كتاب الرياضيات ثالث متوسط ج2

‫‪9‬‬ ‫جمهورية العراق‬ ‫وزارة التربية‬ ‫المديرية العامة للمناهج‬ ‫الجزء الثاني‬ ‫�سل�سلة كتب الريا�ضيات للمرحلة المتو�سطة‬ ‫الريا�ضيات‬ ‫لل�صف الثالث المتو�سط‬ ‫الم ؤ�لفون‬ ‫د‪ .‬طارق �شعبان رجب‬ ‫د‪� .‬أمير عبد المجيد جا�سم‬ ‫د‪.‬منير عبد الخالق عزيز‬ ‫د‪� .‬ســـميـــر قـــــا�ســم ح�ســـــن‬ ‫زيـــــــنة عبد الامـــير ح�ســـين‬ ‫ح�سيــــن �صــــادق كاظـــــــــــم‬ ‫‪١٤٤٠‬هـ ‪ ٢٠١٩ /‬م‬ ‫الطبعة الثانية‬

‫ُب ِني ْت و ُ�ص ِّم َم ْت (�سل�سل ُة ُك ُت ِب ال ّريا�ض ّيا ِت للمرحل ِة المتو�سط ِة) على أ�يـــــدي فري ٍق من المتخ ّ�ص�صين‬ ‫في وزار ِة ال ّتربي ِة‪/‬المديري ُة العام ُة للمناهــ ِج و ِبم�شارك ِة مت َخ ّ�ص�صي َن من أ��ساتذ ِة الجامعا ِت في‬ ‫وزار ِة ال ّتعلي ِم العالي والبح ِث العلمي على وفق المعايير العالمي ِة ِل ُتح ِّق َق �أهدا َف بنا ِء المنه ِج‬ ‫الحدي ِث المتم ِّثل ِة في جع ِل ال ّطلا ِب‪:‬‬ ‫ • ُمتع ِّلميــ َن ناجحيــــ َن مـــــدى الحـيــــا ِة‪.‬‬ ‫ • أ�فـــــــراد ًا واثـقـيـــــــــ َن ب�أنـف�ِس ِهــــم‪.‬‬ ‫ •مواطني َن عراقيي َن ي�ش ُعرو َن بال َفـخ ِر ‪.‬‬ ‫م‪.‬ما‪.‬ليما��شسرر ُمفنالذرفنم ُّيحمعلدى�اسلع ّيطدبعحبه‬ ‫الم�شر ُف العلم ُّي على ال ّطبع‬ ‫ُم�ص ِّم ُم ال ِكتا ِب‬ ‫د‪� .‬أمير عبد المجيد جا�سم‬ ‫تي�سير عبد الإله ابراهيم‬ ‫ال َخبي ُر ال ّلغو ُّي‬ ‫علي م�صطفى ابراهيم‬ ‫الغلا ُف وال ّر�سو ُم الهند�س ّي ُة‬ ‫م‪.‬م‪ .‬يا�سر منذر محمد �سعيد‬ ‫�سارة خليل ابراهيم‬ ‫استناداً إلى القانون يو ّزع مجاناً ويمنع بيعه وتداوله في الأسواق‬

‫المقدمة‬ ‫تُ َع ُّد مادة الرياضيا ِت ِم َن الموا ِد الدراسي ِة الأساسي ِة التي تُساع ُد الطال َب على اكتسا ِب الكفايا ِت‬ ‫التعليمية اللازم ِة لهُ‪ ،‬لتَنمي ِة قُدرات ِه على التفكي ِر َوحل المشكلا ِت‪ ،‬ويساعدهُ على التعام ِل م َع المواق ِف‬ ‫الحياتية المختلف ِة‪.‬‬ ‫َوم ْن ُمن َطل ِق الاهتما ِم الذي تُوليه وزارةُ التربية متمثلةً بالمديري ِة العام ِة للمناه ِج لتطوي ِر المناهج‬ ‫بصور ٍة عامة ولاسيما مناه ِج الرياضيا ِت لكي تواك َب التطورا ِت العلميةَ والتكنولوجيةَ في مجلا ِت‬ ‫الحيا ِة المختلفة‪ ،‬فَقَ ْد و ِضعت خطة لتألي ِف سلسلة ُكت ِب الرياضيات للمراحل الدراسية الثلا ِث‪،‬‬ ‫وأُنج ِز ْت منها كت ُب المرحلة الابتدائي ِة َوبَدأ العمل على استكمال السلسلة بتالي ِف كت ِب المرحل ِة‬ ‫المتوسط ِة‪.‬‬ ‫إ َن سلسلةَ كت ِب الرياضيا ِت العراقية الجديدة ومن ضم َن الإطا ِر العام للمناهج تُعز ُز القيم‬ ‫الاساسية التي تتمثل بالالتزا ِم بالهوي ِة العراقي ِة والتسام ِح واحترا ِم الرأي والرأي الآخر والعدال ِة‬ ‫الاجتماعية‪ ،‬وتوفير فرص متكافئ ٍة للتمي ِز والإبداع‪ ،‬كما تعم ْل على تعزي ِز كفايا ِت التفكي ِر والتعل ِم‬ ‫والكفايا ِت الشخصي ِة والاجتماعية وكفايا ِت المواطن ِة والعم ِل‪.‬‬ ‫بُنيَ ْت سلسلةُ كت ِب الرياضيا ِت العراقي ِة على محوري ِة الطالب في عمليتي التَعلي ْم والتَ َعلُ ْم َو َعد ُّه‬ ‫المحو َر الرئي َس في العملي ِة التربوي ِة على وف ِق المعايي ِر العالمي ِة‪.‬‬ ‫تَمي َز ْت سلسلةُ كت ِب الرياضيا ِت العراقي ِة للمرحل ِة المتوسط ِة في تنظي ِم الدرو ِس على س ِت‬ ‫فقرا ٍت‪ :‬تَ َعلَّ ْم ‪ ،‬تَأك ْد م ِن فِه ِم َك ‪ ،‬تَد َر ْب َو ِح ّل التمرينات ‪ ،‬تَد َر ْب و ِح ّل مسائ َل حياتيةً ‪ ،‬فَ ِّك ْر ‪ ،‬اُكت ْب‪.‬‬ ‫يأتي كتا ُب الرياضيا ِت للص ِف الثالث المتوس ِط مشتملاً على أربعة محاور أساسية‪ :‬محو ُر‬ ‫الأعدا ِد والعمليا ِت‪ ،‬ومحو ُر الجب ِر‪ ،‬ومحور الهندسة والقيا ِس‪ ،‬ومحو ُر الإحصا ِء والاحتمالا ِت من‬ ‫ِضم َن الأوزان النسبية لكل محور‪َ ،‬وتَ َض َمن الكتا ُب جزأين‪ :‬الجزء الأول يحتوي على ثلاثة فصول‬ ‫لكل فص ٍل تمريناته‪ ،‬كذلك الجزء الثاني يحتوي على ثلاثة فصو ِل ولكل فص ٍل تمريناته‪.‬‬ ‫تَتَمي ُز هذ ِه الكت ُب بأنها تع َر ُض المادةُ بأسالي َب حديث ٍة‪ ،‬تَتَوف ُر فيها عناصر الجذ ِب والتشوي ِق‪ ،‬التي‬ ‫تُساع ُد الطال َب على التفاع ِل معها‪ ،‬عن طريق ما تُق ِدمهُ من تدريبا ٍت وتمرينا ٍت ومسائ َل حياتي ٍة‪،‬‬ ‫اضافة إلى ذلك تَ َم َوض ُع تمرينا ُت الفصول في نهاية الكتا ِب وهي تَ ْختل ُف عن التدريبا ِت والتمرينا ِت‬ ‫في الدرو ِس وذل َك لكونها موضوعية فالإجابة عنها تكون عن طريق اختيا ٍر من متعد ٍد وهذا بدور ِه‬ ‫يهيِّئ الطال َب للمشارك ِة في المسابقا ِت الدولي ِة‪.‬‬ ‫يمث ُل هذا الكتاب امتداداً لسلسل ِة ُكت ِب الرياضيات المطور ِة للمرحل ِة الابتدائي ِة ودعامةً من دعائ ِم‬ ‫المنه ِج المطو ِر في الرياضيا ِت إلى جان ِب دلي ِل المدر ِس‪ ،‬وعليه نأم ُل أ ْن يُ ْس ِه َم تَنفي ُذها في اكتسا ِب‬ ‫الطلا ِب المهارا ِت العلمية والعملية َوتنمي ِة ميولهم لدراس ِة الرياضيات‪.‬‬ ‫اللهم وفقنا لخدم ِة عراقِناْ العزيز وأبنائِ ِه ‪...‬‬ ‫المؤلفون‬

‫‪Coordinate Geometric‬‬ ‫الفص ُل ‪4‬‬ ‫الهندسة الاحداثية‬ ‫الدرس ‪ 4-1‬التمثيل البياني للمعادلات في المستوي الاحداثي‪.‬‬ ‫الدرس ‪ 4-2‬ميل المستقيم‪.‬‬ ‫الدرس ‪ 4-3‬معادلة المستقيم‪.‬‬ ‫الدرس ‪ 4-4‬المستقيمات المتوازية والمتعامدة‪.‬‬ ‫الدرس ‪ 4-5‬المسافة بين نقطتين‪.‬‬ ‫الدرس ‪ 4-6‬النسب المثلثية‪.‬‬ ‫الدرس ‪ 4-7‬خطة حل المسألة (تحديد معقولية الاجابة)‪.‬‬ ‫تعد رياضة التزلج من الرياضات الممتعة في الكثير من مناطق العالم‪ ،‬اذ توفر المنحدرات الجبلية مثالاً جيداً عن الميل‪.‬‬ ‫فكلما زاد ميل المنحدر تطلب مهارة اكبر من المتزلجين‪.‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪Pretest‬‬ ‫الاختبا ُر القبل ّي‬ ‫عين النقاط على المستوي الاحداثي وحدد موقعها في الارباع او المحاور لكل مما ياتي ‪:‬‬ ‫)‪1 A (3, 6‬‬ ‫)‪2 B (-3, - 5‬‬ ‫)‪3 C (0, 2‬‬ ‫)‪4 D (-3, 0‬‬ ‫)‪5 E (-4, 2‬‬ ‫)‪6 F (3, - 2‬‬ ‫عين النقاط على المستوي الاحداثي‪ ،‬ثم تعرف الى الشكل الناتج لكل مما يأتي‪:‬‬ ‫‪7 A (0, 3), B (3, 0) C (-3, 0) .‬‬ ‫‪8 A (1, 4), B (2, 4) C (4, 4), D (6, 4) .‬‬ ‫‪9 A (-2, 4), B (-2, - 3) C (1, 4), D (1, - 3) .‬‬ ‫‪10 A (0, 3), B (3, 0) C (0, - 3), D (-3, 0) .‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ 11‬اكتب احداثيات النقاط المؤشرة في المستوي الاحداثي المجاور‪:‬‬ ‫‪ox‬‬ ‫مثل الجداول التالية بالمستوي الاحداثي‪:‬‬ ‫‪12 x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪13 x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫جد قيمة ‪ y‬في كل مما يلي‪:‬‬ ‫‪14 y = 2x - 5 , x = 0‬‬ ‫‪15 y = -x + 7 , x = - 1‬‬ ‫‪16 y = x2 + x + 2 , x = 1‬‬ ‫‪17 3y - x2 = 9, x = -2‬‬ ‫لكل مما يلي‪:‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪y1‬‬ ‫للمقدار‬ ‫العددية‬ ‫القيمة‬ ‫جد‬ ‫اذا كانت )‪A (x1, y1), B (x2, y2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫)‪18 A (3, - 5), B (-2, 1‬‬ ‫)‪19 A (-1, 5), B (4, 5‬‬ ‫‪5‬‬

‫الدر ُس التمثيل البياني للمعادلات في المستوي الاحداثي‬ ‫[‪Graphical Represention of the Equations in the Coordinate Plane ]4-1‬‬ ‫تعلم‬ ‫فكرةُ الدرس‬ ‫• تمثيل المعادلة الخطية في‬ ‫في دراسة لتحديد كمية الحليب التي تحتاج‬ ‫اليها جراء آكل النمل حديثو الولادة باللترات‬ ‫المستوي الاحداثي‪.‬‬ ‫على مدى بضعة أيام‪ ،‬توصل الباحث الى‬ ‫• تمثيل المعادلة التربيعية‬ ‫المعادلة‪:‬‬ ‫في المستوي الاحداثي‪.‬‬ ‫‪ 2y - x = 0‬حيث ‪ x‬عدد الايام‪ y ،‬كمية‬ ‫المفردات‬ ‫الحليب باللترات‪.‬‬ ‫• الزوج المرتب‪.‬‬ ‫• المستوي الاحداثي‪.‬‬ ‫كيف يمكنني تمثيل العلاقة بالمستوي‬ ‫• المعادلة الخطية‪.‬‬ ‫الاحداثي؟‬ ‫• المعادلة الربيعية‪.‬‬ ‫[‪ ]4-1-1‬التمثيل البياني للمعادلة الخطية في المستوي الاحداثي‬ ‫‪Graphical Represention of linear Equation in the Coordinate plane‬‬ ‫المعادلة الخطية‪ :‬الصيغة العامة للمعادلة الخطية هي‪ ax + by + c = 0, a, b, c ! R:‬حيث ‪ a,b‬لاتساوي صفراً معاً‬ ‫والمتغيرات فيها لاتكون مرفوعة لقوة اكبر من ‪ 1‬وان‪ ،‬تمثيلها بالمستوي الاحداثي يمثل مستقيماً‪.‬‬ ‫مثال (‪ )1‬لتمثيل المعادلة ‪ 2y - x = 0‬في المستوي الاحداثي نتبع مايأت ي‪ :‬‬ ‫الخطوة (‪ :)1‬نجعل المعادلة بشكل )‪( y = f (x‬أي ‪ y‬بدلالة ‪)x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2y -‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪& 2y‬‬ ‫=‬ ‫&‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫الخطوة (‪ :)2‬اختار في الاقل قيمتين للمتغير ‪ x‬ولتكن ‪ x=2, x=4‬نعوضهما في المعادلة للحصول على أزواج مرتبة‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫&‪2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫& )‪(2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫&‬ ‫)‪P1 (2, 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫&‪4‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫& )‪(4‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫&‬ ‫)‪P2 (4, 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫الخطوة (‪ :)3‬نعمل جدول بالقيم الناتجة ونمثل الازواج المرتبة في المستوي الاحداثي ونصل بين النقطتين‪ ،‬الشكل‬ ‫الناتج يمثل مستقيماً‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪x y (x,y‬‬ ‫‪P2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪2 1 P1(2,1‬‬ ‫‪P1‬‬ ‫)‪4 2 P2(4,2‬‬ ‫ملاحظة‪ :‬معادلة المستقيم الذي يمر بنقطة الاصل‪ ،‬خالية من الحد المطلق‪.‬‬ ‫‪6‬‬

‫مثال (‪ )2‬مثل المعادلات التالية في المستوي الاحداثي‪ ،‬ماذا تلاحظ؟‬ ‫‪i) y - 3x + 5 = 0‬‬ ‫‪ii) y = 4‬‬ ‫‪iii) x = -3‬‬ ‫‪i) y - 3x + 5 = 0 & y = 3x - 5‬‬ ‫)‪x y=3x-5 (x,y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪0 3(0)-5=-5 P1(0,-5‬‬ ‫)‪3 3(3)-5=4 P2(3,4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫المستقيم يقطع محور السينات والصادات‬ ‫ولايمر بنقطة الاصل‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ii) y = 4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪y=4 (x,y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪4 P1(0,4‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪4 P2(3,4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫المستقيم يوازي محور السينات وعمودي على محور الصادات عند‬ ‫النقطة )‪(0, 4‬‬ ‫‪iii) x = -3‬‬ ‫المستقيم ‪ x=-3‬يوازي محور الصادات وعمودي على محور السينات‬ ‫عند النقطة )‪(-3, 0‬‬ ‫يمكن وضع ما تقدم في الجدول الآتي‪:‬‬ ‫العلاقة مع المحورين‬ ‫المعادلة‬ ‫‪ ax+by+c=0‬المستقيم يقطع المحورين ولايمر بنقطة الاصل‬ ‫‪ ax+by=0‬المستقيم يقطع المحورين في نقطة الاصل‬ ‫‪ y = k, k d R‬المستقيم يوازي محور السينات وعمودي على محور الصادات ويمر بالنقطة )‪(0, k‬‬ ‫‪ x = h, h d R‬المستقيم يوازي محور الصادات وعمودي على محور السينات ويمر بالنقطة )‪(h, 0‬‬ ‫[‪ ]4-1-2‬التمثيل البياني للمعادلة التربيعية في المستوي الاحداثي‬ ‫‪Graphical Representation of the Quadratic Equation in the Coordinate Plane‬‬ ‫الصيغة العامة للمعادلة التربيعية هي‪ y = ax2 + bx + c :‬حيث ‪a ! 0, a, b, c ! R‬‬ ‫سوف نتطرق في هذا البند الى المعادلة التربيعية بالصيغة ‪ y = ax2 + c‬حيث ‪a ! 0, a, c ! R‬‬ ‫‪x y = ax2 + c‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪(x,y‬‬ ‫وطريقة تمثيلها‪.‬‬ ‫الناتج‬ ‫‪-2‬‬ ‫الازواج‬ ‫لتمثيل المعادلة ‪ y = ax2 + c‬نعمل الجدول المجاور‬ ‫المرتبة‬ ‫افتراضية‬ ‫قيم‬ ‫‪-1‬‬ ‫تعويض قيم ‪x‬‬ ‫ويكون التمثيل البياني للمعادلة هو او‪k j‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪y‬‬ ‫مثال (‪ )3‬مثل المعادلة ‪y = -x2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪x y = -x2 y (x,y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-(-2)2‬‬ ‫)‪-4 (-2,-4‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-(-1)2‬‬ ‫)‪-1 (-1,-1‬‬ ‫)‪0 -(0)2 0 (0,0‬‬ ‫)‪1 -(1)2 -1 (1,-1‬‬ ‫)‪2 -(2)2 -4 (2,-4‬‬ ‫مثال (‪ )4‬مثل المعادلة ‪y = 2x2 - 5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y = 2x2-5 y‬‬ ‫)‪(x,y‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪2(-2)2-5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪(-2,3‬‬ ‫)‪-1 2(-1)2-5 -3 (-1,-3‬‬ ‫)‪0 2(0)2-5 -5 (0,-5‬‬ ‫)‪1 2(1)2-5 -3 (1,-3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2(2)2-5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪(2,3‬‬ ‫مثل المعادلات الخطية التالية في المستوي الاحداثي وبين علاقتها بالمحورين‪:‬‬ ‫تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك‬ ‫‪1 y = 3x + 1‬‬ ‫‪2 y = -4x 3 y + 3x - 2 = 0‬‬ ‫الاسئلة (‪ )1-6‬مشابه‬ ‫‪4 y = 1 - 3x‬‬ ‫‪5 y+5=0 6 x-5=0‬‬ ‫للمثالين (‪:)1,2‬‬ ‫‪7 y = x2 + 4‬‬ ‫مثل المعادلات التربيعية التالية في المستوي الاحداثي ‪.‬‬ ‫‪8 y = x2‬‬ ‫‪9 y = 1 - 3x2‬‬ ‫الاسئلة (‪ )7-9‬مشابه‬ ‫للمثالين (‪:)3,4‬‬ ‫مثل المعادلات الخطية التالية في المستوي الاحداثي وبين علاقتها بالمحورين‪:‬‬ ‫تدر ْب وح ّل التمرينا ِت‬ ‫‪10 y = -x + 4‬‬ ‫‪11 y = x‬‬ ‫‪12 y + x - 1 = 0‬‬ ‫‪13 y - x - 3 = 0‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪15 y = 0‬‬ ‫‪16 x + y = 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫مثل المعادلات التربيعية التالية في المستوي الاحداثي ‪.‬‬ ‫‪17 y = x2 - 1‬‬ ‫‪18 y = 2x2 + 3‬‬ ‫‪19 y = -3x2‬‬ ‫‪20 y = 2x2‬‬ ‫‪21 4y = x2‬‬ ‫‪22 x2 + 5y = 1 23 y - 2x2 = 0‬‬ ‫‪8‬‬

‫تدر ْب وح ّل مسائ َل حياتيةً‬ ‫تبين العلاقة بين درجات‬ ‫= ‪Fc‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪Cc‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪ 24‬درجات حرارة ‪ :‬المعادلة‬ ‫‪5‬‬ ‫الحرارة السيليزية ودرجات الحرارة الفهرنهايتية لها‪ ،‬مثل المعادلة بيانياً‪.‬‬ ‫‪ 25‬هندسة ‪ :‬مثلث قائم الزاوية متساوي الساقين‪ ،‬طول ضلعه القائم ‪ x‬وحدة‪،‬‬ ‫(‪ f(x‬تمثل مساحته‪ )i .‬اكتب العلاقة (‪ f(x‬بدلالة ‪.x‬‬ ‫‪ )ii‬مثل العلاقة (‪ f(x‬في المستوي الاحداثي‪x .‬‬ ‫‪ 26‬فيزياء ‪ :‬يمثل القانون ‪ F = 9.8m‬القوة الناجمة على تأثير جاذبية الارض ‪x‬‬ ‫على جسم‪ ،‬حيث ‪ F‬القوة بالنيوتن‪ m ،‬كتلة الجسم بالكيلوغرام‪ ،‬مثل القانون‬ ‫بالمستوي الاحداثي‪.‬‬ ‫‪ 27‬اعمال ‪ :‬تتقاضى شركة معدات بناء ‪ 10‬الاف دينار كتأمين‪ ،‬يضاف اليها‬ ‫‪ 5‬الاف دينار عن كل ساعة‪ ،‬اكتب المعادلة التي تعبر عن المسألة‪ ،‬ثم مثلها‬ ‫بيانياً في المستوي الاحداثي‪.‬‬ ‫فَ ِّكـ ْر ‪y‬‬ ‫‪ 28‬اكتشف الخطأ‪ :‬مثل محمد المعادلة الخطية التالية ‪ y=-3x+9‬بالشكل البياني ‪o x‬‬ ‫المجاور‪ .‬اكتشف خطأ محمد وصححه‪.‬‬ ‫‪ 29‬مسألة مفتوحة‪ :‬أعط مثالاً لمعادلة خطية على صورة ‪ ax+by+c=0‬لكل حالة‪:‬‬ ‫‪i) a = 0‬‬ ‫‪ii) b = 0‬‬ ‫‪iii) c = 0‬‬ ‫‪ 30‬تح ٍد‪ :‬شكلت الازواج المرتبة التالية (‪ )-1,2(,)1,6(,)0,4‬مستقيماً‪ ،‬ما نقطة تقاطع هذا المستقيم مع محور‬ ‫السينات؟‬ ‫‪ 31‬تبرير‪ :‬بين اذا كانت الازواج المرتبة الآتية‪\"(2, 4), (1, 1), (0, 0), (-1, 1), (-2, 4) , :‬‬ ‫تمثل دالة خطية ام تربيعية‪.‬‬ ‫‪ 32‬حس عددي‪ y = x2 + 1, y = x + 1 :‬ايهما تمثل دالة تربيعية؟ وضح ذلك‪.‬‬ ‫خطوات تبين ان ‪ y=4x+3‬معادلة خطية؟‬ ‫اُكت ْب‬ ‫‪9‬‬

‫‪Slope of a Line‬‬ ‫الدر ُس ميل المستقيم‬ ‫[‪]4-2‬‬ ‫تعلم‬ ‫فكرةُ الدرس‬ ‫• ايجاد ميل المستقيم‬ ‫المنحدرات الجبلية تُع ّد مثلاً جيداً‬ ‫• ايجاد المقطع الصادي‬ ‫على الميل‪ ،‬فكلما زاد ارتفاع الجبل‬ ‫• ايجاد المقطع السيني‬ ‫زاد الميل‪.‬‬ ‫المفردات‬ ‫كيف يمكننا تحديد ميل المنحدرات؟‬ ‫• التغير العمودي‬ ‫• التغير الافقي‬ ‫• المقطع السيني‬ ‫• المقطع الصادي‬ ‫• الميل‬ ‫‪Finding the Slope of the line‬‬ ‫[‪ ]4-2-1‬ايجاد ميل المستقيم‬ ‫الميل‪ :‬يُعرف ميل المستقيم غير الرأسي بانه النسبة بين التغير العمودي والتغير الافقي‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫التغير العمودي‪ :‬هو التغير الصادي ويساوي ‪y2-y1‬‬ ‫)‪(x2, y2‬‬ ‫التغير الافقي‪ :‬هو التغير السيني ويساوي ‪x2-x1‬‬ ‫‪y2 - y1‬‬ ‫التغير الصادي‬ ‫‪x‬‬ ‫الميل = التغير السيني‬ ‫)‪(x1, y1‬‬ ‫‪x2 - x1‬‬ ‫‪x2 - x1 Y= 0‬‬ ‫حيث‬ ‫=‪m‬‬ ‫‪y2 - y1‬‬ ‫اي‪:‬‬ ‫‪x2 - x1‬‬ ‫‪ :m‬هو ميل المستقيم المار بالنقطتين )‪(x1,y1),(x2,y2‬‬ ‫يمكن ان يكون ميل المستقيم موجباً او سالباً اذا لم يكن افقياً او رأسياً وقد يكون صفراً (افقياً) او غير‬ ‫محدد (رأسياً)‪.‬‬ ‫جد ميل المستقيم المار بنقطتين في كل مما يأتي‪:‬‬ ‫مثال (‪)1‬‬ ‫)‪i) A (5, 7) , B (-2, 1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪m‬‬ ‫=‬ ‫‪y2 -‬‬ ‫‪y1‬‬ ‫ميل المستقيم المار بنقطتين‬ ‫‪x2 -‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫نعوض بالنقطتين‬ ‫‪B‬‬ ‫بالتبسيط‬ ‫=‪m‬‬ ‫‪1-7‬‬ ‫‪-2 - 5‬‬ ‫=‪m‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪-7‬‬ ‫=‪m‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫(موجب)‬ ‫‪6‬‬ ‫لذا ميل ‪AB‬هو‬ ‫‪7‬‬ ‫الميل موجب (المستقيم نحو الاعلى)‬ ‫عند التحرك من اليسار الى اليمين‬ ‫قيم ‪ y‬تتزايد‪.‬‬ ‫‪10‬‬

‫)‪ii) A (-1, 5) , B (4, 2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪m‬‬ ‫=‬ ‫‪y2 - y1‬‬ ‫ميل المستقيم المار بنقطتين‬ ‫‪x2 - x1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪2-5‬‬ ‫نعوض بالنقطتين‬ ‫)‪4 - (-1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪-3‬‬ ‫(سالب)‬ ‫‪-3‬‬ ‫هو‬ ‫‪AB‬‬ ‫ميل‬ ‫لذا‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫الميل سالب (المستقيم نحو الاسفل) عند التحرك من اليسار الى‬ ‫اليمين‪ ،‬قيم ‪ y‬تتناقص‪.‬‬ ‫)‪iii) A (1, - 2) , B (4, - 2‬‬ ‫‪m‬‬ ‫=‬ ‫‪y2 - y1‬‬ ‫ميل المستقيم المار بنقطتين‬ ‫‪x2 - x1‬‬ ‫=‬ ‫)‪-2 - (-2‬‬ ‫نعوض بالنقطتين‬ ‫‪4 -1‬‬ ‫لذا ميل ‪ AB‬هو ‪0‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫الميل صفر (المستقيم افقي) يوازي محور السينات‪ ،‬قيم ‪y‬‬ ‫)‪iv) A (-2, 3) , B (-2, - 3‬‬ ‫ثابتة‪.‬‬ ‫‪m‬‬ ‫=‬ ‫‪y2 - y1‬‬ ‫ميل المستقيم المار بنقطتين‬ ‫‪x2 - x1‬‬ ‫=‬ ‫‪-3 - 3‬‬ ‫نعوض بالنقطتين‬ ‫)‪(-2) - (-2‬‬ ‫=‬ ‫‪-6‬‬ ‫لايجوز القسمة على ‪ 0‬لذا ميل ‪ AB‬غير محدد‬ ‫‪0‬‬ ‫الميل غير محدد (المستقيم شاقولي) يوازي محور الصادات‪ ،‬قيم ‪ x‬ثابتة‬ ‫مثال (‪ )2‬يمثل الجدول المجاور تغير درجات الحرارة بالزمن (بالساعات)‪ ،‬جد ميل المستقيم واشرح مايعنيه‪.‬‬ ‫الزمن (الساعات)‬ ‫درجات الحرارة‬ ‫اختار اي نقطتين من الجدول ولتكن )‪(x1, y1) = (1, - 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪-2 (x2, y2) = (3, 4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪m‬‬ ‫=‬ ‫‪y2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪y1‬‬ ‫ميل المستقيم المار بنقطتين‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫=‬ ‫‪4+2‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫‪=3‬‬ ‫التعويض والتبسيط‬ ‫‪3-1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫بما ان ميل المستقيم ‪ 3‬فان درجات الحرارة تزداد ‪ 3‬درجات سيليزية كل ساعة‪.‬‬ ‫[‪ ]4-2-2‬تقاطع المستقيم مع المحورين في المستوي الاحداثي‬ ‫‪Intersection the Line with axes in Coordinate plane‬‬ ‫يمكنك ان تمثل بسهولة معادلة المستقيم من خلال ايجاد نقطتي تقاطع المستقيم مع المحورين‪.‬‬ ‫المقطع السيني‪ :‬هو قيمة ‪ x‬من تقاطع المستقيم مع محور السينات‪ ،‬اي بالتعويض من ‪ .y = 0‬ونقطة التقاطع‬ ‫(‪)x,0‬‬ ‫المقطع الصادي‪ :‬هو قيمة ‪ y‬من تقاطع المستقيم مع محور الصادات‪ ،‬اي بالتعويض من ‪.x = 0‬ونقطة التقاطع‬ ‫)‪(0, y‬‬ ‫‪11‬‬

‫المقطع السيني‬ ‫مثال (‪ )3‬جد المقطع السيني والصادي للمستقيم ‪.3x + 5y =15‬‬ ‫المقطع الصادي‬ ‫‪3x + 5y =15‬‬ ‫المعادلة‬ ‫‪3x + 5y =15‬‬ ‫المعادلة‬ ‫‪3x + 5 (0) = 15‬‬ ‫نعوض من ‪y = 0‬‬ ‫‪3 (0) + 5y = 15‬‬ ‫نعوض من ‪x = 0‬‬ ‫‪3x = 15‬‬ ‫تبسيط‬ ‫‪5y = 15‬‬ ‫تبسيط‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪15‬‬ ‫بقسمة طرفي المعادلة على ‪3‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪15‬‬ ‫بقسمة طرفي المعادلة على ‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x=5‬‬ ‫‪y=3‬‬ ‫لذا المقطع السيني هو ‪.5‬‬ ‫لذا المقطع الصادي هو ‪.3‬‬ ‫ونقطة التقاطع مع محور السينات هي‪(5, 0):‬‬ ‫ونقطة التقاطع مع محور الصادات هي‪y (0, 3) :‬‬ ‫المقطع الصادي\"‬ ‫‪x‬‬ ‫\"‬ ‫المقطع السيني‬ ‫‪i) x = -2‬‬ ‫مثال (‪ )4‬جد المقطع السيني والصادي ان وجد لكل مما يأتي‪:‬‬ ‫‪ii) y = 4‬‬ ‫‪ x=-2‬يمثل المقطع السيني ونقطة التقاطع (‪)-2,0‬‬ ‫‪ y=4‬تمثل المقطع الصادي ونقطة التقاطع (‪)0,4‬‬ ‫المستقيم ‪ //‬محور الصادات‬ ‫المستقيم ‪ //‬محور السينات‬ ‫تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك‬ ‫جد ميل المستقيم المار بالنقطتين‪ ،‬أموجب الميل أم سالب أم صفر أم غير محدد‪ ،‬ثم حدد اتجاه حركته لكل مما ياتي‪:‬‬ ‫)‪1 (-2, - 2), (-4, 1‬‬ ‫)‪2 (0, 0), (3, 2‬‬ ‫)‪3 (-4, 4), (2, - 5‬‬ ‫الاسئلة (‪ )1-6‬مشابهة‬ ‫)‪4 (5, 0), (0, 2‬‬ ‫)‪5 (4, 3), (4, - 3‬‬ ‫)‪6 (-6, - 1), (-2, - 1‬‬ ‫للمثالين(‪:)1,2‬‬ ‫جد المقطع السيني والمقطع الصادي لكل مما ياتي‪:‬‬ ‫‪7 3x + 6y = 18‬‬ ‫‪8 y + 2 = 5x - 4‬‬ ‫‪9 y = -4x‬‬ ‫الاسئلة (‪ )7-18‬مشابهة‬ ‫‪10 y = -x + 8‬‬ ‫‪11 5x = y - 8‬‬ ‫للمثالين (‪:)3,4‬‬ ‫‪13 2x + 6y = 12‬‬ ‫‪14 y + 4 = 2x - 4‬‬ ‫‪16 x = 4‬‬ ‫‪17 3y = -6‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪15 y = -5x‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪12‬‬

‫تدر ْب وح ّل التمرينا ِت‬ ‫جد ميل المستقيم المار بالنقطتين‪ ،‬أموجب الميل أم سالب أم صفر أم غير محدد ثم حدد اتجاه حركته لكل مما ياتي‪:‬‬ ‫)‪19 (4, 4), (2, 3‬‬ ‫)‪20 (6, 2), (0, 2‬‬ ‫)‪21 (-2, 4), (5, 5‬‬ ‫)‪22 (-2, - 3), (2, 4‬‬ ‫)‪23 (3, - 5), (0, 0‬‬ ‫‪24‬‬ ‫(‬ ‫‪3‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪),‬‬ ‫(‬ ‫‪3‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫جد المقطع السيني والمقطع الصادي لكل مما ياتي‪:‬‬ ‫‪25 2x + 4y = 12‬‬ ‫‪26 3y - 7x = 9‬‬ ‫‪27 y = -3.5x + 2‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪29 x = -4‬‬ ‫‪30 0 = y + 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫كمية السائل المتسرب‬ ‫تدر ْب وح ّل مسائ َل حياتيةً‬ ‫الزمن (ثوان) حجم السائل ‪m3‬‬ ‫‪ 31‬فيزياء‪ :‬يمثل الجدول المجاور كمية السائل المتدفق من حوض خلال ‪40 10‬‬ ‫فترة زمنية‪ ،‬جد ميل المستقيم الذي يمثله الجدول‪ .‬وفسر مايعنيه‪52 13 .‬‬ ‫‪64 16‬‬ ‫‪ 32‬نبات‪ :‬اذا كان طول نبتة ‪ ،30cm‬في غضون كل شهرين تنمو ‪76 19‬‬ ‫الزمن ‪4 2 0‬‬ ‫بمقدار ثابت ‪ 4cm‬اخرى‪.‬‬ ‫‪ )i‬اكمل الجدول‪.‬‬ ‫طول النبتة‬ ‫‪ )ii‬ما ميل المستقيم الذي تمثله العلاقة بين طول النبتة والزمن؟‬ ‫‪ )iii‬اكتب الدالة الخطية التي يمثلها الجدول‪.‬‬ ‫‪ )iv‬مثل الدالة في المستوي الاحداثي‪.‬‬ ‫فَ ِّكـ ْر‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫يساوي‬ ‫تح ٍد‪ :‬جد قيمة ‪ a‬التي تجعل ميل المستقيم المار بنقطتين)‪(1, 6), (-5, a‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 34‬تفكير ناقد‪ :‬هل يمكنك تحديد ميل مستقيم يمر بالنقطتين )‪ (7, - 3), (7, 3‬؟‬ ‫اكتشف‬ ‫‪3-0‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫هو‬ ‫‪ 35‬اكتشف الخطأ‪ :‬ميل المستقيم الذي يمر في النقطتين )‪(0,3),(3, - 1‬‬ ‫)‪3 - (-1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫الخطأ وصححه‪.‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫يكون ميله‬ ‫على مستقيم‬ ‫مسألة مفتوحة‪ :‬اذكر نقطتين‬ ‫‪36‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 37‬تفكير ناقد‪ :‬من الشكل البياني المجاور حدد اتجاه المستقيم‪.‬‬ ‫باسلوبك ماذا يعني الميل يساوي صفراً‪ ،‬والميل غير محدد‪.‬‬ ‫اُكت ْب‬ ‫‪13‬‬

‫‪The Equation of the Line‬‬ ‫الدر ُس معادله المستقيم‬ ‫]‪[4-3‬‬ ‫تعلم‬ ‫فكرةُ الدرس‬ ‫ايجاد معادلة مستقيم علم منه‪:‬‬ ‫يقطع راكب دراجة هوائية ‪ 20‬كيلو متراً‬ ‫في ساعتين و يقطع ‪ 50‬كيلو متراً في‬ ‫ •نقطتان‬ ‫خمس ساعات‪ ،‬ما المعادلة الخطية التي‬ ‫ •ميل ‪ -‬نقطة‬ ‫ •ميل ‪ -‬مقطع‬ ‫تربط بين المسافة و الزمن؟‬ ‫المفردات‬ ‫ •الميل‬ ‫ •المقطع‬ ‫[‪ ]4-3-1‬كتابة معادلة مستقيم بمعرفة نقطتين منه‬ ‫‪Writing Equation of Line with two Points of it‬‬ ‫‪y2 - y1‬‬ ‫معادله مستقيم يمر بالنقطتين )‪B (x2, y2), A (x1, y1‬‬ ‫‪x2 - x1‬‬ ‫‪y - y1‬‬ ‫‪m‬‬ ‫=‬ ‫مستقيم يمر بالنقطتين ‪ A,B‬حيث‬ ‫تعلمت سابقاً ايجاد ميل‬ ‫‪x - x1‬‬ ‫)‪ C (x, y‬تقع علي المستقيم فيكون‬ ‫على فرض ان النقطة‬ ‫‪m‬‬ ‫=‬ ‫هو‬ ‫‪A,C‬‬ ‫بالنقطتين‬ ‫ميل المستقيم المار‬ ‫من المعلوم ان ميل المستقيم ثابت في جميع نقاطه لذلك فإن‪:‬‬ ‫‪y - y1‬‬ ‫=‬ ‫‪y2 - y1‬‬ ‫‪x - x1‬‬ ‫‪x2 - x1‬‬ ‫هذه المعادلة تمثل معادلة المستقيم ‪.AB‬‬ ‫مثال (‪ )1‬نجد المعادلة الخطية في فقرة (تعلم)‪:‬‬ ‫‪C (x, y) d AB , B (5, 50) ,‬‬ ‫)‪A (2, 20‬‬ ‫نفرض ان‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫كتابة معادلة المستقيم المار بنقطتين‬ ‫‪x2 = 5, y2 = 50‬‬ ‫‪x1 = 2, y1 = 20‬‬ ‫التعويض من )‪(x2, y2), (x1, y1‬‬ ‫‪y - y1‬‬ ‫=‬ ‫‪y2 - y1‬‬ ‫بالتبسيط‬ ‫‪x - x1‬‬ ‫‪x2 - x1‬‬ ‫الضرب التبادلي‬ ‫‪y - 20‬‬ ‫اذن معادلة المستقيم هي ‪y - 10x = 0‬‬ ‫‪x-2‬‬ ‫=‬ ‫‪50 - 20‬‬ ‫‪5-2‬‬ ‫‪y - 20‬‬ ‫‪x-2‬‬ ‫=‬ ‫‪30‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪y - 20 = 10x - 20‬‬ ‫‪y = 10 x‬‬ ‫[‪ ]4-3-2‬كتابة معادلة المستقيم بمعرفة ميله ونقط منه‬ ‫‪Writing Equation of Line with the Slop and one Point of it‬‬ ‫‪y - y1‬‬ ‫=‬ ‫‪y2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫معادلة مستقيم ميله ‪ m‬ويمر بالنقطة )‪:(x1, y1‬‬ ‫‪yx12‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫تعلمت سابقاً معادلة مستقيم يمر بنقطتين و التي هي‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-=-xy1xy1‬‬ ‫‪2-‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫وتعلمت ان ميل مستقيم مار بالنقطتين )‪ (x2, y2), (x1, y1‬هو‬ ‫‪m‬‬ ‫‪2-‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪m‬‬ ‫لذلك يمكن كتابة المعادلة في أعلاه بشكل‬ ‫=‬ ‫‪x - x1‬‬ ‫وبالضرب التبادلي نحصل على المعادلة المطلوبة )‪y - y1 = m (x - x1‬‬ ‫‪14‬‬

‫مثال (‪ )2‬استعمل معادلة الميل والنقطة لكل مستقيم لتحديد ميله والنقطة المار بها‪:‬‬ ‫)‪i) y - 3 = - 5 (x - 2‬‬ ‫= ‪ii) y + 7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪y - 30 = - 50(x - 20‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪-‬‬ ‫)‪(-7‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫)‪0‬‬ ‫)‪y - y1 = m (x - x1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪05‬‬ ‫‪0‬‬ ‫معادلة الميل ‪ -‬النقطة‬ ‫معادلة الميل ‪ -‬النقطة )‪y - y1 = m (x - x1‬‬ ‫)‪m = -5, (x1, y1) = (2, 3‬‬ ‫بالمقارنة‬ ‫‪m‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪, (x1, y1) = (0, - 7‬‬ ‫بالمقارنة‬ ‫‪5‬‬ ‫ومقطعه السيني يساوي ‪. -1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫جد معادلة المستقيم الذي ميله‬ ‫مثال (‪)3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪y - y1 = m (x - x1‬‬ ‫معادلة الميل ‪ -‬النقطة‬ ‫‪m‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x1 = -1,‬‬ ‫)‪y1 = 0 & p (-1, 0‬‬ ‫الميل‪ ،‬النقطة‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪0‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫))‪(-1‬‬ ‫بالتعويض من الميل والنقطة‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(x + 1‬‬ ‫تبسيط‬ ‫‪2‬‬ ‫ضرب طرفي المعادلة في ‪2‬‬ ‫معادلة المستقيم المطلوب ‪2y - x = 1‬‬ ‫‪2y = x + 1‬‬ ‫[‪ ]4-3-3‬كتابة معادلة المستقيم بمعرفه ميله ومقطعه مع أحد المحورين ‬ ‫‪Writing Equation of the Line with the Slope of it and one intercept with axes‬‬ ‫ ‬ ‫معادلة المستقيم بدلالة ميله ‪ m‬ومقطعه الصادي ‪ k‬هي‪y = mx + k :‬‬ ‫مثال (‪ )4‬استعمل معادلة الميل و المقطع لكل مستقيم لتحديد ميله ومقطعه‪:‬‬ ‫‪i) 2x + 3y = 6 ii) 5x = 7y + 8 iii) y = x iv) y = 1 v) y = 0 vi) y + x = 5‬‬ ‫(‪i( ii‬‬ ‫بقسمة طرفي المعادلة ‪2x + 3y = 6 & 3y = -2x + 6‬‬ ‫بقسمة المعادلة ‪5x = 7y + 8 & 7y = 5x - 8‬‬ ‫على ‪7‬‬ ‫‪,y‬‬ ‫=‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫على ‪3‬‬ ‫‪,y‬‬‫=‬ ‫‪m570 xx‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪03‬‬ ‫المقارنة مع معادلة الميل ‪ -‬مقطع‬ ‫=‬ ‫‪07‬‬ ‫المقارنة مع معادلة الميل ‪ -‬مقطع‬ ‫‪0‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y = mx + k‬‬ ‫‪+k‬‬ ‫‪`m‬‬ ‫=‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪k=2‬‬ ‫‪`m‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪,‬‬ ‫=‪k‬‬ ‫‪-8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪iii( y = x & y = 1x + 0‬‬ ‫(‪iv‬‬ ‫‪,y‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪y‬‬ ‫‪,y = 10x + 00‬‬ ‫‪0m0xx++10k‬‬ ‫المقارنة مع معادلة الميل ‪ -‬مقطع‬ ‫‪y = mx + k‬‬ ‫المقارنة مع معادلة الميل ‪ -‬مقطع‬ ‫‪` m = 1, k = 0‬‬ ‫‪` m = 0, k = 1‬‬ ‫(‪v‬‬ ‫(‪,vi‬‬ ‫المقارنة مع معادلة الميل ‪ -‬مقطع‬ ‫‪y = -01x + 50‬‬ ‫المقارنة مع معادلة الميل ‪ -‬مقطع‬ ‫‪,y = 00x + 00‬‬ ‫‪y = mx + k‬‬ ‫‪y = mx + k‬‬ ‫‪` m = 0, k = 0‬‬ ‫‪` m = -1, k = 5‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪ .‬جد مقطعه ومعادلته‪.‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫مستقيم يمر في النقطة )‪ (5, - 1‬وميله‬ ‫مثال (‪)5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫الطريقة الاولى‬ ‫الطريقة الثانية‬ ‫‪y = mx + k‬‬ ‫معادلة الميل ‪ -‬المقطع‬ ‫)‪y - y1 = m (x - x1‬‬ ‫معادلة الميل ‪ -‬النقطة‬ ‫معطى‬ ‫‪m‬‬ ‫=‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪m‬‬ ‫=‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪(5,‬‬ ‫‪-‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫معطى‬ ‫‪5‬‬ ‫بالتعويض من الميل‬ ‫‪5‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪k‬‬ ‫بالتعويض بالنقطة‬ ‫= )‪y - (-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫)‪5‬‬ ‫بالتعويض من النقطة والميل‬ ‫‪5‬‬ ‫بالتبسيط‬ ‫‪5‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫=‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪(5) + k‬‬ ‫معادلة المستقيم‬ ‫‪5y + 5 = -2x + 10‬‬ ‫بضرب المعادلة في ‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫بقسمة المعادلة على ‪ 5‬بعد التبسيط ‪5y = -2x + 5‬‬ ‫‪-1 = -2 + k‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫=‪y‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x+1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x+1‬‬ ‫معادلة المستقيم‬ ‫تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك‬ ‫جد معادلة المستقيمات التي يمر كل منها بنقطتين فيما يأتي‪:‬‬ ‫)‪1 (-3, 1), (2, - 1‬‬ ‫)‪2 (0, 2), (2, - 4‬‬ ‫الاسئلة (‪)1-2‬‬ ‫مشابه للمثال ‪1‬‬ ‫استعمل معادلة الميل والنقطة لكل مستقيم لتحديد ميله والنقطة المار بها‪:‬‬ ‫)‪3 y - 1 = 2 (x - 3‬‬ ‫‪4 y + 1 = -x + 4‬‬ ‫الاسئلة (‪)3-4‬‬ ‫مشابه للمثال ‪2‬‬ ‫جد معادلة المستقيم لكل مما يلي ثم جد مقطعه‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪(4, 6),‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪(-1,‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3),‬‬ ‫‪1‬‬ ‫الاسئلة (‪)5-6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫مشابه للمثالين ‪3،5‬‬ ‫استعمل معادلة الميل والنقطة لكل مستقيم لتحديد ميله ومقطعه‪:‬‬ ‫‪7 5y = -2x - 1‬‬ ‫‪8 -y = 7x‬‬ ‫الاسئلة (‪)7-8‬‬ ‫مشابه للمثال ‪4‬‬ ‫تدر ْب وح ّل التمرينا ِت‬ ‫جد معادلة المستقيمات التي يمر كل منها بنقطتين فيما يأتي‪:‬‬ ‫)‪9 (0, 0), (-3, 7‬‬ ‫)‪10 (0, 7), (-5, 0‬‬ ‫‪11‬‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪3),‬‬ ‫(‬ ‫‪3‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪-‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫استعمل معادلة الميل والنقطة لكل مستقيم لتحديد ميله والنقطة المار بها‪:‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪y+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪-5 (x‬‬ ‫)‪- 8‬‬ ‫‪13 y - x = 8‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪(x +‬‬ ‫)‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫جد معادلة المستقيم لكل مما يلي ثم جد مقطعه‪:‬‬ ‫الميل = ‪15 (-3, 7) , -3‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪(1, - 4) ,‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫=‬ ‫الميل‬ ‫‪2‬‬ ‫استعمل معادلة الميل والمقطع لكل مستقيم لتحديد ميله ومقطعه‪:‬‬ ‫‪17 y + 7 = 3x + 5‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪-5x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪16‬‬

‫تدر ْب وح ّل مسائ َل حياتيةً‬ ‫‪ 19‬أحياء ‪ :‬ينمو ناب الفيل طول حياته بمعدل ‪ 1cm‬لكل شهر‪ .‬افرض أنك بدأت‬ ‫بمراقبه فيل عندما كان طول نابه ‪ .100cm‬اكتب على صورة الميل ‪ -‬النقطة‬ ‫معادلة تمثل نمو ناب الفيل بعد ‪ n‬شهر من المراقبة‪.‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪ 20‬فيزياء ‪ :‬التمثيل البياني المجاور يمثل كمية المياه المتسربة من خزان خلال مدة‬ ‫‪30‬‬ ‫زمنية محددة‪ .‬اكتب على صورة نقطتين‪ ،‬معادلة تمثل تسرب المياه بعد ‪ n‬ثانية‪.‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ 21‬نقود‪ :‬يريد شخص تسديد مبلغ قدره ‪ 30‬مليون دينار‪ ،‬بدفعات شهرية متساوية‬ ‫مقدارها ‪ 1.5‬مليون دينار‪ .‬المعادلة الخطية الآتية ‪ y = -1.5x + 30‬حيث ‪y‬‬ ‫‪5 10 15 20‬‬ ‫القيمة الباقية من المبلغ‪ x،‬عدد الاشهر‪ ،‬استعمل معادلة الميل ‪ -‬المقطع لتحديد‬ ‫ميله ومقطعه‪.‬‬ ‫‪ 22‬صحة‪ :‬في دراسة حديثة توصلت الى ان الشخص يفقد ‪ 2‬ساعة من عمره عند‬ ‫استهلاكه علبة سكائر واحدة‪ .‬اكتب المعادلة التي تمثل ذلك‪ ،‬ومثلها بيانياً‬ ‫‪ 23‬هندسة‪ :‬استعمل المعلومات في الشكل المجاور وجد معادلة المستقيم في‬ ‫الحالات الآتية‪:‬‬ ‫‪ )ii‬ميل ‪ -‬نقطة ‪ )iii‬ميل ‪ -‬مقطعه الصادي‬ ‫‪ )i‬نقطتان‬ ‫فَ ِّكـ ْر‬ ‫‪ 24‬تفكير ناقد‪ :‬هل يوجد مستقيم ميله ‪ 4‬ويمر في النقطتين )‪(5,7),(8, - 2‬؟ إن وجدت مستقيماً كهذا فاكتب‬ ‫معادلته وإلا فعلل جوابك‪.‬‬ ‫‪ 25‬تح ٍّد‪ :‬مستقيم تقاطعه الأفقي النظير الجمعي لتقاطعه العمودي‪ ،‬ويمر في النقطة )‪.(2,3‬اكتب معادلة الميل‬ ‫‪ -‬النقطة لهذا المستقيم‪.‬‬ ‫)‪. (-1, 7‬‬ ‫ويمر بالنقطة‬ ‫‪3‬‬ ‫معادلة مستقيم ميله‬ ‫صحيح‪:‬‬ ‫ايهما‬ ‫‪26‬‬ ‫=‪y-7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫كتب احمد المعادلة‬ ‫‪5‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫بشكل‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫أيهما اجابته صحيحة؟‬ ‫=‪y-7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪(x + 1‬‬ ‫وكتب محمد المعادلة بشكل‬ ‫اُكت ْب‬ ‫مسألة من واقع الحياة يمكن تمثيلها بمعادلة الخط المستقيم‪.‬‬ ‫‪17‬‬

‫‪Parallel and Perpendicular Lines‬‬ ‫الدر ُس المستقيمات المتوازية والمتعامدة‬ ‫]‪[4-4‬‬ ‫تعلم‬ ‫فكرةُ الدرس‬ ‫• التمييز بين المستقيمات‬ ‫يظهر في الشكل المجاور عدة مستقيمات‬ ‫منها ما هي متوازية وومنها ماهي متعامدة‪.‬‬ ‫المتوازية‪.‬‬ ‫كيف نميز بين توازي هذه المستقيمات او‬ ‫• التمييز بين المستقيمات‬ ‫تعامدها؟‬ ‫المتعامدة‪.‬‬ ‫المفردات‬ ‫• المستقيمات المتوازية‪.‬‬ ‫• المستقيمات المتعامدة‪.‬‬ ‫‪Parallel Lines‬‬ ‫[‪ ]4-4-1‬المستقيمات المتوازية‬ ‫تعرفت سابقاً الى توازي المستقيمات والشروط اللازمة لذلك‪:‬‬ ‫فالمستقيمان المتوازيان‪ :‬يقعان في مستوي واحد وليس بينهما نقطة مشتركة‪.‬‬ ‫في هذا الدرس سوف نميز المستقيمان المتوازيان من خلال ميلهما‪:‬‬ ‫يكون اي مستقيمين متوازيين عندما يتساوى ميلهما بشرط انهما غير عاموديين‪:‬‬ ‫‪L1 ' L2 + m1 = m2‬‬ ‫الصيغة الرياضية‪:‬‬ ‫مثال (‪ )1‬بين ان النقط )‪ A (-2, 3), B (-1, 4), C (2, - 1), D (1, - 2‬رؤوس متوازي الاضلاع ‪ABCD‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y2 - y1‬‬ ‫باستعمال الميول‪.‬‬ ‫‪x2 - x1‬‬ ‫‪m‬‬ ‫=‬ ‫قانون الميل بين نقطتين‬ ‫‪m‬‬ ‫=‬ ‫‪y2 - y1‬‬ ‫‪x2 - x1‬‬ ‫‪4-3‬‬ ‫‪mAB‬‬ ‫=‬ ‫)‪-1 - (-2‬‬ ‫بالتعويض‬ ‫‪m CD‬‬ ‫=‬ ‫)‪-2 - (-1‬‬ ‫‪1-2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪mAB‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫بالتبسيط‬ ‫‪m CD‬‬ ‫=‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪mAB = 1‬‬ ‫‪mCD = 1‬‬ ‫‪AB ' CD ` mAB = mCD a‬‬ ‫و بالطريقة نفسها‬ ‫‪mAD‬‬ ‫=‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪mBC‬‬ ‫=‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫` ‪AD ' BC‬‬ ‫` الشكل ‪ ABCD‬متوازي اضلاع (تعريف متوازي الاضلاع)‬ ‫مثال (‪ )2‬اثبت ان النقط‪ A (-2, - 1), B (-1, 0), C (2, 3) :‬تقع على استقامة واحدة‪( .‬تقع على مستقيم واحد)‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y2 - y1‬‬ ‫‪y2 - y1‬‬ ‫‪m‬‬ ‫=‬ ‫‪x2 - x1‬‬ ‫قانون الميل بين نقطتين‬ ‫‪m‬‬ ‫=‬ ‫‪x2 - x1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪mAB‬‬ ‫=‬ ‫)‪0 - (-1‬‬ ‫بالتعويض‬ ‫‪mBC‬‬ ‫=‬ ‫‪3-0‬‬ ‫)‪-1 - (-2‬‬ ‫)‪2 - (-1‬‬ ‫‪mAB‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫بالتبسيط‬ ‫‪mBC‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ ` mAB = mBC a‬النقط ‪ A,B,C‬تقع على استقامة واحدة‪( .‬اي تمثل خط مستقيم)‬ ‫‪18‬‬

‫مثال (‪ )3‬جد معادلة المستقيم المار بالنقطة (‪ C(5,3‬والموازي للمستقيم المار بالنقطتين )‪. A (4, 5), B (2, - 3‬‬ ‫‪y2 - y1‬‬ ‫نجد ميل المستقيم المار بالنقطتين ‪A,B‬‬ ‫‪x2 - x1‬‬ ‫‪m‬‬ ‫=‬ ‫ميل المستقيم المار بنقطتين‬ ‫‪mL1‬‬ ‫=‬ ‫‪-3 - 5‬‬ ‫=‬ ‫‪-8‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2-4‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪ a‬المستقيمان متوازيان‪ ` .‬ميل المستقيم المطلوب ‪( mL2 = 4‬الميل نفسه)‪.‬‬ ‫معادلة المستقيم المطلوب‪.‬‬ ‫)‪y - y1 = m (x - x1‬‬ ‫نجد معادلة المستقيم المطلوب‪.‬‬ ‫)‪y - 3 = 4 (x - 5‬‬ ‫معادلة مستقيم ميل ‪ -‬نقطة‬ ‫‪y = 4x - 17‬‬ ‫التعويض‬ ‫التبسيط‬ ‫ولماذا؟‬ ‫متوازية‪.‬‬ ‫المستقيمات‬ ‫أي‬ ‫‪L1: y‬‬ ‫=‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪x + 4, L2: y‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x + 4, L3: y‬‬ ‫=‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪x-4‬‬ ‫ليكن‪:‬‬ ‫مثال (‪)4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪L1: y‬‬ ‫=‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪x+4‬‬ ‫&‬ ‫‪m1‬‬ ‫=‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪, k1 = 4‬‬ ‫ميله ومقطعه الصادي‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ميله ومقطعه الصادي‬ ‫ميله ومقطعه الصادي‬ ‫‪L2: y‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x+4‬‬ ‫&‬ ‫‪m2‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪, k2 = 4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪L3: y‬‬ ‫=‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪x-4‬‬ ‫&‬ ‫‪m3‬‬ ‫=‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪, k3 = -4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪m1 = m3 & L1 ' L3 , k1 Y= k3‬‬ ‫‪Perpendicular Lines‬‬ ‫[‪ ]4-4-2‬المستقيمات المتعامدة‬ ‫تعرفت سابقاً الى ان المستقيمين المتعامدين يلتقيان في نقطة واحدة ويصنعان اربعة زوايا قائمة ويقعان في مستو واحد‪.‬‬ ‫في هذا الدرس سوف نميز المستقيمات المتعامدة من خلال ميلهما بشرط ألا يوازي اي منهما المحوريين الاحداثيين‪.‬‬ ‫يكون المستقيمان متعامدين عندما يكون ميل احدهما مقلوب ميل الاخر بعكس الاشارة‪(.‬حاصل ضربهما يساوي = ‪)-1‬‬ ‫الصيغة الرياضية‪:‬‬ ‫‪m1 # m2 = -1‬‬ ‫أو ان‪:‬‬ ‫‪L1‬‬ ‫=‬ ‫‪L2 + m1‬‬ ‫=‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪m2‬‬ ‫مثال (‪ )5‬بين ان النقط‪ A (2, 4), B (-4, 2), C (-2, - 4) :‬رؤوس لمثلث قائم الزاوية‪ .‬حدد الزاوية القائمة فيه‪.‬‬ ‫‪m‬‬ ‫=‬ ‫‪y2 - y1‬‬ ‫ميل المستقيم المار بنقطتين‬ ‫‪x2 - x1‬‬ ‫‪mAB‬‬ ‫=‬ ‫‪2-4‬‬ ‫‪mAC‬‬ ‫=‬ ‫‪-4 - 4‬‬ ‫‪mBC‬‬ ‫=‬ ‫‪-4 - 2‬‬ ‫بالتعويض‬ ‫‪-4 - 2‬‬ ‫‪-2 - 2‬‬ ‫)‪-2 - (-4‬‬ ‫=‬ ‫‪-2‬‬ ‫=‬ ‫‪-8‬‬ ‫=‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫&‬ ‫‪1‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪= -1‬‬ ‫‪& mAB # mBC‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪& AB = BC & m+B = 90c‬‬ ‫‪19‬‬

‫مثال (‪ )6‬جد معادلة المستقيم المار بالنقطة (‪ C(3,-4‬والعمودي على المستقيم المار)‪A (0, 3), B (2, - 2‬‬ ‫بالنقطتين‬ ‫‪m‬‬ ‫=‬ ‫‪y2 - y1‬‬ ‫‪x2 - x1‬‬ ‫‪mL1‬‬ ‫=‬ ‫‪-2 - 3‬‬ ‫=‬ ‫‪-5‬‬ ‫بالتعويض في الميل والمستقيم‬ ‫‪2-0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫المار بنقطتين‬ ‫بعكس الاشارة)‬ ‫(مقلوب ميل ‪L1‬‬ ‫‪mL2‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫`‬ ‫‪ a‬المستقيمان متعامدان‬ ‫‪5‬‬ ‫معادلة مستقيم ميل ‪ -‬نقطة )‪y - y1 = m (x - x1‬‬ ‫=‪y+4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫)‪3‬‬ ‫التعويض‬ ‫‪5‬‬ ‫معادلة المستقيم المطلوب‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x-‬‬ ‫‪26‬‬ ‫بالتبسيط‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫جد قيمة ‪ a‬التي تجعل ميل المستقيم المار بالنقطتين)‪ (a, - 4), (3, 1‬عمودي على المستقيم الذي ميله‬ ‫مثال (‪)7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫بما ان المستقيمين متعامدان‪ ،‬اذن ميل المستقيم المطلوب هو ‪( 5‬مقلوبه بعكس الاشارة)‬ ‫‪m‬‬ ‫=‬ ‫‪y2 - y1‬‬ ‫&‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪-4 - 1‬‬ ‫ميل المستقيم المار بنقطتين وبالتعويض‬ ‫‪x2 - x1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a-3‬‬ ‫‪5a - 15 = -5‬‬ ‫الضرب التبادلي‬ ‫‪5a = 10‬‬ ‫بقسمة طرفي المعادل على ‪5‬‬ ‫‪a=2‬‬ ‫تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك‬ ‫‪ 1‬المستقيم ‪ AB‬يمر بالنقطتين )‪، A (-2, 4), B (a, 6‬عمودي على المستقيم ‪ CD‬الذي يمر بالنقطتين الاسئلة (‪)1-2‬‬ ‫مشابهة للمثال ‪7‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫)‪ ، C (6, - 6), D (2, - 7‬جد قيمة ‪.a‬‬ ‫السؤال ‪ 3‬مشابه‬ ‫‪4‬‬ ‫‪.‬‬ ‫يساوي‬ ‫جد قيمة ‪ a‬التي تجعل ميل المستقيم المار بالنقطتين )‪(3, 2), (6, a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 3‬برهن ان الشكل ‪ ABCD‬متوازي اضلاع حيث‪ . A (3, 0), B (0, 4), C (-3, 0), D (0, - 4):‬للمثال ‪1‬‬ ‫مشابه‬ ‫السؤال ‪4‬‬ ‫القائمة‪.‬‬ ‫الزاوية‬ ‫حدد‬ ‫ثم‬ ‫الزاوية‪،‬‬ ‫قائم‬ ‫‪A‬‬ ‫‪(-5,‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪7),‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪(-8,‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2),‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪(-4,‬‬ ‫‪-‬‬ ‫حيث‪3):‬‬ ‫‪ABC‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ان‬ ‫برهن‬ ‫‪4‬‬ ‫للمثال ‪5‬‬ ‫السؤال ‪ 5‬مشابه‬ ‫‪ 5‬أثبت ان النقط‪ A (0, - 1), B (4, 2), C (8, 5) :‬تقع على استقامة واحدة‪.‬‬ ‫للمثال ‪2‬‬ ‫السؤال ‪ 6‬مشابه‬ ‫جد معادلة المستقيم المار بالنقطة (‪ )-4,0‬والعمودي على المستقيم المار بالنقطتين )‪(.3, - 2), (6, 0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫للمثالين ‪3,6‬‬ ‫تدر ْب وح ّل التمرينا ِت‬ ‫‪ 7‬المستقيم ‪ AB‬حيث )‪ A (0, 2), B (3, 0‬المستقيم ‪ CD‬حيث )‪ C (6, - 2), D (9, - 4‬والمستقيم ‪ EF‬حيث‬ ‫)‪ E (0, - 5), F (2, - 2‬ماعلاقة ‪ AB‬بالمستقيمين ‪ EF,CD‬؟ بين ذلك‪.‬‬ ‫‪ 8‬هل النقط )‪ A (0, - 7), B (1, - 1), C (2, 3‬تقع على مستقيم واحد؟ بين ذلك‪.‬‬ ‫‪ 9‬برهن ان الشكل ‪ ABCD‬مستطيل حيث‪. A (1, 4), B (2, 6), C (8, 3), D (7, 1) :‬‬ ‫‪ 10‬جد معادلة المستقيم المار بالنقطة )‪ (1, - 1‬والموازي للمستقيم المار بالنقطتين ) ‪. (3, - 2), ( 6, 0‬‬ ‫‪20‬‬

‫تدر ْب وح ّل مسائ َل حياتيةً‬ ‫المياه المتدفقة‬ ‫فيزياء ‪ :‬يمثل الجدول المجاور كمية المياه المتدفقة من احد السدود‬ ‫‪11‬‬ ‫الزمن (ثوان) حجم الماء ‪m3‬‬ ‫خلال فترة معينة من الزمن‪ .‬هل بيانات الجدول تمثل خط مستقيم؟ ‪5‬‬ ‫‪75000‬‬ ‫‪150000‬‬ ‫‪10‬‬ ‫بين ذلك‪.‬‬ ‫‪225000‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪ 12‬هندسة ‪ :‬برهن ان الشكل ‪ ABCD‬شبه منحرف‪ .‬حيث ان احداثيات القاعدة العليا )‪(4, 5), (6, 2‬‬ ‫والقاعدة السفلى )‪ . (-2, 5), (2, - 1‬هل هو قائم الزاوية؟ بين ذلك‪.‬‬ ‫الطريق الثالث‬ ‫‪ 13‬خريطة ‪ :‬استعمل الخريطة المجاورة لتبين أن‪:‬‬ ‫الطريق الاول‬ ‫‪ )i‬الطريق الاول يوازي الطريق الثاني‪.‬‬ ‫الطريق الثاني‬ ‫‪ )ii‬الطريق الثاني عمودي على الطريق الثالث‪.‬‬ ‫‪ )iii‬هل الطريق الاول عمودي على الطريق الثالث؟‬ ‫بين ذلك‪.‬‬ ‫فَ ِّكـ ْر‬ ‫‪ 14‬تح ٍّد‪ :‬هل النقاط الآتي ة‪ (-2, - 1 ),(-1, 0),(4 ,5),(2 ,3) :‬تقع على استقامة واحدة؟ بين ذلك‪.‬‬ ‫‪ 15‬اصحح الخطأ‪ :‬قال احمد ان المستقيم المار بالنقطتين )‪ (-3,0),(0,4‬عمودي على المستقيم المار‬ ‫‪3‬‬ ‫وصححه‪.‬‬ ‫احمد‬ ‫خطأ‬ ‫اكتشف‬ ‫‪(1,‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪),‬‬ ‫‪(0,‬‬ ‫)‪0‬‬ ‫بالنقطتين‬ ‫‪ 16‬مسألة مفتوحة ٍ‪ :‬المعادلتين الآتيتان‪ 3y - 5x = 20, 3y - 5x = 15 :‬تمثلان مستقيمين متوازيين‪ .‬مالتشابه‬ ‫والاختلاف بينهما؟ وضح ذلك‬ ‫‪ 17‬تبرير ٍ‪ :‬لماذا النقاط التالية تقع على مستقيم يوازي محور السينات‪ (-1, 4), (0, 4), (2, 4) :‬؟‬ ‫ومقطعه‬ ‫‪-2‬‬ ‫ميله‬ ‫ان‬ ‫مهند‬ ‫وقال‬ ‫‪،2‬‬ ‫هو‬ ‫ومقطعه‬ ‫‪2‬‬ ‫هو‬ ‫‪5y+2x=10‬‬ ‫المستقيم‬ ‫ميل‬ ‫ان‬ ‫سارة‬ ‫قالت‬ ‫اصح ٍ‪:‬‬ ‫أيهما‬ ‫‪18‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ ،2‬بين اجابة أي منهما الصحيحة ؟‬ ‫‪ 19‬مسألة مفتوحة‪ ABCD ٍ:‬معين رؤوسه ‪ A^0, 3h, B^3, 4h, C^2, 1h, D^-1, 0h‬برهن ان قطريه متعامدان‪.‬‬ ‫‪ 20‬مسألة مفتوحة‪ :‬ما وجه التشابه والاختلاف بين المستقيمين المتوازيين؟‬ ‫اُكت ْب‬ ‫ما اذا كان المستقيمان متوازيين او متعامدين باستعمال ميلهما؟‬ ‫‪21‬‬

‫‪Distance Between Two Points‬‬ ‫الدر ُس المسافه بين نقطتين‬ ‫]‪[4-5‬‬ ‫فكرةُ الدرس تعلم‬ ‫• تعرف الى قانون المسافة بين‬ ‫ثلاثة اصدقاء خرجوا في رحلة‬ ‫نقطتين‪.‬‬ ‫مهند‬ ‫استكشافية‪ ،‬محددة مواقعهم كما في‬ ‫• تطبيق قانون المسافة بين‬ ‫الشكل المجاور‪.‬‬ ‫نقطتين‪.‬‬ ‫محمد يبعد من أحمد ‪ 3km‬ومهند يبعد‬ ‫• تعرف الى قانون نقطة‬ ‫المنتصف‪.‬‬ ‫من احمد ‪.4km‬‬ ‫أحمد‬ ‫‪x‬محمد‬ ‫كيف تجد المسافه بين محمد و مهند؟‬ ‫• تطبيق قانون نقطة المنتصف‪.‬‬ ‫المفردات‬ ‫• قانون المسافة بين نقطتين‪.‬‬ ‫• نقطة المنتصف‪.‬‬ ‫• قانون نقطة المنتصف‪.‬‬ ‫‪Distance between two Points Formula‬‬ ‫[‪ ]4-5-1‬قانون المسافه بين نقطتين‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪B(x2,y2‬‬ ‫تعلمت سابقاً‪ :‬ان المسافة بين نقطتين على محور السينات هي ‪x2 - x1‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪y2 - y1‬‬‫‪C‬‬ ‫وإن المسافة بين نقطتين على محور الصادات هي ‪y2 - y1‬‬ ‫في هذا الدرس سوف نتعرف الى قانون المسافة في المستوي الاحداثي‬ ‫‪d‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪A(x ,1y )1‬‬ ‫قانون المسافة بين نقطتين ‪ A,B‬يعتمد على مبرهنة فيثاغورس‬ ‫‪x2 - x1‬‬ ‫المثلث ‪ ACB‬قائم الزاوية في ‪C‬‬ ‫‪(AB) 2 = (AC) 2 + (BC) 2‬‬ ‫مبرهنة فيثاغورس‬ ‫‪d2 = ( x2 - x1 )2 + ( y2 - y1 )2‬‬ ‫بالتعويض‬ ‫‪d = (x2 - x1) 2 + (y2 - y1) 2‬‬ ‫بالتبسيط و جذر الطرفين‬ ‫مثال (‪ )1‬من فقرة تعلم‪ :‬نجد ان موقع محمد هو النقطة )‪ A (3, 0‬وان موقع مهند هو النقطة )‪B (0, 4‬‬ ‫‪d = (x2 - x1) 2 + (y2 - y1) 2‬‬ ‫قانون المسافة بين نقطتين‬ ‫‪AB = (0 - 3) 2 + (4 - 0) 2‬‬ ‫‪AB = 9 + 16 = 25 = 5‬‬ ‫بالتعويض بالنقطتين‬ ‫بالتبسيط‬ ‫` المسافة بين محمد و مهند ‪5km‬‬ ‫مثال (‪ )2‬باستعمال قانون المسافة‪ ،‬أثبت أن النقط )‪ A (-3, - 2), B (0, 1), C (3, 4‬تقع على استقامة واحدة‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪C d = (x2 - x1) 2 + (y2 - y1) 2‬‬ ‫قانون المسافة بين نقطتين‬ ‫‪B‬‬ ‫‪,AB = (0 + 3)2 + (1 + 2)2‬‬ ‫بالتعويض من النقاط ‪A,B,C‬‬ ‫‪BC = (3 - 0) 2 + (4 - 1) 2‬‬ ‫‪x AC = (3 + 3) 2 + (4 + 2) 2‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪22‬‬

‫= ‪AB‬‬ ‫= ‪9 + 9 , BC‬‬ ‫= ‪9 + 9 , AC‬‬ ‫‪,36 + 36‬‬ ‫التبسيط‬ ‫= ‪AB‬‬ ‫= ‪18 , BC‬‬ ‫= ‪18 , AC‬‬ ‫‪72‬‬ ‫‪=3 2 , =3 2 , =6 2‬‬ ‫الكل يساوي مجموع الاجزاء ‪6 2 = 3 2 + 3 2‬‬ ‫‪AC = AB + BC‬‬ ‫اي‪:‬‬ ‫اذن النقط ‪ A,B,C‬تقع على استقامة واحدة‪.‬‬ ‫مثال (‪ )3‬بيِّن نوع المثلث الذي رؤوسه )‪ A (3, - 4), B (5, - 2), C (5, - 6‬من حيث الاضلاع‪ .‬وهل المثلث قائم‬ ‫الزاوية؟‬ ‫‪d = (x2 - x1) 2 + (y2 - y1) 2‬‬ ‫قانون المسافة بين نقطتين‬ ‫= ‪AB‬‬ ‫‪,(5 - 3)2 + (-2 + 4)2‬‬ ‫بالتعويض من ‪A,B,C‬‬ ‫= ‪BC‬‬ ‫= ‪AC‬‬ ‫‪(5 - 5) 2 + (-6 + 2) 2‬‬ ‫‪(5 - 3) 2 + (-6 + 4) 2‬‬ ‫‪,AB = 4 + 4 , BC = 0 + 16 , AC = 4 + 4‬‬ ‫‪AB = 8 , BC = 4‬‬ ‫‪, AC = 8‬‬ ‫التبسيط‬ ‫‪=2 2 , =4 , =2 2‬‬ ‫‪ ` ،AB=AC a‬المثلث متساوي الساقين‬ ‫‪(4) 2 = ( 8) 2 + ( 8) 2‬‬ ‫‪(4) 2 = 8 + 8‬‬ ‫عكس مبرهنة فيثاغورس‪ ` ،‬المثلث قائم الزاوية في ‪.A‬‬ ‫مثال (‪ )4‬بين باستعمال قانون المسافة ان النقط )‪ A (-2, 3), B (-1, 4), C (2, - 1), D (1, - 2‬رؤوس متوازي‬ ‫اضلاع‪x .‬‬ ‫قانون المسافه بين نقطتين ‪d = (x2 - x1) 2 + (y2 - y1) 2‬‬ ‫‪AB = (-1 + 2) 2 + (4 - 3) 2 DC = (1 - 2) 2 + (-2 + 1) 2‬‬ ‫‪y = 1+1‬‬ ‫‪= 1+1‬‬ ‫‪=2‬‬ ‫‪=2‬‬ ‫` ‪AB = DC‬‬ ‫بنفس الطريقة‬ ‫‪AD = (1 + 2) 2 + (-2 - 3) 2 BC = (2 + 1) 2 + (-1 - 4) 2‬‬ ‫‪= 9 + 25‬‬ ‫‪= 9 + 25‬‬ ‫‪= 34‬‬ ‫‪= 34‬‬ ‫‪` AD = BC‬‬ ‫لذا الشكل ‪ ABCD‬متوازي اضلاع (خواص متوازي الاضلاع كل ضلعين متقابلين متساويين)‬ ‫‪23‬‬

‫‪The Midpoint Formula‬‬ ‫[‪ ]4-5-2‬قانون نقطة المنتصف‬ ‫نقطة المنتصف‪ :‬هي النقطة الواقعة على بعدين متتساويين عن طرفي قطعة مستقيم و تنتمي له‪.‬‬ ‫احداثيات نقطة المنتصف‬ ‫‪+‬‬ ‫‪M‬‬ ‫=‬ ‫‪( x1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪y1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪y2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪A (x1, y1) M (x, y) B (x2, y2‬‬ ‫مثال (‪ )5‬جد إحداثي نقطة المنتصف للقطعة المستقيمة الواصلة بين )‪A (3, - 8), B (3, 6‬‬ ‫‪y1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫‪M‬‬ ‫=‬ ‫(‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‬ ‫قانون نقطة المنتصف‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫(‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪-8 +‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‬ ‫بالتعويض بالنقطتين‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫(‬ ‫‪6‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪(3,‬‬ ‫‪-‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫بالتبسيط‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫` )‪ (3, - 1‬نقطة منتصف ‪AB‬‬ ‫مثال (‪ )6‬اذا كانت )‪ M (1, - 3‬منتصف ‪ AB‬وكانت )‪ A (-1, - 2‬جد احداثي النقطة ‪.B‬‬ ‫‪M‬‬ ‫=‬ ‫‪( x1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x2 ,‬‬ ‫‪y1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫) ‪y2‬‬ ‫قانون نقطة المنتصف‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(1,‬‬ ‫‪-‬‬ ‫)‪3‬‬ ‫=‬ ‫(‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫)‬ ‫نفرض)‪ B (x2, y2‬وبالتعويض بالنقاط‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬‫‪,-3‬‬‫=‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫&‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫&‬ ‫‪x2‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫الضرب التبادلي والتبسيط‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫‪&-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫=‬ ‫‪-6‬‬ ‫&‬ ‫‪y2‬‬ ‫=‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫احداثيات ‪ B‬هي‪B (3, - 4) :‬‬ ‫مثال (‪ )7‬بين باستعمال قانون المنتصف ان النقط )‪ A (-2, 3), B (-1, 4), C (2, - 1), D (1, - 2‬رؤوس متوازي‬ ‫‪x‬‬ ‫‪M‬‬ ‫=‬ ‫(‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪y1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫)‬ ‫اضلاع‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫قانون نقطة المنتصف‬ ‫منتصف القطر ‪AC‬‬ ‫منتصف القطر ‪BD‬‬ ‫‪M1‬‬ ‫=‬ ‫(‬ ‫‪-2 +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪+ (-1‬‬ ‫)‬ ‫‪M2‬‬ ‫=‬ ‫(‬ ‫‪-1 +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪+ (-2‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪M1‬‬ ‫=‬ ‫(‬ ‫‪0‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‬ ‫بالتعويض‬ ‫‪M2‬‬ ‫=‬ ‫(‬ ‫‪0‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪M1 = (0, 1‬‬ ‫)‪ M2 = (0, 1‬بالتبسيط‬ ‫‪ ` M1 = M2 a‬الشكل ‪ ABCD‬متوازي اضلاع (خواص متوازي الاضلاع قطراه احدهما ينصف الآخر)‬ ‫مثال (‪ A (3, 1), B (5, 3), C (5, - 1) )8‬رؤوس مثلث حيث ‪ AB=AC‬النقطة ‪ M‬منتصف ‪ BC‬جد طول‪.AM‬‬ ‫‪y1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪+ (-1‬‬ ‫‪M‬‬ ‫=‬ ‫(‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫(‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪(5,‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫قانون نقطة المنتصف‪ ،‬التبسيط‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪d = (x2 - x1) 2 + (y2 - y1) 2‬‬ ‫قانون المسافة بين نقطتين‬ ‫‪= (5 - 3) 2 + (1 - 1) 2‬‬ ‫التعويض‬ ‫‪= 4=2‬‬ ‫التبسيط‬ ‫‪24‬‬

‫تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك‬ ‫السؤال ‪ 1‬مشابه‬ ‫أوجد المسافة بين كل نقطتين فيما يأتي‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫للمثال ‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪i) (0, 0), (3, 8‬‬ ‫)‪ii) (-3, - 1), (1, - 4‬‬ ‫)‪iii) (-1, - 2) (3, - 4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫السؤال ‪ 2‬مشابه‬ ‫‪4‬‬ ‫للمثال ‪4‬‬ ‫أوجد نقطة المنتصف للافرع (‪ )i),(ii),(iii‬في سؤال ‪.1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫السؤال ‪ 3‬مشابه‬ ‫باستعمال قانون المسافة بين نقطتين‪ ،‬أثبت ان النقط )‪A (-2, - 1), B (-1, 0), C (4, 5‬‬ ‫للمثال ‪2‬‬ ‫على استقامة واحدة‪.‬‬ ‫السؤال ‪ 4‬مشابه‬ ‫بين نوع المثلث الذي رؤوسه )‪ A (2, 4), B (-4, 2), C (-1, - 2‬من حيث الاضلاع‪.‬‬ ‫للمثال ‪3‬‬ ‫وهل المثلث قائم الزاوية؟‬ ‫بين ان النقط الآتية‪ A (4, 0), B (6, - 6), C (-8, 0), D (-10, 6) :‬رؤوس متوازي الاضلاع‪ .‬السؤال ‪ 5‬مشابه‬ ‫‪ )ii‬باستعمال قانون نقطة المنتصف‪ .‬للمثالين ‪4,6‬‬ ‫‪ )i‬باستعمال قانون المسافة بين نقطتين‪.‬‬ ‫السؤال ‪ 6‬مشابه‬ ‫اذا كانت )‪ M (-2, 0‬منتصف ‪ AB‬وكانت )‪ A (4, 0‬فجد احداثيي النقطة ‪.B‬‬ ‫للمثال ‪7‬‬ ‫تدر ْب وح ّل التمرينا ِت‬ ‫‪ 7‬أوجد المسافة بين كل نقطتين فيما يأتي‪:‬‬ ‫)‪i) (8, 1), (-4, 3‬‬ ‫)‪ii) (6, - 9), (0, 2‬‬ ‫)‪iii) (-2, 4) (-6, - 2‬‬ ‫‪ 8‬أوجد نقطة المنتصف للافرع (‪ )i),(ii),(iii‬في السؤال ‪.7‬‬ ‫‪ 9‬باستعمال قانون المسافة بين نقطتين‪ ،‬أثبت ان النقط )‪ A (1, - 3), B (3, - 4), C (-1, - 2‬على استقامة واحدة‪.‬‬ ‫‪ 10‬بين نوع المثلث الذي رؤوسه )‪ A (2, - 1), B (2, 1), C (-1, - 1‬من حيث الاضلاع‪ .‬وهل المثلث قائم الزاوية؟‬ ‫‪ 11‬بين ان النقط الآتية‪ A (-3, 5), B (2, 7), C (1, 9), D (-4, 7) :‬رؤوس متوازي الاضلاع‪.‬‬ ‫‪ )ii‬باستعمال قانون نقطة المنتصف‪.‬‬ ‫‪ )i‬باستعمال قانون المسافة بين نقطتين‪.‬‬ ‫‪ 12‬اذا كانت )‪ M (4, - 2‬منتصف ‪ AB‬وكانت )‪ B (5, 1‬فجد احداثيي النقطة ‪.A‬‬ ‫تدر ْب وح ّل مسائ َل حياتيةً‬ ‫‪ 13‬هندسة ‪ ABC :‬مثلث رؤوسه)‪ ، A (6, 4), B (-2, 6), C (0, - 4‬تحقق من ان طول القطعة المستقيمة الواصلة‬ ‫بين منتصفي ضلعين فيه يساوي نصف طول الضلع الثالث‪.‬‬ ‫‪ 14‬تحديد موقع ‪ :‬موقع بيت محمود عند النقطة )‪ (-4, 0‬وموقع مدرسته عند النقطة )‪ (0, - 3‬ما المسافة التي يقطعها‬ ‫محمود عند ذهابه الى المدرسة‪ ،‬علماً ان طول ضلع كل مربع في المستوي الاحداثي يمثل كيلومتراً واحداً؟‬ ‫فَ ِّكـ ْر‬ ‫‪ 15‬تح ًّد‪ :‬دائرة طرفا احد اقطارها النقطتان )‪ A (-1, 1), B (5, 1‬جد‪ )i :‬احداثيات مركزها ‪ )ii‬مساحتها‪.‬‬ ‫‪ 16‬اكتشف الخطأ‪ :‬وجدت شهد إحداثيات نقطة منتصف القطعة المستقيمة التي طرفيها )‪ (6, 1), (8, 3‬فكتبتها‬ ‫‪8‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫وصححه‪.‬‬ ‫شهد‬ ‫خطأ‬ ‫اكتشف‬ ‫(‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫)‪(1, 1‬‬ ‫علاقة قانون نقطة المنتصف بإيجاد الوسط الحسابي‪.‬‬ ‫اُكت ْب‬ ‫‪25‬‬

‫‪Trigonometric Ratios‬‬ ‫الدر ُس النسب المثلثية‬ ‫]‪[4-6‬‬ ‫تعلم‬ ‫فكرةُ الدرس‬ ‫• تعرف الى النسب المثلثية الاساسية‪.‬‬ ‫وقف مساح على بعد ‪ d‬متر من‬ ‫• النسب المثلثية لبعض الزوايا الخاصة‪.‬‬ ‫بناية‪ ،‬ومن خلال جهازه نظر‬ ‫• إيجاد قيم عبارات تتضمن زوايا الخاصة‪.‬‬ ‫اعلى البناية بزاوية معينة‪.‬‬ ‫المفردات‬ ‫‪ -‬كيف تساعده النسب المثلثية في‬ ‫• النسب المثلثية‬ ‫‪sin,cos,tan,sec,csc,cot‬‬ ‫ايجاد ارتفاع البناية؟‬ ‫• الزوايا الخاصة‬ ‫‪60c, 45c, 30c, 90c, 0c‬‬ ‫)‪Trigonometric Ratios (sini, cosi, tani‬‬ ‫[‪ ]4-6-1‬النسب المثلثية )‪(sin i,cosi,tani‬‬ ‫تعرفت سابقاً على عناصر المثلث حيث يتكون من ثلاث زوايا وثلاثه اضلاع‪ .‬ويسمى المثلث بزواياه (حاد الزوايا‪،‬‬ ‫منفرج الزاوية‪ ،‬قائم الزاوية) او بأضلاعه (متساوي الاضلاع‪ ،‬متساوي الساقين‪ ،‬مختلف الاضلاع)‪.‬‬ ‫حساب المثلثات‪ :‬هي دراسة العلاقة بين زوايا المثلث واضلاعه‬ ‫النسبة المثلثية‪ :‬هي النسبة التي تقارن بين طولي ضلعين من اضلاع المثلث القائم الزاوية‪.‬‬ ‫= ‪sini‬‬ ‫المقابل‬ ‫النسبة الاساسية هي‪ :‬الجيب ‪ ،sin‬الجيب تمام ‪ ،cos‬الظل ‪.tan‬‬ ‫الوتر‬ ‫جيب الزاوية ‪( i‬يرمز له ‪ :) sini‬هي النسبة بين الضلع المقابل للزاوية ‪ i‬و الوتر‪:‬‬ ‫‪cosi‬‬ ‫=‬ ‫المجاور‬ ‫جيب تمام الزاوية ‪( i‬يرمز له ‪ :)cosi‬هي النسبة بين الضلع المجاور للزاوية ‪ i‬والوتر‪:‬‬ ‫الوتر‬ ‫= ‪tani‬‬ ‫المقابل‬ ‫ظل الزاوية ‪( i‬يرمز له ‪ :)tan i‬هي النسبة بين الضلع المقابل للزاوية ‪ i‬والضلع المجاور لها‪:‬‬ ‫المجاور‬ ‫مقابل ‪i‬‬ ‫الوتر‬ ‫لإيجاد النسب المثلثية (‪ )sin,cos,tan‬نتبع ما يأتي‪:‬‬ ‫‪ i‬مجاور‪i‬‬ ‫‪ )1‬رسم تخطيطي لمثلث قائم الزاوية‪ ،‬وتثبت عليه المعطيات‪.‬‬ ‫‪ )2‬نستعمل مبرهنة فيثاغورس لايجاد الضلع المجهول‪.‬‬ ‫‪ )3‬نستعمل النسب المثلثية لايجاد المطلوب‪.‬‬ ‫مثال (‪ )1‬من الشكل المجاور‪ ،‬جد قيم النسب المثلثية الثلاث للزاوية ‪A . i‬‬ ‫أستعمل مبرهنة فيثاغورس لأجد طول الضلع ‪( AB‬المقابل)‬ ‫‪5cm (AC) 2 = (AB) 2 + (BC) 2‬‬ ‫مبرهنة فيثاغورس‬ ‫‪(5) 2 = (AB) 2 + (4) 2‬‬ ‫بالتعويض والتبسيط‬ ‫‪B i C (AB) 2 = 25 - 16 = 9‬‬ ‫بجذر الطرفين (اشارة موجبة لأنه طول)‬ ‫‪4cm AB = 3‬‬ ‫‪sini = i‬‬ ‫=مقاب اللوالتزراوية‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪tani‬‬ ‫= ممقجاابولرالالزازاووييةة‪ii‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ثم‬ ‫المثلثية‬ ‫استعمال النسب‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫التعويض‬ ‫= ‪cosi‬‬ ‫‪i‬‬ ‫مجاور الزاوية‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫الوتر‬ ‫‪5‬‬ ‫‪26‬‬

‫جد‪i) sin A ii) cos A :‬‬ ‫‪tan A‬‬ ‫=‬ ‫‪15‬‬ ‫المثلث ‪ ABC‬القائم الزاوية في ‪ B‬اذا كانت‬ ‫مثال (‪)2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪11BB855ACkkk,b`bbabbbbb_AB‬‬ ‫‪C‬‬ ‫= ‪tan A‬‬ ‫‪0‬‬ ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫‪k‬‬ ‫حيث‬ ‫‪k‬‬ ‫الثابت‬ ‫في‬ ‫والمقام‬ ‫بضرب البسط‬ ‫‪8k‬‬ ‫قانون الظل‬ ‫‪15k‬‬ ‫= ‪tan A‬‬ ‫= ‪` BC‬‬ ‫بالمقارنة‬ ‫=‬ ‫‪B 8k‬‬ ‫‪A (AC) 2 = (AB) 2 + (BC) 2‬‬ ‫مبرهنة فيثاغورس‬ ‫‪= (8k) 2 + (15k) 2‬‬ ‫بالتعويض‬ ‫‪= 64k2 + 255k2‬‬ ‫التبسيط‬ ‫‪(AC) 2 = 289k2 & ` AC = 17k‬‬ ‫نجذر الطرفين‬ ‫= ‪i) sin A‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫=‬ ‫‪15k‬‬ ‫=‬ ‫‪15‬‬ ‫= ‪ii) cos A‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫=‬ ‫‪8k‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪17k‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪17k‬‬ ‫‪17‬‬ ‫[‪ ]4-6-2‬النسب المثلثية للزوايا الخاصة ‪The Trigonometric Ratios for Spicial Angles‬‬ ‫‪ 30c 60c 45c 90c‬النسبة المثلثية‬ ‫الجدول المجاور يبين قيم النسب المثلثية للزوايا الخاصة‪0c :‬‬ ‫الجيب‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪1‬‬ ‫الجيب تمام‬ ‫‪31‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫الظل‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫غير‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫معرف‬ ‫‪1‬‬ ‫‪tan‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫مثال (‪ )3‬أثبت ان‪sin 60c cos 30c + cos 60c sin 30c = sin 90c :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪sin 60c‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪30c‬‬ ‫=‬ ‫‪,‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪60c‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪30c‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪90c‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫من الجدول نجد‪:‬‬ ‫( ‪L.H.S:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫‪+‬‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫‪R.H.S: sin 90c = 1‬‬ ‫بالتعويض في الطرف الايمن ‪R.H.S‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫والطرف الايسر ‪L.H.S‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫` ‪L.H.S = R.H.S‬‬ ‫مثال (‪ )4‬وقف رجل امام بناية وعلى بعد ‪ 12m‬من قاعدتها ونظر الى قمة البناية بزاوية مقدارها‪ .30c‬جد ارتفاع‬ ‫البناية‪A .‬‬ ‫النسبة المثلثية التي تربط بين ارتفاع البناية ‪ h‬وبعد الرجل عن قاعدتها‬ ‫‪h‬‬ ‫‪tan 30c‬‬ ‫=‬ ‫‪h‬‬ ‫هي نسبة الظل‪.‬‬ ‫‪12‬‬ ‫قانون الظل‬ ‫‪30c‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪h‬‬ ‫التعويض‬ ‫‪12m‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫الضرب التبادلي‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C 3 h = 12‬‬ ‫التبسيط‬ ‫=‪h‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪=4‬‬ ‫‪3m‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ارتفاع البناية هو‪4 3 m :‬‬ ‫‪27‬‬

‫‪Relations of Trigonometric Ratios‬‬ ‫[‪ ]4-6-3‬علاقات النسب المثلثية‬ ‫سنقتصر في هذا البند على مقلوب النسب المثلثية ‪ sin,cos,tan‬و كما ملاحظ في الجدول الآتي‪:‬‬ ‫‪ sini cosi tani‬النسبة المثلثية‬ ‫مقلوبها‬ ‫‪csc i‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪sec i‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪cot‬‬ ‫‪i‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪sin i‬‬ ‫‪cos i‬‬ ‫‪tan i‬‬ ‫قاطع تمام‬ ‫قاطع‬ ‫ظل تمام‬ ‫‪i) sec A‬‬ ‫‪ii) csc A‬‬ ‫= ‪ cosA‬فجد‪iii) cot A :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ ‫‪،B‬‬ ‫في‬ ‫الزاوية‬ ‫قائم‬ ‫مثلث‬ ‫مثال (‪)5‬‬ ‫= ‪cosA‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪3k‬‬ ‫=‬ ‫‪AB‬‬ ‫= ‪& AB‬‬ ‫= ‪3 k, AC‬‬ ‫‪11 k‬‬ ‫‪11 k‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪(AC) 2 = (AB) 2 + (BC) 2‬‬ ‫مبرهنة فيثاغورس‬ ‫‪11 k‬‬ ‫‪( 11 k) 2 = ( 3 k) 2 + (BC) 2‬‬ ‫بالتعويض‬ ‫‪A‬‬ ‫‪11k2 = 3k2 + (BC) 2‬‬ ‫التبسيط‬ ‫‪(BC) 2 = 8k2‬‬ ‫‪3k‬‬ ‫‪` BC = 8 k‬‬ ‫نجذر الطرفين‬ ‫= ‪i) cos A‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪& sec A‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪11‬‬ ‫= ‪ii) sin A‬‬ ‫‪8‬‬ ‫&‬ ‫‪csc A‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪11‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪cos A‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪sin A‬‬ ‫‪8‬‬ ‫= ‪iii) tan A‬‬ ‫‪8‬‬ ‫&‬ ‫‪cot A‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫مقلوب النسب المثلثية الاساسية‬ ‫‪3‬‬ ‫‪tan A‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪(sin 45c) (sec 45c) - (tan 60c) (cot 30c) + 2 csc 90c‬‬ ‫مثال (‪ )6‬جد القيمة العددية للمقدار‪:‬‬ ‫‪=2=csc3290`b_bbabbbbbbbbbbbbbbbbbc‬‬ ‫= ‪sin 45c‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪sec‬‬ ‫‪45c‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪cos 45c‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫من الجداول نجد قيم النسب المثلثية الخاصة‬ ‫ومقلوبات النسب المثلثية الاساسية‬ ‫= ‪tan 60c‬‬ ‫= ‪3, cot 30c‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪tan 30c‬‬ ‫‪1‬‬ ‫المقدار المعطى‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪csc 90c‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪sin 90c‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(sin 45c) (sec 45c) - (tan 60c) (cot 30c) +‬‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫( ‪2) -‬‬ ‫()‪3‬‬ ‫‪3) + 2 (1) & 1 - 3 + 2 = 0‬‬ ‫بالتعويض والتبسيط‬ ‫‪2‬‬ ‫` الناتج العددي للمقداريساوي ‪0‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪i) sin A‬‬ ‫تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك‬ ‫‪4cm‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ 1‬من الشكل المجاور‪ ،‬جد النسب المثلثية الآتية‪:‬‬ ‫‪B 3cm‬‬ ‫‪ii) cos C iii) cot C iv) sec A‬‬ ‫السؤال (‪ )1‬مشابه‬ ‫للامثلة (‪:)1,2,5‬‬ ‫‪28‬‬

‫‪ 2‬في المثلث ‪ ABC‬القائم الزاوية في ‪ ،B‬اذا كانت ‪ cot A = 3‬جد‪:‬‬ ‫‪i) tan A ii) sin A iii) csc A iv) sec A v) cos A‬‬ ‫السؤال (‪ )2‬مشابه للمثالين ‪2,5‬‬ ‫‪i) (cos30c - csc45c) (sin60c +‬‬ ‫الللم‪3‬سثاؤلاي ألنثب(‪,33‬ت)‪6‬مماشياأبتهي‪(scescc4950cc))==--54co,si4i)52cs,iinv3)0cs1ec-3c0o2cs6=0cc s=c6s0icn30c:‬‬ ‫)‪iii) (cos45c - csc45c) (tan45c‬‬ ‫‪ 4‬طائرة ورقية ارتفاعها ‪ 3 3 m‬عن سطح الارض‪ ،‬اذا كان الخيط المتصل بها يصنع السؤال (‪ )4‬مشابه‬ ‫للمثال ‪4‬‬ ‫زاوية مقدارها‪ 60c‬مع الارض‪ .‬جد طول الخيط‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫تدر ْب وح ّل التمرينا ِت‬ ‫‪13cm‬‬ ‫‪ 5‬من الشكل المجاور‪ ،‬جد النسب المثلثية الآتية‪:‬‬ ‫‪i) cot A‬‬ ‫‪ii) cot C iii) sec C iv) csc A‬‬ ‫‪B 12cm‬‬ ‫‪ 6‬في المثلث ‪ ABC‬القائم الزاوية في ‪ ،B‬اذا كانت ‪ sec A = 2‬جد‪C :‬‬ ‫‪i) sin A ii) cot C iii) csc A iv) cos C‬‬ ‫= )‪i) cos60ccsc60c + sin60csec60c‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 7‬أثبت ما يأتي‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ii) sin45csec45c + csc45csin45c = 2,‬‬ ‫تدر ْب وح ّل مسائ َل حياتيةً‬ ‫‪ 8‬رياضة‪ :‬عمل جهاز رياضي مائل لتمرين السير بزاوية قدرها‪ ، 30c‬فإذا كان طرف الجهاز يرتفع ‪ 1.5m‬عن‬ ‫سطح الارض ‪ .‬فما طول حزام الجهاز؟‬ ‫‪ 9‬تزلج على الجليد‪ :‬في موقع للتزلج على احد التلال‪ ،‬كان ارتفاع التلة الرئيسية ‪ 500m‬وزاوية ميلها عن مستوى‬ ‫الارض‪ . 60c‬ماطول سطح التزلج؟‬ ‫‪ 10‬سلم اطفاء الحرائق‪ :‬سلم اطفاء حريق طوله ‪ 20m‬يرتكز احد طرفيه على بناية والطرف الآخر على ارض افقية‬ ‫بزاوية ‪ ، 45c‬جد ارتفاع نقطة ارتكاز طرف السلم على البناية‪.‬‬ ‫‪ 11‬حديقة‪ :‬وقفت بنان على بعد ‪ 25m‬من قاعدة شجرة ارتفاعها ‪ .25m‬فما قياس الزاوية التي تشكلها مع قمة الشجرة؟‬ ‫فَ ِّكـ ْر‬ ‫؟‬ ‫تحد‪ :‬في الشكل المجاور‪ ،‬جد القيم المؤشرة (؟) باستعمال النسب المثلثية‪.‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪ 4cm‬؟‬ ‫‪13‬‬ ‫= ‪ sinA‬كيف تجد قيمة‬ ‫‪3‬‬ ‫‪،B‬‬ ‫في‬ ‫الزاوية‬ ‫قائم‬ ‫مثلث‬ ‫‪ABC‬‬ ‫مفتوحة‪:‬‬ ‫مسألة‬ ‫‪60c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫الزاوية ‪C‬؟‬ ‫؟‬ ‫‪ 14‬تبرير‪ :‬اذا كان جيب زاوية وجيب تمامها متساويين في مثلث قائم الزاوية‪ .‬ما‬ ‫نوع المثلث من حيث اطوال اضلاعه؟‪.‬‬ ‫اُكت ْب‬ ‫مسألة تستعمل فيها نسبة الجيب لايجاد طول ضلع مجهول في مثلث قائم الزاوية‪ .‬ثم حلها‪.‬‬ ‫‪29‬‬

‫الدر ُس خطة حل المسألة (تحديد معقولية الاجابة)‬ ‫]‪[4-7‬‬ ‫(‪Problem Solving Plan (Determining Feasibility Answer‬‬ ‫تعلم‬ ‫فكرةُ الدرس‬ ‫• استعمال تحديد معقولية‬ ‫اذا كانت النقطة )‪ A(3, - 2‬تمثل موقع بيت محمد‬ ‫الإجابة في حل المسألة‪.‬‬ ‫على المستوي الإحداثي‪ ،‬والنقطة )‪ B(3,4‬تمثل‬ ‫موقع مدرسته‪ .‬قطع محمد ثلث المسافة بين البيت‬ ‫والمدرسة‪ .‬أتمثل المسافة ‪ 1.2km‬تقديراً معقولاً‬ ‫أم المسافة ‪ 1.9km‬؟ اذا كان طول كل مربع في‬ ‫المستوي الإحداثي يساوي ‪. 1km‬‬ ‫اِفهم‬ ‫ما المعطيات في المسألة؟ النقطة )‪ A(3, - 2‬تمثل موقع بيت محمد‪ ،‬النقطة )‪ B(3,4‬تمثل موقع مدرسته‪ ،‬المسافة‬ ‫التي قطعها هي ثلث المسافة بين البيت والمدرسة‪.‬‬ ‫ما المطلوب من المسألة؟ المسافة المعقولة التي قطعها محمد أه َي ‪ 1.2km‬أم ‪. 1.9km‬‬ ‫خطّط‬ ‫المسافة‪ ،‬فيمكن تقسيم المسافة الى ‪ 3‬مسافات‬ ‫‪1‬‬ ‫جد المسافة بين البيت والمدرسة‪ ،‬محمد قطع‬ ‫كيف تح ّل المسألة؟‬ ‫‪3‬‬ ‫متساوية‪.‬‬ ‫ح ّل‬ ‫‪d = (x2 - x1) 2 + (y2 - y1) 2‬‬ ‫قانون المسافة بين نقطتين‬ ‫‪AB = (3 - 3) 2 + (4 - (-2)) 2‬‬ ‫التعويض بالنقطتين‬ ‫‪= 0 + 36 = 6km‬‬ ‫التبسيط‬ ‫‪1‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪2km‬‬ ‫اذن‬ ‫‪3‬‬ ‫المسافة ‪ 1.9km‬أقرب الى ‪ 2km‬منه الى المسافة ‪،1.2km‬‬ ‫لذا فإن المسافة المعقولة التي قطعها محمد هي ‪.1.9km‬‬ ‫تحقّق‬ ‫لذا الحل معقول ‪1.9 # 3 = 5.7 . 6‬‬ ‫‪30‬‬

‫‪Problems‬‬ ‫م�ســائل‬ ‫حل المسائل التالية باستراتيجية (تحديد معقولية الإجابة)‪:‬‬ ‫في الشكل‬ ‫كما‬ ‫‪A,B‬‬ ‫النقطتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬ ‫‪1‬‬ ‫ان‬ ‫جمانة‬ ‫قالت‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫المسافة‬ ‫‪1‬‬ ‫المجاور تساوي تقريباً ‪ 3cm‬وقالت أختها سالي ان‬ ‫‪2‬‬ ‫بين النقطتين نفسيهما تساوي تقريباً ‪ .2cm‬أيهما إجابتها‬ ‫معقولة؟‬ ‫هل إحداثيات النقطة )‪(-3, - 2‬هي الأقرب الى نقطة منتصف‬ ‫‪2‬‬ ‫القطعة المستقيمة الواصلة بين)‪ B(3, - 5)، A(5,1‬أم النقطة‬ ‫)‪ (4, - 1‬؟‬ ‫‪ 3‬المسافة بين مدينتين ‪ ،280km‬أتمثل نسبة ‪ 20%‬من المسافة‬ ‫بين المدينتين تقريباً ‪ 69km‬أم ‪50km‬؟‬ ‫‪ 4‬الجدول في أدناه يمثل ما قطعه ثلاثة أشخاص لمسافة مقدارها‬ ‫‪.160km‬‬ ‫النسبة المئوية لما قطعه الشخص النسبة المئوية لما قطعه الشخص النسبة المئوية لما قطعه الشخص‬ ‫الثاني الثالث‬ ‫الاول‬ ‫‪80% 70%‬‬ ‫‪50%‬‬ ‫ما التقدير المعقول لما قطعه الشخص الأول و الثالث؟‬ ‫أهو‪ 100km‬أم ‪.129km‬‬ ‫‪31‬‬

‫مراجع ُة الف�ص ِل‬ ‫المفردات ‪Chapter Review‬‬ ‫‪English‬‬ ‫عربي‬ ‫‪English‬‬ ‫عربي‬ ‫‪Ordered Pair‬‬ ‫الزوج المرتب‬ ‫‪Distance between two‬‬ ‫قانون المسافة بين‬ ‫‪Points Formula‬‬ ‫نقطتين‬ ‫‪Coordinate Plane‬‬ ‫‪ Midpoint‬المستوي الاحداثي‬ ‫نقطة المنتصف‬ ‫‪Linear Equation‬‬ ‫‪ The Midpoint Forumla‬المعادلة الخطية‬ ‫قانون نقطة المنتصف‬ ‫‪Quadratic Equation‬‬ ‫‪ Parallel Lines‬المعادلة التربيعية‬ ‫المستقيمات المتوازية‬ ‫‪Virtical‬‬ ‫‪ Perpendicular Lines‬العمودي‬ ‫المستقيمات المتعامدة‬ ‫‪Horizontal‬‬ ‫‪ Trigonometric Ratios‬الافقي‬ ‫النسب المثلثية‬ ‫‪Slope‬‬ ‫‪ Special Angles‬الميل‬ ‫الزوايا الخاصة‬ ‫‪X- Intercept‬‬ ‫‪ Y- Intercept‬المقطع السيني‬ ‫المقطع الصادي‬ ‫التمثيل البياني للمعادلات في المستوي الاحداثي‬ ‫الدر ُس [‪]4-1‬‬ ‫تدريب‪ :1‬مثل المعادلة ‪y = 2x + 1‬‬ ‫في المستوي‬ ‫مثال ‪ :1‬مثل المعادلة ‪y = 5x - 2‬‬ ‫في المستوي الاحداثي‬ ‫الاحداثي‪.‬‬ ‫تدريب‪ :2‬مثل المعادلة ‪y = 3x2 + 1‬‬ ‫)‪x y = 5x-2 (x,y‬‬ ‫في المستوي الاحداثي‬ ‫)‪0 y=5(0)-2 (0,-2‬‬ ‫)‪1 y=5(1)-2 (1,3‬‬ ‫تدريب‪ :3‬مثل المعادلة ‪y = 3‬‬ ‫مثال ‪ :2‬مثل المعادلة ‪ y = 2x2‬في المستوي الاحداثي‪.‬‬ ‫في المستوي الاحداثي‬ ‫)‪x y = 2x2 (x,y‬‬ ‫تدريب‪ :4‬مثل المعادلة ‪x = 3‬‬ ‫)‪0 0 (0,0‬‬ ‫في المستوي الاحداثي‬ ‫)‪1 2 (1,2‬‬ ‫)‪-1 2 (-1,2‬‬ ‫ميل المستقيم‬ ‫الدر ُس [‪]4-2‬‬ ‫تدريب‪ :1‬جد ميل المستقيم المار بالنقطتين‪:‬‬ ‫مثال (‪ :)1‬جد ميل المستقيم المار بالنقطتين‬ ‫)‪i) (-2, 1), (6, 7‬‬ ‫)‪i) (5, - 2), (3, - 1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪ii) (4, 2), (1, 2‬‬ ‫‪m‬‬ ‫=‬ ‫‪y2 - y1‬‬ ‫=‬ ‫)‪-1 - (-2‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪iii) (4, 2), (4, - 1‬‬ ‫‪x2 - x1‬‬ ‫‪3-5‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫)‪ii) (7, - 3), (5, - 3‬‬ ‫‪m‬‬ ‫=‬ ‫‪y2 - y1‬‬ ‫=‬ ‫)‪-3 - (-3‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x2 - x1‬‬ ‫‪7-5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪32‬‬

‫تدريب‪ :2‬جد المقطع السيني والصادي لكل معادلة مما‬ ‫مثال (‪ :)2‬جد المقطع السيني والصادي للمعادلة‬ ‫‪4x - 3y = 12‬‬ ‫‪i) 2x - y = -4‬‬ ‫يأتي‪:‬‬ ‫‪x = 0 & 4 (0) - 3y = 12‬‬ ‫)‪ & (0, - 4‬المقطع الصادي ‪y = -4‬‬ ‫‪ii) y = -5‬‬ ‫‪y = 0 & 4x - 3 (0) = 12‬‬ ‫)‪ & (3, 0‬المقطع السيني ‪x = 3‬‬ ‫‪iii) x = -5‬‬ ‫معادلة المستقيم‬ ‫الدر ُس [‪]4-3‬‬ ‫تدريب‪ :1‬جد معادلة المستقيم المار بالنقطتين‬ ‫مثال‪ :1‬جد معادلة المستقيم المار بالنقطتين‬ ‫)‪(3, 4), (-2, 1‬‬ ‫)‪(-3, 2), (3, 1‬‬ ‫‪y - y1‬‬ ‫=‬ ‫‪y2 - y1‬‬ ‫‪x - x1‬‬ ‫‪x2 - x1‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬ ‫تدريب‪ :2‬جد معادلة المستقيم الذي ميله (‬ ‫‪y-2‬‬ ‫=‬ ‫‪1-2‬‬ ‫&‬ ‫‪y-2‬‬ ‫=‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪x+3‬‬ ‫‪3+3‬‬ ‫‪x+3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ومقطعه السيني يساوي (‪)7‬‬ ‫‪6y - 12 = -x - 3 & x + 6y = 9‬‬ ‫مثال‪ :2‬جد معادلة المستقيم الذي ميله (‪ )-3‬ويمر‬ ‫بالنقطة (‪)-1,1‬‬ ‫تدريب‪ :3‬جد الميل والمقطع الصادي للمستقيم الذي‬ ‫)‪y - y1 = m (x - x1) & y - 1 = -3 (x + 1‬‬ ‫‪2x - 4y = 8‬‬ ‫معادلته‬ ‫‪3x + y = -2‬‬ ‫مثال‪ :3‬جد الميل والمقطع الصادي للمستقيم الذي‬ ‫‪5x - 3y = 15‬‬ ‫معادلته‬ ‫‪3y = 5x - 15‬‬ ‫&‬ ‫=‪y‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ومقطعه الصادي (‪)-5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ميله‬ ‫‪3‬‬ ‫المستقيمات المتوازية والمتعامدة‬ ‫الدر ُس [‪]4-4‬‬ ‫تدريب‪ :1‬برهن ان الشكل ‪ ABCD‬الذي رؤوسه‪:‬‬ ‫مثال‪ :‬جد معادلة المستقيم المار بالنقطة (‪.)2,5‬‬ ‫‪ )i‬الموازي للمستقيم المار بالنقطتين )‪A (3, 1), B (-1, 3), C (-3, - 1), D (1, - 3) .(1, 3), (3, - 1‬‬ ‫‪ )ii‬العمودي على المستقيم المار بالنقطتين)‪ (1. ,3),(3, - 1‬متوازي اضلاع‬ ‫تدريب‪ :2‬بين ان النقط‪(1, - 6), (4, 0), (6, 4) :‬‬ ‫‪i) m‬‬ ‫=‬ ‫‪y2 - y1‬‬ ‫=‬ ‫‪-1 - 3‬‬ ‫=‬ ‫‪-4‬‬ ‫=‬ ‫‪-2‬‬ ‫تقع على استقامة واحدة‪.‬‬ ‫‪x2 - x1‬‬ ‫‪3-1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(توازي) ‪y - y1 = m1 (x - x1), m1 = -2‬‬ ‫‪y - 5 = -2 (x - 2) & y = -2x + 9‬‬ ‫‪33‬‬

‫تدريب‪ :3‬بين ان المثلث الذي رؤوسه‪:‬‬ ‫‪ii) m1‬‬ ‫=‬ ‫‪-2, m2‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫(تعامد)‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪A (0, - 4), B (-1, 0), C (7, 2‬‬ ‫مثلث قائم الزاوية‪.‬‬ ‫)‪y - y1 = m2 (x - x1‬‬ ‫= ‪y-5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫)‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2y - 10‬‬ ‫=‬ ‫‪x-2‬‬ ‫&‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x+4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫المسافة بين نقطتين‬ ‫الدر ُس [‪]4-5‬‬ ‫تدريب‪ :1‬جد نقطة منتصف للقطعة المستقيمة ‪AB‬‬ ‫مثال‪ :‬اثبت ان النقاط‪A (-3, 4), B (3, 2), C (0, 3) :‬‬ ‫)‪A(-2,0), B(4,5‬‬ ‫على استقامة واحدة باستعمال قانون المسافة‪.‬‬ ‫تدريب‪ :2‬هل النقط )‪A (0, 1), B (3, - 1), C (-2, - 2‬‬ ‫‪AB = (3 + 3) 2 + (2 - 4) 2‬‬ ‫تمثل رؤوس مثلث قائم الزاوية؟‬ ‫‪= 36 + 4 = 40 = 2 10‬‬ ‫تدريب‪ :3‬باستعمال قانون المسافة بين هل النقط‬ ‫‪AC = (0 + 3) 2 + (3 - 4) 2‬‬ ‫)‪A (-1, - 3), B (-6, 1), C (-3, 3‬‬ ‫‪= 9 + 1 = 10‬‬ ‫تقع على استقامة واحدة ؟‬ ‫‪BC = (0 - 3) 2 + (3 - 2) 2‬‬ ‫‪= 9 + 1 = 10‬‬ ‫‪2 10 = 10 + 10‬‬ ‫‪` AB = AC + BC‬‬ ‫اذن ‪ A,B,C‬على استقامة واحدة‬ ‫النسب المثلثية‬ ‫الدر ُس [‪]4-6‬‬ ‫تدريب‪ :1‬المثلث ‪ ABC‬القائم الزاوية في ‪ B‬اذا كانت‪:‬‬ ‫مثال‪ :1‬المثلث ‪ ABC‬القائم الزاوية في ‪ B‬اذا كانت‪:‬‬ ‫‪ tanC = 1‬جد‪:‬‬ ‫‪i) sin A ii) tan C‬‬ ‫جد‪:‬‬ ‫= ‪cosA‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪i)cotC ii)sinC iii)secA‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪iv) cscC v)cosA‬‬ ‫= ‪cos A‬‬ ‫‪3k‬‬ ‫&‬ ‫مجاور الزاوية ‪ A‬يساوي ‪3k‬‬ ‫‪5k‬‬ ‫الوتر يساوي ‪5k‬‬ ‫تدريب‪ :2‬جد القيمة العددية للمقدار‪:‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪(AC) 2 = (AB) 2 + (BC) 2‬‬ ‫‪(tan60c) 2 + (cot45c) 2 + (sec30c) 2 + (sin45c) 2‬‬ ‫‪4k 5k‬‬ ‫‪25k2 = 9k2 + (BC) 2‬‬ ‫مقابل الزاوية ‪B 3k A ` BC = 4k A‬‬ ‫تدريب‪ :3‬اثبت ان‪:‬‬ ‫‪sinA‬‬ ‫=‬ ‫‪4k‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪,‬‬ ‫= ‪tanC‬‬ ‫‪4k‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5k‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3k‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪i) (csc30c) 2 + (cot30c) 2 = 7‬‬ ‫مثال‪ :2‬جد القيمة العددية للمقدار‪:‬‬ ‫‪ii) 2sin45ccos45c = sin90c‬‬ ‫‪(sin60c) 2 (tan45c) + (sin30c) 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪iii‬‬ ‫)‪(cos60c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫)‪(sin60c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪sin60c‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪tan45c‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪sin30c‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪cot45c‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫&‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪34‬‬

‫‪Chapter Test‬‬ ‫اختبار الف�صل‬ ‫‪ 1‬مثل المعادلات التالية في المستوي الاحداثي‬ ‫‪i) 2x - 4y = 8 ii) y = 2 iii) x = 2 iv) y = x2 - 1‬‬ ‫‪ 2‬جد معادلة المستقيم المار بالنقطتين‪A (-2, - 3), B (2, 3) :‬‬ ‫‪ 3‬جد المقطع السيني والصادي للمعادلة الآتية‪y - x = 4 :‬‬ ‫‪ 4‬جد معادلة المستقيم لكل مما يأتي‪:‬‬ ‫‪ )i‬يمر بالنقطتين )‪(3, - 2), (1, 5‬‬ ‫ومقطعه الصادي يساوي ‪.-5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ )ii‬ميله‬ ‫‪ -‬ومقطعه السيني يساوي ‪.3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪ )iii‬ميله‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 5‬استعمل معادلة الميل والنقطة لتحديد ميل المستقيم واحدى نقاطه ‪2y - 3x = 8‬‬ ‫باستعمال الميل بين ما يأتي‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ )i‬النقاط‪ A (3, 2), B (0, - 1), D (1, 0) :‬على استقامة واحدة‪.‬‬ ‫‪ )ii‬النقاط التالية رؤوس لمتوازي الاضلاع‬ ‫)‪A (4, - 1), B (2, 2), C (-2, 4), D (0, 1‬‬ ‫‪ )iii‬المستقيم المار بالنقطتين )‪ A (3, 1), B (4, - 1‬عمودي على المستقيم المار بالنقطتين)‪C (4, - 1), D (0, - 3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫جد معادلة المستقيم المار بالنقطة (‪ )0,3‬والموازي للمستقيم الذي ميله‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 8‬باستعمال قانون المسافة بين نقطتين‪ ،‬اثبت )‪ (i), (ii‬في السؤال ‪.6‬‬ ‫‪ 9‬باستعمال قانون نقطة المنتصف‪ ،‬اثبت الفرع )‪ (ii‬في السؤال ‪.6‬‬ ‫= ‪ sinA‬جد‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫في المثلث ‪ ABC‬القائم الزاوية في ‪ ،B‬اذا كانت‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i)cosA ii)tanA iii)cotC iv) secA‬‬ ‫‪35‬‬

‫الفص ُل ‪5‬‬ ‫الهندسة والقياس‬ ‫‪Geometric and Measurement‬‬ ‫الدرس ‪ 5-1‬المضلعات والمجسمات (الهرم والمخروط)‬ ‫الدرس ‪ 5-2‬المثلثات‬ ‫الدرس ‪ 5-3‬التناسب والقياس في المثلثات‬ ‫الدرس ‪ 5-4‬الدائرة‬ ‫الدرس ‪ 5-5‬المثلث والدائرة‪ ،‬القطع المستقيمة والدائرة‬ ‫الدرس ‪ 5-6‬الزوايا والدائرة‬ ‫الدرس ‪ 5-7‬خطة حل المسألة (الرسم)‬ ‫الاشكال المثلثة تعطي البناء قوة ومتانة حيث تميزت الكثير من اعمال الراحلة المهندسة العراقية زها حديد باستعمالها‬ ‫الاشكال الهندسية المثلثة‪ ،‬ومنها جسر في ابو ظبي بلغ ارتفاع راس المثلث ‪ 60m‬فوق مستوى سطح البحر‪.‬‬ ‫‪36‬‬

‫‪Pretest‬‬ ‫الاختبا ُر القبل ّي‬ ‫‪1‬‬ ‫حدد ما اذا كان الشكل مضلعاً واذا كان كذلك فهل هو مضلع منتظم او مضلع غيرمنتظم ‪.‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪56‬‬ ‫‪7 7c.m‬‬ ‫جد مساحة كل دائرة ومحيطها مما يأتي‪:‬‬ ‫‪10 7cm‬‬ ‫‪14.cm‬‬ ‫‪9 . 3cm‬‬ ‫‪8‬‬ ‫جد المساحة السطحية والحجم لك ّل مما يأتي‪:‬‬ ‫‪9.5cm‬‬ ‫‪3m‬‬ ‫‪11 12‬‬ ‫‪21cm‬‬ ‫‪9m‬‬ ‫‪3cm 5cm‬‬‫‪3cm‬‬ ‫‪10cm‬‬ ‫‪15 3.5cm‬‬ ‫‪3cm‬‬ ‫‪13 14‬‬ ‫‪3cm‬‬ ‫جد قيمة ‪ x‬في كل مما يأتي ‪:‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪7‬‬ ‫=‬ ‫‪x-3‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪7‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪4‬‬ ‫جد قياس الزاوية المركزية ومجموع قياس الزوايا الداخلية والخارجية لكل مما يأتي‪:‬‬ ‫‪ 21‬سداسي منتظم‬ ‫‪ 20‬ثماني منتظم‬ ‫‪ 19‬خماسي منتظم‬ ‫‪ ،‬كم عدد الموظفين من الاناث؟ وكم عددهم‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 22‬شركة تجارية تضم ‪ 20‬موظفاً‪ ،‬وكانت نسبة الذكور الى الاناث‬ ‫‪2‬‬ ‫من الذكور؟‬ ‫‪ 23‬مثلث متساوي الاضلاع طول كل ضلع فيه يساوي ‪ (2x - 1) cm‬ومحيط المثلث يساوي ‪ ،57cm‬جد قيمة ‪ x‬و‬ ‫جد طول كل ضلع فيه‪.‬‬ ‫‪37‬‬

‫الدر ُس المضلعات والمجسمات (الهرم والمخروط)‬ ‫[‪]5-1‬‬ ‫)‪Polygons and Polyhedrons (Pyramid and Cone‬‬ ‫تعلم‬ ‫فكرةُ الدرس‬ ‫• اجد محيط ومساحة المضلعات‬ ‫تعرفت سابقاً على المضلعات المنتظمة‬ ‫وغير المنتظمة وكيفية ايجاد الزوايا الداخلية‬ ‫المنتظمة ‪.‬‬ ‫والخارجية للمضلع المنتظم وكذلك تعرفت‬ ‫• اجد الحجم والمساحة الكلية لكل‬ ‫على كيفية ايجاد الزاوية المركزية للمضلع‪.‬‬ ‫واستطعت التمييز بين المضلع المقعر‬ ‫من الهرم والمخروط‪.‬‬ ‫والمضلع المحدب وسوف تتمكن في هذا‬ ‫المفردات‬ ‫الدرس من ايجاد مساحة ومحيط المضلعات‬ ‫• العامد‬ ‫المنتظمة ‪.‬‬ ‫• الارتفاع الجانبي‬ ‫• المخروط‬ ‫• الهرم‬ ‫‪Regular Polygons‬‬ ‫[‪ ]5-1-1‬المضلعات المنتظمة‬ ‫‪P=n#L‬‬ ‫محيط المضلع المنتظم = عدد الاضلاع مضروباً في طول الضلع‪.‬‬ ‫‪H‬‬ ‫=‪A‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪n‬‬ ‫مركز‬ ‫رأسه‬ ‫مساحة المضلع المنتظم = مساحة المثلث الذي‬ ‫‪L‬‬ ‫‪2‬‬ ‫المضلع وقاعدته ضلع المضلع ‪ #‬عدد اضلاعه‪.‬‬ ‫اذا عرفت ان طول الضلع ‪ L‬و العامد ‪( H‬هو العمود النازل من مركز المضلع على احد اضلاع المضلع)‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪L#H‬‬ ‫القاعدة ‪ #‬الارتفاع (العامد)‪،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫مساحة المثلث =‬ ‫يأتي‪:‬‬ ‫كما‬ ‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫حساب‬ ‫يمكن‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫مثال (‪ )1‬جد محيط ومساحة الشكل السداسي المنتظم‪ ،‬طول ضلعه ‪ 4m‬وطول العامد‪.2 3 m‬‬ ‫‪P=n#L‬‬ ‫باستعمال قانون محيط المضلع‬ ‫محيط المضلع‬ ‫‪2 3m‬‬ ‫‪P = 6 # 4 = 24m‬‬ ‫باستعمال قانون مساحة المضلع‬ ‫‪4cm‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪L#H#‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪4m‬‬ ‫‪2‬‬ ‫بالتعويض والتبسيط‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪#4#2‬‬ ‫‪3 # 6 = 24‬‬ ‫‪3 m2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫مثال (‪ )2‬جد مساحة المربع الذي طول العامد فيه ‪.4cm‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪#H#n‬‬ ‫طريقة (‪: )1‬باستعمال قانون مساحة المضلع المنتظم‬ ‫‪2‬‬ ‫طول ضلع المربع يساوي ضعف طول العامد‬ ‫‪L = 4 # 2 = 8cm‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪#8#4#4‬‬ ‫=‬ ‫‪64cm2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫طريقة (‪ :)2‬باستعمال قانون مساحة المربع‬ ‫‪A=L#L‬‬ ‫(طول الضلع ‪ #‬نفسه)‬ ‫‪A = 8 # 8 = 64cm2‬‬ ‫‪38‬‬

‫‪Pyramid and Cone‬‬ ‫[‪ ]5-1-2‬الهرم والمخروط‬ ‫الهرم‪ :‬هو مج ّسم له في الاقل ثلاثة اوجه مثلثة الشكل المخروط‪ :‬هو مج ّسم له قاعدة واحدة فقط عبارة عن‬ ‫وله قاعدة واحدة تعبر عن شكل مضلع (شكل القاعدة دائرة وله رأس واحد‪.‬‬ ‫= الارتفاع الجانبي (مولد المخروط)‪,‬‬ ‫يحدد اسم الهرم)‪.‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪ = h‬الارتفاع‬ ‫‪h,‬‬ ‫‪ = h‬الارتفاع‬ ‫‪ = r‬نصف القطر‬ ‫‪h‬‬ ‫‪OH‬‬ ‫‪ = H‬العامد‬ ‫‪,2 = h2 + r2‬‬ ‫‪r‬‬ ‫= الارتفاع الجانبي‪,‬‬ ‫‪,2 = h2 + H2‬‬ ‫المساحة الكلية = المساحة الجانبية ‪ +‬مساحة القاعدة‪.‬‬ ‫قانون الحجم في الهرم والمخروط‬ ‫قانون المساحة للهرم المنتظم والمخروط الدائري القائم‬ ‫‪1‬‬ ‫المخروط القائم‬ ‫الهرم المنتظم‬ ‫‪3‬‬ ‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪b#h‬‬ ‫حجم الهرم‬ ‫‪LA = r r # ,‬‬ ‫‪LA‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪,‬‬ ‫المساحة الجانبية‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ p‬محيط القاعدة‬ ‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r2‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪h‬‬ ‫حجم المخروط‬ ‫‪TA = r r # , + r r2‬‬ ‫‪TA‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b‬‬ ‫المساحة الكلية‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ b‬مساحة القاعدة‬ ‫مثال (‪ )3‬جد المساحة الجانبية والمساحة الكلية لهرم منتظم ارتفاعه الجانبي ‪ 8cm‬وقاعدته مربعة طول ضلعها ‪. 3cm‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪LA‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪,‬‬ ‫المساحة الجانبية‬ ‫= ‪LA‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪# 12 # 8‬‬ ‫محيط القاعدة = محيط المربع = ‪4×3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8cm‬‬ ‫‪LA = 48cm2‬‬ ‫‪4cm 20m‬‬ ‫‪TA‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪p#‬‬ ‫‪,+b‬‬ ‫المساحة الكلية‬ ‫‪2‬‬ ‫مساحة القاعدة = مساحة المربع = ‪3cm TA = 48 + 9 = 57cm2 3×3‬‬ ‫‪TA = 57cm2‬‬ ‫المساحة الكلية‬ ‫مثال (‪ )4‬استخدم الشكل المجاور لإيجاد‪ )i :‬المساحة الجانبية ‪ )ii‬المساحة الكلية ‪ )iii‬الحجم‪.‬‬ ‫‪i) LA = r r # ,‬‬ ‫المساحة الجانبية للمخروط‬ ‫‪5cm‬‬ ‫‪= r # 3 # 5 = 15 r cm2‬‬ ‫بالتعويض والتبسيط‬ ‫‪ii)TA = r r # , + r r2‬‬ ‫المساحة الكلية للمخروط‬ ‫‪6m‬‬ ‫‪=15 r + 9 r = 24 rcm2‬‬ ‫بالتعويض والتبسيط‬ ‫‪3cm‬‬ ‫‪iii) V‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪r r2‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪h‬‬ ‫حجم المخروط‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪#r‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪12 r cm3‬‬ ‫بالتعويض والتبسيط‬ ‫‪3‬‬ ‫مثال (‪ )5‬جد حجم الهرم المجاور‪.‬‬ ‫‪b‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(gf + bd) # fe‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(9 + 18) # 6 = 81m2‬‬ ‫مساحة شبه المنحرف‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪d 18m‬‬ ‫‪eb‬‬ ‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪b#h‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪# 81 # 20 = 540m3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫حجم الهرم‬ ‫‪g 9m f‬‬ ‫‪39‬‬

‫مثال (‪ )6‬جد حجم المج ّسم المر ّكب المجاور‪.‬‬ ‫لايجاد حجم المجسم المركب نجد اولا حجم الاسطوانة وحجم المخروط‬ ‫وبعد ذلك نجمع الحجوم لنجد حجم المجسم المركب‪.‬‬ ‫‪V1 = r r2h & V1 = 36 r # 20‬‬ ‫قانون حجم الاسطوانة‬ ‫‪V1 = 720r cm3‬‬ ‫بالتعويض والتبسيط‬ ‫‪1‬‬ ‫‪50cm‬‬ ‫‪V2‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪r2r‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪h‬‬ ‫قانون حجم المخروط‬ ‫‪20cm‬‬ ‫‪V2‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪36r‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪30‬‬ ‫=‬ ‫‪360r‬‬ ‫‪cm3‬‬ ‫بالتعويض والتبسيط‬ ‫‪3‬‬ ‫‪V = V1 + V2‬‬ ‫‪6cm‬‬ ‫‪V = 720r + 360r = 1080r cm3‬‬ ‫حجم المجسم المركب‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2.9cm‬‬ ‫جد محيط ومساحة ك ّل مضلّع منتظم‪:‬‬ ‫تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك‬ ‫‪2 3cm‬‬ ‫الاسئلة ‪ 1-2‬مشابهة‬ ‫للمثال ‪1‬‬ ‫‪2 3 cm‬‬ ‫‪2cm‬‬ ‫‪ 3‬جد الحجم والمساحة الجانبية والكلية لك ّل مما يأتي‪:‬‬ ‫‪ )i‬مخروط دائري قائم‪ :‬مساحة قاعدته‪ ، 225rcm2‬محيط قاعدته‪، 30rcm‬ارتفاعه‪،20cm‬ارتفاعه الجانبي ‪25cm‬‬ ‫‪ )ii‬هرم‪ :‬مساحة قاعدته ‪ ،54 3 cm2‬محيط قاعدته ‪ ،36cm‬ارتفاعه‪، 3 6 cm‬ارتفاعه الجانبي ‪.9cm‬‬ ‫الاسئلة (‪ )4-3‬مشابهة‬ ‫‪ 4‬جد الحجم والمساحة الجانبية والكلُية لك ّل مما يأتي‪:‬‬ ‫للمثالين ‪3,4‬‬ ‫‪ )i‬هرم قاعدته مثلث متساوي الاضلاع طول ضلعه ‪ 6cm‬وارتفاعه ‪ 33 cm‬وارتفاعه الجانبي ‪.6cm‬‬ ‫‪ )ii‬هرم قاعدته مربعة طول ضلعها ‪ 12cm‬وارتفاعه ‪ 8cm‬وارتفاعه الجانبي ‪.10cm‬‬ ‫‪ 5‬جد الحجم والمساحة الجانبية والكلُية مستعملاً الاشكال ادناه‪.‬‬ ‫)‪i) ii) iii‬‬ ‫‪13cm‬‬ ‫‪3cm‬‬ ‫‪,h‬‬ ‫‪3cm‬‬ ‫‪5cm‬‬ ‫‪4cm‬‬ ‫السؤال ‪ 6‬مشابه‬ ‫‪12cm‬‬ ‫‪3cm 3‬‬ ‫للمثال ‪5‬‬ ‫جد الحجم والمساحة الجانبية والمساحة الكلية لما يلي‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5cm‬‬ ‫‪SSSTSSSSSSRSSS‬‬ ‫‪8cm‬‬ ‫قاعدته مربعة‬ ‫‪40‬‬

‫تدر ْب وح ّل التمرينا ِت‬ ‫‪ 7‬جد المساحة الجانبية للهرم الذي قاعدته مربعة الشكل طول ضلعها ‪ 8cm‬وارتفاعه الجانبي ‪. 7.2cm‬‬ ‫‪ 1.16cm‬وارتفاعه‬ ‫جد المساحة الجانبية للهرم الذي قاعدته المضلع الثماني المنتظم الذي قياس طول ضلعه‬ ‫‪8‬‬ ‫الجانبي ‪.2cm‬‬ ‫‪ 9‬جد المساحة الجانبية والمساحة الكلية لمخروط دائري قائم قطر قاعدته ‪ 35m‬وارتفاعه الجانبي ‪ 20m‬واكتب‬ ‫الجواب بدلالة ‪. π‬‬ ‫‪ 10‬جد حجم هرم قاعدته مثلث منتظم وطول ضلعه ‪ 6m‬وارتفاعه ‪.13m‬‬ ‫‪2m‬‬ ‫‪ 11‬جد حجم الشكل المركب المجاور‪.‬‬ ‫‪9m‬‬ ‫‪18m 6m‬‬ ‫تدر ْب وح ّل مسائ َل حياتيةً‬ ‫‪ 12‬علوم‪ :‬نموذج بركاني على شكل مخروط دائري قائم طول نصف قطر قاعدته‬ ‫‪ ،3cm‬اذا كان حجم النموذج ‪ 203cm3‬تقريباً‪ ،‬ما ارتفاعه؟‬ ‫‪3cm‬‬ ‫‪ 13‬بناء‪ :‬يبلغ ارتفاع برج العرب ‪ 321m‬ويمثل هرماً مقوساً ‪ ,‬احسب المساحة‬ ‫التقريبية لقاعدته اذا كان حجم الهرم الذي يمثله ‪. 1904000m3‬‬ ‫‪ 14‬هندسة‪ :‬جد المساحة الجانبية للهرم الذي قاعدته مربعة الشكل والمبين بالشكل‬ ‫المجاور‪.‬‬ ‫‪8cm‬‬ ‫‪4cm‬‬ ‫‪4cm 10m‬‬ ‫فَ ِّكـ ْر‬ ‫‪ 15‬تح ًد‪ :‬مخروط واسطوانة لهما نفس القاعدة والحجم‪ ،‬قطر الاسطوانة ‪ 40cm‬وارتفاعها ‪ ،7cm‬ما المساحة‬ ‫الجانبية للمخروط؟‬ ‫‪ 16‬اكتشف الخطأ ‪ :‬اي الحلين خطأ ؟ وضح اجابتك ‪.‬‬ ‫‪8m‬‬ ‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪#b#h‬‬ ‫الثاني‪:‬‬ ‫الحل‬ ‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪b#h‬‬ ‫الحل الاول‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6m‬‬ ‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪#6#6#r#8‬‬ ‫=‬ ‫‪96rm3‬‬ ‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪36r‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪10‬‬ ‫=‬ ‫‪120rm3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫مسألة عن مضلع منتظم تسمح المعطيات فيه بأيجاد محيط المضلع ومساحته‪.‬‬ ‫اُكت ْب‬ ‫‪41‬‬

‫‪Triangles‬‬ ‫الدر ُس المثلثات‬ ‫[‪]5-2‬‬ ‫منتصف الضلع‬ ‫مركز المثلث‬ ‫تعلم‬ ‫فكرةُ الدرس‬ ‫تعرفت سابقا الى خواص المثلث وسنتعرف في هذا‬ ‫‪ -‬التعرف الى منصفات الزوايا‬ ‫الدرس الى القطعة المتوسطة في مثلث‪ :‬هي قطعة‬ ‫والقطع المتوسطة للمثلث وكيفية‬ ‫مستقيمة طرفاها احد رؤوس المثلث ونقطة منتصف‬ ‫تشابه مثلثين واستعمال التشابه في‬ ‫الضلع المقابل لذلك الرأس‪ ،‬ولكل مثلث ثلاث قطع‬ ‫حل المسائل‪.‬‬ ‫المفردات‬ ‫متوسطة تتقاطع في نقطة واحدة تسمى نقطة تلاقي‬ ‫• المثلثان المتشابهان‪.‬‬ ‫ارتفاع المثلث‬ ‫ارتفاع المثلث‬ ‫القطع المتوسطة للمثلث (مركز المثلث)‪.‬‬ ‫• نسبة التشابه‬ ‫ارتفاع المثلث‪ :‬هو العمود النازل من احد رؤوس‬ ‫المثلث على المستقيم الذي يحوي الضلع المقابل ارتفاع المثلث‬ ‫لذلك الرأس‪ ،‬ولكل مثلث ثلاثة ارتفاعات تتقاطع‬ ‫في نقطة واحدة تسمى(ملتقى الارتفاعات)‪.‬‬ ‫‪Sides and Angles in the Triangle‬‬ ‫[‪ ]5-2-1‬الاضلاع والزوايا في المثلث‬ ‫(مبرهنات بدون برهان) في كل مثلث‪C :‬‬ ‫مبرهنة‪ :‬اذا تباين ضلعا مثلث تباينت الزاويتان المقابلتان لهما‪ ،‬فاكبرهما‬ ‫تقابل الضلع الاكبر وبالعكس‪A B BC 2 AC + m+A 2 m+B .‬‬ ‫‪ - ii‬في المثلث ادناه رتب الاضلاع من الاقصر الى‬ ‫مثال (‪ -i )1‬في المثلث ادناه رتب الزوايا من الاصغر‬ ‫الى الاكبر‪.‬‬ ‫الاطول واحسب قياس‪. +C‬‬ ‫مجموع زوايا المثلث ‪m+A + m+B + m+C = 180c‬‬ ‫الضلع الاقصر‪ AB‬اذن الزاوية الصغرى‪+C‬‬ ‫الضلع الاطول‪ AC‬اذن الزاوية الكبرى ‪+B‬‬ ‫‪m+C = 180c - (73c + 45c) = 62c‬‬ ‫الترتيب هو ‪m+B, m+A, m+C‬‬ ‫‪` m+B 1 m+C 1 m+A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪AC, BA, BC‬‬ ‫الترتيب هو‪:‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪73c‬‬ ‫‪B 45c‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A8‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫(مبرهنات بدون برهان) في كل مثلث‪:‬‬ ‫‪FE‬‬ ‫مبرهنة‪ :‬منصفات زوايا المثلث تتلاقى بنقطة واحدة تكون متساوية الابعاد‬ ‫‪O‬‬ ‫عن اضلاعه‪( .‬والعكس صحيح)‪.‬‬ ‫‪CD‬‬ ‫اذا كان ‪ OA, OB, OC‬منصفات الزوايا ‪ A,B,C‬على الترتيب‪ ،‬تلتقي‬ ‫في نقطة ‪ ،O‬فأن‪B OD=OE=OF :‬‬ ‫‪C‬‬ ‫مثال (‪ )2‬في المثلث المجاور جد قيمة ‪60c .x‬‬ ‫‪ BO‬تنصف ‪ CO , +B‬تنصف ‪ O `, +C‬نقطة التقاء منصفات زوايا المثلث ‪ABC‬‬ ‫المثل‪A‬ث‪ +xm=+21Cm=+1A80c(+‬مب‪B‬ر‪+‬هنة‪m‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪m+A‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪ AO‬تنصف‬ ‫‪x‬‬ ‫مجموع زوايا‬ ‫‪A 70c B m+A = 180c - (70c + 60c) = 50c & ` x = 25c‬‬ ‫‪42‬‬

‫(مبرهنات بدون برهان) في ك ّل مثلث‪A :‬‬ ‫مبرهنة‪ :‬القطع المستقيمة المتوسطة للمثلث تتلاقى في نقطة واحدة تسمى مركز‬ ‫‪2‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪E‬‬ ‫من جهة الرأس الى منتصف الضلع المقابل‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ثقل المثلث‪ ،‬تقسم كل منها بنسبة‬ ‫‪O‬‬ ‫= ‪AO‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪AD,‬‬ ‫‪BO‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪BF,‬‬ ‫‪CO‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪CE‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫= ‪OD‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪AD,‬‬ ‫‪OF‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪BF,‬‬ ‫‪OE‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪CE‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫مثال (‪ )3‬المثلث ‪ ABC‬فيه‪ AD, CE‬قطعتان متوسطتان تلتقيان في نقطة ‪CE = 9cm, AD = 6cm ،O‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪1‬‬ ‫جد طول ‪. AO, OE‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪OE‬‬ ‫‪CE‬‬ ‫‪ CE‬قطعة متوسطة‬ ‫`‬ ‫‪OE‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪#9‬‬ ‫=‬ ‫‪3cm‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪OA‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪AD‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬ ‫`‬ ‫‪OA‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪#6‬‬ ‫=‬ ‫‪4cm‬‬ ‫كذلك ‪ AD‬قطعة متوسطة‬ ‫‪3‬‬ ‫‪Similar Triangles‬‬ ‫[‪ ]5-2-2‬تشابه المثلثات‬ ‫‪A‬‬ ‫المثلثان المتشابهان‪ :‬هما مثلثان تتناسب اضلاعهما وتتطابق ‪D‬‬ ‫‪C BF‬‬ ‫زواياهما ويرمز للتشابه بالرمز)‪ .(+‬المبرهنات بدون برهان‬ ‫مبرهنة‪ :‬اذا تطابقت زاويتان في مثلث مع زاويتين في مثلث آخر‬ ‫فان المثلثين يتشابهان‪E .‬‬ ‫‪m+A = m+D, m+C = m+F, & 3ABC + 3DEF‬‬ ‫مبرهنة‪ :‬اذا تناسب ثلاثة اضلاع من مثلث مع ثلاثة اضلاع من مثلث آخر فان المثلثين يتشابهان‪.‬‬ ‫مثال (‪ )4‬بين ما اذا كان المثلثين في الشكل المجاور متشابهان‪ ،‬واكتب نسبة التشابه‪.‬‬ ‫)‪i‬‬ ‫‪6B‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪ii‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪DE‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪EF‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪E 10‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪C6‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6A‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪EF‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪DF‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪D9‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪D4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫!‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪FD‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪EF‬‬ ‫‪DF‬‬ ‫اذن المثلثان متشابهان‬ ‫اذن المثلثان غير متشابهان‬ ‫مبرهنة‪ :‬اذا تناسب ضلعان في مثلث مع نظائرهما في مثلث آخر‪ ،‬وتطابقت الزاوية المحصورة بينهما مع نظيرتها‬ ‫فان المثلثين يتشابهان‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ ،‬جد قيمة ‪.x‬‬ ‫‪m+C‬‬ ‫=‬ ‫‪m+FDB,‬‬ ‫‪EC‬‬ ‫=‬ ‫‪CD‬‬ ‫في الشكل المجاور‪ :‬اذا كان‬ ‫مثال (‪)5‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪FD‬‬ ‫‪DB‬‬ ‫بما ان المثلثين ‪ BFD,DEC‬متشابهان‪ ،‬اذن اضلاعهما المتناظرة متناسبة‪.‬‬ ‫‪x-1‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪x-1‬‬ ‫=‬ ‫‪9‬‬ ‫التناسب‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫الضرب التبادلي‬ ‫‪3x - 3 = 18‬‬ ‫‪C9‬‬ ‫‪D3B‬‬ ‫‪3x = 21 & x = 7‬‬ ‫التبسيط‬ ‫‪43‬‬

‫‪1A‬‬ ‫‪B2‬‬ ‫رتب الاضلاع من الاقصر الى الاطول‬ ‫تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك‬ ‫‪B‬‬ ‫‪68c‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪45c‬‬ ‫‪38c‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫رتب الزوايا من الاصغر الى الاكبر‪.‬‬ ‫‪3 30 A‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪B‬‬ ‫الاسئلة ‪ 1-4‬مشابهة ‪A‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪72‬‬ ‫للمثال ‪1‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪20 C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ 5‬في المثلث المجاور اذا كان ‪ AO, BO, CO :‬منصفات الزوايا ‪x A,B,C‬‬ ‫جد ‪. m+x‬‬ ‫السؤال‪ 5‬مشابه ‪O‬‬ ‫‪B 45c‬‬ ‫‪80c C‬‬ ‫للمثال ‪2‬‬ ‫‪ ABC 6‬مثلث‪ O ،‬نقطة تقاطع مستقيماته المتوسطة‪ ،‬اذا كان‪ BO=12cm :‬جد طول القطعة المستقيمة التي احد‬ ‫طرفيها النقطة ‪.B‬‬ ‫‪ 7‬في المثلث ‪ O, ABC‬نقطة التقاء القطع المتوسطة‪ ،‬جد طول ‪ AD‬اذا علمت ان‪ :‬الاسئلة ‪7-6‬‬ ‫مشابهة للمثال ‪3‬‬ ‫‪.m+COB = 90c, AO k BC = \"D ,, BC = 6cm‬‬ ‫ملاحظة‪ :‬طول القطعة المستقيمة الواصلة من رأس الزاوية القائمة‬ ‫الى منتصف الوتر يساوي نصف طول الوتر‪.‬‬ ‫‪8cm 9cm‬‬ ‫‪ 8‬في الشكل المجاور‪:‬‬ ‫‪ )i‬بين ان المثلثين ‪ ABC,BDE‬متشابهان‪.‬‬ ‫‪x x-1‬‬ ‫‪ )ii‬جد نسبة التشابه‪.‬‬ ‫‪ )iii‬جد قيمة ‪.x‬‬ ‫السؤال‪ 8‬مشابه‬ ‫للمثالين ‪4,5‬‬ ‫تدر ْب وح ّل التمرينا ِت رتب الاضلاع من الاقصر الى الاطول‪A .‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪80c 10‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪70c‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪60c C‬‬ ‫‪4.8cm‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫رتب الزوايا من الاصغر الى الاكبر‪.‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪8cm‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪45cm 30cm‬‬ ‫‪7.5cm B‬‬ ‫‪50cm‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪44‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪A 8cm‬‬ ‫‪ 13‬بين ان المثلثين ‪ ABC, DEN‬في الشكل المجاور متشابهان‬ ‫‪4cm 6cm‬‬‫‪6cm‬‬ ‫واكتب نسبة التشابه ثم س ّم ازواج الزوايا المتطابقة ‪B .‬‬ ‫‪8cm‬‬ ‫‪N 6cm E C 8cm‬‬‫‪6cm‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪8cm‬‬ ‫‪E 4cm C‬‬ ‫‪ 14‬بين ان المثلثين ‪ ABC, ADE‬في الشكل المجاور متشابهان واكتب‬ ‫نسبة التشابه‪. .‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫تدر ْب وح ّل مسائ َل حياتيةً‬ ‫‪ 15‬هندسة ‪:‬اذا علمت ان ‪ 3ABF + 3DEF‬وان ‪ AB ' ED‬استعمل‬ ‫‪2x-2 x+9‬‬ ‫المعلومات في الشكل المجاور لتجد قيمة ‪.x‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪F 15‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ 16‬بناية‪ :‬بناية ارتفاعها يمثل بضلع مثلث قائم الزاوية كما في الشكل المجاور‪ .‬و ‪BE‬‬ ‫‪E‬‬ ‫هو ارتفاع للمثلث ‪ ABD‬برهن ان‪:‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪60m‬‬ ‫‪i. +EBA , +D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪ii. 3 ABE + 3DBE‬‬ ‫‪60m‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ 17‬في الشكل المجاور المثلثان ‪ KAB ,KMH‬متشابهان‪ ،‬جد احداثيي ‪.M‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ونسبة التشابه‪.‬‬ ‫)‪H(0,6‬‬ ‫)‪B(0,4‬‬ ‫‪Kx‬‬ ‫?‪A(2,0) M‬‬ ‫‪A‬‬‫‪60‬‬ ‫فَ ِّكـ ْر‬ ‫‪E‬‬ ‫‪x+5‬‬ ‫‪ 18‬اكتشف ‪ :‬ما طول ‪ AB‬في الرسم المجاور؟ علماً ان ‪. 3ECD + 3ABF‬‬ ‫‪C 40 B 20 D 60 F‬‬ ‫‪B3 E x A‬‬ ‫‪ 19‬تح ِد‪ )10 ,5 ,2( :‬و (‪ )x ,15 ,6‬هي اطوال اضلاع متناظرة‬ ‫‪4‬‬ ‫في مثلثين متشابهين‪ ،‬ما قيمة ‪ x‬؟‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ 20‬حس عددي‪ :‬جد قيمة ‪ x‬في الشكل المجاور‪ .‬اذا كان المثلثان ‪ABD,EBC‬‬ ‫‪D‬‬ ‫متشابهان‪ .‬وان‪EC ' AD :‬‬ ‫‪ 21‬مسألة مفتوحة‪ :‬اشرح لماذا تحتاج قياسات الزوايا للتأكد من تشابه المثلثات‪،‬‬ ‫اعط مثلاً على ذلك‪.‬‬ ‫مسألة عن مثلثين متساويي الساقين تتطابق فيهما زاويتا الرأس وجد نسبة التشابه‪.‬‬ ‫أكتب‬ ‫‪45‬‬

‫الدر ُس التناسب والقياس في المثلثات‬ ‫[‪]5-3‬‬ ‫‪Proportion and Measure in Triangles‬‬ ‫تعلم‬ ‫فكرةُ الدرس‬ ‫تتضمن مخططات المدن‬ ‫‪ -‬استعمل الاجزاء المتناسبة في‬ ‫والشوارع في تطبيق الخرائط‬ ‫المثلثات لنبرهن توازي مستقيمين او‬ ‫في الاجهزة الالكترونية خطوطاً‬ ‫متوازية واخرى متعامدة‪ ،‬فالمخطط‬ ‫اكثر‪.‬‬ ‫الجانبي يمثل جزءاً من مدينة بغداد‬ ‫‪ -‬استعمل التناسب لاجد قياسات‬ ‫ونلاحظ فيه الشوارع متوازية‬ ‫مجهولة‪.‬‬ ‫ومتعامدة‪.‬‬ ‫‪ -‬استعمل التناسب الهندسي في‬ ‫المستوي الاحداثي‪.‬‬ ‫المفردات‬ ‫التناسب الهندسي‬ ‫‪Proportions in Triangles‬‬ ‫[‪ ]5-3-1‬التناسب في المثلثات‬ ‫تعلمت سابقاً المثلثات المتشابهة وبعض مبرهنات التشابه للمثلثات‪ ،‬وسوف تتعلم في هذا البند التناسب في المثلثات‬ ‫مستعيناً بالمبرهنات السابقة‪.‬‬ ‫مبرهنة التناسب المثلثي‬ ‫النتيجة‬ ‫المعطى‬ ‫المبرهنة‬ ‫اذا وازى مستقيم ضلعا من‬ ‫‪CE‬‬ ‫‪CF‬‬ ‫‪AB ' EF‬‬ ‫‪C‬‬ ‫اضلاع مثلث وقطع الضلعين‬ ‫‪EA‬‬ ‫‪FB‬‬ ‫الآخرين في نقطتين مختلفتين‬ ‫=‬ ‫‪EF‬‬ ‫‪F‬‬ ‫فإنه يقسم الضلعين الى قطع‬ ‫متناسبة الاطوال (بدون برهان) ‪A B‬‬ ‫‪B 4cm‬‬ ‫مثال (‪ )1‬جد طول قطعة المستقيم ‪AE‬علماً ان‪ AB ' EF :‬في الشكل المجاور‪.‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪12cm‬‬ ‫‪CE‬‬ ‫=‬ ‫‪CF‬‬ ‫مبرهنة التناسب المثلثي‬ ‫‪A ?E‬‬ ‫‪EA‬‬ ‫‪FB‬‬ ‫التعويض‬ ‫النتيجة‬ ‫‪9‬‬ ‫=‬ ‫‪12‬‬ ‫= ‪& EA‬‬ ‫‪4#9‬‬ ‫=‬ ‫‪36‬‬ ‫‪= 3cm‬‬ ‫والتبسيط‬ ‫‪EF ' AB‬‬ ‫‪EA‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪9cm C‬‬ ‫عكس مبرهنة التناسب المثلثي‬ ‫المبرهنة‬ ‫المعطى‬ ‫اذا قسم مستقيم ضلعين في‬ ‫مثلث الى قطع متناسبة فإنه‬ ‫‪CE‬‬ ‫=‬ ‫‪CF‬‬ ‫‪C‬‬ ‫يكون موازيا للضلع الثالث‬ ‫‪EB‬‬ ‫‪FA‬‬ ‫(بدون برهان)‬ ‫‪FE‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪46‬‬

‫‪M 18 N‬‬ ‫‪42 H‬‬ ‫مثال (‪ )2‬في الشكل المجاور برهن ان ‪. MK ' NJ‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪HJ‬‬ ‫=‬ ‫‪35‬‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪HN‬‬ ‫=‬ ‫‪42‬‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫نجد نسبة الاجزاء المتناسبة‬ ‫‪JK‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪NM‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪HJ‬‬ ‫=‬ ‫‪HN‬‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪JK‬‬ ‫‪NM‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪` MK ' NJ‬‬ ‫‪K‬‬ ‫عكس مبرهنة التناسب المثلثي‬ ‫النتيجة‬ ‫مبرهنة طالس‬ ‫المبرهنة‬ ‫المعطى‬ ‫اذا قطعت ثلاثة مستقيمات‬ ‫متوازية او اكثر بمستقيمين فإن‬ ‫‪AB‬‬ ‫=‬ ‫‪DF‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫القطع المحددة بالمستقيمات‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪FE‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪F‬‬ ‫المتوازية تكون متناسبة‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪AD ' BF ' CE‬‬ ‫مثال (‪ )3‬استعمل مهندس الرسم المنظوري (هو رسم الاجسام البعيدة بحيث تبدو اصغر والاجسام القريبة حيث‬ ‫تبدو اكبر‪ ،‬مع الحفاظ على هيئتها وتناسب مقاييسها لتبدو ثلاثية الابعاد) ليرسم خطوطاً اولية تساعده على‬ ‫رسم اعمدة اتصالات متوازية‪ ،‬تحقق من رسمه بقياس المسافات بين الاعمدة‪ ،‬كم طول‪ FH‬؟‬ ‫‪AE ' BF ' CJ ' DH‬‬ ‫‪AE‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫=‬ ‫‪EF‬‬ ‫مبرهنة طالس‬ ‫‪BD‬‬ ‫‪FH‬‬ ‫بالتعويض والتبسيط‬ ‫‪B 4.2 6.3 F‬‬ ‫‪BD = BC + CD = 2.2 + 1.4 = 3.6m‬‬ ‫‪C 2.2‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪4.2‬‬ ‫=‬ ‫‪6.3‬‬ ‫&‬ ‫‪FH‬‬ ‫=‬ ‫‪6.3 # 3.6‬‬ ‫‪= 5.4m‬‬ ‫‪1.4‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪3.6‬‬ ‫‪FH‬‬ ‫‪4.2‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪Proportion and Measure‬‬ ‫[‪ ]5-3-2‬التناسب والقياس‬ ‫لايجاد نسبة المحيطين ونسبة المساحتين لمثلثان متشابهان‪ ،‬يمكنني استعمال المبرهنة التالية (بدون برهان) ‪.‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫ونسبة المساحتين للمثلثين‬ ‫‪a‬‬ ‫فإن نسبة المحيطين للمثلثين تساوي‬ ‫‪a‬‬ ‫مبرهنة‪ :‬اذا تشابه مثلثان بنسبة تشابه‬ ‫‪b2‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫اذا كان المثلثان متشابهين‪ ،‬فإن النسبة بين محيطيهما تساوي النسبة بين اطوال الاضلاع المتناظرة‪.‬‬ ‫مثال (‪ )4‬ليكن ‪ 3WVT + 3ABC‬جد محيط ‪V . 3ABC‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪P1 = 8 + 5 + 4 = 17cm‬‬ ‫نفرض ‪ P1‬محيط المثلث ‪WVT‬‬ ‫‪8cm‬‬ ‫‪5cm‬‬ ‫استعمل التناسب لاجد محيط المثلث ‪5cm P2 ABC‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪4cm‬‬ ‫‪W‬‬ ‫‪P2‬‬ ‫=‬ ‫‪AB‬‬ ‫&‬ ‫‪P2‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫نفرض ‪ P2‬محيط المثلث ‪ABC‬‬ ‫‪P1‬‬ ‫‪WV‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪` P2 = 10.625cm‬‬ ‫اذن محيط المثلث ‪ ABC‬يساوي‬ ‫تعلمت سابقاً ثلاثة تحويلات هندسية‪ :‬الانسحاب‪ ،‬الانعكاس‪ ،‬والدوران‪ ،‬وهذه التحويلات تحافظ على الهيئة والقياسات‪.‬‬ ‫سوف تتعلم في هذا الدرس تحويلاً جديداً يحافظ على الهيئة دون حفظ القياسات‪ ،‬انه التناسب الهندسي ‪.Dilation‬‬ ‫‪47‬‬

‫‪Dilation in the Coordianate Plane‬‬ ‫[‪ ]5-3-3‬التناسب الهندسي احداثياً‬ ‫التناسب الهندسي‪ :‬هو تحويل يغير مقاييس الاشكال الهندسية دون تغيير هيئتها فالشكل وصورته بالتناسب الهندسي‬ ‫يكونان دائماً متشابهين‪ ،‬مركز التناسب هو نقطة الاصل‪.‬‬ ‫سنقتصر دراسة التناسب الهندسي في هذا الدرس على المستوي الاحداثي‪ ،‬اذا تعاملت مع تناسب هندسي معامله‬ ‫الهندسي ‪ M‬فسوف يكون بامكانك ان تجد صورة النقطة بضرب احداثياتها في ‪(x, y) \" (Mx, My) .M‬‬ ‫)‪B (0, 4‬‬ ‫)‪A (3, 4‬‬ ‫مثال (‪ )5‬يبين الرسم المجاور موقع صورة على شبكة الانترنيت‪ ،‬ارسم‬ ‫)‪C (0, 0‬‬ ‫)‪D (3, 0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫نسبته‬ ‫هندسي‬ ‫بتناسب‬ ‫تحويلها‬ ‫بعد‬ ‫الصورة‬ ‫حدود‬ ‫)‪B} (0, 6.667‬‬ ‫)‪A} (5, 6.667‬‬ ‫الخطوة (‪ :)1‬اضرب معامل التناسب الهندسي في احداثيات الرؤوس‪.‬‬ ‫)‪C} (0, 0‬‬ ‫)‪D} (5, 0‬‬ ‫)‪A (3, 4‬‬ ‫\"‬ ‫(‬ ‫‪5‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪3,‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪#‬‬ ‫)‪4‬‬ ‫‪$‬‬ ‫)‪A} (5, 6.667‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪B (0, 4‬‬ ‫\"‬ ‫(‬ ‫‪5‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪0,‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪#‬‬ ‫)‪4‬‬ ‫‪$‬‬ ‫)‪B} (0, 6.667‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪C (0, 0‬‬ ‫\"‬ ‫(‬ ‫‪5‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪0,‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪#‬‬ ‫)‪0‬‬ ‫‪$‬‬ ‫)‪C} (0, 0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪D (3, 0‬‬ ‫\"‬ ‫(‬ ‫‪5‬‬ ‫‪# 3,‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪# 0‬‬ ‫‪$‬‬ ‫)‪D} (5, 0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫الخطوة (‪ :)2‬اضع النقاط }‪ A} , B} , C} , D‬على المستوي الاحداثي ثم اصل‬ ‫بينهم لاحصل على المستطيل }‪. A} B} C} D‬‬ ‫جد طول القطعة المستقيمة المجهولة في الاشكال الاتية‪:‬‬ ‫تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك‬ ‫‪1‬‬ ‫‪T‬‬ ‫الاسئلة ‪ 1-2‬مشابهة ‪2 R‬‬ ‫?‬ ‫‪L‬‬ ‫‪70‬‬ ‫للامثلة ‪42 1-3‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪W‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪R 12 W 9 S‬‬ ‫?‬ ‫الاسئلة ‪ 3-4‬مشابهة ‪30‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪T‬‬ ‫للمثال ‪2‬‬ ‫‪ 3‬في المثلث ‪ MQ = 12.5, MR = 4.5, MP = 25, MN = 9،MQP‬هل ‪ RN ' QP‬او لا؟ بّرر اجابتك‪.‬‬ ‫حيث ‪N ! MP , R ! MQ‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ 4‬في الرسم المجاور جد طول‪KN, MN‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫السؤال ‪ 4‬مشابه‬ ‫للمثال ‪3‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪2B‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪x+4‬‬ ‫‪x-4‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ 5‬المثلثان ‪ ABC,HKM‬متشابهان‪ ،‬مساحة ‪3ABC‬‬ ‫‪H‬‬ ‫ضعف مساحة ‪ ،3HKM‬ما طول ‪ AB‬؟‬ ‫‪8cm‬‬ ‫السؤالين ‪ 5,6‬مشابهان‬ ‫للمثالين ‪4,5‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪CK‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪48‬‬

‫‪M‬‬ ‫‪HB‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ 6‬المثلثان ‪ ABC ,KMH‬متشابهان‪ ،‬جد مساحة ومحيط‬ ‫‪6‬‬ ‫المثلث ‪ ABC‬علماً ان محيط المثلث ‪ KMH‬يساوي ‪18cm‬‬ ‫ومساحته ‪. 15cm2‬‬ ‫بعد‬ ‫جد صورته‬ ‫‪،‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪(6,‬‬ ‫‪0),‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪(-3,‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪),‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪(3, -‬‬ ‫‪ ABC‬مثلث حيث )‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫الاصل‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫علماً‬ ‫‪K‬‬ ‫ان مركز التناسب هو نقطة‬ ‫‪،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫بمعامل‬ ‫تصغيره‬ ‫‪A‬‬ ‫‪3‬‬ ‫السؤال ‪ 7‬مشابه للمثال ‪5‬‬ ‫تدر ْب وح ّل التمرينا ِت‬ ‫‪ 8‬في المثلث ‪ BE ' CD ،ACD‬جد قيمة ‪ x‬و ‪ ED‬اذا كان‪.ED = 3x - 3, BC = 8, AE = 3, AB = 2 :‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪B6 M‬‬ ‫‪ 9‬حدد ما اذا كان ‪ AB ' MK‬في الشكل المجاور‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ما نسبة‬ ‫‪16‬‬ ‫نسبة مساحة المثلث ‪ ABC‬الى نسبة مساحة المثلث‪ KMH‬تساوي‬ ‫‪10‬‬ ‫‪25‬‬ ‫تشابه المثلثين وما النسبة التشابه بين محيطيهما ؟‬ ‫‪4.5‬‬ ‫‪A 1.5‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪ 11‬جد صورة المثلث ‪ ABC‬حيث‪ A (-1, - 1), B (1, - 2), C (1, 2) :‬تحت تأثير تناسب معامله ‪.2‬‬ ‫الطريق‬ ‫تدر ْب وح ّل مسائ َل حياتيةً‬ ‫الاول ?‬ ‫‪54m‬‬ ‫شارع ‪42‬‬ ‫شارع ‪52‬‬ ‫شارع ‪62‬‬ ‫‪ 12‬طرق‪ :‬تمثل الخريطة المجاورة بعض الشوارع المتوازية وطريقين استدارة‬ ‫عبرها‪ ،‬ما طول الطريق الاول بين الشارع ‪ 62‬والشارع ‪52‬؟ ‪81m‬‬ ‫الطريق ‪27m‬‬ ‫الثاني‬ ‫‪ 13‬هندسة‪ :‬جد صورة الشكل الرباعي حيث‪A (2, 6), B (-4, 0), C (-4, - 8), D (-2, - 12) :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫تحت تأثير تناسب معامله‬ ‫‪4‬‬ ‫اذا علمت ان طول القطعة المستقيمة الواصلة من رأس القائمة الى منتصف الوتر تساوي نصف‬ ‫فَ ِّكـ ْر‬ ‫طول الوتر اجب عن السؤال ‪H .14‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ 14‬تح ّد‪ :‬في الرسم المجاور ‪ M‬منتصف ‪ AB‬و ‪ K‬منتصف ‪ ، HB‬الزوايا‪:‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪(BZ) 2 + (ZH) 2‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪.a‬‬ ‫‪KZ‬‬ ‫‪k2‬‬ ‫=‬ ‫‪(BC) 2 + (CA) 2‬‬ ‫ان‬ ‫برهن‬ ‫‪ +Z, +ABH, +C‬قائمة‪،‬‬ ‫‪CM‬‬ ‫‪C BZ‬‬ ‫ما تستطيع من تناسبات اذا علمت ان ‪ MK ' AB‬في الشكل المجاور‪.‬‬ ‫أكتب‬ ‫‪H‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪MK‬‬ ‫‪49‬‬

‫‪The Circle‬‬ ‫تعلم‬ ‫الدر ُس الدائرة‬ ‫[‪]5-4‬‬ ‫‪A‬‬ ‫فكرةُ الدرس‬ ‫كل زاوية بين عقربي ساعة هي زاوية‬ ‫• اجد قياس الاقواس والزوايا‬ ‫مركزية والزاوية المركزية هي الزاوية التي‬ ‫المركزية للدوائر‪.‬‬ ‫• أتعرف الى المماس والمماس‬ ‫تقطع الدائرة في نقطتين ورأسها هو مركز ‪B‬‬ ‫الدائرة وكل زاوية مركزية في دائرة يقابلها‬ ‫المشترك‪.‬‬ ‫الدائرة يسمى قوس الزاوية‪ ،‬ما‬ ‫على‪%‬‬ ‫قوس‬ ‫المفردات‬ ‫المقابل ‪ +AOB‬؟ وهل هناك‬ ‫‪AB‬‬ ‫قياس‬ ‫• القوس‪ ،‬الوتر‪.‬‬ ‫• المماس‪ ،‬المماس المشترك‪.‬‬ ‫عدة انواع من الاقواس؟‬ ‫• الزوايا المركزية‪.‬‬ ‫وتر الدائرة‬‫‪Arc and Chord‬‬ ‫[‪ ]5-4-1‬القوس والوتر‬ ‫مركز الدائرة نصف قطر‬ ‫تعرفت سابقاً مفهوم الدائرة‪ :‬وهي مجموعة من النقاط المتصلة في المستوي والتي‬ ‫قطر‬ ‫لها البعد نفسه عن نقطة ثابتة تسمى مركز الدائرة‪ ،‬ونصف قطر الدائرة ‪ : r‬هو قطعة‬ ‫قوس الزاوية المركزية‬ ‫مستقيمة تصل بين مركز الدائرة ونقطة على الدائرة‪ ،‬وتر الدائرة‪ :‬هو قطعة مستقيمة‬ ‫طرفاها على الدائرة‪ ،‬قطر الدائرة‪ :‬هو وتر يمر بمركز الدائرة‪.‬‬ ‫وسوف تزيد معلوماتك عن الدائرة في هذا الدرس لتتعرف الى القوس وقياسه بدلالة‬ ‫الزاوية المركزية المقابلة له‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪%‬‬ ‫مثال (‪)1‬‬ ‫كيف اجد قياس القوس ‪ AB‬بدلالة الزاوية المركزية المقابلة له؟ ‬ ‫‪%‬‬ ‫قياس الزاوية المركزية يكافئ قياس القوس المقابل لها ويرمز للقوس ‪.AB‬‬ ‫‪OB‬‬ ‫‪m+AOB‬‬ ‫‪%‬‬ ‫يساوي ‪90‬‬ ‫‪= 90c‬‬ ‫الزاوية ‪ AOB‬قائمة‬ ‫‪AB‬‬ ‫=‬ ‫‪AOB‬‬ ‫للزاوية‬ ‫اذن قياس القوس المقابل‬ ‫هناك ثلاثة انواع من الاقواس في الدائرة وهي‪:‬‬ ‫القوس الاصغر(اصغر من ‪ ) 180‬القوس الاكبر(اكبر من ‪ ) 180‬قياس نصف الدائرة (يساوي ‪) 180‬‬ ‫‪A C#‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪##‬‬ ‫&‬ ‫‪O‬‬ ‫‪AB AB‬‬ ‫‪ACB‬‬ ‫‪%‬‬ ‫'‬ ‫‪$‬‬ ‫‪18A0‬‬ ‫'‬ ‫‪B‬‬ ‫‪mAB =180‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪mACB‬‬ ‫=‬ ‫‪360‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪mAB‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪mACB‬‬ ‫=‬ ‫‪m+AOB‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪180‬‬ ‫‪D‬‬ ‫و‪+‬ال‪c‬ا‪0‬ق‪900‬وا‪=33‬س== ا‪C‬ل‪DC‬م‪%D‬ج‪O%B‬ه‪m‬و‪mC‬لة&‪&+‬ف‪mc‬ي‪ 0c‬ا‪+90‬ل‪3‬ش=‪C‬ك=ل‪DO‬ال‪BC‬م‪OO‬ج‪C+‬ا‪B‬و‪+m‬ر‪iiii)i)i%B))%D)BCCC::mDm:+:‬‬ ‫جد قياس الزوايا‬ ‫مثال (‪)2‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪90c = 120c‬‬ ‫‪30c‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪imivv))B&(ABCEDDA: m=: m+1+2A0BOODA==18108c0c-&12m0c(B=EA60=c &180m&AD = 60‬‬ ‫‪50‬‬