8

TÜRKMEN OBA HOJALYK INSTITUTY Kompýuter tehnologiýasy kafedrasy Şyhyýew B. Balyşew T. Ataýew M. Ermetow Ý. MATEMATIKI MODELIRLEMEK dersi boýunça umumy okuwlaryň ýazgylar toplumy ( 32 sagat 16 tema) Mirapçylyk we gidromeliorasiýa hünäriniň talyplary üçin Daşoguz– 2017 1

UOK 519.10 Şyhyýew B., Balyşew T., Ataýew M., Ermetow Ý. Matematiki modelirlemek dersi boýunça okuw gollanmasy . Daşoguz TOHI, 2017 ý. 133 s. Toplumda matematiki modelirlemek dersinden umumy okuwlaryny geçirmek boýunça gerekli maglumatlaryñ ýazgylary berilýär. Umumy okuwlaryñ temalary häzirki döwrüñ talaplaryna laýyk gelýär hem-de olar beýan edilende “Türkmenistany ykdysady, syýasy we medeni taýdan ösdürmegiñ 2020-nji ýyla çenli döwür üçin Baş ugry” Milli Maksatnamasynda we “Türkmenistany durmuş- ykdysady taýdan ösdürmegiñ 2011-2030-njy ýyllar üçin esasy ugurlary” Milli Maksatnamasynda oba hojalygyny ösdürmek baradaky kararlaryndan ugur alyndy. Matematiki modelirlemek dersi boýunça umumy okuwlarynyñ ýazgylar toplumy oba hojalyk institutynyñ Gidromeliorasiýa we oba hojalygyny mehanizmleşdirmek fakultetiniň Mirapçylyk we gidromeliorasiýa hünäriniň talyplaryna niýetlenen we ol 32 sagatlyk bolup 16 temanyň mazmunyny hem-de 17 sany edebiýatlaryñ sanawyny öz içine alýar. Jogapkär redaktor: Ataýew M. _______________ Syn ýazan: Döwletow H. Türkmen oba hojalyk institutynyñ Tebigy bilimler kafedrasynyñ mugallymy. Ulanmaga: Tebigy bilimler kafedrasy (2017-nji ýylyň 26-njy fewraly, 7-nji belgili beýan) hem-de Gidromeliorasiýa we oba hojalygyny mehanizmleşdirmek fakultetiniñ okuw-usuly iş toparynyň mejlisinde (2017-nji ýylyň 31-nji marty, 7-nji belgili beýan) ulanmaga hödürlendi. © Türkmen oba hojalyk instituty Daşoguz - 2017 2

TÜRKMENISTANYŇ DÖWLET SENASY Janym gurban saňa, erkana ýurdum, Mert pederleň ruhy bardyr köňülde. Bitarap, garaşsyz topragyň nurdur, Baýdagyň belentdir dünýäň öňünde. G a ý t a l a m a: Halkyň guran baky beýik binasy, Berkarar döwletim, jigerim-janym. Başlaryň täji sen, diller senasy, Dünýä dursun, sen dur, Türkmenistanym! Gardaşdyr tireler, amandyr iller, Owal-ahyr birdir biziň ganymyz. Harasatlar almaz, syndyrmaz siller, Nesiller döş gerip gorar şanymyz. G a ý t a l a m a: Halkyň guran Baky beýik binasy, Berkarar döwletim, jigerim-janym. Başlaryň täji sen, diller senasy, Dünýä dursun, sen dur, Türkmenistanym! 3

Giriş Türkmenistanyň Prezidenti Gurbanguly Berdimuhamedow önümçiligi dolandyrmagyň kämil usullaryndan peýdalanmagy Prezidentliginiň ilkinji günlerinden başlap öňümizde wezipe edip goýdy. Önümçiligi dolandyrmakda dünýäniň öňdebaryjy tejribelerini peýdalanmak oňat netijeleri berýär. Garaşsyzlygyň ilkinji günlerinden başlap önümçiligi dolandyrmakda kompýuter tehnologiýasyny we ykdysady-matematiki modelirlemegiň usullaryny peýdalanmak oňat netijeler berdi. “Türkmenistany ykdysady, syýasy we medeni taýdan ösdürmegiň 2020-nji ýyla çenli döwür üçün Baş ugry” milli maksatnamasynda bellenilişi ýaly dünýädäki ylmy tilsimatlary we usullary ýurdumyzyň dürli pudaklarynda özleşdirmek zerurdyr. Suw hojalyk ulgamlary dolandyrmagyň ykdysady matematiki usullary dersi suw gorlary we dolandyrmak hünärinde okaýan talyplar üçin niýetlenendir. Gollanmada suw hojalyk önümçilik hadysalaryny ykdysady- matematiki modelirlemegiň esasy düşünjeleri we ugurlary berilýär. 4

1-nji tema. MODELIŇ MANYSY WE MAZMUNY. MODELIRLEME BARADA UMUMY DÜŞUNJELER. (2 sagatlyk) Umumy okuwyñ meýilnamasy: 1. Modelleriň toparlara bülünişi. 2. Matematiki modeller. Hadysa we onuň modeli barada düşünje. Tebigatyň, jemgyýetiň, ykdysadyýetiň we ş.m. hadysalaryny öwrenmekde kesgitli bir usuly saýlamak mümkin däldir. Olary öwrenmekde giňden ulanylýan usullaryň biri modelirleme usulydyr. Bu usulyň düýp manysy hadysanyň öwreniji tarapyndan döredilýän görnüşiniň aýratynlykda owrenilmegidir. Ýagny, öwreniji hadysanyň esasy elementleriniň gatnaşyklaryny we baglanyşyklaryny görkezýän täze bir görnüşini döredýar. Bu görnüş (model) öwreniji tarapyndan dürli usullarda döredilip bilner. Öwrenijiniň model döretmek üçin ulanan usulyna (guralyna) baglylykda hadysanyň modeliniň ady kesgitlenilýär, ýagny, fiziki usulda döredilene - fiziki model, matematiki usulda döredilene – matematiki model we ş.m. diýilýär. Diýmek, modelleriň her bir görnüşi hadysanyň belli bir häsiýetlerini (fiziki, himiki, ykdysady we ş.m.) öwrenýär. Model– hadysanyň öwreniji tarapyndan döredilen, dürli usullarda ýazylan görnüşi bolup, hadysanyň esasy elementleriniň gatnaşyklaryny we baglanyşyklaryny öz içine alýan täze hadysadyr. Model latyn sözi bolup – ölçeg, meňzeş we ş.m. diýmekligi aňladýar. Modelirleme – diýlip, öwrenijiniň hadysanyň modelini düzýän döwrüne düşünilýär. 5

Modelirlemäniň esasynda üc düşünje durýar. Birinjisi – subýekt (öwreniji). Ikinji – Obýekt (öwrenilýän hadysa). Üçünji – model (öwreniji tarapyndan döredilýän täze hadysa). Diýmek, modelirleme diýip älemde bar bolan A hadysadan özüne meňzeş B hadysanyň öwreniji tarapyndan döretmek ýagdaýyna aýdylýar. Hadysanyň modelini döretmek üçin hadysa hakynda belli bir düşünje gerek, ýagny, bu düşünje öwrenijä hadysanyň esasy häsiýetlerini modelde döretmäge mümkinçilik döredýär. Modelleriň toparlara bölünişi: Modeller dürli toparlara bölünýärler. Olaryň dürli häsiýetlerini dürli ylymlar öwrenýär. Her bir ylym hadysanyň modelini öz usullarynyň (gurallarynyň) esasynda gurnaýar we netijede modele fiziki, himiki, matematiki we ş.m modeller diýilýär. Modeller hadysanyň ýagdaýyna baglylykda birnäçe toparlara bölünýärler. Mysal üçin modeli düzülýän hadysanyň häsiýetine görä; ulanylýan ýerine baglylykda we ş.m. Mundan başga-da, model esasan iki uly topara maddy we ruhy modellere bölünýar. Adamlaryň tejribesinde we akyl ýetirşinde modelirlemegiň roly: Öwreniji hadysa akyl ýetirmek üçin onuň modelini düzýär we düzen modelini öwrenip, artyk çykdaýjy etmän, onuň öň belli bolmadyk häsiýetlerini ýüze çykarýar. Käbir hadysalary öwrenmek ücin halk hojalygynda örän köp çykdaýjý etmeli bolýar (esasan hem ykdysadyýetde). Bu çykdaýjylary azaltmanyň ýeketäk ýoly hadysanyň modeli düzülip, soňra (bölek) düzülen modeli öwrenmek arkaly hadysanyň bilinmeýän birnäçe häsiýetlerini ýüze çykaryp hadysany dolandyrmakda ulanylýar. Umuman aýdanyňda , modelirleme usuly öwrenijä hadysa akyl yetirmäge we hadysany iň az harajat bilen dolandyrmaga giň mümkinçilik döredýär. Munuň şeýledigine aşakda getirlen oba hojalyk meselesiniň modelini düzenimizde göz ýetireris. Mysal: Hojalykda mal iýmitleriniň rasionyny düzmek üçin iki görnüşli ot-iým bar. Şol ot-iýmlerden özünde (hökmany) 9 iým birliginden (IB) az bolmadyk S1 , 10 IB az bolmadyk S 2 we 12 IB az 6

bolmadyk S 3 ýokumly maddalary saklaýan, iň kiçi gymmaty bolan rasiony kesgitlemeli. Bu ýokumly maddalar ot-iýmlerde aşkdaky mukdarda saklanýar. 1 kg ot-iýmdäki ýokumly maddalar 1 kg ot-iýmdäki ýokumly maddanyň mukdary Ýokumly maddalar 1-nji görnüşli ot-iýmde 2-nji görnüşli ot-iýmde (g) (g) S1 2 3 S2 3 5 S3 1 0.5 1 kg ot-iýmiň 6 8 gymmaty, müň man. Meseläniň modelini düzmek üçin näbelli ululyklary, meseläniň şertlerini we maksadyny aýdyňlaşdyrmaly. Meseläniň şertinden görnüşine görä rasionyň gymmatyny peseltmek-maksady, ýokumly maddalaryň rasionda bolmaly mukdarlary- talaplary, rasiony düzýän ot-iýmleriň mukdarlary bolsa kesgitlenmesi soralýan- näbelli ululyklarydyr. Model düzmek üçin meseläniň maksadyny we talaplaryny aňlatma görnüşinde ýazmaga mümkünçilik berýän näbelli ululyklary girizeliň: x1- rasionyň düzümine girýän 1-nji görnüşli ot-iýmiň mukdary, kg x 2 - rasionyň düzümine girýän 2-nji görnüşli ot-iýmiň mukdary, kg Meseläniň maksady rasionyň gymmatyny peseltmek. Ol matematiki aňlatma görnüşinde aşakdaky ýaly ýazylýar G  6x1  8x2  min 7

Aňlatmanyň çep tarapy rasionyň gymmatyny görkezse, onuň sag tarapy ony düzüjileriň gymmatlarynyň jemini görkezýär. Meseläniň ýokumly maddalar boýunça talaplarynyň matematiki ýazgysyny meseläniň şertine görä alarys: 2x1  3x 2  9 3x1  5x 2  10 x1  0,5x 2  12 x1  0; x 2  0. Ýazgydaky birinji, ikinji we üçünji deňsizlikleriň sag bölegindäki 9 ; 10 we 12 sanlar rasionda bolmaly ýokumly maddalaryň aşaky mukdarlaryny görkezýän bolsalar, çep bölegindäki jem degişlilikde,olaryň ot-iýmleriň her birindäki mukdarlarynyň jemini görkezýär we rasiondaky ýokumly maddalaryň mukdary talap edilýäninden az bolmaly däldir diýip okalýar. Dördünji we bäşinji deňsizlikler rasionyň düzümine giren ot-iýmleriň mukdarlarynyň nuldan uly ýada nula deň bolmalydygyny görkezýär. Model umumy görnüşde aşakdaky ýaly ýazylýär. Maksady: G  6x1  8x2  min Çäklendirmeleri: 2x1  3x 2  9 3x1  5x 2  10 x1  0,5x 2  12 x1  0; x 2  0. Modeli çözmek üçin ony tablisa görnüşinde ýazmaklyk amatlydyr. Onda alarys: 8

Meseläniň tablisa görnüşindäki modeli Üýtgeýänler Çaklendir- Çaklendir- mäniň ululygy Çäklendirmeler x1 x2 mäniň görnüşi 9 10 S1 23  12 min S2 35  S3 1 0.5  G 68  Barlag soraglary: 1. Modeller nähili toparlara bülünýär? 2. Matematiki modelleri aýdyň? 9

2-nji tema. MATEMATIKI MODELLER (2 sagatlyk) Umumy okuwyñ meýilnamasy: 1. Matematiki model düşünjesi . 2. Matematiki modeliň berliş usullaryna mysallar. 3. Obýektleriň we onuň modeliniň gabatlaşmagynyň düzgünleri. Eger-de hadysanyň modeli matematiki belgileriň kömegi bilen ýazylan bolsa, onda bu modele matematiki model diýilýär. Hadysalary ýazmak matematikada statistiki balans görnüşli, çyzykly we çyzykly däl optimizasiýa we ş.m. modeller ulanylýar. Islendik hadysanyň matematiki modelini düzmek üçin aşakdakylary aýdyňlaşdyrmak zerur: a) hadysada bolýan işleri görkezýän usullary aňladýan üýtgeýänleri we olaryň sanyny kesgitlemeli; b) talaplaryň görnüşlerini we ululygyny belli etmeli; hadysanyň şertlerini häsiýetlendirýän maglumatlary aýdyňlaşdyrmaly. c) meseläniň maksadyna görä optimallaşdyrmagyň nyşanyny (kriteriýasyny) saýlamaly. Aşakda çyzykly optimizasiýa modeliň gurluşyna seredeliň. Çyzykly optimizasiýa model umumy görnüşdeaşakdaky ýaly ýazylýar: Maksady n F   cjx j  max (min) j1 Çäklendirmeler:  n a ij x j   b i ; (i  1, m), j1   (1)Bu ýerde F - meseläniň  (2)  j  0; (j  1, n) x  maksady (1) we (2) aňlatmalar toparlaryalaplarynyň matematiki 10

ýazgysycj, aij, we bi hadysany häsiýetlendirýän maglumatlar xj- kesgitlemeli ululyklar. Optimal çözüwi tapmagyň nyşany (kriteriýasy). Meseläniň (kriteriýasyny) nyşanyny saýlamaklygy esaslandyrmak model düzmegiň iň esasy bölegidir. Sebäbi sistemanyň iň optimal çözüwi saýlanyp alynan nyşana görä kesgitlenilýär. Şol sebäpden hem optimallygyň nyşany birinjiden- matematiki ýazgyda ýazylyp bilinýän bolmaly, ikinjiden – maksat jemgyýetiň ösüşi bilen gabat gelmeli, üçünjiden- modeli çözmek üçin ulanylýan matematiki usul bolmaly. Optimallyk nyşany edilip ykdysadyýetde köplenç aşakdaky ykdysady görkezijiler ulanylýar: - umumy öndürilýän önüm; - satylýan önümleriň gymmaty; - umumy girdeji; - arassa girdeji; - peýda; - önümçilik harajatlary; - zähmet harajady we ş.m. Meseläniň manysyna görä ykdysady görkezijiler artdyrylýar ýa-da kemeldilýär. Model düzülende optimallyk nyşany funksiýa görnüşinde ýazylýar. Modeliň koeffisiýentleriniň ( c j ) sany üýtgeýänleriň sany bilen gabat gelmelidir. Hadysa belli edilenden soň meseläniň çäklendirmeleri kesgitlenýär. Çäklendirmeler. Çäklendirmeler diýip meseläniň şertlerine we talaplaryna aýdylýar. Meseläniň şertleri we talaplary deňlemeler we deňsizlikler görnüşinde ýazylan hadysanyň mümkinçilikleri häsiýetleridir.Hadysanyň talaplaryna we matematiki ýazga baglylykda çäklendirmeler esasy, goşmaça we kömekçi görnüşinde bolýarlar. Esasy çäklendirmeler meseläniň hemme ýa-da üýtgeýänlerniň köp bölegine goýulýar. Bu çäklendirmelerde meseläniň esasy şertleri we häsiýetleri ýazylýar. 11

Goşmaça çäklendirmeler az sanly ýa-da bölek üýtgeýänler üçin goýulýar. Kömekçi çäklendirmeler meseläniň talaplaryny matematiki ýazgyda dogry ýazmak üçin ulanylýar. Mysal üçin üýtgeýänleriň proporsionallygyny görkezmek üçin çäklendirmeler bilen bilelikde çäklendirmäniň ululygy hem berilýär. Ykdysadyýetde çäklendirmäniň ululygy hemişelik ýa-da üýtgeýän ululyk bolup önümçilikde ulanyljak serişdäniň ýokary ýa-da aşaky çägini hökmany öndürmeli önümiň mukdaryny we ş.m. görkezýär. Eger çäklendirme üýtgeýänleriň baglanşygynyň proporsionallygyny görkezýän bolsa onda çäklendirmäniň sag bölegi nula deň bolýar. Çäklendirmäniň sag böleginiň ölçeg birligi çäklendirmäniň ölçeg birligini kesgitleýär. Modelde bu ululyk bi ýa-da bi+k görnüşde ýazylýar. Üýtgeýän ululyklar: Üýtgeýän ululyklar esasy, goşmaça we kömekçi görnüşinde bolýarlar. Esasy üýtgeýänler hadysanyň esasy işlerini bellemek üçin ulanylýar. Ykdysadyýetde esasy üýtgeýänler önümçilikde öndürilýän önümleriň görnüşlerini, önümçiligiň esasy serişdelerini we ş.m. görkezýär. Goşmaça üýtgeýänler meseläniň matematiki ýazgysyny aňsatlaşdyrmak üçin girizilýär. Käbir ýagdaýlarda deňsizligi deňlemä öwürmek üçin hem girizilýär. Ykdysadyýetde bu üýtgeýänler ulanylman galan serişdeleriň möçberini, hasyllygyň artyşyny we ş.m. görkezýär. Kömekçi üýtgeýänler meselä matematiki öwürmeler geçirmek üçin girizilýär. x j , j  1, n üýtgeýänler girizilende hökman onuň ölçeg birligi görkezilýär. Ykdysadyýetde önümçilik serişdeleriň bir birlik önüme harajady (kadasy) ýa-da önümçiligiň birliginden alynýan önüm önümçiligiň ykdysady-tehniki koeffisiýenti bolýar. Bu koeffisiýentler çäklendirmede üýtgeýänler bilen ýazylýar ( a xij j) ( aij )-koeffisiýent j-bir birligine harçlanýan i- serişdäniň mukdaryny görkezýär. 12

cj – koeffisiýent j-görnüşli önümiň bir birliginiň bahasyny görkezýär. Mysal. Hojalykda A we B görnüşli iki dürli önüm öndürýär. A önümiň bahasy 2 müňden 12 müňe, B önümiňki bolsa 13 müňden 3 müňe çenli üýtgäp biler. Bu önümleri öndürmek üçin 3 – görnüşli serişde ulanylýar. Aşakdaky tablisada önümleriň birini öndürmek üçin serişdeleriň sarp edilişi we hojalykda bar bolan serişdeleriň mukdary berlen Serişdeleriň mukdary we önümi öndürmäge sarp ediliş Serişdele- 1 önümi öndürmäge serişdeleriň Serişdä- riň görnüşi sarp edilişi,ö.b. niň muk- dary,ö.b. AB 14 1 16 22 2 22 36 3 36 Meseläniň maksady öndürlen önümleriň mukdarlary gymmat hasabynda iň ýokary bolar ýaly edip serişdeleri peýdalanmakdan durýar. Ýokarda getirlen modeliň esasynda m Maksady F  (2  t)x1  (13  t)x2  max çäklendirmeler  4 x1  x2  16, 26 x1  2 x2  22 x1  3x2  36  x1  0; x2  0   0  t  10 Mesele: Oba hojalyk kärhanasynda A we B görnüşli önümleri öndürmek üçin 3-görnüşli tehnologiýa ulanylýar. Her bir önüm bu tehnologiki sehleriň her birinde belli bir wagtda işlenmeli. Sehleriň her birinde, her bir önümiň işlenýän wagty aşakdaky tablisada berlen. Mundan başga-da, her bir önümi öndürmäge sarp edilen (bir önümi öndürmäge) harajat müň manat görnüşinde berlen. 13

Bir önümi öndürmäge sarp edilýän wagt we harajat Bir önümi öndürmek üçin Tehnologiýanyň görnüşleri sarp edilýän wagt (sag) AB 1 28 2 11 3 12 3 Önüm birligini öndürmäge sarp edilen harajat 2 3 (müň man.) Birinji we üçünji tehnologiki sehleriň iş wagtlaryny, degişlilikde, 26 we 39 sagatdan köp ulanyp bolmaýar, ikinjini bolsa 4 sagatdan az ulanmaga rugsat berilmeýär. Öndürilýän bir önümiň özüne düşýän gymmaty iň az bolar ýaly kärhana her önümden näçesini öndürmeli? Meseläniň modelini düzmek üçin aşakdaky bellemeleri girizeliň x1  A önümiň sany. x2  B önümiň sany. 2x1  3x2 - umumy harajat, x1  x2 - öndürlen önümleriň sany bolar. F  2x1  3x2  min x1  x2 Bir önümiň özüne düşýän gymmatyny aňladýan drob funksiýa – meseläniň maksady bolar. Çäklendirmeler meseläniň tehnologiki sehler boýunça talaplaryny we öndürülýän önümleriň noldan kiçi bolmaly däldigini görkezýär: 2 x1  8 x2  26 12  x1  3 x2  39   x2 4 x1  x1  0; x2  0. Barlag soraglary: 1. Matematiki model düşünjesi nähili kesgitlenilýär? 2. Matematiki modeller nähili usullarda berilýär? 3. Obýektleriň we onuň modeliniň gabatlaşmagynyň düzgünleri nähili kesgitlenilýär? 14

3-nji tema YKDYSADY- MATEMATIKI MODELLER (2 sagatlyk) Umumy okuwyñ meýilnamasy: 1. Modelirlený‎ ‎än obýekt we onuň modeli barada düşünje. 2. Modelirleme barada düşünjä mysallar. 3. Adamyň akyl ýetiriş prosesinde we tejribe işinde modelirlemegiň roly. 4. Modelleriñ görnüšleri, ölçegleri, häsi‎etleri we berliš usullary. Halk hojalygy örän çylşyrymly sistema bolup, onda bolup geçýän hadysalaryň ykdysady modellerini işläp taýýarlamak üçin şol hadysalary örän çuňňur öwrenmeli bolýar. Ykdysady-matematiki modeller diýip matematikanyň gurallarynyň (programmirlemegiň, ähtimallyk teoriýasynyň, operasiýalary derňemek teoriýasynyň, torly usullaryň, matematiki statistikanyň usullarynyň we ş.m.) kömegi bilen ýazylan ykdysady meseleleriň modellerine aýdylýar. Ykdysady-matematiki modeliň oňaýly we doly kesgitlemesini akademik W.S.Nemçinow berdi. Ýagny, ykdysady-matematiki model - bu ykdysadyýetde bolup geçýän hadysalaryň umumy baglanyşygyny we kanuna laýyklygyny konsentrirlenen görnüşde aňlatmakdyr. Modeli düzülýän ykdysady hadysa bolup bütin halk hojalygy, kärendeçiler, fermerler , önümçiligiň görnüşleri, önümçilik gurallary we olaryň görnüşleri, serişdeleri peýdalanmagyň usullary we ş, m, bolup biler. Hadysanyň modeli düzülende, hadysa öwrenilip beýleki meselelerden aýrylyp aýratyn ýazylmalydyr. Esasan hem modeli düzüljek hadysanyň maksady, näbelliler we şerti aýdyňlaşdyrylmalydyr. 15

Modeli düzülýän meseleleri ykdysady nukdaý nazardan aşakdaky ýaly toparlara bölüp bolýar: -Hojalygyň içki meseleleri. -Umumy pudak meseleleri. -Etrap derejesindäki meseleler. -Welaýat derejesindäki meseleler. -Döwlet derejesindäki meseleler. Hojalyk derejesindäki meseleler - hojalygy tutuş ýa-da onuň haýsy hem bolsa bir önümçiligini ösdürmegi çözmek üçin gerek. Bu meseläniň aýratynlygy onuň hemme hojalyklar üçin meňzeşligidir. Hojalyklaryň aýratynlygy olardan toplanan maglumatlarda berilýär. Bu mesele iki sany içki topara bölünýär: 1.Hojalygy tutuşlygyna ösdürmegi göz öňüne tutýan meseleler. 2.Hojalygyň haýsy hem bolsa bir bölegini ösdürmegi göz öňüne tutýan meseleler. Umumy pudak derejesindäki meseleletr pudagy tutuş ýa-da onuň haýsy hem bolsa bir bölegini ösdürmekligi çözmek üçin gerek. Bu mesele pudagyň ösüşini tutuş döwlet möçberinde ýa-da haýsy hem bolsa bir territoriýa boýunça kesgitlemek üçin zerur. Umumy pudak meselesi hem aşakdaky ýaly toparlara bölünýär: 1. Umumy ykdysady- matematiki meseleler. 2. Bölek ykdysady- matematiki meseleler. Ykdysady- matematiki meseleleriň köp taraply bolşy ýaly, ykdysady- matematiki modeller hem dürli toparlara bölünýär. Ýöne, islendik model aşakdaky talaplary ýerine ýetirmeli: - Birinjiden-islendik model, modeli düzülýän obýekt bilen gabat gelmelidir. -Ikinjiden-model ýönekeý we düşnükli bolmalydyr. Ýagny, meseläniň modeli düzülende iň ýönekeý modelleri ulanmakdan başlamaly. -Üçünjiden-düzülýän model goýlan maksat bilen gabat gelmelidir. -Dördünjiden- model düzülende meňzeş meselelere ulanarlykly we şol wagtda olaryň aýratynlygy hem hasaba alynmalydyr. Ykdysady –matematiki modeller aşakdaky toparlara bölünýär: 16

-Modeliň ulanylýan ýerine görä. -Matematiki ýazgysyna görä. -Wagta görä. Modeliň ulanylýan ýerine görä: -Halkhojalyk modelleri. -Pudaklaryň modelleri. -Welaýatlaryň modelleri. -Etraplaryň modelleri. -Hojalyklaryň modelleri (kärhanalaryň) we ş.m.. Matematiki ýazgysy boýunça: -Çyzykly. -Çyzykly däl. Wagta görä: -Statistiki. -Dinamiki. Hasaplama usullary boýunça: -Çyzykly programmirleme. -Çyzykly däl programmirleme. -Dinamiki programmirleme we ş.m.. Ykdysady meseleleriň matematiki ýazgysy umumy görnüşde aşakdaky ýaly ýazylýar: F  f (x1,...,xn )  max(min) şertleri  i (x 1 ,...,x n )  b i ; (i  1,...,m)       X j  0, ( j  1, n) Bu ýerde F-ykdysady meseläniň maksadyny aňladýar. x1,...,xn -meseläniň maksadyna täsirini ýetirip bilýän ykdysady görkezjileri aňladýar. i -maksada etmek üçin göýberlen serişdeleriň ulanylyşyny, hadysa täsir edýän ruhy görkezjileri görkezýän funksiýa. 17

bi -hojalykda bar bolan i-serişdäniň mukdary. Bu matematiki ýazgydan görnüşine görä, x1,, xn görkezjileriň özara baglanşygyna baglylykda model çyzykly ýa-da çyzykly däl bolup biler. Eger-de görkezijiler belli bir döwrüň maglumatlary bolsa, onda modele statistiki ýa-da bularyň içinde wagt görkezjisi bar bolsa, onda oňa dinamiki model diýilýär. Modeli çyzgyt görnüşinde aşakdaky ýaly görkezip bolar. x…1 f (x1,...,xn ) F x.n  i (x1,...,xn ) Bu ýerde f we i -ykdysady hadysany (önümçiligi) häsiýetlendirýän funksiýalardyr x i we bi -önümçilige täsir edýän ululyklary görkezýär. F-önümçiligiň netijesini görkezýän görkeziji. Çyzykly ekistremal ykdysady matematiki modeller umuman alynanda iki görnüşde berilýär: n max Birinji görnüşi : C   c jx j  min j1 Çäklendirmeler n    i  1, m  a ijx j   bi ; j1    x j  0; j  1, n Modeliň bu görnüşine umumy görnüş diýilýär. Ikinji görnüş: nm max C    C xij ij  min j1 i1 n xij  ai ;    i  1,m  j1 m xij  bj ;    j  1,n  i1 i 1,m; j 1,n xij  0;  çäklendirmeler 18

Bu modele ulag meseläniň modeli diýilýär. Bu modelleri her bir takyk mesele üçin düzjek bolsaň meseläni doly öwrenmeli we netijede aşakdakylary kesgitlemeli: 1. Meseläniň maksadyny; 2. Meseläniň şertlerini; 3. Meseläniň üýtgeýänlerini ; 4. Modelde görkezilen hemişelik ululyklary c j ; aij ; cij ; ai ; bj Soňra meseläniň maksadyny matematiki ýazga geçirmeli. Onuň üçin bolsa cj ýa-da cij kesgitlenen koeffisiýentleri ulanmaly. Meseläniň şertlerini matematiki ýazga geçirmek üçin aij ; bi ; ai ; bj - kesgitlenen koeffisiýentleri we meseläniň şertlerini ulanmaly. Modeli düzmek üçin käbir ýägdaýlarda goşmaça we kömekçi üýtgeýänleri we şertleri ulanmak zerur bolýar. Mysal. Hojalykda iki görnüşli serişde bar A=200; B=800 ölçeg birliginde. Bu serişdelerden hojalykda iki görňüşli önüm öndürilýär (I we II) . Aşakdaky tablisada bir önümi öndürmäge sarp edilýän serişdeleriň normasy berlen. Şertnama görä, hojalyk II-nji görnüşli önümi 1000 birlikden az öndürmeli däldir. Hojalygyň maksady öndürlen önümleri ýerleşdirmekden köp peýda almak. Önüm birligine sarp edilýan serişde we peýda Görkezjiler Önümler I II Serişdeler: A 0.07 0.05 B 0.1 0.4 26 Peýda,müň manat 19

Modeliň düzülişi: 1. Meseläniň maksady-peýda. 2. Meseläniň şertleri a) A we B serişdeleriň sarp edilişi. b). II görnüşli önüm öndürmegiň şerti w) Üýtgeýänleriň položitelligi 3. Üýtgeýän ululyklar: x1- öndürilmeli I önümiň mukdary, ö.b. x2- öndürilmeli II önümiň mukdary,ö.b. 3. Hemişelik ululyklar: c1=2; c2=6; a11=0.07; a12=0.05 a21=0.1; a22=0.4; b1=200; b2=800; b3=1000 Bu maglumatlary umumy modelde ulanyp meseläniň çyzykly ykdysady matematiki modelini alarys c  2x1  6x2  max çäklendirmeler 00,,10x71x1  0,05x 2  200 0,4x 2  800 x1  0; x 2  1000 Barlag soraglary: 1. Modelirlený‎ ‎än obýekt we onuň modeli nähili kesgitlenilýärler? 2. Modelirleme barada düşünje . 3. Adamyň akyl ýetiriş prosesinde we tejribe işinde modelirlemegiň roly barada aýdyň? 4. Modelleriñ görnüšleri, ölçegleri, häsie‎ tleri we berliš usullaryny sanaň? 20

4-nji tema. YKDYSADY-MATEMATIKI MODELIRLEMEGIŇ ESASY ETAPLARY (2 sagatlyk) Umumy okuwyñ meýilnamasy: 1. Meseläniň goýulyşy. 2. Umumy modeliň saýlanylyşy. 3. Maglumatlaryň toplanylyşy. 4. Giňeldilen san modeliň düzülşi. 5. Modeli kompýuterde çözmek üçin algoritmiň saýlanyşy we işlenişi. 6. Alnan çözüwiň seljermesi. Çylşyrymly we yzygiderli ýerine ýetirmeli özara baglanyşykly birnäçe işlerden durýar. Ykdysady- matematiki modelirlemek şu aşakdaky etaplardan durýar. Meseläniň goýluşy we optimallygyň şertini kesgitlemek. Etapda hadysanyň içki we dasky baglanşyklary,matematiki ýazga geçirilýän şertleri, meseläniň tutýan orny we haýsy döwre modelirlenýändigi öwrenilýär. Öwrenilýän hadysa ölçeg birligi derejesine getirilmelidir. Modelirleme prosesinde meseläniň çözüwi köp derejede meseläniň dogry goýluşyna baglydyr. Mesele dogry goýulmasa hiç-hili matematiki usul we kompýuter dogry netijäni almaga kömek etmez. Meseläniň goýluşy aşakdaky soraglara aýdyň jogap bermelidir: -Meselede näme belli. -Meselede näme näbelli. -Näbelliler nähili şertlerde gözlenilýär. -Nähili maksat göz öňüne tutulýar. Aýdyň we dogry goýlan meseläniň çözüwi dogry netije berip biler. Matematiki modeli strukturalaýyn görnüşde işläp taýýarlamagyň we çözmegiň usullary. Halk we oba hojalygynyň köp meseleleri üçin 21

modeller düzülen. Model düzüjä öz meselesi üçin haýsy modeliň ýaraýandygyny kesgitlemek galýar. Eger-de şeýle model ýok bolsa , onda meseläniň modelini işläp taýýarlamak gerek. Düzülýän modelden talap edilýär: -Ýeterlikli takyklyk. -Ýönekeýlik. -Görnüklilik. -Meňzeşlik. -Aýratynlyk. Ýeterlikli takyklykda-hadysanyň esasy häsiýetleri modelde görkezilip, ikinji derejeli häsiýetler modele girizilmeýär. Käbir ýagdaýda, meseläniň birnäçe`modeli düzülip bilner, ýöne olarda hadysanyň esasy häsiýetleri bolup öň ikinji derejeli hasaplanan häsiýetler bolup biler. - Ikinji we üçünji talap-model düzmekligi iň ýönekeý modelden başlamalydygyny aňladýar. -Dördünji we bäşinji talaplar-düzülen modeliň meňzeş meseleleri modelirlemekde ulanarlykly bolmalydygyny, şol bir wagtyň özünde meseläniň aýratynlygyny hasaba alarlykly bolmalydygyny talap edýär. Meseleleriň modeli düzülende matematiki bellikler ulanylýar. Ulanylýan bellikleriň düşündirlişi modelde berilmelidir. Modeli çözmegiň üç ýoly bar: -analitiki; -grafiki; -sanly. Analitiki usulda modeliň san bahasyna seretmezden modeli çözmegiň umumy ýollary berilýär. Grafiki usul modele we çözüwine görnüklilik berýär. Bu usulda takyklyk pes bolýar. San usulynda modeli çözmegiň çyzgydy berilýär, ýagny, algoritm berilýär. Häzirki döwürde birnäçe algoritmler döredildi. Olardan aşakdakylary bellemek bolar: -çyzykly programmirleme; 22

-çyzykly däl programmirleme; -bitin san çözüwli programmirleme; -dinamiki programmirleme we başgalar. Maglumatlary ýygnamak we olary işläp taýýarlamak: Hadysalary modelirlemek, modeli maglumatlar bilen üpjün etmek prosesi bilen üznüksiz baglanşyklydyr. Maglumatlary taýýarlamak işi aşakdakylardan durýar: -maglumatyň göwrümini kesgitlemek; -düzümini kesgitlemek; -toplamak; -baha bermek; -täzeden işlemek. Maglumatyň düzümini we göwrümini meseläniň mazmuny we modeli çözmek üçin ulanyljak matematiki usul kesgitleýär. Maglumatlary toplamaklyk, ony bellemekligi, ýygnamaklygy we saklamagy talap edýär. Soňra bolsa täzeden işläp, ykdysady-tehniki koeffisiýentler kesgitlenýär, bu bolsa öz gezeginde çözülýän mesele hakynda maglumat bolýar. Alynan maglumatlar asakdaky hile eýe bolmalydyr: -dogry; -ýeterlikli; -el ýeterlikli; -bir manyly. Maglumatyň dogrulygy -öwrenilýän hadysanyň häsiýetiniň takyklygyny aňladýar. Muňa wagtynda, üznüksiz we bir gezekde bellemek arkaly ýetilýär. Maglumatyň ýeterligi- maglumatyň şeýle göwrüme,ýagny, ýeterlik derejede hadysany doly häsietlendirýänligine aýdylýar. Maglumatyň el ýeterligi-ýagny, maglumat el ýeterlikli maglumat saklaýjylara salynyp, islendik wagtda alyp, işläp bolmalydygyny aňladýar. Maglumatyň bir manylygy - islendik ýagdaýda şol bir ýagdaýy görkezýänligini aňladýar. 23

Maglumatyň iň bir esasy häsiýetiniň biri operatiwligidir-ýagny, öz wagtynda alynmagydyr. Meseläniň giňişleýin san modelini işläp taýýarlamak: San modeli gurmaklyk ähli taýýarlyk etaplaryň netijesidir. San model bolanda, san koeffisiýentli, berlen sag bölekli, deňlemeler we deňsizlikler bilen ýazylan matematiki ýazgydyr Maksady: F=  cjx j  max(min) Şertler: j  a ij x j    i   b n    (i=1,…,m),  j1   x j  O, Meseläni kompýuterde çözmek we çözüwiň seljermesi. Bu etapda modeliň ähli maglumatlary tablisa geçirilip kompýutere berilýär. Üýtgeýänler Çäklendirmeleriň Çäklendirmeler ululygy we görnüşi x1 .......... xn 1 a11 ... a1n ≤ b1 ... ... ... ... ... i ai1 ... ain =bi ... ... ... ... ... m am1 ... amn ≥bm F c1 … cn min (max) Netijede bolsa meseläniň ilkinji çözüwi alynýar. Modeliň dogrulygyna , ony ulanyp boljakdygyna göz ýetirilýär. Onuň üçin çözüwiň çäklendirmeleri kanagatlandyrýandygyna göz ýetirmeli. Eger-de, 24

çözüw çäklendirmeleri kanagatlandyrmasa, onda modeliň goýulşyna düzediş girizmeli we täzeden çözmeli. Meseläniň çözüwiniň dogrudygyna göz ýetirlenden soň çözüw seljerilýär ondan soň önümçilige ornaşdyrylýar. Barlag soraglary: 1. Mesele nähili goýulýar? 2. Umumy model nähili saýlanylýar? 3. Maglumatlar nähili toplanylýar? 4. Giňeldilen san model barada aýtmaly? 5. Modeli kompýuterde çözmek üçin algoritmiň saýlanyşy we işlenişini aýtmaly? 6. Alnan çözüwiň seljermesi nähili geçirilýär? 25

5-nji tema YKDYSADY WE ÖNÜMÇILIK HADYSALARYNY MODELIRLEMEGIŇ USULLARY Umumy okuwyñ meýilnamasy: 1. Modeli düzýän ykdysady meseleler. 2. Ykdysady meseleleriň toparlara bölünişi. 3. Oba hojalyk önümçiliginiň modellerini gurmagyň talaplary barada düşünje. 4. Käbir modelleriň umumy görnüşdäki ýazgysy. Model düzulende aşakdaky bellemeler ulanylýar: x j - esasy üýtgeýänler; x j - kömekçi üýtgeýänler; aij - esasy üýtgeýäniň koeffisiýentleri; ij - kömekçi üýtgeýänleriň koeffisiýenti; bi sag tarapy. Eger-de, b – koeffisiýent belli bir kesimde üýtgeýän bolsa, onda çäklendirme aşakdaky ýaly ýazylýar.  n   n a ijx j i we a ijx j  i , j1 j1 Ýagny i  bi  i Mysal . Hojalyk arpa, bugdaý we mekge ekinlerini ekmekligi meýilleşdirýär. Bu ekinleri ekmek üçin hojalykda 1000 ga sürülýän ýer we 700000 –den 1000000 adam sagada çenli zähmet serişdesini sarp etmegi göz öňüne tutýar. Bu ekinleriň her gektaryna degişlilikde 15, 13 we 30 adam sagat sarp edilýär. Bu serişdeleri matematiki ýazga geçirmeli. Matematiki ýazgy: -Ýütgeýänler: x1 - bugdaýyň, x 2 - arpanyň we x 3 - mekgejöweniň ekilýän meýdanlary. Çäklendirmeler: -ýer boýunça x1  x 2  x3  1000 , -zähmet boýunça 26

15x1  13x 2  30x3  700000 15x1  13x 2  30x3  1000000 Deňsizligiň sag bölegi bi  x j görnüşde bolanda modeliň ýazylşy. Eger-de, şertiň sag bölegi belli bir derejede artyp ýa-da kemelip bilýän bolsa, onda bu şert aşakdaky ýaly ýazylýar: n aijx j  bi  xni; (i  1, m) j1 Mysal. Eger-de, öňdäki mysaldaky sürülýän ýer 200 ga çenli artdyrylyp bilinýän bolsa, onda sürülýän ýer boýunça talap aşakdaky ýaly ýazylar. x1  x 2  x 3  1000  x 4 , x 4  200 Eger-de, a1  a ij  a 11 bolanda modeliň ýazylşy. Eger-de, üýtgeýän ij ij koeffisiýenti ai1j  aij  ai1j1aralykda üýtgäp bilýän bolsa, onda -aij koeffisiýentiň ýerine aşakdaky formula bilen kesgitlenýän ululyk alynýar. a ij  a x1 1  a x11 11 ij j ij j x1 j  x11 j Mysal. Eger-de pagtanyň hasyllylygy 20 s. bolsa, bu hasyllylyga goşmaga dökün bermegiň hasabyna 30 s. ýetirip bolýan bolsa, onda ai1j  20s, a 11  30s; x 1 - gektardan 20 s. pagta beren ýeriň mukdary, x11 oj j j gektardan 30 s. pagta beren ýeriň mukdary bolar. (goşmaça döküniň hasabyna). Onda alarys. aij  20 x1j  30x1j1 x1j  x1j1 Eger, - x1j  0; onda aij  30; - x11  0; onda a ij  20; j 27

x1j  800; x1j1  200; Onda alarys aij  16000 6000  22s. 1000 Koeffisiýentleri goşmak usuly. Bu ýagdaýa mysalda seredeliň. Goý, sagylýan sygyrdan 2 s süýt almak üçin 30 s. iým birligi sarp edilýän bolsun. Eger-de, ykdysady tarapdan dogry bolanda 38 s. iým birligi berilse, sygryň süýt berijiligi 35 s. ýetýän bolsa , sagylýan sygyrlaryň sany x j bolanda bar bolan ot-iýmleri ýerlikli peýdalanyp, sygyrlaryň optimal süýt berijiligini kesgitlemeli. Bu şert aşakdaky ýaly ýazylýar. 1) 2) 20x j  x j  x k ; 3)  15xj  xj  0 ýa-da x j  15x j (35  20  15) 4) 30x j  0,53x j  bi 0,53  38  30   15  x j -sagylýan sygyrlaryň umumy sany; x j  x j- sygyrdan goşmaça iým birliginiň hasabyna alynýan süýdüň mukdary; x k  x j - sygyrdan alnan umumy önüm; 1,2,3 şertleri işläp, haçanda x j  20 we x j  80 bolanda alarys ( h ak )  kj  xj  20  80  246 süýt kj xj 20 a (hak)  a ij  0,53  x j  30  0,53  80  32,2s i.b ij xj 20 Koeffisiýentleri aýyrmak usuly. Bu usul hem goşmak usuly ýaly. Ýöne bu usul haçanda k1j  kj bolan ýagdaýda ulanylýar. Proporsionallyk koeffisiýentini ulanmak usuly. Käbir şertler proporsionallyk koeffisiýentiniň kömegi bilen ýazylýar. Mysala seredeliň . 28

Hojalyk bugdaý, arpa we mekgejöwen ekýär. Bugdaý ähli ekiş ýeriniň 70% köp bolmaly däl. x1- bugdaýyň ekilmeli ýeri; x2 - arpanyň ekilmeli ýeri; x 3 - mekgejöweniň ekilmeli ýeri; Onda şert aşakdaky ýaly ýazylýar x1  0,7(x1  x 2  x 3 ) Kömekçi üýtgeýänleri girizmek usuly. Käbir ýagdaýda meseläniň şerti kömekçi üýtgeýäniň we kömekçi çäklendimäniň üsti bilen ýazylýar. Mysala seredeliň. Dänelik, gök we bakja ekinleriniň ekiş meýdanlarynyň şertini ýazyň. x1- dänelik ekinleriň ekiş meýdanlary; x2 - gök ekinleriň ekiş meýdanlary; x 3 - bakja ekinleriň ekiş meýdanlary; x - umumy meýdan goşmaça üýtgeýän ululyk . Onda goşmaça şert aşakdaky çäklenme görnüşinde ýazylar. x  (x1  x2  x3) Önümçilik funksiýasy usuly. Önümçilik proseslerini modelirlemekde önümçilik funksiýalary giňden ulanylýar. Önümçilik funksiýasy usulyna düşünmek üçin aşakdaky çyzga seredeliň. x1  b1 ,..., bm F … f (x1,...,x n ) xn. i (x1,...,x n ) Bu ýerde, f we i -ykdysady hadysany (önümçiligi) häsiýetlendirýän funksiýalardyr, x we bi -önümçilige täsir edýän ululyklary görkezýär. 29

F-önümçiligiň netijesini görkezýän görkeziji. Ýokarda getirilen ululyklaryň arasyndaky baglanşygy aşakdaky ýaly ýazyp bolýar: F=f(x1,…,xn) Şu ýazylan ýazga önümçilik funksiýasynyň aýdyň däl ýazgysy diýilýär. Bular ýaly baglanşygyň aýdyň görüşini kesgitlemek üçin hakyky bir önümçiligi alyp, şonuň köp ýyllyk maglumatlarynyň esasynda aşakda getirilen aýdyň önümçilik funksiýalaryň içinden saýlap almak gerek. n 1) y  a 0   a j x j - çyzykly model. j1 n 2) x aj y j - derejeli model j1 n axj j 3) y - görkezijili model j1 Barlag soraglary: 1. Modeli düzýän ykdysady meseleler nämeden ybarat? 2. Ykdysady meseleleriň haýsy toparlara bölünýärler? 3. Oba hojalyk önümçiliginiň modellerini gurmagyň talaplary barada aýtmaly? 4. Modelleriň umumy görnüşdäki ýazgysy nähili ýazylýar? 5. Ykdysady we sosial meseleleriñ toparlarynyñ arasyndaky baglanyşyklary we olary matematiki ÿazga geçirmegiñ mümkinçilikleri barada aýtmaly? 30

6-njy tema ÇYZYKLY YKDYSADY-MATEMATIKI MODELLERI ÇÖZMEGIŇ MATEMATIKI ESASLARY. DEŇLEMELER ULGAMY WE OLARYŇ ÇÖZÜLIŞI. (2 sagatlyk) Umumy okuwyñ meýilnamasy: 1. Çyzykly deňlemeler ulgamy we olaryň çözülişi. 2. m- deňlemeli we m-üýtgeýän ululykly çyzykly deňlemeler ulgamynyň çözüwi 3. Çyzykly deňlemeler ulgamynyň otrisatel däl çözüwleri Çyzykly deňlemeler ulgamy we olaryň çözülişi Çyzykly deňlemeler ulgamy barada gysgaça maglumatlar: Çyzykly deňlemeler ulgamy umumy görnüşde aşakdaky ýaly ýazylýar .a.1.1.x..1..............a..1.n.x..n..... a1 , .., a m1x1  ... a mn x n  a m . Bu ýerde, m-deňlemeleriň, n-üýtgeýän ululyklaryň sany . Kroneker-Kapelliniň teoremasy . Ulgamyň kökdeş bolmagy üçin onuň matrisasynyň rangynyň, giňeldilen matrisasynyň rangyna deň bolmagy zerur we ýeterlik şertdir. Eger-de, a1=...=am=0 bolsa, onda çyzykly deňlemeler ulgamyna bir jynsly diýilýär. Bir jynsly deňlemeler ulgamy hemişe kökdeşdir. Eger-de, kökdeş ulgamyň rangy üýtgeýän ululyklaryň sanyna deň bolsa (r=n), onda ulgam kesgitlenen diýilýär. Eger-de, kökdeş ulgamyň rangy näbelliniň sanyndan kiçi bolsa (r<n),onda ulgam kesgitlenmedik diýilýär. Çyzykly deňlemeler ulgamy önümçilik meselelerini çözmekde-de giňden ulanylýar. 31

Önümçilige degişli mysal. Deňlemeler ulgamynyň önümçilik bilen baglanyşygyna mümkinçilik berýän mysala seredeliň. Fermada mallary gündelik iýmitlendirmek üçin 3 görnüşli ot-iým ulanylýar. Bu ot-iýmleriň 1 kg-da bar bolan A, B we S ýokumly maddalaryň mukdary aşakdaky tablisada berlen. 1 kg ot-iýmdäki ýokumly maddalaryň mukdary Ot-iýmleriň 1 kg ot-iýmdäki ýo- görnüşleri kumly maddalaryň mukdary,ǒ.b. AB S 1 43 1 2 32 1 3 21 2 Eger-de bir, mala bir gije-gündiziň dowamynda gerek boljak ýokumly maddalaryň mukdary degişlilikde d1, d2 we d3 bolsa ,onda mala beriljek ot- iýmleriň gije-gündizlik mukdaryny hasaplamaly. Meseläniň modelini ýazmak üçin, bir gije-gündiziň dowamynda (ot-iýmleriň görnüşleri boýunça) gerek boljak ot-iýmleriň mukdaryny degişlilikde aşakdaky üýtgeýän ululyklar bilen belgiläliň: X1 - birinji görnüşli ot-iýmiň mukdary,kg; X2- ikinji görnüşli ot-iýmiň mukdary,kg; X3- üçünji görnüşli ot-iýmiň mukdary,kg. Meseläniň şertlerine görä gije-gündizlik ot-iýmleriň düzüminde bolmaly ýokumly maddalaryň mukdarlary aşakdaky ýaly ýazylar: A-ýokumly madda boýunça - d1=4x1+3x2+2x3 B-ýokumly madda boýunça - d2=3x1+2x2+ x3 S-ýokumly madda boýunça - d3= x1+ x2+2x3 Onda meseläniň modeli çyzykly deňlemeler ulgamy görnüşinde aşakdaky ýaly ýazylýar: dd12  4x1  3x 2  2x 3,  3x1  2x 2  x3 , d3 x1  x 2  2x3. 32

Meseläniň çözüwi, ýokardaky çyzykly deňlemeler ulgamynyň çözüwine deň bolar. Ýokarda getirlen önümçilik meselesiniň modelini çözmezden öň aşakdaky çyzykly funksiýalaryň ulgamyna seredeliň y1=b11x1+b12x2+b13x3 y2=b21x1+b22x2+b23x3 y3=b31x1+b32x2+b33x3 Bu ýerde bij-belli sanlardyr (i=1,2,3; j=1,2,3). Ulgamy Jordanyň tablisasy görnüşinde ýazalyň.Tablisa aşakdaky görnüşde ýazylýar. 1 X1 X2 X3 y1= b11 b12 b13 y2= b21 b22 b23 y3= b31 b32 b33 y1 , y2 we y3 -leriň duran setirlerine degişlilikde y1 , y2 we y3 setirler diýilýär (eger-de, y=0 bolsa, onda setire nul setir diýilýär). x1, x2 we x3 –leriň duran sütünlerine degişlilikde x1, x2 we x3 sütünler diýilýär (eger x=0 bolsa , onda sütüne nul sütün diýilýär). bij-lere (i- setiriň ,j-sütüniň sanawydyr) tablisanyň elementleri diýilýär. Steýnisiň teoremasy. Eger-de, Jordanyň tablisasynyň setirleriniň we sütünleriniň sany m  n şerti kanagatlandyrýan (m-setirleriň sany , n- sütünleriň sany) bolup, setirleri çyzykly bagly bolmasalar, onda Jordanyň üýtgeýänleri yzygider ýok etmek usulyny m gezek ulanyp, ym –leriň hemmesini tablisanyň sütünine geçirip bolar, ýagny, m sany iksi (x) igrikler (y) we galan iksler (x) bilen aňladyp bolar. Bu teoremanyň esasynda ýokarky tablisadaky y1 , y2 we y3 setirleri x1, x2 we x3 sütünler bilen çalşyryp aşakdaky tablisany alyp bolar: 1 y1 y2 y3 x1= a11 a12 a13 x2= a21 a22 a23 x3= a31 a32 a33 33

T ablisadan alarys : x1= a11 y1 + a12 y2+ a13 y3, x2= a21 y1+ a22y2+ a23 y3, x3= a31 y1 + a32y2+ a33 y3. Ýokarda getirlen önümçilik meselesiniň modeline Steýnisiň teoremasynyň esasynda Jordanyň üýtgeýänleri yzygider ýok etmek usulyny ulanyp iksleri (x) d-eleriň üsti bilen aňladyp bolar. Önümçilik meseläniň modelini çözüji(rugsat beriji) elementiň kömegi bilen Jordanyň adaty üýtgeýäni ýok etmek usulyny ulanyp (tablisany öwürmek düzgüni boýunça) çözeliň X1 1  X2 X3  d1= 4 3 2 d2= 3 2 1 d3= 1 1 2 dd12  4x1  3x 2  2x 3  3x1  2x 2  x3 d3 x1  x 2  2x3 Deňlemäni tablisa görnüşinde ýazalyň: Usulyň algoritmi: -Sütünleriň içinden setirlere geçiriljek sütün kesgitlenilýär. Bu sütüne çözüji sütün diýilýär (öwrülýän tablisadaky X1 çözüji sütündir). -Setirleriň içinden sütünlere geçiriljek setir kesgitlenilýär.Bu setire çözüji setir diýilýär(öwrülýän tablisadaky d1 çözüji setirdir) -Çözüji setir bilen çözüji sütüniň kesişmesindäki elemente (öwrülýän tablisadaky 4) çözüji element diýilýär(çözüji element nuldan tapawutly bolmaly) we bellenilýär. Öwrülýän tablisadan täze tablisa aşakdaky düzgün boýunça geçilýär: -Täze tablisada çözüji setir bilen sütüniň ýerini çalşyrmaly. -Täze tablisada çözüji elementiň ýerine onuň ters ululygyny ýazmaly. -Täze tablisada çözüji setiriň galan elementleriniň ýerine ol elementleri çözüji elemente bölüp, ters alamatlary bilen ýazmaly. 34

-Täze tablisada çözüji sütüniň galan elementlerini çözüji elemente bölüp, öz alamaty bilen ýazmaly. -Täze tablisanyň galan elementleri gönüburçlyk düzgüni bilen kesgitlenýär. Gönüburçlyk düzgüni : Öwrülýän tablisada gönüburçlyk aşakdaky ýaly gurulýar we täze tablisanyň galan elementleri aşakda görkezlen düzgün boýunça hasaplanýar: -Öwrülýän tablisada -hasaplanjak elementiň salgysynda duran elementden çözüji setirdäki we çözüji sütündäki elementlere çenli göni çyzyklar geçirmeli. –Ol elementleri bolsa göni çyzyk arkaly çözüji element bilen birikdirmeli. Netijede, gönüburçlyk emele gelýär. - Täze tablisanyň hasaplanýan elementi, öwrülýän tablisada çözüji elementiň hasaplanýan elementiň salgysynda duran elementine köpeltmek hasylyndan, gönüburçlygyň beýleki iki depesinde duran elementleriniň köpeltmek hasylynyň aýrylmasyndan alnan tapawudyň, çözüji elemente bölünmesinden alnan paýa deňdir. -Täze tablisanyň elemetlerini Jordanyň ýokarda getirlen adaty tablisany öwürmek usulynda hasaplap alarys : (-3*3+4*2)/4=-1/4; (-3*2+4*1)/4=-2/4=-1/2; (-1*3+4*1)/4=1/4; (-1*2+4*2)/4=6/4=3/2; d1 X2 X3 X1= 1/4 -3/4 -2/4 d2= 3/4 (-3*3+4*2)/4=-1/4 (-3*2+4*1)/4=-2/4 d3= 1/4 (-1*3+4*1)/4=1/4 (-1*2+4*2)/4=6/4 1 d1 d2 X3 X1= -2 3 1 X2= 3 -4 -2 -1 d3= 1 1 35

1 d1 d2 d3 X1= -3 4 1 X2= 5 -6 -2 X3= -1 1 1 -Ýokarda getirlen tablisany öwürmek düzgüni tä üýtgeýän ululyklar sütünden setirlere doly geçilýänçä gaýtalanýar. Doly geçirlip gutarandan soň tablisadan deňlemeler ulgamynyň çözüwini aňlatmalar görnüşinde aşakdaky ýaly ýazyp bolar X1=-3d1+4d2+d3 X2=5d1-6d2-2d3 X3=-d1+d2+d3 Deňliklerde d-leriň bahalaryny goýup X-lary hasaplap önümçilik meselesiniň çözüwini alarys Ýokarda getirlen usuly Steýnisiň teoremasynyň şertini kanagatlandyrýan islendik çyzykly deňlemeler ulgamyny çözmekde ulanyp bolýar. Çözüji elementiň kömegi bilen tablisany öwürmegiň häsiýetleri: 1.Tablisanyň nuldan başga islendik elementini çözüji element diýip ulanyp bolýar. 2. Nuldan uly çözüji elementli tablisany öwrende, çözüji setiriň çözüji elementinden başgalarynyň alamatlary üýtgeýär. 3. Nuldan kiçi çözüji elementli tablisany öwrende, çözüji sütüniň çözüji elementinden başgalarynyň alamatlary üýtgeýär. 4. Eger-de, çözüji setiriň nul elementleri bar bolsa, onda tablisa öwrülende olaryň duran sütünleriniň elementleri ütgedilmän ýazylýar. 5. Eger-de, çözüji sütüniň nul elementleri bar bolsa ,onda tablisa öwrülende olaryň duran setirleriniň elementleri ütgedilmän ýazylýar. 6. Nul sütüni tablisadan aýryp bolýar. 36

7. Nul setiriň hemme elementleri nul bolsa, onda setiri tablisadan aýryp bolýar. Tablisany öwürmegiň 6-njy we 7-nji häsiýetleri käbir ýagdaýlarda tablisanyň ölçegini kiçeltmäge mümkinçilik berýär. Çyzykly deňlemeler ulgamlaryny kwadrat we kwadrat däl diýlen toparlara bölüp bolýar. m- deňlemeli we m-üýtgeýän ululykly çyzykly deňlemeler ulgamynyň çözüwi Goý, çyzykly bagly bolmadyk deňlemeler ulgamynda deňlemäniň sany üýtgeýänleriň sanyna deň bolsun (m=n), onda ulgam aşakdaky görnüşde ýazylar 1 x1 ... xm a1m a1= a11 ... ... ... ... ... amm am= am1 ... .a.1.1.x..1..............a..1.n.x..m..... a 1 , .. , a m1x1  ... a mn x m  a m . Onda ulgamyň matrisasynyň rangy r =m bolar. Ulgamy Jordanyň tablisasynda ýazalyň Tablisanyň hemme setirleri çyzykly bagly bolmanlygy üçin Jordanyň tablisany öwürmek usulyny m gezek ulanyp ähli azat agzalary üýtgeýänler bilen çalşyryp bolar we netijede aşakdaky tablisany alarys 37

ai we aij-berlen sanlar;bij-hasaplanan sanlar. Tablisadan bolsa üýtgeýän X –laryň kesgitlenen bir bahasyny alarys.Bular ýaly ulgam, kesgitlenen diýilýär. X1 X2 X3 1 1 0 -1 =3 0 2 1 =5 1 -1 0 =2 Muňa aşakdaky çyzykly deňlemeler ulgamlary mysal bolup biler 3x1x1x22 x2  1, 2x1x2 x3  3,  2.  x3  5, we x1  x2  2. Bu deňlemeler ulgamlaryny Jordanyň tablisasy görnüsinde ýazalyň : X1 X2 1 3 -2 =1 1 1 =2 Eger-de, r<m ýagny, deňlemeleriň bir bölegi galanlaryna çyzykly bagly bolsa, onda Jordanyň tablisasynyň ýokarsyna r sany azat agzany geçirip bolar, ýokarda bolsa m-r sany X üýtgeýän galar. Bular ýaly ulgamyň çözüwi ýokdyr ýa-da tükeniksiz köp çözüwi bardyr 1 a1 ... am ... b1m X1= b11 ... ... ... ... ... bmm Xm= bm1 1-nji mysal 3x1x126xx2 215 38

11 X2 5= 3 0 X1= 1 -2 Soňky tablisadan görnüşine görä, çözüji element bolup nul-sany almaly bolýarys. Diýmek, täze tablisanyň elementleri kesgitlenende nula bölmek amaly ýüze çykýar. Bu amal bolsa ýerine ýetmeýän amaldyr. Onda ulgamyň tükeniksiz köp ýa-da çözüwi ýok ýagdaý emele gelýär. Oňa göz ýetirmek üçin tablisany aňlatma görnüşinde ýazalyň: 5x131**1102**xx22  5x13102xx22 Aňlatmanyň birinji deňlemesinde görnüşine görä 0* x2  0 diýmek 5  3, ýagny x2 -islendik bahasynda ulgamyň birinji deňligi ýerine ýetýän däldir. Bular ýaly ýagdaýda ulgamyň çözüwi ýok diýilýär(deňlemeler kökdeş däldir). Nul-tablisa usuly. Bu usuly öwrenmek üçin aşakdaky deňlemeler ulgamyny agzalan usul bilen çözeliň: 1 X1 X2 5= 3 -6 1= 2 1 2x 1 x 2  x3  2, x1  3x 2  x3  2, 3x1  x 2  x 3  8. 39

Bu deňlemelerde deňligiň sag bölegini çep bölegine geçirip alarys.  2x1x13xx22  x3  2  0  x3  2  0 3x1  2x2  x3  8  0 Sistemedan görnüşine görä deňlikleriň sag bölegi nula deňdir. Bular ýaly ulgam, nul ulgam diýilýär. Oňa degişli tablisa bolsa, nul tablisa diýilýär. Onda 0-tablisany ýazýarys. 1 x1 x2 x3 1 0= 2 -1 1 -2 0= 1 -3 1 2 0= 3 1 -1 -8 Tablisany çözüji elementiň kömegi bilen öwreliň. 10 x2 x3 1 0= 2 -6 5 -1 -2 -14 x1= 1 3 -1 0= 3 10 -4 Tablisadan nul sütüni aýyryp alarys. 1 x2 x3 1 0= 5 -1 -6 -2 x1= 3 -1 -14 0= 10 -4 Çözüji element usuly bilen tabisany öwürmäni dowam etdireliň. 1 x2  1 5 -6 x3 = -2 4 x1 = -10 10 0= 40

x2 0 1 -6 x3= 5 -1 4 10 x1= -2 1 0= -10 4 11 X3= -1 X1= 2 X2= 1 Tablisadan alarys x 3  1 x 1 2 x 2  1 Nul tablisa usulynda her gezek tablisa öwrülende nul sütüniň tablisadan aýrylýanlygy sebäpli, tablisanyň ölçegi kiçelýär, netijede hasaplama işi azalýar. Çyzykly deňlemeler ulgamynyň otrisatel däl çözüwleri Halk hojalygynda şol sanda oba hojalygynda önümçiligi dolandyrmak üçin ulanylýan modelleriň otrisatel däl çözüwleri gözlenilýär. Çyzykly deňlemeler ulgamynyň otrisatel däl çözüwlerini tapmak hem, öň ulanan usullarymyzyň kömegi bilen gözlenilýär. Olardan tapawutlylygy, soňundan çözüwiň seljermesi geçirilýär. Şol seljermäniň esasynda bolsa otrisatel däl çözüwler kesgitlenilýär. Munuň şeýledigine aşakdaky çyzykly deňlemeler ulgamyny çözmek arkaly göz ýetirip bolar. 2xx1  x2  x4 2 1 x 2 x 5 1  x1  2x 2  x 3  3x 4  3 41

Ulgamyň çözüwini nul tablisa usuly bilen gözläliň. Onda alarys: 2xx1 x2  x4 20 1 x 2 x 5 1  0  x1  2x 2  x 3  3x 4  3  0 Ulgamy tablisa görnüşinde ýazalyň 1 x1 x2 x3 x4 x5 1 0= 1 -1 0 1 0 -2 0= 2 -1 0 0 -1 -1 0= -1 2 1 3 0 -3 Haçanda, tablisadaky nullar üýtgeýänler bilen doly çalşyrylyp gutarylanda, alnan çözüwe ulgamyň çözüwi diýilýärdi. Sebäbi, bu çözüwleriň içinde ulgamyň hemme çözüwleri ýerleşendir. Bu çözüwleri hasaplalyň: 1 x2 x3 x4 x5 1 x1= 1 0 -1 0 2 0= 1 0 -2 -1 3 0= 1 1 4 0 5 1 x3 x4 x5 1 x1= 0 1 1 -1 x2= 0 2 1 -3 0= 1 6 1 -8 1 x4  x5 1  x1= 1 1 -1 x2= 2 1 -3 x3= 6 -1 8 42

Soňky tablisany aňlatma görnüşinde ýazyp alarys x 1  x4  x5 1 3 x 2  2x 4  x5  x 3  6x 4  x 5  8 x2 x5 1 x4= 1/2 -1/2 3/2 X1= 1/2 1/2 1/2 x3= -6/2 4/2 -2/2 Aňlatmadan görnüşine görä deňlemeler ulgamynyň tükeniksiz köp çözüwi bardyr, ýagny x 4 we x5 –iň her bir bahasyna degişli x1, x 2 , x 3 -iň bahalaryny kesgitläp bolar. Haçanda, x 4  0 , x 5  0 bolanda x1  1, x2  3, x3  8 bahalary alar. Bu alnan çözüw položitel çözüw däldir. Sebäbi, x1<0; x2<0 . Ulgamyň çözüwi položitel boljak bolsa olar nula deň ýa-da nuldan uly bolmalydyr. Ulgamyň poljitel çözüwini almak üçin iň soňky tablisanyň azat agzalarynyň sütünindäki elementleriň hemmesi nula deň ýa-da nuldan uly bolmalydyr. Diýmek, iň soňky tablisada azat agzalarynyň sütünindäki elementleriň hemmesi nula deň ýa-da nuldan uly bolýança deňlemäniň çözüwini öňki usul bilen dowam etdirmek gerekdir. 1 x1 x5 1 1 -1 1 x4= 2 -1 -1 x2= -6 5 2 x3= 43

Bu tablisadan görnüşine görä 2—nji setirdäki azat agza nuldan kiçidir. –1<0; Diýmek, bu çözüw hem položitel çözüw däldir. Onda hasaplamany dowam edýäris. Položitel çözüwler gözlenilende otrisatel elementi bolan azat agzanyň setirinden položitel sany çözüji element hökmünde saýlap almaly. X2 X3 1 x4= -1 -1/4 5/4 x1= 5/4 1/4 3/4 x5= 6/4 2/4 2/4 Soňky tablisadan görnüşine görä tablisanyň azat agzalar sütünindäki elementleriň hemmesi položiteldir. Diýmek, bu çözüw ulgamyň položitel çözüwlerini berýän çözüwleriň köplügidir.  x4   x2  1 x3  5  4 4  xx42  0; x3  0  5 1 3  5 / 4; x1   x1  4 x2  4 x3  4 3/ 4  x5  1/ 2   x5  3 x2  1 x 1 2 2 2 Otrisatel azat agzanyň alamatyny çalyşmak üçin çözüji elementi saýlap almagyň düzgüni. Otrisatel azat agzanyň alamatyny çalşyrmak üçin, azat agzany öz setirinde duran hemme položitel elementlere bölüp iň kiçi gatnaşygy berýän elementini çözüji edip almaly. Barlag soraglary: 1. Çyzykly deňlemeler ulgamynyň çözüliş usullaryny aýtmaly? 2. m- deňlemeli we m-üýtgeýän ululykly çyzykly deňlemeler ulgamynyň çözüwi nähili tapylýar? 3. Çyzykly deňlemeler ulgamynyň otrisatel däl çözüwleri nähili tapylýar? 44

8-nji tema ÇYZYKLY DEŇSIZLIKLER ULGAMY (2 sagatlyk) Umumy okuwyñ meýilnamasy: 1. Çyzykly deňsizlikler ulgamynyň geometriki şekillendirilişi. 2. Deňsizlikler ulgamynyň grafiki usulda çözülişi. 3. Çyzykly deňsizlikler ulgamynyň otrisatel däl çözüwleri Çyzykly deňsizlikler ulgamy umumy görnüşde aşakdaky ýaly ýazylýar: a11x1  ... a1jx j  ... a1n xn  b ai1x1... aij        xj  ... a xin n  bi Deňsizlikler                    ulgamynyň her bir a xm1 1  ... a mjx j  ... a mn xn  bm deňsizliginiň geometriki şekiline gipertekizlik-diýilýär. Gipertekizlikleriň kesişmesinden emele gelýän köpburçlyga deňsizlikler ulgamynyň umumy çözüwini aňladýan geometriki şekil diýilýär. Köpburçlygyň nokatlaryna bolsa deňsizlikler ulgamynyň çözüwleriniň köplügi diýilýär. Deňsizlikler ulgamynyň çözüwleriniň köplügi ýagny, köpburçlyk üç görnüşde bolýar. Yapyk köpburçlyk Ýokardan ýapyk köpburçlyk Aşakdan ýapyk köpburçlyk 45

Çyzykly deňsizlikler ulgamynda üýtgeýänleriň sany 3-den köp bolan ýagdaýynda ony geometriki usulda üç ölçegli giňişlikde şekillendirip bolmaýar. üýtgeýänleriň sany üçe deň bolanda deňsizlikler ulgamynyň geometriki şekili giňişlikde ýerleşen bolýar. Bu ýagdaýda ulgam girýäň her bir deňsizlik tekizlik arkaly bölünen giňişligiň haýsy hem bolsa bir- ýarym giňişligini aňladýandyr. Ulgamyň umumy çözüwi bolsa ýarym giňişlikler arkaly kesişip, giňişlikde haýsy hem bolsa köpburçlugy emele getirýän nokatlaryň köplüginden emele gelen şekildir. Deňsizlikler ulgamynyň grafiki usulda çözülişi Birnäçe deňsizlikleriň bilelikde seredilmesi, deňsizlikler ulgamyny emele getirýär. Deňsizlikler ulgamynyň çözüwi diýip, şol bir wagtda hemme deňsizlikleri kanagatlandyrýan üýtgeýänleriň bahalarynyň toplumyna aýdylýar. Deňsizlikler ulgamynyň çözüwi bar bolsa –ulgam bileleşikli diýilýär, ýok bolsa bileleşikli däl diýilýär. Deňsizlikler ulgamynyň grafiki usulda çözülişine aşakdaky meseläni çözmek bilen seredeliň. Hojalyk A we B görnüşli iki önüm öndürýär.A we B önümleriň birini öndürmäge S we Ş serişdeleriň sarp edilişi tablisada berlen. 480 birlik S we 300 birlik Ş serişdelerden A we B önümleriň näçesini öndürip bolar. A we B önümleriň birini öndürmäge serişdeleriň sarp edilişi. AB S 53 Ş 32 46

X1 we X2 –degişlilikde A we B önümleriň öndüriljek sany bolsa, onda serişdeleriň sarp edilişi degişlilikde aşakdaky ýaly ýazylar: S serişdäniň sarp edilişi 5x1 +3x2≤480, Ş serişdäniň sarp edilişi 3x1+2x2≤300 . Mundan başga-da öndirilýän önümleriň mukdarlary nuldan kiçi sanlar bolup bilmezler , ýagny, x1≥0 , x2≥0 . Diýmek meseläniň çözüwi aşakdaky ulgamyň çözüwi bolarlar 5x1  3x 2  480, 3x  1  2x 2  300, x1  0, x 2  0. Bu ulgamy grafiki usulda çözmezden öň, iki üýtgeýänli çyzykly ax1+bx2+s≥0 deňsizlige seredeliň. Eger-de, x1 we x2 ululyklara tekizlikdäki nokadyň koordinatlary hökmünde seretsek, onda deňsizligi kanagatlandyrýan çözüwleriň köplügi ýarym tekizlikligiň nokatlarynyň köplügi bolar. Deňsizlige iki ýarym tekizligiň haýsynyň degişlidigini kesgitlemek üçin,deňsizligi x2≥kx1+r ýa-da x2≤kx1+r görnüşde ýazmak ýeterlikdir. Birinji ýagdaýda deňsizlige ax1+bx2+s=0 gönüden ýokarda ýerleşen ýarym tekizligiň nokatlary degişli bolsa, ikinjä ondan aşakda ýerleşen ýarym tekizligiň nokatlary degişli bolar. Eger-de, b=0 bolsa, onda deňsizlik x1≥h ýa-da x1≤h görnüşiň birine getirler,ýagny, ýarym tekizlik x1=h gönüniň sagynda ýa-da çepinde ýerleşer (a =0 bolsa,onda deňsizlik x2 ≥h ýa-da x2 ≤h görnüşiň birine getirler, ýagny, ýarym tekizlik x2=h gönüniň ýokarsynda ýa-da aşagynda ýerleşer). Indi bolsa deňsizlikler ulgamy berlen ýagdaýyna seredeliň a11x1  a12x 2  b1  0, a  x21 1  a 22x 2  b2  0, ............................... a m1x1  a m2 x 2  b m  0, 47

m-kesgitli san. Deňsizlikler ulgamy, çözüwleriň köplügi birnäçe ýarym tekizlikleriň kesişmesinden emele geleýän köpburçlygy emele getirer. Bu ýaýla hemişe ýapyk (çäklenen) bolman, ol çäklenmedik(ýapyk däl), hat-da boş hem bolup biler, haçanda deňsizlikler ulgamynda gapma-garşy deňsizlikler bar bolsa. Indi bolsa goýlan meseläni çözmeklige seredeliň. Meseläniň çözüwi düzülen deňsizlikler systamasynyň çözüwi bolýandygyny ýokarda belläpdik.Ulgamyň her bir deňsizliginiň çözüwleriniň köplügini ýokarda görkezilişi ýaly edip aýry-aýrylykda guralyň we olaryň hemmesine degişli bolan nokatlaryň köplügini kesgitläliň. X1 Çyzgydan görnüşine görä 5x1+3x2≤480 deňsizligiň çözüwleriniň köplügi 5x1+3x2=480 gönüniň we gönüden aşakda ýatan nokatlaryň köplügidir. 3x1+2x2≤300 deňsizligiň çözüwleriniň köpligi bolsa 3x1+2x2=300 gönüniň we gönüden aşakda ýatan nokatlaryň köpligidir. x1≥0 deňsizligiň çözüwleriniň köplügi x2 –okda we ondan sagda ýerleşen nokatlaryň köplügi bolsa, x2≥0 deňsizligiň çözüwleriniň köplügi x1 –okda we ondan ýokarda ýatan nokatlaryň köplügi bolar. ABC-burçuň depesi bolan B nokadyň koordinatalary 5x1+3x2≤480 we 3x1+2x2≤300 deňsizlikleriň ikisiniň hem çözüwidir, sebäbi, deňsizlikleriň çözüwleriniň köplügini kesgitleýän gönüleriň kesişmesinde ýerleşendir. 48

Deňsizlikler ulgamynyň çözüwleriniň köplügi diýip, şol bir wagtda hemme deňsizligiň çözüwlerine degişli bolan nokatlaryň köplügine aýdylýar. Diýmek, ABCO dörtburçlygyň taraplarynyň üstünde we içinde ýerleşen nokatlaryň köplügi seredilýän ulgamyň çözüwleriniň köplügi bolar. Diýmek, ABCO dörtburçlygyň depeleriniň koordinatalary hem ulgamyň çözüwleridir: A(96;0)-birinji önümden 96 birlik öndürlip, ikinjiden önüm öndürilmeýär, B(60;60)- önümiň her görnüşinden 60 birlik öndürilýär ,C(0;150)-birinjiden öndürilmän, ikinjiden 150 birlik öndürilýär, O(0;0)-önümleriň hiç biri hem öndürilmeýär. Eger-de, deňsizlikler ulgamynyň iki ütgeýän ululygy bar bolsa, onda bu ulgamyň çozüwleriniň köplügi tekizlikde ýerleşendir. Bular ýaly ulgamyň geometriki şekiline göz ýetirmek üçin aşakdaky deňsizlikler ulgamyny doly şekillendireliň. 3x1  x2  9,   x1  2 x2  8,  0, x1 x2  0. Seljermek üçin alnan ulgamyň dört sany deňsizligi bar. Bu deňsizlikleriň her biri tekizlikde ýarym tekizligi şekillendirýär. Ulgamyň çozüwleriniň köplüginiň şekili bolsa, şol dört sany ýarym tekizligiň kesişmesinden emele gelen köpburçlykdyr. Bulary tekizlikde gurmak üçin her bir ýarym tekizligi tekizlikde görkezer ýaly tekizligi iki bölege bölýän göni çyzyklary geçirmeli. Ol göni çyzyklar ulgamdaky deňsizligi deňlik alamaty bilen çalşyranyňdan soň emele gelýän deňlikleriň geometriki şekilleridir. Diýmek ulgamdaky her bir deňsizligi tekizlikde şekillendirmek üçin ony deňlige öwrüp, deňligiň grafigini tekizlikde gurmaly we deňsizligi 49

kökleriniň ýerleşýän ýarym tekizligini urukdyrlan göni bilen görkezmeli. Ýokarda aýdylanlary aşakdaky tertipde ýerine ýetireliň. 3x1+x2≤9,deňsisligiň şekilini gurmak üçin ilki bilen tekizligi ikä bölýän 3x1+x2=9 gönüni gurmaly we deňsizligi görkezýän ýarym tekizligi ugrukdyrlan göni bilen görkezmeli. 3x1+x2=9 gönuni tekizlikde gurmak üçin tekizlikde gönüniň deňlemesini kanagatlandyrýan iki nokadyň koordinatalaryny tapmaly. Goý, ol nokatlar gönüniň koordinatalar oklary bilen kesişýän nokatlary bolsun,onda alarys: 3x1+x2=9, x1=0. Ulgamyň çözüwi x1=0 we x2=9 bolar. Goý bular A nokadyň koordinatasy bolsun A(0;9). 3x1+x2=9, x2=0. Ulgamyň çözüwi x1=3 we x2=0 bolar. Goý bular B nokadyň koordinatasy bolsun B(3;0). x1+2x2≤8, deňsizligiň şekilini gurmak üçin ilki bilen tekizligi ikä bölýän x1+2x2=8 gönüni gurmaly we deňsizligiň çözüwlerini aňladýan ýarym tekizligi ugrukdyrlan göni bilen görkezmeli. x1+2x2=8 gönüni tekizlikde gurmak üçin tekizlikde gönüniň deňlemesini kanagatlandyrýan iki nokadyň koordinatalaryny tapmaly.Goý, ol nokatlar gönüniň koordinatalar oklary bilen kesişýän nokatlary bolsun,onda alarys: x1+2x2=8, x1=0. Ulgamyň çözüwi x1=0 we x2=4 bolar.Goý,bular D nokadyň koordinatasy bolsun D(0;4). 50