Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 157 σελίδες

www.mathschool-online.com Διάμεσος ομαδοποιημένων παρατηρήσεων Το παρακάτω ιστόγραμμα αθροιστικώνσχετικών συχνοτήτων αναφέρεται στις ηλικίες 80 κατοίκων ενός ορεινού χωριού. Για να βρούμε τη διάμεσο, εντοπίζουμε το 50 % στον κατακόρυφο άξονα του ιστογράμματος και φέρνουμε παράλληλη προς τον οριζόντιο άξονα μέχρι να τμήσει το πολύγωνο. www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com Από το σημείο τομής φέρνουμε κάθετη στον οριζόντιο άξονα. Η τετμημένη του σημείου τομής της παράλληλης προς τον οριζόντιο άξονα με το πολύγωνο είναι η τιμή της διαμέσου . Στο συγκεκριμένο παράδειγμα η διάμεσος είναι η τιμή 50Διάμεσος μη ομαδοποιημένων παρατηρήσεων Η διάμεσος ενός δείγματος παρατηρήσεων οι οποίες έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά ορίζεται ως η μεσαία παρατήρηση όταν το πλήθος v είναι περιττός αριθμός ήτο ημιάθροισμα των δύο μεσαίων παρατηρήσεων όταν το v είναι άρτιος αριθμός www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com Παράδειγμα Να βρεθεί η διάμεσος των παρατηρήσεων 1, 5, 8, 9, 16, 32 Απάντηση Παρατηρώ ότι το ν είναι άρτιος άρα δ =(8+9)/2→ δ=17/2→ δ=8,5Πως γίνεται ο υπολογισμός της διαμέσου από τη στήλη των αθροιστικών συχνοτήτων του πίνακα συχνοτήτων όταν οι παρατηρήσεις είναι τοποθετημένες κατά αύξουσα σειρά www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com Παράδειγμαxi νi Ni 313 11 1628 20 2235 23 2444526171Σύνολο 24 www.mathschool-online.com Επειδή το ν=24 άρτιος , η διάμεσος θαβρίσκεται μεταξύ της 12ης και 13ης παρατήρησης οι οποίες αντιστοιχούν στη Ν3=16. Επομένωςwww.mathschool-online.com

www.mathschool-online.comδ=(τιμή 12ης παρατήρησης + τιμή 13ηςπαρατήρησης) /2 → δ=(3+3)/2=3 Επικρατούσα τιμή Είναι η τιμή με τη μεγαλύτερη συχνότητα Παράδειγμα 1 237 νi 2 1 4 1 www.mathschool-online.com H επικρατούσα τιμή είναι το 3, διότι ν3=4 Δηλαδή το 3 εμφανίζεται με τη μεγαλύτερη συχνότητα. ΄Οριο –Συνέχεια συνάρτησης www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com Παράδειγμα Έστωf(x)  x2  1  (x  1)(x  1)  x  1 x1 x1Π.ο της f , R-{1}Όταν το x παίρνει τιμές που τείνουν στο 1 (x  1) τότε τοf(x)  x2  1  (x  1)(x  1)  x  1x 1 x 1παίρνει τιμές που τείνουν στο 2 (x  1  2)Λέμε λοιπόν ότι η f έχει στο σημείο 1 όριο (limit) 2 και γράφουμεlimf(x)  2x1www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.comwww.mathschool-online. com2 y  x2 1 x 1O1 xΑν οι συναρτήσεις f και g έχουν στο x0όρια πραγματικούς αριθμούς, δηλαδή ανlim f(x)  1xx0 καιlim g(x)  2xx0όπουwww.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com 1 και  2πραγματικοί αριθμοί, τότεlim (f(x)  g(x))  1 2xx0lim (kf(x))  k 1xx0lim (f(x)g(x))  12xx0lim  f(x)   1  g(x)  2xx0  lim (f(x))   1xx0lim  f(x)   1xx0Συνέχεια συνάρτησηςΜια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγεται συνεχής, αν για κάθε www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com x0  A ισχύειlim f(x)=f(x0 )x -> x0Παράγωγος συνάρτησηςΗ f είναι παραγωγίσιμη στο xo  π.ο αν υπάρχει το   lim x ->f x =f x0 xo x-x0 και είναιπραγματικός αριθμός, δηλαδή:f     lim x -> xo x =f x0 =f΄ xo =λ, x-x0λ πραγματικός αριθμόςwww.mathschool-online.com

www.mathschool-online.comΡυθμός μεταβολήςΈστω ένα σώμα που κινείται πάνω σε ένανάξονα.x (t) ,(η συνάρτηση θέσης) είναι η θέση του τηχρονική στιγμή t.tΗ στιγμιαία ταχύτητα υ( 0) του κινούμενουtσώματος τη χρονική στιγμή 0 είναι ηtπαράγωγος της x(t) στο 0, δηλ. η x΄(t0).   Επομένως : υ t0 =x΄ t0υ t0 =x΄t0 =   lim t -> t0xt -xt0= t-t0    xlim h -> 0 t0 +h -x t0 , hόπου h=t  t0www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com Το παραπάνω όριο ονομάζεται ρυθμός μεταβολής του x ως προς t τη χρονικήστιγμή t0 Τέλος η επιτάχυνση του κινητού τη χρονικήστιγμή t0 είναια( t 0 )=υ΄( t 0 )=x΄΄( t 0 ). Κανόνες παραγώγησης c.fx΄=c.f΄x, π.χ 2.f  x  ΄=2.f΄ x   f  x  +g  x ΄=f΄ x  +g΄ x   f  x  g  x ΄  f΄xgx  fxg΄x fx  f΄xgx-fxg΄x gx  =  g  x 2www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com gfx΄ g΄f(x).f΄xΠαράγωγοι βασικών συναρτήσεων c΄=0 cx΄=c x΄=1 xν =νxν-1  x ΄= 1 2x  ex ΄  ex lnx΄= 1 x ημχ΄=συνχ συνχ΄=-ημχ Με βάση τον κανόνα gfx΄ g΄f(x).f΄x www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.comκαι σε συνδιασμό με τις παραγώγους των παραπάνω συναρτήσεων, έχω :  fν x ΄=νfν-1 x f΄x fx ΄ 1 x f΄x  2 f   efx ΄ efxf΄ xln fx ΄= f 1 f΄x xημf  x ΄=συνf  x  f΄ x συνfx  ΄=-ημfxf΄x π.χ , (ημ(2χ+3))΄==συν(2χ+3).(2χ+3)΄ =συν(2χ+3).[(2χ)΄+3΄] =συν(2χ+3)[2χ΄+0]www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com =συν(2χ+3).(2.1)=2συν(2χ+3) Μονοτονία Συνάρτησης Eστω f παραγωγίσιμη στο π.ο της ΔΕάν f΄(x)>0 σε ένα διάστημα Δ του π.ο. της f, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα.Εάν f΄(x)< 0 σε ένα διάστημα Δ του π.ο της f, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα. Μελέτη ακροτάτων Κριτήριο 1ης παραγώγουΈστω χ0 ∈Δ = (α,β), όπου το Δ είναι το π.ο τηςf και η f παραγωγίσιμη στο Δ με εξαίρεση ίσωςτο χ0 στο οποίο όμως η f είναι συνεχής τότε :Εάν f΄(x)>0 στο (α, x0) και f΄(x)< 0 στο(x0,β) τότε το f(x0) είναι Τοπικό Μέγιστο τηςf. www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.comΕάν f΄(x)< 0 στο (α, x0) και f΄(x)> 0 στο(x0,β) τότε το f(x0) είναι Τοπικό Eλάχιστο της f. Κριτήριο 2ης παραγώγου Έστω f παραγωγίσιμη στο Δ=(a,β) και χ0 ∈Δ = (α,β), στο οπoίο είναι δυο φορές παραγωγίσιμη και f΄(x0)=0 Τότε : Αν f΄΄(x0)<0 το f (x0) είναι τοπικό μέγιστο Αν f΄΄(x0)>0 το f (x0) είναι τοπικό ελάχιστο Παράδειγμα Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f(x)=αx2 +βx+γ με α≠0 www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com f(x)=(αx2 +βx+γ)=2αx+βf(x)=0 -> 2αx+β=0 -> x=- β 2αf(x)>0 -> 2αx+β>0 -> 2αx>-β Επομένως, ανα>0 , τότε f(x)>0 για x>- β και 2α f(x)<0 για x<- β 2αα>0, χ  -β f(x) 2α - + 0 www.mathschool-online.com Αν α<0 , τότε www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com f(x)>0 για x<- β και 2α f(x)<0 για x>- β 2αα<0, χ  -β f(x) 2α + - 0 www.mathschool-online.com Άρα, η συνάρτηση f(x)=αx2βx+γ για x=- β 2α www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com παρουσιάζει ελάχιστο αν α>0 και μέγιστο αν α<0Η τιμή του μεγίστου ή του ελαχίστου είναι ίση μεf  - β  =α  -β 2 +β  -β  +γ  2α   2α   2α       f  - β  = 4αγ-β2  2α  4α   Πιθανότητες Ορισμός της πιθανότητας Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα δυνατάαποτελέσματα ως πιθανότητα του ενδεχομένου Α ΟΡΙΖΩ τον αριθμόwww.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com P A = Πλήθος ευνοικών περιπ/σεων Πλήθος δυνατών περιπ/σεωνP A = Ν Α ΝΩόπου Ω είναι ο δειγματικός χώρος του πειράματος ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ P  Ω = Ν Ω  =1 Ν Ω  P  = Ν 0 =0 Ω Για κάθε ενδεχόμενο Α ισχύει 0  PA  1 Kανόνες λογισμού πιθανοτήτωνΑν Α,Β δυο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα,δηλ.ξένα μεταξύ τους ή αμοιβαία αποκλεισμένα www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com Τότε Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα Α και β είναι PA B=PA+PB Αν Α,Α΄ δυο συμπληρωματικά ενδεχόμενα τότε P A +P A΄ =1Οπότε η πιθανότητα να μη πραγματοποιηθεί το Α είναι PA+PA΄=1  PA΄=1-PA Προσθετικός νόμοςΓια δυο ενδεχόμενα Α,Β, μη ασυμβίβαστα του δειγματικού χώρου Ω η πιθανότητα ναπραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα Α και β είναι www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com PA B=PA+PB-PA B Συνέχεια των ιδιοτήτων Αν για δυο ενδεχόμενα Α,Β A  B, τότε PA  PB Χρήσιμα για τις ασκήσειςΗ πιθανότητα να μη πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β είναι PA  B΄=1-PA  BΗ πιθανότητα να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β είναι P A-B  B-A = P A-B +P B-A, διότι τα A-B,B-A είναι ασυμ/βαστα Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα Α και β είναι www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com PA  B=PA+PB-PA  B Όταν τα Α,Β είναι ασυμ/βαστα P A  B=0, οπότε PA  B=PA+PB Παραδείγματα 1. Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω = {ω1,ω2,ω3,ω4} και τα ενδεχόμενα Α = {ω2,ω3} και Β = {ω2,ω4}. Αν P(A)=1/2 ,P(B)= 1/3και P(ω3)= 1/4, να βρείτε το Ρ(ω1). Λύση Είναι Ρ(Α)= Ρ ω 3  + Ρ ω 2 Οπότε: www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com ½ = ¼ + Ρ ω 2  άρα Ρ ω 2  = ¼ Επίσης Ρ(Β)= Ρ ω 2 + Ρ ω 4 οπότε 1/3 = ¼ + Ρ ω 4  άρα Ρ ω 4  = 1 / 12 Τέλος ισχύει :Ρ ω 1  + Ρ ω 2  + Ρ ω 3 + Ρ ω 4  =1 www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com Οπότε:Ρ ω 1  + ¼ + ¼ + 1/12 = 1  Άρα Ρ ω 1 = 5 / 12 2.Η πιθανότητα εμφάνισης βλάβης σε ένα μηχάνημα εργοστασίου είναι 0.05, η πιθανότητα εμφάνισης σε ένα δεύτερομηχάνημα είναι 0.08 και η πιθανότητα βλάβηςκαι στα δυο μηχανήματα είναι 0.02. Ποια είναι η πιθανότητα βλάβης σε ένα τουλάχιστον μηχάνημα (δηλ. η πιθανότητα βλάβης είτε στο ένα είτε στο άλλο μηχάνημα) Λύση Ρ ( Α U Β ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) – Ρ ( ������ ⋂ ������ ) Ρ ( Α U Β ) = 0,05 + 0,08 - 0,02 www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com Ρ ( Α U Β ) = 0,113. Αν Α = {1,2,3} και Β = {2,4,5} να βρείτε τα Α∩Β, ΑUΒ, Α–Β, Β–Α. Λύση www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.comwww.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com3.Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω ={ω1,ω2,ω3,}. Αν το ενδεχόμενο ω2 έχειδιπλάσια πιθανότητα από το ω1 και το ω3 έχειπιθανότητα ίση με το άθροισμα τωνπιθανοτήτων των δύο άλλων, να βρείτε τηνπιθανότητα του καθενός. Λύση P  ω 2 = 2 . P ω 1  (Ι) www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.comP  ω 3 =P  ω 1 + P  ω 2  (ΙΙ)P  ω 1 + P  ω 2 + P  ω 3= 1 (ΙΙΙ)Η (ΙΙΙ) λόγω των (Ι) και (ΙΙ)γίνεται:P  ω 1 + 2.P  ω 1 + P  ω 1 ++P  ω 2 = 1Στη συνέχεια η παραπάνωσχέση λόγω της (Ι) γίνεται: P  ω 1 + 2.P  ω 1 + P  ω 1 + + 2.P  ω 1 = 1 6. P  ω 1 = 1 P  ω 1 = 1 / 6 Επομένως: www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com P =2. 1 1ω2 6 = 3 P =1 1 = 12ω3 6 + 3 6P  ω 3 = 3 =1 6 2Εάν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool-onlineΚαλή Ανάγνωση!www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.gr/elearning Eπαναληπτικά θέματα εξετάσεων και λύσεις Στο Διαφορικό λογισμό «Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής» Γ΄ Λυκείου ΘΕΜΑ 1ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(x)=2x3-3x2-12x-7, x������������ Να βρείτε : 1) την f΄(χ) ,2) τα σημεία τηςκαμπύλης της f στα οποία η παράγωγος είναι 0 (Εξετάσεις 2000) Λύση1)Για κάθε x������������ ,f΄(χ)=( 2x3-3x2-12x-7)΄ f΄(χ)=( 2x3)΄-( 3x2)΄-(12χ)΄-(7)’ f΄(χ)=2.3χ2-3.2χ-12 f΄(χ)=6χ2-6χ-12=6(χ2-χ-2) f΄(χ)= 6(χ2-χ-2) www.mathschool-online.gr/elearning

www.mathschool-online.gr/elearning2) για να βρούμε τα σημεία της καμπύλης της f στα οποία η παράγωγος είναι 0 πρέπει να λύσουμε την εξίσωση f΄(χ)=0 Δηλαδή 6(χ2-χ-2)=0 (χ2-χ-2)=0 α=1,β=-1,γ=-2, Δ=β2-4αγ=(-1)2-4.1(-2)=1+8=9 χ1=(-β+√������)/2α χ1=(1+√9)/2 χ1=(1+3)/2 -> χ1=4/2 -> χ1=2 χ2=(-β-√������)/2α χ2=(1-√9)/2 χ2=(1-3)/2-> χ2=-2/2 -> χ2=-1 ΘΕΜΑ 2ο (Εξετάσεις 2001) www.mathschool-online.gr/elearning

www.mathschool-online.gr/elearning Αν fx  1 x  1 4 4 και fa  27όπου α πραγματικός τότε να βρείτε την τιμή του α ΛύσηΗ συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το R και για κάθε x������������ έχουμε ότιf  x   1 x  1 4   1 x  1 4   1 4 x  1 3 x  1   4  4  4  fx  x  1 3Επομένως για χ=α η παράγωγος γράφεται f΄(α)=(α-1)3 (Ι) Γνωρίζω όμως από την υπόθεση ότι f΄(α)=27 (ΙΙ) Από (Ι) και (ΙΙ) έχω (α-1)3=27 ->(α-1)3=33->α-1=3->α=4www.mathschool-online.gr/elearning

www.mathschool-online.gr/elearning ΘΕΜΑ 4ο(Εξετάσεις 2001)Δίνεται η συνάρτηση f(x)=συνχ+ημχ1)Να δείξετε ότι f(x) +f΄΄(x)=02) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της στο σημείο Α(0,1)3)Να βρείτε την τιμή λ∈ ������για την οποία ισχύειλf  π   2f  π   2  2   2      Λύση1) f(x)=συνx+ημxf΄(x)=( συνx+ημx)΄f΄(x)=( συνx)΄+ (ημx)΄=-ημx +συνxf΄(x)= -ημx +συνxf΄΄(x)= (-ημx +συνx)΄f΄΄(x)= (-ημx)΄+ (συνx)΄f΄΄(x)=-συνx-ημxwww.mathschool-online.gr/elearning

www.mathschool-online.gr/elearning Επομένως f(x) + f΄΄(x)= (συνx+ημx) + (-συνx-ημx) -> f(x) + f΄΄(x)= συνx-συνx+ημx-ημx=0-> f(x) + f΄΄(x)=02)Η εξίσωση της εφαπτομένης της f έχει τη μορφή y=λx+β (Ι) Όπου ο συντελεστής διεύθυνσης λ της εφαπτομένης της f στο σημείο Α(0,1) ισούται με το f΄(0) Δηλαδή λ= f΄(0) Γνωρίζω ότι f΄(x)= -ημx +συνx Επομένως f΄(0)= -ημ0 +συν0=0+1=1-> f΄(0)=1 Άρα η (Ι) γίνεται y=1.x+β=χ+β-> y=χ+β (ΙΙ) www.mathschool-online.gr/elearning

www.mathschool-online.gr/elearningΤο σημείο Α(0,1) ανήκει στην εφαπτομένη της f επομένως επαληθεύει την εξίσωσή της Άρα η (ΙΙ) γίνεται 1=0+β->β=1 Επομένως η (ΙΙ) γίνεται y=χ+1 f  π   συν π  ημ π  0  1  1  2  2 2 3)  f  π   (συν π  ημ π )  ημ π  συν π  2  2 2 2 2  f  π   1  0  1  2    Επομένως λf  π   2f  π   2   2   2      λ 1  2.1  2  λ  2  2  λ  2  2  λ  4  λ  4www.mathschool-online.gr/elearning

www.mathschool-online.gr/elearning ΘΕΜΑ 5ο(Εξετάσεις 2002)Δίνεται η συνάρτησηfx  2x x11)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f2)Να υπολογίσετε το  limx3 f x3)Να βρείτε την πρώτη παράγωγο της f4)Να βρείτε τις εφαπτομένες της καμπύλης τηςσυνάρτησης f που είναι παράλληλες στην ευθείαY=2x+5Λύση 1) Η συνάρτηση f x  2x x1 ορίζεται για κάθε x  1Επομένως το πεδίο ορισμού της είναι το Α=R-{-1}www.mathschool-online.gr/elearning

www.mathschool-online.gr/elearning  limx3 f x  limx3 2x  x12) 2.3  6  3 31 4 2  f x   2x   2  x      x   x  1   1  f  x   x  x  1  xx  1  x  123) 2 f  x   2 x  1  x  x  1 2 f  x   2  1 2  x 14)Έστω y=λx+β (ΙΙ) η εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της f και έστω Μ(χ0,f(x0)) το σημείο επαφής της εφαπτομένης με τη καμπύλη της συνάρτησης f Γνωρίζω ότι f΄(x0)=λ (Ι) Από την υπόθεση έχω ότιwww.mathschool-online.gr/elearning

www.mathschool-online.gr/elearningοι εφαπτομένες της καμπύλης της συνάρτησης f είναι παράλληλες στην ευθεία Y=2x+5Δηλαδή έχουν συντελεστή διεύθυνσης λ=2 (Ι)΄ Επομένως(Ι)και (Ι)’-> f΄(x0)=2Άρα η y=λx+β γίνεται y=2x+βΑπό τη σχέση f΄(x0)=2 έχω 2 2   x0  12 222 x0 1  x0  1 2  1  x02  2x0  1  1  x02  2x0  0  x0 x0  2  0   x0  0  0  x0  2x0  2Επομένως τα σημεία επαφής είναι ταΜ(χ0,f(x0))=Μ(0,f(0))=M(0,0)www.mathschool-online.gr/elearning

www.mathschool-online.gr/elearning Και Μ΄(χ0,f(x0))=Μ΄(-2,f(-2))=M(-2,4) Το σημείο M(0,0)επαληθεύει την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της f ,επομένως η y=2x+β γίνεται 0=2.0+β-> β=0 Άρα η εξίσωση y=2x+β της εφαπτομένης γράφεται y=2x Το σημείο M(-2,4)επαληθεύει την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της f ,επομένως η y=2x+β www.mathschool-online.gr/elearning

www.mathschool-online.gr/elearning γίνεται 4=2(-2)+β->4=-4+β-> β=8 Άρα η εξίσωση y=2x+β της εφαπτομένης γράφεται y=2x+8 ΘΕΜΑ 6ο Ένας βιομήχανος επενδύει σε μια εταιρεία 49 χιλιάδες ευρώ και σε t  0 μήνες από σήμερα τοσυνολικό του ποσό είναι P(t)=49+6t2-t3 χιλιάδες ευρώ 1)Σε πόσους μήνες ο βιομήχανος πρέπει νααποσύρει το συνολικό του ποσό από την εταιρεία; 2)Να βρείτε το πραγματικό λ ώστε η εφαπτομένητης γραφικής παράστασης της g με g(t)=e-λt . P(t), t  0στο σημείο της Α(1,g(1)) να είναι παράλληλη στον άξονα xx΄ Λύση www.mathschool-online.gr/elearning

www.mathschool-online.gr/elearning1)Ο βιομήχανος θα αποσύρει τα χρήματά του όταν το ποσό της επένδυσής του που δίνεται από τη σχέση P(t)=49+6t2-t3 φτάσει στο maximum δηλαδή όταν η συνάρτηση P(t) μεγιστοποιηθεί Γνωρίζω πώς όταν P΄(t0)=0 , με t  0  και P΄(t0)>0 στο 0, t0  Ενώ P΄(t0)<0 στο t0,  Τότε η P(t) παρουσιάζει μέγιστο στο t=t0 Επομένως P΄(t)= ( 49+6t2-t3 )΄=2t.6-3t2 P΄(t)=12t-3t2 θέλω P΄(t)=0-> 12t-3t2=0->3t(4-t)=0->t=0 ή t=4 Όμως t  0 Σχηματίζω το παρακάτω πίνακα www.mathschool-online.gr/elearning

www.mathschool-online.gr/elearning t0 (0,4) 4 (4,+∞) + 0 -P΄(t)=3t(4-t) Mέγιστο για t=4 P(t) Επομένως ο ζητούμενος χρόνος είναι t=4 μήνες 2)Θέλω η εφαπτομένητης γραφικής παράστασης της g με g(t)=e-λt . P(t), t  0στο σημείο της Α(1,g(1)) να είναι παράλληλη στον άξονα xx΄Αυτό σημαίνει ότι o συντελεστής διεύθυνσής της εφαπτομένης g΄(1) θα είναι μηδέν Δηλαδή g΄(1)=0 Υπολογίζω το g΄(t) g΄(t)=(e-λt . P(t))΄=( e-λt)΄. P(t) + (e-λt) . P(t)΄ g΄(t)=-λ e-λt . P(t) + (e-λt) . P(t)΄ Επομένως g΄(1)=-λe-λ . P(1) + e-λ . P(1)΄ (1) www.mathschool-online.gr/elearning

www.mathschool-online.gr/elearning Όμως P΄(1)=12.1-3.12 =12-3=9 P(1)= 49+6.12-13 =49 +6 -1 =48+6=54 Άρα η (1) γίνεται g΄(1)=-λe-λ . 54+ 9 e-λ θ’ελω g΄(1)=0 επομένως-λe-λ . 54+ 9 e-λ =0-> e-λ(-54λ +9)=0->-54λ +9=0-> -54λ=-9->λ=9/54 λ=1/6 Καλή επιτυχία ! Για οπιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το http://www.mathschool-online.gr/elearning www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschoolonline.org/ Επαναληπτικά προτεινόμενα θέματα εξετάσεων και αναλυτικές απαντήσεις στα «Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής» της Γ΄Λυκείου Διαφορικός λογισμός ΘΕΜΑ 10 (4,5 μονάδες) Στο καρτεσιανό επίπεδο Οxy δίνονται τα σημεία Α(x,0) με x>0 και B(0, 11)1)Να εκφράσετε ως συνάρτηση του x την απόσταση d=(AB) 2)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης3)Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της απόστασης d ως προς x όταν x=5 Λύση http://www.mathschoolonline.org/

http://www.mathschoolonline.org/ 1)Εφαρμόζω το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο ΑΟΒ και έχω (ΑΒ)2  d2  (OA)2  (OB)2 d2  x2  ( 11)2 d2  x2  11 d  x2  11  d(x)  x2  112)Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης d(x) είναι το R ,εφόσον για κάθε πραγματικό x η παράσταση d(x)  x2  11 έχει νόημα πραγματικού αριθμού3)Ο ρυθμός μεταβολής της απόστασης d(x) όταν x=5 είναι η τιμή f΄(5) Επομένως   f(x)  x2  11   12 x2  11 x2  11 f(x)  1 2x  x2 x2  11 x2  11 Για x=5 έχωhttp://www.mathschoolonline.org/

http://www.mathschoolonline.org/f(5)  5 5f(5)   25  11 52  11 5  5 36 6 ΘΕΜΑ 20 (4,5 μονάδες)Να βρείτε την τιμή του α ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x)=αx(2-x) στο σημείο της 1)(1,f(1)) να είναι παράλληλη στον άξονα x΄x2)(0,f(0)) να σχηματίζει γωνία 300 με τον άξονα x΄x Λύση 1)Η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x)=αx(2-x) στο σημείο της (1,f(1)) είναι παράλληλη στον x΄x εάν ισχύει η εξής συνθήκη f΄(1)=0 http://www.mathschoolonline.org/

http://www.mathschoolonline.org/ Eπομένως f(x)  αx 2  x  α x 2  x f(x)  α[x2  x  x 2  x] f(x)  α[2  x  x 1] f(x)  α[2  x  x]  α(2  2x) f(x)  2α(1  x) Θέλω να ικανοποιείται η συνθήκη f΄(1)=0 Eπομένως f΄(1)=2α(1-1)=0 2α.0=0 α.0=0 (Ι) Η εξίσωση (Ι) ικανοποιείται για όλα τα α πουανήκουν στο σύνολο R των πραγματικών αριθμών Επομένως η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x)=αx(2-x) στο σημείο της (1,f(1)) είναι παράλληλη στον x΄x για κάθε πραγματικό αριθμό α http://www.mathschoolonline.org/

http://www.mathschoolonline.org/ 2)Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x)=αx(2-x) στο σημείο της(0,f(0)) να σχηματίζει γωνία 300 με τον άξονα x΄x Όταν f΄(0)=εφ300 f(0)  3 3 Όμωςf(x)  2α(1  x) Επομένως2α(1  0)  3 32α  3  α  3 3 6 ΘΕΜΑ 30 (5,5 μονάδες)Μια μπάλα ρίχνεται κατακόρυφα προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα 19,6 m/sΗ απόσταση S σε μέτρα της μπάλας από το έδαφος είναιhttp://www.mathschoolonline.org/

http://www.mathschoolonline.org/ S=-4,9t2 + 19,6t όπου ο χρόνος t μετριέται σεδευτερόλεπτα και ξεκινά να μετράει από τη στιγμή που ρίχνεται η μπάλα 1)Ποιά είναι η ταχύτητα της μπάλας μετά από χρόνο t2)Ποιά είναι η ταχύτητα της μπάλας στο τέλος του πρώτου δευτερολέπτου ;3)Πότε η μπάλα θα φτάσει στο πιο ψηλό σημείο της διαδρομής της; 4)Πόσα μέτρα θα έχει διανύσει τότε η μπάλα; 5)Πόσο χρόνο παραμένει η μπάλα στον αέρα;6)Ποιό είναι το συνολικό διάστημα που θα διανύσει η μπάλα μέχρι να επιστέψει στο έδαφος Λύση 1)Η ταχύτητα της μπάλας μετά από χρόνο t είναι υ(t)=s΄(t)=( -4,9t2 + 19,6t)΄=-2.4,9t+19,6=- 9,8t+19,6 2)Για t=1s είναι υ(1)=s΄(1)=-9,8.1+19,6=9,8m/s 3)Η μπάλα θα φτάσει στο υψηλότερο σημείο της διαδρομής της όταν υ(t)=0 Επομένως υ(t)= -9,8t+19,6=0 http://www.mathschoolonline.org/

http://www.mathschoolonline.org/ -9,8t=-19,6 t=2m/s4)Για t=2m/s το διάστημα που θα έχει διανύσει η μπάλα θα είναι S(2)= -4,9.22 + 19,6t=19,6m5)Θέλω να παραμείνει η μπάλα στον αέρα,δηλαδή θέλω το διάστημα S να είναι μηδέν Επομένως θέτω στη σχέση S(t)=-4,9t2 + 19,6t S(t)=0 και λύνω ως προς t Επομένως -4,9t2 + 19,6t=0 t(-4,9t+19,6)=0 t=0 ή -4,9t+19,6=0-> -4,9t=-19,6-> t=4m/s http://www.mathschoolonline.org/