1 10 สารบัญ 17 34 ขอ สอบ O-NET เรอ่ื ง เซต 46 ขอ สอบ O-NET เรือ่ ง การใหเหตผุ ล 65 ขอสอบ O-NET เรอ่ื ง จํานวนจริง 75 ขอ สอบ O-NET เรอื่ ง เลขยกกาํ ลงั 90 ขอสอบ O-NET เรื่อง ความสมั พันธแ ละฟง กชัน 108 ขอสอบ O-NET เรื่อง อตั ราสว นตรโี กณมิติ ขอ สอบ O-NET เรื่อง ลําดับและอนกุ รมจํากดั ขอสอบ O-NET เรอ่ื ง ความนาจะเปน ขอสอบ O-NET เร่ือง สถิติเบอื้ งตน อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก
เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน 1 ขอบเขตของเนือหาข้อสอบ onet ในแตล่ ะปี จะมปี ระมาณ 2 ข้อ โดยมีขอบเขตเนือหาทเี คยออกข้อสอบได้แก่ การตีความเซตจากแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ การแก้โจทย์ปัญหาจํานวนสมาชิกเซตจํากดั 1. เซต เซต เป็ นคาํ อนิยาม ในวิชาคณิตศาสตร์ใช้คาํ วา่ “เซต” เมอื กล่าวถงึ กลมุ่ ของสิงตา่ ง ๆ และต้องสามารถทราบได้ แนน่ อนวา่ สิงใดอยใู่ นกลุม่ และสิงใดไมอ่ ยใู่ นกลุ่ม เรียกสิงทอี ยใู่ นเซตวา่ สมาชกิ (element) ใช้สญั ลกั ษณ์ แทน “เป็ นสมาชกิ ของ” และ แทน “ไมเ่ ป็ นสมาชกิ ของ” จาํ นวนสมาชกิ ของเซต A เขียนแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ n(A) การเขยี นเซต สามารถเขียนเซตได้ 2 แบบ คือ 1. แบบแจกแจงสมาชกิ เชน่ เซตของจํานวนเต็มตงั แต่ 1 ถงึ 5 เขียนแทนด้วย { 1, 2, 3, 4, 5} 2. แบบบอกเงือนไข เชน่ เซตของจาํ นวนเต็มตงั แต่ 1 ถงึ 5 เขียนแทนด้วย {x | 1 ≤ x ≤ 5 } เอกภพสมั พัทธ์ คอื เซตทีกําหนดขอบเขตของสิงทเี ราต้องการศกึ ษา แทนด้วย U หมายเหตุ ในการกลา่ วถงึ เซตทีเป็ นจาํ นวน มขี ้อตกลงวา่ ถ้าไมก่ ําหนดเอกภพสมั พทั ธ์ ให้ถอื วา่ เอกภพสมั พทั ธ์ คือ เซตของจาํ นวนจริง และ ข้อตกลง เราจะใช้สญั ลกั ษณ์ตอ่ ไปนี แทนเซตตา่ ง ๆ แทน เซตของจาํ นวนจริง แทน เซตของจาํ นวนอตรรกยะ แทน เซตของจาํ นวนเต็ม แทน เซตของจาํ นวนตรรกยะ แทน เซตของจาํ นวนนบั แทน เซตของจํานวนเฉพาะ ตวั อย่าง 1 จงเขียนเซตในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนใี ห้อยใู่ นรูปแจกแจงสมาชิก 1. x 1 x 10 = ............................................ 2. x 5 x 5 = ............................................ 3. x x2 4 = ............................................ 4. x x2 20 = ............................................ 5. x x หาร 12 ลงตวั = ............................................ 6. x x3 8 = ............................................ 7. x x เป็ นตวั ประกอบของ 10 = ............................................ 8. x x2 0 = ............................................
เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 2 2. เซตจาํ กดั และเซตอนันต์ (Finite & Infinite Set) 2.1 เซตจํากดั (Finite Set) หมายถงึ เซตซงึ มสี มาชกิ เป็ นจาํ นวนเต็มบวกหรือศนู ย์ 2.2 เซตอนนั ต์ (Infinite Set) หมายถงึ เซตซงึ ไมใ่ ชเ่ ซตจาํ กดั 2.3 เซตวา่ ง (Empty Set) หมายถงึ เซตทมี ีจํานวนสมาชิกเทา่ กบั ศนู ย์ แทนเซตวา่ งด้วย (phi) หรือ { } หมายเหตุ เนอื งจากเซตวา่ งมจี าํ นวนสมาชิกเทา่ กบั ศนู ย์ จะได้วา่ เซตว่างเป็ นเซตจาํ กัด ตวั อย่าง 2 จงระบจุ าํ นวนสมาชกิ ของเซตในแตล่ ะข้อตอ่ ไปน ี 1. a, b,1, 3 ............................................ 2. 1,1,1, 2, 2 ............................................ 3. 2, 4, 6, 8,... ............................................ 4. x 1 x 3 ............................................ 5. x 10 x 1 ............................................ 6. x x2 1 ............................................ 7. x x2 5 ............................................ 8. x x > 0 ............................................ 3. ความสัมพันธ์ระหว่างเซต 3.1 เซต A และเซต B เท่ากนั กต็ อ่ เมอื เซตทงั สองมีจาํ นวนสมาชกิ เทา่ กนั และสมาชกิ ทกุ ตวั เหมอื นกนั สญั ลกั ษณ์ ถ้าเซต A เทา่ กบั เซต B จะเขียนแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ A = B ถ้าเซต A ไมเ่ ทา่ กบั เซต B จะเขียนแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ A B 3.2 เซต A จะเป็ นสบั เซตของเซต B ก็ตอ่ เมอื สมาชิกทกุ ตวั ของ A เป็ นสมาชกิ ของ B สญั ลักษณ์ ถ้าเซต A เป็ นสบั เซตของเซต B เขียนแทนด้วย A B ถ้าเซต A ไมเ่ ป็ นสบั เซตของเซต B เขียนแทนด้วย A B สมบตั ิของสับเซต กาํ หนดให้ A, B และ C เป็ นเซตใด ๆ 1. A U , A A , A 2. จาํ นวนสบั เซตทงั หมดของ A จะเทา่ กบั 2n(A) เซต 4. เพาเวอร์เซต ของเซต A คือ เซตซงึ มสี บั เซตเป็ นสมาชกิ ทกุ ๆ สบั เซตของ A สญั ลกั ษณ์ ใช้ P(A) แทน เพาเวอร์เซตของ A ดงั นนั จากบทนิยามของเพาเวอร์เซต นนั คอื P(A) = { X | X A}
เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน 3 ตวั อย่าง 3 จงเขียนสบั เซตทงั หมดเซตในแตล่ ะข้อตอ่ ไปน ี 1. A = {a, b} ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ 2. B = {1, 2, 3} ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ 3. C = {1, {1, 2}} ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ กาํ หนดให้ A = {1, 2, 3} , B = {0, 1, 2, 3} , C = {0, 1, 2} , D = {1, 2, 3, 4, 5} จงพจิ ารณาเติมเครืองหมาย หรือ เพือทาํ ให้แตล่ ะข้อถกู ต้อง ตัวอย่าง 4 (1) A ……. B (2) C …….. B (3) D …….. B (4) A …….. C (5) C …….. A (6) A …….. D (7) C …….. D (8) D …….. A (9) D …….. C ตัวอย่าง 5 กําหนดให้ A = {a, b, {c}, {a, b}} จงพิจารณาข้อความตอ่ ไปนีถกู หรือผดิ 1. a A ................... 2. {c} A ................... 3. {a} A ................... 4. {a, b} A ................... 5. {{a, b}} A ................... 6. {a, b} A ................... 7. {a, {c}} A ................... 8. {{c}} A ................... ตัวอย่าง 6 จงเขียนหาเพาเวอร์เซต ของเซตในแตล่ ะข้อตอ่ ไปน ี 1. A = {1, 2} ........................................................................................................................................ 2. B = {a, b, c} ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ 3. C = {, 0} ........................................................................................................................................
เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 4 5. แผนภาพของเวนน์ – ออยเลอร์ (Venn – Euler Diagram) A B B A U A B U U แผนภาพแสดงเซต B A A และ B ไมม่ สี มาชิกร่วมกนั เซต A และ B มสี มาชิกรว่ มกนั 6. การดาํ เนนิ การทางเซต (Operation of Sets) มี 4 ชนดิ คอื 6.1 ยูเนียนของเซต A และ B คอื เซตทีประกอบด้วยสมาชิกของ A หรือ B หรือของทงั สองเซต แทนด้วยสญั ลกั ษณ์ A B = {x | x A หรือ x B} .......................................................................................... .......................................................................................... A B .......................................................................................... U .......................................................................................... 6.2 อินเตอร์เซกชนั ของเซต Aและ B คือ เซตทีประกอบด้วยสมาชิกทีเป็ นสมาชกิ ของ Aและ B ทงั สองเซต แทนด้วยสญั ลกั ษณ์ A B = {x | x A และ x B} .......................................................................................... .......................................................................................... A B .......................................................................................... U .......................................................................................... 6.3 คอมพลีเมนต์ของเซต A คอื เซตทปี ระกอบด้วยสมาชิกซงึ เป็นสมาชกิ ของ U แตไ่ มเ่ ป็ นสมาชกิ ของ A แทนด้วยสญั ลกั ษณ์ A = {x U | x A} .......................................................................................... .......................................................................................... A B .......................................................................................... U .......................................................................................... 6.4 ผลต่างของเซต A และ B คือ เซตทีประกอบด้วยสมาชิกของ A ซงึ ไมเ่ ป็ นสมาชิกของ B แทนด้วยสญั ลกั ษณ์ A – B = {x U | x A และ x B} .......................................................................................... .......................................................................................... A B .......................................................................................... U ..........................................................................................
เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน 5 สมบัติบางประการเกียวกับการดาํ เนินการทางเซต 1. A B = B A Note A B = B A .............................................................. 2. (A B) C = A (B C) ....... ....................................................... (A B) C = A (B C) .............................................................. 3. A (B C) = (A B) (A C) .............................................................. A (B C) = (A B) (A C) .............................................................. 4. (A B) = A B .............................................................. (A B) = A B .............................................................. 5. A = .............................................................. .............................................................. 6. A – B = A B .............................................................. 7. (A) = A .............................................................. ตัวอย่าง 7 ให้ U = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3} A = {–3, –2, –1, 0}, B = {0, 1, 2, 3} และ C = {–2, –1, 0, 1, 2} จงหาคําตอบของข้อตอ่ ไปน ี 1 A B = .......................................................................................................................... 2. B C = .......................................................................................................................... 3. A C = .......................................................................................................................... 4. B C = .......................................................................................................................... 5. C = .......................................................................................................................... 6. A – B = .......................................................................................................................... 7. B – C = .......................................................................................................................... 8. A (C – B) = ................................................................................................................. = ................................................................................................................. 9. (A B) C = ................................................................................................................. = ................................................................................................................. 10. (A – B) C = ................................................................................................................. = .................................................................................................................
เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 6 ตวั อย่าง 8 กําหนดให้ A, B และ C เป็ นสบั เซตของเอกภพสมั พทั ธ์ U จงพิสูจนว์ า่ ข้อความตอ่ ไปนเี ป็ นจริง (1) A B A B .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. (2) (A B) C A (B C) .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. (3) A (B C) A (B C) .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. (4) A (B – C) = (A B) – (C – A) .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. (5) A – (A B) = A – B .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. ..............................................................................................................................................
เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน 7 การอ่านแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ ตัวอย่าง 9 กําหนด A, B และ C เป็ นสบั เซตของเอกภพสมั พทั ธ์ U จงเขียนเซตแทนส่วนทีแรเงาในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี (1) A B .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... C (2) A B .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... C (3) .......................................................................................... A B .......................................................................................... .......................................................................................... C (4) .......................................................................................... A B .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... C .......................................................................................... (5) B C .......................................................................................... A .......................................................................................... .......................................................................................... (6) B C .......................................................................................... A .......................................................................................... .......................................................................................... (7) B C .......................................................................................... A .......................................................................................... .......................................................................................... ..........................................................................................
เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน 8 7. จาํ นวนสมาชกิ ของเซตจาํ กัด (The Cardinality of Finite Set) การหาจํานวนสมาชิกทาํ ได้ 2 วธิ ี คอื 1. ใช้แผนภาพของเวนน–์ ออยเลอร์ 2. ใช้สูตดงั ตอ่ ไปนี กําหนดให้ A, B และ C เป็ นสบั เซตของเอกภพสมั พทั ธ์ U โดยที A, B และ C เป็ นเซตจาํ กดั 1. n(A – B) = n(A) – n (AB) = n(AB) – n(B) 2. n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB) 3. n(ABC) = n(A) + n(B) + n(C) – n(AB) – n(AC) – n(BC) + n(ABC) 4. n(A) = n(U ) – n(A) ตัวอย่าง 10 กาํ หนดให้ A และ B เป็ นสบั เซตของเอกภพสมั พทั ธ์ U โดยที n(A) = 8, n(B) = 5 และ n(A B) = 2 จงหา 1. n(A – B) 2. n(B – A) 3. n(A B) ตวั อย่าง 11 กําหนดให้ A , B และ C เป็ นสบั เซตของเอกภพสมั พทั ธ์ U โดยที n(A) = 43, n(B) = 45, n(C) = 43, n(A B) = 8, n(A C) = 13, n(B C) = 11 และ n(A B C) = 100 จงหา 1. n(A B C) 2. n((A B) C) 3. n((B C) A)
เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน 9 ตัวอย่าง 12 กาํ หนดให้ A , B และ C เป็ นสบั เซตของ U โดยที n(A) = 25, n(B) = 14, n(C) = 18, n(A B) = 6, n(A C) = 8, n(B C) = 10, n(A B C) = 2 จงหา n((A B) – C) ตัวอย่าง 13 จากการสมั ภาษณ์นกั เรียนชนั มธั ยมศกึ ษาปีที 6 จาํ นวน 110 คน ของโรงเรียนแหง่ หนงึ เกียวกบั กฬี าทนี กั เรียนชอบ ปรากฏผลดงั น ี ชอบฟตุ บอล 25 คน ชอบฟตุ บอลและบาสเกตบอล 6 คน ชอบบาสเกตบอล 45 คน ชอบฟตุ บอลและวอลเลยบ์ อล 10 คน ชอบวอลเลย์บอล 48 คน ชอบบาสเกตบอลและวอลเลยบ์ อล 8 คน ไมช่ อบกีฬาประเภทใดเลยในสามประเภทนี 11 คน จงหาจาํ นวนนกั เรียนทชี อบกีฬาทงั สามประเภท
เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน 10 ขอบเขตของเนือหาข้อสอบ onet ในแต่ละปี จะมีประมาณ 1 ข้อ โดยมีขอบเขตเนือหาทเี คยออกข้อสอบ ได้แก่ การให้เหตุผลนิรนัย โดยอาศยั แผนภาพ(1 ข้อทกุ ปี ) สาํ หรบั การให้เหตุผลแบบอปุ นยั อาจจะนําไปเป็ นวธิ ีเพอื การหาคาํ ตอบในเรืองลาํ ดบั อนกุ รมจํากดั การให้เหตุผล การให้เหตผุ ลทางคณิตศาสตร์ มีวธิ ีทีสําคญั อยู่ 2 วิธี คือ การให้เหตผุ ลแบบอปุ นยั และการให้เหตผุ ลแบบนริ นยั 1. การให้เหตผุ ลแบบอุปนัย การให้เหตผุ ลแบบอปุ นยั เป็ นการให้เหตผุ ล โดยยดึ ความจริงจากสว่ นยอ่ ยทพี บเห็นไปสูค่ วามจริงทีเป็ นสว่ นรวม เป็ นวธิ ีการสรุปผลจากการสงั เกต การทดลอง หรือค้นคว้าหลายๆ ครัง จากกรณียอ่ ย ๆ แล้วนาํ มาสรุปผลทวั ไป ตวั อย่างเช่น ชาวสวนมะมว่ งสงั เกตมาหลายปี พบวา่ ถ้าปีใดมหี มอกมาก ปีนนั จะได้ผลผลิตน้อย เขาจงึ สรุปว่าหมอกเป็ นสาเหตทุ ที าํ ให้ผลผลิตน้อย จากผลการทดลอง 10 ครงั ของนกั วิทยาศาสตร์คนหนงึ พบวา่ ถ้าใช้สาร A ไปผสมกบั สาร B ในอตั รา 1 : 2 จะได้สาร C จงึ สรุปว่า การนาํ สาร A ไปผสมกบั สาร B ในอตั ราสว่ น 1 : 2 จะทําให้เกดิ สาร C ตัวอย่าง 1 ให้สงั เกตจาํ นวน ในรูปที 1, 2, 3 และ 5 ตอ่ ไปน ี รูปที 5 รูปที 1 รูปที 2 รูปที 4 รูปที 3 จงใช้การให้เหตผุ ลแบบอปุ นยั หาจาํ นวน ในรูปที 10 และรูปที n จาํ นวน ข้อสงั เกต รูปที 1 2 3 4 5 ดงั นนั รูปที 10 มีจาํ นวน เทา่ กบั ……….………………………………………………………................... และ รูปที n มจี าํ นวน เทา่ กบั ………………………………………………………………...................
เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 11 ตัวอย่าง 2 ให้สงั เกตแบบรูปของผลลพั ธ์จากการยกกาํ ลงั สองตอ่ ไปนี แล้วใช้การให้เหตผุ ลแบบอปุ นยั เตมิ คําตอบสุดท้ายลงในชอ่ งวา่ ง (1) 12 = 1 112 = 121 1112 = 12321 11112 = 1234321 111112 = 123454321 1111112 = (2) 62 = 36 662 = 4356 6662 = 443556 66662 = 44435556 666662 = (3) 342 = 16 342 = 1156 3342 = 111556 33342 = 11115556 333342 = ตัวอย่าง 3 จงหาตวั เลขในหลกั หนว่ ยของ 42558 ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................
เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 12 2 การให้เหตุผลแบบนิรนัย การให้เหตผุ ลแบบนริ นยั เป็ นการให้เหตผุ ล โดยเริมจากเหตุ หรือ สมมติฐาน แล้วอาศยั ความจริงทยี อมรบั แล้วที เรียกวา่ สจั พจน์ อาศยั ทฤษฎีบททีทราบมากอ่ นแล้ว อาศยั ข้อตกลง กฎตา่ ง ๆ หรือบทนิยาม นําสงิ เหล่านมี ายืนยนั จนกระทงั ได้ผล หรือ ข้อสรุป ทีต้องการ การให้เหตผุ ลแบบนริ นยั จะต้องยอมรบั กอ่ นวา่ เหตทุ ีกาํ หนดให้ทกุ อยา่ งเป็ นจริง แล้วนาํ เหตทุ งั หมดมาวเิ คราะห์ วา่ จะได้ผลทกี าํ หนดให้เป็ นจริงหรือไม ่ ถ้าได้ผลเป็ นจริง จะเรียกการให้เหตผุ ลนวี า่ เป็ นการให้เหตผุ ลที สมเหตสุ มผล (valid) ถ้าผลทีกําหนดให้ ไมจ่ าํ เป็ นต้องเกดิ ขึนตามนนั จะกลา่ ววา่ ผลเป็ นเท็จ ในกรณนี จี ะเรียกการให้เหตผุ ลนวี า่ เป็ นการให้เหตผุ ลที ไม่สมเหตสุ มผล (invalid) การตรวจสอบการให้เหตผุ ลแบบนิรนัยโดยใช้แผนภาพของเวนน์–ออยเลอร์ การตรวจสอบวา่ ข้อสรุปโดยการวาดแผนภาพตามสมมติฐานทีเป็ นไปได้ แล้วจงึ พิจารณาวา่ แผนภาพแตล่ ะ กรณีแสดงผลสรุปตามทสี รุปไว้หรือไม่ ถ้าแผนภาพทวี าดกรณีทีเป็นไปได้ทกุ กรณีแสดงผลตามทีกาํ หนด จงึ กล่าวได้วา่ การสรุปผลสมเหตุสมผล ถ้ามีแผนภาพทไี มแ่ สดงผลตามทีสรุปไว้ การสรุปนนั ไม่สมเหตุสมผล ข้อความทใี ช้ในการอ้างเหตุผลทใี ช้กันมีอยู่ 4 แบบ ข้อความ แผนภาพ 1. สมาชิกของ A ทกุ ตวั เป็ นสมาชกิ ของ B A B A B 2. ไมม่ สี มาชิกของ A ตวั ใด เป็ นสมาชิกของ B 3. สมาชกิ บางตวั ของ A เป็ นสมาชกิ ของ B หรือ A A B B B B หรือ A 4. สมาชิกของ A บางตวั ไมเ่ ป็ นสมาชิกของ B A 5. x เป็ นสมาชกิ ของ A A 6. x ไมเ่ ป็ นสมาชิกของ A x A x
เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 13 ตัวอย่าง 4 จงวาดแผนภาพทกุ กรณแี ทนข้อความทีกําหนดให้ตอ่ ไปนี (1) นกั กีฬาทกุ คนมีสขุ ภาพด ี (2) คนทีมีสุขภาพดีบางคนมบี คุ ลิกภาพด ี (3) นกั กฬี าบางคนไมเ่ ป็ นคนทีมบี คุ ลิกภาพด ี (4) ไมม่ คี นขยนั ทํางานคนใดทีจะตกงาน (5) นาย ก เป็ นคนขยนั (6) นาย ก ไมเ่ ป็ นคนขยนั
เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน 14 ตัวอย่าง 5 ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี จงวาดแผนภาพทกุ กรณีแทนข้อความทกุ ข้อความทีกาํ หนดให้ 1. 1) นกทกุ ตวั บินได้ 2) ค้างคาวเป็ นนก 2. 1) ครูทกุ คนเป็ นใจด ี 2) ไมม่ ีคนใจดีคนใดทเี ป็ นคนไร้เหตผุ ล 3. 1) คนอ้วนทกุ คนเป็ นคนทสี ขุ ภาพไมด่ ี 2) มคี นสขุ ภาพไมด่ ีบางคนเป็ นยากจน 4. 1) อญั มณีทกุ ชนดิ มรี าคาแพง 2) พลอยทกุ ชนิดถอื วา่ เป็ นอญั มณี 3) ทบั ทมิ เป็ นพลอยชนิดหนงึ
เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน 15 ตัวอย่าง 6 ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี จงตรวจสอบความสมเหตสุ มผล 1 เหตุ 1) จํานวนคเู่ ป็ นจํานวนเตม็ 2) 25 เป็ นจาํ นวนเตม็ ผล 25 เป็ นจาํ นวนค ู่ 2 เหตุ 1) สิงมชี ีวิตทกุ ชนดิ ต้องการอาหาร 2) มนษุ ยท์ กุ คนเป็ นสงิ มีชีวิต 3) สมชายเป็ นมนษุ ย์คนหนงึ ผล สมชายต้องการอาหาร 3. เหตุ 1) เรือทกุ ลําลอยนาํ ได้ 2) ถงั นําพลาสติกทกุ ใบลอยนาํ ได้ ผล ถงั นําพลาสติกเป็ นเรือ
เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 16 4. เหตุ 1) นกั ฟตุ บอลทกุ คนเป็ นคนทมี สี ขุ ภาพด ี 2) นาย ก เป็ นคนทมี ีสขุ ภาพด ี ผล นาย ก เป็ นนกั ฟตุ บอล 5. เหตุ 1) นกั เรียนทเี รียนเป้ าหมายในชีวติ ทกุ คนเป็ นนกั เรียนทีขยนั 2) นกั เรียนทขี ยนั ทกุ คนจะประสบความสําเร็จในชีวิต 3) ไมม่ นี กั เรียนทีเกเรคนไหนทจี ะประสบความสําเร็จในชีวติ 4) นายไจแอนทเ์ ป็ นนกั เรียนเกเร ผล นายไจแอทไ์ มม่ ีเป้ าหมายในชวี ิต 6 เหตุ 1) ถ้าฝนตกหนกั แล้วนาํ จะทว่ ม 2) ถ้านําทว่ มแล้ว การจราจรจะติดหนกั 3) วนั นกี ารจราจรคล่องตวั ไมต่ ิดหนกั ผล วนั นนี าํ ไมท่ ว่ ม
เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน 17 ขอบเขตของเนือหาข้อสอบ onet ในแตล่ ะปี จะมปี ระมาณ 7 - 8 ข้อ โดยมีขอบเขตเนือหาทเี คยออกข้อสอบที ได้แก่ การระบวุ ่าจํานวนใดเป็ นจาํ นวนเต็ม จํานวนนบั จํานวนตรรกยะ หรืออตรรกยะ การตรวจสอบสมบตั เิ กียวกบั ระบบจาํ นวนจริง การเท่ากนั และการไม่เทา่ กนั ของจํานวนจริง วา่ เป็ นจริงหรือเป็ นเท็จ (ออกทกุ ปี จาก 3 ปี ลา่ สดุ ) การหาจาํ นวนทีตดิ ค่าสมั บรู ณ์ในอยใู่ นรูปอยา่ งง่าย การแก้อสมการพหนุ าม(ดกี รีสอง) และเศษสว่ นพหนุ าม สมการ และอสมการค่าสมั บูรณ์ (บางปี ต้องเข้าใจการแยกกรณ๊ของค่าสมั บรู ณ์) โจทย์ปัญหาสมการกาํ ลงั สอง โจทย์ปัญหาระบบสมการ โจทย์ปัญหาอสมการ(ออกทกุ ปี จาก 3 ปี ลา่ สดุ ) 1. เซตของจาํ นวนต่างๆ 1. เซตของจาํ นวนนับ ได้แก่ ...................................................................................................... 2. เซตของจาํ นวนเตม็ ลบ ได้แก ่ .................................................................................................. 3. เซตของจาํ นวนเตม็ ได้แก่ ..................................................................................................... 4. เซตของจาํ นวนตรรกยะ เป็ นเซตของจาํ นวนทีมสี มาชิกในรูปเศษสว่ น โดยทเี ศษเป็ นจาํ นวนเต็ม และสว่ นเป็ นจํานวนเต็มทไี มเ่ ป็ นศนู ย์ ตวั อยา่ ง ได้แก่ .................................................................... .......................................................................................................................................... 5. เซตของจาํ นวนอตรรกยะ เซตของจํานวนจริงทไี มเ่ ป็ นจาํ นวนตรรกยะ ตวั อยา่ ง ได้แก่ ........................................................................................................................ ............................................................................................................................................ 6. เซตของจาํ นวนจริง ได้แก่ เซตทเี กดิ จากการยเู นยี นกนั ของเซตจาํ นวนตรรกยะ กบั เซตของจาํ นวนอตรรกยะ ข้อทคี วรสนใจ จํานวนในรูปทศนยิ มซาํ เป็ นจาํ นวนตรรกยะ เชน่ 0.8888... 0.8 8 1.66666... = 1.7 17 16 9 9 9 0.585858... 0.5 8 58 0.3555... 0.35 35 3 32 99 90 90
เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน 18 แผนภาพแสดงความสมั พันธ์ของเซตจาํ นวนต่างๆ จํานวนจริง จํานวนตรรกยะ จาํ นวนอตรรกยะ จาํ นวนเศษสว่ น จาํ นวนเตม็ , จํานวนเตม็ ลบ ศนุ ย์ จํานวนเตม็ บวก 2. ระบบจาํ นวนจริง ระบบจํานวนซงึ ประกอบด้วยเซตของจาํ นวนจริง และการดาํ เนนิ การซงึ ประกอบไปด้วยการบวกและการคณู มี สมบตั ิดงั นี ให้ a, b และ c เป็ นจํานวนจริง สมบตั ิ การบวก การคูณ ปิ ด การสลบั ท ี a + b ab การเปลียนกล่มุ การมีเอกลกั ษณ ์ a + b = b + a ab = ba การมอี ินเวอร์ส (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) การแจกแจง มี 0 เป็ นเอกลกั ษณ์ มี 1 เป็ นเอกลกั ษณ์ โดยที a + 0 = 0 + a = a โดยที 1 a = a 1 = a อนิ เวอร์สของจาํ นวนจริง a คอื –a อินเวอร์สของจาํ นวนจริง a 0 คอื 1 โดยที a + (–a) = 0 a โดยที a 1 = 1 a = 1 a a a (b + c) = ab + ac ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................
เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 19 ตัวอย่าง 1 พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปนเี ป็ นจริง หรือ เทจ็ 1. ถ้า a และ b เป็ นจาํ นวนเตม็ ใดๆ และ b 0 แล้ว a เป็ นจาํ นวนเต็ม b ......................................................................................................................................... 2. ถ้า a และ b เป็ นจํานวนนบั ใดๆ แล้ว a – b เป็ นจํานวนนบั ......................................................................................................................................... 3. ถ้า a และ b เป็ นจาํ นวนเตม็ ลบใดๆ แล้ว a b เป็ นจาํ นวนเตม็ ลบ ......................................................................................................................................... 4. ถ้า a และ b เป็ นจํานวนเตม็ ใดๆ แล้ว a b เป็ นจํานวนเต็ม ......................................................................................................................................... 5. ถ้า a และ b เป็ นจํานวนตรรกยะใดๆทแี ตกตา่ งกนั แล้ว a + b เป็ นจาํ นวนตรรกยะ ......................................................................................................................................... 6. ถ้า a และ b เป็ นจาํ นวนอตรรกยะใดๆทแี ตกตา่ งกนั แล้ว a + b เป็ นจาํ นวนอตรรกยะ ......................................................................................................................................... 7. ถ้า a และ b เป็ นจํานวนอตรรกยะใดๆทแี ตกตา่ งกนั แล้ว ab เป็ นจาํ นวนอตรรกยะ ......................................................................................................................................... 8. ถ้า a และ b เป็ นจาํ นวนอตรรกยะใดๆทแี ตกตา่ งกนั แล้ว a เป็ นจํานวนอตรรกยะ b ......................................................................................................................................... 9. มี a และ b ทีเป็ นจํานวนอตรรกยะทแี ตกตา่ งกนั ทที าํ ให้ ab เป็ นจาํ นวนตรรกยะ ......................................................................................................................................... 10. มี a และ b เป็ นจํานวนอตรรกยะทแี ตกตา่ งกนั ทีทาํ ให้ a – b เป็ นจํานวนตรรกยะ ......................................................................................................................................... 11. มี a และ b ทีเป็ นจํานวนอตรรกยะทแี ตกตา่ ง ทที าํ ให้ a + b เป็ นจาํ นวนตรรกยะ ......................................................................................................................................... 12. มี a และ b เป็ นจาํ นวนตรรกยะ ทที ําให้ ab เป็ นจํานวนอตรรกยะ ......................................................................................................................................... 13. มีจาํ นวนเตม็ ทนี ้อยทสี ดุ ทมี ากกวา่ 0 ......................................................................................................................................... 14. มจี ํานวนตรรกยะทีน้อยทสี ดุ ทีมากกวา่ 0 .........................................................................................................................................
เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 20 15. มจี าํ นวนตรรกยะทมี ากทีสุดทนี ้อยกวา่ 0 ......................................................................................................................................... 16. เซตของจาํ นวนเต็มลบสมบตั ปิ ิ ดสําหรับการบวก ......................................................................................................................................... 17. เซตของจํานวนเตม็ บวกมสี มบตั ปิ ิ ดสําหรับการลบ ......................................................................................................................................... 18. เซตของจาํ นวนเต็มลบมีเอกลกั ษณ์สาํ หรับการคณู ......................................................................................................................................... 19. เซตของจาํ นวนอตรรกยะมเี อกลกั ษณส์ ําหรับการบวก ......................................................................................................................................... 20. เซตของจาํ นวนเตม็ มสี มบตั กิ ารมอี นิ เวอร์สสาํ หรบั การคณู ......................................................................................................................................... 3. สมการพหนุ ามดกี รีสองตวั แปรเดยี ว สมการพหนุ ามดกี รีสองตวั แปรเดียว คือสมการสมการตวั แปรเดียว ทีมีรูปทวั ไปคือ ax2 bx c 0 เมือ a, b และ c เป็ นคา่ คงตวั และ a 0 การหาคาํ ตอบของสมการกาํ ลงั สองตวั แปรเดยี ว วิธที ี 1 ใช้การแยกตวั ประกอบพหนุ าม แล้วใช้สมบตั ขิ องจาํ นวนจริง สําหรบั a, b เป็ นจํานวนจริง ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0 วิธีที 2 ใช้สูตร x b b2 4ac 2a ถ้า b2 – 4ac = 0 แล้ว คําตอบของสมการจะมเี พยี งคา่ เดียว คือ b 2a ถ้า b2 – 4ac > 0 แล้ว คาํ ตอบของสมการจะมสี องคา่ คอื b b2 4ac 2a ถ้า b2 – 4ac < 0 แล้ว ไมม่ ีจาํ นวนจริงทเี ป็ นคาํ ตอบของสมการ คาํ ตอบของสมการกาํ ลังสองตวั แปรเดียว ผลบวกของคาํ ตอบของสมการดกี รีสอง = b a ผลคณู ของคาํ ตอบบองสมการดีกรีสอง = c a
เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน 21 ความรู้พืนฐานสาํ หรับการแก้สมการดกี รีสองตวั แปรเดยี ว สูตรการแยกตวั ประกอบของพหนุ าม เมือ A และ B เป็ นพหนุ าม 1. กาํ ลังสองสมบรู ณ์ A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 (หน้า)2 + 2(หน้า)(หลงั ) + (หลงั )2 = (หน้า + หลงั )2 A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 (หน้า)2 – 2(หน้า)(หลงั ) + (หลงั )2 = (หน้า – หลงั )2 2. ผลต่างกาํ ลงั สอง A2 – B2 = (A + B)(A – B) (หน้า)2 – (หลงั )2 = (หน้า + หลงั )(หน้า – หลงั ) ตวั อย่าง 2 จงแยกตวั ประกอบของพหนุ ามตอ่ ไปนี 1. x2 – 7x + 12 = …………………………………………………… 2. x2 + x – 20 = …………………………………………………… 3. x2 – 49 = …………………………………………………… 4. x2 + 11x + 18 = …………………………………………………… 6. x2 + 4x + 4 = …………………………………………………… 7. x2 – 5x + 6 = …………………………………………………… 8. x2 – 7x +10 = …………………………………………………… 9. x2 – x – 12 = …………………………………………………… 10. 4x2 7x 2 = …………………………………………………… 11. 3x2 – 5x + 2 = …………………………………………………… 12. 6x2 x 1 = …………………………………………………… ตัวอย่าง 3 จงหาเซตคาํ ตอบของสมการพหนุ ามตอ่ ไปน ี (2) 4x2 5x - 6 0 ............................................................... (1) x2 6x 8 0 ............................................................... ............................................................. ............................................................... ............................................................. ............................................................... ............................................................. ............................................................... ............................................................. .............................................................
เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน 22 (3) 3x2 – 5x 2 0 (4) 2 x3 – 3 x2 = 2x ............................................................. ............................................................... ............................................................. ............................................................... ............................................................. ............................................................... ............................................................. ............................................................... ............................................................. ............................................................... ............................................................. ............................................................... ............................................................. ............................................................... (5) x2 3x 1 = 0 (6) 2x2 4x 1 0 ............................................................. ............................................................... ............................................................. ............................................................... ............................................................. ............................................................... ............................................................. ............................................................... ............................................................. ............................................................... ............................................................. ............................................................... ตัวอย่าง 4 จงแสดงวธิ ีทาํ เพือหาคาํ ตอบตอ่ ไปนี (1) ถ้า 4x2 – 36x + c = 0 แล้ว จงหาคา่ c ทีทําให้สมการนมี ี x = 1 เป็ นคําตอบของสมการ 2 ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ (2) ถ้าสมการ x2 ax b 0 มี x = 2 และ x = –3 เป็ นคําตอบของสมการ จงหาคา่ ของ a + b ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................
เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน 23 (3) ถ้า ax2 – 8x + 15 = 0 โดยมี x = 3 เป็ นคําตอบหนงึ ของสมการ จงหาอกี คาํ ตอบหนงึ ของสมการ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ตวั อย่าง 5 จงแสดงวธิ ีทาํ เพือหาคาํ ตอบตอ่ ไปน ี (1) จงหาคา่ k ทนี ้อยทีสุด ทีทาํ ให้สมการ x2 – 2x 5 k มีคําตอบเป็ นจาํ นวนจริง ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ (2) จงหาเซตของจํานวนจริง m ซงึ ทาํ ให้สมการ x2 mx 4 0 มรี ากเป็ นจํานวนจริง ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ (3) จงหาคา่ m จากสมการ 4x2 – mx 9 0 ซงึ ทําให้สมการมีคําตอบเพยี งคําตอบเดยี ว ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................
เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน 24 4. ช่วงและการไม่เท่ากัน ช่วง หมายถงึ สบั เซตของจาํ นวนจริง กําหนดให้ a, b และ a < b เขียนชว่ งเซตของจํานวนดงั น ี [a, b] = {x | a x b} (a, b) = {x | a < x < b} ab (a, b] = {x | a < x b} a b ab [a, b) = {x | a x < b} [a, ) = {x | x a} a (–, a] = {x | x a} ab a (a, ) = {x | x > a} a (–, a) = {x | x < a} a สมบตั ิของการไม่เท่ากัน ให้ a, b และ c เป็ นจาํ นวนจริง 1. a b หมายถงึ a < b หรือ a = b 2. a < x < b หมายถงึ a < x และ x < b 3. ถ้า a < b และ b < c แล้ว a < c 4. ถ้า a < b และ c < d แล้ว a + c < b + d 5. ถ้า 0 < a < b และ 0< c < d แล้ว ac < bd 6. ถ้า a < b แล้ว a + c < b + c 7. ถ้า a < b และ c > 0 แล้ว ac < bc ถ้า a < b และ c < 0 แล้ว ac > bc 8. ถ้า 0 < a < b แล้ว 1 1 a b ถ้า a < b < 0 แล้ว 1 1 a b Note ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................
เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 25 ตัวอย่าง 6 จงพจิ าณาวา่ ข้อใดตอ่ ไปนเี ป็นจริงหรือเป็ นเทจ็ (1) ถ้า a > 0 แล้ว a2 a ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ (2) ถ้า a < b แล้ว a2 b2 ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ (3) ถ้า a < b และ a ≠ 0 และ b ≠ 0 แล้ว 1 1 ab ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ (4) ถ้า a < b แล้ว a2 ab ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ (5) ถ้า a < b และ c < d แล้ว ac < bd ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ (6) ถ้า a < b < c แล้ว ab bc ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ (7) ถ้า a2 b2 แล้ว a ≥ b ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ (8) ถ้า a < b < c < 0 แล้ว ac bc ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ (9) ถ้า ab < cd แล้ว a < c และ b < d ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ (10) ถ้า ac < bc และ c > 0 แล้ว a2 b2 ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................
เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน 26 5. การแก้อสมการ ตวั อย่าง 7 จงหาเซตคําตอบของอสมการตอ่ ไปน ี (1) 2x – 3 ≤ 7 ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (2) 2x + 5 > 3x +1 ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (3) x2 2x 8 0 ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (4) x2 3x 4 ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (5) (2x 1)(x 1) 5 ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................
เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน 27 (6) x 3 2 2 ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (7) x 2 2 1 0 x ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (8) x 3 2 x 2 1 0 ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (9) x 1 3 x 2 2 0 ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................
เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 28 6. ค่าสัมบูรณ์ของจาํ นวนจริง บทนิยาม ให้ a เป็ นจาํ นวนจริงๆ คา่ สมั บรู ณข์ อง a จะเขยี นแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ |a| นยิ ามดงั น ี | a | aa ; a0 ; a0 เชน่ |–5| = –(–5) , |2.5| = 2.5 , | 0 | = 0 สมบตั ขิ องค่าสัมบรู ณ์ของจาํ นวนจริงบางประการ กาํ หนดให้ x, y เป็ นจํานวนจริงใดๆ 1. |xy| = |x||y| 2. x x โดยที | y | 0 y y 3. | x |2 |x 2| x 2 4. |x| = |y| กต็ อ่ เมอื x = y หรือ x = –y 5. |x| = x2 6. |x| = a จะได้วา่ x = a 7. |x| < a หมายถงึ –a < x < a 8. |x| > a หมายถงึ –a > x หรือ x > a |x| a หมายถงึ –a x a |x| a หมายถงึ –a x หรือ x a ตวั อย่าง 8 กําหนดให้ a และ b เป็ นจํานวนจริง จงพจิ าณาวา่ ข้อใดตอ่ ไปนเี ป็ นจริงหรือเป็ นเทจ็ (1) ถ้า | a | | b | แล้ว จะได้ a b ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (2) ถ้า a b แล้ว a + b < 0 ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (3) ถ้า a และ b เป็ นจาํ นวนจริงซงึ |a| ≥ |b| แล้ว a3 b3 ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (4) ถ้า a และ b เป็ นจํานวนจริงใด ๆ แล้ว |a + b| = |a| + |b| ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (5) ถ้า a และ b เป็ นจํานวนจริงใด ๆ แล้ว |a – b| ≥ |a| – |b| ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (6) กาํ หนดให้ a, b และ c เป็ นจํานวนจริงซงึ | a | b3c 0 แล้ว abc > 0 ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................
เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 29 ตวั อย่าง 9 จงหาผลลพั ท์ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี (1) | 5 3 | + 5 ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (2) |2 – 2 | + | 2 1| ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (3) | 8 5 | + | 3 2 | ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (4) | 8 2 | | 3 2 | | 1 2 | ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (12) |1 – 2 | + | 2 3 | + | 3 – 1| ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (5) 1 1 1 2 2 ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................
เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน 30 ตัวอย่าง 10 จงหาเซตคําตอบของสมการตอ่ ไปนี (1) | x2 25 | = 0 (2) |8 – 5x| = 2 ............................................................. ............................................................... ............................................................. ............................................................... ............................................................. ............................................................... ............................................................. ............................................................... ............................................................. ............................................................... (3) |2x – 5| = 4 (4) | x2 x 16 | = 4 ............................................................. ............................................................... ............................................................. ............................................................... ............................................................. ............................................................... ............................................................. ............................................................... ............................................................. ............................................................... (5) |x + 3| = 2x – 5 ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (6) 3x – 1 = |2 – x| ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (7) |x – 5| = |2x + 4| ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................
เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 31 (8) |2x + 3| = |x – 7| ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (9) | x 1 || 5 x | 5 เมือ x < 1 ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (10) | x 3 | | 2 x | 5 เมือ x > 2 ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ตวั อย่าง 11 จงหาเซตคําตอบของอสมการตอ่ ไปนี (1) | 2x 1 | 3 ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................
เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 32 (2) | 3x 5 | 10 ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ |x2| 1 (3) | x 2 | 2 ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (4) | x 1 || 5 x | 5 เมอื x < 1 ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (5) | x 3 | | 2 x | 7 เมือ x > 2 ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................
เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน 33 7. โจทย์ปัญหาสมการและอสมการ ตัวอย่าง 12 (1) ซอื ผ้ามาจาํ นวนหนงึ เป็ นเงิน 120 บาท ถ้าผ้าราคาลดลงเมตรละ 1 บาท จะซือผ้าได้เพิมอีก 6 เมตร จงหาวา่ ซือผ้ามาทงั หมดกเี มตร และราคาเมตรละเทา่ ไร ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (2) ครูคิดจะซอื ลกู บอลให้ห้องพละ เมอื คํานวณเงนิ แล้วพบว่า ถ้าซอื ฟตุ บอล 8 ลกู บาสเกตบอล 5 ลกู เป็ นเงิน 2,955 บาท ถ้าซอื ฟตุ บอล 5 ลกู บาสเกตบอล 8 ลกู เป็ นเงิน 2,817 บาท แล้วฟตุ บอลและบาสเกตบอลมีราคาแตกตา่ งกันเทา่ ใด ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (3) พอ่ ค้ามจี าํ นวนเสือและกางเกงรวมกนั มากกวา่ 12 ตวั แตไ่ มถ่ งึ 20 ตวั ราคาเสือและกางเกงรวมกนั เป็ น 3,800 บาท ถ้าเสอื ราคาตวั ละ 190 บาท สว่ นกางเกงราคาตวั ละ 380 บาทจะซือเสอื น้อยทีสดุ ได้กีตวั ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................
เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน 34 ขอบเขตของเนือหาข้อสอบ onet ในแตล่ ะปี จะมีประมาณ 4 - 5 ข้อ โดยมีขอบเขตเนือหาทีเคยออกข้อสอบได้แก่ การเปรียบเทยี บ(เรียงลาํ ดบั )จาํ นวนในรูปเลขยกกําลงั การประมาณคา่ จํานวนในรูปกรณฑ์ทสี อง การหาคา่ (จดั รูป)จํานวนในรูปกรณฑ์ทีสองให้อย่ใู นรูปอย่างง่าย การแก้สมการเลขยกกําลงั 1. ทบทวนความรู้เรืองเลขยกกาํ ลัง สมบตั ิของเลขยกกาํ ลังทมี เี ลขชกี าํ ลังเป็ นจาํ นวนตรรกยะ ถ้า a และ b เป็ นจาํ นวนจริงใด ๆ m, n เป็ นจํานวนตรรกยะ จะได้วา่ (1) am an amn .................................................................................. (2) am amn ; a 0 .................................................................................. an .................................................................................. (3) (am )n amn (4) anbn (ab)n .................................................................................. (5) an a n เมือ b 0 .................................................................................. bn b .................................................................................. .................................................................................. (6) an 1 an (7) a0 1 เมอื a 0 (8) สําหรบั 0 < a < 1 ถ้า m n จะได้วา่ am an สําหรบั a > 1 ถ้า m n จะได้วา่ am an Note ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................
เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน 35 2. รากที n ของจาํ นวนจริง นิยาม ให้ n เป็ นจาํ นวนเต็มบวกทีมากกวา่ 1 จะเรียก x วา่ เป็ นรากที n ของจํานวนจริง a ก็ตอ่ เมือ xn a หมายเหต ุ 1. ใช้สญั ลกั ษณ์ n a แทน คา่ หลกั ของรากที n ของ a นนั คือ n a n a 2. a แทนคา่ หลกั ของรากที 2 ของ a 3. ถ้า a = 0 n a 0 ถ้า a > 0 n a 0 ถ้า a < 0 และ n เป็ นจาํ นวนคี n a 0 ถ้า a < 0 และ n เป็ นจาํ นวนคู่ n a ไมเ่ ป็ นจาํ นวนจริง สมบตั ขิ องรากที n ให้ n เป็ นจาํ นวนเต็มบวกทีมากกวา่ 1 โดย a, b เป็ นจาํ นวนจริงทีหารากที n ได้ 1. n an a เมอื a ≥ 0 2. n an a เมอื n เป็ นจาํ นวนคี และ a < 0 3. n an a เมอื n เป็ นจาํ นวนคู่ และ a < 0 4. n ab n a n b 5. na n a เมือ b 0 b n b หมายเหต ุ 1. ถ้า n a หาคา่ ได้ เราอาจจะเขียน n a 1 ในรูป a n นนั คือ n 1 n 1 เป็ นคา่ หลกั รากที n ของ a na แสดงวา่ a n a n a 2. ให้ m เป็ นเศษสว่ นอยา่ งตําจะได้ n m1 a n (a n )m ( n a )m m1 a n (am )n n am 3. a b 2 ab a b a b 2 ab a b , a b
เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน 36 ตวั อย่าง 1 แตล่ ะข้อตอ่ ไปนี จงทําให้อยใู่ นรูปอยา่ งงา่ ย เมอื a, b, x, y, z {0} , n (1) 23 24 (2) 24 122 2 63 .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... (3) x5y3z7 (4) 4(2a3b4 )2(4a3)0 x2z9y (4ab2)3 .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... (6) 2n1 2n 2n1 (5) 3n2 3n1 3n .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... (7) 2n3 62n (8) 7n2 35 7n1 15n1 5n1 7n 11 .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... (9) 4 x x (10) 5 3 a a .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ......................................................................
เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน 37 ตวั อย่าง 2 จงหาคา่ ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี 3 2 2 41 (2) 5 32 43 3 3 27 3 (1) 1 (4)2 1 5 2 .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... 21 2 (3) 27 3 (12)2 (4) 2 3 6 4 324 12 6 .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... (5) (7)2 271/2 2 3 (6) ( 32 18 8 2)2 243 .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ......................................................................
เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน 38 2 (7) ( 32 18 8 2)2 (8) 12 2 3 216 2 4 9 .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... (9) 7 48 12 (10) 5 24 4 12 .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... (11) | 2 3 3 2 | | 5 2 2 | | 5 2 3 | 2 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... (12) 2 3 1 2 2 1 1 2 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................
เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน 39 ตัวอย่าง 3 จงหาคา่ ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี (1) ถ้า a 2 1 และ b 1 2 แล้ว a2 2ab b2 เทา่ กบั เทา่ ใด 2 1 1 2 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... (2) ถ้า a 3 2 แล้ว a 1 9 มีคา่ เทา่ กบั ข้อใด a 3 2 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... (3) ถ้า x 3 1 แล้ว 3 x2 1 มีคา่ เทา่ กบั เทา่ ใด x2 3 1 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................
เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 40 ตวั อย่าง 4 จงหาประมาณคา่ จํานวนในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี เป็ นทศนิยม 2 ตําแหนง่ (1) ( 2 1)2 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... (2) 1 (1 3)2 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... (3) 2 3 2 1 2 1 2 3 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... (4) 1 1 1 ... 1 2 1 3 2 4 3 100 99 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................
เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 41 ตวั อย่าง 5 จงตรวจสอบจาํ นวนในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนที ีมคี า่ มากกทสี ดุ (1) 0.4 3 , 0.4 3 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... (2) ( 0.2)(3 0.2) , 0.2 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... (3) ( 0.5)(3 1.5) , ( 1.5)(3 0.5) ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... (4) 300 64 , 200 36 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... (5) (24)30, 240 330 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... (6) (36)20 , 340 240 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................
เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน 42 ตัวอย่าง 6 จงเรียงลําดบั จํานวนในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนจี ากน้อยไปมาก (1) 2500 , 3400 , 6200 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... (2) 3600 , 4500 , 10300 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... 5 21 (3) 26 , 33 , 42 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... (4) 8 , 3 11 6 500 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................
เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 43 3. การแก้สมการทอี ย่ใู นรูปกรณฑ์ ในการแก้สมการทีมเี ครืองหมายกรณฑ์ จะอาศยั การยกกาํ ลงั ให้รากหมดไป แล้วดาํ เนินการแก้สมการหา โดยคําตอบทีได้จากกรณฑ์อนั ดบั คจู่ ะต้องนําไปตรวจคําตอบเสมอ สว่ นกรณฑ์อนั ดบั คไี มจ่ ําเป็ นต้องตรวจคาํ ตอบ ตัวอย่าง 7 จงหาเซตคาํ ตอบสมการตอ่ ไปน ี (1) x 1 2 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... (2) 3 x2 1 2 0 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... (3) x 7 x 5 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................
เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 44 4. สมการเลขยกกาํ ลัง หลกั การแก้สมการเกยี วกบั เลขยกกาํ ลงั ถ้า ax ay แล้ว x = y เมือ a 0 หรือ a 1 ถ้า ax bx และ x 0 แล้ว a = b ตวั อย่าง 8 จงหาเซตคาํ ตอบสมการตอ่ ไปน ี (1) 3(x2) 9(2x) 32 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... x2 x 1 (2) 2 1 2 12 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... (3) 2x1 2x 2x1 40 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................
เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 45 (4) 27 4 28516 x 1 64 1 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... (5) 33x1 27 9 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ตัวอย่าง 9 ถ้า x เป็ นจาํ นวนจริงทีทาํ ให้ 27 x 64 แล้ว 3x 1 2 มคี า่ เทา่ ใด 3x ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................
เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 46 ขอบเขตของเนือหาข้อสอบ onet ในแต่ละปี จะมปี ระมาณ 4 - 5 ข้อ โดยมีขอบเขตเนือหาทีเคยออกข้อสอบได้แก่ การแจกแจงสมาชิกของความสมั พนั ธ์ทกี ําหนด กราฟของความสมั พนั ธ์ ให้รระบุความสมั พนั ธ์ทีมกี ราฟทเี ป็ นบริเวณแรเงาตามทกี ําหนดให้ การระบคุ วามสมั พนั ธ์ใดเป็ นหรือไมเ่ ป็ นฟังก์ชนั การหาโดเมน เรนจ์ของความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั การหาคา่ ฟังก์ชนั บอกลกั ษณะกราฟของฟังก์ชนั จดุ ตดั แกน x จดุ ตดั แกน y (สว่ นใหญ่เป็ นกราฟค่าสมั บรู ณ์) อธิบายฟังก์ชนั กําลงั สอง เกยี วกบั กราฟพาราโบลา ค่าสงู สดุ ค่าตาํ สดุ โจทย์ปัญหาฟังก์ชนั กําลงั สองเกียวกบั การหาค่าน้อยสดุ หรือการหาค่ามากสดุ 1. ผลคณู คาทเี ซียน ให้ A และ B เป็ นเซต โดยใช้สญั ลกั ษณ์ A B แทนผลคณู คาร์ทีเซยี น นนั คือ A B = {(x, y) | x A และ y B} และ n(AB)= n(A)n(B) ตัวอย่าง 1 กําหนดให้ A = {1, 2, 3} , B = {1, 3} จงหา (1) A B = ................................................................................................................... (2) B A = ................................................................................................................... (3) B B = ................................................................................................................... (4) A A = ................................................................................................................... ................................................................................................................... ตวั อย่าง 2 กําหนดให้ A และ B เป็ นเซตจํากดั ซงึ n(AB) = 24 , n(A) = 4 และ n(A B) 7 แล้ว n(A B) เทา่ กบั เทาใด
เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน 47 2. ความสัมพันธ์ ให้ A และ B เป็ นเซต r เป็ นความสมั พนั ธ์ จากA ไป B กต็ อ่ เมือ r A B โดเมนและเรนจ์ของความสัมพนั ธ์ โดเมนของความสมั พนั ธ์ r (Dr) คือ เซตของพกิ ดั แรกของคอู่ นั ดบั ใน r เรนจข์ องความสมั พนั ธ์ r (Rr) คือ เซตของพกิ ดั หลงั ของคอู่ นั ดบั ใน r นนั คอื Dr = {x | (x, y) r} และ Rr = {y | (x, y) r} ตวั อย่าง 3 กาํ หนดให้ A = {1, 2, 3} , B = {1, 3} จงหาสมาชิกในความสมั พนั ธ์ พร้อมทงั หาโดเมนและเรนจข์ องความสมั พนั ธ์ r ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี (1) r {(a, b) A B a 1 b} (2) r {(a, b) A B a b 1} (3) r {(x, y) B A x หาร y ลงตวั }
เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน 48 ตัวอย่าง 4 กําหนดให้ A = {1, 2, 3, 4, 5} และ B = {1, 2, 3, ..., 10} r = {(a, b) AB | a b a } จงหาโดเมนและเรนจข์ องความสมั พนั ธ์ r 3. กราฟของความสมั พันธ์ กราฟของความสมั พนั ธ์ r ใดๆ มอี ยู่ 3 ลกั ษณะ คอื (1) กราฟจดุ (2) กราฟเส้นตรงหรือเส้นโค้งต่างๆ (3) กราฟพืนทบี างส่วนขอระนาบ y y y x x x r = {(x, y) | y = x2} r = {(x, y) | y = x2} r = {(x, y) | y x2} กราฟของความสมั พันธ์ทคี วรรู้ (1) y x (2) y x2 (3) x y (4) x y2 y y y y x x x x (5) y x (6) y x2 (7) x y (8) x y2 y x y y y x x x (9) y k (10) x k y y หมายเหตุ k ถ้าในความสมั พนั ธ์มีเงอื นไขเป็ น > , < , ในบางกรณีเส้นจะเขยี นแทนด้วยเส้นปะ x x k
Search
Read the Text Version
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- 120
- 121
- 122
- 123
- 124
- 125
- 126
- 127
