Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 157 σελίδες

http://www.mathschoolonline.org/ 6)Γνωρίζω ότι το διάστημα που θα διανύσει η μπάλα για να φτάσει στο υψηλότερο σημείο της διαδρομής της είναι 19,6m Επομένως συμπεραίνουμε ότι για να κατέβει θα διανύσει επίσης το ίδιο διάστημα,δηλαδή 19,6m Επομένως το συνολικό διάστημα που θα διανύσει η μπάλα μέχρι να επιστρέψει στο έδαφος είναι S=Διάστημα που ανέβηκε + Διάστημα που κατέβηκε=19,6+19,6=39,2m ΘΕΜΑ 40 (5,5 μονάδες) Για να πραγματοποιηθεί μια αεροπορική πτήση απαιτείται η συμμετοχή 100 τουλάχιστον ατόμων Αν δηλώσουν συμμετοχή ακριβώς 100 άτομα τοεισητήριο ανέρχεται σε 10 χιλιάδες ευρώ το άτομο Για κάθε επιπλέον άτομο το αντίτιμο μειώνεται κατά 50 ευρώΑν επιπλέον των 100 ατόμων δηλώσουν συμμετοχή x άτομα τότε http://www.mathschoolonline.org/

http://www.mathschoolonline.org/ 1)Να βρεθεί η τιμή του εισητηρίου ως συνάρτηση του x 2)Να εκφραστούν τα έσοδα από την πτήση ως συνάρτηση του x 3) Να βρεθεί ο ρυθμός που μεταβάλλονται τα έσοδα αν κάποια στιγμή έχουν δηλώσουν συμμετοχή 120 άτομα4)Να βρεθεί το πλήθος των ατόμων που θα πρέπεινα δηλώσουν συμμετοχή,ώστε η εταιρεία να έχει τα μέγιστα έσοδα Λύση1)Εφόσον για κάθε άτομο άνω των 100 η έκπτωση είναι 50 ευρώ =0,05 χιλιάδες ευρώ η συνολική έκπτωση από τη συμμετοχή 100+x ατόμων θα είναι 0,05x χιλιάδες ευρώ Eπομένως η τιμή του εισητηρίου θα είναι Τ(x)=10-0,05x, x>0 2)Τα έσοδα της εταιρείας θα είναι Ε(x)=(100+x)(10-0,005x)Διότι συμμετέχουν στην πτήση (100+x) άτομα και το καθένα πληρώνει (10-0,05x) ευρώ 3) Ο ρυθμός που μεταβάλλονται τα έσοδα είναι Ε΄(x)= [(100+x)(10-0,05x)]΄ http://www.mathschoolonline.org/

http://www.mathschoolonline.org/Ε΄(x)= (100+x)΄ (10-0,05x)+ (100+x) (10-0,05x)΄ Ε΄(x)=1. (10-0,05x)+ (100+x)(-0,05) Ε΄(x)=10-0,05x-5-0,05x=5-0,10x Ε΄(x) =5-0,10x (Ι) Tη στιγμή που τα άτομα που έχουν δηλώσει συμμετοχή είναι 120 έχω x0=120-100=20 Άρα ο ζητούμενος ρυθμός είναι (Ι)-> Ε΄(x)= 5-0,10x για x=x0=20 Ε΄(20)= 5-0,10.20=5-2=3 χιλιάδες ευρώ 4)Ο ρυθμός που μεταβάλλονται τα έσοδα είναι Ε΄(x)= 5-0,10x Ο ρυθμός μηδενίζεται ,δηλαδή Ε΄(x)= 0 ισοδύναμα 5-0,10x=0 Όταν x=50 http://www.mathschoolonline.org/

http://www.mathschoolonline.org/Κατασκευάζω τον πίνακα προσήμου για την Ε΄(x)= 50-x x 0 50 +∞ +0 -E΄(x)E(x) Μέγιστο Επομένως η συνάρτηση Ε(x)=(100+x)(10- 0,05x)Παρουσιάζει μέγιστο , δηλαδή μέγιστα έσοδα όταν x=50 Δηλαδή όταν δηλώσουν συμμετοχή 100+50=150 άτομα Για οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το http://www.mathschoolonline.org/ Σύνολο 20 μονάδες Καλή επιτυχία !http://www.mathschoolonline.org/

http://www.mathschoolonline.org/ Επαναληπτικά συνδιαστικά θέματα Μαθηματικά & Στοιχεία Στατιστικής Γ΄Λυκείου ΘΕΜΑ 1ο Ένας βιομήχανος επενδύει σε μια εταιρεία 49 χιλιάδες ευρώ και σε t  0 μήνες από σήμερα το συνολικό του ποσό είναι P(t)=49+6t2-t3 χιλιάδες ευρώ1)Σε πόσους μήνες ο βιομήχανος πρέπει να αποσύρει το συνολικό του ποσό από την εταιρεία; 2)Να βρείτε το πραγματικό λ ώστε η εφαπτομένητης γραφικής παράστασης της g με g(t)=e-λt . P(t), t  0 στο σημείο της Α(1,g(1)) να είναι παράλληλη στον άξονα xx΄ Λύση 1) Ο βιομήχανος θα αποσύρει τα χρήματά του όταν το ποσό της επένδυσής του που δίνεται από τη σχέση P(t)=49+6t2-t3 φτάσει στο maximum δηλαδή όταν η συνάρτηση P(t) μεγιστοποιηθεί Γνωρίζω πώς όταν P΄(t0)=0 , με t  0  και P΄(t0)>0 στο 0, t0  Ενώ P΄(t0)<0 στο t0,  Τότε η P(t) παρουσιάζει μέγιστο στο t=t0 Επομένως P΄(t)= ( 49+6t2-t3 )΄=2t.6-3t2 P΄(t)=12t-3t2 http://www.mathschoolonline.org/

http://www.mathschoolonline.org/ θέλω P΄(t)=0->12t-3t2=0->3t(4-t)=0->t=0 ή t=4 Όμως t  0 Σχηματίζω το παρακάτω πίνακα t0 (0,4) 4 (4,+∞) + 0 -P΄(t)=3t(4-t) Mέγιστο για P(t) t=4Επομένως ο ζητούμενος χρόνος είναι t=4 μήνες 2) Θέλω η εφαπτομένητης γραφικής παράστασης της g με g(t)=e-λt . P(t), t  0 στο σημείο της Α(1,g(1)) να είναι παράλληλη στον άξονα xx΄Αυτό σημαίνει ότι o συντελεστής διεύθυνσής της εφαπτομένης g΄(1) θα είναι μηδέν Δηλαδή g΄(1)=0 Υπολογίζω το g΄(t) g΄(t)=(e-λt . P(t))΄=( e-λt)΄. P(t) + (e-λt) . P(t)΄ g΄(t)=-λ e-λt . P(t) + (e-λt) . P(t)΄ Επομένως g΄(1)=-λe-λ . P(1) + e-λ . P(1)΄ (1) http://www.mathschoolonline.org/

http://www.mathschoolonline.org/ Όμως P΄(1)=12.1-3.12 =12-3=9 P(1)= 49+6.12-13 =49 +6 -1 =48+6=54 Άρα η (1) γίνεται g΄(1)=-λe-λ . 54+ 9 e-λ θ’ελω g΄(1)=0 επομένως-λe-λ . 54+ 9 e-λ =0-> e-λ(-54λ +9)=0->-54λ +9=0-> -54λ=-9->λ=9/54 λ=1/6 http://www.mathschoolonline.org/