สรุปแก่นคณิตศาสตร์ ม.ปลาย

Math Kit Ebook ห น้ า 101 บทที่ 10 จานวนเชิงซ้อน พ้นื ฐาน คา่ i ค่าสมบูรณข์ องจานวนเชงิ ซอ้ น สมบตั ิของจานวนเชิงซอ้ น สังยคุ ของจานวนเชงิ ซ้อน อนิ เวอร์สของจานวนเชงิ ซ้อน กราฟของจานวนเชงิ ซ้อน พิกดั เชิงขั้ว รากท่ี n การแก้ปญั หาสมการดว้ ยจานวนเชงิ ซ้อน สมการบางสมการไมม่ คี าตอบเปน็ จานวนจริงจึงมีการกาหนด จานวนจนิ ตภาพขนึ้ เพอื่ ใชใ้ นการหาคาตอบของสมการท่มี คี าตอบ ไมใ่ ช่จานวนจรงิ จานวนจินตภาพ กบั จานวนจรงิ ประกอบกนั เรยี กวา่ จานวนเชงิ ซอ้ น

Math Kit Ebook ห น้ า 102 ระบบจานวนเชงิ ซอ้ น (Complex Numbers) เน่อื งจากสมการพหนุ ามจานวนมากไมม่ คี าตอบตัวอย่างเชน่ x2+1=0 ไมม่ ีจานวนจริงใด เป็นคาตอบของสมการ จึงมกี ารกาหนดจานวนชนดิ หนงึ่ ขึ้นมาเพ่อื ให้ง่ายตอ่ การใชง้ านจานวนชนิด หนึ่งซ่ึงไมใ่ ชจ่ านวนจริงเรียกว่า จานวนเชงิ ซอ้ น เพอื่ หาค่าของสมการท่ไี มม่ ีคาตอบในจานวนจรงิ สาหรับจานวนเชิงซอ้ น เมื่อ a และ b เปน็ จานวนจรงิ เรียก a วา่ สว่ นจริง (Real part) ของ z เขยี นแทนดว้ ย Re(z) เรยี ก b ว่าสว่ นจินตภาพ (Imaginary part) ของ z เขยี นแทนดว้ ย Im(z) จานวนจนิ ตภาพ Ex √√ คือ จานวนทไ่ี ม่ใชจ่ านวนจรงิ เขียนในรูป √จานวนลบ 1. √ โดยนิยมเขยี นในรปู ของตวั 2. √ จานวนจรงิ คอื จานวนเชิงซอ้ นท่มี ีหนว่ ยจินตภาพเป็น Ex √ ศูนย์ และจานวนเชงิ ซ้อนท่ีไม่มสี ว่ นจรงิ หรอื ส่วนจรงิ เปน็ ศนู ย์ เรยี กว่า 1. จานวนจนิ ตภาพแท้ (Purely imaginary number) 2. √ คา่ ของ : สามารถหาคา่ ของ ไดด้ งั นี้ Ex 8 (48 เหลือเศษ ) เม่ือ 1. 13 2. 1. ถา้ 4 เหลอื เศษ คา่ ของ 13 เหลอื เศษ 2. ถ้า 4 เหลอื เศษ ค่าของ 4 3. ถา้ 4 เหลือเศษ คา่ ของ 4. ถ้า 4 เหลือเศษ คา่ ของ i5 = i i6 = −1 i7 = −i i8 = 1 ขอ้ ควรรู้ i2 = −1 i3 =−i i4 = 1 จานวนเชงิ ซอ้ น z = (a,b) = a + bi a คือสว่ นจรงิ Re(z) b คอื สว่ นจนิ ตภาพ Im(z) แกนจินตภาพ b a แกนจริง

Math Kit Ebook ห น้ า 103 ตัวอยา่ ง เราสามารถเขียนได้วา่ 4 + 2i เราสามารถเขยี นได้วา่ 5 − i สมบตั ขิ องจานวนเชงิ ซอ้ น ให้ 1 และ 2 c d 1. 1 1 เม่อื และ 2. 1 2 i i 3. 1 2 หรอื (a+bi)(c+di) แลว้ คูณเหมอื นจานวนจริง 4. 1 5. 1 2 6. : × ; ; =: ตัวอยา่ งท่ี 1 กาหนด z1= 4 – 6i z2= -3 + 2i จงหาคา่ 3(z1 + z2) วิธที า z1 + z2 = (4 - 3) + (-6+2)i = 1 – 4i 3(z1 + z2) = 3 – 12i ตอบ 3 – 12i

Math Kit Ebook ห น้ า 104 ตัวอย่างท่ี 2 กาหนดให้ 4 + 3i =(3a+b) + (a+2b)i โดยที่ a และ b เปน็ จานวนจริง จงหาคา่ a+b วธิ ีทา จากโจทย์ 3a + b = 4 --------- (1) a + 2b = 3 --------- (2) (1) x 2 6a + 2b = 8 --------- (3) (3) – (2) 5a = 5 a=1 แทน a ลงในสมการ (2) 1 + 2b = 3 2b = 2 B=1 ดังน้ัน a+b = 2 2:5 ตวั อยา่ งท่ี 3 จงหาค่าของ 2;3 2:5 2:3 2:5 2:3 4;9 วิธที า 2;3 2:3 4:6 :1 :15 4:9 14:21 13

Math Kit Ebook ห น้ า 105 :11 ตวั อยา่ งที่ 4 กาหนดให้ x และ y เปน็ จานวนจรงิ ซึ่งสอดคล้องกับสมการ :3 = 1 – 4i จงหาค่าของ y–x วธิ ีทา y + 11i = (1 - 4i)(x+3i) = x + 3i – 4xi –12i2 ดงั นน้ั y + 11i = (x + 12) + (3 - 4x)i 11 = 3 - 4x 4x = -8 x = -2 y = (x + 12) = (-2+12) = 10 y – x = 10 – (-2) = 12 ตอบ 12 สงั ยคุ ของจานวนเชงิ ซอ้ น (Conjugate) ให้ คอนจูเกตของ คอื ̅ โดยที่ ̅ 1. ̿ 2. ̅ 2 2 3. ̅̅1̅̅̅̅̅̅2̅ ̅1 ̅2 4. (̅̅̅̅1̅̅̅̅̅)̅2̅ ̅1 ̅2 5. ̅̅̅ ̅̅̅ 6. ̅ 7. ̅ ข้อควรรู้ การหารจานวนเชงิ ซอ้ นทาไดโ้ ดยการทาใหอ้ ยใู่ นรูปของเศษสว่ นแลว้ นาสงั ยกุ ต์ของจานวนนน้ั ๆไป คณู ทงั้ เศษและส่วน

Math Kit Ebook ห น้ า 106 คา่ สมั บรู ณข์ องจานวนเชงิ ซอ้ น ถ้า ค่าสมั บูรณข์ อง คือ โดยที่ √2 2 1. ̅ √2 2 2. 2 ̅ 22 3. 1 2 12 4. 5. | | เม่อื 2 6. 1 2 1 2 7. 1 2 1 2 รากทสี่ องของจานวนเชงิ ซอ้ น ให้ และ √ 2 2 รากทีส่ องของ .√ : √ ; / เมอ่ื หรอื .√ : √ ; / เมื่อ 2 2 2 2 อนิ เวอรส์ การคณู ของจานวนเชงิ ซอ้ น ถา้ แล้ว อนิ เวอรส์ การคูณของ หรือ ;1 1 ดงั นั้น ;1 ;̅ : ตวั อย่างที่ 5 จงหาค่าของ |(5 - 4i)(5 + 12i)(-3i)| 2√ 2 วิธที า |(5 - 4i)|(5 + 12i)|(-3i)| = √ 2 2√ 2 = √ (13)(3) = 39√ ตอบ 39√

Math Kit Ebook ห น้ า 107 ตวั อย่างที่ 6 กาหนดให้ z เปน็ จานวนเชงิ ซอ้ น ซงึ่ |(7-24i)(3+4i)z6| = 1 แลว้ z มคี า่ เทา่ ใด (Ent 42) วธิ ที า |(7 - 24i)||(3 + 4i)||z6| = 1 √ 2 2√ 2 2|z6| = 1 (25)(5)|z6| = 1 |z6| 1 = 125 z = |z2| |z2| 1 =5 1 ตอบ 5 กราฟของจานวนเชงิ ซอ้ น สาหรับจานวนเชงิ ซอ้ น ใช้จุดในระนาบเปน็ ตัวแทนของจานวนเชิงซอ้ น ซงึ่ ระนาบดงั กล่าวประกอบดว้ ย แกนจรงิ (X)และแกนจนิ ตภาพ(Y) ถ้า จะมีความหมายดงั นี้ เรียก วา่ อารก์ วิ เมนต์ของ จากรปู จะพบวา่ a cc แล้ว c เรยี กรูปแบบน้วี า่ จานวนเชงิ ซอ้ นในรปู ของพกิ ดั เชงิ ขว้ั (Polar Co-Ordinate System)  สามารถเขียน a b r c เป็น a b r c

Math Kit Ebook ห น้ า 108 การดาเนนิ การของจานวนเชงิ ซอ้ นในรปู ของพกิ ดั เชงิ ขวั้ z1=r1cis 1 z2=r2cis 2 z1 × z2 = r1 × r2 cis ( 1+ 2) z1 ÷ z2 = r1 ÷ r2 cis ( 1- 2) z1n = (r1)n cis ( 1) z̅1 = r1cis - 1 ทฤษฎบี ทของเดอมวั ร์ ถา้ c c ตัวอย่างที่ 7 จงหาคา่ ของ [3(cos35 +i sin35 )][5(cos55 +I sin55 )] วธิ ที า [3cis35 ][5cis55 ] = [3×5 cis (35 +45 ) = 15 cis (90 ) = 15(cos90 + i sin 90 ) = 15 (0 + 1i) = 15i ตอบ 15i การแกส้ มการทม่ี ผี ลลพั ธเ์ ปน็ จานวนเชงิ ซอ้ น 1. ถา้ สมการอยใู่ นรปู ; √ ;4 จดั รปู แลว้ ใช้ เทียบสูตร 2 2. ถา้ สมการอยใู่ นรปู เม่ือ ใช้สูตร ; √ ;4 2 3. ถา้ สมการมเี ลขชกี้ าลงั สงู สดุ เกนิ 2 ขนึ้ ไป ใหใ้ ช้วธิ ีแยกตวั ประกอบโดยอาจใช้วิธเี ศษเหลอื ทาให้อยใู่ นรูปแบบทีส่ องแล้วใชส้ ูตร

Math Kit Ebook ห น้ า 109 รากที่ n ของจานวนเชงิ ซอ้ น ถา้ แล้ว รากที่ ของ จะมที ั้งหมด รากท่ีแตกตา่ งกัน คอื √[ ( )] เมอื่ ข้อควรรู้เกีย่ วกบั สมการพหุนาม axn + bxn-1 +cxn-2 + … + s = 0 ผลบวกของคาตอบทัง้ หมดคือ – ผลคูณคาตอบทั้งหมดคือ (-1)n ตัวอย่างท่ี 8 จงหารากท่ี 2 ของ z เมือ่ z = 3 + 4i วิธที า หา |z| = √ 2 2 =5 รากท่ี 2 ของ z คือ .√ √/ .√ √ / = (2 + i)

Math Kit Ebook ห น้ า 110 บทท่ี 11 ความน่าจะเป็น กฎการนับ หลัการบวก ใชเ้ ม่ืองานยังไมเ่ สรจ็ หลักการคณู ใช้เมือ่ งานเสร็จ รูปแบบวิธกี ารนบั ยอดนิยม ของต่าง ของเหมือน ของซ้า ABCDE AAAAA ตัวอย่าง n! 1 วธิ ี MMCAI การเรียงสบั เปลี่ยน 5! = 120 วธิ ี (สนใจตาแหน่งทไ่ี ด้) n! หารด้วยของท่ี ซา้ 5 2 การเลอื ก ใช้ nCr 1 วิธี ใช้กฎการนับ ใช้กฎการนบั (ไมส่ นใจตาแหนง่ ที่ได)้ การแบง่ จานวนของ ใชก้ ฎ Star and ทง้ั หมดหาร Bar ดว้ ยกลุ่มที่แบ่ง ความน่าจะเปน็ ความนา่ จะเปน็ เคร่ืองมอื ในการชว่ ยตัดสินใจและบอกถงึ ความ เป็นไปไดข้ องสิง่ ต่างๆ เปน็ อีกวิชาหน่ึงท่ีมคี วามสาคัญทงั้ ทางด้าน ธุรกิจ ด้านสถติ ิ ด้านวศิ วกรรมศาสตร์

Math Kit Ebook ห น้ า 111 กฎเกณฑเ์ บอ้ื งตน้ เกย่ี วกบั การนบั ปัญหาเกยี่ วกับการนบั เป็นปัญหาหนึ่งทม่ี ักจะพบอยู่เสมอ หลักการนับมี 2 ประการ ดังน้ี 1.หลักการบวก ใชเ้ มอื่ การทางานนน้ั ยังไม่เสรจ็ เช่นใช้ในรวมกนั ของกรณตี ่างๆ 2.หลักการคณู ใช้เมอื่ การทางานนัน้ เสรจ็ สมบูรณ์แล้ว หลกั การบวก ถา้ การทางานหนึง่ มวี ิธีการทา k วธิ ี คอื วิธีท่ี 1 ถงึ วธิ ีที่ k โดยที่ การทางานวิธีท่ี 1 มีวธิ ีทา 1 วิธี การทางานวิธีที่ 2 มีวธิ ีทา 2 วธิ ี การทางานวิธีท่ี k มวี ธิ ที า วิธี และวิธีการทางานแต่ละวิธีแตกต่างกัน แลว้ จานวนวธิ ที างานน้ีเทา่ กบั 1+ 2+...+ วิธี ตวั อย่าง มีชุดทางาน 2 ชุด มีถุงเท้า 3 แบบ จะเลือกวธิ ีการแต่งตัวโดยไมซ่ ้ากันเลย วธิ ีทา ชดุ ทางานแบบที่ 1 สามารถใชถ้ ึงเท้าได้ 3 แบบ 3 วิธี ชดุ ทางานแบบที่ 2 สามารถใช้ถงึ เทา้ ได้ 3 แบบ 3 วธิ ี ดงั นัน้ วิธีการแต่งตวั โดยไมซ่ า้ กนั เลยมีทั้งหมด 3 + 3 = 6 วิธี

Math Kit Ebook ห น้ า 112 ตวั อย่าง นกั เรยี น 3 คน ต้องการเข้าและออกหอ้ งๆหน่งึ ซงึ่ มีประตู 3 บาน โดยนักเรยี นคนท่ี 1 เข้าและออกโดยใช้ประตูบานเดยี วกัน นักเรียนคนที่ 2 เขา้ และออกโดยไม่ใช้ประตบู านเดมิ และ นกั เรยี นคนท่ี 3 เข้าและออกประตบู านใดก็ได้ จงหาจานวนวิธที ่ีนักเรียนทั้งสามคนเข้าและออก ห้องน้ี วธิ ที า นักเรยี นคนที่ 1 มวี ิธีเข้าและออกได้ 3 วธิ ี นกั เรียนคนที่ 2 มวี ิธเี ขา้ และออกได้ 6 วธิ ี นักเรยี นคนที่ 3 มีวิธเี ข้าและออกได้ 9 วิธี ดงั นนั้ วธิ ีทีน่ กั เรยี นทง้ั สามคนเขา้ และออกห้องนี้มที ัง้ หมด 3+6+9=18 หลกั การคณู ถา้ การทางานอยา่ งหนึง่ ประกอบดว้ ยการทางาน k ขั้นตอน คือ ขนั้ ตอนท่ี 1 ถึงขน้ั ตอนท่ี k ตามลาดบั โดยท่ี การทางานขั้นตอนท่ี 1 มีวิธที า 1 วิธี การทางานข้นั ตอนท่ี 2 มีวธิ ที า 2 วิธี การทางานขั้นตอนท่ี k มวี ธิ ีทา วิธี และวิธกี ารทางานแตล่ ะวธิ ีแตกต่างกัน แล้วจานวนวิธีทางานน้เี ทา่ กบั 1 2... วธิ ี ตัวอย่าง 1 บรษิ ัทผลิตเส้ือผ้าสาเร็จรูปแห่งหนึ่งผลติ เส้อื 6 แบบ กางเกง 5 แบบ และเนคไท 4 แบบ ถ้าจะจดั แตง่ ตวั ให้กับหนุ่ เพ่ือนาไปโชว์หน้าร้าน จะสามารถแต่งเป็นชดุ ต่างๆกันได้ก่ชี ดุ วธิ ที า ในการแต่งตวั ใหก้ ับหนุ่ มี 3 ข้นั ตอน คอื ข้นั ตอนท่ี 1 เลือกเสอ้ื ได้ 6 วิธี ข้ันตอนที่ 2 เลือกกางเกงได้ 5 วิธี ขัน้ ตอนที่ 3 เลือกเนคไทได้ 4 วิธี ดังน้ัน วธิ แี ต่งตัวให้กบั หุน่ ทาไดท้ ง้ั หมด 6 x 5 x 4 = 120

Math Kit Ebook ห น้ า 113 ตัวอยา่ ง 2 ในคณะกรรมการนักเรียนจานวน 10 คน จะมวี ธิ ีเลือกประธาน รองประธานและ เลขานกุ าร ไดก้ ว่ี ธิ ี ถ้าคณะกรรมการคนหน่ึงไม่สมัครจะเป็นประธาน (Ent มนี าคม 48) วธิ ที า 1.ในตาแหน่งประธาน มีโอกาสเกิดไดท้ ้ังหมด 9 วิธี (เน่ืองจากมีคณะกรรมการคนหนึ่งไม่ สมคั รจะเป็นประธาน) 2.ในตาแหน่งรองประธาน มโี อกาสเกิดได้ 9 วธิ ี (10คน ไปอยู่ประธานแลว้ 1 คน) 3.ในตาแหน่งเลขานุการ มีโอกาสเกดิ ได้ 8 วิธี ดงั นัน้ วิธเี ลือกประธาน รองประธานและเลขานุการได้ทั้งหมด 9 x 9 x 8 = 684 วธิ ี

Math Kit Ebook ห น้ า 114 ตวั อย่างท่ี 3 ในการสร้างรหัส (Code) กาหนดใหใ้ ช้อักขระ 3 ตัวทไ่ี ม่ซ้ากัน โดยตั้งมีตวั อกั ษร ภาษาอังกฤษ (A-F อยา่ งน้อย 1 ตวั และมีตัวเลข 0 – 9) อย่างน้อยหนงึ่ ตัวจานวนหารทีส่ ร้างได้ โดยไม่ซ้าแบบเทา่ กับขอ้ ใดต่อไปน้ี (B-PAT ตุลาคม 51) ก.1,260 ข.2,520 ค.5,040 ง.3,780 วิธีทา ใหแ้ ยกกรณี จากโจทยเ์ ราสามารถได้ทั้งหมด 5 กรณี กรณี 1 มีอักษร 1 ตัว เกดิ ได้ 6 วิธี กรณี 2 มีอกั ษร 2 ตวั สองตาแหน่งตาแหนง่ มีตัวเลข 2 ตัว สองตาแหน่งตาแหน่ง หน่งึ สามารถเกิดได้ 6 วิธี หนงึ่ สามารถเกิดได้ 10 วธิ ี มตี วั เลข 1 ตัว เกดิ ได้ 10 วิธี 6 x 10 x 10 6 x 6 x 10 ตวั อักษร ตวั เลข ตวั เลข ตัวอักษร ตัวอักษร ตวั เลข ดังนัน้ กรณีที่ 1 มีโอกาสเกิด 600 วธิ ี ดังน้นั กรณที ่ี 2 มีโอกาสเกดิ 360 วิธี กรณี 3 มีอักษร 1 ตวั เกิดได้ 6 วิธี กรณี 4มีอักษร 2 ตวั สองตาแหน่งตาแหน่งหน่งึ มตี ัวเลข 2 ตวั สองตาแหน่งตาแหนง่ สามารถเกดิ ได้ 6 วิธี หนึ่งสามารถเกดิ ได้ 10 วธิ ี มีตัวเลข 1 ตัว เกดิ ได้ 10 วิธี 10 x 6 x 10 10 x 6 x 6 ตัวเลข ตวั อักษร ตัวเลข ตวั เลข ตวั อักษร ตัวอักษร ดงั นั้น กรณีท่ี 1 มโี อกาสเกิด 600 วิธี ดังนั้น กรณีท่ี 2 มโี อกาสเกิด 360 วิธี กรณี 5 มีอกั ษร 1 ตัว เกิดได้ 6 กรณี มีตัวเลข 2 ตัว สองตาแหนง่ ตาแหน่งหนึง่ สามารถเกดิ ได้ 10 วธิ ี 10 x 10 x 6 ตัวเลข ตัวเลข ตัวอักษร ดังนั้น กรณีท่ี 1 มีโอกาสเกดิ 600 วธิ ี ดงั นัน้ เราสามารถสร้างรหัสได้ทัง้ หมด 600+600+600+360+360 = 2,520 วิธี ตอบข้อ ข.

Math Kit Ebook ห น้ า 115 แฟคทอเรยี ล คือจานวนเต็มบวก n ใดๆ แฟคทอเรียล n เขียนแทนดว้ ย n! หมายถงึ ผลคูณจานวนเต็ม บวกตั้งแต่ 1 ถึง n n! = n(n-1)(n-2)…(3)(2)(1) ข้อควรระวัง 0! = 1 1! = 1 ขอ้ ควรรู้ 4! = 24 5! = 120 6! = 720 7! = 5,040 รปู แบบวิธีการนบั ตัวอย่าง ของตา่ ง ของเหมือน ของซ้า การเรียงสับเปล่ียน ABCDE AAAAA (สนใจตาแหน่งทไี่ ด้) n! 1 วธิ ี MMCAI 5! = 120 วิธี n! หารดว้ ยของทีซ่ า้ 5 2 การเลอื ก ใช้ nCr 1 วิธี ใชก้ ฎการนบั ใชก้ ฎ Star and Bar ใชก้ ฎการนับ (ไมส่ นใจตาแหนง่ ที่ได้) การแบง่ จานวนของทง้ั หมด หารดว้ ยกล่มุ ทแี่ บ่ง วธิ เี รยี งสบั เปลยี่ น (Permutation) เปน็ การจัดเรียงส่งิ ของโดยคานงึ ถึงตาแหน่งของสิ่งของแตล่ ะสงิ่ เปน็ สาคญั นิยาม ถ้า n เป็นจานวนเต็มบวก แฟกทอเรียล n คือ ผลคุณของจานวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 ถงึ n และเขียนแทนด้วย n! เชน่ 5x4x3x2x1 = 5! เป็นตน้ วธิ เี รยี งสบั เปลยี่ นเชงิ เสน้ เปน็ การจดั เรียงส่งิ ของในแนวเส้นตรง แบง่ ออกได้ 2 แบบ ดังน้ี 1.กฎการนบั เหมาะสาหรับทาโจทยใ์ นระดับสูง โจทย์ทีม่ กี ารประยกุ ต์ ไมส่ ามารถคดิ ดว้ ยสตู ร 2.ใช้สตู รสาหรับการเรียงสับเปลย่ี น เหมาะสาหรับโจทยท์ ีไ่ ม่มีการประยุกต์ 1.เรียงของแตกตา่ งกนั หมด Ex มีนกั เรียน 10 คน นามาเรียงเปน็ แถวเพียง 7 คน มขี อง n ชน้ิ นามาเรียงเป็นจานวน r ช้ิน 11 nPr = Pn,r = ; Pn,r = 1 ;7 = 3 = 60480 วิธี

Math Kit Ebook ห น้ า 116 2.เรียงของซา้ Ex หนงั สอื สังคมเหมอื นกนั 3 เลม่ หนงั สือ มีของ n ชน้ิ นามาเรยี งเป็นเสน้ ตรง โดยมขี องซา้ กลมุ่ n1 n2 n3 … nk คณิตศาสตรเ์ หมอื นกนั 2 เลม่ นามาเรยี งบนชนั้ nPr = Pn,r = 5 Pn,r = 3 2 = 10 วิธี ตวั อยา่ งท่ี 1 ชาย 4 คน หญงิ 2 คน เขา้ แถวตรงโดยทไ่ี ม่มีผูห้ ญิงยืนตดิ กนั เลย จะไดท้ ้งั หมดก่ีวธิ ี วิเคราะห์ ผู้ชายสามารถสลบั กนั เองได้ 4! วิธี 4321 จับผู้หญิงแทรกระหว่างผู้ชายเพ่อื ไม่ให้ผู้หญงิ ยนื ติดกัน ได้ ผูห้ ญิงคนแรก ยนื ได้ 5 ตาแหน่งผหู้ ญิง คนท่สี อง ยืนได้ 4 ตาแหน่ง ดงั นั้น 24 x (5x4) = 480 วธิ ี ตัวอย่างที่ 2 จงหาจานวนวิธีทจี่ ะแจกหนงั สือเลขซึง่ เหมือนกัน 2 เล่ม หนังสอื อังกฤษทเ่ี หมือนกัน 3 เล่ม และหนังสอื วทิ ยาศาสตรท์ ต่ี า่ งกัน 2 เลม่ ใหน้ ักเรยี นคนละเล่มจะแจกได้กว่ี ธิ ี วธิ ีทา หนังสอื มีทัง้ หมด 7 เล่ม เรียงสับเปลี่ยนได้ 7! แตเ่ น่ืองจากมหี นงั สือเลขเหมอื นกัน 2 เลม่ และหนงั สือภาษาอังกฤษเหมอื น 3 เล่ม ถ้าหนังสือภายในสองกองน้ี สลับกันเองทาให้เกดิ เหตกุ ารณซ์ า้ ดังนน้ั เราต้องหารดว้ ย 2! และ 3! ดงั น้ัน ตอบ 420 วิธี

Math Kit Ebook ห น้ า 117 ตวั อย่างที่ 3 จงหาจานวนวธิ ีเดินทางจาก A ไป D ท่ี ผา่ นจดุ C โดยทางทิศเหนือและตะวันออก เทา่ นั้น วิธีทา ให้ใช้วธิ ีคิดแบบของซา้ จากโจทย์ เราตอ้ งแบ่งเปน็ 2 ช่วง คือ ช่วง A ไป C และ C ไป D ช่วง A ไป C ตอ้ งขึ้นทางทศิ เหนือ 2 คร้ัง ตอ้ งไปทางตะวันออก 4 คร้งั รวมต้องเดินทัง้ หมด 6 ครั้ง ช่วง C ไป D ตอ้ งขึ้นทางทิศเหนือ 2 ครั้ง ตอ้ งไปทางตะวันออก 2 คร้งั รวมต้องเดินทง้ั หมด 4 คร้ัง 64 24 x22 ดงั นน้ั ตอบ 90 วิธี เสริมความรู้ ถ้าโจทย์กาหนดว่า A ไป D ตอ้ งไมผ่ ่านจดุ C เรานากรณที ้งั หมด ไปหกั ดว้ ย กรณีที่ผ่านจุด C กรณที ้ังหมด คือ เคลอ่ื นท่ที ้ังหมด 10 คร้ัง ทางเหนือ 4 ครัง้ ทางตะวันออก 6 1 ครงั้ ดงั น้นั ได้ 4 6 – 90 ตอบ 120 วิธี

Math Kit Ebook ห น้ า 118 ตวั อย่างที่ 4 จากรูปจงพิจารณาว่ามรี ูปสเี่ หลยี่ มมมุ ฉากท้งั หมดกร่ี ปู วิธที า พจิ ารณาว่ารปู ส่เี หลีย่ มมุมฉาก 1 รปู เกิดจากเสน้ แนวต้งั 2 เสน้ และเส้นแนวนอน 2 เส้น จึงเกิดเปน็ รูปส่ีเหลี่ยมมมุ ฉาก เลอื กเส้นแนวต้ัง 5C2 = 10 เลอื กเสน้ แนวนอน 4C2 = 6 ดงั น้ัน สี่เหลยี่ มมุมฉากเกดิ จากเส้นแนวตั้งและแนวนอนคือ 10 x 6 = 60 รูป

Math Kit Ebook ห น้ า 119 วธิ จี ดั หมู่ (Combination) เปน็ การเลอื กสิง่ ของออกมาเปน็ หม่หู รือชุด โดยไมค่ านงึ ว่าจะได้สงิ่ ของใดออกมาก่อนหรือ หลงั เช่น มีตัวอักษร 3 ตัว คอื a , b และ c ถ้าตอ้ งการเลือกตัวอักษร 2 ตวั จากตวั อกั ษร 3 ตวั นี้ โดยไมค่ านงึ ถงึ ลาดบั ก่อนหลังของการเลือก จะเลอื กได้ 3 วิธี คอื ab , bc และ ca โดยท่ัวไปจานวนวิธจี ัดหมู่ของสง่ิ ของ n สิ่ง โดยเลือกคราวละ r ส่งิ (0 r n) เท่ากับจานวนสับ เซตทม่ี ีสมาชิก r ตวั ของเซตทม่ี สี มาชิก n ให้ nCr หรอื หรือ ( ) แทนจานวนวิธจี ดั หมขู่ องสง่ิ ของ n สงิ่ โดยเลือกคราวละ r สิ่ง ในแตล่ ะ วิธีจดั หมขู่ องส่ิงของ r สิ่ง เมอื่ นามาจัดเรียงในแนวเส้นตรง จะไดว้ ธิ ีเรยี งสบั เปลี่ยน r! วิธี ดงั นนั้ จานวนวธิ ีการเรียงสบั เปลี่ยนของสง่ิ ของทีละ r สิ่ง จากสิ่งของ n สิง่ ทแ่ี ตกต่างกนั เท่ากบั r! x = ดังนนั้ = = ; สรูปไดว้ ่า จานวนวิธีจัดหมู่ของส่งิ ของท่แี ตกต่างกัน n ส่ิง โดยเลือกคราวละ r สงิ่ (0 r n) เท่ากับ ; เนอ่ื งจาก =; =; = (; ; ) ; =; ดงั น้ัน จะไดว้ ่า = ; หรือ ( )=( ;)

Math Kit Ebook ห น้ า 120 ตัวอย่างที่ 5 รปู 12 เหลย่ี มมีเสน้ ทแยงมมุ ทั้งหมดกี่เสน้ วิธีทา เน่อื งจาก 12 เหลย่ี ม มเี ส้นรอบรูปท้งั หมด 12 เส้น เราสามารถหาเส้นทแยงมุมจากการเลือกได้ มี 12 จดุ เลือกมา 2 จุด เพอ่ื สร้างเส้นทแยงมุมจะได้ 12C2 แล้วหกั ดว้ ยจานวนเส้นรอบรูป เนื่องจากการเลอื กจดุ 2 จุดเหลา่ น้ัน เปน็ การนบั รวมเสน้ รอบรปู เขา้ ไปดว้ ย ดังน้ัน เราต้องหกั ออกไป 12 เสน้ 12C2 – 12 = 54 ดงั นั้น ข้อน้ีมีเส้นทแยงมมุ ทัง้ หมด 54 เสน้ ตวั อย่างท่ี 4 รูป 12 เหลี่ยมจะมเี ส้นทแยงมมุ ทั้งหมดก่เี ส้น วิธีทา เสน้ ทแยงมุมเกดิ จากการเลือกจุด 2 จดุ จากทงั้ หมด 12 จุด มาลากเส้นตอ่ กนั แต่เม่ือเลอื ก จดุ 2 จุด จากทง้ั หมด 12 จดุ มาลากเสน้ ตอ่ กนั จะไดเ้ ส้นรอบรูปมาเพิ่มดว้ ยดงั น้นั เราตอ้ งลบเสน้ รอบรูปออกจะได้ว่า 12C2 – 12(จานวนเส้นรอบรูป) = 12 11 – 12 2 = 66 -12 = 54 ตอบ รปู สิบสองเหลี่ยมจะมเี สน้ รอบรปู ทง้ั หมด 54 เส้น

Math Kit Ebook ห น้ า 121 ตัวอยา่ งที่ 6 กาหนดจดุ 6 จุดบนวงกลมวงหนึ่ง จานวนวธิ ที จ่ี ะสร้างรูปเหล่ียมบรรจุในวงกลมใน วงกลมโดยใช้จดุ เหล่านน้ั เปน็ จุดยอดมุมเทา่ กบั ข้อใดต่อไปนี้ (Ent) 1.20 2.35 3.42 4.65 วิธีทา รปู เหล่ียมทสี่ ามารถเกิดข้นึ ไดจ้ ากจุด 6 จดุ 3 เหลี่ยม 6C3 = 20 4 เหลี่ยม 6C4 = 15 5 เหล่ียม 6C5 = 6 6 เหล่ียม 6C6 = 1 20 + 15 + 6 + 1 = 42 ตอบ ข้อ 3 42 รูป ตัวอยา่ งท่ี 7 มคี นงานหญิง 6 คนและคนงานชาย 8 คนซึ่งมนี ายดารวมอย่ดู ว้ ย ถ้าจะเลอื กคนงาน 4 คนไปทางานทตี่ า่ งกัน 4 ประเภทโดยให้เปน็ หญงิ 2 คน ชาย 2 คน และใหน้ ายดาอยู่ใน 4 คนน้ี ดว้ ย จานวนวิธกี ารเลอื กคนงานดงั กล่าวเท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ (Ent 46 มนี าคม) 1.1,920 วิธี 2.2,400 วิธี 3.2,520 วธิ ี 4.2,880 วิธี วิธีทา เลือกผ้หู ญิง 6C2 วิธี เลอื กผู้ชาย 7C1 วิธี เลอื กนายดาได้ 1 วิธี สลับงานได้ 4! วธิ ี 6C2 x 7C1 x 1 x 4! ตอบ ข้อ 3 2,520 วิธี

Math Kit Ebook ห น้ า 122 ตัวอยา่ งท่ี 8 คณุ ครูสุวรยี ์ ครปู ระจาช้ันห้อง ม.6/4 นาของรางวัลทงั้ หมด 3 ช้ิน ในช่วงกจิ กรรมวัน เด็ก แตใ่ นห้องมนี ักเรียนอยเู่ พยี ง 10 เนอ่ื งจาก เดก็ ส่วนใหญ่ตอ้ งไปสอบตรง ในจานวนนักเรียนที่ อยู่ มีนายสมเกยี รติ และ นางสาวทัศนก์ มล อยูด่ ว้ ย จงหาจานวนวธิ ที ่ี นายสมเกยี รติ และ นางสาวทศั นก์ มล รบั รางวัลไม่พรอ้ มกัน 1. 720 2. 640 3.102 4.112 วธิ ีทา หากรณีท่วั ไป – กรณรี บั รางวัลพรอ้ มกนั กรณที ่ัวไป 10C3 มี 10 คนเลอื กมา 3 คน กรณีรบั รางวัลพร้อมกัน 1 x 1 x 8 นายสมเกียรติ นางสาวทศั นก์ มล นกั เรียนที่เหลือ 120 – 8 = 112 ตอบข้อ 4 112 วิธี

Math Kit Ebook ห น้ า 123 การแบ่งกลุ่ม การแบง่ กลมุ่ ของแตกตา่ งกนั โดยแบ่งแล้วยังไมแ่ จก ใช้ วิธคี าแบบเดยี วกับของซา้ ๆ Ex มีปากกาทแี่ ตกตา่ งกนั ท้ังหมด 10 ดา้ น แบ่งเป็นกองละ 3 ด้าน 2 กอง กองละ 2 ด้าน 2 กอง 1 วิธีทา 3 3 2 2 มปี ากกา 10 ด้านเรียงสบั เปลีย่ นได้ 10! แบง่ เปน็ กอง กองแรก 3 ด้าน กองสอง 3 ด้าม กองสาม 2 ด้าน กองสี่ 2 ด้าม การแบ่งกลมุ่ ของเหมอื นกัน ใช้หลกั การ Stars and bars  แบง่ ของ n สงิ่ เหมอื นกัน ให้ r คน โดยทุกคนจะต้องได้รบั n-1Cr-1  แบง่ ของ n สง่ิ เหมือนกัน ให้ r คน โดยไม่จาเปน็ ทที่ กุ คนจะต้องไดร้ บั n-1+rCr-1 ซึ่งสามารถหารายละเอียดเพม่ิ เตมิ ไดจ้ าก http://en.wikipedia.org/wiki/Stars_and_bars_(combinatorics) http://jhyun95.hubpages.com/hub/Stars-and-Bars-Combinatorics

Math Kit Ebook ห น้ า 124 วธิ เี รยี งสบั เปลย่ี นเชงิ วงกลม พิจารณาการจัดเรยี งตัวอักษร 3 ตัว คอื A ,B และ C เปน็ แถวตรงจะมีวิธีจดั เรียงได้ 3! = 6 วธิ ี คือ ABC BCA CAB ACB BAC CBA วิธีการจัดเรยี งตัวอักษร ABC , BCA และ CAB เปน็ การจดั เรียงแถวตรงท่แี ตกต่างกนั แต่ถา้ นาแต่ ละวธิ ีมาจัดเปน็ วงกลม จะได้ A BC B CA C AB A→B→C B → C→A C→A→B จะเห็นว่า การจัดเรยี งทงั้ สามแบบ ถอื วา่ เป็นการจัดเรียงเป็นวงกลมเพียง 1 วธิ ี เทา่ นั้น ในทานองเดียวกัน วธิ ีการจดั เรยี งตวั อกั ษร ACB BAC และ CBA เป็นการจัดเรียงเปน็ วงกลม เพียง 1 วธิ ี ดงั นน้ั การจดั เรยี งตัวอกั ษร 3 ตวั เป็นวงกลม จะจดั ได้ 2 วิธี คือ AA B CC B แนวคดิ ในการหาจานวนวิธเี รียงสับเปล่ียนเชงิ วงกลมของส่ิงของทแ่ี ตกตา่ งกัน n สิง่ อาจจะเรม่ิ โดย ให้ส่ิงของส่ิงหนึง่ อย่คู งท่ี ณ ตาแหน่งใดตาแหนง่ หนึ่ง แลว้ จดั เรียงสับเปลี่ยนส่ิงของทเี่ หลืออยู่ n-1 สิ่ง จะได้ จานวนวธิ ีเรียงสับเปล่ียนเทา่ กับ (n-1)(n-2)(n-3)... 3x2x1 = (n-1)!

Math Kit Ebook ห น้ า 125 สรปู ไดว้ ่า จานวนวิธเี รียงสับเปลยี่ นเชงิ วงกลมของส่ิงของทีแ่ ตกตา่ งกัน n สงิ่ ให้ปักหมดุ เพ่ือไมใ่ ห้ วงกลมหมนุ ได้ (n-1)! วิธี ขอ้ ควรระวัง สาหรับโจทย์พ้นื ฐาน หากเป็นโจทย์ประยุกต์ให้ปักหมุดแล้วจานวนทเ่ี หลอื ! ตวั อยา่ งที่ 9 ต้องการจดั ชาย 8 คนหญิง 2 คน น่ังรับประทานอาหารโตะ๊ จนี รอบโต๊ะกลม จงหา จานวนวิธที ่ีหญงิ ท้ัง 2 คนนัน้ ต้องน่งั ติดกันเสมอ วธิ ที า  มดั ผู้หญงิ (เพ่ือใหไ้ ดว้ ่าผูห้ ญิงตอ้ ง ติดกัน) ผูห้ ญงิ สลบั กันเองได้ 2! วิธี  มัดผู้หญิงสองคนแล้วมองเป็นกอ้ น เดียวกนั แล้วจับปกั หมุด (การปัก หมดุ เพ่อื ไมใ่ ห้วงกลมหมนุ ปกติ เรามกั จะปักหมดุ กอ้ นที่มีปัญหา กอ่ นแล้วคอ่ ยทา)  ผ้ชู ายยืนสลับกันเองได้ 8! ดงั น้นั จานวนวธิ ีท่ีผหู้ ญิง 2 คนนงั่ ตดิ กันคือ 8!2!

Math Kit Ebook ห น้ า 126 ความนา่ จะเปน็ ( Probability ) คอื จานวนที่บ่งบอกวา่ เหตกุ ารณท์ ี่เราสนใจนน้ั มีโอกาสเกดิ ขนึ้ มากน้อย ขนาดไหน ตวั อย่างเชน่ โยนเหรียญบาท 1 เหรียญ 2 คร้ัง 1เหรียญมโี อกาสเกิดทั้งหัว และกอ้ ย ครง้ั แรกอาจจะเปน็ หัวหรือก้อยกไ็ ด้ คร้งั ที่สองก็เชน่ กัน เปน็ ต้น การทดลองสมุ่ (Random Experiment) การทดลองสมุ่ คือ การกระทาหรือการทดลองทไ่ี มส่ ามารถคาดการณค์ าตอบล่วงหนา้ ได้ ตัวอย่างของการทดลองสุ่ม เช่น  การโยนเหรียญบาท  การออกสลากกินแบ่งรฐั บาล  การโยนลูกเตา๋ ผลลพั ธจ์ ากการทดลองสมุ่ ( Sample space) ผลลพั ธจ์ ากการทดลองสมุ่ คอื ผลลัพธท์ เ่ี ปน็ ไปได้ทั้งหมดจากการทดลองส่มุ ตวั อยา่ งเชน่  โยนเหรียญบาท 1 เหรียญ 1 ครงั้ ผลลัพธ์ทเ่ี ป็นไปได้คือ หัว(Head) กับ กอ้ ย(Tail)  โยนลกู เต๋า 1 ลูก 1 คร้ัง ผลลพั ธ์ที่เปน็ ไปได้ คือ แต้ม 1,2,3,4,5 ,6 เหตกุ ารณ์ (event) เหตกุ ารณ์ คอื สิ่งท่เี ราสนใจจากการทดลองสมุ่ ตัวอยา่ งเช่น หากโยนลกู เต๋า จงหาจานวน เหตุการณท์ ่ีลูกเต๋าออกหน้าเลขคู่ เปน็ ตน้

Math Kit Ebook ห น้ า 127 นยิ ามของความนา่ จะเปน็ ความน่าจะเปน็ ของเหตุการณใ์ ดๆ P(E) = โดยท่ี 0 P(E) 1 เมือ่ n(E) คอื จานวนผลลัพธ์ทั้งหมดของเหตุการณใ์ ดๆทเี่ ราสนใจ n(s) คอื จานวนผลลพั ธ์ท้ังหมดของ sample space สง่ิ ทคี่ วรรเู้ กย่ี วกบั ความนา่ จะเปน็ P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) P(A ) = 1 – P(A) P(A – B) = P(A) – P(A B) ถ้า A B = แลว้ P(A B) P(A) + P(B) ตัวอยา่ งที่ 9 ชาย 3 คน หญงิ 4 คนน่ังในรถ จงหาความน่าจะเปน็ ท่ีคน 2 คนที่ลงรถกอ่ นนั้นเป็น ผู้หญิง วิธที า ผลลพั ธท์ ่ีเปน็ ไปได้ ( Sample space) ของคนทล่ี งจากรถ 2 คน คอื 7 x 6 มีคนอยู่บนรถ 7 คน คนแรกลงจากรถจะมไี ด้ 7 วิธี คนท่ีสองลงจากรถ 6วธิ ี เนือ่ งจาก มี คนหนึง่ ลงไปกอ่ นหนา้ นี้แล้ว เหตุการณ์ ทค่ี นลงทั้งสองคนเป็นผู้หญิง 4 x 3 เนอื่ งจากมีผ้หู ญงิ 4 คน 4×3 2 ดงั นัน้ ความน่าจะเปน็ คอื 7×6 = 7

Math Kit Ebook ห น้ า 128 ทฤษฎบี ททวนิ าม ในหวั ข้อนจี้ ะกล่าวถงึ สูตรของการกระจาย x y เมือ่ x , y เป็นจานวนจรงิ ใดๆ และ n เปน็ จานวนเต็มบวก พิจารณาการกระจายตอ่ ไปนี้ x y1=x+y x y 2 = 2+2xy + 2 x y 3 = 3+ 2+ 2+ 3 x y 4= 4+ 3+ 2 2+ 3+ 4 x y 5= 5+ 4 + 3 2+ 23 x4 5 x y =x y x y x yn ถา้ x , y เปน็ จานวนจริง และ n เปน็ จานวนเตม็ บวก แลว้ x y = ( )x (1)x ;1y ( )x ; y ( )y เราจึงสามารถสรปู กฎไดว้ ่า Tr+1 = ( )an  rbr ขอ้ สังเกตการกระจาย (a+b)n  กระจายไดท้ ั้งหมด n+1 พจน์  ดีกรขี องแตล่ ะพจน์จะเทา่ กบั n เสมอ  ผลบวกสัมประสทิ ธ์ทวินามทกุ พจน์ คือ 2n  ผลบวกทุกพจนค์ อื (a+b)n  สัมประสิทธ์ิทวินามสามารถหาไดจ้ ากสามเหลี่ยมปาสคาลหรือใช้การเลือก

Math Kit Ebook ห น้ า 129 ตวั อย่างท่ี 11 จงหาพจนท์ ี่ 7 ในการกระจาย (x2 - 1)10 T7 = T6+1 =10C6(x2)4(-1)6 10C4 x8 (1)6 ตอบ 210x2

Math Kit Ebook ห น้ า 130 บทท่ี 12 ทฤษฎีกราฟ รายละเอยี ดของกราฟ จดุ กราฟย่อย ตน้ ไม้ เสน้ เชือ่ ม กราฟต้นไม้ ปา่ วงวน ตน้ ไม้แผท่ ัว่ เส้นเช่อื มขนาน ตน้ ไมแ้ ผ่ทั่วนอ้ ยทีส่ ุด กราฟอยา่ งงา่ ย กราฟบริบูรณ์ กราฟถ่วงน้าหนัก กราฟเติมเต็ม ดกี รี กราฟเชือ่ มโยง กราฟออยเลอร์ ประยกุ ต์กราฟ ทฤษฏกี ราฟ คอื แผนภาพซง่ึ บรรจจุ ดุ และเสน้ เชอ่ื ม ซงึ่ ถูกใช้ ในการแก้ปญั หาในหลายดา้ นๆ เชน่ การจดั ตารางเวลา การ เดนิ ทางโดยเสน้ ท่สี ุด ฯลฯ

Math Kit Ebook ห น้ า 131 ทฤษฎีกราฟน้ัน มีจุดเรมิ่ จากผลงานตีพิมพข์ อง เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ในปี ค.ศ. 1736 (พ.ศ. 2279) หรอื ท่ีรจู้ กั กันในนาม ปัญหาสะพานท้งั เจ็ดแห่งเมืองโคนกิ ส์เบริ ์ก (Seven Bridges of Königsberg) เขาสนใจวธิ ีทีจ่ ะขา้ มสะพานทง้ั 7 แห่งนี้ โดยข้ามแต่ละสะพานเพยี งครง้ั เดียว เทา่ นนั้ จากการพิสจู น์ของออยเลอร์ทาใหท้ ราบว่า เราไม่สามารถข้ามสะพานทง้ั 7 เพียงครั้งเดยี ว เพ่ือกลบั มาจดุ เรม่ิ ตน้ ไดเ้ พราะ ถา้ หากแปลงปญั หาดังกลา่ วเป็นกราฟ จะได้เส้นเช่ือมทั้งหมด 7 เสน้ ซงึ่ ขดั กบั ทฤษฎีว่าดว้ ยกราฟของออยเลอร์ AC e1 e2 ตวั อย่าง ท่ี 1 กราฟ G B กราฟจะต้องประกอบไปด้วยจดุ อย่างนอ้ ย 1 จดุ แต่จะมเี สน้ เช่ือมหรือไมก่ ็ได้ จากตัวอย่าง กราฟ G เราสามารถบอกรายละเอียดของกราฟไดด้ งั น้ี เซตของจานวนจดุ ยอด (Vertex) แทนดวยสญั ลกั ษณ์ V(G) V(G) = {A,B,C} เซตของเสนเชอื่ ม (Edge) ท่เี ช่อื มระหว่างจุดยอดแทนดวยสญั ลกั ษณ์ E(G) E(G)={e1, e2} หรอื E(G)={AB, BC}

Math Kit Ebook ห น้ า 132 รายละเอียดทีน่ ่าสนใจของกราฟ วงวน (loop) คือเสนเชอ่ื มทอี่ ยูในรูป {u,u} e2 e1 หรอื uu หรือเสนทมี่ ีจุดปลายท้ังสองเปนจดุ เดยี วกัน เชน่ จุด e1 e3 e4 เสน้ เชอื่ มขนาน (parallel edges) หรือเส นหลายช้นั (multiple edges) คือเสนเช่อื มท่ี กราฟอยา่ งงา่ ย มีมากกวา 1 เช่นจดุ e2 คือ กราฟทไ่ี มม่ วี งวนและเสน้ เช่อื มขนาน กราฟบรบิ ูรณ์ Ex คือกราฟอยา่ งงา่ ยท่ี 2 จดุ ทต่ี ่างกันตอ้ งเปน็ จดุ ประชดิ กนั เสมอ Ex กราฟเติมเตม็ กราฟนเี้ ป็นกราฟบริบูรณ์ 4 จุด เรยี กวา่ จดุ K4 คอื กราฟทไี่ มม่ วี งวนและเสน้ เชื่อมขนานเขยี นแทน อนั ดบั และขนาด ดว้ ยสญั ลกั ษณ์ อันดับ คอื จานวนจดุ ขนาด คอื จานวนเส้นเช่ือม Ex ดกี รี คอื จานวนครง้ั ทีเ่ ส้นเชอื่ มเกิดกบั จุดยอด Handshaking Lemma ผลรวมของดกี รี จะเป็นสองเทา่ ของเสน้ เชอื่ มเสมอ

Math Kit Ebook ห น้ า 133 แนวเดนิ กราฟเชอ่ื มโยง คอื ลาดับจากดั ของจดุ ยอดและเส้นเชอ่ื มสลบั กัน คือกราฟทีไ่ ม่ขาดตอน เปน็ กราฟที่ 2 จุดใดๆ แนวเดนิ เปดิ เป็นแนวเดนิ ที่มี จดุ เรมิ่ ตน้ และ สามารถมีแนวเดินถึงกันได้ จุดสน้ิ สุดเปน็ คนละจุด เชน่ กราฟ G มีจดุ ยอด U และ V เปน็ จุดยอดท่ี แนวเดนิ ปดิ เปน็ แนวเดินท่มี ี จุดเรมิ่ ตน้ และจุดสนิ้ สดุ ต่างกนั ในกราฟ จะต้องมแี นวเดิน U – V เป็นจุด เดียวกนั Ex รอยเดนิ เปน็ แนวเดนิ ท่มี ี จดุ เรมิ่ ตน้ และจดุ สนิ้ สุด เปน็ จดุ ใดกต็ อ้ ง แตห้ า้ มใชเ้ สน้ เชอ่ื มซา้ วถิ ี(แนวเดนิ อยา่ งงา่ ย) เปน็ แนวเดินทีม่ ี จุดเร่มิ ตน้ และจดุ สน้ิ สดุ เป็นคนละจุด หา้ มใชเ้ สน้ เชือ่ มและจุด ซ้า เปน็ กราฟเชื่อมโยง วงจร(Circuit) เป็นแนวเดินทีม่ ี จุดเริ่มตน้ และ จุดสนิ้ สุดเป็นจดุ เดยี วกัน เสน้ เชื่อมหา้ มใช้ซ้า วฏั จกั ร(Cycle) เป็นแนวเดนิ ท่ีมี จุดเรม่ิ ต้นและ จุดสน้ิ สุดเปน็ จดุ เดยี วกนั เสน้ เชื่อมและจุดหา้ มใช้ ซ้า ยกเวน้ จุดเรมิ่ ต้นและสน้ิ สุด ไม่เป็นกราฟเชอื่ มโยง กราฟออยเลอร์ ต้องเป็นกราฟเชอื่ มโยง และ มีวงจรออยเลอร์ คือวงจรท่ีผา่ นจุดทุกจดุ และ เสน้ เชอื่ มบนกราฟ Ex จงพจิ ารณาวา่ กราฟตอ่ ไปนเี้ ปน็ กราฟออยเลอร์ หรือไม่ เปน็ ไมก่ ราฟกราฟออยเลอร์ เนอ่ื งจากมีดกี รี เปน็ เลขค่ี เปน็ กราฟออยเลอร์ ขอ้ สังเกต กราฟออยเลอรจ์ ุดทุกจุดของกราฟตอ้ งมดี กี รเี ปน็ เลขคู่เท่านนั้

Math Kit Ebook ห น้ า 134 กราฟยอ่ ย คอื กราฟที่ประกอบไปด้วยจุดยอดและ กราฟต้นไม้ คือกราฟเชอื่ มโยงทไ่ี ม่มีวฏั จักร เส้นเชอ่ื มของกราฟนน้ั ๆ ป่า คือ กราฟทไี่ มม่ วี ัฏจกั ร แต่ไมจ่ าเปน็ ต้อง Ex กราฟ G กราฟยอ่ ยของ G เป็นกราฟเชอื่ มโยง ใบ คือจดุ ยอดป่าท่มี ดี ีกรี เป็น 1 กราฟยอ่ ยของ G กราฟถ่วงน้าหนัก คือกราฟเสน้ เชอื่ มทุกเชื่อมโดย เปน็ ต้นไม้และป่า เป็นปา่ แต่ไมเ่ ปน็ ตน้ ไม้ แต่ละเส้นเชอ่ื มมีค่าน้าหนกั กราฟตน้ ไมแ้ ผ่ทวั่ คือ ต้นไม้ที่เป็นกราฟย่อย ของกราฟเชอื่ มโยง ตัวอย่างท่ี 1 จงพิจาณาขอ้ ความต่อไปน้ี กราฟตน้ ไม้แผ่ทั่วนอ้ ยสุด คอื ต้นไม้ทม่ี ผี ลรวม ค่านา้ หนกั นอ้ ยท่ีสดุ ก. กราฟ G มดี ีกรจี ดุ ยอด 1,1,4,4,6 จะมีเส้นเชอื่ ม 8 เส้น ข กราฟ G มีจุดยอด 7 จุด มีดกี รี 5,4,2,2,2,3 และ 3 ตามลาดับ ค กราฟ G มจี ดุ ยอดค่ี 6 จดุ ยอดคู่ 3 จุด ขอ้ ใด เป็นไปไดเ้ ก่ียวกับกราฟ G วิเคราะห์ ขอ้ ก ถูกเนอ่ื งจาก ผลรวมทงั้ หมดของดีกรี เปน็ 16 ซ่ึงเปน็ สองเทา่ ของจานวนเสน้ เช่อื ม . ข้อ ข ผิด เน่อื งจาก กราฟ ตอ้ งมีจุดยอดคเ่ี ป็นจานวนคูเ่ ท่านน้ั ขอ้ ค ถกู เน่อื งจาก กราฟ ตอ้ งมีจดุ ยอดคี่เปน็ จานวนคเู่ ท่าน้นั ดงั นน้ั ข้อน้ตี อบ ถกู ขอ้ ก และ ค ตวั อย่างท่ี 2 กาหนด กราฟ G ดงั รปู จานวนกราฟต้นไมแ้ ผ่ทั่วของกราฟ G ทีแ่ ตกต่างกนั มีกีแ่ บบ 1. 4 แบบ 2. 5 แบบ 3. 6 แบบ 4. 7แบบ

Math Kit Ebook ห น้ า 135 วิเคราะห์ ตอบข้อ 1 4 แบบ เราสามารถเขยี นได้ดงั น้ี ตัวอย่างท่ี 3 จากกราฟ วถิ ี A-Z จงหาผลรวมค่าน้าหนักของต้นไมแ้ ผ่ท่ัวท่ีน้อยทีส่ ดุ ของกราฟน้ี 1.6 2.7 3.8 4.22 วิเคราะห์ ตอบข้อ 1 ผลรวมคา่ น้าหนกั ของตน้ ไมแ้ ผท่ ัว่ ที่นอ้ ยท่สี ดุ คอื 6 เราสามารถเขียนรูปต้นไม้ แผ่ท่ัวนอ้ ยทสี่ ดุ ไดด้ งั นี้

Math Kit Ebook ห น้ า 136 ตวั อยา่ งท่ี 4 ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้เป็นกราฟต้นไม้ 1 2 34 วิเคราะห์ ตอบขอ้ 2 เนอ่ื งจาก ขอ้ 1 กราฟมี วงจร จงึ ไมเ่ ปน็ กราฟต้นไม้ ขอ้ 3 กราฟมี วงจร จึงไมเ่ ป็นกราฟตน้ ไม้ ข้อ4 ไมเ่ ป็นกราฟเชื่อมโยง กราฟตน้ ไม้ตอ้ งเปน็ กราฟเชอ่ื มโยง

Math Kit Ebook ห น้ า 137 ตวั อยา่ งท่ี 5 จงพิจารณาว่ากราฟใดตอ่ ไปนี้จัดเป็นกราฟออยเลอร์ 12 34 วิเคราะห์ ตอบข้อ 3 เนื่องจากจุดยอดทกุ จดุ เป็นดกี รีเลขคู่ ขอ้ 1 ผิด เน่อื งจากไมเ่ ป็นกราฟเชอ่ื มโยง ขอ้ 2 และ 4 ผดิ เน่อื งจากดกี รีของจดุ ยอดบางจุดเป็นเลขค่จี ึงทาใหไ้ ม่เปน็ กราฟออยเลอร์

Math Kit Ebook ห น้ า 138 ตัวอย่างที่ 6 กราฟ G มีจุดยอดทั้งหมด 10 จุด ซึ่งมีดีกรี ดงั น้ี 1,1,3,3,3,5,x-5,x-3,x-2 และ x ถ้า กราฟมีเส้นเชื่อมจานวน 15 เสน้ แล้ว ขอ้ ใดกล่าวถกู ตอ้ ง ก.กราฟ G มีจุดยอดคี่ 6 จุด และจดุ ยอดคู่ 4 จดุ ข.กราฟ G มีผลรวมดกี รคี ือ 30 ค.กราฟ G เปน็ กราฟออยเลอร์ วเิ คราะห์ ผลรวมดกี รเี ป็น 2 เทา่ ของเชอื่ มเสมอดังนั้นผลรวมดีกรีจึงเป็น 30 1+1+1+3+3+3+5+x-5+x-3+x-2+x = 3 6+4x = 30 4x = 24 x=6 ดังน้นั กราฟน้ีจงึ ประกอบด้วยดกี รี 1,1,1,3,3,3,3,4,5,6 ขอ้ ก จงึ ผดิ ข้อ ข ถูกเนอ่ื งจากผลรวมดีกรจี ะเป็น 2 เทา่ ของเสน้ เชื่อมเสมอ ขอ้ ค ผิดเน่อื งจากกราฟออลเลอร์ ทกุ จุดบนกราฟต้องเป็นดีกรีเลขคู่

Math Kit Ebook ห น้ า 139 บทที่ 13 สถิติ การวิเคราะหข์ อ้ มลู เบ้ืองต้น ค่าเฉล่ียเลขคณิต สถิติเชงิ พรรณนา ค่ากลางขอ้ มูล มัธยฐาน ฐานนิยม การวัดการกระจายของข้อมลู การวดั การกระจายแบบสัมบูรณ์ พิสยั สว่ นเบ่ยี งเบนควอไทล์ ส่วนเบีย่ งเฉล่ีย ส่วนเบีย่ งมาตรฐาน การวดั การกระจายแบบสัมพัทธ์ สัมประสิทธพ์ิ สิ ัย สัมประสทิ ธสิ์ ่วนเบยี่ งเบนควอไทล์ สัมประสทิ ธส์ิ ่วนเบ่ยี งเฉล่ีย สมั ประสทิ ธกิ์ ารแปรผนั การแจกแจงปกติ เสน้ ตรง ค่ามาตรฐาน พาราโบลา โคง้ ปกติ เอกซ์โพเนนเชยี ล อนุกรมเวลา ความสมั พนั ธเ์ ชิงฟังก์ชันระหวา่ งขอ้ มูล ขอ้ มลู ทอี่ ยใู่ นชีวิตประจาวันของเรา เม่ือเราจานาขอ้ มูลมาใช้ ประโยชน์ เราใชส้ ถิติเปน็ เครอื่ งมือในการวิเคราะหข์ อ้ มูล

Math Kit Ebook ห น้ า 140 สถติ ิ (Statistic) คือ ตัวเลขทีแ่ สดงขอ้ เท็จจริงของขอ้ มูล เช่น สถิตริ ายได้ประชาชาติ เปน็ ตน้ สถิติมีความสมั พนั ธ์กับชีวติ ประจาวันของเรา เราเห็นไดจ้ าก ข่าวตามหน้าหนงั สือพมิ พ์ วทิ ยุกระจายเสียง วทิ ยุโทรทัศน์ จะมีขอ้ มูลตัวเลขแสดงใหเ้ ห็นถึงข้อเท็จจริงต่างๆ เชน่ สถติ ิอตั รา แลกเปลีย่ นค่าเงินบาท สถิติการซื้อ-ขายอนุพันธ์ในตลาดหลักทรัพย์ สถติ ริ ายไดป้ ระชาชาติ สถิติ ผลิตภณั ฑม์ วลรวมภายในประเทศ สถิตอิ ุณหภมู ิ ในทางคณิตศาสตร์ สถิติหมายถึงศาสตร์หรือหลกั การ และระเบียบวิธีการทางสถิติ ซ่ึง ประกอบด้วยขน้ั ตอนต่อไปน้ี  การเกบ็ รวมรวมขอ้ มูล  การนาเสนอขอ้ มูล  การวิเคราะหข์ ้อมลู  การตีความข้อมูล การจาแนกข้อมูล  ข้อมูลเชิงปริมาณ คอื ขอ้ มูลทอ่ี ยใู่ นลกั ษณะเป็นตวั เลข  ข้อมลู เชิงคณุ ภาพ คอื ข้อมูลทีแ่ สดงลักษณะหรือคุณสมบัติ แหล่งท่มี าของขอ้ มูล  ข้อมลู ปฐมภูมิ คอื ข้อมูลที่เกบ็ รวบรวมจากแหล่งตน้ กาเนดิ  ข้อมูลทุติยภูมิ คือข้อมูลที่รวบรวมขอ้ มูลจากแหลง่ อ้างองิ การเกบ็ รวมขอ้ มลู  เกบ็ รวบรวมขอ้ มลู จากทะเบียนประวัติ  เก็บรวมรวมข้อมูลจากการสารวจ  เก็บรวบรวมขอ้ มูลจากการทดลอง  เก็บรวบรวมข้อมูลจากการสังเกต

Math Kit Ebook ห น้ า 141 ประชากรและกลุ่มตัวอย่าง ประชากร (population) ในทางสถิติ มีความหมายคือ หน่วยตา่ งๆท่ใี ช้ในการเก็บรวบรวมข้อมลู หรอื แหล่งทม่ี าของขอ้ มูล ประชากรอาจเป็นกลุ่มบุคคล สถานที่ เอกสารการพมิ พ์ ประเภทของประชากร 1. ประชากรที่เป็นจานวนจากัด (Finite population) คอื ประชากรท่ีสามารถนบั แจกแจงรายการได้ 2. ประชากรทม่ี ีจานวนอนนั ต์ (Infinite population) คือประชากรทไ่ี ม่สามารถนบั จานวนได้ ค่าทแ่ี สดงคุณสมบตั หิ รือลักษณะของประชากร คอื พารามเิ ตอร์(parameter) ไดแ้ ก่ คา่ เฉลีย่ เลขคณิตเขียนแทนดว้ ย (มวิ ) คา่ เบ่ยี งเบนมาตรฐานประชากรแทนด้วย (ซิกมา) กล่มุ ตัวอยา่ ง (Sample) หมายถงึ สว่ นหนึ่งของหน่วยขอ้ มลู หรอื ข้อมลู สว่ นหนึง่ ท่เี ลอื กมาจาก ประชากร คา่ เฉลีย่ เลขคณิตกลมุ่ ตวั อยา่ ง เขียนแทนดว้ ย x̅ (เอ็กซ์บาร)์ ค่าเบีย่ งเบนมาตรฐานกลุม่ ตัวอย่าง เขยี นแทน ด้วย S (เอส) การวิเคราะหข์ ้อมูลเบอ้ื งต้น การแจงแจงความถ่ีของข้อมูล (Frequency distribution) เปน็ วธิ ีการทางสถิติอยา่ งหนง่ึ ท่ี ใช้ในการจดั ขอ้ มูลที่มีอยู่หรอื ที่ได้เกบ็ รวบรวมให้ได้เปน็ หมวดหมู่ เพอ่ื สะดวกในการวิเคราะห์ข้อมูล 1.ข้อมูลที่แจกแจงความถี่ของข้อมูล อายุ จานวน 10 30-34 15 35-39 25 40-44 6 45-49 20 50-54 1) อันตรภาคช้นั คือ ชว่ งความกว้างแต่ละชว่ ง เชน่ 30 -34 2) ขอบล่าง คอื ค่ากึง่ กลางระหว่างช่วงทนี่ ้อยท่สี ุดในชั้นนน้ั กบั ช่วงท่มี ากทีส่ ุดของ อันตรภาคชัน้ ที่ติดกัน และเปน็ ชว่ งความกวา้ งต่ากว่า เชน่ 35:34 อนั ตรภาคชั้น 35 – 39 ขอบล่างคอื 34.5 มาจาก 2

Math Kit Ebook ห น้ า 142 1) ขอบบนคือ คอื คา่ กึ่งกลางระหวา่ งช่วงทมี่ ากทีส่ ุดในอนั ตรภาคช้นั น้ัน กับ ชว่ งท่นี ้อย ทส่ี ุดของอนั ตรภาคชั้นทตี่ ิดกันและเปน็ ช่วงท่สี งู กว่าเช่น 39:4 อนั ตรภาคชัน้ 35 – 39 ขอบล่างคอื 39.5 มาจาก 2 2) จุดกงึ่ กลาง ของแตล่ ะอันตราภาคชัน้ หาได้จากขอบบนและขอบล่างในแตล่ ะช้ัน ขอบบน ขอบล่าง เช่น จดุ กง่ึ กลางของอนั ตรภาคชัน้ 35 – 39 คอื 34 5:39 5 2 คอื 37 5) ความกว้างของอันตรภาคชั้น คือขนาดของแต่ละชนั้ หาไดจ้ ากผลต่างระหว่างขอบบน และขอบล่างของอันตรภาพช้ันนั้น ขอบบน – ขอบลา่ ง ความกว้างของอันตรภาคช้นั 35 – 39 คือ 39.5-34.5 = 5 6) ความถ่ีสะสมของอันตรภาคช้ัน คือผลรวมของความถ่ขี องอนั ตรภาคช้ัน กับความถ่ขี อง อันตรภาคชน้ั ทม่ี ชี ่วงตา่ กว่าทงั้ หมด 7) ความถี่สัมพนั ธ์ ของอนั ตรภาคชัน้ คอื อตั ราส่วนระหว่างความถ่ขี องอนั ตราภาคช้ันนนั้ กบั ผลรวมของความถี่ท้ังหมด ความถข่ี องอนั ตรภาคชั้นนน้ั ความถ่สี ัมพันธ์ = ผลรวมของความถที่ ้ังหมด 8) ความถี่สะสมสัมพทั ธ์ ของอนั ตรภาคชั้น คอื อัตราส่วนระหวา่ งความถี่ของอันตรภาคช้นั นนั้ กับผลรวมความถีท่ ้ังหมด ความถขี่ องอนั ตรภาคช้นั น้นั ความถสี่ ะสมสัมพัทธ์ = ผลรวมของความถี่สะสมทง้ั หมด 9) ร้อยละความถี่สัมพัทธ์ คอื ความถีส่ ัมพทั ธ์ x 100% 10) ร้อยละความถ่สี ะสมสัมพนั ธ์ คอื ความถี่สะสมสัมพัทธ์ x 100%

Math Kit Ebook ห น้ า 143 การเขียนแจกแจงโดยใชก้ ราฟ 1.ฮสิ โทแกรม (Histogram) เป็นรปู ส่ีเหลย่ี มมุมฉากที่วางเรียงติดกันบนแกนนอน โดยให้ แกนนอนแทนเป็นคา่ ตัวแปร ความกว้างของรูปสี่เหลี่ยมคอื ความกวา้ งของอนั ตรภาคชนั้ พน้ื ทข่ี อง ส่ีเหล่ยี มแต่ละรูปแทนความถ่ีของแตล่ ะอนั ตรภาคชั้น 2. รูปหลายเหล่ยี มของความถี่ (frequency polygon) คือรูปหลายเหลีย่ มที่เกดิ จากการ โยงจุดกึ่งกลางของยอดแท่งของฮสิ โทแกรมด้วยเส้นตรง โดยเร่ิมต้นและส้ินสดุ กึ่งกลางของอนั ตร ภาคชน้ั

Math Kit Ebook ห น้ า 144 3.พนื้ ทโ่ี ค้งของความถ่ี (frequency curve) เป็นเสน้ โคง้ ทไ่ี ดร้ ับจากการปรบั ดา้ นของรปู หลายเหลยี่ มของความถใี่ หเ้ รียบข้นึ โดยพยายามให้พืน้ ที่ใต้โคง้ ท่ปี รับแล้ว มขี นาดใกลเ้ คยี ง ของเดิม 4.แผนภาพต้น – ใบ (Stem – leaf Diagram) เป็นการบอกข้อมลู โดยเขยี นหลักสบิ อยูห่ น้า เส้นกัน้ ส่วนหลักหนว่ ยอยู่หลงั เสน้ กนั ตวั อยา่ ง 0 345 20 4 12 11 0 6 8 จากภาพแผนภาพต้น – ใบ เราสามารถเขียนสมาชิกได้ดงั นี้ {3,4,5,20,41,42,110,116,118 }

Math Kit Ebook ห น้ า 145 ค่ากลางของข้อมูล 1.คา่ เฉลี่ยเลขคณิต ประชาการ ขอ้ มูลเดี่ยว ขอ้ มลู กลมุ่ ข้อมลู ทั่วไป ไมม่ กี ารถว่ งนา้ หนกั ∑ ∑ = = x = จดุ ก่งึ กลางอนั ตรภาคชนั้ ข้อมลู ถ่วงน้าหนกั f คอื ความถี่ ∑  =∑ wi คอื เลขถว่ งน้าหนักของ xi แต่ละตวั ขอ้ มลู หลายชุดนามาหาค่าเฉล่ียเลขคณติ ∑  รวม = ∑ กลมุ่ ตัวอยา่ ง ̅ ข้อมูลเดีย่ ว ข้อมูลกลุ่ม  x̅ = ∑ ข้อมูลทั่วไป ไม่มีการถว่ งน้าหนัก x = จุดกง่ึ กลางอันตรภาคชน้ั  ̅ ∑ = ข้อมูลถว่ งนา้ หนกั f คอื ความถี่  ̅= ∑ ∑ wi คือเลขถ่วงน้าหนกั ของ xi แตล่ ะตัว ข้อมลู หลายชุดนามาหาคา่ เฉลีย่ เลขคณิต  ∑ ̅ ̅รวม = ∑ คาแนะนา การคิดคา่ เฉลยี่ เลขคณติ ขอ้ มูลกลุม่ แบบลดทอนขอ้ มูล

Math Kit Ebook ห น้ า 146 คณุ สมบัติของคา่ เฉลยี่ เลขคณิต 1.xmax x̅ xmin Nx̅ N x̅ 2. x <1 3. N x <1 4. N M 2 มีคา่ นอ้ ยสดุ เม่ือ M = x̅ x <1 5.ถ้า yi = axi + b แล้ว ̅ = ax̅ + b 2.มัธยฐาน คอื ขอ้ มลู ที่อยตู่ าแหนง่ กึ่งกลางของขอ้ มลู ท่เี รยี งจากนอ้ ยไปมาก ใชส้ ญั ลักษณ์ Me หรอื Med ขอ้ มูลเดีย่ ว Me = Med = :1 2 ข้อมูลกลุม่ Me = 2 ; N คอื ผลรวมของความถี่ = L คอื ขอบลา่ งของชน้ั ท่ี Me อยู่ f(M) คอื ความถี่ ณ ชัน้ Me อยู่ I คือความกว้างของอนั ตรภาคชั้น fm คือ ความถี่ ณ ชน้ั Me I คอื ความกวา้ งของอันตภาพชัน้ 3.ฐานนิยม คอื ขอ้ มลู ทีม่ คี วามถส่ี งู สุด ใชส้ ญั ลกั ษณ์ Mo หรือ Mod ข้อมลู เดยี่ ว Mo = ขอ้ มูลที่ซ้ากันมากท่สี ุด ขอ้ มลู กลุ่ม Mo = จดุ กงึ่ กลางอันตรภาคชัน้ ท่ีมีความถส่ี งู สุด

Math Kit Ebook ห น้ า 147 ตวั อยา่ งท่ี 1 นายอานวย สอบได้คะแนนตามรายวิชาได้ดงั น้ี รายวชิ า คะแนนทีไ่ ด้ วชิ าสงั คมศึกษา 68 วชิ าสขุ ศึกษา 68 วชิ าศิลปะ 85 วชิ าคณติ ศาสตร์ 95 จงหาคะแนนเฉลี่ยและมธั ยฐาน 68:68:85:95 คะแนนเฉลีย่ คือ 4 = 79 คะแนน N:1 4:1 68 : 85 มัธยฐาน ตาแหนง่ คือ 2 = 2 = 2.5 ซ่งึ ก็คอื 2 = 76.5 ตัวอย่างท่ี 2 จงหาคะแนนเฉล่ยี ฐานนยิ มและมธั ยฐานจากข้อมูลตอ่ ไปนี้ จากการสารวจกลมุ่ ตวั อย่างของรายวิชาหนึ่งในภาคเรียนท่ี 1 ได้ชว่ งคะแนนของนักเรียนดงั นี้ ช่วงคะแนน จานวนนักเรียน 50 - 60 28 60 - 70 16 70 - 80 38 80 - 90 6 วิธีทา ช่วงคะแนน จานวนนักเรียน ความถีส่ ะสม x (จดุ กงึ่ กลางอนั ตภาพชัน้ ) y = x - 65 (f) 28 55 -10 44 65 0 50 - 60 28 82 75 10 88 85 20 60 - 70 16 242 280 20 70 - 80 38 80 - 90 6 ผลรวม 88 y = x – 65 ดงั น้ัน y = – 65 y = ;1 : :1 :2 =5 4 = y + 65 = 5 + 65 = 70 คะแนนเฉลย่ี คือ 70

Math Kit Ebook ห น้ า 148 ฐานนิยมคอื 75 ตาแหน่งมธั ยมฐาน 88 2 = 2 = 44 จากสตู รมธั ยมฐาน คือ 59.5 + 10(441;628) = 59.5 +10 = 69.5 4.คา่ เฉลีย่ เรขาคณิต (geometric mean) ถา้ x1, x2, x3, …, xn เปน็ ขอ้ มูล N จานวนซง่ึ เปน็ จานวนบวกทกุ จานวน คา่ เฉลี่ยเรขาคณติ G.M. คือ √ 1 2 4 เนือ่ งจากการหาค่าเฉลี่ยเรขาคณติ ตอ้ งคานวณหากรณฑท์ ่ี N ของจานวนซึ่งทาใหก้ ารใช้ สตู รดังกล่าวไม่สะดวกในการหาในกรณีทมี่ ีจานวนข้อมลู มคี า่ มากๆ ดังนั้นเพ่ือความสะดวกในการ คิดจึงใช้ลอการทิ มึ ช่วยในการคานวณ ข้อมูลท่ีไม่แจกจางความถ่ี log G.M. = N l g X <1 ขอ้ มูลทแ่ี จกแจงความถ่ี log G.M. = N f l g X <1 โดยที่ Xi คือจุดก่ึงกลางของอนั ตรภารชั้นท่ี i fi คือแทนความถข่ี องข้อมลู อันตรภาคช้ันที่ i k คือจานวนอันตรภาคช้นั

Math Kit Ebook ห น้ า 149 5.ค่าเฉลี่ยอารม์ อนิก (harmonic mean) ถ้า x1, x2, x3, …, xn เปน็ ข้อมูล N จานวนซ่ึงเป็นจานวนบวกทุกจานวน 1 ค่าเฉลีย่ อาร์มอนกิ H.M. คือ { : : :: } =N ∑ ������������ สาหรับข้อมูลท่ีแจกแจงความถี่ 1 :: } โดยที่ Xi คือจุดก่งึ กลางของ ค่าเฉล่ยี อาร์มอนิก H.M. คือ :: อนั ตรภารช้นั ท่ี i fi คอื แทนความถี่ของข้อมูล { N อันตรภาคช้นั ท่ี i k คือจานวนอันตรภาคชั้น = f <1 ������������ การวดั ตาแหน่งขอ้ มลู 1.ควอไทล์ (Qr) คอื คา่ ของข้อมลู ท่ีถกู แบ่งออกเปน็ 4 สว่ นเท่าๆกัน เมอ่ื เรียงขอ้ มลู จากน้อยไปมาก มคี วอไทล์ท้งั หมด 3 ค่า คือ Q1, Q2, Q3 2.เดไซน์ (Dr)คอื ค่าของข้อมูลท่ีถกู แบง่ ออกเป็น 10 ส่วนเท่าๆกนั เมอ่ื เรยี งขอ้ มูลจากนอ้ ยไปมาก มี เดไซน์ทั้งหมด 9 ค่า คอื D1, D2, D2, ..., D9 3.เปอรเ์ ซน็ ต์ไทล์(Pr) คอื ค่าของข้อมูลทถ่ี ูกแบ่งออกเปน็ 100 สว่ นเท่าๆกัน เม่ือเรยี งข้อมูลจาก นอ้ ยไปมาก มีเปอรเ์ ซน็ ตไ์ ทลท์ งั้ หมด 99 คา่ คือ P1, P2, P3,… P99 ข้อมูลเด่ียว ขอ้ มลู กลุ่ม :1 ตาแหนง่ Qr=4 ตาแหน่ง Dr=1 ตาแหนง่ Qr= 4 ตาแหน่ง Pr=1 :1 ตาแหนง่ Dr= 1 :1 ตาแหน่ง Pr= 1 หรอื ใช้สตู รหา Qr, Dr, Pr (เฉพาะขอ้ มลู กลุ่ม) ขอบลา่ ง+ความกวา้ งอนั ตรภาคช้ัน (ตาแหนง่ ความถสี่ ะสมช้นั กอ่ นหนา้ ) ความถ่ี ณ ชั้นนน้ั

Math Kit Ebook ห น้ า 150 การวดั การกระจายของข้อมลู การวัดการกระจายของข้อมูลแบง่ ออกไดเ้ ป็น 2 แบบคอื 1.การวดั การกระจายแบบสัมบูรณ์ คือการวัดการกระจายของขอ้ มูลชุดเดียว ไม่สามารถนามา เปรียบเทียบได้ 2.การวัดการกระจายแบบสัมพัทธ์ คือการวัดการกระจายของขอ้ มูลแตช่ ดุ เพ่อื นาเอาค่าทไี่ ด้ไปใช้ เปรียบเทยี บการกระจายของขอ้ มูลกับข้อมลู ชุดอ่ืน การวดั การกระจายแบบสัมบรู ณ์ การวดั การกระจายแบบสัมพัทธ์ 1.พสิ ยั = ค่ามากสุด – ค่านอ้ ยสดุ ค่ามากสดุ – ค่าน้อยสุด 2.ส่วนเบีย่ งเบนควอไทล์ (QD) 1.สมั ประสิทธิ์พสิ ยั = ค่ามากสุด: ค่าน้อยสุด 2.สัมประสิทธิ์ส่วนเบ่ียงเบนควอไทล์ ; =2 31 31 3.สว่ นเบย่ี งเบนเฉลย่ี (MD) 3.สมั ประสทิ ธ์ิส่วนเบ่ียงเบนเฉล่ีย ขอ้ มลู เดี่ยว หรอื ̅ ∑ ;̅ 4.สมั ประสทิ ธ์กิ ารแปรผนั MD = ประชากร หรอื กล่มุ ตัวอยา่ ง ̅ ข้อมลู กล่มุ MD = ∑ ;̅ เมื่อ x คือจดุ กึง่ กลางช้นั 4.ส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐาน (SD) ข้อมลู เด่ียว ประชากร =√∑ ; = √∑ 2 กลุ่มตวั อย่าง SD =√∑ ;̅ ;1 = √∑ ;̅ ;1