Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 157 σελίδες

www.mathschool-online.com ΔείγμαΤο υποσύνολο του πληθυσμού που θα μελετήσω Αντιπροσωπευτικό Δείγμα:To aξιόπιστο δείγμα,όπου τα αποτελέσματα από τη μελέτη του δείγματος αυτού θα ισχύουν με ικανοποιητική ακρίβεια για ολόκληρο το πληθυσμό. Συχνότητα νiΟ φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή xi τηςεξεταζόμενης μεταβλητής ΧΜέγεθος δείγματοςν1 +ν2 +...+νκ =νΣχετική συχνότηταfi = νi , i=1,2,...,κ νwww.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com Ιδιότητες i) 0  fi  1 ii) f1+f2+...+fκ =1 Αθροιστική συχνότηταΝi=ν1+ν2+...+νi, i=1,2,...,κοπότε ν1=Ν1, ν2=Ν2-Ν1,...,νκ=Νκ-Νκ-1 Αθροιστική σχετική συχνότητα Fi=f1+f2+...+fi , i=1,2,...,κ οπότε f1=F1, f2=F2-F1,..., fκ=Fκ-Fκ-1 Καμπύλες συχνοτήτων(α) (β) (γ) (δ)Η κατανομή (α) λέγεται ομοιόμορφη διότι οιπαρατηρήσεις κατανέμονται ομοιόμορφα σε ένα διάστημα α,β www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.comΗ κατανομή (β) με κωδωνοειδή μορφή λέγεται κανονική κατανομή διότι οιπαρατηρήσεις κατανέμονται συμμετρικά γύρω από μια κατακόρυφη ευθεία.Η κατανομή (γ) λέγεται ασύμμετρη με θετική ασυμετρία διότι οι παρατηρήσεις δεν κατανέμονται συμμετρικάΗ κατανομή (δ) λέγεται ασύμμετρη με αρνητική ασυμετρία διότι οιπαρατηρήσεις δεν κατανέμονται συμμετρικά.Μέση ΤιμήΤο άθροισμα των παρατηρήσεων δια το πλήθος των παρατηρήσεωνx= t1+t2+...+tν=1ν ti ν i=1 νwww.mathschool-online.com

www.mathschool-online.comΑν x1,..., xκ είναι οι τιμές της μεταβλητής Χ με συχνότητες ν1,...,νκ τότε x= x1ν1+...+xkνκ=1κxiνiκxifi ν i=1 i=1 ν Μέτρα διασποράς Τα μέτρα διασποράς ή μεταβλητότηταςεκφράζουν τις αποκλίσεις των τιμών μιαςμεταβλητής γύρω από τα μέτρα κεντρικής τάσης (x) Τα σπουδαιότερα μέτρα διασποράς είναι το εύρος,η διακύμανση, η τυπική απόκλιση.  Εύρος R=Μεγαλύτερη Παρατήρηση- Μικρότερη Παρατήρηση. www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.comΔιακύμανσηΑν t1, t2,..., t οι παρατηρήσεις μιαςμεταβλητής Χ με μέση τιμή x ,τότεη διακύμανση ή διασπορά ορίζεταιως εξής :s2 =1ν(x-ti)2 ν i=1Aν μια μεταβλητή παίρνει τιμές χiμε αντίστοιχες συχνότητες νi με μέση τιμή xΤότε η διακύμανση της μεταβλητής ορίζεται ως εξής:  s2= 1ν 2 ν i=1 νi x-xiΤυπική απόκλιση s  s2Στην Κανονική καμπύλη συχνοτήτων ηwww.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com Η τυπική απόκλιση έχει τις εξής ιδιότητες: s sTo 68% των x 3s x 2s x  s x x  s x 2s x 3sπαρατηρήσε-ων 68%βρίσκεται στο 95% 99,7% διάστημα x-s,x+sΤο 95% των sπαρατηρήσε-ων sβρίσκεται στοδιάστημα x 3s x 2s x  s x x  s x 2s x 3s x-2s, x+2s 68%  95% 99,7%www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.comΤο 99,7% των sπαρατηρήσε-ων sβρίσκεται στοδιάστημα x 3s x 2s x  s x x  s x 2s x 3s x-3s, x+3s 68%  95% 99,7% Το εύρος R είναι περίπου ίσο με 6 τυπικές αποκλίσεις. Συντελεστής μεταβολής CV Είναι ένα μέτρο σύγκρισης ομάδων τιμών οι οποίες έχουν διαφορετικές μέσες τιμές.Με άλλα λόγια ο συντελεστής μεταβολής CV εκφράζει τη μεταβλητότητα των δεδομένων απαλλαγμένη από την επίδραση της μέσης τιμήςwww.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com CV= τυπική απόκλιση = S μέση τιμή X Ομοιογενές δείγμα τιμών Ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής είναιομοιογενές όταν ο συντελεστής μεταβολής του,δηλ.ο CV δεν ξεπερνά το 10% Πιθανότητες Ορισμός της πιθανότηταςΣε ένα πείραμα με ισοπίθανα δυνατά αποτελέσματα ως πιθανότητα του ενδεχομένου Α ορίζω τον αριθμό: P A = Πλήθος ευνοικών περιπ/σεων Πλήθος δυνατών περιπ/σεωνP A = Ν Α ΝΩόπου Ω είναι ο δειγματικός χώρος του πειράματος www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.comΙΔΙΟΤΗΤΕΣP Ω = Ν Ω =1 Ν ΩP  = Ν 0 =0 ΩΓια κάθε ενδεχόμενο Α ισχύει0  PA  1 Kανόνες λογισμού πιθανοτήτων Αν Α,Β δυο ασυμβίβασταενδεχόμενα,δηλ.ξένα μεταξύ τους ή αμοιβαία αποκλεισμένα τότε Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα Α και Β είναι PA B=PA+PBΑν Α,Α΄ δυο συμπληρωματικά ενδεχόμενα τότεwww.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com P A +P A΄ =1Οπότε η πιθανότητα να μη πραγματοποιηθεί το Α είναι PA+PA΄=1  PA΄=1-PA Προσθετικός νόμος Για δυο ενδεχόμενα Α,Β, μη ασυμβίβαστα του δειγματικού χώρου Ω η πιθανότητα ναπραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα Α και β είναι: PA B=PA+PB-PA B Συνέχεια των ιδιοτήτων Αν για δυο ενδεχόμενα Α,Β A  B, τότε PA  PB Χρήσιμα για τις ασκήσεις !Η πιθανότητα να μη πραγματοποιηθείκανένα από τα Α και Β είναι: www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com PA  B΄=1-PA  B Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β είναι P A-B  B-A = P A-B +P B-A, διότι τα A-B, B-A είναι ασυμ/βαστα Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα Α και B είναι PA  B=PA+PB-PA BΌταν τα Α,Β είναι ασυμ/βασταP A  B=0, οπότεPA  B=PA+PBΕάν έχεις οποιαδήποτε απορίαεπικοινώνησε με το mathschool  online ! Καλή Ανάγνωση! www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.gr/elearning Θέμα 1ο A.α) Πότε μια συνάρτηση f λέγεται παράγωγίσιμη σε ένα σημείοτου πεδίου ορισμού της και τι εκφράζει η παράγωγος της f στο στη γραφική της παράσταση; Μονάδες 4β) Αν η συνάρτηση f(x) είναι παραγωγίσιμη και c είναι η πραγματική σταθερά να αποδείξετε ότι Μονάδες 4 Aπάντηση α) Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της όταν το υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός Η παράγωγος της f στο http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning στη γραφική της παράσταση εκφράζει το συντελεστήδιεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο β)Έστω παραγωγίζω Β . α) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις σημειώνοντας το αντίστοιχο γράμμα Σ (ΣΩΣΤΌ )ή Λ (ΛΑΘΟΣ) i) Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο ii)O ρυθμός μεταβολής της θέσης ενός κινητού πουκινείται ευθύγραμμα πάνω σε άξονα ως προς το χρόνο είναι η επιτάχυνση του κινητού http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning iii)Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο είναι Aπάντηση i)Λ,ii)Λ (είναι η ταχύτητα) iii)Σ επεξήγηση Η εξίσωση εφαπτομένης στο είναι Εύρεση του α επομένως ηhttp://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning γράφεται Άρα Μονάδες 9Β. β) Να αντιστοιχίσετε κάθε συνάρτηση της στήλης Α με τη παράγωγο της στήλης Β Στήλη Α Στήλη Β 1α 2β 3γ 4δ 1δ http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning Οπότε 2α Οπότε 3β Οπότε 4γhttp://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning Οπότε Μονάδες 8 Θέμα 2οΗ πιθανότητα ένας μαθητής να γράψει καλά ένα μάθημα Α είναι P(A)=70% και για να γράψει καλά και στο μάθημα Α και σε ένα άλλο μάθημα Β είναι ανάλογα με το χρόνο διαβάσματος στο μάθημα Α . Να βρεθεί η πιθανότητα ώστε ο μαθητής να γράψεικαλά στο μάθημα Β ή να μη γράψει καλά στο μάθημα Α Μονάδες 10 Β.Να αποδειχθεί ότι α) Μονάδες 8 β) η μεγαλύτερη πιθανότητα για να μη γράψει καλά ο μαθητής ούτε στο μάθημα Α ούτε στο μάθημα Β είναι 30% Μονάδες 7 Λύση http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearningΗ πιθανότητα ο μαθητής να γράψει καλά στο μάθημα Β ή να μη γράψει καλά στο μάθημα Α είναι Γνωρίζω ότι Όμως οπότε η (1) γίνεται Όμως άρα η (2) γίνεται Β.α) http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning Άρα Γνωρίζω ότι Όμως Επομένως η (2) γίνεται Από τις (1) και (3) έχωβ) Η πιθανότητα για να μη γράψει καλά ο μαθητής ούτε στο μάθημα Α ούτε στο μάθημα Β είναι Όμως http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning Επομένως η (1) γίνεται Απέδειξα ότι Επομένως η (4) γίνεται Η παραπάνω σχέση λόγω της (5) γίνεταιΕπομένως η μεγαλύτερη πιθανότητα για να μη γράψει καλά ο μαθητής http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning ούτε στο μάθημα Α ούτε στο μάθημα Β είναι 30% Θέμα 3οΗ θέση ενός σώματος που κινείται πάνω σε έναν άξονα την τυχαία χρονική στιγμή δίνεται σε από τη συνάρτηση α) Να βρείτε τη χρονική στιγμή που το είναι ελάχιστο Επίσης να εξετάσετε αν ισχύει Μονάδες 15 β)Να εξετάσετε αν η ταχύτητα του κινητού συνεχώς αυξάνεται Μονάδες 10 Λύση α)Παραγωγίζω τη συνάρτηση http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning Επομένως έχω Σχηματίζω το πίνακα της μονοτονίαςπαρατηρώ από το πίνακα ότι τη χρονική στιγμή το είναι ελάχιστο Εξετάζω αν ισχύει Έχωhttp://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning Έστω Ισχύει εφόσον β)H ταχύτητα του κινητού δίνεται από τη σχέση για κάθε Επομένως η είναι γνησίως αύξουσα , επομένως η ταχύτητα του σώματος συνεχώς αυξάνεται Θέμα 4οΣε μια εταιρεία εργάζονται 120 υπάλληλοι ειδικευμένοι και ανειδίκευτοι με μέσο εβδομαδιαίο μισθό 200 http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearningευρώ.Οι ανειδίκευτοι έχουν μέσο εβδομαδιαίο μισθό 168 ευρώ και οι ειδικευμένοι 208 ευρώ Α Να βρείτε πόσοι είναι οι ανειδίκευτοι και πόσοι οι ειδικευμένοι υπαλληλοι τη παραπάνω εταιρείας Μονάδες 12 Β Αν οι εβδομαδιαίοι μισθοί των ανειδίκευτων είναι ίδιοι,καθώς επίσης και των ειδικευμένων να εξατάσετε αν οι μισθοί όλων των 120 υπαλλήλων αποτελούν ένα δείγμα ομοιογενές Μονάδες 13 Λύση A Έστω χ οι ανειδίκευτοι και y οι ειδικευμένοι υπάλληλοι Έχω Επομένως η μέση τιμή όλου του δείγματος των ειδικευμένοι και των ανειδίκευτων είναι Aπό τις (1) και (2) έχω http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearningΛύνω το σύστημα με τη μέθοδο της αντικατάστασης και βρίσκω και B Oι εβδομαδιαίοι μισθοί των ανειδίκευτων είναι ίδιοικαι ίσοι με 168 ευρώ,καθώς επίσης και των ειδικευμένων είναι ίδιοι και ίσοι με 208 ευρώ τότε CV=8%<10% Επομένως το δείγμα είναι ομοιογενές Αν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool-online! Kαλή επιτυχία http://www.mathschool-online.gr/elearning

www.mathschool-online.com Διαδικτυακό Φροντιστήριο Μαθηματικών Θεωρία και παραδείγματα Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ΄ Λυκείου Περιγραφική Στατιστική Διαφορικός Λογισμός Πιθανότητες Βασικές έννοιες Πληθυσμός Ένα σύνολο που θέλουμε να εξετάσουμε ταστοιχεία του ως προς κάποιο χαρακτηριστικό τους Μεταβλητές www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com Τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε ένα πληθυσμό Τιμές της μεταβλητήςΟι τιμές που μπορεί να πάρει μια μεταβλητή Μεταβλητές 1.ΠοιοτικέςΟι τιμές τους δεν είναι αριθμοί,π.χ η ομάδα αίματος 2.Ποσοτικές 2i) Διακριτές Παίρνουν μόνο μεμονωμένες τιμές, π.χ 1,2,3,κλπ 2ii) Συνεχείς Παίρνουν τιμές σε ένα διάστημα (α,β) Δείγμα www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com Το υποσύνολο του πληθυσμού που θα μελετήσω Αντιπροσωπευτικό ΔείγμαΑξιόπιστο Δείγμα,τα αποτελέσματα από τημελέτη του δείγματος αυτού θα ισχύουν μεικανοποιητική ακρίβεια για ολόκληρο τοπληθυσμό. Συχνότητα νiΟ φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορέςεμφανίζεται η τιμήxiτης εξεταζόμενης μεταβλητής Χ Μέγεθος δείγματος ν1 +ν2 +...+νκ =ν www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.comΣχετική συχνότηταfi = νi , i=1,2,...,κ ν Ιδιότητες i)0≤fi≤1ii) f1+f2+...+fκ=1Αθροιστική συχνότηταΝi=ν1+ν2+...+νi, i=1,2,...,κοπότε ν1=Ν1, ν2=Ν2-Ν1,...,νκ =Νκ -Νκ-1 Αθροιστική σχετική συχνότηταFi=f1+f2+...+fi , i=1,2,...,κοπότε f1=F1, f2=F2-F1,..., fκ=Fκ-Fκ-1 Διαγράμματα συχνοτήτων Ραβδόγραμμαwww.mathschool-online.com

www.mathschool-online.comΧρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποιοτικής μεταβλητής. ΠαράδειγμαΓια ένα δείγμα 40 μαθητών μιάς σχολικής τάξης έχουμε τον παρακάτω πίνακα κατανομής συχνοτήτων για τη μεταβλητή Χ: απασχόληση των μαθητών μιας τάξης στον ελεύθερο χρόνοi Xi νi fi fi% 451 Διασκέδαση 18 0,45 30 12,52 Τηλεόραση 12 0,3 7,5 53 Αθλητισμός 5 0,125 1004 Η/Υ 3 0,0755 Άλλο 2 0,05Σύνολο 40 1 www.mathschool-online.com www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com 18 Ραβδόγραμμα συχνοτήτων 16 www.mthschool-online.com 14 12 Συχνότητα 10 18 8 12 6 5 4 3 2 2 0ΔιασκέδασηΤηλεόρασηΑθλητισμόςΗ/ΥΆλλοwww.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com 45 Ραβδόγραμμα σχετικών 3224300550 συχνοτήτων % 1105 www.mathschool-online.com 05 Σχετική Συχνότητα %Διασκέδαση 45Τηλεόραση 30Αθλητισμός 12,5Η/Υ 7,5Άλλο 5 Κυκλικό διάγραμμα Αν συμβολίσουμε με iτο αντίστοιχο τόξο του κυκλικού τμήματος στο κυκλικό διάγραμμα έχουμε α i = 360 0 f i , i = 1 , 2 , 3 , ... , κ www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.comi xi fi% α i = 360 0 f i 162 01 Διασκέδαση 108 0 45 45 02 Τηλεόραση 27 0 30 18 03 Αθλητισμός 12,5 360 04 Η/Υ 7,55 Άλλο 5Σύνολο 100 www.mathschool-online.com www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com Κυκλικό διάγραμμα Σχετική συχνότητα % www.mathschool-online.com Διασκέδαση Τηλεόραση Αθλητισμός Η/Υ Άλλο 12% 8%5% 45% 30% Ιστόγραμμα συχνοτήτων Το ιστόγραμμα συχνοτήτων είναι η γραφική παράσταση ενός πίνακα συχνοτήτων με ομαδοποιημένα δεδομένα.Στον οριζόντιο άξονα σημειώνουμε τα όρια των κλάσεων και στη συνέχεια κατασκευάζουμε ορθογώνια που η βάση τους β είναι ίση με το πλάτος c της κλάσης και το ύψος τους www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com υi είναιτέτοιο ώστεΕ = β.υi = i iόπουβ = c το πλάτοςτης κλάσης. Εάν οι κλάσεις είναι ίσου πλάτους τότε το πλάτος θεωρείται ως μονάδα μέτρησης στονοριζόντιο άξονα, ενώ το ύψος κάθε ορθογωνίου είναι ίσο με τη συχνότητα της αντίστοιχης κλάσης.Επομένωςστον κατακόρυφο άξονα του ιστογράμματος παριστάνονται οι συχνότητες.Πολύγωνο συχνοτήτωνΕάν στο ιστόγραμμα συχνοτήτων θεωρήσουμεwww.mathschool-online.com

www.mathschool-online.comδυο ακόμη υποθετικές κλάσεις ,στην αρχή και το τέλος, συχνότητας μηδέν, και στη συνέχεια ενώσουμε τα μέσα των άνω βάσεων των ορθογωνίων,δηλαδή τα σημεία  x i ,  i όπου xi η κεντρική τιμή της κλάσης i και i η αντίστοιχη συχνότητά της, τότε η γραμμή που προκύπτει ονομάζεται πολύγωνο συχνοτήτων. Παράδειγμα Δίνεται ο πίνακας των ομαδοποιημένων παρατηρήσεων της μεταβλητής Χ: Μέγιστη θερμοκρασία μιας πόλης στη διάρκεια μιας ημέρας. www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.comΘερμοκρασία Συχν. Αθροιστική Σχετική Αθροιστική σε βαθμούς i συχνότητα συχνότητα Σχ. Συχν. Κελσίου i fi % Fi %[ 20 , 22 ) 3 3 5 5[ 22 , 24 ) 9 12 15 20[ 24 , 26 ) 70[ 26 , 28 ) 30 42 50 95[ 28 , 30) 100 15 57 25 Σύνολο 3 60 5 60 100 www.mathschool-online.com www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com35 Iστόγραμμα συχνοτήτων30 www.mathschool-online.com25201510 5 0 [20,22) [22,24) [24,26) [26,28) [28,30) Πολύγωνο συχνοτήτων www.mathschool-online.com40302010 0 [20,22) [22,24) [24,26) [26,28) [28,30) www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.comΚλάσεις Κεντρική τιμή των κλάσεων xi[20,22) (20+22)/2 =21[22,24) (22+24)/2 =23[24,26) (24+26)/2 =25[26,28) (26+28)/2 =27[28,30) (28+30)/2 =29www.mathschool-online.comΓια τη κατασκευή του πολυγώνου συχνοτήτων Kορυφές πολυγώνου συχνοτήτων (xi,νi) (21,3) (23,9) (25,30) (27,15) (29,3) www.mathschool-online.com www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com χρειάστηκαν οι κεντρικές τιμές των κλάσεων εφόσον οι κορυφές του πολυγώνου είναι τα σημεία με συντεταγμένες (xi,νi) Ιστόγραμμα και Πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων Το ιστόγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων κατασκευάζεται ανάλογα μα εκείνο των συχνοτήτων. Το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτωνσχηματίζεται εάν ενώσουμε τα δεξιά άκρα των άνω βάσεων των ορθογωνίων. Ιστόγραμμα και Πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων Το ιστόγραμμα αθροιστικών ΣΧΕΤΙΚΩΝσυχνοτήτων κατασκευάζεται ανάλογα μα εκείνο των συχνοτήτων. www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com Το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων σχηματίζεται εάν ενώσουμε ταδεξιά άκρα των άνω βάσεων των ορθογωνίων. Ακολουθούν τα παρακάτω γραφήματα : Ιστόγραμμα σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων % www.mathschool-online.com120100 80 60 40 20 0 [20,22) [22,24) [24,26) [26,28) [28,30) www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com Πολύγωνο σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων % www.mathschool-online.com120 (28,95%) (30,100%)100 80 (26,70%) 60 40 (24,20%) 20 (22,5%) 0 Kορυφές πολυγώνου σχ. αθρ. συχνοτήτων % (xi,Fi %) (22,5%) (24,20%) (26,70%) (28,95%) (30,100%) www.mathschool-online.com www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com Μέση ΤιμήΑν x1,..., xκ είναι οι τιμές της μεταβλητήςΧ με συχνότητες ν1,...,νκ τότε ορίζωTη μέση τιμή του δείγματος ως εξής: x= x1ν1+...+xkνκκ i=1 ν=1 κ xifi ν xiνi = i=1Μέτρα διασποράςΤα μέτρα διασποράς ή μεταβλητότητας εκφράζουντις αποκλίσεις των τιμών μιας μεταβλητήςγύρω από τα μέτρα κεντρικής τάσης (x)Τα σπουδαιότερα είναι το εύρος,η διακύμανση, η τυπική απόκλισηwww.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com Εύρος R=Μεγαλύτερη Παρατήρηση-Μικρότερη ΠαρατήρησηΔιακύμανσηΑν t1, t2,..., t οι παρατηρήσεις μιαςμεταβλητής Χ με μέση τιμή x ,τότεη διακύμανση ή διασπορά ορίζεταιως εξής :s2 =1ν(x-ti)2 ν i=1Aν μια μεταβλητή παίρνει τιμές χiμε αντίστοιχες συχνότητες νi με μέση τιμή x Τότε :η διακύμανση της μεταβλητής ορίζεται ως εξής:  s2= 1ν 2 ν i=1 νi x-xiwww.mathschool-online.com

www.mathschool-online.comΤυπική απόκλιση s  s2 Συντελεστής μεταβολής CV Είναι ένα μέτρο σύγκρισηςομάδων τιμών οι οποίες έχουν διαφορετικές μέσες τιμές. Με άλλα λόγιαο συντελεστής μεταβολής CV εκφράζει τη μεταβλητότητα των δεδομένων απαλλαγμένη από την επίδρασητης μέσης τιμής.Δίνεται από τον τύπο:CV= τυπική απόκλιση = Sμέση τιμή Xwww.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com Ομοιογενές δείγμα τιμών Ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής είναι ομοιογενές όταν ο συντελεστής μεταβολής του,δηλ.ο CV δεν ξεπερνά το 10%. Παράδειγμα Δυο τραπεζικοί οργανισμοί Α και Β που ο καθένας αποτελείται από 5 υποκαταστήματα ,είχαν ετήσιες δαπάνες (σε χιλιάδες ευρώ) για το οικονομικό έτος 2010 τα ποσά που Τραπ.Οργ.A 250 200 300 350 300 Τραπ.Οργ.Β 5000 5150 5100 5050 5100 αναγράφονται στον παραπάνω πίνακα i) Να βρεθούν οι μέσες τιμές xA , xB www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com των δαπανών για τους οργανισμούς Α και Βii) Nα βρεθούν οι τυπικές αποκλίσεις sA , sBiii) Να υπολογιστούν οι συντελεστές μεταβολής CVA , CVBiv) Με τη βοήθεια των τιμών C V A και C V B , τι συμπεραίνετε για τις τιμές της μεταβλητής << ετήσιες δαπάνες >> για τους οργανισμούς Α και Β ; Λύση xA = 250 + 200 + 300 + 350 + 300 5 www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com x A = 280 χιλιάδες ευρώxB =5000 + 5150 + 5100 + 5050 + 5100 5 x B = 5080 χιλιάδες ευρώ   250 - 280 2 + ... + 300 - 280 2 5= sA 2s A 2 = 2600 χιλιάδες ευρώwww.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com   5000 - 5080 2 + ... + 5100 - 5080 2 5= sB 2s Β 2 = 2600 χιλιάδες ευρώ Άρα sA = sΒ = 51 χ. ευρώ περίπου CVA = SA xA CVA = 51 280 = 18 , 21 %www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.comCVB = SB xBCVB = 51 5080= 1,00 % Επομένως : CVB < CVA Aυτό σημαίνει ότι:Η διασπορά των δαπανών σε σχέση με τομέσο όρο στον οργανισμό Α είναι πολύμεγαλύτερη από την αντίστοιχη διασποράτων δαπανών στον οργανισμό Β. Άραυπάρχει μεγαλύτερη ομοιογένεια στιςδαπάνες του οργανισμού Β.www.mathschool-online.com