หนังสือเรียนสาระความรู้พื้นฐาน รายวิชา คณิตศาสตร์ (พค31001) ระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย

51 ตัวอยางท่ี 4 กาํ หนดให A และ B เปนสับเซตของ U โดยที่ U = ( 1 , 2 , 3 , . . . , 10 } ถา n (A/ ∪ B/) = 5 , n (A/ ) = 3 , n (B) = 6 แลว จงหา n ( A ∪ B) / วิธที ํา จาก n ( U ) = 10 , n (A/ ∪ B/) = 5 , n (A/ ) = 3 , n (B) = 6 n (A ∪ B′) = n (A ∪ B/) ∴ n ( A ∩ B) = 10 – 5 = 5 n (A) = 10 – 3 = 7 n ( A ∪ B ) = n ( A ) + n (B) - n ( A ∩ B) n(A ∪ B) = 7+6–5 = 8 ∴ n ( A ∪ B) / = 10 - 8 = 2 • ถา เซต A เซต B และเซต C มีสมาชิกบางตัวรวมกันn (A ∪ B ∪ C ) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A ∩ B) – n (B ∩ C) - n (A ∩ C) + n (A ∩ B ∩ C) ตัวอยา งท่ี 5 พิจารณาจากรูป ตัวเลขในภาพแสดงจํานวนสมาชิกของเซตจะได = 60 1) n (U) = 26 2) n (A) =7 3) n (B ∩ C) =8 4) n (A ∩ C) =3 5) n (A ∩ B ∩ C )

52 3.2 การนําเซตไปใชใ นการแกป ญ หา การแกป ญ หาโจทยโดยใชค วามรเู รอ่ื งเซต ส่งิ ท่นี ํามาใชป ระโยชนม ากกค็ อื การเขียนแผนภาพเวนน - ออยเลอร และนาํ ความรูเร่ืองสมาชกิ ของเซตจํากดั ดงั ท่ีจะศกึ ษารายละเอียดตอไปนี้ตัวอยางท่ี 1 บรษิ ัทแหง หนึ่งมพี นักงาน 80 คน พบวา พนกั งาน 18 คนมีรถยนต พนักงาน 23 คน มีบานเปนของตวั เอง และพนักงาน 9 คน มีบานของตัวเองและรถยนต จงหา 1) จาํ นวนพนกั งานทง้ั หมดทม่ี ีรถยนตห รือมบี า นเปนของตวั เอง 2) จํานวนพนักงานท่ีไมม ีรถยนตห รือบานของตัวเองวิธีทํา ให A แทนเซตของพนักงานที่มีรถยนต B แทนเซตของพนักงานที่มีบานเปนของตัวเอง เขยี นจาํ นวนพนกั งานที่สอดคลองกบั ขอมูลลงในแผนภาพไดด งั น้ี 1) n (A) = 18 , n (B) = 23 , n (A ∩ B) = 9 พจิ ารณา n (A ∪ B) = n(A) + n(B) - n (A ∩ B) = 18 + 23 – 9 = 32 ดงั นัน้ จาํ วนพนักงานท่มี ีรถยนตห รือมบี า นของตัวเองเปน 32 คน 2) เน่ืองจากพนักงานทั้งหมด 80 คน นนั่ คอื พนักงานท่ไี มม ีรถยนตหรือบานของตัวเอง = 80 - 32 = 48 คน ดงั นั้น พนกั งานท่ไี มมีรถยนตหรือบา นของตวั เองเปน 48 คน

53ตัวอยา งที่ 2 ในการสํารวจเกี่ยวกับความชอบของนักศึกษา 100 คน พบวา นักศึกษาท่ชี อบเรียน คณิตศาสตร 52 คน นักศกึ ษาทชี่ อบเรยี นภาษาไทย 60 คน นกั ศกึ ษาทไ่ี มชอบเรยี น คณิตศาสตรและไมชอบเรียนภาษาไทยมี 14 คน จงหานักศึกษาท่ชี อบเรียนคณติ ศาสตร และภาษาไทยวิธีทาํ แนวคิดที่ 1 ให A แทนเซตของนักศึกษาที่ชอบเรียนคณิตศาสตร B แทนเซตของนักศึกษาที่ชอบเรียนภาษาไทย จาก n (A) = 52 , n(B) = 60 n ( A/ ∩ B/ ) = 14 = n ( A ∪ B )/ [∴A/ ∩ B/ = ( A ∪ B ) / ] ∴ n ( A ∪ B ) = 100 n ( A ∪ B ) = n(A) + n(B) - n (A ∩ B) 100 – 14 = 52 + 60 - n (A ∩ B) 86 = 52 + 60 - n (A ∩ B) n (A ∩ B) = 112 - 86 = 26 ดังนนั้ จํานวนนกั ศกึ ษาที่ชอบเรียนคณติ ศาสตรแ ละภาษาไทย มี 26 คน แนวคดิ ท่ี 2 ให x แทนจํานวนนักศึกษาที่ชอบเรียนคณิตศาสตรและภาษาไทย จากแผนภาพเขยี นสมการไดดงั น้ี ( 52 - x ) + x + ( 60 - x ) = 100 - 14 112 - x = 86 x = 112 - 86 = 26 ดงั นน้ั จาํ นวนนักศกึ ษาท่ีชอบเรียนคณติ ศาสตรแ ละภาษาไทย มี 26 คน

54ตวั อยางท่ี 3 นกั ศึกษาสาขาหนึ่งมี 1,000 คน มีนกั ศกึ ษาเรยี นภาษาอังกฤษ 800 คน เรยี น คอมพิวเตอร 400 คน และเลอื กเรยี นท้งั สองวิชา 280 คน อยากทราบวา 1) มีนักศกึ ษากี่คนท่เี รยี นภาษาอังกฤษเพียงวชิ าเดยี ว 2) มีนักศึกษาก่คี นทเี่ รียนคอมพิวเตอรเพียงวชิ าเดียว 3) มีนกั ศกึ ษากค่ี นทีไ่ มไดเ รยี นวิชาใดวชิ าหน่งึ เลย 4) มนี กั ศึกษากคี่ นท่ไี มไ ดเรยี นทัง้ สองวิชาพรอมกันวธิ ีทาํ ให U แทนเซตของนักศึกษาทั้งหมด A แทน เซตของนักศึกษาทีเ่ รียนวชิ าภาษาองั กฤษ B แทน เซตของนักศกึ ษาทีเ่ รียนวชิ าคอมพิวเตอร A ∩ B แทน เซตของนักศกึ ษาท่เี รียนทั้งสองวิชา n ( U ) = 1,000 , n ( A ) = 800 , n ( B ) = 400 , n (A ∩ B) = 280 เขยี นแผนภาพไดด งั น้ี1) นักศึกษาท่เี รียนภาษาองั กฤษเพียงวชิ าเดยี วมีจาํ นวน 800 - 280 = 520 คน2) นกั ศึกษาท่เี รียนคอมพิวเตอรเพียงวชิ าเดยี วมจี าํ นวน 400 - 280 = 120 คน3) นกั ศกึ ษาทไ่ี มไ ดเรียนวชิ าใดวชิ าหนง่ึ เลย คือสวนที่แรเงาในแผนภาพซงึ่ มีจาํ นวน เทากบั 1,000 - 520 - 280 - 120 = 80 คน

55 4) นกั ศึกษาทีไ่ มเรยี นทั้งสองวชิ าพรอ มกัน คือ นกั ศึกษาทเ่ี รยี นวิชาใดวิชาหน่งึ เพยี งวชิ า เดยี ว รวมกับนักศึกษาที่ไมเรยี นวชิ าใดเลย คอื สว นท่แี รเงาในแผนภาพ ซึ่งมจี าํ นวน เทา กับ 1,000 - 280 = 720 หรือ 520 + 120 + 80 = 720 คนตัวอยางท่ี 4 ในการสํารวจผใู ชสบู 3 ชนิด คอื ก , ข , ค พบวา มีผใู ชช นดิ ก. 113 คน, ชนิด ข. 180 คน, ชนดิ ค. 190 คน, ใชชนดิ ก . และ ข. 45 คน, ชนดิ ก. และ ค. 25 คน, ชนดิ ข. และ ค. 20 คน, ท้ัง 3 ชนดิ 15 คน, ไมใ ชทั้ง 3วิธีทาํ ชนดิ 72 คน จงหาจํานวนของผเู ขารับการสาํ รวจทงั้ หมด แนวคดิ ที่ 1 ให A แทนผใู ชสบชู นดิ ก. B แทนผใู ชส บชู นิด ข. C แทนผูใชสบูช นิด ค. จาก n (A ∪ B ∪ C) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A ∩ B) – n (B ∩ C) - n ( A ∩ C ) + n (A ∩ B ∩ C) โดยที่ n (A) = 113 n (B) = 180 n (C) = 190 n (A ∩ B) = 45 n (A ∩ C) = 25 n (B ∩ C) = 20 n (A ∩ B ∩ C) = 15 n (A ∪ B ∪ C ) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A ∩ B) – n (B ∩ C) - n (A ∩ C) + n (A ∩ B ∩ C) ∴ n (A ∪ B ∪ C) = 113 + 180 + 190 - 45 – 20 – 25 + 15 = 408

56จาํ นวนผูท ี่ใชส บู ก. หรอื ข. หรือ ค. = 408 คนจาํ นวนผูท่ไี มใชทง้ั 3 ชนิด = 72 คนดงั น้นั จํานวนของผูเขารบั การสํารวจทัง้ หมด 408 + 72 = 480 คนแนวคดิ ที่ 2 ให A แทนผใู ชสบชู นดิ ก. B แทนผูใ ชสบูชนิด ข. C แทนผูใ ชสบูชนิด ค.จาํ นวนผูท่ใี ชส บู ก. หรือ ข. หรือ ค. = 58 + 30 + 10 + 15 + 160 + 5 + 130 = 408 คนจาํ นวนผทู ีไ่ มใชทั้ง 3 ชนิด = 72 คนดงั นั้น จาํ นวนของผูเขารบั การสาํ รวจทั้งหมด 408 + 72 = 480 คน

57 แบบฝกหดั ท่ี 31. จงแรเงาแผนภาพที่กาํ หนดใหเ พ่ือแสดงเซตตอไปน้ี 1) B′ 2) A ∩ B′ 3) A′ 4) A′ ∪ B 5) A′ ∪ B′2. จากแผนภาพท่ีกาํ หนดให จงหาคา 1) A′ 2) (A ∩ B)′ 3) A′U B 4) A′ ∩ B

583. จากแผนภาพ กาํ หนดให U , A, B และ A∩B เปนเซตที่มีจํานวนสมาชิก 100 ,40,25, และ 6 ตามลําดบั จงเติมจํานวนสมาชิกของเซตตาง ๆ ลงในตารางตอไปนี้ เซต A-B B-A A∩B A′ B′ ( A ∪ Bจํานวนสมาชิก4. จากการสอบถามผูเรียนชอบเลนกฬี า 75 คน พบวา ชอบเลนปงปอง 27 คน ชอบเลนแบตมนิ ตัน 34 คน ชอบเลนฟุตบอล 42 คน ชอบทั้งฟุตบอลและปงปอง 14 คน ชอบทัง้ ฟุตบอลและ แบตมินตัน 12 คน ชอบทั้งปงปองและแบดมินตัน 10 คน ชอบทั้งสามประเภท 7 คน จงหาวานักศึกษาที่ชอบเลนกีฬาประเภทเดียวมีกี่คน

59 บทที่ 4การใหเ หตผุ ลสาระสําคัญ 1. การใหเหตุผลแบบอุปนัยเปนการสรุปผลภายหลังจากคนพบความจริงที่ไดจากการสังเกต หรือการทดลองหลาย ๆ ครั้งจากทกุ ๆ กรณยี อยแลวนําบทสรปุ มาเปนความรูแบบทั่วไปเรา เรยี กขอ สรุปแบบนว้ี า “ ขอความคาดการณ” 2. การใหเหตุผลแบบนิรนัยไมไดคํานึงถึงความจริงหรือความเท็จแตจะคํานึงเฉพาะขอสรุปที่ ตองสรุปออกมาไดเทานั้นผลการเรียนรูท ีค่ าดหวัง 1. อธบิ ายและใชก ารใหเ หตผุ ลแบบอปุ นยั และนริ นยั ได 2. บอกไดวาการอางเหตุผลสมเหตสุ มผลหรือไม โดยใชแผนภาพเวนน – ออยเลอรไ ดขอบขา ยเน้ือหา เร่ืองที่ 1 การใหเ หตุผล เร่ืองที่ 2 การอา งเหตุผลโดยใชแผนภาพเวนน – ออยเลอร

60เรือ่ งท่ี 1 การใหเ หตผุ ล การใหเหตุผลมคี วามสําคญั เพราะการดาํ เนนิ ชวี ิตของคนเราตองขึน้ อยกู ับเหตผุ ลไมว า จะเปนความเชอ่ื การโตแยง และการตัดสนิ ใจ เราจําเปนตองใชเหตผุ ลประกอบทงั้ สิ้น อกี ท้ังยงั เปน พนื้ ฐานท่ีสาํ คัญในการหาความรขู องศาสตรตา ง ๆ อกี ดว ย การใหเ หตุผล แบง เปน 2 ประเภท ไดแก การใหเหตผุ ลแบบอปุ นัย และการใหเ หตุผลแบบนริ นยั 1.1 การใหเ หตผุ ลแบบอุปนัย ( Inductive Reasoning ) การใหเหตุผลแบบอุปนัย หมายถึง การสรุปผลภายหลังจากการคนพบความจริงที่ไดจาก การใชสังเกต หรือการทดลองมาแลวหลายๆครั้ง จากทุกๆกรณียอยๆ แลวนําบทสรุปมาเปนความรู แบบทั่วไป หรืออกี นยั หนึ่ง การใหเ หตุผลแบบอุปนัย หมายถึง การใหเ หตผุ ลโดยยดึ ความจรงิ สว นยอ ยทีพ่ บเหน็ ไปสูความจริงสวนใหญตวั อยา งการใหเ หตุผลแบบอุปนัย 1. มนุษยส งั เกตพบวา : ทุก ๆวันดวงอาทิตยขึ้นทางทิศตะวันออก และตกทางทิศตะวนั ตก จงึ สรุปวา : ดวงอาทิตยขึ้นทางทิศตะวนั ออก และตกทางทิศตะวนั ตกเสมอ 2. สนุ ทรี พบวา ทกุ ครง้ั ที่คุณแมไ ปซอ้ื กวยเตีย๋ วผัดไทยจะมีตน กยุ ชา ยมาดว ยทกุ คร้ัง จงึ สรุปวา กว ยเต๋ียวผัดไทยตอ งมตี นกุยชาย 3. ชาวสวนมะมวงสังเกตมาหลายปพบวา ถาปใดมีหมอกมาก ปนั้นจะไดผลผลิตนอย เขาจึงสรุปวาหมอกเปนสาเหตุที่ทําใหผลผลิตนอย ตอมามีชาวสวนหลายคนทดลอง ฉีดน้าํ ลา งชอ มะมวง เม่ือมหี มอกมากๆ พบวาจะไดผลผลิตมากขึ้น จึงสรุปวา การลางชอมะมวงตอนมีหมอกมากๆ จะทําใหไดผลผลิตมากขึ้น

61 4. นายสมบัติ พบวา ทุกครั้งที่ทําความดีจะมีความสบายใจ จึงสรุปผลวา การทําความดีจะทําใหเกิดความสบายใจตัวอยา งการใหเหตผุ ลแบบอุปนัยทางคณติ ศาสตร 1. จงใชก ารใหเหตผุ ลแบบอปุ นัยสรปุ ผลเกย่ี วกบั ผลบวกของจํานวนคูส องจาํ นวน 0+2 = 2 (จาํ นวนค)ู 2+4 = 6 (จาํ นวนคู) 4+6 = 10 (จาํ นวนค)ู 6+8 = 14 (จาํ นวนคู) 8+10 = 18 (จาํ นวนค)ู สรุปผลวา ผลบวกของจํานวนคูสองจํานวนเปนจํานวนคู 2. 11×11 = 121 11×111 = 12321 1111×1111 = 1234321 11111×11111 = 123454321 3. (1 × 9) + 2 = 11 (12 × 9) + 3 = 111 (123 × 9) + 4 = 1111 (1234 × 9) + 5 = 11111ขอ สงั เกต 1) ขอ สรปุ ของการใหเหตุผลแบบอุปนัยอาจจะไมจริงเสมอไป 2) การสรุปผลของการใหเ หตุผลแบบอุปนัยอาจข้ึนอยกู บั ประสบการณข องผสู รปุ 3) ขอ สรุปทไี่ ดจากการใหเ หตผุ ลแบบอปุ นยั ไมจําเปน ตอ งเหมอื นกันตวั อยาง 1. กาํ หนด จาํ นวน 2, 4, 6 , a จงหา จาํ นวน a จะได a = 82. กาํ หนด จาํ นวน 2, 4, 6 , a จงหา จาํ นวน a จะได a = 10 เพราะวา 4 + 6 = 103. กาํ หนด จาํ นวน 2, 4, 6 , a จงหา จาํ นวน a จะได a = 22 เพราะวา 6 = (2 × 4)-2 และ 22 = (4 × 6)-2

62 4) ขอสรุปของการใหเหตุผลแบบอุปนัยอาจ ผดิ พลาดไดตวั อยา ง ให F(n) = n2 - 79n + 1601 ทดลองแทนคา จาํ นวนนบั n ใน F(n) n = 1 ได F(1) = 1523 เปน จาํ นวนเฉพาะ n = 2 ได F(2) = 1447 เปน จาํ นวนเฉพาะ n = 3 ได F(3) = 1373 เปนจาํ นวนเฉพาะ∴ F(n) = n2 - 79n + 1601แทนคา n ไปเรอ่ื ยๆ จนกระทั่งแทน n = 79 ได F(79) เปนจํานวนเฉพาะจากการทดลองดังกลาว อาจสรุปไดว า n2 - 79n + 1601 เปนจํานวนเฉพาะ สําหรับทุกจํานวนนับแต F(n) = n2 - 79n + 1601 F(80) = 802 - (79)(80) + 1601 = 1681 = (41)(41) ∴ F(80) ไมเปนจํานวนเฉพาะ

63 แบบฝกหัดที่ 1จงเติมคําตอบลงในชองวางตอไปนี้1) 1,4,9,16,  ,  ,49, 64,  , 2) 2,7,17,  ,52 ,  , 3) 5,10,30,120,  , 4) ถา 12345679 × 9 = 111111111 12345679 × 18 = 222222222 12345679 × 27 = 333333333 12345679 ×  = 12345679 ×  = 9999999995) ถา 2=2 2+4 = 6 2+4+6 = 12 2+4+6+8 = 20 2+4+6+8+ = 30 2+4+ +8+ + 12 =  2+ + +8+ 12+14 =  2+ + +8+ +12+14+ = 

641.2. การใหเ หตุผลแบบนริ นัย (Deductive reasoning) เปน การนําความรูพื้นฐานที่อาจเปนความเชื่อ ขอตกลง กฏ หรือบทนิยาม ซ่งึ เปน สิง่ ท่รี ูมากอ นและยอมรบั วาเปนจริง เพื่อหาเหตผุ ลนาํ ไปสขู อสรุป การใหเหตุผลแบบนิรนัย ไมไดคํานึงถึง ความจริงหรือความเท็จ แตจะคํานึงถึง เฉพาะขอสรุปที่ตองออกมาไดเ ทาน้ัน พจิ ารณากระบวนการการใหเ หตผุ ลแบบนิรนยั จากแผนภาพดงั น้ีตวั อยางการใหเหตุผลแบบนิรนยั 1. เหตุ 1) จาํ นวนคหู มายถงึ จํานวนทห่ี ารดว ย 2 ลงตวั 2) 10 หารดว ย2 ลงตวั ผล 10 เปน จาํ นวนคู 2. เหตุ 1) คนท่ีไมมหี น้ีสนิ และมีเงินฝากในธนาคารมากกวา 10 ลานบาท เปนเศรษฐี 2) คุณมานะไมมีหนี้สินและมีเงินฝากในธนาคาร 11 ลานบาท ผล คุณมานะเปนเศรษฐี

65 3. เหตุ 1) นักกีฬาการแจงทุกคนจะตองมีสุขภาพดี 2) เกียรตศิ ักดิเ์ ปน นกั ฟุตบอลทมี ชาติไทย ผล เกยี รตศิ ักดม์ิ สี ขุ ภาพดี จากตัวอยางจะเห็นวาการยอมรับความรูพื้นฐานหรือความจริงบางอยางกอน แลวจึงหาขอสรุปจากส่งิ ทยี่ อมรับแลว น้นั ซง่ึ เรียกวา ผล การสรปุ ผลจะถูกตองกต็ อเมื่อเปน การสรุปผลไดอ ยา งสมเหตุสมผล(valid) เชน เหตุ 1) เรือทุกลาํ ลอยนํา้ 2) ถังน้ําพลาสตกิ ลอยน้าํ ได ผล ถังนํา้ พลาสติกเปนเรือ การสรุปผลจากขางตนไมสมเหตุสมผล แมวาขออางหรือเหตุทั้งสองขอจะเปนจริง แตการที่เราทราบ วา เรือทกุ ลําลอยน้ําไดก็ไมไดห มายความวา สิง่ อน่ื ๆ ทล่ี อยนาํ้ ไดจ ะตองเปน เรือเสมอไป ขอ สรปุ ในตัวอยางขางตนจึงเปนการสรุปที่ไมสมเหตุสมผลขอ สังเกต 1. เหตุเปน จรงิ และ ผลเปน จรงิ เหตุ แมงมุมทุกตัวมี 6 ขา และสัตวท ีม่ ี 6 ขา ทกุ ตัวมปี ก ผล ดังนั้นแมงมุมทุกตัวมีปก 2. เหตุเปน เท็จ และ ผลเปน เท็จ เหตุ ถานายดําถูกลอ ตเตอรี่รางวัลท่ีหนึง่ นายดําจะมีเงินมากมาย แตนายดาํ ไมถูกลอ ตเตอรี่รางวลั ท่ีหนึง่ ผล ดังนั้นนายดํามีเงินไมมาก 3. เหตุอาจเปน จรงิ และผลอาจเปน เท็จ 4. ผลสรปุ สมเหตสุ มผลไมไ ดประกนั วาขอ สรปุ จะตองเปนจรงิ เสมอไป

66 แบบฝก หัดที่ 2จงตรวจสอบผลที่ไดว าสมเหตุสมผลหรือไม1) เหตุ 1. คนทุกคนที่เปนไขหวัดตองไอ ผล 2. คนชอ่ื มนุ ีไอ2) เหตุ มนุ เี ปน ไขห วัด 1. ชาวนาทุกคนเปนคนอดทน ผล 2. นายมีเปนชาวนา3) เหตุ นายมีเปนคนอดทน 1. สัตวมปี ก จะบนิ ได ผล 2. นกกระจอกเทศเปน สัตวมีปก นกกระจอกเทศบินได4) เหตุ 1. จาํ นวนเต็มทหี่ ารดวย 9 ลงตวั จะหารดวย 3 ลงตวั 2. 15 หารดว ย 3 ลงตัวผล 15 หารดว ย 9 ลงตัว5) เหตุ 1. สัตวเลยี้ งลูกดวยนมบางชนิดไมมีขา 2. งูไมมีขาผล งูเปนสัตวเลย้ี งลูกดวยนม

67เรื่องท่ี 2 การอา งเหตผุ ลโดยใชแ ผนภาพของเวนน- ออยเลอร ออยเลอร เปนนกั คณิตศาสตรช าวสวสิ เซอรแลนด มชี ีวิตอยูร ะหวาง ค.ศ. 1707 - 1783 เขาไดคนพบวิธีการตรวจสอบความสมเหตุสมผลโดยใชรูปปด เชน วงกลม ซง่ึ เปน วิธีการทีง่ าย และรวดเรว็ โดยมหี ลกั การดังนี้ 1. เขยี นวงกลมแตล ะวงแทนเซตแตล ะเซต 2. ถามี 2 เซตสัมพันธกนั กเ็ ขยี นวงกลมใหคาบเก่ียวกัน 3. ถา เซต 2 เซตไมส ัมพันธกันกเ็ ขยี นวงกลมใหแ ยกหางจากกนัแผนผงั แสดงการตรวจสอบความสมเหตสุ มผลโดยใชแ ผนภาพเวนน- ออยเลอร

68ขอ ความ หรอื เหตแุ ละผล และแผนภาพเวนน – ออยเลอร ทใี่ ชใ นการใหเหตุผลมี 6 แบบ ดงั นี้

69ตวั อยา ง การตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการใหเหตุผลโดยใชแผนภาพ1. เหตุ 1 : คนทุกคนเปนสิ่งที่มีสองขา2 : ตํารวจทุกคนเปนคนผลสรุป ตํารวจทุกคนเปนสิ่งท่ีมีสองขาจากเหตุ 1 จากเหตุ 2 แผนภาพรวม จากแผนภาพจะเหน็ วา วงของ \" ตาํ รวจ \" อยใู นวงของ \" สิ่งมี 2 ขา \" แสดงวา \" ตํารวจทุกคนเปนคนมีสองขา \" ซ่งึ สอดคลองกบั ผลสรุปทีก่ ําหนดให ดังนั้น การใหเ หตุผลนี้สมเหตสุ มผล 2. เหตุ 1 : สุนัขบางตัวมีขนยาว 2 : มอมเปนสุนัขของฉัน ผลสรุป มอมเปน สุนขั ทีม่ ีขนยาวดงั น้นั ผลสรุปที่วา มอมเปนสุนขั ท่ีมขี นยาว ไมส มเหตุสมผล

70 แบบฝก หดั ที่ 3จงตรวจสอบผลที่ไดวา สมเหตสุ มผลหรอื ไม โดยใชแผนภาพเวนน – ออยเลอร1) เหตุ 1. ถาฝนตก แคทลยี ากไ็ มออกนอกบา น 2. ฝนตกผล แคทลียาไมออกนอกบาน2) เหตุ 1. ถาสมชายขยันเรียนแลวเขาสอบเขาเกษตรได 2. สมชายสอบเขาเกษตรไมไดผล สมชายไมขยันเรียน3) เหตุ 1. ถา อากาศชืน้ แลว อณุ หภูมิจะลด ผล 2. ถาอุณหภมู ิลด แลวเกิดหมอก4) เหตุ 3. อากาศชื้น จะเกดิ หมอก 1. a เปน จาํ นวนบวก หรอื เปนจาํ นวนลบ 2. a ไมเ ปน จาํ นวนบวกผล a เปน จาํ นวนลบ5) เหตุ 1. แมวบางตัวมีสองขา 2. นกยูงทุกตัวมีสองขาผล นกบางตัวเปนแมว

71 บทท่ี 5 อตั ราสว นตรโี กณมิตแิ ละการนาํ ไปใชสาระสําคญั 1. ถารูปสามเหลี่ยมคูใดคลายกัน อัตราสวนของดานที่อยูตรงขามมุมที่เทากันจะเทากัน 2. ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากทุกรูป อัตราสวนความยาวดาน 2 ดา น จะถกู กําหนดคาตางๆไวดงั น้ี 2.1 คาไซนของมุมใด (sine) จะเทากับอัตราสวนระหวางความยาวของดานตรงขามมุมนั้น กับความยาวของดานตรงขามมุมฉาก 2.2 คาโคไซนของมุมใด (cosine) จะเทากับอัตราสวนระหวางความยาวดานประชิตมุมกับความยาวดานตรงขามมุมฉาก 2.3 คาแทนเจนตของมุมใด (tangent) จะเทากับ อัตราสวนระหวางความยาวของดานตรงขามมุมกับความยาวของดานประชิตมุมนั้นๆ 3. นอกจากอัตราสว นตรีโกณมติ ิหลัก 3 คานี้แลว สวนกลับของ sine , cosine และ tangent เรียกวาcosecant , secant และ cotangent ตามลําดับ 4. อัตราสว นตรีโกณมิตขิ องมมุ 30,45 และ 60 องศา มีคาเฉพาะของแตละอัตราสวน สามารถพสิ จู นได 5. การแกป ญหาโจทยท ่ีเกยี่ วของ จะทําโดยการเปล่ียนปญหาโจทยใหเปนประโยคสัญลักษณ และใชอัตราสวนตรีโกณมิติในการชวยหาคําตอบโดยเฉพาะการนําไปใชแกปญหาเกี่ยวกับการวัดระยะทางและความสูงผลการเรียนรทู ่คี าดหวงั 1. อธิบายการหาคาอัตราสวนตรีโกณมิติได 2. หาคาอัตราสวนตรีโกณมิติของมุม 300 , 450 และ 600 ได 3. นาํ อัตราสวนตรีโกณมิติไปใชแ กป ญหาเกี่ยวกับระยะทาง ความสูง และการวัดไดขอบขา ยเนอ้ื หา เร่ืองท่ี 1 อัตราสว นตรีโกณมติ ิ เรื่องท่ี 2 อัตราสวนตรีโกณมิติของมุม 30, 45 และ 60 องศา เร่ืองท่ี 3 การนาํ อัตราสว นตรีโกณมิติ ไปใชแกปญหาเกี่ยวกับระยะทาง ความสูง และการวัด

72เรือ่ งที่ 1 อตั ราสว นตรโี กณมติ ิ เปนแขนงหนึ่งของคณิตศาสตร วาดวยการวัดรูปสามเหลี่ยมตาง ๆ โดยหาความสัมพันธระหวางดาน มมุ และพ้ืนทข่ี องรปู สามเหลี่ยม มีความสําคัญตอวิชาดาราศาสตร การเดินเรือ และงานสํารวจใชในการคํานวณสงสูงของภูเขา และหาความกวางของแมน้ํา มีประโยชนมากสําหรับวิชาวิทยาศาสตร วิศวกรรมศาสตร และการศึกษาเก่ยี วกบั วัตถุ ซงึ่ มีสภาพเปนคลื่น เชน แสง เสยี งแมเ หลก็ ไฟฟา และวิทยุความรเู ดิมที่ตองนาํ มาใชในบทเรียนนี้1. สมบัติสามเหลี่ยมคลาย พิจารณารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีขนาดของมุมเทากัน 3 คู ดงั น้ี ถา รูปสามเหลี่ยม 2 รูป มีมุมเทากันมุมตอมุมทั้ง 3 คู แลว สามเหลี่ยม 2 รปู นจี้ ะคลา ยกัน ดงั รปู B ca Y z xA bC Xy Z รปู ท่ี 1 รปู ที่ 2จากรูป Aˆ = Xˆ , Bˆ = Yˆ , Cˆ = Zˆ ดงั นัน้ รปู สามเหลี่ยม ABC คลายกับรูปสามเหลี่ยม XYZ และจากสมบัติการคลายกันของ รูปสามเหลี่ยมจะไดผลตามมาคือ AB = BC = AC หรอื a = b = c XY YZ XZ xyz เมอ่ื a,b,c เปนความยาวของดาน AB, BC และ AC ตามลําดับในสามเหลี่ยม ABC x,y,z เปนความยาวของดาน XY,YZ และ XZ ตามลําดับในสามเหลย่ี ม XYZ

73 จาก a = b จะไดว า a=x จะไดวา by xy จะไดวา b= y b=c cz yz a=x a=c cz xz นน่ั คือ ถา มีรปู สามเหลย่ี มสองรูปคลายกนั อัตราสวนของความยาวของดานสองดานของรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง จะเทากับอัตราสวนของความยาวของดานสองดานของรูปสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง โดยที่ดานของรูปสามเหลี่ยมที่หาความยาวนั้นจะตองเปนดานที่สมนัยกันอยูตรงขามกับมุมที่เทากัน ในทํานองเดียวกัน ถารูปสามเหลี่ยมทั้งสองเปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งมีมุมที่ไมเปนมุมฉากเทากันสมมติวาเปนมุม A เทากับมุม X ดังรูป B zY c axA b CX yZ พบวา รูปสามเหลี่ยมสองรูปนี้คลายกัน ( มีมุมเทากันมุมตอมุม ทั้ง 3 คู ) ดงั นน้ั จะไดว า ax ax cz =, =, = czbyby สรปุ ไมวารูปสามเหลี่ยมดังกลาวจะมีขนาดใหญหรือเล็กก็ตาม ถารูปสามเหลี่ยม ทั้งสองรูปคลายกันแลว อัตราสวนความยาวของดานสองดานของรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง จะเทากับอัตราสวนของความยาวของดานสองดานของรูปสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งทส่ี มนยั กนั เสมอ ( ดานที่กลาวถึงนี้ตองเปน ดา นทีอ่ ยูตรงขา มกับมุมท่ีเทา กนั )

742. สมบัติสามเหลี่ยมมุมฉาก ถา ให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มีมุมฉากที่ C และมี a , b , c เปนความยาวของดานตรงขามมุม A , B และ C ตามลําดับ c a b ดา น AB เปนดานที่อยูตรงขามมุมฉากยาว c หนว ย เรียกวา ดานตรงขามมุมฉาก ดา น BC เปนดานท่ีอยตู รงขา มมมุ A ยาว a หนว ย เรียกวา ดานตรงขามมุม A ดา น AC เปนดานที่อยูตรงขามมุม B ยาว b หนว ย เรียกวา ดานประชิดมุม Aถา ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งมีมุม เปนมุมฉากc แทนความยาวดานตรงขามมุมฉากa และ b แทนความยาวของดานประกอบมุมฉากจะไดความสัมพันธระหวางความยาวของดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากดังตอไปนี้ c2 = a2 + b2เมอ่ื a แทนความยาวของดานตรงขามมุม A b แทนความยาวของดานตรงขามมุม B c แทนความยาวของดานตรงขามมุม C

75ขอควรรูเก่ยี วกบั ทฤษฎบี ทปทาโกรัส ปทาโกรัสไดศึกษาคนควาเกี่ยวกับความสัมพันธระหวางดานตรงขามมุมฉากและดานประกอบมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งเปนทฤษฎีบททีเ่ กาแกและมชี อ่ื เสียงทีส่ ุดบทหน่งึ ไดแกทฤษฎบี ทปท าโกรสั ซึ่งมีใจความวา ในสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ พนื้ ที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนดานตรงขามมุมฉาก จะเทากับผลบวกของพนื้ ทีส่ ่เี หล่ียมจัตุรสั บนดา นประกอบมุมฉากตัวอยา ง จงเขียนความสัมพันธระหวางความยาวของดานของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากตอไปนี้ ตามทฤษฎีบทของปทาโกรัส1). a 3 52). a 12 13

76วิธีทํา พิจารณาความสัมพันธระหวางความยาวดานของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากตามทฤษฎีบทปทาโกรัส 52 = a2 + 32 a 2 + 92 = 25 a 2 = 16 ดงั น้นั a = 42). a2 +122 = 13 a2 +144 = 169 b2 = 25 ดังนน้ั b = 5อตั ราสวนตรีโกณมิติ ถา ให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมฉากที่ C และมี a , b , c เปนความยาวของดานตรงขามมุม A , B และ C ตามลําดับ B ca A b CAอัตราสวนตรีโกณมิติ คือ อัตราสวนที่เกิดจากความยาวของดานของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

77 a1. อัตราสวนของความยาวของดานตรงขามมุม A ตอความยาวของดานตรงขามมุมฉาก หรือ c เรยี กวา ไซน (sine) ของมุม A b2. อัตราสวนของความยาวของดานประชิด มุม A ตอความยาวของดานตรงขามมุมฉาก หรือ c เรียกวา โคไซน (cosine) ของมุม A a3. อัตราสวนของความยาวของดานตรงขามมุม A ตอความยาวของดานประชิด มุม A หรอื bเรียกวา แทนเจนต (tangent) ของมุม Aเรยี กอัตราสวนทั้งสามนี้วา อัตราสวนตรีโกณมติ ิของ A เมอ่ื A เปนมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรืออาจสรุปไดวาsin A = ความยาวของดานตรงขามมุม A ความยาวของดา นตรงขา มมุมฉากcos A = ความยาวของดา นประชดิ มมุ A ความยาวของดา นตรงขามมุมฉากtan A = ความยาวของดานตรงขามมุม A ความยาวของดา นประชิดมุมAตัวอยาง กําหนดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABCมีมุม C เปนมุมฉาก มีความยาวดานทั้งสาม ดังรูป จงหาคาตอไปนี้ 61. sin A, cos A และ tan A 82. sin B, cos B และ tan Bวธิ ีทาํ กาํ หนด ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มีมุม C เปนมุมฉาก จากทฤษฎีบทปทาโกรัส จะได วา AB2 = AC 2 + BC 2 แทนคา AC = 8 , BC = 6 ดงั นั้น AB2 = 82 + 62 AB2 = 64 + 36 AB 2 = 100 AB2 = 10 ×10หรือ102 นนั่ คือ AB = 10

78(1) หาคา sin A, cos A และ tan A โดยการพิจารณาที่มุม A sin A = ความยาวของดานตรงขามมมุ A = BC = 6 = 3 ความยาวของดา นตรงขามมมุ ฉาก AB 10 5 cos A = ความยาวของดา นประชดิ มมุ A = AC = 8 = 4 ความยาวของดานตรงขา มมมุ ฉาก AB 10 5 tan A = ความยาวของดานตรงขามมมุ A = BC = 6 = 3 ความยาวของดา นประชิตมุมA AC 8 4(2) หาคา sin B, cos B และ tan B โดยการพิจารณาที่มุม B sin B = ความยาวของดานตรงขา มมมุ B = AC = 8 = 4 ความยาวของดา นตรงขา มมุมฉาก AB 10 5 cos B = ความยาวของดา นประชิดมุมB = BC = 6 = 3 ความยาวของดานตรงขามมมุ ฉาก AB 10 5 tan B = ความยาวของดา นตรงขามมุมB = AC = 8 = 4 ความยาวของดานประชติ มุมB BC 6 3ขอ สังเกต ถา ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม C เปน มมุ ฉากแลว จะไดว า 1. Aˆ + Bˆ = 1800 − Cˆ = 1800 − 900 = 900 2. sin A = cos B 3. cos A = sin B

79 แบบฝก หดั ที่ 11. จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่กําหนดใหตอไปนี้ จงเขียนความสัมพันธของความยาวของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากโดยใชทฤษฎีบทปทาโกรัส และหาความยาวของดานที่เหลือ (1)(2)2. กาํ หนด ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มี Cˆ = 900 และความยาวของดานทั้งสาม ดังรูปจงหา 1) sin A , cos A และ tan A 2) sin B , cos B และ tan B B

803. จงหาวาอัตราสวนตรีโกณมติ ิทก่ี ําหนดใหตอ ไปน้ี เปน คาไซน(sin) หรือโคไซน(cos) หรือแทนเจนต(tan) ของมุมที่กําหนดให4. กาํ หนด ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยมีมุม C เปนมุมฉาก มีดาน AB = 10 และ AC = 8จงหา 1 ) ความยาวดาน BC 2) sin A , cos A และ tan A 3) sin B , cos B และ tan B5. กาํ หนดใหร ปู สามเหลย่ี ม ABC โดยมีมุม C เปนมุมฉาก และ a,b,c เปนความยาวดานตรงขามมุม A, มุมB และมุม C ตามลําดับ (1) ถา cot A = 3 , a = 5 จงหาคา b,c (2) ถา cos B = 3 และ a = 9 จงหาคา tan A 5

81เรอื่ งที่ 2 การหาคา อตั ราสวนตรีโกณมติ ขิ องมุม 30 ,45 , 60 องศา การหาคาอัตราสวนตรีโกณมิตขิ องมมุ 60 องศา พิจารณารูปสามเหล่ียมดานเทา ABD มดี า นยาวดา นละ 2 หนว ย ดงั น้ี A 2 B 300 300 3002 2 60° 60° 60° CB D A 1 C1 1 จากรูปสามเหลี่ยมดานเทา ABD ลาก AC แบง ครง่ึ มุม A เสนแบงครึ่งมุม A จะตั้งฉากกับ BD ที่จดุ C โดยใชห ลกั ของสมบัติของสามเหลี่ยมคลาย ABC และ ADC จะได BC = CD = 1 หนว ย ดงั รปู และจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ใชคุณสมบตั ิของปทาโกรสั ไดดังน้ี B 300 AB 2 = AC 2 + BC 22 22 = 12 + BC 2 4 = 1 + BC 2 60° C BC 2 = 4 −1A BC 2 = 3 BC = 3 1 จะไดว า ดา น BC = 3ดงั นน้ั Sin 600 = 3 2 Cos 600 = 1 2

82 Tan 600 = 3 = 3 1ในทาํ นองเดยี วกนัการหาคาอัตราสว นตรีโกณมิตขิ องมมุ 30 องศาดังน้นั Sin 300 = 1 2 Cos 300 = 3 2 Tan 300 = 1 3

83สรปุ อัตราสว นของตรีโกณมิติทสี่ าํ คญั ดงั นี้นน่ั คือ sin 300 = 1 cos 300 = 3 tan 300 = 1 2 2 3 sin 45 0 = 1 cos 45 0 = 1 tan 450 = 1 = 1 2 2 1 sin 600 = 3 cos 600 = 1 tan 600 = 3 = 3 2 2 1

84เกร็ดความรู การใชนิ้วมอื ชว ยในการจาํ คา ตรีโกณมิตขิ องมุมพื้นฐานการจําคาตรีโกณมิติพน้ื ฐานโดยใชน้วิ มือ ตองใชมือซา ย มขี นั้ ตอนดงั ตอ ไปน้ี วิธีการนี้ใชจ าํ คา ตรโี กณมิติของมุมพื้นฐานกลาวคือ1. แบมือซายออกมา มองเลขมุมจับคูกับนิ้วเรียงจากซายไปขวา เปนมุม องศา2. เมื่อตองการหาคาตรโี กณมิติของมุมใดใหงอนิ้วนั้น สมมติวาหา cos กจ็ ะตรงกับน้ิวช้ี ก็งอนิ้วชี้ เกบ็ ไว3. ถอื กฎวา \"sin-ซา ย(ออกเสียงคลายกัน) cos-ขวา(ออกเสยี ง /k/ เหมอื นกัน)\" เมื่อหาคาของฟงกชันใด ใหสนใจจาํ นวนน้วิ มือฝง ทีส่ อดคลองกบั ฟงกชนั นั้น o เพอ่ื จะหาคา นาํ จาํ นวนนว้ิ มือดา นทส่ี นใจติดรากทส่ี องแลวหารดวยสอง (หรอื อาจจําวา มี เลขสองตัวใหญๆ อยูบนฝา มือ เม่ืออานก็จะเปน รากท่ีสองของจํานวนน้ิวมือดานทสี่ นใจ หารฝามือ) สาํ หรับ cos 30 กจ็ ะไดว ามีนิว้ มือเหลอื อยูท างดานขวาอกี สามนว้ิ (กลาง นาง กอ ย) กจ็ ะได cos30= สาํ หรับฟงกช ันตรีโกณมิติอ่ืนก็ใชสมบัตขิ องฟงกช นั นั้นกับ sin และ cos เชน tan=sin/cos

85 คาโดยประมาณของไซน โคไซน และแทนเจนต (ถงึ ทศนิยมตําแหนง ที่ 3 ) หาไดจากตารางตอไปน้ี โดยทค่ี า ของไซน โคไซน และแทนเจนต ของมุมท่มี ีคา อยรู ะหวาง 00 และ900 จะมีคาอยูระหวา ง 0 และ 1

86ตัวอยา ง จงหาคาของ a, b จากรูปสามเหลย่ี มท่กี าํ หนดใหตอไปนี้ วิธีทํา sin 320 = BC AB แทนคา sin 320 = 0.530 และ BC = a , AB = 10 ดงั นั้น 0.530 = a นน่ั คอื 10 a = 10 × 0.530 a = 5.3จงหาคาตอไปนี้ sin 450 − tan 4501.cos 4502.sin 300 sin 600 + cos 300 cos 600( ) ( )3. cos 300 2 + sin 300 24. tan 2 300 + 2 sin 600 + tan 450 − tan 600 + cos2 3005.cos 600 − tan 2 450 + 4 tan 2 300 + cos2 300 − sin 300 3วิธีทํา 1 sin 450 − tan 450 = 2 −1 = 1 × 2 =1-1 =01. −1cos 450 1 21 22.sin 300 sin 600 + cos 300 cos 600 =  1   3  +  3   1  = 3 32 3= 3 2  2   2  2 + = 44 42( ) ( )3. cos 300 2 + sin 300 2 =  3  2 +  1 2 = 3 + 1 = 4 =1 2  2 44 4 =   2 2  3 +   24. tan 2 300 + 2 sin 600 + tan 450 − tan 600 + cos2 300 1 + 3 + 1 − 3 3 2 2 = 1 + 3 +1− 3 + 3 34 = 25 125.cos 600 − tan 2 450 + 4 tan 2 300 + cos2 300 − sin 300 = 1 − (1)2 + 4  1  2 +  3  2 − 1 3 2 3 3 2 2 = 1 −1+ 4 + 3 − 1 2 942 =7 36

87อัตราสวนตรีโกณมิตอิ ่ืนๆ อัตราสวนของความยาวของดานของรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉากท่เี รียกวา ไซน โคไซน และแทนเจนต เรยี กวาอัตราสวนตรีโกณมติ ิ (Trigonometric ratio) ซ่ึงเปน หลักเบ้ืองตน ในคณิตศาสตรแขนงหนงึ่ ท่เี รยี กวา ตรีโกณมติ ิ (Trigonometry) หมายถึงการวดั เก่ยี วกบั รูปสามเหลย่ี ม มอี ตั ราสว นตรโี กณมิติอีก 3 อตั ราสว น ซง่ึ กําหนดดว ยบทนยิ าม ดงั น้ี 1. ซีแคนตของมุม A เขยี นแทนดว ย secant A หรือ sec A คือสวนกลับของ cos A เม่อืcos A ≠ 0 นัน่ คือ sec A = 1 เมอ่ื cos A ≠ 0 cos A 2. โคซีแคนตของมุม A เขยี นแทนดว ย cosecant A หรือ cosec A คือสวนกลับของ sin A เมือ่sin A ≠ 0 นนั่ คือ cosec A = 1 เมอ่ื sin A ≠ 0 sin A 3. โคแทนเจนตของมุม A เขยี นแทนดว ย cotangent A หรือ cot A คอื สว นกลบั ของ tan A เมอ่ืtan A ≠ 0 นั่นคือ cotangent A = 1 เมอ่ื tan A ≠ 0 tan A

88

89 แบบฝก หัดที่ 21. จงหาคาตอไปนี้ 1) sin 300 sin 600 − cos 300 cos 600 ( ) ( )2) sin 600 2 + cos 600 2 3) 1 − tan 4502. จงหาคา อัตราสว นตรโี กณมิตติ อไปนจ้ี ากตาราง 1) sin 200 2) sin 380 3) cos 500 4) cos 520 5) tan 770 6) tan 8903. ให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มีมุม C เปนมุมฉาก ดังรูปจงหา cos B, sin B, tan B, sec B, cosec B, cot B4. จงหาคา a, b หรอื c จากรูปสามเหลี่ยมตอไปนี้ (1)

90 (2) (3)5. กาํ หนดใหร ปู สามเหลย่ี ม ABC โดยมีมุม C เปนมุมฉาก และ a,b,c เปนความยาวดานตรงขามมุม A, มุมB และมุม C ตามลําดับ (1) ถา cot A = 3 , a = 5 จงหาคา b,c (2) ถา cos B = 3 และ a = 9 จงหาคา tan A 5

91เรอื่ งที่ 3 การนาํ อตั ราสวนตรีโกณมติ ไิ ปใชแ กป ญ หาเกี่ยวกบั หาระยะทางและความสูงและ การวัด อัตราสวนตรีโกณมิติมีประโยชนมากในการหาความยาว ระยะทางหรือสวนสูงโดยที่ทราบคามุมใดมุมหน่ึง และความยาวของดา นใดดา นหน่ึงของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก แลว จะสามารถหาดา นทเ่ี หลือได เสนระดับสายตา คอื เสน ทีข่ นานกบั แนวพ้ืนราบ มุมกม คอื มมุ ทแ่ี ขนขา งหนง่ึ ของมมุ อยตู ํ่ากวา ระดบั สายตา มมุ เงย คือ มมุ ทแี่ ขนขา งหนง่ึ อยูสงู กวา เสนระดับสายตา

92ตัวอยา งที่ 1 สมพรยนื อยูหางจากบานหลังหนึ่งเปนระยะทาง 100 เมตร เขาเห็นเครื่องบิน เครื่องหนึ่งบนิ อยูเหนือหลงั คาบา นพอดี และแนวที่เขามองเปนมุมเงย 60 องศา จงหาวาเครื่องบิน อยูสูงจากพื้นดนิ กเี่ มตรนั่นคือ ความยาวของดานตรงขามมุม 600 = 100 3จะเหน็ ไดว า ความสงู ของเคร่อื งบินอยหู า งจากพนื้ ดิน 100 3ตวั อยางที่ 2 บนั ไดยาว 50 ฟุต พาดอยูกับกําแพง ปลายบันไดถึงขอบกําแพงพอดี ถาบันไดทํามุม 600กับกําแพง จงหาวาบันไดอยูหางจากกําแพงเทาไร

93วิธที ํา cos 600 = ความยาวของดานประชิดมุม 60 0 ความยาวของดนตรงขา มมมุ ฉาก 1 = ความยาวของดา นประชิดมมุ 600 2 50จะได ความยาวของดานประชิตมุม 600 = 50 2ดังนั้น ระยะระหวา งบันไดกับกําแพงเทา กับ 25 ฟุตตัวอยา งท่ี 3 สมพรยืนอยบู นหนาผาสงู ชนั แหง หนึง่ ซ่งึ สงู จากระดบั ผนา้ํ ทะเล 50 เมตร เมอ่ื เขาทอดสายตาไปยังเรือลําหนึ่งกลางทะเล มุมที่แนวสายตาทํากับเสนระดับมีขนาด 30 องศา เรือลาํ น้อี ยูหา งจากฝงโดยประมาณกเี่ มตรวิธที าํให A เปนตาํ แหนงที่สมพรยืนอยู AC แทนระยะความสูงจากน้ําทะเลของหนาผา คือ 50 เมตร BC เปนระยะท่เี รอื อยูหา งจากฝงจาก AD // BC จะได CBˆA = DAˆB = 300ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังน้นั tan 300 = AC BC 1 = 50 3 BC BC = 50 3 ≈ 50 ×1.732 BC ≈ 86.6

94แบบฝกหัดท่ี 31. ตน ไมต นหน่งึ ทอดเงายาว 20 เมตร แนวของเสนตรงที่ลากผานปลายของเงาตนไม และยอดตนไม ทํามุม 30 องศา กับเงาของตนไม จงหาความสูงของตนไม2. วินัยตองการหาความสูงของเสาธงโรงเรียน จึงทํามุมขนาด 45 องศา เพื่อใชในการเล็งไปที่ยอดเสาธงถาในขณะที่เล็งนั้นเขามองไปที่ยอดเสาธงไดพอดี เมอื่ กา วไปอยูท จ่ี ดุ ซึ่งอยูห างโคนเสาธง 16 เมตร วินยั มีความสูง 160 เซนติเมตร จงหาวาเสาธงสูงประมาณกี่เมตร3. จดุ พลขุ น้ึ ไปในแนวดิ่ง โดยกําหนดจดุ สังเกตการณบนพื้นดนิ หางจากตาํ แหนง ท่ีจดุ พลุ 1 กโิ ลเมตรในขณะที่มองเห็นพลุทํามุม 60 องศา กับพืน้ ดนิ พลุขึ้นไปสงู เทาใด และอยูหา งจากจุดสังเกตการณเปนระยะทางเทาใด

95 บทที่ 6การใชเ ครื่องมอื และการออกแบบผลติ ภัณฑสาระสําคัญ 1. การเลอื กใชเ คร่ืองมือตา ง ๆ ในการสรางรปู เรขาคณิต 2. ในชีวติ ประจาํ วนั การออกแบบวัสดุหรือครุภัณฑ อาคารที่พักอาศยั หรอื อาคารสาํ นักงานตา ง ๆ จะเก่ียวขอ งกบั รูปแบบ การเล่อื นขนาน การหมนุ และการสะทอ น 3. การมบี รรจภุ ณั ฑของสินคาที่ดี สวยงาม นา สนใจ จะมสี วนชวยในการการเพิ่มมลู คา ของสินคานน้ั ๆ ไดผลการเรียนรูท ี่คาดหวงั 1. สรางรูปเรขาคณิตโดยใชเครื่องมือได 2. วิเคราะหและอธิบายความสัมพันธระหวางรปู ตน แบบ และรูปท่ีไดจากการเลื่อนขนาน การ สะทอ นและการหมนุ ได 3. นําสมบัติเกยี่ วกับการเลื่อนขนาน การหมุน และการสะทอ นจากการแปลงทางเรขาคณิตศาสตร และทางเรขาคณิต ไปใชในการออกแบบ งานศิลปะไดขอบขา ยเน้ือหา เร่ืองที่ 1 การสรางรูปทางเรขาคณิตโดยใชเครื่องมือ เร่ืองท่ี 2 การแปลงทางเรขาคณิต เร่ืองท่ี 3 การออกแบบเพื่อการสรางสรรคงานศิลปะโดยใชการแปลงทางคณิตศาสตร และ ทางเรขาคณิต

96เรอ่ื งที่ 1 การสรางรูปเรขาคณิตโดยใชเ ครื่องมอื 1.1 รูปเรขาคณิตสองมิติ สามารถสรางไดโดยใชสนั ตรง เชน ไมบรรทดั ฟุตเหลก็ ไมฉาก ไมที เพอ่ื วัดความยาว ใชไมโ ปรแทรกเตอร เพอ่ื วัดมมุ หรือขนาดของมุม ใชว งเวยี น เพอ่ื ประกอบการสรางเสนโคงที่แทนความยาวรอบวงกลม หรือชวยในการสรางมุมที่มีขนาดที่ตองการสมบัติตา ง ๆ ของรปู เรขาคณิตและความสัมพันธร ะหวางรูปเรขาคณิต เพอื่ ใหน ักศึกษามคี วามเขาใจในการสรา งรปู เรขาคณติ สองมติ ิ ผเู รียนควรทบทวนสมบัติตา ง ๆของรูปเรขาคณิตสองมิติและสามมิติดังนี้1. รปู ส่เี หลยี่ มผืนผา 1. มีมุมทั้งสี่เปนมุมฉาก 2. ดานที่อยูตรงขามกันยาวเทากันสองคูและขนานกัน 3. เสนทแยงมุมแบงครึ่งกันและกัน 4. พืน้ ทข่ี องส่เี หล่ียมผนื ผา = ความยาวของดานกวา ง x ความยาวของดานยาว 5. ความยาวรอบรูปของสเ่ี หลีย่ มผนื ผา = ( 2 x ความยาวของดานกวา ง ) + ( 2 x ความยาวของดานยาว )2. รปู สเ่ี หล่ยี มจตั รุ สั 1. มมุ ทั้งสี่เปนมุมฉาก 2. ดานท้งั สยี่ าวเทากนั 3. เสน ทแยงมมุ แบงครึ่งซ่ึงกันและกัน และต้ังฉากกัน 4. พื้นท่ขี องรูปส่ีเหลย่ี มจตั ุรัส = ความยาวดา น x ความยาวดา น หรือ 1 × ผลคูณของ 2 ความยาวเสน ทแยงมุม

973. รูปสเี่ หล่ยี มดา นขนาน 1. มีดานตรงกันยาวเทากันและขนานกันสองคู 2. เสนทแยงมมุ แบงครึ่งกันและกัน แตย าวไมเทา กัน 3. พ้ืนที่ของรูปสี่เหลีย่ มดานขนาน = ความยาวฐาน X สว นสงู4. รปู สเ่ี หล่ยี มขนมเปยกปูน 1. มีดานตรงขามกันขนานกันสองคู 2. ดานทั้งสยี่ าวเทากัน 3. เสนทแยงมมุ แบง ครึ่งซงึ่ กันและกนั และต้ังฉากกนั 4. พืน้ ท่รี ปู สามเหลย่ี มขนมเปย กปูน = ความยาวฐาน x สว นสงู หรือ 1 × ผลคูณของความยาว 2 ของเสนทแยงมุม

985. รปู ส่ีเหล่ียมรปู วา ว 1. มีดานประชิดกันยาวเทากัน 2 คู 2. เสนทแยงมุมสองเสน ต้ังฉากกนั 3. เสนทแยงมุมแบงครึ่งซง่ึ กันและกัน แตย าวไมเทากนั 4. พ้ืนทีข่ องรปู สี่เหลยี่ มรูปวาว = 1 × ผลคณู ของความยาวของเสนทแยงมมุ 26. รปู สีเ่ หลีย่ มคางหมู 1. มดี า นขนานกัน 1 คู 2. พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู = 1 × ผลบวกของความยาวของดานคูขนาน X สว นสูง 27. รปู วงกลม 1. ระยะทางจุดศูนยกลางไปยังเสนรอบวงเปนระยะที่เทากันเสมอ เรยี กวา รัศมีของวงกลม 2. เสน ผานศูนยกลางยาวเปน 2 เทาของรัศมี 3. พื้นทีว่ งกลม = πr 2 4. ความยาวเสนรอบของวงกลม 2πr

991.2 รูปเรขาคณิตสามมติ ิ รปู เรขาคณิต สามมิติสามารถแสดงรูปรางซึ่งมีทั้งความกวาง ความยาว ความสูง หรอื ความหนา ตัวอยา งรูปทรงเรขาคณิตสามมติ ิ เชนปริซึม เปน รปู สามมติ ิทีม่ หี นาตัดหัวทายเทากนั และขนานกนั และผิวดานขางเปนรปู สเี่ หลี่ยม เชนปรซิ มึ สามเหล่ยี ม ปริซึมสเ่ี หล่ยี ม ปริซึมหาเหล่ยี มพรี ะมดิ เปน รปู เรขาคณติ สามมติ ทิ ่ีมยี อดแหลม ผิวดานขางเปนรูปสามเหลยี่ ม สูงเอยี ง พรี ะมดิ ฐานสเ่ี หลย่ี ม พรี ะมดิ ฐานสามเหลี่ยม ตัวอยางรูปเรขาคณิตสามมติ ิทพ่ี บเห็นในชวี ิตประจําวนั เชน ตเู ย็น เปนรูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากหรือปรซิ มึ สเ่ี หลี่ยม ปลากระปอง เปน รปู ทรงกระบอก ไอศกรมี เปนรปู กรวยกลม เปนตน รูปเรขาคณิตที่พบในชีวิตประจําวันโดยเฉพาะรูปเรขาคณิตสามมิติและสองมิติ มีความสัมพันธกันอยา งมาก ซึ่งตองใชการสังเกตหาความสัมพันธ การจําแนก การเปรียบเทียบภาพที่มองเห็นจะสามารถอธิบายขนาด ตําแหนง ระยะทาง และใชการคาดเดารูปรางของสิ่งที่กําหนดให เมื่อมีการเปลี่ยนตําแหนงหรือมุมมองในดานตาง ๆ

1001.3 การคลีร่ ูปเรขาคณิตสามมติ ิ ภาพที่ไดจ ะเปน ภาพของรูปเรขาคณติ สองมิติ เชน การคลรี่ ูปปริซึมทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากการคลรี่ ปู พีระมดิ ฐานสีเ่ หล่ียม1.4 การตดั ขวางรปู เรขาคณิตสามมิติ เม่ือนาํ รูปเรขาคณิตสองมิตมิ าตดั ขวางรูปเรขาคณิตสามมติ ิในแนวตาง ๆ กนั ภาพทเ่ี กิดขึน้ จะมลี กั ษณะตาง ๆ กัน เชน กรวยกลม เมอ่ื ตัดดว ยระนาบในแนวขนานกบั ฐานกรวย จะไดภ าพสองมติ เิ ปนรปู วงกลม กรวยกลม เมอ่ื ตัดดว ยระนาบในแนวตง้ั ฉากกบั ฐานกรวย จะไดภาพเปนรูปพาลาโบลา กรวยกลม เมื่อตัดดวยระนาบที่ไมขนานกับฐานและไมตั้งฉากกับฐาน จะไดภาพเปนวงรี