Kelas IX_SMP_Matematika_Wahyudin Jumanta

Aktivitas 4.2 Tujuan: Menghitung peluang dengan pendekatan frekuensi relatif. Lemparkan sekeping uang logam ke atas sebanyak 6 kali. Catat banyak sisi angka yang muncul dan isikan hasilnya pada Tabel 4.1. Kemudian, hitung frekuensi relatifnya, teliti sampai dua desimal. Ulangi langkah-langkah tersebut untuk pelemparan sebanyak 12, 16, 20, 40, dan 80 kali. Tabel 4.1 Tabel Frekuensi Relatif Banyak Lemparan Banyak Sisi Angka Frekuensi Relatif yang Muncul Muncul Sisi Angka 6 Uji Kecerdikan 12 Banyak ahli Matematika 16 yang pada kali pertama mengembangkan teori 20 peluang sebenarnya adalah orang-orang yang 40 senang berjudi. Salah satunya adalah Girolamo 80 Cardano, seorang profesor di bidang Amatilah tabel yang telah kamu lengkapi tersebut. Apa yang Matematika, sekaligus dapat kamu simpulkan tentang frekuensi relatif munculnya sisi seorang penjudi. Cardano angka jika banyaknya lemparan semakin besar? menghitung peluang pelemparan dadu dan Kegiatan tersebut menunjukkan bahwa semakin banyak peluang penarikan lemparan yang dilakukan maka frekuensi relatif kejadian kartu As dari setumpuk munculnya sisi angka akan mendekati suatu bilangan tertentu, kartu. Tidak hanya itu, ZBJUV

#JMBOHBO
JOJ
EJTFCVU
peluang dari kejadian muncul dia juga menyarankan sisi angka. Jadi, peluang suatu kejadian dapat dihitung melalui cara-cara yang menarik pendekatan frekuensi relatif. untuk bermain curang. Bagaimana pendapatmu 4. Titik dan Ruang Sampel dalam Teori tentang hal ini? PeluangSiapa a. Pengertian Titik Sampel dan RuangBerani? Sampel Suatu Kejadian Tentukan ruang sampel Pada pelemparan mata uang logam, kejadian yang mungkin dan titik sampel dari adalah muncul angka (A) atau gambar (G). Jika dinyatakan penelitian golongan darah dengan notasi himpunan, misalnya S, maka S = {A, G}. manusia. )JNQVOBO
UFSTFCVU
EJOBNBLBO
ruang sampel, sedangkan titik A dan G dinamakan titik sampel
#BOZBL
BOHHPUB
SVBOH
sampel dinotasikan dengan n(S). Uraian tersebut memperjelas pengertian ruang sampel dan titik sampel, yaitu sebagai berikut.94 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX

1) Ruang sampel adalah himpunan semua kejadian yang mungkin diperoleh dari suatu percobaan. 2) Titik sampel adalah setiap anggota ruang sampel atau disebut juga kejadian yang mungkin.Contoh 4.2Tentukan ruang sampel dan titik sampel dari pelemparan sebuahdadu.Penyelesaian:Kejadian yang mungkin dari pelemparan sebuah dadu adalahmunculnya muka dadu bernomor 1, 2, 3, 4, 5, atau 6. Dengandemikian,S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan titik sampelnya 1, 2, 3, 4, 5, dan 6.b. Menyusun Ruang Sampel dengan Cara aA Mendaftar GPada pelemparan tiga mata uang logam sekaligus, misalkanmuncul sisi angka (A) pada mata uang pertama, muncul sisi b A AAgambar (G) pada mata uang kedua, dan muncul sisi angka (A) Apada mata uang ketiga. Kejadian ini dapat ditulis AGA. Kejadian G AGlain yang mungkin dari pelemparan tiga mata uang sekaligusadalah AAA, AGG, dan GGG. Jika ruang sampelnya kamu A GAtuliskan dengan cara mendaftar, diperoleh S = {AAA, AAG, AGA, GGAA, AGG, GAG, GGA, GGG} sehingga n(S) = 8. G GGc. Menyusun Ruang Sampel dengan Menggunakan Diagram Pohon c A AAA ACara lain yang dapat digunakan untuk menuliskan anggotaruang sampel adalah menggunakan diagram pohon. Amati G AAGkembali kasus pelemparan tiga mata uang sekaligus pada A A AGAbagian b. Sekarang, kamu akan mencoba menyusun ruangsampelnya dengan menggunakan diagram pohon. G Untuk mata uang pertama, kejadian yang mungkin G AGGadalah munculnya sisi angka (A) atau gambar (G). Diagram-nya dapat kamu buat seperti pada Gambar 4.2(a). A GAA A Untuk mata uang kedua, kejadian yang mungkin adalah GAGsama. Diagram pohonnya tampak pada Gambar 4.2(b). G G GGA A Kejadian yang mungkin untuk mata uang ketiga juga GGGsama. Diagram pohon kejadian untuk pelemparan tiga mata Guang tampak pada Gambar 4.2(c). #FSEBTBSLBO
EJBHSBN
QPIPO
tersebut, dapat ditentukan ruang sampelnya, yaitu S = {AAA, GAAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG}. Gambar 4.2 Peluang 95

Matematika d. Menyusun Ruang Sampel dengan Cara Ria Membuat Tabel1. Buatlah kelompok Pada percobaan melemparkan dua dadu sekaligus, misalnya yang terdiri atas 3 muncul muka dadu bernomor 2 pada dadu pertama dan orang. muka dadu bernomor 3 pada dadu kedua. Kejadian ini dapat dinyatakan sebagai pasangan berurutan, yaitu (2, 3).2. Buatlah tiga buah Jika muncul muka dadu bernomor 5 pada dadu pertama kartu dengan gambar dan muka dadu bernomor 1 pada dadu kedua, bagaimana yang berbeda-beda. menyatakan kejadian itu sebagai pasangan berurutan? Pada selembar kertas, Ruang sampel dari percobaan melempar dua dadu sekaligus buatlah tiga gambar dapat disusun dengan cara membuat tabel seperti berikut. yang sama seperti gambar pada kartu. Tabel 4.2 Tabel Ruang Sampel3. Kocok ketiga kartu Dadu 1 2 Dadu ke-2 5 6 tersebut olehmu. ke-1 (1, 1) (1, 2) 34 (1, 5) (1, 6) Kemudian, ambil satu (2, 1) (2, 2) (1, 3) (1, 4) (2, 5) (2, 6) kartu secara acak 1 (3, 1) (3, 2) (2, 3) (2, 4) (3, 5) (3, 6) oleh temanmu dan 2 (4, 1) (4, 2) (3, 3) (3, 4) (4, 5) (4, 6) tempatkan di atas 3 (5, 1) (5, 2) (4, 3) (4, 4) (5, 5) (5, 6) gambar yang menurut 4 (6, 1) (6, 2) (5, 3) (5, 4) (6, 5) (6, 6) tebakan temanmu 5 (6, 3) (6, 4) sesuai dengan 6 gambar pada kartu. Pada tabel tersebut dapat dilihat terdapat 36 titik sampel4. Buka kartu tersebut. sehingga n(S) = 36. Apakah tebakan temanmu benar? 5. Kisaran Nilai Peluang5. Tempatkan kartu yang a. Rumus Peluang telah dibuka di atas gambar yang sesuai. 1FSIBUJLBO
LFKBEJBO
QBEB
QFMFNQBSBO
TFCVBI
EBEV
)BTJM
pelemparan yang mungkin adalah muncul muka dadu6. Lakukan langkah bernomor 1, 2, 3, 4, 5, atau 6, sehingga ruang sampelnya yang sama untuk adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. kartu yang kedua dan ketiga oleh temanmu Misalkan, kejadian munculnya muka dadu bernomor yang lain. Apakah genap adalah G

\

^
#BOZBL
BOHHPUB
IJNQVOBO
G atau tebakan temanmu kejadian G dinotasikan dengan n(G), sehingga n(G) = 3. benar? Peluang munculnya setiap titik sampel dalam ruang7. Dapatkah kamu sampel S sama, yaitu 1 . Dengan demikian, peluang muncul- menghitung peluang untuk menebak kartu 6 pertama, kedua, nya muka dadu bernomor genap adalah sebagai berikut. atau ketiga dengan P(G) = 1  1  1  3  1 benar? Berapa nilai peluangnya? 6666 2 P(G) juga dapat diperoleh dengan cara berikut.96 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n(S) = 6.G = {2, 4, 6} sehingga n(G) = 3.P(G) = n(G )  3 1. n(S ) 6 2Jika setiap anggota ruang sampel S memiliki peluangmuncul yang sama maka peluang kejadian K yang memilikianggota sebanyak n(K) didefinisikan sebagai berikut. P(K) = n(K ) , dengan K

munculnya mata dadu bernomor 7 adalah nol, atau P(7) = 0 karena pada dadu tidak terdapat mata dadu yang bernomor 7 (lihat Contoh 4.3(c)). Untuk kejadian-kejadian lain yang nilainya mendekati nol, berarti kemungkinan kejadian tersebut terjadi sangat kecil. Sebaliknya, jika nilai peluang suatu kejadian sama dengan satu atau P(K) = 1, nilai tersebut menunjukkan bahwa kejadian K pasti terjadi. Misalnya, pada pelemparan sebuah dadu, peluang munculnya mata dadu yang lebih dari 0 tetapi kurang dari 7 adalah 1. Dengan kata lain, munculnya mata dadu yang lebih dari 0, tetapi kurang dari 7 merupakan suatu kejadian yang pasti terjadi. Dari uraian tersebut, dapatkah kamu menemukan per- nyataan berikut? 1) Peluang suatu kejadian nilainya dari 0 sampai dengan 1 (ditulis 0 ≤ P(K) ≤ 1). 2) Peluang suatu kejadian yang tidak mungkin terjadi, nilainya nol atau P(K) = 0 (kejadian tersebut dinama- kan kejadian yang mustahil). 3) Peluang suatu kejadian yang pasti terjadi, nilainya 1 atau P(K) = 1 (kejadian tersebut dinamakan kejadian nyata/pasti). Jika kejadian L merupakan komplemen dari kejadian K maka P(K) + P(L) = 1 atau P(L) = 1 – P(K). Misalkan, peluang hari ini hujan 0,3 maka peluang hari ini tidak hujan adalah 1 – 0,3 = 0,7. Contoh 4.4 1. Dua puluh lima kartu diberi angka 1, 2, 3, ..., 25. Kartu tersebut dikocok. Kemudian, diambil kartu secara acak TFUJBQ
QFOHBNCJMBO
TBUV
LBSUV
EJLFNCBMJLBO
MBHJ
#FSBQB
peluang terambilnya kartu berangka InfoNet a. ganjil b. kelipatan 3Kamu dapat menambah Penyelesaian:wawasanmu tentang materidalam bab ini dari internet Ruang sampel dalam percobaan ini adalah S = {1, 2, 3, ...,dengan mengunjungialamat: 25} sehingga n(S) = 25.zaki.web.ugm.ac.id/web/mod.php?mod=download&o a. Misalkan, G kejadian terambilnya kartu berangka ganjilp=visit&lid=118 maka G = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25} sehingga n(G) = 13. Peluang G adalah P(G) = n(G) = 13 . n(S ) 2598 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX

Jadi, peluang terambilnya kartu berangka ganjil adalah 13 . 25b. Misalkan, K adalah kejadian terambilnya kartu berangkakelipatan 3 maka K = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24}sehingga n(K) = 8.Peluang K adalah P(K) = n(K ) = 8 . n(S ) 25Jadi, peluang terambilnya kartu dengan angka kelipatan tiga adalah 8 . 252. Dari 36 siswa terdapat 22 orang gemar voli, 17 orang gemartenis, dan 4 orang tidak gemar keduanya. Jika seorang siswadipilih secara acak, berapa peluang:a. seorang siswa hanya gemar voli;b. seorang siswa hanya gemar tenis;c. seorang siswa gemar voli dan tenis;d. seorang siswa tidak gemar voli dan tenis?Penyelesaian:Langkah 1Tuliskan apa yang diketahui dan ditanyakan.%JLFUBIVJ
#BOZBL
TJTXB


PSBOH S = 36 Tenis Voli

#BOZBL
TJTXB
ZBOH
HFNBS
WPMJ


PSBOH

#BOZBL
TJTXB
ZBOH
HFNBS
UFOJT


PSBOH 22 – x x 17 – x 4

#BOZBL
TJTXB
ZBOH
UJEBL
HFNBS
LFEVBOZB


PSBOHDitanyakan:Peluang: a. seorang siswa hanya gemar voli; b. seorang siswa hanya gemar tenis; Gambar 4.3 c. seorang siswa gemar voli dan tenis; d. seorang siswa tidak gemar voli dan tenis.Langkah 2Perjelas soal dengan menggunakan gambar. Pada soal ini,gunakanlah diagram Venn seperti Gambar 4.3.Langkah 3Selesaikan soal berdasarkan gambar dengan terlebih dahulumencari nilai x, yaitu jumlah siswa yang gemar voli dantenis.(22 – x) + x + (17 – x) + 4 = 36 ¾ 43 – x = 36 ¾ x = 7a
#BOZBL
TJTXB
ZBOH
IBOZB
HFNBS
WPMJ


o



PSBOH Peluang seorang siswa hanya gemar voli = 15 . 36b
#BOZBL
TJTXB
ZBOH
IBOZB
HFNBS
UFOJT


o

= 10 orang.Peluang seorang siswa hanya gemar tenis = 10 . 36 Peluang 99

Siapa c
#BOZBL
TJTXB
ZBOH
HFNBS
WPMJ
EBO
UFOJT


PSBOHBerani? Peluang seorang siswa gemar voli dan tenis = 7 . Dua dadu dilempar 36 secara bersamaan. Tentukan peluang angka d
#BOZBL
TJTXB
ZBOH
UJEBL
HFNBS
WPMJ
EBO
UFOJT


PSBOH pada salah satu dadu yang merupakan faktor Peluang seorang siswa tidak gemar voli dan tenis = 4 . dari mata dadu yang lain. 36 Langkah 4 Periksa kembali jawaban yang diperoleh. Untuk menguji apakah jawabanmu benar atau salah, jumlahkan semua nilai peluang dari a sampai dengan d. Jika jumlah peluangnya sama dengan 1, berarti jawabanmu benar. Tahukah kamu mengapa berlaku seperti itu? Coba jelaskan. 15  10  7  4  36  1 36 36 36 36 36 Dapat disimpulkan bahwa jawaban yang diperoleh benar. Contoh 4.5 A AA %VB
NBUB
VBOH
MPHBN
EJMFNQBS
TFDBSB
CFSTBNBBO
#FSBQBLBI
A peluang munculnya G AG a. tepat dua angka; A GAG b. angka dan gambar; G GG c. paling sedikit satu angka. Penyelesaian: Ruang sampel percobaan ini dapat ditentukan dengan diagram pohon di samping. Jadi, ruang sampel percobaan ini adalah S = {AA, AG, GA, GG} sehingga n(S) = 4. a. Misalnya, E kejadian muncul tepat dua angka maka E = {AA} dan n(E) = 1. Peluang kejadian E adalah P(E) = n(E ) = 1 . n(S ) 4 Jadi, peluang muncul tepat dua angka adalah 1 . 4 b. Misalnya, F kejadian muncul angka dan gambar maka F = {AG, GA} dan n(F) = 2. Peluang kejadian F adalah P(F) = n(F ) = 2 = 1 . n(S ) 4 2 Jadi, peluang muncul angka dan gambar adalah 1 . 2 c. Misalnya, H kejadian muncul paling sedikit satu angka maka H = {AA, AG, GA}dan n(H) = 3. Peluang kejadian H adalah P(H) = n(H ) = 3 n(S ) 4 Jadi, peluang muncul paling sedikit satu angka adalah 3 . 4100 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX

Tes Kompetensi 4.1Kerjakansoal-soalberikutdalambukulatihanmu.1. Suatu kantong berisi 4 kelereng merah, b. Mengambil kartu As dari satu set6 kelereng putih, dan 8 kelereng hijau. kartu bridge.Sebuah kelereng diambil secara acak dari c. Memilih bilangan genap dari 20dalam kantong itu. bilangan bulat positif pertama.a
#FSBQB
QFMVBOH
UFSBNCJMOZB
LFMFSFOH
5. Sebuah dadu dan sebuah mata uangberwarna bukan putih? logam dilemparkan ke atas bersama-sama.b. Jika pada pengambilan pertama Sebuah hasil yang mungkin munculyang terambil adalah kelereng hijau adalah (2, A), artinya muncul muka dadudan tidak dikembalikan, berapa bernomor 2 dan muncul angka padapeluang terambilnya kelereng hijau permukaan uang.pada pengambilan kedua? a
#VBUMBI
SVBOH
sampel dengan meng-2. Sebuah uang logam dilemparkan ke atas gunakan diagram pohon.sebanyak empat kali. Diketahui salah b. Tentukan P(2, A), P(4, A) dan P(5, G).satu hasil yang mungkin muncul adalah c. Tentukan P(genap, G), artinya ke-angka, angka, gambar, dan gambar, mungkinan munculnya nomorditulis AAGG. genap pada dadu dan munculnyaa. Susunlah ruang sampel dengan gambar pada uang logam.model diagram yang kamu sukai. 6. Sebuah memiliki 2 sisi berwarna merah,b. Tentukan P(AAGG), P(AAAA), dan 2 sisi berwarna putih, satu sisi berwarnaP(GGGG). hijau dan kuning. Jika kubus tersebutc. Tentukan peluang munculnya paling dilemparkan, tentukan peluang sisi bagiansedikit: atas yang muncul adalah(i) dua angka; (ii) tiga gambar. a. merah; c. tidak merah.3. Dua buah dadu dilemparkan ke atas b. kuning;sekaligus. Diketahui salah satu hasil yang 7. Tes kesehatan dilakukan terhadap 40mungkin adalah muncul permukaan angka orang anak di tiga kota yang diambil2 pada dadu pertama dan muncul angka 3 secara acak, diperoleh bahwa:pada dadu kedua, ditulis (2, 3). Kota P : 6 orang buta warnaa
#VBUMBI
SVBOH
sampel dengan cara Kota A : 2 orang buta warnamembuat tabel. Kota C : 3 orang buta warnab. Tentukan P(2, 3) dan P(1, 4). a
)JUVOHMBI
QFMVBOH
BOBL
CVUB
XBSOB
c. Tentukan peluang munculnya muka pada masing-masing kota.dadu: b. Tentukan peluang dari keseluruhan(i) berjumlah 1; pengujian bahwa seseorang itu buta(ii) berjumlah 8; warna.(iii) berjumlah 13. c
#VBUMBI
TVBUV
LFTJNQVMBO
UFSIBEBQ
4. Tentukan ruang sampel peristiwa berikut. keadaan tersebut.a. Mengambil bola dari kotak yang 8. Tentukan peluang munculnya sekurang-berisi 3 bola merah, 2 bola putih, kurangnya dua angka pada pelemparan 3dan 1 bola hitam. mata uang secara bersamaan. Peluang 101

B. Frekuensi Harapan Sebuah mata uang logam dilempar sebanyak 100 kali. Dalam sekali pelemparan, peluang munculnya sisi angka adalah 1. 2 Dari pelemparan uang logam sebanyak 100 kali, kamu dapat mengharapkan munculnya sisi angka sebanyak 50 kali. Tidak mengherankan apabila dalam percobaan itu ternyata muncul sisi angka sebanyak 47 kali, 48 kali, 52 kali, atau 56 kali. Akan tetapi, akan mengherankan apabila munculnya TJTJ
BOHLB
IBOZB

LBMJ
BUBV

LBMJ
)BSBQBO
NVODVMOZB
TJTJ
angka sebanyak 50 kali dari 100 kali pelemparan uang logam disebut frekuensi harapan. Dalam buku ini, frekuensi harapan dinotasikan dengan Fh. Frekuensi harapan dari suatu kejadian ialah harapan banyaknya muncul suatu kejadian yang diamati dari sejumlah percobaan yang dilakukan. Fh = P(K) ¾ N dengan P(K)= peluang kejadian K N = banyaknya percobaan Contoh 4.6 Hal Penting 4FCVBI
EBEV
EJMFNQBSLBO
LF
BUBT
TFCBOZBL

LBMJ
#FSBQB
frekuensi harapan munculnya mata dadu bernomor 3?Istilah-istilah penting yang Penyelesaian:kamu temui pada bab ini Misalkan, K = kejadian munculnya mata dadu bernomor 3adalah• peluang kejadian sehingga P(K) = 1 .• frekuensi relatif 6• titik sampel• ruang sampel #BOZBLOZB
MFNQBSBO

LBMJ• kejadian acak Fh = P(K) × 36• frekuensi harapan = 1 × 36 6 =6 Jadi, frekuensi harapan munculnya mata dadu bernomor 3 dari 36 kali pelemparan adalah 6 kali. Jika hasil percobaan tersebut munculnya dadu bernomor 3 jauh dari harapan, hal ini mungkin disebabkan berat pada setiap mata dadu tidak sama (dadu tidak homogen).102 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX

Tes Kompetensi 4.2Kerjakansoal-soalberikutdalambukulatihanmu.1. Sebuah dadu dilemparkan sebanyak 100 5. Diketahui bahwa peluang seorang LBMJ
#FSBQBL
BI
GSFLVFOTJ
IBSBQBO
NVODVM penembak akan menembak tepat mengenai nya muka dadu bernomor: sasaran adalah 0,69. Di antara 100 orang a. 4; penembak, berapa orang yang diperkira- b. genap; kan menembak tepat mengenai sasaran? c. kurang dari 5; d. prima. 6. Diketahui di suatu desa terdapat 200 keluarga. Rata-rata jumlah anggota setiap2. Dua buah dadu dilemparkan sekaligus. keluarga adalah 6 orang dan jumlah orang Sebuah hasil yang mungkin muncul dewasa seluruhnya 500 orang. Suatu saat, adalah (3, 4). Jika percobaan dilakukan desa itu diserang suatu wabah penyakit sebanyak 250 pelemparan, berapa kali dengan peluang terjangkit wabah bagi harapan munculnya muka dadu: orang dewasa 0,3 dan bagi anak-anak a. (3, 4); 
#FSBQB
PSBOH
ZBOH
EJQFSLJSBLBO
b. berjumlah 7; akan terjangkit wabah tersebut? c. bernomor sama? 7. Sebuah uang logam salah satu mukanya3. Sebuah dadu dan dua buah mata uang diberi beban sehingga peluang muncul- logam dilemparkan bersama-sama. Ke- nya gambar (G) dua kali peluang mun- jadian yang mungkin muncul adalah culnya angka (A). Jika uang tersebut di- (3, A, G). Jika percobaan dilakukan lemparkan 100 kali, berapakah frekuensi sebanyak 200 kali, berapa kali harapan harapan: munculnya: a. munculnya angka (A); a. (3, A, G); b. munculnya gambar (G). b. (ganjil, G, A); c. (prima, A, A); 8. Pada suatu percobaan pelemparan mata d. (genap, G, G). uang logam sebanyak 200 kali, ternyata muncul sisi angka (A) sebanyak 70 kali4. Peluang seorang siswa lulus ujian adalah dan sisi gambar (G) sebanyak 130 kali. 0,75. Jika terdapat 600 siswa yang Mengapa hal ini terjadi? Coba kamu mengikuti ujian, berapa orang yang jelaskan. diperkirakan akan lulus? Peluang 103

RingkasanBerikut ini contoh rangkuman dari sebagian materi pada bab ini.1. Ruang sampel adalah himpunan semua 3. Kisaran nilai peluang munculnya kejadiankejadian yang mungkin diperoleh pada K adalah sebagai berikut.suatu percobaan. Setiap anggota dari 0 ≤ P(K) ≤ 1ruang sampel disebut titik sampel. Jika P(K) = 1, kejadian K pasti terjadi.2. Jika setiap anggota ruang sampel S Jika P(K) = 0, kejadian K tidak mungkinmempunyai peluang yang sama untuk terjadi.muncul, peluang kejadian K ¾ S 4. Jika L komplemen dari kejadian K makayang memiliki anggota sebanyak n(K) berlakudidefinisikan sebagai berikut. P(K) + P(L) = 1 atau P(L) = 1 – P(K).P(K) = n(K ) 5. Frekuensi harapan munculnya kejadian K n(S ) didefinisikan sebagai berikut. Fh = P(K) ¾ NCoba kamu buat rangkuman dari materi yang telah kamu pelajari pada bab ini dengan kata-katamu sendiri. Tuliskan rangkuman tersebut pada buku latihanmu. Refleksi1
#VBUMBI
LFMPNQPL
ZBOH
UFSEJSJ
BUBT

TBNQBJ

PSBOH
BUBV
EJTFTVBJLBO
EFOHBO
LPOEJTJ
kelasmu.2. Setiap anggota kelompok menceritakan tentang faktor-faktor apa saja yang menghambat pemahamanmu terhadap materi tentang Peluang.3. Tuliskan hasilnya, kemudian presentasikan di depan kelas bergantian dengan kelompok lain.104 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX

Tes Kompetensi Bab 4Kerjakanlah pada buku tugasmu.Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.1. Sebuah dadu dilempar 100 kali. Dari a. 4 c. 9 58 29hasil pelemparan tersebut, muncul d. 20mata dadu bernomor 3 sebanyak 17 kali b. 7 29 9dan mata dadu bernomor 5 sebanyak18 kali. Peluang muncul mata dadu 4
#BOZBLOZB
TFQFSBOHLBU
LBSUV
BEBMBI
100 buah. Setiap kartu diberi nomorbernomor 3 atau 5 adalah .... 1 sampai dengan 100. Seperangkat kartu itu dikocok, kemudian diambila. 7 c. 9 secara acak. Peluang terambilnya kartu 20 50 bernomor bilangan prima adalah ....b. 17 d. 153 100 5.0002. Gambar berikut memperlihatkan 1 c. 27 4 100lempengan bernomor 1, 2, 3, 4, 5, a.dan 6 dengan jarum penunjuknya. 13 7 50 25Jika lempengan tersebut diputar, b. d.jarum akan tetap pada posisinya.Adapun pada saat berhenti, jarum 5. Dari pernyataan berikut yang merupa- kan suatu kepastian adalah ....penunjuk akan menunjuk ke angka a. Dalam 1 tahun terdapat 365 hari. b
#FOEB
ZBOH
CFSBU
BLBO
NFOHtertentu. Pada pemutaran 60 kali, apung. c
.BUBIBSJ
NFOHFMJMJOHJ
#VNJjarum menunjuk ke angka 5 sebanyak d
,PNFU
)BMMFZ
NVODVM
TFUJBQ

tahun sekali.12 kali. Peluang jarum menunjuk keangka lima adalah .... 1a. 6b. 1 1 6. Tiga keping uang logam dilempar ber- 5 62c. 1 53 sama-sama. Peluang munculnya tiga 4 4d. 1 sisi angka adalah .... 3 a. 1 c. 3 8 83. Sebuah stoples berisi 18 butir kelereng b. 1 d. 1berwarna merah, 14 butir berwarna 4 2hijau, 11 butir berwarna kuning, 7. Sebuah dadu dilempar sebanyak 20dan 15 butir berwarna biru. Sebuah kali, ternyata muncul muka dadukelereng diambil dari stoples itu secara bernomor 3 sebanyak 3 kali. Frekuensiacak. Peluang terambilnya kelereng relatif munculnya angka tiga adalah ....yang bukan berwarna merah adalah .... Peluang 105

a. 3 c. 3 12. Peluang munculnya muka dadu ber- 20 d. 60 nomor prima pada pelemparan dadub. 3 10 bersisi 6 adalah .... 18. Dua puluh enam kartu masing-masing a. 6 c. 3 6diberi huruf A, B, C, ..., Z. Sebuahkartu b. 2 d. 5 6 6diambil secara acak dari seperangkat Ebtanas 1998kartu itu, kemudian dikembalikan. Jikadilakukan pengambilan sebanyak 50 13. Dari 300 kali pelemparan sebuahkali, harapan terambilnya huruf vokal dadu, frekuensi harapan munculnyaadalah .... mata dadu yang merupakan faktora. 7 9 c. 11 7 prima dari 6 adalah .... 13 13 a. 50 c. 150b. 9 8 d. 13 6 b. 100 d. 200 13 13 Ebtanas 19999. Di suatu daerah, peluang bayi terkena 14. Peluang seorang pemain basket akan polio adalah 0,03 dan peluang terkena campak 0,05. Jika 1.500 bayi melempar bola tepat masuk ring 0,7. di daerah itu diperiksa, bayi yang terkena campak sebanyak .... Jika ia melempar sebanyak 70 kali, a. 45 orang b. 60 orang kemungkinan banyaknya bola yang c. 75 orang d. 100 orang tepat masuk ring adalah .... a. 50 c. 10 b. 49 d. 1 710. Banyak anggota ruang sampel pada 15. Sebuah dadu hitam dan sebuah dadu pelemparan sekeping uang logam dan putih dilemparkan bersamaan satu kali. sebuah dadu yang dilakukan secara Kemungkinan keluarnya jumlah 5 atau bersamaan adalah .... 10 dari kedua dadu itu adalah .... a. 12 titik sampel b. 18 titik sampel a. 1 c. 7 c. 20 titik sampel 9 36 d. 24 titik sampel b. 1 d. 5 12 3611. Dariseperangkatkartubridgedilakukan 16. Diagram berikut memperlihatkan jalan yang dapat dilalui oleh kendaraanpengambilan secara acak sebanyak 260 yang bergerak dari kota A ke kota G yang melalui kota-kota B, C, D, E,kali, dan setiap kali pengambilan kartu dan F.dikembalikan. Frekuensi harapan yang ADterambil kartu As adalah ....a. 5 kali c. 40 kali E AGb. 20 kali d. 60 kali Ebtanas 1996 AF106 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX

Ruang sampel yang dapat dilalui 19. Frekuensi harapan munculnya matasuatu kendaraan adalah .... dadu bilangan prima pada percobaana. {ABDG, ACDG, ABEG, ABFG, pelemparan sebuah dadu sebanyak 300 kali adalah .... ABCG, ACFG} a. 65 kalib. {ABEG, ABDG, ABCG, ACBG, b. 100 kali c. 150 kali ACED, ACFG} d. 200 kalic. {ABDG, ABEG, ABCG, ACBG, Ebtanas 1993 ABDG, ABCG}d. {ABDG, ABEG, ABFG, ACDG, 20. Dalam suatu kardus terdapat 10 bola berwarna merah, 7 bola berwarna ACEG, ACFG} kuning, dan 3 bola berwarna hitam. Satu bolanya diambil secara acak ter-17. Tiga mata uang dilempar sekaligus nyata berwarna merah, dan tidak di- sebanyak 80 kali. Frekuensi harapan kembalikan. Jika diambil satu lagi, muncul dua sisi angka adalah .... nilai kemungkinan bola tersebut a. 35 kali berwarna merah adalah .... b. 30 kali c. 25 kali d. 20 kali18. Dua buah dadu dilempar bersamaan. a. 9 20Kejadian yang mungkin muncul b. 9adalah mata dadu berjumlah 2, yaitu 19(1, 1). Artinya, muncul mata dadu c. 10 19bernomor 1 pada dadu pertama dan d. 10kedua. Peluang muncul dua mata dadu 20berjumlah bilangan prima adalah ....a. 5 c. 7 Ebtanas 1987 18 18b. 1 d. 15 3 36 Peluang 107

Tes Kompetensi Semester 1Kerjakanlah pada buku tugasmu.A. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.1. Pada segitiga ABC, DE //CB, AE = 25 5. Segitiga ABC dengan ¾A sebesar 85°cm, EB = 25 cm, dan CB = 60 cm. dan ¾B sebesar 70° akan sebangunPanjang DE adalah .... A dengan ....a. 20 cm a. ¾PQR, ¾Q = 70°, dan ¾P = 70° b. ¾MNO, ¾M = 85°, dan ¾O = 20°b. 25 cm D E c. ¾XYZ, ¾Z = 25°, dan ¾X = 85°c. 30 cm B d. ¾KLM, ¾L = 70°, dan ¾M = 35°d. 60 cm C 6. Diketahui sebuah tabung terbuka mempunyai tinggi 20 cm. Jika keliling2. Pada gambar berikut, besar ¾ABC lingkaran alas tabung 88 cm dan π = 22dan ¾ACB adalah .... D 7a. 75° dan 55° A 75°b. 75° dan 50° 55° maka luas permukaan tabung tersebut adalah ....c. 50° dan 55° C a. 2.068 cm2 b. 1.914 cm2d. 75° dan 55° E B3. Jika trapesium ABCD dan trapesiumPQRS sebangun maka panjang BC c. 1.034 cm2adalah .... S d. 1.188 cm2 DC R 7. Diketahui sebuah kerucut dengan luas 15 cm alas kerucut 1.386 cm2. Jika tinggiA 16 cm B P 20 cm Q kerucut tersebut 28 cm dan π = 22, 7a. 12 cmb. 15 cm luas permukaan kerucut adalah ....c. 18 cm a. 3.696 cm2d. 16 cm b. 4.567 cm2 c. 3.966 cm24. Pada gambar berikut panjang KM = d. 4.657 cm2 12 cm dan MO = 6 cm. Panjang ML adalah .... M 8. Amati gambar berikut dengan saksama. 1.000 mL 1.000 mLa. 12 cm O 500 mL bola besi 500 mLb. 16 cmc. 24 cmd. 26 cm K L Jari-jari bola besi adalah ....108 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX

a. 2,413 12. Sebuah tempat penampungan air ber-b. 2,516 bentuk tabung yang diameternya 7 dmc. 2,616 dan tingginya 0,6 m. Jika ke dalamd. 2,717 tabung tersebut dialiri air dengan debit 2 liter/menit, waktu yang dibutuhkan9. Diketahui sebuah sumur dengan untuk mengisi tabung sampai penuh diameter 140 cm dan tinggi 12 m. Jika adalah .... a. 12 jam 24 menitisi airnya 1 volume sumur, volume air b. 15 jam 24 menit 4 c. 16 jam 24 menittersebut adalah  22 .... d. 17 jam 24 menit 7a. 462 liter 13. Sebuah bola yang terbuat dari karet jari-jarinya 14 cm. Jika untuk setiapb. 4.620 liter cm2 karet, diperlukan biaya Rp25,00, besar biaya yang diperlukan untukc. 46.200 liter membuat bola tersebut adalah .... a. Rp61.500,00d. 462.000 liter b. Rp75.000,00 c. Rp51.050,0010. Ke dalam sebuah tabung yang berisi d. Rp70.500,00 air (penuh) dimasukkan kerucut pejal yang diameternya sama dengan 14. Sebuah corong berbentuk kerucut diameter tabung, yaitu 10 cm dan tinggi yang penuh berisi pasir diameternya kerucut 6 cm, seperti ditunjukkan pada 6 m dan tingginya 3 m. Jika pasir gambar berikut. tersebut dipindahkan ke dalam sebuah wadah berbentuk kubus dan pasir ST yang tersisa 1.260 liter, panjang sisi kubus adalah .... V a. 5 m b. 3 mJika volume air setelah dimasukkan c. 2 m d. 7 mkerucut pejal menjadi 1.257 1 cm3, 7 15. Mean dari data berikut ini adalah ....tinggi tabung adalah ....a. 15 cmb. 16 cmc. 17 cmd. 18 cm11. Diketahui volume sebuah kerucut Nilai 456789 Frekuensi 145642adalah V. Jika jari-jari kerucut tersebutdiperbesar 3 kali jari-jari kerucutsemula sedangkan tinggi kerucut a. 6,5 b. 6,6tetap, volume kerucut menjadi .... c. 6,7 d. 7a. 3 V c. 6 Vb. 9 V d. 12 V UN 2005 Tes Kompetensi Semester 1 109

16. Diketahui data sebagai berikut. a. 3,5; 5; 6 b. 4; 5; 614 12 11 13 10 1 4 c. 4; 5; 6,511 10 15 12 11 11 d. 4; 5,5; 6,5Pernyataan dari data tersebut adalah(1) rataan = 12 19. Sebuah dadu dilempar sebanyak 400(2) modus = 11 kali. Frekuensi harapan munculnya(3) median = 12 mata dadu kelipatan 2 adalah ....Pernyataan yang benar adalah .... a. 100a. (1) dan (2) b. 200b. (2) dan (3) c. 300c. (1) dan (3) d. 400d. (1), (2), dan (3) 20. Dalam sebuah kotak terdapat 2017. Nilai rata-rata ujian Matematika dari nama peserta undian yang dikemas50 murid adalah 6,5. Jika dua orang secara seragam. Satu nama akanmurid yang masing-masing mendapat diambil dari kotak tersebut secaranilai 8 dan 5 tidak dimasukkan dalam acak. Peluang setiap orang untuk bisaperhitungan rata-rata tersebut, nilai memenangkan undian adalah .... a. 1rata-rata ujian yang baru adalah .... 20a. 6 c. 7 b. 1b. 6,5 d. 7,5 1018. Diketahui data sebagai berikut. c. 1 55474367Nilai kuartil bawah, median, dan d. 1kuartil atas dari data tersebut berturut-turut adalah ....110 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX

Bab 5 Sumber: www6.fheberswalde.dePangkatTak SebenarnyaPada bab ini, kamu akan diajak untuk memahami sifat-sifatbilangan berpangkat dan bentuk akar serta penggunaannya dalampemecahan masalah sederhana dengan cara mengidentifikasi sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar, melakukan operasialjabar yang melibatkan bilangan berpangkat bulat dan bentukakar, serta memecahkan masalah sederhana yang berkaitan denganbilangan berpangkat dan bentuk akar.Di Kelas VII kamu telah mempelajari sifat-sifat perkalian A. Bilangan Rasionaldan pembagian bilangan bulat berpangkat bilangan bulat Berpangkatpositif. Pada bab ini sifat-sifat tersebut akan dikembangkan Bilangan Bulatsampai bilangan rasional berpangkat bilangan bulat danbentuk akar. B. Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan Konsep-konsep bilangan berpangkat dan bentuk akarbanyak digunakan dalam bidang ilmu dan teknologi, sepertipada contoh berikut. Jari-jari penampang melintang sebuah batang tumbuhandikotil pada musim dingin adalah 5 x cm. Adapun pada 2musim panas, ukurannya menyusut x cm. Setelah mem-pelajari bab ini, kamu dapat menghitung penurunan luaspenampang tumbuhan dikotil tersebut pada musim panas. 111

Diagram Alur Bilangan Berpangkat terdiri atasPangkat Sebenarnya Pangkat Tak Sebenarnya adalah adalahPangkat Bilangan Bulat Positif Pangkat Nol Pangkat Bilangan Pangkat Pecahan Bulat Negatif sifat definisi1. am × an = am + n definisi sifat dapat diubah a–n = 1 menjadi2. am = am – n a0 = 1, a bilangan an an rasional dan a ≠ 0 Bentuk Akar a bilangan rasional,  n a ≠ 0, dan n bilangan3. am = am × n = an × m bulat positif4. pan + qam = an (p + qam – n)5. pan – qam = an (p – qam – n) pam – qan = an(pam – n – q) 1n 1 1 1. pm = pm n  m 1 2. p n = pm n = n pm   m m m1 3. p n = pn = n pTes Apersepsi AwalSebelum mempelajari materi bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut di bukulatihanmu.1. Tentukan nilai dari bilangan berpangkat c. 32 × 3 × 33 d. (–2)3 × (–2)2 × (–2)4berikut. 4. Tentukan nilai dari bilangan berpangkat berikut.a. 72 c. (–11)2 a. (23)2 b. (32)3b. 133 d. (–15)3 5. Selesaikan soal-soal berikut. a. (34)2 – (15)22. Tentukan nilai dari akar bilangan b. (23)2 + (23)4berikut.a. 81 c. 3 216 b. 625 d. 3 5123. Selesaikan soal-soal berikut. a. 53 – 22 + (–3)2 b. 82 – 13 – (–2)3112 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX

A. Bilangan Rasional Berpangkat Bilangan Bulat1. Bilangan RasionalDi Kelas VII, kamu telah mempelajari konsep bilangan Tugasrasional. Agar tidak lupa, konsep tersebut akan dipelajari untukmukembali pada bab ini. Untuk itu, pahami kembali definisibilangan rasional berikut. Coba kamu selidiki apakah bilangan-bilanganDefinisi 5.1 berikut merupakanBilangan rasional ialah bilangan yang dapat dinyatakan bilangan rasional?dalam bentuk a , dengan a dan b adalah bilangan bulat a. 0,5 b. 0,3333.... b c. 0,16666....serta b ≠ 0. d. 1,41421356237.... e. 0,08080808080808....Bilangan 1 , 1 , 2 , – 2 , – 3 , dan – 5 merupakan bilangan f. 3233 5 7 9 Tuliskan hasilrasional karena memenuhi bentuk seperti pada Definisi 5.1. penyelidikanmu pada buku latihan, kemudian2. Pengertian Bilangan Rasional kumpulkan kepada Berpangkat Bilangan Bulat Positif gurumu.Dalam kehidupan sehari-hari, kadang-kadang kamu harus InfoMatikamengalikan bilangan-bilangan berikut:3×3 Pangkat dua dari suatu5×5×5 bilangan yang digit(–2) × (–2) × (–2) × (–2) terakhirnya 5 dapat(1,5) × (1,5) × (1,5) × (1,5) × (1,5) dihitung dengan rumus Perkalian berulang tersebut akan lebih sederhana jika n (n + 1) + 25ditulis dalam bentuk bilangan berpangkat, seperti berikut. Dalam hal ini +3 × 3 ditulis 32 dan dibaca \"tiga pangkat dua\".5 × 5 × 5 ditulis 53 dan dibaca \"lima pangkat tiga\". berarti angka-angkanya(–2) × (–2) × (–2) × (–2) ditulis (–2)4 dan dibaca \"negatif didekatkan. Misalnya,dua pangkat empat\". berapa nilai dari 452? 452 beraxrti n = 4 Coba kamu tentukan bentuk bilangan berpangkat dariperkalian berulang (1,5) × (1,5) × (1,5) × (1,5) × (1,5). 4 (4 + 1x) + 25 Penulisan perkalian berulang dalam bentuk bilangan 20 + 25 = 2025berpangkat tersebut memperjelas definisi berikut. Jadi, 452 = 2025 Definisi 5.2 Dengan penalaran Jika a bilangan rasional dan n bilangan bulat positif maka yang sama seperti perkalian berulang n faktor dari a ialah perhitungan tersebut, a1 a a2 4a .4.. 3a dituli an hitunglah a. 752 n faktor b. 852 Pangkat Tak Sebenarnya 113

TechnoMath Pada Definisi 5.2, an disebut bilangan berpangkat dengan a sebagai bilangan pokok dan n sebagai pangkat (eksponen).Dengan menggunakanCalculator Scientific tipe Contoh 5.1FX-570W kamu dapatmenentukan nilai (4,9)3 1. Nyatakan bilangan berpangkat berikut dalam perkaliandengan menekan tombol-tombol berikut secara berulang, kemudian hitunglah.berurutan. ( 4 • 9 ) x3 a. 73 c. –(34)Pada layar akan muncul b. (–3)4 d. 2 3tampilan Penyelesaian: 3Selanjutnya, untuk a. 73 = 7 × 7 × 7 = 49 × 7 = 343mengetahui hasilnya tekantombol = b. (–3)4 = (–3) × (–3) × (–3) × (–3) = 9 × 9 = 81sehingga pada layar akanmuncul tampilan. c. –(34) = –(3 × 3 × 3 × 3) = –(9 × 9) = –81 d. 2 3 = 2 2 2  8 3 3 3 3 27 2. Sebuah bak mandi berbentuk kubus dan mempunyai panjang rusuk 9,2 dm. Berapa mililiter volume bak mandi tersebut? Penyelesaian: Diketahui: Panjang rusuk bak mandi (p) = 9,2 dmTugas Ditanyakan: Volume bak mandi (V) dalam satuan mL.untukmu V = p3 = (9,2)3 = 9,2 × 9,2 × 9,2 = 84,64 × 9,2 = 778,688 Volume bak mandi itu adalah 778,688 dm3 atau 778,688 liter.Salin dan lengkapilah Diketahui 1 liter = 1000 ml sehinggaperkalian berikut. 778,688 liter = 778,688 × 1000 mL = 778.688 mL.1. 2,54 × 2,53 Jadi, volume bak mandi tersebut adalah 778.688 mL.= (1 4 .2.. 3 ) (1 4 .2.. 3 )... faktor ... faktor= (1 4 .2.. 3 ) 3. Sifat Bilangan Rasional Berpangkat Bilangan Bulat Positif ... faktor= 2,5 ...2. Misalkan, a adalahbilangan rasional. a. Sifat Perkalian Bilangan Berpangkata3 × a5= (1 4 .2.. 3 ) (1 4 .2.. 3 ) Pelajari operasi hitung berikut.... faktor ... faktor 33 × 32 = (14 2 3 ) ({ )= (1 4 .2.. 3 ) ... faktor 3 faktor 2 faktor= a ... = 31 3 23 4 3433 = 33+2Berdasarkan uraiantersebut dapatkah kamu (3 2) faktormenerka sifat umum Jadi, 33 × 32 = 33+2.perkalian bilangan Sekarang, lakukan Tugas untukmu di samping.berpangkat? Cobalahnyatakan sifat tersebut Perkalian bilangan berpangkat tersebut memperjelasdengan kata-katamu sifat berikut ini.sendiri.Kemudian, ujilah Sifat 5.1 Jika a bilangan rasional dan m, n bilangan bulat positif makadugaanmu untuk am × an = am+nmengalikan 2 bilanganberpangkat sebarang.114 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX

Contoh 5.2 Siapa Berani?1. a. 52 × 53 = 52+3 = 55 b. (–2)4 × (–2)5 = (–2)4+5 = (–2)9 Panjang rusuk sebuah c. 23 × 34 tidak dapat disederhanakan karena bilangan kubus adalah 5 cm. pokoknya tidak sama. Kemudian, panjang d. 3y2 × y3 = 3y2+3 = 3y5, dengan y = bilangan rasional. rusuk kubus tersebut diperpanjang menjadi2. Ketinggian suatu benda dapat ditentukan dengan meng- 5 kali panjang rusuk gunakan rumus gerak jatuh bebas, yaitu h = 1 gt2. Dalam semula. Berapa liter 2 volume kubus yang baru? hal ini h = ketinggian benda, g = percepatan gravitasi bumi, dan t = waktu benda sampai jatuh ke tanah. Sebuah benda Tugas dijatuhkan dari puncak sebuah gedung. Hasil pengukuran untukmu menunjukkan bahwa waktu benda sampai jatuh ke tanah adalah 4,9 detik. Jika percepatan gravitasi bumi di tempat Salin dan lengkapilah itu 9,8 m/det2, berapa meterkah tinggi gedung tersebut? pembagian bilangan Penyelesaian: berikut. Diketahui: t = 4,9 detik dan g = 9,8 m/det2 Ditanyakan: h = ? 64... 7fakt8or h = 1 gt2 = 1 × 9,8 × (4,9)2 = 4,9 × (4,9)2 1. 26 = ( ... ) 22 = (4,9)1+2 = (4,9)3 = 117,649 44 (14 .2..3 ) Jadi, tinggi gedung tersebut adalah 117,649 meter. ... faktorb. Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat 64... 7fak4t8or 64... 7fakt8orPelajari operasi hitung berikut. = ( ... ) ( ... ) 6 5 7fakto4r 48 (14 .2..3 )35 = 3 3 3 3 332 3{ 3 ... faktor 2 faktor = 1 .2..3 = 2... }2 faktor 6(45 27) 8faktor ... faktor= 3 3 3 3 3 = 314 23 33 = 35–2 2. Misalnya, a adalah 3{ 3 bilangan rasional. (5 2) faktor 64... 7fakt8or a5 = ( ... ) 2 faktor a3 (14 .2..3 )Jadi, 35 = 35–2 ... faktor 32 64... 7fak4t8or 64... 7fakt8orSelanjutnya, lakukan Tugas untukmu di samping. = ( ... ) ( ... )Pembagian bilangan berpangkat tersebut memenuhi (14 .2..3 )sifat berikut. ... faktorSifat 5.2 = 1 .2..3 = a...Jika a bilangan rasional, a ≠ 0, dan m, n bilangan bulatpositif maka am = am–n dengan m > n. ... faktor an Berdasarkan uraian tersebut, coba kamu terka sifat umum pembagian bilangan berpangkat. Nyatakan sifat tersebut dengan kata-katamu sendiri. Kemudian, ujilah dugaanmu untuk menghitung pembagian dua bilangan berpangkat sebarang. Pangkat Tak Sebenarnya 115

Contoh 5.3 1. a. 37 = 37–4 = 33 = 27 34 b. (–5)6 = (–5)6–4 = (–5)2 = 25 (–5)4 c. 2 p5 = 2p5–2 = 2p3 p2 2. Percepatan sentripetal dari sebuah benda yang bergerak melingkar dirumuskan as = v2 . Dalam hal ini as = percepatan r sentripetal bersatuan m/det2, v = kecepatan benda bersatuan m/det, dan r = jarak benda ke pusat lingkaran bersatuan Sumber: CD Image meter. Sebuah mobil bergerak di suatu tikungan yang ber- bentuk seperempat lingkaran dengan jari-jari 16 m. Mobil melaju dengan kecepatan tetap 57,6 km/jam. Berapa m/det2 percepatan sentripetal mobil tersebut? Penyelesaian:Tugas Diketahui: r = 16 muntukmu v = 57,6 km = 57.600 m = 16 m/det jam 3.600 detSalin dan lengkapilah Ditanyakan as?perpangkatan berikut.1. (54)3 = 1 .2..3 as = v2 = 162 = 162–1 = 161 = 16 r 16 ... faktor= (14 .2..3 ) (14 .2..3 ) (14 .2..3 ) Jadi, percepatan sentripetalnya adalah 16 m/det2.... faktor ... faktor ... faktor= 14 .2..3 = 5 ... × ...... faktor c. Sifat Perpangkatan Bilangan Berpangkat2. Misalnya, a adalahbilangan rasional. Pelajari operasi hitung berikut ini.(a2)4 = 1 .2..3 (23)2 = 2132 323 ... faktor= (14 .2..3 ) (14 .2..3 ) 2 faktor... faktor ... faktor = (1 4 2 3 ) (1 4 2 3 ) = 21 2 422 2 2 32(14 .2..43 ) (14 .2..43 ) 3 faktor 3 faktor (2 3) faktor... faktor ... faktor = 22×3= 14 .2..3 = a ... × ... Jadi, (23)2 = 22×3 = 23×2... faktorKemudian, ujilah Sekarang, kerjakan Tugas untukmu di samping.dugaanmu untukmemangkatkan bilangan Perpangkatan bilangan berpangkat yang telah kamuberpangkat sebarang.Berdasarkan uraian pelajari tersebut memperjelas sifat berikut.tersebut, dapatkah kamumenduga sifat umum Sifat 5.3perpangkatan bilangan Jika a bilangan rasional dan m, n bilangan bulat positif makaberpangkat? Cobalahnyatakan sifat tersebut (am)n = am×n = an×mdengan kata-katamusendiri.116 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX

Contoh 5.41. a. (34)2 = 34×2 = 38b. 35 1 35 = 15 1= 1 2 22 c. ( ) 3 = (–2)4×3 = (–2)122. Energi kinetik (Ek) sebuah benda bermassa m kg yangbergerak dengan kecepatan v m/det dirumuskan Ek = 1 mv2. 2Sebuah benda bermassa 6 kg bergerak dengan kecepatan 27m/det. Berapa joule energi kinetik benda tersebut?Penyelesaian:Diketahui: m = 6 kg v = 27 m/det = 33 m/detDitanyakan: Ek = ?Ek = 1 mv2 = 1 × 6 × (33)2 = 3 × 33×2 = 3 × 36 = 37 = 2.187 2 2Jadi, energi kinetiknya adalah 2.187 joule.d. Sifat Perpangkatan dari Bentuk Perkalian Tugas untukmuPelajarilah operasi hitung berikut. Salin dan lengkapilah operasi hitung berikut.(2 × 3)3= (1 ) ( 2 4) 4 (4 43 ) 1. (3 × 5)4 = 1 .2..3 3 faktor ... faktor = (1 4 2 3 ) (14 2 3 ) = 23 × 33 = (14 .2..3 ) (14 .2..3 ) 3 faktor 3 faktor ... faktor ... faktorJadi, (2 × 3)3 = 23 × 33. = ... × ... 2. Misalkan, a dan bSekarang, kerjakan Tugas untukmu di samping. bilangan rasional.Perpangkatan dari bentuk perkalian yang telah kamu (a × b)5 = 1 .2..3pelajari tersebut memperjelas sifat berikut. ... faktorSifat 5.4 = (14 .2..3 ) (14 .2..3 )Jika n bilangan bulat positif dan a, b bilangan rasional maka ... faktor ... faktor (a × b)n = an × bn = ... × ...Contoh 5.5 Berdasarkan uraian tersebut coba kamu terka1. a. (2 × 5)2 = 22 × 52 = 4 × 25 = 100 sifat umum perpangkatan b. {(–3) × 2)3 = (–3)3 × 23 = –27 × 8 = –216 dari bentuk perkalian c. (–3pq)4 = (–3)4 × p4 × q4 = 81p4q4 tersebut. Nyatakan sifat itu dengan kata-katamu2. Suatu alat listrik mempunyai hambatan 2 × 102 ohm dialiri sendiri. arus 3 × 102 ampere selama 2 menit. Berapa joule besarnya energi listrik yang digunakan? Pangkat Tak Sebenarnya 117

Tugas Penyelesaian: Diketahui: R = 2 × 102 ohm untukmu I = 3 × 102 ampereBersama kelompok t = 2 menit = 120 detikbelajarmu, coba kamu Ditanyakan W?selidiki mengapa pada W = I 2 R t = (3 × 102)2 × 2 × 102 × 120Sifat 5.5 nilai b tidak = 32 × (102)2 × 2 × 102 × 1,2 × 102boleh sama dengan = 9 × 2,4 × 104 × 102 × 102 = 21,6 × 108 = 2,16 × 109nol. Presentasikan hasil Jadi, energi listrik yang digunakan sebesar 2,16 × 109 joule.penyelidikanmu di depankelas bergantian dengankelompok yang lain.Tugas e. Sifat Perpangkatan dari Bentuk Pembagianuntukmu Untuk memahami sifat perpangkatan dari bentuk pembagian,Salin dan lengkapilah pelajarilah operasi hitung berikut dengan saksama.operasi hitung berikut. 2 }2 faktor 2 = 2 2 = 22 3 4 2 =2 3 3{ 3 32 5 3 {31. = 14 .2..3 ... faktor 64... 7fakt8or 2 faktor 2 faktor ( ... ) = 3... Jadi, 2 2 = 22 5... 3 32 (14 .2..3 ) ... faktor2. Misalkan, a dan b Sekarang, kerjakan Tugas untukmu di samping. bilangan rasional Perpangkatan dari bentuk pembagian yang telah kamu a 3 b = 14 .2..3 pelajari itu memperjelas sifat berikut. ... faktor 64... 7fakt8or Sifat 5.5 = ( ... ) = a... Jika a, b bilangan rasional, b ≠ 0, dan n bilangan bulat (14 .2..3 ) b... ... faktor a n an .Berdasarkan uraian positif maka =tersebut coba kamu terka b bnsifat umum perpangkatandari bentuk pembagian Contoh 5.6itu. Nyatakan sifattersebut dengan kata- 1. 3 3 = 33 = 27 3. 2 pq 2 22 p2q2 = 4p2q2katamu sendiri. = 7 73 343 r r2 r2 2. 2 4 = ( )4 = 16 3 34 81 f. Sifat Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Berpangkat Catatan Sebelum mempelajari sifat penjumlahan dan penguranganSifat distributif pada bilangan berpangkat, dapatkah kamu menyederhanakanbentuk aljabar adalaha (b + c) = ab + ac. penjumlahan bilangan berpangkat berikut? a. 35 + 37 c. 2 × 53 + 55 b. (–3)3 + (–3)5118 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX

Cocokkan hasilnya dengan jawaban berikut. InfoMatikaa. 35 + 37= 35 (1 + 32) (sifat distributif ) Edward Waring (1743–1798)= 35 × 10 = 10 × 35 Setiap bilangan bulatb. (–3)3 + (–3)5 = (–3)3 (1 + (–3)2) (sifat distributif ) merupakan bilangan pangkat tiga dari = (–3)3 × 10 = 10 × (–3)3 bilangan itu sendiri atau merupakan jumlahc. 2 × 53 + 55 = 53 (2 + 52) (sifat distributif ) dari beberapa bilangan pangkat tiga. Pernyataan = 53 × 27 = 27 × 53 ini diungkapkan oleh seorang matematikawanUraian tersebut sesuai dengan konsep penjumlahan Inggris, Edward Waring, pada tahun 1770.bilangan berpangkat seperti berikut. Pernyataan tersebut dapat dibuktikanSifat 5.6 kebenarannya. JikaJika a, p, q adalah bilangan rasional dan m, n adalah diambil sebarangbilangan bulat positif, dengan m ≥ n maka bilangan bulat, bilangan tersebut pan + qam = an(p + qam–n) dapat dinyatakan sebagai bilangan Konsep penjumlahan dua bilangan berpangkat tersebut bulat berpangkat tiga.berlaku juga untuk pengurangan dua bilangan berpangkat Misalnya,seperti berikut. 3 = 43 + 43 + (–5)3 dan 20 = 43 + 43 + (–3)3 + Sifat 5.7 (–3)3 + (–3)3 + (–3)3. Jika a, p, q adalah bilangan rasional dan m, n adalah bilangan bulat positif, dengan m ≥ n maka Sumber: Ensiklopedi Matematika & Peradaban Manusia, 2002 pan – qam = an(p – qam – n) pam – qan = an(pam – n – q) Tugas untukmuContoh 5.7 1. Gunakan Sifat 5.2 untuk1. 25 + 27= 25 (1 + 22) (sifat 5.6) menyederhanakan a5 . = 25 × 5 = 5 × 25 (sifat 5.7) a8 (sifat 5.6)2. 55 – 57= 55 (1 – 52) 2. Dengan menuliskan ke = 55 × (–24) = –24 × 55 dalam bentuk faktor- faktornya, sederhana-3. 3 × 76 – 2 × 75 = 75 (3 × 7 – 2) kanlah a5 . = 75 × 19 = 19 × 75 a84. Sifat Bilangan Rasional Berpangkat Berdasarkan kedua Bilangan Bulat Negatif dan Nol langkah tersebut, apa yang dapat kamua. Pengertian Pangkat Bilangan Bulat Negatif simpulkan?Berdasarkan Sifat 5.2, telah dipelajari bahwa untuk a adalahbilangan rasional, a ≠ 0, dan m, n adalah bilangan bulatpositif dengan m > n, berlaku am = am–n. an Pangkat Tak Sebenarnya 119

Siapa Sifat tersebut dapat dikembangkan untuk m < n. SebagaiBerani? contoh, amatilah bentuk berikut. Bilangan sempurna adalah bilangan yang a3 = a3–5 = a–2 ... (1) ke dalam bentuk faktor- jumlah seluruh faktornya a5 Dengan cara menuliskan sama dengan dua kali bilangan tersebut. faktornya, pembagian tersebut dapat dituliskan sebagai Sebagai contoh, 28 merupakan bilangan berikut. sempurna karena jumlah seluruh faktornya sama a3 = a a a = a a a 1 dengan 2 × 28, yaitu a5 a a a a a a a a a a = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56 =1× 1 = 1 ... (2) = 2 × 28 a a a2 Untuk mengetahui 1 bilangan sempurna, Berdasarkan (1) dan (2) dapat disimpulkan bahwa a–2 = a2 . salah satunya dapat menggunakan rumus Dengan demikian, kamu dapat mengubah bilangan 2p (P p+1 – 1). Dalam hal ini p rasional berpangkat bilangan bulat negatif ke dalam bentuk merupakan bilangan prima. Coba kamu bilangan rasional berpangkat bilangan bulat positif dan tentukan paling sedikit dua buah bilangan sebaliknya. sempurna lainnya (selain 28) dengan menggunakan Secara umum, untuk bilangan berpangkat n, dengan n rumus tersebut. adalah bilangan bulat positif dapat ditulis seperti berikut. InfoMatika 1 = a–n, a ≠ 0 cokelat an hitam Sekarang, amati bentuk perpangkatan berikut yang merah perak dihitung dengan menggunakan kalkulator. Nilai dari komponen t
–1 = 0,25 = 1


t
–2 = 0,111 ... = 1 = 1 resistor ditandai oleh 4 9 32 sebuah sistem warna garis. Inilah cara untuk t
–3 = 0,125 = 1 = 1 menuliskan bilangan yang 8 23 besar dalam benda yang Uraian tersebut memenuhi definisi bilangan rasional kecil. Dua garis yang pertama menunjukkan berpangkat bilangan bulat negatif seperti definisi berikut. sebuah bagian dan yang ketiga mewakili operasi Definisi 5.3 perkalian dengan pangkat Jika a bilangan rasional, a ≠ 0, dan n adalah bilangan bulat 10. Adapun garis yang positif maka a–n = 1 keempat menunjukkan toleransi nilai. an Sumber: Ensiklopedi Matematika Contoh 5.8 & Peradaban Manusia, 2002 Ubahlah bentuk pangkat berikut menjadi bentuk pangkat positif. a. 5–2 b. 2–3 Penyelesaian: a. 5–2 = 1 b. 2–3 = 1 52 23120 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX

Sifat pangkat bilangan bulat positif dari Sifat 5.1 sampai Siapadengan Sifat 5.5 berlaku juga untuk bilangan berpangkat Berani?bilangan bulat negatif, dengan a, b adalah bilangan rasionaldan m, n adalah bilangan bulat negatif. Coba kamu tuliskan 1. Ubahlah bentukkelima sifat tersebut di buku tugasmu. pangkat berikutContoh 5.9 menjadi bentuka. 5–4 × 56 = 5–4 + 6 = 52 = 5 × 5 = 25 pangkat positif. a. 10–7b. ( )2 = (–3)2 – 4 = (–3)–2 = ((–3)–1)2 = b. (–2)–3 ( )4 c. (–8)–2 = 1 × 1 =1 d. 7–15 3 39 12 2. Selesaikan soal 3 berikut. Kemudian, ubahlah hasilnya ke bentuk pangkat negatif. 2 52 5 5   a.b. Pengertian Pangkat Nol b. 2 4 2 1 2 2 2 2Kamu telah mempelajari Sifat 5.2 bilangan rasional ber- c. 7 2 7 3pangkat bilangan bulat positif dan negatif, yaitu am = am–n, 7 3 andengan a bilangan rasional, m dan n adalah bilangan bulat,m ≠ 0, n ≠ 0, serta m ≠ n. Sekarang, amati sifat tersebutuntuk m = n. TugasSebagai contoh, a5 = a5–5 = a0 ... (1) untukmu a5 Pada Definisi 5.4, disebut-Dengan cara menuliskan ke dalam bentuk faktor-faktornya, kan bahwa a0 = 1. Selidiki mengapa hal tersebutpembagian tersebut dapat dituliskan sebagai berikut. berlaku untuk a bilangan rasional dan a ≠ 0?a5 = a a a a a = 1 ... (2) Bagaimana jika a = 0?a5 a a a a a Tulis hasil penyelidikanmu pada buku tugasmu, Berdasarkan (1) dan (2) dapat disimpulkan bahwa a0 = 1. kemudian kumpulkan Uraian tersebut memenuhi konsep bilangan berpangkat pada gurumu.nol seperti definisi berikut.Definisi 5.4 Siapaa0 = 1, dengan a bilangan rasional dan a ≠ 0 Berani? Sifat 5.1 sampai dengan Sifat 5.5 yang telah kamu pelajari Ubahlah bentuk pangkatpada bagian 3 berlaku juga untuk bilangan berpangkat nol, berikut menjadi bentukdengan m = n = 0, a adalah bilangan rasional, dan a ≠ 0. pangkat positif.Coba tuliskan kelima sifat tersebut. 4Contoh 5.10 a. 5Hitunglah bentuk perpangkatan bilangan rasional berikut. 71. 2 3 2. 2 3 2 2 22 5 3 55 3. 2 b. 2 3 9 c. (0,1)–2 d. (0,15)–1 Pangkat Tak Sebenarnya 121

Penyelesaian: 1. 2 3 = 2 2 2 = 8 3 3 3 3 27 2. 2 32 3 ( 2) 1 2 =2 = 2 =2 55 5 55 2 2 2= 3. 2 22 = 2 4 24 = 16 = 3 3 3 34 81Tes Kompetensi 5.1Kerjakansoal-soalberikutdalambukulatihanmu.1. Hitunglah: Tentukan R jika R1 = 1 , R2 = 1 , a. 3–5 × 33 : 3–4 2 22b. 2 4 22 R3 = 23¾, dan R4 = 22¾. 2 1 25 5. Diketahui produksi semen (x) sebuahc. (0,25)–2 × (0,25)4 pabrik memenuhi persamaand. (2 × 7)3 × 72 × 1 x = 5 × 2–4 × t2 × 106 2 75 dengan t bilangan bulat positif yange. 30 52 2 3 52 menyatakan waktu berjalan dalam tahun.2. Hitunglah 5 2 7 2 dannyatakanhasilnya Jika keuntungan perusahaan dinyatakan 51 71 oleh p dari persamaan p = 2–5 × 105, dalam bentuk yang paling sederhana. x berapakah keuntungan perusahaan yang diperoleh selama 3 tahun?3. Volume sebuah kerucut dinyatakan 6. Gunakanlah Sifat 5.6 dan 5.7 untukdengan rumus V = 1 menyederhanakan bilangan berpangkat 3 berikut.¾ r2t, dengan r = jari-jari t a. 2 × 85 + 5 × 86alas kerucut dan t = tinggi rkerucut. b. 2 × 75 + 3 × 74 c. 3 × (–5)6 – 2 × (–5)5Jika r = 1 d, dalam hal ini d = d. 5 × 113 – 7 × 114diamete2r alas kerucut, nyatakan: 7. Hambatan sebuah alat listrik (R) bersatuana. V dalam ¾, d, dan t; ohm dirumuskan R = V 2 . Dalam hal ini Pb. t dalam V, ¾ dan r; V = tegangan listrik bersatuan volt, dan P =c. d dalam ¾, V, dan t; daya listrikbersatuan watt. Pada sebuah alatd. t dalam ¾, V, dan d. listrik tertulis 220 volt, 220 watt. Berapa4. Hambatan total R dari sebuah rangkaian ohm hambatan alat listrik tersebut?seri paralel ditentukan oleh persamaan 8. Besarnya energi listrik yang digunakan11 1 pada sebuah alat listrik dirumuskanR= 1  1  1  1 W = I2Rt. Dalam hal ini W = energi listrikR1 R2 R3 R4 bersatuan joule, I = kuat arus listrik122 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX

bersatuan ampere, R = hambatan listrik 10. Panjang sebuah karet gelang () dirumuskan bersatuan ohm, dan t = waktu bersatuan sebagai berikut. detik. Suatu alat listrik mempunyai = (4a–3)–3 25 2 hambatan 3 × 102 ohm dialiri arus 102 ( 9)4 ampere selama 5 menit. Berapa joule dengan a merupakan bilangan 1, 2, 3, besarnya energi listrik yang digunakan? 4, dan 5 yang menyatakan jenis karet9. Sebuah penampungan air berbentuk kubus gelang. Jenis karet gelang manakah yang dengan panjang rusuk 1,5 × 103 cm. Berapa memiliki ukuran terpanjang? liter volume penampungan air tersebut?B. Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan1. Bilangan Real ADi Subbab A kamu telah mempelajari konsep bilanganrasional. Agar kamu lebih memahami konsep bilanganrasional, coba kamu selidiki apakah bilangan-bilangan 1berikut merupakan bilangan rasional?a. –3 c. 0, 13245814 .... 45° Cb. 0,252525 .... d. ¾ B1Sekarang, pelajarilah Gambar 5.1. Gambar 5.1Gambar tersebut memperlihatkan sebuah segitiga siku-siku istimewa dengan besar sudut lancipnya 45° dan panjang Catatansisi siku-sikunya 1 satuan panjang. Hubungan antara Panjang sisi AC dapat ditentukan dengan menggunakan macam-macam bilangan dapat disajikan sepertiDalil Pythagoras seperti berikut. diagram berikut.(AC)2 = (AB)2 + (BC)2 × AC = 12 12 = 2 . Bilangan RealJadi, panjang sisi AC adalah 2 satuan panjang.Amati bilangan 2 tersebut. Dengan menggunakankalkulator, akan diperoleh nilai 2 = 1,414213562.... Bilangan Bilangan Rasional IrasionalApakah 2 merupakan bilangan rasional? Coba kamucari nilai-nilai a dan b agar 2 = a , dalam hal ini a dan Bilangan Bilangan b Bulat Pecahanb bilangan bulat dan b ≠ 0. Ternyata, tidak ada nilai a dan Bilangan Cacahb yang memenuhi a = 2 , sehingga 2 bukan bilangan Bilangan Bulat b Negatifrasional. Jadi, 2 merupakan bilangan irasional. Gabungan Bilangan Bilangan Nol Bulat Positifdari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilanganirasional merupakan himpunan bilangan real. (Bilangan Asli) Pangkat Tak Sebenarnya 123

2. Pengertian Bentuk AkarSiapa Untuk memahami pengertian bentuk akar, pelajarilahBerani? perhitungan-perhitungan berikut ini. Bentuk 4x2 dengan x ≥ 0 4 = 22 = 2 16 = 42 = 4 dapat merupakan bentuk akar atau bukan 9 = 32 = 3 25 = 52 = 5 bentuk akar. Tentukan paling sedikit dua nilai Berapakah 36 , 49 , 64 , dan 81 ? x agar bentuk tersebut Perhitungan akar pangkat bilangan tersebut memenuhi merupakan a. bentuk akar, definisi berikut. b. bukan bentuk akar. Definisi 5.5 Tugas untukmu a2 = a, bil a r 0 a, bil a  0 Bentuk akar hanyalah sebagian kecil dari Amati contoh-contoh berikut. anggota-anggota 1. Misalkan, a = 2 (a > 0) himpunan bilangan irasional. Contoh bilangan Nilai a2 = 22 = 2 irasional yang bukan 2. Misalkan, a = –2 (a < 0) bentuk akar yaitu ¾ dan e. Carilah informasi Nilai a2 = ( )2 = –(–2) = 2 mengenai bilangan ¾ dan Sekarang, adakah akar pangkat yang tidak memenuhi? e. Kemudian, buatlah laporan dari tugas Akar pangkat bilangan yang tidak memenuhi Definisi 5.5 tersebut dan kumpulkan. dinamakan bentuk akar, seperti 2, 3, 5, 7 , dan 8.Siapa Bentuk akar tersebut merupakan bilangan irasional.Berani? 3. Menyederhanakan Bentuk Akar Perhatikan balok berikut. Sebuah bentuk akar dapat disederhanakan menjadi per- HG kalian dua buah akar pangkat bilangan, dengan salah satu EF akar pangkat bilangan memenuhi Definisi 5.5. Amati dan pelajari contoh berikut. D C 8 = 4 2 = 4 × 2 =2× 2 =2 2 AB 18 = 9 2 = 9 × 2 = 3 × 2 = 3 2 Berdasarkan perhitungan tersebut, dapatkah kamu Diketahui AB = 8 cm, BC = 4 cm, dan menemukan sifat berikut? CG = 6 cm. Hitunglah panjang diagonal sisi AC Sifat 5.8 dan diagonal ruang AG ab  a b , dalam bentuk akar yang paling sederhana. dengan a dan b adalah bilangan rasional positif. Contoh 5.11 1. 12 = 4 3 = 4 × 3 = 2 3 2. 24 = 4 6 = 4 × 6 = 2 6124 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX

4. Operasi Aljabar pada Bentuk Akara. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk AkarDi buku Kelas VII Bab 3, kamu telah mempelajari penjum-lahan dan pengurangan bentuk aljabar, misalnya2x + 3x = (2 + 3)x = 5x ... (1)5y – 2y = (5 – 2)y = 3y ... (2)Konsep tersebut berlaku juga untuk bentuk akar, misalnya2 2 + 3 2 = (2 + 3) 2 = 5 2 ... (3)5 3 – 2 3 = (5 – 2) 3 = 3 3 ... (4) Siapa Berdasarkan kedua contoh tersebut dapatkah kamu Berani?menerka sifat umum penjumlahan dan pengurangan bentuk Hitunglah operasiakar? Nyatakan sifat tersebut dengan kata-katamu sendiri. bentuk akar berikut dengan terlebih dahulu Penjumlahan dan pengurangan bentuk akar tersebut menyederhanakan bentukmemperjelas sifat berikut. akarnya. a. 2 + 32Sifat 5.9 b. 6 + 54 – 250 a c  b c = (a + b) c c. 32 – 2 + 8 a c b c = (a – b) c d. 4 3 –  27  12 dengan a, b, c adalah bilangan rasional dan c ≥ 0.Contoh 5.121. 4 2 + 3 2 – 2 2 = (4 + 3 – 2) 2 = 5 22. 3 5 + 3 2 (Tidak dapat dijumlahkan karena tidak meme- nuhi aturan penjumlahan bentuk akar)b. Perkalian Bentuk Akar Siapa Berani?Dengan menggunakan Sifat 5.8, kamu dapat menghitungperkalian bentuk akar berikut. Sederhanakan bentuk 2 3= 2 3= 6 akar berikut. 5 7 3 3 = 3 3 = 9 =3 a.  2 5  2 b.  5 7  55 3 6 2 = 5 × 6 × 3 2 = 30 6 Ketiga perkalian tersebut memenuhi sifat perkalian c. 7 2bentuk akar, yang secara umum ditulis seperti berikut. 12 Sifat 5.10 d.  10 2 a b c d = ac bd dengan a, b, c, d adalah bilangan rasional, b ≥ 0, dan d ≥ 0. 8 e.   2 Pangkat Tak Sebenarnya 125

Contoh 5.13 Sederhanakan bentuk-bentuk berikut. a.  3 2  3 2 b.  5 2 3 Penyelesaian: a. Ingat perkalian suku dua. (a + b) (a – b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2 Oleh karena itu, 3 2  3 2 =  2 23 2 3  2 2 3Siapa = 3× 3– 2 × 2Berani? =3–2=1 b. Ingat, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Sederhanakan bentuk akar berikut. Oleh karena itu, a. 20 50 5 2 =  2 5× 3 + 2 42 b. 150 252 3 5 +2 3 12 14 = 5 × 5 + 2 15 + 3 × 3 c. 2 27 3 2 = 5 + 2 15 + 3 = 8 + 2 15 18 24 c. Pembagian Bentuk Akar Tugas untukmu Untuk memahami pembagian bentuk akar, amati dan pelajarilah uraian berikut. Pada Sifat 5.11, dituliskan persamaan 1. 100 : 4 = 10 : 2 = 5 = 100 : 4 = 25 = 5 a a 2. 36 : 9 = 6 : 3 = 2 = 36 : 9 = 4 = 2 bb Berdasarkan uraian tersebut, diperoleh hubungan berikut. dengan a dan b bilangan rasional, a ≥ 0, dan b > 1. 100 : 4 = 100 : 4 = 5 0. Selidikilah bagaimana jika a dan b negatif? 2. 36 : 9 = 36 : 9 = 2 Berilah beberapa Perhitungan tersebut menggambarkan sifat pembagian contoh, lalu amati. Kemudian, tuliskan dalam bentuk akar seperti berikut. hasil penyelidikanmu pada buku tugasmu dan Sifat 5.11 kumpulkan pada gurumu. a = a atau a = a bb bb dengan a dan b adalah bilangan rasional, a ≥ 0, dan b > 0. Contoh 5.14 a. 18 = 18 = 6 b. 6 15 = 6 15 = 2 5 33 33 3 3126 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX

5. Merasionalkan Penyebut Suatu PecahanKamu telah mempelajari bahwa bentuk akar merupakan bilanganirasional, seperti 2 , 5, 2 + 5, 3 – 2, dan 5 + 3.Pecahan bentuk akar merupakan bilangan irasional juga Misalnya1 , 1 , 3 , 5 , dan 1 . 25 26 3 2 3 53 Penyebut pecahan-pecahan tersebut dapat diubahmenjadi bilangan rasional. Cara merasionalkan setiappenyebut berlainan. Akan tetapi, prinsip dasarnya sama, yaitumengalikan penyebut-penyebut tersebut dengan pasanganbentuk akar sekawannya sehingga diperoleh penyebutbilangan rasional. Berdasarkan contoh pecahan-pecahan bentuk akartersebut, secara umum bentuk akar yang dapat dirasionalkan,yaitu a , c , c , c , dan c , dengan ba b a b b d bda, b, c, dan d adalah bilangan rasional dan b > 0, d > 0. Penyebut dari pecahan-pecahan tersebut berturut-turutb ,a  b ,a b , b  d , dan b d . Apakah bentuksekawan dari setiap penyebut itu?a. Bentuk sekawan dari b adalah b .b. Bentuk sekawan dari a + b adalah a – b .c. Bentuk sekawan dari b + d adalah b – d . Perkalian bentuk akar dengan sekawannya akanmenghasilkan bilangan rasional. Berikut ini perkalian bentuk akar dengan pasangansekawannya yang menghasilkan bilangan rasional.a. b× b = 2 =b bb. a b a b = a2 –  2 = a2 – b InfoNet b Kamu dapat menambah wawasanmu tentang materic.  b d  b d = 2 – d 2 = b – d dalam bab ini dari internet dengan mengunjungi alamat: b manajemen.klanis.or.id/ warehouse/bab%2021%20 dengan b, a2 – b, dan b – d adalah bilangan rasional. bilangan%20pangkat.doc Sampai saat ini, kamu telah mempelajari perkalian penye-but pecahan bentuk akar dengan pasangan sekawannya sehinggadiperoleh penyebut bilangan rasional. Sekarang, kamu akanmempelajari bagaimana penerapannya dalam merasionalkanpenyebut dari pecahan bentuk akar. Secara umum, pecahanbentuk akar yang dapat dirasionalkan penyebutnya adalaha , c , c , c , dan c . ba ba b b d bd Pangkat Tak Sebenarnya 127

Pecahan tersebut masing-masing dirasionalkan dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan bentuk akar sekawan dari penyebutnya, yaitu sebagai berikut. a. a = a b Ingat , b  1 b bb b = a b =a b =a b  2 b b Uji Kecerdikan bKerjakan soal-soal b. c = c a b Ingat , a b  1berikut. Kemudian, a b a ba b abpasangkan hasilnyadengan jawaban yang = ca b = ca b = c a b bersesuaian dengan  2 a2 b a2 bcara menuliskan huruf-huruf soal pada kotak a2 byang tersedia. Jika kamumenjawab dengan benar, c. c = c a b = c a b kamu akan memperoleh a b a b a b a2 bkalimat pernyataan dariseorang matematikawan d. c =c b d = c b d Jerman, Carl Friedrich bd bd b d bdGauss. e. c = c b d = c  b d A. 34 × 3–6 b d b d bd 3 bd 16/81E.  6 –125 Contoh 5.15H. (–5)3 1/9 1/6  6 Sederhanakan penyebut pecahan-pecahan berikut dengan me- 2 –3 rasionalkan penyebutnya. 4I. 43 a. 10 b. 6 –3 5 52  4 1/9 1 1/4 Penyelesaian: 1/9K. 22 256M. 3 27 1/9N. 4 : 44 40 256  3 a. 10 = 10 5 = 10 5 = 2 5 3 5 55 5R. 2 Ÿ3 5 –3T.  2 4 b. 6 = 6 52 3 3 4 5– 2 5 2 5 2U. 2 = 6 5  2 = 6 5  2 = 2 5+2 2 3 52 3 6. Pangkat Pecahan Kamu telah mempelajari bilangan rasional berpangkat bilangan bulat positif, nol, dan bilangan bulat negatif. Selanjutnya, kamu akan mempelajari bilangan berpangkat pecahan. Misalkan,128 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX

pandanglah persamaan 9n = 3. Ini berarti 9 dipangkatkan n samadengan 3. Selain itu, 9n = 3 dapat juga ditulis dalam bentuk(32)n = 3 × 32n = 31 Artinya, 2n = 1 atau n = 1 . Jadi, jika 9n = 3, sama artinya 12dengan 92 = 3. 1 Pada bentuk , bilangan 1 adalah eksponen pecahan. 92 12Bilangan 92 dinamakan bilangan berpangkat pecahan.Sebelumnya, kamu telah mengetahui bahwa 9 = 3 dan 1192 = 3. Jadi, 92 = 9 = 3. Secara umum, jika an = p dengan a, p adalah bilangan real 1 Catatandan n adalah bilangan bulat, dengan n > 0 maka a = pn . Definisikan a = n p (dibaca: \"a adalah akar pangkat ndari p\"). Pada definisi tersebut berlaku ketentuan berikut. • Bilangan berpangkat(i) p merupakan bilangan real positif dan nol untuk n bilangan tak sebenarnya meliputi, bilangan genap. berpangkat nol,(ii) p merupakan semua bilangan real untuk n bilangan ganjil. bilangan berpangkat bilangan bulat Contoh:Jika 125k = 5 maka negatif, dan bilangan berpangkat pecahan (53)k = 5 ¾ 53k = 51 ¾ 3k = 1 ¾ k = 1 seperti 3 21 1 2–3, 5–2, 30, 50, 33 , 32 Jadi, 1253 = 5, atau 3 125 = 5.  2 1Dengan menggunakan pengembangan Sifat 5.3, kamu dapat 1 , dan 3.menentukan hubungan antara akar pangkat suatu bilangan 2dan bilangan berpangkat pecahan seperti berikut. • Bilangan berpangkat bilangan bulat 1 n 1 n = n = p1 = p positif disebut juga bilangan berpangkatpn = pn pn sebenarnya, seperti 1n 23, (–3)2, 5 pn = p 10 1 , (0,2)3, 2 2 , dan 5 3 1. 3 11pn adalah akar pangkat n dari p atau dituliskan n p = pn . 1pn disebut bilangan berpangkat pecahan. 1Pada pn berlaku ketentuan berikut.(i) p merupakan bilangan real positif dan nol, untuk n bilangan genap.(ii) p merupakan semua bilangan real untuk n bilangan ganjil. Secara umum, untuk bilangan berpangkat pecahan,berlaku sifat berikut. Pangkat Tak Sebenarnya 129

Uji Kecerdikan Sifat 5.12 Sifat 5.13 1  m pm s 1 1 n 1n 1 pn = = pm n = n pmPenjualan sepeda motor pm = pm npada suatu dealermengikuti persamaan Sifat 5.14p= 1.000 t 3 . ¥ 1 ´m m 2 = ¦pn µ  m 2 = p n1sm = n p pnDalam hal ini, t adalah §¶bilangan bulat positifyang menyatakan waktu Berdasarkan Sifat 5.13 dan 5.14, terlihat bahwadalam tahun.a. Hitung banyaknya  m m sepeda motor yang p n = n pm = n p terjual pada tahun ke-4. Contoh 5.16b. Apakah penjualan terus meningkat 1. Sederhanakanlah bentuk-bentuk akar berikut. dari tahun ke tahun? Jika ya, bagaimana a. 3 8 5 pendapatmu mengenai dampaknya b. 23 terhadap lingkungan? Penyelesaian: 3 a. 3 8 = 3 23 = 23 = 21 = 2 5 b. 23 = 3 25 = 3 32 = 3 8 4 = 3 8 3 4 3 = 23 3 4 = 2 × 3 4 = 23 4 2. Ubahlah bentuk akar berikut menjadi pangkat pecahan. a. 3 52 b. 5 81 Penyelesaian: Hal Penting 2 4• eksponen a. 3 52 = 53 b. 5 81 = 5 34 = 35• polinem• bilangan berpangkat 3. Ubahlah pangkat pecahan berikut menjadi bentuk akar.• pangkat negatif• pangkat pecahan 3 1 3• bentuk akar a. 124 b. 63 c. 22 Penyelesaian: 3 3 a. 124 = 4 123 c. 22 = 2 23 = 23 = 8 = 2 2 1 b. 63 = 3 6 Contoh 5.17 x Jari-jari penampang melintang sebuah batang tumbuhan dikotil pada musim dingin adalah 5 x cm. Adapun pada musim 2 x x panas, ukurannya tersebut menyusut sejauh x cm, seperti pada gambar di samping. Hitunglah penurunan luas penampang x tumbuhan dikotil tersebut pada musim panas.130 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX

Penyelesaian:Langkah 1Menuliskan apa yang diketahui dan yang ditanyakan soal tersebut.Diketahui: Jari-jari batang mula-mula = r1 = 5 x cm 2 5 Jari-jari batang setelah menyusut r2 = 2 x x cmDitanyakan: Penurunan luas penampang (¾L) Siapa Berani?Langkah 2Menentukan konsep yang akan digunakan untuk menjawabsoal. Pada soal ini, konsep yang digunakan adalah luas daerah 1. Sederhanakanlah soal-soal berikut.lingkaran dan operasi pada bentuk akar.Langkah 3 a. 3 8Menyelesaikan soal. b. 5 81¾L = Luas mula-mula – Luas batang setelah menyusut c. 3 125= πr12 – πr22 = 5 2 5x 2 d. 8 256 2 2 x x e. 3 8= 25 x 3x 2 = 25 x 9 x = 16 πx = 4πx  10 4 2 44 4 f. 5 42  1 g. 3 52 2Jadi, penurunan luas penampang tumbuhan tersebut = 4πx cm2. 2. Ubahlah bentuk akar berikut menjadiLangkah 4 pangkat pecahan.Memeriksa kembali jawaban yang telah diperoleh. a. 11 c. 3 13Oleh karena ¾L = πr12 – πr22 maka b. 3 162 d. 3 322 2 9x 3 x = 4πx + 4 3. Ubahlah pangkat¾L + πr22 = 4πx + 2 pecahan berikut= 16  9 x = 25 x = 5x 2 menjadi bentuk akar. 2 44 4 = πr12 1 2 a. 22 c. 115Jadi, jawaban ¾L = 4πx cm2 tersebut benar karena ¾L + πr22 = πr12. 2 b. 73Tes Kompetensi 5.2Kerjakansoal-soalberikutdalambukulatihanmu.1. Sederhanakan bentuk akar berikut. 3. Sederhanakanpecahanbentukakarberikuta. 48 c. 72 dengan merasionalkan penyebutnya.b. 54 d. 80 a. 3 c. 8 6 3 212. Hitunglah operasi-operasi berikut. b. 3 d. 4a. 2 6 3 3 6 25 7 11b. 2 3 3 7 4. Nyatakan soal-soal berikut dalam bentukc. 48 akar yang paling sederhana. 6 1d. 8 90 65 a. 3210 5 b. 276 Pangkat Tak Sebenarnya 131

5. Sederhanakanlah soal-soal berikut dan 9. Tunjukkan bahwa x2  1 bilangan x2nyatakan hasilnya dalam bentuk bilanganberpangkat rasional positif. rasional untuk x = 5 1 . 51 21 2 10. Selidikilahapakahpernyataanberikutbenara. 7 3 7 2 c. (–5) × ( )3 atau salah. Jelaskan hasil penyelidikanmu. 13 13b. 4 42 d. 8 4 2 26. Amati persamaan berikut. a = a2 = ( )( ) 1  1 21 13 a = ( ) = –aa3 b3 =aUbahlah persamaan tersebut dalam bentuk 11. Sebuah kubus denganyang paling sederhana, tanpa mengguna- panjang rusuk 6 cm RR Zkan pangkat bilangan negatif. disandarkan pada7. Hitunglah p + q, p – q, dan p × q, serta dinding sehingga Ssederhanakan hasilnya jika posisinya miring Qa. p = 3 dan q = 2 seperti pada 23 23 gambar. PYb. p = 12 dan q = 3 Jika PY = 4 cm dan RZ = 31 cm, berapa 11 3 11  3 tinggi titik R dari lantai?8. Carilah nilai x untuk persamaan 12. Sederhanakan bentuk a2 – b2 untukx  4x2 = 1 . a = 1 , dan b = 1 . 3 2 4 2 2 3 22 3 22 RingkasanBerikut ini contoh rangkuman dari sebagian materi pada bab ini.1. Bilangan rasional ialah bilangan yang dapat 4. Jika a adalah bilangan rasional dan m, n dinyatakan dalam bentuk a , dengan a dan adalah bilangan bulat positif maka b (am)n = am × n = an × m. 5. Jika a, p, q adalah bilangan rasional dan b adalah bilangan bulat serta b ≠ 0. m, n adalah bilangan bulat positif dengan2. Jika a adalah bilangan rasional dan m, n m ≥ n maka pan + qam = an (p + qam – n). 6. Jika a, p, q adalah bilangan rasional dan adalah bilangan bulat positif maka m, n adalah bilangan bulat positif dengan am × an = am + n. m ≥ n maka3. Jika a adalah bilangan rasional, dengan pan – qam = an (p – qam – n); a ≠ 0, dan m, n adalah bilangan bulat pam – qan = an (pam – n – q). positif maka am = am – n dengan m > n. anCoba kamu buat rangkuman dari materi yang telah kamu pelajari pada bab ini dengan kata-katamu sendiri. Tuliskan rangkuman tersebut pada buku latihanmu.132 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX

Refleksi1. Buatlah kelompok yang terdiri atas 5 sampai 8 orang atau disesuaikan dengan kondisi kelasmu.2. Setiap anggota kelompok menceritakan tentang materi apa saja dari bab ini yang menurutmu paling mudah dan yang paling sulit dipahami berikut alasannya.3. Tuliskan hasilnya, kemudian presentasikan di depan kelas bergantian dengan kelompok lain.Tes Kompetensi Bab 5Kerjakanlah pada buku tugasmu.Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.1. Nilai (–6)–2 sama dengan .... 6. 1 = .... 82a. 36 c. – 1 a. 2–6 c. 26b. 1 36 b. 82 1 36 d. –36 d. 822. 35 = .... 7. 27 12 = .... a. 3 + 3 + 3 + 3 + 3 b. 3 × 3 × 3 × 3 × 3 a. 3 c. 2 3 c. 5 + 5 + 5 d. 5 × 5 × 5 b. 15 d. 2 5 8. Dengan merasionalkan penyebutnya,3. Dengan merasionalkan penyebutnya, bentuk 6 dapat disederhanakan men- 3 bentuk 6 dapat disederhanakan 33 jadi .... menjadi .... a. 3 c. 2 3 3a. 3 + 3 c. 3 – 3b. 2 d. 2 – 3 b. 2 3 d. 3 3 3 3 14. 3 343 = .... c. –6 9. 89 = .... c. 2 3 a. 7 d. –7 a. 3 2 d. 8 3 b. 6 b. 3 8 c. 5 × 235. 23 + 25 = .... d. 3 × 23  5 c. 5 5 a. 25 b. 28 10. 5 = .... a. 5 3 b. 3 5 d. 3 3 Pangkat Tak Sebenarnya 133

11. 125 = .... 15. 32  32  32 = .... 23  23  23 2 a. 9 8 8 c. a. 53 9 b. 1 d. 3 5  6 4 b. 32 16. 3 = .... 3 a. 9 c. 52 b. 27 c. 36 2 d. 81 d. 35 17. 20 = .... 512. Dengancara merasionalkanpenyebutnya, a. 2 5 bentuk akar 90 dapat disederhanakan 72 b. 4 5 menjadi .... c. 5 5 a. 5 d. 8 5 b. 1 5 18. 2 10 = .... 8 = .... 2 a. 2 3 c. 2 5 d. 1 3 b. 2 5 2 c. 2 10  3 d. 5 2 25 19.  12  8  1213. 33 = .... a. 2 b. 4 1 c. 6 d. 8 a. 35 13 20. 34 34 = .... 2 a. 1 b. 33 b. 3 c. 9 1 d. 81 c. 33 2 d. 35   2 314. 125 3 100 2 = .... a. 9 100 b. 29 1.000 c. 19 1.000 d. 39 1.000134 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX

Bab 6 Sumber: www.scatork.comBarisan danDeret BilanganPada bab ini, kamu akan diajak untuk memahami barisan dan deretbilangan serta penggunaannya dalam pemecahan masalah dengancara menentukan pola barisan bilangan sederhana, menentukansuku ke-n barisan aritmetika dan barisan geometri, menentukanjumlah n suku pertama deret aritmetika dan deret geometri, sertamemecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret.Barisan dan deret bilangan tentu merupakan pelajaran A. Pola Bilanganyang baru kamu kenal. Konsep barisan dan deret bilangansangat penting peranannya dalam ilmu pengetahuan dan B. Barisan dan Deretteknologi serta dalam kehidupan sehari-hari, seperti uraian Bilanganberikut ini. Sebuah stadion olahraga yang baru dibangun mempunyai100 tempat duduk pada barisan paling depan di tribun baratdan timur, serta 60 tempat duduk pada barisan paling depandi tribun utara dan selatan. Setiap baris tempat duduktersebut 4 kursi lebih banyak daripada baris di depannya.Berapa kapasitas penonton dalam stadion tersebut jikaterdapat 25 baris tempat duduk? Untuk menjawab permasalahan tersebut, kamu harusmempelajari konsep barisan dan deret bilangan seperti materiyang dibahas pada bab ini. 135

Diagram Alur Barisan dan Deret Bilangan materi dasarnya membahas tentang Pola Bilangan Barisan Bilangan Deret Bilangan terdiri atas terdiri atas misalnya Barisan Barisan Deret Deret• Pola bilangan ganjil Aritmetika Geometri Aritmetika Geometri• Pola bilangan genap• Pola bilangan segitiga• Pola bilangan persegi• Pola bilangan persegipanjangTes Apersepsi AwalSebelum mempelajari materi bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut di bukulatihanmu.1. Sebutkanlah bilangan genap positif 4. Sebutkanlah bilangan asli kelipatan 6 yang kurang dari 20. antara 1 dan 100.2. Sebutkanlah bilangan ganjil positif 5. Sebutkanlah bilangan asli kelipatan 10 antara 11 dan 30. dari 10 sampai dengan 250.3. Sebutkanlah bilangan kuadrat dari 1 sampai dengan 15. Sumber: CD Image A. Pola BilanganGambar 6.1 Gambar 6.1 memperlihatkan gedung pertunjukan yang mempunyai 40 tempat duduk pada barisan paling depan. Setiap baris tempat duduk tersebut 4 kursi lebih banyak daripada baris di depannya. Apabila kamu tuliskan banyaknya tempat duduk pada setiap baris, diperoleh tabel sebagai berikut. Baris ke- 1 2 3 4 5 ... 20 Banyak Kursi 40 44 48 52 56 ... 116136 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX

Amati bilangan-bilangan 40, 44, 48, 52, 56, ..., 116. Sumber: Dokumentasi PenerbitBilangan-bilangan tersebut membentuk suatu kumpulan(himpunan) bilangan dengan pola tertentu, yang setiap Gambar 6.2suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah4. Contoh lain bilangan-bilangan yang memiliki pola adalah Penomoran rumah di suatunomor rumah di jalan raya atau di perumahan. Rumah-rumah jalan merupakan contoh poladi sebelah kiri bernomor 1, 3, 5, 7, 9, ..., 87. Adapun rumah- bilangan.rumah di sebelah kanan bernomor 2, 4, 6, 8, 10, ..., 88. Amati barisan bilangan 1, 3, 5, 7, 9, ..., 87 dan jugabarisan bilangan 2, 4, 6, 8, 10, ..., 88. Kedua barisan bilangan tersebut memiliki pola, dengansetiap suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnyaditambah 2.1. Pengertian Pola BilanganJika kamu amati, anggota-anggota himpunan bilanganyang telah dipelajari, diurutkan dengan suatu aturan ter-tentu sehingga bilangan-bilangan pada himpunan tersebutmembentuk suatu barisan. Suatu barisan bilangan dapat ditunjukkan dengan pola-pola. Untuk itu, pelajarilah barisan bilangan berikut ini.a. Barisan 1, 3, 5, 7, 9 ... disebut barisan bilangan ganjil. Pola barisan ini dapat dilihat pada Gambar 6.3. Gambar 6.3b. Barisan 2, 4, 6, 8, .... Gambar 6.4 Barisan ini disebut barisan bilangan asli genap. Polanya dapat dilihat pada Gambar 6.4.c. Amati Gambar 6.5 berikut. Gambar 6.5 Pola tersebut dapat disusun dengan barisan bilangan Sumber: images.search.yahoo.comberikut. 1=1 Gambar 6.6 3=1+2 6=1+2+310 = 1 + 2 + 3 + 4 Barisan dan Deret Bilangan 137

Pola bilangan tersebut adalah salah satu contoh barisan bilangan segitiga. d. Amati pola bilangan pada Gambar 6.7. Pola bilangan pada Gambar 6.7 disebut pola bilangan persegi. Mengapa? Diskusikan dengan temanmu. Gambar 6.7 Tugas Pola tersebut dapat disusun dari barisan bilangan berikut. untukmu 1 = 1 atau 12 = 1 4 = 1 + 3 atau 22 = 1 + 3Coba kamu selidiki 9 = 1 + 3 + 5 atau 32 = 1 + 3 + 5mengapa barisan 1,3, 6, 10, ... disebut 16 = 1 + 3 + 5 + 7 atau 42 = 1 + 3 + 5 + 7barisan bilangan e. Pola bilangan persegipanjang di antaranya dapat kamusegitiga. Jelaskan hasilpenyelidikanmu. lihat pada Gambar 6.8. Gambar 6.8 Pola tersebut dapat disusun dari barisan bilangan berikut. 2=1×2 12 = 3 × 4 6=2×3 20 = 4 × 5 Mengapa barisan tersebut dinamakan barisan persegi- panjang? Coba kamu jelaskan. 1 2. Pola Bilangan pada Segitiga Pascal 11 Orang yang pertama kali menemukan susunan bilangan yangab berbentuk segitiga adalah Blaise Pascal. Untuk mengabadikan namanya, hasil karyanya tersebut kemudian disebut segitiga 1 21 Pascal. Adapun bentuk dari bilangan pada segitiga itu tampak dalam Gambar 6.9.1 33 1 Jika kamu amati dengan cermat, bilangan-bilangan14 6 4 1 yang terdapat pada segitiga Pascal memiliki pola tertentu, yaitu dua bilangan yang berdekatan dijumlahkan untuk1 5 10 10 5 1 mendapatkan bilangan pada baris selanjutnya. Gambar 6.9 Sekarang, amati bilangan-bilangan yang terdapat pada sepanjang garis a dan b pada Gambar 6.9. Bilangan-bilangan tersebut membentuk suatu barisan dengan aturan berikut.138 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX

1=1 InfoMatika 1+2=3 1+2+3=6 Blaise Pascal 1 + 2 + 3 + 4 = 10 (1623–1662) Blaise Pascal, ilmuwan Dengan demikian, barisan 1, 3, 6, 10, ... merupakan berkebangsaan Prancisbarisan bilangan pada segitiga Pascal. yang merupakan keajaiban dalam Segitiga Pascal dapat digunakan untuk menentukan dunia matematika.koefisien pada suku banyak (x + y)n dengan n bilangan asli. Segitiga Pascal yangMisalnya, ditunjukkan di sini(x + y)1 = 1x + 1y = x + y telah dikenal selama(x + y)2 = 1x2 + 2xy + 1y2 = x2 + 2xy + y2 600 tahun. Kemudian,(x + y)3 = 1x3 + 3x2y + 3xy2 + 1y3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 ia menemukan bahwa(x + y)4 = 1x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + 1y4 banyak dari sifat-sifat segitiga dihubungkan = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 dengan barisan-barisan dan deret-deret yang3. Menemukan Pola dari Perhitungan istimewa. Bilangan Sumber: Ensiklopedi MatematikaPada Bagian 1, kamu telah mengetahui bahwa jumlah & Peradaban Manusia, 2002bilangan-bilangan ganjil berurutan (jumlah n bilangan ganjilyang pertama) memiliki pola tertentu, yaitu:1 + 3 = 22,1 + 3 + 5 = 32,1 + 3 + 5 + 7 = 42, dan seterusnya.Jika kamu amati, akan diperoleh:a. Jumlah dua bilangan ganjil yang pertama sama dengan kuadrat dari bilangan 2,b. Jumlah tiga bilangan ganjil yang pertama sama dengan kuadrat dari bilangan 3,c. Jumlah empat bilangan ganjil yang pertama sama dengan kuadrat dari bilangan 4, dan seterusnya.Sekarang, amatilah pola bilangan dari perhitungan berikutini.22 – 12 = 4 – 1 = 3 = 2 + 1,32 – 22 = 9 – 4 = 5 = 3 + 2,42 – 32 = 16 – 9 = 7 = 4 + 3,52 – 42 = 25 – 16 = 9 = 5 + 4, dan seterusnya. Pola bilangan ini menunjukkan bahwa selisih darikuadrat bilangan berurutan sama dengan jumlah dari bilanganberurutan tersebut. Hal ini dapat ditunjukkan dengan caraaljabar berikut ini.Barisan dan Deret Bilangan 139

Misalkan, bilangan yang berurutan itu adalah a dan a + 1 maka (a + 1)2 – a2 = a2 + 2a + 1 – a2 = 2a + 1 = (a + 1) + a Pola bilangan tersebut selalu benar untuk setiap a bilangan asli.Tes Kompetensi 6.1Kerjakansoal-soalberikutdalambukulatihanmu.1. a. Gambar berikut menunjukkan suatu c. lima belas bilangan ganjil yang pola yang disusun dari batang-batang pertama, dan korek api. d. dua puluh dua bilangan ganjil yang14 9 pertama.Salingambartersebut,kemudianlanjut- 5. Hitunglah bilangan-bilangan berikut dengan cepat (tanpa menggunakankan dengan dua suku berikutnya. kalkulator). a. 3982 – 3972b. Berdasarkan gambar tersebut, tulis- b. 5762 – 5752 c. 10732 – 10722lah barisan bilangannya. d. 12562 – 12552c. Pola bilangan apakah yang memiliki 6. Amatilah kesamaan-kesamaan berikut. 152 = 225 = 200 + 25barisan seperti itu? = (1 × 2) × 100 + 25 252 = 625 = 600 + 252. Gambarlah pola noktah (seperti pada = (2 × 3) × 100 + 25 352 = (3 × 4) × 100 + 25Gambar 6.3) dengan menggunakan 452 = (4 × 5) × 100 + 25 Dengan melihat pola tersebut, hitunglahbarisan bilangan berikut. soal-soal berikut ini dengan cepat. a. 552a. (1 × 4), (2 × 5), (3 × 6), (4 × 7), ... b. 652 c. 952b. (2 × 1), (2 × 2), (2 × 3), (2 × 4), ... d. 1052c. (2 + 1), (3 + 2), (4 + 3), (5 + 4), ... 7. Amatilah kesamaan-kesamaan berikut. t
3 + 23 = 1 + 8 = 9 = 32 = (1 + 2)23. Gunakan segitiga Pascal untuk meng- t
3 + 23 + 33 = 1 + 8 + 27 = 36 = 62 = (1 + 2 + 3)2uraikan bentuk perpangkatan berikut. t
3 + 23 + 33 + 43 = (1 + 2 + 3 + 4)2 Dengan melihat pola tersebut, hitunglaha. (x + y)5 soal-soal berikut ini dengan cepat.b. (x + y)6c. (x – y)3d. (x – y)44. Berapa jumlah dari:a. sembilan bilangan ganjil yangpertama,b. sebelas bilangan ganjil yangpertama,140 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX

a. 13 + 23 + 33 + 43 + 53 8. Tentukan urutan bilangan yang habisb. 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63c. 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 dibagi:d. 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 a. 10; c. 2; b. 5; d. 3.B. Barisan dan Deret Bilangan InfoMatika1. Barisan Bilangan Terdapat dua macam deret bilanganBilangan-bilangan yang diurutkan dengan pola (aturan) berdasarkan atastertentu membentuk suatu barisan bilangan. Misalnya, banyaknya suku padabarisan bilangan deret tersebut, yaitua. 40, 44, 48, 52, 56, ..., 116 deret berhingga danb. 1, 3, 5, 7, 9, ..., 51 dan deret tak berhingga.c. 2, 4, 6, 8, 10, ...,98. Deret berhingga adalah suatu deret yang banyak Suatu barisan bilangan dapat pula dibentuk dari sukunya terbatas.bilangan-bilangan yang tidak mempunyai pola (aturan) Contoh, 1 + 2 + 3 + ...tertentu, misalnya barisan bilangan 1, 2, 5, 7, 3, 4... . Barisan + 100. Deret ini ditulisbilangan seperti ini disebut barisan bilangan sebarang. dengan notasi U1 + U2 + ... + Un. Adapun deret Bilangan-bilangan yang membentuk suatu barisan tak berhingga adalahbilangan disebut suku barisan tersebut. Misalnya, pada deret yang banyakbarisan bilangan ganjil 1, 3, 5, 7, ... suku ke-1 dari barisan sukunya tak terbatas.tersebut adalah 1, suku ke-2 adalah 3, suku ke-3 adalah 5, Contoh, 1 + 2 + 3 + ....dan seterusnya. Dapatkah kamu menentukan suku ke-1, Deret ini biasanya ditulissuku-2, dan suku-5 dari barisan 1, 2, 5, 7, 3, 9...,61. dengan notasi U1 + U2 + U3 + .... Jadi, suatu barisan bilangan dapat dikatakan sebagai Dapatkah kamusuatu barisan yang dibentuk oleh suku-suku bilangan. membedakan kedua macam deret tersebut?2. Deret Bilangan Coba beri contoh lain deret berhingga danAmati kembali barisan-barisan bilangan berikut. deret tak berhingga.a. 40, 44, 48, 52, 56,b. 1, 3, 5, 7, 9,c. 2, 4, 6, 8, 10. Berdasarkan pola ketiga barisan tersebut, dapat diperolehpenjumlahan berikut.a. 40 + 44 + 48 + 52 + 56,b. 1 + 3 + 5 + 7 + 9,c. 2 + 4 + 6 + 8 + 10. Penjumlahan suku-suku dari barisan-barisan tersebutdinamakan deret. Oleh karena itu, jika U1, U2, U3, ..., Unadalah suatu barisan bilangan maka U1 + U2 + U3 + ... + Undinamakan deret. Barisan dan Deret Bilangan 141

Matematika 3. Barisan Aritmetika Ria Amati keempat barisan bilangan berikut.Berikut adalah a. 1, 3, 5, 7, 9, ..., Un,sekumpulan bilangan b. 99, 96, 93, 90, ..., Un,yang di antaranya c. 1, 2, 5, 7, 12, ..., Un,terdapat beberapa d. 2, 4, 8, 16, 32, ..., Un.bilangan yang memenuhirumus Selisih dua suku berurutan pada barisan (a) selalu tetap, yaitu 2. Demikian pula selisih dua suku berurutanUn = n(n ) pada barisan (b) selalu tetap, yaitu 3. Barisan bilangan yang 2 demikian dinamakan barisan aritmetika. Adapun selisih dua suku berurutan pada barisan (c) tidak tetap. Barisan bilanganJika U1 = 1, (c) bukan merupakan barisan aritmetika. Apakah barisan (d)hubungkanlah bilangan- merupakan barisan aritmetika? Coba selidiki olehmu.bilangan yang memenuhi Pada barisan aritmetika, selisih dua suku berurutan dinamakan beda dan dilambangkan dengan b. Secara umum,rumus tersebut dengan barisan aritmetika didefinisikan sebagai berikut.garis. Bentuk apakahyang kamu peroleh? • • • • 28 11 8 • 36 •• • 45 •55 7 21 66 ••• 10 Suatu barisan U1, U2, U3, ..., Un, Un + 1 dinamakan barisan aritmetika jika untuk setiap n bilangan asli memenuhi4 78 • •• • 6 1791 1 •• Un + 1 – Un = Un – Un–1 = ... = U2 – U1 = b.•• • 20 1544 82 3 Jika suku pertama barisan aritmetika adalah a dengan beda b maka barisan aritmetika U1, U2, U3, ..., Un menjadi a, a + b, a + 2b, ..., a + (n – 1)b

b. Bukan barisan aritmetika karena selisih dua suku yang Siapa Berani? berurutan tidak sama atau tidak tetap. 1. Di antara barisan-2. Tentukan suku ke-20 dari barisan bilangan asli kelipatan 3 barisan bilangan berikut, selidikikurang dari 100. manakah yang merupakan barisanPenyelesaian: aritmetika? a. 5, 4 1 , 4, 3 1 ,Barisan bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 22 3, 2 1adalah 3, 6, 9, 12, ..., 99. 2 b. 2, 1, 1 , 1 , 1a = 3 dan b = 3 sehingga Un = a + (n – 1)b 248U20 = 3 + (20 – 1)3 = 3 + 57 = 60 c. 5, 11 , 16,Jadi, suku ke-20 dari barisan bilangan asli kelipatan 3 kurang 2 21 1 , 27dari 100 adalah 60. 23. Tuliskan lima suku pertama barisan aritmetika jika diketahui 2. Tuliskan lima suku pertama barisana = 5 dan b = 2 . aritmetika jika 5 diketahui u6 = 9 dan u10 = 24.Penyelesaian: CatatanU1 = a = 5 dan b = 2 5 Jika aturan suatu barisan 2 2 aritmatika ditambah bU2 = a + b = 5 + 5 = 5 5 maka suku ke-n akan memuatU3 = a + (3 – 1) b = a + 2b = 5 + 2 2 =54 b × n, yaitu 5 5 Un = b × n + ... atau Un = b × n – ...U4 = a + (4 – 1)b = a + 3b = 5 + 3 2 =61 Contoh: 5 5 Tentukan rumus suku ke-n dari 7, 10, 13, 16,U5 = a + (5 – 1)b = a + 4b = 5 + 4 2 =63 ..., 64. 5 5 Penyelesaian: Oleh karena aturannyaJadi, lima suku pertama barisan tersebut adalah 5, 5 2 , 5 4, ditambah tiga maka suku 55 ke-n memuat 3n, yaitu6 1 , dan 6 3 . U1 = 7 = 3 × 1 + 4 55 U2 = 10 = 3 × 2 + 4 U3 = 13 = 3 × 3 + 44. Deret Aritmetika (Nilai 4 ditentukan sendiri agar hasilnya samaBerdasarkan pola kedua barisan aritmetika pada Bagian 3, seperti suku barisandapat diperoleh penjumlahan sebagai berikut. yang dimaksud). Uraiana) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + Un. tersebut menggambar- kan rumus suku ke-n dari Deret ini dinamakan deret aritmetika naik karena nilai barisan Un semakin besar. 7, 10, 13, 16, ..., yaitub) 99 + 96 + 93 + 90 + ... + Un. Un = 3 × n + 4 = 3n + 4. Deret ini dinamakan deret aritmetika turun karena nilai Un semakin kecil. Kamu dapat menentukan suku-suku pada deretaritmetika sebagai berikut. Misalkan, jumlah n suku pertama deret tersebutdilambangkan dengan Sn maka Barisan dan Deret Bilangan 143