สรุปแก่นคณิตศาสตร์ ม.ปลาย

Math Kit Ebook ห น้ า 151 ขอ้ มูลกลุ่ม =√∑ ; ประชากร =√∑ 2 กลุ่มตวั อย่าง SD SD =√∑ ;̅ = √∑ ; ;1 ;1 2 เรียกว่าความแปรปรวน (Variance) หรอื ใช้ สญั ลกั ษณ์ 2 สมบตั ิของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1.สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานมีคา่ เป็นบวกเสมอ ในกรณีที่สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานมคี า่ เป็น 0 แสดงวา่ ข้อมลู ชุดนน้ั ในแต่ละค่าไมแ่ ตกต่างจากค่าเฉลี่ยเลขคณิต 2.ส่วนเบย่ี งเบนเป็นการวัดการกระจายที่ใหค้ ่าลักษณะขอ้ มูลได้ละเอยี ดและดีที่สดุ และเปน็ การวดั การกระจายทใ่ี ช้กนั มากท่ีสดุ 3.ถา้ นาค่าคงตวั (k) ไปบวกหรอื ลบข้อมูลทุกค่าในข้อมูล สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานจะมีคา่ เทา่ กบั สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานของขอ้ มูลชดุ เดิม 4.ถา้ นาค่าคงตัว (k) ไปคูณทกุ คา่ ในข้อมูล ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะมีค่าเท่ากับ Sใหม่ = | k | Sเดิม

Math Kit Ebook ห น้ า 152 แผนภาพกลอ่ ง (Box - plot) โดยแต่ละส่วนจะมีจานวนประชากรร้อยละ 25 ของประชากรทั้งหมด ความสมั พันธ์ระหวา่ งการแจกแจงความถ่ี ค่ากลางและการกระจายของข้อมูล จากภาพเปน็ การแจกแจงในรปู ของโค้งปกติ โคง้ เบ้ขวา โค้งเบซ้ ้าย

Math Kit Ebook ห น้ า 153 ค่ามาตรฐาน (standard value :Z) ;̅ ;̅ หรอื คณุ สมบัตขิ องคา่ มาตรฐาน 1. ∑ = 0 เสมอ 2. ค่าเฉลยเลขคณติ ของ z มีคา่ เป็น 0 เสมอ 3. สว่ นเบย่ี งเบนของ z คือ 1 เสมอ 4. ∑ 2 ของขอ้ มูลประชากรจะเป็น N แต่ ∑ 2 ของกลมุ่ ตวั อยา่ งจะเป็น N – 1 พ้ืนท่ใี ตเ้ สน้ โค้งปกติ 68.27% 95.45% 99.73% Z เส้นโค้งแจกแจงปกติจะมลี ักษณะสมมาตร คอื พน้ื ที่ทางดา้ นซ้ายนของ คา่ เฉล่ยี เลขคณติ กบั พืน้ ที่ ทางขวาของคา่ เฉลยี่ เลขคณติ เทา่ กันคือ 50% ของพืน้ ทีท่ ง้ั หมด

Math Kit Ebook ห น้ า 154 พื้นทใี่ ต้เส้นโค้งปกติ คา่ z 0 ถึง 1 มคี า่ ประมาณ 0.3413 ค่า z 0 ถงึ 2 มคี า่ ประมาณ 0.4772 ค่า z 0 ถงึ 3 มีค่าประมาณ 0.4987

Math Kit Ebook ห น้ า 155 ความสัมพันธเ์ ชงิ ฟังก์ชัน ความสัมพนั ธเ์ ชงิ ฟังก์ชัน แบ่งออกเป็น 3 ประเภท คือแบบ เสน้ ตรง พาราโบลา และ เอกซ์โพเนนเซยี ล ปกติขอ้ สอบ Ent จะออกแบบเสน้ ตรงเป็นหลัก 1.ความสัมพนั ธเ์ ชงิ ฟงั ก์ชันแบบเสน้ ตรง มสี มการเปน็ ̂ = ax +b (ทานายค่า y) จากสมการปกติ คือ ∑ ∑ Nb ----- (1) ∑ ∑ 2 ∑ – (2) ท่มี าของสมการปกติ (1) เกิดจากสมการทานาย y = ax + b คณู ด้วยซกิ มา (∑) ∑ y = ∑ (ax + b) ∑y=a∑x+∑b ∑ y = a ∑ x + N(b) จากสมบตั ิของซกิ มาค่าคงท่ี ทม่ี าของสมการปกติ (2) เกิดจากสมการทานาย y = ax + b คูณดว้ ยซกิ มา (∑ x) ∑ xy = ∑ (ax + b) ∑ xy = a ∑ x2 + b ∑ x สมการทานายคา่ x คือ x̂= ay+b (ทานายค่า x) ข้อแนะนา สมการทานาย y และสมการทานาย x จะตดั กันทีจ่ ดุ ( ̅ ̅) ถ้าโจทย์กาหนด ̂ มา แล้วกาหนดให้หาค่า x ตอบหาค่าไมไ่ ด้ 2.ความสมั พนั ธ์เชิงฟงั ก์ชนั แบบพาราโบลา มสี มการเปน็ ̂ = 2 โดยที่ a ไมเ่ ทา่ กับ 0 จากสมการปกติ คือ ∑ ∑ 2 b ∑ N ------------- (1) ∑ ∑ 3 b ∑ 2 ∑ ------ (2) ∑2 ∑ 4 b ∑ 3 ∑ 2 --- (3)

Math Kit Ebook ห น้ า 156 ที่มาของสมการปกติ (1) เกดิ จากสมการทานาย y = ax2 + bx + c คณู ด้วยซกิ มา (∑) ∑ y = ∑ (ax2 + bx + c) ∑ y = a ∑ x2 + b ∑ x + ∑ c ∑ y = a ∑ x2 + b ∑ x + Nc จากสมบัตขิ องซิกมาค่าคงที่ ทม่ี าของสมการปกติ (2) เกิดจากสมการทานาย y = ax2 + bx + c คูณด้วยซิกมา (∑ x) ∑ xy = ∑ (ax2 + bx + c) ∑ xy = a ∑ x3 + b ∑ x2 + c ∑ x ที่มาของสมการปกติ (2) เกดิ จากสมการทานาย y = ax2 + bx + c คูณด้วยซิกมา (∑ x2) ∑ xy = ∑ 2 (ax2 + bx + c) ∑ xy = a ∑ x4 + b ∑ x3 + c ∑ x2 3.ความสมั พนั ธเ์ ชงิ ฟังก์ชันแบบเอกซโ์ พเนนเซยี ล มีสมการเป็น y=abx หรือ log ̂ = log a + log b จากสมการปกติ คอื ∑ l g l ga ∑ Nl g b ∑ lg l ga ∑ 2 l g b ∑ ท่มี าของสมการปกติ (1) เกดิ จากสมการทานาย log y = log a + log b คูณด้วยซิกมา (∑) ∑ log y = ∑ (log a + log b) ∑ log y = log a ∑ x + ∑ log b ∑ Log y = log a ∑ x + N(log b) จากสมบัตขิ องซิกมาค่าคงท่ี ท่ีมาของสมการปกติ (2) เกิดจากสมการทานาย y = ax + b คณู ดว้ ยซิกมา (∑ x) ∑ xy = ∑ (log a + log b) ∑ xlog y = log a ∑ x2 + log b ∑ x X เป็นตวั แปรอิสระหรือตัวแปรต้น y เป็นตวั แปรตาม a,b,c, m เปน็ คา่ คงที่

Math Kit Ebook ห น้ า 157 ตวั อย่างแนวข้อสอบความสมั พนั ธ์เชงิ ฟังก์ชัน 1.ถา้ สมการแสดงถึงความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชนั ระหวา่ งต้นทุนกบั จานวนสินค้าทผี่ ลิตคือ y = 2x+5 โดยท่ี x คอื จานวนสนิ ค้ามีหน่วยเป็นร้อยชิน้ y คือต้นทนุ มีหน่วยเป็นพนบาท จงพจิ ารณาขอ้ ความ ตอ่ ไปน้ี ก.ถา้ ต้นทนุ เทา่ กบั 7,000 บาทคาดว่าผลติ สนิ ค้าได้ 100 ช้ิน ข.ถ้าผลิตสนิ ค้าเพ่มิ 200 ช้ินจะตน้ ทุนจานวน 4,000 บาท ข้อใดถกู ต้อง 1.ข้อ ก ถกู เท่านัน้ 2.ถกู ทัง้ สองข้อ 3.ข้อ ข ถูกเท่าน้ัน 4.ผดิ ท้งั สอง 2 ข้อ วธิ ที า พจิ ารณาข้อ ก จากสมการที่โจทยก์ าหนดใหเ้ ป็นสมการทานายต้นทนุ โดยใชจ้ านวนสนิ ้าที่ ผลิตเปน็ ตวั แปรหลัก ดังน้ันขอ้ น้จี ึงผดิ เพราะเราตอ้ งสร้างสมการหาค่า x พจิ ารณาข้อ ข เม่ือ x = 200 y = 2(200) +5 y = 405 ขอ้ ข จึงผดิ ดังน้นั ข้อน้ีจึงตอบ ข้อ 4 ผิดทัง้ 2 ขอ้ 2.จงพิจาณาข้อความตอ่ ไปนี้ สมการทานาย y = 0.5(x)2 + 1000x − 3000 ก.สมการเชิงสัมพนั ธ์เชงิ ฟังก์ชนั เป็นสมการพาราโบลา ข.สมการดังกล่าวเมอื่ x = 10 จะมีคา่ y เป็นจานวนเตม็ ลบ 32 เทา่ ของผลคณู ของคาตอบ สมการ 3x3 + 6x2 − 12x − 24 =0 และ √ ค.สมการดังกลา่ วเม่ือค่า x = 5 คา่ y จะมีค่าเทา่ กบั 2012.5 1.ถูกขอ้ ก และ ข 2.ถกู ข้อ ก และ ค 3.ถกู ทง้ั 3 ข้อ 4.มีข้อถูกเพียง 1 ข้อ วิธีทาพิจารณา ขอ้ ก ถกู ต้องเพราะเป็นสมการทมี่ ีกาลงั เปน็ กาลงั 2 ตามรูปแบบของสมการแบบ พาราโบลา ข้อ ข พิจารณาสมการทานายเมื่อ x = 10 y = 0.5(10)2 +1000(10) – 3000 = 50 + 10000 – 3000 = 7050

Math Kit Ebook ห น้ า 158 พิจาณาสมการ 3x3 + 6x2  12x  24 =0 x2(3x + 6) − 4(3x + 6) =0 =0 (x2 − 4)(3x + 6) (x − 2)(x +2)(3x + 6) =0 x = 2, −2 ผลคณู คาตอบของสมการ คือ -4 จานวนเต็มลบ 32 เทา่ ของผลคณู คาตอบของสมการและ √ คือ 32 x - 4 x √ = −128 x 32 = −4096 ดงั นนั้ ข้อ ข จึงผิด ขอ้ ค พิจารณาสมการทานายเม่ือ x = 5 y = 0.5(5)2 +1000(5) – 3000 = 12.5 + 5000 – 3000 = 2012.5 ดงั นนั้ ขอ้ ค จึงถูก ดังนน้ั ข้อน้ีตอบข้อ 2 ถูกข้อ ก และ ค

Math Kit Ebook ห น้ า 159 บทที่ 14 ลาดับอนกุ รม ลาดบั อนุกรมเลขคณติ จากัด อนุกรมเรขาคณติ เลขคณติ เรขาคณิต อนุกรมจากดั อนุกรมผสม ผสม อนกุ รมเศษส่วนยอ่ ย อนันต์ เลขคณติ อนกุ รมอนันต์ อนกุ รมเรขาคณิตอนนั ต์ เรขาคณติ อนุกรมผสมเรขาคณิตอนันต์ ผสม อนกุ รมเศษส่วนยอ่ ยอนนั ต์ อนกุ รม ประเภทอนุกรม อนุกรมเลขคณติ อนุกรมเรขาคณติ อนุกรมผสมเรขาคณติ อนกุ รมเศษส่วนยอ่ ย ลาดบั คอื เซตของจานวนทีเ่ รียงตัวอยา่ งเปน็ ระบบระเบยี บ ภายใตเ้ ง่ือนไข สมาชิกแตล่ ะตัวจะเรียกว่าพจน์ อนกุ รมคือ ผลบวกของพจน์ทุกพจน์

Math Kit Ebook ห น้ า 160 ลาดบั (Sequence) คือเซตของจานวนท่ีเรียงตวั อย่างเปน็ ระบบระเบียบ ภายใต้เงอื่ นไข สมาชิกแต่ละตวั จะเรยี กวา่ พจน์ (Term) ลาดับท่ัวไปแบง่ ได้เปน็ Ex 1.ลาดบั จากัด (finite sequence) 1. 2,4,6,8,10,…,100 2.ลาดบั อนนั ต์ (infinite sequence) 2. sin 30 + sin 60 + sin 90 + … จากรปู ขา้ งตน้ พบวา่ ลาดบั รปู จานวนจดุ มีความสมั พนั ธด์ งั น้ี รูปที่ 1 2 3 4 5 จานวนจุด 1 3 6 10 15 จากตารางดงั กลา่ ว แสดงใหเ้ ห็นความสมั พนั ธข์ องลาดับของรูปและจานวน จดุ โดยมคี วามสัมพนั ธท์ ีเ่ ป็นฟังก์ชันโดยจานวนรปู ทเี่ ปน็ โดเมน {1,2,3,4,5}และมี จานวนจดุ เป็นเรนจ์ {1,3,6,10,15} ของฟังกช์ นั นยิ าม ฟงั กช์ นั ทม่ี โี ดเมนเป็นเซตของจานวนเต็มบวกหรือสับเซตของจานวน เตม็ บวกในรปู {1, 2, 3, 4, … , n} ลาดับที่ 1 2 3 4 5 ... n … จานวน 1 357 9 … 2n - 1 ... จากตารางแสดงใหเ้ ราเห็นถึงความสมั พนั ธ์โดยลาดบั เปน็ โดเมน และมเี รนจ์ ซ่งึ มคี วามเกยี่ วขอ้ งกบั โดเมน เช่น ลาดบั ท่ี 5 (โดเมนคอื 5 ซึ่งเรนจม์ ีความสมั พนั ธก์ บั โดเมนคือ 2n - 1) จานวนซง่ึ มีความสมั พนั ธก์ ับลาดับคือ 2(5) – 1 =9 ในการเขยี นลาดับ จะเขยี นเฉพาะสมาชกิ ของเรนจเ์ รียงกนั ไปตามกล่าวคอื ถ้าa เป็นลาดบั จากดั จะเขยี นแทนด้วย a1, a2, a3, … , an ในกรณที ีเ่ ป็นลาดบั อนันต์ a1, a2, a3, … , an , ...

Math Kit Ebook ห น้ า 161 เรยี ก a1 วา่ พจนท์ ่ี 1 ของลาดับ a2 ว่า พจนท์ ่ี 2 ของลาดบั a3 ว่า พจนท์ ่ี 3 ของลาดบั an ว่า พจนท์ ี่ n ของลาดับ หรอื พจน์ท่วั ไป ตัวอยา่ งของลาดับ 1) 7, 14 , 21 , 28 , 35 , 42 เปน็ ลาดบั จากัดซ่ึงมีค่าเพมิ่ ขึ้นคงที่ เพมิ่ ขึ้นคร้งั ละ 7 2) 3, 6 , 12 , 24 , … เปน็ ลาดบั อนันต์ มีคา่ เพ่มิ ขน้ึ คงที่ เพม่ิ ขน้ึ เป็น 2เท่า* ของพจนห์ น้า 3) an = 2n + 3 เปน็ ลาดบั อนันต์ มีค่าเพม่ิ ขึน้ คงที่ เพ่มิ ขน้ึ เปน็ 2เท่า ของพจน์หน้า 4) an = (n+1)2 เป็นลาดบั อนันต์ ซ่ึงค่าผลต่างครง้ั ท่ี 2เพิ่มขนึ้ คงที่ * 2 เป็นอัตราส่วนร่วม ซง่ึ คือ อตั ราส่วนระหว่างพจนท์ ี่ n +1 กบั พจนท์ ี่ n มีค่าคงตัว

Math Kit Ebook ห น้ า 162 การหาพจนท์ วั่ ไปของลาดบั (an) ในการหาพจนท์ ั่วไปของลาดับ ถา้ ระหวา่ งพจนม์ ีผลต่างเปน็ จานวนคงตวั (1 ครั้ง) รปู แบบพจนท์ วั่ ไป คอื an = an+b ; a,b R ตัวอยา่ ง จงพิจารณาลาดับตอ่ ไปน้แี ลว้ หาพจน์ท่วั ไป 1,3,5,7, … วธิ ที า แทนค่า n ถา้ n = 1 แล้ว a(1)+b = 1 ------- (1) แทนค่า n ถา้ n = 2 แล้ว a(2)+b = 3 ------- (2) (2) – (1) a=2 แทน a ใน (1) 2+b =1 b = -1 ดังน้นั พจน์ทั่วไป an = 2n – 1 ในการหาพจน์ท่วั ไปของลาดับ ถา้ ระหว่างพจนม์ อี ัตราส่วนร่วม(r)เป็นจานวนคงตวั (1 ครั้ง) รปู แบบพจน์ทัว่ ไป คอื an = arn+b ; a,b R ตัวอยา่ ง จงพิจารณาลาดบั ต่อไปน้ีแลว้ หาพจน์ท่วั ไป 4,8,16,32, … พจิ ารณาจากข้อมูลทาใหเ้ ราทราบว่าลาดบั ต่อไปนีม้ ี อตั ราสว่ นร่วมเปน็ 2 วธิ ีทา แทนคา่ n ถ้า n = 1 แลว้ a(2)1+b = 4 ------- (1) แทนค่า n ถา้ n = 2 แลว้ a(2)2+b = 8 ------- (2) (2) – (1) 2a = 4 ดังนัน้ a = 2 แทน a ใน (1) 2(2)1+b = 4 b=0 ดงั น้ันพจน์ทัว่ ไป an = 2(2)n หรอื 2n+1 ในการหาพจน์ทัว่ ไปของลาดับ ถ้าระหวา่ งพจน์มีผลต่างเปน็ จานวนคงในการหาครั้งท่ี 2 รปู แบบพจน์ท่ัวไป คอื an = an2+bn+c ; a,b,c R ตัวอยา่ ง จงพิจารณาลาดับต่อไปนแี้ ลว้ หาพจนท์ ่วั ไป 5, 18, 35, 81, …

Math Kit Ebook ห น้ า 163 วิธที า แทนค่า n ถ้า n = 1 แล้ว a(1)2+b(1)+c = 5 ------- (1) แทนคา่ n ถ้า n = 2 แล้ว a(2)2+b(2)+c = 18 ------- (2) แทนคา่ n ถ้า n = 3 แลว้ a(3)2+b(3)+c = 35 ------- (3) (2) – (1) 3a+b = 13 ------- (4) (3) – (2) 5a+b = 17 ------- (5) (5) – (4) 2a = 4 a=2 แทนค่า a ใน (4) b=7 แทนค่า a และ b ใน (1) 2(1) + 7 + c = 5 c = -4 ดังนั้นพจนท์ ว่ั ไป an = 2n2+7n – 4 ในการหาพจนท์ วั่ ไปลาดับ ซงึ่ มอี ัตราส่วนรว่ ม (อตั ราส่วนระหว่างพจนท์ ่ี n +1 กับ พจน์ท่ี n) คงที่ ตวั อยา่ ง จงพิจารณาลาดบั ตอ่ ไปน้แี ลว้ หาพจนท์ ัว่ ไป 2, 4, 8, 16, … พจิ ารณาความสัมพันธ์ของพจนใ์ นลาดบั จะเห็นวา่ พจนท์ ่ี 1 2 พจนท์ ี่ 2 4 = 2 x 2 = 22 พจนท์ ่ี 3 8 = 4 x 2 = 23 พจน์ที่ 4 16 = 8 x 2 = 24 พจิ าราความสัมพันธ์ 5 พจน์แรก จะได้ พจน์ที่ n คือ 2n พจน์ทัว่ ไปของลาดับตอ่ ไปน้คี อื 2n

Math Kit Ebook ห น้ า 164 ประเภทของลาดับ Ex จงหาพจน์ที่ 10 1.ลาดบั เลขคณิต(arithmetic sequence) 1.1,3,5,… เปน็ ลาดับเลขคณติ d คือ 2 คือลาดับทีม่ ผี ลตา่ งของพจนท์ ีอ่ ยูต่ ิดกนั คงที่ a10 = 1+(10-1)2 จะได้ 19 an = a1+(n-1)d d คอื ผลตา่ งร่วม 2. 1,4,16, … เปน็ ลาดับเรขาคณติ (common difference) อัตราส่วนร่วมคอื 4 a10 = 1(4)10-1 จะได้ 262144 2.ลาดบั เรขาคณติ (geometric sequence) คอื ลาดับทอี่ ัตราส่วนระหวา่ งพจนท์ ี่ตดิ กันกบั พจน์ ขา้ งหนา้ มีค่าคงที่ an=a1rn-1 r คอื อตั ราตา่ งร่วม(ratio) ชนดิ ของลาดบั Ex 6������3 ������2 1.ลาดบั คอนเวอรเ์ จนต์หรอื ลาดบั ลเู่ ข้า 1. l ������3 (Convergent sequence) คือลาดับท่หี า ได้ l ใหใ้ ช้ตวั ดกี รีมากทส่ี ดุ หารท้งั เศษและส่วน ดว้ ย 3 ไดแ้ ก่ 1.ลาดับเลขคณิตที่ ผลต่างร่วม(d) มคี า่ เป็น 0 แลว้ จะได้คาตอบเป็น 6 หรอื 3 2.ลาดับเราขาคณิตทอ่ี ตั ราส่วนร่วม(r)เป็น 1 2 3.ลาดับเรขาคณติ ท่ี | r | < 1 4.ลาดับใดๆ ท่ีสามารถหาคา่ l ได้ จึงเป็นลาดบั คอนเวอร์เจนต์ 2.ลาดับไดเวอร์เจนต์หรือลาดบั ล่อู อก (divergent sequence) คือลาดับทห่ี า 2. l 6������3 ������2 l ไมไ่ ด้ได้แก่ ������2 1.ลาดับเลขคณติ ทผ่ี ลตา่ งรว่ ม(d) มีคา่ ไมเ่ ปน็ 0 3.ลาดบั เรขาคณติ ท่ี | r | 1 เราไมส่ ามารถหาค่าของ ลิมติ ได้ เพราะไมส่ ามารถ 4.ลาดบั ใดๆ ท่สี ามารถหาค่า l ไมไ่ ด้ ใชต้ ัวดีกรมี ากท่สี ดุ หารทั้งเศษและส่วนได้ จงึ เป็นลาดบั ไดเวอรเ์ จนต์ คณุ สมบัติของ l 1. l c โดยที่ c เปน็ คา่ คงที่ แล้ว l c = c 2. l can = c l an 3. l (an+ bn) = l an + l bn 4. l (an - bn) = l an - l bn 5. l an ⋅ l bn 6. l (an ⋅ bn) = l และ l bn ≠ 0 ( ) = l l

Math Kit Ebook ห น้ า 165 ตวั อยา่ งที่ 1 พจน์แรกท่ีเปน็ จานวนเตม็ ลบของลาดบั เลขคณิต 200, 182, 164, 146, ... มคี ่าตา่ ง จากพจนท์ ี่ 10 เทา่ กับขอ้ ใดต่อไปน้ี (Ent) 1. 54 2.38 3.22 4.20 วธิ ที า ลาดับเลขคณติ ชุดนีม้ ี – 18 เป็นผลตา่ งร่วม ใช้สตู ร an = a1 + (n-1)d หาพจนท์ ่ี 10 a10 = 200 + (9)(-18) = 200 – 163 = 38 พิจารณาพจนแ์ รกท่เี ป็นจานวนเตม็ ลบ 38, 20, 2, -16 38 – (-16) = 54 ตอบ ข้อ 1 ตัวอย่างที่ 2 ถ้าผลคณู ของลาดับเรขาคณติ 3 จานวนท่ีเรียงตดิ กนั เทา่ กบั 343และผลบวกของท้งั สามจานวนเทา่ กับ 57 แล้วคา่ มากทส่ี ดุ ในบรรดา 3 จานวนน้ีเทา่ กบั เท่าใด (PAT 1 ต.ค. 53) วิธที า (a1r-1)(a1)(a1r) = 343 a13 = 343 a1 = 7 เมอ่ื เรานาค่าทีไ่ ด้มาเขยี นใหม่ a1 + a2 + a3 = 57 a1 + 7 + a3 = 57 7r-1 + 7r = 50 นา r คณู ตลอด 7 + 7r2 = 50r 7r2 – 50r +7 = 0 (7r - 1)(r - 7) = 0 r = 7, 1 7 เราสามารถเขยี นลาดับได้ดังนี้ 1,7,49 หรือ 49,7,1 ดังนนั้ ค่ามากที่สดุ คือ 49

Math Kit Ebook ห น้ า 166 ตวั อย่างที่ 3 จงหาค่าต่อไปนี้ l 3 :2 ;1 2 :5 ;3 วธิ ที า ให้นา n กาลงั ดีกรีสงู สดุ หารทง้ั เศษและสว่ น จะได้ l 3 :2 ;1 3: ; 2 :5 ;3 = l 2: ; 00 3: ; = l 2: ; 3 0 0 3 =2 (Ent) ตอบ 2 5 :3 2 :5 ตัวอยา่ งท่ี 4 จงหาค่าต่อไปนี้ l วิธีทา ให้จัดรปู ของลิมิต จะได้ l 5 5:3 3 2 2:5 5 แล้วนา ฐานท่มี ากทีส่ ดุ หารทง้ั เศษและส่วน จะได้ l 5: = :5 ตอบ 25 = 25 42 ตัวอย่างท่ี 5 จงหาค่าต่อไปนี้ l วิธที า พจิ ารณาจากลมิ ติ พบว่าตวั ส่วนมกี ารเพมิ่ ข้นึ เรว็ กว่าตัวเศษเพราะฉะนัน้ แล้วลมิ ิตจะมีคา่ เข้าใกลศ้ ูนย์ พิจารณาฟงั ก์ชันลอการทิ มึ เปน็ ฟังก์ชันทเ่ี พิ่มช้ามากซ่งึ คูณกับฟังก์ชนั ไซน์ซึ่งมคี ่าอยู่ ระหว่าง –1 ถึง 1 จึงทาให้ตัวเศษมีค่าน้อยมาก ตอบ 0 ข้อควรรู้ อตั ราการเพ่มิ ขน้ึ ฟังกช์ ันเอกซโ์ พเนนเซียล > พหุหาม > ฟังก์ชนั ลอการริทมึ

Math Kit Ebook ห น้ า 167 อนุกรม (Series) เปน็ พจน์ของลาดับทีเ่ ขยี นตอ่ เน่ืองในรปู ผลบวก Sn อนรุ มทมี่ ตี น้ กาเนดิ จากลาดบั จากัด จะเป็นอนกุ รมจากัด อนุกรมทมี่ ีตน้ กาเนิดจากลาดับอนนั ต์จะ เป็นอนุกรมอนนต์ ตวั อยา่ งที่ 6 จงหาค่าผลบวกของลาดับตอ่ ไปนี้ 1 + 2 + 4 + 8 +... + a7 วธิ ีทา ใหห้ ารูปพจน์ท่วั ไป จากลาดับเปน็ ลาดบั เรขาคณิตมีอัตราส่วนร่วมเปน็ 2 จะไดพ้ จน์ท่วั ไปคือ a1(r)n-1 หรอื กค็ ือ 1(2)6 เราสามารถเขียนแจกแจงสมาชิกได้คือ 1+2+4+8+16+32+64 สญั ลกั ษณ์แทนการบวก เพอ่ื ความสะดวกในการเขียนอนุกรม เม่ือมจี านวนพจนม์ ากจะทาให้เขยี นไดล้ าบาก ดงั นน้ั นกั คณติ ศาสตร์จงึ กาหนดตวั อกั ษรกรีก ∑ เรยี กวา่ ซิกมาเป็นสัญลกั ษณ์แทนการบวก หรืออาจ กลา่ วว่า a1+ a2+a3+… +an สามารถเขยี นแทนด้วย อ่านว่า การบวก ai เมือ่ i มีค่าตัง้ แต่ 1 ถึง n <1 ตวั อย่างการใช้สัญลกั ษณแ์ ทนการบวก 5 แทน 1 + 2 + 3 + 4 + 5 1. <1 แทน 12 + 22 + 32 + 42 + 52 5 แทน (2+1) + (4+1) + (6 + 1) 22 ซ่งึ มคี า่ เท่ากบั 3 + 5 + 7 แทน (2+1) + (4+1) + (6 + 1) + (8+1) + … <31 3 <1 4 <1

Math Kit Ebook ห น้ า 168 ตัวอยา่ งที่ 7 จงหาผลบวก 20 พจน์แรกของอนกุ รม <1 2 วธิ ีทา ให้ Sn = 2 ) <1 2 <1 2 <1 <1 <1 <1 2 <1 .6/ ( . 6 /( ) .6/ ( ) 6 น้ันคือผลบวก 20 พจนแ์ รกของอนุกรมตอ่ ไปน้ี เทา่ กบั 16,180 อนุกรมทีส่ าคญั ข้อควรระวัง 1. ∑ = 1+2+3+…+n = :1 <;1 2 :1 2 :1 เป็นอนุกรมท่ีเรม่ิ ตน้ จาก -1 บวกไปถึงพจน์ท่ี n 2. ∑ 2 = 1+22+32+…+n2 = 6 3. ∑ *3 = 1+23+33+…+n3 = :1 2 2 +

Math Kit Ebook ห น้ า 169 คณุ สมบตั ิของ ∑ 1. <1 2. cf cf <1 <1 3. [f g] f g <1 <1 <1 อนกุ รมเลขคณิต คอื ผลบวกของลาดับเลขคณติ Ex จงหา Sn ของ 1 + 3 + 5 +... +(2n-1) Sn = 2(a1 + an) = 2(2a1 - (n-1)d) Sn = 2 [1+(2n-1)] อนุกรมเรขาคณติ คือผลบวกของลาดบั เรขาคณิต = 2[2n] = n2 Sn = () Ex จงหา Sn ของ 2 + 6 + 18 + ... = 1; เมือ่ r < 1 () () Sn = 3;1 ;1 เมอ่ื r > 1 () =2 = 2(3n-1) อนกุ รมอนันต์ [Infinite Series] คอื ผลบวกของพจนท์ ุกพจนใ์ นอนกุ รมอนนั ต์ หรอื เรยี กว่า ลมิ ติ ของผลบวกย่อยตวั ที่ n เมอื่ n เขา้ สคู่ า่ อนนั ต์ S∞ = l ������������ ������ ������<1 อนกุ รมคอนเวอร์เจอรเ์ จนต์ คือ อนุกรมท่ี S∞ หาคา่ ได้ อนกุ รมไดเวอร์เจนต์ คอื อนกุ รมที่ S∞ หาคา่ ไมไ่ ด้ ขอ้ ยา้ เตือน อนุกรมอนนั ต์ ไม่สามารถ หา S∞ เพราะเปน็ อนกุ รมไดเวอร์เจนต์

Math Kit Ebook ห น้ า 170 อนุกรมเรขาคณติ อนันต์ S∞ = 1; และ | r | < 1 ตวั อย่าง ที่ 8 จงหาผลบวกของอนกุ รมต่อไปน้ี S∞ = 8 + 4 + 2 + 1 + 1 + … 2 วธิ ีทา a1 = 8 1 r= 2 1; = 8 1; =4 ตวั อยา่ งท่ี 9 จงหาผลบวก 8 พจน์ ของอนุกรม 6 + 6.5 +7.25 +8.125 + ... วธิ ที า จากอนกุ รมทีโ่ จทยก์ าหนดใหเ้ ปน็ อนุกรมผสมเรขาคณิต ซงึ่ ผสมกบั อนกุ รมเลข คณติ ซึ่งเราสามารถแยกไดเ้ ป็นอนุกรม 2 ชดุ อนุกรมชดุ ที่ 1 5 + 6 + 7 + 8+... +12 เปน็ อนกุ รมเลขคณิต 8 S8 = 2[5+12] = 68 อนกุ รมชดุ ที่ 2 1 + 0.5 + 0.25 +0.125 + ... เป็นอนุกรมเรขาคณติ 1[1;( ) ] S8 = 1; *+ = = 255 128 นาอนกุ รมทง้ั 2 ชดุ มาบวกกันจะได้ 69112278

Math Kit Ebook ห น้ า 171 บทท่ี 15 แคลคลู ัสพ้นื ฐาน ลมิ ิต (lim) และความต่อเน่อื ง อตั ราการเปล่ียนเฉลี่ย อนพุ ันธข์ องฟังก์ชัน อตั ราการเปลี่ยนขณะใดๆ เมื่อ y เทยี บ x ความชันเส้นโคง้ ค่าสงู สดุ ค่าตาสุด ประยกุ ต์อนุพันธ์ ปฏยิ านพุ ันธ์ของฟังกช์ นั ปริพันธไ์ มจ่ ากัดเขต ปริพนั ธ์จากัดเขต พ้นื ท่ใี ต้กราฟ แคลคลู สั ถูกใช้ประโยชน์ทง้ั ทางวิทยาศาสตร์และ เทคโนโลยอี ย่างกวา้ งขวางซึ่งเปน็ พื้นฐานในการคานวณขน้ั สูง ต่อไป

Math Kit Ebook ห น้ า 172 แคลคูลัส (Calculus) เปน็ สาขาหลกั ของคณิตศาสตร์ซึง่ พฒั นามาจากพีชคณิต เรขาคณติ และปัญหาทางฟสิ ิกส์ แคลคลู ัสมีตน้ กาเนดิ จากสองแนวคิดหลกั ดงั นี้ แนวคดิ แรกคอื แคลคูลัสเชิงอนพุ นั ธ์ (Differential Calculus) เป็นทฤษฎีทีว่ ่าด้วยอัตรา การเปลี่ยนแปลง และเกี่ยวขอ้ งกบั การหาอนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั ทางคณติ ศาสตร์ ตัวอยา่ งเช่น การ หา ความเรว็ , ความเร่ง หรอื ความชนั ของเส้นโค้ง บนจดุ ทีก่ าหนดให.้ ทฤษฎขี องอนพุ ันธ์หลาย สว่ นไดแ้ รงบันดาลใจจากปัญหาทางฟิสิกส์ แนวคิดท่สี องคอื แคลคูลสั เชงิ ปริพนั ธ์ (Integral Calculus) เปน็ ทฤษฎที ่ไี ดแ้ รงบนั ดาลใจ จากการคานวณหาพืน้ ทีห่ รือปรมิ าตรของรูปทรงทางเรขาคณติ ตา่ ง ๆ ทฤษฎีนใ้ี ชก้ ราฟของฟังก์ชัน แทนรูปทรงทางเรขาคณิต และใชท้ ฤษฎปี ริพันธ์ (หรืออนิ ทิเกรต) เปน็ หลักในการคานวณหาพ้ืนที่ และปริมาตร พื้นฐานของแคลคูลัส มีฐานมาจาก แนวคดิ ของฟังก์ชนั และลิมิต มันรวมเทคนิคของ พชี คณติ พื้นฐาน และการอปุ นยั เชิงคณติ ศาสตร์ การศกึ ษาพ้ืนฐานของแคลคูลัสสมัยใหม่ ร้จู ักกัน ในชอ่ื การวิเคราะหเ์ ชงิ จริง ซ่ึงประกอบด้วย นิยามทเ่ี ครง่ ครดั และบทพิสจู น์ของทฤษฎขี อง แคลคูลัส เช่นทฤษฎกี ารวัด และการวิเคราะหเ์ ชิงฟังกช์ ัน การศกึ ษาลมิ ิตในบทเร่อื งแคลคูลัส เปน็ การศกึ ษาค่าเขา้ ใกล้ ไมใ่ ช่ค่านั้นโดยตรง ตวั อย่างที่ 1 จงแสดงค่า f(x) = 2x เมอื่ x เข้าใกล้ 2 แต่ x ≠ 2 x f(x) x f(x) 1.0 2 3 6 5 1.5 3 2.5 4.2 4.1 1.8 3.6 2.1 4.02 4.002 1.9 3.8 2.05 1.99 3.98 2.01 1.999 3.998 2.001 จากตารางเมือ่ x เขา้ ใกล้ 2 f(x) จะมคี า่ เข้าใกล้ 4

Math Kit Ebook ห น้ า 173 ลิมิต คอื ค่าเขา้ ใกล้ค่าคงตวั จานวนหนึ่ง 2 l f x (ลิมติ ทางขวาของ a ) คอื ลิมิตของ 1 ฟังกช์ ันเม่ือ x มีคา่ เข้าใกล้ a ทางขวา (x > a) l f x (ลมิ ติ ทางซ้ายของ a ) คือ ลิมิตของ ฟงั กช์ ัน เมอ่ื x มคี า่ เขา้ ใกล้ a ทางขวา (x < a) l fx =2 1 l fx =1 a- a a+ 1 l f x จะหาไดก้ ต็ อ่ เมอ่ื ดังนัน้ เราไม่สามารถหาค่า l fx l fx l fx 1 ลิมติ ทางซา้ ย ตอ้ งเทา่ กบั ลมิ ติ ทางขวา ความตอ่ เน่ืองของฟังก์ชนั (Continuity of function) ฟังกช์ ันจะตอ่ เนื่องก็ต่อเม่ือ l f x l f x = f(x) ซึ่งสามารถตรวจสอบไดจ้ ากการวาดกราฟ แล้วพจิ าณาลมิ ติ ด้านซ้าย ด้านขวาและคา่ ของฟงั ก์ชนั ฟงั กช์ นั ตอ่ เนอ่ื งบนช่วง (a,b) เมื่อเปน็ ฟงั ก์ชนั ต่อเนอื่ งที่ทุกๆจดุ ในชว่ ง (a,b) ฟังกช์ ันตอ่ เนื่องบนชว่ ง [a,b] เมอื่ เปน็ ฟงั กช์ นั ตอ่ เน่ืองท่ที ุกๆจุดในช่วง [a,b] และลมิ ิตทางซวา ของ a = f(a) และลมิ ิตทางซ้ายของ b =f(b) จงพิจารณาฟงั ก์ชันต่อไปน้ีเป็นฟงั กช์ นั ต่อเนื่องหรอื ไม่ xx x x f(x) { x 5; ;2 วธิ ที า หา l 1 f x 1 – 3 = -2 หา l 1 f x 5;1 4 ;2 = ;2 = -2 หา f(1) -2(1) = -2 ฟังกช์ ันตอ่ ไปนเี้ ปน็ ฟงั กช์ ันตอ่ เน่ือง

Math Kit Ebook ห น้ า 174 ตัวอย่างที่ 2 จงตอบคาหาค่าต่อไปนโี้ ดยพิจารณาจากกราฟ f(x) 1) l fx 1 2) l fx 1 3) l fx 1 4) f(1) 5) ฟังกช์ นั ตอ่ เนอื่ งหรือไม่ วิธที า 1) เมื่อค่า x เขา้ ใกล้ 1ทางด้านซา้ ย (x<1) จะได้ว่าคา่ ของ f(x) เขา้ ใกล้ 2 ดังนัน้ l 1 f x = 2 2) เมอ่ื ค่า x เขา้ ใกล้ 1ทางดา้ นซวา (x>1) จะไดว้ ่าคา่ ของ f(x) เข้าใกล้ 2 ดงั นน้ั l 1 f x = 4 3) เนอื่ งจาก l 1 f x l fx 1 ดังน้ัน l fx จึงหาค่าไม่ได้ 1 4) f(1) = 4 5) ฟงั ก์ชนั ตอ่ ไปนีไ้ ม่ตอ่ เนื่องท่ี x = 1 เพราะ l 1 f x l fx 1 ทฤษฎีบทเกยี่ วกับลิมิต 1. l โดยท่ี c เปน็ ค่าคงที่ แล้ว l c = c 2. l can = c l an 3. l (an+ bn) =l an +l bn 4. l (an - bn) =l an - l bn 5. l (an ⋅ bn) =l an ⋅ l bn 6. l ( ) = และ l bn ≠ 0 7. l (f(x))n = [l f(x) ]n

Math Kit Ebook ห น้ า 175 หลักการแกป้ ญั หาเร่ืองลิมิต เรานยิ มแทนค่า x ลงไป ซ่ึงทาใหเ้ กดิ กรณีตอ่ ไปน้ี 1.ถ้า x เป็นจานวนจริง เราจะไดค้ าตอบ 2.ถ้าแทนแลว้ ได้ เม่ือ c ไม่เป็น 0 เราจะหาค่าไม่ได้ 3.ถา้ แทนค่าแล้วได้ หรอื ให้จดั รูป หรอื หาอนุพันธ์ตามกฎของโลปิตาล ตัวอย่างท่ี 3 จงหาลมิ ติ ข้อต่อไปน้ี 3) l , - 2 2 ให้เราแทนเลขลงไปจะได้ เปน็ 2 จะได้คาตอบคือ -1 ใหเ้ ราตอบวา่ ลิมติ ดังกล่าวมี ค่าเข้าใกล้ -1 แต่คาตอบไม่เทา่ กบั -1 เปน็ เพียงค่าเข้าใกล้ แตเ่ น่ืองจากคา่ เขา้ ใกลม้ จี านวนมากมายเปน็ เซตอนนั ต์ เขาจึงกาหนดวา่ เมื่อไดค้ าตอบตัวใดออกมา ใหต้ อบตวั นนั้ เลย คือ -1 4) l 2 ,; ;:42- เมือ่ เรานา 2 ลงไปแทนจะทาเกดิ เหตกุ ารณ์ทเ่ี ปน็ เราจงึ ตอ้ งจัดรูปเป็น l 2 , :2 ;2 - = l 2 , :2 - ;1 ;2 ;1 =l { } 2 เม่อื นา 2 ไปแทนแล้วจะได้ ลิมิตเขา้ ใกล้ -4 ลิมติ ตอ่ เน่อื งก็ต่อเมื่อ l f x = l f x = f(x) และทัง้ 3 ตัวต้องหาคา่ ได้

Math Kit Ebook ห น้ า 176 กฎของโลปติ าล(L'Hôpital's rule) ทฤษฎีบท ให้ f และ g เป็นฟงั กช์ นั ทหี่ าอนุพนั ธ์ไดบ้ นช่วงเปิดที่มี a อยู่ โดยที่ g (x) ไม่ เทา่ กบั ศูนย์ ทกุ คา่ x ยกเว้นท่ี x = a ถา้ l f x = 0 และ l g x = 0 แลว้ l =l ทฤษฎบี ท ให้ f และ g เป็นฟังก์ชนั ท่หี าอนุพนั ธไ์ ด้ บนชว่ งเปิดท่มี ี a อยู่ ถา้ l f x = ∞ และ l g x = ∞ แลว้ l =l ตัวอย่างที่ 4 4.1) กาหนดให้ f x 2x {6x x xx จงพิจารณาขอ้ ความต่อไปนี้วา่ ข้อใดถูกต้อง ก. l fx = 12 4 ข. l 1 f x = 13 วธิ ีทาพจิ ารณา ก ขl1 fx =l1 f = 6x – 5 ตรวจสอบลิมิตทางซา้ ย = 6(3) -5 l fx = 6x – 5 = 13 4 = 6(4) – 5 = 19 ตรวจสอบลิมิตทางขวา l fx = 3x 4 = 3(4) = 12 l fx ≠ l fx 4 4 ดงั น้ัน l fx หาไม่ไดข้ อ้ ก ผิด ดงั นัน้ ขอ้ ข ถูกต้อง 4

Math Kit Ebook ห น้ า 177 4.2) กาหนดให้ a,b,c เปน็ จานวนจริง และ f เป็นฟังก์ชนั a√ x fx b x { cx x กาหนดให้ f เป็นฟังก์ชันตอ่ เน่อื งท่ี x = 1 แล้วจงหาคา่ –2(a + b-1c) วิธีทา พิจารณา ;√5; เมอื่ x = 1 จะทาให้ส่วนเปน็ 0 มีเพียงกรณีเดยี วทีท่ าให้ส่วนเป็น 0 คือ ;1 ดังนน้ั a - √ =0 ท่จี ดุ x = 1 จะได้วา่ a - √ =0;a=2 ดังนน้ั b 2;√5; cx 1 = ;1 2c(1) เมือ่ x = 1 = 45 2;√5; 2:√5; c =4 = ;1 2:√5; 5 4; 5; = ;1 2:√5; =8 เมือ่ x = 1 1 = 2:√5; 1 = 2:√5;1 1 =4 –2(a + b-1c) 5 = -2[(2) + 4(8)] 5 = -2[2+2] = -4 - 5 = -9 ตอบ -9

Math Kit Ebook ห น้ า 178 อัตราการเปล่ียนแปลงและอนุพนั ธข์ องฟงั ก์ชนั ; อตั ราการเปล่ียนแปลงเฉลยี่ ของ f(x) เทยี บ x ในช่วง x+h คอื : ; หรือ ; นยิ าม ถ้า y = (x) เปน็ ฟงั กช์ นั ใดๆ เม่ือคา่ x เปลี่ยนเป็น x+h แล้วอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลยี่ ของ y เทียบ x ในช่วง x ถึง x+h Ex กาหนดให้ f(x) = x2+1 จงหาอตั ราการเปลยี่ นแปลงเฉลยี่ ในชว่ ง x = 2 ถึง 4 4; 2 = 4;2 17;5 = 4;2 =6

Math Kit Ebook ห น้ า 179 อนุพันธข์ องฟังก์ชัน (The derivative of a function) :; คอื อัตราการเปลย่ี นแปลงของ y เทียบกบั x ขณะ x มีคา่ ใดๆ คือ l หรือ f (x) นอกจากนเ้ี รายังสามารถเขยี น f′(x) ในรปู ของ อนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั คอื ความชันเสน้ โคง้ ที่ จดุ P(x,y) ใดๆ ขอ้ ควรรู้ ขัน้ ตอนการหาอนุพนั ธ์เรยี กว่า differentiation (ดิฟเฟอเรนชิเอต) สูตรอนพุ ันธ์ จงหาอนพุ ันธข์ องฟงั กช์ นั f(x) = x2 1. y = c (ค่าคงที่) จะได้ y′ = 0 f′ = l :; 2. y = x จะได้ y′ = 1 =l : ; 3. y = xn จะได้ y′ = n(x)n-1 = l :2 : ; 4. y = f g จะได้ y′ = f (x) g (x) =l 2 : 5. y = cf(x) จะได้ y′ = cf (x) 6. y = fg(x) จะได้ = 2x y =f(x)g (x)+g(x) f (x) 7. y = จะได้ y′ = ; [] 8. y = (gof)(x) จะได้ y′ = g′(f(x)) × f′(x)

Math Kit Ebook ห น้ า 180 ความชันเสน้ โคง้ y = f(x) ท่ีจดุ x0 คอื f′(x0) Ex กาหนดให้ y2+3 จงหาความชนั ท่จี ดุ x = 1 วธิ ที า y = 2y ความชันท่ีจดุ x = 1 คอื 2(1) = 2 ตัวอยา่ งที่ 5 จงหาอนพุ ันธ์ของฟงั กช์ ันต่อไปน้ี 1.f(x) = x3 – 3x +7 2.f(x) = 5x7 + 3x4 – logsin0 tan45 3.f(x) = (2x+3)5 วิธที า 1. f(x) = x3 – 3x +7 f (x) = 3x2 – 3 2. f(x) = 5x7 + 3x4 – log45 tan45 f (x) = 35x6 + 12x3 (เนือ่ งจาก log45 tan45 เปน็ ค่าคงทซ่ี ่ึงมีอนพุ ันธ์เป็น 0) 3. f(x) = (2x+3)5 f (x) = 5(2x+3)4(2) = 10(2x+3)4 ตัวอย่างที่ 6 ให้ f(x) = x3 – x2+ 2x – 1 , g(x) = f (x) จงหา (gof)(x) และ (gof)(1) วิธที า จาก g(x) = f (x) จะได้ f (x)  3x2  2x  2 f (x)  6x  2 นน่ั คือ g(x)  f (x)  6x  2 จาก (g f )(x)  g( f (x))  g(x3  x2  2x 1)  6(x3  x2  2x 1)  2  6x3  6x2  6x  6  2  6x3  6x2 12x  8 ดังนน้ั (g f )(1)  6(1)3  6(1)2 12(1)  8  6  6 12  8 4

Math Kit Ebook ห น้ า 181 ระยะทาง ความเร็ว ความเร่ง สมการการเคล่ือนทขี่ องวัตถุคือ s(t) = f(t) t เป็นหน่วยของเวลาส่วนใหญจ่ ะเป็นวินาที และ s(t) คือระยะทางทวี่ ัตถเุ คลือ่ นท่ไี ด้ โดยอยหู่ า่ งจากจุดเรมิ่ ตน้ เมอื่ เวลาผ่านไป t อัตราการเปล่ียนแปลงของระยะทางขณะ t ใด คือs (t) ซึ่งคือ ความเร็ว อัตราการเปลี่ยนแปลงของความเรว็ ขณะ t ใด คอื s (t) ซึง่ คือ ความเร่ง

Math Kit Ebook ห น้ า 182 ตวั อยา่ งท่ี 7 กาหนดให้ F(x) = f(g(x)) ; g(3) =5 ; g (3) = 7 ; f (3) = -4 ; f (5) = 9 ;F (3) = A; B = A + (A - 2) + (A - 4) + (A - 6) + … + -1 ; C = log2sin30 + 4tan60 sin60 จงหา B – 4AC วธิ ีทา F (x) = f (g(x))(g (x)) F (3) = f (g(3))(g (3)) = (f (5))(7) = (9)(7) = 63 = A พิจารณา B คือ A + (A - 2) + (A - 4) +(A - 6) พิจารณา C = 63 + 61 + 59 +57 + … -1 log2sin30 + 4tan60 sin60 จากลาดับดา้ นบนเปน็ ลาดับเลขคณติ พจน์ n มคี า่ -1 = 63 + (n-1)(-2) = log22-1 + 4√ √3 (2) -64 = (n-1)(-2) 33 = n = -1 + (2)3 ใช้สตู รอนกุ รมเลขคณติ =5 C =5 Sn = 2(a1+an) 33 S33 = 2 (63-1) = 1023 B = 1023 พจิ ารณา B – 4AC = 1023 – (4)(63)(5) = 1023 – 1260 = - 37 ตอบ – 37

Math Kit Ebook ห น้ า 183 การประยกุ ตอ์ นพุ นั ธ์ ฟังก์ชัน เพิม่ คือฟังก์ชันท่เี มอื่ คา่ x เพิ่มขน้ึ แลว้ ทาให้คา่ y เพ่มิ ขนึ้ หาได้จาก เมื่อ f′(x) > 0 ฟงั ก์ชันลด คือ ฟังกช์ ันทเ่ี มอ่ื ค่า x เพ่มิ ขึน้ แล้วทาให้คา่ y ลดลง หาไดจ้ าก เมื่อ f′(x) < 0 คา่ สงู สดุ และค่าตา่ สดุ 1. การหาอนพุ นั ธร์ ะดบั หนึ่ง หาได้ f′(x) = 0 แลว้ หาคา่ x1 ทท่ี าให้ f′(x1) = 0 เมือ่ หาเสรจ็ แลว้ ให้พจิ ารณาวา่ f′(x1) เปลี่ยนเครอ่ื งหมาย จากค่าบวกเป็นค่าลบ แสดงวา่ เปน็ จดุ สงู สุดสัมพันธ์ f′(x1) เปลย่ี นเครอ่ื งหมาย จากคา่ ลบเป็นค่าบวก แสดงว่า เปน็ จุดต่าสดุ สมั พันธ์ 2. การหาอนพุ นั ธร์ ะดับ สอง หาได้จากค่าวกิ ฤตจากสมการ f′(x) = 0 แล้วทดสอบด้วย f′′(x) (อนพุ ันธร์ ะดบั 2) ถ้า f′′(x) > 0 จะได้คา่ ตา่ สุดสัมพนั ธ์ ถา้ f′′(x) < 0 จะไดค้ ่าสงู สุดสมั พนั ธ์ ถา้ f′′(x) = 0 ใหก้ ลบั ไปใช้วธิ ีทห่ี นง่ึ เนอื่ งจาก ไมส่ ามารถใชว้ ิธที ่ี 2 หาคาตอบได้ วิธกี ารหาคา่ สงู สดุ สัมบูรณแ์ ละค่าตา่ สดุ สัมบรู ณ์ ถา้ ฟงั ก์ชนั f เป็นฟงั ก์ชันต่อเนอื่ งบนชว่ งปิด [a,b] แลว้ สามารถหาคา่ สงู สุดสัมบรู ณแ์ ละคา่ ตา่ สดุ สัมบูรณ์ของฟงั ก์ชัน f ตามขั้นตอนดงั น้ี 1. หาค่าวิกฤตทงั้ หมด จากการหาอนพุ นั ธ์ของ f ในชว่ งปดิ [a,b] 2. หาค่าของฟังก์ชนั ณ ค่าวิกฤตท่ไี ด้ 3. หาคา่ f(a) และ f(b) 4. เปรียบเทยี บคา่ ท่ไี ด้จากจากข้อ 2 และข้อ 3 ซึ่ง สามารถสรูปไดว้ า่ ค่ามากท่ีสุดจากข้อ 2 และข้อ 3 เปน็ สงู สดุ สมั บูรณข์ องฟงั ก์ชนั f คา่ นอ้ ยท่ีสดุ จากข้อ 2 และขอ้ 3 เป็นสูงสุดสมั บูรณข์ องฟังก์ชนั f

Math Kit Ebook ห น้ า 184 ตัวอย่างท่ี 8 จงหาค่าสงู สุดสมั บรู ณ์และค่าต่าสุดสัมบรู ณ์ของฟงั กช์ ัน f เมื่อ f(x) = x3 - 3x+2 บน ชว่ งปิด [0,2] วิธีทา จาก f(x) = x3-3x+2 f (x) = 3x2 - 3 = 3(x2 - 1) = 3(x-1)(x+1) เพราะฉะนน้ั จะได้คา่ วกิ ฤต 2 ค่า คือ x = 1 และ x = -1 แต่ -1 ใช้ไมไ่ ดเ้ พราะ - 1ไม่ได้อยู่ในช่วง [0,2] วาดกราฟ จดุ ที่ มคี ่านอ้ ยสุด เกดิ ที่ x = 1 ดังนน้ั f(1) = 13 - 3(1) + 2 จงี ได้ f(1) =0 จุดท่ี มีคา่ มากสดุ เกิดที่ x = 2 ดงั นั้นf(2) = 23 - 3(2) + 2 จึงได้ f(2) =4 เมอ่ื พิจารณาจากกราฟ พบว่า f มีคา่ สงู สุดที่ x = 2 ซง่ึ คือ f(2) =4 F มคี า่ ตา่ สุดสัมบูรณ์ท่ี f x =1 ซ่ึงคือ f(1) =0

Math Kit Ebook ห น้ า 185 ปฏยิ านุพันธ์ (Integration) เป็นกระบวนการตรงขา้ มกับการหาอนุพนั ธ์ แบ่งเป็น 1.ปริพนั ธไ์ มจ่ ากัดขอบเขต 2.ปริพันธจ์ ากัดเขต Ex จงหาคา่ ของ ∫ x 3dx ปริพันธไ์ มจ่ ากัดขอบเขต วิธที า 8 1. ∫ dx = kx+c =4 2. ∫ dx = :1 +c 3. ∫ f x dx = ∫ f x dx = 2(x)4 + c 4. ∫ f x g x = ∫ f x dx ∫ g x ขอ้ ควรระวงั ∫ f x × g x กระจายไมไ่ ด้ Ex 3 ������3 ������ ������������ ปริพนั ธจ์ ากดั เขต นยิ าม f(x) = f′ (x) ปรพิ นั ธจ์ ากดั เขตของฟงั กช์ นั ;2 ตอ่ เนอื่ ง f บนช่วง x = a ถงึ x=b คอื = 2x4 + 32x2-z+c 3 a คือขอบลา่ ง b คอื ขอบบน -2 = [2(3)4 + 23(3)2-(3)+c ]–[2(-2)4 + 23(-2)2-(-2)+c ] = 130 + 7.5 - 5 การประยุกตป์ รพิ ันธก์ บั พนื้ ทใ่ี ตโ้ ค้ง = 132.5 2 ตั้งแต่ x= 0 จงหาพน้ื ทใ่ี ต้กราฟตอ่ ไปนี้ f(x) =  ถ้ากราฟอย่เู หนอื แกน x ถงึ 2 ������ พนื้ ท่ี = ������ ������ ������������ ������  ถ้ากราฟอยใู่ ตแ้ กน x พน้ื ที่ = ������ ������ ������ ������������ A = ∫2 = ∫2 ������ เมื่อกราฟ 2 กราฟซอ้ นกัน 2 = [-4] – [0] A = -4 ดังน้นั พน้ื ท่ีใตก้ ราฟ คอื 4 ใชพ้ น้ื ทกี่ ราฟบน – พืน้ ทกี่ ราฟลา่ ง

Math Kit Ebook ห น้ า 186 ตวั อยา่ ง กาหนด F (x) ดังรูป กาหนดให้ F(0) = 4 F(6) = 4 จงหา F(5) วิธที า ∫56 x = F(6) - F(5) 12 = 4 - F(5) F(5) = -16

Math Kit Ebook ห น้ า 187 บทที่ 16 กาหนดการเชงิ เสน้ สมการเชงิ เสน้ สมการจดุ ประสงค์ อสมการขอ้ จากัด การแก้ปญั หาหาคา่ มากสุด คา่ นอ้ ยสุด กาหนดการเชงิ เสน้ เป็นเครอ่ื งมอื ในการแกป้ ญั หาการจดั สรร ทรพั ยากรให้เกดิ ประสิทธภิ าพสูงสุด

Math Kit Ebook ห น้ า 188 กาหนดการเชงิ เสน้ (Linear Programming) เป็นคณติ ศาสตร์ประยุกต์แขนงหนง่ึ ทค่ี ดิ ค้น ขึ้น เพือ่ แก้ปัญหาใหเ้ ปน็ ไปตามจดุ ประสงค์ของมนษุ ย์ โดยมีแนวคิดท่วี ่า ให้เกิดประโยชน์อย่าง สงู สดุ ในทรัพยากรท่มี ีจากัด สามารถใชค้ านวณเพอ่ื แก้ปัญหาไดห้ ลายอยา่ ง เชน่ คานวณการผลิต สินค้าให้ได้มากที่สุด แต่เสียคา่ ใชจ้ ่ายน้อยท่ีสดุ ,หาวิธีการเคลอื่ นย้ายทหารให้มากทสี่ ุดโดยที่เสยี คา่ ใชจ้ ่ายน้อยทีส่ ดุ , ผลติ สินค้าจานวนนอ้ ยท่สี ดุ แตท่ ากาไรไดม้ ากท่ีสดุ เปน็ ต้น สมการเชงิ เสน้ (Linear equation) รปู แบบสมการท่ัวไป ax+ by = c ; a และ b ไม่เป็นศูนย์พรอ้ มกนั เมื่อนามาเขยี นกราฟ จะไดร้ ปู เสน้ ตรงซงึ่ มีความชนั - และมีระยะตัดแกน x เปน็ ตวั อย่างที่ 1 จงวาดกราฟของสมการตอ่ ไปน้ี 5x + 3y = 15 เมือ่ เราวาดกราฟเราจะได้ กราฟตดั แกน x ที่ (3,0) ตดั แกน y ท่ี (0,5) และพบว่าสมการนี้ 5 มคี วามชนั เปน็ - 3 กาหนดการเชงิ เส้น จะอย่ใู นรูปแบบทางคณติ ศาสตร์ของสมการเชงิ เสน้ และอสมการเชงิ เส้น แล้วหาค่าสูงสุด ต่าสุดของฟังก์ชันทีส่ อดคลอ้ งกับสมการ (และอสมการ) ทกี่ าหนด ตัวแบบ คณิตศาสตร์ประกอบดว้ ย

Math Kit Ebook ห น้ า 189 สมการจดุ ประสงค์ เปน็ สมการทส่ี ร้างใหต้ รงกับจดุ ประสงค์ที่ตอ้ งการ เรยี กฟังก์ชันนว้ี ่า ฟงั กช์ ันเปา้ หมาย โดยจะตัง้ สมการขน้ึ เพ่อื หาค่าสงู สุด หรือต่าสุด ข้นึ อยู่กบั ตวั แปร เขยี นอยูใ่ นรูป P = ax +by (ค่าสูงสดุ ) C = ax +by (ค่าน้อยสุด) เชน่ P = 5x + 12y เง่ือนไขจากัด (เงื่อนไขบังคบั ) ได้แก่อสมการ หรือสมการทีเ่ ป็นเงือ่ นไขทกี่ าหนดให้ เปน็ เงื่อนไขท่ีถูกจากัดของทรพั ยากร หรือตวั แปร เชน่ 2x + y < 100 และ x > 0 หลกั การแก้ปญั หา 1. ใหน้ าอสมการข้อจากัดไปวาดกราฟ 2. ค่าสงู สุด และต่าสดุ ของ P จะอยทู่ ่จี ดุ มมุ ของพื้นที่ปิดของกราฟ 3. ในกรณีพ้ืนท่เี ปิดอาจจะมีค่าสงู สุด,ต่าสุด หรอื ไมก่ ็ได้

Math Kit Ebook ห น้ า 190 Ex กาหนดสมการจดุ ประสงคค์ ือ P = 3x – 2y และสมการข้อจากัดคือ y 5, x 0, x+y 10 จงหาค่าสูงสดุ ของ P วธิ ที า จดุ A อยูท่ ่ี (0,5) เกิดจาก คอื y 5, x 0 จุด B อยทู่ ่ีจดุ (0,10) เกดิ จาก x = 0 ตดั กับ x+y=10 0 + y = 10 y = 10 เม่อื y = 10 x = 0 จุด C อยู่ที่ (5,5) เกดิ จาก y = 5 ตัดกับ x+y=10 x + 5 = 10 x = 5 เมอ่ื x = 5 แลว้ y = 5 วธิ ที าที่ 1 แทนค่าลงไปในแต่ละจดุ จดุ มมุ P = 3x – 2y A(0,5) 3(0) – 2(5) = -10 B(0,10) 3(0) – 2(10) = -20 C(5,5) 3(5) - 2(5) = 5 P สงู สดุ เมอ่ื x = 5 y = 5 โดยที่ P = 5

Math Kit Ebook ห น้ า 191 วิธที าท่ี 2 จัดรปู หาความชัน ข้ันที่ 1 จดั รูปเพื่อให้สามารถหาความชนั ไดใ้ นสมการจุดประสงค์ P = 3x – 2y 2y = 3x – P y = 32x - 2 ขั้นที่ 2 กาหนดจุด 2 จดุ โดยที่จดุ แรก อยูเ่ หนือกราฟบริเวณใดกไ็ ด้ จุดที่ 2อยู่ใต้กราฟบรเิ วณใดกไ็ ด้ กาหนดจุด H (-4,5) แทนลงในสมการจุดประสงค์จะได้ว่า P = 3(-4) – 2(5) = -22 กาหนดจุด O (-3,-6) แทนลงในสมการจุดประสงค์จะได้ว่า P = 3(-3) – 2(-6) = 3 จากตรวจสอบพบว่าเมื่อจุดใดๆที่อยใู่ ตก้ ราฟจุดประสงค์จะมีค่ามาก ขนั้ ตอนที่ 3 ให้เลอื่ นกราฟเพื่อหาคาตาแหน่งที่ตอ้ งการ จากสมการจดุ ประสงค์ใหเ้ ลอื่ นกราฟจากบริเวณมากไปนอ้ ยดงั รปู ข้างตน้ เมื่อสมการจดุ ประสงค์จะ ตดั ท่ีจดุ C เป็นจดุ แรก แสดงวา่ จดุ C มคี ่าวสูงสุด

Math Kit Ebook ห น้ า 192 ขอ้ ควรระวังเมื่อใช้วิธีทาที่ 2 จัดรูปหาความชัน รปู แบบการเลอ่ื นเพ่อื หาตาแหน่งในโจทย์แตล่ ะขอ้ จะได้วิธีทาทีไ่ ม่เหมอื นกัน Ex กาหนดสมการจดุ ประสงค์คอื P = 3x – 2y และสมการขอ้ จากัดคือ y 5, x 0, x+y 10 จงหาต่าของ P วธิ ีจากโจทยเ์ ราไม่สามารถใชว้ ธิ กี ารเลอ่ื นแบบเดมิ ได้เพราะการเล่ือนตาแหนง่ จากตาแหนง่ มากมานอ้ ย เพื่อหาจุดสูงสดุ เมอ่ื สมการจุดประสงคต์ ัดทจ่ี ุดแรกใดในพืน้ ท่ี ให้โจทยข์ ้อนี้ จากตาแหนง่ น้อยมามาย เพือ่ หาจุดต่าสดุ เมื่อสมการจดุ ประสงคต์ ดั ท่ีจุดแรกใดในพน้ื ท่ี ดังนัน้ จดุ B จงึ มคี ่าตา่ สดุ

Math Kit Ebook ห น้ า 193 ตวั อยา่ งที่ 1 กาหนด P = ax + 2y และมีเงื่อนไขดังน้ี 2x + y ≥ 50 x+2 ≥70 x ≥ 0 , y≥0 ถา้ คา่ สงู สดุ ของ P เท่ากับ 100 แล้วค่า a เท่ากับค่าในขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ (Ent 44 มนี าฯ) 1.1 2.2 3.4 4.6 วธิ ที า ขัน้ แรกให้วาดกราฟ จุดที่กราฟทงั้ 2 กราฟตัดกนั คือ 2x+y=50 ----- (1) x+2y=70 ----- (2) (1)×2 4x+2y=100 -- (3) (3) – (2) 3x = 30 x = 10 y=3 เนอ่ื งจาก สมการจุดประสงค์เราไม่สามารถหาความชันไดเ้ นื่องจากตดิ ค่า a (x,y) P = ax + 2y P 0 (0,0) a(0)+2(0) 70 25a (0,35) a(0)+2(35) 10a+60 (25,0) a(25)+2(0) (10,30) a(10)+2(30) ดงั น้ันคา่ P สูงสุดจะเกิดขึน้ ทีจ่ ุด (10,30) P = 10a + 60 100 = 10a + 60 40 = 10a a =4 ดังน้ัน ตอบขอ้ 2

Math Kit Ebook ห น้ า 194 ตัวอย่างท่ี 2 กาหนดฟงั ก์ชันจุดประสงค์และอสมการข้อจากัดดงั นี้ C = 40x +32y 6x + 2y 12 2x + 2y 8 4x +12y 24 คา่ ต่าสดุ ของ C เทา่ กับเทา่ กับขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี (Ent) 1. 108 2.112 3.136 4.152 วธิ ที า (ใช้วิธีตรวจสอบดว้ ยความชัน) ขน้ั แรกให้วาดกราฟ 6x + 2y = 12 ตัดแกนที่ (0,6) (2,0) 2x + 2y 8 ตดั แกนท่ี (0,4) (4,0) 4x +12y 24 ตัดแกนท่ี (0,2) (6,0) หาจุด X หาจดุ Y หาจุด Z เกิดจาก 6x+2y = 12 --- (1) เกดิ จาก 2x+2y 8 --- (1) เกิดจาก 6x+2y = 12 --- (1) ตัดกบั 2x+2y 8 --- (2) ตดั กับ 4x+12y 24 --- (2) ตดั กับ 4x+12y = 24 --- (2) (1) - (2) 4x = 4 (2) – 2(1) 8y = 8 (2) – 6(1) -32x = -48 x=1 y =1 48 3 แทน x ใน (2) 2(1)+2y = 8 แทน y ใน (1) 2x+2(1)=8 x = หรือ x = 2y = 6 2x = 6 32 2 y=3 x=3 3 แทน x ใน (1) 6(2)+2y = 12 จุดตดั (1,3) จุดตดั (3,1) 33 9 + 2y = 12 จดุ ตดั (2, 2) 3 y=2 ตรวจสอบด้วยความชัน จัดรูป C = 40x +32y ให้อยใู่ นรูปของสมการความชัน y= 4 + 312C ความชนั m = 4 หรือ 5 32 4 32x

Math Kit Ebook ห น้ า 195 ตรวจสอบกราฟ สมการจุดประสงค์ ดังนัน้ เพ่อื ให้ไดค้ ่านอ้ ยที่สุด ตอ้ งเลื่อนกราฟจากด้านลา่ งเมื่อกราฟสมการตดั ประสงคต์ ดั จดุ ใดเป็นจดุ แรกแสดงว่าจุดน้ันเป็นค่านอ้ ยสดุ เลอ่ื นกราฟสมการจดุ ประสงค์ จากการตรวจสอบด้วยความชันพบวา่ สมการ จุดประสงค์ท่ีจดุ Z เป็นจุดแรกดังนนั้ จุด Z จึงมี คา่ น้อยสุด นาพิกดั ของ Z มาแทนลงในสมการจดุ ประสงค์จะได้คาตอบ 33 C = 40(2) +32(2) = 108 ดงั นัน้ ตอบ ข้อ 1

Math Kit Ebook ห น้ า 196 ขา้ พเจ้า ในนามผเู้ ขยี น ขอพระคณุ ทกุ ท่านในการติดตามเนอื้ หาของหนงั สือเล่มนี้จนจบ เลม่ ขา้ พเจา้ หวังว่าหนังสือสรุปแก่นคณติ ศาสตร์ ม.ปลาย จะเปน็ ประโยชนต์ ่อทุกท่าน ไม่มากก็ นอ้ ย หากหนงั สือเลม่ น้ีมขี ้อผดิ พลาดประการใดตอ้ งขออภัยมา ณ ทนี่ ด้ี ้วย ทางผู้เขยี นจะรีบ ปรับปรงุ แกไ้ ขให้ถูกต้องโดยเรว็ ทสี่ ุด ท่านสามารถแจ้งขอ้ ผดิ พลาดไดท้ ่ี [email protected] ผลงานเขยี นสรปุ แกน่ คณิตศาสตร์ ม.ปลาย (MATH KIT EBOOK) เปน็ หนังสือ อเิ ลก็ ทรอนิกส์ท่ีทาขึ้นโดยวัตถปุ ระสงคเ์ พือ่ ยกระดับความรู้ ความสามารถ ของผทู้ ี่มีความสนใจ ซ่งึ ทางผูเ้ ขยี นแจกฟรีในทกุ ชอ่ งทาง และจะพฒั นาต่อไปใหด้ ยี ่ิงขึ้น แต่อย่างไรกต็ ามกระบวนการพัฒนาหนงั สือตอ้ งใชเ้ วลาและคา่ ใช้จ่ายในการพัฒนา MATH KIT EBOOK เพือ่ ใหห้ นังสือเลม่ นไี้ ดม้ ีการพฒั นาปรับปรุงให้สอดคล้องกับหลักสูตรตอ่ ไป ท่านผอู้ ่าน หากท่านเหน็ ว่าหนังสือเล่มนีเ้ ป็นประโยชน์ก็สามารถบรจิ าคเงินในการสนบั สนนุ การ พัฒนาหนงั สือเล่มนต้ี อ่ ไป ทา่ นสามารถใหค้ วามสนับสนนุ ได้ โดยอทุ ศิ เงนิ เพยี งเล็กน้อย ตามความ ประสงค์ บัญชอี อมทรัพย์ ธนาคารกสกิ รไทย เลขท่ีบัญชี 081-2-76272-9 ชื่อบัญชี คณนิ องั ศนุ ติ ย์ ทา่ นที่แจ้งรหสั การนาฝากหรอื โอนมายงั อีเมล์ [email protected] ในนามของ ผู้เขียน เงนิ สนับสนุนของทา่ นทท่ี ่านเสียสละในการพฒั นาหนงั สือสือ่ เลม่ น้ีจะเป็นประโยชน์ตอ่ สังคม สืบตอ่ ไป

Math Kit Ebook ห น้ า 197 ขอขอบพระคุณ อาจารย์ยทุ ธนา เฉลมิ เกยี รตสิ กุล อาจารย์สุวรีย์ เมธาววี ินิจ