσεων – ανισώσεων) Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f (x) = x + x2 α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται. β) Αν το σύνολο τιμών της f είναι το f () = [0,+) : i) Να λύσετε την ανίσωση f −1(x2 −1)  x ii) Να λύσετε την εξίσωση f −1(x2 + x − 2) = x . Λύση α) Το πεδίο ορισμού της f είναι:  = [0,+) . Έστω οποιαδήποτε x1, x2 [0, +) με x1  x2 . Έχουμε x1  x2  x1  x2 (1). Επίσης x1  x2 x1 ,x2[0,+) x12  x22 (2).  Από (1)+(2) έχουμε: x1 + x12  x2 + x22  f (x1)  f (x2 ) . Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα, άρα 1-1, άρα είναι αντιστρέψιμη. β) i) f Περιορισμοί: x2 −1 Df −1 = f ()  x2 −1 0  x  −1 ή x 1 Έχουμε f −1(x2 −1)  x  f ( f −1(x2 −1))  f (x)  x x0 x2 −1 x + x2  x  −1 , που ισχύει Περιορισμοί: Άρα η ανίσωση αληθεύει για x[1,+) x2 + x − 2  0  x  −2 ή x 1 ii) x0 f 1-1 Έχουμε f −1(x2 + x − 2) = x  f ( f −1(x2 + x − 2) ) = f ( x)  x2 + x − 2 = x + x2  x− x−2=0 Θέτουμε x =   0 και έχουμε: 2 − − 2 = 0   = −1 (απορρίπτεται) ή  = 2 Άρα x = 2  x = 4 Άρα x = 4 55 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Παράδειγμα 41 (Κοινά σημεία Cf , και ευθείας y = x ) Δίνεται η συνάρτηση f : R → R για την οποία ισχύει 2 f 3(x) + f (x) = x +16 για κάθε xR. α) Να δείξετε ότι είναι αντιστρέψιμη. β) Αν γνωρίζετε ότι f () = R , να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία y = x . Λύση α) Το πεδίο ορισμού της f είναι:  = R . Έστω οποιαδήποτε x1, x2  R με f (x1) = f (x2 ) (1). Έχουμε f (x1) = f (x2 )  f 3 (x1) = f 3 (x2 )  2 f 3(x1) = 2 f 3(x2 ) (2) Από (1)+(2) έχουμε: (*) 2 f 3(x1) + f (x1) = 2 f 3(x2 ) + f (x2 )  x1 +16 = x2 +16  x1 = x2 , άρα η f είναι 1-1, άρα είναι αντιστρέψιμη. β) Το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία y = x , προκύπτει από τη λύση της εξίσωσης f (x) = x , όμως δεν γνωρίζουμε τον τύπο της f . Επειδή η εξίσωση f (x) = x είναι ισοδύναμη με την εξίσωση f −1(x) = x , και γνωρίζουμε ότι Df −1 = f () = R θα βρούμε τον τύπο της f −1 . Ο τύπος της f −1 Για x  R θέτουμε στην (*) y = f (x) και έχουμε: 2 y3 + y = x +16  x = 2y3 + y −16 (3) Πρέπει x  R άρα 2y3 + y −16 R , που ισχύει. Άρα από την (3) έχουμε: f −1(x) = 2x3 + x −16 . Οπότε f (x) = x  f −1(x) = x  2x3 + x −16 = x  2x3 = 16  x = 2 . Άρα το σημείο τομής της Cf με την ευθεία y = x , είναι το Α(2,2). Παράδειγμα 42 (Κοινά σημεία Cf −1 και ευθείας y = x ) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = −x3 − x +12 με σύνολο τιμών f () = R . α) Να δείξετε ότι είναι αντιστρέψιμη β) Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f −1 με την ευθεία y=x. γ) Να λυθεί η ανίσωση f −1( f (| x | −1) + 8) 1 Λύση α) Το πεδίο ορισμού της f είναι:  = R . Έστω οποιαδήποτε x1, x2  R με x1  x2 . Είναι x1  x2  x13  x23  −x13  −x23 (1) x1  x2  −x1  −x2  −x1 + 12  −x2 + 12 (2) Από (1)+(2) έχουμε: −x13 − x1 +12  −x23 − x2 + 12  f (x1)  f (x2 ) . 56 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R , άρα είναι 1-1, άρα αντιστρέφεται, δηλαδή ορίζεται η f −1 με πεδίο ορισμού Df −1 = f () = R . β) Το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f −1 με την ευθεία y = x , προκύπτει από τη λύση της εξίσωσης f −1(x) = x , η οποία είναι ισοδύναμη με την εξίσωση f (x) = x . Οπότε f −1(x) = x  f (x) = x  −x3 − x +12 = x  −x3 − 2x +12 = 0  ...  x = 2 . ‘Άρα το κοινό σημείο της Cf −1 με την ευθεία y = x , είναι το Α(2,2). γ) Αφού το πεδίο ορισμού της f και το πεδίο ορισμού της f −1 είναι το R, δεν υπάρχουν περιορισμοί για την ανίσωση. Έχουμε f f −1( f (| x | −1) + 8) 1 f ( f −1( f (| x | −1) + 8))  f (1)  f (| x | −1) + 8 10  ( )→ f −1 (2)=2 f (2)=2 f (| x | −1)  2  f f (| x | −1)  f (2)  | x | −1 2  | x | 3  −3  x  3  x  (−3, 3) (*) Παράδειγμα 43 (Κοινά σημεία Cf και Cf −1 ) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 1− x με σύνολο τιμών f () = [0,+) . α) Να δείξετε ότι είναι αντιστρέψιμη. β) Να βρείτε τα κοινά σημεία Cf και Cf −1 Λύση α) Το πεδίο ορισμού της f είναι:  = (−,1]. Έστω οποιαδήποτε x1, x2 (−,1] με x1  x2  1 . Είναι x1  x2  −x1  −x2  1− x1 1− x2  1− x1  1− x2  f (x1)  f (x2 ) . Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R , άρα είναι 1-1, άρα αντιστρέφεται. β) 1ος τρόπος (με εύρεση της αντίστροφης συνάρτησης) y0 Για x(−,1] θέτουμε y = f (x)  y = 1− x  y2 =1− x  x =1− y2 (*). Πρέπει x (−,1]  x 1  1− y2 1  y2  0 που ισχύει για κάθε y  0 . Άρα από την (*) έχουμε: f −1(x) = 1− x2 με πεδίο ορισμού  f −1 = [0,+) . Τα κοινά σημεία των Cf και Cf −1 προκύπτουν αν λύσουμε το σύστημα: y = f (x) με περιορισμούς x   = (−,1] , άρα x[0,1] .   y = f −1 ( x)  x   f −1 = [0, +) Για x [0,1] είναι y = f (x)   y = 1 −x   y = 1− x  f −1 ( x)  y = − x2   y =  1  1 − x = 1− x2 Η δεύτερη εξίσωση του συστήματος γράφεται: 1− x = 1− x2  1− x = (1− x2 )2  x4 − 2x2 + x = 0  57 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ x = 1 ή x = 0 ή x = −1+ 5 ή x = −1− 5 (απορρίπτεται) . 22 Άρα τα κοινά σημεία των Cf και C f −1 είναι τα Α(1,0), Β(0,1), Γ( −1+ 5 , −1+ 5 ). 2 2 2ος τρόπος (χωρίς εύρεση της αντίστροφης συνάρτησης) Για να βρούμε τα κοινά σημεία Cf και Cf −1 αρκεί να λύσουμε το σύστημα y = f (x)  y = f −1 ( x) Το παραπάνω σύστημα μετατρέπεται:  y =f (x)   y =f (x)   y = 1− x   y2 =1− x () , με περιορισμούς x 1  f ( y) =x  f (y) =x  x = 1− y  x2 =1− y       y  1 Αφαιρώντας κατά μέλη τις δυο εξισώσεις του (Σ) έχουμε: y2 − x2 = y − x  ( y − x)( y + x) = y − x  ( y − x)(y + x) − (y − x) = 0  ( y − x)(y + x −1) = 0 Η τελευταία δίνει y = x ή y =1− x Για y = x η πρώτη εξίσωση του (Σ) δίνει x2 + x −1 = 0  x = 5 −1 ή x = 5 +1 (η 2 2 τελευταία λύση απορρίπτεται αφού 5 +1 1 ). 2 Για y =1− x η πρώτη εξίσωση του (Σ) δίνει x(1− x) = 0  x = 0 ή x = 1 . Άρα τα κοινά σημεία των Cf και C f −1 είναι τα Α(1,0), Β(0,1), Γ( −1+ 5 , −1+ 5 ). 2 2 Παράδειγμα 44 (Κοινά σημεία Cf και Cf −1 ) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = x3 + x + 8 με σύνολο τιμών f () = R . α) Να δείξετε ότι είναι αντιστρέψιμη β) Να βρείτε τα κοινά σημεία Cf και Cf −1 γ) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων για τις οποίες η Cf βρίσκεται κάτω από την C f −1 . Λύση α) Το πεδίο ορισμού της f είναι:  = R . Έστω οποιαδήποτε x1, x2  R με x1  x2 . Είναι x1  x2  x13  x23 (1) x1  x2  x1 + 8  x2 + 8 (2) Από (1)+(2) έχουμε: x13 + x1 + 8  x23 + x2 + 8  f (x1)  f (x2 ) . Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R , άρα είναι 1-1, άρα αντιστρέφεται, δηλαδή ορίζεται η f −1 με πεδίο ορισμού Df −1 = f () = R . 58 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ β) Για να βρούμε τα κοινά σημεία Cf και Cf −1 αρκεί να λύσουμε το σύστημα y = f (x) f −1 .  , όμως δεν μπορούμε να βρούμε τον τύπο της  y = f −1(x) Για τον λόγο αυτό το παραπάνω σύστημα μετατρέπεται: y = f (x)  y = f (x)   y = x3 + x+8 (Σ)  =x x = f ( y)  = y3 + y+8  f ( y) x Το παραπάνω (Σ) λύνεται με δυο τρόπους Α΄ Τρόπος επίλυσης του (Σ) Αφαιρώντας κατά μέλη έχουμε y − x = x3 − y3 + x − y  x3 − y3 + 2x − 2y = 0  (x − y)(x2 + xy + y2 ) + 2(x − y) = 0  (x − y)(x2 + xy + y2 + 2) = 0  x − y = 0 ή x2 + yx + y2 + 2 = 0  y = x = y2 −4( y2 +2)=−3 y2 −80 Για x = y η πρώτη εξίσωση του (Σ) γράφεται: y = y3 + y + 8  y3 = −8  y = −2 , οπότε και x = −2 . Άρα το κοινό σημείο των Cf και Cf −1 , είναι το Α(-2,-2). Β΄ Τρόπος επίλυσης του (Σ) Με αντικατάσταση το (Σ) δίνει την εξίσωση x = (x3 + x + 8)3 + (x3 + x + 8) + 8  (x3 + x + 8)3 + x3 +16 = 0 (*) , με x  R . Θεωρούμε τη (βοηθητική συνάρτηση) g(x) = (x3 + x + 8)3 + x3 +16 . Το πεδίο ορισμού της g είναι:  = R . Έστω οποιαδήποτε x1, x2  R με x1  x2 . Είναι x1  x2  x13  x23 (1) x1  x2  x1 + 8  x2 + 8 (2) Από (1)+(2) έχουμε: ( ) ( )x13 + x1 + 8  x23 + x2 + 8  x13 + x1 + 8 3  x23 + x2 + 8 3 (3) Από (3)+(1) έχουμε: ( ) ( )x13 + x1 + 8 3 + x13  x23 + x2 + 8 3 + x23  ( ) ( )x13 + x1 + 8 3 + x13 + 8  x23 + x2 + 8 3 + x23 + 8  g(x1)  g(x2 ) άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο R . Έχουμε ότι g(−2) = 0 , οπότε η (*) γράφεται: g g(x) = g(−2)  x = −2 . g 1−1 Για x = −2 είναι y = (−2)3 − 2 + 8 = −2 Άρα το κοινό σημείο των Cf και Cf −1 , είναι το Α(-2,-2). 59 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (*) Άλλος τρόπος (δεν καλύπτεται από το σχολικό βιβλίο) Εφόσον η f είναι γνησίως αύξουσα στο Π.Ο. της, τα κοινά σημεία των Cf και Cf −1 προκύπτουν αν λύσουμε ένα από τα συστήματα: y = f (x) y = f −1 ( x) x (1) x  y = ή  y = (2 )   Επειδή γνωρίζουμε μόνο τον τύπο της f −1 , λύνουμε το (Σ1).  y = x3 + x + 8   x3 + x + 8 = x  x3 = −8   x = −2  y = x  y=x   y = −2   y = x  ‘Άρα το κοινό σημείο των Cf και Cf −1 , είναι το Α(-2,-2). γ) Οι τετμημένες των σημείων για τις οποίες η Cf βρίσκεται κάτω από την ,Cf −1 δίνονται από τις λύσεις της ανίσωσης f (x)  f −1(x) . Επειδή γνωρίζουμε μόνο τον τύπο της f , η ανίσωση γράφεται: f f (x)  f −1(x)  f ( f (x))  f ( f −1(x))  f ( f (x))  x  (x3 + x + 8)3 + (x3 + x + 8) + 8  x  (x3 + x + 8)3 + x3 +16  0 (*), με x  R . Θεωρούμε τη (βοηθητική συνάρτηση) g(x) = (x3 + x + 8)3 + x3 +16 . Το πεδίο ορισμού της g είναι:  = R . Έστω οποιαδήποτε x1, x2  R με x1  x2 . Είναι x1  x2  x13  x23 (1) x1  x2  x1 + 8  x2 + 8 (2) Από (1)+(2) έχουμε: ( ) ( )x13 + x1 + 8  x23 + x2 + 8  x13 + x1 + 8 3  x23 + x2 + 8 3 (3) Από (3)+(1) έχουμε: ( ) ( )x13 + x1 + 8 3 + x13  x23 + x2 + 8 3 + x23  ( ) ( )x13 + x1 + 8 3 + x13 + 8  x23 + x2 + 8 3 + x23 + 8  g(x1)  g(x2 ) άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο R . Έχουμε ότι g(−2) = 0 , οπότε η (*) γράφεται: g g(x)  g(−2)  x  −2 . Παράδειγμα 45 (Κοινά σημεία Cf και Cf −1 ) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ex−2 + x −1 α) Να δείξετε ότι είναι αντιστρέψιμη β) Να βρείτε τα κοινά σημεία Cf και Cf −1 . γ) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων για τις οποίες η Cf βρίσκεται πάνω από την C f −1 . Λύση α) Το πεδίο ορισμού της f είναι:  = R . Έστω οποιαδήποτε x1, x2  R με x1  x2 . 60 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ g ( x)=ex Είναι x1  x2  x1 − 2  x2 − 2  ex1−2  ex2 −2 (1) x1  x2  x1 −1  x2 −1 (2) Από (1)+(2) έχουμε: ex1−2 + x1 −1  ex2 −2 + x2 −1  f (x1)  f (x2 ) . Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R , άρα είναι 1-1, άρα αντιστρέφεται. β) Για να βρούμε τα κοινά σημεία Cf και Cf −1 αρκεί να λύσουμε το σύστημα y = f (x) f −1 .  , όμως δεν μπορούμε να βρούμε τον τύπο της  y = f −1(x) Για τον λόγο αυτό το παραπάνω σύστημα μετατρέπεται: y =f (x)  y = f (x)   y = ex−2 + x −1 (Σ)  ( y) =x x = f ( y)  = ey−2 + y −1  f x Το παραπάνω (Σ) λύνεται με δυο τρόπους Α΄ Τρόπος επίλυσης του (Σ) Αφαιρώντας κατά μέλη έχουμε y − x = ex−2 − ey−2 + x − y  ex−2 + 2x = ey−2 + 2y (1) με x, y  R . Θεωρούμε τη (βοηθητική συνάρτηση) g(x) = ex−2 + 2x . Το πεδίο ορισμού της g είναι:  = R . Έστω οποιαδήποτε x1, x2  R με x1  x2 . ex Είναι x1  x2  x1 − 2  x2 − 2  ex1−2  ex2 −2 (1) x1  x2  2x1  2x2 (2) Από (1)+(2) έχουμε: ex1−2 + 2x1  ex2 −2 + 2x2  g(x1)  g(x2 ) (3) άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο R , άρα 1-1, οπότε η (1) γράφεται: g g(x) = g(y)  x = y . g 1−1 Για x = y η πρώτη εξίσωση του (Σ) γράφεται: y = ey−2 + y −1  ey−2 = 1  y − 2 = 0  y = 2 , οπότε και x = 2 . Άρα το κοινό σημείο των Cf και Cf −1 , είναι το Α(2,2). Β΄ Τρόπος επίλυσης του (Σ) Με αντικατάσταση το (Σ) δίνει την εξίσωση eex−2 +x−3 + ex−2 − 2 = 0 (*) , με x  R . Θεωρούμε τη (βοηθητική συνάρτηση) g(x) = eex−2 +x−3 + ex−2 − 2 . Το πεδίο ορισμού της g είναι:  = R . Έστω οποιαδήποτε x1, x2  R με x1  x2 . ex Είναι x1  x2  x1 − 2  x2 − 2  ex1−2  ex2 −2 (1) x1  x2  x1 − 3  x2 − 3 (2) Από (1)+(2) έχουμε: ex eex1−2 + x1 −3 eex2−2 + x2 −3 −3  (3)e x1 −2 + x1 −3 ex2 −2 + x2  61 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Από (3)+(1) έχουμε: ,eex1−2 +x1−3 + ex1−2  eex2−2 +x2 −3 + ex2 −2  eex1−2 +x1−3 + ex1−2 − 2  eex2−2 +x2 −3 + ex2 −2 − 2  g(x1)  g(x2 ) άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο R . Έχουμε ότι g(2) = 0 , οπότε η (1) γράφεται: g g(x) = g(2)  x = 2 . g 1−1 Για x = 2 είναι y = e2−2 + 2 −1 = 2 Άρα το κοινό σημείο των Cf και Cf −1 , είναι το Α(2,2). γ) Οι τετμημένες των σημείων για τις οποίες η Cf βρίσκεται πάνω από την ,Cf −1 δίνονται από τις λύσεις της ανίσωσης f (x)  f −1(x) . Επειδή γνωρίζουμε μόνο τον τύπο της f −1 , η ανίσωση γράφεται: f (x)  f f f (f (x))  f (f −1(x))  f ( f (x))  x  eex−2 +x−3 + ex−2 + x−2 x  −1(x)  eex−2 +x−3 + ex−2 − 2  0 (*) , με x  R . Θεωρούμε τη (βοηθητική συνάρτηση) g(x) = eex−2 +x−3 + ex−2 − 2 . Το πεδίο ορισμού της g είναι:  = R . Έστω οποιαδήποτε x1, x2  R με x1  x2 . ex  Είναι x1  x2  x1 − 2  x2 − 2ex1−2  ex2 −2 (1) x1  x2  x1 − 3  x2 − 3 (2) Από (1)+(2) έχουμε: (3)ex1−2 + x1 − 3  ex2 −2 + x2 − 3 eex  ex1−2 +x1−3  eex2−2 +x2 −3 Από (3)+(1) έχουμε: ,eex1−2 +x1−3 + ex1−2  eex2−2 +x2 −3 + ex2 −2  eex1−2 +x1−3 + ex1−2 − 2  eex2−2 +x2 −3 + ex2 −2 − 2  g(x1)  g(x2 ) άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο R . Έχουμε ότι g(2) = 0 , οπότε η (*) γράφεται: g g(x)  g(2)  x  2 . 62 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες 1.Οι τετμημένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f με τον άξονα x΄x μπορούν να βρεθούν, αν λύσουμε την εξίσωση f (x) = 0 2. Για κάθε συνάρτηση f η γραφική παράσταση της f αποτελείται από τα τμήματα της Cf , που βρίσκονται πάνω από τον άξονα x ' x και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα x ' x , των τμημάτων της Cf , που βρίσκονται κάτω από τον άξονα x'x . 3. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης − f είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα y ' y , της γραφικής παράστασης της f . 4. Η γραφική παράσταση της f (x) = 1 προκύπτει με οριζόντια μετατόπιση της | x −1| γραφικής παράστασης της g(x) = 1 κατά 1 μονάδα προς τα αριστερά. x −1 5. Δύο συναρτήσεις f , g είναι ίσες, αν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και ισχύει f (x) = g(x) για κάθε x   . 6. Για να ορίζονται το άθροισμα και το γινόμενο δύο συναρτήσεων f , g θα πρέπει τα πεδία ορισμού τους να έχουν κοινά στοιχεία. 7. Δίνεται η πρόταση: «Αν ορίζονται οι συναρτήσεις fog και gof , τότε πάντοτε ισχύει fog = gof » Να την χαρακτηρίσετε ως σωστή η λανθασμένη και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 8. Αν f , g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η ho(gof ) , τότε ορίζεται και η (hog)of και ισχύει ho(gof ) = (hog)of . 9. Μια συνάρτηση f :  → R είναι συνάρτηση 1-1 αν και μόνο αν για οποιαδήποτε x1, x2   ισχύει η συνεπαγωγή x1 = x2  f (x1) = f (x2 ) 10. Αν η συνάρτηση f είναι 1-1, οι συναρτήσεις g, h έχουν πεδίο ορισμού το R και ισχύει f (g(x)) = f (h(x)) για κάθε x  R , τότε οι συναρτήσεις g, h είναι ίσες. 11. Η συνάρτηση f (x) = 1 είναι γνησίως φθίνουσα στο σύνολο (−, 0)  (0, +) . x 12. Μια συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το R , είναι γνησίως αύξουσα και έχει σύνολο τιμών το (0, +) . Τότε η συνάρτηση 1 είναι γνησίως φθίνουσα στο R . f 13. Αν για μια συνάρτηση f έχουμε f (1) = 2 και f (5) = −1 , τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα. 14. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (0, +) και f (3) = 5 τότε f (x)  5 για κάθε x  (3, +) . 15. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, +) και f (2) = 0 τότε η f παίρνει θετικές τιμές για κάθε x  (0, 2) . 16. Αν για τη συνάρτηση f : R → R ισχύει ( f (2) − f (1))( f (3) − f (4))  0 , τότε η f δεν μπορεί να είναι γνησίως μονότονη. 63 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 17. Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι παρουσιάζει στο x0   (ολικό) ελάχιστο, το f (x0 ) , όταν f (x)  f (x0 ) για κάθε x   . 18. Αν μια περιττή συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο στο σημείο x0 τότε θα παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο −x0 . 19. Δίνεται η πρόταση: «Αν μια συνάρτηση f είναι άρτια τότε είναι 1-1» Να την χαρακτηρίσετε ως σωστή η λανθασμένη και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 20. Αν το σύνολο τιμών της f είναι το διάστημα (α,β), τότε η f δεν έχει ελάχιστο ούτε μέγιστο. 21. Μια συνάρτηση f :  → R είναι 1-1, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f (x) = y έχει ακριβώς μία λύση ως προς x . 22. Δίνεται η πρόταση: «Κάθε συνάρτηση που είναι 1-1 είναι γνησίως μονότονη» Να την χαρακτηρίσετε ως σωστή η λανθασμένη και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 23. Ισχύει η ισοδυναμία f −1(x) = y  y = f (x) . 24. Δίνεται μια συνάρτηση f : (0, +) → (1, 2] . Το σύνολο τιμών της f −1 είναι το (1, 2] . 25. Οι γραφικές παραστάσεις Cf και C f −1 των συναρτήσεων f και f −1 είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = x . 26. Αν η συνάρτηση f :  → R είναι 1-1, τότε ισχύει f −1 ( f (x)) = x για κάθε x   . 27. Αν η συνάρτηση f : R → R είναι 1-1 και περιττή τότε ισχύει f −1 (0) = 0 . 28. Μια συνάρτηση f είναι 1-1, αν και μόνο αν κάθε οριζόντια ευθεία (παράλληλη στο x ' x ) τέμνει τη γραφική παράστασή Cf της f σε ένα τουλάχιστον σημείο. 29. Αν οι συναρτήσεις f , g είναι 1-1 στο R , τότε και η συνάρτηση gof είναι 1-1 στο R . 30. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f . Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να χαράξετε στο σχήμα την γραφική παράσταση της f −1 64 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ – ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: i) f (x) = 4 − x2 ii) f (x) = 2 + 3 (1− x) x +1 x − 2 −1 4− x − x iii) f (x) = 5 iv) f (x) = x2 − x + 1 | x − 3 | −1 | x − 2 | −1 | 3x − 8 | − | x | v) f (x) = ln(x2 + x − 2) + ln x + 3 3− x vi) f (x) = ex −1 + 1− ln x 2. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων : i) f (x) =  x ii) f (x) = 2x − x2 iii) f (x) = x − 2 4 − x2 3− x iv) f (x) = x − 2 v) f (x) = 2 − 3 − x vi) f (x) = 3− | x | − ln 2 − x x2 − 4x + 4 | x|+x x+3 1 3. Δίνεται η συνάρτηση f (x) = xln x . i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού A της f . ii) Να αποδείξετε ότι f (x) = e για κάθε x   . 4. Για ποιες τιμές του λ η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το R ; i) f (x) = (− − x2 +4 x − 3 ii) f (x) = ( − 2)x2 + ( +1)x +  +1 2) x 2 + 2 5. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = −x3 +  , 2 , − 4  x 1 , για την οποία ισχύει:   1 x 4 2x +1+ f (−1) + f (2) =12 . i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f . ii) Να βρείτε τις τιμές του α. Για α=-3: iii) Να βρείτε, αν ορίζονται, τις τιμές f (−2) , f (2) , f (1) , f ( f (1)) , f ( f (2) −14) −x2 − 2 + , − 8  x  −4 6. Δίνεται η συνάρτηση f (x) = | x − 3 | + −1, − 4  x  0 , για την οποία ισχύει: 2x+ |1− 3x | −2, 0  x 10 f (−4) − 4 f (−1)− | f (3) − 2 |= − f ( f (1)) . i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f . ii) Να βρείτε το α. iii) Να βρείτε τις τιμές f (−2) , f (−5) , f ( f (−8) + 77) , f ( f (− f (1)) +10) 65 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7. Οι ανθρωπολόγοι εκτιμούν ότι το ύψος σε εκατοστά του ανθρώπου δίνεται από τις συναρτήσεις: A(x) = 3x + 70 (για τους άνδρες) και Γ (x) = 2,5x + 72 (για τις γυναίκες) όπου x σε εκατοστά, το μήκος του βραχίονα. A. Σε μία ανασκαφή βρέθηκε ένα οστό από βραχίονα μήκους 0,4 m. i) Αν προέρχεται από άνδρα ποιο ήταν το ύψος του; ii) Aν προέρχεται από γυναίκα ποιο ήταν το ύψος της; B. Ποιο είναι το μήκος του βραχίονα, αν υποθέσουμε ότι ένας άνδρας και μια γυναίκα έχουν το ίδιο ύψος; 8. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α=90ο) με κάθετες πλευρές που έχουν μήκη x, y τέτοια, ώστε: x + y = 10 . i) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ συναρτήσει του x δίνεται από τον τύπο: (x) = 1 (−x2 +10x), x  (0,10) 2 ii) Να αποδείξετε ότι (x)  25 για κάθε x  (0,10) 2 iii) Για ποια τιμή του x  (0,10) το εμβαδόν E(x) γίνεται ίσο με 25 (δηλαδή 2 μέγιστο); Τι παρατηρείτε τότε για το τρίγωνο ΑΒΓ; 9. (*) Δίνεται η συνάρτηση f : R → R για την οποία ισχύει f (x) − 2 f (2 − x) = x2 + 2x + 2 , x  R Να βρείτε τον τύπο της f . 10. (*) Δίνεται η συνάρτηση f : R → R για την οποία ισχύει f (x) − (x + 2) f (4 − x) = 2x − 4 για κάθε x  R Να δείξετε ότι i) Το 2 είναι μία ρίζα της f . ii) f (−2) = −8 και κατόπιν ότι f (6) = −56 iii) f (x)(x2 − 4x −11) = −2x2 + 2x + 4 iv) το 1 ανήκει στο σύνολο τιμών της f . Β. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 11. Να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις και κατόπιν να βρείτε το σύνολο τιμών τους: i) f (x) = −x2 | x | ii) f (x) =| x + 2 | + | x − 3| +x iii) f ( x) = −3x +1, x2 iv) f (x) =| x | , x [0, ] 2x − 3, x2 iv) f (x) =| ex −1| +2 v) f (x) = ln(x − 2) + 3 66 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 12. Να βρείτε τις τιμές του   R , ώστε η Cf να διέρχεται από το σημείο Α όταν: i) f (x) = x2 + 2x + 6 και (2, 28) ii) f (x) = x3 + 2x2 + x − 4 και (−1, −3) 13. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς  και  , αν είναι γνωστό ότι η 2 x + 2 , x  1 γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) =  x2 +  x − 3, x  1 διέρχεται από τα σημεία (1, 2) και (2,9) . 14. Να προσδιορίσετε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων με τους άξονες i) f (x) = x − 4 x ii) f (x) = 2x2 − 5x + 3 x−3 iii) f (x) = ex − 1 , x0  e2 ln2 x − ln x − 2, x  0 15. Να προσδιορίσετε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων i) f (x) = (x −1)2 και g(x) = 2 x ii) f (x) = x3 και g(x) = x iii) f (x) = ln2 x − 2 και g(x) = 2 ln x +1 iv) f (x) = xex − x και g(x) = 2ex − 2 16. Έστω οι συναρτήσεις f (x) = −6x − 6 +1 και g(x) = x2 − 2x − . Να βρεθεί η τιμή του   R ώστε οι γραφικές παραστάσεις των δύο συναρτήσεων να έχουν ένα μόνο κοινό σημείο , το οποίο και να βρεθεί. 17. Να βρεθούν οι τιμές του x  R ώστε i) η γραφική παράσταση της f (x) = x3 − 3x2 − x + 3 να βρίσκεται πάνω από τον x΄x ii) η γραφική παράσταση της f (x) = 2x να βρίσκεται κάτω από την ευθεία y = 1. x −1 18. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf βρίσκεται πάνω από τη Cg , όταν: i) f (x) = 2x + 3 και g(x) = x2 ii) f (x) = x −1 και g(x) = x +1 iii) f (x) = ln2 x + ln x και g(x) = ln x +1 iv) f (x) = x − xex και g(x) = −3ex + 3 67 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 19. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f : i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f . ii) Να βρείτε τις τιμές f (10) , f ( f (−1)) , f ( f (2)) . iii) Να λύσετε την εξίσωση f (x) = 0 . iv) Να λύσετε την εξίσωση f (x) = −2 . v) Να λύσετε την ανίσωση f (x)  0 . vi) Να βρείτε τα x για τα οποία ισχύει −2  f (x)  3. vii) Να βρείτε το πλήθος λύσεων της εξίσωσης f (x) = για τις διάφορες τιμές του  R . 20. Στο παρακάτω σύστημα συντεταγμένων δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f . i) Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. ii) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών: x -2 -1 12 y -1 -3 iii) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τους άξονες. iv) Να προσδιορίσετε τα διαστήματα του πεδίου ορισμού στα οποία η συνάρτηση παίρνει αρνητικές τιμές. 68 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γ. ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ – ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ – ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ – ΑΡΤΙΑ & ΠΕΡΙΤΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 21. Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι f = g . Στις περιπτώσεις που είναι f  g να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ισχύει f (x) = g(x) . i) f (x) = x2 + 2 | x | και g(x) = | x | x2 − 4 | x | −2 ii) f (x) = ln x −1 και g(x) = −ln( x +1) x −1 iii) f (x) = x −1 + | x + 2 | και g(x) = | x −1| + x + 2 iv) f (x) = x(x −1) και g(x) = x x −1 . 22. Δίνονται οι συναρτήσεις f1(x) = x −1 f2(x) = x −1 f3(x) = 1− 1 x +1 x +1 x 1+ 1 x f4(x) = (x −1)2 f5(x) = x −1 f6(x) = x −1 x2 −1 x2 −1 x −1 x +1 i) Να βρείτε τα πεδία ορισμού καθεμιάς συνάρτησης. ii) Να δείξετε ότι f1 = f3 και ότι f4  f5 . iii) Να δείξετε ότι για x  (1, +) οι παραπάνω συναρτήσεις είναι όλες ίσες. 23. Να βρείτε τις συναρτήσεις f + g , f − g , f  g , και f όταν : g i) f (x) = x2 +1 και g(x) = x2 + x +1 ii) f (x) = x +1 και g(x) = x2 + x x3 −1 1− x 24. Να βρείτε τις συναρτήσεις f  g και g f αν i) f (x) = x + 2 , x [1, 2] και g(x) = 3x −1, x [0,1] . x ii) f (x) = x −1 και g(x) = 3x . x + 2 2x −5 25. Να βρείτε τις συναρτήσεις f  g και g f όταν i) f (x) = 1− x και g(x) = ln x ii) f (x) = −x2 + 3x + 4 και g(x) = x2 − 5 26. (*) Δίνονται οι συναρτήσεις f ( x) = 3x +1, x2 και g ( x) = x + 2, x  −1 . 2x + 4, x2 3x − 24, x0 Να ορίσετε τη συνάρτηση f  g και την g f . 69 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 27. Δίνεται f (x) = ex − e και g : (−,3) → R για την οποία ισχύει ότι ( )eg(x) eg(x) + 4x −12 = −4x2 + 24x − 36 για κάθε x  (−, 3) . Να βρείτε την g(x) και να ορίσετε την fog . 28. Δίνονται οι συναρτήσεις f1(x) =  x , f2 (x) =x , f3 ( x) = 2− x , f4(x) = x2 , 1+ x f5(x) =1+ x2 , f6 (x) = x , Να εκφράσετε τη συνάρτηση f ως σύνθεση δύο ή περισσοτέρων από τις παραπάνω συναρτήσεις όταν: i) f (x) = ( x) ii) f (x) = 2 − 2x 1 +  2x iii) f (x) = ( 1+ x2 ) iv) f (x) =  (x2 ) v) f (x) =2 ( 2 (x2 )) 29. Να βρεθεί η συνάρτηση f με Π.Ο. το R, για την οποία έχουμε: i) g(x) = 2x −1, ( gof ) (x) = 4x2 − 2x + 3 ii) g(x) = 2x − 3 , ( gof ) (x) = 2ex (ex +1) −15 iii) g(x) = 3x − 2 , ( fog ) (x) = 4x2 + 4 iv) g(x) = x+ 1 , ( fog ) (x) = x2 + 1 x x2 30. Έστω οι συναρτήσεις f (x) = x −1 με x  R και g(x) = 4x + 3 με x  R . Nα βρεθούν οι συναρτήσεις F και G ορισμένες στο R τέτοιες ώστε να είναι foF = g και Gof = g . 31. Αν για τη συνάρτηση f ισχύει f (2x −1) = x2 + 3 για κάθε x  R , να προσδιορίσετε το f (x) και το f (| x |) . 32. Έστω οι συναρτήσεις f , g : R → R για τις οποίες ισχύουν ( fof )(x) = 4x + 3 , ( fofof )(x) = 8x +11 για κάθε x  R και g(x) =  x +  . i) Να βρεθεί ο τύπος της f . ii) Να βρείτε συνθήκη μεταξύ των ,  ώστε να ισχύει f  g = g f . 33. Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα [0,1]. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: i) h(x) = f (x − 4) ii) g(x) = f (x2 ) iii) l(x) = f (ln x) + f (x2 − 3) 34. Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις είναι άρτιες ή περιττές: i) f (x) = ln 3 − x ii) f ( x) = x3 + 5x2 − 3, x 1 3+ x  − 5x2 + 3, x 1  x3 70 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 35. (*) Δίνεται μη σταθερή συνάρτηση f : R → R για την οποία ισχύει ότι f (xy) = f (x) f ( y) και f (x + y) = f (x) + f ( y) + 3xy(x + y) για κάθε x, y  R . i) Να βρείτε τα f (0), f (1), f (2) και να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή ii) Να βρείτε το τύπο της f . iii) Αν h(x) = [ f (x)] , να δείξετε ότι η h είναι άρτια. Δ. ΜΕΛΕΤΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ 36. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις : i) f (x) = 3 , με x  (−3,1] ii) f (x) = ln(− ln(1− 2x)) + 3 4−2 1− x iii) f (x) = e3−2x + 5 iv) f (x) = −3e−3e3−x + 3 v) f (x) = x5 + ln x + 3ex vi) f (x) = e−x + 1 − ln x +  2 x , με x0 x  3  37. (*) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις : i) f (x) = x2 − 6x + 5 , με x  3 ii) f (x) = −x3 + 3x2 − 3x + 4 iii) f (x) = ex −1 ex +1  1 x  2  iv) f (x) = 1 2 x   + 3  38. Έστω f : (0, +) → (0, +) . Αν για τη συνάρτηση f ισχύει 3 f 5(x) + 2ln( f (x)) = − ln x +1 για κάθε x  (0, +) , να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, +) . 39. Έστω f : R → R . Αν για τη συνάρτηση f ισχύει e− f (x) − 2 f (x) = 3 − x3 + e−x για κάθε x  R , να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R . 40. Έστω f , g δύο συναρτήσεις με κοινό πεδίο ορισμού το R . i) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο R και η fog είναι γνησίως φθίνουσα στο R , να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο R . ii) Αν οι f , g παίρνουν θετικές τιμές στο R και είναι γνησίως αύξουσες στο R , να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h = 1 + 1 είναι γνησίως φθίνουσα στο R . fg 71 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ε. ΡΙΖΕΣ – ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 41. Έστω η συνάρτηση f : R → R , η οποία είναι γνησίως αύξουσα. Αν γνωρίζουμε ότι f (−1) = 0 , να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της f . 42. Έστω η συνάρτηση f : R → R , η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο (−, 0] και γνησίως φθίνουσα στο [0, +) . Αν γνωρίζουμε ότι f (−2) = f (3) = 0 . Να βρείτε i) τις ρίζες και το πρόσημο της f στο (−, 0] . ii) τις ρίζες και το πρόσημο της f στο [0, +) . 43. Δίνεται η συνάρτηση f (x) = x2 + ln(x − 2) − 9 i) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της. ii) Να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της f . 44. Να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της συνάρτησης f (x) = e2−x +1− x . 45. Να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της συνάρτησης f (x) = ex−1 + ln x − 1 . x ΣΤ. ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ – ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ – ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ 46. Να λύσετε την εξίσωση 2012x2013 + 5x3 + 2x = 2019 47. Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ex + 2x3 + x −1. i) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. ii) Να βρείτε τις ρίζες της f . iii) Να λύσετε την εξίσωση e2x − e2 +16x3 = 18 − 2x . iv) Να λύσετε την εξίσωση ex+1 + 2ex3 + ex + 3e = 1 48. Να λύσετε την ανίσωση 2x7 + 4x3 + ex  1 . 49. Δίνεται η συνάρτηση f (x) = (1)x − x −1. 2 i) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. ii) Να βρείτε το πρόσημο των τιμών της f . iii) Να λύσετε την ανίσωση (1)x − x  3 . 2 iv) Να λύσετε την ανίσωση (1)x2 −4x − (1)5x−20  x2 − 9x + 20 . 22 50. Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ex x . . i) Nα μελετήσετε ως προς την μονοτονία  ii) Αν 0     να δείξετε ότι ισχύει ea−  72 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 51. Έστω η γνησίως μονότονη συνάρτηση f για την οποία ισχύουν f (4 − x) + f (2 + x) = 0 για κάθε x  R και f (1)  f (2) Να βρείτε τη μονοτονία της f , τις ρίζες και το πρόσημο των τιμών της και να λύσετε την ανίσωση f (x2015 + 5x − 3)  0 . 52. Δίνεται συνάρτηση f με f 3(x) + f (x) + 2x3 = 0 για κάθε x  R . Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα και να λυθεί η ανίσωση f ( f (x) + 2) +1  0 . 53. Έστω g : (0, +) → R η οποία διέρχεται από το (1, 2) και είναι γνησίως φθίνουσα. Αν για κάθε x  0 ορίζεται η f (x) = ln x − g(x) i) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. ii) Να λυθεί η ανίσωση 2ln x  −2 + g(x2 ) . 54. (*) Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : R → R , με g γνησίως φθίνουσα στο R και g(x) = f (x − 3) − f (x +1) για κάθε x  R . i) Να δείξετε ότι για κάθε    ισχύει f ( − 2) + f ( + 2)  f ( + 2) + f ( − 2) ii) Να λύσετε την ανίσωση f (e2x + 5) + f (2ex )  f (2ex + 4) + f (e2x +1) 55. (*) Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : R → R , με g γνησίως αύξουσα στο R και g(x) = f (x + 2) − f (x) για κάθε x  R . i) Να δείξετε ότι για κάθε    ισχύει f ( − 2) + f ()  f () + f ( − 2) ii) Να λύσετε την ανίσωση f (ln x + 4) + f ( 2)  f (ln x + 2) + f ( 2 + 2) xx Ζ. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1 56. Να δείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι “1-1”. i) f (x) = 2x − 3 ii) f (x) = 4 − 6 − x iii) f (x) = e1−x − 3x5 − x + 2 1− 4x 57. (*) Να δείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι “1-1”. i) f (x) = x2 − 4x + 3 με x  (−, 2] i) f (x) = x3 + 3x2 + 3x + 5 iii) f (x) = ln(x2 − x) , x [2, 4] 58. Έστω μια συνάρτηση f : R → R , για την οποία για κάθε x  R ισχύει f (1+ f (x)) = x + f (x) Να δείξετε ότι η f είναι “1-1”, να βρείτε το f (0) και να δείξετε ότι f (1)  0 . 59. Δίνεται η συνάρτηση f : R → R για την οποία για κάθε x  R ισχύει ότι: f (x) + f (x −1) = x2 − 3x + 3. Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι “1-1”. 73 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 60. Έστω  ,   R * και f , g δυο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού το R τέτοιες ώστε f ( f (x)) =  f 2 (x) +  g(ex ) για κάθε x  R . Αν γνωρίζουμε ότι η g είναι 1-1, να δείξετε ότι και η f είναι “1-1”. Η. ΡΙΖΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1-1 – ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 61. Να λυθεί η εξίσωση ln(x +1) + x = 0 . x +1 62. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f (x) = 2e−x −1 και g(x) = e−x + x 63. Δίνεται η συνάρτηση f η οποία για κάθε x  R ικανοποιεί τη σχέση: f ( f (x)) + f 3(x) = 2x + 3. i) Να αποδείξετε ότι η f είναι “1-1”. ii) Να λύσετε την εξίσωση f (2x3 + x) = f (4 − x) iii) Να λύσετε την εξίσωση f (x2 ) − f (1− ln x) = 0 64. Δίνεται η συνάρτηση f η οποία για κάθε x  R ικανοποιεί τη σχέση: e f (x)−1 + f 3 (x) = 3x + 2 . i) Να αποδείξετε ότι η f είναι “1-1”. ii) Να βρείτε το f (0) και να λύσετε την εξίσωση f (1− x2 − ln x) = 1 65. Δίνεται η συνάρτηση f : R* → R με την ιδιότητα f (x) − f ( y) = f ( x ) για κάθε y x, y  R * . Αν η εξίσωση f (x) = 0 έχει μοναδική ρίζα: i) Να λύσετε την εξίσωση f (x) = 0 . ii) Να αποδείξετε ότι η f είναι “1-1” iii) Να δείξετε ότι f (x) + f (1) = 0 για κάθε x  0 . x iv) Να λύσετε την εξίσωση f (x) + f (x2 + 3) = f (x2 +1) + f (x +1) . Θ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 66. Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση των παρακάτω συναρτήσεων i) f (x) = 2x − 3 ii) f (x) = 4 − 6 − x 1− 4x ii) f (x) = ln(x2 − x) , x [2, 4] iv) f (x) = ex2 −4x , x [2, +) 67. * Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση των παρακάτω συναρτήσεων i) f (x) = x2 − 4x + 3 με x  (−, 2] ii) f (x) = x3 + 3x2 + 3x + 5 74 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 68. Έστω οι συναρτήσεις f (x) = 1− ex με x  R και g(x) = 1− ex με x  R . 1+ ex i). Να αποδειχθεί ότι η f αντιστρέφεται και να βρεθεί η f −1. ii) Να βρεθεί η gof −1 . 69. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : R → R , με σύνολο τιμών το R , της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(3,2) και Β(5,9) i) Να λυθεί η εξίσωση f (2 + f −1(x2 + x)) = 9 ii) Να λυθεί η ανίσωση f ( f −1(x2 − 8x) − 2)  2 . 70. Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 3 − x − x5 , με σύνολο τιμών f () = R . i) Να δειχτεί ότι υπάρχει η f −1, η οποία και να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία. ii) Να βρείτε τα κοινά σημεία της C f −1 με την ευθεία y = x . iii) Να υπολογιστεί το f −1(3) και να λυθεί η ανίσωση f −1(−x)  1 . iv) Να λυθεί η εξίσωση f −1(8 − x ) = x 22 71. Δίνεται η f : R → R με σύνολο τιμών f () = R , για την οποία ισχύει f 3(x) + 3 f (x) + x = 0 για κάθε x  R . i) Να βρείτε το f (0) . ii) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε τον τύπο της αντίστροφης. iii) Να εξετάσετε την f ως προς την μονοτονία. iv) Να βρείτε τα κοινά σημεία της Cf με την ευθεία y = x , καθώς και τα διαστήματα στα οποία η Cf βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x v) Να λύσετε την ανίσωση f ( f ( x +1) −13)  2 72. Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 3x5 + x + 3 , με σύνολο τιμών f () = R . i) Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το f −1(3) . ii) Να βρείτε τα σημεία τομής Cf και C f −1 . iii) Να βρείτε τα x  R για τα οποία η Cf βρίσκεται πάνω από την Cf −1 . iv) Να λύσετε την ανίσωση f −1( f (x2 − 3) − 4)  0 . 73. (*) Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f (x) = − x − x με σύνολο τιμών f () = (−, 0] . i) Να λύσετε την ανίσωση f −1(−x −1)  ( x +1)2 . ii) Να λύσετε την εξίσωση f −1(x2 − 5x) = x2 . 75 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 74. (*) Δίνεται η συνάρτηση f με f (x) = −x − x2 , x [− 1 , 2] με σύνολο τιμών 2 f () = [−6, 1]. 4 i) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται. ii) Να βρείτε τα κοινά σημεία Cf , Cf −1 . iii) Να βρείτε τα x  R για τα οποία η Cf βρίσκεται πάνω από την Cf −1 . 75. Δίνεται η συνάρτηση f (x) = e1−x − x +1 με σύνολο τιμών f () = R . i) Να δείξετε ότι είναι αντιστρέψιμη. ii) Να βρείτε τα κοινά σημεία Cf και Cf −1 iii) Να βρείτε τα x  R για τα οποία η Cf βρίσκεται κάτω από την Cf −1 . 76 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (Όριο στο x0, Μη πεπερασμένο όριο στο x0, Όριο στο άπειρο)



ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ Η ΕΝΝΟΙΑ του ορίου Όταν οι τιμές που παίρνει μια συνάρτηση f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό l όταν το x πλησιάζει με οποιοδήποτε τρόπο ένα πραγματικό αριθμό x0 , λέμε ότι «το όριο της συνάρτησης f καθώς το x τείνει στο x0 είναι l » και γράφουμε lim f (x) = l . x→x0 Παρατήρηση Ο αριθμός x0 δεν ανήκει απαραίτητα στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης f , αλλά για να μπούμε στη διαδικασία να υπολογίσουμε το lim f (x) πρέπει οπωσδήποτε η x → x0 f να ορίζεται «κοντά» στο x0 (σε μία περιοχή του x0 ). Δηλαδή θα πρέπει η f να ορίζεται σε ένα σύνολο της μορφής (, x0 )  (x0,  ) ή (, x0 ) ή (x0,  ) . Επομένως προτού ξεκινήσουμε τον οποιοδήποτε υπολογισμό πρέπει να υπολογίσουμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f . (**Για οικονομία χώρου και χρόνου στο παρόν σύγγραμμα, αυτό δεν θα γίνει στο πλείστον των ορίων προς υπολογισμό αλλά πρέπει να γίνεται πάντοτε σε κάθε περίπτωση εύρεσης ορίου). Πλευρικά όρια Όταν οι τιμές που παίρνει μια συνάρτηση f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό l όταν το x πλησιάζει προς το x0 από μικρότερες τιμές, το συγκεκριμένο όριο λέγεται αριστερό πλευρικό όριο και συμβολίζεται με lim f (x) = l x→x0− Όταν οι τιμές που παίρνει μια συνάρτηση f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό l όταν το x πλησιάζει προς το x0 από μεγαλύτερες τιμές, το συγκεκριμένο όριο λέγεται δεξιό πλευρικό όριο και συμβολίζεται με lim f (x) = l . x→x0+ y y y l3 l2 l2 l2 f(x) f(x) f(x) l1 l1 l1 f(x) f(x) f(x) O x x0 x x O x x0 x x O x x0 x x (a) (β) (γ) Στο σχήμα (α) έχουμε: lim f (x) = l1, lim f (x) = l2 και f (x0 ) = l2 . x→x0− x→x0+ Στο σχήμα (β) έχουμε: lim f (x) = l1, lim f (x) = l2 και η f δεν ορίζεται στο x0 . x→x0− x→x0+ Στο σχήμα (γ) έχουμε: lim f (x) = l1, lim f (x) = l2 και f (x0 ) = l3 . x→x0− x→x0+ 79 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Παρατήρηση 1. Αν τα δύο πλευρικά όρια μιας συνάρτησης f στο x0 είναι ίσα τότε λέμε ότι υπάρχει το (γενικευμένο) όριο της f στο x0 και ισούται με καθένα από τα δύο πλευρικά. Σε αντίθετη περίπτωση λέμε ότι το όριο δεν υπάρχει. 2. Αν η f ορίζεται σε σύνολο της μορφής (, x0 ) τότε ισχύει ότι lim f (x) = lim f (x) . x→x0 x→x0− 3. Αν η f ορίζεται σε σύνολο της μορφής (x0,  ) τότε ισχύει ότι lim f (x) = lim f (x) . x→x0 x→x0+ 4. Σε καμία περίπτωση δεν πρέπει να συγχέεται η αριθμητική τιμή f (x0 ) , μιας συνάρτησης f στο x0 με το όριο lim f (x) . x → x0 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ 1. lim f ( x) = l  lim(− f ( x)) = −l . x→x0 x→x0 2. lim f ( x) = l  lim  f (x) − l = 0 . x→x0 x→x0 3. lim f ( x) = l  lim f ( x + h) = l . x→x0 h→0 ( )4. Αν lim f ( x) = l  0 τότε ισχύει: x→x0 f (x)  0 για κάθε x (, x0 )  x0,  . ( )5. Αν lim f ( x) = l  0 τότε ισχύει: x→x0 f (x)  0 για κάθε x (, x0 )  x0,  . 6. Αν lim f ( x) = l και lim g ( x) = m και ισχύει: x→x0 x→x0 f (x)  g(x) για κάθε x (, x0 )  ( x0, ) τότε l  m 7. Αν υπάρχουν τα όρια lim f ( x) και lim g ( x) τότε: x→x0 x→x0 i. lim  f ( x) + g ( x) = lim f ( x) + lim g ( x) x → x0 x→x0 x→x0 ii. lim kf ( x ) = k lim f (x) , kR x → x0 x → x0 iii. lim  f ( x) g ( x) = lim f (x) lim g ( x) x → x0 x→x0 x→x0  f (x) lim f ( x) x → x0 lim g ( x)  0 iv. lim  g ( x)  = g ( x) , με   lim x→x0 x → x0 x → x0 v. lim f ( x) = lim f ( x) x → x0 x → x0 vi. lim k f (x) = k lim f ( x) , αν f (x)  0 για κάθε x ( , x0 )  ( x0,  ) x→x0 x→x0 vii. lim  f ( x) =  lim f ( x)v , v N*  x→xo x→x0 80 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΑ ΓΝΩΣΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 1. Αν P(x) πολυωνυμική συνάρτηση ισχύει ότι lim P(x) = P(x0 ) . x→x0 2. Αν P(x),Q(x) πολυωνυμικές συναρτήσεις με Q(x0 )  0 ισχύει ότι P(x) lim P(x) lim = x → x0 x→x0 Q(x) lim Q(x) x → x0 3. lim  x =  x0 x→x0 4. lim  x =  x0 x→x0 5. lim x = 1 x→0 x 6. lim  x −1 = 0 x→0 x 7. lim  x  1  = 0  x  x→0 81 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ Η αυστηρή διατύπωση του κριτηρίου παρεμβολής είναι: Έστω οι συναρτήσεις f , g, h για τις οποίες ισχύει ότι: • h(x)  f (x)  g(x) για κάθε x (, x0 )  ( x0, ) και • lim h( x) = lim g ( x) = l x→x0 x→x0 Τότε: lim f ( x) = l x→x0 y Cg  Cf Ch Oα x0 βx Παρατήρηση Το κριτήριο παρεμβολής ισχύει και όταν η ανισότητα είναι γνήσια, δηλαδή: Έστω οι συναρτήσεις f , g, h για τις οποίες ισχύει ότι: • h(x)  f (x)  g(x) για κάθε x (, x0 )  ( x0, ) και • lim h( x) = lim g ( x) = l x→x0 x→x0 Τότε: lim f ( x) = l x→x0 ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Αν θέλουμε να υπολογίσουμε το lim f (g(x)) : x→x0 • Θέτουμε u = g(x) • Υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το lim u = lim g(x) = u0 οπότε x→x0 x→x0 • Ισχύει ότι lim f (g(x)) = lim f (u) . x→x0 u →u0 ΒΑΣΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ Ισχύει | x || x | για κάθε x  R και η ισότητα ισχύει μόνο για x = 0 Παρατηρήσεις 1. Από την παραπάνω βασική ανισότητα προκύπτουν τα κάτωθι: α) | x |=| x |  x = x ή  x = −x ισχύουν μόνο για x = 0 β) | x || x |  x  x   x  −x ισχύουν για x  (−, 0)  (0, +) γ) Για x  0 ισχύει | x | x  −x   x  x   x  −x &  x  x   x + x  0 &  x − x  0 δ) Για x  0 ισχύει | x | −x  x   x  −x   x  x &  x  −x   x − x  0 &  x + x  0 2. Με την βοήθειά της παραπάνω βασικής ανισότητας αποδεικνύονται τα όρια: lim  x =  x0 και lim  x =  x0 x→x0 x→x0 82 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ x0 Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής (a, x0 )  (x0,b) . Όταν οι τιμές f (x) αυξάνονται απεριόριστα και γίνονται μεγαλύτερες από οποιονδήποτε θετικό αριθμό Μ καθώς το x κινούμενο με οποιονδήποτε τρόπο πάνω στον άξονα xx πλησιάζει τον πραγματικό αριθμό x0 λέμε ότι η συνάρτηση f έχει στο x0 όριο + και γράφουμε lim f (x) = + . x → x0 y f(x) M O x x0 x x Όταν οι τιμές f (x) ελαττώνονται απεριόριστα και γίνονται μικρότερες από οποιονδήποτε αρνητικό αριθμό Μ καθώς το x κινούμενο με οποιονδήποτε τρόπο πάνω στον άξονα xx πλησιάζει τον πραγματικό αριθμό x0 λέμε ότι η συνάρτηση f έχει στο x0 όριο − και γράφουμε lim f (x) = − . x→x0 y x x0 x x O -M f(x) ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΥ ΟΡΙΟΥ 1. lim f (x) = +  lim f (x) = lim f (x) = + . x→x0 x→x0− x→x0+ 2. lim f (x) = −  lim f (x) = lim f (x) = − . x→x0 x→x0− x→x0+ 3. Αν lim f (x) = + , τότε f (x)  0 κοντά στο x0 . x→x0 4. Αν lim f (x) = − , τότε f (x)  0 κοντά στο x0 . x → x0 5. Αν lim f (x) = + , τότε lim(− f (x)) = − x → x0 x→x0 6. Αν lim f (x) = − , τότε lim(− f (x)) = + . x → x0 x→x0 7. Αν lim f (x) = + ή − , τότε lim 1 = 0 . x→x0 x→x0 f (x) 8. Αν lim f (x) = 0 και f (x)  0 κοντά στο x0 , τότε lim 1 = + f (x) x→x0 x→ x0 83 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9. Αν lim f (x) = 0 και f (x)  0 κοντά στο x0 , τότε lim 1 = − . f (x) x→x0 x→ x0 10. Αν lim f (x) = + ή − , τότε lim | f (x) |= + . x → x0 x→x0 11. Αν lim f (x) = + , τότε lim k f (x) = + . x → x0 x → x0 12. Έστω ότι f (x)  g(x) για κάθε x (, x0 )  ( x0, ) : • Αν lim f (x) = + , τότε έχουμε και lim g(x) = + x → x0 x→x0 • Αν lim g(x) = − , τότε έχουμε και lim f (x) = − x→x0 x → x0 ΟΡΙΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ - ΔΙΑΦΟΡΑΣ Αν στο x0  R το όριο της f είναι:   R   R + - + - το όριο της g είναι: + - + - - + τότε το όριο της f + g είναι: + - + - ; ; το όριο της f − g είναι: − + ; ; + - ΟΡΙΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ - ΠΗΛΙΚΟΥ Αν στο x0  R το όριο της f είναι:  0 0  0  0 0 0 + + - - - - + - + - + - το όριο της g είναι: + + - + ; ; + - - + τότε 0 0 0 0 ;;;; το όριο της f  g είναι: + - - - Μορφή Μορφή  ,  0  ,  0 ; ; ; ; το όριο της f είναι: 0 0 0 0 g το όριο της g είναι: + + f Παρατήρηση Όπου υπάρχει ερωτηματικό στους παραπάνω πίνακες τα αντίστοιχα όρια έχουν απροσδιόριστη μορφή, την οποία για να άρουμε θα μάθουμε κατάλληλες τεχνικές στη συνέχεια. Συνοπτικά οι απροσδιοριστίες είναι : (+) + (−) , (+) − (+) , (−) − (−) , 0  () , 0 ,  . 0  84 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ Έστω τρεις συναρτήσεις f , g, h ορισμένες σε ένα διάστημα της μορφής ( , +) . y + y y Cf g(x) x + f(x) Cg O x Ch  O x h(x) x (β) x + − O x + (γ) (a) Παρατηρούμε ότι καθώς το x αυξάνεται απεριόριστα με οποιονδήποτε τρόπο, • το f (x) προσεγγίζει όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό . Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η f έχει στο + όριο το και γράφουμε lim f (x) = x→+ • το g(x) αυξάνεται απεριόριστα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η g έχει στο + όριο το + και γράφουμε lim g(x) = + x→+ • το h(x) μειώνεται απεριόριστα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η h έχει στο + όριο το − και γράφουμε lim h(x) = − . x→+ Ανάλογοι ορισμοί μπορούν να διατυπωθούν, όταν x → − για μια συνάρτηση που είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής (−,  ) . Βασικά όρια στο άπειρο lim xv = + και x→+ lim 1 =0, v N* xv x→+ lim xv = +,  v ά -,  v  ό και x→− lim 1 =0, v N* . xv x→− Παρατήρηση Έστω ότι f (x)  g(x) για κάθε x  ( , +) : • Αν lim f (x) = + , τότε έχουμε και lim g(x) = + x→+ x→+ • Αν lim g(x) = − , τότε έχουμε και lim f (x) = − x→+ x→+ Ομοίως, έστω ότι f (x)  g(x) για κάθε x  (−, ) : • Αν lim f (x) = + , τότε έχουμε και lim g(x) = + x→− x→− • Αν lim g(x) = − , τότε έχουμε και lim f (x) = − x→− x→− 85 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Όριο πολυωνυμικής και ρητής συνάρτησης Για την πολυωνυμική συνάρτηση P(x) =  x + −1x −1 + +0 , με   0 ισχύει: lim P(x) = xl→im+( x ) και lim P(x) = xl→im−( x ) x→+ x→− Για τη ρητή συνάρτηση f (x) =  x +  −1x −1 + + 1x + 0 ,   0 ,   0  x +  −1x −1 + + 1x + 0 ισχύει: lim f (x) = lim   x  και lim f (x) = lim   x    x    x  x→+ x→+   x→− x→−   Όρια εκθετικής - λογαριθμικής συνάρτησης Αν   1 τότε y lim  x = 0 , lim  x = + y=ax x→− x→+ lim log x = − , lim log x = + 1 y=logax O1 x x→0 x→+ Αν 0    1 τότε y y=ax lim  x = + , lim  x = 0 x→− x→+ lim log x = + , lim log x = − 1 O1 x→0 x→+ x y = loga x Παρατήρηση Σύμφωνα με τα παραπάνω είναι: lim ex = 0 , lim ex = + x→− x→+ lim ln x = − , lim ln x = + x→0 x→+ 86 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Α. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ x0 Α1. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ Παράδειγμα 1 (Υπολογισμός ορίου από τη γραφική παράσταση) y 4 y=f(x) 3 2 1 -2 O 1 2 3 4 x Με τη βοήθεια του παραπάνω σχήματος να υπολογίσετε τα όρια: lim f (x), lim f (x), lim f (x), lim f (x), lim f (x) x→−2 x→1 x→2 x→3 x→4 Λύση • lim f (x) : Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση ορίζεται μόνο δεξιά από το -2 επομένως x→−2 ισχύει ότι lim f (x) = lim f (x) = 2 x→−2 x→−2+ • lim f (x) : Υπολογίζουμε τα πλευρικά όρια στο 1 και έχουμε x→1 lim f (x) = 2 και lim f (x) = 1 και αφού είναι διαφορετικά μεταξύ τους δεν υπάρχει x→1+ x→1− το όριο lim f (x) . x→1 • lim f (x) : Υπολογίζουμε τα πλευρικά όρια στο 2 και έχουμε x→2 lim f (x) = 3 και lim f (x) = 3 και αφού είναι ίσα μεταξύ τους υπάρχει το όριο x→2+ x→2− lim f (x) και ισούται με 3. x→2 • lim f (x) : Υπολογίζουμε τα πλευρικά όρια στο 3 και έχουμε x→3 lim f (x) = lim f (x) = 3 επομένως lim f (x) = 3. x→3+ x→3− x→3 • lim f (x) : Υπολογίζουμε τα πλευρικά όρια στο 4 και έχουμε x→4 lim f (x) = lim f (x) = 3 επομένως lim f (x) = 3. x→4+ x→4− x→4 Παράδειγμα 2 (Χρήση πλευρικών ορίων) Αν γνωρίζετε ότι για μια συνάρτηση f : R → R ισχύει ότι lim f (x) = ( −1) και x→2− lim f (x) = 5 − 9 να υπολογίσετε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ καθώς και x→2+ το lim f (x) αν ξέρετε ότι αυτό υπάρχει. x→2 Λύση Αφού γνωρίζουμε ότι το lim f (x) υπάρχει, ισχύει ότι: x→2 87 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ lim f (x) = lim f (x) = lim f (x) . x→2 x→2− x→2+ Επομένως έχουμε ότι ( −1) = 5 − 9  2 − 6 + 9 = 0   = 3 , και τελικά lim f (x) = 6 . x→2 Παράδειγμα 3 (Χρήση ιδιοτήτων) Αν γνωρίζετε ότι lim f (x) = 2 και lim g(x) = 3 , να υπολογίσετε τα όρια: x→1 x→1 α) lim( f ( x) g ( x)) , β) lim( f 2 ( x)  g ( x)) , γ) lim  f (x)− g(x) + 1− 4 f (x)  x→1 x→1  f (x)  x→1 Λύση Εφ’ όσον τα επιμέρους όρια υπάρχουν έχουμε: α) lim( f ( x) g ( x)) = lim f ( x)lim g ( x) = 23 = 6 x→1 x→1 x→1 2 ( )β) lim( f 2 ( x)  g ( x)) = lim f 2 ( x)  lim g ( x) = lim f (x)  lim g(x) = 4 3 x→1 x→1 x→1 x→1 x→1 γ) lim  f (x)− g(x) + 1−4 f (x)  = lim f (x) − g(x) + lim 1− 4 f (x) =  f (x)  x→1 f (x) x→1 x→1 lim f (x) − lim g(x) f (x) = 2−3 + 1−42 = − 1 + 7 = 13 x→1 x→1 + 1− 4 lim lim f (x) x→1 2 22 x→1 A2. ΕΥΡΕΣΗ ΟΡΙΟΥ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ 0 ΜΕ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ 0 Παράδειγμα 4 Να υπολογίσετε τα όρια α) lim x2 − 4 β) lim x3 x3 − 8 2 3x2 − 2x −8 −5x + x→2 x→2 Λύση Αφού αντικαταστήσουμε όπου x την τιμή x0 στην οποία τείνει και προκύψει απροσδιοριστία της μορφής 0 , η γενική μεθοδολογία είναι: 0 Παραγοντοποιούμε αριθμητή και παρονομαστή, απλοποιούμε όλους τους όρους της μορφής x − x0 (ή x0 − x ) και αντικαθιστούμε την τιμή x0 στην οποία τείνει το x. Πράγματι: α) lim x2 − 4 = lim (x − 2) (x + 2) = lim x+2 = 2 3x2 − 2x −8 3 (x − 2) (x + 4) 3x + 4 5 x→2 x→2 x→2 3 0 (x − 2) (x2 β) lim x3 − 8 0 + 2x + 4) = lim x2 + 2x + 4 = 12 , = lim x→2 x3 − 5x + 2 x→2 (x − 2) (x2 + 2x −1) x→2 x2 + 2x −1 7 88 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Παρατηρήσεις 1. Το τριώνυμο  x2 +  x +  παραγοντοποιείται ως εξής:  x2 +  x +  = (x − 1)(x − 2 ) , όπου 1, 2 οι ρίζες του. Με την βοήθεια του παραπάνω παραγοντοποιήσαμε το τριώνυμο 3x2 − 2x − 8 . Βρήκαμε ότι 1 = 2, 2 =−4, οπότε 3x2 − 2x − 8 = 3(x − 2)(x + 4) 3 3 2. Με χρήση του σχήματος Horner έχουμε x3 − 5x + 2 = (x − 2)(x2 + 2x −1) 3. Βασικές ταυτότητες παραγοντοποίησης είναι οι:  2 −  2 = ( −  )( +  )  3 −  3 = ( −  )( 2 + +  2 )  3 +  3 = ( +  )( 2 − +  2 ) Με την βοήθεια αυτών παραγοντοποιήσαμε: x2 − 4 = x2 − 22 = (x − 2)(x + 2) x3 − 8 = x3 − 23 = (x + 2)(x2 + 2x + 22 ) = (x + 2)(x2 + 2x + 4) 4. Να σημειωθεί ότι αν, μετά την πρώτη απλοποίηση, το όριο παραμείνει της μορφής 0/0 δε πρέπει να ανησυχούμε μιας και λογικά υπάρχει και άλλη παραγοντοποίηση – απλοποίηση την οποία δεν είδαμε με τη πρώτη ματιά, οπότε επαναλαμβάνουμε την παραπάνω διαδικασία. Παράδειγμα 5 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = x3 . Να υπολογίσετε τα όρια: α) lim f (x) − f (−2) β) lim f (h −1) − f (−1) x→−2 x+2 h→0 h Λύση α) Είναι f (x) = x3 και f (−2) = (−2)3 = −8 , άρα 0 lim f (x) − f (−2) = lim x3 − (−8) = lim x3 + 8 0 x→−2 x+2 x→−2 x + 2 x→−2 x + 2 = lim (x + 2)(x2 − 2x + 4) = lim (x2 − 2x + 4) = 12 x→−2 x+2 x→−2 β) Είναι f (h −1) = (h −1)3 = h3 − 3h2 + 3h −1 και f (−1) = (−1)3 = −1, άρα 0 lim f (h −1) − f (−1) = lim h3 − 3h2 + 3h −1− (−1) = lim h3 − 3h2 + 3h 0 h→0 h h→0 h h→0 h = ( )lim h(h2 − 3h + 3) = lim h2 − 3h + 3 = 3 h→0 h h→0 89 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α3. ΕΥΡΕΣΗ ΟΡΙΟΥ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ 0 ΜΕ ΣΥΖΥΓΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ 0 Παράδειγμα 6 Να υπολογίσετε το όριο lim x2 + 3 − 2 x2 − 3x + 2 x→1 Λύση Για να επιτύχουμε την επιθυμητή παραγοντοποίηση πρέπει να πολλαπλασιάσουμε και τους δύο όρους του κλάσματος με την συζυγή παράσταση του όρου του κλάσματος που περιέχει τη ρίζα. Πράγματι: 0 lim x2 + 3 − 2 0 ( x2 + 3 − 2)( x2 + 3 + 2) = lim x2 + 3− 4 = x2 − 3x + 2 (x2 − 3x + 2)( x→1 = lim x2 + 3 + 2) x→1 (x2 − 3x + 2)( x2 + 3 + 2) x→1 lim (x −1) (x +1) = lim x +1 =−1. x→1 (x −1) (x − 2)( x2 + 3 + 2) x→1 (x − 2)( x2 + 3 + 2) 2 Να σημειωθεί ότι στον όρο, που η συζυγής παράσταση πολλαπλασιάζεται μόνο και μόνο για να μην αλλοιωθεί αλγεβρικά το κλάσμα (στο παραπάνω παράδειγμα είναι ο παρονομαστής), δεν κάνουμε επιμεριστική. Απλά αντιγράφουμε τη συζυγή παράσταση μέχρι να γίνει η τελική αντικατάσταση. Παράδειγμα 7 Να υπολογίσετε το όριο lim x2 + 3 − 2 x→1 1− x Λύση Δεν διαφοροποιούμαστε αν έχουμε ρίζες και στον αριθμητή και στον παρονομαστή του κλάσματος. Πολλαπλασιάζουμε και τους δύο όρους του κλάσματος με την συζυγή παράσταση τόσο του αριθμητή όσο και του παρονομαστή. Πράγματι: ( )lim 0 x2 −1 (1+ x ) x2 + 3 − 2 0 lim ( x2 + 3 − 2)( x2 + 3 + 2)(1+ x) = lim = x→1 1− x = x→1 (1− x )(1+ x )( x2 + 3 + 2) x→1 (1− x)( x2 + 3 + 2) ( x −1) (x +1)(1+ x) = lim (x +1)(1+ x) = −1. lim ( )x→1 − (x −1) ( x2 + 3 + 2) x→1 − x + 3 + 2 90 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Παράδειγμα 8 Να υπολογίσετε το όριο lim 3 x −1 − 3 3 − x x→2 x − 2 Λύση Να σημειωθεί ότι η συζυγής παράσταση της 3  − 3  είναι η 3  2 + 3  3  + 3  2 , διότι (3  − 3  )( 3  2 + 3  3  + 3  2 = (3  )3 −(3  )3 = −  . Πράγματι: ) (( ) ( ) )lim 0 3 3 x −1 22 0 (3 −1 − 3− + 3 x −13 3− x + 3 3− x 3 x −1 − 3 3− x x x) = lim (( ) ( ) )x→2 x − 2 = x→2 22 (x − 2) 3 x −1 + 3 x −1 3 3 − x + 3 3 − x lim x −1− (3 − x) = (( ) ( ) )x→2 (x − 2) 22 3 x −1 + 3 x −13 3− x + 3 3− x 2(x − 2) =2. lim (( ) ( ) )x→2 (x − 2) 22 3 3 x −1 + 3 x −13 3− x + 3 3− x Αναλόγως πράττουμε για μεγαλύτερης τάξεως ρίζες. Παράδειγμα 9 (Μορφή 0 = 0 + 0 + ... + 0 ) 0 00 0 Να υπολογίσετε το όριο lim 3 x −1 − 3 3 − x + 2 x→2 x − 2 Λύση Προσπαθούμε να «σπάσουμε» το κλάσμα σε επιμέρους κλάσματα που το καθένα έχει όριο της μορφής 0 και ακολουθούμε για κάθε επιμέρους κλάσμα την 0 ενδεδειγμένη μεθοδολογία. Στο συγκεκριμένο επειδή lim 3 x −1 = 1 και lim− 3 3 − x = −3 και αφού 2=-1+3 x→2 x→2 έχουμε: 3 x −1 −3 3 − x + 2 = lim 3 x −1 −1− 3 3−x +3 = lim x→2 x − 2 x→2 x − 2 lim ( 3 x −1 −1) − (3 3 − x − 3) =  3 x −1−1−3 3−x − 1  x→2 x − 2 x−2 x−2  lim  = l x→2 91 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έχουμε lim (3 x −1 −1) = lim (3 x −1 −1)( 3 x − 2 + 3 x −1 +1) = (x − 2) 3 x −1 +1) x→2 x→2 1 (x − 2)( 3 x 2 + −1 lim x−2 = lim 2 1 = 1 +3 3 x→2 (x − 2) (3 x 2 3 x −1 +1) x→2 3 x −1 x −1 +1 −1 + και lim 3 3 − x −1 = lim3 ( 3 − x −1)( 3 − x +1) = lim 3 2 − x = x→2 x − 2 x→2 (x − 2)( 3 − x +1) x→2 (x − 2)( 3 − x +1)  −3 (x − 2)  = − 3  2) ( 3−  2 lim (x − x + 1) x→2 Άρα l = 1 −  − 3  = 11 3  2  6 Α4. ΕΥΡΕΣΗ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ Παράδειγμα 10 10x −10 , x  1  −1 Δίνεται η συνάρτηση f ( x) =  x2 .  3x + 2, x  1 Να υπολογισθούν τα όρια α) lim f (x) β) lim f (x) γ) lim f (x) − f (2) δ) lim f (x) − f (1) x→0 x→1 x→2 x − 2 x→1 x −1 Λύση Για την εύρεση ορίου συνάρτησης πολλαπλού τύπου, όταν το x → x0 , πρέπει να επιλέξουμε τον κατάλληλο τύπο, όταν το x παίρνει τιμές σε μία περιοχή του x0. α) Για x  (−, 0)  (0,1) , (όταν x → 0 ) είναι f (x) = 3x + 2 . Άρα lim f (x) = lim(3x + 2) = 2 . x→0 x→0 β) Παρατηρούμε ότι για x  (−,1) είναι f (x) = 3x + 2 , ενώ για x  (1, +) είναι f (x) = 10x −10 , δηλαδή η f αλλάζει τύπο «εκατέρωθεν» του 1, άρα για τον x2 −1 υπολογισμό του lim f (x) θα πάρουμε πλευρικά όρια. Πράγματι: x→1 lim f (x) = lim(3x + 2) = 5 και x→1− x→1− lim f ( x) = lim 10x −10 = lim 10( x −1) = lim 10 = 5 . x2 −1 (x −1) (x +1) x +1 x→1+ x→1+ x→1+ x→1+ Παρατηρούμε ότι lim f (x) = lim f (x) = 5 , επομένως lim f (x) = 5 x→1− x→1+ x→1 92 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ γ) Για x  (1, 2)  (2, +) , (όταν x → 2 ) είναι f ( x) = 10x −10 και f (2) = 10 : x2 −1 3 10x −10 − 10 30x − 30 −10x2 +10 = lim x2 −1 3 3(x2 −1) Άρα lim f (x) − f (2) = lim = x→2 x − 2 x→2 x − 2 x→2 x−2 0 lim −10x2 + 30x − 20 0 −10(x −1)(x − 2) = lim −10 = − 10 3(x2 −1)(x − 2) 3(x −1)(x +1)(x − 2) 3(x +1) 9 x→2 = lim x→2 x→2 δ) Παρατηρούμε ότι για x  (−,1) είναι f (x) = 3x + 2 , ενώ για x  (1, +) είναι f (x) = 10x −10 , δηλαδή η f αλλάζει τύπο «εκατέρωθεν» του 1 και x2 −1 f (1) = 312 + 2 = 5, άρα για τον υπολογισμό του lim f (x) − f (1) θα πάρουμε x→1 x −1 πλευρικά όρια. Πράγματι: lim f (x) − f (1) = lim 3x + 2 − 5 = lim 3x − 3 = lim 3(x −1) = 3 και x→1− x −1 x→1− x −1 x→1− x −1 x→1− x −1 x −1 − 5 10x −10 −5 −5x2 +10x − 5 0 x2 −1 lim = lim x2 −1 = lim x2 −1 = lim −5x2 + 10x − 5 0 x −1 x −1 x→1+ x −1 x→1+ x→1+ x→1+ (x2 −1)(x −1) = lim −5(x −1)2 = lim −5 = −5 (x +1)(x −1)2 (x +1) 2 x→1+ x→1+ Παρατηρούμε ότι τα πλευρικά όρια είναι διαφορετικά, άρα το lim f (x) − f (1) δεν x→1 x −1 υπάρχει. Παράδειγμα 11  x2 −1 x  1 . Να υπολογισθούν τα όρια  Δίνεται η συνάρτηση f ( x) =  x −1 2 x = 1 α) lim f (x) β) lim f (x) γ) lim f (x) − f (2) δ) lim f (x) − f (1) x→0 x→1 x→2 x − 2 x→1 x −1 Λύση Για την εύρεση ορίου συνάρτησης πολλαπλού τύπου, όταν το x → x0 , πρέπει να επιλέξουμε τον κατάλληλο τύπο, όταν το x παίρνει τιμές σε μία περιοχή του x0. α) Παρατηρούμε ότι για x  (−,1) (όταν x → 0 ) είναι f (x) = x2 −1 . x −1 Άρα lim f (x) = lim x2 −1 = 1. x→0 x→0 x −1 β) Παρατηρούμε ότι για x  (−,1)  (1, +) (όταν x →1 ) είναι f (x) = x2 −1 , x −1 δηλαδή η f δεν αλλάζει τύπο «εκατέρωθεν» του 1. 93 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Άρα για τον υπολογισμό του lim f (x) δεν θα πάρουμε πλευρικά όρια. Πράγματι: x→1 lim f (x) = lim x2 −1 = lim (x −1) (x +1) = lim(x +1) = 2 . x→1 x→1 x −1 x→1 x −1 x→1 γ) Παρατηρούμε ότι για x  (1, +) (όταν x → 2 ) είναι f (x) = x2 −1 και x −1 f (2) = 22 −1 = 3 . 2 −1 Άρα x2 −1 −3 x2 −1− 3x + 3 0 x −1 x −1 0 lim f (x) − f (2) = lim = lim = lim x2 − 3x + 2 = x→2 x − 2 x→2 x − 2 x→2 x − 2 x→2 (x −1)(x − 2) lim (x −1)(x − 2) = 1 x→2 (x −1)(x − 2) δ) Παρατηρούμε ότι για x  (−,1)  (1, +) (όταν x →1 ) είναι f (x) = x2 −1 , x −1 δηλαδή η f δεν αλλάζει τύπο «εκατέρωθεν» του 1. και f (1) = 2 . Άρα για τον υπολογισμό του lim f (x) − f (1) δεν θα πάρουμε πλευρικά όρια. x→1 x −1 Πράγματι: x2 −1 − 2 x2 −1− 2x + 2 0 ( 1)2 x −1 0 ( 1)2 lim f (x) − f (1) = lim = lim x −1 = lim x 2 − 2x + 1 lim x − =1. x −1 x→1 x −1 x→1 x −1 x→1 = x − x→1 ( x −1)2 x→1 Α5. ΕΥΡΕΣΗ ΟΡΙΟΥ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ 0 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ 0 Παράδειγμα 12 Να υπολογίσετε τα όρια α) lim x+2 −3 και β) lim x + 2 − x2 −1 −3 x→1 x→1 x2 −1 x −1 Λύση α) Είναι γνωστό ότι: Αν lim f (x) = l  0 , τότε f (x)  0 όταν x → x0 x→x0 και Αν lim f (x) = l  0 , τότε f (x)  0 όταν x → x0 x→x0 Παρατηρούμε ότι lim(x + 2) = 3  0 άρα x + 2  0 όταν x →1 x→1 Επομένως: lim x+2 −3 = lim x+2−3 = lim x −1 = lim 1= 1. x2 −1 x→1 x2 −1 x→1 (x −1) (x +1) x→1 x +1 2 x→1 94 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ β) Παρατηρούμε ότι lim(x + 2) = 3  0 άρα x + 2  0 όταν x →1 , x→1 ενώ lim(x2 −1) = lim(x −1) = 0 με x→1 x→1 x − −1 1 + x −1 − − + x2 −1 + − + Σύμφωνα με τον παραπάνω πίνακα είναι: • για x  (−1,1) (όταν x → 1− ) είναι x2 −1  0 και x −1  0 , ενώ • για x  (1, +) (όταν x → 1+ ) είναι x2 −1  0 και x −1  0 Επομένως παίρνουμε πλευρικά όρια: lim x+2 − x2 −1 −3 x + 2 + x2 −1− 3 = lim x2 + x − 2 = lim (x −1) (x + 2) = −3 = lim x→1− x −1 x→1− −(x −1) x→1− −(x −1) x→1− − (x −1) και lim x+2 − x2 −1 −3 x + 2 − (x2 −1) − 3 = lim −x2 + x −x (x −1) = −1 = lim = lim x→1+ x −1 x→1− x −1 x→1− x −1 x→1− (x −1) Τα πλευρικά όρια είναι διαφορετικά, άρα δεν υπάρχει το όριο. Παρατήρηση Αν η συνάρτηση περιέχει στον τύπο της έστω μια απόλυτη τιμή, η οποία μηδενίζεται όταν αντικαταστήσουμε το x με τον αριθμό στον οποίο τείνει, θα βρούμε το ζητούμενο όριο με χρήση πλευρικών ορίων. Αν η συνάρτηση περιέχει στον τύπο της απόλυτες τιμές οι οποίες δεν μηδενίζονται όταν αντικαταστήσουμε το x με τον αριθμό στον οποίο τείνει, θα βρούμε το ζητούμενο όριο χωρίς χρήση πλευρικών ορίων. Παράδειγμα 13 (*) Δίνεται η γνησίως αύξουσα συνάρτηση f : R → R για την οποία ισχύει ότι lim f (x) = −3 και f (−1) = −3 . β. lim | f (x) | − | f (x) + 3 | −3 x→−1 | 3 − f (x) | −6 x→−1 Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα όρια: α. lim 3 | f (x) + 2 | −3 x→−1 |1− f (x) | −4 Λύση α. Είναι lim( f (x) + 2) = −1  0 , άρα f (x) + 2  0 , όταν x → −1 x→−1 lim(1− f (x)) = 4  0 , άρα 1− f (x)  0 , όταν x → −1 x→−1 Οπότε έχουμε: 0 lim 3| f (x) + 2 | −3 0 lim 3(− f (x) − 2) − 3 = lim −3 f (x) − 9 = lim −3( f (x) + 3) = 3 = x→−1 |1− f (x) | −4 x→−1 (1− f (x)) − 4 x→−1 − f (x) − 3 x→−1 −( f (x) + 3) β. Είναι lim f (x) = −3  0 , άρα f (x)  0 , όταν x → −1 x→−1 lim(3 − f (x)) = 6  0 , άρα 3 − f (x)  0 , όταν x → −1 x→−1 95 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Όμως είναι lim ( f (x) + 3) = 0 , με x→−1 f f (x) + 3  0  f (x)  −3  f (x)  f (−1)  x  −1 και f f (x) + 3  0  f (x)  −3  f (x)  f (−1)  x  −1 και Επομένως παίρνουμε πλευρικά όρια: lim | f (x) | − | f (x) + 3 | −3 = lim − f (x) + 2( f (x) + 3) − 3 = lim f (x) + 3 = −1 x→−1− | 3 − f (x) | −6 x→−1− (3 − f (x)) − 6 x→−1− − f (x) − 3 και lim | f (x) | − | f (x) + 3 | −3 = lim − f (x) + 2(− f (x) − 3) − 3 = lim −3 f (x) − 9 = 3 x→−1+ | 3 − f (x) | −6 x→−1+ (3 − f (x)) − 6 x→−1− − f (x) − 3 Τα πλευρικά όρια είναι διαφορετικά, άρα δεν υπάρχει το όριο. Α6. ΜΕ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Παράδειγμα 14 Δίνεται συνάρτηση f :R→R για την οποία ισχύει ότι lim f (x) − x = 3 . x→2 x2 − 4 Να υπολογίσετε τα όρια α) lim f (x) και β) lim f (x) + x2 − 6 . x→2 x→2 x + 2 − 2 Λύση α) Θέτουμε g(x) = f (x) − x (βοηθητική συνάρτηση) με lim g(x) = 3 και έχουμε: x2 − 4 x→2 g(x) = f (x) − x  g(x)(x2 − 4) = f (x) − x  f (x) = g(x)(x2 − 4) + x (1). x2 − 4 Οπότε: ( )lim f (x) = lim g(x)(x2 − 4) + x = 30 + 2 = 2. x→2 x→2 β) (1ος τρόπος) Το όριο f (x) + x2 − 6 είναι της μορφής 0 , οπότε θα lim 0 x→2 x + 2 − 2 χρησιμοποιήσουμε την σχέση (1): 0 0+0 00 lim f ( x) + x2 − 6 (1) lim g ( x)( x 2 − 4) + x + x2 − 6 0 lim  g ( x)( x 2 − 4) + x2 + x −6  l x+2−2 x +2 −2  x+2 − 2 x + 2 −2  = x→2 = x→2 = x→2   Έχουμε: 0 lim g ( x)( x 2 − 4) 0 lim g(x)(x − 2)(x + 2)( x + 2 + 2) = = x→2 x + 2 − 2 x→2 ( x + 2 − 2)( x + 2 + 2) g(x) (x − 2) ( x + 2) ( x + 2 + 2) lim = 3 4 4 = 48 και x→2 x − 2 96 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 0 lim x2 + x−6 0 lim (x − 2)(x + 3)( x + 2 + 2) = = x→2 x + 2 − 2 x→2 ( x + 2 − 2)( x + 2 + 2) (x − 2) ( x + 3) ( x + 2 + 2) lim = 5 4 = 20 , άρα l = 20 + 48 = 68 x→2 x − 2 (*) (2ος τρόπος) Θα προσπαθήσουμε να «εμφανίσουμε» το κλάσμα f (x) − x , που x2 − 4 γνωρίζουμε το όριό του. 0 lim f (x) + x2 − 6 0 lim f (x) − x + x+ x2 −6 = = x+2−2 x→2 x + 2 − 2 x→2 f (x) − x + x2 + x − 6 f (x) − x + x2 + x − 6 x2 − 4 x2 − 4 x2 − 4 lim = lim =l (1), όπου x→2 x + 2 − 2 x→2 x + 2 − 2 x2 − 4 x2 − 4 • lim f (x) − x = 3 , x→2 x2 − 4 0 ( 2)( 3) ( 2)( 2) • lim x2 + x − 6 0 lim x − x + = lim x+3 = 5 και x2 − 4 x − x + x→2 x+2 4 x→2 = x→2 ( ( )()( ) )• 0 x+2−2 x+2+2 lim x+ 2 − 2 0 lim = x2 − 4 x→2 = x→2 x2 − 4 x + 2 + 2 ( ) ( )lim ( x − 2) = lim 1 = 1 . x→2 ( x − 2) ( x + 2) x + 2 + 2 x→2 ( x + 2) x + 2 + 2 16 (1) 3+ 5 4 Άρα l = = 68 1 16 Παράδειγμα 15 (*) Για τη συνάρτηση f : R → R είναι lim f (x) + x = 2 . x→1 x −1 Να βρεθεί αν υπάρχει το lim f 2 (x) − 2 f (x) − 3 . x→1 f 2 (x) + 3 − 2 Λύση Για x  1, θέτουμε g(x) = f (x) + x με lim g(x) = 2 και έχουμε: x −1 x→1 g(x) = f (x) + x  g(x)(x −1) = f (x) + x  f (x) = g(x)(x −1) − x (1). x −1 97 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ( )(1) Είναι lim f (x) = lim g(x)(x −1) − x = 2 0 −1 = −1 , άρα το όριο x→1 x→1 lim f 2 (x) − 2 f (x) − 3 είναι της μορφής 0 . x→1 f 2 (x) + 3 − 2 0 Λόγω της ύπαρξης της f 2 (x) , αν αντικαταστήσουμε την f (x) από την (1), αλγεβρικά θα έχουμε προβλήματα. Οπότε για την εύρεση του ορίου επειδή lim f (x) = −1 αλλά και λόγω της απουσίας μεταβλητής x , θα παραγοντοποιήσουμε x→1 αριθμητή και παρονομαστή με σκοπό να απλοποιήσουμε όρο της μορφής ( f (x) +1) . Πράγματι: 0 lim f 2(x) − 2 f ( x) − 3 0 lim ( f (x) +1)( f (x) − 3)( f 2 (x) + 3 + 2) = = x→1 f 2 (x) + 3 − 2 x→1 ( f 2 (x) + 3 − 2)( f 2 (x) + 3 + 2) lim ( f (x) + 1)( f (x) − 3)( f 2 ( x) +3 + 2) = lim ( f ( x) +1)( f (x) − 3)( f 2(x) +3 + 2) = ( f 2 (x) −1) (f (x) +1)( f (x) −1) x→1 x→1 ( f (x) − 3)( f 2 (x) + 3 + 2) = (−1− 3)( (−1)2 + 3 + 2) = −16 = 8 lim x→1 ( f (x) −1) −1 − 1 −2 Α7. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ Παράδειγμα 16 Να υπολογίσετε τα όρια α) lim 2x + x , β) limx + x −1 , γ) lim( x  1) x3 + 3x x→0  x + x x→0 x x→0 Λύση Τα βασικά τριγωνομετρικά όρια είναι:  x = 1,  x −1 = 0 και lim  x  1  = 0 lim lim  x  x→0 x x→0 x x→0 Οπότε, αν στο ζητούμενο τριγωνομετρικό όριο το x → 0 , προσπαθούμε με κατάλληλες αλγεβρικές διαδικασίες, να εμφανίσουμε τις συναρτήσεις των παραπάνω βασικών τριγωνομετρικών ορίων, για να το υπολογίσουμε. α) lim  2x + x = lim  x( x +1) = lim   x   x +1  = 1 0 +1 = 1 .  x x2 +3  3 3 x→0 x3 + 3x x→0 x(x2 + 3) x→0   x+  x −1   x   β)  x +  x −1 = lim  x  = 1+ 0 = 1 lim  x+x  1+1 2 x→0  x + x x→0  xx γ) lim(x  1) =  x  x 1) = 1 0 = 0 lim( x→0 x x→0 x x 98 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Παράδειγμα 17 Να υπολογίσετε τα όρια α) lim  x −1 , β)  2x +  x x2 lim  2x x→0 x→ Λύση α) Παρατηρούμε ότι δεν εξυπηρετεί το βασικό τριγωνομετρικό όριο του συνημιτόνου, οπότε θα προσπαθήσουμε με χρήση της συζυγούς παράστασης να «περάσουμε» σε όριο ημιτόνου. lim  x −1 = lim ( x −1)( x +1) = lim  2x −1 = lim − 2x = xx→0 2 x→0 x2 ( x +1) x→0 x2 ( x +1) x→0 x2 (1+  x) lim  −   x 2  1  = −1 1 = − 1   x    2 2 x→0 1+ x β) Να προσέξουμε ότι x →  , οπότε δε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα βασικά τριγωνομετρικά όρια, επομένως θα επιχειρήσουμε να παραγοντοποιήσουμε: lim  2x +  x =  x( x + 1) = lim  x( x +1)( x −1) =  2x lim  2x 2x( x −1) x→ x→ x→ lim  x(− 2x ) = − 1 . x→  2 x ( x −1) 2 Α8. ΤΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ Παράδειγμα 18 Δίνεται η συνάρτηση f : R → R για την οποία ισχύει ότι 2x x  f (x)  x2 + x για κάθε x>0. Να υπολογίσετε το όριο lim f (x) − 2 . x→1 x −1 Λύση Προσπαθούμε να «χτίσουμε - κατασκευάσουμε» στο μέσον της διπλής ανισο- ισότητας τη συνάρτηση της οποίας το όριο επιθυμούμε να υπολογίσουμε. Πράγματι: Για κάθε x  0 έχουμε: 2x x  f (x)  x2 + x ή 2x x − 2  f (x) − 2  x2 + x − 2 . Πρόκειται να διαιρέσουμε με το x −1 και αφού δε γνωρίζουμε πρόσημο διακρίνουμε περιπτώσεις. • Αν x  1 τότε έχουμε: 2x x − 2  f (x) − 2  x2 + x − 2 και x −1 x −1 x −1 (θα χρησιμοποιήσουμε το κριτήριο της παρεμβολής). lim 2x x − 2 = lim (2x x − 2)(2x x + 2) = lim 4x3 − 4 = x→1+ x −1 x→1+ (x −1)(2x x + 2) x→1+ (x −1)(2x x + 2) 99 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 4 (x −1) (x2 + x +1) lim = 3 x→1+ (x −1) (2x x + 2) και lim x2 + x − 2 = lim (x −1) (x + 2) = 3 x→1+ x −1 x→1+ x −1 Επομένως από κριτήριο παρεμβολής έχουμε ότι lim f (x) − 2 = 3 x→1+ x −1 • Αν 0  x 1 τότε έχουμε: 2x x − 2  f (x) − 2  x2 + x − 2 και x −1 x −1 x −1 (θα χρησιμοποιήσουμε το κριτήριο της παρεμβολής). lim 2x x − 2 = lim (2x x − 2)(2x x + 2) = lim 4x3 − 4 = x→1− x −1 x→1− (x −1)(2x x + 2) x→1− (x −1)(2x x + 2) 4 (x −1) (x2 + x +1) lim = 3 x→1− (x −1) (2x x + 2) και lim x2 + x − 2 = lim (x −1) (x + 2) = 3 x→1− x −1 x→1− x −1 Επομένως από κριτήριο παρεμβολής έχουμε ότι lim f (x) − 2 = 3 x→1− x −1 Τέλος αφού τα δύο πλευρικά όρια είναι ίσα έχουμε lim f (x) − 2 = 3 . x→1 x −1 Παράδειγμα 19 (Υπολογισμός τριγωνομετρικού ορίου με χρήση του κριτηρίου παρεμβολής) ( )Να υπολογίσετε το όριο lim x3 + 2x  1 x→0 x Λύση Έχουμε: ( )x3 + 2x  1 = x3 + 2x   1 (1) για κάθε x  0 . Επομένως: xx  x3 + 2x ( ) ( )x3 + 2x  1  x3 + 2x  − x3 + 2x  x3 + 2x  1  x3 + 2x xx ( )με lim x3 + 2x = lim − x3 + 2x = 0 x→0 x→0 ( )άρα από το κριτήριο παρεμβολής lim x3 + 2x  1 = 0 . x→0 x ( )Παρατήρηση: Είναι lim x3 + 2x = 0 (μηδενική) και  1  1 (1) για κάθε x  0 x→0 x (φραγμένη), για το λόγο αυτό τέτοιου είδους όρια χαρακτηρίζονται με την «κωδική» ονομασία: «ΜΗΔΕΝΙΚΗ Χ ΦΡΑΓΜΕΝΗ» 100 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ