Computer Mathematics

คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics) รหสั 13-132-101 หลักสตู รประกาศนยี บัตรวิชาชพี ช้นั สงู สาขาวิชาคอมพวิ เตอรธ์ ุรกจิ (หลกั สตู รใหม่ พ.ศ. 2561) มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลศรวี ิชยั วิทยาลยั รตั ภมู ิ ฉบบั ปรับปรุง 2564 เรียบเรยี งโดย ผู้ชว่ ยศาสตราจารย์นา้ เพญ็ พรหมประสทิ ธ์ิ วท.ม. (วทิ ยาการคอมพิวเตอร)์ มหาวิทยาลัยสงขลานครนิ ทร์ วท.บ. (เทคโนโลยสี ารสนเทศ) มหาวิทยาลัยสงขลานครนิ ทร์

(1) ค้าชีแ้ จงของผ้เู รียบเรียง วิชาคณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics) รหัสวิชา 13-132-101 จานวน 3 หน่วยกิต ทฤษฎี 3 ชั่วโมงต่อสัปดาห์ ตามหลักสูตรประกาศนียบัตรวิชาชีพช้ันสูง สาขาวิชาคอมพิวเตอร์ธุรกิจ (หลักสูตรใหม่ พ.ศ. 2561) วิทยาลัยรัตภูมิ มหาวิทยาลัย เทคโนโลยีราชมงคลศรีวิชัย ผู้เรียบเรียงได้แบ่งสาระการเรียนรู้เป็น 5 หน่วยการเรียนรู้ ซ่ึงมี เน้ือหาเกี่ยวกับวิวัฒนาการของตัวเลข ระบบเลขฐาน การคานวณเลขฐาน พีชคณิตบูลีนและ ลอจิกเกต และการบันทึกข้อมูลในคอมพิวเตอร์ ได้จัดแผนการเรียนรู้ตามจุดมุ่งหมายรายวิชา และจดั เนอ้ื หาเปน็ สาระการเรียนรใู้ นแต่ละบท ประกอบกบั มแี บบฝึกหดั ตามหวั ข้อสาระการเรยี นรู้ และตามหน่วยการเรียนรู้ (บทเรยี น) เพื่อเป็นการเพิ่มความเข้าใจให้กับนักศกึ ษามากขึ้นในการ เรียนรายวชิ าน้ี ขอขอบคณุ ท่านอาจารย์ผูส้ อน ผู้สานวชิ าความรู้ เอกสาร หนังสือทใ่ี ช้ประกอบการเรียบ เรยี ง ณ โอกาสน้ี น้าเพญ็ พรหมประสิทธิ์ กรกฎาคม 2564

(2) ลักษณะรายวิชา 1. รหัสและช่ือวิชา 13-132-101 คณติ ศาสตรค์ อมพวิ เตอร์ 2. สภาพรายวชิ า (Computer Mathematics) 3. ระดบั รายวิชา 4. พน้ื ฐาน วชิ าเอกบงั คับ ในหลกั สูตรประกาศนียบตั รวชิ าชีพชนั้ สูง 5. เวลาศึกษา สาขาวชิ าคอมพิวเตอร์ธุรกจิ 6. จานวนหนว่ ยกิต ภาคการศกึ ษาท่ี 1 ช้ันปีที่ 1 7. จุดมุ่งหมายรายวิชา - 8. คาอธิบายรายวชิ า ทฤษฎี 3 คาบต่อสัปดาห์ ระยะเวลา 18 สัปดาห์ รวมท้ังสิ้น 54 คาบตลอดภาคเรยี นและเวลาศกึ ษานอกเวลา 3 ช่ัวโมงตอ่ สัปดาห์ 3 หน่วยกิต 1. รู้ววิ ัฒนาการของตัวเลข เลขมีหลักกับเลขไม่มหี ลกั 2. เข้าใจระบบเลขฐานสอง ฐานแปดและฐานสบิ หก 3. เข้าใจการบวกลบคณู หารของเลขฐานสอง เลขฐานแปดและ เลขฐานสบิ หก 4. เข้าใจหลกั การของพีชคณิตแบบบลู นี และลอจกิ เกท 5. เข้าใจรูปแบบและวธิ กี ารเกบ็ ขอ้ มูลในเครอ่ื งคอมพิวเตอร์ ศึกษาเก่ียวกับวิวัฒนาการของตัวเลข เลขมีหลักกับเลขไม่มีหลัก ฐานของระบบตัวเลข การคิดโมดูลัสของเลขแต่ละระบบ ระบบเลข ฐานสอง ฐานแปดและฐานสิบหก การเปลี่ยนฐานตัวเลข การบวก คูณและหารของเลขฐานสอง เลขฐานแปด และเลขฐานสิบหก พีชคณิตแบบบูลีนและทฤษฎีเซต รูปแบบและวิธีการเก็บข้อมูล ประเภทต่างๆ ในคอมพิวเตอร์

(3) หน่วยการเรียนรู้รายวชิ าคณิตศาสตรค์ อมพิวเตอร์ สาขาวิชาคอมพวิ เตอร์ธรุ กจิ หลกั สตู รประกาศนยี บตั รวิชาชีพชนั้ สูง ปวส. 1 จานวนหนว่ ยการเรยี นรู้ 5 หนว่ ย จานวน 54 คาบ หน่วย ชอื่ หนว่ ยการ สาระการเรียนรู้ จา้ นวน ที่ เรียนรู้ คาบ 9 1 วิวัฒนาการของ 1.1 ความสาคญั ของคณติ ศาสตร์ 12 ตัวเลข 1.2 ความเป็นมาของตัวเลข 12 1.3 ระบบเลขไมม่ ีหลัก 12 1.4 ระบบเลขมีหลัก (ระบบเลขฐาน) 9 2 ระบบเลขฐาน 2.1 ความหมายของระบบเลขฐาน 2.2 ระบบเลขฐานทส่ี าคญั 2.3 การคดิ โมดลู สั ของเลขฐาน 2.4 การเปล่ยี นเลขฐานหนึ่งไปเปน็ เลขฐานหนึง่ 2.5 ความสัมพนั ธ์ระหวา่ งเลขฐาน 3 การคานวณเลข 3.1 การบวกเลขฐาน ฐาน 3.2 การลบเลขฐาน 3.3 การคณู เลขฐาน 3.4 การหารเลขฐาน 4 พชี คณติ บูลีนและ 4.1 ลอจิกเกท ลอจิกเกท 4.2 พชี คณิตบูลนี 4.3 ตารางค่าความจรงิ 4.4 การลดรปู สมการตรรกะ 5 การบันทกึ ข้อมลู ใน 5.1 การแทนขอ้ มลู ในคอมพวิ เตอร์ คอมพวิ เตอร์ 5.2 การแทนข้อมลู ด้วยวิธที เ่ี ป็นตวั อกั ษร (Data 5.3 การแทนข้อมูลที่เป็นตัวเลข Representation) 5.4 การ Complement

สารบญั (4) คาชี้แจงของผูเ้ รยี บเรียง หนา้ ลักษณะรายวชิ า (1) หนว่ ยการเรยี นรรู้ ายวิชาคณติ ศาสตร์คอมพิวเตอร์ (2) สารบัญ (3) สารบัญภาพ (4) สารบัญตาราง (6) บทท่ี 1 วิวฒั นาการของตวั เลข (Evolution of number) (7) 1 1.1 ความสาคญั ของคณิตศาสตร์ 2 1.2 ความเป็นมาของตัวเลข 2 1.3 ระบบเลขไมม่ หี ลกั 8 1.4 ระบบเลขมีหลัก 11 แบบทดสอบท้ายบทที่ 1 13 บทท่ี 2 ระบบเลขฐาน (Base Number Systems) 14 2.1 ความหมายของระบบเลขฐาน 15 2.2 ระบบเลขฐานทส่ี าคัญ 15 2.3 การคิดโมดลู ัสของเลขฐาน 20 2.4 การเปลย่ี นเลขฐานหนึง่ ไปเปน็ เลขฐานหนึ่ง 25 2.5 ความสัมพนั ธร์ ะหว่างเลขฐาน 32 แบบทดสอบทา้ ยบทท่ี 2 39 บทท่ี 3 การค้านวณเลขฐาน 43 3.1 การบวกเลขฐาน 44 3.2 การลบเลขฐาน 48 3.3 การคูณเลขฐาน 51 3.4 การหารเลขฐาน 56 แบบทดสอบทา้ ยบทที่ 3 61 บทที่ 4 พชี คณติ บลู นี และลอจิกเกต (Boolean Algebra and Logic Gate) 65 4.1 ลอจกิ เกต 66 4.2 พชี คณติ บลู ีน 71 4.3 ตารางคา่ ความจริง 75 4.4 การลดรปู สมการตรรกะ 78 แบบทดสอบทา้ ยบทท่ี 4 84

บทท่ี 5 การบนั ทึกข้อมูลในคอมพิวเตอร์ (Data Representation) (5) 5.1 การแทนข้อมลู ในคอมพวิ เตอร์ 5.2 การแทนข้อมูลด้วยวธิ ีทีเ่ ป็นตวั อกั ษร หน้า 5.3 การแทนขอ้ มูลทเี่ ปน็ ตวั เลข 87 5.4 การ Complement 88 แบบทดสอบท้ายบทท่ี 5 89 96 บนั ทึก 99 บรรณานุกรม 106 108 130

สารบญั ภาพ (6) ภาพที่ หน้า 4-1 บลอ็ กไดอะแกรมของตัวกระทาทางลอจกิ 66

(7) สารบญั ตาราง ตารางท่ี การแทนตัวเลขอยี ปิ ตด์ ว้ ยอักษรภาพ หน้า 1-1 สัญลกั ษณ์ตวั เลขบาบิโลนแทนจานวนตา่ ง ๆ 3 1-2 สญั ลักษณต์ วั เลขโรมนั 4 1-3 สญั ลกั ษณ์ในระบบเลขโรมนั 4 1-4 การเขยี นเลขระหว่างเลขโรมนั และเลขอารบิค 8 1-5 คา่ ประจาหลักเลขฐาน 10 8 1-6 คา่ ประจาหลกั เลขฐาน 10 11 2-1 ค่าประจาหลักของเลขฐาน 2 16 2-2 คา่ ประจาหลกั ของเลขฐาน 8 17 2-3 ค่าประจาหลกั ของเลขฐาน 16 17 2-4 ความสัมพนั ธร์ ะหวา่ งเลขฐาน 2 ฐาน 8 และฐาน 16 18 2-5 การบวกเลขฐาน 2 32 3-1 การบวกเลขฐาน 8 44 3-2 การบวกเลขฐาน 16 45 3-3 การคูณเลขฐาน 2 46 3-4 การคูณเลขฐาน 8 51 3-5 การคูณเลขฐาน 16 52 3-6 สญั ลกั ษณ์เกตแอนด์ 53 4-1 สัญลักษณ์เกตออร์ 66 4-2 สญั ลกั ษณ์เกตนอต 67 4-3 สญั ลักษณเ์ กตแนนด์ 67 4-4 สญั ลักษณเ์ กตนอร์ 67 4-5 สญั ลกั ษณเ์ กตเอกซ์คลซู ีฟออร์ 68 4-6 สัญลกั ษณเ์ กตเอกซ์คลซู ฟี นอร์ 68 4-7 ตารางคา่ ความจริงของสมการลอจกิ ทมี่ ตี วั แปรอินพตุ 1, 2 และ 3 ตวั 69 4-8 การแบง่ โซนของอักขระที่เป็นตัวอกั ษรในรหสั BCD 75 5-1 การแบ่งโซนของอกั ขระทเี่ ป็นตัวอักษรในรหสั EBCDIC 90 5-2 ตารางรหัส EBCDIC 91 5-3 การแบง่ โซนของอักขระทีเ่ ป็นตวั อักษรในรหสั 8-bit ASCII 92 5-4 การแบ่งโซนของอักขระท่ีเป็นตวั อักษรในรหสั 7-bit ASCII 93 5-5 ตารางรหสั 7-bit ASCII 93 5-6 การเปรยี บเทียบ 1’s complement และ 2’s complement 93 5-7 102



1 บทท่ี 1 ววิ ัฒนาการของตัวเลข ***************************************************************************************** สาระการเรียนรู้ 1. ความสาคญั ของคณติ ศาสตร์ 2. ความเป็นมาของตัวเลข 3. ระบบเลขไมม่ ีหลัก 4. ระบบเลขมีหลกั ผลการเรียนรู้ท่ีคาดหวัง เมอื่ ศึกษาเรือ่ งวิวัฒนาการของตัวเลขจบแลว้ นักศกึ ษาสามารถ 1. เข้าใจความสาคญั ของคณติ ศาสตร์ 2. เข้าใจและสามารถอธิบายประวตั คิ วามเปน็ มาของตวั เลขแตล่ ะระบบ 3. เขา้ ใจและสามารถอธิบายระบบเลขไม่มหี ลักได้ 4. เขา้ ใจและสามารถอธิบายระบบเลขมหี ลกั ได้ 5. นาความรู้และทกั ษะท่ีได้จากการเรยี นรู้ เรื่องววิ ัฒนาการของตัวเลขไปประยกุ ต์ใชใ้ นการ เรียนรงู้ านอาชพี และในชีวติ ประจาวันได้ ***************************************************************************************** 13-132-101 คณติ ศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

2 1.1 ความส้าคัญของคณติ ศาสตร์ 1.1.1 ความหมายของคณิตศาสตร์ คาว่า คณิตศาสตร์ มาจากคาว่า คณิต (การนับ หรือ คานวณ) และ ศาสตร์ (ความรู้ หรอื การศกึ ษา) ซึง่ รวมกันมคี วามหมายโดยท่วั ไปว่า การศึกษาเกยี่ วกับการคานวณ หรือวิชาท่ี เกี่ยวกับการคานวณ คาน้ีตรงกับคาภาษาอังกฤษว่า mathematic มาจากคาภาษากรีก μάθημα (máthema) แป ล ว่า “วิท ย าศ าส ต ร์ ค วาม รู้ แล ะก ารเรีย น ” และ คาว่า μαθηματικός (mathematikós) แปลว่า “รักที่จะเรียนรู้” ในอเมริกาเหนือนิยมย่อ mathematics ว่า math ส่วนประเทศอน่ื ๆ ที่ใชภ้ าษาองั กฤษนิยมย่อว่า maths 1.1.2 ความส้าคญั ของคณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์กับคอมพิวเตอร์เป็นสิ่งทีม่ ีความสมั พันธ์กนั จนไมอ่ าจแยกจากกัน เพราะไมว่ ่า จะดาเนินการใดๆ แมแ้ ตว่ าดรูป เสน้ ตรง วงรี หรือวงกลม ก็จาเปน็ ต้องมีการคานวณค่าในทาง คณติ ศาสตร์ทงั้ ส้นิ 1.1.3 ระบบจ้านวน (Number System) จานวน คือ ตัวบอกปริมาณความมากน้อย เพือ่ ใช้ในการเปรียบเทียบ โดยใช้ตัวเลขเป็น สัญลักษณ์ ซ่ึงอาจแตกตา่ งกนั ตามภาษาของแต่ละชนชาติ 1.1.4 ระบบเลขฐาน (Radix System) ระบบคอมพิวเตอร์ท่ีเราใช้กัน จะทางานในระบบดิจิตอลซึ่งใช้สัญญาณในการ ทางานเพียง 2 สถานะ คือ สถานะลอจิก 0 และสถานะลอจิก 1 ซึง่ ตรงกับระบบตัวเลขฐาน 2 ซ่ึงใช้ตัวเลข 2 ตัวในการแทนค่าคือ 0 กับ 1 พอดี ดังน้ันการคานวณค่าต่างๆ ภายใน คอมพิวเตอร์จะใช้วิธีคานวณในระบบเลขฐานสอง แทนท่ีจะคานวณในระบบเลขฐานสิบแบบ คนเรา ระบบเลขฐานต่างๆ ท่เี กีย่ วข้องกบั ระบบคอมพวิ เตอร์ คอื (1) ระบบเลขฐาน 2 (Binary System) ประกอบดว้ ย 0,1 (2) ระบบเลขฐาน 8 (Octal System) ประกอบด้วย 0,1,2,3,4,5,6,7 (3) ระบบเลขฐาน 10 (Decimal System) ประกอบดว้ ย 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 (4 ) ร ะ บ บ เล ข ฐ า น 1 6 ( Hexadecimal System) ป ร ะ ก อ บ ด้ ว ย 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A,B,C,D,E,F 1.2 ความเป็นมาของตวั เลข ตัวเลขเริ่มตน้ ต้ังแต่ตอนท่ีมนุษย์รจู้ ัก “การเทียบส่ิงของด้วยวิธีหนึ่งต่อหน่ึง” เช่น เทียบ สัตว์ 1 ตัว กับ น้ิวมือ 1 นิ้ว ซ่ึงเป็นการเรียนรู้การนับจากสิ่งแวดล้อมต่าง ๆ ท่ีคุ้นเคยและ มกั จะถูกนามาเอามาใชแ้ ทนจานวนตวั เลข ทีน่ ิยมมากทีส่ ดุ คอื น้วิ มือ เช่น น้ิวก้อยแทนหนึ่ง น้ิวนางแทนสอง น้ิวกลางแทนสาม ศอกแทนแปด ไหล่ แทนเก้า ไหปลาร้าแทนสิบ แต่เมอื่ ความต้องการที่จะแลกเปล่ยี นสินค้าเพิ่มข้นึ ความต้องการเกยี่ วกับตัวเลขก็มากขึ้น ตามไปด้วย การนับโดยใช้นิ้วหรือส่ิงของมาแทนก็ไม่เพียงพอ วิธีการแก้ปัญหา คือ การใช้ปม 13-132-101 คณิตศาสตร์คอมพวิ เตอร์ (Computer Mathematics)

3 เชือก ซึง่ อาจเรียกระบบปมเชือกนี้ว่าเป็นตัวเลขชุดแรกของมนุษย์ก็ได้ คนโบราณบางแห่งใช้ปม เชือกบันทกึ จานวน เช่น พวกอินคาในอเมริกาใต้ ใช้ปมชนิดหน่ึงแทนจานวนหน่ึง และให้ทุกคน ท่องจาปมตา่ งๆ ให้เข้าใจตรงกันว่าเป็นจานวนอะไร 1.2.1 ตัวเลขอียปิ ต์โบราณ อยี ิปต์โบราณรุ่งเรืองถึงขีดสุดเมื่อหกพันปีมาแลว้ มีอาณาเขตครอบคลุมที่ราบลุม่ แม่น้า ไนล์จากเมืองแอสวาน (Aswan) จนจรดชายฝ่ังทะเลเมดิเตอรเ์ รเนียนของประเทศอียปิ ต์ปัจจุบัน อี ยิ ป ต์ โบ ร า ณ เป็ น อ า ร ย ธ ร ร ม ห นึ่ ง ท่ี เก่ าแ ก่ ที่ สุ ด ใน โ ล ก แ ล ะ เป็ น อ าร ย ธ ร ร ม แ ร ก ท่ี ส่ งเส ริ ม วิทยาศาสตร์ ชาวอียปิ ต์โบราณให้ความสาคัญอย่างมากกับการจดบันทึกและการส่ือสาร จึงได้ ประดิษฐ์กระดาษปาปิรุส (papyrus) ขึ้น ซงึ่ ทามาจากต้นกกที่เติบโตอย่างแพร่หลายในแถบลุ่ม แม่น้าไนล์ ชาวอียิปต์โบราณส่ือความหมายด้วยอักษรภาพ เรียกว่า ไฮโรกลิฟ (Hieroglyph) รวมถึงตัวเลขดว้ ย ตารางที่ 1-1 การแทนตัวเลขอียิปตด์ ว้ ยอักษรภาพ ตัวเลขอียปิ ต์ ภาพทใี่ ช้เป็นสญั ลกั ษณ์ แทนจา้ นวน หนง่ึ ขดี หมายถงึ คน สิบ หนง่ึ รอ้ ย หลังคาโคง้ หมายถงึ แท่นบชู า หน่งึ พัน หนง่ึ หมน่ื เชอื กขด หมายถงึ การสารวจพน้ื ท่ี หนง่ึ แสน หน่งึ ล้าน ดอกบวั หมายถงึ วนั ใหม่ น้วิ ช้ี หมายถึง การนับ กบ หรือ ลกู ออ๊ ด หมายถึง การเกดิ เทพเจา้ ชูมอื หมายถึง จดุ กาเนดิ เหนือสรรพสิง่ จากตารางท่ี 1-1 จะเห็นว่าเลขอียิปต์โบราณจะแทนค่าเป็นหลักหน่วย สิบ ร้อย พัน หมื่น แสน ล้าน ตามลาดับไปเร่ือยๆ หากต้องการแทนจานวนใดให้นาตัวเลขเรียงกันแล้วนาค่า มาบวกกนั เชน่ = 3+20+400 = 423 = 5+40+20000 = 20045 ลักษณะของระบบเลขของชาวอียิปต์โบราณเป็นระบบเลขไม่มีหลัก เพราะไม่ว่าจะเขียน สัญลักษณไ์ ว้ท่ตี าแหน่งใดกม็ คี า่ คงท่เี สมอ 1.2.2 ตวั เลขบาบิโลเนยี น ประมาณ 2,000 – 3,000 ปีก่อนคริสต์ศักราช มีหลักฐานแสดงว่า ชาวบาบิโลนใช้ สญั ลกั ษณท์ ี่มีลักษณะคล้ายรูปล่ิม 13-132-101 คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

4 ตารางท่ี 1-2 สญั ลกั ษณ์ตัวเลขบาบโิ ลนแทนจานวนต่าง ๆ ตัวเลขบาบิโลน แทนจ้านวน หนึ่ง สอง สาม สี่ หา้ หก เจ็ด แปด เก้า สิบ 1.2.3 ตัวเลขโรมนั เลขโรมัน เป็นระบบตัวเลขท่ีใช้กันแพร่หลายในยุคของโรมันเรืองอานาจในสมัยโบราณ ถอื วา่ เป็นระบบเลขที่ไม่มหี ลัก หมายความวา่ ไม่ว่าจะเขียนตวั เลขแต่ละตัวไว้ ณ ตาแหนง่ ใดของ ค่าตัวเลขนัน้ จะมคี า่ คงทีเ่ สมอ ตารางท่ี 1-3 สัญลกั ษณ์ตัวเลขโรมัน ตัวเลขโรมนั I VX L C D M ตวั เลขฮนิ ดอู ารบคิ หนง่ึ หา้ สบิ หา้ สิบ หนง่ึ รอ้ ย หา้ รอ้ ย หนึ่งพัน การเขียนเลขโรมัน สามารถเขียนแทนเฉพาะจานวนเต็มบวกเท่านั้น เนื่องจากใน สมัยกอ่ นโรมยงั ไม่มสี ญั ลักษณแ์ ทนเลขศูนย์หรือเลขทศนิยม โดยให้เขียนจากสัญลกั ษณท์ ่มี คี ่ามาก แล้วลดหล่นั กนั ไปยังสญั ลกั ษณท์ ่ีมคี ่านอ้ ย เชน่ MCCCXXV มคี ่าเทา่ กบั = 1,000 + 300 + 20 + 5 = 1,325 MMMDLXVII มีคา่ เทา่ กบั = 3,000 + 500 + 60 + 7 = 3,567 หลักการในการเขยี นเลขโรมนั มีหลักดังน้ี 1. การเขียนตัวเลขแตล่ ะชนดิ จะเรียงซ้ากันได้ไมเ่ กนิ สามตัว ยกเวน้ ตวั เลข M 2. ถ้าตัวเลขท่ีมีค่าน้อยอยู่ทางขวาของตัวเลขท่ีมีค่ามาก หมายถึง ให้นาจานวนทั้งสอง มารวมกัน เช่น VII แทน =5+1+1 = 5 + 2(1) =7 XV แทน = 10 + 5 = 15 LX แทน = 50 + 10 = 60 13-132-101 คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

5 3. ถ้าตวั เลขที่มีคา่ น้อยอยู่ทางซ้ายของตัวเลขที่มีค่ามาก หมายถึง ให้นาจานวนทั้งสอง มาลบกนั เช่น IV แทน =5-1 =4 XC แทน = 100 - 10 = 90 CD แทน = 500 – 100 = 400 ถา้ จานวนที่มคี ่าเกินกวา่ ที่กาหนดไว้ตามสัญลักษณ์ดังกล่าว จะเขียน บาร์ (ขีด) ไว้บน สญั ลักษณเ์ หล่าน้ี ซ่ึงหากบาร์ถกู กาหนดไวบ้ นสญั ลักษณ์ใด สญั ลักษณ์นนั้ จะแทนจานวนซึ่งมีค่า เทา่ กับสัญลกั ษณน์ น้ั คณู ด้วย 1,000 เช่น V มคี ่าเท่ากบั 5 x 1,000 = 5,000 X มีค่าเท่ากบั 10 x 1,000 = 10,000 L มีคา่ เทา่ กับ 50 x 1,000 = 50,000 C มคี ่าเท่ากับ 100 x 1,000 = 100,000 D มคี า่ เท่ากบั 500 x 1,000 = 500,000 M มีค่าเท่ากับ 1,000 x 1,000 = 1,000,000 โดยปกติแล้ว การเขียนเลขโรมันจะไมเ่ ขยี นสญั ลักษณ์เดียวกนั อยู่ติดกนั ตงั้ แต่ 4 ตัวขึ้น ไป ยกเว้นบนหน้าปัดนาฬิกา ที่จะใช้ IIII แทนเวลา 4 นาฬิกาหรือ 16 นาฬิกา เพ่ือป้องกัน ความสบั สนในการอา่ นเวลา 1.2.4 ตวั เลขฮนิ ดอู ารบคิ ตวั เลขฮินดอู ารบิค มีต้นกาเนิดมาจากอนิ เดียและมีการนามาใช้และเผยแพรใ่ นยุโรปโดย ชาวอาหรับ เม่ือราว 1,000 ปีหลังคริสตกาล ชาวยุโรปจึงเรียกว่า ตัวเลขอารบิค ต่อมาเพ่ือ เปน็ เกยี รตแิ กท่ ้งั ชาวฮินดูและชาวอาหรบั จึงเรยี กว่า ตัวเลขฮนิ ดอู ารบิค ปัจจุบันเลขอารบิคเป็นเลขที่นิยมใช้กันมากท่ีสุดในโลก เรียกได้ว่าเป็นเลขสากล มี สัญลักษณ์เพียงสิบตัวคือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 และ 9 สัญลักษณ์ทั้งสิบตัวนี้เรียกว่า เลข โดด โดยเลขโดดเขยี นตัวเลขแทนจานวนใด ๆ กไ็ ด้ เพราะเราใชค้ า่ ประจาหลกั โดยแต่ละหลกั จะ มคี ่าตา่ งกัน และเรยี กว่า 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,… ว่าจานวนนับ (Counting number) หรือจานวนธรรมชาติ (National Number) 1.2.5 ตวั เลขไทย ตัวเลขไทย เป็นสัญลักษณ์ที่ใช้แสดงจานวนนับในภาษาไทย ประดิษฐ์ข้ึนโดยพ่อขุน รามคาแหงมหาราช โดยดัดแปลงมาจากตัวอักษรขอม และมีต้นตอมาจากอักษรเทวนาครีของ อินเดยี เช่นเดียวกับเลขอารบิค เป็นหน่งึ ในไม่ก่ีภาษาทีใ่ ช้ระบบจานวนนับเป็นเลขฐานสิบและมี การเปลีย่ นจากอดีตสปู่ ัจจบุ ันดงั น้ี 13-132-101 คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

6 สโุ ขทยั อยธุ ยา กรงุ เทพฯ การใช้เลขไทยเขยี นแทนจานวน จะมีลักษณะการใชเ้ หมือนเลขอารบิคกค็ ือ เลขแต่ละตัว จะมีคา่ ประจาหลกั คอื หลักหนว่ ย สบิ ร้อย พนั หมนื่ แสน ลา้ น ไปเร่อื ย ๆ 13-132-101 คณิตศาสตร์คอมพวิ เตอร์ (Computer Mathematics)

7 แบบฝึกหดั ที่ 1.2 1. ส่งิ ใดมกั จะถกู นามาเอามาใชเ้ ปน็ สญั ลักษณ์แทนจานวนตวั เลขทน่ี ยิ มมากท่ีสดุ คือ พรอ้ ม ยกตัวอยา่ ง ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. ชาวอยี ปิ ตโ์ บราณใชก้ ระดาษอะไรในการจดบนั ทกึ ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 3. ชาวอยี ปิ ตโ์ บราณสอ่ื ความหมายด้วยอักษรภาพ เรยี กวา่ ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 4. เพราะเหตใุ ดระบบเลขของชาวอียปิ ต์โบราณเปน็ ระบบเลขไมม่ ีหลกั ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 5. เพราะเหตใุ ดการเขยี นเลขโรมันจึงเขียนไดเ้ ฉพาะจานวนเตม็ บวกเท่าน้ัน ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 6. สัญลกั ษณ์ บาร์ (ขดี ) แทนคา่ เท่าใด ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 7. เลขโดด คอื เลขใด ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 8. จงหาค่าตอ่ ไปนี้ (1) MDCLIII ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… (2) DCXLV ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… (3) MMMDLCXV ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… (4) DMCXLIV ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 13-132-101 คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

8 1.3 ระบบเลขไม่มีหลัก คือ ระบบเลขท่ีไม่ว่าจะเขียนตัวเลขแต่ละตัวไว้ ณ ตาแหน่งใดของค่าตัวเลขน้ันจะมี คา่ คงท่ีเสมอ เชน่ ระบบเลขอียปิ ต์ ระบบเลขบาบิโลเนยี น ระบบเลขโรมัน ข้อเสีย จะไม่สะดวกในการคานวณเกี่ยวกับการบวก การลบ การคูณ และการหาร เหมือนกับการใช้ระบบเลขมีหลัก แต่อย่างไรก็ตามเราก็สามารถหาผลลัพธ์จากการคานวณ ดังกล่าวน้ีได้ ตารางท่ี 1-4 สัญลกั ษณใ์ นระบบเลขโรมนั ตัวเลขโรมัน I V X L C D M ตัวเลขฮนิ ดอู ารบิค 1 5 10 50 100 500 1000 ตารางที่ 1-5 การเขยี นเลขระหวา่ งเลขโรมนั และเลขอารบคิ I II III IV V VI VII VIII IX X XX XXX XL L LX LXX LXXX XC C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 ตัวอยา่ งที่ 1-1 จงเปล่ียน MCMLXXVII เป็นเลขอารบิค MCMLXXVII = M + CM+L+XX+V+II = 1,000+ (1,000-100)+50+2(10)+5+2(1) = 1,000 + 900 + 70 + 7 = 1,977  MCMLXXVII = 1,977 ตวั อยา่ งที่ 1-2 จงเปลี่ยน MMCDLXVIII เปน็ เลขอารบิค MMCDLXVIII = MM+CD+L+X+V+III = 2,000+(500-100)+50+10+5+3(1) = 2,000 + 400 + 60 +8 = 2,468  MMCDLXVIII = 2,468 13-132-101 คณติ ศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

9 ตัวอยา่ งท่ี 1-3 จงเปลี่ยน MDXCLVI เป็นเลขอารบคิ MDXCLVI = M+D+XC+L+V+I = 1,000+500+(100-10)+50+5+1 = 1,000+500+90+50+5+1 =1,646  MDXCLVI =1,646 ตัวอย่างท่ี 1-4 จงเปลย่ี น 745 เปน็ เลขโรมนั 745 = 700+40+5 = 500+200+(50-10)+5 = D+C+XL+V = DCXLV  745= DCXLV ตัวอยา่ งท่ี 1-5 1,325 = 1,000+300+20+ 5 = M+CCC+XX+V = MCCCXXV  1,325 = MCCCXXV ตวั อยา่ งท่ี 1-6 จงเปลี่ยน 3,467 เป็นเลขโรมัน 3,467 = 3,000 + 400 + 60 + 7 = 3,000 + (500-100) + 50+10+5+2(1) = MMM + CD +L+X+V+II = MMMCDLXVII  3,467 = MMMCDLXVII ตวั อย่างที่ 1-7 จงเปลย่ี น 5,955 เปน็ เลขโรมัน 5,955 = 5,000+900+50+5 = 5,000+(1000-100)+50+5 = V+(CM)+L+V = VCMLV  5,955 = VCMLV 13-132-101 คณิตศาสตร์คอมพวิ เตอร์ (Computer Mathematics)

10 แบบฝึกหดั ที่ 1.3 1. จงแปลงตวั เลขโรมันเป็นตวั เลขอารบิค 3) MDCXLII 1) CLXXXIV …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 4) MMXCIX …………………………………………………………… 2) MXXXIX …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………..… 3) 1,956 …………………………………………………………… 2. จงแปลงตัวเลขอารบิคเปน็ ตวั เลขโรมนั …………………………………………………………… 1) 465 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………..… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 4) 3,599 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………..… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 2) 1,398 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ………..…..……………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ……………………………………………………………. 13-132-101 คณิตศาสตร์คอมพวิ เตอร์ (Computer Mathematics)

11 1.4 ระบบเลขมีหลกั ระบบเลขมีหลักเป็นระบบเลขซึ่งตาแหน่งหลักของตัวเลขจะแสดงค่าของตัวเลขน้ันด้วย โดยอาศัยการกาหนดค่าประจาตาแหน่ง (Position Notation) ของหลักต่าง ๆ เพื่อแทนค่า จานวนท่ตี อ้ งการ ค่าของเลขจา้ นวนหน่งึ จะมีคา่ มากนอ้ ยเพียงใดขึน้ อยกู่ ับปัจจัย 2 ประการ คือ 1. ค่าประจาตวั ของเลขจานวนนั้น 2. ค่าประจาหลักหรือประจาตาแหน่งทต่ี วั เลขนั้นปรากฏอยู่ ตาแหน่งหลักที่อยู่ทางด้านขวาสุดจะมีค่าประจาตาแหน่งหลักน้อยท่ีสุด และเป็นเลขท่ีมี นัยสาคัญน้อยท่ีสดุ (LSD: Least Significant Digit) ส่วนตัวเลขในตาแหน่งหลักซ้ายสุดนน้ั เป็น เลขที่มีนัยสาคัญมากที่สุด (MSD: Most Significant Digit) ตาแหน่งของตัวเลขมีความสาคัญ แตกตา่ งกนั โดยตาแหน่งจะเรยี งจากน้อยไปหามาก โดยนอ้ ยทส่ี ุดอยูท่ างขวามอื เช่น ระบบเลขฐาน 10 มีเลขโดดที่ใช้ 10 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 หลักที่อยู่หน้าจุดทศนิยมไปทางซ้ายเป็นหลักหน่วย สิบ ร้อย พัน หมื่น แสน ล้าน ตามลาดับ ซึ่งจะมคี า่ ประจาหลกั เปน็ ตามลาดบั เรอ่ื ยไป ตารางท่ี 1-6 ค่าประจาหลกั เลขฐาน 10 หลัก … 104 103 102 101 100 10-1 10-2 10-3 10-4 … ค่าประจา้ … 10,000 1,000 1,00 10 1 0.1 0.01 0.001 0.0001 … หลกั เมือ่ 10-2 = คอื ทศนิยมตาแหนง่ ที่ 2 10-1 = คอื ทศนิยมตาแหนง่ ที่ 1 100 = คอื หลักหน่วย 101 = คือหลักสบิ 102 = คอื หลักรอ้ ย……… ตัวอยา่ งท่ี 1-8 จงเขียน 7,519 ในรูปของการกระจายตามค่าประจาหลกั 7,519 = 7,000+500+10+9 = (7*103)+(5*102)+(1*101)+(9*100) ตวั อยา่ งท่ี 1-9 จงเขียน 728.159 ในรูปของการกระจายตามคา่ ประจาหลกั 728.159 = 700+20+8+0.1+0.05+0.009 = (7*102)+(2*101)+(8*100)+(1*10-1)+(5*10-2)+(9*10-3) 13-133-101 คณิตศาสตร์คอมพวิ เตอร์ (Computer Mathematics)

12 แบบฝึกหัดท่ี 1.4 1. ระบบเลขมหี ลกั คือ ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. ปจั จัยทที่ าให้ค่าของเลขจานวนมีค่ามากนอ้ ย ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 3. ตาแหน่งหลกั ท่ีอยทู่ างดา้ นขวาสุดจะมีค่าเลขนัยสาคัญเทา่ ใด ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 4. จงเขยี น 9,810 ในรปู ของการกระจายตามค่าประจาหลกั ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………….……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 5. จงเขยี น 27,895 ในรปู ของการกระจายตามคา่ ประจาหลกั ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………….……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………….……………………………………………………… 6. จงเขยี น 234,985 ในรปู ของการกระจายตามค่าประจาหลกั ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………….……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………….……………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 7. จงเขียน 7,253,599 ในรูปของการกระจายตามค่าประจาหลัก ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………….……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 13-133-101 คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

13 แบบทดสอบทา้ ยบทท่ี 1 ค้าชแี้ จง 1. ข้อสอบมีจานวน 10 เวลา 30 นาที 2. จงแสดงวิธีทาโดยละเอียด 1. จงแปลงตัวเลขโรมนั เป็นตวั เลขอารบคิ 4) MDCLXV 1) MDCCCLXXIII …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………..… …………………………………………………………… 2) MDCCCLLLXXXIII 5) MMMCDXLVVI …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 3) CCLX …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 4,569 …………………………………………………………… …………………………………………………………… 2. จงแปลงตวั เลขอารบิคเปน็ ตวั เลขโรมนั …………………………………………………………… …………………………………………………………… 1) 1,024 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 4) 10,845 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 2) 2,890 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………….……… …………………………………………………………… ……………………………………………………………. 3) 1,999 ……….…………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 13-133-101 คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

14 บทท่ี 2 ระบบเลขฐาน (Base Number Systems) ***************************************************************************************** สาระการเรียนรู้ 1. ความหมายของระบบเลขฐาน 2. ระบบเลขฐานทสี่ าคญั 3. การคิดโมดลู สั ของเลขฐาน 4. การเปล่ยี นเลขฐานหนึ่งไปเปน็ เลขฐานหนึ่ง 5. ความสัมพันธ์ระหว่างเลขฐาน ผลการเรยี นรูท้ ีค่ าดหวัง เมื่อศึกษาเรือ่ งววิ ฒั นาการของตวั เลขจบแลว้ นกั ศึกษาสามารถ 1. เข้าใจเกีย่ วกบั ระบบเลขฐานต่างๆ 2. เข้าใจและสามารถคดิ การโมดลู ัสของเลขฐานตา่ งๆ ได้ 3. สามารถแปลงเลขฐาน 2 เลขฐาน 8 และเลขฐาน 16 ใหเ้ ปน็ เลขฐาน 10 ได้ 4. สามารถแปลงเลขฐาน 10 ใหเ้ ปน็ เลขฐาน 2 เลขฐาน 8 และเลขฐาน 16 ได้ 5. นาความรู้และทักษะทีไ่ ด้จากการเรยี นรู้ เร่ืองระบบเลขฐานไปประยกุ ตใ์ ชใ้ นการเรียนรู้ งานอาชพี และในชีวิตประจาวนั ได้ ***************************************************************************************** 13-132-101 คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

15 2.1 ความหมายของระบบเลขฐาน การทางานของเคร่ืองคอมพวิ เตอรจ์ ะอาศัยพ้ืนฐานของสัญญาณไฟฟ้า โดยสัญญาณไฟฟ้า มีสภาวะอยู่ 2 สภาวะคือ เปิดและปิด ซึ่งสภาวะไฟฟ้าเปิดใช้สัญลักษณ์ตัวเลขแทนเป็นเลข 1 และสภาวะไฟฟ้าปิดใช้สัญลักษณ์ตัวเลขแทนเป็นเลข 0 ซึ่งเรียกระบบเลขท่ีเป็น 1 และ 0 ว่า ระบบดิจิตอล ซ่งึ คอมพวิ เตอรไ์ ด้อาศยั สภาวะศูนย์และหนึ่งมากาหนดเป็นรหสั คอมพวิ เตอร์ ระบบเลขฐาน คือ การนาตัวเลขมารวมกัน เพ่อื ให้เกดิ ความหมายเป็นค่าท่จี ะต้องอาศัย วิธีการกาหนดหลกั ของตวั เลข จ้านวน (Number) คอื ตัวเลข (Digit) ต้งั แต่หน่ึงตวั ขน้ึ ไปนามาเรียงกนั ฐาน (Base) คือ การกาหนดจานวนตวั เลขท่ีนามาใช้ในการจัดเรียง เช่น เลขฐาน 10 มีเลขท้ังหมด 10 ตัว คือ 0-9 เลขฐาน 8 มีเลขท้ังหมด 8 ตัว คือ 0-7 เลขฐาน 2 มีเลข ทั้งหมด 2 ตัว คือ 0 และ 1 การเขียนฐานกากับตวั เลขฐาน 10 ให้เขียนตัวเลขโดยไมต่ ้องระบุ ฐานเพราะเป็นท่ีทราบกันว่าเป็นฐาน 10 แต่ถ้าฐานอ่ืนให้เขียนฐานกากับไว้ด้วย เช่น 11012 5678 3DF16 เปน็ ต้น 2.2 ระบบเลขฐานทส่ี ้าคัญ ระบบจานวนสามารถแบ่งเป็นประเภทตามฐานดังน้ี 2.2.1 เลขฐาน10 (Decimal Number) เป็นระบบเลขฐานที่ประกอบด้วยตัวเลข 10 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 โดยในการวางตัวเลขของฐานจะถือว่าตัวเลขขวาสุดเป็นหลักที่ 1 และตัวต่อมาเขียนทางซ้าย ตวั เลขจะทดไปขา้ งหน้า 1 ตาแหน่งทกุ ครง้ั ท่ีนับได้สิบ เริ่มต้งั แตห่ ลักหนว่ ยเมอ่ื นบั ได้สบิ คร้งั จะ ทดไปเป็นหลักสิบ เมื่อหลักสิบนับได้สิบครั้ง จะทดไปเป็นหลักร้อยไปเรอ่ื ย ๆ ตัวเลขหลักต่าง ๆ คือ หน่วย สิบ ร้อย พัน หมื่น แสน ล้าน เป็นต้น หรือเกิดจากค่าฐานยกกาลัง เรียกวา่ ค่า ประจาตาแหน่ง (Place Value) ซึ่งตัวเลขที่อยู่ตาแหน่งขวาสุด จะเป็นตัวเลขที่มีค่าประจา ตาแหน่งสูงสุด เรียกว่า เลขนัยสาคัญสูงสุด (Most Significant Digit: MSD) และตัวเลขที่อยู่ ตาแหน่งซ้ายสุด เป็นตัวเลขท่ีมีค่าประจาตาแหน่งต่าสุด เรียกว่า เลขนัยสาคัญต่าสุด (Least Significant Digit: LSD) ถ้าสังเกตจะเห็นค่าตัวเลขท่ีเป็นตัวนาอยู่ คือ 0 จะเห็นเป็น 09 หมายความว่าถ้า ต้องการเพิ่มค่าให้มากกว่านี้อีก 1 ค่า จะต้องเปลี่ยนเลขในหลักต่าสุดคือ เลข 9 ให้เป็นเลข 0 และเปล่ียนค่าตัวนาให้เพิ่มขึ้นอีก 1 ค่า ซ่งึ จะได้เปน็ 10, 11, 12, …, 19, 20, 21, 22, …, 29, 30, 31, …, 99, 100, 101, …, 199, 200, 201, 202, …, 999, 1000, 1001, 1002 ตาแหน่งของตัวเลขจะมีความสาคัญแตกต่างกัน ซ่ึงตาแหน่งของตัวเลขจะเรียงความ สาคัญจากน้อยไปหามากโดยเร่มิ ตาแหนง่ ท่ีน้อยท่ีสดุ จะอยู่ทางขวามือ และเพิม่ ข้ึนไปทางซา้ ยมอื 13-132-101 คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

16 ตารางที่ 2-1 คา่ ประจาหลกั เลขฐาน 10 ช่ือหลกั ... หลกั ล้าน หลกั แสน หลกั หลกั หลกั หลกั หลัก หมนื่ พัน ร้อย สบิ หน่วย หลัก .. 106 105 104 103 102 101 100 10-1 10-2 .. ค่าประจ้า .. 1,000,000 100,000 10,000 1,000 100 10 1 0.1 0.01 .. หลกั ตวั อยา่ งที่ 2-1 3,798,456.453 สามารถกาหนดลกั ษณะตัวเลขไดด้ ังนี้ 3,798,456.453 = 3,000,000 + 700,000 + 90,000 + 8,000 + 400 + 50 + 6 + 0.4 + 0.05 + 0.003 หรอื 3 x 106 = 3,000,000 7 x 105 = 700,000 9 x 104 = 90,000 8 x 103 = 8,000 4 x 102 = 400 5 x 101 = 50 6 x 100 = 6 4 x 10-1 = 0.4 5 x 10-2 = 0.05 3 x 10-3 = 0.003 จากตัวอยา่ ง 1-1 สามารถจา้ แนกไดด้ ังนี้ 106 คอื ค่าของหลกั หมายเลข 6 หรอื หลักล้าน 105 คอื คา่ ของหลักหมายเลข 5 หรือหลกั แสน 104 คอื ค่าของหลักหมายเลข 4 หรอื หลักหมนื่ 103 คอื คา่ ของหลักหมายเลข 3 หรอื หลกั พนั 102 คือ ค่าของหลักหมายเลข 2 หรือหลกั ร้อย 101 คอื ค่าของหลกั หมายเลข 1 หรือหลักสบิ 100 คือ ค่าของหลักหมายเลข 0 หรือหลักหน่วย 10-1 คอื ค่าของหลักหมายเลข -1 หรอื ทศนิยมตาแหน่งที่ 1 10-2 คอื ค่าของหลักหมายเลข -2 หรือทศนยิ มตาแหนง่ ท่ี 2 10-3 คือ คา่ ของหลักหมายเลข -3 หรอื ทศนยิ มตาแหน่งท่ี 3 2.2.2 เลขฐาน 2 (Binary Number) ระบบเลขฐาน 2 ประกอบด้วยจานวน 2 ตัว คือ 0 และ 1 ได้ถูกคิดค้นข้ึนโดยนัก คณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ช่ือ “GOTTFRIED WILHELM” ซึ่งใช้สัญลักษณ์เป็น 0 และ 1 13-132-101 คณติ ศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

17 เทา่ น้ัน ทาใหร้ ะบบเลขฐาน 2 นี้เหมาะสมในการนามาประยุกตแ์ ทนการอธิบายการทางานของ วงจรอเิ ล็กทรอนิกสส์ วิทชิ่ง โดย ON จะแทน 1 และ OFF จะแทน 0 ตวั เลขแต่ละตัวของเลขฐาน 2 เรียกวา่ บติ (Bit) และคา่ ประจาตาแหนง่ ของเลขฐาน 2 จะอยใู่ นรปู ของสองยกกาลงั ดังน้ันในระบบเลขฐาน 2 บติ ท่อี ยู่หน้าสดุ (บิตซา้ ยมอื สุด) เป็นบิต ท่ีมีค่าประจาตาแหน่งสูงสุด เรียกว่า บิตนัยสาคัญมากสุด (Most Significant Bit: MSB) และ บติ ท่ีอยู่หลังสุด (บิตขวามือสุด) เป็นบิตท่ีมีค่าประจาตาแหน่งต่าสดุ เรียกวา่ บิตนัยสาคัญน้อย สุด (Least Significant Bit: LSB) ตารางที่ 2-2 คา่ ประจาหลักของเลขฐาน 2 หลัก .. 25 24 23 22 21 20 2-1 2-2 2-3 2-4 .. ค่าประจ้า .. 32 16 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8 1/16 .. หลกั =0.5 =0.25 =0.125 =0.0625 ตัวอยา่ งท่ี 2-2 จงหาคา่ ประจาหลักของ 101110.012 1 ค่าประจาหลักคือ 25 0 ค่าประจาหลักคอื 24 1 ค่าประจาหลักคอื 23 1 ค่าประจาหลกั คอื 22 1 คา่ ประจาหลกั คอื 21 0 คา่ ประจาหลักคือ 20 .0 คา่ ประจาหลักคือ 2-1 .01 คา่ ประจาหลกั คือ 2-2 2.2.3 เลขฐาน 8 (Octal Number) ประกอบด้วยเลข 8 ตวั คอื 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 และนามาเรียงประกอบกนั เพ่ือให้ ไดจ้ านวนใหม่ เชน่ 4538, 631.28 เป็นตน้ ตารางที่ 2-3 ค่าประจาหลกั ของเลขฐาน 8 หลัก .. 84 83 82 81 80 8-1 8-2 8-3 .. คา่ ประจ้า .. 4096 512 64 8 1 1/8= 1/64= 1/512= .. หลกั 0.125 0.015625 0.001953125 13-132-101 คณิตศาสตร์คอมพวิ เตอร์ (Computer Mathematics)

18 ตัวอยา่ งท่ี 2-3 จงหาค่าประจาหลักของ 4573.58 4 ค่าประจาหลกั คือ 83 5 ค่าประจาหลกั คอื 82 7 ค่าประจาหลกั คือ 81 3 ค่าประจาหลักคอื 80 5 ค่าประจาหลกั คือ 8-1 2.2.4 เลขฐาน 16 (Hexadecimal System) ประกอบด้วยเลข 16 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F โดยใช้ A, B, C, D, E, F แทนเลข 10, 11, 12, 13, 14, 15 ตามลาดับ เช่น 5AD16 , 89.B5416 เป็นต้น ตารางที่ 2-4 คา่ ประจาหลกั ของเลขฐาน 16 16-2 .. 1/256= .. หลัก .. 163 162 161 160 16-1 0.00390625 คา่ ประจา้ หลัก .. 4096 256 16 1 1/16= 0.0625 ตวั อยา่ งที่ 2-4 จงหาคา่ ประจาหลักของ 89DA.FA16 8 คา่ ประจาหลกั คือ 163 9 ค่าประจาหลกั คือ 162 D คา่ ประจาหลักคอื 161 A ค่าประจาหลกั คอื 160 F คา่ ประจาหลักคอื 16-1 A ค่าประจาหลกั คือ 16-2 เลขฐานอื่นๆ เช่น เลขฐาน 3 เลขฐาน 4 เลขฐาน 5 เลขฐาน 6 เลขฐาน 7 เป็นต้น ก็จะมีลักษณะเช่นเดียวกัน โดยในท่ีน้ีจะศึกษาเฉพาะเลขฐาน 2 เลขฐาน 8 และเลขฐาน 16 เทา่ น้ัน 13-132-101 คณติ ศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

19 แบบฝกึ หดั ท่ี 2.2 จงหาคา่ ประจาหลักของเลขฐานตอ่ ไปนี้ 4. 4573.238 1. 4,568.45 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 2. 1,566,784 5. 34FAB516 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 6. 0.34AB16 3. 10110.112 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ………….………………………………………………… …………………………………………………………… ……………………………………………………………. …………………………………………………………… 13-132-101 คณติ ศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

20 2.3 การคิดโมดลู ัสของเลขฐาน 2.3.1 ความหมายของโมดลู ัส โมดูลัส ของเคร่ืองมือใดก็ตาม คือ จานวนมากทีส่ ุดหรอื สงู ทส่ี ุดของเคร่ืองมือนั้น ๆ จะ บอกไดใ้ นรอบ 1 รอบ เชน่ หนา้ ปดั บอกระยะทางทรี่ ถยนตแ์ ลน่ จะบอกเลขสงู สุดได้ 100,000 ซึง่ เทา่ กบั 105 โดย 5 คือจานวนช่องท่เี คร่ืองมอื นน้ั มอี ย่จู ากหนา้ ปดั 2.3.2 ชนดิ ของโมดลู ัส โมดลู สั มี 2 ชนดิ คือ (1) โมดลู สั ชนิดปลายปิด การนับจะเรมิ่ ต้ังแต่ 00000 (2) โมดลู ัสชนดิ ปลายเปิด การนับจะเร่ิมตั้งแต่ 00001 ในการคานวณโมดลู สั ของเลขทั่วไปสิง่ ท่ีตอ้ งทราบ คือ r = ฐานของเลขจานวนนนั้ n= จานวนหลัก ดงั นัน้ โมดูลัสสาหรบั โมดูลสั ปลายเปิด = rn โมดูลสั สาหรบั โมดูลัสปลายปิด = rn – 1 2.3.3 โมดลู สั ของเลขฐาน 2.3.3.1 โมดูลัสของเลขฐาน 2 เชน่ โมดูลสั ปลายเปดิ ของเลขฐาน 2 ซง่ึ มี 4 หลัก = 24 = 16 = 100002 โมดลู ัสปลายปดิ ของเลขฐาน 2 ซงึ่ มี 4 หลกั = 24-1 = 15 = 11112 2.3.3.2 โมดูลสั ของเลขฐาน 8 เชน่ โมดลู สั ปลายเปิดของเลขฐาน 8 ซ่งึ มี 4 หลัก = 84 = 4096 = 100008 โมดลู ัสปลายปดิ ของเลขฐาน 8 ซ่ึงมี 4 หลัก = 84-1 = 4095 = 77778 โมดลู ัสปลายเปดิ ของเลขฐาน 8 ซ่ึงมี 5 หลัก = 85 = 32768 13-132-101 คณติ ศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

21 = 1000008 โมดูลัสปลายปดิ ของเลขฐาน 8 ซ่งึ มี 5 หลกั = 85-1 = 32767 = 777778 2.3.3.3 โมดูลสั ของเลขฐาน 16 เช่น โมดูลัสปลายเปดิ ของเลขฐาน 16 ซง่ึ มี 4 หลกั = 164 = 65536 = 100002 โมดูลัสปลายปิดของเลขฐาน 16 ซึ่งมี 4 หลัก = 164-1 = 65535 = FFFF2 ตัวอยา่ งที่ 2-5 จงหาโมดลู ัสปลายเปดิ และปลายปดิ ของเลขฐาน 16 ทมี่ ี 5 หลัก โมดลู ัสปลายเปิดของเลขฐาน 16 = 165 = 1048576 โมดูลสั ปลายปดิ ของเลขฐาน 16 = 1000002 = 165-1 = 1048575 = FFFFF2 2.3.4 ส่วนเตมิ เตม็ (Complement) Complement คือ สว่ นเติมให้เต็มก่อนจะข้ึนรอบใหม่ หรือหมายถึงตัวร่วม หรือจานวน ประกอบ หรอื จานวนทีย่ งั ขาดอยู่ จากจานวนเต็มของรอบน้นั ก่อนที่จะข้นึ รอบใหม่ 2.3.4.1 การคา้ นวณหา Complement ของเลขตา่ งๆ การคานวณหาสว่ นเติมเตม็ ของเลขต่างๆ ทาได้โดยเอาโมดูลัสของเลขจานวนนั้น ทเี่ ป็นจานวนเตม็ ทั้งหมดเปน็ ตวั ตงั้ และลบดว้ ยเลขจานวนน้ัน ตัวอยา่ งที่ 2-6 จงคานวณหาคา่ Complement ของ 1245 โมดูลสั ปลายเปดิ = 104 = 10000 โมดูลสั ปลายปิด = 104-1 = 9999 Complement ปลายเปดิ ของ 1245 = 10000 – 1245 = 8755 Complement ปลายปดิ ของ 1245 = 9999 – 1245 13-132-101 คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

22 = 8754 ตัวอยา่ งท่ี 2-7 จงคานวณหาคา่ Complement ของ 1457916 โมดูลัสปลายเปิด = 165 = 10000016 โมดูลสั ปลายปิด = 165-1 = FFFFF16 Complement ปลายเปดิ ของ 1457916 = 10000016 – 1457916 = EBA8716 Complement ปลายปิดของ 1457916 = FFFFF16 – 1457916 = EBA8616 ดงั นั้น การคานวณหาค่า Complement ของเลขตา่ งๆ จะทาได้โดย เอาโมดูลัสของเลข น้นั ๆ ต้ังแล้วลบด้วยเลขจานวนน้ัน ประโยชน์ของโมดูลัส คือ ใช้ลบเลขของการคานวณภายใน เคร่ืองคอมพิวเตอร์ ท่ีไม่สามารถลบเลขธรรมดาได้ โดยจะต้องใช้ตัวต้ังบวกกับ Complement ของตัวลบ ตัวอยา่ งท่ี 2-8 จงคานวณหาคา่ Complement ของ 1110112 โมดูลัสปลายเปิด = 10000002 โมดลู สั ปลายปิด = 1111112 Complement ปลายเปดิ ของ 1110112 = 10000002 - 1110112 = 1012 Complement ปลายปดิ ของ 1110112 = 1111112 - 1110112 = 1002 2.3.4.2 การเรียกช่อื Complement (1) การเรียกช่ือ Complement ปลายเปิดของเลขฐานใดๆ (r) เรยี ก r’s complement เชน่ Complement ปลายเปดิ ของเลขฐาน 16 เรียก 16’s complement Complement ปลายเปดิ ของเลขฐาน 8 เรยี ก 8’s complement Complement ปลายเปดิ ของเลขฐาน 2 เรียก 2’s complement (2) การเรียกช่ือ Complement ปลายปิดของเลขฐานใดๆ (r) เรียก r-1’s complement เชน่ Complement ปลายปิดของเลขฐาน 16 เรียก 15’s complement Complement ปลายปิดของเลขฐาน 8 เรยี ก 7’s complement Complement ปลายปดิ ของเลขฐาน 2 เรียก 1’s complement 13-132-101 คณติ ศาสตร์คอมพวิ เตอร์ (Computer Mathematics)

23 ตวั อยา่ งท่ี 2-9 จงคานวณหาคา่ Complement ของ 73468 โมดูลสั ปลายเปดิ = 100008 โมดลู ัสปลายปดิ = 77778 Complement ปลายเปดิ ของ 73468 = 100008 - 73468 = 4328 Complement ปลายปดิ ของ 73468 = 77778 - 73468 = 4318 ตวั อยา่ งที่ 2-10 จงคานวณหาค่า Complement ของ 85AB416 โมดลู สั ปลายเปดิ = 10000016 โมดูลัสปลายปิด = FFFFF16 Complement ปลายเปดิ ของ 85AB416 = 10000016 – 85AB416 = 7A54C16 Complement ปลายปิดของ 85AB416 = FFFFF16 – 85AB416 = 7A54B16 จากตัวอย่างจะเหน็ วา่ เลขฐานใดๆ กต็ าม ค่าของผลตา่ งระหวา่ ง Complement ของ ปลายเปดิ และปลายปดิ จะตา่ งกันอยู่ 1 เสมอ 13-132-101 คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

24 แบบฝกึ หดั ท่ี 2.3 จงคานวณหาค่า Complement ของเลขฐานต่อไปนี้ 1. 110012 5. 533248 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 2. 1010112 6. 8BC16 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 3. 3268 7. F89A116 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 4. 214118 8. 475BBB16 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 13-132-101 คณติ ศาสตร์คอมพวิ เตอร์ (Computer Mathematics)

25 2.4 การเปลย่ี นเลขฐานหนึ่งไปเป็นเลขฐานหน่ึง 2.4.1 แปลงเลขฐาน 2 เลขฐาน 8 และเลขฐาน 16 ให้เปน็ เลขฐาน 10 การแปลงเลขฐานต่าง ๆ ให้เปน็ เลขฐาน 10 ทาได้โดยการนาคา่ ประจาหลักของเลขฐาน ไปคณู ตวั เลขฐานทีก่ าหนดใหแ้ ตล่ ะหลัก แล้วนาคา่ ท่ไี ด้มาบวกกัน ตวั อยา่ งท่ี 2-11 จงแปลง 111012 ให้เปน็ เลขฐาน 10 11101 = (1x24)+(1x23)+(1x22)+(0x21)+(1x20) = 16+8+4+0+1 = 29  111012 = 29 ตวั อยา่ งที่ 2-12 จงแปลง 1010.1102 ให้เป็นเลขฐาน 10 1010.110 = (1x23)+(0x22)+(1x21)+(0x20)+(1x2-1)+(1x2-2)+(0x2-3) = 8+0+2+0+1/2+1/4+0 = 8+0+2+0+0.5+0.25+0 = 10.75  1010.1102 = 10.75 ตัวอยา่ งท่ี 2-13 จงแปลง 14.2638 ใหเ้ ป็นเลขฐาน 10 14.263 = (1x81)+(4x80)+(2x8-1)+(6x8-2)+(6x8-3) = 8+4+2/8 + 6/64+ 3/512 = 8+4+0.25+0.09375+0.0058593 = 12.349609  14.2638 = 12.349609 ตวั อยา่ งท่ี 2-14 จงแปลง AB.5C16 ให้เป็นเลขฐาน 10 AB.5C = (10x161)+(11x160)+(5x16-1)+(12x16-2) = 160+11+5/16+12/256 =160+11+0.3125+0.046875 =171.35937  AB.5C16 = 171.35937 13-132-101 คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

26 2.4.2 การแปลงเลขฐาน 10 ใหเ้ ปน็ เลขฐาน 2 เลขฐาน 8 และเลขฐาน 16 ในการแปลงเลขฐานสิบให้เปน็ เลขฐาน 2 เลขฐาน 8 และเลขฐาน 16 เลขฐาน 10 จะ มสี ่วนที่เป็นจานวนเตม็ และส่วนท่ีเป็นทศนยิ ม 1) ส่วนที่เป็นจ้านวนเตม็ การแปลงเลขฐานสิบทเี่ ป็นจานวนเต็มให้เป็นฐาน ใด ๆ น้ันต้องนาตัวเลขฐานนั้นไปหารเลขฐาน 10 หลาย ๆ คร้ัง จนไม่สามารถหารต่อไปได้ เศษท่ีเหลือจากการหารในแต่ละครั้งจะเป็นคาตอบท่ีต้องการ โดยเศษที่เหลือจากการหารคร้ัง สดุ ท้ายจะมีค่ามากท่ีสุดในฐานนั้น และเศษท่ีเหลือจากการหารคร้ังแรกจะมีค่าน้อยท่ีสุดในฐาน นั้น ตวั อยา่ งท่ี 2-15 จงแปลง 19 ใหเ้ ป็นเลขฐาน 2 2 19 เศษ 29 1 24 1 22 0 21 0 01  19 = 100112 ตวั อยา่ งท่ี 2-16 จงแปลง 342 ให้เปน็ เลขฐาน 8 8 342 เศษ 8 42 6 85 2 05  342 = 5268 ตัวอยา่ งท่ี 2-17 จงแปลง 539 ใหเ้ ปน็ เลขฐาน 16 16 539 เศษ 16 33 11 = B 16 2 1 02  539 = 21B16 13-132-101 คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

27 2) สว่ นท่ีเป็นทศนยิ ม การแปลงเลขฐาน 10 ทเ่ี ปน็ ทศนยิ มให้เปน็ เลขฐานใด ๆ ให้นาตัวเลขฐานนั้นคูณด้วยเลขฐาน 10 หลาย ๆ คร้ัง จนคูณต่อไปไม่ได้หรือคูณเท่ากับ จานวนทศนยิ มท่ีต้องการ ผลลัพธ์จากการคูณ สว่ นท่เี ปน็ จานวนเต็ม คือคาตอบท่ีตอ้ งการ โดย จานวนที่ได้จากการคูณคร้ังแรกมีค่ามากท่ีสุด และจานวนเต็มท่ีได้จากการคูณคร้ังสุดท้ายมีค่า นอ้ ยทีส่ ุด ตัวอยา่ งท่ี 2-18 จงแปลง 0.125 ใหเ้ ป็นเลขฐาน 2 0.125 x 2 0.250 0.250 x 2 0.500 0.500 x 2 1.000  0.125 = 0.0012 ตัวอยา่ งท่ี 2-19 จงแปลง 0.15625 ใหเ้ ปน็ เลขฐาน 8 0.15625 x 81.25000 0.25000 x 82.00000  0.15625 = 0.128 ตวั อยา่ งที่ 2-20 จงแปลง 0.46875 ให้เป็นเลขฐาน 16 0.46875 x 16 7.50000 0.50000 x 16 8.00000  0.46875 = 0.7816 ตัวอยา่ งท่ี 2-21 จงแปลง 483.25 ให้เปน็ เลขฐาน 2 2 483 เศษ 0.25x2 = 0.5 2 241 1 0.5 x 2 = 1.0 2 120 1 2 60 0 2 30 0 2 15 0 27 1 23 1 21 1 01  483.25 = 111100011.012 13-132-101 คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

28 ตวั อยา่ งที่ 2-22 จงแปลง 2958.785 ให้เป็นเลขฐาน 8 8 2958 เศษ 0.785x8= 6.28 8 369 6 0.28x8 = 2.24 8 46 1 0.24x8 = 1.92 85 6 05  2958.785 = 5616.6218 ตัวอยา่ งที่ 2-23 จงแปลง 58093.375 ให้เปน็ เลขฐาน 16 16 58093 เศษ 0.375x16 =6.0 16 3630 13 = D 16 226 14 = E 16 14 2 0 14 = E  58093.375 = E2ED.616 ตวั อยา่ งท่ี 2-24 จงแปลง 94564.579 ใหเ้ ปน็ เลขฐาน 16 16 94564 เศษ 0.579x16 = 9.264 16 5910 4 0.264x16 = 4.224 16 369 6 0.224x16 = 3.584 16 23 1 16 1 7 01  94564.579 = 17164.94316 ตัวอยา่ งที่ 2-25 จงแปลง 5495.45 ใหเ้ ป็นเลขฐาน 8 8 5495 เศษ 0.45x8 = 3.6 8 686 7 0.6x8 = 4.8 8 85 6 0.8x8 = 6.4 8 10 5 81 2 01  5495.45 = 12567.3468 13-132-101 คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

29 แบบฝกึ หดั ที่ 2.4 1. จงแปลงเลขฐานต่อไปน้ใี ห้เป็นเลขฐาน 10 …………………………………………………………… 1) 1010112 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ……………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 5) 98FA16 …………………………………………………………… 2) 101010.1012 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 3) 45738 6) B56.2C16 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 4) 625.348 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 13-132-101 คณิตศาสตร์คอมพวิ เตอร์ (Computer Mathematics)

30 2. จงแปลงเลขฐาน 10 ตอ่ ไปนใ้ี ห้เปน็ เลขฐานตา่ ง ๆ 1) 234 เป็นเลขฐาน 2 3) 908.23 เป็นเลขฐาน 8 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………...………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 2) 78.34 เปน็ เลขฐาน 2 4) 5683.45 เปน็ เลขฐาน 8 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………..………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ……………………………………………………………. 13-132-101 คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

31 5) 32456 เป็นเลขฐาน 16 7) 8763.452 เปน็ เลขฐาน 16 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………..………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………..………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………..…………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 6) 4275.25 เปน็ เลขฐาน 16 8) 5844.863 เปน็ เลขฐาน 8 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………..………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ……..……………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………….......................................... …………………………………………………………… 13-132-101 คณติ ศาสตร์คอมพวิ เตอร์ (Computer Mathematics)

32 2.5 ความสัมพันธร์ ะหว่างเลขฐาน โดยท่วั ไปการแปลงเลขฐาน 2 เปน็ เลขฐาน 8 หรอื เลขฐาน 16 ทาได้โดยการแปลงค่า เลขนั้น ๆ เปน็ เลขฐาน 10 แล้วจงึ แปลงคา่ เลขฐาน 10 ทไ่ี ด้ ไปเป็นเลขฐานทต่ี ้องการ แต่เป็น วธิ ีที่ยุ่งยาก และใชเ้ วลาในการคานวณมาก ดังนน้ั สาหรับเลขฐาน 2 ฐาน 8 และฐาน 16 ซ่ึง เป็นกลุ่มเลขฐานที่มีความสัมพันธ์กันและพัฒนามาจากการแทนค่าสภาวะของแรงดันไฟฟ้าซ่ึงมี สองสถานคอื ON และ OFF จะใชห้ ลักในการแปลงคา่ ดังน้ี เลขฐาน 8 สามารถแทนด้วยเลขฐาน 2 ได้จานวน 3 บิต คือค่าต่าสุด 000 และ คา่ สงู สดุ 111 เลขฐาน 16 สามารถแทนด้วยเลขฐาน 2 ได้จานวน 4 บิต คือค่าตา่ สุด 0000 และ ค่าสงู สดุ 1111 ตารางท่ี 2-5 ความสมั พนั ธ์ระหว่างเลขฐาน 2 ฐาน 8 และฐาน 16 ฐาน 10 ฐาน 8 ฐาน 2 ฐาน 16 ฐาน 2 0 00 000 000 00 0000 0000 1 01 000 001 01 0000 0001 2 02 000 010 02 0000 0010 3 03 000 011 03 0000 0011 4 04 000 100 04 0000 0100 5 05 000 101 05 0000 0101 6 06 000 110 06 0000 0110 7 07 000 111 07 0000 0111 8 10 001 000 08 0000 1000 9 11 001 001 09 0000 1001 10 12 001 010 0A 0000 1010 11 13 001 011 0B 0000 1011 12 14 001 100 0C 0000 1100 13 15 001 101 0D 0000 1101 14 16 001 110 0E 0000 1110 15 17 001 111 0F 0000 1111 16 20 010 000 10 0001 0000 17 21 010 001 11 0001 0001 18 22 010 010 12 0001 0010 19 23 010 011 13 0001 0011 20 24 010 100 14 0001 0100 13-132-101 คณติ ศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

33 2.5.1 การแปลงเลขระหวา่ งเลขฐาน 2 และเลขฐาน 8 การแปลงเลขฐาน 2 ให้เปน็ เลขฐาน 8 ตอ้ งแปลงเลขฐาน 2 ใหเ้ ป็นเลขฐาน 10 กอ่ น แลว้ จงึ แปลงเลขฐาน 10 เปน็ เลขฐาน 8 หรอื ใช้หลกั เลขฐาน 8 จานวน 1 ตัว เท่ากับเลขฐาน 2 จานวน 3 บติ แบ่งเลขฐาน 2 ออกเป็นชดุ ชุดละ 3 บิต นบั จากทางขวามาทางซ้าย ถ้าชุด สุดทา้ ยไม่ครบ 3 บิต ให้เติม 0 ลงไป ถา้ เป็นทศนิยมให้แบ่งจากซา้ ยไปขวา และการแปลงเลข ฐาน 8 ให้เปน็ เลขฐาน 2 กท็ าในลักษณะเชน่ เดียวกัน ตัวอยา่ งท่ี 2-26 จงแปลง 11011.101102 ใหเ้ ปน็ เลขฐาน 8 วธิ ที ่ี 1 011 = (0x22)+(1x21)+(1x20) = 11011.10110 = 0+2+1 = 3 = 011011 .101 100 = 3 3 .5 4 101 = (1x22)+(0x21)+(1x20) = 4+0+1 = 5 11011.101102 = 33.548 100 = (1x22)+(0x21)+(0x20) = 4+0+0 = 4 วธิ ที ี่ 2 แปลง 11011.101102 เปน็ เลขฐาน 10 = (1x24) +(1x23) +(0x22) +(1x21) +(1x20) +(1x2-1) + (0x2-2) + (1x2-3) + (1x2-4)+ (0x2-5) = (1x16) +(1x8) +(0x4) +(1x2) +(1x1) +(1x0.5)+(0x0.25)+(1x0.125)+ (1x0.0625) +(0x0.03125) = 16+8+0+2+1+0.5+0+0.125+0.0625+0 = 27.6875 แปลง 27.71875 เป็นเลขฐาน 8 8 27 เศษ 0.6875x8 =5.5 33 0.5x8 = 4.0 จะได้ 33.548 11011.101102 = 33.548 ตัวอยา่ งท่ี 2-27 จงแปลง 46.2528 ใหเ้ ป็นเลขฐาน 2 วธิ ที ี่ 1 = 46.252 = 4 6 .2 5 2 =100 110 .010 101 010  46.2528 = 100110.0101010102 13-132-101 คณติ ศาสตร์คอมพวิ เตอร์ (Computer Mathematics)

34 วธิ ที ี่ 2 แปลง 46.2528 เปน็ เลขฐาน 10 = 46.252 = (4x81)+(6x80)+(2x8-1)+(5x8-2)+(2x8-3) = (4x8)+(6x1)+(2x0.125)+(5x0.015625)+(2x0.001953125) = 32 + 6 + 0.25 + 0.078125 + 0.00390625 = 38.33203125 แปลง 38.33203125 เปน็ เลขฐาน 2 2 38 เศษ 0.33203125x2 = 0.6640625 2 19 0 0.6640625x2 = 1.328125 29 1 0.328125x2 = 0.65625 24 1 0.65625x2 = 1.3125 22 0 0.3125x2 = 0.625 10 0.625x2 = 1.25 จะได้ 100110.010101012 0.25x2 = 0.5  46.2528 = 100110.0101010102 0.5x2 = 1.0 2.5.2 การแปลงเลขระหวา่ งเลขฐาน 2 และเลขฐาน 16 การแปลงเลขฐาน 2 ให้เป็นเลขฐาน 16 ต้องแปลงเลขฐาน 2 ให้เป็นเลขฐาน 10 ก่อน แล้วจึงแปลงเลขฐาน 10 เป็นเลขฐาน 16 หรือใชห้ ลกั เลขฐาน 16 จานวน 1 ตัว เทา่ กบั เลขฐาน 2 จานวน 4 บิต แบง่ เลขฐาน 2 ออกเป็นชดุ ชดุ ละ 4 บิต นับจากทางขวามาทางซ้าย ถ้าชุดสดุ ทา้ ยไม่ครบ 4 บติ ให้เตมิ 0 ลงไป ถ้าเป็นทศนิยมให้แบ่งจากซ้ายไปขวา และการแปลงเลขฐาน 16 ให้เป็นเลขฐาน 2 ก็ทา ในลกั ษณะเชน่ เดยี วกัน ตวั อย่างท่ี 2-28 จงแปลง 1111011.1110012 ให้เปน็ เลขฐาน 16 วิธีท่ี 1 = 1111011.111001 = 0111 1011 .1110 0100 4 = 7 11 .14  1111011.1110012 = 7B.E416 วธิ ีท่ี 2 แปลง 1111011.1110012 เป็นเลขฐาน 10 = 1111011.111001 = (1x26)+(1x25)+(1x24)+(1x23)+(0x22)+(1x21)+(1x20)+(1x2-1)+(1x2-2) +(1x2-3)+(0x2-4)+(0x2-5)+(1x2-6) 13-132-101 คณิตศาสตร์คอมพวิ เตอร์ (Computer Mathematics)

35 = (1x64) + (1x32) + (1x16) + (1x8) + (0x4) + (1x2) + (1x1) + (1x0.5) + (1x0.25)+ (1x0.125)+ (0x0.0625)+ (0x0.03125)+ (1x0.015625) = 64+32+16+8+0+2+1+0.5+0.25+0.125+0+0+0.015625 = 123.890625 แปลง 123.890625 เป็นเลขฐาน 16 16123 เศษ 0.890625x16 = 14.25 7 11 0.25x16 = 4.00 จะได้ 7B.E416  1111011.1110012 = 7B.E416 ตัวอยา่ งที่ 2-29 จงแปลง CD.AE16 ใหเ้ ปน็ เลขฐาน 2 วิธที ี่ 1 = CD.AE = C D .A E = 1100 1101 .1010 1110  CD.AE16 = 11001101.101011102 วิธีที่ 2 แปลง CD.AE16 เปน็ เลขฐาน 10 = (12x161) +(13x160) +(10x16-1) +(14x16-2) = (12x16) +(13x1) +(10x0.0625) +(14x0.00390625) = 192 + 13 + 0.625+0.0546875 = 205.6796875 แปลง 205.6796875 เป็นเลขฐาน 2 2 205 เศษ 0.6796875x2 = 1.359375 2 102 1 0.359375x2 = 0.71875 2 51 0 0.71875x2 = 1.4375 2 25 1 0.4375x2 = 0.875 2 12 1 0.875x2 = 1.75 26 0 0.75x2 = 1.5 23 0 0.5x2 = 1.0 11 จะได้ 11001101.101011102  CD.AE16 = 11001101.101011102 13-132-101 คณิตศาสตร์คอมพวิ เตอร์ (Computer Mathematics)

36 2.5.3 การแปลงเลขระหวา่ งเลขฐาน 8 และเลขฐาน 16 การแปลงเลขเลขฐาน 8 ใหเ้ ป็นเลขฐาน 16 โดยตอ้ งแปลงใหเ้ ปน็ เลขฐาน 2 กอ่ น แล้ว จงึ แปลงเปน็ เลขฐาน 8 หรอื เลขฐาน 16 ตัวอยา่ งที่ 2-30 จงแปลง 26748 ใหเ้ ป็นเลขฐาน 16 วิธีที่ 1 = 2674 =2 6 7 4 = 010 110 111 100 = 0101 1011 1100 = 5 11 12 =5 B C  26748 = 5BC16 วิธที ี่ 2 แปลง 26748 เป็นเลขฐาน 10 = (2x83) + (6x82) + (7x81) + (4x80) = (2x512) + (6x64) + (7x8) + (4x1) = 1024 + 384 + 56 + 4 = 1468 แปลง 1468 เป็นเลขฐาน 16 16 1468 เศษ 16 91 12 5 11 จะได้ 5BC16  26748 = 5BC16 ตัวอยา่ งท่ี 2-31 จงแปลง 5673.38 ให้เปน็ เลขฐาน 16 วธิ ีที่ 1 = 5673 =5 6 7 3 .3 =101 110 111 011 011 =1011 1011 1011 . 0110 = 11 11 11 . 6 =B B B .6 5673.38 = BBB.616 13-132-101 คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

37 วธิ ที ี่ 2 แปลง 5673.38 เป็นเลขฐาน 10 = (5x83)+(6x82)+(7x81)+(3x80)+(3x8-1) = (5x512) + (6x64) + (7x8) + (3x1) + (3x0.125) = 2560 + 384 + 56 + 3 + 0.375 = 3003.375 แปลง 3003.375 เปน็ เลขฐาน 16 16 3003 เศษ 0.375x16 = 6.0 16 187 11 11 11 5673.38 = BBB.616 ตัวอยา่ งที่ 2-32 จงแปลง A82.5B316 ให้เปน็ เลขฐาน 8 วิธที ี่ 1 = A82.5B3 = A 8 2 .5 B 3 = 1010 1000 0010 .0101 0101 0011 = 101010000010.0101010100112 = 101 010 000 010 .010 110 110 011 = 5 2 0 2 .2 6 6 3 A82.5B316 = 5202.26638 วธิ ที ี่ 2 แปลง A82.5B316 เปน็ เลขฐาน 10 = (10x162)+ (8x161)+ (2x160) + (5x16-1) + (11x16-2) + (3x16-3) = (10x256) + (8x16) + (2x1) + (5x0.0625) + (11x0.00390625) +(3x0.000244140625) = 2560 + 128 + 2 + 0.3125 + 0.04296875 + 0.000732421875 = 2690.356201171875 แปลง 2690.356201171875 เปน็ เลขฐาน 8 8 2690 เศษ 0.356201171875x8 = 2.849609375 8 336 2 0.849609375x8 = 6.796875 8 42 0 0.796875x8 = 6.375 5 2 0.375x8 = 3.00 A82.5B316 = 5202.26638 13-132-101 คณติ ศาสตร์คอมพวิ เตอร์ (Computer Mathematics)

38 แบบฝกึ หดั ท่ี 2.5 1. จงแปลง 110111.10001102 ใหเ้ ปน็ เลขฐาน 8 ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. จงแปลง 45.358 ให้เปน็ เลขฐาน 2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 3. จงแปลง 11000011.10102 ให้เปน็ เลขฐาน 16 ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… …………….………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 4. จงแปลง AB56.6816 ใหเ้ ปน็ เลขฐาน 2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………..………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 5. จงแปลง BFD9.49516 ให้เปน็ เลขฐาน 8 ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………..………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………..…………………………………………………………………………………………………………… 6. จงแปลง 3456.738 ให้เปน็ เลขฐาน 16 ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………..… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………..……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 13-132-101 คณติ ศาสตร์คอมพวิ เตอร์ (Computer Mathematics)

39 แบบทดสอบท้ายบทท่ี 2 คา้ ชี้แจง 1. ขอ้ สอบมีจานวน 20 ข้อ ๆ เวลา 50 นาที 2. จงแสดงวธิ ีทาโดยละเอยี ด 1. จงแปลงเลขฐาน 2 ตอ่ ไปน้ีใหเ้ ป็นเลขฐาน 10 1) 1001112 3) 1011101.1012 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 2) 0.110112 4) 11000111.01112 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………….………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………… …………………………………………………………… 2. จงแปลงเลขฐาน 8 ตอ่ ไปนี้ให้เปน็ เลขฐาน 10 1) 761.048 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 13-132-101 คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

40 2) 34168 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 4) 57.17358 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 3) 230578 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………..…………………………… …………………………………………………………… 3. จงแปลงเลขฐาน 16 ตอ่ ไปน้ใี หเ้ ปน็ เลขฐาน 10 1) 3A1D16 3) 705D.1AF16 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………….… ……………………………………….…………………… 2) 0.ABCD16 4) A134.ACE16 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 13-132-101 คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)