คณิตศาสตร์ พค31001 ม.ปลาย

144 แบบฝก หดั ท่ี 4 1. การเลอื กขอ มูลมาใชประกอบการตัดสนิ ใจตอ งอาศัยหลักการใดบา ง 2. ขอมูล ตางกบั สารสนเทศ อยางไร จงอธิบายพรอ มยกตวั อยา งประกอบดว ย

145 บทท่ี 8 ความนาจะเปน สาระสําคญั 1. การนบั จาํ นวนผลลพั ธทงั้ หมดทเ่ี กิดจากการกระทํา หรือการทดลองใดๆ ตองอาศัยกฎเกณฑการ นับจึงจะทําใหง า ยและสะดวก รวดเร็ว 2. ความนา จะเปน คือ จํานวนท่ีแสดงใหทราบวาเหตุการณใดเหตุการณหนึ่ง มีโอกาสเกิดข้ึนมาก หรอื นอ ยเพียงใด ส่งิ ที่จําเปน ตอ งทราบทาํ ความเขาใจ คอื - การทดลองสมุ (Random Experiment) - แซมเปลสเปซ (Sample Space) - เหตุการณ (Event) 3. ความนาจะเปนของเหตุการณใดๆ เปนการเปรียบเทียบจํานวนสมาชิกของเหตุการณน้ันๆ กับ จาํ นวนสมาชกิ ของแซมเปล สเปซ ซง่ึ เปน คาทจ่ี ะชว ยในการพยากรณหรือการตัดสนิ ใจได ผลการเรียนรทู ค่ี าดหวัง 1. หาจํานวนผลลัพธที่อาจเกิดข้ึนของเหตุการณ โดยใชกฎเกณฑเบื้องตนเก่ียวกับการนับและ แผนภาพตนไมอ ยางงายได 2. อธิบายการทดลองสุม เหตุการณ ความนาจะเปนของเหตุการณและหาความนาจะเปนของ เหตกุ ารณท ่กี าํ หนดใหได 3. นาํ ความรเู ก่ยี วกับความนาจะเปน ไปใชในการคาดการณแ ละชวยในการตัดสนิ ใจ ขอบขา ยเน้อื หา เรื่องท่ี 1 กฎเบ้ืองตน เกยี่ วกบั การนบั และแผนภาพตน ไม เรอ่ื งท่ี 2 ความนา จะเปน ของเหตกุ ารณ เร่อื งท่ี 3 การนําความนาจะเปน ไปใช

146 1. กฎเบ้อื งตน เกย่ี วกบั การนบั และแผนภาพตน ไม ในชีวติ ประจําวันของคนเรามกี ารกระทาํ หรอื การทดลองหลายอยางที่สามารถมวี ธิ กี ารที่จะเกดิ ผลลพั ธไ ดหลายวธิ ี การหาจํานวนรปู แบบหรือจาํ นวนวธิ ที ี่อาจเกดิ ขนึ้ ไดจากการนับทงั้ หมด โดยมกี ฎ เบื้องตน เกีย่ วกับการนบั จากการทาํ งานดังนี้ 1. 1. การทํางานท่ีมี 2 อยางหรอื สองขนั้ ตอน ถา งานอยางแรกมวี ธิ ที าํ ได n1 วธิ ี และในแตละวธิ ที าํ งานอยา งแรกมีวธิ ีที่จะทํางานอยา งทสี่ องได n2 วธิ ี แลว จํานวนวิธีที่ทาํ งานทง้ั สองอยางเทากบั n1 n2 วิธี สามารถเขียนแผนผงั การทํางานไดด งั นี้ งานอยา งท่ี 1 งานอยางท่ี 2 นบั ได n1 วิธี × n2 วธิ ี จํานวนวธิ ที าํ งานท้ังสองอยาง = n1 × n2 วธิ ี เพ่ือความเขา ใจใหงา ยขึ้นสามารถแจกแจงผลการนบั แตล ะวิธไี ดโดยใช แผนภาพตน ไม ดงั ตัวอยาง ตอ ไปน้ี ตัวอยางท่ี 1 โยนเหรยี ญ 2 อนั พรอมกนั 1 คร้ัง เกดิ ผลลัพธไดท งั้ หมดกว่ี ิธี วธิ ที ํา โยนเหรยี ญ 2 อนั พรอมกนั 1 ครง้ั เปนการทาํ งาน 2 อยาง เหรยี ญท่ี 1 เหรยี ญที่ 2 จัดได 2 × 2 งานแรก การเกดิ ของเหรียญที่ 1 เกิดได 2 วิธี คอื อาจเกดิ หวั (H ) หรอื อาจเกดิ กอ ย (T ) กไ็ ด และในแตละวธิ ีท่ีเกิดเหรยี ญท่ี 1 ยงั มวี ิธเี กิดเหรยี ญที่ 2 ไดอีก งานท่ี 2 การเกดิ ของเหรยี ญท่ี 2 เกดิ ได 2 วิธี คอื อาจเกิดหวั (H) หรืออาจเกดิ กอ ย (T ) ดงั นั้น การโยนเหรยี ญ 2 อนั พรอ มกัน 1 ครง้ั เกิดได = 2 ×2 = 4 วิธี

147 การโยนเหรยี ญ 2 เหรยี ญพรอ มกัน เปน การทาํ งานทม่ี ี 2 อยา งหรอื 2 ขนั้ ตอน สามารถแสดง เหตกุ ารณท เี่ กดิ โดยใชแผนภาพตน ไมไ ดด งั นี้ เหรยี ญที่ 1 เหรยี ญที่ 2 เหตุการณท ่เี กดิ ข้นึ นั่นคือ โยนเหรยี ญ 2 เหรียญพรอ มกนั 1 ครง้ั เกดิ ได 4 วธิ ี คือ HH, HT, TH, TT ตอบ ตวั อยางที 2 ชายคนหน่ึงมีเส้อื เช้ิตตา งกนั 5 ตัว และกางเกงขายาวตา งกนั 3 ตวั วธิ ที าํ เราสามารถใชแผนภาพตน ไมช ว ยในการหาวธิ ีทัง้ หมดท่ีเปน ไปไดแสดงไดด ังแผนภาพ ขา งลา งน้ี จากแผนภาพตนไมจะพบวาการแตง กายของชายคนน้ีทแี่ ตกตา งกันนับไดท ้ังหมด 15 วิธี

148 ตัวอยางท่ี 3 โยนลกู เตา 2 ลกู พรอมกนั 1 ครงั้ เกดิ ไดท ง้ั หมดกี่วธิ ี วธิ ีทาํ โยนลกู เตา 2 ลกู พรอ มกัน 1 ครัง้ เปน การทาํ งาน 2 อยาง ลูกที่ 1 ลูกท่ี 2 จดั ได 6 × 6 งานอยางแรก การเกิดของลูกเตาลูกท่ี 1 ซึ่งมี 6 หนา เกดิ ได 6 วธิ ี คอื อาจหงายหนา 1 , 2, 3 …., หรอื 6 )  โยนลูกเตา 2 ลูกพรอมกนั 1 ครง้ั เกดิ ได = 6 ×6 = 36 วิธี สามารถแจกแจงผลลพั ธ ไดดงั น้ี ( 1 , 1) ( 1 , 2 ) (1 , 3 ) ( 1 , 4) ( 1 , 5) ( 1 , 6) ( 2 , 1) ( 2 , 2 ) (2 , 3 ) ( 2 , 4) ( 2 , 5) ( 2 , 6) ( 3 , 1) ( 3 , 2 ) (3 , 3 ) ( 3 , 4) ( 3 , 5) ( 3 , 6) ( 4 , 1) ( 4 , 2 ) (4 , 3 ) ( 4 , 4) ( 4 , 5) ( 4 , 6) ( 5 , 1) ( 5 , 2 ) (5 , 3 ) ( 5 , 4) ( 5 , 5) ( 5 , 6) ( 6 , 1) ( 6 , 2 ) (6 , 3 ) ( 6 , 4) ( 6 , 5) ( 6 , 6) ตอบ 36 วธิ ี 1. 2. การทํางานที่มี 3 อยางหรอื สามขั้นตอน การนบั จะมีแนวคดิ ในทาํ นองเดียวกนั แตจาํ นวนข้นั ตอนในการเขยี นแผนภาพตน ไม หรือ การหาผลคูณคารทเี ซยี น จะมี 3 งานหรอื 3 ข้นั ตอนท่ีตองทําตอ เนื่องกัน ดงั ตวั อยา งตอไปน้ี ตวั อยา งท่ี 4 บรษิ ัทรถยนตแ หงหนงึ่ ผลิตตวั ถงั รถยนตอ อกมา 2 แบบ มเี คร่ืองยนต 2 ขนาด และสี ตาง ๆ กนั 3 สี ถา ตองการแสดงรถยนตใ หค รบทกุ แบบ ทุกขนาด และทุกสี จะตอ งใชร ถยนตอ ยา ง นอ ยทส่ี ุดก่ีคนั

วิธที ี่ 1 โดยใชแ ผนภาพตนไม (Tree Diagram ) จะไดผ ลดังนี้ ข้นั ท่ี 3 149 การทาํ งานมี 3 ขั้นคอื สี ขั้นท่ี 1 ข้นั ที่ 2 ผลงาน ตัวถงั เครอ่ื ง ดงั นน้ั จะตองมีรถยนตแสดงอยางนอย 12 คนั จึงจะครบทุกแบบทกุ สีทุกขนาด วิธีที่ 2 โดยใชผ ลคูณคารท เี ซยี น ให A เปน เซตของตัวถังรถยนต A = { ถ1 , ถ2 } B เปน เซตของเครอ่ื งยนต B = { ค1 , ค2 } C เปน เซตของสีตาง ๆ B = { ส1 , ส2 , ส3 } นาํ ตวั ถงั และเครื่องยนตมาประกอบกนั ไดด ังนี้ A × B = { (ถ1 , ค1) , (ถ1 , ค2) , (ถ2,ค4) , (ถ2 , ค2)} n(AxB) = n(A) x n(B) = 4 แบบ นําตัวถึงกับเคร่ืองที่ประกอบแลว มาทาสตี าง ๆ ( A × B ) × C = { (ถ1 , ค1, ส1 ), (ถ1 , ค1, ส2 ), (ถ1 , ค1, ส3 ), (ถ1 , ค2, ส1 ), (ถ1 , ค2, ส2 ), (ถ1 , ค2, ส3 ), (ถ2 , ค1, ส1 ), (ถ2 , ค1, ส2 ), (ถ2 , ค1, ส3 ), (ถ2 , ค2, ส1 ), (ถ2 , ค2, ส2 ), (ถ2 , ค2, ส3 )} N ( A ×B× C ) = n(AxB) x n(C) = n(A) x n(B) x n(C) = 2 x 2 x 3 = 12 ดังน้ัน ตองใชร ถยนตแสดงอยา งนอ ย 12 คนั

150 เมอ่ื พจิ ารณาแผนภาพตน ไมและวธิ กี ารของผลคณู คารท ีเซียนแลว พบวา สามารถหาจาํ นวนวิธี หรือจาํ นวนรูปแบบในการทาํ งานไดเชนเดยี วกนั จากหลกั การของทัง้ สองวธิ ี จึงสามารถนาํ มาสรา งเปน กฎเบอื้ งตน เกี่ยวกบั การหาจาํ นวนวธิ ีในการทาํ งานอยา งใดอยางหน่งึ ได โดยสรุปเปน กฎไดด งั น้ี สรุปข้นั ตอนในการใชกฎการนบั แกโ จทยป ญ หา 1. พจิ ารณาวา งานหรือเหตุการณท ่โี จทยก าํ หนดมานั้นคอื อะไร จดั แบง ออกเปนกีข่ นั้ ตอนทีต่ อเน่อื งกนั 2. พิจารณาเงอื่ นไขตา ง ๆ ทีก่ าํ หนดมาในแตละข้ันตอน บนั ทึกไว 3. หาจาํ นวนวิธีท่ีสามารเลือกทํางานไดใ นแตละขน้ั โดยตอ งเรมิ่ จากขน้ั ทีม่ เี งอ่ื นไขมากทส่ี ุดกอนแลวจงึ พิจารณาขนั้ อื่น ๆ ที่มีเงือ่ นไขรองลงมา ตามความสําคัญ 4. นาํ จํานวนวธิ ีทไ่ี ดใ นแตละขนั้ ตอนคณู กัน จะไดจํานวนรปู แบบหรอื จํานวนวิธที ีอ่ าจเกิดขนึ้ ไดท งั้ หมด ตวั อยางท่ี 4 ในการเลอื กตัง้ กรรมการชดุ หนึ่งจะประกอบไปดวย ประธาน รองประธาน เหรัญญกิ และ เลขา โดยกรรมการแตละคนจะดาํ รงตําแหนงไดเ พยี งตาํ แหนง เดยี วเทา นนั้ ถา มีผสู มคั รทั้งหมด 6 คน เปนชาย 2 คน เปน หญิง 4 คน ผลการเลอื กตัง้ กรรมการชุดนีจ้ ะมีไดท้งั หมดกี่แบบตางกนั โดยที่ 1. ไมม เี งื่อนไขเพม่ิ เติม 2. กาํ หนดใหป ระธานเปนชาย และเลขาตอ งเปนหญงิ 3. กรรมการตองเปน หญิงลว น ๆ วิธที ํา มผี ูส มคั ร 6 คน เปนชาย 2 คน เปนหญงิ 4 คน ใหเลอื กกรรมการ 4 ตาํ แหนง ประธาน รอง ประธาน เหรญั ญกิ เลขา 1) ไมม ีเงื่อนไขเพ่มิ เตมิ แตละคนเปนไดต าํ แหนงเดียว ตาํ แหนงประธาน เลอื กได 6 วิธี ตาํ แหนงรองประธาน เลือกได 5 วิธี ตาํ แหนง เหรัญญิก เลือกได 4 วิธี ตําแหนง เลขา เลือกได 3 วิธี ดงั น้นั จํานวนวธิ ใี นการเลอื กกรรมการมี = 6 × 5 × 4 × 3 = 360 วธิ ี 2) กาํ หนดประธานเปนชาย และเลขาตองเปนหญิง ตําแหนง ประธานเปนชาย เลือกได 2 วธิ ี ตาํ แหนงเลขาทเ่ี ปน หญงิ เลือกได 4 วธิ ี ตาํ แหนง เหรัญญิก (คนที่เหลือ) เลอื กได 4 วิธี ตาํ แหนง รองประธาน เลือกได 3 วธิ ี (คนท่เี หลือสุดทา ย ) ดงั นั้น จาํ นวนวิธใี นการเลอื กกรรมการมี = 2 × 4 × 3 × 4 = 96 วธิ ี

151 3) กรรมการตอ งเปนผูห ญงิ ลวน ๆ ตาํ แหนง ประธานเปนชาย เลือกได 2 วธิ ี ตาํ แหนง เลขาเปนหญงิ เลือกได 4 วธิ ี ตําแหนงรองประธาน เลอื กได 4 วิธี ( เฉพาะหญิงทีเ่ หลอื ) ตําแหนง เหรญั ญกิ เลือกได 3 วิธี ( เฉพาะหญงิ ที่เหลือ ) ดังนั้น จํานวนวธิ ใี นการเลือกกรรมการมี = 2 × 4 × 3 × 4 = 96 วธิ ี ตัวอยา งที่ 5 จากอกั ษรในคําวา “ PHYSIC” นํามาสรางคาํ ใหมประกอบดว ย 3 อกั ษร ตา งกัน ( ไมสนใจความหมายของคําเหลา นน้ั ) โดยที่ 1. ไมมเี งอ่ื นไขเพมิ่ เตมิ 2. ตอ งเปน พยญั ชนะท้ังหมด วธิ ที าํ อกั ษรในคาํ วา PHYSIC เปนสระ 1 ตวั และพยญั ชนะ 5 ตวั รวมทง้ั หมด 6 ตัวอักษร อักษรตวั ท่ี 1 2 3 1. สรา งคําประกอบดว ย 3 ตวั อกั ษร สรา งได = 6 × 5 × 4 = 120 วธิ ี 2. มเี ง่ือนไขวา ตอ งเปน พยญั ชนะทง้ั หมด สรางได = 5 × 4 × 3 = 60 วธิ ี ตัวอยางท่ี 6 หอ งประชุมแหง หนงึ่ มี 3 ประตู จงหาวธิ ใี นการเดนิ เขา - ออกหอ งประชมุ โดยมีเงอ่ื นไขตา งกนั ดังน้ี 1. จาํ นวนวิธใี นการเดนิ เขา 2. จาํ นวนวธิ ใี นการเดนิ เขา - ออก 3. จาํ นวนวิธีในการเดนิ เขา - ออก โดยไมซาํ้ ประตูกนั 4. จาํ นวนวธิ ีในการเดนิ เขา - ออก โดยใชประตูเดิม วธิ ีทาํ ประตหู อ งประชุมมี 3 ประตู หมายเลข 1 2 และ 3 การเดนิ เขา ออก 1. จาํ นวนวธิ ีเดนิ เขาหองประชมุ = 3 วิธี 2. จํานวนวธิ ีการเดนิ เขา - ออก =3 ×3 = 9 วธิ ี ( ใชป ระตูซ้ําได) 3. จํานวนวิธกี ารเดนิ เขา - ออก โดยไมซ้ําประตกู นั = 3 × 2 = 6 วธิ ี

152 4. จํานวนวิธีการเดนิ เขา - ออก โดยใชป ระตเู ดมิ = 3 × 1 = 3 วิธี ตัวอยางท่ี 7 ครมู ีหนงั สอื 5 เลมแตกตา งกนั ตอ งการแจกใหน กั เรยี น 4 คน จงหาจํานวนวีธแี จกหนงั สอื โดยท่ี 1. ไมมีเงื่อนไขเพ่มิ เติม 2. ไมมใี ครไดห นังสอื เกิน 1 เลม วธิ ีทํา การแจกหนงั สือตองพิจารณาการแจกทีละเลม หนงั สอื เลมที่ 1 2 3 4 1. ไมม เี งอื่ นไข (แจกซ้ําได ) ดังนนั้ แจกได = 5 × 5 × 5 × 5 = 625 วิธี 2. ไมมีใครไดเ กนิ 1 เลม แปลวา ไมมใี ครไดซ ้าํ ไดแ ลวจะไมแ จกใหอกี ดงั นน้ั จะมีวธิ แี จกหนงั สอื = 5 × 4 × 3 ×2 = 120 วิธี

153 แบบฝก หดั ที่ 1 1. โยนเหรยี ญ 1 เหรยี ญ 3 ครง้ั จงหาจาํ นวนทเ่ี หรียญจะขึ้นหนา ตางๆ โดยวธิ เี ขียนแผนภมู ติ น ไม 2. ในการทดสอบวชิ าคณิตศาสตร ประกอบดว ย โจทยแ บบปรนัย 4 ตัวเลือก จํานวน 5 ขอ โจทยแตล ะขอ มคี ําตอบทถี่ กู ตองเพยี งหนง่ึ ตวั เลอื กเทา น้ัน แลวจํานวนวิธกี ารตอบคาํ ถามที่เปน ไปได ท้งั หมดมกี ีว่ ิธี 3. มนี ักเรยี น 5 คน ยนื เขา แถวเพอื่ ซือ้ อาหารกลางวันของรานหนง่ึ จงหาวา จํานวนวิธีท่ียืนเขา แถวท่ี แตกตางกนั มีทัง้ หมดกี่วธิ ี 4. มีชาย 6 คน หญงิ 5 คน ตอ งการจดั คแู ขง ขนั ระหวา งชาย 1 คน หญิง 1 คนในการแขง ขนั กฬี า เทนนสิ มีจํานวนท้ังหมดกวี่ ิธี 5. เพอ่ื น 3 คน นกั กนั ไปรับประทานอาหารเย็นท่ภี ัตตาคารและ ซ้อื ของทหี่ า งสรรพสนิ คา โดยเลอื กท่ี จะไปรบั ประทานอาหารและซอื้ ของ ซ่ึงมีภตั ตาคาร 5 แหง และมีหา งสรรพสนิ คา 4 แหง ท้ังสาม คนนจี้ ะมีวิธเี ลอื กกระทาํ ดังกลาวไดท ัง้ หมดกี่วธิ ี 6. บรษิ ทั แหง หน่ึงเปด รับสมัครพนกั งานเขา ทํางาน โดยพจิ ารณาจากเง่ือนไขคอื เพศชาย หญงิ ระดบั อายุ มี 6 ระดับ และมีสาขาวิชาชีพ 10 ประเภท แลว บริษทั นจ้ี ะมวี ิธกี ารจําแนกผูสมคั รไดท้งั หมดกว่ี ิธี 7. จากการสัมภาษณรับคนเขา ทํางานจํานวน 8 คน จะมวี ธิ จี ะคัดเลือกไดพนกั งานหน่งึ คนจากผเู ขา สัมภาษณท ้งั หมด 8. จงเขียนแผนภาพตนไมเ พอ่ื แสดงผลทีเ่ กดิ ขน้ึ จากการโยนเหรยี ญ 1 เหรยี ญ 4 ครงั้ จงหาจาํ นวนวิธีที่ แตกตา งกนั ในการโยนเหรยี ญครง้ั น้ี โดยที่ 1. ไมม หี นาหัวเลย 2. มหี นาหัวเพียง 1 คร้งั 3. มหี นา ทงั้ 2 ครง้ั 4. มีหนาหวั เพียง 3 ครง้ั 5. มีหนา หวั 4 คร้ัง

154 2. ความนาจะเปนของเหตุการณ ในชีวิตประจําวันมักพบกับการคาดคะเน หรือการประมาณเหตุการณ หรือโอกาส เพ่ือใชในการ ตัดสนิ ใจ โอกาสที่เหตุการณนัน้ จะเกดิ ไดม ีมากนอยเพียงใด ขึ้นอยูกับอัตราสวนระหวางจํานวนสมาชิก ของเหตกุ ารณน้ัน กบั จาํ นวนคร้ังของการทาํ งานผูเ รยี นจึงตอ งทราบ และทาํ ความเขา ใจ กบั คาํ เหลา น้ี 1. การทดลองสุม (Random Experiment) คอื การทดลองทไี่ มส ามารถระบผุ ลลัพธไดอยางแนนอน แต บอกไดว าผลลัพธข องการทดลองนนั้ มีโอกาสเกิดอะไรข้ึนไดบาง ตัวอยางที่ 1 การทดลองโยนลูกเตา 1 ลูก 1 ครั้ง แตมที่จะเกิดขึ้นได คือ แตม 1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6 ซึ่งไมส ามารถบอกไดวา จะเปน แตมอะไรใน 6 แตม นี้ ดังน้ันผลลัพธทง้ั หมดที่จะเกดิ ขึ้นคือแตม 1, 2, 3, 4, 5, 6 ตวั อยา งท่ี 2 การหยิบลกู ปงปอง 1 ลูก จากกลอ ง ซงึ่ มี 5 ลกู 5 สี ลูกปง ปองท่ีหยบิ ไดอ าจจะเปน ลูกปง ปอง สีขาว ฟา แดง เขียว หรือสม ดงั นนั้ ผลลัพธทงั้ หมดท่ีจะเกดิ ขึน้ คอื ลกู ปงปองสีขาว ฟา แดง เขียว หรือสม ตวั อยางที่ 3 จงเขยี นผลที่อาจจะเกดิ ข้นึ ไดท ้งั หมดในการโยนเหรยี ญบาท 1 เหรยี ญ และเหรยี ญหาสบิ สตางค 1 เหรยี ญ วิธีทาํ ในการโยนเหรยี ญบาท 1 เหรียญ ผลทอ่ี าจเกดิ ขน้ึ คอื หัวหรอื กอย ถา ให H แทน หัว และ ให T แทน กอย ในการหาผลทีอ่ าจเกิดขึน้ ไดทง้ั หมดจากการโยนเหรยี ญบาทและเหรยี ญหา สิบสตางคอยา งละ 1 เหรยี ญ อาจใชแ ผนภาพชว ยไดด งั นี้

155 ฉะน้นั ถาเราใชค ูอนั ดับเขียนผลทั้งหมดที่อาจเกิดขน้ึ ไดโ ดยใหส มาชิกตวั หนึง่ ของคอู ันดับแทนผล ทอ่ี าจเกดิ ขน้ึ จากเหรยี ญบาท สมาชิกตัวทส่ี องของคอู นั ดับแทนผลท่ีอาจเกิดขนึ้ จากเหรยี ญหา สบิ สตางค จะได ผลทง้ั หมดทอี่ าจจะเกดิ ขึน้ ได คอื (H, H), (H, T), (T, H) และ (T, T) 2. แซมเปลสเปซ (Sample Space ) เปนเซตที่มสี มาชกิ ประกอบดวยสิง่ ทีต่ อ งการ ท้งั หมด จากการ ทดลองอยา งใดอยางหน่ึง ( บางครง้ั เรยี กวา Universal Set ) เขียนแทนดวย S เชน ตัวอยางท่ี 4 ในการโยนลกู เตา ถาตองการดวู า หนา อะไรจะขนึ้ มาจะได ผลลัพธท่ีอาจจะเกดิ ขนึ้ ไดค อื ลกู เตา ขน้ึ แตม 1 หรือ 2 หรือ 3 หรือ 4 หรอื 5 หรอื 6 ดังนน้ั แซมเปลสเปซทีไ่ ด คอื S =  1, 2, 3, 4, 5, 6  ตวั อยางท่ี 5 จากการทดลองสุมโดยการทดลองทอดลกู เตา 2 ลกู 1. จงหาแซมเปล สเปซของแตมของลกู เตา ทีห่ งายขึน้ วิธีทํา 1. เนือ่ งจากโจทยสนใจแตม ของลูกเตาที่หงายขน้ึ ดงั นนั้ เราตอ งเขียนแตมของลกู เตา ท่ีมีโอกาส ทีจ่ ะหงายขึ้นมาท้งั หมด และเพ่อื ความสะดวกให (a , b) แทนผลลพั ธที่อาจจะเกดิ ขึน้ โดยที่ a แทนแตม ท่ีหงายขน้ึ ของลกู เตาลกู แรก b แทนแตม ทีห่ งายขึน้ ของลูกเตา ลกู ที่สอง ดงั น้นั แซมเปลสเปซของการทดลองสมุ คือ S = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

156 3. เหตุการณ (event) คอื เซตที่เปน สบั เซตของ Sample Space หรือเหตุการณท ี่เราสนใจ จากการทดลองสุม ตวั อยางท่ี 7 ในการโยนลูกเตา 1 ลูก 1 ครงั้ ถา ผลลพั ธท ี่สนใจคอื จาํ นวนแตม ทีไ่ ด จะได S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ถาให E1 เปน เหตุการณท ่ไี ดแ ตมซง่ึ หารดว ย 3 ลงตวั จะได E1 = {3, 6} E2 เปน เหตกุ ารณทไ่ี ดแ ตมมากกวา 2 จะได E2 = {3, 4, 5, 6} ตวั อยางท่ี 8 ถุงใบหนงึ่ มีลกู บอลสขี าว 3 ลกู สแี ดง 2 ลูก หยบิ ลกู บอลออกจากถงุ 2 ลูก จงหา 1. แซมเปลสเปซของสขี องลูกบอล และเหตกุ ารณทีจ่ ะไดล กู บอลสีขาว 2. แซมเปลสเปซของลกู บอลที่หยบิ มาได และเหตกุ ารณทจี่ ะไดลูกบอลเปนสีขาว 1 ลกู สีแดง 1 ลกู วิธที ํา 1. เนือ่ งจากเราสนใจเก่ยี วกบั สขี องลกู บอล และลูกบอลมีอยสู องสคี ือสขี าวและสีแดง ดงั นั้น แซมเปล สเปซ S = {ขาว, แดง} สมมติให B เปน เหตกุ ารณท จี่ ะไดลกู บอลสขี าว ดงั นน้ั B = {ขาว} 2. เน่อื งจากเราสนใจแซมเปลสเปซของลกู บอลแตล ะลูกท่ีถูกหยิบข้ึนมา ดงั นั้นแซมเปล สเปซ S คือ S = {ข1ข2,ข1ข3,ข1ด1,ข1ด2,ข2ด3,ข2ด1,ข2ด2,ข3ด1,ข3ด2,ด1ด2} ให C เปน เหตุการณทีผ่ ลลพั ธเปน ลกู บอลสขี าว 1 ลูก และ สีแดง 1 ลูก ดงั น้นั เหตกุ ารณ C คอื C = {ข1ด1,ข1ด2,ข2ด1,ข2ด2,ข3ด1,ข3ด2} หมายเหตุ ข แทน ขาว และ ด แทน แดง ตัวอยางที่ 10 โยนเหรียญบาท 1 เหรียญ 2 คร้ัง จงหาผลลัพธของเหตุการณท จี่ ะออกหัวอยา งนอ ย 1 ครัง้ การหาผลลัพธท้ังหมดที่อาจจะเกดิ ขน้ึ จากการโยนเหรยี ญบาท 1 เหรียญ 2 ครงั้ โดยใชแผนภาพตน ไม ดงั นี้

157 ผลลพั ธทั้งหมดท่อี าจจะเกิดข้นึ จากการทดลองสมุ มี 4 แบบ คือ HH, HT, TH และ TT นั่นคือผลลพั ธข อง เหตกุ ารณท จี่ ะออกหัวอยางนอย 1 คร้งั มี 3 แบบ คือ HH, HT และ TH 4. ความนา จะเปน ของเหตุการณ ความนาจะเปน ของเหตกุ ารณ คือ จํานวนท่แี สดงใหท ราบวา เหตุการณใ ดเหตกุ ารณห นงึ่ มโี อกาส เกดิ ขนึ้ มากหรอื นอยเพียงใด ความนาจะเปน ของเหตกุ ารณใ ด ๆ เทา กับอตั ราสว นของจํานวนเหตุการณท่ีเราสนใจ (จะใหเกิดขน้ึ หรอื ไมเกดิ ขึน้ กไ็ ด) ตอ จํานวนผลลัพธท ั้งหมดทีอ่ าจจะเกดิ ขึ้นได ซ่งึ มสี ูตรในการคดิ คํานวณดงั น้ี ความนาจะเปน ของเหตกุ ารณ = จํานวนผลลัพธของเหตุการณท่เี ราสนใจ จาํ นวนผลลพั ธท ั้งหมดท่ีอาจจะเกิดขนึ้ ได เมอื่ ผลทง้ั หมดทีอ่ าจจะเกิดขน้ึ จากทดลองสุมแตละตวั มโี อกาสเกดิ ขนึ้ ไดเ ทา ๆ กนั กําหนดให E แทน เหตุการณท ี่เราสนใจ P(E) แทน ความนา จะเปน ของเหตกุ ารณ n(E) แทน จาํ นวนสมาชกิ ของเหตกุ ารณ n(S) แทน จาํ นวนสมาชิกของผลลัพธทง้ั หมดทอี่ าจจะเกดิ ขึน้ ได ดงั นัน้ P( E ) = n(E) n(S) ตวั อยางท่ี 1 มลี กู ปงปอง 4 ลูก เขยี นหมายเลขกํากับไวด งั น้ีคอื 0, 1, 2, 3 ถาสุมหยิบมา 2 ลกู จงหาความ นาจะเปน ที่จะไดผลรวมของตวั เลขมากกวา 3 วิธีทํา ให S เปน แซมเปลสเปซ S = {(0, 1),(0, 2),(0, 3),(1, 2),(1, 3),(2, 3) } จะได n(S) = 6 E เปนเหตุการณห รือส่งิ ที่โจทยอ ยากทราบ E = {(1, 3),(2, 3)} จะได n (E) = 2 nE นน่ั คอื จากสูตรขางบนคอื p(E)  nS  แทนคา ได PE  2  1 63 ความนาจะเปนทีจ่ ะไดผลรวมของตวั เลขมากกวา 3 เทา กบั 1 3

158 ขอ สงั เกต 1. สมาชกิ ทกุ ตวั ในเหตกุ ารณ E ตองเปนสมาชกิ ในอยูใ นแซมเปล สเปซ S ดังนน้ั 0 ≤ n(E)≤n(S) 2. ถา E เปนเหตกุ ารณใด ๆ ในแซมเปล สเปซ S จะไดว า 2.1 0≤P(E)≤1 2.2 ถา P(E)=1 หมายถงึ เหตกุ ารณน นั้ ตอ งเกิดขน้ึ แนนอน ถา P(E)=0 หมายถงึ เหตกุ ารณน น้ั ตองไมเ กดิ 2.3 ถา S เปน แซมเปล สเปซ จะไดว า P(S)=1

159 แบบฝก หัดที่ 2 1. จากการทดลองสุมตอ ไปนี้ จงเขยี นแซมเปลสเปซและเหตุการณที่สนใจในการทดลองนน้ั ๆ (1) ไดหวั สองเหรยี ญจากการโยนเหรยี ญสองอนั หน่งึ ครั้ง (2) ไดผลรวมของแตมบนหนา ลูกเตาทั้งสองเปน 2 หรอื 6 จากการโยนลกู เตา สองลูกหนงึ่ ครั้ง (3) หยบิ ไดส ลากหมายเลข 5 หรือ 6 หรอื 7 หรือ 8 จากสลาก 10 ใบซึ่งเขียนหมายเลข 1 ถึง 10 กํากับไว (4) ไดนกั เรยี นท่ถี นดั มือซา ยในหองเรียนท่ที า นเรยี นอยู (5) ไดส ลากทีม่ ีรางวลั จากการจบั สลากท่ปี ระกอบดวยสลากทมี่ รี างวลั 3 ใบ และไมม ี รางวัล 7 ใบ (6) ไดค ําตอบจากครอบครวั 3 ครอบครวั วามจี ักรเย็บผาใชทง้ั สามครอบครวั (7) ไดลกู บอลสขี าว 2 ลูก สีดํา 1 ลูก ในการหยิบลูกบอล 3 ลูก จากกลอ งซ่ึงบรรจลุ ูกบอลสี ขาว 3 ลกู และสีดาํ 2 ลกู (8) ไดแตมท่ีเหมือนกนั หรือไดแ ตม 2 จากลูกเตาลูกใดลกู หน่งึ ในการทอดลกู เตาพรอมกนั สองลกู (9) ไดหวั และแตม ท่มี ากกวา 4 จากการโยนเหรยี ญหนง่ึ เหรียญและทอดลกู เตา หน่ึงลกู หนึง่ ครงั้ (10) ไดสีท่ีชอบคอื สฟี า หรือสชี มพจู ากการสอบถามนางสาวสุชาดาถงึ สขี องกระดาษ เชด็ หนาที่ชอบสองสีจากสีท้ังหมด 5 สี คอื ขาว ฟา ชมพู เขยี ว และเหลอื ง 1. ถา S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } 1 = { 0, 2, 4, 6, 8 } 2 = {1, 3 ,5 ,7 ,9 } 3 ={ 2, 3, 4, 5 } และ 4 = { 1, 6, 7 } จงหาสมาชิกของ S ที่อยใู นเหตกุ ารณต อไปน้ี (1) 1  3 (2) 1  2 (3) 3 (4) 3  4)  2 (5) S  3  (6) 1 2)  3

160 2. จากเหตุการณ 1 , 2 , 3 ในขอ 2 จงเขียนแผนภาพของเวนน – ออยเลอรแสดงเหตุการณต อ ไปน้ี (1) 1  2 (3) 1 3)  2 (2) 1 2) (4) 1 2)  3 3. ในการสํารวจอายขุ องผูป ว ยแผนกเดก็ (อายไุ มเกนิ 15 ป ) ของโรงพยาบาลแหงหนึ่ง ถา 1 เปนเหตกุ ารณที่ผูปว ยมีอายตุ งั้ แต 1 ถงึ 9 ป 2 เปน เหตกุ ารณที่ผปู ว ยมีอายุนอยกวา 5 ป และ 3 เปนเหตกุ ารณท ่ีผูปว ยมอี ายุมากกวา 9 ป จงหา (1) 1  2 (3) 1 3  2 (2) 1  2 (4) 2  3 4 ในการจับสลาก 1 ใบ จากสลาก 10 ใบ ซง่ึ มเี ลข 0 ถึง 9 กํากบั อยู ถาสนใจเลขทเ่ี ขยี นกํากบั ไวใ นสลากใบ ท่จี บั ได โดยให1 เปน เหตุการณที่เลขทีเ่ ขียนกาํ กับไวเ ปน จาํ นวนคู 2 เปน เหตกุ ารณท่เี ลขทเ่ี ขยี นกํากบั ไวเปน จาํ นวนคี่ 3 เปนเหตุการณทเ่ี ลขทเ่ี ขียนกาํ กบั ไวเปนจํานวนเฉพาะ 4 เปน เหตกุ ารณท เี่ ลขทีเ่ ขียนกาํ กับไวเ ปนจํานวนท่ีหารดวย 3 ลงตัว จงเขยี นเหตกุ ารณต อไปนีใ้ นรูป 1 , 2 , 3 หรือ 4 พรอมทั้งแจกแจงสมาชิกเมือ่ (1) เลขทเ่ี ขียนกํากับไวเ ปน จํานวนคูห รือค่หี รอื จํานวนเฉพาะ (2) เลขทีเ่ ขียนกาํ กบั ไวเ ปน จํานวนเฉพาะทีห่ ารดว ย 3 ลงตวั (3) เลขทีเ่ ขียนกํากับไวไ มเปน จํานวนคี่ และไมเ ปนจํานวนที่หารดว ย 3 ลงตัว (4) เลขที่เขียนกํากับไวเ ปน จาํ นวนคูท่เี ปน จํานวนเฉพาะ

161 4. การนาํ ความนาจะเปน ไปใช การนาํ ความนาจะเปนไปใช ตองการใหผทู ่ศี กึ ษาทราบวาเหตกุ ารณต างๆน้ันมีโอกาสจะเกิดขึ้น มาก หรือนอยเพียงใด เพ่ือชวยในการประกอบการตดั สินใจ เชน ตวั อยางท่ี 1 ไพส ํารบั หนึ่งมี 52 ใบ แบง เปน 2 สี 4 ชนิด คือ สีแดง ไดแ กโ พแดงกับขา วหลามตดั สีดํา ไดแ ก โพดาํ กบั ดอกจกิ แตละชนิดมี 13 ใบ จงหาความนา จะเปน ท่หี ยบิ มา 1 ใบแลวไดโ พดําหรือสี แดง วิธที ํา S = ไพทั้งหมดมี 52 ใบ หยบิ มาทลี ะ 1 ใบจะได 52 วธิ ี ดังนั้น n(S) = 52 E = ไพโพดํามี 13 ใบ และไพส ีแดงมี 26 ใบ ดังน้นั n(E) = 13 + 26 = 39 nE จากสูตร p(E)  nS  แทนคา ได PE   39  3 52 4 ความนาจะเปนทีห่ ยบิ ไพ 1 ใบแลว ไดโพดําหรอื สีแดง เทา กบั 3 4 สรปุ ไดว า ไพ 1 ใบ แลวไดไ พโพดํา หรือโพแดงมีโอกาสเกิดขนึ้ 75 % ถือวา มโี อกาสเปนไปไดส ูง ตัวอยา งที่ 2 ในการหยิบสลาก 1 ใบจากสลาก 10 ใบ ซ่ึงมเี ลข 0 - 9 กํากบั อยู จงหาความนา จะเปน ท่จี ะ หยิบไดเปน จาํ นวนเฉพาะสลากมีเลข 2 เลข 3 เลข 5 เลข 7 วิธีทาํ S = สลากมี 10 ใบ หยิบมาทีละ 1 ใบ จึงหยิบได 10 วธิ ี S = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,} n(S)=10 E = สลากทเี่ ปน จํานวนเฉพาะ E ={2,3,5,7,} n(E)=4 nE nS  จากสตู ร p(E)  แทนคาได PE  4  2 10 5 ความนา จะเปน ทจี่ ะหยิบไดเ ปน จํานวนจาํ เพาะ เทา กบั 2 5 สรุปไดวา ความนา จะเปน ทจี่ ะหยิบไดเ ปน จาํ นวนจําเพาะ มีโอกาสเกดิ ขนึ้ 40 % ถือวามีโอกาส เกดิ ขน้ึ นอ ย

162 ตวั อยา งที่ 3 ในการทอดลกู เตา 2 ลูก พรอ มกนั 1 คร้ัง จงหาโอกาสท่ผี ลรวมของแตม เปน 13 วธิ ที ํา ลูกเตา 2 ลกู จะมผี ลรวมสูงสดุ คอื 6 + 6 = 12 โจทยต องการทราบผลรวมของแตมทจี่ ะเปน 13 จงึ เปน เหตุการณทเ่ี ปน ไปไมไ ด โอกาสทผี่ ลรวมของแตมเปน 13 เทา กับ 0 สรุปไดวา โอกาสที่จะทอดลกู เตา 2 ลกู แลว ผลรวมของแตม เปน 13 นั้น ไมม โี อกาสเกิดขนึ้ เลย

163 แบบฝกหดั ท่ี 3 1. ในการโยนลกู เตา 1 ลกู 1 ครง้ั จงหาความนาจะเปนของเหตุการณ และสรุปถงึ โอกาสทจี่ ะเกดิ ข้นึ วา มมี ากหรอื นอยเพยี งใด 1) ไดแ ตม 4 2) ไดแ ตม คู 3) ไดแตม มากกวา 4 4) ไดแ ตม นอยกวา 7 5) ไดแตม มากกวา 0 6) ไดแตมมากกวา 6 หรอื เปน แตมค่ี 7) ไดแตมมากกวา 3 และเปนแตม ค่ี ............................................................................................ ................................................................ .................................................................................................... ........................................................ 2. ทอดลูกเตา 2 ลกู สองครัง้ ความนาจะเปนทจี่ ะไดแตมรวมเปน 7 ในครง้ั แรกและไดแตม รวมเปน 10 ในครัง้ ท่ี 2 เทา กบั เทาใด .................................................................................................... ........................................................ .................................................................................................... ........................................................ 3. ชางกอสรา งกลมุ หนึง่ มี 10 คน ประกอบดว ย ชา งปนู 6 คน และชางไม 4 คน ถาตองการเลอื กชาง 7 คน จากกลมุ นี้ ความนา จะเปนทจ่ี ะไดช างปนู 4 คน และชา งไม 3 คน เทา กบั เทาใด .................................................................................................... ........................................................ ..................................................................................................... ....................................................... 4. กลอ งใบหนง่ึ บรรจหุ ลอดไฟสแี ดง 6 หลอดซึ่งเปนหลอดดี 4 หลอดและหลอดไฟสนี ํ้าเงิน 4 หลอด ซึ่งเปนหลอดดี 2 หลอด ในการสุม หยิบหลอดไฟครัง้ ละ 1 หลอด 2 ครง้ั แบบไมใสค ืน ความนาจะ เปน ที่จะไดห ลอดไฟสีเดียวกนั และเปน หลอดดีทงั้ สองครงั้ มคี าเทา กบั เทาใด ............................................................................................... ............................................................. .................................................................................................... ........................................................ ....................................................................................................................................... ..................... 5. กลอ งใบหนง่ึ มลี ูกบอลสแี ดง 3 ลูก และสขี าวจาํ นวนหน่งึ โดยท่ีจาํ นวนวิธีการหยิบลกู บอล 2 ลูก เปนลูกบอลสเี หมือนกัน เทา กับ 9 ถาสุม หยบิ ลูกบอลพรอ มพนั 2 ลกู แลว ความนา จะเปนทจี่ ะไดลูก บอลสขี าวท้งั 2 ลูกเทากบั เทาใด .................................................................................................... ........................................................ ........................................................................................................ .................................................... .................................................................................................... ........................................................

164 บทท่ี 9 การใชท กั ษะกระบวนการทางคณติ ศาสตรใ นงานอาชีพ สาระสําคัญ การประกอบอาชีพในสงั คมและในกลุมประชาคมอาเซียนน้นั มหี ลากหลายสาขาอาชีพท้งั ในดาน อตุ สาหกรรม เกษตรกรรม พณิชยกรรม ความคดิ สรา งสรรค และการบรหิ ารจดั การ อาชพี ในวงการ ดงั กลาวลวนมกี ารใชท กั ษะกระบวนการทางคณติ ศาสตรเขา ไปเกย่ี วของเกือบทุกกลมุ อาชีพ ซงึ่ ผเู รยี น สามารถนําความรแู ละทกั ษะท่ีไดเ รยี นคณิตศาสตรใ นระดบั มธั ยมศกึ ษาตอนปลายมาประยกุ ตใ ช ผลการเรยี นรูท ่คี าดหวัง 1. สามารถวเิ คราะหง านอาชีพในสังคมและกลุม ประชาคมอาเซยี นทีใ่ ชทักษะทางคณิตศาสตร 2. มีความสามารถในการเชือ่ มโยงความรตู าง ๆ ทางคณิตศาสตรก ับงานอาชีพได ขอบขายเนื้อหา ลกั ษณะ ประเภทของงานอาชพี ที่ใชทกั ษะทางคณติ ศาสตร เรือ่ งท่ี 1 การนาํ ความรูท างคณติ ศาสตรไ ปเชือ่ มโยงกับงานอาชพี ในสงั คมและ เร่ืองที่ 2 ประชาคมอาเซียน

165 เรือ่ งท่ี 1 ลักษณะ ประเภทของงานอาชีพทใี่ ชท กั ษะทางคณติ ศาสตร 1.1 กลมุ อาชพี เกษตรกรรม ไดแ ก อาชพี การทํานา ทาํ ไร การปลกู ผัก การเล้ียงสัตว ประมง ฯลฯ (1) ลกั ษณะงานเบอ้ื งตน ทใ่ี ชท ักษะทางคณติ ศาสตร 1. การสํารวจของตลาดทีจ่ ะปลกู พชื เกษตรกรรม 2. การเตรยี มพนื้ ท่ดี ิน ซึ่งขน้ึ อยูกบั ความกวา ง ความยาวของพืน้ ทว่ี า ผูประกอบการใชพ ้ืนทกี่ ไ่ี ร ก่งี าน กีต่ ารางวา ในการทําแปลง ขดุ รอง เพอื่ ใชเ ปน พน้ื ที่นา 1 สว น พนื้ ทปี่ ลูกผกั 1 สว น บอนํ้า 1 สว น การเล้ียงสตั ว 1 สว น พน้ื ทอ่ี ยอู าศยั 1 สวน เปนตน 3. การเตรียมเมลด็ พนั ธขุ า ว ผกั และพืชพันธอุ ่นื ๆ 4. การเตรยี มปยุ วาใชข นาดกก่ี โิ ลกรมั ตอไร 5. การรดนา้ํ พรวนดิน ซ่งึ ตองกําหนดวา รดนาํ้ วนั ละ 2 ครงั้ ในปรมิ าณมากนอย เทาไร 6. การฉดี ยาฆา แมลงโดยใชสารกาํ จดั ศตั รพู ืชทางชวี ภาพ เชน สะเดา และ สมุนไพรอืน่ ๆ เปนตน ใชค วามรเู รอื่ งอัตราสวน สัดสว น เพอ่ื ผสมยากาํ จดั ศัตรพู ืชกับนา้ํ กอ นฉดี พน 7. การเกบ็ เก่ียวผลผลติ ซึ่งตอ งใชท กั ษะการคาํ นวณระยะเวลาตั้งแตก ารปลกู จนถึงระยะการเก็บเก่ียวผลผลติ - การตรวจสอบความช้นื ของวัสดแุ ละสถานที่เก็บผลผลิต

166 - การคํานวณพน้ื ทใี่ นการเกบ็ รกั ษาผลผลติ 8. การจาํ หนายผลผลติ ซ่งึ ตองใชทกั ษะการจดั ทาํ บญั ชรี ับ – จาย การจดบนั ทึกจาํ นวนผลผลิตทไี่ ด 9. การคํานวณภาษเี งนิ ไดบคุ คลธรรมดา (2) เคร่ืองมอื และเทคโนโลยีทใ่ี ช 1. เครอ่ื งคิดเลข 2. สมดุ บันทึกรายรับ รายจายหรือคอมพิวเตอรโ นต บคุ 3. สมุดจดบนั ทกึ ระยะเวลาการเจรญิ เติบโตตงั้ แตก ารปลกู จนถึง การเกบ็ เก่ียวผลผลติ (3) ความรูทางคณติ ศาสตรท ่ีใช 1. การวดั ความยาว การหาพนื้ ท่ี 2. อัตราสวนในการผสมปุยตอความกวางความยาวของพื้นทด่ี ิน 3. การชง่ั ผลผลติ ทีไ่ ด 4. การกําหนดราคาขายตอกโิ ลกรัม 5. การบวก ลบ คูณ หาร เร่อื ง คา จางแรงงานและอ่นื ๆ 6. การทําบญั ชีรายรบั รายจา ยประจําวนั 7. การคํานวณภาษเี งนิ ไดบคุ คลธรรมดา 1.2 กลมุ อาชีพอุตสาหกรรม ไดแ ก อาชพี พนักงานในโรงงานอุตสาหกรรมตางๆ ไดแ ก อุตสาหกรรม หองเย็น ถว ยชามอุปกรณเซรามคิ ผาขนหนู กระดาษและสิง่ พิมพ สแตนเลส เหลก็ พลาสตกิ ปนู ซีเมนต ฯลฯ

167 (1) ลกั ษณะงานเบอ้ื งตน ทใี่ ชทักษะคณิตศาสตร 1. การคาํ นวณเงนิ รายไดประจาํ วนั 2. การคํานวณเงนิ คา ทํางานลว งเวลา 3. การคาํ นวณเงนิ กแู ละดอกเบ้ยี คงทหี่ รือดอกเบย้ี ทบตน 4. การทําบัญชรี ายรับ – รายจายประจําวนั 5. การจดั ทําบญั ชพี ัสดุ (การจดั ซ้อื การเบกิ จา ยพสั ด)ุ 6. การสํารวจและวิจัยการตลาด 7. การคาํ นวณภาษเี งนิ ไดบ คุ คลธรรมดา (2) เครอ่ื งมอื และเทคโนโลยที ใี่ ช 1. เครื่องคดิ เลข 2. เครื่องคอมพวิ เตอร 3. เครอื่ งจกั รอุตสาหกรรมในแตละสาขาอตุ สาหกรรม 4. เคร่ืองบรรจภุ ณั ฑลงกลองหรือแพ็คเปนพลาสตกิ หอหมุ (3) ความรแู ละทกั ษะทางคณติ ศาสตรท่ใี ช 1. การคํานวณเงนิ รายไดป ระจําสัปดาห ประจาํ เดือนโดยหักวันลาหยุด 2. การคาํ นวณเงนิ คา ทาํ งานลว งเวลาเปนจํานวนช่ัวโมงตอคาจางรายชวั่ โมง 3. การคํานวณเงนิ กแู ละดอกเบีย้ (ดอกเบ้ียคงท,่ี ดอกเบี้ยทบตน ) 4. การทําบญั ชีรับ – จา ยประจาํ วนั 5. การคํานวณภาษเี งนิ ไดบคุ คลธรรมดา 1.3 กลมุ อาชพี พาณชิ ยกรรม ไดแก อาชพี คา ขาย ผูป ระกอบการรา นอาหารและเครอื่ งดื่ม ผปู ระกอบการขายปลีกและขายสง ธุรกจิ การซอื้ ขายอสังหารมิ ทรพั ย ธุรกิจการซือ้ ขายหนุ ในตลาด หลกั ทรัพย อาชีพการทําบญั ชี การตลาด เปน ตน

168 (1) ลกั ษณะงานเบอื้ งตน ทใ่ี ชทกั ษะคณิตศาสตร 1. การจัดเตรียมสถานที่ การคํานวณการจดั วางโตะ เกาอ้ี หรือวัสดุอปุ กรณใ น การขาย 2. การจดั ซอ้ื วตั ถดุ ิบในการคาขายปลกี หรือขายสง 3. การจาํ หนายสินคา การคาํ นวณราคาสินคา ตอหนวย การทอนเงิน 4. การจัดทําบญั ชีพสั ดุ (การจดั ซ้อื การเบิกจา ยพัสด)ุ 5. การจัดทาํ บัญชีรบั – จา ยประจาํ วัน 6. การฝากเงนิ การถอนเงนิ การออมเงนิ 7. การประชาสัมพนั ธใ นงานธรุ กิจคา ขายหรือพาณิชยกรรม ซง่ึ ตองใชท ักษะใน การคาํ นวณขนาดของปา ยโฆษณา ขนาดตวั อักษร ขนาดและจํานวนแผน พบั หรอื ใบปลวิ โฆษณา 8. การคํานวณภาษเี งนิ ไดบคุ คลธรรมดา (2) เครอื่ งมือและเทคโนโลยที ใ่ี ช 1. เคร่อื งคดิ เลข 2. เครื่องเก็บเงิน – ทอนเงนิ 3. เครือ่ งคอมพวิ เตอร 4. เครอ่ื งไมโครเวฟ 5. เครอ่ื งปน นํา้ ผลไม (3) ความรูและทกั ษะทางคณติ ศาสตรท ีใ่ ช 1. การคาํ นวณขนาดของพน้ื ท่ใี ชส อยเพอื่ จัดวาง โตะ เกาอ้หี รือวสั ดุ อปุ กรณในการขาย 2. การคาํ นวณปรมิ าณการจดั ซอ้ื วัตถุดบิ ในแตล ะวัน 3. การคํานวณในการจัดซือ้ พัสดุ 4. การจดั ทาํ บญั ชีรับ – จา ยประจาํ วัน 5. การคํานวณขนาดของปายโฆษณา ประชาสมั พนั ธหรอื แผน พับ แผนปลิวโฆษณา 6. การคํานวณภาษีเงนิ ไดบ คุ คลธรรมดา 1.4 กลมุ อาชีพดานความคดิ สรางสรรค ไดแ ก ธุรกจิ โฆษณา ธุรกิจการออกแบบตกแตงทอี่ ยอู าศัย สํานกั งานและสวนหยอม การจัดดอกไมแ ละแจกนั ประดับ ธรุ กจิ การทาํ พวงหรดี การจดั กระเชา ของขวญั เปนตน

169 (1) ลกั ษณะงานเบอ้ื งตน ทใ่ี ชทักษะคณติ ศาสตร 1. การจัดเตรียมขนาด ปรมิ าตร รปู ทรงของพนื้ ท่ีหรอื ช้ินงานในการจดั ทําธรุ กจิ ซึ่งตอ งใชการวดั ความกวาง ความยาว ความสงู ของพ้นื ทห่ี รือช้นิ งาน การออกแบบรูปทรงโดยใชร ปู เรขาคณติ สามมิติ 2. การคํานวณปริมาณของวัสดอุ ปุ กรณใ นการใชป ระดิษฐส รางสรรคชน้ิ งาน หรอื การจัดตกแตงสวนหยอ ม 3. การคาํ นวณเพอ่ื กําหนดราคาขายสนิ คา 4. การจดั ทําบัญชีพสั ดุ (การจดั ซ้ือ การเบิกจา ยพสั ด)ุ 5. การจดั ทําบญั ชีรบั – จาย ประจําวัน 6. การประชาสัมพันธใ นอาชพี ธุรกจิ ทกุ ประเภท ซงึ่ ตองใชท ักษะในการคํานวณ เปนพ้นื ฐานในการจัดทําแผนปา ยประชาสัมพันธห รือแผน พบั แผนปลิว 7. การคาํ นวณภาษเี งนิ ไดบคุ คลธรรมดา (2) เครื่องมือและเทคโนโลยีทใ่ี ช 1. เคร่ืองคิดเลข 2. เครอื่ งคอมพิวเตอร 3. โปรแกรมสําเร็จรปู ในการออกแบบสินคา (3) ความรแู ละทกั ษะทางคณิตศาสตรที่ใช 1. การคํานวณพน้ื ที่ผวิ ปรมิ าตรของพนื้ ทห่ี รือออกแบบรูปทรงทใี่ ชใน การทํางานอาชีพ 2. การคํานวณปรมิ าณของวสั ดุ อุปกรณท ่ีใชป ระดษิ ฐ สรา งสรรค ชิ้นงาน 3. การคาํ นวณตน ทุนและกาํ ไร เพ่ือกาํ หนดราคาขายสนิ คา 4. การจัดทําบัญชีพัสดุ (การจดั ซอื้ การเบกิ จา ยพสั ด)ุ 5. การจัดทําบัญชีรับ – จายประจําวนั 6. การคาํ นวณภาษีเงนิ ไดบ คุ คลธรรมดา

170 1.5 กลุมอาชีพบริหารจดั การและการบริการ ไดแ ก อาชพี กลุม งานบริการและการทองเท่ียว งานบริการรกั ษาความปลอดภัย บรกิ ารดูแลทารกและเดก็ บริการดแู ลผูสงู อายุ บริการสันทนาการและ การกฬี า เปน ตน (1) ลกั ษณะงานเบอื้ งตน ทใี่ ชท กั ษะคณติ ศาสตร 1. การสํารวจพน้ื ทใี่ นการใหบ รกิ าร การคํานวณระยะทางในการใหบรกิ าร 2. การจัดซอื้ วัสดุ อปุ กรณใ นการใหบ ริการ 3. การรบั สมคั รและกาํ หนดเงนิ เดือนตามตาํ แหนงงานของเจาหนาทใี่ น การใหบ รกิ าร 4. การจดั ทาํ ตารางเวลา การอยเู วร - ยามของเจาหนาทปี่ ระจาํ สํานักงาน 5. การจัดทํากาํ หนดการทอ งเท่ียวและการใหบริการ รวมทง้ั กําหนดราคาขาย บริการในแตล ะพืน้ ที่ 6. การคาํ นวณการใชนํา้ มนั เชอ้ื เพลิงของยานพาหนะท่ีใหบ ริการ 7. การจัดทําบัญชีพสั ดุ และการเบกิ จายพสั ดุ 8. การจัดทาํ บญั ชรี ับ – จายประจําวนั 9. การจดั ทาํ แผน ปายโฆษณา ประชาสมั พันธก ารใหบรกิ าร 10. การจดั ทาํ สรุปรายงานและการนําเสนอขอ มลู 11. การคํานวณภาษเี งนิ ไดบคุ คลธรรมดา (2) เครื่องมอื และเทคโนโลยที ใี่ ช 1. เครอ่ื งคดิ เลข 2. เคร่อื งคอมพวิ เตอร 3. เครื่องออกกาํ ลงั กาย 4. อุปกรณใ นการเตรียมอาหาร น้าํ ดมื่ นมแกท ารกเดก็ และผสู ูงอายุ 5. ยานพาหนะในการใหบ รกิ าร 6. แผนท่ขี องสถานทหี่ รือจดุ ที่ใหบรกิ าร

171 (3) ความรแู ละทกั ษะทางคณิตศาสตรท ่ีใช 1. การคาํ นวณพื้นท่ีและการวัดระยะทาง 2. การคาํ นวณปรมิ าณของวัสดุ อุปกรณท่จี ําเปน ตอ งจัดซ้ือ จัดหาเพ่อื ใหบรกิ าร 3. การคาํ นวณเงนิ เดอื นและกําหนดตําแหนง งานของเจา หนาท่ี 4. การจดั ทําตารางการปฏิบัติงาน 5. การคาํ นวณการใชเ ชื้อเพลิงรถยนตต อระยะทางทใ่ี หบ รกิ าร 6. การจัดทาํ บัญชีเบือ้ งตน 7. การใชส ถติ ใิ นการจดั ทาํ สรุปรายงานหรือนําเสนอขอ มูล 8. การคาํ นวณภาษเี งนิ ไดบ คุ คลธรรมดา เรอ่ื งท่ี 2 การนาํ ความรูทางคณติ ศาสตรไปเชอื่ มโยงกบั งานอาชพี ในสังคมและประชาคมอาเซยี น ในการนาํ ความรคู ณติ ศาสตรไ ปเช่ือมโยงกับงานอาชีพทงั้ 5 กลุมงานอาชีพท้งั กลมุ งานอาชพี เกษตรกรรม กลมุ งานอาชพี อุตสาหกรรม กลุมงานอาชพี พาณชิ ยกรรม กลุม งานอาชพี ความคดิ สรางสรรค และกลมุ งานอาชพี ดานบรหิ ารจดั การและบริการทต่ี องนําทกั ษะความรทู างคณติ ศาสตรม าใชทกุ กลมุ อาชีพ เชน การจดั ทําบญั ชีรายรับ – รายจายประจําวนั ประจาํ เดือน การคํานวณเงนิ คาจา ง การคํานวณ ภาษเี งนิ ไดบ คุ คลธรรมดา เปน ตน กลุมอาชพี ทกุ กลมุ อาชีพอาจจะใชท กั ษะความรูคณติ ศาสตรตางกัน ออกไป ดังนั้น ในบทนจี้ ะนําเสนอตวั อยางทเี่ ปนทักษะทางคณติ ศาสตรทใี่ ชก นั มากเทานัน้ 2.1 ทกั ษะการจัดทาํ บญั ชรี บั - จา ยประจําวนั ตวั อยางที่ 1 การจัดทาํ บัญชรี ายรับ – รายจายประจาํ วนั ของเกษตรกรปลกู ผัก วนั ที่ 10 ตลุ าคม 2554 จา ยคาเมล็ดพันธุและปุย 2,000 บาท คา นา้ํ คา ไฟ 480 บาท จายคาอาหาร 200 บาท ไดรับเงนิ จากการขายผัก 1,500 บาท วนั ท่ี 12 ตลุ าคม 2554 จา ยคา อาหาร 280 บาท จา ยคา โทรศพั ท 590 บาท จา ยคานาํ้ มนั รถยนต 1,100 บาท ไดร บั เงนิ จากการขายผกั 3,600 บาท วันท่ี 15 ตลุ าคม 2554 จา ยคาหนังสอื 300 บาท จา ยคา อาหาร 500 บาท จา ยคานาํ้ ดมื่ 250 บาท จายคาเสอื้ ผา 1,800 บาท ไดร บั เงินจากการขายผกั 2,200 บาท วันที่ 16 ตุลาคม 2554 จา ยคาอาหาร 300 บาท จา ยคา บัตรชมภาพยนตร 400 บาท จา ยคา ถุงพลาติก 480 บาท ไดรบั เงนิ จากการขายผกั 3,000 บาท

172 วัน เดอื น ป รายการรับ จาํ นวนเงนิ วนั เดือน ป รายการจา ย จาํ นวนเงนิ 10 ต.ค. 54 รับเงนิ จากการขายผัก บาท สต. บาท สต. 12 ต.ค. 54 รบั เงนิ จากการขายผัก 2,000 - 15 ต.ค. 54 รบั เงนิ จากการขายผัก 1,500 - 10 ต.ค. 54 คา เมล็ดพนั ธุและปุย คานาํ้ คา ไฟฟา 480 - 16 ต.ค. 54 รับเงนิ จากการขายผัก 200 - รวม คาอาหาร 280 - 3,600 - 12 ต.ค. 54 คาอาหาร 590 - คา โทรศพั ท 1,100 - คาน้ํามันรถยนต 300 - 2,200 - 15 ต.ค. 54 คาหนงั สอื 500 - คา อาหาร 250 - คา นา้ํ ดมื่ 1,800 - คา เสื้อผา 300 - 3,000 - 16 ต.ค. 54 คาอาหาร 400 - คาบัตรชมภาพยนตร 480 - คา ถุงพลาสติก 8,680 - 1,620 - 10,300 - รวม ยอดคงเหลือยกไป 2.2 ทักษะการคํานวณเงนิ คาจาง ตัวอยางที่ 2 พเยาวเปนพนกั งานทาํ ความสะอาดของบรษิ ทั แหงหนึ่ง ซง่ึ กําหนดเวลาทํางานวันจันทร ถึงวันเสารไดร บั คาจางเปน รายวนั ๆ ละ 320 บาท พเยาวมสี ิทธิไดร ับคาจา งในวนั หยุด ตามประเพณแี ละวันหยดุ พักผอนประจาํ ปโ ดยไมตอ งทํางาน ในเดอื นตุลาคม พเยาวม า ทาํ งานทุกวนั ในวนั ทาํ งานตามเวลาทาํ งานปกติ และวนั ท่ี 1 ตุลาคมตรงกบั วันจันทรใ น เดือนนี้มวี นั หยดุ ตามประเพณี 1 วัน คือ วันที่ 23 ตุลาคม อยากทราบวาในเดือนน้พี เยาว ไดร บั คาจางเทาไร

173 วิธที าํ เดือนตลุ าคม อาทิตย จันทร องั คาร พุธ พฤหัส ศุกร เสาร 123456 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 เดือนตลุ าคม พเยาวไ ดร ับคา จางในวันทํางาน 26 วัน และมสี ทิ ธิไดร ับคาจา งในวนั หยดุ ตาม ประเพณี 1 วัน และไดร ับคาจางวนั ละ 320 บาท ดังนั้น พเยาวไ ดรบั คา จางในเดอื นตุลาคม = (26 + 1)  320 = 8,640 บาท 2.3 ทกั ษะการคาํ นวณเงนิ คา นายหนาและเงนิ ปนผล ตัวอยางที่ 3 นายสัญชัยเปน ตวั แทนขายเครอื่ งไฟฟา ซึ่งมีราคา 4,500 บาทใหกับบรษิ ทั แหงหนึ่ง วธิ ที าํ บริษทั คดิ คา นายหนา 10% อยากทราบวา สญั ชยั ตอ งสงเงนิ ใหบ รษิ ัทเทา ไร 10 บาํ เหน็จตัวแทนในการขาย = 100  4,500 = 450 บาท ดังน้นั สญั ชยั ตอ งสงเงินใหบริษทั = 4,500 – 450 = 4,050 บาท ตัวอยา งท่ี 4 ภัทรามีหนุ ปุรมิ สทิ ธิของบริษัทจําหนายเครอ่ื งใชไฟฟา แหงหน่ึง จํานวน 150 หุน มูลคา วธิ ีทาํ หนุ ละ 100 บาท อัตราเงนิ ปนผล 10% ส้ินปเ ขาจะไดร บั เงนิ ปน ผลทงั้ สน้ิ เทาไร เงินปน ผลตอ หุนของหุน ปรุ มิ สทิ ธิ = อัตราเงินปน ผล  มลู คา หุน ปรุ มิ สิทธิ = 10%  100 10 = 100  100 = 10 บาท ภัทรามีหนุ ปุริมสิทธจิ ํานวน 150 หนุ ดงั นัน้ ภัทราจะไดรบั เงินปน ผลทั้งส้นิ = 150  10 = 1,500 บาท

174 2.4 ทักษะการใชสถิตใิ นการสรุปรายงานหรือนําเสนอขอ มลู ตวั อยา งท่ี 4 การสรุปรายงานการดําเนนิ งานโครงการอบรมคอมพวิ เตอรส าํ หรบั พนักงาน ผลการดําเนินงาน บริษัทน้าํ มนั แหง หนึ่งไดจดั ทําโครงการอบรมคอมพิวเตอรส าํ หรบั พนักงาน โดยดําเนนิ การเปน 3 รนุ ดังนี้ รนุ ที่ โปรแกรมอบรม วนั ทอ่ี บรม จาํ นวนผูเขาอบรม 1 การใชโ ปรแกรมไมโครซอฟท Excel 5 – 9 ก.ย. 54 10 2 การใชโ ปรแกรม PhotoShop 12 – 16 ก.ย. 54 10 3 การใชโ ปรแกรมไมโครซอฟท Access 19 – 23 ก.ย. 54 10 เม่ือดาํ เนินการอบรมและมกี ารประเมนิ ผลการอบรมโดยผจู ัดการอบรมไดด ําเนนิ การทดสอบ ความรู ความเขา ใจแกพนกั งาน โดยใชแบบทดสอบกอ นและหลงั การอบรม เพือ่ ตรวจสอบความกา วหนา วา ภายหลังการอบรมพนกั งานไดร ับความรูเพมิ่ ขึ้นจากชวงกอนเขา รบั การอบรมมากนอ ยเพยี งใด โดย พจิ ารณาจากคะแนนเฉลี่ยของผเู ขารบั การอบรมในแตล ะรนุ ซึง่ สรปุ ข้ันตอนการคํานวณและผลการ ดาํ เนนิ การไดดังนี้ 1. นาํ แบบทดสอบวัดความรู ความเขา ใจในเนอื้ หาการอบรมใหผเู ขาอบรมทงั้ 10 คน ตรวจใหค ะแนนของผูเขา อบรมแตล ะคนวา ไดค นละกค่ี ะแนน ซง่ึ แตล ะรนุ แบบทดสอบจะมคี ะแนนเตม็ 20 คะแนน เทา กนั ทง้ั 3 รุน แลว นาํ มากรอกคะแนนเปน รายบุคคลตงั้ แตค นที่ 1 – 10 ลงในแบบบันทึก คะแนน เพือ่ คาํ นวณคา เฉลยี่ ของคะแนน ( x ) ในแตละรนุ ดงั น้ี คะแนนกอ นการอบรม คะแนนหลงั การอบรม (คะแนนเต็ม 20 คะแนน) (คะแนนเตม็ 20 คะแนน) คนท่ี โปรแกรมรนุ โปรแกรมรนุ โปรแกรมรนุ โปรแกรมรนุ โปรแกรมรนุ โปรแกรมรุน ท่ี 1 ท่ี 2 ท่ี 3 ท่ี 1 ที่ 2 ท่ี 3 1 8 9 7 15 14 14 2 7 6 8 14 13 13 3 9 5 9 17 12 15 4 10 7 8 16 15 12 5 7 5 7 15 11 16 6 8 8 6 14 13 14 7 6 7 10 16 12 13

175 8 11 10 9 18 14 15 6 8 13 12 13 99 5 7 14 13 12 68 79 152 129 137 10 10 คะแนนรวม 85 ของทงั้ 10 คน คาํ นวณคะแนน ( x ) = 85  10 ( x ) = 68  10 ( x ) = 79  10 ( x ) = 152  10 ( x ) = 129  10 ( x ) = 137  10 เฉลีย่ โดยนาํ = 8.5 = 6.8 = 7.9 = 15.2 = 12.9 = 13.7 คะแนนรวม  คะแนน หารดว ยจํานวน เฉลี่ย =  คะแนน  คะแนน  คะแนน  คะแนน  คะแนน คนท้ังหมด คือ 8.5 คะแนน 10 คน เฉลย่ี = เฉลย่ี = เฉล่ีย = เฉลีย่ = เฉลย่ี = 6.8 คะแนน 7.9 คะแนน 15.2 คะแนน 12.9 คะแนน 13.7 คะแนน คํานวณรอยละ = 8.5100 = 6.8100 = 7.9100 = 15.2100 = 12.9100 = 13.7100 ของคะแนน 20 20 20 20 20 20 เตม็ 20 คะแนน = 42.50 % = 34.00 % = 39.50 % = 76.00 % = 64.50 % = 68.50 % 2. นําคะแนนเฉลี่ยทคี่ ํานวณไดและผลการคาํ นวณวา คะแนนเฉล่ียนั้นคดิ เปน รอ ยละเทา ไรของคะแนนเตม็ จากขอ 1 มากรอกลงในตารางสรุปรายงาน ดังน้ี คะแนนเฉลยี่ (x ) คะแนนเฉลย่ี (x ) จากคะแนนเต็ม 20 คะแนน จากคะแนนเตม็ 20 คะแนน โปรแกรมการอบรม คดิ เปน รอยละ คดิ เปน รอ ยละ ของคะแนนเต็ม ของคะแนนเต็ม กอนการอบรม หลงั การอบรม รนุ ที่ 1 การใชโ ปรแกรม 8.50 42.50 15.20 76.00 ไมโครซอฟท Excel 6.80 รนุ ท่ี 2 การใชโ ปรแกรม 34.00 12.90 64.50 PhotoShop รนุ ที่ 3 การใชโ ปรแกรม 7.90 39.50 13.70 68.50 ไมโครซอฟท Access จากตาราง พบวา เมื่อพิจารณาจากคะแนนเฉล่ียของผเู ขา รบั การอบรมหลงั การอบรมท้งั 3 รนุ จะเห็นไดวา มคี ะแนนเฉลีย่ เพิ่มข้นึ จากคะแนนเฉล่ยี กอ นการอบรมทุกรนุ กลา วคอื แสดงวา ผเู ขา รบั การ อบรมสวนใหญไดรบั ความรู ความเขา ใจเพมิ่ มากขนึ้ ในเนอ้ื หาทบ่ี ริษทั ไดจ ัดอบรมใหพนักงาน และพบวา รุน ที่ 1 ไดคะแนนเฉลี่ยมากทสี่ ดุ คอื ไดค ะแนนเฉล่ยี 15.20 คะแนน คดิ เปน รอ ยละ 76.00 ของคะแนนเต็ม รองลงมา คอื รนุ ที่ 3 ไดคะแนนเฉล่ยี 13.70 คะแนน คิดเปน รอยละ 68.50 ของคะแนนเต็ม สวนรนุ ที่ 2 นนั้ ไดค ะแนนเฉลย่ี นอ ยทส่ี ดุ คอื ไดค ะแนนเฉลี่ย 12.90 คะแนน คิดเปน รอ ยละ 64.50 ของคะแนนเต็ม

176 2.5 ทกั ษะการคํานวณภาษเี งินไดบ คุ คลธรรมดา ตวั อยา ง นายโชคไดรบั เงินเดอื น ๆ ละ 28,000 บาท ส้นิ ปสามารถหกั คาใชจายไดร อ ยละ 40 ของเงินได พึงประเมนิ แตไ มเกนิ 60,000 บาท หักคา ลดหยอนผมู เี งนิ ได 30,000 บาท หกั คาเบี้ยประกนั ชีวติ 25,000 บาท หักดอกเบยี้ เงนิ กยู ืมเพ่ือซ้อื บา น 36,450 บาท ส้นิ ปนายโชคยนื่ แบบแสดงรายการ วธิ ที ํา ภาษีเงินไดบ ุคคลธรรมตองชาํ ระภาษีหรอื ไม ถา ชาํ ระตอ งชาํ ระภาษเี ปน เงินเทา ไร เงนิ ไดพงึ ประเมนิ ของนายโชค = 28,000  12 = 336,000 บาท หกั คา ใชจาย รอ ยละ 40 ของเงินไดพ งึ ประเมิน แตไมเกนิ 60,000 บาท 40 คาใชจ าย 100  336,000 = 134,400 บาท แตค าใชจ ายของนายโชคคาํ นวณได 134,400 บาท แตส ามารถหักไดแค 60,000 บาทเทา นั้น หกั คาลดหยอนผมู เี งนิ ได 30,000 บาท คาเบย้ี ประกันชวี ิต 25,000 บาท ดอกเบ้ียเงินกยู มื เพื่อซอื้ บาน 36,450 บาท รวมหักคาลดหยอนได = 30,000 + 25,000 + 36,450 = 91,450 บาท เงินไดสุทธิของนายโชค = เงนิ ไดพงึ ประเมิน – (คา ใชจ า ย + หักคาลดหยอน) = 336,000 – (60,000 + 91,450) = 184,550 บาท ตามตารางอัตราการเสียภาษเี งินไดบคุ คลธรรมดา เงินไดสทุ ธิ 0 – 150,000 บาท ไมตองเสยี ภาษี สว นทเี่ กิน 150,000 – 500,000 บาท เสียภาษี 10% นายโชคมีเงนิ ไดส ทุ ธทิ ่ตี อ งเสยี ภาษี = 184,550 – 150,000 =34,550 บาท = 34,550 11000 = 3,455 บาท  นายโชคเสยี ภาษี 3,455 บาท ตารางอัตราภาษเี งินไดบคุ คลธรรมดา ข้นั เงนิ ไดส ทุ ธิตง้ั แต เงนิ ไดสทุ ธิ เงนิ ไดสทุ ธิ อตั ราภาษี ภาษเี งนิ ได ภาษใี นแตละ ภาษีสะสม จาํ นวนสงู สุด แตล ะข้ัน รอ ยละ ข้นั เงินได สงู สดุ ของข้นั ของขัน้ 0 ถึง 100,000 100,000 .......... .... 5 .............. .... ยกเวน 0 เกนิ 100,000 ถงึ 150,000 50,000 .......... .... 10 .............. .... ยกเวน 0 เกิน 150,000 ถึง 500,000 350,000 .......... .... 10 .............. .... 35,000 35,000 เกนิ 500,000 ถึง 1,000,000 500,000 .......... … 20 .............. … 100,000 135,000 เกิน 1,000,000 ถึง 4,000,000 3,000,000 .......... … 30 .............. … 900,000 1,035,000 เกนิ 4,000,000 บาทขนึ้ ไป .......... … 37 .............. … รวม 

177 2.6 การคํานวณในการจัดทาํ แผน ปายโฆษณาเพือ่ ประชาสัมพันธก ารใหบ รกิ าร ตัวอยา งทําแผน โฆษณาเชญิ ชวนการทอ งเทย่ี วในจังหวดั โดยมขี นาดแผน โฆษณาทท่ี ําดว ยแผน ไวนลิ มขี นาดกวาง 1.2 เมตร ยาว 1.5 เมตร ทางรา นคดิ คา ออกแบบ 400 บาท คา จดั ทําตารางเมตรละ 250 บาท จะตอ งจา ยเงนิ ทั้งหมดเทา ไร วธิ ีทํา พ้นื ทแ่ี ผนไวนลิ ทใ่ี ชโ ฆษณา = กวา ง  ยาว = 1.2  1.5 = 1.8 ตารางเมตร คาจัดทาํ = 1.8  250 = 450 บาท  จะตอ งจายเงินท้งั หมด = คาจดั ทํา + คา ออกแบบ = 450 + 400 = 850 บาท

178 แบบฝก หดั ที่ 1 1. ศภุ างคเ ปน พนกั งานของโรงงานเย็บเสอ้ื ผาสําเร็จรปู แหง หนง่ึ ซงึ่ กําหนดเวลาทาํ งานตามปกตวิ นั ละ 8 ชัว่ โมง ไดร ับเงินเดือน ๆ ละ 9,000 บาท จงหาวา ศุภางคมรี ายไดว ันละเทาไร และศุภางคม รี ายได ชว่ั โมงละเทา ไร ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 2. สุภาพเปนพนกั งานของโรงงานผลิตเคร่อื งปรบั อากาศแหงหนึง่ ซ่ึงกาํ หนดเวลาทํางานวันจนั ทรถึง วันศกุ รไ ดร บั คาจางเปนรายวนั ๆ ละ 370 บาท สภุ าพมีสทิ ธิไดรับคาจา งในวนั หยุดตามประเพณแี ละ วนั หยุดพกั ผอนประจําปโ ดยไมต องทํางานในเดอื นธันวาคม สภุ าพมาทํางานทกุ วนั ในวันทาํ งานตาม เวลาทาํ งานปกติและวนั ที่ 1 ธันวาคม ตรงกับวนั อาทิตยใ นเดอื นนี้มวี นั หยดุ ตามประเพณี 3 วัน คือ วันที่ 5, 10 และ 31 จงหาวาในเดือนธนั วาคมนี้ สภุ าพไดรบั คา จางเทา ไร ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________

179 3. ธดิ าเปน พนักงานของบรษิ ทั แหง หน่งึ ซึ่งกําหนดเวลาทาํ งานวนั จนั ทรถ ึงวนั ศกุ ร เวลาทาํ งานปกตติ ัง้ แต เวลา 08.00 – 17.00 น. หยุดพกั ระหวางเวลา 12.00 – 13.00 น. ธดิ ามรี ายไดเดือนละ 12,000 บาท ในเดอื นสิงหาคม วนั ที่ 1 ตรงกับวนั จันทรแ ละในเดือนน้มี ีวนั หยดุ ตามประเพณี 1 วนั คือ วันที่ 12 สงิ หาคม ธดิ ามสี ทิ ธไิ ดร บั คาจา งในวนั หยดุ ทกุ ประเภทโดยไมตองทาํ งาน ในเดอื นน้ธี ิดามาทาํ งาน ทุกวัน ทาํ งานตามเวลาทาํ งานปกติ ถานายจางใหธิดามาทาํ งานในวนั หยดุ ตามประเพณี 1 วัน ไดร ับ คา จา งอีก 1 เทา และทํางานในวนั เสารไ ดร บั คาจางเพม่ิ เปน 2 เทา ของคาจา งปกตอิ กี 4 วนั ระหวาง เวลา 09.00 – 12.00 น. จงหาคาทํางานในวนั หยุดทั้งหมดและรายไดท้งั หมดของธิดาในเดอื นสงิ หาคมนี้ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 4. จงทาํ บญั ชีรายรับ – จายของตวั เองใน 1 สัปดาห บัญชรี ายรับ – จายของ ................................................... วนั เดือน ป รายการรบั จาํ นวนเงนิ วัน เดอื น ป รายการจา ย จํานวนเงนิ บาท สต. บาท สต. 5. นางอญั ชลีเปนตัวแทนขายเครอื่ งครัวทีม่ ีราคา 45,000 บาท ใหก ับบรษิ ัทแหง หนงึ่ บรษิ ทั คดิ คานายหนา 30% อยากทราบวานางอญั ชลไี ดเ งินคานายหนา เทาไร

180 ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 6. พจมานถือหนุ ปุริมสทิ ธขิ องบริษทั ผลติ กระเบ้อื งแหงหนง่ึ จาํ นวน 1,500 หนุ มลู คา หุน ละ 160 บาท อัตราเงนิ ปน ผล 5% เมื่อสิน้ ปพจมานจะไดเงนิ ปน ผลทงั้ หมดเทาไร ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________

181 7. สภุ ัทราเปน พนักงานบรษิ ทั ผลติ แชมพูสระผมแหงหน่งึ ไดร ับมอบหมายจากบริษัทใหทําการสาํ รวจ ความนยิ มของสีขวดทใี่ ชบรรจแุ ชมพสู ําหรับกลุมเปาหมายวัยรุน จาํ นวน 50 คน สภุ ทั ราจะดาํ เนินการ อยางไรตงั้ แตก ารสํารวจจนถงึ การนาํ เสนอขอ มลู ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 8. ศกั ดม์ิ ีรายไดเ ดือนละ 25,000 บาท สิน้ ปสามารถหกั คา ใชจา ยไดร อยละ 40 ของเงินไดพึงประเมนิ แต ไมเกิน 60,000 บาท สามารถหักคาลดหยอ นผูมเี งนิ ได 30,000 บาท หักคาเบ้ยี ประกนั ชวี ติ 50,000 บาท หักคาเบย้ี ประกนั สุขภาพของมารดาของนายศกั ด์ิ 20,000 บาท ส้นิ ปนายศกั ดยิ์ น่ื แบบแสดงรายการ ภาษีเงินไดบคุ คลธรรมดาตองชาํ ระภาษีหรือไม ถาชําระภาษเี ปนเงินเทาไร ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________

182 9. แผน ไวนลิ โฆษณาเชญิ ชวนการบรจิ าคชว ยเหลอื ผปู ระสบภัย มขี นาดกวาง 0.90 เมตร ยาว 1.8 เมตร ทางรานคิดคาออกแบบ 500 บาท คา จัดทาํ ตารางเมตรละ 250 บาท จะตองจา ยเงินท้ังหมดเทา ไร ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________

183 เฉลยแบบฝกหดั

184 เฉลย บทท่ี 1 ระบบจาํ นวนจริง แบบฝกหัดที่ 1 1.จาํ นวนทกี่ ําหนดใหตอไปนี้จํานวนใดเปน จํานวนนับ จาํ นวนเต็ม จาํ นวนตรรกยะ หรอื จํานวนอตรรก ยะ ขอ จํานวนจริง จาํ นวนนับ จํานวนเตม็ จํานวนตรรกยะ จาํ นวนอตรรกยะ 1 9, 7 ,5 2 , 2,0,1 1 0, 1, -9 -9, 7 , 5 2 ,0 ,1 2 2 3 3, 12 2 3 2 2 5,7 7 ,3,12, 5 3 , 12 -13 34  7 7 ,3 ,12 , 5 3 2.01,0.666...,-13 34 2.01, 0.666, …,-13 4 2.3030030003... 2.3030030003... 5   , 1 , 6 , 2 ,7.5 25, 3 , 12 6 , -7, 5 1 , 6 , -7.5 , 2 33 2 3 33 2 25, -17, 12 6 25,17, 12 , 9,3,12, 1  25, -17, 3 1 52 12, 9 5 2 9 , 3, 12 2. จงพิจารณาวา ขอ ความตอ ไปนเ้ี ปนจริงหรือเทจ็ 1) จริง 2) จรงิ 3) เท็จ 4) จรงิ 5) จรงิ 6) เทจ็

185 แบบฝกหัดที่ 2 1. ใหผเู รียนเติมชองวา งโดยใชส มบตั กิ ารเทากัน 9. ถา a = b แลว a +5 = b + 5 10. ถา a = b แลว -3a = -3b 11. ถา a + 4 = b + 4 แลว a = b 12. ถา a +1 = b +2 และ b + 2 = c - 5 แลว a +1 = c + 5 13. ถา x2  2x  1  x  12 แลว x  12  x2  2x  1 14. ถา x  3 y แลว 2x = 3y 2 15. ถา x2  1  2x แลว x 12 = x2  2x  1 16. ถา ab  a b แลว 1 ab = 1 (a  b) 2 2 2. กาํ หนดให a , b และ c เปนจํานวนจริงใดๆ จงบอกวา ขอ ความในแตล ะขอ ตอ ไปนี้เปน จรงิ ตามสมบัตใิ ด 1) 3 + 5 = 5 + 3 สมบตั กิ ารสลบั ท่ขี องการบวก 2) (1+2)+3 = 1+(2+3) สมบตั ิการเปล่ียนกลุม ของการบวก 3) (-9)+5 = 5 +(-9) สมบตั ิการสลบั ทข่ี องการบวก 4) (8  9) เปน จํานวนจรงิ สมบตั ปิ ดของการคูณ 5) 5  3 = 15 = 3  5 สมบตั ิการสลับที่ของการคูณ 6) 2(a+b) = 2a +2b การแจกแจง 7) (a + b) + c = a+( b + c) สมบตั ิการเปลย่ี นกลุม ของการบวก 8) 9a +2a = 11 a = 2a + 9a สมบตั กิ ารสลบั ทขี่ องการบวก 9) 4  (5 + 6) = (4  5) + (4  6) การแจกแจง 10) c(a +b) = ac +bc การแจกแจง 3 . เซตท่ีกําหนดใหใ นแตล ะขอ ตอ ไปน้ี มีหรอื ไมม สี มบัติปด ของการบวกหรือสมบตั ิปด ของการคณู 1) { 1 , 3 , 5 } มสี มบตั ปิ ดการบวก, การคณู 2) { 0 } มีสมบัตปิ ดการบวก 3) เซตของจาํ นวนจริง มี 4) เซตของจาํ นวนตรรกยะ มี 5) เซตของจํานวนทห่ี ารดว ย 3 ลงตัว มี

186 4. จงหาอนิ เวอรส การบวกของจาํ นวนในแตล ะขอ 1) อนิ เวอรส การบวกของ 8 คอื -8 2) อินเวอรสการบวกของ - 5 คือ 5 3) อินเวอรส การบวกของ - 0.567 คอื 0.567 4) อนิ เวอรส การคณู ของ 3  2 คอื 1 5) อินเวอรสการคณู ของ 3 2 1 คอื 5  3 5 3 แบบฝกหดั ท่ี 3 1. ใหผ ูเ รียนบอกสมบัตกิ ารไมเทากนั (เมอื่ ตัวแปรเปน จาํ นวนจรงิ ใดๆ) 9. ถา x  3 แลว 2x 6 สมบตั ิการคณู ดวยจาํ นวนเทากบั ที่ไมเทา กับศูนย 10. ถา y7 แลว -2y -14 สมบตั ิการคณู ดวยจาํ นวนเทา กบั ท่ีไมเ ทา กบั ศนู ย 11. ถา x+1  6 แลว x+2  7 สมบตั กิ ารบวกดว ยจํานวนท่ีเทากนั 12. ถา y+3  5 แลว y 2 สมบัติการตัดออกสาํ หรบั การบวก 13. ถา x 7 และ 7 y แลว xy สมบัตกิ ารถายทอด 14. ถา a  0 แลว a+1  0 +1 สมบัติการบวกดว ยจาํ นวนทเี่ ทา กัน 15. ถา b 0 แลว b + (-2)  0+(-2) สมบตั ิการบวกดว ยจํานวนท่ีเทา กนั 16. ถา c -2 แลว (-1)c  (-1)(-2) สมบตั ิการคณู ดวยจาํ นวนเทา กนั ทไ่ี มเทา กับศนู ย 2. จงใชเสนจํานวนแสดงลกั ษณะของชว งของจํานวนจริงตอ ไปน้ี 1) (2,7) 2) [3,6] 3) [-1,5)

187 4) (-1,4] 5) (2, ) 6) (- ,4) 7) (0,8) 8) [-5,4) แบบฝก หดั ที่ 4 เซตคําตอบคาํ ตอบของอสมการ คอื { x | x  -2 หรอื x  2} -3 < x < 3 เซตคําตอบคําตอบของอสมการ คอื { x | -3 < x <3}

188 เซตคําตอบคาํ ตอบของอสมการ คอื { x |1< x <7}  X  5 หรอื  X  1 X  5 หรือ X  1 เซตคาํ ตอบคําตอบของอสมการ คือ {x|x  5 หรือ x  -1} 5 – x < 0 หรือ 5 – x > 0 0 5–x 0 -5  -x  -5 -x < -5 -x > -5 5x5 x>5 x<5 -8 < 3x – 4 < 8 -1  2x – 9  1 - 8 +4 < 3x < 8 +4 -1 + 9  2x  1 + 9 -4 < 3x < 12 8  2x  10 4 < x<4 4 x 5 3 0  6 – 3x  0 |2 – 4x < 0 หรือ 12 – 4x > 0 -6  -3x  -6 -4x < -12 หรือ – 4x > -12 2 x  0 x > 3 หรอื x < 3

189 แบบฝก หดั ที่ 1 เฉลย บทท่ี 2 เลขยกกําลงั 1. จงบอกฐานและเลขชก้ี ําลงั ของเลขยกกําลงั ตอ ไปน้ี 1) ฐานคอื 6 เลขช้ีกาํ ลงั คอื 3 2) ฐานคือ 1.2 เลขช้กี าํ ลงั คือ -5 3) ฐานคือ -5 เลขช้กี ําลังคอื 0 4) ฐานคือ 1 เลขชีก้ าํ ลงั คอื 3 2 2. จงหาคา ของเลขยกกาํ ลังตอ ไปน้ี 1) - 1,024 2) 1 625 3) 1.728 4) 27 3. จงทําใหอ ยูในรูปอยางงายและเลขชก้ี ําลงั เปน จาํ นวนเตม็ 1. a8 2. 512  56  15,625 3.  2 20 3 4. 1.115 5. x10

190 แบบฝก หดั ท่ี 2 1. จงหาคาของรากท่ี n ของจาํ นวนจรงิ ตอไปนี้ 1) 5 2) 8 3) -3 4) -5 5) 2 3 6) 2 7) 5 8)  64  8 ไมเ ปน จาํ นวนจรงิ 9) -2 10) 4 16  2 ไมเ ปนจํานวนจรงิ 2. จงเขยี นจํานวนตอไปนใ้ี หอยใู นรปู อยางา ย โดยใชส มบตั ิของ รากที่ n 1) 52 = 5 2) 3 23 = 2 3) 3 (2)3 = (-2) 4) 5 (2)5 = (-2) 5) (3)2 = (-3) 5) 4 (2)4 = (-2) 6) 200 = 10 2 7) 75 = 5 3 8) 3 240 = 23 30 9) 45 = 3 5 10) 5 15 = 75  5 3 11) 3 81 3 32 = 63 12 12) 4 = 4 = 2 13) 5 = 35 9 93 3 82

191 แบบฝก หดั ที่ 3 3 50  65 1. จงทําจาํ นวนตอ ไปนีใ้ หอ ยใู นรูปอยางงา ย 15 2  30 1) 2x 2 2) 4 3) 2y 2 4) (-2) 5) 6 2  2  4 2  9 2 6) 3 5 10 3 52 5 = = 7) 3 8a3  2a 8) 33 2  3 4  33 8  6 แบบฝกหดั ที่ 4 1. จงทําจาํ นวนตอ ไปนใ้ี หอยูในรปู อยา งงาย 1) 8x2 วธิ ที ํา 8x2 = 222xx = 2x 2 2) 3 = 3 3  27 3  3 3 3 วธิ ีทํา 3 3  27 = 3 = -1  3 3) ( 2  8  18  32)2 วธิ ีทํา ( 2  8  18  32)2  = 2  2 2  3 2  4 2 2 = 10 2 2 = 1002  200

192 4) 5 32  26 3 27 3 (64) 2 5 32 26  2  64 วิธีทํา 3 27   = 3 3 3 82 2 (64) 2 =  2  64 3 83 =  2  1 38 = 16  3  13 24 24 24 21  2 5) 8 3  18 2 = 23 3  18 4 144 6 4 144 6 21 = 43 วธิ ที าํ 83  182 24 9 4 144 6 = 23 49 1 6) 3 125  32 3 (8)2 1 (27) 2 1 วธิ ีทํา 3 125  32 =  5  1 3 (8)2 1 49 (27) 2 =  45  4   49 = 113  36 36 36

193 เฉลย แบบฝกหดั บทท่ี 3 เซต แบบฝกหดั ท่ี 1 1. จงเขยี นเซตตอ ไปนีแ้ บบแจกแจงสมาชกิ 1) { สมทุ รสาคร,สมุทรสงคราม,สุพรรณบรุ ,ี สุรินทร,สรุ าษฏรธ านี,สมุทรปราการ,สงขลา,สระแกว , สระบุรี,สิงหบรุ }ี 2) { a,e,i,o,u } 3) { 100,101,…,999} 4) {2,4,6,8,10,12,14,16,18} 5) { -121,-122,-123,….} 6) { 6,7,8,9,10,11,12,13,14} 7) {  } 2. จงบอกจํานวนสมาชิกของเซตตอไปนี้ 1) 1 2) 6 3) 24 4) 8 3. จงเขยี นเซตตอ ไปนแี้ บบบอกเงือ่ นไข 1) { x | x เปนจาํ นวนเตม็ คแู ละ 2  x  8 } 2) { x | x เปนจาํ นวนเตม็ บวก } 3) { x | x = x2 เปน จํานวนเต็มซงึ่ x = 1,2,3,… } 4. จงพจิ ารณาเซตตอ ไปนี้ เปน เซตวางเรอื เซตจาํ กดั หรือเซตอนันต 1) เซตจาํ กัด 2) เซตจาํ กดั 3) เซตอนนั ต 4) เซตวาง 5) เซตวาง 6) เซตวา ง 7) เซตจาํ กัด 8) เซตวา ง 9) เซตจํากัด