Ψηφιακό βιβλίο Β Λυκείου Διανύσματα

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 1.ΣΕΛ.39 ΣΧ.Β. ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ y  O 2  x 2 x΄ y΄y  2  y  2 ή y  2 .Επομένως το y παίρνει τι-μές στο διάστημα ,  2 ή στο διάστημα 2,+Τα σημεία M(x, y) που αναζητώ βρίσκονται έξωαπό τις ευθείες y  2 και y  2 ,δηλαδή, έξω απότις παράλληλες στον xx΄ ευθείες y  2 και y  2

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 1.ΣΕΛ.39 ΣΧ.Β.y  x y ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ x΄ yx O x y΄x  y  y  x  y  x. Τα σημεία M(x, y)που αναζητώ βρίσκονται πάνω στις ευθείες y  x και y  x που είναι οι διχοτόμοι των γωνιών xOy,  x΄Oy΄ και x΄Oy, xOy΄ αντίστοιχα.

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 2.ΣΕΛ.39 ΣΧ.Β. yx΄  (x, y) y  MA x  MB O x  ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ y΄Έστω το σημείο (x, y) η απόσταση του σημείουΜ από τον άξονα xx΄ έναι το MA που ισούται με yκαι η απόσταση του σημείου Μ από τον άξονα yy΄είναι το ΜΒ που ισούται με x . Τις αποστάσεις τιςσυμβολίζω με απόλυτες τιμές γιατί ως ευθύγραμματμήματα έχουν πάντα θετικό μέτρο.

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 2.ΣΕΛ.39 ΣΧ.Β. y y 2 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ x 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΑ  x  1, y  2 2 x x΄ 1 O y΄Επομένως η απόσταση του σημείου Α( 1,2) από τονάξονα xx΄ είναι y  2  2 και η απόσταση του σημείουΑ( 1,2) από τον άξονα yy΄ είναι το x  1   1  1

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 2.ΣΕΛ.39 ΣΧ.Β. ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΟμοίως για το σημείο Β(x  3, y  4) , y  4 και x  3 3Για το σημείο Γ(x  5, y  6), y  6   6  =6 καιx  5   5  5.Για το σημείο Δ(x   1, y    2),y    2 και x   1 . Η απόσταση του σημείουΜ(x, y) από τον άξονα xx΄ έναι το y και η απόσταση τουσημείου Μ(x, y) από τον άξονα yy΄ είναι το x .

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 2.ΣΕΛ.39 ΣΧ.Β. ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΑν θέλεις μπορείς να σχεδιάσεις τα σημείαΒ(3, 4), Γ(5, 6), Δ( 1,   2), Μ(x, y)στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένωνκαθώς και τις αποστάσεις τους από τουςάξονες xx΄ και yy΄. Αν βρείς δυσκολίαεπικοινώνησε μαζί μου.

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 2.ΣΕΛ.39 ΣΧ.Β. ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θέλω το διάνυσμα  (x  2  4, y  2  3  2) να είναι το μηδενικό, δηλαδή οι συντεταγμένες του στο χώρο να είναι μηδενικές. Αυτό σημαίνει ότι x  0 και y  0. Ισοδύναμα πρέπει να ικανο- ποιούνται συγχρόνως και οι δύο σχέσεις x  2  4  0  και y  2  3  2    2  4     4    2   2  3  2  0 τριωνυμική εξίσωση

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 2.ΣΕΛ.39 ΣΧ.Β2  3  2  0 τριωνυμική εξίσωση,   1,  3,   2,    2  4  32  4.1.2 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ  9  8  1  0. Άρα έχει δύο άνισες και πραγμ.ρίζες 1, 2      3  1  31  2 2 2 1  31  4  2  2  2  1  31 2  2 2  2

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 2.ΣΕΛ.39 ΣΧ.Β ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΆρα για να ισχύει   Ο πρέπει να ικανο-ποιούνται συγχρόνως και η   2 καιοι 1  2, 2  1.Αυτό συμβαίνει όταν   2

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 3.ΣΕΛ.39 ΣΧ.Βy Μ(x, y) O  x ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗΤα διανύσματα παριστάνονται στο καρτεσιανό σύστη- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣμα συντεταγμένων ως εξής: Έχουν αρχή το σημείο Οδηλαδή την αρχή των αξόνων και πέρας ένα οποιοδή-ποτε σημείο Μ(x, y) του καρτεσιανού συστήματος με συντ/μένες x και y.Παριστάνονται ως  και οι αρι-θμοί x και y λέγονται συντεταγμένες τους.

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 3.ΣΕΛ.39 ΣΧ.Β ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΘέλω το  (x  2  4, y   2  3  2)   και / / x΄x. Δηλαδή θέλω το διάνυσμα  να μηνείναι το μηδενικό και να έχει την ίδια διεύθυνσημε τον οριζόντιο άξονα x΄x. Τα διανύσματα πουέχουν την ίδια διεύθυνση με τον x΄x έχουν y  0και x  0.Άρα πρέπει y  2  3  2  0  καιx  2  4  0   1  2 ή 2  1 και    2Επομένως πρέπει   1

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 4.ΣΕΛ.39 ΣΧ.Β ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Για να είναι τα διανύσματα  (2  3  2, 2 2  3  2) και  (2  5  6, 32  7  2) ίσα πρέπει οι αντίστοιχες συντετα- γμένες τους να είναι ίσες. Πρέ- πει 2  3  2  2  5  6  22  3  2  32  7  2

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 4.ΣΕΛ.39 ΣΧ.Β  3  5  2  6  2  4    4  2 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 2 22  32  3  2  7  2  0  52 10  05   2  0   5  0    0   2  0    2Επομένως για να επαληθεύεται και η  και η πρέπει   2

ΧΡΗΣΙΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑΔύο διανύσματα  (x1, y1) και  (x2, y2 ) έχουν την ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣίδια διεύθυνση (είναι συγγραμικά ή παράλληλα),δηλαδή ικανοποιούν τη συνθήκη παραλληλίας   αν και μόνο αν η ορίζουσα τους είναιμηδέν.Αυτό σημαίνει  //      x1 y1  0  y2 x2x1 y2  x2 y1  0

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 5.ΣΕΛ.39 ΣΧ.ΒΘέλω τα διανύσματα  (x1  x, y1  1) και ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ (x2  4, y2  x) να είναι ομόρροπα. Δηλαδή ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣνα έχουν την ίδια διεύθυνση, την ίδια φοράκαι το μέτρο του ενός να είναι  φορές τομέτρο του άλλου, δηλαδή    , ( με   0).Όμως για να συμβαίνουν τα παραπάνω πρέπειη ορίζουσα των διανυσμάτων  και  να είναιμηδέν . Πρέπει δηλαδή x1 y1  x 1 0x2 y2 4x

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 5.ΣΕΛ.39 ΣΧ.Βx1 y1  x1 y2  x2 y1. Επομένως x 1  x.x  4.1 x2 y2 4 xx 1  x2  4. Θέλω όμως x 1  0  x2  4  0  ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ4x 4x ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣx   4  x  2. Για x  2 έχω  (2,1) και  (4, 2)(4, 2)  2(2,1)    2     (ομόρροπα)Για x  2 έχω  (2,1) και  (4, 2), (4, 2)  2(2,1)   2     (αντίρροπα).Άρα    ότανx2

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 6.ΣΕΛ.39 ΣΧ.Β ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΖητώ να βρώ το συγγραμμικό διάνυσμα τουu(x1  3, y1  4). Για να είναι συγγραμμικό έναδιάνυσμα  με το u πρέπει να έχει την ίδιαδιεύθυνση και το μέτρο του να είναι  φορές τομέτρο του u. Πρέπει δηλαδή να ικανοποιείταιη συνθήκη   u. Στη προκειμένη περίπτωσηθέλω το μέτρο του  όπου   u να είναιδιπλάσιο του μέτρου του u. Δηλαδή   2 u

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 6.ΣΕΛ.39 ΣΧ.ΒΈχω   2 u .Όμως   u, άρα   u  2 u ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ u  2 u   u  2 u   u  2 u  uu  2    2 . Άρα το   u γίνεται  2u     2u  23, 4    6,8    2u  2(3, 4)    6, 8 

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 7.ΣΕΛ.39 ΣΧ.Β ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Τα   i και   j είναι τα μοναδιαία διανύσμα-τα. Δηλαδή οι μονάδες μέτρησης του μήκους στονοριζόντιο xx΄ και στο κάθετο yy΄ άξονα αντίστοιχα.

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 7.ΣΕΛ.39 ΣΧ.Β ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΔιανύσματα θέσεως των σημείων Γ, Δ, Ε, Ζ, Κ, Ηονομάζονται τα διανύσματα που έχουν αρχή τοσημείο Ο δηλαδή την αρχή των αξόνων και πέραςτα σημεία Γ, Δ, Ε, Ζ, Κ, Η αντίστοιχα. Είναι τα   διανύσματα , , , , , .

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 7.ΣΕΛ.39 ΣΧ.Β ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΘέλω να εκφράσω τα διανύσματα θέσεως ως συνά-ρτηση των i και j. Εκμεταλεύομαι το αριθμημένοπλέγμα του σχεδίου για να μπορέσω να τα εκφράσω Να σημειώσω ότι i= OA και j= 

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 7.ΣΕΛ.39 ΣΧ.Β  i= OA και j=  ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΈχουμε   1 i,    1 i  1 j    i  j,  2 22    2i  1 j,   2 j,  2   2i 1 j

ΣΗΜΕΙΩΣΗ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Έστω το διάνυσμα  =xi+yj . Οι αριθμοί x, y λέγονται συντεταγμένες του διανύσματος  και τα παραπάνω συμβολίζονται και ως εξής   x, y

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 6.ΣΕΛ.39 ΣΧ.Β ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΣτη συνέχεια θέλω να εκφράσω τα διανύσματα   , , , , , ,  ως συνά- ρτηση των διανυσμάτων i= OA και j= 

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 6.ΣΕΛ.39 ΣΧ.Β ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Το διάνυσμα i=  εκφράζει τη μονάδα μήκους στον οριζόντιο άξονα και το j=  εκφράζει τημονάδα μήκους στον κάθετο άξονα. Επομένωςοι συντεταγμένες των σημείων Γ,Δ,Κ,Α,Η,Θ,Ζέχουν ως εξής :

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 7.ΣΕΛ.39 ΣΧ.Β  i=  μονάδα μήκους  j=  μονάδα μήκους ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΓ  1 , 0  , Δηλαδή το Γ έχει συντεταγμένες x  1 ως  2  2προς τη μονάδα μήκους i και y  0 ως προς τημονάδα μήκους j.

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 7.ΣΕΛ.39 ΣΧ.Β ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΟμοίως  1,1,   2, 1  ,  1, 0   2  2,1,  1  1 ,1    3 ,1 , 0, 2 2  2

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 7.ΣΕΛ.39 ΣΧ.ΒΣτη συνέχεια θα βρω τις συντεταγμένες των διανυσμά-    των , , , , , , . Γνωρίζω ότι ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ  ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣαν Α  x1, y1  και Β x2, y2  τότε  x2  x1, y2  y1 Επομένως για το Γ  1 , 0  και το  1,1 έχω  2    1  1 ,1  0      1 ,1 και τέλος ως 2   2 συνάρτηση των i και j το  γράφεται  1 i+1j    2

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 7.ΣΕΛ.39 ΣΧ.Β 1,1,   2, 1  ,  1, 0  , Γ  1 , 0  ,  2,1,  2   2  ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ 1 1 ,1    3 ,1 ,  0, 2. Με παρόμοιο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 2  2τρόπο   i  1 j,    i.    i+ 1 j,    22    1 i ,    2 i  3 j   i  2 j,  22

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 8.ΣΕΛ.39 ΣΧ.Β ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣi) Έστω Μ(x, 0) το σημείο του άξονα xx΄ πουισαπέχει από τα σημεία Α 1, 6 και Β9, 2 Αυτό σημαίνει ότι ΜΑ = ΜΒ  ΜΑ  ΜΒ Όμως 1 x, 6  0   1 x, 6 και 9  x, 2  0  9  x, 2

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 8.ΣΕΛ.39 ΣΧ.Β  x12  y12  1 x2  62ΜΑ   x22  y22  9  x2  22 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΜΒ  Επομένως η ΜΑ  ΜΒ γράφεται 1 x2  62  9  x2  22  22   1 x2  62  9  x2  22 1 x2  62  9  x2  22

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 8.ΣΕΛ.39 ΣΧ.Β ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ1 x2  62  9  x2  22 12  21 x  x2  36  92  29 x  x2  4 1 2x  x2  36  8118x  x2  4 2x 18x  x2  x2  36 1 81 4 16x  48  16x  48  x  3 16 16Άρα το ζητούμενο σημείο είναι τοΜ 3,0

ii) Έστω Κ(0, y) το σημείο του άξονα yy΄ πουισαπέχει από τα Α 1, 6 και Β9, 2. Αυτό σημαίνει ότι ΚΑ = ΚΒ     . Όμως  ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ1 0, 6  y =  1, 6  y και 9  0, 2  y  9, 2  y  12  6  y2 ,  92  2  y2   Οπότε εργαζόμενοι με παρόμοιο τρόπο με τοπροηγούμενο σκέλος της άσκησης έχουμε τελικάy  3. Άρα το ζητούμενο σημείο είναι το Κ 0, 3

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1.5 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

ΧΡΗΣΙΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ   ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣOφ  Εσωτερικό γινόμενο των μη μηδενι-κών διανυσμάτων  και  ονομά-ζεται το γινόμενο . που ισούται με .   .  συνφ, όπου φ= 

ΧΡΗΣΙΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑOφ Εάν    τό  = π , οπότε συνφ = συν π =0 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ φ 22επομένως .   .  συνφ   .  .0  0 .  0 και αντίστροφα , αν .   .  συνφ=0με   0 και   0 τότε συνφ  0     π φ=  2Επομένως   

ΧΡΗΣΙΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑO    ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ φ=   00 Εάν    τότε φ=  =00 οπότε συνφ=συν0=1Επομένως .   .  συν0 =  .  .1 .   .  και αντιστρόφως Εάν .   .  τότε συνφ=1  φ=  =00   

ΧΡΗΣΙΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ O    Εάν    τότε φ=  =1800 οπότε συνφ=συν1800 = 1. Επομένως .   .  συν1800    .  .1  .    .  και αντιστρόφως Εάν .    .  τότε συνφ= 1 φ=  ==1800    

ΧΡΗΣΙΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Το εσωτερικό γινόμενο .   2    συν , .   2   2 συν0   2 .1  .   2   2 2   2 ΤΟΥ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ1.  .       .  2.      . . , επιμεριστική ιδιότητα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ x2, y2    x1, y1  ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ   O 'Εστω  =    x1, y1  και  =    x2, y2  τότε.  x1x2  y1 y2π.χ ,εάν  = 3, 2 και  = 2, 1τότε .  3.2  2.1  6  2  .  8

ΜΕΤΡΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ x2, y2    x1, y1  ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ   y1 O x1 Εφαρμόζω το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώ-νιο τρίγωνο  , 2  2  2  2  x12  y12    x12  y12 , π.χ , εάν = 3, 2 , τότε   32  22  9  4  13

ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΓΩΝΙΑΣ ΔΥΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ    .   .  συν ,     . ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ  . ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ συν , εάν   x1, y1  και   x2, y2  τότε .  x1x2  y1y2και   x12  y12 ,   x22  y22 , επομένως  x1x2  y1 y2συν ,    x12  y12 . x22  y22

ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΓΩΝΙΑΣ ΔΥΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝπ.χ. έστω  1, 2 και  3,1   1.3  2.1 5 συν ,   12  22 32 12 5 10 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ   5 5 5  5 2.5 525συν ,   2 52    5 1 2  2 2συν ,  52 2 22 2 2 2   συν ,      2  συν  συν ,   24     , 4

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 1.ΣΕΛ.47 ΣΧ.Β ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΜας δίνονται τα διανύσματα   1,3 και = 2,5 με τις συντεταγμένες τους και θέλωνα υπολογίσω το εσωτερικό τους γινόμενο.Από τη σχέση .  x1x2  y1y2 έχω .  1.2  3.5  .  2 15  .  13Στη συνέχεια θέλω να υπολογίσω το εσωτερι-κό γινόμενο των διανυσμάτων 2 και  3

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 1.ΣΕΛ.47 ΣΧ.Β ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Το εσωτερικό τους γινόμενο είναι 2 . 3   εφαρμόζω την ιδιότητα  .    . ,     R οπότε έχω 2 . 3  2.3. .  Όμως .  13. Επομένως 2 . 3  6.13  2 .3   78

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 1.ΣΕΛ.47 ΣΧ.Β ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ   Στη συνέχεια θέλω    . 3   Εφαρμόζω την επιμεριστική ιδιότητα      . . και έχω    .3        .3      .  .3    3   .  .   3.  3. .  . Όμως .   .  συν0=  2 και      

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 1.II) ΣΕΛ.47 ΣΧ.Β   Επομένως    . 3    3  2  2.   2  x12  y12  12  32  10   2  10 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ  x22  y22  22  52  2 29    29.  13   Επομένως    . 3    3.10  2.13  29   .3     25

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 1.II)ΣΕΛ.47 ΣΧ.Β ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΘέλω το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτωνu ,  και  2,5 να είναι μηδέν, δηλαδήu.  0. Αυτό σημαίνει ότι τα διανύσματαu και  είναι κάθετα. Επίσης από τη σχέσηu.  0  .2  .5  2  5  0  u.  0Αυτό σημαίνει ότι όλα τα διανύσματα u ,  που ικανοποιούν τη παραπάνω σχέση είναικάθετα στο .

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 2.ΣΕΛ.47 ΣΧ.Β ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΔίνονται τα διανύσματα u  (1, 2), v  (4, 2) καιw  (6, 0) και θέλω να υπολογίσω το εσωτερικόγινόμενο u  (7v  w). Εφαρμόζω την επιμεριστικήιδιότητα και έχω u  (7v  w)  u  7v  u  w u  (7v  w)  7 u  v   u  w. Όμως u  v  1.4  2.2u  v  8 και u  w  1.6  2.0  6. Επομένωςu  (7v  w)  7.8  6  56  6  u  (7v  w)  69

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 2.ΣΕΛ.47 ΣΧ.Β ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΔίνονται u  (1, 2), v  (4, 2) και w  (6, 0)Θέλω να υπολογίσω το εσωτερικό γινόμενο| u | (v  w). Έχω v  w  4.6  2.0  v  w  24και | u | 12  22  1 4  5 . Επομένως| u | (v  w)  5.24  | u | (v  w)  24 5