คณิตศาสตร์ พค31001 ม.ปลาย

หนงั สือเรียนสาระความรู้พ้นื ฐาน รายวชิ า คณติ ศาสตร์ พค31001 ระดบั มัธยมศึกษาตอนปลาย (ฉบบั ปรับปรุง พ.ศ. 2560) หลกั สูตรการศึกษานอกระบบระดบั การศึกษาข้นั พ้ืนฐาน พุทธศกั ราช 2551 สานกั งานส่งเสริมการศึกษานอกระบบและการศึกษาตามอธั ยาศยั สานกั งานปลดั กระทรวงศกึ ษาธิการ กระทรวงศกึ ษาธิการ ห้ามจาหน่าย หนงั สือเรียนเล่มน้ีจดั พมิ พด์ ว้ ยเงินงบประมาณแผน่ ดินเพ่ือการศึกษาตลอดชีวติ สาหรับประชาชน ลิขสิทธ์ิเป็น ของ สานกั งาน กศน. สานกั งานปลดั กระทรวงศึกษาธิการ เอกสารทางวชิ าการลาดบั ท่ี 8/2555

หนงั สือเรียนสาระความรู้พ้นื ฐาน รายวชิ า คณิตศาสตร์ พค31001 ระดบั มธั ยมศึกษาตอนปลาย ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560 ลิขสิทธ์ิเป็นของ สานกั งาน กศน. สานกั งานปลดั กระทรวงศึกษาธิการ เอกสารทางวชิ าการลาดบั ท่ี 8/2555

คาํ นํา กระทรวงศึกษาธิการไดประกาศใชหลักสูตรการศึกษานอกระบบระดับการศึกษาขั้น พน้ื ฐาน พทุ ธศกั ราช 2551 เมอื่ วนั ที่ 18 กนั ยายน พ.ศ. 2551 แทนหลักเกณฑแ ละวิธกี ารจดั การศึกษา นอกโรงเรียนตามหลกั สตู รการศึกษาขั้นพื้นฐาน พทุ ธศกั ราช 2544 ซง่ึ เปน หลักสูตรทพ่ี ัฒนาขึน้ ตาม หลักปรชั ญาและความเชื่อพ้นื ฐานในการจัดการศึกษานอกโรงเรียนท่ีมีกลุมเปาหมายเปนผูใหญมี การเรียนรแู ละส่งั สมความรแู ละประสบการณอ ยา งตอ เนอ่ื ง ในปงบประมาณ 2554 กระทรวงศึกษาธิการไดกําหนดแผนยุทธศาสตรในการขับเคลื่อน นโยบายทางการศกึ ษาเพ่ือเพ่มิ ศักยภาพและขดี ความสามารถในการแขง ขันใหประชาชนไดมีอาชีพ ที่สามารถสรา งรายไดทีม่ ง่ั คงั่ และม่นั คง เปน บุคลากรท่ีมีวินัย เปยมไปดวยคุณธรรมและจริยธรรม และมีจิตสํานึกรับผิดชอบตอตนเองและผูอื่น สํานักงาน กศน. จึงไดพิจารณาทบทวนหลักการ จุดหมาย มาตรฐาน ผลการเรียนรูท่ีคาดหวัง และเนื้อหาสาระ ท้ัง 5 กลุมสาระการเรียนรู ของ หลักสูตรการศกึ ษานอกระบบระดับการศึกษาขั้นพ้ืนฐาน พุทธศักราช 2551 ใหมีความสอดคลอง ตอบสนองนโยบายกระทรวงศึกษาธิการ ซึ่งสงผลใหตองปรับปรุงหนังสือเรียน โดยการเพิ่มและ สอดแทรกเนอ้ื หาสาระเกี่ยวกบั อาชพี คุณธรรม จรยิ ธรรมและการเตรียมพรอม เพื่อเขาสูประชาคม อาเซียน ในรายวิชาที่มีความเก่ียวของสัมพันธกัน แตยังคงหลักการและวิธีการเดิมในการพัฒนา หนังสือที่ใหผูเรียนศึกษาคนควาความรูดวยตนเอง ปฏิบัติกิจกรรม ทําแบบฝกหัด เพื่อทดสอบ ความรคู วามเขาใจ มีการอภปิ รายแลกเปลีย่ นเรียนรกู ับกลมุ หรือศึกษาเพมิ่ เติมจากภมู ปิ ญญาทองถนิ่ แหลงการเรียนรูแ ละส่ืออ่นื การปรบั ปรุงหนงั สอื เรยี นในครงั้ นี้ ไดรบั ความรวมมืออยางดียิ่งจากผูทรงคุณวุฒิในแตละ สาขาวชิ า และผเู กี่ยวขอ งในการจัดการเรียนการสอนทีศ่ กึ ษาคนควา รวบรวมขอ มลู องคความรจู าก สอ่ื ตา ง ๆ มาเรยี บเรียงเน้อื หาใหค รบถวนสอดคลองกับมาตรฐาน ผลการเรียนรูที่คาดหวัง ตัวช้ีวัด และกรอบเนื้อหาสาระของรายวิชา สํานักงาน กศน.ขอขอบคุณผูมีสวนเก่ียวของทุกทานไว ณ โอกาสน้ี และหวังวา หนังสอื เรยี น ชุดนจ้ี ะเปน ประโยชนแกผ ูเรียน ครู ผูสอน และผูเ กย่ี วของใน ทุกระดับ หากมขี อ เสนอแนะประการใด สาํ นักงาน กศน. ขอนอ มรบั ดวยความขอบคณุ ย่ิง

สารบญั หนา คาํ นํา 1 สารบญั 15 คาํ แนะนาํ การใชห นงั สือ 29 โครงสรางวิชาคณติ ศาสตร ระดบั มธั ยมศกึ ษาตอนปลาย 53 บทที่ 1 จาํ นวนและการดําเนนิ การ 65 บทที่ 2 เลขยกกาํ ลังท่ีมเี ลขชก้ี าํ ลงั เปน จาํ นวนตรรกยะ 89 บทท่ี 3 เซต 114 บทท่ี 4 การใหเ หตผุ ล 145 บทที่ 5 อัตราสวนตรีโกณมติ แิ ละการนําไปใช 164 บทท6่ี การใชเ ครอ่ื งมือและการออกแบบผลิตภณั ฑ บทท่ี 7 สถิติเบอ้ื งตน บทที่ 8 ความนา จะเปน บทท่ี 9 การใชท กั ษะกระบวนการทางคณติ ศาสตรใ นงานอาชีพ

คาํ แนะนําการใชแ บบเรียน หนงั สอื เรยี นสาระความรพู น้ื ฐาน รายวชิ า คณติ ศาสตร (พค 31001) ระดับมธั ยมศกึ ษา ตอนปลาย เปน หนังสอื เรยี นทจี่ ดั ทาํ ขึน้ สําหรับผเู รียนทเ่ี ปน นักศกึ ษานอกระบบ ในการศกึ ษาหนงั สอื เรียนสาระความรพู น้ื ฐาน รายวิชา คณติ ศาสตร ผเู รยี นควร ปฏิบัตดิ งั นี้ 1. ศึกษาโครงสรางรายวชิ าใหเขา ใจในหวั ขอสาระสําคญั ผลการเรยี นรทู ี่คาดหวังและ ขอบขายเน้อื หา 2. ศึกษารายละเอยี ดเนือ้ หาของแตล ะบทอยา งละเอยี ด และทาํ กจิ กรรมตามทกี่ าํ หนด แลวตรวจสอบกับแนวตอบกจิ กรรมท่กี ําหนด ถาผูเ รยี นตอบผิดควรกลบั ไปศึกษา และทาํ ความเขา ใจในเน้ือหาน้ันใหมใ หเ ขา ใจกอ นทีจ่ ะศกึ ษาเรอ่ื งตอไป 3. ปฏิบัติกิจกรรมทายเรอื่ งของแตล ะเรอ่ื ง เพ่ือเปน การสรุปความรคู วามเขา ใจของ เนอื้ หาในเรือ่ งนัน้ ๆ อกี ครงั้ และการปฏบิ ตั กิ จิ กรรมของแตล ะเนอื้ หาในแตละเร่อื ง ผูเรียนสามารถนําไปตรวจสอบกบั ครูและเพอ่ื น ๆ ท่ีรวมเรยี นในรายวิชาและระดบั เดยี วกนั ได แบบเรยี นเลม นีม้ ี 9 บท คือ บทท่ี 1 จาํ นวนและการดาํ เนนิ การ บทที่ 2 เลขยกกาํ ลงั ท่มี เี ลขชกี้ าํ ลังเปน จํานวนตรรกยะ บทท่ี 3 เซต บทท่ี 4 การใหเหตุผล บทท่ี 5 อัตราสวนตรีโกนมติ แิ ละการนาํ ไปใช บทที่ 6 การใชเ ครือ่ งมือและการออกแบบผลิตภณั ฑ บทท่ี 7 สถิติเบอ้ื งตน บทที่ 8 ความนาจะเปน บทที่ 9 การใชท กั ษะกระบวนการทางคณติ ศาสตรใ นงานอาชีพ

โครงสรางรายวชิ าคณิตศาสตร ระดบั มธั ยมศกึ ษาตอนปลาย สาระสําคัญ มคี วามรคู วามเขาใจเกยี่ วกับจาํ นวนและตวั เลข เศษสว น ทศนยิ มและรอ ยละ การวดั เรขาคณิต สถิติ และความนา จะเปน เบือ้ งตน ผลการเรียนรทู ี่คาดหวงั 1. ระบุหรอื ยกตวั อยา งเก่ียวกบั จาํ นวนและตวั เลข เศษสวน ทศนิยมและรอ ยละ การวดั เรขาคณติ สถติ ิ และความนาจะเปนเบ้ืองตน ได 2. สามารถคิดคาํ นวณและแกโจทยปญหาเกยี่ วกับจาํ นวนนับเศษสว น ทศนยิ ม รอยละ การวดั เรขาคณติ ได ขอบขา ยเน้ือหา บทที่ 1 จาํ นวนและการดาํ เนนิ การ บทที่ 2 เลขยกกาํ ลังทม่ี ีเลขชก้ี ําลงั เปน จาํ นวนตรรกยะ บทที่ 3 เซต บทท่ี 4 การใหเหตผุ ล บทท่ี 5 อัตราสวนตรีโกนมติ ิและการนาํ ไปใช บทที่ 6 การใชเคร่ืองมือและการออกแบบผลติ ภณั ฑ บทที่ 7 สถิตเิ บอ้ื งตน บทท่ี 8 ความนา จะเปน บทที่ 9 การใชท กั ษะกระบวนการทางคณติ ศาสตรในงานอาชีพ สอื่ การเรียนรู 1. ใบงาน 2. หนงั สือเรียน

1 บทท่ี 1 จํานวนและการดาํ เนินการ สาระสําคญั 1. โครงสรา งของจํานวนจริงประกอบไปดว ย จํานวนตรรกยะ จํานวนอตรรกยะ และ จาํ นวนเตม็ 2. สมบตั ิของจํานวนจริงท่เี กี่ยวกบั การบวกและการคณู ประกอบไปดว ยสมบัตปิ ด สมบัตกิ ารเปลย่ี นกลมุ สมบัตกิ ารสลบั ที่ การมีอินเวอรส การมเี อกลักษณแ ละสมบตั ิ การแจกแจง 3. สมบัตกิ ารเทากนั จะใชเคร่อื งหมาย “=” แทนการมคี าเทากนั 4. สมบตั กิ ารไมเทา กนั จะใชเครือ่ งหมาย “ ≠ , < , >, ≤ , ≥” 5. คาสมั บรู ณใ ชสัญลกั ษณ “ | |” แทนคาสมั บูรณซึ่ง x ถา x >0 x  0 ถา x = 0 - x ถา x < 0 ผลการเรยี นรูทค่ี าดหวัง 1. แสดงความสัมพนั ธของจํานวนตา ง ๆ ในระบบจํานวนจรงิ ได 2. อธบิ ายความหมายและหาผลลัพธที่เกิดจากการบวก การลบ การคณู การหารจาํ นวน จริงได 3. อธิบายสมบัตขิ องจาํ นวนจริงท่ีเกีย่ วกบั การบวก การคณู การเทากนั การไมเทากนั และนาํ ไปใชได 4. อธิบายเกี่ยวกบั คา สมั บูรณข องจํานวนจริงและหาคาสมบรู ณของจํานวนจรงิ ได ขอบขา ยเน้อื หา เรอ่ื งที่ 1 ความสัมพนั ธของระบบจํานวนจริง เรอื่ งท่ี 2 สมบัตขิ องการบวก การลบ การคณู และการหารจาํ นวนจรงิ เรอ่ื งท่ี 3 สมบตั กิ ารไมเทากนั เรอ่ื งท่ี 4 คาสมั บรู ณ

2 เรอ่ื งที่ 1 ความสมั พนั ธของระบบจํานวนจริง 1.1. โครงสรา งของจํานวนจรงิ จาํ นวนจริง จาํ นวนอตรรกยะ จํานวนตรรกยะ จาํ นวนทเี่ ขียนใน ทศนิยม จํานวนเต็ม ทศนิยมซํ้า เศษสวน รูปของกรณฑ ไมร ูจ บไมซา้ํ หรอื เรียกวา รากหรอื รูต จาํ นวนนับหรอื ศนู ย จาํ นวน จาํ นวนเตม็ บวก เตม็ ลบ จาํ นวนจรงิ ( Real number ) ประกอบดว ยจาํ นวนตรรกยะและจํานวนอตรรกยะ 1. จํานวนตรรกยะ ( Rational number ) ประกอบดวย จาํ นวนเต็ม ทศนิยมซํ้า และเศษสวน 1. จํานวนเต็ม ซ่ึงแบงเปน 3 ชนดิ คอื 1.1 จํานวนเตม็ บวก (I+) หรอื จํานวนนับ (N)  I+ = N = {1, 2, 3, …} 1.2 จาํ นวนเต็มศูนย มีจาํ นวนเดยี ว คือ {0} 1.3 จํานวนเตม็ ลบ (I-)  I- = {-1, -2, -3, …} 2. เศษสว น เชน 3 , 3 3 , - 5 เปน ตน 4 47 3. ทศนยิ มซา้ํ เชน 0.6 , 0.12 , 0.532 2. จาํ นวนอตรรกยะ ( Irrational Number ) คอื จํานวนทไ่ี มใ ชจ ํานวนตรรกยะ เขียนไดในรูป ทศนิยมไมซ้ํา เชน 2 มีคาเทา กับ 1.414213… 3 มคี าเทา กบั 1.7320508…  มีคาเทา กบั 3.14159265… 0.1010010001… มคี า ประมาณ 1.101

3 แบบฝกหดั ท่ี 1 1.จาํ นวนทก่ี าํ หนดใหต อไปนี้จาํ นวนใดเปน จาํ นวนนบั จํานวนเตม็ จาํ นวนตรรกยะ หรือ จาํ นวนอตรรกยะ ขอ จาํ นวนจรงิ จํานวนนบั จาํ นวนเต็ม จาํ นวนตรรกยะ จํานวนอตรรกยะ 1)  9, 7 ,5 2 , 2,0,1 23 2) 5,7 7 ,3,12, 5 34 3) 2.01,0.666...,-13 , 4) 2.3030030003..., 5)   , 1 , 6 , 2 ,7.5 33 2 6) 25,17, 12 , 9,3,12, 1  52 2. จงพิจารณาวาขอความตอไปนี้เปนจริงหรือเท็จ 1) 0.001001001001…เปน จํานวนตรรกยะ 2) 0.110110110110… เปน จาํ นวนตรรกยะ 3) 0.767667666766667… เปนจาํ นวนตรรกยะ 4) 0.59999…. เปน จํานวนตรรกยะ 5) 0 เปนจํานวนจรงิ 6) จาํ นวนทเี่ ขียนไดใ นรปู ทศนยิ มซ้าํ ไมเ ปน จาํ นวนตรรกยะ

4 2. สมบัตกิ ารบวก การลบ การคณู และการหารจํานวนจริง สมบตั ิของจํานวนจริง คือ การนําจํานวนจริงใด ๆ มากระทาํ ตอกันในลกั ษณะ เชน การบวก การลบ การคณู การหาร หรอื กระทาํ ดว ยลกั ษณะพเิ ศษทกี่ าํ หนดขนึ้ แลว มีผลลพั ธที่ เกดิ ขนึ้ ในลกั ษณะหรอื ทํานองเดยี วกัน สมบตั ทิ ใี่ ชใ นการบวก การลบ การคณู และการหาร มดี ังน้ี 2.1 สมบตั กิ ารเทา กันของจํานวนจรงิ กําหนด a, b, c เปน จํานวนจริงใดๆ สมบัติการสะทอ น a=a สมบตั ิการสมมาตร ถา a = b แลว b = a สมบัตกิ ารถายทอด ถา a = b และ b = c แลว a = c สมบตั ิการบวกดว ยจาํ นวนท่เี ทากนั ทงั้ สองขาง ถา a = b แลว a + c = b + c สมบตั ิการคณู ดว ยจํานวนท่ีเทา กนั ทงั้ สองขา ง ถา a = b แลว ac  bc 2.2 สมบัติการบวกและการคูณในระบบจาํ นวนจริง เมอื่ กาํ หนดให a, b และ c เปนจํานวนจรงิ ใดๆ 2.2.1 สมบตั ิการบวก สมบัติปด ถา a R และ b R แลว a  b  R สมบัตกิ ารสลบั ที่ ab= ba สมบัติการเปลย่ี นกลมุ a  (b  c) = (a  b)  c สมบัตกิ ารมเี อกลักษณก ารบวก คอื 0 0a a0a สมบัตกิ ารมีอนิ เวอรสการบวก a มีอินเวอรสการบวก คือ  a และ  a มอี ินเวอรส การบวก คือ a จะได a  (a)  (a)  a  0 น่ันคอื จํานวนจริง a จะมี  a เปน อนิ เวอรสของการบวก 2.2.2 สมบัตกิ ารคณู ถา a R และ b R แลว ab  R สมบตั ปิ ด ab = ba สมบัตกิ ารสลับที่ a(bc) = (ab)c สมบัตกิ ารเปล่ียนกลมุ 1. a = a .1 = a สมบัตกิ ารมเี อกลักษณก ารบวก คือ 1 สมบตั กิ ารมอี นิ เวอรส การคูณ a มีอินเวอรส การคณู คือ 1 และ (ยกเวน 0 เพราะ 1 ไมมีความหมาย) a 0 1 มอี นิ เวอรสการคณู คอื a a

5 จะได a  1    1 a 1 ; a  0  a   a  นน่ั คือ จํานวนจริง a จะมี 1 เปน a อินเวอรส การคณู สมบตั กิ ารแจกแจง a(b  c)  ab  ac (b  c)a  ba  ca จากสมบัตขิ องจาํ นวนจริงสามารถใชพ ิสจู นท ฤษฎีบทตอไปนี้ได ทฤษฎบี ทท่ี 1 กฎการตดั ออกสําหรับการบวก เมือ่ a, b, c เปนจํานวนจรงิ ใดๆ ถา a + c = b + c แลว a = b ถา a + b = a + c แลว b = c ทฤษฎบี ทท่ี 2 กฎการตดั ออกสําหรบั การคณู เมือ่ a, b, c เปนจํานวนจริงใดๆ ถา ac = bc และ c ≠ 0 แลว a = b ถา ab = ac และ a ≠ 0 แลว b = c ทฤษฎบี ทที่ 3 เม่ือ a เปน จาํ นวนจริงใด ๆ a·0=0 0·a=0 ทฤษฎบี ทท่ี 4 เมื่อ a เปน จาํ นวนจรงิ ใด ๆ (-1)a = -a a(-1) = -a ทฤษฎบี ทท่ี 5 เมอื่ a, b เปน จาํ นวนจริงใด ๆ ถา ab = 0 แลว a = 0 หรือ b = 0 ทฤษฎบี ทท่ี 6 เม่ือ a เปนจํานวนจรงิ ใด ๆ a(-b) = -ab (-a)b = -ab (-a)(-b) = ab

6 การลบและการหารจาํ นวนจรงิ • การลบจํานวนจริง บทนยิ าม เมอื่ a, b เปนจํานวนจรงิ ใด ๆ a - b = a + (-b) นน่ั คือ a - b คอื ผลบวกของ a กับอนิ เวอรสการบวกของ b • การหารจํานวนจรงิ บทนิยาม เม่อื a, b เปนจํานวนจรงิ ใด ๆ เม่ือ b ≠ 0 a = a(b1 ) b นน่ั คอื a คือ ผลคูณของ a กับอินเวอรสการคณู ของ b b

7 แบบฝก หดั ที่ 2 1. ใหผเู รียนเติมชอ งวา งโดยใชส มบัตกิ ารเทา กนั 1. ถา a = b แลว a +5 = ………………………………………………………..…………… 2. ถา a = b แลว -3a = …………………………………………………………………..… 3. ถา a + 4 = b + 4 แลว a =……………………………………………………….………… 4. ถา a +1 = b +2 และ b +2 = c -5 แลว a +1………………………………….…..……… 5. ถา x2  2x 1  x 12 แลว x 12  .…………………………………………… 6. ถา x  3 y แลว 2x = ………………………………………………………….………… 2 7. ถา x2 1  2x แลว x 12 = ……………………………………………….….……… 8. ถา ab  a  b แลว 1 ab= ……………………………………………….…………. 2 2. กําหนดให a , b และ c เปน จํานวนจริงใด ๆ จงบอกวาขอ ความในแตล ะขอ ตอ ไปนเ้ี ปนจริงตาม สมบัติใด 1) 3 + 5 = 5 + 3 2) (1+2)+3 = 1+(2+3) 3) (-9)+5 = 5 +(-9) 4) (8 X 9) เปนจาํ นวนจริง 5) 5 X 3 = 15 = 3 X 5 6) 2(a+b) = 2a +2b 7) (a + b) + c = a+( b + c) 8) 9a +2a = 11 a = 2a + 9a 9) 4 X (5 + 6) = (4 X 5) + (4 X 6) 10) c(a +b) = ac +bc 3 . เซตที่กาํ หนดใหในแตล ะขอตอ ไปนี้ มหี รอื ไมม ีสมบัตปิ ดของการบวกหรอื สมบัตปิ ด ของการคณู 1) { 1 , 3 , 5 } 2) { 0 } 3) เซตของจาํ นวนจรงิ 4) เซตของจาํ นวนตรรกยะ 5) เซตของจํานวนทีห่ ารดว ย 3 ลงตวั

8 4. จงหาอนิ เวอรส การบวกของจาํ นวนจริงในแตล ะขอ ตอ ไปน้ี 1) อนิ เวอรส การบวกของ 8 2) อินเวอรสการบวกของ - 5 3) อินเวอรส การบวกของ - 0.567 4) อนิ เวอรส การคูณของ 3  2 5) อินเวอรสการคูณของ 1 5 3

9 3. สมบัตกิ ารไมเ ทากัน ใหผูเรยี นทบทวนเร่ืองสมบตั กิ ารเทา กนั ในเรอื่ งทผ่ี า นมาเพอื่ เปน ความรูเ พิ่มเติม สว นใน เรอ่ื งนีจ้ ะเนน เร่อื งสมบตั กิ ารไมเทา กนั เทานน้ั ประโยคคณติ ศาสตรจ ะใชสัญลักษณ > , < , ≥ , ≤ , ≠ แทนการไมเทา กนั เรยี กการไมเ ทากนั วา “อสมการ” (Inequalities) บทนิยาม a < b หมายถึง a นอ ยกวา b a > b หมายถึง a มากกวา b กาํ หนดให a, b, c เปนจํานวนจรงิ ใด ๆ 1. สมบตั กิ ารถายทอด ถา a > b และ b > c แลว a > c 2. สมบัติการบวกดว ยจํานวนทเี่ ทากัน ถา a > b แลว a + c > b+ c 3. จาํ นวนจรงิ บวกและจํานวนจรงิ ลบ a เปน จาํ นวนจรงิ บวก ก็ตอเมือ่ a > 0 a เปนจํานวนจรงิ ลบ กต็ อ เมื่อ a < 0 4. สมบัติการคณู ดวยจาํ นวนเทากนั ทไ่ี มเทา กับศนู ย กรณีท่ี 1 ถา a > b และ c > 0 แลว ac > bc กรณที ี่ 2 ถา a > b และ c < 0 แลว ac < bc 5. สมบัติการตัดออกสําหรับการบวก ถา a + c > b + c แลว a > b 6. สมบตั กิ ารตัดออกสาํ หรบั การคณู กรณที ี่ 1 ถา ac > bc และ c > 0 แลว a > b กรณีที่ 2 ถา ac > bc และ c < 0 แลว a < b บทนิยาม a≤b หมายถงึ a นอ ยกวา หรือเทากบั b a≥b หมายถึง a มากกวา หรือเทากับ b a<b<c หมายถึง a < b และ b < c a≤b≤c หมายถึง a ≤ b และ b ≤ c

10 ชว ง (Interval) ชว ง หมายถึง เซตของจํานวนจริงทเ่ี ปนสว นใดสวนหนึง่ ของเสน จาํ นวน 3.1 ชวงของจํานวนจรงิ กําหนดให a, b เปน จาํ นวนจรงิ และ a < b 1. ชวงเปด (a, b) (a, b) = { x | a < x < b } 2. ชว งปด [a, b] [a, b] = { x | a ≤ x ≤ b } 3. ชวงครึง่ เปด (a, b] (a, b] = { x | a < x ≤ b } 4. ชว งครึ่งเปด [a, b) [a, b) = { x | a ≤ x < b} 5. ชว ง (a, ∞) (a, ∞) = { x | x > a} 6. ชว ง [a, ∞) [a, ∞) = { x | x ≥ a} 7. ชวง (-∞, a) (-∞, a) = { x | x < a} 8. ชวง (-∞, a] (-∞, a] = { x | x ≤ a}

11 แบบฝกหัดท่ี 3 1. ใหผ ูเรียนบอกสมบตั กิ ารไมเ ทากนั (เม่อื ตัวแปรเปน จาํ นวนจรงิ ใดๆ) 1. ถา x  3 แลว 2x 6 ……………………………………………………………….. 2. ถา y7 แลว -2y < 14 ……………………………………………………………….. 3. ถา x+1  6 แลว x+2  7 ………………………………………………………….. 4. ถา y+3  5 แลว y 2 ……………………………………………………………… 5. ถา x 7 และ 7 y แลว xy ………………………………………………………. 6. ถา a  0 แลว a+1  0 +1 …………………………………………………………. 7. ถา b 0 แลว b + (-2)  0+(-2) …………………………………………………… 8. ถา c -2 แลว (-1)c  (-1)(-2) ……………………………………………………. 2. จงใชเสน จํานวนแสดงลกั ษณะของชวงของจํานวนจริงตอ ไปน้ี 1) (2,7) 2) [3,6] 3) [-1,5) 4) (-1,4]

12 5) (2, ) 6) (- ,4) 7) (0,8) 8) [-5,4) -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

13 4. คาสมบูรณ คา สมั บรู ณข องจาํ นวนจรงิ หมายถึง ระยะหา งจากจดุ ศนู ยบ นเสน จํานวน พิจารณาคา สมั บูรณข อง 4 และ -4 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 4 อยหู างจาก 0 4 หนวย คา สัมบรู ณข อง 4 คอื 4 -4 อยหู างจาก 0 4 หนว ย คาสมั บูรณข อง -4 คือ 4 นั่นคือ คา สัมบรู ณข องจาํ นวนจริงใด ๆ ตอ งมีคามากกวา หรือเทา กบั ศนู ยเสมอ สัญลักษณแ ทนคาสมั บรู ณค อื | | เชน คา สมั บรู ณข อง 4 คอื |4| คาสมั บูรณของ – 4 คือ |-4| บทนยิ าม กําหนดให a เปน จํานวนจริง 4.1 สมบตั ขิ องคา สมั บูรณ 1. | x | = | -x | 2. | xy | = | x||y | 3. x = x yy 4. | x - y | = | y - x | 5. | x |2 = x2 6. | x + y | ≤ | x | +| y | 6.1 ถา xy > 0 แลว | x + y | = | x | + | y | 6.2 ถา xy < 0 แลว | x + y | < | x | + | y | 7. เมอื่ a เปนจาํ นวนจริงบวก | x | < a หมายถงึ -a < x < a | x | ≤ a หมายถึง -a ≤ x ≤ a 8. เม่อื a เปน จาํ นวนจรงิ บวก | x | > a หมายถึง x < -a หรอื x > a | x | ≥ a หมายถึง x ≤ -a หรือ x ≥ a

14 แบบฝกหดั ที่ 4 1) X  2 x  -2 หรอื x  -2 เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื ........................................................................................................... 2) X < 3 -3 < X < 3 เซตคําตอบของอสมการ คือ.............................................................................................................. 3) X - 4 < 3 จะได -3 < X – 4 < 3 -3+4<X<3+4 1<X<7 เซตคําตอบของอสมการ คอื ............................................................................................................. 4) 2 - X  3 จะได 2 – X  - 3 หรอื 2 – X  3 - X  -3 -2 หรอื - X  - 3 -2 - X  -5 หรอื –X  1 - X  5 หรอื X  -1 เซตคําตอบของอสมการ คอื .............................................................................................................

15 บทท่ี 2 เลขยกกําลงั ทม่ี ีเลขชก้ี ําลังเปน จํานวนตรรกยะ สาระสาํ คญั อานวา a ยกกาํ ลงั n โดยมี a เปน ฐาน และ n เปนเลขชก้ี ําลงั 1. 2. อานวา กรณฑท ่ี n ของ a หรืออา นวา รากท่ี n ของ a 3. จาํ นวนจรงิ ท่ีอยใู นรปู เลขยกกาํ ลังทมี่ ีเลขชก้ี ําลังเปนจาํ นวนตรรกยะจะมคี วามสมั พันธก บั จาํ นวนจรงิ ท่อี ยูใ นรูปของกรณฑหรอื ราก ( root ) ตามความสมั พันธดงั ตอไปนี้ และ 4. การบวก ลบ คณู หาร จาํ นวนที่มีเลขชี้กําลังเปน จํานวนตรรกยะโดยใชบทนยิ ามการบวก ลบ คณู หาร เลขยกกําลงั ของจาํ นวนเตม็ ผลการเรยี นรูทค่ี าดหวัง 1. อธบิ ายความหมายและบอกความแตกตางของจาํ นวนตรรกยะและอตรรกยะได 2. อธิบายเก่ยี วกบั จํานวนจรงิ ท่ีอยใู นรปู เลขยกกาํ ลังท่ีมีเลขชกี้ าํ ลงั เปนจํานวนตรรกยะ และ จาํ นวนจริงในรปู กรณฑได 3. อธบิ ายความหมายและหาผลลัพธท ่ีเกดิ จากการบวก การลบ การคณู การหาร จํานวนจริงท่ี อยูในรูปเลขยกกําลังทีม่ เี ลขชกี้ าํ ลังเปนจํานวนตรรกยะ และจํานวนจริงในรูปกรณฑไ ด ขอบขายเนื้อหา เร่ืองท่ี 1 จํานวนตรรกยะและอตรรกยะ เรอ่ื งท่ี 2 จํานวนจริงในรปู กรณฑ เรอื่ งที่ 3 การบวก การลบ การคณู การหาร จาํ นวนทม่ี ีเลขช้ีกําลังเปน จาํ นวนตรรกยะและ จํานวนจรงิ ในรูปกรณฑ

16 เรื่องที่ 1 จํานวนตรรกยะ และจํานวนอตรรกยะ 1.1 จาํ นวนตรรกยะ หมายถงึ จํานวนท่เี ขียนแทนในรปู เศษสวน a เมื่อ a และ b เปนจํานวนเตม็ b และ b  0 ตัวอยาง จาํ นวนทเ่ี ปน จาํ นวนตรรกยะ เชน จาํ นวนเต็ม , เศษสวน , ทศนิยมซํา้ เปนตน 1.2 จํานวนอตรรกยะ หมายถึง จาํ นวนที่ไมส ามารถเขียนใหอยใู นรปู ของเศษสว น a เมื่อ a และ b b เปน จํานวนเตม็ และ b  0 จาํ นวนอตรรกยะประกอบดว ยจาํ นวนตอไปน้ี เปน ทศนิยมแบบไมซ ํ้า เชน 1.235478936... 5.223322233322223333... ความแตกตา งระหวางจํานวนตรรกยะ และจาํ นวนอตรรกยะ จาํ นวน จํานวนเตม็ เศษสว น ความแตกตา ง คา ทางพีชคณติ ตรรกยะ มี มี ทศนยิ ม - คา ทางพีชคณิตท่หี าคา ได อตรรกยะ ลงตวั หรอื ไดค าํ ตอบเปน ไมม ี ไมม ี - ทศนิยมรจู บ เศษสว น - ทศนิยมรูจ บแบบซํ้า - คา ทางพชี คณิตที่มคี า - ทศนิยมไมรจู บ เฉพาะ เชน 2, 3, 5, ,e เปนตน 1.3 เลขยกกาํ ลงั ท่มี เี ลขชี้กําลงั เปน จาํ นวนเต็ม นยิ ามเลขยกกําลัง an หมายถึง a  a  a a……………..  a n ตวั เม่ือ a เปนจาํ นวนใด ๆ และ n เปน จาํ นวนเต็มบวก เรียก an วาเลขยกกําลัง ท่มี ี a เปน ฐาน และ n เปน เลขชี้กําลงั เชน 54 = 5  5  5  5 = 625 ถา a,b เปนจาํ นวนจริงใด m และ n เปนจํานวนเตม็ บวก จะไดก ฎของการยกกําลงั ดังนี้ กฎขอท่ี 1 =a m  b n a mn กฎขอที่ 2 (ab)n = a nbn กฎขอ ท่ี 3   =am n a mn

17 กฎขอ ที่ 4 เมื่อ x  0 am =1 ถา m  n bn = amn ถา m  n =1 ถา n  m กฎขอท่ี 5 a nm เมือ่ y  0  x  n = xn y yn นิยาม a0  1 เมือ่ a เปน จํานวนจรงิ ใด ๆ ทีไ่ มเ ทา กับศนู ย นยิ าม a n 1 เม่อื a เปนจํานวนจริงใด ๆ ที่ไมเ ทากบั ศนู ยแ ละ n เปนจาํ นวนเตม็ บวก an

18 แบบฝก หดั ท่ี 1 1. จงบอกฐานและเลขช้กี ําลงั ของเลขยกกําลงั ตอ ไปนี้ 1) 63 ฐานคอื .....................................เลขชีก้ ําลังคือ................................. 2) 1.25 ฐานคอื .................................เลขช้กี ําลงั คือ................................. 3)  50 ฐานคือ.................................เลขชกี้ ําลงั คือ................................... 3 4)  1 ฐานคือ.....................................เลขชกี้ ําลงั คอื ................................. 2 2. จงหาคา ของเลขยกกาํ ลังตอ ไปนี้ 1)  45 = ………………………. 4 2)  1 = ………………………..…. 5 3) 1.23 = …………………………. 4)  36 = …………………………. 3. จงทําใหอยูในรูปอยา งงา ยและเลขชก้ี ําลงั เปน จาํ นวนเตม็ 1) a2 4 = ………………………….  2)  5 3 4 = …………………………. 3)   2  4 5 = ………………………….   3   = …………………………. 4)  1.15 3  5) x2 5 = ………………………….

19 เรอ่ื งที่ 2 จํานวนจรงิ ในรปู กรณฑ การเขียนเลขยกกาํ ลังเมอ่ื เลขชก้ี าํ ลงั เปน จาํ นวนตรรกยะสามารถทําไดโดยอาศัยความรเู รื่อง รากที่ n ของจาํ นวนจรงิ a ( ซึ่งเขียนแทนดวยสัญลกั ษณ a ) และมีบทนยิ ามดังนี้ นยิ าม ให n เปน จาํ นวนเตม็ บวกที่มากกวา 1 a และ b เปนจํานวนจรงิ a เปนรากท่ี n ของ b ก็ตอ เมอื่ an  b ตวั อยาง กต็ อ เม่ือ an b an  b 23 8 กต็ อเมือ่ 23  8  3  5  243 ก็ตอ เม่อื  35  243 ลองทําดู 9 = 33 3 เปนรากท่ี 2 ของ 9 3 8 = ………….……………………….. 4 81 = …………………………………… 5 32 = ……………………………………. สมบตั ิของรากท่ี n ของจํานวนจริง เมื่อ n เปน จาํ นวนเตม็ บวกทม่ี ากกวา 1  1. 1 n a  an a เมื่อ a  0  เมอ่ื a  0 และ n เปน จํานวนค่ี 2.) n an =  a เมือ่ a  0 และ n เปนจาํ นวนคู 3) n ab | a | = n a n b 4). n a = n a ,b0 b nb

20 ตวั อยาง 1 24 = 16 และ (-2)4 = 16 2 เปนรากท่ี 4 ของ 16 เพราะ 24 = 16 -2 เปน รากที่ 4 ของ 16 เพราะ (-2)4 = 16 รากที่ 4 ของ 16 คือ 2 และ -2 ตัวอยา ง 2 23 = 8 2 เปนรากที่ 3 ของ 8 เพราะ 23 = 8 แต -2 ไมใชเปนรากท่ี 3 ของ 8 เพราะ (-2)3 = -8 รากที่ 3 ของ 8 คือ 2 นิยาม ให a เปน จํานวนจริง และ n เปน จาํ นวนเต็มบวกท่มี ากกวา 1 จะเรียก n a วา รากท่ี n ของ a หรอื กรณฑอันดับที่ n ของ a โดยที่ 1. ถา n เปนจํานวนคูแลว a ตอง  0 2. ถา n เปน จาํ นวนคแี่ ลว a เปนจํานวนจรงิ หมายเหตุ 1. เคร่อื งหมาย “ ” เรยี กวา เครอื่ งหมาย กรณฑ เขยี น “n” วาเปน อันดบั ท่ี 2. เมือ่ a เปน จํานวนจริงใด ๆ จาํ นวนจริงที่เขยี นในรูป n a เรียก กรณฑ เชน 5, 3 25, 3  64

21 แบบฝกหดั ท่ี 2 1. จงหาคาของรากที่ n ของจํานวนจริงตอ ไปน้ี 1) 25 = ………………………. 2) 64 = ………………………. 3) 5 243 = ………………………. 4) 3 125 = ………………………. 5) 8 = ………………………. 3 27 6) 4 16 = ………………………. 7) 3 125 = ………………………. 8) 64 = ………………………. 9) 3 8 = ………………………. 10) 4 16 = ………………………. 2. จงเขียนจํานวนตอไปนใี้ หอยใู นรปู อยา งงา ย โดยใชส มบตั ิของ รากท่ี n 1) 52 = ……………………..………… 2) 3 23 = ………………….……….. 3) 3 (2)3 = ……………………………. 4) 5 (2)5 =……………….……….. 5) (3)2 = ………………..…………… 6) 4 (2)4 =……………………….. 7) 200 = …………………………… 8) 75 = …………………..………. 9) 3 240 = …………………………… 10) 45 = …………………..………. 11) 5 15 = …………….……………. 12) 3 81 3 32 = ……………………. 13) 4 = 4 = ……………………. 14) 3 5 = ………………………….. 99 8

22 เร่อื งท่ี 3 การบวก การลบ การคูณ การหาร จาํ นวนทมี่ ีเลขชกี้ าํ ลงั เปน จาํ นวนตรรกยะและ จาํ นวนจริงในรปู กรณฑ 3.1 การบวก และการลบจาํ นวนทีอ่ ยใู นรปู กรณฑ สมบัติของการบวกจาํ นวนจริง ขอ หนงึ่ ทสี่ าํ คญั และมกี ารใชม าก คอื สมบตั ิการแจกแจงในการ บวก พจนคลาย ดังตัวอยา ง 1) 3x  5x  3  5x  8x สมบัตขิ องการแจกแจง 2) 8a  3a  8  3a  5a ดวยวธิ กี ารเชน น้ีเราสามารถนํามาใชใ นเรอื่ งการบวก การลบ ของจาํ นวนท่ีอยใู นรูปกรณฑท ี่ เรยี กวา “พจนค ลา ย” ซึง่ เปนกรณฑอ นั ดบั เดียวกัน จาํ นวนท่อี ยภู ายในเครือ่ งหมายกรณฑเ ปน จํานวน เดยี วกนั เราทราบวา 3 2  3 2 และ 5 2  5  2    ดังนนั้ 3 2  5 2  3 2  5  2  3  5 2 (สมบัติการแจกแจง) 8 2 ตวั อยางที่ 1 จงหาคา ของ 12  27  3 วธิ ีทํา 12  27  3 = 4  3  9  3  3 = 2 33 3 3 = 2  3  1 3 = 43 ตวั อยางท่ี 2 จงหาคาของ 20  45  125 วธิ ีทาํ 20  45  125 = 4 5  9 5  25 5 = 2 53 55 5 = 2  3  5 5 =0 5 =0 ตัวอยา งท่ี 3 จงหาคา ของ 3 20  2 18  45  8 วธิ ที าํ 3 20  2 18  45  8 = 32 5  23 2  3 5  2 2 = 6 56 23 52 2 = 6 53 56 22 2 = 3 58 2

23 3.2 การคณู และการหารจํานวนทอ่ี ยใู นรูปกรณฑ การคูณ จากสมบัติขอท่ี 3 ของรากท่ี n ทก่ี ลาววา n ab  n a  n b เมอ่ื n a และ n b เปน จาํ นวนจริง  ตวั อยา งที่ 2 (3 8)(5 2) = 3 8  5 2

24 การหาร ใชสมบตั ขิ อ 4 ของรากท่ี n ท่ีกลา ววา n a  n a เมอ่ื b  0 nb b หรอื ใชส มบตั ิขอ 3 ของรากที่ n ทก่ี ลา ววา =2 หรือใชสมบตั ทิ ี่วาดว ยการคณู ตัวเศษและตวั สว นดวยจํานวนเดียวกัน = 20  5 = 100 = 10 5 55 =2

25 จงทําจํานวนตอ ไปนี้ใหอ ยใู นรูปอยางงา ย แบบฝกหัดที่ 3 1) 8x2 2) 4 256 3) 3 8 y6 4) 5  32 5) 3 8  2  32 6) 3 5 10  2 5 7) 3 2a 2  3 4a 8) 3 54  3 4

26 3.2 เลขยกกําลงั ทมี่ ีกําลงั เปน จํานวนตรรกยะ บทนิยาม เมอื่ a เปน จํานวนจรงิ n เปน จาํ นวนเตม็ ท่มี ากกวา 1 และ a มีรากท่ี n จะไดว า 1 an  n a ตวั อยา งท่ี 1 1 1 93  3 9 32  3 1 1 73  3 7 82  8 บทนิยาม ให a เปน จาํ นวนเต็มท่ี n > 0 และ m เปน เศษสว นอยา งต่ําจะไดว า n

27 แบบฝก หดั ที่ 4 1. จงทําจํานวนตอไปนใี้ หอยูใ นรปู อยา งงา ย 1) 8x2 …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… 2) 3 3  27 …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… 3) ( 2  8  18  32)2 …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. 4) 5 32  26 3 27 3 (64) 2 …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

28 21 5) 8 3  18 2 4 144 6 …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………….

29 บทท่ี 3 เซต สาระสาํ คัญ 1. เซต โดยท่วั ไปหมายถงึ กลมุ คน สัตว สง่ิ ของ ทร่ี วมกนั เปน กลมุ โดยมสี มบตั ิบางอยา ง รว มกนั และบรรดาสิ่งท้ังหลายท่อี ยใู นเซตเราเรยี กวา “ สมาชกิ ” ในการศกึ ษาเรือ่ งเซตจะ ประกอบไปดว ย เซต เอกภพสมั พัทธ สบั เซตและเพาเวอรเ ซต 2. การดาํ เนนิ การบนเซต คอื การนําเซตตาง ๆ มากระทํารวมกนั เพอื่ ใหเ กดิ เปน เซตใหม ซ่ึง ทาํ ได 4 วิธคี ือ การยูเน่ยี น การอนิ เตอรเซคชัน่ ผลตางระหวางเซต และการคอมพลเี มนต 3. แผนภาพเวนน – ออยเลอร จะชว ยใหก ารพจิ ารณาเกี่ยวกบั เซตไดง า ยขน้ึ โดยใชหลกั การคือ 3.1 ใชรูปสเ่ี หล่ียมผืนผาแทนเอกภพสัมพทั ธ “U” 3.2 ใชว งกลมหรอื วงรแี ทนเซตตา ง ๆ ทเ่ี ปนสมาชกิ ของ “U” และเขียนภายในสเี่ หลยี่ มผนื ผา ผลการเรียนรทู ่ีคาดหวงั 1. อธบิ ายความหมายเก่ียวกับเซตได 2. สามารถหายเู นี่ยน อนิ เตอรเ ซกช่ัน ผลตางของเซต และคอมพลีเมนต ได 3. เขยี นแผนภาพแทนเซตและนําไปใชแ กป ญ หาท่เี กย่ี วกบั การหาสมาชกิ ของเซตได ขอบขายเน้อื หา เรอ่ื งที่ 1 เซต เร่อื งท่ี 2 การดําเนนิ การของเซต เรอื่ งที่ 3 แผนภาพเวนน - ออยเลอรแ ละการแกป ญ หา

30 เรอื่ งที่ 1 เซต (Sets) 1.1 ความหมายของเซต เซต หมายถึง กลมุ ส่ิงของตาง ๆ ไมว าจะเปน คน สัตว ส่งิ ของหรือนิพจนท างคณติ ศาสตร ซึ่งระบุสมาชกิ ในกลุม ได ยกตัวอยา ง เซต เชน 1) เซตของวทิ ยาลยั เทคนิคในประเทศไทย 2) เซตของพยญั ชนะในคาํ วา “คุณธรรม” 3) เซตของจาํ นวนเต็ม 4) เซตของโรงเรยี นระดบั มธั ยมศึกษาในจงั หวดั สกลนคร เรยี กส่ิงตา ง ๆ ท่ีอยใู นเซตวา “สมาชิก” ( Element ) ของเซตน้นั เชน 1) วทิ ยาลัยเทคนิคดอนเมืองเปนสมาชิกเซตวทิ ยาลัยเทคนิคในประเทศไทย 2) “ร” เปนสมาชิกเซตพยญั ชนะในคาํ วา “คุณธรรม” 3) 5 เปนสมาชกิ ของจํานวนเตม็ 4) โรงเรยี นดงมะไฟวทิ ยาเปนสมาชกิ เซตโรงเรยี นระดบั มธั ยมศึกษาในจงั หวดั สกลนคร 1.2 วธิ กี ารเขยี นเซต การเขยี นเซตเขยี นได 2 แบบ 1. แบบแจกแจงสมาชิกของเซต โดยเขยี นสมาชกิ ทกุ ตัวของเซตลงในเคร่ืองหมายวงเลบ็ ปกกาและใชเครือ่ งหมายจุลภาค (,) ค่นั ระหวา งสมาชกิ แตล ะตวั น้นั ตวั อยา งเชน A = {1, 2, 3, 4, 5} B = { a, e, i, o, u} C = {...,-2,-1,0,1,2,...} 2. แบบบอกเง่ือนไขของสมาชิกในเซต โดยใชต วั แปรแทนสมาชิกของเซต และบอก สมบตั ขิ องสมาชกิ ในรปู ของตวั แปร ตัวอยา งเชน A = { x | x เปน จาํ นวนเต็มบวกท่ีมคี านอยกวาหรอื เทา กับ 5} B = { x | x เปนสระในภาษาอังกฤษ} C = {x | x เปน จาํ นวนเต็ม} สญั ลกั ษณเซต โดยท่วั ๆ ไป การเขียนเซตหรอื การเรยี กชอ่ื ของเซตจะใชอ ักษรภาษาองั กฤษตวั พิมพ ใหญไ ดแก A , B , C , . . . , Y , Z เปน ตน ทงั้ นเ้ี พ่ือความสะดวกในการอางองิ เมื่อเขียนหรือกลาวถงึ เซต นัน้ ๆ ตอ ไป สําหรบั สมาชิกในเซตจะเขียนโดยใชอกั ษรภาษาองั กฤษตวั พิมพเล็ก

31 มีสญั ลักษณอกี อยางหนงึ่ ทใ่ี ชอยเู สมอ ๆในเร่ืองเซต คือสญั ลกั ษณ  ( Epsilon) แทนความหมายวา อยูใน หรอื เปน สมาชกิ เชน กําหนดให เซต A มสี มาชิกคอื 2 , 3 , 4 , 8 , 10 ดงั นนั้ 2 เปน สมาชิกของ A หรืออยูใ น A เขยี นแทนดวย 2  A 10 เปน สมาชิกของ A หรอื อยใู น A เขยี นแทนดวย 10  A ใชสญั ลักษณ  แทนความหมาย “ไมอ ยู หรอื ไมเ ปนสมาชกิ ของเซต เชน 5 ไมเ ปนสมาชิกของเซต A เขยี นแทนดว ย 5  A 7 ไมเ ปน สมาชกิ ของเซต A เขยี นแทนดว ย 7  A ขอ สังเกต 1. การเรยี งลาํ ดับของแตละสมาชกิ ไมถ ือเปนสิ่งสําคญั เชน A = { a , b , c } B = {b,c,a} ถือวาเซต A และเซต B เปน เซตเดยี วกัน 2. การนับจาํ นวนสมาชกิ ของเซต จํานวนสมาชกิ ทเ่ี หมือนกนั จะนับเพยี งคร้ังเดยี ว ถึงแมจ ะเขยี นซํา้ ๆ กนั หลาย ๆ คร้ัง เชน A = { 0 , 1 , 2 , 1 , 3 } มีจาํ นวนสมาชกิ 4 ตัว คอื 0 , 1 , 2 , 3 เปนตน 1.3 ชนดิ ของเซต 1.3.1 เซตวาง ( Empty Set or Null Set ) บทนิยาม {} แทนเซตวาง เซตวาง คอื เซตทีไ่ มมีสมาชกิ ใชสญั ลกั ษณ  หรือ ( เปนอกั ษรกรกี อา นวา phi) ตัวอยา ง เชน A = { x | x เปนชื่อทะเลทรายในประเทศไทย } ดงั น้นั A เปนเซตวา ง เน่อื งจากประเทศไทยไมมที ะเลทราย B = { x | x  I+ และ x + 2 = x } ดังนนั้ B เปน เซตวาง เนื่องจากไมมจี าํ นวนเต็มบวกทนี่ าํ มาบวกกบั 2 แลว ได ตัวมนั เอง เซต B จึงไมม สี มาชิก ขอสงั เกต 1. เซตวางมีจํานวนสมาชิก เทากบั ศนู ย ( ไมมสี มาชิกเลย ) 2. 0  Ø 3. { 0 } ไมเ ปน เซตวาง เพราะมจี ํานวนสมาชิก 1 ตัว

32 1.3.2 เซตจาํ กดั ( Finite Set ) บทนยิ าม เซตจาํ กัด คือ เซตทสี่ ามารถระบจุ าํ นวนสมาชิกในเซตได ตัวอยา งเชน A = { 1 , 2 , {3} } มีจาํ นวนสมาชกิ 3 ตวั หรือ n(A) = 3 B = { x | x เปน จาํ นวนเตม็ และ 1 ≤ x ≤ 100 } มีจํานวนสมาชกิ 100 ตัว หรอื n(B) = 100 C = { x | x เปนจาํ นวนเต็มที่อยูระหวา ง 0 กบั 1 } ดงั นนั้ C เปนเซตวา ง มจี ํานวนสมาชกิ 0 ตัว หรือ n(C) = 0 D = { 1 , 2 , 3 , . . . , 99 } มีจํานวนสมาชกิ 99 ตวั หรอื n(D) = 99 E = { x | x เปน วนั ในหนึง่ สปั ดาห } มจี ํานวนสมาชิก 7 ตัว หรือ n(E) = 7 หมายเหตุ จาํ นวนสมาชกิ ของเซต A เขียนแทนดวย n(A) 1.3.3 เซตอนนั ต ( Infinite Set ) บทนิยาม เซตอนันต คอื เซตทีไ่ มใชเซตจาํ กดั ( หรือเซตทีม่ ีจาํ นวนสมาชิกไมจาํ กดั น่นั คอื ไมส ามารถนับจาํ นวนสมาชกิ ไดแ นน อน ) ตัวอยา งเชน A = { -1 , -2 , -3 , … } B = { x | x = 2n เมอื่ n เปนจาํ นวนนับ } C = { x | x เปนจาํ นวนจรงิ } T = { x | x เปน จํานวนนับ } ตวั อยา ง จงพจิ ารณาเซตตอ ไปน้ี เซตใดเปน เซตวาง เซตจํากดั หรอื เซตอนนั ต เซต เซตวา ง เซตจํากดั เซตอนันต 1. เซตของผทู ี่เรยี นการศกึ ษานอกโรงเรียน / / ปก ารศึกษา 2552 / 2. เซตของจาํ นวนเตม็ บวกค่ี 3. เซตของสระในภาษาไทย / 4. เซตของจํานวนเตม็ ท่ีหารดว ย 10 ลงตวั 5. เซตของทะเลทรายในประเทศไทย / /

33 1.3.4 เซตทีเ่ ทากัน ( Equal Set ) เซตสองเซตจะเทากนั ก็ตอ เมื่อท้งั สองเซตมสี มาชิกอยางเดยี วกนั และจํานวนเทากัน บทนิยาม เซต A เทากบั เซต B เขียนแทนดว ย A = B หมายความวา สมาชกิ ทกุ ตัวของเซต A เปน สมาชิกทกุ ตวั ของเซต B และสมาชิกของเซต B เปนสมาชกิ ทุกตัวของเซต A ถา สมาชิกตัวใดตัวหน่งึ ของเซต A ไมเปนสมาชิกของเซต B หรอื สมาชกิ บางตวั ของเซต B ไมเ ปนสมาชิกของเซต A เซต A ไมเทากับเซต B เขยี นแทนดว ย A ≠ B ตัวอยางเชน A = { 0 , { 1,2 } } B = { { 2 ,1 } , 0 } ดังนน้ั A = B ตัวอยา ง กําหนดให A = { 2 , 4 , 6 , 8 } B = { x | x เปน จํานวนเต็มบวกเลขคทู ่ีนอยกวา 10 } วิธที าํ A = { 2 , 4 , 6 , 8 } พิจารณา B เปน จํานวนเตม็ บวกคูท ่ีนอ ยกวา 10 จะได B = { 2 , 4 , 6 , 8 } ดงั น้นั A = B ตวั อยา ง กาํ หนดให A = { 2 , 3 , 5 } , B = { 5 , 2 , 3 , 5 } และ C = { x | x2 – 8x + 15 = 0 } วิธที าํ พจิ ารณา x2 - 8x + 15 = 0 ( x – 3 ) (x – 5 ) = 0 X = 3,5 C = {3,5} ดงั นนั้ A = B แต A ≠ C เพราะ 2  A แต 2  C B  C เพราะ 2  B แต 2  C

34 1.3.5 เซตท่เี ทียบเทา กนั ( Equivalentl Sets ) เซตทเี่ ทียบเทา กัน คอื เซตทมี่ ีจํานวนสมาชิกเทา กันและสมาชิกของเชตจับคกู นั ไดพอดี แบบหน่งึ ตอแบบหน่ึง สญั ลักษณ เชต A เทียบเทากับเชต B แทนดวย A ↔ B บทนิยาม เซต A เทยี บเทากบั เซต B เขียนแทนดว ย A ~ B หรือ A ↔ B หมายความวา สมาชิกของ A และสมาชิกของ B สามารถจบั คูห นง่ึ ตอหนง่ึ ไดพอดี ตัวอยา งเชน A = { 1 , 2 , 3 } B = {4,5,6} จะเหน็ วา จํานวนสมาชกิ ของเซต A เทากับจาํ นวนสมาชิกของ B ดังนนั้ A ↔ B C = { xy , ab } D = {0,1} ดังนัน้ C ~ D เพราะจํานวนสมาชกิ เทา กนั ตวั อยา ง จงพิจารณาเซตแตละคูตอ ไปนวี้ า เซตคใู ดเทากนั หรือเซตคใู ดเทยี บเทา กนั 1) A = { x / x เปนจํานวนเต็ม x2 – 10x + 9 = 0 } B = {1,9} 2) C = { a , { b, c } , d } D = {1,2,{3}} 3) E = { 1 , 4 , 7 } F = {4,1,7} วิธที าํ 1) A = B และ A  B เพราะมีจาํ นวนสมาชิกเทา กัน และสมาชิกเหมือนกนั ทกุ ตวั 2) C  D แต C  D เพราะมีจาํ นวนสมาชกิ เทา กนั แตส มาชิกแตละคไู มเหมือนกนั ทุกตวั 3) E = F และ E  F เพราะมีจํานวนสมาชิกเทา กนั และสมาชิกเหมือนกนั ทกุ ตัว ขอ สงั เกต เถถอาา กภAAพส=ัมพBBทั แธแลลว ว A 1.312...6 A B ไมจ ําเปน ตอ งเทา กบั B

35 บทนยิ าม เอกภพสัมพทั ธ คือ เซตท่ีกําหนดข้ึนโดยมีขอ ตกลงกันวาจะไมกลาวถึง สิง่ อนื่ ใด นอกเหนอื ไปจากสมาชกิ ของเซตทีก่ ําหนด ใชส ัญลกั ษณ U แทน เอกภพสัมพทั ธ ตวั อยา งเชน กาํ หนดให U เปนเซตของจาํ นวนนับ และ A = x | x2  4  จงเขียนเซต A แบบแจกแจงสมาชิก ตอบ A = 2 กาํ หนดให U เปนเซตของจาํ นวนนับ และ A เปนจาํ นวนคู ตอบ A = 2,4,6,8,10 ขอสงั เกต ถาไมมกี ารกําหนดเอกภพสมั พทั ธ ใหถอื วา เอกภพสัมพทั ธนั้นเปนเซตของจํานวนจรงิ

36 แบบฝก หดั ที่ 1 1. จงเขียนเซตตอไปนีแ้ บบแจกแจงสมาชกิ 1) เซตของจังหวดั ในประเทศไทยท่มี ีช่ือขน้ึ ตนดวยพยญั ชนะ “ส” 2) เซตของสระในภาษาอังกฤษ 3) เซตของจาํ นวนเต็มบวกทมี่ ีสามหลัก 4) เซตของจาํ นวนคูบ วกทม่ี ีคา นอยกวา 20 5) เซตของจํานวนเต็มลบทม่ี คี า นอยกวา – 120 6) { x|x เปน จาํ นวนเตม็ ที่มากกวา 5 และนอยกวา 15 } 7) { x|x เปนจาํ นวนเตม็ ที่อยูระหวาง 0 กบั 0 } 2. จงบอกจาํ นวนสมาชิกของเซตตอไปน้ี 1) A = {3456} 2) B = {a,b,c,de,fg,hij,} 3) C = { x|x เปนจาํ นวนเต็มบวกที่อยรู ะหวาง 10 ถึง 35 } 4) D = { x|x เปนจาํ นวนเตม็ บวกทน่ี อ ยกวา 9 } 3. จงเขยี นเซตตอไปนแ้ี บบบอกเง่อื นไข 1) K = { 2,4,6,8} 2) P = { 1,2,3,...} 3) H = { 1,4,9,16,25,...} 4. จงพจิ ารณาเซตตอ ไปน้ี เปน เซตวางหรือเซตจาํ กดั หรอื เซตอนนั ต 1) เซตของสระในภาษาไทย 2) เซตของจาํ นวนเต็มทอ่ี ยรู ะหวาง 21 และ 300 3) A = { x | x เปนจาํ นวนเต็มและ x  0 } 4) B = { x | x เปนจํานวนเต็มคทู ่นี อ ยกวา 2 } 5) C = { x | x = 9 และ x – 3 = 5 } 6) A = { x | x เปน จํานวนนบั ทน่ี อยกวา 1 } 7) E = { x | x เปน จํานวนเฉพาะ 1  x  3 } 8) F = { x | x เปนจํานวนเตม็ 4  x  5 } 9) B = { x | x เปน จาํ นวนนบั x2 + 3x + 2 = 0 } 10) D = { x | x เปน จาํ นวนเต็มทีห่ ารดวย 5 ลงตัว }

37 5. เซตตอไปนี้เซตใดบางท่เี ปนเซตทเ่ี ทากนั 1) A = { 2,4,6,8,10 } B = {x| x เปนจาํ นวนคูบ วก 2 ถึง 10 } 2) D = { 7,14,21,28,......343} E = {x|x = 7r และ r เปน จาํ นวนนบั ทม่ี ีคา นอ ยกวา 50 } 3) F = { x|x =3n และ n และ n } G = { 3,6,9} 4) Q = {4} H = { x|x เปน จํานวนเต็มและ x2 16 }

38 เรือ่ งท่ี 2 การดาํ เนินการของเซต การดาํ เนนิ การที่สําคัญของเซตทจ่ี าํ เปนตอ งรูแ ละทาํ ความเขา ใจใหถ อ งแทม ี 4 ชนดิ ไดแ ก 1. การยเู นียนของเซต 2. การอนิ เตอรเ ซคช่ันของเซต 3. คอมพลเี มน ทข องเซต 4. ผลตา งของเซต 2.1 การยูเนยี นของเซต ใชสญั ลักษณ “ ” บทนิยาม A  B = { x | x  A  x  B } เรียกวา ผลบวก หรอื ผลรวม (union) ของ A และ B ตัวอยา ง 1. ถา A = {0 , 1 , 2 , 3} และ B = {1 , 3 , 5 , 7} จะได A  B = {0 , 1 , 2 , 3 , 5 , 7} ตวั อยาง 2. ถา M = {x | x เปน จาํ นวนเตม็ บวก} และ L = {1 , 2 , 3 , 4} จะได M  L = M ตัวอยา ง 3. ถา W = {a , s , d , f} และ Z = {p , k , b} จะได W  Z = {a , s , d , f , p , k , b} ตวั อยาง 4 A ={1,2,3} , B= {3,4,5} จะได A  B = {1,2,3,4,5} 2.2 การอนิ เตอรเ ซคชัน ใชส ญั ลกั ษณ “ ” บทนยิ าม A  B = { x|x A  xB } เรยี กวา ผลตดั หรือผลทเี่ หมอื นกัน (Intersection) ของ A และ B ตัวอยา ง 1. ถา A = {0 , 1 , 2 , 3} และ B = {1 , 3 , 5 , 7} จะได A  B = {1 , 3} ตัวอยาง 2. ถา M = {x | x เปน จาํ นวนเตม็ บวก} และ L = {1 , 2 , 3 , 4} จะได M  L = L

39 ตัวอยาง 3. ถา W = {a , s , d , f} และ Z = {p , k , b} จะได W Z = { } 2.3 คอมพลเี มน ตข องเซต ใชสัญลักษณ “ / ” บทนิยาม ถา U เปน เอกภพสมั พทั ธ คอมพลเี มนตของ A คอื เซตทีป่ ระกอบดวยสมาชกิ ท่ีอยใู น  แตไ มอ ยใู น A เขยี น A แทนคอมพลีเมนทของ A ดังน้ัน A = { x | x  A } ตัวอยา ง 1. ถา U = {0, 1, 2, 3, 4, 5} และ A = {0 ,2} จะได = {1, 3,4, 5} ตวั อยาง 2. ถา U = {1, 2, 3, ... } และ C = { x|x เปน จํานวนค}ู จะได = { x |x U และ x เปน จํานวนคี่ } 2.4 ผลตา งของเซต ใชส ญั ลกั ษณ “ – ” บทนิยาม ผลตา งระหวา งเซต A และเซต B คอื เซตทป่ี ระกอบดว ยสมาชกิ ของเซต A ซ่ึง ไมเปน สมาชิกของเซต B ผลตา งระหวางเซต A และ B เขยี นแทนดวย A – B ซง่ึ A - B = { x | x  A xB} ตัวอยาง 1. ถา A = {0, 1, 2, 3, 4} และ B = {3 , 4 , 5 , 6 , 7} จะได A - B = {0, 1, 2} และ B - A = {5 , 6 , 7}

40 ตวั อยาง 2. ถา U = {1, 2, 3, ... } และ C = { x|x เปน จํานวนคบู วก} จะได U – C = {x|x เปนจาํ นวนคบ่ี วก} สมบตั ิของเซตที่ควรทราบ ให A,B และ C เปนสบั เซตของเอกภพสมั พัทธ U สมบตั ติ อ ไปนี้เปนจรงิ 1) กฎการสลับท่ี AB  B A AB  B A 2) กฎการเปล่ยี นกลุม A  B  C  A  B C A  B  C  A  B C 3) กฎการแจงแจง A  B  C  A  B A  C A  B  C  A  B A  C 4) กฎเอกลักษณ   A  A  A U  A  AU  A 5) A  A  U 6)   U และ U    7) A  A 8) A  A  A และ A  A  A 9) A  B  A  B 10) A    และ A   A

41 แบบฝก หดั ท่ี 2 1) ถา A = { 0,1,2,3,4,5}, และ B { 1,2,3,4 } จงหา 1) A  B ……………………………. 2). B  A …………………………..…… 3). A  B ............................................. 4). B  A ……………………………..… 5). A – B……………………..…………. 6). B – A……………………………….…. 2). กาํ หนดให U = { 1,2,3, ... ,10 } A = { 2,4,6,8,10 } B = { 1,3,5,7,9} C = { 3,4,5,6,7 } จงหา 1. A  B ……………………………………………………………………………………… 2. B  C ……………………………………………………………………………………… 3. B  C …………………………………………………………………………………….… 4. A  C ..………………………………………………………………………………..…… 5. C ..………………………………………………………………………………..…………. 6. C  A ………………………………………………………………………………..…….. 7. C  B ..………………………………………………………………………………..…… 8. (A ……………………………………………….…………………………………

42 เรื่องท่ี 3 แผนภาพเวนน - ออยเลอรและการแกป ญ หา 3.1 แผนภาพเวนน - ออยเลอร การเขียนแผนภาพแทนเซตชว ยใหเขาใจเก่ียวกับความสัมพนั ธระหวา งเซตชดั เจนยงิ่ ขึน้ เรยี ก แผนภาพแทนเซตวา แผนภาพของเวนน- ออยเลอร เพื่อเปน เกียรติแกน กั คณติ ศาสตรชาวองั กฤษ จอหน เวนน (John Venn พ.ศ.2377-2466) และนักคณติ ศาสตรชาวสวสิ เลโอนารด ออยเลอร (Leonard Euler พ.ศ. 2250-2326) ซ่ึงเปน ผคู ดิ แผนภาพเพอื่ แสดงความสัมพนั ธร ะหวา งเซต การเขยี นแผนภาพของเวนน- ออยเลอร (Venn-Euler) เพือ่ แสดงความสัมพนั ธระหวางเซตนิยม เขียนรปู สีเ่ หลยี่ มมมุ ฉากแทนเอกภพสัมพทั ธ (U) และใชรปู วงกลม วงรี หรอื รูปปดใด ๆ แทนเซต ตาง ๆ ซึ่งเปน สบั เซตของ U ลกั ษณะตาง ๆ ของการเขยี นแผนภาพ มดี งั น้ี ซึ่งแผนภาพเวนน- ออยเลอร เมอื่ นํามาใชก บั การดาํ เนินการบนเซตแลว นน้ั จะทาํ ใหผ ูเรยี นเขา ใจ ในเรื่องการดําเนนิ การบนเซตมากขน้ึ ดังตวั อยา งตอ ไปนี้ ยูเนียน (Union) สามารถใชแผนภาพของเวนน- ออยเลอร แสดงใหเ ห็นกรณตี า ง ๆ ของเซตใหมท เ่ี กิด จาก ไดจากสวนที่แรเงา ดังน้ี (ระบายพืน้ ทข่ี องท้งั สองเซตไมวา จะมพี ้ืนทซี่ ้ํากันหรอื ไมซ ้ํากนั )

43 อนิ เตอรเซกชนั (intersection) สามารถใชแ ผนภาพของเวนน- ออยเลอร แสดงใหเหน็ กรณีตา ง ๆ ของเซตใหมท ีเ่ กิดจาก ไดจ ากสว นท่ีแรเงา ดงั นี้ คอมพลเี มนต (Complement) กําหนดให เซต A เปนสับเซตของเอกภพสมั พัทธ U คอมพลเี มนตของ A คือ เซตทีป่ ระกอบดว ย สมาชกิ ของเอกภพสัมพัทธ (U) แตไ มเปน สมาชิกของ A เขยี นแทนดว ย (อา นวา เอไพรม) และ เพอ่ื ใหม องภาพไดช ดั ข้นึ อาจใชแผนภาพของเวนน- ออยเลอรแสดงการคอมพลเี มนตข องเซต A ได ดังน้ี A คือ สวนท่ีแรเงา ผลตาง (Relative Complement or Difference) สามารถใชแผนภาพของเวนน- ออยเลอร แสดงใหเห็นกรณตี า ง ๆ ของเซตใหมท ่ีเกดิ จาก A - B ไดจากสว นท่ีแรเงา ดังน้ี (ระบายสีเฉพาะพน้ื ท่ีของเซต A ท่ไี มใ ชพื้นทข่ี องเซต B)