สรุปแก่นคณิตศาสตร์ ม.ปลาย

สรปุ แกน่ คณติ ศาสตรม์ .ปลาย

Math Kit Ebook สรุปแก่นคณติ ศาสตรม์ .ปลาย คณิน องั ศนุ ิตย์ เขียน ภาพประกอบ พิมพ์ครงั้ แรก ธนั วาคม พ.ศ. 2555 ปรับปรงุ ครงั้ ที่ 3 กมุ ภาพันธ์ พ.ศ.2557 เจา้ ของลขิ สทิ ธ์ิ ขม้ินหนังสอื (เครอื ขม้นิ ธุรกจิ ) เผยแพรโ่ ดย ขมน้ิ ดอทคอม (ฝ่ายตารา) รหัสหนงั สอื KRM-MATH-56-12-B1-6 สงวนลิขสิทธ์ิ ตามพระราชบญั ญตั ิลขิ สิทธ์ิ พ.ศ. 2537 เรื่อง © 2014 คณิน อังศนุ ติ ย์ หา้ มลอกเลียนไมว่ า่ ส่วนหนงึ่ สว่ นใดของหนงั สือเลม่ นี้ ภาพประกอบ © 2014 คณิน อังศุนติ ย์ หา้ มลอกเลยี นไม่วา่ สว่ นหนงึ่ ส่วนใดของหนงั สือเลม่ น้ี แผนภาพ © 2014 คณิน อังศุนติ ย์ ห้ามลอกเลียนไมว่ ่าสว่ นหนง่ึ ส่วนใดของหนงั สือเล่มนี้

Math Kit Ebook ของผเู้ ขียน หนงั สือประกอบการเรยี น ทางคณะผู้จดั ทา ไดจ้ ดั ทาข้นึ เพอื่ นกั เรยี นใน ระดับชน้ั ม.ปลายท่ีต้องการเตรยี มพรอ้ มสาหรับ สอบแขง่ ขนั และการสอบเขา้ มหาวิทยาลยั และการเพิ่มคะแนนในโรงเรยี น ในเอกสารชุดนจ้ี ะประกอบไปดว้ ย สูตรตา่ งๆ ทจ่ี าเปน็ พรอ้ มทง้ั คาแนะนา ความรเู้ พ่มิ เตมิ ทีน่ กั เรยี นควรทราบในการ เรยี น และวธิ ใี ชง้ านพรอ้ มคาอธิบายอยา่ งละเอียด เน้ือหาในเอกสารชดุ นีไ้ ด้รวบรวม เนื้อหาทอี่ อกสอบ ด้วยปรารถนาดีและจริงใจ คณนิ อังศนุ ติ ย์ การจัดวางเน้อื หา

Math Kit Ebook ทา่ นสามารศกึ ษาเลขพนื้ ฐานได้จาก Math Lite Ebook ของผู้เขยี น เนอ้ื หาในหนังสอื เล่มน้ีส่วนใหญ่เปน็ เลขเสรมิ

Math Kit Ebook เนอ้ื หาภายในเลม่ เซต ... 6 จานวนจรงิ ...27 ฟังก์ชนั ... 39 ตรรกศาสตร์ ...15 ภาคตดั กรวย เมตริกซ์ ... 64 เอกช์โพเนนเชยี ลและลอการทิ ึม ... 50 … 72 ตรีโกณมิติ … 79 ความนา่ จะเป็น ทฤษฎกี ราฟ ... เวกเตอร์ … 92 จานวนเชิงซ้อน ... 101 ... 110 130 สถิติ ... 139 ลาดบั และ แคลคูลัส …171 อนุกรม ... 159 กาหนดการเชงิ เส้น … 187

Math Kit EBook ห น้ า 6 บทท่ี 1 เซต พ้ืนฐาน Set ประเภทของเซต เซตจากัด การเท่ากันของเซต เซตอนนั ต์ เอกภพสมั พัทธ์ ข้อควรระวัง หากไม่กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ เอกภพสัมพทั ธ์ จะเปน็ จานวนจรงิ สบั เซตและเพาเวอร์เซต การดาเนินการทาง Set ยเู นยี น อนิ เตอรเ์ ซกชนั ผลตา่ ง คอมพลีเมนต์ การหาจานวนสมาชกิ วาดแผนภาพเวนน์ออยเลอร์ ใชส้ ูตร การประยกุ ต์เซต เราใช้เซตในการศกึ ษากลมุ่ สง่ิ ตา่ งๆทเ่ี ราสนใจ เช่น เซต ชือ่ เดือน เซตจานวนท่ี 6 เป็นพหคุ ูณ เซตจานวนนบั ฯลฯ เซต ถกู ใช้งานในการแก้ปัญหาจานวนสมาชิกในชวี ิตประจาวนั

Math Kit EBook ห น้ า 7 เซต (Set) เป็นอนิยาม แตเ่ ราใช้เซตในการศกึ ษากลมุ่ สงิ่ ตา่ งๆทเี่ ราสนใจ สง่ิ ทอี่ ยู่ในเซต คือ สมาชิก(Element) การเขียนสญั ลกั ษณเ์ ซตคือ { } โดยการเขียนแจกแจงสมาชิกจะตอ้ งมจี ุลภาค (,) คั่นกลางหรอื อาจจะกล่าวไดว้ ่าเซตคอื สัญลกั ษณท์ างคณิตศาสตร์ เพือ่ ใชแ้ ทนกลมุ่ สิ่งตา่ งๆทเี่ รา สนใจซ่ึงเขียนภายในเคร่ืองหมายปกี กา { } เครื่องหมาย คือเครอ่ื งหมายเปน็ สมาชิก คอื เครือ่ งหมายไม่เปน็ สมาชิก เอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe) คือเซตท่ีกาหนดขอบเขตของสมาชกิ เซตที่เรา ต้องการศึกษา เราเขยี นดว้ ยสญั ลักษณ์ ถ้าเซตไมไ่ ด้กาหนดเอกภพสมั พัทธ์ ให้ถือว่า เอกภพ สัมพทั ธ์ คือเซตของจานวนจรงิ คาแนะนา ช่ือเซตถ้าเปน็ ภาษาอังกฤษ ให้ใชต้ ัวพมิ พใ์ หญ่ แตถ่ ้าเปน็ สมาชิกให้ใชต้ วั พิมพ์เล็ก การเขียนเซต EX เซตของสระในภาษาองั กฤษ 1. {a,e,i,o,u} 1.การเขยี นแจกแจงสมาชิก 2. {x | x เปน็ สมาชิกในสระในภาษาอังกฤษ} 2.การเขยี นแบบบอกเง่ือนไข หมายเหตุ ลาดับกอ่ นหลงั ของสมาชกิ ไม่มคี วามสาคัญ และ ในเซตใดๆ มีสมาชิกตัวเดยี วกันมากกว่า 1 คร้ัง ให้ถอื วา่ เป็นสมาชกิ ตัวเดยี วกนั ประเภทของเซต EX 1.{1,2,3,4} เปน็ เซตจากดั เพราะมีสมาชิก 4 ตวั 1.เซตจากัด คือ เซตทเ่ี ราสามารถบอกจานวน 2.{x | x เปน็ จานวนนบั ทีม่ ีคา่ มากกวา่ 3} เป็นเซต สมาชิกได้ อนนั ต์ 2.เซตอนันต์ คอื เซตทม่ี ีจานวนมากมายนบั ไมถ่ ้วน 3.เซตว่างคือ { } หรอื และไมส่ ามารถบอกจานวนสมาชกิ ได้ 3.เซตวา่ ง คอื เซตท่ไี ม่มีสมาชกิ อยู่เลย ข้อควรระวงั { } และ {{ }} ไม่เปน็ เซตว่างนะครับ สญั ลกั ษณค์ วรรู้ I คือจานวนเตม็ I+ คือจานวนเต็มบวก I- คอื จานวนเตม็ ลบ R คือจานวนจรงิ N คือจานวนนับ Q คอื จานวนตรรกยะ Q คือจานวนอตรรกยะ

Math Kit EBook ห น้ า 8 ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งเซต 1.การเทา่ กนั ของเซต เซต A จะเทา่ กับ เซต B กต็ ่อเมอ่ื เซตทง้ั สองมีสมาชกิ เหมอื นกันทุกตัว และมจี านวนสมาชกิ เท่ากัน 2.สับเซต เซต A จะเป็นสบั เซตของเซต B ไดก้ ต็ อ่ เมอื่ สมาชิกทุกตวั ของ A เป็นสมาชกิ ของ B เราสามารถเขียน ในรูปสญั ลักษณ์ไดด้ งั น้ี A B แตถ่ า้ เซต A และ B ไมเ่ ปน็ สับเซตใหเ้ ขียนดว้ ย A B Ex กาหนดเซต A = {1,2,3} B = {x | x จานวนนบั } A B เพราะสมาชกิ ทุกตวั ของ A อยู่ใน B B A เพราะสมาชิกทุกตัวของ B ไมอ่ ย่ใู น A มสี มาชิกเพยี ง 3 ตัวท่ีอยู่ใน A คือ {1,2,3} ข้อควรรู้ ถา้ A B และ A B เรียกว่า A เป็นสับเซตแทข้ อง B ขอ้ ควรระวงั เปน็ สบั เซตของทกุ เซต 3.เพาเวอรเ์ ซต คอื เซตทปี่ ระกอบด้วยสมาชิกทกุ ตัวทสี่ บั เซตท้ังหมดของเซตนน้ั เช่น เพาเวอร์เซต A สามารถเขยี นด้วยสญั ลกั ษณ์ P(A) Ex A = {1,2,3} }} P(A) = { { } { } { } { } { } { } { ดงั นั้น เราสามารถสรปุ ได้วา่ P(A) { } P(A) สับเซตแท้ของ A คอื { } { } { } { } { } { } ถ้าเรามีสมาชกิ n ตัว แล้ว เพาเวอร์เซต มจี านวนสมาชิก 2n ตวั แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ เปน็ แผนภาพทีใ่ ชแ้ สดงถงึ เซต ซง่ึ ใชร้ ูปปิด โดยทวั่ ไปจะใช้รปู สเี่ หล่ียมผนื ผ้าแทนเอกภพสมั พัทธ์ และเขยี นเซตอนื่ ๆเปน็ วงกลม ตัวอย่างการวาด 2 เซต

Math Kit EBook ห น้ า 9 ตัวอย่างการวาด 3 เซต ขอ้ ควรรู้ ตง้ั แต่ 4 เซตเปน็ ตน้ ไปไมน่ ยิ มวาดแผนภาพ แต่เราใช้สตู รในการช่วยหาจานวนสมาชกิ ใน เซตได้ การกระทาทางเซต Ex = {1,2,3,4,5} A={1,2} B={2,3,4} 1.ยูเนียน AB AB A B คอื เซตท่ปี ระกอบไปดว้ ยเซตของ A หรอื B จะได้ {1,2,3,4} AB A 2.อนิ เตอรเ์ ซกชนั คุณสมบตั ิการดาเนนิ การทางเซต C) A B คอื เซตท่ปี ระกอบไปด้วยสมาชกิ A  A–B=A B =B -A และ B คอื {2}  (A B) = A B 3.ผลต่าง  (A B) = A B A-B คือสมาชกิ ทั้งหมดของ A ทีไ่ ม่ไดเ้ ปน็  A (B C) = (A B) (A สมาชิกของ B จะได้ {1} 4.คอมพลีเมนต์ คือเซตตัวอ่นื ทปี่ ระกอบอยู่ในเอกภพ สัมพัทธ์ แตไ่ ม่ไดอ้ ยู่ในท่เี ราสนใจ เช่น A คือไมเ่ อาสมาชิกทง้ั หมดของ A คือ {3,4,5} สูตรการหาจานวนสมาชกิ  2 เซต n(A B) = n(A) + n(B)  n(A B)  3 เซต n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C)  n(A B)  n(A C)  n(B C) + n(A B C)

Math Kit EBook ห น้ า 10 สตู รการจัดรปู สับเซตและเพาเวอร์เซต {A} B AB {A} P(B) A (B) {A} P(B) A (B) ตวั อยา่ งที่ 1 ให้เซต A = {1,2,3,{1,2,3}} และเซต B = {1,2,{1,2}} ขอ้ ใดต่อไปนี้ถกู ตอ้ ง (Ent) 1. A B = {{1,2}} 2.A B = {{1,2},{1,2,3}} 3. A – B = {{1,2,3},3} 4.B – A = วธิ ีทา พิจารณา ข้อ 1 A B = {{1,2}} ผดิ เพราะ {{1,2}} ไม่ได้อยู่ใน A ขอ้ 2 A B = {{1,2},{1,2,3}} ผิดเพราะ ขาด {1,2,3} ขอ้ 3 A – B ={{1,2,3},3} ถกู เพราะจานวนสมาชิก 2 ตัวของ A ซา้ กับ B ข้อ 4 B – A = ผิดเพราะ {{1,2}} ไมไ่ ด้อยู่ใน A ดังนนั้ B – A = {{1,2}} ดงั นัน้ ขอ้ น้ีจึงตอบข้อ 3 ตัวอยา่ งท่ี 2กาหนดให้ A B ข้อใดผดิ (สมาคมคณิตศาสตร์) 1. B A B 2. A B 3. A B = A 4. A B = B วิธีทา พิจารณา ข้อ 1 ถกู มี B บางสว่ นไม่ไดอ้ ยู่ใน A ส่วนดังกล่าวจึงเปน็ สับเซตของ B ข้อ 2 ผดิ เพราะ นอก B เป็นเซตว่าง A = ขอ้ 3 ถกู เพราะ A เป็นสว่ นหนึง่ ของ B เมื่อนาส่วนที่ใหญก่ วา่ มา จึงตอบเซนที่เล็กกวา่ ข้อ 4 ถกู เม่ือ ถ้า A = B แล้ว A B จึงทาให้ A B = B ดงั นัน้ ข้อนจี้ งึ ตอบข้อ 2

Math Kit EBook ห น้ า 11 ตวั อย่างที่ 3 กาหนด A ={ ,1,2,3, … } และ B={{1},{2,3},{4,5,6},7,8,9,… } แล้ว (A-B) (B-A) จะมีจานวนสมาชิก วธิ ีทา A – B ={ ,1,2,3,4,5,6}; n(A – B) = 7 B – A = {{1}, {2, 3}, {4, 5, 6}}; n (B – A) = 3 (A-B) (B-A) ={ ,1,2,3,4,5,6,{1},{2,3},{4,5,6}} n((A-B) (B-A)) = 10 หรือ n((A-B) (B-A)) = n(A – B) + n(B – A) =7+3 = 10 ตอบ จานวนของสมาชิก (A−B) (B−A) คือ 10 ตัวอย่างที่ 4 กาหนดให้ A,B,C,D เปน็ เซตใดๆ (A C) – (B D)เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี 1.(A B) (D C) 2. (A B) (C D ) 3.(A B) (D C) 4. (A B) (D ) วิธีทา (A C) – (B D) = (A C) (B D) = (A C) (B D ) = (A B ) (D C) = (A B) (D ) ตอบ ขอ้ 4 ตวั อย่างที่ 5 ถา้ A= {x | x = 1 − และ n เป็นจานวนนบั } B = {0,1, , , } และ C ={-2,- ,0,1, ,{ , , , …}} แลว้ (A C) – B มีจานวนสมาชิกเทา่ ใด

Math Kit EBook ห น้ า 12 วิธที า พจิ ารณา A จะไดส้ มาชิกดังนี้ {-1,- ,0, , , , … } เม่อื เรา นา A C จะได้สมาชกิ ดังนี้ {0, } ซึ่งสมาชิกท่ี A C ซ้ากบั B คือ {0} ดงั น้ันเราจะได้ว่า (A C) – B = { } ตอบ ไดจ้ านวนสมาชกิ ทงั้ หมด 1 ตัว ตวั อยา่ งที่ 6 กาหนดให้ A = {0, 1, {1}} และ B ={0, {1}, {0,1}} จงพจิ ารณาข้อความตอ่ ไปน้ี ก. A P{B} ข {{1}} P(A) P(B) ค. จานวนสมาชิกของ P(A B) = 2 1.ถูกทุกขอ้ 2.ถูก 2 ข้อ 3.ถูก 1 ขอ้ 4.ผิดทุกข้อ วิธที า พิจารณา P(A) และ P(B) P(A) = { , {0}, {1}, {{1}}, {0,1}, {0,{1}}, {1,{1}}, {0,1,{1}}} . P(B) = { , {0}, {{1}} ,{{0, 1}}, {0, {1}}, {0, {{0,1}}}, {{1}, {0,1}}, {0,{1}, {0,1}}} จากข้อ ก พบว่า {0, 1} ไมไ่ ดอ้ ย่ใู น P(A) ดังน้นั ขอ้ น้จี ึงผิด จากข้อ ข P(A) P(B) = { , {0} , {{1}} , {0,{1}}} {{1}} P(A) P(B) ดังนั้นข้อนีจ้ งึ ถกู จากขอ้ ค จาก A B ={0, {1}} เมอื่ เราหาสบั เซตเราจะไดท้ ัง้ หมด 22 ตวั คอื 4 ตัวไมใ่ ช่ 2 ตัวดังนั้นขอ้ นี้จงึ ผดิ ตอบ ขอ้ 3

Math Kit EBook ห น้ า 13 ตวั อยา่ งท่ี 7 ในการสอบถามพนกั งานจานวน 300 คนในบริษัทแหง่ หน่ึงพบว่า มพี นกั งานชอบด่ืมชาเขียว จานวน 80 คน มีพนกั งานชอบดืม่ น้าผลไมร้ วมจานวน 140 คน มีพนักงานไมช่ อบดื่มท้งั 2 อย่างจานวน 100 คน จงหาค่ามีจานวนพนักงานทชี่ อบดืม่ เพียงชนดิ เดียว วธิ ที า กาหนด x เป็นจานวนพนักงานชอบดมื่ ชาและนา้ ผลไมร้ วม ทั้ง 2 ชนดิ 80 + 140 – x +100 = 300 x = 20 มีพนกั งานชอบดม่ื ชาเขยี วเพยี งอยา่ งเดียว จานวน 80– 20 = 60 คน มีพนกั งานชอบดมื่ น้าผลไม้รวมจานวนเพยี งอย่างเดียว 140– 20 =120 คน ดังน้ันมพี นักงานที่ดื่มเครอื่ งดื่มเพยี งชนดิ เดยี วจานวน 60 + 120 = 180 คน

Math Kit EBook ห น้ า 14 ตวั อย่างที่ 8 จากการสารวจของนกั เรยี นในระดบั ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 6 จานวน 82 คน พบวา่ มนี กั เรียนชอบวชิ าสังคมจานวน 40 คน มีนกั เรียนชอบวิชารายไดป้ ระชาชาตจิ านวน 30 คน มีนกั เรียนชอบวชิ าบัญชใี นชีวิตประจาวันจานวน 20 คน มนี ักเรียนทไ่ี มช่ อบทง้ั 3 วชิ าจานวน 10 คน มีนกั เรียนทีช่ อบวชิ าสังคมเพยี งวชิ าเดียว 30 คน มนี ักเรียนท่ีชอบวชิ าสังคมและบัญชี 5 คน มนี ักเรียนทชี่ อบบัญชี เพียงอย่างเดียว 10 คน จงหาจานวนนกั เรียนทชี่ อบท้ัง 3 วิชา วิธีทา จากข้อมูลทีโ่ จทย์กาหนด นาข้อมูลโจทยม์ าหาสว่ นที่เหลอื กาหนด x คือนกั เรียนท่ชี อบทั้ง สังคม รายได้ประชาชาติและ บัญชี 30 + 5 + 5 + 10 +10 +5 – x + x + 20 – x = 150 85 – x = 150 85 – 150 = x x=3 ดังน้นั นกั เรยี นที่ชอบเรียนทัง้ 3 วิชามีจานวน 3 คน

Math Kit EBook ห น้ า 15 บทที่ 2 ตรรกศาสตร์ ประพจน์และการเช่ือมประพจน์ หรอื เปน็ เทจ็ เพียงกรณีเดยี วคอื เท็จหรือเทจ็ ได้เท็จ ค่าความจรงิ เปน็ จริงง่าย และ เปน็ จริงเพยี งกรณีเดียวคอื จริงและจริง ได้จรงิ ค่าความจริงเปน็ จริงยาก ถ้า... แล้ว... เปน็ เท็จเพยี งกรณเี ดยี วคือ ถา้ จริง แลว้ เท็จ ได้เทจ็ กต็ ่อเมอ่ื เป็นจริงตอ่ เม่อื ตัวหนา้ และตัวหลังเหมอื นกัน สมมลู ประพจนท์ ่มี คี ่าความจรงิ เหมอื นกัน สจั นิรันดร์ / สมเหตุสมผล ประพจนท์ ี่มคี า่ ความจรงิ เปน็ จริงทุกกรณี ตรวจสอบให้ทกุ ตัวเปน็ เทจ็ ถา้ เกดิ การขัดแย้ง แสดงว่าเป็นสัจนริ นั ดร์ ตอ้ งเป็นสจั นริ ันดร์ถึงจะสมเหตสุ มผล ตวั บง่ ปรมิ าณ อุปนยั การให้เหตผุ ล (เลขพน้ื ฐาน) นิรนยั บทตรรกศาสตรเ์ ปน็ บททใี่ กลเ้ คยี งกบั เซตมากทสี่ ดุ บทหนง่ึ การดาเนนิ ทางทางเซต เราสามารถใช้ แทนการดาเนนิ การของตรรกศาสตรบ์ างตวั ได้ ตรรกศาสตร์ เซต ค่าความจรงิ เปน็ จรงิ (คอมพลเี มนต์) ค่าความจรงิ เป็นเท็จ (และ) (หรอื ) (นเิ สธ) ตรรกศาสตร์ เปน็ การศกึ ษาเกีย่ วกบั การ วิเคราะห์คา่ ความจริง (จรงิ หรือเท็จ) ของประโยคต่างๆ

Math Kit EBook ห น้ า 16 ตรรกศาสตร์ (Logic) เป็นการศกึ ษาที่ว่าดว้ ยการใหเ้ หตุผล โดยมักจะเปน็ สว่ นสาคญั ของวิชา ปรชั ญา คณติ ศาสตร์ คอมพิวเตอร์ รวมถึงภาษาศาสตร์ ตรรกศาสตร์เปน็ การตรวจสอบขอ้ โตแ้ ย้งที่ สมเหตสุ มผล (valid argument) ประพจน์ (proposition) หมายถงึ ประโยคบอกเล่าหรอื ปฏเิ สธท่ีสามารถบอกได้ วา่ เป็นจริงหรอื เทจ็ เพียงอยา่ งเดยี วเทา่ นั้น เช่น 1+5 = 10 มคี ่าความจรงิ เปน็ เทจ็ ประโยคเปิด (Open Sentence) หมายถงึ ประโยคท่ีติดตัวแปรซง่ึ ไมส่ ามารถบอกว่าเปน็ จรงิ หรอื เท็จได้ แต่เราสามารถทาใหเ้ ป็นประพจน์ได้โดยการแทนคา่ ตัวแปร เช่น x + 1 = 5 ตาราง การเชอ่ื มประพจน์ (compound proposition) สมมูลทีส่ าคัญ p q p q p q p q p q p 1. p q p q q p TT T T T T F 2. (p q) p q TF T F F FF (p q) p q FT T F T F T 3. p (q r) (p q) (p r) FF F F T TT p (q r) (p q) (p r) 4. p q (p q) (q p) ค่าความจรงิ เป็นจรงิ (True) ใชต้ วั ยอ่ T ค่าความจรงิ เป็นเทจ็ (False) ใช้ตวั ย่อ F ตัวเชอ่ื มของประพจนแ์ บ่งไดเ้ ปน็ 4 ชนดิ คอื 1. และ (and) 2. หรอื (or) 3. ถา้ แล้ว (if… then …) 4. กต็ อ่ เม่ือ (… if and only if ..) นิเสธ คอื ค่าความจรงิ จะตรงขา้ มกัน สัจนริ นั ดร์ (Tautology) คอื ประพจน์ทม่ี ีค่าความจรงิ เป็นจรงิ ทกุ กรณี การตรวจสอบ ว่าเปน็ สจั นิรนั ดร์หรอื ไม่ 1. เขยี นตารางคา่ ความจรงิ 2. สมมติใหป้ ระพจน์มคี ่าความจรงิ เป็นเทจ็ แลว้ ตรวจสอบวา่ ขัดแยง้ หรอื ไม่ ถา้ ขดั แย้งแสดงว่าเป็นสจั นริ นั ดร์ 3. a b เป็นสจั นริ นั ดรก์ ็ตอ่ เมอื่ a b

Math Kit EBook ห น้ า 17 ตวั อยา่ งท่ี 1 ให้ p, q, r, s เป็นประพจน์ ถา้ [p (q r)] (s r) มคี ่าความจริงเปน็ จริงและ p s มีค่าความจริงเปน็ เท็จ แล้วข้อใดตอ่ ไปนีถ้ กู (Ent 45 มนี าฯ) 1. p q มคี ่าความจรงิ เปน็ จริง 2. q r มีค่าความจริงเปน็ จริง 3. r s มคี ่าความจริงเป็นเทจ็ 4. s p มคี า่ ความจริงเปน็ เท็จ วธิ ีทาให้พจิ ารณา p s มีคา่ ความจริงเป็นเทจ็ ดงั นั้น p เปน็ เท็จ p จงึ เป็นจรงิ และ s เปน็ เท็จ p เป็นจรงิ q เปน็ จรงิ r เปน็ เท็จ s เปน็ เทจ็ ดงั น้ัน p q มีค่าความจริงเปน็ จริง T T T ตอบข้อ 1

Math Kit EBook ห น้ า 18 การอา้ งเหตุผล Ex เหตุ ให้ P1,P2,P3,…,Pn เป็นเหตุ และ C เป็นผล 1. P Q 2. Q การอา้ งเหตผุ ลจะสมเหตุสมผลกต็ ่อเมอื่ [P1 P ,P3 … Pn] C เปน็ สจั นิรันดร์ ผล P วธิ ที าให้ เหตุ 1. P Q T 2. Q T ผล P F จากเหตุ Q เป็นเทจ็ ทาให้เหตุอนั ท่ี 1 ขดั แย้ง ข้อน้จี งึ สมเหตุสมผล ตัวบง่ ปรมิ าณ (Quantifier) เปน็ ข้อความท่ีใช้บ่งบอกจานวนตัวแปรในประโยคเปิด โดยเกยี่ วข้องกบั สมาชกิ ในเอกภพ สมั พัทธ์ มที ง้ั หมด 2 ชนดิ คือ 1. Universal Quantifier เปน็ ตัวบ่งปริมาณทง้ั หมดของสมาชกิ ในเอกภพสัมพัทธ์ ใช้ x[P(x)] เปน็ สัญลักษณ์ แทนข้อความ สาหรับ x ทุกตัว ค่าความจริง ประพจน์จะเป็นจริง ได้ต่อเม่ือ ทกุ กรณีตอ้ งเปน็ จริง หากเปน็ เท็จแม้แต่กรณเี ดยี วก็เปน็ เทจ็ Ex 1 x[x+1 > 3] { } ประพจนน์ ี้มคี ่าความจริง เปน็ จริงเนอื่ งจากทั้ง 4 ,5 และ 6 นาไปบวก 1 ซึ่งทุกตัวมีคา่ มากกวา่ 3 = I+ Ex 2 x[3x+1 > 5 ] ประพจนน์ มี้ ีค่าความจริงเปน็ เท็จ เมอื่ ถ้า x = 1 2. Existential Quantifier เป็นตวั บง่ ปริมาณบางสงิ่ ของสมาชกิ ในเอกภพสมั พัทธ์ ใช้ x[P(x)] เป็นสญั ลกั ษณ์ แทนขอ้ ความ มี x บางตวั ค่าความจรงิ จะเปน็ จริงได้ตอ่ เมือ่ มี กรณใี ดก็ตามเปน็ จริงเพียงกรณเี ดยี วก็มคี ่าความจริงเปน็ จรงิ ในทางกลับกันถ้าทุกกรณีเปน็ เทจ็ คา่ ความจริงจะมีค่าเป็นเท็จ

Math Kit EBook ห น้ า 19 การหาคา่ ความจริงของตวั บง่ ปรมิ าณ 2 ตัว x y มคี า่ ความจรงิ เมือ่ x และ y ใน แทนค่าแล้วเป็นจรงิ ทกุ กรณี มีโอกาสเกิดจริงยาก x y มีคา่ ความจรงิ เมื่อ x และ y อย่างนอ้ ย 1 คู่ใน แทนคา่ แล้วเป็นจรงิ มีโอกาสเกิดจรงิ งา่ ย x y มคี ่าความจริงเมอื่ x ทกุ คา่ สามารถหาค่า y บางตัวได้ แลว้ จะมีค่าความจริงเป็นจริง x y มีคา่ ความจรงิ เมื่อ x อยา่ งน้อย 1 ตัวทาให้ y ทุกตวั ใน แทนคา่ แล้วเป็นจริง ตัวอย่างวธิ กี ารใช้งาน กาหนดให้ x คือเดก็ ในหอ้ งเรยี นหนงึ่ y คือ สัตวเ์ ลยี้ ง x y คอื เด็กทกุ คนตอ้ งเล้ียงสตั ว์เลี้ยงทกุ ชนดิ x y คือเด็กทุกคนเลียงสัตว์เล้ยี งบางชนดิ x y คอื เด็กบางคนเล้ียงสัตวเ์ ลย้ี งทกุ ชนิด x y คือ เดก็ บางคนเล้ียงสตั วเ์ ล้ียงบางชนดิ

Math Kit EBook ห น้ า 20 ตวั อยา่ งที่ 2 จงหาความจริงต่อไปน้เี มอ่ื กาหนด ={0,1,2,3} x y[x > y] มคี า่ ความจรงิ เปน็ เท็จเชน่ เมอ่ื x = 0 y = 1 เป็นเทจ็ เม่อื เปน็ เท็จกรณใี ดกรณหี น่ึง กม็ คี า่ ความความจริงของตวั บง่ ปริมาณเป็นเท็จทันที x y[x > y] มคี ่าความจริงเป็นจริงเช่น เม่ือ x = 2 y =0 เมื่อมีกรณีใดก็ตามเป็นจริงเพียงกรณี เดียว ก็จะทาใหค้ ่าความความจรงิ ของตวั บ่งปริมาณเป็นจรงิ ทนั ที x y[x > y] มคี า่ ความจรงิ เป็นเทจ็ x y[x > y] มีคา่ ความจรงิ เปน็ เท็จเพราะไมม่ ี x ท่ีสามารถทาให้ y ทุกคา่ เปน็ จริง นิเสธของตวั บ่งปริมาณ ~ x[P(x)] x[~P(x)] ~ x[P(x)] x[~P(x)] ตัวอย่างท่ี 3 กาหนดให้เอกภพสมั พัทธค์ อื {-1,1,2} จงหาค่าความจริงของ x[x2 – x + 6= 0] วิธีทา ใหพ้ ิจารณาคาตอบของสมการ x2 – x + 6= 0 เนอ่ื งจากสมการดังกล่าวไม่สามารถแยกตัวประกอบ เราสามารถใชต้ ัวเลขท่ีโจทย์กาหนด แทนลงในสมการเพอ่ื ตรวจสอบความถูกตอ้ ง (-1)2 + 1 + 6 = 7 (1)2 – 1 + 6 = 6 (2)2 – 2 + 6 = 8 ดงั น้ันค่าความจริงจงึ เปน็ เท็จ

Math Kit EBook ห น้ า 21 ตวั อยา่ งท่ี 4 กาหนดให้ p,q,r และ s เป็นประพจนท์ ี่ ประพจน์ (p q) (r s) มีคา่ ความจรงิ เปน็ เทจ็ ประพจน์ p r มคี ่าความจริงเป็นจริง ประพจนข์ ้อใดต่อไปนม้ี ีค่าความจรงิ เป็นจริง (PAT1 ก.ค. 53) 1. (p q) (q r) 2.q [p (q ~r)] 3. (p s) (r q) 4. (r s) [q (p r)] วธิ ที า จากโจทย์ (p q) (r s) มคี ่าความจรงิ เปน็ เทจ็ ทาใหท้ ราบว่า r และ s มคี ่าความจรงิ เปน็ เท็จเนอ่ื งจาก T F F เม่ือทราบวา่ r เปน็ เทจ็ จะทาให้ p มคี า่ ความจรงิ เป็นเทจ็ เนือ่ งจาก p r มีคา่ ความจรงิ เป็นจริง ดงั นั้น q จงึ มีคา่ ความจริงเป็นเทจ็ ตอบ ขอ้ 2

Math Kit EBook ห น้ า 22 ตวั อย่างที่ 5 ประพจน์ใดท่ีสมมลู กับ ~[(p ~q) (~p v r)] 1.p v (q ~r) 2.p (q v ~r) 3.p v (~ q r) 4.p (~q v r) วธิ ที า ขน้ั แรกใหก้ ระจายนเิ สธจะวา่ [~ (p ~q) v ~ (~p v r)] [~(~p v ~q) v (p ~r)] [(p q) v (p ~r)] [(p (q v ~r)] ตอบ ขอ้ 2 ตวั อย่างที่ 5 กาหนดให้ p,q,r เปน็ ประพจน์ ประพจน์ในขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีไม่เป็นสัจนิรันดร์ 1.(p q) [~r (p q)] 2.(~p v q) (~q ~p) 3.(p q) v (q r) v (~p ~q) 4.[(p q) v r)] [(~p v q) v (~r ~p)] ตอบ ขอ้ 3

Math Kit EBook ห น้ า 23 การใหเ้ หตุผล (เลขพนื้ ฐาน) ส่วนประกอบของการให้เหตุผลแบง่ เป็น 2 แบบดังนี้ 1. ขอ้ อา้ งหรอื เหตุ มักปรากฎคาว่า เพราะว่า เนือ่ งจาก ดว้ ยเหตทุ ว่ี า่ ฯลฯ 2. ขอ้ สรุปหรอื ผล มักปรากฎคาว่า เพราะฉะน้ัน ด้วยเหตุนจ้ี ึง ดัง้นั ฯลฯ ประเภทของการให้เหตผุ ล การใหเ้ หตุผลแบบอุปนัย (Inductive reasoning) เป็นการให้เหตุผลโดยอาศัยขอ้ สังเกต หรอื ผลการทดลองจากหลาย ๆ ตัวอย่าง มาสรปุ เป็นข้อตกลง หรือขอ้ คาดเดาทว่ั ไป หรอื คา พยากรณ์ ซง่ึ จะเห็นวา่ การจะนาเอาข้อสังเกต หรอื ผลการทดลองจากบางหน่วยมาสนบั สนนุ ให้ ไดข้ อ้ ตกลง หรอื ขอ้ ความทว่ั ไปซ่งึ กนิ ความถึงทกุ หน่วย ย่อมไม่สมเหตุสมผล ขอ้ สงั เกตของการใหเ้ หตผุ ลแบบอุปนัย 1. ขอ้ สรุปของอปุ นัย ไมจ่ าเปน็ ต้องเป็นจรงิ เสมอไป 2. ขอ้ สรปุ ของอุปนัยสามารถเกิดข้นึ ได้มากกวา่ 1 คาตอบ 3. ข้อสรปุ ของอปุ นัยสามารถเกดิ ความผิดพลาดไดส้ งู ตวั อย่าง เหตุ 1.หา่ นตวั น้ีสขี าว 2.ห่านตวั น้ันกส็ ขี าว 3.หา่ นตวั โนน้ ก็สีขาว ดังนัน้ ขอ้ สรปุ คอื ห่านทกุ ตวั มสี ขี าว ตวั อยา่ ง เหตุ 1.คอมพิวเตอร์ท่ีบ้านใช้ไฟฟา้ 2.คอมพิวเตอรพ์ กพาใช้ไฟฟ้า 3.คอมพิวเตอร์ในสานักงานใชไ้ ฟฟา้ ดังน้นั ข้อสรปุ คือ คอมพิวเตอรท์ กุ เครื่องใชไ้ ฟฟ้า

Math Kit EBook ห น้ า 24 การใหเ้ หตุผลแบบนิรนัย(Deductive reasoning)เป็นการนาความรู้พื้นฐานท่อี าจเป็น ความเช่ือ ขอ้ ตกลง กฎ หรอื บทนิยาม ซึ่งเป็นส่ิงท่รี ู้มาก่อนและยอมรับว่าเป็นจรงิ เพ่อื หาเหตผุ ล นาไปสขู่ อ้ สรุป ข้อสังเกตของการให้เหตผุ ลแบบนิรนยั 1. เหตุเป็นจริง และ ผลเป็นจริง 2. เหตเุ ป็นเทจ็ และ ผลเปน็ เท็จ 3. ขอ้ สรุปของนริ นัยไมไ่ ดเ้ ป็นจริงทกุ กรณเี สมอไป ตวั อย่าง เหตุ 1.นายจรัสเปน็ มนุษย์ ดังน้นั 2.มนษุ ย์ทกุ คนเป็นส่ิงมชี ีวิต 3.ส่ิงมชี วี ิตตอ้ งการอากาศหายใจ ขอ้ สรุป นายจรัสตอ้ งการอากาศหายใจ ตวั อยา่ ง เหตุ 1.นางสาวกานดาเกิดจงั หวัดเชยี งใหม่ ดังนนั้ 2.จังหวดั เชียงใหมเ่ ปน็ จงั หวดั ท่องเท่ยี ว 3.จงั หวดั เชยี งใหมเ่ ปน็ จงั หวดั ภาคเหนอื ของประเทศไทย ขอ้ สรปุ นางสาวกานดาเกิดในจงั หวดั ทอ่ งเทย่ี วภาคเหนอื ของประเทศไทย ดงั น้ันจึงกล่าวไดว้ ่าการใหเ้ หตผุ ลแบบนิรนัยจะใหค้ วามแน่นอน แตก่ ารให้เหตุผลแบบ อปุ นยั จะใหค้ วามน่าจะเปน็ วธิ กี ารตรวจสอบว่าข้อสรุปสมเหตสุ มผลหรอื ไม่ ใช้แผนภาพเวนน์ – ออยเลอรต์ รวจสอบความสมเหตสุ มผล โดยในการวาดถา้ ทุกแผนภาพ แสดงผลขอ้ สรุปตามที่กาหนดแสดงวา่ ขอ้ สรปุ สมเหตุสมผล แต่ในทางกลับกนั ถ้ามีแผนภาพแม้ เพยี งกรณเี ดยี วทไี่ มส่ มเหตุสมผล แสดงว่าขอ้ สรุปนน้ั ไม่สมเหตสุ มผล

Math Kit EBook ห น้ า 25 ตวั อยา่ งท่ี 1 เหตุ 1.มนุษย์ทกุ คนมหี นวด 2.แมวบางตวั มีหนวด ขอ้ สรุป แมวทกุ ตวั เป็นมนุษย์ จงพจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้ ว่าสมเหตุสมผลหรอื ไม่ วธิ ที า วาดแผนภาพ จากแผนภาพพบว่ามแี มวบางตัวทีม่ ีหนวดแต่ไม่ใช้มนุษย์และแมวบางตวั ไมม่ หี นวด ดังนั้น ข้อสรุป แมวทกุ ตวั เป็นมนุษย์ จีงไม่สมเหตุสมผล ตัวอยา่ งที่ 2 เหตุ 1.คนไทยทกุ คนที่มอี ายตุ ้งั แต่ 7 ปีบริบูรณ์ต้องมีบตั รประชาชน 2.นายกฤษฎา เป็นคนไทย 3.นายกฤษฎา อายุ 17 ปี ขอ้ สรปุ นายกฤษฎา มีบัตรประชาชน จงพิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้ ว่าสมเหตุสมผลหรอื ไม่ วิธที า วาดแผนภาพ จากแผนภาพคนไทยและมีบตั รประชาชนมีนายกฤษฎา ดังนั้น ขอ้ สรุป นายกฤษฎา มบี ัตรประชาชนจงี สมเหตุสมผล

Math Kit EBook ห น้ า 26 ตวั อยา่ งท่ี 3 .จงพิจารณาขอ้ ความต่อไปนแี้ ลว้ ระบุว่าสมเหตุสมผลหรือไม่ เหตุ ชาวนาบางคนรวย คนรวยบางคนเปน็ คนดี ผล คนรวยบางคนไมเ่ ปน็ ชาวนาและไม่เป็นคนดี ตอบไม่สมเหตสุ มผลเพราะมกี รณที ่เี ปน็ เทจ็

Math Kit EBook ห น้ า 27 บทที่ 3 จานวนจริงและทฤษฏจี านวน การแก้สมการ แยกตวั ประกอบ กาลงั 2 มากกว่ากาลัง 2 ใชส้ ตู ร −������ ± ������2− ������������ จับคดู่ ึงตัวร่วม ������ หารสงั เคราะห์ การแกอ้ สมการ แยกตัวประกอบ เขียนเสน้ จานวน ระวังเรือ่ งการใส่เคร่อื งหมาย คา่ สัมบูรณ์ | x | ≤ a -a ≤ x ≤ a | x | ≥ a x ≥ a หรอื x ≤ -a | x | ≥ | y | (x)2 ≥ (y)2 รปู แบบอน่ื ๆแยกชว่ งคิด ทฤษฎีจานวน หารลงตัว a|b อ่านวา่ a หาร b ลงตัว ห.ร.ม. ใช้วิธีของยูคลดิ ค.ร.น. ใช้หารส้นั จานวนจรงิ เปน็ จานวนทีใ่ ช้อยใู่ นชวี ิตประจาวันของเราซ่ึง มที ้ังจานวนบวก จานวนลบ หรือแม้แต่จานวนเต็มศูนย์

Math Kit EBook ห น้ า 28 จานวนจริง(Real Number) คือจานวนที่สามารถเขยี นบนเสน้ ตรงที่มีความยาวไมส่ ้ินสุด (เสน้ จานวน) ได้ คาว่า จานวนจรงิ ซง่ึ ประกอบด้วยจานวนตรรกยะ และจานวนอตกรรกยะ จานวนจริง จานวนเตม็ ประกอบไปด้วยจานวนเตม็ บวก จานวนเตม็ ศูนย์ จานวนเต็มลบ จานวนตรรกยะ จานวนอตรรกยะ จานวนนับ หรือจานวนเต็มบวก ไดแ้ ก่ 1,2,3,... เศษสว่ น จานวนเตม็ จานวนเตม็ ลบ ได้แก่ -1,-2,-3, ... โดยมี จานวนเต็มบวก จานวนเตม็ ศนู ย์ -1 มคี ่ามากทีส่ ุด จานวนเต็มลบ จานวนคู่ คอื จานวนท่ี 2 หารลงตัว จานวนคี่ คอื จานวนที่ 2 หารไม่ลงตัว จานวนตรรกยะ คือจานวนทสี่ ามารถ เขยี นรปู เศษสว่ นได้ เช่น 4 , 3.67 3.4848.. จานวนอตรรกยะคอื จานวนท่ไี มส่ ามารถ เขียนในรปู เศษสว่ นได้ เชน่ 6.5123...,e, สมบตั ิของจานวนจรงิ สมบตั ิ การบวก การคูณ ปดิ ถ้า a และ b เปน็ จานวนจรงิ แลว้ a + b R ถ้า a และ b เป็นจานวนจรงิ แล้ว a x b R สลับที่ a+b=b+a axb=bxa เปลย่ี นกลมุ่ (a + b) + c = a + (b + c) (a b) c=a (b c) เอกลกั ษณ์ อินเวอร์ส 0 1 -a แจกแจง a (b+c) = a b + a c ความรเู้ สริม เอกลกั ษณ์ คอื จานวนซึ่งนาไปดาเนินการกับจานวนใดแลว้ ได้จานวนนั้นแล้วได้ตัวเดิม อนิ เวอร์ส (a-1) คือจานวนก็ตามซึง่ นาไปดาเนินการกับจานวนใดแลว้ จะได้ เอกลกั ษณ์

Math Kit EBook ห น้ า 29 การดาเนินการดว้ ย Operation เครื่องหมายดาเนนิ การ (Operators) หรือ ตวั ดาเนินการ น้ันกาหนดการการกระทาที่เกิด ข้ึนกับตวั แปรและค่าคงที่ โดยที่นิพจนป์ ระกอบด้วยตวั แปร และค่าคงที่ และใช้ตวั ดาเนินการ คานวณเพ่อื ให้ไดค้ า่ ตวั อย่างที่ 1 กาหนด * เป็นตวั ดาเนนิ การในระบบจานวนจริง ให้ a และ b เป็นจานวนจริงบวก ทุก a * b = 2a + b วิธีทา a*a=1 ตอบ 35 b*b=0 ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่า 5 * (10 * 5) 5 * (10 * 5) = 5 * (2(10)+5) = 5 * 25 = 2(5) + 25 = 35 กาหนด * เปน็ ตัวดาเนินการในระบบจานวนจริง ให้ a และ b เปน็ จานวนจริงบวก โดยนยิ ามของ * คือ a * b = 4a + 2b – 1 จงหาเอกลกั ษณ์ของการดาเนนิ การตอ่ ไปน้ี วธิ ีทา กาหนดให้ e เป็นเอกลักษณ์ของการดาเนนิ การ ดงั น้ัน a * e = a จาก a * e = 4a + 2e –1 4a + 2e − 1 = a 2e = 1 – 3a e= 1 – 3a 2 ตอบ 1 – 3a 2

Math Kit EBook ห น้ า 30 การแกส้ มการพหนุ ามดีกรี 2 (Quadratic equation) สมการกาลังสองมรี ูปท่วั ไป คือ ax2 + bx + c = 0 เม่อื x เปน็ ตวั แปร และ a,b,c เป็นค่าคงทีแ่ ละ a ไมเ่ ป็น 0 การแกส้ มการกาลังสอง 1. การสมการโดยการแยกตัวประกอบ − ± 2− 2. ใชส้ ตู ร ขอ้ สงั เกต 4ac > 0 สมการจะมี 2 คาตอบ  ถ้า b2 4ac = 0 สมการจะมี 2 คาตอบทเี่ หมือนกนั  ถ้า b2 4ac < 0 สมการไม่มีคาตอบเป็นจานวนจรงิ  ถ้า b2 คาตอบของสมการจะเป็นจานวนเชงิ ซอ้ น การแก้สมการพหนุ ามดกี รตี ้ังแตก่ าลัง 3 ขึน้ ไป วธิ ีท่ี 1 จับค่ดู งึ ตวั รว่ ม Ex x3 – 2x2 – 6x + 12 = 0 x2(x – 2) – 6(x – 2) = 0 (x2 – 6)(x – 2) = 0 (x – )(x + )(x – 2) = 0 x=– ,2, ความรเู้ สรมิ สมการพหนุ ามดีกรี 3 ในรูป ax3 + bx2 + cx + d = 0 เรียกว่า Cubic equation สมการพหนุ ามดกี รี 4 ในรูป ax4 + bx3 + cx2 + dx +e = 0 เรียกว่า Quartic equation

Math Kit EBook ห น้ า 31 วธิ ีที่ 2 ใช้ทฤษฏีเศษเหลือและหารสังเคราะห์ หลักการแกโ้ จทย์คอื Ex x3 + 4x2 – 7x – 10 = 0 นาสุม่ ตวั เลขไปแทนแล้วทาให้สมการเปน็ ลองแทนเลขพบว่า แทน 2 แล้วสมการเป็นจริง จริง แลว้ นาตัวเลขน้ันไปหารสงั เคราะห์ ตัวเลขที่สุมไปแทนตอ้ งหารตวั เลข ตวั สดุ ท้ายของโจทย์ลงตวั การสมุ่ เราตอ้ งส่มุ ท้งั ค่าบวกและลบ เม่อื ทราบวา่ ใดหารลงตัว แล้วนา สมั ประสิทธจ์ิ ากโจทยม์ าเป็นตวั ต้งั แล้ว หารด้วยจานวนนัน้ (x - 2)(x2 + 6x + 5) = 0 (x - 2)(x + 5)(x + 1)=0 x = 2 , –5 , –1

Math Kit EBook ห น้ า 32 ช่วงและการแกอ้ สมการ ช่วง (Interval) เมอื่ กาหนด a และ b เป็นจานวนจริงโดยท่ี a < b ชว่ งเปดิ (Opened Interval) จาก a ถึง b คอื (a,b) = {x R | a < x< b } ชว่ งปดิ (Closed Interval) จาก a ถงึ b คอื [a,b]={x R | a ≤ x ≤ b } ชว่ งครง่ึ เปดิ ทางขวา (Interval half open on the right) จาก a ถึง b คือ [a,b) = {x R | a ≤ x < b } ชว่ งครงึ่ เปดิ ทางซา้ ย (Interval half open on the left) จาก a ถงึ b คือ (a,b] = {x R | a x ≤ b } หลกั การแก้อสมการ 1. ย้ายข้างเหมือนสมการทกุ อยา่ ง ยกเวน้ ถ้าเอาจานวนลบไปคูณหรือการให้กลับ เครื่องหมาย 2. ยา้ ยข้างจนกว่าด้านหนึง่ จะกลายเปน็ 0 และแยกตัวประกอบ 3. เขียนเสน้ จานวน หาค่าวกิ ฤติ (คือเลขท่ีทาให้ค่าเปน็ 0) 4. ใสเ่ ครือ่ งหมายเปน็ เส้นจานวน Ex จงแก้อสมการต่อไปน้ี x2 – 6x + 2 > -7 ค่า + เกดิ จากการแทนเลขท่ี x2 – 6x + 9 > 0 มากกวา่ 3 แล้วพบว่าทกุ ตัวมีค่า เปน็ บวก เพราะฉะนัน้ เราตอ้ งแทน (x – 3)(x – 3) > 0 เลขลงไปจงึ จะทราบ ช่วงจะเป็น เราจึงสามารถเขยี นเสน้ จานวนไดด้ งั นี้ บวกหรอื ลบ + 3+ เซตคาตอบ คอื R – {3}

Math Kit EBook ห น้ า 33 ตวั อย่างท่ี 3 จงเขยี นเสน้ จานวนของอสมการต่อไปน้ี 1.(x – 3)(5 – x) > 0 2.(x – 6)2(x – 2)(x + 1) < 0 คาตอบ (3,5) คาตอบ (-1,2) คาอธบิ าย หากเรานาตวั เลขทีอ่ ยู่ระหวา่ ง 3 ถงึ คาอธบิ าย หากเรานาตัวเลขท่อี ยู่ระหวา่ ง 3 ถงึ 5 มา 5 มาแทนลงในสมการ มผี ลใหค้ าตอบไดเ้ ป็น แทนลงในสมการ มีผลใหค้ าตอบไดเ้ ปน็ จานวนบวกเสมอ จานวนบวกเสมอ แต่ในทางกลับกัน ถา้ นาช่วงทนี่ อ้ ยกว่า 3 หรอื −− −2 มากกวา่ 5 ไปแทนลงในสมการจะทาใหส้ มการ 4. − ≥0 ไดค้ าตอบเปน็ จานวนลบเสมอ 3.(7 – x)2(x + 3) ≤ 0 ตอบ (∞,-3] {7} ตอบ (-∞,-2) (1,3] {2} คาอธบิ าย ท่เี ราไมร่ วม -2 กับ 1 มาเป็นคาตอบเพราะถา้ ถ้านามารวมเป็นคาตอบจะทาใหส้ ว่ นเปน็ 0 แลว้ หาคา่ ไม่ได้ ตัวอย่างที่ 4 จงหาเซตคาตอบของ − < –1 วิธที า − + 1 < 0 คาแนะนาถา้ เปน็ เศษสว่ นแลว้ มีตวั แปรซงึ่ ไมท่ ราบวา่ จะเป็นบวกหรือลบห้ามคูณไขว้ − − <0 − − <0 เซตของช่วงคาตอบคือ (1,2)

Math Kit EBook ห น้ า 34 คา่ สัมบรู ณ์ นยิ าม สาหรับจานวนจรงิ ใดๆ a, ค่าสมั บูรณข์ อง a เขยี นแทนดว้ ย |a| เท่ากับ a ถา้ a ≥ 0 และ เท่ากับ −a ถา้ a < 0 |a| จะไมเ่ ปน็ จานวนลบ ค่าสมั บูรณจ์ ะเป็นจานวนบวกหรอื ศูนย์เสมอ นั่นคอื จะไม่มีค่า a ที่ |a| < 0 |x| = |–x| |x – y| =| y – x | |x + y| ≤ |x| + |y| |x – y| ≥ |x| – |y| |x • y| = |x||y| | | = ; y ≠ 0 |xn| = |x|n |x2|=x2 การแกอ้ สมการค่าสมบูรณ์ตวั เดยี ว การแก้อสมการค่าสมบูรณส์ องตวั | x | ≤ a -a ≤ x ≤ a | x | เครอ่ื งหมายอสมการ | a | ใหย้ กกาลงั สองทงั้ ตวั อย่าง สองขา้ ง ตวั อยา่ ง |x-3|<5 -5 < x - 3 < 5 | 4x + 3 | > | 3x - 1 | -2 < x < 8 (4x + 3)2 > (3x – 1)2 | x | ≥ a x ≥ a หรอื x ≤ -a (4x + 3 )2 - (3x – 1)2 > 0 ตวั อยา่ ง (4x+3-3x+1)(4x+3+3x-1) > 0 |x–2|>7 (x + 4)(7x + 2) > 0 x – 2 > 7 หรอื x – 2 < -7 x > 9 หรอื x < -5 + -4 - -+ การแกอ้ สมการคา่ สมบูรณร์ ูปแบบอ่นื ๆ ตวั อย่าง |x-3|+|x-1|≤2 นาคาตอบที่ได้มา x≤1 1≤x≤3 x≥3 อนิ เตอร์เชกชันกบั - (x-3) - (x-1) ≤ 2 -(x-3) + (x-1) ≤ 2 (x-3)+(x-1) ≤ 2 ช่วง -2x+4 ≤ 2 2 ≤ 2 จริง 2x -4 ≤ 2 -2x ≤ -2 2x ≤ 6 x≥ 4 ได้ 1 ≤ x ≤ 3 x≤3 ช่วงน้ีไม่มีคาตอบ ช่วงนี้ไม่มีคาตอบ นาตอบทกุ ช่วงมายเู นยี นกัน เซตคาตอบคอื ช่วง [1,3]

Math Kit EBook ห น้ า 35 ทฤษฏจี านวน การหารลงตัว Ex จงแสดงว่า 4|20 n|m คอื n หาร m ลงตวั หรอื กล่าวว่า m ถูก n วิธีทา 20 = 4×5 + 0 หารลงตัว เศษเปน็ 0 แสดงวา่ 4 หาร 20 ลงตวั n คือตัวหาร m คือพหุคณู ของ n ขั้นตอนการหาร (15,25) = 5 เพราะ 5 คอื จานวนเตม็ บวกท่มี าก m = n(q) + r ทสี่ ุด ทีห่ ารทง้ั 15 และ 25 ลงตวั m คือตัวต้งั n คือตวั หาร q คือผลหาร r คอื เศษ Ex จงหา ห.ร.ม. ของ 14 และ 58 ห.ร.ม. (a,b) แทน ห.ร.ม. ของ a และ b คือ จานวนเตม็ บวกท่มี ากท่ีสดุ ทห่ี าร a และ b ลงตัว 58 = 14(4) + 2 ข้ันตอนของยุคลิด 14 = 2(7) + 0 1) ต้องการหา ห.ร.ม. ของ a,b ให้ใช้วธิ กี ารหาร 2) (a,b) = ( ตวั หาร , เศษเหลือ ) ดังนัน้ (14,58) = 2 3) ทาข้นั ตอน 2 ไปเรอ่ื ยๆ จนกวา่ เศษจะเปน็ 0 4) เศษเหลอื ตัวสดุ ท้ายของการหารกอ่ นเศษเป็น 0 Ex จงหาค.ร.น. ของ 4 กับ 6 คือ ห.ร.ม. 4 • 6 = ห.ร.ม. • ค.ร.น. ค.ร.น. [a,b] แทน ค.ร.น. ของ a และ b คอื จานวน 24 = 2 • ค.ร.น. เตม็ บวกทน่ี ้อยทสี่ ดุ ที่หารดว้ ย a และ b ลงตวั ดงั นั้น ค.ร.น. = 12 ทฤษฏบี ท a และ b คือจานวนเต็มบวก แล้ว จานวนเฉพาะสัมพทั ธ์ a•b = (a,b) • [a,b] a,b เป็นจานวนเฉพาะสัมพัทธ์ เม่อื (a,b) = 1 หารรว่ มมากและคณู รว่ มน้อย หารร่วมมากคือจานวนเต็มบวกท่มี ีค่ามากท่สี ดุ ซงึ่ หารจานวนทเี่ ราสนใจอยา่ งนอ้ ย 2 ตวั ลงตวั หรือจะกลา่ วตามนยิ ามวา่ เมอ่ื กาหนด d เปน็ ตัวหารร่วมมากของ a และ b ซึง่ a หรอื b หา้ มเป็น 0ก็ ต่อเม่ือ d | a และ d | b และเราแทนห.ร.ม.ทีบ่ วกบวกของ a,b ด้วย (m,n) อย่าสับสนกับเร่อื งชว่ งของอสมการนะครับ

Math Kit EBook ห น้ า 36 Ex จงหาห.ร.ม. ของ 146 และ 192 วธิ ีทาให้ใช้ขน้ั ตอนวธิ ีการหารดังน้ี 192 = 146(1) + 48 146 = 48(3) + 2 48 = 2(24) + 0 ห.ร.ม.ของ 146 และ 192 คอื 2 เพราะ 2 คอื จานวนเต็มบวกทีม่ ีค่ามากทีส่ ดุ ทีห่ ารท้ัง 146 และ 192 ลงตัว คณู รว่ มน้อยคอื จานวนเตม็ บวกซง่ึ มคี า่ นอ้ ยท่ีสุดถกู หารดว้ ยที่จานวนทเ่ี ราสนใจอยา่ งนอ้ ย 2 ตวั ลง ตวั หรือจะกลา่ วตามนิยามวา่ เมอ่ื กาหนด d เป็นคณู ร่วมน้อยของ a และ b ซง่ึ a หรอื b หา้ มเปน็ 0 ก็ ตอ่ เม่ือ a | d และ b | d และเราแทนค.ร.น.ทบ่ี วกบวกของ a,b ด้วย [m,n] อยา่ สับสนกับเรอื่ งชว่ งของอสมการนะครับ Ex จงหาค.ร.น.ของ 34 และ 112 วธิ ที า เราสามารถทาไดห้ ลายวธิ เี ชน่ ใชท้ ฤษฎีบท a • b = (a,b) • [a,b] การหารสั้น การแยกตัวประกอบ สาหรับวธิ ที ง่ี ่ายทีส่ ดุ และรวดเร็วคือการตง้ั หารส้นั 2×17×56 = 1904 ดงั นั้น ค.ร.น.ของ34 และ 112 คอื 1,904 เพราะ 1,904 คอื จานวนเป็นบวกท่ีน้อยที่สดุ ท่ี 34|1,904 และ 112|1,904

Math Kit EBook ห น้ า 37 ตัวอยา่ งท่ี 5 กาหนดให้ S = , | 2− ≥ 2− - ชว่ งใดตอ่ ไปน้เี ปน็ สับเซตของ S (PAT1) 1.(-∞,-3) 2.(-1,0.5) 3.(-0.5,2) 4.(1,∞) วธิ ที า − − ≥ − ≥ (-∞,-4) (-1,1) (2, ∞) ≥ ≥ ตอบข้อ 2 สงั เกตได้ว่า (-1,0.5)เปน็ สบั เซตของเซต S ตัวอย่างท่ี 6 กาหนด S ={x | =1} เซตในข้อใดต่อไปนีเ้ ทา่ กับเซต S (PAT1) 1. {x| x3=1} 2.{x|x2=1} 3.{x|x3=-1} 4.{x4=x} วิธีทา จากเซต S เราสามารถเขยี นแจกแจงสมาชกิ ไดด้ ังนี้ {1,-1} พิจารณาคาตอบ 1.{x| x3=1} สามารถเขียนแจกแจงสมาชกิ ได้ดังนี้ {1} 2.{x|x2=1} สามารถเขยี นแจกแจงสมาชิกได้ดงั น้ี {1,-1} เน่ืองจากทัง้ คู่เมอ่ื นาไปยกกาลังสองแลว้ จะมีคา่ เท่ากบั 1 3.{x|x3=-1} สามารถเขยี นแจกแจงสมาชกิ ได้ดงั นี้ {-1} 4.{x4=x} สามารถเขียนแจกแจงสมาชกิ ไดด้ ังนี้ {0,1} เนอ่ื งจากค่า x = x4 ซ่ึง x4เป็นได้เพยี งจานวนเตม็ บวกเท่านัน้ ดงั น้นั จงึ ทาให้ x ต้องเป็นจานวนเตม็ บวก ไปด้วย ตอบ ข้อ 2

Math Kit EBook ห น้ า 38 ตัวอย่างที่ 7 ถ้าเซตคาตอบของอสมการ |x2 + x - 2| < (x + 2) คือชว่ ง (a,b) แลว้ a+b มีคา่ เท่ากับเทา่ ใด (A-NET มนี าคม 50) วิธที า จากนยิ ามของค่าสัมบูรณจ์ ะได้ – (x + 2) < x2 + x – 2 < x + 2 – (x + 2) < x2 + x – 2 x2 + x – 2 < x + 2 0 < x2 + 2x x2 < 4 0 < x(x + 2) x < -2,2 นาทง้ั สองช่วงมาอนิ เตอร์เซกชันกัน จากรูปช่วงทซี่ า้ กนั คือ (0,2) ดงั น้ัน 0 + 2 = 2 ดงั น้ันตอบ 2 ตวั อย่างที่ 4 กาหนดให้ A = {x | (2x+1)(x-1) < 2} B = {x | |2x-10| < 2} C เปน็ เซตของ A B จงหาเซตคาตอบของ (A B) C วธิ ีทา พิจารณา A = (2x+1)(x-1) < 2 ใหจ้ ัดรูปให้ฝั่งหนง่ึ มีค่าเป็นศูนย์ 2x2 – x – 3 < 0 (2x-3)(x+1) < 0 พจิ ารณา B = -2< 2x - 10 < 2 8 < 2x < 12 4< x <6 พิจารณา C คือ A B = (A B) C = (A B) ดังน้นั ตอบ A B = (-1,1.5) (4,6

Math Kit EBook ห น้ า 39 บทที่ 4 ความสมั พนั ธแ์ ละฟังกช์ ัน ความสัมพันธ์ ผลคูณคาร์ทเี ชียน A x B = {(x,y) | x A y B } โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ โดเมนคอื คา่ x ในคูอ่ นั ดับ (x,y) เรนจค์ ือ ค่า y ในคู่อนั ดับ (x,y) อินเวอร์สของความสัมพันธ์ สลับท่ี x กับ y ฟังก์ชนั y = f(x) ประเภทของฟังกนั ฟงั ก์ชัน A ไป B (into function) ฟังก์ชนั A ไปทวั่ ถึง B (onto function) ฟงั กช์ นั หน่ึงตอ่ หนึ่ง(1-1 function) อนิ เวอรส์ ของฟังก์ชัน สลับที่ x กับ y ตรวจสอบว่าฟังกช์ นั หรือไม่ ฟังกช์ ันประกอบ gof(x) = g(f(x) แทนคา่ f(x) ลงใน g(x) ฟงั กช์ นั เอกลักษณ์ fof-1(x) = x การดาเนนิ การของฟังก์ชนั (f+g)(x) = f(x) + g(x) ; Df+g = Df Dg (f-g)(x) = f(x) – g(x) ; Df-g = Df Dg (f⋅g)(x) = f(x) ⋅ g(x) ; Df•g = Df Dg (gf )(x) = f ; g(x) ≠ 0 และ D f = Df Dg g g โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน ความสมั พนั ธ์และฟงั กช์ นั เป็นพ้ืนฐานในการแกป้ ัญหาท่ี เกยี่ วข้องกบั ตวั แปรและเป็นพืน้ ฐานของคณติ ศาสตรใ์ นระดบั ที่ สงู ตอ่ ไป

Math Kit EBook ห น้ า 40 คอู่ ันดับ (Order Pair) เป็นการจับคสู่ ิง่ ของโดยถือลาดับเป็นสาคญั เช่น คู่อันดบั a, b จะ เขียนแทนด้วย (a, b) เรยี ก a ว่าเป็นสมาชกิ ตวั หน้า และเรียก b วา่ เป็นสมาชิกตัวหลงั (การเทา่ กับของคู่อนั ดบั ) (a, b) = (c, d) กต็ อ่ เมอ่ื a = c และ b = d ผลคณู คารท์ เี ชยี น (Cartesian Product) ผลคูณคาร์ทเี ซยี นของเซต A และเซต B คือ เซตของคูอ่ นั ดับ (a, b) ทงั้ หมด โดยท่ี a เป็น สมาชิกของเซต A และ b เปน็ สมาชกิ ของเซต B สญั ลกั ษณ์ ผลคณู คาร์ทเี ซียนของเซต A และเซต B เขยี นแทนดว้ ย A x B หรอื เขยี นในรูปเซต แบบบอกเงอ่ื นไขจะได้วา่ A x B = {(x,y) | x A y B } ตัวอยา่ ง A ={1,2,3} B = {a,b} A x B = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)} ดังนน้ั จานวนสมาชิกทง้ั หมดคอื n(A) x n(B) = 3 x 2 = 6 ความสมั พนั ธ์ (Relation) คอื เซตของคอู่ ันดับซึ่งเป็นสับเซตของ A x B กาหนดให้ r เป็นความสัมพนั ธจ์ าก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r เปน็ สับเซตของ A x B ขอ้ ควรรเู้ กยี่ วกบั ความสมั พนั ธ์ 1. เซตว่างเป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B เพราะ เซตว่างเปน็ สับเซตของทกุ เซต 2. ถา้ ความสัมพนั ธ์ A B และ B C แล้ว ความสมั พนั ธ์ A C 3. จานวนความสัมพันธ์ของ A ไป B คอื 2n(A x B) 4. ถ้าไมม่ ีกาหนดขอบเขตของความสัมพันธ์ ใหถ้ ือวา่ ขอบเขตของความสมั พนั ธค์ ือ จานวนจรงิ เมอื่ A และ B เป็นจานวนจรงิ แล้ว A x B R x R 5. x r y คอื x มคี วามสัมพนั ธ์ r กบั y สามารถเขยี นอยูใ่ นรปู (x,y) r 6. x r y คอื x ไม่มีความสมั พันธ์ r กบั y สามารถเขยี นอย่ใู นรปู (x,y) r ตวั อย่าง (9,3) r คอื 9 r 3 อา่ นวา่ 9 มคี วามสมั พันธก์ บั 3 “เปน็ 3 เทา่ ” โดเมน (Domain) และ เรนจ์ (Range) 1. โดเมน (Domain) ของความสมั พนั ธ์ r คอื เซตที่มีสมาชิกตวั หน้าของทุกคอู่ นั ดบั ในความสมั พนั ธ์ r ใช้ สัญลกั ษณแ์ ทนด้วย Dr ดงั นน้ั Dr = {x | (x, y) r} 2. เรนจ์ (Range) ของความสมั พันธ์ r คอื เซตทม่ี ีสมาชิกตัวหลังของทุกค่อู ันดบั ในความสมั พนั ธ์ r ใช้ สญั ลกั ษณแ์ ทนดว้ ย Rr ดงั น้นั Rr = {y | (x, y) r}

Math Kit EBook ห น้ า 41 การตรวจสอบข้อจากดั ของโดเมนและเรนจข์ องความสมั พนั ธ์ ตรวจสอบโดเมน จัด y ในเทอม x ตรวจสอบเรนจ์ จัด x ในเทอม y 1.ในรูปแบบเศษส่วน แนวคิด ส่วนห้ามเปน็ 0 เน่ืองจากสว่ นเปน็ 0 แล้วหาคา่ ไมไ่ ด้ ตวั อยา่ งที่ 1 r = , - จงพิจารณาหาโดเมนและเรนจ์ ตรวจสอบโดเมน จากความสมั พนั ธ์ ส่วนห้ามเป็นศนู ย์ คือ x+2 ≠0 x ≠ -2 ตรวจสอบเรนจ์ ใหจ้ ดั x ในเทอม y คือ r=, - r=, - r=, −- จากความสมั พนั ธ์ ส่วนห้ามเป็นศูนย์ คือ y≠0 ตอบ โดเมนคือ (-∞,-2) (-2, ∞) หรอื R – {-2} เรจนค์ อื (-∞,0) (0, ∞) หรือ R – {0} 2.ในรปู ของยกกาลัง 2 แนวคิด

Math Kit EBook ห น้ า 42 ตัวอย่างท่ี 2 r = {(x,y)| y = (x−3)2 } จงพิจารณาหาโดเมนและเรนจ์ ตอบ โดเมน คอื จานวนจริง {x | x R} เรนจ์ คอื จานวนจรงิ ซึง่ มีค่ามากกว่าหรอื เท่ากับ 0 {y | y ≥ 0 } 3.ในรูปในเคร่ืองหมายกรณฑ์ แนวคิด จะพบว่า A ≥0 เน่อื งจากในเรือ่ งความสัมพนธ์จะมีจานวนจริงเป็นเอกภพสมั พทั ธ์ จะ ทาให้ ค่าของ A ตดิ ลบไมไ่ ดใ้ นเรอ่ื งของจานวนจริง ตวั อยา่ งที่ 3 r = {(x,y)| y = } จงพิจารณาหาโดเมนและเรนจ์ 2x – 8 ≥ 0 2x ≥ 8 x ≥4 ตอบ โดเมน คือจานวนจรงิ {x | x ≥ 4} เรนจ์ คอื จานวนจรงิ ซึง่ มคี ่ามากกว่าหรือเทา่ กับ 0 {y | y ≥ 0 } 4.ในรูปเครอ่ื งหมายค่าสัมบรู ณ์ แนวคดิ ตัวอย่างที่ 4 r = {(x,y)| y = |5 – 2x|} จงพิจารณาหาโดเมนและเรนจ์ ตอบ โดเมน คอื จานวนจริง {x | x R} เรนจ์ คอื จานวนจรงิ ซึ่งมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ 0 {y | y ≥ 0 }

Math Kit EBook ห น้ า 43 5.ประยกุ ต์โดยใชก้ ราฟ แลว้ พจิ ารณาจากกราฟ ค่า x คือโดเมน ค่า y คอื เรนจ์ ตวั อยา่ งท่ี 5 r = {(x,y)| |x|+|y| = 4} จงพิจารณาหาโดเมนและเรนจ์ สามารถวาดกราฟได้ ตอบ โดเมน คอื {x | −4 ≤ x ≤ 4 } เรนจ์ คือ {y | −4 ≤ y ≤ 4 } กราฟ วงกลม วงรี พาราโบลา ไฮเปอรโ์ บลา สามารถศกึ ษาไดจ้ ากบทเรขาคณติ วเิ คราะห์ ฟงั กช์ นั (Function) คือ ความสัมพันธ์ ซง่ึ ในสองคู่อนั ดบั ใด ๆ ของความสัมพนั ธน์ ้ัน ถา้ มสี มาชกิ ตัวหน้าเท่ากนั แล้ว สมาชิกตัวหลังตอ้ งไม่แตกต่างกนั ฟงั กช์ นั A ไป B (into function) คือฟงั ก์ชันท่ีใช้สมาชิกตัวหน้าครบทุกตัว Df = A Rf B เขียนสัญลกั ษณ์แทนด้วย f: A B ฟงั กช์ นั A ไปทวั่ ถงึ B (onto function) คือฟังก์ชันที่ใช้สมาชกิ ตัวหน้าและตัวหลงั ครบทกุ ตวั Df = A Rf B เขยี นสัญลักษณ์แทนดว้ ย f: A ทว่ั ถงึ B ฟงั กช์ นั หนง่ึ ตอ่ หนง่ึ (1-1 function) คอื ฟงั ก์ชนั ทต่ี ัวหลัง (y) สามารถจับคู่กบั สมาชกิ ตัว หนา้ x เพยี ง 1 ตวั เทา่ น้นั เขยี นสญั ลกั ษณแ์ ทนด้วย f: A 1-1 B การตรวจสอบความสัมพนั ธ์ว่าเป็นฟังก์ชนั เราสามารถทดสอบว่าความสัมพันธ์นัน้ เป็นฟงั ก์ชันหรือไม่โดยการลากเสน้ แนวขนาน แนวแกน y หาก ตดั กราฟมากกว่า 1 จดุ แสดงว่าความสมั พนั ธ์น้ันไมเ่ ป็นฟังก์ชัน

Math Kit EBook ห น้ า 44 กราฟนเ้ี ปน็ ฟังก์ชัน กราฟน้ไี มเ่ ปน็ ฟังก์ชนั สาหรับการพจิ ารณาวา่ ฟังก์ชนั เป็นฟงั ก์ชันหนงึ่ ตอ่ หน่ึงหรือไม่ เราลากแนวเสน้ ขนานแกน x ถา้ เส้นตดั กราฟมากกว่า 1 จดุ แสดงวา่ ฟงั กช์ ันไมใ่ ช่ฟังก์ชนั หน่ึงตอ่ หนง่ึ กราฟน้ีเป็นฟงั ก์ชันหนง่ึ ต่อหนง่ึ กราฟนี้ไมเ่ ปน็ ฟังก์ชนั หนึง่ ตอ่ หน่ึง ประเภทของฟงั ก์ชัน ฟงั กช์ ันลด ฟงั กช์ ันเพิม่ เม่ือ f เปน็ ฟงั กช์ ัน ถา้ x1 < x2 แล้ว f(x1) > f(x2) เม่ือ f เปน็ ฟังกช์ ัน ถา้ x1 <x2 แลว้ f(x1) < f(x2) สญั ลักษณข์ องฟังก์ชัน ถ้า f เป็นฟังกช์ ันเราจะเรยี น y = f(x) โดย (x,y) f

Math Kit EBook ห น้ า 45 ตวั อย่างที่ 1 f={(1,2),(3,4),(5,6)} ตัวอยา่ งที่ 2 f(x) =x2+3x-1 จงหา f(2) f(1) = 2 f(2) = (2)2+3(2)-1 f(5) = 6 f(2) = 9 ตัวอยา่ งท่ี 3 f(2x+6) = 3x-4จงหา f(2) ตวั อย่างท่ี 4 f(2x-1) = 4x + 5 จงหา f(x) f(2) = 3(−2) − 4 f(x) = 4[ ]+5 = −10 = 2(x+1)+5 วธิ คี ดิ จบั ก้อนขา้ งใน f( ) = = 2x+7 จานวนทโี่ จทยต์ ้องการ 2x+6 = 2 ระวงั 2x = -4 x =-2 2x1 – 1 = x2 2x1 = x2 + 1 x1 = ������2 ฟังกช์ ันผกผนั อินเวอรส์ ของความสมั พันธ์ (r-1) คอื Ex ความสัมพนั ธท์ เี่ กดิ จากการสลับสมาชิกตวั หนา้ r = {(1,2),(3,4),(5,6)} กับสมาชกิ ตัวหลงั r-1={(2,1),(4,3),(6,5)} กราฟของอินเวอร์สของความสมั พันธ์ f(x) f-1(x)

Math Kit EBook ห น้ า 46 อินเวอร์สของฟงั กช์ ัน คอื ฟังก์ชนั ทเ่ี กิดจากการ Ex สลับสมาชิกตวั หน้ากับสมาชกิ ตัวหลงั f={(x,y) I+ x I | y = 2x+1} f-1={(y,x) I x I+ | y = 2x+1} หรือ f-1={(x,y) I x I+ | x = 2y+1} ซึ่งสามารถจัดรปู ไดด้ ังน้ี f-1={(x,y) I x I+ | y = − } ความสัมพนั ธ์ระหวา่ ง f(x) และ f-1(x) 1. f-1(x) เปน็ ฟังก์ชัน 1 – 1 2. D f = Rf 3. R f = Df รูปแบบการแก้ปญั หาอนิ เวอรส์ ของฟงั ก์ชนั อนิ เวอร์สในรูปค่อู นั ดบั Ex f = {(1,2),(3,4),(5,6)} จงหา f-1 (4) f-1={(2,1),(4,3),(6,5)} f-1 (4) = 3

Math Kit EBook ห น้ า 47 อินเวอรส์ ในรูปสมการปกติ Ex f(x) = 3x +1 จงหา f-1 (2) − จงหา f-1 (2) Ex f(x) = − y = 3x +1 สลับที่ x และ y y= สลบั ที่ x และ y x = 3y +1 − y= − f-1 (x) = − x= f-1 (2) = x(6y+5) = 4y – 1 x(6y+5) +1 = 4y 6xy – 4y + 5x +1 = 0 f-1 (x) = − y(6x-4) = - 5x – 1 f-1 (2) = − −− y= − − − ± Ex f(x) = ± f-1(x) = −± ±− อินเวอรส์ ในรูปไม่สมการปกติ แนวคิดให้สลับกอ้ นข้านใน f( )= เปน็ f-1 ( ) = Ex f(4x+1) = 2x – 2 จงหา f-1(-2) กาหนด A แทน x2 f-1(2x – 2) = 4x +1 2x – 2 = A f-1(x) = 4[ ] +1 f-1(x) = 2(x+2) +1 x= f-1(x) = 4x+5 f-1(-2) = 4(-2) +5 = –3

Math Kit EBook ห น้ า 48 ฟังก์ชนั ประกอบ (Composite Function) gof(x) = g(f(x)) ทุก x Dgof และจะหาคา่ ได้เมอ่ื Ex f(x) = x2+3 g(x) = -x +5 Rf Dg ≠ จงหา gof(1) วธิ ที า g(f(1)) = g(12+3) = g(4) = -4 + 5 =1 ฟังก์ชันเอกลักษณ์ (fof-1)(x) = x และ (f-1of)(x) =x แต่ (f-1ogof)(x) ≠ x ตัวอย่าง f(x) = 3x+7 จงหา (fof-1)(5) ตอบ 5 เพราะเป็นฟังก์ชันเอกลักษณ์ ฟังก์ชนั ประกอบอนิ เวอร์ส (fog)-1(x) = g-1of-1 (x) การดาเนินการของฟังก์ชนั (f+g)(x) = f(x) + g(x) ; Df+g = Df Dg Ex 1 (f-g)(x) = f(x) – g(x) ; Df-g = Df Dg f = {(1,-1),(3,2)} g(x)={(1,2),(7,3)} (f⋅g)(x) = f(x) ⋅ g(x) ; Df•g = Df Dg (f+g)(x) = {(1,1)} (gf )(x) = f ; g(x) ≠ 0 และ D f = Df Dg (f-g)(x) = {(1,-3)} g g (f⋅g)(x) = {(1,-2)} (gf)(x) ={(1, )} Ex2 กาหนด f(x)= -x+5 และ g(x) = 2x+6 (f+g)(x) = (-x+5) + (2x+6) = x+11 (f-g)(x) = (-x+5) - (2x+6) = -3x-1 (f⋅g)(x) = (-x+5)(2x+6) =-2x2+x+30 (gf)(x) = −

Math Kit EBook ห น้ า 49 ตัวอยา่ งท่ี 5 กาหนดให้ f ={(1,2),(2,7),(3,4),(4,1),(5,6)} ก. จงหา f(f(1)) ข. จงหา f-1(f(3)) วิธีทา f(f(1)) = f(2) f-1 ={(2,1),(7,2),(4,3),(1,4),(6,5)} ตอบ 7 f(2) = 7 f-1(f(3)) = f-1(4) f-1(4) = 3 ตอบ 3 ตวั อย่างที่ 6 กาหนดให้ f(0) = 10 และ f(x+1) = f(x) + 5 จงหา f(20) วิธีทา พิจารณา f(1) คือ (f(0)) +5 = 15 (เกิดจาก 15 + 0(5)) พิจารณา f(2) คอื (f(1)) +5 = 20 (เกดิ จาก 15 + 1(5)) พจิ ารณา f(3) คอื (f(2)) +5 = 25 (เกิดจาก 15 + 2(5)) f(20) เกิดจาก 15 + 19(5) = 110 ตอบ 110

Math Kit EBook ห น้ า 50 บทที่ 5 เรขาคณิตวิเคราะหแ์ ละภาคตดั กรวย จดุ ระยะห่างระหว่างจดุ จุดแบง่ เสน้ ตรง จุดตัดเส้นมธั ยฐาน พ้นื ที่ n เหลีย่ ม เสน้ ตรง สมการเส้นตรง ความชันเส้นตรง ระยะห่างระหวา่ งจดุ กับเส้นตรง ระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับเส้นตรง การเลอ่ื นแกนขนาน วงกลม วงรี พาราโบลา ไฮเพอร์โบลา เรขาคณติ วเิ คราะหแ์ ละภาคตดั กรวย เปน็ การคานวณเกยี่ วกับ รปู เรขาคณติ ซง่ึ เขียนกราฟในระบบพิกดั ฉาก